Kvant 1971, số 4 · Trang

⟦không ghi số trang⟧

Tạp chí khoa học phổ thông vật lý-toán học
Kvant
4
1971
tạp chí
của Viện Hàn lâm
khoa học Liên Xô
và Viện Hàn lâm khoa học
sư phạm Liên Xô

Trong số này:

Kinh tế học và bất đẳng thức tuyến tính 1 A. B. Katok
Định luật Ôm 8 Ya. A. Smorodinsky
Các bài toán lôgic và đại số mệnh đề 14 L. L. Tsinman
Cơ sở lý thuyết xoáy 21 N. E. Zhukovsky
Hiệu ứng Doppler 30 L. G. Aslamazov

Bài toán của “Kvant” 33
Lời giải các bài M28—M30, F41—F47 35
Thực hành cho thí sinh Bất đẳng thức lượng giác 43
Kỳ thi tuyển sinh môn toán tại Viện Kỹ thuật Điện tử Moskva 51
V. B. Demyanov
Thông tin Giải đấu toán học qua thư 56
Olympiad, olympiad 57
Điểm sách. Thư mục học Ở hai phía của gương 58
Góc của người sưu tầm Liên Xô — quê hương của du hành vũ trụ 60
Đáp số, chỉ dẫn, lời giải 62
“Kvant” dành cho học sinh nhỏ tuổi trang bìa thứ 3
Ô chữ trang bìa thứ 4

bất đẳng thức $x_2 \geq 0$, tạo thành nửa không gian nằm «phía sau» mặt phẳng $x_1Ox_3$, còn các điểm thỏa mãn bất đẳng thức $x_3 \geq 0$ tạo thành nửa không gian nằm phía trên mặt phẳng $x_1Ox_2$.

Như vậy, các điểm $(x_1, x_2, x_3)$ đồng thời thỏa mãn cả ba bất đẳng thức $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, x_3 \geq 0$ nằm trong giao của ba nửa không gian đã mô tả, tức là trong octant dương («1/8 phần») của không gian (xem hình 1).

Các điểm $(x_1, x_2, x_3)$ thỏa mãn $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = p_1$ tạo thành một mặt phẳng đi qua các điểm $P_1 = \left(\frac{p_1}{a_{11}}, 0, 0\right)$ trên trục $Ox_1$, $Q_1 = \left(0, \frac{p_1}{a_{12}}, 0\right)$ trên trục $Ox_2$ và $S_1 = \left(0, 0, \frac{p_1}{a_{13}}\right)$ trên trục $Ox_3$. Các điểm thỏa mãn $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \leq p_1$, (3)

nằm trong một trong các nửa không gian mà mặt phẳng này chia không gian thành. Vì $p_1 > 0$, nên tọa độ của điểm $O = (0, 0, 0)$ thỏa mãn bất đẳng thức (3). Do đó cần chọn nửa không gian $L_1$ chứa điểm này. Các điểm $(x_1, x_2, x_3)$ có tọa độ thỏa mãn hệ bất đẳng thức

$$\begin{cases} x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, x_3 \geq 0, \\ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \leq p_1, \end{cases}$$

nằm trong giao của nửa không gian $L_1$ với góc phần tám dương. Giao này là một tứ diện không đều $OP_1Q_1S_1$ (hình 2).

Các điểm có tọa độ thỏa mãn bất đẳng thức $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \leq p_2$ nằm trong nửa không gian $L_2$, chứa điểm $O$ và bị giới hạn bởi mặt phẳng đi qua các điểm

$$P_2 = \left(\frac{p_2}{a_{21}}, 0, 0\right),$$

$$Q_2 = \left(0, \frac{p_2}{a_{22}}, 0\right),$$

$$S_2 = \left(0, 0, \frac{p_2}{a_{23}}\right).$$

Nghiệm của hệ bất đẳng thức

$$\begin{cases} x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, x_3 \geq 0, \\ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \leq p_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \leq p_2 \end{cases}$$

xảy ra giao của tứ diện $OP_1Q_1S_1$ với nửa không gian $L_2$ hoặc, cũng vậy, giao của các tứ diện $O_1P_1Q_1S_1$ và $OP_2Q_2S_2$. Có thể có các trường hợp sau:

a) Cả ba điểm $P_2Q_2S_2$ đều nằm trong tứ diện $OP_1Q_1S_1$ (điều này có nghĩa là $\frac{p_1}{a_{11}} \leq \frac{p_2}{a_{21}}$; $\frac{p_1}{a_{12}} \leq \frac{p_2}{a_{22}}$, $\frac{p_1}{a_{13}} \leq \frac{p_2}{a_{23}}$).

Khi đó giao của các tứ diện $OP_1Q_1S_1$ và $OP_2Q_2S_2$ trùng với tứ diện $OP_1Q_1S_1$ (hình 3, a).

b) Một số trong các điểm $P_2, Q_2, S_2$ nằm bên trong, còn một số ở bên ngoài

4

của tứ diện $OP_1Q_1S_1$ (điều này có nghĩa là trong các số

$$\frac{p_1}{a_{11}} - \frac{p_2}{a_{21}}, \frac{p_1}{a_{12}} - \frac{p_2}{a_{22}}, \frac{p_1}{a_{13}} - \frac{p_2}{a_{23}}$$

có ít nhất một số dương và một số âm). Khi đó mặt phẳng $P_2Q_2S_2$ «cắt một góc» của tứ diện $OP_1Q_1S_1$; giao của các tứ diện $OP_1Q_1S_1$ và $OP_2Q_2S_2$ sẽ là một đa diện có sáu đỉnh (trên hình 3, b là đa diện $OP_2Q_2D_1D_2S_1$).

в) Cả ba điểm $P_2$, $Q_2$, $S_2$ đều nằm bên trong tứ diện $OP_1Q_1S_1$, nghĩa là

$$\frac{p_1}{a_{11}} \geq \frac{p_2}{a_{21}}, \frac{p_1}{a_{12}} \geq \frac{p_2}{a_{22}}, \frac{p_1}{a_{13}} \geq \frac{p_2}{a_{32}}.$$

Trong trường hợp này, giao của các tứ diện $OP_1Q_1S_1$ và $OP_2Q_2S_2$ trùng với $OP_2Q_2S_2$.

Nối tiếp vào hệ (4) các bất đẳng thức sau của hệ (2), ta thấy rằng mỗi bất đẳng thức tiếp theo либо hoàn toàn không làm thay đổi tập nghiệm của hệ các bất đẳng thức trước đó (như trong trường hợp a)), либо mặt phẳng được dựng «cắt» đi một phần của đa diện tương ứng với nghiệm của hệ (như trong trường hợp б) và )).

Cũng như trên mặt phẳng, một tập các điểm trong không gian được gọi là lồi nếu cùng với hai điểm bất kỳ của nó, nó chứa trọn đoạn thẳng nối chúng. Vì nửa không gian là một tập lồi và phần chung của các tập lồi—

các tập hợp lồi, rất nhiều tập hợp, thì tập hợp các điểm tương ứng với nghiệm của hệ (2) là một đa diện lồi $A$. Tuy nhiên, trong số các đỉnh của đa diện này nhất thiết sẽ có điểm $O$, còn các cạnh xuất phát từ đỉnh này sẽ là một số đoạn của các trục tọa độ. Nhận thấy rằng, khác với điều ta có khi giải bài toán “về thức ăn cho gà con”, tập hợp các điểm khả dĩ trong trường hợp này hóa ra bị chặn.

Gọi một mặt phẳng là mặt phẳng tựa của một tập hợp lồi trong không gian nếu tập hợp này hoàn toàn nằm trong một trong các nửa không gian mà mặt phẳng đó chia không gian thành, đồng thời ít nhất một điểm của tập hợp nằm trên mặt phẳng.

Xét họ các mặt phẳng song song

$$x_1 + x_2 + x_3 = K.$$

Với $K < 0$ các mặt phẳng này không cắt góc phần tám dương và do đó không cắt đa diện $A$. Mặt phẳng

$$x_1 + x_2 + x_3 = 0$$

là mặt phẳng tựa của đa diện $A$ và cắt nó tại điểm duy nhất (0, 0, 0). Toàn bộ đa diện $A$ nằm trong nửa không gian $x_1 + x_2 + x_3 \geq 0$. Điểm (0, 0, 0) tương ứng với cực tiểu của hàm tuyến tính

5

$f(x) = x_1 + x_2 + x_3$, được xác định trên đa diện $A$. Khi tiếp tục tăng $K$, mặt phẳng $x_1 + x_2 + x_3 = K$ sẽ cắt đa diện $A$ theo một đa giác.

Sẽ có một giá trị (hình 4) $K = K_0$ sao cho mặt phẳng $x_1 + x_2 + x_3 = K_0$ lại là mặt phẳng tựa của đa diện $A$, nhưng đa diện sẽ nằm trong nửa không gian $x_1 + x_2 + x_3 \leq K_0$.

Rõ ràng, hàm tuyến tính $f(x) = x_1 + x_2 + x_3$ đạt giá trị lớn nhất trên đa diện $A$ tại mọi điểm giao của đa diện $A$ với mặt phẳng $x_1 + x_2 + x_3 = K_0$. Như các bạn thấy, trong họ các mặt phẳng song song được xác định bởi các phương trình (5), có hai mặt phẳng tựa vào đa diện $A$, một mặt phẳng tương ứng với giá trị nhỏ nhất, còn mặt phẳng kia — với giá trị lớn nhất cần tìm của hàm $x_1 + x_2 + x_3$ trên $A$. Giao của một đa diện lồi với mặt phẳng tựa có thể gồm либо một đỉnh duy nhất của đa diện, либо các điểm của một cạnh nào đó của đa diện, либо các điểm của một mặt nào đó của đa diện. Mỗi trong ba trường hợp này đều có thể xảy ra trong tình huống của chúng ta.

Các mặt của đa diện $A$ nằm trong các mặt phẳng
$$x_i = 0 \quad (i = 1, 2, 3),$$
$$a_{j1}x_1 + a_{j2}x_2 + a_{j3}x_3 = p_j$$
$(j = 1, \dots, n)$

nhưng không nhất thiết nằm trong tất cả các mặt phẳng đó. Mỗi cạnh nằm trong giao của hai

Hình 4.

trong các mặt phẳng này, còn mỗi đỉnh — trong giao của một số mặt phẳng (ba hoặc nhiều hơn). Hơn nữa, nếu tại một đỉnh có nhiều hơn ba mặt phẳng giao nhau, thì có thể chọn ba trong số các mặt phẳng đó sao cho giao của chúng chỉ gồm đỉnh này. Tọa độ của điểm giao của ba mặt phẳng có thể tìm được bằng cách giải hệ phương trình xác định bởi các mặt phẳng này.

Vậy, có thể tìm các đỉnh của đa diện $A$ như sau. Lập tất cả các bộ ba phương trình có thể có từ $(n+3)$ phương trình (6). (Số các bộ ba như vậy bằng $\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}$).

Mỗi bộ ba có thể được xem như một hệ gồm ba phương trình tuyến tính với ba ẩn. Nếu nghiệm $(x_1, x_2, x_3)$ của hệ này tồn tại và duy nhất, thì cần kiểm tra xem các số $x_1, x_2, x_3$ có thỏa mãn $n$ bất phương trình còn lại của hệ (2) hay không. Nếu các bất phương trình được thỏa mãn, thì điểm $(x_1, x_2, x_3)$ là một đỉnh của đa diện $A$. Sau đó, để giải bài toán quy hoạch tuyến tính, chỉ cần so sánh các giá trị của hàm $f(x) = x_1 + x_2 + x_3$ tại tất cả các đỉnh đã tìm được và chọn những đỉnh mà tại đó giá trị này lớn nhất. Thủ tục như vậy đòi hỏi một khối lượng tính toán khá lớn, đặc biệt nếu $n$ đủ lớn.

Thực ra, nghiệm của phần lớn các hệ sẽ không là đỉnh của đa diện $A$, và hơn nữa, để giải bài toán quy hoạch tuyến tính không nhất thiết phải biết tất cả các đỉnh của đa diện. Vì vậy, người ta không dùng cách thử không có định hướng như thế khi giải bài toán quy hoạch tuyến tính.

Phương pháp phổ biến nhất và rất tiết kiệm để giải bài toán quy hoạch tuyến tính được các nhà toán học Mỹ J. Von Neumann và J. Dantzig nghĩ ra năm 1947; khi đó họ chưa biết đến các công trình của L. V. Kantorovich và đã độc lập với ông đi đến phương pháp quy hoạch tuyến tính. Họ

6

đã gọi phương pháp của mình là phương pháp đơn hình. Bây giờ chúng ta sẽ mô tả ý tưởng hình học của phương pháp đơn hình áp dụng cho bài toán ba chiều của chúng ta. Thực ra, khi sử dụng phương pháp đơn hình, bài toán được biến đổi bằng cách đưa vào một số ẩn phụ, điều này cho phép đơn giản hóa quá trình giải về mặt đại số. Tuy nhiên, để giữ được tính trực quan hình học, chúng ta sẽ không làm điều đó.

Vậy, hãy bắt đầu từ đỉnh
$$O = (0, 0, 0),$$

mà sự tồn tại của nó chúng ta chắc chắn, và xét các cạnh của đa diện $A$ xuất phát từ đỉnh này. Gọi $P$ là đầu mút thứ hai của một trong các cạnh đó. Giá trị của hàm
$$f(x) = x_1 + x_2 + x_3$$

tại điểm $P$ lớn hơn tại O. Bây giờ xét tất cả các cạnh của đa diện $A$, xuất phát từ điểm $P$. Khi đi từ điểm $P$ theo một số cạnh này, giá trị của hàm $x_1 + x_2 + x_3$ có thể giảm hoặc giữ nguyên. Ta lập tức loại bỏ các cạnh này và chọn một trong các cạnh mà khi đi theo nó, giá trị của hàm $x_1 + x_2 + x_3$ tăng. Gọi $P'$ là đầu mút thứ hai của cạnh này. Giá trị của hàm $x_1 + x_2 + x_3$ tại đỉnh $P'$ lớn hơn tại đỉnh $P$. Xét tất cả các cạnh xuất phát từ điểm $P'$ và chọn một cạnh nào đó $P'P''$, mà khi đi theo nó giá trị của hàm $x_1 + x_2 + x_3$ tăng, v.v.

