Квант 2024, №3 · Страницы

3

ЮЛИЙ БОРИСОВИЧ ХАРИТОН

Главный конструктор Юлий Борисович Харитон у макета своего первого «детища» в музее Сарова

Под «владения» КБ-11 было определено $100 км^{2}$ заповедных земель и еще $10 км^{2}$ территорий Горьковской области. Сегодня закрытая территория уже в два раза больше. От станции Шатки (в 33 км от Арзамаса) туда вела узкоколейная железная дорога протяженностью 95 км. Перед принятием правительственных решений Харитон и Зернов проделали этот путь на дрезине, которую они с трудом раздобыли в Шатках, поскольку завод уже практически не работал. Харитон потом вспоминал, как он «… едва не наступил на гнездо какой-то крупной птицы, когда, сойдя с дрезины, углубился в лес во время первой рекогносцировки на месте будущего города Арзамас-16». Среди засекреченных названий этого пункта, кроме КБ-11, были и «550», и «Арзамас-16», и «Приволжская контора Главпромстроя» и др. Название поселка Саров и его обозначение были специальным постановлением изъяты со всех карт и из всех официальных документов. В плане работы КБ-11, представленному Харитоном и Зерновым в июле 1946 года, предусматривалось открытие 8 научных лабораторий, мастерских, полигонов и опытного производства, вскоре ставшего заводами № 1 и № 2. Осуществление этого плана началось еще в Москве, в помещениях Лаборатории № 2. А через год, в июле 1947 года в Саров прибыли первые 36 научных сотрудников и 35 инженерно-технических работников. Еще

через год это число выросло почти в 3 раза и, кроме того, на опытных заводах стали работать около 2000 рабочих, инженеров и техников. И теперь огромную роль сыграл тот факт, что по предложению и настоянию Харитона решением Спецкомитета была предусмотрена должность начальника КБ и что на эту должность был назначен П.М. Зернов. В годы войны Зернов проявил себя выдающимся руководителем производства танков и другого вооружения, стал генерал-майором танковой службы, заместителем наркома танковой промышленности. Надо отдать справедливость председателю Спецкомитета – лучшего организатора для КБ-11 трудно было найти. Зернов обладал огромной работоспособностью, организаторской «хваткой», технической грамотностью и смекалкой и, наконец, как и Харитон, отзывчивостью и человеколюбием. Главной задачей Зернова было создание и организация нормальной работы научноисследовательских и инженерных подразделений, а также техническое и кадровое обеспечение всех работ. Но немалую роль играла и организация жизни и быта людей. За пять лет его пребывания на посту начальника КБ-11 в Сарове было построено более 400 зданий и сооружений, в том числе жилые дома и общежития, ясли и детские сады, школы, больницы и аптеки, стадион и лыжная база, вплоть до театра. Большое внимание Зернов уделял обеспечению воскресного отдыха сотрудников, особенное внимание проявлял к молодежи и ее нуждам. Благодарная память о его делах увековечена в Сарове в названии самой длинной и красивой улицы и парка культуры и отдыха. А основная его производственная деятельность была оценена двумя Звездами Героя Социалистического Труда и званиями Лауреата Ленинской и Государственных премий. После работы на «объекте» П.М. Зернов стал заместителем Министра среднего машиностроения (атомного министерства). А главным делом Харитона стала организация работы во всех лабораториях и

4

КВАНТ 2024/№3

отделах и координация их деятельности. Он был в курсе всех основных исследовательских и конструкторских работ до мельчайших деталей, знал на память сотни листов чертежей – все сотрудники поражались этому знанию и умению находить оптимальные решения спорных вопросов. КБ-11 стремительно развивалось. Одновременно шли работы по плутониевой бомбе (РДС-1) и по урановой бомбе (РДС-2). К лету 1949 года были не только разработаны их конструкции, но и испытаны модели этих «специальных реактивных двигателей». Испытания происходили в реальных условиях сброса макетов бомб с самолета с высоты 10 километров. Для этих испытаний был создан специальный аэродром (в Крыму, севернее Евпатории). Макет представлял собой точную конструкцию бомбы, но, конечно, без главной ядерной начинки, или, как писалось в документах, «без заправки топливом». Кстати, сами бомбы уже были готовы, а «топливо» запаздывало. Плутония нужно было 10 килограммов, а мощность первых заводов по его получению была всего лишь несколько граммов в сутки. Немногим больше была и производительность комбинатов по получению чистого изотопа урана-235. Впоследствии было много спекулятивных публикаций на тему о самостоятельности советских разработок бомб. В 1984 году сам Харитон в первом же интервью после начала рассекречивания истории Атомного проекта сказал, что были некоторые материалы разведки и, главное, очень важные материалы, переданные СССР одним из создателей американской бомбы Клаусом Фуксом. Но Харитон тогда умолчал о той гигантской научно-исследовательской и инженерно-конструкторской работе, которая была необходимой для воплощения американской идеи в жизнь. А главное, РДС-2, урановая бомба, была полностью разработкой КБ-11. И все последующие конструкции бомб, включая и водородные бомбы, были полностью самостоятельными. Думается, что Харитон специально умалял роль сверхсекретного тогда КБ-11 и свою собственную роль в создании атомно-

И.В.Курчатов и Ю.Б.Харитон отдыхают на Алтае после испытания «водородки» РДС-37 (1955 г.) го оружия. Через 10 лет, когда завеса секретности сильно уменьшилась, Харитон в письме американским физикам уже совсем по-другому оценивал значение некоторых американских данных. Важнее было знать не что-то по конструкции бомбы, а о тех усилиях и достижениях, которые были сделаны в США для получения изотопов урана и плутония. Именно знание этих вопросов помогло, по словам И.В. Курчатова, сэкономить не меньше года работы по созданию бомбы. В 1948 году академику И.Е.Тамму было поручено начать теоретическую разработку идеи водородной бомбы. Он привлек к этой работе своего аспиранта А.Д.Сахарова, и после защиты им диссертации Тамм и Сахаров уже в КБ-11 возглавили отдел по разработке сверхбомбы. Ее первый вариант имел индекс РДС-6 и был испытан в 1953 году. А.Д.Сахаров вскоре стал главным теоретиком проблемы (наравне с Я.Б.Зельдовичем) и оставался им в течение 20 лет. Но Харитон, как главный конструктор и главный научный руководитель КБ-11, участвовал и в этой проблеме.

5

ЮЛИЙ БОРИСОВИЧ ХАРИТОН

Важнейшей частью работы Харитона стало курирование изготовления бомб на заводах № 1 и № 2, построенных на общей территории с КБ-11. Еще в 1947 году Харитон поставил вопрос о строительстве и сооружении специального полигона для полноценных испытаний изделий РДС, «заряженных топливом», т.е. настоящих атомных бомб. Он участвовал и в выборе места для этого полигона, и в руководстве созданием всей измерительной аппаратуры для определения параметров взрыва. И, конечно, в подготовке самих испытаний и их осуществлении. Он подписывал и протоколы подготовки, и решения о проведении испытаний, и отчеты о проведении и о результатах испытаний. Причем не только подписывал, а глубоко вникал и делал выводы для совершенствования конструкций. И хотя эти испытания проходили очень далеко от Сарова (на семипалатинском и новоземельском полигонах), именно в Сарове недавно открыли памятник-стелу «Испытателям ядерного оружия». Но вскоре стало стремительно возрастать количество правительственных заданий на разработку разнообразных вариантов ядерного оружия. Возможностей КБ-11

