Квант 2024, №4 · Страницы

9

ОТКРЫТЫЕ И З АМКНУТЫЕ…

состоящими из бывших клеток одревесневшего ствола дерева. Движение по сосудам ксилемы происходит вверх. Для дальнейшего роста и развития необходимо распространение органических веществ по всему дереву. Эти органические вещества образуются в листьях при фотосинтезе, при этом разные длины волн падающего на лист света приводят к образованию углеводов – красная часть спектра и аминокислот и белков – синяя часть спектра. А само перемещение продуктов фотосинтеза происходит по сосудам флоэмы. Восходящий и нисходящий потоки разделены слоем камбия – клеток, которые делятся в течение всей жизни дерева. Камбий дает жизнь клеткам как ксилемы, так и флоэмы. Деление клеток камбия, замирающее только зимой, образует годовые кольца, которые видны на срезе ствола (см. рис. 1). Камбий и прилегающие к нему слои ксилемы и флоэмы представляют собой наиболее активные части ствола дерева. Вместе с листьями и корневыми волосками они образуют единый организм, обеспечивающий рост и развитие дерева. По мере удаления от камбия внутрь ствола проводящие свойства ксилемы постепенно утрачиваются, и она превращается в прочную сердцевину. А при удалении во внешнюю часть флоэма превращается в кору, выполняющую в основном защитные функции. Поскольку ствол дерева со временем утолщается, кора на растущем стволе дерева должна постепенно растрескиваться. Особенности дерева, как открытой системы, это непрерывный рост (и утолщение ствола) в течение всей жизни, ежегодное сбрасывание листьев (хвои) и обновление корневых волосков. Часть продуктов жизнедеятельности дерева накапливается в его сердцевине. Своеобразное замыкание такой открытой сосудистой системы деревьев происходит на нескольких уровнях и, тем самым, связывает элементы дерева в единый организм. Первый – на уровне питательных веществ. Надземные органы (ствол, ветви, листья, почки) нуждаются в минеральных веществах и воде из почвы, которые всасываются корнями. А корни нуждаются в

продуктах фотосинтеза, происходящего в листьях. Если этот обмен недостаточен, то замедляется рост, сокращаются и уменьшаются в размерах ветки и листья, число плодов… Второй – с помощью гормонов. В этом проявляется некоторое сходство с животным миром, хотя количество фитогормонов меньше и их функции у растений проще. Фитогормоны участвуют в процессе роста и ростовых движений растения, при стрессах, в явлениях цветения, развития плодов, сбрасывания листьев… Имеется несколько гормонов, активирующих рост растения. Два основных фитогормона роста синтезируются в корнях, это цитокинин, и в развивающихся почках и листьях, это ауксин. Цитокинин перемещается по ксилеме от корней наверх дерева, а ауксин, наоборот – от верхушек побегов по флоэме вниз к корням дерева. Эти гормоны и их взаимодействие фактически связывают дерево в единый организм, давая возможность дальнейшему развитию как верхней, так и нижней части дерева. При этом важно присутствие обоих гормонов и баланс между ними. Так, цитокинин вызывает деление клеток только в присутствии ауксина. Еще один гормон роста – гиббереллин – образуется как в листьях, так и в корнях и переносится по сосудам и ксилемы, и флоэмы. Его роль – удлинение стеблей. Камбий расположен между ксилемой, по которой цитокинины перемещаются вверх по стволу, и флоэмой, по которой ауксины движутся вниз. Это приводит к тому, что при избытке цитокинина происходит преимущественное образование флоэмы, а при избытке ауксинов – ксилемы. Есть несколько фитогормонов, которые наоборот подавляют рост. Это важно, например, осенью, когда их накопление переводит клетки почек в состояние покоя. А весной уменьшение их содержания пробуждает рост почек. При стрессах растений (в результате обезвоживания, холода и др.) действие таких гормонов затормаживает процессы обмена и защищает клетки от гибели. Осенью эти гормоны приводят к листопаду и опаданию плодов.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2790–М2792 предлагалась на XLV Турнире городов. Задачи Ф2797–Ф2800 предлагались на 85-й Московской олимпиаде школьников по физике.

