Kvant 1971, số 11 · Trang

Khoa học phổ biến vật lý và toán học
lượng tử
11
1971
tạp chí
Học viện
Khoa học Liên Xô
Và
Học viện sư phạm
Khoa học Liên Xô

Trong phòng:

Tương tác giữa nguyên tử và phân tử 1 G. Ya. Myakishchev
Về những giá trị gần đúng tốt nhất 8 D. B. Fuks, M. B. Fuks
Trường hấp dẫn của một vật thể đồng nhất hình cầu 16 I. I. Otsenevtsky
Trường hợp “không thể giảm được” 20 V. G. Yankelevich
Phòng thí nghiệm “Quenta”
Trình diễn quỹ đạo của các vật chuyển động dưới tác dụng của trọng lực trung tâm 22 R. Wood
Vấn đề “Quenta”
Bài toán 24
Lời giải bài toán
M70-M73; F79-F82 26
N. V. Vasiliev, A. L. Toom, B. V. Bukhovtsev, I. Sh. Slobodetsky
V Cân tối ưu hóa toán học 35 V. L. Gutenmacher
V Cân tối ưu hóa vật lý 42 I. A. Zaitsev
Xưởng của người nộp đơn
Đồ thị trong các bài toán về quá trình thống nhất 48 B. A. Kordemsky
Tĩnh học 54 L. G. Aslamazov
Thông tin
Tối ưu hóa sự tương ứng của phần châu Á của Liên Xô 58
Đánh giá, thư mục
Từ thiên hà đến hạt cơ bản 63 V. A. Leitskovtsev
Đáp số, gợi ý, lời giải 64
Góc sưu tầm
Huy hiệu của Liên minh Trọng lượng Optimka, trang thứ 3, khu vực.
Khu vực ô chữ trang thứ 4.

3

Bản chất điện từ
lực liên phân tử

Hầu như không thể bắt đầu nghiên cứu lý thuyết về lực cơ học trước đầu thế kỷ 20. Các lực biên đơn giản và được nghiên cứu kỹ lưỡng trong quá trình tương tác của các vật thể có khối lượng cột như phân tử không thể đóng một vai trò đáng chú ý nào. Vẫn còn phải đề xuất rằng lực phân tử có bản chất điện từ. Không có thông tin gì về bất kỳ lực lượng nào khác vào thời điểm đó.

Bất kỳ nguyên tử nào, đặc biệt là các phân tử, đều là một hệ thống phức tạp gồm một số lượng lớn các hạt được nạp. Người ta không biết nó hoạt động như thế nào. Nhưng cường độ tương tác của chúng chắc chắn phụ thuộc vào cấu trúc của các phân tử. Tuy nhiên, nghiên cứu đã bắt đầu và bắt đầu một cách tự nhiên với những trường hợp đơn giản nhất.

Lực định hướng

Đối với nhiều phân tử, chẳng hạn như nước, sự phân bố điện tích dương và âm sao cho trung bình tâm của các điện tích này không trùng nhau. Một phân tử như vậy có thể được coi gần đúng như một lưỡng cực điện: sự kết hợp của hai điện tích chính xác +q và –q ở một khoảng cách nhỏ l với nhau (Hình 1). Tính chất điện của phân tử như vậy được đặc trưng bởi mômen lưỡng cực

$$p = ql$$

Lúc đầu, họ không thể tính được giá trị mômen lưỡng cực của phân tử. Trước khi cơ học lượng tử ra đời, điều này nói chung là không thể.

Tuy nhiên, nếu chúng ta coi các khoảnh khắc lưỡng cực $p_1$ và $p_2$ của hai phân tử đã biết, thì cường độ tương tác giữa các phân tử sẽ phụ thuộc. Chúng sẽ xuất hiện giữa hai phân tử, một trong số đó có mô men lưỡng cực, còn phân tử thứ hai thì không.

Một phân tử lưỡng cực tạo ra một điện trường làm phân cực các phân tử có điện tích phân bố đều trong toàn bộ thể tích.

với anh ấy. Các điện tích dương sẽ trộn lẫn theo hướng của điện trường và các điện tích âm sẽ trộn lẫn với nó. Kết quả là, phân tử không phân cực cũng cách xa nhau một chút trong trường hợp này. Nó tỷ lệ thuận với mômen lưỡng cực $p$ của một phân tử phân cực, hệ số $\alpha$, đặc trưng cho khả năng phân cực của một phân tử không phân cực và một lần nữa tỷ lệ nghịch với lũy thừa bậc bảy của khoảng cách giữa các phân tử:

$$F_n \sim \frac{p \alpha}{r^7}.$$

Các lực kéo này được gọi là lực cảm ứng hoặc lực phân cực, vì chúng phát sinh do sự phân cực của các phân tử gây ra bởi cảm ứng tĩnh điện.

Lực phân tán

Người ta biết rằng lực kéo cũng tồn tại giữa các phân tử không phân cực. Ví dụ, các nguyên tử của khí hiếm không có mômen lưỡng cực nhưng vẫn tương tác với nhau. Bản chất của các lực này chỉ được làm rõ sau khi cơ học lượng tử ra đời.

Sự biểu hiện gần đúng và định tính của các lực này có thể được giải thích như sau. Trong nguyên tử và phân tử, các electron chuyển động xung quanh hạt nhân theo một cách phức tạp nào đó. Và trung bình theo thời gian, mô men lưỡng cực của các phân tử có thể bằng không.

Nhưng tại mỗi thời điểm, các điện tử chiếm một vị trí nhất định. Do đó, giá trị tức thời của mômen lưỡng cực bằng 0. Một lưỡng cực tức thời tạo ra một trường phân cực các nguyên tử không phân cực lân cận. Bởi vì điều này, sự tương tác của các lưỡng cực tức thời xuất hiện. Tổng tương tác giữa các phân tử không phân cực là kết quả trung bình của sự tương tác tức thời có thể có

lưỡng cực với mômen lưỡng cực mà chúng tạo ra trong các phân tử lân cận do cảm ứng.

Tính toán lượng tử dẫn đến kết luận rằng lực tương tác trong trường hợp này tỷ lệ thuận với tích của các phân tử $\alpha_1$ và $\alpha_2$ và tỷ lệ nghịch với lũy thừa bảy của khoảng cách:

$$F_{\pi} \sim \frac{\alpha_1 \alpha_2}{r^7}.$$

Các lực này được gọi là lực tán sắc vì lý do độ tán sắc của một chất (sự phụ thuộc của chiết suất ánh sáng vào tần số) được xác định bởi cùng tính chất của phân tử với các lực này.

Lực phân tán tác dụng giữa tất cả các nguyên tử và phân tử, vì cơ chế xuất hiện của chúng không phụ thuộc vào việc chúng có mômen lưỡng cực vĩnh viễn hay không. Thông thường, các lực này vượt quá độ lớn cả lực định hướng và lực cảm ứng. Chỉ trong quá trình tương tác giữa các phân tử có mômen lưỡng cực lớn, ví dụ như phân tử nước, lực định hướng mới lớn hơn lực phân tán (gấp ba lần đối với phân tử nước). Khi các phân tử phân cực (CO, HCl, v.v.) tương tác với nhau, lực phân tán lớn gấp mười và hàng trăm lần so với tất cả các phân tử khác.

Nhưng điều chính là cả ba loại lực căng đều giảm theo cùng một cách với khoảng cách là $\frac{1}{r^7}$. Tuy nhiên, ở khoảng cách lớn so với kích thước của phân tử, tốc độ truyền hữu hạn của tương tác điện từ bắt đầu ảnh hưởng. Do đó, ở khoảng cách cỡ $10^{-5}$ cm, lực hấp dẫn bắt đầu giảm đến mức $\frac{1}{r^8}$. Điều này đã được phát hiện trong các thí nghiệm của Deryagin.

Lực đẩy

Bây giờ chúng ta hãy chú ý đến lực đẩy tác dụng giữa các phân tử ở khoảng cách rất ngắn. Một mặt, có một

4

Mặt khác thì dễ hơn nhưng mặt khác lại khó hơn. Đơn giản hơn theo nghĩa là các lực này phát triển rất nhanh khi các phân tử tiếp cận nhau, và do đó sự thay đổi nhanh chóng này hoặc sự thay đổi nhanh chóng của lực theo khoảng cách không có tác động đáng chú ý đến quá trình của các quá trình khác nhau.

Khó khăn là lực đẩy, ở mức độ lớn hơn nhiều so với lực hút, phụ thuộc vào từng phân tử. Biết cách phân tử A đẩy các phân tử B và C ra xa, chúng ta vẫn chưa thể đánh giá lực đẩy nào sẽ tác dụng giữa các phân tử B và C. Khi các phân tử đến với nhau theo kiểu không chủ đạo, tính chất riêng biệt trong cấu trúc của chúng rõ ràng hơn so với khi có khoảng cách lớn giữa chúng.

Giả sử lực đẩy quay về theo quy luật dẫn đến kết quả khá tốt

$$F_{от} \sim \frac{1}{r^{13}}.$$

Xét rằng lực hấp dẫn khi khoảng cách giảm dần tăng tỷ lệ với $\frac{1}{r^7}$ và lực đẩy tăng theo $\frac{1}{r^{13}}$, chúng ta có thể rút ra sự phụ thuộc gần đúng của lực vào khoảng cách. Trong Hình 4, lực đẩy được coi là dương và lực hấp dẫn được coi là âm. Ở khoảng cách $r_0$, xấp xỉ bằng tổng bán kính của các phân tử, lực bằng không.

Thế năng tương tác phân tử

Khi nghiên cứu hành vi của một tập hợp lớn các phân tử, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng không phải lực tương tác của các phân tử mà là thế năng.

Cần phải tính toán các đặc tính trung bình của hệ và khái niệm lực tương tác trung bình giữa các phân tử là vô nghĩa, vì tổng của tất cả các lực tác dụng giữa các phân tử, theo định luật thứ ba của Newton, bằng không. Thế năng trung bình, như chúng ta sẽ sớm thấy, quyết định phần lớn trạng thái và tính chất của vật chất.

