Kvant 1973, số 3 · Trang

Kvasht
1973
3
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

100

Trang thứ hai của trang bìa hiển thị các bức ảnh chụp các loại ăng-ten radar khác nhau được sử dụng để liên lạc trong không gian sâu. Đọc về các nguyên lý của radar trong bài viết “Định vị bằng tiếng vang” của M. S. Lifshits trên trang 8. Ảnh địa ngục. MAKETSOVA.

1

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kioin
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
L.A.Artsimovich,
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
I. N. Bronstein,
N. B. Vasiliev,
I. F. Ginzburg,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,
A. I. Klimanov
(nghệ sĩ chính)
S. M. Kozel,
V. A. Leshkovtsev
(Phó tổng biên tập),
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
M. D. Millonshikov,
N. A. Patrikeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky,
M. L. Smolyansky
(Phó tổng biên tập),
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg,
A. I. Shirtsov.

biên tập:
V. N. Berezin,
A. N. Villenkin,
T. M. Makarova
(biên tập nghệ thuật),
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirova,
L. V. Chernova
(trưởng tòa soạn).

Người hiệu đính N. D. Dorozhova
117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, «Kvant», tel. 234-08-11, 234-07-93

Được giao theo bộ vào ngày 24 tháng 11 năm 1972.
Ký xuất bản ngày 18 tháng 1 năm 1973.
Giấy 70×1001/16 Vật lý. lò nướng l. 4 Lò nướng có điều kiện l. 5h20
Viện sĩ-zd. tôi. 6.08
Lưu hành 379250 bản. T-00718
Giá 30 kopecks. Zach. 2318

Nhà máy in Chekhov “Soezpolygraphroma” trực thuộc Nhà nước Liên Xô về Xuất bản, In ấn và Kinh doanh Sách, Chekhov, Khu vực Moscow

Quản lý không trở lại

Được thành lập vào năm 1970

3
1973

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Nhà xuất bản “Khoa học”
Tòa soạn chính của văn học vật lý và toán học

TRONG PHÒNG:

2 A. N. Kolmogorov. Lưới bán logarit và logarit
8 MS Livits. Định vị bằng tiếng vang
15 M. L. Gerver. Con chó đang chạy hoang
19 G. L. Komkin. Va chạm bóng

vòng tròn toán học
22 GD Balk, MV Balk. Số ảo và hình học bài toán
32 người chiến thắng cuộc thi «Kvant»
Phòng thí nghiệm «Kvant»
34 V.V. Mayer. Boron lominophore
Sách vấn đề «Kvant»
35 Bài toán M191—M195; F203—F207
37 Lời giải bài toán M151—M154; F170—F175

Xưởng của người nộp đơn
44 L. M. Lopovok. Chống lại khuôn mẫu
50 L. P. Bakanina, S. M. Kozel. Nguyên lý Superrosicini trong điện tử
56 Đại học Tổng hợp Matxcơva (Khoa Kinh tế)
57 I. A. Dykovov, A. G. Mordkovich, I. I. Nasluzov. Các khóa học vật lý và toán học truyền hình dành cho ứng viên đại học

Đánh giá, thư mục
58 E. I. Olersky. Lịch sử của số l
59 L. G. Kuznetsova. Dành cho những người vào đại học và kỹ thuật «Kvant» cho học sinh nhỏ
60 Bài toán
61 A. P. Châu Á, I. M. Volper. quảng trường Pearson

62 Đáp số, gợi ý, lời giải
Góc sưu tầm
A. V. Altykis. Tem, đóng sách X-quang (trang bìa thứ 3)

Hỗn hợp (xem 21, 55)

Trang đầu tiên của bìa minh họa bài viết của V.V. Mayer “Boron lominophore” (trang 34). Chúng tôi chọn đối tượng đưa tin là bản sao địa vị “Maenad” của nhà điêu khắc Hy Lạp Skopas, sống ở thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên.

Trên trang thứ tư của trang bìa có in lại bức vẽ “Ba quả cầu” của họa sĩ Woland nổi tiếng M. Escher. Nó thể hiện dưới dạng trừu tượng sự biến dạng của các quả cầu va chạm (xem bài viết “Sự va chạm của các quả bóng” của G. L. Kompik ở trang 19).

2

1. Trong số thứ 12 của tạp chí «Kvant» năm 1972, một bài báo của “Exexpon” đã được xuất bản. Nó cho thấy rằng nhiều đại lượng thay đổi theo thời gian sao cho tốc độ thay đổi của chúng tỷ lệ thuận với giá trị mà chúng đã đạt được. Dạng tổng quát của chỉ số phụ thuộc $y$ vào $t$ này được viết bằng công thức

$$y = y_0 a^t,$$

(1)

trong đó $y_0$ là giá trị của $y$ tại $t = 0$. Đặt

$$k = \lg a, \quad z = \lg y, \quad b = \lg y_0,$$

từ (1) chúng ta thu được $z = kt + b$.

Chúng ta thấy rằng sự phụ thuộc của $z$ vào $t$ là tuyến tính. Đồ thị của nó là một đường thẳng. Sau khi vẽ biểu đồ này theo cách thông thường, chúng ta có thể đánh dấu các giá trị tương ứng $y = 10^z$ trên cơ sở $(n)$ hoặc trên một đường thẳng song song với nó). Sau đó, theo biểu đồ đường thẳng của chúng tôi, có thể đọc trực tiếp các giá trị của $y$ cho bất kỳ $t$ đã cho nào. Trong Hình 1, phương pháp biểu diễn đồ họa này được áp dụng cho các hàm $y = 100^t$ và $y = e^t$ ($e = 2,718 \ldots$). Đồ thị của chúng trong hệ tọa độ Descartes được thể hiện trong Hình 2.

Giấy đa giác được bán trong các cửa hàng. Trên tờ giấy này, các đường thẳng đứng được vẽ cách nhau 1 mm, như trên giấy vẽ đồ thị thông thường, trong khi các đường ngang được vẽ sao cho khoảng cách của chúng từ mép dưới là 100 lgy, $y$ lấy các giá trị

$$1 \quad 1,05 \quad 1,10 \quad 1,15 \ldots$$

$$2 \quad 2,1 \quad 2,2 \quad 2,3 \ldots$$

$$y = 20 \cdot 256 t$$

$$y = 10 \cdot 16 t$$

$$y = 70 \cdot 16 t$$

$$y = 5 \cdot 2 t$$

$$y = 2 \cdot 2 t$$

$$y = 2 t$$

$$y = 5 \cdot 2^{-t}$$

$$y = 2 \cdot 2^{t}$$

$$y = 2,5 \cdot 2^{-t}$$

$$y = 2^{t}$$

$$0$$

Cơm. 3. 0,25 0,5 1,0

1*

4

v.v. (xem Hình 3 để biết thang đo này hoạt động như thế nào!). Phần dưới của Hình 3 trình bày cách xây dựng đồ thị hàm số loại (1) trên hai điểm $(t=0, y=y_0)$, $(t=1, y=y_0a)$ trên giấy bán ga.

Trên giấy bán thành phẩm, mức tăng $\Delta t=1$ tương ứng với 10 cm. Chúng tôi đã chọn tỷ lệ tương tự trong Hình 3 dọc theo trục $y$. Do đó, độ dốc của đồ thị của chúng tôi là $k=\lg a$. Đây không gì khác hơn là tốc độ thay đổi tương đối của $y$ khi $t$ thay đổi:

$$\frac{1}{y} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{y'}{y} = \lg a = k$$

(ở đây $y'$ là hàm đạo hàm $y = f(t) = y_0a^t$). Nếu tỷ lệ dọc theo trục $y$ được chọn khác nhau thì cần phải tính toán lại để bạn có thể dễ dàng tự mình xử lý.

Đồ thị trên giấy bán giả được vẽ khi cần tìm hiểu xem liệu sự phụ thuộc $y=f(t)$ được chỉ định bởi bảng có thể được coi là ít nhất gần đúng tuân theo quy luật tăng trưởng theo cấp số nhân (hoặc giảm) hay không. Ví dụ, chúng ta hãy xem xét khối lượng sản xuất công nghiệp ở Liên Xô, được biểu thị bằng phần trăm sản xuất vào năm 1940:

1937 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970
77 100 92 173 320 524 791 1190

6

Đồ thị bán logarit được cho trong Hình 4 (bạn có thể vẽ đồ thị theo tỷ lệ tự nhiên theo chiều dọc để tự so sánh). Đồ thị cho thấy, ngoại trừ giai đoạn 5 năm chiến tranh 1940-1945, tốc độ tăng trưởng sản lượng công nghiệp xấp xỉ tuân theo quy luật hàm mũ. Hãy tự mình tìm hiểu xem mức tăng phần trăm mỗi năm tương ứng với độ dốc trung bình của biểu đồ. Biểu đồ cho thấy tốc độ tăng trưởng giai đoạn 1945-1955 cao hơn một chút so với giai đoạn 1960-1970. Quan tâm

6

Rõ ràng là, loại trừ việc xem xét các điểm tương ứng với năm 1945 và 1950, chúng ta có một đường gần như thẳng: trong giai đoạn 1945-1955, ngành công nghiệp của chúng ta đã bù đắp cho thời gian đã mất trong chiến tranh. Xác định mức tăng sản lượng trung bình hàng năm trong giai đoạn 1937-1970 (tính bằng phần trăm mỗi năm).

Rõ ràng là sự phụ thuộc có dạng $y = A \lg t + B$ cũng được mô tả dưới dạng đồ thị thẳng nếu $s = \lg t$ được vẽ dọc theo trục hoành và $y$ dọc theo trục tọa độ. Ví dụ, hãy xem xét sự phụ thuộc của vận tốc $u$ vào khoảng cách $y$ từ bức tường như trong Hình 5 trong dòng chảy hỗn loạn của sự sống dọc theo một bức tường phẳng. Ở đây $\delta$ và $u_\tau$ là các thang đo chiều dài và vận tốc được chọn phù hợp. Các phép đo được thực hiện ở $y/\delta$, thay đổi từ 10 đến 56.000. Do đó, để hiển thị kết quả đo, ba biểu đồ có tỷ lệ khác nhau dọc theo trục hoành đã được sử dụng. Sau khi chuyển sang thang logarit cho $y/\delta$, tất cả dữ liệu này đều giảm trên một biểu đồ (xem Hình 6). Đồng thời, đồ thị “làm thẳng”. Priyam trong Hình 6 được cho bởi phương trình

$$\frac{u}{u_\tau} = 5,5 + 5,75 \lg y/\delta.$$

Chúng tôi thấy rằng mô hình này được quan sát rất chính xác, bắt đầu từ $y/\delta = 100$. Đối với tôi $y/\delta$ những sai lệch hệ thống là đáng chú ý, và đối với $y/\delta < 15$ những sai lệch này trở nên quan trọng đến mức ở đây sự tương ứng (2) phải được coi là hoàn toàn không phù hợp.

Sự phụ thuộc của biểu mẫu

$$y = ct^\alpha$$

điều tương tự cũng “làm thẳng” khi chuyển sang biến

$$s = \lg t, z = \lg y.$$

Thật vậy, từ (1) suy ra

$$z = \alpha s + b,$$

ở đâu $b = \lg c$. Để mô tả sự phụ thuộc của loại (3) bằng đồ thị đường thẳng, bộ đếm logarit được sử dụng. Giấy logarit cũng được bán trong các cửa hàng. Hình 7 thể hiện các ví dụ về đồ thị trên giấy logarit. Dễ hiểu là độ dốc của đồ thị ở đây là $\alpha$.

