Kvant 1972, số 9 · Trang

LƯỢNG LƯỢNG
1972
Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:

L. A. Artsimovich, M. I. Bashmkov, S. T. Belyaev, V. G. Boltyansky, I. N. Bronshtein, N. B. Vasiliev, I. F. Ginzburg, Yu. N. Efremov, V. G. Zubov, P. L. Kapitsa, V. A. Kirillin, A. I. Klimanov (nghệ sĩ trưởng), S. M. Kozel, V. A. Leshkovtsev (phó tổng biên tập), L. G. Makar-Limanov, A. I. Markushevich, M. D. Millionshikov, N. A. Patrieeva, I. S. Petrkov, N. H. Rozov, A. P. Savin, I. Sh. Slobodetsky, M. L. Smolyansky (phó tổng biên tập), Ya. A. Smorodinsky, V. A. Fabrikant, A. T. Tsvetkov, M. P. Shaskolskaya, S. I. Schwartzburg, A. I. Shirshov.

Bên trái là ảnh chụp các sóng được tạo ra khi một chiếc đĩa có kim di chuyển trong chất khí với tốc độ lớn hơn tốc độ âm thanh, tức là tốc độ truyền sóng trong chất khí.

Ở trang đầu tiên của trang bìa, trên đó bạn thấy một mảnh bức tranh “Những vị khách nước ngoài” của N. Renikh, hình ảnh những con sóng hoàn toàn khác. Làm thế nào để xác định tốc độ chuyển động của một vật thể từ bức ảnh chụp mô hình sóng phát sinh trong quá trình chuyển động của nó? Bạn sẽ tìm hiểu về điều này từ bài viết “Sóng trên mặt nước” [xem. P. 10], đăng trên tạp chí này.

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova. Nghệ sĩ trưởng A. I. Klimanov.
Biên tập viên nghệ thuật O. N. Ykovleva. Người hiệu đính M. L. Medvedskaya
Nhà xuất bản “Nauka”, Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học
117071, Moscow V-71, Leninsky Prospekt, 15, Tel. 234-08-11, 234-07-93.

Đã nộp thành một bộ vào ngày 15/VI-72. Đã ký in ngày 27/VII-72. Giấy 70×100¹/16. Vật lý. lò nướng l. 4. Lò nướng có điều kiện l. 5.2. Biên tập học thuật. tôi. 5,71. Lưu hành 312.650 T-03331. Giá 30 kopecks. Đặt hàng 1020.
Nhà máy In Chekhov của ngành Máy nói dối chính của Ủy ban Nhà nước của Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô về Xuất bản, In ấn và Kinh doanh Sách, Chekhov, Khu vực Moscow.

BẢN BẢN KHÔNG ĐƯỢC TRẢ LẠI

THÀNH LẬP
TRONG
1970

9
THÁNG 9
1972

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

NHÀ XUẤT BẢN • KHOA HỌC •
BIÊN TẬP MƯỢT VĂN HỌC VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TRONG PHÒNG:
2 tích phân Yu. I. Ionin
10 Sóng Trên Mặt Nước Và “Những vị khách hải ngoại” của N. Roerich A. L. Smasenko
16 so sánh G. A. Kudrevamov
22 Biến tối V. A. Bronshten
30 Hành trình của ông Klock D. Borodin

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC
32 Lời giải bài toán Công việc thử nghiệm giới thiệu tại ZMSH 1972 A. L. Toom

VẤN ĐỀ “Lượng tử”
36 giải thưởng «Kvant»
37 Bài toán M161—M165, F163—F167
39 Lời giải bài toán M123—M125, F138—F144

ỨNG DỤNG THỰC HÀNH
45 Hãy học cách xử lý giá trị tuyệt đối E. B. Vakhovsky,
A. B. Volyansky
50 lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh Toán năm 1972
51 Chuyển động theo vòng tròn L. G. Aslamazov

ĐÁNH GIÁ, THƯ VIỆN
58 cuốn sách mới của M. L. Smolyansky

THÔNG TIN
60 Truyền hình đang được chuẩn bị tại các trường đại học I. A. Dyakonov, A. G. Mordkovich, I. M. Nasluzov

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP
“SỐ LƯỢNG” dành cho TRẺ EM THCS

HỖN HỢP (trang 21, 31, 35, 38, 61)

2

Bài viết này nói về một trong những khái niệm toán học quan trọng nhất - tích phân. Sử dụng khái niệm này, người ta có thể giải được nhiều bài toán hình học và vật lý bài toán.

Lưu ý rằng theo chương trình mới, phép tính tích phân sẽ được học ở bậc trung học.

Bạn có thể tìm hiểu thêm về phép tính tích phân trong cuốn sách của B. E. Weizza, I. T. Demidav “Đại số và sự khởi đầu của phân tích” (sách giáo khoa thử nghiệm lớp 10, do viện sĩ A. N. Kolmogorov biên tập). Tuy nhiên, nó được trình bày dưới nhiều góc độ.

Khi bạn gặp khái niệm hàm số cho đến nay, người ta thường gợi ý rằng miền của hàm bao gồm các số.

Ví dụ: hàm $x \rightarrow \frac{\sqrt{x+2}}{x-3}$ được xác định trên tập hợp các số thỏa mãn $x \geq -2$ và $x \neq 3$ và hàm $x \rightarrow \sqrt{1g\cos 2\pi x}$ được xác định trên tập hợp các số nguyên.

Tuy nhiên, không kém phần quan trọng là các hàm có miền định nghĩa không phải là các số mà là một tập hợp nằm trên một đường thẳng, trong mặt phẳng hoặc trong không gian. Ví dụ, diện tích có thể được coi là một hàm được xác định trên một tập hợp các hàm số phẳng. Hàm này gán số $ab$ cho đường tròn bán kính $a$ và $b$, và số $\pi R^2$ cho đường tròn bán kính $R$. Nếu cho trước định luật chuyển động nào đó của một điểm thì chúng ta có thể xem xét một hàm liên kết từng khoảng thời gian với đường đi trong khoảng thời gian đó; miền định nghĩa của hàm này bao gồm các khoảng thời gian.

Có thể nói cả hai hàm số được xem xét đều có tính chất quảng cáo (từ tiếng Latinh addo - tôi thêm): nếu một hàm số được chia thành nhiều phần thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các phần đó; nếu một khoảng thời gian được chia thành nhiều phần thì tổng số đường đi được của mỗi phần này sẽ bằng tổng số đường đi được trong toàn bộ khoảng thời gian đó.

Vật lý cung cấp nhiều ví dụ về hàm cộng.

Nếu chuyển động của một điểm vật chất được cho trước, xảy ra dưới tác dụng của một lực nhất định, thì có thể gán cho mỗi đoạn của quỹ đạo một sự tương ứng với công của lực di chuyển điểm được thực hiện trên đoạn đó. Đây là một chức năng bổ sung.

Khối lượng, năng lượng, năng lượng cơ thể cũng là những hàm phụ *).

Nghiên cứu hàm cộng dựa trên thành công của các nhà khoa học vĩ đại thế kỷ 17-18, trước hết

*) Độ bám dính của khối lượng đã được Ya trình bày chi tiết trong bài viết. A. Smorodinsky trong «Kvant» số 3, 1972.

Số 1. Hàm cộng của khe hở

Các hàm mà bạn vừa xem thường được gọi là hàm tập hợp. Chúng ta sẽ gọi các hàm đối tượng là hàm số hoặc hàm số.

Loại hàm tập hợp đơn giản nhất là hàm khoảng, tức là một hàm có miền định nghĩa bao gồm các đoạn của trục số.

Về giới hạn. Hàm khoảng $T$ được gọi là hàm cộng nếu

$$T[a, b] + T[b, c] = T[a, c]$$

(1) đối với bất kỳ cặp phân đoạn $[a, b]$ và $[b, c]$ nào từ miền định nghĩa của nó. (Thông qua $T[a, b]$ biểu thị số mà hàm khoảng $T$ gán cho đoạn $[a, b]$.

Chúng ta sẽ giả sử rằng miền định nghĩa của hàm khoảng bao gồm tất cả các phân đoạn $[a, b]$ được chứa trong một số phân đoạn cố định $[A, B]$.

Chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn hai ví dụ về hàm khoảng cộng.

1°. Khối lượng của thanh không đồng nhất

Hãy tưởng tượng có một thanh vật liệu nằm trên trục số từ điểm $A$ đến điểm $B$. Mỗi đoạn $[a, b]$ của thanh này được gắn với số $m[a, b]$ - khối lượng của đoạn này. Hàm khoảng $m$ thu được theo cách này là hàm cộng: $m[a, b] + m[b, c] = m[a, c]$, - nếu một đoạn của một thanh được chia thành hai phần thì khối lượng của nó bằng tổng khối lượng của các phần này. Một phần, nếu khối lượng được phân bố đều dọc theo thanh, nghĩa là thanh đồng nhất và $\lambda$ là mật độ tuyến tính của nó (khối lượng trên một đơn vị chiều dài), thì $m(a, b] = \lambda(b-a)$.

2°. Tăng chức năng

Đặt $F = F(x)$ là hàm bất kỳ của một số được xác định trên khoảng $A \leq x \leq B$. Sau đó, chức năng

$$\Delta F[a, b] = F(b) - F(a)$$

(2) (tức là hàm $\Delta F$, gán số $\Delta F[a, b] = F(b) - F(a)$ cho khoảng $[a, b]$) là hàm cộng. Hãy kiểm tra điều này: nếu $a < b < c$, thì

$$[F(b) - F(a)] + [F(c) - F(b)] = F(c) - F(a),$$

đó là

$$\Delta F[a, b] + \Delta F[b, c] = \Delta F[a, c].$$

Bài tập 1. Chứng minh rằng với mọi hàm cộng của khoảng $T$ đều tồn tại hàm $F$ của số sao cho $T = \Delta F$, tức là $T[a, b] = F(b) - F(a)$.

§ 2. Định nghĩa tích phân

Làm thế nào để tính giá trị của các hàm cộng của khoảng?

Hãy quay lại ví dụ với khối lượng của thanh. Nếu thanh được tạo thành từ nhiều mảnh đồng nhất thì khối lượng của nó bằng $\lambda_1 l_1 + \lambda_2 l_2 + \ldots + \lambda_n l_n$, trong đó $l_1, l_2, \ldots, l_n$ là chiều dài của những mảnh này, $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ là mật độ của chúng (Hình 1). Trong trường hợp tổng quát, khi thanh không đồng nhất, nó được chia thành các đoạn nhỏ đến mức trên mỗi đoạn chia thành hai phần thì khối lượng của nó bằng tổng khối lượng của các phần đó. Một phần, nếu khối lượng được phân bố đều dọc theo thanh, nghĩa là thanh đồng nhất và $\lambda$ là mật độ tuyến tính của nó (khối lượng trên một đơn vị chiều dài), thì $m(a, b] = \lambda(b-a)$.

4

Cơm. 2.

khối lượng được phân bố “gần như đồng đều”, nói cách khác, mật độ của thanh tại các điểm của mỗi đoạn như vậy sẽ khác rất ít so với mật độ trung bình của thanh trên đoạn đó.

Mật độ trung bình của thanh trên đoạn $[a, b]$ bằng $\frac{m[a, b]}{b-a}$. Một khái niệm tương tự rất dễ được đưa ra cho hàm khoảng tùy ý. Mật độ trung bình của hàm khoảng $T$ trên đoạn $[a, b]$ (tại $a \neq b$) là số $\frac{T[a, b]}{b-a}$.

