Квант 2025, №2 · Страницы

3

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ.

Йоханнес Дидерик Ван дер Ваальс женную Нобелевскую премию с формулировкой «За работу над уравнением состояния газов и жидкостей». К этому времени понятие критической температуры уже прочно вошло в практику сжижения газов. Температура сжижения обязательно должна быть ниже критической. Температура сжижения при этом может сильно зависеть от давления. Поэтому в таблицах обычно приводят температуры кипения при атмосферном давлении, т.е. температуры, при которых «газовая жидкость» закипает. Для пропана это 231 К (–42 1 q С ), для метана 112 К ( 161 q С ), для кислорода 90 К ( 183 q С ), для азота 77 К ( 196 q С ), для водорода 20,1 К, для гелия 4,2 К. И где же взять такие низкие температуры? Самая низкая температура на Земле зафиксирована на антарктической станции «Восток» 21 июля 1983 года, это 89,2 q С. В космосе, конечно, есть более низкие температуры. На телах Солнечной системы самая низкая температура – это 33 К (– 240 q С ). И как ни странно, она наблюдается не на наиболее удаленных от Солнца планетах, а совсем недалеко от Земли – на дне некоторых очень глубоких лунных кратеров, куда никогда не заглядывает Солнце. А самая низкая температура во Вселенной зафиксирована в протопланетарной туманности Бумеранг на расстоянии 5000 световых лет от Земли – это 1 К. Это ниже температуры реликтового излучения. Но все же не абсолютный ноль.

ФАКТЫ

И

ПЕРСПЕКТИВЫ

На Земле низкие и сверхнизкие (криогенные) температуры уже давно стали получать в лабораторных и технических условиях. Сначала это было стремлением получить температуру в несколько десятков кельвинов, потом – несколько кельвинов. А сегодня идет соревнование научных лабораторий – подобраться как можно ближе к абсолютному нулю. И на этом пути достигнуты поразительные успехи. Сегодня «мировой рекорд» – это 3,8 ˜ $10^{11}$ К, или тридцать восемь пикокельвинов (Германия, исследовательский центр Бременского университета). А зачем вообще все это нужно – получать низкие и особенно сверхнизкие температуры? Зачем нужны сжиженные газы? Рассмотрим несколько причин. Во-первых – это удовлетворение научного любопытства и неизбежный при этом исследовательский азарт. Что ж? Это вообще важная причина развития науки. Как сказал Энрико Ферми, создав и запустив 2 декабря 1942 года первый в мире ядерный реактор, предназначенный для получения плутония для атомной бомбы: «Это, прежде всего, очень интересная физика». Вторая причина – это изучение свойств веществ и их поведения при низких температурах. Они могут сильно отличаться от свойств и поведения при обычных температурах. Большое научное значение имеет изучение химических реакций в условиях, когда скорости хаотического движения частиц становятся совсем незначительными и для реакции остаются более существенными силы взаимодействия между молекулами. В химических лабораториях нередко можно увидеть баллоны с жидким азотом и даже с жидким гелием. Знание свойств веществ при низких температурах необходимо и во многих человеческих делах, например в арктических и особенно в антарктических экспедициях. Так, недостаточное знание свойств олова при низких температурах стало одной из причин трагического конца экспедиции Роберта Скотта к Южному полюсу в 1912 году. В этой экспедиции олово было основным элементом пайки швов в бидонах для керо-

4

КВАНТ 2025/№2

Руаль Амундсен на Южном полюсе сина, единственного источника тепла в антарктическом холоде. Но уже было известно, что олово при температуре ниже 33 q С испытывает алломорфное превращение своей кристаллической формы – белое олово превращается в серое. Если белое олово – пластичное вещество, то серое олово – порошок. И паяльные швы при низких температурах могут разрушаться, если в составе пайки будет больше олова, чем свинца. Так вот, на обратном пути от достигнутой цели экспедиция Скотта осталась почти без керосина и замерзла в 17 километрах от базы. Последним потерял сознание сам Роберт Скотт, записывающий ради науки в дневнике все происходящее до самого конца. Отзвук этой трагедии был особенно тяжел и потому, что к полюсу шли одновременно две экспедиции – английская Роберта Скотта и норвежская Руаля Амундсена. Соревнование было выиграно норвежской экспедицией, которая покорила полюс 14 декабря 1911 года. Через 34 дня достигла полюса и экспедиция Скотта. И можно представить себе горе и отчаяние англичан, увидевших на «подошве» мира норвежский флаг и не ставших первыми, кто покорил Южный полюс! Трагедия от незнания свойств веществ при низких температурах произошла и в

наши дни — 28 января 1986 года американский космический шаттл «Челленджер» через несколько секунд после старта потерпел аварию. Погибли семь астронавтов (в том числе две женщины). Причиной несчастья стала утечка продуктов сгорания твердого ракетного топлива сквозь уплотнительные кольца, материал которых изменил свои механические свойства из-за необычно низкой температуры воздуха на мысе Канаверал ( 8 q С, а обычно было выше нуля). Ракета с «Челленджером» простояла на старте несколько суток при этой морозной температуре, и этого оказалось достаточно для изменения формы колец. Известно было, что многие полимеры меняют свои свойства при температурах жидкого азота ( 196 q С ). Например, каучук становится хрупким и резиновые детали разбиваются на куски, будто они сделаны из стекла. Но никто не ожидал, что нечто подобное может происходить с пластмассой при температуре небольшого мороза. Правительственная комиссия долго не могла найти причину аварии. И только когда в комиссию по настоянию президента Рональда Рейгана был включен знаменитый физик Ричард Фейнман (1918–1988), он нашел эту причину и продемонстрировал на пресс-конференции потерю формы кольца при опускании его в ледяную воду. Для того чтобы обнаружить эту причину аварии, Фейнману пришлось тщательно проанализировать технологию изготовления всех деталей ракетного двигателя и их техническую проверку. Эту гигантскую работу он провел в перерывах между несколькими онкологическими операциями. «Я работал, ничего не зная, – говорил потом Фейнман, – и у меня было лишь немного времени, чтобы исправить это». Некоторые биографы Фейнмана считают, что главную роль в том, что он довел до конца это свое исследование, сыграла даже не личная просьба президента, а любящая жена Фейнмана, которая считала, что напряженная работа – лучшее средство в борьбе с болезнью, и уговорила мужа взяться за эту работу. Что ж? Два года

5

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ.

полноценной жизни в этой борьбе работа смогла у болезни отвоевать. Важное место в вопросе изучения свойств веществ при низких температурах заняло исследование электрических и магнитных свойств веществ, в том числе исследование явления сверхпроводимости. И, наконец, есть и третья причина получения низких и сверхнизких температур. Во второй половине 19-го века технологическое развитие металлургии потребовало применения кислородного дутья в печах для высокотемпературного плавления металлов. Появилась целая промышленная отрасль получения жидкого кислорода. Сейчас практически вся металлургическая промышленность перешла на кислородное дутье. А во второй половине 20-го века жидкий кислород и жидкий водород получили широкое применение в качестве компонентов ракетного топлива. Без них был бы нереальным тот скачок в исследовании Солнечной системы и космогонии, который совершило человечество. Автомобили и поезда на сжиженном водороде в качестве топлива уже испытываются во многих странах. И Россия не хочет отставать. Сейчас готовится к выпуску на одном из предприятий Ростеха одна из таких моделей в качестве представительской автомашины Президента России. Жидкий кислород нашел широкое применение и во многих других отраслях, например в стекольной промышленности. Но особое значение он приобрел в медицине. И это не только те кислородные подушки, для снаряжения которых жидким кислородом обеспечиваются больницы и аптеки. Возможно, что в недавней победе над короновирусной пандемией основную роль сыграли не поспешно изобретенные вакцины, а именно применение кислородных масок и система доставка кислорода к каждой койке во всех специально созданных больницах. Ну, и конечно, транспортировка сжиженного природного газа на специальных танкерах. Китай, Индию, Индонезию и континентальную Западную Европу природа не наделила крупными газовыми месторождениями. И роль морских пере-

ФАКТЫ

И

ПЕРСПЕКТИВЫ

возок сжиженного природного газа из Катара, США, Канады и Австралии стала особенно велика. Отдельной четвертой причиной надо выделить получение сверхнизких температур для создания мощных магнитных полей (в единицы и десятки тесла), однородных в достаточно обширном пространстве. Нетрудно убедиться в том, что для этого необходимы соленоиды с силой тока в обмотках в десятки тысяч ампер, но их джоулево тепло расплавит металл проводов и сожжет изоляцию. Когда сто лет назад в Кембридже П.Л.Капица создавал сильные магнитные поля, он использовал токи короткого замыкания, разрушающие электрические цепи. При этом сильное магнитное поле существовало хотя и очень короткое время, но достаточное для изучения внутриатомных процессов. Единственный способ создания сильных магнитных полей длительного, а не импульсного действия, это использовать явление сверхпроводимости, при котором джоулево тепло отсутствует полностью. А это явление возникает в электротехнических металлических материалах (проводах) при нормальном давлении только при сверхнизких температурах (несколько кельвинов). И только с помощью жидкого гелия можно создавать и поддерживать такую температуру. Без жидкого гелия было бы невозможно создать современные мощные ускорители. Но уже и сейчас произошло резкое увеличение производства жидкого гелия и использование сверхпроводимости не только для научных целей, но и для человеческих нужд. Это связано с применением сильных магнитных полей прежде всего для целей медицинской диагностики. Так как же все-таки получают низкие температуры, необходимые для сжижения газов и изучения свойств веществ при таких температурах? Кратко остановимся на этом вопросе. Подробное рассмотрение увело бы слишком далеко от основной темы статьи – сверхпроводимости. Основные способы криогенной техники – охлаждение жидкости при ее испарении, понижение температуры при адиабатичес-

