Kvant 1970, số 11 · Trang

Vật lý toán học phổ thông
đại chúng
quang tử
11
1970
tạp chí
của Viện Hàn lâm
Khoa học Liên Xô
và
Viện Hàn lâm Khoa học
Sư phạm Liên Xô

7

Tổng biên tập — viện sĩ I. K. KIKOIN
Phó tổng biên tập thứ nhất — viện sĩ A. N. KOLMOGOROV

Ban biên tập:

L. A. Artsimovich,
M. I. Bashmakov
V. G. Boltyansky,
I. N. Bronshtein
N. B. Vasilyev
I. F. Ginzburg
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,
G. I. Kosourov
V. A. Letskovtsev
V. P. Litsevsky
A. I. Markutsevich,
M. D. Millyuonitskov,
N. A. Patrikeeva
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
I. Sh. SLOBODECHKY
M. L. Smolyansky
Ya. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
Ya. E. Shnaider

viện sĩ
ủy viên thông tấn Viện Hàn lâm Sư phạm Liên Xô
viện sĩ
viện sĩ
(phó tổng biên tập)
viện sĩ Viện Hàn lâm Sư phạm Liên Xô
viện sĩ
(phó tổng biên tập)
tiến sĩ khoa học vật lý-toán học
viện sĩ Viện Hàn lâm Sư phạm Liên Xô
(thư ký phụ trách)

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova.
Họa sĩ chính E. P. Leonov.
Biên tập kỹ thuật T. M. Makarov.
Đọc sửa bản in L. S. Somova.
Nhà xuất bản “Nauka”. Ban biên tập chính văn học vật lý-toán học
Địa chỉ tòa soạn:
Moskva, V-71, đại lộ Lenin, 15.
Điện thoại: 2340811.

Gửi sắp chữ ngày 24. 7. 70. Ký in ngày 13.10.70.
Giấy 70×100 1/16 . Tờ in thực 4. Tờ in quy đổi 5,6.
Tờ xuất bản 5,39. Số in 176000 bản. T-15428.
Giá 30 kopek. Đơn đặt hàng 1250
Nhà máy in Chekhov của Tổng cục Công nghiệp In
Ủy ban Báo chí trực thuộc Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô
thành phố Chekhov, tỉnh Moskva.

Điện tĩnh học bằng ngôn ngữ
của các đường sức

Thông thường điện tĩnh học được nghiên cứu như sau: viết định luật Coulomb cho lực tương tác của hai điện tích điểm $q_1$ và $q_2$: $F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$ (r — khoảng cách giữa các điện tích) — rồi sau đó bằng những phép tính toán học khi thì đơn giản, khi thì phức tạp thu được mọi hệ quả có thể có của định luật này, coi rằng điện tích của bất kỳ vật nào cũng có thể biểu diễn như một tập hợp các điện tích điểm được phân bố theo cách thích hợp.

Nhưng thường thì việc phân tích toán học chính xác của điện trường và sự phân bố điện tích trở nên phức tạp. Khi đó những phương tiện đơn giản — tính đối xứng và các hình ảnh của các đường sức của trường — sẽ giúp ích. Tất nhiên, chúng không thể cho một hình dung đầy đủ như các phép tính toán học, nhưng trực quan và giúp «nhìn thấy» và dự đoán những đặc điểm nào sẽ có của điện trường và các điện tích sẽ tương tác như thế nào.

Các đường sức của trường là gì

Hãy lấy một điện tích điểm $q$. Điện tích này tạo ra trong không gian xung quanh một điện trường, trường này được xác định hoàn toàn nếu tại mỗi điểm của không gian đã cho hướng của trường — lực tác dụng lên điện tích dương đơn vị điểm nếu đặt nó vào điểm đó. Để biểu diễn một cách trực quan điện trường trong toàn bộ không gian, có thể thử biểu diễn nó bằng nhiều vectơ, chẳng hạn tại những điểm khác nhau trong không gian sao cho mỗi vectơ chỉ ra hướng của trường (độ lớn và hướng của nó) tại điểm mà nó xuất phát. Tuy nhiên, ngay lập tức thấy rõ rằng cách biểu diễn trường như vậy không thành công: các mũi tên riêng lẻ, chồng lên nhau, tạo ra một bức tranh rối rắm, cần phải tháo gỡ.

Faraday đề xuất biểu diễn trường bằng các đường sức. Đó là những đường mà hướng của chúng tại mỗi điểm trùng với hướng của vectơ cường độ trường tại điểm đó. Đối với điện tích điểm, việc vẽ các đường sức hoàn toàn đơn giản. Đó là những đường thẳng (tia) đi qua điểm nơi đặt điện tích. Nếu điện tích dương, thì các đường sức sẽ-

Hình 1.

hướng ra xa điện tích (hình 1); các đường sức của trường do điện tích âm tạo ra (sau này để ngắn gọn chúng ta sẽ nói «trường của điện tích») hướng về phía điện tích.

Thử vẽ hình ảnh các đường sức của trường trong trường hợp phức tạp hơn — đối với hai điện tích điểm có độ lớn bằng nhau — một dương và một âm (cặp điện tích này được gọi là «lưỡng cực»). Hãy nhớ lại nguyên lí chồng chất: hướng của trường của hệ điện tích bằng tổng các hướng của các trường do từng điện tích riêng lẻ tạo ra (hình 2). Có thể nào thu được hình ảnh các đường sức của trường lưỡng cực bằng cách cộng các hình ảnh đường sức của trường của từng điện tích, hay chính xác hơn, chồng chúng lên nhau? Đáng tiếc là không. Trong trường hợp này, các đường sức của trường sẽ phải cắt nhau. Điều đó hiển nhiên là không thể, vì tại điểm giao nhau của các đường sức, hướng của trường sẽ có hai giá trị! Vậy không thể vẽ hình ảnh các đường sức của trường của hệ điện tích chỉ bằng cách chồng các hình ảnh đường sức của trường của các điện tích điểm.

Có thể thu được hình ảnh định tính của các đường sức bằng cách đặt vào điện trường một huyền phù các hạt rắn trong chất cách điện lỏng. Trong điện trường, ở hai đầu các hạt xuất hiện các điện tích cảm ứng bằng nhau và trái dấu. Nhờ đó chúng định hướng dọc theo các đường sức của trường. Đối với trường của lưỡng cực, thu được hình ảnh như trên hình 3, a. Các đường sức đi từ điện tích dương đến điện tích âm (hình 3, b). Nếu lấy hai điện tích cùng dấu bằng nhau, thì hình ảnh các đường sức sẽ như trên hình 4, a và 4, b.

Cũng thu được những hình ảnh như vậy nếu cẩn thận xác định các vectơ hướng của điện trường tại các điểm khác nhau rồi dựa vào chúng dựng các đường sức của trường (hình 2).

4

Рассматривая рисунки 3 и 4, можно заметить, что при разноменных зарядах сливые линии как бы связывают заряды между собой, а в случае одноменных зарядов сливые линии как бы расталкивают. Если приписать сливым линии свойства сокращаться вдоль своей длины и расталкиваться в поперечном направлении, то мы могли бы сказать, что сливые линии, связывающие разноменные заряды, пригигают их друг к другу, а сливые линии разноменных зарядов, расталкиваясь, отталкиваются и сами заряды друг от друга. Конечно, нельзя считать, что сливые линии поля существуют реально, но при таком толковании часто один лишь взгляд на картину поля позволяет предсказать результат взаимодействия зарядов. Эти же «свойства» сливых линии, как не трудно сообщать, могут говорить и о большем — о величины направности поля.

Định lý Gauss

Như vậy, hình ảnh các đường sức cho thấy hướng của vectơ cường độ trường tại mỗi điểm. Nhưng đó vẫn chưa phải là tất cả. Hóa ra, những hình ảnh này còn có thể cho biết nhiều hơn — về độ lớn của cường độ trường.

Xét một điện tích điểm dương $q$. Chọn một hình nón có đỉnh tại điểm đặt điện tích và theo dõi các đường sức đi qua một mặt có diện tích $S_1$, nằm cách điện tích một khoảng $r_1$ (hình 5). Ở khoảng cách $r_2$, các đường sức này sẽ đi qua một mặt có diện tích lớn hơn $S_2$. Tỉ số các đường kính của các mặt bằng tỉ số $\frac{r_2}{r_1}$, do đó $\frac{S_2}{S_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.

Nhưng điều này có nghĩa là mật độ các đường sức $n = \frac{N}{S}$ (số đường sức đi qua một đơn vị diện tích của mặt) tỉ lệ nghịch với

5

tỉ lệ với bình phương khoảng cách đến điện tích. Vì $\frac{n_1}{n_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$, nên $n \sim \frac{1}{r^2}$.

Định hướng của trường của điện tích điểm cũng thay đổi như vậy: $E = \frac{q}{r^2}$.

Như vậy, mật độ các đường sức tỉ lệ với cường độ trường: $n \sim E$. Chỉ cần các đường sức không bị ngắt ở bất cứ đâu. Đối với điện tích điểm dương, các đường sức phải bắt đầu từ điện tích và đi ra vô cực. Trong trường hợp điện tích âm, các đường sức phải đi từ vô cực và kết thúc ở điện tích.

Hóa ra luôn có thể vẽ bức tranh các đường sức sao cho mật độ của chúng tỉ lệ với cường độ trường. Muốn vậy, các đường sức phải xuất phát từ các điện tích dương và kết thúc ở các điện tích âm (hoặc đi ra vô cực), đồng thời số đường sức đi ra từ điện tích hoặc đi đến điện tích phải tỉ lệ với độ lớn của điện tích đó.

Hãy tưởng tượng vẽ một mặt cầu có tâm tại điểm đặt điện tích. Nếu quy ước rằng từ mỗi điện tích dương đi ra (còn trên mỗi điện tích âm kết thúc) $4\pi q$ đường sức, thì mật độ của chúng trên mặt cầu sẽ bằng $\frac{4\pi q}{4\pi r^2} = \frac{q}{r^2}$, tức là bằng cường độ trường. Còn tổng số đường sức cắt các mặt của mặt cầu không phụ thuộc vào bán kính của nó và bằng $4\pi q$. Rõ ràng, số đường sức đi ra từ bất kỳ mặt kín nào, bên trong đó có điện tích (hoặc đi vào mặt đó), cũng sẽ như vậy, bất kể mặt đó có hình dạng nào.

Khẳng định này được gọi là định lý Gauss. Tất nhiên, nó cũng đúng đối với mọi sự phân bố điện tích. Có thể chứng minh rằng đối với mọi hệ điện tích, số đường sức

đi ra khỏi một mặt kín có hình dạng bất kỳ trừ số đường sức đi vào nó bằng $4\pi Q$, trong đó $Q$ — là tổng điện tích nằm trong thể tích được giới hạn bởi mặt này. Nếu điện tích $Q$ âm, thì số đường sức đi ra khỏi thể tích được giới hạn bởi mặt này nhỏ hơn số đường sức đi vào nó. Nếu trong thể tích được giới hạn bởi mặt này không có điện tích, thì từ đó đi ra bao nhiêu đường sức thì cũng có bấy nhiêu đường sức đi vào.

Các mặt thế và mặt đẳng thế

Trước khi chuyển sang việc áp dụng những kiến thức của chúng ta — giải các bài toán cụ thể, hãy nhớ lại thêm một đặc trưng nữa của trường — thế. Vấn đề là đối với nó có thể tìm được một hình ảnh hình học liên hệ chặt chẽ với hình ảnh các đường sức. Mối liên hệ này thường giúp vẽ và phân tích hình ảnh các đường sức của trường.

Trước hết hãy nhắc lại thế của trường điện là gì.

Nếu khi di chuyển điện tích trong trường, chúng ta quay trở lại điểm ban đầu, thì toàn bộ công được thực hiện khi chuyển điện tích điểm từ một điểm này của trường sang điểm khác không phụ thuộc vào hình dạng đường đi. Nếu không, ta có thể lúc đầu đi theo con đường mà công nhỏ hơn, rồi quay trở lại theo con đường mà công lớn hơn. Khi đó toàn bộ công sẽ không bằng không. Nhờ việc công không phụ thuộc vào hình dạng đường đi, ta có thể đưa vào khái niệm thế. Thế của trường tại một điểm đã cho bằng công mà trường thực hiện khi chuyển một điện tích điểm dương đơn vị từ điểm đã cho của trường ra vô cực.