Việc đưa ra định nghĩa về mật độ “tại một điểm” sẽ khó khăn hơn nhiều và chúng tôi cũng sẽ không đưa ra nó ở đây vì chúng tôi sẽ chỉ cần một tính chất của mật độ “điểm” này. Để xây dựng tính chất này, thuận tiện là đưa ra một số ký hiệu. Nếu đoạn $[a, b]$ nằm trong miền định nghĩa của hàm số $f$, thì bằng các ký hiệu $\min f$ và $\max f$, chúng ta sẽ lần lượt biểu thị giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm $f$ trên đoạn này. Điều thực sự thú vị về mật độ là như sau. Nếu hàm số $f$ là mật độ của hàm khoảng $T$ thì mật độ trung bình của hàm khoảng $T$ trên mỗi đoạn $[a, b]$ được chứa giữa các số $\min f$ và $\max f$ (Hình 2), tức là bất đẳng thức được thỏa mãn

$$\min f \leqslant \frac{T[a, b]}{b-a} \leqslant \max f,$$

(3)

có thể được viết lại như thế này:

$$(b-a) \min f \leqslant T[a, b] \leqslant \leqslant (b-a) \max f.$$

Giả sử rằng đối với một hàm cho trước của số $f$, chúng ta đã chọn được một hàm cộng như vậy của khoảng $T$ mà bất đẳng thức (3) được thỏa mãn trên mỗi phân đoạn từ miền định nghĩa của hàm $T$. Tuy nhiên, hàm khoảng $T$ có được xác định bởi điều này không? Người ta có thể nghĩ về một ví dụ về hàm số “xấu” $f$, trong đó hàm cộng của khoảng $T$ không được xác định duy nhất bởi các bất đẳng thức (3). Tuy nhiên, một ví dụ được đưa ra trong Bài tập 4. Nhưng đối với bất kỳ hàm đủ “tốt” $f$, chẳng hạn, đối với bất kỳ hàm đa âm nào, chỉ có một hàm cộng của khoảng $T$, các giá trị của nó trên mỗi khoảng $[a, b]$ thỏa mãn bất đẳng thức (3). Tuyên bố tương tự cũng đúng đối với các hàm đơn điệu từng phần $f$, tức là đối với một hàm có tính đơn điệu trên các phân đoạn. Đơn điệu từng phần là lũy thừa, hàm mũ, logarit, lượng giác và nhiều hàm khác.

Chúng ta đã đi đến định nghĩa của tích phân.

Sự định nghĩa. Giả sử hàm của số $f$ được xác định trên khoảng $[A, B]$. Hàm cộng của khoảng $T$, xác định trên tập các đoạn $[a, b]$ chứa trong đoạn $[A, B]$, được gọi là tích phân của hàm $f$, nếu với mỗi đoạn $[a, b]$ bất đẳng thức

$$(b-a) \min f \leqslant T[a, b] \leqslant \leqslant (b-a) \max f.$$

Do đó, tích phân của hàm số là hàm cộng của khoảng $T$ được xác định duy nhất.

6

giữa này là 0,333. Chúng ta sẽ tìm thấy mục đích chính xác của nội dung này trong đoạn tiếp theo. Như bạn có thể đã đồng ý, nó bằng $1/3$.

Và trong trường hợp tổng quát hơn, có thể bằng cách chia đoạn $[a, b]$ thành các phần đủ nhỏ để xấp xỉ $\int \limits_a^b f(x) dx$ với tổng có dạng
$$f(x_1)(a_1 - a) + f(x_2)(a_2 - a_1) + \dots + f(x_n)(b - a_{n-1})$$
trong đó $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$ là các điểm chia đoạn $[a, b]$ thành các phần, $x_1, x_2, \dots, x_n$ là các điểm từ các phần này. Sự gần đúng này có thể được thực hiện chính xác như mong muốn.

Số tiền được viết ở trên được gọi là nội bộ. Rõ ràng, theo định nghĩa, một khoảng thời gian là giới hạn mà tổng giữa các khoảng có xu hướng khi phân vùng ngày càng trở nên mịn hơn. Trong định nghĩa của chúng ta về khoảng, khái niệm giới hạn không được sử dụng. Từ các khoản tiền nội bộ, việc chỉ định các nội bộ cũng được bắt nguồn. Ký hiệu $\int \limits_a^b f(x) dx$ có dạng như sau: “interral from a to be ef from x to de x.” Hàm $f$ được gọi là subinterral, các số $a$ và $b$ lần lượt là giới hạn dưới và giới hạn trên của nội hóa. Cần lưu ý rằng giống như $x \rightarrow x^2, t \rightarrow t^2, z \rightarrow z^2$ là cùng một hàm, các ký hiệu $\int \limits_a^b f(x) dx, \int \limits_a^b f(t) dt, \int \limits_a^b f(z) dz$ biểu thị cùng một số - giá trị khoảng của hàm $f$ trên đoạn $[a, b]$.

§ 4. Công thức tích phân

Tính toán các khoảng bằng cách sử dụng tổng giữa các khoảng là một công việc khá rắc rối và kết quả chỉ mang tính gần đúng. Thay vào đó, họ làm điều này: họ tính toán một số khoảng thời gian tiêu chuẩn, thường gặp và cố gắng giảm các khoảng thời gian khác cho chúng. Chúng ta sẽ tính hai khoảng chuẩn

$$\int \limits_a^b x_n dx \quad \int \limits_a^b \cos x dx \quad \text{и установим некоторые теоремы, позволяющие своить ряд интерралов к стандартным.}$$

Tính toán 1° $\int \limits_a^b x^n dx$.

Xét hàm khoảng $T$ cho bởi công thức
$$T[a, b] = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}.$$

Chức năng này là phụ gia:
$$T[a, b] + T[b, c] = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} + \frac{c^{n+1} - b^{n+1}}{n+1} = \frac{c^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} = T[a, c].$$

Hãy chứng minh rằng $T$ là tích phân của hàm số $x \rightarrow x^n$. Để làm điều này, chúng ta cần chứng minh rằng trên mỗi phân đoạn $[a, b]$ có ​​bất đẳng thức $(b - a) \min x^n \leq T[a, b] \leq (b - a) \max x^n$. Chúng ta hãy kiểm tra bất đẳng thức này cho $a$ và $b$ không âm. Trong trường hợp này $\min x^n = a^n$, $\max x^n = b^n$, vậy ta cần chứng minh
$$(b - a) a^n \leq \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} \leq b^n (b - a)$$
hoặc
$$(n + 1) a^n (b - a) \leq b^{n+1} - a^{n+1} \leq (n + 1) b^n (b - a).$$

Khai triển $b^{n+1} - a^{n+1}$ thành một tập hợp và triệt tiêu $b - a > 0$, bất đẳng thức cuối cùng có thể được viết lại thành
$$a^n + a^n + \dots + a^n \leq b^n + b^n + \dots + b^n.$$

Bất đẳng thức này đúng vì các số hạng ở phần giữa của nó không nhỏ hơn các số hạng ở vế trái và không lớn hơn các số hạng ở vế phải.

Do đó, hàm cộng của khoảng $T$ là tích phân.

Thật thuận tiện khi kết hợp các công thức (10) và (11) thành một. Để làm điều này, hãy tính toán
$$\int_{a}^{b} f(\alpha x + \beta) \, dx.$$
Hãy đặt $g(x) = f(x + \beta)$. Sau đó $f(\alpha x + \beta) = g(\alpha x)$. Kể từ đây,

$$\int_{a}^{b} f(\alpha x + \beta) \, dx = \int_{a}^{b} g(\alpha x) \, dx =$$
$$= \frac{1}{\alpha} \int_{\alpha a}^{\alpha b} g(x) \, dx = \frac{1}{\alpha} \int_{\alpha a}^{\alpha b} f(x + \beta) \, dx =$$
$$= \frac{1}{\alpha} \int_{\alpha a+\beta}^{\alpha b+\beta} f(x) \, dx.$$

Như vậy,

$$\int_{a}^{b} f(\alpha x + \beta) \, dx = \frac{1}{\alpha} \int_{\alpha a+\beta}^{\alpha b+\beta} f(x) \, dx.$$

Khi $\alpha$ âm, công thức này mất ý nghĩa vì trong trường hợp này $\alpha a + \beta > \alpha b + \beta$. Phản ánh thanh đối xứng qua gốc tọa độ, ta thu được công thức

$$\int_{a}^{b} f(-x) \, dx = \int_{-b}^{a} f(x) \, dx.$$

Pozny, nếu $\alpha < 0$, thì

$$\int_{a}^{b} f(\alpha x + \beta) \, dx = \int_{-b}^{a} f(-\alpha x + \beta) \, dx =$$
$$= -\frac{1}{\alpha} \int_{\alpha b+\beta}^{\alpha a+\beta} f(x) \, dx.$$

Bạn có thể thấy cách áp dụng các công thức này bằng cách giải các ví dụ bên dưới. Một số trong số chúng sẽ được thảo luận chi tiết ở cuối khóa học (trong phần “Đáp số, gợi ý, lời giải”) «Kvant» Số 10.

Bài tập 5. Tính tích phân

a) $\int_{-2}^{1} (x-1)^3 \, dx$;
b) $\int_{-1}^{\pi} |x^2-x| \, dx$;
c) $\sin x \, dx$;
d) $\int_{0}^{\pi} \sin x \cos 2x \, dx$;
e) $\int_{-1}^{1} (x^3-1)^2 \, dx$;
f) $\int_{0}^{\pi} \sin^3 x \, dx$.

Bài tập 6. a) Chứng minh rằng nếu $f$ là hàm số lẻ thì

$$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0.$$

6. Chứng minh rằng nếu $f$ là hàm chẵn thì

$$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx.$$

Bài tập 7. Chứng minh rằng nếu $f$ là hàm tuần hoàn và $l$ là chu kỳ của nó thì

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a+l}^{b+l} f(x) \, dx.$$

Các ứng dụng hình học và vật lý khác nhau của tích phân sẽ được thảo luận trong số tiếp theo của Kurpal.

10

SÓNG TRÊN NƯỚC
VÀ “DU KHÁCH NƯỚC NGOÀI” CỦA N. ROERICH
A. L. Stasenko

“Sâu, lạnh như mùa xuân, cảm nhận cá dưới sông. Những chiếc thuyền được sơn trang trí công phu với những cánh buồm sặc sỡ vui vẻ lướt dọc theo nó. Những chiếc cung của chúng giương lên rạng ngời, kết thúc bằng đầu của những người Drakov. Màu sắc rực rỡ của chúng tỏa sáng dưới ánh mặt trời…
Con đường của người Varangian rất xa và nguy hiểm.”*).

Chúng ta đang nói về bức tranh của họa sĩ tuyệt vời người Nga Nicholas Roerich “Những vị khách nước ngoài” (1901), có thể được chiêm ngưỡng trong Phòng trưng bày Tretykov. Nó được sao chép trên trang bìa tạp chí của chúng tôi.

Chúng ta hãy sử dụng bức vẽ tích cực, tươi sáng này để suy nghĩ về một số chủ đề vật lý: định luật bảo toàn năng lượng, lý thuyết về các đại lượng vật lý được phân bổ và xử lý thống kê các kết quả thí nghiệm. Và bức ảnh này có liên quan gì tới nó? Chỉ để làm cho nó vui hơn.

Thực tế, chẳng phải rất thú vị khi thử xác định, nhìn vào bức ảnh này, các vị khách nước ngoài đang bơi với tốc độ bao nhiêu phải không? Hãy để nó tương đối với dòng nước chảy, và không tương đối với bờ. Những gì trong hình có thể cho chúng ta những thông tin cần thiết? Trước hết, có một làn sóng hình cánh cung, hình thành ở hai bên ở tiền tuyến, kết thúc bằng một con rồng. Xa xa, những đợt sóng cuộn tròn chạy dọc mặt nước từ con tàu; về mặt chất lượng, chúng tương tự như các vòng tròn có tâm chung nằm ở đâu đó trên mặt phẳng của quân xe. Chúng ta hãy thêm vào đây vị trí của sân và cánh buồm so với mặt phẳng trục của con tàu. Có thể bạn sẽ tìm thấy thứ gì đó khác mang lại

*) V. P. Knyazeva, “N. Roerich”, Nhà xuất bản “Iskusstvo”, 1968.

Cơm. 1.

