Kvant 1971, số 1 · Trang

Tạp chí khoa học phổ thông về vật lí và toán học
Kvant
1
1971
tạp chí
của Viện Hàn lâm
Khoa học Liên Xô
và
Viện Hàn lâm Khoa học
Giáo dục Liên Xô

4

Trong số này:

Chuyển động quay của vật 1 A. K. Kikoin
Tổ hợp 13 N. Ya. Vilenkin
Chuyển động của các hành tinh 20 Ya. A. Smorodinsky
Câu lạc bộ toán học
Đường tròn phụ trợ 28 E. G. Gotman
Phòng thí nghiệm «Kvant»
Sóng trong đĩa nông 32 A. G. Kosourov
Tuyển tập bài toán «Kvant»
38
Thực hành cho thí sinh
Phương pháp thế khi giải phương trình và hệ phương trình 41 M. I. Skanavi
Kỳ thi tuyển sinh môn toán tại MGPI mang tên V. I. Lenin 45 E. A. Shchegolkov
Kỳ thi viết môn vật lý tại NGU 51 G. V. Meledin
Thông tin
Trường toán học tại chức 56 Zh. M Rabot
Đáp số, chỉ dẫn, lời giải 58
Góc nhà sưu tập
Tem dành cho N. Copernicus 62
Điểm sách, thư mục
Bài toán, trò chơi, thí nghiệm 64 V. P. Litsevsky
«Kvant» dành cho học sinh nhỏ tuổi trang 3 bìa
Sơ lược về hàm mũ trang 4 bìa

1

Ai cũng biết rằng mọi vật có thể thực hiện hai dạng chuyển động — tịnh tiến và quay. Dạng thứ nhất được nghiên cứu khá chi tiết trong chương trình vật lí phổ thông. Còn chuyển động quay thì “kém may mắn”, do thiếu thời gian nên được chú ý rất ít. Trong khi đó, chuyển động quay gặp trong tự nhiên và kĩ thuật không hề ít hơn chuyển động tịnh tiến. Trong nhiều trường hợp, chuyển động thực của các vật là sự kết hợp của cả hai dạng chuyển động. Trong những trường hợp khác, các vật chuyển động tịnh tiến hoặc thậm chí đứng yên lại có các bộ phận quay. Trước hết, điều này áp dụng cho mọi thiết bị có bánh xe — từ xe cút kít và xe đẩy đến máy bay và trực thăng. Hãy thử tìm một máy công cụ mà trong đó không có gì quay! Một dụng cụ phổ biến như đồng hồ có thể nói là “chật ních” các bánh xe quay ăn khớp với nhau.

Chuyển động quay cũng không hiếm trong tự nhiên. Chỉ cần nhớ đến các chuyển động quay phức tạp của các hành tinh, các vệ tinh của chúng, đến sự quay của Mặt Trời và, có lẽ, của các ngôi sao khác. Nhân tiện lưu ý rằng khi nói về các hành tinh, từ “quay” được dùng cho hai dạng chuyển động khác nhau của chúng. Chẳng hạn, người ta nói Trái Đất quay quanh Mặt Trời, nhưng cũng nói về sự quay của Trái Đất quanh trục của nó. Vậy chúng có phải là những chuyển động giống nhau không? Có thể nói rằng cả hai đều do cùng những nguyên lí gây ra không? Được biết rằng Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo gần tròn vì nó chịu tác dụng của lực hút về phía Mặt Trời. Nhưng có thể nói rằng chính lực này hoặc lực tương tự nó cũng làm Trái Đất quay quanh trục không? Rõ ràng là không. Thực tế, chuyển động của Trái Đất có thể xem là sự kết hợp của chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay — chuyển động tịnh tiến quanh Mặt Trời và chuyển động quay quanh trục đi qua hai cực Trái Đất.

Bài viết này nói về chuyển động quay của các vật, về những điều phân biệt nó với chuyển động tịnh tiến, và về những điều khiến nó giống chuyển động tịnh tiến.

Động học chuyển động quay

Trước hết, hãy nhắc người đọc những điều họ đã biết về chuyển động quay từ chương trình vật lí phổ thông. Hãy bắt đầu bằng định nghĩa.

Chuyển động quay của một vật là chuyển động mà trong đó mọi điểm của vật chuyển động theo các đường tròn có tâm nằm trên cùng một đường thẳng — trục quay.

Nếu trục quay được cố định, thì vật, xét như một toàn thể, không dịch chuyển, và điều duy nhất thay đổi theo thời gian là góc quay, ở đây đóng vai trò giống như độ dời của một điểm nào đó của vật khi vật chuyển động tịnh tiến.

Khi vật quay một góc φ, mỗi điểm của nó đi qua một cung tròn xác định. Nếu kí hiệu độ dài cung là S, thì giữa các đại lượng S và φ có hệ thức đơn giản

$$S = \varphi r,$$

2

trong đó $r$ là khoảng cách từ điểm đến trục quay. Các điểm nằm ở những khoảng cách $r$ khác nhau so với trục quay vạch nên các cung có độ dài khác nhau, nhưng góc $\varphi$ là như nhau đối với toàn bộ vật.

Nhiệm vụ của cơ học chuyển động quay là xác định được góc quay của vật tại mọi thời điểm, nếu biết góc quay ban đầu. Muốn vậy cần biết tốc độ thay đổi của góc quay, tức là vận tốc góc, thường được ký hiệu bằng chữ $\omega$. Đối với vật quay với vận tốc góc không đổi,

$$\omega = \frac{\varphi - \varphi_0}{t},$$

trong đó $\varphi - \varphi_0$ là sự thay đổi góc quay trong khoảng thời gian $t$ giây.

Nếu vận tốc góc không đổi, thì giá trị góc quay tại mọi thời điểm được xác định dễ dàng:

$$\varphi = \varphi_0 + \omega t;$$

nếu góc quay ban đầu $\varphi_0$ bằng không, thì

$$\varphi = \omega t.$$

Biểu thức này tương tự công thức $S = vt$ đối với chuyển động tịnh tiến đều. Do đó, vận tốc góc trong chuyển động quay cũng đóng vai trò quan trọng như vận tốc tuyến tính $v$ trong chuyển động tịnh tiến.

Vận tốc góc, cũng như vận tốc tuyến tính, có thể không không đổi. Khi đó, để tìm vận tốc tại mọi thời điểm, cần biết gia tốc góc, tương tự như gia tốc tuyến tính $a$, được xác định là tốc độ thay đổi của vận tốc góc. Trong chuyển động quay nhanh dần đều

$$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t},$$

trong đó $\omega$ và $\omega_0$ là các giá trị của vận tốc góc ở cuối và ở đầu khoảng thời gian kéo dài $t$ giây.

Dễ dàng tìm được mối liên hệ giữa vận tốc góc và gia tốc góc với các «đại lượng tương ứng» tuyến tính của chúng là $v$ và $a$. Vì $\omega = \frac{\varphi}{t}$, còn $\varphi = \frac{S}{r}$, nên $\omega = \frac{S}{rt}$.

Nhưng $\frac{S}{t} = v$, do đó,

$$\omega = \frac{v}{r} \text{ và } v = \omega r.$$

Tương tự, vì $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}$, còn $\omega = \frac{v}{r}$ và $\omega_0 = \frac{v_0}{r}$, nên $\alpha = \frac{v - v_0}{rt}$. Nhưng $\frac{v - v_0}{t}$ bằng gia tốc tuyến tính $a$, do đó

$$\alpha = \frac{a}{r} \text{ và } a = \alpha r.$$

Như vậy, các giá trị số của các đại lượng tuyến tính $S$, $v$ và $a$ đối với mỗi điểm của vật quay bằng các giá trị tương ứng của các đại lượng góc (chúng không liên quan đến từng điểm riêng lẻ mà đến toàn bộ vật), nhân với bán kính quay $r$ của điểm đó.

Nếu dùng các đại lượng $\varphi$, $\omega$ và $\alpha$, thì có thể giải các bài toán liên quan đến sự quay của vật, áp dụng các công thức động-

⟦không số trang⟧

động học của chuyển động tịnh tiến, nhưng thay các đại lượng tuyến tính bằng các đại lượng góc. Hãy nêu một số công thức động học của chuyển động tịnh tiến và các công thức tương ứng đối với chuyển động quay:

| Chuyển động tịnh tiến | Chuyển động quay |
| :— | :— |
| $S = vt$ | đều $\varphi = \omega t$ |
| $v = v_0 + at$ | nhanh dần đều $\omega = \omega_0 + \alpha t$ |
| $S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ | $\varphi = \omega_0 t + \frac{\alpha t^2}{2}$ |

Cũng nhắc lại rằng góc quay $\varphi$ được đo bằng radian. Khi đó vận tốc góc được đo bằng radian trên giây ($\dot{p}_{\text{rad}} / \text{сек}$). Đơn vị của gia tốc góc là radian chia cho giây bình phương ($\dot{p}_{\text{rad}} / \text{сек}^2$).

Tuy nhiên, mô tả chuyển động quay là không đầy đủ nếu ta chỉ biết các giá trị số của những đại lượng góc nêu trên. Để mô tả đầy đủ sự quay, còn cần biết vật quay quanh trục nào và theo hướng nào (theo hay ngược chiều kim đồng hồ). Cả hai điều này sẽ được xác định nếu coi cả góc quay lẫn vận tốc góc là những đại lượng vectơ đặc biệt. Người ta quy ước rằng vectơ $\varphi$, cũng như vectơ $\omega$, hướng dọc theo trục quay, do đó nếu biết vectơ của một trong các đại lượng này thì trục quay cũng được xác định. Chẳng hạn, chiều quay được xác định bởi cái gọi là quy tắc mũi khoan-nút chai hay quy tắc đinh vít (đây không phải là trường hợp duy nhất trong vật lý phải nhờ đến “dịch vụ” của dụng cụ như vậy). Quy tắc đó như sau: nếu tưởng tượng quay tay cầm mũi khoan theo đúng chiều vật quay, thì chiều chuyển động tịnh tiến của mũi khoan chỉ chiều của vectơ vận tốc góc $\omega$. Chẳng hạn, nếu mũi tên đỏ trong hình 1 biểu diễn vectơ $\omega$ của đĩa đang quay, thì điều đó có nghĩa là đĩa quay theo chiều được chỉ bởi mũi tên vàng. Như thường lệ, độ dài của vectơ theo tỉ lệ đã vẽ cho ta giá trị số của đại lượng góc tương ứng.

Gia tốc góc cũng là một đại lượng vectơ. Nếu hướng của trục quay trong không gian không thay đổi theo thời gian, thì vectơ $\alpha$, cũng như vectơ $\omega$, hướng dọc theo trục quay. Trong trường hợp này, nếu vận tốc góc tăng theo thời gian, thì trên

4

Chiều của vectơ $\vec{\alpha}$ trùng với chiều của vectơ $\omega$, còn nếu tốc độ góc giảm thì chiều của các vectơ $\vec{\alpha}$ và $\omega$ ngược nhau.

Động lực học chuyển động quay

Như đã biết, động lực học chuyển động tịnh tiến nghiên cứu nguyên nhân xuất hiện gia tốc của các vật và cho phép xác định độ lớn và chiều của chúng. Động lực học chuyển động quay làm điều tương tự đối với gia tốc góc. Nếu gia tốc chuyển động tịnh tiến của vật do lực tác dụng lên nó gây ra, thì nguyên nhân của gia tốc góc của vật là mômen của lực tác dụng lên nó. Bạn đọc đã biết khái niệm này từ chương trình vật lý lớp 8 hoặc 9. Nhắc lại rằng giá trị số của mômen lực đối với một trục nào đó bằng tích của lực tác dụng lên vật với độ dài đường vuông góc kẻ từ trục đến giá của lực. Chẳng hạn, nếu vào vành của đĩa phẳng vẽ ở hình 2 có tác dụng lực $F$, có vectơ nằm trong mặt phẳng của đĩa, thì mômen của lực này đối với trục vuông góc với mặt phẳng đĩa và đi qua điểm $O$ bằng $Fr$. Nếu trục không đi qua điểm $O$ mà qua điểm $O_1$, thì mômen của chính lực ấy đối với trục mới sẽ khác: nó sẽ bằng $Fr_1$. Nếu lực ấy được tác dụng như ở hình 3, thì mômen của nó đối với trục đi qua điểm $O$ bằng không, vì giá của lực đi qua điểm này. Lực như vậy không thể gây ra sự quay quanh trục, không thể làm thay đổi gia tốc góc. Nhưng chính lực ấy có thể gây ra sự quay của đĩa quanh trục đi qua điểm $O_1$.

Mômen lực cũng là một đại lượng vectơ. Chiều của vectơ mômen lực được xác định bằng cùng quy tắc vặn nút chai. Cụ thể, chiều của mômen lực được quy ước là chiều mà nút chai (vít) chuyển động dọc theo trục nếu tay cầm của nó quay theo chiều mà vật sẽ quay dưới tác dụng của lực đặt lên nó. Chẳng hạn, vectơ mômen của lực $F$ đối với trục đi qua điểm $O$ ở hình 2 hướng vuông góc với mặt phẳng bản vẽ “ra xa chúng ta”.

Như đã nói, các định luật cơ học Newton cũng đúng đối với chuyển động quay. Từ những điều vừa nói về mômen lực, chẳng hạn, suy ra rằng định luật Newton áp dụng cho chuyển động quay khẳng định: vật quay với tốc độ góc không đổi hoặc hoàn toàn không quay, nếu mômen của lực tác dụng lên nó,

6

có thể bỏ qua, còn viên bi đủ nhỏ so với chiều dài của thanh để có thể coi nó là một chất điểm.

Bây giờ mọi khó khăn sẽ lập tức biến mất. Trong công thức

$$M = mr^2\alpha$$

$m$ là khối lượng của viên bi, còn $r$ là khoảng cách từ viên bi đến trục quay. Vì đối với viên bi và thanh đã cho, cả $m$ lẫn $r$ đều không thay đổi, nên tích $mr^2$ là một đại lượng không đổi và có thể ký hiệu bằng một chữ cái. Chọn chữ cái $I$ cho đại lượng này. Khi đó công thức định luật II Newton có dạng

$$M = I\alpha.$$

Sự giống nhau của công thức này với công thức

$$F = ma.$$

lập tức đập vào mắt. Chỉ có lực $F$ được thay bằng mômen lực, còn thay cho gia tốc tuyến tính $a$, công thức chứa gia tốc góc $\alpha$, như phải thế, vì ở đây không phải là chuyển động tịnh tiến mà là chuyển động quay. Còn vai trò của khối lượng trong công thức này do một đại lượng hoàn toàn mới, khác thường đảm nhiệm, bằng tích của khối lượng với bình phương khoảng cách từ nó đến trục quay.

