Kvant 1974, số 7 · Trang

1974
7
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

66

Từ ngày 4 tháng 11 đến ngày 9 tháng 11 năm 1973, lễ kỷ niệm các nhà toán học trẻ Transcaucasia được tổ chức tại Batumi. Ở đây bạn thấy hai thẻ SIM được làm trong kỳ nghỉ. Phía trên là “Bồn tắm của Archimedes”, phía dưới là một cảnh trong vở kịch “Quả bóng của công chúa số học”. Bạn có thể đọc về kỳ nghỉ và buổi biểu diễn ở trang 62 và 66.

Lấy một cuốn tạp chí có các vòng tròn được mô tả trên trang đầu tiên của trang bìa trong tay và thực hiện một số chuyển động xoay đều bằng tay trong mặt phẳng của các trang có hình ảnh. Các vòng tròn sẽ bắt đầu “xoay”. Bạn có thể đọc về cách tạo ra ảo ảnh này trong ghi chú “Không xoay được” trên trang. số 12 của tạp chí này.

1

TRONG PHÒNG:

3 Viện sĩ P. L. Kappze
4 M. A. Ginzburg. Những hành tinh chúng ta biết rất ít về
13 M. I. Reitman. Vận chuyển bài toán
21 M. A. Grabovsky. Làm thế nào các nhà vật lý xác định độ cong của parabol
24 N. S. Rubina. Về ngoại ngữ

câu lạc bộ toán học
29 E. G. Belayada. Tính đa thức - từ Newton cho đến ngày nay

Sách vấn đề «Kvant»
36 Bài toán M271—M275; F283—F287
38 Lời giải do M231—M235 đưa ra; F238—F242

Xưởng của người nộp đơn
Các lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh đại học
49 S. S. Belayadiy. Đại học bang Belarus được đặt theo tên. V. I. Lênin
50 E. A. Golubov. Đại học bang Ural được đặt theo tên A. M. Gorky
52 S. E. Kamenetsky, V. I. Krupich, N. E. Parfentyeva, L. P. Postinikova, M. M. Chernetsov, G. A. Shadrin. Học viện sư phạm quốc gia Moscow được đặt theo tên. V. I. Lênin
54 G. L. Lukakin, Yu. M. Kolyazin. Học viện sư phạm khu vực Moscow được đặt theo tên. N. K. Krupskaya
56 I. V. Konovaltsev, V. I. Novikov. Viện Công nghệ Hàng không Mátxcơva được đặt theo tên. K. E. Tsiolkovsky
57 V. S. Kolpkov, R. N. Sakharova. Học viện Bách khoa Yaroslavl
58 N. R. Gulkarov, F. Z. Zakrillaev, E. V. Pak, A. U. Umirbekov. Viện đường tự trị Tashkent

Đánh giá, thư mục
60 T. S. Petrova, M. L. Smolyansky. Sách mới

Thông tin
62 L. G. Limanov. Kỳ nghỉ thứ năm của các nhà toán học trẻ Transcaucasia

«Kvant» cho học sinh nhỏ
65 Bài toán
66 Quả Bóng Số Học Của Công Chúa
69 N. A. Đất Mẹ. Có thể cân một phân tử?

Đáp số, gợi ý, lời giải
Hỗn hợp (tr. 12, 20, 23, 35, 48)

© «Kvant». 1974

2

Ngày 9 tháng 7 năm 1974 đánh dấu kỷ niệm 80 năm ngày sinh của thành viên ban biên tập tạp chí «Kvant», nhà vật lý kiệt xuất của Liên Xô, thành viên Đoàn chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, thành viên Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn, thành viên nước ngoài của Viện Hàn lâm Khoa học Hoa Kỳ, Thụy Điển, Đan Mạch, Ba Lan, Ấn Độ và một số quốc gia khác, Giám đốc Viện Các vấn đề Vật lý của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, tổng biên tập Tạp chí Khoa học Liên Xô. Tạp chí Vật lý thực nghiệm và lý thuyết, đại diện hội đồng điều phối Viện Vật lý-Kỹ thuật Moscow, Anh hùng Lao động xã hội chủ nghĩa, người đoạt Giải thưởng Nhà nước Liên Xô, Viện sĩ Pyotr Leonidovich Kapitsa.

Viện sĩ P. L. Kapitse

Pyotr Leonidovich thân mến!
Bộ sưu tập biên tập của tạp chí «Kvant» mà bạn là thành viên, orgenyu chúc mừng bạn nhân ngày thứ tám mươi của Vashchenko.
Ông là một trong những nhà vật lý Liên Xô vĩ đại nhất của thời đại chúng ta.
Công việc của bạn trong lĩnh vực vật lý từ trường cực mạnh, vật lý và công nghệ nhiệt độ thấp và điện tử vật lý sẽ được quốc tế công nhận rộng rãi. Kể từ khi thành lập, dưới sự lãnh đạo của Viện Các vấn đề Vật lý của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, nhiều nhà khoa học tài năng đã trưởng thành và nhận được nền giáo dục vật lý xuất sắc, những người đã định nghĩa khoa học của chúng ta bằng nghiên cứu của họ. Chúng tôi, cũng như những độc giả của chúng tôi, những người đã làm quen với một số bài viết của bạn trong thời gian ngắn tồn tại của tạp chí «Kvant», đặc biệt vui mừng khi ghi nhận sự thể hiện thường xuyên tình yêu thương của bạn đối với giới trẻ và sự quan tâm của bạn đối với các vấn đề giáo dục.
Khi chúng tôi kỷ niệm ngày kỷ niệm vinh quang của bạn, chúng tôi hy vọng rằng bạn sẽ nhiều lần cung cấp cho độc giả của chúng tôi những ý tưởng độc đáo và những bài viết xuất sắc.
Chúng tôi chúc bạn, Pyotr Leonidovich thân yêu, sống nhiều năm trong thế kỷ thú vị khác thường của chúng ta, một cuộc đời là tấm gương tuyệt vời cho những người trẻ dấn thân vào con đường khoa học đầy khó khăn.

4

MAGintsburg

hành tinh,
GIỚI THIỆU VỀ MÀ
CHÚNG TÔI
MỘT VÀI
CHÚNG TÔI BIẾT

Sao Mộc
Ceres
địa lý
Sao Hỏa
Trái đất
Mặt trời
tình yêu
Hòa hợp
Tâm lý

…ngoại trừ những hành tinh lớn như Trái Đất, Sao Mộc, Sao Hỏa. Sao Kim, có hàng trăm cái khác thậm chí còn chưa được đặt tên, và trong số đó cũng có những cái nhỏ đến mức khó có thể làm phẳng chúng ngay cả trong kính thiên văn.

Antoine Saint-Exupéry
“Priitz bé nhỏ”

5

Giới thiệu

Ngoài các hành tinh lớn - Sao Thủy, Sao Kim, Trái Đất, Sao Hỏa, Sao Mộc, Sao Thổ, Sao Thiên Vương, Sao Hải Vương và Sao Diêm Vương - các hành tinh nhỏ hơn - astroid - cũng quay quanh Mặt trời. Hành tinh đầu tiên như vậy có tên là Ceres, được phát hiện vào năm 1801. Đường kính của nó là 740 km. Sau đó là Pallas được phát hiện - 490 km, Juno - 200 km, Vesta - 400 km. Hầu như tất cả các quỹ đạo của sao Hỏa đều nằm giữa quỹ đạo của Sao Hỏa và Sao Mộc (xem hình). Hiện tại, quỹ đạo của 1.700 thiên thể đã được xác định. Trong các kính thiên văn hiện đại, có thể nhìn thấy khoảng 50.000 thiên thể. Lúc đầu, tên gọi astroid được lấy từ thần thoại Hy Lạp, sau đó chúng được gọi bằng tên của chúng. Có các nhà thiên văn Vera, Olga, Valeria, Lyudmila, Tatyana. Có phi hành gia Zoya, được đặt tên theo Vùng Kosmodemyanskaya.

Trong những năm gần đây, các nhà vật lý thiên văn đã nói về tầm quan trọng của việc nghiên cứu bản chất của các phi hành gia và nói về chúng từ các phi hành gia.

Sự xâm chiếm Trái đất, đặc biệt là lớp vỏ Trái đất, đã trải qua nhiều biến đổi (nóng chảy, quá trình núi lửa, v.v.), làm thay đổi diện mạo ban đầu của nó. Mặt trăng có lịch sử đặc biệt của riêng nó, vẫn chưa được giải đáp.

Ngược lại, có niềm tin rằng cuộc xâm lược của các nhà thiên văn không tan chảy và vẫn giữ được những đặc thù của các thời đại trước. Sau đó, bạn có thể sử dụng nó để tìm hiểu về giai đoạn phát triển ban đầu của hệ mặt trời cách đây 4 - 5 tỷ năm - thời đại của cuộc cách mạng hành tinh.

Astroids cũng có thể được tìm thấy trong các ứng dụng thực tế - lực hấp dẫn lên những hành tinh nhỏ này là không đáng kể, chúng có thể đóng vai trò là máy bay cất cánh cho các tàu vũ trụ lớn trong tương lai.

Nhưng cũng có những hành tinh như vậy, đôi khi rất lớn, lớn gấp chục lần Trái đất mà ngay cả kính thiên văn tốt nhất cũng không thể phân biệt được. Đây là những hành tinh của các thế giới khác, chúng không quay quanh Mặt trời mà quay quanh các ngôi sao sáng khác - những ngôi sao xa xôi. Khoảng cách đến các ngôi sao gần nhất - vài năm ánh sáng - lớn hơn hàng nghìn lần khoảng cách từ Trái đất đến hành tinh xa nhất trong hệ mặt trời của chúng ta - Sao Diêm Vương. Ánh sáng truyền đi 300.000 km mỗi giây, trong một năm con số này lên tới 9,46·10¹² km, và đối với Sao Diêm Vương thì “chỉ” 5,9·10⁹ km. Bài viết này sẽ cho bạn biết cách xác định các hành tinh này và xác định các thông số của chúng.

Tiểu hành tinh

Ý tưởng bay đến các hành tinh nhỏ và điều kiện trên những hành tinh nhỏ này đã được nhà tiên phong về du hành vũ trụ K. E. Tsiolkovsky phát triển một cách chi tiết cách đây 50 năm. Tsiolkovsky bị thu hút bởi lực hấp dẫn thấp của mùa thu trước, tạo điều kiện thuận lợi cho việc hạ cánh và cất cánh của tàu vũ trụ cũng như chuyển động của con người trên bề mặt của thiên văn. Chúng ta hãy lấy, như Tsiolkovsky, làm ví dụ về một tiểu hành tinh có đường kính 6 km, nhỏ hơn tiểu hành tinh của Trái đất khoảng 2000 lần. Có hàng nghìn hành tinh như vậy được xếp theo thứ tự astroid.

