Kvant 1972, số 1 · Trang

KEANM
1
THÁNG GIÊNG
1972
Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kikoin,
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov.

Tuyển tập biên soạn:
L. A. Artsimovich, M. I. Bashmkov, V. G. Boltyansky, I. N. Bronshtein, N. B. Vasiliev, I. F. Ginzburg, V. G. Zubov, P. L. Kapitsa, V. A. Kirillin, V. A. Leshkovtsev (phó tổng biên tập), A. I. Markushevich, M. D. Millonshikov, N. A. Patrikeeva, N. Kh. Rozov, A. P. Savin, I. Sh. Slobodetsky, M. L. Smolyansky (phó tổng biên tập), Ya. A. Smorodinsky, V. A. Fabrikant.

Trên trang bìa tạp chí của chúng tôi có hình một nhân vật có đường viền đại diện cho một trong những đường cong tuyệt vời - cơ tim. Đọc thêm về cardiond ở trang 32.

2

S. G. Gindikin

Ở trường, trong các bài học hình học, bài toán được thảo luận về cách dựng các đa giác đều bằng la bàn và thước kẻ. Dễ dàng dựng được một tứ giác vuông đều. Khá dễ dàng để dựng một hình tam giác đều và một hình lục giác gần như đều đều (cạnh của nó bằng bán kính của hình tròn ngoại tiếp nó). Một điều phức tạp hơn là xây dựng một hình ngũ giác đều.

Sau khi học cách dựng các đa giác đã chỉ định, bạn có thể dễ dàng chuyển sang dựng các hình bát giác đều, 10 giác, 12 giác, 16 giác và 20 giác. Việc xây dựng một 15-giác thông thường có phần khó khăn hơn.

Tất cả những bài toán này đã có thể giải quyết các vấn đề ở Hy Lạp cổ đại. Tuy nhiên, bất chấp mọi nỗ lực thành công của các nhà hình học sáng tạo Hy Lạp, không ai trong số họ thành công trong việc xây dựng hình bảy cạnh đều hoặc hình ngũ giác đều; Không thể xây dựng một p-giác thông thường cho bất kỳ số nguyên tố p nào ngoài 3 và 5. Trong hai nghìn năm, không có gì có thể được thực hiện trong lời giải bài toán này. Năm 1796, Carl Friedrich Gauss (1777–1855) đã chứng minh khả năng dựng được một 17 giác đều bằng thước và la bàn.

Trong vài năm tiếp theo, Gauss đã giải quyết hoàn toàn bài toán xây dựng n-giác đều bằng la bàn và thước kẻ, đặc biệt, ông phát hiện ra rằng việc xây dựng như vậy là không thể với n = 7, 9, 11, 13.

Bài viết này nói về việc xây dựng một hình tam giác đều 17 cạnh. Khó khăn chính, sự mong đợi của người đọc, không liên quan đến việc anh ta sẽ cần một số thông tin mới (tất cả những thông tin đó không vượt quá phạm vi sách giáo khoa ở trường), mà liên quan đến việc cách xây dựng của Gaus sử dụng một số ý tưởng sâu sắc. Những độc giả chịu khó tìm hiểu chúng sẽ nhận được một trong những khám phá đáng kinh ngạc nhất trong lịch sử toán học.

2

Sự kiên trì mà Gauss đã đi theo con đường mà ông đã chọn, nghị lực tuổi trẻ đầy giông bão mà với nó, dù thế nào đi nữa, ông luôn vượt qua những chặng đường thăng hoa lớn nhất dẫn đến mục tiêu, tất cả những thử thách khó khăn này đã củng cố sức mạnh của ông và khiến ông có khả năng, sau khi đánh bại những trở ngại đã được người khác loại bỏ, để tiến về phía trước một cách không kiểm soát, vượt lên trên chúng. Ngoài lời ca ngợi sáng kiến ​​sáng tạo này, tôi phải thêm lời ca ngợi khác: ca ngợi tuổi trẻ. Tất cả những gì tôi muốn nói ở đây là sự phát triển của một thiên tài toán học cũng tuân theo những quy luật giống như sự phát triển của bất kỳ khả năng sáng tạo nào khác. Đối với một cá nhân có năng khiếu xuất chúng, những năm tháng của tuổi trẻ, thời kỳ mà quá trình trưởng thành về thể chất vừa hoàn thành, là thời kỳ của những khám phá vĩ đại, phong phú; Chính trong những năm này, hai người có năng khiếu xuất sắc đã tạo ra những giá trị mới chỉ thuộc về anh ấy, những giá trị mà sau này họ sẽ giới thiệu với thế giới.

F. Klein *)

Vào ngày 1 tháng 6 năm 1796, một ghi chú có nội dung sau xuất hiện trên tờ báo Jenen-ser Intellectenzbbatt.

Mọi nhà hình học mới làm quen đều biết rằng có thể sử dụng các công cụ hình học (nghĩa là bằng la bàn và thước kẻ) để xây dựng các đa giác đều khác nhau, cụ thể là hình tam giác, hình ngũ giác, hình thập giác và những hình thu được từ mỗi hình bằng cách nhân đôi số cạnh của nó liên tục. Điều này đã được biết đến từ thời Euclid, và kể từ đó có vẻ như niềm tin đã lan rộng rằng lĩnh vực hình học cơ bản không mở rộng thêm nữa: ít nhất tôi không biết có nỗ lực thành công nào để mở rộng nó theo hướng này hay không…

Hơn nữa, việc phát hiện ra rằng, ngoài những đa giác đều này, nhiều đa giác khác có thể được xây dựng về mặt hình học, chẳng hạn như đa giác mười bảy cạnh, có vẻ đáng được tôi quan tâm.

Tờ giấy được ký tên:
K. F. Gauss đến từ Braunschweig, sinh viên toán ở Göttingen.

Đây là báo cáo đầu tiên về khám phá của Gauss. Trước chi tiết

*) Felix Klein (1849-1925) là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất làm việc vào đầu thế kỷ 19 và 20. Nghiên cứu của riêng ông có liên quan chặt chẽ đến công trình của Gauss. F. Klein là một trong những chuyên gia vĩ đại nhất về di sản của Gauss; trong nhiều năm, ông giám sát việc xuất bản các tác phẩm sưu tầm của Gauss.

nói về nó, hãy làm mới trí nhớ của chúng ta về điều mà “mọi nhà hình học mới vào nghề đều biết”.

Về xây dựng bằng compa và thước kẻ

Một đoạn có độ dài đơn vị được giả định là đã cho. Sau đó, bằng cách sử dụng la bàn và thước kẻ, bạn có thể tạo các đoạn mới, độ dài của chúng được lấy từ độ dài của các đoạn hiện có bằng các phép toán sau: phép cộng (Hình 1a), phép trừ (Hình 1b), phép nhân (Hình 1b), phép chia (Hình 12) và căn bậc hai (Hình 1e).

Sau khi thực hiện các thao tác này một cách tuần tự, sử dụng la bàn và thước kẻ, bạn có thể xây dựng bất kỳ đoạn nào, độ dài của đoạn đó được biểu thị thông qua một số phép tính cộng, trừ, nhân, chia và căn bậc hai. Những con số như vậy được gọi là vô tỉ bậc hai. Có thể chứng minh rằng không thể dựng được các đoạn khác bằng compa và thước kẻ - nhưng đây là một chủ đề cần thảo luận đặc biệt.

Xây dựng n-giác thường xuyên

Bài toán xây dựng n-giác đều, dễ hiểu là

Cơm. 1. a) b) c) d) A]

4

Tương đương với bài toán về việc chia hình tròn bán kính 1 thành $n$ phần bằng nhau. Các dây cung của các cung mà vòng tròn được chia là các cạnh của một $n$-giác đều và độ dài của mỗi cung đó là $2\sin \frac{\pi}{n}$ (Hình 2).

Do đó, đối với những $n$ mà $\sin \frac{\pi}{n}$ là số vô tỷ bình phương, người ta có thể dựng các $n$-giác đều bằng hình tròn và thước. Ví dụ: điều kiện này được thỏa mãn bởi các giá trị $n=3, 4, 5, 6, 10$. Đối với $n=3, 4, 6$ điều này được nhiều người biết đến.

Hãy chứng minh rằng $\sin \frac{\pi}{10}$ là một số vô tỷ bình phương. Chúng ta hãy xem xét một tam giác đều $ABC$ (Hình 3), góc ở đỉnh bằng $\frac{\pi}{5}=36^\circ$, chiều dài $AB$ bằng 1; gọi $AD$ là phân giác của góc $A$. Sau đó $x=AC=AD=BD=2\sin \frac{\pi}{10}$.

Chúng tôi có:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}; \frac{x}{1-x}=\frac{1}{x}, x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$

Con số này là một số vô tỷ bình phương; do đó chúng ta có thể dựng cạnh của một hình thập giác đều.

Hơn nữa, từ khả năng chia một vòng tròn thành $p_1 p_2$ phần bằng nhau

Tất nhiên, nó có thể được chia thành $p_1$ phần bằng nhau (một phần có thể dựng được một hình ngũ giác đều). Tuyên bố ngược lại, nói chung, là sai. Hãy để chúng tôi chỉ ra hai trường hợp đặc biệt khi nó vẫn đúng.

1. Từ khả năng chia một vòng tròn thành $p$ phần bằng nhau, suy ra khả năng chia vòng tròn thành $2^k p$ phần bằng nhau cho bất kỳ $k$ nào.

2. Nếu chúng ta rút gọn một hình tròn thành $p_1$ các phần bằng nhau và $p_2$ các phần bằng nhau, trong đó $p_1$ và $p_2$ là các số nguyên tố cùng nhau (ví dụ: $p_1, p_2$ là các số nguyên tố riêng biệt), thì hình tròn có thể được chia thành $p_1 p_2$ các phần bằng nhau.

Một vài lời về số phức

Chúng ta cần biết rất ít về số phức: các phép tính trên chúng và diễn giải hình học; Ví dụ, tất cả những điều này đều có trong sách giáo khoa ở trường của Kochetkovs. Giả sử số phức $z=a+ib$ được liên kết với một điểm có tọa độ $(a, b)$ (Hình 4) và một vectơ có điểm cuối tại điểm này và điểm bắt đầu tại $(0, 0)$. Độ dài của vectơ $r=\sqrt{a^2+b^2}$ được gọi là mô đun của số đã cho. Số phức $z$ có thể viết dưới dạng lượng giác: $z=a+bi=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)$; góc $\varphi$ được gọi là đối số của số $z$.

6

phương trình: đầu tiên, phương trình (4) được giải, các nghiệm của chúng là tổng $\varepsilon_1 + \varepsilon_4$ và $\varepsilon_2 + \varepsilon_3$ của các nghiệm đối xứng (xem Hình 6!) của phương trình (3), và sau đó chính các nghiệm của phương trình (3) được tìm thấy từ phương trình (5).

Bằng cách này, Gauss đã xây dựng được một 17-giác đều đặn: ở đây cũng vậy, các nhóm nghiệm được phân biệt, tổng của chúng được tìm thấy một cách tuần tự từ các phương trình bậc hai. Nhưng làm thế nào để bạn tìm thấy những ban nhạc “tốt” này? Gauss có một cách tuyệt vời để trả lời câu hỏi này…

Xây dựng 17-giác đều đặn

Ngày 30 tháng 3 năm 1796 là ngày rửa tội sáng tạo đối với ông (Gauss)… Gauss đã tham gia một thời gian vào việc nhóm các nghiệm từ các đơn vị trên cơ sở lý thuyết của ông về nghiệm “nguyên thủy”. Và rồi một buổi sáng, khi chúng tôi thức dậy, anh ấy nhận ra rõ ràng và rõ ràng rằng việc xây dựng hình 17-agon tuân theo lý thuyết của anh ấy… Sự kiện này là một bước ngoặt trong cuộc đời Gauss. Ông quyết định lời giải không cống hiến hết mình cho ngữ văn mà chỉ dành riêng cho toán học.

F. Klein

Để khám phá những “sự đối xứng” ẩn giấu mà Gauss tìm thấy trong tập nghiệm lũy thừa bậc 17 của đơn vị và sử dụng immy để chia các nghiệm thành các nhóm cần thiết, chúng tôi giới thiệu một cách đánh số mới cho các nghiệm. Chúng tôi sẽ nâng 3 lên lũy thừa liên tiếp 0, 1, 2, … và mỗi lần lấy số dư chia cho 17. Chúng tôi sẽ giúp người đọc không phải thực hiện các phép tính này và trình bày kết quả cuối cùng trong bảng. Dòng đầu tiên chứa số mũ $k$ và bên dưới là số dư của phép chia $3^k$ cho 17.

Lưu ý rằng dòng dưới cùng chứa tất cả các số từ 1 đến 16; thì $3^{16}$ cho số dư 1 và sau đó số dư định kỳ được lặp lại (chứng minh đi!)