11

Cơm. 2.

hướng chuyển động, có thể leo lên đến độ cao như vậy $h$, trong đó thế năng $mgh$ của nó sẽ không lớn hơn động năng:

$$mgh \leq m \frac{V_1^2}{2}.$$

Từ đây

$$h \leq \frac{V_1^2}{2g}.$$

Như vậy, định luật bảo toàn năng lượng và nguyên lý chồng chất chuyển động cho phép chúng ta ước tính tốc độ của tàu:

$$V_1^2 \geq 2gh,$$

do đó $$V_1^2 \geq \frac{2gh}{\sin^2 \alpha}.$$ (1)

Chúng ta chỉ cần thay đổi góc $\alpha$ và độ cao của sóng cung $h$. Việc tính toán tương ứng sẽ được thực hiện dưới đây và bây giờ chúng ta sẽ xem xét nguồn thông tin thứ hai về chuyển động của con tàu mà chúng ta sẽ thảo luận.

Bề mặt sóng

Bề mặt sóng là một đối tượng nghiên cứu khá phức tạp, nhưng chúng ta có thể tìm hiểu rất nhiều về chúng dựa trên những thông điệp rất đơn giản về kích thước của các đại lượng vật lý mô tả hiện tượng này. Để làm được điều này, trước hết bạn phải hình dung rõ ràng nguyên lý của hiện tượng. Sóng là một dao động lan truyền. Tại sao bề mặt của một bề mặt bị một vật nào đó đưa ra khỏi vị trí cân bằng lại có thể dao động? Bất kỳ dao động nào cũng là kết quả của “trò chơi” của hai yếu tố: lực, đưa nó về vị trí cân bằng và quán tính, buộc vị trí cân bằng này trượt qua.

Nếu một “bướu” được hình thành trên bề mặt chất lỏng, thì các hạt chất lỏng có thể được đưa trở lại vị trí cân bằng, chẳng hạn như bởi một lớp trọng lực $F_g$ (xem Hình 3a), tỷ lệ thuận với gia tốc trọng trường của Trái đất $g$. Khi rơi xuống, do quán tính nên “bướu” xuất hiện phía dưới vị trí cân bằng; bên cạnh nó, một “bướu” khác sẽ chảy ra, v.v., kết quả là một sóng sẽ chạy, đặc trưng bởi tốc độ nhất định $u$ và chiều dài $\lambda$ (khoảng cách giữa các “bướu”). Trong trường hợp chúng ta đang xem xét, thước đo quán tính của nước dao động là mật độ của nó.

Vì vậy, chuyển động của sóng dọc theo bề mặt chất lỏng được mô tả bằng các đại lượng sau (chúng ta sẽ viết ngay kích thước của chúng):

$$u \left[ \frac{m}{c} \right], \lambda \left[ m \right], g \left[ \frac{m}{c^2} \right], \rho \left[ \frac{\kappa_2}{m^3} \right].$$

Làm thế nào để kết nối chúng với nhau? Ví dụ: làm thế nào chúng ta có thể tìm thấy sự phụ thuộc của vận tốc sóng $u$ gây ra chúng ta vào các sóng khác $\lambda$, $g$, $\rho$? Đây là nơi mà các kích thước đã được viết ra sẽ hỗ trợ chúng tôi.

Chúng ta thấy rằng thứ nguyên $u$ chứa giây trong mẫu số. Trong ba volyn còn lại, chiều thời gian chỉ có trong $g$ (ở đó, mẫu số của các điểm dừng là $c^2$). Từ đây, chúng tôi nhanh chóng viết $u \sim \sqrt{g}$, và rõ ràng là không thể chạm vào $g$ nữa: chúng tôi nhận được từ nó giây bắt buộc trong mẫu số của thứ nguyên $u$. Nhưng đồng thời $\sqrt{g}$ đã cho chúng tôi một trong số

12

$\sqrt{m}$, và chúng ta cần memp trong tử số mà không có gốc. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể nhân $\sqrt{g}$ với $\sqrt{\lambda}$ và sau đó mọi thứ sẽ theo thứ tự: số lượng $\sqrt{g\lambda}$ có thứ nguyên mà chúng ta cần $[m/c]$.

Vì thế,

$$u \left[ \frac{m}{c} \right] \sim \sqrt{g \left[ \frac{m}{c^2} \right]} \cdot \lambda [m].$$

Lưu ý rằng chúng ta chỉ nhận được tỷ lệ chứ không phải đẳng thức, vì $\sqrt{g\lambda}$ có thể đứng trước bất kỳ thừa số $k$ nào không có thứ nguyên, tức là $u = k \sqrt{g\lambda}$. Có thể $k = 1/2$, có thể $k = 1000000$. Ở đây lý thuyết của chúng tôi bất lực, nhưng nó cho phép chúng tôi tìm ra điều chính - tính chất vật lý của hiện tượng này. lời giải bài toán chính xác cho giá trị $k = 1/\sqrt{2\pi}$, tức là

$$u = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}.$$

(2)

$\rho [\kappa e/m^3]$ ở đây ở đâu? Nó không có ở đó, nhưng chúng tôi chỉ đơn giản là không có nơi nào để trình bày chi tiết số kg có trong kích thước $\rho$, không có gì để giảm chúng để trong kết quả cuối cùng, giá trị $u$ chỉ thay đổi trong $m/c$. Đây là một khái niệm vật lý: suy cho cùng, cả trọng lượng của “cái bướu”, giúp nó tăng tốc đi xuống, và khối lượng của “cái bướu”, xác định quán tính của nó, đều tỷ lệ với $\rho$ - đây là lý do tại sao mật độ đã bị loại khỏi công thức (2). (Một tình huống tương tự xảy ra trong trường hợp ma trận toán học, có chu kỳ $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ vì lý do tương tự không phụ thuộc vào khối lượng lơ lửng trên một sợi dây có chiều dài $l$).

Nếu sóng trở nên rất nhỏ, “gợn sóng” (chúng ta sẽ đánh giá bên dưới ý nghĩa của rất nhỏ), thì một lực khác sẽ cố gắng đưa “bướu” về vị trí cân bằng - lực căng bề mặt liên quan đến hệ số sức căng bề mặt $\sigma [\kappa e/m]$. Điều này tương tự như cách chúng ta nhấc một sợi dây cao su nằm ngang bị kéo căng lên bằng ngón tay: khi đó, do lực căng của dây trên ngón tay, một lực $F_\sigma \sim \sigma$ sẽ tác dụng hướng xuống (Hình 36). Trong trường hợp này, sự lan truyền của sóng sẽ phụ thuộc vào độ lớn $\sigma [\kappa e/m]$, $\lambda [m]$, $u_\sigma [m/c]$, $\rho [\kappa e/m^3]$. (Chúng ta biểu thị tốc độ của sóng sức căng bề mặt bằng $u_\sigma$ để phân biệt với $u$ trong công thức (2).)

Teleru, chúng tôi có đủ kinh nghiệm để sử dụng các kích thước và thu được biểu thức cho tốc độ sóng (hãy nhớ rằng $1 \kappa = 1 \kappa e \cdot m/c^2$):

$$u_\sigma \left[ \frac{m}{c} \right] \sim \sqrt{\frac{\sigma [\kappa e/c^2]}{\rho [\kappa e/m^3]} \cdot \lambda [m]}.$$

Nếu muốn đổi dấu tỉ lệ thành dấu bằng thì cần xét đến hệ số không thứ nguyên còn thiếu. Theo lý thuyết chính xác thì nó bằng $\sqrt{2\pi}$. Vì thế,

$$u_\sigma = \sqrt{\frac{2\pi \sigma}{\lambda \rho}}.$$

(3)

Thật ngạc nhiên khi chúng ta có được thứ chính gần như “miễn phí” mà không cần biết bất kỳ lý thuyết nào: bản chất của sự phụ thuộc giữa các đại lượng! Điều quan trọng cần nhớ ở đây là, theo nhà vật lý nổi tiếng người Ý Enrico Fermi, “trong vật lý… không có chỗ cho những suy nghĩ bối rối… những người thực sự hiểu bản chất của hiện tượng này hay hiện tượng kia phải nắm được các định luật cơ bản từ các thông điệp của chiều”*).

Đối với nước “băng giá”

$$\sigma \approx 80 \frac{\partial h/cm}{\partial t} = 8 \cdot 10^{-2} \kappa e/m,$$

$$\rho = 1 \kappa/cm^3 = 10^3 \kappa e/m^3$$

Khi tính đến điều này, chúng tôi đã vẽ biểu đồ sự phụ thuộc của tốc độ bề mặt sóng, được xác định bằng biểu thức (2) và (3), vào giá trị $\sqrt{\lambda}$ (Hình 4).

*) B. Pontecorvo, “Enrico Fermi” M., “Kiến thức”, 1971, tr. 27.

13

Có thể thấy cả hai đường cong cắt nhau ở $\lambda = \lambda_* \approx 12$ cm. Do đó, ở bước sóng rất ngắn ($\lambda \ll \lambda_*$), tốc độ của chúng được xác định bởi sức căng bề mặt và ở bước sóng dài ($\lambda \gg \lambda_*$), bởi gia tốc trọng trường. Ở vùng trung gian ($\lambda \approx \lambda_*$), tốc độ của sóng bề mặt được xác định bởi cả hai yếu tố (trọng lực và sức căng bề mặt). Biểu thức tốc độ sóng trở nên phức tạp hơn ($u_\Sigma = \sqrt{u^2 + u_\sigma^2}$). Sự phụ thuộc của $u_\Sigma$ vào $\sqrt{\lambda}$ được thể hiện trong Hình 4 bằng một đường chấm chấm.

Trong vật lý, điều thường xảy ra là việc nghiên cứu một số trường hợp giới hạn nhất định sẽ dễ dàng hơn nhiều (đối với chúng tôi đó là $\lambda \rightarrow 0$ và $\lambda \rightarrow \infty$), và “vùng trung gian” đòi hỏi nhiều điều kiện hơn. May mắn thay, đối với chúng ta, vùng này không tồn tại, bởi vì, nhìn vào bức tranh của Roerich, chúng ta có thể nói một cách đáng tin cậy rằng sóng tròn có chiều dài rõ ràng lớn hơn $\lambda_*$, và do đó, tốc độ của chúng được mô tả bằng biểu thức (2). Để tìm thấy nó, bạn chỉ cần “đo” $\lambda$. Chúng tôi sẽ thực hiện các phép tính bên dưới, nhưng bây giờ chúng tôi sẽ thực hiện thêm một bước nữa.

Chúng ta hãy nhớ rằng khi một con bọ nước chạy nhanh trong nước hoặc một viên đạn bay trong không khí với tốc độ âm thanh, những “râu” đặc trưng luôn được hình thành, chúng bị ép lại gần cơ thể đang chuyển động thì tốc độ $V$ của nó càng lớn so với tốc độ $u$ của sự lan truyền các nhiễu loạn do cơ thể gây ra. Hình 5 cho thấy ba trường hợp điển hình: nếu $V < u$, sóng vượt qua cơ thể và chỉ có bài kiểm tra lướt theo hướng chuyển động; nếu $V = u$, thì các đỉnh sóng tại một điểm (theo hướng chuyển động) hướng vào nhau; nếu $V > u$, thì cơ thể sẽ vượt qua các sóng và hình thành một “râu”. (Ảnh trên bìa thứ hai minh họa trường hợp sau.)

Cơm. 4

Cơm. 5.

14

Nhìn vào bức tranh của Roerich, chúng ta thấy nó mô tả trường hợp đầu tiên; Hơn nữa, vì thậm chí không có dấu hiệu của sóng cuộn theo hướng chuyển động của tàu nên chúng ta phải kết luận rằng tốc độ của nó nhỏ hơn nhiều so với tốc độ của sóng:

$$V \ll u.$$

Vì vậy, từ quan điểm của sóng tròn bề mặt, con tàu chỉ đơn giản là “mài sắc tại chỗ”.

Bây giờ hãy bắt đầu với việc tính toán. Để làm điều này, chúng ta cần “đo” chiều cao sóng cánh cung $h$, góc $2\alpha$ và chiều dài sóng bề mặt $\lambda$.

Số đo

Chúng ta có thể xây dựng và đo lường những đại lượng chúng ta cần từ bức tranh một cách chính xác hơn, có tính đến phối cảnh, hình chiếu, góc, v.v. Nhưng trước hết, điều này khá khó khăn và tẻ nhạt; thứ hai, chúng ta sẽ thấy mình ở một tình thế buồn cười: thực sự, không có gì sai khi coi phát minh cổ tích của người nghệ sĩ như một bức ảnh thử nghiệm. Ngoài ra, chúng ta không biết mũi cao bao nhiêu chẳng hạn.