Chúng ta hãy xem lực hấp dẫn trên một thiên thể như vậy là bao nhiêu. Gia tốc trọng trường $g = \gamma M/R^2$, trong đó $M = \frac{4\pi}{3}\rho R^3$ là khối lượng của hành tinh, $\rho$ là mật độ, $R$ là bán kính, $\gamma = 6,68 \cdot 10^{-11} m^3/кгс^2$ là hằng số hấp dẫn phổ quát. Hoặc $g = \frac{4\pi}{3}\gamma\rho R$. Giống như Tsiolkovsky đã làm, họ sử dụng một astroid bằng $\rho = 5,3 \times 10^3$ kg/m³, tức là gần bằng mật độ trung bình của Trái đất ($\rho_3 = 5,5 \times 10^3$ kg/m³). Giá trị này phụ thuộc phần nào vào lõi hiện có, như Trái đất, và mật độ trung bình của chúng là khoảng $3 \cdot 10^3$ kg/m³. Nhưng đối với ước tính sơ bộ thì this.res rất có ý nghĩa. Gia tốc $g$ tỷ lệ thuận với bán kính $R$, nghĩa là trên thiên văn, gia tốc trọng trường nhỏ hơn trên Trái đất khoảng 2000 lần: $g = 4,9 \cdot 10^{-3} m/c^2$.

6

Người đàn ông trên tiểu hành tinh giống như một chiếc xe đạp trong truyện cổ tích. Nó sẽ dễ dàng nâng và hạ một con tàu vũ trụ nặng 10 tấn (trên tiểu hành tinh của chúng ta con tàu nặng 50 N). Người khổng lồ này cũng có những bước nhảy vọt dài bảy dặm đáng kinh ngạc - anh ta thực hiện những bước nhảy khổng lồ mà không hề căng thẳng (cơ thể anh ta nặng không phải 900 n mà là 0,45 n).

Hãy nhảy trên Trái đất lên độ cao $S = 0,5$ m. Đường đi và gia tốc của kết nối được tính theo công thức $S = gt^2/2$, $g = 9,81 \text{ m/c}^2$. Do đó $t = \sqrt{2S/g} = 0,315$s. Tốc độ ban đầu cần thiết $v_0 = gt = 3,08 \text{ m/c}$.

Theo phép tính gần đúng đầu tiên, chúng ta có thể coi các xung truyền tới cơ thể trên Trái đất và trên tiểu hành tinh là giống nhau - chúng được xác định chủ yếu bởi các cơ của chân chứ không phải bởi trọng lực (sự khác biệt về cơ chế nâng lên, trong thời gian tương tác của chân với bề mặt sẽ phải bỏ qua, không bỏ qua thì không thể giải bất kỳ bài toán vật lý nào bài toán). Do đó, tốc độ ban đầu là như nhau. Chúng ta cũng sẽ giả định rằng gia tốc $g$ không thay đổi trong quá trình nhảy. Tại $v_0 = 3 \text{ m/c}$ trên một tiểu hành tinh $S = v_0^2/2g = 1000 \text{ m} = 1 \text{ км}$. Nhảy thời gian $t = v_0/g = 7 \cdot 10^3 \text{ c} = 110 \text{ мин}^*$).

Bây giờ chúng ta hãy nhường chỗ cho Tsiolkovsky**).

《Bạn đang đứng thẳng trên bề mặt của tiểu hành tinh, giống như trái đất, nhưng chuyển động nhẹ nhất của bạn sẽ nâng bạn lên không trung như một chiếc lò xo. Độ tăng cần thiết để nhảy lên ngưỡng trái đất là 2 inch sẽ nâng bạn ở đây lên độ cao 120 sải, tức là thấp hơn một chút so với chân đế Eiffel***). Trọng lực thấp đến mức từ độ cao đạt được bạn sẽ

*) Chúng tôi tin rằng các công thức hợp lệ cho các bước nhảy trên Trái đất cũng có thể áp dụng cho các tiểu hành tinh. Trên thực tế, điều này đúng khi độ cao nhô lên không lớn so với bán kính của hành tinh.

**) K. E. Tsiolkovsky. Đường tới các vì sao. Ed. Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, 1960.

***) 1 sahen = 48 vershkov = 2,13 mét.

Trẻ ngã trong 22 giây - gần như rụng lông!

Nếu bạn cố tình cúi xuống và muốn ngã xuống đất như một thân cây bị xẻ, thì bạn sẽ đợi cho đến khi niềm vui này kết thúc trong vài phút và tất nhiên, bạn sẽ không cảm thấy bất kỳ tác động nào từ cú ngã. Nếu bạn ép chân để ăn, chân của bạn sẽ ở trong không gian mà không cần hỗ trợ trong 10 giây, trong thời gian đó bạn sẽ có thời gian để cuộn điếu thuốc…

Bạn có thể nằm và đứng trên những tảng đá sắc nhọn mà bạn sẽ không bị cắt vào cơ thể, bạn sẽ không bị lệch hông…

Chạy vòng quanh hành tinh và thậm chí đi bộ đều rất bất tiện: chỉ cần cố gắng một chút, bạn sẽ bay lên trên. Tuy nhiên, bạn có thể sải những bước khổng lồ dài vài mét nhưng phải tác động bằng đôi chân cực kỳ nhẹ nhàng. Khó hơn một chút - và bạn bắt đầu lộn nhào trong không gian ngay từ bước đầu tiên, để bước tiếp theo không được thực hiện bằng chân mà bằng đầu, cánh tay, bên sườn, bất cứ thứ gì bạn phải làm. Bất tiện, bất tiện! - nhưng hãy tự mình thử xem.

Tất cả những sự thật này không chỉ là lý thuyết mà còn là thực tiễn của các nhà du hành vũ trụ. Đây là những gì nhà du hành vũ trụ Neil Armstrong viết về hải cẩu beta trên Mặt trăng*): “Nhún vai tương tự như nhảy mà không nhảy, nhưng khi nhảy trên Lu-

*) Xem tạp chí “Trái Đất và Vũ Trụ”, số 5, 1970.

8

bầu khí quyển, không có từ trường mạnh và con người phải có khả năng tự bảo vệ mình khỏi bức xạ mặt trời (roentgen, tia cực tím), các hạt nhanh (tia vũ trụ) và micromet. Nhưng trong 15 năm của thời đại vũ trụ, con người đã học được điều này ở một mức độ nào đó.

Hãy tưởng tượng về những chủ đề cụ thể hơn: chúng ta sẽ hỏi những người trên hành tinh nào sẽ bay tới trong tương lai gần. Trước hết, đây là Eros astroid (xem Hình trang 4). Nó tiếp cận Emla ở khoảng cách 2,3·10⁷ km (chỉ có thiên thể nhỏ Icarus đến gần chúng ta hơn, nó tiếp cận ở khoảng cách 5,7·10⁵ km). Một “cuộc gặp” như vậy giữa Eros và Emley sẽ diễn ra vào tháng 6 năm 1975.

Rất lâu trước chuyến bay, các phi hành gia và kỹ sư phải biết rõ tốc độ và gia tốc được phép trên tàu vũ trụ này để một bộ phận nào đó hoặc thậm chí phi hành gia không bay vào vũ trụ. Chiều dài của Eros là 35 km, đường kính của nó là 10 km. Eros quay quanh trục ngắn của nó, vuông góc với hướng kéo dài của nó, với thời gian 5 giờ.

Đối với các ước tính bằng số, có thể chấp nhận hai mô hình Eros đơn giản hóa: a) hình trụ, b) thân hình điếu xì gà. Đối với hai mô hình này, trước tiên, người ta có thể ước tính lực hấp dẫn $F_g$, lực này khác nhau ở các điểm khác nhau trên bề mặt và có giá trị nhỏ nhất ở hai đầu của hình sao, và thứ hai, người ta có thể tìm gia tốc hướng tâm từ vận tốc góc quay đã biết. Gia tốc hướng tâm cao ở hai đầu điếu xì gà. Bảng 1 cho thấy kết quả của phép tính như vậy ở điểm cuối của các thiên thể Eros và Geographos.

| Giá trị ước tính | tình yêu | Sigraa | địa lý |
| :— | :— | :— | :— |
| Chu kỳ quay (h) | 5,2 | 5,2 | 5,2 |
| Chiều dài (km) | 35 | 31 | 31 |
| Đường kính (km) | 10 | 0,7 | 0,7 |
| Gia tốc trọng lực ($\times 10^3$ m/s²) | 6,64 | 0,414 | 0,121 |
| Gia tốc hướng tâm trong quá trình quay hàng ngày ($\times 10^3$ m/s²) | 1,92 | 0,173 | 0,173 |
| Gia tốc trọng trường tương đối (đo bề mặt) ($\times 10^3$ m/s²) | 4,72 | 0,241 | -0,052 |

Như chúng ta thấy trong ví dụ của Geographos, thiên thể có thể quay nhanh đến mức lực hấp dẫn quá nhỏ để cung cấp gia tốc hướng tâm cần thiết cho các vật thể nằm trên bề mặt của thiên thạch. Do đó, đá và các vật thể khác sẽ bay khỏi bề mặt của thiên văn vào không gian xung quanh. Trọng lượng của các vật thể là âm *).

Năm 1976, Geographos sẽ tiếp cận Emla ở khoảng cách 40·10⁶ km. Năm 1972, thiên văn Toro (đường kính 10 km) đi qua gần Emly (21·10⁶ km).

Sẽ rất tốt nếu sử dụng một tàu vũ trụ nhỏ có đường kính 1 km làm tên lửa vũ trụ

9

Icarus. Hình 2 cho thấy quỹ đạo của Icarus: ở điểm cận nhật, nó tiếp cận Mặt trời ở khoảng cách $28 \cdot 10^6$ km, tức là gần gấp đôi Sao Thủy, và ở điểm viễn nhật, nó vượt ra ngoài quỹ đạo của Sao Hỏa.

Tại điểm cận nhật và điểm viễn nhật—hai điểm cực trị của quỹ đạo—gia tốc vuông góc với vận tốc. Tại hai thời điểm này (điểm 1 và 2 trong Hình 2), lực hấp dẫn hướng về Mặt trời truyền cho Icarus một gia tốc hướng tâm $a = v^2/R$, nhưng mặt khác,

$$a = \gamma M/R^2.$$

Điểm cận nhật của Icarus di chuyển rất nhanh và dành phần lớn thời gian ở xa Mặt trời nên nhiệt độ trung bình của nó khá thấp.

Thực tế là các vệ tinh có quỹ đạo có độ dài lớn dành phần lớn thời gian của chúng không ở điểm cận nhật, không ở các điểm sáng gần, mà ngược lại, ở điểm viễn nhật, cách xa nó, được sử dụng khi phóng các vệ tinh khoa học của Trái đất. Quỹ đạo của chúng kéo dài, vì vậy phần thú vị nhất của con đường - cách xa Trái đất - chúng di chuyển chậm và đưa ra những thông số chi tiết về các đặc tính của môi trường.

Tuy nhiên, chuyến bay đến Icarus có những khó khăn riêng - đó là kích thước nhỏ và tốc độ cao của thiên văn so với Trái đất.

Rất khó để “vào cuộc” Icarus.

Không cần thiết phải nghiên cứu vấn đề về các thiên thể ở “quê hương” của chúng - ngoài quỹ đạo của Sao Hỏa. Kế hoạch thay đổi quỹ đạo một cách nhân tạo đang được thảo luận. Một trong những cách này là một vụ nổ trên tàu vũ trụ. Khí nổ sẽ bay theo một hướng, và thiên văn (theo định luật bảo toàn động lượng) sẽ bay theo hướng khác, đồng thời nó sẽ thay đổi quỹ đạo một chút (Hình 3), đạt thêm tốc độ $\Delta v$. Trái đất, với lực hấp dẫn của nó, sẽ hoàn thành phần còn lại - thiên văn sẽ trở thành vệ tinh của Trái đất, thuận tiện cho việc nghiên cứu.

Hành tinh của các ngôi sao khác

Các hành tinh của các ngôi sao khác không thể nhìn thấy được bằng kính thiên văn. Tuy nhiên, những hành tinh này đã được phát hiện.