Cũng như gia tốc của một vật chuyển động tịnh tiến, ngoài lực ra, còn phụ thuộc vào khối lượng của vật được gia tốc, thì gia tốc góc của một vật quay không chỉ phụ thuộc vào mômen lực mà còn vào đại lượng $mr^2$, vốn, có thể nói, là “bản sao” quay của khối lượng. Đại lượng này được gọi là mômen quán tính của vật đối với trục. Như vậy, đối với chuyển động quay, không chỉ khối lượng là quan trọng. Còn quan trọng là khối lượng ấy cách trục quay bao xa. Rõ ràng, một khối lượng nhỏ ở xa trục quay có thể nhận được cùng một gia tốc góc dưới một mômen lực đã cho như một khối lượng lớn nằm gần trục.

Tất cả những điều này dường như chỉ liên quan đến một quả cầu quay trên một thanh mảnh. Nhưng trên thực tế công thức vẫn đúng cả khi quay là một đĩa, một bánh xe, một hình trụ, và nói chung là bất kỳ vật rắn «thực sự» nào, cũng có một mômen quán tính xác định. Để tìm mômen quán tính của một vật đối với một trục nào đó, cần tưởng tượng chia nó thành nhiều phần nhỏ (trong giới hạn là vô cùng nhỏ), đối với mỗi phần xác định tích khối lượng của nó với bình phương khoảng cách đến trục ấy rồi cộng tất cả các tích lại. Đó sẽ là mômen quán tính của toàn bộ vật. Rõ ràng mômen quán tính của vật càng lớn khi khối lượng của những phần nằm xa trục càng lớn. Nói cách khác, mômen quán tính của vật phụ thuộc vào cách khối lượng của vật được phân bố trong thể tích của nó. Đối với các trục khác nhau, mômen quán tính của cùng một vật sẽ khác nhau. Chẳng hạn, mômen quán tính của một thanh có chiều dài $l$ và khối lượng $m$, đối với trục vuông góc với thanh và đi qua trung điểm của nó (hình 6), bằng $$\frac{ml^2}{12}$$. Còn mômen quán tính của chính thanh đó-

này, đối với trục đi qua đầu (hình 7), lớn gấp 4 lần và bằng $\frac{ml^2}{3}$: quay thanh quanh đầu khó hơn quay quanh giữa. “Khó hơn” có nghĩa là để nhận được cùng một gia tốc góc thì cần một mômen lực lớn hơn.

Việc tính mômen quán tính nói chung là một bài toán khó. Nhưng đối với những vật đồng chất và có hình dạng hình học đúng đắn thì có thể tính như vậy đối với một số trục quay nào đó, tuy không phải lúc nào cũng bằng những phương pháp đơn giản. Đối với một trường hợp đặc biệt đơn giản, chúng tôi cũng sẽ trình bày cách tính.

Hãy tính mômen quán tính của một bánh xe mà hầu như toàn bộ khối lượng tập trung ở vành của nó, đối với trục quay vuông góc với mặt phẳng bánh xe và đi qua tâm của nó. Ví dụ có thể là một bánh xe đạp có nan hoa mảnh.

Chia vành thành những phần nhỏ riêng biệt có khối lượng $m_1, m_2, m_3$ v.v. Mỗi phần trong số đó có thể coi là một chất điểm nằm cách trục quay một khoảng $R$, trong đó $R$ là bán kính bánh xe. Mômen quán tính của mỗi điểm bằng $m_1R^2, m_2R^2, m_3R^2$ v.v. Mômen quán tính chung của toàn bộ bánh xe bằng tổng các mômen quán tính của các phần của nó:

$$I = (m_1 + m_2 + m_3 + \dots)R^2.$$

Nhưng tổng $m_1 + m_2 + m_3 + \dots$ hiển nhiên bằng khối lượng của toàn bộ bánh xe $m$. Vậy mômen quán tính của bánh xe đối với trục đi qua tâm của nó và vuông góc với mặt phẳng của nó bằng

$$I = mR^2.$$

Đối với những vật có hình dạng bất kỳ hoặc không đồng nhất về thành phần, hoặc đối với những trục quay tương đối không “thuận tiện” như trong trường hợp đang xét, các mômen quán tính được xác định bằng thực nghiệm, chẳng hạn theo sự thay đổi của gia tốc góc khi biết mômen lực *). Như ta thấy, thí-

*) Trong bảng có các công thức về mômen quán tính của một số vật.

| vật | trục đi như thế nào | mômen quán tính |
| :— | :— | :— |
| quả cầu đồng chất | qua tâm quả cầu | $\frac{2}{5}mr^2$ |
| vỏ cầu | qua tâm hình cầu | $\frac{2}{3}mr^2$ |
| thanh | qua trọng tâm | $\frac{1}{12}ml^2$ |
| thanh | qua đầu | $\frac{1}{3}ml^2$ |

8

Việc xác định khối lượng của các vật — một bài toán đơn giản hơn đáng kể so với việc xác định «đại lượng song đôi» quay của nó — mômen quán tính. Nếu khối lượng được xác định bằng phép cân đơn giản, thì «cân» đối với chuyển động quay — một thao tác khá phức tạp, hơn nữa đối với cùng một vật nhưng với các trục quay khác nhau phải được tiến hành riêng biệt, và không có «cân» cho việc «cân» như vậy.

Mômen động lượng, mômen xung lượng

Vậy, đối với chuyển động quay, định luật II Newton được viết dưới dạng $M = I\alpha$, trong đó $M$ — mômen lực, $I$ — mômen quán tính và $\alpha$ — gia tốc góc của vật.

Nhưng gia tốc góc được biểu diễn bằng công thức

$$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}.$$

Vì vậy, công thức của định luật II Newton có thể viết dưới dạng

$$M = \frac{I\omega - I\omega_0}{t}.$$

Ở dạng này, công thức có nghĩa là mômen lực bằng sự thay đổi của đại lượng $I\omega$ trong một đơn vị thời gian. Nhưng, như đã biết, định luật II Newton có thể viết dưới dạng

$$F = \frac{mv - mv_0}{t},$$

trong đó $mv$ là đại lượng gọi là lượng chuyển động hoặc xung lượng của vật. Rõ ràng xung lượng $mv$ cũng có một đại lượng tương tự trong động lực học chuyển động quay, và đại lượng tương tự đó là $I\omega$. Điều này đã suy ra từ việc mômen quán tính $I$ trong chuyển động quay cũng đóng vai trò như khối lượng trong chuyển động tịnh tiến, còn vận tốc góc $\omega$ thay thế vận tốc tuyến tính $v$. Vì vậy đại lượng $L = I\omega$ được gọi là mômen lượng chuyển động của vật hoặc mômen xung lượng. Đây cũng là một đại lượng vectơ (cũng như $\omega$, $F$, $\alpha$, $mv$, $M$), có hướng giống như vectơ vận tốc góc. Tương tự các đại lượng khác mà chúng ta đã nêu, liên quan đến chuyển động quay, mômen xung lượng khác nhau đối với các trục quay khác nhau.

Nếu vật có hình dạng hoặc kích thước hoặc bán kính quay như vậy mà có thể nói về sự quay của một điểm (ví dụ, một quả cầu trên thanh mảnh, một hành tinh khi nó quay quanh Mặt Trời), thì mômen động lượng dễ dàng liên hệ với động lượng. Thật vậy, mômen quán tính $I$ bằng $mr^2$, còn vận tốc góc $\omega$ bằng $\frac{v}{r}$. Vì thế

$$L = I\omega = \frac{mr^2v}{r} = rmv.$$

Mômen động lượng của điểm, do đó, về độ lớn bằng tích của bán kính $r$ của đường tròn mà điểm chuyển động theo với động lượng $mv$. Rõ ràng rằng đối với vật có hình dạng tùy ý thì không thể có một sự tương ứng đơn giản như vậy.

10

mômen quán tính của cơ thể đối với trục quay thẳng đứng (khối lượng của các tay được đưa lại gần trục này). Vì sự giảm mômen quán tính $I$ này đạt được không phải bằng các lực bên ngoài mà bằng các lực bên trong, nên mômen động lượng $I\omega$ không thể thay đổi. Vì vậy vận tốc góc $\omega$ tăng lên đúng bằng số lần mà vận động viên trượt băng đã giảm được mômen quán tính của mình. Ngược lại, trước khi kết thúc quay, khi cần giảm tốc độ, vận động viên trượt băng dang rộng tay, làm tăng mômen quán tính của cơ thể mình. Các vũ công khi thực hiện các động tác pirouette, các vận động viên nhào lộn khi lộn vòng, v.v. cũng làm như vậy. Những thí nghiệm thú vị kiểu này có thể tiến hành bằng chiếc ghế Zhukovsky. Nó là một bệ có thể quay với ma sát nhỏ quanh một trục thẳng đứng (hình 9). Đứng trên bệ quay như vậy, bằng cách cử động tay, có thể thay đổi đáng kể vận tốc góc quay.

Sự bảo toàn mômen động lượng không chỉ có nghĩa là bảo toàn giá trị số của đại lượng $I\omega$. Không được quên rằng mômen động lượng là một đại lượng vectơ. Vì vậy sự bảo toàn mômen động lượng cũng có nghĩa là bảo toàn hướng của nó. Nhưng mômen động lượng, như ta biết, hướng dọc theo trục quay. Vì thế mọi vật quay không chịu tác dụng của các mômen lực bên ngoài cũng không thể thay đổi vị trí của trục quay. Đó là «bí mật» của sự ổn định của bánh xe lăn, con quay, v.v. Chính vì vậy các vận động viên ném đĩa, khi ném dụng cụ của mình, làm cho nó quay. Điều đó cho phép đĩa bay mà không lộn nhào. Khả năng của vật quay giữ nguyên vị trí trục quay của nó (khi không có mômen của các lực bên ngoài) được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật. Việc sử dụng các la bàn con quay, đủ loại bộ ổn định, v.v. dựa trên tính chất này. La bàn con quay thực chất là một vật quay. Nếu khi khởi động nó được đặt sao cho trục của nó hướng về phía bắc, thì nó sẽ giữ hướng này tốt hơn la bàn từ, vốn chịu ảnh hưởng của cả vỏ sắt của tàu và sự biến đổi của từ trường Trái Đất. Trên tàu đôi khi lắp các bộ ổn định con quay, là những bánh xe khổng lồ nặng nhiều tấn, được quay bởi các động cơ mạnh. Cố giữ nguyên vị trí trục quay, bộ ổn định như vậy làm giảm sự lắc lư của tàu. Các bộ ổn định con quay có những ứng dụng quan trọng trong kỹ thuật bay vũ trụ, trong các thiết bị tự động có mục đích rất khác nhau.

Động năng của các vật quay

Vật quay là vật chuyển động, vì tất cả các phần của nó, trừ những điểm nằm trên trục quay, đều chuyển động. Vì thế nó có động năng. Để tìm biểu thức của động năng, ta lại bắt đầu từ sự quay của một quả cầu nhỏ trên một thanh mảnh, tức là từ sự quay của một điểm. Động năng trong trường hợp này có thể viết dưới dạng tổng quát

$$K = \frac{mv^2}{2},$$

trong đó $m$ là khối lượng của quả cầu, còn $v$ là vận tốc dài của nó. Nhưng vì $v = \omega r$, nên biểu thức của $K$ có thể viết dưới dạng

$$K = \frac{m\omega^2r^2}{2}.$$

12

Cuối cùng, để so sánh, lại nêu một số công thức của cơ học chuyển động tịnh tiến và các công thức tương tự liên quan đến chuyển động quay.

| Chuyển động tịnh tiến | Chuyển động quay |
| :— | :— |
| $\vec{F} = ma$ | $\vec{M} = I\alpha$ |
| $\frac{\Delta(mv)}{\Delta t} = \vec{F}$ | $\frac{\Delta(I\omega)}{\Delta t} = \vec{M}$ |
| $\Delta(mv) = 0$ khi $\vec{F} = 0$ | $\Delta(I\omega) = 0$ khi $\vec{M} = 0$ |
| $A = FS$ | $A = M\varphi$ |
| $K = \frac{mv^2}{2}$ | $K = \frac{I\omega^2}{2}$ |

Bài tập và câu hỏi

1. Mômen quán tính được đo bằng những đơn vị nào?
2. Từ một mặt phẳng nghiêng, hai hình trụ có cùng đường kính và khối lượng lăn xuống không trượt. Một hình trụ bằng chì và có lõi bần, hình trụ kia bằng bần với vỏ chì. Hình trụ nào lăn xuống mặt phẳng trong thời gian ngắn hơn?
3. Một bánh xe có mômen quán tính bằng 0,01 đơn vị SI quay với tốc độ góc 4 vòng/giây. Mômen của lực ma sát phải bằng bao nhiêu để bánh xe ngừng quay sau 5 vòng?
4. Thủy triều trong các biển và đại dương tác dụng lên Trái Đất đang quay giống như các má phanh và tạo ra lực ma sát hãm. Do tác dụng của thủy triều, sau 100 năm độ dài một ngày đêm trên Trái Đất sẽ lớn hơn hiện nay 1 giây. Hãy tính lực ma sát do thủy triều.
5. Bộ ổn định con quay của tàu thủy có bán kính $R = 2$ m và khối lượng $M = 120$ t được một động cơ đưa vào quay. Cần công suất bao nhiêu để trong 10 giờ đưa tốc độ quay của bộ ổn định lên 13 vòng/giây? Coi khối lượng của bộ ổn định tập trung ở vành của nó (trong trường hợp này mômen quán tính bằng $MR^2$).
6. Một quả cầu đồng chất bán kính $R$ và khối lượng $M$ ban đầu được phóng trên mặt phẳng sao cho nó trượt trên đó không lăn với vận tốc $v_0$. Giữa quả cầu và mặt phẳng có ma sát, hệ số của nó là $k$. Quả cầu sẽ đi được quãng đường bao nhiêu trước khi sự trượt của nó đối với mặt phẳng chấm dứt? Khi đó vận tốc của quả cầu bằng bao nhiêu?
7. Hai cửa sổ của một vệ tinh hình cầu được đặt tại hai điểm đối diện nhau qua đường kính của vỏ. Một nhà du hành vũ trụ đi từ tâm tàu theo thang hướng tâm đến một trong các cửa sổ, sau đó đi dọc theo thành tàu đến cửa sổ thứ hai và cuối cùng trở về chỗ của mình ở tâm tàu theo thang hướng tâm. Khi đó tàu quay một góc bao nhiêu so với các ngôi sao, nếu khối lượng của tàu là $M$, bán kính của nó là $R$, khối lượng của nhà du hành là $m$ và có thể coi toàn bộ khối lượng của tàu tập trung trong vỏ của nó.
8. Để làm chậm sự quay của các vệ tinh, người ta đề nghị dùng các thiết bị sau. Vào mặt bên của vệ tinh gắn bằng các sợi dây dài $l$ hai vật nặng, mỗi vật có khối lượng $m$. Các vật nặng được thả đồng thời. Chúng bay ra xa vệ tinh và vào lúc các sợi dây căng ra, chúng tuột khỏi các móc mà chúng được gắn vào. Với chiều dài dây nào thì tốc độ quay của vệ tinh sau thao tác này giảm đi $n$ lần?
   Coi vệ tinh là một hình trụ có khối lượng $M$ và bán kính $R$, toàn bộ khối lượng của tàu tập trung trong vỏ bên.