Памятник испытателям ядерного оружия

К.И.Щелкин, Ю.Б.Харитон и И.В.Курчатов на воскресной прогулке в Сарове (1954 г.) уже не хватало. И было решено создать второй центр конструирования атомных и водородных бомб – КБ-1011. Харитон отпустил для руководства этим центром своего самого близкого помощника и первого заместителя Кирилла Ивановича Щелкина, ставшего главным конструктором и научным руководителем нового КБ, и одного из самых талантливых молодых сотрудников Евгения Ивановича Забабахина, который после ухода Щелкина заменил его на ответственном посту руководителя КБ-1011. Между двумя КБ не было вражды, их соперничество всегда оказывалось полезным для дела. А первая «настоящая» водородная бомба, РДС-37, с тротиловым эквивалентом 1,6 мегатонн была совместным «детищем» Сахарова и Забабахина, Харитона и Щелкина. Впоследствии КБ-11 специализировалось на бомбах для ракет, а КБ-1011 – на «изделиях» с другими способами «доставки». Для дислокации КБ-1011 была выбрана глухая красивейшая местность в Челябинской области. Официальным названием этого КБ стало «Челябинск-70». Говорят, что однажды во время совещания начальник КБ, посмотрев в окно на зимний пейзаж, сказал: «Какая красота! Настоящий снежинск!». Сегодня – это закрытый наукоград Снежинск, в котором находится Российский федеральный ядерный центр – Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики.

6

КВАНТ 2024/№3

Отличие от саровского центра только в одном слове – технической, а не экспериментальной. И еще одно отличие – снежинский институт носит имя академика Е.И.Забабахина, а саровскому институту до сих пор не присвоено имя Ю.Б. Харитона, несмотря на неоднократные обращения в правительство ученых и старожилов Сарова. Регулярно, не реже двух раз в месяц Харитон принимал участие в заседаниях Научно-технического совета при Первом главном управлении Совета Министров СССР, который был штабом всего Атомного проекта. И это его участие было очень активным в обсуждении всех вопросов проекта, а не только касающихся «родного» КБ-11. А для этого нужно было заранее познакомиться с выносимыми на обсуждение вопросами. Где же взять на все это время? Повторим слова академика А.М. Шальникова: «Работает столько, сколько нормальные люди не могут работать». Каждый день с 8 утра до 10 вечера, иногда и по воскресеньям, а по субботам – всегда, временами и до полуночи. И обязательно – в дороге. Он считал дорожное время самым продуктивным для работы, поскольку средством передвижения был не самолет, а поезд (самолетом не разрешалось летать). Для него (как и для Курчатова) были оборудованы специальные вагоны (с организованным горячим питанием – ведь дорога занимала до 10 часов). Выделение специальных вагонов обосновывалось созданием условий для работы. Когда у Харитона был попутчик (например, И.В. Курчатов или еще ктолибо из руководства), он просил не мешать ему работать, а «для компании» с удовольствием полчасика отдыхал, затевая со спутником интересную беседу о книгах или об искусстве. Одна из поездок стала очень печальной. Харитону нужно было обсудить с Курчатовым важный вопрос о создании и подготовке к испытаниям бомбы с тротиловым эквивалентом до ста миллионов тонн. Такое количество тротила заняло бы при перевозке общую длину железнодорожных составов, большую длины земного экватора. После

Предпоследняя встреча друзей в санатории Барвиха (1950 г.) испытания (с тротиловым эквивалентом 58 мегатонн) появилось полуофициальное название этого «изделия» – царь-бомба. По мнению тогдашнего руководства страны, такой невероятной силы взрыв нужен был для устрашения «империализма». По своему характеру Харитон «по-солдатски» выполнял распоряжение руководства. Но в душе он был против создания такого страшного оружия, способного уничтожить целиком небольшую страну. И он знал, что Курчатов тоже был против. Харитона с Курчатовым связывали не только служебные отношения. Они стали большими друзьями еще в 30-е годы. Поэтому он еще раз хотел обсудить проблему с Курчатовым, прежде чем поставить свою подпись под решением научно-технического совета Министерства среднего машиностроения о создании этой бомбы. Но Курчатов был под Москвой в санатории после очередного сердечного приступа. И 7 февраля 1960 года Харитон приехал в этот санаторий. Погожим зимним днем на скамейке в санаторском саду они стали обсуждать сложившуюся ситуацию. Увлекшийся разговором Харитон не сразу обратил внимания на то, что Курчатов склонил голову ему на плечо. На самом деле это был конец – сердце Игоря Васильевича остановилось. И стоявшие неподалеку охранники, и санаторские врачи ничего не смогли сделать. А было воскресенье. И запоздало прибыв-

8

КВАНТ 2024/№3

Ю.Б.Харитон и И.В.Курчатов на съезде партии в Кремле (1956 г.) ем его жизненной позиции по отношению к принципиальным политическим проблемам. Не касаясь в этой статье всей сложности этого вопроса, можно отметить только, что для Харитона на первом месте всегда стояли безопасность Родины и страсть к науке. Он никогда не участвовал в политических спорах, но и не препятствовал этим спорам. В 1956 году, в пятидесятидвухлетнем возрасте он вступил в партию. Шесть раз подряд, начиная с 1950 года, Харитон избирался депутатом Верховного Совета СССР. Он очень серьезно относился к обязанностям депутата. Несколько созывов он был депутатом по Мичуринскому (в Тамбовской области) избирательному округу (подальше от иностранных корреспондентов). Он добился полной газификации города Мичуринска и всех деревень Мичуринского района. На сессиях Верховного Совета именно Харитон выдвинул и добился принятия закона о пенсионном обеспечении колхозников. Регулярно встречаясь со своими избирателями, он добивался решения многих конкретных вопросов, с которыми к нему обращались. При этом большой трудностью было неразглашение своего могущественного положения в государстве. Во время избирательных кампаний он считался научным сотрудником Института химической физики АН СССР. Харитон старался выполнять порученное ему государством дело так же внимательно и активно, как и все, что он делал. Несколько раз он поддержи-

вал выступления ученых по поводу недостойной деятельности Т.Д.Лысенко и группы философов, считавших теорию относительности и квантовую механику неправильными («буржуазными») науками. Ю.Б.Харитон (как и И.В.Курчатов) трижды получал высшую государственную премию первой степени. Официально такой премии не было. Но существовало совершенно секретное постановление правительства от 21 марта 1946 года, еще задолго до первого испытания атомной бомбы, устанавливающее подробные правила награждения по Атомному проекту. Премии были пяти степеней. Первая премия – звание Героя Социалистического Труда, лауреата Сталинской премии первой степени, награждение одним миллионом рублей, особняком или большой квартирой в городе жилплощадью $200 м^{2}$ и дачей со всей обстановкой, автомашиной, освобождением от платы за обучение детей и бесплатным проездом всех членов семьи на всех видах транспорта. Вторая премия – такая же, как первая, но денежное вознаграждение меньше (700 тысяч рублей) и нет городской квартиры. Соответственно уменьшались денежное вознаграждение и достоинство званий для третьей, четвертой и пятой премии. Но оставались бесплатное обучение детей и бесплатный проезд. Все работники, участвующие в Атомном проекте, получали заработную плату в полтора-два раза больше, чем работники соответствующих должностей в других отраслях промышленности и науки. Все получаемые денежные вознаграждения Харитон перечислял медицинским учреждениям Горьковской области. После первого испытания бомбы 29 августа 1949 года по указу Верховного Совета СССР с грифом «не подлежит опубликованию» 36 человек получили звание Героя Социалистического Труда, 260 человек были награждены орденом Ленина, 496 человек – орденом Трудового Красного Знамени, 52 человека – орденом Знак Почета и свыше 2000 человек – медалями. Большинство награжденных – это работники только что родившейся атомной промышленности, рабочие, техники и инже-