Đồ thị trên lưới logarit được vẽ nếu có lý do để nghĩ rằng bất kỳ phép tính gần đúng phụ thuộc thực nghiệm nào đều tuân theo quy luật có dạng (3). Hình 8 cho thấy dữ liệu thực nghiệm về sự phân bố năng lượng xung trong dòng chảy rối trên lưới logarit. Ở đây $E(k)$ là mật độ phổ của năng lượng xung tương ứng với tần số $k$; $E_0$ và $k_0$ là điều kiện đơn vị của $E$ và $k$. Chúng ta thấy điều đó khi

$$10^{-4} k_0 \leq k \leq 10^{-1} k_0$$

biểu hiện tốt phụ thuộc của chúng tôi về hình thức

$$E = ck^{-5/8},$$

mà vì lý do lý thuyết đã được đề xuất bởi A. M. Obukhov.

Ở đây thang đo cho $\lg k$ và $\lg E$ là khác nhau. Do đó, độ dốc của đồ thị tương ứng với $\alpha$ đã cho không bằng $\alpha$. Hình vẽ cho thấy một đường thẳng có độ dốc tương ứng với $\alpha = 5/3$ được vẽ bằng đồ họa.

Bài toán

Vẽ trên giấy bán đặc tính bảng dữ liệu (xem trang 7) về tình trạng nhàn rỗi của các sản phẩm công nghiệp của Liên Xô thành hai nhóm: nhóm A - sản xuất tư liệu sản xuất, nhóm B - sản xuất hàng tiêu dùng (tính theo tỷ lệ phần trăm vào năm 1913).

Trong những năm nào tốc độ tăng trưởng của sản phẩm nhóm A nhanh hơn tốc độ tăng trưởng của sản phẩm nhóm B và ngang bằng vào những năm nào? So sánh đặc điểm của những năm chiến tranh trong Thế chiến thứ nhất và Thế chiến thứ hai.

7

Bình luận. Trong tất cả các ủng hộ
sản phẩm công nghiệp nhóm A năm 1913 là 35,1% và năm 1970 là 74,8%.

Bàn

| Năm | Nhóm A | Nhóm B |
| :— | :— | :— |
| 1913 | 100 | 100 |
| 1917 | 81 | 67 |
| 1928 | 155 | 120 |
| 1932 | 424 | 187 |
| 1937 | 1013 | 373 |
| 1940 | 1340 | 460 |
| 1945 | 1504 | 273 |
| 1950 | 2746 | 566 |
| 1955 | 5223 | 996 |
| 1960 | 8936 | 1498 |
| 1965 | 14156 | 2032 |
| 1970 | 21359 | 3281 |

Cơm. 8.

8

Định vị bằng tiếng vang

M. S. Livits

Sự không đồng nhất gặp phải dọc theo đường đi của sóng làm phân tán chúng theo mọi hướng, kể cả hướng ngược lại. Nói cách khác, bản thân sự không đồng nhất trong môi trường trở thành nguồn sóng (thứ cấp) và từ chúng, như người ta nói, phát ra tiếng vang.

Hiện tượng tiếng vang được sử dụng để định vị, tức là xác định vị trí của các vật thể khác nhau bằng sóng vô tuyến (định vị bằng sóng vô tuyến) hoặc sóng âm thanh (định vị bằng âm thanh).

Sóng. Hợp tác. bức xạ

Khi nói đến sóng, chúng ta vô tình tưởng tượng ra sóng trên mặt nước. Đây là dạng sóng thực sự trực quan duy nhất. Sóng âm – sóng có độ nghiêng và độ lệch trong một môi trường đàn hồi – không còn dễ hình dung nữa; và thậm chí cần nhiều thính giác hơn để biểu diễn sóng vô tuyến và sóng ánh sáng.

Hóa ra là khó có thể đưa ra một định nghĩa chính xác về khái niệm sóng. Xin vui lòng, cái chung nhất sẽ là:

Sóng là một quá trình trong đó sự phân bố không gian của một số đại lượng vật lý thay đổi định kỳ theo thời gian.

Trong trường hợp đơn giản nhất mà chúng ta quan sát được trên mặt nước, các sóng là sự giao nhau định kỳ của các bướu và vadine. Đối với các sóng có bản chất vật lý khác, “bướu” phải được hiểu là vị trí trong sóng có đại lượng vật lý nhất định (ví dụ: mật độ môi trường trong trường hợp sóng âm, tính định hướng của dòng điện).

từ trường hoặc từ trường trong trường hợp sóng điện từ) đạt giá trị cực đại và “thung lũng” là nơi giá trị này đạt giá trị tối thiểu.

Khoảng cách giữa hai bướu liền kề (hoặc thung lũng hoặc các điểm khác ở trạng thái giống hệt nhau) được gọi là bước sóng và được ký hiệu là λ (Hình 1). Bước sóng là một đặc tính rất quan trọng.

Cơm. 1.

Nếu chúng ta tập trung sự chú ý vào một điểm nào đó trong không gian nơi sóng tồn tại, chúng ta sẽ phát hiện ra sự thay đổi tuần hoàn của đại lượng vật lý tương ứng chỉ theo thời gian, gọi là dao động. Có một mối liên hệ giữa dao động và sóng. Hóa ra là một sóng, là một tập hợp các dao động tại tất cả các điểm của nó, sẽ không tự xuất hiện. Có một số điểm đặc biệt mà tại đó dao động là nguồn gốc của sóng. Về vấn đề này, đáng để đưa ra một định nghĩa khác về sóng.

Sóng là một quá trình phân bố dao động trong môi trường.

Thật vậy, để sóng tồn tại trên mặt nước, bạn cần ném một hòn đá vào đó hoặc nhúng một loại máy rung nào đó (ví dụ như một thanh dao động) vào đó. Sóng âm tồn tại nếu chúng ta nói hoặc nếu một dây đàn violin vang lên. Sóng vô tuyến tồn tại nếu có một máy phát vô tuyến có ăng-ten. Và vân vân.

Quá trình ngược lại cũng diễn ra: nếu trên đường đi của sóng, phân bố trong một môi trường nhất định, có một dao động, các tính chất của chúng khác nhau -

9

tùy thuộc vào tính chất của môi trường *), dao động phát sinh trong đó. Trong trường hợp này, sóng có thể bị hấp thụ một phần (nghĩa là năng lượng sóng chuyển thành nhiệt). Nhưng kết quả chính thường là vật thể trở thành nguồn sóng gọi là sóng thứ cấp.

Về mặt toán học, mối quan hệ giữa dao động và sóng được biểu thị bằng sự phụ thuộc của bước sóng $\lambda$ vào tần số dao động $v$ (hoặc vào chu kỳ $T$) và vào tốc độ truyền sóng $v$:

$$\lambda = \frac{v}{v} = vT.$$

Bước sóng là khoảng cách mà khả năng bước sóng $\lambda$ dịch chuyển từ tần số dao động $v$ (hoặc từ chu kỳ $T$) và từ tốc độ truyền sóng $v$:

Theo nhiều cách, bộ phát sơ cấp và thứ cấp tương tự nhau. Trước hết, sự giống nhau được thể hiện ở bản chất giống nhau về sự phụ thuộc của hiệu suất của bộ phát $I$ vào các kích thước tuyến tính của nó $d$. Hiệu suất của bộ phát được xác định bằng tỷ lệ giữa năng lượng phát ra và năng lượng cung cấp cho bộ phát.

Dạng chung của sự phụ thuộc (xem Hình 2) là giống nhau đối với các sóng có độ dài khác nhau và bất kỳ bản chất vật lý nào. Hãy chú ý đến từng đặc điểm nghịch lý của đồ thị: khi kích thước của bộ phát lớn hơn $\frac{\lambda}{2}$ thì nó phát ra kém hơn ở $d \approx \frac{\lambda}{2}$.

*) Điều này đề cập đến các tính chất liên quan đến bản chất vật lý của sóng tương ứng (ví dụ: độ dẫn điện của sóng vô tuyến hoặc mật độ của sóng âm).

Làm cách nào để thực thi các phần phụ thuộc được hiển thị trong Hình 2?

Không khó để hiểu diễn biến chung của đường cong đồ thị, tức là khi kích thước của vật tăng thì cường độ bức xạ sóng cũng tăng. Điều này xảy ra do sự bổ sung các khả năng được tạo ra trong môi trường bởi các phần khác nhau của bộ phát sơ cấp (và tác động ngược lại đối với bức xạ thứ cấp). Do đó, điều chính là khái niệm về tính năng đặc trưng nhất của biểu đồ: hiệu suất phát tối đa rõ rệt ở $d \approx \frac{\lambda}{2}$.

Nói một cách tổng quát nhất, điều này có thể được đưa ra nghĩa vụ sau. Khi đặt bộ phát $d \approx \frac{\lambda}{2}$ xảy ra hiện tượng cộng hưởng do sự phối hợp của tần số tác động bên ngoài và dao động tự nhiên của bộ phát. Trong quá trình cộng hưởng, hệ luôn hấp thụ và phát ra năng lượng tối đa từ nguồn.

mô hình định hướng

Hiệu suất của nó không chỉ phụ thuộc vào kích thước và cấu hình của bộ phát mà còn phụ thuộc vào sự phân bố năng lượng của sóng mà nó phát ra theo các hướng khác nhau - cái gọi là mô hình bức xạ của bộ phát.

Sơ đồ tương tự áp dụng cho các dao động phát sinh trong ăng-ten khi sóng chạm vào nó (đây được gọi là định lý tương hỗ trong lý thuyết bức xạ).

Mẫu bức xạ là một đường cong phân bố cường độ bức xạ theo các hướng khác nhau. Trong hình 3

10

Ví dụ: sơ đồ hướng của bộ phát bán tự do điện từ (bộ rung) được hiển thị: a) trong mặt phẳng kinh tuyến (nghĩa là trong mặt phẳng chứa bộ phát) và b) trong mặt phẳng xích đạo (nghĩa là trong mặt phẳng vuông góc với bộ rung, và do đó với hướng dao động điện trong đó).

Từ hình vẽ cho thấy rõ rằng bộ dao động bán tự do điện từ không bức xạ dọc theo hướng dao động trong nó mà ngược lại, bức xạ cực đại theo hướng vuông góc. Trong mặt phẳng xích đạo, bức xạ dao động đều theo mọi hướng.

Xung sóng.
Độ phân giải định vị

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang câu hỏi chính: làm thế nào bạn có thể nhận thấy sự hiện diện của sóng thứ cấp (tiếng vang)? Rốt cuộc, nếu chúng ta không thể xác định được tiếng vang này hay tiếng vang kia, thì chúng ta sẽ không thể phát hiện ra nguồn của nó, được gọi là mục tiêu trong định vị bằng tiếng vang.

Thật khó để nghĩ ra một đáp số đơn giản hơn thế này: điều cần thiết là trong quá trình xuất hiện tiếng vang này, không có sóng nào khác đi vào máy thu.

