Квант 2024, №2 · Страницы

3

ЮЛИЙ БОРИСОВИЧ ХАРИТОН

Юлий Борисович Харитон (1904–1996) появилась статья о Харитоне в связи с его восьмидесятилетием. Это было исключительное событие – статья была подписана девятью академиками, в том числе президентом АН СССР, и тремя российскими Нобелевскими лауреатами. В статье впервые было сказано, что в 1943 году И.В.Курчатов привлек Харитона к участию в исследованиях «по урановой проблеме». Это однозначно означало – к работе по атомной бомбе. В статье обрисованы и личные качества Харитона: «Он исключительно скромен, демократичен, но эта демократичность не противоречит твердому, целеустремленному и успешному руководству работами огромного масштаба». И далее: «Он бесконечно добр – всегда готов оказать помощь нуждающимся в ней. Он интересный собеседник, прекрасный рассказчик и внимательный слушатель. Общение с Юлием Борисовичем доставляет необычайную радость, обсуждение с ним физических проблем, а также и вопросов, связанных с искусством и литературой,

стимулирует мысль, расширяет горизонты его собеседников. Он глубоко чувствует и прекрасно знает поэзию и прозу. Он остро чувствует красоту природы во время долгих пеших прогулок. Она является для него неиссякаемым источником наслаждения и вдохновения, дополняющих живопись и музыку». Не правда ли, необычные слова для статьи в сугубо научном академическом журнале. И как жаль, что эту статью прочитали лишь немногие читатели журнала «Успехи физических наук». Все остальные газеты и журналы проигнорировали юбилейную дату, по-видимому, все еще опасаясь нарушить завесу секретности. И только через 20 лет, уже в другом государстве, в Российской Федерации, в связи со столетием со дня рождения Харитона появилось дополненное переиздание книги, состоящей из нескольких десятков статей о нем и его собственных статей и выступлений. Название этого сборника «Юлий Борисович Харитон. Путь длиною в век». Вот только несколько отрывков из статей о Харитоне, из которых можно получить некоторое представление о заслугах и облике этого человека. И.Е.Тамм, академик, Нобелевский лауреат: «Редкое сочетание трех качеств – высокоталантливо одаренный ученый, руководитель и организатор, сочетающий широту горизонта с проникновением, предвидением и вниманием к деталям дела… Человеческие качества: личное обаяние, душевная чистота (это не преувеличение, а, скорее, очень сдержанное проявление моих чувств), полное отсутствие внимания к себе». Я.Б.Зельдович, академик, начальник теоретического отдела КБ-11: «Мировой лидер науки о взрыве и детонации. Возглавляет работы по тщательному количественному, теоретическому и экспериментальному изучению взрыва и детонации. В трудной области с дорогостоящим экспериментом почти не знает неудач и срывов. Благородство и кристальная моральная чистота». В.Е.Фортов, академик, вице-президент и президент РАН: «Он взял на себя гран-

4

КВАНТ 2024/№2

диозную ответственность, пожертвовав, по существу, своей персональной научной карьерой. Его статей после 1940 года не появлялось в научных журналах. А ведь он был ученый высочайшей научной квалификации, человек нобелевского класса. Мудрый, скромный и великий человек, проживший такую долгую и неспокойную жизнь и столь много сделавший для нашей Родины». А.А.Бриш, главный конструктор ядерных боеприпасов ВНИИ автоматики: «Годы работы в КБ-11, когда складывался новый коллектив, обстановка творчества, которую создавал Юлий Борисович, были незабываемы и на всю жизнь сохранились в памяти как лучшие годы жизни». В.С.Пинаев, главный научный сотрудник ВНИИ экспериментальной физики: «Он демократично и непринужденно давал указания и поручения, каждый считал за честь выполнить его поручение. Дело было в нем самом, в его житейской мудрости, высокой компетентности, полной самоотдаче, внимательном и уважительном отношении к чужому мнению». А.И.Павловский, академик, заместитель главного конструктора КБ-11: «Человек богатейшей внутренней культуры, прекрасно чувствующий литературу, музыку, живопись. В этой области у него столь же высокая точность и наблюдательность, как и в физике». А.М.Шальников, академик, главный научный сотрудник Института физических проблем РАН: «Харитон – удивительный человек. Его единственный недостаток – в том, что у него нет недостатков. Работает столько, сколько нормальные люди не могут работать. Харитон – фантастически аккуратный человек. Всегда ровный, спокойный, он все неприятности прячет внутри себя. Это хорошо для окружающих, но плохо для него самого». Это – лишь малая часть из десятков отзывов о Харитоне, в которых вновь и вновь повторяются аналогичные восторженные слова. А вот что сказал о Харитоне его антипод (в буквальном и переносном смыслах) Эдвард Теллер, создатель американского термоядерного оружия. В пись-

ме в Министерство энергетики США (именно этому органу подчинены все организации и комиссии США по использованию ядерной энергии в мирных и военных целях) в 1995 году он обратился с предложением о присуждении Харитону премии Ферми, одной из самых престижных американских научных наград, и предложил такую формулировку награждения: «…. за оригинальный изначальный вклад в концептуальное и теоретическое обоснование получения энергии атомного ядра, за весомый личный вклад в осуществление прикладных разработок в области ядерной энергии для мирных и военных целей в исключительно сложных условиях и за полувековое высокоэффективное техническое руководство научными исследованиями и прикладными разработками, включая независимое создание термоядерных взрывчатых веществ». В этих насыщенных информацией и поэтому трудных для беглого восприятия строках о Харитоне по сути сказано основное, что касается его научнотехнического руководства. И это сказано ученым, который тоже был руководителем в такой же отрасли и хорошо понимал все трудности и значение этой работы. Все приведенные выше высказывания – это воспоминания о Харитоне. А вот высказанное ему приветствие в день шестидесятилетия, которое от имени всех сотрудников руководимого им теоретического отдела КБ-11 произносит академик А.Д.Сахаров: «…Теоретики – народ шумный, единодушие по какому-нибудь вопросу у них редкость, но величайшее уважение, переходящее в изумление, к Вашему труду, к Вашему мнению объединяет нас так же, как и всех работников нашего коллектива. Мы всегда чувствуем за Вашим высказыванием глубокое стремление к истине, внутреннюю правдивость и честность, уважение к мнению всех участников обсуждения. Особенно близка теоретикам широта Ваших научных взглядов, Ваше настойчивое требование знать в 10 раз больше, чем нужно для непосредственного истолкования. Вы всегда стремитесь к большим и важным задачам, никогда не ограничиваете свою долю ответственности ме-

6

КВАНТ 2024/№2

Семилетний Юлий с сестрами Лидой и Аней и воспитательницей Розалией Лоор лась. Заболевшая мать в 1910 году уехала лечиться в Германию, где вскоре вышла замуж за известного психолога, ученика Фрейда. В 1932 году они эмигрировали в Палестину и прожили там долгую, спокойную и обеспеченную жизнь. Но дети, Юлий и его единокровные сестры, не оказались брошенными. Отцу повезло найти для детей бонну (с обязательным обучением немецкому языку). Она была родом из университетского эстонского города Дерпт (Тарту), хорошо образована и учила детей не только немецкому языку, но и многому другому. Ее звали Розалия Лоор, и дети называли ее Ролли. В своей автобиографии Ю.Б.Харитон напишет: «В дальнейшем эта простая, хорошая и добрая женщина заменила нам мать». Юлий не мог учиться в гимназии (препятствовала трехпроцент-

ная норма, ограничивающая классическое гимназическое образование для евреев). Розалия нашла способного студента, который не только подготовил Юлия к поступлению в реальное училище, но и помог способному юноше окончить его за пять лет вместо семи. Любимыми предметами Юлия стали математика, физика и химия. В 1917 году 13-летнему Юлию пришлось одновременно с учебой начать трудовую жизнь. Сначала он работал в библиотечном архиве, но потом стал учеником механика и электрика в телеграфных железнодорожных мастерских. Такое раннее взросление юноши помогло семье выжить в тяжелых обстоятельствах наступившей разрухи. Кроме того, в 1918 году стало действовать правило о предоставлении высшего образования только тем, кто имел рабочий стаж. Харитон поставил себе целью поступить в Политехнический институт, и в 1921 году он легко стал студентом электромеханического факультета этого института. На втором семестре он попал в лекционный поток нескольких факультетов, где лекции по физике читал уже тогда ставший ведущим российским физиком Абрам Федорович Иоффе. И это стало поворотным пунктом всей жизни Харитона. В лекциях Иоффе соединялась самая современная атомная физика с классическими термодинамическими понятиями. Курс лекций назывался «Кинетическая теория газов». Юношу потрясла сама возможность объяснения термодинамических законов проникновением в глубинную сущность материи. В середине семестра (в 17 лет) Юлий решает стать физиком и переходит на физико-механический факультет института. И сразу же делает такие успехи в лабораторных и практических занятиях, что его приглашает на работу в свою только что созданную лабораторию Николай Николаевич Семенов, будущий Нобелевский лауреат по химии. Через 4 года Харитон защищает дипломную работу по специальности «экспериментальная физика» и получает квалификацию «инженерфизик». Эти два названия, введенные А.Ф.Иоффе, и сейчас используются в фи-