Điện thế có thể vừa dương vừa âm. Điện thế của trường của điện tích dương là dương, còn điện thế của trường của điện tích âm là âm. Trong trường hợp thứ nhất, lực tác dụng

6

lực tác dụng lên điện tích chuyển dời từ phía điện trường được hướng cùng chiều với chiều chuyển động của điện tích, còn trong trường hợp thứ hai — ngược chiều chuyển động (trường thực hiện công âm). Thế là một đại lượng vô hướng, không có hướng trong không gian. Đối với điện tích điểm $q$ ở khoảng cách $r$ từ nó, thế bằng $\frac{q}{r}$. Nếu cần tìm thế của trường do nhiều điện tích tạo ra, ta phải cộng các thế của các trường do từng điện tích tạo ra, có tính đến dấu của chúng. Thế liên hệ như thế nào với bức tranh các đường sức? Ta vẽ một mặt đẳng thế, trên đó thế ở mọi nơi là không đổi. Những mặt như vậy gọi là các mặt đẳng thế. Đối với điện tích điểm, các mặt đẳng thế là những mặt cầu có tâm tại điểm đặt điện tích. Dễ thấy rằng các đường sức của trường luôn phải vuông góc với các mặt đẳng thế. Nếu không như vậy, sẽ tồn tại một thành phần của trường hướng dọc theo mặt, và do đó khi dịch chuyển điện tích theo hướng đó sẽ có công được thực hiện. Thế sẽ thay đổi dọc theo mặt, và mặt đó không thể là mặt đẳng thế. Ta còn có thể thấy một mối liên hệ quan trọng khác giữa các mặt đẳng thế và các đường sức của trường. Nếu lấy hai mặt đẳng thế gần nhau, thì hiệu thế của chúng bằng công để chuyển một điện tích điểm đơn vị dương từ mặt này sang mặt kia. Vì lực tác dụng lên điện tích đó bằng cường độ trường, nên $\Delta \varphi = E \Delta r$, hoặc $E = \frac{\Delta \varphi}{\Delta r}$. Điều này có nghĩa là các mặt đẳng thế dày hơn ở nơi trường mạnh hơn, và thưa hơn ở nơi trường yếu hơn: với cùng một hiệu thế, khoảng cách $\Delta r$ giữa các mặt lớn hơn ở nơi trường nhỏ hơn, và ngược lại.

Bây giờ ta có thể chuyển sang giải các bài toán cụ thể.

Trường của một quả cầu rỗng tích điện đều

Ta có thể khẳng định ngay rằng do tính đối xứng của trường, các đường sức luôn hướng theo bán kính và mật độ các đường sức theo mọi hướng là như nhau. Bên trong quả cầu trường bằng không. Nếu không, các đường sức bên trong quả cầu sẽ hướng về tâm hoặc ra xa tâm quả cầu. Điều này có nghĩa là tại tâm quả cầu có một điện tích điểm.

Để tìm cường độ điện trường bên ngoài quả cầu, hãy nhớ rằng cường độ trường bằng mật độ các đường sức, nếu tổng số đường sức đi ra từ điện tích $Q$ bằng $4\pi Q$. Ta vẽ một mặt cầu bán kính $R$ có tâm tại tâm của quả cầu tích điện. Số đường sức cắt mặt cầu mà ta đã xét bằng cường độ trường nhân với diện tích mặt cầu: $N = E \cdot S = E \cdot 4\pi R^2$. Theo định lý Gauss

$$N = 4\pi Q,$$ từ đó $E = \frac{Q}{R^2}$.

Cường độ trường bên ngoài quả cầu cũng giống như của một điện tích điểm đặt tại tâm quả cầu. Rõ ràng rằng thế tại mọi điểm của trường bên ngoài quả cầu cũng sẽ giống như thế của trường của điện tích điểm. Thế của tất cả các điểm nằm trên mặt quả cầu là như nhau và bằng $\frac{Q}{r}$, trong đó $r$ — bán kính của quả cầu. Thế của mọi điểm bên trong quả cầu cũng sẽ như vậy: khi chuyển điện tích đến điểm này từ mặt quả cầu, ta không thực hiện công (bên trong quả cầu trường hướng, và do đó cả lực tác dụng lên điện tích, bằng không). Sự phụ thuộc của cường độ điện trường của quả cầu tích điện đều vào khoảng cách đến tâm quả cầu được chỉ ra trên hình 6, 6.

Việc không có trường bên trong quả cầu tích điện, tất nhiên, có thể được chứng minh

7

và trực tiếp từ định luật Coulomb.
Lấy một điểm tùy ý $A$ bên trong mặt cầu (hình 7). Hãy tưởng tượng một hình nón hẹp đi từ điểm $A$, cắt trên bề mặt mặt cầu hai mảnh cầu nhỏ $\Delta S_1$ và $\Delta S_2$. Nếu $r_1$ và $r_2$ là khoảng cách từ điểm $A$ đến các mảnh này, thì $\frac{\Delta S_1}{\Delta S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$.

Vì mặt cầu được tích điện đều, nên điện tích của các mảnh tỉ lệ với diện tích của chúng. Do đó $\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$, còn các trường do các mảnh này tạo ra tại điểm $A$ triệt tiêu lẫn nhau:

$$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{q_1}{r_1^2}}{\frac{q_2}{r_2^2}} = 1.$$

Như vậy có thể chia toàn bộ mặt cầu thành các cặp mảnh. Do đó, trường tại điểm $A$ bằng không.

Khái niệm về các đường sức cho phép thu được kết quả này đơn giản và nhanh hơn.

Mặt phẳng tích điện đều và tụ điện phẳng

Bây giờ hãy xét trường của một mặt phẳng tích điện đều vô hạn (nói chính xác hơn, rất lớn), trên một đơn vị diện tích của nó có điện tích $σ$.

Rõ ràng các đường sức của trường do mặt phẳng tạo ra vuông góc với mặt phẳng và mật độ của chúng ở mọi nơi đều như nhau (hình 8): nếu các đường sức nghiêng về một phía, thì điều đó có nghĩa là một hướng dọc theo mặt phẳng khác với các hướng khác; nếu mật độ các đường sức tại những điểm khác nhau gần mặt phẳng là khác nhau, thì điều đó có nghĩa là một số điểm, điều mà dĩ nhiên không thể có, khác với những điểm khác.

Hãy dựng một mặt trụ có các đáy song song với mặt phẳng và có diện tích bằng một đơn vị. Các đường sức của trường không cắt bề mặt bên-

⟦trang 8⟧

mặt bên của hình trụ, còn số đường sức đi qua các đáy của hình trụ, theo định lý Gauss, bằng 4лσ. Điều đó có nghĩa là theo mỗi hướng (về bên trái mặt phẳng và về bên phải nó) có 2лσ đường sức đi qua một đơn vị diện tích (hình 8). Như vậy, cường độ điện trường của một tấm phẳng vô hạn tích điện đều ở mọi nơi là như nhau, không phụ thuộc vào khoảng cách đến tấm phẳng và bằng

$$E = 2\pi\sigma.$$

Nếu bây giờ lấy hai mặt phẳng tích điện trái dấu (hình 9), thì ở cả hai phía của tụ điện do các mặt phẳng này tạo thành, các điện trường triệt tiêu lẫn nhau. Còn ở bên trong, giữa các bản, các điện trường cùng hướng và, cộng lại, cho cường độ điện trường

$$E = 4\pi\sigma.$$

Mặc dù điện trường ở các mép của tụ điện sẽ bị biến dạng, ở phần giữa ta có thể coi nó như nhau cả về độ lớn lẫn hướng. Điện trường như vậy được gọi là điện trường đều.

Vật dẫn trong điện trường

Cho đến nay ta coi vị trí của các điện tích là đã cho, và chỉ còn phải tìm điện trường do các điện tích ấy tạo ra. Bài toán trở nên phức tạp hơn khi ta có các vật dẫn, trong đó điện tích có thể tự do di chuyển. Chẳng hạn, nếu đưa một điện tích lại gần vật dẫn (hình 10), thì các electron trong vật dẫn bắt đầu chuyển động dưới tác dụng của điện trường của điện tích ấy. Trên bề mặt vật dẫn khi đó sẽ xuất hiện các điện tích mà điện trường của chúng bên trong vật dẫn hướng ngược với điện trường ngoài. Điều này sẽ tiếp diễn cho đến khi điện trường bên trong vật dẫn bằng không. Khi đó các điện tích xuất hiện trên bề mặt vật dẫn dĩ nhiên cũng sẽ làm thay đổi điện trường bên ngoài vật dẫn.

Điện trường bên trong vật dẫn luôn luôn

10

Để tại điểm này không có lực tác dụng lên nó (cường độ bằng không) và để khi điện tích lệch theo bất kỳ hướng nào thì có lực tác dụng lên nó, đưa nó trở về điểm mà điện tích đang ở (các vectơ cường độ điện trường tại mọi điểm lân cận phải hướng về điểm mà điện tích đang ở, ở đó còn phải có một điện tích trái dấu! Như vậy, khi điện tích bị dịch chuyển, cân bằng nhất định bị phá vỡ, và các điện tích либо dính vào nhau, либо bay tản ra.

Quan niệm về các electron quay quanh hạt nhân lần đầu tiên được Rutherford đưa ra. Và mặc dù mô hình hành tinh của nguyên tử với các electron quay quanh hạt nhân đã gặp nhiều khó khăn thoạt nhìn không thể giải quyết được, sự phát triển tiếp theo của vật lý đã chứng tỏ tính đúng đắn của nó. Nhưng đó đã là chủ đề của một câu chuyện khác.

Bài tập

1. Hãy vẽ gần đúng hình ảnh các đường sức điện trường của hai điện tích trái dấu và khác nhau về độ lớn.
2. Các đường sức của điện trường tĩnh điện có thể khép kín không?
3. Đôi khi người ta nói rằng đường sức là những quỹ đạo mà một điện tích dương sẽ chuyển động trong điện trường nếu đưa nó vào điện trường đó và để mặc nó tự do. Khẳng định này có đúng không?
4. Có hai mặt cầu đồng tâm có bán kính $R_1$ và $R_2$ và điện tích $q_1$ và $q_2$ ($R_1 < R_2$). Cường độ điện trường của các điện tích trên mặt cầu phụ thuộc thế nào vào khoảng cách đến tâm chung của chúng?
5. Cường độ điện trường của một quả cầu tích điện đều phụ thuộc thế nào vào khoảng cách đến tâm quả cầu?
6. Hãy tìm sự phụ thuộc của cường độ điện trường của một sợi dây mang điện đều vô hạn vào khoảng cách.
7. Hãy tìm cường độ điện trường của một hình trụ tích điện đều rất dài.
8. Hãy chứng minh rằng bên trong vật dẫn rỗng điện trường bằng không, không phụ thuộc vào hình dạng của vật dẫn và khoang rỗng (che chắn).

Không tồn tại số nguyên tố đơn giản nhất gồm chín chữ số (và dài hơn).

Mặc dù trên thước này chỉ có 4 vạch chia, với nó có thể đo mọi khoảng cách (nguyên) từ 1 đến 13 cm.

Cần đánh dấu ít nhất bao nhiêu vạch chia trên một chiếc thước dài 9 cm để nó đo được mọi khoảng cách từ 1 đến 9 cm?

Còn với một chiếc thước 12 cm?

12

Định nghĩa. Ước chung lớn nhất của các số hoặc các đa thức là ước chung của chúng chia hết không dư cho mọi ước chung của chúng.

Chúng ta sẽ kí hiệu ƯCLN của các số hoặc các đa thức $a, b$ như sau: ƯCLN $(a, b)$. Ví dụ, ƯCLN $(5, 10) = 5$; ƯCLN $(x^2, 3x-x^2) = x$; ƯCLN $(x^3-x^2,x-1) = x-1$.

Tìm kiếm ước chung lớn nhất

Đối với các số, có hai cách tìm ƯCLN.

Cách 1. Phân tích cả hai số ra thừa số nguyên tố và lấy tích của những thừa số xuất hiện trong cả hai số. Ví dụ, khi rút gọn phân số $\frac{3770}{9425}$, có thể viết: $\frac{3770}{9425} = \frac{2\cdot 5\cdot 13\cdot 29}{5\cdot 5\cdot 13\cdot 29}$;

ƯCLN $(3770, 9425) = 5\cdot 13\cdot 29 = 1885$, $\frac{3770}{9425} = \frac{2}{5}$

Cách này có gì không tốt? Thứ nhất, trước hết cần chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều có thể phân tích ra thừa số nguyên tố, hơn nữa chỉ theo một cách duy nhất. Thứ hai, để tìm được sự phân tích này, sẽ phải làm một công việc lớn, mà chủ yếu theo hướng không cần thiết. Bởi vì ta sẽ tìm mọi ước của mỗi số, trong khi ta chỉ cần ước chung lớn nhất của chúng.

