Kvant 1972, số 2 · Trang

KEANT
2
THÁNG 2
1972

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kionn
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
L. A. Artsimovich, M. I. Bashmkov, V. G. Boltyansky,
I. N. Bronshtein, N. B. Vasiliev, I. F. Ginzburg, V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa, V. A. Kirillin, V. A. Leshkovtsev (phó tổng biên tập), A. I. Markushevich, M. D. Millonshikov, N. A. Patrikeeva, N. H. Rozov, A. P. Savin, I. Sh. Slobodetsky, M. L. Smolyansky (phó tổng biên tập), Ya. A. Smorodinsky, V. A. Fabrikant.

Trên trang đầu tiên của trang bìa có bức ảnh bài viết của A. S. Varpakhovsky và A. N. Vilenkin “Snow Crystals” (ảnh của A. N. Vilenkin). Bài viết nằm ở trang 32.

Trên trang thứ tư của trang bìa có đồ thị hàm số mũ và hàm số mũ.

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova Tổng biên tập A. N. Klimanov
Biên tập viên nghệ thuật O. N. Ykovleva Người hiệu đính A. L. Ipatova
Nhà xuất bản “Nauka” Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học
117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15. Tel. 234-08-11, 234-07-93

Được gửi thành một bộ vào ngày 11/X-71. Ký in ngày 28/XII-71. Giấy 70×100¹/16.
Vật lý. lò nướng l. 4.5. Lò nướng có điều kiện l. 5,85. Biên tập học thuật. tôi. 6,43. Lưu hành 336.935 bản. T-16897. Giá 30 kopecks. Zach. 2132.
Nhà máy in Chekhov Ủy ban in Glavpoligraproma thuộc Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô, Chekhov, khu vực Moscow.

Hướng dẫn sử dụng sẽ không được trả lại

THÀNH LẬP
TRONG
1970

2
THÁNG 2
1972

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

NHÀ XUẤT BẢN • KHOA HỌC→
PHÒNG BIÊN TẬP CHÍNH VĂN HỌC VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TRONG PHÒNG:

2 Quan hệ tương đương và phân hoạch của một tập hợp
M. M. Glukhov
10 Nước trên Mặt trăng
M. A. Ginzburg
16 Mạch chuyển mạch
P. B. Freivald
20 Đo tốc độ ánh sáng
B. Vinetsky
26 Tổng vô tỷ của căn thức
J. H. Kamnev
28 Ký ức phóng xạ
V. I. Kuznetsov

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”
32 Tinh Thể Tuyết
A. S. Varpakhovsky,
A. N. Vilenkin

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC
36 Diện tích đa giác
P. P. Kantor,
J. M. Rabb

“Vấn đề lượng tử”
42 Bài toán
44 Lời giải bài toán: M84—M88; F92—F99

ỨNG DỤNG THỰC HÀNH
54 Phương pháp tính điện trở tương đương
A. Hatzem
60 Kim tự tháp và hình cầu
Yu. V. Sidorov
65 Phương án thi tuyển sinh môn toán
1971.

ĐÁNH GIÁ, THƯ VIỆN
67 Về cuốn sách “Khám phá toán học” của Polya
M. L. Smolyansky,
Yu. A. Gastev

GÓC SƯU TẬP
70 Tem gắn với chương trình khoa học địa vật lý quốc tế
A. B. Altykis

71 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP
“LƯỢNG TỐC” DÀNH CHO TRẺ EM TRUNG HỌC (trang thứ 3 của khu vực) A. P. Savin,
HỖN HỢP
25 Bài toán về đường thẳng
B. M. Rosenthuler
31 Bài toán số học và đại số
41 Hội thảo chuyên đề của các nhà toán học trẻ (Gorky)
53 Hội nghị chuyên đề các nhà toán học trẻ (Tbilisi)
Đồ thị hàm số mũ (khu vực trang 4)

2

M. M. Shukhol

Sự tương đương bị hiểu sai
và phân vùng của tập hợp

Hãy thử tưởng tượng tất cả các mối quan hệ ngữ nghĩa đa dạng của từ “giai cấp”: “giai cấp công nhân”, “học sinh lớp 10”, “kαιota lớp 1”, “lớp động vật có vú”… Cho dù những mối quan hệ này có vẻ khác nhau như thế nào, thì từ “giai cấp” trong mọi trường hợp đều có cùng một nguồn gốc - nó luôn gắn liền với việc phân loại hoặc phân chia bất kỳ tập hợp nào thành các lớp rời rạc. Khái niệm “giai cấp” và nhiều phân khu của nó (họ, loại, chủng loại, loài, giống, chi, chủng loại, v.v.) được sử dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực hoạt động của con người. Ví dụ, khi chúng ta cần nghiên cứu các đối tượng của một tập hợp liên quan đến một số thuộc tính của chúng, chúng ta cố gắng chia tập hợp này thành các lớp sao cho tất cả các phần tử của một lớp hoạt động theo cùng một cách đối với các thuộc tính có liên quan với nhau, và sau đó có thể nghiên cứu toàn bộ lớp đối tượng dựa trên một trong các đại diện của nó.

Do đó, sinh học không nghiên cứu từng loài thực vật mà chia tất cả các loài thực vật thành các lớp, họ, chi và loài, để khi nghiên cứu, chẳng hạn như họ logic, một bông hoa được xây dựng như một đại diện của cả một họ (hoặc loài). Khi nghiên cứu một lớp thông qua đại diện của nó, người ta thường cố gắng chọn lớp đơn giản nhất theo quan điểm của các thuộc tính khác (hiện tại chúng tôi không quan tâm). Mỗi người trong chúng ta đã nhiều lần sử dụng cơ hội này, chẳng hạn như với các phương trình lời giải, thay thế phương trình này bằng phương trình khác, đơn giản hơn nhưng có cùng gốc, nghĩa là nằm trong lớp phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Để phân chia một tập hợp, nghĩa là phân chia các phần tử của nó thành các lớp sao cho mỗi phần tử thuộc một và chỉ một lớp, người ta thường sử dụng các đặc điểm khác nhau vốn có trong các phần tử của một tập hợp nhất định. Ví dụ: các đối tượng được hiển thị trong Hình 1.

Cơm. 2, một

Hình 1, có thể được chia thành các lớp theo màu sắc (Hình 2, a), theo hình dạng (Hình 2, b) hoặc theo một số đặc điểm khác. Tuy nhiên, để chia một tập hợp thành các lớp, chúng ta không chỉ cần các thuộc tính vốn có của từng phần tử riêng biệt mà còn cần các quy tắc chỉ ra liệu hai phần tử được chọn tùy ý của một tập hợp nhất định có nên được phân loại vào cùng lớp hay khác nhau hay không. Ví dụ, tất cả các mặt phẳng thẳng có thể được chia thành các lớp nếu chúng ta đồng ý phân loại hai đường thẳng thành một lớp khi và chỉ khi chúng song song. Trong phân vùng kết quả, hai dòng bất kỳ (không nhất thiết phải khác nhau *)) của cùng một lớp là song song và hai dòng bất kỳ từ các lớp khác nhau không song song. Trong ví dụ này, chúng tôi không sử dụng thuộc tính mà mỗi dòng riêng lẻ có hoặc không có, mà là thuộc tính đề cập đến các cặp dòng (dù a và b song song hay không song song). Về việc xây dựng sự phân chia các đường thẳng, người ta nói rằng nó được tạo ra bởi mối quan hệ song song

nịnh nọt. Chúng ta cũng có thể nói về các phân vùng được xem xét ở trên của các đối tượng trong Hình 1 rằng chúng được tạo ra bởi các mối quan hệ nhất định. Do đó, việc phân chia theo màu được tạo ra bởi mối quan hệ “có cùng màu”.

Đồng thời, không phải mọi mối quan hệ giữa các phần tử của một tập hợp đều tạo ra sự phân chia tập hợp này thành các lớp. Ví dụ: nếu chúng ta cố gắng phân chia tất cả mọi người thành các nhóm không chồng chéo để hai người bất kỳ trong một nhóm tôn trọng lẫn nhau, nhưng hai người từ các nhóm khác nhau không tôn trọng hoặc không biết nhau, thì rõ ràng, ý tưởng này sẽ không thành công.

Kiểm tra xem quan hệ vuông góc có tạo ra sự phân chia tất cả các đường thẳng của mặt phẳng hay không.

Thái độ là gì?

Hãy bắt đầu bằng việc nhớ lại một số mối quan hệ quen thuộc. Vì vậy, trong môn toán ở trường bạn thường

Cơm. 2, b

4

có các quan hệ bằng nhau (về số, hình, hàm số), quan hệ “nhiều hơn” và “nhỏ hơn” đối với các số, quan hệ chia hết cho số nguyên, quan hệ song song và vuông góc đối với đường thẳng và đa giác. Trong cuộc sống đời thường, các mối quan hệ giữa con người với nhau rất phổ biến: quan hệ thâm niên, họ hàng, láng giềng, quan hệ cộng sự, cùng một dân tộc, cùng nghề nghiệp.

Bây giờ hãy xem xét kỹ hơn một mối quan hệ, ví dụ, mối quan hệ bằng nhau. Các đẳng thức số là đúng (đúng) và không chính xác (sai). Ví dụ: đẳng thức 5 = 5 là đúng nhưng 5 = 2 là sai. Nếu $x_1$ và $x_2$ là các số chưa biết thì đẳng thức $x_1 = x_2$ (câu “$x_1$ bằng $x_2$”) không có ý nghĩa cụ thể: nó phụ thuộc vào “ẩn số” $x_1, x_2$, là hàm của chúng: đối với mỗi giá trị số cụ thể $x_1, x_2$ nó sẽ đúng hoặc sai.

Trong trường hợp tổng quát, chúng ta sẽ gọi mối quan hệ nhị phân (hoặc nhị phân *) trên tập hợp $M$ là một câu lệnh về các phần tử của tập hợp $M$, phụ thuộc vào hai biến và chuyển thành câu lệnh đúng hoặc sai khi thay thế các biến của bất kỳ phần tử cụ thể nào từ $M$ vào đó. Nói chung, mối quan hệ được viết là $x_1\Theta x_2$ ($x_1 = x_2, x_1 < x_2, x_1 \parallel x_2, x_1 \perp x_2$, v.v.). Thường thì “thái độ $x_1\Theta x_2$” được gọi đơn giản là “thái độ $\Theta$”. Ví dụ: cùng với “quan hệ $x_1 = x_2$” chúng ta nói là “quan hệ bình đẳng”. Các thuật ngữ “quan hệ trật tự”, “quan hệ lân cận”… cũng có ý nghĩa tương tự. Nếu mối quan hệ $a\Theta b$ là đúng thì người ta cũng nói rằng $a$ và $b$ có liên quan với nhau bởi mối quan hệ $\Theta$ hoặc nằm trong mối quan hệ $\Theta$. Nếu mối quan hệ $\Theta$ có tính chất là tính đúng của $a\Theta b$ luôn bao hàm tính đúng của $b\Theta a$ thì nó được gọi là “đối xứng”. (Trong phần tiếp theo, đôi khi chúng ta sẽ gọi một cách đối xứng là “thuộc tính 1.”) Ví dụ, quan hệ song song và vuông góc của các đường thẳng là đối xứng, nhưng quan hệ < trên tập hợp số thực là không đối xứng (5 < 8 là đúng và 8 < 5 là sai).

Mối quan hệ $\Theta$ trên tập $M$ được gọi là reflexin (“thuộc tính 2”). nếu $a\Theta a$ đúng với bất kỳ phần tử $a$ nào của $M$ và chuyển tiếp (“thuộc tính 3”) nếu chân lý của $a\Theta b$ và $b\Theta c$ kéo theo chân lý của $a\Theta c$. Ví dụ, quan hệ đẳng thức của các số là phản xạ và bắc cầu, quan hệ vuông góc của các đường thẳng không phản xạ và không bắc cầu, và quan hệ “nhỏ hơn” đối với các số là bắc cầu, nhưng không phản xạ.

Vấn đề. Tìm ra tính chất nào trong số các tính chất 1-3 có quan hệ chia hết cho các số nguyên, quan hệ “giao nhau” (nghĩa là sẽ có một điểm chung) cho các đường thẳng và quan hệ lân cận đối với con người.

Bệnh tương đương

Bây giờ chúng ta hãy quay lại câu hỏi mà chúng ta quan tâm: những mối quan hệ nào, được xác định trên một tập hợp nhất định $M$, tạo ra phân vùng tập hợp này thành các lớp? Nói cách khác, các mối quan hệ $\Theta$ phải có những thuộc tính nào, theo đó tập hợp $M$ có ​​thể được chia thành các lớp rời rạc sao cho

1. bất kỳ hai phần tử nào (khác hoặc giống nhau) từ cùng một lớp đều nằm trong mối quan hệ $\Theta$,
2. không có hai phần tử nào từ các lớp khác nhau có trong mối quan hệ $\Theta$?

Đối với câu hỏi này đáp số theo dõi

Định lý. Mối quan hệ $\Theta$ trên tập hợp $M$ có thể và chỉ có thể tạo ra một phân vùng của tập hợp $M$ khi nó phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

5

Bằng chứng. Cho quan hệ $\Theta$ tạo ra một phân vùng của tập hợp $M$, nghĩa là các tập hợp $M$ có ​​thể được phân chia thành các lớp thỏa mãn điều kiện 1) và 2). Dù chúng ta lấy phần tử nào $a$, nó đều thuộc về một lớp nào đó trong phân vùng của chúng ta. Theo 1), $a$ liên hệ với $\Theta$ với chính nó: $a\Theta a$ là đúng, vì vậy $\Theta$ là phản xạ. Ngoài ra, nếu $a\Theta b$ đúng thì như sau từ 1)–2), các phần tử $a$ và $b$ thuộc cùng một lớp phân vùng. Khi đó từ 1) suy ra $b\Theta a$ cũng đúng. Điều này có nghĩa là với bất kỳ $a, b \in M^*$) nào từ $a\Theta b$ đều theo sau $b\Theta a$, tức là mối quan hệ $\Theta$ là đối xứng.

Không đọc dữ liệu cho đến khi bạn chắc chắn rằng mối quan hệ $\Theta$ là bắc cầu!

Do đó, nếu mối quan hệ $\Theta$ tạo ra một phân vùng của tập hợp $M$ thì $\Theta$ là phản xạ, đối xứng và bắc cầu: các thuộc tính 1–3 là cần thiết để $\Theta$ tạo ra một phân vùng của tập hợp $M$.

Bây giờ đã rõ tại sao chúng ta không thể chia một người thành các nhóm người tôn trọng lẫn nhau và tại sao mối quan hệ vuông góc không gây ra sự phân chia các mặt phẳng thẳng. Mối quan hệ giữa “sự phản xạ” và độ vuông góc không mang tính bắc cầu (và không phản xạ).

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh đủ tính chất 1–3. Giả sử $\Theta$ có các thuộc tính 1–3 và $a$ là phần tử tùy ý của tập hợp $M$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $M_a$ lớp (tập hợp) của tất cả các phần tử như vậy $x$ từ $M$ trong đó $a\Theta x$ là đúng:

$$M_a = \{x \mid a\Theta x \text{ — истинно}\}.$$

Bằng cách này, chúng ta sẽ có được một tập hợp các lớp nhất định. Vì theo thuộc tính 1 $a\Theta a$ là đúng, nên $a \in M_a$ (theo định nghĩa của lớp $M_a$) và do đó, mỗi phần tử của tập hợp $M$ thuộc về ít nhất một trong các lớp kết quả. Hãy chứng minh rằng hai lớp bất kỳ $M_a, M_b$ trùng nhau hoặc không cắt nhau. Thật vậy, nếu $M_a$ và $M_b$ có ít nhất một phần tử chung $c$, thì $a\Theta c$ và $b\Theta c^*$. Theo thuộc tính 2, từ $b\Theta c$ nó theo sau $c\Theta b$, và từ $a\Theta c$ và $c\Theta b$, theo thuộc tính 3, chúng ta thu được $a\Theta b$. Vậy $a\Theta b$ là đúng. Bây giờ chúng ta lấy một phần tử tùy ý $d$ từ lớp $M_b$. Theo định nghĩa của lớp $M_b$ đúng $b\Theta d$ và theo thuộc tính 3 từ $a\Theta b$ và $b\Theta d$ thì nó tuân theo $a\Theta d$; có nghĩa là $d \in M_a$. Vì vậy, nếu $d \in M_b$, thì $d \in M_a$. Người ta chứng minh tương tự rằng từ $d \in M_a$ nó dẫn đến $d \in M_b$ (bạn hãy tự suy luận tương ứng). Điều này chứng tỏ rằng $M_a = M_b$, tức là các lớp có ít nhất một phần tử chung, trùng khớp. Do đó, mỗi phần tử của tập hợp $M$ được chứa trong một số lớp và các lớp khác nhau không giao nhau. Điều này có nghĩa là chúng ta có một phân vùng của tập hợp $M$. Hãy chứng minh rằng phân vùng này là thực và dẫn đến hệ thức $\Theta$, tức là các điều kiện 1)—2) được thỏa mãn. Đặt các phần tử $a$ và $b$ trong cùng một lớp. Vì $a \in M_a$, điều này có nghĩa là $b \in M_a$ (ở dạng trước cả hai được cam kết đều bằng nhau!), tức là $a\Theta b$. Vì vậy, bất kỳ hai phần tử nào trong cùng một lớp đều có quan hệ $\Theta$: điều kiện 1) đều được thỏa mãn. Bây giờ, hãy đặt $a$ và $b$ là hai phần tử tùy ý từ các lớp khác nhau, sao cho $M_a \neq M_b$. Nếu có $a\Theta b$, thì điều này có nghĩa là $b \in M_a$, tức là các lớp $M_a$ và $M_b$ có ít nhất một phần tử $b$. Nhưng sau đó, theo những gì đã được chứng minh ở trên, nó sẽ là $M_a = M_b$, mâu thuẫn với các điều kiện. Điều này có nghĩa là $a\Theta b$ là sai, nghĩa là các phần tử từ các lớp khác nhau không nằm trong mối quan hệ $\Theta$ (thỏa mãn điều kiện 2). Định lý đã được chứng minh.

