Kvant 1971, số 3 · Trang

⟦không số trang⟧

Tạp chí khoa học phổ thông vật lý - toán học
Kvant
3
1971
tạp chí
của Viện Hàn lâm
Khoa học Liên Xô
và
Viện Hàn lâm Khoa học
Sư phạm Liên Xô

Trong số này:

Kinh tế học và bất đẳng thức tuyến tính 1
A. B. Katok

Biến đổi mạch điện 10
A. R. Zilberman

Bạn có thích mày mò với các số nguyên không! 15
M. I. Batsimakov

Những con lăn kỳ lạ 21
B. Yu. Kodan

Câu lạc bộ toán học
Các đa giác nửa đều 25
L. M. Lopovok

Bài toán của “Kvant”
Bài toán 30

Lời giải các bài toán M26—M28; F35—F40 32
N. B. Vasiliev,
A. N. Vilenkin,
I. Sh. Slobodetsky

Thực hành cho thí sinh
Phương trình mũ 40
V. V. Goldberg

Kỳ thi viết môn toán tại khoa cơ-toán Đại học Quốc gia Moskva năm 1970 45
N. N. Kolesnikov

Kỳ thi viết môn vật lý tại Học viện Giao thông Đường bộ Moskva 51
A. N. Ageev,
Yu. G. Rudoy

Tin tức vật lý 57

Phê bình, thư mục
Nếu bạn cần tính toán thứ gì đó…
57
R. S. Guter

Phù thủy phố Plutalov 58
G. I. Mishchevich

Đáp số, chỉ dẫn, lời giải 62

Góc của người sưu tầm
Tem kỷ niệm N. E. Zhukovsky 64
A. V. Altykis

“Kvant” dành cho học sinh nhỏ tuổi
Trang 3 bìa
Ô chữ
Trang 4 bìa

2

rằng thay vì hai chiếc xe đạp đắt tiền, nhà máy có thể sản xuất một chiếc xe đạp đua, trong đó xe đạp đua đem lại lợi nhuận nhiều gấp 1,5 lần. Nhà máy có thể sản xuất 700 chiếc xe đạp đắt tiền mỗi ngày, nhưng kho chỉ có thể nhận không quá 500 chiếc xe đạp mỗi ngày. Cần sản xuất mỗi ngày bao nhiêu xe đạp đua và bao nhiêu xe đạp đắt tiền để nhà máy thu được lợi nhuận lớn nhất?

2. Bài toán về các mỏ. Tại các điểm A và B có các nhà máy gạch, còn tại các điểm C và D — các mỏ cung cấp cát cho chúng. Nhu cầu cát của các nhà máy không vượt quá năng suất của các mỏ. Biết mỗi nhà máy cần bao nhiêu cát và mỗi mỏ cung cấp bao nhiêu cát. Ngoài ra, biết chi phí vận chuyển một tấn cát từ mỗi mỏ đến các nhà máy. Cần tổ chức việc cung cấp cát cho các nhà máy sao cho chi phí là nhỏ nhất. (Những bài toán như vậy được gọi là bài toán vận tải.)

3. Bài toán về thức ăn cho gà con. Trang trại gia cầm nuôi vỗ béo gà con. Để đơn giản, giả sử rằng thức ăn có thể gồm hai sản phẩm — lúa mì và đậu Hà Lan. Để gà con phát triển bình thường, khẩu phần hằng ngày của nó phải chứa không ít hơn một lượng calo nhất định, cũng như prôtêin, chất béo và cacbohydrat. Những lượng này được các chuyên gia dinh dưỡng xác định, và ta phải coi chúng là đã cho. Giả sử biết trong một gam lúa mì và trong một gam đậu Hà Lan chứa bao nhiêu calo, prôtêin, chất béo và cacbohydrat, cũng biết giá của mỗi loại thức ăn. Làm thế nào để lập một khẩu phần rẻ nhất nhưng đầy đủ?

Trong mỗi bài toán đã nêu cần thực hiện một lựa chọn tối ưu, mặc dù trong mỗi bài toán điều đó được hiểu khác nhau.

Để thấy những vấn đề toán học nào nảy sinh khi giải những bài toán như vậy, ta sẽ phân tích chi tiết bài toán về thức ăn cho gà con.

Để phân tích bài toán này, hoàn toàn đủ những kiến thức thuộc chương trình phổ thông, còn mọi phép tính đều có thể dễ dàng kiểm tra bằng bút chì và giấy.

Giả sử trong một gam lúa mì có $a_1$ calo, trong một gam đậu Hà Lan — $b_1$ calo, còn số calo tối thiểu cần thiết trong khẩu phần hằng ngày bằng $c_1$. Ta sẽ biểu diễn thực đơn chứa $x$ gam lúa mì và $y$ gam đậu Hà Lan bằng điểm $(x, y)$ trên mặt phẳng. Hãy thử xác định trên mặt phẳng những điểm tương ứng với các khẩu phần chứa không ít hơn $c_1$ calo. Vì thực đơn gồm $x$ gam lúa mì và $y$ gam đậu Hà Lan chứa $a_1x+b_1y$ calo, nên với những điểm như vậy ta có bất đẳng thức $a_1x+b_1y \geq c_1$.

Từ chương trình đại số ở trường, bạn biết rằng các điểm mà $a_1x+b_1y=c_1$ nằm trên đường thẳng $l_1$, đi qua các điểm $(0, \frac{c_1}{b_1})$ và $(\frac{c_1}{a_1}, 0)$. Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai phần. Với điểm $(x, y)$ nằm về một phía của đường thẳng $l_1$, bất đẳng thức $a_1x+b_1y > c_1$ đúng, còn với điểm nằm về phía kia, bất đẳng thức $a_1x+b_1y < c_1$ đúng. Mỗi phần này cùng với chính đường thẳng $l_1$ được gọi là một nửa mặt phẳng. Như vậy, một nửa mặt phẳng gồm tất cả các điểm $(x, y)$ mà $a_1x+b_1y \geq c_1$,

còn nửa mặt phẳng kia gồm các điểm mà $a_1x+b_1y \leq c_1$.

Vì trong trường hợp của chúng ta $a_1$ và $b_1$ là các số dương, nên nửa mặt phẳng thứ nhất là nửa mặt phẳng $L_1$,

Được tô đậm trên hình 1. Hơn nữa, từ điều kiện của bài toán ta thấy rõ rằng $x$ và $y$ là các số không âm (không thể cho gà con một lượng thức ăn âm được). Điều kiện $x \geq 0$ được thỏa bởi các điểm của nửa mặt phẳng bên phải (bị giới hạn bởi trục tung), điều kiện $y \geq 0$ được thỏa bởi các điểm của nửa mặt phẳng phía trên (bị giới hạn bởi trục hoành), còn các khẩu phần chứa không ít hơn $c_1$ calo tương ứng với các điểm $(x, y)$ mà đồng thời thỏa ba bất đẳng thức:

$$\begin{cases} x \geq 0, y \geq 0, \\ a_1 x + b_1 y \geq c_1, \end{cases}$$

nghĩa là các điểm nằm trong giao của nửa mặt phẳng bên phải, nửa mặt phẳng phía trên $L_1$. Trên hình 2 tô đậm tập hợp các điểm tương ứng với các nghiệm của hệ bất đẳng thức (1). Chuyển sang các hạn chế khác. Nếu một gam dung dịch chứa $a_2$ gam protein, một gam đậu Hà Lan chứa $b_2$ gam protein, và khẩu phần hằng ngày của gà con phải chứa không ít hơn $c_2$ gam protein, thì hiển nhiên các khẩu phần gồm $x$ gam dung dịch và $y$ gam đậu Hà Lan chứa đủ lượng protein là những khẩu phần mà

$$a_2 x + b_2 y \geq c_2.$$

Các điểm tương ứng với những khẩu phần này nằm trong nửa mặt phẳng $L_2$, bị giới hạn bởi đường thẳng $l_2$, được cho bởi phương trình $a_2 x + b_2 y = c_2$. Tương tự, khẩu phần phải thỏa mãn các bất đẳng thức

$$\begin{cases} a_3 x + b_3 y \geq c_3, \\ a_4 x + b_4 y \geq c_4, \end{cases}$$

trong đó $a_3$ và $a_4$ là lượng chất béo và cacbohydrat trong một gam lúa mì, $b_3$ và $b_4$ là lượng chất béo và cacbohydrat trong một gam đậu Hà Lan, $c_3$ và $c_4$ là lượng chất béo và cacbohydrat tối thiểu trong khẩu phần hằng ngày của gà con. (Mọi đại lượng đều được đo bằng gam.) Các điểm $(x, y)$ thỏa mãn bất đẳng thức thứ nhất trong hai bất đẳng thức này nằm trong nửa mặt phẳng $L_3$, còn các điểm thỏa mãn bất đẳng thức thứ hai nằm trong nửa mặt phẳng $L_4$. Một khẩu phần chứa đủ lượng của tất cả các thành phần (calo, protein, chất béo và cacbohydrat) chúng ta sẽ gọi là khả chấp. Như vậy, các khẩu phần khả chấp là những khẩu phần gồm $x$ gam lúa mì và $y$ gam đậu Hà Lan, thỏa mãn hệ gồm sáu bất đẳng thức tuyến tính

$$\begin{cases} x \geq 0, y \geq 0, \\ a_1 x + b_1 y \geq c_1, \\ a_2 x + b_2 y \geq c_2, \\ a_3 x + b_3 y \geq c_3, \\ a_4 x + b_4 y \geq c_4. \end{cases}$$

Các điểm của mặt phẳng tương ứng với các khẩu phần cho phép nằm trong giao của nửa mặt phẳng bên phải, nửa mặt phẳng phía trên $L_1$, $L_2$, $L_3$, $L_4$, tức là bên trong hoặc trên biên của hình (đa-

4

Hình 3.