Cơm. 7.

Những tấm chắn sơn của con tàu được hiển thị có kích thước như thế nào? Tuy nhiên, có một kích thước đặc trưng trong bức tranh, dường như đã thay đổi rất ít kể từ thời người Varangian - đây là kích thước của đầu.

Trước khi đọc thêm, hãy thử tự mình sử dụng ít nhất “tiêu chuẩn” này để ước tính $h$ và $\lambda$. Đây sẽ là “chiều kích” cá nhân của bạn. Tuy nhiên, chúng ta không được quên rằng mỗi người xem đều cảm nhận bức ảnh một cách rất riêng biệt. Đưa bức tranh này cho tất cả trẻ trong lớp của bạn xem và hỏi xem các em nghĩ gì về các giá trị của $h$, $\lambda$, $\alpha$ (thật tốt nếu người được hỏi chưa nghe thấy đáp số các hàng hóa khác；第二 của giai đoạn “đọc” của tất cả học sinh sẽ tương tự như kết quả đọc độc lập của thiết bị). Viết kết quả đáp số, sau đó xây dựng biểu đồ trong đó các giá trị $h$ được vẽ trên trục hoành và số người $n$ đã gọi giá trị này là $h$ trên trục tung.

Cơm. 6.

Tác giả tiếp tục điều này với các đồng chí của mình (tổng cộng 30 người đã được phỏng vấn) và nhận được các biểu đồ như Hình 6 và 7. Điều thú vị là hầu hết những người được hỏi đều đặt tên cho các giá trị $h$ và $\lambda$, bội số của 5 cm, một số - bội số của 2-2,5 cm, nhưng không kém (không ai nêu tên, ví dụ: $h = 27$, 1357891439 cm). Điều này giống như khi bạn thay đổi khoảng cách tuyến tính với giá trị phân chia tối thiểu là 2-2,5 cm.

Sử dụng các biểu đồ này, chúng ta có thể tìm thấy các giá trị trung bình của $<h>$ và $<\lambda>$ và coi chúng là khá chính xác.

Thủ tục xác định giá trị trung bình rất đơn giản. Mỗi giá trị $h_i$ phải được nhân với số người $n_i$ đã đặt tên cho nó, lấy tổng trên tất cả $i$ và chia cho tổng số người trả lời. Kết quả là chúng tôi nhận được

$$\langle h \rangle = \frac{\sum_{i=1}^{30} h_i n_i}{\sum_{i=1}^{30} n_i} = \frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} h_i n_i = \frac{1}{30} (10 + 2 \cdot 12 + 5 \cdot 15 + 7 \cdot 20 + 4 \cdot 25 + 6 \cdot 30 + 2 \cdot 40 + 1 \cdot 50 + 1 \cdot 60 + 1 \cdot 70) = \frac{789}{30} \approx 26 \text{ см} \approx 0,26 \text{ м.}$$

Tương tự như vậy

$$\langle \lambda \rangle = \frac{1}{30} (2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 15 + 1 \cdot 18 + 8 \cdot 20 + 2 \cdot 25 + 2 \cdot 30 + 1 \cdot 40 + 3 \cdot 50 + 1 \cdot 70 + 1 \cdot 80 + 1 \cdot 90 + 1 \cdot 120 + 1 \cdot 150) = 32,5 \text{ см} = 0,325 \text{ м.}$$

Các mức trung bình này được đánh dấu trong Hình 6 và 7 bằng mũi tên màu đỏ.

Độ chính xác của “các phép đo” khảo sát của chúng tôi có thể được ước tính gần đúng bằng chiều rộng của đường cong chấm trơn được lấy ở một nửa chiều cao của nó (các đường màu đỏ trong Hình 6 và 7). Đối với các thí nghiệm vật lý, tất nhiên, cả một lý thuyết về sai số đã được phát triển, nói chung là dựa trên những gì chúng ta đã làm, chỉ có trong thí nghiệm mới có các dụng cụ “thẩm vấn”.

Còn góc $\alpha$ thì sao? Tất cả những người được phỏng vấn đều đồng ý rằng nó nằm đâu đó trong khoảng $90^\circ < 2\alpha < 180^\circ$ (con tàu trong hình khá điển hình). Như vậy,

$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin 45^\circ < \sin \alpha < \sin 90^\circ = 1.$$

Bây giờ chúng ta có mọi thứ để ước tính tốc độ và sóng bề mặt của con tàu.

Kết quả

Thay các giá trị $h$, $\lambda$ và $\sin \alpha$ từ (5), (6), (7) vào công thức (1) và (2), ta thu được

$$V \geq \sqrt{\frac{2 \cdot 9,8 [m/c^2] \cdot 0,26 [m]}{1 \div \sqrt{2}/2}} = \sqrt{5,1 \div 7,25 [m^2/c^2]} = 2,25 \div 2,7 [m/c],$$

$$u = \sqrt{\frac{9,8 [m/c^2] \cdot 0,34 [m]}{2\pi}} \approx 0,7 [m/c].$$

Bây giờ chúng ta ngạc nhiên nhận thấy rằng sự tương ứng (8) và (9) không tương thích với bất đẳng thức (4). Thật vậy, xét theo độ cao của sóng mũi tàu, con tàu trôi với tốc độ $V$ không khác 2,25 $m/c$, và nếu chúng ta tập trung vào bề mặt hình tròn của sóng, gần như đồng tâm trong hình, thì tốc độ của con tàu sẽ nhỏ hơn nhiều so với tốc độ của những con sóng này $u = 0,7 \text{ m/c}$, tức là vốn đã nhỏ hơn $V$.

Với một ngoại hình nhất định, bạn sẽ tìm thấy nhiều điểm không chính xác về mặt hình thức tương tự trong các tác phẩm nghệ thuật khác (rõ ràng, điều này là do thực tế là anh ta có bộ và tính hợp pháp của riêng mình). Khi đó, bạn không chỉ có thể chơi với chúng và có được sự hài lòng tự nhiên mà còn có thể nói chuyện với em trai mình về các định luật vật lý bằng cách sử dụng các hình ảnh minh họa rất hấp dẫn.

16

Liệu nó có bị chia cắt hay không? Câu hỏi này thường phát sinh trong số học số nguyên. Và điều này không phải ngẫu nhiên - xét cho cùng, phép chia là phép tính số học phức tạp nhất.

Chúng ta hãy biểu thị số bị chia và số chia bằng các chữ cái $a$ và $m$ (chúng ta sẽ giới hạn trong trường hợp $m > 0$), thương và số dư tương ứng bằng các chữ cái $q$ và $r$. Sau đó (xem hình) $a = mq + r$, $0 \leq r < m$ (định nghĩa phép chia có số dư).

Nếu $r = 0$ thì $a = mq$ và chúng ta nói rằng “a chia hết cho $m$” hoặc “a là bội số của $m$”. Điều này được biểu thị bằng ba mắt: $a : m$; ký hiệu: có nghĩa là “chia cho…”

Trong một số trường hợp, dấu hiệu chia hết giúp trả lời câu hỏi nó có chia hết hay không. Nhưng trong khóa học ở trường, chỉ những điều đơn giản nhất mới được xem xét: 2, 3, 5 và 9. Các dấu hiệu chia hết, chẳng hạn như cho 7, 11, nằm ngoài phạm vi khóa học ở trường. Kiến thức thu được trong các bài học số học không đủ để tìm số dư của phép chia $2^{25} + 1$ cho 641, 1971$^{1972}$ cho 7, $22^{11} + 11^{22}$ cho 3. Những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác được trả lời bằng lý thuyết so sánh đáp số, các yếu tố của lý thuyết này sẽ được thảo luận trong bài viết này.

1. Phần dư của phép chia

Thường thì phần còn lại $r$ được quan tâm nhiều hơn thương $q$. Ví dụ, để xác định GCD

$$mq \cdot a \cdot m(q+1)$$

Cơm. 1.

(*) Điều này được mô tả chi tiết trong bài viết của V. N. Vaguten “Thuật toán Euclide và Định lý cơ bản của số học”, «Kvant» Số 6, 1972.

18

có thể, nhiều modulo. Trong trường hợp này, điều đáng chú ý là so sánh không chỉ có hình dáng bên ngoài giống với các đẳng thức chung mà còn có hầu hết tất cả các tính chất cơ bản của chúng.
Do đó, có thể thu được sự so sánh trên cùng một modulo bằng cách cộng, trừ và nhân:

$$a \equiv b, c \equiv d \pmod{m} \Rightarrow a \pm c \equiv b \pm d, ac \equiv bd \pmod{m}.$$ (C)

Điều này cũng dẫn tới hệ quả sau:
cùng một số có thể được thêm vào một phần của phép so sánh đã cho, chúng có thể được nhân với cùng một số và cũng có thể được nâng lên cùng một lũy thừa tự nhiên, nghĩa là

$$a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow a + c \equiv b + c, ac \equiv bc, a^k \equiv b^k \pmod{m}.$$

Bài tập

1. Chứng minh tiêu chí (K) và tính chất so sánh (C).

2. Chứng minh rằng các phần của phép so sánh có thể rút gọn đi một số nguyên tố cùng nhau trong mô hình (tất nhiên nếu cả hai phần của phép so sánh đều chia hết cho số này).

3. Chứng minh rằng phép so sánh 3x ≡ 4(mod5) đúng với mọi x so sánh được với 3 trong một modulo đã cho.

4. Kiểm tra rằng không có số nguyên x thỏa mãn 3x ≡ 2(mod 6).

5. So sánh modulo và phân vùng lớp

Các thuộc tính so sánh được đưa ra trong đoạn 2 giúp bạn có thể giải quyết tương đối đơn giản nhiều lý thuyết chia hết bài toán, thường thấy trong các kỳ thi Olympic, các cuộc thi, v.v. Hãy xem xét một số trong số chúng, nhưng trước tiên hãy lưu ý rằng đối với lời giải những bài toán này, bạn có thể tự mình quyết định chia thành các lớp số có thể so sánh theo một modulo nhất định (trong trường hợp này, mô hình được chọn tùy thuộc vào hoàn cảnh hoặc được xác định bởi điều kiện bài toán chính nó).

Với mỗi phép so sánh, x ≡ a(mod m) thỏa mãn các lớp số x mà khi chia cho m sẽ cho số dư r(a, m). Đối với mỗi x một trong những so sánh được thực hiện

$$x \equiv 0, x \equiv 1, x \equiv 2, \dots, x \equiv m - 2, x \equiv m - 1 \pmod{m}$$

hoặc, cái gì giống nhau, một trong những đẳng thức

$$x = mt, x = 1 + mt, x = 2 + mt, \dots, x = m - 2 + mt, x = m - 1 + mt,$$

trong đó t là số nguyên tương ứng. Vì vậy, mỗi số nguyên thuộc về một trong m lớp; các số không thể so sánh được trong một modulo nhất định sẽ thuộc các lớp khác nhau.

Bài tập

5. Kiểm tra xem quan hệ so sánh có phải là quan hệ tương đương hay không và phân chia tất cả các số thành các lớp so sánh được, cụ thể là chứng minh rằng

a) x ≡ x(mod m);
b) x ≡ y(mod m) ⇒ y ≡ x(mod m);
b) x ≡ y, y ≡ z(mod m) ⇒ x ≡ z(mod m).

Việc phân chia thành các lớp được thảo luận chi tiết trong bài viết của M. M. Glukhov “Quan hệ tương đương và phân vùng của một tập hợp”, “Quant” số 2, 1972.

4. Một số bài toán

Để sử dụng “ngôn ngữ so sánh” cho lời giải bài toán một cách tự do hơn, hãy xem xét các câu hỏi sau: ví dụ: lớp nào, theo modulo 6, chứa số nguyên tố? Số nguyên tố 37 thuộc lớp nào sau đây? Lớp modulo 6 nào chứa lũy thừa đích của các số?