6

КВАНТ 2025/№2

ком расширении газа, использование эффекта Джоуля–Томсона, магнитное охлаждение. Для понижения температуры газа ниже критической часто бывает достаточно только первого способа – охлаждения при испарении жидкости. Для этой цели лучше всего подходят элементоорганические фторсодержащие углеводороды, получившие название фреонов или хладонов (их известно около 40). В полых стенках холодильной (или морозильной) камеры происходит испарение жидкости за счет тепла, отнимаемого от содержимого камеры. Пары фреона поступают в другую камеру, где подвергаются сжатию компрессором. При конденсации они отдают в окружающее пространство тепло, часть которого представляет и тепло, полученное из холодильной камеры (задняя стенка работающего кухонного холодильника всегда теплая). Значит, при этом тепло передается от тела с низкой температурой (содержимого холодильной камеры) к телу с более высокой температурой (окружающему холодильник пространству). Но это ни в коем случае не является нарушением второго закона термодинамики, который запрещает такие самопроизвольные процессы. А холодильнику необходимо для этого внешнее воздействие – работа компрессора (и соответствующая оплата этой работы). В кухонном холодильнике рабочая температура в морозильной камере 18 q С, в холодильниках пищевой промышленности 35 q С. Для целей сжижения некоторых газов используют более дорогие хладоны, позволяющие получить и более низкие температуры. Но все равно они недостаточно низки для сжижения таких газов, как метан, кислород, азот, водород и гелий. Простой способ понижения температуры – адиабатическое расширение газа с совершением работы. В охлаждающих установках (детандерах) работа газа – это энергия движения поршня (поршневые детандеры) или вращения турбины (турбодетандеры). Быстрота процесса обеспечивает его адиабатичность и, следовательно, понижение температуры. Процесс повторяется несколько раз. При этом каждый

раз охлажденный газ нужно снова сжимать – необходим компрессор. Это понижает КПД установки и удорожает производство сжиженного газа. В 30-е годы прошлого века знаменитый физик, будущий нобелевский лауреат, академик П.Л.Капица предложил новую конструкцию турбодетандера с общей осью вращения турбины и компрессора. Охлаждающийся газ при этом «работал» на поджатие следующей порции газа. Это резко повысило КПД установки, увеличило ее производительность и удешевило производство. Но потребовалась большая работа по подбору соответствующих типов турбин и компрессоров. И неслучайно в 1943 году именно П.Л.Капица был назначен начальником Главного управления Совнаркома по кислороду. Страна остро нуждалась в увеличении применения жидкого кислорода в металлургической промышленности, и решающее участие Капицы в этом деле – редкий случай активного участия ученого, занимавшегося фундаментальной физикой, в практическом деле. За короткое время производство жидкого кислорода в СССР значительно возросло. И сегодня во всем мире турбодетандеры Капицы являются составной частью установок по сжижению газов. В этих установках используется и еще один способ понижения температуры – с помощью эффекта Джоуля–Томсона. Этот эффект был установлен в 1853–54 годах двумя английскими физиками, уже знаменитым тогда Джеймсом Джоулем (1818–1889) и его младшим другом и соратником в науке Уильямом Томсоном (1824–1907), не менее знаменитым под именем лорда Кельвина. Они экспериментально установили, что при адиабатическом расширении газа без совершения работы его температура изменяется. Согласно модели идеального газа, в которой пренебрегается силами взаимодействия между молекулами, этого не должно быть. Ведь по первому закону термодинамики изменение внутренней энергии при таком расширении равно нулю. Значит, и изменение температуры не должно иметь места. А оно существует. В чем же дело?

8

КВАНТ 2025/№2

Джеймс Дьюар

Вы скажете, а разве это не обычный термос? Ведь очень похоже! Да, действительно. Изобретение для хранения холода легко превратить в устройство для хранения тепла. Дьюар не имел практической жилки и не стал заниматься «термосами». Идею подхватила американская компания, которая и придумала это слово, чтобы отличать свое производство от того, что делал Дьюар. Бытовые термосы имеют более простую конструкцию и требования к вакууму у них не такие жесткие. А главное – людям они неизмеримо нужнее, чем научные сосуды для хранения холода. Дьюар не озаботился о патентовании своего изобретения и остался ни при чем, несмотря на многократные попытки судебных исков к разбогатевшей компании «Термос». Не правда ли, парадокс – изобретение для хранения космического холода стало символом житейского тепла и уюта! Но имя Дьюара все-таки не пропало – все химики его знают. Естественно, что после сжижения водорода Дьюар стал пытаться получить жидкий гелий. Но он занимался слишком многими вопросами как в физике, так и в химии, как мы бы сказали, слишком разбрасывался в своих научных интересах. Возможно, его отвлекала от науки борьба за приоритет изобретения вакуумного сосуда. И не только. Так или иначе, Дьюар проиграл главную ставку в криогенных исследованиях – получение жидкого гелия. И проиграл он ее самому выдающемуся ученому в этой области, голландскому физику Хейке Камерлинг-Оннесу (1853–1926).

В 1882 году Камерлинг-Оннес стал профессором Лейденского университета, где в 1894 году создал криогенную лабораторию и стал ее бессменным руководителем. Девизом лаборатории он провозгласил: «Через измерение к знанию». Несколько лет спустя эта лаборатория стала признанным научным центром работ по низким и сверхнизким температурам. Она отличалась от других лабораторий мощной технологической базой, уникальным оборудованием и хорошей подготовкой вспомогательного персонала. Здесь жидкие газы производились не каплями, а литрами (в 1904 году установки лаборатории давали 4 литра жидкого водорода в час). В лаборатории изучались свойства веществ при температурах ниже 20 К – спектры поглощения, фосфоресценция, вязкость сжиженных газов, их магнитные и электрические свойства. Но главной целью работы лаборатории Камерлинг-Оннес считал сжижение единственного оставшегося «непокоренным» газа – гелия. Была построена установка с каскадным использованием эффекта Джоуля–Томсона в охлаждаемом ниже 20 К газе. Но никто не знал, до какой температуры нужно охладить гелий, чтобы он стал жидкостью. Из расчетов по уравнению Ван дер Ваальса следовало только то, что она ниже 20 К. И вот на 10 июля 1908 года был назначен этот эксперимент. В 8 часов утра начала работать установка по производству жидкого водорода. К 2 часам дня было наработано необходимое количество – 20 литров. В присутствии многих физиков из разных стран в 5 часов началась циркуляция охлаждаемого гелиевого пара по трубам, проходящим сквозь охлаждающийся из-за испарения жидкий водород. Все взоры были прикованы к стеклянной колбе в центре установки, где должна была собираться гелиевая жидкость. Долгое время колба казалась пустой. Наступил вечер. И в 8 часов один из физиков обратил внимание на то, что температура замерла на значении 4,2 К и больше не опускается. Возникло предпо-

10

КВАНТ 2025/№2

Зависимость сопротивления металла от температуры температуры. Он ведь уже с помощью жидкого гелия достиг понижения температуры до значений, меньших 1 К. Подготовка эксперимента с чистой ртутью заняла длительное время. Самым главным была установка более точной аппаратуры, измерявшей электрическое сопротивление. И вот все готово, на 8 апреля 1911 года назначен решающий опыт. Получены стержни из замерзшей ртути. Их последовательно соединяют так, что общая длина проводника составляет полметра. Стержни погружают в сосуд с гелием. Начинается охлаждение остывающей водородной жидкостью. Приборы показывают 10 К, 8 К, 5 К. Вот, наконец, при 4,2 К гелий становится жидким. На графике зависимости удельного сопротивления ртути от температуры четко вырисовывается прямолинейная зависимость, направленная к Т = 0. Как вдруг… (в истории физики нередко случается это «как вдруг…»). При температуре 3 К прибор, измерявший ток в цепи с ртутным сопротивлением, показал значение, вышедшее за пределы шкалы. Первая мысль – прибор неисправен. Заменили. Взяли прибор с другой шкалой. И новый прибор показал такой большой ток, который мог быть, только если сопротивление ртутного проводника практически равнялось нулю. Этот совершенно неожиданный результат заставил поставить еще серию опытов, в которых температура фиксировалась с большей точностью. И что же оказалось? Если при 4,2 К сопротивление ртути имело еще некоторое малое значение, то при 4,15 К

