Задача F322

Условие

Две звезды врашают вокруг общого центра масс с постоянными по абсолотной величины скоростими $v_1$ и $v_2$ с периодом $T$. Найти массы звезд и расстояние между ними.

В. А. Луговцов

Решение

Две звезды врачаются вокруг общего центра масс с постмояными по абсолютной величине скорости $v_1$ и $v_2$ с перiodом $T$. Наимм массы звезды и расстояние между ними.

Так как скорости звезд при врашении вокруг центра масс системы по абсолютной величине постоянны, звезды движутся по окружности, причем эти окружности концентрические и их общий центр находится в центре масс системы. Взаимное расположение звезд и общего центра масс (точки $O$) показаны на рисунке 2.

Обозначим через $m_1$ и $m_2$ массы звезд, а через $r_1$ и $r_2$ — радиусы соответствующих окружностей. Центростремительное ускорение ($v^2/r$) каждой звезде сообщает сила тяготения $F = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2}$, где $r = r_1 + r_2$ — расстояние между звездами.

Запишем уравнение движения звезд:
$$\gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} = m_1 \frac{v_1^2}{r_1}$$ и $$\gamma \frac{m_1 m_2}{r^2} = m_2 \frac{v_2^2}{r_2}.$$

Скорости звезд с перiodом врачания и радиусами соответствующих окружностей:
$$v_1 = \frac{2\pi r_1}{T}$$ и $$v_2 = \frac{2\pi r_2}{T}.$$

38

Объединим последние четыре управнения в системе. Решая ее и учитывая, что $r = r_1 + r_2$, найдем

$$r = \frac{T}{2\pi} (v_1 + v_2);$$

$$m_1 = \frac{(v_1 + v_2)^2 v_2 T}{2\pi\gamma};$$

$$m_2 = \frac{(v_1 + v_2)^2 v_1 T}{2\pi\gamma}.$$

Давление под изогнутой сферической поверхности жидкости от давления газа над ней на величины $\Delta p = \frac{2\sigma}{r}$, где $r$ — радиус сферы.

В случае полного смчивания стенок трубки водой меняски в узком и широком коленах можно принять за полусферы радиусов $r_1 = d_1/2$ и $r_2 = d_2/2$. Следовательно, если меняск не располагается на одном из концов соответствующего капилляра, давление воздуха над жидкостью в узком колене больше давления воды под поверхностью на $\Delta p_1 = 4\sigma/d_1 \approx 28,6$ см вод. см., а в широком колене — на $\Delta p_2 = 4\sigma/d_2 \approx 14,3$ см вод. см. Поэтому разность уровней таких менясков (см. рис. 3) может быть равной лише

$$\Delta h = \frac{\Delta p_1}{\rho g} - \frac{\Delta p_2}{\rho g} \approx 14,3 \text{ cm}.$$

В нашем случае $l < \Delta h$. Значит, хотя бы один из менясков располагается на конце колена.

При одновременном соприкосовении концов П-образной трубки с поверхностью воды подъем жидкости в узком капилляре приведет к таким повышению давления воздуха в трубке, что он будет выходит (пробулыкивать) через конец широкого капилляра.

Таким образом, вода в узком капилляре должен до самого верхса, где образуется меняск радиуса $R_1 > r_1$. Следовательно, трубку необходимо погрузить в жидкость на всю длину $l$.

У нижнего конца широкой трубки меняск может иметь радиус $R_2 \geq r_2$. При $R_2 = r_2$ давление воздуха в погруженной трубке максимально и равно

$$\rho_{\text{max}} = \rho_{\text{atm}} = \rho g l + \frac{2\sigma}{r_2}.$$

Пробулыкивание будет продолжаться до тех пор, пока масса давления не уменьшится настолько, что его давление становится равным $\rho_{\text{max}}$ или немного меньше. Менисск радиуса $R_2 \geq r_2$ в широком колене будет располагается у нижнего конца капилляра, то есть на глубине $l$.

Если концы трубки коснутся поверхностями воды не одновременно, то пробулыкивание полностью или частично не будет. В этом случае ответ задачи получится другим.

Б. Б. Буховцев