Kvant 1970, số 9 · Trang

Tạp chí vật lý-toán học phổ thông khoa học
«Kvant»
9
1970
của
Viện Hàn lâm
Khoa học Liên Xô
và
Viện Hàn lâm Khoa học
Giáo dục Liên Xô

⟦trang 71⟧

Tổng biên tập — Viện sĩ I. K. KIKOIN
Phó thứ nhất của tổng biên tập — Viện sĩ A. N. KOLMOGOROV

Hội đồng biên tập:

L. A. Artsimovich, viện sĩ
M. I. Bashmakov
V. G. Boltyansky, ủy viên thông tấn Viện Hàn lâm Khoa học Giáo dục Liên Xô
I. N. Bronstein viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Giáo dục Liên Xô
N. B. Vasiliev viện sĩ
I. F. Ginzburg viện sĩ
V. G. Zubov viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Giáo dục Liên Xô
P. L. Kapitsa viện sĩ
V. A. Kirillin viện sĩ
G. I. Kosourov viện sĩ
V. A. Letskovtsev (phó tổng biên tập)
V. P. Litsevsky
A. I. Markushevich viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Giáo dục Liên Xô
M. D. Millyunchikov viện sĩ
N. A. Pampikeeva N. Kh. Rozov viện sĩ
A. P. Savin
I. Sh. SLOBODEЧИЙ (phó tổng biên tập)
M. L. Smolyansky tiến sĩ khoa học vật lý-toán học
Ya. A. Smorodinsky viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Giáo dục Liên Xô
V. A. Fabrikant viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Giáo dục Liên Xô
Ya. E. Shneider (thư ký phụ trách)

Ở trang đầu của bìa: «Một trong những mặt đại số bậc ba». Họa sĩ E. P. Leonov.

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova
Họa sĩ trưởng E. P. Leonov
Biên tập kỹ thuật T. M. Makarova
Hiệu đính I. V. Mamulova
Nhà xuất bản «Nauka» Ban chính văn học vật lý-toán học
Moskva, V-71, đại lộ Leninsky, 15
Điện thoại: 234—08—11

Đưa vào sắp chữ ngày 28,05,1970. In ngày 11.08.1970.
Giấy 70×100 1/16. Tờ in vật lý 4. Tờ in quy ước.
5,56. Tờ xuất bản-kế toán 5,58. Số lượng phát hành 174330 bản T-09853.
Giá 30 kopeck. Đơn đặt hàng 871

Tổ hợp in Chekhov thuộc Tổng cục Công nghiệp in
của Ủy ban Xuất bản thuộc Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô

thành phố Chekhov, tỉnh Moskva

3

Không ai ôm trọn được cái vô tận.
Có người quả quyết rằng cuộc đời của mỗi người đều được ghi trong sách Sáng thế.

Kozma Prutkov

«Các số thực được gọi là các phân số thập phân vô hạn»*. Sau khi đưa ra định nghĩa đó, thỉnh thoảng chúng ta bắt đầu phát âm câu nằm trong nhan đề bài viết. Và nó có nghĩa là gì? Chẳng lẽ khi định xem xét một phân số thập phân vô hạn, chúng ta không mâu thuẫn với sự khôn ngoan đời thường của Kozma Prutkov hoặc với phát biểu tương tự của nhà toán học vĩ đại người Pháp A. Poincaré, được dùng làm đề từ cho bài viết? Có thể «xem xét» một phân số thập phân hữu hạn, chẳng hạn bằng cách viết nó lên bảng và nhìn vào cái đã viết. Còn trong trường hợp phân số vô hạn, dĩ nhiên chúng ta không có khả năng như vậy. Điều này bị ngăn cản ở những mức độ khác nhau bởi sự hạn chế của kích thước bảng lớp, của đời sống con người, của Thiên hà của chúng ta, v. v. Tuy nhiên, hãy thỏa thuận rằng trong bài viết này chúng ta sẽ dựa vào một người khổng lồ thần thoại, đối với người đó tất cả những hạn chế này đều không đáng kể và mọi sự xem xét hữu hạn đều nằm trong khả năng.

Mặt khác, không khó để hiểu rằng tính vô hạn của phân số thập phân chưa chắc đã đồng nghĩa với «không thể ôm trọn». Chẳng hạn, khi nghiên cứu các số hữu tỉ, đôi khi người ta sử dụng cách biểu diễn chúng dưới dạng các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn, và để xác định những phân số sau chỉ cần chỉ ra một số hữu hạn các chữ số thập phân đứng trước chu kỳ và chính chu kỳ (cũng là một số hữu hạn các chữ số). Kết quả là có thể xem xét những phân số như vậy mà không mâu thuẫn với «tính hữu hạn» của chúng ta. Cấp số cộng và cấp số nhân (những dãy vô hạn!) được xác định bởi hai số (số hạng đầu tiên và công sai hoặc công bội). Chắc chắn các bạn cũng biết những ví dụ khác về các dãy vô hạn, việc xác định chúng chỉ đòi hỏi thông tin hữu hạn (chẳng hạn, công thức số hạng tổng quát). Tất cả những điều này gợi ý rằng tính chất «tội phạm» theo quan điểm của Kozma Prutkov của câu được nêu trong nhan đề không phải là hoàn toàn không thể chối cãi, và vì vậy cần được nghiên cứu kỹ lưỡng hơn, điều mà chúng ta sẽ tiến hành.

Vậy, chúng ta biết rằng tồn tại những phân số thập phân vô hạn cho phép mô tả hữu hạn. Ta quy ước gọi một phân số thập phân vô hạn là «có thể ôm trọn», nếu tồn tại «chân dung bằng lời» của nó — một mô tả có kích thước hữu hạn bằng tiếng Nga, xác định duy nhất nó (tức là chỉ có một phân số duy nhất thỏa mãn mô tả này). Nếu «chân dung bằng lời» của phân số không tồn tại, thì phân số được gọi là «không thể ôm trọn». Mục tiêu của chúng ta là chứng minh sự tồn tại của các phân số «không thể ôm trọn».

⟦tờ 4⟧

Ta chỉ xét các phân số nằm giữa 0 và 1, tức là các biểu thức dạng

$$0, \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \dots,$$

(1) trong đó $\alpha_k$, $1 \leq k < \infty$, là một trong các chữ số 0, 1, …, 8, 9. Trong lý thuyết số thực, một điều gây khá nhiều phiền toái là mọi phân số có “đuôi” gồm các số chín (mọi chữ số kể từ một vị trí nào đó đều bằng 9) đều bằng một phân số nào đó có “đuôi” gồm các số không (ví dụ, 0,099… = 0,100…). Để tránh điều đó, ta sẽ không xét các phân số mà trong cách viết có xuất hiện chữ số chín. Vậy, ta sẽ xét các phân số dạng (1), tức là các dãy chữ số $0, \alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_k \dots$, trong đó $\alpha_k$ có thể bằng 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8*). Ta phải, rằng ngay cả trong những phân số như vậy cũng có những phân số “bao la”.

Có thể chứng minh điều đó như thế nào?

Trước hết, hãy xét một tình huống tương tự, tuy liên quan đến các tập hợp hữu hạn (để dễ hiểu hơn, ta sẽ mô tả nó dưới hình thức đùa vui). Giám đốc rạp chiếu phim biết được rằng trong buổi chiếu có mặt này khán giả, còn phòng vé bán chín mươi vé. Chắc hẳn bạn sẽ không ngạc nhiên rằng từ việc đối chiếu hai sự kiện này, ông đã kết luận rằng trong phòng có những người không vé. Ông chỉ nhận thấy rằng số khán giả nhiều hơn số vé, nên không thể đủ vé cho tất cả khán giả. Hãy chú ý rằng lập luận này chỉ cho phép chứng minh sự tồn tại của một khán giả không vé, còn việc tìm ra một “kẻ lậu vé” cụ thể đòi hỏi những nghiên cứu bổ sung (chẳng hạn, kiểm tra vé khi ra về).

Vào những năm bảy mươi của thế kỷ trước, G. Cantor **) đã nghĩ ra một phương pháp tuyệt vời để tiến hành những lập luận tương tự cho thế kỷ không vé G. Cantor **) đã nghĩ ra một phương pháp tuyệt vời để tiến hành những lập luận tương tự cho thế kỷ không vé G. Cantor (1845—1918) — người sáng lập lý thuyết các tập hợp không vé.

*) Người đọc tinh ý chắc chắn sẽ nhận thấy khi đọc phần văn bản tiếp theo rằng mọi xem xét sẽ cũng có nội dung như vậy nếu ta chỉ giới hạn ở hai chữ số, chẳng hạn 0 và 1.

**) G. Cantor (1845—1918) — người sáng lập lý thuyết các tập hợp không vé.

Ví dụ.
№ Các phân số được đánh số β = 0,

1. 0, $\frac{1}{2}$ 2 3 4 5 6 7 8 0 1…
2. 0, $\frac{1}{3}$ 6 1 4 5 3 2 1 4…
3. 0, 1 $\frac{2}{3}$ 4 5 3 1 7 8 2…
4. 0, 0 1 $\frac{4}{3}$ 7 2 7 8 0 1…
5. 0, 4 2 3 $\frac{1}{2}$ 1 4 5 6 0…
6. 0, 5 6 7 2 $\frac{4}{5}$ 8 0 1 2…
7. 0, 2 4 3 5 6 7 $\frac{8}{10}$ 0 2 4…
8. 0, 7 5 4 6 2 1 $\frac{2}{10}$ 0 1 2…
9. 0, 8 0 8 0 1 0 2 $\frac{2}{20}$ 2…

β = 0,253736013…

Bài toán 1. Chứng minh rằng phân số β được xây dựng không nằm trong dãy ban đầu.

Như vậy, sự kiện thứ hai đã được chứng minh, chuyển sang sự kiện thứ nhất.

Trước hết hãy bàn về câu chuyện kỳ lạ về thư viện vạn năng.

Thư viện phải chứa bao nhiêu tập, bao gồm mọi cuốn sách từng được viết, đang được viết hoặc sẽ được viết trong tương lai? Thông thường, một người lần đầu nghe câu hỏi này ngạc nhiên rằng một thư viện vạn năng như vậy gồm một số lượng hữu hạn sách (xem châm ngôn thứ hai của K. Prutkov). Mọi điều này dường như mâu thuẫn với những quan niệm của chúng ta về sự tiến bộ vô hạn của con người… Nhưng hãy chuyển sang các tính toán. Ta sẽ coi rằng mọi cuốn sách gồm 500 trang (nếu không thì sẽ chia chúng thành các tập) và mỗi trang gồm 40 dòng, mỗi dòng 50 ký hiệu. Bây giờ hãy bàn về vấn đề cơ sở in ấn. Ta sẽ quan tâm đến những cuốn sách bằng tiếng Nga. Để sắp chữ cần có cả các ký hiệu (chữ in) tương ứng với các chữ cái, dấu câu, cũng như một số ký hiệu để sắp các văn bản đặc biệt (tuy nhiên, nếu không tiết kiệm chỗ, có thể thay các công thức, bảng biểu, v.v. bằng các mô tả bằng lời). Dù thế nào đi nữa, ta sẽ coi rằng đủ st chữ in. Ta thuận tiện đưa vào một ký hiệu đặc biệt chỉ khoảng trắng giữa các từ. Khi sắp ký hiệu này đủ nhiều lần liên tiếp, có thể tạo ra các khoảng trắng dài tùy ý (đặc biệt, nhờ đó trong số những cuốn sách năm trăm trang có thể bao gồm cả những cuốn sách gồm số trang không trống nhỏ hơn). Kết quả là có thể hình dung cuốn sách như một dãy gồm 50×40×500=10⁶ ký hiệu, mỗi ký hiệu trong đó có thể là một trong 100 ký hiệu của bảng chữ in, tức là như một từ gồm một triệu chữ cái trong một ngôn ngữ có bảng chữ cái gồm 100 chữ cái. Hãy chú ý rằng việc quy về như vậy trở nên có thể nhờ việc đưa vào ký hiệu khoảng trắng, nếu không dãy ký hiệu có thể không xác định duy nhất một cuốn sách (nó có thể được chia thành các từ theo nhiều cách khác nhau).

Bài toán 2. Chứng minh rằng số lượng các từ khác nhau có độ dài n trong một ngôn ngữ có bảng chữ cái gồm k chữ cái bằng kⁿ*).

Gợi ý. Trước hết hãy xét ví dụ về hệ thống số thập phân của chúng ta: có 10ⁿ số khác nhau gồm n chữ số (từ 000…0 đến 999…9).

Từ bài toán 2 suy ra rằng số tập của thư viện vạn năng được viết «chỉ là» một số 1 với hai triệu số không. Trong số các tập này sẽ có tất cả những đỉnh cao của trí tuệ, kể cả những điều nhân loại chưa lĩnh hội được, nhưng phần lớn sách sẽ chứa những văn bản vô nghĩa. Sẽ có cuốn sách chỉ gồm các chữ cái «a» (cũng có cuốn sách chỉ gồm một dấu chấm, cuốn sách «trống rỗng» và cuốn sách hoàn toàn gồm các ký hiệu khoảng trắng).

Bây giờ hãy thống nhất về hình thức «chân dung bằng lời» của một phân số thập phân dưới dạng một cuốn sách. Những cuốn sách này có nằm trong thư viện vạn năng không? Nói chung là không. Vấn đề là khi nói về thư viện vạn năng, chúng ta xuất phát từ giả thiết rằng sách có kích thước, được thực hiện xét từ quan điểm…

*) Từ — chỉ đơn giản là một dãy hữu hạn các chữ cái. Ta không quan tâm đến vấn đề nó có ý nghĩa hay không.

6

ния нашей житейской практики.
Однако, если отказаться от реализуемости в этом ее последнем убежище (а помните, мы ориентируемся на гиганта, которому она не присуща), нельзя исключить того, что некоторые «словесные портреты» могут занимать книги, превышающие по размеру книги из универсальной библиотеки. В связи с этим введем понятие ультрауниверсальной библиотеки. Так мы будем называть библиотеку, содержащую все книги сколь угодно больших размеров. Назовем размером книги число знаков в ней. Договоримся расставлять книги по следующему принципу: на полке с номером $N$ будут находиться все книги размера $N$. В частности, вся универсальная библиотека скромно займет одну полку с номером $N=10^6$. Итак, ультрауниверсальная библиотека будет состоять уже из бесконечного числа томов: в ней бесконечное число полок. Однако на каждой полке будет стоять конечное число книг. Из задачи 2 видно, что на полке с номером $N$ находится $100^N$ книг. А отсюда следует, что все книги можно перенумеровать!

Проведем инвентаризацию следующим образом. Предварительно фиксируем порядок книг на полках ультрауниверсальной библиотеки. Для этого вначале указываем порядок букв в нашем алфавите (их ведь конечное число — 100), а затем расставим книги в так называемом лексикографическом порядке, принятом в словарях (из двух слов-гигантов раньше идет то, у которого номер первой буквы меньше; если первые буквы совпадают, то сравнивают вторые буквы слова и т. д.). Расставив книги на полках, начнем нумеровать их с первой полки (на ней стоят книги, состоящие из одной буквы!). Закончив нумеровать очередную полку, переходим к следующей. Поскольку книг на каждой полке конечно, каждая книга рано или поздно получит номер. Инвентаризация проведена! Теперь заметим, что в ультрауниверсальной библиотеке содержатся словесные портреты всех «объятных» десятичных дробей, а поэтому, двигаясь по нумерации книг в библиотеке, мы можем прочитывать все эти портреты, а значит, и «объятные» дроби (нужно помнить, что у одной дроби может быть несколько «словесных портретов», и следить, не присвоен ли этой дроби уже какой-то номер ранее; впрочем, не страшно, если одну дробь мы занимаем несколько раз).

Существование «необъятных» дробей доказано.

Для тех, кто читал книгу Н. Я. Виленкина «Рассказы о множествах», интерпретируем полученный результат несколько иначе. Помните, как телефон необыкновенности, обнаруженный Щоном Тихим, передавал телефограммы, состоящие из бесконечной последовательности точек и тире? Представьте себе, что на другом телефоне, принимающем эти телефограммы, захотели придумать такой способ их расшифровки, чтобы каждой бесконечной телефограмме отвечало конечное слово в каком-то алфавите. Мы доказали, что такого способа не существует (слова всегда можно запутать, а телефограммы — нет). Можно сказать еще, что не существует способа дать всем точкам единого отрезка различные имена (конечные).

Мы доказали, что «необъятные» дроби существуют, но, подобно вышедшему путем директора кинотеатра, не в состоянии предъявить конкретную «необъятную» дробь. А что, если попробовать? Воспользуемся однажды выручившим нас диагональным процессом. Ведь мы ввели порядок книг в библиотеке, а значит, стала фиксированной нумерация «объятных» дробей. Используя факт 2, построим ненумерованную бесконечную десятичную дробь $\beta$.

Vậy là, chúng ta đã vượt qua giám đốc của «nhà hát sách» bằng cách đưa ra một phân số «không thể bao quát» cụ thể. Nhưng đã thu được điều gì? Theo định nghĩa, đối với một phân số «không thể bao quát» không được tồn tại mô tả hữu hạn, còn đối với phân số «không thể bao quát» $\beta$ thì một mô tả như vậy đã được xây dựng; đó chính là phần văn bản trước của bài báo này (bởi vì bạn không nghi ngờ rằng nó là hữu hạn chứ?). Chỉ có bảng chữ cái được đánh số là chưa được đưa ra, nhưng ngay cả điều này cũng không có lý do gì để nghi ngờ.