Như ta sẽ thấy sau đây, với các đa thức tình hình còn tệ hơn: sự phân tích luôn tồn tại, nhưng nói chung không thể tìm được nó,—trừ khi ai đó cố ý sắp đặt sao cho sự phân tích dễ tìm (như trong các ví dụ cụ thể).

Nhưng cũng có thể không phân tích các số và đa thức.

Cách 2. Thuật toán Euclid. Nó dựa trên các bổ đề sau.

Bổ đề 1. Mọi số tự nhiên $q$ có thể chia có dư cho một số tự nhiên khác $p$, tức là biểu diễn $q$ dưới dạng $q = kp+p_1$, trong đó $0 \leq p_1 < p$.

Bổ đề 2. Nếu số $d$ là ƯCLN của các số $p$ và $q$.

Nhận xét rằng bổ đề này cho phép chúng ta không chỉ tìm mà còn chứng minh sự tồn tại của ƯCLN của hai số, vì nó quy các vấn đề về sự tồn tại và việc tìm ƯCLN về các số nhỏ hơn.

Hãy tự chứng minh các bổ đề này. Trong bổ đề 1 cần chia trục số thành các đoạn bằng các điểm $0, p, 2p, 3p, \dots$ và tìm xem điểm $q$ nằm trong đoạn nào. Trong bổ đề 2 cần giả sử rằng số $d$ chia hết cho mọi ước chung của các số $p$ và $p_1$, đồng thời cả hai số $p, p_1$ đều chia hết cho $d$, rồi chứng minh rằng số $d$ cũng có hai tính chất ấy đối với các số $p$ và $q$.

Bây giờ, trên ví dụ đã xét trong cách 1, ta trình bày chính thuật toán Euclid — một dãy thao tác cho phép tìm ƯCLN của các số $q$ và $p$. Bên trái ta viết dãy công thức ở dạng tổng quát, còn bên phải — cho ví dụ.

Bước 1. Dùng bổ đề 1, chia $q$ cho $p$. Ta được:
$q = k_0p+p_1, 0 \leq p_1 < p$; $9425 = 2\cdot 3770+1885, 0 \leq 1885 < 3770$.
Dựa trên bổ đề 2, suy ra rằng
НОД $(q, p) = \text{НОД}(p, p_1)$; $\text{НОД}(9425, 3770) = \text{НОД}(3770, 1885)$.

Bước 2. Xem $p_1$ có bằng không hay không.
Nếu $p_1$ bằng không, thì kết thúc quá trình và chuyển sang bước 3.

14

Trong bổ đề 1, số $p_1$ nhỏ hơn $p$ về độ lớn, còn đối với đa thức thì bậc của đa thức được lấy làm «kích thước». Ví dụ về phép chia đa thức có dư được đưa ra dưới đây, với nó các bạn sẽ tự chứng minh bổ đề này.

Ví dụ. Chia đa thức $2x^5 + 4x^4 - 2x^3 - x + 1$ cho đa thức $x^2 + 2x + 5$ theo phép chia đặt tính. Ta được:

$$\frac{-2x^5 + 4x^4 - 2x^3 - x + 1}{2x^5 + 4x^4 + 10x^3} = \frac{x^2 + 2x + 5}{2x^3 - 12x + 24}$$

$2x^5 + 4x^1 - 2x^3 - x + 1 = (2x^3 - 12x + 24)(x^2 + 2x + 5) + (11x - 119)$. Bây giờ ta đã có các bổ đề cần thiết và có thể làm theo thuật toán Euclid, tức là lập một dãy các phép chia có dư (đối với đa thức!), trong đó các đa thức lần lượt giảm đi:

$$Q(x) = K_0(x) P(x) + P_1(x),$$
$$P(x) = K_1(x) P_1(x) + P_2(x),$$
$$P_1(x) = K_2(x) P_2(x) + P_3(x),$$

$$P_{m-2}(x) = K_{m-1}(x) P_{m-1}(x) + P_m(x),$$
$$P_{m-1}(x) = K_m(x) P_m(x).$$

Khi đó ƯCLN $(Q(x), P(x)) = \text{ƯCLN}(P(x), P_1(x)) = \dots = \text{ƯCLN}(P_{m-1}(x), P_m(x)) = \text{ƯCLN}(P_m(x), 0) = P_m(x)$. Thương cuối cùng $P_m(x)$ chính là ƯCLN của các đa thức ban đầu (hãy kiểm tra tất cả điều này).

Trên thực tế, các công thức này thu được bằng phép chia đặt tính, trong ví dụ đầu tiên nhất nó có dạng như sau:

$$\frac{x^9 - x^8 - x^7 - 3x^6 + x^5 + 4x^4 + 4x^3 + x^2 - 2x - 1}{x^9 - x^8 - 3x^6 + x^5 + x^4 + 2x^3 - x} = \frac{x^8 - x^7 - 3x^5 + x^4 + x^3 + 2x^2 - 1}{x^8 - x^7 - 3x^5 + x^4 + x^3 + 2x^2 - x - 1}$$

Bây giờ chỉ còn rút gọn phân thức đại số (2) cho ước cuối cùng $-x^7 + 3x^4 + 2x^3 + x^2 - x - 1$, tức là chia tử số và mẫu số trong (2) cho ƯCLN đã tìm được. Thực hiện tất cả điều đó, ta được $\frac{x - 1}{x^2 - x - 1}$.

Đó là đáp số.

Nếu các bạn đã đọc bài viết của N. M. Beskin “Phân số liên tục” (“Kvant” số 8), thì có thể nhận thấy rằng phương pháp được mô tả ở đây chính là việc rút gọn các đa thức bằng cách khai triển thành phân số liên tục, được tiến hành giống như đối với các số hữu tỉ. Ta đã viết lại phân thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$ như sau:

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{K_0(x) P(x) + P_1(x)} = \frac{1}{K_0(x) + \frac{P_1(x)}{P(x)}}$$,

⟦trang 15⟧

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{1}{K_0(x) + \frac{P_1(x)}{K_1(x) P_1(x) + P_2(x)}} = \frac{1}{K_0(x) + \frac{1}{K_1(x) + \frac{P_2(x)}{P_1(x)}}}$$

và cứ thế tiếp tục. Cuối cùng $\frac{P_m(x)}{P_{m-1}(x)} = \frac{1}{K_m(x)}$, chỉ còn việc gộp phân thức từ các đa thức lại. Trong ví dụ đang xét, điều này được làm như sau: $\frac{1}{x + \frac{1}{-x+1}} = \frac{x-1}{x^2-x-1}$.

Rút gọn các biểu thức:

1. $\frac{x^4 - 3x^2 + 1}{(3x^2 + 3x - 3)^2}$.
2. $\frac{x^3 + a^3}{x^4 + a^2x^2 + a^4}$.
3. $\frac{a(x^2 + 2) - 2ax - (x-1)^2 - 1}{x^4 + 4}$.
4. $\frac{x^2 + 6}{2(x^4 + 4x^2 - 12) + \frac{1}{7}(x^4 + 11x^2 + 30)}$.

NHỮNG LỖI IN ĐÃ PHÁT HIỆN

Ở những chỗ nêu dưới đây phải là:

“Квант” số 6

Tr. 6, cột phải. Trong hình vẽ của bài 3, nét ngang dưới là thừa; toàn bộ hình vẽ bị lộn ngược.

Tr. 21, cột phải, dòng 1 từ trên xuống: …=(1+x^t)[(1+x)^p-(1+x^p)]×…;
dòng 7 từ trên xuống: x^{kp+s}…
dòng 2 từ dưới lên: …C_{119}^3 ≡ C_{23}^6 C_{4}^3…;

Tr. 22, cột trái, dòng 2 từ trên xuống: …C_{23}^6 ≡ C_4^1 C_3^1…;

Tr. 30, cột phải. Trong lời giải bài 3, điều kiện $b \geq 0$ là thừa, trường hợp $b < 0$ phải xét riêng.

Tr. 31, cột trái, dòng 6 từ dưới lên:
$$x = \frac{a(2+tg\alpha)}{tg\alpha};$$
dòng 3 từ dưới lên:
$$V = \frac{a^3(2+tg\alpha)^3}{6tg^2\alpha};$$

Tr. 4, ở bài 15 hệ có dạng:
$$\begin{cases} x+3y=3, \\ ax+4y=6. \end{cases}$$

ở bài 35 hệ có dạng:
$$\begin{cases} 3|x|-5y=-3, \\ 2x+|y|=11. \end{cases}$$

Tr. 35, ở bài 3 (phương án 2) phương trình là:
$$\log_3(\log_2x-1)^2=\sqrt{5}^{-\log_54}.$$

Tr. 52, cột phải, dòng 3 từ dưới lên: … $p^2+13=17$…

Tr. 59, cột phải. Trong bài 4, 6) đáp số: 5(11) 540; đã có lỗi khi chia.

Tr. 60, cột phải,
8. $\frac{5}{6} < x < 2.$ 23. $S_\sigma = \frac{1}{2}\pi b^2$.
24. $V = -\frac{2}{3}l^2$.
Tr. 61, cột trái, 37. $0 < t \leq 0,1$.
Tr. 63, cột phải, dòng thứ 11 từ dưới lên:
$$\begin{cases} 500-80=420=100a+b, \\ 2500-496=2004=100b+a. \end{cases}$$
Trang bìa 3, ô chữ được xoay $90^\circ$.

“Квант” số 7

Tr. 43. Tại giao điểm của dòng thứ 5 từ dưới lên và cột thứ 8 phải là 256;
dòng thứ 12 » » » » 46656;
dòng thứ 14 » » » » 823 543.
Tr. 49, cột phải, dòng thứ 14 từ trên xuống:
$$\frac{4}{9}$$.
Tr. 52, cột phải, dòng thứ 15 từ trên xuống:
$$\sqrt{4r^2-h^2} = \frac{r}{\sin \frac{\pi}{n}}$$
cột trái, dòng thứ 14 từ dưới lên: … $A_nA_1 = 2r$.
Tr. 59, bài 1234: … bằng bốn lần cân…

16

NGUYÊN LÝ FERMAT
VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT CỦA QUANG HỌC HÌNH HỌC

G. Ya. Myakishev

CÁC ĐỊNH LUẬT CỦA QUANG HỌC HÌNH HỌC

Sự truyền của sóng ánh sáng là một quá trình khá phức tạp. Tuy nhiên, nếu các tính chất của môi trường trong đó ánh sáng truyền đi thay đổi ít trên những khoảng cách xấp xỉ bằng bước sóng ánh sáng, thì các định luật tương đối đơn giản của quang học hình học trở nên đúng. Tổng cộng có bốn định luật.

1. Trong môi trường đồng nhất, ánh sáng truyền theo đường thẳng.

2. Định luật phản xạ. Tia tới, tia phản xạ và đường vuông góc với bề mặt phản xạ nằm trong cùng một mặt phẳng, đồng thời góc phản xạ β bằng góc tới α (hình 1).

3. Định luật khúc xạ. Tia tới, tia khúc xạ và đường vuông góc với mặt phân cách nằm trong cùng một mặt phẳng, đồng thời tỉ số giữa sin của góc tới i và sin của góc khúc xạ r (hình 2) — là một đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào góc tới:

$$\frac{\sin i}{\sin r} = n.$$

Đại lượng n được gọi là chiết suất của môi trường thứ hai đối với môi trường thứ nhất.

4. Tính độc lập của các tia sáng. Khi giao nhau trong không gian, các tia sáng không gây ra bất kỳ tác động nào lên nhau. Ví dụ, khi

17

Рис. 3.

khi đọc sách, luồng ánh sáng đi từ cửa sổ và xuyên qua khoảng không giữa cuốn sách và mắt bạn hoàn toàn không cản trở bạn nhìn thấy các chữ cái.