13

Có lẽ mọi độc giả của “Kvant” đều quen với sự hồi hộp bao trùm người hâm mộ trước một cuộc thi đấu thể thao lớn — dù đó là giải vô địch bóng đá thế giới hay “trận đấu thế kỷ” cờ vua. Khi ấy, từ những người không nhớ thật chính xác luật nhập thành, có thể nghe những nhận xét thâm trầm như “tôi thì sẽ không xếp Larsen mà là Portisch vào bàn một của đội tuyển thế giới”. Những người sành cờ và những người yêu cờ tranh luận về cơ hội chiến thắng của Smyslov và Keres, còn những người yêu bóng đá thì khi bàn về kết cục có thể có của trận đấu giữa đội tuyển Brasil và Anh, sự việc gần như đi đến ẩu đả.

Rất thường trước những cuộc thi đấu như vậy, báo chí tổ chức cuộc thi dành cho người am hiểu, đề nghị đoán cả kết quả chung cuộc của cuộc thi đấu (dự đoán ai sẽ nhận được “Nữ thần vàng”, hoặc tỉ số mà đội tuyển cờ vua Liên Xô sẽ thắng đội tuyển thế giới), lẫn kết quả của từng trận đấu riêng lẻ. Thoạt nhìn, có một cách hoàn toàn đơn giản để thắng trong cuộc thi như vậy: gửi tới tòa soạn nhiều thư bằng số kết quả có thể về mặt lý thuyết của cuộc thi đấu, và trong mỗi thư nêu một phương án. Ít nhất một lá thư sẽ trúng đích!

Nhưng sự việc hoàn toàn không đơn giản như vậy — các phương án quá nhiều. Dĩ nhiên, nếu chỉ cần dự đoán tỉ số mà trận đấu thế kỷ sẽ kết thúc, thì chỉ cần gửi 81 lá thư: chơi 40 ván, và đội tuyển Liên Xô có thể ghi bất kỳ số điểm nào từ 0 (brr…) đến 40 (thật tuyệt biết bao!). Nhưng nếu còn phải chỉ ra kết quả của trận đấu ở mỗi bàn (ít nhất là dự đoán ai sẽ thắng ở đó), thì số phương án có thể tăng lên một cách thảm khốc.

Các bài toán cần tìm số phương án có thể cho một thao tác hay một sự kiện nào đó xuất hiện trong những lĩnh vực rất khác nhau của hoạt động con người. Những bài toán này được gọi là bài toán tổ hợp (hiện nay ở trường không học tổ hợp, nó được học tự chọn).

1. Quy tắc cộng và nhân. Cơ sở để giải các bài toán tổ hợp là hai quy tắc đơn giản — quy tắc cộng và quy tắc nhân.

Quy tắc cộng. Nếu ta có $m$ cách chọn phần tử $a$ và (độc lập với chúng) $n$ cách chọn phần tử $b$, thì việc chọn “hoặc $a$ hoặc $b$” có thể thực hiện bằng $m+n$ cách.

Ví dụ, nếu trên đĩa có 5 quả táo và 9 quả lê, thì việc chọn “một quả táo hoặc một quả lê” có thể thực hiện bằng 14 cách — chọn hoặc một trong 5 quả táo, hoặc một trong 9 quả lê.

Quy tắc nhân phức tạp hơn đôi chút. Nó nói về việc chọn một cặp phần tử $(a, b)^*$.

Quy tắc nhân. Nếu ta có $m$ cách chọn phần tử $a$ và $n$ cách chọn phần tử $b$, thì cặp $(a,b)$ có thể được chọn bằng $mn$ cách.

Như vậy, nếu trên đĩa có 5 quả táo và 9 quả lê, thì cặp (táo, lê) có thể được chọn bằng $5\cdot 9=45$ cách.

*) Hai cặp nhận được từ nhau bằng cách hoán đổi các phần tử được coi là khác nhau, chẳng hạn cặp (1, 4) được coi là không trùng với cặp (4,1).

14

Để thấy được tính đúng đắn của quy tắc nhân, ta ký hiệu mọi cách chọn phần tử $a$ là $a_1, \dots, a_m$, còn mọi cách chọn phần tử $b$ là $b_1, \dots, b_n$. Khi đó, mọi cặp có thể lập từ các phần tử này được sắp trong bảng sau gồm $m$ hàng và $n$ cột:

$$(a_1, b_1), \dots, (a_1, b_n),$$
$$(a_m, b_1), \dots, (a_m, b_n).$$

Trong bảng này có đúng $mn$ cặp.

Lưu ý rằng đôi khi các lựa chọn phức tạp hơn — trước hết cần chọn phần tử $a$, rồi, tùy theo lựa chọn đó, chọn phần tử $b$. Nhưng nếu phần tử $a$ có thể được chọn bằng $m$ cách, và sau mỗi cách đó phần tử $b$ có thể được chọn bằng $n$ cách, thì số các cặp khác nhau $(a, b)$ lại bằng $mn$. Hãy tự chứng minh điều này.

Dĩ nhiên, có thể xảy ra rằng ta cần thực hiện không phải hai mà là vài lựa chọn. Trong trường hợp này cần nhân số phương án của mỗi lựa chọn. Nói cách khác, đúng là quy tắc sau đây.

Nếu phần tử $a_1$ có thể được chọn bằng $n_1$ cách, phần tử $a_2$ — bằng $n_2$ cách, phần tử $a_k$ — bằng $n_k$ cách, thì bộ $(a_1, \dots, a_k)$ có thể được chọn bằng $n_1 \dots n_k$ cách (trong đó các bộ chỉ khác nhau ở thứ tự các phần tử được coi là khác nhau).

Bây giờ ta đã có thể giải bài toán về số kết quả có thể có của trận đấu thế kỷ. Trên mỗi bàn có thể có 3 kết quả: thắng, hòa và thua. Vì số bàn bằng 10, nên có thể có $3^{10} = 59049$ kết quả khác nhau. Còn nếu cần biểu diễn không chỉ kết quả của mỗi ván đấu mà cả tỷ số của nó, thì sẽ nhận được đáp số $9^{10}$.

Bằng quy tắc nhân có thể giải cả những bài toán khá phức tạp, trong đó việc chọn các phương án bị ràng buộc bởi những điều kiện bổ sung.

Ví dụ. Trong bảng chữ cái Nga có 33 chữ cái khác nhau. Có thể lập được bao nhiêu từ gồm 5 chữ cái, nếu không cho phép những từ trong đó hai chữ cái giống nhau đứng liền nhau?

Dĩ nhiên, «từ» ở đây có nghĩa khác với trong ngữ văn — cho phép những «từ» như аббед hoặc абаба. Nhưng các từ kiểu ссора, пресс, аахен không được phép — trong chúng có hai chữ cái giống nhau đứng liền nhau.

Để giải ví dụ này, ta sẽ chọn các chữ cái lần lượt — trước hết chữ thứ nhất, rồi chữ thứ hai, thứ tư, thứ năm, chữ thứ sáu có thể chọn bằng 33 cách — vì ta có cả 33 chữ cái của bảng chữ cái Nga. Còn chữ cái thứ hai chỉ có thể chọn bằng 32 cách — vì nó phải khác chữ thứ nhất. Chữ cái thứ ba cũng có thể chọn bằng 32 cách — nó phải khác chữ thứ hai; chữ cái thứ tư và thứ năm cũng có thể chọn bằng 32 cách. Tổng cộng nhận được $33 \cdot 32 \cdot 32 \cdot 32 = 34603008$ từ khác nhau thỏa mãn điều kiện đã đặt ra.

2. Các tập con k. Bằng quy tắc cộng và nhân có thể giải các bài toán tổ hợp khác nhau. Nhưng điều đó không phải lúc nào cũng tiện, cũng như không phải lúc nào việc giải bất kỳ bài toán hình học nào về các tiên đề cũng tiện. Bên cạnh các tiên đề, trong hình học ta dùng các định lý, điều đó cho phép rút ngắn lời giải bài toán. Tương tự, trong tổ hợp có một vài bài toán đơn giản nhất, «tiêu chuẩn», mà lời giải của các bài toán khác thường có thể quy về chúng.

Các bài toán này được phát biểu bằng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp. Nếu bạn đọc không biết «tập hợp», «phần tử của tập hợp», «giao của các tập hợp», «hợp của các tập hợp» là gì, chúng tôi dẫn bạn đọc đến tài liệu tham khảo, danh sách được đưa ở cuối bài viết. Tuy vậy, chúng ta sẽ chỉ dùng những khái niệm đơn giản nhất của lý thuyết tập hợp, hiện nay sẽ được học ở lớp 4 và lớp 5 của trường phổ thông, và làm ví dụ ta sẽ lấy một tập hợp gồm bốn phần tử và sẽ biểu diễn các tập con của nó cùng những từ được lập từ các phần tử của tập hợp này (hình 1-5).

15

Hình 1. Cho tập hợp $N$ gồm bốn phần tử: mã, tượng, hậu và xe.

Hãy giải bài toán sau. 5 sinh viên thi kiểm tra bơi. Kiểm tra đạt nếu sinh viên bơi được 100 mét (thời gian bất kỳ). Nếu phải đến vớt sinh viên lên, thì kiểm tra không đạt. Cuộc bơi có thể kết thúc theo bao nhiêu cách?

Có thể có những trường hợp khác nhau. Có thể cho rằng tất cả sinh viên đều là những người bơi giỏi, cũng có thể cho rằng phải cứu cả năm người. Có thể đếm tổng số kết quả như sau. Xếp tất cả sinh viên theo một thứ tự nào đó, chẳng hạn theo thứ tự chữ cái: Andreev, Borisov, Voldin, Grigoriev, Dmitriev. Với mỗi người có hai khả năng — hoặc người đó đạt kiểm tra, hoặc không. Trong trường hợp thứ nhất, gán cho sinh viên này chữ số 1, trong trường hợp thứ hai — chữ số 0. Khi đó kết quả cuộc bơi được biểu diễn bằng một dãy dài 5 gồm các số không và một. Chẳng hạn, dãy 0, 1, 1, 0, 1 có nghĩa là chỉ Borisov, Voldin và Dmitriev bơi đủ tốt. Còn nếu chỉ Grigoriev đạt kiểm tra, thì báo cáo về kết quả cuộc thi sẽ có dạng: 0, 0, 0, 1, 0. Dãy 0, 0, 0, 0 có nghĩa là không sinh viên nào đến được đích.

Như vậy, bài toán về số kết quả của cuộc bơi được quy về bài toán sau: có thể lập bao nhiêu dãy độ dài 5 từ các chữ số 0 và 1? Đáp án cho bài toán này được cho bởi phép nhân đúng: vì ở mỗi vị trí của dãy ta có lựa chọn giữa hai khả năng, nên tổng số kết quả bằng $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$. Vậy có 32 kết quả có thể của cuộc bơi.

Trong bài toán đã xét, ta cần biết có thể lập bao nhiêu tập con từ tập hợp $N$: {Andreev, Borisov, Voldin, Grigoriev, Dmitriev}.

Trong đó cho phép cả tập con rỗng, cũng như tập con trùng với toàn bộ tập hợp $N$. Đáp số là $32 = 2^5$. Hoàn toàn tương tự có thể chứng minh rằng nếu tập hợp $N$ chứa $n$ phần tử, thì nó có $2^n$ tập con. Kết quả này cũng có thể chứng minh bằng cách dùng quy nạp toán học.

Trong các cuộc thi Olympic người ta làm như sau: hai người giỏi nhất vào chung kết. Hãy tìm xem các cuộc thi trong trường hợp này có thể có bao nhiêu kết quả. Về mặt toán học, bài toán được phát biểu như sau: có thể chọn 2 phần tử từ một tập hợp chứa 5 phần tử theo bao nhiêu cách? Dễ kiểm tra rằng có thể làm điều này theo 10 cách (hãy tự liệt kê tất cả các cách ấy). Nhưng phương pháp “liệt kê trực tiếp” như vậy chỉ thích hợp khi số người tham gia ít. Ta muốn có một công thức cho phép trả lời ngay câu hỏi. Vậy ta cần giải bài toán sau.

Có bao nhiêu $k$-tập con chứa trong tập hợp $N$ gồm $n$ phần tử?

Ở đây, để ngắn gọn, ta nói “$k$-tập con” thay cho “tập con chứa $k$ phần tử”.

Việc chọn một tập con từ tập hợp đã cho $N$ có thể hình dung như sau. Ta bỏ các phần tử của tập hợp $N$ vào một cái túi, rồi thò tay vào túi và lấy ra một tập con. Dĩ nhiên, cả $k$ phần tử của tập con được lấy ra cùng một lúc và không thể thiết lập bất kỳ thứ tự hợp lý nào cho chúng.

⟦trang 18⟧

Hình 5. Có $P_4=4!=24$ hoán vị các phần tử của tập hợp $N$.

lần lượt lấy ra khỏi đó từng phần tử của tập hợp này. Nhưng lần này ta sẽ không trả các phần tử ấy lại vào túi, mà xếp chúng thành một hàng. Sau $k$ lần chọn, ta lại có một từ $k$ $(a_1, \dots, a_n)$, nhưng lần này trong các phần tử $a_1, \dots, a_n$ không có phần tử lặp lại *). Cũng có thể nói rằng các từ $k$ không lặp — đó là các tập con $k$ có thứ tự của tập hợp $N$.

Số các từ $k$ không lặp từ $n$ phần tử được ký hiệu là $A_n^k$. Từ quy tắc nhân suy ra ngay rằng

$$A_n^k=n(n-1)\dots(n-k+1).$$

Thật vậy, phần tử thứ nhất có thể chọn theo $n$ cách, phần tử thứ hai — chỉ theo $n-1$ cách, vì không thể lấy phần tử đã chọn. Phần tử thứ ba có thể chọn theo $n-2$ cách, …, theo $k-1-(n-k+1)$ cách.

*) Những $k$-từ như vậy được gọi là chỉnh hợp không lặp.

Vậy, tổng số cách quả thực được biểu thị bởi công thức (3).

