Квант 2025, №1 · Страницы

5

ПРОБЛЕМЫ

ЭЛЕКТРОВАКУУМНЫХ

встречается близкая задача – почему при варке сосиски лопаются вдоль, а не поперек. Там, правда, давление не снаружи, а изнутри, но задача все равно похожая. При работе электронной лампы ее стеклянный баллон нагревается, и при некоторых неисправностях нагрев может быть таким сильным, что атмосферное давление сможет деформировать баллон (рис. 3).

Рис. 3. Вот что бывает, когда стекло размягчается

Но это редкий и, можно сказать, криминальный случай. Чтобы лампа работала, надо подать напряжения на катод, анод и сетку (или несколько сеток). Иными словами, баллон должен быть либо диэлектрическим (стекло, керамика), либо металлическим, но тогда надо изолировать вводы. Можно было бы изолировать все, кроме одного, но на практике изолируют все – неудобно иметь металлический баллон под потенциалом одного из электродов. Соответственно, возникают и технологические (как сделать) и физические проблемы. Вакуумно-плотное, т.е. без щелей, соединение металла и стекла (или керамики) – хорошо известная конструкторская и технологическая проблема. При каких условиях слипается раскаленное стекло с металлом – уже не простой и не слишком хорошо изученный вопрос. Но что происходит дальше? Само соединение осуществляется при высокой температуре, потом объект надо остудить, а что делают вещества при изменении температуры? В частности, изменяют свои размеры, а если они соединены и возникающие механические напряжения превзойдут прочность соединенных материалов или прочность самого соединения (это три разных прочности), то соединение разрушится. Механические напряжения могут быть в некоторых случа-

ях вычислены, если известны параметры соединяемых материалов. Например, вы можете получить этот результат, если соединены соосно цилиндр и стержень с известными коэффициентами термического расширения и модулями Юнга. Кстати, почему в качестве модели для расчета напряжений надо брать систему с осевой симметрией? Не только потому, что она похожа на реальную конструкцию. А еще и потому, что конструкции из двух пластинок может быть энергетически выгоднее изогнуться, а это посчитать будет сложнее. На практике стараются в качестве вводов использовать материалы с таким же расширением, как материал баллона. Но это сплавы, у которых обычно выше сопротивление, а мы собирались по вводам пропускать токи. Поэтому первая физическая проблема – вводы должны иметь достаточное сечение, чтобы они не грелись протекающим током, а вторая проблема – расстояние между вводами должно быть достаточно велико, чтобы не произошел пробой по поверхности баллона (пробой по поверхности происходит при меньших напряжениях, чем пробой по объему). Что касается пробоя в твердых телах, хоть по объему, хоть по поверхнос-

Рис. 4. Высоковольтные выводы вверху

9

ПРОБЛЕМЫ

ЭЛЕКТРОВАКУУМНЫХ

электровакуумных приборов без источника питания – разрядник (их много разных) и диод с автоэлектронным катодом (подробности можно найти в интернете). Но кроме них все остальные потребляют энергию и мощность. А что они выдают? Лампы, работающие в области высоких частот, выдают электромагнитную волну, т.е. энергию и мощность. Про лампы, работающие в области относительно низких частот, сказать «выдают» нельзя, можно сказать «могут выдавать». Ибо для этого к ним надо подсоединить нагрузку, а без нагрузки у них на выходе имеется напряжение (или ток в цепи анода), но нет мощности. Правда, тут есть тонкости. Например, есть высокочастотные лампы, которым вредно работать без нагрузки. Так, СВЧ-печи ( микроволновки) не положено включать без нагрузки. Но сейчас мы обсуждаем более простые ситуации. Так вот, так или иначе, а КПД не бывает 100 %. Соответственно, возникают два вопроса – как можно увеличить КПД и куда девается «остальное». А остальное переходит в основном в тепло – электроны прилетают к аноду с энергией и почти вся она преобразуется в тепло (порядка 1 % – в рентгеновское излучение). От этого тепла много неприятностей, например, материал анода может испаряться или плавиться. Охлаждение происходит с внешней стороны, а греется анод изнутри. При нагреве материал анода расширяется, но внешние слои не дают ему это сделать, в материале возникают механические напряжения. В итоге материал анода трескается. Эти процессы с трудом поддаются расчету, но экспериментальные данные и опыт эксплуатации имеются. В самом начале статьи было вскользь сказано про среднюю мощность и ее отличие от импульсной. Представим себе, что лампа работает в непрерывном режиме, часть потребленной ею энергии так или иначе преобразуется в тепло и достается электродам. В итоге все это тепло отводится в окружающую среду. Охлаждение естественное или искусственное, водяное или воздушное – не столь важно, главное, что тепло отводится в среду. Но все части лампы (и электроды, и оболочка) нагрева-