NGUYÊN LÝ FERMAT

Vào giữa thế kỷ XVII, nhà khoa học người Ý Fermat đã đưa ra một nguyên lý, từ đó suy ra tất cả các định luật của quang học hình học. Nội dung của nó như sau: ánh sáng đi từ điểm này đến điểm khác luôn truyền theo đường đòi hỏi thời gian nhỏ nhất*).

Hãy thu được các định luật của quang học hình học theo cách mà Fermat đã làm cách đây khoảng 300 năm.

1. Định luật truyền thẳng của ánh sáng. Khoảng cách dọc theo đường thẳng — là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm. Tốc độ ánh sáng trong môi trường đồng nhất ở mọi điểm là như nhau. Do đó, ánh sáng cần ít thời gian nhất chính là khi truyền thẳng.

2. Định luật phản xạ. Làm thế nào đi từ điểm А đến điểm B trong thời gian ngắn nhất (hình 3)? Tất nhiên là theo đường thẳng AB. Ánh sáng cũng đi như vậy trong môi trường đồng nhất. Nhưng nếu trước đó

Hình 4.

nó phải phản xạ từ gương rồi mới đến điểm B, thì ngay lập tức không rõ đường đi nào tương ứng với thời gian nhỏ nhất. Trên hình vẽ có một số đường đi có thể có $AC_1B$, $AC_2B$ và $AC_3B$. Nhờ việc ánh sáng trước cũng như sau khi phản xạ truyền trong môi trường đồng nhất, thời gian nhỏ nhất tương ứng với những đường đi có độ dài nhỏ nhất.

Đâu là con đường ngắn nhất? Một thủ thuật không phức tạp giúp tìm ra nó. Ta dựng điểm $A_1$ — ảnh của điểm A. Nó nằm trên phần kéo dài của đường vuông góc $AC_0$, hạ từ điểm A xuống gương, ở khoảng cách $A_1C_0 = AC_0$ từ gương. Nối các điểm C$_1$, C$_2$ và C$_3$ với điểm A$_1$, dễ dàng nhận thấy rằng $AC_1 = A_1C_1$, $AC_2 = A_1C_2$ và $AC_3 = A_1C_3$. Vì vậy, khi tính đường đi từ điểm A đến điểm B, ta có thể thay đoạn $AC_1$ bằng đoạn $A_1C_1$, đoạn $AC_2$ — bằng đoạn $A_1C_2$ và đoạn $AC_3$ — bằng đoạn $A_1C_3$. Rõ ràng, đường đi ngắn nhất là đường mà trong đó tia sáng rơi xuống gương tại điểm C$_2$, nằm trên đường thẳng $A_1B$: đường thẳng $A_1B$ ngắn hơn mọi đường gấp khúc đi qua các điểm A và B.

Bây giờ còn phải chỉ ra rằng khi tia sáng phản xạ từ gương tại điểm C$_2$, định luật phản xạ được thực hiện, tức là góc tới α bằng góc phản xạ β (hình 4). Vì các tam giác $AC_2C_0$ và $A_1C_2C_0$ bằng nhau,

18

Hình 5.

do đó $\angle AC_2C_0 = \angle A_1C_2C_0$. Mặt khác, $\angle C_0C_2A_1 = \angle BC_2N$. Suy ra, $\angle AC_2C_0 = \angle BC_2N$, và do đó $\alpha = \beta$.

Không khó để nhận thấy rằng nếu các tia $AC_2, BC_2$ và đường vuông góc $DC_2$ không nằm trong cùng một mặt phẳng, thì đường đi từ điểm $A$ đến gương rồi từ gương đến điểm $B$ sẽ dài hơn.

Như vậy, định luật phản xạ hoàn toàn suy ra từ nguyên lý Fermat.

Điều thú vị là lần đầu tiên định luật phản xạ được Heron thành Alexandria, sống vào thế kỷ I, thu được. Heron cho rằng ánh sáng truyền theo con đường ngắn nhất. Đối với môi trường đồng nhất, điều này trùng với nguyên lý thời gian nhỏ nhất của Fermat. Nhưng giải thích định luật khúc xạ theo cách này thì không thể thực hiện được.

3. Định luật khúc xạ. Ánh sáng từ điểm $A$ rơi tới mặt phẳng phân cách hai môi trường (hình 5) và bị khúc xạ, sau đó đi tới điểm $B$. Nếu vận tốc ánh sáng trong môi trường thứ nhất (phía trên) và thứ hai (phía dưới) khác nhau (để xác định, ta coi rằng $v_1 > v_2$), thì rõ ràng đường đi theo đường thẳng $AB$ hoàn toàn không đòi hỏi thời gian nhỏ nhất. Thời gian sẽ nhỏ hơn nếu ánh sáng đi một quãng đường lớn hơn một chút trong môi trường thứ nhất,

Hình 6.

nơi nó truyền với vận tốc lớn hơn, nhưng do đó lại đi một quãng đường nhỏ hơn một chút trong môi trường thứ hai.

Giả sử rằng ánh sáng tốn thời gian nhỏ nhất nếu đường đi của nó đi qua điểm $C$. Khi đó mọi đường đi khác ở bên trái và bên phải điểm $C$ sẽ mất nhiều thời gian hơn. Quỹ đạo bất kỳ của tia sáng $AFB$ có thể được xác định bằng biến $x$ — khoảng cách giữa điểm $C$ và điểm $F$ trên mặt phân cách giữa các môi trường. Đường cong biểu diễn sự phụ thuộc của thời gian truyền ánh sáng vào $x$ phải có cực tiểu tại điểm $C$, nghĩa là khi $x=0$ (hình 6). Ở gần cực tiểu, thời gian thay đổi rất ít khi $x$ thay đổi. Khi xét gần đúng với $x$ rất nhỏ, có thể coi thời gian này là không đổi: trên một đoạn rất nhỏ gần $x=0$, đường cong có thể được xem như một đoạn thẳng nhỏ song song với trục $x$.

So sánh thời gian truyền ánh sáng trên các đường đi $ACB$ và $AFB$, coi rằng $x=FC$ rất nhỏ. Trên đường đi $ACB$, trong môi trường thứ nhất ánh sáng đi thêm đoạn đường $MC$ (FM là đường vuông góc với $AC$; vì $FC$ rất nhỏ, nên $AF=AM$). Trong môi trường thứ hai, đoạn đường thêm đó lại do tia sáng truyền theo đường $AFB$ đi qua ($CN \perp FB$). Vì thời gian truyền ánh sáng từ điểm $A$ đến điểm $B$ không được thay đổi khi

20

Bề mặt biển. Trong trường hợp này, các tia sáng bị uốn cong khi đi lên những tầng khí quyển phía trên ấm hơn.

Một hệ quả thú vị khác của nguyên lý Fermat là nguyên lý tính thuận nghịch của quỹ đạo truyền ánh sáng. Nếu ánh sáng đi từ điểm A đến điểm B theo quỹ đạo bảo đảm thời gian đi qua nhỏ nhất, thì rõ ràng trên đường từ điểm B đến điểm A (nghĩa là nếu nguồn sáng nằm ở điểm B), chuyển động theo cùng quỹ đạo đó cũng cần thời gian nhỏ nhất.

Một ví dụ khác. Mọi người đều biết tính chất hội tụ của thấu kính. Ánh sáng từ điểm A (hình 8) đi theo mọi con đường có thể, bị khúc xạ trong thủy tinh và hội tụ tại điểm E. Mâu thuẫn? Bởi vì ánh sáng luôn đi theo con đường cần thời gian nhỏ nhất! Vì sao, không phụ thuộc vào hướng mà tia sáng đi ra, nó lại đến cùng một điểm E?

Thực ra không có mâu thuẫn nào cả. Đường ADE ngắn hơn đường ACE, nhưng quãng đường đi trong môi trường quang học đặc hơn — thủy tinh — trong trường hợp đầu lại lớn hơn. Vì vậy, trong trường hợp tổng quát, thời gian truyền là như nhau và cả hai tia đồng thời đến điểm E. Các đường ADE và ACE đối với ánh sáng là bằng nhau!

Nếu không phải như vậy, chúng ta đã không thể xây dựng được hệ hội tụ.

Chính nhờ việc đối với các tia sáng xuất phát từ điểm A theo những hướng khác nhau rồi đi qua thấu kính, các quỹ đạo dẫn đến điểm E tương ứng với cùng một thời gian truyền nhỏ nhất, mà thấu kính có thể hội tụ ánh sáng chiếu vào nó.

Nguyên lý Fermat không chỉ cho phép giải thích hoạt động của một hệ quang học phức tạp tùy ý, mà còn cho phép tính toán nó. Tuy nhiên, chúng ta cũng có thể tính toán hệ quang học bằng cách sử dụng các định luật phản xạ và khúc xạ đã được biết từ lâu trước công trình của Fermat. Vậy nguyên lý Fermat đem lại điều gì mới? Thứ nhất, định luật này có tính tổng quát cao hơn, và một định luật càng có tính tổng quát thì ý nghĩa của nó càng lớn. Vì vậy, việc phát hiện nguyên lý Fermat là một bước tiến lớn trong sự phát triển của quang học hình học. Thứ hai, từ nguyên lý Fermat có thể suy ra một số hệ quả quan trọng mới. Một trong những hệ quả quan trọng nhất là chiết suất bằng tỉ số giữa tốc độ truyền ánh sáng trong môi trường thứ nhất và môi trường thứ hai.

Khúc xạ trên mặt cầu hội tụ

Hãy xét làm ví dụ việc tính toán một hệ quang học — sự suy ra công thức thấu kính mà các bạn đã biết. Để làm điều này, chỉ cần xét sự khúc xạ ánh sáng trên mặt cầu hội tụ. Tất cả các tia xuất phát từ nguồn điểm S, sau khi khúc xạ trên mặt cầu hội tụ, sẽ không hội tụ tại một điểm S₁. Điều này liên quan đến việc chỉ những bề mặt có hình dạng rất phức tạp mới có thể bảo đảm thời gian truyền ánh sáng hoàn toàn giống nhau từ S đến S₁ theo mọi quỹ đạo. Việc tạo ra một bề mặt như vậy rất khó, và người ta thậm chí không cố gắng chế tạo nó. Chế tạo một mặt cầu hội tụ thì đơn giản hơn nhiều. Mặc dù mặt cầu hội tụ không tập trung tất cả các tia sáng, nhưng một chùm tia hẹp, có các tia gần với đường vuông góc với bề mặt (được gọi là tia cận trục), sẽ hội tụ gần như tại một điểm.

Giả sử nguồn sáng điểm S nằm cách mặt cầu hội tụ bán kính R một khoảng a (hình 9). Coi chiết suất của không khí bằng một, còn chiết suất của quả cầu thủy tinh bằng n, nghĩa là tốc độ truyền ánh sáng trong không khí lớn hơn n lần.

21

Hình 9.

tốc độ truyền ánh sáng trong thủy tinh. Hãy tìm xem ở khoảng cách $b$ nào từ bề mặt của quả cầu sẽ tập trung một chùm hẹp các tia đi từ nguồn $S$. Theo nguyên lý Fermat, khoảng cách này được xác định bởi điều kiện rằng thời gian truyền ánh sáng theo đường thẳng $SDS_1$ bằng thời gian truyền ánh sáng theo đường tùy ý được chọn $SAS_1$, nếu chỉ có điều kiện là điểm $A$ gần với đường thẳng $SDS_1$, vuông góc với bề mặt quả cầu.

Từ điểm $A$ hạ xuống đường thẳng $SS_1$ đường vuông góc $AB$. Kí hiệu độ dài của nó là $h$. Vì ta xét chùm tia gần trục, nên $h \ll a$, $h \ll b$ và $h \ll R$. Kí hiệu khoảng cách $DB$ là $x$. Trên tia $SA$ lấy đoạn $SD_1 = a + x$, còn trên tia $AS_1$ lấy đoạn $S_1B_1 = b - x$. Khi đó, đi theo quỹ đạo $SAS_1$, ánh sáng sẽ đi thêm các đoạn đường $\Delta_1 = D_1A$ trong không khí và $\Delta_2 = AB_1$ trong thủy tinh so với quỹ đạo dọc theo đường thẳng $SS_1$. Nhưng trên quỹ đạo thẳng, ánh sáng sẽ đi trong thủy tinh một đoạn đường lớn hơn $x - \Delta_2$ so với trường hợp nó đi theo quỹ đạo $SAS_1$. Sự chậm trễ của ánh sáng trong thủy tinh trên đoạn đường $x - \Delta_2$ phải bằng sự chậm trễ trong không khí trên đoạn đường $\Delta_1$ cộng với sự chậm trễ trong thủy tinh trên đoạn đường $\Delta_2$. (Khi $x \leq \Delta_2$ thì sự bù trừ như vậy là không thể.)