оно практически полностью исчезало. При дальнейшем понижении температуры сопротивление оставалось нулевым. А при повышении температуры до 4,15 К оно восстанавливалось до прежней величины. Так было открыто явление, которое сам Камерлинг-Оннес назвал сверхпроводимостью. Для проверки явления с помощью переменного магнитного поля в кольце из ртутного проводника, находящегося в сверхпроводящем состоянии, был возбужден индукционный ток. При выключении магнитного поля ток не исчезал и его сила оставалась постоянной. Прошел час, другой, прошли сутки, неделя, а ток все продолжал свое существование, нисколько не убывая. Сила тока фиксировалась по тому магнитному полю, которое возникало от этого тока на оси кольца. Конечно, при этом нужно было следить, чтобы сверхпроводящее кольцо всегда находилось при температуре ниже 4,15 К – все время добавлять жидкий гелий. Позднее, когда жидкий гелий стал значительно дешевле (его стали производить не из воздуха, а из природного газа, где его содержание заметно выше), такой эксперимент продлился полтора года. Он позволил утверждать, что величина удельного сопротивления в веществе, находящемся в сверхпроводящем состоянии, отличается от нуля не более чем на $10^{25}$ Ом ˜ м. В своих статьях 1911 и 1912 годов Камерлинг-Оннес сформулировал вывод, что при температуре 4,15 К происходит фазовый переход кристаллической ртути из одного твердого состояния в другое. В 1913 году он обнаружил переход в сверхпроводящее состояние у чистого свинца (при 7,26 К) и у чистого олова (при 3,69 К). Обратите внимание на высокую точность, которой удалось достичь при измерении критической температуры фазового перехода. В 1913 году Хейке Камерлинг-Оннес стал нобелевским лауреатом по физике «за исследование свойств вещества при низких температурах, что привело, в числе прочего, к получению жидкого гелия». В этой формулировке главное достижение

13

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ.

ственное (спиновое), так и орбитальное. Фарадей, еще ничего не зная об электронах и их вращении, понял, что это – своеобразное проявление правила Ленца (знака « – ») в законе электромагнитной индукции. В обычном веществе величина этого встречного поля очень невелика, она составляет всего лишь $10^{6}$ от величины внешнего магнитного поля. Диамагнетизм есть у всех веществ. Только он часто маскируется другим эффектом, усиливающим внешнее поле и называемым парамагнитным. Если парамагнитный эффект отсутствует, вещество называется диамагнетиком. Величина силы, выталкивающей диамагнетик из области сильного неоднородного поля, очень мала и обычно не учитывается в электротехнических конструкциях. Но оказалось, что у сверхпроводников встречное поле равно по величине внешнему, а внутри вещества магнитного поля нет. Следствием этого и является, в частности, большая сила, выталкивающая сверхпроводник из неоднородного магнитного поля. Эти исследования были проведены Р.Мейснером и его сотрудниками. Русским физиком А.Абрикосовым был разработан теоретический механизм этого явления. У части сверхпроводников, металлов и их сплавов индукция магнитного поля убывает до нуля уже на расстоянии нескольких десятков нанометров от поверхности. Абрикосов назвал их сверхпроводниками первого рода. Но он допустил и существование других сверхпроводников, у которых внешнее поле частично проникает глубоко внутрь вещества. Абрикосов назвал их сверхпроводниками второго рода. Впоследствии выяснилось, что таких сверхпроводников большинство. И температура сверхпроводящего перехода у них оказалась выше, чем у сверхпроводников первого рода. В дальнейшем это стало иметь большое практическое значение. С использованием методов, основанных на эффекте Мейснера и гипотезе Абрикосова, были открыты сотни сверхпроводящих веществ первого и второго рода.

ФАКТЫ

И

ПЕРСПЕКТИВЫ

Особенно важным было экспериментальное открытие сверхпроводников второго рода ниобий-олова $Nb_{3} Sn$ и ниобий-германия $Nb_{3} Ge$. У первого критическая температура (температура перехода в сверхпроводящее состояние) оказалась равной 18,5 К, а критическая индукция магнитного поля, разрушающего сверхпроводимость, равнялась 28 Тл. У второго – соответственно, 23,9 К и 10 Тл. К тому же эти материалы достаточно пластичны для изготовления проводов. Это позволяет иметь в сверхпроводящих обмотках соленоида ток силой в десятки тысяч ампер, а на оси такого соленоида индукция магнитного поля превышает 10 Тл. Были созданы сверхпроводящие магниты для подъемных кранов, мощные электродвигатели малых размеров. Появились не фантастические, а реальные инженерные проекты передачи электроэнергии по сверхпроводящим кабелям. Да и сейчас соединение $Nb_{3} Sn$ остается одним из самых главных для создания мощных сверхпроводящих электромагнитов. Но теории сверхпроводимости долго не появлялось. Не было ответа на главный вопрос – почему же при температуре ниже критической электрическое сопротивление полностью исчезало скачком, а не просто постепенно уменьшалось. В чем заключалось изменение внутренней структуры вещества при этом фазовом переходе? В 1957 году в самом престижном физическом журнале «Physical Review» появилась статья «Теория сверхпроводимости». Авторами статьи были американские физики Джон Бардин и его молодые ученики Леон Купер и Роберт Шриффер. Джон Бардин был уже всемирно известным физиком, в 1956 году он стал нобелевским лауреатом за работу в группе физиков, подаривших миру транзистор и тем самым открывших «транзисторный век», в котором мы живем вот уже восемьдесят лет. Надо полагать, что в тройке авторов статьи именно Бардин был ведущим. И он щедро отдал свои идеи молодым ученым. Все трое стали в 1972 году нобелевскими лауреатами «за создание теории сверхпроводимости,

14

КВАНТ 2025/№2

Роберт Шриффер, Джон Бардин и Леон Купер обычно называемой БКШ-теорией». А Бардин стал единственным дважды нобелевским лауреатом по физике. В 1958 год советский физик дважды Герой Социалистического Труда академик Н.Н. Боголюбов придал БКШ-теории безупречную математическую форму. Он стал четвертым соавтором этой теории. Но, как известно, еще с 1956 года установилась традиция присуждения нобелевской премии в одной номинации максимум трем участникам. Эта традиция ни разу не нарушалась, а Н.Н.Боголюбов был четвертым равноправным участником. Основной механизм сверхпроводимости в БКШ-теории – электрон-фононное взаимодействие с образованием так называемых куперовских пар. И ни в одной статье о сверхпроводимости нет более простой короткой формулировки, которая была бы понимаемой на школьном уровне. Да, пожалуй, даже и на вузовском. Попытаемся хотя бы как-то расшифровать термины «фононы» и «куперовские пары». Фононы похоже на фотоны. И это не случайно. Если фотоны можно рассматривать как кванты световых волн, то фононы – это кванты энергии согласованного колебательного движения атомов твердого тела, образующих идеальную кристаллическую решетку. Это похоже на звуковую волну, отсюда и происхождение термина (от древне-греческого голос, звук), тем более что частота колебаний ионов соот-

ветствует звуковым частотам. Придумали этот термин советские физики-теоретики И.Тамм и Я.Френкель в 1932 году. Правда, наличие такого кванта предугадывал еще А.Эйнштейн в 1908 году, хотя и не стал придумывать специальный термин. Кстати, термин «фотон» тоже не принадлежит Эйнштейну. Его ввел в науку даже и не физик, а химик Гильберт Ньютон Льюис в 1928 году (на основе древне-греческого свет). (Не правда ли, интересное сочетание имен у этого химика.) Подобно свету, звуковые колебания можно рассматривать как волну, а можно как дискретный квант энергии и импульса колебательного движения. Учитывая негармоничность (несинусоидальность) и затухание колебаний, понятие фононов оказывается полезным, когда нужно рассматривать вынужденное колебательное движение частиц кристаллической решетки. Для продольных колебаний в волне описание ее с помощью фононов не так важно. Но оно целесообразно для поперечной волны и для интерференции волн. В этих случаях часто вводят термин «виртуальные фононы». Вот именно они и рассматриваются в БКШ-теории. «На пальцах» взаимодействие электронов с фононами можно описать так (разумеется, ради наглядности описания явления приходится жертвовать его полнотой и точностью). При достаточно низкой температуре, когда колебательное движение ионов становится очень слабым (энергия фононов мала), электрон, летящий в гуще ионов, притягивает к себе ионы, расположенные по сторонам его пути, они получают импульсы по направлению к нему. Но ионы движутся гораздо медленнее электрона. Электрон, вызвавший приближение ионов, улетает. А на его месте появляется другой электрон, который испытывает притяжение со стороны приближающихся ионов. Его добавочная скорость таким образом косвенно связана со скоростью пролетевшего электрона. Но самое главное, что его спин (момент импульса, равный h 2 ) тоже реагирует на спин проле-

15

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ.

