Задача M319

Условие

На плоскости заданы окружность $\gamma$ и точка $P$ внутри нее. Рассмотрим множество тетраэдров $ABCD$, у которых все четыре грани конгрузить, причем треугольник $ABC$ виссан в окружность $\gamma$ так, что его медианы пересекаются в точке $P$.

a) При каком положении точки $P$ внутри $\gamma$ также тетраэдры существуют?

6. Докажите, что вершины $D$ таких тетраэдров расположены в одной из двух фиксированных точек пространства (симметричных относительной плоскости).

И. Ф. Шарыzin

26

Решение

На плоскости заданы окружность $\gamma$ и точка $P$ внутри нее. Рассмотрим множество тетраэдров $ABCD$, у которых все четыре грани конгруэнтны, причем треугольник $ABC$ вписан в окружность $\gamma$ так, что его медианы пересекаются в точке $P$.

а) При каком положении точки $P$ внутри $\gamma$ такие тетраэдры существуют?

б) Докажите, что вершины $D$ таких тетраэдров расположены в одной из двух фиксированных точек пространства (симметричных относительно данной плоскости).

Рис. 3.

или $\quad \alpha + \gamma = \dfrac{2\pi}{3}$, откуда величина угла $B$ равна

$$\beta = \pi - (\alpha + \gamma) = \frac{\pi}{3}\,.$$

Необходимость доказана. Докажем достаточность.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($a\!=\!c$) соотношение (3) следует из равенства длин биссектрис $l_a = l_c$.

Если же угол $\beta = \dfrac{\pi}{3}$, то тогда верно соотношение (7). Складывая соотношения (1) и подставляя туда условие (7), получим условие (6), из которого следует соотношение (4), а из (4) и (2) вытекает требуемое соотношение (3).

Заметим, что утверждение задачи можно было сформулировать следующим образом:

«Пусть задан отрезок $AC$. Геометрическим местом вершин $B$ треугольников $ABC$, таких, что $al_a\!=\!cl_c$ (см. введенные обозначения), является совокупность двух дуг окружностей (см. рис. 2) и серединного перпендикуляра к заданному отрезку, причем центры окружностей равноудалены друг от друга и концов заданного отрезка».

А. П. Савин

◆ Будем называть тетраэдры, у которых все грани конгруэнтны, $K$-тетраэдрами. Установим несколько свойств таких тетраэдров.

$1^\circ$. Сумма трех плоских углов при каждой вершине $K$-тетраэдра равна $180^\circ$.

Действительно, эти три угла конгруэнтны углам одного и того же треугольника $ABC$, противолежащим трем разным его сторонам $AB$, $BC$, $CA$ (это рассуждение годится и для треугольников $ABC$, у которых какие-то две стороны равны по длине), а сумма углов треугольника — $180^\circ$ (рис. 3).

$2^\circ$. Грани $K$-тетраэдра — остроугольные треугольники.

В самом деле, в любом трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других. Для углов треугольника это условие выполняется в том и только в том случае, если он остроугольный.

$3^\circ$. Развертка $K$-тетраэдра имеет вид остроугольного треугольника, в котором проведены средние линии.

Это сразу следует из $1^\circ$ и $2^\circ$ (рис. 4). Разумеется, верно и обратное: любой остроугольный треугольник $A_1B_1C_1$ с проведенными в нем средними линиями $AB$, $BC$, $CA$ можно рассматривать как развертку $K$-тетраэдра. (Подумайте, почему нельзя сложить тетраэдр из тупоугольного $\triangle A_1B_1C_1$.)

Заметим, что когда мы будем складывать из развертки тетраэдр, закрепив грань $ABC$ и вращая три другие грани относительно ребер $AB$, $BC$, $CA$, то точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ будут двигаться по окружностям (лежащим в плоскостях, перпендикулярных $ABC$), а их проекции на плоскость $ABC$ будут двигаться по высотам треугольника $A_1B_1C_1$ вплоть до точки их пересечения $H$. Итак, мы получили еще такое свойство:

$4^\circ$. Проекция $H$ вершины $D$ $K$-тетраэдра $ABCD$ на плоскость $ABC$ лежит в точке пересечения высот треугольника $A_1B_1C_1$.

Заметим, что в любом тетраэдре его «медианы» — отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести (точками пересечения медиан) противоположных граней, — пересекаются в одной точке М — «центре тяжести» тетраэдра — и делятся этой точкой в отношении $3:1$, считая от вершины (рис. 5; через ту же точку М проходят и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер).