Bây giờ hãy tìm các đoạn đường $\Delta_1$, $\Delta_2$ và $x$.

Bình phương cạnh góc vuông $h$ của tam giác vuông $SAB$, theo định lý Pythagore, bằng

$$h^2 = (a + x + \Delta_1)^2 - (a + x)^2,$$

hay

$$h^2 = (a + x + \Delta_1 + a + x)(a + x + \Delta_1 - a - x),$$

nhưng $a + x + \Delta_1 - a - x = \Delta_1$, còn $a + x + \Delta_1 + a + x = 2a + \Delta_1 + 2x \approx 2a$ (vì $\Delta_1 \ll a$ và $x \ll a$). Vì vậy

$$h^2 = 2a\Delta_1$$

và

$$\Delta_1 \approx \frac{h^2}{2a}.$$

Tương tự, từ tam giác vuông $ABS_1$ ta tìm được rằng

$$\Delta_2 \approx \frac{h^2}{2b}.$$

Cuối cùng, từ tam giác vuông $ABC$ có thể thu được phương trình để xác định $x$:

$$h^2 = R^2 - (R - x)^2.$$

Từ đó

$$x \approx \frac{h^2}{2R}.$$

Nếu vận tốc ánh sáng trong không khí bằng $v_1$, còn vận tốc ánh sáng trong thủy tinh bằng $v_2$, thì quãng đường $\Delta_1$ ánh sáng đi được trong thời gian $\tau_1 = \frac{\Delta_1}{v_1} = \frac{h^2}{2av_1}$, còn quãng đường trong thủy tinh $\Delta_2$ ánh sáng đi được trong thời gian $\tau_2 = \frac{\Delta_2}{v_2} = \frac{h^2}{2bv_2}$.

Trên đoạn $x$, độ trễ của ánh sáng do nó đi trong thủy tinh chứ không phải trong không khí bằng hiệu thời gian ánh sáng đi qua đoạn $x$ trong thủy tinh và trong không khí:

$$\tau = \frac{x}{v_2} - \frac{x}{v_1} = \frac{x}{v_1}\left(\frac{v_1}{v_2} - 1\right) = \frac{x}{v_1}(n - 1) = \frac{h^2(n - 1)}{2Rv_1}.$$

Để hội tụ các tia sáng, thời gian ánh sáng truyền từ điểm $S$ đến điểm $S_1$ theo tất cả các quỹ đạo phải bằng nhau. Do đó,

$$\tau_1 + \tau_2 = \tau.$$

Подставляя сюда выражения для $\tau_1$, $\tau_2$ и $\tau$ и сокращая затем на общий множитель $\frac{h^2}{2}$, получим уравнение

$$\frac{1}{a} + \frac{n}{b} = \frac{(n - 1)}{R}.$$

Это уравнение позволяет по известному показателю предположения $n$ и радиусу сферического поверхности $R$ найти положение изображения (расстояние $b$) при заданной расстоянии от источника до сферического поверхности. То, что расстояние $b$ не зависит от $h$, показывает, что все лучи в узком лучке, отличующей друг от друга величины $h$, совпадают в одной точке.

В частном случае, когда $a \to \infty$ (пучок состоит из параллельных лучей), положение точки, в которой сходятся лучи (фокус), определяется по формуле

$$f = \frac{Rn}{n - 1}.$$

22

Hình 10.

Bây giờ hãy xét xem điều gì sẽ xảy ra khi $a < \frac{R}{n-1}$. Từ công thức (1) suy ra rằng khi đó $b < 0$. Điều này có nghĩa là điểm $S_1$ không nằm ở bên phải của mặt cầu, mà ở bên trái của nó. Nhưng các tia tới mặt cầu không thể giao nhau trước mặt cầu này. Chỉ có phần kéo dài của chúng mới có thể giao nhau trước mặt cầu (hình 10). Trong những trường hợp như vậy người ta nói rằng ảnh của điểm là ảnh ảo. Ảnh ảo của nguồn tương ứng với dấu của khoảng cách $b$.

Tiêu cự của thấu kính và công thức thấu kính.

Sử dụng công thức (1), thu được nhờ nguyên lý Fermat, có thể tính toán thấu kính, tức là tìm công thức liên hệ khoảng cách $a$ từ vật đến thấu kính, khoảng cách $b$ từ thấu kính đến ảnh và tiêu cự của thấu kính (nói cách khác, thu được công thức thấu kính). Dĩ nhiên, cũng có thể làm điều tương tự bằng cách áp dụng trực tiếp nguyên lý Fermat cho mọi thấu kính, nhưng con đường này phức tạp hơn.

Thấu kính là một vật thể trong suốt được giới hạn bởi các mặt cầu. Hình 11 biểu diễn một thấu kính hội tụ hai mặt lồi với các bán kính cong của các mặt của nó bằng $R_1$ và $R_2$. Đường thẳng nối các tâm $O_1$ và $O_2$ của các mặt cầu được gọi là trục quang học chính của thấu kính.

Hình 11.

Ta sẽ coi thấu kính là mỏng, tức là coi rằng các khoảng cách $a$ và $b$, cũng như các bán kính cong $R_1$ và $R_2$, lớn hơn rất nhiều so với độ dày của thấu kính. Khi đó trong các tính toán có thể hoàn toàn bỏ qua độ dày của thấu kính.

Sau khi khúc xạ, tia sáng đi ra từ điểm $S$ xuất hiện tại $A S_1$. Nếu không có mặt thứ hai, thì ảnh của điểm $S$ sẽ nằm tại điểm $S_1$ cách thấu kính một khoảng $b_1$, được xác định bởi phương trình

$$\frac{1}{a} + \frac{n}{b_1} = \frac{n-1}{R_1},$$

trong đó $n$ — chiết suất của vật liệu làm thấu kính.

Nhưng trên thực tế, ánh sáng còn bị khúc xạ một lần nữa trên mặt cầu thứ hai và ảnh do thấu kính tạo ra nằm tại điểm $S_2$ trên trục quang học, cách thấu kính một khoảng $b_2$. Ta sử dụng tính thuận nghịch của các tia sáng. Nếu đặt nguồn sáng tại điểm $S_2$, thì sau khi khúc xạ trên mặt cầu bán kính $R_2$, các tia sẽ xuất hiện sao cho phần kéo dài của chúng cắt nhau tại điểm $S_1$, tạo thành ảnh cực tiểu của nguồn sáng. Sử dụng công thức (1) và xét rằng $b_1 < 0$, ta có thể viết phương trình

$$\frac{1}{b} - \frac{1}{b_1} = \frac{n-1}{R_2}.$$

23

Bây giờ cộng các phương trình (2) và (3), ta nhận được

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$$

Công thức này, cũng như công thức (1), dĩ nhiên chỉ đúng đối với chùm tia hẹp truyền đi dưới một góc nhỏ so với trục quang học.

Khi $a \to \infty$ khoảng cách $b$ bằng tiêu cự của thấu kính

$$b = f = \frac{1}{(n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)}.$$

Ngược lại, nếu $b \to \infty$, thì, như suy ra từ nguyên lí thuận nghịch, $a = f$, và do đó

$$a = f = \frac{1}{(n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)}.$$

Như vậy, tiêu cự của thấu kính được xác định bởi phương trình

$$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right).$$

Điều này có nghĩa là công thức thấu kính (4) có thể viết lại như sau:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}.$$

Nếu một hoặc hai bề mặt lồi của thấu kính được thay bằng bề mặt lõm, thì trong công thức (5) cần đổi dấu bán kính cong của bề mặt tương ứng. Như vậy, công thức (5) cho phép tìm tiêu cự không chỉ của thấu kính hội tụ mà cả của thấu kính phân kì.

Có thể tìm hiểu chi tiết hơn về nguyên lí Fermat và các ứng dụng của nó trong cuốn sách «Các bài giảng Feynman về vật lí», tập 3.

Bài tập

1. Chứng minh rằng nếu $n_{12}$ là chiết suất đối với sự chuyển từ môi trường 1 sang môi trường 2, còn $n_{13}$ — là chiết suất đối với sự chuyển từ môi trường 1 sang môi trường 3, thì chiết suất từ môi trường 2 sang môi trường 3 bằng

$$n_{23} = \frac{n_{13}}{n_{12}}.$$

2. Khi chúng ta nhìn Mặt Trời lặn, thì thực ra nó đã ở dưới đường chân trời. Hãy giải thích hiện tượng này bằng cách sử dụng nguyên lí Fermat.

3. Gương phải có dạng như thế nào để ánh sáng từ điểm $A$ luôn luôn đến điểm $B$ bất kể nó rời khỏi điểm $A$ theo hướng nào?

4. Sử dụng nguyên lí Fermat, hãy suy ra công thức của gương cầu.

Từ công trình của P. Fermat

Nhà bác học Descartes đã đưa ra định luật khúc xạ, định luật này, như người ta cho rằng, phù hợp với thí nghiệm, nhưng để chứng minh nó, ông đã đưa ra một tiên đề, theo đó nói chung cần phải chấp nhận rằng chuyển động của ánh sáng trong môi trường đặc hơn xảy ra dễ dàng và liên tục hơn so với trong môi trường loãng hơn, điều này dường như trái với các sự kiện tự nhiên.

Vì vậy, khi chúng ta cố gắng suy ra định luật khúc xạ đúng từ tiên đề ngược lại, cụ thể là chuyển động của ánh sáng xảy ra dễ dàng và liên tục hơn trong môi trường loãng hơn so với môi trường đặc, chúng ta sớm gặp sự phù hợp với Descartes. Liệu có thể nói chung, không dùng những suy luận sai lầm, tìm ra con đường đến chân lí thông qua sự khúc xạ hay không — hãy để những nhà toán học tinh tế và có năng lực hơn nghiên cứu điều đó. Còn chúng ta, gạt sang một bên những suy luận trống rỗng, cho rằng tốt hơn là nắm chắc chính chân lí còn hơn là tham gia vào những cuộc tranh luận quá mức và vô ích.

Chứng minh của chúng ta dựa trên một tiên đề duy nhất: tự nhiên tác động theo những con đường tinh tế hơn và dễ tiếp cận hơn. Chúng ta cho rằng cần phải diễn đạt ý tưởng này đúng như vậy, chứ không phải theo cách dễ dàng tránh khỏi khó khăn bằng cách cho rằng tự nhiên luôn hành động theo những đường ngắn nhất.

Cũng như Galileo, khi xem xét chuyển động của các vật nặng trong tự nhiên, đã thay đổi cách xem xét tỉ lệ của chuyển động này không phải bằng khoảng cách mà bằng thời gian, chúng ta cũng xem xét không phải những khoảng cách hay đường đi ngắn nhất, mà là những đường có thể đi qua dễ dàng hơn, thuận tiện hơn và trong thời gian ngắn hơn…

24

Cực đại, cực tiểu và định lý về các giá trị trung bình

A. P. Savin

Trong toán học, người ta thường gọi là định lý những khẳng định có thể được sử dụng nhiều lần khi suy ra các khẳng định khác, đặc biệt là khi giải các bài toán. Tôi muốn kể về việc áp dụng định lý sau:

Trung bình cộng của một số số dương không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng, và đẳng thức giữa các giá trị trung bình này chỉ xảy ra khi tất cả các số đã cho bằng nhau:

$$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$$

hoặc

$$\left(\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\right)^n \geq a_1 a_2 \dots a_n.$$

Có nhiều cách chứng minh khác nhau cho khẳng định này, một trong số đó các bạn có thể đọc trong bài viết của S. T. Berkolayko và S. B. Katok*). Định lý này được áp dụng ở đâu?

Tất nhiên, biết định lý này, các bạn có thể dùng trung bình cộng làm giá trị trung bình nếu muốn giá trị trung bình lớn hơn, và dùng trung bình nhân nếu muốn nó nhỏ hơn. Ví dụ, khi tính điểm trung bình của lớp. Dĩ nhiên, đó là một trò đùa. Còn nếu nghiêm túc?

Hóa ra, nhờ định lý này có thể tìm được các giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức đại số. Bắt đầu từ những biểu thức đơn giản nhất.

*) S. T. Berkolayko, S. B. Katok, Về một phương pháp quy nạp để chứng minh các bất đẳng thức, «Квант», № 8, tr. 33.

