Задача M312

Условие

В паралелограмм $P_1$ высан паралелограмм $P_2$, в котором в свою очередь высан паралелограмм $P_3$, причем стороны $P_3$ паралелыми сторонам $P_1$. Докажите, что хотя одна сторона паралелограмма $P_3$ по длине не меньше половины паралелной ей стороны $P_1$.

А. А. Григорян

Решение

** В параллелограмм $P_1$ висан параллелограмм $P_2$, в котором в свою очередь висан параллелограмм $P_3$, причем стороны $P_3$ параллельны сторонам $P_1$. Доказим, что хотя бы одна сторона параллелограмма $P_3$ по длине не меньше половины параллельной ей стороны $P_1$.

Пусть неокоторая бактерия, у которой $N$ потокков среды 1000 бактерии, разделилась на две, у которых соответствен $N'$ и $N''$ потокков. Тогда $N = N' + N''$, и поэтому одно из чисел $N'$ и $N''$ не меньше $N/2$.

Рассмотрим последовательность бактерии $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_m$, где $A_1$ — самая первая бактерия, $A_{k+1}$ (для $k = 1, 2, \ldots, m-1$) — та из двух бактерии, возникших при делении $A_k$, у которой не меньше потоков, чем у ее сестры, и $A_m$ — одна из 1000 бактерии, которые получились в конце. Пусть $A_k$ имеет $N_k$ потокков. Тогда последовательность
$$N_1 = 1000, N_2, N_3, \ldots, N_{m-1}, N_m = 1$$
убываются, но каждый член в ней не меньше половины предыдущего: $N_k > N_{k+1} \geq N_k/2$. (На рисунке 1, изображаемшем процесс деления бактерии в виде «генеалогического дерева», показана цепочка бактерии $A_1, A_2, \ldots, A_m$; здесь $N_1 = 16, N_2 = 9, N_3 = 5, N_4 = 3, N_5 = 2, N_6 = 1$.) Если выбрать $j$ так, что $N_{j-1} \geq 668$, а $N_j < 668$, то получим $334 \leq N_j \leq 667$, то есть бактерия $A_j$ будет удовлетворять заданному условию.

Точно так же можно доказать, что если в конце получилось $M$ бактерии, то для любого натурального $c$ найдется бактерия, число помtokов которой $N$ удовлетворяет условием $c \leq N < 2c$.

Н. Б. Васильев

Заметим прежде всего, что если параллелограмм $ABCD$ висан в параллелограмм $KLMN$ (см. рис. 2), то они имеют общий центр симметрики $O$. Это следует из того, что при симметринии относительно $O$ параллелограмм $KLMN$ переходит в себя, а сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ переходит

*) Решение задачи M310 содержится в статье Г. А. Гуревича и «Бесповторные последовательности («Квант», 1975, № 9).

43

в равный по длине и паралельный отрезок с концами на соответствующих сторонах паралелографма KLMN, то есть в отрезок CD.

Поэтому у паралелографмов $P_1, P_2$ и $P_3$ — общий центр симметрии. Из этого получаем, что четыре закрашенных паралелографма, расположенных в углах $K, L, M$ и $N$, конгруэнтны; обозначим длины их сторон соответственно через $x$ и $y$.

Пусть $a$ и $b$ — длины сторона паралелографма $P_3$. Тогда длины сторона паралелографма $P_1$ равны $(a + 2x)$ и $(b + 2y)$. Нам нужно доказать, что либо $a \geq \frac{a + 2x}{2}$, либо $b \geq \frac{b + 2y}{2}$, то есть, что либо $a \geq 2x$, либо $b \geq 2y$. Это будет так, если мы доказем такое неравенство: $ab \geq 4xy$.

Рассмотрим паралелографм, три вершины которого — точки $A, L$ и $B$. Поскольку диагональ $AB$ делит его и угловые паралелографмы — левый нижний и правый верхний — на конгруэнтные треугольники, то площади паралелографмов, закрашенных на рисунке 2 снимм, равны. Точно так же равны площади паралелографмов, закрашенных желтым, красным и зеленьим: все закрашенные паралелографмы равновелики. Очевидно (см. рис.ок), что суммарная площадь закрашенных паралелографмов не превышает площади паралелографма $P_3$. Но площадь одного закрашенного паралелографма равна $xy \cdot \sin \alpha$, а площадь паралелографма $P_3$ равна $ab \cdot \sin \alpha$; значит,

$$ab \geq 4xy,$$

что и требовалось.

И. Н. Клумова