Квант 2024, №7 · Страницы

8

КВАНТ 2024/№7

начнется реакция

$H_{1}^{2} He_{2}^{3} o He_{2}^{4} p 8,35$ МэВ

(энергетически более эффективная реакция дейтерия и трития не подходит из-за малого периода полураспада трития). 2. Необходимо осуществить управление пространственной конфигурацией термоядерной плазмы так, чтобы обеспечить ее термоизоляцию от материала стенок реактора и сформировать поток вещества в нужном направлении. Определенные перспективы в решении этих вопросов дают магнитные методы удержания и электромагнитного нагрева плазмы. Не вдаваясь в детали возможных физико-технических подходов в решении двух обозначенных проблем с помощью электромагнитных полей, отметим самое важное достоинство потенциальных термоядерных ракетных двигателей. По прикидкам специалистов эти двигатели смогут обеспечить истечение плазменной струи со скоростью около 50000 км c, вполне подходящей для полетов к ближайшим звездам. Значение этой скорости в основном определяется температурой внутри термоядерного реактора, а именно корнем квадратным из этой температуры. В этом отношении термоядерные ракетные двигатели похожи на жидкостно-реактивные, где скорость истечения реактивной струи также пропорциональна корню квадратному из температуры газа. Экзотическим вариантом термоядерного двигателя могут быть двигатели, основанные на подрыве миниатюрных водородных бомб. Идея такого двигателя была впервые высказана в 1950–1960-х годах в проекте «Орион». В основу гипотетического двигателя «Ориона» была положена идея использования импульсов отдачи, порождаемых взрывами маломощных атомных бомб. Для того чтобы такой импульс работал, бомбы должны взрываться недалеко от массивной плиты, находящейся в хвосте ракеты. Причем ядерный заряд должен был сконструирован так, чтобы звездолет принял на себя значительную долю импульса взрыва.

Не останавливаясь на технических проблемах, связанных с реализацией проекта «Орион» и более поздних термоядерных проектов, отметим главный вывод. Взрывные термоядерные ракетные двигатели способны разгонять космические корабли лишь до скорости в 15000 км с. Это высокая скорость, но ее явно недостаточно для реальных межзвездных полетов. В таких взрывных звездолетах значения конечной и начальной масс ракеты будут сильно разниться, так как фактически вся масса будет использована на разгон. Эта же проблема присуща и плазменным термоядерным двигателям, но для них соотношение начальной и конечной масс звездолетов значительно приемлемее. Так что можно будет не только разогнать плазменный термоядерный звездолет, но и обеспечить благоприятный режим торможения для всего корабля или его отдельного модуля. Одним из решений этой проблемы недостатка топлива на термоядерных звездолетах может стать прямоточный термоядерный двигатель Бассарда. В этом двигателе в качестве термоядерного топлива предлагается использовать межзвездное вещество, которое в основном состоит из атомов водорода. В силу очень малой концентрации межзвездного вещества, для создания в термоядерном реакторе нужной концентрации протонов придется улавливать космический водород на большой площади с помощью специальной воронки. Оценки показывают, что внешний диаметр этой воронки может достигать сотен и тысяч километров. Это означает, что звездолеты Бассарда должны быть гигантских размеров, медленно разгоняющиеся под действием небольшой реактивной тяги. Фотонные ракеты. Данные рисунка 2 показывают, что только ракеты, у которых истечение вещества из двигателя происходит на скоростях больше 100000 км с, являются наиболее приемлемыми для межзвездных полетов. К сожалению, на сегодня не известны физические процессы, которые позволили бы придать обычному

9

МЕЖЗВЕЗДНЫЕ

ПОЛЕТЫ:

Рис. 3. Общий вид фотонной ракеты

рабочему веществу ракетных двигателей подобную скорость. Правда, есть одно исключение – свет. Ему не надо придавать световую скорость, он существует только в движении и его скорость в вакууме в 300000 км с является предельной для вещества. Нетрудно придумать конструкцию, в которой импульс отраженного света выступает в роли реактивной силы. Это могут быть световые потоки, созданные на самом звездолете, например с помощью источника света в фокусе параболического зеркала, или световые потоки, направляемые на светоотражаю-