Ví dụ 1. Đa thức $2x - x^2$ có thể có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải. Biến đổi đa thức như sau: $2x - x^2 = x (2 - x)$ và ký hiệu $2 - x$ là $y$.

Theo định lý

$$2x - x^2 = xy \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 = \left(\frac{x + 2 - x}{2}\right)^2 = 1.$$

Từ đó suy ra rằng giá trị lớn nhất của đa thức bằng 1, và nó đạt được khi $x = 2 - x$, tức là khi $x = 1$ (không khó kiểm tra rằng $x$ và $2 - x$ không thể đồng thời âm; vì ta đang tìm giá trị lớn nhất, chỉ cần xét trường hợp chúng đều dương).

Ví dụ 2. Biểu thức $x + \frac{1}{x}$ với các giá trị dương của $x$ có thể có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải. Ký hiệu $\frac{1}{x}$ là $y$. Theo định lý

$$x + \frac{1}{x} = 2 \left(\frac{x + y}{2}\right) \geq 2 \sqrt{xy} = 2 \sqrt{\frac{x}{x}} = 2.$$

Vậy giá trị lớn nhất bằng 2, nó đạt được khi $x = \frac{1}{x} = 1^*$.

*) Ở trường học người ta học phương pháp tách bình phương hoàn chỉnh, phương pháp này giải được cả hai ví dụ này:

1. $2x - x^2 = 1 - (1 - x)^2 \leq 1$;
2. $x + \frac{1}{x} = \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 + 2 \geq 2$.

Nhưng ngay cả ví dụ 3 cũng không thể giải được bằng cách tách bình phương hoàn chỉnh.

⟦trang 26⟧

giá trị. Như vậy, ta có một chuỗi bất đẳng thức

$$\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} \geq \frac{n}{a_1 + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}}.$$

Hãy thử tự mình chứng minh bất đẳng thức cuối cùng.

Cuối cùng, cần lưu ý rằng trong toán học cao cấp có phương pháp tìm cực đại và cực tiểu của hàm bằng cách vi phân. Tuy nhiên, các bất đẳng thức đã xét lại thuận tiện hơn cho việc tính toán trên các máy tính điện tử các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một số loại biểu thức. Các phương pháp này được gọi là quy hoạch hình học.

Bài tập

1. Trong các hình quạt tròn có chu vi đã cho $P$, hãy tìm hình quạt có diện tích lớn nhất.

2. Trong đường tròn đã cho, hãy tìm dây cung nhỏ nhất đi qua điểm $A$ nằm bên trong đường tròn.

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$2x^3 + \frac{3}{\sqrt{x}}.$$

4. Chứng minh rằng nếu tổng của các biến dương $x_1, x_2, \ldots, x_n$ được lập, thì tích $x_1^{k_1} x_2^{k_2} x_3^{k_3} \ldots x_n^{k_n}$, trong đó $k_1, k_2, \ldots, k_n$ — là các số nguyên dương cho trước, có giá trị lớn nhất khi các biến tỉ lệ với số mũ tương ứng của chúng: $\frac{x_1}{k_1} = \frac{x_2}{k_2} = \frac{x_3}{k_3} = \ldots = \frac{x_n}{k_n}$.

Chứng minh rằng điều tương tự cũng đúng với các số hữu tỉ dương $k_1, k_2, \ldots, k_n$.

CÁCH TÌM RA SAI SÓT

Bạn đã nhân hai đa thức dài với nhau. Làm thế nào để kiểm tra xem bạn có mắc sai sót trong tính toán hay không?

Chúng tôi đưa ra hai cách cho phép tìm ra một số khả năng sai sót (nhưng tất nhiên không đảm bảo hoàn toàn tính đúng đắn của các phép tính đã kiểm tra).

Cách 1. Lấy tổng các hệ số của đa thức thứ nhất, nhân với tổng các hệ số của đa thức thứ hai. Phải thu được tổng các hệ số của tích. Đây sẽ là giá trị của đa thức khi $x=1$.

Cách trên cho phép tìm ra các sai sót trong số học (ví dụ, nếu đã sử dụng «đẳng thức» $2 \cdot 3=5$), nhưng không tìm ra sai sót trong đại số. Chẳng hạn, nếu ở một giai đoạn nào đó bạn đã viết $2x^2 \cdot 3x^3=6x^4$, thì bằng cách này sai sót sẽ không được phát hiện.

Cách 2. Khác với cách thứ nhất ở chỗ các hệ số của các lũy thừa chẵn của $x$ được lấy với dấu cộng, còn các lũy thừa lẻ với dấu trừ. Về các mặt khác, cách này trùng với cách thứ nhất. Ở đây ta nhận được giá trị của đa thức khi $x=-1$.

Cách thứ hai phức tạp hơn cách thứ nhất, điều này cho phép phát hiện cả một số sai sót đại số. Khi kiểm tra «đẳng thức» $2x^2 \cdot 3x^3=6x^4$ thu được $2 \cdot (-3)=6$. Đẳng thức này là vô lý, vậy trong các phép tính đã mắc phải sai sót.

масса единицы длины которой равна $\rho_1$, обруч катится со скоростью $v_1$. С какой скоростью будет катиться обруч по второму участку веревки?

В. Д. Егоров

Ф63. Человек, чтобы не поскользнуться на обледеневшей горке, сбегает с нее. Почему это целесообразно?

Ф64. С деревянным шариком и высоким сосудом с водой проводятся четыре опыта: в первом опыте шарик взвешивается плавающим в сосуде (рис. 2, а), во втором опыте шарик взвешивается, будучи привязанным ко дну сосуда (рис. 2, б), в третьем опыте шарик удерживается под водой с помощью тонкого стержня (рис. 2, с), и, наконец, в четвертом опыте шарик всплывает во время взвешивания (рис. 2, д). В каком случае масса гири, уравновешивающей сосуд с шариком, будет больше?

Ф65. Пластины плоского конденсатора заряжены до потенциалов +φ и —φ относительно земли. Емкость конденсатора, образованного пластинами, равна $C$, а емкость конденсаторов, которые образуют каждая из пластин с землей — $C_1$. Во сколько раз изменится напряжение электрического поля между пластинами, если одну из них заземлить?

Л. Г. Асламазов

29

М11. Trên 44 cây nằm trên một đường tròn, có 44 chú chim sẻ vui vẻ đậu (mỗi cây một chú). Thỉnh thoảng hai chú chim sẻ cùng lúc bay sang những cây bên cạnh theo hai hướng ngược nhau (một chú — theo chiều kim đồng hồ, chú kia — ngược chiều). Hãy chứng minh rằng các chú chim sẻ không thể tập hợp trên cùng một cây. Còn nếu số chim sẻ và số cây là $n$?

Lời giải. Giải bài toán ngay cho $n$ chú chim sẻ và $n$ cây. Đánh số các cây theo thứ tự (chẳng hạn, theo chiều kim đồng hồ) bằng các số từ 1 đến $n$ (hình 1). Gọi số lượng chim sẻ trên cây thứ $k$ tại một thời điểm bất kỳ là $a_k$ (trên cây thứ nhất — $a_1$, trên cây thứ hai — $a_2$ v.v.). Xét biểu thức

$$S = 1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 + \dots + ka_k + \dots + na_n.$$

Ta chỉ ra rằng khi hai chú chim sẻ bay sang những cây bên cạnh theo hai hướng ngược nhau, thì $S$ hoặc không thay đổi, hoặc thay đổi một lượng bằng $n$.

Действительно, пусть какой-то один чиж перелетает с $k$-го дерева на следующее по часовой стрелке. Тогда в сумме $S$ меняются два слагаемых. Если $k < n$, то меняются $k$-е и $(k+1)$-е слагаемые, и их сумма становится равной

$$k (a_k - 1) + (k+1) (a_{k+1} + 1) = ka_k + (k+1) a_{k+1} + 1,$$

то есть увеличивается на 1. Если $k=n$, то меняются $n$-е и первое слагаемые, а их сумма

$$n (a_n - 1) + 1 (a_1 + 1) = na_n + 1 \cdot a_1 - (n-1)$$

уменьшается на $n-1$. Наоборот, если чиж перелетит на соседнее дерево против часовой стрелки, то сумма или уменьшается на 1, или увеличивается на $n-1$. Поэтому, когда два чижика одновременно перелетают на соседние деревья (один по часовой стрелке, другой — против), то сумма $S$ или совсем не меняется, или меняется на $n$.

В начальный момент времени на каждом дереве сидело по одному чижку,

$$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + \dots + n \cdot 1 = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n+1)}{2}.$$

30

Như vậy, sau bất kỳ số lần bay nào, tổng sẽ bằng $\frac{n(n+1)}{2} + np$, trong đó $p$ là một số nguyên nào đó. Nếu tất cả các con chim sẻ ngô tập hợp trên một cây $q$ nào đó, thì $S$ sẽ bằng $nq$, tức là sẽ có đẳng thức $\frac{n(n+1)}{2} + np = nq$, từ đó suy ra $n+1+2p = 2q$; $n = 2(q-p)-1$.

Như vậy, nếu $n$ là số chẵn, chẳng hạn $n = 44$, thì các con chim sẻ ngô không thể tập hợp trên một cây. Ta chứng minh rằng với $n$ lẻ thì điều này có thể thực hiện được*).

Xét tình huống ban đầu, khi trên mỗi cây có một con chim sẻ ngô. «Ra lệnh» cho một con chim sẻ ngô đứng yên tại chỗ và gọi nó là «bất động». Chia các con chim sẻ ngô còn lại thành các cặp ngồi cách con chim bất động một khoảng bằng nhau gồm $r$ lần bay về hai phía ($r=1, 2, \ldots, \frac{n-1}{2}$). Rõ ràng, mỗi cặp như vậy có thể sau $r$ lần bay đến được cây nơi con chim sẻ ngô bất động đang ngồi.

Lời giải tương tự được gửi đến bởi Đ. Grigoriev từ thành phố Leningrad, V. Luzgin từ thành phố Georgievsk thuộc vùng Stavropol và các độc giả khác.

Giải pháp đã đưa ra là điển hình cho những bài toán trong đó cần xác định xem sau một loạt những phép biến đổi nào đó có thể thu được một kết quả nhất định hay không. Trong trường hợp này, phép biến đổi là sự bay của hai con chim sẻ theo hai hướng ngược nhau, và ta muốn xác định xem kết quả là có thể để tất cả các con chim sẻ tập hợp trên cùng một cây hay không. Để chứng minh rằng có thể, chỉ cần đưa ra một ví dụ về cách thực hiện. Để chứng minh rằng không thể thu được kết quả cần thiết với bất kỳ phép biến đổi nào, thường thuận tiện làm như sau: tìm một đại lượng nào đó được bảo toàn qua tất cả các phép biến đổi đang xét và có giá trị ban đầu khác với giá trị cần có ở trạng thái cuối cùng (đại lượng như vậy gọi là bất biến của các phép biến đổi đó). Trong bài toán của chúng ta, đại lượng như vậy là số dư của phép chia tổng $S$ cho $n$.

Những người đã giải bài toán này sẽ thấy thú vị khi tìm hiểu câu hỏi tổng quát hơn sau đây. Cho hai cách sắp xếp khác nhau của $a$ con chim sẻ trên $n$ cây. Gọi chúng là tương đương nếu từ một cách sắp xếp có thể nhận được cách kia (bằng những lần bay của chim sẻ như đã chỉ ra trong điều kiện của bài toán). Làm thế nào để biết liệu các cách sắp xếp này có tương đương hay không? Một câu hỏi khác. Rõ ràng, tập hợp tất cả các cách sắp xếp có thể có của $a$ con chim sẻ trên $n$ cây phân rã thành một số lớp tương đương. Có bao nhiêu lớp như vậy?

M12. Những tứ giác nào có thể cắt bằng một đường thẳng thành hai tứ giác đồng dạng với nhau?

Lời giải. Ta chứng minh rằng chỉ có hình thang và hình bình hành có tính chất này.

Giả sử tứ giác $ABCD$ được cắt bởi một đường thẳng thành hai tứ giác đồng dạng. Rõ ràng, đường này cắt hai cạnh đối diện.