Khi sửa tập hợp $M$, các phần tử chứa trong một lớp thường được gọi là quan hệ tương đương và các lớp của phân vùng kết quả được gọi là lớp tương đương.

*) Dấu ∈ được đọc là “thuộc về”: $u \in M$ có nghĩa là $a$ là một phần tử của tập hợp $M$.

6

Bây giờ định lý được chứng minh ở trên có thể được phát biểu ngắn gọn hơn: quan hệ $\Theta$ trên tập $M$ có thể và chỉ có thể tạo ra một phân hoạch của tập hợp $M$ khi nó là một quan hệ tương đương.

Vì vậy, nếu chúng ta muốn tìm hiểu xem liệu quan hệ $\Theta$ có tạo ra sự phân chia của tập hợp $M$ nào đó hay không, thì chúng ta cần kiểm tra xem quan hệ $\Theta$ có ​​phải là quan hệ tương đương trên $M$ hay không.

Ví dụ, tập hợp tất cả các đường tròn của một mặt phẳng rơi vào lớp đường tròn đồng tâm, vì mối quan hệ đồng tâm của các đường tròn là phản xạ, đối xứng và bắc cầu. (Đồng thời, chúng tôi tự nhiên tin rằng

Cơm. 3.

mọi đường tròn đều đồng tâm với chính nó.) Người ta cũng xác minh rất đơn giản rằng mối quan hệ đồng dạng của các tam giác là phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Do đó, tập hợp tất cả các tam giác được chia thành các lớp tam giác đồng dạng.

Hãy lấy một ví dụ ít rõ ràng hơn. Đặt $Q$ là tập hợp tất cả các phân số có dạng $\frac{a}{b}$, trong đó $a, b$ là số nguyên và $b \neq 0$. Đối với mỗi phân số $\frac{a}{b}$, chúng tôi xác định lớp $Q_{a,b}$, gán phân số $\frac{c}{d}$ cho lớp này khi và chỉ khi $ad = bc$. Kết quả có phải là sự chia tất cả các phân số thành các lớp rời rạc không?

Chúng ta đã xác định một số quan hệ $\Theta$ trên tập $Q$:

$$\frac{a}{b} \Theta \frac{c}{d}$$ nếu và chỉ khi $ad = bc.$

Chúng ta hãy tìm hiểu xem $\Theta$ có phải là quan hệ tương đương hay không.

1. Phản ánh. Đối với mọi phân số $\frac{a}{b} \frac{a}{b} \Theta \frac{a}{b}$, vì $ab = ba$.

2. Sự đối xứng. Nếu $\frac{a}{b} \Theta \frac{c}{d}$ thì $ad = bc$ hoặc $cb = da$. Đẳng thức cuối cùng có nghĩa là $\frac{c}{d} \Theta \frac{a}{b}$.

3. Tính chuyển tiếp. Đặt $\frac{a}{b} \Theta \frac{c}{d}$ và $\frac{c}{d} \Theta \frac{e}{f}$, tức là $ad = bc$ và $cf = de$. Nhân đẳng thức cuối cùng với $f$ và $b$, chúng ta nhận được:

$$adf = bcf, \ bcf = bde.$$

Do đó, chúng ta có $adf = bde$ và $af = be$ (có thể rút ngắn thành $d$, vì $d \neq 0$!). Nhưng $af = be$ chỉ có nghĩa là $\frac{a}{f} \Theta \frac{e}{f}$.

Do đó, $\Theta$ là một quan hệ tương đương và do đó tập hợp tất cả các phân số rơi vào các lớp rời rạc của các phân số tương đương (hoặc, như người ta nói ở trường, có độ lớn bằng nhau). Vì vậy, khi có quan hệ tương đương trên một tập hợp nhất định, chúng ta có thể chia tập hợp này thành các lớp. Nhưng bạn cũng có thể làm ngược lại: đầu tiên chia tập hợp thành các lớp, sau đó xác định mối quan hệ tương đương, xem xét theo định nghĩa hai phần tử là tương đương khi và chỉ khi chúng thuộc cùng một lớp của phân vùng được đề cập.

Ví dụ, đây là cách thể hiện thái độ “là bạn cùng lớp”: đầu tiên, trẻ mới đến trường được chia (gần như tùy tiện) thành các lớp, sau đó những trẻ học cùng lớp được gọi là bạn cùng lớp.

Có thể tiết kiệm tiền không?

Nếu chúng ta thường xuyên phải kiểm tra xem một quan hệ đã cho có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu hay không thì đương nhiên

Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên: không phải bất kỳ thuộc tính nào trong số các thuộc tính được chỉ định 1-3 đều hợp lý là hệ quả của hai thuộc tính còn lại (trong trường hợp này chúng ta sẽ không phải kiểm tra cả ba thuộc tính)?

Hóa ra điều này không phải như vậy: các tính chất phản xạ, đối xứng và độ truyền ánh sáng là độc lập. Để chứng minh rằng một thuộc tính nào đó không phụ thuộc vào hai thuộc tính còn lại, chỉ cần đưa ra một ví dụ về một quan hệ có hai thuộc tính cuối cùng nhưng không có thuộc tính đó là đủ.

Ví dụ, mối quan hệ ∼ với tập hợp số thực có tính phản xạ và chuyển vị nhưng không đối xứng. Điều này có nghĩa là tính đối xứng không phải là hệ quả của tính phản xạ và tính xuyên sáng. Tính chất siêu âm cũng không bắt nguồn từ hai đặc tính kia. Ví dụ: đối với các đường thẳng trong mặt phẳng, mối quan hệ “đường $x_1$ trùng với đường thẳng $x_2$ hoặc vuông góc với $x_2$” là quan hệ phản xạ và đối xứng nhưng không có tính chất bắc cầu. (Kiểm tra!)

Bạn có thể đưa ra một ví dụ cho thấy sự độc lập của hệ số phản xạ với hai tính chất còn lại.

Thất vọng về sự tương đương trong toán học

Chúng ta đã nói về tầm quan trọng của việc phân chia một tập hợp thành các lớp (hoặc, như bây giờ chúng ta có thể nói, các quan hệ tương đương) trong các lĩnh vực khác nhau của con người hành động. Quan hệ tương đương có vai trò rất quan trọng trong toán học. Ngoài những ví dụ đã đề cập trước đó, bạn có thể đưa ra nhiều ví dụ khác về tính tương đương tương đối mà bạn đã gặp trong môn toán ở trường. Chẳng hạn, đó là các quan hệ “có cùng giá trị tuyệt đối” đối với các số, quan hệ bằng nhau của hai biểu thức đại số, quan hệ tương đương của đa giác và đa giác.

Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn hai ví dụ cho thấy cách sử dụng các mối quan hệ tương đương khi xử lý các khái niệm quan trọng nhất trong toán học.

Số tự nhiên. Khái niệm số tự nhiên được con người phát triển trong quá trình phát triển lịch sử lâu dài. Trước khi một người học cách tưởng tượng một cách trừu tượng về số 5, anh ta đã học cách mở 5 viên sỏi, tạo 5 khía, buộc 5 nút thắt, v.v. và so sánh các bộ “tiêu chuẩn” này với các bộ đếm khác bằng cách thiết lập sự tương ứng 1-1 giữa chúng. Quá trình trừu tượng này “với tốc độ nhanh chóng” đối với mỗi chúng ta đều trải qua thời thơ ấu, học cách nhìn thấy đầu tiên hai con mắt, hai quả táo, hai chiếc ô tô, v.v., và chỉ sau đó tưởng tượng ra số 2. Bây giờ, có lẽ sự trừu tượng này của mỗi chúng ta đã được hoàn thành từ lâu, hãy cố gắng hiểu khái niệm hiện có về số tự nhiên. Với mục đích này, chúng tôi xác định các mối quan hệ sau:

Giữa các tập hữu hạn: chúng ta sẽ giả sử rằng hai tập hữu hạn $M$ và $N$ nằm trong mối quan hệ $\Theta$ khi và chỉ khi có ánh xạ một-một từ tập $M$ đến $N$. (Ví dụ, bạn có thể đọc về khái niệm ánh xạ tập hợp trong bài viết “Hàm là gì” của A. N. Kolmogov ở số 1 của cuốn “Lượng tử” năm 1970.) Thật dễ dàng để xác minh rằng mối quan hệ $\Theta$ được giới thiệu theo cách này là phản xạ, đối xứng và chuyển vị. (Kiểm tra!) Do đó, nó là một quan hệ tương đương, và do đó mọi tập hợp hữu hạn đều được chia thành các lớp phù hợp với nó. Bất kỳ hai tập hợp nào từ cùng một lớp của phân vùng kết quả đều được gọi là tương đương. Tuy nhiên, để phân biệt phân vùng kết quả với các phân vùng khác lấy cảm hứng từ các quan hệ phản ánh, đối xứng và chuyển tiếp tùy ý, bất kỳ quan hệ nào cũng là quan hệ tương đương; Một ví dụ là các quan hệ được xác định, một mặt, bởi tất cả các số có bốn số, và mặt khác, bởi tất cả các số lẻ)—các tập hợp tương đương theo nghĩa này được gọi là số bằng nhau. Ví dụ: một lớp chứa tập hợp các chữ cái {a, b, c, d, d} sẽ chứa tập hợp các ngón tay trên bàn tay của một người,

8

một tập hợp các phi hành gia trên tàu vũ trụ Voskhod và Voskhod-2, một tập hợp “các phần của thế giới” (không có Nam Cực!), v.v. Từ danh sách nhỏ này, rõ ràng là một lớp bao gồm các tập hợp có bản chất rất khác nhau và điểm chung duy nhất cho tất cả chúng là chúng đều có sức mạnh ngang nhau, nghĩa là, bất kỳ lớp nào trong số chúng đều có thể được ánh xạ duy nhất lên bất kỳ lớp nào khác. Bây giờ chúng ta sẽ hình thành định nghĩa về số tự nhiên: bằng số tự nhiên, chúng ta gọi bất kỳ lớp nào gồm các tập hữu hạn mạnh như nhau.

Lúc đầu, một định nghĩa như vậy có thể khá đáng ngạc nhiên: một thứ có vẻ đơn giản như số tự nhiên lại được định nghĩa thông qua một cái gì đó cồng kềnh và khó nhìn thấy - thông qua toàn bộ lớp các tập hợp! Tuy nhiên, nếu bạn thực sự suy nghĩ về định nghĩa này và làm quen với nó, bạn sẽ đồng ý rằng nó thực sự phản ánh “bản chất định lượng” của khái niệm số tự nhiên. Định nghĩa này bộc lộ cái gọi là sự trừu tượng của việc nhận dạng: đầu tiên chúng ta chia tất cả các tập hợp hữu hạn thành các lớp gồm các tập hợp bằng nhau, sau đó chúng ta “xác định” tất cả các tập hợp thuộc một lớp và coi kết quả của việc nhận dạng này là một số tự nhiên nhất định.

Vì mỗi loại tập hợp đẳng thức được xác định hoàn toàn bởi bất kỳ đại diện nào của nó, nên chúng ta có thể nói về một số tự nhiên được xác định bởi bất kỳ tập hợp nào của một lớp cho trước. Số được xác định bởi tập hợp $M$ được ký hiệu là $|M|$ và được gọi là thứ tự hoặc số lượng của tập hợp $M$. Đối với các số tự nhiên, bạn có thể giới thiệu một hệ thống ký hiệu không liên quan đến các bộ cụ thể. Tất nhiên, điều này có thể được thực hiện theo những cách khác nhau. Trong lịch sử, trường hợp này là như vậy: các dân tộc khác nhau có hệ thống ký hiệu và đặt tên số tự nhiên khác nhau. (Điều này được thảo luận chi tiết hơn trong bài viết “Hệ thống số” của I.M. Yaglom, xem «Kvant», số 6, 1970). Tuân thủ hệ thống ký hiệu và đặt tên được chấp nhận rộng rãi hiện nay, chúng ta có thể nói rằng số 1 (một) là lớp của một tập hợp bằng tập hợp thủ đô của Liên Xô, số 2 (hai) là lớp của một tập hợp bằng với bộ mắt người, v.v. Bằng cách thêm một phần tử nữa vào bất kỳ tập hợp hữu hạn nào, chúng ta sẽ có được một tập hợp mới không bằng tập hợp ban đầu. Thực hiện quá trình này, chúng ta sẽ thu được một dãy vô hạn các tập hợp không bằng nhau và các số tự nhiên được xác định bởi nó:

1, 2, 3, …

Rashchina nói rằng số hữu tỉ là một phân số có dạng $\frac{a}{b}$, trong đó $a, b$ là số nguyên và $b \neq 0$. Tuy nhiên, định nghĩa như vậy không đầy đủ, vì nó không dẫn đến ngay lập tức liệu các số $1/2$ và $3/6$ có bằng nhau hay không, chẳng hạn. Do đó, cần phải cộng ngay: các số hữu tỷ $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ bằng nhau khi và chỉ khi $ad = bc$. Kết quả là, một số hữu tỷ không chỉ là một phân số, mà là cả một lớp phân số. Vì vậy, khái niệm số hữu tỉ được giới thiệu kỹ hơn như sau.

Xem xét tập hợp $Q$ của tất cả các phân số và xác định trên $Q$ mối quan hệ $\Theta$ bằng cách đặt $\frac{a}{b} \Theta \frac{c}{d}$ khi và chỉ khi $ad = bc$. Ở trên chúng ta đã chỉ ra rằng $\Theta$ là một quan hệ tương đương và do đó, tập hợp $Q$ sẽ phát triển thành các lớp rời rạc. Chúng tôi sẽ gọi hai phân số bất kỳ của cùng một lớp của phân vùng được chỉ định là tích lũy. Bây giờ chúng ta có thể xây dựng một định nghĩa: số hữu tỉ là bất kỳ lớp phân số tương đương nào. Sau mọi điều đã nói ở trên về định nghĩa số tự nhiên, chúng ta định nghĩa số hữu tỉ là một lớp phân số một cách rất đơn giản.

10

Chúng ta không biết hết tài nguyên của Mặt trăng, nhưng những gì biết được cũng đủ để cho rằng các trạm và thuộc địa Mặt trăng sẽ xuất hiện trên Mặt trăng trong tương lai. Một trong những khó khăn chính trong việc tổ chức quần thể là cung cấp nước và oxy cho con người. Một người cần khoảng 0,9 ke thức ăn khan, 0,9 ke oxy và 2,7 ke nước mỗi ngày. Không tìm thấy dấu vết của nước trong các bức ảnh chụp mặt trăng do tàu vũ trụ của Liên Xô và Mỹ cung cấp.

Tuy nhiên, có lý do để tin rằng có nước trên Mặt trăng.

Ngày nay, thuyết tiến hóa đã trở nên phổ biến, theo đó Mặt trăng, giống như Trái đất, được hình thành từ một đám mây gồm các hạt rắn nhỏ. Những hạt này trên Mặt trăng chứa cùng một lượng nước (cái gọi là nước non, tức là nước nguyên thủy) như chất của Trái đất chứa nó: “vật liệu xây dựng” của Trái đất và Mặt trăng gần như giống nhau. Sự phân rã của uranium phóng xạ và kali phóng xạ theo thời gian đã khiến các lớp sâu của Mặt trăng nóng lên tới nhiệt độ 1000-2000°C. Nước chứa trong chất của Mặt trăng bay hơi và xâm nhập ra ngoài dưới dạng hơi nước, lên bề mặt. Số phận của hơi nước này phụ thuộc vào các điều kiện trên bề mặt Mặt trăng và nhiệt độ của nó.

Nhiệt độ bề mặt của Mặt trăng đạt tới +120°C vào ban ngày và giảm xuống −160°C vào ban đêm (ở các vùng cực là −200°C). Các vật liệu tạo nên bề mặt Mặt trăng (các mảnh nhỏ của nhiều loại khoáng chất khác nhau - được gọi là “regolith”) không dẫn nhiệt tốt. Do đó, sự dao động nhiệt độ hàng ngày xuyên qua rất nông và ở độ sâu dưới một mét so với bề mặt, nhiệt độ không phụ thuộc vào thời gian trong ngày âm lịch. Ở những vĩ độ thấp, gần xích đạo, nhiệt độ xấp xỉ −30°C. Ở nhiệt độ thấp như vậy bên dưới bề mặt, hơi nước thoát ra từ độ sâu của Mặt trăng lẽ ra đã đóng băng, tạo thành một lớp băng.

Hãy ước tính ranh giới của lớp băng. Nhiệt độ tăng theo độ sâu. Trên Trái đất, nhiệt độ tăng 28°C trên mỗi km di chuyển vào bên trong. Giả sử rằng các quá trình phóng xạ sinh nhiệt trên Mặt trăng cũng giống như trên Trái đất. Sau đó, nhiệt độ trên Mặt trăng tăng 30°C đến điểm tan băng (0°C) ở độ sâu khoảng 1 km. Đây là ranh giới dưới của lớp băng vĩnh cửu trên mặt trăng (Hình 1), và bên dưới là lớp nước.

