Квант 2023, №7 · Страницы

10

КВАНТ 2023/№7

«под фонарем») для пространств размерности d d 8. Была найдена восхитительная решетка Лича в 24-мерном пространстве. На протяжении последней четверти века было установлено, что в пространствах размерностей d 3, 8 и 24 плотнейшие решетчатые упаковки являются абсолютно плотнейшими упаковками, т.е. тем алтыном, который искал господин из любимого анекдота Б.Н.Делоне. Весьма вероятно, что и упаковка $D_{4}$ также является оптимальной упаковкой в 4-мерном пространстве. Более того, представляется, что у упаковки $D_{4}$ оснований претендовать на это почетное место не меньше, чем это было у ее «младшей сестры» – ГЦК-упаковки $D_{3}$: уж очень удачна центрировка гиперкуба. Тем не менее, как это ни покажется странным, современные методы, которыми была решена задача для d 8 и 24, в размерности d 4 пока не работают. Что касается плотнейших решетчатых упаковок, то в пространствах размерности начиная с 9 метод наката слоев не только становится неимоверно сложным, но и вообще перестает работать. Причина в том, что даже в плотных решетчатых упаковках шаров появляются лунки настолько большие и, следовательно, глубокие, что шары из соседнего слоя сверху проваливаются в эти лунки и сталкиваются с шарами из соседнего слоя снизу. Более того, шар соседнего слоя, помещенный в нее, может оказаться вровень с первым слоем, т.е. плотная решетка оказывается ненасыщенной упаковкой. В то же время добавление новых шаров в решетчатую упаковку делает ее не решетчатой, но мультирешетчатой. Эти обстоятельства указывают на то, что при d t 9 «алтын» скорее всего находится «не под фонарем». В пользу этого предположения говорит и то, что в 10-мерном пространстве, как уже установлено, существуют мультирешетчатые упаковки, которые плотнее известной на сегодня плотнейшей решетчатой упаковки. Однако является ли «известная плотнейшая» 10-мерная упаковка действительно плотнейшей решетчатой – на этот вопрос ответа пока нет.

Так что не только найти 9-мерный алтын, но даже установить, что его нет под фонарем, – очень трудная проблема. Более того, неизвестно, является ли плотнейшая упаковка шаров в многомерном пространстве мультирешетчатой или нет. Многомерные упаковки таят многое, что противоречит нашей геометрической интуиции. К примеру, в многомерных пространствах даже самые плотные упаковки шаров занимают ничтожную долю пространства. Так, знаменитая 24-мерная решетка Лича представляет в 24-мерном пространстве абсолютно плотнейшую упаковку шаров, доля которой всего около 0,19% пространства! Трудно, но и интересно представить плотную упаковку, в которую нельзя вставить ни одного шара, при том что более 99,8% объема пространства остается не покрытой шарами. Конечно, вопросы о плотнейших упаковках шаров в многомерных пространствах интересны математикам. А чем они интересны другим представителям трехмерного мира? Ответ: в наше время информационных технологий – очень многим! Напомним, что в конце XIX века Минковский свел к задаче о плотнейшей упаковке шаров задачу из теории чисел. А в XX веке, благодаря другому выдающемуся ученому, основоположнику современной теории информации Клоду Шэннону, очень важная проблема выбора системы кодов, исправляющих ошибки, которые возникают при передачи информации по каналу связи, была сведена также к задаче о плотнейшей упаковке шаров в пространстве произвольной размерности.

17

ЧТО

ПРОИСХОДИТ

сидной пленки. Например, как ни странно, именно из-за высокого электрического сопротивления оксида алюминия медленно окисляется алюминий. Принято считать, что не окисляются (или окисляются так слабо, что электроны туннелируют через пленку) золото, платина и их сплавы с большим содержанием драгметалла. Добавки же к драгметаллам применяют либо для увеличения прочности и уменьшения механического износа, либо для увеличения технологичности (рис. 6).

Рис. 6. Реле с весьма мощными контактами – слева, с «деликатными» – справа. На правом указан материал контактов – AuNi 5%

Два контакта, сжатых на некоторое время, могут свариться друг с другом и остаться в таком положении после снятия усилия. Это явление называют «прилипанием», оно объясняется текучестью и диффузией материалов и в результате – образованием «истинного контакта» большой площади. Процесс ускоряется при нагреве протекающим током. Прилипание возможно лишь для чистых металлов, не покрытых слоем оксида или иной пленки. При наличии пленок эффект прилипания ослабляется или прекращается. Разъединение контактов из абсолютно чистых отожженных благородных металлов, например платины или золота, возможно лишь после приложения больших усилий, почти равных усилиям, которые необходимы для разрушения монолитной структуры металла. Поэтому для уменьшения сваривания применяются добавки, увеличивающие прочность и тормозящие диффузию.

