Квант 2024, №9 · Страницы

5

О ПРИРОДЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА…

накапливается некоторое перемещение ’ x вдоль силовых линий поля. По аналогии со сносом корабля под действием ветра или морского течения, это смещение электронов получило название «дрейф». Дрейфовое перемещение ’ $x v_{др}$ ’ t, где $v_{др}$ – скорость дрейфа электронов. Суммарный дрейф электронов проводника за среднее время между столкновениями в классической электронной теории электропроводности металлов и представляет собой электрический ток. Какова скорость этого дрейфа, например, в комнатной электропроводке? Представим силу тока как ’ q ’ t. Перемещенный за время ’ t заряд ’ q выразим через число перемещенных электронов ’ N и заряд электрона е. В проводнике прямоугольного сечения в узеньком объеме проводника ’ V S ’ x, где S – площадь сечения проводника, а ’ x – дрейфовое перемещение, число электронов ’ N n ’ V (n – концентрация свободных электронов, по порядку величины равная концентрации атомов в металле). Поскольку ’ $x v_{др}$ ’ t, для скорости дрейфа получаем $v_{др} I$ enS. Сила тока I в медных комнатных проводах не превышает величины 1,5 А, их сечение имеет величину порядка $1 мм^{2}$. Концентрация атомов в металле $n G N_{A} M$, где G – плотность металла, М – его молярная (атомная) масса. Для меди n 0,83 ˜ $10^{29} 1 м^{3}$. Вычисления дают для скорости дрейфа $v_{др}$ величину порядка $10^{4}$ м с 0,1 мм с. Это довольно неожиданный результат. Ведь если бы электрический ток представлял собой перемещение электронов по провод-

нику с такой скоростью, то на путь от выключателя до лампочки электронам потребовались бы целые сутки! И плохо понятным становится тогда переменный ток в наших проводах – ведь он 50 раз в секунду меняет свое направление. Что-то не так с классической электронной теорией проводимости. Зачем же ее изучают и в школьной, и в вузовской физике? Заслуга этой теории в том, что с ее помощью были качественно объяснены закон Ома и закон Джоуля–Ленца, понятие сопротивления проводников и его температурная зависимость. И, конечно, важна наглядность этой теории, использование в ней планетарной модели атомов и понятия об атомно-кристаллическом строении металлов. Как выводится закон Ома в классической электронной теории? Этот закон выражает связь причины – разности потенциалов электрического поля со следствием – движением свободных электронов. В классической механике эта связь определяется законом Ньютона. Движение электрона под действием сил поля приближенно считается равноускоренным в направлении против вектора напряженности поля (из-за отрицательного заряда электрона). Принимая за ноль начальную скорость этого движения сразу после столкновения свободного электрона с ионом, максимальную скорость дрейфа перед следующим столкновением можно выразить так: $v_{макс} a W$, где W – среднее время между двумя столкновениями, а ускорение равно a eE m (e и m – заряд и масса электрона, Е – напряженность электрического поля, действующего на электрон). Тогда средняя скорость дрейфа $v_{др} eE W 2 m$. Считая среднюю скорость дрейфа равной I enS, получим

I S

Дрейфовое перемещение электронов

$ne^{2} W 2 m E$.

А ведь это и есть закон Ома для точки однородного прямого проводника – закон Ома в так называемой локальной форме. Величину I S принято называть плотностью тока j.

7

О ПРИРОДЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА…

понимать под словами «объяснить явление». Если считать, что теория дает качественное объяснение основных опытных законов, то этой теории достаточно. А некоторые несогласия с опытом при этом считаются просто затруднениями теории. В учебной литературе это так и озаглавлено: «Затруднения классической электронной теории электропроводности». Но все-таки представляется, что это не просто затруднения, а принципиальные внутренние несоответствия этой теории далеко не простой природе электрического тока. Рассмотрим эти несоответствия. 1) В классической электронной теории выражение для удельного сопротивления проводников выводится с использованием закона Ньютона и законов молекулярной физики для идеального газа. Сравним теорию с опытом. Вычисление по формуле U 2mu $ne^{2} O$ дает величину $10^{6}$ Ом ˜ м, тогда как реальные значения этой величины у многих металлов в 100 раз меньше. 2) Совершенно непонятным становится большое сопротивление многих сплавов по сравнению с сопротивлением компонентов этих сплавов. Один из самых употребительных в нагревательных приборах сплавов нихром содержит 70% никеля и 25% хрома (и еще 5% примесей для придания проводам большей пластичности). Удельное сопротивление этого сплава 1,1 ˜ $10^{6}$ Ом ˜ м в 14 раз больше, чем у никеля и в 7 раз больше, чем у хрома. А, согласно классической теории, оно должно иметь промежуточную величину между удельными сопротивлениями никеля и хрома, т.е. 1,2 ˜ $10^{7}$ Ом ˜ м. Это почти в 10 раз меньше реальной величины. 3) Как классическая теория объясняет зависимость сопротивления металлов от температуры? В выражении для удельного сопротивления U среднее расстояние между ионами O и связанная с ним концентрация атомов n слабо зависят от температуры, причем, когда увеличивается температура, произведение $n^{2} O$ в очень незначительной степени уменьшается (коэффициент линейного расширения металлов составляет величину порядка $10^{5} К^{1} ).$ Этой зависи-

