Квант 2025, №3 · Страницы

8

КВАНТ 2025/№3

человека относительная масса существенно больше: $P^{\sim} 2 ( M^{\sim} 70$ кг, $M_{м}^{\sim} 1,5$ кг). А вот для крупных животных (свинья, лошадь, слон) $P^{\sim} 0,1$ 0,15% (всего!). В результате, несмотря на большую массу крупных животных, продолжительность жизни даже у слона в среднем меньше человеческой. И это несмотря на то, что масса мозга слона гораздо больше (у слона $M_{м}^{\sim} 5$ кг, у человека $M_{м}^{\sim} 1,5$ кг), поскольку слоновий мозг «вынужден обслуживать» огромное тело массой в несколько тонн. Многое о работе мозга и биологических потребностях человека можно узнать из книги [2].

ся огромные ресурсы. Постоянно сообщается об удачах того или иного подхода к продлению жизни. Некоторое представление о возрастной динамике человечества, того, как со временем увеличивается количество пожилых людей, дает рисунок 8.

Старение

Не пытайтесь жить вечно, у вас ничего не выйдет. Б. Шоу

Медицина уже давно пытается найти основную причину старения, чтобы подобрать способ борьбы с ним. Предложено огромное количество теорий, каждая из которых выделяет главным какой-то один механизм. Если бы он был найден, можно было бы попытаться замедлить процесс старения. В ходе проверки теорий было много частичных успехов, в основном на животных. Однако, появляется все больше аргументов, что проблема эта комплексная, причин старения очень много, а предложенные теории старения отражают только отдельные стороны этого процесса. С другой стороны, идет поиск и совершенствование различных технологий продления жизни, вкладывают-

Рис. 8. Демографические данные ООН: статистика для 1950 и 1990 годов и прогноз на 2030 год

10

КВАНТ 2025/№3

Почему первое направление названо бессознательными усилиями? Получая извне энергию на поддержание жизнедеятельности, организм сам старается замедлить старение. Иногда – адаптируясь к проблемам, связанным со старением, иногда – восстанавливая нарушенные функции, буквально «цепляясь» за жизнь. Уменьшение запаса прочности организма по мере увеличения возраста связано с причинами, возникающими на всех уровнях от клеток до организма: повреждение ДНК, гибель клеток, разрушительное влияние свободных радикалов и токсических веществ, неточности регулирования функций, болезни, стрессы. Фактически с каждой из указанных причин организм пытается бороться: ремонтируя ДНК, выводя из организма разрушенные части клеток с потоком лимфы, регулируя активность ферментов и обменных процессов. По мере гибели части клеток оставшиеся переходят в более интенсивный режим работы, увеличиваются в размере и даже меняют строение (образуя до нескольких ядер в клетке). Похожие процессы происходят и с органами (печень, почки, легкие). В молодом организме в этих органах есть как работающие клетки, так и резервные. Последние задействуются при интенсивных нагрузках. По мере старения становится все меньше резервных и все больше работающих клеток. Запас уменьшается, и оставшиеся все чаще работают на пределе возможностей. И тут пора уже приложить сознательные усилия самого человека и помочь организму, который старается работать по-прежнему в условиях снижения резервов с возрастом. Использовать приобретенные навыки и накопленный опыт, которые позволяют выполнять работу меньшими усилиями. И вообще вести активный образ жизни, необычайно важный для замедления темпов старения. Затронем тему подобного влияния активного образа жизни на примере изменения деятельности человеческого мозга с возрастом. Казалось бы, нервные клетки не восстанавливаются, мозг постепенно «усыхает», уменьшается в объеме, работа-

ет все хуже, слабеют память, внимание… Но современные исследования показали, что новые клетки мозга регулярно появляются, образуются новые взаимосвязи между нейронами. Объем мозга после 80 лет уменьшается на 5–10% (если не предпринимать усилий), но активный образ жизни позволяет восстановить этот объем. При решении сложных задач мозг пожилых людей использует оба полушария, а не одно, как у молодых. Тренировка работы мозга позволяет улучшать и память, и внимание, и замедлять процессы старения. Важна тренировка всех органов. Не чрезмерная, но достаточная для того, чтобы наступало постепенное утомление с последующим восстановлением. К этой позиции близки и взгляды Ганса Селье, основоположника учения о стрессе. Согласно ему, умеренные, не очень длительные стрессы (те, при которых расходование резервов организма сбалансировано и еще нет истощения) приводят к стимуляции и тренировке защитных сил организма, улучшают его физическое и психическое здоровье и способствуют долголетию. В этом случае организму также удается адаптироваться к меняющимся условиям. У большинства долгожителей довольно простые правила жизни: физическая активность, свежий воздух, сон, увлечения, любимое дело или хобби, позитивный настрой, общение, умеренность во всем, особенно в питании. Однако, можно ли вообще продлить жизнь за нынешний предел в 120 лет и сделать это не редким исключением, а правилом? Или лучше прожить в итоге не так долго, но активно, оставив после себя добрую память и, может быть, последователей и потомков?