Vì độ biến thiên của thế năng bằng công thực hiện bởi lực, nên từ sự phụ thuộc đã biết của lực vào khoảng cách, người ta có thể tìm ra sự phụ thuộc của thế năng vào khoảng cách*).

Cần lưu ý rằng nếu lực thay đổi theo khoảng cách là $\frac{1}{r^n}$, trong đó $n$ là một số nhất định thì thế năng sẽ nhỏ hơn theo định luật $U \sim \frac{1}{r^{n-1}}$. Điều này có thể được nhìn thấy từ các thông báo kích thước. Năng lượng có chiều của công, tức là tích của lực và khoảng cách. Do đó, thứ nguyên của năng lượng bằng thứ nguyên của lực nhân với thứ nguyên khoảng cách.

*) Xem bài viết của R. G. Mints “Đồ thị thế năng”, «Kvant» Số 5, 1971, trang 8-16.

6

piya. Điểm này được gọi là bước ngoặt. Sau đó, phân tử di chuyển theo hướng dương $r$ và đi đến vô cùng.

Một bức tranh hoàn toàn khác sẽ được quan sát ở $E = E_2 < 0$ (xem Hình 9). Trong trường hợp này, phân tử nằm trong giếng thế và không thể rời khỏi nó. Tại các bước ngoặt $r_2$ và $r_3$ động năng bằng không. Một cái gọi là trạng thái ràng buộc phát sinh. các phân tử dao động với nhau. Việc phân chia hệ thành hai hạt độc lập là không thể nếu không tăng tổng năng lượng lên $E > 0$.

Năng lượng tương tác của các phân tử trong chất khí, chất lỏng và chất rắn

Bây giờ chúng ta hãy thiết lập số lượng tiêu chí cho các loại khí, chất lỏng và chất rắn khác nhau theo quan điểm của lý thuyết động học phân tử.

Khí

Bạn có thể hiểu sâu hơn về trạng thái của vật chất, được gọi là khí thực, nếu bạn xem xét sự phụ thuộc của thế năng của một trong các phân tử vào khoảng cách đến các phân tử lân cận của nó (Hình 10). Khi một phân tử chuyển động, thế năng của nó gần như bằng 0 trên hầu hết đường đi của nó, vì khoảng cách giữa các phân tử trong chất khí, tính trung bình, lớn hơn nhiều so với kích thước của chúng. Tại điểm 1 và 2 có các điểm lân cận của phân tử được đề cập. Phân tử này đi qua một bước khá quan trọng

một khoảng cách đáng kể từ hàng xóm 1 và gần hơn với hàng xóm 2.

Thế năng trung bình của phân tử là âm và rất nhỏ. Độ lớn của nó bằng diện tích của hình giới hạn bởi đường cong thế năng giữa điểm 1 và 2 và trục $r$, chia cho độ dài của đoạn 1-2 (giá trị trung bình của đoạn 1-2). Tổng năng lượng trung bình nhất thiết phải lớn hơn 0 (đường thẳng trong Hình 10), vì tại $E < 0$ chúng ta sẽ có trạng thái liên kết của các phân tử. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu động năng trung bình của một phân tử trong chất khí lớn hơn giá trị trung bình của thế năng của nó:

$$\bar{E}_{\kappa} > |\bar{U}|.$$

Rốt cuộc

$$\bar{E} = \bar{E}_{\kappa} + \bar{U},$$

và $\bar{U}$ là âm.

Chất lỏng

Trong chất lỏng và chất rắn, các phân tử nằm cách nhau một khoảng nhỏ. Do đó, mỗi phân tử tương tác với một số phân tử của nó cùng một lúc. Chúng ta hãy giới hạn việc tính đến sự tương tác của một phân tử nhất định với hai phân tử lân cận nằm cách nhau khoảng $2r_0$.

Có thể thu được đường cong tiềm năng mong muốn bằng cách đặt chồng đường cong thể hiện trong Hình 7 (tương tác cặp) trên cùng một đường cong, dịch chuyển so với đường cong đầu tiên một khoảng lớn hơn $2r_0$ một chút. Các năng lượng tiềm năng cộng lại, và do đó độ sâu của giếng tiềm năng gần như tăng gấp đôi và mức tối đa

mô phỏng năng lượng giảm (Hình 11). Diễn biến của đường cong thế năng, có tính đến sự tương tác với các phân tử khác, được thể hiện trên Hình 12.

Để một phân tử không thể rời khỏi chất lỏng, năng lượng trung bình của nó phải âm ($\bar{E} < 0$). Chỉ trong trường hợp này, phân tử vẫn ở bên trong giếng thế được hình thành bởi các lân cận của nó. Nếu $\bar{E} > 0$, thì phân tử sẽ không ở bên trong chất lỏng và sẽ rời khỏi chất lỏng.

Vì $\bar{E} = \bar{E}_k + \bar{U}$ và $\bar{U} < 0$, nên trong chất lỏng, động năng trung bình nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của thế năng trung bình: $\bar{E}_k < |\bar{U}|$ và chỉ nhỏ hơn một chút ($\bar{E}_k < |\bar{U}|$), vì vậy $|\bar{E}| \leq |\bar{U}|_0$ là giá trị tối thiểu (theo giá trị tuyệt đối) của thế năng. Đó là lý do vì sao dao động của phân tử trong lỗ không kéo dài lâu. Do sự chuyển động ngẫu nhiên của các phân tử nên năng lượng của chúng liên tục thay đổi và trở nên nhiều hơn, rồi ít năng lượng hơn $\bar{E}$.

Ngay khi năng lượng của một phân tử vượt quá chiều cao của hàng rào thế năng ngăn cách giếng này với giếng khác, phân tử sẽ nhảy từ vị trí cân bằng này sang vị trí cân bằng khác. Đây chính xác là yếu tố quyết định bản chất chuyển động nhiệt của các phân tử trong chất lỏng và chất lỏng chảy. Thời gian “ổn định cuộc sống” của một phân tử là thời gian nó tồn tại bên trong một giếng thế năng nhất định. Khi nhiệt độ ngày càng tăng, năng lượng trung bình tăng lên và các bước nhảy xảy ra thường xuyên hơn.

chất rắn

Thế năng tương tác của một phân tử rắn với các phân tử lân cận gần nhất tương tự như năng lượng tương tác của các phân tử chất lỏng (Hình 12). Chỉ có độ sâu của giếng thế ở đây là lớn hơn một chút, vì các phân tử nằm gần nhau hơn. Điều kiện $\bar{E}_k < |\bar{U}|$ cũng được thỏa mãn đối với vật rắn. Nhưng động năng của phân tử rắn nhỏ hơn đáng kể so với động năng của phân tử lỏng. Rốt cuộc, chất rắn tạo thành chất lỏng khi được làm lạnh. Theo đó, trong chất rắn, động năng trung bình của chuyển động phân tử nhỏ hơn đáng kể so với giá trị tuyệt đối của thế năng trung bình:

$$\bar{E}_k \ll |\bar{U}|.$$

Trong Hình 12, năng lượng trung bình của một phân tử bên trong giếng thế được mô tả bằng một đoạn thẳng. Hạt dao động trong giếng thế. Chiều cao của rào cản giữa các giếng liền kề lớn và các phân tử khó di chuyển từ vị trí cân bằng này sang vị trí cân bằng khác. Để di chuyển các phân tử phải nhận được năng lượng vượt quá đáng kể năng lượng trung bình. Sự kiện này khó có thể xảy ra. Đó là lý do tại sao chất rắn, không giống như chất lỏng, vẫn giữ được hình dạng của chúng.

10

chúng tôi chiếu điểm $A_4$. Chúng ta biểu thị vectơ $\vec{OA}_4$ bằng $a_4$, từ điểm $A_3$ chúng ta đặt $a_4$ sang một bên, v.v.

Thu được hai đường đứt nét: $A_1 A_3 A_5 \dots$ và $A_2 A_4 A_6 \dots$, trục thể tích $l$ (Hình 3). Có thể xảy ra trường hợp một trong các điểm $A_k$ tiếp xúc trực tiếp với $l$ - đây là lúc quá trình dừng lại. Có thể điều này sẽ không xảy ra - khi đó quá trình sẽ kéo dài vô tận.

Tất cả cùng nhau được gọi là thuật toán kéo mũi (ABH).

Bây giờ chúng ta chiếu tất cả các cấu trúc lên một đường thẳng vuông góc với trục $l$. Bản thân trục $l$ sẽ đi vào một điểm, các vectơ $a_k$ thành các đoạn mà chúng ta ký hiệu là $b_k (k=1, 2, 3, \dots)$. Chúng ta hãy thu được thuật toán Euclide mà chúng ta đã biết cho các phân đoạn $b_1$ và $b_2$. Đặc biệt,

$$\frac{b_1}{b_2} = \left[ m_1; m_2, m_3, m_4, \dots \right]$$

và, do đó,

$$\frac{b_2}{b_1} = \left[ 0; m_1, m_2, m_3, \dots \right].$$

Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày cách sử dụng ABH cho lời giải hình học bài toán của chúng tôi (xem § 1). Chúng ta hãy xem xét mạng được đề cập trong § 1, các điểm của nó tương ứng với giá trị gần đúng của số $\alpha$ (thật tiện lợi cho chúng ta khi giả sử rằng $0 < \alpha < 1$; rõ ràng, khi chứng minh định lý Hurwitz-Borel, chúng ta có thể giới hạn bản thân ở những con số như vậy).

Chúng ta hãy đưa ABH đến các vectơ $a_1 = \vec{OA}_1$ và $a_2 = \vec{OA}_2$, trên đó mạng của chúng ta được xây dựng và tới trục $l = OY$. Hóa ra hai đường đứt nét $A_1 A_3 A_5 \dots$, $A_2 A_4 A_6 \dots$, trục liền nét $OY$ (Hình 4).

