Kvant 1973, số 11 · Trang

KEANM
1973
11
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

Phó Chủ tịch Hội đồng giám khảo I. S. Petrkov hướng dẫn học sinh.
Thế vận hội không hề dễ dàng bài toán! (Ngày đầu tiên của Thế vận hội.)

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I.K. kioni
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillia.

nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,
phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikesva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodsky.

phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky,
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg,
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Berezin,
A. N. Vilenkin,
biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
I. B. Mamulova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirov.
do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Chernova

TRONG PHÒNG

2 V. Z. Kresin. Bản chất của tính siêu dẫn
11 P. S. Gumer, Yu. L. Polunov. Máy điều khiển
17 MA Ginzburg. Đo từ trường trên Mặt Trăng
25 N. B. Vasiliev. Trình tự nhảy

Phòng thí nghiệm «Kvant»
32 I. I. Vorobyov. Sức căng bề mặt vẽ một hyperbol

câu lạc bộ toán học
34 M. B. Balk, N. A. Grigoriev. Cơ học giúp hình học

Vấn đề «Kvant»
40 Bài toán M231—M235; F243—F247
42 Lời giải bài toán M191—M194; F203—F207

Thực hành của người đăng ký
52 S. V. Ovchinnikov, I. F. Sharytsin. Dữ liệu số trong các bài toán hình học
57 I. P. Gursky. Động học của chuyển động thẳng của một chất điểm
61 M.V. Drazheev. Đại học Hữu nghị Nhân dân được đặt theo tên Patrice Lumutma
62 A. N. Borzyak, V. I. Davydov, P. T. Dybov, I. I. Nasluzov. Truyền hình đang chuẩn bị vào đại học

Olympic Toán Quốc tế dành cho học sinh lần thứ XV
64 I. S. Petrkov, V. A. Svortsov. Toán học XV
71 M. L. Smolyansky. Lịch sử Olympic quốc tế

Đánh giá, thư mục
74 A. N. Kolmogorov. Sổ tay hữu ích
75 V. N. Berezin, N. M. Doronina. Sách về Olympic Toán quốc tế

«Kvant» cho học sinh nhỏ
76 Bài toán
77 Tại sao gối lại mềm?
78 Đáp số, được chỉ định, đã giải quyết

Hỗn hợp (tr. 33, 51)

Hình vẽ ở trang đầu tiên của trang bìa thể hiện hiệu ứng Meissner - sự tương tác bất thường của dòng điện siêu dẫn với từ trường. Chúng tôi đăng một câu chuyện về hiện tượng siêu dẫn trên tạp chí này (xem trang 2).

2

Vào đầu thế kỷ 20, vật lý đã tìm cách thâm nhập vào phạm vi nhiệt độ gần tuyệt đối
rất nhiều không. Điều này dẫn đến sự xuất hiện của một lĩnh vực khoa học mới hiện đại - vật lý
nhiệt độ thấp.

Chất được nghiên cứu trong các phòng thí nghiệm “lạnh” như vậy ở dạng không chứa chất hiện đại.
điều kiện bình thường. Chúng khác với điều kiện bình thường ở chỗ nhiệt độ giảm xuống
vợ gần như 300°.

Trong thế giới có nhiệt độ thấp, người ta quan sát thấy một loạt hiện tượng kỳ dị. Và nhất
đáng chú ý trong số đó là hai “siêu hiện tượng”: tính siêu dẫn, trong đó
Điều được thảo luận trong bài viết này là tính siêu lỏng của gel lỏng.

Trạng thái siêu dẫn của vật chất

Khám phá tính siêu dẫn. Hiện tượng siêu dẫn được phát hiện nhiều hơn một chút so với
60 năm trước, vào năm 1911. Trong phòng thí nghiệm của nhà vật lý người Hà Lan Kamerlingh Onnes, người ta đã nghiên cứu điện trở của kim loại ở nhiệt độ cực thấp.

Kamerlingh Onnes đã chỉ ra khả năng dẫn dòng điện của kim loại nguyên chất thay đổi như thế nào khi nhiệt độ thay đổi. Lực cản chuyển động của các electron trong kim loại nguyên chất phát sinh do dao động nhiệt của các ion nằm ở các nút của mạng tinh thể. Khi nhiệt độ tăng lên, những dao động này trở nên ít dữ dội hơn, dẫn đến điện trở giảm. Ptruth được chọn làm đối tượng nghiên cứu vì nó có thể dễ dàng được làm sạch khỏi tạp chất. Ban đầu ở $T = 3,71^\circ$*) (sau này điểm này được gọi là nhiệt độ tới hạn và bắt đầu biểu thị

*) Ở đây và bên dưới chúng tôi đưa ra các giá trị nhiệt độ theo thang Kelvin.

Cơm. 1.

3

Việc không có điện trở nghĩa là hoàn toàn không bị mất năng lượng khi có dòng điện chạy qua. Suy cho cùng, tổn thất nhiệt khi dòng điện đi qua kim loại bình thường, không siêu dẫn (kim loại như vậy được gọi là bình thường) là do điện trở của dây dẫn. Điều này có thể được nhìn thấy từ công thức nổi tiếng thể hiện định luật Joule-Lenz:

$$Q = I^2 Rt.$$

Trong chất siêu dẫn, các electron không gặp điện trở và không mất năng lượng. Do đó, dòng siêu dẫn không bị suy giảm.

Năm 1959, một thí nghiệm như vậy đã được thực hiện. Dòng điện siêu dẫn xuất hiện trong vòng kim loại. Sau hai năm rưỡi, các thiết bị không nhận thấy dòng điện này giảm đi chút nào. Việc không có tổn thất nhiệt dẫn đến thời gian dòng điện chạy qua vòng gần như dài vô tận.

Chất siêu dẫn được phát hiện đầu tiên khi sử dụng chất khác. Tuy nhiên, chất siêu dẫn mới đã sớm được phát hiện.

Hiện nay, người ta đã biết khoảng 25 nguyên tố chuyển sang trạng thái siêu dẫn khi nhiệt độ giảm. Nhiệt độ tới hạn cao nhất là đối với nubium ($T_K = 9,2^\circ$) và thấp nhất là đối với pridinium. Ở Pridinium, tính siêu dẫn được phát hiện ở nhiệt độ chỉ 0,140°. Nhiệt độ hàng nghìn độ hiện đã đạt tới. Có thể nhiều nguyên tố trở thành chất siêu dẫn ở nhiệt độ thấp hơn $T_K$ Pridinium.

Phần lớn các chất siêu dẫn không phải là chất nguyên chất mà là hợp kim và hợp chất. Khoảng 500 chất siêu dẫn như vậy hiện đã được biết đến và số lượng của chúng không ngừng tăng lên. Nhiều phòng thí nghiệm trên thế giới đang tích cực tìm kiếm vật liệu siêu dẫn mới.

Nhiệt độ cao nhất mà tại đó tính chất siêu dẫn được bảo toàn được quan sát chính xác trong hợp kim. Trong nhiều năm, “người giữ kỷ lục” là hợp kim Nizya với trứng Nb$_3$Sn, nhiệt độ tới hạn của nó là 18,1°. Hiện nay, $T_K$ cao nhất thuộc về hợp chất phức tạp Nb$_3$Al·Nb$_3$Ge, được tổng hợp cách đây vài năm và vẫn giữ được đặc tính siêu dẫn lên đến nhiệt độ $T_K = 20,1^\circ$.

Ngay cả một nghiên cứu đơn giản về tính chất của chất siêu dẫn cũng cho phép chúng ta rút ra một số kết luận thú vị.

Có các hợp kim (ví dụ, hợp kim của đồng với lưu huỳnh CuS hoặc vàng với bicmut Au$_2$Bi), các thành phần của chúng không phải là chất siêu dẫn.

Beryllium chỉ trở nên siêu dẫn nếu mẫu được chuẩn bị ở dạng màng mỏng, độ dày của nó không vượt quá 10$^{-5}$ cm.

Các kim loại khác nhau dẫn điện khác nhau. Người ta có thể mong đợi rằng những chất dẫn điện tốt như đồng, vàng, bạc, có điện trở trong điều kiện bình thường vốn đã rất nhỏ, sẽ dễ dàng chuyển sang trạng thái siêu dẫn hơn các chất khác. Tuy nhiên, trong trải nghiệm, người ta quan sát thấy một bức tranh hoàn toàn khác. Chính ở những kim loại này mà tính siêu dẫn vẫn chưa được phát hiện. Tầm quan trọng của thực tế này đã được các nhà vật lý lưu ý từ lâu trước khi tạo ra lý thuyết siêu dẫn. Vì vậy, trong cuốn sách của Ya. G. Dorfman và I. K. Kikon, xuất bản 40 năm trước (*), chúng ta đọc: “Sự cản trở là cả Ag, Cu và các chất dẫn điện tốt nhất khác đều không chuyển sang trạng thái siêu dẫn, mà ngược lại, … dây dẫn phẳng… có đặc điểm đáng kinh ngạc này, cho thấy cơ chế siêu dẫn hoàn toàn khác với cơ chế dẫn điện thông thường”.

*) Y. G. Dorfman, I. K. Kikon. Vật lý của kim loại. GTTI, 1933.

4

Gần đây người ta phát hiện ra rằng một số chất bán dẫn cũng có thể chuyển sang trạng thái siêu dẫn ở nhiệt độ thấp.

Một trạng thái đặc biệt của vật chất. Từ “siêu dẫn” phản ánh khả năng của các chất dẫn dòng điện mà không có bất kỳ điện trở nào. Nhưng đây không phải là tính năng duy nhất của chất siêu dẫn. Quá trình chuyển đổi siêu dẫn không chỉ là sự biến mất của điện trở. Đây là sự chuyển đổi sang một trạng thái vật lý siêu mới. Sự bất thường của hầu hết các tính chất vật lý đã biết đều được quan sát thấy ở chất siêu dẫn. Bất cứ điều gì chúng ta đang nói đến - về nhiệt dung, về sự hấp thụ ánh sáng hoặc âm thanh, về sự gia tăng từ trường - chúng luôn bỏ qua các tính chất đặc biệt của chất siêu dẫn, khác biệt rõ rệt so với tính chất của kim loại thông thường. Khi vượt qua nhiệt độ tới hạn $T_k$, chúng ta thấy mình đang ở trong một thế giới của những định luật đặc biệt. Đó là lý do tại sao chúng ta sẽ không chỉ nói về tính siêu dẫn mà còn nói về trạng thái siêu dẫn của vật chất.

Trước tiên chúng ta hãy tập trung vào câu hỏi chính: bản chất của tính siêu dẫn là gì? Hiện tượng siêu dẫn được giải thích như thế nào và điều gì xảy ra trong một chất khi nhiệt độ của nó tiến tới độ không tuyệt đối?

Hiện tượng siêu dẫn được giải thích như thế nào?

Tính siêu dẫn được phát hiện, như đã đề cập ở trên, vào năm 1911. Việc phát hiện ra Kamerlingh Onnes đã thu hút sự quan tâm lớn. Nhiều nhà vật lý đã thử bằng nhiều cách khác nhau để giải thích sự biến mất của điện trở và các đặc tính khác của trạng thái siêu dẫn. Trong số đó có A. Einstein, người hồi năm 1920 đã ghi nhận sự tương tự giữa chất siêu dẫn và chất sắt từ; một trong những người sáng tạo ra cơ học lượng tử W. Heisenberg, tra tấn

Cơm. 2.

đòi hỏi tính siêu dẫn phải ở độ tuổi tĩnh điện đặc biệt. Chỉ đến năm 1957, công trình của các nhà vật lý người Mỹ D. Bardeen, L. Cooper và D. Schriefer mới xuất hiện, trong đó lý thuyết về tính siêu dẫn được vạch ra.

Lực hút giữa các electron. Tiêu đề của phần này có thể gây ra sự hài lòng về mặt pháp lý. Trên thực tế, các electron, là những hạt có điện tích giống nhau, không nên hút mà đẩy nhau. Tuy nhiên, hóa ra hiệu ứng siêu dẫn được xác định chính xác bởi sự hiện diện của lực giữa các electron.

Khí electron trong kim loại hoặc chất bán dẫn chịu tác dụng của mạng tinh thể, do đó xuất hiện lực hút cơ học. Chúng ta hãy thử hình dung cơ chế phát sinh sự hấp dẫn này. Khoảng cách giữa sự tương tác của hai electron bất kỳ $e_1$ và $e_2$ nằm trong kim loại (Hình 2). Giữa chúng, trước hết, các lực chung của lực đẩy Coulomb tác dụng. Tuy nhiên, ngoài ra, sự hiện diện của mạng tinh thể còn dẫn đến sự xuất hiện của tương tác cơ học bổ sung. Điện tử $e_1$

5

thu hút một hạt từ mạng tinh thể mới và đánh bật nó (ví dụ: nó là $I$ trong Hình 2) khỏi vị trí cân bằng. Điện trường do nano $I$ tạo ra cũng ảnh hưởng đến các electron còn lại nên sự trộn lẫn cũng ảnh hưởng đến chúng. Do đó, với sự “trợ giúp”, tương tác điện bổ sung của các electron được đổi mới. Thuyết siêu dẫn chứng tỏ nó có bản chất là lực hút.

Như vậy, mạng tinh thể là môi trường trung gian tạo ra lực hút giữa các electron. Bản thân sự hấp dẫn có thể được hình dung như sau. Electron thu hút các mạng tinh thể mới. Do sự biến dạng của mạng, electron trở thành một “đám mây” hình tròn mang điện tích dương. Hãy tưởng tượng rằng độ lớn của điện tích dương này vượt quá điện tích của electron, khi đó electron cùng với môi trường xung quanh sẽ hút một electron khác. Ở nhiệt độ cao, chuyển động nhiệt đủ mạnh sẽ đẩy các hạt ra xa nhau, làm xói mòn “lớp áo” nonna, điều này thực sự làm giảm lực hút xoắn ốc. Ở nhiệt độ thấp, lực hấp dẫn đóng vai trò rất quan trọng.

Câu hỏi có thể được đặt ra: liệu sự tồn tại của lực hút electron giữa các electron có mâu thuẫn với định luật vật lý đã biết hay không? Nếu hai electron ở trong chân không thì tất nhiên chúng sẽ đẩy nhau. Trong môi trường, lực tương tác của chúng bằng
$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e}{r^2}$$

(ε là hằng số điện môi của môi trường). Môi trường có thể có hằng số điện môi âm ε < 0. Điều này dẫn đến sự thay đổi dấu của lực và các electron trong môi trường như vậy sẽ hút nhau. Mạng tinh thể hóa ra là môi trường làm cho hằng số điện môi trong chất siêu dẫn âm.

Do đó, ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, lực đẩy Coulomb và lực hút bổ sung tác dụng giữa các electron. Mọi thứ khác phụ thuộc vào kích thước. Nếu lực đẩy chiếm ưu thế ở độ không tuyệt đối thì kim loại vẫn bình thường và tính chất của nó không thay đổi hoàn toàn. Nếu ở một nhiệt độ nhất định, lực hấp dẫn bắt đầu chiếm ưu thế thì chất đó sẽ chuyển sang trạng thái siêu dẫn.

Cá cược điện tử. Lực hút giữa các electron dẫn đến hiện tượng siêu dẫn được đặc trưng bởi một số đặc điểm thú vị. Nếu chúng ta theo dõi hành vi của một electron trong chất siêu dẫn, thì hóa ra electron này thu hút các electron khác nhau một cách khác nhau. Nó sẽ “chọn” một electron cụ thể mà nó sẽ hút mạnh nhất. Đặc biệt, electron “được chọn” này tại một thời điểm nhất định sẽ có xung lực ngược lại.