8

КВАНТ 2024/№2

были лишь опытные достижения отдельных ученых (например, создание А.Нобелем динамита). Лабораторным исследованиям мешала опасность работы со взрывчатыми веществами. И Харитон организует лабораторию по изучению взрыва и детонации в только что созданном Н.Н.Семеновым Институте химической физики. Эти исследования соответствуют названию нового института (и новой науки). Взрыв и детонация, по глубокому убеждению Харитона, должны изучаться не только как химические явления. Важнейшую роль в них должны иметь газодинамические законы ударных волн. Для создания теории прежде всего нужно было получить экспериментальные данные о параметрах взрыва и детонации. А для этого необходимы были специальные приборы – датчики высоких давлений, сверхбыстрая киноаппаратура и т.п. За 10 лет экспериментов и их анализа Харитон стал виднейшим ученым в области взрыва и детонации не только в нашей стране, но и в мировой науке. Самое важное в его работах – это выявление пределов детонации, критической массы и критического размера. В теоретическом рассмотрении этих вопросов активное участие приняли выдающийся 20-летний теоретик-физик Яков Борисович Зельдович, будущий академик и трижды Герой Социалистического Труда, и Кирилл Иванович Щелкин, тоже будущий трижды Герой Социалистического Труда и член-корреспондент Академии наук. В 1935 году Ю.Б.Харитону по совокупности работ, без защиты диссертации присваивается ученая степень доктора физико-математических наук. Характерной чертой руководства лабораторией взрывчатых веществ, как она официально называлась, было обеспечение полной безопасности работ с взрывчатыми веществами, строжайшее выполнение разработанных Харитоном правил техники безопасности. За годы его руководства и за многие последующие годы, когда лабораторией руководили его ученики, в ней не было ни одного несчастного случая. И, наверное, решающую роль в обеспечении безопасности работы сыграли личные

На стажировке в Кембридже (1928 г.) качества Харитона – необычайная доброта и любовь к людям, которые у него развились именно в эти годы. Безусловно, немалую роль значило и изменение его семейного статуса. Еще до отъезда в Англию он обратил внимание на артистку балета Марию Николаевну Дубовскую, в танце которой «сочетались тончайшая грация и обаятельность облика», как писал Харитон много лет спустя в своих «Биографических записях». Вскоре после его возвращения из Англии они стали одной семьей. «До сих пор не могу понять, – пишет он в этих Записях, – почему Мусенька ¢так и только так он называл ее всю жизнь² полюбила меня, тогда как у нее было столько гораздо более интересных поклонников. Очень уж мне повезло. Чем дольше мы жили вместе, тем больше к любви добавлялось уважения, открывались все новые человеческие качества. Чуткость, доброта, прямота, смелость – всего не перечислишь». А вот что написал А.Ю.Семенов, внук Ю.Б.Харитона и одновременно внук академика Н.Н.Семенова (дочь Харитонов

10

КВАНТ 2024/№2

слал ей письмо об окончательном подтверждении гипотезы о превращении ядер урана. Мейтнер (вместе со своим племянником физиком Отто Фришем) проделала необходимые расчеты и показала, что в массе урана реакция деления ядер может носить цепной характер, а также впервые оценила энергию, которую будут иметь продукты этой реакции – в десятки миллионов раз больше, чем в химических реакциях горения и взрыва. Статья Л.Мейтнер и О.Фриша в журнале «Природа», опубликованная 11 февраля 1939 года, произвела сенсацию в научных кругах. И дело было не только в поражающей воображение величине энергии. Но вскоре Нильс Бор опубликовал расхолаживающую статью, в которой писал о практической невозможности осуществить процесс деления в большой массе урана. Ведь в природе этого не происходит. Природный уран состоит из двух изотопов. Основной изотоп, уран-238, имеет столь малую вероятность деления, что цепная реакция осуществляться не будет. Другого изотопа, урана-235, более способного к делению, в природном уране содержится всего 0,7%, а его выделение потребовало бы создания промышленного производства, недоступного для одной страны. Хорошо известно, что произошло далее. Уже началась вторая мировая война. Группа европейских физиков, вынужденная эмигрировать в США от ужасов фашистского режима, сумела понять, что такая страна, как США, способна создать промышленное производство изотопа урана- 235. И Америка сможет и должна обогнать Германию в создании «супербомбы». Ведь именно в Германии была открыта такая возможность, и там наверняка уже велись такие работы. В 1944 году Отто Ган стал Нобелевским лауреатом «за открытие расщепления тяжелых ядер». Трудно переоценить роль Лизе Мейтнер в этом эпохальном открытии. Ей принадлежит и сам термин «деление», взятый ею из биологии. Недаром в журналистике даже возникла характеристика Мейтнер – «Мама атомной бомбы». «Отцом» атомной бомбы журналисты на-

зывали Отто Гана, а иногда – Альберта Эйнштейна, автора знаменитого соотношения $E mc^{2}$, на основе которого Мейтнер, Фриш и Бор оценивали энергию реакции деления. Но когда в 1944 году Мейтнер вместе с Ганом рассматривались Нобелевским комитетом по химии как номинанты на присуждение премии, Мейтнер попросила исключить ее из числа номинантов – она чувствовала личную ответственность за возможные ужасные последствия их открытия. Позже стало известно, что когда ее в это время пригласили работать в Лос-Аламос (американский ядерный центр), она отказалась: «Я не буду работать на бомбу». Но все-таки справедливость восторжествовала, и в 1987 году имя мейтнерий было официально присвоено трансурановому элементу № 109, открытому в 1982 году в Дармштадском центре исследования тяжелых ионов. В США работы по созданию ядерного оружия начались в 1942 году. Была создана Лос-Аламосская национальная лаборатория, развернулось строительство грандиозных заводов по производству чистого урана и разделению его изотопов, был сооружен первый в мире ядерный реактор для получения плутония. К научному руководству атомным проектом были привлечены лучшие научные силы (А.Комптон, Р.Оппенгеймер, Э.Теллер, Э.Ферми и др.). И уже через три с половиной года после начала работ в пустынной местности (Аламогордо, штат Нью-Мексико) 16 июля 1945 года состоялось первое испытание атомной бомбы. А что же происходило в СССР? Как только в январе 1939 года была опубликована статья Л.Мейтнер и О.Фриша о делении ядер урана, сотрудники Института химической физики – заведующий лабораторией взрывчатых веществ Юлий Борисович Харитон и теоретик Яков Борисович Зельдович – немедленно занялись расчетами кинетики процесса деления урана, имеющего некоторые общие черты с цепными механизмами химических реакций горения и взрыва. Харитон и Зельдович работали с огромным напряжением, рассчитывая необходимые для цепной ре-

11

ЮЛИЙ БОРИСОВИЧ ХАРИТОН

акции деления исходные параметры и прежде всего – минимальные критические плотности. Они гораздо более точными расчетами надежно подтвердили те оценочные результаты, которые были приведены в работе Мейтнер и Фриша. Как и Нильс Бор, Харитон и Зельдович пришли к выводу, что для практического использования ядерной энергии необходим труднодоступный изотоп уран-235 или неизвестный пока трансурановый элемент, впоследствии названный плутонием. Две статьи Харитона и Зельдовича, опубликованные в Журнале экспериментальной и теоретической физики, очень встревожили американских физиков, которые решили, что в СССР тоже начались работы по созданию атомной бомбы. Но они ошибались. Все силы государства были направлены на выпуск современных самолетов, танков и артиллерийских орудий. Единственно существенным было открытие в 1940 году явления самопроизвольного (без участия нейтрона) деления тяжелых ядер (Г.Н.Флёров и др.). Это было очень интересным и важным для развития теории атомного ядра, но не имело практического значения. А работы с облучением урана нейтронами тогда только еще намечались. В 1940 году И.В.Курчатов на сессии отделения физико-математических наук АН СССР делает большой доклад «О проблеме урана», в котором рассказывает о работах Харитона и Зельдовича по этой проблеме. Но никаких конкретных решений об усилении работ по урану и выделении для этого необходимых средств не было сделано. Зато была создана очередная комиссия Академии наук по проблеме урана. Комиссия состояла из 11 академиков и двух старших научных сотрудников – Курчатова и Харитона, включенных в нее по настоянию Иоффе. Результатом работы комиссии стало постановление СНК СССР от 15 апреля 1941 года «О строительстве мощного циклотрона в Москве (с вводом его в строй в 1943 году)». А 17 мая 1941 года на заседании комиссии была рассмотрена работа Гуревича, Зельдовича и Харитона, в которой была впервые оце-