Ở mỗi bước, ta sẽ nhận được một đỉnh của đa diện $A$, tại đó giá trị của hàm $x_1 + x_2 + x_3$ lớn hơn ở đỉnh trước đó. Cuối cùng ta sẽ đến một đỉnh như vậy
$$M = (x_1^0, x_2^0, x_3^0),$$
sao cho khi di chuyển dọc theo bất kỳ cạnh nào xuất phát từ đỉnh này, các giá trị của hàm $x_1 + x_2 + x_3$ sẽ không tăng. Điều đó có nghĩa là mặt phẳng
$$x_1 + x_2 + x_3 = x_1^0 + x_2^0 + x_3^0,$$

là mặt phẳng tựa của đa diện $A$, và $M$ là một trong các nghiệm của bài toán quy hoạch tuyến tính. Để tìm các nghiệm khác, cần tìm những cạnh xuất phát từ $M$ mà khi di chuyển theo chúng, giá trị của hàm $x_1 + x_2 + x_3$ vẫn không đổi.

Nếu không có những cạnh như vậy, thì $M$ là nghiệm duy nhất của bài toán.

Nếu có một cạnh như vậy, thì nghiệm của bài toán là mọi điểm của cạnh đó. Nếu có hai cạnh, thì nghiệm là mọi điểm của mặt chứa các cạnh ấy.

Thông thường, từ mỗi đỉnh của đa diện $A$ xuất phát ba cạnh. Trong trường hợp này, ở mỗi bước đơn giản hơn là chỉ cần kiểm tra hai cạnh (vì cạnh chứa đỉnh trước đó có thể loại bỏ ngay). Nếu dọc theo các cạnh chung này, các giá trị của hàm ở hai vị trí của đỉnh và chọn vị trí mà tại đó giá trị này lớn hơn. Nếu từ đỉnh xuất phát một số cạnh lớn hơn, dọc theo đó các giá trị của hàm ở hai vị trí của đỉnh và chọn vị trí mà tại đó giá trị này lớn hơn. Nếu từ đỉnh xuất phát một số cạnh lớn hơn, dọc theo đó các giá trị của hàm ở hai vị trí của đỉnh và chọn vị trí mà tại đó giá trị này lớn hơn. Cách này có thể tiết kiệm hơn về mặt tính toán, vì không cần xác định trước các đầu mút của mọi cạnh xuất phát từ đỉnh đã cho.

Mọi khái niệm hình học tỏ ra hữu ích khi xét các bài toán quy hoạch tuyến tính với hai và ba biến (đường thẳng, mặt phẳng, tính song song, tập lồi, đường thẳng tựa v.v.) đều có thể được hình thành hoàn toàn bằng đại số, bằng ngôn ngữ của phương trình và bất phương trình. Khi dùng ngôn ngữ này, khác với hình học, theo quy tắc sẽ không xuất hiện những khác biệt đáng kể giữa các trường hợp hai, ba và số lượng lớn các biế

biến, và các định nghĩa tương ứng theo phép tương tự được chuyển sang trường hợp tổng quát.

Mặt khác, giá trị của ngôn ngữ hình học là ở chỗ trực giác có thể gợi ra một số phép dựng và phương pháp giải bài toán mà khó nghĩ ra nếu chỉ dùng ngôn ngữ đại số. Phương pháp đơn hình là một ví dụ tốt về phương pháp như vậy. Vì thế, việc đưa vào ngôn ngữ hình học cũng hữu ích trong trường hợp số biến tùy ý.

Bài tập

1. Chứng minh rằng nếu các mặt phẳng
   $$x_1 + x_2 + x_3 = K$$
   song song với một mặt nào đó của đa diện $A$, thì mặt phẳng
   $$x_1 + x_2 + x_3 = K_0$$
   trùng với mặt phẳng của mặt đó.

2. Có đúng không rằng nếu các mặt phẳng
   $$x_1 + x_2 + x_3 = K$$
   song song với một cạnh nào đó của đa diện $A$, thì mặt phẳng
   $$x_1 + x_2 + x_3 = K_0$$
   đi qua cạnh đó?

3. a) Giả sử trong bài toán lựa chọn công nghệ với các ràng buộc về tài nguyên, đặt ra bài toán cực đại hóa không phải sản lượng, mà là lợi nhuận, tức là hiệu giữa giá sản phẩm được sản xuất và chi phí sử dụng tài nguyên trong sản xuất, trong đó biết rằng giá một đơn vị sản phẩm được sản xuất bằng $q$ rúp, chi phí khi sử dụng các đơn vị tài nguyên thứ $j$ bằng $q_j$ rúp ($j=1,\dots,m$).

6. Giả sử trong bài toán lựa chọn công nghệ yêu cầu sản lượng không nhỏ hơn $S$ đơn vị và đồng thời chi phí là nhỏ nhất.

Hãy phát biểu mỗi bài toán này dưới dạng bài toán quy hoạch tuyến tính. Chứng minh rằng chỉ tồn tại một giá trị $S$ sao cho nghiệm của bài toán 6) trùng với nghiệm của bài toán a).

Tài liệu tham khảo

A. S. Solodovnikov, Nhập môn đại số tuyến tính và quy hoạch tuyến tính. M., “Giáo dục”, 1966.

8

Định luật Ôm
Ya.A.SMORODINSKY

Đơn giản thoạt nhìn

Thông thường định luật Ôm được phát biểu như sau. Ta lấy một dây dẫn có dòng điện (hình 1). Giả sử giữa hai đầu của nó đặt một hiệu điện thế $V_A - V_B$, trong đó $V_A > V_B$. khi đó cường độ dòng điện chạy qua dây dẫn sẽ được xác định bởi công thức

$$I = \frac{V_A - V_B}{R},$$

trong đó $R$ — điện trở của dây dẫn. Ngoài ra, người ta còn nói thêm rằng nếu dây dẫn có tiết diện không đổi $S$ là đồng chất trên toàn bộ chiều dài $l$, thì $R = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{S}$, trong đó $\sigma$ được gọi là độ dẫn điện riêng, còn $\frac{1}{\sigma} = \rho$ — điện trở suất.

Đồ thị của sự phụ thuộc của dòng điện vào hiệu điện thế đặt vào là một đường thẳng (hình 2).

Định luật Ôm có vẻ rất đơn giản và hiển nhiên. Quả vậy, rõ ràng hiệu điện thế càng lớn,

$$V_A \quad V_B \quad I$$

hình 1.

thì dòng điện cũng càng lớn. Nhưng tại sao giữa hai đại lượng này lại có một sự tỉ lệ đơn giản, tại sao đại lượng $R$ tự nó không thay đổi khi dòng điện tăng? Thí nghiệm cho thấy định luật Ôm đúng cả với những dòng điện rất nhỏ lẫn rất lớn trong kim loại. Người ta đã đặt vào dây dẫn một hiệu điện thế lớn đến mức trên chiều dài 1 cm thế điện thay đổi một triệu vôn. Và tuy vậy vẫn có thể xác định dòng điện theo định luật Ôm. Đúng là, trên thực tế trong những thí nghiệm như vậy đã quan sát thấy những sai lệch rất nhỏ khỏi định luật này, nhưng hoàn toàn có thể giải thích chúng bằng việc dây dẫn, bất chấp mọi biện pháp phòng ngừa, bị nóng lên, và điện trở của nó thay đổi do nhiệt độ thay đổi. Định luật tưởng như đơn giản này đặt ra những câu hỏi thú vị.

Dòng điện chạy theo hướng nào?

Tại sao dòng điện chạy theo chiều thế điện giảm, chứ không theo chiều nó tăng? Ta lấy một pin điện và nối kín nó qua một điện trở nào đó, chẳng hạn mắc một bóng đèn. Theo định luật Ôm, trong mạch sẽ có dòng điện chạy từ cực dương của pin qua bóng đèn đến cực âm, làm giảm hiệu điện thế giữa các cực; dĩ nhiên hiệu điện thế ấy sẽ được pin khôi phục, nhưng việc đó luôn tiêu tốn năng lượng (về điều này còn sẽ nói sau).

Điều gì sẽ xảy ra nếu dòng điện chạy theo hướng ngược lại? Điện tích của các cực

10

theo thời gian được biểu diễn bằng hàm mũ *).

Biết các tính chất của hàm mũ, ta có thể viết rằng đại lượng điện tích thay đổi như sau:

$$Q(t) = Qe^{-\frac{2t}{CR}}$$

Như vậy, điện tích sẽ giảm theo quy luật hàm mũ. Nói chính xác, các điện tích chỉ biến mất sau một thời gian vô hạn, nhưng trên thực tế chúng sẽ trở nên không đáng kể rất nhanh.

Thông thường, thời gian thiết lập cân bằng được gọi là thời gian mà trong đó điện tích của các quả cầu (và do đó cả dòng điện trong mạch) giảm đi $e$ lần. Trong ví dụ của chúng ta, thời gian này bằng $\frac{CR}{2}$.

Lịch sử phát hiện

Ngày nay chúng ta vẫn xếp định luật Ôm vào số những định luật quan trọng nhất của vật lý. Khi Georg Simon Ohm (1787—1854) phát hiện định luật này, người ta đơn giản là không tin ông. Công trình chính của Ôm xuất bản năm 1927 tại Berlin và mang tên «Mạch điện Galvanic, được trình bày toán học bởi tiến sĩ».

*) Hàm mũ đã được nói đến trong «Kvant» số 1 năm nay. Chỉ có điều ở đó α được chọn bằng một.

**) Hãy kiểm tra công thức cuối cùng. Xét hai thời điểm $t$ và $t+\Delta t$.

$$Q(t+\Delta t) = Qe^{-\frac{2}{CR}(t+\Delta t)}$$

$$Q(t) = Qe^{-\frac{2}{CR}t}$$

Hiệu của hai hàm này có thể tính được (khi $\Delta t$ nhỏ). Lưu ý rằng đang nói về sự thay đổi của hàm $e^x$, trong đó $x$ thay đổi từ $\left(-\frac{2}{CR}t\right)$ đến $\left[-\frac{2}{CR}(t+\Delta t)\right]$, tức là một lượng $\Delta x = -\frac{2}{CR}\Delta t$.

Như vậy, $\Delta Q = -\frac{2}{CR}\Delta t \cdot Q$, vì tốc độ thay đổi của hàm mũ tỉ lệ với chính nó.

G. S. Ôm». Nhưng những nghiên cứu đầu tiên của ông bắt đầu sớm hơn, kết quả của chúng được công bố vào năm 1825. Để hiểu việc giành được sự thừa nhận cho các công trình này khó khăn đến mức nào, cần biết nhà vật lý thực nghiệm 150 năm trước có những phương tiện gì.

Năm 1820, Ampère phát hiện rằng dòng điện làm lệch kim từ của la bàn. Điều này cho phép về nguyên tắc đo «cường độ dòng điện» và hiểu rằng có sự khác biệt giữa cường độ dòng điện và điện áp. Vào thời điểm đó, người ta biết hai nguồn điện: pin điện «cột Volta» (do A. Volta phát minh năm 1799) và pin nhiệt điện, do Seebeck phát minh năm 1821. Tuy nhiên, không ai hề cho rằng có thể thiết lập các quy luật toán học về hoạt động của pin. Các nhà vật lý ngạc nhiên trước sự thay đổi hoạt động của pin khi ghép nối các phần tử khác nhau, nhưng không ai có thể thấy ở đây những quy luật rõ ràng. Ngoài ra, pin galvanic khi ấy phẳng, điện áp ở các đầu của chúng thay đổi trong khi thí nghiệm (pin «cạn»), điều đó làm rối mạnh các kết quả thí nghiệm. Ôm từ bỏ những pin này và tiến hành các thí nghiệm đầu tiên của mình, dùng làm nguồn điện một phần tử nhiệt điện, cho dòng điện nhỏ hơn đáng kể, nhưng điện áp của nó ổn định. Hiệu điện thế của một phần tử như vậy vào khoảng 0,0045 vôn. Để thay đổi cường độ dòng điện thu được từ hiệu ứng nhiệt điện, Ôm đã nghĩ ra một phương pháp mới. Dây dẫn có dòng điện được đặt dọc theo hướng của kim từ treo tự do (tức là dọc theo kinh tuyến), và người ta thay đổi góc phải xoắn sợi dây để kim không lệch khỏi hướng ấy. Góc xoắn của sợi dây đặc trưng cho cường độ dòng điện.

Công thức đầu tiên mà Ôm nhận được có dạng

$$X = \frac{a}{b+x},$$

Tại chỗ đặt nguồn điện, xảy ra một bước nhảy đột ngột của hiệu điện thế, chính nó xác định suất điện động trong mạch. Nếu chỉ quan tâm đến mạch ngoài, thì công thức cuối cùng có thể viết lại như sau:

$$IR = \varepsilon - Ir.$$

Ta thấy rằng hiệu điện thế tại các cực của nguồn điện nhỏ hơn suất điện động một lượng $Ir$.

Bây giờ nhìn vào công thức của Ohm

$$X = \frac{am}{bm+x},$$

ta thấy Ohm đã hiểu rõ vai trò của chính các pin Galvani trong mạch điện đến mức nào. Ông không chỉ xác lập rằng suất điện động của bộ pin (gồm các pin mắc nối tiếp) tỉ lệ với số pin, mà còn đưa số pin vào mẫu số của công thức. Điều đó có nghĩa là ông đã hiểu rõ vai trò của điện trở trong của bộ pin, mà (điều này hiện nay rất thuận tiện cho chúng ta) cũng tỉ lệ với số pin mắc nối tiếp.