10

КВАНТ 2024/№3

Джулиус Роберт Оппенгеймер безопасности и была такая неразбериха, что Харитону даже не у кого было спросить разрешения на приглашение американского ученого. И он рискнул сделать это сам. Конечно, он не раскрывал секретов и показывал только те лаборатории, которые не были напрямую связаны с конструированием и изготовлением ядерного оружия. Он гордился теми «мирными достижениями», которые под его руководством были сделаны в Сарове для развития физики как науки. В длительных беседах обсуждалась история американского атомного проекта. Выяснилось, что Харитон хорошо знал, кто такой Оппенгеймер. «Тогда у меня возникла идея сравнения этих людей», – пишет Хэллоуэй. Тем более, что через два с половиной года и сам Харитон начал с этого сравнения свое письмо Мемориальному комитету Джулиуса Роберта Оппенгеймера, который пригласил Харитона принять участие в мероприятиях, посвященных памяти Оппенгеймера (девяностолетию со дня рождения). Харитон сожалел, что не смог из-за болезненного состояния принять это приглашение, и послал письмо. Для сборника, посвященного памяти Харитона, Хэллоуэй написал очерк «Оппенгеймер и Харитон: Параллели жизни».

Главная параллель – в том, что они оба были первыми руководителями первых ядерных оружейных центров своих стран. Но есть и несколько совпадений, которые отметил сам Харитон и назвал их «забавными». Это совпадение возрастов – Оппенгеймер младше всего на 2 месяца и 11 дней; совпадение имен – Юлиус и Юлий; привитый в детстве в семье (от матерей) интерес к искусству и литературе; почти одновременная работа в Кавендишской лаборатории у Резерфорда в Кембридже. И совсем забавное совпадение – неподалеку от Сарова была деревенька Аламасово (жителей которой пришлось переселить в другое место). А ведь аналогом саровского КБ-11 была лаборатория в городке Лос- Аламос, что вполне созвучно названию деревни Аламасово. Можно добавить – оба почти в одно и то же время защитили диссертации, имеющие отношение скорее к химии, чем к физике. Оба одновременно (в 1939 году) всерьез заинтересовались ядерной физикой и взаимодействием урана с нейтронами и с разницей в два года стали фактическими создателями центров конструирования ядерного оружия в США и в СССР. Оба они присутствовали на первых опытных испытаниях своих «изделий». 16 июля 1945 года в пустынной местности штата Нью-Мексико, в нескольких десятков километров от города Аламагордо в 5 часов 10 минут утра Оппенгеймер включил аппарат проверки всех электрических систем испытательного полигона и автоматической подачи сигнала на бомбу. В 5.30 произошел взрыв. Сначала наступило почти полное молчание озаренных вспышкой света «ярче тысячи солнц» наблюдателей в 9 км от башни 30-метровой высоты, на которой был накануне установлено изделие лаборатории Оппенгеймера. Оно получило кодовое название gadget, что долго (в догаджетовую эпоху) переводилось на русский, как штучка. Тротиловый эквивалент этой плутониевой бомбы был определен в 21 килотонну. Сам Оппенгеймер описал свою реакцию как ошеломление. Ему в голову пришли строки из хорошо им знаемого древнеиндийского

11

ЮЛИЙ БОРИСОВИЧ ХАРИТОН

религиозного эпоса «Бхагавадгиты»: «Я стал смертью, сокрушительницей миров». И у всех наблюдателей было чувство наступления для человечества новой эпохи – атомной эры. 29 августа 1949 года в пустынной местности в 170 км от Семипалатинска (ныне – казахстанский город Семей) в 6 часов 48 минут был включен аппарат управления подрывом и в 7.00 произошел взрыв «изделия РДС-1» на 37-метровой башне. Это была плутониевая ядерная бомба, ее тротиловый эквивалент – 22 килотонны. Включение автомата на подрыв, «нажатие кнопки», по указанию Харитона произвел конструктор этого управляющего автомата Сергей Львович Давыдов. Харитон никогда не говорил, что он почувствовал, когда произошел взрыв. Думается, что, как и у всех наблюдателей, прежде всего пришло глубокое чувство избавления от надвигающейся опасности уничтожения страны страшным американским ядерным оружием. И, конечно, чувство удовлетворения и гордости за выполнение невероятно трудной работы. Много лет спустя он говорил своему внуку, что на сто процентов был уверен в успехе. Что ж, может быть, это соответствовало всему стилю его работы, ответственности, тщательности и дотошности. И еще. Все присутствовавшие знали, что, кроме испытанной бомбы РДС-1, в их родном КБ-11 уже существуют урановые бомбы РДС-2, более мощные и более легкие, чем американские аналоги. Поскольку РДС-1 сработала, РДС-2 тоже должна сработать, и это будет мощный ядерный щит от американской угрозы. Возможно, именно тогда и родилось замечательное по своей краткости и в то же время глубокой сущности крылатое выражение «перехаритонить Оппенгеймера». В этом выражении, помимо сходства, заключается и глубокое различие в жизни и судьбе этих двух великих ученых минувшего столетия. Прежде всего, отмеренный срок жизни. Если говорить о сроке творческой жизни (начиная у обоих с 16 лет – возраста поступления в университет), то у Оппенгеймера это 47 лет, а у Харитона – 72. Оппенгеймер был фактическим руково-

дителем ядерного центра всего 4 года. А Харитон – почти 50 лет. Оппенгеймер не участвовал в превращении лосаламосского центра из конструкторского бюро в Национальную лабораторию США. А Харитон руководил постепенным превращением КБ-11 в Институт экспериментальной физики. Уже почти сразу после античеловеческих сбросов ядерных бомб на Хиросиму и Нагасаки Оппенгеймер получил сначала всеамериканскую, а потом и всемирную известность как «отец атомной бомбы». Харитон был настолько засекречен, что долгие годы (до 1984 года) его имя вообще не упоминалось и еще 20 лет упоминалось очень редко. Слава (да и то, в научных кругах, а не всенародная) пришла к нему посмертно. В этой статье нет возможности подробно рассказать о главном различии судеб Оппенгеймера и Харитона. Оппенгеймер не был патриотом своей страны. Нравственный вопрос об этичности создания атомных и водородных бомб для него решался только в общечеловеческом масштабе, в вопросе организации международного контроля за созданием ядерного оружия. Некоторое время он был под подозрением в несохранении секретности во время атомных работ. И действительно, ведь наиболее важные сведения об американской бомбе, которые ускорили создание советской бомбы, были получены от Клауса Фукса, одного из ближайших коллег Оппенгеймера. Были и другие подозрения, связанные с его довоенным политическим мировоззрением. В результате рассмотрения этих вопросов в комиссии ФБР Оппенгеймер в 1954 году был лишен допуска к секретным работам и мог заниматься только чистой физикой на посту директора Принстонского института перспективных исследований. Оппенгеймер был оправдан в 1963 году (в президентство Дж. Кеннеди). Тем не менее, все это наложило серьезную добавочную травму на его психическое состояние. Он не нуждался в любви коллег. «Физика мне нужнее друзей», – сказал он однажды своему брату. В его жизни было много драматических собы-