ются, а вот до какой температуры – зависит от того, как работает охлаждение. Раз какой-то элемент нагревается, значит, сильнее испаряется, изменяет размеры, теряет прочность, увеличивает эмиссию, может и совсем расплавиться. Тепловой режим отчасти поддается расчету, уравнения там не слишком сложные, но все-таки не школьные. Поэтому расчет нужен, но экспериментальная проверка обязательна. Но вот что надо понимать про среднюю и импульсную мощности. Электровакуумные приборы любых типов часто работают в импульсном режиме. Рассмотрим самый простой случай, когда это прямоугольные импульсы длительностью t, следующие с периодом T. (На всякий случай – в книгах и статьях вы можете встретить термины «коэффициент заполнения», он $равен^{t} T$, и «скважность», она равна T t .) Пусть мощность в течение импульса равна N. Тогда, очевидно, средняя мощность $равна^{tN} T$. Внимание, вопрос: чему равен нагрев какого-то определенного элемента лампы? Равен ли он нагреву при работе в непрерывном режиме с мощностью, равной средней, $т.е^{tN} T$ (что кажется естественным), или нагреву при работе в непрерывном режиме с мощностью, равной пиковой, т.е. N (что кажется глупостью)? Подсказка – возможны оба случая, а также все промежуточные. На самом же деле это только самый маленький и начальный кусочек огромного куска физики и техники, причем имеющего отношения далеко не только к электронным лампам. Но в любом случае – все эти процессы вредны. Как их избежать? На этот вопрос есть много ответов, причем для каждого типа приборов ответы свои, но два общих – причем правильных – ответа вы можете дать сразу, исходя из того, что уже знаете. Надо притормозить электроны перед прибытием на анод. Это действительно делается, и называется это рекуперацией. Вы можете на досуге поразмышлять, есть ли у этого способа ограничения и какие (их по крайней мере два). Другой способ – «распушить» электронный пучок, обрушивающийся на анод, расширить его, уменьшить плотность мощности (отношение мощ-

Об инвариантах Понселе и пучках окружностей

П.КОЖЕВНИКОВ

Вокруг теоремы Понселе

Теорема Понселе – одна из геометрических теорем, которой можно восхищаться бесконечно! Приведем один из «классических» вариантов ее формулировки (конечно, известны вариации и обобщения). Теорема Понселе. Пусть на плоскости даны две окружности, и вторая окружность лежит внутри первой (рис. 1).

Рис. 1

Предположим, существует замкнутая n-звенная ломаная, все вершины которой лежат на первой окружности, а все звенья которой касаются второй. Тогда есть бесконечно много таких замкнутых n-звенных ломаных и любая точка первой окружности может быть вершиной такой ломаной. Таким образом, построение ломаной можно начать с любой точки первой окружности, проводя касательную ко второй окружности и получая новую точку пересечения на первой окружности. Пошаговое построение такой ломаной называют процессом Понселе для пары данных окружностей, а саму ломаную (вписанную в первую окружность и описанную вокруг второй) – ломаной Понселе или траекторией Понселе. По сути, теорема Понселе

DOI: https: doi.org 10.4213 kvant20250102

утверждает, что если траектория Понселе, начатая в некоторой точке первой окружности, оказалась периодической, т.е. замкнулась после какого-то шага, то эту замкнутую траекторию можно «вращать» между окружностями. Зададимся вопросом, а какими интересными свойствами обладают траектории Понселе? Интересным свойством может быть инвариант, т.е. величина или характеристика, не зависящая от выбора траектории. Пример метрического инварианта указан в задаче M2817 из «Задачника «Кванта» (ее решение см. в этом номере журнала). В этой задаче рассматривается пара окружностей, для которых существует семейство вписанно-описанных (2n)-угольников Понселе, и утверждается, что отношение площади к сумме длин главных диагоналей является инвариантом, т.е. одной и той же величиной для любого (2n)-угольника Понселе. В решении задачи М2817 используется замечательный геометрический инвариант семейства (2n)-угольников Понселе: их главные диагонали пересекаются в одной фиксированной (не зависящей от выбора (2n)-угольника) точке. К этому факту мы обратимся в задаче 10 в конце статьи. Рассмотрим утверждение про еще один геометрический инвариант для периодических траекторий Понселе. Утверждение. Пусть для пары окружностей:, Z есть замкнутая n-звенная траектория Понселе. Рассмотрим n точек касания звеньев с Z. Тогда центр масс системы этих n точек – фиксированная точка. Итак, центр масс точек касания, а точнее говоря, центр масс системы n равных масс,

35

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

Кстати, выделенные курсивом слова – название статьи, дважды опубликованной в «Кванте» (см. «Квант» №9 за 1981 г. и №12 за 1987 г.). Сам же этот тезис – из книги Я.И.Перельмана «Занимательная алгебра». Вот пример задачи, к которой можно отнести это суждение: Кусок льда c температурой 0 q С и массой m поместили в воду с температурой 35 q С. Масса вода равна 2 m. Определите температуру смеси, предполагая, что теплообмен происходит только между льдом и водой. Известно, что удельная теплота плавления льда 340 кДж кг, а удельная теплоемкость воды 4,2 кДж к㠘 q C. Предполагая, что весь лед растает, приходим к уравнению

340 m 4,2 ˜ 3 m ˜ t

ШКОЛЬНИКОВ

часов выпили бочонок кваса и в которой спрашивается, сколько косцов выпьют такой же бочонок за 3 часа. Слово «косцы» школьникам столь же незнакомо, как слово «эскалатор» их дедушкам и бабушкам прошлого века.

