Задача M303

Условие

** Прямоугольник $300 \times 1000$ разрезан на квадраты $1 \times 1$, и в некоторых 30 вершинах квадратов помещены одинаковые гирьки. Докажите, что можно выбрать две непересекающиеся группы гирек — не более чем по 10 в каждой — так, что их центры тяжести совпадут.

А. В. Шерстюк

Решение

Прямоугольник $300 \times 1000$ разрезан на квадраты $1 \times 1$, и в некоторых 30 вершинках квадратов помещены одинаковые сирвы. Доказим, что можно выбрать две непересекающие группы сирек — не более чем по 10 в каждой — так, что их центры мяжести совпадают.

Поскольку $ABCD$ — трапеця, то $\frac{|OB|}{|OA|} = \frac{|OD|}{|OC|}$.

Обозначим это отношение через $k$. Пусть $F$ — композиция двух преобразований: симметрини относительно биссекtrисы угла $AOB$ и горотетни (подобного преобразования) с центром $O$ и коэффициентом $k$. Нетрудно видеть, что

$$F(A) = B, F(C) = D, F(A') = B'$$

т. е.

$$F(\triangle ACA') = \triangle BDB'$$

позному $\triangle ACA' \cong \triangle BDB'$.

План другого решения: поскольку $|OB| \cdot |OC| = |OA| \cdot |OD|$, то $|OB'| \cdot |OC| = |OA'| \cdot |OD|$,

и точки $C, D, B'$ и $A'$ лежат на одной окружности.

Введем систему координат $Oxy$ так, чтобы вершины прямого лыжника получили координаты $(0, 0), (0; 300), (1000; 300), (1000; 0)$. Если какие-то 10 гирек находятся в точках $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_{10}, y_{10})$, то координаты их центра тягестки $\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_{10}}{10}, \frac{y_1 + y_2 + \dots + y_{10}}{10}$.

Таким образом, координаты центра тягестки любых 10 гирек, расположенных в «целых точках» прямого лыжника — в вершинах квадратов построенной сетки,— обязательно имеют вид $(k/10, l/10)$, где $k$ и $l$ — целые числа, причем $0 \leq k \leq 1000$ и $0 \leq l \leq 3000$. Точек такого вида существует.

$$1001 \cdot 3001 = 30013001$$

(1)

С другой стороны, 10 гирек из данных 30 можно выбрать

$$C_{10}^{10} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} =$$

$$= 29 \cdot 23 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3^2 = 30015 \cdot 1001 = 30045015$$

способами *). Поскольку (1) меньше (2), центры тягестки каких-то двух различных групп по 10 гирек должны попасть в одну точку.

Задча была бы уже решена, если бы в условиях не требовалось, чтобы группы гирек были непересекающими, чтобы тягестки $C'$, $C''$ составляли их гиреп из $k$ и $(10-k)$ гирек, и делит этот отрезок в относительной $(10-k)/k$. Поскольку центры тягестки для той и другой групп по 10 гирек совпадают, то центры тягестки обих гиреп по $(10-k)$ гирек также совпадают.

Н. Б. Васильев

*) См. статью Н. Я. Виленкина «Комбинаторика» в «Кванте», 1971, № 1, или учебник для 9-го класса Б. Е. Вейцца и И. Т. Демидова, гл. I.