Kvant 1974, số 3 · Trang

QUANTUM
1974
3
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

Trên trang đầu tiên của trang bìa có phần bố cục về chủ đề các bài báo của A. P. Savin “Project Plane” và E. Ya. Gik “Dự án cờ vua” (trang 9-19).

Trên nền của hình ảnh phối cảnh của bàn cờ, một mô hình mặt phẳng chiếu được vẽ - một vòng tròn, các điểm đối xứng đường kính của chúng được coi là được dán lại với nhau. Sáu khu vực nhiều màu trên vòng tròn này giáp nhau theo cặp, vì vậy cần có sáu màu để tô màu chính xác cho bản đồ thu được. Hình ở khu vực giữa đề cập đến định lý Desargues, một trong những định lý đẹp nhất của hình học xạ ảnh (xem thêm trang 36).

Trên trang thứ hai của bìa bạn thấy một vòng giấy được cắt theo chiều dài. Chiếc nhẫn này được dán lại với nhau từ một dải giấy xoắn. Nếu bạn xoắn dải nửa vòng trước khi dán thì sau khi dán bạn sẽ có được một tấm Mebnus; Trong hình minh họa, dải được xoắn một vòng rưỡi.

Có thể thấy sau khi cắt dọc theo chiều dài, chiếc nhẫn không bị vỡ thành hai mảnh. Hóa ra là có thể tạo ra một chiếc nhẫn như vậy, bằng cách cắt nó dọc theo chiều dài của nó, chúng ta sẽ có được một chuỗi gồm hai hoặc thậm chí ba chiếc nhẫn. Điều này được mô tả trong bài viết của V. A. Kordemsky “Thí nghiệm tôpô bằng chính đôi tay của bạn” (trang 73-75).

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoni

Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmanov.
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillia,

nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,
phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikeeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky,

phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky,
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg.
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Beresia,
A. N. Vilenkin,
I. N. Klumova,
biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
N. A. Mini,
T. S. Petrava,
V. A. Tikhomirov.

do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Chernova

TRONG PHÒNG:
2 L. A. Artsimovich. Plasma là trạng thái thứ tư của vật chất
9 A. P. Savin. Mặt phẳng dự án
15 E. Ya. Gik. Dự án cờ vua
20 à. A. Smorodinsky. Mất bao lâu để ánh sáng truyền từ Sao Thủy?
24 V. Vâng. Sanninsky. Về một cuốn sách thú vị

Phòng thí nghiệm «Kvant»
26 G. I. Pokrovsky. Cơ chế thủy dược trong ống rơi

vòng tròn toán học
27 M. L. Gerver. 20 bài toán trước đó
32 người chiến thắng cuộc thi «Kvant»
34 Bài toán M251—M255; F263—F267
36 Lời giải bài toán M200, M208—M210; F218—F222

Xưởng của người nộp đơn
48 N. Kh. Rozov. Lời khuyên của độc giả
52 G. Ya. Myakishchev. Về định luật bảo toàn năng lượng trong cơ học
60 Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov
62 A. N. Borzk, V. I. Davydov, I. A. Dykovov, P. T. Dybov. Truyền hình đang chuẩn bị vào đại học

Đánh giá, thư mục
64 I. M. Yaelom. Chuỗi thành công
66 T. S. Petrova, M. L. Smolyansky. Sách mới
67 F. Kedrov. Tài liệu vật lý

Thông tin
68 A. I. Orlov, A. L. Rosenmal. Cuộc gặp gỡ với những điều chưa biết
69 V. A. Leshkovtsev. Cuộc thi du hành vũ trụ quốc tế XXIV

«Kvant» cho học sinh nhỏ
72 Bài toán
73 V. A. Kordemsky. Thí nghiệm tôpô của học sinh của họ
76 Đáp số, được chỉ định, lời giải

Góc sưu tầm
A. V. Altykis. Tem dành riêng cho Benjamin Franklin (trang bìa thứ 3)

Hỗn hợp (tr. 8, 23, 25, 47)

© «Kvant», 1974.

2

Plasma là một trạng thái vật chất rất phổ biến trong tự nhiên. Nghiên cứu của nó bắt đầu tương đối gần đây. Vật lý plasma mang lại nhiều hứa hẹn cho con người, chủ yếu trong lĩnh vực năng lượng. Chính vật lý plasma phải giải quyết được bài toán kiểm soát phản ứng nhiệt hạch và tạo ra các nhà máy điện nhiệt hạch. Nó cũng bao gồm việc nghiên cứu các phương pháp mới để tạo ra năng lượng điện từ nhiên liệu thông thường mà không cần sự trợ giúp của nồi hơi và tua-bin cũng như máy phát điện.

Bài viết dưới đây thuộc về thành viên vừa qua đời trong bộ sưu tập biên tập của tạp chí của chúng tôi, Viện sĩ Lev Andreevich Artsimovich. Ông là người đứng đầu nghiên cứu của Liên Xô trong lĩnh vực kiểm soát các phản ứng nhiệt hạch. Chính ông và các cộng sự đã lần đầu tiên thực hiện được những phản ứng như vậy trong điều kiện phòng thí nghiệm.

Nội dung của bài viết dựa trên một đoạn trích từ cuốn sách khoa học phổ thông “Vật lý plasma cơ bản” của L. A. Artsimovich, do nhà xuất bản Atomizdat xuất bản lần thứ ba năm 1969. Ấn phẩm này do V. A. Leshkovtsev biên soạn.

Cho một lượng nhỏ chất đó vào một bình kín làm bằng vật liệu rất chịu lửa. Hãy bắt đầu làm nóng bình, tăng dần nhiệt độ của nó. Nếu ban đầu chất chứa trong bình ở trạng thái rắn, thì khi nhiệt độ tăng lên, đến một lúc nào đó nó bắt đầu tan chảy, và ở nhiệt độ cao hơn nữa nó sẽ bay hơi và khí thu được sẽ lấp đầy toàn bộ thể tích. Khi nhiệt độ đạt đến mức đủ cao, tất cả các phân tử của khí (nếu là khí phân tử, chẳng hạn như hydro, nitơ hoặc oxy) sẽ phân ly, nghĩa là vỡ ra thành các nguyên tử riêng lẻ. Kết quả là bên trong bình sẽ chứa hỗn hợp khí của các nguyên tố tạo nên chất đó. Các nguyên tử của các nguyên tố này sẽ chuyển động nhanh chóng và hoàn toàn ngẫu nhiên, thỉnh thoảng xảy ra va chạm ngẫu nhiên với nhau.

Tốc độ trung bình của chuyển động nhiệt hỗn loạn của các nguyên tử tăng tỷ lệ với căn bậc hai của nhiệt độ tuyệt đối của chất khí. Khí càng nhẹ, nghĩa là trọng lượng nguyên tử của chất càng thấp thì càng lớn. Giá trị của tốc độ trung bình $\bar{v}$ có thể được tìm thấy bằng công thức sau:

$$\bar{v} = 1,3 \cdot 10^4 \sqrt{\frac{T}{A}}.$$ (1)

Ở đây $T$ là nhiệt độ tuyệt đối và $A$ là trọng lượng nguyên tử của chất đó. Ví dụ, từ công thức (1), nó suy ra rằng ở $T = 1000^\circ\text{K}$ tốc độ trung bình của các nguyên tử hydro là $4 \cdot 10^3\text{ m/c}$, và tốc độ trung bình của các nguyên tử thủy ngân chỉ là $3 \cdot 10^2\text{ m/c}$.

Bằng cách thay đổi nhiệt độ từ mức thấp nhất tương ứng với làm mát sâu kỹ thuật (vài độ từ độ không tuyệt đối), đến vài nghìn độ, chúng ta thực tế có thể khiến bất cứ ai

một chất trải qua ba trạng thái - rắn, lỏng và khí. Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên: tính chất của chất đó sẽ thay đổi như thế nào nếu quá trình đun nóng tiếp tục diễn ra và nhiệt độ vượt quá vài nghìn độ? Tất nhiên, ở nhiệt độ rất cao, hình ảnh mà chúng tôi mô tả về việc làm nóng một chất trong bình chịu lửa chỉ có thể được tưởng tượng về mặt lý thuyết, vì giới hạn nhiệt của ngay cả những vật liệu chịu lửa nhất cũng tương đối nhỏ - không quá 3000-4000 ° K. Tuy nhiên, hiệu ứng thực tế này không loại bỏ được câu hỏi về việc một chất sẽ hoạt động như thế nào khi nhiệt độ của nó tăng liên tục. Vì vậy, chúng tôi sẽ không từ bỏ kế hoạch đơn giản đã được thông qua vào lúc này. Chúng ta hãy giả sử rằng các thành của con tàu có khả năng kỳ diệu có thể chịu được bất kỳ nhiệt độ cao nào mà không bị sập hoặc gặp bất kỳ thay đổi nào. Vì vậy, hệ thống sưởi tiếp tục. Trong trường hợp này, ở nhiệt độ 3000-5000 ° K, chúng ta sẽ có thể nhận thấy những dấu hiệu đầu tiên về sự xuất hiện của các quá trình mới sẽ liên quan đến sự thay đổi tính chất của chính các nguyên tử của chất đó.

Như đã biết, mỗi nguyên tử bao gồm một hạt nhân tích điện dương, trong đó gần như toàn bộ khối lượng của nguyên tử tập trung và các electron quay xung quanh hạt nhân và tạo thành cái gọi là vỏ electron của các nguyên tử. Lớp vỏ này, và đặc biệt là lớp ngoài của nó, chứa các electron liên kết tương đối yếu với hạt nhân nguyên tử, có cấu trúc khá mỏng manh. Khi các nguyên tử va chạm với bất kỳ hạt chuyển động nhanh nào, một trong các electron bên ngoài có thể bị tách ra khỏi nguyên tử, biến thành ion tích điện dương. Quá trình này được mô tả và sẽ là đặc trưng nhất của giai đoạn làm nóng chất được xem xét. Ở nhiệt độ đủ cao, khí chuyển

trung tính: các ion dương và electron tự do tách ra khỏi nguyên tử xuất hiện trong đó.

Khi nhiệt độ ngày càng tăng, tỷ lệ tương đối của các ion và electron trong hỗn hợp này tăng rất nhanh. Trong các điều kiện khi chất được làm nóng ở trạng thái cân bằng nhiệt với môi trường (trong trường hợp của chúng ta, với thành của một bình lý tưởng tưởng tượng) ở nhiệt độ vài chục nghìn độ, phần lớn các nguyên tử trong bất kỳ chất nào đều là khí và các nguyên tử trung tính thực tế không có.

Đường cong trong hình cho thấy các phần tương đối và các electron tự do tách ra khỏi nguyên tử trong hydro sẽ tăng theo nhiệt độ như thế nào. Trục hoành biểu thị nhiệt độ tuyệt đối và trục tọa độ biểu thị giá trị của α - tỷ lệ giữa số lượng ion dương với số nguyên tử trung tính có mặt ban đầu trong khí, tính bằng phần trăm. Mức độ độ α không chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ mà còn phụ thuộc vào mật độ khí (mặc dù không quá nhiều). Do đó, để định nghĩa, chúng tôi lưu ý rằng hình này đề cập đến trường hợp trong 1 cm³ khí tổng số ion dương và nguyên tử trung tính bằng 7·10¹⁶. Ở nhiệt độ phòng, một loại khí có mật độ như vậy sẽ có áp suất gần 1 mm rm. cm. Ở T = 10.000 °K, số nguyên tử bị ion hóa nhỏ hơn 10% tổng số nguyên tử hydro, trong khi ở T = 30.000 °K có 2·10⁴ nguyên tử dương (pro-

4

tông màu) chỉ có một nguyên tử trung tính xuất hiện.

Lớp vỏ electron của nguyên tử hydro chỉ chứa một electron và do đó sự mất electron kết thúc. Trong nguyên tử của các nguyên tố khác, lớp vỏ electron có cấu trúc phức tạp hơn. Nó bao gồm các electron có mức độ kết nối khác nhau với toàn bộ nguyên tử. Các electron thuộc lớp ngoài của lớp vỏ thoát ra tương đối dễ dàng. Như đã đề cập ở trên, ở nhiệt độ khoảng 30.000 °K hầu như không còn sự kết hợp của các nguyên tử trung tính. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể nói về sự ion hóa hoàn toàn của khí. Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa là quá trình xử lý đã kết thúc, vì các ion dương trong phạm vi nhiệt độ đã đề cập vẫn giữ lại một phần đáng kể “quần áo điện tử” của chúng.

Số nguyên tử của một nguyên tố trong hệ thống tuần hoàn của Mendeleev càng lớn thì số lượng electron trong nguyên tử càng lớn và các electron ở các lớp bên trong của lớp vỏ càng liên kết với hạt nhân nguyên tử. Do đó, sự ion hóa cuối cùng của các nguyên tử của các nguyên tố nặng như vậy chỉ xảy ra ở nhiệt độ rất cao (hàng triệu, thậm chí mười triệu độ). Lưu ý rằng trong chất khí nặng, trong quá trình ion hóa cuối cùng, đối với mỗi electron dương sẽ chỉ có cùng số electron tự do như số electron ban đầu ở trạng thái liên kết trong nguyên tử. Trong trường hợp này, toàn bộ khí vẫn trung tính, vì bản thân quá trình ion hóa không tạo ra sự vượt quá điện tích của dấu hiệu này hay dấu hiệu khác.

Quá trình von hóa khí ở nhiệt độ cao bao gồm nhiều quá trình tương tác khác nhau giữa các nguyên tử riêng lẻ, với mặt khác là các electron, ion và bức xạ ánh sáng.

Một loại khí trong đó một phần đáng kể các nguyên tử được phân tử hóa được gọi là plasma. Tên này được đề xuất vào năm 1923 bởi các nhà vật lý người Mỹ Langmuir và Tonk. Plasma là dạng tồn tại bình thường của vật chất ở nhiệt độ khoảng 10.000 ° K trở lên. Đồng thời, đó cũng là trạng thái vật chất phổ biến nhất trong điều kiện tự nhiên. Mặt trời và tất cả các ngôi sao không gì khác hơn là những khối plasma nhiệt độ cao khổng lồ. Lớp trên của lớp vỏ khí quyển Trái đất cũng được hình thành từ plasma - đây được gọi là tầng bán cầu.

Để tiếp cận plasma dễ hiểu, chúng tôi đã tận dụng ý tưởng đơn giản là làm nóng một chất ở trạng thái lý tưởng nào đó. Tuy nhiên, về mặt thực tế, đây hoàn toàn không phải là phương pháp thực tế và trong mọi trường hợp, không phải là phương pháp sản xuất plasma dễ dàng khả thi nhất. Cả trong các thí nghiệm trong phòng thí nghiệm và trong điều kiện kỹ thuật sản xuất plasma, các loại phóng điện điện tử khác nhau trong chất khí đều được xem xét. Trong quá trình phóng điện tử, một dòng điện đi qua chất khí. Chất mang dòng điện này là các electron và ion, hình thành do quá trình ion hóa khí. Bản thân quá trình này gắn bó chặt chẽ với sự đi qua của dòng điện. Chỉ nhờ có dòng điện trong chất khí mà các ion và electron mới luôn xuất hiện và do đó mức độ onization được duy trì ở một mức nhất định. Cho dù đó là tia sét, hồ quang điện tử, sự phóng điện có màu sắc trang nhã trong ống quảng cáo hay sự phóng điện trong đèn huỳnh quang - trong mọi trường hợp, chúng ta đang xử lý các hiện tượng xảy ra trong plasma bị ion hóa cao.