Ở ranh giới trên của lớp băng, các phân tử liên tục vỡ ra khỏi bề mặt và băng bay hơi. Đá trên Mặt trăng, chúng được hình thành như thế nào?

11

được cập nhật trong quá trình nghiên cứu các mẫu mặt trăng, chúng luôn chứa các lỗ chân lông. Các phân tử hơi nước chảy qua các lỗ này và nổi lên bề mặt Mặt trăng.

Chúng ta biết tuổi của đá trên Mặt trăng nhờ hàm lượng tương đối dồi dào của các đồng vị phóng xạ và các sản phẩm phân rã của chúng trong các mẫu mặt trăng. Độ tuổi này là khoảng 4,5 tỷ năm. Tính toán cho thấy rằng với $t = -30^\circ\text{C}$ và các tính chất vật lý cũng như cấu trúc của đá mặt trăng mà chúng ta đã biết, không phải tất cả lượng chì từ lớp vỏ mặt trăng đều bốc hơi trong 4,5 tỷ năm này.

Giả thuyết về lớp băng vĩnh cửu và lớp nước sâu trên Mặt Trăng được nhà vật lý thiên văn người Mỹ Gold hình dung vào năm 1961. Tuy nhiên, kết luận của ông về sự tồn tại của băng và nước sâu trong lớp vỏ mặt trăng dựa trên một số giả định.

Cơm. 1.

Thứ nhất, người ta cho rằng tổng lượng nước non trong 1 kg vật chất của Trái đất và Mặt trăng là như nhau, và tổng lượng nước non này được ước tính bằng độ sâu trung bình của các đại dương trên thế giới (các lớp nước thu được bằng cách chia thể tích nước của các đại dương, biển, băng ở Bắc Cực và Nam Cực, băng của các vùng núi trên bề mặt Trái đất). Trên Trái đất độ sâu này là ~ 1 km.

Thứ hai, người ta tin rằng một phần đáng kể nước non sẽ nổi lên bề mặt sau khi lớp vỏ mặt trăng nguội đi và do đó đóng băng trong led, bay hơi chậm - qua các lỗ chân lông.

Nếu hơi nước non có thể nổi lên trên bề mặt lớp vỏ mặt trăng, để tính toán một cách đáng tin cậy quá trình bay hơi của băng từ nó.

Ngoài ra còn có các băng dưới bề mặt trên Trái đất. Ở những khu vực có nhiệt độ áp suất trung bình dưới 0°C, một lớp đất đóng băng vĩnh cửu vẫn còn dưới bề mặt Trái đất và chỉ tan băng một phần vào mùa hè. Các khu vực đóng băng vĩnh cửu chiếm 15% diện tích đất liền trên Trái đất (và 10% diện tích đất liền khác bị chiếm giữ bởi các sông băng). Ở nước ta, lớp băng vĩnh cửu bao phủ các khu vực chung của Siberia và Viễn Đông.

Những sự biến đổi dẫn đến—nước—hơi nước trên Mặt trăng và trên Trái đất *)

Bây giờ chúng ta hãy bay từ độ sâu lên bề mặt của Mặt trăng. Nước, đèn LED và hơi nước sẽ hoạt động như thế nào trong ngày ($t = +120^\circ\text{C}$)

*) Lời khuyên này của độc giả đã phổ biến cuốn sách, Viện sĩ L. D. Landu và Giáo sư A.I. Kitaygorodsky “Vật lý cho mọi người”, M., “Nayka”, 1963. Chương 12 của cuốn sách này sẽ đóng vai trò là hướng dẫn về tất cả các vấn đề vật lý được đặt ra ở nước ta.

12

Cơm. 2.

và đêm ($t = -160^\circ\text{C}$) trên bề mặt mà không có lớp vỏ mặt trăng được bảo vệ? Đáp số những câu hỏi này được trả lời bằng cái gọi là sơ đồ trạng thái của nước (Hình 2), mà bây giờ chúng ta sẽ thảo luận.

Chúng ta sẽ vẽ biểu đồ áp suất mà băng, nước hoặc hơi nước nằm dọc theo trục thẳng đứng và nhiệt độ của chúng dọc theo trục hoành. Mỗi điểm trên mặt phẳng giới hạn bởi trục tọa độ $P$ và $t^\circ$ tương ứng với một trạng thái nhất định của nước (nước đá, nước hoặc hơi nước).

Hãy bắt đầu với nước đá. Đường cong màu xanh biểu thị sự phụ thuộc của áp suất làm băng tan vào nhiệt độ. Áp suất càng cao thì điểm nóng chảy càng thấp. Chúng ta hãy di chuyển ra khỏi đường cong màu xanh lam sang bên phải một chút: ở cùng áp suất, chúng ta sẽ tăng nhiệt độ. Băng sẽ tan hoàn toàn - các điểm của mặt phẳng bên phải đường cong màu xanh tương ứng với nước. Nếu bạn di chuyển sang trái từ đường cong màu xanh và giảm nhiệt độ, nước sẽ đóng băng và biến thành băng. Tại các điểm màu xanh lam của đường cong (và chỉ ở những áp suất và nhiệt độ này) băng và nước ở trạng thái cân bằng với nhau - bao nhiêu băng tan, bao nhiêu nước biến thành băng. Vì vậy, đường cong màu xanh được gọi là đường cong cân bằng của băng và nước.

Nếu chúng ta tăng nhiệt độ của nước ở một áp suất không đổi, chúng ta sẽ thấy mình ở một vùng nhiệt độ mà ở đó chỉ có hơi nước có thể tồn tại. Vùng nhiệt độ và áp suất này nằm ở bên phải đường cong màu đỏ - đường cong cân bằng của nước và hơi nước, hay nói cách khác là đường cong biểu thị sự phụ thuộc của điểm sôi của nước vào áp suất. Đường cong này, như có thể thấy trong hình, cho thấy rằng áp suất của nước càng thấp thì điểm sôi của nó càng thấp. Chúng tôi biết rõ điều này - ví dụ, ở vùng núi cao, nơi áp suất không khí thấp, người leo núi khó luộc trứng trong nước sôi nên chúng tôi phải chiên trứng. Trên đỉnh Elbrus, nơi có áp suất bằng khí quyển, nước sôi ở $82^\circ\text{C}$.

Hãy giảm áp suất xuống 0,006 giờ sáng. Kinh nghiệm cho thấy điểm sôi giảm xuống 0 (chính xác hơn là đến $0,0075^\circ\text{C}$) - “nước sôi” có nhiệt độ đóng băng của nước. Điều gì sẽ xảy ra nếu áp suất giảm thêm? Nhiệt độ sôi giảm xuống dưới 0, “nước sôi”

14

bằng hoặc lớn hơn khí quyển nếu băng được bao phủ bởi một lớp nước (Hình 3).

Đối với đường cong cân bằng nước-hơi nước, mọi thứ đều mang tính chất hoàn cảnh. Tất cả các điểm ở bên phải của đường cong màu đỏ tương ứng với trạng thái ổn định - hơi nước, bên trái - trạng thái ổn định - nước. Nếu áp suất hơi nước nhỏ hơn áp suất trên đường cong màu đỏ thì nước ở nhiệt độ nhất định sẽ bay hơi hoàn toàn (hơi nước phía trên là chưa bão hòa). Khi tiếp xúc với khí quyển, áp suất hơi của nước thường là 0,013 am, nghĩa là bằng 60% áp suất hơi bão hòa. Vì vậy, nước hấp thụ trong món ăn sẽ luôn bay hơi theo thời gian. Khi không khí nguội đi, áp suất lúc 0,013 am trở nên lớn hơn áp suất hơi bão hòa ở nhiệt độ mới và hơi nước ngưng tụ (ví dụ sương sớm).

Nhưng sự bay hơi từ bề mặt chất lỏng là một quá trình rất chậm. Có một quá trình khác chuyển chất lỏng thành hơi, nhanh hơn nhiều - bay hơi trong quá trình sôi. Trong trường hợp này, bọt hơi hình thành trong toàn bộ thể tích chất lỏng. Áp suất bên ngoài (áp suất tổng cộng 1 giờ sáng) được truyền từ bề mặt chất lỏng đến tất cả các điểm trong độ sâu của nó, do đó áp suất bên trong thu được bằng (hoặc lớn hơn) áp suất tổng cộng lên chất lỏng, bất kể nguyên nhân của áp suất bên ngoài này là hơi nước hay áp suất không khí trong khí quyển.

Trên Mặt Trăng, nước luôn sôi trên bề mặt thoáng nhưng đóng băng bên dưới. Nhưng tùy thuộc vào thời gian trong ngày (nghĩa là do Mặt trời sưởi ấm), có thể có rất nhiều tác động khác nhau.

Hơi nước có đóng băng hay không không chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ mà còn phụ thuộc vào áp suất. Trên Mặt trăng, ở áp suất thấp, hơi nước có thể thoát ra trên bề mặt và không đóng băng. Trong Hình 2, chúng ta thấy rằng trong điều kiện Mặt Trăng, hơi nước có thể tồn tại ở nhiệt độ gần -200°C. Tất cả phụ thuộc vào các điều kiện (sự phụ thuộc của áp suất vào độ sâu, nhiệt độ, độ xốp của chất trên Mặt trăng), mà trong suốt 4,5 tỷ năm lịch sử của Mặt trăng có thể rất khác nhau.

Do đó, cả hai điểm chính của lý thuyết về băng dưới bề mặt - sự giải phóng một lượng hơi nước vừa đủ từ độ sâu của Mặt trăng và sự đóng băng của nó trên bề mặt - đều dựa trên những giả định nhất định và cần được kiểm tra bằng thực nghiệm. Chúng tôi đang nỗ lực phát triển các phương pháp thử nghiệm để tìm kiếm băng và sử dụng chúng để kiểm tra Mặt trăng trên toàn bộ bề mặt cũng như độ sâu của nó.

Phạm vi nhiệt độ trên bề mặt mặt trăng rất rộng (từ -160 đến +120°C). Có thể gợi ý rằng các tính chất của băng trong phạm vi nhiệt độ rộng như vậy cũng không phải là hằng số. Việc tìm kiếm băng trên Mặt trăng (vẫn còn mang tính lý thuyết) đã thúc đẩy nghiên cứu mới về tính chất của băng trong các phòng thí nghiệm trên Trái đất.

Năm 1969, quá trình đóng băng nước được nghiên cứu trong điều kiện bóng mặt trăng, tức là ở áp suất nhỏ hơn 10 phần triệu khí quyển và nhiệt độ (-170°C) - (-180°C). Đồng thời, một dạng băng chưa được biết đến cho đến nay đã được phát hiện - băng vô định hình. Nó đặc gấp đôi nước: khi nước đóng băng ở nhiệt độ cao, nó không nở ra (hãy nhớ rằng băng nói chung nổi trên mặt nước) mà xẹp xuống.

Thiết kế thử nghiệm rất đơn giản. Nước cất được đưa vào buồng chân không và đông lạnh thành một lớp băng mỏng trên hình nón kim loại. Thể tích của nước đá được xác định bằng cách so sánh ảnh chụp hình nón trước và sau khi đóng băng, khối lượng được xác định bằng cách cân. Từ đây đến mật độ. Nước đá đông lạnh trên hình nón ở nhiệt độ dưới -175°C có mật độ 2,3 e/cm³ và dính trên kính. Sử dụng hai phương pháp cơ học để đo nhiệt độ của nước, trên cùng một thang đo, nhiệt độ của nước được đo bằng nhiệt kế.

Có thể có sông trên Mặt trăng?

Thoạt nhìn thì không. Nếu nước ở trạng thái rắn hoặc khí thì làm sao nó có thể chảy được? Tuy nhiên, khi phân tích sơ đồ trạng thái bên ngoài hơn (Hình 2), đáp số đơn giản như vậy hóa ra lại không chính xác.

Hãy tưởng tượng có một dòng nước chảy ngang qua bề mặt Mặt Trăng. Nước sẽ bốc hơi mạnh khỏi bề mặt. Sự bay hơi lãng phí rất nhiều nhiệt. Điều này sẽ loại bỏ nhiệt từ nước vẫn chưa được xử lý và nó bắt đầu đóng băng. Băng hình thành nhẹ hơn nước. Nó sẽ nổi trên mặt nước và tạo thêm áp lực lên mặt nước bằng trọng lượng của nó. Khi áp suất của lớp băng $P = \rho gh$ vượt quá áp suất tại điểm ba $P_0 = 0,006 \text{ am}$, nước sẽ ngừng bay hơi.

Trên Mặt trăng $g = 1,16 \text{ m/cm}^2$, mật độ băng là $0,9 \text{ e/cm}^3$, tức là độ dày tối thiểu của lớp băng bảo vệ nước khỏi sôi ở $0^\circ \text{ C}$ bằng nhau

$$h = \frac{P_0}{\rho g} = \frac{0,006 \cdot 10^5 \text{ m/m}^2}{0,9 \cdot 10^3 \text{ kg/m}^3 \cdot 1,6 \text{ m/cm}^2} \approx 0,4 \text{ m}.$$

Có những rãnh trên bề mặt Mặt trăng giống như lòng sông trên trái đất? Hóa ra là có. Các rãnh quanh co đã được thay thế trên Mặt trăng ngay từ năm 1788. Chúng thường bắt nguồn từ các miệng núi lửa, trên vùng đất cao và kết thúc ở vùng đất thấp. Gần đây, các nhà khoa học Mỹ Lingenfelter, Peel và Schubert đề xuất rằng các rãnh uốn lượn chính là lòng sông nước mặt trăng chảy dưới lớp băng bảo vệ. Thật vậy, về cấu trúc và kích thước của chúng, những luống quanh co có hình dáng tương tự như lòng sông trên trái đất. Lớp dưới băng có thể đóng vai trò là nguồn nước. Một thiên thạch lớn có thể xuyên qua lớp vỏ mặt trăng để đến lớp nước và mở đường cho nước trên bề mặt.

Nhưng có những lý thuyết khác về nguồn gốc của các luống quanh co, chẳng hạn như từ dòng dung nham. Liệu lý thuyết này hay lý thuyết kia có đúng hay không phải được chứng minh bằng nghiên cứu sâu hơn. Trong các phòng thí nghiệm “trái đất”,

Những nỗ lực đã được thực hiện để lập mô hình “sông mặt trăng”.

Nó được đặt trong một buồng chân không dưới mũi có kích thước $30 \times 42,5 \text{ cm}$, trên đó nó được lấp đầy bằng một lớp đá nghiền với các hạt từ 100 micron đến 4 mm (trong hầu hết các thí nghiệm, đường kính của các hạt của loại “rheolite” này là 100-500 micron). Độ dày của lớp porda thay đổi từ 0 đến 5 cm. Khay được đặt xiên. Nước được đưa vào qua một ống ở cuối khay, được nâng lên trên, với tốc độ lên tới 800 ml mỗi phút. Áp suất trong buồng được duy trì ở khoảng 0,0013 giờ sáng, tức là thấp hơn năm lần so với áp suất tại điểm ba.

Kết quả của thí nghiệm như sau. Ở áp suất khí quyển, dòng nước thực sự đã xuyên qua hệ thống kênh trong “rheolitta”. Đúng là đặc điểm uốn khúc của các con sông trên cạn không được quan sát thấy, nhưng các kênh này cũng phân nhánh và đổi hướng.

Trong các thí nghiệm trong chân không, người ta đã quan sát thấy một bức tranh hoàn toàn khác. Dòng nước đóng chặt dọc theo toàn bộ chiều dài của nó, phân tán các hạt “bụi mặt trăng” và tạo thành băng ở hai bên. Quá trình sôi tiếp tục trong vài giây cho đến khi nguồn nước được bao phủ bởi một lớp băng. Nước tiếp tục chảy dưới lớp băng nhưng không nhất thiết phải chảy xuống dưới, theo hướng dốc của khay chứa đất. Nó thấm qua “đá rheolite”, xuyên qua bề mặt ở nơi này hay nơi khác. Quá trình này cho thấy đặc điểm của một vụ nổ trên bề mặt - một luồng hơi nước cuốn đi các hạt rheolate, và sau đó một lớp vỏ băng hình thành. Cuối mỗi cái, một lớp băng bao phủ toàn bộ mâm đất. Sau đó anh ta bốc hơi. Không quan sát thấy sự hình thành kênh và bề mặt đất trở nên lạnh.

Vì vậy giả thuyết về “sông mặt trăng” chưa được xác nhận bằng thực nghiệm.

Nhiều khả năng nước được phun ra từ độ sâu của Mặt trăng bởi núi lửa. Hoạt động núi lửa (sự giải phóng khí từ độ sâu của Mặt trăng) được phát hiện bởi Nhà thiên văn học Leningrad Bộ xử lý Kozyrev. Nếu ở độ sâu vẫn còn nước thì khi khí phun trào, hơi nước cũng sẽ thoát ra.

Từ biên tập viên

Gần đây, báo chí của chúng tôi đưa tin rằng một nhóm các nhà khoa học Mỹ đang tiến hành nghiên cứu về Mặt trăng bằng cách sử dụng các thiết bị đo được để lại trên bề mặt của các phi hành đoàn tàu vũ trụ Apollo 12 và Apollo 14 đã phát hiện ra một “mạch nước phun mặt trăng” phun ra hơi nước. Tin nhắn này cần được xác minh thêm.