đa giác) $A$, được tô đậm trên hình 3.

Hình này biểu diễn trường hợp khi mỗi bất đẳng thức trong hệ (2) là cần thiết, tức là với mỗi trong sáu bất đẳng thức đều tìm được một nghiệm của hệ gồm năm bất đẳng thức còn lại mà không thỏa mãn bất đẳng thức ấy. Khả năng khác được biểu diễn trên hình 4.

Về mặt hình học, điều đó có nghĩa là một trong các đường thẳng (trên hình 4 — đường thẳng $l_4$) nằm ngoài tập hợp $A$, còn về mặt đại số, hệ (2) tương đương với hệ mà từ đó đã loại bỏ một trong các bất đẳng thức (trong trường hợp của chúng ta — bất đẳng thức cuối cùng). Từ đây về sau, để khỏi phải đưa ra những lưu ý riêng, chúng ta sẽ giả sử rằng xảy ra trường hợp được biểu diễn trên hình 3.

Một tập hợp điểm trên mặt phẳng được gọi là lồi nếu cùng với bất kỳ hai điểm nào của nó, nó chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm ấy. Trên hình 5, $a$ biểu diễn một số tập hợp lồi, còn trên hình 5, $b$ — các tập hợp không lồi.

Nửa mặt phẳng là một tập hợp lồi, và vì giao của một số bất kỳ các tập hợp lồi cũng là một tập hợp lồi, nên tập hợp $A$ cũng lồi.

Hình 4.

Bây giờ ta sẽ cố gắng chọn trong tất cả các khẩu phần cho phép khẩu phần rẻ nhất. Giả sử 1 gam lúa mì giá $p$ cô-pếch, còn 1 gam đậu Hà Lan giá $q$ cô-pếch. Khi đó khẩu phần gồm $x$ gam lúa mì và $y$ gam đậu Hà Lan có giá $px+qy$ cô-pếch. Như vậy, giá là một hàm tuyến tính theo $x$ và $y$, còn bài toán tìm khẩu phần rẻ nhất là tìm trong tất cả các cặp số $(x, y)$ thỏa mãn hệ bất đẳng thức (2), những cặp mà tại đó giá trị của hàm tuyến tính này đạt cực tiểu. Nói cách khác, cần tìm những điểm của tập hợp $A$ mà tại đó hàm $px+qy$ đạt giá trị nhỏ nhất trong tất cả các giá trị mà hàm này nhận tại các điểm của tập hợp $A$.

Tập hợp các điểm $(x, y)$ của mặt phẳng mà tại đó biểu thức $px+qy$ bằng một số $k$, là đ-

Hình 5, $a$.

Hình 5, $b$.

Của tôi. Với các $k$ khác nhau, những đường thẳng như vậy song song với nhau. Với các giá trị âm và các giá trị dương đủ nhỏ của $k$, đường thẳng này không cắt tập hợp $A$ và do đó không tồn tại khẩu phần cho phép có giá $k$ cô-pếch. Nếu tăng các giá trị của $k$, bắt đầu chẳng hạn từ $k=0$, thì đường thẳng được xác định bởi phương trình

$$px + qy = k,$$

sẽ dịch chuyển sang phải (xem hình 6). Cuối cùng, với một giá trị nào đó $k=k_0$, đường thẳng $px + qy=k_0$ lần đầu tiên sẽ cắt tập hợp $A$, «va phải» vào một trong các đỉnh của nó (điểm $M$ trên hình 6) hoặc ngay vào cả một cạnh (điều này có thể xảy ra nếu các đường thẳng $px + qy=k$ song song với một trong các đường thẳng $l_1, l_2, l_3, l_4$ hoặc, cũng vậy, nếu tỉ số $\frac{p}{q}$ bằng một trong các tỉ số

$$\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \frac{a_3}{b_3}, \frac{a_4}{b_4};$$

xem tiếp, hình 8).

Đường thẳng được gọi là đường tựa của một tập lồi trên mặt phẳng nếu tập đó hoàn toàn nằm trong một trong các nửa mặt phẳng mà đường thẳng này chia mặt phẳng thành, đồng thời ít nhất một điểm của tập nằm trên đường thẳng. Như vậy, phương trình $px + qy=k_0$ xác định một đường thẳng tựa của tập $A$.

Bây giờ hãy xét riêng hai trường hợp đã nói ở trên. Trước hết giả sử rằng tỉ số $\frac{p}{q}$ không bằng bất kỳ tỉ số nào trong các tỉ số

$$\frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \frac{a_3}{b_3}, \frac{a_4}{b_4}.$$

Khi đó điểm $M=(x_0, y_0)$ là nghiệm duy nhất của bài toán về khẩu phần hợp lí cho phép rẻ nhất. Thật vậy, mọi điểm khác của tập $A$ đều nằm trong nửa mặt phẳng $K$, được xác định bởi bất đẳng thức $px + qy \geq k_0$, và do đó tương ứng với một khẩu phần đắt hơn. Các cạnh của đa giác vô hạn $A$ là các tia của các trục tọa độ và các đoạn thẳng $l_1, l_2, l_3, l_4$. Vì vậy, trên mỗi cạnh này một trong sáu bất đẳng thức của hệ (2) trở thành đẳng thức, còn tại mỗi đỉnh của đa giác $A$ thì hai bất đẳng thức của hệ (2) trở thành đẳng thức. Trong trường hợp được biểu diễn ở hình 6, điểm $M$ nằm tại giao điểm của các đường thẳng $l_1$ và $l_3$ (xem hình 3); do đó,

$$\begin{cases} a_1x_0 + b_1y_0 = c_1, \\ a_3x_0 + b_3y_0 = c_3, \end{cases}$$

từ đó

$$x_0 = \frac{b_1c_3 - b_3c_1}{a_3b_1 - a_1b_3}; \quad y_0 = \frac{c_1a_3 - a_1c_3}{a_3b_1 - a_1b_3}.$$

Ngược lại, bốn bất đẳng thức còn lại tại điểm này được thỏa mãn theo nghĩa chặt, tức là với dấu «lớn hơn», chứ không phải «bằng». Điều đó có nghĩa là khẩu phần gồm $x_0$ gam dung dịch và $y_0$ gam đậu Hà Lan chứa lượng calo và chất béo tối thiểu cần thiết, nhưng lượng protein và cacbohydrat dư thừa (nếu điểm $M$ nằm ở giao điểm của các đường thẳng khác, thì kết luận sẽ thay đổi tương ứng).

Nếu các chuyên gia về dinh dưỡng quyết định rằng gà con cần nhiều hơn một chút so với $c_2$ gam protein hoặc nhiều hơn một chút so với $c_4$ gam cacbohydrat mỗi ngày, thì khẩu phần rẻ nhất mà chúng ta tìm được cũng sẽ đáp ứng các yêu cầu mới này (thật vậy, điều đó có nghĩa là các đường thẳng $l_2$ hoặc $l_4$ dịch sang phải một chút, nhưng nếu sự dịch chuyển ấy đủ nhỏ, thì điểm $M$ vẫn là đỉnh của đa giác $A$ đã thu nhỏ). Tuy nhiên, nếu cần cho gà con nhiều hơn một chút calo so với $c_3$

6

Hình 7.

gam chất béo mỗi ngày, thì bài toán về khẩu phần rẻ nhất phải được giải lại, vì khẩu phần ứng với điểm $M$ sẽ không còn được phép, còn khẩu phần rẻ nhất trở nên đắt hơn (xem hình 7, trong đó với điều kiện quy ước $a_3x+b_3y \geq c_3+\delta$ khẩu phần rẻ nhất ứng với điểm $M'$, nằm bên trong nửa mặt phẳng $K$).

Bây giờ xét trường hợp khi tỉ số $\frac{p}{q}$ bằng một trong bốn tỉ số, chẳng hạn $\frac{a_1}{b_1}$ (xem hình 8).

Trong trường hợp này đường thẳng $px+qy=k_0$ trùng với đường thẳng $l_1$. Mọi điểm của tập hợp $A$, trừ các điểm của đoạn $M_1M_2$, đều nằm bên trong nửa mặt phẳng $K$, và do đó khẩu phần ứng với bất kỳ điểm nào của đoạn $M_1M_2$ đều là khẩu phần được phép rẻ nhất. Như vậy, trong số các điểm ứng với nghiệm của bài toán về khẩu phần rẻ nhất, luôn có các đỉnh của đa giác $A$.

Một ít lý thuyết

Để tìm nghiệm, chỉ cần so sánh các giá trị của hàm số $px+qy$ tại tất cả các đỉnh. Nếu trong các giá trị ấy có một giá trị nhỏ hơn tất cả các giá trị còn lại, thì đỉnh tương ứng là nghiệm duy nhất của bài toán; nếu các giá trị tại hai đỉnh bằng nhau và nhỏ hơn các giá trị tại các đỉnh còn lại, thì hai đỉnh ấy nhất thiết kề nhau, và mọi điểm của cạnh nối hai đỉnh ấy đều là nghiệm của bài toán.