Dễ dàng thấy rằng lớp x ≡ 0(mod 6) không chứa các số nguyên tố: nó bao gồm các số là bội số của 6. Lớp x ≡ 4(mod 6) không chứa các số nguyên tố, vì nó bao gồm bốn số 4+6t = 2(2+3t) (và không chứa số 2). các lớp x ≡ 2 và x ≡ 3(mod 6) mỗi lớp chứa một số nguyên tố lần lượt là 2 và 3. các lớp x ≡ 1, x ≡ 5(mod 6) chứa tất cả các số nguyên tố khác; ví dụ: cái đầu tiên bao gồm 7 và 13, và cái thứ hai bao gồm 11 và 17.

Vì $37 \equiv 1$ (mod 6), nên 37 thuộc lớp $x \equiv 1$ (mod 6).

Đáp số cho câu hỏi cuối cùng có thể được lấy như sau: một số nguyên modulo 6 có thể so sánh với một trong các số dư 0, 1, 2, 3, 4 và 5; lũy thừa thứ tư của nó tương ứng với lũy thừa thứ tư của phần còn lại, nghĩa là với một trong các số 0, 1, 16, 81, 256 và 625. Vì $16 \equiv 4, 81 \equiv 3, 256 \equiv 4, 625 \equiv 1$ (mod 6), lũy thừa thứ tư của số nguyên chỉ xuất hiện trong các lớp $x \equiv 0, x \equiv 1, x \equiv 3, x \equiv 4$ (mod 6).

Hãy xem xét một câu hỏi nữa. Người ta vẫn chưa biết tập hợp các cặp số nguyên tố sinh đôi là hữu hạn hay vô hạn, tức là các số nguyên tố có dạng

$$p, p + 2.$$

Ví dụ về “anh em sinh đôi” là 3 và 5, 5 và 7, 11 và 13. Nhưng với bộ ba số nguyên tố có dạng

$$p, p + 2, p + 4$$

tình hình đơn giản hơn nhiều. Mô-đun 3 cho $p$ chúng ta có ba khả năng:

a) $p \equiv 0, 6) p \equiv 1, \text{ в) } p \equiv 2$ (mod 3).

Lớp đầu tiên chứa một số nguyên tố duy nhất $p = 3$, tương ứng với các số nguyên tố $p + 2 = 5$ và $p + 4 = 7$. Vì vậy khả năng đầu tiên dẫn đến ba (3, 5, 7). Với $p \equiv 1$ (mod 3) $p + 2 \equiv 3 \equiv 0$ (mod 3), việc mở khả năng sẽ dẫn đến ba (3, 5, 7). Với $p \equiv 2$ (mod 3) $p + 4 \equiv 6 \equiv 0$ (mod 3), mở $p + 4 = 3$ hoặc $p = -1$, cũng không phù hợp. Vì vậy, bằng cách so sánh số nguyên tố, hóa ra có một bộ ba “sinh đôi”: (3, 5, 7).

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang lời giải bài toán.

Bài toán 1. Hầu hết

$$r(2^{25} + 1,641).$$

Lời giải. $2^{15} = 32768 \equiv 77$ (mod 641), mở đầu $2^{30} \equiv 77^2 = 5929 \equiv 160$ (mod 641) và $2^{32} \equiv 160 \cdot 4 = 640$ (mod 641), nghĩa là $2^{32} + 1 \equiv 641 \equiv 0$ (mod 641), nghĩa là $r(2^{25} + 1,641) = 0$ hoặc $2^{25} + 1 \div 641$*.

Bài toán 2. Chữ số cuối cùng của số tự nhiên $33^{22} + 22^{11}$.

Lời giải. Bạn cần tìm $r(33^{22} + 22^{11}, 10)$.

Vì $33 \equiv 3$ (mod 10), rồi $33^2 \equiv 9 \equiv -1$ (mod 10) và $33^{22} \equiv (-1)^{11} \equiv -1$ (mod 10). Từ $22 \equiv 2$ (mod 10) theo sau $22^5 \equiv 32 \equiv 2$ (mod 10), $22^{10} \equiv 4$ (mod 10) và $22^{11} \equiv 4 \cdot 22 \equiv 8$ (mod 10). Cộng các so sánh thu được, chúng ta có

$$33^{22} + 22^{11} \equiv 7 \text{ (mod 10)}.$$

Do đó, con số này hóa ra là 7.

Bài toán 3. Chứng minh không có số tự nhiên $x$, $y$ và $z$ thỏa mãn phương trình

$$2^x + 7^y = 19^z.$$

Lời giải. Chúng tôi sử dụng mô hình 3. Do $19 \equiv 1$ (mod 3) nên chúng tôi có $19^z \equiv 1$ (mod 3). Mặt khác, $2^x + 7^y \equiv (-1)^x + 1$ (mod 3), mở $2^x + 7^y \equiv 2$ (mod 3) hoặc $2^x + 7^y \equiv 0$ (mod 3) (tùy thuộc vào tính chẵn lẻ của $x$). Vì $2^x + 7^y \neq 19^z$ (mod 3), nên $2^x + 7^y \neq 19^z$.

Bằng cách nhấn mạnh rằng với lời giải cái bài toán này, chúng ta phải sử dụng mô hình 3. Nếu lấy mô hình 4 thì chúng ta sẽ không có mâu thuẫn. Câu hỏi chọn mô hình phù hợp cho lời giải bài toán rất phức tạp. Nếu bạn quan tâm đến nó, hãy xem bài viết của M. I. Bashmkov “Bạn có thích nghịch các số nguyên không”, «Kvant», số 3, 1971.

*) Từ hình học, người ta biết rằng với hình tròn và thước kẻ, hình tròn có thể được chia thành $2^{2k} + 1$ phần bằng nhau nếu số này là số nguyên tố. Có một thời, nhà toán học người Pháp Pierre Fermat (1601-1665) tin rằng mọi số thuộc loại này đều là số nguyên tố. Tuy nhiên, Leonhard Euler (1707–1783) sau đó đã chỉ ra rằng $2^{25} + 1 \div 641$. Sau Euler, “số Fermat” được nghiên cứu bởi nhà toán học nghiệp dư I.M. Pervushin, người đã đặc biệt chứng minh rằng $2^{212} + 1 \div 114689$.

22

V. A. Bronshten

Khi nghiên cứu vũ trụ, thiên văn học
các bà mẹ đã phải bị thuyết phục hơn một lần
đó là phân tích chính xác là
Hiện tượng quan sát được hầu như luôn luôn
cho phép bạn thu được nhiều dữ liệu về thiên thể hoặc nhóm thiên thể đang được nghiên cứu. Một ví dụ điển hình về điều này là cái gọi là các sao biến quang che khuất.

Năm 1669, nhà toán học và thiên văn học người Ý G. Montanari phát hiện ra rằng ngôi sao Algol (β Perseus) thay đổi độ sáng theo chu kỳ. (Có thể người Ả Rập cổ đại đã biết đến sự thay đổi độ sáng của ngôi sao này nên họ gọi nó là posetomu Ras Al-Ghul - “người đứng đầu của quỷ”. Tên tiếng Ả Rập này sau này đổi thành Algol.) Chúng ta biết rất ít về các tác phẩm của Montanari, vì nhiều tác phẩm của ông vẫn chưa đến được với chúng ta. Người ta chỉ biết rằng ông đã phát hiện ra sự biến đổi độ sáng không chỉ của Algol mà còn của những vật chất xung quanh ngôi sao này. Nhưng chúng tôi không biết chính xác đó là cuốn nào: danh mục của Montanari đã bị thất lạc.

Hơn một trăm năm sau, chàng trai trẻ câm điếc mười tám tuổi John Goodrike đã bắt đầu quan sát Algol trong giới thiên văn nghiệp dư người Anh. Từ những quan sát của ông trong năm 1782-1783. ông phát hiện ra rằng Algol, thường tỏa sáng như một ngôi sao cấp 2, suy yếu xuống cấp 3-4 khoảng ba ngày một lần.

Trong thiên văn học, người ta thường biểu thị độ sáng của các ngôi sao theo cường độ sao - đơn vị tỷ lệ với logarit của độ sáng do ngôi sao tạo ra trên mặt phẳng vuông góc với các tia của nó. Độ sáng của một ngôi sao chỉ phụ thuộc vào cường độ sáng và khoảng cách của nó với Trái đất, chứ không phụ thuộc vào việc chúng ta quan sát ngôi sao đó bằng mắt thường hay qua kính thiên văn, vì độ chiếu sáng của mắt và thấu kính viễn vọng bởi ánh sáng của ngôi sao là như nhau. Trong thiên văn học, độ sáng thường được biểu thị bằng chữ L (độ sáng) và độ lớn bằng chữ m.

Chênh lệch 1 độ lớn tương ứng với tỷ lệ độ sáng là 2,512 lần *). Sự khác biệt giữa hai cường độ sao m₁ và m₂ bằng

$$m_2 - m_1 = 2.5 \log \frac{L_1}{L_2},$$

trong đó L₁ và L₂ là độ sáng của các ngôi sao.

Quan sát Algol, Goodrike nhận thấy rằng độ sáng của nó giảm xuống mức tối thiểu và tăng trở lại giá trị “bình thường” kéo dài trong 4,5 giờ, sau đó ngôi sao duy trì độ sáng không đổi trong 2 ngày 12 giờ, sau đó Libra lặp lại chu kỳ. Thang đo của Goodrike xác định chính xác khoảng thời gian thay đổi độ sáng của ngôi sao - 2 ngày 20 giờ 49 phút, chỉ khác 3 phút so với giá trị hiện đại. Nhưng điều kiện quan trọng nhất là Goodreik quan sát chính xác hiện tượng mà ông quan sát được: ông cho rằng ở đây có sự nhật thực của một ngôi sao (sáng) với một ngôi sao khác (tối), quay quanh ngôi sao đầu tiên. Các sao loại Algol được gọi là các biến che khuất.

Giả thuyết của Goodreik đã được xác nhận một trăm năm sau.

*) Xem bài viết của L. D. Marlensky “Khả năng của kính thiên văn quang học” («Kvant» Số 8, 1972).

24

Cơm. 2.

= 1,27) Algol trải qua mức tối thiểu thứ cấp thông qua Polarioda, khi độ sáng của nó chỉ giảm $\Delta m_2 = 0,06$ độ lớn (Hình 2, a). Điều này có nghĩa là vệ tinh trong hệ Algol không tối hoàn toàn mà phát ra một ít ánh sáng và khi bị ngôi sao chính che khuất một phần, độ sáng của hệ sẽ yếu đi phần nào. Do mô hình hình học của bieclipses hoàn toàn đối xứng so với tâm của ngôi sao chính, bất kể góc nghiêng của quỹ đạo so với đường ngắm, nên rõ ràng là vùng bị che khuất của đĩa vệ tinh hoàn toàn bằng diện tích của đĩa của ngôi sao chính bị che khuất ở mức tối thiểu chính (xem Hình 2, b). Nhưng sau đó, từ sự tương ứng giữa biên độ mất độ sáng ở cực tiểu chính và cực tiểu phụ ($\Delta m_1$ và $\Delta m_2$) và các giá trị độ sáng tương ứng ($l_1$ và $l_2$), người ta có thể tìm thấy mối liên hệ giữa bề mặt độ sáng của cả hai ngôi sao ($B_1$, $B_2$). Để đơn giản, chúng ta hãy lấy độ sáng của hệ thống bên ngoài nhật thực là sự thống nhất ($L_0=1$); thì từ (1) ta sẽ có:
$$\Delta m_1 = -2,5 \log l_1; \Delta m_2 = -2,5 \log l_2; \log l_1 = -0,4 \Delta m_1; \log l_2 = -0,4 \Delta m_2;$$
$$l_1 = 10^{-0,4 \Delta m_1}; l_2 = 10^{-0,4 \Delta m_2}.$$
Mức giảm độ sáng ở cực tiểu chính và cực tiểu phụ sẽ lần lượt bằng $(1-l_2)$ và $(1-l_2)$ (chúng tôi đặt $L_0=1$). Nhưng vì diện tích của các đĩa của cả hai ngôi sao bị che khuất trong các lần nhật thực là bằng nhau, nên độ sáng bề mặt của các ngôi sao bị che khuất có liên quan đến sự mất đi độ sáng ở cực tiểu tương ứng:
$$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1-l_1}{1-l_2} = \frac{1-10^{-0,4 \Delta m_1}}{1-10^{-0,4 \Delta m_2}}.$$

6

Thay thế $\Delta m_1 = 1,27$ và $\Delta m_2 = 0,06$, chúng ta tìm thấy đối với Algol $B_1/B_2 = 12,7$, tức là bề mặt của ngôi sao chính sáng hơn gần 13 lần so với bề mặt của vệ tinh.