Два электрона и сжимающаяся кристаллическая решетка тевшего электрона. У пары связанных электронов их спины оказываются антипараллельными и их общая величина становится равной нулю: h 2 h 2 0. Эти два электрона представляют собой, как говорят физики, квазичастицу, образующуюся при взаимодействии электронов с ионами кристаллической решетки. А точнее – с фононами. Это взаимодействие так и называется – электрон-фононное. Пара электронов «чувствует» друг друга через фононы. При этом расстояние между электронами пары может быть очень большим, порядка десятков нанометров, тогда как среднее расстояние между ионами и свободными электронами порядка одного нанометра. Между электронами пары могут «мельтешить» и другие «беспарные» электроны и «колыхаться» ионы, но электронам пары до них нет дела, они их не замечают. Есть такая аналогия: электроны такой пары – это два танцора противоположного пола (спина), которые танцуют в одном ритме иногда на большом расстоянии друг от друга, не теряя партнера из вида, как бы чувствуя его, хотя между ними могут танцевать и другие участники дискотеки, которые им не мешают. И таких пар в зале много. В квантовой статистике показывается, что частицы с полуцелым спином (например, электроны) подчиняются принципу Паули и в одном ансамбле (кристалле) должны иметь разную энергию. Эта статистика носит название статистики Ферми– Дирака. Она описывает поведение электронов в полупроводниках и металлах при обычных температурах. Частицы, подчи-

ФАКТЫ

И

ПЕРСПЕКТИВЫ

няющиеся статистике Ферми–Дирака, называются фермионами. Это не только электроны, но и протоны, и нейтроны (кварки), и нейтрино. Однако для частиц (и квазичастиц) с целым или нулевым спином действует другая квантовая статистика. Она называется статистикой Бозе–Эйнштейна. Ее главное отличие в том, что подчиняющиеся ей частицы могут быть в совершенно одинаковом квантовом состоянии, иметь одинаковую энергию. Главный пример таких частиц – фотоны, у которых спиновое число равно единице. В мощном лазерном луче все фотоны могут иметь одинаковую энергию (монохроматичность лазерного света). Частицы, подчиняющиеся статистике Бозе–Эйнштейна, называются бозонами. Квазичастица, состоящая из пары связанных электронов и имеющая нулевой спин, является бозоном. Она получила название куперовская пара (Леон Купер в 1956 году первым рассмотрел образование такой пары). Следующей задачей исследователей было рассмотрение энергетического поведения ансамбля куперовских пар. Поскольку все пары имеют одинаковую энергию, в энергетическом спектре не остается других разрешенных энергий. Как энергии, большие энергии пар, так и меньшие энергии запрещены. Это – запрещенные зоны, как называются в статистике эти интервалы энергий. Теоретики называют при этом энергию куперовских пар энергетической щелью. Но ведь это и означает, что бозон (куперовская пара) не меняет своей энергии, проходя в сверхпроводнике. Сопротивления его движению нет. И нет потерь на нагрев проводника, сколь много ни образовывалось бы куперовских пар. А их количество и определяет силу тока, она может быть очень большой. В это наглядное рассмотрение отсутствия сопротивления не включено объяснение второго свойства сверхпроводников – эффекта Мейснера, полного или частичного подавления магнитного поля. Непонятным остается разрушение сверхпроводящего состояния, когда сила тока

17

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ.

Георг Беднорц и Карл Мюллер ры кипения жидкого азота при атмосферном давлении. Действительно, сверхпроводимость при таких температурах – это прорыв, приближающий ее широкое применение. Ведь жидкий азот почти в 100 раз дешевле жидкого гелия и выкипает гораздо медленнее его. Сравнить этот экспериментальный прорыв в физике можно разве что с открытиями рентгеновского излучения, радиоактивности и транзистора. Ведущим в этой паре физиков был швейцарский физик Карл Александр Мюллер (1927–2003), профессор Цюрихского университета, а с 1982 года – руководитель физического отдела в европейском научном подразделении всемирно известной корпорации IBM. Он начал по заданию IBM изучать электрические свойства минералов типа перовскита как перспективных полупроводниковых материалов и обнаружил аномальное поведение сопротивления этого вещества при понижении температуры. Что такое перовскит? Это довольно редкий минерал с химической формулой $CaTiO_{3}$, который правильнее считать не солью титановой кислоты, а соединением окислов CaO ˜ $TiO_{2}$. По своему строению он представляет собой керамические кристаллы. Свое необычное, но

ФАКТЫ

И

ПЕРСПЕКТИВЫ

признанное во всем мире название он получил при его первой находке на Урале в 1839 году в честь российского сенатора Льва Перовского, одного из немногих прощенных Николаем I декабристов, спонсора многих геологических экспедиций, собравшему богатейшую коллекцию кристаллов, переданную им в Эрмитаж. В 1984 году Мюллер привлек к сотрудничеству Йоханнеса Георга Беднорца (1950 г.р.), которого помнил как своего талантливого студента. Вдвоем они начали методически изучать похожие на перовскит вещества, каждый раз занимаясь их химическим синтезом, поочередно заменяя одни металлы окислов другими. Их путеводной звездой стал поиск сверхпроводящего перехода. И после двух лет напряженной работы пришел успех – была открыта высокотемпературная сверхпроводимость в керамических материалах. Во многих лабораториях мира начались поиски новых высокотемпературных сверхпроводников. За 30 лет было открыто около тысячи таких веществ разных химических классов. Часть из них становились сверхпроводниками только при давлениях в сотни тысяч и миллионы атмосфер (сотни гигопаскалей). Большинство относилось к сверхпроводникам второго рода (с частичным проникновением магнитного поля внутрь), и разрушающее магнитное поле в них составляло десятки тесла. Рекордной температурой стала обнаруженная впервые российскими физиками (МГУ) в 2003 году при атмосферном давлении температура перехода в сверхпроводящее состояние в 135 К ( 138 q С ) у купрата – вещества со сложным составом $HgBa_{2} Ca_{2} CuO_{10}$. А при огромном давлении 70 ГПа в 2020 году была обнаружена критическая температура 260 К ( 13 q С ) у супергидрида лантана $LaH_{6}$. В этом соревновании (как и в современном спорте) многие результаты через некоторое время аннулировались. Обнаруживались ошибки в экспериментах, и повторные исследования заявленного результата не подтверждали. Последней такой

18

КВАНТ 2025/№2

ложной сенсацией было «открытие» корейскими учеными сверхпроводимости при атмосферном давлении при 127 q С у вещества со сложным составом $Pb_{9} Cu_{2} (PO_{4} )_{2}$ О. Публикация об этом появилась в июле 2023 года, в разгар лета, и во многих лабораториях мира, в том числе и в России, физики, прервав свои отпуска, бросились за проверку. И ничего не обнаружили, никакой сенсации. А химики даже доказали, что такое вещество вообще не может существовать. Так что на сегодня рекордной температурой сверхпроводящего перехода (при атмосферном давлении) остается 135 К (с 2003 года). И хотя уже и появился термин КТСП вместо ВТСП, в котором КТ означает «комнатные температуры» взамен ВТ, т.е. «высоких температур», все меньше остается надежд на открытие этой самой КТСП, комнатнотемпературной сверхпроводимости. И, к сожалению, все ВТСП нетехнологичны, они хрупки, химически неустойчивы и т.д. Самое разочаровывающее – отсутствие теории сверхпроводимости в керамических и других материалах, кроме ставшей «классической» БКШ-теории для металлических сверхпроводников и работ Абрикосова и Гинзбурга о сверхпроводниках второго рода. Похоже, что для каждого типа сверхпроводников нужно создавать свою теорию. Или все же существует одна общая теория, о которой пока ничего не известно? Во всяком случае, новые сверхпроводники ищут чисто эмпирическим путем. В России таких лабораторий несколько, в основном в университетских научных центрах. Но, независимо от этих поисков, все обширнее становится применение сверхпроводников, работающих при гелиевых температурах. Главное применение сегодня – это создание мощных магнитов для научных целей. Но из всего многосотенного списка сверхпроводников, которые бы технологически подходили для этой цели (т.е. допускали бы изготовление проволочных обмоток), всего несколько. И все они работают только при гелиевых температурах (ниже 4,2 К). Это – уже упомя-

нутые биметаллы ниобий-олово, ниобийтитан и ниобий-германий с критическими температурами 18,5 К, 9,2 К и 23,9 К соответственно. Сверхпроводимость в них не разрушается при магнитных полях с индукцией до 25 Тл и силой тока в проводах не менее 50000 А. В 2022 году после технической паузы вновь заработал Большой адронный коллайдер (БАК) в Швейцарии. В 2025 году должны вступить в строй коллайдер NICA в подмосковной Дубне и крупнейший в мире ускоритель FAIR в немецком Дармштадте. Главная цель исследований на этих ускорителях – «заглянуть» в самое начало возникновения нашего мира, когда в кваркглюонной плазме зарождались ядра будущих атомов. На 2025 год намечен запуск во Франции международного экспериментального термоядерного реактора ИТЭР, для которого в России уже произведена большая часть сверхпроводящих обмоток. Но уже и сейчас произошло резкое увеличение использования сверхпроводимости для человеческих нужд. Это связано с применением сильных магнитных полей прежде всего для целей медицинской диагностики: магнитно-резонансная томография (МРТ) и другие томографические методы диагностики и лечения. За двадцать лет ежегодное число сеансов МРТ в России выросло в несколько десятков раз и продолжает расти. Привлекательно использование сверхпроводимости для передачи электроэнергии без потерь на нагрев (атмосферы). В кабеле переменного тока сосредоточены три (поскольку передается трехфазный ток) сверхпроводящих провода с прокачиваемым жидким хладоагентом. Такой кабель довольно тяжел, его не подвешивают на мачтах, а прокладывают на малой глубине под землей. Первая такая линия электропередачи заработала в Нью-Йорке в 2008 году. А, например, в Южной Корее общая длина таких линий электропередач уже превышает 1000 километров. Несмотря на затраты по изготовлению кабеля и расходы на хладоагенты, эксплуатация таких линий обходится дешевле обычных

19

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ.