Ngôi sao có thể nhìn thấy rõ ràng và chuyển động của ngôi sao bị ảnh hưởng bởi lực hấp dẫn của nó bởi vệ tinh vô hình của nó - hành tinh. Các hành tinh được phát hiện bởi độ lệch của ngôi sao so với chuyển động tuyến tính. Các ngoại lực tác dụng lên hệ sao - hành tinh - không tác dụng (các ngôi sao khác ở rất xa), do đó khối tâm chuyển động rõ ràng theo đường thẳng và hơn nữa là đều. Một ngôi sao có một hành tinh có khối lượng lớn chuyển động

10

các đường ngoằn ngoèo (Hình 4), vì ngôi sao và hành tinh nằm ở các phía đối diện với khối tâm của chúng.

Hình 5 cho thấy đường đi biểu kiến ​​của một ngôi sao trong chòm sao Eridanus. Nó là một ngôi sao màu vàng cam tương tự Mặt trời của chúng ta, nhưng có khối lượng nhỏ hơn (khối lượng của nó bằng 0,7 khối lượng Mặt trời) và độ sáng kém hơn (30% độ sáng của Mặt trời). Nó vắng mặt ở khoảng cách 10,7 năm ánh sáng với chúng ta. Dựa vào độ lệch đường đi nhìn thấy của sao so với đường thẳng, có thể xác định đặc điểm của hành tinh: chu kỳ quay là 25 năm, khoảng cách trung bình tới sao là 8 đơn vị thiên văn (1 AU = 149.000.000 km - khoảng cách từ Mặt Trời đến Trái Đất). Các quỹ đạo nhân tạo tương tự gần đây đã được phát hiện gần ngôi sao Lalande 21185 (khoảng cách từ Trái đất - 8 năm ánh sáng); có lẽ nó cũng có các hành tinh.

Các ngôi sao, do ở xa nên là nguồn ánh sáng chính xác cho chúng ta. Nhưng bầu khí quyển của trái đất dẫn đến sự lấp lánh, vị trí của ngôi sao và các điểm trên tấm nhựa chụp ảnh có bán kính tròn. (Có một lý do khác để đặt hình ảnh ngôi sao - lỗi kính thiên văn. Nhưng sai số của kính thiên văn hiện đại nhỏ hơn so với kính thiên văn khí quyển.) Đường kính tối thiểu của hình ảnh ngôi sao là 0,5 giây cung.

Vị trí của các ngôi sao trong Hình 5 được thể hiện bằng các vòng tròn có đường kính 0,05 inch (4 mm—0,1 inch). Và trong danh mục, tọa độ của các ngôi sao được đưa ra với độ chính xác 0,1”. Sự gia tăng độ chính xác này (từ 0,5 inch đến 0,05 inch) đạt được thông qua các phép đo lặp lại và xử lý thống kê kết quả. Nhưng độ lệch quỹ đạo do các hành tinh gây ra không vượt quá 0,05”, tức là chúng “ở giới hạn độ chính xác” của phép đo. Do đó, Bảng 2 trình bày kết quả đo chuyển động của các ngôi sao lân cận do vệ tinh tối của chúng gây ra

11

với khối lượng cỡ Sao Mộc, có thể gọi đây là: “Những ngôi sao gần nhất có vệ tinh tối hoặc bị nghi ngờ có chúng”.

Bảng 2

Tên sao | Chu kỳ quỹ đạo vệ tinh tính theo năm | Bán trục quỹ đạo tính bằng cung giây
—|—|—
η trong chòm sao Cassopel | 24 | 0,019
614 theo danh mục tiếng Nga | 16,5 | 0,306
Ci 1244 | 26,5 | 0,11
Lalanda 21 185 | 8.0 | 0,034
70 trong chòm sao Xà Phu | 17 | 0,015
61 trong chòm sao Cygnus | 4,9 | 0,010

Khó khăn thử nghiệm trong việc phát hiện các hành tinh được thể hiện qua ví dụ về ngôi sao của Barnard.

Có một ngôi sao gần Mặt trời của chúng ta rất phù hợp với các hành tinh của nó. Đây là Sao Barnard, được đặt theo tên của nhà thiên văn nghiệp dư đã phát hiện ra nó. Ngôi sao này mờ nhạt nhưng nó di chuyển với tốc độ khá cao - 10,3 inch mỗi năm (1/360 độ). Khoảng cách của nó với Trái đất là 5,9 năm ánh sáng. Gần nó hơn chỉ có một ngôi sao đôi trong chòm sao Nhân Mã. Hình 6 cho thấy quỹ đạo của ngôi sao Barnard được nhà thiên văn học Vande Kamp sửa đổi và quỹ đạo của các hành tinh của nó được tính toán từ quỹ đạo này.

Cơm. 5.

30 năm (từ 1937 đến 1967) đã được quan sát. Trong nhiều năm, van de Kamp đã nghiên cứu và đo được hơn 3.000 bức ảnh về ngôi sao này với độ chính xác 0,01”, tức là lên tới 3 phần triệu độ. Trong các bức ảnh, sự pha trộn theo góc cũng tạo ra sự pha trộn tuyến tính có kích thước 6 micron.

Ban đầu người ta cho rằng Sao Barnard có một hành tinh có chu kỳ quỹ đạo là 25 năm, khối lượng của hành tinh này gấp khoảng 1,5 lần khối lượng Sao Mộc. Một phân tích cẩn thận hơn về quỹ đạo của ngôi sao đã đưa đến giả thuyết vào năm 1969 về hai hành tinh có chu kỳ quỹ đạo là 26 năm và 12 năm và có khối lượng xấp xỉ bằng khối lượng của Sao Mộc. Quỹ đạo của các hành tinh gần như tròn, khoảng cách tới ngôi sao là 2,8 và 4,7 đơn vị thiên văn. Để so sánh, hãy nhớ lại rằng Sao Mộc cách Mặt trời 5,2 AU. đ. và có thời gian lưu hành

12

12 năm (Hình 7). Nhưng vào cuối năm 1973, công trình của các nhà thiên văn học khác đã được công bố, trong đó phân tích thống kê các hình ảnh chụp của ngôi sao đã dẫn đến một quỹ đạo khác, để giải thích điều này thì không cần thiết phải giả định sự tồn tại của các hành tinh.

Liệu có thể khắc phục những sai sót trong quan sát của chúng ta và bằng cách tìm kiếm quỹ đạo của các ngôi sao để xác minh một cách đáng tin cậy sự tồn tại của các hành tinh không?

Việc quan sát các ngôi sao không phải từ bề mặt Trái đất mà từ bề mặt Mặt Trăng có thể giúp giải quyết vấn đề này - Lunya không có bầu khí quyển và đường kính hình ảnh của các ngôi sao trên nhựa ảnh sẽ nhỏ hơn đáng kể so với khi quan sát từ Trái đất. Những thay đổi từ các vệ tinh nằm bên ngoài bầu khí quyển Trái đất cũng có thể giúp ích, với một hệ thống đủ hoàn hảo để ổn định chúng trong không gian.

Một vòng quay không phải

Lấy một cuốn tạp chí có các vòng tròn được mô tả trên bìa trong tay và thực hiện một số chuyển động xoay đồng đều bằng tay trong mặt phẳng của các trang có hình ảnh. Bức vẽ “trở nên sống động”: các vòng tròn bắt đầu xoay. Không khó để “xoắn” các vòng tròn theo hướng khác. Sự vô vọng này được thực hiện như thế nào?

Mắt của chúng ta có khả năng lưu giữ ấn tượng thị giác trong một phần giây sau khi vật thể nhìn thấy đã biến mất khỏi tầm nhìn. Điều tương tự cũng áp dụng cho phần hình ảnh mà chúng ta quan sát được. Khi chúng ta di chuyển bản vẽ của mình, các phần của vòng tròn đồng tâm, có độ sáng tương phản, di chuyển trên võng mạc theo chuyển động tròn của bàn tay. Chúng ta không thể phân biệt chi tiết này với chi tiết khác trong một vòng tròn đơn sắc, nhưng mỗi phần tử phát sáng của vòng tròn vẫn tồn tại trong nhận thức của chúng ta ở một vị trí nào đó lâu hơn một chút so với thực tế. Đây là cách xuất hiện ảo ảnh về sự chuyển động của các phần tử của vòng tròn ánh sáng và khi tốc độ đến gần, ảo ảnh hoàn toàn về sự quay của các phần ánh sáng của hình sẽ xuất hiện. Ở giai đoạn này, hiệu ứng tương tự như hiệu ứng mà chúng ta thấy khi quan sát các nan hoa của một bánh xe đang quay nhanh hợp nhất với nhau.

Cơ sở của ảo ảnh này là cái gọi là hiệu ứng strokosoppic. Thứ nhất, nó bao gồm thực tế là trong lần quan sát đầu tiên, mỗi vật thể quay nhanh đều bất động, và thứ hai, thực tế là sự thay đổi nhanh chóng hình ảnh của từng giai đoạn chuyển động của cơ thể tạo ra hiệu ứng chuyển động liên tục.

Khả năng đầu tiên được hiện thực hóa đầy đủ nhất

(xem cuối trang 23)

13

Joe chấp nhận kế hoạch của Bate

“Mọi thứ đều ổn, tôi thích kế hoạch hoạt động, Bate,” Joe nói, đi đi lại lại trong phòng khách sạn và xua tan từng làn khói bằng một ngụm whisky ngon lành. Ông già Bate ngồi trên chiếc ghế bành cạnh lò sưởi khốn khổ, thường xuyên sờ tay cầm khẩu súng lục dưới nách.

• Tất nhiên rồi! - Bate bước qua hàm răng giả của mình. “Không phải vô ích mà một nửa số shat đã theo đuổi tôi suốt mười lăm năm.” Tôi khó có thể phải trả giá như vậy nếu tôi có thể sử dụng một cuốn băng cassette. Khoa học mới là điểm mạnh của tôi. Hãy nhớ nhé, Joe, chính tôi là người đầu tiên giới thiệu máy bay trực thăng khi ngân hàng còn hạn chế. Làm sao tôi…

• Chờ đợi! - đồng nghiệp khoe khoang đầu tiên của Joe. “Tôi coi trọng bạn, đó là lý do tại sao tôi làm việc với bạn.” Và ý tưởng mới đầy sáng tạo này - chia sẻ ba nhà kho chứa hàng dệt may trong một đêm - cũng thật tuyệt vời. Nhưng các tài xế…

• Đây là những người sắt! -Bate kêu lên. - Bạn có thể tin cậy vào họ! Không có pharaoh nào có thể bắt được những người như vậy!

“Tôi tin tưởng anh chàng này, Bate.” Nhưng giá cả! 10 đô la cho mỗi tấn-dặm đối với xe tải - nhưng với mức giá đó, tôi sẵn sàng vận chuyển bằng tay! Chúng ta sẽ phá sản ngay cả khi mọi thứ cháy hết.

Và Joe đã thể hiện theo phong cách khách sạn rẻ tiền rằng anh ấy đã sẵn sàng di chuyển hàng hóa như thế nào. Chiếc ghế kêu cót két một cách đáng thương: chính trong những khách sạn này, Joe thích thảo luận về những hoạt động khó khăn, nơi ít có cơ hội đánh hơi chiếc micro giấu kín của cảnh sát.