Вдумчивые читатели, наверное, уже увидели, что две на первый взгляд разные задачи 1 и 2 – на деле одна и та же математическая задача. Сходство абсолютное, что хорошо видно из таблицы:

4,2 ˜ m ˜ 35 t.

Отсюда следует, что t < 0. Это неравенство означает, что весь лед не растает. Часть его так и останется в виде льда с нулевой температурой, а вся вода охладится до нуля градусов. Температура смеси будет нулевой. А теперь вспомним такую физическую задачу. Задача 2. Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал 50 ступенек, второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое больше, он насчитал 75 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?

По условию этой задачи заметим следующее. Человек бежит не по эскалатору, а по ленте эскалатора. Эскалатор – это большая и сложная подъемно-транспортная машина. Первое патентование эскалатора относят к 1859 году, первый эскалатор появился в 1894 году в Нью- Йорке как аттракцион для туристов, в метро – в 1911 году в Лондоне. В нашей стране первые эскалаторы начали действовать в 1935 году в Московском метрополитене. По этой причине задача про человека, бегущего по эскалатору, не могла появиться в задачниках в 30-е, да и в 40-годы прошлого века. А вот у современных школьников вызывает вопросы старинная задача, в которой 6 косцов в жаркий день за 8

Ясно, что, решив задачу 1 про теплоход, катер и два плота на реке, мы решили и задачу 2. Так что ответ к ней: 100 ступенек. Рисунок 1, приведенный к задаче 1, вполне можно отнести к задаче 2 про эскалатор. При этом мы считаем, что человек бежит по ходу движения эскалатора – именно так зачастую поступает спешащий пассажир метро. Но в условии задачи об этом прямо не сказано, поэтому давайте рассмотрим тот случай, когда человек бежит против движения эскалатора. Предположим, что эскалатор движется сверху вниз, а человек пытается подняться по нему снизу вверх (рис. 2). Эскалатор выступает для него этаким спортивным тренажером, бегущей дорожкой. Пусть N – это невидимая вначале ступенька, находящая на расстоянии l от видимого начала эскалатора. Эта ступенька и человек встречаются в верхней точке эскалато-

41

МАТ Е МАТИ ЧЕС КИ Й

Рассмотрим другой пример. Пусть есть некоторое мультимножество (множество, в котором элементы могут повторяться) целых чисел M и некоторое число S. Необходимо проверить, существует ли в M подмножество чисел, в сумме дающих S. Пока не известны быстрые алгоритмы нахождения требуемого подмножества. Таким образом, не известно, лежит ли эта задача в P. Однако мы точно можем сказать, что задача лежит в NP. Если нам дадут некоторый набор чисел, то нужно будет просто убедиться в том, что нас не обманули и действительно дали подмножество M, а также то, что сумма данных нам чисел равна S. Поскольку решение можно быстро проверить, задача лежит в NP. Есть, кроме того, класс NP-полных задач, т.е. класс самых «сложных» NP-задач. Если найти «быстрый» алгоритм решения хотя бы какой-нибудь из них, то это автоматически будет значить, что для любой NP-задачи существует «быстрый» алгоритм. И рассмотренная нами задача как раз NP-полна. Заметим, что задача нахождения подмножества M с суммой S по сути является частным случаем той игры, что придумал искусственный интеллект. Просто в данном случае идет игра на доске, одна из сторон которой равна 1. Таким образом, если хороший алгоритм и существует, то человеку до него, скорее всего, будет сложно догадаться, а тем более современному искусственному интеллекту. Остается только перебирать каким-то образом варианты. Подобные задачи зачастую являются NP- полными. Например, судоку также среди них. Так что можно быть уверенным, что при генерации нового уровня числа на доске появляются случайно и «решение» также выбирается случайно. Поэтому вероятно, что какой-то из уровней будет иметь не единственную правильную комбинацию, и это, конечно, не очень хорошо. Ведь тогда при решении придется в некоторый момент действовать наугад. Подытожим наши рассуждения тем замечанием, что искусственный интеллект надо использовать с (человеческим) умом, а не надеяться на его безупречность. Однако здорово, что он способен дать думающему человеку столько пищи для размышления. Пред-

К РУЖ ОК

ставьте, сколько обобщений можно придумать на основе этой игры! В заключение отметим, что обсуждаемая игра уже была придумана раньше (см. [3]). Так что еще неизвестно, действительно ли искусственный интеллект сам сгенерировал такие правила или все-таки воспользовался имеющимся материалом.

Упражнения

3. В задаче дискретной томографии единственным препятствием к единственности решения было существование «шахматных четверок». Приведите примеры препятствий к единственности решения, которые могут возникнуть при решении задачи, предложенной искусственным интеллектом. 4. Единственно ли решение задачи, предложенной искусственным интеллектом (рис. 8)?