Рис. 4. Возможный вид парусника StarChip

МЕЧТЫ

И

РЕАЛИИ

щий парус звездолета извне. Конструкции первого типа получили название «фотонная ракета» (рис. 3), конструкции второго типа получили название «световой парус» (рис. 4). Для того чтобы фотонный звездолет оказался эффективным средством межпланетных перелетов, необходим постоянно действующий источник фотонов гигантской мощности. Таким источником светового давления может быть только аннигиляция вещества и антивещества. Для других физических механизмов выход световой энергии и создаваемое световое давление на порядки меньше при одних и тех же затратах массы топлива. Как отмечалось в начале статьи, получение антивещества в больших количествах является неразрешимой задачей. Для этого придется потратить энергии больше, чем ее удастся получить в виде света. Все это делает проекты фотонных ракет чистой фантазией. Значительно более реальными являются запуски к звездам миниатюрных звездолетов-парусников с помощью мощных источников света, находящихся на земле или в космосе. Такие миниатюрные космические парусники планируется отправить к ближайшим звездам в рамках проекта «Прорыв к звездам» – Breakthrough Starshot. Сам парусник (рис. 4) будет состоять из нанозонда StarChip массой 1 г и сверхлегкого паруса массой 1 г и площадью $16 м^{2}$. Для разгона StarChip будет использован комплекс лазеров мощностью 100 ГВт. Сконцентрированные на парусе лазерные лучи должны, по мысли ученых, обеспечить ускорение парусника в 10000g и разогнать его до скорости от 15% до 20% скорости света за пять минут. На такой скорости парусники StarChip смогут достичь ближайшей звезды Аль-

Сергей Петрович Новиков

(20.03.1938 – 06.06.2024)

6 июня 2024 года ушел из жизни выдающийся математик, академик Российской академии наук, многолетний член редакционной коллегии и редакционного совета журнала «Квант», первый заместитель главного редактора журнала «Квант» (1990 – 2007). Сергей Петрович родился в семье знаменитых математиков: его отец, академик Петр Сергеевич Новиков, был крупнейшим специалистом в области теории множеств, математической логики, теории алгоритмов и теории групп, его работа о единственности обратной задачи потенциала открыла важное направление прикладной математики, а мать, профессор Людмила Всеволодовна Келдыш, известна в математическом мире своими работами по геометрической топологии и теории множеств, в которых она дала решение ряда труднейших проблем в этих областях. Дед Сергея Петровича по матери, Всеволод Михайлович Келдыш, всеми отечественными энциклопедиями отмечен как создатель русского железобетона, а дядя, родной брат матери, Мстислав Всеволодович Келдыш, был крупным специалистом в области прикладной математики и долгие годы возглавлял Академию наук СССР. Старший брат С.П.Новикова, Леонид Вениаминович Келдыш, был выдающимся физиком-теоретиком, специалистом в области физики твердого тела, физики полупроводников, квантовой радиофизики. Сергей Петрович Новиков – всемирно известный ученый, основоположник ряда современных областей геометрии, топологии, теории динамических систем, квантовой теории поля, физики твердого тела. Одним из высших достижений С.П.Новикова является доказательство топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина (1965) – фундаментальный результат, во многом определивший дальнейшее развитие топологии. Прорывные результаты, создавшие новые направления алгебраической и дифференциальной топологии, были получены Сергеем Петровичем в теории кобордизмов и теории гладких структур на многообразиях. Эти работы были удостоены Ленинской премии (1967) и медали Филдса – высшей награды Международного математического союза (1970).

16

КВАНТ 2024/№7

Мировое признание получил вклад С.П.Новикова в математическую и теоретическую физику. Он основоположник метода конечнозонного интегрирования нелинейных уравнений математической физики, алгеброгеометрического подхода в теории солитонов, создатель теории многозначных функционалов действия (теории Морса–Новикова). Им открыты топологические явления в нормальных металлах в условиях сильного магнитного поля. За вклад в науку С.П.Новиков удостоен Большой золотой медали имени М.В.Ломоносова – высшей награды РАН (2020), Золотой медали имени Леонарда Эйлера РАН (2012), Золотой медали имени Н.Н.Боголюбова РАН (2009), Премии имени Н.И.Лобачевского РАН (1980). Он был избран почетным членом многих иностранных академий и научных обществ. С.П.Новиков был главным редактором журнала «Успехи математических наук» (1988– 2023), президентом Московского математического общества (1985–1996). С.П.Новиков – создатель выдающейся научной школы, автор фундаментальных монографий и учебников. Большое влияние на развитие науки продолжают оказывать поставленные С.П.Новиковым проблемы и выдвинутые им гипотезы. В течение более 40 лет педагогическая деятельность Сергея Петровича была неразрывно связана с кафедрой высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского государственного университета, которой он заведовал с 1982 года до конца своей жизни. С.П.Новиков был одним из инициаторов создания Независимого московского университета, играющего важную роль в российском математическом образовании. Большое внимание С.П.Новиков уделял и проблемам школьного образования. Сергей Петрович сделал многое для привлечения в журнал «Квант» в качестве авторов как молодых, так и уже хорошо известных активно работающих математиков. Память о великом ученом, педагоге и замечательном человеке навсегда останется в наших сердцах.