ПРИ

КОНТАКТЕ

Для контактов средней мощности нажатие обычно обеспечить можно, и сопротивление пленок уже не столь существенно – они будут разрушены при контактировании. Тем более что реле и выключатели часто делают так, чтобы контакты «прыгали» навстречу друг другу, ударялись друг о друга или елозили друг по другу, разрушая пленки. Тогда важными оказываются электрои теплопроводность самого материала – значит, преимущество будет за медью или серебром, может быть с упрочняющими добавками. Важным может оказаться и сваривание, значит, материал должен быть тугоплавким и с низким давлением пара. Это требование указывает на углерод, вольфрам, молибден. Но у них велико сопротивление. Выход – композит: вольфрамовая губка, пропитанная медью, или прессованная и спеченная смесь порошков меди и углерода. Специфическая ситуация – скользящие контакты при большом и неизбежном износе, если предстоит работа под открытым небом с вытекающими отсюда последствиями в виде дождя или снега. Следовательно, надо брать либо что-то совсем дешевое и часто заменять, либо с малым трением и износом. Это случай троллейбуса с контактами для мокрой погоды – из стали или чугуна, самого дешевого металлического материала, износостойкого и антифрикционного, а для сухой погоды – из углеродных материалов (рис. 7). Или это трамвай с контактами из алюминия или стали.

Рис. 7. Контакты троллейбуса: справа – углеродный, слева – чугунные. Прорези – для сцарапывания льда

20

КВАНТ 2023/№7

А.Н.Колмогоров среди учащихся школы

Ивановского педагогического института на каком-то $озере^{2}$. С Крымом дело несколько сложнее: они уже устраивали летний математический лагерь в Феодосии с не очень хорошими традициями. Бесспорно, полезной стороной Вашей деятельности будет издание всяческих материалов. Однако, и здесь главное, чем математикам надо наконец заняться (не с тем легкомыслием, как это сделали Болтянский и И. $Яглом)^{3}$ – это составлением хороших книжек – учебных и не учебных. Срочная рассылка «материалов» для школы, боюсь, будет тянуть в сторону спешной и небрежной работы. «Обратная связь» по переписке страшно $трудоемка.^{4}$ Мой серьезный совет был бы выбрать несколько областей, не очень далеких от Москвы. В Калинине и Ярославле можно было бы опереться и на местные педагогические институты в виде очно-заочных консультационных пунктов. Даже в некоторых районных центрах можно было бы найти активную помощь местных учителей. Из близких областей не нарушая демократичности можно было бы пригласить приехать на школьные каникулы лучших учеников с небольшой дота-

цией (из далеких – это уже очень большая роскошь, на которую не дадут средств, а приглашать за свой счет будет не демократично). С другой стороны, можно было бы наладить связь с отдельными школами, где корреспондентом школы будет небольшой кружок. У меня будет даже определенная просьба поскорее послать материалы В.Брюхову в школе гор. Печора (Koми). Он был у нас в Красновидове и оказался на уровне, не позволившем его взять в наш выпускной 11 кл., но у себя дома он был инициатором и чуть не руководителем кружка своих товарищей. Можно еще в виде таких «корреспондентских пунктов» выбрать те школы вне больших городов, из которых у нас в школе-интернате уже есть учащиеся. Таких школ окажется, все-таки, не менее пятидесяти, а случаях в двадцати, наверное, сами учащиеся могли бы сделаться активными участниками Вашей работы. Но особенно я советовал бы выбрать несколько областей и на них сосредоточиться. По какой-либо Калининской или Ярославской области можно было бы даже в зимний университетский перерыв объе-

22

КВАНТ 2023/№7

председательствование в конкурсных комиссиях по учебникам, написанным малограмотными авторами по плохо составленным программам. По существу, получить математическое образование человек средних способностей за пять лет может. Но, по-видимому, для этого надо как-то радикально изменить стиль преподавания. Вы пишете в своем письме: «Не следует забывать, каков уровень подготовки основной массы студентов первого курса и в какой мере они смогли бы сразу начать работать на том или ином уровне активности и самостоятельности». Я этого не забываю, но мне понятно лишь следующее. а) «Основная масса» (условное название студентов, пришедших из школ с обычным уровнем преподавания математики – вскоре они перестанут образовывать большинство, но думать о них все равно будет надо!) не способна к «иному уровню активности и самостоятельности» усвоения того материала, который мы предлагаем им на первом курсе. б) Эта основная масса в значительной части доходит и до пятого курса, так и не поднявшись до иного уровня активности и самостоятельности. <…> Вы знаете и мое мнение о способах изменения такого положения: делать на первом курсе то, что требуется, чтобы принесенные из школы знания и навыки перешли в «активное» состояние. Между тем, сейчас происходит обратное. Из желания не потерять авторитет у более сильной части студентов лекторы на первом курсе усиленно поднимают уровень изложения на современный лад. Мне кажется, что мы стоим уже не перед перспективой, а перед фактом существования студентов «двух сортов» в наиболее вредной форме – все студенты понимают, что деление существует, многие преподаватели своей деятельностью это деление усугубляют, а не смягчают, и при этом формально все должны проходить в одинаковые сроки одинаковую программу. Так как наличие школ с повышенной подготовкой по математике есть факт (и