Định luật Ohm địa phương

Ta hãy viết thêm một công thức nữa cho định luật Ohm. Để làm điều này, ta dùng mật độ dòng điện — tỉ số giữa cường độ dòng điện đi qua một diện tích rất nhỏ $S$ (đặt vuông góc với chiều dòng điện) và độ lớn của diện tích ấy

$$j = \frac{I}{S}.$$

Khi đó từ định luật Ohm suy ra rằng

$$j = \frac{V_A - V_B}{RS} = \sigma \frac{V_A - V_B}{l}.$$

Nếu các điểm $A$ và $B$ nằm rất gần nhau, thì đại lượng

$$\frac{V_A - V_B}{l} = E$$

được gọi là cường độ điện trường. Cường độ $E$ là một vectơ, hướng về phía thế giảm nhanh nhất. Vì $j$ cũng là một vectơ và nó hướng theo cùng phía, nên ta có thể viết định luật Ohm dưới dạng vectơ

$$\vec{j} = \sigma \vec{E}.$$

Ở dạng này, định luật Ohm có thể áp dụng cho bất kỳ vật nào tại bất kỳ điểm nào của nó. Biểu thức này không chứa bất kỳ kích thước hình học nào của vật, mà chỉ chứa độ dẫn điện $\sigma$, được xác định bởi chất tại nơi ta đo mật độ dòng điện. Ở dạng này, định luật Ohm có tính chất địa phương, tức là nó chứa các đại lượng chỉ liên quan đến một điểm được chọn (chứ không phải toàn bộ mạch, như trong các công thức ta đã viết ở trên).

Lý thuyết sơ cấp về công thức Ohm

Hiện nay ta có thể giải thích định luật Ohm rất đơn giản. Dòng điện trong kim loại được tải bởi các electron, chúng chuyển động dưới tác dụng của điện trường. Trong vật dẫn diễn ra chuyển động nhiệt hỗn loạn. Dưới tác dụng của điện trường, một chuyển động có trật tự hơn chồng lên nó. (Thông thường vận tốc của nó nhỏ hơn vận tốc nhiệt.) Điện trường tác dụng lên các electron bằng lực

$$\vec{F} = e\vec{E}.$$

Vì sao các electron không chuyển động nhanh dần đều? Bởi vì chúng va chạm với các nguyên tử và mất vận tốc. Điều này được giải thích chi tiết trong bài viết của D. A. Frank-Kamenetsky (xem “Kvant” số 9, năm 1970).

Electron chỉ đạt thêm vận tốc trong khoảng thời gian nhỏ $\tau$ mà nó chuyển động gần như tự do giữa hai va chạm; thời gian này được gọi là “thời gian bay tự do”. Trong thời gian $\tau$, electron sẽ đạt thêm vận tốc bằng

13

tích của gia tốc $\frac{e}{m} \vec{E}$ với τ:
$$\vec{u} = \frac{e}{m} \vec{E} \tau.$$

Nếu ký hiệu số electron («electron tự do», tức là những electron không «gắn chặt» với các nguyên tử) trong một đơn vị thể tích là $N$, thì qua $1 \, cm^2$ sẽ chạy một dòng điện bằng điện tích của electron nhân với số electron đi qua $1 \, cm^2$ trong 1 giây

$$\vec{j} = \frac{1}{2} \frac{e^2}{m} N \tau \vec{E}.$$

Trong công thức này, thay vì tốc độ $u$ chúng ta đã viết một nửa của nó. Đó đơn giản là trung bình cộng của giá trị ban đầu và cuối cùng của các tốc độ giữa hai lần va chạm.

Từ đây có thể viết biểu thức cho độ dẫn điện riêng (như hệ số tỉ lệ giữa $\vec{j}$ và $\vec{E}$):

$$\sigma = \frac{1}{2} \frac{e^2 N \tau}{m}.$$

Nhiệt Jun và công của nguồn điện

Như vậy, đằng sau công thức đơn giản của định luật Ôm ẩn chứa nhiều hiện tượng phức tạp. Khi có dòng điện, các electron luôn nhận năng lượng từ điện trường và luôn mất năng lượng khi va chạm với các nguyên tử. Kết quả là, như đã biết rõ, nhiệt được tỏa ra

*) Đôi khi công thức này cũng được viết hơi khác, thay τ theo công thức

$$\tau = \frac{\text{quãng đường tự do}}{\text{tốc độ nhiệt trung bình}} = \frac{\lambda}{v_{\text{cp}}}.$$

Quãng đường tự do là quãng đường trung bình mà electron đi được giữa hai lần va chạm. Khi đó

$$\sigma = \frac{1}{2} \frac{e^2 N \lambda}{m v_{\text{cp}}}.$$

Công thức này mang tên công thức Drude.

(chẳng hạn, bếp điện được đốt nóng như vậy, dây dẫn trong đó có điện trở lớn).

Lượng nhiệt tỏa ra trên một đoạn dây dẫn có điện trở được xác định bởi công thức Jun — Lenxơ

$$Q = \frac{1}{J} I^2 R,$$

trong đó $J$ — đương lượng cơ học của nhiệt:

$$J = 4,184 \frac{\partial \chi}{\kappa \cdot \kappa a l}.$$

Vậy nhiệt được tỏa ra nhờ những nguồn lực nào? Trả lời: chính nguồn điện thực hiện công này, duy trì điện thế tại các cực của nó.

Trở lại công thức Ôm cho mạch kín, có thể nói rằng năng lượng tiêu hao dưới dạng nhiệt trong toàn bộ mạch, kể cả phần bên trong của chính nguồn dòng điện, bằng $E I$, tức là tích của suất điện động với cường độ dòng điện

$$I^2 (R + r) = E I.$$

Công do nguồn dòng điện thực hiện либо nhờ năng lượng hóa học (trong pin), либо nhờ năng lượng cơ học (trong máy phát điện). Công thức cuối cùng biểu thị định luật bảo toàn năng lượng cho một mạch gồm nguồn dòng điện, được khép kín bởi một điện trở nào đó.

Công thức định luật Ôm cho phép tính toán mọi mạch điện một chiều, và dưới dạng thay đổi đôi chút, nó cũng có thể được khái quát cho dòng điện xoay chiều.

Bài tập

1. Hãy tìm xem điện thế của hai quả cầu giống như vẽ ở hình 3 sẽ thay đổi theo quy luật nào, nếu điện tích của một quả là $Q=0,01$ culông, còn của quả kia là 0,02 culông. Lấy tích $CR$ bằng $10^{-12}$ giây.

2. Sau bao lâu hiệu giữa các điện tích của hai quả cầu sẽ giảm đi 20 lần?

14

Các bài toán lôgic và đại số mệnh đề

L. L. Tsinman

Hãy bắt đầu bằng việc phát biểu một số bài toán lôgic.

Bài toán 1. Sau cuộc họp phụ huynh, một phụ huynh đến gặp cô giáo.

— Cô đã không nêu tên con trai tôi trong số những học sinh giỏi, — ông nói. — Trong khi Fedya nhà tôi là học sinh xuất sắc, lại còn là vận động viên trượt tuyết giỏi nhất lớp.

— Vâng, ông nói đúng, — cô giáo đáp. — Nhưng chúng tôi coi là học sinh giỏi người học giỏi, có kỷ luật, giúp đỡ những bạn học kém, và ngoài ra còn tham gia công tác của câu lạc bộ khoa học hoặc chơi thể thao. Còn Fedya nhà ông…

Cô giáo còn định nói gì với cha của Fedya?

Bài toán 2. Một hôm, điều tra viên phải đồng thời thẩm vấn ba nhân chứng: Claude, Jacques và Dick. Lời khai của họ mâu thuẫn lẫn nhau, và mỗi người đều buộc tội ai đó nói dối. Claude khẳng định rằng Jacques nói dối, Jacques buộc Dick nói dối, còn Dick quả quyết rằng không nên tin cả Claude lẫn Jacques. Nhưng điều tra viên nhanh chóng vạch mặt họ mà không hỏi một câu nào. Ai trong các nhân chứng nói thật?

Bài toán 3. Một nhà lôgic học rơi vào tay bọn man rợ và bị giam trong một ngục thất có hai lối ra. Thủ lĩnh bọn man rợ đưa cho người tù cơ hội cứu sống sau đây: “Một lối ra dẫn đến tự do, lối kia dẫn đến cái chết chắc chắn. Ngươi có thể chọn bất kỳ lối nào. Một tên lính canh của ta sẽ giúp ngươi lựa chọn. Hắn sẽ ở đây để trả lời một câu hỏi — bất kỳ câu nào mà ngươi muốn hỏi hắn. Nhưng ta cảnh báo ngươi: nếu tên lính canh này tâm trạng tốt thì hắn nói thật, còn nếu tâm trạng xấu thì hắn nói dối!”

Sau một phút suy nghĩ, nhà lôgic học nhanh trí hỏi một câu, rồi chọn không sai lối ra dẫn đến tự do. Đó là câu hỏi gì?

Các bài toán lôgic như những bài đã nêu thường xuất hiện trong các ấn phẩm khoa học phổ thông. Để giải chúng không cần có kiến thức chuyên môn nào về lôgic học, chỉ cần tư duy lôgic phát triển khá tốt. Nhưng hãy hình dung một người bắt tay giải một bài toán số nào đó (về chuyển động, về rót chất lỏng) mà lại không biết tự do thực hiện các phép biến đổi đại số và giải phương trình. Khi giải các bài toán lôgic mà không dùng một bộ công cụ phụ trợ gọi là đại số mệnh đề hoặc đại số lôgic (khác với đại số các số được học ở trường), bạn cũng ở vào gần như tình thế ấy.

Mục đích của bài viết là làm quen cho người đọc với những kiến thức ban đầu về đại số cần thiết này và, sử dụng những kiến thức đã nhận được, giải các bài toán đã phát biểu ở trên. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng đại số mệnh đề không chỉ được dùng để giải các bài toán lôgic (đó chỉ là một trong những ứng dụng của nó), mà còn là một bộ phận quan trọng

bộ phận cấu thành của một trong những ngành hiện đại của toán học — logic toán học.

Các phần tử của đại số mệnh đề là các mệnh đề, chẳng hạn: “Fedya — học sinh xuất sắc”, “Fedya — học sinh giỏi”, “Dick nói dối”. Khi xét các mệnh đề, chúng ta chỉ quan tâm đến một câu hỏi — mệnh đề đã cho là đúng hay sai. Chẳng hạn, mệnh đề thứ nhất trong các mệnh đề trên là đúng, mệnh đề thứ hai là sai (xem điều kiện bài toán 1), mệnh đề thứ ba cũng hoặc đúng, hoặc sai, nhưng để làm rõ điều đó cần giải bài toán 2. Để ký hiệu các mệnh đề trong đại số logic, chúng ta sẽ dùng các chữ cái La-tinh viết hoa A, B, C,… Ký hiệu

giá trị {A}=1

có nghĩa là giá trị của mệnh đề A là đúng, còn ký hiệu

giá trị {A}=0

có nghĩa là giá trị của mệnh đề A là sai.

Như vậy, mọi mệnh đề có thể nhận một trong hai giá trị: 0 hoặc 1.

Trong lời nói thông thường, từ các mệnh đề đơn giản, bằng các liên từ, tiểu từ, từ nối khác nhau, ta tạo thành các mệnh đề phức hợp. Từ mệnh đề A và mệnh đề B có thể lập các mệnh đề như sau: “A và B”; “A hoặc B”; “không A” (“không đúng rằng A”); “nếu A, thì B”; “hoặc A, hoặc B” và những mệnh đề khác.

Ví dụ

“(Claude nói dối) u (Jacques nói dối)”;
“không đúng rằng (Fedya — học sinh giỏi)”;
“nếu (Claude nói thật), thì (Jacques nói dối)”.

Bây giờ ta đưa vào đại số của mình các phép toán trên mệnh đề, đồng thời xác định các phép toán này sao cho chúng tương ứng với một số cách tạo mệnh đề phức hợp thường dùng nhất trong ngôn ngữ thông thường.

Tích logic của các mệnh đề (phép hội)

Tích logic của mệnh đề A và mệnh đề B được ký hiệu như sau: A ∧ B. Phép toán này phải tương ứng với mệnh đề phức hợp “A và B”. Ta coi một mệnh đề phức hợp như vậy là đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề đã cho đều đúng. Chẳng hạn, với phép toán tích logic, tự nhiên là lấy bảng chân trị sau:

| A | B | A ∧ B |
| :— | :— | :— |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |

Tổng logic của các mệnh đề (phép tuyển)

Ký hiệu của tổng logic: A ∨ B. Phép toán này phải tương ứng với mệnh đề phức hợp “A hoặc B”. Mệnh đề sau được coi là đúng khi và chỉ khi ít nhất một trong các mệnh đề đã cho là đúng. Chính theo nghĩa đó, trong bài toán 1 cô giáo đã dùng từ hoặc trong định nghĩa học sinh giỏi.

Bảng chân trị của phép toán hoặc có dạng:

| A | B | A ∨ B |
| :— | :— | :— |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |

16

Phủ định của mệnh đề
Ký hiệu phủ định của mệnh đề $A : \bar{A}$. Phủ định của mệnh đề $A$ tương ứng với mệnh đề “không $A$” (“không đúng rằng $A$”). Vì vậy nó được xác định bởi bảng chân trị sau:

| $A$ | $\bar{A}$ |
| :— | :— |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |

Bằng các phép toán đã đưa vào trong đại số mệnh đề, từ các mệnh đề riêng lẻ $A, B, C$… có thể xây dựng các biểu thức đại số phức tạp, chẳng hạn: $\bar{A} \vee B; \bar{A} \wedge B; (A \vee \bar{B}) \wedge C$.