Рис. 8

Литература

1. H.J.Ryser. Сombinatorial properties of matrices of zeros and ones. – Canadian Journal of Mathematics, 2010, n. 9, p. 269–275. 2. Д.В.Мусатов. Сложность вычислений. – МФТИ, 2016. 3. https: www.digitaltrends.com gaming sumplete-chatgpt-ai-game-design-ethics

43

Ф ИЗИ ЧЕС КИ Й

положения равновесия нулевое, достигаются максимумы и минимумы давления $p_{0} r$ ’ p. Этим же моментам времени и местам в пространстве соответствуют экстремальные упорядоченные скорости движения частиц r Av O. Иными словами, в этих местах и в эти моменты времени достигается максимальная плотность потока энергии в волне, равная ’ pAv O. Причем знаки потоков энергии в направлении оси x в этих местах (там, где нулевые смещения частиц) одинаковы. В тех же местах, где частицы движутся с максимальной скоростью, величина дополнительного давления по отношению к среднему значению равна нулю. Произведение скорости их упорядоченного (не теплового) движения на среднее давление в этом месте тоже дает плотность потока энергии, но эти потоки в одном месте и в ближайшем вдоль направления распространения волны соседнем имеют противоположные знаки, поскольку скорости волнового движения отличаются в этих местах по направлению. В распространяющейся в направлении +x волне среднее по времени значение плотности потока энергии в этом направлении положительно и равно половине от максимального значения, которое достигается именно в тех местах и в те моменты времени, где и когда смещения частиц от равновесных положений равны нулю. Таким образом, во времени поток энергии пульсирует с частотой 2v O, которая в два раза выше частоты колебаний частиц в волновом движении, равной v O.

Волновые свойства

Ф АК У ЛЬТАТИВ

Энергия волн. Громкость звука

Энергия звуковых волн в объеме с поперечными линейными размерами, значительно превышающими длину волны, пропорциональна квадрату амплитуды колебаний давления в волне. Если считать, что потерь нет и источник звука выдает постоянную во времени мощность, создавая волны, распространяющиеся по всем возможным направлениям, то с увеличением расстояния от источника звука до места регистрации волны в выбранном постоянном направлении от источника амплитуда волн A убывает. Например, если источник и приемник звука находятся в однородной среде и размеры источника D и длина волны O звука малы в сравнении с расстоянием R от источника до приемника, то произведение расстояния на амплитуду волны на этом расстоянии сохраняется: AR const.

Восприятие звуковых сигналов имеет определенные особенности. Известно, что диапазон частот сигналов, воспринимаемых человеком как звук, составляет для молодых людей от 20 Гц до 20 кГц. С возрастом чувствительность к высоким частотам падает. При этом одинаковые по амплитуде колебаний частиц в волне сигналы на разных частотах воспринимаются как разные по громкости. На рисунке 1 показаны уровни звука на разных частотах, которые воспринимаются как одинаковые по громкости. Наибольшая чувствительность достигается при

Для звуковых волн с малыми амплитудами колебаний давления справедлив принцип суперпозиции. При этом распространяющиеся через одну и ту же область пространства в разных направлениях волны не влияют друг на друга. Для звуковых волн (так же, как и для световых, т.е. электромагнитных волн) имеют место известные волновые явления. А именно: интерференция и дифракция волн. В отличие от световых волн, для звуковых волн в газах квантовые свойства не проявляются.$^{1}$

1 Кстати, для звуковых волн в твердых телах квантовые эффекты имеют место. Именно этими эффектами определяется зависимость от температуры теплоемкости твердых тел при низких температурах.

Рис. 1. Зависимость уровня громкости звука от частоты

45

Ф ИЗИ ЧЕС КИ Й

ния ’ $p = p_{0}$ скорость звука не зависит от амплитуды колебаний давления. А вот при увеличении амплитуды давления в волне до величин, сравнимых (или больше) со средним значением $p_{0}$, скорость звука вырастает (возникают ударные волны).

Движение источника и приемника звука

Если источник звука движется относительно газа, то распределение в пространстве участков с повышенным и пониженным давлением (максимумов и минимумов давления в волне) зависит от направления, в котором распространяется звуковая волна, и от вектора скорости движения источника звука (учитывается и направление, и величина скорости источника). Это явление носит название эффекта Доплера, названного так в честь физика, впервые объяснившего этот эффект. Например, человек, неподвижно стоящий (в безветренную погоду) и слушающий звук проезжающего мимо него со скоростью меньше скорости звука автомобиля (поезда или пролетающего вертолета), слышит более высокую частоту колебаний звука во время приближения к нему источника в сравнении с частотой звука, приходящего к слушателю от удаляющегося от него того же источника звука. Движение самого слушателя относительно воздуха тоже приводит к зависимости высоты слышимого звука от направления распространения звуковых волн и от величины и направления скорости движения слушателя.