Để ngắn gọn, ta sẽ gọi

Hình 8.

góc nhọn mà đường thẳng tạo với trục hoành được gọi là góc nghiêng của đường thẳng. Nếu di chuyển theo biên của tập các điểm khả dĩ, bắt đầu từ tia trục hoành theo hướng tia trục tung, thì mỗi cạnh tiếp theo nằm trên một đường thẳng có góc nghiêng lớn hơn góc nghiêng của cạnh trước. Các tang của những góc này cũng tăng dần. Tang của góc nghiêng $\alpha$ của đường thẳng $ax+by=c$ ($a>0, b>0$) bằng $\frac{a}{b}$. (Nếu $b=0$, $\alpha=\frac{\pi}{2}$ và quy ước rằng $\tg\alpha$ bằng vô cực.)

Giả sử đường thẳng đỡ đi qua đỉnh $M$ của tập các điểm khả dĩ và góc nghiêng của đường thẳng này bằng $\beta$, còn các góc nghiêng của những đường thẳng chứa các cạnh kề với đỉnh $M$ bằng $\alpha_1$ và $\alpha_2$. Khi đó góc $\beta$ lớn hơn một trong các góc này và nhỏ hơn góc kia (xem hình 9).

7

Như vậy, để tìm đỉnh mà đường thẳng tựa của hướng đã cho đi qua, cần so sánh góc nghiêng của các đường thẳng theo hướng đã cho với các góc nghiêng của các đường thẳng chứa các cạnh của tập điểm cho phép, và chọn hai cạnh kề nhau sao cho góc β nằm giữa các góc nghiêng của chúng. Giao điểm của các cạnh này chính là đỉnh cần tìm. Nếu góc β trùng với góc nghiêng của một trong các cạnh, thì đường thẳng tựa cần tìm trùng với đường thẳng chứa cạnh đó. Thay vì so sánh các góc nghiêng, có thể so sánh tang của chúng, điều này thuận tiện hơn nhiều, vì tang của góc nghiêng được biểu diễn đơn giản qua các hệ số của phương trình đường thẳng.

Ví dụ số

1. Trong các nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính $2x+y \geq 10$, $x \geq 0, y \geq 0$, $x+y \geq 8$, $3x+7y \geq 42$, $x+5y \geq 20$ hãy tìm những nghiệm mà tại đó hàm tuyến tính $4x+3y$ đạt giá trị nhỏ nhất*).

Bảng 1

| Phương trình đường thẳng | Điểm trên các trục tọa độ mà đường thẳng đi qua | Tang của góc nghiêng của đường thẳng |
| :— | :— | :— |
| $y=0$ | $(0,4), (20,0)$ | $\frac{1}{5}$ |
| $x+5y=20$ | $(0,6), (14,0)$ | $\frac{3}{7}$ |
| $3x+7y=42$ | $(0,8), (8,0)$ | $\frac{1}{2}$ |
| $x+y=8$ | $(0,10), (5,0)$ | $\infty$ |
| $2x+y=10$ | $(0, \frac{3}{c}), (\frac{c}{4}, 0)$ | $\frac{4}{3}$ |

Tập hợp các điểm cho phép được biểu diễn trên hình 10, từ đó

*) Các số liệu của ví dụ này không hề liên quan đến các đại lượng được cho trong bài toán về thức ăn cho gà con.

Hình 10.

có thể thấy rằng các cạnh của tập hợp này là các tia của các trục tọa độ và các đoạn thẳng thuộc cả bốn đường thẳng: $x+5y=20$, $3x+7y=42$, $x+y=8$, $2x+y=10$.

Đường thẳng tựa có tang của góc nghiêng $\frac{4}{3}$ phải đi qua đỉnh nằm tại giao điểm của một cặp cạnh kề nhau, trong đó một cạnh có tang của góc nghiêng nhỏ hơn $\frac{4}{3}$, còn cạnh kia lớn hơn $\frac{4}{3}$. Một cặp như vậy được tạo bởi các cạnh nằm trên các đường thẳng

$x+y=8$ và $2x+y=10$,

với tang của các góc nghiêng lần lượt là 1 và 2. Do đó, tọa độ của đỉnh cần tìm được xác định từ hệ

$$\begin{cases} x+y=8, \\ 2x+y=10, \end{cases}$$

suy ra $x=2$, $y=6$. Giá trị của hàm $4x+3y$ tại điểm này bằng $4 \cdot 2 + 3 \cdot 6 = 26$, còn đường thẳng tựa được xác định bởi phương trình $4x+3y=26$.

Để so sánh, hãy tính các giá trị của hàm số $4x+3y$ tại tất cả các đỉnh còn lại của tập điểm chấp nhận được (xem bảng 2 ở trang 8).

2. Trong các nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính $x \geq 0, y \geq 0, 3x+y \geq 15, 3x+4y \geq 36, x+2y \geq 12, 2x+8y \geq 32$, hãy tìm những nghiệm mà tại đó hàm số $3x+12y$ đạt giá trị nhỏ nhất.

8

Bảng 2

Phương trình các đường thẳng, tại giao điểm của chúng có một đỉnh
| tọa độ đỉnh | |
| :— | :— |
| $x$ | $y$ |
| $x = 0, 2x + y = 10$ | $0, 10$ |
| $2x + y = 10, x + y = 8$ | $2, 6$ |
| $x + y = 8, 3x + 7y = 42$ | $3, 5, 4, 5$ |
| $3x + 7y = 42, x + 5y = 20$ | $8, 75, 2, 25$ |
| $x + 5y = 20, y = 0$ | $20, 0$ |

Giá trị của hàm số $4x + 3y$ tại các đỉnh
| $x$ | $y$ |
| :— | :— |
| $0$ | $10$ |
| $2$ | $6$ |
| $3,5$ | $4,5$ |
| $8,75$ | $2,25$ |
| $20$ | $0$ |

Bảng 3

Phương trình đường thẳng
$y = 0$
$2x + 8y = 32$
$x + 2y = 12$
$3x + 4y = 36$
$3x + y = 15$
$x = 0$
$3x + 12y = c$

Các điểm trên các trục tọa độ mà đường thẳng đi qua
$(0, 4), (16, 0)$
$(0, 6), (12, 0)$
$(0, 9), (12, 0)$
$(0, 15), (5, 0)$
$(0, \frac{c}{12}), (\frac{c}{3}, 0)$

Tang của góc nghiêng của đường thẳng
$0 \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$
$3 \frac{\infty}{1/4}$

Tập hợp các điểm thỏa mãn được biểu diễn trên hình 11, từ đó thấy rằng đường thẳng $x + 2y = 12$ nằm hoàn toàn ngoài tập hợp này. Như vậy, các cạnh của tập hợp này là các tia của các trục tọa độ và các đoạn thẳng.

Nghiệm của bài toán là tất cả các điểm của cạnh nằm trên đường thẳng này. Các đầu mút của cạnh này là các đỉnh nằm tại các giao điểm của đường thẳng $2x + 8y = 32$ với các đường thẳng kề bên $y = 0$ và $3x + 4y = 36$ (nhắc lại rằng đường thẳng $x + 2y = 12$ chúng ta đã loại khỏi việc xét).

Vậy, tọa độ $(x_1, y_1)$ của đỉnh thứ nhất $M_1$ được xác định từ hệ phương trình
$$\begin{cases} 2x_1 + 8y_1 = 32, \\ y_1 = 0, \end{cases}$$

9

Hình 12.

suy ra $x_1=16, y_1=0$, còn tọa độ $(x_2, y_2)$ của đỉnh thứ hai $M_2$ được xác định từ hệ phương trình

$$\begin{cases} 2x_2 + 8y_2 = 32, \\ 3x_2 + 4y_2 = 36, \end{cases}$$

suy ra $x_2=10, y_2=1,5$.

Lời giải của bài toán là tất cả các điểm của đoạn thẳng $M_1M_2$, nói cách khác, các điểm dạng $(16\lambda + 10(1-\lambda), 1,5\cdot(1-\lambda)) = (10+6\lambda, 1,5-1,5\lambda)$, trong đó $\lambda$ là một số bất kỳ từ 0 đến 1. Giá trị của hàm $3x+12y$ tại mọi điểm của đoạn thẳng $M_1M_2$ bằng 48.

Bài tập *)

1. Giải “bài toán về xe đạp”.
2. Giải “bài toán về carber” với các dữ liệu cho trên hình 12.
3. Tập hợp các điểm chấp nhận được trong bài toán về khẩu phần rẻ nhất sẽ thay đổi thế nào nếu thêm điều kiện rằng khối lượng toàn bộ khẩu phần không vượt quá s gam? Điều kiện như vậy có thể ảnh hưởng đến lời giải không?
4. Chứng minh rằng mọi đa giác lồi trên mặt phẳng đều có thể biểu diễn như một đa giác của một hệ bất đẳng thức tuyến tính.
5. Cho $\frac{p}{q} = \frac{a_1}{b_1}$ (xem hình 3 và 8). Trong tình huống này, lời giải của bài toán về khẩu phần rẻ nhất thay đổi thế nào nếu thay trong hệ (2)

$$\begin{cases} a) c_1 на c_1 + \delta, \\ b) c_n на c_n + \delta; \end{cases}$$

δ là một số dương nhưng rất nhỏ?