нена критическая масса изотопа урана- 235, необходимая для возбуждения цепной реакции деления урана с гигантским выделением энергии. Но эта работа тогда не была опубликована. Разразилась война. Первой задачей уже в первом же месяце войны встала эвакуация научного оборудования из ленинградских лабораторий, все институты Академии наук перемещались на восток – в Поволжье, на Урал и в Среднюю Азию. Многое ценное оборудование удалось вывезти с последними эшелонами перед полной блокадой Ленинграда. А эвакуация семей сотрудников удалась только потому, что руководство этой операцией было поручено замечательной женщине – Марии Николаевне Харитон. После возобновления работ ЛФТИ и Института химической физики в Казани в 1942 году все усилия были направлены на развитие оборонных работ. Я.Б.Зельдович заканчивал разработку порохов для реактивной артиллерии (знаменитых «Катюш»). Ю.Б.Харитон продолжил начатые еще до войны работы по созданию новых видов взрывчатых веществ для мин и других видов оружия, где использовалось не горение, а детонация. А главное, нужно было организовывать массовое производство этих веществ. Он был откомандирован в Москву, в секретный военный научный институт НИИ-6, где полностью проявились его не только научные, но и организационные таланты – умение руководить большими научными коллективами. И.В.Курчатов (вместе с А.П.Александровым) занимались защитой кораблей от новых немецких мин, реагирующих на магнитное поле, создаваемое стальным корпусом корабля. На некоторое время ядерная физика была забыта. Но к концу 1942 года стала накапливаться информация о том, что в США и Великобритании (а, возможно, и в Германии) идут активные работы по изучению реакции деления урана. Эта информация поступала по двум каналам. Во-первых, успешная работа советской внешней разведки в области науки и техники дала некоторые данные о начале таких работ и

12

КВАНТ 2024/№2

о привлечении к ним выдающихся физиков-ядерщиков, прежде всего Э. Ферми. Но, пожалуй, основную роль сыграла научная компетенция сотрудника курчатовской ядерной лаборатории Георгия Николаевича Флёрова. Он тщательно изучил все иностранные научные журналы, еще поступавшие в университетскую библиотеку перед войной и даже в первые военные месяцы. И обнаружил, что к концу 1940 года во всех научных журналах исчезли статьи по ядерной физике и любая информация о работах в этой области физики. Физику-ядерщику Флёрову стало ясно, что это может быть вызвано не прекращением «работ по урану», а, наоборот, их развертыванием и полным засекречиванием. Исчезновение статей выдающихся физиков свидетельствовало об их участии в этих работах и о возможных достижениях. И Флёров стал регулярно посылать письма об этом в Президиум Академии наук. Но письма оставались без ответа. Флёров стал повышать статус адресатов своих писем – в Совет народных комиссаров, в Народный комиссариат обороны СССР, в Центральный комитет КПСС. И наконец он понял, что главной властью в стране стал Государственный комитет обороны (ГКО), руководимый И.В.Сталиным. Уполномоченным этого комитета по науке был С.В.Кафтанов, председатель Всесоюзного комитета по делам высшей школы. К нему попадает письмо Г.Н.Флёрова, адресованное Сталину. Но в это же время ему передают найденную у убитого на фронте немецкого офицера, бывшего до мобилизации физиком-ядерщиком, тетрадь с расчетами по цепной реакции деления урана. С.В. Кафтанов вместе с А.Ф.Иоффе докладывают об этом Сталину и показывают письмо Флёрова. Вот выдержки из этого письма. «… Уже 10 месяцев прошло с начала войны. И все это время я чувствую себя в положении человека, пытающегося головой пробить каменную стену. Я надеюсь, что Вы поможете мне пробить стену молчания. Это письмо – последнее, после которого я складываю оружие и жду, когда в Германии, Англии и США удастся

решить задачу. Результаты будут огромны». Это был вопль отчаяния человека, глубоко уверенного в своей научной правоте и беспокоящегося о судьбе отечества. Выслушав разъяснения Кафтанова и тронутый отчаянностью в строках Флёрова, Сталин принял решение. Несмотря на тяжелейшую военную обстановку на южном направлении, 28 сентября 1942 года ГКО рассмотрел вопрос и принял постановление № 2352сс («сс» означало совершенно секретно) «Организация работ по урану». Первый пункт Постановления обязывал Академию наук СССР организовать специальную лабораторию для работ «по урану». Но только через четыре месяца Академия наук отреагировала на это Постановление. Главной причиной такой длительной задержки был вопрос о начальнике этой лаборатории и о научном руководстве всей урановой проблемой. С.В.Кафтанов от имени ГКО выдвинул кандидатуру А.Ф.Иоффе. Но семидесятилетний «главный физик», ссылаясь на возраст и нездоровье, выдвигает вместо себя кандидатуру 38-летнего заведующего лабораторией атомного ядра ЛФТИ Игоря Васильевича Курчатова, проявившего себя во многих областях физики. В январе 1943 года кандидатура Курчатова на пост руководителя новой Секретной лаборатории №2 была утверждена, и в распоряжении ГКО от 16 февраля 1943 года впервые прозвучало имя Игоря Васильевича Курчатова как научного руководителя всей проблемы «использования энергии атома для военных и мирных целей». Секретная лаборатория №2 сразу же была создана не в Казани, а в Москве. Вначале в ней числилось всего 10 сотрудников, среди них – отозванные с фронта Г.Н.Флёров и К.И.Щелкин, ближайший сотрудник Ю.Б.Харитона в работах по детонации. Через несколько лет Лаборатория №2 стала называться Лабораторией измерительных приборов АН СССР (ЛИ- ПАН), потом – Институтом атомной энергии имени И.В.Курчатова. Ныне это огромное научное учреждение – Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт».

13

ЮЛИЙ БОРИСОВИЧ ХАРИТОН

Одним из пунктов намеченного Курчатовым плана работ было создание конструкции атомной бомбы. Ему было ясно, что это будет очень сложная конструкция, в которой соединятся ядерная физика, физика взрыва и детонации, автоматика и механика. Он знал только одного специалиста такого широкого и инженерного профиля. Это был его коллега по Ленинградскому физико-техническому институту Юлий Борисович Харитон. И когда Курчатов приехал из Казани в Москву, он разыскал Харитона и предложил ему возглавить конструкторский отдел лаборатории. Харитон согласился не сразу. Через 45 лет, в своем ежегодном выступлении в саровском Доме ученых, он вспоминает: «Как-то летом 1943 года Игорь Васильевич пришел ко мне и стал говорить, что нужно возвращаться к прерванной работе над урановой проблемой. Его слова показались мне совершенным бредом. Немцы еще глубоко на нашей территории, надо всем, чем возможно, помогать армии. А тут – урановая проблема. Ведь ясно, что война закончится раньше, чем мы сделаем атомное оружие. Вот кончим войну – другое дело. Игорь Васильевич не торопил. Пригласил ходить на семинары в его лабораторию. Я начал ходить на семинары, сначала изредка, потом чаще. Мысли стали постепенно смещаться от тротила к урану. Вспомнилась наша третья (неопубликованная) статья с Зельдовичем и Гуревичем, где мы рассчитали критическую массу изотопа урана-235. Вспомнилась и моя статья 1937 года о ценрифугировании газовых смесей для разделения газов. Этот метод может пригодиться для получения нужного изотопа урана. И как раз приехал Зельдович вместе с Институтом химической физики, которому определено было с тех тор находиться не в Ленинграде, а в Москве. И пошли длинные разговоры. И Игорю Васильевичу уже не потребовалось больших усилий, чтобы я присоединился к собираемой им команде». Но Харитон не говорит о том, что по просьбе Курчатова он написал и 7 июля 1943 года представил отчет «К вопросу о возможности возникновения взрыва в оки-