Шанхайский маглев воздушных линий. Нет затрат на потери энергии, которые для обычных электропередач составляют около 15 %. В Японии на 2034 год намечен пуск железной дороги на магнитной подвеске с использованием левитирующего свойства сверхпроводимости. Такие поезда называются «маглев» (магнитная левитация). Железная дорога длиной 286 км должна соединить крупнейшие города Токио и Нагоя. Расчетная скорость поезда 500 км ч. Небольшие маглевы без применения сверхпроводящих материалов уже используются в США, Китае и Австралии. В них испытываются магнитные устройства, ускоряющие поезд и поднимающие его над полотном. Использование магнитов со сверхпроводящими обмотками должно значительно удешевить строительство и эксплуатацию маглевов. В них будет достаточно использовать жидкий азот и высокотемпературные керамические сверхпроводники, поскольку там не провода, а брусья из проводника. Перспективно и реально создание электромоторов малых размеров и при этом большой мощности. Такие электромоторы не греются, а, наоборот, должны быть очень холодными. Они уже нашли применение в наружных механизмах космических аппаратов – там не нужно охлаждения жидкими хладоагентами, поскольку и без них достаточно холодно. Совсем недавно пришло сообщение о разработке в КНР мощных магнитных устройств (наподобие маглевов) для выбрасывания с Луны на Землю лунных полезных ископаемых. Ведь вторая космическая скорость на Луне «всего

ФАКТЫ

И

ПЕРСПЕКТИВЫ

лишь» 2,4 км с. В этих устройствах будут использоваться высокотемпературные сверхпроводники (но не комнатно-температурные). А получать мощный электрический ток для сверхпроводящих обмоток проектируется от солнечных и радиоактивных батарей. Большие перспективы открываются перед применением сверхпроводников в измерительных приборах высокой точности, в компьютерных устройствах, в частности в квантовых компьютерах, одним словом, везде, где ограничения накладываются нагревом в электрических схемах. Это – факты и некоторые перспективы. А есть и мечты. Они связаны с истинным, а не ложно-сенсационным открытием сверхпроводимости при обычных температурах. Оно преобразит всю промышленность и технику человечества. Резко снизятся расходы на электроэнергию, на транспорт, все электродвигатели и генераторы станут мощнее и меньше, а аккумуляторы будут работать во много раз дольше без подзарядки. Произойдет переворот в компьюторных технологиях. На порядок дешевле станет использование сверхпроводимости в медицине. И много чего еще сможет придумать человечество для своих нужд. Но это пока только мечты! А создание общей теории сверхпроводимости (если это возможно) будет означать мощный скачок в познании неведомых нам пока законов природы. Вот уже больше 30 лет назад Алексеем Алексеевичем Абрикосовым были сказаны вещие слова: «Исследования ведутся очень большими силами, и не исключено, что они увенчаются успехом. Однако одно важное дело уже сделано – открытие высокотемпературных сверхпроводников: оно уничтожило многолетний предрассудок, что сверхпроводимость обязательно требует низких температур. Это окрыляет людей на дальнейшие поиски, и даже в том случае, если не удастся «приручить» сверхпроводящие керамики, то обязательно будут найдены другие классы сверхпроводников с более высокими критическими температурами и болен пригодные для практического использования».

30

КВАН T 2025/№2

Пролетая рядом с горизонтальной нитью, шарик зацепляется за нить крючком. Определите силы натяжения нитей в этот момент. Ускорение свободного падения равно g. А.Аполонский

Ф2838. Тонкая трубка площадью поперечного сечения S изогнута в виде перевернутой буквы П (рис. 3). В горизонтальной части трубки находится невесомый поршень

Рис. 3

который связан с левой стенкой пружиной. В вертикальных концах трубки в равновесии находятся две жидкости: в левой – жидкость плотностью $U_{1}$, а в правой – жидкость плотностью $U_{2} U_{1}$. При этом разность уровней верхних границ жидкостей в вертикальных коленах составляет ’ h, а пружина находится в недеформированном состоянии. Коэффициент жесткости k пружины подобран таким образом, чтобы при добавлении в левое колено жидкости плотностью $U_{1}$ разность уровней ’ h все время оставалась постоянной. 1) Чему равен коэффициент жесткости k? В левую часть трубки добавляют объем ’ V жидкости плотностью $U_{2}$, при этом верхние границы жидкостей в вертикальных частях оказываются на одном уровне. 2) Определите, какой объем ’ V добавили в левое колено? Поршень скользит без трения. Жидкость между поршнем и стенками сосуда не подтекает и не выливается из сосуда. Объемом пружины можно пренебречь, жидкости не смешиваются и не перетекают в другое вертикальное колено. Ускорение свободного падения равно g. А.Вергунов

Ф2839. Идеально гибкая однородная нерастяжимая цепочка постоянной толщины,

массой m и длиной L подвешена с помощью короткой нити к закрепленной точке А (рис. 4,а). В некоторый момент времени нить пережигают, а цепочку начинают тянуть за ее нижний конец с постоянной силой F в направлении точки А Рис. 4 (рис. 4,б). 1) С каким по модулю ускорением $a_{0}$ начинает двигаться верхний конец цепочки сразу после пережигания нити? 2) Через какое время W после пережигания нити вся цепочка снова выпрямится? 3) Определите модуль скорости цепочки v сразу после ее распрямления. 4) Какое количество теплоты Q выделится за время W? 5) Определите силу натяжения Т цепочки в точке В, расположенной в ее середине, после распрямления цепочки. Ускорение свободного падения равно g. Сопротивлением воздуха необходимо пренебречь. Размеры звеньев в цепочке много меньше ее длины. Считайте, что столкновения звеньев в цепи неупругие. А.Киреев

Ф2840. Рассмотрим два процесса А и В, в каждом из которых Q молей одноатомного идеального газа квазистатически переводят из состояния 1 с объемом V и температурой Т в состоянии 2 с объемом 2V и температурой 2Т так, что в течение всего процесса температура газа не уменьшается и тепло от газа не отводится. При этом процесс А осуществляется таким образом, что количество теплоты, которое подводят к газу, оказывается максимально возможным при выполнении данных условий, а в процессе В количество теплоты оказывается минимальным. 1) Определите максимальные $V_{A}^{max}, V_{B}^{max}$ и минимальные $V_{A}^{min}, V_{B}^{min}$ значения объемов газа в каждом из этих процессов. 2) Каково количество теплоты $Q_{A}$ и $Q_{B}$, подведенное в каждом процессе? А.Аполонский

Самоподобие в картинках

Дополним статью «Самоподобие» несколькими яркими примерами.