Теоретическая физика и современная математика

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИР

С.НОВИКОВ

Теоретическая физика всегда рассматривалась в некотором смысле как математика реального мира, как основной источник математических идей начиная с XVII века, как основная движущая сила для

Из книги «Математическая составляющая» (2-е издание).

90% математиков и основная связующая нить между математикой и остальными естественными науками. В XX веке теоретическая физика достигла своего наивысшего расцвета, она стала главной точной наукой. Великие лидеры теоретической физики были способны использовать, а иногда и создавать очень глубокие абстрактные математические теории, когда это было нужно для исследования реальности. Язык математики и техника теоретической физики были специально разработаны как наилучшие математические инструменты для исследования проблем реального мира. Были открыты новые законы природы, в наши дни на их основе разработаны новые технологии невероятной практической эффективнос-

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ти, и это навсегда изменило наш мир. На протяжении нескольких столетий задача решения (интегрирования) дифференциальных уравнений, описывающих явления природы, была центральной во взаимодействии физики и математики. Всем известно, какую роль сыграла решенная Ньютоном знаменитая проблема двух тел в развитии математических методов физики. В течение долгого времени после этого нахождение точного аналитического решения дифференциальных уравнений оставалось основным инструментом математической физики: если задача была или выглядела слишком трудной, то надо было ее упростить, а затем искать точное решение. Много усилий было потрачено на поиск специальных «интегрируемых случаев» таких знаменитых задач, как, например, задача о движении волчка. Ради этого в XIX веке открывали и разрабатывали все математические методы, включая степенные и тригонометрические ряды, интегральное преобразование Фурье–Лапласа, комплексный анализ, соображения симметрии. Иногда эти методы приводили к замечательным отрицательным результатам – доказательствам того, что та или иная модель неразрешима в принципе. В XIX веке были открыты некоторые странные интегрируемые случаи, в которых никакой очевидной симметрии не просматривалось: интегрируемость геодезического потока на двумерных эллипсоидах в трехмерном евклидовом пространстве (Якоби), движение волчка со специальными параметрами в постоянном поле сил тяжести (Ковалевская) и некоторые другие. Какая же скрытая симметрия стоит за всем этим? Ответ был неясен до появления теории солитонов. Солитоны (или уединенные волны) на воде были известны еще в XIX веке, но с появлением первых компьютеров в 1960-х годах стали возможны численные эксперименты, показавшие новые замечательные свойства этих нелинейных волн. Их математическое объяснение привело к созданию теории интегрируемых солитонных моделей, связавшей различные разделы

МИР

математики и физики. В этом ряду: нелинейные волны в сплошной среде (включая теорию плазмы и нелинейную оптику); квантовая теория, теория рассеяния и периодические кристаллы; гамильтонова динамика; алгебраическая геометрия римановых поверхностей и абелевых многообразий (тета-функции). Выдвину следующий тезис: значительная часть наиболее важных открытий в математике и математической физике была сделана в процессе развития теории интегрируемых моделей. В 70-е годы XX века в сотрудничестве математиков и физиков произошли важные сдвиги. Например, с помощью результатов топологии были объяснены важные экспериментальные наблюдения, ждавшие этого в течение полувека. В начале 80-х физики были единодушны в том отношении, что главное, что физики взяли из математики за последние 10 лет, – это топология. В то же время в топологии начали применять открытия, сделанные физиками. Напомним, что из теории автодуального уравнения Янга–Миллса выросла теория инстантонов с ее замечательными приложениями к четырехмерной топологии. Теория уравнения Янга–Бакстера привела к теории полиномов Джонса в теории узлов. Знаменитые двумерные конформные теории поля дали множество интегрируемых моделей, также представляющих собой новые алгебраические объекты, имеющие глубокие связи с теорией солитонов и квантовыми группами. В последнее десятилетие, уже в XXI веке, математические идеи, пришедшие от теоретических физиков, оказали большое влияние на развитие алгебраической геометрии. Взаимодействие математики и теоретической физики не прекратилось, достижения каждой из этих наук обогащают и другую. В заключение хочу обратиться с пожеланием к молодым математикам: расширяйте спектр посещаемых научных семинаров и по математике, и по физике. Набирайтесь понимания, которое проявится, пусть и со временем.