мостью от температуры можно пренебречь. Основной величиной, зависящей от температуры, в классической теории является средняя скорость хаотического (теплового) движения свободных электронов, которая прямо пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры: $u \sim T$ и стремится к нулю при низких температурах. Следовательно, удельное сопротивление в классической теории так же должно зависеть от температуры, т.е. $U \sim T$. А какова опытная зависимость? В школьных учебниках приводится обычно зависимость удельного сопротивления от температуры t, выраженной в градусах Цельсия: $U U_{0} 1 D t$, где D – температурный коэффициент сопротивления, равный примерно 1 273. Если температуру измерять в кельвинах, то опытная зависимость от абсолютной температуры имеет вид $U U_{0} T 273$, т.е. $U \sim T$, а не квадратному корню из абсолютной температуры. Особенно сильное расхождение теории с опытом происходит при низких температурах. Сопротивление стремится не к нулю, а к некоторой величине, которую можно назвать остаточным сопротивлением. Классическая теория этого не объясняет. Не объясняет она и явление сверхпроводимости – полное исчезновение сопротивления при некото-

Температурная зависимость сопротивления металлов

10

КВАНТ 2024/№9

кулы – это частоты (длины волн) электромагнитного излучения атомных электронов. Для явления электрического тока – это сила тока и удельное сопротивление вещества. Наиболее удобным для этого оказалось использование волновой квантовой механики. В этом варианте квантовой механики волновой характеристикой микрочастицы является так называемая пси-функция координат и времени, которая математически имеет вид уравнения волны и является решением некоторого волнового дифференциального уравнения (со второй частной производной по координатам и первой производной по времени). Это уравнение было сформулировано Эрвином Шрёдингером в 1926 году. Почему пси-функция имеет волновой характер? Дело в том, что еще в 1923 году Луи де Бройль предположил, что не только фотон имеет двойственное, корпускулярно-волновое представление, но и всякий микрообъект, в частности электрон. Как частица (корпускула), он $при_{r}$ движении характеризуется импульсом p и связанной с ним энергией Е. Но электрон при этом может проявлять волновые свойства (интерференцию, дифракцию), характеризующиеся длиной волны $O_{Бр} h p$, где h – постоянная Планка. Эту длину волны называют дебройлевской длиной волны микрочастицы или длиной волны де Бройля. Вы обратили внимание, что эта формула (постулат де Бройля) есть обращение эйнштейновского постулата для импульса фотона p h O? В формуле де Бройля для импульса микрочастицы следует использовать релятивистское выражение зависимости от скорости: $p mv 1 v^{2} c^{2}$. Для скоростей, много меньших скорости света, p mv и $O_{Бр} h mv$. Очевидно, что наиболее отчетливо волновые свойства микрочастиц должны проявляться у самых легких частиц – у электронов. И действительно, в 1927 году экспериментально была обнаружена дифракция электронов (с этим связано создание электронного микроскопа). Что колеблется в волне де Бройля? Попытки ответа на этот вопрос через распространяющееся колебание некого электри-