Các số $m_1, m_2, \dots$ xuất hiện trong ABH không gì khác hơn là một phần số $\alpha$. Chính xác hơn, việc khai triển $\alpha$ thành một phân số liên tục trông như thế này:

$$\alpha = \left[ 0; m_1, m_2, \dots \right]$$

(nhớ lại $0 < \alpha < 1$).

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh một số tính chất của các đường đứt nét.

Định lý 1. Các điểm $A_1, A_2, A_3, \dots$ là các điểm mạng.

Tính giá trị của khẳng định này được thể hiện rõ ràng trong Hình 4. Chứng minh hoàn chỉnh của nó dựa trên Định lý 2 của Phần I. Chúng tôi để lại chi tiết cho người đọc.

Định lý 2. Giữa các đường đứt nét $A_1, A_3 A_5 \dots$ và $A_2 A_4 A_6 \dots$ (có thể nằm trong vùng được bảo vệ trong hình vẽ) công suất của mạng bị tắt.

Bằng chứng. ABH bao gồm sự lắng đọng tuần tự của các vectơ: $A_1 B, BA_3; A_2 C, CA_4; A_3 D, DE; \dots$. Đối với mỗi vectơ như vậy, chúng ta xây dựng một hình bình hành, các cạnh của vectơ này và vectơ mà nó song song. Ta thu được dãy hình bình hành

$$OA_2 BA_1, OA_2 A_3 B, OA_2 CA_3, OCA_4 A_3, OA_4 DA_3, \dots$$

12

Định lý 3. Điểm $A_k$ ($n \geq 2$) ta tìm phân số thích hợp thứ ($k-2$) $\alpha_{k-2}$ của số $\alpha$.

Bằng chứng.
Đối với $A_2$ và $A_3$ điều này rõ ràng: $A_2$ tương ứng với $p=0$, $q=1$, nghĩa là gần đúng bằng $0=\alpha_0$ (hãy nhớ rằng $m_0=0$); $A_3$ tương ứng với $p=1$, $q=m_1$ (Hình 8), tức là xấp xỉ $1/m_1=\alpha_1$.

Hãy cho chúng tôi biết rằng đối với $i \leq k-1$, trong đó $k \geq 4$, điểm $A_i$ tương ứng với giá trị gần đúng $\alpha_{i-2}$. Hãy chứng minh rằng $A_k$ tương ứng với $\alpha_{k-2}$.

Chúng ta phải chứng minh rằng $A_kC=p_{k-2}$, $A_kH=q_{k-2}$ (Hình 9). Tam giác $A_{k-2}A_kE$ đồng dạng với tam giác $OA_{k-1}M$; tam giác $A_{k-2}A_kB$ đồng dạng với tam giác $OA_{k-1}D$; Hệ số tương tự trong cả hai trường hợp đều bằng $m_{k-2}$. Chúng tôi có:
$$A_kC = BC + A_kB = A_{k-2}F + m_{k-2}A_{k-1}D = p_{k-4} + m_{k-2}p_{k-3} = p_{k-2},$$
$$A_kH = EH + A_kE = A_{k-2}G + m_{k-2}A_{k-1}M = q_{k-4} + m_{k-2}q_{k-3} = q_{k-2}$$
(xem bài viết của N. M. Beskin).

Định lý đã được chứng minh.

Định lý 3, cùng với hệ quả tất yếu của Định lý 2, đưa chúng ta đến kết luận sau:
Nếu đối với một số vô tỷ nhất định $\alpha$ có vô số phép tính gần đúng có hệ số chất lượng nhỏ hơn số đã cho, thì có vô số phép tính gần đúng trong số các phân số phù hợp của số $\alpha$.

Câu hỏi cuối cùng vẫn là: làm thế nào để tìm được hệ số chất lượng của các phân số phù hợp?

May mắn thay, câu hỏi này có thể được giải quyết hoàn toàn và đáp số được viết bằng một công thức trang nhã và tiện lợi.

§ 3. Hệ số chất lượng của các phân số phù hợp.

Định lý 4. Gọi $\alpha=[0; m_1, m_2, \dots]$, $\mu_k$ là hệ số chất lượng của phân số thích hợp thứ $k-1$. Sau đó:

$$\frac{1}{\mu_k} = m_k + [0; m_{k+1}, m_{k+2}, \dots] + [0; m_{k-1}, m_{k-2}, \dots, m_1]$$

12

Bằng chứng.
Chúng ta hãy xem xét các điểm $A_{k+2}$ và $A_{k+1}$, tương ứng với các giá trị gần đúng $\alpha_k$ và $\alpha_{k-1}$ (Hình 10). Qua $q_k$, $r_k$; $q_{k-1}$, $r_{k-1}$ chúng ta biểu thị khoảng cách của chúng đến các trục $OX$, $OY$. Chúng tôi biết rằng $\mu_k = r_{k-1}q_{k-1}$ (xem § 3). Hãy chứng minh công thức:

$$q_k r_{k-1} + q_{k-1} r_k = 1$$ (3)
$$r_k / r_{k-1} = [0; m_{k+1}, m_{k+2}, \dots]$$ (4)
$$\frac{q_k}{q_{k-1}} = [m_k; m_{k-1}, m_{k-2}, \dots, m_1]$$ (5)

Công thức (3) chứng minh điều này. Chia hình bình hành $OA_{k+1}BA_{k+2}$ bằng các đường thẳng song song với trục tọa độ thành các hình tam giác: $A_{k+1}QO$, $OPA_{k+2}$, $A_{k+2}MB$, $BRA_{k+1}$ và một đường thẳng $MPQR$ (xem Hình 11). Diện tích của hình bình hành $OA_{k+1}BA_{k+2}$ là 1, vì đây là hình bình hành chính của mạng tinh thể của chúng ta. Tìm diện tích của các phần:

$$1 = \frac{1}{2} r_{k-1} q_{k-1} + \frac{1}{2} r_k q_k + \frac{1}{2} r_{k-1} q_{k-1} + \frac{1}{2} r_k q_k + (r_{k-1} - r_k) (q_k - q_{k-1}) = q_k r_{k-1} + q_{k-1} r_k.$$

Về bản chất, công thức (4) đã được chúng ta biết đến: nếu chúng ta loại bỏ phần thuật toán kéo mũi trước khi đạt được điểm $A_{k+2}$, thì chúng ta thu được thuật toán tương tự cho các vectơ $OA_{k+1}$, $OA_{k-2}$. Do đó, công thức (4) được suy ra trực tiếp từ công thức (2).

Chứng minh cần thiết nhất được tìm thấy ở công thức (5). Chúng ta hãy dựng đường gãy $A'_{k+2} \dots A'_2$ (Hình 12), đối xứng với đường gãy $A'_{k+2} \dots A'_2$ so với điểm $O$. Có thể thấy, đường đứt nét này, cùng với đường gãy $A'_{k+1} \dots A'_1$, là kết quả của việc áp dụng $ABH$ cho các vectơ $\overrightarrow{OA}_{k+2}$, $\overrightarrow{OA}_{k+1}$ và âm

14

hướng của trục $OX$. Thuật toán này, như chúng ta thấy, là hữu hạn và kết thúc tại điểm $A_1$. Nó có cấu trúc như thế này: đầu tiên, từ điểm $A'_{k+2}$ nó đặt vectơ $OA_{k+1}$ $m_k$ lần, sau đó từ điểm $A_{k+1}$ nó xếp xuống vectơ $\vec{OA}'_k$ $m_{k-1}$ lần, v.v. Lần đặt cuối cùng: vectơ $\vec{OA}'_2$ nằm xuống $m_1$ lần.

Theo công thức (4) ta có:

$$q_k/q_{k-1} = [m_k; m_{k-1}, \dots, m_1].$$

Vì vậy, tất cả các công thức đã được chứng minh. Bây giờ chúng ta chứng minh Định lý 4.

Chúng tôi có:

$$\frac{1}{\mu_k} = \frac{q_k r_{k-1} + q_{k-1} r_k}{r_{k-1} q_{k-1}} = \frac{r_k}{r_{k-1}} + \frac{q_k}{q_{k-1}} = [0; m_{k+1} \dots] + [m_k; m_{k-1}, \dots, m_1]$$

Q.E.D.

§ 4. Chứng minh định lý Hurwitz-Borel.

Chúng ta phải chỉ ra rằng tập vô hạn các phân số phù hợp của số $\alpha = [0; m_1, m_2, \dots]$ có hệ số chất lượng nhỏ hơn $\frac{1}{\sqrt{5}}$, nghĩa là, với vô số $k$ các bất đẳng thức $\mu_k < \frac{1}{\sqrt{5}}$ hoặc $\frac{1}{\mu_k} > \sqrt{5}$ đúng. Hãy sử dụng Định lý 7.

Có ba trường hợp có thể xảy ra.

1°. Trong số vô hạn $m_1, m_2, \dots$ có nhiều số khác 1 và 2. Trường hợp này là đơn giản nhất. Nếu $m_k > 2$ thì $m_k \geq 3$ và $\frac{1}{\mu_k} = m_k + \frac{1}{m_{k+1} + \dots} + \frac{1}{m_{k-1} + \dots} > m_k \geq 3 > \sqrt{5}$.

2°. Trong các số $m_1, m_2, \dots$ chỉ có một số hữu hạn khác 1 và 2, nhưng có hai số là vô hạn. Trong trường hợp này, với vô số $k$ chúng ta có:

$$\frac{1}{\mu_k} = m_k + [0; m_{k+1}, \dots] + [0; m_{k-1}, \dots] > 2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{8}{3} > \sqrt{5}$$

3°. Bắt đầu từ một điểm nào đó, tất cả các đạo hàm riêng đều bằng 1. Giả sử, $m_{k_0} > 1$ và $m_k = 1$ cho $k > k_0$. Nếu chênh lệch $k - k_0$ là chẵn thì

$$\frac{1}{\mu_k} = 1 + [0; 1, 1, \dots, 1, m_{k_0}, \dots] > 1 + 2 [0; 1, 1, \dots] = 1 + \frac{4}{\sqrt{5} + 1} = \sqrt{5}$$

(Ở đây chúng ta sử dụng thực tế là nếu $k$ chẵn và $m'_{k+1} > m'_{k+1}$, thì

$$[m_0; m_1, \dots, m_k, m'_{k+1}, \dots] > [m_0, m_1, \dots, m_k, m'_{k+1}, \dots]$$

và bình đẳng $[1; 1, 1, \dots] = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$).