Đây là cách phát sinh tính năng chính của phần lớn các máy định vị: hoạt động ở chế độ xung. Điều này có nghĩa là bộ phát định kỳ sơ cấp phát ra một nhóm sóng (xung có thời lượng τ, độ dài cτ (Hình 4)), và sau đó không hoạt động trong một thời gian dài (so với thời lượng của xung). Chính trong khoảng thời gian “im lặng” này, họ đến

Cơm. 4.

phản ánh xung từ các mục tiêu khác nhau.

Xung phát ra từ ăng-ten radar (xung thăm dò) càng ngắn thì số lượng mục tiêu có thể được phát hiện riêng biệt trong cùng một thể tích không gian càng lớn. Thật vậy, nếu phạm vi của hai mục tiêu khác nhau đến mức các chuỗi sóng thứ cấp (phản xạ) (tức là các nhóm) sóng từ chúng không trùng nhau, thì radar sẽ quan sát các mục tiêu riêng biệt (Hình 5).

Do đó, thời lượng xung xác định cái gọi là độ phân giải phạm vi δD ~ τ.

Ngoài ra, việc quan sát lâu dài một số mục tiêu có hướng khác nhau đảm bảo việc sử dụng các bộ phát có mô hình định hướng hẹp (Hình 6).

Ở đây chúng ta đang nói về độ phân giải góc. Thật vậy, nếu các hướng trên mục tiêu khác nhau một góc lớn hơn chiều rộng của sơ đồ hướng (góc α), thì chúng, ngay cả ở cùng một phạm vi, sẽ không được nhìn thấy dưới dạng một mục tiêu. Các xung phản xạ từ chúng sẽ không đến đồng thời mà chỉ

Cơm. 6. Mục tiêu 1 hiển thị nhưng mục tiêu 2 không hiển thị.

11

sau khi xoay ăng-ten cho phù hợp.

Chọn phạm vi sóng cho một vị trí

Bây giờ chúng ta đã chuẩn bị đầy đủ để hiểu tại sao sóng vô tuyến siêu ngắn (VHF) được sử dụng trong radar, tức là các sóng có bước sóng nằm trong phạm vi mét, decimet và centimet.

Hãy xem xét một vài lý do.

1. Đối với VHF, thật dễ dàng để đảm bảo kích thước chấp nhận được của ăng-ten radar có kiểu bức xạ hẹp (để đảm bảo độ phân giải góc tốt) và bức xạ đủ cường độ, vì thành phần chính của ăng-ten đó là bộ rung.

2. Kích thước của các mục tiêu thông thường (máy bay, tàu thủy) sẽ khá lớn so với bước sóng cho phép, tạo điều kiện cho cường độ tín hiệu phản xạ tăng lên (theo sơ đồ đường cong $d \gg \lambda/2$ trong Hình 2).

3. Về mặt kỹ thuật, rất khó để tạo ra xung ngắn hơn ít nhất một phần mười bước sóng, do đó $\lambda$ càng nhỏ thì càng dễ đảm bảo hình thành xung như vậy và do đó đạt được độ phân giải phạm vi tốt.

Nguyên lý thay đổi phạm vi và tọa độ góc

Việc xác định đầy đủ vị trí của mục tiêu trong không gian đòi hỏi phải có kiến ​​thức

Cơm. 7.

ba tọa độ trong một số hệ tọa độ. Đối với máy định vị, hệ tọa độ “tự nhiên” như vậy, tức là hệ tọa độ tương ứng nhất với các đặc điểm của hiện tượng vật lý được sử dụng trong chúng, sẽ có dạng hình cầu (Hình 7). Trong đó, vị trí của điểm được xác định bởi tọa độ sau: vectơ bán kính $D$ (trong radar gọi là phạm vi trên cao); góc phương vị $\varphi$ (góc trong mặt phẳng ngang); góc nâng $\varepsilon$ (góc trong mặt phẳng thẳng đứng).

Vì vậy, đối với một vị trí cần phải thay đổi dữ liệu và tọa độ góc.

Khi anten định vị phát ra xung thăm dò cần xác định thời gian $t'$ để nhóm sóng này tới được mục tiêu. Ngay khi sóng tới mục tiêu, mục tiêu sẽ trở thành bộ phát thứ cấp và một phần năng lượng của sóng phân tán (phản xạ) sẽ quay trở lại, tức là tới ăng-ten định vị. Khi tốc độ truyền sóng lớn hơn nhiều so với tốc độ chuyển động của mục tiêu thì độ dịch chuyển của mục tiêu trong thời gian này có thể bỏ qua. Xung phản xạ (thứ cấp) phải truyền từ mục tiêu đến thiết bị định vị trong cùng thời gian $t'$, được ăng-ten thu của nó hấp thụ và đến đầu vào máy thu. Trong trường hợp này, năng lượng sóng được chuyển đổi thành năng lượng dòng điện và được khuếch đại bởi máy thu để truyền tiếp theo các thiết bị đo định vị. Lưu ý rằng quá trình có lợi ở đây là sự hấp thụ năng lượng sóng của ăng-ten.

Tổng thời gian $t = t' + t'$ là thời gian trễ của xung phản xạ so với xung thăm dò và có thể thay đổi trong bộ định vị. Vì vậy, việc thay đổi phạm vi của thuộc tính để thay đổi thời gian. Điều này có thể thấy từ công thức

$$D = \frac{ct}{2}.$$

Công thức đã cho càng chính xác thì độ dịch chuyển mục tiêu càng nhỏ trong thời gian trễ.

12

Cơm. 8. Trepetitions - thời gian sau đó máy phát định kỳ gửi các xung thăm dò; $U_{\text{пер}}$ — điện áp đầu ra (xung) của máy phát; $U_{\text{пр}}$ — điện áp ở đầu vào máy thu (xung phản xạ); Mục tiêu 2 xa hơn mục tiêu 1.

Nguyên tắc đo phạm vi thời gian được giải thích bằng sơ đồ trong Hình 8.

Khoảng thời gian nào và với độ chính xác nào radar đo được?

Thông thường, khoảng cách hàng chục km nên được đo với sai số không quá hàng chục mét. Điều này có nghĩa là, như có thể được tính bằng công thức (1) (tốc độ ánh sáng $c = 300\ 000\ \text{km/c}$), người ta phải có khả năng đo các khoảng thời gian cỡ hàng trăm micro giây ($1\ \text{mkc} = 10^{-6}\ \text{c}$) với độ chính xác đến một phần mười micro giây. Không có chiếc đồng hồ cơ nào có khả năng thực hiện các phép đo như vậy: khối lượng (quán tính) của các bộ phận trong cơ cấu của nó quá lớn; Chỉ các thiết bị điện tử, do quán tính thấp của electron, mới có thể thực hiện được điều này bài toán. Ví dụ, một thiết bị rất tiện lợi là ống tia điện tử

Cơm. 9.

(tương tự như những gì được sử dụng trong máy hiện sóng và tivi). Ứng dụng của nó trong radar thường dựa trên một sự thật nổi tiếng rằng “thà nhìn một lần còn hơn nghe một lần”. Mọi thứ chạm tới radar đều được các chỉ báo chùm tia điện tử chuyển đổi thành hình ảnh có thể nhìn thấy được của vùng không gian tương ứng.

Có nhiều phương pháp khác nhau để xác định tọa độ góc, nhưng nguyên tắc chung là sử dụng hướng bức xạ và hướng thu sóng.

Một phương pháp đơn giản hơn nhiều, dựa trên nguyên tắc chung này, là cố định vị trí góc của ăng-ten quay bằng một loại máy đo nào đó tại thời điểm xung phản xạ từ mục tiêu đạt cực đại (Hình 9).

Các chỉ số

Để có ý tưởng rõ ràng hơn về cách đo tọa độ trong radar theo các nguyên tắc đo phạm vi và góc đã được xem xét, chúng ta hãy xem xét các chỉ số được sử dụng cho mục đích này.

Để làm ví dụ, chúng ta hãy xem xét hai loại chỉ báo.

Cái đầu tiên cung cấp sự thể hiện trực quan của toàn bộ khu vực trong không gian xung quanh; thời gian ngừng hoạt động hữu ích thứ hai có thể được sử dụng trong các thiết bị radar riêng lẻ (như tên gọi của radar).

1. Hầu hết tất cả các thiết bị định vị đều có chỉ báo hiển thị toàn diện. Trong đó, chùm tia điện tử di chuyển sao cho “cạnh” của nó vẽ một đường xuyên tâm trên màn hình (từ tâm ra mép màn hình). Điều này được thực hiện bằng cái gọi là quét phạm vi: vị trí của điểm được chiếu sáng ở giữa màn hình tương ứng với phạm vi 0 (vị trí của bộ định vị tại thời điểm xung thăm dò được gửi) và vị trí của điểm được chiếu sáng trên cạnh màn hình

13

tương ứng với phạm vi phát hiện tối đa. Giữa các điểm này có toàn bộ thang đo phạm vi của bộ định vị.

Hướng mà đường thẳng xuyên tâm được quét được xác định bởi góc phương vị của bức xạ sóng vô tuyến của ăng-ten vô tuyến, nghĩa là khi mô hình bức xạ của ăng-ten (“chùm tia” của ăng-ten) được quay, quá trình quét sẽ quay đồng bộ (đồng thời). Góc độ cao không được xác định trong một chỉ báo như vậy.

Khi không có vật phản xạ, chùm tia điện tử bị “tắt”. Tín hiệu phản xạ từ vật thể “hỗ trợ” chùm tia và một điểm sáng xuất hiện ở vị trí tương ứng trên màn hình (hình ảnh điển hình trên màn hình được hiển thị trong Hình 10). Để xem toàn bộ hình ảnh cùng một lúc, các chỉ báo này sử dụng màn hình phát quang sao cho ánh sáng được kích thích ở bất kỳ vị trí nào trên đó kéo dài trong suốt thời gian “chùm tia” ăng-ten quay một vòng.

2. Chỉ báo đơn giản nhất là chỉ báo trên màn hình trong đó việc quét phạm vi được thực hiện dọc theo đường kính ngang và độ lớn độ lệch dọc của điểm (biên độ xung) được xác định bởi cường độ tín hiệu từ mục tiêu (Hình 11).

Chỉ báo này sử dụng màn hình không phát sáng và hình ảnh thay đổi khi “chùm” ăng-ten quay trong không gian, do đó góc của “chùm” phải được tính trên thang đo ăng-ten tại thời điểm biên độ của xung tương ứng trên màn hình đạt cực đại.

“Người dân địa phương”, chủ đất thụ động và chủ động

Mỗi thành tựu kỹ thuật không có điểm yếu riêng, để khắc phục điểm yếu đó ta phải đi sâu hơn vào tính chất vật lý của hiện tượng sử dụng. Điều này có thể được nhìn thấy trong một số ví dụ về vị trí từ radar.

1. Ở các khu vực miền núi, màn hình chỉ báo bị “tắc nghẽn” với cái gọi là xung “cục bộ”, tức là các xung phản ánh từ thời tiết lạnh, đá và các địa hình không bằng phẳng khác. Điều này gây khó khăn, thậm chí không thể phát hiện được các tín hiệu hữu ích từ mục tiêu. Điều tương tự cũng được quan sát gần các khu vực đông dân cư.

Các phòng lớn cũng được tạo ra bởi sự phản chiếu từ các khu vực khác nhau, các đám mây và những thứ tương tự.