*) Đáp số cho các bài tập này sẽ được đăng trong số sau.

2, Kvant số 3

THẠCH ANH TÓC

Trong tự nhiên có một loại đá ở Nga được gọi là “thạch anh tóc”. Đó là một tinh thể thạch anh trong suốt, bị xuyên bởi những sợi vàng óng ánh (xem hình trên bìa).

Pliny gọi những sợi này là “Tóc của Venus”, còn ở phương Đông chúng được gọi là “Tóc của Magomet”, và hòn đá được coi là thiêng. Hiện nay những “Sợi tóc” này, hay như nay chúng được gọi, các tinh thể dạng sợi, được nuôi trong điều kiện phòng thí nghiệm. Các nghiên cứu bằng kính hiển vi điện tử cho thấy rằng “Tóc của Venus” không gì khác hơn là những tinh thể ôxít titan rất mảnh và dài $(\text{TiO}_2 - \text{рубин})$, là những ống có tiết diện vuông với độ dày thành 1–2 micrô (xem ảnh).

Các tinh thể dạng sợi có một loạt tính chất rất thú vị, trong đó một tính chất — độ bền cao — cho phép tạo ra trên cơ sở chúng những vật liệu mới, gọi là vật liệu compozit.

M. A. Golosova

10

Bài báo này trình bày về phương pháp cho phép đơn giản hóa những bài toán phức tạp về tính toán mạch điện.

Ta hiểu “biến đổi mạch” là gì? Giả sử ta có một sơ đồ phức tạp gồm các điện trở, có nhiều đầu nối và được nối với các nguồn. Hãy thay sơ đồ này bằng một sơ đồ khác, có cùng số đầu nối, sao cho điện trở giữa bất kỳ hai đầu nối nào của sơ đồ mới cũng bằng như của sơ đồ cũ. Rõ ràng, các nguồn sẽ “không biết gì” về sự thay thế này, và các dòng điện mà sơ đồ tiêu thụ sẽ vẫn như cũ. Nhưng có lẽ việc tìm các dòng điện ấy sẽ đơn giản hơn.

Do đó, nếu muốn tính các dòng điện trong một sơ đồ phức tạp, ta có thể thay nó bằng một sơ đồ tương đương đơn giản hơn. Khi đó các dòng điện bên trong phần được thay thế sẽ thay đổi. Vì vậy chỉ có thể làm như thế với phần mạch không trực tiếp khiến ta quan tâm.

Bạn đã gặp những sự thay thế như vậy.

Chẳng hạn, nếu trong mạch hai điện trở $r_1$ và $r_2$ được mắc nối tiếp, ta có thể thay chúng bằng một điện trở có giá trị bằng tổng $r_1 + r_2$. Nếu hai điện trở được mắc song song, chúng cũng có thể được thay bằng một điện trở có giá trị $R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$

Đó là những ví dụ đơn giản nhất về biến đổi mạch. Còn chúng ta sẽ xét những sơ đồ phức tạp hơn.

Hãy xem các sơ đồ có ba đầu nối — “hình sao” (hình 1, a) và “hình tam giác” (hình 1, b) — được biến đổi qua lại như thế nào.

Các ký hiệu hơi khác thường (hình 1, b) rất tiện lợi, chỉ số cho biết điện trở được mắc giữa những điểm nào. Chẳng hạn, điện trở $R_{13}$ được mắc giữa các điểm 1 và 3, v.v.

Nếu muốn thay một trong các sơ đồ này bằng sơ đồ kia, cần tìm được những quan hệ giữa $r$ và $R$ sao cho điện trở giữa bất kỳ các điểm nào đều như nhau đối với cả hai sơ đồ.

Trong sơ đồ “hình sao” (hình 1, a) điện tr-

12

Hình 4.

“tam giác” ACD thành “hình sao”, như показано trên hình 4.

Bây giờ rõ ràng rằng điện trở giữa các điểm A và B sẽ bằng
$$\frac{1}{3} + \frac{28}{33} = \frac{13}{11} \text{ ома}.$$

Chúng ta đã thay “tam giác” ACD bằng “hình sao”, nhưng có thể giải bài toán theo cách khác — thay “hình sao” ADB bằng “tam giác”.

Bây giờ giả sử nối vào các điểm A và B một pin có điện trở trong nhỏ không đáng kể và có suất điện động E=1 v. Cần tìm dòng điện qua đoạn CB.

Cần biến đổi mạch sao cho không động đến điện trở CB mà ta quan tâm. Phép biến đổi mà chúng ta đã làm trước đó (hình 4) là phù hợp.

Dùng $R_{AB} = \frac{13}{11} \text{ ома}$, ta được $I = \frac{E}{R_{AB}} = \frac{11}{13} a$. Sau khi phân nhánh, dòng điện chia theo tỷ lệ nghịch với điện trở của các nhánh:

$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{7}{4}.$$

Đồng thời $I_1 + I_2 = I$. (I — dòng điện trước khi phân nhánh, $I_1$ — dòng điện trong nhánh trên, $I_2$ — dòng điện trong nhánh dưới).

Suy ra

$$I_1 = \frac{7}{13} a$$

Sẽ phức tạp hơn một chút nếu tìm dòng điện đi qua đoạn CD. Để làm điều đó, còn phải tìm dòng điện,

13

Hình 6.

của biến trở. Hơn nữa, tổng các điện trở $5r+R_1$ và $7r+R_2$ không đổi. Hãy xem chúng phải như thế nào để điện trở toàn phần là lớn nhất. Ký hiệu $5r+R_1$ là $r_1$ và $7r+R_2$ là $r_2$. Khi đó điện trở chung của các phần mắc song song của mạch là $r_0 = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$. Nếu xét rằng $r_1+r_2 = const = c$, thì điện trở $r_0$ được biểu diễn như sau: $\frac{r_1 (c-r_1)}{c}$. Biểu thức này lớn nhất khi tử số lớn nhất. Nhưng $y = (cr_1-r_1^2)$ — đó là phương trình của một parabol (hình 7), các nhánh của nó cắt trục hoành tại các điểm $O$ và $c$. Vì vậy tử số của phân số lớn nhất khi $r_1 = \frac{c}{2}$. Vì $r_1+r_2 = c$, điều này có nghĩa là điện trở giữa các điểm $A$ và $B$ lớn nhất nếu $r_1=r_2$, tức là $5r+R_1=7r+R_2$, hay $R_1-R_2=2r$.

Rõ ràng điều này chỉ có thể nếu điện trở của toàn bộ biến trở $R=R_1+R_2$ không nhỏ hơn $2r$. Trong trường hợp ngược lại, điện trở cực đại giữa các điểm $A$ và $B$ đạt được khi con chạy của biến trở ở vị trí biên.

Vậy, đáp số: $R \leq 2r$.

Phương pháp mà chúng tôi đã trình bày rất thuận tiện để lần lượt biến đổi một mạch phức tạp về dạng đơn giản. Nó cho phép tính toán hầu như mọi mục tiêu phức tạp gồm các điện trở.

Phương pháp này có thể áp dụng cho các mạch không chỉ chứa điện trở.

Hãy chú ý rằng chúng ta hoàn toàn không nói ở đâu về các quá trình vật lí trong mạch, mà chỉ dùng biểu thức hình thức của định luật Ôm: $U=r \cdot I$. Từ đó suy ra rằng khi mắc nối tiếp, các đại lượng của chúng được cộng lại, còn khi mắc song song — các đại lượng nghịch đảo với điện trở được cộng lại $\left(\frac{1}{r_{06\pi}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right)$. Rõ ràng, nếu một số đại lượng vật lí khác liên hệ với nhau bằng một định luật tương tự định luật Ôm, thì mọi kết luận của chúng ta cũng đúng đối với chúng.

Làm ví dụ, xét một mạch có tụ điện (hình 8). Ta biết rằng $Q=C \cdot U$, hay $U = \frac{1}{C} Q$.

14

Hình 9.

So sánh điều này với biểu thức của định luật Ôm $U=r \cdot I$.

Có thể thấy rằng các định luật giống nhau, chỉ có điện tích đứng ở chỗ dòng điện, còn ở chỗ điện trở — đại lượng nghịch đảo với điện dung. Điều đó có nghĩa là để tìm, chẳng hạn, điện tích trên các tụ điện, có thể làm như sau. Thay vì mạch chứa các tụ điện, vẽ một mạch chứa các điện trở, trong đó tụ điện có điện dung $x$ fara được thay bằng điện trở $r = \frac{1}{x} \text{ om}$. Sau khi tính dòng điện trong mạch gồm các điện trở, có thể viết ngay điện tích trên các tụ điện là bao nhiêu: nếu qua điện trở có dòng điện $I=y$ ampe, thì trên tụ điện tương ứng sẽ có điện tích $Q=y$ culông.

Suất điện động của các pin trong phép biến đổi mạch như vậy vẫn không thay đổi. Nhưng dĩ nhiên, trong mạch có tụ điện, điện trở trong của các pin không ảnh hưởng đến kết quả. Vì vậy, khi biến đổi mạch, ta sẽ phải loại bỏ điện trở trong của các pin.

Chẳng hạn, cần tìm điện tích trên tụ điện có điện dung $10 \text{ мкф}$ (hình 9). Tụ điện

15

BẠN CÓ THÍCH LOAY HOAY
VỚI CÁC SỐ NGUYÊN KHÔNG?