Biết tỷ lệ độ sáng của ngôi sao chính và sao vệ tinh, bạn có thể tìm ra tỷ lệ nhiệt độ của cả hai ngôi sao. Bằng thực nghiệm, người ta đã chứng minh rằng bức xạ trên một đơn vị diện tích bề mặt của các vật thể phát sáng tỷ lệ thuận với lũy thừa thứ tư của nhiệt độ của chúng *). Trong trường hợp của chúng ta, bức xạ có bề mặt đơn vị là bề mặt sáng của các ngôi sao. Vì vậy chúng ta có thể viết:
$$B_1 = \sigma T_1^4, \quad B_2 = \sigma T_2^4,$$
(5)

trong đó $B_1$, $B_2$ và $T_1$, $T_2$ là bề mặt thịnh nộ và nhiệt độ tuyệt đối của sao chính và sao đồng hành, $\sigma$ là một hằng số. Từ thư từ (5) suy ra rằng
$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt[4]{\frac{B_1}{B_2}}.$$

Đối với thí nghiệm Algol
$$T_1: T_2 = \sqrt[4]{12,7} \approx 1,89.$$
Nhiệt độ của ngôi sao chính có thể được xác định bằng cách nghiên cứu quang phổ của nó, hay chính xác hơn là sự phân bố cơn thịnh nộ dọc theo quang phổ. Người ta thấy rằng vị trí của năng lượng bức xạ cực đại tương ứng với bước sóng $\lambda_{\max}$ thay đổi khi nhiệt độ của vật phát sáng thay đổi. Tại

*) Nói đúng ra, sự tương ứng giữa năng lượng bức xạ và nhiệt độ này đúng đối với vật đen tuyệt đối. Tuy nhiên, không có nhiều sai sót, nó cũng có thể được sử dụng cho bức xạ của các kim loại đóng gói, Mặt trời và các ngôi sao.

25

Khi nhiệt độ cơ thể tăng lên, cực đại bức xạ sẽ dịch chuyển ngày càng xa hơn vào vùng bước sóng ngắn. Như vậy,

$$\lambda_{\max} \cdot T = b,$$

trong đó $T$ là nhiệt độ tuyệt đối của cơ thể, $b$ là giá trị không đổi. Sau khi xác định từ quang phổ quan sát được của ngôi sao $\lambda_{\max}$ và giá trị $b$, chúng ta có thể tìm được nhiệt độ tuyệt đối của vật thể phát sáng $T$. Dành cho ngôi sao chính của hệ thống Algol $T \approx 12\ 800^\circ$; Biết được giá trị này, người ta có thể tìm ra nhiệt độ tuyệt đối của ngôi sao đồng hành. Nó bằng $6800^\circ$. (Phổ phát xạ của ngôi sao đồng hành rất yếu và hơn nữa, chồng lên phổ phát xạ của ngôi sao chính.)

Chúng ta đã nói rằng trong quang phổ của Algol, người ta đã phát hiện ra sự dịch chuyển tuyến tính, sang đầu tím hoặc đầu đỏ của quang phổ với chu kỳ $T$ bằng với chu kỳ $P$ của sự thay đổi độ sáng của ngôi sao. Điều này có nghĩa là ngôi sao đang đến gần chúng ta hoặc đang di chuyển ra xa chúng ta, hình thành trên một quỹ đạo xung quanh khối tâm của hệ với chu kỳ $T = P$.

Theo nguyên lý Doppler, tốc độ đến gần hoặc rút lui gần nhất của ngôi sao chính $\Delta v$, bước sóng của các vạch quang phổ $\lambda$ và độ dịch chuyển của nó $\Delta \lambda$ có ​​liên quan với nhau bởi mối quan hệ

$$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\Delta v}{c},$$

trong đó $c$ là tốc độ ánh sáng. Sau khi xác định từ quang phổ quan sát được của ngôi sao sự thay đổi bước sóng khi thước bị dịch chuyển, chúng ta có thể tìm thấy bằng công thức (7) tốc độ chuyển động của ngôi sao chính trong quỹ đạo của nó. Đối với Algol, người ta thấy rằng $\Delta v \approx 46\ \text{km/c}$. Giá trị này bằng tốc độ quỹ đạo $v$.

Bây giờ, khi biết khoảng thời gian $T = P \approx 68\ u$ 52 phút, chúng ta có thể xác định bán kính của ngôi sao:

$$R_1 = \frac{T \cdot v}{2\pi} \approx 1,86\ (\text{мин. }\ \text{км}).$$

Bán kính quỹ đạo của Algol lớn hơn gần 5 lần bán kính quỹ đạo của Mặt trăng.

Nếu trong quang phổ của một ngôi sao có thể nhìn thấy các vạch quang phổ không chỉ sáng mà còn có thể nhìn thấy thành phần mờ (sao vệ tinh), thì bán kính quỹ đạo của vệ tinh $R_2$ có thể được tìm thấy theo cách chính xác tương tự. $R_2 = 8,54\ \text{мин. }\ \text{км}$ đã được tìm thấy cho vệ tinh của Algol (Algol B). Do đó, bán kính của quỹ đạo tương đối, tức là quỹ đạo của vệ tinh của ngôi sao chính tương đối, là $R = R_1 + R_2 = 10,4\ \text{мин. }\ \text{км}$.

Biết bán kính quỹ đạo tương đối và chu kỳ quay, chúng ta có thể sử dụng định luật thứ ba của Kepler để xác định tổng khối lượng của cả hai ngôi sao. Ở dạng tổng quát (bắt nguồn từ Newton), định luật thứ ba của Kepler trông như thế này:

$$\frac{T_1^2 (M_1 + M_2)}{T_2^2 (M_3 + M_4)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}.$$

Ở đây $T_1$, $T_2$ là các chu kỳ quay quanh các khối lượng trong hệ vật thể thứ nhất và thứ hai, $a_1$, $a_2$ là các bán trục lớn của quỹ đạo, $M_1, M_2$ là khối lượng của các vật thể thuộc hệ thứ nhất, $M_3$, $M_4$ là khối lượng của các vật thể thuộc hệ thứ hai. Lấy hệ thứ nhất là hệ Algol, hệ thứ hai là hệ Mặt trời-Trái đất, làm đơn vị khối lượng, như trong vật lý của các ngôi sao, chúng ta sẽ lấy khối lượng của Mặt trời (tức là đặt $M_3=1$), và bỏ qua khối lượng của Trái đất ($M_4=0$); Chúng ta thay thế các trục bán lớn bằng bán kính của các quỹ đạo tròn. Sau đó chúng tôi nhận được:

$$M_1 + M_2 = \left(\frac{R}{R'}\right)^3 \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2.$$

Thay $T_1=2,87$ ngày, $T_2=365,24$ ngày, $R'=149,6\ \text{мин. }\ \text{км}$ và giá trị $R = 10,4\ \text{мин. }\ \text{км}$ tìm thấy ở trên, chúng ta thu được $M_1 + M_2 = 5,4$, tức là tổng khối lượng của cả hai ngôi sao của hệ Algol gấp 5,4 lần khối lượng Mặt trời.

Để xác định khối lượng của từng ngôi sao một cách riêng biệt, hãy nhớ rằng khoảng cách của hai vật thể đến tâm khối lượng của chúng tỷ lệ nghịch với khối lượng của chúng. Có nghĩa,

$$\frac{M_1}{M_2} = \frac{R_2}{R_1}.$$

26

Trong trường hợp hệ thống Algor $M_1/M_2 = 8,54 : 1,86 = 4,6$. Sử dụng tổng và khối lượng tương đối, chúng ta tìm thấy $M_1=4,55, M_2=0,95$. Vì vậy, ngôi sao vệ tinh có khối lượng gần bằng Mặt trời và ngôi sao chính có khối lượng gấp khoảng 4,5 lần Mặt trời.

Phân tích đường cong ánh sáng không chỉ cho phép tìm ra bán kính quỹ đạo của các ngôi sao mà còn xác định các yếu tố của quỹ đạo: độ nghiêng của nó so với đường ngắm, độ lệch tâm, vị trí của mặt phẳng quỹ đạo trong không gian. Một phương pháp xác định các thành phần quỹ đạo của một ngôi sao biến quang che khuất từ ​​đường cong ánh sáng của nó được phát triển vào năm 1912 bởi nhà thiên văn học người Mỹ G. ResSELOM *). Dưới đây là những điều cơ bản của phương pháp dí dỏm quy mô này.

Giả sử rằng chúng ta đang quan sát nhật thực của một ngôi sao (Hình 3, b). Chỉ cần ngôi sao chính bị che phủ hoàn toàn, độ sáng của hệ thống sẽ không thay đổi. Trong trường hợp này, mức tối thiểu chính trong đường cong ánh sáng (Hình 3a) sẽ bằng phẳng. Ở mức tối thiểu thứ cấp, nhật thực hình vòng sẽ xảy ra (Hình 3, b; ngôi sao nhỏ ở phía trước) và nó cũng sẽ phẳng. Chúng ta hãy biểu thị độ sáng của ngôi sao tại bất kỳ thời điểm nào của nhật thực, trong khi nó không phải là toàn phần (hoặc không có hình vòng), bằng $l$, độ sáng ở mức tối thiểu chính là $l'$, độ sáng ở mức tối thiểu phụ là $l''$. Chúng ta coi độ sáng của một ngôi sao bên ngoài nhật thực là sự thống nhất. Khi đó độ sáng mất đi sẽ tương ứng với $1-l, 1-l'$ và $1-l''$.

Vị trí của vệ tinh trên quỹ đạo so với hướng tới Trái đất tại mỗi thời điểm $t$ được xác định bởi góc pha $\theta$ (xem Hình 4), bằng với

$$\theta = \frac{360^\circ}{P} (t - t_0),$$

trong đó $t_0$ là thời điểm tương ứng với điểm giữa của cực tiểu chính trên đường cong ánh sáng (Hình 3, a), $P$ là chu kỳ quỹ đạo của vệ tinh, bằng với chu kỳ thay đổi độ sáng. Tại thời điểm $t=t_0$ góc pha là $\theta=0$. Để đơn giản hóa việc tính toán, chúng ta sẽ đặt $t_0=0$, tức là chúng ta sẽ bắt đầu thời gian từ giữa mức tối thiểu chính. Đặt bán kính của quỹ đạo tương đối là thống nhất ($R=1$) và biểu thị tỷ lệ bán kính của ngôi sao nhỏ hơn với bán kính của ngôi sao lớn hơn bằng $k (k=r_2:r_1)$. Hãy để quỹ đạo của vệ tinh bị nghiêng

*) Lý thuyết tổng quát đầu tiên về các ngôi sao che khuất và phương pháp tính toán quỹ đạo được S. N. Blazhko mô tả vào năm 1911 tại Moscow trong luận án tiến sĩ của ông.

27

với hình ảnh của mặt phẳng *) ở một góc $i$ (rõ ràng là gần với $90^\circ$, nếu không chúng ta đã không nhìn thấy nhật thực). Chúng ta cần xác định ba ẩn số: $r_1, r_2, i$.

Từ đường cong ánh sáng, chúng ta có thể xác định pha hình học của nhật thực tại từng thời điểm, bằng tỷ lệ giữa độ sáng bị mất tại một thời điểm nhất định và độ sáng bị mất ở mức tối thiểu chính:

$$\alpha = \frac{1 - l}{1 - l'}.$$

TỪ định nghĩa của $\alpha$, rõ ràng $\alpha$ là hàm của góc pha $\theta$. Chính từ những gì đã biết từ sự phụ thuộc quan sát được $\alpha(\theta)$ mà chúng ta sẽ xác định được các giá trị $r_1, r_2, i$.