Hóa ra, chúng ta đã đi đến mâu thuẫn? Thật dễ chịu khi đi đến mâu thuẫn, nếu trước đó đã giả sử điều ngược với điều cần chứng minh. Nhưng, như bạn có lẽ nhớ, chúng ta đã không đưa ra giả sử ấy. Vậy phải làm sao?

Lựa chọn duy nhất có thể đưa ra là khái niệm về phân số “bao quát” mà chúng ta đã dùng, tức phân số cho phép mô tả hữu hạn, là không đúng và đã dẫn đến mâu thuẫn. Để củng cố niềm tin vào điều này, hãy đưa ra thêm một ví dụ. Ví dụ này sẽ không còn liên quan đến các phân số vô hạn, mà đến các số tự nhiên. Mỗi số như vậy có thể được mô tả bằng một văn bản hữu hạn (chẳng hạn, bằng cách gọi tên nó), vì thế không thể nói đến tính “vô biên”.

Tuy nhiên sẽ có những số mà mô tả của chúng không có trong thư viện phổ quát của chúng ta, tức là những số không có mô tả bằng tiếng Nga chứa không quá một triệu ký tự. Điều sau suy ra từ việc số tập trong thư viện phổ quát là hữu hạn. Trong các số tự nhiên không nhận được mô tả, có số nhỏ nhất. Chúng ta đã chứng minh mệnh đề sau:

Tồn tại số tự nhiên nhỏ nhất không thể xác định bằng một văn bản tiếng Nga chứa không quá một triệu ký tự.

Câu được nhấn mạnh chứa ba mươi lăm ký tự này. Nhưng ba mươi lăm nhỏ hơn một triệu, vì vậy có thể chúc mừng chúng ta vì thêm một mâu thuẫn nữa: câu trên mô tả một cách đơn nghĩa số đã nói tới!

Đã đến lúc phê phán khái niệm “chân dung bằng lời”. Theo bạn, có thể coi các câu sau cũng là mô tả không:

“α là một phân số thập phân vô hạn, các chữ số của nó có số thứ tự chia hết cho số bước Napoleon đã đi trong ngày diễn ra trận chiến riêng tư, trùng với các chữ số tương ứng của số l, còn các chữ số khác bằng không”.

“Để xác định chữ số thứ k của phân số δ, cần đếm số bàn thắng ghi được trong mọi trận bóng đá đã diễn ra vào năm thứ k của Công nguyên (không có theo giờ Moskva), rồi lấy chữ số cuối cùng”.

“Chữ số thứ năm của γ bằng 1 nếu trong biểu diễn √2 dưới dạng phân số thập phân vô hạn, chữ số 7 xuất hiện vô hạn lần, nếu không thì nó bằng 3; mọi chữ số khác của γ bằng 2”.

Tôi đã rất cố gắng nghĩ ra những mô tả phi lý mà tuy vậy vẫn xác định một phân số vô hạn duy nhất. Khó có thể đồng ý coi chúng là những “chân dung bằng lời” của các phân số. Vấn đề thậm chí không nằm ở tính phi lý của chúng, điều quan trọng là chúng không đưa ra mô tả thực sự về các phân số ấy. Chúng ta thậm chí không loại trừ khả năng mô tả có thể dùng thông tin đã được khẳng định từ quá khứ (α), các sự kiện từ tương lai (δ). Ngoài ra, một văn bản hữu hạn có thể chứa yêu cầu thực hiện vô hạn thủ tục để xác định chỉ một chữ số thập phân duy nhất (γ). Chính K. Prutkov cảnh báo chúng ta khỏi những sai lầm như vậy:

“Nếu mọi quá khứ đều là hiện tại, còn hiện tại tiếp tục tồn tại cùng với tương lai, thì ai có thể phân biệt được: đâu là nguyên nhân và đâu là hậu quả?”

Điều khó chịu chủ yếu, thực ra đã dẫn chúng ta đến mâu thuẫn, là “chân dung bằng lời” có thể sử dụng thông tin về tập hợp mọi “chân dung bằng lời”, mà bản thân nó phải thuộc vào với tư cách là một phần tử.

Việc tình huống này, trong logic mang tên gọi “vòng luẩn quẩn”, là nguồn gốc của mâu thuẫn, đã được biết từ thời nhà hiền triết nửa huyền thoại Epimenides, sống vào thế kỷ VI trước Công nguyên, người, là một người Crete (tức là sống trên đảo Crete), đã tuyên bố: “Mọi người Crete đều là kẻ nói dối”. Để đơn giản, ta sẽ chia mọi người thành những kẻ nói dối, luôn nói dối, và những người nói thật, luôn

nói về những người nói sự thật, nếu không có thể sa vào những khó khăn liên quan đến việc xác định một cách chính xác khái niệm «kẻ nói dối». Phát biểu đã nêu không thể là đúng, vì khi đó người Kritian Epimenid không thể nói sự thật. Như vậy, nó là sai, và do đó chứng minh sự tồn tại của ít nhất một người Kritian nói sự thật. Điều gì đã xảy ra? Vì một người Kritian (việc ông ta có phải là nhà thông thái hay không hiện nay không quan trọng) đã nêu ra một ý tưởng mà hơn nữa không thể là đúng, người ta lại rút ra kết luận về sự tồn tại của một người Kritian nói sự thật. Chúng ta có thể thực sự chắc chắn về sự tồn tại của người đó không? Sau đó có nên nói rằng vấn đề không phải là khả năng chỉ ra một người Kritian nói sự thật cụ thể hay không?

Còn tệ hơn nữa nếu Epimenid (cũng như một số khẳng định khác) trực tiếp tuyên bố: «Tôi là kẻ nói dối» hoặc «Bây giờ tôi đang nói dối». Những phát biểu này không thể là đúng cũng không thể là sai. Và nguồn gốc của sự khó chịu ở đây là ở chỗ để giải quyết vấn đề về tính đúng của phát biểu, ta đã cần biết câu trả lời cho chính vấn đề đó (vòng luẩn quẩn!).

Để loại bỏ khả năng xuất hiện vòng luẩn quẩn trong «những bức chân dung bằng lời», ta đặt thêm yêu cầu về tính hiệu quả, tức là yêu cầu rằng «bức chân dung» phải cho «khả năng» xây dựng rõ ràng một phân số. Cụ thể hơn, ta sẽ coi rằng nó phải chứa phương pháp (hay như người ta nói, thuật toán) cho phép chiếc máy vĩ đại của chúng ta với bộ nhớ không hạn chế, từ đó nó có thể sử dụng những phần hữu hạn lớn tùy ý, trong những khoảng thời gian hữu hạn tìm ra các ký hiệu liên tiếp của phân số. Có thể hình dung chiếc máy vĩ đại như một máy toán học có bộ nhớ không hạn chế, còn mô tả của phân số — như một chương trình hữu hạn để tính các ký hiệu liên tiếp của nó. Dĩ nhiên, chúng ta không cần đưa ra định nghĩa nghiêm ngặt về chiếc máy-vĩ đại này, và điều quan trọng là người đọc hiểu được điều đó. Khi ấy tôi đề nghị người đọc tin rằng có thể đưa ra một định nghĩa như vậy (để dành việc này cho một bài viết khác), và sử dụng những hình dung trực giác, tham gia vào việc thảo luận một số nguyên tắc chung.

Bây giờ ta sẽ gọi một phân số là «có thể nắm bắt» nếu tồn tại một chương trình để tính các ký hiệu của nó. Hãy xem điều gì đã thay đổi. Vì các chương trình có thể được xuất bản dưới dạng sách, chúng được chứa trong thư viện siêu vũ trụ, và vì vậy

1. các phân số «không thể nắm bắt» tồn tại.

Tiếp theo, mặc dù đã được dạy dỗ bằng những kinh nghiệm cay đắng, chúng ta không có quyền từ bỏ những cố gắng dạy chiếc máy vĩ đại viết ra một phân số cụ thể. Điều gì cản trở việc này? Tính số thứ tự của cuốn sách trong thư viện siêu vũ trụ (cũng như viết cuốn sách theo số thứ tự) chúng ta có thể làm được nếu có đủ bộ nhớ và thời gian, nghĩa là có thể dạy điều đó cho chiếc máy vĩ đại. Bây giờ chỉ xét những cuốn sách chứa các chương trình để tính các phân số. Để tìm ký hiệu thứ k của phân số «không thể nắm bắt» β, ta lấy chương trình thứ k theo thứ tự, đưa nó vào máy, chờ cho đến khi nó tính được ký hiệu thứ k, sau đó kết nối chương trình thay thế các ký hiệu theo bảng (việc này đã hoàn toàn dễ dàng). Vậy thì lại có mâu thuẫn sao? Hãy chú ý xem liệu chúng ta có thực sự xây dựng được một chương trình hay không. Tất nhiên, bạn đã phát hiện điểm yếu: cần xác định theo cuốn sách xem nó có phải là chương trình để tính các ký hiệu của một phân số thập phân vô hạn hay không. Và ai phải làm việc đó? Cần phải dạy điều này cho máy. Hãy phân tích. Nếu tồn tại một phương pháp hoặc chương trình (thuật toán) để xác định liệu văn bản chương trình (thuật toán) đã cho có phải là chương trình để tính các ký hiệu liên tiếp của một phân số thập phân vô hạn hay không.

Hãy suy ngẫm về kết quả này! Với giả định rằng tồn tại một định nghĩa đúng đắn về khái niệm thuật toán, mà không có bất kỳ thông tin bổ sung nào về định nghĩa đó, chúng ta

9

указали, как говоря, алгоритмически неразрешимую проблему. Существует много различных способов установить, что некоторые книги не содержат описаний алгоритмов для вычисления десятичных дробей (если, например, они содержат бессмысленный текст или в них речь идет о жизни на Марсе), но универсального рецепта устанавливать за конечное время, содержит ли книга описание такого алгоритма, не существует.

На этом мы закончим обсуждение возможного смысла слов, стоящих в заглавии статьи. Мы немного боимся, что после всего сказанного часть читателей начнет искоренять в своих занятиях математикой «рассматривания» бесконечных множеств, доставляя неприятности себе и окружающим. Поэтому сделаем еще несколько замечаний, которые мы, к сожалению, не сможем здесь подкрепить аргументами (и ограничимся ссылками на авторитеты). Большинство математиков способно «рассматривать» бесконечные множества, вводя в свои рассуждения небольшие ограничения, обеспечивающие, по их мнению, отсутствие противоречий. При этом, конечно, приходится «рассматривать» объекты, словесные описания которых человек не смог бы завершить до конца дней своих. Тем не менее выяснилось, что такие «рассматривания» лежат в самой основе веками строившегося здания математики, от них зависит и его дальнейшая судьба. Хотя ряд математиков с большей или меньшей последовательностью пытается представить математику, исходя из понятий, допускающих конечное описание, и на этом пути было получено много очень содержательных фактов, позволивших на многое выше взглянуть по-иному, однако претензии на то, что в этих рамках и должно происходить развитие математики, широкой поддержки не получили. «Никто не может изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором», — сказал один из величайших математиков Давид Гильберт.

Помещаем одну из задач, предложенных на 5-й традиционной олимпиаде по языкознанию и математике (на первом туре в 1969 г.).

Задача.
Письмо 1.

Дорогой друг!

Некоторое время назад я купил двух очень красивых собак: овчарку и таксу, но быстро обнаружил, что они очень плохо воспитаны. Дело в том, что они очень любят лаять. В результате жить с ними в одном доме довольно трудно. Однако я не отчаиваюсь, ибо я установил путем практической проверки, что их поведение подчиняется определенным законам, непонятным, но непререкаемым (хотя, возможно, это объясняется тем, что раньше собаки выступали в цирке), и что я могу воздействовать на них, играя на рояле или закрывая настоящую лампу.

В течение каждой минуты каждая собака либо лает, либо молчит: никаких переходов они не обнаруживают. Поведение же их в последующую минуту зависит только от событий минуты, и эта зависимость такова.

Овчарка в последующую минуту ведет себя так же, как и в предыдущую: лает или молчит, если только в эту предыдущую минуту не было игры на рояле и такса не лаяла. В последнем случае овчарка меняет свое поведение на противоположное: лай на молчание и наоборот.

Что касается таксы, то если в предыдущую минуту настоящая лампа горела, такса будет лаять или молчать в зависимости от того, лаяла или молчала овчарка, так что такса копирует овчарку с минутным запозданием. Если, однако, лампа не горела, такса будет делать противоположное тому, что делала овчарка.

Продолжение на стр. 25

Điện trở — hiện tượng lượng tử

Đ. A. Frank-Kamenetsky

Điện trở của dây dẫn đối với sự chạy qua của dòng điện — hoàn toàn không phải là một thứ đơn giản như thoạt nhìn có vẻ. Như chúng ta sẽ thấy, ở đây cũng không thể thiếu lượng tử. Trước hết hãy xem có thể làm được gì mà không có nó.

Lý thuyết cổ điển

Chúng ta quen với việc cho rằng «cổ điển» — là một từ có vẻ hay. Người ta nói: Streltsov đã ghi «một bàn thắng cổ điển». Thay cho «cổ điển», theo tiếng lóng hiện đại hơn có thể nói «tuyệt vời» hoặc thậm chí «chắc chắn». Nhà vật lý lại có cách nhìn hoàn toàn khác về từ này. Trong vật lý hiện đại, các lý thuyết cổ điển được gọi là những lý thuyết được xây dựng bởi các nhà khoa học thời kỳ trước, trước khi xuất hiện vật lý lượng tử và thuyết tương đối. Thông thường nhất, các nhà vật lý dùng từ «cổ điển» như từ đối lập với «lượng tử». Lý thuyết cổ điển khác ở chỗ trong đó không có lượng tử tham gia. Những lý thuyết như vậy rất đơn giản, đối với nhà vật lý hiện đại chúng có vẻ hơi ngây thơ. Chúng thường đóng vai trò lớn, nhưng nhìn chung giải quyết vấn đề chưa đến cùng. Trong lý thuyết cổ điển, đối với nhà vật lý hiện đại luôn luôn thiếu một điều gì đó.

Trong nhiều sách, kể cả sách giáo khoa (và thậm chí cả những sách rất tốt), người ta viết rằng điện trở của kim loại xuất phát từ sự va chạm của các điện tử dẫn dòng với các nguyên tử*) của mạng tinh thể. Quan niệm như vậy về điện trở có đúng không?

Tốt nhất là không nên nói «có» cũng không nên nói «không», mà nên nói rằng nó thể hiện lý thuyết cổ điển về điện trở. Đối với nó, tất cả những gì chúng ta vừa nói về các lý thuyết cổ điển nói chung đều đúng. Nhưng trong trường hợp này, lý thuyết cổ điển tỏ ra hoàn toàn yếu: nó không thể giải thích nhiều đặc điểm cơ bản của điện trở. Trong lý thuyết cổ điển, chắc chắn đúng một điều: điện trở xuất phát từ việc các điện tử truyền một phần năng lượng và xung lượng (lượng chuyển động) của mình cho mạng tinh thể. Nhưng chính bằng cách nào sự truyền này xảy ra — là một câu hỏi hoàn toàn không đơn giản và rất thú vị.

Sự phụ thuộc vào nhiệt độ

Điện trở của các kim loại tinh khiết tăng mạnh theo nhiệt độ. Đối với nhiều kim loại trong số đó, nó tăng tỷ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối. Ở nhiệt độ thấp, sự phụ thuộc đơn giản như vậy bị phá vỡ—

*) Chính xác hơn nên nói — với ion, nhưng điều này ở đây không quan trọng đối với chúng ta. Cơ chế của điện trở nằm ở chỗ các điện tử, khi va chạm với các nguyên tử của mạng tinh thể, làm cho chúng dao động — năng lượng điện chuyển thành năng lượng nhiệt.

⟦trang 11⟧

Hình 1. Đồ thị sự phụ thuộc của điện trở suất của đồng vào nhiệt độ tuyệt đối.

được. Điều này thấy rõ trên hình 1, trong đó chỉ ra sự thay đổi của điện trở suất đồng — chất dẫn điện được sử dụng nhiều nhất — theo nhiệt độ. Như thấy từ hình vẽ, trong vùng nhiệt độ cao sự phụ thuộc được biểu diễn tốt bằng một đường thẳng tuyến tính. Nhưng nếu kéo dài đường thẳng này về phía nhiệt độ thấp (trên hình được biểu diễn bằng nét đứt), nó không đi đến không độ tuyệt đối, mà đến một nhiệt độ cao hơn một chút — đối với đồng là khoảng 60° K. Thực tế ở nhiệt độ thấp sự phụ thuộc trở nên phức tạp hơn: điện trở thay đổi tỉ lệ với lũy thừa năm của nhiệt độ. Khi tiến gần đến không độ tuyệt đối, điện trở của các kim loại tinh khiết trở nên rất nhỏ. Có một nhóm kim loại mà ở đó điện trở hoàn toàn biến mất tại nhiệt độ cao hơn không độ tuyệt đối vài độ. Về hiện tượng này, gọi là siêu dẫn, hiện nay chúng ta sẽ không nói đến. Về những chất đơn giản hơn cũng có thể nói khá nhiều điều thú vị.