19

ЗАДАЧНИК

Рис. 2

Коэффициент трения гаечки о плоскость P tg D, где D – угол трения (т.е. угол наклона, при котором начинается скольжение). Находящуюся в плоскости гаечку P отклоняют от линии OB, называемой линией наибольшего ската или линией наибольшего уклона, и отпускают без начальной скорости. На какой максимальный угол $M_{max}$ можно отклонить гаечку от линии наибольшего ската так, чтобы она не начала двигаться после того, как ее отпустят? А.Буров

Ф2811. Если при комнатной температуре ( 20 q C ) накачать в бутылку с прозрачными мокрыми изнутри стенками наружный воздух до давления, например, 2,33 атм, подождать некоторое время, чтобы внутри установились температура и давление насыщенного пара воды (2,33 кПа при 20°С), а затем открыть бутылку, то в ней сразу после вылета пробки и части содержимого появляется туман. Какая в этот момент будет температура содержимого (в центре бутылки)? Необходимые данные о воде, в частности о зависимости давления насыщенного пара воды от температуры, можно найти в физических справочниках. Б.Туманов

Ф2812. Трехфазный трансформатор имеет Ф-образный железный сердечник и три одинаковые обмотки с одинаковым количеством витков. Железо сердечника не насыщается и обладает очень большой и постоянной магнитной восприимчивостью. Если подать переменное напряжение с амплитудой $U_{0}$ на ту обмотку, которая охватывает срединный магнитопровод, то с любой другой обмотки снимается напря-

«КВАНТА»

жение половинной амплитуды. Если же подать такое же напряжение на одну из боковых обмоток, то на срединной обмотке напряжение будет равно $0,55U_{0}$. 1) На одну из обмоток подали напряжение U sin Z t, а на другую 2 U cos Z t. Какое напряжение снимается с третьей обмотки? (Вариантов несколько, укажите все возможные.) 2) Если с помощью этого трансформатора попытаться получить максимальное по амплитуде напряжение при наличии источника переменного напряжения с амплитудой $U_{0}$, то какой будет амплитуда этого напряжения? Нарисуйте схему подключения трансформатора к источнику и выводам напряжения. 3) С помощью этого же трансформатора и того же источника переменного напряжения нужно получить переменное напряжение с амплитудой, не равной нулю, но возможно меньшей в сравнении с $U_{0}$. Каково это минимальное по амплитуде напряжение? С.Варламов

Решения задач М2786–М2793, Ф2793–Ф2796 M2786. По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной еще не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря – чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори?

Ответ: 50. Всего в круге имеется 100 пар соседних точек. Достаточно показать, что Аня всегда может добиться, чтобы среди этих 100 пар разноцветных пар было не меньше 50, а Боря сможет добиться, чтобы среди этих 100 пар одноцветных пар было не меньше 50. Есть несколько подходящих стратегий за Аню и Борю. Возможно, наиболее простыми являются следующие стратегии.

21

ЗАДАЧНИК

все отмеченные точки на 111 линейных множеств? б) Тот же вопрос, если дополнительно требуется, чтобы каждое линейное множество представляло из себя отрезок отмеченных точек (т.е. если две различные отмеченные точки входят в одно линейное множество, то и все отмеченные точки на отрезке между ними – тоже).

2

3

Ответ: а) $2^{3} n$; б) $C_{2} nn$, где n 111 3 37. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной k, разобьем его на правильные треугольнички со стороной 1 и отметим все вершины этих треугольничков; полученную конструкцию назовем k-треугольником. В дальнейшем под прямыми мы всегда будем понимать прямые, параллельные сторонам этого треугольника и проходящие через хотя бы одну отмеченную точку. а) Лемма. Пусть A – отмеченная точка в k-треугольнике. Тогда существует единственный способ провести k прямых так, что все отмеченные точки, кроме, возможно, A, покрыты этими прямыми. А именно, для каждой стороны k-треугольника надо провести все прямые, параллельные ей и лежащие между этой стороной и точкой A (включая саму сторону, но исключая прямую, содержащую A Рис. 1 (рис. 1). Доказательство. Индукция по k. База при k 1 проверяется легко: надо провести прямую, содержащую две оставшихся точки, кроме A. Для перехода рассмотрим сторону k-треугольника, на которой не лежит A. Если прямая, содержащая эту сторону, не проведена, то все k + 1 отмеченных точек на этой прямой должны быть покрыты различными прямыми; это невозможно, так как прямых k. Значит, эта прямая проведена. Выкинув ее и точки k-треугольника, лежащие на ней, получаем k 1 -треугольник, в котором проведено k 1 прямых с теми же условиями. Осталось при-

«КВАНТА»