Mẫu mà Gauss chú ý là trường hợp đặc biệt của định lý sau: với mọi số nguyên tố $p$ có một số $l$, được gọi là căn nguyên thủy, sao cho trong số dư của phép chia $l^k$ cho $p$ đều tìm thấy các số 1, 2, …, $p-1$. Thực tế này lần đầu tiên được ghi nhận bởi Euler (1707-1783), nhưng chỉ Legendre (1752-1833) mới có thể chứng minh được điều đó; Gauss đã có được những bằng chứng khác, nhưng rất có thể vào năm 1796, ông vẫn chưa có định lý tổng quát, nhưng đã phát hiện ra một thực tế thực nghiệm đã cho bằng cách thực hiện các phép tính cho các số cụ thể. Đây là một tình huống rất quan trọng, nếu không tính đến yếu tố cơ bản thì khó có thể hiểu đúng bản chất những công trình đầu tiên của Gauss.

Chúng ta hãy gán gốc $\varepsilon_h$, $k=3^l$, một số mới, cụ thể là $l$, mà chúng ta

Bàn

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| 1 | 3 | 9 | 10 | 13 | 5 | 15 | 11 | 16 | 14 | 8 | 7 | 4 | 12 | 2 | 6 | 1 |

9

Phụ lục 1.

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh tính vô tỷ bình phương của căn bậc 17 của số 1. Lưu ý rằng $\varepsilon_k \varepsilon_l = \varepsilon_k + l$ (nếu $k + l \geq 17$ thì $k + l$ được thay thế bằng phần còn lại của phép chia cho 17), $\varepsilon_k = (\varepsilon_1)^k$. Hãy đánh số lại gốc của các đơn vị bằng bảng của chúng ta, cụ thể là chúng ta sẽ viết $\varepsilon_{[l]}$ cùng với $\varepsilon_k$ (xem công thức (1)), trong đó $l$ là số ở trên $k$ trong bảng. Hãy chia các nghiệm thành các nhóm, như trong Hình 8. Chúng ta sẽ tìm tổng các nghiệm có số nằm trong một hình chữ nhật (Hình 8), chuyển từ hình chữ nhật lớn sang hình chữ nhật nhỏ hơn. Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng

$$\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \ldots + \varepsilon_{16} = \varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_{15} = -1.$$

(Ví dụ, bạn có thể xác minh điều này bằng cách coi biểu thức này là tổng của một cấp số nhân.) Vì vậy, chúng ta đã tìm thấy tổng các nghiệm trong hình chữ nhật lớn nhất (Số 0).

Chúng ta hãy biểu thị bằng $\sigma_m, r$ tổng của $\varepsilon_k$ với những $k$ có ​​số dư $r$ khi chia cho $m$. Chúng ta hãy xem xét tổng các nghiệm tương ứng với hình chữ nhật tiếp theo (số 1).

chúng tôi nhận được

$$\sigma_{2,0} = \varepsilon_0 + \varepsilon_2 + \varepsilon_4 + \ldots + \varepsilon_{14},$$

$$\sigma_{2,1} = \varepsilon_1 + \varepsilon_3 + \varepsilon_5 + \ldots + \varepsilon_{15}.$$

Rõ ràng là vậy

$$\sigma_{2,0} + \sigma_{2,1} = \varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_{15} = -1.$$

Nó có thể được hiển thị rằng

$$\sigma_{2,0} \cdot \sigma_{2,1} = 4 (\varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_{15}) = -4^*.$$

Bây giờ, bằng cách sử dụng định lý Vieta, chúng ta có thể tạo một phương trình bậc hai có nghiệm là $\sigma_{2,0}, \sigma_{2,1}$:

$$x^2 + x - 4 = 0; \quad x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}.$$

Để phân biệt các nghiệm, hãy sử dụng Hình 7. Trong mỗi tổng, các nghiệm được bao gồm cùng với các liên hợp của chúng. Rõ ràng là $\sigma_{2,0} > \sigma_{2,1}$ (trong trường hợp đầu tiên, bạn cần cộng và nhân đôi phần thực của các nghiệm $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_4, \varepsilon_8$, trong trường hợp thứ hai - $\varepsilon_3, \varepsilon_5, \varepsilon_6, \varepsilon_7$). Vì thế,

$$\sigma_{2,0} = \frac{\sqrt{17} - 1}{2}, \quad \sigma_{2,1} = \frac{-\sqrt{17} - 1}{2}.$$

Chúng ta hãy xem xét tổng các nghiệm tương ứng với hình chữ nhật sau (số 2) trong Hình 8:

$$\sigma_{4,0} = \varepsilon_0 + \varepsilon_4 + \varepsilon_8 + \varepsilon_{12},$$

$$\sigma_{4,1} = \varepsilon_1 + \varepsilon_5 + \varepsilon_9 + \varepsilon_{13},$$

$$\sigma_{4,2} = \varepsilon_2 + \varepsilon_6 + \varepsilon_{10} + \varepsilon_{14},$$

$$\sigma_{4,3} = \varepsilon_3 + \varepsilon_7 + \varepsilon_{11} + \varepsilon_{15}.$$

*) Bạn có thể xác minh điều này, các dây là những thay đổi trực tiếp, có tính đến $\varepsilon_k \cdot \varepsilon_l = \varepsilon_k + l$, và thuận tiện khi sử dụng Hình 7. Tuy nhiên, Phụ lục 2 sẽ chỉ ra cách tránh những phép tính tẻ nhạt này.

Đối với tất cả các phép biến đổi $T_k$, chỉ có tập hợp tất cả các nghiệm $\{\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_{16}\}$ là bất biến.

Cái nhìn sâu sắc cơ bản là nhóm nghiệm càng “tốt” thì số lượng phép biến đổi khiến nhóm này bất biến càng lớn.

Hãy để chúng tôi giới thiệu một cách đánh số khác $T_{[l]}$ cho $T_k$, như đã được thực hiện cho $\varepsilon_k: T_{[l]} = T_k$, $k = 3^l$. Trong ký hiệu mới

$$T_{[k]}^{\varepsilon_l} = \varepsilon_{[k+l]}, \quad T_{[m]}(T_{[k]}^{\varepsilon_l}) = T_{[m+k]}^{\varepsilon_l}$$

(tổng trong ngoặc vuông phải theo modulo 16). Tất nhiên, người đọc sẽ khám phá ra sự tương tự với quá trình chuyển đổi sang logarit, điều này không có gì đáng ngạc nhiên, vì $\varepsilon_{[l]} = \varepsilon_{3l}$.

Bài toán 3. Chứng minh rằng nếu một tập nghiệm nào đó bất biến dưới một số $T_{[k]}$, trong đó $k$ là số lẻ, thì tập hợp này bất biến dưới mọi phép biến đổi $T_{[m]}$, nghĩa là nếu nó không trống thì nó sẽ trùng với tập hợp tất cả các nghiệm.

Gợi ý. Chứng minh rằng nếu $k$ là số lẻ thì tồn tại một $m$ sao cho $km$ khi chia cho 16 còn dư 1.

Mặt khác, có hai nhóm nghiệm bất biến dưới tất cả $T_{[k]}$ với bốn $k$: nghiệm $\varepsilon_l$ với bốn nghiệm $l$ và bốn nghiệm $l$. Chúng tôi biểu thị số tiền của họ bằng $\sigma_{2,0}, \sigma_{2,1}$.

Rõ ràng là $\sigma_{2,0} + \sigma_{2,1} = -1$. Hãy cùng khám phá $\sigma_{2,0} \cdot \sigma_{2,1}$. Tích này là tổng của các tích theo cặp $\varepsilon_{[k]}^{\varepsilon_l}$, trong đó $k$ là số chẵn, $l$ là số lẻ, mỗi số trong số đó là một số nghiệm $\varepsilon_m$ và có tổng cộng 64 số hạng. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng trong số đó, mỗi nghiệm $\varepsilon_{[0]}, \varepsilon_{[1]}, \dots, \varepsilon_{[15]}$ xuất hiện cùng số lần (bốn lần), dẫn đến $\sigma_{2,0} \cdot \sigma_{2,1} = -4$. Chúng ta hãy lợi dụng thực tế là các phép biến đổi $T_{[k]}$ bảo toàn các nhóm nghiệm khi $k$ chẵn và biến đổi chúng thành một nhóm khác khi $k$ lẻ. Mỗi số hạng trong $\sigma_{2,0} \cdot \sigma_{2,1}$ có thể biến đổi duy nhất thành dạng $\varepsilon_{[m]}^{\varepsilon_{[m+r]}}$, trong đó $0 \leq m \leq 15$, $r = 1, 3, 5, 7$ (chứng minh điều đó!). Hãy nhóm các số hạng có cùng $r$. Tổng phổ biến sẽ có dạng

$$\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_r} + \varepsilon_{[1]}^{\varepsilon_r} + \varepsilon_{[2]}^{\varepsilon_r} + \dots + \varepsilon_{[15]}^{\varepsilon_r} = T_{[0]}^{\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_r}} + T_{[1]}^{\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_r}} + \dots + T_{[15]}^{\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_r}} = \varepsilon_{[0]} + \dots + \varepsilon_{[15]} = -1,$$

ở đâu $\varepsilon_{[k]} = \varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{[r]}}$. Chúng ta sẽ sử dụng thực tế là $T_{[m]}^{\varepsilon_{[k]}} \cdot T_{[m]}^{\varepsilon_{[l]}} = T_{[m]}(\varepsilon_{[k]}^{\varepsilon_{[l]}})$ và thuộc tính đã được đề cập $T_{[m]}$.

Các giá trị của $\sigma_{2,0}, \sigma_{2,1}$ được tìm thấy trong Phụ lục 1.

Hãy chuyển sang bước tiếp theo. Chúng tôi muốn xem xét các nhóm nghiệm mới, nhỏ hơn, bất biến dưới một số $T_{[k]}$. Bằng cách tương tự với Bài toán 3, có thể chỉ ra rằng trong trường hợp này $k$ nhất thiết phải chia hết cho 4. Do đó, có bốn nhóm nghiệm bất biến đối với tất cả $T_{[4l]}$ và nhỏ hơn những nhóm đã xét; Hãy viết tổng các nghiệm trong mỗi nhóm: $\sigma_{4,0}, \sigma_{4,1}, \sigma_{4,2}, \sigma_{4,3}$. Chúng tôi đã lưu ý rằng

$$\sigma_{4,0} + \sigma_{4,2} = \sigma_{2,0}; \quad \sigma_{4,1} + \sigma_{4,3} = \sigma_{2,1}.$$

Hãy tính tích $\sigma_{4,0} \cdot \sigma_{4,2}$; nó được biểu diễn dưới dạng tổng của 16 số hạng có dạng $\varepsilon_{[4k]}^{\varepsilon_{[4l+2]}}$, số hạng đó được viết duy nhất dưới dạng $\varepsilon_{[2m]}^{\varepsilon_{[2m+2r]}}, r = 1, 3, m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Chúng ta hãy nhóm các thuật ngữ bằng một $r$ và thay thế $\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{[2]}} = \varepsilon_{1} \varepsilon_{9} = \varepsilon_{10} = \varepsilon_{3}, \varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{6}} = \varepsilon_{1} \varepsilon_{15} = \varepsilon_{16} = \varepsilon_{8}$ đó. Với $r = 1$ chúng ta nhận được tổng

$$T_{[0]}^{\varepsilon_{[3]}} + T_{[2]}^{\varepsilon_{[3]}} + \dots + T_{[14]}^{\varepsilon_{[3]}} = \sigma_{2,1};$$

tại $r = 3$ - tổng

$$\sum_{k} T_{[2k]}^{\varepsilon_{[8]}} = \sigma_{2,0},$$

nghĩa là, $\sigma_{4,0} \cdot \sigma_{4,2} = \sigma_{2,0} + \sigma_{2,1} = -1$. Giải phương trình bậc hai, ta tìm được $\sigma_{4,0}, \sigma_{4,2}$.

Ở bước cuối cùng, chúng ta sẽ xem xét các nhóm nghiệm bất biến dưới $T_{[8]}$; Hãy sử dụng chúng $\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{[r+1]}} + \varepsilon_{[1]}^{\varepsilon_{[r+1]}} + \varepsilon_{[2]}^{\varepsilon_{[r+1]}} + \dots + \varepsilon_{[15]}^{\varepsilon_{[r+1]}} = T_{[0]}^{\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{[r+1]}}} + T_{[1]}^{\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{[r+1]}}} + \dots + T_{[15]}^{\varepsilon_{[0]}^{\varepsilon_{[r+1]}}} = \varepsilon_{[0]} + \dots + \varepsilon_{[15]} = -1$. Điều này cho phép chúng ta tìm $\sigma_{8,0} = 2 \cos \frac{2\pi}{17}$ và do đó kết thúc bằng lời giải.