Hệ thống điện tử trong chất siêu dẫn hóa ra được chia thành các cặp electron liên kết. Thành phần các cặp electron không ổn định. Nó thay đổi liên tục nên hệ thống cân kim cương điện tử cũng vậy. Điều này sẽ được thể hiện như thể các electron được thu thập tại một vũ hội và một điệu nhảy được biểu diễn, trong đó các đối tác liên tục thay đổi.

Một hệ quả đặc biệt sẽ tập trung vào câu hỏi về kích thước của một cặp electron. Nó nằm ở mức $10^{-4}$ cm. Để so sánh, chúng tôi lưu ý rằng chu kỳ mạng tinh thể là khoảng $10^{-8}$ cm, do đó các electron có trong cặp nằm ở một khoảng cách rất lớn là $10^4$ chu kỳ mạng với nhau. Tuy nhiên họ lại là những người thu hút mạnh mẽ nhất

6

uốn cong về phía nhau. Nếu trạng thái của một trong các electron trong cặp thay đổi dưới tác động của một lực nào đó (ví dụ, dưới tác dụng của từ trường), thì sự thay đổi này sẽ ngay lập tức ảnh hưởng đến hoạt động của electron kia. Chất siêu dẫn thể hiện ví dụ hiếm nhất về giao tiếp đường dài trong môi trường vô tri.

Khi nhiệt độ tăng lên, vai trò của chuyển động nhiệt hỗn loạn cũng tăng lên. Sự chấp nhận liên điện tử yếu đi, và cuối cùng, ở một nhiệt độ nào đó (đây là nhiệt độ tới hạn $T_k$), chất chuyển từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái bình thường, bình thường.

Không có điện trở. Các chất siêu dẫn rất đáng chú ý vì các electron trong chúng không đẩy nhau mà dính vào nhau.

Dưới tác dụng của lực hấp dẫn, hệ thống điện tử trở thành một tập thể được kết nối. Lực kết dính tác dụng giữa các bộ phận.

Trong kim loại bình thường, khí điện tử có thể tăng năng lượng của nó ở bất kỳ phần nhỏ nào. Trong chất siêu dẫn, khí electron không thể hấp thụ bất kỳ năng lượng nào. Phần năng lượng tối thiểu mà nó có thể hấp thụ là năng lượng liên kết của một cặp electron. Hình ảnh sự vỡ ra của một cặp electron cũng tương tự như sự phân rã của hạt nhân nguyên tử. Các neutron và proton liên kết thành một tổng thể duy nhất và việc phá vỡ hệ thống đòi hỏi năng lượng hữu hạn - năng lượng liên kết của hạt nhân nguyên tử.

Điện trở được biết là có liên quan đến sự tán xạ của các electron do dao động nhiệt của mạng hoặc tạp chất *). Cơ năng của các electron chuyển động chuyển thành năng lượng ấm

*) Chi tiết hơn về bản chất của lực cản được mô tả trong bài viết của M. I. Kaganov và G. L. Lyubarsky “Electron chuyển động có ma sát” («Kvant», 1973, số 6).

Cơm. 3.

7

Ở nhiệt độ trên $T_k$, các đường sức từ sẽ xuyên vào vật chất, giống như bất kỳ kim loại bình thường nào (Hình 3, a). Hãy bắt đầu giảm nhiệt độ mà không tắt từ trường. Ngay khi đạt đến nhiệt độ tới hạn $T_k$, sự chuyển đổi sang trạng thái siêu dẫn sẽ xảy ra; trong trường hợp này, các đường lực bị đẩy ra khỏi chiều dày của mẫu (Hình 3, b). Hiện tượng này gọi là hiệu ứng Meissner, được phát hiện vào năm 1933.

Làm thế nào để đường sức từ đẩy ra khỏi chất siêu dẫn? Đáp số câu hỏi này có liên quan chặt chẽ đến tác dụng của bản thân tính siêu dẫn, tức là với khả năng xuất hiện dòng điện bất diệt.

Giả sử rằng chúng ta muốn duy trì dòng điện không đổi trong một chất. Trong kim loại bình thường, điều này đòi hỏi phải tạo ra một điện trường không đổi. Từ trường không phù hợp cho mục đích này vì nó không thực hiện bất kỳ công nào và điều này là không cần thiết, vì có sự chuyển động của các electron, xảy ra tổn thất nhiệt và do đó cần phải cung cấp năng lượng liên tục.

Các quá trình hoàn toàn khác nhau phát triển trong chất siêu dẫn. Chúng có điện trở bằng 0 nên không cần thực hiện công để duy trì dòng điện. Dòng điện một chiều trong chất siêu dẫn có thể được tạo ra bởi từ trường. Đây là một tính năng rất quan trọng của điện từ của chất siêu dẫn.

Bây giờ chúng ta quay lại hiệu ứng Meissner. Khi một chất siêu dẫn tiếp xúc với từ trường bên ngoài, một dòng điện siêu dẫn do trường này gây ra sẽ xuất hiện trên bề mặt của nó. Dòng điện này, giống như trường hợp chuyển động của các điện tích, tạo ra từ trường riêng của nó, ngược chiều với từ trường bên ngoài. Lý thuyết siêu dẫn chứng minh rằng bên trong chất siêu dẫn, các trường này được bù hoàn toàn nên không có từ trường ở đó. Như vậy, lớp bề mặt của chất siêu dẫn là một lá chắn từ tính không cho từ trường đi qua chất đó.

“Quan tài của Mohammed” Hiệu ứng Meissner giúp người ta có thể quan sát được một số hiện tượng rất nhỏ.

Ví dụ, đây là một trong số đó. Nếu chúng ta lấy một vòng kim loại trong đó có dòng điện siêu dẫn chạy qua và đặt một quả cầu phía trên nó, cũng ở trạng thái siêu dẫn, thì chúng ta sẽ thấy rằng quả cầu (nếu nó không nặng lắm) nhìn thấy phía trên vòng mà không cần bất kỳ vật đỡ nào.

Hình 4 cho thấy một quả cầu cao hơn các vòng siêu dẫn. Khả năng đình chỉ như vậy được giải thích như thế nào?

Khi dòng điện chạy qua vòng, một từ trường xuất hiện trong không gian xung quanh. Ở trên chúng ta đã nói về dòng điện siêu dẫn có thể được tạo ra bởi từ trường. Đây chính xác là dòng điện sẽ phát sinh trong quả cầu kim loại. Dòng điện này có hướng trong đó từ trường của chính nó ngược chiều với từ trường do dòng điện trong vòng tạo ra. Điều này tuân theo định luật bảo toàn năng lượng giống như định luật Lenz, xác định hướng của dòng điện cảm ứng.

8

Hướng của dòng điện trong vòng và trong quả cầu ngược chiều nhau và điều này dẫn đến xuất hiện lực đẩy. Quả cầu treo ở độ cao được xác định bởi sự cân bằng giữa trọng lực của nó và lực đẩy của dòng điện.

Hình 5 cho thấy một thí nghiệm khác. Nam châm vĩnh cửu là một mẫu kim loại trong đó dòng điện siêu dẫn được tạo ra bởi từ trường. Thí nghiệm này tương tự như thí nghiệm trước. Vai trò của các bánh xe được tạo ra bởi từ trường được thực hiện bởi một nam châm vĩnh cửu. Thí nghiệm này dẫn đến ý nghĩa của “quan tài của Mohammed” (theo truyền thuyết, quan tài của phó Mohammed được nhìn thấy trên không mà không có bất kỳ sự hỗ trợ nào).

Chất siêu dẫn trong từ trường. Lĩnh vực quan trọng. Nếu bạn tăng từ trường bên ngoài, thì ở một số giá trị của nó $B_K$ (giá trị này được gọi là từ trường tới hạn), trạng thái siêu dẫn bị phá hủy và chất này chuyển sang trạng thái bình thường thông thường. Giá trị của $B_K$ phụ thuộc vào nhiệt độ. Càng gần nhiệt độ tới hạn, giá trị $B_K$ càng nhỏ và trạng thái siêu dẫn càng dễ bị phá hủy.

Hình 6 cho thấy giá trị của trường tới hạn $B_K$ thay đổi như thế nào khi nhiệt độ tăng. Trạng thái siêu dẫn ổn định nhất là ở mức không tuyệt đối (giá trị $B_K$, tương ứng với $T = 0^\circ$, tối đa). Khi nhiệt độ trở thành $T_K$, độ lớn của từ trường tới hạn đương nhiên sẽ bằng không.

Do đó, kim loại có thể chuyển từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái bình thường mà không làm tăng nhiệt độ. Sự chuyển đổi như vậy có thể xảy ra khi chất siêu dẫn tiếp xúc với từ trường.

Do đó, người ta không nên cho rằng một chất ở nhiệt độ dưới $T_K$ nhất thiết phải là chất siêu dẫn. Nó cũng có thể là kim loại bình thường nếu cường độ từ trường xung quanh vượt quá $B_K$.

Thoạt nhìn, có vẻ như dòng điện siêu dẫn chảy mà không mất nhiệt là lý tưởng để tạo ra từ trường cực mạnh. Thật vậy, khi sử dụng nam châm điện thông thường, tổn thất Joule đóng một vai trò lớn. Nếu muốn thu được từ trường thật mạnh thì cần phải tạo ra những điểm đủ mạnh trong cuộn dây; trong trường hợp này, do tổn thất nhiệt, dây có thể bị nóng chảy.

Trong chất siêu dẫn, do không có tổn thất nhiệt nên không có mối nguy hiểm như vậy. Do đó, có vẻ như bằng cách tăng dòng điện siêu dẫn, chúng ta có thể thu được bất kỳ giá trị cần thiết nào của cảm ứng từ trường. Tuy nhiên, ngay khi ra sân

9

đạt giá trị $B_k$, tính siêu dẫn bị phá hủy và do đó tình hình không đơn giản như vậy.

Tuy nhiên, một loại chất siêu dẫn đã được phát hiện có thể tạo ra từ trường mạnh và chịu được dòng điện mạnh. Nhưng việc mô tả đặc tính của chúng là chủ đề của một câu chuyện riêng.

Nói về tính chất điện từ của chất siêu dẫn, cần lưu ý một đặc điểm thú vị nữa là sự có mặt của các cặp electron liên kết.

Định luật cơ bản mô tả dòng điện một chiều trong kim loại thông thường là định luật Ohm, có thể viết dưới dạng cục bộ: $j = E/\rho$ ($\rho$ là điện trở suất của dây dẫn, $E$ là điện áp điện trường, $j$ là mật độ dòng điện). Theo định luật Ohm, cường độ dòng điện ở một nơi nhất định trong kim loại được xác định bởi giá trị của điện trường ở nơi đó.

Trong chất siêu dẫn, mọi thứ trông hoàn toàn khác. Như chúng ta đã lưu ý, một dòng điện siêu dẫn không đổi được tạo ra không phải bằng điện trường mà bằng từ trường. Nhưng đây không phải là sự khác biệt duy nhất. Do sự liên kết giữa các điện tử, hóa ra là nếu một trường bên ngoài tác dụng lên bất kỳ electron nào trong chất siêu dẫn, thì hành động này sẽ được “cảm nhận” bởi một electron khác liên kết với nó trong một cặp.

Hãy đặt chất siêu dẫn trong từ trường ngoài. Các electron nằm ở lớp bề mặt (trường không xuyên qua độ dày của mẫu) bắt đầu chuyển động và tạo ra dòng điện siêu dẫn. Trong trường hợp này, electron chuyển động do tác động trực tiếp của từ trường bên ngoài lên nó và dưới tác động của các electron khác liên kết với nó, cũng chịu tác động của trường. Do đó, dòng điện phát sinh ở một vị trí nhất định của chất siêu dẫn không chỉ được xác định bởi giá trị của trường ngoài tại vị trí này,

Cơm. 7. Độ dẫn nhiệt χ của kim loại thường được đánh dấu trên hình bằng các vạch màu xanh, độ dẫn nhiệt của chất siêu dẫn được đánh dấu bằng các vạch màu đỏ.

mà còn có ý nghĩa của nó trong một lĩnh vực nhất định. Mối liên hệ như vậy giữa dòng điện và trường bên ngoài, trái ngược với trường hợp của kim loại thông thường, được gọi là không tiêu điểm.

Tính chất nhiệt của chất siêu dẫn ở nhiệt độ được chia từ $T_k$ hóa ra có giá trị rất nhỏ, kém nhiều so với độ dẫn nhiệt của kim loại thông thường ở cùng nhiệt độ (có thể thực hiện chuyển đổi sang trạng thái bình thường ở cùng nhiệt độ bằng cách sử dụng từ trường). Vì vậy, nhiệt độ của chất siêu dẫn thay đổi rất dễ dàng khi nhiệt lượng được cung cấp hoặc ngược lại khi nhiệt lượng bị loại bỏ.

Hình ảnh truyền nhiệt trong chất siêu dẫn là rất cần thiết. Độ dẫn nhiệt của kim loại thông thường thay đổi theo nhiệt độ. Ví dụ, khả năng dẫn nhiệt của hợp kim giảm khi nhiệt độ giảm. Hợp kim siêu dẫn thể hiện hành vi liên kết. Sau khi chuyển sang trạng thái siêu dẫn, độ dẫn nhiệt của nó không mất đi mà quay trở lại khi nhiệt độ giảm, sau đó đạt cực đại và chỉ sau đó mới bắt đầu giảm (Hình 7).

Điều này một lần nữa cho thấy tính siêu dẫn không chỉ là sự vắng mặt

10

Điện trở là một trạng thái đặc biệt của vật chất.

Hiệu ứng Josephson. Tiếp xúc khoảng cách (Hình 8), bao gồm hai màng siêu dẫn được ngăn cách bởi một lớp chất cách điện mỏng (khoảng $10^{-7}\text{cm}$). Các electron có thể di chuyển từ màng này sang màng khác. Ở đây chúng ta sẽ không thảo luận về cơ chế truyền electron qua lớp điện môi, vì điều này không liên quan trực tiếp đến chủ đề câu chuyện của chúng ta. Chúng ta chỉ lưu ý khả năng quan sát một hiện tượng đáng kinh ngạc, chỉ được phát hiện cách đây vài năm.

Nếu đặt một điện thế không đổi vào một tiếp điểm thì dòng điện xoay chiều sẽ được tiêu thụ qua nó. Dòng điện xoay chiều này, chẳng hạn như dòng điện trong mạch dao động, sẽ phát ra sóng điện từ và bức xạ này được quan sát bằng thực nghiệm.

Hiệu ứng này được đặt theo tên của nhà vật lý người Anh Josephson, người đã dự đoán về mặt lý thuyết khả năng quan sát được nó vào năm 1962.

Như chúng ta đã nói, các cặp electron liên kết xuất hiện trong chất siêu dẫn. Các cặp này đi qua lớp điện môi và thu được năng lượng $2eU$ (U là hiệu điện thế đặt vào tiếp điểm). Ở kim loại thông thường, năng lượng này sẽ được chuyển hóa thành năng lượng ấm. Khi có dòng điện siêu dẫn chạy qua thì không có điện trở và phần năng lượng $2eU$ mà cặp electron nhận được sẽ phát ra dưới dạng lượng tử có năng lượng $hv = 2eU$. Bức xạ có tần số $v = 2eU/h$ được quan sát bằng thực nghiệm.

Chỉ có dòng điện xoay chiều mới có thể phát ra sóng điện từ. Đây chính xác là dòng điện chạy qua tiếp điểm Josephon.

Biểu thức tần số của bức xạ bao gồm điện tích thỏa đáng của electron. Điều này là do sự tồn tại của các cặp electron; tổng phí của mỗi cái là $2e$. Một electron đơn lẻ khi đi qua hiệu điện thế $U$ sẽ thu được năng lượng $eU$. Việc bức xạ có tần số $v = 2eU/h$ thực sự được quan sát bằng thực nghiệm có thể được coi là sự xác nhận thực nghiệm về tính đúng đắn của ý tưởng về sự tồn tại của các cặp electron liên kết trong chất siêu dẫn.