Литература 1. G.B.West, J.H.Brown, B.J.Enquist. A ge- neral model for ontogenetic growth. – Nature, 2001, v.413. 2. В.А.Дубинин. Мозг и его потребности. От питания до признания. – Эксмо, 2024.

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2834–М2837 предлагались на региональном этапе LI Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Задачи М2834–М2837, Ф2841–2844

M2834. Назовем набор чисел удачным, если его нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написал на доске несколько целых чисел. Докажите, что дети могут дописать к имеющимся еще одно целое число так, чтобы полученный набор оказался удачным. А.Кузнецов

M2835. В каждой клетке доски 2 u 200 лежит по рублевой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по очереди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть ее: Даша двигает монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня – на соседнюю по стороне. Если две монеты оказываются в одной клетке, одна из них тут же снимается с доски и достается Соне. Соня может остановить игру в любой момент и забрать все полученные монеты. Какой наибольший выигрыш она может получить, как бы ни играла Даша? А.Кузнецов

M2836. Высоты BD и CE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H (рис. 1), высоты треугольника ADE пересекаются в точке F, точка M –

Рис. 1

середина стороны BC. Докажите, $что^{BH} CH t 2^{FM}$. А.Кузнецов

M2837. На графике функции $y x^{2}$ отметили 1000 различных точек, абсциссы которых – целые числа из отрезка [0; 100000]. Докажите, что можно выбрать шесть различных отмеченных точек $A, B, C, A c, B c,^{C} c$ таких, что площади треугольников ABC и A c B c C c равны. А.Терёшин

Ф2841. На шероховатой горизонтальной плоскости стоит клин (рис. 2). Шайбу кладут на шероховатую наклонную плоскость клина и сообщают шайбе

Рис. 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Угол между радиусом и стороной

Ю.БЛИНКОВ, Д.ШВЕЦОВ

Основной факт

Можно ли решить сложную олимпиадную задачу, обладая знаниями, не выходящими за рамки программы первого полугодия 8 класса? И не зная специальных «олимпиадных» фактов и приемов? Оказывается, во многих случаях достаточно хорошо владеть обычным школьным материалом. Рассмотрим простую задачу. Задача 0. Пусть O – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. Найдите угол ACO, если $‘^{ABC} D$ (рис. 1). «Ну и что здесь может быть интересного?» – спросит читатель. Действительно, вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу (рис. 2), т.е. если $‘^{ABC} D 90 q$, тогда $‘^{AOC} 2 D$, откуда $‘^{ACO} 90 q D$.

Рис. 1

Рис. 3

Рис. 4

угольника ABC. Тогда $‘^{ACO}$ (рис. 3).

Упражнения

1. Восстановите по рисунку 4 другое доказательство основного факта. 2. Как поменяется основной факт в случае тупого угла ABC?

Как же можно использовать этот факт? Дело в том, что он указывает на расположение центра окружности, описанной около треугольника. В школьном курсе обычно доказывается, что центр описанной окружности треугольника равноудален от его вершин, т.е. лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника. Но если фиксирован, например, угол B треугольника ABC, то центр описанной окружности также лежит на прямой, которая составляет фиксированный угол со стороной AC. Рассмотрим следующую задачу. Задача 1. Биссектриса AL пересекает описанную окружность равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) в точке W; точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что центр описанной окружности треугольника IBW лежит на стороне BC (рис. 5).

Рис. 2

Просто? Конечно! Но это и есть основной факт нашей статьи, благодаря которому мы сможем решить несколько трудных задач. В дальнейшем мы его будем называть углом между радиусом и стороной. Основной факт. Пусть O – центр окружности, описанной около остроугольного тре-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250303

$90 q ‘^{ABC}$

Рис. 5

30

КВАНТ 2025/№3

из вершины, проведенного под данным углом, и серединного перпендикуляра к стороне. Этот прием будет нами использован еще раз.

К высотам

Ну что ж, с основным фактом мы разобрались, посмотрели первые примеры. Что дальше? Какой угол также дополняет угол треугольника до 90q? Конечно, угол между стороной треугольника и высотой, проведенной к другой стороне. Исходя из этого, можно сформулировать следующее. Следствие 1. Пусть СС c – высота остроугольного треугольника ABC $(рис.^{9).}$ Точка O – центр описанной окружности. Тогда ‘ ACO ‘ BCC c, т.е. прямые CO и CC c симметричны относительно биссектрисы угла C треугольника ABC.

Рис. 9

Доказательство. Заметим, что если ‘ ABC D, то ‘ BCC c 90 D ‘ ACO. Следствие 1 верно и в случае тупоугольного треугольника. Как изменится доказательство? Рассмотрим применение указанного следствия. Ученикам седьмого класса доступна такая задача.

Упражнение 4. В прямоугольном треугольнике ABC проведены медиана CM и высота CH к гипотенузе AB (рис. 10). Докажите, что ‘ ACM ‘ BCH.