Ví dụ, nếu từ 10 thành viên của ủy ban cần chỉ định một đại diện, người thay thế của người đó và thư ký, thì có thể làm điều này theo $10\cdot 9\cdot 8\cdot 720$ cách.

5. Hoán vị. Nếu từ một túi, các phần tử của tập hợp $N$ được lấy ra và xếp thành một hàng, lần lượt từng phần tử một (và không phần tử nào được trả lại), thì cuối cùng mọi phần tử của tập hợp $N$ đều được sắp xếp theo một thứ tự nào đó. Trong trường hợp này người ta nói đến các hoán vị không lặp từ $n$ phần tử. Như vậy, một hoán vị từ $n$ phần tử là một từ $k$ không lặp từ $n$ phần tử. Đặt trong công thức (3) $k=n$, ta được rằng số hoán vị từ $n$ phần tử bằng $n!$. Nó được ký hiệu bởi $P_n$. Vậy,

$$P_n=n!$$

6. Hoán vị có lặp. Chúng ta đã biết rằng từ $n$ «chữ cái» có thể

20

Bài viết này nói về một số tính chất của elip và về những quy luật khác nhau của chuyển động các hành tinh, trong đó quan trọng nhất được gọi là các định luật Kepler.

Lực hấp dẫn
Định luật quán tính hiện nay có vẻ là định luật sơ đẳng và tự nhiên nhất — việc học cơ học sẽ bắt đầu từ đó. Tuy nhiên, để hiểu nó, cần phải tách khỏi những gì diễn ra ngay trước mắt. Trong điều kiện thông thường, chuyển động của vật trong mặt phẳng ngang bị cản trở bởi ma sát và sức cản không khí; khi chuyển động trong mặt phẳng đứng, vật chịu tác dụng của lực cản không khí và lực hấp dẫn. Cần phải thoát khỏi ảnh hưởng của chúng, ít nhất là trong suy nghĩ. Điều đó đã mất nhiều năm.

Chỉ sau khi định luật quán tính — định luật về chuyển động của vật trong những điều kiện lí tưởng hóa — được hiểu rõ, người ta mới có thể xem xét chuyển động của các vật dưới tác dụng của lực.

Định luật rơi của các vật trên Trái Đất được Galileo (1564—1642) xác lập. Ông là người đầu tiên đặt ra cho mình nhiệm vụ hiểu xem vận tốc của một vật rơi thay đổi như thế nào trong những khoảng thời gian liên tiếp. Như vậy, ông đã đưa gia tốc vào cơ học và xác lập rằng gia tốc của mọi vật rơi xuống đất là như nhau và không đổi. Nhưng việc nguyên nhân của gia tốc là lực hấp dẫn chỉ được Newton hiểu ra sau này.

Gần sau đó nhiều năm kể từ khi công trình của Galileo được công bố, Newton đã phát hiện định luật vạn vật hấp dẫn (năm 1687), theo đó lực hấp dẫn không không đổi mà giảm khi khoảng cách giữa các vật tăng lên, theo bình phương của khoảng cách ấy.

Nếu vật lí phát triển về mặt lịch sử theo trật tự mà nó được trình bày trong sách giáo khoa, thì chỉ sau phát hiện của Newton người ta mới có thể chuyển sang nghiên cứu các định luật chuyển động của các hành tinh. Nhưng sự phát triển của khoa học không tuân theo logic của sách giáo khoa. Từ lâu trước Newton, các định luật này đã được người đương thời với Galileo là Johann Kepler (1571—1630) xác lập.

Kiến thức của Kepler về cơ học, so với kiến thức của một học sinh hiện đại, cực kì ít ỏi. Ông không những không biết các định luật Newton (chúng còn chưa được phát hiện), mà còn có một quan niệm hết sức mơ hồ về lực là gì. Tất cả những gì Kepler có trong tay là những nhật kí rất cẩn thận về quan sát chuyển động của các thiên thể, mà thầy ông là Tycho Brahe *) đã ghi chép trong nhiều năm và bản thân ông tiếp tục ghi chép. Chỉ có sự cần cù phi thường và niềm tin vào sự tồn tại của những định luật đơn giản chi phối chuyển động của các hành tinh mới cho phép ông phát hiện các định luật từ đó mang tên ông.

Các định luật Kepler đến nay cũng không hẳn đơn giản. Chủ yếu điều này liên quan đến việc các elip — những đường cong theo đó các hành tinh chuyển động — ít quen thuộc với người đọc thông thường. Nhưng trên thực tế, việc suy ra các định luật Kepler không khó đến thế. Để làm điều đó, cần sử dụng hai định luật cơ học: định luật bảo toàn năng lượng (mà cả Kepler lẫn Newton đều không biết) và định luật bảo toàn mômen động lượng. Định luật sau, như chúng ta sẽ thấy, tương đương với định luật Kepler thứ hai: các diện tích do bán kính-vectơ của hành tinh quét được trong những khoảng thời gian bằng nhau là bằng nhau.

*) Tycho Brahe là một trong những nhà thiên văn cuối cùng quan sát chuyển động của các thiên thể bằng mắt thường.

22

Định luật bảo toàn năng lượng

Trên bề mặt Trái Đất, lực hấp dẫn bằng $mg$. Nếu đưa vào thế năng của vật trong trường hấp dẫn $U = mgh$ (h — khoảng cách từ vật đến Trái Đất), thì có thể khẳng định rằng khi vật chuyển động, tổng động năng và thế năng của nó $E = \frac{mv^2}{2} + mgh$ không đổi.

Tuy nhiên, biểu thức cho $U$ mà ta đã viết chỉ đúng khi khoảng cách từ vật đến Trái Đất nhỏ, khi $h$ nhỏ so với bán kính Trái Đất và có thể coi lực hấp dẫn là không đổi. Nếu độ cao lớn hơn, thì lực hấp dẫn giảm theo khoảng cách. Theo định luật Newton

$$|F| = \gamma \frac{mM}{R^2},$$

trong đó $\gamma$ — hằng số hấp dẫn, $M$ — khối lượng Trái Đất và $R$ — khoảng cách từ vật đến tâm Trái Đất.

Nếu dùng biểu thức chính xác cho lực hấp dẫn, thì phải thay thế thế năng bằng $U = -\gamma \frac{mM}{R}$. Hãy kiểm tra điều này. Nhớ rằng công mà vật thực hiện khi chuyển động bằng độ giảm.

Hình 2.

Hình 3.

của thế năng của nó. Ta tính công do vật rơi từ độ cao $R_2$ xuống độ cao $R_1$ tính từ tâm Trái Đất (hình 2). Để làm điều đó, cần tính hiệu thế năng của vật:

$$\text{công} = U_2 - U_1 =$$

$$= \gamma m M \left( -\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_1} \right) =$$

$$= \gamma m M \left( \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2} \right).$$

Nếu $R_2 - R_1 \ll R_1$ ($R_2 \approx R_1$), thì tích $R_1 R_2$ có thể thay bằng $R^2$ — bình phương trung bình nhân của $R_1$ và $R_2$ (khi $R_2 \approx R_1$: $R \approx R_2 \approx R_1$), còn $R_2 - R_1$ thay bằng $l$ — quãng đường vật đã đi được. Khi đó công thức cuối cùng có dạng

$$\text{công} = \text{lực} \times \text{quãng đường} = \gamma \frac{mM}{R^2} l.$$

lực quãng đường trọng lực

Điều này có nghĩa là biểu thức của $U$, mà chúng ta đã viết ở trên, — chính là thế năng của vật.

Bây giờ ta cần viết công thức năng lượng toàn phần của vật theo cách khác:

$$E = \frac{mv^2}{2} - \gamma \frac{mM}{R} = m \left( \frac{v^2}{2} - \gamma \frac{M}{R} \right).$$

Elip

Hãy bắt đầu bằng định nghĩa thông thường về elip (hình 3). Elip là quỹ tích các điểm mà tổng khoảng cách từ chúng đến hai điểm (các tiêu điểm của elip) là không đổi.

23

Hình 4.

Từ định nghĩa này có thể suy ra một tính chất “quang học” thú vị của elip: nếu đặt một nguồn sáng tại một trong các tiêu điểm của elip gương *), thì mọi tia đi ra từ đó sẽ hội tụ tại tiêu điểm kia của elip **). Điều này có nghĩa là các góc giữa những đường thẳng đi từ các tiêu điểm của elip đến một điểm trên elip và tiếp tuyến với elip bằng nhau (hình 4).

Ta sẽ chứng minh rằng elip còn có một tính chất nữa, thậm chí thuận tiện để lấy làm định nghĩa của elip. Để làm điều đó, kẻ tiếp tuyến $t$ với elip tại điểm $A$ và hạ từ cả hai tiêu điểm của elip các đường vuông góc xuống tiếp tuyến này (hình 5). Kéo dài một trong các đường vuông góc qua đường thẳng $t$ một đoạn $F'_2 N_2$, bằng $N_2 F_2$. Bây giờ nối các điểm $F'_2$ và $F_1$ với điểm $A$. Ta sẽ chứng minh rằng $F'_2 AF_1$ — là một đường thẳng.

Điều này thấy ngay từ $\alpha_1 = \alpha_2$ (theo cách dựng) và $\alpha_1 = \alpha_3$ (theo tính chất quang học của elip). Do đó, $\alpha_2 = \alpha_3$, và vì thế, $F'_2 AF_1$ — là một đường thẳng.

*) Ellipsoid được gọi là quỹ tích hình học của điểm mà tổng các khoảng cách từ đó đến hai điểm cố định là không đổi. Mặt như vậy thu được khi quay elip quanh trục của nó.

**) Dễ nhất để chứng minh tính chất này của elip là dùng nguyên lý Fermat (xem “Kvant” số 11, 1970).

Hình 5.

Tiếp theo, vì $AF'_2 = AF_2$, nên $F_1 F'_2 = F_1 A + AF'_2 = F_1 A + AF_2$, tức là đoạn $F_1 F'_2$ bằng tổng các khoảng cách từ một điểm của elip đến các tiêu điểm. Ký hiệu tổng này là $2a$. Bây giờ hạ đường vuông góc $F_1 B$ xuống đường thẳng $F'_2 F'_2$, tính độ dài cạnh góc vuông $F_1 B$ từ hai tam giác vuông — màu nâu và màu vàng — rồi cho hai biểu thức của $F_1 B$ bằng nhau:

$(2a)^2 - (\rho_1 + \rho_2)^2 = (2c)^2 - (\rho_2 - \rho_1)^2$.

Khai triển các ngoặc, ta được

$\rho_1 \rho_2 = a^2 - c^2$.

Vậy tích $\rho_1 \rho_2$ không phụ thuộc vào điểm nào mà tiếp tuyến được kẻ qua. Kẻ nó tại đầu mút của bán trục nhỏ (hình 6). Trong trường hợp này $a^2 - b^2 = c^2$. Do đó $\rho_1 \rho_2 = b^2$.

Như vậy, ta đã thu được định lý cơ bản:

Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm đến bất kỳ tiếp tuyến nào của elip là một đại lượng không đổi, bằng bình phương bán trục nhỏ.

24

Định luật thứ nhất của Kepler

Bây giờ ta có thể xét chuyển động của một hành tinh. Để đơn giản, ta sẽ không chứng minh rằng quỹ đạo của hành tinh là một elip, mà, giả sử điều đó và sử dụng các định luật bảo toàn mômen động lượng và năng lượng, sẽ tìm các tiêu điểm của nó và thấy rằng chuyển động theo các elip trong trường hấp dẫn không mâu thuẫn với các định luật bảo toàn.

Đánh dấu hai vị trí của hành tinh $A$ và $A'$, đối xứng qua tâm elip (hình 7). Cũng có thể nói cách khác: điểm $A$ là vị trí thực của hành tinh tại một thời điểm nào đó, còn $A'$ thu được từ vị trí thứ nhất bằng cách chuyển Mặt Trời sang tiêu điểm kia, trong khi hành tinh vẫn ở chỗ cũ.

Viết định luật bảo toàn năng lượng. Ký hiệu các đại lượng bằng chỉ số 1 cho điểm $A$ và chỉ số 2 cho điểm $A'$, ta được $(E_1 = E_2 = E)^*$.

$$-E = \frac{mv_1^2}{2} - \gamma \frac{mM}{r_1} = \frac{mv_2^2}{2} - \gamma \frac{mM}{r_2}.$$

Mômen động lượng của hành tinh bằng tích của động lượng $mv_1$ (hoặc $mv_2$) với «cánh tay đòn» — tham số va chạm $\rho_1$ (hoặc $\rho_2$), đồng thời toàn năng lượng $T + U = -E < 0$.

Mômen động lượng đối với cả hai vị trí của hành tinh là như nhau:
$$L = mv_1\rho_1 = mv_2\rho_2.$$
Ta tính tích các động năng của hành tinh tại các điểm $A$ và $A'$:
$$T_1T_2 = \frac{mv_1^2}{2} \cdot \frac{mv_2^2}{2} = \left(-E + \frac{\alpha}{r_1}\right) \times \left(-E + \frac{\alpha}{r_2}\right).$$
(Ở đây $\alpha = \gamma Mm$.)
Thay trong phương trình này các vận tốc bằng những biểu thức của chúng qua mômen động lượng, sau những biến đổi đơn giản ta được:
$$\frac{1}{4} \frac{L^4}{m^2\rho_1^2\rho_2^2} - E^2 = \frac{-\alpha(r_1 + r_2)E + \alpha^2}{r_1r_2}.$$

Không khó để thấy rằng đẳng thức này được thỏa mãn nếu quỹ đạo của hành tinh là một elip. Thật vậy, cần đặt
$$r_1 + r_2 = \frac{\alpha}{E} = 2a$$
và
$$\rho_1\rho_2 = \frac{L^2}{2mE} = b^2.$$

Cả hai đẳng thức này không gì khác hơn là hai định nghĩa của elip đã nêu ở trên.

Như vậy, quỹ đạo của ta là một elip có các bán trục: lớn
$$a = \gamma \frac{mM}{2E} \text{ và nhỏ } b = \frac{L}{\sqrt{2mE}}.$$

26

Hình 8.