1. Разноцветные многоугольные области самоподобного «ковра» на рисунке 1 переходят друг в друга при отражении

Рис 2

Рис 1

(или, что то же самое, при повороте на 180q ) относительно подходящей вершины центрального правильного пятиугольника. Каждая область отражается относительно самой правой вершины пятиугольника, если смотреть из данной области. Этот фрактал получается из динамической системы с перекладыванием кусков, в чем-то похожим на приведенное в $статье.^{2.}$ Аналогичный фрактальный «ковер», но только центральный многоугольник – правильный семиугольник, изображен на рисунке 2. Здесь тоже имеется самоподобие, но невооруженным глазом его разглядеть невозможно – нужен микроскоп с тысячекратным увеличением.$^{3.}$ На рисунке 3 показано построение фрактала, который Рис 3 можно рассматривать как геометрическую интерпретацию слов Фибоначчи. Первая ломаная соответствует $слову_{3}^{w}$, вторая $–_{4}^{w}, затем_{5}^{w},_{6}^{w},_{7}^{w},_{8}^{w},_{9}^{w}$, далее самая правая в нижнем ряду $–_{12}^{w}$, левее $–_{15}^{w}$ и, $наконец,_{22}^{w}$. Фрактал строится по следующему правилу: если в последовательности встретилась 1, то рисуем единичный отрезок; если в последовательности встретился 0, то рисуем единичный отрезок и поворачиваем влево на 90q, если 0 на четном месте, и на 90q вправо, если 0 на нечетном месте. Как и слова, фрактал удовлетворяет свойству конкатенации: каждая сле-

дующая часть фрактала есть объединение двух $предыдущих.^{4.}$ На рисунке 4 показана плоскость с координатами x; y (оси системы координат не изображены). На этой «динамической» плоскости действует отобра-

Рис 5

Рис 4 жение f, переводящее точку x; y в точку $x^{2} y^{2} 1 ; 2 xy$. Орбиты красных точек убегают на бесконечность. Орбиты синих и зеленых точек сходятся к циклу, состоящему из двух точек: центральной точке рисунка, имеющей координаты 0;0, и белой точке в левой зеленой области, имеющей координаты 1;0. При этом синие точки отображаются в зеленые и наоборот. Синие и зеленые точки тем темнее, чем медленнее их орбиты приближаются к периодическому 2-циклу, а красные точки, наоборот, тем темнее, чем быстрее они убегают на бесконечность. Эта картинка называется базиликой. Базилика содержит копии самой себя во всех масштабах: эти копии сохраняют углы, хотя и нарушают $пропорции.^{5.}$ Динамическая плоскость отображения, заданного весьма явно, но чуть сложнее примера с базиликой, представлена на рисунке 5. Здесь тоже имеется притягивающий цикл периода 2, а множество точек, орбиты которых никогда не приближаются к этому циклу, представляет собой самоподобную фигуру, родственную треугольнику Серпинского. Цикл состоит из точек 0 и бесконечность (это то, что получается при делении на 0), все желтые и зеленые точки притягиваются к этому циклу, причем желтые точки переходят в зеленые и наоборот. Желтые точки тем светлее, чем быстрее они притягиваются к циклу, а зеленые – наоборот, $темнее.^{6.}$ Множество Мандельброта (рис. 6) состоит из таких точек $u_{1} ; v_{1}$, для которых последовательности $u_{n}, v_{n}$, заданные рекуррентными соотношениями $u_{n} 1 u_{n}^{2} v_{n}^{2} u_{n}, v_{n} 1 2 u_{n} v_{n} v_{n}$, остаются ограниченными. Каждой точке множества Мандельброта соответствует своя динамическая система наподобие базилики.

Рис 6

Соответствующие системы претерпевают существенные изменения (бифуркации) при пересечении границы множества Мандельброта. Кроме того, множество Мандельброта содержит свои многочисленные уменьшенные копии – в том же смысле, как и у базилики. Материал подготовили В.Кириченко, В.Тиморин

34

КВАН T 2025/№2

(Начало см. на с. 29) б) Приведем пример: пусть в мешках 1, 2,…, 9 конфет. Тогда, как легко проверить, первый заберет 0 конфет, второй 1, третий 2,…, десятый 9 конфет. А.Глебов

M2820. Назовем ходы коня, при которых он смещается на две клетки по горизонтали и на одну по вертикали, горизонтальными, а остальные – вертикальными. Требуется поставить коня на одну из клеток доски 46 u 46, после чего чередовать его горизонтальные и вертикальные ходы. Докажите, что если запрещено посещать клетки более одного раза, то будет сделано не более 2024 ходов.

Разделим доску на 23 вертикальные полоски 46 u 2 и покрасим полоски красным и синим: первую полоску покрасим красным и далее чередуем цвета (см. рисунок).

Пусть конь сделал h горизонтальных ходов. Каждый из горизонтальных ходов определяет пару клеток (это клетки, в которых конь находится до и после выполнения хода); итак, у нас h пар клеток. Легко видеть, что в такой паре одна из клеток красная, а другая синяя. Кроме того, по условию задачи конь не может выполнить два горизонтальных хода подряд, поэтому никакая клетка не может входить в две пары для двух различных горизонтальных ходов. Поэтому h не превышает количества синих клеток: h d 11 ˜ 2 ˜ 46 1012. Аналогично показываем, что количество вертикальных ходов не превышает 1012. Итого, было сделано не более 1012 + 1012 = = 2024 ходов. А.Грибалко

M2821. Дорогой на плоскости будем называть прямую, по которой можно двигаться только в одну сторону.

а) Петя и Вася по очереди проводят дороги, начинает Петя. Разрешается проводить только горизонтальную или вертикальную дорогу; направление на дороге выбирает тот, кто проводит дорогу (при создании этой дороги). Всегда ли Вася может действовать так, чтобы после любого его хода можно было проехать по правилам от любого перекрестка дорог до любого другого, как бы ни действовал Петя? б) Пусть на плоскости проведены несколько (конечное множество) дорог, любые две из которых пересекаются. При каком наименьшем m всегда можно добавить m дорог и сделать так, чтобы можно было проехать от любого перекрестка до любого другого?

Ответ: а) всегда; б) 2. а) Пока все проведенные дороги параллельны, пусть Вася продолжит проводить прямые, параллельные проведенным, так, чтобы после его хода крайние дороги были разных направлений. Когда Петя проведет пересекающую их дорогу, Вася может с одной из сторон от нее провести дорогу противоположного направления так, чтобы выполнялось такое условие (): самая левая дорога l, самая правая дорога r, самая верхняя дорога t и самая нижняя дороги b образуют прямоугольник 3 с круговым движением (рис. 1). Покажем, что 1) Вася сможет играть так, чтобы после каждого его хода условие () выполнялось; 2) если условие (*) выполняется, то от любого перекрестка можно доехать до любого другого. Отсюда сразу последует решение. 1) Пусть, для определенности, на очередном ходе Петя проводит горизонтальную дорогу x. Если x проведена между t и b, то Вася также проводит горизонтальную прямую между t и b, так что прямоугольник 3 не поменялся. Допустим теперь, что Петина прямая x расположена выше прямой t. Тогда пусть Вася проведет горизонтальную Рис. 1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Why-точки, полуописанные окружности и прямая Эйлера

Ф.БАХАРЕВ, Г.ЧЕЛНОКОВ

Появление Why-точки

За последние несколько десятилетий олимпиадная геометрия обросла терминологией, значительную часть которой еще нельзя назвать общепринятой. Так, одни названия распространены только в русскоязычном пространстве (леммы о воробьях [1], задача 255 [2], лемма о велосипедистах [3]), другие – в основном в англоязычной литературе (Queue point, Iran lemma, Shooting Death Star lemma [4, 5]). В этой статье мы поговорим о точке, название которой еще не прижилось. Иногда ее упоминают как ISL $2011 G4 point^{1}$, а с недавнего времени встречается уже не столь неказистое, но все еще не слишком удачное название: Why-точка (см., например, [6]). Не претендуя на принятие окончательного решения по поводу названия, мы расскажем о связанных с этими точками конструкциях, часть из которых – непосредственные наблюдения авторов статьи. Перед тем, как перейти к определениям, разберем две задачи, предлагавшиеся на заключительных этапах Всероссийской олимпиады школьников. Наименования точек изменены по сравнению с оригинальными формулировками.

1 ISL – IMO Short List – избранные задачи, из которых в конечном итоге составляется вариант Международной математической олимпиады (IMO). Номер G4 означает, что задача попала под номером 4 в список геометрических задач. В шортлисте 2011 года предлагалось 8 задач по геометрии. Задача G4 была предложена Россией, автор – Михаил Исаев.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250204

Факт 1 (Всероссийская олимпиада, 2015). Остроугольный треугольник ABC (AB < AC) вписан в окружность: (рис. 1). Пусть G – точка пересечения его медиан, а AD – высота. Луч GD пересекает: в точке Y. Тогда описанная окружность треугольника YDB касается прямой AB. Доказательство. Гомотетия с центром Рис 1 в точке G и коэффициентом 2 переводит окружность девяти точек треугольника ABC в его описанную окружность:, поэтому образ точки D – точка K – лежит на:, причем AK P BC (рис. 2). Рис 2 Таким образом, BAKC – равнобокая трапеция и ‘ ABC ‘ KCB. Привлекая равенство ‘ KCB ‘ KYB, заключаем, что ‘ ABD ‘ DYB и, следовательно, окружность (BYD), описанная около треугольника BYD, касается прямой AB. Замечание 1. В доказательстве мы использовали обозначение (BYD) для описанной окружности треугольника BYD. Мы продолжим использовать это обозначение без дополнительных пояснений. Замечание 2. В дальнейшем мы будем по умолчанию считать, что треугольник ABC остроугольный, AB < AC, и все доказательства проводить в этом случае. Отметим, что все доказываемые утверждения остаются верны и в случае неостроугольного треугольника.

Упражнение 1. Через вершину A треугольника проведена прямая, которая пересекает сторону BC в точке X и описанную окружность: повторно в точке Z. Используя введенные выше обозначения, докажите, что окружность (XYZ) проходит через точку D.