“Nhưng đừng quên, Joe, những gì họ đang mạo hiểm… Và hơn nữa, ngoài ra… tôi đã đảm bảo rằng họ sẽ thắp ít hơn.” Không, không, đừng gian lận - nó sẽ không có tác dụng với điều đó. Vấn đề hoàn toàn khác: Tôi áp dụng phương pháp khoa học.

Joe nhìn Bate với ánh mắt kính trọng (dù sao thì anh cũng đã từng tốt nghiệp đại học), nhưng vẫn phản đối:

• Nghe này, Bate. Mẹ kiếp, tôi đang kiếm được nhiều tiền hơn, hàng ngàn đô la. Tôi muốn được giữ bí mật về trọng tâm của vấn đề. Chỉ có điều bạn đơn giản hơn, bạn biết đấy, tôi giống một chiếc chìa khóa chính hơn…

“Được rồi, Joe,” Bate nghiêm túc gật đầu, nhận ra rằng mình phải vận dụng hết khả năng giảng dạy của mình, nếu không sự việc sẽ không ổn, và anh ta sẽ mắc cạn.

• Có bao nhiêu người mua hàng dệt may?

• Bốn. Hai cái đầu tiên nặng sáu mươi tấn, và hai cái còn lại mỗi cái bốn mươi tấn.

• Bạn có nhớ trong kho có bao nhiêu không?

“Anh đang cười à, Bate?” Tôi nhớ những con số này ngay cả trong giấc mơ: 75, 75 và 50.

14

Bảng 1.

• Đúng rồi, Joe! Hãy để tôi đặt tất cả vào bảng.
  Bate xé tờ lịch trên tường và vẽ Bảng 1 ở mặt sau.
  “Và ở góc trên bên phải của mỗi phòng giam ở đây…” Bate bắt đầu, nhưng Joe ngắt lời anh.
• Ồ! Ước gì tôi không biết những con số này! Tất nhiên là tôi nhận ra họ! Đây là số tiền mà những con quỷ bên trong yêu cầu vận chuyển một tấn hàng hóa dọc theo mỗi tuyến đường. Ví dụ, 100 đô la một tấn từ kho thứ ba đến người mua thứ tư là 10 triệu. Không, tôi muốn tự mình làm việc đó hơn!
  “Các bạn hãy chấp nhận rủi ro, Joe,” Bate phản đối. - Hãy gọi những chi phí này là thuế quan. Vậy chúng ta sẽ vận chuyển bằng cách nào? Những tuyến đường nào?
  “Rõ ràng ở đâu rẻ hơn,” Joe lẩm bẩm, cảm nhận được cái chết.
• Phải! Hãy đưa phương tiện di chuyển đến những tuyến đường có mức thuế thấp hơn. Mọi thứ đều dễ tiếp cận hơn ở đây

Bảng 2.

— Chỉ mất năm mươi đô la để lấy hàng từ kho đầu tiên đến người mua thứ tư. Chúng ta hãy đi theo con đường này dọc theo tuyến đường (1, 4). Chúng tôi chắc chắn sẽ sử dụng nó!

• Tất nhiên rồi! Và bạn cần phải mang theo càng nhiều càng tốt!
• Phải! Nhưng bạn không thể kiểm tra hơn 40 tấn - người mua thứ tư sẽ không nhận, anh ta cũng đang gặp rủi ro. Hãy đặt 40 tấn trên tuyến đường này và trên tuyến đường (3, 2) - cũng có 50 đô la - 50 tấn: bạn sẽ không thể tìm thấy thêm ở nhà kho thứ ba! Kết quả là Bảng 2. Đồng thời tôi điều chỉnh lại năng lực và nhu cầu. Và trong tương lai, chúng tôi sẽ cung cấp dịch vụ vận chuyển trên những tuyến đường có mức thuế thấp hơn.
  “Bạn muốn nói rằng tiếp theo bạn cần đặt 60 trên lộ trình (2,1)—nói chung là có 60 đô la, 10 trên (2,2), nói chung…” và Joe vẽ bảng 3.
• Đúng rồi!
• Ha-ha-ha! Điều này có nghĩa là chúng tôi cũng hiểu điều gì đó! Chà, bây giờ tất cả những gì còn lại là giới thiệu người mua thứ ba - Tom the Miser, nhân tiện, chúng tôi cũng sẽ lừa dối anh ta trong quá trình giải quyết. Đây là, như được mô tả trong Bảng 4.
• Ừm, mọi chuyện đều ổn! – Joe xoa xoa bàn tay đầy dầu của mình một cách hài lòng. - Chúng ta sẽ phải trả giá
  $$35 \times 150 + 40 \times 50 + 60 \times 60 + 10 \times 70 + 5 \times 90 + 50 \times 50 = 14500$$
  đô la Phải không, Beit già? Và đây có được gọi là phương pháp khoa học? Tôi cá một đô la một xu rằng bất kỳ sĩ quan cảnh sát nào cũng sẽ nói với bạn

16

Bảng 6.

Ở những ô chưa bước vào chu trình, mọi thứ vẫn như cũ.

• 1400 đô la - một khoản tiền tròn! Hãy kiểm tra các ô trống khác. Chúng ta có thể bắt gặp một tuyến đường cũng đáng sử dụng. Ví dụ: hãy bắt đầu với ô (1, 2). Đối với cô ấy, chi phí sẽ thay đổi thành 120+60—70—80=30 > 0.

Một ngàn con quỷ! Tuyến đường (1, 2) không nên được sử dụng. Hoặc có thể sử dụng…

• Đừng bận tâm, Joe. Tôi đã kiểm tra rồi: Bản thân Danzig sẽ không vắt thêm một đô la nào ra khỏi kế hoạch này.

• Danzig, Danzig… đây không phải là kẻ đã lừa gạt Ngân hàng… sao?

• Không, Joe, anh ấy không phải người của chúng ta. Đây chính là người đã nghĩ ra phương pháp này. Đúng vậy, ngay cả trước anh ta cũng có một số màu đỏ…

… Thanh tra Cliff ngồi trong văn phòng của mình trên phố Avenue, nhìn đi nhìn lại bằng chứng vật lý: ba chiếc ổ khóa được mở một cách thành thạo và tro của một cuốn lịch được bảo quản cẩn thận trong khách sạn nơi bọn cướp đã hội ý. Và không có gì hơn. Chưa hết… nó giống chữ viết tay của Bate mà anh, Cliff, đã săn lùng suốt nhiều năm qua! Ví dụ, một lịch. Tại sao lại là anh ta? Có lẽ tính toán đã được thực hiện trên đó? Có lẽ. Nhưng tìm Bate ở đâu?

• Trung sĩ! Gia tăng vi phạm ở tất cả các quán bar của thành phố! - anh ta hét lên, đồng thời nhận ra mệnh lệnh của mình hoàn toàn vô vọng: sẽ không có Bate trong quán bar. Điện thoại trên bàn thanh tra reo lên. Cliff nghe điện thoại trước và hét lên:

• Trung sĩ, đứng lại! Đánh giá thư viện nghiên cứu của tiểu bang! Tôi có một chiếc ô tô và một bộ còng tay!

Một chút lý thuyết

Điều gì cho phép bạn tiết kiệm 1.400 đô la chi phí vận chuyển? Hãy cùng theo dõi hành động của những tên xã hội đen thông minh. Đầu tiên, Bate tìm ra một phương án vận chuyển khả thi. Phương pháp mà ông đã sử dụng được gọi là phương pháp yếu tố tối thiểu và có thể hiểu rõ tại sao: trong đó, việc vận chuyển luôn được đặt trên các tuyến đường có mức thuế tối thiểu và nếu có hai tuyến đường có cùng mức thuế thì đương nhiên nên ưu tiên cho tuyến đường có khả năng vận chuyển lớn hơn.

Khi họ đã có một kế hoạch khả thi, Bate và Joe bắt đầu cố gắng cải thiện nó theo cách phân tán. Đây có lẽ là cách đơn giản nhất, mặc dù không phải là nhanh nhất, để cải thiện kế hoạch vận chuyển của bạn. Nhưng trước khi trình bày phương pháp này ở dạng tổng quát, chúng tôi xây dựng một chương trình tuyến tính xuyên suốt bài toán nghiêm ngặt.

Hãy để có $m$ nhà cung cấp (kho) và $n$ người tiêu dùng, $a_i$ sức chứa của nhà kho $i$ và $b_j$ nhu cầu của $j$ người tiêu dùng. Giả sử $x_{ij}$ được vận chuyển từ nhà cung cấp thứ $i$ đến người tiêu dùng thứ $j$. Chỉ những kế hoạch vận chuyển như vậy mới được chấp nhận mà $*$

$$\sum_{j=1}^{n} x_{ij} = a_i \quad (i=1, 2, \dots, m),$$

$$\sum_{i=1}^{m} x_{ij} = b_j \quad (j=1, 2, \dots, n),$$

nghĩa là mọi thứ ở đó đều được vận chuyển từ mỗi nhà kho đến từng người tiêu dùng.

*) Chúng tôi xem xét cái gọi là mô hình vận tải “đóng” bài toán, trong đó $\sum a_i = \sum b_j$, tức là tổng công suất (kho) bằng tổng nhu cầu.

18

Bảng 9.

Đương nhiên, lộ trình (1, 3) giờ đây trở nên thuận lợi. Việc sử dụng nó với việc vận chuyển 25 tấn sẽ dẫn đến chi phí vận chuyển là $z_3 = 595 - 25 = 570$.

Mô hình toán học mà Bate sử dụng, mô hình vận chuyển quy hoạch tuyến tính, hiện được sử dụng rất rộng rãi trong kinh tế và quản lý công nghiệp. Với sự trợ giúp của những mô hình như vậy, ở nhiều nơi, họ quản lý việc vận chuyển sản phẩm đến cửa hàng và gạch đến công trường, giúp giảm đáng kể chi phí vận chuyển.

Nhược điểm của phương pháp lời giải vận chuyển bài toán được mô tả là cần phải xây dựng các chu trình; khi đếm trên máy, việc này chiếm phần lớn thời gian cần thiết cho lời giải bài toán. Do đó, các phương pháp lời giải vận chuyển bài toán khác đã trở nên phổ biến, làm giảm số chu kỳ đang được xem xét (một phương pháp tiềm năng được các nhà khoa học Liên Xô đề xuất lần đầu tiên) hoặc hoàn toàn không yêu cầu xử lý hậu kỳ.

Bảng 10.

Bảng 11.

chu kỳ tràn ngập. Nếu số lượng kho hoặc số lượng người tiêu dùng không quá lớn (tối đa 3-4) thì có thể áp dụng quy hoạch động.

Giao thông vận tải bài toán có nhiều loại và ứng dụng bất ngờ nhất. Tuy nhiên, bây giờ chúng ta sẽ xem xét một số ứng dụng này.

Bài toán về các cuộc hẹn

Hai quý ông trung niên ngồi lặng lẽ trong thư viện khoa học quốc gia.

… Tôi chắc chắn lũ chó săn sẽ không đến đây. Vì vậy, ngân hàng có 4 đầu vào. Mỗi người trong số họ đồng ý chiếm giữ bất kỳ ai, nhưng họ dường như mô tả chúng khác nhau: ở một lối vào có xe cảnh sát, lối vào khác đi vào một con phố hẹp, ở lối vào thứ ba có một cánh cửa hẹp. Nhu cầu đô la của họ được tóm tắt trong Bảng 9.

