Задача F313

Условие

Коэффициент преломления атмосферы планеты $X$ уменьшается с высотой $h$ над ее поверхностью по закону $n = n_0 - \alpha h$. Радиус планеты $R$. Найти, на какой высоте $h_0$ над поверхностью планеты находится оптический канал, по которому световые лучи будут обходить планету, оставаясь на постоянной высоте.

Н. Н. Седов

Решение

Коэффициент преломления аммосферы планых хуменышаемся с высотой $h$ над ее поверхности по закону $n = n_0 - \alpha h$. Радиус планыны $R$. Наимен, на какой высоте $h_0$ над поверхности планыны находится оптический канал, по котором световые лучи будут обходить планыу, оставясь на постоянной высоте. Расмотрим два крайних луча.

Луч, оставшийся на постоянной высоте $h_0$ (рис. 12), обойдет планыу за время

$$t = \frac{2\pi(R+h_0)}{v_1} = 2\pi(R+h_0) \frac{n_0 - \alpha h_0}{c}.$$

Другой луч того же светового канала, отсутствий от первого на расстояние $\Delta h \ll h_0$, должен обойти планыу на высоте $h_0 + \Delta h$ за то же самое время (только в этом случае фронт световой волны, распростяющейся по каналу, будет всюду перпендикулярен окружности радиуса $R + h_0$):

$$t = \frac{2\pi(R+h_0 + \Delta h)}{v_2} = 2\pi(R+h_0 + \Delta h) \frac{n_0 - \alpha(h_0 + \Delta h)}{c}.$$

Приравняв время распростяния и учитывая, что $\Delta h \ll h_0$, найдем

$$h_0 = \frac{1}{2} \left( \frac{n_0}{\alpha} - R \right).$$

Заметим, что расстояние является круговой рефракцией. Как показывает наблюдения, оно возможно, например, в атмосфере Венеры.

41