Сверхзвуковой самолет

Если источник звука движется относительно газовой среды со скоростью, превышающей скорость звука (некоторые современные самолеты могут летать в воздухе со скоростью больше скорости звука), то в этом случае все пространство разделяется на две области: одна область еще не занята звуковыми волнами, а в другой области звуковые волны уже существуют. Если такой источник звука движется прямолинейно и равномерно, то разделяет эти две области поверхность в форме конуса. Называют ее конусом Маха – по фамилии физика, который впервые описал ее. В вершине этого конуса находится источник звука и вершина движется со ско-

Ф АК У ЛЬТАТИВ

ростью источника звука. При этом вполне возможна ситуация, что самолет уже пролетел то место, в котором он был на минимальном расстоянии от наблюдателя, стоящего неподвижно на земле, а звуковые волны до него еще не дошли. В этом случае в момент прихода звуковых волн к слушателю возникает резкое изменение давления (хлопок), после которого слышится рев самолета. Причем по звуковым ощущениям создается впечатление, что от места над слушателем разлетаются в разные стороны два источника звука: один в ту сторону, куда полетел самолет, а другой в противоположную сторону. Пули, выпущенные из некоторых современных видов огнестрельного оружия, вылетают из ствола со скоростью в два раза выше скорости звука. И на значительной части длины траектории полета скорость пули превышает скорость звука. Поэтому справедливо высказывание: «если ты услышал звук летящей пули – она не твоя», т.е. она уже пролетела мимо и в тебя не попадет.

Звуковые волны в неоднородной среде

Понятно, что среды, в которых распространяются звуковые волны, могут быть неоднородными. Например, известно, что в воздухе (даже в неподвижном) с высотой над выбранным начальным горизонтальным уровнем может изменяться и температура, и плотность. Следовательно, волны в такой неоднородной среде могут изменять направление своего распространения, если переходят от участка с одним набором характеристик среды к участку с другим набором. При этом выполняются определенные соотношения между падающей на границу раздела участков волной, отраженной от этой границы или прошедшей через эту границу раздела волной. Действуют соответствующие законы отражения и преломления. Если считать, что потерь нет, что поверхность раздела плоская и ее геометрические размеры значительно больше длины волны, то эти законы совпадают с соответствующими законами в геометрической оптике и основываются на законах сохранения в механике. А именно: на законах сохранения импульса и энергии. Конечно, существуют ситуации, в которых длины волн сопоставимы

46

КВАНТ 2025/№1

с размерами границ раздела, да и сами границы могут быть не плоскими, а кривыми. В таких случаях могут появляться такие же волновые эффекты, как и для электромагнитных волн, т.е. дифракция и интерференция.

Поверхностные волны

Если газовая среда неоднородна и наблюдается резкая граница раздела, например отделяющая друг от друга области с разной плотностью одного и того же газообразного вещества (при различных температурах, но одинаковом давлении) или области с разным составом газовых смесей, которые тоже имеют разные плотности, то в гравитационном поле вещества располагаются так, что менее плотная составляющая находится выше более плотной. В такой ситуации возможно образование и распространение вдоль этой границы раздела так называемых поверхностных волн. (Аналогом являются гравитационные волны на поверхности воды.) Скорость их распространения зависит от плотностей выше $U_{в}$ и ниже $U_{н}$ границы раздела, а также от величины ускорения свободного падения g. И, самое интересное, скорость распространения таких волн зависит и от длины волны, и от амплитуды. Конечно, в атмосфере на разных высотах плотности воздуха отличаются и такие поверхностные волны иногда наблюдаются в виде специфической формы облаков, но частота колебаний в таких волнах настолько мала, что они не попадают в диапазон частот, который мы можем слышать. Иными словами, называть такие волны звуковыми никак нельзя.

Задачи для самостоятельного решения

1. Каков коэффициент пропорциональности в формуле $v^{2} \sim RT 0$ для газообразного водорода $( H_{2} )$ при разных температурах $T_{1} = 10$ К и $T_{2} = 300$ К? 2. Какова скорость звука в газовой смеси гелия и водорода при одинаковой концентрации молекул этих веществ при нормальных условиях? 3. Какова скорость звука в атмосфере Сатурна, средняя температура которой равна примерно 140 К? Состав атмосферы Сатурна: $H_{2}$ (около 96 %), He (около 3 %), $CH_{4}$ (около 0,4 %).

4. Раскапризничавшийся ребенок кричит так, что на расстоянии 1 м от его рта уровень громкости звука составляет 120 дБ. Энергия его крика распределена по частотам равномерно в диапазоне (1–7) кГц. На каком расстоянии от ребенка его крик уже будет невозможно услышать? 5. Какова амплитуда колебаний давления воздуха (находящегося при нормальных условиях) в плоской звуковой синусоидальной волне, для которой амплитуда смещений частиц от положений равновесия равна 1 мм, а длина волны равна 1 м? Какова величина плотности потока энергии в этой волне? 6. Какова громкость звука (в дБ) в волне из предыдущей задачи, если частота колебаний 3000 Гц? 7. Внутри шарика с тонкими резиновыми стенками находится в газообразном состоянии вещество с названием НОВЕК (у этого вещества весьма большая молярная масса). Снаружи воздух находится при нормальных условиях. Радиус шарика равен 0,5 м. На шарик падает плоская звуковая волна с частотой 10 кГц. Вдали от этого шарика прибор регистрирует громкость звука 50 дБ. В каком месте нужно расположить микрофон, чтобы зарегистрировать максимальную громкость звука? Какова примерно эта максимальная громкость? 8. Самолет летит на высоте 1000 м с постоянной скоростью 200 м с. Винт (пропеллер) этого самолета имеет три лопасти и вращается с частотой 1000 об мин. Непосредственно под траекторией (на эпитраектории) находится наблюдатель. Какую частоту звука слышит этот наблюдатель в те моменты, когда самолет находится от него на расстоянии 3 км? 9. В огромном кратере (диаметр больше 10 км) давно потухшего вулкана с высокими (0,5 км) стенками воздух холодный $( - 10 \infty$ С ). Над кратером медленно движется теплый воздух $( + 20 \infty$ С ). Какова скорость распространения поверхностных (на границе раздела теплого и холодного воздуха) волн с длиной волны 10 м? Атмосферное давление составляет $10^{5}$ Па. 10. Для чего в прошлом веке на открытых эстрадных площадках над подиумом высотой примерно 1 м делали стены в форме четверти сферы с радиусом 5–6 м, т.е. примерно во всю ширину рядов скамеек для зрителей, стоящих перед этой площадкой?