M. I. Bashmakov

Một số học sinh được đề nghị trả lời câu hỏi sau:
Hãy xác định đẳng thức $3^{100} + 7^{100} = 8^{100}$ đúng hay sai.
Sau vài phút, tất cả đều trả lời rằng đẳng thức này sai.
Dưới đây là những lời giải thích điển hình nhất.

1. Hãy xét chữ số cuối cùng của các số ở vế phải và vế trái. 3 bình phương là 9, 3 lập phương tận cùng bằng 7, lũy thừa bậc bốn tận cùng bằng 1, bậc năm — bằng 3, bậc sáu — bằng 9, v.v. Sau bốn lũy thừa, chữ số cuối lặp lại, vì thế số $3^{100}$ có chữ số cuối giống $3^4$, tức là 1. Tương tự, dễ thấy rằng $7^{100}$ cũng có chữ số cuối là 1, còn $8^{100}$ — là 6. Vậy số ở vế trái có chữ số cuối là 2, còn ở vế phải — là 6. Do đó, các số ở vế trái và vế phải khác nhau.

2. $3 + 7$ lớn hơn 8. Nhưng $3^2 + 7^2 = 58$ nhỏ hơn $8^2 = 64$. Hơn nữa, $3^{100} + 7^{100} = (3^2)^{50} + (7^2)^{50} < (3^2 + 7^2)^{50} = 58^{50} < 64^{50} = 8^{100}$. Ta được rằng số ở vế trái nhỏ hơn số ở vế phải.

3. Số ở vế trái chia hết cho 2, nhưng không chia hết cho 4. Thật vậy, bình phương của mọi số lẻ cho số dư 1 khi chia cho 4: $(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1$. Tổng của hai số như vậy $(3^{50})^2 + (7^{50})^2$ cho số dư 2. Còn ở vế phải là một số chia hết cho 4.

Các chứng minh trên có giống nhau không? Dễ nhận thấy sự giống nhau giữa chứng minh thứ nhất và thứ ba: trong cả hai đều so sánh số dư khi chia cho một số nguyên nào đó, trong một trường hợp — chia cho 10 (chữ số cuối), còn trong trường hợp kia — chia cho 4. Nhưng tìm sự tương tự giữa các chứng minh này với chứng minh thứ hai thì hoàn toàn không đơn giản. Chúng ta sẽ thử làm rõ điều đó ở cuối bài này. Còn bây giờ, hãy học cách áp dụng phương pháp suy luận thứ nhất vào một số bài toán khác.

Tính toán “theo môđun”

Bài toán 1. Chứng minh rằng phương trình $x^3 = 2 + 3 y^2$ không có nghiệm nguyên.

Xét phương trình này «theo môđun 9», tức là chính xác đến các số hạng chia hết cho деляти *). Vì mỗi số nguyên $x$ có dạng $3n$, $3n - 1$ hoặc $3n + 1$, trong đó $n$ là số nguyên, $a(3n \pm 1)^3 = 27n^3 \pm 27n^2 + 9n \pm 1 = 9k \pm 1$, trong đó $k$ là số nguyên, nên bình phương của bất kỳ số nào hoặc chia hết cho 9, hoặc khi chia cho 9 cho số dư 1 hoặc 8.

*) Nói chung, hai số nguyên $a$ và $b$ được gọi là đồng dư theo môđun $k$, nếu hiệu $a - b$ chia hết cho $k$. Những ai chưa quen với khái niệm này, chúng tôi khuyên xem bài của A. A. Egorov «Số học các số dư» trong «Kvant» số 5, 1970.

Tương tự, vì $3(3n \pm 1)^2 = 27n^2 \pm 18n + 3$,

$3y^2$ khi chia cho 9 cho số dư 0 hoặc 3. Vậy, vế phải của phương trình của chúng ta theo môđun 9 chỉ có thể bằng 2 hoặc 5, còn vế trái chỉ có thể bằng 0, 1 hoặc 8, nên chúng không thể trùng nhau với bất kỳ số nguyên nào. Bản thân các phép tính «theo môđun» thực hiện rất đơn giản. Hãy phát biểu quy tắc cơ bản của các phép tính này: nếu khi cộng (hoặc khi nhân) ta thay các số bằng những số đồng dư với chúng theo

16

theo môđun $k$, ta được một số đồng dư với tổng (hoặc tích) theo môđun $k$. Nói cách khác, trong một đẳng thức có các phép cộng và nhân, luôn có thể thay các số bằng những số đồng dư với chúng theo môđun $k$, khi trong đáp số ta chỉ quan tâm đến số dư của phép chia cho $k$.

Việc $a$ và $b$ đồng dư theo môđun $k$ được viết như sau: $a \equiv b \pmod{k}$. Các quy tắc thao tác với đồng dư có thể viết như sau:

$$\text{nếu } \begin{cases} a \equiv b \pmod{k}, \\ c \equiv d \pmod{k}, \end{cases}$$

$$\text{thì } \begin{cases} a + c \equiv b + d \pmod{k}, \\ ac \equiv bd \pmod{k}. \end{cases}$$

Nhắc lại rằng theo định nghĩa, $a \equiv b \pmod{k}$ có nghĩa là $a - b = k \cdot q^*$.

Hãy xét một bài toán khá nhân tạo như sau.

Bài tập 2. Chứng minh rằng đẳng thức $1153^{60} + 211^{60} = 27027 \cdot 100^x + 2$ là không thể với bất kỳ số nguyên $x$ nào.

Rõ ràng là nếu theo một môđun nào đó ta không thu được đẳng thức, thì nó cũng không thể đúng theo nghĩa thông thường. Theo môđun 2 không phát hiện mâu thuẫn nào — ở vế phải và vế trái là các số chẵn (các số không theo môđun 2). Hãy xét môđun 3. $1153 \equiv 1 \pmod{3} = 1153^{60} \equiv 1 \pmod{3}$; $211 \equiv 1 \pmod{3} = 211^{60} \equiv 1 \pmod{3}$. Ở vế phải $27027 \equiv 0 \pmod{3}$. Vì vậy toàn bộ vế phải cho số dư là 2. Lại không thu được mâu thuẫn. Nếu bạn đủ kiên nhẫn, hãy tự kiểm tra rằng theo môđun của mọi số đến 16 kể cả 16, đẳng thức đã viết là đúng. (Bạn sẽ nhận thấy rằng $27027 \cdot 100^x, x \geq 2$, chia hết cho mỗi số trong các số này, còn vế trái sẽ cho số dư 2.)

*) Hãy thận trọng với việc chia một đồng dư. Nếu $ac \equiv bc \pmod{k}$, thì không nhất thiết $a \equiv b \pmod{k}$. Chẳng hạn, $27 \equiv 3 \pmod{6}$, nhưng $9 \neq 1 \pmod{6}$. Tuy nhiên, nếu $c$ nguyên tố cùng nhau với môđun $k$, thì có thể rút gọn cho $c$. Điều này là hệ quả của một sự thật quan trọng và không dễ chứng minh: nếu $c$ nguyên tố cùng nhau với $k$, thì tồn tại một số $x$ sao cho $cx \equiv 1 \pmod{k}$.

Nếu bạn kiên trì, thì theo môđun 17 bạn sẽ nhận được đẳng thức sau: $(-3)(-2)^x + 2 \equiv 0 \pmod{17}$. Lần lượt thử các giá trị của $x$ (chu kỳ ở đây sẽ có độ dài 8), bạn sẽ không lần nào nhận được đẳng thức cần thiết. Bạn sẽ tìm thấy mâu thuẫn.

Những tính toán đã làm ngay lập tức đặt ra nhiều câu hỏi:

(1) Nếu đẳng thức sai, thì có thể phát hiện điều đó theo một môđun nào đó không?

(2) Có thể bằng cách nào đó chỉ ra những môđun mà theo đó có khả năng nhận được mâu thuẫn cao hơn không?

(3) Hành vi của đẳng thức theo các môđun khác nhau có liên hệ với nhau không?

Nếu nói về một đẳng thức số cụ thể nào đó (như đã có trong ví dụ đầu tiên của chúng ta), thì, dĩ nhiên, luôn có một số sao cho theo môđun của nó ta tìm được mâu thuẫn (chẳng hạn, có thể lấy một số lớn hơn các vế của đẳng thức). Những đẳng thức có biến số thú vị hơn nhiều (như trong hai ví dụ cuối). Đối với phương trình nguyên, mỗi trong ba câu hỏi đã nêu đều đáng quan tâm và không phải lúc nào cũng được nghiên cứu đến cùng.

Một chút chưa được chứng minh

Những phương trình nguyên đầu tiên mà khi giải chúng xuất hiện những khó khăn nghiêm trọng là các phương trình bậc hai*. Từ lâu các nhà toán học đã quan tâm đến những câu hỏi kiểu này: có thể biểu diễn một số đã cho dưới dạng tổng của hai bình phương không? Hóa ra, khả năng giải được của phương trình dạng $x^2 + y^2 = a$ và các phương trình tổng quát hơn khác, được cho bởi các đa thức bậc hai, quy về việc kiểm tra khả năng giải được của một đồng dư (đặt-

*) Lý thuyết các phương trình nguyên tuyến tính khá đơn giản. Đồng thời nó chứa một loạt bài toán thú vị, gần với sơ cấp, và đáng có một bài viết riêng.