12

Không ai biết chính xác từ khi nào con người học cách tạo ra lửa và làm nóng cơ thể một cách nhân tạo đến nhiệt độ cao hơn môi trường xung quanh. Dù thế nào đi nữa, điều này đã xảy ra cách đây mười nghìn năm, trong thời đại được gọi là Thời kỳ đồ đá.

Nhưng dữ liệu về việc lấy lạnh nhân tạo được biết khá chính xác. Chúng ta hãy giả định một cách thông thường rằng nhiệt độ thấp là nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ xảy ra một cách tự nhiên khi thời tiết thay đổi. Faraday lần đầu tiên thu được nhiệt độ thấp như vậy (163°K, hay -110°C) vào năm 1840. Nhiệt độ này lạnh hơn nhiều so với cái lạnh buốt giá ở Nam Cực (nhiệt độ thấp nhất được ghi nhận ở Nam Cực là khoảng -90°C).

Tại sao con người đã có thể tạo ra nhiệt độ cao một cách nhân tạo từ thời xa xưa nhưng chỉ gần đây họ mới tạo ra được cái lạnh nhân tạo?

Một mặt, điều này là do con người cần nhiệt độ cao hơn nhiệt độ thấp.

Mặt khác, lý do có thể dẫn đến “độ trễ” trong công nghệ thu được nhiệt độ thấp là do quá cản trở nên nhiệt độ cao (không cần) không dễ đạt được hơn nhiệt độ thấp. Trên thực tế, chỉ cần quẹt diêm là đủ để nhiệt độ cao hơn nhiệt độ phòng. Và Faraday, để đạt được nhiệt độ chỉ bằng một nửa nhiệt độ phòng, đã phải tạo ra thứ gì đó không chỉ là một thiết bị.

Sự “bất bình đẳng” này của các phương pháp thu được nhiệt độ cao và thấp không phải là ngẫu nhiên. Nó phản ánh một trong những định luật cơ bản của tự nhiên, cái gọi là định luật thứ hai của nhiệt động lực học (hãy nhớ rằng định luật thứ nhất của nhiệt động lực học là định luật bảo toàn năng lượng).

Thoạt nhìn, có vẻ như việc làm mát cơ thể rất đơn giản: bạn cần đưa cơ thể này tiếp xúc với những vật thể khác có nhiệt độ thấp hơn. Khi đó cơ thể sẽ tự nhiên chuyển từ cơ thể được làm mát sang cơ thể lạnh, điều này sẽ dẫn đến việc làm mát cần thiết; Nếu có đá thì làm kem thật dễ dàng!

Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu cơ thể cần được làm mát đến nhiệt độ thấp đến mức không có cơ thể lạnh nào phù hợp khác mà cơ thể có thể chuyển sang một cách tự nhiên? Khi đó, rõ ràng là một vật thể lạnh như vậy, hay như người ta nói, cần phải tạo ra một chất làm lạnh, một chất làm lạnh được sản xuất cũng cần cung cấp sự truyền nhiệt từ nó sang một vật thể khác, nhưng không phải là vật thể lạnh hơn, bởi vì không có vật thể đó mà là vật thể ấm hơn, chẳng hạn như môi trường (không khí, nước, v.v.).

Trước hết chúng ta cùng tìm hiểu xem khó khăn trong việc này là gì nhé.

13

Trật tự và hỗn loạn trong vật chất

Chúng ta hãy nhớ rằng nhiệt độ của một vật thể được xác định bởi năng lượng của chuyển động nhiệt ngẫu nhiên của các nguyên tử và phân tử của nó. Giảm nhiệt độ có nghĩa là giảm bớt sự rối loạn đang ngự trị giữa các phân tử.

Rối loạn là gì? Nếu mọi vật dụng trong căn hộ của bạn luôn ở một nơi nhất định được chỉ định và luôn dễ dàng tìm thấy, thì bạn đã duy trì được trật tự trong căn hộ của mình. Nếu mọi thứ được phân loại ở bất cứ đâu, thì chúng không thể được tìm thấy. Căn hộ của bạn là một mớ hỗn độn.

Căn hộ của bạn có diện tích càng lớn thì bạn càng mất nhiều thời gian để tìm thấy thứ này hoặc thứ kia; nếu mọi thứ phân tán đều thì căn hộ của bạn càng lộn xộn hơn. Hãy tưởng tượng rằng mọi thứ trong phòng có thể tự di chuyển, thay đổi vị trí. Khi đó việc tìm thấy chúng sẽ càng khó khăn hơn, càng khó thì tốc độ di chuyển của chúng càng cao.

Ví dụ hàng ngày này giúp chúng ta hiểu cách xác định trật tự và sự hỗn loạn trong thế giới phân tử. Mức độ rối loạn được xác định bằng xác suất tìm thấy các phân tử (hoặc hạt khác) ở một trạng thái nhất định, chẳng hạn như tại một điểm nhất định trong không gian.

Nếu có một số hạt nhất định phân bố đều trong một thể tích nhất định thì xác suất phát hiện một hạt tại một điểm nhất định sẽ lớn hơn, các hạt chuyển động càng chậm thì chúng thay đổi vị trí trong một thể tích nhất định càng chậm. Nhưng tốc độ của các phân tử được xác định bởi nhiệt độ cơ thể. Do đó, nhiệt độ của vật thể càng cao thì mức độ rối loạn giữa các phân tử trong đó càng lớn. Điều trên cũng cho thấy rõ rằng khối lượng do các hạt cung cấp càng lớn thì mức độ rối loạn phân tử càng lớn.

Vì vậy, mức độ rối loạn phụ thuộc vào hai yếu tố - nhiệt độ của cơ thể và thể tích của nó. Sự tăng nhiệt độ ở một thể tích nhất định, giống như sự tăng thể tích ở một nhiệt độ không đổi, dẫn đến sự gia tăng mức độ rối loạn giữa các phân tử.

Hóa ra là tất cả các quá trình xảy ra trong tự nhiên, trong một hệ thống khép kín tự nó (nghĩa là trong một hệ thống bao gồm các hạt tương tác với nhau, nhưng không tương tác với các vật thể khác), diễn ra theo cách khiến mức độ rối loạn tăng lên. Và khi mức độ rối loạn này đạt đến giá trị cao nhất, mọi quá trình đều tự dừng lại. Một trạng thái xảy ra gọi là trạng thái cân bằng.

Hãy tưởng tượng những quả bóng có hai màu được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Phải mất khá nhiều trang để sắp xếp các quả bóng theo đúng trình tự. Nhưng chỉ cần một cú đẩy nhẹ cũng đủ để trật tự được tạo ra một cách tỉ mỉ bị phá vỡ và các quả bóng được trộn lẫn một cách ngẫu nhiên. Và không thể khôi phục lại trật tự ban đầu bằng mọi cách. Xác suất của một sự kiện như vậy không có ý nghĩa gì.

Đây là một ví dụ từ thế giới nguyên tử-phân tử. Bằng cách ném một miếng đường vào nước, chúng ta có thể dễ dàng thu được dung dịch trong đó các phân tử đường phân bố khắp toàn bộ thể tích của bình. Nhưng dù chúng ta có thèm muốn đến đâu thì dung môi cũng sẽ không tự tách thành nước và đường. Để thu được đường và nước riêng biệt, bạn cần tiêu tốn một ít năng lượng bằng cách đun nóng dung dịch và làm bay hơi nước.

Ý nghĩa vật lý của định luật thứ hai nhiệt động lực học nằm ở chỗ phát biểu rằng trật tự và sự mất trật tự trong tự nhiên là “không đồng đều”, rằng tất cả các quá trình tự tạo ra sự thiết lập trạng thái cân bằng đều đi kèm với sự gia tăng mất trật tự. Đây là lý do tại sao nó cao như vậy

14

nhiệt độ dễ đạt được hơn nhiệt độ thấp. Khi nhiệt độ cơ thể tăng lên (trong khi vẫn duy trì thể tích), tình trạng rối loạn sẽ tăng lên. Làm mát cơ thể có nghĩa là tăng cường trật tự, tức là hành động, có thể nói là “đi ngược lại tự nhiên”.

Tuy nhiên, hóa ra vẫn có thể làm mát cơ thể. Do đó, có thể làm cho cơ thể không chuyển động từ cơ thể ấm sang cơ thể lạnh, mà, ví dụ, từ cơ thể nguội sang cơ thể ấm hơn. Đây là cách chất làm lạnh được tạo ra.

Rối loạn là một đại lượng vật lý

Những từ “trật tự” và “rối loạn” mà chúng tôi sử dụng ở đây thoạt nhìn có vẻ xa lạ, được lấy từ cuộc sống hàng ngày. Trên thực tế, đằng sau những từ này là khái niệm vật lý về hiện tại, điều quan trọng là nó được thể hiện bằng một đại lượng đặc biệt. Đại lượng này biểu thị mức độ mất trật tự hoặc trật tự (trật tự đơn giản là sự vắng mặt của sự mất trật tự), được gọi là entropy. Nó được ký hiệu bằng chữ $S$ và được định nghĩa như sau: nếu một lượng cơ thể $\Delta Q$ nhất định được cung cấp hoặc lấy ra khỏi cơ thể và nhiệt độ tuyệt đối của cơ thể bằng $T$, thì sự thay đổi entropy $\Delta S$ được xác định bởi đẳng thức

$$\Delta S = \frac{\Delta Q}{T}.$$

Trong tất cả các quá trình xảy ra với vật thể, điều quan trọng không phải là entropy mà là sự thay đổi entropy. (Về mặt này, entropy tương tự như thế năng của một vật. Trong mọi bài toán, bản thân thế năng không phải là điều quan trọng mà là sự thay đổi của nó.)

Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến trường hợp quá trình xảy ra theo cách mà cơ thể không được cung cấp hoặc loại bỏ khỏi cơ thể: $\Delta Q = 0$. Những điều kiện như vậy có thể được đảm bảo bằng một cơ thể dẫn nhiệt tốt hoặc bằng cách thực hiện quá trình nhanh chóng khi cơ thể không có thời gian để di chuyển từ cơ thể này sang cơ thể khác. Những quá trình như vậy được gọi là adnabate. Từ biểu thức $\Delta S = \frac{\Delta Q}{T}$ suy ra rằng trong quá trình adnabate, entropy không thay đổi.

Adnabate thay đổi về khối lượng

Trong kỹ thuật tạo ra cái lạnh nhân tạo, chúng ta chủ yếu quan tâm đến các quá trình thay đổi thể tích của vật thể, quá trình giãn nở và lăn của chúng. Họ đóng một vai trò đặc biệt quan trọng ở đây.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có một vật thể mà chúng ta giãn nở hoặc nén adnabatally, nghĩa là không cung cấp hoặc rút vật thể ra. Chúng ta đã biết rằng việc tăng thể tích của một vật thể với một số lượng hạt nhất định sẽ dẫn đến sự gia tăng mức độ mất trật tự, nghĩa là làm tăng entropy. Nhưng quy trình của chúng tôi là quy trình adnabate, trong đó $\Delta Q = 0$ và entropy không thay đổi. Làm thế nào để đảm bảo tính không đổi của entropy, với điều kiện là nó trả về khối lượng tăng lên đáng kể? Nếu định luật thứ hai của nhiệt động lực học là đúng, thì điều này chỉ có thể xảy ra nếu, khi thể tích của một vật thay đổi, một quá trình khác xảy ra, do đó entropy giảm đúng một lượng khi nó tăng do thể tích tăng. Chúng ta biết rằng entropy thay đổi khi nhiệt độ cơ thể thay đổi. Do đó, chúng ta có thể mong đợi rằng khi thể tích của vật thể tăng lên, nhiệt độ của nó sẽ giảm. Đây là những gì thực sự xảy ra.

Như vậy, chúng ta đã có ngay cách đo nhiệt độ cơ thể. Cần phải mở rộng phần thân này một cách adnabatally, tức là tăng thể tích của nó. Sự giãn nở Adnabate chính xác là một trong những cách chính để thu được cảm lạnh.

Một loại giãn nở là sự bay hơi của chất lỏng. Ngay cả người Ai Cập cổ đại cũng đựng đồ uống trong các bình xốp. Các lỗ rỗng làm tăng bề mặt của chất lỏng bay hơi và do đó làm tăng

15

tốc độ bay hơi của nó. Sự bay hơi dẫn đến làm mát chất lỏng. Độ dẫn nhiệt kém của vật liệu và tốc độ bay hơi cao đảm bảo rằng quá trình bay hơi là adnabate.

Vì vậy, câu hỏi về các phương pháp làm mát nhân tạo phụ thuộc vào câu hỏi mở rộng cái gì và mở rộng như thế nào.

Mở rộng những gì?