Đồng thời, có một điểm khác biệt giữa plasma, khi chất này được làm nóng, sẽ trở nên ngang bằng với bình chứa nó và plasma của khí phóng điện. Plasma của chất khí phóng điện không ở trạng thái cân bằng tương đối về nhiệt. Cô ấy sưởi ấm

5

Nó được làm mát từ bên trong do năng lượng được giải phóng trong quá trình dòng điện chạy qua và được làm mát từ bề mặt do tiếp xúc với thành lạnh của thiết bị xả khí hoặc với các lớp khí thông thường xung quanh. Plasma được tạo ra bởi sự phóng điện khí mạnh có thể nóng hơn nhiều lần so với kim loại, thủy tinh hoặc khí trung tính bao quanh nó. Ngoài ra, một plasma như vậy còn không cân bằng nhiệt ở một khía cạnh nữa. Nó bao gồm một hỗn hợp của một số thành phần, được làm nóng không đều. Tuy nhiên, trong số các thành phần này là các electron, thành phần khác là các ion dương và thành phần thứ ba là các nguyên tử trung tính. Chúng cũng được trộn đều với nhau, giống như oxy và nitơ trong khí quyển.

Ngược lại với hỗn hợp khí nói chung, tất cả các phần của chúng, tùy thuộc vào thành phần này hay thành phần khác, có cùng động năng trung bình của chuyển động nhiệt ngẫu nhiên, động năng trung bình của các electron, electron và nguyên tử trung tính của plasma phóng điện trong khí là khác nhau. Theo quy luật, các electron có năng lượng cao hơn các ion và động năng của các ion có thể vượt quá năng lượng của các nguyên tử và phân tử trung tính. Pozny có thể nói rằng plasma là hỗn hợp của các thành phần có nhiệt độ khác nhau. Như đã biết, giá trị trung bình động năng $\bar{E}$ của một phần khí tham gia chuyển động nhiệt ngẫu nhiên liên hệ với nhiệt độ $T$ theo công thức đơn giản sau:

$$\bar{E} = \frac{3}{2} k T,$$

trong đó $k$ là hằng số Boltzmann.

Do sự khác biệt về động năng trung bình của các electron, electron và các phần trung tính trong plasma, cùng với một nhiệt độ chung, cần phân biệt ba nhiệt độ khác nhau - điện tử $T_3$, thực tập $T_и$ và nguyên tử $T_a$. Thông thường $T_3 \gg T_и > T_a$. Sự khác biệt rất lớn giữa $T_3$ và $T_и$, đặc trưng của hầu hết các dạng phóng điện khí, là do sự khác biệt rất lớn về khối lượng electron của các ion. Các nguồn năng lượng điện bên ngoài, với sự trợ giúp của việc tạo ra và duy trì sự phóng điện khí, truyền năng lượng trực tiếp đến các electron plasma, vì chính các electron nhẹ mang dòng điện. Chúng thu được năng lượng bằng cách va chạm với các electron chuyển động nhanh. Tuy nhiên, trong mỗi va chạm riêng lẻ, do khối lượng chênh lệch quá lớn nên electron nhẹ chỉ truyền một phần động năng nhỏ sang nó, bật ra như một quả bóng bàn chạm vào một quả bóng thép khổng lồ.

Một phân tích đơn giản dựa trên việc áp dụng định luật bảo toàn năng lượng và định luật bảo toàn động lượng cho thấy rằng nếu một vật có khối lượng nhỏ $m_1$ va chạm đàn hồi với một vật có khối lượng lớn gấp nhiều lần $m_2$, thì tỉ lệ động năng tương đối mà vật nhẹ có khả năng truyền sang vật nặng không thể vượt quá $\frac{4m_1}{m_2}$ (bạn hãy thử chứng minh điều này nhé). Tỷ lệ khối lượng của một electron so với khối lượng của nó bằng $1:1840 A$, trong đó $A$ là trọng lượng nguyên tử của chất thuộc về nó. Do đó, giá trị tương đối nhất của năng lượng được truyền trong một vụ va chạm chỉ vào khoảng $2 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{1}{A}$.

Một electron phải trải qua rất nhiều va chạm với electron để loại bỏ hoàn toàn năng lượng dư thừa mà nó có.

Vì song song với các quá trình trao đổi năng lượng giữa các electron và ion, còn có quá trình thu nhận năng lượng của các electron từ các nguồn điện.

6

Do dòng điện cung cấp sự phóng điện xảy ra trong plasma trong quá trình phóng khí, nên sự chênh lệch nhiệt độ lớn giữa các electron và ion thường được duy trì mọi lúc. Vì vậy, ví dụ, trong các thiết bị phóng điện khí nêu trên (ống quảng cáo, đèn huỳnh quang, bộ chỉnh lưu quay, v.v.), các giá trị $T_3$ thường nằm trong khoảng vài chục nghìn độ, trong khi các giá trị $T_1$ và $T_2$, theo quy luật, không vượt quá một đến hai nghìn độ. Trong quá trình phóng điện hồ quang, được sử dụng để hàn điện, nhiệt độ của electron và ion gần nhau do trong trường hợp này sự phóng điện xảy ra trong chất khí có mật độ cao hơn và sự va chạm giữa các electron và ion nhanh chóng cân bằng chênh lệch nhiệt độ. Tuy nhiên, ngay cả khi phóng điện hồ quang, $T_3$ vẫn lớn hơn $T_1$ ($T_3$ ở mức vài chục nghìn độ, còn $T_1$ và $T_2$ là khoảng 6000 °K).

Trong một số điều kiện đặc biệt trong plasma tích điện cao, nhiệt độ ion có thể vượt quá đáng kể nhiệt độ electron. Những điều kiện như vậy phát sinh, ví dụ, trong quá trình phóng điện ngắn hạn với công suất rất cao trong các điều kiện thí nghiệm được thiết kế để nghiên cứu các phương pháp tạo ra cái gọi là phản ứng nhiệt hạch.

Bây giờ chúng ta hãy tinh chỉnh phần nào sự hiểu biết chung về plasma và các đặc tính chính của nó. Plasma, tức là một loại khí được truyền vào, có thể có thành phần khá phức tạp. Ngay cả khi plasma được hình thành do cảm ứng của các quá trình hóa học, chẳng hạn như nitơ, oxy hoặc hơi thủy ngân, thành phần ion của nó sẽ chứa các loại ion khác nhau - với một, hai, ba hoặc nhiều điện tích cơ bản. Cần lưu ý rằng ngoài các ion nguyên tử, các ion phân tử, cũng như các nguyên tử và phân tử trung tính, có thể có mặt. Mỗi thành phần này sẽ đặc trưng cho các giá trị nhiệt $n_1$ và nhiệt độ $T$. Trong trường hợp đơn giản nhất, khi chúng đều là các ion nguyên tử tích điện đơn và thành phần trung tính hoàn toàn phân ly và chỉ bao gồm các nguyên tử thì các electron, ion và các nguyên tử trung tính sẽ có mặt trong plasma. Những điều kiện như vậy chỉ được tạo ra trong quá trình phóng điện mạnh ở hydro, tác dụng hoặc tritium. Trong ví dụ đã cho, nồng độ của các ion $n_1$ xấp xỉ bằng nồng độ của electron $n_3$. Trong trường hợp tổng quát hơn, khi plasma chứa các ion tích điện đơn có nồng độ $n_1$, các ion tích điện kép có nồng độ $n_2$, các ion tích điện ba lần có nồng độ $n_3$, v.v., chúng ta có thể viết phương trình gần đúng sau:

$$n_3 = n_1 + 2n_2 + 3n_3 + \dots$$

Sự tương ứng giữa nồng độ điện tích âm và dương trong huyết tương cho thấy rằng toàn bộ huyết tương là chuẩn trung tính, nghĩa là không có sự vượt quá đáng chú ý của điện tích của dấu này so với điện tích của dấu kia.

Cần phải đề cập đến đặc tính này của plasma chi tiết hơn một chút, vì nó có tầm quan trọng đáng kể và trong trường hợp cuối cùng, nó chứa đựng chính định nghĩa của khái niệm “plasma”.

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: các điều kiện gần như trung tính cần được quan sát ở mức độ chính xác nào trong một chất khí được truyền vào? Cho dù quá trình tạo ra được tạo ra như thế nào, lời khuyên trước là phải có lượng điện tích dương và âm bằng nhau. Do sự khác biệt về tốc độ chuyển động của electron và ion, các electron có thể dễ dàng rời khỏi thể tích mà chúng bắt nguồn. Do đó, nếu do quá trình hình thành nguyên tử, ban đầu số lượng điện tích trái dấu giống nhau được hình thành, thì do sự biến mất nhanh chóng của các electron chết trên thành

7

thiết bị, bên trong có khí bị ion hóa, có vẻ như chúng sẽ vẫn ở số lượng lớn hơn đáng kể, nghĩa là không có nghi ngờ gì về bất kỳ tính gần như trung tính nào.

Mặt khác, cần phải tính đến việc rò rỉ sơ cấp điện tích của một dấu hiệu (electron) trong khí bị ion hóa, ngay lập tức hình thành một điện tích dư của dấu hiệu khác, giúp cân bằng dòng electron của các ion và ngăn cản sự gia tăng chênh lệch giữa nồng độ hạt của cả hai dấu hiệu. Các điều kiện theo đó hiệu ứng này sẽ đủ để hỗ trợ tính gần như trung lập có thể được giải thích bằng những cân nhắc sau đây.

Để đơn giản, chúng ta hãy giả sử rằng trong chất khí bị ion hóa, ngoài các electron, chỉ có các ion tích điện đơn lẻ chiếm ưu thế. Giả trung lập có nghĩa là $n_3$ khác rất ít so với $n_1$. Độ lệch đáng chú ý của $n_3$ so với $n_1$ sẽ ảnh hưởng đến hoạt động của từng hạt riêng lẻ như thế nào? Rõ ràng, mọi thứ sẽ phụ thuộc vào mức độ ảnh hưởng theo nghĩa bóng của điện trường phát sinh với độ lệch như vậy đối với chuyển động của các hạt tích điện. Hai trường hợp cực đoan ngay lập tức nổi bật ở đây. Nếu số lượng hạt tích điện trong thể tích nhỏ thì điện trường do chúng tạo ra quá yếu để ảnh hưởng đến chuyển động của chúng, ngay cả khi tất cả các trường cộng lại. Trong trường hợp này, các electron và ion riêng lẻ trong hành vi của chúng không hề có mối liên hệ nào với nhau và với từng hạt chuyển động như thể những hạt khác không có mặt. Do đó, các điều kiện gần như trung lập không được yêu cầu ở đây. Trường hợp ngược lại tương ứng với một loại khí bị ion hóa có nồng độ hạt tích điện cao chiếm thể tích khá lớn. Trong trường hợp này, các khoản phí vượt mức phát sinh do vi phạm nghiêm trọng sự bình đẳng giữa $n_3$ và $n_1$,

$$r \gg 5 \sqrt{\frac{T_3}{n_3}}.$$

(3)

Trong sự tương ứng này, $n_3$ là nồng độ của các hạt tích điện (số lượng electron trên một đơn vị thể tích) và $r$ là kích thước tuyến tính của vùng bị chiếm bởi khí bị ion hóa, ví dụ, bán kính của bình cầu chứa khí này. Sự xuất hiện của đại lượng $r$ trong biểu thức này không khó để phân biệt. Đối với một nồng độ nhất định của các hạt tích điện, thế năng immi được tạo ra và do đó là thế năng của từng hạt riêng lẻ, phụ thuộc vào kích thước của vùng mà các hạt này nằm trong đó. Do đó, đại lượng đặc trưng cho kích thước này phải được đưa vào công thức biểu thị các điều kiện của giả trung hòa. Đại lượng $5 \sqrt{\frac{T_3}{n_3}} = r_D$ được gọi là bán kính Debye theo tên nhà vật lý người Đức Debye.

Theo điều kiện (3), nếu kích thước của vùng được bao phủ bởi khí ion hóa có nồng độ cho trước $n_3$ và nhiệt độ electron

8

turoy $T_3$, vượt quá đáng kể $r_D$, thì bên trong khu vực này $n_3 \approx n_n$.
Trong trường hợp này, với độ lệch mạnh $n_3$ so với $n_n$, một trường điện tử được hình thành sẽ đẩy các hạt có dấu hiệu này (hiện diện vượt quá) và trì hoãn sự ra đi của các hạt có dấu hiệu khác. Một cơ chế như vậy, tự động duy trì sự bình đẳng của $n_3$ và $n_n$, sẽ chuyển sang hoạt động trong trường hợp khi $r \ll r_D$. Trong các khối có kích thước tuyến tính nhỏ hơn đáng kể so với $r_D$, các trường điện tử phát sinh khi $n_3$ lệch khỏi $n_n$ sẽ quá nhỏ để có tác động rõ rệt đến chuyển động của từng hạt riêng lẻ.

Bây giờ chúng ta có thể đặt một ý nghĩa cụ thể hơn vào khái niệm “plasma”. Cho đến khi chúng ta xử lý một số lượng tương đối nhỏ các hạt tích điện không có khả năng tạo ra một trường đủ mạnh để nó ảnh hưởng đáng kể đến bề mặt của mỗi hạt, thì việc nói về sự hiện diện của một trạng thái mới nào đó của vật chất là vô nghĩa. Một dạng vật chất mới - plasma - tương ứng với trạng thái khi số lượng electron của các ion hiện tại lớn đến mức ngay cả các thành phần electron hỗn hợp nhỏ so với thành phần ion cũng không thể xảy ra do trường điện tử mạnh phát sinh khi sự đẳng thức giữa $n_3$ và $n_n$ bị vi phạm. Do đó, khí bị ion hóa chỉ có quyền trở thành plasma nếu điều kiện (3) được thỏa mãn với một giới hạn vừa đủ.

Cần nhấn mạnh rằng tính gần như trung tính của huyết tương chỉ được quan sát thấy trong thể tích đủ lớn. Nếu chúng ta cô lập một khối bên trong plasma ở cạnh $x$, nhỏ hơn đáng kể so với $r_D$, thì bên trong khối này, số lượng ion có thể khác đáng kể so với số lượng electron. tỷ lệ $x/r_D$ càng nhỏ thì sự khác biệt giữa độ lớn của tỷ lệ $n_3/n_n$ và sự thống nhất càng lớn.

Dấu hiệu gốc xuất hiện như thế nào?
Việc rút gốc được biểu thị bằng dấu $\sqrt{}$. Không phải ai cũng biết rằng đây là hình ảnh của chữ cái Latinh $r$, chữ cái đầu tiên trong từ “gadix” trong tiếng Latinh, được gọi là “root”.
Vào thế kỷ 16, dấu gốc không phải là chữ thường mà là chữ in hoa $R$, và chữ cái đầu tiên của các từ Latin “cadratus” - “square” (q) hoặc “subisc” - “cubic” (c) được đặt bên cạnh để cho biết gốc nào cần được trích xuất. Ví dụ: họ đã viết $R.q.4352$ cùng với cái mới $\sqrt{4352}$.