• Đúng vậy, bọn họ thèm ăn - Chúa ơi! Nhưng bạn biết đấy, Bate, nó đơn giản thôi. Chúng tôi đặt Bill ở đầu vào số 4, Jack ở số 1, Jim ở số 2, Bob ở số 3, vì tôi đã đánh dấu bằng dấu gạch chéo. Mỗi người không thể tốt hơn.

• Vâng, mọi thứ đều rõ ràng ở đây. Ở mỗi lối vào, chúng tôi xếp người có yêu cầu ít nhất. Nhưng, Joe, khi họ biết rằng thanh tra Cliff quan tâm đến chúng ta, họ đã yêu cầu nhiều hơn nữa! Đây là bảng 10 về những yêu cầu mới của họ.

• Đây không phải là những tên xã hội đen lương thiện mà là những kẻ tống tiền! - Joe cầu xin. - Tôi đã phá sản rồi. Và quan trọng nhất là họ thế nào

20

Bảng 16.

| Giếng | Người tham gia | Khả năng |
| :— | :— | :— |
| 1 | 10 | 80 |
| 2 | 23 | 30 |
| 3 | 43 | 50 |
| Nhu cầu | 100 | 120 | 90 |

Bảng 17.

3. Tìm phương án tối ưu về số tấn-km để vận chuyển than từ các mỏ (trong hình chúng được biểu thị bằng các ô vuông biểu thị năng suất hàng ngày) đến các nhà máy điện (chúng được biểu thị bằng các vòng tròn biểu thị nhu cầu hàng ngày). Các vòng tròn nhỏ biểu thị các điểm trung gian bổ sung, tất cả khoảng cách tính bằng km.

4. Phân công 5 máy thực hiện 4 loại công việc (một máy sẽ miễn phí), nếu chi phí vận hành mỗi máy được cho trong Bảng 15 và năng suất như nhau.

5. • Tất cả! “Bắt đầu từ ngày mai, chúng ta bắt đầu một cuộc sống mới,” Vitya nói với Bora, Sasha, Yura và Kolya, những người đang buồn bã nhìn vào bàn ăn của họ. - Cần phải siết chặt lại. Mỗi người trong chúng tôi sẽ kiểm tra những người khác về một chủ đề.

• Và ai theo cái gì?
• Chúng tôi sẽ quyết định điều này bằng cách so sánh các ước tính. Ở đây tôi đã viết chúng ra (xem Bảng 16).
  Đôi bạn tranh cãi hồi lâu, mắt dán lên bàn. Cách tốt nhất để phân phối trách nhiệm trong thực tế là gì?

6. Ba giếng được sử dụng để tưới các khu vực khác nhau trong vườn nơi trồng mận, cây táo và lê, nhưng chúng có thể cung cấp một lượng nước hạn chế. Nhu cầu nước của các phần khác nhau của khu vườn, có thể là giếng (tính bằng xô) và khoảng cách trung bình từ mỗi phần đó đến phần tương ứng của khu vườn (tính bằng mét) được thể hiện trong Bảng 17.
   Rõ ràng là không có đủ nước trong các boong (80 + 30 + 50 < 100 + 120 + 90), nhưng khu vườn trải dài dọc theo dòng sông, cách đó 120 m. Cách tốt nhất để tổ chức tưới nước là gì?
7. Chứng minh rằng trong một kế hoạch vận chuyển tối ưu, các ô chứa đầy không được chứa các chu trình.

Độc giả về mê cung không gian
Ở «Kvant» số 3 năm nay vào ngày 4. Bìa có ghi chú “Mê cung đam mê chuyên nghiệp.” Nhiều độc giả nhận thấy rằng không thể di chuyển trong mê cung này, vì vậy có cơ hội khiến bạn bè của bạn bận rộn cả buổi tối. Tuy nhiên, độc giả của chúng tôi O.M. Kostenok đến từ Moscow gợi ý giải một bài toán khác: làm thế nào để thực hiện một điều quan trọng khác để bạn có thể di chuyển qua mê cung? O. M. Kostenok đề xuất thực hiện trách nhiệm để giành được tầng hai (trên ô d4 trong thuật ngữ cờ vua).
Chắc chắn có những lựa chọn khác để đặt một câu trả lời khác, sau đó bạn có thể điều hướng mê cung. Chỉ có một câu hỏi: làm việc có trách nhiệm này ở đâu để mê cung càng khó hiểu càng tốt?

21

M.A.GRABOVSKY

CÁCH NHÀ VẬT LÝ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CONG CỦA PARABOLA

Chúng ta hãy xem xét chuyển động dưới tác dụng của trọng lực của một vật thể (điểm vật chất có khối lượng $m$), vật này tại thời điểm ban đầu được truyền một tốc độ nằm ngang bằng $v_0$. Hãy chọn một hệ thống báo cáo liên kết với Trái đất. Đối với hệ thống báo cáo này, cơ thể tham gia vào hai chuyển động - ngang (dọc theo trục $x$) và dọc (dọc theo trục $y$). Phương trình chuyển động của vật theo phương ngang

$$x = v_0 t,$$
(1)

theo chiều dọc -

$$y = \frac{gt^2}{2}.$$

Tổng chuyển động của cơ thể xảy ra dọc theo một đường cong, dễ xác định bằng cách thiết lập mối quan hệ giữa tọa độ $x$ và $y$ của các điểm khác nhau trên quỹ đạo của cơ thể. Để làm điều này, từ phương trình (1) và (2), chúng ta biểu thị $y$ đến $x$. chúng tôi nhận được

$$y = \frac{gt^2}{2} = \frac{gx^2}{2v_0^2}.$$

Phương trình (3) biểu thị mối quan hệ giữa tọa độ $x$ và $y$ của tất cả các điểm trên quỹ đạo cong được mô tả bởi vật ném.

Người ta biết rằng một hòn đá ném ngang từ nóc một tòa nhà cao tầng hoặc một khối lượng lớn sẽ chuyển động theo một đường cong gọi là parabol. Quỹ đạo của hòn đá khi bay bị cong, lệch khỏi chuyển động thẳng theo phương ngang. Mức độ cong có thể lớn hơn hoặc ít hơn tùy thuộc vào tốc độ ban đầu. Có thể bằng cách nào đó ước tính mức độ cong của quỹ đạo? Để làm điều này, hãy sử dụng độ cong dễ hiểu của đường cong.

22

Độ cong của đường cong Linney phẳng là gì?

Chúng ta hãy xem xét câu hỏi này bằng cách sử dụng ví dụ về một parabol được mô tả bởi một vật thể, chủ yếu nằm ngang từ một độ cao nhất định với tốc độ ngang ban đầu $v_0$ (xem bản vẽ sơ đồ). Hãy “hoàn thành” phía bên trái của parabol, phần này có thể được vật thể mô tả nếu nó được cho vận tốc ngang ban đầu theo hướng ngược lại ($-v_0$). Phần này của parabol được thể hiện bằng một đường chấm trong hình. Tại đỉnh của parabol (điểm $M$, có tọa độ là (0, 0)) ta chọn một cung nhỏ $AMB$ sao cho điểm giữa của cung trùng với đỉnh của parabol. Bây giờ, hãy chọn một đường tròn có bán kính sao cho nó đi qua ba điểm của cung $AMB$, tức là đi qua điểm giữa của cung và các đầu của nó. Điều này có thể thực hiện được, vì đã biết rằng qua ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng, luôn luôn chỉ có thể kiểm tra được một đường tròn có mống mắt. Nghịch đảo của bán kính của đường tròn kết quả $1/R$ xác định giá trị gần đúng của độ cong của parabol tại đỉnh của nó. Phép tính gần đúng này sẽ chính xác hơn, độ dài của cung $AMB$ càng ngắn. Độ cong tại một điểm được xác định bằng nghịch đảo bán kính của đường tròn “giới hạn” này.

Bây giờ chúng ta xác định độ cong của parabol tại một điểm tùy ý $M_1$. Để làm điều này, chúng ta chọn một cung nhỏ của parabol $A_1M_1B_1$ sao cho điểm $M_1$ là điểm giữa của cung này. Chúng ta sẽ lại chọn một đường tròn có bán kính sao cho nó đi qua các điểm $A_1$, $M_1$ và $B_1$. Vòng tròn này có bán kính lớn hơn trong trường hợp đầu tiên ($R_1 > R$). Độ cong của parabol tại điểm $M_1$ xấp xỉ $1/R_1$. Theo cách tương tự, bạn có thể xác định độ cong của parabol tại bất kỳ điểm nào. Do đó, một paraboly có thể được coi là một đường cong bao gồm vô số các cung nhỏ vô hạn có độ cong giảm dần mà vật chuyển động dọc theo đó.

Bán kính cong của bất kỳ đường cong phẳng nào được tìm thấy bằng phép tính vi phân. Đối với độ cong của parabol - quỹ đạo chuyển động của cơ thể, chính xác hơn là trọng tâm của nó dưới tác dụng của lực hút trái đất, nó có thể được xác định bằng cách sử dụng thông tin từ cơ học.

Vì vậy, tại một thời điểm nào đó $t$ vật ở điểm $M_1$ của parabol (xem hình). Trong quá trình chuyển động, chỉ có lực của cử chỉ tác động lên cơ thể *). Lực cử động truyền cho tất cả các vật thể một gia tốc như nhau, hướng thẳng đứng xuống dưới và bằng $g$. Gia tốc của lực $g$ có thể bị phân tách thành hai thành phần: $g \sin \alpha$ - có hướng tiếp tuyến, nghĩa là theo hướng của tổng tốc độ của cơ thể $v$ tại một thời điểm nhất định $t$ thành phần (tiếp tuyến) và $g \cos \alpha$ - thành phần pháp tuyến (hướng tâm), trong đó $\alpha$ là góc tạo bởi tốc độ ban đầu $v_0$ và vận tốc tiếp tuyến $v_1$ tại điểm $M_1$. Khi vật chuyển động dọc theo parabol, sự phân hủy gia tốc không đổi $g$ thành các thành phần sẽ xảy ra khác nhau, vì góc $\alpha$ tăng từ 0 lên $\pi/2$. Thành phần tiếp tuyến của gia tốc sẽ tăng lên khi vật chuyển động dọc theo parabol và thành phần pháp tuyến sẽ giảm đi.

Hãy xác định giá trị thành phần hướng tâm của gia tốc của vật tại thời điểm $t$ khi nó chuyển động dọc theo một cung nhỏ vô hạn có bán kính $R_1$:

$$a_{\text{ис}} = \frac{v_1^2}{R_1}, \text{ или } g \cos \alpha = \frac{v_1^2}{R_1},$$

nhưng vì $v_1 = \frac{v_0}{\cos \alpha}$, nên

$$g \cos \alpha = \frac{v_0^2}{R_1 \cos^2 \alpha}.$$

*) Giả sử rằng độ cao mà vật được ném không lớn lắm, do đó không tính đến sự thay đổi trong $g$.

23

Do đó bán kính cong của parabol tại điểm $M_1$
$$R_1 = \frac{v_0^2}{g \cos^3 \alpha}.$$

Vì vậy, bán kính cong tại bất kỳ điểm nào của parabol được xác định bởi độ lớn của bình phương vận tốc $v_0$ và độ lớn của lập phương cosin của góc $\alpha$ được hình thành bởi các vectơ vận tốc ban đầu $v_0$ và vận tốc tổng cộng $v$. Bán kính cong của parabol tăng (độ cong của nó giảm) khi vật thể bay di chuyển dọc theo nó.

