Задача F330

Условие

В цилиндре под невесомым поршнем площади $S$ находится воздух при atmosферном давлении $p_0$ и температуре $T_0$. Внутренний объем цилиндра разделен на две равные части неподвижной горизонтальной перегородкой с маленьким ответием. На поршень кладут груз массой $M$, под действием которого поршень доходит до перегородки. Найти температуру воздуха внутри цилиндра, если стенки цилиндра и поршень не проводят тепло.

Б. А. Луговцово

Решение

В цилиндре под неевесомим поршнем плоцами $S$ находится воздух при аммосферном давлении $p_0$ и температуре $T_0$. Внутренний объем цилиндра разделен на две равные части неподвижной горизонтальной перегородкой с маленьким отвергением. На поршень кладум груз массы $M$, под действiem коморого поршень доходит до перегородки. Наимениментарную $T_1$ воздуха в цилиндре, если стенки цилиндра и поршень не проводят менло.

◆

Так как сосуд теплопозоливован, то изменение внутренней энергии газа равно работе внешних сил, действующих на поршень,— силы тяжестки $Mg$ и силы атмосферного давления $p_0S$:

$$\Delta U = (Mg + p_0S) h$$

(h — ход поршня).

Поскольку внутренняя энергия газа зависит только от температуры, то в любом процессе изменение внутренней энергии такое же, как в процессе, проискодящем при постоянном объете, то есть

$$\Delta U = C_V z \left( T_1 - T_0 \right).$$

Здеся $C_V$ — теплопозоливость одного моля газа при постоянном объете, $z$ — число молей газа. Поэтому в нашем случае

$$\left( Mg + p_0S \right) h = C_V z \left( T_1 - T_0 \right).$$

Отсюда

$$T_1 = T_0 + \frac{\left( Mg + p_0S \right) h}{C_V z}.$$

Число молей воздуха в цилиндре можно найти из уравнения состояния газа до скатия:

$$p_0V = zRT_0,$$

откуда

$$z = \frac{p_0V}{RT_0}.$$

Воздух состоит в основном из двухатомных газов — азота и кислорода. Поэтому можно считать $C_V = \frac{5}{2} R$. Подставляя значения $z$, $C_V$ и $h = V/2S$ в (*), окончательно находится:

$$T_1 = T_0 \left( 1 + \frac{Mg + p_0S}{5p_0S} \right).$$

44