менить предположение индукции. Лемма доказана. Перейдем к задаче. Рассмотрим одно из разбиений на линейные множества. Для каждого множества проведем прямую, его содержащую. Тогда эти прямые покрыли все отмеченные точки нашего данного (3n)-треугольника, где n 37, кроме, возможно, его центра A. Значит, эти прямые устроены так, как описано в лемме, и для любого разбиения этот набор прямых один и тот же. Заметим, что наш (3n)-треугольник разбился на 6 областей: три «ромба» в углах, состоящие из точек, покрытых нашими прямыми дважды, и три «трапеции» у сторон, в которых каждая точка покрыта одной прямой (рис. 2). Тогда каждая точка в «трапеции» относится к множеству, лежаще- Рис. 2 му на этой прямой; каждую же точку в «ромбе» можно отнести к любому из двух множеств, лежащих на проходящих через нее прямых. Все такие выборы можно сделать независимо друг от друга. Поскольку в каждом из трех «ромбов» всего $n^{2}$ точек, получаем, что требуе- мых разбиений ровно $2^{n}$

2

3

.

б) Для решения задачи б) повторим все рассуждения выше вплоть до распределения точек по множествам в «ромбах». Рассмотрим, например, левый нижний «ромб», и пусть S – множество из $n^{2}$ отмеченных точек в нем (рис. 3). Покрасим красным горизонтальные прямые, проходящие через точки множества S, и занумеруем их от 1 до n снизу вверх. Аналогично покрасим синим и занумеруем наклонные прямые, проходящие через точки множества S. В соответствии с покраской и нумерацией прямых покрасим и занумеруем лежа- Рис. 3

25

ЗАДАЧНИК

ползти наверх с одинаковой постоянной скоростью по нашим правилам (при этом по палочкам они будут переползать мгновенно), жуки на горизонтальных палочках будут меняться местами, и никакие два жука не окажутся на одном столбике в одно и то же время. Значит, на вершине каждого из столбиков в конце будет по жуку. Назовем жука, стартовавшего с первого столбика, красным, а того, кто финиширует на вершине центрального столбика, зеленым. Заметим, что красный жук стартует левее зеленого, а финиширует правее. Значит, хотя бы на одной из палочек они меняются местами. Уберем эту палочку: тем самым мы перенаправим красного жука по маршруту зеленого, чем и добьемся желаемого. Приведем схему несколько другого возможного решения. Изначально посадим синего жука на вершину пятого столбика, и пусть он ползет сверху вниз. Его траектория пересечется с траекторией красного жука на горизонтальной палочке. Эту палочку и уберем. Г.Караваев

M2793*. В остроугольном треугольнике ABC (AB AC) точка O – центр описанной окружности: (рис. 1). Пусть касательная к:, проведенная в точке A, пересекает прямую BC в точке D. Пусть прямая DO пересекает отрезки AB и AC в точках E и F соответственно. Точка G построена так, что AEGF – параллелограмм. Пусть K и H – точки пересечения отрезка BC с отрезками EG и FG соответственно. Докажите, что окружность (GKH) касается окружности:.

Рис. 1

«КВАНТА»

Рис. 2

Пусть точка T симметрична точке A относительно DO (рис.2). Тогда DT – касательная к окружности:, симметричная касательной DA относительно DO. Имеем ‘ ETF ‘ FAE ‘ EGF. Отсюда следует, что точки E, F, T и G лежат на одной окружности. Далее ‘ ETD ‘ DAE ‘ ACB ‘ EKD. Отсюда вытекает, что точки D, E, K и T лежат на одной окружности. Получается, что T – это точка Микеля для четверки прямых DBC, DEF, EKG, FHG. Значит, точки T, K, H и G также лежат на одной окружности. Для завершения решения остается доказать, что DT – касательная к окружности (TKHG). Пользуясь равенством вписанных углов, параллельностью и симметрией относительно DO, имеем ‘ DTK ‘ FEK ‘ EFA ‘ TFE ‘ TGK. Полученное равенство ‘ DTK ‘ TGK означает, что DT касается окружности (TKHG). Донг Луу

От редакции. В геометрической конструкции из задачи М2793 можно обнаружить также следующие интересные свойства. (1) Если окружность (EFG) вторично пересекает AB и AC в точках P и Q, то PQ пройдет через ортоцентр треугольника ABC; (2) AG пересекает окружность (TKHG) вторично в точке X такой, что касательная к (TKHG), проведенная через X, проходит через D. При этом (1) справедливо для любой пары точек E и F, лежащих на AB и AC и таких, что EF проходит через O, а (2) справедли-

28

КВАН T 2024/№7

криволинейному, то следует отметить, что в прямолинейном участке давления во всех точках одинаковые, а в криволинейном они разные. Но скачком давление измениться не может; таким образом, в решении должна присутствовать зависимость от расстояния, которое прошла порция жидкости в криволинейном участке, а эта зависимость в решении отсутствует. Правда, в условии сказано, что место, где нужно найти скорость, находится далеко от прямого участка. Значит, полученное решение качественно верное, но не точное.