ческого поля не привели к успеху. Было постулировано (Шрёдингер, Гейзенберг, Бор), что пси-функция математически выражается уравнением волны, в котором длина волны и частота определяются импульсом и энергией согласно постулату де Бройля. А наглядного «понимания» волны де Бройля для микрочастицы в принципе не существует – так же, как не существует наглядной траектории электрона в атоме. Создатели матричной квантовой механики (Макс Борн, Вернер Гейзенберг, Нильс Бор) показали, что эта форма квантовой механики дает точно такие же результаты, сравнимые с опытом, как и уравнение Шрёдингера в волновой квантовой механике. И именно эти ученые определили пси-функцию как вероятностную характеристику поведения микрочастицы и как ту величину, которая колеблется в волне де Бройля. Еще раз следует подчеркнуть, что никакой наглядности в этом утверждении нет, это только одно из математических оформлений вероятностного характера поведения микрочастицы. Применение понятия волны де Бройля стало удобным для многих задач квантовой механики, в частности для объяснения электрического тока в металлических кристаллах. Есть несколько квантовых теорий этого явления, отличающихся различной математической сложностью и различной степенью согласия с опытными данными. В одной из наименее сложных теорий поведение электрона в металле описывается уравнением Шрёдингера, в котором воздействие на электрон определяется суммой электрического поля ионов кристаллической решетки, периодически повторяющегося в пространстве, и приложенного к проводнику внешнего электрического поля от источника тока. При этом учитывается колебательное движение этих ионов, подчиняющееся статистическому распределению Максвелла–Больцмана. Результат этого колебательного движения можно рассматривать как хаотически меняющееся неоднородное распределение ионов в кристалле, только в среднем представляющее определенную кристаллическую систему. Для краткости это распределение называют

14

КВАНТ 2024/№9

от ориентации также будем обозначать буквами l, r, h и называть левыми, правыми, горизонтальными (например, левый ромб ориентирован так же, как и левая стена). Глядя на эту конструкцию сверху, мы видим верхние грани кубиков и часть пола, которая кубиками не покрыта. Всей этой поверхности площади $n^{2}$ соответствует $n^{2}$ ромбов, ориентация которых совпадает с ориентацией пола. Глядя, например, справа, мы увидим правые грани кубиков и часть левой стены L, которую они не закрывают. Этим поверхностям будут соответствовать ромбы вида l, ориентация которых совпадает с ориентацией левой стенки. Аналогичной будет и ситуация с правой стенкой R и правыми ромбами вида r. Казалось бы, что на этом решение можно и закончить. Но, строго говоря, здесь нужно еще проверить, что произвольному замощению ромбами действительно соответствует реальная конструкция из кубиков, а не какая-нибудь невозможная фигура. Например, если пытаться строить замощение не правильного, а какого-нибудь случайного шестиугольника с целыми сторонами и углами 60q и 120q, то, как правило, будут получаться изображения невозможных объектов (рис. 10).

Рис. 10

Докажем корректность выхода в трехмерное пространство. Предложение 3. Произвольное замощение правильного шестиугольника ромбами можно представить как проекцию некоторой ортогональной поверхности. Доказательство. Для того чтобы построить требуемую конструкцию из кубиков, присвоим всем вершинам ромбов пространственные координаты x, y, z, где x, y, z – целые числа в пределах от 0 до n. Верхней вершине шестиугольника присвоим координаты 0,0,n. Затем будем последовательно переходить к соседним верши-

Рис. 11

нам так, как будто мы двигаемся по ортогональной поверхности (рис.11): шаг по вертикальному отрезку вниз уменьшает на 1 координату z, шаг влево вниз увеличивает на 1 координату x, а шаг вправо вниз увеличивает на 1 координату y. Естественно, мы считаем, что движение в противоположном направлении приводит к противоположному результату. Если эта процедура не приведет к противоречию, то по пространственным координатам вершин мы построим трехмерную поверхность и соответствующее ей расположение кубиков. Противоречие может получиться, если, дойдя по разным путям до одной и той же точки, мы должны будем присвоить ей разные координаты. Это равносильно тому, что существует некоторый цикл, пройдя по которому, мы получим в исходной точке другие координаты. Цикл можно последовательно стянуть в точку, уменьшая на каждом шаге его внутренность на один ромб. Правила расстановки координат гарантируют, что на каждом шаге такого процесса значения координат в оставшихся вершинах цикла меняться не будут. Когда цикл стянется в точку, мы получим противоречие с предположением, что координаты расставлены некорректно. На рисунке 12 для конкретного цикла изображены три шага процесса стягивания. На третьем шаге цикл превратился в объединение двух циклов. Так как каждый