Cũng như trong đại số số học, phép nhân có thứ tự ưu tiên cao hơn phép cộng. Điều này cho phép không viết một số dấu ngoặc. Bây giờ biểu thức

$((A \wedge B) \vee ((\bar{A} \vee B) \wedge C))$

có thể viết lại dưới dạng

$A \wedge B \vee (\bar{A} \vee B) \wedge C$.

Nếu biết giá trị của mỗi mệnh đề đi vào biểu thức đại số, thì bằng các bảng chân trị có thể tìm được giá trị của biểu thức đại số này. Chẳng hạn, hãy tìm các giá trị của biểu thức đại số $\bar{A} \vee \bar{B}$ với mọi giá trị có thể của các thành phần $A$ và $B$:

| $A$ | $B$ | $\bar{A}$ | $\bar{B}$ | $\bar{A} \vee \bar{B}$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |

Trước hết, theo các giá trị ở hai cột đầu, điền cột thứ ba và thứ tư, rồi theo định nghĩa của phép cộng, điền cột cuối. Bảng này được gọi là bảng chân trị của biểu thức $\bar{A} \vee \bar{B}$.

Bây giờ lập bảng chân trị cho $\bar{A} \wedge \bar{B}$:

| $A$ | $B$ | $\bar{A} \wedge \bar{B}$ |
| :— | :— | :— |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |

Các cột cuối trong những bảng trên hóa ra giống nhau. Điều này có nghĩa là với mọi giá trị của các mệnh đề $A$ và $B$, các biểu thức $\bar{A} \vee \bar{B}$ và $\bar{A} \wedge \bar{B}$ nhận các giá trị giống nhau. Những biểu thức đại số như vậy chúng ta sẽ gọi là tương đương. Để ghi sự tương đương, dùng dấu đồng nhất:

$$\bar{A} \wedge \bar{B} \equiv \bar{A} \vee \bar{B}$$

Hai biểu thức tương đương này có cùng một ý nghĩa nội dung, nhưng được diễn đạt bằng những lời khác nhau.

Thật vậy, nếu $A$ và $B$ là những mệnh đề nào đó, thì $\bar{A} \wedge \bar{B}$ biểu thị mệnh đề phức hợp “không đúng rằng cả hai mệnh đề đã cho đều đúng”, còn $\bar{A} \vee \bar{B}$ biểu thị mệnh đề phức hợp “ít nhất một trong các mệnh đề đã cho là sai”.

Các biểu thức đại số mà trong bảng chân trị cột cuối cùng gồm các số một (các số không), cũng sẽ được gọi là đồng nhất đúng (đồng nhất sai) và ký hiệu bằng chữ $H$ (bằng chữ $J$).

Với sự trợ giúp của bảng chân trị, luôn dễ dàng xác định hai biểu thức đại số đã cho có tương đương hay không.

Hãy nêu những tương đương đơn giản nhất, một số trong đó chúng ta trong

17

sau đây sẽ sử dụng như các quy tắc.

1. $A \wedge B \equiv B \wedge A$.
2. $A \vee B \equiv B \vee A$.
3. $(A \wedge B) \wedge C \equiv A \wedge (B \wedge C)$.
4. $(A \vee B) \vee C \equiv A \vee (B \vee C)$.
5. $A \wedge (B \vee C) \equiv (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$.
6. $A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$.
7. $A \wedge A \equiv A$.
8. $A \vee A \equiv A$.
9. $\overline{A} \wedge \overline{B} \equiv \overline{A} \vee \overline{B}$.
10. $\overline{A} \vee \overline{B} \equiv \overline{A} \wedge \overline{B}$.
11. $\overline{A} \equiv A$.
12. $A \wedge \overline{A} \equiv \overline{J}$.
13. $A \vee \overline{A} \equiv \overline{H}$.
14. $A \wedge \overline{J} \equiv \overline{J}$.
15. $A \vee \overline{H} \equiv \overline{H}$.
16. $A \wedge \overline{H} \equiv A$.
17. $A \vee \overline{J} \equiv A$.

Nếu hình dung ý nghĩa nội dung của các quy tắc 1—17 giống như ta đã làm ở trên với quy tắc 9, thì các tương đương này sẽ trở nên hiển nhiên và dễ nhớ.

Một số quy tắc đã liệt kê, cụ thể là 1—5, tương tự các tính chất đã biết của phép cộng và phép nhân trong đại số số. Vì vậy trong đại số mệnh đề ta có thể thực hiện các phép biến đổi đại số tương tự những phép biến đổi ta làm trong đại số số. Đặc biệt, ta có thể “nhân” hai mệnh đề đại số theo quy tắc nhân đa thức với đa thức.

Nhưng trong đại số mệnh đề cũng có những quy tắc đặc thù của nó, chẳng hạn quy tắc 6.

Lời giải bài toán 1

Đặt ký hiệu cho các mệnh đề:

$A$: “Fedya học giỏi”;
$B$: “Fedya có kỷ luật”;
$C$: “Fedya giúp đỡ những học sinh yếu trong học tập”;
$D$: “Fedya tham gia hoạt động của câu lạc bộ khoa học”;
$E$: “Fedya chơi thể thao”.

Bây giờ mệnh đề “Fedya là một học sinh giỏi”, theo “định nghĩa” về học sinh giỏi mà cô giáo

đưa ra, có thể viết như sau:

$A \cup B \cup C$ ($D \cup E$).

Bằng ngôn ngữ đại số mệnh đề, mệnh đề phức hợp này có dạng biểu thức đại số

$A \wedge B \wedge C \wedge (D \vee E)$.

Cô giáo khẳng định rằng “không đúng là (Fedya là một học sinh giỏi)”, tức là

$$\{A \wedge B \wedge C \wedge (D \vee E)\} = 1.$$

Bây giờ hãy biến đổi biểu thức đại số ở vế trái trước hết theo quy tắc 9 (đúng là trong trường hợp này phủ định đứng trên tích logic của bốn thành phần, nhưng không khó để thấy rằng tương đương 9 vẫn đúng cả trong dạng tổng quát hơn này), rồi theo quy tắc 10:

$$\begin{align*} \{A \vee \overline{B} \vee \overline{C} \vee (D \vee E)\} &= 1; \\ \{A \vee \overline{B} \vee \overline{C} \vee \overline{D} \wedge \overline{E}\} &= 1. \end{align*}$$

Bố của Fedya khẳng định (và cô giáo đồng ý với ông) rằng

$$\{A\} = 1$$

(Fedya là học sinh xuất sắc!), và cả

$$\{E\} = 1$$

(Fedya là vận động viên trượt tuyết giỏi nhất lớp!). Khi đó trong (1), số hạng thứ nhất và hai số hạng cuối đều sai, nên có thể bỏ chúng theo các quy tắc 17 và 14.

Ta được rằng

$$\{B \vee \overline{C}\} = 1.$$

Vậy cô giáo muốn phàn nàn với bố Fedya hoặc rằng Fedya vô kỷ luật, hoặc rằng cậu không giúp đỡ những học sinh yếu trong học tập (cũng có thể Fedya có ngay cả hai khuyết điểm này).

Lời giải bài toán 2

Gọi lời khai của các nhân chứng Claude, Jacques và Dick lần lượt bằng các chữ cái $K$, $J$, $D$. Ta không biết lời khai nào trong số đó là đúng, lời khai nào là sai. Nhưng ta biết điều sau:

1. hoặc Claude nói thật, khi đó Jacques nói dối, hoặc Claude nói dối, khi đó Jacques nói thật;

2. Một sinh viên đến thi trước một máy chấm thi tự động. Trên màn hình máy hiện ra năm câu hỏi, mỗi câu cần trả lời “có” hoặc “không”.
   Sau khi trả lời tất cả các câu hỏi (để làm điều đó cần nhấn các nút tương ứng), máy, tính mỗi câu trả lời đúng là 1 điểm, cho điểm tổng kết kỳ thi. Sinh viên đọc kỹ tất cả các câu hỏi và buồn bã buộc phải thừa nhận rằng anh không biết câu trả lời cho bất kỳ câu nào.
   Toàn bộ hiểu biết của anh quy về những điều sau:

1. câu hỏi thứ nhất và cuối cùng đòi hỏi những câu trả lời trái ngược nhau;
2. trái lại, câu hỏi thứ hai và thứ tư phải có những câu trả lời giống nhau;
3. nếu ít nhất một trong hai câu hỏi đầu đòi hỏi câu trả lời “có”, thì câu thứ năm đòi hỏi câu trả lời “không”.
   Ngoài ra, kinh nghiệm sinh viên mách bảo anh rằng số câu hỏi đòi hỏi câu trả lời “có” luôn nhiều hơn số câu hỏi đòi hỏi câu trả lời “không”.
   Tình hình không vui vẻ. Nhưng sinh viên không tuyệt vọng. Anh biết kém môn này, nhưng rất giỏi giải các bài toán logic. Nhanh chóng thực hiện trên mảnh giấy vài phép tính, anh vui mừng phát hiện rằng 4 điểm đã được bảo đảm, còn nếu may mắn, anh sẽ nhận đủ 5 điểm. Sinh viên đã thực hiện những phép tính nào?

3. Các nhà văn A, B, C, D viết dưới các bút danh X, Y, Z, W. Cần tìm xem mỗi nhà văn dùng chính xác bút danh nào, nếu biết những điều sau:

1. nếu D không phải X, thì B là X;
2. nếu B không phải X và không phải W, thì A là X;
3. nếu C không phải W, thì B là Z;
4. nếu D là Y, thì B không phải X;
5. nếu A không phải X, thì C không phải Y.

Để làm quen đầy đủ hơn với đại số mệnh đề, cũng có thể giới thiệu các tài liệu sau:

L. A. Kaluzhin, Logic toán học là gì. M., “Nauka”, 1964, ch.1 và 2.
I. M. Yaglom, Đại số khác thường. Loạt “Các bài giảng phổ thông về toán học”, M., “Nauka”, 1968.
R. R. Stoll, Tập hợp, logic, các lý thuyết tiên đề. M., “Prosveshchenie”, 1968, ch.11, §§ 2.1—2.4.
P. S. Novikov, Các yếu tố của logic toán học. M., “Fizmatgiz”, 1959.
A. Grzegorczyk, Logic phổ thông. M., “Nauka”, 1965.
A. B. Trakhtenbrot, Thuật toán và giải bài toán bằng máy. M., “Fizmatgiz”, 1960.
H. Freudenthal, Ngôn ngữ của logic. M., “Nauka”, 1969.

LÀM THẾ NÀO ĐỂ CHIA DỄ HƠN?

Làm thế nào để chia một số nhỏ cho một số lớn dễ nhất, nếu số lớn tận cùng bằng chữ số 9?

Giả sử cần chia số a cho số b, trong đó a < b. Đặt b = 10c + 9. Hãy kiểm tra rằng

$$\frac{a}{10c+9} = 10^{-1} \frac{a-p_1}{c+1} + \frac{a-p_1}{c+1} + 10p_1$$

trong đó $p_1$ — số dư khi chia $a$ cho $c+1$, nên $\frac{a-p_1}{c+1}$ — là một số nguyên.

Giả sử $\frac{a}{b} = 0, \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \dots$ — biểu diễn thập phân của thương. Khi đó $\alpha_1 = \frac{a-p_1}{c+1}$ và $\alpha_1 + 10p_1 = 0, \alpha_2 \alpha_3 \dots$.

Ký hiệu $\alpha_1 + 10p_1$ là $a_1$, ta viết đẳng thức $\frac{a_1}{10c+9} = 0, \alpha_2 \alpha_3 \dots$, từ đó theo cách tương tự tìm được $\alpha_2$ và cứ tiếp tục như vậy.

Ví dụ

1. Cần chia 37 cho 89. Ta làm như sau: chia 37 không cho 89 mà cho 9, vì chữ số hàng đơn vị của số chia là 9, còn hàng chục là 8, 8+1=9. Sau đó viết số dư trước thương rồi lại chia cho 9, và cứ tiếp tục như vậy. Các thương là các chữ số liên tiếp của biểu diễn thập phân của phân số $\frac{37}{89}$.

$$-\frac{37}{36} \left| \frac{9}{4} \right| - \frac{14}{9} \left| \frac{9}{1} \right|$$

$$-\frac{51}{45} \left| \frac{9}{5} \right| - \frac{65}{63} \left| \frac{9}{7} \right|$$

Vậy, $\frac{37}{89} = 0,4157\dots$

(Xem tiếp ở trang 29.)

⟦trang 22⟧

lời giải trước hết đã được Euler tìm ra bằng phương pháp giải tích, nhưng vẫn bị lẫn mất giữa một khối công thức, và chỉ nhờ những cách diễn giải đơn giản và trực quan của Poinsot mà nó mới được trình bày trước mắt các nhà khoa học với tất cả sự rõ ràng.

Vai trò đã đến phần Poinsot trong việc làm sáng tỏ vấn đề chuyển động của vật rắn, cũng thuộc về Helmholtz trong việc làm sáng tỏ vấn đề chuyển động của chất lỏng.

Hầu như mọi công trình của Helmholtz về cơ học đều dành cho thủy cơ học. Có thể nói rằng thủy động lực học hiện đại chủ yếu nhờ Helmholtz mà phát triển. Thế nhưng công trình đáng chú ý nhất của nhà bác học trong lĩnh vực này xuất hiện năm 1858*), 43 năm sau khi Cauchy tìm ra các công thức chứa đựng nguyên nhân bảo toàn các xoáy. Nhưng Cauchy chỉ xét kết quả ông thu được từ phía giải tích và không thấy trước khối lượng những vấn đề có thể được giải quyết khi các kết luận được soi sáng hình học một cách thích đáng.

Bây giờ tôi sẽ cố gắng giải thích cho các bạn một cách đơn giản nhất khái niệm về xoáy do Helmholtz thiết lập.

Hãy tưởng tượng một bình hình trụ có chiều cao hữu hạn (hình 1), với đáy lớn hơn

*) Ở đây nói đến công trình của Helmholtz về các phương trình thủy động lực học tương ứng với các chuyển động xoáy.