*) Sự cần thiết của giai đoạn này trong chứng minh, như thấy từ bức thư, không hề rõ ràng với tất cả các độc giả của chúng tôi. Chúng ta sẽ dừng lại ở điểm này chi tiết hơn. Ta đã chứng minh được điều gì? Chỉ là nếu các con chim sẻ đã tập hợp được trên một cây, thì số chim sẻ phải là số lẻ (đây là điều kiện cần). Bây giờ cần chứng minh rằng điều kiện này cũng đủ, tức là nếu số chim sẻ là số lẻ, thì chúng có thể tập hợp trên một cây (từ những gì ta đã chứng minh cho đến nay, đây là điều kiện đủ).

31

các cạnh sai của tứ giác. Giả sử nó cắt cạnh AD tại điểm K và cạnh BC tại điểm L (hình 2). Sau đây chúng ta sẽ vài lần sử dụng mệnh đề hiển nhiên sau: nếu biết về hai tứ giác EFGH và PQRS rằng chúng đồng dạng và đỉnh E tương ứng với đỉnh P, thì <E = <P, <G = <R và, ngoài ra, hoặc <F = <Q và <H = <S, hoặc <F = <S và <Q = <H.

Vậy, giả sử rằng các tứ giác ABLK và CDKL đồng dạng (chúng ta chỉ gặp trường hợp các góc tương ứng của chúng bằng nhau), và chứng minh rằng trong tứ giác ABCD có hai cạnh nào đó song song. Góc α của tứ giác ABLK (<α = <AKL) có thể tương ứng với một trong các góc của tứ giác KLCD.

1. <α tương ứng với <D. Khi đó <α = <D, <γ = <B, AB || KL || CD.
2. <α tương ứng với <C. Khi đó <α = <C, <δ = <B; <B + <C = <α + <δ = 180°, AB || CD; đồng thời <A = <γ, <D = <β (trường hợp <β = = <γ, <A = <D không cần xét riêng, vì khi đó <β + <γ = 180° và <A = <D = <β = <γ = 90°).
3. <α tương ứng với <γ. Khi đó <B = <D, AD || BC và AB || DC, tức là ABCD — hình bình hành.
4. <α tương ứng với <δ. Khi đó <α = <δ = 90°, <B = <C và hoặc <β = <γ = 90°, AD || BC (hình thang cân hoặc hình chữ nhật), hoặc <β = <D, <γ = <A, <A + <D = 180°, AB || CD, và xét đến ký hiệu thì trường hợp này tương tự trường hợp 2).

Chúng ta đã chứng minh rằng ABCD — hình bình hành hoặc hình thang. Dễ thấy rằng, ngược lại, bất kỳ hình bình hành hoặc hình thang nào cũng có thể chia thành hai tứ giác đồng dạng. Bất kỳ đường thẳng nào đi qua tâm đều chia hình bình hành thành hai tứ giác bằng nhau (dĩ nhiên, miễn là đường thẳng không đi theo đường chéo). Hình thang có các đáy a < b được chia thành hai hình đồng dạng bởi một đường thẳng song song với các đáy và chia chiều cao theo tỉ số $\sqrt{b}/\sqrt{a}$; dĩ nhiên cần kiểm tra rằng các cạnh tương ứng khi đó tỉ lệ (hình 3): AK/KD = BL/LC = AB/KL=

32

КЛ/DC = $\sqrt{b}/\sqrt{a}$. Hãy thử tìm xem khi nào có thể chia hình thang thành hai tứ giác đồng dạng bằng một cách tinh vi hơn, tương ứng với trường hợp 2) sau đây, — như chỉ ra trên hình 4 (đáp án: khi và chỉ khi $\sqrt{a}/\sqrt{b} < \sin \alpha/\sin \beta$, trong đó $\alpha < \beta$ – các góc kề đáy lớn hơn $b$ của hình thang).

**M13. Chứng minh rằng nếu hiệu giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất trong $n$ số thực $a_1, a_2, \ldots, a_n$ bằng $d$, còn tổng các môđun của tất cả $\frac{n(n-1)}{2}$ hiệu từng đôi của các số này

$$\sum_{i<j} |a_i - a_j| \text{ bằng } s, \text{ thì } (n-1) d \leqslant s \leqslant \frac{n^2}{4} d.$$

Lời giải: Đánh dấu các điểm $a_1, a_2, \ldots, a_n$ trên trục số. Khi đó $d$ — khoảng cách giữa hai điểm ngoài cùng trong các điểm này, điểm ngoài cùng bên trái và điểm ngoài cùng bên phải, còn $s = \sum_{i<j} |a_i - a_j|$ — tổng всех các khoảng cách từng đôi giữa các số này.

Rõ ràng, có thể coi rằng các điểm được ký hiệu là $a_1, a_2, \ldots, a_n$ theo thứ tự tăng dần: $a_1 \leqslant a_2 \leqslant \ldots \leqslant a_n$ (hình 5). Ký hiệu khoảng cách giữa các điểm kề nhau $a_k$ và $a_{k+1}$ là $d_k(k=1, 2, \ldots, n-1)$. Rõ ràng, $d = d_1 + d_2 + \ldots + d_{n-1}$.

Bây giờ ta biểu diễn $s$ qua các đại lượng $d_k$. Để làm điều đó, trong tổng $s$ ta thay độ dài mỗi đoạn $[a_i - a_j]$ bằng tổng các $d_k$ tạo nên nó: $|a_i - a_j| = d_i + d_{i+1} + \ldots + d_{j-1}$. Rõ ràng, $d_k$ thuộc vào những đoạn mà đầu mút trái nằm tại một trong các điểm $a_1, \ldots, a_k$, còn đầu mút phải nằm tại một trong các điểm $a_{k+1}, \ldots, a_n$, tức là tổng cộng $d_k$ đi vào tổng $k(n-k)$ lần. Vì vậy

$$s = \sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)d_k.$$

Bây giờ các khẳng định cần chứng minh suy ra từ hai bất đẳng thức hoàn toàn đơn giản: với mọi $k=1, \ldots, n-1$

1. $k(n-k) \geqslant n-1 \iff kn-k^2-n+1 \geqslant 0 \iff (k-1)(n-k-1) \geqslant 0$;
2. $k(n-k) \leqslant \frac{n^2}{4} \iff n^2-4nk+4k^2 \geqslant 0 \iff (n-2k)^2 \geqslant 0$.

Để sử dụng các ví dụ này, chúng ta sẽ dùng những điều thu được, những điều thu được

$$\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)d_k \geqslant \sum_{k=1}^{n-1}(n-1)d_k = (n-1)d,$$

$$\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)d_k \leqslant \sum_{k=1}^{n-1}\frac{n^2}{4}d_k = \frac{n^2}{4}d.$$

Lời giải đúng của bài toán này đã được gửi bởi M. Preger từ thành phố Tomsk, học sinh lớp mười I. Protasov từ thành phố Kiev, S. Pozdnyakov từ thành phố Vilnius và các độc giả khác.

Cũng thú vị là tìm hiểu xem các đánh giá nêu trong đề bài có chính xác không, chẳng hạn có thể thay $n-1$ trong bất đẳng thức bên trái bằng những số lớn hơn không? Để thấy rằng không thể, chỉ cần nêu một ví dụ trong đó bất đẳng thức trở thành đẳng thức (hơn nữa, ở cả hai vế đều là các số dương). Dễ nghĩ ra một ví dụ như vậy, nếu đã hiểu chứng minh của chúng ta: cần bố trí

33

các điểm $a_1, a_2, \dots, a_n$ sao cho mọi $d_k$, trừ số thứ nhất — $d_1$, đều bằng không, tức là $a_1 < a_2 = a_3 = \dots = a_n$. Khi đó $s = (n-1)d_1 = (n-1)d$.

Về bất đẳng thức thứ hai $s \leqslant \frac{n^2}{4}d$, với $n = 2m$ chẵn thì trong đó cũng có thể đạt dấu bằng (chỉ cần lấy $a_1 = a_2 = \dots = a_m < a_{m+1} = \dots = a_{2m}$), còn với $n = 2m+1$ lẻ thì có thể làm nó chính xác hơn đôi chút: không khó để nhận thấy rằng khi $n$ lẻ, số lớn nhất trong các số $k(n-k)$ bằng $\frac{n-1}{2} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n^2-1}{4}$ (hãy chứng minh điều này một cách chặt chẽ!); dùng điều này thay cho bất đẳng thức 2), cũng như ở trên, có thể chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn $s < \frac{n^2-1}{4}d$. Dấu bằng trong đó đạt được khi $a_1 = \dots = a_m < a_{m+1} = \dots = a_{2m+1}$.

M14. Một số mặt của một đa diện lồi màu trắng được sơn đen sao cho không có hai mặt đen nào có cạnh chung. Chứng minh rằng nếu thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:
a) số mặt đen lớn hơn một nửa;
b) tổng diện tích các mặt đen lớn hơn một nửa diện tích mặt ngoài của đa diện, thì không thể nội tiếp một quả cầu vào đa diện này.

Lời giải. Hãy bắt đầu từ bài 6). Giả sử có thể nội tiếp một quả cầu vào đa diện. Đánh dấu trên mỗi mặt điểm tiếp xúc với quả cầu và nối điểm đó với các đỉnh của mặt ấy. Khi đó mặt được chia thành các tam giác. Với mỗi cạnh của đa diện, có hai tam giác như vậy kề vào, nằm trên hai mặt kề nhau. Chúng bằng nhau theo ba cạnh (vì hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến quả cầu thì bằng nhau). Theo giả thiết, với mỗi cạnh có không quá một mặt đen kề vào. Như vậy, với mỗi tam giác đen có một tam giác trắng bằng nó kề vào*). Do đó, tổng diện tích các mặt đen không lớn hơn tổng diện tích các mặt trắng. Bài 6) được giải.

Bài a) cũng được giải hoàn toàn tương tự; bài này đã được nói đến trong bài “Các đa diện không thể nội tiếp” của E. M. Andreev (xem “Kvant” số 8, bài 9 ở cuối bài báo). Trong bài này đã xét cả một loạt vấn đề nảy sinh liên quan đến bài toán của chúng ta: có những đa diện thỏa mãn các điều kiện tương tự hay không, còn có những “dấu hiệu không thể ngoại tiếp” nào khác, v.v. Tuy nhiên, như có thể đoán từ mục đích của bài báo, ở đó nói về việc liệu có thể nội tiếp đa diện này hay đa diện kia vào một mặt cầu hay không, còn trong bài toán của chúng ta — liệu có thể ngoại tiếp nó quanh một mặt cầu hay không. Nhưng hóa ra hai lý thuyết hoàn toàn tương tự nhau.

Chính xác hơn, với mỗi đa diện lồi nội tiếp có thể đặt tương ứng một đa diện ngoại tiếp sao cho các mặt phẳng tương ứng với mỗi đỉnh sẽ cắt nhau tại một điểm — đỉnh của đa diện mới, tương ứng với mặt của đa diện nội tiếp ban đầu. Nếu hai đỉnh của đa diện nội tiếp được nối bởi một cạnh, thì các mặt phẳng tiếp xúc tương ứng sẽ cắt nhau theo một cạnh của đa diện ngoại tiếp. Như vậy ta đã xây dựng một ánh xạ từ các đa diện nội tiếp vào tập các đa diện ngoại tiếp; dễ thấy rằng ánh xạ này phủ lên toàn bộ tập các đa diện ngoại tiếp và có ánh xạ ngược

*) Nhưng dĩ nhiên, với một tam giác trắng cũng có thể kề một tam giác trắng — điều quan trọng chỉ là những tam giác đen khác nhau tương ứng với những tam giác trắng khác nhau.

34

(chúng tôi dùng thuật ngữ đã được nói đến trong bài của A. N. Kolmogorov «Hàm số là gì» trên «Kvant» số 1),— nói cách khác, rằng với mỗi đa diện ngoại tiếp đã cho có thể đặt tương ứng một đa diện nội tiếp, từ đó đa diện ngoại tiếp này được tạo ra bằng cách đã chỉ ra ở trên. Chỉ cần đánh dấu trên mỗi mặt điểm tiếp xúc — đỉnh của đa diện nội tiếp tương lai — và chứng minh rằng mọi điểm tiếp xúc của các mặt có chung một đỉnh nằm trong cùng một mặt phẳng (hình 6). Cả hai ánh xạ này, liên hệ tập các đa diện nội tiếp lồi và ngoại tiếp lồi, tạo thành một ví dụ tuyệt đẹp về tình huống mà các nhà toán học thường gọi bằng từ «đối ngẫu» (từ này đã được nhắc thoáng qua trong bài của E. M. Andreev). Hãy suy nghĩ xem những đa diện ngoại tiếp nào sẽ đối ngẫu với các đa diện nội tiếp sau đây: hình lập phương, lăng trụ đều n-giác, chóp đều n-giác, chóp cụt đều, khối mười hai mặt.