Игра с тенью

ЛА Б ОРАТОРИЯ «КВАНТА»

И.СЫЧЕВ

В солнечный летний день дети (да и взрослые) любят поиграть с тенью. Наиболее наблюдательные, наверное, обращали внимание на такой факт. Если стоять, например, под крышей дома и приближать свою тень к тени дома, то своя тень начинает вытягиваться в направлении тени дома (рис. 1). В чем же причина такого искажения тени? Дифракцию не рассматриваем – не ее масштабы, все здесь макроскопическое. Воспользуемся законами геометрической оптики и изобразим схему данного явления (рис. 2). По-видимому, дело прежде всего в том, что источник света имеет ненулевые угловые размеры. Рассмотрим для упрощения только крайние лучи, идущие от диска Солнца (рис. 3,а). На большом расстоянии между экранами 1 и 2 тень от первого экрана не искажена (левое фото на рисунке 1). При достаточном сближении теней от головы и крыши на тело, более близкое к земле (экран 1), начинает попадать свет не со всей поверхности источника света, а только с той части, которая еще не загорожена более отдаленным телом (экран 2). При достижении этого положения экраном 1 начинает расти угол D между падающим лучом и вертикалью (начало солнечного луча как бы смещается по окружности диска Солнца по

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250106

Рис. 1. Искажение тени объекта

Рис. 2. Геометрическая схема явления

Рис. 3. Изменение угла D при движении экрана 1

часовой стрелке вниз) и, следовательно, тень от экрана 1 вытягивается навстречу тени от экрана 2 (рис. 3,б). Таким образом, скорость смещения тени возрастает с увеличением угла D. Поэтому при приближении тени от головы (экран 1) к тени дома (экран 2) участки, близкие к дому (бо c льшие углы D ), дают более длинную тень: голова «вытягивается» в направлении крыши дома (правое фото на рисунке 1). Попробуем оценить по величине удлинения тени угловой размер Солнца (рис. 4). Для упрощения расчета примем, что Солнце находится практически в зените и угол M мал. В нашем опыте при росте человека

51

ОЛИМПИАД Ы

в которые входят $dT_{A} dH$ и $dT_{E} dH$. Используя эти уравнения, найдите численное значение изменения температуры Земли в результате увеличения значения H на один процент.

Рис. 2. Тепловые потоки между Землей и атмосферой

и пропускает остальную часть. Такое поведение, известное как парниковый эффект, изменяет среднюю температуру Земли. Поверхность Земли отражает часть $r_{E}$ видимого и ультрафиолетового излучения и поглощает остальную часть этого излучения и все инфракрасное излучение. B1. Предположим, что H 1 и $r_{E} 0$. Найдите температуру Земли $T_{E}$ и температуру атмосферы $T_{A}$. Теперь предположим, что $r_{E} z 0$. В этом случае система «Земля + атмосфера» отражает некоторую другую долю солнечного излучения, называемую «альбедо» и обозначаемую D. B2. Найдите альбедо D через $r_{E}$ и $r_{A}$. Рассчитайте его численное значение при $r_{E} 0,102$ (и $r_{A} 0,255 ).$ B3. Выразите температуру Земли через $V, D, S_{0}$ и H. Используя приведенные данные и рассчитанное альбедо, найдите численное значение H, которое приводит к нынешней средней температуре Земли $T_{E} 288$ К. B4. Найдите $dT_{E} dH$ и вычислите, на сколько увеличится температура Земли, если H увеличится на один процент. Предположим, что $T_{A} 245$ К и $T_{E} 288$ К. Эти значения получены из реальных данных и могут отличаться от результатов, которые вы получили в предыдущих пунктах. Теперь предположим, что имеет место нерадиационный (например, конвективный) тепловой поток $J_{NB} k T_{E} T_{A}$ от Земли к атмосфере, где k – постоянная. Величина $J_{NR}$ – это передаваемая мощность с единицы площади. B5. Выразите H и k через $T_{E}, T_{A}, V, D$ и $S_{0}$. B6. Дифференцируя по H выражения, полученные в пункте B5, получите два уравнения,

Задача 2. Ионная ловушка и охлаждение атомов (10 баллов) В последние десятилетия удержание и охлаждение атомов и ионов стали увлекательной темой для физиков, а за работы в этой области было присуждено несколько Нобелевских премий. В первой части этой задачи мы рассмотрим технику захвата ионов, известную как «ловушка Пауля». За эту работу Вольфганг Пауль и Ханс Демелт получили половину Нобелевской премии по физике 1989 года. Далее мы исследуем технику доплеровского охлаждения – одну из работ, упомянутых в пресс-релизе Нобелевской премии по физике 1997 года, присужденной Стивену Чу, Клоду Коэн-Таннуджи и Уильяму Филлипсу «за разработку методов охлаждения и удержания атомов с помощью лазерного излучения».