Nếu giải thích điện trở bằng sự va chạm của electron với nguyên tử, thì sự phụ thuộc của điện trở của kim loại tinh khiết vào nhiệt độ vẫn hoàn toàn không
hiểu được. Bởi vì tình hình giống như thể electron chỉ va chạm với các nguyên tử đang thực hiện chuyển động nhiệt, còn tự do bay qua các nguyên tử mismo đứng yên. Đôi khi người ta cũng nói như vậy (như thể electron dễ va vào nguyên tử đang chuyển động hơn), nhưng đó là một sai lầm. Điều này cũng giống như cho rằng, khi bắn không ngắm, dễ bắn trúng một nam châm nhỏ đang dao động hơn là một nam châm đứng yên. Như vậy, lý thuyết cổ điển không có khả năng giải thích sự phụ thuộc của điện trở vào nhiệt độ.

Điện trở dư

Khi thay đổi điện trở của các kim loại tinh khiết ở nhiệt độ rất thấp, người ta phát hiện một điều đáng chú ý. Tiếp tục đường cong của hình 1 đến không độ tuyệt đối, người ta thu được điện trở mà đáng lẽ phải còn lại nếu có thể đạt được không độ tuyệt đối trong thí nghiệm. Nó được gọi là điện trở dư. Hóa ra nó thay đổi mạnh từ mẫu này sang mẫu khác. Điện trở dư cực kỳ nhạy với những tạp chất nhỏ bé, với sự gia công cơ học và nhiệt. Làm sạch kim loại một cách cẩn thận, xử lý nó sao cho đạt được cấu trúc tinh thể hoàn hảo, có thể làm giảm điện trở dư, và không có giới hạn cho sự giảm này. Như vậy, thí nghiệm dẫn đến một kết luận đáng kinh ngạc: tinh thể lý tưởng ở nhiệt độ không độ tuyệt đối không được có điện trở. Nói cách khác: điện trở của kim loại tinh khiết chỉ xuất hiện do những sự phá vỡ cấu trúc tinh thể, gây ra bởi chuyển động nhiệt, tạp chất và khuyết tật (những sai lệch) của sự sắp xếp tinh thể.

Những hành lang nguyên tử

Nếu electron chuyển động theo các quy luật của cơ học cổ điển, chúng phải va chạm với nguyên tử không phụ thuộc vào việc các nguyên tử có được sắp xếp theo một trật tự nghiêm ngặt hay

12

Hình 2. Sự chuyển động của electron và sự lan truyền của sóng electron trong tinh thể đều (lý tưởng).

Không. Dĩ nhiên, giữa các hàng atom đều đặn có một loại hành lang (hình 2), nhưng để hướng electron đi theo một hành lang như vậy cần phải định hướng chính xác tinh thể đối với điện áp đặt vào. Mà thông thường chúng ta không làm việc với một tinh thể duy nhất, mà với sự kết hợp của nhiều tinh thể nhỏ, định hướng một cách ngẫu nhiên. Tuy nhiên tinh thể đều đặn được gọi là đơn tinh thể (từ tiếng Hy Lạp «mono» — một), còn sự kết hợp của nhiều tinh thể — là tập hợp đa tinh thể (từ tiếng Hy Lạp «poli» — nhiều). Vì vậy, các phép đo chính xác cho thấy điện trở của các tập hợp đa tinh thể khác điện trở của đơn tinh thể rất ít. Đặc biệt quan trọng là điện trở của các tập hợp đa tinh thể giảm mạnh khi hạ thấp nhiệt độ. Điều này hoàn toàn không thể tránh được nếu cho rằng electron chuyển động theo các hành lang atom theo các quy luật của cơ học cổ điển. Khi chuyển từ tinh thể này sang tinh thể khác, hành lang atom đột ngột đổi hướng (hình 3). Electron phải va mạnh vào «bức tường». Nhưng nó có thể đi qua mê cung atom, giống như Theseus, người được sợi chỉ của Ariadne chỉ đường,

Hình 3. Sơ đồ chuyển động của electron theo mê cung atom trong tập hợp đa tinh thể. Màu đỏ chỉ các electron.

Vậy đây là thứ quái quỷ gì và giải thích điều này như thế nào?

Những điều kỳ lạ không có điều kỳ lạ

Từ lâu đã biết những sự kiện còn đáng kinh ngạc hơn. Gia công cơ học và nhiệt ảnh hưởng rõ rệt đến điện trở của kim loại. Để tiện cho việc áp dụng trong kỹ thuật, hãy sử dụng đơn vị điện trở suất $om \cdot mm^2/m = 10^{-4} \cdot om \cdot cm = 10^{-6} \cdot om \cdot m$. Trong các đơn vị này, điện trở suất của đồng kỹ thuật thông thường ở $20^\circ C$ được biểu diễn bằng số 0,0172. Sau khi kéo nguội, điện trở của dây đồng tăng lên 0,0177. Tiếp đó, chỉ cần quấn dây lên cuộn là đủ để điện trở của nó tăng lên. Nếu đem dây đi ủ, tức là nung nóng trong thời gian dài, rồi lại làm nguội đến $20^\circ C$, giá trị điện trở trở về mức bình thường. Rõ ràng, điện trở nhạy cảm với những vi phạm nhỏ của cấu trúc tinh thể (những tính chất như vậy được gọi là nhạy cấu trúc). Còn đáng ngạc nhiên hơn nữa là độ nhạy của điện trở đối với những tạp chất không đáng kể. Việc làm sạch kỹ lưỡng làm giảm điện trở suất của kim-

13

при температуре 20°С до 0,0169 $om \cdot mm^2$/м. Это обстоятельство имеет большое значение для техники. Ведь если уменьшить сопротивление проводов, то уменьшают и бесполезные потери электроэнергии на их нагрев. Поэтому медь, предназначенную для электротехнических нужд, подвергают специальной очистке посредством электролиза. Этот своеобразный металлургический процесс несколько напоминает «переливание из пустого в порожнее». На аноде медь растворяется, а на катоде осаждается медь, чистота которой изменяется «тремя девятками» после запятой: 99,999%, то есть примеси в электролитической меди составляют всего тысячную долю процента. Такая тщательная очистка очень важна: после нее сопротивление, а с ним и тепловые потери заметно снижаются.

Посмотрим теперь, как количество примесей влияет на сопротивление меди. Достаточно добавить к меди 1% марганца, чтобы удельное сопротивление ее возросло до 0,048 $om \cdot mm^2$/м, то есть почти в три раза! Между тем сопротивление чистого марганца составляет 0,05 $om \cdot mm^2$/м. Таким образом, достаточно добавить в медь 1% марганца, чтобы ее сопротивление стало практически равно сопротивлению 100%-ного марганца! Это не исключительный случай. Примерно так же действуют добавки железа, кобальта, иридия и другие. Если бы сопротивление происходило от столкновений электронов с атомами примесей, эти примеси должны были влиять раз в сто слабее. С точки зрения классической теории непомерное действие малых примесей — чистое чудо.

У сплавов, содержащих примеси в большой пропорции, сопротивление очень велико. Металлурги разработали замечательные рецепты сплавов с высоким сопротивлением: никелин, манганин, константан, нихром и другие. Сопротивление этих сплавов в несколько раз больше, чем у каждой из составных частей. Так, константан, состоящий из 60% меди и 40% никеля, имеет удельное сопротивление 0,44 $om \cdot mm^2$/м, в то время как у чистой меди оно равно 0,017, а у никеля 0,072 тех же единиц*).

«Королем» подобных сплавов можно назвать всем известный нихром, удельное сопротивление которого 1 $om \cdot mm^2$/м. Недаром он нашел такое широкое применение в нагревательных приборах. Есть разные рецепты нихрома. Простейший из них — 80% никеля и 20% хрома. Такой сплав имеет удельное сопротивление 1,05 $om \cdot mm^2$/м, в то время как у чистого никеля оно 0,072 и у хрома 0,131. Этот сплав дорогой, но можно без ущерба заменить часть дорогого никеля дешевым железом. Однако время «рекорд» среди подобных сплавов держал медарит из 65% железа, 30% хрома и 5% алюминия с удельным сопротивлением 1,4 $om \cdot mm^2$/м.

Поразительно, что температурная зависимость сопротивления у сплавов совсем другая, чем у чистых металлов. Сопротивление большинства сплавов тоже возрастает с температурой, но гораздо слабее. Специально для научных приборов, где желательно иметь постоянное сопротивление, разработан уже упоминавшийся константан, название которого означает «постоянный». В интервале температур от 0° до 400°С его сопротивление меняется всего лишь от 0,441 до 0,448 $om \cdot mm^2$/м.

С точки зрения классической теории постоянное сопротивление сплавов столь же мало понятно, как и пропорциональность сопротивления температуре для чистых металлов. Сопротивление сплава должно по смыслу этой теории складываться из сопротивления его составных частей по простому правилу смешения (как, например, теплоемкость). Если внимательно разобрать все, что известно об

*) Tất cả các chữ số ở đây được đưa ra cho nhiệt độ 20°С.

14

Рис. 4. Нарушение правильности atomного волновода тепловым движением.

Hình 4. Sự phá vỡ tính chính xác của ống dẫn sóng atom do chuyển động nhiệt.

điện trở, thì sẽ rõ rằng ngay cả hiện tượng đơn giản này cũng buộc phải nhờ đến lượng tử để hiểu được nó.

Sóng electron và các ống dẫn sóng atom

Mọi thứ đều trở nên đúng chỗ nếu nhớ rằng theo các định luật của cơ học lượng tử, electron đồng thời có tính chất của hạt và của sóng. Chiều rộng của các hành lang atom gần bằng bước sóng của electron, và vì thế khi chuyển động trong các hành lang như vậy, các tính chất sóng của electron biểu hiện đầy đủ.

Trong kỹ thuật vô tuyến của các sóng centimet, ống dẫn sóng được sử dụng rộng rãi. Đó là những ống kim loại có tiết diện tròn hoặc chữ nhật. Các sóng vô tuyến truyền theo ống dẫn sóng, đi theo tất cả các chỗ uốn của nó. Ánh sáng cũng là sóng điện từ, và có thể được nhốt trong ống dẫn ánh sáng — một ống có thành gương *). Gần đây người ta thường sử dụng các ống dẫn ánh sáng mảnh nhất — các sợi thủy tinh.

Có thể uốn cong chúng tùy ý — ánh sáng vẫn sẽ ngoan ngoãn

*) Trong thực tế không cần thiết phải làm cho các thành có tính chất gương. Thường sử dụng hiện tượng phản xạ toàn phần bên trong, nhưng điều đó không có ý nghĩa đối với chủ đề của chúng ta.

truyền dọc theo sợi.

Tác dụng của ống dẫn ánh sáng có thành gương rất dễ hiểu. Các sóng ánh sáng luôn phản xạ từ thành và do đó vẫn ở bên trong ống dẫn ánh sáng. Các sóng vô tuyến cũng phản xạ tốt từ các bề mặt kim loại nhẵn. Nếu bề mặt gồ ghề, thì sóng giống như va vào các chỗ lồi lõm và kết quả là bị tán xạ và hấp thụ. Năng lượng của nó chuyển thành nhiệt.

Trong lý thuyết lượng tử, sự truyền dòng điện qua kim loại được xem như sự lan truyền của các sóng electron theo các hành lang atom, đóng vai trò của những ống dẫn sóng. Nếu các atoms được sắp xếp trên một mặt phẳng theo trật tự hoàn hảo, ở những khoảng cách bằng nhau với nhau, thì mặt phẳng như vậy phản xạ hoàn toàn các sóng electron — giống như một chiếc gương lý tưởng. Sự tán xạ và hấp thụ các sóng electron chỉ xảy ra khi trật tự chặt chẽ trong sự sắp xếp của các atom bị phá vỡ. Kết luận đáng kinh ngạc này lần đầu tiên được thu nhận bằng con đường toán học khá phức tạp từ phương trình của cơ học lượng tử. Nhưng cũng có thể rút ra nó dựa trên những tính chất của điện trở đã được xác lập bằng thực nghiệm, nếu người ta chú ý đến chúng hơn.

Trong một tinh thể lý tưởng hoàn hảo, các ống dẫn sóng hoàn toàn nhẵn. Toàn bộ-

Hình 5. Loại khuyết tật thứ nhất của mạng tinh thể — lỗ trống (vị trí trống). Điều đáng chú ý là electron cũng bị tán xạ trên các lỗ trống — cần gì bằng chứng tốt hơn rằng chúng va chạm không phải với các nguyên tử của mạng tinh thể? Vấn đề là lỗ trống đóng vai trò như một chỗ khuyết trong thành của ống dẫn sóng nguyên tử, làm rối loạn sự truyền sóng electron.

Sự phá vỡ trật tự nguyên tử này tác dụng như độ nhám của thành ống dẫn sóng. Sóng electron bị tán xạ bởi những sai lệch của mạng tinh thể. Một phần năng lượng của electron bị hấp thụ và chuyển thành nhiệt. Đây chính là cơ chế lượng tử của điện trở electron. Tính hoàn hảo của các ống dẫn sóng nguyên tử bị phá vỡ bởi các dao động nhiệt, trên đó sóng electron bị tán xạ (hình 4). Từ đó xuất hiện thành phần nhiệt của điện trở electron, phụ thuộc vào nhiệt độ. Khi làm lạnh kim loại, có thể làm cho nó nhỏ tùy ý. Đồng thời vẫn còn điện trở dư hay điện trở cấu trúc, liên quan đến các khuyết tật cố định (sự hỏng hóc) của cấu trúc tinh thể (hình 5 và hình 6). Khuyết tật có trong mọi tinh thể và phụ thuộc vào «tiểu sử» của nó — vào các điều kiện trong đó nó sinh ra, phát triển và tồn tại. Các khuyết tật bổ sung xuất hiện khi gia công cơ học nguội — kéo dây dẫn và thậm chí quấn nó vào cuộn dây. Vì thế điện trở cũng tăng lên. Khi gia

Hình 6. Loại khuyết tật thứ hai của mạng tinh thể — lệch mạng.

nhiệt trong thời gian dài (ủ nhiệt), các nguyên tử trở về vị trí của mình và các khuyết tật được chữa lành — điện trở giảm.

Sự đưa vào các nguyên tử lạ gây ra sự phá hủy nghiêm trọng mạng tinh thể (hình 7). Khi đó nguyên tử tạp chất có thể chiếm vị trí của hàng trăm nguyên tử của tinh thể-«chủ». Vì thế tạp chất làm tăng điện trở. Người ta nhận thấy rằng tác dụng.

Hình 7. Nguyên tử tạp chất chiếm vị trí của nhiều nguyên tử mạng tinh thể. Do đó không chỉ chuyển động đúng của những electron va chạm với chính nguyên tử tạp chất bị phá vỡ, mà còn của nhiều electron khác. (Tỷ lệ khoảng cách giữa các nguyên tử tinh thể và kích thước của chúng so với nguyên tử tạp chất — là quy ước.)

16

các tạp chất càng mạnh, nguyên tử của chúng càng khác biệt về kích thước và các yếu tố khác so với các nguyên tử “chủ”, chúng càng làm rối loạn tính đều đặn của mạng tinh thể.

Nếu làm lạnh kim loại, thì phần nhiệt (tức là phần sinh ra do chuyển động nhiệt) của điện trở giảm xuống. Khi nó trở nên nhỏ hơn nhiều so với phần cấu trúc không phụ thuộc vào nhiệt độ, thì khi tiếp tục làm lạnh, điện trở hầu như không thay đổi. Ở các hợp kim có cấu trúc không trật tự, phần cấu trúc của điện trở lớn đến mức ngay cả ở nhiệt độ cao cũng chiếm ưu thế so với phần nhiệt. Điều này giải thích sự phụ thuộc yếu của điện trở suất của hợp kim vào nhiệt độ.

Lượng tử âm thanh — phonon

Chúng ta đã làm quen với một số hiện tượng lượng tử, nhưng bản thân lượng tử vẫn còn ở trong bóng tối. Bây giờ nó sẽ ra tiền cảnh.

Có thể hình dung chuyển động nhiệt trong vật rắn như sự dao động của các nguyên tử quanh vị trí cân bằng của chúng. Nhưng các hạt trong vật rắn không thể dao động độc lập. Tất cả chúng liên kết chặt chẽ với nhau và luôn thực hiện các dao động tập thể. Không như trên sàn nhảy, nơi mỗi cặp chuyển động độc lập với các cặp khác, mà như trong cảnh quần chúng của một vở ba lê lớn, nơi mọi người thực hiện phần của mình đồng bộ.

Các dao động tập thể của một số lượng rất lớn các hạt vật chất chính là sóng âm. Nếu làm lệch bất kỳ hạt nào khỏi vị trí cân bằng, dao động sẽ có thể lan truyền trong vật với vận tốc âm thanh. Hóa ra chuyển động nhiệt trong vật rắn có thể được xem là sự lan truyền của các sóng âm. Khi nung nóng vật, ta bắt nó phát âm. May cho chúng ta, tần số của các dao động này cao hơn hàng tỷ lần những tần số mà tai chúng ta có thể nghe được. Rõ ràng, trong quá trình tiến hóa, sinh vật đã thích nghi để không nghe “âm thanh nhiệt”, nếu không chúng ta đã không chịu nổi tiếng ồn liên tục của các vật “la hét”.