Chúng tôi rất khuyên độc giả trở lại bài «Các đa diện không nội tiếp được» và, dùng tính đối ngẫu mà chúng tôi vừa nói đến, chuyển nội dung của nó sang các đa diện «không ngoại tiếp được».

M15. Bảng vuông $n \times n$ được điền các số không âm sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột bằng 1. Chứng minh rằng từ bảng có thể chọn $n$ số $x$ dương, sao cho không có hai số nào trong đó nằm cùng một cột hoặc cùng một hàng.

Lời giải. Trước hết, nhận xét rằng nếu ta hoán đổi các hàng (hoặc các cột) của bảng với nhau, thì điều đó không ảnh hưởng đến điều kiện của bài toán, cũng như đến điều cần chứng minh. Giả sử rằng bằng các phép hoán đổi hàng và cột, ta đã gom vào một góc hình chữ nhật kích thước $m \times k$ toàn các số không (hình 7). Chứng minh rằng $m + k$ luôn không lớn hơn $n$. Hãy tính tổng các số nằm trong phần được ký hiệu bằng chữ $C$ trên hình. Rõ ràng, tổng các số nằm trong phần $B$ bằng $m$ ($m$ cột, trong mỗi cột tổng bằng 1). Tương tự, tổng các số trong phần $A$ bằng $k$ ($k$ hàng). Vì tổng tất cả các số trong bảng bằng $n$, nên phần $C$ còn lại $n - m - k$. Số này không âm, vì theo điều kiện, mọi số trong bảng đều không âm. Vậy, $n - m - k \ge 0$, tức là $m + k \le n$, đúng như ta đã khẳng định.

Bây giờ ta có thể phát biểu lại bài toán như sau: trong bảng $n \times n$ có các số, và biết rằng bằng không một phép hoán đổi hàng và cột nào không thể-

35

Chọn trong đó một góc gồm các số không kích thước $m \times k$ sao cho $m + k > n$; chứng minh rằng có thể chọn $n$ số khác không, sao cho không có hai số nào cùng nằm trong một cột hay một hàng. (Đối với chúng ta bây giờ không còn quan trọng rằng các số là dương và tổng theo các hàng và các cột bằng 1. Những điều kiện này ta đã sử dụng rồi. Về sau ta chỉ phân biệt “số không” và “số khác không”.)

Nếu bạn đã đọc bài của M. I. Bashmakov “Ghép đôi và mạng vận tải” trong số 4 tạp chí của chúng ta, thì bạn dễ dàng nhận ra rằng cách phát biểu mới của bài toán chỉ là sự ghi lại bằng ngôn ngữ “bảng” của định lý hôn phối. Thật vậy, hãy ghi vào các hàng của bảng $n \times n$ các chàng trai, còn vào các cột — các cô gái (cả hai đều có $n$ người). Tại giao điểm của hàng thứ $s$ và cột thứ $t$, ta đặt một “số khác không” (dấu sao), nếu chàng trai thứ $s$ quen cô gái thứ $t$, và một “số không”, nếu không quen. Ta thu được một bảng (như các nhà toán học nói, một “ma trận”) quen biết.

Lấy một nhóm tùy ý gồm $k$ chàng trai. Đặt các hàng tương ứng với họ lên đầu. Nếu không một chàng trai nào trong số này quen với một cô gái nào đó, thì trong cột tương ứng, ở $k$ hàng đầu có các số không. Nếu ta chuyển tất cả các cột tương ứng với mọi cô gái như vậy xuống cuối (giả sử số họ là $m$), thì ta sẽ được một góc các số không kích thước $m \times k$ (hình 8). Trong mỗi cột đầu tiên trong số $m - n$ cột có ít nhất một “không-phải-số-không” ở các hàng đầu, vì cô gái tương ứng có bạn quen trong số $k$ chàng trai mà ta đã chọn. Vì $m + k \leq n$, nên $m - n \geq k$, tức là số cô gái như vậy không ít hơn $k$. Ta thấy rằng dữ kiện của bài toán hoàn toàn trùng với dữ kiện của “định lý về mai mối”. Việc chọn $n$ cô dâu cho tất cả các chàng trai chính là việc chọn $n$ “không-phải-số-không”, nằm ở các hàng và cột khác nhau.

Bây giờ bạn có thể đọc chứng minh đơn giản (bằng quy nạp) của “định lý về mai mối”, chứng minh này cũng cho lời giải đầy đủ của bài toán. Tất nhiên, hoàn toàn không nhất thiết phải quy bài toán về định lý này. Lập luận quy nạp cũng có thể tiến hành trực tiếp — bằng cách hoán vị các hàng và cột (chẳng hạn, bạn đọc Đ. Grigoriev từ thành phố Leningrad đã làm như vậy). Khi đó thu được một chứng minh mới của “định lý về mai mối”*).

*) Nhưng, dĩ nhiên, nếu chỉ đơn giản gạch bỏ cột cuối và hàng cuối trong bảng thỏa mãn các điều kiện của bài toán, ta có thể nhận được một bảng không còn thỏa mãn điều kiện này nữa,— không thể tiến hành quy nạp một cách “thô bạo” như vậy.

36

F18. Nếu nhìn ánh sáng qua hai chiếc lược có tần số răng khác nhau, chồng lên nhau, thì các vùng sáng sẽ xen kẽ với các vùng tối. Các vùng này sẽ chuyển động với tốc độ nào nếu một chiếc lược được dịch chuyển tương đối so với chiếc kia với tốc độ 1 cm/giây? Chiếc lược đứng yên có 5 răng trên 1 xentimét, chiếc đang chuyển động có —6.

Lời giải. Hãy cho một số răng nào đó của hai chiếc lược trùng nhau (hình 9). Khi đó các răng kế tiếp sẽ cách nhau $1/5$ cm—$1/6$ cm = $1/30$ cm. Bây giờ dịch chiếc lược đi một khoảng ấy. Khi đó hình các dải sáng và tối sẽ dịch đi $1/5$ cm—khoảng cách giữa các răng của chiếc lược đứng yên. Nếu dịch chiếc lược đi 1 cm, thì hình các dải sáng và tối sẽ dịch đi $1/5$ cm·30 = 6 cm.

Điều đó có nghĩa là khi chiếc lược có tần số răng lớn hơn chuyển động với tốc độ 1 cm/giây, các dải sáng và tối chuyển động với tốc độ $v = 6$ cm/giây theo cùng chiều mà chiếc lược di động dịch chuyển.

Hình các dải sáng và tối xen kẽ, chuyển động với tốc độ không đổi, là một mô hình rất tiện lợi cho sự truyền đi của sóng có bất kỳ bản chất vật lí nào. Nếu nhìn các dải đang chuyển động qua một khe (hình 10), thì khe sẽ tuần hoàn bị che bởi các dải sáng, rồi các dải đen:

37

ta sẽ thấy các dao động. Màu đen và màu vàng của các dải tương ứng với hai pha đối ngược của dao động (hình 11). Bước sóng bằng tổng chiều rộng của dải sáng và dải tối. Đếm số dải đen hoặc vàng đi qua khe trong một giây, có thể xác định tần số dao động và chu kì của chúng.

Mô hình đơn giản này cho phép hiểu được nhiều hiện tượng vật lí và các quá trình của những thí nghiệm thú vị.

Bằng các dải đen-vàng có thể mô hình hóa không chỉ các sóng tuyến tính mà cả bất kì sóng nào khác, chẳng hạn sóng tròn (hình 12). Chuyển động của các sóng tròn như vậy có thể biểu diễn bằng, chẳng hạn, một đường xoắn ốc Archimedes đen-vàng (hình 13). Khi xoay đường xoắn ốc, qua khe sẽ thấy các sóng chạy về tâm hoặc từ tâm ra, tùy theo chiều quay của đường xoắn ốc.

Nếu các dải không dịch chuyển, ta sẽ nhận được hình ảnh các sóng đứng yên. Những hình ảnh như vậy gọi là raster. Không được nhầm các sóng-raster đứng yên với sóng dừng. Mô hình sóng dừng là các dải đen-vàng xen kẽ, định kì đổi màu của chúng sang màu đối ngược.

Khi vài sóng hình sin chồng lên nhau, xuất hiện những sóng mới, không còn là sóng hình sin. Chúng được gọi là sóng nhóm. Sóng nhóm khác với các sóng hình sin được cộng cả về độ dài, tốc độ truyền và các tham số khác. Các sóng nhóm đơn giản nhất là sóng nhịp. Chúng xuất hiện khi hai sóng có bước sóng không bằng nhau nhưng gần nhau được cộng lại.

Để dựng mô hình các sóng nhóm, cần chồng hai hệ dải lên nhau. Nếu các hệ này giống nhau, có thể chồng chúng sao cho các dải của hệ này trùng với các dải của hệ kia. Những sóng như vậy được gọi là kết hợp. Nếu các hệ dải hơi khác nhau về khoảng cách giữa các dải, ta sẽ nhận được hình ảnh nhịp (hình 14). Hình ảnh tương tự đã xuất hiện trong các thí nghiệm của bạn với lược.

Không khó tìm bước sóng của nhịp do các sóng có bước sóng $\lambda_1$ và $\lambda_2$ ($\lambda_1 > \lambda_2$) tạo ra. Nếu hai dải đen trùng nhau, thì dải gần hệ dải có bước sóng $\lambda_1$ và vạch thứ $(n+1)$ của hệ dải có bước sóng $\lambda_2$. Điều này có nghĩa là bước sóng của nhịp bằng

$$L = n\lambda_1 = (n+1)\lambda_2.$$

38

Từ đẳng thức $n\lambda_1 = (n+1)\lambda_2$ ta tìm được $n = \frac{\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}$.

Vì thế $L = \frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}$.

Các sóng chồng lên nhau càng ít khác biệt thì độ dài của các sóng nhóm càng lớn. Điều này được dùng khi thay đổi bước sóng của các dao động cao tần. Để thay đổi, người ta chọn bước sóng của sóng thứ hai sao cho khi cộng các sóng lại sẽ thu được các phách có bước sóng lớn. Những phách như vậy dễ quan sát và thay đổi bằng máy hiện sóng. Biết độ dài phách và bước sóng của một trong các dao động, không khó xác định bước sóng của dao động đang nghiên cứu.

Các sóng phách, được chỉ ra ở hình 14,— là các sóng đứng. Nếu làm cho một hoặc cả hai hệ sóng chuyển động, thì các sóng nhóm cũng sẽ chuyển động. Vận tốc $v$ của các sóng nhóm có thể tìm được giống như cách ta tìm vận tốc chuyển động của các sóng nhóm thu được khi chồng các chiếc lược lên nhau. Nó bằng

$$v = \frac{\lambda_1 v_2 - \lambda_2 v_1}{\lambda_1 - \lambda_2},$$

trong đó $v_1$ — vận tốc của các sóng có bước sóng $\lambda_1$, còn $v_2$ — vận tốc của các sóng có bước sóng $\lambda_2$.

Công thức này là sự khái quát hóa công thức mà chúng ta đã suy ra cho các chiếc lược.

Bằng cách này, bài toán đã được giải bởi Vyacheslav Mileshin (Beltsy, Moldova) và Aleksadr Karpenko (Lisichansk, tỉnh Voroshilovgrad). Bằng cách tương tự, nó được giải bởi Lyutsman Petraskik (Lida, tỉnh Grodno) và Sergey Yushman (Vilyany, Latvia). Một số độc giả, tuy giải đúng bài toán, đã tính sai khoảng cách giữa các răng lược. Nếu chiếc lược có $n$ răng trên 1 cm, thì trên 1 cm còn có $n$ khoảng trống giữa các răng (chứ không phải $n-1$). Trong hai răng ở hai đầu trên một xentimét, răng thứ nhất thuộc xentimét này, còn răng cuối cùng — xentimét tiếp theo.

F19. Hình dạng của các bình thông nhau được chỉ ra ở hình 15. Nước sẽ chảy về đâu theo ống nối các bình, nếu đun nóng nước trong một trong các bình?

Lời giải. Bất kể bình nào được đun nóng, nước sẽ chảy-