Рис. 10

Обратная задача, как это порой бывает, оказывается значительно труднее. Задача 4. В неравнобедренном треугольнике ABC (рис. 11) проведены медиана CM и высота CH (точка H лежит на отрезке AB).

Рис. 11

Докажите, что если ‘ ACM ‘ BCH, то ‘ ACB 90 q. Решение. Докажем, что M – центр окружности, описанной около треугольника ABC, откуда и будет следовать утверждение задачи. Пусть O – центр окружности, описанной около треугольника ABC. Тогда ‘ ACO ‘ BCH, т.е. O лежит на луче CM. С другой стороны, O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB. Поскольку треугольник не является равнобедренным, то совпадать они не могут и центр O описанной окружности лежит на их пересечении – в точке M. Задача решена. В следующей задаче, которая предлагалась девятиклассникам на Турнире математических боев имени $А.П.Савина^{3}$ (в терминах ГМТ), идею симметрии высоты и радиуса спрятали чуть глубже. Задача 5. Дан остроугольный треугольник ABC. На стороне AC выбираются произвольная точка K и такая точка L, что ‘ ABK ‘ CBL (рис. 12). Докажите, что центры описанных окружностей треугольников KBL лежат на одной прямой. Решение. Заметим, что треугольники KBL и ABC имеют общую высоту BH, проведенную к стороне AC (рис. 13). Кроме того, из

Рис. 12

Рис. 13

равенства ‘ ABK ‘ CBL следует, что эти треугольники имеют также общую биссектрису, проведенную из вершины B. Тогда по следствию 1 фиксированный луч BO, на котором лежит центр описанной окружности

tursavin.ru

3 Сайт Турнира – http:

31

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

треугольника ABC, также содержит центр описанной окружности треугольника KBL. Задача решена.

Упражнение 5. Найдите ГМТ таких центров.

Рассмотрим еще одно важное следствие, характеризующее направление радиуса. Следствие 2. Пусть $AA_{1}$ и $BB_{1}$ – высоты остроугольного треугольника ABC, точка O – центр описанной окружности треугольника ABC (рис. 14). Тогда $CO A A_{1} B_{1}$.

КРУЖОК

Простейшее применение данного следствия – задача, предлагавшаяся на Математической регате. Задача 6. Пусть $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ – высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из B на $A_{1} C_{1}$, из A на $B_{1} C_{1}$ и из C на $A_{1} B_{1}$, пересекаются в одной точке (рис. 16).

Рис. 16

Решение. Согласно следствию 2, указанные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности треугольника ABC. Эту задачу можно переформулировать и $так.^{5}$

Рис. 14

Доказательство. Поскольку точки $B, A_{1}, B_{1}$ и A лежат на окружности с диаметром AB (почему?), то ‘ $CB_{1} A_{1}$ ‘ CBA (рис. 15).

Рис. 15

Упражнение 8. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вневписанных окружностей треугольника на его стороны, пересекаются в одной точке.

Возможно и дальнейшее развитие сюжета. Задача 7. Пусть $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ – высоты остроугольного треугольника ABC, точка O – центр описанной окружности. Через точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ проводятся прямые, параллельные соответственно радиусам OA, OB и OC (рис. 17). Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Кроме того, ‘ ACO 90 q ‘ CBA, откуда и следует искомая $перпендикулярность.^{4}$

Упражнения

6. Докажите это утверждение для тупоугольного треугольника. 7. Используя те же обозначения, докажите, что касательная, проведенная в точке C к окружности, описанной около треугольника ABC, параллельна прямой A 1 B 1.

4 Доказанное следствие можно обобщить следу- ющим образом. Дан угол с вершиной C и точки P и Q внутри него; K и L – проекции точки P на стороны угла. Прямые CQ и KL перпендикулярны тогда и только тогда, когда CP и CQ – изогонали.

Рис. 17

Решение. Согласно следствию 2, указанные прямые перпендикулярны сторонам тре-

5 Об искусстве переформулирования задачи подробнее можно прочитать в «Кванте» №5 за 2022 год в статье «Как переформулировать задачу?».

(Продолжение см. на с. 34)

10. Считая воздух газом, состоящим из одинаковых молекул: а) оцените скорость теплового движения молекул при нормальных условиях; б) найдите число молекул в единице массы газа, средняя квадратичная скорость которых при абсолютной температуре Т равна $v_{кв}.^{11.}$ Может ли расширившийся газ сам собой сжаться и снова занять прежний $объем?^{12.}$ Какая из двух электросхем, изображенных на рисунке, надежнее, если надежность p диода 0,7, конденсатора 0,8, резистора 0,9?

11. Чему равна постоянная распада O для изотопов $радия^{230} Ra$, если период полураспада $T_{1} 2 93$ мин? Какова вероятность w распада изотопов за один час?

Микроопыт

Понаблюдайте за поведением капли чернил, упавших в воду. За счет чего растет ее диаметр?