Рис. 12

16

КВАНТ 2024/№9

параллелограмм ABCD, стороны которого являются продолжениями сторон общих параллелограммов двух цепочек (рис.15). Тогда зеленая цепочка параллелограммов соединяет стороны AB и CD, а красная – стороны BC и AD. Значит, они должны иметь общий параллелограмм внутри ABCD. Получается, что между двумя общими параллелограммами должен оказаться еще один общий параллелограмм той же ориентации. Значит, таких параллелограммов бесконечно много, что невозможно. 3q. Утверждение следует из того, что все параллелограммы имеют равные основания, а их суммарная высота равна расстоянию между соединяемыми сторонами данного зоногона. Второе решение задачи 1: цепочки де Брёйна. Пусть ABCDEF – данный шестиугольник и n – длина его сторон. Поскольку шестиугольник разбивается на $6n^{2}$ правильных треугольников со стороной 1, общее число ромбов в разбиении должно быть $3n^{2}$, и достаточно проверить, что разбиение состоит из $n^{2}$ ромбов каждой ориентации. Будем рассматривать ромбы фиксированной ориентации, например, такие, стороны которых параллельны отрезкам AB и CD. По каждому такому ромбу можно построить цепочку де Брёйна, т.е. последовательность ромбов, которая начинается на стороне AB, заканчивается на стороне ED и в которой каждые два соседних ромба имеют общую сторону, параллельную AB (рис.16). Всего получится n таких цепочек (по числу единичных отрезков на сторо-

Рис. 15

Рис. 16

нах AB и CD). По построению никакие две из этих цепочек не будут иметь общих ромбов. Точно так же можно построить n цепочек, начинающихся на стороне AF, заканчивающихся на стороне CD, в каждой из которых соседние ромбы имеют общую сторону, параллельную AF. Из теоремы 1 следует, что любые две цепочки разных направлений пересекаются ровно по одному параллелограмму (рис. 17). Таким образом, число ромбов выбранной ориентации равно числу пар цепочек, в которых первая цепочка соединяет стороны AB и ED, а вторая – стороны AF и CD. Значит, таких ромбов $n^{2}$. Замечание 3. При решении этой задачи можно было не использовать в полной мере теорему 1. Цепочки де Брёйна разных направлений, очевидно, пересекаются. Имеется $n^{2}$ пар цепочек, в которых первая цепочка соединяет стороны AB и ED, а вторая – стороны AF и CD. Значит, таких ромбов $n^{2}$. Поэтому в замощении будет не менее $n^{2}$ ромбов выбранной ориентации. По тем же соображением будет не менее $n^{2}$ ромбов каждого вида. Так как общее число ромбов равно $3n^{2}$, то число ромбов каждого направления должно быть в точности равно $n^{2}$. Проведенное рассуждение не только решает задачу, но и дает еще одно доказательство того факта, что цепочки де Брёйна разных направлений пересекаются ровно по одному ромбу. Замечание 4. Мы двумя разными способами доказали, что две цепочки разных направлений пересекаются ровно один раз. Отсутствие второго пересечения можно

Рис. 17

19

ЗОНОГОНЫ

стоящая из горизонтального и правого ромбов h c и r c. Продолжая рассуждать так же, мы получим бесконечную последовательность пар h, r, h c, r c, h cc, r cc, …, что невозможно. Значит, если флипы невозможны, то под каждым горизонтальным ромбом могут находиться только горизонтальные, справа от правого ромба – только правые, а слева от левого – только левые. Следовательно, замощение является каноническим. Из того, что произвольное замощение с помощью конечной последовательности флипов мы можем превратить в каноническому, следует, что любое замощение мы можем превратить и в любое другое. Третье решение задачи 1: флипы. В решении задачи 2 мы доказали, что с помощью флипов любое замощение шестиугольника можно превратить в каноническое, в котором по $n^{2}$ ромбов каждого вида. Так как флипы переставляют ромбы, не меняя их ориентации, то в любом другом разбиении также будет $n^{2}$ ромбов каждого вида.

Литература

1. Е.С.Федоров. Начала учения о фигурах. – М.: Издательство Академии наук СССР, 1953. См. также первое издание книги: Е.С.Федоров. Начала учения о фигурах. – Типографiя Императорской Академiи Наук, 1885. 2. У.Болл, Г.Коксетер. Математические эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986. 3. И.Шарыгин. Выход в пространство. – «Квант», 1975, №5. 4. В.Протасов. Выход в пространство-2. – «Квант», 2017, № 12. 5. В.Дубровский, И.Шарыгин. Геометрический стереоскоп. – «Квант», 1993, № 1. 6. N.G.de Bruijn. Algebraic theory of Penrose’s nonperiodic tilings of the plane I, II. – Nederlandse Akademie van Wetenschappen. Indagations Mathe- matical, vol. 43,1981, № 1, p. 39—52, p. 53—66. 7. N.G.de Bruijn. Dualization of multigrids. – Journal de Physique Colloques, vol. 47, 1986, №3, p. 9-18. 8. В.Корепин. Узоры Пенроуза и квазикристаллы. – «Квант», 1987, № 6. 9. F.D’Andrea. A guide to Penrose tilings. – Springer, 2023.