Hiệu ứng Josephson cho phép bạn tạo ra dòng điện xoay chiều bằng cách sử dụng hiệu điện thế không đổi.

Chúng ta đã nói về bản chất của chất siêu dẫn và một số hiệu ứng quan sát thấy ở chất siêu dẫn. Người ta vẫn có thể mong đợi cơ sở vật lý của tính siêu dẫn sẽ tiết lộ thêm nhiều chitin.

11

Máy điều khiển
R. S. Guter,
Yu. L. Polunov

Gần đây, nhân viên của tạp chí Máy tính và Tự động hóa của Mỹ đã tính toán rằng trong số sáu trăm “nghề” về máy tính điện tử, có khoảng năm mươi ngành được gọi là máy “điều khiển” - những máy quản lý các quy trình thử nghiệm và kỹ thuật chuyển động nhanh. Ở đây chúng tôi muốn nói về cách máy móc điều khiển và tại sao cần tính toán để thực hiện điều này.

Làm thế nào để một người kiểm soát

Một chiếc ô tô số tự động đang phóng nhanh trên đường cao tốc. Người lái điều khiển chuyển động của ô tô. Khi vượt xe đang đi qua và vượt xe đang chạy tới, người lái xe liên tục quan sát đường đi. Anh ta phác thảo quỹ đạo và tốc độ chuyển động, đồng thời thay đổi vị trí của bàn đạp và vô lăng của ô tô sao cho quỹ đạo và tốc độ thực tế khác biệt ít nhất có thể so với dự định. Não - tay - máy - mắt - não - đây là hệ thống điều khiển tự động hóa.

Trong lò điện tử có khuôn để đúc. Nhiệt độ trong lò không được vượt quá giới hạn nhất định. Người công nhân theo dõi kim của thiết bị kết nối với nhiệt kế điện tử bên trong lò. Nếu mũi tên tiến đến giới hạn quy định thì người công nhân sẽ tăng hoặc giảm dòng điện trong bộ phận làm nóng, di chuyển thanh trượt biến trở để mũi tên quay về vị trí mong muốn.

Borscht đang được nấu trên bếp. Người đầu bếp nếm món borscht và thêm vào một số

12

thức ăn hoặc thay đổi cường độ lửa cho đến khi lượng đồ trong chảo phù hợp với ý tưởng của anh ấy về một món ăn làm sẵn và ngon miệng. Dễ dàng nhận thấy nguyên tắc hành động của anh ta cũng giống như nguyên tắc hành động của người lái xe và người thợ ở lò sấy. Sự khác biệt trong hành động chỉ được xác định bởi tính năng của quy trình công nghệ.

Thuật toán điều khiển

Tất cả các ví dụ của chúng tôi đều liên quan đến một người. Tuy nhiên, nó có thể được loại trừ khỏi hệ thống điều khiển. Nếu luật điều khiển bất kỳ đối tượng nào được hình thành chính xác dưới dạng một chuỗi các quy tắc hành động (thuật toán), thì về nguyên tắc, có thể tạo ra một thiết bị và soạn chương trình thực hiện thuật toán này mà không cần sự tham gia của con người. Những hệ thống như vậy thường được gọi là hệ thống điều khiển tự động.

Ví dụ, để điều khiển một lò nung thực, chỉ cần gửi tín hiệu đầu ra của nhiệt kế điện đến thiết bị điều khiển động cơ nối với động cơ biến trở là đủ. Thuật toán điều khiển rất rõ ràng: nếu nhiệt độ trong lò bắt đầu giảm thì động cơ sẽ quay theo một hướng, làm tăng dòng điện trong lò; nếu nhiệt độ tăng thì động cơ phải giảm dòng điện và quay theo hướng ngược lại.

Tóm tắt từ hệ thống vật lý của các quá trình xảy ra trong hệ thống điều khiển, chúng ta có thể xác định các khối chung của các hệ thống này: đối tượng điều khiển, hệ thống điều khiển, các cơ quan điều hành và các cơ quan (thiết bị) truyền thông tin về mục tiêu và kết quả điều khiển đến hệ thống điều khiển. Biểu diễn đồ họa của một hệ thống như vậy (sơ đồ khối) được hiển thị trong Hình 1. Chúng tôi khuyên người đọc xác định chính xác vai trò của khối khác trong mỗi ví dụ đã cho là gì.

Hệ thống điều khiển vòng kín được mô tả

hoặc hệ thống phản hồi. Việc điều chỉnh các quá trình trong cơ thể sống, thiết bị kỹ thuật, hệ thống kinh tế và xã hội dựa trên nguyên tắc phản hồi - việc truyền thông tin từ đầu ra của hệ thống đến đầu vào của nó.

Để hiểu vai trò của phản hồi, bạn cần làm quen với các hệ thống vòng hở trong đó không có sự giao tiếp như vậy. Một ví dụ sẽ là một đài phun nước ngọt.

Máy này hoạt động như thế nào? Một đồng xu rơi vào đáp số được kiểm tra theo trọng lượng và rơi xa hơn sẽ đóng mạch điện. Khi nam châm điện của nó được bật, nó sẽ nhận được một đòn bẩy để mở van (vòi) trong một thời gian đủ để đổ đầy một cốc nước.

Có những lúc máy “không nạp tiền”. Tất nhiên, anh ta làm điều này không phải vì “có ý đồ xấu”; Đơn giản là trong quá trình vận hành, đặc tính của nam châm điện hoặc đòn bẩy đã thay đổi và anh ta sẽ mở van trong một khoảng thời gian ngắn hơn.

Hãy thử thiết kế chiếc máy sao cho xảy ra phản hồi. Để làm được điều này, bạn cần có một thiết bị thay đổi mức chất lỏng trong ly. Tín hiệu đầu ra của thiết bị này phải được đưa vào cuộn dây nam châm điện để van vẫn mở cho đến khi có tín hiệu “kính đầy”. Một hệ thống như vậy sẽ linh hoạt hơn và không ngại thay đổi.

Hệ thống điều khiển tự động vòng kín đã xuất hiện từ

Muộn hơn nhiều so với những cái mở. Dụng cụ mở cửa tự động được Heron xứ Alexandria tạo ra khoảng hai nghìn năm trước. Các bộ điều chỉnh đầu tiên có phản hồi - bộ điều chỉnh nhiệt độ Drebel, bộ điều chỉnh mức hơi nước Polzunov, bộ điều chỉnh tốc độ Watt - xuất hiện vào thế kỷ 17-18. Họ thực hiện một công việc tương đối đơn giản: họ duy trì một số thông số ở một mức nhất định.

Điều khiển vòng hở

Khi độ phức tạp kỹ thuật của các đối tượng điều khiển ngày càng phát triển, nó đã tăng lên vô cùng. Con người ngày càng khó điều khiển những cỗ máy do mình tạo ra. Ví dụ, người điều khiển máy cán tốc độ cao phải thực hiện nhiều thao tác (!) mỗi phút - nhấn nút, quay vô lăng và tay cầm, di chuyển cần gạt. Một người không thể làm việc với tốc độ như vậy mà không mắc sai lầm.

Máy tính đã đến giải cứu. Một ví dụ điển hình hơn nhiều về việc sử dụng máy tính trong hệ thống điều khiển vòng hở là hoạt động của các máy công cụ được điều khiển bằng máy tính. Đây là cách họ làm việc.

Thông tin ban đầu để lập chương trình gia công phôi được lấy từ bản vẽ gia công. Kỹ thuật viên phác thảo trình tự xử lý cần thiết, chia đường viền hình học của bộ phận thành các phần được tạo thành bởi các đường thẳng hoặc cong, xác định tọa độ của các điểm tham chiếu (điểm nối của các phần riêng lẻ của đường viền, tâm của cung, v.v.) và đặt tham số của các đường nối các điểm tham chiếu. Tất cả thông tin này được mã hóa (trong hệ thống số kép hoặc số thập phân) và được áp dụng cho băng đục lỗ hoặc thẻ đục lỗ, được điều khiển đặc biệt bởi máy điều khiển máy tính - bộ tích hợp.

Kỹ thuật viên chỉ đặt tọa độ của một số điểm (tham chiếu) trên bề mặt của bộ phận. Nhưng sự chuyển động của các bộ phận làm việc của máy phải được đảm bảo tại một thời điểm nào đó. Do đó, thông tin phải đưa vào hệ thống điều khiển máy một cách liên tục theo đúng quy luật chuyển động của dao dọc theo từng tọa độ. Luồng thông tin số này được tạo bởi bộ nội suy để tính toán vị trí của các bộ phận làm việc của máy đối với từng phần tử của bộ phận đó.

Các kết quả tính toán của bộ nội suy có thể được nhập trực tiếp vào hệ thống điều khiển của máy hoặc được ghi trước trên băng từ dưới cái gọi là mã đơn nhất (có cơ số bằng một) và chỉ sau đó được chuyển đến hệ thống điều khiển.

Trong mã đơn nhất, mỗi số được viết dưới dạng một chuỗi đơn vị bằng số được viết. Ví dụ, số 5 được viết như sau: 11111. Nhu cầu chuyển đổi thông tin được mã hóa kép thành mã đơn nhất, nghĩa là thành một chuỗi các xung đơn, được xác định bởi thiết kế của bộ phận điều hành của máy điều khiển bằng máy tính - động cơ bước. Động cơ bước di chuyển theo cách mà mỗi xung đi vào cuộn dây của nó sẽ làm cho trục quay và chuyển động theo một góc xác định. Do đó, chuyển động của bộ phận làm việc (dao, dao phay,…) gắn với chuyển động của trục sẽ tỷ lệ thuận với số xung gửi đến thiết bị điều khiển của máy.

Việc chuyển đổi thông tin trong bộ nội suy được thực hiện sao cho các xung đơn đầu ra bằng tọa độ được mã hóa kép và thời gian phát ra số xung này là thời gian xử lý được chỉ định của phần đường viền từ điểm này đến điểm khác.

Máy móc điều khiển bằng máy tính, xuất hiện lần đầu tiên vào cuối những năm 50, hiện nay ngày càng trở nên phổ biến. Chúng tạo thành nền tảng cho các doanh nghiệp hoàn toàn tự động trong tương lai.

14

Kiểm soát phản hồi

Hệ thống điều khiển vòng kín được sử dụng bởi máy tính được sử dụng rộng rãi nhất trong các ngành công nghiệp hóa chất và luyện kim, trong năng lượng nhiệt và hạt nhân. Trong các hệ thống điều khiển khép kín, tác động được tạo ra có tính đến thông tin về tiến trình của quá trình. Các thiết bị thu thập thông tin này được gọi là cảm biến.

Theo quy luật, tín hiệu đầu ra của các cảm biến như vậy là một đại lượng vật lý không phải bát phân và liên tục. Để máy tính kỹ thuật số chấp nhận thông tin cảm biến, một đại lượng liên tục (thường được gọi là tương tự) phải được chuyển đổi thành dạng kỹ thuật số trong hệ thống số nhị phân. Vì vậy, một thành phần quan trọng của bộ điều khiển máy là bộ chuyển đổi tương tự sang số.

Đại lượng đầu vào của bộ chuyển đổi tương tự sang số là điện áp hoặc dòng điện, chuyển động góc hoặc tuyến tính hoặc vị trí của thiết bị. Một đại lượng tương tự đáng kể được chuyển đổi từ dạng ban đầu sang dạng khác, thuận tiện hơn cho việc chuyển đổi, ví dụ, áp suất được chuyển đổi thành chuyển vị.

Chúng ta hãy xem xét một ví dụ về một trong những sơ đồ khả thi để chuyển đổi điện áp thành số xung. Đặt điện áp $U_{bx}$ vào đầu vào của bộ chuyển đổi (Hình 2, a). Bộ chuyển đổi hoạt động riêng biệt, nghĩa là nó thay đổi điện áp theo những khoảng thời gian (chu kỳ) nhất định, trong thời gian đó điện áp đầu vào có thể được coi là gần như không đổi.

Điểm bắt đầu của mỗi chu kỳ đồng hồ được bù bằng một xung cực đại, được phát ra bởi bộ tạo xung cực đại (Hình 2, b). Xung như vậy khởi động bộ tạo xung đếm (Hình 2, c), bộ tạo điện áp răng cưa (Hình 2, e) và bật bộ đếm.

Điện áp răng cưa và điện áp đầu vào $U_{bx}$ được cung cấp cho hai đầu vào của mạch trùng khớp, tại thời điểm trùng khớp (Hình 2, e) tạo ra một xung (Hình 2, e), khóa bộ đếm. Số lượng tên đếm

Cơm. 2.

các xung (Hình 2, g) đi vào bộ đếm sẽ tỷ lệ thuận với khoảng thời gian giữa đồng hồ và các xung chặn, và khoảng thời gian này tỷ lệ thuận với giá trị của điện áp đầu vào $U_{bx}$.

Do đó, trong bộ chuyển đổi tương tự sang số này, mạch chuyển đổi sau được thực hiện: giá trị tương tự $\rightarrow$ điện áp $\rightarrow$ khoảng thời gian $\rightarrow$ dạng kỹ thuật số. Sơ đồ khối của việc chuyển đổi như vậy được hiển thị trong Hình 3.

Ngoài việc chuyển đổi tín hiệu tương tự sang dạng kỹ thuật số, việc chuyển đổi ngược lại cũng được yêu cầu. Vấn đề là máy tính

15

Xe buýt tạo ra tín hiệu ở dạng kỹ thuật số. Nếu phần tử điều hành của hệ thống điều khiển tự động là bộ số hóa bước điều khiển tín hiệu số thì không cần chuyển đổi bổ sung. Nếu bộ số hóa chung (bộ giảm chấn, bộ điều chỉnh) được sử dụng làm bộ phận điều hành, yêu cầu tín hiệu đầu vào liên tục thì cần có bộ chuyển đổi kỹ thuật số sang tương tự. Những biến đổi như vậy dựa trên các nguyên tắc giống như các đối tượng tương tự đã thảo luận ở trên.

Sơ đồ khối của hệ thống điều khiển quá trình kỹ thuật vòng kín sử dụng máy tính điện tử được thể hiện trên hình 4. Có thể thấy, ngoài máy tính, hệ thống điều khiển còn chứa khá nhiều thiết bị bổ sung cần thiết để kết nối máy móc với đối tượng điều khiển.

Trước hết, cần có các cảm biến đại lượng đặc trưng cho quá trình được kiểm soát. Chúng bao gồm:

a) các thông số đầu vào của quá trình (áp suất, nhiệt độ, mức tiêu thụ nguyên liệu thô, mức tiêu thụ năng lượng nhiệt và điện, v.v.). Các đại lượng này có thể điều khiển được (nếu chúng ta có thể thay đổi chúng bằng tín hiệu bên ngoài) hoặc không thể điều khiển được (nếu chúng ta không thể thay đổi chúng);

b) nhiễu loạn vi phạm quy trình bình thường của quá trình (dao động về nhiệt độ môi trường, điện áp nguồn, v.v…);

b) các thông số đầu ra của quá trình (sự dao động và chất lượng của sản phẩm chính và sản phẩm phụ, nhiệt độ, thành phần của chúng, v.v.).

Mọi thông tin phải được chuyển đổi sang dạng số và nhập vào máy tính. Ngoài thông tin, cần nhập vào máy thuật toán điều khiển được dịch sang ngôn ngữ máy (chương trình điều khiển). Nhờ có chương trình mà máy có thể tính toán những hành động điều khiển nào là cần thiết trong một tình huống nhất định để quá trình được kiểm soát diễn ra theo cách có lợi nhất.

Thuật toán được biên dịch như thế nào

Việc xây dựng một thuật toán điều khiển cho từng hệ thống, hay chính xác hơn là cho từng quy trình được điều khiển, là một bài toán phức tạp. Rất thường không thể có được một mô tả toán học chặt chẽ về các quá trình phức tạp và biểu diễn sự phụ thuộc giữa các đặc điểm về độ lớn của chúng ở dạng tương tự. Sau đó phải sử dụng các phương pháp thử nghiệm để thiết lập các mối phụ thuộc đó.