Rõ ràng là chất rắn không thích hợp để giãn nở - chúng không thể thay đổi thể tích theo bất kỳ cách nào đáng chú ý. Vì những lý do tương tự, chất lỏng cũng không phù hợp. Mặc dù việc tăng thể tích chất lỏng trong quá trình bay hơi của chúng được sử dụng để làm mát chúng, nhưng không thể đạt được nhiệt độ đặc biệt thấp theo cách này, bởi vì khi nó nguội đi, chất lỏng cuối cùng sẽ đông đặc lại. Vì vậy, nhiệt độ thấp nhất có thể đạt được khi chất lỏng bay hơi là nhiệt độ mà nó đông đặc lại. Và đối với các chất ở dạng lỏng ở nhiệt độ phòng, nhiệt độ hóa rắn không quá thấp.

Tốt nhất là sử dụng khí. Chất khí có khả năng giãn nở không giới hạn, nếu trước đây chúng cũng ở áp suất cao thì khối lượng của chúng khá lớn và do đó nhiệt dung của loại khí này cũng khá lớn. Khí cũng được đặc trưng bởi sự rối loạn lớn nhất trong chuyển động của các hạt. Và vì bài toán của chúng ta là giảm bớt tình trạng hỗn loạn, nên rõ ràng rằng cách tốt nhất là bắt đầu với một chất trong đó mức độ rối loạn ở mức cao, để có thứ gì đó cần giảm bớt!

Vì vậy, chất phù hợp nhất cho bài toán của chúng ta là khí đốt. Mặt khác, sản phẩm cuối cùng, tức là chất làm lạnh thành phẩm, tốt nhất ở dạng chất lỏng: chất lỏng luôn tạo ra sự tiếp xúc nhiệt tốt với cơ thể ngâm trong đó. Do đó, phần kỹ thuật (nhưng không riêng) về đặc tính hóa lỏng của một loại khí cụ thể.

Như bạn đã biết, bất kỳ loại khí nào cũng có thể chuyển thành chất lỏng. Nhưng đối với mỗi loại khí có một nhiệt độ nhất định, được gọi là tiêu chí $T_h$, trên nhiệt độ đó nó không thể chuyển sang trạng thái lỏng. Để khí được hóa lỏng, nhiệt độ của nó phải dưới $T_h$. Sau đó để đốt nó bạn chỉ cần đá nó. Và nó ở mức độ nào phụ thuộc vào nhiệt độ của nó dưới $T_h$ bao nhiêu: càng thấp thì áp suất cần thiết cho quá trình đốt cháy càng ít. Bạn có thể làm lạnh một chất khí đến mức nó trở thành chất lỏng ở áp suất 1 atm.

Để thu được độ lạnh vừa phải, người ta sử dụng các loại khí có giá trị $T_h$ cao. Thường được sử dụng, ví dụ như amoniac, có $T_h = 132,4^\circ\text{C}$. Gần đây, mọi người đều sử dụng cái gọi là freon - loại khí thu được từ hydrocarbon bằng cách trộn hydro với flo, clo hoặc brom. Đặc biệt, trong tủ lạnh gia đình, freon-12 ($\text{CF}_2\text{Cl}_2$), có $T_h = 112,04^\circ\text{C}$, được sử dụng.

Nhiệt độ thấp nhất để sản xuất khí, nhiệt độ tới hạn thấp hơn nhiều so với nhiệt độ phòng. Chúng bao gồm: oxy, có $T_h = -118,4^\circ\text{C}$, nitơ có $T_h = -146,9^\circ\text{C}$, hydro có $T_h = -239,9^\circ\text{C}$, và cuối cùng là helium, có nhiệt độ tới hạn thấp nhất trong tự nhiên. Anh ấy có $T_h = -267,91^\circ\text{C}$.

Đốt cháy những khí này không dễ dàng như vậy. Để làm được điều này, họ cần phải rất ngầu.

Làm thế nào để mở rộng?

Gas có thể được mở rộng theo những cách khác nhau. Hai phương pháp bay hơi “phổ biến” hơn và được sử dụng nhiều nhất.

Với phương pháp đầu tiên. Mở rộng khí nén tốt nhất. Do đó, với bất kỳ phương pháp bay hơi nào, họ đều bắt đầu bằng việc đốt khí bằng một loại máy đặc biệt - máy nén - đến áp suất hàng chục, và đôi khi hàng trăm atm. Trong trường hợp này, khí nóng lên vì lý do tương tự

17

Điều tiết dẫn đến làm mát khí. Điều này được giải thích là do các phân tử khí tương tác với nhau. Khi, trong quá trình giãn nở của chất khí, các phân tử di chuyển ra xa nhau, tác dụng tùy ý chống lại các lực phân tử liên kết các phân tử và động năng của các phân tử, và do đó, nhiệt độ của chất khí, sẽ giảm. Chúng ta có thể nói rằng ở đây, công cũng được thực hiện, nhưng không chống lại các lực bên ngoài, như trong detand, mà chống lại các lực gắn kết bên trong giữa các phân tử.

Hiệu ứng làm mát của khí trong quá trình tiết lưu được gọi là hiệu ứng Joule-Thomson.

Đối với hiệu suất Joule-Thomson, điều quan trọng là chất khí không lý tưởng, tức là các phân tử của nó tương tác với nhau ở khoảng cách xa chứ không chỉ là va chạm trực tiếp “đối đầu”. Một loại khí lý tưởng sẽ không nguội khi tiết lưu. Nó có thể được làm mát, nhưng nó sử dụng chất khử.

Như đã chỉ ra, khả năng làm mát trong quá trình tiết lưu càng mạnh thì nhiệt độ càng thấp. Ở nhiệt độ phòng, nơi bạn bắt đầu, nó không tuyệt vời. Tuy nhiên, để đạt được khả năng làm mát đáng kể, hãy sử dụng kỹ thuật xây dựng, sự tồn tại của kỹ thuật này được thể hiện rõ trong Hình 2.

Đường ống dẫn khí tới van tiết lưu được đặt trong một đường ống khác rộng hơn. Khi khí nguội đi một chút sau khi tiết lưu, nó sẽ quay trở lại từ buồng làm lạnh đến máy nén thông qua một đường ống rộng, làm mát “trên đường đi” của khí đang tới. Vì vậy, phần ga tiếp theo sẽ phù hợp với ga lạnh hơn. Sau khi đi qua ga, khí sẽ nguội hơn nữa và khi quay trở lại qua ống ngoài, khí đang đi tới sẽ nguội hơn nữa. Sau một thời gian, khí sẽ đến gần van tiết lưu lạnh đến mức việc tiết lưu sẽ dẫn đến hóa lỏng và phần chất lỏng đầu tiên sẽ xuất hiện trong buồng X. Lúc này hơi lạnh của chất lỏng này sẽ thoát ra ngoài qua một đường ống rộng, tiếp tục làm mát khí đang tới.

Chất lỏng lạnh tích tụ trong buồng lạnh có thể được sử dụng ngay để làm mát các vật thể khác. Đôi khi vật thể “khác” này là dung dịch muối, sau đó đi đến các đường ống lắp đặt trong quầy hàng, dưới sân trượt băng nhân tạo, v.v. Nhưng bạn có thể làm khác: xả khí nén qua vòi B vào các bình đặc biệt được chuẩn bị để lưu trữ và vận chuyển chất lỏng lạnh (bình Dewar). Chất lỏng thu được có thể được sử dụng để làm mát các vật thể khác ở bất cứ đâu và bất cứ lúc nào. Các máy thông thường sử dụng khí hoặc chất lỏng làm mát làm chất làm lạnh trong buồng làm lạnh được gọi là tủ lạnh. Máy được thiết kế để phân phối sản phẩm dạng lỏng được gọi là máy làm mát.

Điều tiết là phương pháp làm mát được sử dụng phổ biến nhất. Đặc biệt, nó được sử dụng trong tủ lạnh gia đình.

Một bổ sung quan trọng cần được thực hiện ở đây. Thực tế là việc điều tiết có thể dẫn đến

18

không chỉ để làm mát mà còn để sưởi ấm khí. Và đối với mỗi loại khí có một nhiệt độ nhất định, cái gọi là nhiệt độ nghịch đảo Joule-Thomson hiệu dụng ($T_i$), trên đó xảy ra hiện tượng đốt nóng. Điều này có nghĩa là nếu muốn làm mát khí bằng cách giãn nở hơn nữa thì phải cẩn thận để đảm bảo rằng khí được làm lạnh trước dưới nhiệt độ nghịch đảo. Đối với hầu hết các loại khí, bao gồm nitơ và oxy, nhiệt độ nghịch đảo cao hơn nhiều so với nhiệt độ phòng nên không có khó khăn gì phát sinh. Nhưng đối với hydro và gel, nhiệt độ này thấp hơn đáng kể so với nhiệt độ bình thường: đối với hydro $T_i$ là 204°K, đối với gel là 40°K. Do đó, khi nén các khí này, chúng cần được làm mát trước khi quá trình lắng lại có thể bắt đầu. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng phương pháp detaner. Trong nhiều hệ thống lắp đặt để nén hydro và gel, cả hai phương pháp đều được sử dụng cùng một lúc: trong thiết bị khử, khí được làm mát dưới $T_i$; làm mát thêm, đến mức nén, đạt được bằng cách lắng thêm. Sự kết hợp của các phương pháp này được sử dụng để nén các loại khí khác.

Thậm chí gần hơn với độ không tuyệt đối

Các phương pháp làm mát được mô tả ở trên có thể chuyển đổi bất kỳ loại khí nào, kể cả gel, thành chất lỏng. Helicium sôi ở áp suất khí quyển ở nhiệt độ 4,2°K. Bằng cách bơm mạnh gel bay hơi bằng máy bơm, bạn có thể giảm áp suất hơi trên gel lỏng và do đó hạ nhiệt độ sôi xuống 0,7°K, và nếu bạn sử dụng đồng vị nhẹ hơn của gel, nhiệt độ của nó có thể tăng lên 0,3°K. Nhiệt độ thấp hơn không thể đạt được bằng cách này.

Làm thế nào để đạt được nhiệt độ một phần nghìn độ?

Hãy nhớ lại rằng hạ nhiệt độ có nghĩa là giảm bớt phần rối loạn phụ thuộc vào nhiệt độ. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng một loại khí có độ rối loạn cao. Nhưng ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, mức độ rối loạn đã nhỏ đến mức rất khó giảm bớt. Ở nhiệt độ như vậy, tất cả các chất (trừ gel) đều ở dạng rắn, do đó người ta không thể tin vào sự thay đổi thể tích của adabate. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm ra những chất mà ngay cả ở những nhiệt độ này vẫn tồn tại sự mất trật tự; nó không chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ và thể tích. Và các nhà vật lý cũng tìm thấy các chất. Đây là một số chất tham số phức tạp.

Chất thuận từ là chất chứa các hạt (nguyên tử, ion, phân tử) hoạt động giống như nam châm nhỏ. Do chuyển động nhiệt nên nam châm được định hướng một cách hoàn toàn ngẫu nhiên. Đúng vậy, ở nhiệt độ thấp, khi chuyển động nhiệt rất yếu, lực tương tác giữa các nam châm có thể buộc chúng tự định vị chính xác. Nhưng nếu các nam châm được đặt ở những khoảng cách đáng kể với nhau thì sẽ không có lực tương tác và sự rối loạn từ tính vẫn tồn tại ở nhiệt độ thấp nhất. Đó là trường hợp của các muối tham số có thành phần rất phức tạp, trong đó, ngoài các hạt từ tính, còn có nhiều hạt không từ tính khác, chẳng hạn như trong muối 2Ce ($NO_3$)₃·3Mg ($NO_3$)₂·24H₂O (xeri-nitrat từ tính). Trong chất này, chỉ có cerium Ce nonones mới có “từ tính”. Nhưng đối với mỗi cái không có thực thể thì có khoảng 60 nguyên tử không có từ tính khác. “Từ tính” bị “pha loãng” mạnh với các hạt không từ tính đến mức sự rối loạn định hướng Ce vẫn tồn tại ngay cả ở nhiệt độ dưới 1°K. Đây là chất mà chúng ta cần: sự hỗn loạn trong đó rất lớn và cao ở mức không tuyệt đối!

Sự rối loạn trong một chất tham số có thể thay đổi không chỉ khi nhiệt độ của nó thay đổi mà còn khi trạng thái từ tính của nó thay đổi. Và trạng thái từ tính của vật chất có thể được điều khiển giống hệt như

19

Cơm. 3.

và khối lượng của chất đó. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng từ trường. Nếu một tham số muối được đặt trong một từ trường không đổi thì tất cả các nam châm sẽ xếp thẳng hàng song song với đường hợp lưu của từ trường. Chúng tôi sẽ mang lại trật tự cho sự định hướng của các ion. Bằng cách loại bỏ trường này, chúng ta sẽ lại tạo ra sự hỗn loạn. Điều này hoàn toàn tương tự với sự lăn và giãn nở của chất khí.