Следующее утверждение выглядит несколько сложнее, но значительное сходство и в условии, и в доказательстве бросается в глаза. Тем удивительнее, что обе задачи предлагались на финале Всероссийской олимпиады с разницей всего в три года.

48

КВАНТ 2025/№2

Три Why-точки

Факт 6. Why-чевианы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера. Доказательство. Рассмотрим окружность $:_{a}$, появившуюся в факте 3, и аналогичные окружности $:_{b}$ и $:_{c}$. Для ортоцентра треугольника верны равенства HD ˜ HA HE ˜ HB HF ˜ HC, поскольку высоты являются радикальными осями окружностей, построенных на сторонах треугольника как на диаметрах. Следовательно, точка H имеет одинаковые степени и относительно всех трех окружностей $:_{a}, :_{b}$ и $:_{c}$. Кроме того, принимая во внимание, что OA, OB и OC (O, как обычно, центр окружности: ) являются касательными к $:_{a}, :_{b}$ и $:_{c}$ соответственно, заключаем, что и степень точки O относительно всех трех окружностей тоже одинакова. Это означает, что прямая Эйлера треугольника ABC является общей радикальной осью этих окружностей. Таким образом, существует точка, имеющая одинаковую степень относительно всех трех окружностей $:_{a}, :_{b}, :_{c}$ и относительно окружности:. Эта точка лежит на всех Why-чевианах и на прямой Эйлера.

Упражнения

7. Установите независимо, что точка G тоже имеет одинаковые степени относительно окружностей $:_{a}, :_{b}, :_{c}. 8.$ Докажите, что точка пересечения Why-чевиан лежит на прямой, соединяющей точку D с точкой пересечения касательных к: в точках B и C.

Замечание 7. Предыдущее упражнение показывает, что точка пересечения Why- чевиан совпадает с центром гомотетии ортотреугольника DEF и треугольника, образованного касательными к окружности: в точках A, B и C. Эта точка известна геометрам как точка X(25) из энциклопедии центров треугольника (см., например, [11]).

Связь с полуописанными окружностями

Окружности, проходящие через две вершины треугольника и касающиеся вписанной окружности внутренним образом, называются полуописанными окружностями. Оказывается, Why-точки тесно связаны с указанными точками касания полуописанных окружностей.

Рис 8

Для того чтобы увидеть эту связь, проведем в исходной конфигурации касательные к окружности: в вершинах треугольника. Пусть они ограничивают треугольник A c B c C c, вершины которого названы соответственным образом. Нетрудно видеть, что точки A c, B c и C c являются инверсными образами середин сторон M, L и N соответственно относительно окружности: (рис.8). Поскольку Why- окружность (NLY) касается: в точке Y, то ее инверсный образ ( B c C c Y ) тоже касается окружности: в точке Y. Так как окружность: является вписанной для треугольника A c B c C c, заключаем, что точка Y является точкой касания полуописанной окружности в треугольнике A c B c C c. Сформулируем соответствующее утверждение. Факт 7. Точка Y – точка касания вписанной и полуописанной окружностей треугольника, образованного касательными в точках A, B, C к окружности:. Замечание 8. Отметим, что в случае тупоугольного треугольника в рассуждениях выше образуется не вписанная окружность, а вневписанная, а в случае прямоугольного и вовсе происходит вырождение – касательные в двух вершинах не пересекаются. Точка касания полуописанной окружности сама по себе имеет множество замечательных свойств. Докажем одно из самых важных. Факт 8. Прямая AY проходит через центр $I_{a}$ вневписанной окружности треугольника A c B c C c со стороны B c C c (рис.9). Доказательство. Пусть W – середина дуги B c C c окружности ( YB c C c ). По лемме

50

КВАНТ 2025/№2

радикальным центром A c. Докажите, что точки $A,^{A} c, O$ лежат на одной прямой. Факт 10. Радикальный центр Why-окружностей лежит на прямой Эйлера. Доказательство. Пусть касательные к описанной окружности треугольника ABC, проведенные в вершинах, пересекаются в точках A c, B c, C c. Тогда по факту 9 радикальный центр U полуописанных окружностей треугольника$^{A}$ $c^{B} c^{C} c$ лежит на прямой Эйлера треугольника ABC. При инверсии относительно описанной окружности полуописанные окружности $треугольника^{A} c^{B} c^{C} c$ перейдут в Why-окружности треугольника ABC. По лемме 2 радикальный центр U, центр инверсии и радикальный центр Why-окружностей лежат на одной прямой. Однако, первые две из перечисленных точек лежат на прямой Эйлера, поэтому лежит и третья.

Упражнения

11. В треугольнике ABC проведена высота AD, точка H – ортоцентр треугольника ABC. Точка Z симметрична точке H относительно D, Y – Why- точка, соответствующая вершине A. Докажите, что окружность (DYZ) касается прямой BC. 12. В треугольнике ABC проведена высота AD, точка Dc на стороне BC такова, что BD c CD. Докажите, что ‘ BAY ‘ CADc, где Y – A-Why- точка. 13. Высоты BE и CF треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что проекция H на EF лежит на прямой AY, где Y – A-Why-точка. 14. Точки $Y_{a}, Y_{b}$ и $Y_{c}$ – Why-точки треугольника ABC соответствующие вершинам A, B и C. Продолжение медианы из вершины A повторно пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Докажите, что прямые $Y_{b} Y_{c}, Y_{a} D$ и BC пересекаются в одной точке. 15. Точки $Y_{b}$ и $Y_{c}$ – Why-точки треугольника ABC соответствующие вершинам B и C. Точки E и F – основания высот из вершин B и C. Докажите, что $Y_{b}, Y_{c}, E$ и F лежат на одной окружности. 16. Точки $Y_{b}$ и $Y_{c}$ – Why точки треугольника ABC соответствующие вершинам B и C. Точка D – основание высоты из вершины A. Докажите, что окружность $( DY_{b} Y_{c} )$ проходит через середину стороны BC. 17. Высоты AD, BE и CF треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки $Y_{a}, Y_{b}$ и $Y_{c}$ – Why- точки треугольника ABC соответствующие вершинам A, B и C. Докажите, что окружности $(_{a}^{HDY} ), ( HEY_{b} ), ( HFY_{c} )$ имеют общую радикальную ось – прямую Эйлера треугольника.

Литература

1. А.Полянский. Воробьями по пушкам! – «Квант», 2012, № 2. 2. И.Шарыгин. Геометрия 9-11: От учебной задачи к творческой. – М.: Дрофа, 1997. 3. В.Протасов. О двух велосипедистах и вишневой косточке. – «Квант», 2008, № 3. 4. E.Chen. Euclidean Geometry in Mathema- tical Olympiads. – The Mathematical Associa- tion of America Press, Problem books, 2016, vol. 27. 5. E.Chen. Lemmas in AoPS Geometry. 2023. 6. AoPS-user i3435. «Muricaaaaaaa «American» Olympiad Triangle Geometry Configurations», 2021. 7. Д.Ефремов. Новая геометрия треугольника. – Одесса: Типография бланкоиздательства М.Шпенцера, 1902. 8. T.A.Moon. The Apollonian circles and isody- namic points. – Mathematical Reflections, 2010, vol. 6. 9. А.Руинский. Заметки об окружности Аполлония. – Математическое образование, 1999, № 2. 10. В.Тадеев. Простые, двойные, гармонические. – «Квант», 1982, № 7. 11. C.Kimberling. Triangle Centers and Central Triangles. – Congressus numerantium, 1998, vol. 129.

Вниманию наших читателей

Подписаться на журнал «Квант» можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса $России»^{–} 90964.$ Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦНМО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

Тянем-потянем резину

С.ВАРЛАМОВ

КАК ИЗВЕСТНО, СУЩЕСТВУЮТ ВОЗдушные (с резиновой оболочкой) не только шарики, но и цилиндры. Если толщина оболочки одинакова по всей поверхности, то изначально пустая оболочка сначала приобретает форму шарика с радиусом $R_{0}$ или цилиндра с радиусом поперечного сечения $R_{0}$, при этом давление воздуха $p_{0}$ внутри такое же, как и снаружи. А затем появляется избыточное давление – радиус оболочки шарика и радиус и длина цилиндра начинают расти. Сначала разберемся с шариками.