2. Như chúng tôi đã nói, khi đặt các khuyết tật gần

14

λ/2, bức xạ thứ cấp từ chúng tăng lên rất nhiều. Do đó, những tấm phản xạ bán tự do như vậy được sử dụng trong cuộc chiến chống radar nhằm tạo ra các “mục tiêu” sai (mục tiêu thụ động). Hóa ra vài trăm gam giấy bạc hoặc sợi thủy tinh kim loại là đủ để tạo ra xung phản xạ tương tự như từ một chiếc máy bay.

Phải chăng điều này có nghĩa là không thể làm gì được với “người dân địa phương” hoặc với những tiền đề thụ động? Tất nhiên là không.

Thực tế là các nguồn của nguồn “cục bộ” nói chung là bất động, còn các đám mây và không gian thụ động di chuyển với tốc độ gió, thường nhỏ hơn nhiều so với tốc độ của máy bay. Đây là những gì được sử dụng để thiết lập phòng. Nguyên lý hoạt động của một trong các thiết bị liên lạc tương ứng với cái gọi là phép trừ xen kẽ. Bản chất của điều này như sau: nếu các tín hiệu nhận được trong hai lần phát âm liên tiếp được áp dụng đồng thời cho chỉ báo, nhưng với các dấu hiệu trái ngược nhau, thì các tín hiệu định vị sẽ bị phá hủy và các tín hiệu từ các mục tiêu chuyển động nhanh đã thay đổi vị trí của chúng trong thời gian lặp lại sẽ được giữ nguyên.

3. Tín hiệu từ các mục tiêu đến máy thu vô tuyến có cường độ yếu hơn nhiều so với xung thăm dò. Do đó, radar được đặc trưng bởi sự kết hợp giữa công suất cao của xung thăm dò máy phát với độ nhạy cao của máy thu. Đây là cách duy nhất để đảm bảo phạm vi phát hiện mục tiêu lớn hơn.

Nhưng sức mạnh này của radium ngay lập tức trở thành điểm yếu của nó.

Thứ nhất, các xung thăm dò mạnh mẽ từ thiết bị định vị thực sự có thể được phát hiện từ lâu trước khi máy định vị được phát hiện (vì trong trường hợp này sóng vô tuyến truyền đi “một chiều”).

Thứ hai, bộ thu định vị có độ nhạy cao có thể dễ dàng bị “tắc nghẽn” bởi các tín hiệu cục bộ từ các bộ phát trong nhà được lắp đặt trên máy bay (những bộ phát này cũng có thể được kích hoạt bằng dù và những thứ tương tự).

Điều này sẽ tạo ra một cách khác để chống lại radar - sử dụng tên lửa đang hoạt động. Tuy nhiên, có nhiều cách để vượt qua chúng.

Đặc điểm của âm thanh khiêu khích

Để kích thích âm thanh, tồn tại tốc độ truyền sóng âm nhỏ hơn nhiều bậc so với tốc độ truyền của sóng điện từ (trong không khí, tốc độ âm thanh trong điều kiện bình thường là 331 m/s, tức là nhỏ hơn gần một triệu lần so với tốc độ ánh sáng). Chẳng hạn, thật vô nghĩa khi cố gắng sử dụng kích thích âm thanh để xác định tọa độ của một máy bay siêu thanh hiện đại: đơn giản là âm thanh sẽ không bắt kịp nó. Đối với định vị bằng thủy lực (âm thanh gọi trong nước), tình hình tốt hơn: tốc độ âm thanh trong nước xấp xỉ 1500 m/s, và tốc độ di chuyển của “mục tiêu” dưới nước nhỏ hơn nhiều (khoảng 10 m/s). Ngoài ra, vì lợi ích của thông điệp: sóng điện từ lan truyền rất kém trong nước (chúng bị suy giảm mạnh vì nước, đặc biệt là nước biển, là chất dẫn khá tốt). Vì vậy, bạn không thể làm gì nếu không có âm thanh trong nước.

Đối với thiên nhiên sống, không chỉ trong nước mà còn trong không khí, tốc độ âm thanh hoàn toàn đảm bảo sự thành công của khả năng định vị bằng tiếng vang. Đây là lý do tại sao “máy định vị trực tiếp” sử dụng sóng âm thanh (chính xác là siêu âm). Ví dụ: âm thanh mà con người có thể nghe được bao gồm dải tần số rung từ 20 đến 20.000 Hz. Âm thanh có tần số cao hơn 20.000 Hz được gọi là siêu âm.

Một số “máy định vị sống” tiên tiến nhất - dơi - sử dụng sóng siêu âm trong không khí để định vị, tương ứng với nguyên lý từ 50 kHz đến 100 kHz. Và những ngư dân sử dụng sóng siêu âm trong nước “làm việc” ở tần số cao hơn nữa.

15

Con chó đang đập không đúng hướng

M. L. Gerver

Bạn có nhớ trong «Kvant» số 2 năm 1973 có ghi chú “Về con cáo và con chó” không? Con cáo đi dọc theo một đường thẳng l với tốc độ không đổi, và con chó đi thẳng về phía con cáo với cùng tốc độ từ một điểm C₀ nào đó. Câu hỏi đặt ra là: con chó sẽ giết con cáo với giá bao nhiêu C₀?

Lá thư chứng tỏ cáo luôn bỏ chạy khỏi chó, trừ trường hợp duy nhất C₀ nằm trên đường thẳng l, phía trước cáo.

“Được rồi,” người đọc có thể nói sau khi đọc ghi chú, “tất cả những điều này đều tốt, nhưng con chó rất ngu ngốc!” Bezkala sẽ đúng…》

§ 1. Tuyên bố bài toán

Được rồi, con chó có thể đi theo con đường như một góc chứ không nhất thiết phải đi thẳng về phía con cáo. Nhưng rồi con cáo không sống theo đường thẳng mà sống theo ý muốn của nó. Vận tốc của con cáo và con chó vẫn được coi là có độ lớn bằng nhau. Và chúng ta cũng cần giả định rằng mọi thứ sẽ diễn ra trong khu vực có rào chắn *).

Nếu chúng ta thay đổi các điều kiện như thế này, thì chúng ta đang tiến gần đến bài toán nổi tiếng về cuộc rượt đuổi, do P. Rado phát minh ra. Chỉ trong bài toán Một con sư tử và một người đàn ông xuất hiện cùng nhau giữa cáo và chó. Trong cuốn sách “Hỗn hợp toán học” của nhà toán học người Anh J. Littlewood, bài toán này được xây dựng như sau: “Một con sư tử và một người đàn ông, nằm trong một đấu trường hình tròn có hàng rào, có cùng một điểm giống nhau.

*) Ngược lại, nếu vị trí ban đầu của cáo và chó là L₀ và C₀, thì cáo sẽ chỉ chạy theo đường thẳng C₀Л₀ từ C₀.

tốc độ tối đa. Một con sư tử nên tuân theo chiến lược nào để tự tin trong bữa ăn của mình?》 Một công thức khéo léo nhưng quá khát máu - vì vậy chúng ta sẽ gọi những người tham gia cuộc rượt đuổi, như trước đây, là chó và cáo.

Thoạt nhìn, có vẻ như con cáo không thể được cứu nếu con chó chọn chiến lược sau. Đầu tiên, cô ấy chiếm một vị trí ở tâm vòng tròn O, sau đó nằm xuống sao cho luôn ở bán kính OL, đồng thời cố gắng đến gần con cáo nhất có thể (trong tốc độ cho phép). Cứ như thể con cáo không còn lựa chọn nào khác ngoài việc chạy vòng tròn (cô ấy không nên tự mình tông vào con chó!). Điều gì xảy ra trong trường hợp này có thể được nhìn thấy từ Hình 1.

Khi con chó chiếm giữ tâm O thì con cáo ở điểm L₀. Chúng ta hãy biểu thị bằng A₁ một điểm trên đường tròn sao cho góc A₀OL₁ = π/2. Trên đoạn OL₁, chúng ta sẽ dựng, giống như trên đường kính, một đường tròn phụ s. Chúng ta ký hiệu đường tròn ban đầu (lớn gấp đôi) là S. Cho con cáo chạy từ L₀ đến L₁ dọc theo đường tròn S, và đường đi L là một điểm tùy ý trên cung L₀L₁, còn C là giao điểm của bán kính OL và đường tròn s. Khi đó các cung L₀L và OC có (kiểm tra cái này!) có cùng độ dài. Như vậy, con chó (được hướng dẫn theo chiến lược đã chọn) sẽ chạy từ O đến L₁ dọc theo đường tròn s; tại điểm L₁ cô ấy xuất hiện như một con cáo.

Một sự thay đổi bất ngờ theo hướng ngược lại sẽ không giúp ích gì cho con cáo: nếu con cáo chạy đến điểm A (Hình 2), rồi lao trở lại điểm A₂, thì con chó (theo quy định tại

16

chiến lược của nó) sẽ chạy từ $C$ đến $\ell_2$ dọc theo một cung đối xứng đến $C\ell_1$ so với bán kính $O\ell$.

Vì vậy, cơ hội duy nhất để cứu khuôn mặt là đậu nành từ vòng tròn $S$. Về phía con chó? Điều này có vẻ vô nghĩa, và chắc hẳn đã có lúc người ta tin rằng con cáo không thể thoát khỏi vị trí đó.

Gần đây, Giáo sư A. S. Beznikovich đã bác bỏ quan niệm sai lầm này. Dưới đây chúng tôi trình bày nó lời giải, đầu tiên là trong trường hợp con chó tuân thủ bán kính $O\ell$, và sau đó là trong trường hợp con chó có hành vi hoàn toàn tùy tiện. Trong cả hai trường hợp, cáo không cần phải chạy ngay vào vòng tròn. Nó phải rút lui dần dần khỏi một số điểm bên trong của vòng tròn, đổi hướng nhiều lần, dọc theo một đường xoắn ốc phức tạp.

§ 2. Hai tổng

Khi trình bày lời giải chúng ta sẽ xây dựng các đường gãy bao gồm vô số liên kết ngày càng ngắn hơn. Điều cần thiết là những đường đứt nét này có chiều dài vô hạn nhưng nằm hoàn toàn bên trong đường tròn. Để không lạm dụng phần trình bày sau này, chúng ta hãy thực hiện trước một số tính toán. Hãy viết hai số tiền:

$$L_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n},$$

$$K_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}.$$

Họ hành xử như thế nào khi $n$ tăng lên? Chúng tăng lên - điều này là rõ ràng (vì tất cả các thuật ngữ tích cực mới đều được thêm vào). Nhưng liệu chúng sẽ tăng vô thời hạn hay vẫn ở dưới một con số nhất định? Hóa ra tổng thứ nhất tăng không giới hạn khi $n$ tăng và tổng thứ hai tăng không giới hạn đối với bất kỳ $n$ nào nhỏ hơn 1.

Bằng chứng

1. Hãy sử dụng các bất đẳng thức

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2},$$

$$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} +$$

$$+ \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2},$$

$$\frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16} > \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$, v.v.

Do đó $L_4 > 1$, $L_8 > \frac{3}{2}$, $L_{16} > 2$ và nói chung cho $n = 2^k$, $L_n > \frac{k}{2}$. Nếu $k$ bằng hai triệu thì $L_n$ lớn hơn một triệu. Nếu $k = 2 \cdot 10^9$ thì $L_n$ lớn hơn một tỷ, v.v. Nói chung, bất kể số $N$ nào được lấy, đều có $n$ sao cho $L_n > N$ (chỉ cần đặt $n = 2^2M$, trong đó $M$ là số tự nhiên, lớn hơn $N$, đối với $m > n$ bất đẳng thức $L_m > N$ còn được thỏa mãn hơn nữa). Vì vậy, $L_n$ tăng không giới hạn khi số $n$ tăng.