Để đạt được nhiệt độ thấp hãy tiến hành theo cách sau. Một muối thuận từ trong một ống $A$ chứa đầy gel khí và được đặt trong một bình chứa gel lỏng, nhiệt độ của nó khoảng $1^\circ\text{K}$, được đặt trong một từ trường giữa các dải điện từ (Hình 3, $a$). Khí helium trong ống tạo ra sự tiếp xúc nhiệt với gel lỏng, do đó nhiệt độ của các ống từ hóa phù hợp với nhiệt độ của helium lỏng xung quanh. Khí helium sau đó được bơm ra khỏi ống, từ đó cung cấp muối dẫn nhiệt từ môi trường (Hình 3, $\delta$). Sau đó, từ trường bị tắt, nghĩa là xảy ra sự hình thành khí đoạn nhiệt (Hình 3, $\theta$). Trong trường hợp này, sự định hướng sai của nam châm xảy ra -

những đổi mới, điều này sẽ dẫn đến sự gia tăng entropy. Và vì quá trình khử từ là adnabate nên toàn bộ entropy không thể thay đổi và muối nguội đi.

Trong gần bốn mươi năm nay, phương pháp được mô tả đã được sử dụng để thu được cái gọi là nhiệt độ cực thấp, nghĩa là nhiệt độ dưới nhiệt độ có thể thu được chỉ bằng helium lỏng. Nhiệt độ thấp nhất thu được theo cách này là một phần nghìn độ.

Không chỉ nguyên tử mà lõi nguyên tử cũng có từ tính, mặc dù yếu hơn 1000 lần. Tuy nhiên, nếu bạn bắt đầu không phải từ $1^\circ\text{K}$ mà từ $0,01^\circ\text{K}$, bạn có thể, bằng cách khử đoạn nhiệt không phải nguyên tử mà là hạt nhân, thu được nhiệt độ khoảng một phần triệu độ. Nhưng đây là một chủ đề cho một bài viết riêng biệt.

Bài tập

1. Tại sao việc mở rộng một phần và trong quá trình có thể được coi là quá trình phụ trợ?
2. Có thể sử dụng chất sắt từ thay vì chất tham số trong phương pháp làm mát bằng từ tính không?
3. Entropy được đo bằng đơn vị nào? Đại lượng vật lý nào khác được đo bằng các đơn vị như vậy?

20

G. D. Balk, M. B. Balk

Cả sinh viên chuyên ngành toán học và cậu học sinh đều gặp phải những mệnh đề toán học mà cậu nghi ngờ về tính chân thực của chúng. Nếu không, bạn cần “chứng minh hoặc bác bỏ” bất kỳ nhận định nào hoặc chọn câu đúng duy nhất trong số các câu đáp số đến bài toán.

Nếu việc chứng minh một phát biểu gặp phải những phép tính rườm rà thì thường không hữu ích khi bắt đầu bằng những nỗ lực chứng minh mà nên lập một báo cáo riêng về việc liệu giả thuyết này có đúng hay không và liệu nó có dẫn đến những kết luận sai lầm hoặc không chính xác rõ ràng hay không.

Chúng ta hãy tìm hiểu một số lợi ích của loại “kiểm tra hoàn thiện pháp lý” này *).

Đây là những gì Bramagupta đã nói…

Tổng quát hóa công thức nổi tiếng của Heron cho các mặt phẳng của một tam giác, nhà toán học và thiên văn học người Ấn Độ Bramagupta (thế kỷ thứ 7 sau Công nguyên) đã đưa ra một tuyên bố có thể được phát biểu theo ký hiệu hiện tại như sau:

*) Bài viết dựa trên stepgram của lớp trong câu lạc bộ toán và cơ học lớp 9 trường số 7 ở Smolensk (17/01/1971).

Diện tích S của một tứ giác bất kỳ (Hình 1) được biểu thị qua các cạnh a, b, c, d theo công thức

$$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$

ở đây p, như thường lệ, là mét của tứ giác:

$$p = \frac{1}{2}(a+b+c+d).$$

Tuyên bố của Bramagupta có đúng không?

Trước khi họ vội vàng chứng minh nhận định này (nếu nó đúng thì việc chứng minh có thể sẽ rườm rà), việc sử dụng nó để bổ sung cho sự thật là điều hợp lý. Hãy sử dụng phương pháp đơn giản nhất: kiểm tra các trường hợp từng phần.

Xét trường hợp tứ giác đã cho là hình vuông; hình chữ nhật tùy ý; một hình thoi không phải là hình vuông.

Trong hai trường hợp đầu tiên, công thức (1) dẫn đến kết quả đúng, trong trường hợp thứ ba, nó dẫn đến sai số: theo công thức $S=a^2$, mặc dù rõ ràng là trong trường hợp này $S<a^2$.

Vì vậy, nhận định của Bramagupta là sai.

Nhân tiện chúng ta hãy lưu ý rằng thất bại này không buộc chúng ta phải từ bỏ

25

Điều thú vị là, vào năm 1967, nhà toán học người Mỹ M. Goldberg đã phát hiện ra rằng đường tròn Malfatti cho bất kỳ tam giác nào đều không cho lời giải “bản gốc bài toán Malfatti” (Bài toán II).

Được sử dụng để xem xét bài toán Malfatti sẽ chấp nhận “việc truy đòi trường hợp giới hạn” được sử dụng thường xuyên và thành công để kiểm tra các mệnh đề toán học về tính xác thực.

Có phải chỉ để xác minh? Có phải nó chỉ có trong toán học?

Trong khoảng sáu năm nay, có vẻ như việc “kiểm tra tính xác thực” chỉ có thể dẫn đến việc xác minh các giả thuyết đáng ngờ. Nhưng không thể đạt được kết quả của một đặc tính “tích cực” theo cách này sao? Liệu có thể đạt được một khám phá mới bằng những phương pháp này không? Còn các ngành khoa học khác: vật lý, hóa học, sinh học thì sao? Rốt cuộc, bất kỳ thí nghiệm nào, nói đúng ra, đều có thể bác bỏ một giả thuyết sai hoặc xác nhận tính xác thực của nó, nhưng không có cách nào chứng minh được điều đó! Chưa hết, chúng ta biết nhiều “định luật khoa học” thu được bằng thực nghiệm (như người ta nói “quy nạp”).

Tất nhiên, tất cả điều này đòi hỏi một cuộc thảo luận đặc biệt. Để cuộc trò chuyện như vậy không phụ thuộc vào phần tiếp theo của bài viết này, chúng tôi giới thiệu tới độc giả những cuốn sách xuất sắc của György Pólya:

1. Toán học và lý luận chân thực (IL, 1957);
2. Cách giải bài toán (Uchrediz, 1959);
3. Khám phá toán học (“Khoa học”, 1970).

Người đọc cũng có thể tìm thấy các ví dụ riêng lẻ liên quan đến chủ đề của bài viết này trong cuốn sách “Toán học sau các bài học” (“Khai sáng”, 1971) của chúng tôi.

Tam giác số

| | | | | | | 65 | 50 | 66 | 37 | 51 | 67 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | |

Ở đây bạn không nhìn thấy toàn bộ tam giác số mà chỉ nhìn thấy phần “bên trái” của nó. Quy luật định danh tam giác rất rõ ràng, và đi theo cách này để dẫn đến một đặc tính “tích cực”? Liệu có thể đạt được một khám phá mới bằng những phương pháp này không? Còn các ngành khoa học khác: vật lý, hóa học, sinh học thì sao? Rốt cuộc, bất kỳ thí nghiệm nào, nói đúng ra, đều có thể bác bỏ một giả thuyết sai hoặc xác nhận tính xác thực của nó, nhưng không có cách nào chứng minh được điều đó! Chưa hết, chúng ta biết nhiều “định luật khoa học” thu được bằng thực nghiệm (như người ta nói “quy nạp”).

Tất nhiên, tất cả điều này đòi hỏi một cuộc thảo luận đặc biệt. Để cuộc trò chuyện như vậy không phụ thuộc vào phần tiếp theo của bài viết này, chúng tôi giới thiệu tới độc giả những cuốn sách xuất sắc của György Pólya:

1. Toán học và lý luận chân thực (IL, 1957);
2. Cách giải bài toán (Uchrediz, 1959);
3. Khám phá toán học (“Khoa học”, 1970).

Người đọc cũng có thể tìm thấy các ví dụ riêng lẻ liên quan đến chủ đề của bài viết này trong cuốn sách “Toán học sau các bài học” (“Khai sáng”, 1971) của chúng tôi.

V. Berezin

26

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”
với KINH NGHIỆM
con lắc
G.L.Kotkin

Thật khó để tìm thấy các thiết bị vật lý có thiết kế đơn giản và sử dụng đáng tin cậy như matnikki. Trong khi đó, các thí nghiệm với chúng có thể dẫn đến những kết quả thú vị, cực kỳ quan trọng không chỉ trong cơ học mà còn trong kỹ thuật vô tuyến và kỹ thuật điện. Cố gắng tự mình thực hiện các thí nghiệm được gợi ý và giải thích những tác động mà bạn sẽ quan sát được. Mặc dù bản thân các thí nghiệm rất đơn giản, tuy nhiên, không dễ để hiểu đầy đủ sự gia tăng của matniki: để làm được điều này, bạn cần phải biết các định luật cơ bản của dao động điều hòa và có kinh nghiệm về các phép biến đổi lượng giác. Rõ ràng, chỉ học sinh lớp 10 mới có thể hiểu hết bài viết này, nhưng học sinh lớp 8-9 có thể thực hiện những thí nghiệm này và giải thích đầy đủ, ít nhất là về mặt định tính.

Matnik với bộ phận treo

Làm một tấm thảm có móc treo chia đôi như trong Hình 1. Chiều dài của tấm thảm $l$ phải dài hơn nhiều so với chiều dài của phần chia trên cùng của móc treo.

Đẩy tấm thảm nghiêng một góc so với mặt phẳng vẽ. Bạn sẽ thấy rằng lúc đầu, matnik sẽ chỉ có hướng về chất lượng, nhưng ngay sau đó chuyển động của nó sẽ chuyển thành chuyển động quay theo vòng tròn của trục thẳng đứng. Khi đó tấm thảm sẽ bắt đầu dao động trở lại trong mặt phẳng, nhưng không còn dao động trong mặt phẳng mà nó được đẩy. Sau đó, vòng quay sẽ bắt đầu lại nhưng theo hướng khác. Dần dần nó sẽ được thay thế bằng chuyển động theo hướng của cú sốc dao động đầu tiên. Sau đó mọi chuyện sẽ lặp lại từ đầu.

Lý do cho hành vi này của matnik là gì?

Matniki liên quan

a) Hai tấm thảm giống hệt nhau (ví dụ: đai ốc trên một sợi) sẽ được treo trên một sợi chỉ căng không chặt lắm $AB$ (Hình 2). Từ chối một trong những matniks và thả ra.

Cơm. 1. Hình 2.

27

Hãy thử thay đổi trọng lượng của các quả nặng, thay đổi độ dài của sợi chỉ của tấm thảm và độ căng của sợi chỉ trên.

6. Gắn hai ma trận vào khung cứng. Sau đó buộc các sợi của matnik bằng chỉ ở một độ cao nhất định (Hình 3). Loại bỏ một trong những tấm thảm và hạ nó xuống. Hãy xem matniki sẽ di chuyển như thế nào.

Thảm đôi

Cấu trúc của thảm đôi được thể hiện trong Hình 4. Trọng lượng phía trên nặng hơn nhiều so với phía dưới và các sợi dài giống nhau. Đẩy trọng lượng phía dưới và xem nó di chuyển.

Bây giờ chúng ta hãy hiểu hành vi của những con matniks này.

1. Hãy bắt đầu với một chiếc matnik có hệ thống treo không liên kết.

Hành vi khá phức tạp của matnik mà bạn quan sát có thể được giải thích bởi thực tế là chuyển động của nó bao gồm hai chuyển động dao động (Hình 5): song song với mặt phẳng $zy$ và vuông góc với nó. Các dao động này xảy ra độc lập với nhau (nếu độ lệch của tấm thảm so với phương thẳng đứng không quá lớn) và chu kỳ của các dao động tương ứng của chúng bằng nhau.

$$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \quad T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.$$

Trước hết, chúng ta hãy học cách mô tả chuyển động của vật nặng bằng tọa độ.

Để điểm $A$ di chuyển dọc theo đường tròn bán kính $a$ với vận tốc góc $\omega$ ngược chiều kim đồng hồ (Hình 6a) hoặc theo chiều kim đồng hồ (Hình 66). Sau đó, hình chiếu $B$ của điểm $A$ lên trục $x$ thực hiện một dao động điều hòa*) với tần số góc $\omega$ bằng $\frac{2\pi}{T}$ và biên độ $a$.