Любопытно, что…

…от Паскаля и Ферма, давших ясные и простые примеры приложений теории вероятностей, принял эстафету Гюйгенс, изложивший в 1657 году свои результаты в книге «О расчетах при азартных играх» – первом трактате по новому научному направлению. …в ответ на обращение по поводу новых игр с костями, Ньютону пришлось решать задачу для выяснения, какая из них выгоднее. Насколько известно, это была единственная работа ученого по теории вероятностей. …занимаясь изучением вероятности судебных приговоров, французский физик и математик Пуассон установил в 1837 году один из первостепенных законов – так называемое «распределение», названное его именем и ставшее орудием исследова- ния у ученых при решении множества разнообразнейших задач. …21 сентября 1859 года на заседании Британской ассоциации содействия развитию науки Максвелл впервые доложил о своих работах, заложивших основу статистической, или вероятностной, картины мира. …физики, изучавшие в начале XX века броуновское движение или диффузию газов, например Эйнштейн и Смолуховский, обратились к учению о вероятностных процессах до того, как эта проблематика привлекла внимание математиков. …ответ на вопрос, почему тепло передается от горячих объектов к холодным, а не наоборот, предложил Больцман: потому, что это более вероятно. Идея, поначалу воспринятая учеными в штыки, в дальнейшем получила всеобщее признание. …квантовая физика, в отличие от классической, отрицает возможность установления точных координат или траекторий той или иной частицы, например электрона, но оперирует лишь с вероятностями ее нахождения в данный момент времени в той или иной точке пространства. …закон радиоактивного распада носит принципиально статистический характер в силу вероятностных законов поведения микрочастиц; только после создания квантовой механики удалось построить теорию радиоактивных превращений атомных ядер.

Что читать в «Кванте» о вероятности в физике

(публикации последних лет)

1. «Блуждания по цепям» – 2017, №3, с. 10; 2. «Неопределенность – основа квантовой физики» – 2021, №1, с. 2; 3. «Как возникает хаос. Закон равновесного хаоса идеального газа» – 2021, №4, с. 30; 4. «Кинематика случайного блуждания и освоение человечеством Галактики» – 2024, №1, с. 2.

Материал подготовил А.Леонович

34

КВАНТ 2025/№3

(Начало см. на с. 28) угольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ (ортотреугольника) и про-

ходят через его вершины, т.е. являются его высотами и, разумеется, пересекаются в одной точке (ортоцентр ортотреугольника). Задача решена. Оказывается, что из двух последних задач следует решение задачи, предлагавшейся на Устной городской олимпиаде по геометрии 2010 года в качестве самой сложной. Задача 8. В треугольнике ABC точка O – центр описанной окружности. Прямая c проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины C, и параллельна OC (рис. 18). Аналогично опреде-

Упражнение 9. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для любых точек, делящих высоты в одном и том же отношении.

Обобщаем – упрощаем

Полезно после решения проанализировать, все ли условия существенны. Можно ли как-то обобщить задачу? Вернемся к следствию 2. Оказывается, его можно легко обобщить. Заметим, что в доказательстве следствия не было существенно, что $AA_{1}$ и $BB_{1}$ именно высоты. Нам было достаточно того, что точки $B, A_{1}, B_{1}, A$ лежат на одной окружности, или равенства ‘ $CB_{1} A_{1}$ ‘ CBA (см. рис. 15). Подобная ситуация часто встречается в задачах. Определение. Пусть точки $B_{1}$ и $A_{1}$ лежат на прямых CA и CB соответственно (или обе на лучах CA и CB, или обе на лучах, дополнительных к ним). Говорят, что отрезки $A_{1} B_{1}$ и AB антипараллельны (относительно пары прямых CA и CB или относительно угла ACB), если ‘ $CB_{1} A_{1}$ ‘ CBA (рис. 20).

Рис. 18

ляются прямые a и b. Докажите, что прямые a, b, c пересекаются в одной точке. Решение. Рассмотрим прямые из задачи 6 и из задачи 7. Пусть с c и $с_{1}$ – прямые, проходящие через точки C и $С_{1}$ (основание высоты из точки C) и параллельные c (рис. 19).

Рис. 20

Теперь мы можем сформулировать обобщение следствия 2. Следствие 2 ¢. Пусть отрезок A c B c антипараллелен отрезку AB относительно прямых CA и CB, точка O – центр окружности, описанной около треугольника ABC (рис. 21). Тогда CO A A c B c.

Рис. 19

Согласно задаче 6, прямая с c проходит через точку O – центр описанной окружности треугольника ABC. Кроме того, согласно задаче 7, прямая $с_{1}$ проходит через точку R – ортоцентр ортотреугольника. Тогда прямая c проходит через середину отрезка OR по теореме Фалеса. Осталось заметить, что прямые a и b также проходят через эту точку. Задача решена.

Рис. 21

Упражнение 10. Докажите обобщенное следствие, рассмотрев различные расположения точек Ac и Bc.