Bây giờ, sử dụng công thức (4), chúng ta xác định bán kính cong tại đỉnh của parabol. Trong trường hợp này, góc $\alpha$ bằng 0, vì $v_0$ giống với $v$. Vì vậy, $R = \frac{v_0^2}{g}$.

Kết quả tương tự có thể đạt được ngay lập tức. Tại thời điểm chuyển động ban đầu vật chỉ chịu gia tốc hướng tâm
$$g = \frac{v_0^2}{R}.$$

Chúng ta hãy tìm bán kính cong của parabol trong vùng lân cận các điểm parabia của vật thể, trong đó tốc độ tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động được hướng gần như thẳng đứng. Trong trường hợp này, $R = \frac{v_0^2}{g \cos^3 \alpha} \rightarrow \infty$, vì $\alpha \rightarrow \frac{\pi}{2}$ và $\cos \alpha \rightarrow 0$. Lưu ý rằng bây giờ gia tốc trọng trường hầu như hướng tiếp tuyến với quỹ đạo, và vai trò của gia tốc hướng tâm đã giảm xuống bằng không.

Bây giờ chúng ta hãy tìm bán kính cong tại một điểm $M_2$ của parabol mà tại đó vận tốc tiếp tuyến $v_2$ gấp đôi vận tốc ban đầu $v_0$:
$$R_2 = \frac{v_0^2}{g \cos^3 \alpha} = \frac{v_0^2}{g} \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{8v_0^2}{g},$$

vì góc là $\alpha = 60^\circ$.

Có thể giải bài toán thuộc loại khác. Ví dụ, sau khi xác định tọa độ của một điểm, hãy xác định bán kính cong của parabol tại điểm này.

Một vòng quay không phải

(Kết thúc. Xem phần đầu ở trang 12)

thiết bị nội soi. Nếu một phần của các xung định thời (có khoảng cách giữa các xung nhỏ hơn 0,1 s) chính xác bằng tần số của quá trình tuần hoàn đang được nghiên cứu, thì con mắt nghiên cứu sẽ nhìn thấy một giai đoạn “đóng băng” của quá trình tuần hoàn này. Do đó, bằng cách cố định một bức ảnh tĩnh trong một thí nghiệm như vậy, có thể biết được tần số của các tia sáng để thiết lập tần số của quá trình đang nghiên cứu. Độ chính xác của các từ chuỗi hiện đại là khoảng 0,001%.

Khả năng thứ hai, được triển khai trong ví dụ hài hước của chúng ta, thực sự có những ứng dụng nghiêm túc hơn nhiều. Điện ảnh và truyền hình hiện đại hoạt động theo nguyên tắc này.

Một chiếc đĩa có khe (lau) quay trước ống kính của máy quay phim. Màn hình bị mất đen là cần thiết để che đi hiện tượng nhấp nháy của các khung hình phim. Khung hình tổng thể thay đổi 24 lần mỗi giây (cần gạt nước làm gián đoạn ánh sáng thường xuyên gấp đôi) và chuyển động góc của các vật thể trên màn hình không làm gián đoạn 0,03 rad/s so với người xem. Trong những điều kiện này, người ta quan sát được hình ảnh quen thuộc về chuyển động liên tục của một vật thể trên màn hình.

Chùm tia điện tử của ống truyền hình đi qua toàn bộ trường của màn hình theo từng dòng và trở về vị trí ban đầu trong thời gian tương xứng với cái gọi là tần số nhỏ tới hạn (50-60 $2\mu$), tại đó mắt, do quán tính của thị giác, không phân biệt được sự thay đổi gián đoạn của độ sáng với tần số liên tục.

L. Veres

24

Antoon Pavlovich Chekhov về việc không biết ngoại ngữ. “Tại sao tôi không biết ngôn ngữ? Đối với tôi, dường như tôi có thể dịch tiểu thuyết một cách hoàn hảo. Khi tôi đọc bản dịch của người khác, tôi thực hiện những thay đổi về từ ngữ và sắp xếp lại trong não mình, và những gì tôi nhận được là một thứ gì đó nhẹ nhàng, thanh tao, như ren.”

Sự ghen tị trắng trợn! Cô ấy không phải là một phó tướng. Ngược lại, nó là một trong những động lực mạnh mẽ nhất trong bất kỳ sự sáng tạo nào. Nếu cô ấy đến gặp nhà văn sớm hơn, ép anh ấy học ngôn ngữ thì bây giờ chúng ta sẽ được đọc tác phẩm của nhiều tác giả nước ngoài qua bản dịch của Chekhov. Nhưng điều này đã không xảy ra. Đúng là không rõ liệu chúng ta có nên hối hận về điều này hay không.

Tôi ở đó như người câm điếc

…Sự thành công của bất kỳ hoạt động trí óc nào chủ yếu phụ thuộc vào việc hoạt động đó được kết hợp tốt như thế nào với mong muốn nắm vững môn học

P. Hagbolt

Bạn có biết trên thế giới có bao nhiêu ngôn ngữ không? Các nhà khoa học tin rằng có khoảng ba nghìn ngôn ngữ và số lượng ngôn ngữ “chết” cũng tương đương như vậy!

Ngôn ngữ vừa là khoa học vừa là phương tiện giao tiếp. Là một môn khoa học, chỉ có các nhà ngôn ngữ học mới quan tâm đến ngôn ngữ. Nhưng bất kỳ người nào, bất kể khuynh hướng của mình, luôn sử dụng ngôn ngữ làm phương tiện giao tiếp. Và với tư cách là một phương tiện giao tiếp, ngôn ngữ chắc chắn có thể tiếp cận được với mọi người, bất kể khả năng của họ.

Ôi, tôi sẽ hài lòng biết bao nếu tự đánh mình!

“Tôi không biết ngôn ngữ. Ôi, tôi sẽ tự đánh mình bằng roi cho thỏa mãn biết bao! Nếu không biết ngôn ngữ, bạn sẽ cảm thấy như không có hộ chiếu vậy.” Đây là điều mà bậc thầy vĩ đại của từ Nga hối hận một cách cay đắng

Quan điểm cho rằng mọi người có học đều phải thông thạo ngoại ngữ ở mức độ này hay mức độ khác đã trở nên vững chắc trong cuộc sống của chúng ta. Và không ai cố gắng bác bỏ ý kiến ​​\u200b\u200bnày để không bị tổn hại và không bị phơi bày trước những kẻ thiếu hiểu biết. Hơn nữa, nếu trước đây học sinh đã nghe về việc sử dụng ngôn ngữ (đồng thời học nó) từ lớp năm, thì bây giờ tất cả những điều này thường bắt đầu ngay từ khi học mẫu giáo và không kết thúc ngay cả khi đã hoàn thành chương trình giáo dục. Như vậy, số năm dành cho việc học một ngoại ngữ hóa ra là hai phần. Nhưng thực tế này, chắc chắn là tích cực, không hoàn toàn tuân thủ quy luật chuyển đổi về chất lượng. Chúng ta đang nói về một hiện tượng đã được quan sát nhiều lần: cuối cùng những người học ngoại ngữ nhiều năm

25

Kết quả là họ không sở hữu nó chút nào hoặc hầu như không sở hữu nó.

Một người bạn của tôi vừa trở về sau chuyến đi London. Là một nhà toán học tài năng, ông đã hoàn thành xuất sắc luận án tiến sĩ khi chưa tròn ba mươi tuổi. Dù tuổi còn trẻ nhưng ông đã có uy tín trong lĩnh vực khoa học, các tác phẩm của ông được dịch ra nhiều thứ tiếng nên ông được mời đến Angllud để gặp gỡ và trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp nước ngoài. Trong chuyến đi này, phái đoàn Liên Xô có phiên dịch viên đi cùng, và nhà khoa học trẻ tuy không nói được tiếng Anh nhưng cảm thấy tự tin, thậm chí không nhận thức được những khó khăn đang chờ đợi mình.

“Ở đó tôi như người câm điếc,” anh than thở khi đến nơi, “không có liên hệ với các nhà toán học nước ngoài”. Tôi đã thực hiện báo cáo của mình với sự giúp đỡ của một phiên dịch viên và thế là xong. Ở đó hầu như không ai nói được tiếng Nga và tôi cũng không nói được tiếng Anh. Tôi đọc văn học trong chuyên ngành của mình bằng ba ngôn ngữ Châu Âu, nhưng tôi không thể nói được bất kỳ ngôn ngữ nào trong số đó. Người phiên dịch? Người dịch biết rõ ngôn ngữ nhưng không biết toán. Tôi đã cố gắng thực hiện một cuộc trò chuyện khoa học thông qua một thông dịch viên, nhưng hóa ra nó rất dài và có phần bất lực, vì anh ta thường thậm chí không thể hiểu được bản chất của vấn đề. Có thực sự có thể yêu cầu một biên dịch viên phải có kiến ​​thức về toán học, vật lý và các ngành khoa học khác? Nhưng sẽ không hại gì nếu tôi thành thạo kỹ năng nói tiếng Anh ở trường, trường giảng dạy và trường sau đại học, nơi tôi học ngôn ngữ này. Sau đó, tôi đã không gắn bất kỳ kiến ​​​​thức nào với anh ấy và sau khi “vượt qua” anh ấy được mười ba năm, chúng tôi thực sự đã hiểu lầm anh ấy. Thế là tôi bị trừng phạt. Chuyến đi mà tôi rất mong đợi và có thể mang lại cho tôi rất nhiều lợi ích, hóa ra lại trống rỗng…”

Vì vậy, một người khác sẽ tự thỏa mãn với bản thân vì đã hạn chế bản thân.

Nhân tiện, về bản chất, việc tự tổ chức là một hiện tượng hiếm gặp, gần như đã trở thành một hình mẫu trong việc nghiên cứu ngoại ngữ. Và thật dễ dàng để đồng ý về lý do của mô hình này sau khi đọc tuyên bố của Peter Hagboldt.

Trong tuyển tập nổi tiếng “Các nhà vật lý Prodolzhayutshit” (M., “Mir”, 1968) đã xuất bản một truyện ngắn về suy nghĩ của những người đại diện cho một nghề “phi ngôn ngữ” điển hình về tính khả thi của việc học ngoại ngữ.

Người ta nói rằng nhà vật lý vĩ đại Gibbs là một người rất dè dặt và thường giữ im lặng trong các cuộc họp của hội đồng học thuật của trường đại học nơi ông giảng dạy. Nhưng tại một trong những cuộc họp, khi câu hỏi dành nhiều không gian hơn cho chương trình giảng dạy mới - toán hay ngoại ngữ - đang được quyết định, ông đã không thể cưỡng lại và đã phát biểu. “Toán học là một ngôn ngữ!” - anh ấy nói.

Bạn tôi cũng có chung quan điểm. Cho đến một lúc nào đó.

Bạn thực sự đã đưa ra báo cáo của mình bằng ngôn ngữ nào?

Ai dám nói rằng thông thạo ngoại ngữ không phải là điều khó khăn? Có lẽ ai đó chưa bao giờ biết điều này trước đây. Nhưng có ai đang cố gắng tìm hiểu xem làm thế nào để thành thạo ngoại ngữ để sử dụng nó trong công việc mà không rơi vào tình huống buồn cười không? Có vẻ như không ai đang cố gắng làm điều này. Trong khi đó, thực tế cho thấy sự khác biệt giữa một ngôn ngữ độc lập và kiến ​​thức về nó “trong chừng mực” đôi khi không đáng kể! Trong đã được đề cập-

26

Bộ sưu tập này chứa một ví dụ tuyệt vời về “kiến thức” như vậy.