Задачи М2790–М2793, Ф2797–Ф2800

M2790. Докажите, что среди вершин любого выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника. А.Юран

M2791. В каждой клетке таблицы N u N записано число. Назовем клетку C хорошей, если в какой-то из клеток, соседних с C по стороне, стоит число на 1 больше, чем в C, а в какой-то другой из клеток, соседних с C по стороне, стоит число на 3 больше, чем в C. Каково наибольшее возможное количество хороших клеток? А.Чеботарев

M2792. В ряд стоят 9 вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две не находятся на одной высоте. Жук ползет снизу вверх; встречая палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх. Известно, что если жук начинает внизу первого (самого левого) столбика, то он закончит свой путь на девятом (самом правом) столбике. Всегда ли можно убрать одну палочку так, чтобы жук в конце пути оказался наверху пятого столбика? (Например, если палочки расположены как на рисунке 1, жук будет ползти по сплошной линии. Если убрать третью

Рис. 1

палочку на пути жука, дальше он поползет по пунктирной линии.) Г.Караваев

M2793*. В остроугольном треугольнике ABC (AB AC) точка O – центр описанной окружности: (рис.2). Пусть касательная к:, проведенная в точке A, пересекает прямую BC в точке D. Пусть прямая DO пересекает отрезки AB и AC в точках E и F соответственно. Точка G построена так, что AEGF – параллелог-

:

Рис. 2

21

ЗАДАЧНИК

емом случае движения света в атмосфере свойства среды изменяются не резко, а плавно. Вместе с изменением плотности воздуха по мере приближения к поверхности Земли изменяется и направление вертикали, в котором плотность изменяется наиболее быстро (т.е. вертикали в разных местах траектории луча света не являются параллельными линиями). Если, например, считать, что толщина слоя атмосферы на Земле составляет примерно 32 км (на этой высоте плотность воздуха составляет примерно 1% от плотности воздуха вблизи поверхности Земли на уровне моря), то при величине радиуса Земли примерно 6400 км длина пути света, падающего по касательной к поверхности Земли, от места входа в атмосферу до поверхности Земли составляет (без учета рефракции) примерно 640 км. При этом вертикали для места входа в атмосферу и в месте касания лучом света поверхности Земли составляют совсем не малый угол – примерно 0,1 рад, или около 5,7q. При учете явления рефракции длина пути будет еще больше, и рассматриваемые вертикали будут образовывать еще больший угол. Эксперименты, проводимые в нормальных условиях, показывают, что видимая на самом горизонте (высота над горизонтом 0q ) звезда на

«КВАНТА»

самом деле уже опустилась ниже горизонта примерно на 35 угловых минут. Иными словами, мы, находясь на поверхности Земли, видим светящиеся космические объекты, находящиеся в телесном угле, большем 2S. Если бы Земля была плоской и над ней была бы атмосфера с такой же плотностью вблизи поверхности, как у настоящей Земли, то в этом случае мы видели бы светящиеся объекты, расположенные в телесном угле, равном 2S. При этом нам бы казалось, что угол, под которым они нам видны, меньше 2S, т.е. свет космических объектов приходил бы к нам (находящимся на поверхности Земли) по направлениям, которые с горизонтом образуют угол не меньше угла рефракции. Оценим величину такого угла для плоской Земли. Коэффициент преломления света в воздухе при нормальных условиях равен примерно n 1,00028. Согласно закону преломления, отношение синусов углов падения и преломления равно отношению скоростей света в соответствующих средах. Отсюда следует, что минимальный угол с горизонтом, который образуют лучи света, пришедшего от объектов вне атмосферы, для плоской Земли будет равен arccos 1 n | 1,35 q 81 угл.мин. Ниже приведена взятая из интернета таблица, в которой указаны видимая угловая высота точечного источника света (звезды) с по-