Tìm số

1. Tìm một số có ba chữ số sẽ được đọc từ phải sang trái, giữ nguyên giá trị của nó nếu chúng ta giả sử rằng trong trường hợp này nó được mô tả trong hệ thống số có chín chữ số.
2. 3, 5, 7 - cho các số nguyên tố lẻ liên tiếp. Có số nguyên tố lẻ liên tiếp nào trong chuỗi tự nhiên không?
3. Tìm một số có bốn chữ số bằng bình phương của số tạo bởi hai chữ số cuối của số đó.
4. Tìm một số có hai chữ số có bình phương bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.
5. Tìm một số có bốn chữ số bằng lũy ​​thừa bậc 4 của tổng các chữ số của nó.
6. Tìm một số là số chính phương nếu biết rằng trong hệ năm chữ số nó là số có bốn chữ số và nếu nó được viết trong hệ bảy chữ số thì nó được biểu thị bằng chính các chữ số đó.

9

Bản vẽ và kế hoạch

Gần đây, khi đang viết lại sách giáo khoa khoa học lớp 3, tôi nhận thấy hai bức tranh: một lớp học do một họa sĩ vẽ (Hình 1) và một bản đồ của lớp đó (Hình 2). Hãy nhìn vào họ. Lớp học trong Hình 1 được thể hiện như bạn thấy nó đứng ở bảng đen. Còn kế hoạch thì sao? Có lẽ bạn chưa từng thấy lớp học của mình như thế này, ngay cả khi bạn trèo lên chiếc ghế được xếp thành từng cặp.

Tuy nhiên, để vẽ được một lớp học, căn phòng, sân trường đẹp - bài toán khó khăn hơn nhiều so với việc vẽ sơ đồ tương ứng. Thật vậy, để vẽ một sơ đồ, chỉ cần kiên nhẫn và thay đổi kích thước của các vật thể cũng như khoảng cách giữa chúng, sau đó chuyển sang một tờ giấy theo tỷ lệ là đủ. Một nhiệm vụ khả thi đối với bất kỳ học sinh lớp ba nào.

Còn bản vẽ thì sao? “Cần có tài năng,” bạn nói. Chà, không nghi ngờ gì nữa, Galya Misevich đến từ Kyiv là một cô gái tài năng; một bức vẽ do anh thực hiện năm 7 tuổi (Hình 3) đã tô điểm cho trang bìa của tạp chí “Murzilka”. Tuy nhiên, có điều gì đó không ổn ở anh ấy. Nó… thiếu tính cách!

Lần đầu tiên, các nghệ sĩ thời Phục hưng, đặc biệt là Albrecht Duer (1471-1528) và Leonardo da Vinci (1452-1519), bắt đầu quan tâm đến việc khắc họa chính xác các nhân vật. Sau đó, đến lời giải các nhà toán học bài toán này đã có mặt và tạo ra một hình học thiết kế - khoa học tuyệt đẹp, nền tảng của nó được đặt ra bởi Gerard Desart (1593-1661) và Blaise Pascal (1623-1662).

Cơm. 1. Hình 2.

10

Cơm. 3.

Nhìn ra ngoài cửa sổ. Bạn sẽ thấy phong cảnh. Bây giờ hãy tưởng tượng rằng đây không phải là một cửa sổ mà là một bức tranh. Rõ ràng không thể trách “tác giả” của bức ảnh này có góc nhìn không tốt. Hãy thử lặp lại bức tranh này, chẳng hạn như dùng phấn trực tiếp trên kính cửa sổ. Hãy cài đặt nó và đưa nó vào cửa sổ. Và sau đó “bức tranh” bắt đầu thay đổi - các vật thể mới sẽ xuất hiện trên đó và những vật thể ở đó sẽ bắt đầu trộn lẫn và thay đổi hình dạng của chúng. Tuy nhiên, chúng ta hãy đi lên cửa sổ và cố gắng khắc họa những gì chúng ta nhìn thấy. Xảy ra lỗi: đầu cử động nhẹ và hình ảnh thay đổi, hình ảnh di chuyển sang nơi khác. Phải làm gì?

Hãy xem bản khắc của A. Durer (Hình 4). Bằng cách sử dụng một thiết bị khéo léo, người nghệ sĩ vẽ phần đế sao cho có thể nhìn thấy được từ điểm gắn con vít vào tường. Sử dụng công cụ này và bạn sẽ có thể mô tả chính xác phối cảnh của phong cảnh trong cửa sổ của mình. Tuy nhiên, đừng nghĩ rằng bạn đã trở thành một nghệ sĩ. Máy ảnh sẽ tái tạo bức ảnh này chính xác hơn nữa, nhưng để bức ảnh trở thành một tác phẩm nghệ thuật thực sự thì cần phải có tài năng.

Nhưng hãy tạm dừng việc vẽ tranh và chuyển sang hình học. Hãy xem xét sơ đồ phương pháp Durer (Hình 5). Hãy xác định mặt phẳng P và điểm O trong không gian. Để dựng ảnh của một điểm N trên mặt phẳng P, chúng ta vẽ một đường thẳng đi qua các điểm N và O. Điểm N₁ mà tại đó đường thẳng này cắt mặt phẳng P sẽ là ảnh của điểm N trên mặt phẳng P. Phương pháp dựng ảnh này được gọi là phép chiếu tâm lên mặt phẳng P từ điểm O.

Xét hình chiếu tâm từ một điểm O nào đó của các hình,

11

Zhashikh trong mặt phẳng ngang $Q$, trên mặt phẳng thẳng đứng $P$ (Hình 6). Lưu ý rằng trong trường hợp này, các kỹ thuật sẽ trở thành kỹ thuật trực tiếp. Thật vậy, chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng đi qua một đường thẳng trên mặt phẳng $Q$ và một điểm $O$. Đường giao nhau của nó với mặt phẳng $P$ sẽ là ảnh của đường thẳng đã chọn. Rõ ràng là nếu hai đường thẳng cắt nhau (không nằm trên đường $l_2$, xem Hình 8 bên dưới), thì ảnh của chúng cũng giao nhau. Ngay cả hình ảnh của các đường thẳng song song cũng có thể giao nhau (Hình 7), và điểm $N_1$ giao điểm của các đường này nằm trên đường $l$ đi qua điểm $O$ và song song với mặt phẳng $Q$ (đây là cách các đường ray “giao nhau” trên đường chân trời).

Và đường nào trên mặt phẳng $Q$ tương ứng với đường “ngang” $l_1$ trên mặt phẳng $P$ - “đường ngang”? Không có đường dây trực tiếp như vậy. Đồng thời, đối với bất kỳ đường thẳng nào khác trong mặt phẳng $P$ đều có một đường thẳng trong mặt phẳng $Q$ tương ứng với nó (chọn). Mặt khác, đối với đường thẳng $l_2$ giao điểm của mặt phẳng $Q$ với mặt phẳng $R$ (R song song với mặt phẳng $P$ và đi qua điểm $O$, xem Hình 8) và chỉ đối với đường thẳng này không có hình ảnh nào trên mặt phẳng $P$ cho bất kỳ điểm nào của nó và thậm chí cả hình ảnh của các đường thẳng song song với $l_2$ và nằm trong $Q$ không cắt nhau trên $P$. Mong muốn loại bỏ sự “phân biệt đối xử” như vậy đã dẫn đến việc tạo ra khái niệm về mặt phẳng xạ ảnh.

cơm. 5.
cơm. 7.

cơm. 6.
cơm. 8.

12

Mặt phẳng dự án

Chúng ta hãy bổ sung về mặt tinh thần cho mặt phẳng tổng quát những điểm thuộc một “đường thẳng” khác, mà chúng ta sẽ gọi là “xa vô cùng” (chúng ta cũng sẽ gọi các điểm của nó là “xa vô cùng”). Hãy kết nối các phần tử của mặt phẳng với các phần tử mới được giới thiệu.

Đầu tiên, chúng ta sẽ giả sử rằng bất kỳ đường thẳng nào của mặt phẳng cắt nhau với một đường thẳng ở vô cực và hơn nữa, tại một điểm duy nhất (điểm này, đương nhiên, sẽ ở vô cực, vì nó thuộc về đường thẳng ở vô cực).

Thứ hai, chúng ta sẽ giả sử rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho sẽ cắt đường thẳng ở vô cực tại cùng một điểm với đường thẳng đã cho. thì điểm này là giao điểm của tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng này (theo nghĩa song song trên một mặt phẳng chung).

Bây giờ, với phép chiếu tâm, đường thẳng $l_1$ có thể coi là ảnh của “đường thẳng vô cực” của mặt phẳng $Q$, và ảnh của đường thẳng $l_2$ - “đường thẳng vô cực” của mặt phẳng $P$, và chỉ là giao điểm của “đường thẳng vô cực” của mặt phẳng $Q$ với đường thẳng $l_2$ không có chỗ nào trên đường thẳng $l_1$, tức là điểm này sẽ giữ nguyên “ở vô cực” (và tương tự đối với mặt phẳng “đường vô cực” $P$ và đường thẳng $l_1$).

Các tính chất của mặt phẳng xạ ảnh thu được là gì? Và điều này phụ thuộc vào việc bạn nhìn họ từ quan điểm nào. Điều tự nhiên nhất là coi những đặc tính của mặt phẳng xạ ảnh không thay đổi trong quá trình chiếu tâm. Thật vậy, trong trường hợp này, sự khác biệt giữa các đường thẳng trên mặt phẳng ban đầu và đường thẳng ở vô cực bị loại bỏ, vì các tính chất của đường thẳng ở vô cực $Q$ trong trường hợp này sẽ hoàn toàn tương ứng với các tính chất của đường thẳng $l_1$ của mặt phẳng $P$.

Chúng tôi liệt kê những đặc điểm chính của các thuộc tính này:

1. Đối với hai điểm bất kỳ, có một và chỉ một đường thẳng mà chúng đồng thời thuộc về.
2. Hai đường thẳng bất kỳ cắt nhau tại một và chỉ một điểm.

Trong trường hợp này, các góc giữa các đường thẳng cũng được cho; giá trị của chúng không được bảo toàn trong quá trình thiết kế trung tâm và khoảng cách giữa các điểm không được bảo toàn. Mỗi trường hợp này đều làm nghèo hình học của mặt phẳng xạ ảnh. Tuy nhiên, một lý thuyết có ý nghĩa hơn đã xuất hiện, được gọi là hình học xạ ảnh và được phân biệt bởi sự cực kỳ tao nhã trong các định lý của nó. Đây là một trong số đó.

Định lý Desagre. Đặt dữ liệu là các đường thẳng cắt nhau tại điểm $O$. Đặt các điểm $A$ và $A_1$ nằm trên một dòng, $B$ và $B_1$ trên một dòng khác, và $C$ và $C_1$ trên dòng thứ ba. Khi đó giao điểm của đường $AB$ và $A_1B_1$,

Cơm. 9.

Cơm. 10.

13

AC và A₁C₁, BC và B₁C₁ nằm trên cùng một đường thẳng (Hình 9).

Trên mặt phẳng tổng quát, định lý này dùng để phân tách một số trường hợp có một số đường thẳng song song. Đây là một định lý khác.

Định lý Pap. Cho các điểm A, B và C nằm trên một đường thẳng, còn các điểm A₁, B₁ và C₁ nằm trên một đường thẳng, phương thức giao nhau của các đường AB₁ và A₁B, AC₁ và A₁C, BC₁ và B₁C nằm trên cùng một đường thẳng (Hình 10).

Và định lý này trên mặt phẳng tổng quát cần được làm rõ trong trường hợp các đường thẳng song song.

Một trong những đặc tính đáng chú ý nhất của hình học dự án là “nguyên lý đối ngẫu”: trên mặt phẳng dự án, định lý nào vẫn còn giá trị nếu trong đó toàn bộ lớp “mochika” được thay thế bằng lớp “đường thẳng”, lớp “đường thẳng” bằng lớp “mochika” và hoán đổi các biểu thức: “chúng ta nằm trên…” và “chúng ta đi qua…”. Một ví dụ về tính đối ngẫu như vậy có thể là các đặc tính trên của mặt phẳng thiết kế.

Bài tập
Hình thành các định lý kép với các định lý của Desargues và Pappus.

Đối với những người quan tâm đến hình học thiết kế, chúng tôi khuyên bạn nên đọc những cuốn sách được liệt kê ở cuối bài viết. Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại mặt phẳng thiết kế, như một đối tượng hình học.

Thiết kế mô hình mặt phẳng

Chúng tôi thu được mặt phẳng xạ ảnh bằng cách giới thiệu “điểm ở vô cực” và “đường thẳng ở vô cực”. Có thể thấy được điều gì đã xảy ra từ việc này? Chúng ta đã nhìn thấy “đường thẳng ở vô cực” (không có một điểm) khi chiếu mặt phẳng xạ ảnh Q lên mặt phẳng P. Nhưng đồng thời, các điểm khác “tiến đến vô cùng” - đường l₂. Tôi muốn có được một mô hình của mặt phẳng thiết kế trong đó tất cả các điểm đều có thể nhìn thấy được.

Một mô hình như vậy gần như đã được xây dựng. Cụ thể, chúng ta hãy cố định một điểm O trong không gian và gọi các đường thẳng đi qua điểm O là “điểm”, và các mặt phẳng đi qua điểm O là “đường thẳng”. Nhìn lại Hình 6-8. Mỗi điểm của mặt phẳng chiếu thực sự tương ứng với một “điểm” duy nhất của mô hình - một đường thẳng đi qua điểm và điểm O, và với mỗi đường thẳng - một mặt phẳng đi qua điểm và điểm O. Đồng thời, xa vô tận

14

Cơm. 13.
Đường thẳng sẽ tương ứng với mặt phẳng ngang - “đường thẳng” và tương ứng với các điểm ở vô cực – các đường thẳng nằm trong mặt phẳng ngang (ví dụ: $ON_1$ trong Hình 7) - “điểm”. Trong mô hình này, sự bằng nhau của tất cả các điểm và đường thẳng của mặt phẳng xạ ảnh được thể hiện rõ ràng nhất.

Mô hình thu được rất tốt cho việc nghiên cứu các tính chất của mặt phẳng thiết kế, nhưng tôi muốn có một mô hình trong đó các điểm là điểm và các đường thẳng sẽ là đường thẳng. Hóa ra không khó để có được một mô hình như vậy từ mô hình trước đó. Hãy thêm một bán cầu khác có tâm tại điểm $O$, tiếp tuyến với mặt phẳng $Q$ (đáy của bán cầu song song với mặt phẳng $Q$). Khi đó, mỗi đường nối điểm $O$ với một điểm trên mặt phẳng $Q$ sẽ tương ứng với một điểm trên bán cầu - chính là điểm mà tại đó đường thẳng này giao với bán cầu. Trong trường hợp này, đỉnh của mặt phẳng pháp tuyến sẽ tương ứng với một hình bán nguyệt trên bán cầu, đi qua các điểm chiếu đường kính của đường viền của bán cầu. Họ các đường thẳng song song trên mặt phẳng $Q$ sẽ tương ứng với hai điểm được chiếu đường kính trên ranh giới của bán cầu (Hình 11), và đường thẳng ở vô cực sẽ tương ứng với ranh giới của bán cầu.

Thật không may, mỗi “điểm ở vô cực” (điểm của “đường thẳng ở vô cực”) lại tương ứng với hai điểm được chiếu theo đường kính trên ranh giới của bán cầu. Để tránh nhược điểm này của mô hình, bạn chỉ cần dán hai hình bán nguyệt của ranh giới bán cầu lại với nhau, nhưng sao cho các điểm chiếu đường kính được dán lại với nhau. Hóa ra điều này không dễ thực hiện chút nào. Nó không chỉ cho phép bán cầu uốn cong mà còn cho phép nó tự cắt nhau. Kết quả có thể được nhìn thấy trong Hình 12 - bề mặt tự giao nhau dọc theo đường $AB$.