36

КВАНТ 2025/№3

Начав с довольно простого основного факта, мы смогли решить целый ряд сложных задач. Предлагаем для самостоятельного решения несколько задач различной степени сложности.

Задачи для самостоятельного решения

1. Треугольник ABC вписан в окружность с $центром^{O.}$ Прямая AO пересекает окружность в $точке^{A} 1$, а прямая, содержащая высоту AH, – в $точке^{A} 2$. Докажите, что а) $прямая^{A} 1^{A} 2$ параллельна BC; б) BA 1 CA 2. 2. Определите углы треугольника, в котором медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, делят угол на четыре равные части. 3. Чевиана AA 1 пересекает описанную окружность треугольника ABC в $точке^{A} 2$. Пусть O c – центр описанной окружности $треугольника^{BA} 1^{A} 2$. Докажите, $что^{O} c A 1 A AC. 4.$ Произвольная прямая, проходящая через вершину B треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, а описанную окружность – в точке M. Пусть $O_{a} и_{c}^{O}$ – центры окружностей, описанных около треугольников AMK и CMK соответственно. Докажите, что $прямые_{a}^{AO} и_{a}^{CO}$ пересекаются на высоте треугольника ABC. 5. В треугольнике ABC проведена биссектриса CL, $точка^{O}$ – центр окружности, описанной около ’ ABC. На стороне AC отмечена точка D так, что DC = BC. Докажите, что CO A DL. 6 (Московская устная олимпиада по геометрии, 2012). Пусть $I, I_{a}, I_{c}$ – центры вписанной и

вневписанных окружностей треугольника ABC. $Точка^{O}$ – центр описанной окружности треугольника$^{II}$$_{a}$ $I_{c}$. Докажите, что OI A AC. 7 (Московская устная олимпиада по геометрии, 2021). На диагонали AC вписанного четырехугольника ABCD выбрали точку E так, что ‘ ABE ‘ CBD $. Пусть^{O,} O 1, O 2$ – центры описанных окружностей треугольников ABC, ABE, CBE соответственно. Докажите, что прямые AO 1, CO 2 и DO пересекаются в одной точке. 8 (Московская математическая олимпиада, 2021). В остроугольном треугольнике ABC $точка^{O}$ – центр описанной окружности. $Точка^{B} 1$ симметрична точке B относительно стороны AC. Прямые $AO и^{B} 1^{C}$ пересекаются в точке K. Докажите, что луч KA является биссектрисой $угла^{BKB} 1. 9$ (Московская математическая олимпиада, 1993). Дан выпуклый четырехугольник ABMC, в котором AB = BC, ‘ $BAM^{30} q$, ‘ $ACM^{150} q$. Докажите, что MA – биссектриса угла BMC. 10. В задаче 8 основного текста статьи мы показали, что три прямые a, b и c пересекаются в одной точке. Обозначим ее T. Оказывается, что точка T является центром так называемой окружности Тейлора. $Пусть^{AH} 1, BH 2$ и CH 3 – высоты треугольника $ABC.^{A} 1 и^{A} 2$ –проекции $точки^{H} 1$ на прямые AB и AC. Аналогично определим $точки^{B} 1 и^{B} 2, C 1$ и C 2. Тогда все эти шесть точек лежат на одной окружности – окружности Тейлора. Докажите, что точка T из задачи 8 является центром окружности Тейлора.

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Сила света Солнца и лазерной указки единицами все однозначно и четко, то запутанность определения силы света очевидна. Попробуем разобраться в причинах и постараемся аккуратно и понятно объяснить, как же все-таки трактуется это понятие и каким образом вычисляется сила света для различных ситуаций и различных источников света. Начнем издалека, от начала, или, как иногда говорится, «от печки». (Правда, «начало» и «печка» – это разные понятия, относящиеся первое ко времени, а второе к пространству.)

АМАЯ НЕОДНОЗНАЧНАЯ И, ТЕМ не менее, относящаяся к основным единицам в системе СИ – это единица силы света с названием «кандела», что в русском переводе означает «свеча». И если со всеми остальными

Все живое на Земле возникло и продолжает развиваться «под солнечным светом». Наше светило – Солнце – горячий объект, который уже несколько миллиардов лет освещает окружающее пространство. Поэтому и жизнь на Земле адаптирована под свойства излучения Солнца. Большое число появившихся в результате эволюции видов животных