Khi đó vận tốc của hành tinh sẽ không có thứ nguyên. Vận tốc là một số cho biết $v_0$ chứa trong vận tốc của hành tinh bao nhiêu lần:

$$\beta_1 = \frac{v_1}{v_0} \quad \text{và} \quad \beta_2 = \frac{v_2}{v_0}.$$

Theo điều trên, các vận tốc $\beta_1$ và $\beta_2$ liên hệ với nhau bởi hệ thức

$$\beta_1 = \frac{1}{\beta_2}.$$

Điều đó có nghĩa gì? Nếu hạt chuyển động tại một điểm nào đó của quỹ đạo với vận tốc $\beta$, thì tại điểm đối xứng qua tâm quỹ đạo, vận tốc của nó sẽ bằng $\frac{1}{\beta}$

Chúng ta đã mô tả quỹ đạo của hành tinh bằng cách cho vị trí (tọa độ) của nó tại mỗi thời điểm. Cũng có thể làm khác đi — cho các vận tốc của hành tinh. Đường cong thu được khi đó gọi là đồ thị vận tốc (có thể nói rằng đó là quỹ đạo trong không gian vận tốc). Vì tích các đoạn $\beta_1$ và $\beta_2$ không đổi, nên đồ thị vận tốc của hành tinh là một đường tròn (hình 8) (hãy nhớ định lý: “Cho một điểm nằm bên trong đường tròn. Khi đó đối với mọi dây cung đi qua điểm này, tích độ dài các đoạn mà điểm này chia dây cung là như nhau”).

Nếu thay vận tốc $\beta$ bằng $\frac{1}{\beta}$ tại mỗi điểm của đồ thị vận tốc, thì đồ thị vận tốc sẽ không thay đổi, mà chỉ quay đi $180^\circ$. Tính chất này gọi là tính bất biến của chuyển động đối với phép nghịch đảo.

Nếu quỹ đạo của hành tinh là đường tròn, thì $\beta = 1$ (hãy chứng minh!). Trong trường hợp này, đồ thị vận tốc là một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ.

Chu kỳ chuyển động

Để tính chu kỳ chuyển động — thời gian hành tinh quay một vòng đầy đủ quanh Mặt Trời hoặc vệ tinh nhân tạo quay quanh Trái Đất, cần tính thời gian đi qua từng đoạn của quỹ đạo (riêng biệt, vì vận tốc luôn thay đổi) rồi cộng theo tất cả các đoạn. Tất nhiên, không thể làm điều đó bằng các phép tính sơ cấp, nhưng có thể vượt qua mọi khó khăn.

Từ định luật Kepler thứ hai, ta biết rằng trong thời gian $\Delta t$ vectơ bán kính của hành tinh “quét” một diện tích bằng $\frac{L}{2m} \Delta t$ (nhắc lại rằng $L = \text{hằng số}$). Vậy chu kỳ chuyển động có thể tính được bằng cách chia diện tích elip cho tốc độ “quét” không đổi

$$T = \frac{S_{\text{elip}}}{L/2m}.$$

Vì elip thu được từ đường tròn, bị nén theo một hướng $\frac{b}{a}$ lần$^*$), nên diện tích elip bằng

$$S_{\text{elip}} = S_{\text{đường tròn}} \cdot \frac{b}{a} = \pi a^2 \frac{b}{a} = \pi ab.$$

Từ các công thức này ta được

$$T = \frac{2\pi ab}{L}.$$

Nhưng $b = \frac{L}{\sqrt{2Em}}$, do đó

$$T = \pi a \sqrt{\frac{2m}{E}}$$

$^*$) Xem bài viết của I. N. Bronshtein “Elip” (“Kvant” số 9, 1970).

27

hoặc, thay vào đây các biểu thức của $a \left( a = \gamma \frac{Mm}{2E} \right)$ và thay $\left( \frac{2E}{m} \right)^{3/2}$ bằng $v_0^3$, ta được
$$T = 2\gamma M \frac{m}{2E} \sqrt{\frac{m}{2E}} = 2 \frac{\pi \gamma M}{v_0^3}.$$
Từ công thức này thấy rằng chu kì quay chỉ phụ thuộc vào đại lượng $v_0$. Nếu từ cùng một điểm trên bề mặt Trái Đất phóng vài vệ tinh giống nhau theo những hướng khác nhau, nhưng với cùng vận tốc $v_0$, thì tất cả chúng sẽ đồng thời (sau thời gian $T$) tụ họp tại cùng điểm đó.

Định luật thứ ba của Kepler
Nếu bây giờ trong công thức (*) về chu kì quay của hành tinh, thay năng lượng $E$ bằng biểu thức của nó qua bán trục lớn $\left( E = \gamma \frac{mM}{2a} \right)$, thì ta được
$$T = 2\pi a^{3/2} \frac{1}{\sqrt{\gamma M}}.$$
Do đó, $T^2$ tỉ lệ với $a^3$, nghĩa là bình phương chu kì quay của hành tinh tỉ lệ với lập phương bán trục lớn của elip. Đó chính là định luật thứ ba của Kepler.

Hình 9.
Elip là quỹ tích các tâm của những đường tròn đi qua tiêu điểm và tiếp xúc với một đường tròn cho trước (đường tròn dẫn hướng).

Trong bài này chúng tôi đã lần lượt nói về hình học, quang học và cơ học. Bây giờ hãy giải các bài toán.

Bài toán quang học
Tại một trong các tiêu điểm của một ellipsoid có mặt trong phản xạ như gương, có một nguồn sáng điểm. Hãy dựng ảnh của nguồn này đối với người quan sát ở tiêu điểm thứ hai của ellipsoid.

Bài toán hình học
Chứng minh rằng elip là quỹ tích các tâm của những đường tròn đi qua tiêu điểm và tiếp xúc với một đường tròn cho trước (đường tròn dẫn hướng) (hình 9).

Trên hình vẽ thấy rằng chân các đường vuông góc $\rho_1$ và $\rho_2$ nằm trên «đường tròn chính». Điều đó có phải là ngẫu nhiên không?

Bài toán vũ trụ
Quỹ đạo của vệ tinh Trái Đất có các tham số: khoảng cách lớn nhất $R$, khoảng cách nhỏ nhất $r$. Tính toàn năng lượng và mômen động lượng của vệ tinh. Tìm vận tốc của vệ tinh tại các đầu của trục lớn và trục nhỏ.

Cách dựng đẹp
Hình trên bìa tạp chí được dựng như sau: bên trong một đường tròn chọn một điểm, rồi từ điểm đó làm tâm vẽ một đường tròn nhỏ hơn. Từ tâm của đường tròn thứ hai này kẻ các tia cho đến khi gặp đường tròn lớn. Qua điểm trên mỗi tia nằm chính giữa hai đường tròn, kẻ một dây cung vuông góc với tia đó. Vệt bên trong có dạng elip.

28

ĐƯỜNG TRÒN PHỤ

Lời giải của nhiều bài toán hình học bắt đầu bằng việc kẻ các đường phụ, giúp thiết lập mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho và chưa biết của hình. Thường không dễ tìm được một phép dựng phụ thích hợp. Vì vậy, đối với mỗi bài toán đã giải, cần xem xét kỹ và cố gắng làm rõ vì sao những đường phụ này hay những đường phụ khác lại dẫn đến mục đích. Có thể dùng ví dụ đã tìm được để giải một số bài toán khác không?

Trong buổi họp tiếp theo của câu lạc bộ toán học, ta sẽ xét một ví dụ thú vị về việc giải các bài toán hình học, gồm ở chỗ đưa một đường tròn phụ vào hình vẽ.

Ví dụ 1. Trong một tam giác nhọn, kẻ các đường cao AP, BQ và CR. Chứng minh rằng $\angle ABQ = \angle APR$).

Lời giải. Gọi H là giao điểm các đường cao của tam giác ABC (hình 1). Vì $\angle APB$ và $\angle CRB$ vuông, nên có thể ngoại tiếp đường tròn qua tứ giác BPHR, lấy BH làm đường kính. Dựng đường tròn đó, ta nhận thấy rằng $\angle ABQ = \angle APR$ (vì là các góc nội tiếp chắn cùng một cung).

*) Xem “Kvant” số 1, 1970, tr. 59.

Hình 1.

Như vậy, việc dựng đường tròn phụ cho phép sử dụng định lý về các góc nội tiếp và nhờ đó thiết lập mối liên hệ giữa các góc nêu trong đề bài.

Hãy xác định kết quả thay đổi thế nào nếu $\angle B$ của tam giác ABC là góc tù.

Hãy tự giải một vài bài toán tương tự.

1. Từ một điểm tùy ý M trên cạnh góc vuông BC của tam giác vuông ABC, hạ đường vuông góc MN xuống cạnh huyền AB. Chứng minh rằng $\angle MAN = \angle MCN$.

2. Chứng minh rằng đường thẳng nối đỉnh góc vuông của một tam giác vuông với tâm của hình vuông dựng ra phía ngoài trên cạnh huyền sẽ chia đôi góc vuông của tam giác.

3. Từ một điểm tùy ý M bên trong một góc đã cho, hạ các đường vuông góc MP và MQ xuống các cạnh của góc. Từ đỉnh góc A hạ đường vuông góc AK’ xuống đoạn PQ. Chứng minh rằng $\angle KAP = \angle MAQ$.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng đoạn thẳng nối chân của hai đường cao của một tam giác nhọn cắt từ nó ra một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

29

Hình 2.

Lời giải. Gọi $AA_1$ và $BB_1$ là các đường cao của tam giác nhọn $ABC$ (hình 2). $\angle AA_1B$ và $\angle AB_1B$ là góc vuông, vì vậy đường tròn dựng trên cạnh $AB$ của tam giác làm đường kính đi qua các điểm $A_1$ và $B_1$. Tiếp theo, $\angle ABC = 180^\circ$ — $\angle AB_1A_1$, $\angle A_1B_1C = 180^\circ$ — $\angle AB_1A_1$, do đó $\angle ABC = \angle A_1B_1C$, và các tam giác $ABC$ và $A_1B_1C$ đồng dạng.

Bài toán này cũng có thể giải mà không cần dựng thêm, nếu nhận thấy rằng các tam giác $AA_1C$ và $BB_1C$ đồng dạng, rồi viết tỉ lệ

$$\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}.$$

Hãy giải mỗi bài trong hai bài sau bằng cả hai cách.

4. Từ đỉnh $A$ của hình bình hành $ABCD$ kẻ các đường cao $AM$ và $AN$. Chứng minh rằng các tam giác $AMN$ và $ABC$ đồng dạng.

5. Từ chân $H$ của đường cao $CH$ của tam giác $ABC$ hạ xuống các cạnh $AC$ và $BC$ các đường vuông góc $HM$ và $HN$. Chứng minh rằng tam giác $CMN$ đồng dạng với tam giác $ABC$.

Đôi khi có lợi khi dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng bình phương đường phân giác của một tam giác bằng hiệu giữa tích các cạnh kề nó và tích

các đoạn của cạnh thứ ba mà đường phân giác chia ra.

Lời giải. Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và kéo dài đường phân giác $CD$ của tam giác cho đến khi gặp đường tròn tại điểm $E$ (hình 3). Đặt $BC = a$, $AC = b$, $AD = m$, $BD = n$, $CD = l$, $DE = x$.

Theo giả thiết $\angle ACE = \angle BCE$, ngoài ra, $\angle AEC = \angle ABC$, vì là các góc nội tiếp chắn cùng một cung. Do đó, các tam giác $ACE$ và $BCD$ đồng dạng và có đẳng thức $$\frac{l + x}{b} = \frac{a}{l},$$ suy ra $l^2 = ab - lx$. Các dây $AB$ và $CE$ cắt nhau tại điểm $D$. Vì vậy, có đẳng thức $lx = mn$. Do đó, $l^2 = ab - mn$.

Ví dụ 4. Đường cao và đường trung tuyến của một tam giác, kẻ từ cùng một đỉnh ở bên trong tam giác, khác nhau và tạo với các cạnh xuất phát từ cùng đỉnh ấy những góc bằng nhau. Chứng minh rằng tam giác vuông.

Lời giải. Giả sử đường cao $CH$ và trung tuyến $CM$ của tam giác $ABC$ tạo với các cạnh $AC$ và $BC$ những góc bằng nhau (hình 4). Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và kéo dài trung tuyến $CM$ đến khi gặp đường tròn tại điểm $D$. Xét các tam giác $ACH$ và $BCD$. Vì $\angle ACH = \angle BCM$ theo giả thiết và $\angle A = \angle D$,

30

Hình 4.

như các góc nội tiếp cùng chắn một cung, nên $\angle AHC = \angle CBD = 90^\circ$. Do đó, $CD$ là đường kính của đường tròn.

Tâm đường tròn nằm trên đường kính $CD$ và trên đường vuông góc $m$ với cạnh $AB$ tại trung điểm $M$ của nó. Vì trung tuyến $CM$ không phải là đường cao, nên các đường thẳng $CD$ và $m$ chỉ có một điểm chung là $M$, chính là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do đó, $AB$ là đường kính của đường tròn và $\angle ACB = 90^\circ$.

Hãy sử dụng kết quả đã nhận được để giải hai bài toán sau.

6. Xác định các góc của tam giác mà trong đó
   a) trung tuyến và đường cao kẻ từ một đỉnh chia góc thành ba phần bằng nhau;
   b) trung tuyến, đường phân giác và đường cao kẻ từ một đỉnh chia góc tại đỉnh đó thành bốn phần bằng nhau.
7. Dựng một tam giác khi biết các góc tạo bởi trung tuyến, đường phân giác và đường cao xuất phát từ một đỉnh.
   Ví dụ 5. Dựng một tam giác đều sao cho các đỉnh của nó lần lượt nằm trên ba đường thẳng song song đã cho.

Hình 5.

Có một số lời giải cho bài toán thú vị này bằng phép quay quanh một điểm, phép đồng dạng và phương pháp đại số. Một lời giải rất ngắn gọn thu được bằng cách dựng một đường tròn phụ.

Lời giải. Gọi $ABC$ là tam giác đều ban đầu, các đỉnh của nó lần lượt nằm trên các đường thẳng song song $a, b$ và $c$ (hình 5). Đường tròn ngoại tiếp nó cắt đường thẳng $c$, ngoài điểm $C$, còn tại một điểm nào đó $D$. Khi đó, dựa vào tính chất của các góc nội tiếp, ta có $\angle ADC = \angle ABC = 60^\circ$.

Từ đây suy ra cách dựng sau. Từ một điểm tùy ý $D$ trên đường thẳng $c$, kẻ các tia tạo với đường thẳng $c$ các góc $60^\circ$ và $120^\circ$. Giả sử một trong các tia cắt đường thẳng $a$ tại điểm $A$ và đường thẳng $b$ tại điểm $B_1$, còn tia kia cắt đường thẳng $b$ tại điểm $B$. Khi đó đoạn thẳng $AB$ sẽ là một cạnh của tam giác $ABC$.

Trên đường thẳng $c$, lấy đoạn $DC$ bằng đoạn $AB_1$ sao cho các điểm $C$ và $A$ nằm cùng một phía đối với đường thẳng $BD$. Khi đó điểm $C$ là đỉnh thứ ba của tam giác $ABC$, vì các tam giác $ABB_1$ và $BCD$ bằng nhau, từ đó suy ra rằng $AB = BC$ và $\angle ABC = 60^\circ$.