18

nghiên cứu các vấn đề liên quan đến số nguyên: đặt các vấn đề ấy “theo mô đun $p$”, rồi từ cách ứng xử với mọi $p$ rút ra các kết luận chung. Cách lập luận ấy được gọi là “nguyên lý Minkowski — Hasse”. Đã tìm thấy và vẫn còn gặp những bài toán mà nó cho kết quả: bài toán có nghiệm nguyên khi và chỉ khi nó giải được theo mọi mô đun. Càng đáng thất vọng hơn là việc tìm ra các ví dụ mà nguyên lý này không hoạt động. Một trong những ví dụ đầu tiên thuộc loại này (nhưng không phải sớm nhất về mặt thời gian) là ví dụ do nhà toán học Na Uy Selmer tìm ra. Phương trình $3x^3+4y^3+5z^3=0$ hóa ra giải được theo mọi mô đun (và, dĩ nhiên, trong các số thực), nhưng không giải được trong các số nguyên (không đồng thời bằng không). Ví dụ này đã trở thành điểm xuất phát cho nhiều nghiên cứu về các phương trình Diophantine (nghĩa là các phương trình trong số nguyên) trong 15 năm gần đây. Chỉ cần nói rằng trong thời gian ấy số các vấn đề chưa rõ và các giả thuyết đã tăng lên rất nhiều, còn những căn nguyên thực sự của điều đang xảy ra vẫn chưa được làm sáng tỏ.

Khoảng cách giữa các số hữu tỉ

Thành tựu hiện đại quan trọng nhất trong lý thuyết số là cách hiểu mới về điều được gọi là “tính toán theo mô đun”. Để đơn giản, từ số nguyên ta chuyển sang số hữu tỉ. (Sự chuyển đổi này thường diễn ra không đau đớn — chẳng hạn, các nghiệm nguyên của phương trình $x^n+y^n=z^n$ có liên hệ rất chặt chẽ với các nghiệm hữu tỉ của phương trình $x^n+y^n=1$.) Rõ ràng, nếu muốn giải một phương trình trong các số hữu tỉ, ta phải biết nó có giải được trong các số thực hay không. Việc kiểm tra tính giải được này đơn giản hơn nhiều: có thể khai các căn khác nhau, lấy lôgarit, viết các bất đẳng thức, v.v.

Nhưng hãy nhớ lại, các số thực đã được tạo ra từ các số hữu tỉ như thế nào? Một quan điểm là: có thể xét các dãy số hữu tỉ mà khoảng cách giữa các số hạng kề nhau giảm đi không ngừng. Chẳng hạn, 1; 1,4; 1,41; 1,4142; … Một dãy như vậy (có thể hình dung nó như một dãy các phép đo với độ chính xác tăng dần) xác định một số thực. Độ lệch giữa các số hạng kề nhau của dãy thay đổi như thế nào? Nếu viết dãy là $a_1; a_2; a_3; ...$, thì khoảng cách giữa các số hạng được viết là $|a_m-a_n|$. Như vậy, cơ sở để tạo ra các số thực từ các số hữu tỉ là khoảng cách, được xác định là giá trị tuyệt đối của hiệu. Ký hiệu khoảng cách giữa hai số như sau: $d(a, b) = |b-a|$. Hãy thử suy ra các tính chất sau của khoảng cách*:

1. $d(a, b) \geq 0$, trong đó $d(a, b) = 0 \Rightarrow a=b$;
2. $d(a, b) = d(b, a)$;
3. $d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$ (bất đẳng thức tam giác);
4. $d(a+c, b+c) = d(a, b)$;
5. $d(ab, 0) = d(a, 0) \cdot d(b, 0)$.

Hóa ra, ngoài giá trị tuyệt đối thông thường, các số hữu tỉ còn có nhiều khoảng cách khác, có tính chất 1—5. Cố định một số nguyên tố tùy ý $p$. Mọi số hữu tỉ $a$ (trừ số không) có thể biểu diễn dưới dạng $a=p^v \cdot r$, trong đó $v=v(a)$ — một số nguyên, còn số hữu tỉ $r=r(a)$ sao cho trong cách viết của nó trong

*) Ba tính chất đầu tiên trong số này — những tính chất cơ bản mà khoảng cách thông thường trên mặt phẳng và trong không gian thỏa mãn; đó là các tiên đề mà mọi “mêtric” phải thỏa mãn (xem bài của N. B. Vasiliev “Các không gian mêtric” trong “Kvant” số 10, 1970). Tính chất thứ tư và thứ năm của khoảng cách thực với các phép cộng và nhân các số. Về một mêtric thỏa mãn chúng, người ta nói rằng nó là mêtric của một trường (ví dụ, $d(b, a) = |b-a|$ — mêtric của trường số thực).

19

dưới dạng phân số tối giản thì $p$ không có mặt cả ở tử số lẫn mẫu số. (Lưu ý rằng $v(a)$ có thể bằng không, cũng có thể là một số nguyên âm. Chẳng hạn, nếu $p=3$, $a=\frac{73}{324}=3^{-4}\cdot\frac{73}{4}$, thì $v(a)=-4$.) Bây giờ lấy một số dương tùy ý $\lambda<1$. Ta định nghĩa khoảng cách $d_p$ như sau: $d_p(a,b)=\lambda v(a-b)$, nếu $a\neq b$, và $d_p(a,a)=0$. Không khó để kiểm tra (hãy thử tự làm điều đó) rằng mọi tính chất của khoảng cách đều được thỏa mãn.

Vì đã có một khoảng cách mới, ta có thể thử thu được những số mới bằng cách xây dựng các dãy số hữu tỉ $a_1, a_2, \ldots$, sao cho khoảng cách giữa các số kề nhau giảm dần. Điều này có nghĩa là $\lambda v(a_{n+1}-a_n)$ khi $n$ tăng phải ngày càng nhỏ và tiến tới không, và khi đó $v(a_{n+1}-a_n)$ phải tăng.

Kết quả ta sẽ nhận được những số mới, gọi là $p$-adic $^*$. Chúng rất giống số thực. Cũng dễ dàng như đối với số thực, người ta nghiên cứu được các vấn đề về khi nào có thể khai căn, lấy lôgarit và thực hiện các phép toán khác trên các số $p$-adic. Bài toán về tính giải được của phương trình theo môđun lũy thừa của một số nguyên tố cho trước sẽ được thay bằng bài toán về tính giải được của nó trong các số $p$-adic.

Nảy sinh câu hỏi: liệu ta đã tìm được tất cả các khoảng cách giữa các số hữu tỉ chưa. Hóa ra là rồi. Có định lý nổi tiếng của Ostrovsky (có thể tìm hiểu nó trong cuốn sách về lý thuyết số được dẫn ở trên), cho thấy rằng mọi khoảng cách đều được bao quát bởi giá trị tuyệt đối thông thường và các khoảng cách $p$-adic mà ta đã đưa vào đối với mỗi số nguyên tố $p$.

Ta dường như đã đặt ngang hàng cách ứng xử của phương trình theo môđun một số nguyên tố riêng lẻ và lũy thừa của nó, một mặt, với cách ứng xử của nó trong các số thực thông thường

$^*)$ Dễ chứng minh rằng việc chọn $\lambda$ ở phần mở rộng không ảnh hưởng đến các tính chất của số $p$-adic. Nếu muốn, có thể ở mọi nơi coi rằng $\lambda=\frac{1}{2}$ hoặc $\lambda=\frac{1}{p}$.

— mặt khác. Trong cả hai trường hợp, các số được so sánh theo khoảng cách giữa chúng, nhưng các khoảng cách này được chọn khác nhau. (Bây giờ ta thấy nghiệm thứ hai và thứ ba của bài toán mà bài viết của chúng ta bắt đầu giống nhau ở điểm nào.)

Sự hiểu biết về sự kiện này đã làm phong phú mạnh mẽ lý thuyết số, lại đưa vào đó những phương pháp mạnh mẽ của lý thuyết hàm và hình học, vốn trước đây được phát triển cho các số thực thông thường, nhưng cũng được áp dụng thành công cho các số $p$-adic, khiến ngành toán học cổ xưa nhất này trở thành một trong những ngành phát triển rực rỡ nhất.)

Bài tập

1. Chứng minh rằng không phương trình nào trong các phương trình a) $x^2+y^2=1971$, b) $19x^3-17y^3=50$, b) $3x^2-y^2=5^z$, r) $x^3+y^3+7z=3$ có nghiệm nguyên.

2. Chứng minh rằng không thể lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 hai số có bảy chữ số khác nhau sao cho một số chia hết cho số kia. (Trong mỗi số phải dùng tất cả các chữ số.)

3. Chứng minh rằng số có biểu diễn thập phân gồm ba mươi chữ số một, một số lượng nào đó chữ số không và một số lượng nào đó chữ số chín không phải là số chính phương.

4. Tìm khoảng cách 5-adic (tức là khoảng cách $d_5$) giữa các số: a) 0 và $\frac{2}{5}$; b) $1\frac{31}{45}$ và $6\frac{2}{15}$; b) 6 và 631.

5. Chứng minh rằng đối với các số 3-adic, đẳng thức sau đúng

$$1+3+9+27+\ldots=-\frac{1}{2}$$

(nói cách khác, dãy khoảng cách

$$\alpha_n=d_3\left(1+3+\ldots+3^n,-\frac{1}{2}\right)$$

tiến tới không).