Nhà vật lý nổi tiếng người Hungary Leo Szilard đọc báo cáo đầu tiên của mình bằng tiếng Anh. Người cuối cùng tiếp cận anh ta là nhà vật lý Jackson và hỏi: “Nghe này, Szilard, anh thực sự đã đưa ra báo cáo của mình bằng ngôn ngữ nào?” Szilard bối rối nhưng ngay lập tức trấn tĩnh lại và trả lời: “Tất nhiên, bằng tiếng Hungary, bạn không hiểu điều đó sao?” “Tất nhiên là tôi hiểu. Nhưng sao cậu lại nhét nhiều từ tiếng Anh vào đó thế? - Jackson vặn lại.

Ví dụ này không chỉ rất đáng nể mà còn hữu ích: nó giúp xác định mức độ thành thạo ngôn ngữ tối thiểu.

Định nghĩa này có thể được hình thành như sau: mức độ thông thạo ngoại ngữ không được thấp hơn mức mà người nước ngoài có thể nhận ra ngôn ngữ mẹ đẻ của mình một cách chắc chắn trong đó.

Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn biết tất cả các từ?

Nĩa 1. Một chiếc dao kéo có dạng tay cầm có hai, ba hoặc bốn hàm dùng để lấy và đặt các miếng thức ăn vào rượu rum. 2. Trong các lĩnh vực cơ học khác nhau - một công cụ, một phụ kiện hoặc một loại thiết bị nào đó ở dạng một cái máy, có đầu không được trang bị vũ khí. 3. Trong cờ vua, một thế cờ mà quân tốt được chia thành hai quân cùng một lúc.

Chỉ có từ điển tiếng Nga

Ngày 15 tháng 9 Hôm qua tôi đã cá với Sergei rằng đến cuối năm nay tôi sẽ học hết các từ tiếng Anh. Anna Ivanovna sẽ ngạc nhiên! Anna Ivanovna là giáo viên tốt nhất của chúng tôi. Tôi sẽ không nói với cô ấy bất cứ điều gì. . .

Ngày 25 tháng 10, từ điển Bolsk mở và đóng cửa. Có lẽ anh ta chưa bao giờ thành thạo. Bây giờ tôi lấy một đoạn nhỏ, 10.000 từ. Tôi đang học những từ bắt đầu bằng “A”. Ông nói, Serga đã bị cuốn đi, thay vì đục khoét một cuốn từ điển, tốt hơn là nuôi cá. . .

Ngày 12/11, trong lớp, Anna Ivanovna nói rằng để học nói tiếng Anh, bạn cần đọc nhiều hơn. Và tôi, chẳng hạn, đã nghĩ: tại sao phải đọc khi không phải ai cũng biết từ đó?

Đầu tiên, bạn cần trừ tất cả các từ, sau đó bắt đầu đọc. Tôi bắt đầu đọc những từ bắt đầu bằng “B”. . .

Ngày 28 tháng 12 Bằng cách nào đó nó đã thành công. Tôi biết từ này nhưng tôi không nhận ra nó trong văn bản. Trong phần thi tiếng Anh, tôi đạt điểm C. Tôi biết rất nhiều từ nhưng tôi vẫn không thể nói được. Không sao đâu, khi học hết từ rồi chắc chắn tôi sẽ nói được. Còn hai quý nữa. . .

Vào ngày 23 tháng 1, SERONIYA không thể chịu đựng được và kể cho Anna Ivanovna mọi chuyện. Tôi không thể đọc được một từ nào nữa. Khi tôi đang dạy “B”, mọi người đều lạc vào “A”. Anh ấy đã gọi rất nhiều từ nhưng tất cả đều vô ích: anh ấy không thể nói, đọc hoặc dịch tốt hơn. Chỉ lãng phí thời gian của tôi. Serga đã đúng, điều đó tốt hơn việc học từ điển. . .

Từ nhật ký của Vitka L., học sinh lớp 7

Chắc chắn, sự thành công của bất kỳ hoạt động nào phần lớn phụ thuộc vào phương pháp nào được sử dụng để đạt được nó. Điều này hoàn toàn áp dụng cho việc học ngoại ngữ. Xét về số lượng phương pháp được sử dụng để nghiên cứu chúng, ngoại ngữ chiếm một trong những vị trí đầu tiên. Đúng là chất lượng của những phương pháp này không hề ngang nhau, nhưng mỗi phương pháp luôn tìm được người hâm mộ riêng.

Do đó, phương pháp nổi tiếng của Pháp Guzn, sở hữu trí nhớ phi thường, chỉ lấy một cuốn từ điển tiếng Đức và trái ngược với tuyên bố chính của Vitka L. rằng điều này là không thể, ông đã học thuộc lòng tất cả các từ trong đó. Ngoài ra, anh còn nắm vững ngữ pháp tiếng Đức. Tin rằng mình đã hoàn toàn thông thạo ngôn ngữ này, Guzn đã đến Đức để nghe giảng tại trường đại học.

Tuy nhiên, nỗi thất vọng lớn nhất của anh là khi phát hiện ra rằng, dù đã có “hành lý” dày dặn nhưng anh không những không hiểu tiếng Đức mà bản thân anh cũng không thể nói được gì. Hóa ra anh chưa học nói và hiểu.

Nhưng có chuyện gì vậy? Vì sao dù đã đầu tư công sức nhưng phương pháp “cắt chữ” lại không mang lại thành công?

Trước hết, rõ ràng là bởi vì bất kỳ từ nào cũng có một cuộc sống trọn vẹn

27

chỉ trong một cụm từ. Cái gì lấy đi thì tách ra, nó chết. Toàn bộ “từ vựng” của Guzn hóa ra đã chết.

Ngoài ra, trong các câu khác nhau, cùng một từ có thể không chỉ có nghĩa khác nhau mà thậm chí có nghĩa trái ngược nhau. Ví dụ: từ Odds trong tiếng Anh được dịch là thay đổi, bất hòa, lợi thế, cơ hội.

Một điều khá rõ ràng là nghĩa của một trong những nghĩa của từ này thậm chí không thể đoán được các nghĩa khác của nó.

Từ tỷ lệ cược cũng không ngoại lệ. Hầu hết các từ trong một ngôn ngữ không chỉ có một mà có nhiều nghĩa, được bắt nguồn từ nhiều cụm từ khác nhau thông qua trải nghiệm ngôn ngữ. Từ một câu bạn chỉ có thể tìm ra một nghĩa của một từ.

Vì vậy, chính trải nghiệm ngôn ngữ sẽ đọc chúng ta chứ không phải từ điển. Từ điển chỉ đóng vai trò trung gian trong lần đầu làm quen, không nên lạm dụng.

Chìa khóa thành công

Ý nghĩa nhất thiết phải gắn liền với khả năng…
Thật là một hiện tượng đáng buồn khi bộ não của một học sinh dù ít dù nhiều cũng chứa đầy kiến ​​thức nhưng lại không học cách áp dụng nên bị bảo rằng dù biết nhưng không làm được gì.

A. Phân biệt

Kinh nghiệm ngôn ngữ bao gồm những gì và nó được tích lũy như thế nào?

Nếu tra cứu từ điển giải thích nghĩa của từ “kinh nghiệm”, chúng ta sẽ nhận được một từ cụ thể, chắc chắn sẽ giúp chúng ta trả lời câu hỏi được đặt ra. Theo từ điển giải thích, kinh nghiệm là tập hợp những điều kiện thực tế về kiến ​​thức, kỹ năng, khả năng.

Điều này có nghĩa là để tích lũy kinh nghiệm ngôn ngữ, trước hết cần phải áp dụng vào thực tế những kiến ​​​​thức đã học. Nói cách khác, để học nói và hiểu, viết và đọc bằng tiếng nước ngoài, bạn nên làm điều này thường xuyên nhất có thể, sử dụng tất cả thông tin có sẵn cho việc này, do đó, khi chọn sách bằng tiếng nước ngoài, bạn nên kết hợp kinh doanh với niềm vui và đọc những gì bạn đặc biệt quan tâm - có thể là kinh điển, văn học phiêu lưu hoặc truyện trinh thám. Ngoài ra, học sinh trung học nên đọc các bài báo mà các em quan tâm từ các tạp chí khoa học phổ thông nước ngoài, vì điều này giúp các em chuẩn bị đọc tài liệu nước ngoài về chuyên ngành đã chọn.

Điều quan trọng là phải tuân theo các quy tắc sau: đọc một cách có hệ thống, đọc ít nhất một trang văn bản nước ngoài mỗi ngày.

Hơn nữa, khi đọc bằng tiếng nước ngoài, khi xảy ra, bạn nên

28

tránh dịch Sự dịch thuật thường được so sánh với một chiếc nạng mà chúng ta không cần đến khi chúng ta có thể bước đi mà không cần nó. “Đi bộ” trong trường hợp này có nghĩa là đọc theo cách để nắm bắt được nội dung mà không bị mắc kẹt trong hình thức. Sự hiểu biết đầy đủ về việc đọc chỉ có được khi thực hành.

Điều tương tự cũng áp dụng cho chứng rối loạn tâm thần “bằng tai”. “Dạy” tai bạn nhận biết tiếng nước ngoài cũng không kém phần quan trọng so với việc học nói, viết và đọc bằng ngôn ngữ này. Thông thường, ngay cả những người có khả năng ngôn ngữ tốt khi lần đầu tiên ra nước ngoài cũng cảm thấy vô cùng bối rối, không hiểu bất cứ điều gì đang được nói xung quanh họ. Họ thậm chí còn có ấn tượng rằng họ đang nghe thấy một đoạn băng được phát lại với tốc độ nhanh hơn. Tuy nhiên, sau một thời gian, cảm giác bất lực sẽ biến mất khi tai dần thích nghi với nhịp độ nói bất thường.

Học khái niệm “bằng tai” là một trong những bài toán chính khi học ngoại ngữ. Điều này đòi hỏi phải thực hành liên tục. Nói cách khác, để học cách nghe, bạn cần nghe càng nhiều càng tốt.

Tốt nhất là bắt đầu bằng việc ghi âm, nghe cùng một văn bản cho đến khi đạt được sự hiểu biết hoàn chỉnh. Khi chọn hồ sơ bằng tiếng nước ngoài, bạn nên tuân thủ nguyên tắc giống như khi chọn tài liệu đọc: “từ đơn giản đến phức tạp”.

Khi khái niệm về bản ghi không gây khó khăn, bạn có thể bắt đầu nghe các chương trình phát thanh bằng tiếng nước ngoài. Tất nhiên, việc cảm nhận lời nói tự nhiên khó hơn nhiều so với làm việc với đĩa hát hoặc băng. Nhưng không cần phải kiểm tra lại gây ra nhiều khó khăn như vậy: khái niệm phát thanh bằng tiếng nước ngoài xuất hiện dần dần. Vì vậy, cũng giống như việc đọc sách, bạn nên nghe bài phát biểu bằng tiếng nước ngoài mỗi ngày, loại bỏ việc này mười lăm phút.

Có đúng không, thật khó để tưởng tượng một người lái xe có hiểu biết hoàn hảo về giao thông đường phố, tất cả các kỹ thuật điều khiển ô tô, cách thức hoạt động của ô tô, nhưng… lại không biết lái xe? Không kém phần khó khăn khi tưởng tượng một nhà toán học biết nhiều công thức nhưng không biết cách sử dụng chúng với lời giải đơn giản nhất bài toán. Nhưng không hiểu vì lý do gì, không ai quan tâm đến việc dù đã học ngoại ngữ nhiều năm, nắm vững ngữ pháp và học được rất nhiều từ nhưng nhiều người lại không thể thốt ra một cụm từ trong đó. Có chuyện gì vậy?

