Квант 2022, №10 · Страницы

4

КВАНТ 2022/№10

мую, по которой пересекаются секущая плоскость и плоскость, содержащая точки касания конуса со сферой. Обозначим через$^{H}$ проекцию точки M на прямую d.

Упражнение 3. Докажите, что прямая MH параллельна образующей r конуса.

$Пусть^{T}$ – точка касания образующей конуса, проходящей через точку M, со вписанной сферой. Тогда MF MT как касательные к сфере. Заметим, что MT и MH образуют равные углы с плоскостью, содержащей точки касания вписанной сферы с конусом, поскольку MT является образующей конуса, а MH параллельна другой образующей r. Тогда MT MH. Таким образом, MF MH, т.е. сечение конуса является параболой.

Рис. 6

точки M. Поэтому плоскость высекает на конусе эллипс с $фокусами_{1}^{F} и_{2}^{F}$.

Упражнение 2. Докажите аналогично, что во втором случае, когда плоскость пересекает обе полости конуса, кривая пересечения является гиперболой.

Рассмотрим третий случай (рис.7), когда секущая плоскость параллельна ровно одной образующей r конуса. Тогда, как мы уже говорили, существует ровно одна сфера, вписанная в конус и касающаяся плоскости в $точке^{F.}$ Пусть M – произвольная точка на сечении. Обозначим через d пря-

Рис. 7

Упражнение 4. Используя конструкцию, аналогичную рассмотренной в третьем случае, докажите, что для первых двух случаев прямая, по которой пересекаются секущая плоскость и плоскость, содержащая точки касания вписанной сферы с конусом, является директрисой коники. Замечание 1. В своей работе [1] Данделен не доказывал утверждение упражнения 4. Это было сделано ирландским математиком Пирсом Мортоном в 1829 году. Ирландский математик и епископ Хью Гамильтон в 1758 году в своем трактате о конических сечениях делал похожие на конструкцию Данделена построения. И хотя Гамильтон не вписывал в конус сферы, он рассматривал окружности касания таких сфер и конуса. Определял он такую окружность как окружность на конусе, лежащую на таком же расстоянии вдоль образующей от вершины коники, на котором находится ее фокус. Для такой окружности он доказал, что для любой точки конического сечения длина образующей до окружности равна расстоянию до фокуса и плоскость окружности пересекается с плоскостью коники по ее директрисе.

Отметим, что если изначальная плоскость проходит через вершину конуса, то она пересекает конус либо по точке, либо по паре прямых, либо по одной прямой. Иногда такие сечения называют вырожденными кониками. Таким образом, мы описали все конические сечения. По ссылке https: etudes.ru etudes Dandelin-spheres можно посмотреть красивые анимации, посвященные конструкции Данделена.

Воздушный шар Перельмана

И.АКУЛИЧ

ВСВОЮ ЗНАМЕНИТУЮ КНИГУ «Знаете ли вы физику?» (первое издание книги вышло в 1934 году, после чего книга переиздавалась многократно) классик-популяризатор естественных наук Я.И.Перельман включил такую задачу: «С воздушного шара, неподвижно держащегося в воздухе, свободно свешивается лестница. По ней начал взбираться человек. Куда при этом подвинется шар: вверх или вниз, и на сколько?» Там же он разместил и вот такое решение: «Шар в покое не останется. Пока человек взбирается по лестнице, аэростат будет опускаться. Здесь происходит то же, что наблюдается, когда вы идете по приставшей к берегу легкой лодке, чтобы выбраться на сушу: лодка отступает под вашими ногами назад. Точно так же и лестница, отталкиваемая вниз ногами взбирающегося по ней человека, будет увлекать аэростат к земле. Переходя к решению этой задачи с точки зрения законов механики, мы должны рассуждать так. Шар с лестницей и человек на ней представляют собой изолированную систему, центр тяжести которой не может быть перемещен действием внутренних сил. Он сохранит неизменным свое положение при подъеме человека по лестнице только тогда, когда сам шар опустится вниз, иначе центр тяжести поднялся бы. Что касается величины перемещения шара, то оно во столько же раз меньше высоты поднятия человека, во сколько раз шар тяжелее человека». Здесь имеет место как раз тот самый случай, когда заслуженный авторитет Якова Исидоровича сыграл злую шутку, потому что эта задача вместе с приведенным