С.ВАРЛАМОВ

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250304

ССолнце

37

ФИЗИЧЕСКИЙ

Рис. 1. Спектр солнечного излучения

ФАКУЛЬТАТИВ

стерадиан (сокращенно – ср). Тогда интенсивность излучения от такой лампы равна примерно 8 Вт ср. Если такую лампу поместить в фокус параболического зеркала, чтобы получился прожектор, то в направлении оси симметрии зеркальной параболы интенсивность излучения значительно вырастет. Поскольку зрение человека основано на существовании у него в глазах трех чувствительных к цветам в разных диапазонах длин волн рецепторов и диапазоны чувствительности этих рецепторов перекрываются, то мы видим в том самом диапазоне длин волн 380 нм – 760 нм (рис. 2). На самом деле имеются «колбочки», чувствительные к цветам, и «палочки», чувствующие просто свет без различия по цветам, но такие детали мы здесь обсуждать не будем. Наиболее эффективным для создания зрительного ощущения яркости является излучение с длиной волны 0,555 мкм. Для такого излучения одновременно «работают» два чувствительных рецептора – зеленый и красный. Они совместно обеспечивают максимальное ощущение яркости (или силы света) в сравнении с любыми другими длинами волн при условии, что мощность излучения, попадающего в глаза, для этих разных длин имеет зрение. И мы – люди – тоже обладаем способностью видеть. Видимый для обычного человека (усредненный по большому количеству людей) диапазон длин волн электромагнитного излучения: 380 нм – 760 нм. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению абсолютно черного тела, нагретого до температуры 6000 К. Из рисунка 1 следует, что видимый человеком диапазон длин волн приходится на участок максимума в солнечном излучении. Однако, есть виды живых существ на Земле, у которых видимый для них диапазон длин волн отличается от человеческого. Если источник света рассылает свет с мощностью излучения W по разным направлениям в пространстве неоднородно по направлениям, то для характеристики такого распределения вводится понятие относительной мощности, или интенсивности излучения, приходящейся на соответствующий элемент телесного угла:, т.е. $'^{W}$ ‘:. Например, лампа накаливания мощностью 100 Вт рассылает свет равномерно по всем направлениям в телесный угол, $равный^{4S}$ Рис. 2. Чувствительность глаза человека к свету разного цвета

ОЛИМПИАДЫ

XLVI Турнир городов

Задачи осеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы

$1 (4)^{1}$. Дан описанный пятиугольник ABCDE. Центр его вписанной окружности лежит на диагонали AC. Докажите, что AB + BC > CD + DE + EA. Е.Бакаев

2 (4). В ряд лежат 100 камней: черный, белый, черный, белый, …, черный, белый. Одной операцией либо выбирают два черных камня, между которыми лежат только белые камни, и перекрашивают все эти белые камни в черный цвет, либо выбирают два белых камня, между которыми лежат только черные камни, и перекрашивают все эти черные камни в белый цвет. Можно ли за несколько таких операций получить ряд, в котором идут сначала 50 черных камней, а потом 50 белых? Е.Бакаев

3 (4). См. задачу M2818 «Задачника «Кванта». 4 (5). Мама и сын играют. Сначала сын режет головку сыра 300 г на 4 куска. Затем мама распределяет 280 г масла на 2 тарелки. Наконец, сын раскладывает куски сыра на те же тарелки. Он выиграет, если на каждой тарелке сыра будет не меньше, чем масла (иначе выиграет мама). Кто из них может победить, как бы ни действовал другой? А.Шаповалов

5 (5). Набор состоит из одинаковых трехклеточных уголков, у которых центральные клетки испачканы краской. Прямоугольную доску покрыли в один слой уголками, не выходящими за пределы доски, а затем убрали уголки. Испачканные клетки оставили на доске следы. Всегда ли по этим следам можно узнать, как именно лежали уголки? А.Грибалко

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждающихся за ее полное решение. Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за разные пункты одной задачи суммируются).

10–11 классы

1 (3). См. задачу 2 базового варианта 8 – 9 классов. 2 (4). У двух многочленов с вещественными коэффициентами старшие коэффициенты равны 1. У каждого многочлена степень нечетна и равна числу его различных вещественных корней. Произведение значений первого многочлена в корнях второго равно 2024. Найдите произведение значений второго многочлена в корнях первого. С.Янжинов

3 (5). В ряд записаны 5 натуральных чисел. Каждое из них, кроме первого, – наименьшее натуральное число, на которое не делится предыдущее. Могут ли все пять чисел быть различными? Б.Френкин

4 (5). В равностороннем треугольнике ABC проведены отрезки ED и GF (рис. 1)

Рис. 1

так, что образовались два равносторонних треугольника ADE и GFC со сторонами 1 и 100 (точки E и G лежат на стороне AC). Отрезки EF и DG пересекаются в точке O, причем угол EOG равен 120q. Чему равна сторона треугольника ABC? М.Евдокимов

5 (5). Имеются чашечные весы без гирь и две кучи камней неизвестных масс, по 10 камней в каждой куче. Разрешается проводить сколько угодно взвешиваний, но на каждую чашу помещается не более 9 камней.