Hình 1

, chứa đầy chất lỏng (hoặc chất khí), và giả sử rằng chất lỏng này chuyển động như sau: một cột trụ trung tâm của nó có độ dày nào đó quay như một vật rắn quanh trục của mình, còn phần chất lỏng còn lại quay quanh cột này theo các vòng tròn với vận tốc tỉ lệ nghịch với khoảng cách đến trục của cột, trong đó các vận tốc ấy, tăng lên khi tiến gần cột trung tâm, chuyển trên bề mặt của nó thành vận tốc của cột.

Chuyển động như vậy của chất lỏng được gọi là xoáy, còn cột trụ đặc trưng cho nó gọi là ống xoáy. Ta sẽ gọi cường độ của xoáy bằng một nửa tích của vận tốc chất lỏng trên bề mặt ống xoáy với chu vi tiết diện vuông góc của ống.

Đại lượng gấp đôi của tích ấy được gọi là tuần hoàn vận tốc.

Nói chung, tuần hoàn vận tốc theo một đường kín nào đó bên trong chất lỏng đang chuyển động bằng tích của độ dài đường ấy với vận tốc trung bình của tất cả các điểm trên đường theo hướng tiếp tuyến với đường.

Vì trong chuyển động của chất lỏng biểu diễn ở hình 1, các vận tốc tỉ lệ nghịch với các bán kính, nên tuần hoàn vận tốc theo mọi đường tròn nằm ngang có tâm trên trục của cột và bao quanh nó đều bằng nhau và, do đó, bằng hai lần cường độ của xoáy, còn tuần hoàn vận tốc theo các đường gồm những cung của hai đường tròn giữa các đoạn của hai bán kính, và nằm ngoài ống xoáy (đường ABCD ở hình 2) bằng không. Ngoài ra, có thể chứng minh rằng tuần hoàn vận tốc theo mọi đường kín bao quanh xoáy bằng hai lần cường độ của xoáy, còn tuần hoàn vận tốc theo mọi đường kín không bao quanh xoáy bằng không.

Hình 5.

bằng nhau, thì tâm này sẽ đi xa vô tận, và cả hai sợi xoáy sẽ tiến lên phía trước theo phương vuông góc với đường thẳng nối các tâm, như thấy trên hình 5.

Trên hình 6 trình bày quỹ đạo (đường đi) của ba sợi xoáy, trong đó 1 và 2 quay ngược chiều kim đồng hồ, còn 3 — theo chiều kim đồng hồ.

Khái niệm mà chúng ta đã xác lập về một sợi xoáy thẳng, nằm trong một bình hình trụ rất rộng, được mở rộng cho các sợi xoáy phát sinh trong một khối chất lỏng bất kỳ. Khi đó các sợi xoáy có thể được tìm ra bằng cách lập các tuần hoàn

Hình 6.

Hình 7.

25

đường chuyển động hoặc sẽ có hai đầu nằm trên các biên của chất lỏng (trên thành bình hoặc trên mặt thoáng), hoặc sẽ khép kín.

Thật vậy, để rời khỏi thành bình, đáy của xoáy phải giảm kích thước đến không; mà vì tuần hoàn vận tốc theo đường bao của đáy phải không đổi, sự hội tụ sẽ đòi hỏi vận tốc chuyển động tròn của chất lỏng ở chân sợi tăng đến vô hạn.

Áp suất thủy động của chất lỏng giảm khi vận tốc tăng. Vì vậy, khi đáy xoáy trên thành bình giảm đi, áp suất tại chỗ ấy sẽ giảm nhanh, và khối chất lỏng còn lại sẽ ép lên các hạt ở đầu sợi xoáy và ngăn chúng hội tụ vào thành. Có thể nói, sợi xoáy hút chặt hai đầu của nó vào thành bình. Nếu đầu sợi nằm trên mặt thoáng, thì có thể nhận thấy sự hút chặt như vậy qua cái phễu hình thành trên mặt thoáng ở “chân” sợi.

Nếu các đầu của sợi xoáy không nằm trên các biên của chất lỏng, thì chúng phải khép lại với nhau, và như vậy ta được một sợi xoáy khép kín, — một sợi mà, có thể nói, cả hai đầu hút chặt vào nhau.

Dạng đơn giản nhất của sợi xoáy khép kín là vòng xoáy, được chỉ ra trên hình 7.

Mọi phần chất lỏng nằm ngoài vòng đều quay theo những đường cong khép kín, đi qua vòng sao cho tuần hoàn vận tốc theo tất cả các đường cong ấy bằng nhau và bằng tuần hoàn vận tốc trên đường bao của tiết diện ngang của vòng. Còn khi đi vào bên trong vòng, ta sẽ nhận được những tuần hoàn khác nhau đối với quỹ đạo của các hạt của nó. Vận tốc của các điểm chất lỏng

lớn nhất trên bề mặt vòng. Chúng giảm khi đi xa khỏi bề mặt ấy vào bên trong vòng và bằng không trên một đường trục nào đó. Chúng cũng giảm khi đi xa khỏi vòng vào khối chất lỏng bao quanh nó. Đối với những điểm chất lỏng ở cách vòng một khoảng đáng kể, các vận tốc tỉ lệ nghịch với lập phương khoảng cách đến vòng.

Ta đã thấy rằng hai sợi thẳng song song sinh ra trong khối chất lỏng, quanh chúng chất lỏng quay với các hướng xoáy bằng nhau nhưng ngược chiều nhau, sẽ chuyển động theo phương vuông góc với mặt phẳng đi qua chúng. Vì cùng nguyên nhân đó, vòng xoáy sẽ không đứng yên mà sẽ chuyển động theo phương vuông góc với mặt phẳng của vòng, về phía chất lỏng chảy ra khỏi vòng.

Ta thấy trên hình 7 rằng các hạt của khối chất lỏng chuyển động theo các quỹ đạo khép kín phía trên sẽ chạy đến mép dưới của vòng và đẩy nó sang phải; cũng vậy, các hạt của khối chất lỏng chuyển động theo các quỹ đạo khép kín phía dưới sẽ chạy đến mép trên của vòng và cũng đẩy nó sang phải. Toàn bộ vòng sẽ chuyển động đều về phía phải, mang theo chất lỏng quay quanh nó. Chuyển động này sẽ càng nhanh khi cường độ xoáy càng lớn và kích thước vòng càng nhỏ.

Chúng ta đã nói rằng bên trong chất lỏng lý tưởng, các ống xoáy phải được bảo toàn, và không thể hình thành các ống mới. Trong tự nhiên, chúng ta thường thấy sự sinh ra và tắt dần của các xoáy. Điều đó xảy ra vì nước và không khí của chúng ta có một độ nhớt nhất định, do đó các kết quả lý thuyết đã nêu trên có phần biến đổi. Một mặt, các xoáy có thể sinh ra (chủ yếu

26

ở những nơi xảy ra sự trượt tương đối của hai lớp chất lỏng với các vận tốc khác nhau), mặt khác, các xoáy đã hình thành không được bảo toàn mà dần dần biến mất.

Helmholtz đã minh họa sự hình thành các xoáy thẳng bằng một thí nghiệm đẹp, được mô tả trong bài diễn văn của ông về các cơn bão xoáy. Ở đây chúng tôi sẽ lặp lại thí nghiệm này.

Ở đáy một bình hình trụ (hình 8) có một lỗ nhỏ, được bịt bằng nút. Bình chứa đầy nước. Bằng các luồng không khí hướng qua ống vào một mép của mặt nước tự do, ta làm chất lỏng quay chậm. Chất lỏng bắt đầu chảy ra khỏi lỗ, đi từ các mép bình về phía trục của nó. Vì sự tuần hoàn của vận tốc theo các đường tròn vẽ từ một điểm trên trục của hình trụ qua cùng những phần tử chất lỏng không được thay đổi theo thời gian, nên khi bán kính các đường tròn ấy giảm, vận tốc của các phần tử chất lỏng sẽ tăng. Sự quay của chất lỏng, khi đến gần trục, sẽ ngày càng nhanh hơn, và ta sẽ thấy một xoáy hình thành rõ rệt, bên trên xuất hiện một cái phễu ngày càng sâu.

Ta cũng sẽ chỉ ra sự hình thành xoáy bằng một đĩa quay nhanh.

Hình 9 trình bày dụng cụ của giáo sư F. N. Shvedov. Qua đáy một bình hình trụ bằng thủy tinh, một trục thẳng đứng đi qua một hộp chèn, đầu trục mang một đĩa nhỏ. Trục này có thể được làm quay nhanh bằng một dây đai vô tận. Nước và dầu được đổ vào bình, dầu nổi trên mặt nước. Khi quay đĩa, ta sẽ nhận thấy rằng nước dần dần bắt đầu quay và tạo thành trên đĩa một sợi xoáy, được biểu thị bằng một cái phễu trên mặt phân cách giữa nước và dầu. Cái phễu này được lấp đầy bởi dầu, dầu dưới dạng một vòi rồng đi xuống hạ xuống tới đĩa. Vào lúc dầu tiếp xúc với đĩa, toàn bộ khối lượng của nó bị phân tán trong nước.

Cách hình thành các xoáy thẳng trong không khí còn thú vị hơn. Không khí ở trên mặt nước được làm quay nhờ một cánh quạt đặc biệt quay nhanh, đặt ở một độ cao nào đó trên mặt nước (hình 10). Xoáy không khí cuốn nước theo trục của nó và nâng nước lên dưới dạng một vòi rồng đi lên tới tận cánh quạt.

Các vòng xoáy trong không khí được minh họa bằng dụng cụ của Tait. Nó gồm một cái hộp (hình 11), mặt sau căng da, còn ở mặt trước có một lỗ với các mép sắc. Hình dạng của lỗ-

28

Cho đến nay, chúng ta đã tạo ra các vòng xoáy từ một lỗ tròn. Bây giờ hãy thử tạo chúng từ một lỗ elip và một lỗ vuông. Ta thấy rằng trong trường hợp này các vòng xoáy không giữ hình dạng của lỗ, mà dao động, cố chuyển thành một vòng xoáy tròn, do đó là dạng ổn định duy nhất của một dây xoáy khép kín.

Bây giờ hãy xét ảnh hưởng của các vật lạ lên các vòng xoáy thoát ra. Khi đưa các vật rắn đến gần một vòng xoáy đang chuyển động từ bên cạnh, ta thấy rằng chúng đẩy vòng xoáy ra. Nhưng nếu vòng xoáy chạy tới một mặt phẳng đứng yên song song với mặt phẳng của nó, thì khi đến gần mặt phẳng ấy, nó càng lúc càng tăng kích thước, có thể nói là lan ra trên mặt phẳng. Nếu ta để vòng xoáy đập vào một con dao mà mặt phẳng của nó đi qua trục của vòng xoáy, thì vòng xoáy sẽ bị dao cắt thành hai nửa vòng, các đầu của chúng sẽ trượt trên bề mặt dao; nhưng sau khi vượt qua bề mặt này, các đầu lại khép lại, và vòng xoáy được phục hồi.

Ngoài các vòng khói trong không khí, còn có thể quan sát các vòng không khí trong nước. Hiện tượng thú vị này, thoạt nhìn có vẻ nghịch lý, được giải thích rất đơn giản bởi chỗ, do lực ly tâm, áp suất giảm đáng kể trên trục của vòng xoáy thoát ra. Nếu khi tạo một vòng xoáy ta đưa vài bọt khí vào nước, chúng sẽ lập tức tụ đến nơi trong chất lỏng có áp suất nhỏ nhất, tức là trên trục của vòng xoáy, và sẽ ở đó suốt thời gian vòng xoáy chuyển động dọc theo khối nước có khối lượng, mặc dù không khí nhẹ hơn nước 800 lần.

Tôi chỉ ở đây một dụng cụ để tạo các vòng không khí trong nước, là một biến thể của dụng cụ của giáo sư Osborne Reynolds. Ở đây có (hình 12) một bể kính lớn chứa đầy nước. Trong đó nhúng một ống kính cong vuông góc, rộng-

Hình 12.

ống. Vào đầu trên của ống, nhô ra khỏi nước, người ta gắn một ống bọc làm từ quả bóng cao su, nhờ đó có thể bơm không khí vào ống và đẩy nước ra khỏi nó. Bóp nhanh quả bóng, ta đẩy một tia nước ra khỏi nhánh ngang của ống và làm sao cho không khí gần chạm đến đầu dưới của ống, nhưng không thoát ra khỏi nó với số lượng lớn. Tia nước, thoát ra trong chất lỏng xung quanh yên tĩnh, cuộn thành một vòng xoáy. Đồng thời cùng với nước sẽ bị đẩy ra vài bọt khí, vòng xoáy sẽ thấy rõ: dường như nó được tạo thành từ những hạt ngọc trai lấp lánh. Chạy dọc toàn bộ bể, các vòng xoáy đập vào thành đối diện của bể và ở đây, khi giãn ra, biến mất.

Với dụng cụ của chúng ta, ta có thể biểu diễn rõ ràng sự phản xạ của các vòng xoáy từ mặt nước tự do. Muốn vậy chỉ cần xoay ống để đầu dưới của nó hướng hơi lên trên. Vòng xoáy, chạy đến mặt tự do của chất lỏng, sẽ phản-

29

được phản xạ, trong đó góc tới bằng góc phản xạ.

Vì các chất lỏng thực có độ nhớt và cọ xát vào thành các bình chứa mà chúng chuyển động trong đó, nên khi chuyển động chúng luôn luôn chứa đầy các ống xoáy. Helmholtz đã chỉ ra rằng có thể xem khối chất lỏng trong bất kỳ chuyển động tưởng tượng nào là được lấp đầy liên tục bởi các ống xoáy, và dùng chúng làm phương tiện nghiên cứu chuyển động.

Những thông tin ngắn về các nhà khoa học được nhắc đến trong bài giảng của N. E. Zhukovsky.