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20221002

решением, что называется, пошла в народ. Так, в 1989 году она была напечатана в «Кванте» (условие – №7, решение – №9). Читатель может спросить: а что здесь не так? Решение-то вполне логичное и обоснованное, и на уровне здравого смысла представляется безупречным. Как бы не так! Чтобы ошибка стала вполне наглядной, попробуем решить тем же способом другую (но по сути – абсолютно такую же) задачу. В решении, как мы помним, Перельман упомянул лодку. Вот ее и используем: На поверхности водоема находится лодка массой 100 кг. С нее спущена в водоем лестница, на ступеньке которой на глубине 10 м стоит водолаз массой тоже 100 кг. Водолаз поднимается по лестнице вверх, пока не достигнет лодки. Куда и на сколько сдвинется лодка? Задача действительно полностью аналогична – здесь лишь среда, создающая выталкивающую силу, является не воздухом, а водой. Но какая разница? Если решать задачу, используя те же рассуждения, что и Перельман, то, учитывая равные массы лодки и водолаза, можно сделать однозначный вывод: водолаз и лодка встретятся на глубине 5 метров под водой. Каково? Но еще более впечатляющим оказывается ответ, если водолаз начнет не подниматься, а спускаться по лестнице. Тогда к тому моменту, как он окажется на глубине 20 метров, лодка поднимется в воздух на высоту 10 метров над поверхностью воды! Хотелось бы посмотреть на такое – зрелище, наверное, внушительное. В чем же ошибка рассуждений? Перельман утверждает, что шар с лестницей и человеком на ней представляют собой изолированную систему, центр тяжести которой не может быть перемещен действием внутренних сил. И приводит в

10

КВАНТ 2022/№10

качестве аналога лодку, скользящую горизонтально по поверхности воды, когда человек проходит по ней. Да, для человека с лодкой их суммарный центр тяжести сохранит свое местоположение, но только потому, что в направлении движения человека и лодки не действуют никакие внешние силы (и система является изолированной в проекции на ось, по которой идет человек и сдвигается лодка). А для воздушного шара все наоборот – система не изолирована, поскольку именно в вертикальном направлении на все ее элементы действуют весьма существенные внешние силы. Это, во-первых, сила тяжести, а во-вторых – выталкивающая сила воздуха. Они и определяют перемещение шара. Да, собственно говоря, само по себе нахождение шара с человеком в воздухе в состоянии равновесия определяется в первую очередь именно этими внешними силами, а не каким-то там перемещением человека по лестнице. Что, не очень убедительно? Ладно. Поскольку лучший критерий правильности любой теории – практика, давайте выполним расчет и выясним, каково же будет действительное смещение шара, если принять некие более-менее реальные условия. Изобразим схематично (см. рисунок) положение шара и человека на лестнице в начале подъема (слева) и в конце (справа). Здесь человек обозначен маленьким черным кружком, а шар – большим белым. Конечно, кое-что пришлость упростить. В частности, не нарисована корзина

– непременный атрибут любого воздушного шара. Но вполне допустимо считать, что корзина составляет неразрывное целое с самим шаром, так что масса корзины включена в массу шара. Находится же корзина непосредственно под самой нижней частью шара – практически вплотную. А так как немаловажную (даже, пожалуй, первостепенную) роль в нашей задаче играет выталкивающая сила, то заодно отметим, что собственным объемом корзины и оболочки шара вполне можно пренебречь, а выталкивающую силу, действующую на них, считать отсутствующей. В отношении лестницы будем еще суровее – пренебрежем и ее массой, и объемом. Таким образом, из рассматриваемых объектов остаются два: заполненный газом шар и человек. Массу оболочки шара (с учетом корзины) примем равной $m_{ш} 200$ кг, массу человека – $m_{ч} 80$ кг. Полагаем, что шар находится довольно высоко – на высоте Н 1000 м над уровнем моря, а длину лестницы будем считать равной L 100 м. После подъема человека снизу под самое «брюхо», согласно Перельману, шар опустится на некую величину х, которую мы и будем искать. На рисунке фигурирует еще одна величина – радиус воздушного шара $r_{ш}$ (будем считать его сферическим). Этим значением задаваться нельзя – его придется вычислять из условий равновесия. Но об этом чуть позже. Выталкивающая сила со стороны воздуха на находящиеся в нем тела определяется плотностью воздуха. Плотность воздуха, как известно, убывает с высотой (и, кстати, именно это убывание позволяет воздушным шарам «зависать» на определенной высоте – в противном случае шар поднимался бы вверх до самого конца атмосферы). Но как убывает? На этот счет подробные сведения противоречивы, однако есть широко известная зависимость среднего давления воздуха от высоты (справедливая вплоть до нескольких километров): на уровне моря давление составляет 760 мм рт. ст. (или 101,3 ˜ $10^{3}$ Па) и снижается на 1 мм рт. ст. (133,3 Па) при подъеме на каждые 12 м. Следовательно, подъем на 1 м приводит к уменьшению давления

15

ЗАДАЧНИК

«КВАНТА»

фотографу занимал одинаковое положение. Эта ли разница во времени или что-то другое послужило причиной столь разительного различия изображений (рис. 3)?

Ф2728. Оцените высоту дерева, сквозь листву которого пробиваются лучи света Солнца. Пятна света образовались на асфальте (рис. 4). Ширина (отмечена голу-

Рис. 2

фициент поверхностного натяжения воды V 0,07 Дж $м^{2}$.