2. Hãy chứng minh rằng $K_n < 1$ với mọi $n$.

Hãy tính tổng $S_n = \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2} + \dots$

$$\dots + \frac{1}{n(n-1)}.$$

Vì $\frac{1}{m(m-1)} = \frac{1}{m-1} - \frac{1}{m}$, thì $S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right).$

Mở ngoặc và sắp xếp lại các số hạng, ta được $S_n = 1 + \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(-\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1}\right) - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n}$.

Vì $\frac{1}{m^2} < \frac{1}{m(m-1)}$, nên $K_n < S_n$. Vì vậy, với bất kỳ $n$

$$K_n = \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1.$$

Kết quả. Đặt $O$ là tâm của đường tròn bán kính $r$. $\ell_0$ là một điểm ở khoảng cách $r_0$ tính từ tâm, $r_0 < r$. Hãy đặt $a = \sqrt{r^2 - r_0^2}$ và dựng đường đứt nét $L$ như thế này (Hình 3): $\ell_0\ell_1 = \frac{a}{2}$, $\ell_0\ell_1 \perp O\ell_0$; $\ell_1\ell_2 = \frac{a}{3}$,

Cơm. 3.

Cơm. 4.

rem về phần tiếp theo $\lambda'_n M_n$ ở khoảng cách $\lambda_n \lambda_{n+1}$ tính từ điểm $M_n$ (trong đó $\lambda_n \lambda_{n+1} = (n+1)-e$ là đường nối của đường gãy $L$).
Vì vậy, $\lambda'_n \lambda_{n+1} \geq M_n \lambda_{n+1} = \lambda_n \lambda_{n+1}$. Bây giờ hãy đánh giá $\lambda'_n + 1$.
Giả sử rằng chúng ta đã chọn được điểm $\lambda'_n$ sao cho $\lambda'_n \leqslant \lambda_n$. Sau đó vì $OM_n \leqslant O\lambda'_n$, bất đẳng thức đúng
$((\lambda'_n + 1)^2 = OM_n^2 + (M_n \lambda'_n + 1)^2 \leqslant$
$\leqslant O\lambda_n^2 + \lambda_n \lambda_{n+1}^2 = O\lambda_n^2 + 1$
và do đó $\lambda'_n + 1 \leqslant O\lambda_{n+1}$.

Vì vậy, mỗi liên kết của đường gãy $L'$ không ngắn hơn liên kết tương ứng $L$ và mỗi đỉnh $L'$ nằm không xa tâm $O$ hơn đỉnh tương ứng $L: \lambda'_n \lambda_{n+1} \geqslant$
$\geqslant \lambda_n \lambda_{n+1}; O\lambda'_n \leqslant O\lambda_n$. Nói cách khác, đường đứt nét $L'$ có chiều dài vô hạn nhưng nằm hoàn toàn trong một đường tròn bán kính $r$ có ​​tâm $O$. Theo cách xây dựng, $C_n \lambda'_n \perp \lambda'_n \lambda_{n+1}$ cho bất kỳ $n$ nào. Điều này có nghĩa là con chó vẫn không thể sinh ra con cáo.

Như vậy, dù con chó có cư xử thế nào thì cáo cũng có thể chạy trốn khỏi nó!

Bài tập

1. Khi con cáo $L$ chạy trên một đường thẳng và con chó $C$ chạy thẳng về phía nó (xem chú thích “Về con cáo và con chó” trong «Kvant» số 2, 1973), thì khoảng cách $C_L$ luôn lớn hơn một số dương nào đó. Chứng minh rằng dù con cáo hành xử như thế nào trong vòng tròn và dù số dương $p$ nhỏ đến đâu thì con chó vẫn có thể tiếp cận con cáo ở khoảng cách nhỏ hơn $p$ trong một khoảng thời gian hữu hạn. Một con chó có phải lúc nào cũng đủ cho việc này không?

giữ bán kính $O_L$? Liệu con chó có đạt được điều này nếu nó lao thẳng vào con cáo không?

2. Liệu một con chó có đuổi kịp một con cáo đang chạy vòng tròn nếu nó cứ chỉ thẳng vào nó không?

3. Lý do của chúng tôi dựa trên thực tế là số tiền $L_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$

$\dots + \frac{1}{n}$ tăng vô hạn khi $n$ tăng và tổng $K_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$ cho bất kỳ $n$ nào đều nhỏ hơn 1. Điều tra xem các tổng $S_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} +$ hoạt động như thế nào khi $n$ tăng
$\frac{1}{3\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{n\sqrt{n}}, \Sigma_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} +$
$\frac{1}{3\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{n\sqrt{n}}$ và $P_n = \frac{1}{2} +$
$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \dots + \frac{1}{p_n}$
($p_n - n$số nguyên tố thứ).

4. Và kết luận - ba bài toán, trong đó một số được trình bày và chúng hành động theo tốc độ của những người trốn thoát và những người đã thương lượng giống nhau, mọi người có thể di chuyển theo ý muốn.

a) Một con cáo đứng trên một vùng phản chiếu hình tròn có thể thoát khỏi hai con chó không?

b) Chứng minh rằng một con ruồi bay trong khối lập phương có thể thoát khỏi hai con chim nhưng không thể thoát khỏi ba con chim.

b) Sau bao lâu thì chim run xuất hiện bên trong khối lập phương ở mặt 1 (tốc độ cũng bằng 1)?

Va chạm bóng

G. L. Komkin

Xét sự va chạm đàn hồi của các quả bóng, chúng ta sẽ chỉ giới hạn ở những ước tính sơ bộ, tức là khi tính các lực tác dụng trong quá trình va chạm và thời gian va chạm của các quả bóng, chúng ta sẽ không mắc phải sai số nhiều lần.

Điều chính là tưởng tượng chính xác những gì đang xảy ra với các quả bóng. Rõ ràng là sau khi tiếp xúc chúng bị biến dạng. Nhưng ngay cả tại thời điểm dừng lại, độ biến dạng chỉ tương đối lớn bằng kích thước mặt phẳng tiếp xúc của các quả bóng. Do sự biến dạng, một lực xuất hiện có xu hướng đưa các quả bóng về trạng thái ban đầu. Lực này, giống như lực đàn hồi của lò xo, đẩy các quả bóng ra xa nhau.

Hãy thử xác định lực đàn hồi của “lò xo” này. Xét va chạm tâm của hai quả cầu *). Chúng ta biết rằng vùng xuyên thấu của biến dạng là nhỏ và chúng ta thay thế vùng biến dạng mạnh của quả bóng bằng một hình trụ, bán kính của nó bằng bán kính $r$ của mặt phẳng tiếp xúc của các quả bóng và chiều cao (tức là độ sâu xuyên thấu của biến dạng) cũng bằng $r$ (Hình 1).

Gọi độ dời của tâm quả bóng trong khoảng thời gian từ lúc hai quả bóng chạm nhau cho đến khi dừng lại bằng $x$. Lực đàn hồi của “lò xo” được xác định theo định luật Hooke:

$$F = ES \frac{\Delta l}{l},$$

*) Nghĩa là, một trong đó tâm của các quả bóng di chuyển dọc theo một đường thẳng nối các tâm này.

trong đó $E$ là mô đun Young, $S = \pi r^2$, $l = r$, $\Delta l = x$. Như vậy,

$$F \sim Erx.$$

(Ở đây giá trị $Er$ đóng vai trò là hệ số đàn hồi $k$). Dấu ~ có nghĩa là sự bằng nhau về độ lớn, nghĩa là có thể xảy ra lỗi nhiều lần.

Cơm. 1.

Bây giờ chúng ta hãy biểu thị $r$ theo $x$. Để làm điều này, chúng ta hãy giả sử (một lần nữa gần đúng) rằng quả bóng chỉ “uốn cong” ở phần $ABC$ (Hình 2). Từ sự giống nhau của các tam giác $ABD$ và $ADC$ ta có sự tương ứng

$$\frac{r}{x} = \frac{2R - x}{r},$$

trong đó $R$ là bán kính của quả bóng. Vì $x \ll R$ và celelem 2 có thể bị bỏ qua nên ta có

$$r \sim \sqrt{Rx}.$$

(1)

Thay (1) vào biểu thức lực $F$, ta tìm được

$$F \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}}$$

(2)

Hãy để chúng tôi biểu thị giá trị $x$ thông qua các hằng số và tốc độ đã biết $v$.

20

Tại thời điểm quả bóng dừng lại, động năng luôn chuyển thành thế năng biến dạng. Thế năng biến dạng bằng công của lực đàn hồi trên đường đi $x$:

$$U \sim Fx \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}}.$$

Điều này có nghĩa là $\frac{1}{2}mv^2 = U \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}}$. Nhưng khối lượng của quả bóng là $m = \frac{4}{3}\pi R^3\rho$. Như vậy,

$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2\pi}{3}R^3\rho v^2 \sim R^3\rho v^2.$$

Kể từ đây,

$$R^3\rho v^2 \sim ER^{\frac{1}{2}}x^{\frac{5}{2}},$$

Ở đâu

$$x \sim R \frac{\rho \frac{2}{5}v^{\frac{4}{5}}}{E^{\frac{2}{5}}} = R \left(\frac{\rho v^2}{E}\right)^{\frac{2}{5}}.$$

Thuận tiện là biểu thị $\frac{E}{\rho} = u^2$), sau đó là $x \sim R\left(\frac{v}{u}\right)^{\frac{4}{5}}$. Hãy thay giá trị tìm được $x$ vào công thức (2):

$$F \sim ER^2\left(\frac{v}{u}\right)^{\frac{6}{5}}.$$

Hãy ước tính thời gian va chạm của các quả bóng:

$$t \sim \frac{x}{v} \sim \frac{R}{u}\left(\frac{u}{v}\right)^{\frac{1}{5}}$$

(4)

*) Đại lượng được đưa vào theo cách này trùng khớp với tốc độ âm thanh trong chất của quả bóng. Ví dụ: đối với thép $E = 2;1.10^{11}h/m^2$, $\rho = 7,8.10^3\kappa_2/m^3$, $u = 5,2.10^3m/c$ thì tốc độ truyền âm trong thép là khoảng $6.10^3m/c$.

**) Một phép tính chính xác hơn nhưng phức tạp hơn nhiều sẽ cho $t$ một giá trị lớn gần gấp đôi và đối với $F$ - ít hơn một chút.

Cho hai quả bóng thép có bán kính $R = 1cm$ va chạm với nhau với tốc độ $v = 5cm/c$ (khối lượng của quả bóng đó là ~30 $e$). Sử dụng công thức (4) và (3) chúng ta thu được

$$t \sim \frac{10^{-2}}{5 \cdot 10^{-3}}\left(\frac{5 \cdot 10^3}{5 \cdot 10^{-2}}\right)^{\frac{1}{5}}c \sim 2 \cdot 10^{-5}c,$$

$$F \sim 2 \cdot 10^{11} \cdot 10^{-4}\left(\frac{5 \cdot 10^{-2}}{5 \cdot 10^{-3}}\right)^{\frac{6}{5}}n \sim 20n.$$

Lưu ý rằng tốc độ của các quả bóng càng cao thì thời gian hỗ trợ của chúng càng ngắn.