Trong mô hình này, tất nhiên, rất khó để khắc họa tốt các đường thẳng. Do đó, người ta thường sử dụng một mô hình khác: một vòng tròn, các điểm được chiếu theo đường kính trong đó được coi là được dán lại với nhau. Mô hình như vậy thu được từ mô hình trên một bán cầu (Hình 11), nếu bán cầu này được chiếu lên mặt phẳng $Q$.

Sáu quốc gia có thể được vẽ trên mặt phẳng thiết kế, mỗi quốc gia giáp nhau (Hình 13). Lưu ý rằng trên một chiếc máy bay bình thường không thể có nhiều hơn bốn quốc gia như vậy. Người ta đã chứng minh rằng sáu màu là đủ để tô màu chính xác bất kỳ bản đồ nào trên mặt phẳng thiết kế (một màu được gọi là đúng nếu hai quốc gia có đường viền chung được tô màu khác nhau), và đối với một mặt phẳng thông thường, chưa tìm thấy bản đồ nào có bốn màu là không đủ để tô màu chính xác, nhưng người ta cũng chưa chứng minh được rằng bất kỳ bản đồ nào cũng có thể được tô màu chính xác bằng bốn màu.

Văn học

1. P. S. Aleksandrov, Bài giảng về hình học giải tích, “Khoa học”, M., 1968.
2. J. W. Jung, Hình học thiết kế, IL, M., 1949.
3. G. S. M. Coxter, Nhập môn hình học, “Khoa học”, M., 1966.

15

Trên các trang «Kvant» chúng ta đã thảo luận về cách chơi cờ trên nhiều bàn cờ khác nhau thu được bằng cách sử dụng các phép biến đổi hình học từ một bàn cờ thông thường. Bằng cách này, ví dụ, các thảm cờ hình trụ và hình xuyến phát sinh *). Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với trò chơi cờ vua trên một bàn cờ khác thường. Trò chơi này dựa trên các yếu tố hình học thiết kế, đó là lý do tại sao cờ vua được gọi là cờ vua thiết kế.

Mặt phẳng dự án
Nó được thảo luận trong số tạp chí này trong một bài báo của A.P. Savin (xem trang 9). Chúng ta hãy nhắc lại ngắn gọn: một số điểm bổ sung được thêm vào mặt phẳng chung. Mỗi điểm này tương ứng với một họ các đường thẳng song song của mặt phẳng và được gọi là điểm xa vô cùng của mặt phẳng thiết kế. Các đường thẳng song song cắt nhau tại một điểm cách xa vô tận. Các tập hợp đường thẳng song song khác nhau tương ứng với các điểm ở xa vô tận khác nhau—mỗi hướng có một điểm riêng. Tập hợp tất cả các điểm ở xa vô tận được kết nối “trực tiếp”; nó được gọi là đường thẳng xa vô hạn của mặt phẳng thiết kế. Các điểm và đường thẳng của mặt phẳng ban đầu được gọi là điểm cuối.

Vì vậy, trên mặt phẳng thiết kế, tất cả các đường thẳng phải giao nhau và tại một điểm duy nhất: điểm cuối cùng, nếu chúng không song song trên mặt phẳng chung và ở vô cùng, nếu chúng song song. Nếu một trong các đường thẳng ở xa vô cùng thì nó sẽ cắt đường thẳng thứ hai tại một điểm ở vô cùng.

Bàn cờ dự án
Mở rộng màu sắc của bàn cờ chung cho toàn bộ mặt phẳng end-to-end, chúng ta thu được một mặt phẳng ca rô đen trắng, mà chúng ta sẽ gọi là bàn cờ end-to-end Ш. Chúng ta xây dựng một hệ thống Descartes một cách tự nhiên trên đó

*) Xem «Kvant», 1970, số 5 và 1971, số 8. Hình 1.

16

tọa độ $xOy$ (xem Hình 1). Trong trường hợp này, mỗi trường doxy Ш được chỉ định bằng một cặp số $(x, y)$ - hoành độ và tọa độ của tâm của trường này. Ví dụ, quân mã ở Hình 1 nằm ở ô vuông (10,7). Tất nhiên, nếu các sự kiện “diễn ra” trong ranh giới của cờ vua thông thường (như trong Hình 1), thì ký hiệu cờ vua cũng có thể được sử dụng. Do đó, hình vuông (1,6) nơi quân tốt nằm trên đó chỉ đơn giản là a6.

Bây giờ, hãy thêm vào doxa Ш bốn trường cách xa vô hạn: trường $O_x$, trong đó tất cả các đường ngang giao nhau, trường $O_y$, trong đó tất cả các đường thẳng đứng giao nhau và hai trường $M_1$ và $M_2$, trong đó hai tập hợp đường chéo tương ứng giao nhau (Hình 1).

Bàn cờ Ш, được loại bỏ vô hạn bởi các trường $O_x, O_y$, $M_1$ và $M_2$, được gọi là bàn cờ xạ ảnh P. Có thể thấy rất rõ sự tương đồng giữa việc xem xét mặt phẳng xạ ảnh ở trên và bến tàu P thu được. Thay vì các điểm của mặt phẳng xạ ảnh (hữu hạn và vô cùng xa), ở đây chúng ta đang xử lý các trường doxi P (tương ứng hữu hạn hoặc vô cùng xa). Vì các hướng “cờ vua” chỉ là chiều ngang, chiều dọc và đường chéo, nên chúng ta chỉ giới hạn ở bốn hướng trong mặt phẳng, và do đó là bốn trường vô tận. Chúng ta có thể giả sử rằng các trường này nằm trên doxy Sh trực tiếp vô cùng xa.

Lưu ý rằng nếu một hình liên tục di chuyển dọc theo một đường tùy ý theo một hướng nhất định thì nó sẽ đi vô tận

18

cơ thể, đứng trên một cánh đồng xa vô tận.

7. Trên mỗi trường xa vô tận không thể có hai hình cùng một lúc.

8. Bạn không thể đi bộ từ cánh đồng xa vô tận này sang cánh đồng khác (cấm di chuyển dọc theo một đường thẳng vô cùng xa).

9. Tốt không thể thực hiện nước đi đôi hoặc biến thành quân khác.

Tuy nhiên, nếu bạn phát triển “vị trí ban đầu”, thì quy tắc này có thể được sửa đổi cho phù hợp với cờ vua thông thường.

Vì vậy, luật chơi của cờ xạ ảnh dựa trên các phép tính hình học chặt chẽ. Điều tò mò là các khái niệm hình học trừu tượng lại có thể ứng dụng thực tế trong trường hợp này.

Cờ vua xạ ảnh bài toán

Cờ vua phóng chiếu mang đến những khả năng phong phú và bất ngờ so với trò chơi thông thường. Việc mở rộng địa bàn “canh gác” thực chất lại dẫn đến sự thay đổi về sức mạnh của các nhân vật. Đồng thời, những ý tưởng ban đầu mới nảy sinh. Không phải ngẫu nhiên mà các nhà soạn nhạc cờ vua thường sử dụng cờ phóng xạ trong nghiên cứu của mình. Chúng sẽ đặc biệt phổ biến ở Nam Tư *).

Ở vị trí bắt đầu của cờ vua bài toán, các quân cờ thường sẽ nằm bên trong một bàn cờ 8x8 thông thường. Hơn nữa, hình vẽ không có cạnh của nó giống như một mảnh bảng Ш. Điều này có nghĩa là lời giải phải được tìm trên bàn cờ P.

Bây giờ chúng ta sẽ phân tích hai phép chiếu cờ vua bài toán. Chúng tôi sẽ viết tất cả các tùy chọn trong đó bằng ký hiệu cờ vua thông thường.

*) Đặc biệt, bài viết này dựa trên các tài liệu được xuất bản bởi vấn đề Nam Tư và kỹ sư H. Petrovich trên nhiều số khác nhau của tạp chí Nam Tư “Vấn đề”.

Cơm. 3. Chiếu tướng trong hai nước đi

1. Kh 2—g1! Bây giờ Đen có một số lựa chọn, chúng ta hãy xem xét từng lựa chọn một cách riêng biệt.

Nếu quân mã di chuyển đến bất kỳ ô nào từ ô b6, nghĩa là 1… … Nb6~, thì giao phối 2. Фс5 - a7 - $M_2$ (sau đây gọi là ô vuông khoảng cho biết hướng quân đi về vô cực). Từ ô $M_2$ quân hậu tấn công vua đen và ngoài ra còn giữ

Cơm. 4. Chiếu tướng trong ba nước đi

20

Y.A.SMORODINSKY
BAO NHIÊU THỜI GIAN
CÓ MỘT ÁNH SÁNG
TỪ THỦY NGÂN?

Từ lâu, không ai ngạc nhiên rằng ánh sáng cần có thời gian để truyền từ thiên thể đến Trái đất. Ánh sáng từ Mặt trời truyền đi trong khoảng 8 phút. Con số này rất dễ dàng để xác minh. Khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời là 150 triệu km, tức là 1,5·10¹¹ m. Tốc độ ánh sáng là 3·10⁸ m/s. Chia một số cho một số khác, ta được 500 s≈8 phút.

Tuy nhiên, thuyết tương đối rộng đưa ra những sửa đổi nhỏ nhưng rất quan trọng đối với cách lý luận như vậy. Những ảnh hưởng của thuyết tương đối rộng được thấy rõ nhất ở gần Sao Thủy. Đây là những gì chúng ta sẽ nói về.

Khoảng cách Sao Thủy-Trái Đất lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại thời điểm “tiếp giáp” của Sao Thủy với Mặt Trời, tức là vào thời điểm Trái Đất, Mặt Trời và hành tinh gần như nằm trên cùng một đường thẳng. Ở điểm giao hội cao hơn, khi khoảng cách giữa Sao Thủy và Trái Đất là tối đa,

nó bằng $r_{\text{max}} = 1,38$ đơn vị thiên văn (1 AU là khoảng cách Trái đất-Mặt trời); ở kết nối thấp hơn, nó tối thiểu và bằng $r_{\text{min}} = 0,62$ a.u. (Hình 1) *). Nếu chúng ta nhân những con số này với 8 phút, chúng ta sẽ có được khoảng thời gian khó khăn để ánh sáng truyền từ Sao Thủy đến Trái đất ở cả hai vị trí. Tất nhiên, phép tính như vậy sẽ cho kết quả chính xác nếu chúng ta không quan tâm đến những chi tiết nhỏ. Nhưng đó là “những điều nhỏ nhặt” mà chúng ta sẽ nói đến.

Đường đi của tia sáng trong trường hợp sao Thủy ở vị trí giao hội cao hơn sẽ đi qua vùng sai lệch của Mặt trời. Thuyết tương đối rộng dẫn đến kết luận rằng trong trường hấp dẫn của Mặt trời, tốc độ ánh sáng nhỏ hơn trong không gian trống rỗng (như trong vật chất). Sự giảm này

*) Chúng ta hãy nhớ rằng các hành tinh chuyển động gần như trong cùng một mặt phẳng—mặt phẳng hoàng đạo. Chúng tôi không dạy rằng quỹ đạo của các hành tinh là hình elip; tính đến điều này sẽ dẫn đến những thay đổi nhỏ $r_{\text{max}}$ và $r_{\text{min}}$.

Cơm. 1.

21

tốc độ rất thấp, theo tính toán sẽ dẫn đến thời gian truyền đi của ánh sáng tăng thêm 0,000 24 giây (trong thời gian này ánh sáng truyền đi 72 km). Công nghệ radium hiện đại có thể tạo ra hiệu ứng kỳ lạ như vậy.

Làm thế nào chúng ta có thể hiểu con số 72 km này? Rõ ràng là rất khó để tính toán. Tuy nhiên, bạn có thể biết được thứ tự độ lớn nếu bạn chỉ biết bán kính hấp dẫn là gì và biết cách làm việc với các kích thước.

Đặc tính đại lượng của trường hấp dẫn của một vật có khối lượng là trường thế năng, được xác định theo định luật vạn vật hấp dẫn của Newton:

$$\varphi = -\frac{\gamma M}{r}.$$

Công thức này bao gồm hai đại lượng: tích $\gamma M$, đặc trưng cho nguồn của trường - trong trường hợp của chúng ta là Mặt trời và $r$ - khoảng cách. Thay vì $\gamma M$, thường trong thuyết tương đối trường, nó được làm cứng bởi một đại lượng khác khác với $\gamma M$ chỉ có thể thực hiện được bằng telelem, nhưng có chiều dài

$$R_{\text{rp}} = \frac{2\gamma M}{c^2}.$$

Đại lượng này được gọi là bán kính hấp dẫn. Bán kính hấp dẫn của Mặt trời là 3 km, bán kính hấp dẫn của Trái đất là 9 mm *).

Định luật vạn vật hấp dẫn bây giờ có thể được viết như sau:

$$\frac{\varphi}{c^2} = -\frac{1}{2} \frac{R_{\text{rp}}}{r}.$$

Bên trái là thế năng trường hấp dẫn tính bằng đơn vị không thứ nguyên; còn có một đại lượng không thứ nguyên ở bên phải.**)

*) Xin lưu ý rằng người ta thường xác định $R_{\text{rp}}$ với hệ số là 2. Đôi khi có những công thức không có hệ số này.
**) Đại lượng không thứ nguyên là đại lượng không thay đổi khi thay đổi đơn vị đo.

Giá trị $\frac{\varphi}{c^2}$ thường đặc trưng cho độ lớn của trường hấp dẫn của một vật thể có khối lượng lớn.

Có thể dự đoán rằng khi ánh sáng đi gần bề mặt Mặt trời (ở mức $r \approx R_{\odot}$), tốc độ của nó sẽ giảm một lượng tỷ lệ với $\frac{\varphi}{c^2} \sim \frac{R_{\text{rp}}}{R_{\odot}}$ (vì đây là đại lượng duy nhất đặc trưng cho trường của Mặt trời):

$$\Delta v = \frac{c \cdot R_{\text{rp}}}{R_{\odot}}.$$

Chúng ta có thể nói rằng không gian xung quanh Mặt trời có tính chất quang học của một môi trường có chiết suất lớn hơn 1 một chút.