12

КВАНТ 2024/№3

тий, которые целиком определялись необычностью его психики и черт характера. Недаром его биография легла в основу нескольких книг и телевизионных фильмов о нем. Самый последний фильм с простым названием «Оппенгеймер» только что вышел в российский прокат. Последние годы Оппенгеймер провел в уединенной жизни на океанском берегу бухты маленького малообитаемого американского островка Карибского моря Сент- Джон. С ним была его жена и иногда приезжала взрослеющая дочь. Раз в год его навещали несколько кодлег-физиков. Правда, условия жизни вовсе не были похожи на робинзоновскую эпопею. В спроектированном им самим домике была одна огромная комната с тремя стенами (в дождливые и ветреные дни четвертую стену заменял кожаный занавес) и видом на океан. Был и собственный генератор, и вся кухонная техника, и автомобиль для поездок за продуктами, и по заказу самое лучшее шампанское. Был потрясающей красоты горный пейзаж, и вечно разный океан, и круглый год – лето без изнуряющей жары, и музыка. Рай, да и только. Но все равно не было душевного равновесия и, главное, здоровья. Оппенгеймер всю жизнь курил, и курил почти беспрерывно, результат – неоперабельный рак горла. Оппенгеймер и Харитон очень различались как личности. Например, Харитон никогда не курил. Его семейная жизнь могла служить недостижимым эталоном для окружающих. Так называемой «личной» жизни, кроме семейной, у него никогда не было. В начале статьи цитировалось много восторженных слов, свидетельствующих не только об уважении, но и об искренней любви сотрудников к Харитону. Повторим еще раз парадоксальные слова академика А.М.Шальникова: «Его единственный недостаток – в том, что у него нет недостатков». И возможно, это и было главной причиной его сверхуспешного пятидесятилетнего руководства огромным научным коллективом. На первый взгляд, жизнь Харитона была не только крайне секретной, но и крайне простой. Но это – только на первый взгляд.

Памятник Ю.Б.Харитону около коттеджа, в котором он прожил 50 лет

Он никогда не раскрывал свою душу ни перед коллегами, ни перед близкими и родными, он все главное хранил в себе. Последние пять лет его жизни совпали с драматическими событиями в нашей стране. Из-за болезней он уже не мог вплотную заниматься работой. И он не мог отстраниться от размышлений о том, что же произошло с его страной, служению которой он отдал всю свою жизнь и весь свой талант любви к науке и к людям. Процитируем его слова, написанные в 1995 году в письме к американским физикам-атомщикам: «Сознавая свою причастность к замечательным научным и инженерным свершениям, приведшим к овладению человечеством практически неисчерпаемым источником энергии, сегодня, в более чем зрелом возрасте, я уже не уверен, что человечество дозрело до владения этой энергией. Я осознаю нашу причастность к ужасной гибели людей, к чудовищным повреждениям, наносимым природе нашего дома – Земли. Слова покаяния ничего не изменят. Дай Бог, чтобы те, кто идут после нас, нашли пути, нашли в себе твердость духа и решимость, стремясь к лучшему, не натворить худшего». Это – завещание Юлия Борисовича Харитона людям науки.

15

ВОЛШЕБНАЯ

АРИФМЕТИКА

Теорема доказана. Отметим на всякий случай, что на самом деле на рисунке 4 сама кардиоида не нарисована, а проведено лишь семейство отрезков, для которых кардиоида является огибающей. Мы не будем здесь комментировать термин «огибающая» – название удачно говорит само за себя, а за деталями читатель может обратиться к книгам [4, 5]. Поскольку отрезков много, глаз сглаживает ломаную, составленную из их фрагментов, и нам кажется, что мы видим гладкую кривую. Если мы будем проводить диагонали $A_{i} A_{di}$, для i = 3, 4, …, будут аналогично получаться d 1 -эпициклоиды (рис. 7; для d 3, 4, 10 и n 120). Также нетрудно сообра-

ХОРД

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10

Рис. 7

зить, что при попытке экспериментировать с линейными выражениями $A_{i} A_{di} l$ будут получаться всего лишь повернутые эпициклоиды. Например, A i A i 5 A i 5 5 A 2 i 5 5, т.е. при сдвиге нумерации вершин на 5 мы получаем исходное правило удвоения.

Второй эксперимент

Воодушевившись первым экспериментом, попробуем проводить в n-угольнике диагонали вида $A_{i} A_{2} i$, где индекс 2i опять вычисляется по модулю n. Вот пример получающихся картинок при n 120 (рис. 8) и n 119 (рис. 9).

Рис. 11

Как видим, хорды достаточно регулярно заполняют круг и не группируются вокруг огибающих. Хотя… это они внутри окружности не группируются. Продолжим их подходящим образом (рис. 10; для n 120). Мы увидим симпатичный «криволинейный» треугольник – дельтоиду. Аналогичная картина получится, если провести диагонали вида $A_{i} A_{3} i$ (рис. 11).

16

КВАНТ 2024/№3

Рис. 14

Рис. 12

Рис. 13

Продолжив их подходящим образом наружу (рис. 12; для n 120), получим астроиду. В этот раз мы «наткнулись» на гипоциклоиды. Кривая на рисунке 10, огибающая семейства наших хорд $A_{i} A_{2} i$, – это дельтоида, а кривая на рисунке 12 – астроида. Увеличивая k, мы получаем на картинке с диагоналями $A_{i} A_{ki}$ гипоциклоиды со все большим количеством зубчиков (рис. 13). Интересно, что на рисунке 13 при n 100, k 9 видны как 10-гипоциклоиды, так и 10-эпициклоиды. Это вызвано тем, что выполняется соотношение 9 ˜ 11 { 1 mod100, т.е. по модулю 100 операции умножения на 9 и на 11 взаимно обратны и множество пар вида i, 9 i совпадает с множеством пар 11 j, j. На рисунке 14 представлена аналогичная картина для n 109, k 9, поскольку 9 ˜ 12 { 1 mod109, но эпициклоиды и гипоциклоиды «не синхронизированы». Ясно, что для фиксированного n мы не можем сделать число зубчиков уж слишком большим. На рисунке 15 изображен экстремальный в этом смысле пример: 30-гипоциклоида при n 120, k 29. Кажется, что здесь меньше отрезков, чем на соседних картинках. Это из-за того, что при i кратных 4 выполнено сравнение 29 ˜ i { i mod120, и поэтому каждая четвертая хорда здесь вырожденная, на рисунке эти хорды изображены синими точками. При i { 2 mod 4 хорды совпадают с диаметрами (это означает совпадение хорд,

Рис. 15

23

ВОЛШЕБНАЯ

АРИФМЕТИКА

ХОРД

Автор случайно узнал о красивых картинках из первого эксперимента (см. рис. 4, 7) и получил их обоснование, подглядывая в книгу [3]. Как оказалось, «Квант» уже писал об этих картинках на заре своего существования [2] и в более позднее время [1]. Обстоятельная подборка задач и результатов об эпии гипоциклоидах содержится в [5]. Прекрасную визуализацию первого эксперимента можно посмотреть на сайте «Математические этюды» [6]. Заинтересовавшись, автор стал экспериментировать дальше, а потом решил поделиться результатами. Читатель и сам может заняться экспериментами, в этом может помочь программа «Математический конструктор» [7].