16

SƠ ĐỒ CHUYỂN ĐỔI

R. V. Freivald

Tại Tối ưu hóa toán học toàn liên minh V*), bài toán sau đây đã được đề xuất:

Một công tắc (Hình 1) có hai đầu vào và hai đầu ra có thể ở hai trạng thái khác nhau.

Hình 2 cho thấy một mạch liên lạc điện thoại có ba đầu vào và ba đầu ra, có đặc tính “phổ quát” sau:

Cơm. 1. Hình 2. Hình 3.

bằng cách thay đổi trạng thái của công tắc, bạn có thể thực hiện bất kỳ kết nối nào trong sáu kết nối của ba đầu vào với ba đầu ra khác nhau, nghĩa là

(Hãy kiểm tra điều này. Lưu ý rằng tổng số trạng thái khác nhau của mạch này là 2³=8, vì mỗi công tắc có thể ở hai trạng thái.)

a) Xây dựng một mạch có bốn đầu vào và bốn đầu ra sẽ là “phổ quát”, nghĩa là, bất kỳ kết nối nào trong số 24 kết nối có thể có của đầu vào và đầu ra sẽ được thực hiện.

b) Số lượng công tắc tối thiểu cần thiết cho một mạch điện như vậy là bao nhiêu?

b) Chúng ta gọi một mạch có n đầu vào và n đầu ra là n-phổ quát nếu

*) Để biết thêm thông tin về tối ưu hóa ngẫu nhiên, xem «Kvant» Số 11, 1971, trang 35-42.

18

Chia thành các khối $A$ và $B$ sao cho 4 kết nối đi qua $A$ và 4 kết nối đi qua $B$. Khi làm như vậy, chúng ta phải đảm bảo rằng hai kết nối không đi qua cùng một đầu vào hoặc cùng một đầu ra của các khối $A$ và $B$.

Hãy xem xét đầu vào thứ nhất và thứ năm của mạch của chúng tôi. Mỗi trong số chúng có thể được kết nối với đầu vào đầu tiên của khối $A$ hoặc với đầu vào đầu tiên của khối $B$. Do đó, một trong các đầu vào này phải được kết nối với khối $A$, đầu vào còn lại với khối $B$, nếu không, hai kết nối sẽ được kết nối với cùng một đầu vào của một số khối. Các cặp đầu vào sau đây cũng phải được kết nối với các khối khác nhau: thứ 2 và thứ 6, thứ 3 và thứ 7, thứ 4 và thứ 8. Dễ dàng nhận thấy rằng điều kiện phân phối kết nối giữa các khối như vậy không chỉ cần thiết mà còn đủ để đảm bảo rằng các kết nối khác nhau trong mạch không đi qua cùng một đầu vào của các khối $A$ và $B$. Để tạo điều kiện tương tự cho đầu vào của khối $A$ và $B$, rất hữu ích khi chú ý đến tính đối xứng trong cách sắp xếp đầu vào và đầu ra của mạch. Chúng tôi kết luận rằng các cặp đầu ra mạch sau đây phải được kết nối với các khối khác nhau: thứ 1 và thứ 5, thứ 2 và thứ 6, thứ 3 và thứ 7, thứ 4 và thứ 8.

Chúng ta hãy mô tả trong hình những mối quan hệ giữa các liên kết khác nhau của cùng một hợp chất. Mỗi kết nối riêng lẻ sẽ được biểu thị bằng một hình chữ nhật, bên trong ghi đầu vào nào mà kết nối này kết nối với đầu ra nào. Nếu hai kết nối phải đi qua các khối khác nhau thì các hình chữ nhật tương ứng được kết nối bằng một đường thẳng. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ vẽ một đường tuyến tính màu đỏ nếu có 4 điểm khác biệt ở đầu vào và màu xanh lam nếu có 4 điểm khác biệt ở đầu ra.

Ví dụ, kết nối

$$\begin{array}{c c c c c c c c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 3 & 8 & 1 & 6 & 2 & 7 & 5 & 4 \end{array}$$

Cách này được mô tả trong Hình 7.

Dù kết nối là gì, chính xác một đường màu xanh và một đường màu đỏ sẽ xuất hiện từ mỗi hình chữ nhật. Do đó, mẫu luôn bao gồm một hoặc nhiều “vòng”. Hơn nữa, trong mỗi “vòng”, các đường màu đỏ và xanh lam xen kẽ nhau, nếu không thì hai đường cùng màu sẽ xuất hiện từ một hình chữ nhật nhất định. Do đó, mỗi “vòng” chứa một số primogol.

Sử dụng bản vẽ như vậy, có thể dễ dàng phân phối các kết nối giữa các khối để đáp ứng tất cả các hạn chế trên. Để làm điều này, bạn cần đảm bảo rằng các kết nối tương ứng với các hình chữ nhật được kết nối bằng một đường tuyến tính sẽ đi qua các khối. Do đó, trong mỗi “vòng” của hình, bạn cần chọn ngẫu nhiên một squat và tạo kết nối tương ứng với khối slick xuyên qua $A$ này, sau đó tạo kết nối tương ứng với khối sên xuyên qua tương ứng $B$, sau đó kết nối tương ứng

19

shue sang hình chữ nhật tiếp theo, qua $A$, v.v. cho đến khi “vòng” đóng lại. Các kết nối tương ứng với hình chữ nhật đầu tiên và cuối cùng sẽ được thực hiện thông qua các khối khác nhau, vì số lượng hình chữ nhật trong “vòng” là số chẵn. Mạch phổ quát 8 (xem Hình 3) đã được chứng minh. Chúng tôi chỉ lưu ý rằng việc phân phối liên lạc giữa các khối luôn có thể được thực hiện sao cho một trong các công tắc (ví dụ: phía dưới bên trái) ở trạng thái được xác định trước. (Nói cách khác, công tắc này có thể được loại bỏ khỏi mạch, nhưng mạch không thể thay đổi thành phổ quát.) Sau đó, trong “vòng” chứa kết nối đi qua công tắc đã chọn, việc phân phối kết nối giữa các khối phải bắt đầu bằng kết nối này.

Để ước tính số lượng công tắc trong một mạch phổ quát $n$ tối thiểu, chúng ta sẽ xây dựng các mạch phổ quát $n$ với càng ít công tắc càng tốt. Bằng chứng trên của mạch 8 phổ (xem Hình 3) có thể dễ dàng khái quát hóa cho trường hợp có số lượng đầu vào bất kỳ. Phương pháp này giúp cho việc có một mạch 8 phổ có thể xây dựng được một mạch 16 phổ khá tiết kiệm, sau đó là mạch 32 phổ, v.v. Có thể tính toán rằng nếu $n=2^k$ và mạch (Hình 4) được sử dụng làm khối của mạch 4 phổ, thì mạch đó có các công tắc $2k \cdot 2^k - \frac{11}{4} \cdot 2^k = 2n \cdot \log_2 n - \frac{11}{4} \cdot n$. Nếu $n$ không bằng lũy ​​thừa toàn phần của hai thì bạn có thể sử dụng một mạch phổ quát cho một số lượng lớn đầu vào bằng lũy ​​thừa toàn phần của hai. Vì lũy thừa tuyệt đối gần nhất của hai vượt quá số đã cho $n$ không quá hai lần, nên đối với bất kỳ $n$ nào cũng có một mạch phổ quát $n$ chứa tối đa $4n \cdot \log_2 n$ công tắc.

(Về phần kết, xem trang 27.)

20

Thậm chí từ 300 năm trước Công nguyên, các nhà khoa học Hy Lạp đã biết rằng ánh sáng truyền theo đường thẳng, có đặc tính bị phản xạ từ bề mặt của mắt và góc tới bằng góc phản xạ. Kiến thức cổ xưa cũng nói về sự khúc xạ ánh sáng. Claudius Ptolemy, nhà thiên văn học và toán học vĩ đại thời cổ đại, đã biên soạn các bảng đo lường góc tới và góc khúc xạ. Nhưng không có sự đồng thuận về vấn đề tốc độ ánh sáng trong khoa học cổ đại. Hầu hết các nhà khoa học thời đó, bao gồm cả Aristotle, tin rằng tốc độ ánh sáng là vô cùng cao - xét cho cùng, nó không thể đo được dù chỉ gần đúng bằng bất kỳ dụng cụ và phương pháp nào tồn tại vào thời điểm đó. Tuy nhiên, 900 năm trước, nhà khoa học và bác sĩ người Ả Rập Avicenna đã đề xuất rằng tốc độ ánh sáng, dù rất cao nhưng là hữu hạn. Algazen đương thời của ông cũng đồng ý với ông. Nhưng tất nhiên, không ai trong số họ có thể chứng minh quan điểm của mình bằng sự thật hoặc thí nghiệm.

Bằng cách này hay cách khác, tất cả các thế hệ trong nhiều thế kỷ đã trôi qua hoặc quan tâm đến bản chất của ánh sáng, bằng chứng là những huyền thoại, truyền thuyết và truyền thống đã đến với chúng ta. Mối quan tâm vô tận này đối với các hiện tượng tự nhiên ban đầu là động cơ duy nhất thúc đẩy các nhà khoa học chấp nhận phép đo thực nghiệm về tốc độ ánh sáng. Tuy nhiên, từ các nhà vật lý thực nghiệm lớn nhất

tator Albert Michelson, người đã dành gần như cả cuộc đời mình để đo tốc độ ánh sáng, khi được các phóng viên hỏi: “Tại sao lại cần điều này?” trả lời: “Điều này thật thú vị!” Nhưng ngay cả trước công trình của Michelson, việc xác định tốc độ ánh sáng và sự phụ thuộc của nó vào các điều kiện khác nhau đã có đặc điểm không chỉ thỏa mãn sự tò mò của các nhà khoa học. Ý tưởng ngày càng thú vị về “ête phát quang”, câu hỏi về bản chất sóng hoặc hạt của ánh sáng, và sau đó là lý thuyết tương đối đòi hỏi kiến ​​thức chính xác về tốc độ ánh sáng. Ở thời đại chúng ta, việc xác định chính xác đại lượng này có ý nghĩa hoàn toàn thực tế. Cần phải biết nó khi tính năng lượng của các phản ứng hạt nhân và đo khoảng cách giữa các vật thể trong không gian liên quan đến việc mở rộng nghiên cứu không gian và trong nhiều vấn đề quan trọng không kém khác.

Người đầu tiên cố gắng xác định bằng thực nghiệm tốc độ ánh sáng là Galileo Galilei. Phương pháp của ông cực kỳ đơn giản, nhưng đáng tiếc là không mang lại kết quả. Đây là cách chính Galileo mô tả nó:

“Kinh nghiệm mà tôi nghĩ ra như sau: Hai người mỗi người cầm một ngọn lửa, đặt trong một chiếc đèn lồng hoặc những thứ tương tự, có thể mở hoặc đóng bằng chuyển động của bàn tay khi nhìn thấy rõ ràng.

22

Cơm. 2.

Sẽ lan truyền trong ống kính thiên văn ($\tau = \frac{l}{c}$, trong đó $c$ là tốc độ ánh sáng, $l$ là chiều dài của ống), Trái đất sẽ chuyển động dọc theo quỹ đạo một đường bằng $v \cdot \tau$, và ảnh của ngôi sao sẽ di chuyển ra xa tâm trường nhìn đến cùng một khoảng cách (Hình 2, a). Để đưa hình ảnh của ngôi sao về vị trí của nó, bạn cần phải nghiêng kính thiên văn theo hướng chuyển động của Trái đất một góc $\alpha$ sao cho $tg \alpha = \frac{v \tau}{l}$ (Hình 2, b). Vì $l = c \tau$, nên $tg \alpha = \frac{v \tau}{c \tau} = \frac{v}{c}$. Do đó $c = \frac{v}{tg \alpha}$. Điều tương tự sẽ xảy ra trong
điểm đối diện với quỹ đạo trái đất nhưng điện thoại sẽ nghiêng theo hướng ngược lại. Do đó, hướng tới cùng một ngôi sao có thể khác nhau một góc tối đa là $2\alpha$. Những thay đổi cho thấy rằng $2\alpha = 41''$. Trong quá trình quan sát thiên văn, kính thiên văn tất nhiên không bị nghiêng. Nhờ sự thay đổi hướng của tốc độ Trái đất, hình ảnh của ngôi sao sẽ ở những điểm khác nhau trong tầm nhìn của kính thiên văn vào những ngày khác nhau và sẽ tạo thành một hình elip trong suốt cả năm. Trục chính của hình elip này sẽ được nhìn thấy từ tâm thấu kính ở góc $2\alpha$. Biết góc $\alpha$, Bradley tìm ra tốc độ ánh sáng và thu được giá trị của nó là 303.000 km/giây. Đó là vào năm 1728.

Tuy nhiên, các nhà khoa học không hài lòng; họ muốn thay đổi ánh sáng ban đầu không đủ trên Trái đất mà không rời khỏi ranh giới của hành tinh quê hương của họ để mọi điều kiện của thí nghiệm đều được kiểm soát. Lời giải đã phải đợi một trăm hai mươi năm cho việc này bài toán.

Năm 1849, nhà vật lý người Pháp Armand Hippolyte Louis Fizeau đã nghĩ ra một phương pháp khá đơn giản cho việc này. Sơ đồ của nó như sau (Hình 3). Một tia sáng từ một nguồn $S$ chiếu vào một tấm gương nửa mở $\Pi$, bị phản xạ từ nó và truyền qua các đường thu tới một điểm đứng yên

Cơm. 3

24

Chiều dài của đế là $r$, sau đó cho ánh sáng truyền đi $3_13_2$ và quay ngược thời gian $\Delta t = \frac{2r}{c}$. Trong thời gian này, gương $3_1$ quay với tần số $n$ (rpm), sẽ quay một góc $\alpha = 2\pi n \cdot \frac{2r}{c}$. Theo định luật phản xạ, góc giữa tia 1 và 2 (xem Hình 4) trên đường đi $3_1\Pi$ sẽ bằng $2\alpha = 8\pi n \cdot \frac{r}{c}$.

Do đó, ảnh $S'_1$ mà người quan sát nhìn thấy bằng gương quay $3_1$, hóa ra được trộn với ảnh $S'$, thu được bằng gương đứng yên $3_1$, một góc bằng $8\pi n \cdot \frac{r}{c}$.

Sử dụng phương pháp này, Foucault thu được giá trị $c = 298000$ km/giây cho tốc độ ánh sáng trong không khí.

Theo kế hoạch ban đầu của Arago, Foucault đã sử dụng khả năng sắp đặt của mình để thay đổi tốc độ ánh sáng trong nước. Để làm được điều này, ông đã thay đổi một chút tính chất bằng cách trang bị cho nó hai gương cầu nằm đối xứng nhau và đặt nước giữa một trong số chúng và gương quay. Điều này cho phép anh ta so sánh tốc độ ánh sáng trong nước và không khí và thấy rằng tốc độ ánh sáng trong nước bằng $3/4$ giá trị của nó trong không khí. Kết quả này là đòn cuối cùng giáng vào lý thuyết hạt ánh sáng của Newton.

Các phương pháp vật lý và Foucault cho phép thay đổi tốc độ ánh sáng với độ chính xác $\pm 500$ km/giây.

Năm 1873, Alfred Cornu, người lặp lại thí nghiệm vật lý, đã thay đổi tốc độ ánh sáng với độ chính xác $\pm 200$ km/giây.

Năm 1877, nhà vật lý người Mỹ Albert Michelson đã đưa ra các điều kiện của ánh sáng với độ chính xác $\pm 50$ km/giây.

Nhưng Michelson không hài lòng với kết quả này. Từ năm 1877 cho đến cuối đời, ông liên tục quay lại việc thay đổi tốc độ ánh sáng, không ngừng cải tiến cách sắp đặt của mình. Giá trị $c = 299796 \pm 4$ km/giây mà Michels thu được từ lâu được coi là chính xác nhất.

Trong bài toán thay đổi tốc độ ánh sáng, các thí nghiệm của Michelson đã hoàn thành một giai đoạn có thể gọi là cổ điển. Nhưng ngay cả trước khi công trình của Michelson kết thúc, các thí nghiệm mới đã được thực hiện, trên cơ sở kỹ thuật và ý thức hệ mới, được cung cấp bởi sự phát triển nhanh chóng của vật lý. Những thí nghiệm này vẫn tiếp tục cho đến ngày nay; Mục tiêu của họ là thiết lập giá trị chính xác nhất cho tốc độ ánh sáng.

Các phương pháp hiện đại để thay đổi tốc độ ánh sáng có thể được chia thành

26

Hãy nhớ rằng một số được gọi là số hữu tỉ nếu nó bằng $\frac{m}{n}$, trong đó $n$ và $m$ là số nguyên và ngược lại là số hữu tỉ. Mọi người đều biết rằng số $\sqrt{2}$ là số vô tỉ. Thật dễ dàng để chứng minh một phát biểu tổng quát hơn: nếu số tự nhiên $k$ không phải là số chính phương thì số $\sqrt{k}$ là số vô tỷ. Lưu ý rằng $k$ có thể được biểu thị dưới dạng $b^2a$, trong đó $a$ và $b$ là các số tự nhiên và $a$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên (như người ta nói, “không có hình vuông”), tức là $a$ bằng một số nguyên tố hoặc tích của các số nguyên tố khác nhau: $a=p_1p_2...p_r$; $r \ge 1$. Phát biểu rằng số $\sqrt{k}=b\sqrt{a}$ là số vô tỉ có tính chất sau: không có số nguyên nào khác 0 $b_1$ và $b_2$ sao cho $b_1\sqrt{a}+b_2=0$. Thật vậy, nếu $b_1$ và $b_2$ tồn tại, thì $b_1^2a=b_2^2$. Nhưng đẳng thức này mâu thuẫn với định lý về tính duy nhất của việc phân tích một số tự nhiên thành thừa số nguyên tố: $p_1$ đi vào vế phải ở mức chẵn và vế trái ở mức lẻ.