Hãy tự mình chứng minh những sự thật này).
Nói đúng ra, trường hợp tất cả các phần không đầy đủ đều bằng 1 chưa được xem xét. Trong trường hợp này chúng ta có

$$\frac{1}{\mu_k} = 1 + [0; 1, 1, \dots] + [0; 1, 1, \dots, 1]$$

và thậm chí với $k$ chúng tôi nhận được

$$\frac{1}{\mu_k} < 1 + 2 [0; 1, 1, \dots] = \sqrt{5}$$

do tính chất của phân số liên tục.

Trong mọi trường hợp, sự tồn tại của đa xấp xỉ vô hạn với hệ số chất lượng nhỏ hơn $1/\sqrt{5}$ đã được chứng minh.

Rõ ràng là đồng thời trong trường hợp $3^\circ$ và chỉ trong trường hợp này, số $\sqrt{5}$ không thể được thông báo. Nói một cách chính xác, trong trường hợp này

$$\lim_{k \to \infty} \frac{1}{\mu_k} = \sqrt{5},$$

nghĩa là, đối với $k$ rất lớn, số $1/\mu_k$ rất gần với $\sqrt{5}$.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phát biểu của định lý Hurwitz-Borel.

Trên thực tế, chúng tôi còn chứng minh được nhiều hơn thế. Rõ ràng là Định lý 7 cho phép chúng ta giải quyết câu hỏi về giá trị gần đúng tốt nhất của cá thể đối với mỗi $\alpha$. Ví dụ: nếu các phần riêng của một số nhất định $\alpha$ không phải là tất cả 1, bắt đầu từ một số nào đó, nghĩa là nếu trường hợp $3^\circ$ không xảy ra, thì, như có thể thấy từ lý luận của chúng tôi, $\sqrt{5}$ có thể được thay thế bằng $2^2/3$ (và trên thực tế, thậm chí bằng $2\sqrt{2}$; chứng minh). Từ Định lý 7 suy ra rằng

$$m_k < \frac{1}{\mu_k} < m_k + 2.$$

Từ đó, rõ ràng là nếu các số riêng phần $\alpha$ không đầy đủ tăng trưởng vô hạn thì số $\frac{1}{\mu_k}$ có thể lớn tùy ý, nghĩa là số $\mu_k$ có ​​thể nhỏ tùy ý, nghĩa là, với một $\alpha$ cho trước sẽ có các phép tính gần đúng với hệ số chất lượng nhỏ tùy ý.

Nếu các số $m_k$ đều nhỏ hơn một số nhất định $N$ thì hệ số chất lượng xấp xỉ của số này không thể nhỏ hơn $\frac{1}{N+2}$. Ví dụ: hệ số chất lượng của các phép tính gần đúng hợp lý của số $\sqrt{2} = [1; 2, 2, \dots]$ không thể nhỏ hơn $\frac{1}{4}$ (trên thực tế, hệ số chất lượng nhỏ nhất trong số các phép tính gần đúng của số $\sqrt{2}$ có phân số $\frac{3}{2}$; hệ số này bằng $6 - 4\sqrt{2} \approx 0,34$).

Vì vậy, thật đáng ngạc nhiên, hóa ra các số gần đúng “tốt nhất”, như $\sqrt{2}$, lại là những số gần đúng tệ nhất theo số hữu tỉ.

16

Trường mềm của một vật thể đồng nhất hình cầu

I. I. Ogievetsky

Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton xác định như nhau sự rơi của một quả táo xuống đất, chuyển động của Mặt trăng quanh Trái đất và quỹ đạo của các hành tinh. Nó dựa trên thực tế là lực căng giữa các điểm vật chất có khối lượng $m_1$ và $m_2$, nằm cách nhau một khoảng $l$, bằng

$$F = \gamma \frac{m_1 m_2}{l^2},$$

(1)

trong đó $\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{H \cdot m^2}{\kappa^2}$ là hằng số hấp dẫn (trong hệ SI). Nhưng Trái đất, Mặt trăng và các vật thể thực khác không chính xác, chúng có kích thước hữu hạn. Làm thế nào để xác định lực căng giữa các cơ thể bị mắc kẹt?

Lời giải bài toán này đã đưa Newton đến việc tạo ra ngành toán học quan trọng nhất - phép tính tích phân. Để tìm lực co của một điểm vật chất đối với một vật thể liên hợp, bạn nên nhẩm chia vật thể này thành những phần nhỏ (trong giới hạn - vô cùng nhỏ), tính toán sự đóng góp vào lực co thắt từ mỗi phần này bằng công thức (1) rồi cộng (giải thích) những sự đóng góp này. Các thiên thể có thể được coi là gần như đồng nhất hình cầu, nghĩa là tại bất kỳ điểm nào, mật độ của chúng hoàn toàn được xác định bởi khoảng cách từ điểm này đến tâm của thiên thể. Newton đã phát hiện ra một sự thật đáng chú ý:

$$F = \gamma \frac{4\pi R^2 \rho m}{d^2} = \gamma \frac{M \cdot m}{d^2},$$

(2)

trong đó $M$ là khối lượng bề mặt. Nói cách khác, lực kéo bên ngoài bề mặt hình cầu giống như khi toàn bộ khối lượng của bề mặt tập trung ở tâm của nó. Điều này ngay lập tức dẫn đến một phát biểu tương tự đối với một vật thể đồng nhất hình cầu.

*) Tính chất này thường được sử dụng vì rất quan trọng, không có bằng chứng. Sử dụng nó trong một số bài viết «Kvant». Vì vậy, việc hiểu nó chứng minh như thế nào là rất hữu ích.

18

Cơm. 3.

Bây giờ chúng ta sử dụng phép đảo ngược và thay thế $l$ trong (6) bằng $\bar{l} \frac{d}{R}$ theo (4):

$$\Delta F_{OQ} = \gamma \frac{m\rho R^2 \cos \alpha \Delta S}{d^2 \bar{l}^2} =$$
$$= \gamma \frac{m\rho R^2 \Delta \omega}{d^2},$$

(7)

nơi các giá trị được nhập
$$\Delta \omega = \frac{\cos \alpha \Delta S}{\bar{l}^2}.$$

Hãy thực hiện một quan sát quan trọng. Lưu ý rằng $\alpha$ cũng là góc giữa pháp tuyến (bán kính $OP$) với phần tử bề mặt $\Delta S$ và hướng $\bar{Q}P^*$, và cosa được đặt cho bất kỳ điểm nào $P$.

Do đó, có thể dễ dàng xác minh rằng $\Delta \omega$ là góc khối mà tại đó phần tử bề mặt $\Delta S$ có thể nhìn thấy được từ điểm $\bar{Q}$.

Nếu bạn giới thiệu một hình nón có đỉnh tại điểm $\bar{Q}$ và một đường viền chạy $\Delta S$ được hình thành, thì góc khối ở đỉnh của hình nón này sẽ là $\Delta \omega$ (Hình 3).

Về mặt số học, góc $\Delta \omega$ bằng diện tích mà hình nón này cắt ra từ một hình cầu có bán kính đơn vị có tâm tại điểm $\bar{Q}$.

*) Đây là lúc hoạt động đảo ngược là cần thiết. Với sự trợ giúp của nó, chúng tôi đã đưa khoảng cách $\bar{l}$ vào mẫu số (6) thay vì khoảng cách $l$, nhờ đó góc đặc $\Delta \omega$ xuất hiện trong công thức.

Chấp nhận hoàn toàn tất cả các bề mặt $\Delta S$:

$$F = \sum_{s} \Delta F_{OQ} = \gamma \frac{m\rho R^2}{d^2} \sum_{s} \Delta \omega =$$
$$= \gamma \frac{m\rho 4\pi R^2}{d^2} = \gamma \frac{mM}{d^2},$$

(8)

vì $\sum_{s} \Delta \omega = 4\pi$ là tổng góc đặc mà tại đó toàn bộ hình cầu có thể nhìn thấy được từ điểm bên trong $\bar{Q}$, và $4\pi R^2\rho = M$ là tổng khối lượng của bề mặt hình cầu. Như vậy Mệnh đề 1 đã được chứng minh.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một điểm vật chất $\bar{Q}$ có khối lượng $m$ bên trong một bề mặt hình cầu rỗng. Một lần nữa, từ các thông điệp về tính đối xứng, có thể thấy rất rõ ràng rằng lực do toàn bộ bề mặt hình cầu tạo ra chỉ có thể hướng dọc theo đường $O\bar{Q}$.

Do đó, chúng ta cần cộng các thành phần lực $\Delta F_{OQ}$ từ các phần tử của hình cầu $\Delta S$, bằng

$$\Delta F_{O\bar{Q}} = \gamma \frac{m\rho \Delta S \cos \beta}{\bar{l}^2} =$$
$$= \gamma \frac{m\rho R^2 \Delta S \cos \beta}{d^2 l^2},$$

(9)

nếu chúng ta sử dụng lại, chúng ta sẽ lấy nó từ nghịch đảo và thay thế $\bar{l}$ bằng $l \frac{d}{R}$ theo tương ứng (4).