Euler — nhà toán học lớn nhất thế kỷ XVIII, viện sĩ Viện Hàn lâm Петербург, một trong những người sáng lập cơ học giải tích. Laplace gọi Euler là cha đẻ của giải tích toán học hiện đại.

Poinsot — nhà khoa học Pháp, nhà toán học và nhà cơ học. Năm 1834 đã tìm được lời giải hình học thanh nhã cho một số vấn đề của động lực học quay.

Helmholtz — nhà vật lý và toán học Đức xuất sắc của thế kỷ XIX. Ông nổi tiếng, đặc biệt, nhờ các công trình về âm học (các bộ cộng hưởng Helmholtz) và nhiệt động lực học. Ông cũng là người sáng lập lý thuyết xoáy.

Cauchy — nhà khoa học Pháp cuối thế kỷ XVIII — nửa đầu thế kỷ XIX, người được xem là một trong những người sáng lập toán học hiện đại. Ông để lại hơn 800 hồi ký về những lĩnh vực rất khác nhau của toán học.

Shvedov V. F. — giáo sư Đại học Odessa, chuyên gia nổi tiếng về thủy động lực học chất lỏng nhớt (nửa sau thế kỷ XIX).

Tait — giáo sư vật lý ở Edinburgh (Anh, nửa sau thế kỷ XIX).

Reynolds — giáo sư Trường cao đẳng Owens ở Manchester (Anh, nửa sau thế kỷ XIX). Nổi tiếng nhờ các công trình về thủy động lực học.

2. Cần chia 28 cho 59. 5+1=6.

$$\frac{28}{24} \cdot \frac{6}{4} - \frac{44}{42} \cdot \frac{6}{7}$$

$$\frac{27}{24} \cdot \frac{6}{4} - \frac{34}{30} \cdot \frac{6}{5}$$

Vậy, $$\frac{28}{59} = 0.4745$$

Cách chia này đơn giản hơn cách thông thường và dễ thực hiện hơn. Nó được nhà toán học Đức G. Spitzer đề xuất năm 1847. Nhưng chẳng bao lâu sau người ta đã quên nó.

G. D. Novinsky

CÁC BÀI TOÁN VỀ BÁNH XE

1. Một bánh xe lăn xuống một mặt phẳng hơi nghiêng. Vì chuyển động của bánh xe đi kèm với tổn hao năng lượng tại điểm tiếp xúc với mặt phẳng, nên ngay cả khi không có sức cản của không khí, kể từ một thời điểm nào đó bánh xe sẽ lăn đều. Từ đó suy ra rằng lực R mà mặt phẳng tác dụng lên bánh xe phải hướng lên trên và bằng trọng lực P. Nhưng khi đó lực R sẽ tạo ra mômen quay đối với tâm O, và do đó bánh xe sẽ quay không đều mà có gia tốc.

Hãy phân tích mâu thuẫn.

(Xem tiếp ở tr. 34.)

30

Hiệu ứng DOPPLER
L. G. Aslamazov

Trong một giai thoại nổi tiếng về nhà vật lí Robert Wood, kể rằng khi chiếc ô tô của Wood vượt qua ngã tư lúc đèn đỏ và bị chặn lại, Wood giải thích với viên cảnh sát sai lầm của mình bằng hiệu ứng Doppler: đối với người quan sát chuyển động, tần số ánh sáng của nguồn thay đổi và tín hiệu đèn giao thông đã hiện ra với ông là màu xanh. Người ta nói rằng viên cảnh sát không phải là kẻ ngoại đạo. Ông biết rằng sự thay đổi tần số đáng kể chỉ có thể xảy ra khi ô tô có vận tốc rất lớn, gần với vận tốc

31

ánh sáng. Vì vậy, viên cảnh sát không tranh cãi với lời giải thích của nhà vật lí mà просто phạt ông vì chạy quá tốc độ. Và mặc dù câu chuyện có tính giáo huấn này có thể mãi mãi làm chúng ta mất hứng giải thích điều gì đó trong đời sống bằng hiệu ứng Đốp-le, tuy vậy dường như ai cũng đã gặp hiệu ứng này. Khi một đoàn tàu đang hú còi vượt qua chúng ta hoặc một máy bay bay qua trên đầu, chúng ta nghe thấy sự thay đổi đột ngột của âm sắc. Đó cũng là hiệu ứng Đốp-le.

Vì sao tần số âm thanh của một nguồn chuyển động lại thay đổi? Hãy thử tìm hiểu. Hãy vẽ hình các sóng do nguồn chuyển động phát ra. Tốc độ truyền âm trong môi trường không phụ thuộc vào tốc độ của nguồn, và hình các sóng sẽ là tập hợp các đường tròn, có tâm dịch chuyển theo hướng chuyển động của nguồn (hình ở đầu bài). Bây giờ giả sử người quan sát đứng, chẳng hạn, phía sau nguồn, sao cho nguồn rời xa người đó với tốc độ $v$. Giả sử ban đầu khoảng cách giữa nguồn và người quan sát bằng $u$, ($u$ — tốc độ truyền âm). Khi đó sau 1 giây khoảng cách giữa họ sẽ là $u + v$ và trên khoảng cách này chứa tất cả $\omega$ cực đại do nguồn tạo ra trong một đơn vị thời gian ($\omega$ — tần số âm thanh). Trong 1 giây chỉ những cực đại ban đầu cách người quan sát một khoảng $u$ mới tới được người quan sát. Vì vậy tần số âm thanh $\omega_1$ mà người quan sát cảm nhận được sẽ nhỏ hơn, cụ thể

$$\frac{\omega_1}{\omega} = \frac{u}{u + v},$$

suy ra $\omega_1 = \omega \frac{1}{1 + \frac{v}{u}}$

Nếu nguồn tiến lại gần máy thu, thì tương tự ta được

$$\omega_1 = \omega \frac{1}{1 - \frac{v}{u}}$$

Nếu không phải nguồn mà là máy thu âm chuyển động, thì về mặt định tính tần số cũng thay đổi như vậy, nhưng về mặt định lượng kết quả sẽ hơi khác. Nếu máy thu chuyển động về phía nguồn với vận tốc $v$, thì trong 1 giây nó sẽ đi qua không phải $\omega$, mà qua số cực đại lớn hơn là $\omega_2$, trong đó $\frac{\omega_2}{\omega} = \frac{u + v}{u}$, do đó $\omega_2 = \omega \left(1 + \frac{v}{u}\right)$.

Nếu máy thu rời xa nguồn, thì nó sẽ ghi nhận tần số nhỏ hơn

$$\omega_2 = \omega \left(1 - \frac{v}{u}\right).$$

Sự thay đổi tần số khi nguồn hoặc máy thu chuyển động được gọi là hiệu ứng Đốp-le. Coi trong cả hai trường hợp $v$ là dương khi khoảng cách tăng lên, ta có thể viết

$$\omega_1 = \frac{1 \omega}{1 + \frac{v}{u}}, \quad \omega_2 = \omega \left(1 - \frac{v}{u}\right).$$

Nếu vận tốc của nguồn nhỏ so với vận tốc âm thanh, thì, dùng các công thức tính gần đúng, có thể thay $\frac{1}{1 + \frac{v}{u}}$ gần đúng bằng $1 - \frac{v}{u}^*$, và khi đó $\omega_1 \approx \omega_2$. Tuy nhiên trong hiện đại

*) Hãy kiểm tra điều này, chẳng hạn, với $\frac{u}{v} = 0.01$. 0.05: 0.1; 0.2

32

nếu tốc độ của nguồn hoặc máy thu hoàn toàn không nhỏ so với tốc độ âm thanh (chẳng hạn, tốc độ của máy bay), thì hiệu ứng Doppler trong hai trường hợp khác nhau đáng kể.

Bây giờ, khi đã hiểu hiệu ứng Doppler đối với sóng âm, dường như không có gì đơn giản hơn việc viết các công thức tương tự cho ánh sáng,— chỉ cần thay tốc độ âm thanh $u$ bằng tốc độ ánh sáng $c$ ở mọi nơi, là có ngay đáp án. Tuy nhiên, ở đây chúng ta gặp một trở ngại đáng ngạc nhiên: những công thức như vậy không thể đúng, vì chúng mâu thuẫn với nguyên lý tương đối Galile.

Theo nguyên lý này, không thể phân biệt chuyển động thẳng đều với trạng thái đứng yên; nói cách khác, mọi hiện tượng vật lý phải diễn ra như nhau và mọi thí nghiệm vật lý phải cho cùng một kết quả trong mọi hệ tọa độ chuyển động tương đối với nhau với các tốc độ không đổi (tức là trong các hệ quán tính). Chẳng hạn, ta có thể xét trường hợp nguồn chuyển động còn người quan sát đứng yên trong hệ quy chiếu chuyển động cùng với nguồn, và khi đó theo các công thức của chúng ta, sự thay đổi tần số ánh sáng trong hai hệ sẽ khác nhau.

Khi âm thanh truyền đi, điều này không nên làm chúng ta bối rối. Bởi vì ở đây, ngoài nguồn và máy thu, còn có môi trường mà âm thanh truyền trong đó. Chuyển động của nguồn về phía máy thu và của máy thu về phía nguồn cho những kết quả khác nhau chính vì trong trường hợp thứ nhất chuyển động tương đối

33

M76. Trong một nhóm gồm $n$ người, mỗi hai người không quen nhau có đúng hai người quen chung, còn mỗi hai người quen nhau có không quá hai người quen chung. Chứng minh rằng trong nhóm này mỗi người quen cùng một số người.

M77. Độ dài hai cạnh của một tam giác là 10 và 15. Chứng minh rằng đường phân giác của góc giữa chúng không lớn hơn 12.

N. B. Vasiliev

M78. Chứng minh rằng mỗi số nguyên không âm có thể biểu diễn dưới dạng $\frac{(x+y)^2+3x+y}{2}$, trong đó $x$ và $y$ là các số nguyên không âm, và biểu diễn đó là duy nhất.

M79. Hai điểm $P$ và $Q$ chuyển động trên hai đường thẳng cắt nhau với cùng vận tốc không đổi $v$. Chứng minh rằng trên mặt phẳng tồn tại một điểm cố định $A$ sao cho khoảng cách từ nó đến các điểm $P$ và $Q$ tại mọi thời điểm đều bằng nhau.

I. F. Sharygin

M80. Trong một bảng $m \times n$ điền các số tùy ý. Được phép đồng thời đổi dấu tất cả các số trong một cột nào đó hoặc tất cả các số trong một hàng nào đó. Chứng minh rằng, sau khi lặp lại phép toán ấy vài lần, có thể thu được một bảng mà tổng các số trong mọi cột và tổng các số trong mọi hàng đều không âm.

A. S. Shvarts

F88. Một bình chứa một phần chất lỏng chuyển động với gia tốc theo phương ngang, do đó mặt chất lỏng nghiêng với phương ngang một góc không đổi nào đó.

Phía trên bình được đậy bằng nắp.

Góc này sẽ thay đổi thế nào nếu đổ đầy nước vào bình?

Ф89. Cường độ điện trường trong sóng điện từ có tần số $\omega=2 \cdot 10^{16} \text{ сек}^{-1}$, được điều biên với tần số $\Omega = 2 \cdot 10^{15} \text{ сек}^{-1}$, biến thiên theo thời gian theo quy luật $E=a (1+\cos \Omega t) \cos \omega t$, trong đó $a$ là hằng số. Xác định năng lượng của các electron bị sóng này bứt ra khỏi các nguyên tử hiđrô ở thể khí có năng lượng ion hóa $W=13,5 \text{ эв}$.

A. Đ. Gladun, L. G. Aslamaozov

Ф90. Một khí lý tưởng có khối lượng $m$, ở nhiệt độ $T$, được làm lạnh đẳng tích sao cho áp suất giảm $n$ lần. Sau đó khí giãn nở ở áp suất không đổi. Ở trạng thái cuối, nhiệt độ của nó bằng nhiệt độ ban đầu. Xác định công do khí thực hiện. Trọng lượng phân tử của khí là $\mu$.

Ф91. Để cấp điện cho một thiết bị, cần đặt điện áp ở đầu vào của nó chính xác nhất có thể. Để làm điều này

34

Hình 1.

người ta dùng hai biến trở, mắc như trên hình 1. Độ dài các biến trở bằng nhau, còn điện trở của một biến trở lớn gấp 10 lần điện trở của biến trở kia. Cần làm thế nào để điều chỉnh điện áp chính xác nhất có thể? Độ chính xác khi điều chỉnh điện áp sẽ lớn hơn bao nhiêu lần so với trường hợp chỉ dùng một biến trở? Mắc các biến trở thế nào nếu để cấp điện cho các dụng cụ cần điều chỉnh chính xác hơn không phải điện áp mà là dòng điện?

F92. Một vành khối lượng $m$ đứng trên một tấm ván khối lượng $M$ (hình 2). Hệ số ma sát giữa tấm ván và vành là $k$. Tấm ván nằm trên một mặt bàn nhẵn. Tấm ván sẽ chuyển động với gia tốc nào nếu vành bị kéo bằng lực $F$?

S. N. Đomozhakov

Hình 2.

CÁC BÀI TOÁN VỀ BÁNH XE

(Tiếp theo. Xem phần đầu ở trang 29.)

2. Một bánh xe lăn trên mặt phẳng ngang. Vì lực ma sát $F$ hướng sang trái nên vận tốc của bánh xe sẽ giảm. Nhưng mômen của lực này đối với tâm $O$ hướng theo chiều kim đồng hồ, và do đó vận tốc quay của bánh xe phải tăng.

Vận tốc của bánh xe sẽ thay đổi thế nào?

3. Khi người lái xe nhấn bàn đạp phanh, các má phanh ép vào bánh xe và làm chậm sự quay của chúng. Nhưng các lực tương tác giữa bánh xe và má phanh là nội lực và do đó không thể làm giảm vận tốc của ô tô. Vậy tại sao ô tô lại dừng?