Có một cách khác để ước tính thời gian xét xử. Tương tự với lò xo, ta giả sử thời gian va chạm của các quả cầu tương ứng với nửa chu kỳ dao động của quả cầu có khối lượng $m$ lên lò xo có độ cứng $k \sim Er$, tức là

$$t \sim \frac{T}{2} = \pi \sqrt{\frac{m}{k}},$$

(5)

Nửa chu kỳ càng ít thì độ cứng càng lớn *).

Ước tính của chúng tôi không thể áp dụng nếu tốc độ bóng quá cao. Trong trường hợp này, độ biến dạng lớn đến mức định luật Hooke không còn áp dụng được nữa. Đối với thép, định luật Hooke có hiệu lực ở biến dạng tương đối $\frac{\Delta l}{l} \leq 10^{-2}$. Từ điều kiện này chúng ta có thể xác định được tốc độ va chạm tối đa của các quả bóng. Biến dạng lớn nhất của quả bóng (“lò xo”)

$$\frac{\Delta l}{l} \sim \frac{x}{r} \sim \left(\frac{v}{u}\right)^{\frac{2}{5}} \leq 10^{-2},$$

Ở đâu

$$v \leq 10^{-5}u \sim 5 \cdot 10^{-2}m/c = 5cm/c.$$

Người ta có thể đưa ra đánh giá tương tự về thời gian và lực tương tác khi hai hình trụ giống hệt nhau có chiều dài $l$ và bán kính $R$ va chạm vào nhau ở hai đầu. Trong trường hợp này, vùng biến dạng tương đối lớn hơn sẽ mở rộng đến thể tích của mỗi hình trụ.

21

Khuôn mặt. Chúng tôi cung cấp các phép tính (đơn giản hơn so với quả bóng) cho người đọc và chỉ trình bày kết quả: $t_1 \sim \frac{l}{u}, F_1 \sim ER^2 \frac{v}{u}$. Lực tương tác khi các hình trụ va chạm hóa ra lớn hơn khi các quả bóng va chạm: $\frac{F_1}{F} \sim \left(\frac{u}{v}\right)^{1/5}$, và thời gian tại $l \sim R$ nhỏ hơn: $\frac{t_1}{t} \sim \left(\frac{v}{u}\right)^{1/5}$. Đối với trụ bàn, tốc độ tiêu chuẩn là $5 \text{ cm/s}$, $\left(\frac{u}{v}\right)^{1/5} = 10$. Xin vui lòng, sự khác biệt thú vị nhất giữa những kết quả này và ước tính cho quả bóng là sự độc lập của thời gian $t_1$ với tốc độ chuyển động của hình trụ.

Tuy nhiên, cần phải nhớ rằng hiện tượng xảy ra khi các thanh va chạm phức tạp hơn nhiều so với khi các quả bóng va chạm. Một vùng bị biến dạng có thể giãn nở trong một chất không phải ngay lập tức mà ở tốc độ âm thanh, có độ lớn bằng $u$. Do đó, nó bao phủ các thanh trong thời gian $\sim \frac{l}{u}$, tức là trong suốt thời gian va chạm, sóng nén truyền dọc theo các thanh.

Khi các quả bóng va chạm, sự biến dạng lan đến các khu vực “lò xo” trong thời gian $\tau \sim \frac{r}{u} \sim \frac{R}{u}\left(\frac{v}{u}\right)^{2/5}$, nhỏ hơn nhiều so với thời gian va chạm $t: \frac{\tau}{t} \sim \left(\frac{v}{u}\right)^{3/5} \ll 1$. Do đó, giả sử rằng sự biến dạng lan truyền đến các vùng “lò xo” ngay lập tức (đó là những gì chúng ta đã làm).

Lúc chia tay

1. Đánh giá $t$ và $F$ cho quả bóng cao su có bán kính $R = 1 \text{ cm}$, tốc độ tiêu chuẩn $v = 10 \text{ cm/s}$. Đối với lốp xe $E \sim 10^6 \text{ h/m}^2, \rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$.
2. Hãy ước tính thời gian một quả bóng đá tốt chạm vào tường.
3. Một quả bóng cao su có vận tốc $v_0$ đập vào hai quả bóng thép có cùng khối lượng đang chạm nhau. Tâm của tất cả các quả bóng nằm trên cùng một đường thẳng. Vận tốc của quả bóng sau va chạm là bao nhiêu?

Định hướng âm thanh ở cá heo

Cuộc chinh phục Đại dương Thế giới của cá heo được tạo điều kiện thuận lợi rất nhiều nhờ tốc độ và khả năng định hướng âm thanh của chúng cũng như sự xuất hiện của sóng siêu âm phát triển xuất sắc, cho phép chúng di chuyển hoàn hảo trong môi trường nước. Trong số các cơ quan cảm giác ở động vật giáp xác, thính giác phát triển tốt nhất. Âm thanh đối với động vật có vú sống dưới nước là nguồn thông tin quan trọng nhất, vì rung động âm thanh truyền trong nước nhanh hơn gần 5 lần so với trong không khí. Động vật giáp xác không chỉ cảm nhận được âm thanh mà còn cả sóng hạ âm và siêu âm (lên đến 170 kHz), nằm xa tai mục tiêu nhạy cảm.

Các tín hiệu do cá heo phát ra được immi sử dụng để liên lạc với họ hàng của chúng và để định hướng dựa trên âm thanh phản xạ (định vị bằng tiếng vang).

Sử dụng tín hiệu định vị bằng tiếng vang, cá heo có thể di chuyển trong không gian với độ chính xác cao, vui đùa trong các bãi mìn, xác định độ sâu của đáy và khoảng cách của bờ, tính chất khác nhau của đất, kích thước và chất lượng của các vật thể ngập nước. Hiệu quả của sóng siêu âm ở cá heo đã được nghiên cứu kỹ lưỡng trong bể cá. Nhà thủy âm học Liên Xô N.A. Dubrovsky đã chỉ ra rằng một con cá heo mũi chai “bị mù” (có hốc mắt đặc biệt) phân biệt một cách đáng tin cậy một quả bóng chì có đường kính 5 cm với một quả bóng thép có cùng kích thước từ khoảng cách 11 m và một quả bóng thép từ một quả bóng dioral ở khoảng cách 8 m. Các nghiên cứu ở Mỹ của Evans và Pauzl đã chứng minh khả năng của một con cá heo “mù” có thể phân biệt được hai tấm giống hệt nhau gồm các kim loại khác nhau hoặc cùng một kim loại nhưng có độ dày khác nhau. Cá heo “bị mù” trong bể cá có thể tự do bơi lội, máy siêu âm và máy định vị bằng tiếng vang cỡ nhỏ, các thiết bị nhỏ để định hướng cho người mù khi họ đi dọc các đường phố trong thành phố và sẽ dẫn đến việc thực hiện đánh giá về khả năng sử dụng cá heo trong tương lai của con người, trong nghiên cứu biển của mình.

(Trích bài viết “Cá heo và khoa học” của A. G. Tomilin, đăng trong kỷ yếu quốc tế “Tương lai của khoa học” năm 1972)

22

Số ảo và hình học bài toán

G. D. Balk, M. B. Balk

Căn bậc hai của số âm có thể có mối quan hệ gì với những căn đã cho trong lĩnh vực hình học? Liệu một người giải quyết kế hoạch bài toán có thể được hưởng lợi từ thực tế là trong đại số, các số có dạng $a + b\sqrt{-1}$ được xem xét không?

Đáp số như sẽ hiển nhiên: “Không thể.”

Trong khi đó, hóa ra là sự tham gia của những con số “tối thiểu” như vậy thường tồn tại và tạo điều kiện cho lời giải lập kế hoạch khó khăn bài toán - ngay cả khi trong điều kiện bài toán như vậy thì không có câu hỏi nào về bất kỳ “mức tối thiểu” nào. Điều này sẽ được thảo luận trong bài viết này *).

Người ta cho rằng giáo viên có những ý tưởng ban đầu về số phức và các phép tính với chúng (ở dạng đại số), chẳng hạn như trong tập sách giáo khoa phổ thông của E. S. và E. S. Kochetkov “Đại số và các hàm cơ bản”, phần 2, M., “Prosveshchenie”, 1969, trang 216-220.

Dưới đây chúng tôi sẽ cung cấp thêm thông tin về số phức và bài tập, sau đó xem xét chuỗi hình học bài toán.

Tọa độ phức tạp của điểm và vectơ

Chúng ta hãy lấy hệ tọa độ Descartes $xOy$ trên mặt phẳng (Hình 1). Cho phép

*) Bài viết này được viết dựa trên tài liệu của một nhóm học sinh bận rộn môn toán và cơ học trường Smolensk số 7 (tháng 4 năm 1971).

$Z$ là một điểm nào đó trên mặt phẳng. Vị trí của nó được xác định bởi hai số thực—tọa độ Descartes $(a, b)$. Hãy tương ứng với điểm $Z$ bằng số phức $z = a + bi$. Số phức này được gọi là tọa độ phức của điểm $Z$.

Bạn razzhene 1. Tọa độ phức tạp của các điểm $O, P, Q, M$ được hiển thị trong Hình 1 là gì?

Số phức $z$ nào tương ứng trên mặt phẳng Descartes $xOy$ trong định nghĩa đầy đủ đến điểm $Z$, tọa độ phức của nó chính xác là số này $z^*$).

Bây giờ chúng ta hãy lấy mặt phẳng tọa độ (Hình 1) một vectơ (đoạn có hướng) $OZ$ với điểm bắt đầu là gốc và điểm cuối ở điểm $Z$, có tọa độ $(a, b)$. Số phức $z = a + bi$ còn được gọi là vectơ phức $OZ$.

*) Lưu ý trên trục $Oy$ ta vẽ hệ số $i$ (số thực), nhưng dấu 1 trên trục $Oy$ tương ứng với số $i$.

23

Sau đó, chúng ta hãy xem xét bất kỳ vectơ AB nào khác bằng vectơ OZ*). Vectơ AB có thể so sánh với cùng một số phức z; Chúng ta sẽ gọi số này là tọa độ phức của vectơ AB. Vì vậy, ví dụ, trong Hình 2, các vectơ AB, CD và OZ có cùng tọa độ phức 2 - 3i. Nói chung, chúng ta có thể nói thế này: nếu hình chiếu của vectơ không phải Comoroso lên trục Ox bằng a và hình chiếu của nó lên trục Oy bằng b, thì tọa độ phức tạp của vectơ là số z = a + bi.

Trong thực tế 2. Các vectơ KL, MN, PQ, ST có tọa độ phức tạp như trên Hình 2?

Bài tập 3. Vẽ trên mặt phẳng tọa độ bất kỳ vectơ nào có gốc không trùng với gốc tọa độ và

*) Điều này có nghĩa như sau: vectơ AB và OZ có độ dài bằng nhau, nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song và có cùng hướng.

chúng tôi cũng có tọa độ phức tạp: i, 3 - i, - i - 3, - 2, 1/2 - 4/3 i.

Thực hành 4. Cho các vectơ OA và AB (Hình 3) có tọa độ phức z1 và ​​z2, và tổng của các vectơ này (vectơ OB) có tọa độ phức z. Làm cách nào chúng ta có thể biểu thị số z thông qua các số z1 và ​​z2?