Dễ dàng nhận thấy rằng pha hình học $\alpha$ phụ thuộc duy nhất vào ba đại lượng: vào khoảng cách $d$ giữa tâm của các đĩa của các ngôi sao có chu vi ($AB$ trong Hình 5) và vào bán kính của chúng $r_1, r_2$ (hoặc trên một trong số chúng, $r_1$ và tỷ lệ của chúng $k$). Về mặt số học, nó bằng tỷ lệ giữa các mặt phẳng của đoạn kép $CDEF$ với diện tích đĩa của ngôi sao nhỏ hơn, tức là với diện tích của hình tròn có tâm ở $A$ (Hình 5). Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa các trung tâm $d$?

Nếu mặt phẳng quỹ đạo đi qua đường ngắm ($i=90^\circ$), thì nó sẽ là $d = a \cdot \sin \theta$. Nhưng vì quỹ đạo có độ nghiêng $i \neq 90^\circ$ nên độ lớn $d$ sẽ là hàm của hai góc:

*) Mặt phẳng ảnh là mặt phẳng vuông góc với tia nhìn.

Cơm. 5.

$i$ và $\theta$, trong đó chúng ta chỉ biết phần thứ hai ($\theta$). Mặc dù công thức biểu thị mối liên hệ của $d$ với $i$ và $\theta$ rất đơn giản nhưng chúng tôi sẽ không rút ra nó ở đây để tránh tính toán rườm rà mà sẽ viết nó ở dạng đơn giản:

$$d = f_1(i, \theta).$$

Hơn nữa, theo quy định trên,

$$d = f_2(\alpha, k, r_1).$$

Vì vậy, dường như chúng ta chỉ có hai phương trình với bốn ẩn số $d, i, k, r_1$. Loại bỏ $d$, chúng ta thu được một phương trình với ẩn số thứ ba $i, k, r_1$.

Nhưng chúng ta có sẵn không chỉ một điểm trên đường cong ánh sáng mà còn rất nhiều điểm. Bằng cách chọn ba điểm, chúng ta thu được hệ ba phương trình với ẩn thứ ba, có thể giải và thu được các giá trị $i, r_1, k$ (và do đó $r_2 = kr_1$).

Trong phương pháp Russell, hai điểm được chọn là cố định (chúng tương ứng với $\alpha=0,6$ và $\alpha=0,9$), và điểm thứ ba là “trượt”, tức là nhiều điểm trên đường cong ánh sáng lần lượt được chọn làm điểm thứ ba. Từ kết quả 10-20 lời giải cho ẩn số, các giá trị trung bình được lấy. Do đó, toàn bộ đường cong ánh sáng có liên quan đến lời giải.

Biết bán kính của các ngôi sao có chu vi theo phân số của bán kính quỹ đạo $R$ (chúng tôi giả sử $R=1$), chúng ta có thể tìm thấy bán kính abscyltic và từ chúng thể tích. Bằng cách chia khối lượng của các ngôi sao cho thể tích của chúng, chúng ta tìm được mật độ trung bình của các ngôi sao.

Nếu nhật thực không toàn phần mà một phần thì lời giải sẽ khó khăn hơn, nhưng phương pháp của Russell cũng có thể thành công trong trường hợp này.

Đối với ví dụ chúng tôi đã chọn - hệ thống Algol - $r_1=2,0$ ml. $km, r_2=2,0$ml. $km$. Biết được kích thước và khối lượng, chúng ta có thể dễ dàng tìm ra mật độ trung bình của các ngôi sao có chu vi $\rho_1=0,1 \ e/cm^3, \rho_2=0,06 \ e/cm^3$.

Vì vậy, từ việc phân tích đường cong ánh sáng của ngôi sao biến quang Algol

30

D. Borodin

Mở đầu câu chuyện này giống như một cuốn tiểu thuyết trinh thám. Một ngày mùa xuân năm 1970, có hai hành khách trên một chiếc máy bay bay vòng quanh thế giới. Một trong số họ là nhà vật lý người Mỹ Hafel, người còn lại chiếm tới hai ghế và được đăng ký tại sân bay với tên ông Klock. Ông Klock thực ra là một chiếc đồng hồ*), một chiếc đồng hồ nguyên tử rất chính xác nhưng lại thiếu thời gian 13 chữ số**).

Cuộc hành trình được thực hiện nhằm chứng minh tính hiệu quả của chuyển động của đồng hồ được dự đoán bởi các lý thuyết tương đối.

Thí nghiệm được tổ chức theo cách nó thực sự liên quan đến không phải một mà là hai mặt phẳng, mỗi mặt phẳng mang hai bản sao của đồng hồ nguyên tử. (Ông Klock được một nhà vật lý khác, Keating tháp tùng trên bình diện thứ hai).

Một chiếc bay từ tây sang đông, chiếc còn lại bay từ đông sang tây. Lộ trình của họ chạy ở độ cao khoảng 10 km và chạy dọc theo đường song song của trái đất. Tốc độ của máy bay khoảng 1000 km/h nên chúng hoàn thành chuyến bay trong khoảng hai ngày (bao gồm cả các điểm dừng trên đường đi).

Khi so sánh số chỉ của đồng hồ với đồng hồ ở sân bay, hóa ra đồng hồ đang bay trên máy bay từ tây sang đông chậm hơn 5 phần trăm triệu giây (như người ta nói hiện nay là 50 nano giây). Đồng hồ bay vòng quanh Trái đất từ ​​đông sang tây, di chuyển nhanh hơn 16 phần triệu giây (160 giây). Mặc dù trong thí nghiệm có nhiều tiếng ồn khó tính toán chính xác (ví dụ như tiếng máy bay hạ cánh ở các sân bay trung gian), tuy nhiên, hiệu quả của đồng hồ đã được chứng minh rất thuyết phục.

Các nhà vật lý nghiên cứu các hạt cơ bản đã quan sát hiệu quả của thời gian trong một thời gian dài. Họ nhận thức rõ rằng một hạt bay ở tốc độ cao, chẳng hạn như μ-mezon, “sống” lâu hơn một μ-mezon đứng yên. Thời gian tồn tại của một $T$ μ-meson bay với tốc độ $v$ liên quan đến thời gian tồn tại của một $T_0$ μ-meson ở trạng thái nghỉ theo công thức

$$T = \frac{T_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

($c = 3 \cdot 10^{10}$ cm/s là tốc độ ánh sáng, $T_0 = 2$ micro giây = $2 \cdot 10^{-8}$ s).

Chỉ nhờ quan sát được sự phân rã của μ-mez, nó mới có thể đi xuyên qua toàn bộ độ dày của bầu khí quyển Trái đất.

31

Một cách thay thế thời gian hiệu quả khác là quan sát các nhà thiên văn học. Trong trường hấp dẫn của các ngôi sao, theo lý thuyết tổng quát về thời gian tương đối, ánh sáng phát ra từ các nguyên tử trên các ngôi sao này có tần số nhỏ hơn cùng tần số bức xạ trên Trái đất. Sự pha trộn “trọng lực” này của các vạch quang phổ của các ngôi sao đã được quan sát thấy từ lâu. Các nhà vật lý người Mỹ Pound và Repka đã quan sát nó trong phòng thí nghiệm trên trái đất. Các thí nghiệm của họ cho thấy rằng khi nguồn bức xạ di chuyển ra xa bề mặt Trái đất, tần số của nó tăng lên (giống như đồng hồ Trái đất di chuyển ra xa ngôi sao nhanh hơn đồng hồ trên một ngôi sao nặng).

Thí nghiệm của ông Klock cho thấy hiệu quả. Một chiếc đồng hồ được đặt cách Trái đất 10 km sẽ chạy nhanh hơn trên Trái đất, như trong thí nghiệm của Pound và Repka. Trong hai ngày bay, hiệu suất “trọng lực” lẽ ra phải điều chỉnh đồng hồ thêm +100 nsec. Ngoài ra, đồng hồ còn chuyển động theo chuyển động quay của Trái đất với tốc độ Ω (R + h) + v (v > 0) nếu máy bay bay từ tây sang đông và v < 0 nếu máy bay bay từ đông sang tây). Ở đây Ω là vận tốc góc của Trái đất, bằng $\frac{2\pi}{86400}$ rad/giây, R là bán kính Trái đất, h là độ cao bay, v là tốc độ của máy bay. Đồng thời, đồng hồ bị tụt lại phía sau hiệu suất tương tự, dẫn đến sự phân rã của μ-meson thay thế. Đồng hồ không thể tách rời cả hai hiệu quả

BỔ SUNG CHO ĐỘI

Đội bóng thành phố cần hoàn thành chức năng của đội tuyển quốc gia với một hậu vệ, một hậu vệ cánh, một tiền vệ cánh trái và một tiền vệ chạy cánh trung tâm. Và mặc dù có 7 tuyên bố chơi gần giống nhau, nhưng bài toán hóa ra không hề dễ dàng, vì cần phải tính đến tinh thần đồng đội và các tương tác rất phức tạp của họ.

Kapalov chỉ đồng ý gia nhập đội với tư cách là cầu thủ trung tâm và chỉ với điều kiện Polyanchkov không được đá hậu vệ, và Alekseev không được đá tiền vệ cánh trái. Kolesnikov từ chối thi đấu cho đội tuyển quốc gia nếu Zborovsky và Dymnikov có mặt trong đội cùng nhau hoặc nếu Alekseev có mặt trong đội mà không có Komarov, và để Komarov đồng ý thi đấu, cần phải từ chối lời mời của Kolesnikov và Kapalov. Polyanchkov không muốn chơi cùng Dymnikov nếu Kapalov không có mặt trong đội hoặc nếu Alekseev là người chỉ đạo trung tâm. Dymnikov chỉ đồng ý về phương hướng và với điều kiện Alekseev không có mặt trong đội. Zborovsky đồng ý gia nhập đội tuyển quốc gia cùng với Dymnikov, nhưng đồng thời từ chối đá hậu vệ.

Ai được xem xét vào đội tuyển quốc gia của thành phố và bởi ai?

A. S. Sorokin

32

Lời giải bài toán thi đầu vào 3MSH 1972
A. L. Toom

Các điều kiện để có được bài toán này và các quy định tuyển sinh vào trường toán tương ứng tại Đại học Bang Moscow và Đại học Bang Leningrad đã được đăng trên số đầu tiên «Kvant» của năm nay. Ở đây chúng tôi đặt lời giải và gợi ý với một số trong số bài toán này.

Tác phẩm giới thiệu mới về Trường Toán học Liên minh sẽ được xuất bản trong số đầu tiên «Kvant» 1973.

1. Trong một tam giác, đầu của đường tròn ngoại tiếp và hướng lên đối xứng qua một trong các đường thẳng. Tìm các góc của hình tam giác.

Chúng ta hãy biểu thị các đầu của cạnh mà tâm đối xứng đối xứng với A và C, và đỉnh thứ ba đối xứng với B (xem Hình 1). Gọi O và D là tâm của đường tròn ngoại tiếp và ngoại tiếp tương ứng. Nếu chúng ta bỏ qua việc phân phối lại AC cho chúng thì chúng sẽ rơi xuống một điểm M - giữa đoạn OD (điều này có nghĩa là O và D đối xứng với AC). Chúng ta cần tìm các góc của tam giác: $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle BCA = \gamma$.

Trước tiên chúng ta hãy chứng minh rằng $\alpha = \gamma$. Thật vậy, $AD = DC$ (dưới dạng bán kính),

đặt ra $AM = MC$, mở $\triangle AMO = \Delta CMO$. Vì vậy, $\angle OAM = \angle OCM$. Nhưng $\angle OAM = \frac{\alpha}{2} \Rightarrow OCM = \frac{\gamma}{2}$ (tâm của đường tròn kéo dài vào trong tam giác nằm ở giao điểm của các đường phân giác của nó), đặt ra $\alpha = \gamma$.

Suy ra $AB = BC$ thì trung tuyến $BM$ cũng chính là chiều cao, tức là O nằm trên BM.

Có thể các điểm B, O, M và D nằm trên cùng một đường thẳng và vì $BD = AD$ (dưới dạng bán kính) nên $\angle BAD = \angle ABD = \frac{\beta}{2}$.