Ví dụ: nếu ánh sáng cũng chỉ bị ảnh hưởng ở vùng lân cận Mặt trời, trên một đoạn đường có đường kính gấp 3-4 lần đường kính của Mặt trời (hãy lấy 10 bán kính để xác định), thì chúng ta có thể nói rằng thời gian truyền qua của ánh sáng tăng theo các giá trị $\Delta t$, được xác định từ phương trình

$$t + \Delta t = \frac{10R_{\odot}}{v_{\text{cb}}} = \frac{10R_{\odot}}{c - \Delta v} \approx \frac{10R_{\odot}}{c} \left(1 + \frac{\Delta v}{c}\right),$$

hoặc

$$\Delta t \approx \frac{10R_{\odot}}{c} \cdot \frac{\Delta v}{c} = \frac{10R_{\odot}}{c} \cdot \frac{R_{\text{rp}}}{R_{\odot}} = \frac{10R_{\text{rp}}}{c}.$$

Ước tính này đưa ra $\Delta t$ thời gian cần thiết để ánh sáng truyền đi quãng đường 30 km. Tất nhiên, ước tính của chúng tôi là thô; Việc lựa chọn hệ số 10 đặc biệt không nhất quán. Hơn nữa, hóa ra, công thức đúng cũng chứa khoảng cách từ Mặt trời đến các hành tinh và bán kính của Mặt trời, cũng như dọc theo toàn bộ đường đi (và không chỉ trong bán kính gần). Chúng ta không nhận thấy điều này vì chúng ta đã bỏ qua ảnh hưởng của Mặt trời lên ánh sáng trên những khoảng cách xa. Tuy nhiên, đánh giá của chúng tôi

22

Cơm. 2.

ka rất hữu ích cho việc tìm đường xung quanh bài toán. Công thức chính xác hơn của lý thuyết tương đối là

$$\Delta t = \frac{2R_{1p}}{c} \left\{ 1 + \ln \frac{R_{\odot}^2}{r_1 \cdot r_2} \right\},$$

trong đó dưới logarit *) là bán kính của Mặt trời và khoảng cách từ Mặt trời đến Trái đất và tới Sao Thủy. Đó chính là logarit mà chúng tôi đã “bỏ sót” trong cách suy luận của mình. Logarit này không hề nhỏ mà bằng 11,2 nên công thức chính xác là:

$$\Delta t = \frac{22,4R_{\text{rp}}}{c}.$$

Để kiểm tra công thức này với dữ liệu quan sát được, bạn cần biết rõ thời điểm tương ứng với kết nối trên trong trường hợp Mặt trời không ảnh hưởng đến ánh sáng. Để làm được điều này, bạn cần biết khoảng cách thiên văn với độ chính xác 1-2 km. Những yêu cầu như vậy đã ở giới hạn của khả năng hiện đại.

Kinh nghiệm còn gặp những khó khăn khác. Vì vậy, không dễ để tìm ra điểm nào trên bề mặt hành tinh mà tín hiệu được phản xạ - thời gian truyền của tín hiệu từ Trái đất đến hành tinh và (sau khi phản xạ) trở lại (tiếng vang radar) được đo.

Tuy nhiên, những điều này đã được thực hiện bởi một nhóm nhà vật lý học người Mỹ.

*) Logarit trong công thức này là logarit “tự nhiên”, tức là tính đến cơ số $e$. Nó gấp 2,3 lần logarit thập phân.

Zikov. Các tín hiệu đã được đo, gần đây nhất là tới Sao Thủy, Sao Kim và Sao Hỏa. Kết quả phù hợp với dự đoán của lý thuyết; tuy nhiên, sai số trong quá trình xử lý thí nghiệm vẫn còn lớn (khoảng 5-10%).

Hình 2 cho thấy một trong các đường cong độ trễ tín hiệu vào các ngày khác nhau. Số 0 trên thang hoành độ là thời điểm kết nối phía trên.

Sự lệch của tia sáng trong trường Mặt trời

Ở trên đã nói rằng không gian xung quanh Mặt trời tác dụng lên ánh sáng như một môi trường có chiết suất lớn hơn một một chút. Điều này có nghĩa là ánh sáng của các ngôi sao ở xa khi đi qua gần Mặt trời phải bẻ cong đường đi của nó giống như khi đi qua Mặt trời. Về nguyên tắc, hiệu ứng này đã được biết đến từ lâu. Ngay cả khi Newton đưa ra các lý thuyết theo đó ánh sáng là một dòng hạt nhỏ - tiểu thể, ông thấy rõ rằng ánh sáng sẽ bị Mặt trời thu hút. Vì trong trường hấp dẫn, gia tốc của mọi vật là như nhau nên đường đi của ánh sáng không phụ thuộc vào khối lượng của các hạt và là một đường parabol. Hãy nhớ lại rằng định luật Kepler không bao gồm khối lượng của các hành tinh. Zandemann vào năm 1801 đã rút ra từ những thông điệp này một công thức theo đó một tia sáng truyền qua gần rìa của đĩa mặt trời bị lệch một góc $\theta = R_{\text{rp}} / R_{\odot} \approx 0,85''$. Kết quả này hóa ra là sai lầm. Năm 1915, Einstein, dựa trên lý thuyết tổng quát về bề mặt tương đối của một dạng mới mà ông đã tạo ra, mang lại giá trị gấp đôi cho hiệu ứng

$$\theta = \frac{2R_{\text{rp}}}{R_{\odot}} \approx 1,7''.$$

Độ lệch của chùm ánh sáng lần đầu tiên được thay đổi vào năm 1919. Vào ngày 27 tháng 9 năm 1919, Einstein đã viết cho vật chất: “Hôm nay có tin vui! Lorenz đã gửi điện báo cho tôi rằng đoàn thám hiểm Anh quả thực đã tới nơi.”

23

cho thấy sự pha trộn ánh sáng gần Mặt trời.”
Kể từ đó, hiệu ứng Einstein đã được sửa đổi trong hầu hết các lần nhật thực. Tuy nhiên, việc có được một giá trị đủ chính xác tỏ ra là rất khó khăn. Cần phải thay đổi thật chính xác vị trí của ngôi sao gần Mặt trời và trong khoảng sáu tháng, khi Mặt trời rời khỏi khu vực bầu trời này.
Nhưng với hai sự thay đổi, trạng thái của khí quyển thay đổi, sự khúc xạ trong khí quyển của Mặt trời thay đổi, nói tóm lại, phát sinh cả một hệ thống hiệu chỉnh làm xấu đi các điều kiện so sánh.
Tuy nhiên, hiện nay, nhờ công lao to lớn của nhiều nhà thiên văn học, người ta đã có thể giảm được sai số hiện tại, điều này có thể nói là phù hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm trong giới hạn sai số không quá 1% độ lớn của hiệu ứng.
Những kết quả tốt nhất cho đến nay đã thu được từ việc nghiên cứu sự che khuất của các chuẩn tinh, những nguồn phát xạ vô tuyến mạnh mẽ. Ưu điểm của việc quan sát nguồn vô tuyến là rất hữu ích; nghiên cứu của họ không yêu cầu nhật thực và những thay đổi có thể được thực hiện mọi lúc.
Do đó, có thể coi như đã xác định rằng tốc độ ánh sáng trong vùng lân cận của các thiên thể lớn thay đổi - những vật thể đó hoạt động như những thấu kính thu thập khổng lồ.
Trong trường hợp này, giả định này phụ thuộc nhiều hơn vào tác dụng của lực hút của một lượng tử ánh sáng lên Mặt trời theo định luật Newton. Điều này có nghĩa là đối với ánh sáng, định luật vạn vật hấp dẫn hóa ra không chính xác; ánh sáng hấp dẫn hơn chỉ một vật thể có khối lượng được tính theo công thức $mc^2 = hv$ (năng lượng lượng tử). Đây là hiệu ứng độ cong của không gian xung quanh Mặt trời.

Newton và đạo đức

Đây là đoạn trích từ bức thư của Newton gửi cho thư ký của Hiệp hội Hoàng gia Anh, Aston, người đang bắt đầu chuyến công du nước ngoài.
Bức thư này rất được quan tâm vì mô tả tính cách của nhà khoa học.
“Thưa ông,
Trong thư của bạn, bạn sẽ cho phép tôi, không do dự, bày tỏ ý kiến ​​​​của mình về những gì có thể hữu ích cho bạn khi đi du lịch, đó là lý do tại sao tôi làm việc này một cách tự do hơn nhiều so với mức độ phù hợp.
Khi bạn ở trong một xã hội mới dành cho bạn, thì:

1. xem các quyền; 2) thích nghi với chúng và mối quan hệ của bạn sẽ tự do và cởi mở hơn;
2. Trong cuộc trò chuyện, hãy đặt câu hỏi và bày tỏ sự nghi ngờ mà không đưa ra những tuyên bố mạnh mẽ hoặc bắt đầu tranh luận. Bạn sẽ đạt được rất ít hoặc chẳng thu được gì khi tỏ ra thông minh hơn hoặc kém tinh vi hơn xã hội mà bạn đang sống; 4) nếu bạn bị xúc phạm, thì trong bữa tiệc của người khác, thà nói xấu hoặc biến thành một trò đùa, ít nhất là với một sự sỉ nhục nào đó, còn hơn là trả thù bằng đam mê. …
   Tôi tin rằng nếu tình thế trở nên vô vọng, thì tốt nhất bạn nên giữ niềm đam mê và ngôn ngữ của mình trong giới hạn với giọng điệu vừa phải, không chọc giận kẻ thù và bạn bè của hắn cũng như không đưa vấn đề trở thành những lời xúc phạm mới. Tuy nhiên, nói một cách dễ hiểu, nếu chúng thống trị niềm đam mê thì niềm đam mê đó và tính xác thực sẽ trở thành những độc giả tốt nhất của bạn.”

24

Có lần tôi mua được bộ sưu tập “Toán học trong thế giới hiện đại” (M., Mir, 1967). Trong khi đọc nó, tôi gặp phải những khó khăn không ngờ tới. Trong “phần” trang 113-144, thứ tự các trang không đồng đều. Sau khi đọc p. 113, mọi người đều mong đợi được xem bộ sưu tập cùng tờ. 114 nhưng thấy - p. 118. Tiếp theo sẽ là p. 115, và trong bản sao của tôi hóa ra là p. 119 và vân vân. Nói cách khác, thứ tự các trang trong phần này có thể được biểu diễn theo trình tự sau:
(113, 118), (119, 116), (117, 114), (115, 120), (121, 126), (127, 124), (125, 122), (123, 128), (129, 134), (135, 132), (133, 130), (131, 136), (137, 142), (143, 140), (141, 138), (139, 144).

Sau khi tạo “bố cục trang” như vậy cho một phần đã chọn của cuốn sách, tôi không còn gặp phải những khó khăn trước đây khi chuyển từ trang đã đọc sang trang tiếp theo theo thứ tự.

Tập phim này với bản sao bất thường của cuốn sách có thể được để lại mà không có bất kỳ lời chỉ trích nào. Tuy nhiên, một câu hỏi hoàn toàn tự nhiên sẽ được đặt ra: thứ tự các trang trong cuốn sách này được hình thành như thế nào, lỗi của máy in là gì?

Chúng tôi sẽ bày tỏ một số thông điệp về vấn đề này, trình bày lời giải hoàn chỉnh của nó tới người đọc.

Dấu ấn của cuốn sách ghi “Giấy… 70 × 108¹/₁₆ = 6,5 bum. l." Cụm từ điều kiện này có nghĩa như sau:

Cuốn sách được may từ 6,5 terdy, mỗi terdy đầy đủ được tạo thành bằng cách gấp một tờ giấy có kích thước 70 × 108 cm làm đôi bốn lần (một nửa tờ giấy terdy được làm từ một tờ giấy có kích thước 70 × 54 cm, một tờ giấy terdy đầy đủ chứa 16 tờ sách có kích thước 17,5 × 27 cm.

Để tránh những sai sót khi tập hợp các thuật ngữ vào một cuốn sách là cần thiết. Trong cuốn sách của chúng tôi, nó hóa ra là số 3. Thuật ngữ phi giáo dục là số 5.

Chúng ta hãy thống nhất quy trình sau để tạo ra một bản in hoàn chỉnh: chúng tôi gõ riêng tất cả 32 trang của nó cùng với số sê-ri của chúng, tạo chúng thành một cặp “ma trận” mỗi trang 16 trang, tạo ấn tượng từ cả hai ma trận trên cả hai mặt của tờ giấy, tạo thành terd bằng cách gấp tờ giấy làm đôi liên tiếp.

Chúng ta hãy giới thiệu hai khái niệm cần thiết cho những gì tiếp theo.

Hãy gọi sơ đồ bảng sách là một bảng thẳng,

25

Một tham số số được định hướng theo chiều dọc hoàn chỉnh (thường nằm hoặc đảo ngược), các thành phần đầu tiên biểu thị số trang của một và thành phần thứ hai - mặt kia của tờ giấy.

Hình 1 cho thấy một trong những sơ đồ có thể có của thuật ngữ sách. Việc chúng ta gấp một tờ giấy làm đôi là điều bình thường nếu trang cuối cùng của tờ giấy trong tương lai không bao giờ lật lại và sau khi gấp lại, nó thích hợp để khâu dọc theo gáy (tất cả các nếp gấp ở đây đều được lồng vào nhau).

Hình 2 cho thấy cách lấy được địa hình tương ứng từ trang tính được hiển thị trong Hình 1 bằng cách gấp thông thường.

Không khó để chỉ ra rằng đối với trường hợp một mảnh đất có 8 trang, chỉ có một sơ đồ mà từ đó có thể thu được bằng cách gấp thông thường. Đối với trường hợp một terradi gồm 16 (hoặc 32) trang, đã có một số sơ đồ như vậy.

Bài tập

1. Tạo tất cả các sơ đồ có thể có của sân thượng sách số 5 của cuốn sách đã đề cập, từ đó, bằng cách gấp thông thường, bạn có thể có được một sân thượng với các trang không trộn lẫn. Nêu thứ tự gấp thông thường tương ứng với từng sơ đồ.
2. Nhiệm vụ tương tự đối với terradi với các trang xen kẽ.
3. Chỉ ra cách khác nhau nhất để sửa lỗi đánh máy.

Nhầm lẫn với “Định lý nghịch đảo”

Không thường xuyên, không hề thường xuyên, người viết sử dụng thuật ngữ toán học. Và một tác phẩm nghệ thuật mang “tiêu đề toán học” nói chung là rất hiếm. Vì vậy, bài thơ “Định lý nghịch đảo” của A. Zharenov (tạp chí “Người tìm kiếm”, 1972, số 2) không thể không thu hút sự quan tâm tự nhiên.

Hãy nói ngay rằng câu chuyện không nói cụ thể về toán học như vậy. Nó kể về cuộc đời của Viktor Nazarov, người đã từng gian dối chiếm đoạt một số lượng lớn trẻ em. Thực ra, tiền là tất cả và ý nghĩa của cuộc đời anh. Tuy nhiên, sau đó, cuộc sống của anh thay vì trở nên hạnh phúc và không có mây mù như anh mong đợi, lại tràn ngập những cơn ác mộng liên miên và nỗi sợ hãi thường trực về quả báo. Việc làm giàu của Nazarov đã được các phần tử tội phạm biết đến và một cuộc săn lùng thực sự đã được tổ chức để tìm “triệu phú ngầm”, kết thúc bằng vụ giết người của anh ta. Song song với việc mô tả cuộc đời của Nazarov, tuyến trinh thám của câu chuyện mở ra - một cuộc điều tra về ý tưởng này.

Đây là cách tác giả mô tả những suy nghĩ khó khăn của Nazarov, việc tạo ra chúng liên tục bị thúc ép bởi ý tưởng mà ông đã hoàn thiện:

“Khuôn mặt của một giáo viên dạy toán ở trường chìm trong sương mù: “Các em, chúng ta gọi lý luận như vậy là một định lý… Nếu trong một định lý, kết luận là một điều kiện, và điều kiện là kết luận, thì định lý đầu tiên sẽ là trực tiếp, và định lý thứ hai là nghịch đảo… Các em, nếu định lý trực tiếp là đúng, điều này không có nghĩa là nghịch đảo của nó cũng đúng…”

(xem cuối trang 47)

26

Cơ chế thuỷ động học trong ống nghiệm rơi

G. I. Pokrovsky

Đổ nước vào ống nghiệm thông thường và dùng tay giữ như trong hình, thả rơi (từ độ cao nhỏ), giữ nguyên tư thế thẳng đứng trên mặt bàn. Bề mặt này phải chạm tới mặt nước thì mới có thể xuyên qua và tạo ra một cú đánh mạnh. Tại thời điểm va chạm như vậy, dòng nước trong ống nghiệm (do tác dụng của lực mao dẫn) có dạng lõm sẽ nhanh chóng bằng phẳng và một dòng nước mỏng sẽ nhanh chóng hướng lên trên từ phần trung tâm dọc theo trục xuyên thấu. Máy bay phản lực này vỡ thành từng giọt và giọt đầu tiên bay lên đến độ cao vượt quá đáng kể so với độ cao rơi của ống nghiệm. Điều này có nghĩa là năng lượng của nước trong ống nghiệm tại thời điểm va chạm được phân phối lại sao cho một phần nhỏ nước gần phần trung tâm của mặt sụn nhận được tốc độ lớn hơn và nhanh chóng bị ném lên trên.