Tính hình cầu $S$ thành hai phần $S_\Pi$ và $S_\lambda$ bằng mặt phẳng đi qua điểm $\bar{Q}$ vuông góc với đường thẳng

О$\bar{Q}$ và hình dạng tại điểm giao nhau với hình cầu đĩa (Hình 4). Rõ ràng là các phần của bề mặt hình cầu $S_\pi$ và $S_\pi$ nằm ở bên phải và bên trái của đĩa này sẽ hút điểm vật chất $\bar{Q}$ theo các hướng khác nhau, sang phải và sang trái. Khớp (xem Hình 4), $\cos \beta > 0$ cho điểm $P$ từ $S_\pi$ và $\cos \beta < 0$ cho điểm từ $S_\pi$. Bây giờ chúng ta hãy tính đến điều đó $\frac{\Delta S | \cos \beta |}{l^2} = \Delta \omega - \text{телесному углу}, под которым виден элемент$\Delta S$из точки$Q^*$). Складывая силы$\Delta F_{o\bar{Q}}$, находим полную силу$$F = \sum_S \Delta F_{o\bar{Q}} = \frac{\gamma m\rho R^2}{d^2} \left( \sum_S \Delta \omega - \sum_S \Delta \omega \right),$$(10) где суммы распространены, соответственно, на части поверхности$S_\pi$и$S_\pi$. Но$\sum_S \Delta \omega = \sum_S \Delta \omega = \omega_D - \text{góc đặc} mà tại đó phần tử $\Delta S$ được nhìn thấy từ điểm $Q$. Trong thực tế (xem Hình 4), đối với một hình nón có đỉnh ở Hình 4.

$Q$ được hình thành bởi các tiếp tuyến của hình cầu $S$, đường tiếp tuyến chính xác là đường tròn $D$ (đánh dấu vào đây). Như vậy,

$$F = 0$$

(*) Đối với một điểm nằm ngoài hình cầu, khi tính lực tại một điểm bên trong hình cầu, ta thấy công thức có chứa một góc đặc, lúc này là cho một điểm nghịch đảo nằm bên ngoài hình cầu.

với bất kỳ điểm nào $\bar{Q}$ nằm bên trong $S$. Việc chứng minh khẳng định 2 đã hoàn tất; bên trong một bề mặt hình cầu đồng nhất, lực hấp dẫn của vật thực bằng không.

Điều rất đáng chú ý là Newton rất coi trọng giả định đã được chứng minh ở trên về tính chất hấp dẫn của các vật thể và bề mặt đồng nhất hình cầu mở rộng. Chỉ sau khi chứng minh những giả định này, Newton mới công bố dẫn xuất mà ông đã thu được nhiều năm trước đó về các định luật về chuyển động hành tinh của Kepler từ công thức (1) cho các vật thể chính xác (xem J. Orir, “Vật lý phổ thông”, Moscow, 1964, trang 87-98).

Bài tập

1. Một đặc tính đáng chú ý của các phương pháp toán học là cùng một “mô hình toán học” có thể mô tả các sự kiện từ các lĩnh vực vật lý dường như hoàn toàn khác nhau. Hãy đề cập đến thực tế là định luật Coulomb; mô tả sự tương tác của hai điện tích chính xác, được viết theo cách toán học giống như định luật hấp dẫn của Newton, xây dựng nên “sự tương tự về tĩnh điện” của giả định 1 và 2.

2. Chứng minh rằng lực hút của một khối lượng chính xác bởi một tấm đồng nhất không bị chặn tỷ lệ nghịch với khoảng cách của khối lượng này đến tấm.

3. Tìm lực hấp dẫn do một bán cầu vật chất đồng nhất tác dụng lên một khối lượng chính xác nằm trên đường thẳng nối tâm quả cầu với cực của nó.

4. Trong thế giới phẳng tưởng tượng của Hinton (xem «Kvant» Số 4, 1970), lực tương tác giữa các khối lượng chính xác tỷ lệ nghịch với khoảng cách giữa chúng. Hãy nhớ rằng các “quả cầu” của một thế giới phẳng là các vòng tròn, hãy xây dựng và chứng minh các mệnh đề cho thế giới Hinton tương tự như các mệnh đề 1 và 2. Chứng tỏ rằng lực hấp dẫn mà một cư dân tưởng tượng của một trong các hành tinh của hệ Hinton trải qua tỷ lệ thuận với khoảng cách của cư dân đó đến tâm hành tinh. Nếu có các hành tinh collebose trong hệ thống, thì không có trường hấp dẫn ở bên trong collebose (người ta cho rằng các hành tinh được tạo thành từ vật chất đồng nhất).

20

V. G. Yankelevich

Độc giả lớp bảy Misha Balkin của chúng tôi thắc mắc: “Em thấy trong sách tham khảo công thức Cardan cho lời giải phương trình bậc ba $x^3 + px + q = 0$:

$$x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{D}},$$

ở đâu $D = \left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2$.

Nhưng đối với tôi, có vẻ như công thức này không phải lúc nào cũng có thể áp dụng được. Ví dụ: nếu muốn tìm nghiệm của phương trình $x^3 - x = 0$ ($p = -1, q = 0$) bằng công thức này, chúng ta nhận được

$$x = \sqrt[3]{\sqrt{-\frac{1}{27}}} + \sqrt[3]{-\sqrt{-\frac{1}{27}}}.$$

Đây là một số loại số tối thiểu và phương trình có ba vương miện: 0, 1 và -1. Làm thế nào để thiết lập được sự mâu thuẫn này?>

Các biên tập viên tin rằng đáp số câu hỏi này sẽ được nhiều độc giả của chúng tôi quan tâm. Chúng tôi đang xuất bản một bài báo của V. G. Yankelevch, một học sinh lớp 10 đến từ thành phố Kustanay, người cho biết cách giải phương trình bậc ba trong trường hợp công thức Kardanov tạo ra các số âm dưới dấu căn bậc hai.

Trở lại thế kỷ 16, người ta đã tìm ra một công thức tổng quát giúp người ta có thể biểu diễn các phương trình lời giải bậc ba

$$x^3 + px^2 + qx + r = 0$$

(1)

thông qua các hệ số của nó bằng cách sử dụng các phép tính số học và kiến ​​thức về các nghiệm. Công thức này (được gọi là công thức Del Ferro hoặc công thức Tartaglia-Cardano) có thể được viết như sau:

$$x = \sqrt[3]{\frac{c}{54} + \sqrt{\frac{D}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{c}{54} - \sqrt{\frac{D}{108}}} - \frac{p}{3},$$

(2)

ở đâu $c = 2p^3 - 9pq + 27r$; $D = p^2q^2 - 4q^3 - 4p^3r + 18pqr - 27r^2$. Sau đó, ngay khi khái niệm số phức hình thành, rõ ràng là công thức này cho phép chúng ta thu được tất cả các phương trình lời giải (1) với bất kỳ hệ số (phức) nào $p, q, r$. Nhưng thật không may, ngay cả khi tất cả các hệ số của phương trình là các số tác động tổng quát, thì để tìm (sau đây gọi là các số tác dụng!) lời giải bằng công thức (2), bạn phải trích xuất các số; khó khăn này phát sinh khi $D > 0$ (điều này chính xác xảy ra khi phương trình có ba nghiệm thực khác nhau).

Xét phương trình bậc ba (1) với các phân biệt thực và dương $D^*$).

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng bất kỳ phương trình (1) nào cũng có thể được rút gọn thành phương trình có dạng

$$ay^3 - 3by^2 - 3ay + b = 0,$$

(3)

trong đó $a$ và $b$ là số thực và $a \neq 0$.

Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng phương trình (3) có nghiệm

$$y_1 = \tg \frac{\varphi}{3},$$

$$y_2 = \tg \frac{\varphi + 2\pi}{3},$$

$$y_3 = \tg \frac{\varphi + 4\pi}{3},$$

*) $D$ được gọi là phân biệt của đa thức $x^3 + px^2 + qx + r$. Có thể chỉ ra rằng $D = (x_1 - x_2)^2 (x_2 - x_3)^2 (x_3 - x_1)^2$, trong đó $x_1, x_2, x_3$ là nghiệm của phương trình (1). Nếu các hệ số $p, q, r$ là số thực và $D < 0$ thì phương trình có hai nghiệm phức liên hợp và một nghiệm thực, được tìm thấy ngay theo công thức (2).

22

Trình diễn quỹ đạo của các vật chuyển động dưới tác dụng của trọng lực trung tâm

R. Gỗ

Trong số cuối cùng của tạp chí của chúng tôi, một bài báo của nhà vật lý nổi tiếng người Mỹ R. Wood về ảo ảnh nhân tạo và lốc xoáy đã được xuất bản. Dưới đây chúng tôi đăng một bài viết khác của Wood, dành cho việc nghiên cứu quỹ đạo của các vật thể trong trường trung tâm. Bài viết này đã được xuất bản trên tạp chí Physical Review năm 1897.

Sau khi Wood xuất bản một bài báo về Trình diễn phòng thí nghiệm về quỹ đạo của các hành tinh và sao chổi quanh Mặt trời bằng cách sử dụng một quả bóng thép và nam châm điện, tạp chí Nature đã xuất bản một lá thư từ một giáo sư tại Đại học London, trong đó tuyên bố rằng thí nghiệm này không chứng minh quỹ đạo trong trường hấp dẫn, vì lực hút của quả bóng bằng nam châm thay đổi nghịch đảo với lũy thừa thứ năm chứ không phải bình phương khoảng cách, như trong trường hợp trọng lực.

Wood bắt đầu làm việc luôn, vẽ một sơ đồ chi tiết và nhận ra rằng quả bóng cắt các đường sức từ theo một góc và quỹ đạo của nó chỉ phụ thuộc vào thành phần nằm ngang của lực căng. Sau khi đo cẩn thận cường độ từ trường trong mặt phẳng ống khói, người ta thấy nó gần như tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách.

Trong khi đó, các báo cáo quan trọng đã xuất hiện trên một số tạp chí kỹ thuật khác của Anh và Wood vui lòng gửi xác nhận về tính hợp lệ của thí nghiệm của mình, trích dẫn các kết quả đo lường.