Thông tin và mô tả thu được được sử dụng để xây dựng mô hình toán học của đối tượng, là mô hình phức tạp bài toán. Ngoài ra, cũng cần có tiêu chí chính xác cho quy trình tối ưu để xác định mục tiêu điều khiển*). Thường xuyên hơn

*) Việc xây dựng mục tiêu quản lý rõ ràng quan trọng như thế nào, người đọc có thể đánh giá qua câu chuyện của nhà văn khoa học viễn tưởng người Mỹ P. Shackle, Guardian Bird, M., “Young Guard”, 1968 (Thư viện khoa học viễn tưởng. Tập 16).

16

Mục tiêu của quản lý là đạt được hiệu quả kinh tế tối đa. Tuy nhiên, đôi khi nó còn phụ thuộc vào các tiêu chí khác, chẳng hạn như năng suất tối đa, chi phí tối thiểu hoặc thời gian ngắn nhất có thể.

Trong một số trường hợp kiểm soát, thuật toán đầu tiên thành công ở “khả năng tự học”. Điều này có nghĩa là chương trình sẽ có thể phân tích kết quả của các hành động kiểm soát và sự tuân thủ của mô hình toán học đã chọn trong quá trình thực hiện nó và thực hiện các điều chỉnh cần thiết đối với mô hình toán học.

Hệ thống “BẮT ĐẦU”
Chắc hẳn tất cả độc giả đều đã từng nhìn thấy đèn giao thông tự động - hệ thống vòng hở đơn giản nhất. Trong đó, đèn được bật theo thứ tự nhất định ở những khoảng thời gian nhất định mà không tính đến tình hình thực tế tại ngã tư. Vào mùa hè năm 1972, trên quảng trường Serpukhovskaya Zastava ở Moscow (với mô hình giao thông khá phức tạp, xem Hình 5), một hệ thống điều khiển luồng giao thông tự động đã được bật. Từ các cảm biến đặt dưới các lối đi của các tuyến phố đối diện với quảng trường, hệ thống nhận thông tin về số lượng ô tô đang di chuyển tại mỗi vị trí có thể có của đèn giao thông, máy tính sẽ tính toán số lượng máy đang di chuyển và không hoạt động và xác định thời gian ngừng hoạt động trung bình của mỗi ô tô, sau đó chọn vị trí đèn giao thông sao cho thời gian ngừng hoạt động là tối thiểu.

Năm 1974, hệ thống kiểm soát luồng giao thông tự động “BẮT ĐẦU” đã được giới thiệu thử nghiệm ở Moscow, hệ thống này sẽ “quản lý” tất cả đèn giao thông bên trong Garden Ring của thủ đô. Đối với mỗi nút bên trong của mạch, có thể tính toán số lượng ô tô tiếp cận nút này theo các hướng khác nhau.

Thuật toán điều khiển cho hệ thống như vậy bao gồm tính toán thời gian ngừng hoạt động trung bình của máy; tiêu chí cho luồng quy trình tối ưu) là thời gian ngừng hoạt động tối thiểu.

17

Nói ngắn gọn về thiết bị

Ngay từ thời xa xưa người ta đã biết rằng Trái đất tác động lên kim nam châm như thể nó là một nam châm khổng lồ. Và các nhà khoa học vẫn chưa thể trả lời câu hỏi về nguyên nhân hình thành từ trường Trái đất và quy luật thay đổi của nó theo thời gian (nó thay đổi chậm trong một thiên niên kỷ). Do đó, mối quan tâm lớn của khoa học là câu hỏi liệu các thiên thể khác có từ trường - Mặt trăng, Sao Hỏa, Sao Kim, v.v. - khác với Trái đất về cấu trúc bên trong, kích thước và chu kỳ quay hàng ngày của chúng hay không. Bằng cách so sánh từ tính của các hành tinh và từ tính của Trái đất, người ta có thể hiểu được nguyên nhân gây ra sự xuất hiện của từ trường trên Trái đất.

Từ trường tuy rất yếu - yếu hơn trên Trái đất khoảng 6000 lần - nhưng cũng tồn tại trong không gian liên hành tinh. Trong toàn bộ hệ mặt trời, từ Mặt trời đến Sao Hải Vương, không thể chỉ ra những nơi không tồn tại những trường yếu này.

Để đo từ trường trên các hành tinh và trong không gian liên hành tinh, các thiết bị đặc biệt được lắp đặt trên hầu hết các tàu vũ trụ - cái gọi là từ kế cổng thông lượng. Đây là một trong những công cụ không gian chính.

Từ kế thông lượng SG (tên thiết bị Liên Xô của chúng tôi thuộc loại này) đã được lắp đặt trên vệ tinh Trái đất nhân tạo thứ ba của Liên Xô (nó đo từ trường

Cơm. 1.

18

Thiết bị này thực chất là một loại máy biến áp đặc biệt.

Máy biến áp được mô tả bao gồm hai cuộn dây, sơ cấp và thứ cấp, được quấn trên một lõi sắt từ chung *. Trong từ kế SG, lõi là một dải permalloy mỏng, một hợp kim đặc biệt của sắt (20%) và niken (80%).

Cảm ứng B của từ trường sinh ra trong lõi bao gồm hai phần: cảm ứng $B_0$ của trường được tạo ra bởi dòng điện của cuộn dây từ hóa và cảm ứng $B_\phi$ của trường được tạo ra bởi các dòng cơ bản định hướng trong chính chất đó. Tỷ lệ $\frac{B}{B_0} = \frac{B_0 + B_\phi}{B_0} = \mu$, được gọi là độ thấm từ của một chất, đối với vật liệu sắt từ lớn hơn nhiều (tức là $B_\phi \gg B_0$) **).

Tích của cảm ứng B và diện tích S của mặt cắt lõi vuông góc với vectơ B, nghĩa là BS, được gọi là từ thông.

Theo định luật cảm ứng điện từ, sự thay đổi từ thông theo thời gian sẽ tạo ra một suất điện động cảm ứng trong cuộn thứ cấp, độ lớn của lực điện từ này tỉ lệ thuận với tốc độ biến thiên của từ thông và số vòng dây trong cuộn thứ cấp. Nếu số vòng dây ở cuộn thứ cấp lớn hơn ở cuộn sơ cấp thì chúng ta sẽ nhận được điện áp ở cuộn sơ cấp lớn hơn ở cuộn sơ cấp (máy biến áp tăng áp). Mục đích của máy biến áp là tăng (hoặc giảm) điện áp đặt vào cuộn sơ cấp.

*) Chúng ta hãy nhắc lại rằng sắt từ là những vật liệu có khả năng từ hóa mạnh, ngay cả khi chúng ở trong từ trường bên ngoài tương đối yếu (chủ yếu là sắt, niken và một số hợp chất, hợp kim của chúng).

**) Giá trị độ thấm từ có thể thay đổi rất lớn khi từ trường bên ngoài thay đổi. Đặc biệt, permaloy khác ở chỗ, tại các trường bên ngoài rất yếu, giá trị của μ thay đổi mạnh theo những thay đổi của trường bên ngoài.

Trong từ kế, cũng như trong máy biến áp, có các cuộn dây sơ cấp và thứ cấp được quấn trên một lõi permalloy chung (để biết sơ đồ từ kế, xem Hình 8 trong Phụ lục). Một dòng điện xoay chiều có tần số 5000 2Hz được cung cấp cho cuộn sơ cấp từ một máy phát đặc biệt. Dòng điện này tạo ra từ thông xoay chiều F trong lõi permaloy và sự thay đổi thời gian của từ thông này sẽ tạo ra e trong cuộn thứ cấp. d.s. cảm ứng. Velichana e. d.s. được sửa đổi bằng các thiết bị đặc biệt được lắp đặt trên tàu vũ trụ và truyền qua sóng vô tuyến về Trái đất.

Tuy nhiên, mục đích của từ kế không phải là tăng hoặc giảm điện áp mà là để thay đổi từ trường yếu bên ngoài theo thời gian không đổi nơi đặt thiết bị.

Từ trường bên ngoài làm thay đổi tính thấm từ của lõi và từ đó ảnh hưởng đến điện áp thứ cấp (nguyên lý hoạt động của từ kế được mô tả chi tiết hơn ở phần Phụ lục). Lõi máy biến áp được làm bằng thép biến áp, hợp kim của sắt và silicon; từ trường yếu bên ngoài không làm thay đổi tính thấm từ của vật liệu này.

Từ kế có ba cuộn dây vuông góc với nhau; chúng thay đổi các thành phần trường theo ba hướng vuông góc với nhau.

Độ nhạy của thiết bị rất cao. Ví dụ, một từ kế lắp trên vệ tinh mặt trăng nhân tạo “Luna-10” ghi lại những thay đổi trong độ tự cảm từ 1 gamma. (γ là đơn vị đo cảm ứng từ; 1γ = 10⁻⁹ mL. Từ trường trên bề mặt Trái Đất là 30  60 nghìn gamma, từ trường liên hành tinh là 5γ.)

Sự thay đổi đầu tiên trong từ trường của Mặt trăng (“Luna 2”)

Luna 2 được Liên Xô phóng vào ngày 12/9/1959 và tới Mặt Trăng vào ngày 14/9/1959

19

Cơm. 2.

năm. Một từ kế SG được lắp trên tên lửa.

Hình 2 cho thấy số đọc của cả ba cuộn dây từ kế khi các gói hàng rơi xuống Mặt trăng. Mô hình (giá trị tuyệt đối) của trường $B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2 + B_z^2}$ được hiển thị ở trên cùng. Độ nhạy của thiết bị là 30γ. Như có thể thấy trong Hình 2, thiết bị không phát hiện được trường không đổi lớn hơn 100γ. Nếu một trường như vậy tồn tại trên bề mặt Mặt trăng thì với một ứng dụng nhạy cảm
cơm. 3.

boron 30γ nó đã được phát hiện. Thiết bị đã truyền số liệu cuối cùng của nó từ độ cao 55 km so với bề mặt mặt trăng. Do đó, không có trường cố định nào vượt quá 100γ trên diện tích bề mặt nơi gói hàng được thanh toán.

Ý nghĩa của kết quả này là gì?

Đầu tiên, điều quan trọng là phải hiểu cấu trúc bên trong của Mặt trăng. Trên hết, từ trường Trái đất được tạo ra bởi một hệ thống phức tạp gồm các dòng kim loại nóng chảy trong lõi Trái đất (Hình 3). Sự vắng mặt của từ trường trên Mặt trăng, có độ lớn gần bằng Trái đất, cho thấy rằng không có dòng điện nào trong lõi Mặt trăng tạo ra từ trường.

Thứ hai, sự vắng mặt của từ trường bên trong Mặt trăng làm thay đổi hoàn toàn bản chất tương tác của Mặt trăng với các electron và electron rơi trên bề mặt của nó.

Ngoài ánh sáng nhìn thấy, tia siêu di, tia hồng ngoại và tia RENTgen, mặt trời còn phát ra các dòng electron và ion - gọi là gió mặt trời. Tốc độ của các ion gió mặt trời (95% là ion hydro - proton) là từ 300 đến 700 km/s, tùy thuộc vào điều kiện trên Mặt trời (hoạt động của nó). Ngoài cơn gió này, Mặt trời còn phát ra các hạt năng lượng cao, gọi là tia vũ trụ mặt trời. Nếu năng lượng trung bình của proton trong gió mặt trời

$$W = \frac{mv^2}{2} \approx \frac{1,6 \cdot 10^{-24} (5 \cdot 10^7)^2}{2} = 2 \cdot 10^{-9} \text{эрэ} \approx 3200 \text{эрэ},$$

thì năng lượng trung bình của các hạt tạo nên tia vũ trụ mặt trời là 100 200 triệu electron volt. Các tia vũ trụ mặt trời bay từ Mặt trời đến mọi ngóc ngách của hệ mặt trời, chúng cũng bay đến Trái đất. Nhưng những hạt này không chạm tới bề mặt Trái đất: từ trường Trái đất ở độ cao 60-80 nghìn km tính từ bề mặt của nó sẽ chặn đường đi của các tia vũ trụ mặt trời. Hãy để chúng tôi giải thích điều này xảy ra như thế nào.

20

Cơm. 4.

Nona lái xe là hiện tại. Dòng điện trong từ trường chịu tác dụng của một lực F vuông góc với hướng của từ trường và vectơ vận tốc.

Hình 4 cho thấy từ trường Trái đất ảnh hưởng như thế nào đến chuyển động của các ion gió mặt trời. Từ hình vẽ có thể thấy rằng quỹ đạo thẳng khi chạm vào từ trường Trái đất sẽ bị uốn cong và biến thành một hình tròn.

Tuy nhiên, dòng ion nhanh có thể làm biến dạng từ trường mà nó tấn công. Lý thuyết cho thấy kết quả tương tác của gió mặt trời với từ trường Trái đất phụ thuộc vào sự tương ứng giữa động năng của các ion tìm thấy

trên một đơn vị thể tích không gian “lấp đầy” gió mặt trời - $n \frac{mv^2}{2}$ (n là mật độ của các ion) và mật độ năng lượng của từ trường (năng lượng trên một đơn vị thể tích không gian), tỷ lệ thuận với giá trị $B^2/2$ (B là giá trị cảm ứng của từ trường Trái đất ở độ cao nhất định so với bề mặt của nó). Ở xa Trái đất, ở khoảng cách lớn hơn 100.000 km, từ trường Trái đất nhỏ và $n \frac{mv^2}{2}$ » $\frac{B^2}{2}$ - gió mặt trời di chuyển tự do. Ở khoảng cách nhỏ hơn $n \frac{mv^2}{2} < \frac{B^2}{2}$, quỹ đạo của các ion bị từ trường Trái đất bẻ cong và gió mặt trời không xâm nhập vào khoảng cách dưới ~ 60 nghìn km tính từ bề mặt Trái đất.

Tuy nhiên, không thể “xuyên thủng” lá chắn từ nên gió mặt trời làm biến dạng từ trường Trái đất. Vùng từ trường Trái đất bị biến dạng phần nào do gió mặt trời được gọi là từ quyển.

Phía sau Trái đất, từ quyển tạo thành đuôi từ của Trái đất. Các đường sức biến dạng của trường Trái đất trong này

Cơm. 5.

21

các khu vực bị đóng cửa ở khoảng cách khoảng 1 triệu km tính từ bề mặt của nó. Trong Hình 5, vùng từ quyển được thể hiện bằng màu xanh lam (đường màu đen là đường sức từ).

Ở vùng tiếp giáp bên ngoài ranh giới của từ quyển, từ trường của gió mặt trời bị biến dạng do tác động của từ trường trái đất. Vùng này (trong Hình 5 nó tối hơn từ quyển) là vùng có gió mặt trời “bị xáo trộn”. Ranh giới bên ngoài của nó gần Trái đất nhất nằm ở khoảng cách ~ 100.000 km tính từ bề mặt Trái đất. Ngoài ranh giới này có một cơn gió mặt trời không bị xáo trộn (màu đen trong Hình 5), di chuyển từ Mặt trời theo đường thẳng.

Từ quyển Trái đất là một lá chắn bên ngoài dày 60.000 km, bảo vệ chúng ta khỏi tác động hủy diệt của các tia vũ trụ mặt trời và khỏi gió mặt trời ít nguy hiểm hơn. Lá chắn tiếp theo bên trong được hình thành bởi bầu khí quyển của trái đất.

Những thay đổi từ tính được thực hiện trên gói Luna 2 lần đầu tiên cho thấy không có từ trường mạnh trên Mặt trăng. Không có lá chắn thứ hai - bầu không khí. Vì vậy, các tia vũ trụ của Mặt trời liên tục bắn phá bề mặt Mặt trăng; Nguy cơ bức xạ trên Mặt trăng lớn hơn nhiều so với trên Trái đất.