Như vậy, cách dựng

31

Hình 6.

việc dựng đường tròn phụ cũng nên được áp dụng khi giải một số bài toán dựng hình.

Xét thêm một bài toán phức tạp, mà khi giải điều khó nhất là đoán ra việc dựng các đường tròn ngoại tiếp các hình vuông.

Ví dụ 6. Trên các cạnh AC và BC của tam giác ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các hình vuông ACA₁A₂ và BCB₁B₂. Chứng minh rằng các đường thẳng AB₁, A₁B và A₂B₂ cắt nhau tại một điểm, và xác định các góc giữa các đường thẳng đó.

Lời giải. Nếu ∠ACB = 90°, thì mệnh đề là hiển nhiên. Các đường thẳng AB₁ và A₁B vuông góc với nhau và mỗi đường trong số đó cắt đường thẳng A₂B₂ tại điểm C dưới góc 45° (hình 6).

Nếu ∠ACB ≠ 90°, thì các đường tròn ngoại tiếp các hình vuông, ngoài điểm C, còn có một điểm chung C₁, chính là điểm giao của các đường thẳng AB₁, A₁B và A₂B₂ (hình 7). Thật vậy, ∠A₂C₁C = 90°, vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Tương tự ∠CC₁B₂ = 90°. Do đó ∠A₂C₁C + ∠CC₁B₂ = 180°, tức là các tia C₁A₂ và C₁B₂ tạo thành một đường thẳng.

Hoàn toàn tương tự, chứng minh được rằng điểm C₁ nằm trên các đường thẳng AB₁ và A₁B.

Xét các góc nội tiếp đã thu được, ta thấy rằng các đường thẳng AB₁ và A₁B vuông góc với nhau và mỗi đường trong số đó tạo với đường thẳng A₂B₂ một góc 45°.

Hình 7.

Bài toán sau có nhiều điểm chung với bài trước.

8. Trên các cạnh AB, BC và CA của một tam giác tùy ý ABC, về phía ngoài tam giác, dựng các tam giác đều ABC₁, BCA₁ và CAB₁. Chứng minh rằng các đường thẳng AA₁, BB₁, CC₁ cắt nhau tại một điểm và mỗi đường trong số đó tạo với đường kia một góc 60°.

9. Chứng minh rằng nếu hai góc đối của một tứ giác là góc tù, thì đường chéo nối các đỉnh của những góc ấy ngắn hơn đường chéo còn lại.

Nêu thêm hai bài toán về cực đại và cực tiểu, để giải chúng cũng nên dựng đường tròn phụ theo một cách nhất định.

10. Trên một cạnh của góc có đỉnh tại điểm S cho các điểm A và B. Hãy tìm trên cạnh kia điểm C sao cho đoạn thẳng AB được nhìn từ đó dưới góc lớn nhất.

11. Từ một điểm tùy ý M nằm trên cạnh AB của tam giác ABC (hoặc trên phần kéo dài của nó), kẻ các đường vuông góc MP và MQ với các cạnh AC và BC. Với điều kiện nào thì đoạn PQ sẽ lớn nhất?

Như vậy, nhiều bài toán hình học khác nhau được giải bằng cùng một phương pháp. Việc dựng đường tròn phụ cho phép tăng số định lý có thể dùng khi giải bài toán, và nhờ đó tìm ra các quan hệ giữa các yếu tố của hình.

33

Không có hiện tượng nào trong tự nhiên phổ biến hơn sự truyền sóng. Sóng trên mặt nước, âm thanh, ánh sáng, vô tuyến, sự truyền biến dạng từ phần này của vật rắn sang phần khác — tất cả đều là các quá trình sóng. Cơ học lượng tử cho thấy rằng chuyển động của các vi hạt cũng tuân theo các quy luật sóng. Tất cả các sóng này có bản chất vật lý khác nhau, tốc độ truyền khác nhau, tần số và bước sóng khác nhau. Nhưng bất kể điều đó, trong chuyển động của mọi loại sóng có nhiều điểm chung. Sau khi nghiên cứu các quy luật truyền sóng của một bản chất, phần lớn chúng có thể được áp dụng thực tế hầu như không thay đổi cho các sóng loại khác. Thuận tiện nhất là nghiên cứu sóng trên mặt nước.

Sóng là gì? Hãy ném một hòn đá xuống nước. Trên mặt nước nằm ngang yên tĩnh sẽ xuất hiện những vòng tròn lan rộng. Các điểm trên mặt nước mà sóng đã tới bắt đầu dao động quanh vị trí cân bằng của chúng. Vị trí này tương ứng với mặt phẳng ngang. Điểm càng xa nơi hòn đá rơi thì càng muộn nó mới “biết” về sự rơi của hòn đá. Nhiễu loạn truyền đi với một tốc độ xác định. Những điểm mà nhiễu loạn tới cùng lúc đều ở trong cùng một giai đoạn của chuyển động dao động (cùng pha). Tốc độ dịch chuyển của pha này chính là tốc độ sóng. Nó hướng theo pháp tuyến với mặt đầu sóng.

Đối với sóng có bất kỳ bản chất nào, luôn có thể chỉ ra các đối tượng vật lý chịu nhiễu loạn dưới tác dụng của sóng, tức là lệch khỏi các giá trị cân bằng của chúng. Đối với âm thanh, đó là sự tăng và giảm tuần hoàn của áp suất. Đối với sóng vô tuyến và ánh sáng, đó là sự thay đổi nhanh của hướng điện trường và từ trường.

Tính chất của mọi môi trường, không có ngoại lệ, đều là: nhiễu loạn phát sinh trong một vùng nào đó lan truyền, truyền từ điểm này sang điểm khác với tốc độ hữu hạn, tốc độ này phụ thuộc vào bản chất của nhiễu loạn và các tính chất của môi trường.

Để sóng xuất hiện, cần có nguồn nhiễu loạn, tức là nguyên nhân bên ngoài gây ra trong một vùng nào đó của môi trường sự phá vỡ trạng thái cân bằng. Một nguồn có kích thước nhỏ, chẳng hạn như hòn đá ném xuống nước, phát ra trong môi trường đồng nhất (tức là trong môi trường mà tốc độ sóng không phụ thuộc vào hướng truyền của nó) các sóng hình cầu (trên mặt nước — sóng tròn), lan truyền theo các bán kính. Những nguồn sóng như vậy được gọi là nguồn điểm.

Một trong những nguyên lý cơ bản của lý thuyết sóng sơ cấp là nguyên lý độc lập của sóng, hay nguyên lý chồng chất. Nó khẳng định rằng nhiễu loạn do sóng gây ra tại điểm quan sát không phụ thuộc vào việc những sóng khác đồng thời đi qua điểm đó. Nguyên lý chồng chất cho một quy tắc đơn giản để tìm tác dụng tổng hợp của sóng từ nhiều nguồn: độ dời tổng hợp bằng tổng các dao động do từng nguồn gây ra riêng rẽ.

Đặc điểm của các quá trình sóng là sự giao thoa của sóng. Giao thoa được gọi là tập hợp các hiện tượng xuất hiện trong môi trường khi sóng từ hai hoặc nhiều nguồn dao động đồng bộ lan truyền. Khi đó, tại một số điểm, các dao động do tác dụng đồng thời của hai nguồn gây ra sẽ mạnh hơn hoặc yếu hơn các dao động do từng nguồn riêng lẻ gây ra. Có thể xảy ra rằng các sóng đồng bộ hoàn toàn triệt tiêu lẫn nhau.

Thoạt nhìn, hiện tượng giao thoa mâu thuẫn với nguyên lí chồng chất. Trước khi bàn về điều này, hãy thử quan sát giao thoa bằng chính mắt mình. Một con mắt tinh tường sẽ dễ dàng thấy giao thoa khi các sóng từ hai hòn đá ném xuống nước cắt nhau. Tuy nhiên, để nghiên cứu giao thoa

34

cách này không thích hợp. Ta sẽ thu được một hình ảnh giao thoa ổn định của sóng nước trên bàn thí nghiệm.

Trước hết cần có một bình chứa nước. Để các sóng phản xạ từ thành bình không che lấp các sóng đi từ nguồn, cần một bình có thành thoải. Về mặt này, một cái đĩa tốt là đĩa mà nước gần như lên đến tận miệng. Đập vào thành, sóng nhanh chóng tắt dần và hầu như không phản xạ. Máy phát sóng có thể là một chuông điện đã tháo nắp. Gắn một đoạn dây kim loại vào búa gõ của chuông, lắp một quả cầu nút bần vào đầu dây; nó sẽ là nguồn sóng điểm. Khi tiến hành thí nghiệm, hãy theo dõi để các dây dẫn được cách điện tốt.

Cần cố định chuông phía trên đĩa sao cho khi xoay chuông có thể nhúng quả cầu nút bần vào nước ở mép đĩa. Tốt nhất là cấp điện cho chuông qua một biến áp tự ngẫu. Điều này cho phép điều chỉnh biên độ dao động. Biến áp tự ngẫu của đường sắt trẻ em rất tiện lợi. Biến áp của dụng cụ đốt hình cũng dùng được. Khi bật thiết bị, ta sẽ thấy trên mặt nước các sóng tròn với khoảng cách giữa những đỉnh kề nhau — tức bước sóng — khoảng 1 cm (hình 1 ở trang 36).

Tốt nhất là quan sát sóng theo bóng trên đáy đĩa dưới ánh sáng Mặt Trời trực tiếp hoặc ánh sáng của một đèn sáng. Mỗi sóng, hoạt động như một thấu kính trụ, tạo ra trên đáy đĩa một dải sáng lặp lại hình dạng của mặt đầu sóng. Tuy nhiên, các sóng chạy với tốc độ khoảng 10 cm/giây hòa lẫn đối với cái nhìn cố định vào chiếc đĩa đứng yên. Chúng chỉ thấy được ở gần nguồn, nơi biên độ của chúng lớn. Để nhìn thấy chúng trên toàn bộ mặt nước, cần nhanh chóng quay đầu. Cũng như vậy, khi chuyển động đầu nhanh, có thể nhìn rõ các nan hoa của bánh xe đang lăn. Sóng được quan sát rất hiệu quả trên kính mờ của máy ảnh, đặc biệt là máy ảnh khổ lớn. Cầm máy ảnh trong tay và lắc nhẹ nó, có thể dễ dàng làm cho sóng thấy được trên toàn bộ bề mặt. Khi đó dường như chúng chạy rất chậm. Cũng có thể nhìn sự phản chiếu của mặt sóng trong gương. Những chuyển động nhẹ của gương cũng làm cho sóng thấy được trên toàn bộ bề mặt. Nhưng thuận tiện nhất là quan sát sóng dưới ánh sáng nhấp nháy. Nếu chiếu sáng bộ thí nghiệm bằng những chớp sáng ngắn có tần số bằng tần số của nguồn sóng, thì từ chớp này đến chớp khác sóng sẽ dịch chuyển một bước sóng, và hình ảnh sóng sẽ có vẻ đứng yên. Việc tạo ra ánh sáng như vậy cực kỳ dễ. Chỉ cần mắc song song với cuộn dây nam châm của chuông một bóng đèn nhỏ. Từ khoảng cách 0,5—1 m nó sẽ chiếu sáng tốt và đều bộ thí nghiệm, và hình ảnh bóng đứng yên của sóng sẽ thấy rõ. Để chụp ảnh, tốt nhất dùng ánh sáng Mặt Trời trực tiếp.

Bây giờ hãy gắn vào búa gõ của chuông một cái nĩa uốn bằng dây kim loại, có những mẩu nút bần ở các đầu. Khoảng cách giữa các đầu nĩa là 2—3 cm. Nếu các đầu cùng hạ xuống nước đồng thời, sẽ có hai nguồn sóng dao động không những đồng bộ, tức là cùng nhịp, mà còn cùng pha, tức là sóng từ cả hai nguồn sẽ xuất hiện vào cùng một thời điểm. Hình ảnh sẽ gần như trên hình 2. Từ các nguồn sóng, những vùng biên độ lớn tỏa lên trên, được ngăn cách bởi các vùng “im lặng”. Vùng biên độ lớn ở giữa nằm vuông góc với đường thẳng nối các nguồn. Cả các vùng im lặng lẫn các vùng biên độ lớn đều đi qua giữa các nguồn.

Khảo sát hình giao thoa bằng thước cho thấy rằng khoảng cách giữa hai cực đại trên đường thẳng nối các nguồn bằng một nửa khoảng cách giữa hai sóng, tức là bằng một nửa độ dài sóng-

35

Hình 2. Giao thoa sóng từ hai nguồn (2d/λ=4).

sóng. Nếu thay đổi khoảng cách giữa các nguồn thì số dải có biên độ lớn cũng sẽ thay đổi (hình 3). Khoảng cách giữa các nguồn càng lớn thì trong quạt của chúng ta càng có nhiều “lông”. Nhưng khoảng cách giữa các cực đại trên đường thẳng nối các nguồn luôn bằng nửa bước sóng. Vì vậy tổng số dải có biên độ cực đại sẽ lớn gấp đôi số bước sóng chứa trong khoảng cách giữa các nguồn. Từ đó suy ra rằng nếu khoảng cách giữa các nguồn nhỏ hơn nửa bước sóng thì hoàn toàn sẽ không có giao thoa. Những nguồn như vậy tác dụng như một nguồn, tạo ra một hệ sóng tròn. Có thể thấy điều này khi dần dần giảm khoảng cách giữa các nguồn. Cũng hãy chú ý rằng nếu tiếp tục mặt sóng đi qua đỉnh trong một vùng biên độ lớn nào đó, thì ở vùng lân cận ta sẽ gặp đáy. Nói cách khác: khi chuyển qua vùng bằng không, pha của sóng thay đổi bằng nửa một dao động toàn phần.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng chúng ta không có hai chiếc búa mà có hai nguồn sáng phát ra sóng ánh sáng, và vuông góc với bề mặt sóng chúng ta đặt một màn. Chúng ta sẽ thấy những chỗ sáng, tương ứng với giao-

Hình 3. Giao thoa sóng từ hai nguồn (2d/λ=2)

của màn với các vùng có biên độ lớn, và những chỗ tối, không được chiếu sáng. Chúng ta sẽ thấy các dải giao thoa tối và sáng. Về cách thực hiện thí nghiệm giao thoa trong quang học, chúng ta sẽ nói vào một dịp khác, còn bây giờ hãy thử giải thích điều đã thấy.