отнюдь не созданный с появлением руководимого мною интерната), то единственный разумный выход, по моему мнению, состоит в создании раздельных потоков, которые в разные сроки и по разным программам получают тот минимум общематематических знаний, который факультет признает обязательным. Конкретно, поток выпускников специальных школ мог бы в два года пройти курс анализа, включающий в себя органически (а не в качестве надстройки) содержание «Анализа-III», с первого же семестра иметь «объединенный» курс линейной алгебры и геометрии и т.п. Они раньше приступали бы к работе в специальных семинарах и к специализации на кафедрах и «выгадывали» бы свободный год в конце (а желающие кончали бы и в четыре года). (При этом с третьего курса они сливались бы полностью с «основной массой» студентов.) Я согласен с Вами, что объем знаний, обязательных для всех наших выпускников, следовало бы установить в какойлибо работоспособной комиссии. При наличии же такого «минимума», мне кажется, факультет не сделает ничего легкомысленного, позволив тем или иным группам математиков попробовать преподавать отдельным экспериментальным потокам всю математику в течение двух-двух с половиной лет (конечно, под контролем, но контролем не слишком педантичным – следует все же меньше стремиться к «униформизации» всей работы на факультете). Мне представляется крайне важным, чтобы весь обязательный материал, входящий в университетскую программу преподавания на первых двух курсах, был изложен систематически и доступно в небольшом числе учебных книг, желательно в одной книге по каждому предмету (аналитическая геометрия, анализ, дифференциальные уравнения и т.д.). Часто высказывается мнение, будто бы следование в одной книге чрезмерно стесняет самостоятельность и оригинальность лектора, а программы, включающие в себя отдельные главы, параграфы из многих книг, содействуют приобретению студентами навыков более свободного пользования

24

КВАНТ 2023/№7

щиеся способности и кое-что ему дается необычно легко, то можно перед ним поставить повышенные задачи, но не в направлении одностороннего форсирования занятий математикой, а в направлении общего развития с понятной ему самому перспективой несколько скорее добраться и до вершин той науки, которой он увлечен. Напишите, что Вы о сказанном думаете? А. Колмогоров

Письмо С.Г. Крейну 1 (1968 г.)

граммы (журнал «Математика в школе»), издали много материалов (тот же журнал, выходящий в 300000 экз.). Готовятся специальные сборники материалов (типа дополнительных глав учебников и набора задач, тоже тиражом в 300000 экз.). Мне кажется первой обязанностью каждого университета и педагогического института помочь развитию этой формы работы в своем городе и своей области (лекции и семинары для учителей, местные издания, лекции по телевидению, непосредственная работа в школах студентов в виде нового вида педагогической практики, организация местных летних физико-математических школ в лагерях для старших школьников). Б. Положение о факультативных занятиях предусматривает, что в многокомплектных школах при наличии надлежащих условий 6 часов основных занятий и 2 часа факультативных могут быть объединены в одной из параллелей в единый курс. Но здесь еще дело идет о работе с примерно 30% школьников без большого отбора и тем более – конкурсного. В. Школы с вычислительной специализацией никем не упразднены, но существует довольно сильное стремление разрешать их только там, где их специализация реальна и обеспечена технически. Пока не решены как следует задачи А, Б и задача Г (о которой далее), я склонен всячески защищать существующие школы с вычислительной специализацией даже

Глубокоуважаемый Селим Григорьевич! Заметку Е.М. Семенова я посмотрю и тогда о ней отвечу автору. А пока отвечаю на Ваши запросы о школьных делах. 1. Несколько комплектов французских учебников в Москве известны и предположено кое-какие из них переводить. Охотников на это дело уже довольно много, в том числе как раз и из работавших в Алжире. Выбор не так прост, а вопрос о том, переводить ли наиболее «модернистские» – тем более. Во всяком случае учебники Бриара, удостоившиеся хвалебного предисловия $Лихнеровича^{2}$, содержат такие грубые ошибки, что сам Лихнерович очевидным образом их не читал. Тем не менее, я готов и сам познакомиться с конкретными и мотивированными (в отношении выбора) предложениями Б.П. Пугачева$^{3}$ и передать их в издательство для сравнения с другими. 2. По поводу математических школ идет некоторая неявная дискуссия в верхах. Например, министр просвещения СССР и министр РСФСР по всей видимости занимают несколько разные позиции. Изложу положение в порядке широты разных начинаний. А. Бесспорно признается необходимость развертывания факультативных занятий по выбору учащихся. Для них мы составили примерные про- А.Н.Колмогоров беседует с учениками школы