45

ОЛИМПИАДЫ

Всегда ли можно узнать, какая из куч тяжелее, или установить равенство их масс? С.Дориченко

Сложный вариант

8–9 классы

1 (4). Барон Мюнхгаузен взял несколько карточек и написал на каждой по натуральному числу (числа могут повторяться). Барон утверждает, что использовал только две различные цифры, зато когда он для каждой пары карточек нашел сумму чисел на них, то среди первых цифр этих сумм встретились все цифры от 1 до 9. Могут ли слова барона быть правдой? М.Дидин

2 (6). См. задачу M2821 а) «Задачника «Кванта». 3 (7). В остроугольном треугольнике ABC отмечены точки I и O — центры вписанной и описанной окружностей соответственно (рис. 2). Прямые AI и CI вторично пересека-

6 (10). См. задачу M2820 «Задачника «Кванта». 7 (10). Даны две строго возрастающие бесконечные последовательности положительных чисел, в которых каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Известно, что каждая последовательность содержит хотя бы одно число, которого нет в другой последовательности. Какое наибольшее количество общих чисел может быть у этих последовательностей? Б.Френкин

10–11 классы

1 (4). Петя записал на доске натуральное число. Каждую минуту Вася умножает последнее записанное на доску число на 2 или на 3 и записывает результат на доске. Может ли Петя выбрать начальное число так, чтобы в любой момент среди всех записанных на доске чисел количество начинающихся на 1 или 2 было больше, чем количество начинающихся на 7, 8 или 9, как бы ни действовал Вася? М.Дидин

2 (6). Клетчатую доску 20 u 20 разбили на двухклеточные доминошки. Докажите, что некоторая прямая содержит центры хотя бы десяти из этих доминошек. А.Юран

Рис. 2

ют описанную окружность треугольника ABC в точках N и M. Отрезки MN и BO пересекаются в точке X. Докажите, что прямые XI и AC перпендикулярны. Ф.Ивлев

4. а) (5) См. задачу M2819 а) «Задачника «Кванта». б) (3) См. задачу M2819 б) «Задачника «Кванта». 5 (8). На каждой стороне выпуклого многоугольника построили треугольник, третья вершина которого – пересечение биссектРис. двух углов многоугольника, примыкающих к этой стороне. Докажите, что вместе эти треугольники покрывают весь многоугольник. Е.Бакаев

3 (7). Известно, что каждый прямоугольный параллелепипед обладает свойством: квадрат его объема равен произведению площадей трех его граней, имеющих общую вершину. А существует ли параллелепипед, который обладает этим же свойством, но не является прямоугольным? А.Буфетов

4 (8). Существует ли такая бесконечная последовательность действительных чисел $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, …, что $a_{1} 1$ и для всех натуральных k выполняется равенство a k a 2 k a 3 k a 4 k }? И.Лобацкий

5 (10). Дана окружность $Z_{1}$, а внутри нее – окружность $Z_{2}$ (Рис. 3). Выбирают произвольную окружность $Z_{3}$, которая касается двух предыдущих, причем оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью $Z_{2}$ проводят касательную к $Z_{2}$

46

КВАНТ 2025/№3

Рис. 3

и получают хорду окружности $Z_{3}$. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности $Z_{3} )$ лежат на фиксированной окружности. П.Кожевников

6 (12). Замок Мерлина состоит из 100 комнат и 1000 коридоров. Каждый коридор соединяет какие-то две комнаты, каждые две комнаты соединены не более чем одним коридором. Мерлин выдал мудрецам план замка и объявил испытание. Мудрецы должны будут распределиться по комнатам, как хотят. Далее каждую минуту Мерлин указывает коридор, и один из мудрецов переходит по нему из комнаты на любом его конце в

комнату на другом его конце. Мерлин победит, если когда-то укажет коридор, на концах которого нет мудрецов. Число m назовем волшебным числом замка, если m мудрецов могут, сговорившись перед испытанием, действовать так, чтобы никогда не проиграть, причем m – минимальное такое число. Чему может равняться волшебное число замка? (Все, включая Мерлина, всегда знают расположение всех мудрецов.) Т.Васильев

7 (14). См. задачу M2822 «Задачника «Кванта».

Публикацию подготовили А.Грибалко, А.Глебов, Е.Веретенников, С.Дориченко, А.Заславский, П.Кожевников, М.Малкин, Л.Медников, Б.Френкин, А.Шаповалов, А.Юран

Региональный этап LVIII Всероссийской олимпиады школьников по физике

7 класс Задача 1. Случай на эскалаторе Экспериментатор Глюк и теоретик Баг одновременно ступили на параллельные эскалаторы в метро. Глюк едет сверху вниз, Баг – снизу вверх. Оба идут с постоянными скоростями по ходу движения. К моменту, когда друзья поравнялись, Глюк насчитал $N_{1} = 144$ ступеньки, а Баг – $N_{2} = 48$ ступенек. 1) Кто движется относительно эскалатора быстрее, Глюк или Баг, и во сколько раз? 2) Сколько ступенек $N_{4}$ насчитает Баг за все время движения, если Глюк за время движения насчитал $N_{3} = 216$ ступенек? 3) Какое количество N ступенек можно насчитать, если идти по стоящему эскалатору? Эскалаторы имеют одинаковую длину и движутся с одинаковыми скоростями. А.Евсеев

