Задача F321

Условие

На горизонтальномMEMбрану насыпан мелкий песок._MEMбрана совершает колебания с частотой $v = 500 \text{ец}$ в вертикальной плоскости. Какова амплитуда колебаний_MEMбраны, если песчинки подскакивают на высоту $h = 3 \text{ мм}$ по отношению к положению равновесия_MEMбраны?

Решение

** На горизонтальную мембрану насыпан мелкий песок. Мембрана совершает колебания с частотой $\nu = 500$ гц в вертикальной плоскости. Какова амплитуда колебаний мембраны, если песчинки подскакивают на высоту $h = 3$ мм по отношению к положению равновесия мембраны?

Рис. 8.

Следовательно, если через линзу $\mathrm{Л_2}$ проходит весь световой поток, который падал на линзу $\mathrm{Л_1}$, то во втором случае этот поток распределяется по площади в $\Gamma^2 = 4$ раза большей. Поэтому освещенность изображения будет в четыре раза меньше, то есть $E = E_0/4$.

◆

Реакция разложения гидрида урана идет по уравнению
$$2\mathrm{UH_3} = 2\mathrm{U} + 3\mathrm{H_2},$$
то есть из 482 г (из двух молей) гидрида урана получается 476 г (два моля) урана и 6 г (три моля) водорода. Соответственно, из 1 г гидрида урана получится $m = 6/482$ г водорода. Считая водород идеальным газом, найдем его давление при данных условиях ($T = 673^\circ\mathrm{K}$, $V = 10^{-3}$ м³). Из уравнения состояния идеального газа

$$p = \frac{m}{\mu}\frac{RT}{V} \approx 35\cdot 10^3 \ \ \textit{н/м}^2.$$

◆

Пусть колебания мембраны происходят по закону
$$x = A \sin \omega t,$$
где $x$ — смещение от положения равновесия, $A$ — амплитуда, $\omega = 2\pi\nu$ — циклическая частота колебаний. В начальный момент времени $t = 0$ мембрана и песчинки на ней находятся в положении равновесия. Затем мембрана удаляется от положения равновесия, например, вверх.

На песчинку, движущуюся вместе с мембраной, действуют две силы: сила тяжести $mg$ и сила $\mathbf{N}$ реакции мембраны (рис. 8). Запишем уравнение движения песчинки:
$$N - mg = ma.$$
В момент отрыва песчинки сила реакции $N$ обращается в нуль, и, следовательно, ускорение песчинки $a = -g$. Таким образом, песчинка отрывается от мембраны в тот момент времени $t_0$, когда ее ускорение равно $-g$. Дальше песчинка продолжает двигаться до высоты $h$ как тело, брошенное вертикально вверх на высоте $h_0$, равной отклонению мембраны от положения равновесия в момент $t_0$, с начальной скоростью $v_0$, равной скорости мембраны в тот же момент $t_0$ (см. рис. 8). По закону сохранения механической энергии

$$mgh_0 + \frac{mv_0^2}{2} = mgh. \qquad (*)$$

Рассмотрим теперь более подробно движение мембраны и свяжем величины $h_0$ и $v_0$ с амплитудой колебаний мембраны.

Скорость мембраны в любой момент времени равна $v = \omega A \sin(\omega t + \pi/2) = \omega A \cos \omega t$, а ускорение $a = -\omega^2 x = -\omega^2 A \sin \omega t$. В момент отрыва $t_0$

$$v = v_0 = \omega A \cos \omega t_0,$$
$$a = -g = -\omega^2 A \sin \omega t_0,$$
$$x = h_0 = A \sin \omega t_0.$$

Из уравнения ускорения $\sin \omega t_0 = \dfrac{g}{\omega^2 A}$, следовательно, $h_0 = g/\omega^2$ и $v_0 = \omega A \cos \omega t_0 = \sqrt{\omega^2 A^2 - g^2/\omega^2}$

Подставив значения $h_0$ и $v_0$ в уравнение $(*)$, получим

$$A = \frac{\sqrt{2gh\omega^2 - g^2}}{\omega^2} \approx 77{,}2\cdot 10^{-6} \ \textit{м} \approx 0{,}077 \ \textit{мм}.$$

Б. Б. Буховцев

47