Ф2795. Кольцо имеет радиус R, толщина кольца мала в сравнении с его радиусом, масса кольца m равномерно распределена по его периметру. Кольцо раскрутили вокруг его оси симметрии, положили на шероховатую, коэффициент трения равен P, наклонную поверхность с углом наклона D к горизонту и толкнули его вверх. Ось симметрии кольца перпендикулярна наклонной поверхности. Кольцо всеми точками его периметра прижимается к поверхности. В какой-то момент центр кольца имел нулевую (по отношению к поверхности) скорость и кольцо вращалось с угловой скоростью Z. С каким ускорением движется центр кольца в указанный момент времени? С какой скоростью в этот момент уменьшается угловая скорость вращения кольца?

В указанный момент все точки кольца, контактирующие с поверхностью, движутся и скорости их движения направлены по касательной к кольцу. Это означает, что суммарная сила трения, действующая на кольцо, равна в этот момент нулю. Следовательно, ускорение центра кольца равно $а_{ц} = g$ sin D. Угловая скорость вращения кольца уменьшается и в указанный момент соответствующее угловое ускорение (на самом деле – замедление) равно d Z dt g P cos D. R

В дополнение к этому простому решению можно предложить читателям более сложные вопросы, чем заданные в условии зада-

чи: какой путь пройдет центр кольца от указанного момента времени до момента, когда вращение кольца прекратится; на какой угол за этот промежуток времени успеет повернуться кольцо? Для ответа на эти вопросы, по-видимому, придется использовать компьютер, поскольку для нахождения зависимости ускорения и скорости движения центра кольца от времени, а также для установления зависимости от времени угловой скорости вращения кольца нужно решать дифференциальные уравнения, в которых требуется вычислять непростые интегралы, а подынтегральные выражения содержат и скорость движения центра кольца, и угловую скорость его вращения.

Ф2796. Очень длинный тонкостенный закрепленный короб сделан из непроводящего ток материала. Поперечное сечение короба – это квадрат со стороной a. На оси симметрии короба находится очень длинный тонкий стержень с равномерно распределенным по его длине электрическим зарядом. Линейная плотность заряда V. К ребру короба прикреплен один конец тонкой непроводящей невесомой и нерастяжимой нити, которая намотана на короб, образуя N одинаковых витков. Плоскости витков перпендикулярны оси симметрии короба. На другом конце нити прикреплен точечный предмет (шарик) с массой m и электрическим зарядом q. В начальный момент этот предмет находится рядом с местом закрепления конца нити на коробе и его скорость в этот момент равна нулю. Эта конструкция находится в вакууме и гравитацией можно пренебречь. В процессе движения предмета он в какой-то момент приобретает максимальную скорость. Какова величина этой скорости и какова в этот момент сила натяжения нити?

Стержень создает в окружающем пространстве электрическое поле, вектор напряженности которого в любой точке пространства перпендикулярен стержню, а величина этого вектора определяется расстоянием от стержня до соответствующей точки. Найти эту величину можно с помощью теоремы Гаусса:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

«Легкое решение одной трудной геометрической задачи»

К.КОЗЕРЕНКО, А.ГЕРАСИМОВА, А.ЛУЗГИНА

КАВЫЧКИ В ЗАГЛАВИИ СТАТЬИ МЫ поставили потому, что это цитата. Так называлась статья Л.Эйлера [1], которую он опубликовал в 1767 году. В ней Эйлер поставил вопрос о восстановлении треугольника по точке пересечения высот H, точке пересечения медиан M, точке пересечения биссектрис I и центру описанной окружности O (рис. 1). Тот факт, что точка M лежит на отрезке HO, как раз появился в этой статье (см. [2]). Рис. 1 Прошло 215 лет, и в 1982 году американский математик Вильям Верник опубликовал список из 139 задач [3], в котором попытался систематизировать задачи восстановления треугольника по некоторым трем его точкам с помощью циркуля и линейки. Среди этих задач под номером 80 упоминалась, как до тех пор нерешенная, и задача Эйлера. В 1996 году Майерс объявил о решении еще 29 задач из списка Верника [4], среди которых была и задача $№80.^{1}$ В качестве примера Майерс привел решение