Một thiết bị phân phối lại năng lượng có thể được gọi là cơ chế. Thông thường, từ này dùng để chỉ sự kết hợp của các bộ phận được làm bằng vật chất rắn (đòn bẩy, bánh răng, v.v.). Tuy nhiên, có thể có những cơ chế được tạo thành từ chất lỏng và thậm chí cả chất khí. Một ví dụ về cơ chế loại này là nước trong ống nghiệm.

Cơ chế thủy động lực có tầm quan trọng đặc biệt khi tác động rất mạnh, không thể chịu được bởi các bộ phận thông thường làm bằng vật chất rắn. Ví dụ, khi một chất nổ công suất cao phát nổ, một phần năng lượng của vụ nổ này có thể được tập trung bằng cách tạo ra một chỗ lõm trong điện tích và chèn một lớp sóng kim loại vào đó. Lực nổ phá hủy lớp lót kim loại và tạo ra dòng kim loại mỏng. Tốc độ của tia này có thể (với hình thức hướng mặt thích hợp) đạt vận tốc thoát thứ hai.

Như vậy, việc quan sát và phân tích đánh giá một hiện tượng đơn giản và khiêm tốn xảy ra trong ống nghiệm cho thấy một trong những vấn đề thú vị nhất trong thủy động lực học tốc độ cực cao.

Nước bắn tung tóe vào ống nghiệm đang rơi. Đường chấm 1 là hình dạng mặt nước trước khi va chạm, nét liền 2 là hình dạng ngay sau khi va chạm.

27

20 bài toán đến giới hạn

MP Gerver

Nhiều người có lẽ đã biết định nghĩa về giới hạn của một dãy: “Một số a được gọi là giới hạn của dãy $x_n$ nếu với bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào có một $N$ sao cho với mọi $n > N...$. Nhưng cần nhớ là một chuyện, còn việc có thể xử lý nó một cách thoải mái, chứng minh các định lý mà không bị nhầm lẫn với tất cả những cái “có”, “cho bất kỳ ai”, v.v. con đường đến “toán cao hơn”, điều mà không chỉ học sinh mà cả học sinh cũng gặp khó khăn để vượt qua.

Nếu bạn giải được bài toán, được thu thập trong bài viết này - hoặc ít nhất là hiểu được lời giải của họ - thì việc phân tích toán học sâu hơn sẽ dễ dàng và thú vị hơn nhiều đối với bạn.

1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$
   a) $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n-1}{n+1}$;
   b) $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2}$.

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng chữ cái $n$ để chỉ biểu thị các số tự nhiên.

2. a) Chứng minh rằng bạn có thể tìm được $n$ sao cho $2^n > 10^{10}$.
   b) Chứng minh rằng bạn có thể tìm thấy $k$ sao cho với mọi $n > k$ $1 + a)^n \geq 1 + na$ đều đúng.
   b) Chứng minh rằng bạn có thể tìm thấy $k$ sao cho với mọi $n > k$ $10^n > n^{10}$ đều đúng.
   d) Đặt $|q| < 1$. Chứng minh rằng bạn có thể tìm thấy $k$ sao cho với mọi $n > k$ $|q|^n < 10^{-10}$ đều đúng.
   e) Có số dương nào mà với mọi $n$ nó nhỏ hơn $1/n$ không?

e) Đặt $|q| < 1$. Chứng minh rằng với mọi $\varepsilon > 0$ luôn tồn tại một $k$ sao cho với mọi $n > k$ $\left|q\right|^n < \varepsilon^*$ đều đúng.
g) Có thể tìm được $k$ sao cho với mọi $n > k$ và với mọi $\varepsilon > 0$ thì đẳng thức $\left(\frac{1}{2}\right)^n < \varepsilon$ đúng không?
Thế thì ee. So sánh 2e và 2g ta thấy trật tự từ là vật!
h) Đặt $s_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n}$. Chứng minh rằng với mọi $\varepsilon > 0$ luôn tồn tại một $k$ sao cho với mọi

*) $\varepsilon$ là một chữ cái Hy Lạp, đọc là: “episilon”, thường dùng để biểu thị các số dương nhỏ. Ý nghĩa chính xác của từ “số nhỏ” đã có sẵn - “nhỏ” nghĩa là gì: 0,01 hoặc $10^{-10}$? Vì vậy họ nói; “cho bất kỳ $\varepsilon > 0$” - nghĩa này thường là: “bất kể nó có thể nhỏ đến mức nào.” 1Liên quan đến bài toán người ta nói rất nhiều: ở giữa: đặt $\varepsilon = 0,01$, sau đó tìm $k$ sao cho với bất kỳ $n > k$ nào sẽ có $|q|^n < 0,01$; đặt $\varepsilon = 10^{-10}$, sau đó tìm một $k$ khác (lớn hơn) sao cho với bất kỳ $n$ nào lớn hơn $k$ mới này, sẽ có $|q|^n < 10^{-10}$; nói chung, với bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào (dù nhỏ đến đâu), bạn có thể chọn $k$ (có thể rất lớn), sao cho với bất kỳ $n > k$ nào sẽ có $|q|^n < \varepsilon$.

28

không có thật $n > k$
$$|s_n - 1| < \varepsilon.$$
Dãy số. Hãy viết một số số: $x_1$, sau đó là số khác: $x_2$, rồi đến số thứ ba: $x_3$, v.v.

Chúng ta sẽ được một dãy số
$$x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots$$
Số bên cạnh chữ cái $x$ cho biết vị trí của số đó trong chuỗi: $x_1$ - ở ngày 1, $x_2$ - ở ngày thứ 2, $\dots$, $x_n$ - ở $n$, $\dots$.

Nói tóm lại, nó được biểu thị bằng ký hiệu $\{x_n\}$. Tất nhiên, các chữ cái khác có thể được sử dụng để biểu thị các chuỗi: $\{s_n\}, \{y_n\}, \{z_n\}$, v.v.

Hãy viết ra hàng tá trình tự được sử dụng trong các nhiệm vụ sau:

(1) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

(2) $1, 0, \frac{1}{2}, 0, 0, \frac{1}{3}, 0, 0, 0, \frac{1}{4}, 0, 0, 0, 0, \dots$

(3) $\{s_n\}, s_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n}$.

(4) $\{y_n\}, y_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \dots - \frac{(-1)^n}{2^n}$.

(5) $1, 1, 1, 1, \dots$.

(6) $1, -1, 1, -1, \dots$.

(7) $1, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{3}, 1, \frac{1}{4}, 1, \frac{1}{5}, \dots$.

(8) $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, -\frac{1}{6}, \dots$.

(9) $\frac{1}{1}, \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{1}, \dots, \frac{1}{9}, \frac{1}{1}, \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, \frac{1}{11}, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{99}, \frac{1}{2}, \frac{1}{100}, \frac{1}{3}, \dots$

(mẫu số của một phân số ở vị trí chẵn bằng số chữ số của mẫu số của phân số trước đó).

(10) $\frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{3}, \frac{4}{5}, \frac{5}{4}, \dots$

Định nghĩa 1. Số $a$ được gọi là giới hạn của dãy $\{x_n\}$ nếu với bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào tồn tại một $k$ sao cho với bất kỳ $n > k$ nào
$$|a - x_n| < \varepsilon.$$
Việc số $a$ là giới hạn của $\{x_n\}$ được viết như sau:
$$\lim_{n \to \infty} x_n = a$$
(đọc: “giới hạn của $x_n$ vì $n$ tiến tới vô cùng bằng $a$”) hoặc như thế này:
$$x_n \rightarrow a \text{ при } n \rightarrow \infty$$
(đọc: “$x_n$ có xu hướng $a$ vì $n$ có ​​xu hướng vô cùng”). Ở một số quốc gia, việc đề cập đến $n$, có xu hướng tiến tới vô cùng, bị lược bỏ và chỉ viết đơn giản:
$$\lim x_n = a \text{ при } x_n \rightarrow a.$$
Dãy số có giới hạn được gọi là hội tụ.

3. a) Mẫu bài toán 2e và 23 sử dụng Định nghĩa 1.

6. Chứng minh rằng 0 là giới hạn của dãy (1), (2), (8) và (9).

b) Tìm giới hạn của dãy (3), (4) và (10).

d) Chứng minh rằng 1 không phải là giới hạn của dãy (1).

d) Các dãy (5), (6) và (7) có giới hạn không?

e) Cho $x_n - n$ là một số hạng của dãy (9). Chỉ định $k$ sao cho bất đẳng thức $x_n < \frac{1}{2}$ đúng cho $n > k$.

g) Hai số khác nhau có thể là giới hạn của cùng một dãy không?

4. Đặt $\{x_n\}$ là một dãy tùy ý. Hãy viết ra một số

30

Về giới hạn 4. Họ nói rằng dãy $\{x_n\}$ tiến tới vô cùng (được viết như sau: $x_n \to \infty$ cho $n \to \infty$) nếu với bất kỳ $C$ nào thì có một $k$ sao cho với bất kỳ $n > k$ $|x_n| > C$ nào.

7. Dãy số nào sau đây hướng tới vô cực và dãy số nào không bị giới hạn?

a) $x_n = n$, $6)$ $x_n = (-1)^n \cdot n$,
b) $x_n = n^{(-1)^n}$
g) $x_n = \begin{cases} n^2 \text{ при } n \text{ четном,} \\ \sqrt{n} \text{ при } n \text{ нечетном.} \end{cases}$

Về giới hạn 5. Số $a$ được gọi là điểm giới hạn của dãy $\{x_n\}$ nếu với bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào và với bất kỳ $k$ nào cũng có một $n > k$ sao cho $|a - x_n| < \varepsilon$.

8. Chứng minh a) giới hạn của dãy hội tụ là điểm giới hạn của nó,

6. rằng nếu $x_n \to a$ và $b \neq a$ thì $b$ không phải là điểm giới hạn của $\{x_n\}$.
   b) rằng nếu $a$ là điểm giới hạn của $\{x_n\}$ thì $\{x_n\}$ chứa dãy con hội tụ đến $a$.

9. Hãy nghĩ ra một dãy $\{x_n\}$ có điểm giới hạn là:
   a) tất cả các số tự nhiên (và chỉ chúng),
   b) tất cả các số $1/n$,
   b) mọi số hữu tỉ.

10. a) Tìm một dãy thỏa mãn bài toán 9a mà không chứa bất kỳ số nguyên nào.

6. Cho $\{x_n\}$ thỏa mãn bài toán 96. Liệu 0 có thể không là điểm giới hạn của nó không?
   b) Liệt kê tất cả các điểm giới hạn của dãy thỏa mãn bài toán 9b.

16 điều kiện. “Apu” trong tiếng Anh có nghĩa là “bất kỳ”, “Exist” có nghĩa là “tồn tại”. Các ký hiệu $\vee$ và $\exists$ - đảo ngược các chữ cái đầu tiên của các từ này - tương ứng:
“dành cho bất cứ ai” và “có cái gì đó … cái đó.”
Hãy xem xét 16 điều kiện sau:

1. $\exists \varepsilon > 0 \exists k \exists n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
2. $\exists \varepsilon > 0 \exists k \exists n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
3. $\exists \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
4. $\exists \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
5. $\exists \varepsilon > 0 \forall k \exists n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
6. $\exists \varepsilon > 0 \forall k \exists n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
7. $\exists \varepsilon > 0 \forall k \forall n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
8. $\exists \varepsilon > 0 \forall k \forall n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
9. $\forall \varepsilon > 0 \exists k \exists n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
10. $\forall \varepsilon > 0 \exists k \exists n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
11. $\forall \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
12. $\forall \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
13. $\forall \varepsilon > 0 \forall k \exists n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
14. $\forall \varepsilon > 0 \forall k \exists n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
15. $\forall \varepsilon > 0 \forall k \forall n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
16. $\forall \varepsilon > 0 \forall k \forall n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$.

11. Điều kiện nào trong số này thể hiện các thuộc tính của một dãy đã quen thuộc với bạn (bị giới hạn, có $a$ làm giới hạn hoặc điểm giới hạn, có xu hướng tiến tới vô cùng) hoặc sự phủ định của các thuộc tính này? Ý nghĩa của các điều kiện còn lại là gì?

Về giới hạn 6. Dãy số $\{x_n\}$ được gọi là đơn điệu nếu một trong hai điều kiện được thỏa mãn:

1. $x_1 \leqslant x_2 \leqslant x_3 \leqslant \dots \leqslant x_n \leqslant \dots$,
2. $x_1 \geqslant x_2 \geqslant x_3 \geqslant \dots \geqslant x_n \geqslant \dots$.
   Trong trường hợp đầu tiên, $\{x_n\}$ được gọi là tăng, trong trường hợp thứ hai - giảm.

12. a) Chứng minh rằng dãy bất kỳ đều chứa dãy con đơn điệu.

6. Chứng minh rằng điểm giới hạn của dãy đơn điệu chính là giới hạn của nó.
   b) Chứng minh rằng mọi dãy giới hạn đơn điệu đều có giới hạn (đôi khi tính chất này của số thực được coi là tiên đề).

13. a) Chứng minh rằng mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một điểm giới hạn.

6. Kiểm tra xem các câu 12c và 13a có tương đương nhau không: mỗi câu có thể được suy ra từ câu kia (vì vậy 13a cũng có thể được coi là một tiên đề).

14. a) Đặt $|q| < 1$, $s_n = 1 + q + \dots + q^{n-1}$. Chứng minh rằng dãy $\{s_n\}$ hội tụ và

31

tìm giới hạn của nó.

6. Kiểm tra xem $|q| \geq 1$ chuỗi $\{s_n\}$ không có giới hạn.

15. Đặt $x_n \rightarrow a$, $y_n \rightarrow b$ tại $n \rightarrow \infty$. Chứng minh rằng sau đó

a) $x_n + y_n \rightarrow a + b$,
b) $x_n - y_n \rightarrow a - b$,
c) $x_n y_n \rightarrow ab$,
d) nếu $b \neq 0$ thì $x_n/y_n \rightarrow a/b$.

Quét. Trong số $y_n$ có thể có số 0, nhưng nếu $b \neq 0$ thì chỉ có (chứng minh điều này) một số hữu hạn: $\exists N \forall n > N y_n \neq 0$; chuỗi $x_n/y_n$ phụ thuộc vào giới hạn, do đó, đối với $n > N$.

e) Nếu $b = 0$, thì dãy $x_n/y_n$ (nếu được xác định) có thể không có giới hạn, có thể tiến tới bất kỳ số nào hoặc tiến tới vô cùng—cho ví dụ liên quan.