Hãy vẽ trên một tờ giấy cả hai hệ sóng như thể chúng đã đứng yên ở một thời điểm nào đó (hình 4). Đánh dấu các đỉnh sóng bằng màu đỏ, còn các đáy bằng màu xanh. Hãy đánh số các sóng, ghi cùng một số cho những sóng đã đi ra từ các nguồn đồng thời. Từ hình vẽ thấy rằng trên đường thẳng cách đều các nguồn, các sóng có cùng số đến đồng thời. Điều này dễ hiểu, vì đến một điểm trên đường thẳng các sóng đã đi qua những quãng đường bằng nhau. Theo nguyên lý chồng chất, chúng ta có thể kết luận rằng trên đường thẳng này cả độ cao của các đỉnh lẫn độ sâu của các đáy đều tăng gấp đôi. Bên phải và bên trái đường thẳng này là những điểm tại đó các đỉnh của một hệ sóng trùng với các đáy của hệ kia. Trong khi sóng từ một nguồn gây ra tại những điểm này độ lệch lên trên, thì sóng từ nguồn kia trong cùng thời điểm gây ra tại những điểm này độ lệch xuống dưới. Độ lệch tổng cộng tại những điểm này sẽ gần bằng không. Hãy nối tất cả những-

36

Hình 4. Cộng dao động khi giao thoa các sóng từ hai nguồn điểm, $2d/\lambda=3,6$. Các đường đỏ là đỉnh, các đường xanh là đáy. Các đường đậm biểu thị sóng tổng hợp.

các điểm của đường liên tục. Nếu theo dõi việc đánh số các đỉnh và đáy, dễ kết luận rằng đến mọi điểm của đường bên phải, các sóng bên trái đi quãng đường dài hơn các sóng bên phải nửa bước sóng. Đối với đường bên trái, các sóng bên phải chậm hơn nửa bước sóng.

Ở bên phải và bên trái các đường không có nằm các điểm giao của đỉnh thứ nhất với đỉnh thứ hai, của đỉnh thứ hai với đỉnh thứ ba, v.v. Dễ hiểu rằng đó cũng là các vùng cực đại. Nối các điểm này lại, ta sẽ được một đường mà đến các điểm của nó một hệ sóng chậm hơn hệ kia một bước sóng.

Tiếp tục phân tích hình vẽ, có thể tìm được tất cả các đường không có và tất cả các đường

37

cực đại. Những đường mà chúng ta thu được, các nhà toán học gọi là các hyperbol *).

Bây giờ hoàn toàn rõ vì sao khoảng cách giữa các cực đại trên đường nối các nguồn bằng nửa bước sóng. Thật vậy, tới điểm giữa của đường này các sóng đến cùng pha và tăng cường lẫn nhau. Nếu dịch chuyển từ điểm này đi nửa bước sóng, thì quãng đường của một sóng sẽ tăng thêm nửa bước sóng, còn của sóng kia — giảm đi một lượng như vậy. Hiệu đường đi giữa các sóng tại điểm này (hiệu các quãng đường mà sóng đi từ các nguồn tới điểm) sẽ bằng một bước sóng, và các sóng lại tăng cường lẫn nhau, v.v. sau mỗi bước sóng.

Cực đại ứng với hiệu đường đi bằng không được gọi là cực đại bậc không hoặc bậc không của giao thoa. Các cực đại có hiệu đường đi bằng một bước sóng — là các cực đại bậc một của giao thoa, v.v. Bậc giao thoa cực đại được xác định bởi số nguyên gần với 2d/λ, trong đó d — khoảng cách giữa các nguồn, còn λ — bước sóng. Bây giờ hãy tự phân tích bằng hình vẽ, và có thể cả kiểm tra bằng thực nghiệm, bức tranh sẽ thay đổi thế nào nếu một trong các nguồn phát sóng trễ nửa chu kì hoặc một phần nào khác của nó. Còn nếu độ lệch giữa các dao động thay đổi ngẫu nhiên? Để thực hiện thực nghiệm các sóng có độ lệch pha, chỉ cần làm các đầu của âm thoa có độ dài khác nhau.

*) Hyperbol được gọi là quỹ tích những điểm mà hiệu các khoảng cách từ chúng tới hai điểm (các tiêu điểm) được dựng.

Từ sổ tay của giám khảo

Ống Röntgen gồm một bình thủy tinh chứa đầy chân không.

Các nguồn sáng được chia thành hai phe: tự nhiên và nhân tạo.

Đơn vị tần số — hertz — được đặt theo tên nhà khoa học đã phát hiện ra đơn vị này.

Độ tự cảm được đo bằng henry.

Vật càng ở xa thấu kính, ảnh càng thực, càng gần thì càng nhỏ.

Thấu kính có loại lồi kép và lồi đơn.

Nguyên tử phức tạp và nó đã làm các nhà khoa học đau đầu rất lâu.

Mọi vật xung quanh chúng ta: bàn, ghế v.v. đè lên chúng ta bằng một lực bằng trọng lượng của chúng.

Ở những người bình thường, thị lực tốt, cả ở gần lẫn ở khoảng cách lớn.

Tia gamma có độ xuyên thấu lớn.

Hơi bão hòa khác hơi chưa bão hòa ở chỗ chúng đã bão hòa rồi.

Tia màu đỏ dài nhất, còn tia màu tím — ngắn nhất.

Tốc độ góc được biểu thị bằng omega.

38

Chuyên mục này của tạp chí được chúng tôi duy trì từ số này sang số khác. Trong đó đăng các bài toán vật lí và toán học, một số trong đó khá khó. Ngay cả các chuyên gia vật lí và toán học cũng không dễ giải được chúng. Vì vậy, đừng nản lòng nếu bạn không giải được bài này hay bài khác. Hãy thử quay lại với nó sau một thời gian.

Giải một bài toán có nghĩa là hiểu cần sử dụng bộ máy toán học nào, những phương trình (hoặc định lí) nào, cần tính đến những yếu tố nào và có thể bỏ qua những yếu tố nào; điều đó cũng có nghĩa là cố gắng xác định các hiện tượng được nêu trong bài toán được áp dụng trên thực tế ở đâu và như thế nào. Nhưng rồi lời giải đã được tìm ra. Bạn hài lòng. Tuy nhiên, không nên dừng lại ở đó. Hãy nghĩ xem có thể khái quát bài toán như thế nào.

Trong phần thứ hai của chuyên mục (khoảng nửa năm sau khi bắt đầu công bố các bài toán) chúng tôi sẽ đăng lời giải của chúng, có tính đến các thư do độc giả gửi đến. Chúng tôi cần thời gian như vậy vì việc chuẩn bị in số tiếp theo mất hơn bốn tháng.

Những học sinh thường xuyên gửi các lời giải đặc biệt độc đáo và thành công sẽ được quyền tham gia kì thi Olympic toàn liên bang dành cho học sinh ngang hàng với những người chiến thắng kì thi Olympic toàn liên bang qua thư. Ngoài ra, ban biên tập tạp chí đã lập một số giải thưởng đặc biệt cho tác giả của những lời giải thú vị nhất.

Và cuối cùng. Nghĩ ra một bài toán thường khó hơn giải nó. Khó hơn, nhưng cũng thú vị hơn. Hãy thử nghĩ ra các bài toán và gửi chúng cho chúng tôi. Những bài hay nhất trong số đó sẽ được đăng trong “Tuyển tập bài toán của Kvant”.

Hãy gửi lời giải và các bài toán mới của bạn theo địa chỉ: Moskva, V-71, đại lộ Leninsky, 15, tòa soạn tạp chí “Kvant”, “Tuyển tập bài toán của “Kvant””, toán học (vật lí). Lời giải của mỗi bài toán (nếu bạn gửi đồng thời nhiều lời giải) hãy viết trên một tờ riêng (các tờ riêng), rõ ràng và dễ đọc. Cuối thư hãy ghi họ, tên, tên đệm, cũng như lớp và trường của bạn. Các lời giải chỉ được xét nếu nhận được không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi số tạp chí tương ứng phát hành.

⟦trang 39⟧

Hình 1.

M61. Hai nhà thông thái chơi một trò chơi mới, gồm điều sau đây. Viết ra các số 0, 1, 2,…, 1024. Nhà thông thái thứ nhất tùy ý gạch bỏ 512 số, nhà thông thái thứ hai gạch bỏ 256 số trong các số còn lại, rồi nhà thông thái thứ nhất lại gạch bỏ thêm 128 số, sau đó nhà thông thái thứ hai — thêm 64 số, v.v. Ở nước đi thứ năm cuối cùng của mình, nhà thông thái thứ hai gạch bỏ một số. Còn lại hai số, và nhà thông thái thứ hai trả cho nhà thông thái thứ nhất hiệu giữa hai số này. Nhà thông thái thứ nhất phải chơi như thế nào để nhận được nhiều nhất? Nhà thông thái thứ hai phải chơi như thế nào để thua ít nhất? Nhà thông thái thứ hai sẽ trả cho nhà thông thái thứ nhất bao nhiêu, nếu trò chơi được tiến hành một cách tối ưu?

Olympiad Toán học Moskva lần thứ XXXII

M62. Chứng minh rằng với mọi số lẻ $a$ đều tìm được một số tự nhiên $b$ sao cho $2^b - 1$ chia hết cho $a$.

M63. Có thể lát một hình vuông bằng 18 viên gạch kích thước $1 \times 2$ sao cho

Hình 2.

đồng thời không có một «đường mạch» thẳng nào nối các cạnh đối diện của hình vuông và đi dọc theo các mép gạch? (Chẳng hạn, cách xếp gạch như trên hình 1 không được, vì ở đây có «đường mạch» $AB$).

A. A. Kirillov

M64. Trên mặt phẳng cho đường thẳng $l$ và hai điểm $P$ và $Q$, nằm cùng một phía đối với nó. Tìm trên đường thẳng $l$ các điểm $M$ sao cho khoảng cách giữa chân các đường cao của tam giác $PQM$, hạ xuống các cạnh $PM$ và $QM$, được gọi là.

G. A. Palatnik

M65. a) Cho $E, F, G$ là các điểm trên các cạnh $AB, BC$ và $CA$ của tam giác $ABC$, sao cho $\frac{AE}{EB} = \frac{BF}{FC} = \frac{CG}{GA} = k$, trong đó $0 < k < 1$. Hãy tìm tỉ số diện tích của tam giác được tạo bởi các đường thẳng $AF, BG$ và $CE$ với diện tích tam giác $ABC$ (hình 2).

6. Hãy cắt tam giác bằng sáu đường thẳng thành các phần sao cho có thể ghép thành bảy tam giác bằng nhau.

A. L. Soifer

40

F72. Vì sao vào tháng Ba độ dài của ngày thay đổi nhanh hơn so với tháng Mười Hai?

G. L. Komkin

F73. Một dung dịch đường được đổ vào trong một ống thủy tinh. Đầu dưới của ống được bịt bằng một màng thấm nước, nhưng không thấm các phân tử đường. Ống được nhúng vào nước sạch đến mức dung dịch đường và được cố định ở vị trí này. Mực chất lỏng trong ống bắt đầu dâng lên và sau một khoảng thời gian đủ dài sẽ ổn định ở một độ cao nào đó so với mực nước (hình 3).

Sự hút nước vào bên trong ống được giải thích như thế nào? Năng lượng để nâng chất lỏng lấy từ đâu?

F74. Hai tụ điện được mắc nối tiếp. Tụ thứ nhất có điện dung $C_1$ và được thiết kế cho điện áp cực đại $U_1$, tụ thứ hai — có điện dung $C_2$ và được thiết kế cho điện áp $U_2$. Có thể nối bộ tụ điện này với điện áp cực đại nào?

A. R. Zilberman

F75. Một pít-tông có diện tích $S$ được nối bằng khớp với vòng đệm $C$, trượt không ma sát trên đòn bẩy $AB$. Chiều dài đòn bẩy là $L$. Cần tác dụng lực nhỏ nhất nào lên đòn bẩy $AB$ để tăng áp suất trong chất lỏng thêm $\Delta p$ (hình 4)?

B. B. Bukhovtsev, olympiad vật lý Đại học Quốc gia Moskva, năm 1970

F76. Một vành nặng với các nan không trọng lượng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng và có thể quay quanh một trục nằm ngang đi qua tâm. Trong phần dày của vành có gắn một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của chính vành. Chu kỳ dao động của vành quanh trục sẽ là bao nhiêu? Nó sẽ thay đổi thế nào nếu: a) chuyển con lắc lên Mặt Trăng, b) đặt nó vào một chất lỏng mà trong đó nó sẽ chuyển động không ma sát?

PHƯƠNG PHÁP THẾ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

M. I. Skanavi

Phương pháp thế gồm việc chuyển từ đại lượng ban đầu sang một đại lượng khác nào đó. Nó cho phép quy việc giải phương trình về các phương trình có cấu tạo đơn giản hơn hoặc thuộc những kiểu đã được nghiên cứu. Có rất nhiều trường hợp phải sử dụng phương pháp này. Rõ ràng, không thể bao quát chúng bằng một khuyến nghị chung nào. Vì vậy, sự thành công trong việc chọn phép thế thích hợp phụ thuộc đáng kể vào những phẩm chất của người giải như kinh nghiệm, sự nhanh trí, trực giác… Các ví dụ được xét minh họa phương pháp thế trong thực hành.

Ví dụ 1. Giải phương trình
$$\frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12}.$$

Lời giải. Hiệu của các phân thức ở vế trái của phương trình đã cho là một phân thức có mẫu là một đa thức bậc bốn đối với $x$. Trong trường hợp này, việc biến đổi theo khuôn mẫu phương trình sẽ đưa nó về phương trình bậc bốn, điều đó không thể có ý nghĩa quyết định. Sau khi suy nghĩ, ta bắt đầu hiểu rằng nên chọn phép thế
$$x^2 + 2x = z,$$
(*)

vì nó biến đổi phương trình đã cho thành phương trình đơn giản hơn nhiều:
$$\frac{1}{z} - \frac{1}{z+1} = \frac{1}{12}$$

Đối với $z$ ta được phương trình bậc hai có các nghiệm $z_1=3$ và $z_2=-4$. Phép thế (*) dẫn đến hai phương trình bậc hai đối với $x$:
$$x^2 + 2x = 3$$
và
$$x^2 + 2x = -4.$$

Từ đó ta tìm được cả bốn nghiệm của phương trình đã cho:
$$x_1 = 1, x_2 = -3, x_3 = -1 + \sqrt{3}i,$$
$$x_4 = -1 - \sqrt{3}i$$

và bằng phép kiểm tra trực tiếp, ta xác nhận tính thích hợp của từng nghiệm.