Như vậy, có một mối liên hệ tất yếu giữa điện trở và âm thanh. Electron bị tán xạ trên các sóng âm sinh ra bởi chuyển động nhiệt của mạng tinh thể. Nhưng mọi sóng đều gồm các lượng tử. Với sóng ánh sáng, hay nói chung là sóng điện từ, đó là photon; với sóng âm, đó là phonon (từ các từ Hy Lạp chỉ ánh sáng và âm thanh). Photon là những hạt hoàn toàn thực sự, hoàn toàn bình đẳng với các hạt cơ bản khác. Phonon không hoàn toàn bình đẳng theo nghĩa chúng chỉ có thể tồn tại bên trong vật chất (trong chân không không thể có phonon). Chúng — và các hạt tương tự chúng — được gọi là giả hạt (tức là “gần như hạt”). Phonon là đại diện đơn giản nhất của họ giả hạt rộng lớn. Những thành viên khác của họ này hiện không làm chúng ta quan tâm.

Chúng ta đã nói rằng sóng electron bị tán xạ trên những chỗ gồ ghề do chuyển động nhiệt, tức là các sóng âm, tạo ra. Nhưng nếu mô tả sóng âm như một dòng phonon, thì cũng có thể coi electron là hạt, tạm quên đi tính chất sóng của chúng. Giờ đây chúng ta như trở lại với cách giải thích đơn giản về điện trở: electron không thể chuyển động tự do vì chúng va chạm với các hạt khác. Nhưng không phải với các hạt của vật chất, mà với các lượng tử âm thanh — phonon.

Bây giờ cuối cùng có thể tính toán một chút. Để đơn giản, ta sẽ tiến hành tính toán như thể các phonon có cùng một vận tốc v. Giả thiết như vậy là không đúng, nhưng sai số do nó gây ra không lớn. Để biện minh cho mình, ta có thể viện dẫn rằng các nhà vật lý vĩ đại Planck và Einstein đã xuất phát từ chính giả thiết ấy trong lý thuyết nhiệt dung của chất rắn của họ và đã thu được

17

Chali không phải là những kết quả phẳng đến thế.

Năng lượng của fonan, cũng như của mọi lượng tử, bằng $hv$, trong đó $h$ — hằng số Planck, còn $v$ — tần số của sóng.

Số fonan là $\frac{E}{hv}$, trong đó $E$ — năng lượng của chuyển động nhiệt, tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối $T$. Làm tập hợp tính tỉ lệ có thể lấy hằng số Boltzmann $k$. Vậy, số fonan $N = \frac{kT}{hv}$. Ta đã thu được một kết quả rất quan trọng. Số fonan trong vật rắn tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối. Do đó, nếu điện trở tỉ lệ với công suất không đổi có thể lấy hằng số Boltzmann $k$. Vậy, số fonan $N = \frac{kT}{hv}$. Ta đã thu được một kết quả rất quan trọng. Số fonan trong vật rắn tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối. Do đó, nếu điện trở tỉ lệ với công suất không đổi có thể lấy hằng số Boltzmann $k$. Vậy, số fonan $N = \frac{kT}{hv}$. Ta đã thu được một kết quả rất quan trọng.

Nhưng kết quả này chỉ đúng ở nhiệt độ đủ cao. Theo ý nghĩa của lý thuyết lượng tử, số phonon không thể nhỏ hơn một. Hãy xem ở nhiệt độ nào nó bằng một. Nhiệt độ này được gọi là nhiệt độ Debye và được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp $\theta$. Đặt $N$ bằng một, ta được: $\theta = \frac{hv}{k}$. Nhiệt độ Debye (hay nhiệt độ Debye) đóng vai trò rất quan trọng trong vật lý chất rắn. Với đại lượng này, số phonon mà ta quan tâm được biểu diễn rất đơn giản: $N = \frac{T}{\theta}$. Ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ Debye, số này trở nên nhỏ hơn một. Điều đó có nghĩa là chỉ có thể nói về số phonon trung bình, và việc tính toán trở nên phức tạp. Nhưng đại lượng $\frac{T}{\theta}$ vẫn là thước đo số phonon trong chất rắn, và do đó cả số va chạm của electron dẫn với phonon. Xuất

*) Đây là số phonon trên một dao động của mạng tinh thể, nói chính xác hơn, trên một bậc tự do dao động, hay, như các nhà vật lý thích nói, trên một dao động tử.

Hình 8. Đường cong tổng quát của sự phụ thuộc nhiệt độ của điện trở suất riêng của các kim loại tinh khiết.

phát từ những nhận xét này, giả thuyết sau đã được nêu ra: sự phụ thuộc nhiệt độ của điện trở của các kim loại tinh khiết được biểu diễn bởi một hàm phổ quát của thước đo số phonon $\frac{T}{\theta}$. Về mặt toán học, giả thuyết này được viết như sau: $\frac{R}{R_0} = F\left(\frac{T}{\theta}\right)$, trong đó $R$ — điện trở ở nhiệt độ $T$, $R_0$ — ở nhiệt độ $\theta$, còn $F$ — hàm mà dạng của nó có thể tìm được từ thí nghiệm. Điều quan trọng là hàm $F$ là như nhau đối với các kim loại tinh khiết khác nhau. Giả thuyết này được xác nhận tốt đến mức nào trong thí nghiệm có thể thấy từ hình 8. Đồ thị này từng được nhà vật lý Mỹ Bardeen xây dựng, người sau này nổi tiếng nhờ các công trình về lý thuyết siêu dẫn.

Thật thú vị và hữu ích khi liên hệ nhiệt độ Debye $\theta$ với vận tốc âm thanh $c$. Hãy nhớ rằng vật chất gồm các nguyên tử và sóng truyền đi không liên tục mà nhảy từ nguyên tử này sang nguyên tử khác. Trong một chu kỳ dao động $t$, sóng không thể đi được quãng đường nhỏ hơn khoảng cách giữa các nguyên tử lân cận $a$.

⟦không có số trang⟧

Nếu không, sóng sẽ “treo lơ lửng” trong khoảng trống giữa hai nguyên tử. Quãng đường mà sóng âm đi được trong một dao động bằng $c\tau$. Vậy, cấu tạo nguyên tử của vật chất đặt ra một giới hạn đối với các chu kì dao động âm: $c\tau \geq a$. Tần số $v$ là số chu kì trong một đơn vị thời gian, do đó $v\tau=1$. Như vậy, các tần số dao động âm bị giới hạn:

$$v \leq \frac{c}{a}.$$

Trong chuyển động nhiệt, các sóng âm (nói cách khác, các phonon) với những tần số khác nhau được kích thích, người ta nói là cả một phổ tần số. Nhưng phổ phonon có một tần số giới hạn. Các sóng có tần số cao hơn sẽ không kịp truyền từ nguyên tử này sang nguyên tử kế tiếp và vì thế không thể được kích thích. Các tính toán chi tiết cho thấy rằng có thể xác định nhiệt độ Debye theo cách chúng ta đã làm, nếu lấy tần số $v$ là tần số giới hạn của phổ phonon trong chất rắn. Chúng ta sẽ làm như vậy.

Còn lại là ước lượng khoảng cách giữa các nguyên tử $a$. Nếu số nguyên tử trong một đơn vị thể tích bằng $n$, thì $n=\frac{1}{a^3}$.

Từ đây và từ công thức (*) suy ra:

$$\frac{v^3}{c^3} \leq n.$$

Một tính toán chính xác hơn, mà ở đây chúng ta không thể trình bày, cho thêm hệ số $4\pi$. Như vậy, thu được công thức liên hệ tần số giới hạn $v$ với vận tốc âm $c$:

$$4\pi \frac{v^3}{c^3} = n.$$

Công thức rất quan trọng này liên hệ chặt chẽ với công thức Rayleigh — Jeans, đã được nói tới trong bài viết của Ya. A. Smorodinsky (“Kvant” số 1). Biểu diễn tần số $v$ từ công thức (**) và thay nó vào biểu thức của nhiệt độ Debye, ta được rằng

$$\theta = \frac{hc}{k} \sqrt[3]{\frac{n}{4\pi}}.$$

Vậy là, chúng ta đã thu được mối liên hệ giữa de-

20

Trong các bài toán có tham số, việc xét tất cả các trường hợp có thể có ý nghĩa đặc biệt. Đồng thời, khó có thể dự đoán trước những trường hợp nào sẽ được phát hiện trong quá trình giải. Điều này, một mặt, làm khó việc giải, nhưng mặt khác, làm công việc thú vị hơn, mang lại cho nó tính chất nghiên cứu.

Một ít lý thuyết

Dạng tổng quát của phương trình với một tham số là:
$$F(x,a) = 0.$$ (3)

Với các $a$ khác nhau, phương trình (3) có thể có những tập nghiệm khác nhau, và nhiệm vụ của chúng ta là khảo sát mọi trường hợp, làm rõ điều gì xảy ra với mọi giá trị của tham số. Khi giải phương trình có tham số, thường phải xét nhiều phương án khác nhau. Việc phát hiện kịp thời dù chỉ một phần các phương án không thể có cũng rất quan trọng, vì nó giải phóng chúng ta khỏi công việc thừa. Vì vậy, khi giải phương trình (3), nên hiểu miền xác định là miền các giá trị cho phép của ẩn và tham số, tức là tập hợp mọi cặp số $(x,a)$ mà tại đó hàm hai biến $F(x,a)$ được xác định (có nghĩa). Từ đây có minh họa hình học tự nhiên của miền xác định dưới dạng một miền nào đó trên mặt phẳng $xOa$.

Ví dụ, miền xác định của phương trình
$$\sqrt{x} + \sqrt{a} = \sqrt{1-(x+a)}$$ (4)
được xác định bởi hệ bất đẳng thức
$$x \geq 0, a \geq 0, x+a \leq 1.$$

Hệ này được thỏa mãn bởi tọa độ của mọi điểm trong tam giác (kể cả biên của nó), được bao quanh trên hình 1 bằng màu lam và xanh dương *). Từ những lập luận này, nhân đây, lập tức suy ra rằng khi $a<0$ phương trình (4) không có nghiệm.

Giải phương trình (4). Sau khi bình phương hai vế của nó (trong trường hợp này là phép biến đổi tương đương do cả hai vế của phương trình (4) đều không âm), ta được phương trình
$$2\sqrt{ax} = 1 - 2(x+a).$$ (5)

Ở trên chúng ta đã nói rằng việc loại bỏ dù chỉ một phần các phương án không thể có sẽ giải phóng chúng ta khỏi công việc thừa. Nhận thấy rằng vế trái của phương trình (5) không âm với mọi $a,x$ cho phép, nên ở nơi vế phải của phương trình này âm thì việc tìm nghiệm là vô ích. Rõ ràng, cần tìm nghiệm trong phần miền xác định nơi chúng có thể tồn tại, bằng cách thu hẹp miền xác định tương ứng:
$$1 - 2(x+a) \geq 0, \text{ từ đó } x+a \leq \frac{1}{2}.$$

Trên hình 1, phần miền xác định nơi không thể có nghiệm được tô bằng màu xanh dương.

Bình phương hai vế của phương trình (5) **) và thu gọn các hạng tử đồng dạng, ta được phương trình
$$x^2 + (a-1)x + a^2 - a + \frac{1}{4} = 0,$$

*) Xem thêm về cách giải hình học hệ bất đẳng thức với hai ẩn trong “Kvant” số 4 năm 1970.
**) Trong miền xác định mới, cả hai vế của phương trình (5) đều không âm. Bình phương trong trường hợp này sẽ không dẫn đến sự xuất hiện các nghiệm ngoại lai.

⟦trang 21⟧

suy ra
$$x_{1,2} = \frac{1-a \pm \sqrt{2a-3a^2}}{2}.$$

Cả hai nghiệm tìm được với mọi giá trị cho phép của tham số $a$, (nghĩa là với mọi $a$ thỏa mãn các bất đẳng thức $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$, — xem hình 1) đều là các số thực. Thật vậy, biệt thức $D = 2a-3a^2 \geq 0$ khi $0 \leq a \leq \frac{2}{3}$; do đó, càng có $D \geq 0$ khi $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$.

Bây giờ cần выяснить xem các giá trị tìm được có thỏa mãn các điều kiện $x \geq 0$, $x+a \leq \frac{1}{2}$ hay không.

Trước hết, kiểm tra việc thỏa mãn điều kiện $x+a \leq \frac{1}{2}$. Ta có
$$x_1+a = \frac{1-a-\sqrt{2a-3a^2}}{2} + a = \frac{1+a-\sqrt{2a-3a^2}}{2}.$$
Giải bất đẳng thức
$$\frac{1+a-\sqrt{2a-3a^2}}{2} \leq \frac{1}{2},$$
ta được $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$. Vậy, $x_1+a \leq \frac{1}{2}$ với mọi giá trị cho phép của tham số $a$.

Tiếp theo,
$$x_2+a = \frac{1-a+\sqrt{2a-3a^2}}{2} + a = \frac{1+a+\sqrt{2a-3a^2}}{2}.$$
Bất đẳng thức
$$\frac{1+a+\sqrt{2a-3a^2}}{2} \leq \frac{1}{2}$$

chỉ đúng khi $a = 0$. Nhưng khi $a = 0$ thì $D = 0$ và $x_1=x_2 = \frac{1}{2}$.

Việc chứng minh tính không âm của cả hai nghiệm tìm được xin dành cho bạn đọc.

Đáp số: nếu $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$, thì $x = \frac{1-a-\sqrt{2a-3a^2}}{2}$;

nếu $a < 0$ hoặc $a > \frac{1}{2}$, thì không có nghiệm.

Nhận xét rằng khi giải phương trình đã xét, việc thu hẹp ĐKXĐ tỏ ra rất hữu ích. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh: khi nào cần tiến hành những sự уточ chỉnh như vậy?

Nếu ta thực hiện một phép biến đổi mà kết quả là một phương trình tương đương với phương trình trước, thì dĩ nhiên không cần уточ chỉnh ĐKXĐ. Trong trường hợp ngược lại, điều đó là hữu ích. Tình huống như vậy xuất hiện, chẳng hạn, khi nâng cả hai vế của một phương trình nào đó lên bình phương (hoặc lên bất kỳ lũy thừa chẵn nào), điều mà ta đã gặp trong ví dụ đã xét.

Một vài ví dụ
Ví dụ 1*). Giải phương trình
$$\frac{\sqrt{a+x}}{a} + \frac{\sqrt{a+x}}{x} = \sqrt{x}.$$
Lời giải. ĐKXĐ được xác định bởi các điều kiện $x > 0$, $a+x \geq 0$, $a \neq 0$ (từ đây, nhân tiện, lập tức suy ra rằng khi $a = 0$ phương trình không có nghiệm). Biến đổi phương trình về dạng
$$(a+x)^{3/2} = ax^{3/2}.$$
Thu hẹp ĐKXĐ: từ tính không âm của vế trái của phương trình cuối cùng và các điều kiện $x > 0$, $a \neq 0$ suy ra rằng $a > 0$.

Tiếp theo nhận được: $a+x = a^{2/3}x$, từ đó $x (a^{2/3}-1) = a$.
Khi $a = 1$ thì nghiệm, rất/no, không có. Nếu $a \neq 1$, thì
$$x = \frac{a}{a^{2/3}-1}.$$
Hãy xét xem, có phải với mọi trường hợp đang xét-
*) Bài số 206 trong “Tuyển tập bài toán toán học sơ cấp”. Tác giả — N. P. Antonov, M. Ya. Vygodsky, V. V. Nikitin, A. I. Sankin. Trong bài toán đã nêu, ví dụ được giải/herno.

23

Nghiệm của phương trình thứ hai trong hệ (7) là các giá trị $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ ($k = 0, \pm 1, \ldots$). Còn phải kiểm tra xem với mọi giá trị $a \neq 0$ thì các giá trị $x$ đã tìm được có chấp nhận được hay không.

Nếu $k = 2n$, thì $\sin x = \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ và phải thỏa mãn điều kiện $\frac{\sqrt{2}}{2} \neq -\frac{1}{a}$, tức là $a \neq -\sqrt{2}$.

Nếu $k = 2n + 1$, thì $\sin x = \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Từ điều kiện $-\frac{\sqrt{2}}{2} \neq -\frac{1}{a}$ ta được: $a \neq \sqrt{2}$.

Gộp tất cả các kết quả lại, ta viết

Đáp số: nếu $a \neq \pm \sqrt{2}$, thì $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$;

nếu $a = \sqrt{2}$, thì $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;

nếu $a = -\sqrt{2}$, thì $x = \frac{\pi}{4} + \pi (2n + 1)$ ($k,n = 0, \pm 1, \pm 2; \ldots$).

Ví dụ 4. Giải phương trình $\log^2_{\sqrt{2}} \cos x - 2a \log_{\sqrt{2}} \cos x = a^2 - 8$.

(8)

Lời giải. Đặt $y = \log_{\sqrt{2}} \cos x$, ta biến đổi phương trình đã cho thành phương trình bậc hai $y^2 - 2ay - (a^2 - 8) = 0$,

suy ra $y_{1,2} = a \pm \sqrt{2(a^2 - 4)}$.