Ф2726. Оцените среднюю скорость ветров в атмосфере Земли, если средняя температура поверхности земли воды вблизи экватора 27 q C. Считайте, что «цикл» работы атмосферы длится 1 сутки. Альбедо Земли 35%, солнечная постоянная E 1,37 кВт $м^{2}$.

Ф2727. Одно и то же масляное пятно на мокром асфальте было сфотографировано смартфоном дважды с разницей во времени приблизительно 16 секунд. Смартфон по отношению к стоящему на асфальте

Рис. 3

Рис. 4

бой стрелкой) ботинка, который частично виден на фотографии, равна 12,5 см (измерена независимо линейкой).

Решения задач М2706–М2709, Ф2713–Ф2716 M2706. Шестнадцать команд Национальной хоккейной лиги в первом раунде плейофф разбиваются на 8 пар и играют друг с другом серии до четырех побед (таким образом, счет в серии может быть 4–0, 4–1, 4–2 или 4–3). После каждого раунда команды, победившие в своих парах, снова разбиваются на пары, а проигравшие команды больше не принимают участие в турнире. После четвертого финального раунда оказалось, что ровно у k команд суммарное количество побед во все играх не меньше, чем количество поражений (например, под условие подходит коман-

44

КВА НT 2022/№10

2 (5–6). Назовем дату «палиндромом», если она слева направо и справа налево читается одинаково (точки не учитываются). Например, дата 22.02.2022 является палиндромом. Когда наступит ближайшая следующая дата-палиндром, записанная в таком же формате, как приведенная? 3 (5–6). Коля делал домашнюю работу: за 2 часа он успел сделать половину заданий по математике, 3 4 заданий по физике и все задания по химии. А когда он полностью закончил работу, то обнаружил, что на задания по химии ушло 25% от общего времени. Известно, что если бы он делал только физику, то сделал бы все задания по ней за час. За какое время Коля сделал все задания? Считаем, что каждое задание по предмету требует для своего выполнения одного и того же времени. 4 (5–6, 7–8, 9). Будем обозначать abc трехзначные числа, записанные цифрами a, b, c. Сколько существует трехзначных чисел таких, что разность abc acb делится на 72 без остатка? 5 (5–6, 7–8, 9). Петя строит замок из кубиков. В какой-то момент он изобразил недостроенный замок в трех проекциях: вид спереди, вид сбоку и вид сверху. Какое

причем каждый вскопал одинаковое количество (не обязательно целое число) грядок. На следующий день некоторые работники заболели COVID-19, и на работу вышло только 7 человек. Пришедшие работали половину рабочего дня с такой же производительностью, как и в первый день, и доделали оставшуюся работу. Сколько всего грядок было на подсобном участке? 8 (7–8). Найдите все пары натуральных чисел x; y, для которых выполнено равенство x y x y 1 2 y

9 (9). Найдите все пары натуральных чисел x; y, для которых выполнено равенство x y x y 1 y

10 (9). Учитель выписал на доске квадратное уравнение

$x^{2} ax^{2022}$

Андрей подставил вместо a по очереди все целые числа от 0 до 99 и решил все из получившихся 100 уравнений. Найдите сумму всех получившихся у Андрея действительных корней этих уравнений. При необходимости округлите ответ до сотых.

Вариант 2 наименьшее количество кубиков может быть изображено на виде сверху? 6 (5–6, 7–8, 9). К середине XXII века человечество освоило 100 обитаемых планет в других звездных системах. От каждой планеты расходится 40 гиперпространственных порталов, и к каждой планете ведет 40 порталов от других планет. Все порталы непересекающиеся и строго односторонние, т.е. если есть портал, ведущий из А в В, то нет портала, ведущего из В в А. Мистер Риггз хочет добраться с Галатеи-37 на Пандору за наименьшее число гиперпространственных прыжков. Сколько прыжков ему может потребоваться (укажите все варианты)? 7 (7–8, 9). Работники должны были вскопать несколько одинаковых грядок. В первый день работники вскопали 10 грядок,

(10 класс) 1. Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности 12, 13, 14, 15, 16, 17, …, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (т.е. удалить числа $16 4^{2}, 25 5^{2}, 27 3^{3}$, …)? 2. Решите неравенство

$18 x^{3} 9 x^{2} 2 x 1$ arccos 2 x 1 t

§ $1 3 \cdot t$ arccos ¨ ¨ ¸. q 4 sin 50 4 sin 40 q ¸ ¹ ©

3. Найдите количество натуральных делителей наибольшего целого значения выражения xyz xy yz zx 2023, если сумма неотрицательных чисел x, y и z равна 2022. 4. Среди всех вписанных четырехугольников найдите четырехугольник ABCD с наименьшим периметром, в котором BC CD AD и все попарные расстояния между точка-