Trong lưu ý này, chúng tôi sẽ chứng minh rằng nếu $b_1, b_2,..., b_n$ là số nguyên khác 0, $a_1, a_2,..., a_n$ là số tự nhiên không có bình phương, thì $b_1\sqrt{a_1}+b_2\sqrt{a_2}+\dots+b_n\sqrt{a_n} \neq 0$.

Lên đến $n=4$ điều này dễ dàng được chứng minh bằng phản chứng bằng cách nâng cả hai phần (các cách tiếp cận được nhóm theo cách) thành một hình vuông nhiều lần. Trong trường hợp tổng quát, chúng ta sẽ tiến hành chứng minh quy nạp về số số nguyên tố phân biệt $p_1,..., p_N$ tạo nên ít nhất một trong các số $a_i$. Như thường lệ, sẽ thuận tiện hơn khi chứng minh bằng quy nạp một mệnh đề mạnh hơn (bản thân nó thú vị):

có các số nguyên $c_1, d_1, c_2, d_2,..., c_e, d_e$ sao cho $d_i \neq 0$, $c_i \ge 1$, tất cả các ước nguyên tố của các số $c_i$ đều nằm trong các số $p_1,..., p_N$ và tích

$$\left(d_1\sqrt{c_1}+\dots+d_e\sqrt{c_e}\right)\times\left(b_1\sqrt{a_1}+\dots+b_n\sqrt{a_n}\right)$$

là một số nguyên khác 0.

Chúng ta hãy biểu thị $b_1\sqrt{a_1}+\dots+b_n\sqrt{a_n}$ bằng $S$ và loại bỏ tổng $d_1\sqrt{c_1}+\dots+d_e\sqrt{c_e}$ bằng $S'$.

Nếu $N=1$ thì s có dạng $b_1\sqrt{p_1}+b_2\sqrt{p_2}-b_2$: ở trên chúng ta đã chứng minh rằng $SS'=b_1^2p_1-b_2^2 \neq 0$. Bây giờ chúng ta giả sử rằng $N \ge 2$ và tuyên bố của chúng tôi hợp lệ với tất cả các giá trị nhỏ hơn của $N$.

Chúng ta sẽ biểu thị bằng các chữ cái $S_1, S_2,..., S_8$ tổng có dạng $\beta_1\sqrt{\alpha_1}+\dots+\beta_m\sqrt{\alpha_m}$, trong đó $\beta_i$ là số nguyên, $\alpha_i$ là các số tự nhiên không vuông góc, tất cả các ước nguyên tố của chúng đều nằm trong số $p_1,..., p_{N-1}; S_1, S_2,..., S_8$, trừ khi có quy định khác, có thể bằng 0.

Tổng $S$ có thể được viết là $S=S_1+S_2\sqrt{p_N}$, trong đó $S_2 \neq 0$. Theo giả thuyết quy nạp, tồn tại một tổng $S_3$ sao cho $f=S_3S_2$ là số nguyên khác 0. sản xuất

28

V. I. Kuznetsov

Một ngày nọ, những người thợ xây đang mở đường và tìm thấy một hang động cổ chứa đầy đá núi lửa. Nó chứa một kho giày - ba trăm đôi dép làm bằng cỏ dệt. Nhà kho tuyệt vời này được thành lập khi nào, ở tòa nhà nào? Không có Đáp số. Nó chỉ đạt được vài năm sau đó, khi một phương pháp được phát triển để xác định tuổi của một sản phẩm làm từ gỗ, xương và các vật liệu khác có chứa carbon.

Để hiểu cách xác định thời gian tạo ra các sản phẩm đó, chúng ta hãy chuyển sang các quá trình hạt nhân xảy ra ở các tầng trên của khí quyển (ở độ cao khoảng 15 km).

Bầu khí quyển của trái đất liên tục bị bắn phá bởi các tia vũ trụ. Phần lớn bức xạ vũ trụ đến từ các proton chuyển động nhanh – hạt nhân của các nguyên tử hydro. Năng lượng của chúng rất lớn - nó đạt tới hàng tỷ volt. Khi đi qua bầu khí quyển, các proton va chạm với hạt nhân của các nguyên tử tạo nên không khí. Khi hạt nhân nguyên tử va chạm nhau, chúng giải phóng neutron và các hạt khác. Ngược lại, các neutron thu được sẽ tương tác với vật chất trong khí quyển, thường xuyên nhất là với nitơ. Trong một số trường hợp, neutron đánh bật một proton ra khỏi hạt nhân nitơ (gồm 7 proton và 7 neutron) và chiếm lấy vị trí của nó. Kết quả là nitơ biến thành đồng vị của carbon, hạt nhân chứa 6 proton và 8 neutron. Phản ứng hạt nhân xảy ra có thể viết như sau:

$$\frac{14}{7}N + \frac{1}{0}n \rightarrow \frac{14}{6}C + \frac{1}{1}p.$$

Nguyên tử mới có nhiều hơn hai neutron so với hạt nhân của đồng vị phổ biến nhất của carbon, $^{12}$C. Cacbon nặng $^{14}$C được gọi là cacbon phóng xạ. Hạt nhân carbon phóng xạ phát ra electron (hạt beta) và biến thành nitơ: $^{14}$C $\rightarrow^{14}$N. Tốc độ của quá trình này được đặc trưng bởi thời gian trong đó một nửa số nguyên tử ban đầu $^{14}$C được chuyển đổi thành nitơ. Thời gian này được gọi là chu kỳ bán rã và thường được ký hiệu là $T_{\frac{1}{2}}$. Đối với đồng vị $^{14}$C $T_{\frac{1}{2}} = 5600$ năm. Nếu $T_{\frac{1}{2}}$ năm nữa trôi qua, thì nửa nguyên tử còn lại, một nửa sẽ phân hủy trở lại và một phần tư còn lại - $(1/2)^2$, và trong thời gian $t$, bằng $n$ chu kỳ bán rã,

29

chỉ giữ lại phần $(1/2)^n$ của nguyên tử $^{14}\text{C}$:

$$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}.$$

(1)

Ở đây $N_0$ là số lượng nguyên tử carbon phóng xạ tại thời điểm ban đầu, $N$ là số lượng nguyên tử carbon phóng xạ tại thời điểm $t$.

Chu kỳ bán rã của carbon phóng xạ là một giá trị ngang bằng với tuổi của một người trong một nền văn hóa. Lịch sử chỉ có dữ liệu đáng tin cậy trong vòng 5000 năm. Biết số lượng cacbon phóng xạ phân rã trên một đơn vị thể tích hoặc trọng lượng trên một đơn vị thời gian trong khí quyển, nước và vật liệu sống, không khó để tính toán lượng cacbon phóng xạ phân rã mỗi năm và bao nhiêu trong số đó được chứa trên Trái đất. Các tính toán cho thấy trên Trái đất chỉ có khoảng 60 tấn carbon phóng xạ.

Cứ một nghìn tỷ nguyên tử cacbon trên trái đất thì có một nguyên tử $^{14}\text{C}$. Nguyên tử cacbon phóng xạ cùng với các nguyên tử cacbon thông thường được thực vật tạo ra và từ đó xâm nhập vào cơ thể động vật và con người. Ở bất kỳ sinh vật động vật nào, cacbon phóng xạ liên tục bị phân hủy và được bổ sung. Trong mỗi gram carbon trong cơ thể sống, có khoảng 14 nguyên tử carbon phóng xạ phân hủy mỗi phút. Theo quy luật, nồng độ của isotone $^{14}\text{C}$ là như nhau trong tất cả các carbon là một phần của sinh vật sống.

Ngay khi sinh vật chết đi, nó sẽ rơi ra khỏi chuỗi chu trình carbon phóng xạ đang diễn ra trên Trái đất. Trong một sinh vật như vậy, một đài phát thanh mới-

Cơm. 2. Sợi dây này đã được cư dân cổ xưa ở Peru sử dụng khoảng 3000 năm trước.

Cơm. 3. Những mảnh vải vụn trong đó có một trong những cuộn giấy viết tay được tìm thấy gần Biển Chết được bọc lại. Tuổi của họ là khoảng 2000 năm.

carbon không đi vào và carbon tích lũy trước đó sẽ tan rã. Lượng carbon phóng xạ trong cơ thể người chết sẽ giảm đi một nửa sau 5.600 năm. Nếu một vật thể được làm từ một cái cây bị đốn cách đây khoảng 5.600 năm, thì trong một gam cacbon thoát ra từ nó, máy đếm bức xạ phóng xạ sẽ ghi lại không phải 14 mà là khoảng 7 phân rã mỗi phút. Dựa trên số lần phân hủy, có thể tính được tuổi của các đồ vật làm bằng gỗ, cũng như xương động vật và thực vật. Để làm điều này, bạn cần sử dụng công thức (1). Từ công thức này suy ra rằng

$$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}};$$

$$\lg \frac{N}{N_0} = \frac{t}{T_{1/2}} \lg \left(\frac{1}{2}\right);$$

$$t = T_{1/2} \frac{\lg(N/N_0)}{\lg(1/2)} = T_{1/2} \frac{\lg(N_0/N)}{\lg 2}.$$

Số lượng phân rã trong một phút $A$ tỷ lệ thuận với số lượng nguyên tử $N$. Vì vậy, tại thời điểm ban đầu $A_0 = kN_0 = 14$ và tại thời điểm $t$, khi số lượng nguyên tử là $N$, $A = kN$. Kể từ đây,

$$N = A/k, N_0 = A_0/k = 14/k,$$

Và

$$N_0/N = 14/A$$

$$t = T_{1/2} \frac{\lg(14/A)}{\lg 2} = 18400 \lg(14/A).$$

Ở đây $t$ là tuổi tính bằng năm.

30

Cơm. 4. Thảm Reed từ Nevada [Mỹ]. Cô ấy khoảng 3000 tuổi.

Khi carbon từ đôi dép tìm thấy trong hang được đưa vào máy đếm hạt beta, giá trị của A được tìm thấy là 4,5 lần mỗi phút. Theo đó, độ tuổi của phát hiện này là khoảng 9.000 năm.

Đo số lượng phân rã $^{14}$ C—phức tạp bài toán. Với mục đích này, carbon được chuyển đổi thành một trong các hợp chất khí - carbon dioxide ($\text{CO}_2$) hoặc metan ($\text{CH}_4$). Máy đếm bức xạ phóng xạ chứa đầy khí. Chính ông là người ghi lại mọi phân rã của cacbon phóng xạ. Nhưng máy đếm hạt beta cũng nhạy cảm với các hạt khác: mezon, lượng tử gamma và một số hạt khác được hình thành bởi tia vũ trụ tạo ra các xung không khác gì các xung do hạt beta gây ra. Vì vậy, đến ghi bàn chỉ bằng một lớp sắt. Tuy nhiên, rất khó để thu được sắt được tinh chế hoàn toàn khỏi tạp chất phóng xạ. Vì vậy, một hình trụ chứa đầy rue được đặt giữa quầy và bản ghi sắt (nó được đặt trên quầy). “Lớp phủ” kép bao phủ bộ đếm một cách đáng tin cậy khỏi hầu hết mọi bức xạ có thể làm sai lệch kết quả đo, nhưng không phải từ mezon. Mezon tương tác yếu với vật chất và thâm nhập ngay cả khi được bảo vệ như vậy. Để loại bỏ các xung mezonic, bộ đếm chính, chứa đầy khí đang nghiên cứu, được bao quanh tất cả các phía bởi các bộ đếm phụ. Trước khi vào quầy trung tâm, mezon được đặt ở một trong những quầy xung quanh. Trong trường hợp này, thiết bị điện tử sẽ ghi lại hai xung đồng thời ở bộ đếm trung tâm và bộ đếm bên. Các xung kép này được loại trừ trong quá trình đếm.

Nhờ thiết bị phức tạp như vậy, người ta có thể thay đổi nồng độ carbon phóng xạ rất nhỏ và xác định tuổi của các vật thể đã bị chôn vùi dưới lòng đất hoặc dưới đáy đại dương một cách đáng tin cậy lên tới 50.000 năm.

Phương pháp này có thể xác định tuổi của cacbon phóng xạ với độ chính xác bao nhiêu? Lượng carbon phóng xạ trong khí quyển tỷ lệ thuận với dòng proton sơ cấp rơi xuống Trái đất. Dòng proton thay đổi tùy theo điều kiện trên Mặt trời. Hoạt động của mặt trời càng thấp thì càng lớn. Thực tế là trong thời kỳ mặt trời hoạt động mạnh, từ trường của Mặt trời tăng lên và thu giữ một số proton vũ trụ lẽ ra đã rơi xuống Trái đất trong những năm Mặt trời yên tĩnh.

Tôi phải kiểm tra độ chính xác của “đồng hồ carbon”. Họ kiểm tra những đồ vật đã biết tuổi - những sản phẩm bằng gỗ từ Ai Cập cổ đại, đồ vật của các pharaoh. Một cuộc kiểm tra thậm chí còn chính xác hơn đã được thực hiện bằng cách sử dụng các vòng cây. Có những cây trên Trái đất có tuổi thọ lên tới 3.000 năm tuổi. Đây là tuổi thọ của cây gỗ đỏ Mỹ. Sau khi cắt một thân cây sống lâu năm, bạn có thể đếm các vòng sinh trưởng và lấy chất, ví dụ, từ lớp tương ứng với vòng ba lớp (nếu bạn tính từ mép đến lõi). Carbon từ cây chất cô lập tăng có điều kiện về số nguyên tử carbon phóng xạ $^{14}$ C—giá trị $N$. Từ công thức (2) ta có:

$$N_0 (3000 лет назад) = \frac{N}{(1/2)^{T/1/2}} = N \cdot 2^{\frac{t}{T/1/2}}.$$

Hóa ra nồng độ carbon thay đổi rất ít trong những năm qua. Tuy nhiên, những khó khăn lớn sẽ nảy sinh trong việc xác định tuổi của các tòa nhà. Ngôi nhà có thể được xây dựng từ gỗ đã được sử dụng trong cấu trúc khác. Ngoài ra, tuổi của cây trong một số trường hợp cũng đóng một vai trò lớn. Bằng cách nào đó các nhà khoa học đã quyết định về “tuổi” của cỏ ven đường. Các quầy đã ghi nhận một tỷ lệ rất nhỏ carbon phóng xạ trong chất của thực vật ven đường. Các phép tính đã dẫn đến một kết quả đáng đánh giá cao - “tuổi” của cỏ hóa ra bằng vài năm! Một lời giải thích nhanh chóng đã được tìm thấy. Khí thải tự động chạy dọc đường chứa carbon không có đồng vị nặng $^{14}$ C. Tuổi của dầu tạo ra xăng được tính bằng hàng triệu năm, và một cách tự nhiên, tất cả carbon phóng xạ trong đó đã phân hủy.

Xác định tuổi của kho giày theo thời gian chấp nhận được là một trong những bài toán khảo cổ học đầu tiên được giải quyết bằng vật lý bằng phương pháp carbon phóng xạ. Phương pháp này giúp xác định thời điểm phun trào Vykanichic cổ đại và xác định niên đại của kỷ băng hà.

Tiến vào lục địa, băng phá hủy đời sống thực vật, con người đi về phía nam, đánh dấu đường đi của mình bằng than đất son đã nguội. Thân cây cổ thụ và các địa điểm con người vẫn được bảo tồn cho đến ngày nay dưới một lớp trầm tích băng hà. Nhưng chỉ sau khi phương pháp cacbon phóng xạ ra đời thì “lịch trình” di chuyển của băng mới được thiết lập.

Các phép đo đã chỉ ra rằng trong 40 nghìn năm qua đã có ba kỷ băng hà trên Trái đất. Gần đây nhất là khoảng 11.400 năm trước. Kể từ đó, Trái đất tương đối ấm áp.

Bài toán số học

1. Tìm tất cả các số $x$ sao cho $x^3=7p+1$, trong đó $p$ là số nguyên tố.

2. Các số lẻ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần 1, 3, 5, 7,…; sau đó chia chúng thành các nhóm chứa 1, 2, 3, 4, … số, tức là như sau: (1), (3,5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), … Chứng minh rằng tổng các số thuộc một nhóm $r$ bằng $r^3$.

Tiếp theo, chia các số thành các nhóm gồm 1, 1, 4, 3, 9, 6, …, $r^2$, $\frac{r(r+1)}{2}$, $(r+1)^2$, … số.

Chứng minh rằng tổng các số trong một nhóm số $r^2$ bằng $r^5$.

3. Chứng minh rằng tồn tại vô số bốn số tự nhiên $a, b, c, d$ sao cho $(a^3+b^3)(c^3+d^3)$ có thể biểu diễn dưới dạng $M^3+N^3$, trong đó $M, N$ là các số tự nhiên.

4. Có thể thu được bao nhiêu số chia hết cho 37 từ số 3333777 bằng cách sắp xếp lại các chữ số của nó?

5. Tìm các số hữu tỷ $x$ và $y$ sao cho $0<x<3$, $y>4$ và $x^3+y^2=3^3+4^3$.

… và đại số

6. Viết phương trình có nghiệm là tỉ số của các nghiệm của phương trình $y^3+py+q=0$.

7. Chúng ta hãy biểu thị bằng $t_k$ giá trị trung bình số học của lũy thừa $k$ của các số dương $a_1, ..., a_n$. Chứng minh rằng dãy $t_1, t_2^{1/2}, ..., t_k^{1/k}, ...$ không triệt tiêu.