Hình chiếu $C$ của cùng một điểm $A$ lên trục $y$ thực hiện các dao động tương tự, nhưng đạt độ lệch cực đại so với điểm $O$ một phần tư chu kỳ sau - sau thời gian mà bán kính $OA$ quay $\frac{1}{4}$ quanh điểm $O$. Có thể dễ dàng xác minh điều này bằng cách theo dõi chuyển động của các điểm $C$ và $B$ khi quay bán kính $OA$. Tại thời điểm hình chiếu của điểm $A$ lên trục $x$ lệch tối đa so với điểm $O$ thì hình chiếu của nó lên trục $y$ chỉ là

*) Ví dụ, xem bài viết của Ya. A. Smorodinsky “Những chuyển động tương tự”, «Kvant» Số 9, 1971.

29

hướng $OD$ (Hình 7) đến một khoảng $a$ rồi thả ra thì tọa độ của vật nặng sẽ thay đổi theo các công thức:

$$\begin{cases} x = a \cos \omega_1 t, \\ y = a \cos \omega_2 t, \end{cases}$$

Ở đâu

$$\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \sqrt{\frac{g}{l}},$$

$$\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \sqrt{\frac{g}{L}},$$

$$a = \frac{b}{\sqrt{2}}.$$

Hãy nhớ rằng $l$ và $L$ có rất ít sự khác biệt với nhau, tức là tần số của $\omega_1$ và $\omega_2$ gần như giống nhau. Do đó, lúc đầu, các dao động dọc theo trục $x$ và $y$ sẽ xảy ra gần như cùng pha.

Vì $\omega_1 > \omega_2$, theo thời gian, dao động dọc theo trục $y$ ngày càng trễ hơn dao động dọc theo trục $x$. Tuy nhiên, như chúng ta đã thấy, khi một điểm di chuyển ngược chiều kim đồng hồ quanh một vòng tròn, dao động của các hình chiếu của nó trên trục $x$ và $y$ sẽ trễ nhau ở chu kỳ thứ tư. Theo đó, khi độ trễ dao động của vật nặng dọc theo trục $x$ và $y$ đạt đến chu kỳ thứ tư, nó sẽ chuyển động dọc theo vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ. Khi dao động của vật nặng trễ dọc theo trục $x$ và $y$ trên trường chuyển động thì vật sẽ chuyển động dọc theo đường thẳng $E'D'$. Khi đó độ trễ của dao động dọc theo trục $y$ sẽ đạt đến chu kỳ $\frac{3}{4}$ - trọng lượng di chuyển quanh vòng tròn theo chiều kim đồng hồ. Cuối cùng, khi có độ trễ trong toàn bộ chu kỳ, trọng lượng lại dao động dọc theo đường thẳng $ED$. Đây là những gì bạn quan sát được.

Thật thuận tiện khi “kể lại” những điều kỳ diệu này bằng cách sử dụng các công thức. Hệ thống (5) có thể được biểu diễn dưới dạng

$$\begin{cases} x = a \cos \omega_1 t, \\ y = a \cos (\omega_1 t - \phi), \end{cases}$$

ở đâu $\phi = (\omega_1 - \omega_2) t$. Trong hai hoặc ba thời kỳ, $\phi$ hầu như không thay đổi, nhưng qua nhiều thời kỳ nó tăng đều đặn. Đối với $\phi = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$, công thức (6) trùng theo thứ tự với công thức (3), (1), (4), (2).

Cơm. 9.

Tại $\phi = 2\pi$ vật nặng trở lại chuyển động theo đường thẳng $ED$.

Lý thuyết đã nêu có thể được kiểm tra bằng thực nghiệm. Rốt cuộc, chúng ta có thể tính toán xem trọng lượng sẽ mất bao lâu để di chuyển trong toàn bộ chu kỳ thay đổi. Nếu đến lúc $T_0$, thì $\phi_0 = (\omega_1 - \omega_2) T_0 = 2\pi$, mở $\frac{2\pi}{T_0} = \omega_1 - \omega_2$, hoặc

$$\frac{1}{T_0} = \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}.$$

Bây giờ bạn cần đo chu kỳ dao động $T_1$ và $T_2$ của con lắc, sau đó trong mặt phẳng $yz$, một thời điểm khác trong mặt phẳng $xz$. Thời gian $T_0$ được đo độc lập. Sau khi đo $T_1$, $T_2$ và $T_0$, hãy kiểm tra tính đúng đắn của công thức (7). Để đo $T_1$ và $T_2$, tốt hơn là xác định thời gian, chẳng hạn như trong 10-15 lần rung. Nó ngay lập tức tiết lộ những lý do dẫn đến sai lệch so với tính toán. Rõ ràng, sự giảm chấn của dao động do lực cản không khí bị ảnh hưởng chủ yếu. Vâng, trọng lượng không nên quá nhẹ.

Trong thực tế, các chuyển động sẽ không diễn ra theo đường thẳng hay đường tròn mà theo một quỹ đạo phức tạp. Quỹ đạo này (Hình 9) ít nhiều đều “lấp đầy” toàn bộ hình vuông.

Nếu góc ban đầu với mặt phẳng đối xứng khác $\frac{\pi}{4}$, thì quỹ đạo “tức thời” đặc trưng của trọng lượng là các đường chéo của góc vuông và các hình elip nội tiếp trong đó.

Việc chuyển động của con lắc bao gồm các dao động độc lập được thể hiện bằng cách nói rằng nguyên lý chồng chất có giá trị đối với các dao động của nó *).

2. Hãy chuyển sang phần giải thích về chuyển động của các con lắc được kết nối (Hình 2 và 3). Nếu chúng ta làm chệch hướng và sau đó thả một trong số chúng ra, chúng ta sẽ thấy rằng cái kia sẽ dần dần bắt đầu chuyển động.

*) Bạn đọc «Kvant» đã gặp phải nguyên lý chồng chất khi giải thích loại sóng trên mặt nước («Kvant» Số 1, 1971, trang 32).

30

Điều này được giải thích là do khi ma trận thứ nhất bị liên kết làm lệch hướng, sợi của chúng bị biến dạng và lực đàn hồi tác dụng lên ma trận kia, truyền gia tốc cho nó. Ma trận đầu tiên sẽ dao động với biên độ ngày càng nhỏ và cuối cùng dừng lại. Lúc này biên độ dao động của ma trận thứ hai sẽ là lớn nhất. Sau đó, ma trận đầu tiên sẽ xuất hiện và ma trận thứ hai sẽ dừng lại, v.v.

Chuyển động dao động phức tạp của một hệ gồm hai ma trận có thể được biểu diễn dưới dạng kết quả của phép cộng (chồng chất) của hai dao động có tần số $\omega_1$ và $\omega_2$. Một trong các tần số bằng tần số mà cả hai ma trận sẽ dao động nếu chúng bị lệch đồng thời theo một hướng rồi thả ra (Hình 10). Hãy biểu thị tần số này bằng $\omega_1$. Một tần số khác là $\omega_2$. Đây là tần số mà cả hai ma trận sẽ dao động nếu lần đầu tiên chúng bị lệch đồng thời theo các hướng ngược nhau rồi được thả ra (Hình 11).

Lưu ý rằng tần số góc $\omega_2$ lớn hơn tần số góc $\omega_1$. Hai dao động này gọi là dao động pháp tuyến của hai ma trận ghép.

Hãy viết phương trình dao động bình thường. Đầu tiên

$$\begin{cases} x_1' = a \cos \omega_1 t, \\ x_2' = -a \cos \omega_1 t, \end{cases}$$

thứ hai

$$\begin{cases} x_1'' = a \cos \omega_2 t, \\ x_2'' = a \cos \omega_2 t. \end{cases}$$

Hãy thêm hỗn hợp $x_1'$ với $x_1''$ và $x_2'$ với $x_2''$. Chúng tôi nhận được:

$$\begin{cases} x_1 = x_1' + x_1'' = a \cos \omega_1 t + a \cos \omega_2 t, \\ x_2 = x_2' + x_2'' = -a \cos \omega_1 t + a \cos \omega_2 t. \end{cases}$$

Áp dụng công thức cộng cosin, ta có:

$$\begin{cases} x_1 = A \cos \Omega t, \quad \Omega = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}, \\ A = 2a \cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right). \end{cases}$$

Do $\omega_1$ khác một chút so với $\omega_2$ nên biểu thức $\cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right)$ gần bằng 1 (nếu $\omega_1$ bằng $\omega_2$ thì biểu thức này bằng 1). Do đó, nó ít ảnh hưởng đến giá trị của $x_1$. Do đó, hệ số $2a \cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right)$ trong biểu thức của $x_1$ có thể coi là biên độ thay đổi chậm (điểm đỏ trong Hình 12, a). Tình hình cũng tương tự

31

Xử lý $x_2$. Sự dao động của các trọng số tương ứng với các công thức này được thể hiện bằng đồ họa trên Hình 12, $a$, $b$. Những chuyển động thuộc loại này được gọi là nhịp đập (hoặc dao động biến đổi). Thật dễ dàng để tìm thấy khoảng thời gian của nhịp đập. Nó bằng nửa chu kỳ của sin (đường cong chấm) và được xác định theo công thức

$$\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} T_0 = \pi$$ hoặc $$\frac{1}{T_0} = \frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1},$$

trong đó $T_1$ và $T_2$ là các chu kỳ dao động bình thường. Tần số của nhịp bằng tần số dao động bình thường. Chu kỳ nhịp càng lớn thì $T_1$ và $T_2$ càng gần nhau.

Tất nhiên, với chu kỳ nhịp rất lớn, hình ảnh chuyển động sẽ bị xáo trộn do sự tắt dần của dao động.

3. Khi ma trận kép di chuyển, nhịp đập sẽ được quan sát. Matnik nhẹ dao động với cường độ lớn, sau đó gần như dừng lại. Chuyển động của một ma trận nặng gần như không thể nhận thấy được. Những nhịp như vậy được giải thích bằng cách cộng hai dao động bình thường như trong Hình 13. Hãy tự giải thích.

Bài tập

1. Viết công thức tính chu kỳ dao động của một ma trận toán học, coi chuyển động của nó là chuyển động quay quanh mỗi trục.
2. Chọn chiều dài của hệ thống treo mở rộng của ma trận sao cho có thể mô tả trọng lượng bằng tám tay.
3. Chọn độ dài của hai ma trận độc lập để với sự trợ giúp của chúng, bạn có thể xác định các khoảng thời gian 10 giây, 20 giây, không tính dao động “từng mảnh”. Những ma trận như vậy có thể được sử dụng để đo nhịp tim sau khi sạc. (Galileo đo ngẫu nhiên chu kỳ rung của đèn trong nhà thờ, sử dụng nhịp đập của đồng hồ).

ô chữ MIPT

Truyện dân gian của học sinh có nhiều thể loại: bài hát, truyện cười, truyện cổ tích. Sinh viên Viện Vật lý Mátxcơva, ngoài những người được liệt kê, còn có một thứ nữa - trò chơi ô chữ.

Để giải được trò chơi ô chữ như vậy, trước hết bạn phải có cảm giác về các con số và trí tưởng tượng. Bách khoa toàn thư và sách tham khảo sẽ không giúp ích gì ở đây. Trong số các giáo viên MIPT, từng nửa từ ô chữ được coi là khả năng tiếp cận tuyệt vời; ở sinh viên, con số này cao hơn một chút. Nếu trò chơi ô chữ bên dưới không phù hợp với bạn, hãy xem trang 38, nơi nó sắp xếp các từ theo chiều ngang và viết chúng ra, sau đó cố gắng tự mình gỡ lỗi các từ theo chiều dọc. Đáp số được đưa ra ở trang 65.

Theo chiều ngang: 1. Trung tâm máy tính của viện nghiên cứu về tổ chức cá nhân công nhân của nhà máy sản xuất và đào tạo. 6. Ma quỷ ở trong mũi. 7. Xa rồi. 8. Hợp chất tự nhiên. 11. Một nhân vật trong truyện dân gian Nga xuất hiện chủ yếu từ phía sau những ngọn núi. 13. Nhạc cụ không có âm thanh. 14. Catist Srednezamatsky, triết gia, nhà soạn nhạc và do đó là ca sĩ. 17. Bệnh nhân Cossack. 20. Con trai của phương Đông. 21. Thiết bị dừng tàu bằng cách nhấn nút. 22. Thủ thuật với ánh sáng.

Theo chiều dọc: 1. Là người xấu và cũng là người nghiện rượu. 2. Sự tinh tế. 3. Tác phẩm của P. I. Tchaikovsky. 4. Loại than. 5. Diều đeo kính. 9. Cư dân cô đơn của thế giới hoang dã. 10. Lực hấp dẫn của Trái Đất. 12. Tủ quần áo rất lớn. 15. Người đàn ông cầm xẻng. 16. Thu nhỏ huyền thoại. 18. Không có bàn thắng. 19. Một số chữ cái giống hệt nhau.

32

CARDIOID

Hình được mô tả trên trang đầu tiên của trang bìa tượng trưng cho một trong những đường cong thay thế - đường cardioid. Từ “cardioid” có nghĩa là “hình trái tim” trong tiếng Hy Lạp.