Các phép đo trên vệ tinh mặt trăng nhân tạo

Hình 6 cho thấy quỹ đạo của các vệ tinh mặt trăng nhân tạo. Tất cả các vệ tinh này đều được trang bị từ kế cổng thông lượng.

Độ nhạy của từ kế lắp trên vệ tinh mặt trăng nhân tạo đầu tiên trong lịch sử Luna 10 (nó được phóng ở Liên Xô vào tháng 4 năm 1966) là 1γ. Các cuộc khảo sát từ tính được thực hiện dọc theo quỹ đạo của vệ tinh ở độ cao từ 350 đến 1017 km so với bề mặt Mặt Trăng.

Năm 1967, vệ tinh Explorer 35 của Mỹ được phóng lên quỹ đạo quanh Mặt trăng. Một từ kế cổng thông lượng tương tự như SG của chúng tôi đã được lắp đặt trên đó.

Kết quả đo từ Luna 10 và Explorer 35 đã xác nhận các phép đo từ Luna 2. Mặt trăng không có từ trường (lõi trường) riêng và hoạt động tương ứng với từ trường của gió mặt trời như một quả cầu không từ tính, có độ dẫn điện thấp (cho thấy không có lõi chất lỏng). Các ion gió mặt trời và tia vũ trụ liên tục chạm tới bề mặt của nó.

Năm 1971, các vệ tinh nhân tạo Luna 19 và Apollo 15a được phóng (trên hình 6, quỹ đạo của Apollo 15a được thể hiện bằng đường chấm; vệ tinh này được phóng từ vũ trụ

22

Tàu vũ trụ Séc “Apollo 15”). Các vệ tinh này bay ở độ cao thấp so với bề mặt Mặt Trăng (Apollo 15a - 110 140 km) và đưa ra kết luận về sự vắng mặt của từ trường trên Mặt Trăng do lõi tạo ra với độ chính xác thậm chí còn cao hơn.

Từ hóa các mẫu mặt trăng

Không có từ trường lõi trên Mặt trăng. Nhưng sau đó các mẫu đá mặt trăng được đưa về Trái đất và các phép đo cho thấy những mẫu này bị từ hóa.

Sự từ hóa này xảy ra như thế nào?

Lời giải thích tự nhiên đầu tiên là giả thuyết rằng Mặt trăng có từ trường trong quá khứ xa xôi, sau đó biến mất. Giả sử Mặt trăng từng có lõi nóng chảy, tạo ra từ trường mạnh (Hình 7a). Trường này làm từ hóa đá trên bề mặt có chứa sắt. Sau đó, khi Mặt trăng vắng mặt và tốc độ quay hàng ngày của nó chậm lại, từ trường của lõi biến mất. Tuy nhiên, các tầng từ hóa của bề mặt mặt trăng vẫn giữ được các đặc tính từ tính của chúng - cái gọi là từ hóa dư (Hình 76).

Đá thu được phần lớn từ hóa còn sót lại khi nó còn tồn tại: do đó, khi Mặt trăng tồn tại, trường lõi vẫn ở đó. Dựa trên độ từ hóa dư, biết thành phần của mẫu, người ta có thể đánh giá độ lớn của từ trường trong đó mẫu này nguội đi. Mặt khác, tuổi của đá có thể được xác định bằng giá trị trung bình tương đối hàng ngày của các nguyên tố phóng xạ và các sản phẩm phân rã của chúng*).

Những thay đổi kết hợp như vậy về độ phóng xạ và từ hóa của các mẫu đá mặt trăng cho thấy rằng khoảng 3,1 tỷ năm trước Mặt trăng có từ trường riêng ít nhất là 1000γ.

Từ kế trên bề mặt Mặt trăng (“Apollo-12, -14, -15”, “Lunokhod-2”)

Một bài toán mới cũng xuất hiện - để đo sự phân bố của trường từ hóa dư này trên bề mặt Mặt trăng.

Tại sao từ kế được lắp đặt trên các vệ tinh của mặt trăng không dành cho_

*) Bạn có thể đọc về phương pháp phóng xạ để xác định tuổi của đá trong bài viết: Kuznetsov V.I. Đồng hồ hàng tỷ năm. «Kvant», 1973, số 4.

23

trường từ hóa còn sót lại được ghi lại trên Mặt trăng? Thực tế là những thay đổi đối với các vệ tinh của mặt trăng là không phù hợp cho mục đích này. Trường lõi, nếu nó tồn tại, gần bề mặt hành tinh sẽ thay đổi đáng kể (giảm) ở khoảng cách cỡ bán kính của hành tinh. Do đó, từ trường Trái đất ở độ cao 6000 km nhỏ hơn giá trị của nó ở bề mặt khoảng 8 lần và vào khoảng 4000γ. Và nếu không phát hiện thấy từ trường ở độ cao 100-1000 km so với bề mặt Mặt Trăng thì điều này chỉ có nghĩa là Mặt Trăng không có từ trường lõi chứ không nói lên điều gì về từ trường bề mặt.

Trường từ hóa dư nằm trên bề mặt, nó giảm nhanh theo độ cao và để ghi lại nó, cần phải lắp một từ kế trên bề mặt Mặt trăng.

Một thí nghiệm như vậy đã được các phi hành gia của tàu vũ trụ Apollo 12 thực hiện vào ngày 19 tháng 11 năm 1969. Họ đã lắp đặt một từ kế cổng thông lượng và đưa nó vào hoạt động. Thiết bị tiếp tục hoạt động trong nhiều tháng ngay cả khi không có phi hành gia và các chỉ số của nó được truyền tự động bằng máy phát vô tuyến về Trái đất.

Trong hình 6 là màu đen. Các dấu chấm (A-12, A-14, A-15) hiển thị các vị trí mà từ kế được các phi hành gia Apollo lắp đặt.

Trong vài tháng, phương tiện tự hành Lunokhod-2, được điều khiển bằng radium từ Trái đất, đã đi dọc theo bề mặt mặt trăng của hành tinh này. Một từ kế cổng thông lượng SG cũng được lắp đặt trên đó.

Sự thay đổi từ tính trên bề mặt Mặt Trăng cho thấy bề mặt Mặt Trăng hữu ích có các giá trị khác nhau: 38γ (Apollo 12), 43γ, 100γ (từ kế cầm tay của Apollo 14).

Trường bề mặt này giảm nhanh như thế nào theo chiều cao được thể hiện bằng ví dụ sau. Khi vệ tinh được phóng từ tên lửa Apollo 15 đi qua khu vực cách bề mặt Mặt Trăng 100 km, nơi từ kế mặt trăng Apollo 14 ghi nhận trường 100 γ, nó không phát hiện bất kỳ dấu vết nào của trường này.

Trong năm qua, 1973, do những thay đổi thu được nhờ sự trợ giúp của tàu vũ trụ Apollo 17, quan điểm của chúng ta về cấu trúc của Mặt trăng đã có sự thay đổi. Rất nhiều dữ liệu đã thu được khi thu thập thông tin về lõi nóng ($t^\circ > 1000^\circ$ C). Nhưng không có dòng điện nào có thể tạo ra từ trường trong lõi. Từ trường của Mặt Trăng là do từ hóa dư của lớp vỏ và có thể do các quá trình diễn ra trong các lớp bên dưới lớp vỏ, ở độ sâu 100-200 km.

Sao Hỏa, Sao Mộc, Sao Kim

Từ kế thông lượng SG của Liên Xô, được lắp đặt tại trạm Venera-4, đã thay đổi từ trường (~ 10 γ) ở khoảng cách lên tới 200 km tính từ bề mặt Sao Kim. Từ trường của sao Kim không được phát hiện ở những khoảng cách này.

Thông tin có giá trị về từ kế SG được lắp đặt trên các vệ tinh sao Hỏa nhân tạo “Mars-2” và “Mars-3”. Ở độ cao 2000 km so với bề mặt Sao Hỏa, người ta đã phát hiện ra một trường 27γ, cao gấp 8 lần so với trường liên hành tinh. Nếu những thay đổi tiếp theo xác nhận rằng đây là trường của sao Hỏa thì đây chỉ có thể là trường lõi: trường bề mặt biến mất ở độ cao 1000-2000 km.

Cùng với những thay đổi trên Sao Hỏa, còn có những thay đổi về từ trường trên hành tinh lớn nhất là Sao Mộc. Đánh giá dựa trên phổ phát xạ vô tuyến của Sao Mộc trong phạm vi bước sóng mét và centimet, có thể khẳng định chắc chắn rằng Sao Mộc có từ trường mạnh - mạnh hơn từ trường Trái đất hàng trăm lần. Bản chất và đặc điểm của trường Sao Mộc vẫn chưa hoàn toàn rõ ràng. Để thay đổi từ trường trên Sao Mộc trên tàu vũ trụ

24

ỨNG DỤNG

từ kế thông lượng

Trường phát sinh trong lõi được xác định bởi tổng trường được tạo bởi dòng điện của cuộn sơ cấp và trường hằng số yếu bên ngoài (hoặc ít thay đổi theo thời gian) nơi đặt từ kế: $B = \mu B_{\text{cym}} = \mu(B_1 \sin \omega t + B_0)$. Độ thấm từ của vật liệu lõi—permalloy—phụ thuộc vào cường độ cảm ứng $B_{\text{cym}}$: $\mu = a - b B^2_{\text{cym}}$ ($a, b$—một số hệ số không đổi, $a$—không thứ nguyên, kích thước $b$[$b] = \frac{1}{[B^2]}$). Vậy từ thông qua lõi, vuông góc với các đường hợp lưu của từ trường tổng, bằng

$$\Phi = S(a B_{\text{cym}} - b B^3_{\text{cym}}) = S[a(B_1 \sin \omega t + B_0) - b(B_1 \sin \omega t + B_0)^3] = S(a B_1 \sin \omega t + a B_0 - b B_1^3 \sin^3 \omega t - 3b B_0 B_1^2 \sin^2 \omega t - 3b B_0^2 B_1 \sin \omega t - b B_0^3).$$

Nguyên lý hoạt động của từ kế: nó “chọn” số hạng thứ tư $(-3b B_0 B_1^2 \sin^2 \omega t) = \frac{3}{2} b B_0 B_1^2 (1 - \cos 2\omega t)$ và theo suất điện động mà nó tạo ra trong cuộn dây thứ cấp, sẽ thay đổi $B_0$. Nhưng làm thế nào để ngăn chặn các số hạng còn lại của dòng chảy?

Với mục đích này, không phải một mà là hai cuộn dây sơ cấp, quấn theo hướng ngược nhau, được đặt trên lõi (xem Hình 8). Các cuộn dây này lần lượt tạo ra trường $B_1 \sin \omega t$ và $-B_1 \sin \omega t$ trong chân không. Trong lõi, tổng từ thông từ hai cuộn dây $\Phi_{\text{cym}} = S[a(B_1 \sin \omega t + B_0) - b(B_1 \sin \omega t + B_0)^3] + S[a(-B_1 \sin \omega t + B_0) - b(-B_1 \sin \omega t + B_0)^3] = S(2a B_0 - 2b B_0^3 - 3b B_0 B_1^2 + 3b B_0 B_1^2 \cos 2\omega t)$ có ​​tần số cao gấp đôi tần số của dòng điện. Theo đó, thiết bị như vậy được gọi là cảm biến sóng hài thứ hai.

Nếu thiết bị hoạt động ở chế độ tuyến tính (tức là từ thông trong lõi bằng $\Phi = S[a(B_0 + B_1 \sin \omega t)]$, thì từ thông $\Phi_1 = a B_0 S$ được tạo ra bởi cơ chế yếu bởi trường sẽ khó ghi lại do nó nhỏ. Từ thông biến đổi theo thời gian $\Phi_2 = a S B_1 \sin \omega t$ sẽ không làm thay đổi trường, nó sẽ không phụ thuộc vào trường biến đổi $B_0$. Sự phụ thuộc khối (tức là phi tuyến tính) $\Phi = \Phi(B_{\text{cym}})$ đưa một thuật ngữ $(3b B_0 B_1^2 \cos 2\omega t)$ vào từ thông, tỷ lệ thuận với cả cảm ứng $B_0$ của trường ngoài biến đổi và bình phương cảm ứng của trường bị kích thích. Đây không còn là một giá trị nhỏ nữa, hơn nữa, nó có thể được điều chỉnh bằng cách thay đổi dòng điện kích thích.

Tại sao permaloy được chọn từ một số vật liệu sắt từ? Trước hết, đường cong từ hóa permalloy chứa các số hạng bậc ba phi tuyến. Ngoài ra, do permalloy có tính thấm từ cao, vốn đã đạt giá trị $\mu = 100 000$ trong trường yếu, nên trường không từ hóa sẽ tạo ra cảm ứng lớn trong lõi. Sự thay đổi cảm ứng này theo thời gian gây ra e lớn hơn. d.s. trong cuộn thứ cấp, biên độ của nó tỷ lệ thuận với cường độ của trường thay đổi và tần số bằng hai lần tần số của dòng điện cung cấp. Được tạo bởi e này. d.s. Dòng điện trong cuộn thứ cấp được chỉnh lưu thành công bằng một mạch đặc biệt và thành phần không đổi của nó đóng vai trò là thước đo của trường $B_0$.

25

Trình tự nhảy

Trong phần ghi chú này, chúng ta sẽ giải bài toán M190 từ “Bài toán lượng tử” - bài toán về một con cá xanh nhảy dọc theo hai đường thẳng. Nó có thể được giải quyết theo những cách khác nhau. Chúng ta sẽ rút gọn bài toán này thành câu hỏi sau: một đường đi được cho bởi hai hoặc nhiều chuyển động của mặt phẳng để lại một điểm O cho trước cố định (đây có thể là phép quay hoặc đối xứng); Phép biến đổi nào của mặt phẳng sẽ thu được nếu các phép biến đổi này được thực hiện tuần tự lần lượt?

Vì bản thân câu hỏi này rất thú vị và không chỉ liên quan đến giải pháp bài toán về nhạc blues, nên đôi khi chúng tôi sẽ đi chệch hướng và đưa ra các bài tập không liên quan trực tiếp đến bài toán M190.

Đầu tiên, hãy nhớ lại công thức của bài toán.

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau trên mặt phẳng. Tại điểm A₀, nằm trên đường a và cách đường b ít hơn 1, màu xanh mờ. Sau đó, cá xanh tuần tự nhảy đến các điểm B₀, A₁, B₁, A₂, B₂, …, được hướng dẫn theo các quy tắc sau (Hình 1):

1. các điểm A₀, A₁, A₂, … nằm trên đường thẳng a, các điểm B₀, B₁, B₂, … nằm trên đường thẳng b;

2. A₀B₀ = B₀A₁ = A₁B₁ = =B₁A₂ = A₂B₂ = … = 1;

3. điểm Aₙ+1 không trùng với Aₙ, ngoại trừ trường hợp A_rB_n ⊥ a (và tương tự, Bₙ+1 chỉ trùng với Bₙ nếu BₙAₙ+1 ⊥ b).

(Điều kiện 1) - 3) trình tự các bước nhảy được xác định duy nhất.)

Chứng minh rằng nếu các đường thẳng a và b thay đổi một số hữu tỉ thì đường đi của chim xanh sẽ tuần hoàn, tức là tại một thời điểm nào đó nó sẽ đến điểm ban đầu A₀ và sau đó lần lượt đi qua các điểm B₀, A₁, B₁, …, như lúc bắt đầu đường đi; và nếu là số vô tỷ thì màu xanh sẽ không đạt điểm nào quá hai lần.

Tất nhiên, thật thú vị khi hiểu không chỉ đường đi của chim xanh có “theo chu kỳ” hay không mà còn phải hiểu một cách tổng thể chuỗi các điểm A₀, B₀, A₁, B₁, …, (1) được cấu trúc như thế nào

ví dụ: học cách xác định vị trí của các điểm Aₙ và Bₙ theo số n. Trong lời giải, chúng tôi cũng sẽ nhận được đáp số cho câu hỏi này. Trong tương lai, cùng với từ “blukha” chúng ta sẽ thường xuyên sử dụng từ “điểm”.