25

$М_{АТЕ} М_{АТИЧЕСКИ}$ Й $М_{ИР}$

в тех случаях, когда эта вычислительная специализация в них фиктивна. Но когдалибо от этого следовало бы отказаться. Г. Постепенное расширение сети физико-математических школ с откровенно конкурсным набором тормозится из-за ряда побочных обстоятельств и высказываний против них некоторых весьма авторитетных людей, а отчасти и от нездорового их рекламирования (особенно Новосибирской школы). Пока шире в этом отношении Грузия, Армения, Литва (имеют по школеинтернату). К сожалению, в Москве все задерживается вопрос об окончательной легализации школ, аналогичных физ. мат. школам-интернатам, для москвичей. Но фактически хорошая 2-я и более сомнительная 7-я школы существуют. Таких школ надо не слишком много, м.б. 20-30 на весь СССР. Я уже неоднократно говорил, что готов в любой момент поддерживать открытие такой школы в Воронеже (в случае Воронежа – смешанной – интерната для нескольких областей и классов для горожан). При поддержке местных организаций м.б. это можно было бы осуществить и до решения общего вопроса. Дискутируется вопрос о том, с какого класса начинать подобное выделение. Против начала ранее восьмого класса я стал бы возражать. Мы в московском интернате вполне удовлетворены началом с девятого, хотим только завести заочную подготовительную школу для восьмиклассников и хотим шире развивать набор через летние $лагери.^{4}$ В этом году я сам вел летнюю школу для окончивших восемь классов в Ивановской и Ярославской областях. Мы из нее взяли в интернат целый класс (27 человек). Теперь один встречный вопрос: мы подготовили вступительное задание для заочной школы восьмиклассников. Ивановский педагогический институт взялся вести переписку по этой школе с учащимися Ивановской и Ярославской областей (не из самих областных городов, где есть очные вечерние юношеские школы). He возьмется ли Воронеж на ближайший год за аналогичное дело по Воронежской и м.б. еще какой-либо области? Пишу на

этот год, так как далее, возможно, Вы и не захотите быть только нашим филиалом. Ваш Колмогоров

Комментарии

1. Селим Григорьевич Крейн (1917–1999) – ученик Н.Н. Боголюбова, известный математик и педагог, лидер воронежской математической школы. 2. Андре Лихнерович (1915–1998) – французский математик и физик. Член Парижской академии. Сюжет с учебниками Бриара обусловлен интересом А.Н. Колмогорова к зарубежному опыту в связи с проводимой в это время реформой математического образования в СССР. 3. Борис Павлович Пугачев (1923–2010) – доцент Воронежского университета.

2. Эта попытка была реализована в 1968-70 годах, но затем по тем или иным причинам не получила развития.

Письмо 1 А.П. Тинякову (1968 г.)

Глубокоуважаемый Александр Павлович! Отвечаю на некоторые Ваши запросы только с большим опозданием. Я мог бы приехать в Симферополь в сроки вблизи студенческих каникул (24 января – 6 февраля). Поездка планируется комплексно. Так как я люблю море, хотя бы и не очень приветливое, меня занимает, например, зимнее расписание судов, которые доставили бы меня из Ялты в Сухуми. Но возможно и приспособление к Вашим удобствам с тем, чтобы можно было встретиться с учителями области и, может быть, попасть на «сессию» Вашей МАН. Возможно, что как старый житель Крыма Вы можете оказать нам содействие еще в одном отношении. Наши математические школьники (из интерната № 18 при МГУ) в 1966 году работали летом около 20 дней в степном совхозе около Евпатории и на заработанные деньги прожили еще 16 дней в собственных палатках в бухте Ласпи, получая за 90 коп. с человека в день питание в пионерском лагере. Аналогичное трудовое начинание было проведено в 1967 году около Анапы в совхозе, где работают студенты МГУ. Сейчас у нас

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2754 – М2756 предлагалась на VIII Кавказской математической олимпиаде. Автор задач Ф2761–Ф2764 – С.Варламов.

Задачи М2754–М2757, Ф2761–Ф2764 M2754. Назар выбрал два вещественных числа a и b и написал два уравнения: $x^{4} 2 b^{3} x a^{4} 0$ и $x^{4} 2 a^{3} x b^{4} 0$. Докажите, что хотя бы одно из этих уравнений имеет вещественный корень. Н.Агаханов

M2755. Паша и Вова играют в игру, по очереди зачеркивая клетки доски 3 u 101. Исходно на доске зачеркнута только центральная клетка. За один ход игрок должен выбрать диагональ (в диагонали может быть 1, 2 или 3 клетки) и зачеркнуть в ней все еще не зачеркнутые клетки. Каждым ходом должна быть зачеркнута хотя бы одна новая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает Паша. Кто из игроков может выиграть вне зависимости от ходов противника? И.Ефремов

M2756. а) Выясните, могут ли для некоторого выпуклого шестиугольника ABCDEF одновременно выполняться три неравенства: ‘ ABD ‘ AED! 180 q,

‘ BCE ‘ BFE! 180 q,

‘ CDE ‘ CAF! 180 q. б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что в шестиугольнике диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке. М.Сагафиан, П.Кожевников