Мы и модели

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Л.АШКИНАЗИ

ЗАДАЧ, ИМЕЮЩИХ ОТНОШЕНИЕ К физике, так много, что хочется их классифицировать. Например, можно разделить их на «задачи по физике» и «физические задачи». Первые – это те задачи, которые есть в задачнике, предлагаются на экзамене или на олимпиаде. Вторые – это те задачи, которыми занимается, скажем так, «практикующий физик». Такое деление не вполне строгое. Так, есть два задачника – Джирла Уокера и Петра Леонидовича Капицы, в которых существенная часть задач вполне заслуживала внимания физиков, в том числе авторов задачников. Другое дело, что для них эти задачи не были, скажем так, Серьезными Научными Задачами, а были, скорее, приятным развлечением. Но если приглядеться к ним повнимательнее, то мы увидим в этих задачах важную черту, которая объединяет их с теми самыми всерьез серьезными. С ними вы встретитесь, когда войдете в эту великую игру – Физику. На первый уровень. Эта черта – не очевидность модели. Решая любую задачу, мы что-то учитываем, а чтото нет. Школьные задачи таковы, что мы всегда знаем, что именно можем учитывать, поскольку кроме задачника есть учебник и там все написано. В серьезной физике это не так, мы ничем не ограничены – кроме нашего сегодняшнего знания. Однако есть традиции, и при рассмотрении, например, движения Земли или Луны мы не учитываем давление солнечного света, и даже это не обосновываем. Но при меньших размерах объекта это давление придется учитывать – хотя оно и стало меньше. (Кстати, как вы думаете, при каких размерах? Попробуйте посчитать.) Упрощения, которые мы используем, можно разделить на две группы. Первые чаще встречаются в школьных задачах, они радикально упрощают решение задач, причем не

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240405

приводят к принципиальным противоречиям. Примеры общеизвестны – пренебрежение сопротивлением воздуха при движении тела в атмосфере, постоянство удельного сопротивления, независимость трения от давления и скорости, равенство максимального трения покоя и трения скольжения, идеальность газов, жесткость опор, нерастяжимость и невесомость веревок и так далее. Все эти примеры вы сами знаете, а перебрав в памяти задачи, которые решали, вспомните и другие. Некоторые из «школьных» упрощений могут быть совсем легко преодолены. Например, если не равны максимальное трение покоя и трение скольжения – ничего сложного. Иногда возможно рассмотрение какогото частного случая, иногда – построение компьютерной модели. Такая работа с упрощениями полезна для небольшого, но принципиально важного расширения кругозора. Среди школьных упрощений есть такие, которые в принципе нарушают логическую связность курса физики. Так, можно спросить, почему мы не учитываем излучение энергии при решении задач с коммутацией (переключением) или при рассмотрении колебательного контура, хотя об излучении

29

ФИЗИЧЕСКИЙ

ускоренно движущихся зарядов в учебнике упоминается. Или вот – почему мы на учитываем ни давление атмосферы, ни Архимедову силу при определении реакции опоры (взвешивании)? И еще – почему мы не учитываем перепад давления по высоте при рассмотрении гидравлических задач (сообщающиеся сосуды разного сечения, два поршня)? Иногда ответ будет выглядеть так: учесть это трудно, но на практике эффект мал, вот его и не учитывают. Но иногда мы так легко не отделаемся, рассмотрение требует решения сложной задачи. Упрощения второй группы, «взрослые», иногда оказываются вполне серьезными задачами, однако даже рассмотрение их постановки может быть полезно и интересно. Вот несколько примеров с краткими комментариями. Почему мы прикладываем гравитационную силу mg в центре тяжести, т.е. в точке? Во-первых, точки бывают только в математике, в физике их не бывает. Во-вторых, при приложении конечной силы к маленькой площадке возникают большие механические напряжения. Например, при приложении mg к центру тяжести человека, причем даже не к точке, а к площадке, скажем, в $1 мм^{2}$, механические напряжения будут больше предела прочности. И эта «точка» прорежет ваше туловище и со свистом устремится к центру Земли. А туловище, лишившись веса, перестанет давить на пол, пол и ваши ноги разожмутся, и вы неспешно полетите вверх. (Кстати, это простая задача – с какой скоростью полетите?) Разумеется, не к точке приложены и реакция опоры, и сила трения, и капиллярные силы. Этим последним повезло – рисуя капилляр, их изображают все-таки две, а не одну, как бедную силу гравитации. Почему бы не рассмотреть, что такое распределенные силы? Кстати, у строителей и специалистов по сопротивлению материалов, которые живут и мыслят балками, фермами и мембранами, предложение приложить собственный вес элемента в центре тяжести вызовет смешок. На самом деле ситуация такова – есть задачи, где модель «сила приложена к точке» позволяет получить правильный ответ. Но есть и другие задачи. Пример попроще – радиоактивный распад, когда дело идет к концу. Вот остались