си урана», в котором изложил те результаты, которые он, Зельдович и Гуревич получили еще в 1941 году. Этот отчет содержал и некоторые новые результаты вычислений, которые впервые позволили говорить о создании атомной бомбы. Он сейчас существует в единственном рукописном (рукой Харитона) экземпляре с пометкой совершенно секретно. С осени 1943 года Ю.Б.Харитон начал заниматься вплотную подготовкой к своей новой работе. Через год он уже ясно представлял все основные направления работы и принял участие в подготовке решающего постановления Государственного комитета обороны «О неотложных мерах по обеспечению развертывания работ, проводимых Лабораторией №2 Академии наук СССР». В этом постановлении наряду с подробным перечнем мероприятий по строительству лабораторных корпусов отдельным пунктом устанавливается «…Организовать при Лаборатории №2 конструкторское бюро с опытным механическим заводом и через месяц представить план работ на 1945 год». В этом Постановлении фамилия Харитона еще не звучит, хотя есть свидетельства о принципиальном согласии ГКО по вопросу о его руководстве создаваемым конструкторским бюро. И Харитон завершает свои работы в оборонном НИИ-6 и вплотную начинает заниматься созданием атомной бомбы В апреле 1945 года ему разрешают наравне с Курчатовым знакомиться с данными, получаемыми разведкой об американских работах. 16 июля 1945 года в пустынной местности штата Нью-Мексико впервые в мире произошло испытание атомной бомбы – чудовищный взрыв с почти мгновенным выделением энергии сто триллионов $( 10^{14} )$ джоулей, что эквивалентно по механическому действию взрыва (разрушениям и ударной волне) 21 тысяче тонн тротила. Но кроме механического действия ядерный взрыв сопровождается сильнейшим тепловым действием (пожары и ожоги) и радиационным облучением. Сама вспышка взрыва имела яркость, в тысячи раз большую яркости Солнца, и была видна на расстоянии до 300 километров. «Ярче ты-

14

КВАНТ 2024/№2

сячи солнц» – этим образным выражением из древнеиндийского религиозного эпоса назвал взрыв атомной бомбы присутствующий на этом испытании научный руководитель работ по ее созданию Роберт Оппенгеймер. Но несмотря на ужасное впечатление от силы ядерного оружия, его американские создатели в лице своего руководителя через несколько дней после успешного испытания дали согласие на сброс ядерных бомб на японские города Хиросиму и Нагасаки. Это произошло 6 и 9 августа 1945 года. Одна из бомб была урановая, другая – плутониевая. Последствия были ужасны – погибло больше 150 тысяч человек. Мир был поставлен перед фактом монопольного обладания США новым беспрецедентным по мощности и невиданным по своим поражающим факторам оружием. Советское правительство рассматривало эти события как угрозу самому существованию социалистического государства со стороны остального капиталистического мира. Единственной мерой от возможной государственной гибели было создание собственного ядерного оружия и обеспечение стратегического равновесия в обладании этим оружием. В США и правительство, и научные круги считали, что СССР, ослабленному войной, понадобится не менее 15- 20 лет, чтобы пройти тот путь, который американская наука и промышленность прошли за четыре года. А за это время США будут обладать таким количеством ядерных бомб, что их хватит для уничтожения всей советской промышленности. Речь шла о самом существовании нашего государства. Ясно отдавая себе в этом отчет, советские руководители круто изменили свое отношение к ядерному проекту. Они окончательно поняли, что это не чисто научный вопрос, а дело первостепенной государственной важности и для форсирования работ необходима мобилизация всех сил страны. А для координации всех работ нужен особый государственный орган, обладающий широкими полномочиями. И такой орган был создан. 20 августа 1945 года постановлением ГКО был создан Специальный комитет

при ГКО во главе с заместителем председателя СНК СССР Л.П.Берия. На Специальный комитет была возложена организация всей деятельности по использованию атомной энергии в СССР – научно-исследовательские работы, разведка месторождений и добыча урана в СССР и за его пределами, создание атомной промышленности, атомно-энергетических установок, разработка и изготовление атомных бомб. Последняя задача была ключевой, ей были подчинены все остальные задачи. Состав Специального комитета был определен в девять человек, семь наркомов или их заместителей и два академика – П.Л.Капица и И.В.Курчатов. Этим же постановлением для подготовки всех вопросов создается Технический совет при Специальном комитете под председательством наркома сельскохозяйственного машиностроения Б.Л.Ванникова. В составе Технического совета семь академиков (в том числе Курчатов и Капица) и один профессор – Ю.Б.Харитон. И еще одно важнейшее решение принимается – создается рабочий орган: Первое главное управление при СНК СССР, будущее атомное министерство, которое потом станет называться Министерством среднего машиностроения. В июне 1953 года Министерство среднего машиностроения становится во главе Атомного проекта. Технический совет переходит в это министерство. А вскоре в нем создается и Инженерно-технический совет для решения практических заводских проблем. Мозговым центром Проекта по-прежнему является Технический совет. И попрежнему ставший уже академиком Ю.Б.Харитон в составе этого совета два раза в месяц участвует в обсуждении всех основных проблем по атомному оружию и атомной энергии. Но главное событие в жизни Харитона зафиксировано в решении Специального комитета от 16 марта 1946 года. Вот строка из этого решения: «Назначить профессора Юлия Борисовича Харитона главным конструктором КБ- 11 по конструированию и изготовлению атомных бомб». (Продолжение следует)

23

ЗАДАЧНИК

Один из отрезков BL, CL не меньше 1 2. Пусть, для определенности, это отрезок CL. Если при этом СM t 2 3, то $S_{LCM} t 1 6$. Если же СM 2 3, то $S_{ADM} t 1 6$. А.Юран

M2771. Для какого наибольшего N существует N-значное число со следующим свойством: в его десятичной записи среди любых нескольких подряд идущих цифр какая-то цифра встречается ровно один раз?

Ответ: 1023. Будем называть числа, обладающее свойством из условия, хорошими. Оценка. Докажем по индукции, что в хорошем числе, содержащем не более k различных цифр 1 d k d 10, не более $2^{k} 1$ знаков. Отсюда для k 10 будет следовать нужная нам оценка. (Далее в оценке будем считать, что запись числа может начинаться с любой цифры, включая 0.) База (k 1) очевидна – используется лишь одна цифра, и она не может повторяться. Выполним шаг индукции. Пусть 2 d k d 10 и X – хорошее число, содержащее не более k различных цифр. По условию, одна из цифр встречается в нем ровно один раз. Заметим, что слева и справа от этой цифры записаны хорошие числа, в каждом из них используется не более k 1 различных цифр, поэтому в каждом из них (согласно предположению индукции) не более $2^{k} 1 1$ знаков, а суммарно в нашем числе X тогда не более $2^{k} 1 1 1 2^{k} 1 1 2^{k} 1$ знаков, что и требовалось. Пример. Пример хорошего числа, содержащего k различных цифр 2 d k d 10, в записи которого ровно $2^{k} 1$ знаков, также построим по индукции. База (k 2): подходит число 101. Шаг индукции. Пусть 3 d k d 10 и X – хорошее число, в котором k 1 различных цифр и $2^{k} 1 1$ знаков. Возьмем цифру a, которая не встречается в этом числе, и припишем к ней слева и справа число X, получим XaX. В полученном числе $2^{k} 1$ знаков, и оно хорошее: ведь любая его часть из несколько подряд идущих цифр либо включает единственную в числе цифру a, либо является частью хорошего числа X. А.Глебов

«КВАНТА»

M2772. В белых клетках шахматной доски 100 u 100 стоят 100 слонов, среди которых есть белые и черные. Они могут делать ходы в любом порядке и бить слонов противоположного цвета. Какого наименьшего числа ходов заведомо достаточно, чтобы на доске остался один слон?

Ответ: 197 ходов. Алгоритм. Все ходы будем делать так, чтобы на доске оставались слоны обоих цветов, пока слонов хотя бы два. Если есть возможность сделать экономичное взятие (так назовем ход, в котором слон за один ход бьет слона другого цвета, стоящего с ним на одной диагонали), делаем его. В противном случае сделаем неэкономичное взятие за два хода: выберем двух слонов разного цвета и рассмотрим путь, по которому первый слон мог бы пройти ко второму за два хода (такой путь всегда есть). Если на этом пути есть еще слоны, найдем среди них двух ближайших друг к другу слонов разного цвета, и пусть один из них побьет другого за два хода. Изначально все слоны стоят на 99 белых диагоналях, параллельных главной белой диагонали. Тогда на одной из них стоит не меньше двух слонов. Назовем двух из этих слонов особыми. Если особые слоны разного цвета, экономичное взятие возможно уже на первом ходу вдоль этой диагонали; сделаем его. Пусть эти особые слоны одного цвета, скажем белые. Тогда при взятиях будем бить черными слонами белых. После того как будет взят первый особый слон, это ограничение снимается. Заметим, что сразу после этого возможно экономичное взятие. Поскольку всего взятий 99 и хотя бы одно из них экономичное, потребуется не больше 2 ˜ 99 1 197 ходов. Оценка. Расставим по 50 слонов на нижней и верхней строке доски, цвета слонов не важны. Рассмотрим все 199 белых диагоналей обоих направлений (в частности, угловые белые клетки доски мы тоже считаем диагоналями). При этом на всех 199 белых диагоналях изначально будут стоять слоны. За ход количество диагоналей, содержащих хотя бы одного слона, может