32

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”

TUYẾT
TINH THỂ

A. S. Varpakhovsky, A. N. Vilenkin

Những bức ảnh và hình vẽ về cây con có thể được tìm thấy trong nhiều sách giáo khoa vật lý ở những chương nói về tính đối xứng. Nhưng cho đến gần đây, đây vẫn là giới hạn trong sự quan tâm của các nhà khoa học đối với tinh thể bồ hóng. Nghiên cứu nghiêm túc về quá trình tạo mầm, sự phát triển và cấu trúc của tinh thể bồ hóng đã bắt đầu cách đây không lâu. Sự quan tâm đến tinh thể sozh chủ yếu gắn liền với việc nghiên cứu sự hình thành của jedya và các hiện tượng bắt nguồn từ khu vực này. Hóa ra hầu hết các giọt djedeva đều bắt đầu cuộc sống của chúng dưới dạng tinh thể bồ hóng, taloshes, trước khi chúng rơi xuống đất. Tuy nhiên, chỉ có những đám mây ti ở độ cao lớn và lạnh mới được tạo thành từ các tinh thể băng. Về cơ bản, mây là tập hợp những giọt nước nhỏ lơ lửng trong không khí giống như các hạt khói. Trong nhiều năm, người ta vẫn chưa biết làm thế nào những giọt nước này lớn đến kích thước cần thiết để rơi xuống đất. Một điều bí ẩn nữa là thường những giọt nước này “không chịu” đóng băng, mặc dù nhiệt độ của đám mây thấp hơn nhiều so với điểm đóng băng thông thường của nước, tức là dưới 0 ° C.

Bây giờ chúng ta biết rằng một đám mây siêu lạnh vẫn ổn định cho đến khi nó chứa ít nhất một số lượng nhỏ các tinh thể băng nhỏ có nguồn gốc từ các hạt bụi trái đất. Các phân tử nước rơi trên tinh thể băng sẽ tạo thành liên kết bền chặt với nó, khá khó phá vỡ. Các phân tử nước ngưng tụ thành giọt tương đối dễ bị xé ra - nhiệt bay hơi nhỏ hơn năng lượng cần thiết để tách phân tử nước khỏi tinh thể băng. Do đó, đám mây bao gồm các giọt nước và tinh thể băng, và các tinh thể băng phát triển nhanh hơn nhiều so với giọt nước. Hơn nữa, do sự phát triển của các tinh thể băng nên độ ẩm của không khí xung quanh giảm đi. Điều này khiến các giọt nước dần dần bốc hơi và biến mất. Đồng thời, các tinh thể băng phát triển đến kích thước đủ lớn để chúng có thể rơi xuống đất. Khi rơi xuống, một số tinh thể có thể hợp nhất lại, tạo thành cây con.

Mặc dù tinh thể bồ hóng rất đa dạng nhưng chúng có thể được phân loại theo hình dạng cơ bản của chúng; cột nhận dạng hình lục giác

34

dao động từ - 5°C đến 0°C, bạn có thể tìm thấy các tinh thể ở dạng tấm lục giác, lăng kính ngắn và những ngôi sao đẹp ấn tượng với đường kính khoảng vài mm. Những ngôi sao này là cơ sở của những bông tuyết. Ở nhiệt độ dưới 0 độ, các tinh thể kết hợp với nhau tạo thành những bông tuyết.

Tất cả điều này cho thấy hình dạng của tinh thể được xác định chủ yếu bởi nhiệt độ mà chúng phát triển. Điều này đã được xác nhận bằng các thí nghiệm phát triển tinh thể băng trong phòng thí nghiệm. Tinh thể băng được nuôi trong một buồng đặc biệt, trong đó nhiệt độ và lượng hơi nước được kiểm soát chặt chẽ. Một sợi chỉ mỏng được dùng làm hạt giống. Nhiệt độ trong buồng khác nhau ở các khu vực khác nhau dọc theo sợi chỉ. Hình 3 cho thấy một bức ảnh của một phần sợi chỉ mọc đầy tinh thể. Kích thước của khu vực này là khoảng 6 cm. Nhiệt độ trong buồng được chỉ định ở bên phải trong hình. Ở phần trên của sợi chỉ, chủ yếu là các tấm lục giác nhỏ được trồng. Bên dưới là các tấm lục giác, các ngôi sao phân nhánh và một lần nữa là các tấm lục giác. Ở nhiệt độ dưới -25° C, các đặc điểm hình lục giác lại được hình thành.

Kinh nghiệm đã chỉ ra rằng nhiệt độ quyết định hình dạng của tinh thể. Lượng hơi nước ảnh hưởng đến tốc độ tăng trưởng. Tuy nhiên, bản chất chính xác của sự phát triển của tinh thể tuyết vẫn chưa rõ ràng.

Thật thú vị khi nghiên cứu sự phát triển của tinh thể tuyết trên trái đất. Thường vào mùa đông, khi nhiệt độ giảm mạnh, cành cây và tường nhà bị bao phủ bởi sương giá. Những đám mây nơi bông tuyết hình thành rất khó tiếp cận. Băng giá có thể dễ dàng đạt được và có thể quan sát được trong quá trình hình thành của nó. Sương giá thường xuất hiện trên những đồ vật có khả năng tỏa nhiệt cao và độ dẫn nhiệt thấp. Khi giải quyết

Khi sự nóng lên xảy ra, nhiệt độ của những vật thể này thấp hơn nhiệt độ của không khí xung quanh và hơi nước trong không khí ngưng tụ trên chúng. Nếu có ít hơi nước trong không khí thì sẽ thu được những mảnh lông tơ màu đỏ. Khi độ ẩm không khí cao, các vật lạnh được bao phủ bởi một lớp băng. Nước chỉ đơn giản là ngưng tụ trên các vật lạnh và sau đó đóng băng.

Đặc biệt thú vị là những họa tiết che cửa sổ xe đẩy, xe buýt và xe điện vào mùa đông. Ở một vị trí đột ngột, nhiệt độ của cửa sổ trở nên thấp hơn nhiệt độ không khí trong phòng. Các phân tử hơi trong không khí ẩm trong phòng đọng lại trên chúng, tạo thành các hoa văn màu đỏ. Điều quan trọng nữa là không khí trong phòng không quá ẩm. Nếu không, hơi nước đầu tiên sẽ ngưng tụ trên kính rồi đóng băng, tạo thành một lớp băng. Các mẫu không xuất hiện trên cửa sổ nếu cửa sổ đang mở. Trong trường hợp này, nhiệt độ không khí trong phòng gần kính giảm xuống, bằng với nhiệt độ của chính kính. Trong các họa tiết băng mọc trên kính, bạn có thể thấy những hình dạng lớn mà tinh thể tuyết có thể tạo ra.

Bạn có thể quan sát sự phát triển của tinh thể tuyết trên cửa sổ ở nhà. Tuy nhiên, thật không may, các mẫu trên cửa sổ chỉ tồn tại trong thời gian ngắn và rất khó để thay đổi điều kiện phát triển của chúng. Nhưng bạn có thể “phát triển” các mẫu rất giống với đá, không sử dụng nước mà sử dụng hyposulfite hòa tan (nó được bán trong các cửa hàng ở quầy ảnh) hoặc Carlsbad cols (bạn có thể mua ở hiệu thuốc). Những mẫu này không khác với mẫu băng và bằng cách hiệp sĩ hóa chúng, bạn có thể thay đổi điều kiện phát triển - tốc độ cung cấp hoặc loại bỏ nhiệt, nồng độ dung dịch (sự thay đổi nồng độ dung dịch tương ứng với sự thay đổi độ ẩm không khí), v.v. Sự phát triển của tinh thể hình thành các mẫu có thể được theo dõi bằng cách sử dụng microcoppa.

Bạn có thể có được mô hình như thế này. Đầu tiên, chuẩn bị hỗn hợp bão hòa thành sáu mẻ mà bạn sẽ làm việc. Lau kính bằng bàn chải này và đặt nó dưới Quạt. Sau khoảng 5 phút, nước sẽ bay hơi và trên kính sẽ xuất hiện hoa văn. Phần khó nhất ở đây là làm ướt kính. Thực tế là nước thường không làm ướt bề mặt kính và không lan ra trên đó mà tạo thành những giọt nước. Sau đó, cùng với các mẫu, bạn sẽ có được những điểm chỉ còn lại trầm tích khô.

Nếu bạn không thổi kính hoặc bôi nhiều chất mài mòn lên nó, thì cùng với hoa văn, bạn sẽ nhận được những mảnh pha lê, chúng sẽ phát triển “từ bên dưới” (từ bề mặt kính) và sẽ xuất hiện phía trên kính. Chúng tôi muốn các tinh thể phát triển nhỏ và xuất hiện trên tất cả các bề mặt kính cùng một lúc. Để dung dịch làm ướt kính, bề mặt kính phải được lau thật sạch bằng xăng hoặc cồn (bạn cũng có thể dùng nước hoa). Sẽ tốt hơn nếu sử dụng dung dịch cồn cols thay vì nước. Tất nhiên, bạn có thể không hiểu đúng mẫu ngay lần đầu tiên - đừng thất vọng. Hãy nhớ rằng bất kỳ thí nghiệm vật lý nào cũng có thể yêu cầu nhiều lần thử.

Các mẫu nhân tạo bạn nhận được có thể được định hình. Hai phương pháp hình thành là thuận tiện.

Đầu tiên là cơ bản: các mẫu được chụp trên phim và sau đó được in trên giấy ảnh.

Điều thứ hai không hoàn toàn bình thường. Các hoa văn được trồng trên một mặt phẳng kính hẹp. Dải này được đặt trong máy phóng ảnh cùng với phim và được in trực tiếp lên giấy. Các tinh thể tạo thành hoa văn không trong suốt và có màu đen khi truyền qua ánh sáng (trên bản in sau khi tráng màu - màu trắng). Những nơi không có tinh thể cho phép ánh sáng xuyên qua và xuất hiện màu đen trên bản in. Đây là cách tạo ra mẫu đặt trên bìa tạp chí của chúng tôi. Nó được trồng từ cols Carlsbad.

36

Dưới đây là một số bài toán liên quan đến khái niệm diện tích đa giác. Chúng tôi đưa ra một định nghĩa tiên đề về diện tích của đa giác, liệt kê các thuộc tính mà chúng ta cần.

A1. Diện tích của đa giác là một số dương.
A2. Diện tích của các đa giác bằng nhau (đồng dạng) là bằng nhau.
A3. Nếu một đa giác được cắt thành nhiều phần thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các phần đó.
A4. Diện tích của một hình tam giác bằng một nửa tích của đáy và chiều cao của nó. (Ta coi đơn vị tỷ lệ đã cho; dễ dàng chứng minh được tích này không phụ thuộc vào cạnh nào và độ cao tương ứng ta lấy.)
Chữ A được chọn vì từ “Tiên đề” bắt đầu bằng nó. Từ bốn tính chất của tiên đề này, bạn có thể rút ra tất cả các định lý về diện tích đa giác mà bạn học ở trường.

Thật vậy, khó hơn nhiều để chứng minh rằng có thể liên kết với mỗi đa giác $M$ trong mặt phẳng số diện tích $S(M)$, diện tích của nó, sao cho các tính chất A1–A4 được thỏa mãn. Điều này đúng, nhưng nó thường không được chứng minh trong một khóa học ở trường và được coi là rất năng nổ. Thay vì A4, chúng ta có thể xem xét thuộc tính chính mà từ đó A4 bắt nguồn:

A4’. Diện tích hình vuông có cạnh 1 là 1.

Ví dụ:

a) Diện tích của hình bình hành bằng tích của đáy và chiều cao của nó;
b) Diện tích hình thang bằng tích của một nửa tổng hai đáy và chiều cao.
Hãy suy nghĩ cách chứng minh những nhận định này (nghĩa là rút ra từ các tiên đề A1-A4).
Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc chứng minh một công thức khác tính diện tích hình thang.

1. Diện tích của hình thang bằng tích của một trong các cạnh và đường vuông góc hạ xuống nó từ giữa cạnh kia.

Bằng chứng. Cho $ABCD$ là hình thang đã cho $(AD \parallel BC)$, $K$ là trung điểm của cạnh $CD$, $KH$ đường vuông góc hạ từ điểm $K$ xuống đường thẳng $AB$. Chúng ta hãy vẽ qua điểm $K$ một đường thẳng song song với đường thẳng $AB$. Đặt $M$ và $P$ là điểm của nó

38

7. Chứng minh rằng diện tích của hình bên phải là lớn nhất và nhỏ nhất trong các đường chéo của nó.

Gợi ý. Hãy nhìn vào Hình 4.

8. Chứng minh rằng diện tích của một đa giác ngoại tiếp một hình tròn bằng tích bán kính của hình tròn này với chu vi của đa giác đó.

Trong những vấn đề này, bạn có thể bỏ qua kỹ thuật “cắt và gấp”. Lưu ý rằng, về nguyên tắc, kỹ thuật này luôn có thể được sử dụng khi bạn cần chứng minh sự bằng nhau về diện tích của hai đa giác; Định lý sau đây đúng: nếu hai đa giác có kích thước bằng nhau thì một trong số chúng có thể được cắt thành các phần để tạo thành đa giác kia.

Định lý này không khó chứng minh *). Nhưng trên thực tế, để xác lập sự bằng nhau về diện tích hoặc tìm tỉ số diện tích thì không nhất thiết phải “cắt và thêm”. Ví dụ: bạn có thể so sánh rất nhanh diện tích của hai hình tam giác bằng công thức mà chúng tôi gọi là A4. Đặc biệt, ngay sau đó còn có các thư từ liên quan đến các lĩnh vực:

nếu đỉnh của một tam giác di chuyển dọc theo một đường thẳng song song với đáy của nó thì diện tích không thay đổi (Hình 5; tam giác ABC

*) Xem cuốn sách “Các hình có kích thước bằng nhau và cách đều nhau” của V. G. Boltyansky, bộ “Bài giảng phổ biến về toán học”, tập. 22, Gostekhidat, M., 1956.

và ADB có chung đáy AB và có chiều cao bằng nhau);

nếu một trong các cạnh của tam giác kề với một góc cho trước tăng k lần thì diện tích của nó cũng tăng k lần (xem Hình 6; tam giác ABC và ABD có chung đường cao AH nên tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số hai đáy:

$$S_{\triangle ABC} / S_{\triangle ABD} = BC / BD.$$

Điều này ngụ ý một sự tương ứng tổng quát hơn:

Nếu hai tam giác có một góc chung thì diện tích của chúng tỉ lệ với tích các cạnh bao quanh góc đó.

(xem Hình 7; $$S_{\triangle ABC} / S_{\triangle ABD} = BC / BD,$$
$$S_{\triangle ABD} / S_{\triangle EBD} = AB / EB,$$
$$S_{\triangle ABC} / S_{\triangle EBD} = (AB \cdot BC) / (EB \cdot BD)).$$

Cụ thể, nếu hai tam giác bằng nhau và cạnh của tam giác này lớn hơn cạnh tương ứng k lần thì diện tích của tam giác thứ nhất gấp $k^2$ lần diện tích của tam giác kia.

Trong các bài toán sau, lời giải chính xác dựa trên những cân nhắc sau: so sánh diện tích của tam giác

39

những biệt hiệu có cùng đáy, hoặc cùng chiều cao, hoặc cùng góc. Hãy cố gắng tìm ra con đường đơn giản và đẹp nhất lời giải!

9. O là giao điểm của đoạn AC và BD (Hình 8). Để diện tích của các tam giác AOB và DOC bằng nhau thì điều cần thiết và đủ là các đường thẳng BC và AD song song. Hãy chứng minh điều đó!

Để giải bài toán này, cần chứng minh hai phát biểu: (1) nếu diện tích của các tam giác AOB và DOC bằng nhau thì các đường thẳng BC và AD song song; (2) Nếu các đường thẳng BC và AD song song thì diện tích các tam giác AOB và DOC bằng nhau.

10. Chứng minh rằng một tứ giác lồi là một moed và polko moed song song khi mỗi đường chéo của nó chia đôi diện tích adb của nó.

Và ở đây, như ở bài toán trước, bạn cần chứng minh hai định lý: trực tiếp và nghịch đảo.

11. Cho tam giác ABC, đường thẳng đi qua đỉnh A và chia đường trung tuyến BM theo tỉ lệ 1:2, tính từ đỉnh, ta cắt cạnh BC tại điểm K. Tìm tỉ số diện tích của các tam giác ABK và ABC.

Lưu ý: Vẽ đường thẳng song song với AK đi qua điểm M và dùng đường thẳng đó để tìm tỉ số giữa các đoạn BK và BC.

12. Trên phần tiếp theo của cạnh lồi BC của tứ giác ABCD, tìm điểm O sao cho diện tích adb của tứ giác ABCD bằng diện tích tam giác ABO.

Chú ý: Kẻ đường thẳng qua điểm D song song với đường chéo AC.

Có phải bài toán 12 luôn có lời giải không? Có phải nó luôn là duy nhất?

bài toán này cho phép bạn biến bất kỳ đa giác lồi nào thành một đa giác có kích thước bằng nhau với ít cạnh hơn.