Các tính chất của đường cong này được nghiên cứu lần đầu tiên vào năm 1674 bởi học giả người Pháp Ole Roemer.

Cardionda có rất nhiều “họ hàng”. Trước hết, đây là các loại lốc xoáy, epicyclones và hypocyclond.

Nếu một đường tròn lăn theo một đường thẳng thì một điểm cố định trên đường tròn này sẽ để lại một vết trên mặt phẳng - một đường cong gọi là xoáy thuận (Hình 1).

Nếu một vòng tròn di động lăn dọc theo phần bên trong của một vòng tròn cố định, thì điểm cố định trên điểm đầu tiên trong số chúng sẽ mô tả một đường cong trên mặt phẳng, được gọi là epicyclonde (Hình 2).

Nếu một vòng tròn di động lăn bên ngoài một vòng tròn cố định thì đường cong được mô tả bởi một điểm nằm trên vòng tròn di động được gọi là epicyclonde (Hình 3).

Cardoid là một epicyclone có các vòng tròn chuyển động và đứng yên có cùng bán kính (xem Hình 4).

Bạn có thể đọc về đặc điểm của tất cả các cơn bão này, bao gồm cả cơn lốc xoáy, trong cuốn sách “Cycloid” của G. N. Berman (Gostekhidat, 1954).

Hình 5 cho thấy một trong những cấu trúc có thể có của cardiond. Vòng tròn cố định được chia thành các phần theo điểm. Từ mỗi điểm như vậy, cũng như từ tâm, vẽ các đường tròn cũng đi qua một điểm cố định trên cùng một đường tròn. Hãy thử chứng minh rằng với cách xây dựng này bạn thực sự có được một hình tim (được bao quanh tất cả các vòng tròn này).

Tóm lại, một cách giải thích thú vị về cardionda. Hãy xem xét một vòng eo không trơn trượt, đứng yên, có tiết diện tròn. Một chiếc vòng hula có bán kính gấp đôi được đặt bên cạnh nó. Sau đó, mỗi điểm của vòng được mô tả gần thắt lưng của tim.

M. L. Smolyansky

33

Đối với lời giải nhiều bài toán toán học, cái gọi là bất đẳng thức Bunyakovsky-Cauchy được áp dụng

$$\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2} \quad (a_i > 0, b_i > 0).$$

Đầu tiên chúng ta hãy đưa ra một chứng minh nhỏ nhưng rất đơn giản về bất đẳng thức này. Giả sử $$\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} = A, \quad \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2} = B.$$ Khi đó ta cần chứng minh rằng

$$\frac{\sum_{i=1}^{n} a_i b_i}{AB} \leq 1.$$

Sử dụng bất đẳng thức $xy \leq \frac{1}{2}(x^2+y^2)$, chúng ta viết số nguyên sau:

$$\frac{\sum_{i=1}^{n} a_i b_i}{AB} = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{a_i}{A} \cdot \frac{b_i}{B}\right) \leq$$

$$\leq \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{a_i}{A}\right)^2 + \left(\frac{b_i}{B}\right)^2 \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{A^2} \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \frac{1}{B^2} \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) = 1.$$

Điều này hàm ý sự bất bình đẳng (*). Như đã biết, sự bình đẳng đạt được khi

$$\frac{a_1}{A} = \frac{b_1}{B}, \quad \frac{a_2}{A} = \frac{b_2}{B}, \dots, \quad \frac{a_n}{A} = \frac{b_n}{B},$$

tức là khi

$$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}.$$

Bây giờ chúng ta hãy chỉ ra cách áp dụng bất đẳng thức (*).

34

1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
   $$y = a \sin x + b \cos x$$
   $$\left(a > 0, b > 0, 0 < x < \frac{\pi}{2}\right).$$

Lời giải. Do bất đẳng thức (*) ta có
$$y = a \sin x + b \cos x \leqslant \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x} = \sqrt{a^2 + b^2}.$$
Đạt được giá trị lớn nhất trong điều kiện
$$\frac{a}{b} = \frac{\sin x}{\cos x},$$ tức là khi
$$tg x = \frac{a}{b}.$$

2. Máy biến áp loại biến đổi phải được thiết kế sao cho lõi sắt hình chữ thập của nó lấp đầy càng nhiều khoang bên trong của cuộn dây càng tốt. Kích thước mặt cắt ngang của lõi như trong hình sẽ là bao nhiêu nếu bán kính của cuộn dây là $R$?
   Lời giải. Đặt $\Rightarrow AOB = \alpha$, sau đó
   $$\frac{1}{4} S = y^2 - (y - x)^2 = 2xy - x^2 = R^2 \left(2 \sin \alpha \cos \alpha - \sin^2 \alpha\right).$$
   Do đó $S = 2R^2 \left(2 \sin 2\alpha + \cos 2\alpha - 1\right)$. Hãy sử dụng bất đẳng thức (*):
   $$S \leqslant 2R^2 \left(\sqrt{2^2 + 1^2} \cdot \sqrt{\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha} - 1\right) = 2R^2 \left(\sqrt{5} - 1\right).$$
   Do đó, $S_{\max} = 2R^2 \left(\sqrt{5} - 1\right)$ đạt được tại
   $$\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{2}{1},$$ từ đâu $\alpha = \frac{1}{2}$ arctg 2.

3. Xét ba cặp số thực $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3)$. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có cạnh $a = \sqrt{(a_2 - a_3)^2 + (b_2 - b_3)^2}, \quad b = \sqrt{(a_3 - a_1)^2 + (b_3 - b_1)^2}, \quad c = \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2}$.
   Lời giải. Để $a, b$ và $c$ là các cạnh của một tam giác, cần phải thỏa mãn các bất đẳng thức $a + b > c, b + c > a, a + c > b$, mỗi bất đẳng thức đều tương đương với bất đẳng thức Bunyakovsky-Cauchy. Thật vậy, sự tương ứng $a + b \geqslant c$ tương đương với bất đẳng thức $2ab \geqslant c^2 - a^2 - b^2$ hoặc $2 \sqrt{(a_2 - a_3)^2 + (b_2 - b_3)^2} \cdot \sqrt{(a_3 - a_1)^2 + (b_3 - b_1)^2} \geqslant (a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2 - (a_2 - a_3)^2 - (b_2 - b_3)^2 - (a_3 - a_1)^2 - (b_3 - b_1)^2 = 2 \left[ (a_3 - a_1) (a_2 - a_3) + (b_3 - b_1) (b_2 - b_3) \right]$, giảm đi 2 ta thu được bất đẳng thức (*). Sự bình đẳng chỉ đạt được nếu các số $a_3 - a_1, b_3 - b_1$ tỷ lệ thuận với các số $a_2 - a_3, b_2 - b_3$; kiểm tra xem trong trường hợp này các đỉnh của tam giác có phải nằm trên cùng một đường thẳng hay không.
   Có thể chứng minh theo cách tương tự rằng $a + c \geqslant b, b + c \geqslant a$. Điều này có nghĩa là tồn tại một hình tam giác có cạnh $a, b, c$, mặc dù nó có thể suy biến thành một đoạn. Bạn có thể dựng tam giác này về mặt hình học - trong hệ tọa độ Descartes, các đỉnh của nó phải được đặt tại các điểm có tọa độ $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3)$.

35

Bài tập

1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
   a) $y = a \sin x + b \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) + c \sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) \left( a > 0, b > 0, c > 0, 0 < x < \frac{\pi}{3} \right)$;
   b) $z = a \sin (x + y) + b \sin (x - y) + c \sqrt{\cos 2x \cdot \cos 2y}$
   $(a > 0, b > 0, c > 0, 0 < x < \frac{\pi}{4}, 0 < y < \frac{\pi}{4})$;
   c) $u = a \cos x + b \cos y + c \cos z + d \sqrt{2 \cos x \cos y \cos z}$, trong đó $a, b, c, d$ là các số dương, $x, y, z$ là các góc còn lại của tam giác;
   d) $u = a \sin x + b \sin y + c \sin z + d \sin t + e \sqrt{2 \cos (x + y) \cdot \cos (y + z) \cdot \cos (z + x)}$, trong đó $a, b, c, d, e$ là số dương, $x + y + z + t = 2\pi$;
   e) $y = \frac{(a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n)^2}{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$ $(a_i > 0, x_i > 0)$.

2. Tìm giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm $u = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i$, nếu biết $\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \leq a^2$, $\sum_{i=1}^{n} y_i^2 \leq b^2$ và $a$ và $b$ là các số dương.

3. Chứng minh bất đẳng thức
   $$\sum_{i=1}^{n} \sqrt{x_i y_i} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_i},$$
   trong đó tất cả $x_i$ và $y_i$ đều là số dương.

4. Chứng minh bất đẳng thức
   $$\left( \sum_{i=1}^{n} \sqrt{a_i b_i} \right)^2 \leq \sum_{i=1}^{n} a_i x_i \sum_{i=1}^{n} \frac{b_i}{x_i},$$
   trong đó tất cả $a_i, b_i, x_i$ đều là số dương.

5. Chứng minh bất đẳng thức
   $$\sum_{i=1}^{n} x_i y_i \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{y_i} \geq \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2,$$
   trong đó tất cả $x_i, y_i$ đều là số dương.

6. Một quả cầu có bán kính $R$ có hình trụ có bề mặt hoàn chỉnh nhất. Bán kính và chiều cao của nó là bao nhiêu?

7. Bên trong một tam giác, một điểm nhất định nằm sao cho tổng bình phương khoảng cách từ điểm đó đến cạnh của tam giác là nhỏ nhất. Hãy biểu diễn những khoảng cách này bằng độ dài các cạnh của tam giác và tìm điểm này.
   8*) Diện tích các mặt của tam giác là $S_1, S_2, S_3$ và $S_4$. Điểm $M$ nằm bên trong tam giác với khoảng cách $h_1, h_2, h_3$ và $h_4$ (tương ứng) tính từ các mặt.
   a) Tại vị trí nào của điểm $M$ tổng
   $$\frac{S_1}{h_1} + \frac{S_2}{h_2} + \frac{S_3}{h_3} + \frac{S_4}{h_4}$$

có ý nghĩa nhất?
6) Chứng minh rằng mọi tam giác đều có ít nhất một điểm $M$ sao cho tổng (*) nhỏ nhất. Tìm xem có thể có bao nhiêu điểm như vậy.

*) bài toán này được gửi bởi độc giả G. Hovhannitsan của chúng tôi từ Yerevan.

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ
SỐ LƯỢNG

Phần này của tạp chí được duy trì từ số này đến số khác. Trong đó, cùng với những bài toán tương đối dễ, bài toán được xuất bản, bao gồm một số câu hỏi được điều chỉnh dần dần. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Chúng thường khó khăn ngay cả đối với các chuyên gia về toán học và vật lý. Vì vậy, đừng kiểm tra nếu bạn không thể đối phó với nhiệm vụ này hoặc nhiệm vụ kia. Hãy cố gắng quay lại với nó theo thời gian.

Nhưng bây giờ lời giải đã được tìm thấy. Tuy nhiên, người ta không nên nghỉ ngơi về điều này. Hãy suy nghĩ về cách bạn có thể khái quát hóa bài toán, làm rõ hoặc củng cố kết quả của nó.

Trong phần thứ hai của phần này, chúng tôi sẽ đặt lời giải bài toán (khoảng sáu tháng sau khi công bố các điều kiện bài toán) có tính đến các bức thư do độc giả gửi. Chúng tôi khuyên bạn nên làm quen với các giải pháp ngay cả đối với những người không cố gắng tự mình giải quyết những bài toán này.

Ở hầu hết các văn phòng, chúng tôi cho biết tên của những độc giả đã gửi lời giải thành công nhất.

Những học sinh thường xuyên gửi lời giải đặc biệt nguyên bản và đầy đủ sẽ nhận được quyền tham gia các vòng khu vực của Cuộc thi Olympic toàn năng dành cho học sinh cùng với những người chiến thắng trong các kỳ Olympic khu vực. Ngoài ra, các biên tập viên của «Kvant» đã thiết lập một số giải thưởng đặc biệt dành cho các tác giả của lời giải thú vị nhất.

Và một điều cuối cùng. Nghĩ ra bài toán thường khó hơn việc giải nó. Nó khó khăn hơn nhưng cũng thú vị hơn. Hãy thử nghĩ ra bài toán và khâu chúng vào cho chúng tôi. Chúng tôi sẽ xuất bản những sản phẩm hay nhất trong “Bài toán Kvant”.

Gửi lời giải và bài toán mới của bạn đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt 15, tòa soạn tạp chí «Kvant», “Bài toán Kvant. Trên phong bì, sau địa chỉ, ghi rõ lời giải bạn đang gửi bài toán nào (ví dụ: M122, M124, F146). Lời giải mỗi bài toán (nếu bạn gửi ngay trên (các) tờ riêng biệt chưa viết thì các trang sẽ được đánh số.