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, по адресу: [email protected]. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

21. Гонщик Петя тренируется на кольцевой трассе, длина которой – целое число километров. Он едет 1 км, минуту стоит, едет еще 2 км, минуту стоит, едет еще 3 км, минуту стоит и так далее, пока остановка не совпадет с начальной точкой, и тогда заканчивает тренировку. а) Может ли случиться, что Петя не сможет закончить тренировку? б) Вася тренируется по аналогичной схеме на более короткой кольцевой трассе, длина которой – тоже целое число километров. Могло ли случиться, что гонщики ехали с одинаковой скоростью, но у Пети ушло меньше времени на тренировку, чем у Васи? Б.Френкин

22. Индийский школьник Радж закрасил центральную часть таблицы умножения от 1 u 1 до 19 u 19 так, как показано на рисунке 1, и перемножил числа в закрашенных клетках. Квантик выписал на доску по одному разу числа 1 и 19, по 3 раза – числа 2 и 18, по 5 раз – числа 3 и 17, по 7 раз – числа 4 и 16,…, по 17 раз – числа 9 и 11, а число 10 выписал 19 раз, после чего все числа на доске перемножил и возвел результат в квадрат. У кого получилось большее число – у Раджа или у Квантика? Н.Авилов

23. Четыре квадрата с площадями a, b, c, d расположены в круге, как показано на рисунке 2. Докажите, что ac bd. Е.Бакаев

24. Дан 100-угольник, любые две соседние стороны которого перпендикулярны. На какое наименьшее количество прямоугольников его гарантированно можно разрезать? Е.Бакаев

Рис. 1

Рис. 2

…ни по чему-либо, что станет происходить с вами самими, вы не сможете удостовериться, движется ли корабль или стоит неподвижно, …если только движение будет равномерным… Галилео Галилей

…с математической мощью,…с безошибочным пониманием физической действительности …Эйнштейн в течение десяти лет воздвигал здание своей теории… Арнольд Зоммерфельд

…кажется, будто лодка стоит в воде неподвижно; а если мелькнет мимо коряга, то…думаешь: вот здорово летит коряга! А что сам летишь, это и в голову не приходит. Гекльберри Финн

В мир с сокрушительной силой ворвалась теория относительности. О ней неожиданно заговорили все… Поль Дирак

Отныне пространство по себе и время по себе должны стать тенями, и только особого рода их сочетание сохранит самостоятельность. Герман Минковский

Пространство воздействует на материю, «указывая» ей, как двигаться. Материя, в свою очередь, оказывает обратное действие на пространство, «указывая» ему, как искривляться. Джон Уилер

…когда слепой жук ползет по поверхности шара, он не замечает, что пройденный им путь изогнут, мне же посчастливилось заметить это. Альберт Эйнштейн

…по теории относительности Эйнштейна все, любой объект, обладающий энергией, обладает и массой в том смысле, что он должен тяготеть к другим объектам. Ричард Фейнман

?

А так ли хорошо знакома вам

ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Четверть века назад журналом «Физический мир», издаваемым Британским обществом физиков, среди ученых был проведен массовый опрос. Согласно нему, первенство среди величайших физиков в истории завоевал Альберт Эйнштейн, а важнейшим из физических открытий была признана его теория относительности. Создание и становление заключенной в теории новой физической картины мира сродни захватывающему детективу или приключенческому роману. Однако лишь несколько, возможно, не самых увлекательных страничек этого огромного труда оказались в школьных учебниках. Хотя с термином «относительность», вспомните, вам приходилось сталкиваться еще до начала изучения физики. Попробуем перекинуть пусть узенький, но, надеемся, крепкий мостик от первичных представлений об этом глубоком понятии до его современного обличия.

Вопросы и задачи

1. В какой системе отсчета расстояние между событиями «выстрел пушки» и

«разрыв ее снаряда» (при попадании его в цель) равно нулю? 2. Зависит ли скорость истечения воды из отверстия в стенке сосуда, находящегося в вагоне поезда, от того, стоит поезд на месте или движется равномерно и прямолинейно? 3. Почему у колеса велосипеда при его движении спицы в нижней части видны довольно отчетливо, а в верхней их не разглядеть? Пропадет ли этот эффект, если смотреть на велосипедиста из окна движущегося с той же скоростью автобуса? 4. Легковой автомобиль движется по шоссе навстречу автобусу со скоростью, в два раза превышающей скорость автобуса. С какой скоростью и в каком направлении движется фура, относительно которой скорости легкового автомобиля и автобуса одинаковы? 5. Несколько футболистов бегут по полю прямолинейно со скоростью 10 км ч в разных направлениях. Известно, что каждый встретился с каждым. Могли ли они все встретиться в одном месте поля? 6. Тело обладает электрическим зарядом q в одной инерциальной системе

отсчета. Каков его заряд в другой инерциальной системе отсчета? 7. Допустим, что бегун побежал со скоростью, близкой к скорости света. Увидит ли он себя в зеркале, которое держит перед собой в вытянутой руке? 8. Расстояние от Земли до Сириуса – 10 световых лет. Как же объяснят астронавты (со своей собственной точки зрения) свой прилет к Сириусу через два года после вылета «Звездолета» с Земли? 9. Длина стержня, движущегося относительно наблюдателя, меньше его собственной длины. Означает ли это, что стержень деформирован? 10. Прямоугольный брусок перемещается в направлении одного из своих ребер. Как сказывается быстрое движение на его объеме? А на его плотности? 11. Возможно ли понятие безмассовой частицы в ньютоновой механике? 12. Какой закон теории относительности подтверждают явления аннигиляции покоящихся электрона и позитрона и образования гамма-квантом пары частиц? 13. Когда энергия гамма-квантов, образуемых при аннигиляции электрона и позитрона, будет одинакова, а сами они будут двигаться в противоположных направлениях? 14. При наблюдении спектра водорода далекой галактики оказалось, что зеленая линия его спектра сместилась в красную область. Почему это произошло?

Микроопыт

Понаблюдайте за бегущим по дорожке тренажера спортсменом. Почему кажется, что он бежит «на месте»? Как определить скорость его бега?

Любопытно, что…

… эксперимент по описанной Галилеем схеме (см.эпиграф) был впервые поставлен французским ученым Пьером Гассенди в 1651 году. С верхушки мачты галеры, плывшей в марсельской гавани со скоростью примерно 3,5 м с, бросали камни, которые неизменно падали параллельно мачте. … ответ на вопрос, какая из двух компонент взаимодействия – электрическая или магнитная – проявляется при движе- нии свободных носителей заряда, целиком зависит лишь от системы отсчета. … уравнения Максвелла предсказывали распространение электромагнитного излучения со вполне определенной скоростью – скоростью света. Однако они ничего не говорили о том, в какой системе отсчета скорость будет именно такой. Эта проблема и озаботила Альберта Эйнштейна. … в представленной Эйнштейном в Бернский университет работе по теории относительности никто ничего не понял. Позднее французский ученый Поль Ланжевен шутил, что эту теорию понимают только 12 человек в мире. … идеи Лоренца, Эйнштейна и Пуанкаре подытожил немецкий математик и физик Герман Минковский, введя понятие пространственно-временнуго мира. Тем самым он завершил построение специальной теории относительности, придав ей адекватную математическую форму. … в ускорителях на встречных пучках как в классическом, так и в релятивистском случае вся кинетическая энергия сталкивающихся частиц может перейти в энергию покоя рождающихся частиц. … несколько лет назад перестал быть видимым один из пульсаров, т.е. сверхплотных нейтронных звезд. Как считают ученые, это произошло из-за сильных гравитационных полей, изменивших геометрию пространства-времени вблизи пульсара. … главным достижением Нобелевского лауреата Поля Дирака, предсказавшего существование позитрона, стал гармонический синтез теории относительности и квантовой механики.

Что читать в «Кванте» о теории относительности

(публикации последних лет)

1. «Рождение гравитационно-волновой астрономии» – 2018, №3, с.14; 2. «От пузырька до черных дыр» – 2019, №6, с.21; 3. «Черные дыры существуют» – 2021, №3, с.2; 4. «Кто искривил пространство-время?» – 2021, №10, с.26; 5. «Следы невидимого…» – 2022, №8, с.2.