16. a) Chứng minh rằng nếu $x_n \geq 0$ với mọi $n$ và $x_n \rightarrow a$ với $n \rightarrow \infty$ thì $a \geq 0$.

6. Có thể nói rằng $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n > 0$ nếu mọi thứ đều là $x_n > 0$?

b) Đặt $x_n \leq y_n \leq z_n$ và đặt $x_n \rightarrow a$ và $z_n \rightarrow a$ tại $n \rightarrow \infty$. Chứng minh rằng khi đó $y_n \rightarrow a$ cho $n \rightarrow \infty$.

17. a) Dãy số $\{x_n\}$ có tính chất sau: với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại một $k$ sao cho với mọi $n > k$ và mọi số tự nhiên $p$
    $$|x_{n+p} - x_n| < \varepsilon.$$
    Chứng minh rằng $\{x_n\}$ có giới hạn.

6. Chứng minh điều ngược lại: nếu $x_n$ là dãy hội tụ thì $\forall \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k \forall p |x_{n+p} - x_n| < \varepsilon.$
   b) Dãy số $\{x_n\}$ có tính chất sau: $\forall \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_{n+p} - x_n| < \varepsilon.$
   $\{x_n\}$ có bắt buộc đối với tài sản không?

18. Hãy xây dựng dãy $\{x_n\}$ như sau: $|x_n| = 1/2^n$, chọn các dấu $x_1, x_2, x_3, \dots$ tùy ý. Tiếp theo chúng ta đặt $s_n = x_1 + \dots + x_n$.

a) Chứng minh dãy $\{s_n\}$ hội tụ.

6. Liệt kê tất cả các giá trị mà $\lim_{n \rightarrow \infty} s_n$ có thể nhận (khi các dấu $x_n$ được chọn theo đủ mọi cách khác nhau).

Phức tạp $\{x_n\}$. Cho đến đây chúng ta đã xem xét các dãy gồm các số thực.

Bây giờ đặt $x_n$ là số phức bất kỳ.

Định nghĩa về giới hạn trong trường hợp này về mặt nghĩa đen cũng giống như trước đây. Nhưng ý nghĩa hình học của nó lại khác: bất đẳng thức $|x_n - a| < \varepsilon$ bây giờ có nghĩa là $x_n$ nằm bên trong một đường tròn bán kính $\varepsilon$ với tâm là điểm $a$; Do đó, số $a$ đóng vai trò là giới hạn của $\{x_n\}$, nếu tất cả các đường tròn có tâm $a$ chỉ nằm ở số hữu hạn $\{x_n\}$.

19. a) Đặt $x_n = a_n + ib_n$. Dãy số $\{x_n\}$ hội tụ khi và chỉ khi dãy $\{a_n\}$ và $\{b_n\}$ hội tụ. Chứng minh điều đó.

6. Đặt $|x_n| = r_n$, lập luận $x_n = \alpha_n$. Có đúng là $\{x_n\}$ hội tụ khi và chỉ khi cả $\{r_n\}$ và $\{\alpha_n\}$ hội tụ?

20. Để dãy $\{x_n\}$ tiến về 0. Chúng ta xây dựng dãy $\{s_n\}$ như thế này:
    $$s_1 = x_1, \quad s_2 = x_1 + x_2, \dots, \quad s_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n, \dots$$
    Tìm hiểu xem $\{s_n\}$ có thể có chính xác hai điểm giới hạn hay không:

a) nếu $x_n$ là số thực,
b) nếu $x_n$ là số phức (trong trường hợp này định nghĩa về điểm giới hạn theo nghĩa đen giống như trước).

32

NGƯỜI CHIẾN THẮNG
CUỘC THI “LƯỢNG LƯỢNG”

Theo quyết định của Ban tổ chức Olympic Western Union, những học sinh thường xuyên nộp bài đặc biệt gốc và đầy đủ lời giải bài toán “Có vấn đề «Kvant»” sẽ được quyền tham gia các vòng khu vực của Olympic Western Union cùng với những người đoạt giải Olympic cấp khu vực và thành phố.

Trong năm qua, 1973, các biên tập viên đã nhận được hơn sáu nghìn lá thư kèm theo quyết định bài toán. Ban biên tập tạp chí «Kvant» cùng với Ban tổ chức Olympic Liên đoàn hạng cân đã chọn ra những tác giả đúng và thú vị nhất lời giải.

Dưới đây là danh sách học sinh - người chiến thắng trong cuộc thi «Kvant» - đã nhận được quyền tham gia các kỳ thi Olympic khu vực, khu vực và tài nguyên (tại Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị và tài nguyên đồng minh không phân chia khu vực) năm 1974.

Được phép tham gia Olympic Toán

P. Adaronov - Baku, s.sh. lớp 56, 10.
L. Basov - Pryazhevalsk, s.sh. lớp 11, 10
I. Bakhmutsky - Lvov, s.sh. lớp 52,9.
E. Bashkirov - Minsk, s.sh. lớp 50, lớp 10.
S. Belolipetsky - Kirzhach, vùng Vladimir, phía bắc sh. lớp 5, 10
A. Berlin - Bobruisk, s.sh. lớp 3, 10
A. Blokh - Kharkov, s.sh. 27, 9 lớp
A. Brystsev - r.p. Tyulgan, vùng Orenburg, Tyulganskaya s.sh., lớp 9.
A. Valkov - Tashkent, s.sh. 110, 10 ô
R. Wasserman - Odesca, s.sh. 116, 10 ô
A. Veksler - Tashkent, s.sh. lớp 50, lớp 10.
A. Voinovsky - Baku, s.sh. 221, 10 ô.
A. Goncharov - Nikopol, s.sh. lớp 13, 8
A. Grizdoryan - Baku, s.sh. 221, 10 ô.
G. Gutin - Klintsy, vùng Bryansk, phía bắc sh. lớp 2, 10

K. Danilenko - Volgograd, s.sh. Lớp 35,9.
A. Eremenko - Kharkov, s.sh. 27, 10 lớp
M. Zaks - Perm, s.sh. lớp 7, 10
A. Zaslavsky - Kalinin, s.sh. lớp 20, 10
S. Zenovich - Tashkent, s.sh. lớp 50, lớp 10.
S. Ilyinkov - Kharkov, s.sh. 27, 10 lớp
M. Kobozev - Kyiv, s.sh. 173, 10 ô
V. Kobyletsky - Baku, s.sh. 134, 9 ô
S. Korshunov - Làng Monino, vùng Moscow, phía bắc sh. 1, 9 lớp
A. Kukush - Kyiv, s.sh. 145, 10 ô
M. Levin - Vitebsk, s.sh. 2, 10 lớp
M. Lyubich - Kharkov, s.sh. 27, 8 lớp
A. Makariev - Lvov, s.sh. lớp 14, 10
S. Melnik - Kharkov, s.sh. 27, 9 lớp
A. Mekhovich - Vladivostok, phía bắc sh. Lớp 75, 10.
V. Milman - Minsk, s.sh. 19, 10 lớp
L. Mikhlin - Kursk, s.sh. lớp 6, 9
G. Mustafaev - Sinaan Az. SSR, vĩ độ Bắc 1, cấp 10
S. Nuzhny - Kuibyshev, s.sh. 135, 10 ô

34

Người giải quyết vấn đề lượng tử

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 5 năm 1974 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: Bài toán «Kvant», M251, M252 “hoặc”… F263”. Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới phải là gửi trong các phong bì riêng. Gửi Bài toán từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này, bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình). Vui lòng gửi các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản thành hai bản cùng với các giải pháp của bạn cho bài toán (đánh dấu trên phong bì: “Vấn đề lượng tử”, “mới bài toán” vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”).

Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Những cái khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

Bài toán

M251-M255; F263-F267

M251. Cho $n$ quả sung có nhiều màu và thể tích của mỗi màu không lớn hơn $\frac{n}{2}$. Chứng minh rằng chúng có thể được đặt trên một vòng tròn sao cho không có hai vật lý cùng màu nào đứng cạnh nhau.

F. G. Shleifer

M252. a) Trên mặt phẳng có một đầu nhòe đều ở bên cạnh $a$. Nó được phép “lăn” dọc theo mặt phẳng, lật (phản xạ đối xứng) so với bất kỳ phía nào. Chứng minh rằng với bất kỳ điểm $M$ nào của mặt phẳng và bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào, đều có thể lăn cọ quét đến vị trí sao cho tâm của nó nằm cách điểm $M$ ở khoảng cách nhỏ hơn $\varepsilon$ (Hình 1).

6. Giải bài toán tương tự để có hình ngũ giác đều.

c *) Với $n$-giác thông thường nào thì phát biểu tương tự là đúng?

G. A. Galperin

M253. Ba điểm được cho trên mặt phẳng, tương ứng với nội tiếp, ngoại tiếp và một trong các đường tròn bên ngoài của tam giác. Làm thế nào bạn có thể tái tạo lại tam giác bằng cách sử dụng dữ liệu này?

(Hãy nhớ rằng đường tròn ngoài của một tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và kéo dài bằng hai cạnh kia.)

B. V. Martynov

M254. Tính giá trị
$$\sqrt{0,11111\ldots11111} \approx 100$$ với độ chính xác
a) 100 chữ số thập phân;
b) 101 chữ số thập phân; c*) 200 chữ số thập phân.

A. A. Egorov

M255 *. AB và CD là hai tiếp tuyến khác nhau của hai quả bóng cho trước (A và C thuộc bề mặt của một quả bóng, B và D thuộc bề mặt của quả bóng kia). Chứng minh rằng hình chiếu của các đoạn AC và BD lên đường thẳng đi qua tâm các quả cầu là bằng nhau.

I. F. Sharytsin

F263. Kính lão hóa (một mặt kính nhẵn, mặt kia nhám) được áp dụng cho bản vẽ: một mắt hướng lên trên, mắt kia hướng xuống. Trong một trường hợp, bản vẽ có thể nhìn thấy rõ, trong trường hợp khác thì không thể phân biệt được. Tại sao?

F264. Hai tấm kim loại phẳng, tròn giống hệt nhau, được bố trí như trong Hình 2, quay với vận tốc góc $\omega$ theo hai hướng ngược nhau trong từ trường vuông góc với mặt phẳng của các tấm. Cảm ứng từ trường là $B$, khoảng cách giữa các bản là $a$. Các trục của tấm được nối với nhau bằng dây dẫn. Tìm sự phân bố mật độ điện tích ở trạng thái ổn định trên các bản.

Cơm. 2.

F265. Một cậu bé ngồi trên xe trượt tuyết muốn nâng mình lên tường với sự trợ giúp của một sợi dây buộc vào xe trượt và ném qua các khối nhà.

Cơm. 3.

Cơm. 4.

(Hình 3). Để làm được điều này, hệ số ma sát giữa cậu bé và chiếc xe trượt tuyết sẽ là bao nhiêu, nếu khối lượng của chiếc xe trượt tuyết là $m$, khối lượng của cậu bé là $M$, và hệ số ma sát của những người chạy xe trượt tuyết trên tuyết là $k$?

F266. Ống hình chữ U chuyển động với tốc độ không đổi $v$ song song với bề mặt chất lỏng (Hình 4). Tiết diện của phần dưới của ống, hạ xuống nước là $S_1$, và phần trên, nằm phía trên mặt nước, là $S_2$. Lực nào tác dụng vào ống? Mật độ chất lỏng $ρ$. Bỏ qua sự tạo thành sóng trên bề mặt chất lỏng.

F267. Một tàu vũ trụ hình cầu di chuyển quanh Mặt trời theo quỹ đạo tròn. Nhiệt độ của con tàu là bao nhiêu nếu năng lượng phát ra trên một đơn vị diện tích bề mặt của Mặt trời và con tàu tỷ lệ với lũy thừa bậc 4 của nhiệt độ tuyệt đối của chúng? Các phi hành gia trên tàu nhìn thấy Mặt trời ở góc 30°. Nhiệt độ bề mặt của Mặt trời được lấy là 6000 ° K.

36

Lời giải bài toán
M200, M208-M210; F218-F222

M200. a) Hình 1 cho thấy sáu điểm nằm ba trên bốn đường thẳng. Chứng minh rằng có thể ánh xạ tập hợp sáu điểm này lên chính nó theo 24 cách khác nhau, sao cho ba điểm nằm trên một đường thẳng được ánh xạ tới ba điểm cũng nằm trên cùng một đường thẳng.

6. Trong Hình 2, hai điểm nằm ba trên bốn đường thẳng và qua mỗi điểm có ba giá trị tối đa của “cấu hình Pascal”. Có bao nhiêu cách ánh xạ tập hợp các điểm thứ chín của chúng ta lên chính nó sao cho mỗi điểm ba nằm trên một trong các đường thứ chín được ánh xạ vào một điểm 同一.

Cơm. 1.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

bộ ba của một điểm nằm trên một đường nhất định từ cấu hình của chúng ta?

b) Câu hỏi tương tự cho cấu hình Desargues (mười điểm và mười dòng) được hiển thị trong Hình 3.

Trong đoạn 6) và c) bài toán đáng kể lời giải tìm đáp số, cách biện minh cho điều đó.

Đáp số có thể đạt được như thế này. Chúng ta hãy tạo một tam giác gồm ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng và sao cho mỗi điểm nằm trên cùng một đường thẳng *), tất nhiên thuộc về cấu hình của chúng ta. Dễ dàng nhận thấy rằng nếu chỉ ra điểm nào đi vào mỗi đỉnh của một tam giác cho trước (ba điểm này cũng phải tạo thành một tam giác) thì vị trí của tất cả các điểm còn lại là do điều kiện của chúng ta - ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng sẽ đi vào ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng - được xác định duy nhất trong cả ba trường hợp: a), 6), c).

Hãy lấy trường hợp c) làm ví dụ. Giả sử khi hiển thị các điểm i, j, k lần lượt di chuyển đến các điểm 1, 2 và 3. Khi đó điểm l được nối bằng các đường thẳng tới từng điểm i, j, k nên đi đến điểm 4 - hai điểm nằm trên đường thẳng sẽ đi đến hai điểm nằm trên đường thẳng - và tới các điểm 5, 6, . . . , 10 phải cắt điểm thứ ba nằm trên các đường thẳng đi qua các cặp điểm i, j, k, l.

Posny trong trường hợp a) thực sự có 24 ánh xạ khác nhau: bất kỳ điểm nào trong số sáu điểm có thể được ánh xạ tới đỉnh đầu tiên của tam giác đã chọn, bất kỳ điểm nào trong bốn điểm nằm trên cùng một đường thẳng với nó đều có thể được ánh xạ tới đỉnh thứ hai và điểm chuyển tiếp sang đỉnh thứ ba được xác định duy nhất. Tổng cộng 6·4=24 ánh xạ. Tương tự, ở điểm 6) và c) đáp số: 9·6·2=108 và 10·6·2=120 (ở đây không phải một mà là hai điểm có thể đi đến đỉnh thứ ba của tam giác). Tuy nhiên, không dễ để biện minh cho các tính toán của chúng tôi: khi thực hiện chúng, chúng tôi đã sử dụng “quyền bình đẳng” của tất cả các tam giác. Ví dụ, có thể không có điểm l mà các điểm i, j, k được nối với nhau bằng các đường thẳng hoặc có hai điểm như vậy. Mặc dù sự bình đẳng này dường như tồn tại nhưng nó vẫn cần được chứng minh. Tất nhiên, điều này có thể được thực hiện “bất kỳ cách nào”, lấy trong trường hợp a) 24 hình tam giác, trong trường hợp b) 108 hình tam giác và trong trường hợp c) 120 hình tam giác (chúng ta phân biệt giữa các tam giác có thứ tự đỉnh khác nhau). Nhưng bạn có thể làm điều đó khác đi. Vì để mô tả cấu hình của chúng ta, chỉ có những điểm nào nằm trên một đường nhất định và những đường nào đi qua một điểm nhất định - thông tin này là cần thiết và đủ để nghiên cứu ánh xạ - chúng ta có thể xác định cấu hình của mình bằng cách sử dụng mô hình: trỏ tới

*) Thứ tự của các điểm trong bộ ba tồn tại.