M2757. Дано простое число p. По окружности стоят p целых чисел. За один ход разрешается выбрать некоторое целое число k и заменить имеющийся набор $a_{0},^{…}, a_{p} 1$ на набор чисел $a_{0} a_{k}, a_{1} a_{1} k,^{…}, a_{p} 1 a_{p} 1_{k}$ (индексы берутся по модулю p, т.е. a i a i p ). а) Докажите, что после выполнения p таких ходов все числа на окружности будут кратны p. б*) Найдите все пары натуральных чисел m, n, n! 1, для которых верно следующее утверждение: для любого начального набора p целых чисел после выполнения любых m описанных ходов получится набор из p чисел, кратных n. П.Кожевников

Ф2761. Маятник Максвелла представляет собой конструкцию из П-образного жестко закрепленного на основании штатива, двух жестко соединенных соосных цилиндров разных диаметров и разных длин, а также двух нитей одинаковой длины, причем один конец каждой нити закреплен на цилиндре меньшего диаметра, а второй – на горизонтальной перекладине штатива (рис. 1). Оба цилиндра сделаны из одного и того же однородного материала плотностью U 10 г $см^{3}$. Соотношение диаметров цилиндров $D_{1} D_{2} 10$, соотношение их длин (вдоль оси симметрии) $l_{2} l_{1} 3$. Длина каждой выпрямленной нити $10,5 D_{1}$.

28

КВАН T 2023/№7

Рис. 2

Рис. 1

Максимальное расстояние по вертикали, на которое перемещается ось симметрии цилиндров, равно примерно $L 10 D_{1} 1$ м. Масса m такого маятника равна 1 кг. Маятник запускается из верхнего положения, когда нити намотаны виток к витку на цилиндр меньшего диаметра и скрепленные цилиндры неподвижны. При движении маятника выпрямленные участки нитей остаются практически вертикальными. Каково максимальное натяжение нитей в те промежутки времени, когда: а) маятник опускается, б) маятник поднимается, в) подъем оси маятников сменяется опусканием, г) опускание оси в первый раз сменяется подъемом? Считайте, что g 10 м $с^{2}$.

Ф2762. Учитель надул резиновую оболочку шарика воздухом из своих легких и завязал горловину оболочки узлом. В шарике оказалось 10,0 литров воздуха при температуре 20 q С и давлении, которое примерно на 4% больше атмосферного. Затем шарик стали аккуратно поливать жидким азотом из термоса. Жидкость хорошо смачивала всю поверхность шарика, и он, охлаждаясь, основательно уменьшался в объеме. Оцените, по возможности точнее, минимальный объем шарика при продолжении полива. Сведения о составе газовой смеси в шарике можно отыскать в интернете.

Ф2763. Электрическую цепь собрали из кусков медной проволоки разных диаметров d и 2d и разных длин L и 2L (рис. 2). Все участки цепи находятся в воздухе при комнатной температуре 20 q C. Выводы цепи А и В на очень короткое время подключили к мощному источнику тока и отключили. Сразу после отключения короткий участок проволоки большего диаметра имел температуру на 1 q C больше комнатной. Какими были в этот же момент температуры двух других кусков проволоки с одинаковым диаметром, но разной длиной?

Ф2764. В новом школьном здании нашлось помещение, имеющее форму куба с горизонтальными полом и потолком. В центр пола этого помещения поставили картонный ящик, тоже имеющий форму куба. В точности над центром этого ящика на потолке светится маленькая лампочка. Тень от ящика занимает 1 4 часть площади пола в помещении. Если лампочку переместить на 1 м вниз, то тень от ящика накроет весь пол, а на стенах при этом тени не будет. Каков объем этого помещения?

Решения задачи М2742–М2745, Ф2749–Ф2752 M2742. Дано целое число h! 1. Назовем положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма ее числителя и знаменателя равна h. Скажем, что число h замечательное, если каждую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше h, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания. Докажите, что h замечательное тогда и только тогда, когда оно простое. (Напомним, что обыкновенная дробь – это отношение целого числа к натуральному.)

Сначала докажем, что если n – составное, то не любую дробь, знаменатель которой меньше n, можно выразить. Если среди

30

КВАН T 2023/№7

равноудалены от центра O, т.е. имеют равные длины. Но, как известно, длина отрезка AP касательной к вневписанной окружности равна полупериметру треугольника ABC, т.е. 1 2. Задача решена. Есть и другие геометрические решения, в которых обнаруживаются следующие интересные описания точек пересечения средней линии с окружностью:. Оказывается, точка пересечения Y лежит на внешней биссектрисе угла C, а значит (в силу ‘ AYJ 90 q ) Y – проекция вершины A на внешнюю биссектрису угла C. Проекции вершин треугольника на внутренние или внешние биссектрисы появляются во многих геометрических конструкциях; за этими точками также в фольклоре закрепилось название «точки из задачи 255 задачника И.Шарыгина». Кроме того, прямая PY параллельна биссектрисе угла B и проходит через точку касания окружности Z с BC. Д.Бродский

M2744. Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.