(Продолжение следует)

(Начало см. на с. 2)

Наглядное объяснение? Наверное, только по форме. По сути, более глубокое знакомство с математической стороной решения все равно приведет к принципиально вероятностным квантовым характеристикам поведения электронов, где всякая наглядность исчезнет. Почему физики-теоретики не удовлетворились одной квантовой теорией электропроводности, а создавали разные ее варианты? Дело в том, что квантовой теорией никак не удавалось объяснить явление сверхпроводимости. Открыто это явление было еще в 1911 году. Но его практическое использование до сих пор сдерживается возможностью применения только при сверхнизких температурах, требующих для их поддерживания жидкого гелия. А это очень недешево! Перед расхо- дами не останавливаются, когда речь идет о крупных научных проектах (БАК, ИТЭР и др.). Но в «человеческой» области сверхпроводимость пока используется только в медицинской томографической диагностике (МРТ и т.п.). Явление сверхпроводимости настолько интересно и в перспективе сулит человечеству такие замечательные практические применения, что вот уже больше пятидесяти лет его изучают во многих научных лабораториях. Десять физиков стали Нобелевскими лауреатами за исследования в области сверхпроводимости – три экспериментатора и семь теоретиков. Однако, несмотря на некоторые достижения, до сих пор не создано такой квантовой теории этого явления, которая позволила бы совершить скачок в его практическом применении.

21

ЗАДАЧНИК

в инерциальной системе отсчета, в которой центр Земли имел в момент взрыва нулевую скорость, сразу после взрыва тоже покоился. Толщина слоя атмосферы значительно меньше радиуса Земли R 6370 км. Будем считать, что ее (атмосферы) просто нет. Будем также считать (для упрощения вычислений), что расстояние от центра Земли до спутника равно L = 6,6R, а период обращения Земли вокруг собственной оси (в инерциальной системе отсчета) равен в точности T = 24 ч. 1) Какова была относительная скорость u этих осколков сразу после взрыва? 2) Оцените время падения «остановившегося» осколка после взрыва. 3) Какой была величина относительной скорости этих двух осколков за мгновение до падения второго осколка на землю? С.Взрывной

Ф2818. Вода набирается в бассейн из большого озера, на берегу которого установлен центробежный водяной насос. Асинхронный двигатель переменного тока имеет частоту f = 1450 об мин и максимальную мощность W = 1 кВт. Этот двигатель используется в конструкции насоса, предназначенного для заполнения струей воды бассейна глубиной h = 1,5 м, шириной b = 4 м и длиной дорожки l = 20 м. Крыльчатка насоса имеет радиус R = 10 см и ширину d = 3 см. Отверстие на выходе из насоса имеет сечение $S_{0} 20 см^{2}$ и расположено вблизи краев крыльев крыльчатки. Вылетающая из этого отверстия вертикально вверх вода достигает высоты, равной половине высоты H, на которой над водой в озере находятся верхние края бассейна. Трубу с какой высотой и каким одинаковым по длине трубы поперечным сечением нужно установить на выходе из насоса, чтобы первоначально пустой бассейн можно было за минимальное время заполнить водой? Каково это минимальное время? Потерями мощности при протекании воды по трубам можно пренебречь. В.Водяной

Ф2819. Имеется «поджатая» пружина. Такая пружина начинает изменять свою длину только при некотором пороговом

«КВАНТА»

значении растягивающей силы. Пружину подвешивают вертикально. Ее длина при двух различных подвешиваемых грузах массами $M_{1}$ и $M_{2}$ равна $L_{1}$ и $L_{2}$ соответственно. При этом все витки пружины уже разжались. Длина ненагруженной пружины $L_{0}$ меньше $L_{1}$ и $L_{2}$, масса пружины m. Определите коэффициент упругости k пружины и величину силы поджатия f. А.Власов

Ф2820. Немагнитный каркас длинного соленоида длиной L имеет поперечное к его оси симметрии сечение в форме квадрата с длиной ребра А. На поверхности соленоида в один слой виток к витку намотана проволока тоже квадратного поперечного сечения с ребром квадрата а. Поверхность проволоки изолирована тонким слоем лака. Выполняется цепочка неравенств a = A = L. По проволоке течет ток I. Каркас соленоида в одном месте (вблизи середины) аккуратно разрезали, освободили 1 4 витка проволоки (длиной А) и расположили части этого соленоида так, что оси симметрии половинок совпали и освобожденный от касания с каркасом участок проволоки занял положение параллельно этим осям симметрии (рис. 2).

