Задача M356

Условие

Из точки $M$, взятой внутри треугольника $A_1B_1C_1$, опущены перпендикуляры $MA_2, MB_2, MC_2$ на прямые $B_1C_1, A_1C_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Затем из точки $M$ опущены перпендикуляры $MA_3, MB_3, MC_3$ на прямые $B_2C_2, A_2C_2, A_2B_2$ (рис. 1), и так далее. Докажите, что в полученной последовательности треугольников $A_1B_1C_1$,

$$A_2B_2C_2, A_3B_3C_3, \dots \text{ треугольник } A_{3n+1}B_{3n+1}C_{3n+1} \text{ подобен треугольнику } A_1B_1C_1.$$

Я. Н. Суконик