Bây giờ cần giải hệ các phương trình lôgarit

$$\log_{\sqrt{2}} \cos x = a + \sqrt{2(a^2 - 4)}. \tag{9}$$

$$\log_{\sqrt{2}} \cos x = a - \sqrt{2(a^2 - 4)}. \tag{10}$$

Nhận thấy rằng khi $a^2 - 4 < 0$ vế phải của các phương trình (9) và (10) không có nghĩa. Điều này có nghĩa là, khi $-2 < a < 2$, cả hai phương trình đều không có nghiệm. Xét trường hợp $a^2 - 4 \geq 0$, điều này có thể xảy ra khi $a \geq 2$ hoặc khi $a \leq -2$.

Trước hết, giả sử $a \geq 2$. Vì $\cos x \leq 1$, còn $\sqrt{2} > 1$, nên $\log_{\sqrt{2}} \cos x \leq 0$.

Vậy, các phương trình (9) và (10) sẽ có nghiệm chỉ với những giá trị của tham số $a$ mà vế phải của phương trình không dương. Dễ thấy rằng khi $a \geq 2$ vế phải của phương trình (9) dương, do đó phương trình (9) không có nghiệm.

Ta tìm các giá trị của tham số $a$ để vế phải của phương trình (10) không dương. Giải bất đẳng thức $a - \sqrt{2(a^2 - 4)} \leq 0$ (có xét điều kiện $a \geq 2$), ta được $a \geq \sqrt{8}$. Như vậy, nếu $2 \leq a < \sqrt{8}$, thì phương trình (10) không có nghiệm (vì phương trình (9) cũng không có nghiệm, nên suy ra phương trình (8) trong trường hợp đã nêu cũng không có nghiệm).

Nếu $a \geq \sqrt{8}$, thì từ phương trình (10) ta được

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a - \sqrt{2(a^2 - 8)}} + 2\pi n. \tag{11}$$

Bây giờ xét trường hợp $a \leq -2$. Với các giá trị này của tham số, vế phải của phương trình (10) khác đi, tức là phương trình này có nghiệm (ở trên chúng đã được viết bằng công thức (11)). Ta tìm các giá trị của tham số $a$ để vế phải của phương trình (9) không dương. Giải bất đẳng thức $a + \sqrt{2(a^2 - 4)} \leq 0$ (có xét điều kiện $a \leq -2$), ta được $a \geq -\sqrt{8}$. Như vậy, nếu $a < -\sqrt{8}$, thì phương trình (9) không có nghiệm; nếu $-\sqrt{8} \leq a \leq -2$, thì phương trình (9) có nghiệm, cụ thể là:

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a + \sqrt{2(a^2 - 8)}} + 2\pi n.$$

Gộp tất cả các kết quả đã thu được, ta viết

Đáp án: nếu $-2 < a < \sqrt{8}$, thì không có nghiệm;

nếu $a \geq \sqrt{8}$ hoặc $a < -\sqrt{8}$, thì

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a - \sqrt{2(a^2 - 8)}} + 2\pi n;$$

nếu $-\sqrt{8} \leq a \leq -2$, thì

24

Hình 3.

$$x = \pm \arccos(\sqrt{2})^{a \pm \sqrt{2}a^2 - 8} + 2\pi n.$$

Hình học giúp đại số

Khi giải phương trình có tham số, những suy luận hình học khác nhau có thể rất hữu ích. Xét chẳng hạn phương trình

$$\sqrt{x(2a-x)} = 1 - x \text{ khi } a > 0.$$

Nghiệm nào của phương trình có thể được hiểu là hoành độ của giao điểm của đường thẳng $y = 1 - x$ với nửa đường tròn

$$y = \sqrt{x(2a-x)}, \text{ hoặc}$$
$$(x - a)^2 + y^2 = a^2; \text{ y} \geq 0$$

bán kính $a$, tâm tại điểm $(a, 0)$ (hình 3). Vị trí của nửa đường tròn và bán kính của nó thay đổi khi tham số $a$ thay đổi. Trên hình 3 thấy rõ rằng với một số giá trị của $a$ nửa đường tròn không cắt đường thẳng $y = 1 - x$ (các nửa đường tròn nằm dưới đường thẳng), với những giá trị khác của $a$ nửa đường tròn cắt đường thẳng tại hai điểm (các nửa đường tròn nằm trong vùng đầu ở giữa), với những giá trị thứ ba của $a$ nửa đường tròn cắt đường thẳng tại một điểm (các nửa đường tròn nằm trong vùng đỏ hoặc cao hơn), còn với một số giá trị $a$ nửa đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (nửa đường tròn phân chia vùng đầu và vùng nâu).

Xét trường hợp nửa đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $y = 1 - x$. Từ các lập luận hình học suy ra rằng khoảng cách từ tâm của nửa đường tròn này đến điểm giao của đường thẳng $y = 1 - x$ với trục hoành bằng $a\sqrt{2}$. Do đó $a + a\sqrt{2} = 1$, tức là trường hợp tiếp xúc xảy ra khi $a = \sqrt{2} - 1$. Vậy, khi $a < \sqrt{2} - 1$ phương trình không có nghiệm (vùng xanh), còn khi $a = \sqrt{2} - 1$ có một nghiệm duy nhất, được tìm từ các lập luận hình học: $x = a + \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (xem hình 3), từ đó suy ra $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Nửa đường tròn đi qua điểm $(1, 0)$ trong hình 3 tương ứng với giá trị tham số $a = \frac{1}{2}$. Vậy, khi $\sqrt{2} - 1 < a \leqslant \frac{1}{2}$ phương trình có hai nghiệm:

$$x_1 = \frac{a + 1 - \sqrt{a^2 + 2a - 1}}{2},$$
$$x_2 = \frac{a + 1 + \sqrt{a^2 + 2a - 1}}{2}$$

(các nghiệm được tìm bằng cách giải đại số phương trình đã cho). Cuối cùng, nếu $a \geqslant \frac{1}{2}$, thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = x_1$ (vì $x_1 < x_2$).

25

Trả lời: nếu $a < \sqrt{2} - 1$, thì không có nghiệm;
nếu $a = \sqrt{2} - 1$, thì $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
nếu $\sqrt{2} - 1 < a \leq \frac{1}{2}$,
thì $x_{1,2} = \frac{a+1 \pm \sqrt{a^2+2a-1}}{2}$.

nếu
$a > \frac{1}{2}$, thì $x = \frac{a+1 - \sqrt{a^2+2a-1}}{2}$.

Hãy tự mình thử giải phương trình đại số đã được đề xuất cùng với những khảo sát tương ứng, và bạn sẽ thấy rằng các lập luận hình học trong trường hợp này vừa trực quan hơn, vừa đẹp hơn.

CÁC BÀI TOÁN

Chúng ta đã xem xét một loạt ví dụ về việc giải phương trình với một tham số. Một số bạn thích chúng hơn, một số khác ít thích hơn, nhưng chắc chắn một điều: nếu bạn đã phân tích kỹ lưỡng các ví dụ này với bút chì trong tay (như ban biên tập tạp chí của chúng ta đã khuyên trong số 1), thì bạn đã thu được một lợi ích xác định. Muốn tự mình kiểm tra điều đó? Hãy tự giải phương trình sau đây với tham số $a$:

1. $a^2 - \frac{a^2-1}{2x-x^2} = \frac{x+2}{x-2}$.
2. $\sqrt{x+a} = a - \sqrt{x}$.
3. $\sqrt{x-2a} - \sqrt{x-a} = 2$.
4. $x + \sqrt{x^2-x} = a$.
5. $\sin(a+x) + \sin x = \cos \frac{a}{2}$.
6. $\sin^2 x + 4 \sin x + a = 0$.
7. $\sin x + 2 \cos ax = 3$.
8. $\log_{\sqrt{x}} a \log_{a^2} \frac{a^2-4}{2a-x} = 1$.
9. $\frac{\log_x(2a-x)}{\log_x 2} + \frac{\log_a \sqrt{x}}{\log_a 2} = \frac{1}{\log_{a^2}-1}$.
10. $\log_{\frac{1}{2}}(2 \sin x) + a \log_{\frac{1}{2}} \sin x + 3 = 0$.

4 Kvant № 9

27

ELIP

I. N. Bronshtein

Mở đầu

Cho: điểm O và đường tròn C, nằm trong một mặt phẳng không đi qua O.
Giả sử một đường thẳng, vô hạn về cả hai phía (như vẫn giả thiết trong hình học), chuyển động sao cho nó luôn đi qua O và qua một trong các điểm của đường tròn C.
Trong chuyển động này, đường thẳng tạo nên một mặt gồm hai nón (hai khoang).
Đó là một mặt nón. *).
Nếu cắt nó bằng các mặt phẳng khác nhau, miễn là mặt phẳng không đi qua điểm O, thì thu được các đường cong gọi là thiết diện nón.
Chúng gồm:
elip, hyperbol và parabol.
Chúng đã được biết từ thời Hy Lạp cổ đại. Một người tên Menaechmus đã phát hiện ra chúng vào khoảng năm 360 trước Công nguyên, và chúng đến với chúng ta nhờ tác phẩm xuất sắc của nhà toán học lỗi lạc Apollonius, được viết khoảng 200 năm sau.
Ở đây sẽ nói về đường cong thứ nhất trong số đó.

*) Bên trái chỉ vẽ một khoang của mặt nón.

Hình này ai cũng biết. Người ta gặp nó trong thiên văn học và địa lí sơ cấp (quỹ đạo chuyển động của các hành tinh và vệ tinh, hình dạng kinh tuyến Trái Đất, đường đi của electron quanh nguyên tử), trong vẽ kĩ thuật, hội họa và hình học không gian (hình vẽ các chi tiết kĩ thuật, các vật tròn và các khối hình học), nhưng elip là gì, nó có gì đáng chú ý — mà đây thực sự là một hình đáng chú ý, có những tính chất đẹp và quan trọng,— thì sách giáo khoa nhà trường không nói gì.

Trước câu hỏi “elip là gì?”, người thì trả lời: “đường tròn kéo dài” hoặc “chu vi tròn kéo dài” *), người khác — “hình tròn (đường tròn) bị nén”, người thứ ba — “một đường cong có dạng bầu dục”, người thứ tư không trả lời gì mà chỉ vẽ một hình ít nhiều thành công; trong mỗi câu trả lời ấy đều có phần đúng, nhưng chúng còn cần được làm rõ.

Chẳng hạn, có đủ không khi nói rằng elip là một đường cong bầu dục—

*) Đường tròn là một đường, còn hình tròn là phần mặt phẳng ở bên trong nó. Đối với elip không có hai từ tương tự: cả bản thân đường cong lẫn phần mặt phẳng bên trong nó đều được gọi như nhau, người ta nói: “độ dài elip”, “diện tích elip”. Trong mỗi trường hợp, bạn đọc sẽ không khó xác định ý nghĩa nào của từ “elip” đang được nói tới.

Рис. 1. Только красный овал — эллипс.

hình dạng nào? Dưới những từ này người ta thường hiểu là một đường cong có hai trục đối xứng CD và EH, được vẽ trong hình chữ nhật PQRS và tiếp xúc với đường tròn (hình 1). Cũng ý nghĩa đó được bao hàm trong các từ «đường tròn bị nén» hoặc «đường tròn bị kéo dài». Nhưng trong hình chữ nhật có thể vẽ nhiều đường cong loại này — một số trong chúng được biểu diễn trên hình 1. Chỉ một trong số chúng — đường màu đỏ — có quyền được gọi là elip. Vậy nó nổi bật khỏi những đường cong còn lại ở điểm nào?

Những đường cong đó cũng có thể nhận được bằng sự nén (hoặc kéo giãn) đường tròn, nhưng sự thay đổi này sẽ không đều. Để hiểu rõ điều này, hãy làm quen với một phép biến đổi hình học của mặt phẳng — biến dạng trục đều, hay gọi ngắn gọn là biến dạng.

Biến dạng *)

Lấy trong mặt phẳng đã cho П một đường thẳng l nào đó và một số dương k đã cho. Ta gọi biến dạng của mặt phẳng П đối với trục l với hệ số k là phép biến đổi mặt phẳng vào chính nó, trong đó mỗi điểm của nó m chuyển thành điểm M theo các quy tắc:

1. cả hai điểm m và M nằm trên cùng một đường vuông góc với trục l về cùng một phía của nó; các điểm nằm ngay trên trục giữ nguyên vị trí;

2. khoảng cách từ điểm đến trục được nhân với k, tức là $m_0M = k \cdot m_0m$, trong đó $m_0$ — chân đường vuông góc từ điểm m xuống trục l (hình 2, a, b).

Nếu $k > 1$, thì tất cả các điểm của mặt phẳng (trừ các điểm trên chính trục) di chuyển ra xa trục — đó là mặt phẳng kéo giãn, còn nếu $k < 1$, thì chúng tiến lại gần trục —

*) Từ này (từ tiếng Latinh «deformation»—sự thay đổi hình dạng) được dùng ở đây cùng với cụm từ «kéo giãn hoặc nén».

Рис. 2. Biến dạng với các hệ số a) $k = \frac{2}{3}$ б) $k = \frac{2}{3}$.

30

Hình 6. Có thể dựng một elip như vậy.

Nếu $k < 1$ (nén), thì $b < a$ (hình 6). Khi $k = 1$ (phép biến đổi đồng nhất), đường tròn sẽ biến thành đường tròn. Để không làm mất tính tổng quát của định nghĩa elip, ta quy ước coi đường tròn là một trường hợp riêng của elip ($b = a$). Đoạn lớn hơn trong hai đoạn $CD$, $EH$ được gọi là trục lớn của elip, đoạn nhỏ hơn là trục bé. Vậy, nếu $k > 1$, thì $a$ là bán trục bé và $b$ là bán trục lớn, còn nếu $k < 1$, thì ngược lại.

Trong cả hai trường hợp $k = \frac{b}{a}$.

Điểm $o$ — tâm của đường tròn — khi biến dạng sẽ chuyển thành chính nó ($o \rightarrow O$). O được gọi là tâm của elip, các điểm $C$, $D$, $E$ và $H$ — các đỉnh của nó.

Hình vuông $pqrs$ ngoại tiếp đường tròn («mẹ» của elip), trong đó một cạnh song song còn cạnh kia vuông góc với trục biến dạng, biến thành hình chữ nhật $PQRS$ có các cạnh $2a$ và $2b$, ngoại tiếp elip; nó được gọi là hình chữ nhật đặc trưng của elip đang xét, vì nó xác định hoàn toàn elip đó. Các cạnh của hình chữ nhật đặc trưng tiếp xúc với elip tại các đỉnh của nó.

Làm thế nào để vẽ elip?

Nếu các trục của elip đã cho, thì dễ nhất là vẽ elip bằng tay, trước hết dựng hình chữ nhật đặc trưng, rồi nội tiếp vào đó một đường cong hình bầu dục. Nhưng cách này không thật thực dụng (không phải lúc nào cũng vẽ được chắc chắn một elip gần đúng). Ta đã biết rằng có nhiều đường cong hình bầu dục có cùng các trục. Có thể dựng chính xác bao nhiêu điểm của elip cũng được. Cách dựng như vậy thông dụng và đơn giản nhất được trình bày ở hình 6.

Trong hình này, hai đường tròn đồng tâm có bán kính $a$ và $b$. Hãy tự tìm hiểu cách dựng này và chứng minh tính đúng đắn của nó, tức là chứng minh rằng trên hình $6$ $m_0M = m_0m \cdot \frac{b}{a}$.

Thực hiện phép dựng này đối với một vài điểm $m_1$, $m_2$, $m_3$, … của đường tròn bán kính $a$, ta có thể thu được bao nhiêu điểm tùy ý của elip. Còn lại là nối chúng bằng một đường cong trơn bằng tay hoặc bằng thước cong.

Nhưng điều thú vị là vẽ elip bằng một chuyển động liên tục, tức là không nhấc bút chì khỏi giấy, tương tự như cách ta vẽ đường tròn bằng compa. Điều này có thể thực hiện bằng một dụng cụ đặc biệt — máy vẽ elip. Chúng tôi sẽ nói về nó dưới đây, khi làm quen với phương trình elip. Nhưng trước hết cần làm rõ phương trình của đường là gì.

Phương trình của đường *)

Một trong những phát minh đáng chú ý của thế kỷ XVII là phương pháp tọa độ, cho phép chuyển các khái niệm hình học sang ngôn ngữ đại số. Phương pháp này cho phép thiết lập sự tương ứng giữa các đường nằm trên mặt phẳng có đặt một hệ tọa độ và các phương trình chứa hai chữ $x$ và $y$.

Phương trình của một đường nào đó được gọi là phương trình theo $x$ và $y$ sao cho nó trở thành đúng khi thay vào đó các giá trị $(x_0, y_0)$ khi và chỉ khi

*) Có thể đọc chi tiết hơn về phương trình của đường trong bất kỳ giáo trình hình học giải tích nào.

31

Hình 7. $m(x_{окр}, y_{окр})$ — điểm trên đường tròn, $M(x_0, y_0)$ — điểm trên elip.

trường hợp điểm có tọa độ $(x_0, y_0)$ nằm trên đường đã cho.

