Задача F328

Условие

Жесткие стержни длины $l_1$ и $l_2$ соединены шарнирно в точке $A$. Их свободные концы удаляются друг от друга равномерно со скоростями соответствующего $v_1$ и $v_2$, направленных вдоль одной прямой (рис. 2). Найти ускорение точки $A$ в тот момент; когда стержни составляют друг с другом угол $90^\circ$. Движение стержней проискот в одной плоскости.

Б. Б. Буховцево

Решение

Жесткие стержни длины $l_1$ и $l_2$ соединены шарниром в точке $A$. Их свободные концы удалиются другом другом равномерно со скоростью соответствующего $v_1$ и $v_2$, направленных вдоль одной прямой (рис. 13). Наимену упокение точки $A$ в том момент, когда стержни соединяются друг с другом угодл $90^\circ$. Движение стержней проискодим в одной плоскости.

Представим вектор $a$ полного ускорения точки $A$ в момент, когда стержни составляют друг с другом угодл $90^\circ$, как сумму двух ускорений $a_1$ и $a_2$, направленных вдоль соответствующих стержней (см. рис. 13). Для вычисления $a_1$ и $a_2$ воспользуемся тем, что вектор ускорения остается постоянным при перехождение от одной инерциальной системы отчета к другой.

Перейдем в системе отчета, движущуюся со скоростью $v_2$ влево. В этой системе отчета конецлевого стержня (точка $B$) поконтся; конец правого стержня (точка $C$) движется вправа со скоростью $v_1+v_2$, а точка $A$ описывает окружность радиуса $l_2$ (рис. 14). Следовательно, ускорение $a$ можно разложить на центростремительное (нормальное) ускорение и касательное (тангенциальное) ускорение. Это и есть ускорения $a_2$ и $a_1$ соответствующего.

Модуль центростремительного ускорения $a_2 = v^2/l_2$, где $v$ — линейная скорость движения точки $A$ по окружности. В момент, когда стержни составляют друг с другой угодл $90^\circ$, вектор скорости $v$ направлен вдоль правого стержня. Другой стержня $AC$ имеет в этот момент скорость $v_1+v_2$, направленную вправа. Так как стержень жесткий, проекции скоростей его концов на прямую, вдоль которой он расположен, должны быть одинаковыми (иначе изменялась бы длина стержня). Следовательно (см. рис. 14),

43

$$v = \left( v_1 + v_2 \right) \cos \alpha_1 = \frac{\left( v_1 + v_2 \right) l_1}{\sqrt{l_1^2 + l_2^2}}.$$

Тогда

$$a_2 = \frac{v^2}{l_2} = \frac{\left( v_1 + v_2 \right)^2 l_1^2}{\left( l_1^2 + l_2^2 \right) l_2}.$$

Аналогично, первый в системе отчета, движущуюся вправо со скоростью $v_1$, получим

$$a_1 = \frac{\left( v_1 + v_2 \right)^2 l_2^2}{\left( l_1^2 + l_2^2 \right) l_1}.$$

Модуль полногоускорения

$$a = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \frac{\left( v_1 + v_2 \right)^2}{\left( l_1^2 + l_2^2 \right) l_1 l_2} \sqrt{l_1^6 + l_2^6}.$$

Вектор а составляет со стержнем $AC$ угол $\beta$ такой, что

$$tg \beta = \frac{a_2}{a_1} = \left( \frac{l_1}{l_2} \right)^3.$$

Б. Б. Буховцев