Материал подготовил А. Леонович

34

КВАН T 2024/№2

Как же мы устанавливаем периодичность? А дело в том, что при делении «уголком» мы работаем с последовательностью остатков (умножаем, вычитаем, берем остаток; сносим цифру, находим неполное частное, умножаем, вычитаем, берем остаток и т.д.). Итак, каждый остаток однозначно определяет неполное частное (цифру десятичной дроби) и следующий остаток. Остатки зацикливаются, значит, зацикливаются и десятичные знаки. Это замечательная идея – рассмотреть другую последовательность, которая порождает исходную последовательность, а каждый ее член однозначно определяет следующий. Теперь можно приступить к «многоклеточной» задаче. Задача 3. Жители Гавайских островов гордятся тем, что у них с незапамятных времен существует президенская форма правления. Каждые 4 года президентом избирается либо республиканец, либо демократ. Местные социологи обнаружили строгий закон, по которому определяется партийность очередного президента. Хотя этот закон засекречен, в печать просочились сведения, что партийность очередного президента полностью определяется партийностью предыдущих десяти. Последние три срока на Гаваях правит республиканец. Докажите, что всегда будут периоды правления трех республиканцев подряд. Решение. Нам достаточно показать, что партийности президентов периодически повторяются. Назовем «предвыборным состоянием» или просто «состоянием» последовательность партий, к которым принадлежали последние 10 президентов. Каждое состояние определяет партийность следующего президента, а значит, и следующее предвыборное состояние. Состояний конечное число (не больше чем $2^{10} ),$ следовательно, по принципу Дирихле, какое-то из них повторится. Повторение одного состояния вызовет повторение следующих состояний, и с этого момента состояния начнут периодически повторяться, а значит, и последовательность правящих партий будет периодической. Но поскольку президентская форма правления на Гаваях существует с незапамятных времен, повторение двух состояний уже произошло, и состояния давно повторяются. Как видите, во всех разобранных задачах присутствует одно и то же рассуждение,

устанавливающее периодичность. Сформулируем его в общем виде. Рассуждение 1. Если нечто может находиться только в конечном числе состояний и состояние в данный момент времени однозначно определяет состояние в следующий момент времени, то, начиная с некоторого момента, состояния начнут периодически повторяться. Однако в задаче про президентов надо было проверить, что в данный момент мы находимся в периоде – только тогда можно утверждать, что всегда будут моменты правления трех республиканцев подряд. Для этого и потребовались «незапамятные времена». Это важный момент: рассуждение 1 утверждает только периодичность, начиная с некоторого места, но при этом вовсе не обязательно, чтобы повторилось первое состояние. (Это видно уже на примере задачи 1. Другой пример – условно периодические дроби.) Если период начинается не сразу, то последовательность состояний, предшествующая периоду, называется предпериодом. Чтобы доказать, что начальное состояние когда-нибудь встретится, надо еще показать, что предпериода нет. Для этого часто используется несколько другая идея, чем в задаче о президентах, – идея «обратного хода». Рассуждение 2. Если число состояний конечно и каждое состояние однозначно определяет как последующее состояние, так и предыдущее, то в последовательности состояний предпериод отсутствует. Это простое рассуждение не сразу становится понятным. Попробуем его пояснить. С какого-то момента появится период (рассуждение 1). Выберем состояние, например из третьего периода. Оно однозначно определяет предыдущее состояние. Во втором периоде это состояние повторится, и повторение вызовет дальнейшее повторение (рассуждение 1 при «обратном ходе»). Период «перенесется в прошлое», а значит, все состояния периодически повторяются. Вот типичный пример (см. статью А.Орлова «Принцип Дирихле» в «Кванте» №7 за 1971 г.). Задача 4. Докажите, что найдется член последовательности Фибоначчи, делящийся на 1990. (Напомним, что последовательность Фибоначчи начинается с двух еди-

35

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ниц, а каждый следующий член равен сумме двух предыдущих.) Решение. Запишем формулу для определения очередного числа Фибоначчи:

u n u n 1 u n 2.

Прежде всего изучим остатки чисел Фибоначчи при делении на 1990. Хотелось бы найти остаток, равный нулю. Как же его искать? В том-то и задача. Однако обратимся к прошлому. (Задача о президентах показала полезность изучения истории.) Заметим, что последовательность можно «продолжить в прошлое» с помощью формулы u n 2 u n u n 1.

Тогда получим, что $u_{0} 0$. Прекрасно! Ноль делится на 1990. Осталось установить периодичность остатков, начиная с нулевого члена. Заметим: нам не нужно находить член последовательности Фибоначчи с нулевым остатком – достаточно установить его существование. Нетрудно понять, что по остатку одного числа Фибоначчи ничего нельзя сказать об остатке следующего. Тут на помощь приходит задача о президентах: ведь и там, чтобы предсказать результат выборов, недостаточно знать партийность предыдущего президента – нужны результаты последних 10 выборов. Потому-то «предвыборным состоянием» мы назвали партийность последних 10 президентов. Теперь ясно, что в качестве состояния члена $u_{n}$ надо взять пару остатков от деления на 1990 членов $u_{n} 1$ и $u_{n} 2$. Два предыдущих остатка уже определяют следующий. Здесь ключ к решению: во-первых, «состояние» определяет остаток числа, а во-вторых, каждое «состояние» определяет следующее состояние. Теперь все ясно: состояний конечное число (оцените, сколько), они начнут повторяться, а значит, повторятся остатки чисел Фибоначчи. Впрочем, радоваться рано. Почему период начинается с нулевого члена? Тут нам поможет идея «обратного хода»: состояние каждого остатка определяет состояние не только следующего, но и предыдущего (в этом нас убеждает формула $u_{n} 2 u_{n} u_{n} 1 ),$ а отсюда вытекает отсутствие предпериода.

Упражнение 2. Могут ли два соседних числа Фибоначчи делиться на 1990?

Задача 5 (обобщение задач 1, 2, 4). Последовательность $u_{n}$ такова, что при неко-

КРУЖОК

торых $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{k}$ справедливо равенство $u_{n} a_{1} u_{n} 1 a_{2} u_{n} 2$ … $a_{k} u_{n} k$. (Такая последовательность называется возвратной или рекуррентной. Примеры – последовательность Фибоначчи или последовательность степеней целого числа m: если $u_{n} m^{n}$, то $u_{n} mu_{n} 1 ).$ Пусть все $a_{i}$ и $u_{n}$ целые. Докажите, что остатки чисел $u_{n}$ при делении на заданное целое l периодически повторяются. В каких случаях в этой последовательности остатков будет отсутствовать предпериод? Оцените длину периода. Приведите пример, когда предпериод будет. До сих пор мы включали в понятие «состояние» как можно больше характеристик, чтобы каждое состояние однозначно определяло следующее. Однако бывают случаи, когда состояние надо «разукрупнять». Задача 6. Докажите, что если при переводе обыкновенной дроби P Q (P Q ) в десятичную один из неполных остатков от деления P на Q равен Q P, то сумма двух цифр ее десятичного разложения, отличающихся на полупериод, равна 9. Набросок доказательства. Назовем состоянием процесса деления не сам неполный остаток, а остаток с точностью до знака, т.е. его квадрат. Период последовательности состояний равен полупериоду исходной дроби (почему?). С другой стороны, дробь Q P Q в сумме с дробью P Q равна 1 или 0,999… Так что сумма соответствующих цифр дробей P Q и Q P Q равна 9. Процесс же деления дроби Q P Q начинается с неполного остатка Q P, т.е. получается из процесса деления исходной дроби P Q сдвигом на полупериод. Одно и то же рассуждение может появляться в различной «упаковке». Например, рассуждение 2 может выглядеть так. Рассуждение 2 c. Несколько точек соединены стрелками, причем из каждой точки исходит одна стрелка и входит тоже одна. Тогда все стрелки (и точки) образуют несколько циклов.

Упражнение 3. Сформулируйте рассуждение 1 в терминах точек и стрелочек.

Идею цикличности можно формализовать не только на языке точек и стрелок. Другой способ – на языке функций. Теорема о периодичности. Пусть M – конечное множество (множество состоя-

40

КВАН T 2024/№2

37* (А.Канель). Дано бесконечное слово z (в русском алфавите), u и v – его различные подслова. Докажите, что можно найти такие слова s и t, что svt – подслово z и при этом в слове z найдутся сколь угодно длинные периодические подслова (длина периода не больше max u, v ) либо сколь угодно длинные подслова без вхождений sut. 38 (ТГ, 1987 88). Рассматривается последовательность слов из букв «A» и «B». Первое слово – «A», второе – «B», k-е слово получается приписыванием к k 2 -му слову справа k 1 -го (так что начало последовательности имеет вид «A», «B», «AB», «BAB», «ABBAB», …). Может ли в последовательности встретиться «периодическое» слово, т.е. слово, состоящее из нескольких (по меньшей мере двух) одинаковых кусков, идущих друг за другом, и только из них? 39*. Существует ли бесконечная последовательность из трех букв такая, что никакая комбинация из букв не повторится два раза подряд? 40**. а) B языке племени МБУ-МБЫ только 4 звука: М, Б, У, Ы. Синонимами являются любые два слова UXXV и UXV, где U, X, V – произвольные последовательности звуков. Докажите, что число понятий племени конечно. б) А что если синонимами являются только слова UXXXV и UXV?