Список литературы

Рис. 41. Случаи k 71, n 265 и k 71, n 274. На эти картинки можно смотреть бесконечно

1. А. Акопян. Геометрия кардиоиды. – «Квант», 2012, № 3. 2. В. Березин. Кардиоида. – «Квант», 1977, № 12. 3. Г.Н. Берман. Циклоида. – М.: Наука, 1980. 4. В.Г. Болтянский. Огибающая. – М.: Физматгиз, 1961. 5. Н.Б. Васильев, В.Л. Гутенмахер. Прямые и кривые. – М.: МЦНМО, 2006. 6. Математические этюды. https: etudes.ru models cardioid-nephroid 7. Математический конструктор. https: obr.1c.ru mathkit

Подписаться на журнал «Квант» можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса $России»^{–}$ 90964.Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦНМО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru

Вниманию наших читателей

24

КВАНТ 2024/

№3

Винтовые линии, спирали и физические методы

В.ПТУШЕНКО

Стремительное развитие физики в ХХ веке дало ей возможность внести свой вклад и в развитие других наук, прежде всего за счет появления многих новых методов исследования. Одним из них стал метод рентгеноструктурного анализа, основанный на дифракции рентгеновского излучения на атомах кристаллической решетки. Напомним, что дифракция волны на периодическом препятствии приводит к различиям интенсивности волны, рассеянной в разных направлениях. Один из наглядных примеров – дифракция света на поверхности DVD диска, который в отраженном свете переливается всеми цветами радуги. Любой кристалл также является периодической структурой и, следовательно, может служить дифракционной решеткой. Однако расстояние между «штрихами» этой решетки слишком маленькое, чтобы при отражении от такой периодической структуры видимого света могла возникнуть различимая дифракционная картина. А вот рентгеновское излучение, длина волны которого близка к межатомным расстояниям, дает отличную дифракционную картину. Это явление еще в 1912 году обнаружили Макс Лауэ и отец и сын Уильям и Лоренс Брэгги, за что были удостоены Нобелевских премий (1914 и 1915 г.). Относительно скоро рентгеноструктурный анализ стал (и остается до сих пор) одним из основных методов исследования структуры молекул, в том числе и биологически важных макромолекул. Позже в число основных методов опреде-

DOI: https: doi.org 10.4213 kvant20240302

ления структуры молекул вошел метод ядерного магнитного резонанса, а относительно недавно к ним присоединился и метод криоэлектронной микроскопии. С использованием метода рентгеноструктурного анализа связано и одно из наибо-

Рис. 1. Пространственная структура двухцепочечной молекулы ДНК. Изображение построено с помощью визуализатора структур VMD

25

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

лее «резонансных» открытий в биологии XX века – открытие, поистине взорвавшее научный мир и оказавшее, пожалуй, наибольшее влияние на развитие биологии во второй половине XX века. Речь идет об открытии пространственной структуры молекулы ДНК (рис. 1), сделанном Фрэнсисом Криком и Джеймсом Уотсоном чуть больше 70 лет назад (1953 г.). Наверное, практически всем известно словосочетание «двойная спираль» – благодаря книге Уотсона с таким названием. Однако отнюдь не это – обнаружение «спиральной» структуры ДНК – было основным в открытии Крика и Уотсона. Ключевым здесь было предположение о том, что азотистые основания – «кирпичики», из которых сложена молекула ДНК, – в одной цепи комплементарны, т.е. дополнительны, лежащим напротив них основаниям в другой цепи. Такая комплементарность, по сути – строгое соответствие, означала, что одна нить этой «двойной спирали» содержит в себе уже всю необходимую информацию о ее структуре. Вторая же нить может быть достроена по первой так же, как «достраивается» чугунная отливка в отливочной форме. Идеи о подобном механизме копирования наследственной информации (воссоздания новой полимерной молекулы на основе уже существующей) впервые были высказаны задолго до Уотсона и Крика (русским биологом Н.К.Кольцовым, австрийским биологом Х.Пржибрамом, немецким химиком Г.Штаудингером и английс-

Рис. 2. Разрез раковины головоногого моллюска наутилуса, очертания которого напоминают логарифмическую спираль

Рис. 3. Винтовая лестница, контуры которой (перила и края ступенек) образуют винтовые линии

ким биохимиком и математиком Д.Ринч еще в двадцатых – начале тридцатых годов ХХ века). Однако свое зримое воплощение они обрели и перестали быть лишь умозрительной гипотезой только в результате открытия структуры ДНК. Эта структура в русском языке получила весьма неудачное, хотя и броское название, – «двойная спираль». Конечно же, нити ДНК сворачиваются отнюдь не в плоскую кривую – спираль, а в винтовую линию (рис. 2 и 3). Этот неудачный перевод английского слова helix, которое иногда может означать и спираль, к сожалению, закрепился в русском языке. Любопытно, что в одной из своих первых статей Френсис Крик прямо сказал о том, какую кривую нужно понимать под этим термином: «Винтовую линию (helix) часто вольно называют спиралью (spiral); различие заключается в том, что винтовая линия обвивается не вокруг конуса, а вокруг цилиндра, как обычно это делает винтовая лестница» (1954 г.). Разумеется, автор здесь допустил некоторую вольность, спираль – это не сама кривая, намотанная на конус, а ее проекция на плоскость, перпендикулярную к его оси. Но статья была опубликована в научно-популярном журнале Scientific American, и такая вольность была допустима. Русский же перевод этой статьи, который стал первым переводом сообщения о структуре ДНК на

26

КВАНТ 2024/№3

устоявшихся стандартов (левые винты обычно используются для каких-либо специальных задач). Напомним, что правым винтом считается та винтовая линия, которая при движении вперед вдоль ее оси закручивается по часовой стрелке. Наиболее стабильная и распространенная форма ДНК (B-форма), с которой работали первые ее исследователи, является правой винтовой линией. Именно так она изображена в статье Уотсона и Крика, вышедшей в апреле 1953 года. Именно эта форма и

Рис. 4. Памятник лабораторной мыши в Академгородке города Новосибирска

русский язык, совершенно упустил это предостережение Крика, представив его довольно странным образом: «имеется в виду спираль, навитая не вокруг конуса, а вокруг цилиндра, подобная винтовой лестнице» (1956 г.). Статья была опубликована в солидном советском журнале, который позже получил название «Журнал Всесоюзного химического общества имени Д.И.Менделеева». Журнал основал выдающийся химик И.Л.Кнунянц, и именно его мужеству и проницательности мы обязаны тем, что эта статья вообще была опубликована в то время, когда упоминать о ДНК, как о материальном носителе наследственности, в нашей стране было не принято. Однако вместе с этой новостью о важнейшем научном открытии, увы, вкралась и эта курьезная ошибка. В последующих переизданиях этой статьи Крика на русском языке даже эти уточнения о форме ДНК полностью исчезли. Однако математические курьезы со структурой ДНК на этом не закончились. Как известно, резьба винта (а ведь это – тоже винтовая линия) может быть левой или правой, хотя в быту мы гораздо чаще сталкиваемся с правыми винтами в силу

Рис. 5. Символический памятник мира и добра

КОНКУРС

ИМЕНИ

стала символом ДНК, который мы сейчас можем встретить при любых упоминаниях о ней. Однако в одной из следующих публикаций, вышедшей чуть позже, осенью 1953 года, коллега и конкурент Уотсона и Крика Морис Уилкинс с соавторами почему-то изобразили левую спираль – хотя в тексте и утверждали, что лишь скорректировали модель Уотсона и Крика. Эта же неточность повторилась в будущем и в художественных изображениях ДНК. Так, десять лет назад в честь 60-летнего юбилея открытия «двойной спирали» в Академгородке города Новосибирска был установлен символический памятник лабораторной мыши (рис. 4). Мышь вяжет на спицах молекулу ДНК, которая сворачивается в левую винтовую линию. Впрочем, может быть, имелась в виду нестабильная левозакрученная Z-форма ДНК. Хотя слишком ровные ее

$А._{П}$ .САВИНА

очертания, далекие от сколь-либо зигзагообразных (отсюда и название – Z-форма), заставляют думать, что все же художника вдохновлял образ «обычной» B-формы. Однако, как уже было сказано, открытие структуры ДНК было одним из наиболее «резонансных» открытий XX века, а сама эта структура стала символом, вышедшим далеко за пределы биологии. Этот образ часто появляется просто как символ жизни. Символический памятник мира и добра (рис. 5) установлен в одном из городских парков России. Заметим, что винтовые линии здесь закручены в правом направлении. Автор благодарен Н.Н.Хромову-Борисову, сообщившему об ошибке Уилкинса, и М.Усейновой, обратившей внимание автора на приведенный здесь памятник мира и добра. Рисунки и фотографии О. и В.Птушенко.