Часть A. Ловушка Пауля (5,6 баллов) Известно, что с помощью электростатических полей невозможно создать устойчивое равновесие для заряженной частицы. Поэтому для создания точки стабильного равновесия для ионов требуются более сложные методы. Одной из таких методик является ловушка Пауля. Рассмотрим равномерно заряженное кольцо с линейной плотностью положительного заряда O и радиусом R. Положительный точечный заряд Q с массой m помещен в центр кольца (рис. 3).

Рис. 3. Равномерно заряженное кольцо с линейной плотностью положительного заряда O и радиусом R; начало системы координат находится в центре кольца

A1. Используя декартовы координаты x, y, z, получите электрическое поле кольца в окрестности его центра с точностью до первого порядка по x R, y R, и z R.

54

КВАНТ 2025/№1

поглощает свою звезду-компаньона, из-за чего ее сравнивают с черной вдовой – самкой паука, которая после спаривания съедает самца. В результате нагрева газа, падающего на «Черную вдову», возникает наблюдаемое излучение. Самые тяжелые нейтронные звезды зачастую оказываются «Черными вдовами» и служат для ученых естественными лабораториями для проверки фундаментальных законов физики. На рисунке 6,б показано изображение компаньона нейтронной звезды PSR J2215+5135, полученное 3,4- метровым оптическим телескопом Иранской национальной обсерватории. На этом изображении нейтронная звезда не видна, а видимый свет излучается ее компаньоном.

Часть A. Двойная система (5 баллов) Рассмотрим простую модель, в которой «Черная вдова» и ее звезда-компаньон представлены двумя точечными массами $M_{1}$ и $M_{2}$, движущимися по круговой орбите вокруг общего центра масс. Чтобы исследовать динамику этой системы, перейдем во вращающуюся систему отсчета, в которой оба тела неподвижны. Примем центр масс за начало координат. Предположим, что тела лежат на оси x по разные стороны от начала координат на расстоянии a друг от друга и масса $M_{1}$ лежит на отрицательной полуоси. В произвольной точке x, y в плоскости орбиты эффективный потенциал M x, y единичной пробной массы равен сумме гравитационных потенциалов двух точечных масс и центробежного потенциала. A1. Выразите M x, y через $M_{1}, M_{2}, G$ и a. A2. Предполагая, что $M_{1}$! $M_{2}$, постройте качественный график функции M x ,0. Пусть $M_{2} M_{1} 3$ (только в пункте A3) и звезда $M_{2}$ окружена разреженным газом. Масса этого газа мала по сравнению с массами звезд, поэтому его гравитационным влиянием можно пренебречь. Если газовое облако превысит некоторый критический размер, газ начнет перетекать на $M_{1}$. Предположим, что перетекание начинается в точке $x x_{0}$ на оси x. A3. С помощью калькулятора вычислите значение $x_{0} a$ с точностью до двух значащих цифр. Пусть период вращения звезд вокруг центра масс равен P, а газ течет от $M_{2}$ к $M_{1}$ с очень малой скоростью $dM_{1} dt E$. Ско-

рость перетекания настолько мала, что в течение одного периода вращения расстояние между звездами можно считать постоянным. При этом на больших масштабах времени расстояние между компонентами меняется, но движение компонент остается круговым. A4. Выразите скорость изменения величин a и P через $E, M_{1}, M_{2}, G$ и a. Газ, отделяющийся от $M_{2}$, образует диск, вращающийся вокруг $M_{1}$, в котором газ нагревается за счет трения. Теряя энергию, газ по спирали медленно перемещается к центру диска и, наконец, падает на $M_{1}$. В равновесном состоянии масса перемещается с постоянной скоростью E от $M_{2}$ к диску и от диска к $M_{1}$. При этом нагретый диск испускает тепловое излучение как абсолютно черное тело. Поскольку диск формируется очень близко к нейтронной звезде, гравитационным влиянием $M_{2}$ при рассмотрении диска можно пренебречь. Пренебрегите также теплоемкостью газа. A5. Определите температуру диска на расстоянии r от центра звезды $M_{1}$. Выразите ответ через $r, E, M_{1}, G$ и V (постоянная Стефана–Больцмана). В бинарной системе PSR J2215+5135 масса нейтронной звезды составляет $M_{NS} 2,27 M e$, а масса звезды-компаньона – $M_{S} 0,33 M_{e}$, где $M_{e} 1,98$ ˜ $10^{30}$ кг – масса Солнца. Период вращения составляет P = 4,14 ч, постоянная Стефана–Больцмана V 5,67 ˜ $10^{8}$ Вт $м^{2}$ ˜ $К^{4}$, гравитационная постоянная G 6,67 ˜ $10^{11} м^{3}$ к㠘 $с^{2}$. Предположим, что скорость потока массы к нейтронной звезде составляет E 9 ˜ $10^{10} M_{e}$ год. A6. Вычислите температуру диска на расстоянии r a 10. Ответ приведите в кельвинах. Предположим, что после внезапного взрыва звезда $M_{1}$ выбрасывает часть своей массы из двойной системы с очень большой скоростью и ее масса становится равной $M_{1}^{*}$. Пусть после взрыва относительная скорость движения $M_{1}^{*}$ и $M_{2}$ равна $v^{*}$. A7. При каком максимальном значении $v^{*}$ двойная система останется гравитационно связанной после взрыва? Какому минимальному значению $M_{1}^{*}$ это соответствует, если разлет вещества после взрыва происходил изотропно? Выразите ответы через $M_{1}^{*}, M_{2}, G$ и a.