Tổng $1+3^2+3^4+3^6+\ldots$ bằng bao nhiêu?

⟦trang 21⟧

Tấm ván chuyển động trên các con lăn tròn. Khi đó nó giữ nguyên vị trí nằm ngang và vẫn ở cùng một độ cao. Vì sao lại như vậy? Bởi vì đường tròn có cùng một bề rộng khi quay theo bất kỳ góc nào.

Liệu tấm ván có chuyển động như vậy nếu dùng các con lăn không tròn? Thoạt đầu dường như điều đó là không thể. Tuy nhiên, đừng vội. Hóa ra có những đường cong, giống như đường tròn, có cùng bề rộng theo mọi hướng. Chúng được gọi là các đường cong có bề rộng không đổi.

Một trong những đường cong đơn giản nhất thuộc loại này được chỉ ra ở hình 1. Nó gồm hai $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ bán kính $r$ và hai $B_1A_3, B_3A_2, B_2A_1$ bán kính $R$, có tâm nằm tại các đỉnh của tam giác đều $O_1O_2O_3$. Dễ thấy rằng bề rộng của đường cong này như nhau theo mọi hướng và bằng $R+r$. Do đó, các con lăn có biên dạng được tạo bởi những đường cong như vậy sẽ hoạt động không hề kém các con lăn tròn (hình 2).

Đường cong biểu diễn trên hình 1 có thể được tạo ra như sau. Lấy đoạn $A_1B_3$ và, quay nó đi $60^\circ$ quanh điểm $O_1$, đưa nó đến vị trí $B_1A_2$. Sau đó, quay đoạn $B_1A_2$ đi $60^\circ$ quanh điểm $O_2$, ta được đoạn $A_3B_2$ và, cuối cùng, quay đoạn $A_3B_2$ đi $60^\circ$ quanh điểm $O_3$, lại trở về đoạn $A_1B_3$. Trong quá trình các phép quay này, một đầu mút của đoạn sẽ vạch nên các cung $A_1B_1A_3B_3$, còn đầu kia — các cung $B_3A_2B_2A_1$. Do đó, đường cong chỉ ra trên hình 1 có thể được xem như quỹ tích do các đầu mút của một đoạn nào đó vạch nên

22

Hình 3.

Chiều rộng của tất cả các đường cong này đã được dựng và bằng độ dài của đoạn thẳng được quay. Có thể quay đoạn thẳng quanh một trong các đầu mút của nó. Khi đó ta sẽ nhận được đường cong đơn giản nhất có chiều rộng không đổi, khác đường tròn (hình 4). Khi ấy đoạn thẳng $AB$ trước hết quay quanh điểm $A$, chuyển sang vị trí $AB'$, sau đó quanh điểm $B'$, chuyển thành đoạn thẳng $B'B$, và cuối cùng quanh điểm $B$, khép kín đường cong.

Bây giờ hãy xét một đoạn thẳng nào đó $AB$. Giả sử nó lăn không trượt trên đường cong SS. Khi đó tại mỗi

Hình 4.

thời điểm riêng lẻ, chuyển động như vậy có thể được xem là sự quay của đoạn thẳng quanh điểm tiếp xúc. Điểm tiếp xúc mà quanh đó tại thời điểm đã cho diễn ra sự quay được gọi là tâm quay tức thời (chẳng hạn, điểm $C$ trong hình 5).

Khái niệm về tâm quay tức thời cho phép dễ dàng tính vận tốc của các điểm khác nhau của đoạn thẳng $AB$. Chẳng hạn, đối với vận tốc của các điểm $A$ và $B$ ta có

$$v_A = \omega \cdot CA,$$
$$v_B = \omega \cdot CB,$$

trong đó $\omega$ là vận tốc góc của đoạn $AB$ trong chuyển động quay «tức thời» của nó quanh tâm $C$. Khi đó vận tốc của các điểm đang xét sẽ vuông góc với các bán kính quay tương ứng, tức là các đoạn $CA$ và $CB$. Như vậy có thể tính vận tốc của bất kỳ điểm nào nằm trên đoạn này hoặc liên kết cứng với đoạn này. Nếu, chẳng hạn, với đoạn $AB$ có liên kết cứng một hình nào đó, thì vận tốc của bất kỳ điểm $P$ nào bằng tích $\omega \cdot CP$.

Bây giờ ta trở lại các đường cong có bề rộng không đổi. Giả sử đoạn $AB$ lăn theo đường cong SS. Vì các vận tốc $v_A$ và $v_B$ vuông góc với các bán kính $CA$ và $CB$, nên chúng song song với nhau. Nhưng vận tốc $v_A$ có hướng-

23

Hình 6.

theo tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm $A$, còn vận tốc $v_B$ — theo tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm $B$. Do đó, các tiếp tuyến này song song với nhau, và khoảng cách giữa chúng luôn luôn bằng $AB$. Nhưng điều đó có nghĩa là các quỹ đạo $A_1A_2$ và $B_1B_2$ có thể được xem là những đoạn của một đường cong nào đó có bề rộng không đổi.

Tuy nhiên, chúng ta cần dựng không phải hai đoạn, mà toàn bộ một đường cong như vậy. Nếu muốn làm điều đó bằng phép toán đang mô tả, thì phải chọn đường $SS$ sao cho, khi lăn trên nó, đoạn $AB$ quay đi $180^\circ$, tức là để điểm $A$ đến vị trí $B$, còn điểm $B$ — đến vị trí $A$. Một trong những đường như vậy — $PQRP$ — được chỉ ra trên hình 6. Hãy theo dõi chi tiết hơn cách đoạn $AB$ lăn trên nó.

Trước hết nó lăn trên đoạn $PQ$ và đi đến vị trí $A'B'$. Khi đó các đầu mút của nó vạch nên các cung $AA'$ và $BB'$. Sau đó nó lăn trên đoạn $QR$, và các đầu mút của nó vạch nên các cung $A'A''$ và $B'B''$. Cuối cùng, nó lăn quanh đoạn $RP$, và các đầu mút của nó chuyển động theo các cung $A''B$ và $B''A$. Kết quả là điểm $A$ đến vị trí $B$, còn điểm $B$ — đến vị trí $A$, và đường cong đã dựng khép kín. Khi đó các cung $PQ$, $QR$

và $RP$ có thể có bất kỳ hình dạng nào và không nhất thiết phải giống nhau. Điều duy nhất được yêu cầu ở chúng là chúng lồi và tiếp xúc với nhau như trên hình vẽ. Còn các đoạn $AP$ và $PB$ thì độ dài của chúng không thể tùy ý, nếu không cung do điểm $A$ vạch ra sẽ không “nhập” vào cung do điểm $B$ vạch ra. Ở đây có thể dựng như sau. Qua điểm $P$ kẻ một đường thẳng tiếp xúc với cung $PQ$, và đặt điểm $A$ trên đó. Bây giờ cho đường thẳng này lăn trên đường $PQRP$. Đầu mút của cung mà điểm $A$ vạch ra khi đó xác định vị trí điểm $B$.

Đường $PQRP$ biểu diễn trên hình 6 gồm ba cung. Nhưng số cung cũng có thể nhiều hơn. Chẳng hạn, trên hình 7 là một đường cong có độ rộng không đổi, nhận được khi cho lăn đường $PQRSTP$, gồm năm cung.

Các đường cong có độ rộng không đổi còn có một tính chất nữa khiến chúng gần với đường tròn. Tính chất ấy được phát biểu bằng định lý sau:

Chu vi của đường cong có độ rộng không đổi $l=\pi D$, trong đó $D$ là độ rộng của đường cong này.

Chứng minh định lý này.

24

Hình 8.

Giả sử đường thẳng nằm ngang $PQ$ được dịch chuyển bằng các con lăn có chiều rộng không đổi (hình 8). Xét một trong các con lăn này, chẳng hạn con bên trái. Giả sử chiều rộng của nó bằng $D$, còn chu vi bằng $l$. Khi đường thẳng $PQ$ dịch chuyển đủ để con lăn này quay được một vòng, nó dịch chuyển so với đường thẳng $MN$ một đoạn $l$ về bên phải. Nhưng vì nó lăn không chỉ trên đường thẳng $MN$, mà còn trên đường thẳng $PQ$, nên sau một vòng nó bị dịch chuyển so với đường thẳng $PQ$ một đoạn $l$ về bên trái. Do đó, độ dịch chuyển của đường thẳng $PQ$ so với đường thẳng $MN$ sẽ bằng $2l$.

Nhưng vì độ dịch chuyển ấy cũng bằng $vt$, trong đó $t$ — thời gian để con lăn quay được một vòng, thì

$$2l = vt. \tag{1}$$

(Chúng ta coi rằng đường thẳng $PQ$ chuyển động với vận tốc không đổi.) Tâm quay tức thời của con lăn nằm tại điểm $A$, do đó vận tốc chuyển động là

$$v = \omega \cdot AB = \omega D,$$

trong đó $\omega$ là vận tốc góc của con lăn. Thay biểu thức này vào đẳng thức (1), ta được

$$2l = \omega Dt. \tag{2}$$

Nhưng $\omega t$ là góc quay của con lăn trong một vòng. Do đó,

$$\omega t = 2\pi,$$

và đẳng thức (2) có dạng

$$2l = 2\pi D,$$

suy ra

$$l = \pi D.$$

Như vậy, chu vi của đường cong có độ rộng không đổi được tính giống như chu vi đường tròn. Còn diện tích được giới hạn bởi đường cong có độ rộng không đổi thì sao? Có thể tính nó giống như diện tích hình tròn không? Hóa ra là không. Tuy nhiên, diện tích của vành có độ rộng không đổi có thể tính như diện tích vành giữa hai đường tròn đồng tâm. Chính xác hơn, điều này có nghĩa như sau.