Рис. 2

Ток, текущий по проволоке, остался прежним. Какова величина вектора индукции магнитного поля в точке на оси симметрии, расположенной на одинаковом расстоянии от получившихся после разреза частей соленоида? Какой угол образует этот вектор магнитной индукции с осью симметрии половинок соленоида? Д.Магнитный

Решения задач М2798–М2801, Ф2805–Ф2808

M2798. Дана прямолинейная дорога, выложенная из зеленых и красных дощечек (дорога – отрезок, разбитый на отрезкидощечки). Цвета дощечек чередуются;

24

КВАН T 2024/№9

Юрий знает, что в каждой клетке таблицы изображено солнце или луна и любые две строки отличаются (хотя бы в одном столбце). Каждая клетка таблицы закрыта листом. Поднялся ветер и сдул некоторые листы: по два листа с каждой строки. Могло ли так случиться, что теперь Юрий хотя бы про 10000 строк может узнать, что в каждой из них изображено в каждом из столбцов?

Ответ: могло. Заметим, что существует всего $2^{200}$ различных строк длины 200, в которых каждый символ – солнце или луна; значит, каждая такая строка встречается в таблице ровно один раз. Разобьем все позиции на две половины по 100 столбцов – «левую» и «правую». Предположим, что в каждой строке, в которой есть два солнца в одной половине (назовем их солнечными), ветер сдул листья с одной из таких пар солнц, а в каждой несолнечной строке – таких строк ровно $101^{2}$ – ветер обнаружил положения всех солнц (в несолнечной строке не более двух солнц, так что ветер мог так поступить). Тогда Юрий сообразит, что те строки, где открыты два солнца в одной половине, – точно солнечные, а значит, несолнечные строки – это в точности те $101^{2}$ строк, в которых ветер не открывал два солнца в одной половине. У каждой из них открыты все солнца, так что закрытые листьями изображения в этих строках – луна. Задача решена. Замечание. Существуют и принципиально другие конструкции, также позволяющие определить $101^{2}$ строк. Приведем одну из них. Скажем, что строка монолитная, если все солнца в ней стоят подряд (строка из одних лун также монолитна). Монолитную строку назовем сбалансированной, если хотя бы один из двух средних символов – солнце, либо если солнц нет вообще. Сбалансированных строк ровно $101^{2}$. Любая несбалансированная строка содержит либо солнце, стоящее слева от луны в левой половине, либо луну, стоящую слева от солнца в правой; сбалансированная же строка таких пар не содержит. Пусть

ветер откроет именно такую пару символов в каждой несбалансированной строке; тогда Юрий узнает множество всех сбалансированных строк. Далее, в каждой сбалансированной строке, содержащей хотя бы два солнца, ветер откроет самое левое и самое правое из них; можно показать, что тогда все эти строки также однозначно определятся. Наконец, в оставшихся трех сбалансированных строках ветер откроет два средних символа, позволяя определить и эти строки. И.Богданов, К.Кноп

Ф2805. Вода вытекает в вертикальном направлении из крана с круглым поперечным горизонтальным сечением отверстия диаметром $D_{0} = 1$ см. Бутыль большой емкости – 100 л – с диаметром отверстия в горлышке $D 0,8 D_{0}$ стоит под краном (см. рисунок). Расстояние между горлышком бутыли и выходным отверстием крана $H 50 D_{0}$. За какой минимальный промежуток времени бутыль может быть наполнена водой при условии, что вся вода, выходящая из крана, попадает в бутыль? На сколько давление воздуха внутри бутыли во время заполнения ее водой будет больше внешнего (нормального) атмосферного давления? Вязкостью воды и ее поверхностным натяжением можно пренебречь.

Чтобы вся вода попадала в бутыль, нужно, чтобы при максимально возможном сечении струи в отверстии горлышка бутыли через оставшееся не занятым водой сечение из бутыли выходил воздух. Объемный расход воздуха должен по величине совпадать с расходом воды из крана. Воздух будет выходить из бутыли с большой скоростью, которая определяется разницей давлений воздуха внутри бутыли и снаружи. Поскольку давление воздуха внутри $p_{0}$ ’ p будет больше внешнего атмосфер-