Mặt khác, $\triangle AOM = \Delta ADM$. Đó là lý do tại sao

$\angle MAD = \angle MAO = \frac{\alpha}{2}$.

Sau đó

$\angle BAD = \angle BAM + \angle MAD = \alpha + \frac{\alpha}{2} = \frac{3\alpha}{2}$.

Vì thế,

$\frac{\beta}{2} = \frac{3\alpha}{2}, \beta = 3\alpha$.

Đối với Posny, tổng các góc của tam giác $ABC$ bằng $5\alpha$, từ đó $\alpha = 36^\circ$, $\beta = 108^\circ$.

Đáp số: $36^\circ, 108^\circ, 36^\circ$.

33

2. Hai cerrate vào cerra. Trước mặt anh ta, một số nhược điểm được viết thành một chuỗi trên giấy. Mỗi người lần lượt chuyển một hoặc hai điểm trừ liền kề sang mặt phẳng. Chúng tôi gọi cho mẹ, người sẽ chuyển tiếp điểm trừ cuối cùng. Chúng ta gọi ai là tseregna đúng: người mới bắt đầu hoặc đối tác của anh ta, và anh ta cần tserrat như thế nào cho việc này, nếu ngay từ đầu nó được viết: a) 7 điểm trừ; b) k điểm trừ?

Với tất cả n, người mới bắt đầu sẽ thắng. Hãy mô tả một chiến lược mà anh ta sử dụng chiến lược đó chắc chắn sẽ thắng. Nước đi đầu tiên phải được thực hiện ở giữa sao cho các điểm trừ còn lại tạo thành hai “quân” ​​riêng biệt có chiều dài bằng nhau (Hình 2 thể hiện vị trí sau nước đi đầu tiên với n=7)

Cơm. 2.

và n=8). Sau đó, người mới bắt đầu, với mỗi bước di chuyển của mình, phải chuyển tiếp những điểm trừ đối xứng với những điểm mà người thứ hai đã chuyển tiếp trước đó. Vì vậy, nếu cái thứ hai chuyển tiếp điểm trừ thứ k (hoặc thứ k và k+1) ở bên phải, thì cần phải chuyển tiếp điểm trừ thứ k (hoặc thứ k và k+1) ở bên trái. Sau mỗi lần di chuyển đầu tiên sẽ có được vị trí đối xứng.

Lần thứ hai, mỗi lần di chuyển, sẽ vận chuyển một hoặc hai điểm trừ, những điểm đối xứng chưa được vận chuyển; do đó, những điểm trừ này không thể là điểm cuối cùng, và điểm thứ hai không thể thắng.

3. Trong tam giác ABC chúng ta tìm được bisserris AK và đường trung tuyến AM. Tỉ số của các cạnh AB và AC có thể bằng bao nhiêu nếu biết rằng một trong các đoạn BM, MK, KC bằng hai đoạn còn lại?

Nghị định và e. Ở đây cần xem xét sáu trường hợp tương ứng với các ô của bảng (xem Hình 3).

đáp số được viết trong các ô.

Cơm. 3.

4. Có ít nhất một số a sao cho cả hai số $\frac{1}{a} - \sqrt{15}$ và $a + \sqrt{15}$ đều là số nguyên không?

Đặt $a + \sqrt{15} = m$, $\frac{1}{a} - \sqrt{15} = n$.

Hãy biểu diễn a từ đẳng thức thứ nhất và thay thế nó vào đẳng thức thứ hai:

$$\frac{1}{m - \sqrt{15}} - \sqrt{15} = n.$$

Hãy biến đổi:

$$16 - mn = (m - n) \sqrt{15}.$$

Để thực hiện sự bình đẳng này, chỉ cần:

$$\begin{cases} 16 - mn = 0, \\ m - n = 0. \end{cases}$$

(Thực tế, điều này là cần thiết, vì m, n là số nguyên, nhưng có thể bạn không biết điều này: xét cho cùng, chúng ta chỉ cần tìm ít nhất một giá trị của a.)

Hệ thống kết quả có thể được giải quyết dễ dàng:

$$m_1 = n_1 = 4, m_2 = n_2 = -4.$$

Đáp số: tồn tại: ví dụ: $4 - \sqrt{15}$ (trong thực tế chỉ có hai số như vậy).

5. Một trong những cửa sổ grambel trực tiếp. Andrey nói: “Đó là Vitya hoặc Tolya.” Vitya nói: “Không phải tôi hay Yura đã làm việc này.” Tolya nói: “Cả hai bạn đều đang nói dối.” Dima nói: “Nim, một người trong số họ làm sự thật, còn người kia làm điều ngu ngốc.” Yura nói: “Này, Dima, chúng ta sai rồi.” Cha của họ, tất nhiên, có thể tin cậy được, chắc chắn rằng sự thật đã được nói ra ít nhất ba năm trước. Ai đã phá vỡ cửa sổ?

Hãy biểu diễn các câu lệnh grambel dưới dạng bảng 5 hàng và 5 cột

34

Cơm. 4.

(Hình 4). Các hàng và cột được đặt tên theo chữ cái đầu tiên của tên anh em. Lời tâm sự của mỗi anh em được ghi vào một cột dưới chữ cái đầu tiên của tên mình. Trong cột này, chúng tôi sẽ sắp xếp dấu cộng và số phút theo quy tắc sau: cộng nếu câu lệnh giả định rằng người anh em mà dòng được đặt tên đã phá vỡ cửa sổ và phút nếu câu lệnh không cho phép điều này.

Vì vậy, trong cột dưới chữ A, dấu cộng chỉ đối diện với chữ B và T, vì Andrei đã nói: “Đây là Vitya hoặc Tolya.” Trong cột bên dưới chữ B, số phút chỉ xuất hiện ở hàng B và S.

Để điền vào cột T, bạn cần tìm ra trường hợp nào Andrey và Vitya đều sai. Ví dụ: nếu Andrei làm vỡ cửa sổ, thì Vitya sẽ đúng, vì anh ấy cho phép điều này, và ở cột B có một điểm cộng so với chữ A. Nói chung, Andrei và Vitya sẽ chỉ sai nếu Yura làm vỡ cửa sổ, vì chỉ ở hai vị trí đầu tiên trong dòng của Yu là phút. Điều này có nghĩa là trong cột T bạn chỉ cần đặt dấu cộng cho Y.

Dima sẽ chỉ đúng nếu chính xác một trong hai anh em đầu tiên - Andrei và Vitya - đúng và người kia sai. Điều này có nghĩa là trong cột D, dấu cộng chỉ được đặt ở những hàng có một dấu trừ và một dấu cộng ở vị trí đầu tiên.

Yura chỉ đơn giản phủ nhận những gì Dima nói; Ở đâu có điểm cộng trong cột của Dima thì ở đó có điểm trừ dành cho anh ấy và ngược lại. Bàn đã đầy. Chúng ta biết rằng ít nhất có ba anh em đã nói sự thật. Điều này có nghĩa là bạn cần tìm một dòng có ít nhất ba dấu cộng. Chỉ có một dòng như vậy - T.

Đáp số: Tolya đã làm vỡ cửa sổ.

6. Hãy nghĩ về bốn số nguyên không âm, sao cho mỗi số từ 1 đến 81 có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của bốn số - một số từ mỗi bộ ba.

Bộ tứ sau đây là phù hợp:

1, 2, 3
0, 3, 6
0, 9, 18
0, 27, 54.

Hãy giải thích chúng được phát minh như thế nào. Giải bài toán này ở dạng tổng quát hơn sẽ dễ dàng hơn: tìm ra k bộ ba số nguyên không âm sao cho mỗi số từ 1 đến 3^k có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của k số - một từ mỗi bộ ba.

Với k=1 lời giải rất indo: một bộ ba 1, 2, 3. Đặt bài toán cho k bộ ba lời giải. Làm cách nào để chọn một bộ ba khác để nhận được lời giải bài toán cho k+1?

Số đầu tiên phải được lấy bằng 0. Sau đó, cộng nó với tổng của k số lấy từ một trong các bộ ba đầu tiên, chúng ta sẽ có được các số giống nhau từ 1 đến 3^k.

Hãy lấy số thứ hai bằng 3^k. Cộng nó vào các số từ 1 đến 3^k, ta được tất cả các số từ 3^k+1 đến 2,3^k.

Hãy lấy số thứ ba bằng 2,3^k. Thêm nó vào cùng một số, chúng ta nhận được tất cả các số từ 2,3^k+1 đến 3,3^k = 3^k+1.

Vì vậy, bài toán lời giải cũng cho k+1. Đây là cách bốn và ba được xây dựng. Người ta đã chứng minh rằng chúng phù hợp với mọi k, kể cả k=4.

35

Về thùy cực
Zh.B.Pinkovsky

Điểm cực trị là điểm mà tại đó một hàm số nào đó đạt giá trị lớn nhất hoặc lớn nhất của nó. Dễ dàng chứng minh rằng giao điểm của các đường trung tuyến của một tam giác có tính chất sau: với nó tổng bình phương khoảng cách đến các đỉnh của tam giác là nhỏ nhất. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày một bằng chứng hoàn toàn cơ bản về sự khái quát hóa thực tế này.

Giả sử có $n$ điểm trên mặt phẳng dữ liệu. Chúng ta hãy giới thiệu hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng với các trục $Ox$, $Oy$ và ký hiệu các điểm này như sau: $A_1(x_1, y_1)$, $A_2(x_2, y_2)$, …, $A_n(x_n, y_n)$ (Hình 1). Hãy lấy bất kỳ điểm $M(x, y)$ nào trên mặt phẳng. Dễ dàng tìm được bình phương khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $A_i$ bằng định lý Pythagore (Hình 2): $d_i^2 = (x - x_i)^2 + (y - y_i)^2$. Tổng các khoảng cách bình phương từ $M$ đến các điểm $A_1$, $A_2$, …, $A_n$ trông như thế này:

$$D = d_1^2 + d_2^2 + \dots + d_n^2 = (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + \dots + (x - x_n)^2 + (y - y_n)^2.$$

Hãy mở ngoặc và biểu thị $D$ dưới dạng tổng của các đa thức từ $x$ và $y$:

$$D = nx^2 - 2x(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2) + ny^2 - 2y(y_1 + y_2 + \dots + y_n) + (y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2).$$

Kết quả là tổng của hai đa thức, một đa thức chỉ phụ thuộc vào $x$:

$$P(x) = nx^2 - 2x(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2),$$

thứ hai chỉ phụ thuộc vào $y$:

$$Q(y) = ny^2 - 2y(y_1 + y_2 + \dots + y_n) + (y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2)$$

và $D = P(x) + Q(y)$. Chúng tôi lưu ý rằng $x$ và $y$ là độc lập, do đó $D$ đạt giá trị tối đa đối với $x$, trong đó $P(x)$ là nhỏ nhất và đối với $y$, trong đó $Q(y)$ là nhỏ nhất. Nhưng $P(x)$ và $Q(y)$ là đa thức bậc hai (có hệ số hơi dài). Đồ thị của hàm $P(x)$ sẽ là một parabol (Hình 3), các nhánh của nó hướng lên trên ($n > 0$), giá trị nhỏ nhất $u = P(x)$ đạt được tại $x$, bằng hoành độ của đỉnh parabol. Từ đây, dễ dàng tìm thấy giá trị của $x$ trong đó $P(x)$ là tối thiểu: $x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$.

Tọa độ $y$ (từ $Q(y)$) được tìm tương tự: $y = \frac{y_1 + y_2 + \dots + y_n}{n}$.

Chúng tôi xin trình bày với bạn đọc cách giải bài toán sau.

1. Chứng minh tọa độ giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác với các đỉnh $A_1(x_1, y_1), A_2(x_2, y_2), A_3(x_3, y_3)$ như sau:

$$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}.$$

2. Điểm Torricelli là một điểm trong tam giác có tổng khoảng cách đến đỉnh của tam giác là nhỏ nhất. Chứng minh rằng từ điểm Torricelli, các cạnh của tam giác nhìn thấy được ở các góc $120^\circ$.