13. Hai đường thẳng được vẽ qua giữa chiều cao của tam giác cân, nối nó với các đỉnh của đáy (Hình 9). Phần diện tích nào của tam giác được tạo thành từ những phần mà trên đó tam giác vẫn bị cắt bởi các đường thẳng?

14. Cho tam giác ABC. Chúng ta kéo dài cạnh AB của nó ra ngoài đỉnh B với đoạn BP=AB, cạnh AC ra ngoài đỉnh A với đoạn AM=CA, và cạnh BC ngoài đỉnh C với đoạn KC=BC. Diện tích adb của tam giác PKM lớn hơn diện tích tam giác ABC bao nhiêu lần?

Lưu ý: Chứa các điểm M và B, P và C, A và K.

15. Lập analocine bài toán cho tứ giác và giải nó. Rút ra kết quả bài toán 6 từ nó.

16. Trên các cạnh của tứ giác lồi ABCD lấy các điểm M, P, K, H mak sao cho AM : MB = 3 : 5; BP : PC=1 : 3; CK: KD=4: 5; DH : HA = 1 : 8. Tìm tỉ số diện tích của tứ giác MBPKDH và diện tích của tứ giác ABCD. Hãy suy nghĩ, với bất kỳ mối quan hệ nào AM với MB, BP với PC và ma, bạn có thể giải được bài toán này không?

Lưu ý: Vẽ đường chéo và sử dụng A3.

17. Trong một tứ giác lồi, trung điểm của một trăm cạnh liền kề

41

SVM vuông. Nhưng $S_{\triangle ABN} = S_{\triangle CBN}$, vì điểm $N$ nằm trên đường trung tuyến. Vì vậy, $S_{\triangle ABM} < S_{\triangle CBM}$. Và chúng tôi giả định rằng $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$. Chúng tôi có một sự mâu thuẫn. Vấn đề được giải quyết hoàn toàn.

Hãy suy nghĩ về cách sử dụng nó để giải bài toán tiếp theo, chuyển sang bài toán 20.

24.* Chứng minh rằng nếu phần bên trong của tứ giác ABCD có cực đại O thì các đoạn OA, OB, OC, OD chia tứ giác đó thành bốn

Cơm. 14.

các phần có kích thước bằng nhau thì ít nhất một đường chéo của nó chia đôi đường chéo kia. Viết và chứng minh định lý ngược lại.

25. Trên các cạnh của góc A có các điểm B và C. Kẻ một đường thẳng đi qua trung điểm K của đoạn BC, cắt các cạnh của góc tại các điểm D và E. Chứng minh diện tích tam giác ADE lớn hơn diện tích tam giác ABC.

Lời giải trong số này bài toán cho phép thông qua một điểm nhất định bên trong một góc nhất định để vẽ một đường thẳng từ góc của tam giác có diện tích nhỏ nhất có thể. Hãy suy nghĩ về cách thực hiện việc này.

26. Trong trang này ABCD (BC || AD) vẽ đường chéo AC (Hình 14). Đường thẳng song song với hai đáy phải cắt nhau ở độ cao nào để tổng diện tích của các tam giác AKL và LMC nhỏ nhất (K, L và M là giao điểm của đường thẳng với các đoạn AB, AC và CD tương ứng)?

27*. Các cạnh công nghiệp của lục giác lồi ABCDEF song song với nhau. Chứng minh rằng diện tích tam giác ACE ít nhất bằng nửa diện tích lục giác.

HỘI NGHỊ
TOÁN HỌC TRẺ

Ý tưởng tập hợp học sinh các trường chuyên vật lý và toán học ở các thành phố khác nhau bắt nguồn từ trường số 40 ở Gorky. Vào tháng 3 năm 1971, trong kỳ nghỉ xuân của trường, theo lời mời của trường này, đại diện các trường toán ở Moscow, Riga, Rostov, Volgograd, Kishnev, Alma-Ata, Tbilisi, Kostroma, Leningrad và Kyiv đã tập trung tại Gorky.

Hội thảo chuyên đề bao gồm một số phần, tại mỗi phần, học sinh sẽ báo cáo. Công việc của các phần được dẫn dắt bởi các nhà khoa học từ Đại học bang Gorky.

Phần toán học do Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học, Phó Giáo sư D. A. Gudkov đứng đầu. Tại phần này, các báo cáo đã được nghe về “Tổng không chuẩn”, “Mô hình phản xạ”, “Matematika và ngôn ngữ học”, “Tính diện tích của bóng”, “Tự tái tạo các con số” và những thứ khác.

Các báo cáo được đưa ra bởi: Y. Shneiderman (lớp 10, số 40, Gorky), A. Knafel (lớp 8, số 40, Gorky), N. Pomapkina (lớp 10, số 40, Gorky), O. Malinovsky (lớp 9, số 13, Riga), A. Borisenko (lớp 10, số 40, Gorky), A. Borisenko (lớp 10, số 1). 40, Gorky), 145, Kyiv), I. Rauhvaer (lớp 10, số 34, Kishnev), M. Vishik (lớp 10, số 444, Moscow), V. Kaplinsky (lớp 8, số 444, Moscow) và những người khác.

Phần vật lý do Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học, Phó Giáo sư M. S. Kovner đứng đầu. Tại phần này, các báo cáo đã được nghe “Nguyên tử hòa bình - phục vụ cho việc cung cấp nước cho con người”, “Về sự tương tự trong vật lý”, “Về phương pháp” khối lượng hòa bình” và ứng dụng của nó trong lời giải vật lý bài toán”, “Thu được và nghiên cứu màng tinh thể mỏng”, “Máy tạo quét và máy hiện sóng” và các phần khác.

Các báo cáo được đưa ra bởi: A. Mirukholova (lớp 10, số 42, Tbilisi), A. Ezersky (lớp 10, số 40, Gorky), Y. Khandrus (lớp 10, số 145, Kyiv), I. Molan (lớp 10, số 34, Kishnev), N. Chaika (lớp 10, số 42, Tbilisi), M. Gershtein (lớp 10, số 40, Gorky), M. Gomayunov (lớp 10, số 239, Leningrad) và những người khác.

Ngoài ra còn có các phần về thiên văn học, hóa học và nghiên cứu khu vực.

Trong hội thảo, sinh viên không chỉ đọc và thảo luận các báo cáo. Họ cũng tìm cách làm quen với công việc của trường số 40, với các thắng cảnh của thành phố, thăm bảo tàng và gặp gỡ các nhà khoa học.

(Tiếp theo trang 53)

42

Bài toán

Lời giải bài toán từ “Sách Vấn đề của Kwan” có thể được gửi không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi xuất bản số tương ứng của tạp chí. Trên phong bì, sau địa chỉ tạp chí, cho biết lời giải bạn đang gửi bài toán nào (ví dụ: “Sách Vấn đề Kwan” M126, F128). Ở phần đầu của bức thư, hãy cho biết họ, tên, họ hàng, mã bưu chính gồm sáu chữ số và địa chỉ của bạn (cũng như lớp và trường nơi bạn là giáo viên). Lời giải của mỗi bài toán phải được viết trên (các) tờ riêng; Ở cuối mỗi lời giải, hãy viết họ của bạn. Dấu sao bài toán để tăng độ khó.

M126. Một đa giác ngoại tiếp một hình tròn có bán kính $r$ bằng cách nào đó được cắt thành các hình tam giác. Chứng minh rằng tổng bán kính các đường tròn nội tiếp của các tam giác này lớn hơn $r$.

I. D. Novikov

M127. Đối với mỗi số tự nhiên $n$ chúng ta biểu thị bằng $s(n)$ tổng các chữ số của nó (theo ký hiệu thập phân). Hãy gọi một số tự nhiên $m$ là đặc biệt nếu nó không thể được biểu diễn dưới dạng $m=n+s(n)$, trong đó $n$ là một số tự nhiên nào đó. (Ví dụ: số 117 không đặc biệt vì $117=108+s(108)=108+9$, nhưng số 121, như bạn có thể dễ dàng thấy, là đặc biệt.) Có đúng là chỉ có hữu hạn số đặc biệt không?

M128. Tìm tỉ số các cạnh của một tam giác mà một trong các đường trung tuyến của nó bị đường tròn nội tiếp chia thành ba phần bằng nhau.

M129. a) 12 $n$ sữa được đổ vào xô. Làm thế nào, chỉ sử dụng bình 5 và 7 $n$, để chia sữa thành hai phần bằng nhau?

6. • Giải tổng quát bài toán: để tìm $a$ và $b$, chúng ta có thể chia $(a+b)n$ sữa làm đôi, chỉ sử dụng máy ép trái cây ở $a$ $n$, $b$ $n$ và $(a+b)n$ ?*.

V. V. Ushchkov

M130. Số điểm tối đa có thể được đặt là bao nhiêu?
a) trên máy bay;
b) * trong không gian, sao cho không có tam giác nào có đỉnh tại các điểm này là tù?

G. A. Galperin

F138. Một phi hành gia có khối lượng 100 kg ở bên ngoài một tàu vũ trụ có khối lượng 5 $m$, trên một dây treo dài 64 $m$. Tìm lực căng của dây treo nếu con tàu nằm giữa phi hành gia và Trái đất trên đường nối trọng tâm của họ.

Khi tính toán, giả sử tàu chuyển động theo quỹ đạo tròn, độ cao của lớp vỏ $h$ tính từ bề mặt Trái đất không đáng kể so với bán kính Trái đất ($R=6400$ km).

*) Trong một lần truyền từ bình này sang bình khác, bạn có thể đổ hết mọi thứ có trong đó hoặc đổ đầy bình thứ hai lên trên.

F139. Cầu thủ bóng đá đánh bóng, tạo cho nó tốc độ $v$ theo một góc $\alpha$ so với đường chân trời và chạm vào góc gần dưới cùng. Nếu một cầu thủ bóng đá đánh bóng vào cùng một vị trí trên sân bóng và quả bóng bay cùng một góc so với đường chân trời, nhưng với tốc độ lớn hơn tốc độ $v$ 5% thì nó sẽ chạm vào đầu cột dọc. Tìm tốc độ mà quả bóng bắt đầu chuyển động nếu độ cao của vòng quay là $h=2\text{ m}$ và góc quay là $\alpha=30^\circ$.

Tôi. Sh. Slobodechkiy

F140. Liệu các phong vũ biểu khác có cho kết quả chính xác về chất lượng không nếu một phần ống của nó (dưới mức thủy ngân trong đó) được làm bằng cao su rất mềm?

F141. Ba sợi dây được lấy ra khỏi “hộp đen” chứa một mạch điện không xác định. Hai trong số chúng được nối đất rồi nối đất, vẽ đồ thị cho ba phương án khả thi để bật mạch. Các đồ thị này được hiển thị trong Hình 1. Dòng điện được coi là dương nếu nó đi vào mạch điện nằm trong hộp, còn ngược lại thì âm. Hãy nghĩ ra những sơ đồ đơn giản nhất về nội dung của “hộp đen” và xác định các thông số của chúng.

B. B. Bukhovtsev

F142. Một quả cầu thép treo trên một sợi dây có chiều dài $l$ bị lệch làm cho sợi dây chuyển sang vị trí nằm ngang và được thả ra. Tại thời điểm sợi chỉ tạo một góc $\alpha-30^\circ$ với phương thẳng đứng thì quả bóng chạm vào một tấm thép đứng yên (Hình 2). Quả bóng sẽ bay lên đến độ cao bao nhiêu sau khi chạm vào tấm, nếu tác động có thể được coi là đàn hồi tuyệt đối?

G. L. Komkin

45

Cơm. 1.

đường thẳng $l_1$ sao cho trùng với $l_2$ ($0^\circ < l_1 < l_2 < 180^\circ$). Nếu các đường $l_1$ và $l_2$ song song hoặc trùng nhau, thì theo định nghĩa, $\Rightarrow (l_1, l_2) = 0$. Xác minh rằng đối với hai điểm bất kỳ $U$ và $V$ và một góc cho trước $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$), tập hợp các điểm $X$ mà $\Rightarrow (UX, VX) = \alpha$ sẽ được làm tròn (nói đúng ra, loại trừ chính các điểm $U$ và $V$); nói cách khác, những điểm nào $U, V, X_1$ và $X_2$ nằm trên cùng một đường tròn moeda và mokomoeda, koeda $\Rightarrow (UX_1, VX_1) = \Rightarrow (UX_2, VX_2) \neq 0$ (Hình 3, a; so sánh hình 3, a và 3, b giải thích ưu điểm của phương pháp xác định góc mới).

Hãy quay trở lại bài toán của chúng tôi. Bây giờ phát biểu rằng năm điểm $C, N, P', S, R'$ nằm trên cùng một đường tròn (do đó có kết quả như sau)

Cơm. 2.

các cú đánh $R'$ trùng với $S$) suy ra từ các đẳng thức

$\Rightarrow (CS, NS) = \Rightarrow (Q'Q, NQ) =$
$= \Rightarrow (Q'P', NP') = \Rightarrow (CP', NP')$;
$\Rightarrow (CR', P'R') = \Rightarrow (MM', P'M') =$
$= \Rightarrow (MN, P'N) = \Rightarrow (CN, P'N)$.

Những đẳng thức này rất dễ kiểm tra một cách hình thức mà không cần dựa vào hình vẽ - bạn chỉ cần nhớ điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng và điểm nào nằm trên cùng một đường tròn; Ngoài định lý in nghiêng ở trên còn dùng $Q'Q \parallel MM' \parallel l$. (Tất nhiên, chúng ta vẫn cần phân tích các trường hợp “được biểu thị” khi hai điểm bất kỳ xác định đường thẳng trong các đẳng thức này trùng nhau; chúng đều khá rõ ràng và chúng ta sẽ không làm như vậy)

Cơm. 3. Các đường màu xanh lam hiển thị tập hợp các điểm: a) $(UX, VX) = \alpha$ (hình bên trái) và b) $UXV = \alpha$ (hình bên phải).

Cơm. 4. Một công thức khác của bài toán M84: nhờ ba ánh xạ hiển thị trong hình, từ điểm $X$ chúng ta thu được $Y = f(X)$; nếu bạn làm tương tự cho điểm $Y$, thì kết quả là $f[Y] = X$.

46

Hãy tập trung vào chúng.) Bây giờ bài toán đã hoàn toàn được giải quyết.

Hãy đưa ra một công thức khác, tự nhiên hơn cho bài toán này (hãy nghĩ tại sao nó lại giống bài toán!).

Đặt $P$ và $N$ là hai điểm phân biệt của một đường tròn có tâm $O$; $A$ là đáy của đường vuông góc thả từ điểm $O$ đến đường thẳng đã cho $l$ và $f$ là ánh xạ gán cho từng điểm $X$ đường thẳng $l$ điểm $f(X)$ của cùng một đường thẳng theo quy tắc sau: nếu $X'$ là giao điểm của đường thẳng $PX$ với đường tròn, $X''$ là giao điểm của đường thẳng $NX'$ với $l$ thì $f(X)$ là điểm đối xứng với $X''$ so với $A$. thì ánh xạ $f$ trùng với nghịch đảo của nó, tức là $f(f(X))=X$ cho tất cả $X$ (Hình 4).

Đối với những người đã quen với các khái niệm cơ bản về hình học dự án, chúng tôi khuyên bạn nên cố gắng tìm một bằng chứng “phép chiếu” đơn giản cho định lý này (lưu ý rằng ngay cả trong công thức của nó, cần phải xem xét $l$ một đường mở rộng, nghĩa là thêm một điểm từ xa vô hạn vào $l$ - khi đó các ánh xạ được đề cập sẽ là một đối một). Đối với trường hợp đặc biệt lời giải được đưa ra trong cuốn sách “Biến đổi hình học” của I.M. Yaglom (GITTL, 1956; phần II, bài toán 177), nhưng nó chỉ xảy ra trong trường hợp đường thẳng $l$ cắt đường tròn và sử dụng công thức “quan hệ kép”. Một kế hoạch cho lời giải khác, “không cần tính toán,” xuất hiện trên trang 71 của số tạp chí này.

N. B. Vasiliev

M86

Đáy hộp hình chữ nhật được làm bằng các viên gạch có kích thước $2 \times 2$ và $1 \times 4$. Các viên gạch bị đổ ra khỏi hộp và trong quá trình đó đã làm mất một viên gạch $2 \times 2$. Thay vào đó, hãy xóa ô $1 \times 4$. Chứng minh rằng bây giờ không thể phủ kín cái hộp bằng những viên gạch được.

Hãy tính hộp thành các hình vuông có kích thước $1 \times 1$ và đánh dấu những hình vuông nằm ở vị trí lẻ trong các con lợn lẻ (xem Hình 5). Lưu ý rằng mỗi ô $1 \times 4$ bao gồm bốn ô vuông ở dưới cùng của hộp sẽ

Cơm. 5

Cơm. 6.

Cơm. 7.

Cần phải che một số ô vuông chẵn mà chúng ta đã dịch chuyển (hai hoặc không có ô nào) và ô $2 \times 2$ luôn bao phủ chính xác một ô vuông bị dịch chuyển. Do đó, nếu các ô được phủ hoàn toàn vào hộp thì số ô $2 \times 2$ có cùng số chẵn lẻ với tổng số ô vuông bù trừ ở đáy hộp. Do đó, nếu số ô $2 \times 2$ đã thay đổi một (hoặc thậm chí là một số lẻ), thì việc điền lại vào ô sẽ không thể thực hiện được.