37

boron “thẳng”, “điểm” và cho biết điểm nào và đường thẳng nào. Điểm i và đường thẳng j liên tiếp nhau nếu điểm i nằm trên đường thẳng j hoặc tương tự, đường thẳng j đi qua điểm i. Hình 4 cho thấy một số mô hình có cùng cấu hình.

Chúng tôi sẽ xây dựng cho từng cấu hình a), 6), c) các mô hình như vậy mà các tam giác đều sẽ hiển nhiên.

điểm a). Chúng ta hãy xem một tứ diện - một paramid tam giác đều - và các đỉnh của nó là các đường thẳng và các cạnh của nó là các điểm. Giả sử điểm i liên tiếp với đường thẳng j nếu đỉnh j liên tiếp với cạnh i. Kiểm tra xem mô hình cấu hình của điểm a) đã thu được chưa. Các hình tam giác trong mô hình này tương ứng với ba cạnh áp dụng cho một ranh giới và ánh xạ của chúng tôi tương ứng với các phép quay và tính đối xứng của khối tứ diện. Những phép biến đổi này được minh họa trong Hình 5. Kiểm tra xem chúng có biến đổi ba điểm nằm trên cùng một đường thành ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng hay không. Trong mô hình này, sự tương đương của tất cả các tam giác rất thuận tiện.

Cấu hình Pascal. Mô hình cấu hình của Pascal sẽ phức tạp hơn một chút. Chúng ta hãy xem xét một mạng lưới gồm các hình tam giác đều được hình thành thứ ba bởi các đường thẳng song song (xem Hình 6). Hãy tạo các “điểm” và “đường” từ các đường và nút của lưới này như sau. Hãy vẽ tất cả các đường thẳng song song qua ba thành một “đường thẳng” và tương tự, tất cả các nút nằm trên các đường thẳng qua ba sẽ được kết hợp thành một “điểm”. Trong Hình 6, các nút trong một “điểm” được đánh dấu giống hệt nhau và các đường trong một “đường thẳng” có cùng màu. Các phần phụ “điểm” và “thẳng” nếu các phần phụ tạo thành chúng là các nút và đường thẳng.

Tôi đã kết hôn nhiều hơn. Đảm bảo bạn có được mô hình cấu hình Pascal.

Tam giác trong mô hình tương ứng với tập hợp các tam giác được hiển thị trong Hình 7. Có thể dễ dàng xác minh rằng các phép quay, tịnh tiến song song và đối xứng của mặt phẳng, biến lưới thành chính nó, là các ánh xạ *) hợp lệ. Do đó, sự tương đương của tất cả các tam giác là rất hữu ích - bất kỳ tam giác nào cũng có thể được dịch sang bất kỳ tam giác nào khác bằng cách sử dụng ánh xạ được chấp nhận.

Tôi đã kết hôn nhiều hơn. Chứng minh rằng không có ánh xạ nào khác được chấp nhận.

Cấu hình Desargues. Chúng tôi trình bày cấu hình Desargues như sau. Hãy lấy một khối tứ diện và đánh dấu trung điểm của các cạnh của nó (xem Hình 8). Điểm là đỉnh của tứ diện và là trung điểm của các cạnh của nó, còn các đường thẳng là các cạnh của nó và là trung điểm của các cạnh nằm trên cùng một ranh giới. Một cạnh nguyên chứa các đỉnh nằm trên nó và điểm giữa của nó.

*) Để cho ngắn gọn, đây là cái mà chúng tôi gọi là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện bài toán.

38

Cơm. 9.

Nó chặt hơn. Đảm bảo bạn có được mô hình cấu hình Desargues.

Bộ ba điểm nào trong mô hình của chúng ta là hình tam giác? Đây là các đỉnh nằm trên cùng một mặt, hoặc một đỉnh và trung điểm của các cạnh liền kề với nó, hoặc trung điểm của các cạnh liền kề với một đỉnh (xem Hình 9).

Mặc dù theo quan điểm của các phép biến đổi tứ diện tổng quát - phép quay và tính đối xứng (xem Hình 5) - những tam giác này không bằng nhau, nhưng việc thêm một phép biến đổi khác $T$ (được hiển thị trong Hình 10) là đủ để đảm bảo rằng tất cả các tam giác đều bằng nhau và do đó đáp số là đúng.

Nó chặt hơn. Đảm bảo rằng các lần lặp lại, tính đối xứng và ánh xạ $T$ là các ánh xạ hợp lệ. Chỉ định tất cả các ánh xạ hợp lệ.

Bài toán lời giải.

Tóm lại, có thêm một số câu hỏi để bạn tự suy nghĩ. Có bao nhiêu ánh xạ có thể chấp nhận được trong cấu hình của chúng tôi vẫn được sửa:

a) một điểm cho trước;
b) một cặp điểm cho trước;
b) một đường cho trước (nghĩa là một hoán vị được ánh xạ của các điểm nằm trên một đường cho trước);
d) một cặp đường cho trước, v.v.

M208. Được biết, hiệu giữa số thực lớn nhất và số thực nhỏ nhất

$$x_1, x_2, x_3, \dots, x_{10}$$

đúng 1. nào:
a) lớn nhất;
b) nhỏ nhất

• có thể là sự khác biệt giữa số lớn nhất và nhỏ nhất trong 10 số

$$x_1, \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dots, \frac{x_1+x_2+\cdots+x_{10}}{10}$$

đáp số sẽ là bao nhiêu nếu không có 10 số mà là n?

Chúng ta sẽ giải ngay bài toán cho số $n$. Chúng ta hãy đưa ra một vài nhận xét sơ bộ.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $y_k$ số $\frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}$, trong đó $k=1, 2, \dots, n$. Nếu chúng ta thêm một số nhất định $a$ vào tất cả $x_i$ thì thay vì các số $y_i$, chúng ta sẽ nhận được các số $y_i+a$. Sự khác biệt tối đa của các số $y_i$ và của các số $y_i+a$ là như nhau. Do đó, từ tập hợp $\{x_i\}$, bằng cách sử dụng phương pháp chọn $a$, chúng ta có thể đi đến tập hợp $\{x_i'\}$ sao cho tất cả $x_i' \geq 0$, $x_i$ nhỏ nhất bằng 0 và lớn nhất bằng một. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ chỉ xem xét những tập hợp như vậy. Tương tự, nếu bạn thay thế các số $x_i$ bằng $1-x_i$ thì $y_i$ sẽ được thay thế bằng $1-y_i$. Do đó, từ bộ $\{x_i\}$ người ta có thể đến bộ $\{1-x_i\}$: chênh lệch tối đa giữa các số $y_i$ và các số $1-y_i$ là như nhau.

Bây giờ chúng ta hãy giải bài toán a). Đặt $y_k$ là số nhỏ nhất và $y_l$ là số lớn nhất trong số $\{y_i\}$. Nếu $k < l$ thì

$$y_l - y_k = \frac{ky_k}{l} + \frac{x_{k+1}+\cdots+x_l}{l} - y_k = \frac{x_{k+1}+\cdots+x_l}{l} - \frac{l-k}{l} y_k \leq \frac{x_{k+1}+\cdots+x_l}{l} \leq \frac{l-k}{l} = 1 - \frac{k}{l} \leq 1 - \frac{1}{n}.$$

Nếu $l > k$ thì $y_l - y_k = \frac{k-l}{k} y_l - \frac{y_{l+1}+\cdots+y_k}{k} \leq 1 - \frac{l}{k} \leq 1 - \frac{1}{n}$. Vì vậy, chênh lệch tối đa không quá 1 – $\frac{1}{n}$. Một tập hợp có sự khác biệt như vậy dễ dàng chỉ ra: $x_1 = 0, x_2 = x_3 = \dots = x_n = 1$.

Hãy chuyển sang lời giải bài toán 6). Hãy để chúng tôi ước tính mức chênh lệch tối đa là bao nhiêu nếu tập hợp chứa $\{x_i\}$ $x_k = 1, x_l = 0$. Chúng ta sẽ giả sử rằng $k < l$ (nếu không đúng như vậy thì chúng ta sẽ chuyển từ tập hợp $\{x_i\}$ sang tập hợp $\{1-x_i\}$).

Nếu $k = 1$ thì chênh lệch không nhỏ hơn $\frac{1}{n}$.

Thật vậy, khi đó $y_1 = 1$ và $y_n = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \leq \frac{n-1}{n}$, vì tất cả đều là $x_i < 1$ và một trong số chúng bằng 0. Đặt $\Delta_1 = y_k - y_{k-1} = \frac{1}{k-1} - \frac{y_k}{k-1}, \Delta_2 = y_{l-1} - y_l = \frac{y_{l-1}}{l}$ và nếu $y_k \leq y_{l-1}$ thì $\Delta_2 \geq \frac{y_k}{l}$.

39

Số lớn nhất trong các số $\Delta_1$ và $\Delta_2$ không nhỏ hơn $\frac{1}{k+l-1}$, vì $1 \leqslant (k-1)\Delta_1 + l\Delta_2 \leqslant (k+l-1)M$, trong đó $M = \max(\Delta_1, \Delta_2)$. Nếu $y_k > y_{l-1}$, thì hãy xem xét sự khác biệt $\Delta_3 = y_k - y_l = y_k - y_{l-1} + \frac{y_{l-1}}{l}$. $\Delta_3 + (k-1)\Delta_1 = (l-1)(y_k - y_{l-1}) + 1 > 1$, từ đó tối đa($\Delta_1, \Delta_3$) $\geqslant \frac{1}{k+l-1}$. Như vậy chúng ta đã chứng minh được rằng chênh lệch không nhỏ hơn $\frac{1}{k+l-1}$. Do đó, đối với một tập hợp tùy ý, nó không nhỏ hơn $\frac{1}{2(n-1)}$ ($l \leqslant n, k \leqslant n-1$). Có thể nhận ra sự khác biệt như vậy: chẳng hạn, chỉ cần xem xét tập $x_1 = x_2 = \dots = x_{n-2} = \frac{1}{2}$, $x_{n-1} = 1$, $x_n = 0$ là đủ. Vì vậy, sự khác biệt của chúng tôi là $\frac{1}{2(n-1)}$

L. G. Limanov

M209. Với mọi tam giác ABC đều có thể tính giá trị lớn nhất:

$$S = \text{tg}^2 A/2 + \text{tg}^2 B/2 + \text{tg}^2 C/2.$$

Chứng minh rằng

a) $S \leqslant 2$ cho tất cả các tam giác nhọn và tam giác vuông;

b) $S \geqslant 2$ đối với các tam giác đa giác có góc ở lõi lớn hơn hoặc bằng 2 cung tròn 4/3;

b) trong các tam giác có góc ở đáy $\varphi$ châm ngôn $\frac{\pi}{2} < \varphi < 2$ arcctg 4/3 thì có $u$ châm ngôn $S > 2$, $u$ châm ngôn $S < 2$.

Hãy để chúng tôi trình bày một trong những lời giải ngắn nhất, gần với cái được gửi bởi S. Berko-laiko (vùng Belgorod) và A. Gritsoryan (Baku).

Từ công thức

$$\text{tg} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} - \frac{B}{2} \right) = \frac{1 - \text{tg} \frac{A}{2} \cdot \text{tg} \frac{B}{2}}{\text{tg} \frac{A}{2} + \text{tg} \frac{B}{2}}$$

theo đó các số dương $x, y$ và $z$ có thể đóng vai trò là tiếp tuyến của đa thức $\Delta ABC$ khi và chỉ khi $xy + yz + zx = 1$. (1)

Ngoài ra, (1) cho phép, cùng với tổng $S = x^2 + y^2 + z^2$, xét tổng đơn giản hơn $T = x + y + z$: vì $T^2 = S + 2$, nên các điều kiện $S > 2$, $S = 2$ và $S < 2$ lần lượt tương đương với các điều kiện $T > 2$, $T = 2$ và $T < 2$.

Nhiệm vụ do đó đi xuống như sau.

Đặt $xy + yz + zx = 1$, $x + y + z = T$, $0 < x \leqslant z$, $0 < y \leqslant z$.

Sau đó

a) $T \leqslant 2$ tại $z \leqslant 1$;

b) $T \geqslant 2$ tại $z \geqslant 4/3$;

b) với mọi $z$ trong khoảng từ 1 đến 4/3, có $x, y$ sao cho $T < 2$ và $x, y$ sao cho $T > 2$.

Hãy chứng minh câu a), b) và c).

a) Nếu $z \leqslant 1$ thì $S = x^2 + y^2 + z^2 \leqslant xz + yz + z^2 < xy + yz + z^2 = 1 + z^2 \leqslant 2$, nên cả $S < 2$ và $T < 2$.

6. Nếu $z = \frac{4}{3} + d$, $d \geqslant 0$, thì $x + y \geqslant \frac{2}{3}$ – d.

Hãy chứng minh điều này bằng phản chứng: giả sử rằng $x + y < \frac{2}{3} - d$.

Sau đó

$$xy \leqslant \frac{(x+y)^2}{4} < \frac{1}{9} - \frac{d}{3} + \frac{d^2}{4},$$

$(x+y)z < \left(\frac{2}{3} - d\right)\left(\frac{4}{3} + d\right) = \frac{8}{9} - \frac{2d}{3} - d^2,$

Vì thế

$$1 = xy + (x+y)z < 1 - d - \frac{3d^2}{4} \leqslant 1.$$

Mâu thuẫn thu được chứng tỏ rằng $x + y \geqslant \frac{2}{3} - d$ và $T = (x+y) + z \geqslant \frac{2}{3} - d + \frac{4}{3} + d = 2.$

b) Bây giờ hãy $1 < z < \frac{4}{3}$.

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm $x$ và $y$ sao cho $T < 2$. Hãy lấy $x = y$. Theo đẳng thức (1) thì $x = y = \sqrt{z^2 + 1} - z$, $T = 2\sqrt{z^2 + 1} - z$. Vì $z < 4/3$, $4(z^2 + 1) < 4 + 4z + z^2$, $2\sqrt{z^2 + 1} < z + 2$ và do đó $T < 2$.

Quét. Quay trở lại công thức ban đầu bài toán, chúng ta thấy rằng đối với các tam giác có góc loại cân có góc loại $\varphi < 2$ arcctg $4/3$ thì tổng là $S < 2$.

Bây giờ chúng ta hãy tìm $x$ và $y$ sao cho $T > 2$. Sử dụng danh tính (1), chúng ta viết $T$ ở dạng $T = (x+y) + z = \frac{1 - xy}{z} + z$.

Tổng $z + \frac{1}{z} > 2$, $T$ khác với số tiền $\frac{xy}{z}$. Vì $y \leqslant z$, nên $\frac{xy}{z} \leqslant x$.

Điều này có nghĩa là nếu chúng ta lấy $x < z + \frac{1}{z} - 2$, thì $T$ hóa ra là