КОНКУРС ИМЕНИ А. П .САВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по $решению^{математических}$ задач. Задания рассчитаны в $основном^{на} учащихся^{начиная}$ с 8–9 $класса,^{а} более^{младшим}$ школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт $kvantik.com).^{Высылайте}$ решения задач, с которыми справитесь, $по^{адресу:} [email protected].^{Кроме} имени^{и}$ фамилии укажите $город,^{школу}$ и класс, в котором учитесь. Мы приветствуем участие в $конкурсе^{не}$ только $отдельных^{школьников,} но^{и}$ команд $(в^{таком}$ случае присылается одна работа со списком $участников).^{Участвовать} можно,^{начиная} с^{любого} тура.^{Победителей}$ ждут дипломы журнала $«Квант»^{и}$ призы. Задания, $решения^{и}$ результаты $публикуются^{на}$ сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

25. Имеется N одинаковых плиток, каждая в форме равностороннего треугольника. Можно ли из всех этих плиток сложить (без дырок и наложений) какую-нибудь трапецию? Дайте ответ для a) N 99; б) N 100; в) для всех N. П.Кожевников

26. В клетки таблицы 10 u 10 вписали числа так, что в каждой строке все 10 чисел разные. Разрешается в каждой строке переставить числа как угодно. Всегда ли удастся сделать это так, что никакие два одинаковых числа не окажутся в разных столбцах? П.Кожевников

27. В одной постоянной компании друзей два года подряд дни рождения наиболее часто приходились на вторник. На какой день недели наиболее часто они могли прийтись в следующем году? С.Токарев

28. На плоскости введены декартовы координаты. Пусть ABC – треугольник с вершинами в целых точках, равнобедренный и имеющий площадь 1 2. Докажите, что он прямоугольный. Е.Бакаев

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2786–М2788а, М2789 предлагались на региональном этапе L Всероссийской олимпиады школьников по математике. Автор задач Ф2793–Ф2796 – С.Варламов.

Задачи М2786–М2789, Ф2793–Ф2796

M2786. По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной еще не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря – чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори? П.Кожевников

M2787. На отрезке XY как на диаметре построена полуокружность и выбрана произвольная точка Z на этом отрезке (рис. 1). Девять лучей из точки Z делят разверну-

Рис. 1

тый угол XZY на 10 равных частей и пересекают полуокружность в точках $A_{1}, A_{2}$, … $, A_{9}$ соответственно (в порядке обхода от X к Y). Докажите, что сумма площадей треугольников $A_{2} ZA_{3}$ и $A_{7} ZA_{8}$ равна площади $четырехугольника_{2}^{A} A_{3}^{A} 7_{8}^{A}$. М.Евдокимов

M2788. а) Правильный треугольник T со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника T, отмечены. Назовем множество из нескольких отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одной прямой, параллельной стороне T. Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств? б) Тот же вопрос, если дополнительно требуется, чтобы каждое линейное множество представляло из себя отрезок отмеченных точек (т.е. если две различные отмеченные точки входят в одно линейное множество, то и все отмеченные точки на отрезке между ними – тоже). И.Богданов

M2789*. Дано натуральное число n! 100. Изначально на доске написано число 1. Каждую минуту Петя представляет число, записанное на доске, в виде суммы двух неравных положительных несократимых дробей, а Вася оставляет на доске только одну из этих двух дробей. Докажите, что Петя может добиться того, чтобы знаменатель оставшейся дроби через n минут не превышал $2^{n} 50$ вне зависимости от действий Васи. М.Дидин

29

ЗАДАЧНИК

Ф2793. В игрушечном луке (рис. 2) энергия накапливается не в изогнутых плечах лука, а в растягивающейся тетиве. Расстояние между концами легкой тетивы, закрепленными на луке, равно L. Жесткость тетивы k. Юный Робин Гуд при стрельбе так натягивает тетиву, что сила натяжения тетивы увеличивается в два раза, а ее концы и место посередине тетивы, которого касается конец стрелы с оперением, находятся Рис. 2 в углах равностороннего треугольника со сторонами L. При запуске стрелы вертикально вверх она взлетает на высоту h 20L. Какова масса стрелы m? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Ф2794. Тонкостенная труба заполнена однородной невязкой и несжимаемой жидкостью, которая в прямом участке трубы далеко от изогнутого участка течет с одинаковой в любом месте поперечного сечения трубы скоростью v. Поперечное сечение трубы в любом месте представляет собой прямоугольник со сторонами A и a, причем $A_{?} a$. Прямой участок трубы переходит в изогнутый участок, и на нем труба имеет вид спирали с шагом a. Внутренний радиус спиральной трубы равен A, а ее внешний радиус равен 2A. Все стенки трубы, имеющие размер a, вертикальны, а на прямом участке трубы широкие стенки трубы горизонтальны. На спиральном участке трубы широкие стенки трубы составляют с горизонтом малый угол M величиной порядка $a 2 S A_{=} 1$. Течение жидкости установившееся во времени и ламинарное. На рисунке 3 показано, как выглядят сечение трубы, прямой и спиральный участки трубы сбоку, а также вид снизу. Как зависит скорость течения жидкости в изогнутом участке трубы (вдали от прямого участка) от расстояния x между точкой, в

«КВАНТА»

Рис. 3

которой измеряется скорость, и осью спирали? Силой тяжести можно пренебречь.

Ф2795. Кольцо имеет радиус R, толщина кольца мала в сравнении с его радиусом, масса кольца m равномерно распределена по его периметру. Кольцо раскрутили вокруг его оси симметрии, положили на шероховатую, коэффициент трения равен P, наклонную поверхность с углом наклона D к горизонту и толкнули его вверх. Ось симметрии кольца перпендикулярна наклонной поверхности. Кольцо всеми точками его периметра прижимается к поверхности. В какой-то момент центр кольца имел нулевую (по отношению к поверхности) скорость и кольцо вращалось с угловой скоростью Z. С каким ускорением движется центр кольца в указанный момент времени? С какой скоростью в этот момент уменьшается угловая скорость вращения кольца?