Выберем произвольное направление и далее будем считать его горизонтальным. У каждого параллелограмма с горизонтальными сторонами покрасим верхнюю сторону в синий цвет, а нижнюю в красный. То же сделаем со всеми имеющимися горизонтальными сторонами треугольников (если треугольник снизу от стороны, красим ее в синий, иначе – в красный). А если у 100-угольника есть горизонтальные стороны, то их покрасим наоборот: верхнюю в красный цвет, а нижнюю в синий. Теперь каждый горизонтальный отрезок на рисунке покрашен один раз в синий цвет («снизу») и один раз в красный («сверху»), поэтому синего и красного цвета мы потратили поровну. Но ведь и в каждом параллелограмме, и в нашем 100-угольнике синего и красного цветов было использовано поровну. Поэтому если их стереть и оставить только два треугольника, то в них тоже синего и красного поровну. Другими словами, если у одного есть синяя горизон-

тальная сторона какой-то длины, то у другого есть красная горизонтальная сторона такой же длины! Аналогично докажем, что остальные стороны треугольников попарно равны. Следовательно, треугольники равны по трем сторонам. Задача решена. Замечание. Разрезания из условия существуют, причем они могут быть устроены достаточно несимметричным образом (например, не обязательно все стороны треугольников параллельны сторонам 100-угольника, треугольники не обязательно образуют параллелограмм, примыкают к сторонам 100-угольника, симметричны относительно центра 100-угольника). На рисунке приведен один из многих возможных примеров разрезания 10- угольника. А.Юран, Ю.Тихонов

M2745. Даны две последовательности из букв А и Б, в каждой из которых по 100 букв. За одну операцию разрешается вставить в какое-то место последовательности (возможно, в начало или в конец) одну или несколько одинаковых букв или убрать из последовательности одну или несколько подряд идущих одинаковых букв. а) Докажите, что из первой последовательности можно получить вторую не более чем за 100 операций. б*) При каком наименьшем k из любой первой последовательности можно получить любую вторую не более чем за k операций?

а) Сначала решим аналогичную задачу для последовательностей из двух букв, а именно докажем, что из одной последовательности можно получить другую не более чем за 2 операции. Если одна из последовательностей – это АА, а другая – ББ, уберем все буквы первой последовательности, а затем добавим буквы второй последовательности. В противном случае в последовательностях есть одинаковые

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Найдутся ли семь различных правильных несократимых дробей со знаменателями от 2 до 6 и с суммой 4? А.Шаповалов

Ваня сложил куб $3^{u} 3^{u} 3$ из красных и синих брусков размером $1^{u} 1^{u} 3.$ Затем он начал рисовать то, что у него получилось. Когда пришла Таня, Ваня успел раскрасить лишь 8 из 27 клеток на видимой поверхности нарисованного куба. Посмотрев на рисунок, Таня сказала, что не знает цвет лишь одной из еще не раскрашенных клеток. Ваня ответил, что эта клетка – красная. Завершите Ванин рисунок (отметьте буквой «С» синие клетки, буквой «К»

Задачи 1, 3, 4 предлагались на Московской устной олимпиаде, задача 2 – на Математическом празднике.

красные, знаком «?» клетку, цвет которой Таня не могла восстановить). М.Евдокимов, Т.Казицына

3. Внутри выпуклого многоугольни- ка нашлась точка, которая от середины каждой стороны, кроме одной, удалена на половину этой стороны.

Обязательно ли это верно и для оставшейся стороны? А.Пешнин

Ученики писали олимпиаду в двух залах. Ни в одном из залов не было трех тезок. У 100 учеников было двое тезок в другом зале. У 144 учеников было хотя бы по одному тезке в каждом зале. У скольких учеников было ровно по одному тезке в каждом зале? (Напомним, что тезками считаются люди с одинаковыми именами.) А.Шаповалов

Иллюстрации Д.Гришуковой

Задачи

37

ПР АКТ И К УМ

А БИ Т УРИ ЕНТА

Рис. 2. Коэффициент рассеяния электромагнитного излучения на каплях воды; область мелких капель – рэлеевское рассеяние

Рис. 1. Иллюстрация рассеяния электромагнитного излучения каплей воды для двух значений дифракционного параметра; k – волновое число

всех направлениях к энергии, падающей на диаметральное сечение шара. Эта величина в функции дифракционного параметра представлена на рисунке 2. Видно, что в пределе крупных частиц ( a? O ) коэффициент рассеяния стремится к двум. Но самое интересное здесь – наличие «резонансных» макси- мумов для «избранных» длин волн. Соседние минимумы свидетельствуют о меньшем желании частицы рассеивать падающее излучение соответствующей длины волны. Теперь ясно, что в приведенных поэтических строках размеры капель тумана, порожденных штормом, таковы, что до наблюдателя доходят преимущественно красные тона из непрерывного белого света молний. Естественно, чем большее расстояние пройдет свет в рассеивающей сфере, тем сильнее эффект. Вспомним: когда Солнце над головой, небо голубое, а на закате оно красное – различны длины пути в атмосфере. Итак, стихотворение Пушкина напоминает, о чем должен думать Любознательный Отличник, наблюдая деву на скале в тумане морских брызг. Он должен думать о Физике колебаний и волн!