ФАКУЛЬТАТИВ

три атома, время полураспада истекает, и перед ними задача гамлетовского накала трагизма – распасться должны полтора. Кто выделит свою половину для этого акта самопожертвования? Догадаетесь ли вы, что в рамках одной задачи можно использовать два языка (второй – теория вероятности). Вообще, когда какая-то функция приближается к чему-то асимптотически, это тревожный сигнал. Например, функция распределения молекул газа по скоростям, т.е. распределение Максвелла. Судя по формуле в учебнике, она нигде не ноль, приближение к оси абсцисс асимптотическое. Следует ли из этого, что в атмосфере есть молекулы, летящие быстрее скорости света? Наверное, нет. (Но почему?) Попутно заметим, что стандартное решение уравнения теплопроводности (уравнение Фурье) приводит к бесконечной скорости распространения тепла. Тем не менее, этому уравнению два века, и оно еще пока никого не подводило. Но это еще и пока. Изменение условий эксперимента, расширение диапазона величин, с которыми работают физика и инженерия, могут привести к необходимости расширения и уточнения любой модели. Развернутая теория теплопроводности «за пределами Фурье» была построена несколько лет назад (Журнал технической физики, 2021, № 1, с. 5). А как у вас с законом Гука, все в порядке? Он вам по ночам не снится, не жалуется на некорректность модели? Деформация упруга, зависимость деформации от силы на пути туда и обратно одинаковы, значит, работа, вкладываемая в деформацию, вся может быть извлечена на обратном пути. Это простенькое рассуждение противоречит – не упадите в обморок – закону сохранения энергии. Дело в том, что пружины при работе греются, так что с энергией все в порядке, есть тонкости у закона Гука, причем в начале координат (Письма в Журнал технической физики, 1999, № 17, с. 29 и 2018, № 15, с. 80). Ну, и в заключение обратимся к электростатике. Любой школьник охотно подтвердит, что в электростатике, когда нет токов, если проводник зарядить, то заряды расположатся на его поверхности. Причем если это шарик, то плотность зарядов будет постоянна. Возникает естественный вопрос –

XLV Турнир городов

О ЛИМПИА ДЫ

Задачи весеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы

$1 (4).^{1}$ Если Вася делит пирог или кусок пирога на две части, то всегда делает их равными по массе. А если делит на большее число частей, то может сделать их какими угодно, но обязательно все разной массы. За несколько таких дележей Вася разрезал пирог на 17 частей. Могли ли все части оказаться равными по массе? (Объединять части нельзя.) Б.Френкин

2 (4). Шахматную доску 8 u 8 перекрасили в несколько цветов (каждую клетку – в один цвет). Оказалось, что если две клетки – соседние по диагонали или отстоят друг от друга на ход коня, то они обязательно разного цвета. Какое наименьшее число цветов могло быть использовано? М.Евдокимов

3 (5). Пять равносторонних треугольников расположены так, как показано на рисунке 1. Три больших треугольника равны

Рис. 1

между собой и два маленьких тоже равны между собой. Найдите углы треугольника ABC. Е.Бакаев

4 (5). Два пирата делят 25 золотых монет разного достоинства, выложенные в виде квадрата 5 u 5. Пираты по очереди берут по одной монете с краю (монету можно взять,

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за пункты одной задачи суммируются).