Làm sáu chiếc ghim trên tay áo của anh ta hướng vào bề mặt của phòng thí nghiệm, chuyển động cho hành tinh này biết không có đường elip, đường parabol và đường hyperbol nào dưới tác động của một lực trung tâm, độ lớn của lực này sẽ thay đổi tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách. Tôi đã tiến hành một số thí nghiệm kiểm tra chuyển động của một quả bóng thép nhỏ xung quanh từ trường. Những lời cáo buộc dài mang lại kết quả tốt và tôi tin rằng chúng có thể hữu ích khi giảng bài.

Thiết bị trình diễn rất đơn giản. Nó bao gồm một đĩa thủy tinh có đường kính khoảng 40 cm, có một lỗ nhỏ ở giữa. Hình nón của một nam châm điện lớn được đưa vào lỗ này. Bề mặt của đĩa bị bao phủ bởi khói (Hình 1). Bạn cần cố gắng đặt tấm ở vị trí nằm ngang và trục nam châm ở vị trí thẳng đứng một cách chính xác nhất có thể.

Một quả bóng thép nhỏ được đánh bóng có đường kính khoảng 5 mm (ví dụ, từ ổ đỡ sóng)

24

NHIỆM VỤ

M111. Hình vuông ở cạnh 1 chứa một hình có khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không bằng 0,001. Chứng minh rằng diện tích của hình này không vượt quá 0,34. (Chúng ta có thể giả sử rằng ranh giới của hình được đề cập trong các điều kiện bao gồm các đoạn thẳng và cung tròn.)
Hãy cố gắng ước tính chính xác hơn và chứng minh một định lý tương tự trong không gian.
G. V. Rosenblum

M112. Trong bảng $m \times n$ các số được viết sao cho với hai hàng và hai cột bất kỳ, tổng các số ở hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật mà chúng tạo thành bằng tổng các số ở hai đỉnh còn lại của nó. Một số số đã bị xóa nhưng giả sử bạn có thể khôi phục những số đã xóa. Chứng minh rằng còn lại ít nhất $(n+m-1)$ số.

M113. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ luôn tồn tại một số gồm các chữ số 1 và 2 chia hết cho $2^n$.
B. M. Ivlev

M114. Một số số được viết trong một vòng tròn. Nếu đối với bốn số liên tiếp $a, b, c, d$ hóa ra là $(a-d)(b-c) < 0$, thì các số $b$ và $c$ có thể đổi chỗ cho nhau. Chứng minh rằng phép toán này chỉ có thể thực hiện được hữu hạn lần.
V. B. Alekseev

M115. Có tổng số lít nước được đổ vào ba bình. Được phép đổ một cột nước vào bất kỳ bình nào, lượng nước mà nó đã chứa, từ bất kỳ bình nào khác. Chứng minh,

Cơm. 1.
một vôn kế, một nguồn dòng điện và các dây nối, liệu có thể thay đổi giá trị của một trong các điện trở mà không làm đứt một tiếp điểm nào trong mạch điện không?

A. R. Zilberman

F119. Ánh sáng từ nguồn $S$ trên đường tới màn hình sẽ đi qua một khối thủy tinh nằm yên có cạnh $l$ (Hình 2). Ánh sáng nhanh hơn bao nhiêu?

sẽ chạm tới màn hình nếu khối được di chuyển với tốc độ $v$? Tốc độ ánh sáng trong không khí là $c$, chiết suất của ống khói là $n$ ($v \ll c, n \gg 1$).

G. V. Meledin

F120. Có nước đựng trong một hình trụ có pít-tông, bên trong lúc đầu có một khoang có thể tích $V$. Áp suất khí trong khoang không đáng kể. Pít-tông tác dụng áp suất không đổi $P$ lên mặt nước. Nước sẽ thu được động năng bao nhiêu khi lỗ rỗng biến mất? Vận tốc ban đầu của nước bằng không. Lực hấp dẫn có thể được bỏ qua.

G. L. Komkin

F121. Ước tính lực lớn nhất mà đường kính sẽ thể hiện khi gắn vào các mặt phẳng bao phủ bán cầu Magdeburg (bán cầu) có bán kính

Cơm. 3.

$R=20$ cm (Hình 3). Hai bán cầu kéo dài theo hướng ngược nhau là $F$. Áp suất khí quyển là 1 atm.

F122. Một quả bóng được ném vào cốc nước, quay quanh trục của nó và nổi lên trên mặt nước. Quả bóng sẽ nằm ở đâu trên bề mặt?

Sửa đổi

Ở «Kvant» số 8 năm 1971 ở trang 3, do lỗi của người biên tập, “bức chân dung từ huy chương đồng của Euclid” đã bị đặt nhầm. Trên thực tế, hình ảnh toán học Euclid vẫn chưa đến được với thời đại chúng ta. Hình ảnh được đặt dường như là chân dung của triết gia Euclid xứ Megara.

Tìm lỗi

Như đã biết, tại một điểm, tổng khoảng cách từ vỏ đến các đỉnh của một tứ giác cho trước là nhỏ nhất,

Cơm. 1.

là giao điểm của các đường chéo của nó (Hình 1). Chúng ta sẽ giảm một trong các cạnh của tứ giác, ví dụ: $BC$ (Hình 2), cho đến cạnh $BC$

Cơm. 2.

sẽ không biến thành một điểm. Trong trường hợp này, điểm $O$ sẽ tiếp cận $BC$ và hợp nhất với điểm đó trong Hình 3.

Cơm. 3.

Điều này có nghĩa là điểm có tổng khoảng cách từ lớp vỏ đến các đỉnh của một lượng giác nhất định là nhỏ nhất là một trong các đỉnh của nó. Nhưng có một định lý phát biểu rằng điểm như vậy là điểm mà từ đó nhìn thấy cả ba cạnh của tam giác với một góc $120^\circ$ chứ không phải một trong các đỉnh.

Sai lầm ở đâu?

A. Skovlin

26

Trong số này, chúng tôi xuất bản lời giải bài toán M70—M73

M70

Cho $l_1, l_2, \dots, l_n$ là một số đường thẳng trong mặt phẳng, trong đó có hai đường thẳng cắt nhau. Chứng minh rằng có thể, và theo một cách duy nhất, chọn từng đường thẳng này tại điểm $X_1, X_2, \dots, X_n$ sao cho phân phối lại được khôi phục tại điểm $X_i$ cho đường $l_i$ đi qua điểm $X_{i+1}$ (với tất cả $i=1, 2, \dots, n-1$) và phân phối lại được khôi phục thành $l_n$ tại điểm $X_n$ đi qua điểm $X_1$.

Cố gắng xây dựng và chứng minh một định lý tương tự trong không gian.

bài toán này cũng có thể được hình thành như sau. Giả sử $p_i$ là ánh xạ gán cho mỗi điểm $M$ (trên mặt phẳng) hình chiếu của nó lên đường thẳng $l_i$, tức là $p_i(M)$ là cơ sở của phân phối lại được thả từ điểm $M$ xuống đường thẳng $l_i$. Cần chứng minh rằng trên đường thẳng $l_1$ tồn tại một điểm duy nhất $X_1$ sao cho sau ánh xạ $n$

$$X_1 \xrightarrow{p_n} X_n \xrightarrow{p_{n-1}} X_{n-1} \xrightarrow{p_{n-2}} \dots$$

biến thành chính nó.

Đối với một điểm tùy ý $X$ của đường $l_1$ biểu thị qua $f(X)$ điểm trên đường $l_1$ mà nó đi qua

$$X$$ sau ánh xạ $n$ $p_n, p_{n-1}, \dots, p_1$ (Hình 1); nó được viết như thế này:

$$f = p_1 \circ p_2 \circ \dots \circ p_n.$$

Hãy chọn gốc và hướng trên mỗi dòng của chúng ta $l_i$, nghĩa là chúng ta sẽ biến mỗi dòng thành một trục số (chúng ta chọn cùng một đơn vị tỷ lệ trên tất cả các dòng). (Chúng tôi xác định một điểm (trên một đường) và số tương ứng của nó—tọa độ của nó—để các bản đồ $p_1, p_2, \dots, p_n$ và $f$ giờ đây có thể được coi là các hàm

27

Mỗi số được gán một số mới.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng ánh xạ $f$ là tuyến tính: $f(x) = ax + b$.

Để làm được điều này, chỉ cần chứng minh ba khẳng định hiển nhiên sau đây là đủ.

(1) Nếu $l$ và $l'$ là hai đường thẳng và $p : l \rightarrow l'$ là bản đồ liên kết từng điểm với hình chiếu của nó lên $l'$, thì $p$ là bản đồ tuyến tính.

(2) Nếu $p_1$ và $p_2$ là bản đồ tuyến tính thì $p_1^\circ p_2$ cũng vậy.

(3) Nếu $p_1, p_2, \dots, p_n$ là bản đồ tuyến tính thì $f = p_1^\circ p_2^\circ \dots p_n^\circ$ cũng là bản đồ tuyến tính.

Rõ ràng (3) suy ra từ (2) bằng quy nạp. Kiểm tra (2): nếu $p_1(x) = a_1x + b_1$ và $p_2(x) = a_2x + b_2$ thì $(p_1^\circ p_2)(x) = p_1(p_2(x)) = a_1a_2x + (a_1b_2 + b_1)$. Để chứng minh (1), hãy kiểm tra công thức này:

$$p(x) = x \cos \alpha + c,$$

trong đó $\alpha$ là góc giữa hướng dương của trục $Ox$ và $O'x'$, $c$ là tọa độ của điểm $p(O)$ trong hệ thống $Ox'$ (Hình 2; cũng xem xét trường hợp khi các đường thẳng $l$ và $l_1$ song song).