Теоретический тур

Задача 2. Средняя скорость Семиклассник, совершая поездку на дачу, через равные малые промежутки времени записывал путь, пройденный автомобилем. По этим данным он построил график зависимости пути s автомобиля от времени t (рис. 1). Но начинающий экспериментатор забыл оцифровать оси пути и времени. При этом он точно помнит, что между моментами, когда средняя путевая скорость принимала максимальное и минимальное значения, прошел

Рис. 1

51

ОЛИМПИАДЫ

Рис. 12

Задача 3. Пузырек черного курильщика В океанах на большой глубине около срединно-океанических хребтов могут встречаться такие источники тепла, как черные курильщики. Они извергают геотермальную воду высокой температуры. После одного из таких выбросов в толще океана появился слой теплой воды, температура t в котором изменялась с глубиной h так, как показано на рисунке 12. Продукты выброса черных курильщиков также часто содержат различные газы, которые формируют пузырьки. 1) Найдите все возможные значения глубины, на которых пузырек в воде будет находиться в равновесии. 2) Определите, являются ли найденные положения равновесия устойчивыми. Считайте, что течение в воде отсутствует и она находится в состоянии покоя; пузырек всегда имеет форму шара и давление внутри него равно внешнему давлению воды; газ внутри пузырька можно считать идеальным; температура внутри пузырька равна температуре окружающей воды; газ не растворяется в воде. Молярная масса газа М = 222 г моль, плотность воды постоянна и равна $U_{в} 1020$ кг $м^{3}$, универсальная газовая постоянная R = 8,3 Дж (моль ˜ К), ускорение свободного падения g = 10 м $с^{2}$, атмосферное давление $p 0 10^{5}$ Па. Л.Колдунов

Задача 4. Точно не Снеллиус? Даны светящийся отрезок AB, точка В c – изображение точки B, создаваемое некоторой тонкой линзой, и прямая D, проходящая через точку В c (рис. 13). Известно, что точка В c лежит в плоскости двойного фокуса

Рис. 13

линзы, а точка А c (изображение точки A) лежит на прямой D. Для всех возможных ситуаций с помощью циркуля и линейки без делений восстановите: 1) положение оптического центра линзы; 2) положение линзы и положение ее главной оптической оси; 3) положение фокусов линзы; 4) положение точки А c. Считайте, что данная линза любые лучи (даже непараксиальные) преломляет по тем же правилам, что и параксиальные. Параксиальный луч – это луч, идущий под малым углом к главной оптической оси линзы и на малом расстоянии от нее. А.Шишкина Задача 5. Усилитель В данной задаче рассматривается упрощенный принцип работы трехконтактного элемента электрической цепи – полевого транзистора. Контакты данного элемента называются «исток», «сток» (имеется в виду исток и сток электронов) и «затвор» (рис. 14). При этом сила тока через затвор много меньше силы тока, текущего между стоком и истоком. Вольт-амперная характеристика транзистора, т.е. зависимость силы тока I, текущего между стоком и истоком, от напряжения U между ними управляется напряжением $U_{зи}$, созданным между затвором и истоком (полярность подключения, соответствующая положительным значениям U и $U_{зи}$, указана на рисунке 14). Рис. 14

53

ОЛИМПИАДЫ

ротором при подключении его к этому аккумулятору? 3) Какой заряд приобретет аккумулятор, если аналогичным образом использовать для его зарядки три таких электродвигателя? Изменением ЭДС аккумулятора в процессе зарядки, внутренним сопротивлением аккумулятора и действием на груз сил сопротивления воздуха пренебречь. К.Парфенов

Задача 4. Петля с током В горизонтальном однородном магнитном поле с индукцией B висит гибкая проводящая нить длиной L, по которой течет ток I (рис. 18). Оба конца нити подвешены прак-

Рис. 18

тически к одной и той же точке A. В равновесном положении эти концы образуют друг с другом угол D 60 q, а расстояние между точкой подвеса и самой нижней точкой нити H L 3 4. Ускорение свободного падения равно g. Собственным магнитным полем тока можно пренебречь. Нить является однородной. 1) Найдите массу нити m и силу натяжения нити $T_{D}$ в ее нижней точке (точка D на рисунке). 2) Определите силу натяжения нити $T_{C}$ в ее крайне правой точке (точка C на рисунке). 3) Найдите расстояние d между крайне левой и крайне правой точкой висящей нити. А.Заяц

Задача 5. Я надел свои очки Часто на портретных фотографиях, сделанных с помощью камеры смартфона, в отражении очков фотографирующего можно увидеть изображение его смартфона (рис. 19). Определите по фотографии радиус кривизны поверхности очков, оцените погрешность

Рис. 19

Рис. 20

измерений. Считайте, что расстояние между смартфоном и очками известно точно и равно L = 50 см. На рисунке 20 изображены смартфон и очки, лежащие рядом друг с другом. Длины, необходимые для получения числового ответа в задаче, можно измерить с помощью линейки по фотографиям. Ю.Черников

Публикацию подготовили А.Вергунов, В.Шевченко