ПР АКТ И К УМ А БИ Т УРИ ЕНТА

Диаграмма состояния

В.БЕЛОНУЧКИН

Как известно, любое вещество в зависимости от внешних условий может находиться в твердом, жидком или газообразном состоянии. Если давление мало, а температура

Опубликовано в «Кванте» №12 за 1981 год.

велика, вещество обычно существует в виде газа. При низкой температуре и высоком давлении все вещества превращаются в твердые тела. При каких-то промежуточных значениях параметров существует жидкость. Схематически это изображено на рисунке 1. Осталось провести границы между областями различных состояний – и мы получим так называемую диаграмму состояния вещества в р–Т координатах. Припомним несколько известных фактов, которые помогут нам в этом деле. 1) Давление насыщенных паров растет с ростом температуры; соответственно, температура кипения повышается с ростом давле-

38

КВАН T 2023/№7

Рис. 1

ния. Значит, граница жидкость – газ (Ж–Г) идет слева – снизу вправо–наверх. 2) Температура плавления слабо зависит от давления, поэтому граница твердое состояние – жидкость (Т–Ж) идет почти вертикально. 3) Существует особая точка – критическая $T_{кр}, p_{кр}$. При приближении к ней по границе Ж–Г свойства жидкости и газа (в первую очередь – плотности) отличаются все меньше и меньше; в критической точке отличия исчезают. Граница Ж–Г в этой точке кончается. 4) Для всех веществ (исключение – гелий) имеется тройная точка – такая совокупность параметров $T_{тр}, p_{тр}$, при которой сосуществуют все три фазы (жидкая, твердая и газообразная). Если $T T_{тр}, p p_{тр}$, то жидкое состояние невозможно, возможны только твердое и газообразное состояния. Следовательно, существует граница твердое состояние – газ (Т–Г). А так как при низких температурах, далеких от критической $( T^{=} T_{кр} ),$ различие между жидким и твердым состояниями гораздо меньше, чем между ними и газом, поведение границы Т–Г похоже на поведение границы Ж–Г. Итак, вид диаграммы состояния должен быть примерно таким, как на рисунке 2. Обратите внимание: граница Т–Ж проведена в трех вариантах Обычный вариант – 1 – температура плавления растет с ростом давления. Но для некоторых веществ, например висмута или отдельных сортов чугуна, $T_{пл}$ с ростом давления падает – вариант 2. Для воды $T_{пл}$ падает до давлений порядка 2 ˜ $10^{8}$ Па

Рис. 2

(2000 атм), а затем начинает расти – вариант 3. Качественно зависимость температуры фазового перехода (так называют переход вещества из одного состояния – твердого жидкого или газообразного – в другое) от давления можно понять, опираясь на один из наиболее общих законов природы – принцип Ле Шателье–Брауна. Несколько упрощенно его можно сформулировать следующим образом: Всякое внешнее воздействие вызывает в системе изменения, уменьшающие эффект этого воздействия. Так, если насыщенные пары находятся в равновесии с жидкостью, то при уменьшении объема, занимаемого системой, давление паров начнет повышаться. Плотность жидкости больше плотности паров. Если часть паров сконденсируется, плотность, а значит и давление остающихся паров, уменьшится. Эффект внешнего воздействия частично (а если температура поддерживается постоянной, то и полностью) скомпенсируется. Следовательно, немедленно начнется этот компенсирующий процесс – конденсация паров. Чтобы воспрепятствовать конденсации, т.е. чтобы все-таки повысить давление паров, очевидно, надо повысить температуру системы. Таким образом, опираясь (кроме принципа Ле Шателье–Брауна) только на тот факт, что плотность жидкости больше плотности пара, мы пришли к выводу, что более высокому давлению насыщенных паров отвечает более высокая температура.

43

ОЛ ИМПИ АДЫ

рыт, левый сосуд заполнен до уровня 6a жидкостью неизвестной плотности $U_{1}$, а правый – до такого же уровня жидкостью неизвестной плотности $U_{2}$. Ко дну каждого из сосудов прикреплены на легких нитях длиной 0,5a одинаковые кубики с длиной $ребра^{a,}$ причем сила натяжения левой нити равна 3T, а правой $–^{T.}$ Кран открывают, и система приходит в равновесие. При этом жидкости не смешиваются и из сосудов не вытекают. В состоянии равновесия сила натяжения правой нити становится равной 2T. Определите плотности жидкостей $U_{1}, U_{2}$, а также массу $кубика^{m,}$ выразив их через известные величины $g,^{T} и^{a.}$ А.Евсеев

Задача 4. Жук на стержне На рисунке 4 изображена система, состоящая из двух однородных балок массами 4m и 6m, разделенных штрихами на равные части, легкого стержня длиной 7l, подвешен-