$5^\circ$. В $K$-тетраэдре центр тяжести совпадает с центром описанного шара.

39

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

40

Существует перемещение пространства, при котором тетраэдр $ABCD$ совмещается сам с собой так, что грань $DCB$ переходит в $ABC$ (то есть $A—D$, $B—C$, $C—B$, $D—A$). При этом перемещении только две точки поверхности тетраэдра остаются неподвижными: это — середины ребер $AD$ и $BC$. Ясно, что при таком перемещении центр описанного шара $O$ и точка пересечения медиан $M$ неподвижны (поскольку сам тетраэдр совмещается с собой). Если точки $M$ и $O$ различны, то неподвижными должны быть и все точки прямой $MO$. Значит, эта прямая проходит через середины ребер $AD$ и $BC$. Точно так же (рассматривая другие самосовмещения тетраэдра) мы докажем, что прямая $MO$ проходит и через середины других ребер. Но это невозможно. Значит, точки $M$ и $O$ совпадают.

Обозначим центр тяжести треугольника $ABC$ через $P$, центр его описанной окружности (проекцию точки $O=M$ на плоскость $\triangle ABC$) через $Q$, проекцию вершины $D$ на плоскость $\triangle ABC$ — через $H$. На рисунке 6 изображены все эти точки, лежащие в плоскости, перпендикулярной грани $ABC$ и проходящей через центр шара $O$ и вершину $D$; $E$ и $F$ — точки пересечения этой плоскости с описанной окружностью треугольника $ABC$, радиус которой обозначим через $\rho$. Поскольку $|DP| = 4|OP|$, $|OF|^2 = |OQ|^2 + \rho^2 = |OD|^2 = 9|OQ|^2 + |QH|^2$, получим

$$|QH|^{\mathbf{2}} + 8|OQ|^{\mathbf{2}} = \rho^{\mathbf{2}}.$$

Сформулируем нужное нам свойство:

6°. В любом К-тетраэдре $|QH| = 3|PQ|$ и $|QH|^2 + |DH|^2/2 = \rho^2$ (так как $|DH| = 4|OQ|$).

Теперь легко решить оба пункта задачи М319.

а) Множество центров тяжести остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность $\gamma$ с центром $Q$ и радиусом $\rho$, будет внутренностью концентрического круга радиуса $\rho/3$. (Докажите это, пользуясь рисунком 7 и тем, что для прямоугольного треугольника центр тяжести находится ровно на расстоянии $\rho/3$ от центра гипотенузы $Q$.) Согласно 2° и 3°, именно такое множество положений может занимать точка $P$.

б) Согласно 6°, при заданной окружности $\gamma$ и заданном положении точки $P$ однозначно определяется положение проекции $H$ вершины $D$ на плоскость $\triangle ABC$ и ее расстояние $|DH|$ от этой плоскости.

В заключение сделаем несколько замечаний.

I. Для тех, кто захочет детально разобраться, как устроена «группа симметрий» $K$-тетраэдра (встретившихся в доказательстве 5°), дадим совет рассмотреть параллелепипед, несмежными вершинами которого являются вершины тетраэдра (рис. 8). Для К-тетраэдра этот параллелепипед — прямоугольный. Отсюда можно получить ряд других характеристических свойств $K$-тетраэдров (см. решение задачи М9 в «Кванте» № 9, 1970 г.).

Рис. 8.

Рис. 9.

41

II. Множество всех вершин D K-mетраэдров ABCD, грань ABC коморых виссана в данную окружность γ, представляем собой поверхность эллипсоidea врацения *), проходящое через γ (рис. 9). Это сразу следует из формулы $|QH|^2 + |DH|^2/2 = \rho^2$ и того факта, что точка H пробегает вес круг, ограниченной окружностью γ.

III. Основное равенство $|HP| = 4|QP|$ можно доказать, не опираясь на свойство $5^\circ$, если воспользоваться такими планетарическими сообщениями: точка H — центр описанного кругга $\triangle A_2B_2C_2$, в котором $\triangle A_1B_1C_1$ — треугольник из средних линей, а точка Q — центр описанного кругга $\triangle ABC$, составленного средними линяями треугольника $A_1B_1C_1$. Ясно, что все три треугольника имеют общий центр подобия P — точку пересечения медиан, причем коэффициент подобия $\triangle A_2B_2C_2$ и $\triangle ABC$ равен 4.

H. Б. Васильев