Cơm. 1.

26

1. Một điểm nhảy dọc theo hai đường thẳng
   Việc bắt đầu bằng một thử nghiệm là điều tự nhiên:
   vẽ hai đường thẳng, trang bị cho mình một vòng tròn (thậm chí tiện lợi hơn là mét) và lấy một điểm nào đó $A_0$ làm điểm bắt đầu, xem “quỹ đạo” của đồ thị trông như thế nào. Một ví dụ như vậy được xây dựng trong Hình 1: các điểm $A_0$, $B_0$, $A_1$, $B_1$, … được kết nối tuần tự bằng các đoạn màu đỏ và đầu (có mũi tên) chỉ đường dẫn của lỗi. Bạn có thể lặp lại thí nghiệm này bằng cách chụp một góc khác giữa các đường thẳng hoặc một điểm bắt đầu khác. Sau nhiều lần trì hoãn, rõ ràng là các điểm $A_n$ (và $B_n$) rơi về một bên hoặc về phía bên kia của giao điểm $K$ của các đường $a$ và $b$. Đúng, không có tính định kỳ nghiêm ngặt ở đây:
   ví dụ: trong Hình 1, đốm sáng xuất hiện trên mỗi tia có đỉnh $K$, đôi khi hai lần liên tiếp, đôi khi ba lần. Và tất nhiên, thử nghiệm không cho phép chúng tôi tìm hiểu xem blog sau vài bước có kết thúc ở điểm xuất phát hay không $A_0$: suy cho cùng, chúng tôi chỉ có thể thực hiện các công trình xây dựng bằng phép tính gần đúng, vì vậy từ hình vẽ, chúng tôi sẽ không thể nắm bắt được sự khác biệt giữa xấp xỉ hợp lý và xấp xỉ vô tỷ.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

phế liệu. (Chỉ trường hợp góc đúng là rõ ngay; Hình 2.)

Không có hình vẽ bãi tập nào có thể gợi ý một mô hình xác định đường đi của kẻ bắt nạt đơn giản hơn quy tắc 1) - 3), được hình thành trong điều kiện bài toán.

2. Hướng nhảy
   Các liên kết liên tiếp của đường đứt nét - quỹ đạo của đồ thị - là các vectơ có độ dài đơn vị

$\vec{A}_0\vec{B}_0, \vec{B}_0\vec{A}_1, \vec{A}_1\vec{B}_1, \vec{B}_1\vec{A}_2, \dots$ (2)
(Mỗi vectơ hiển thị bước nhảy tiếp theo là gì.)

Lưu ý rằng nếu chúng ta biết vectơ $\vec{u} = A_n\vec{B}_n$ (hãy vẽ nó ở đâu đó sang một bên, trên mặt phẳng), thì chúng ta có thể xác định được điểm $A_n$ và $B_n$ nằm ở đâu.

Thật vậy, bổ đề này là đúng. Đặt $a$ và $b$ là các đường giao nhau. Với bất kỳ vectơ $\vec{u}$ (trên mặt phẳng) sẽ tìm thấy hai điểm $A$ (trên đường thẳng $a$) và $B$ (trên đường thẳng $b$) thì vectơ $\vec{AB}$ cũng bằng vectơ đã cho $\vec{u}$. Điểm $A$ và $B$ được xác định duy nhất.

Chứng minh (Hình 3). Nếu chúng ta muốn phần đầu của vectơ nằm trên đường thẳng $a$ và vectơ này bằng $\vec{u}$ thì phần cuối của vectơ phải nằm trên đường thẳng $a'$, thu được bằng cách chuyển song song đường thẳng $a$ sang vectơ $\vec{u}$ (trong Hình 3, đường thẳng $a'$ được vẽ bằng một đường chấm). Do đó, điểm $B$ phải nằm tại giao điểm của đường $b$ với đường $a'$. Sau đó, điểm $A$ dễ dàng được tìm thấy.

Razzhene 1. Cho hai điểm $C$ và $D$ và hai đường thẳng $a$ và $b$. Tìm trên các đường $a$ và $b$ các điểm tương ứng $A$ và $B$ sao cho đoạn 們 của các đoạn $AC$ và $BD$ trùng nhau; b) tứ giác $ABCD$ là một hình thang có đáy $AB$ gấp đôi đáy $CD$.

Lấy một điểm $O$ trên mặt phẳng và đặt tất cả các vectơ của dãy là

27

Cơm. 4.

(2) hoãn lại từ thời điểm này. Chúng ta ký hiệu các vectơ này bằng sự tương ứng của vectơ dãy (2), như sau:

$$\overrightarrow{OC_0}, \overrightarrow{OD_0}, \overrightarrow{OC_1}, \overrightarrow{OD_1}, \dots$$

(3) Từ bổ đề suy ra rằng, biết dãy (3), chúng ta có thể sử dụng dãy các điểm (1):

ví dụ: biết $\overrightarrow{OC_n}$, người ta có thể tìm thấy cả $A_n$ và $B_n$.

Hình 4 hiển thị “hướng khóa” (3) cho chuỗi hiển thị trong Hình 1. Lưu ý rằng các vectơ màu đỏ $\overrightarrow{OC_n}$ (tương ứng với các khóa từ dòng $a$ đến dòng $b$; $n = 0, 1, 2, \dots$) tạo thành các góc bằng nhau. Hóa ra đây là một thực tế chung và đúng với bất kỳ chuỗi khóa nào. Chúng ta hãy phát biểu nó dưới dạng một định lý.

Định lý. Nếu giá trị giữa các dòng $a$ và $b$ bằng $\gamma$ thì giá trị giữa

giữa các vectơ $\overrightarrow{OC_n}$ và $\overrightarrow{OC_{n+1}}$ bằng $2\gamma$.

Đây là thông điệp chính trong bài toán M190. Định lý có thể được chứng minh bằng cách sử dụng thực tế là hai đường liền kề bất kỳ của đường đứt nét theo dãy (2) là các cạnh bên của một tam giác cân và đáy của tam giác này lần lượt nằm trên đường thẳng $a$ hoặc trên đường thẳng $b$. Khó khăn chính trong việc chứng minh mối liên hệ là các mắt xích của một đường đứt nét có thể được định vị khác so với các đường thẳng đã cho. Ví dụ, để chứng minh định lý cho $\gamma = 60^\circ$, người ta sẽ phải xét 10 giá trị ngẫu nhiên như trong Hình 5 (các giá trị còn lại dương tính đối xứng tại giao điểm của các đường $a$ và $b$). Chúng ta sẽ làm khác đi: sử dụng khái niệm “biến đổi” và “tích của phép biến đổi”, chúng ta sẽ đưa ra một chứng minh tổng quát bao gồm tất cả các trường hợp cùng một lúc.

28

3. Điểm nhảy quanh vòng tròn

Chúng ta hãy so sánh Hình 1 và Hình 4 một lần nữa. Chúng ta hãy chọn từ chúng những đoạn bao gồm hai liên kết liên tiếp (“tam giác đùi phải” giống nhau đã thảo luận ở trên; Hình 6, a, b và 7, a, b). Nhìn vào những hình ảnh này, có thể dễ dàng hình thành một quy tắc đơn giản để xây dựng chuỗi (3).

Ta ký hiệu bằng $p$ và $q$ các đường thẳng đi qua điểm $O$ và song song với các đường thẳng tương ứng $a$ và $b$; sau đó theo thứ tự (3)

sau vectơ $OC_n$ có vectơ $OD_n$, đối xứng với nó so với đường thẳng $p$; sau vectơ $OD_n$ có một vectơ $OC_{n+1}$, đối xứng với nó qua đường thẳng $q$ (ở đây $n = 0, 1, 2, \dots$).

Độ pha loãng Y 2. Kiểm tra xem quy tắc này có tương ứng chính xác với quy tắc 1)—3) trong các điều kiện bài toán (bao gồm cả trong “biểu thức” của trường hợp).

Phần mở rộng 3. a) Chứng minh rằng nếu dãy số (1) chạm điểm $A_0$ nhiều hơn hai lần thì nó sẽ là một dấu chấm và một số điểm $C_n$ trùng với $C_0$.

6. Cho ví dụ khi chuỗi chạm điểm $A_0$ hai lần: $A_1$ khớp với $A_0$, nhưng $B_1$ không còn khớp với $B_0$.

Bạn có thể e. Đối với một điểm $A$ trên đường thẳng $a$ có nhiều nhất hai vectơ bắt đầu tại $A$, kết thúc trên đường thẳng $b$ và có độ dài bằng 1.

Bây giờ chúng ta hãy hình thành lại bài toán M190 (hay đúng hơn là bài toán đã được giảm xuống), nhưng chúng ta sẽ không nói về sự biến đổi của tori $OC_n$ và $OD_n$ thành ai đó, mà là về sự biến đổi của các đầu của chúng - các điểm nằm trên vòng tròn đơn vị.

Giả sử $p$ và $q$ là hai đường thẳng đi qua điểm $O$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $S_p$ phép biến đổi của đường tương đối đối xứng $p$ và bằng $S_q$ phép biến đổi của đường tương đối đối xứng $q$. (Chúng ta có thể coi những phép biến đổi này là phép biến đổi của tất cả các mặt phẳng lên chính chúng; ví dụ: $S_p$ gán cho mỗi điểm $X$ điểm $S_p(X)$, đối xứng với điểm $X$ so với đường thẳng $p$. Nhưng trong tương lai, chúng ta sẽ cần xem xét các điểm trên đường tròn đơn vị có tâm $O$. Rõ ràng là các phép biến đổi $S_p$ và $S_q$ ánh xạ vòng tròn đơn vị lên chính nó.) Giả sử $C_0$ là một điểm nào đó nằm ở khoảng cách 1 với $O$ và

$$C_0, D_0, C_1, D_1, C_2, D_2, \dots$$

• trình tự xác định theo điều kiện

$$D_n = S_p(C_n), C_{n+1} = S_q(D_n)$$

(Hình 8). Chúng ta phải chứng minh rằng điểm $C_n$ với neokotrom $n$ trùng với $C_0$ khi và chỉ khi góc $\gamma$ giữa các đường thẳng $p$ và $q$ được biểu thị bằng một số độ hợp lý.

Vì vậy, bài toán về việc nhảy dọc theo hai đường thẳng đã giảm xuống còn bài toán về việc nhảy dọc theo một vòng tròn.

Và định lý mà trước hết chúng ta phải chứng minh

29

khẳng định rằng $C_n C_{n+1} = 2\gamma$. trong đó $\gamma$ là góc giữa $p$ và $q$.

4. Sản phẩm chuyển đổi

Quy tắc chuyển tiếp (5) của chúng tôi sẽ được đơn giản hóa hơn nữa nếu chúng tôi kết hợp hai lần nhảy liên tiếp thành một: theo trình tự

$$C_0, C_1, C_2, \dots$$

(6)

mỗi điểm tiếp theo được lấy từ điểm trước theo quy tắc sau:

$$C_{n+1} = S_q (S_p (C_n))$$

(7)

nghĩa là, bạn cần áp dụng $S_p$ cho $C_n$, sau đó đến điểm kết quả $-S_q$.

Về giới hạn. Đặt $K$ và $L$ là hai phép biến đổi của tập hợp $M$ lên chính nó. Tích của phép biến đổi $K$ và $L$ được gọi là phép biến đổi $R$, phép biến đổi này gán điểm $X$ từ $M$ đến điểm $L(K(X))$.

Do đó, tích của phép biến đổi $K$ và $L$ chỉ đơn giản là kết quả của việc thực hiện hai phép biến đổi một cách tuần tự: đầu tiên là $K$ và sau đó là $L$. Sản phẩm $R$ có nghĩa là: $R = L \cdot K$. Viết $K$ và $L$ theo đúng thứ tự này (“từ phải sang trái”) sẽ thuận tiện ở chỗ đối với bất kỳ điểm nào $X$ đẳng thức giữ nguyên:

$$R(X) = L \cdot K(X) = L(K(X))$$

(8)

Chúng tôi đã làm rõ cụ thể thứ tự viết các “thừa số”, bởi vì để nhân một phép biến đổi, nói chung, đẳng thức $L \cdot K = K \cdot L$ không giữ được (xem Bài tập 4 bên dưới).

Tích của ba và một số biến đổi lớn được xác định theo cách tương tự: $R = R_1 \cdot R_2 \cdot R_3$ có nghĩa là bạn cần thực hiện $R_3$ trước, sau đó là $R_2$, sau đó là $R_1$. Cuối cùng, ký hiệu $R = (R_1)^n$ có nghĩa là $R$ là kết quả của việc áp dụng phép biến đổi $R_1$ $n$ lần.

Chúng ta hãy quay lại $S_p$ và $S_q$ - các phép biến đổi đối xứng của chúng ta đối với các đường thẳng $p$ và $q$. Sản phẩm của họ sẽ là gì? (Bây giờ sẽ thuận tiện hơn cho chúng ta khi giả sử rằng $S_p$ và $S_q$ là các phép biến đổi vào mặt phẳng của chính chúng.) Rõ ràng là điểm $O$ vẫn giữ nguyên dưới phép biến đổi $S_q \circ S_p$: nó đi vào chính nó cả dưới phép biến đổi $S_p$ và dưới phép biến đổi $S_q$. Điều gì xảy ra với số điểm còn lại?

Sự chuyển đổi này có thể được biểu diễn trực quan như sau. Trong quá trình biến đổi $S_p$, mặt phẳng luôn bị lật quanh đường thẳng $p$ và được “phía bên kia” chồng lên chính nó. Sau phép biến đổi thứ hai $S_q$ - đối xứng so với đường thẳng $q$ - mặt phẳng lại được chuyển sang phía chuyển tiếp. Rõ ràng rằng chuyển động của một mặt phẳng có điểm cố định $O$ và không làm thay đổi “hướng” của mặt phẳng (không làm mặt phẳng chuyển động sang phía bên kia) chỉ có thể là chuyển động quay quanh điểm $O$. Do đó, $R = S_q \circ S_p$ là phép quay của mặt phẳng một góc nào đó xung quanh điểm $O$. Chính xác là ở góc độ nào? Để trả lời câu hỏi này, chỉ cần lấy một điểm và xem điều gì sẽ xảy ra với nó là đủ. Đặt góc từ đường thẳng $p$ đến đường thẳng $q$ bằng $\gamma$ (chúng ta sẽ đếm các góc ngược chiều kim đồng hồ). Hãy lấy điểm $E$ trên dòng $p$ (Hình 9) và tìm $R(E)$. Rõ ràng $S_p(E) = E$: điểm nào của đường $p$ biến thành chính nó dưới phép biến đổi $S_p$. Và khi đó điểm $E$ nằm trên một đường thẳng, đối xứng với đường thẳng $p$ so với đường thẳng $q$, tức là bề mặt xung quanh điểm $O$ một góc $2\gamma$. Vì vậy, nếu góc từ $p$ đến $q$ bằng $\gamma$ thì $R = S_q \circ S_p$ là phép quay qua góc $2\gamma$. Điều này dẫn đến định lý chính của chúng tôi:

$$\cup C_n C_{n+1} = 2\gamma.$$

30

Cơm. 10.

Lực căng 4. Đảm bảo rằng phép biến đổi $S_p \circ S_q$ là phép quay theo góc $(-2\gamma)$, tức là phép quay $2\gamma$ theo chiều kim đồng hồ (xem tổng hợp trong Hình 4). Do đó, nếu góc $\gamma$ khác với góc 0 hoặc góc vuông thì $S_p \circ S_q \neq S_q \circ S_p$.