если или слева, или справа, или снизу, или сверху от нее нет другой). Верно ли, что первый пират всегда может действовать так, чтобы гарантированно получить хотя бы половину суммарной добычи? М.Евдокимов

5 (6). Есть N удавов, их пасти имеют размеры 1 см, 2 см, …, N см. Каждый удав может заглотить яблоко любого диаметра (в см), не превосходящего размер его пасти. Но по внешнему виду нельзя определить, какая у кого пасть. Вечером смотритель может выдать каждому удаву сколько хочет яблок каких хочет размеров, и за ночь удав заглотит все те из них, что влезают ему в пасть. Какое минимальное количество яблок суммарно смотритель должен вечером выдать удавам, чтобы утром по результату он гарантированно определил размер пасти каждого удава? Т.Казицына

10–11 классы

1 (3). В последовательности действительных чисел $a_{1}, a_{2},^{…}$ каждое число, начиная с третьего, равно полусумме двух предыдущих. Докажите, что все параболы вида $y x^{2} a_{n} x a_{n} 1$ (где n 1, 2, 3, …) имеют общую точку. М.Евдокимов

2 (4). Произвольный прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники так, как показано на рисунке 2. В каждый треугольник вписан квадрат со стороной, лежащей на гипотенузе. Что больше: площадь самого большого квадрата или сумма площадей трех остальных квадратов? М.Евдокимов

Рис. 2

отрезка для наглядности показывает игрока, который сделал ход). Можно заметить, что после любого следующего хода первого игрока второй сможет захватить квадрат. Эта игра известна во многих странах под различными названиями. Впервые ее правила опубликовал французский математик Эдуард Люка еще в 1889 году. 4. Лягушки и жабы. На 2n + 1 клетках по прямой линии $расположены^{n}$ лягушек $и^{n}$ жаб, между которыми одна пустая клетка (рис.3). Лягушки слева, жабы справа.

Рис. 3

Лягушки могут перемещаться только вправо: либо в соседнюю клетку, если она пустая, либо перепрыгнуть через одну жабу или одну лягушку на пустую клетку. Аналогично для жаб, но они перемещаются только влево. Цель игры – поменять лягушек и жаб местами. Ходы не обязательно должны чередоваться между лягушками и жабами. Задача 1. Докажите, что эта игра-головоломка всегда имеет решение. Найдите число ходов. Напрашивается обобщение этой игры. Что если у нас m жаб $и^{n}$ лягушек? Задача 2. Докажите, что и обобщенная головоломка имеет решение, и найдите число ходов. Сколько решений имеет эта головоломка? Обозначим ход буквой Ш, если это перемещение в соседнюю клетку, и буквой П, если это прыжок. Запишем последовательность ходов, приводящую к выигрышу. Например, в случае двух жаб и двух лягушек:

ШПШППШПШ

Заметим, что получившаяся строка ходов является палиндромом [3]. Задача 3. Докажите, что это верно для произвольного числа жаб и лягушек. Задача 4. Верно ли, что выигрышная последовательность ходов будет являться палиндромом и для $случая^{m} z^{n}$? Еще одно обобщение этой головоломки – двумерное поле (рис.4). Теперь лягушки двигаются только вправо или вниз, жабы могут двигаться только влево и вверх.

Рис. 4

Земноводное может перепрыгивать через соседа при условии, что квадрат, на который оно попадает, пуст. Цель головоломки снова состоит в том, чтобы заставить лягушек и жаб поменяться местами. Задача 5. Докажите, что двумерная головоломка имеет решение. Есть другой вариант игры «Жабы и лягушки», предложенный математиком Ричардом Гаем. В этой игре жабы и лягушки снова расположены по прямой, но свободных клеток может быть много, разрешенные ходы те же, только в эту игру надо выиграть. Проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Позициям в такой игре можно присвоить значения. Иногда они являются привычными нам числами, а иногда – другими, более сложно устроенными сущностями. Попытка детального анализа подобных игр неожиданно приводит к интересной и сложной теории. Подробное обсуждение можно найти в книге [4] и сборнике [5].

Литература

1. Шашки Ласкера. – «Квант», 1970, №4, с.59. 2. Игра «йога». – «Квант», 1978, №9, с.64. 3. https: www.cut-the-knot.org SimpleGames FrogsAndToads.shtml 4. E.R.Berlekamp, J.H.Conway, R.K.Guy. Winning ways for your mathematical plays. Vol.1. – A K Peters/CRC Press, 2001. 5. Дж.Конвей и др. Человек, который играл в математику. – М.: МЦНМО, 2023.

Материал подготовил Н.Панюнин