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

Конкурс имени А.П.Савина

(см. «Квант» №10 за 2024 г.)

5. Нет. Пусть так могло быть. Тогда у любого жителя один сосед – правдолюб, а другой – лжец. Значит, жители, стоящие через одного,чередуются. Если занумеровать жителей по кругу, начиная с правдолюба, то 1-й – правдолюб, 3-й – лжец, 5-й – правдолюб, 7-й – лжец, и так далее. Так, 29-й – тоже правдолюб, но тогда у 30-го жителя одинаковые соседи, противоречие. 6. а) Да; б) нет. а) Разделим доску на 4 квадрата 4 u 4 и в каждом c помощью двух квадратов 3 u 3 перекрасим все черные клетки в белый. б) Запишем в белые клетки исходной доски белые нули, а в черные клетки – черные единицы. Каждое перекрашивание клеток в вершинах квадрата 2 u 2 или 4 u 4 поменяет цвета двух нулей и двух единиц, а в вершинах квадрата 3 u 3 поменяет цвет либо четырех нулей, либо четырех единиц. Значит, любое перекрашивание меняет цвет четного количества нулей. С другой стороны, каждый ноль, который в итоге остался белым, поменял цвет четное число раз, а ноль, в итоге ставший черным, – нечетное число раз. Исходно было 32 белых нуля, а в конце один из них должен стать черным, т.е. число перемен цвета среди нулей было нечетным – противоречие. 7. Рассмотрим две точки A, B этого множества на наибольшем расстоянии друг от друга. Тогда для любой точки C в треугольнике ABC сторона AB является наибольшей, значит, ‘ ACB t 60 q. Следовательно, D t 60 q. Теперь рассмотрим точки A, B этого множества на наименьшем расстоянии. Рассуждая аналогично, получим, что D d 60 q. Значение D 60 q действительно возможно: возьмем множество из трех точек, являющихся вершинами правильного треугольника. 8. Будем называть клетку в-клеткой, если она расположена в вертикально расположенной полоске, и г-клеткой, если она расположена в горизонтально расположенной полоске. Предположим, что есть путь от верхней стороны прямоугольника до нижней по г-клеткам и что есть путь от левой стороны до правой по в-клеткам. Но они должны пересечься – получаем противоречие. Поэтому одного из таких путей нет. Не умаляя общности, будем считать, что нет пути от верхней стороны до нижней по г-клеткам. Докажем, что есть путь по красным клеткам между двумя верхними углами.

Будем называть сторону клетки отмеченной перегородкой, если она является короткой стороной одной из полосок. Покажем, что есть путь между двумя верхними углами по отмеченным перегородкам (переходим по узлам – каждый шаг совершается из вершины клетки в соседнюю вершину). Заметим, что если в-клетка и г-клетка являются соседями по стороне, то их общая сторона является отмеченной перегородкой. Будем называть множество клеток связным, если есть путь между любыми двумя клетками этого множества (переходим из клетки в соседнюю по стороне) по другим клеткам этого множества. Рассмотрим связное множество г-клеток, примыкающее к верхней стороне и максимальное по включению, т.е. в которое нельзя добавить никакую другую г-клетку с сохранением условия. Пример – на рисунке 1. Рассмотренное множество клеток выделено желтым цветом. Отмечен-

Рис. 1

ные перегородки выделены жирными линиями. Пусть самая левая из вершин клеток этого множества, лежащая на верхней стороне, это точка A; и аналогично, самая правая – точка B. Тогда граница этого множества состоит из отмеченных перегородок, а также перегородок, лежащих на верхней стороне прямоугольника. Нет пути между верхней и нижней стороной по г-клеткам, поэтому это множество клеток не может примыкать к нижней стороне. Значит, от A до B можно пройти по границе этого множества клеток, проходя по отмеченным перегородкам. Теперь покажем, как пройти из левого верхнего угла в правый верхний по отмеченным перегородкам. Идем слева направо по верхней стороне, пока на ней есть отмеченные перегородки. Когда они кончились, значит, мы подошли к левой