Ф2796. Очень длинный тонкостенный закрепленный короб сделан из непроводящего ток материала. Поперечное сечение короба – это квадрат со стороной a. На оси симметрии короба находится очень длинный тонкий стержень с равномерно распределенным по его длине электрическим зарядом. Линейная плотность заряда V. К ребру короба прикреплен один конец тонкой непроводящей невесомой и нерастяжимой нити, которая намотана на короб, образуя N одинаковых витков. Плоскости витков перпендикулярны оси симметрии короба. На другом конце нити прикреплен точечный предмет (шарик) с массой m и электрическим зарядом q. В начальный момент этот предмет находится рядом с местом закрепления конца нити на

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Электронные часы показывают время от 00:00 до 23:59. Поезд отправился утром, когда часы показывали время$^{ab}$ $:^{cd}$, а прибыл тогда, когда часы

В каждой клетке таблицы $3^{u} 3$ стоит по одному натуральному числу, причем все девять чисел различны. Известно, что можно вычеркнуть по одному показывали $время^{cd} :^{ab}$. Сколько времени поезд находился в пути, если известно, что он ехал больше 6, но меньше 7 часов? Н.Агаханов такому числу в каждой строчке, что в каждой строчке суммы двух оставшихся чисел будут равны одному и тому же числу x. Также можно вычеркнуть по одному такому числу в каждом столбце, что в каждом столбце суммы двух оставшихся чисел будут равны одному и тому же числу y. Может ли оказаться, что x = y? А.Терёшин

Клетчатый квадрат $27 см^{u} 27$ см (длина стороны клетки 1 см) разрезали на 5 клетчатых прямоугольников одинакового периметра. Могло ли оказаться, что суммарная длина разрезов внутри квадрата равна 82 см? Фольклор

Эти задачи предлагались на муниципальном этапе Всероссийской олимпиады по математике в Московской области.

На столе лежат 90 карточек с числами от 1 до 90. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход можно взять со стола любую карточку. Игра заканчивается, когда на столе останется две карточки. Второй выигрывает, если числа на оставшихся карточках отличаются ровно на 10. Иначе выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре? О.Подлипский

Иллюстрации Д.Гришуковой

Задачи

37

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

написал Петя, цифры, которые будет печатать компьютер по его программе, также начнут периодически повторяться. Итак, компьютер может печатать десятичные разложения только рациональных чисел. Как видите, Петино намерение неосуществимо из-за ограниченности размеров реального компьютера. Если бы число ячеек памяти компьютера было не ограничено, то составить программу для вычисления корня из двух было бы несложно.

Упражнение 10. Для какой последовательности цифр можно сконструировать автомат, имеющий не более 100 состояний, который может ее напечатать?

Однако бывают такие задачи, с которыми не справится и компьютер бесконечных размеров. Такие задачи называют алгоритмически неразрешимыми. Возможно, вы уже имели дело с уравнениями в целых числах и знаете, как трудно бывает найти решение. Это не случайно – как показывает замечательная теорема Матиясевича (см. «Квант» №5 за 1975 г.), задача решения таких уравнений алгоритмически неразрешима. Впрочем, и не прибегая к услугам компьютера, можно продемонстрировать, что даже автоматическое устройство, умеющее выполнять программы любой сложности и длины, все равно не способно решить многие очень просто формулируемые задачи. В этом нам снова поможет идея периодичности. Рассмотрим совсем простой с виду автомат – Чертежник. Он может передвигаться по клетчатому листу бумаги, закрашивая клетки. Будем изображать направление движения Чертежника стрелкой. Для Чертежника допустимы всего три действия: 1. «ЗАКРАСИТЬ» – закрасить клетку. 2. «НАЛЕВО» – повернуться на 90 градусов налево вокруг начала стрелки. 3. «ПРЫГНУТЬ» – перепрыгнуть в центр соседней клетки по направлению стрелки. Кроме того, Чертежник умеет проверять условие «ВПЕРЕДИ КРАЙ». На первый взгляд кажется, что Чертежник еще примитивнее, чем Минотавр: он даже не понимает команду «НАПРАВО». Но простота обманчива. Чтобы привыкнуть к Чертежнику и убедиться в его нетривиальности, попробуйте справиться с упражнениями 10–11.

КРУЖОК

Программы для Чертежника можно записывать в любом удобном для вас виде, используя любые способы записи ветвлений, циклов и подпрограмм. Нельзя только заставлять Чертежника выполнять невыполнимые для него команды (например, «НАПРА- ВО») и проверять непонятные ему условия (например, условие «СЛЕВА КРАЙ»). И что еще очень важно – Чертежник не умеет считать. Он не способен выполнять циклы с параметрами и работать с числовыми (а также с любыми другими) переменными. Если читателю неуютно работать с программой на «произвольном» языке, то будем пользоваться ЧЕР-БЕЙСИКОМ: в каждой строке стоит номер команды и команда только вида GOTO N (перейти к команде номер N), «ЗАКРАСИТЬ», «НАЛЕВО», «ПРЫГ- НУТЬ» или условный переход ЕСЛИ КРАЙ, ТО GOTO N. И если нет перехода, то следующей будет выполняться команда, имеющая следующий номер.

Упражнения

11. Напишите программу для Чертежника, по которой он на любом листе бумаги: а) дойдет до угла листа, куда бы мы его не поместили; б) закрасит все клетки листа; в) отойдет от края листа, если его поместить у края; г) определит, в углу он находится или нет, закрасит угловую клетку, если он в углу, и останется в исходном положении, если нет. 12. Напишите программу для Чертежника, по которой он на любом квадратном листе бумаги: а) начав из положения на рисунке 2, нарисует полосу из k 2 клеток, если k четно, и вернется в исходное положение, ничего не закрасив, если k нечетно; б*) закрасит все клетки квадрата, кроме клеток, содержащих его центр (в зависимости от четности длины стороны листа центр – это одна клетка или четыре клетки).

Рис. 2

40

К В А НT 2024/№3

Прилагательное «модельные» не случайно – это очень похоже на то, что делают естествоиспытатели, отбрасывая часть свойств явления природы, чтобы сделать его обозримым. На часто встречающиеся идеи, «стандартные рассуждения» (например, принцип Дирихле, цикличность) можно смотреть и как на модели ситуаций. Эти модели столь схематичны, что выглядят тривиальными, однако знание таких «тривиальностей» сильно облегчает жизнь.

Упражнения

16. Допустим, что Чертежник умеет не только закрашивать, но и стирать краску с закрашенной клетки (скажем, по команде «СТЕРЕТЬ»). а) Напишите программу для Чертежника, по которой он закрасит центральные клетки и только их. б) Докажите, что нельзя составить программу для «стирающего» Чертежника, по которой он на любом квадратном листе бумаги нарисует систему вложенных квадратов (рис. 5).

Рис. 4

но моделировать с помощью показателей степеней при простых числах – где есть один индекс, там есть и много. Из этого факта можно извлечь алгоритмическую неразрешимость ряда утверждений – например, уже упомянутую теорему Матиясевича. Вы видели, как работает идея цикличности. Хотя она и выглядит довольно просто, задачи, в которых эта идея является основной, не всегда легкие. В чем же здесь дело? Оказывается, что даже очень простые ключевые идеи хорошо знать заранее, иначе их трудно обнаружить среди других идей и технических сложностей. Если ключевая идея неизвестна, а технические сложности присутствуют, то идею надо «добыть», но не прямо, а с помощью других задач. Ведь задача существует не сама по себе, а в окружении ей родственных (даже для решения «одноклеточной» задачи 1 понадобилось рассмотреть последние цифры всех степеней двойки). Поэтому изучают задачи, идейно связанные с данной (так было придумано решение задачи 13 про центр квадрата). Часто для этой цели рассматривают важнейшие частные случаи или другие модельные задачи, в которых трудности присутствуют в «ослабленном виде» и меньше технических сложностей.

Рис. 5

17. Напишите интерпретаторы языков Минотавра и Чертежника.