4. Như đã biết, lực làm tàu hỏa chuyển động là lực ma sát của các bánh xe đầu máy với đường ray, còn lực ma sát giữa đường ray và các bánh xe toa tàu là lực hãm. Nhưng bánh xe đầu máy và toa tàu được làm từ cùng một vật liệu, còn tổng trọng lượng các toa tàu lớn hơn nhiều trọng lượng đầu máy.

Vậy tại sao đầu máy vẫn có thể kéo đoàn tàu chuyển động?

(Xem phần cuối ở trang 42)

35

LỜI GIẢI

Trong số này, chúng tôi công bố lời giải các bài toán M28—M30

M28

(Tiếp theo lời giải, xem «Kvaant» số 3, tr. 33). Nhắc lại rằng $f_1(n)$ chúng tôi ký hiệu là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $\log_2 n$ (nó bằng số phép kiểm tra nhỏ nhất, sau đó có thể chọn m ộ t quả cầu phóng xạ trong $n$), còn $f_2(n)$ — số nhỏ nhất dẫn đến việc $f_2(11) \geq 7$. Dưới đây chúng tôi sẽ rất ngắn gọn chứng minh rằng $f_2(6) \geq 5$;

Hình 1.

chọn m ộ t quả cầu phóng xạ trong $n$), còn $f_2(n)$ — số nhỏ nhất dẫn đến việc $f_2(11) \geq 7$. Dưới đây chúng tôi sẽ rất ngắn gọn chứng minh rằng $f_2(6) \geq 5$;

36

$f_2(8) \geq 6; \quad f_2(11) \geq 7; \quad f_2(10) \leq 6;$
$f_2(15) \leq 7; \quad f_2(21) \leq 8.$

Những độc giả muốn kiểm tra rằng mọi số ở hàng dưới của bảng ở tr. 35 đều đúng, còn phải chứng minh rằng $f_2(16) \geq 8;$
$f_2(22) \leq 8; \quad f_2(23) \geq 9; \quad f_2(25) \leq 9$ (thật vậy, hiển nhiên hàm $f_2$ không giảm, tức là nếu $m > n,$ thì $f_2(m) \geq f_2(n)$, vì vậy chỉ cần chỉ ra đúng những giá trị $n,$ mà tại đó $f_2(n+1)$ lớn hơn nghiêm ngặt $f_2(n).$

Trước khi chứng minh các bất đẳng thức đã hứa, hãy lưu ý rằng việc xác định chính xác giá trị $f_2(n)$ với mọi $n$ trong bài toán này, cũng như trong nhiều bài toán khác, không mấy thú vị. Vấn đề là cách tương ứng để phân biệt các quả cầu, dường như, rất phức tạp. Mặt khác, dễ chỉ ra những thuật toán phân biệt các quả cầu hoàn toàn đơn giản, chỉ đòi hỏi số lần kiểm tra lớn hơn $f_2(n),$ không nhiều. Chẳng hạn, nếu trước hết xác định một quả cầu phóng xạ, rồi loại nó đi và chọn một quả khác trong số những quả còn lại, thì cần không quá $f_1(n)+f_1(n-1)$ lần kiểm tra, và, như không khó chứng minh, hiệu $f_1(n)+f_1(n-1) - f_1(C_n^2)$ luôn không lớn hơn 2, do đó hiệu $f_1(n)+f_1(n-1)-f_2(n)$ cũng không lớn hơn 2. Trong các bài toán thực tế tương tự bài toán này, nếu bản thân số lần kiểm tra $k$ không quá nhỏ, một hoặc hai lần kiểm tra thừa có lẽ sẽ không đóng vai trò đặc biệt, miễn là cách kiểm tra đơn giản hơn (chẳng hạn, với $n=15$ chúng ta đã không thể thu nhỏ trên một trang tạp chí một sơ đồ tương tự hình 1, và việc hiểu mô tả cách kiểm tra trở nên không dễ).

Dưới đây chúng tôi dùng các ký hiệu sau: dấu “-” biểu thị rằng trong nhóm được kiểm tra không có quả cầu phóng xạ, còn dấu “+” — rằng có chúng.

Không thể phân biệt 2 quả cầu trong số 6 quả bằng 4 lần kiểm tra

Giả sử ở lần kiểm tra đầu tiên kiểm tra một nhóm gồm 6—q quả cầu, trong đó $q=2, 3, 4$ hoặc 5. Khi đó kết quả “-” tương ứng với $C_q^2$ khả năng (cả hai quả cầu phóng xạ nằm trong $q$ quả còn lại), kết quả “+” — với $(C_6^2-C_q^2)$ khả năng. Tuy nhiên, các số này lớn hơn $2^3=8$.

Không thể phân biệt 2 quả cầu trong số 8 quả bằng 5 lần kiểm tra

Nếu
$C_q^2 < 2^4 = 16$ và $C_8^2 - C_q^2 < 16,$ thì $q$ chỉ có thể bằng 6. Nếu kết quả là “-”, thì còn phải tìm 2 quả cầu trong 6 quả, điều không thể làm được trong 4 lần kiểm tra.

Trong 6 lần kiểm tra không thể tìm 2 quả cầu trong 11 quả

Nếu $C_q^2 < 2^5 = 32$ và $C_{11}^2 - C_q^2 < 32,$ thì $q=8,$ nhưng $f_2(8) \geq 6$.

Trong 6 lần kiểm tra có thể tìm 2 quả cầu trong 10 quả

Lần kiểm tra đầu tiên — nhóm 4 quả cầu {1—4}. “-” trong 5 lần kiểm tra tìm 2 quả cầu trong 6 quả {5—10}. “+” kiểm tra {4—6}. “+-” trong 4 lần kiểm tra tìm 2 quả cầu trong 7 quả {1—3, 7—10}, nếu biết rằng {1—3} cho “+” (xem nửa bên trái hình 1). “++” kiểm tra {5, 6}. “++-” trong 3 lần kiểm tra tìm 1 quả cầu trong {1—3, 7—10}. “+++” trong 1 lần kiểm tra tìm 1 quả cầu trong {5, 6} và trong 2—1 quả trong {1—4}.

Trong 7 lần kiểm tra có thể tìm 2 quả cầu trong 15 quả

Lần kiểm tra đầu tiên {1—5}. “+” kiểm tra {5—9}. “+-” trong 5 lần kiểm tra tìm 2 quả cầu trong 10 quả {1—4, 10—15}, trong đó {1—4} cho “+” (xem 10 quả cầu, “+”). “++” kiểm tra {5}. “++-” trong 4 lần kiểm tra tìm 1 quả trong {1—4, 6—15}. “++-” trong 2 lần kiểm tra tìm 1 quả trong {1—4} và trong 2 lần kiểm tra tìm 1 quả trong {6—9}.

Trong 8 lần kiểm tra có thể tìm 2 quả cầu trong 21 quả

Lần kiểm tra đầu tiên {1—6}. Ngoài các lần kiểm tra được chỉ ra trên hình và các lần kiểm tra tiếp theo, còn chỉ ra “+-” trong 6 lần kiểm tra tìm 2 quả trong 15 quả {1—5, 12—21}, trong đó {1—5} cho “+” (xem 15 quả cầu, “+”). “++-” trong 2 lần kiểm tra tìm 1 quả trong {1—4} và trong 2 lần kiểm tra tìm 1 quả trong {8—11}.

37

Hình 2.

M29

п đồng xu giống nhau nằm trên bàn, tạo thành một chuỗi khép kín (xem hình 2). Đồng xu có cùng kích thước sẽ quay bao nhiêu vòng trong thời gian nó lăn một vòng dọc theo phía ngoài của toàn bộ chuỗi, như trên hình vẽ?

Đáp số thay đổi thế nào nếu đồng xu $M$ có bán kính lớn hơn bán kính của mỗi đồng xu trong chuỗi $k$ lần?

Lấy bán kính các đồng xu tạo thành chuỗi bằng đơn vị. Từ hình 3 thấy rằng trong thời gian đồng xu bán kính $k$ lăn theo cung $\alpha$ của đường tròn cố định bán kính 1, nó sẽ quay một góc $\alpha (1+1/k)$: trên hình này các bán kính $MA$ và $M'A''$ song song, $\angle A''M'B = \angle AOB = \alpha$

Hình 3.

và vì các cung $\widehat{A'B}$ và $\widehat{AB}$ bằng nhau về độ dài, $\angle BMA' = \alpha/k$, do đó toàn bộ góc $\angle A''MA'$, mà đồng tiền $M$ quay qua, bằng $\alpha + \alpha/k$ (đặc biệt, khi $k=1$ góc này bằng $2\alpha$).

Bây giờ ta tìm tổng các cung gồm những điểm của các đồng tiền cố định mà đồng tiền $M$ đã chạm vào khi lăn theo chuỗi. Gọi $O_1, O_2, \ldots, O_n$ là tâm các đồng tiền của chuỗi. Tổng các cung nằm bên trong đa giác $O_1O_2 \ldots O_n$ bằng tổng các góc trong của nó, tức là $\pi (n-2)$. Do đó, tổng các cung nằm ngoài đa giác bằng $2\pi n - \pi (n-2) = \pi (n+2)$. Từ đó còn phải trừ

Hình 4, a.

Hình 4, b.

38

Hình 5.
tổng các cung nằm trong các chỗ lõm giữa hai đồng xu kề nhau mà $M$ không đi vào. Trong mỗi chỗ lõm trong số $n$ chỗ lõm, tổng hai cung như vậy bằng $2\pi/3$ khi $k=1$ (hình 4a) và bằng $2\arccos \frac{1}{k+1}$ trong trường hợp tổng quát (hình 4, 6). Vậy tổng các cung mà đồng xu $M$ sẽ lăn theo bằng $\pi(n+2)-2\pi n/3$ (trong trường hợp tổng quát là $\pi(n+2)-2n\arccos \frac{1}{k+1}$). Để tìm số vòng quay cần tìm, cần nhân đại lượng này với 2 (trong trường hợp tổng quát, với $1+1/k$) rồi chia cho 2π.

Đáp số. $\left(\frac{n}{3} + 2\right)$
vòng quay khi $k=1$;
$\frac{k+1}{2k}\left(n - \frac{2}{\pi}n\arccos \frac{1}{k+1} + 2\right)$
vòng quay trong trường hợp tổng quát ($n \geqslant 3$).

Hình 6.

Trong lời giải này, chúng ta đã dùng (khi đếm «tổn thất» trong các chỗ lõm giữa các đồng tiền) việc đồng tiền $M$ lăn qua tất cả $n$ đồng tiền liên tiếp, không bỏ sót đồng nào. Như bạn đọc A. Virovyansky ở Gorky, người đã gửi lời giải cho chúng tôi, đã nhận xét một cách đúng đắn, điều kiện này cần thiết để bài toán có một đáp số xác định. Đối với một chuỗi có «khe hẹp» (xem hình 5), dĩ nhiên không thể chỉ từ số $n$ mà biết được đồng tiền $M$ sẽ quay bao nhiêu. Một điều kiện đủ, nhưng không cần thiết, để bài toán giải được là điều sau đây: đa giác $O_1$, $O_2...O_n$ lồi.

Hãy suy nghĩ xem tìm đáp số thế nào nếu thay vì một chuỗi khép kín chỉ có một đồng tiền, hai đồng tiền tiếp xúc nhau, và nói chung là một chuỗi không khép kín gồm $n$ đồng tiền $O_1,...,O_n$, trong đó $O_k$ tiếp xúc với $O_{k+1}$, được sắp xếp sao cho $M$ có thể lăn đi rồi lăn lại qua tất cả các đồng tiền theo thứ tự sau:

$O_1$, $O_2,...,O_{n-1}$, $O_n$, $O_{n-1},...,O_1$ (hình 6) (Gợi ý. Chỉ cần trong các công thức viết ở trên khép $n$ thành $2n-2$).

M30

Chứng minh rằng luôn có thể phủ $N$ điểm trên mặt phẳng bởi một số hình tròn không giao nhau, sao cho tổng các đường kính của chúng nhỏ hơn $N$ và khoảng cách giữa bất kỳ hai hình tròn nào lớn hơn 1. (Khoảng cách giữa hai hình tròn được hiểu là khoảng cách giữa các điểm gần nhau nhất của chúng.)

Ta cần bổ đề hiển nhiên sau đây.

Nếu hai hình tròn có đường kính $a'_1$ và $a'_2$ giao nhau (có điểm chung), thì có thể chứa chúng trong một hình tròn có đường kính không lớn hơn $a'_1+a'_2$ (hình 7, a, 6).

Dựng một hình tròn tâm tại mỗi trong $N$ điểm đã cho, có bán kính $a$ ($a$ lớn hơn $1/2$ một chút; chính xác hơn, giá trị $a$ sẽ được chọn dưới đây). Nếu trong các hình tròn này có những hình tròn giao nhau, thì, dùng bổ đề, ta thay hai hình tròn giao nhau nào đó (bất kỳ hai hình nào) bằng một hình tròn bao phủ chúng. Nếu trong số các hình tròn nhận được vẫn còn những hình tròn giao nhau, ta lại dùng bổ đề, v.v. Giả sử nói chung có một hệ nào đó các hình tròn mà: 1) bao phủ tất cả các điểm đã cho cùng với các hình tròn bán kính $a$ tâm tại các điểm ấy và 2) có tổng các đường kính không lớn hơn $N \cdot 2a$. Khi đó nếu trong số chúng có những hình tròn giao nhau, thì ta có thể

39

Ta có thể sử dụng bổ đề và xây dựng một hệ mới gồm ít hình tròn hơn, thỏa mãn cùng các điều kiện 1), 2), và cứ thế cho đến khi nhận được một hệ gồm $k$ hình tròn mà không có hai hình nào cắt nhau.