Cũng có thể nói rằng đường được xác định bởi phương trình là quỹ tích các điểm mà tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình ấy.

Ví dụ, phương trình $y=x$ là phương trình của đường phân giác các góc phần tư tọa độ I và III, còn phương trình đường tròn bán kính $a$ có tâm tại gốc tọa độ được viết như sau: $x^2+y^2=a^2$.

Nó dễ dàng suy ra từ định lý Pythagore.

Phương trình elip

Elip có các bán trục $a$ và $b$ được tạo từ đường tròn bán kính $a$ bằng phép biến dạng với hệ số $k=\frac{b}{a}$ (hình 7). Trên mặt phẳng chứa cả hai đường này, ta đặt các trục tọa độ; trục $OX$ hướng theo trục biến dạng, còn trục $OY$ — đi qua tâm đường tròn (cũng là tâm elip) vuông góc với trục $OX$. Gọi $m$ là một điểm bất kỳ của đường tròn, còn $M$ là điểm của elip mà $m$ chuyển thành.

Tọa độ của điểm $m$ ký hiệu là $(x_{окр}, y_{окр})$, còn của điểm $M$ — là $(x_0, y_0)$. Hiển nhiên, theo định nghĩa của phép biến dạng,

$$x_0=x_{окр}, y_0=k \cdot y_{окр},$$

(*)

Hình 8. Điểm $M$ vạch ra một elip.

từ đó

$$x_{окр}=x_0, y_{окр}=\frac{y_0}{k}.$$

Nếu thay vào phương trình đường tròn $x^2+y^2=a^2$ tọa độ của một điểm bất kỳ trên nó $(x_{окр}, y_{окр})$, thì đẳng thức

$$x^2_{окр}+y^2_{окр}=a^2,$$

sẽ đúng; do đó, thay $x_{окр}$ và $y_{окр}$ theo công thức (*), ta thấy rằng đẳng thức

$$x^2_{9}+\frac{y^2_{9}}{k^2}=a^2$$

cũng đúng với mọi điểm $M$ $(x_0, y_0)$.

Nếu điểm $M'(X', Y')$ không nằm trên elip, thì điểm $m'(x', y')$, biến thành $M'$ do biến dạng, không nằm trên đường tròn, và phương trình $(x')^2+(y')^2=a^2$ không đúng; do đó, phương trình $(X')^2+\frac{(Y')^2}{k^2}=a^2$ cũng không đúng.

Từ định nghĩa phương trình đường ta nhận được phương trình elip sau đây

$$x^2+\frac{y^2}{k^2}=a^2.$$

Nhận thấy rằng $ka=b$, có thể đưa phương trình này về dạng

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

Đó chính là phương trình elip ở dạng thuận tiện nhất (gọi là dạng chính tắc).

⟦trang 32⟧

Xét bài toán hình học sau (hình 8).

Đoạn thẳng $PQ$ chuyển động trong mặt phẳng sao cho một đầu $Q$ của nó trượt trên đường thẳng $OX$, còn đầu kia $P$ — trên đường thẳng $OY$ vuông góc với nó. Điểm $M$ của đoạn thẳng này $(MP=a, MQ=b)$ vạch nên đường nào?

Ta chứng minh rằng đường cong này là một elip. Áp dụng phương pháp tọa độ (hình 9) — lấy làm các trục tọa độ chính các đường thẳng mà đoạn thẳng trượt trên đó. Gọi tọa độ của điểm $M-x$ và $y$ (chúng phụ thuộc vào góc $PQO$). Từ sự đồng dạng của các tam giác $QNM$ và $MLP$ ta có $\frac{NM}{LP} = \frac{QM}{MP}$, hay $\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{a}$.

Phương trình (1) vẫn chưa thể gọi là phương trình của quỹ đạo cần tìm: nó được lập cho trường hợp của hình 9, trong đó đoạn thẳng nằm ở góc phần tư và cả hai tọa độ của điểm $M$ đều dương. Chỉ với điều kiện này mới có thể coi rằng $ON=x$, và $NM=y$; còn nếu đoạn thẳng nằm ở góc phần tư II, III hoặc IV trên hình 8, thì cần coi $ON=\pm x$, $NM=\pm y$, mỗi lần chọn các dấu thích hợp.

Hình 10. Dụng cụ vẽ elip.

Tuy nhiên, phương trình (1) cũng thích hợp cho góc phần tư II, vì $x$ được nâng lên lũy thừa hai và việc đổi dấu $x$ không làm thay đổi phương trình này. Đối với các góc phần tư III và IV, phương trình (1) phải được thay bằng phương trình sau:

$$-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{a}.$$

Cặp phương trình (1) và (2) có thể được thay bằng một phương trình duy nhất

$$\frac{y^2}{a^2-x^2} = \frac{b^2}{a^2},$$

phương trình này dễ dàng đưa về dạng

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Đường cong cần tìm là elip.

Cấu tạo của dụng cụ vẽ elip dựa trên kết quả thu được. Trên giấy hoặc bảng vẽ đặt một chữ thập, trong đó có hai rãnh vuông góc với nhau (hình 10). Với một thanh thẳng nối ba khớp trượt, có thể cố định các khớp này ở bất kỳ điểm nào trên thanh. Hai khớp ngoài $P$ và $Q$ có thể chuyển động trong các rãnh của chữ thập, còn khớp giữa $M$ được trang bị một bút chì, bút này khi thanh chuyển động sẽ vẽ ra một elip. Cố định các khớp theo các bán trục đã cho $PM=a$, $MQ=b$, chúng ta có thể vẽ một elip với các bán trục này. chúng ta có thể vẽ một elip với các bán trục này.

33

Các thiết diện nghiêng của hình trụ tròn — các elip

Khi cắt một hình trụ tròn bằng một mặt phẳng không vuông góc và cũng không song song với trục của nó, ta nhận được những đường ôvan kéo dài ít nhiều, tùy thuộc vào góc nghiêng của thiết diện. Điều này ai cũng biết, chẳng hạn mỗi bà nội trợ khi cắt xúc xích cho khách thành từng lát và thường (để «tiết kiệm») tạo góc đủ nhọn để ôvan có diện tích lớn.

Ta sẽ chứng minh rằng những thiết diện này không chỉ là các ôvan, mà là những elip thực sự. Để làm điều đó, chỉ cần xác lập rằng ôvan thu được từ đường tròn (đáy của hình trụ) bằng phép kéo giãn; hệ số $k$ bằng $\frac{1}{\cos \alpha}$, trong đó $\alpha$ — là góc giữa các mặt phẳng của thiết diện và mặt phẳng đáy của hình trụ.

Ta vẽ (hình 11) trong đáy của hình trụ hai đường kính vuông góc với nhau: $cd$ — song song và $eh$ — vuông góc với đường giao tuyến của hai mặt phẳng, và vẽ qua chúng các mặt phẳng $cdDC$ và $ehHE$, song song với trục của hình trụ, cũng như mặt phẳng $M_0Mmm_0$, song song với $ehHE$, đi qua điểm $M$ của thiết diện. Biết rằng độ dài hình chiếu của một đoạn thẳng lên một đường thẳng nào đó bằng độ dài của chính đoạn thẳng đó,

nhân với côsin của góc giữa nó và hình chiếu của nó, ta thu được

$$\frac{M_0M}{m_0m} = \frac{OE}{oe} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\cos \alpha} = k.$$

Nếu bây giờ đặt cả hai hình $CEDH$ và $cedh$ lên cùng một mặt phẳng, sao cho $CD$ trùng với $cd$, thì chúng sẽ chiếm vị trí như trong hình 5, trong đó $M_0M = m_0m \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = m_0m \cdot k$, với $k > 1$.

Điều này chứng minh khẳng định của chúng ta.

Điều thú vị là đối với mỗi elip có thể chỉ ra một vị trí sao cho nó trở thành thiết diện của một hình trụ tròn, bán kính của hình trụ đó bằng bán trục nhỏ của elip. Để làm điều này, trước hết cần lấy thiết diện vuông góc của hình trụ và quay mặt phẳng của thiết diện này quanh một trong các đường kính của đường tròn thu được một góc, có côsin bằng $\frac{a}{b}$.

Điều này luôn có thể, vì ở đây.

Các đường kính liên hợp của elip

Từ kết quả cuối cùng ngay lập tức suy ra một tính chất thú vị của elip: trung điểm của tất cả các dây song song của elip tạo thành một đoạn thẳng đi qua tâm của elip (hình 12). Tính chất này rất indo

34

Hình 13. Chứng minh tính chất của các đường kính liên hợp.

đối với đường tròn: trung điểm các dây song song của nó nằm trên đường kính vuông góc với các dây ấy. Bây giờ hãy đặt elip vào vị trí thiết diện của một hình trụ tròn và qua các dây song song của elip kẻ một loạt mặt phẳng song song với trục hình trụ (hình 13). Trong mặt phẳng thiết diện vuông góc của hình trụ, ta được các dây song song của đường tròn, trung điểm của chúng nằm trên đường kính của nó. Trung điểm các dây của elip nằm trên giao tuyến của mặt phẳng elip và mặt phẳng đi qua đường kính nhận được và qua trục hình trụ. Đó là một đoạn thẳng, hiển nhiên đi qua tâm elip và bị tâm chia đôi.

Dây của elip đi qua tâm của nó được gọi là đường kính của elip. Các đường kính của elip nói chung không bằng nhau. Lớn nhất trong số đó là trục lớn, còn nhỏ nhất là trục nhỏ. Nếu trong elip kẻ loạt dây thứ hai song song với đường kính nhận được, thì trung điểm của chúng nằm trên đường kính thuộc loạt dây thứ nhất (hình 12). Hai đường kính nhận được gọi là liên hợp tương hỗ. Với mỗi đường kính của elip có một đường kính liên hợp với nó. Chú ý rằng ở đường tròn, mỗi cặp đường kính liên hợp đều vuông góc với nhau, còn ở elip thì không, ngoại lệ chỉ là các trục của elip.

Hình 14. Hình chiếu của đường tròn cũng là elip.

Hình chiếu của đường tròn cũng là elip

Nếu chiếu một đường tròn nằm trong một mặt phẳng nào đó lên một mặt phẳng khác, không song song và không vuông góc với mặt phẳng thứ nhất, thì trên hình chiếu thu được một đường cong hình bầu dục. Chẳng hạn, nó được tạo thành trên cỏ dưới dạng bóng của một chiếc đĩa bay trong không khí (hình 14).

Hình bầu dục này lại là một elip. Người đọc có thể dễ dàng tự kiểm tra chứng minh điều đó. Ở đây thậm chí không cần làm một hình vẽ riêng — chỉ cần xem hình 11, nhưng nhìn nó theo một quan điểm khác: ta sẽ coi đường CEDH là đường tròn (CD=EH=a), còn hình trụ chiếu không phải tròn mà bầu dục. Ở đây cd=CD=a, eh=EH·cosα=b. Cần chứng minh rằng cedh là elip; mặt này trong trường hợp đó được gọi là hình trụ elip — theo dạng của thiết diện vuông góc.

Cách chứng minh vẫn như trong chứng minh định lý về thiết diện của hình trụ tròn. Lần này m₀m=M₀M·cosα, trong đó α là góc giữa các mặt phẳng. Do đó, hình bầu dục cedh được nhận từ CEDH bằng phép nén với

35

Hình 15. $F_1$ và $F_2$ — các tiêu điểm của elip.

hệ số $k = \cos \alpha = \frac{b}{a}$.

Các đường kính vuông góc của đường tròn giờ đây được chiếu thành các đường kính liên hợp của elip. Sự kiện này có ý nghĩa lớn trong lý thuyết biểu diễn các hình không gian trên mặt phẳng.

Tính chất tiêu điểm của elip

Chúng ta chuyển sang tính chất quan trọng nhất của elip — tính chất tiêu điểm. Đây là tính từ xuất phát từ từ «tiêu điểm»*) — đó là tên gọi của hai điểm đặc biệt nằm bên trong elip trên trục lớn của nó, đối xứng với nhau qua tâm elip. Khoảng cách từ mỗi tiêu điểm đến các đầu mút của trục nhỏ elip bằng một nửa độ dài trục lớn (hình 15).

Ta sẽ xét elip như một thiết diện của một hình trụ tròn — ta đã thấy rằng luôn có thể làm như vậy. Bây giờ ta lăn vào trong hình trụ từ cả hai đầu của nó mỗi bên một quả cầu nội tiếp hình trụ, cho đến khi cả hai quả cầu chạm vào mặt phẳng của thiết diện này

*) Từ Latinh «фосис» có nghĩa là rất Nguồn gốc của thuật ngữ này như sau: nếu đặt một nguồn sáng tại một tiêu điểm của elip, thì tất cả các tia sáng phản xạ từ elip theo quy luật «góc tới bằng góc phản xạ» sẽ đi qua tiêu điểm thứ hai. Điều này sẽ được kể chi tiết hơn trong một số báo của «Квант».

Hình 16. Chứng minh tính chất tiêu điểm của elip.

(hình 16) (theo ngôn ngữ hình học: nội tiếp các quả cầu vào hình trụ sao cho chúng tiếp xúc với mặt phẳng thiết diện).

Điểm tiếp xúc của $F_1$ và $F_2$ sẽ là các tiêu điểm của elip của chúng ta.

Mỗi quả cầu tiếp xúc với hình trụ theo một đường tròn. Cả hai đường tròn này được vẽ trong hình 16 bằng màu đỏ.

Bây giờ lấy một điểm bất kỳ $M$ của elip và đánh dấu đường sinh $PQ$ của hình trụ mà điểm $M$ nằm trên đó ($P$ và $Q$ — là các điểm của đường sinh này nằm trên các đường tròn màu đỏ). Rõ ràng, $MQ=MF_1$ — đây là độ dài của hai tiếp tuyến đến quả cầu bên phải, được kẻ từ $M$ đến các điểm tiếp xúc $P$ và $Q$. Chúng bằng nhau, vì là các đường sinh của hình nón tròn có đỉnh $M$, ngoại tiếp quanh quả cầu bên trái.

Tiến hành lập luận tương tự cho quả cầu bên trái, ta thu được đẳng thức tương tự $MP=MF_2$. Cộng hai đẳng thức, ta được

$$MF_1+MF_2=MP+MQ=PQ.$$

Nhưng $PQ$ — giống nhau đối với tất cả các đường sinh của hình trụ của chúng ta: đó là khoảng cách giữa các đường tròn màu đỏ (giữa các tâm của các quả cầu của chúng ta). Vì vậy, dù ta lấy điểm $M$ nào trên elip, sẽ có

36

Hình 17. Đây là cách thu được elip trong thực tế.

đẳng thức $MF_1 + MF_2 = const$.

Như vậy, tổng các khoảng cách từ mọi điểm của elip đến hai tiêu điểm của nó — là một đại lượng không đổi.

Đó chính là tính chất tiêu điểm của elip. Thường elip được định nghĩa là «quỹ tích hình học» (theo ngôn ngữ hiện đại — là tập hợp) của những điểm nằm trong cùng một mặt phẳng, đối với chúng tổng khoảng cách đến hai điểm (các tiêu điểm) — là một đại lượng không đổi.

Nếu chọn điểm $M$ của elip là đầu của trục lớn của nó (chẳng hạn điểm $C$ trong hình 15), thì theo tính chất tiêu điểm $CF_1 + CF_2 = const$. Do tính đối xứng $F_1C = F_2D$; vậy đại lượng không đổi này bằng $CF_2 + F_2D$, tức là bằng trục lớn $CD = 2a$. Nếu lấy điểm $M$ là đầu của trục nhỏ, chẳng hạn điểm $E$, thì $EF_1 + EF_2 = 2a$, và vì do tính đối xứng $EF_1 = EF_2$, nên mỗi đoạn này bằng $a$. Điều này chứng minh mệnh đề đã nêu ở đầu mục này, đồng thời cho phương pháp dựng các tiêu điểm của elip theo các trục của nó (hình 15).

Dụng cụ vẽ elip cho người làm vườn

Dựa trên tính chất tiêu điểm của elip là cách dựng elip nổi tiếng bằng chuyển động liên tục nhờ một vòng dây. Đặt tờ giấy lên bảng vẽ và ghim vào đó hai chiếc đinh ghim văn phòng. Quàng vòng dây vào cả hai chiếc đinh ghim (chu vi vòng dây phải lớn hơn hai lần khoảng cách giữa các đinh ghim), dùng đầu nhọn của bút chì kéo căng sợi dây sao cho tạo thành tam giác ($\Delta F_1F_2M$). Nếu di chuyển bút chì trên giấy sao cho sợi dây luôn ở trạng thái căng, thì tam giác sẽ bị biến dạng, nhưng chu vi của nó vẫn không đổi. Độ dài của cạnh $F_1F_2$ cũng không đổi — nghĩa là $F_1M + F_2M = const$ và bút chì sẽ vẽ ra một elip.

Ta đã có một dụng cụ vẽ elip mới, rất đơn giản. Phương pháp này đã được các nhà trồng hoa sử dụng thành công để tạo các luống hoa hình elip. Thay cho các đinh ghim, người ta cắm hai cọc xuống đất, vòng dây được làm bằng dây thừng dày, còn elip được vẽ trên mặt đất không phải bằng bút chì mà bằng gậy (hình 17).