Lời giải. Đặt z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i. Khi đó, hình chiếu của các vectơ OA và AB lên trục Ox lần lượt bằng a1 và ​​a2, và hình chiếu của tổng OB của chúng lên trục Oy là a1 + a2. Tương tự, cho thấy hình chiếu của vectơ OB lên trục Oy bằng b1 + b2. Nhưng khi đó tọa độ phức z của vectơ OB bằng (a1 + a2) + i (b1 + b2), nghĩa là

z = z1 + z2.

Vì vậy, khi thêm vectơ, tọa độ phức tạp của chúng sẽ được thêm vào.

Trong thực tế 5. Hai điểm Z1 và ​​Z2 của mặt phẳng tọa độ xOy (Hình 4) có tọa độ phức tạp z1 và ​​z2. Vectơ Z1 Z2 có tọa độ phức tạp nào?

Lời giải. Chúng ta hãy biểu thị bằng z tọa độ phức tạp của vectơ Z1 Z2. Vì OZ2 = OZ1 + Z1 Z2, nên z2 = z1 + z, từ đó

z = z2 — z1.

Vì vậy, tọa độ phức tạp của một vectơ bằng hiệu giữa tọa độ phức tạp của điểm cuối và tọa độ phức tạp của điểm đầu của nó.

Trong thực tế 6. Các đầu của đoạn Z1 Z2 (Hình 5) có sự tương ứng.

24

là tọa độ phức tạp $z_1$ và $z_2$. Tọa độ phức $z$ của trung điểm $Z$ của đoạn thẳng là gì?

Lời giải. Các vectơ $Z_1Z$ và $ZZ_2$ bằng nhau và do đó chúng có cùng tọa độ phức tạp; hãy biểu thị nó bằng $c$. Vì $OZ = OZ_1 + Z_1Z$ và $OZ_2 = OZ + ZZ_2$, nên $z = z_1 + c$, $z_2 = z + c$.

Loại trừ $c$, chúng tôi tìm thấy

$$z = \frac{1}{2}(z_1 + z_2).$$

Vì vậy, tọa độ phức tạp của phần giữa của đoạn bằng tọa độ phức thu được của các đầu của nó.

Quy tắc 7. Điểm $A$ và $B$ trên mặt phẳng tọa độ ta ​​có phức tọa độ $\sqrt{3} - i$ và $-\sqrt{3} + 3i$. Vectơ $AB$ có tọa độ phức tạp nào? Điểm giữa của đoạn $AB$ có tọa độ phức tạp nào?

Chúng ta hãy nhớ lại khái niệm mô đun và đối số của số phức. Nếu số $z = a + bi$ là tọa độ phức của vectơ $AB$ (Hình 1), thì độ dài $r$ của vectơ này được gọi là mô đun của số phức $z$ (ký hiệu như sau: $|z|$). Rõ ràng là $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Góc $\alpha$ của độ nghiêng của vectơ $AB$ với trục $Ox$ (không theo hướng nửa khung, tức là ngược chiều kim đồng hồ) được gọi là đối số của số $z$ (ký hiệu như sau: $Arg z$). Người ta hiểu rằng mọi số phức $z$ đều có vô số đối số $^*$). Từ sự tương ứng hiển nhiên $a = r \cos \alpha$, $b = r \sin \alpha$ cái gọi là dạng tam giác của số phức như sau: $z = r (\cos \alpha + i \sin \alpha)$.

Quy tắc 8. Cho $z_1$ và $z_2$ là hai số phức. Các nhà hình học giải thích số $|z_2 - z_1|$ như thế nào?

Quy tắc 9. Mô đun của tổng hai số phức có thể lớn hơn tổng của các số này không?

*) Nếu $z \neq 0$ thì các đối số $z$ khác nhau theo bội số của $2\pi$ và $Arg0$ nói chung là tùy ý.

Công thức Euler và công thức Myabra
Biểu thức dạng $\cos \varphi + i \sin \varphi$ xuất hiện thường xuyên trong toán học và các ứng dụng của nó. Nhiều chữ viết tắt khác nhau được sử dụng cho nó. Ví dụ, trong khoai tây, nó được biểu thị bằng ký hiệu $1_\varphi$ và trong các công trình toán học - bằng $exp(i\varphi)$ hoặc $e^{i\varphi}$. Như vậy, theo định nghĩa

$$e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi.$$

Quy tắc 10. Biểu thức nào cho biết số phức nào:

$$e^{i\cdot 0}; e^{i\frac{\pi}{2}}; e^{i\frac{\pi}{3}}; e^{i(-\frac{\pi}{4})}?$$

Ký hiệu (1) được xác định bởi sự giống nhau về tính chất của các biểu thức có dạng $e^x$ (một lũy thừa có số mũ thực $x$) và các biểu thức có dạng $e^{i\varphi}$. Trên thực tế, người ta biết rằng đối với số thực $x$, $x_1$ và số nguyên $n$ thì các công thức sau là đúng:

$$e^x \cdot e^{x_1} = e^x + x_1$$

$$e^{-x} = \frac{1}{e^x},$$

$$(e^x)^n = e^{nx}.$$

Nói cách khác, với mức độ thay đổi có cùng cơ sở, các chỉ số được thêm vào; Khi bất kỳ công suất nào được nâng lên lũy thừa toàn phần, các chỉ báo sẽ thay đổi. Ví dụ: đối với biểu thức có dạng $e^{i\varphi}$, các công thức tương tự (bên dưới $\varphi$, $\varphi_1$ là các số thực tùy ý, $n$ là số nguyên bất kỳ $^*$):

$$e^{i\varphi} \cdot e^{i\varphi_1} = e^{i(\varphi + \varphi_1)}$$

$$e^{-i\varphi} = \frac{1}{e^{i\varphi}},$$

$$(e^{i\varphi})^n = e^{in\varphi}.$$

Những sự bình đẳng này có đúng không? Hóa ra là có. Bạn có thể xác minh điều này bằng cách sử dụng các công thức cộng hàm lượng giác. Hiệu lực của công thức $(2') - (4')$ và định nghĩa, giới thiệu ký hiệu (1).

Hãy chứng minh các công thức $(2') - (4')$.

$$e^{i\varphi} \cdot e^{i\varphi_1} = (\cos \varphi + i \sin \varphi) (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) = (\cos \varphi \cdot \cos \varphi_1 - \sin \varphi \cdot \sin \varphi_1) + i (\sin \varphi \cdot \cos \varphi_1 + \cos \varphi \cdot \sin \varphi_1) = \cos (\varphi + \varphi_1) + i \sin (\varphi + \varphi_1) = e^{i(\varphi + \varphi_1)}$$.

*) Các bản ghi có dạng $e^{-i\varphi}$, $e^{\varphi i}$, $e^{ni\varphi}$ đương nhiên nên được hiểu là $e^{i(-\varphi)}$, $e^{i(n\varphi)}$.

25

(3’). Thay $\varphi_1 = -\varphi$ vào (2’), chúng ta thu được $e^{i\varphi} \cdot e^{-i\varphi} = e^{i \cdot 0} = 1$, suy ra (3’).

(4’). Chúng ta sẽ chứng minh công thức này cho số tự nhiên $n$ bằng phương pháp quy nạp toán học. Đối với công thức $n = 1$ (4’), rất indo, là đúng. Giả sử (4’) đúng với một số $k$:

$$(e^{i\varphi})^k = e^{i(k\varphi)}.$$

Hãy chứng minh rằng trong trường hợp này công thức (4’) cũng đúng với số tiếp theo (nghĩa là với $n = k + 1$). Thật vậy, theo công thức (5) và (2’) ta có

$$(e^{i\varphi})^{k+1} = (e^{i\varphi})^k \cdot e^{i\varphi} = e^{i(k\varphi)} \cdot e^{i\varphi} = e^{i(k\varphi)+\varphi}.$$

Vì vậy, từ (5) suy ra (5’). Theo nguyên lý quy nạp toán học, công thức (4’) đúng với mọi $n$ tự nhiên.

Giả sử $n$ là số nguyên âm; thì $n = -m$, trong đó $m$ là số tự nhiên và do đó $(e^{i\varphi})^m = e^{im\varphi}$.

Kể từ đây,

$$(e^{i\varphi})^n = (e^{i\varphi})^{-m} = \frac{1}{(e^{i\varphi})^m} = \frac{1}{e^{im\varphi}} = e^{-im\varphi} = e^{in\varphi},$$

nghĩa là, (4’) cũng đúng với mọi số nguyên âm $n$ (đối với $n = 0$, như thường lệ, $z^0 = 1$).

Công thức (2’)—(4’) cho phép người ta thực hiện các phép biến đổi tùy ý với các biểu thức có dạng $\cos \varphi + i \sin \varphi$ như thể chúng là các lũy thừa thông thường.

Công thức (1) được gọi là công thức Euler và công thức (4’) được gọi là công thức Moivre *). Một mục phổ biến khác cho công thức (4’) là:

$$(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos n \varphi + i \sin n \varphi.$$

Công thức Euler cho phép mỗi số phức $z$ được viết gọn dưới dạng $z = re^{i\varphi}$, trong đó $\varphi$ là đối số của số $z$, và $r$ là mô hình của nó (dạng hàm mũ hoặc hàm mũ của cách viết số rút gọn).

Trong thực hành 11. Sử dụng công thức lũy thừa để viết số phức, thuần túy là khi ta biểu diễn mô hình và đối số của tích hai số phức thông qua mô hình và đối số của các thành phần.

Lời giải.e. Hãy để $z = z_1 \cdot z_2$. Hãy viết từng thành phần dưới dạng hàm mũ:

$$z_1 = r_1 e^{i\varphi_1}, \quad z_2 = r_2 e^{i\varphi_2}.$$

*) Leonhard Euler (1707-1783) - một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thế giới, thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg, gốc Thụy Sĩ. Abraham Moivre (1667-1754) - Nhà toán học người Anh.

Sau đó

$$z = r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = (r_1 \cdot r_2) e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}.$$

Từ đó chúng ta có thể thấy rằng số $z$ có số mô-đun $r_1 \cdot r_2$ và đối số của nó là số $\varphi_1 + \varphi_2$. Bạn có thể viết nó như thế này:

$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|,$$

Arg $(z_1 \cdot z_2) = \varphi_1 + \varphi_2$.

Vì vậy, khi nhân các số phức, chúng được điều chỉnh bởi một biến và các đối số đã được thêm vào.

Chúng ta hãy lưu ý thêm hai hệ quả nữa từ công thức Euler. Thay $\varphi$ trong (1) bằng $-\varphi$, ta có

$$e^{-i\varphi} = \cos \varphi - i \sin \varphi.$$

Những hệ quả thú vị theo sau từ (1) và (6):

2 cos $\varphi = e^{i\varphi} + e^{-i\varphi},$

2i sin $\varphi = e^{i\varphi} - e^{-i\varphi},$

Ở đâu

$$\cos \varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2},$$

$$\sin \varphi = \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i}.$$

Bài tập 12. Gọi $z_1$ và $z_2$ là tọa độ phức của hai điểm nằm trên đường tròn bán kính $R$ có ​​tâm tại các điểm 0 (gốc) (Hình 6); $\alpha$ và $\beta$ là đối số của các số $z_1$ và $z_2$, $0 < \alpha < \beta < 2\pi$. Chúng tôi kiểm tra tính hợp lệ của phương pháp sau:

$$z_2 - z_1 = |z_2 - z_1| \cdot e^{i \frac{\alpha + \beta}{2}} \cdot i.$$

Lời giải. Vì $z_2 - z_1 = Re^{i\beta} - Re^{i\alpha}$ thì

$$\frac{z_2 - z_1}{ie^{i\alpha}} = \frac{1}{i} R \left(e^{i \frac{\beta - \alpha}{2}} - e^{-i \frac{\beta - \alpha}{2}}\right) = 2R \sin \frac{\beta - \alpha}{2} > 0.$$

Từ đây

$$|z_2 - z_1| = 2R \sin \frac{\beta - \alpha}{2}.$$

Từ (8) và (9) suy ra (7).