ЛАБОРАТОРИЯ КВАНТА

Я поведу тебя в музей

MС.ДВОРЯНИНОВ

АЛЕНЬКИЕ ДЕТИ ОЧЕНЬ ЛЮБЯТ книжки с картинками. Помните пословицу – лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать? Она как раз про книжные иллюстрации. Схемы, диаграммы рисунки, т.е. графические представления информации, присутствуют и в учебниках. Например, в учебнике физики для 7 класса показана комбинация подвижного и неподвижного блоков (рис. 1). Неподвижный блок служит для изменения направления действия силы (попросту говоря, для удобства), подвижный блок позволяет поднимать груз с силой, которая в два раза меньше веса груза. Такая комбинация блоков называется полиспастом. Чтобы увидеть модель той или иной машины или конструкции, можно пойти в Политехнический музей. В Москве такой музей хранит более 200 тысяч предметов. Во многих городах есть Музеи занимательной науки. Есть такой музей и в городе Нальчике – это Музей занимательных наук Энштейна. Все его экспонаты изготовлены мастерски и радуют глаз. Познакомимся с некоторыми из них. На рисунке 2 слева две одинаковые гири, соединенные нитью, находятся в равновесии. В центре рисунка масса левой гири в два раза

Рис. 1

Рис. 2

больше массы правой гири. В правой части рисунка мы видим три блока. Масса меньшей гири 1 кг. Вопрос: какова масса большей гири? Все гири на этом рисунке неподвижны, статичны. Такая модель демонстрирует явление равновесия и относится к разделу механики, который называется статикой. Экспонат на рисунке 3 относится к динамике и иллюстрирует закон сохранения энергии. На горизонтальную цилиндрическую ось слева и справ насажены две одинаковые катушки. Если мы начнем вращать ось по часовой стрелке, то обе ленты начнут наматываться на катушки, а ось будет подниматься вверх. В верхнем положении запас потенциальной энергии этой механической системы будет наибольшим. Если затем выпустить ось из рук, то ленты начнут сматываться с катушек. Центральный диск начнет вращаться против часовой стрелки, одновременно двигаясь вниз. Потенциальная энергия будет переходить в кинетическую энергию вращающегося диска. В конце концов вся потенциальная энергия перейдет в кинетическую. Далее диск в самой нижней точке продолжит вращаться вокруг своей оси и, наматывая ленту на ось, начнет подниматься вверх. Процесс движения диска вверх-вниз будет периодически продолжаться. В итоге в результате рассеивания энергии движение, конечно, прекратится, и мы снова увидим статичную картину, показанную на рисунке. На рисунке 4 мы видим универсальную пробку, которой можно закрыть и треугольное, и круглое, и квадратное отверстие.

Рис. 3

30

КВАН T 2024/№9

Рис. 4

Диаметр круга равен стороне квадрата. Треугольник равнобедренный, его основание и высота равны стороне квадрата. На сайте «Математические этюды» (https: etudes.ru models universal-plug ) можно увидеть движение этой пробки в пространстве. А в музее Нальчика эту удивительную универсальную пробку можно взять в руки и с удивлением убедиться, как она одна может закрыть три разных отверстия. Всего в Музее занимательных наук Эйнштейна около 100 увлекательных экспонатов и 15 оптических иллюзий, которые воочию демонстрируют законы физики, математики, а также различные природные явления. Посетители могут прикоснуться к молнии, собрать мост без единого гвоздя, посидеть на гигантском стуле, создать облако своими руками, заглянуть в огромный калейдоскоп, увидеть мир глазами других и еще многоемногое другое. Экспериментировать и все трогать в музее разрешается! Некоторые экспонаты совсем простые, понятные первокласснику. Так, на рисунке 5 изображена цепочка последовательно сцепленных шестеренок. Если начать вращать концевую красную шестеренку по часовой стрелке, то в каком направлении будет вра-

Рис. 5

Рис. 6

щаться концевая синяя? А если шестеренок не 9, как нарисовано, а n? На рисунке 6 представлена модель посерьезнее. Взяв в руки довольно массивное велосипедной колесо и раскрутив его, мы почувствуем, как колесо сохраняет направление оси. При повороте оно, словно живое, так и пытается вырваться из рук. На следующих фотографиях показаны другие экспонаты Нальчикского музея. Вспомните или догадайтесь, что показывает каждый из них. К некоторым мы дадим краткие пояснения. Массивный маятник (рис. 7) может совершать колебания в различных плоскостях.