Шарик

Избыточное давление ’ p внутри шарика по мере увеличения его радиуса на ’ R сначала растет, а затем, достигнув экстремального значения, начинает уменьшаться. Иными словами, некоторому относительному увеличению радиуса $R_{m} R_{0}$ шарика соответствует экстремальное (максимальное) избыточное давление ’ $p_{max}$. При дальнейшем росте радиуса шарика, когда R! $R_{m}$, избыточное давление сначала падает, достигает минимального значения и затем вновь начинает расти. По достижению максимального значения радиуса $R_{max}$ избыточное давление в шарике становится даже больше величины в первом максимуме ’ $p_{max}$, а затем оболочка шарика разрушается – говорят: «шарик лопнул». Экспериментальный график зависимости избыточного давления воздуха в шарике с резиновой оболочкой от его объема (взятый из интернета) приведен на рисунке 1. «Почему это так?» – вопрос, на который хотелось бы получить содержательный ответ. Для получения ответа необходимо разобраться с устройством материала Рис 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250205

оболочек таких шариков, т.е. с резиной. А это означает, что надо понять, каков механизм возникновения упругости и какова причина такой возможности резины, как огромные (в сотни процентов) упругие относительные деформации, и при этом (как показывает эксперимент) с хорошей точностью сохраняется объем, занятый резиной в пространстве. По определению, резина – это высокоэластичный полимерный материал, получаемый вулканизацией каучука, т.е. смешиванием его с вулканизирующим веществом, обычно это сера, с последующим нагревом. Как известно, резина представляет собой вещество, состоящее из очень длинных молекул, которые не выпрямлены, а «скомканы», при этом концы таких длинных молекулцепочек, состоящих из большого количества сцепленных друг с другом атомов, соединяются друг с другом в некоторых местах «мостиками» из атомов серы. Относительные деформации резины по выбранным направлениям могут характеризоваться сотнями процентов именно потому, что расстояние между точками крепления концов длинной цепочки в свернувшемся клубке гораздо меньше длины этой цепочки, если ее выпрямить.

ОЛИМПИАДЫ

Муниципальный этап LVIII Всероссийской олимпиады школьников по физике

Теоретический тур

7 класс

1. Канатная дорога На горизонтальной канатной дороге есть участки (трасса), где вагончик движется со скоростью $v_{тр}$ относительно земли, и станции с платформами, вдоль которых вагончик движется медленнее со скоростью $v_{cт} v_{тр}$

Рис. 1

(рис. 1, вид сверху). Переключение скоростей происходит мгновенно, когда вагончик находится точно над краем платформы. На станции всегда скорость изменяется у двух вагончиков одновременно и в этот момент между ними находятся еще 5 вагончиков. Между соседними вагончиками на станции сохраняется равное расстояние l = 6 м. Время медленного движения вагончика вдоль станции от одного края платформы до другого W = 2 мин. Расстояние между вагончиками на трассе s = 40 м, размерами самих вагончиков можете пренебречь. 1) Найдите длину L платформы. 2) Чему равна скорость $v_{cт}$ движения вагончиков на станции? 3) Чему равна скорость $v_{тр}$ движения вагончиков на трассе? С.Кармазин

2. Метеосводка Семиклассник Артем из Долгопрудного решил узнать, на сколько миллиметров отличаются сейчас высоты столбиков термометров у него и его товарища из Великого Устюга. Для этого Артем приложил конец измерительной ленты к шкале своего термометра (рис. 2). Согласно метеосводке, в Великом

Рис. 2

Устюге установилась температура воздуха 37 q С. Помогите Артему сделать нужные расчеты, зная, что термометры Артема и его товарища одинаковые. В.Бабинцев

3. Единицы измерения бывают разные Экран ноутбука пользователя, размеры которого 345 u 194 мм, имеет разрешение 1920 u 1080 пикселей. Пользователь использует мышь с DPI, равным 800 пикселей. Выделяя часть одной строки текста, пользователь равномерно и прямолинейно перемещает мышь со скоростью 0,06 фута в микронеделю. Определите с точностью до трех значащих цифр: 1) DPI мыши пользователя в дюймах; 2) скорость перемещения мыши, равную 0,06 фут микронеделя в дюйм с;

61

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

Конкурс имени А.П.Савина

(см. «Квант» №11-12 за 2024 г.)

9. 18. Обозначим стороны неполных клеток как a, b, c, d (рис. 4). Периметр прямоугольника равен

2 a 3 b c 3 d

2 a 2 b 2 c 2 d 12.

Рис. 5

Рис. 4

А белая площадь, равная 10, составлена из прямоугольников 1 u a, 1 u b, 1 u c и 1 u d, взятых по два раза, и четырех клеток 1 u 1, т.е. равна 2 a 2 b 2 c 2 d 4. Значит, периметр на 8 больше и равен 10 + 8. 10. Рассмотрим представление данного числа 202420242024202420242024 в виде нужной суммы. Поделив на 4, получим, что вопрос задачи эквивалентен следующему: можно ли число 50605060506050605060506 представить в виде суммы шести натуральных чисел, каждое из которых записывается а) только цифрами 0 и 1; б) только цифрами 1? а) Да, можно, так как в числе 5060…6 максимальная цифра – это 6. Пример:

50605060506050605060506 5 ˜ 10101010101010101010101 100010001000100010001. б) Нельзя. Каждое слагаемое состоит только из единиц и их не больше 9, поэтому при сложении не будет переноса единиц в другой разряд. Значит, сумма может быть только числом, где цифры идут в неубывающем порядке, а число 5060…6 таким свойством не обладает. 11. Да. Так как записей трех цветов поровну, их общее количество кратно 3. Но записей на одну больше, чем было раундов. Значит, одна из команд победила со счетом 6: 2 или 6: 5. В первом случае проигравшая команда может лидировать не более двух раз, а нужно 6 2 1: 3 3 раза. Второй случай возможен: 0: 0, 0: 1, 0: 2, 1: 2, 2: 2, 2: 3, 3: 3, 4: 3, 5: 3, 5: 4, 5: 5, 6: 5. 12. Да, можно. Рассмотрим правильный 10-угольник ABCDE… с длиной стороны 1. Построим прямую призму с основанием ABCDE и высотой 1 (рис. 5). Два ее основания и одна прямоугольная боковая грань накрываются десятиугольником, остальные 4 боковые грани – это квадраты со стороной 1. 13. 41. Лампочки, горевшие вначале, после переключения не горят. Разделим лампочки на три группы: 15 лампочек, которые горели вначале, но не горят сейчас; 24 лампочки, которые горят сейчас; оставшиеся 11, которые не горели ни до, ни после переключения. У 24 лампочек, которые горят сейчас, ни один выключатель переключать не надо. У 15 лампочек, горевших вначале, оба выключателя выключены, поэтому надо переключить 30 выключателей, чтобы зажечь их снова. Наконец, у оставшихся 11 лампочек сначала был выключен один выключатель, а после переключения – другой, а значит, чтобы зажечь их, надо переключить еще 11 выключателей. 14. а) 1 4; б) 1. а) Рассмотрим треугольники ABC и ABD. Площади ABC и ABD относятся так же, как относятся длины высот этих треугольников, проведенных к AB. Соответственно, все такие точки K внутри треугольника, что площадь ABK постоянна, лежат на отрезке, параллельном AB. Пусть площадь ABC равна 4, а площадь ABK равна s; тогда пусть точки K лежат на прямых l(s), для s, равных 1, 2, 3. Прямые l(1), l(2), l(3) делят высоту на 4 равные части (рис. 6).

Рис. 6

Рассмотрим разбиение данного треугольника на 16 равных треугольников прямыми, параллельными сторонам (рис. 7). Рассмотрим точки пересечения, указанные на рисунке. Из рассужде-

64

КВАНТ 2025/№2

лишнее, удаляем его. Тогда в вершине 13 остаются два ребра, выделяем ребра 13–3 и 13–12. Рассуждая таким образом, удаляя и выделяя ребра графа, можно показать, что существует только один маршрут, проходящий по всем 32 вершинам графа (рис. 12), который дает единственное решение головоломки, изображенное на рисунке 13.

Чудеса в сети

(см. 3-ю с. обл)

Рис. 11

1. 1. s f8+!!, и черные либо остаются без ладьи, либо получают мат после 1… 7 f8 2. q d8+. 2. 39… / f1+ 40. u f1 e3, и от белых потребуется точность, чтобы остановить проходную.

КВАНТ

Рис. 12

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

Е.В.Бакаев, Е.М.Епифанов, А.Ю.Котова, Н.М.Панюнин, В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

НОМЕР ОФОРМИЛИ

М.Н.Грицук, Д.Н.Гришукова, А.Е.Пацхверия, М.Н.Сумнина

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР

Н.В.Станцо

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППА

Е.А.Митченко, Н.В.Станцо

Рис. 13

тех вершинах, где сходятся два синих ребра, остальные надо удалить, они не будут использоваться в маршруте. Таковой является вершина 9, значит, ребро 9–7 удаляем, что повлечет за собой удаление ребра 7–2 (рис. 11). После этого в вершине 2 останется два ребра, значит, они будут в маршруте, выделяем ребра 2–14 и 2–23. Есть еще вершина 20 с двумя выделенными ребрами, значит, удаляем ребро 20–5. В вершине 23 есть два синих ребра, значит, ребро 23–13

Журнал «Квант» зарегистрирован в Комитете РФ по печати. Рег. св-во ПИ №ФС77–54256 Тираж: 1-й завод 900 экз. Заказ № Адрес редакции: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» Тел.: +7 916 168-64-74 Е-mail: [email protected], [email protected]

Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ООО «Принт-Хаус» г. Нижний Новгород, ул. Интернациональная, д. 100, корп. 8 Тел.: (831) 218-40-40