Обобщение идеи цикличности

Часто встречаются обобщения идеи цикличности. Мы видели, как работает эта идея в «дискретном» случае, когда познакомились только с некоторыми приложениями идеи цикличности, причем с «дискретным» случаем, когда число состояний конечно. Но и в «непрерывном» случае, при бесконечном числе состояний, часто возникает периодичность или, вернее, «почти периодичность», когда состояния повторяются не абсолютно точно, а лишь приближенно. Tак, каждое лето и похоже, и не похоже на предыдущее. Об этом задумывались древние, а мы расскажем в другой раз. Разберем типичный пример.

42

КВАНТ 2024/№3

19**. Пусть a – иррациональное число, а b – произвольное число из интервала 0; 1, q m есть минимум дробной части n ˜ a, где $n <^{m}$ целое. Аналогично, r m есть минимум дробной $части^{b} n ˜^{a}$. Докажите, что q m! r m при бесконечно $многих^{m.} 20.$ а) Докажите, что числа, кратные 2, сколь угодно близко подходят к числам $вида^{n} 1 2$, где n – натуральное. б*) Докажите, что степень двойки может начинаться с любого числа девяток. Указание. Прологарифмируйте по основанию 10 неравенство $0,9^{…} 9$ ˜ $10^{k} 2^{l} 10^{k}$. Воспользуйтесь иррациональностью log 2. в*) С какой вероятностью наугад взятая степень двойки начинается с единицы? г*) Докажите, что найдется такое n, что числа $2^{n}$ и $3^{n}$ одновременно начинаются с цифр $1000...^{21*.}$ Пусть отображение F переводит единичный квадрат K в себя и сохраняет площадь каждого его подмножества. Докажите, что для любого подмножества квадрата U, площадь которого больше нуля, найдется точка x из U такая, что при некотором $n > 0 точка^{F} …^{x}$ … (n раз) тоже принадлежит U. Несколько более общее утверждение называется теоремой Пуанкаре о возвращении. Эта теорема приводит к несколько неожиданному выводу: если в герметичной комнате открыть флакон с духами, то почти наверняка через некоторое время все молекулы пахучего вещества снова соберутся во флаконе (правда, «некоторое» время намного превышает время жизни Вселенной). Доказательство этого факта напоминает рассуждения в задачах про стадо минотавров или кентавров: положение всех молекул примерно так же описывается точкой пространства состояний (фазового пространства), возвращение устанавливается с помощью теоремы Пуанкаре. Часто причина периодичности в природе состоит в том, что если множество состояний ограничено, то два состояния «почти повторятся» и будут еще близки некоторое время. Об этом задумывались еще древние. Статью о возвращении мы закончим возвращением к Екклесиасту: «Восходит солнце, и заходит солнце, и спешит к месту своему, где оно восходит. Идет ветер к югу, и переходит к северу, кружится, кружится на ходу своем и возвращается ветер на круги

свои. Все реки текут в море, но море не переполняется; к тому месту, откуда реки текут они возвращаются, чтобы опять течь… Что было, то и будет; и что делалось, то и будет делаться, и нет ничего нового под солнцем».

• • • Приведем еще несколько задач на рассмотренные темы.

1*. Периодична ли функция y cos $x cos^{5} 2 x cos^{5} 4x cos^{5} 8x$?

2. Может ли сумма двух периодических функций с наименьшими периодами 1 и 2 снова быть периодической функцией? 3**. Общее утверждение: пусть $a_{1}$, … $, a_{n}$ – действительные числа такие, что никакие из них не выражаются через другие с помощью линейной комбинации с рациональными коэффициентами. Тогда для любого набора $0 b_{i} 1$ и любого H! 0 найдется такое L, что при всех i верно неравенство L ˜ a i b i H (для наугад выбранного L это выполнено с вероятностью $H^{n} ). 4.$ Дана бумага в клетку. Через два узла проведены параллельные прямые. Докажите, что в образовавшейся замкнутой полосе лежит бесконечно много узлов сетки. 5. а) Докажите, что если радиус окружности стремится к бесконечности, то расстояние от нее до ближайшей целой точки стремится к нулю. б) К нулю стремится также отношение числа целых точек, попавших на окружность, к ее радиусу. 6. Вдоль коридора института МИМИНО гуляют пять ученых, дойдя до конца коридора, каждый поворачивает назад. Пока Главный проходит коридор один раз, Ведущий проходит два раза, Старший – три, Средний – пять, Младший – семь раз. Докажите, что найдется момент, когда все они движутся к одному концу. 7. Укажите явно такую степень пятерки, что в ее десятичной записи встретится подряд более 1000 нулей. А такую, чтобы встретилась комбинация ровно из 1000 нулей, идущих подряд? 8. Докажите, что найдется степень тройки, которая начинается теми же 1000 цифрами, что и кончается. 9. Даны две прямые, образующие угол M. На одной взята точка M и в этой точке сидит блоха, которая прыгает с одной прямой на другую ровно на 1 см, причем всегда в точку, отличную от предыдущей. Докажите, что если блоха снова оказалась в исходной точке, то число M S рационально. 10. Если косинус угла равен 1 3, то его градусная мера иррациональна. Докажите это. Обобщите задачу.

51

ОЛИМ П ИА ДЫ

Региональный этап L Всероссийской олимпиады школьников по математике

Задачи олимпиады

9 класс

1. У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров 1 u 1, 1 u 2, 1 u 3, …, 1 u 2024 (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из прямоугольников, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1? О.Подлипский

2. На координатной плоскости нарисована парабола $y x^{2}$. Для данного числа k! 0 рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (т.е. все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно k. Докажите, что диагонали всех таких трапеций проходят через одну точку. Н.Агаханов

3. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Для игры в настольный теннис навылет всех жителей острова разделили на две команды A и B, причем в A жителей было больше, чем в B. Начали игру два игрока разных команд; после каждой партии проигравший игрок навсегда выходил из игры и его заменял другой (еще не игравший) член его команды. Проиграла команда, все члены которой вышли из игры. После турнира каждого члена команды A спросили: «Правда ли, что в какой-то игре ты проиграл лжецу?», а каждого члена команды B спросили: «Правда ли, что ты выиграл хотя бы у двух рыцарей?». Все ответы оказались утвердительными. Какая команда победила – A или B? М.Дидин

4. В ряд выписаны по одному разу все натуральные числа от 1 до 1000 в каком-то порядке. Докажите, что можно выбрать не-

сколько стоящих подряд выписанных чисел, сумма которых больше 100000, но не превосходит 100500. С.Берлов

5. Дан равнобедренный треугольник ABC (AB BC). На продолжениях боковых сторон AB и BC за точку B отмечены точки D и E соответственно, а на основании AC отмечена точка F, причем AC DE и ‘ CFE ‘ DEF. Докажите, что ‘ ABC 2 ‘ DFE. А.Кузнецов

6. На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске. И.Богданов

7. На окружности длиной 1 метр отмечена точка. Из нее в одну и ту же сторону одновременно побежали два таракана с различными постоянными скоростями. Каждый раз, когда быстрый таракан догонял медленного, медленный мгновенно разворачивался, не меняя скорости. Каждый раз, когда они встречались лицом к лицу, быстрый мгновенно разворачивался, не меняя скорости. На каком расстоянии от отмеченной точки могла произойти их сотая встреча? И.Богданов

8. На стороне BC остроугольного треугольника ABC выбраны точки P и Q так, что BP PQ QC. Точки X и Y выбраны соответственно на отрезках AC и AB так, что PX A AC и QY A AB. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC равноудалена от прямых XQ и YP. А.Матвеев

9. См. задачу М2788 «Задачника «Кванта».