Cuối cùng, cho biết họ, tên, họ hàng, mã sáu chữ số, địa chỉ, cũng như lớp và trường của bạn. Lời giải chỉ được xem xét nếu chúng được nhận không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi xuất bản số tạp chí tương ứng.

37

3 MỤC TIÊU

M121. Chứng minh rằng với $n$ số thực $a_1, a_2, \dots, a_n$ luôn tồn tại một số tự nhiên $k \leqslant n$ sao cho mỗi số $k$

$$a_k, \frac{a_{k-1}+a_k}{2}, \frac{a_{k-2}+a_{k-1}+a_k}{3}, \dots, \frac{a_1+a_2+\dots+a_k}{k}$$ không vượt quá

$$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}.$$

M122. Hình ngũ giác $ABCDE$ nội tiếp trong một vòng tròn. Được biết, khoảng cách từ điểm $E$ đến các đường thẳng $AB, BC$ và $CD$ bằng với sự tương ứng $p, q, r$. Tìm khoảng cách từ điểm $E$ đến đường thẳng $AD$.

M123. Tìm tất cả các số tự nhiên $m$ sao cho

$$1! \cdot 3! \cdot 5! \cdot \dots \cdot (2m-1)! = \left( \frac{m(m+1)}{2} \right)!$$

(sản phẩm $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ được ký hiệu là $n!$).

V. P. Beshkarev

M124. Cho một hình tam giác $ABC$. Tìm một điểm $O$ bên trong nó có tính chất sau: với mọi đường thẳng đi qua điểm $O$ và cắt các cạnh của tam giác $AB$ tại điểm $K$ và $BC$ tại điểm $L$, đẳng thức

$$\frac{AK}{KB} + \frac{CL}{LB} = 1.$$

Nói chung, chứng minh rằng nếu $p$ và $q$ là các số dương tùy ý thì trong tam giác $ABC$ người ta có thể xác định một điểm $O$ sao cho mọi đường thẳng $KL$ đi qua điểm này ($K$ nằm trên $AB$, $L$ trên $BC$),

$$p \frac{AK}{KB} + q \frac{CL}{LB} = 1.$$

G. Nomen (học sinh lớp 10)

M125. a) Có tồn tại dãy vô hạn các số tự nhiên thỏa mãn tính chất sau:

Không có số nào chia hết cho số kia, nhưng trong số ba số đó bạn có thể chọn hai số có tổng chia hết cho số ba?

6. Nếu không, có thể có bao nhiêu số trong một tập hợp có thuộc tính này?

b) Giải tương tự bài toán với điều kiện bổ sung là tập hợp chỉ được phép đưa các số lẻ vào.

Đây là một ví dụ về bộ bốn số như vậy: 3, 5, 7, 107. Ở đây, trong ba số 3, 5, 7, tổng 5+7 chia hết cho 3; trong bộ ba 5, 7, 107, tổng 107+5 chia cho 7; trong bộ ba 3, 7, 107 thì tổng 7+107 chia cho 3; cuối cùng, trong bộ ba 3, 5, 107, tổng 3+107 chia cho 5.

Yu. I. Nonin

F133*. Một xích kim loại kín được nối bằng ren với trục định tâm của máy và quay với vận tốc góc $\omega$ (Hình 1). Trong trường hợp này, sợi chỉ tạo một góc $\alpha$ với phương thẳng đứng.

Cơm. 1.

38

Tìm khoảng cách từ tâm sợi xích nặng đến trục quay.

F134. Một tấm nặng chuyển động với vận tốc $v$ theo phương vuông góc với mặt phẳng của nó. Tạo một góc $\alpha$ so với hướng chuyển động của tấm, một quả cầu nhẹ chuyển động với vận tốc $u$. Xác định độ lớn và hướng của vectơ vận tốc của quả bóng sau va chạm đàn hồi với tấm.

a) Khoảng cách khi tốc độ của quả bóng hướng vào và ra xa tấm.

6. đáp số sẽ thay đổi như thế nào nếu tấm di chuyển theo hướng tạo một góc $\beta$ với mặt phẳng của nó?

F135. Một quả mìn nằm trên mặt đất phát nổ. Các mảnh mìn bắt đầu di chuyển đối xứng theo mọi hướng với cùng tốc độ $v$. Kích thước của tất cả các osokols đều giống nhau. Bao nhiêu phần cói sẽ rơi ra ngoài vòng tròn bán kính $R$ tâm tại điểm nổ?

G. L. Kstkin

F136. Một tụ điện bản song song có điện dung $C$. Điện tích $+q$ được đặt trên một trong các tấm tụ điện và điện tích $+4q$ được đặt trên tấm còn lại. Xác định hiệu điện thế giữa các bản của tụ điện.

V. E. Belonukkin

F137 *. Bức xạ hồng ngoại có bước sóng xác định được hấp thụ bởi khí metan ($\text{CH}_4$). Trong điều kiện bình thường, lớp metan nguyên chất dày 1 cm hấp thụ 98% năng lượng bức xạ. Bức xạ như vậy sẽ bị suy yếu bao nhiêu lần khi truyền thẳng đứng qua bầu khí quyển Trái đất?

Khi tính, lấy hàm lượng khối lượng của khí metan trong khí quyển bằng $1,4 \cdot 10^{-6}$.

S. M. Kozel

Đáp số để giải ô chữ (xem trang 31)

Theo chiều ngang: 1. VTSNIIOT-PUSK. 6. Người theo chủ nghĩa tối nghĩa. 7. Điện thoại 8. Chung. 11. Cái tôi. 18. Sax. 14. Akbin. 17. Ataman. 20. Quái lạ. 21. Stopkop. 22. Trình bày.

Xây dựng 17-giác đúng

Richmond đã đưa ra cách dựng đơn giản của tam giác thứ mười bảy $P_0P_1 \dots P_{16}$ (xem hình).

Hãy nối điểm $P_0$ với điểm $J$, nằm trên bán kính $OB$ và cách tâm một khoảng $1/4OB$. Trên đường kính đi qua điểm $P_0$, ta chọn các điểm $E$ và $F$ sao cho $\Rightarrow OJE$ bằng 4 lần góc $OJP_0$, và $\Rightarrow FJE$ bằng $45^\circ$. Để một đường tròn dựng trên $FP_0$ làm đường kính cắt nhau

$OB$ tại điểm $K$ và để một đường tròn có tâm $E$ và bán kính $EK$ cắt nhau $OP_0$ tại các điểm $N_3$ (giữa $O$ và $P_0$) và $N_5$. Chúng ta hãy khôi phục các đường vuông góc thành $OP_0$ tại hai điểm này cho đến khi chúng giao nhau với đường tròn ban đầu tại các điểm $P_3$ và $P_5$. Khi đó cung $P_3P_5$ (và cung bằng $P_1P_3$) bằng đường tròn $2/17$. Chứng minh sử dụng nhiều lần thực tế là nghiệm của phương trình

$x^2+2x\text{ctg}, 2\alpha-1=0$ bằng tg$\alpha$ và - ctg$\alpha$.

(G. S. M. Coxter, Giới thiệu về Hình học, M., “Hayka”, 1966, trang 49.)

39

Lời giải

Trong số này, chúng tôi xuất bản lời giải bài toán M77—M83

M77

Độ dài hai cạnh của tam giác là 10 và 15. Chứng minh rằng phân giác của góc giữa chúng không lớn hơn 12.

Chúng tôi đã nhận được rất nhiều lời giải khác nhau trong số bài toán này từ độc giả. Chúng ta hãy chỉ đưa ra ba.

I. Hãy thực hiện $DE \parallel BC$ (Hình 1). Khi đó tam giác $CDE$ là đều, do đó $CE=ED=x$ và $x$ người ta có thể tìm thấy điểm tương đồng của tam giác $ABC$ và $ADE$:

$$\frac{15-x}{15} = \frac{x}{10}, \text{ поэтому } x=6 \text{ и } CD < CE + ED = 2x=12.$$

II. Theo tính chất đường phân giác $BD/DA = BC/CA = \frac{2}{3}$. Hãy vẽ $BK \perp CD$ và $DL \perp CD$ cho đến khi chúng giao nhau với cạnh $AC$ (Hình 2). Sau đó $AK=AC - KC=AC - BC=5$ và $KL/LA=BD/DA = \frac{2}{3}$, do đó $KL=2$ và $CD < CL=12.$

III. (Trong hai thống kê “Phương pháp diện tích” «Kvant» Số 12, 1971, trang 41). Đặt $\Rightarrow BCD = \Rightarrow ACD = \alpha$, sau đó (Hình 3) $S_{\triangle ACD} + S_{\triangle BCD} = S_{\triangle ABC} \langle = \rangle al \sin \alpha + bl \sin \alpha = ab \sin 2\alpha,$

cơm. 1. Hình 2. Hình 3.

40

bởi vì

$$l = \frac{2ab}{a+b} \cos \alpha = \frac{2 \cdot 10 \cdot 15}{25} \cos \alpha = 12 \cos \alpha < 12.$$

(Nhiều người cũng sử dụng các công thức khác cho đường phân giác:

$$l^2 = ab - mn = ab - \frac{abc^2}{(a+b)^2} = \frac{4abp(p-c)}{(a+b)^2}.$$

Có thể sử dụng một trong hai phương pháp này để chứng minh rằng đường phân giác $l$ của một tam giác nằm giữa hai cạnh $a$ và $b$ không vượt quá $\frac{2ab}{a+b}$ (trung bình điều hòa của các số $a$ và $b$). Ước tính này là không thể cải thiện được: với bất kỳ $l < \frac{2ab}{a+b}$ nào, người ta có thể dựng một tam giác có các cạnh $a$ và $b$ và một đường phân giác $l$ giữa chúng (hãy đảm bảo điều này!).

Hãy thử chứng minh hai mệnh đề tổng quát hóa bài toán sau đây:

1. Nếu trong tam giác $ABC$, trong đó $BC = a, AC = b$, điểm $D$ chia cạnh $AB$ so với $BD : DA = m : n$, thì $\frac{|mb - na|}{m + n} < CD < \frac{mb + na}{m + n}$. (Trong bài toán $m : n = a : b$ của chúng tôi).

2. Nếu đoạn $CD$ chia góc $BCA$ cho $\Rightarrow BCD : \Rightarrow DCA = p : q$ thì $CD < \frac{(p+q)ab}{pa + qb}$. (Trong bài toán $p : q = 1$ của chúng tôi; ở đây để chứng minh bạn có thể sử dụng bổ đề sau: nếu $0 < \alpha < \beta < \pi$ thì $\frac{\sin \alpha}{\alpha} > \frac{\sin \beta}{\beta}$).

M78

Chứng minh rằng mọi số nguyên không âm đều có thể được biểu diễn dưới dạng $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$, trong đó $x$ và $y$ là các số nguyên không âm và biểu diễn số ít là gì.

Chúng ta hãy biểu thị tổng $x+y$ bằng $s$ và viết lại công thức này như sau:

$$n = \frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2} = \frac{s^2 + s}{2} + s.$$ (1)

Các điều kiện $x$ và $y$ là số nguyên, $x \geq 0$ và $y \geq 0$ tương đương với các điều kiện sau: $x$ và $s$ là số nguyên, $x \geq 0$, $s \geq x$. Đối với một $s$ nhất định, giá trị $x$ có thể nhận các giá trị sau: $0, 1, \ldots, s$; giá trị tương ứng $n$, được xác định theo công thức (1), nhận các giá trị sau: $\frac{s^2 + s}{2}$, $\frac{s^2 + s}{2} + 1$, $\ldots$, $\frac{s^2 + s}{2} + s$. Vì vậy, mỗi $s = 0, 1, 2, \ldots$ tương ứng với một phân đoạn gồm $s+1$ số nguyên không âm $n$. Lưu ý rằng số cuối cùng của phân đoạn tương ứng với $s$ nhỏ hơn chính xác một số so với số đầu tiên của phân đoạn tương ứng với $s+1$:

$$\left( \frac{s^2 + s}{2} + s + 1 \right) = \frac{(s+1)^2 + (s+1)}{2}.$$

Do đó, các phân đoạn cũng sẽ chứa tất cả các số nguyên không âm $n$ và mỗi $n$ chỉ thuộc một phân đoạn, tức là nó sẽ tương ứng với chính xác một cặp giá trị $s$ và $x$ (Hình 4).

Nhiệm vụ lời giải. Chúng tôi đã chứng minh rằng công thức (1) cho phép chúng tôi “nội tuyến” tất cả các điểm $(x, y)$ có tọa độ nguyên không âm với các số $n=0, 1, 2, \ldots$. Hình 5 cho thấy các số này được sắp xếp theo thứ tự như thế nào.

Đúng lời giải phép cộng A. Abdulaev, M. Bukhanov, A. Gritsoryan, A. Zaslavsky, M. Illarionov, N. Kortsenko,