Бильярды

41*. a) К квадрату из внешней точки проводится касательная. Точка отражается относительно точки касания. Через нее проводится другая касательная и процедура повторяется. Может ли точка убежать на бесконечность? б) Из точки вне правильного пятиугольника, не лежащей на продолжении сторон, проводят к нему касательную и точку симметрично отражают относительно точки касания. С новой точкой происходит то же, только выбирается другая касательная, и т.д. Если мы выйдем на продолжение стороны, то процесс остановится. Докажите, что найдется бесконечно много точек периода 10. в) Что можно сказать в общем случае? 42 (ММО, 1965). В прямоугольном бильярде размером p u 2 q, где p и q – целые нечетные числа, сделаны лузы в каждом углу и в середине каждой стороны длиной 2q. Из угла выпущен шарик под углом 45q к стороне. Докажите, что шарик обязательно попадет в одну из средних луз. 43* (ЛМО). B квадратном зале с зеркальными стенами стоит профессор Cмит. Он хочет расставить в зале несколько студентов так, чтобы со своего места он не мог увидеть собственного отражения. Удастся ли профессору это сделать? 44. На кольцо нанизаны одинаковые шарики, которые абсолютно упруго соударяются. Докажите, что их расположение периодически повторяется.

Разные задачи

45*. Из каждого города выходит нечетное число дорог. На центральной площади города поднят черный или белый флаг. Каждое утро в каждом городе меняется цвет флага, если соседей с флагом другого цвета больше. Докажите, что цвет каждого флага либо стабилизируется, либо мигает с периодом 2. 46* (из книги «Mатематический аквариум»). Имеется неограниченное число черных и белых кубиков. Надо построить из них сплошную башню в форме параллелепипеда так, чтобы каждый черный кубик граничил с четным числом белых, а каждый белый – с нечетным числом черных. При любом ли заданном нижнем слое кубиков такую башню (конечной высоты) можно построить? 47* (п.б), в) – А.Канель). Бесконечная в обе стороны полоса клетчатой бумаги состоит из черных и белых клеток. Каждую секунду клетка, имеющая четное число черных соседей, становится белой, а имеющая нечетное число черных соседей – черной. Докажите, что: а) если через $2^{n}$ секунд исходная раскраска повторится, то она периодична с периодом 3 ˜ $2^{n}$; б) исходная раскраска периодически повторяется тогда и только тогда, когда она сама периодична (периодичность во времени равносильна периодичности в пространстве). в ) Что можно сказать о полосе произвольной ширины? Или о всей клетчатой плоскости? 48 (А.Канель, B.Уфнаровский). Дан прямоугольник с отношением сторон 1991. От него отрезают квадрат, а с оставшимся прямоугольником производят ту же процедуру. Докажите, что последовательность отношений сторон у построенных прямоугольников периодична (решив эту задачу, вы сможете доказать, что каждую квадратичную иррациональность можно разложить в периодическую цепную дробь, возможно, с предпериодом). Верно и обратное утверждение: число, разлагающееся в периодическую цепную дробь, – квадратичная иррациональность (см. книгу А.Я.Хинчина «Цепные дроби»). 49*. Hа книжной полке стоит в беспорядке полное собрание сочинений неизвестного классика. Библиотекарь выбирает наугад том, стоящий не на своем месте, и ставит его на место (при этом часть томов сдвигается ). Всегда ли он может за конечное число операций поставить тома по порядку?

(Продолжение следует)

51

ОЛИМПИАДЫ

увеличил все числа на доске на 1. Каких чисел на доске оказалось больше: положительных или отрицательных? А.Глебов

2 (5). См. задачу M2771 «Задачника «Кванта». 3. Квадрат разбили на несколько прямоугольников так, что центры прямоугольников образуют выпуклый многоугольник. а) (3) Обязательно ли каждый прямоугольник примыкает к стороне квадрата? б) (6) Может ли количество прямоугольников равняться 23? А.Шаповалов

на одной окружности. Докажите, что точки A, P, Q, C лежат на одной окружности. А.Марданов

6 (12). Таблица 2 u 2024 заполнена целыми числами, причем в первой строке стоят числа из набора ^ 1,…, 2023 `. Оказалось, что какие бы два столбца мы ни выбрали, разность их чисел из первой строки делится на разность их чисел из второй строки. Известно, что все числа во второй строке попарно различны. Обязательно ли тогда все числа в первой строке равны между собой? И.Кухарчук

4 (9). Дан выпуклый четырехугольник ABCD площади S. Внутри каждой его стороны отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что ABCD разбивается на меньший четырехугольник и 4 треугольника. Докажите, что хотя бы у одного из этих треугольников площадь не превосходит S 8. М.Малкин

7 (14). На столе лежат 2n неразличимых на вид монет. Известно, что n из них имеют массу по 9 г, а остальные n – по 10 г. Требуется разбить их на n пар так, чтобы общая масса каждой пары равнялась 19 г. Докажите, что это можно сделать менее чем за n взвешиваний на чашечных весах без гирь (показывающих, равны ли чаши, а если нет, то какая тяжелее). А.Грибалко

5 (10). Хорда DE описанной около треугольника ABC окружности пересекает стороны AB и BC в точках P и Q соответственно, точка P лежит между D и Q. В треугольниках ADP и QEC провели биссектрисы DF и EG. Оказалось, что точки D, F, G, E лежат

Материал подготовили Е.Веретенников, А.Глебов, А.Грибалко, С.Дориченко, А.Заславский, П.Кожевников, М.Малкин, Л.Медников, А.Тертерян, А.Толпыго, Б.Френкин, А.Шаповалов, А.Юран

20-я Международная естественнонаучная олимпиада юниоров

В этой олимпиаде принимают участие школьники, чей возраст не превышает 15 лет. Отбор кандидатов в команду России производится из числа участников региональных этапов Всероссийской олимпиады школьников по физике или и химии, набравших более 30% баллов от максимума.В июне 30–35 наиболее успешных школьников приглашаются на сборы в МФТИ, где проводится подготовка по программе олимпиады, формируются экспериментальные навыки. Затем в августе ребята участвуют в естественно-научной смене в образовательном центре «Сириус», а в конце сентября–начале октября проходят очередные сборы в МФТИ – по окончании которых

Во время тура

54

КВАНТ 2024/№2

Рис. 6

тью в тени. Считайте, что показатель преломления воды равен 1,33. A) 15:00; B) 15:30; C) 16:00; $D) 16:30.^{8.}$ Теплоизолированный сосуд содержит 200 г твердого термопластика, к которому подводится тепло со скорость 400 Дж с в течение 180 с. Зависимость температуры термопластика от времени представлена на рисунке 7. Рассмотрите следующие утверждения.

той x 0,0 см от времени t. Волна распространяется в направлении +x со скоростью 5,0 см с. Определите длину волны. A) 2,0 см; B) 5,0 см; C) 8,0 см; $D) 10,0 см.^{10.}$ Смартфон используют в качестве акустического секундомера так, что он измеряет интервал времени между двумя последовательными звуковыми сигналами, зафиксированными его микрофоном. Отсчет времени начинается, когда первый звуковой импульс регистрируется микрофоном, и прекращается, когда регистрируется второй звуковой сигнал. В эксперименте, целью которого является измерение скорости звука в воздухе (v = 340 м с), два смартфона в режиме акустического секундомера помещают так, что они находятся на расстоянии l 5,00 м друг от друга (рис. 9). Во время

Рис. 9

Рис. 7

I. Удельная теплоемкость термопластика равна 2,00 кДж к㠘 К. II. Температура плавления термопластика $160 \infty^{C}$. III. Через 120 с в сосуде останется только термопластик в жидком состоянии. IV. Удельная теплота плавления термопластика 12,0 кДж $кг.^{Какие}$ из этих утверждений верные? A) Только I и II; B) только II и III; C) только I, II и IV; D) только I, II и $III.^{9.}$ На графике (рис. 8) представлена зависимость высоты волны D в точке с координа-

Рис. 8

измерения один студент хлопает в ладоши рядом с микрофоном A, а несколько секунд спустя другой студент хлопает в ладоши рядом с микрофоном $B.^{Каждый}$ хлопок приводит в действие оба телефона, но в разные моменты времени из-за конечной скорости распространения звука. Среди вариантов, представленных ниже, выберите тот вариант, который могли показать смартфоны А и В. A) Смартфон А: 0,0147 с; смартфон В: 0,0147 с. B) Смартфон А: 2,0147 с; смартфон В: 2,0000 с. C) Смартфон А: 3,1000 с; смартфон В: 3,1294 с. D) Смартфон А: 2,1294 с; смартфон В: 2,1000 с. Публикацию подготовил В.Слободянин