Bây giờ với lời giải bài toán, đủ để chỉ ra rằng phương trình tuyến tính $x = ax + b$ có ​​lời giải và chỉ có một. Nếu không phải như vậy (nghĩa là nếu không có lời giải hoặc nhiều hơn một), thì $a = 1$. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng điều này không thể xảy ra. Lưu ý rằng với mỗi phép chiếu $p_k$: $l_{k+1} \rightarrow l_k$ khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không tăng:

$$|p_k(x) - p_k(x')| \leq |x - x'|,$$

và nếu các đường $l_{k+1}$ và $l_k$ không song song thì sẽ giảm đi rất nhiều. Suy ra điều đó đối với hai điểm bất kỳ $x$ và $x'$

$$|f(x) - f(x')| < |x - x'|.$$

Nhưng nếu $a = 1$, tức là nếu $f(x) = x + b$, thì $f$ bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ (nó chỉ dịch chuyển tất cả chúng một khoảng $b$). Chúng tôi có một sự mâu thuẫn. Bằng chứng là hợp pháp.

Bài toán M70 và lời giải của chúng ta đã được thiết lập lại mà không có bất kỳ thay đổi nào đối với trường hợp các đường thẳng không nằm trên một mặt phẳng mà nằm trong không gian (các đường ở giữa của chúng cũng có thể giao nhau). Trong trường hợp này, $p_k$ có nghĩa là phép chiếu lên đường $l_k$ trong không gian: một ánh xạ tương ứng với từng điểm mà đáy của đường vuông góc thả từ điểm này lên đường $l_k$.

Cơm. 2. Ánh xạ gán mỗi điểm trên một đường thẳng hình chiếu của nó lên một đường thẳng khác được viết dưới dạng hàm tuyến tính.

Cơm. 3. Điểm $X_1$, đối với $f(X_1) = X_1$, trên thực tế có thể dễ dàng tìm ra phương pháp xấp xỉ liên tiếp: bắt đầu từ một điểm tùy ý $X$, hạ đường vuông góc với các đường thẳng đã cho và tìm đường vuông góc liên tiếp sau mỗi “chu kỳ” của điểm $X' = f(X)$ $X'' = f(X')$, v.v. Không khó để chứng minh rằng các khoảng cách $|X - X_1|, |X' - X_1|, |X'' - X_1|$, … tạo thành một cấp số nhân giảm vô hạn với giá trị $|a| < 1$, do đó bằng cách lặp lại việc xây dựng nhiều lần, chúng ta có thể tìm thấy vị trí của điểm $X_1$ với bất kỳ độ chính xác nào. Một phương pháp tương tự rất hữu ích để tìm các phương trình lời giải có dạng $f(X) = X$; nó sẽ được áp dụng khi hàm $f$ giảm khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Trong trường hợp của chúng ta, khi $f$ là một hàm tuyến tính, có thể tìm thấy chính xác lời giải của phương trình $f(X) = X$ (hãy nghĩ về cách tìm điểm $X_1$ nếu biết $X, X'$ và $X''$).

28

Có một khả năng khái quát hóa khác:
cùng nhau nhìn vào các mặt phẳng thẳng. Có thể
chẳng hạn, hãy chứng minh thực tế sau: nếu dữ liệu $n$
các mặt phẳng trong không gian, trong đó
có ba đường cắt nhau tại một điểm
thì điều đó là có thể và theo cách duy nhất
chọn trên mỗi mặt phẳng này
điểm $X_k$ ($k=1, \dots, n$) sao cho
ndikulier, được khôi phục tại điểm $X_k$ để đồng-
mặt phẳng tương ứng đi qua
điểm $X_{k+1}$ (và $X_{n+1}=X_1$). Giờ thì đã rồi
$f=p_1 \cdot p_2 \dots p_n$ sẽ là ánh xạ tuyến tính
mặt phẳng với mặt phẳng và tọa độ sẽ được viết như sau: $f(x, y)=$ $(x', y')$, trong đó $x'=a_1x+b_1y+c_1$, $y'=a_2x+b_2y+c_2$.

Chứng minh rằng nếu hệ phương trình
$$\begin{cases} x=a_1x+b_1y+c_1, \\ y=a_2x+b_2y+c_2 \end{cases}$$
không có lời giải hoặc có nhiều hơn một
lời giải (điều này xảy ra nếu $(a_1-1)(b_2-1)−a_2b_1=0$), thì hệ thống $x=a_1x+b_1y$, $y=a_2x+b_2y$ có lời giải $(x_0, y_0)$, khác với $(0,0)$ và ánh xạ $f$ không thay đổi sự khác biệt
đứng giữa các điểm $(0,0)$ và $(x_0, y_0)$, điều này không thể xảy ra trong bài toán của chúng tôi.

Nanmore đầy đủ lời giải bài toán tại-
Slania F. Schmidel từ Moscow, Yu. Obolonkov từ Voronezh, M. Rozov từ Minsk.

M71

Một bảng hình chữ nhật gồm $m$ hàng và $n$ cột chứa đầy các số. Hãy sắp xếp lại các số ở mỗi dòng theo thứ tự tăng dần. Chứng minh rằng nếu sau đó bạn sắp xếp lại các số ở mỗi cột theo thứ tự tăng dần thì ở mỗi hàng chúng vẫn xuất hiện theo thứ tự tăng dần.

Hãy suy nghĩ về điều gì sẽ xảy ra nếu bạn hành động theo một thứ tự khác: trong bảng ban đầu, trước tiên hãy sắp xếp lại các số theo thứ tự tăng dần trong các cột, sau đó là trong các hàng: kết quả sẽ giống như bảng trong trường hợp đầu tiên hay một bảng khác?

Hãy xem xét một bảng trong đó các số trong mỗi hàng theo thứ tự tăng dần và chứng minh rằng nếu $l<r$ thì số lớn nhất trong cột thứ $r$ (chúng ta ký hiệu là $b$) không nhỏ hơn số lớn nhất trong cột thứ $l$ (chúng ta ký hiệu là $a$). Thật vậy, số tại giao điểm của đường có $a$ và cột $r$ không nhỏ hơn $a$ (vì các số trong đường thẳng theo thứ tự tăng dần).

Tương tự, người ta có thể chứng minh rằng số lớn thứ $k$ (tính từ số lớn nhất trong cột $r$-cột $(b_k)$) không nhỏ hơn số lớn nhất thứ $k$ trong cột $l$

29

Các bảng khác nhau được đọc. Để xác minh điều này, chỉ cần đưa ra một ví dụ là đủ (Hình 5).

Đã quyết định đúng bài toán P. Ayulov, A. Brevdo, L. Brauzinsky, G. Vysotskaya, S. Grigoryan, A. Gordenko, I. Jabbarov, A. Kleyin, A. Kmizhnerman, I. Kochubeevsky, G. Levin, M. Preezer, E. Skryt, A. Slinkin, A. Chernyak và những người khác. Ngoài lời giải, còn có nhiều cái khác gần gũi với chúng ta trong đó quá trình cảm ứng được thực hiện; Trong một số công trình, người ta đã chứng minh rằng có thể sắp xếp lại từng cột liên tiếp để các số luôn xuất hiện trong các hàng theo thứ tự tăng dần.

N. B. Vasiliev

M72

Giải phương trình
$$\sqrt[3]{1-x} + \sqrt[3]{1+x} = p,$$
(1)
trong đó $p$ là số thực tùy ý.

Nỗ lực ngây thơ lời giải: lập phương cả hai vế của phương trình
$$2 + 3\sqrt[3]{1-x^2}\left(\sqrt[3]{1-x} + \sqrt[3]{1+x}\right) = p^3$$
(2)
và thay thế ở đây đẳng thức ban đầu (1):
$$2 + 3p\sqrt[3]{1-x^2} = p^3.$$ (3)
Bây giờ thật dễ dàng tìm thấy $x$:
$$x = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{p^3 - 2}{3p}\right)^3}.$$ (4)
Chúng tôi đã được gửi nhiều lá thư trong đó đáp số này đã được nhận (theo cách này và cách khác). Cũng có khá nhiều chữ cái trong đó việc tìm thấy một tập hợp các giá trị $p$ mà công thức (4) có ý nghĩa là đúng:
$$p = -1, \quad 0 < p \leq 2.$$
Một số người thậm chí còn nhận thấy rằng nên loại bỏ giá trị $p = -1$ vì giá trị $x = 0$ được đưa ra bởi công thức $p$ là không phù hợp. Nhưng người ta chưa chứng minh được rằng với mọi $p$, $0 < p \leq 2$ thì giá trị $x$ cho bởi công thức (4) đều là nghiệm. (Thông thường, cách chứng minh như vậy chỉ là một phép thử, nhưng ở đây nó rất khó thực hiện.) Và điều này phải được chứng minh, vì không phải tất cả các phép biến đổi được thực hiện ở trên đều tương đương: phương trình (2) không tương đương với (3). Để thấy điều này, hãy thay thế $x = 0$, $p = -1$ trong (2) và (3). Bình đẳng (3) sẽ trở về chỗ cũ, nhưng (2) thì không. Vì vậy, những phát biểu trong các chữ cái cho rằng phép biến đổi này tương đương là không chính xác. (Thật vậy: hãy thử suy ra (2) từ (3). Bạn sẽ phải sử dụng đẳng thức (1), điều kiện bài toán, nhưng điều này không thể thực hiện được, vì đây chính xác là điều cần phải chứng minh.) Nếu đúng như vậy thì có thể xây dựng các nghiệm khác.

Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn các phép biến đổi mà chúng ta đã thực hiện đối với phương trình. Chúng ta hãy ký hiệu $\sqrt[3]{1-x} = u$ và $\sqrt[3]{1+x} = v$ cho ngắn gọn.