Bây giờ giảm bán kính của mỗi trong $k$ hình tròn ấy đi một lượng $b$, giữ nguyên tâm của chúng ($b$ lớn hơn $1/2$ và nhỏ hơn $a$; giá trị chính xác của $b$ được chỉ ra dưới đây). Khi đó $k$ hình tròn nhận được:

1. chứa tất cả các điểm đã cho,
2. có tổng các đường kính không lớn hơn $N \cdot 2a - k \cdot 2b \leq 2Na - 2b$,
3. cách nhau không nhỏ hơn $2b$.

Rõ ràng, nếu chọn $a$ và $b$ sao cho các bất đẳng thức $b < a$; $2Na - 2b < N$, $2b > 1$ được thỏa mãn, thì mọi yêu cầu của bài toán sẽ được đáp ứng. Chẳng hạn, ngay từ đầu chỉ cần lấy $a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2N}$ và $b = \frac{1}{2} + \frac{1}{4N}$.

Dĩ nhiên, các $a$ và $b$ như vậy chỉ cần thiết vì trong điều kiện đòi hỏi thỏa mãn các bất đẳng thức nghiêm ngặt: tổng các đường kính nhỏ hơn $N$, khoảng cách giữa các hình tròn lớn hơn 1. Nếu lấy đơn giản $a = b = 1/2$, thì sẽ chứng minh được rằng $N$ điểm của chúng ta có thể được phủ (với một $k$ nào đó) bằng các hình tròn sao cho khoảng cách giữa các hình tròn không nhỏ hơn 1, còn tổng các đường kính của chúng không lớn hơn $N - k$. Lưu ý rằng vì khẳng định này được chứng minh với mọi phép đo đơn vị, nên (chọn đơn vị này nhỏ hơn một chút) từ đó có thể

Trong số này chúng tôi công bố lời giải các bài F41—F47 *)

F41

Độ rọi vào đêm trăng tròn nhỏ hơn bao nhiêu lần so với ban ngày có nắng? Độ cao của Mặt Trăng và Mặt Trời trên đường chân trời là như nhau. Coi rằng bán cầu được chiếu sáng của Mặt Trăng tán xạ ánh sáng đều vào không gian.

Lấy bán kính Mặt Trăng bằng 2000 km, còn khoảng cách từ Mặt Trăng đến Mặt Trời là 400 000 km.

Vì khoảng cách từ Mặt Trời đến Trái Đất và Mặt Trăng lớn so với đường kính Mặt Trời, nên trong các tính toán ta có thể coi Mặt Trời là một nguồn sáng điểm, phát đều năng lượng ánh sáng ra toàn bộ không gian. Giả sử cường độ sáng của nguồn này, tức là năng lượng do Mặt Trời phát ra trong một đơn vị góc khối trong 1 giây, bằng $I$. Khi đó độ rọi trên bề mặt Trái Đất vào một ngày nắng sáng sẽ bằng $E_c = \frac{1}{L^2}$, trong đó $L$ là khoảng cách từ Mặt Trời đến Trái Đất.

Mặt Trăng chiếu sáng Trái Đất bằng ánh sáng Mặt Trời phản xạ. Vì khoảng cách từ Mặt Trời đến Mặt Trăng có thể coi bằng khoảng cách từ Mặt Trời

*) Lời giải bài F43 sẽ được đăng trên “Kvant” số 5

40

đến Trái Đất, thì độ rọi của bề mặt Mặt Trăng vào lúc trăng tròn cũng bằng $\frac{I}{L^2}$. Toàn bộ bề mặt Mặt Trăng nhận được năng lượng ánh sáng

$$W = \frac{I}{L^2} \pi r^2.$$

Vì năng lượng này sau đó được tán xạ đều theo mọi hướng trên «bán cầu», nên vào một đơn vị góc khối phát ra năng lượng

$$I_\pi = \frac{I \pi r^2}{L^2 \cdot 2\pi}$$

(góc khối toàn phần bằng 4 π, một nửa — 2π). Bây giờ dễ dàng tìm được độ rọi của bề mặt Trái Đất vào lúc trăng tròn. Coi Mặt Trăng là một nguồn điểm có cường độ sáng $I_\pi$, ta được

$$E_\pi = \frac{I r^2}{2 L^2 l^2},$$

trong đó $l$ — khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất.

Tỉ số độ rọi của Trái Đất vào lúc trăng tròn và vào ngày nắng bằng

$$\frac{E_\pi}{E_c} = \frac{1}{2} \left( \frac{r}{l} \right)^2 = \frac{1}{80 000}.$$

F42

Một sợi dây được vắt qua một ròng rọc, trong đó một phần dây nằm trên bàn, còn một phần — trên sàn. Sau khi thả dây ra, nó bắt đầu chuyển động. Tìm vận tốc của chuyển động đều ổn định của dây. Chiều cao của bàn bằng $h$ (hình 8).

Hình 8.

Dễ nhất là giải bài toán bằng cách dùng định luật II Newton.

Trong thời gian $\Delta t$, một đoạn dây dài $\Delta l = v \Delta t$ bắt đầu chuyển động. Nếu ký hiệu khối lượng một đơn vị chiều dài của dây là $\mu$, thì khối lượng của đoạn dây $\Delta l$ bằng $\Delta m = \mu \Delta l = \mu v \Delta t$. Trong thời gian $\Delta t$, đoạn dây có khối lượng $\Delta m$ nhận được một xung lượng bằng $\Delta mv = \mu v^2 \Delta t$. Rõ ràng, sự thay đổi xung lượng này xuất hiện do hiệu các trọng lực tác dụng lên phần dây bên trái và bên phải. Hiệu này bằng $mgh$.

Theo định luật II Newton, ta có thể viết

$$\mu v^2 \Delta t = \mu gh \Delta t.$$

Suy ra

$$v = \sqrt{gh}.$$

Lời giải đúng được gửi bởi N. Ezhov từ Odessa và A. Viktorov từ Tula.

Ф44

Hai con cá heo bơi ngược chiều nhau. Một trong chúng phát ra âm có tần số $\omega$. Con cá heo kia nghe thấy âm có tần số bao nhiêu, nếu vận tốc của các cá heo đối với nước bằng nhau và bằng $v$? Vận tốc âm trong nước là $u$.

Dùng kết quả thu được trong bài “Hiệu ứng Doppler”, ta thấy rằng con cá heo thứ hai sẽ nghe âm có tần số

$$\omega_2 = \omega \frac{u + v}{u - v}.$$

Thật vậy, vì con cá heo thứ nhất chuyển động, nên tần số của các sóng âm mà một máy thu đứng yên ở phía trước thu được bằng

$$\omega_1 = \frac{\omega}{1 - \frac{v}{u}} = \frac{\omega u}{u - v}.$$

41

Hình 9.

Do chuyển động của con cá heo thứ hai, nó phát ra âm thanh với tần số

$$\omega_2 = \omega_1 \left( 1 + \frac{v}{u} \right) = \omega_1 \frac{u + v}{u} = \omega \frac{u + v}{u - v}.$$

Ф45

Một tụ điện hình cầu, được điền đầy chất điện môi và tích điện đến một hiệu điện thế nào đó, phóng điện qua chất điện môi của nó. Từ trường của các dòng điện phóng trong không gian giữa hai mặt cầu sẽ như thế nào?

Hãy выделить trong chất cách điện một “dây dẫn” hình nón hẹp. Rõ ràng, đối với bất kỳ điểm $A$ nào (hình 9), ta luôn có thể tìm được một “dây dẫn” hình nón khác sao cho dòng điện chạy qua nó tạo ra tại điểm $A$ một trường có phương trùng với phương của trường do dòng điện trong “dây dẫn” đã chọn tạo ra và có chiều ngược lại. Điều đó có nghĩa là từ trường của các dòng điện phóng giữa hai mặt cầu bằng không.

Ф46

Một khối lập phương rơi từ độ cao 1 m xuống một quả bóng, rồi sau đó nảy lên gần 1 m. Quả bóng nảy lên đến độ cao nào?

Quả bóng sẽ nảy lên đến độ cao nào nếu một quả bóng hoàn toàn giống nó rơi từ độ cao 1 m xuống nó?

Vào thời điểm khối lập phương rời khỏi quả bóng, vận tốc của khối lập phương bằng vận tốc của điểm trên cùng của quả bóng. Gọi vận tốc này là $v$. Sau đó khối lập phương chuyển động tự do. Vì vậy, viết định luật bảo toàn năng lượng cho nó

$$\frac{Mv^2}{2} = Mgh$$

($h — độ cao nâng lên$), ta được $v = \sqrt{2gh}$.

Vận tốc của điểm dưới cùng của quả bóng vào thời điểm khối lập phương rời khỏi nó bằng không, do đó vận tốc của tâm quả bóng bằng $\frac{v}{2}$. Viết định luật bảo toàn năng lượng cho quả bóng

$$\frac{m \left( \frac{v}{2} \right)^2}{2} = mgh_1$$

trong đó $h_1$ — độ cao nâng lên của khối lập phương, ta được

$$h_1 = \frac{h}{4} \approx 25 \text{ cm}$$

Hãy tự xét xem sự va chạm của các quả bóng sẽ diễn ra như thế nào.

42

Nếu khí lí tưởng thực hiện quá trình ABC (hình 10), thì nó nhận một lượng nhiệt Q. Khí nhận lượng nhiệt bao nhiêu trong quá trình ADC?

Nhiệt truyền cho khí dùng để làm thay đổi nội năng W của nó và để thực hiện công khi khí giãn nở. Vì trạng thái đầu và trạng thái cuối, do đó cả nhiệt độ của khí, đều như nhau trong cả hai quá trình, nên độ biến thiên nội năng của khí cũng như nhau. Còn công thực hiện khi khí giãn nở thì trong trường hợp thứ nhất bằng $P_2(V_2-V_1)$, còn trong trường hợp thứ hai: $P_1(V_2-V_1)$.

Từ định luật bảo toàn năng lượng suy ra rằng

$$Q = W + P_2(V_2-V_1)$$

và

$$Q_1 = W + P_1(V_2-V_1),$$

trong đó $Q_1$ — lượng nhiệt trong quá trình

$$A \rightarrow D \rightarrow C.$$

Từ các phương trình này dễ dàng tìm được rằng

$$Q_1 = Q - P_2(V_2-V_1) + P_1(V_2-V_1) = Q - (P_2-P_1)(V_2-V_1).$$

Đại lượng $(P_2-P_1)(V_2-V_1)$ về trị số bằng diện tích hình chữ nhật ABCD. Vì vậy kết quả của chúng ta khá tự nhiên.

Hiệu $Q-Q_1$ hiển nhiên phải bằng hiệu của các công thực hiện khi khí giãn nở, còn công khi khí giãn nở về trị số bằng diện tích hình giới hạn bởi đồ thị sự phụ thuộc của $P$ vào $V$ và trục $V$.

Lời giải đúng do A. Rozoin từ Izhevsk gửi tới.

I. Sh. Slobodetsky

43

Ta sẽ gọi các bất đẳng thức lượng giác là những bất đẳng thức chứa ẩn $x$, ẩn này có mặt trong các đối số của các hàm lượng giác. Giải một bất đẳng thức lượng giác nghĩa là, như thường lệ, tìm tất cả các giá trị của ẩn thỏa mãn bất đẳng thức đó.

Để giải các bất đẳng thức lượng giác đơn giản nhất không cần bất kỳ kiến thức đặc biệt nào vượt ra ngoài chương trình phổ thông. Cụ thể, trong các ví dụ được xét dưới đây, ngoài các tính chất của các hàm lượng giác, chỉ sử dụng khái niệm giá trị tuyệt đối của một số (ví dụ 4), các quy tắc giải bất đẳng thức bậc hai (ví dụ 5—8) và các tính chất của hàm lôgarit (ví dụ 9, 10). Những kiến thức này cũng đủ để giải các ví dụ được đưa ra ở cuối bài nhằm tự giải.

Tuy nhiên, ngay từ đầu cần lưu ý một điều có tính nguyên tắc. Trong các bất đẳng thức lượng giác, các đối số của các hàm lượng giác được xem không phải là góc hay cung, mà là các số thực. Vì kinh nghiệm cho thấy rằng trong vấn đề này nhiều học sinh tốt nghiệp trung học chưa có sự hiểu biết hoàn toàn rõ ràng, ta sẽ dừng lại ở đây chi tiết hơn một chút. Còn thí sinh đại học được khuyến nghị suy nghĩ kỹ về những điều được nói dưới đây liên quan đến vấn đề này.

Thông thường, các hàm lượng giác trước hết được đưa vào như các hàm của góc (chính xác hơn, chỉ của góc nhọn). Sau đó khái niệm đối số của hàm lượng giác được mở rộng — người ta bắt đầu xét các hàm của cung. Khi đó thấy rằng thuận tiện là không giới hạn ở các cung nằm trong phạm vi một vòng quay, tức là có giá trị từ $0^\circ$ đến $360^\circ$, mà xét các cung có độ lớn được biểu thị bằng bất kỳ số độ nào (cả dương lẫn âm). Với cách hiểu như vậy về đối số, các hàm lượng giác trở thành tuần hoàn. Bước tiếp theo là chuyển từ đo cung bằng độ sang đo bằng rađian. Và cuối cùng, đi đến khái niệm hàm lượng giác của một số thực. Cụ thể, giá trị của hàm lượng giác của một số được hiểu là giá trị của hàm đó ứng với cung mà độ lớn tính bằng rađian được biểu thị bởi số này.

Trong vật lí, các hàm lượng giác của đối số số xuất hiện một cách tự nhiên khi mô tả các quá trình tuần hoàn khác nhau, tức là những quá trình mà tính chất của chúng lặp lại hoàn toàn sau những khoảng thời gian xác định. Chính vì vậy trong toán học cũng hợp lí khi xét các hàm lượng giác của đối số số. Thực tế, ta đã làm như vậy ngay khi vẽ đồ thị các hàm lượng giác. Quả thật, trên trục hoành khi đó ta đặt các giá trị của các số thực.

Bây giờ ta xét một số bất đẳng thức lượng giác