Ví dụ 2. Giải phương trình
$$4x^4 + 12x^3 - 47x^2 + 12x + 4 = 0.$$

Lời giải. Đề bài yêu cầu giải cái gọi là phương trình thuận nghịch — các hệ số của những hạng tử cách đều hai đầu vế trái của nó bằng nhau. Đối với các phương trình thuận nghịch, đã có một phương pháp chuẩn để đưa chúng về phương trình bậc thấp hơn. Có thể hình dung phương pháp này bằng cách theo dõi cách nó được áp dụng cho phương trình cần giải. Nhận thấy rằng $x \neq 0$, chia phương trình cho $x^2$; ta được
$$4x^2 + 12x - 47 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 0.$$

Bây giờ cần nhóm các hạng tử:
$$4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 12\left(x + \frac{1}{x}\right) - 47 = 0.$$

Với cách viết này của phương trình արդեն

43

…, chứa các căn bậc hai!): lập hiệu của các biểu thức dưới dấu căn của các căn nằm ở vế trái, ta được $(t+3) - t=3$.

Bây giờ phân tích hiệu này thành nhân tử (bằng công thức hiệu hai bình phương) và được rằng $(\sqrt{t+3} + \sqrt{t})(\sqrt{t+3} - \sqrt{t}) = 3$.

Từ đây, chia cho phương trình ban đầu (theo $t$), ta được rằng

$$\sqrt{t+3} - \sqrt{t} = \frac{3}{\sqrt{2t+7}}.$$

Lấy phương trình ban đầu trừ đi điều vừa nhận được, ta thấy rằng

$$2\sqrt{t} = \sqrt{2t+7} - \frac{3}{\sqrt{2t+7}},$$

$$2\sqrt{t} = \frac{2t+4}{\sqrt{2t+7}}, \sqrt{t} = \frac{t+2}{\sqrt{2t+7}}.$$

Thủ tục vừa thực hiện cho phép khử các căn chỉ bằng một lần bình phương hai vế của phương trình. Thực hiện điều đó:

$$t = \frac{t^2+4t+4}{2t+7}, t^2+3t-4=0.$$

Từ đây $t_1=1, t_2=-4$. Tiếp theo, lưu ý rằng chỉ các giá trị dương của $t$ mới đáng quan tâm, vì $t = x^2+x+1 > 0$

với mọi giá trị của $x$. Vì vậy loại nghiệm không phù hợp $t_2$ và nhận được một phương trình bậc hai để tìm $x$

$$x^2+x+1=1, \quad x^2+x=0$$

với các nghiệm $x_1=-1$ và $x_2=0$. Không khó kiểm tra rằng cả hai đều là nghiệm của phương trình vô tỉ đã cho.

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 40, \\ \frac{y^3}{x} + xy = 10. \end{cases}$$

(Chỉ tìm các nghiệm thực).

Việc giải hệ phương trình bằng phương pháp thế được học sinh sử dụng khá nhiều. Đồng thời, trong những trường hợp này nó cũng rất thường tỏ ra hết sức hiệu quả. Trước khi bắt đầu giải hệ đã cho, tôi xin nêu vài nhận xét chung về phương pháp thế khi giải hệ hai phương trình với hai ẩn. Nếu hai ẩn này được ký hiệu là $x$ và $y$, thì thường có ích khi chuyển sang các đại lượng mới $\rho$ và $\varphi$ theo các đẳng thức sau:

$$x = \rho \cos \varphi,$$

$$y = \rho \sin \varphi.$$

Bạn đọc đã khá quen thuộc với phương pháp tọa độ trên mặt phẳng sẽ hiểu rằng nếu $x$ và $y$ là các tọa độ Descartes của một điểm nào đó, thì $\rho$ và $\varphi$ là cái gọi là tọa độ cực của chính điểm ấy. Ý nghĩa hình học của tọa độ cực và mối liên hệ của chúng với tọa độ Descartes sẽ rõ từ hình vẽ mà chúng tôi hết sức khuyên mọi người hãy xem xét CẨN THẬN ngay bây giờ:

⟦trang 44⟧

Nhận thấy rằng gốc tọa độ $O$ có $\rho=0$, còn góc $\varphi$ đối với nó không có giá trị xác định. Mọi điểm còn lại của mặt phẳng sẽ được xác định bởi một cặp duy nhất các tọa độ cực ($\rho, \varphi$), nếu yêu cầu rằng

$$0 \leqslant \rho < +\infty,$$
$$0 \leqslant \varphi < 2\pi.$$

Dùng các đẳng thức (!) để giải hệ phương trình đã cho; vì thế thay vào các phương trình của hệ, thay cho $x$ và $y$, các biểu thức của chúng qua $\rho$ và $\varphi$; ta được

$$\begin{cases} \frac{\rho^3 \cos^3 \varphi}{\rho \sin \varphi} + \rho \cos \varphi \rho \sin \varphi = 40, \\ \frac{\rho^3 \sin^3 \varphi}{\rho \cos \varphi} + \rho \cos \varphi \rho \sin \varphi = 10. \end{cases}$$

hay sau khi biến đổi,

$$\begin{cases} \rho^2 \text{ctg} \varphi = 40, \\ \rho^2 \text{tg} \varphi = 10. \end{cases}$$

Chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta tìm được

$$\text{ctg}^2 \varphi = 4.$$

Suy ra $\text{ctg} \varphi = 2$ hoặc $\text{ctg} \varphi = -2$. Giá trị thứ hai (âm) của $\text{ctg} \varphi$ lập tức bị loại, vì ở đây $\text{ctg} \varphi$ và $\rho^2$ có cùng dấu, còn $\rho^2$ không thể âm. Bây giờ theo cô tang đã biết cần tìm sin và cos của góc $\varphi$. Làm điều đó không cần lời:

$$\cos^2 \varphi = 1 + \text{ctg}^2 \varphi = 5,$$
$$\cos \varphi = \sqrt{5},$$
$$\cos \varphi = -\sqrt{5},$$

$$\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{5}},$$
$$\cos \varphi = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos \varphi = -\frac{2}{\sqrt{5}}.$$

Tiếp theo tìm $\rho$ từ điều kiện

$$\rho^2 \text{ctg} \varphi = \rho^2 \cdot 2 = 40, \quad \rho^2 = 20.$$

Ta được $\rho = 2\sqrt{5}$. Nhờ các đẳng thức (!) theo $\rho$ và $\varphi$ đã biết, với tư cách là nghiệm của hệ phương trình đã cho, ta tìm được hai cặp số sau:

$$x_1 = 2\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 4,$$
$$y_1 = 2\sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = 2;$$
$$x_2 = 2\sqrt{5} \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = -4,$$
$$y_2 = 2\sqrt{5} \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -2.$$

Không đúng khi cho rằng hệ đã cho chỉ có thể giải bằng cách chuyển sang tọa độ cực (chẳng hạn, còn có thể giải nó như sau: chuyển $xy$ từ vế trái của các phương trình sang vế phải, rồi nhân các kết quả với nhau và thu được một phương trình bậc hai đối với $xy$; phần tiếp theo là hiển nhiên). Tuy nhiên, cần trang bị cho mình thủ pháp này. Theo một nghĩa nào đó, nó cho phép quy định các phép biến đổi của chúng ta và tạo khả năng sử dụng toàn bộ công cụ của lượng giác học. Trong những trường hợp nào thì có lợi khi dùng thủ pháp này, và trong những trường hợp nào thì không? Kinh nghiệm của bạn giúp trả lời câu hỏi này; có thể làm phong phú nó bằng lao động của chính mình!

Trong khi vẫn còn thời gian trước các kỳ thi tuyển sinh — hãy hành động!

45

KỲ THI TUYỂN SINH
MÔN TOÁN TẠI KHOA TOÁN
CỦA MGPI
mang tên V. I. LENIN NĂM 1970
E. A. Shchegolkov

Kỳ thi viết môn toán tại khoa chúng tôi năm 1969 (có thể đọc báo cáo về kỳ thi này trong «Kvant» số 3 năm 1970) có phần khác thường. Điểm khác thường là ở chỗ phần nào bắt chước các kỳ thi tuyển vào khoa Cơ-Toán của Đại học Quốc gia Moskva. Kết quả là trong số 475 thí sinh, 224 người, tức khoảng một nửa, làm bài bị điểm hai và bị loại khỏi cuộc «đấu» tiếp theo. Cách tuyển chọn thí sinh như vậy có vẻ không hoàn toàn phù hợp với một trường sư phạm: quá nhiều thí sinh đã không được làm quen trực tiếp với các giám khảo.

Năm 1970, hội đồng tuyển sinh của khoa Toán đã quyết định đi theo một con đường gần như khác hẳn. Bài thi viết gồm bốn bài quen thuộc với học sinh.

1. Bài toán hình học không gian có áp dụng lượng giác.
2. Bài toán lập phương trình bậc hai có nội dung vật lí hoặc nội dung khác.
3. Phương trình đại số hoặc bất phương trình.
4. Phương trình lượng giác.

Tất cả các bài đều không đòi hỏi kiến thức hay sự rèn luyện đặc biệt nào. Nhưng đồng thời chúng đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững vàng về toán học phổ thông và những năng lực nhất định. Thời gian làm bài thi viết là 4 giờ.

Khi chấm bài thi viết, điểm «năm» chỉ được cho khi giải xong tất cả các bài; điểm «bốn» — khi giải xong tất cả các bài nhưng có những thiếu sót không đáng kể. Điểm «hai» được cho, chẳng hạn, nếu các bài đầu không giải được do một loạt sai lầm. Khi đó điểm «ba» có trọng lượng lớn hơn và không loại thí sinh khỏi cuộc thi tuyển.

Năm 1970, có 508 người dự tuyển vào khoa Toán, trong khi chỉ có 175 chỗ, tức khoảng ba người một chỗ.

Trong số 508 thí sinh, 120 người làm bài viết đạt điểm «bốn» và «năm», 233 người đạt «ba» và 155 người đạt «hai».
Dưới đây, làm ví dụ, chúng tôi sẽ phân tích một đề thi viết và chỉ ra những sai lầm điển hình mà thí sinh đã mắc phải khi giải đề đó.

Đề

1. Độ dài đường sinh của hình nón bằng l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng α. Tìm thể tích hình chóp ngoại tiếp hình nón, có đáy là một hình thoi với góc nhọn β.
2. Trong n giờ, máy kéo cày nhiều hơn ngựa p hecta. Hỏi trong n giờ ngựa cày được bao nhiêu hecta và máy kéo cày được bao nhiêu hecta, nếu máy kéo cày một hecta nhanh hơn ngựa t giờ.
3. Giải bất phương trình
   $$\sqrt{1+2x}-\sqrt{x+4}<1.$$
4. Giải phương trình
   $$\frac{3(\cos 2x+\mathrm{ctg} 2x)}{\mathrm{ctg} 2x-\cos 2x}-2(\sin 2x+1)=0.$$

47

Như các bạn đã nhận thấy, khi giải bài toán này đã phải ba lần giải các tam giác vuông. Các thí sinh ở đây cũng mắc lỗi. Kỹ năng vững vàng trong việc giải các tam giác vuông là điều kiện không thể thiếu để giải thành công phần lớn các bài toán hình học không gian.

2. Giả sử máy kéo cày được trong $n$ giờ $x$ ($2a$), do đó cày được $1$ ($2a$) trong $\frac{n}{x}$ giờ.

Ngựa cày được trong $n$ giờ $(x-p)$ ($2a$), còn $1$ ($2a$) trong $\frac{n}{x-p}$ giờ.

Theo điều kiện bài toán, $\frac{n}{x}$ nhỏ hơn $\frac{n}{x-p}$ $t$ giờ, tức là $\frac{n}{x} + t = \frac{n}{x-p}$ ($x \neq 0, x \neq p$). Sau khi biến đổi, ta được phương trình $tx^2 - ptx - np = 0$. Giải nó, ta tìm được $x_{1,2} = \frac{pt \pm \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$.

Trong hai nghiệm này, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện bài toán? Theo điều kiện, $n > 0, t > 0, p > 0$, nên $\sqrt{(pt)^2 + 4ptn}$ có giá trị thực. $(pt)^2 + 4ptn > (pt)^2$ và do đó, $\sqrt{(pt)^2 + 4ptn} > pt$.

Như vậy, nghiệm

$$x_1 = \frac{pt + \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$$

trả lời câu hỏi của bài toán: máy kéo cày được bấy nhiêu hecta trong $n$ giờ, còn ngựa cày được trong $n$ giờ

$$x - p = \frac{-pt + \sqrt{(pt)^2 + 4ptn}}{2t}$$.

Nghiệm thứ hai của phương trình là âm và bị loại theo ý nghĩa của bài toán.

Khi lập phương trình ban đầu từ các đại lượng $\frac{n}{x}, \frac{n}{x-p}, t$, một số thí sinh vì lý do nào đó đã lấy số lớn trừ số nhỏ và lập phương trình $\frac{n}{x-p} + t = \frac{n}{x}$.

Đó là kết quả của sự thiếu chú ý.

Khi giải một bài toán có nội dung vật lý hoặc nội dung cụ thể khác, cần đặc biệt chú ý và luôn kiểm tra các tính toán của mình. Các biến đổi hình thức phải phù hợp với tình hình thực tế. Ngoài ra, cần nhớ rằng lời giải trọn vẹn của dạng bài toán này không phải là giải phương trình đã lập, mà là nhận được câu trả lời cho câu hỏi được đặt ra trong đề bài.

3. Tìm miền giá trị chấp nhận được của $x$ (ĐK3):

$$\begin{cases} 1 + 2x \geq 0 \\ x + 4 \geq 0 \end{cases}$$ hoặc $$\begin{cases} x \geq -\frac{1}{2} \\ x \geq -4. \end{cases}$$

Do đó, ĐK3 được xác định bởi điều kiện

$$x \geq -\frac{1}{2}.$$ (1)

Biến đổi bất đẳng thức ban đầu như sau:

$$\sqrt{1 + 2x} < 1 + \sqrt{x + 4}.$$

Trong ĐK3 đã nêu, cả hai vế của bất đẳng thức cuối đều không âm; bình phương chúng, ta được

$$\sqrt{x + 4} > \frac{x}{2} - 2.$$ (2)

Vế trái của bất đẳng thức (2) dương, còn vế phải âm, còn vế trái dương.

1. $\frac{x}{2} - 2 < 0$, do đó,

$$-\frac{1}{2} \leq x < 4.$$

Với các giá trị $x$ như vậy, vế phải của bất đẳng thức (2) âm, còn vế trái dương.

2. $\frac{x}{2} - 2 \geq 0$ và theo điều kiện

$$\sqrt{x + 4} > \frac{x}{2} - 2.$$

Giải bất đẳng thức thứ nhất trong số này, ta được $x \geq 4$. Để giải bất đẳng thức thứ hai, bình phương cả hai vế (bây giờ có thể làm điều đó,