Từ phương trình.
$$u + v = p$$
chúng tôi đã chuyển sang phương trình
$$u^3 + v^3 + 3uv(u + v) = p^3$$
(2)
sử dụng một phép biến đổi tương đương (nâng đối tượng thành khối). Bước tiếp theo là thay thế $p$ cùng với $u + v$ và đi đến phương trình
$$u^3 + v^3 + 3uvp = p^3,$$
(3)
mà chúng tôi sẽ viết như thế này:
$$u^3 + v^3 - p^3 + 3uvp = 0,$$
$$(u + v)^3 - p^3 - 3uv(u + v - p) = 0.$$
Hãy áp dụng công thức tính hiệu của hai lập phương rồi đặt $(u + v - p)$ ra khỏi ngoặc:
$$(u + v - p)(u^2 + v^2 + p^2 + up + pv - uv) = 0.$$ (3’)
Vì vậy, chúng ta đã viết được phương trình (3) dưới dạng (3’), từ đó dễ dàng tìm ra lý do tại sao nó không tương đương với (2). Rõ ràng là vế trái của (3’) bằng 0 khi có ít nhất một dấu ngoặc đơn bằng 0:

1. $u + v - p = 0,$
2. $u^2 + v^2 + p^2 + up + pv - uv = 0.$

30

Sự bình đẳng đầu tiên là phương trình ban đầu của chúng tôi. Điều này có nghĩa là toàn bộ cấu trúc lời giải được kết nối với cấu trúc thứ hai và chúng ta cần tìm hiểu khi nào nó được thực thi. Nhân nó với 2, bạn có thể viết nó như thế này:

$$(u+p)^2+(v+p)^2+(u-v)^2=0.$$

Đẳng thức này chỉ đúng với $u=v=-p$.

Áp dụng vào phương trình của chúng ta:

$$\sqrt[3]{1-x}=\sqrt[3]{1+x}=-p.$$

Điều này có nghĩa là $x=0$ cho $p=-1$ là gốc duy nhất được xây dựng. Tất cả các nghiệm khác cho bởi công thức (4) của $0<p\leqslant2$ đều thỏa mãn phương trình (1).

Chúng ta hãy viết lại các đẳng thức mà chúng ta đã thiết lập thành công (đối với đối xứng, chúng ta thay thế $p$ bằng $-w$):

$$u^3+v^3+w^3-3uvw=(u+v+w)(u^2+v^2+w^2-uw-vw-uv),$$

$$2(u^2+v^2+w^2-uw-vw-uv)=$$

$$=(u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2.$$

Chúng thường hữu ích trong việc chứng minh các bất đẳng thức và trong các vấn đề khác.

M73

Trên một tờ vé số, bạn cần đánh dấu 8 ô trên 64. Xác suất mà sau khi rút thăm mà 8 ô trên 64 ô cũng được chọn (và chúng tôi coi tất cả các khả năng như vậy đều có xác suất như nhau), thì hóa ra chính xác là 4 ô được đoán? 5 ô?…tất cả 8 ô?

Như đã biết, 8 trong số 64 ô có thể được chọn theo $C_{64}^8=\frac{64!}{8!56!}$ cách ($n!$ là tích của tất cả các số nguyên từ 1 đến $n$) $^*$). Tất cả những phương pháp này đều đáng tin cậy như nhau. Do đó, xác suất để nhận được một cách cụ thể bất kỳ là $1/C_{64}^8$. Bây giờ chúng ta cần tính toán thời gian mà trường hợp đó hóa ra chính xác là $k$ ô ($0\leqslant k\leqslant8$). Số trường hợp như vậy bằng số cách

$^*$) Ví dụ, hãy xem bài viết của N. Ya. Vilenkin “Tổ hợp” trong «Kvant» Số 1, 1971.

Cơm. 6. Hồng cầu là người chiến thắng; 8 ô chúng tôi đã chọn được đánh dấu bằng dấu chéo. Trong hình này $k=2$, $8-k=6$.

các phương pháp trong đó $k$ ô được chọn từ 8 ô được đánh dấu và $8-k$ từ 56 ô không được đánh dấu. Do đó nó bằng $C_{8}^k\cdot C_{56}^{8-k}$. Để tìm thời gian mong muốn $f_k$ - xác suất đoán chính xác $k$ ô, bạn cần nhân xác suất của một phương pháp với số này. chúng tôi nhận được

$$f_k=\frac{C_{8}^k\cdot C_{56}^{8-k}}{C_{8}^4}.$$

Như vậy, xác suất đoán được 0,1, …, 8 ô tương ứng là các ô tương ứng.

$$f_0=\frac{C_{8}^0\cdot C_{56}^8}{C_{8}^4},$$

$$f_1=\frac{C_{8}^1\cdot C_{56}^7}{C_{8}^4}, \dots, f_8=\frac{C_{8}^8\cdot C_{56}^0}{C_{8}^4}.$$

Tổng của chín số này tất nhiên bằng một.

Chính thức là bài toán lời giải, nhưng từ quan điểm thực tế thì điều này vẫn chưa đúng. Tôi muốn tưởng tượng cơ hội đoán được một số ô cụ thể sẽ lớn đến mức nào nếu chúng ta mua và điền vào mười tờ vé số. Để làm điều này, bạn cần biểu diễn gần đúng những số này dưới dạng phân số thập phân. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng thước trượt; ví dụ, sử dụng trực tiếp công thức (1). Đây là những gì A. Zlomnik từ thành phố Zhukovsky đã làm. Chúng tôi sẽ mô tả một phương pháp khác, có vẻ như đối với chúng tôi, một phương pháp đơn giản hơn.

31

Cơm. 7. Các số $f_k$ được hiển thị ở đây – xác suất đoán $k$ ô ($k = 0, 1, 2, \dots, 8$). Tại $k \geq 4$ giá trị $f_k$ rất gần bằng 0.

Trước tiên, hãy tính tỷ lệ của số thứ $(k+1)$ của các số này với số thứ $k$:

$$\frac{f_{k+1}}{f_k} = \frac{C_8^{k+1} \cdot C_{56}^{8-k-1}}{C_{64}^8} : \frac{C_8^k \cdot C_{56}^{8-k}}{C_{64}^8} = \frac{(8-k)^2}{(k+1)(48+k+1)}$$

một phần,

$$\frac{f_1}{f_0} = \frac{64}{49} \approx 1.31; \quad \frac{f_2}{f_1} = \frac{49}{100};$$

$$\frac{f_3}{f_2} = \frac{12}{51} \approx 0.235; \quad \frac{f_4}{f_3} = \frac{25}{208} \approx 0.12;$$

$$\frac{f_5}{f_4} \approx 0.06; \dots$$

Bằng cách tính tỷ lệ $f_2, f_3, f_4$ đến $f_0$ với hai chữ số thập phân:

$$\frac{f_2}{f_0} = 0.64; \quad \frac{f_3}{f_0} \approx 0.15; \quad \frac{f_4}{f_0} = 0.02.$$

Rõ ràng là $f_5/f_0 < 0.02 \cdot 0.12$ và, đối với mức đã chọn, chính xác $f_5, f_6, f_7, f_8$ bằng 0. Chúng ta có thể lập một phương trình

$$f_0(1+1,31+0,64+0,15+0,02)=1,$$

từ đâu $f_0 \approx 0.32$. Hiện đang tìm kiếm $f_1, f_2, f_3, f_4$:

$$f_1 \approx f_0 \cdot 1.31 \approx 0.42; \quad f_2 \approx f_0 \cdot 0.64 \approx 0.20;$$

$$f_3 \approx f_2 \cdot 0.24 \approx 0.047; \quad f_4 \approx f_3 \cdot 0.12 \approx 0.0056.$$

Vì vậy, nếu bạn điền vào mười vé, thì những vé trung bình rất có thể sẽ là những vé đoán được 0, 1, 2 và có lẽ là 3 ô; Xác suất đoán được 4 ô trở lên là rất thấp. Bằng cách nhân $f_4$ với $\frac{f_5}{f_4} \approx 0.06$, v.v., có thể thu được giá trị gần đúng của $f_5, f_6, f_7, f_8$. Một phần, $f_8 \approx 2 \cdot 10^{-10}$. Điều này có nghĩa là để có cơ hội thực sự đoán được hết 8 ô, bạn cần phải điền vài chục tỷ vé.

Sử dụng phương pháp tính gần đúng mà chúng tôi đã áp dụng, có thể chỉ ra rằng nếu số ô $N$ trên tờ vé số lớn hơn nhiều so với số ô $m$ cần loại bỏ và $m$ đủ lớn thì xác suất đoán được $k$ ô của xấp xỉ là bằng

$$f_k = \frac{C_m^k C_{N-m}^m}{C_N^m} \approx \frac{\mu^k \cdot e^{-\mu}}{k!},$$

trong đó $\mu = \frac{m^2}{N-2m}$ và $e \approx 2.718\dots$ là một số không đổi ($\pi$), vì vậy chúng ta cần sử dụng thực tế là $1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\dots = e^x$ cho bất kỳ $x$ nào).

A. L. Toom

Trong số này, chúng tôi xuất bản lời giải bài toán F79—F82

F79

Mực nước vào thuyền trùng với mực nước trong hồ. Mực nước sẽ cao hơn ở đâu nếu bạn ném một khúc gỗ xuống thuyền?

Khi hạ khúc gỗ xuống thuyền, thuyền sẽ lao xuống hồ, bạn sẽ nhận thêm một lượng nước $\Delta V = \frac{m}{\rho}$ ($m$ là khối lượng khúc gỗ, $\rho$ là khối lượng riêng của nước). Mặt khác, vì khúc gỗ nổi trong nước nên mực nước trong thuyền sẽ thay đổi giống như nó sẽ thay đổi nếu nước có khối lượng bằng khối lượng khúc gỗ và thể tích bằng thể tích phần ngâm trong khúc gỗ, tức là $V = \frac{m}{\rho}$, được thêm vào thuyền. (Chúng ta có thể nhẩm lấy khúc gỗ ra và đổ đầy nước vào nước thu được, nhưng mực nước trong thuyền sẽ không thay đổi.) Cùng một lượng nước cũng chảy ra khỏi thuyền khi ném khúc gỗ vào đó. Vì vậy, mực nước trong thuyền sẽ bằng mực nước trong thuyền.