Hãy suy nghĩ xem liệu tuyên bố bài toán có còn đúng hay không nếu thay vì các ô $1 \times 4$ và $2 \times 2$ (Hình 6), các ô có ba hình vuông được xem xét: hình chữ nhật $1 \times 3$ và các “góc” (Hình 7). Bạn sẽ tìm thấy Lời giải trong số bài toán này ở cuối tạp chí, trên trang 64, nhưng đừng vội đặt nó ở đó!

lời giải chính xác trong số bài toán của chúng tôi được gửi bởi A. Gritsoryan và E. Karasik từ Baku, E. Turkevich từ Chernivtsi, A. Chernyak từ Minsk và A. Shamaev từ Moscow.

L. G. Limanov

M87

Chứng minh rằng nếu ba đường tròn có cùng bán kính đi qua một điểm thì ba điểm giao nhau từng cặp còn lại của các đường tròn này nằm trên đường tròn có cùng bán kính.

Cho cả ba đường tròn bán kính $r$ có tâm $O_1, O_2$ và $O_3$ cắt nhau tại điểm $A$, ngoài ra, cắt nhau theo cặp tại các điểm $B_1$ ($O_2$ và $O_3$), $B_2$ ($O_3$ và $O_1$) và $B_3$ ($O_1$ và $O_2$). Rõ ràng trung điểm $C_1, C_2, C_3$ của các đoạn $AB_1, AB_2, AB_3$ đồng thời là trung điểm của các đoạn $O_2O_3, O_3O_1, O_1O_2$ của đoạn tương ứng (Hình 8). Do đó, mỗi tam giác $B_1B_2B_3$ và $O_1O_2O_3$ có cạnh lớn gấp đôi cạnh của tam giác $C_1C_2C_3$ (và song song với chúng). Vì vậy, $\triangle B_1B_2B_3 = \triangle O_1O_2O_3$. Nhưng rõ ràng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $O_1O_2O_3$ bằng $r$ (thật vậy,

47

Cơm. 8.

Cơm. 9.

$$AO_1 = AO_2 = AO_3 = r$$, do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $B_1B_2B_3$ cũng bằng $r$, đây là điều cần chứng minh.

Nhiều độc giả đã chứng minh rằng các tam giác $B_1B_2B_3$ và $O_1O_2O_3$ bằng nhau theo một cách phức tạp hơn, trong đó cần phải xem xét riêng các trường hợp khác nhau về vị trí tương đối của các tam giác này (trong lời giải của chúng tôi, chúng tôi đã cố tình không đề cập đến hình vẽ tất cả các đoạn được đề cập ở đó, để nhấn mạnh rằng nó không phụ thuộc vào vị trí của chúng). Lời giải, hoàn toàn giống với của chúng ta, có thể thu được bằng cách xem xét tam giác với nhau

$$C_1C_2C_3$$ tam giác $D_1D_2D_3$, trong đó $D_1, D_2, D_3$ lần lượt là các điểm đối xứng đường kính $A$ trong đường tròn $O_1, O_2$ và $O_3$; chứng minh rằng $B_1, B_2$ và $B_3$ là trung điểm của tam giác $D_1D_2D_3$. Trong cấu hình mà chúng tôi nhận được (Hình 9), điều thú vị là điểm $A$ là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $O_1O_2O_3$ và $D_1D_2D_3$, đồng thời là điểm giao nhau của các đường cao của các tam giác $B_1B_2B_3$ và $C_1C_2C_3$; tuy nhiên, cái sau không còn được sử dụng trong lời giải của chúng tôi nữa.

Điều tò mò là D. Poya (và một số độc giả đã gửi thư cho chúng tôi) lại có ý tưởng hoàn toàn khác lời giải về bài toán này. Chúng tôi đăng một đoạn trích trong cuốn sách “Khám phá toán học”, nói về nguồn gốc của ý tưởng này, trên trang 67-69.

V. N. Berezin

M88

Các hệ số của phương trình $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ phải thỏa mãn điều kiện nào để ba nghiệm của nó tạo thành một cấp số cộng?

Hãy cho đáp số ngay nhé. Kết quả phù hợp mong muốn là $c = \frac{ab}{3} - \frac{2}{27} a^3$ (hoặc tương tự, một trong các nghiệm phải bằng $-\frac{a}{3}$). Thật vậy, đặt $x_1, x_2$ và $x_3$ là nghiệm của phương trình của chúng ta. Khi đó, theo định lý Vieta,

$$x_1 + x_2 + x_3 = -a.$$

Mặt khác, để $x_1, x_2, x_3$ hình thành một cấp số cộng, điều cần thiết và đủ là

$$x_1 + x_3 = 2x_2.$$

Đặt $x_1 + x_2 + x_3 = 3x_2$, mở $x_2 = -\frac{a}{3}$. Hãy cố gắng tìm ra các điều kiện để các phương trình bậc bốn hình thành một cấp số cộng.

L. I. Moscoviome

Trong số này, chúng tôi xuất bản bài toán F92—F99

F92

Vòng khối $m$ đặt trên bảng khối $M$ (Hình 10). Hệ số ma sát giữa tấm ván và vòng là $k$. Bảng nằm trên một mặt bàn nhẵn. Tấm ván sẽ chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu nếu vòng được kéo với một lực $F$?

Hãy viết phương trình chuyển động của vòng và ván (phương trình II của định luật Newton).

Theo phương nằm ngang, có hai lực tác dụng lên vòng - lực $F$ và lực mặt lốp $F_{TP}$ giữa ván và vòng (xem Hình 10). Trọng tâm của cơ thể—trong trường hợp này là tâm của vòng—chuyển động như thể tất cả các lực tác động lên cơ thể đều tác dụng lên nó. Vì vậy chúng ta có thể viết rằng

$$ma_1 = F - F_{TP}$$

($a_1$ là gia tốc của tâm vòng).

48

Cơm. 10.

Vòng không chỉ di chuyển theo chiều ngang mà còn quay quanh tâm. Gia tốc của chuyển động quay được truyền cho nó bởi cùng các lực $F$ và $F_{TP}$, nhưng trong trường hợp này chúng tác động “hòa hợp”, quay vòng theo một hướng. Gia tốc chuyển động quay của vòng trong hệ tọa độ liên kết với tâm của nó*) được ký hiệu là $a_2$. Sau đó chúng ta có thể viết rằng

$$ma_2 = F + F_{TP} \quad (2)$$

Bây giờ hãy viết phương trình chuyển động của bến tàu. Theo phương ngang, chỉ có một lực tác dụng lên nó - lực ma sát của vòng trên đế. Do đó, nếu gia tốc của bến tàu là $a_3$ thì

$$Ma_3 = F_{TP}. \quad (3)$$

Vì vậy, chúng ta có ba phương trình liên quan đến bốn đại lượng chưa biết: $a_1$, $a_2$, $a_3$ và $F_{TP}$. Để tìm những ẩn số này, bạn cần tạo một phương trình khác.

Khi di chuyển vòng và đế, có hai trường hợp phát sinh: 1) vòng không trượt so với đế và 2) vòng trượt so với đế.

Hãy xem xét trường hợp đầu tiên: vòng không trượt so với đế. Trong trường hợp này, tốc độ $v_1$ của chuyển động tịnh tiến của tâm vòng, tốc độ tuyến tính $v_2$

*) Trong thực tế, hệ tọa độ liên kết với tâm của vòng không quán tính. Tuy nhiên, khi xem xét phương trình vòng, điều này có thể được bỏ qua, vì lực quán tính tác dụng lên trọng tâm của vòng và mô men của nó so với tâm của vòng bằng không.

**) Phương trình II của định luật Newton đối với vật quay được viết như sau:

$$I \varepsilon = (F + F_{TP}) r, \quad (*)$$

trong đó $I$ là mômen quán tính, $\varepsilon$ là gia tốc góc và $r$ là bán kính của vòng (xem bài viết của A.K. Kion “Chuyển động quay”, «Kvant» Số 1, 1971).

Đối với vòng $I = mr^2$, $\varepsilon = \frac{a_2}{r}$. Nếu đặt các giá trị này vào phương trình (*), chúng ta sẽ có được phương trình (2).

xoay vòng quanh tâm và đế ghim $v_3$ được kết nối với ghim $v_1$ (Hình 11). Vì ụ di chuyển so với Trái đất về bên phải với dấu ngoặc $v_3$, nên dấu ngoặc của ụ trong hệ tọa độ liên kết với tâm của vòng bằng $v_1 - v_3$. Điểm dưới của vòng chạm vào đế cũng chuyển động với độ cứng tương tự. Đây là sự uốn cong tuyến tính của vòng quanh tâm.

Vì các lực tác dụng lên vòng và đế là không đổi nên các gia tốc $a_1$, $a_2$ và $a_3$ cũng không đổi. Cho các vận tốc $v_1$, $v_2$ và $v_3$ của vật đến sau một thời gian $t$ sau khi chúng bắt đầu chuyển động. Sau đó $v_1 = a_1 t$, $v_2 = a_2 t$ và $v_3 = a_3 t$. Kể từ đây,

$$a_2 t = a_1 t - a_3 t.$$

Từ đây

$$a_2 = a_1 - a_3.$$

Chúng ta đã thu được một phương trình liên hệ gia tốc của các vật. Giải các phương trình (1), (2), (3) và (4) cùng nhau, ta tìm được

$$a_1 = a_2 = \frac{F}{m}$$

Và

$$a_3 = 0.$$

Chúng tôi thấy rằng gia tốc của bến tàu bằng không. Từ phương trình (3) rõ ràng lực ma sát cũng bằng không. Điều này là do thực tế là nếu một lực $F$ tác dụng lên một cái vòng đứng trên một đế hoàn toàn nhẵn, như trong Hình 10, thì gia tốc của chuyển động tịnh tiến của cái vòng sẽ trùng với gia tốc của chuyển động quay của nó. Trong trường hợp này, điểm dưới của vòng lăn dọc theo đế mà không bị trượt. Điều này xảy ra bởi vì toàn bộ khối lượng của vòng tập trung vào vành mỏng của nó và lực $F$ truyền cho vòng những gia tốc bằng nhau của chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. Nhưng điều này

49

nghĩa là lực ma sát không phụ thuộc vào lực $F$ và luôn bằng 0. Do đó, vòng không thể trượt so với điểm (lực ma sát không thể bằng $kN$) và không thể xét trường hợp thứ hai.

F93

Trên thành bên của bình hướng vào chất lỏng có chiết suất $n$, tiếp tục tồn tại một lỗ có bán kính nhỏ $r$. Một chùm ánh sáng mỏng được chiếu theo phương ngang từ bình dọc theo trục của lỗ. Phải có chất lỏng ở mức nào $h$ phía trên lỗ để tia sáng phát ra từ tia mà không bao giờ trải qua phản xạ nội?

Bỏ qua sự thay đổi tiết diện của tia; chiết suất của chất lỏng được coi là đủ lớn.

Ở góc lớn nhất so với mặt nước, một chùm ánh sáng chiếu vào điểm $A$ vảy (Hình 12). Góc tới $\alpha$, tại đó chùm tia tại điểm này không chịu phản xạ toàn phần, phải sao cho

$$\sin \alpha = \frac{1}{n}.$$

Điều này tuân theo định luật khúc xạ ánh sáng ($\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{1}{n}$) và điều kiện góc là $\beta = 90^\circ$. Tiếp tuyến của tia tại điểm $A$ tạo một góc $\gamma = 90^\circ - \alpha$ với phương ngang. Do đó, một tia sáng sẽ thoát ra khỏi vảy mà không hề bị phản xạ nội nếu góc tạo bởi tiếp tuyến với tia tại điểm $A$ tạo một góc $\gamma$ với đường chân trời sao cho cos $\gamma = \frac{1}{n}$.

Nhưng tiếp tuyến với bề mặt chất lỏng là tiếp tuyến với quỹ đạo của hạt nổi lên ở mép trên của lỗ. Do đó hướng của tiếp tuyến

$$\cos \gamma = \frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{4gr}}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{r}{h}}.$$

Bây giờ biểu thị cos $\gamma$ theo tg $\gamma$ —

$$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2 \gamma}}$$

và tính đến cos $\gamma = \frac{1}{n}$, chúng ta có

$$\frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2\frac{r}{h}}}.$$

Từ đây

$$h = 2r/(n^2 - 1).$$

F94

Một chu trình (quy trình khép kín) được thực hiện trên một gam phân tử khí lý tưởng, bao gồm hai đầu ra và hai đồng vị (Hình 13). Nhiệt độ khí tại điểm 1 và 3 lần lượt là $T_1$ và $T_3$. Xác định công mà khí thực hiện trong một chu trình nếu biết điểm 2 và điểm 4 nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt.

Mở rộng dọc theo isobar 2-3, khí hoạt động

$$A_1 = P_2 (V_2 - V_1) = P_2 V_2 - P_2 V_1 = RT_3 - RT_2 = R (T_3 - T_2).$$

Khi khí dốc dọc theo isobar 4-1 phát huy tác dụng

*) Điều này cũng tuân theo định luật bảo toàn năng lượng. Thật vậy, khi một khối nước $\Delta m$ chảy ra khỏi bình chứa chất lỏng, thế năng của nước giảm một lượng $\Delta mgh$ (chúng ta có thể giả sử một cách đơn giản rằng khối lượng nước $\Delta m$ chuyển động cùng với bề mặt chất lỏng tới lỗ).

50

Cơm. 13.

đã xảy ra phía trên chất khí. Nó bằng nhau
$$A_2 = P_1 (V_2 - V_1) = R (T_4 - T_1).$$
Tổng công mà khí thực hiện rất thấp bằng
$$A = A_1 - A_2 = (P_2 - P_1) (V_2 - V_1) = R (T_3 + T_1 - T_2 - T_4).$$

Vì điểm 2 và điểm 4 nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt nên nhiệt độ của các khí ở đó là như nhau. Hãy biểu thị nó $T = T_2 = T_4$. thì $A = R (T_3 + T_1 - T_2 - T_4)$. Điểm 3 và 4 nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt nên $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_3}{T}$. Điểm 2 và 1 cũng nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt và $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T}{T_1}$. Từ hai phương trình này ta tìm được
$$T = \sqrt{T_1 T_3}.$$
Kể từ đây,
$$A = R (T_1 + T_3 - 2 \sqrt{T_1 T_3}).$$

F95

Mặt sông tạo thành một mặt phẳng nghiêng. Liệu một từ có thể bơi xuống sông với tốc độ vượt quá tốc độ dòng chảy không?

Nếu vật không chuyển động so với nước thì lực ma sát tác dụng lên nó từ phía nước bằng không. Do đó, thành phần lực hấp dẫn, song song với mặt nước (Hình 14), sẽ làm vật thẳng cho đến khi cân bằng với lực ma sát trên mặt nước (lực này ở tốc độ thấp tỷ lệ thuận với tốc độ của vật). Trong trường hợp này, nó sẽ chảy với tốc độ lớn hơn tốc độ dòng điện.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng chúng ta, sau khi để lại một lớp vỏ mỏng, cứng, không trọng lượng, lấy vật thể ra và đổ nước vào vỏ sao cho thể tích của nó bằng thể tích phần ngâm trong cơ thể (Hình 15). Vì vật nổi nên khối lượng nước đổ vào bằng khối lượng vật. Vì vậy, phần vỏ có nước tương đương với phần thân mà chúng ta đã loại bỏ. Nhưng nước đổ vào vỏ sò chẳng khác gì nước sông. Ma sát trong chất lỏng chỉ liên quan đến độ dày của chất lỏng và không phụ thuộc vào bề mặt của vật. Điều này được giải thích là do một lớp mỏng các phân tử nước “nổi” lên bề mặt cơ thể và sự hình thành được quyết định bởi sự tương tác của các phân tử nước với nhau. Điều này có nghĩa là bạn có thể tháo hoàn toàn lớp vỏ ra, lực ma sát sẽ không thay đổi. Hóa ra cơ thể phải chảy với tốc độ bằng tốc độ dòng điện.

Chuyện gì đang thực sự xảy ra vậy?

Trước tiên chúng ta hãy hiểu “tốc độ dòng chảy” nghĩa là gì. Do ma sát, tốc độ dòng chảy của sông thay đổi tại các điểm khác nhau trên sông. Nó tăng dần từ ngày lên mặt nước và từ bờ tới giữa sông. Vì vậy, tốc độ dòng chảy ở nơi có thú bông dọc theo thân sông cũng khác nhau. Nước trong vỏ này khác với nước xung quanh vì tốc độ của nước trong vỏ là như nhau ở mọi điểm.

Giả sử rằng tốc độ của cơ thể bằng tốc độ của dòng chảy ở rìa của cơ thể, gần bờ. Khi đó tốc độ dòng nước đi qua cơ thể ở những điểm khác lớn hơn tốc độ của cơ thể. Bởi vì điều này, nước sẽ mang theo cơ thể, tăng tốc độ của nó. Mặt khác, khi tốc độ của vật tăng lên thì vật sẽ chậm lại do tốc độ của điểm nằm sát bờ của nó lớn hơn tốc độ của dòng điện và lực ma sát được chuyển thành chuyển động của vật. Kết quả là cơ thể phải chảy với tốc độ lớn hơn mức tối thiểu nhưng nhỏ hơn mức tối đa của tốc độ dòng chảy khắp cơ thể.

F96

Hai quả bóng giống hệt nhau được nối với nhau bằng một sợi chỉ. Tìm độ cao tăng của hệ thống này nếu một trong các quả bóng được ném lên trên với tốc độ $v$.

Động lượng của toàn bộ hệ là $mv$ và khối lượng của nó là $2m$. Vì vậy, tại thời điểm ban đầu