Xét một đường cong có độ rộng không đổi (hình 9). Qua một điểm tùy ý $C$ trên đó, dựng pháp tuyến (pháp tuyến là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến) và lấy trên nó đoạn $CC'$ có độ dài cho trước $d$. Lấy những đoạn như vậy từ mỗi điểm của đường cong đã cho, ta được một đường cong mới, là quỹ tích các đầu mút của những đoạn đã lấy. Hiển nhiên, nó cũng có độ rộng không đổi. Nếu bây giờ ký hiệu $S$ là diện tích nằm giữa các đường cong này, thì ta có đẳng thức

$$S = \frac{\pi D_2^2}{4} - \frac{\pi D_1^2}{4},$$

trong đó $D_1$ là chiều rộng của đường cong bên trong, còn $D_2$ là của đường cong bên ngoài.

Hãy tự thử chứng minh điều này.

25

CÁC ĐA GIÁC

L. M. Lopovok BÁN CHÍNH QUY

Theo định nghĩa, một đa giác lồi được gọi là chính quy nếu nó đều góc và đều cạnh. Tuy nhiên, có một lớp hình thú vị không đồng thời có cả hai tính chất này. Ta sẽ gọi các đa giác sau là bán chính quy:

a) đều góc, có các cạnh bằng nhau cách một;
b) đều cạnh, có các góc bằng nhau cách một.

Ví dụ về đa giác bán chính quy loại thứ nhất là hình chữ nhật, còn loại thứ hai là hình thoi. Từ mô tả các đa giác bán chính quy thấy rằng mỗi đa giác có số đỉnh chẵn; ký hiệu số đó là $2n$.

Các tính chất của đa giác bán chính quy đều góc

1. Các cạnh đối diện của một đa giác đều góc song song.

Thật vậy, khi đi quanh đa giác, ta nhận thấy rằng mỗi cạnh quay so với cạnh trước đó một góc ngoài, tức là $\frac{180^\circ}{n}$ (hình 1). Do đó, cạnh $A_{n+1}A_{n+2}$ quay so với cạnh $A_1A_2$ một tổng gồm $n$ góc ngoài, tức là $180^\circ$.

2. Nếu nối các đỉnh của một đa giác bán chính quy đều góc cách một đỉnh (tất cả các đỉnh lẻ hoặc tất cả các đỉnh chẵn), thì ta được một đa giác chính quy (hình 1).

Chứng minh không khó: các tam giác $A_1A_2A_3$, $A_3A_4A_5$, $A_5A_6A_7$, … bằng nhau theo trường hợp thứ nhất, do đó $A_1A_3=A_3A_5=\dots$. Mặt khác, từ sự bằng nhau của các tam giác suy ra sự bằng nhau của các góc tương ứng. Ký hiệu góc trong của đa giác đều $2n$ cạnh là $\alpha_{2n}$. Ta tìm các góc trong của đa giác nhận được: chúng bằng

$$\alpha_{2n} - (\beta + \gamma) = \alpha_{2n} - (180^\circ - \alpha_{2n}) =$$

$$= 2\alpha_{2n} - 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ \left( 1 - \frac{1}{n} \right) -$$

$$- 180^\circ = 180^\circ \left( 1 - \frac{2}{n} \right),$$

Hình 1.

4. Kvant số 3

26

như đúng ra phải có ở một $n$-giác đều.

3. Có thể ngoại tiếp một đường tròn quanh một đa giác đều góc nửa chính quy.

Ta ngoại tiếp một đường tròn quanh $n$-giác đều $A_1A_3A_5\dots$ (hình 2). Góc trong của $2n$-giác đều góc bằng $180^\circ \left(1 - \frac{1}{n}\right)$. Dễ tính được rằng $\Rightarrow A_1A_2A_3$ bằng một nửa số đo theo độ của cung $A_3A_5A_1$, do đó điểm $A_2$ nằm trên đường tròn đã dựng. Điều này cũng đúng với các đỉnh khác: $A_4$, $A_6$,…

Hai cách dựng đa giác đều góc nửa chính quy dựa trên tính chất 3.

a) Dựng $n$-giác đều $A_1A_3A_5\dots A_{2n-1}$, vẽ đường tròn ngoại tiếp nó. Sau đó tìm (bằng compa) trên đường tròn các điểm $A_2$, $A_4$, $A_6$,…, $A_{2n}$, cách các đỉnh tương ứng của $n$-giác một khoảng như nhau: $A_1A_2=A_3A_4=..$

b) Dựng tam giác $A_1A_2A_3$ theo hai cạnh (có độ dài tùy ý) và góc đã biết giữa chúng, vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác này. Sau đó, biết độ dài của tất cả các cạnh, lần lượt tìm các đỉnh còn lại bằng các cung compa.

4. Nếu số đỉnh của một đa giác đều cạnh nửa chính quy chia hết cho 4, thì các đường chéo lớn hơn cắt nhau tại một điểm và bị điểm đó chia đôi.

Để chứng minh, dùng tính chất 2: các đường chéo này cũng là các đường chéo của một đa giác đều với số cạnh bằng bốn, vì vậy chúng cắt nhau tại một điểm — tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác — và bị điểm này chia đôi.

Nếu số đỉnh của một đa giác đều cạnh nửa chính quy không chia hết cho 4, thì không khó dựng một ví dụ (hình 3), trong đó các đường chéo lớn hơn cắt nhau tại nhiều điểm.

5. Tâm của đường tròn ngoại tiếp một $4n$-giác đều cạnh nửa chính quy là tâm đối xứng của nó.

Từ tính chất 4 suy ra rằng khi đối xứng tâm qua tâm đường tròn, các đỉnh của đa giác chuyển thành các đỉnh; do đó, các cạnh cũng chuyển thành các cạnh.

6. Đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh song song của một đa giác đều cạnh nửa chính quy là trục đối xứng của nó.

Theo tính chất của các dây cung song song của đường tròn, đường thẳng này đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp. Từ sự bằng nhau của các dây cung tương ứng ở hai phía của đường thẳng suy ra tính đối xứng của các đỉnh tương ứng

⟦tờ 27⟧

của đa giác đối với đường thẳng đã kẻ (xem tiếp hình 6).

7. Giả sử đa giác nửa đều đều góc có 2n đỉnh, khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp nó là tâm đối xứng bậc n của nó.

Điều đó có nghĩa là khi quay quanh tâm đường tròn một góc là bội của $\frac{360^\circ}{n}$, đa giác trùng với chính nó. Điều này suy ra từ các tính chất 2 và 3.

8. Tổng các khoảng cách từ một điểm bên trong đến các cạnh (hoặc phần kéo dài của chúng) của đa giác nửa đều đều góc là không đổi.

Như đã biết, đa giác nửa đều có tính chất như vậy.

Nếu nối điểm bên trong của đa giác đều góc với các đỉnh, thì tổng diện tích các tam giác nhận được bằng diện tích đa giác. Ký hiệu cạnh của đa giác là $a$, còn các khoảng cách đến các cạnh là $x_0, x_1, x_2, x_3, \dots$, ta được

$$S = \frac{ax_0}{2} + \frac{ax_1}{2} + \frac{ax_2}{2} + \frac{ax_3}{2} + \dots;$$

$$x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + \dots = \frac{2S}{a} = \text{const.}$$

Giả sử trong đa giác đã cho cạnh $A_1A_2$ lớn hơn cạnh $A_2A_3$. Dựng trên $A_1A_2$ một 2n-giác đều (hình 4). Khi đó tất cả các cạnh của đa giác ban đầu (trừ ba cạnh) lần lượt song song với các cạnh của đa giác đều, còn ba cạnh ($A_1A_2$ và các cạnh kề với nó) nằm trên các cạnh của đa giác đều. Do đó, các khoảng cách từ điểm bên trong $M$ đến các cạnh của đa giác đều là:

$$x_0 = y_0, \ x_1 = y_1, \ x_2 = y_2, \ x_3 = y_3 + b_1,$$

$$x_4 = y_4 + b_2, \ x_5 = y_5 + b_3, \dots,$$

trong đó $b_1, b_2, b_3$ là các hằng số, còn tổng cần tìm

$$y_0 + y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + \dots = (x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \dots) - (b_1 + b_2 + \dots) = \text{const.}$$

9. Nếu lần lượt nối các cạnh của đa giác đều góc đều góc, thì sẽ được một đa giác nửa đều đều cạnh.

Thật vậy, theo tính chất 2, tất cả các đường chéo nhỏ của đa giác nửa đều đều góc bằng nhau. Các cạnh của đa giác đều góc (hình 5) nhỏ bằng một nửa các đường chéo này, vì chúng là các đường trung bình của các tam giác $A_1A_2A_3, A_2A_3A_4, A_3A_4A_5, \dots$. Dùng tính chất 7, dễ dàng xác lập-