Chúng ta chưa giải thích nguồn gốc tên gọi «elip» (trong tiếng Hy Lạp «ellipsis») nghĩa là «sự thiếu hụt» — ở đây thì thiếu hụt cái gì?), cũng chưa kể về nhiều tính chất rất quan trọng khác của đường cong này — những tính chất chung cho tất cả các thiết diện cônic: elip, hypebol và parabol. Những vấn đề này sẽ được trình bày trong các số tiếp theo của «Kvant».

Các hình vẽ không gian trong bài viết này chỉ cho một khái niệm chung về hình dạng của chúng. Khi thực hiện các hình vẽ, người ta ưu tiên tính trực quan chứ không phải việc xây dựng một hình không gian được chuẩn hóa đúng trên mặt phẳng *).

Về các quy luật biểu diễn các hình không gian trên mặt phẳng sẽ được nói đến trong một trong những số báo gần nhất của tạp chí.

*) Hãy thử chứng minh rằng hypebol được đưa ra ở trang 26, nói một cách chặt chẽ, được biểu diễn không đúng.

37

TÍNH TOÁN CÁC TỔNG

Tính toán các tổng là một trong những vấn đề quan trọng và thú vị nhất của toán học. Có nhiều phương pháp khác nhau để tính các tổng. Bài báo trình bày hai trong số đó.

1. Trong toán học và nhiều ứng dụng của nó, để ghi ngắn gọn một tổng người ta dùng một ký hiệu đặc biệt. Đó là Σ — chữ cái «sigma» của bảng chữ cái Hy Lạp. Việc ghi tổng bằng ký hiệu Σ thường rất thuận tiện. Hãy làm quen với ký hiệu này.

Giả sử cho tổng dạng
$$a_1 + a_2 + \dots + a_n.$$
Tất cả các số hạng của tổng này được ký hiệu bằng một chữ cái, để phân biệt người ta sử dụng các chỉ số. Tổng đã cho có thể viết ngắn gọn dưới dạng sau:

$$\sum_{k=1}^{n} a_k.$$
Đọc là: «sigma $a_k$, $k$ thay đổi từ 1 đến $n$». Với cách ghi này lấy «số hạng điển hình» của tổng, trong trường hợp của chúng ta là $a_k^*$, trước nó viết ký hiệu Σ và chỉ ra các giới hạn thay đổi của $k$. Ví dụ, cách ghi

$$\sum_{k=1}^{10} k$$
có nghĩa là tổng
$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10,$$
*) $a_k$ được gọi là số hạng tổng quát của tổng.

còn cách ghi
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$$

— là tổng
$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1)n} + \frac{1}{n(n+1)}$$.

Không khó để kiểm tra các tính chất sau đây của ký hiệu Σ:
$$\sum_{k=1}^{n} 1 = n, \quad \sum_{k=1}^{n} ca_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k,$$
$$\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k.$$

Hãy kiểm tra, chẳng hạn, tính chất thứ hai.

Theo định nghĩa
$$\sum_{k=1}^{n} ca_k = ca_1 + ca_2 + \dots + ca_n,$$

do đó, theo tính chất đã biết của tổng, ta có:
$$\sum_{k=1}^{n} ca_k = c(a_1 + a_2 + \dots + a_n).$$

Nhưng biểu thức trong ngoặc không gì khác hơn là
$$\sum_{k=1}^{n} a_k$$
và do đó,
$$\sum_{k=1}^{n} ca_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k.$$

38

Tương tự, hai tính chất còn lại được kiểm tra.

2. Xét vấn đề tính tổng có dạng

$$\sum_{k=1}^{n} f(k) = f(1) + f(2) + \dots + f(n),$$

trong đó $f$ — là hàm đã biết của đối số nguyên, được xác định trên đoạn $[1, n]$ của dãy số tự nhiên.

Có thể dễ dàng tính tổng này nếu tìm được hàm $F$, xác định trên đoạn $[1, n+1]$ của dãy số tự nhiên, sao cho với mọi $k, 1 \leq k \leq n$, đẳng thức

$$f(k) = F(k+1) - F(k).$$

được thỏa mãn.

Thật vậy, thay lần lượt $k = 1, 2, \dots, n-1, n$ vào đẳng thức này, ta được:

$$f(1) = F(2) - F(1),$$
$$f(2) = F(3) - F(2),$$
$$f(3) = F(4) - F(3),$$

$$f(n-1) = F(n) - F(n-1),$$
$$f(n) = F(n+1) - F(n).$$

Cộng các đẳng thức này lại, ta đi đến công thức sau:

$$\sum_{k=1}^{n} f(k) = F(n+1) - F(1).$$

Như vậy, nếu tìm được hàm $F$, tổng (1) được tính một cách đơn giản.

Minh họa công thức (3) bằng cấp số nhân.

Unusual activity has been detected from your device. Try again later. (f60ad11d-0ec2-4a4b-a2dc-d0be24f2fa64)

$$q^k = \frac{q^{k+1}}{q-1} - \frac{q^k}{q-1}.$$

Từ đây thấy rằng có thể đặt

$$F(k) = \frac{q^k}{q-1},$$

và do đó,

$$\sum_{k=1}^{n} q^k = \frac{q^{n+1}}{q-1} - \frac{q}{q-1} = \frac{q^{n+1}-q}{q-1}.$$

Ta thu được công thức quen thuộc.

39

Ví dụ 3. Tính tổng
$$\sum_{k=1}^{n} \sin kx (x \neq 2\pi n).$$
Dễ dàng kiểm tra rằng
$$\sin kx = \frac{\cos(k-0,5)x - \cos(k+0,5)x}{2\sin 0,5x},$$
tức là
$$\sin kx = F(k+1) - F(k),$$
trong đó
$$F(k) = -\frac{\cos(k-0,5)x}{2\sin 0,5x}.$$
Bây giờ dựa trên công thức (3), sau những biến đổi không phức tạp, ta nhận được
$$\sum_{k=1}^{n} \sin kx = \frac{\sin 0,5(n+1)x \sin 0,5nx}{2\sin 0,5x}.$$
Người đọc đã tự nhận thấy rằng công thức (3) cho một phương pháp hiệu quả để tính tổng (1). Điều chủ yếu là tìm được hàm $F$. Đáng tiếc là không ít khi đây là một bài toán không dễ, và đôi khi thậm chí còn không giải được.
3. Bây giờ giả sử cho hai dãy hữu hạn các số
$$u_1, u_2, \dots, u_n,$$
và
$$v_1, v_2, \dots, v_n$$
và cần tính tổng
$$\sum_{k=1}^{n} u_k v_k.$$
Ở đây thường có ích một phép biến đổi do nhà toán học Na Uy Abel đã chỉ ra. Cụ thể, gọi $V_k$ là tổng của $k$ số hạng đầu tiên của dãy (4), tức là
$$V_k = \sum_{i=1}^{k} v_i = v_1 + v_2 + \dots + v_k.$$
Rõ ràng là $v_1 = V_1$; còn nếu $k > 1$, thì
$$v_h = V_h - V_{h-1}.$$; còn nếu $k > 1$, thì
$$v_h = V_h - V_{h-1}.$$

Do đó
$$\sum_{k=1}^{n} u_k v_k = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n = u_1 V_1 + u_2 (V_2 - V_1) + \dots + u_n (V_n - V_{n-1})$$
Khai triển các dấu ngoặc và nhóm các số hạng từng đôi một, ta được
$$\sum_{k=1}^{n} u_k v_k = (u_1 - u_2) V_1 + (u_2 - u_3) V_2 + \dots + (u_{n-1} - u_n) V_{n-1} + u_n V_n$$
hoặc cuối cùng:
$$\sum_{k=1}^{n} u_k v_k = u_n V_n - \sum_{k=1}^{n-1} (u_{k+1} - u_k) V_k.$$ (5)
Cách giải thích hình học của phương pháp này được đưa ra trong hình 2. Mỗi số hạng dạng $u_k v_k$ tương ứng với diện tích của hình chữ nhật (màu xanh). Các số hạng dạng $(u_{k+1} - u_k) V_n$ tương ứng với diện tích của các hình chữ nhật màu đỏ. Biểu thức $u_n V_n$ là diện tích của toàn bộ hình chữ nhật. Sau đó công thức (5) trở nên rất rõ ràng.

Ví dụ 4. Tính tổng
$$1^2 + 2^2 + \dots + n^2.$$
Kí hiệu tổng cần tìm là $S$ và viết nó, sử dụng dấu $\Sigma$:
$$S = \sum_{k=1}^{n} k^2.$$

42

Рис. 1. Фотография, полученная камерой «Зенит», у которой объектив заменен листком черной бумаги с отверстием. Диаметр отверстия 0,2 мм, чувствительность пленки 65 ед., выдержка 5 сек.

В основе геометрической оптики лежит представление о прямолинейности световых лучей. Этому учит нас практика. Вы сами можете легко проверить опыт, подтверждающий прямолинейность распространения света. Замените объектив фотоаппарата листком черной бумаги, в котором проколото маленькое отверстие. Такой «дырочной камерой» (ее называют камерой-обскурой) можно получить фотографию ярко освещенных предметов, подобно фотографии, приведенной на рисунке 1. Изображение на пленке точно соответствует центральной проекции точек предмета прямыми, проходящими через отверстие, что является веским аргументом в пользу представления о лучах света как о прямых линиях.

Образование тени на белом экране от непрозрачного предмета мы объясняем как проекцию контура предмета на плоскость экрана лучами, выходящими из каждой точки источника света. Так как источник света обычно имеет довольно большие размеры, граница тени окружена полутенью и размыта. Можно было бы думать, что, уменьшая размеры источника, мы будем сужать область полутени и в пределе получим резкую тень. Однако опыт показывает, когда источник света становится достаточно мал, обнаруживаются явления, которые раньше маскировались полутенью. Приемом край непрозрачной пластинки вместе резкой тени дает картину, приведенную на рисунке 2. Край тени размыт, а параллельно ему идут темные и светлые полосы уменьшающейся контрастности. Если источник света белый, то полосы окрашены в радужные цвета.

Тень от тонкой проволоки (рис. 3) также имеет сложную структуру. Снаружи она окружена полосами, как у края непрозрачной пластинки, а внутри тени видны темные и светлые полосы, тем более узкие, чем тоньше проволока.

Совсем неожиданно выглядит тень от шарика или от маленького непрозрачного диска (рис. 4). Кроме темных и светлых колец, окружающих тень и аналогичных уже знакомым нам полосам, в центре тени можно видеть яркое светлое пятно, как будто в центре диска проколото маленькое отверстие.

Явления, в которых обнаружена

43

Hình 3. Nhiễu xạ từ sợi dây mảnh. Ảnh chụp trong ánh sáng trắng qua kính lọc sáng màu đỏ. Đường kính sợi dây 1,2 mm. Khoảng cách từ sợi dây đến phim 0,5 m.

Những hiện tượng trong đó ánh sáng truyền đi không hoàn toàn theo các quy luật của quang học hình học được gọi là hiện tượng nhiễu xạ. Nguyên nhân của chúng nằm ở bản chất sóng của ánh sáng. Mô tả chính xác sự truyền ánh sáng không phải là sự dựng các tia, mà là bức tranh truyền sóng.

Hãy hình dung những sóng tròn lan ra từ hòn đá được ném xuống trên mặt phẳng yên tĩnh của ao. Nếu các sóng đến chỗ một khúc gỗ nổi trên mặt nước, thì phía sau khúc gỗ hình thành một bóng rõ ràng, ranh giới của nó được xác định bởi các tia được vẽ từ điểm rơi của hòn đá qua các đầu của khúc gỗ. Tuy nhiên, trong vùng bóng cũng có thể nhận thấy sóng trên mặt nước, dù yếu hơn. Đó chính là nhiễu xạ, trong trường hợp này không làm biến dạng nhiều bức tranh bóng hình học. Nếu các sóng gặp trên đường đi của mình một cọc, thì chỉ ở một khoảng cách nhỏ phía sau nó, bức tranh truyền sóng sẽ ít giống với bóng hình học. Cuối cùng, nếu các sóng gặp một chiếc cọc mảnh nhô lên khỏi mặt nước, thì bóng hoàn toàn không hình thành. Các sóng tự do vòng qua những vật cản nhỏ. Trên mặt nước chỉ có thể nhận thấy một sóng tròn yếu bị chiếc cọc tán xạ.

Như vậy, khi truyền sóng có thể gặp những trường hợp khi các tia thẳng mô tả tốt những hiện tượng quan sát được, cũng như những trường hợp khi bức tranh nhiễu xạ chiếm ưu thế. Tất cả phụ thuộc vào sự tương ứng giữa bước sóng, kích thước của vật cản (hoặc khẩu độ) giới hạn sóng, và khoảng cách đến mặt phẳng quan sát. Có thể phát biểu ngắn gọn như sau: nếu từ các điểm của màn, trên đó ta quan sát bóng, vật cản hoặc khẩu độ nhìn thấy dưới góc lớn hơn góc mà bước sóng nhìn thấy từ khoảng cách bằng đường kính ngang của vật cản, thì nhiễu xạ không làm biến dạng mạnh bức tranh tia. Dưới dạng công thức có thể viết như sau: $\frac{a}{R} \gg \frac{\lambda}{a}$, trong đó $a$ — kích thước khẩu độ, $R$ — khoảng cách đến màn, trên đó quan sát thấy bóng, và $\lambda$ — bước sóng. Nếu các góc so sánh được hoặc góc thứ nhất nhỏ hơn góc thứ hai, nghĩa là $\frac{a}{R} \leqslant \frac{\lambda}{a}$, thì nhiễu xạ đóng một vai trò nhất định và các biểu diễn bằng tia không áp dụng được.

44

Hình 5. Thiết bị để quan sát và chụp ảnh các ảnh nhiễu xạ. 1 — đèn, 2 — thấu kính chiếu, 3 — màng nhiễu xạ chính xác có màn chắn sáng, 4 — giá đỡ với các vật kính nhiễu xạ, 5 — ống chắn sáng, 6 — máy ảnh không có vật kính.

Trong quang học, người ta thường gặp nhất trường hợp thứ nhất, vì bước sóng của ánh sáng nhìn thấy rất nhỏ (từ 0,7 мк đối với ánh sáng đỏ đến 0,4 мк đối với ánh sáng tím), nhưng ở những khoảng cách lớn từ một lỗ nhỏ hoặc từ một sợi dây mảnh cũng có thể gặp trường hợp thứ hai.

Có thể quan sát các hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng bằng những phương tiện hết sức đơn giản. Hãy dùng đầu nhọn của một cây kim sắc chọc một lỗ 0,1—0,2 mm trên một lá kim loại mỏng và dán lá kim loại lên một tấm bìa có lỗ, lỗ này cần để ánh sáng từ nguồn — một đèn bàn thông thường — không cản trở việc quan sát. Đặt tấm bìa trên giá đỡ, dùng một thấu kính có tiêu cự 4—6 cm chiếu lên đó ảnh phóng đại của sợi tóc trên bóng đèn sao cho một phần ảnh của sợi tóc rơi vào lỗ trên lá kim loại. Phía sau lỗ tạo thành một hình nón ánh sáng, có thể dễ dàng tìm thấy theo vòng tròn sáng trên kính mờ hoặc bằng mắt (khi mắt lọt vào hình nón ánh sáng

45

Hình 6. Ảnh chụp thu được bằng một viên bi. Các vòng ngoài bị nhòe. Đường kính viên bi 4 mm. Chiều cao ký hiệu 1 mm. Ảnh được thu bằng cách chụp trên phim tương phản một chữ cái vẽ bằng mực tàu trên giấy trắng.

được chiếu trực tiếp lên mặt phẳng phim. Để các vân nhiễu xạ trên ảnh rõ hơn và số lượng của chúng nhiều hơn, lỗ đóng vai trò nguồn sáng phải được che bằng kính lọc màu, tốt nhất là màu đỏ, vì trong quang phổ của đèn sợi đốt có nhiều tia đỏ. Với phim thường, thời gian phơi sáng 5—10 giây là đủ. Để tránh làm lóa phim, cần đặt giữa máy ảnh và vật một ống bên trong được bôi đen.

Sự dịch chuyển của nguồn sáng gây ra sự dịch chuyển của bóng, và do đó của đốm. Vì vậy, nếu thay vì một nguồn điểm, bạn lấy một ký hiệu có kích thước nhất định, thì mỗi điểm phát sáng trên đó sẽ cho bóng viên bi riêng của mình, hơi dịch chuyển, với đốm sáng riêng của nó. Kết quả là các vòng nhiễu xạ bên ngoài bị nhòe, còn ở giữa bóng có thể thấy ảnh của ký hiệu. Viên bi sẽ tác dụng như một thấu kính. Chính bằng cách đó đã thu được ảnh ký hiệu hằng số Planck (hình 6).