5. Ghi lại các phép quay và tính đối xứng của một vòng tròn

Có thể tính toán tích của biến đổi một cách hình thức. Để làm điều này, bạn cần phải nhập tọa độ. Vì chúng ta chỉ quan tâm đến các chuyển vị của mặt phẳng có điểm $O$ cho trước cố định, nên chúng ta có thể cùng với mặt phẳng đã biến đổi nói về ánh xạ của đường tròn đơn vị có tâm $O$ lên chính nó - về phép quay và sự đối xứng.

Hãy nhập tọa độ của hình tròn như thế này. Chúng ta hãy chọn phần đầu của báo cáo $E$—một trong những điểm giao nhau của đường thẳng $p$ với đường tròn đơn vị. Chúng ta gán cho mỗi điểm $X$ của đường tròn giá trị của góc $EOX$, tính từ $OE$ ngược chiều kim đồng hồ và được đo bằng độ (Hình 10); trong trường hợp này, điểm $X$ tương ứng với một tập hợp số

$$\varphi, \varphi \pm 360^\circ, \varphi \pm 2 \ 360^\circ, \dots$$

• một số khác nhau một bội số nguyên của $360^\circ$ tương ứng với cùng một điểm trên vòng tròn.

Lực căng 5. a) Phép biến đổi $S_p$ - tính đối xứng đối với đường thẳng $p$ - được tính theo công thức $S_p(\varphi) = -\varphi$.

6. Phép biến đổi $R^\alpha$—xoay theo góc $\alpha$ (ngược chiều kim đồng hồ)—được tính theo công thức $R^\alpha(\varphi) = \varphi + \alpha$.

b) Cho đường thẳng $q$ tạo một góc $\gamma$ với đường thẳng $p$. Chúng ta sẽ biểu thị thêm phép biến đổi $S_q$ bằng $S_\gamma$ để chỉ rõ góc mà đường thẳng $q$ tạo với đường thẳng “ban đầu” $p$. (Một phần, cùng với $S_p$ chúng ta sẽ viết $S_0$.) Sau đó

$$S_\gamma(\varphi) = 2\gamma - \varphi$$

Bình luận. Tất nhiên, $R^\alpha + 360^\circ = R^\alpha$ và $S_\gamma + 180^\circ = S_\gamma$ đối với bất kỳ số nguyên $n$ (góc mà đường thẳng $q$ tạo với đường thẳng $p$ được xác định bằng phép cộng bất kỳ bội số nào của $180^\circ$). Điều này hoàn toàn tương ứng với thực tế là $\varphi$ được xác định bằng phép cộng bội số nguyên của $360^\circ$.

Thì U 6. a) Chứng minh rằng $R^\gamma S_0 R^{-\gamma} = S_\gamma$. Ý nghĩa hình học của đẳng thức này là gì?

6. Chứng minh rằng $S_{\gamma_1} S_{\gamma_2} = R^{2\gamma_1 - 2\gamma_2}$ (do đó, một phần suy ra $S_0 S_\gamma = R^{-2\gamma}$ và $S_\gamma S_0 = R^{2\gamma}$)

b) Kiểm tra xem $R^\alpha R^\beta = R^\alpha + \beta$

d) Chứng minh rằng $S_\gamma R^\beta = S_\gamma - \frac{\beta}{2}$

d) Sản phẩm $R^\alpha S_\gamma$ là gì?

Hãy giải ví dụ bài toán g). Đặt điểm $X$ tương ứng với số $\varphi$. Khi đó điểm $S_\gamma^\circ R^\beta(X)$ ứng với số

$$S_\gamma\left(R^\beta(\varphi)\right) = S_\gamma(\varphi + \beta) = 2\gamma - (\varphi + \beta) = 2\left(\gamma - \frac{\beta}{2}\right) - \varphi.$$

tư thế, như chúng ta đã biết (bài tập 5 c)), $S_\gamma^\circ R^\beta = S_\gamma - \frac{\beta}{2}$.

Thì U 7. Chứng minh rằng a) $(R^\alpha)^n = R^\alpha n$

6. $(S_\gamma)^2 = I$, trong đó $I$ là phép biến đổi giống hệt nhau ($I$ giữ nguyên tất cả các điểm).

6. Kết thúc lời giải bài toán về bloxy

Vì vậy, chúng tôi phát hiện ra rằng theo chuỗi (6), mỗi điểm tiếp theo điểm trước đó bằng cách quay một góc $2\gamma$, trong đó $\gamma$ là góc giữa các đường thẳng $p$ và $q$. Do đó, $C_n$ thu được từ $C_0$ bằng cách xoay qua góc $2\gamma n$. Để $C_n$ và $C_0$ trùng nhau, điều cần thiết và đủ là góc quay phải là bội số nguyên của $360^\circ$. Rõ ràng là nếu

$$2\gamma n = 360^\circ k,$$ trong đó $k$ là số nguyên thì $\gamma$ thay đổi theo một số độ hợp lý. Ngược lại, nếu $\gamma = \frac{p}{q}$ độ thì với $n = 180^\circ q$ ta nhận được

$$2\gamma n = 360^\circ p,$$ trong đó $p$ là số nguyên, nên $C_n = C_0$.

31

Cơm. 11.

Để kết luận, một lần nữa chúng tôi khuyên bạn nên cải thiện khả năng “nhảy, rẽ và đối xứng”.

7. Tập thể dục một chút

Mặc dù hầu hết các câu hỏi bên dưới được xây dựng cho các con số cụ thể, nhưng chúng tôi khuyên bạn nên cố gắng trả lời các câu hỏi phân tích ở dạng chung (đối với các giá trị tham số tùy ý). Nếu không thì cái này thậm chí còn đơn giản hơn.

8. Đặt góc $\gamma$ giữa các đường thẳng $a$ và $b$ bằng $60^\circ$ và góc của đoạn $A_0B_0$ với tia $KA_0$ là $7^\circ$. Đoạn $A_{100}B_{100}$ sẽ tạo với tia này một góc bằng bao nhiêu? Phân đoạn $B_{100}A_{101}$?

9. Đặt góc $\gamma$ bằng một radian và $KA_0=1$. Tìm xem điểm $A_{1973}$ thuộc tia $KA_0$ hay nằm ở nửa kia của đường thẳng $a$.

10. Chứng minh rằng chu kỳ quỹ đạo của khối (nhỏ nhất $n>1$ mà tại đó $A_n=A_0$) chỉ phụ thuộc vào góc $\gamma$ chứ không phụ thuộc vào điểm mà khối bắt đầu. Khoảng thời gian này bằng bao nhiêu nếu $\gamma=72^\circ$? Hãy thử kiểm tra sự thật này bằng “thực nghiệm”.

11. Hãy để $\gamma=37^\circ$. Hỏi các điểm của dãy $A_0, A_1, A_2$, … xuất hiện bao nhiêu lần liên tiếp trên tia $KA_0$ (cho biết giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất)?

Nếu bạn muốn giải bài tập sau ở dạng tổng quát - về các mẫu trong một đường tròn - thì có thể bạn sẽ phải sử dụng lý thuyết nhỏ có trong bài tập 6 và 7. Theo mẫu, chúng tôi chỉ đơn giản muốn nói là một tập hợp không phụ của điểm $M$, bị cô lập bên trong đường tròn đơn vị: chúng ta có thể giả sử rằng đường tròn có màu trắng và đây là tập hợp

32

Sức căng bề mặt vẽ ra một hyperbol

I. I. Vorobiev

Một phương pháp đo hệ số căng bề mặt của chất lỏng dựa trên việc nâng cột chất lỏng làm ướt trong mao quản. Tuy nhiên, ống mao dẫn và microcoppes không phải lúc nào cũng có sẵn để xác định đường kính bên trong của chúng.

Hóa ra các mao mạch có thể được thay thế hoàn toàn bằng hai tấm kính. Đặt các tấm vào một bình chứa nước và dần dần đưa chúng lại gần nhau song song hơn. Nước dâng lên giữa các tấm - nó bị hút vào bởi lực của bề mặt căng (Hình 1).

Dễ dàng tính được hệ số căng bề mặt σ từ độ cao mực nước y và khe hở giữa các bản d. Lực bề mặt của bề mặt căng là F = 2 σL, trong đó L là chiều dài của tấm (cả hai xuất hiện do nước tiếp xúc với thể tích của tấm). Lực này giữ một lớp nước có khối lượng m = ρLdy,

trong đó ρ là mật độ của nước. Như vậy,

2 σL = ρLdy.

Từ đó ta tìm được hệ số căng bề mặt

σ = 1/2 ρgdy. (1)

Nhưng sẽ thú vị hơn khi làm điều này: cuộn các tấm lại với nhau ở một đầu và chừa một khoảng trống nhỏ ở đầu kia (Hình 2). Nước dâng lên và tạo thành một bề mặt đều đặn đáng kinh ngạc giữa các tấm (tất nhiên là nếu kính sạch và khô).

Có thể dễ dàng nói rằng tiết diện của bề mặt này theo mặt phẳng Hertical là một hyperbol. Trên thực tế, chỉ cần thay d vào công thức (1) cùng với biểu thức mới cho khoảng trống tại một vị trí nhất định là đủ. Từ sự giống nhau của các hình tam giác tương ứng (xem Hình 2)

d = D x/L Ở đây D là khoảng cách cuối cùng,

L vẫn là chiều dài của tấm, x là khoảng cách từ điểm tiếp xúc của các tấm đến nơi xác định khe hở và chiều cao ngang. Như vậy,

σ = 1/2 ρgdy D x/L,

hoặc

y = 2σL/ρgD · 1/x. (2)

Phương trình (2) là số thực và là phương trình hyperbol.

Để tiến hành thí nghiệm có thể lấy đĩa 10×

34

Cơ học
giúp hình học
M. B. Balk, N. A. Grigoriev

… Tôi thấy cần phải viết thư cho tôi và … nêu một số
một phương pháp đặc biệt mà chúng tôi đã nhận được
khả năng sử dụng cơ học để tìm thấy một số
định lý toán học hình xuyến. Tôi chắc chắn phương pháp này sẽ
dem không kém phần hữu ích đối với tôi để làm bằng chứng
định lý simkh.

Archimedes. “Thư gửi Eramosthenes.
Về các định lý cơ học”.

Kể từ thời Archimedes, cách đơn giản nhất
các khái niệm về cơ học - và trước hết,
Tuy nhiên, khái niệm trọng tâm của một hệ điểm vật chất mang tính chất riêng biệt.
nhiều lần và thành công lớn
hấp dẫn cho việc chứng minh các định lý hình học. Vì vậy, với sự giúp đỡ của một số
xét về mặt toán học, Archimedes là người đầu tiên chứng minh định lý về ba đường trung tuyến của một tam giác và tìm ra công thức tính thể tích của một quả bóng.
Các cân nhắc cơ học được sử dụng để tính thể tích của các vật quay khác nhau, tìm vị trí hình học của các điểm, chứng minh các bất đẳng thức và cho lời giải nhiều bài toán khác từ hình học và đại số *).

Bài viết này được viết dựa trên tư liệu từ các hoạt động được thực hiện với học sinh lớp 10 tại trường vật lý và toán học thành phố Smolensk (19 tháng 10 năm 1972) và tại Trường Thanh niên Ivanovo (ngày 1 tháng 12 năm 1972). Trong đó, chúng ta sẽ thảo luận về một định lý cơ học của nhà toán học nổi tiếng người Pháp Lagrange (1736-1813), và cho thấy định lý này cho phép chúng ta dễ dàng giải các bài toán bài toán khó trong lĩnh vực hình học cơ bản như thế nào. Như chúng ta sẽ thấy, định lý này về cơ bản là
*) Xem thêm M. B. Balk, Các ứng dụng hình học của khái niệm trọng tâm, M., Fizmatiz, 1959 (“Thư viện vòng tròn toán học,” số 9), và V. A. Uspensky, Một số ứng dụng của cơ học vào toán học, M., Fizmatiz, 1958 (“Các bài giảng phổ biến về toán học,” số 27).

đám rước là hệ quả trực tiếp của định lý Pythagore.

Trọng tâm

Cho có (xem Hình 1) hai điểm vật chất (khối lượng chính xác): Khối lượng $m_1$ (ta sẽ viết ngắn gọn như sau: $(A, m_1)$) và khối lượng B $m_2$ $(B, m_2)$.

Trọng tâm C của hai điểm vật chất $(A, m_1)$ và $(B, m_2)$ là một điểm nằm trên đoạn AB và thỏa mãn mối quan hệ sau (“quy tắc đòn bẩy” của Archimedes):

$$m_1 \cdot AC = m_2 \cdot CB.$$

Nếu tại điểm C chúng ta đặt khối lượng của cả hai điểm vật chất $m_1$ và $m_2$ thì điểm vật chất $(C, m_1 + m_2)$ phát sinh sẽ được gọi là trung tâm vật chất của các điểm $(A, m_1)$ và $(B, m_2)$. Trung tâm vật chất của ba điểm vật chất $(A_1, m_1), (A_2, m_2), (A_3, m_3)$ (Hình 2) được xác định như sau: đầu tiên bạn nên tìm trung tâm vật chất $(C, m_1 + m_2)$ của các điểm $(A_1, m_1)$ và $(A_2, m_2)$, sau đó - trung tâm vật chất $(Z, m_1 + m_2 + m_3)$ của các điểm $(C, m_1 + m_2)$ và $(A_3, m_3)$. Điểm Z sẽ là trọng tâm của hệ ba điểm vật chất $(A_1, m_1), (A_2, m_2), (A_3, m_3)$.

Cơm. 1.

35

Theo cách tương tự, tâm vật chất và trọng tâm của hệ được xác định từ số (n) điểm vật chất bất kỳ*).

Bây giờ hãy giải một bài toán.
Bài toán 1. Trong tam giác ABC (Hình 3), độ dài của dây BC, CA và AB lần lượt tương ứng với a cm, b cm và c cm. Đặt các khối lượng a e, b e và c tại các đỉnh A, B, C tương ứng. Tìm trọng tâm của các điểm vật chất này.

Chúng ta ký hiệu Z là trọng tâm của các điểm vật chất (A, a), (B, b), (C, c) và bằng C₁ là trọng tâm của các điểm vật chất (A, a) và (B, b).

Sau đó
$$a \cdot AC_1 = b \cdot C_1B,$$
Ở đâu
$$AC_1 : C_1B = b : a = AC : CB.$$

Suy ra CC₁ là phân giác của góc C. Chúng ta thay các điểm (A, a) và (B, b) bằng vật chất tâm của chúng (C₁, a + b). Khi đó trọng tâm Z phải nằm trên đoạn CC₁. Theo cách tương tự, bạn có thể đảm bảo rằng điểm Z phải nằm trên đường phân giác AA₁. Do đó Z là giao điểm của đường phân giác tresargon ABC.

Chúng ta hãy lưu ý ở đây một tính chất hữu ích của trọng tâm.

*) Có thể chứng minh rằng vị trí trọng tâm không phụ thuộc vào số điểm, nghĩa là định nghĩa của chúng ta là “đúng”.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

Gọi Z là trọng tâm của n điểm vật chất (A₁, m₁), (A₂, m₂), …, (Aₙ, mₙ), nằm trên mặt phẳng cùng phía với một số đường thẳng α (Hình 4). Gọi y₁, y₂, …, yₙ và z là khoảng cách từ điểm A₁, A₂, …, Aₙ, Z đến đường thẳng α. Sau đó
$$z = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + \cdots + m_ny_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n}.$$ (1)

Dễ dàng kiểm chứng tính đúng đắn của công thức này với n = 2 bằng cách sử dụng quy tắc đòn bẩy. Khi đó dễ dàng chứng minh công thức (1) với n = 3, rút ​​gọn trường hợp này về trường hợp n = 2. Với n tùy ý, công thức (1) được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Hãy thử tự mình kiểm tra bằng chứng này.

Momen quán tính

Khái niệm “momen quán tính” được đưa ra bởi Leonhard Euler (1707–

Cơm. 4.