Công thức (7) sẽ được sử dụng sau.

26

Một hình học bài toán

Bài 1. Vẽ một đường thẳng tùy ý đi qua tâm của một n đơn vị đều và tính tổng S các bình phương khoảng cách từ các đỉnh của đa giác đến đường thẳng này. Số tiền thu được có bị ảnh hưởng bởi việc lựa chọn đường thẳng không?

Lời giải. Đặt (Hình 7) $A_1A_2 \dots A_n$ là đa giác đã cho, $R$ bán kính của đường tròn ngoại tiếp, $O$ tâm của nó, $MN$ đường thẳng đi qua O. Đặt $\Rightarrow NOA_1 = \alpha$. Poling $\varphi = \frac{2\pi}{n}$, chúng tôi có

$$S = R^2 \left\{ \sin^2 \alpha + \sin^2 (\alpha + \varphi) \right. + \sin^2 (\alpha + 2\varphi) + \dots + \sin^2 [\alpha + (n-1)\varphi] \}.$$

Chúng ta cần tìm hiểu xem S có phụ thuộc vào $\alpha$ hay không. Rõ ràng là $S = \frac{1}{2} R^2 (n-T)$, ở đâu

$$T = \cos 2\alpha + \cos (2\alpha + 2\varphi) + \cos (2\alpha + 4\varphi) + \dots + \cos [2\alpha + (2n-2)\varphi].$$

Chúng ta hãy tính tổng T. Từ công thức Euler, rõ ràng T là phần thực của tổng

$$P = e^{i \cdot 2\alpha} + e^{i (2\alpha + 2\varphi)} + e^{i (2\alpha + 4\varphi)} + \dots + e^{i [2\alpha + (2n-2)\varphi]}.$$

Trước tiên, hãy tính P, dẫn đến công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân:

$$P = e^{i \cdot 2\alpha} \frac{1 - e^{i 2n\varphi}}{1 - e^{i 2\varphi}}.$$

Nhưng $2n\varphi = 2n \cdot \frac{2\pi}{n} = 4\pi$ và $e^{i \cdot 4\pi} = 1$, do đó $P = 0$. Nhưng sau đó cũng là $T = 0$, tức là $S = \frac{1}{2} R^2 n$.

Điều này chứng tỏ tổng S không phụ thuộc vào việc chọn đường thẳng MN.

Số ảo và Ptolemy bài toán

Công thức Euler và các hệ quả của nó cung cấp một cách mới để lời giải trở thành bài toán, được giải quyết lần đầu tiên vào thế kỷ thứ hai sau Công nguyên bởi nhà hình học và nhà thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Claudius Ptolemy.

Bài tập 2. Cho một tứ giác lồi $A_1A_2A_3A_4$ treo thành một hình tròn (Hình 8). Cần phải biểu thị tổng các tích của các chuỗi đối diện theo đường kính của tứ giác.

Lời giải. Chúng ta sẽ giả sử rằng tâm của đường tròn được lấy làm gốc tọa độ và khi đi quanh đường tròn ngược chiều kim đồng hồ chúng ta sẽ lần lượt gặp các đỉnh $A_1, A_2, A_3, A_4$. Chúng tôi biểu thị tọa độ phức tạp của chúng bằng $z_1, z_2, z_3, z_4$. Đặt $z_k = Re^{i\alpha_k}$, trong đó $k = 1, 2, 3, 4$.

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng các công thức dẫn xuất trước đó (xem bài tập 8,12):

$$A_1A_2 \cdot A_3A_4 + A_2A_3 \cdot A_4A_1 = |z_2 - z_1| \cdot |z_4 - z_3| + |z_3 - z_2| \cdot |z_4 - z_1| = \frac{z_2 - z_1}{i \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}} \cdot \frac{z_4 - z_3}{i \frac{\alpha_3 + \alpha_4}{2}} +$$

27

Vì vậy, trong mọi tứ giác lồi nội tiếp, tổng các tích các cạnh đối diện bằng tích các đường chéo của nó.

Định lý Ptolemy đã được chứng minh.

Bài 3. Tích các đường chéo của một tứ giác lồi $A_1A_2A_3A_4$ có thể lớn hơn tổng các cạnh đối diện không?

Lời giải. Chúng ta đã sử dụng pointdest, điều này đúng với mọi số phức $z_1, z_2, z_3, z_4$:

$$(z_2 - z_1)(z_4 - z_3) + (z_3 - z_2)(z_4 - z_1) = (z_4 - z_2)(z_3 - z_1).$$

Thao tác trên tính chất của mô hình số phức, ta có

$$|z_4 - z_2| \cdot |z_3 - z_1| \leq |z_2 - z_1| \times |z_4 - z_3| + |z_3 - z_2| \cdot |z_4 - z_1|.$$

tức là luôn luôn $A_1A_3 \cdot A_2A_4 \leq A_1A_2 \times A_3A_4 + A_2A_3 \cdot A_1A_4$.

Chúng ta đã chứng minh điều bổ sung này cho định lý Ptolemy: trong mỗi tứ giác, tích các đường chéo không lớn hơn tổng các cạnh đối diện của nó.

Tập hợp phức làm toán tử xoay và kéo giãn

Chúng ta hãy tập trung vào một cách giải thích hình học quan trọng hơn về số phức.

Giả sử có một vectơ OZ trên mặt phẳng (Hình 9) và đặt $z$ là tọa độ phức tạp của nó. Hãy xoay vectơ OZ xung quanh gốc $O$ của nó theo một góc $\alpha$ (ngược chiều kim đồng hồ nếu $\alpha > 0$ và theo chiều kim đồng hồ nếu $\alpha < 0$) và kéo dài vectơ này (không thay đổi gốc của nó) với hệ số giãn $\rho$. Kết quả là chúng ta sẽ có một vectơ OW mới; Chúng tôi biểu thị tọa độ phức tạp của nó bằng $\omega$. Số $\omega$ được thể hiện như thế nào qua $z$, $\alpha$, $\rho$?

Hãy để $z = re^{i\varphi}$. Rõ ràng là $|\omega| = \rho r$, Arg $\omega = \alpha + \varphi$. Vì vậy $\omega = (\rho r)e^{i(\alpha + \varphi)} = (\rho e^{i\alpha})(re^{i\varphi})$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $c$ số phức $c = \rho e^{i\alpha}$. Ngược lại, nếu tọa độ phức $z$ của một số vectơ OZ được nhân với số phức $c = \rho e^{i\alpha}$, thì số mới $w = c \cdot z$ biểu thị tọa độ của vectơ OW thu được từ vectơ OZ bằng cách quay một góc $\alpha$ và kéo dài theo hệ số $\rho$.

Nói tóm lại, phép nhân với số phức $c$ đóng vai trò là toán tử xoay theo góc $\alpha = \text{Arg } c$ và toán tử kéo giãn có hệ số giãn bằng $|c|$.

Rõ ràng là kết luận nêu trên có thể dễ dàng khái quát hóa cho trường hợp gốc của vectơ không phải là gốc tọa độ. Ví dụ: nếu vectơ KL và MN có tọa độ phức tạp $z$ và $\omega$ và $\omega = -3i \cdot z$, thì điều này có nghĩa là sau khi quay vectơ KL một góc $-\frac{\pi}{2}$, nó sẽ bị cắt $(\text{Arg}(-3i) = -\frac{\pi}{2})$ và bị kéo giãn theo hệ số 3 (vì vậy

28

vì $|-3i|=3$ ta thu được một vectơ bằng vectơ MN.

Chúng tôi đặc biệt lưu ý trường hợp khi $|c|=1$. Số phức $c$ như vậy (có dạng $e^{i\alpha}$) tương ứng với toán tử xoay. Ví dụ: số phức $i$ ($i=e^{\frac{\pi}{2}}$) tương ứng với toán tử quay một góc $90^\circ\left(\frac{\pi}{2}\right)$ theo chiều dương.

Bài tập 13. Cho hình vuông OABC (Hình 10). Vectơ OA có tọa độ phức $z=3-i$. Tính tọa độ phức của vectơ OB (ký hiệu là $w_1$), AC ($w_2$).

Lời giải. Vectơ OB thu được từ OA bằng cách xoay nó một góc $+\frac{\pi}{4}$ radian và kéo giãn nó với hệ số giãn là $\sqrt{2}$. Đó là lý do tại sao

$$w_1 = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \cdot z = \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) (3-i) = (1+i) (3-i) = 4+2i.$$

Nếu vectơ OB quay $90^\circ$ theo hướng dương thì ta thu được vectơ bằng vectơ AC. Vì vậy $w_2 = iw_1 = i \cdot (4+2i) = -2+4i$.

Bài tập 14. Trong Hình 11 $Z_1C=CZ_2=CZ$, $CZ \perp Z_1Z_2$. Đã biết tọa độ phức tạp $z_1$ và $z_2$ của điểm $Z_1$ và $Z_2$. Tính tọa độ phức $z$ lũy thừa $Z$.

Lời giải. Vectơ OC có tọa độ phức $\frac{1}{2}(z_1+z_2)$. Vectơ CZ thu được từ vectơ CZ$_2$ bằng cách xoay nó $+\frac{\pi}{4}$ radian. Nhưng vectơ CZ$_2$ có tọa độ phức $\frac{1}{2}(z_2-z_1)$ nên tọa độ phức của vectơ CZ là $i \cdot \frac{1}{2}(z_2-z_1)$. Từ đẳng thức OZ = OC + CZ ta tìm được $z = \frac{1}{2}(z_1+z_2) + \frac{1}{2}i(z_2-z_1)$.

Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra cách sử dụng cách giải thích toán tử của một số phức cho lời giải phép đo phẳng bài toán.

Bài toán 4. Trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC (Hình 12) dựng các hình vuông AB$_1$A$_1$ và ACC$_1$A$_2$, chồng lên tam giác này. Có đúng là đường trung tuyến AM vuông góc với A$_1$A$_2$ không? Cách tính cũng là quan hệ A$_1$A$_2$: AM.

Lời giải. Chúng ta hãy xem xét hệ tọa độ Descartes $xAy$ trên mặt phẳng có gốc tọa độ tại đỉnh A. Hãy biểu thị tọa độ phức tạp của các vectơ AB, AC, AM và A$_2$A$_1$ bằng $b$, $c$, $m$ và $w$.

Sau đó $m = \frac{1}{2}(b+c)$. Vector AA$_1$ thu được từ vectơ AB bằng cách xoay nó $+\frac{\pi}{2}$ radian. Do đó AA$_1$ (và cả điểm A$_1$) có tọa độ phức ib. Tương tự, điểm A$_2$ được tìm thấy có phức