Рис. 4

ного к балкам на легких нитях, и небольшого жука, находящегося у левого края стержня. Система расположена на неподвижной горизонтальной опоре длиной 2l. Нити вертикальны, балки и стержень горизонтальны. 1) При каких значениях массы M жука такое равновесие возможно? 2) Жук $массой^{M} M_{1}$ начинает медленно переползать в направлении правого края стержня. На какое расстояние L жук удалится от левого края стержня в момент, когда система выйдет из положения равновесия? Определите максимально возможное значение этого $расстояния_{max}^{L}$. При каком отношении масс $D_{1}^{M} m$ оно достигается? А.Киреев

8 класс

Задача 1. Переменное сечение Вблизи дна сосуда с водой прямоугольного сечения имеется плоская неподвижно закрепленная горизонтальная «полка», слева,

Рис. 5

справа и под которой есть свободное пространство для перетекания воды (рис. 5). На «полке» стоит тяжелый прямоугольный поршень, присоединенный легкой горизонтальной пружиной к правой стенке. В начальном положении поршень расположен на расстоянии L от обеих стенок, а пружина не растянута. Когда в пространство между правой стенкой и поршнем налили керосин $массой^{m,}$ поршень сдвинулся $на^{L} 3$ влево. 1) Какую массу $m_{1}$ керосина надо было налить, чтобы поршень сдвинулся $на^{L} 2$ относительно своего начального положения? 2) На какое расстояние l сдвинулся бы поршень относительно начального положения, если бы масса налитого керосина была равна 3m? Между поршнем и «полкой», а также между поршнем, передней и задней стенками сосуда жидкости не протекают. Керосин под «полку» и через верхний край поршня не перетекает, а жидкости из сосуда не выливаются. Стенки сосуда вертикальны. Трения в системе нет, объемом пружины пренебречь. А.Заяц

Задача 2. Ромбическое равновесие Четыре тонких однородных стержня постоянного сечения, имеющих разные $массы^{m,}$ 2m, 3m и 4m, но равные длины, соединили шарнирно и получили конструкцию, представленную на рисунке 6. К нижней части конструкции подвесили груз массой 5m. Двумя нитями соединили середины левых стержней Рис. 6

44

КВАНТ 2023/№7

между собой, а также правый угол конструкции с потолком. Конструкция находится в равновесии, нити вертикальны. 1) Определите силы натяжения $T_{1}$ и $T_{2}$ правой и левой нитей соответственно. 2) С какой силой F потолок действует на конструкцию в точке крепления верхнего шарнира? Трение в системе отсутствует. Массой шарниров и нитей можно пренебречь. А.Евсеев

Задача 3. Оптимальная температура Экспериментатор Глюк соорудил в дачном домике для своих рыбок проточный аквариум. Для заполнения аквариума он может использовать восемь кранов, которые имеют номера от 1 до 8, а на определенном уровне в стенке аквариума оборудован слив лишней воды (рис. 7). Каждый открытый кран дает одинаковый объем воды в единицу времени,

ющей среды. Считайте, что вода в аквариуме быстро перемешивается, а отверстие слива достаточно широкое. А.Киреев

Задача 4. Измерение малых сопротивлений Экспериментатор Глюк исследовал проводник необычной формы – кусок нихромовой ленты постоянной толщины d, из которого вырезана фигура, изображенная на рисунке 8. Для этого он взял соединенные

Рис. 8

последовательно амперметр и идеальную батарейку с напряжением $U_{0} 1,5$ В. Один контакт получившейся системы он подключил к левому краю фигуры, второй контакт – на расстоянии x от первого и стал снимать зависимость показаний амперметра I от x, занося результаты измерений в таблицу:

Рис. 7

причем вода из k-го крана имеет температуру $T_{k} k$ ˜ 5 q C. Оказалось, что если открыть только кран №2, то в аквариуме установится температура $t_{2} 15 q C$. Если открыть только кран №8, то установится температура $t_{8} 35 q C$. 1) Определите температуру $t_{0}$ в дачном домике. 2) Какая температура t установится в аквариуме, если открыть сразу все краны? 3) Какие три крана нужно открыть при закрытых оставшихся, чтобы в установившемся режиме получить температуру воды, наиболее близкую к оптимальной $t_{оп} 29 q C$? Рассмотрите все возможные варианты. Ответ обоснуйте. 4) Как изменится ответ в п. 3, если температуру воздуха в домике понизить на ’ t 6 q C? Мощность теплоотдачи от воды в аквариуме в окружающую среду прямо пропорциональна разности температур воды и окружа-

Со временем Глюк забыл все размеры фигуры, кроме $h_{3} 8$ мм. Определите значения $l_{1}, l_{2}, l_{3}, h_{1}, h_{2}$ и d, если известно, что последнее измерение экспериментатор проводил, подключив второй контакт к правому краю фигуры $x_{max} l_{1} l_{2} l_{3}$. Удельное сопротивление нихрома U 1,1 ˜ $10^{6}$ Ом ˜ м. При решении задачи можно считать, что $d_{=} l_{j}, h_{i} = l_{j}$ (для любых i и j). Погрешности значений искомых величин оценивать не требуется. Д.Рубцов

Публикацию подготовил В.Слободянин