Рис. 7

31

ЛАБОРАТОРИЯ

«КВАНТА»

Рис. 8

При круговом движении его острие вычерчивает на поверхности песка разнообразные кривые. А вот модель арочного моста, построенного без единого гвоздя (рис. 8). По этому принципу в прежние времена, когда не было железобетонных перекрытий, делали полукруглые окна в домах и своды храмов. Посмотрим на горизонтально расположенные рельсы, которые (в отличие от обычных!) не параллельны (рис. 9). Каждое колесо насажено на цилиндрическую ось. Внимательно присмотревшись к осям, вы заметите, что радиусы осей непостоянны: ось большого колеса истончается к концам, а ось меньшего колеса наоборот утолщается. Под действием скатывающей силы большое левое колесо катится слева направо, меньшее правое колесо катится справа налево. Суть в том, что при движении каждого колеса по рельсам его центр масс в действительности опускается вниз. Это смещение практически неуловимо на глаз, так как изменение диа-

Рис. 9

Рис. 10

метра оси заметить трудно, и поэтому угол наклона наклонной плоскости для каждого колеса очень мал. Достаточная для движения скатывающая сила получается за счет большой массы колес. Парадокс: одно колесо катится от левого края рельс к правому, а другое – наоборот. Этот экспонат производит очень сильное впечатление. Как утверждают «Математические этюды», на рисунке 10 изображен наиболее завораживающий экспонат. Наклонный отрезок прикреплен к вертикальной оси с помощью двух соединений и может вращаться вокруг этой оси. В вертикальной плоскости имеется криволинейный разрез в виде гиперболы. При вращении отрезок проходит через разрез. Суть в том, что этот отрезок является частью прямолинейной образующей гиперболоида вращения. Надеемся, что теперь каждый читатель захочет побывать в таком интересном музее!

М АТ ЕМ АТИ ЧЕС КИ Й КР УЖ ОК

Трисекция угла и другие классические задачи

А. ЗАСЛАВСКИЙ, С.МАРКЕЛОВ

Мы знаем, что задача не имеет решения. Мы хотим знать, как ее решать. А.Стругацкий, Б.Стругацкий. «Понедельник начинается в субботу»

В школьной геометрии задачи на построение, как правило, требуется решать циркулем и линейкой. Причиной этого является историческая традиция: именно эти инструменты использовали геометры Древней Греции. Они же сформулировали три, ставшие классическими, задачи, одной из которых является трисекция, или деление данного угла на три равные части, а двумя другими – удвоение куба, т.е. построение куба с объемом вдвое больше данного, и квадратура круга, т.е. построение квадрата, площадь которого равна площади данного круга. То, что решить все эти задачи, пользуясь только циркулем и линейкой без делений, невозможно, было доказано в XIX веке, когда задачи были переформулированы на алгебраическом языке. Например, задача о трисекции угла M S 3 сводится к решению кубического уравнения $x^{3} 3 x 1 0$. У этого уравнения нет рациональных корней, и можно доказать, что его корни не являются квадратичными рациональностями и не могут быть построены циркулем и линейкой (подробнее о доказательствах невозможности построений см. [1]). Однако можно пытаться решить задачу, если допустим более широкий арсенал инструментов, а также если на плоскости предварительно начерчена некоторая кривая. Этим методам был посвящен проект, предложенный авторами статьи на XXXVI Летней конференции Турнира городов в августе 2024 года.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240903

Начнем с двух задач, известных с античных времен.

Задача 1. Разделите данный угол на три равные части с помощью циркуля и линейки, на которой отмечен единичный отрезок. Линейку можно прикладывать к плоскости так, чтобы она проходила через ранее построенную точку, а концы отмеченного на ней отрезка лежали на ранее проведенных линиях. Решение. Обозначим данный угол через M и на единичной окружности с центром O возьмем точки A и B такие, что ‘ AOB M. Используя линейку с отмеченным единичным отрезком, проведем через B прямую, пересекающую окружность и продолжение отрезка AO за точку O в таких точках X, Y, что XY = 1 (рис. 1). Тогда ‘ OBX ‘ OXB 2 ‘ XYA и ‘ AOB ‘ OBY ‘ OYB 3 ‘ XYA, следовательно, ‘ XYA M 3.

Рис. 1

Определение. Пусть точка равномерно движется по лучу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью вокруг своего начала. Тогда кривая, которую она описывает, называется спиралью Архимеда.

Задача 2. Пусть на плоскости начерчена спираль Архимеда. Разделите данный угол с помощью циркуля и линейки а) на три равные части; б) на n равных частей. Решение. а) Проведем из центра O спирали два луча, образующие угол M, и найдем точки X, Y их пересечения со спиралью (рис. 2). Отложим на OY отрезок OX c OX, разделим отрезок X c Y на три равные части и проведем через точки деления окружности с центром O, пересекающие спираль в точках P и Q. Тогда ‘ XOP ‘ POQ ‘ QOY. б) Решение аналогично предыдущему пункту. Множество кривых, при наличии которых трисекция угла становится выполнимой,