36

Cơm. 5.

1783. cách đây hơn 200 năm. Giả sử có một hệ thống gồm $n$ điểm vật chất $(A_1, m_1), (A_2, m_2), \dots, (A_n, m_n)$ và chọn một điểm khác $S$. Momen quán tính của một hệ điểm cho trước đối với điểm $S$ gọi là đại lượng

$$J_S = m_1 \cdot SA_1^2 + m_2 \cdot SA_2^2 + \dots + m_n \cdot SA_n^2$$

(tổng tích các khối lượng của các điểm vật chất của hệ với bình phương khoảng cách của chúng tới điểm $S$). Tóm lại, chúng ta viết công thức (2) như thế này:

$$J_S = \sum_{i=1}^{n} m_i \cdot SA_i^2.$$

Bài 2. Một vòng tròn được mô tả gần con mồi $ABC$ từ phía $a, b, c$ (Hình 5). Chúng ta hãy biểu thị bằng $Z$ điểm giao nhau của các đường trung tuyến của đường ngang và bằng $S$ tâm của đường tròn ngoại tiếp. Tính mômen quán tính của hệ các điểm vật chất $(A, 1), (B, 1), (C, 1)$ đối với điểm $Z$ và đối với điểm $S$.

Gọi $AA_1, BB_1, CC_1$ là đường trung tuyến của tam giác, $Z$ giao điểm của chúng. Sau đó

$$J_Z = 1 \cdot ZA^2 + 1 \cdot ZB^2 + 1 \cdot ZC^2 = \frac{4}{9} \left( AA_1^2 + BB_1^2 + CC_1^2 \right) = \frac{1}{3} \left( a^2 + b^2 + c^2 \right),$$

$$J_S = 1 \cdot SA^2 + 1 \cdot SB^2 + 1 \cdot SC^2 = 3R^2,$$

trong đó $R = \frac{abc}{4S_{\triangle ABC}}$ ($S_{\triangle ABC}$ được tìm thấy theo công thức Heron).

Định lý Lagrange

Năm 1783, Lagrange thu hút sự chú ý đến tính đúng đắn của phát biểu sau.

Gọi $J_S$ là mômen quán tính của hệ các điểm vật chất $(A_1, m_1), (A_2, m_2), \dots, (A_n, m_n)$ đối với một điểm tùy ý cho trước $S$, $J_Z$ là mômen quán tính của hệ này đối với trọng tâm Z của nó. Khi đó

$$J_S = J_Z + M \cdot SZ^2,$$

(4)

đồ ăn

$$M = m_1 + m_2 + \dots + m_n.$$

Bằng chứng *. Giả sử $\alpha$ là một đường thẳng sao cho tất cả các điểm $A_1, A_2, \dots, A_n$ nằm trên cùng một phía của nó và $\alpha \perp SZ$ (xem Hình 4). Gọi $B_1, B_2, \dots, B_n, B$ là hình chiếu của điểm $A_1, A_2, \dots, A_n, Z$ lên đường thẳng $\alpha$; $A_1B_1 = y_1, A_2B_2 = y_2, \dots, A_nB_n = y_n, BZ = z, BS = s$. Từ hình thang $A_1B_1BZ$ và $A_1B_1BS$ ta có:

$$SA_1^2 - ZA_1^2 = (y_1 - s)^2 - (y_1 - z)^2 = [(y_1 - z) - (s - z)]^2 - (y_1 - z)^2.$$

Đơn giản hóa quy tắc phần và nhân cả hai phần với $m_1$, chúng ta có:

$$m_1 \cdot SA_1^2 - m_1 \cdot ZA_1^2 = m_1 \cdot SZ^2 - 2(s - z)(m_1y_1 - m_1z).$$

*) Ta giới hạn trường hợp mọi điểm vật chất đã cho đều nằm trong cùng một mặt phẳng; tuy nhiên, phát biểu này cũng đúng đối với vị trí tùy ý của điểm trong không gian (xem cuốn sách được đề cập ở trên: M. B. Balk, Ứng dụng hình học của khái niệm trọng tâm, trang 75-76).

37

Tương tự như vậy

$$m_2 \cdot SA_2^2 - m_2 \cdot ZA_2^2 = m_2 \cdot SZ^2 - 2(s - z)(m_2y_2 - m_2z),$$

$$m_n \cdot SA_n^2 - m_n \cdot ZA_n^2 = m_n \cdot SZ^2 - 2(s - z)(m_ny_n - m_nz).$$

Cộng các đẳng thức này theo số hạng và tính đến mô men quán tính nhất định (2) và công thức (1), chúng ta thu được đẳng thức cần thiết:

$$J_S - J_Z = M \cdot SZ^2.$$

Bài tập 3. Cạnh của khối đa diện đều SABC bằng a. Tính bán kính R của quả cầu ngoại tiếp hình tứ diện.

Chúng ta hãy đặt khối lượng 1 gam ở bốn đỉnh của tứ diện. Khi đó trọng tâm của bốn điểm vật chất tạo thành trùng với tâm Z của hình cầu ngoại tiếp. Chúng ta có $J_S = 3a^2$, $J_Z = 4R^2$, $M = 4$ và theo công thức (4), chúng ta thu được: $3a^2 = 4R^2 + 4R^2$, từ đó $R = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Bài 4. Biết độ dài a, b, c của tam giác ABC, tính độ dài phân giác CC$_1$ (Hình 6).

Chúng ta hãy đặt những khối lượng như vậy vào các điểm A và B sao cho điểm C$_1$ hóa ra là trọng tâm của chúng. Để làm điều này, chúng tôi lưu ý rằng theo tính chất nổi tiếng của đường phân giác AC$_1$: C$_1$B = AC:CB, tức là $a \cdot AC_1 = b \cdot C_1B$. Điều này có nghĩa là khối lượng gam phải được đặt tại điểm A, và b gam tại điểm B, trọng tâm của vật liệu của các điểm (A, a) và (B, b) sẽ là điểm C$_1$.

Theo công thức (4) chúng ta có $(a + b) \times CC_1^2 = J_C - J_{C_1}$, tức là $(a + b) CC_1^2 = (a \cdot CA^2 + b \cdot CB^2) - (a \cdot C_1A^2 + b \cdot C_1B^2)$.

Từ các đẳng thức AC$_1$: C$_1$B = b: a, AC$_1$ + C$_1$B = c ta tìm được:

$$AC_1 = \frac{bc}{a + b}, \quad C_1B = \frac{ac}{a + b}.$$

Từ (5) suy ra:

$$CC_1^2 = ab \left[ 1 - \frac{c^2}{(a + b)^2} \right].$$

Bài 5. Biết các cạnh a, b, c của tam giác ABC, tính khoảng cách giữa điểm Z giao điểm các đường trung tuyến của tam giác và điểm H giao điểm các đường cao của tam giác đó.

Chúng ta đặt các khối lượng bằng nhau (mỗi khối 1 gam) ở các đỉnh A, B, C (Hình 7). Theo công thức (3) và (4) ta có:

$$3HZ^2 = J_H - J_Z = HA^2 + HB^2 + HC^2 - \frac{1}{3}(a^2 + b^2 + c^2).$$

Để tính các khoảng cách HA, HB, HC người ta dựng tam giác A’B’C’ có các cạnh song song với các cạnh của tam giác ABC đã cho và đi qua các đỉnh của tam giác đó. Trong tam giác A’B’C’, điểm H là tâm đường tròn ngoại tiếp (kiểm tra!),

38

Cơm. 8.

và do đó $HA' = HB' = HC' = R'$, trong đó $R'$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp khoảng $\triangle A'B'C'$. Bởi vì
$$\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} = 2,$$
thì $R' = 2R$, trong đó $R$ là bán kính của hình tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Do đó $HA^2 = C'H^2 - a^2 = 4R^2 - a^2$, $HB^2 = 4R^2 - b^2$, $HC^2 = 4R^2 - c^2$. Đó là lý do tại sao
$$HZ^2 = 4R^2 - \frac{4}{9}(a^2 + b^2 + c^2),$$
trong đó $R = \frac{abc}{4S}$ và diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được tính qua các cạnh của nó bằng công thức Heron.

Một công thức khác tính mô men quán tính
Bây giờ chúng ta hãy tập trung vào một công thức khác cho mômen quán tính, công thức này được sử dụng rộng rãi trong cơ học (đặc biệt là trong cơ học thiên thể khi nghiên cứu cái gọi là các vật thể “bài toán $n$”). Công thức này hóa ra rất hữu ích cho lời giải hình học thuần túy bài toán.

Giả sử có $n$ vật liệu của các điểm $(A_1, m_1), (A_2, m_2), \dots, (A_n, m_n)$ (Hình 8). Khoảng cách giữa các điểm $A_i$ và $A_k$ được ký hiệu là $r_{ik}$. (Ví dụ: $r_{24}$ là khoảng cách của $A_2A_4$.) Biểu thức
$$\sum_{i \leqslant k \leqslant n} m_i m_k r_{ik}^2$$
biểu thị tổng của tất cả các số hạng có thể có của dạng $m_i m_k r_{ik}^2$, trong đó $i$ và $k$ là số nguyên bất kỳ từ 1 đến $n$,

$i$ nhỏ hơn $k$. (Ví dụ,
$$\sum_{1 \leqslant i < k \leqslant 3} m_i m_k r_{ik}^2$$
là viết tắt của $m_1 m_2 r_{12}^2 + m_1 m_3 r_{13}^2 + m_2 m_3 r_{23}^2$.)
Hóa ra mômen quán tính $J_Z$ của một hệ gồm các điểm vật chất so với trọng tâm Z của nó có thể được biểu thị thông qua khoảng cách lẫn nhau giữa các âm này và khối lượng của chúng:
$$J_Z = \frac{1}{M} \sum_{1 \leqslant i < k \leqslant n} m_i m_k r_{ik}^2$$
($M = m_1 + m_2 + \dots + m_n$ là tổng khối lượng của toàn bộ hệ$)$.
Chúng tôi sẽ chỉ tiến hành chứng minh cho trường hợp $n = 4$, nhưng từ thảo luận sâu hơn, sẽ thấy rõ rằng nó phù hợp với mọi $n$.
Theo định lý Lagrange ta có:
$$m_1 \cdot J_{A_1} = m_1 J_Z + m_1 \cdot M \cdot ZA_1^2,$$
hoặc, chi tiết hơn:
$$m_1 m_2 r_{12}^2 + m_1 m_3 r_{13}^2 + m_1 m_4 r_{14}^2 = m_1 J_Z + m_1 \cdot M \cdot ZA_1^2.$$
Tương tự như vậy
$$m_2 m_1 r_{12}^2 + m_2 m_3 r_{23}^2 + m_2 m_4 r_{24}^2 = m_2 J_Z + m_2 \cdot M \cdot ZA_2^2,$$
$$m_3 m_1 r_{13}^2 + m_3 m_2 r_{23}^2 + m_3 m_4 r_{24}^2 = m_3 J_Z + m_3 \cdot M \cdot ZA_3^2,$$
$$m_4 m_1 r_{14}^2 + m_4 m_2 r_{24}^2 + m_4 m_3 r_{24}^2 = m_4 J_Z + m_4 \cdot M \cdot ZA_4^2.$$
Cộng các đẳng thức này dọc theo các tia:
$$2 \sum_{1 \leqslant i < k \leqslant 4} m_i m_k r_{ik}^2 = M \cdot J_Z + M \cdot J_Z,$$
đẳng thức đó với đẳng thức cần thiết (6) (đối với $n = 4$).
Nhiệm vụ 6. Trong một vòng tròn có bán kính $R$, đặt một bức tường 100 bên phải $A_1A_2A_3 \dots A_{100}$. Tính tổng σ của các bình phương có chiều dài tất cả các đường chéo và các cạnh của nó.

39

Cơm. 9.

Chúng ta đặt 1 gam khối lượng ở mỗi đỉnh của đa giác. Trọng tâm của hệ điểm vật chất đang nổi trùng với tâm O của đường tròn. Theo công thức (6) ta có
$$\sigma = \sum_{1 \leq i < k \leq 100} A_i A_k^2 = M J_0 = (100R)^2.$$
Bài 7. Biết bán kính R của đường tròn mô tả xung quanh tam giác ABC cho trước và bán kính r của đường tròn mô tả trong cùng một tam giác, tính khoảng cách d giữa tâm của chúng.

Gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp, Z là tâm đường tròn nội tiếp, a, b, c (cm) độ dài các cạnh của tam giác. Đặt khối lượng của các gam a, b và c tương ứng tại các đỉnh A, B, C. Trọng tâm của hệ này sẽ là điểm Z. Theo công thức (4) ta có
$$J_S - J_Z = (a + b + c) d^2.$$
Sử dụng công thức (2) và (6) chúng ta thấy:
$$J_S = a \cdot SA^2 + b \cdot SB^2 + c \cdot SC^2 = (a + b + c) R^2,$$
$$J_Z = \frac{abc^2 + bca^2 + cab^2}{a + b + c} = abc.$$
Ngoài ra, theo các công thức nổi tiếng về diện tích hình tam giác, chúng ta có
$$S_{\Delta ABC} = \frac{abc}{4R} = \frac{1}{2} (a + b + c) r,$$
Ở đâu
$$abc = 2Rr (a + b + c).$$
Từ công thức (7) - (10) suy ra
$$d^2 = R^2 - 2Rr.$$
Đây là công thức mong muốn (“công thức Euler”).

Bài 8. Biết rằng trong một hình bình hành, hiệu giữa tổng bình phương độ dài tất cả các điểm trên mặt phẳng sao cho tổng bình phương khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông A_1 A_2 A_3 A_4 cho trong mặt phẳng này trên cạnh a là hằng số c^2, nếu c^2 > 2a^2?

Chúng ta đặt các khối lượng bằng nhau (mỗi khối 1 gam) tại các đỉnh của tứ giác A_1 A_2 A_3 A_4 và gọi Z là trọng tâm của hệ điểm vật chất thu được. Theo định nghĩa (2) và công thức (6) ta có
$$J_Z = ZA_1^2 + ZA_2^2 + ZA_3^2 + ZA_4^2 = \frac{1}{4} \left( A_1 A_2^2 + A_2 A_3^2 + A_3 A_4^2 + A_1 A_4^2 + A_2 A_4^2 \right).$$
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một hệ gồm hai điểm vật chất (A_1, 1) và (A_3, 1) (trọng tâm của chúng là điểm P ở giữa của đoạn A_1 A_3). Chấp nhận công thức (4):
$$ZA_1^2 + ZA_3^2 = PA_1^2 + PA_3^2 + 2ZP^2 = \frac{1}{2} A_1 A_3^2 + \frac{1}{2} PQ^2.$$
Tương tự như vậy
$$ZA_2^2 + ZA_4^2 = \frac{1}{2} A_2 A_4^2 + \frac{1}{2} PQ^2.$$
Từ (11), (12) và (13) công thức Euler mong muốn như sau:
$$(A_1 A_2^2 + A_2 A_3^2 + A_3 A_4^2 + A_4 A_1^2) - (A_1 A_3^2 + A_2 A_4^2) = 4PQ^2.$$
Bài tập

1. Giải bài toán 4 câu khác bằng công thức (6).
2. Gọi Z là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (BC=a, CA=b, AB=c). Chứng minh rằng
   $$a \cdot ZA^2 + b \cdot ZB^2 + c \cdot ZC^2 = abc.$$
3. Công thức nào biểu thị tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng mà tổng bình phương khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông A_1 A_2 A_3 A_4 cho trong mặt phẳng này với cạnh a là hằng số của c^2, nếu c^2 > 2a^2?
4. Trong một số tam giác, khoảng cách từ giao điểm của các đường trung tuyến đến tâm của đường tròn ngoại tiếp nhỏ hơn ba lần bán kính của đường tròn này. Chứng minh rằng tam giác đó đúng.