Khoan một lỗ tròn đường kính khoảng 2 mm trong một tấm thiếc mỏng, bạn có thể theo dõi hình nhiễu xạ từ lỗ tròn thay đổi như thế nào ở những khoảng cách khác nhau với nó. Che nguồn sáng bằng kính lọc màu và đưa mắt cùng kính lúp lại gần lỗ, bắt đầu từ khoảng cách 1—2 m, bạn sẽ thấy ở giữa hình xuất hiện các vòng tròn đen, khi đưa mắt lại gần sẽ biến thành những vòng tối lan ra các mép bóng. Số vòng tối, kể cả đốm tối ở giữa, được xác định bởi hiệu đường đi của ánh sáng đối với tia trung tâm và tia đi từ mép lỗ. Điều này có thể dùng để xác định bước sóng ánh sáng. Để tính toán, cần biết đường kính lỗ, đo khoảng cách từ nguồn sáng đến lỗ và khoảng cách từ lỗ đến mặt phẳng quan sát. Có thể xác định vị trí mặt phẳng quan sát bằng cách đặt vào trường nhìn của kính lúp một cây kim và dịch chuyển nó cho đến khi mắt nhìn thấy nó rõ nét trên nền hình nhiễu xạ đang khảo sát. Vị trí của kim xác định mặt phẳng được quan sát qua kính lúp. Cách suy ra công thức tính toán, chúng tôi sẽ giải thích dưới đây.

Trong ánh sáng trắng có thể quan sát sự thay đổi màu sắc đẹp mắt của các vòng nhiễu xạ. Những màu bạn thấy không giống màu quang phổ. Chúng được gọi là màu bù và xuất hiện khi từ quang phổ đầy đủ của ánh sáng trắng bị loại bỏ một vùng quang phổ nào đó. Trong trường hợp của chúng ta, khi chẳng hạn ở giữa xuất hiện một đốm tối đối với ánh sáng lục, các phần còn lại của quang phổ, tức đỏ-cam và tím, nhuộm giữa hình thành màu đỏ tía. Sự vắng mặt của màu đỏ dẫn đến màu bù lục-lam, v.v. Hình 7 đưa ra các ví dụ về hình nhiễu xạ từ lỗ tròn.

Vậy tại sao ở giữa, nơi các sóng dường như đến liên tục, lại xuất hiện một đốm tối?

Hãy trở lại các quan sát của chúng ta

Рис. 8. Сự cộng hợp các dao động làm tăng cường lẫn nhau.

các sóng trên mặt ao. Hãy hình dung rằng đồng thời ném hai hòn đá xuống ao và trên mặt ao lan truyền hai hệ sóng. Khi đó trên mặt ao sẽ tìm thấy những điểm mà tại đó các đỉnh sóng từ cả hai hệ sóng đồng thời tới. Sau một thời gian, tại chính những điểm này các đáy sóng cũng đồng thời tới. Các sóng sẽ tăng cường lẫn nhau, như được chỉ ra trên hình 8. Sự tăng cường sẽ xảy ra tại các điểm nằm cách đều các nguồn sóng. Ngoài ra, các sóng sẽ tăng cường tại những điểm mà khoảng cách từ chúng đến

Рис. 7. Nhiễu xạ từ lỗ tròn. a) Đường kính lỗ 1 mm, $R_1=R_2=0,5$ m. Kính lọc ánh sáng đỏ. Lỗ mở ra hai vùng. Ở tâm có một điểm đen. b) Tương tự với kính lọc ánh sáng xanh lam. Lỗ mở ra gần ba vùng. c) Đường kính lỗ 1,5 mm, $R_1=R_2=0,5$ m. Kính lọc ánh sáng đỏ. Lỗ mở ra các vùng rõ nét hơn một chút.

Рис. 9. Sự cộng hợp các dao động làm yếu lẫn nhau.

Hình 10. Nguồn sáng có thể được thay thế bằng các nguồn thứ cấp.

của các nguồn sóng lệch nhau một bước sóng nguyên, hai bước sóng và v.v. Ở những điểm mà đồng thời đến các đỉnh sóng của một sóng và các đáy sóng của sóng khác, các sóng sẽ yếu đi, triệt tiêu lẫn nhau, như được chỉ ra trên hình 9. Hiện tượng được mô tả gọi là giao thoa. Nó đóng vai trò quyết định trong sự hình thành của hình ảnh nhiễu xạ.

Mỗi điểm trong không gian mà sóng ánh sáng đi qua đều có thể tự được xem như một nguồn của sóng cầu thứ cấp (hình 10). Nếu ánh sáng đi qua một lỗ tròn trong màn chắn không trong suốt, thì ta có thể thay thế nguồn sáng bằng các nguồn thứ cấp phân bố trên diện tích của lỗ. Tất cả các nguồn này sẽ dao động đồng pha với sóng sơ cấp đã đến lỗ. Biên độ dao động tại điểm quan sát phía sau màn được tìm thấy như tổng các dao động mà mỗi nguồn thứ cấp gây ra tại điểm này. Khi đó cần tính đến rằng sóng từ các nguồn khác nhau truyền đi những quãng đường khác nhau và khi chồng lên nhau có thể không chỉ tăng cường lẫn nhau mà còn làm yếu nhau.

Hãy theo dõi sự thay đổi của biên độ dao động trên trục của lỗ tròn được chiếu sáng bởi một nguồn sáng điểm. Khi khoảng cách đến điểm quan sát rất lớn so với đường kính của lỗ, sóng từ tất cả các nguồn thứ cấp truyền đi những quãng đường gần như giống nhau và khi đến điểm quan sát, chúng tăng cường lẫn nhau. Khi điểm quan sát tiến gần đến lỗ, các sóng thứ cấp từ những nguồn nằm ở mép lỗ sẽ lệch đi rõ rệt so với các sóng từ những nguồn thuộc vùng trung tâm, và biên độ tổng hợp sẽ giảm. Khi tia được vẽ từ mép lỗ đến điểm quan sát trở nên dài hơn tia được vẽ từ tâm một bước sóng nguyên, sự bù trừ hoàn toàn của các dao động sẽ xảy ra, và ở trung tâm của hình ảnh nhiễu xạ ta thấy một điểm tối. Khi đưa màn lại gần thêm, ta sẽ phá vỡ sự bù trừ dao động trên trục, và trung tâm của hình ảnh nhiễu xạ lại trở nên sáng. Bây giờ sự bù trừ sẽ xuất hiện ở một khoảng cách nào đó từ trục, và trung tâm của hình ảnh nhiễu xạ sẽ được bao quanh bởi một vòng tối. Khi tia ngoài cùng chậm hơn tia trung tâm hai bước sóng, sự bù trừ dao động trên trục lại xảy ra. Hình ảnh nhiễu xạ sẽ có dạng một điểm sáng với tâm tối và một vòng tối.

Sự xuất hiện của điểm tối ở trung tâm hình ảnh nhiễu xạ sẽ lặp lại tuần hoàn khi màn quan sát hình ảnh nhiễu xạ tiến gần đến màn có lỗ. Đếm số vòng tối, có thể nói sự bù trừ trên trục đã xảy ra bao nhiêu lần. Điều tương tự có thể thấy nếu thay đổi không phải khoảng cách đến điểm quan sát mà là bán kính của lỗ. Những chỉ dẫn này đủ để các em tự suy ra công thức xác định bước sóng.

Vậy, chúc các em thành công! Chúng tôi hy vọng rằng các phòng thí nghiệm vật lý của các trường học của các em sẽ được bổ sung bằng các bộ sưu tập hình ảnh nhiễu xạ do các em tạo ra, và rằng các em sẽ gửi đến ban biên tập «Квант» những bức ảnh thành công nhất.

Trong số này và các số tiếp theo, mục «Bài toán của Kvant» được biên soạn từ các bài toán đã được đề ra tại các kỳ thi Olympic toàn Liên bang về vật lý và toán học năm 1970. Sau mỗi bài toán, trong ngoặc ghi lớp mà bài toán được đề ra.

Ф48. Một sợi dây được quấn quanh trục phần ứng của một máy phát điện, ở đầu dây có gắn một vật nặng. Khi hạ xuống, vật nặng làm quay phần ứng. Khi phần ứng đã quay đủ nhanh, người ta nối điện trở tải vào các đầu cực của máy. Hãy biểu diễn trên đồ thị sự phụ thuộc của tốc độ quay của phần ứng vào thời gian kể từ lúc vật nặng bắt đầu chuyển động. (X)

Г. И. Косоуров

Ф49. Một ống hình chữ U chứa đầy nước. Không khí đã được rút khỏi một nhánh; áp suất không khí trong nhánh kia ở nhiệt độ $t = 20^\circ\text{C}$ bằng áp suất khí quyển. Cả hai đầu ống đều được hàn kín. Hiệu giữa các mực nước trong hai nhánh bằng 15 m. Hiệu mực nước trong hai nhánh sẽ bằng bao nhiêu nếu nung ống đến $100^\circ\text{C}$? (IX—X)

Б. Б. Буховцев

Ф50. Trên một mặt bàn nằm ngang nhẵn có hai khối lập phương giống nhau, mỗi khối có khối lượng $m$, được nối với nhau bằng một lò xo có độ cứng $k$ và chiều dài $l_0$ ở trạng thái không dãn. Lên khối lập phương bên trái (hình 1) đột ngột bắt đầu tác dụng một lực $F$ không đổi về độ lớn và hướng. Hãy tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất

Hình 1.

Hình 2.

⟦trang 49⟧

giữa các khối lập phương khi hệ tiếp tục chuyển động. (X)

B. B. Bukhovtsev

F51. Chụp ảnh một con hổ từ khoảng cách dưới 20 mét là nguy hiểm. Camera obscura có lỗ đường kính 1 mm phải có kích thước bao nhiêu để con hổ trên ảnh có vằn? Khoảng cách giữa các vằn trên da hổ bằng 20 cm. (X)

A. L. Stasenko

F52. Một quả bóng được ném thẳng đứng lên trên. Đại lượng nào lớn hơn: thời gian đi lên hay thời gian rơi xuống? (VIII)

F53. Trong một bình có hai chất lỏng không trộn lẫn với trọng lượng riêng $d_1$ và $d_2$ và độ dày các lớp tương ứng là $h_1$ và $h_2$. Từ mặt chất lỏng, một vật nhỏ có dạng thuôn được thả vào bình, vật chạm đáy đúng vào lúc vận tốc của nó bằng không. Khối lượng riêng của vật liệu làm vật bằng bao nhiêu? (VIII)

M. M. Balatsov

F54. Ampe kế trong mạch điện vẽ ở hình 2 chỉ bao nhiêu? Điện trở của ampe kế rất nhỏ. (VIII—IX)

A. R. Zilberman

M41. Cho một đường tròn, đường kính $AB$ của nó và điểm $C$ trên đường kính ấy. Dựng trên đường tròn hai điểm $X$ và $Y$, đối xứng qua đường kính $AB$, sao cho đường thẳng $YC$ vuông góc với đường thẳng $XA$. (VIII)

M42. Các chữ số của một số có mười bảy chữ số nào đó được viết theo thứ tự ngược lại. Số nhận được được cộng với số ban đầu. Chứng minh rằng ít nhất một chữ số trong tổng của chúng là chẵn. (VIII)

Hình 3.

M43. Mỗi cạnh của một tam giác đều được chia thành $n$ phần bằng nhau. Qua các điểm chia, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh. Kết quả là tam giác được chia thành $n^2$ tam giác nhỏ (hình 3). Gọi “chuỗi” là một dãy các tam giác, trong đó không tam giác nào xuất hiện hai lần và mỗi tam giác sau có một cạnh chung với tam giác trước. Số tam giác lớn nhất có thể có trong một chuỗi là bao nhiêu? (VIII—X)

M44. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $K$ tồn tại vô số số tự nhiên $T$ không chứa chữ số không trong cách viết thập phân và sao cho $T$ và $KT$ có cùng tổng các chữ số. (X)

M45. Chứng minh rằng từ bất kỳ hai số сqrt số nào có thể chọn ra $n$ số mà tổng của chúng chia hết cho $n$, trong đó $n \geq 2$.

50

M6. Trước mặt bạn là một chiếc đồng hồ. Có bao nhiêu vị trí của các kim mà không thể xác định được thời gian nếu không biết kim nào là kim giờ, kim nào là kim phút?
(Coi rằng có thể xác định chính xác vị trí của mỗi kim, nhưng không thể theo dõi các kim chuyển động như thế nào.)

Đáp số. Có 132 vị trí như vậy. Nói cách khác, có 66 cặp cách bố trí các kim sao cho trong mỗi cặp, một cách bố trí nhận được từ cách kia bằng cách đổi kim giờ thành kim phút và kim phút thành kim giờ (như ở hình 1); dĩ nhiên, không xét những vị trí mà hướng của kim giờ và kim phút trùng nhau: trong những trường hợp này thời gian được xác định một cách duy nhất.

Lời giải và e. Chúng tôi đã nhận được nhiều lời giải khác nhau của bài toán này. Sau đây là một số lời giải. Đây là lời giải phổ biến nhất.

Ta sẽ coi rằng mặt đồng hồ được chia thành 12 phần. Xét một trong các vị trí của các kim được nói đến trong điều kiện bài toán. Giả sử một kim chiếm vị trí $x$, kim kia — $y$; ở đây $0 \leq x < 12$, $0 \leq y < 12$. Nếu coi kim thứ nhất là kim giờ, còn kim thứ hai là kim phút, thì phải có đẳng thức

$$x = a + \frac{5y}{60},$$

(1)

Hình 1.

51

Hình 2.

trong đó $a$ là số nguyên chỉ giờ, $0 \leqslant a \leqslant 11$.
Tương tự, nếu kim thứ nhất là kim phút, còn kim thứ hai là kim giờ, thì
$$y = b + \frac{5x}{60},$$

trong đó $b$ là số nguyên, $0 \leqslant b \leqslant 11$.
Hệ gồm hai đẳng thức (1) và (2) có thể thay bằng hệ tương đương:

$$\begin{cases} 12x = 12a + y, \\ 12y = 12b + x, \\ 143x = 12(b + 12a), \end{cases}$$

$$\begin{cases} x = 12 \cdot \frac{b + 12a}{143}, \\ y = 12 \cdot \frac{a + 12b}{143}. \end{cases}$$

Ở đây $0 \leqslant a \leqslant 11, 0 \leqslant b \leqslant 11$ là các số nguyên. Mỗi cặp $(x, y)$ thỏa mãn hệ này là một nghiệm của nó. Có tất cả $12^2 = 144$ cặp. Rõ ràng, phải loại trường hợp $x = y$, tức là khi $a = b$. Còn lại 132.

Hai trong số đó — tương ứng với $a = 2, b = 5$ và $a = 5, b = 2$ — được vẽ ở hình 1 (rõ ràng rằng việc đổi $a$ thành $b$ và $b$ thành $a$ tương ứng với việc đổi các kim).

Một lời giải rất trực quan đã được học sinh lớp 10 S. Pozdnyakov (thành phố Vilnius) gửi tới. Đây là lập luận của em.

Hãy xác định vị trí của kim phút $y$ như một hàm của vị trí kim giờ $x$. Đồ thị của hàm này $x \rightarrow y$ được vẽ bằng màu xanh ở hình 2. Đồ thị này là tập hợp mọi vị trí của các kim $(x, y)$ có thể gặp trên mặt số đồng hồ. Ta quan tâm đến những cặp $(x, y)$ mà cặp $(y, x)$ cũng thuộc tập hợp này. Nhưng điểm $(y, x)$ là điểm đối xứng với $(x, y)$ qua đường phân giác của góc $xOy$. Trên hình 2, tập hợp các điểm đối xứng với các điểm của tập hợp này được đánh dấu bằng màu đỏ *).

Còn phải tìm số giao điểm của các đoạn thẳng xanh và đỏ (không kể các điểm nằm trên đường phân giác $x = y$). Dễ thấy có 132 điểm, tức là 66 cặp điểm đối xứng qua đường phân giác.

Và cuối cùng, còn một cách nữa, không đòi hỏi bất kỳ công cụ toán học nào.

Hãy đặt cạnh chiếc đồng hồ của chúng ta (bên phải) một chiếc khác, tưởng tượng, chạy nhanh hơn đúng 12 lần. Giả sử cả hai đồng hồ cùng được khởi động khi chúng chỉ 12 giờ; khi đó kim giờ của đồng hồ bên phải luôn trùng với kim phút của đồng hồ bên trái. Rõ ràng, các vị trí «không phân biệt được» của kim mà ta quan tâm chính là những lúc kim giờ của đồng hồ bên trái trùng với kim phút của đồng hồ bên phải, chạy nhanh (hãy nghĩ xem, vì sao!). Điều đó sẽ xảy ra bao nhiêu lần? Trong 144 vòng mà kim phút của đồng hồ bên phải thực hiện trong thời gian kim giờ của đồng hồ «bình thường» thực hiện một vòng, trong

*) Tác giả viết rằng tập hợp «đỏ» là «đồ thị của hàm ngược với hàm $x \rightarrow y$ của chúng ta». Điều này không hoàn toàn đúng: rõ ràng hàm của chúng ta không có hàm ngược trên toàn đoạn $0 \leqslant x \leqslant 12$, vì ở đây mỗi $y$ tương ứng với nhiều (cụ thể là mười hai) giá trị $x$ khác nhau. Có thể nói như sau: ta xét hàm $x \rightarrow y$ trên mỗi đoạn $0 \leqslant x < 1, 1 \leqslant x < 2, \dots, 11 \leqslant x < 12$, lấy hàm ngược của từng hàm đó và dựng đồ thị cho mỗi hàm. Khi ấy ta thực sự thu được tập hợp «đỏ», gồm devenaudami đồ thị! (Xem định nghĩa hàm ngược trong «Kvant» số 1, tr. 32—33.)