одной из 29 задач. Это решение использовало следующую теорему (см. [7], глава 5). Теорема. Пусть дан отрезок длины 1. Тогда, если кубическое уравнение с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней и имеет положительный (вещественный) корень a, то отрезок длины a не может быть построен с помощью циркуля и линейки. Доказательство этой теоремы непросто и использует алгебраический аппарат, который выходит далеко за пределы школьной программы, поэтому мы его не приводим (однако советуем читателю в нем разобраться). В этой статье мы, опираясь на ту же теорему, приведем доказательство того, что ответ в задаче 80 из списка Верника – отрицательный, т.е. что не существует алгоритма восстановить треугольник циркулем и линейкой по точкам H, I и O. Но, если не хватает циркуля и линейки, то возникает естественный вопрос: существует ли инструмент, добавив который к циркулю и линейке, можно решить задачу? Мы дадим ответ и на этот вопрос. Для начала заметим (и это просто поразительно!), что циркулем и линейкой, исходя из треугольника HIO, можно восстановить много элементов треугольника: построить описанную окружность:, вписанную окружность Z, окружность девяти точек H (окружность Эйлера) и даже найти полупериметр p искомого треугольника (рис. 2). Когда мы это обнаружили, нам показалось, что это почти все! На этом этапе работы мы еще не знали ответа и никак не могли понять, почему, продвинувшись так далеко, мы не можем завершить алгоритм восстановления треугольника по точкам H, I и O. Масла в

(Продолжение см. на с. 34)

1 Отметим статью [5], в которой речь шла про неразрешимость других задач списка Верника, но та же конструкция работает и для задачи 80. Что касается текущей ситуации со списком Верника, сейчас он до конца закрыт (см. [6]), причем авторы этой работы научились быстро решать такие задачи на компьютере.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240703

Рис. 2

39

ЛАБОРАТОРИЯ

«КВАНТА»

Рис. 3. Распределение периодов колебаний

данном конкретном случае представляющая собой функцию распределения периодов. Это – число колебаний, чьи периоды находятся в заданном интервале. Всякое измерение – вероятностный процесс. Чем выше вероятность, тем более достоверным, не сомнительным, представляется явление. В положении «проводник внизу» колебаний маятника с малыми периодами больше, чем с большими; период обратно пропорционален корню квадратному из ускорения «свободного падения», значит, система становится «тяжелее». Все верно: при малых периодах сила, действующая на незамкнутые токи, направлена туда, куда надо; так, как ожидалось (см. рис. 1,б). На проводник в таком расположении действует не только $сила_{r}$ гравитационного притяжения, но и сила f. При больших периодах все происходит с точностью до наоборот. Жаль, конечно, что максимумы вероятностей не раздвинулись еще больше. Причина понятна: кроме незамкнутых токов, есть и замкнутые, воздействие на них магнитного поля значительно. И еще одно подтверждение того, что частота колебаний проводника зависит от его положения. При отключенных электромагнитах маятника Вальтенгофена период колебаний оказался

близким к 1,051 с, т.е. между значениями, при которых происходит увеличение или уменьшение веса. Эффект пока слаб. Изменение измеряемой таким образом величины g составило около двух десятых процента. А что мы хотим? Чтобы при частоте колебаний в 1 герц вся система взлетела, в известном смысле ни от чего не отталкиваясь? В реальной жизни такого не бывает, нужны дополнительные условия и усилия, чтобы такое случилось.

Литература

1. А.Л. Дорофеев. Вихревые токи. – М.: Энергия, 1977. 2. П. Кузьмин. Парадоксы постоянного магнитного поля. – «Квант», 1995, № 3. 3. Дж. Орир. Физика. – М.: КДУ, 2019. 4. Т.А. Агекян. Основы теории ошибок для астрономов и физиков. – М.: Наука, 1968.

ОЛИМ П ИА ДЫ

Заключительный этап L Всероссийской олимпиады школьников по математике

Заключительный этап юбилейной, пятидесятой Всероссийской математической олимпиады проходил с 19 по 25 апреля 2024 года в Нижнем Новгороде. Главным организатором олимпиады выступил Мининский университет. Участникам олимпиады была предложена интересная экскурсионная программа, а также посещение научно-популярных лекций от математиков – представителей ведущих вузов страны. В олимпиаде приняли участие 471 школьников, представивших почти все регионы России. Также, по традиции, в олимпиаде участвовала команда из Китая: в онлайнрежиме олимпиаду написали шестеро школьников из провинции Чжэцзян. О сложности задач можно судить по следующим таблицам (решившим задачу считается участник, набравший по этой задаче не меньше 5 баллов из 7 возможных):