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«Квант» для младших школьников

(см. «Квант» №1)

1. 9. Если мальчиков в кружке хотя бы 10, то найдется мальчик, который послал не меньше 10 открыток (так как любые два мальчика послали разное число открыток и каждый – хотя бы одну). Значит, девочек в кружке не меньше 10. Тем самым, всего в кружке не меньше 20 школьников. Получили противоречие. Следовательно, мальчиков не больше 9. В кружке может быть ровно 9 мальчиков и 10 девочек. Мальчики могут послать 1,2, 3 …, 9 открыток. 2. 14. Суммарно в первой и второй коробках либо 5 конфет (если у конфеты А из первой коробки 4 соседних), либо 9 конфет (если у этой конфеты 8 соседних). Второе невозможно, так как тогда у конфеты В из второй коробки больше 8 соседних: все 7 соседних для А (без В), сама конфета А и еще хотя бы одна конфета из третьей коробки. Тогда у конфеты В будет 4 соседних конфеты из первой и второй коробок, а значит, 4 конфеты из третьей коробки. Аналогично первому рассуждению, суммарно в четвертой и пятой коробках – 5 конфет. Общее число конфет равно 5 4 5 14. 3. 5. Докажем, что все 6 произведений не могут быть целыми. Заметим, что произведение всех 18 чисел равно 1. Поэтому, если все 6 произведений будут целыми, то каждое из них равно 1. Рассмотрим тройку чисел, содержащих число 1 7. Чтобы их произведение было целым, необходимо, чтобы в эту тройку входило число 7. А чтобы это произведение равнялось 1, оставшееся число должно равняться 1. Аналогично, в тройку с числом 1 5 войдут числа 5 и 1. Осталось заметить, что теперь для числа 1 9 невозможно подобрать два числа из оставшихся, чтобы их произведение равнялось 1. Поэтому целых произведений не больше 5. Пять целых произведений может получиться, например, при таком разбиении на тройки: 1 7;7;1, 1 5;5;1, 2;4;1 8, 1 2;1 4;8, 1 9;9;3, 1 3;6;1 6. Целыми будут 5 произведений в первых 5 тройках. 4. 300. Заметим, что «да» ответили рыцари, стоящие между людьми разного типа, и лжецы, стоящие между людьми одинакового типа, а остальные ответили «нет». Поэтому если оба соседа любого жителя сменят тип, то его ответ останется прежним. Также если житель сменит тип вместе с одним своим соседом, то и он не поменяет свой ответ.

Пронумеруем всех стоящих в круге следующим образом: 1, 2, 3, 1, 2, 3, … Если все жители с номерами 1 и 2 сменят свой тип, то из сказанного выше следует, что никто не поменяет свой ответ. Поскольку путешественник смог определить, сколько в круге рыцарей, то такое изменение типов не меняет их количество, значит, среди жителей с номерами 1 и 2 по 200 рыцарей и лжецов. Аналогично, по 200 рыцарей среди жителей с номерами 2 и 3, а также среди жителей с номерами 3 и 1. Просуммировав эти количества, получим 600 рыцарей, при этом каждого жителя мы посчитаем дважды, поэтому всего в круге 300 рыцарей.

Конкурс имени А.П.Савина

(см. «Квант» №11-12 за 2023 г.)

9. Первым. Скорости Гриши и Бори одинаковы (ведь они одновременно выехали и одновременно доехали до места встречи); скорости Алеши и Васи тоже одинаковы. Если бы Вася поехал после встречи обратно в А вместе с Алешей, они бы вернулись одновременно, но Вася приехал позже всех. Значит, Вася после встречи поехал в Б, и проехать ему пришлось большее расстояние, чем Алеше. Тогда место встречи ближе к А, чем к Б. Алеша и Боря вернутся в А и Б одновременно, ведь после встречи оба они проедут то же расстояние, что и до встречи, с той же скоростью. Гриша же сначала проедет то же расстояние, что и Боря, а потом проедет меньшее расстояние, чем Боря, – от места встречи до А. Значит, Гриша приедет быстрее Алеши и Васи. 10. 14400. В строке 4 стоит не больше двух ладей, а в остальных строках – не больше одной, итого можно поставить не больше 9 не бьющих друг друга ладей. Раз всего ладей 9, то в строке 4 должно стоять ровно две ладьи, а в остальных строках – ровно по одной. Аналогично со столбцами. Выберем сначала, куда поставить такие четыре ладьи: 1) в строку 4 левее фишки, 2) в строку 4 правее фишки, 3) в столбец c ниже фишки, 4) в столбец c выше фишки. Посчитав количества клеток в соответствующих областях (они показаны синим цветом на рисунке 1), получим, что это можно сделать 2 ˜ 5 ˜ 3 ˜ 4 5! способами. Осталось 5 свободных строк и 5 свободных столбцов, куда нужно поставить 5 оставшихся ладей. Это делается 5! способами: сначала выбираем,

58

КВАНТ 2024/№2

равны по 45q. Значит, сумма отмеченных углов равна 90 q 45 q 45 q 180 q. 16. Выигрышная стратегия есть у второго игрока. Пусть при своем первом ходе второй игрок красит в желтый цвет букву L, расположенную вблизи одного из углов квадрата так, как показано на рисунке 4. Он сможет это сделать, так как первым ходом его противник смог «испортить» не больше чем один из четырех углов квадрата. Клетки, выделенные на рисунке зеле- Рис. 4 ным цветом, назовем их заповедником, недоступны для первого игрока. Далее второй игрок ходит так, чтобы при своих ходах не затрагивать заповедник. И только в случае, когда никаких других ходов не остается, он перекрашивает в желтый цвет клетки заповедника (это можно сделать, поскольку клетки заповедника образуют букву L) и выигрывает. Объясним, почему второй игрок выигрывает. Если после хода второго игрока в заповедник у первого игрока остается возможность сделать ответный ход, то это означает, что какая-то фигура в виде буквы T или в виде буквы Z до сих пор имеет красный цвет. Но внутри каждой из этих фигур помещается фигура L. Следовательно, у второго игрока была возможность не ходить в заповедник. Это противоречит правилу для второго игрока, которое мы сформулировали.

молинейно, и поэтому их пути должны пересечься в месте расположения неподвижного футболиста. Именно в этом месте они и могут встретиться, причем – одновременно. 6. Такой же – это следует из принципа относительности Эйнштейна. 7. В системе отсчета бегуна, как и в любой другой инерциальной системе, свет обладает одной и той же скоростью. Свое изображение бегун увидит точно таким же, как и при любой другой постоянной скорости бега. 8. В системе отсчета «Звездолет» расстояние от Земли до Сириуса только два световых года. 9. Нет – это эффект релятивистского сокращения длины. 10. Поперечные размеры бруска остаются неизменными, длина же сокращается, допустим, в k раз. Поэтому объем уменьшится в k раз. Поскольку при этом масса бруска увеличивается в k раз, то его плотность возрастет в $k^{2}$ раз. 11. Невозможно, так как в этом случае у частицы нет ни импульса, ни кинетической энергии. 12. Закон, связывающий массу тела с его энергией: $E 0 mc^{2}. 13.$ Когда скорости электрона и позитрона равны по модулю и противоположно направлены. 14. «Красное смещение» объясняется удалением галактики от Земли.

Калейдоскоп «Кванта»

XLV Турнир городов

1. В системе отсчета «снаряд». 2. Скорость истечения воды одинакова, если измеряется в системе отсчета, связанной с вагоном. Иначе можно было бы обнаружить факт равномерного движения поезда, не выглядывая в окно, что противоречит принципу относительности. 3. Каждая точка катящегося колеса участвует в двух движениях: вращательном и поступательном. В верхней части колеса скорости этих движений складываются, в нижней – вычитаются так, что соприкасающаяся с дорогой точка неподвижна. Из автобуса же наблюдается лишь «чистое» вращение колеса. 4. В направлении движения легкового автомобиля со скоростью, равной по модулю половине скорости автобуса. 5. В системе отсчета, связанной с любым из футболистов (в которой он неподвижен), все спортсмены будут двигаться равномерно и пря-

Базовый вариант 8–9 классы

Вопросы и задачи

Микроопыт

Скорость спортсмена относительно дорожки равна и противоположна скорости дорожки относительно земли.

Задачи осеннего тура

1. Не обязательно. Пример см. на рисунке 5: проход Ани указан над полосой, а проход Вари – под полосой.

Рис. 5

2. Не обязательно. Пусть A, D, C, B – последовательные вершины правильного шестиугольника. Тогда ABCD (рис. 6) – равнобедренная трапеция (полови-

Рис. 6