9 класс

,

10 класс

,

11 класс

,

Опрос участников олимпиады выявил наиболее красивые, по их мнению, задачи олимпиады. В параллели 9 классов первые три места заняли задачи 6 (1 место), 8 (2 место) и 3 (3 место), в параллели 10 классов – задачи 2 (1 место), 6 (2 место) и 3 (3 место), в параллели 11 классов – задачи 3 (1 место), 7 (2 место) и 2 (3 место). Ниже приводятся условия задач и список победителей заключительного этапа L Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Условия задач

9 класс

1. Петя и Вася знают лишь натуральные числа, не превосходящие $10^{9} 4000$. Петя считает хорошими числа, представимые в виде abc ab ac bc, где a, b и c – натуральные числа, не меньшие 100. Вася считает хорошими числа, представимые в виде xyz x y z, где x, y и z – натуральные числа, большие 100. Для кого из них хороших чисел больше? И.Богданов

2. У натурального числа ровно 50 делителей. Может ли оказаться, что никакая разность двух различных его делителей не делится на 100? Методкомиссия по мотивам задачи А.Чиронова

3. Двум мальчикам выдали по мешку картошки, в каждом мешке по 150 клубней. Ребята по очереди перекладывают картошку, каждый своим очередным ходом перекладывает ненулевое количество клубней из своего мешка в чужой. При этом они должны соблюдать условие новой возможности: на каждом ходе мальчик должен переложить больше клубней, чем у него было в мешке перед любым из его предыдущих ходов (если такие ходы были). Так, первым своим ходом мальчик может переложить любое ненулевое количество, а сво-

47

ОТВЕТ Ы,

УКАЗАНИЯ,

направлена горизонтально. Во сколько раз масса машинки больше массы шарика? Трением пренебречь, движение поступательное, tg 42 q 0,9, удар абсолютно упругий. 4. Одноатомный идеальный газ в сосуде под поршнем совершает циклический процесс. Датчики фиксируют давление p газа и его температуру T в зависимости от времени t. Графики этих зависимостей приведены на рисунке 16. Определите: 1) отношение максимального объема газа к минимальному в данном процессе; 2) работу, совершенную над газом при его изобарном сжатии, если при изохорном нагреве к газу подведено Q 300 Дж теплоты. 5. Два одинаковых маленьких заряженных шарика удерживают на гладкой горизонтальной поверхности. В точку А, в которой модуль вектора напряженности электрического поля заряженных шариков равен $E^{1000} В^{м}$, поместили точеный заряд q 1 мкКл и шарики одновременно отпусти-

РЕШЕНИЯ

Рис. 16

ли. Их ускорения в начале движения оказались взаимно перпендикулярными и равными по величине $a_{1}^{3} м^{с} 2$ и $a_{2} 4^{м} с^{2}$. Определите массу шарика. Публикацию подготовили Г.Гайдуков, И.Горбатый, В.Гундырев

ОТВЕТ Ы, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«Квант» для младших школьников

(см. «Квант» №5–6)

1. В первой норке живет рыжая мышка, во второй – желтая, в третьей – черная, в четвертой – белая, в пятой – серая. Белая мышка живет между двумя другими, но не в третьей норке (иначе белый сыр перед ней был бы съеден). Значит, белая мышка живет либо во второй норке, либо в четвертой. Если во второй, то ее соседка серая мышка живет не в первой, а в третьей норке, черная – в первой, а рыжая живет не рядом с серой – т.е. не в четвертой, а в оставшейся пятой норке. Но тогда в четвертой должна жить желтая, а желтый сыр перед ней оказался не съеден – противоречие. Значит, белая мышка живет не во второй, а в четвертой норке. В таком случае ее соседка черная живет в третьей норке, серая – в пятой; рыжая из оставшихся двух может жить только в первой, а тогда желтая – во второй. 2. Несколько примеров пришивания и разрезания показаны на рисунках 1–3. Комментарий. Части одинаковые, а значит, можно одну из частей переместить как единое целое, чтобы она наложилась на другую. В первом примере для этого надо ее сдвинуть параллельно самой себе, во втором повернуть вокруг некоторой точки, а в третьем сначала сдвинуть, а потом

Рис. 1

Рис. 2

перевернуть на другую сторону. Эти перемещения называют движениями плоскости – они не меняют расстояния между точками фигуры, и поэтому фигура сохраняет свою форму Рис. 3 и размеры. Движения, которые мы видим в этих примерах, называются соответственно параллельным переносом, поворотом и скользящей симметрией. Теорема Шаля гласит, что всякое движение плоскости относится к одному из трех данных типов. Мишель Шаль – известный французский геометр XIX века. 3. 8. Пусть М – середина АС $(рис.^{4).}$ Тогда AM MC 1; BM – медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, поэтому она также является высотой. Треугольники AKH и ABM равны по стороне и двум прилежа-