Khi học thực hiện các phép toán, chúng ta mắc lỗi và không hề xấu hổ về điều đó. Khi học lái xe ô tô, người lái xe cũng không tránh khỏi mắc lỗi ở đâu đó mà vẫn tiếp tục đi đường của mình. Nhưng nhiều người học ngoại ngữ lại lo sợ (hoặc xấu hổ) về tác dụng phụ của chúng nên họ chọn cách im lặng “đúng cách”. Kết quả đã nói lên điều đó: chưa có ai học nói trong khi vẫn giữ im lặng.

Điều này cũng được chứng minh bằng khả năng khai thác cao khả năng đa ngôn ngữ, thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô Estonia, Giáo sư Paul Arnetz:

“… Điều tôi yêu thích nhất và quý giá nhất ở ngôn ngữ là cơ hội được giao tiếp, được trò chuyện trực tiếp. Tôi viết các bài báo khoa học của mình bằng 15 thứ tiếng và nói được 20 thứ tiếng. Những chiếc “chiếc kéo” này được giải thích bởi việc tôi bắt đầu học một ngôn ngữ mới từ phần nói.

… Tôi đã dạy ngoại ngữ tại Đại học Tartu hơn 30 năm. Nguyên tắc chính của tôi là yêu cầu học sinh “nói” càng sớm càng tốt… Những người nhút nhát, sợ mắc lỗi nhấn mạnh, sử dụng sai cụm từ này hay cụm từ kia sẽ không bao giờ học được cách nói thoải mái. Lòng dũng cảm, cũng như bất kỳ nỗ lực nào khác, là chìa khóa thành công khi học ngôn ngữ.”

29

§ 1. Đa thức - công cụ của máy tính

Nào, hãy bắt đầu! Khi đi đến cuối câu chuyện này, chúng ta sẽ biết được nhiều điều hơn là ít hơn.

G. H. Andersen

Trong vương quốc vô hình của các hàm số, thoạt nhìn, đa thức chiếm một vị trí rất khiêm tốn. Tuy nhiên, ấn tượng đầu tiên này là lừa dối.

Đa thức thực sự cực kỳ đơn giản: ký hiệu đại số
$$f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n$$ (1)
cũng là công thức tính các giá trị của đa thức $^*$). Mặc dù các biểu thức như $\cos x$, $\sqrt[5]{x}$, $10^x$ hoặc $\log_2 x$ ngắn gọn hơn nhiều, nhưng từ quan điểm tính toán, chúng vô nghĩa: để tính toán, chẳng hạn, các số $\cos 17^\circ$, $\sqrt[5]{2}$, $10^{0.13}$ hoặc $\log_2 7$, bạn cần các công thức gần đúng đặc biệt (hoặc các bảng được biên soạn bằng cách sử dụng cùng một công thức). Theo quy luật, đa thức xuất hiện trong các công thức như vậy: ví dụ:
$$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!}$$

(sai số trong khoảng $0 \leq x \leq \pi/4$ nhỏ hơn một phần mười triệu!).

*) Để đơn giản hóa phép tính, chúng ta sẽ giới hạn ở các đa thức có hệ số đơn vị cho số hạng dẫn đầu ($a_0 = 1$); khi cần thiết, chúng tôi sẽ chỉ ra cách tiến hành trong trường hợp chung ($a_0 \neq 1$).

Nhưng các hàm lượng giác, lũy thừa, v.v. (cơ bản) là những hàm đơn giản nhất trong số các hàm phân tích, được các nhà toán học, vật lý và kỹ sư nghiên cứu và sử dụng. Nhà toán học tính toán nổi tiếng viết trong cuốn sách của mình *): “Bởi vì đa thức rất dễ xử lý nên hầu hết các phân tích số cổ điển đều dựa trên sự gần đúng của đa thức”.

Vì bạn thường phải tính các đa thức nên điều quan trọng là phải học cách thực hiện nó một cách đơn giản nhất có thể. Chúng ta sẽ nói về sự phát triển của các phương pháp tính giá trị của đa thức kể từ khi chúng ra đời (thế kỷ 17). Tuy nhiên, từ “tiến hóa” ở đây không hoàn toàn phù hợp: lịch sử của những phương pháp này là một cuốn tiểu thuyết rất dài với cốt truyện thú vị nhưng ngắn gọn, hành động đơn điệu và một cái kết bất ngờ.

§ 2. Sơ đồ Horner

Thành thật mà nói, ở đây sẽ nảy sinh một nghi ngờ, hay đúng hơn là một câu hỏi không thể giảm thiểu nếu không nêu ra và trả lời.

A. Dante. Lễ (1303)

Phương pháp tính đa thức được chấp nhận rộng rãi hiện nay có từ thời Newton và được gọi là sơ đồ Horner. Sơ đồ phổ quát này (nghĩa là có thể áp dụng cho bất kỳ đa thức nào) cực kỳ đơn giản và thanh lịch. Nó thu được từ công thức (1)

*) R. W. Hemming. Các phương pháp số M., “Khoa học”, 1972.

31

Những sơ đồ như vậy có thể được tìm kiếm dựa trên các đặc điểm của một đa thức riêng lẻ (bằng cách kết hợp khéo léo các hệ số của nó), hoặc bằng cách xây dựng một phương pháp phổ quát để xây dựng các sơ đồ tiết kiệm hơn nhiều so với sơ đồ của Horner, nhưng có lẽ không phải là phương pháp tốt nhất cho một số đa thức. Nhược điểm của cách tiếp cận đầu tiên là với mỗi đa thức, chúng ta sẽ phải phát minh ra các kỹ thuật của riêng mình và không có gì đảm bảo rằng chúng ta sẽ luôn thành công; Sau này (trong § 10), chúng ta sẽ thấy rằng điều thứ hai đáng tin cậy hơn về mọi mặt.

Không cần phải nói rằng cả hai phương pháp này chỉ giảm trong trường hợp một đa thức cụ thể xuất hiện kịp thời và nỗ lực để xây dựng một mạch tốt cho nó. Ví dụ, các đa thức “sử dụng một lần” dễ tính toán hơn bằng cách sử dụng sơ đồ Horner.

Có lẽ lý luận tương tự đã dẫn đến việc phát hiện ra một sơ đồ phổ quát thuộc loại hoàn hảo vào năm 1955 cho đa thức bậc sáu. Chúng tôi sẽ minh họa ý tưởng chính của sơ đồ này bằng cách sử dụng sơ đồ đơn giản hơn cho đa thức bậc 4. Hãy để
$$f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d;$$
hãy đặt
$$\begin{cases} p_1 = x \cdot (x + A); \\ p_2 = (p_1 + B)(p_1 + x + C) + D \\ f(x) = p_2 \end{cases}$$
trong đó A, B, C và D là các tham số.

Ví dụ. Đa thức $x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 3x + 2$ có thể được tính bằng sơ đồ: $p_1 = x(x + 1), f(x) = (p_1 - 1)(p_1 + x + 5) + 7$, chứa hai phép nhân (thay vì ba theo Horner) và năm phép tính (thay vì bốn) $(\pm)$; ở đây A = 1, B = -1, C = 5, D = 7.

Hãy để chúng tôi viết ra một biểu thức rõ ràng cho $p_2(x)$:
$$p_2(x) = x^4 + (2A + 1)x^3 + (A^2 + A + B + C)x^2 + (AB + B + AC)x + BC + D;$$
đánh đồng các hệ số $f(x)$ và $p_2(x)$, ta biểu diễn các tham số ở dạng (5) thông qua hệ số (4):
$$A = (a - 1)/2;$$
$$B = c - b \cdot A + A^2(A + 1);$$
$$C = b - B - A(A + 1);$$
$$D = d - BC.$$
Từ những công thức này, rõ ràng sơ đồ (5) là phổ quát.

Chúng ta sẽ gọi các phép toán (6) là phép biến đổi các hệ số của đa thức; Tất nhiên, chúng không được bao gồm trong số phép toán của mạch: xét cho cùng, đối với mỗi đa thức đã cho, chúng chỉ được thực hiện một lần và bài toán của chúng ta là học cách tính nhanh các giá trị của một đa thức tùy ý nhưng cố định cho $x$ khác nhau.

§ 5. Sơ đồ phổ quát bậc n

“Tôi nghĩ,” Piglet trầm ngâm nói, “rằng nếu mọi người ở dưới gốc cây, Pooh đứng trên lưng nó, còn tôi đứng trên vai Pooh…
“Và nếu lưng Na-Na bỗng trở nên buồn bã thì tất cả chúng ta sẽ có một trận cười sảng khoái,” Na nói.

A. A. Mill. Winnie the Pooh

Năm 1958, một sơ đồ phổ quát chung với việc xử lý biến đổi các hệ số đã được tìm ra. Cấu trúc của sơ đồ này cho đa thức bậc chẵn ($n = 2k$) giống như một kim tự tháp - ở sơ đồ nằm ở đáy (5) (chúng ta đã thấy “sức mạnh” của nó), nằm trong sơ đồ bậc 6, nằm trong sơ đồ bậc 8, v.v.:
$$\begin{cases} p_1 = x(x + b_1), \\ p_2 = (p_1 + b_2)(p_1 + x + b_3) + b_4, \\ p_3 = p_2(p_1 + b_5) + b_6, \\ \dots \\ p_k = p_{k-1}(p_1 + b_{2k-1}) + b_{2k}, \\ f(x) = p_k, \end{cases}$$

sơ đồ (7.2) chính xác là sơ đồ (5). Kết quả của sơ đồ (7.k) là đa thức $p_k(x)$ bậc $n = 2k$; một đa thức bậc lẻ $n = 2k + 1$ có ​​thể được biểu diễn dưới dạng sau:
$$f(x) = x(x^2k + a_1x^{2k-1} + \dots + a_{2k}) + a_{2k-1};$$
đa thức trong ngoặc được tính bằng sơ đồ (7.k). Kết quả là

32

mạch chứa $k$ phép nhân và $2k+1$ phép cộng cho đa thức bậc chẵn $n=2k$ và $k+1$ phép nhân và phép cộng $2k+2$ cho đa thức bậc lẻ $n=2k+1$ (có tính đến (7.k) và (8.)).

Bài tập
4. Tìm các công thức xử lý sơ bộ hệ số tương tự như công thức (6) cho sơ đồ (7.3) tính đa thức bậc sáu.
5. Chứng minh bằng quy nạp trên $k \geq 2$ sơ đồ phổ quát (7.k).

Bắt đầu từ dòng thứ ba, sơ đồ (7.k) rất giống với sơ đồ Horner (3); sự khác biệt duy nhất là bây giờ sau mỗi phép nhân, độ không tăng lên một mà là hai.

Vì vậy, chúng tôi đã giảm được một nửa số phép nhân so với sơ đồ của Horner. Với chi phí nào? Từ lời giải Bài tập 5, rõ ràng là quá trình tính các tham số $b_1, b_2, \dots, b_{2k}$ từ các hệ số $a_1, a_2, \dots, a_n$ rất phức tạp - nó bao gồm chuỗi lời giải phương trình với một lũy thừa chưa biết $k-1, k-2, \dots$. Đặc biệt, điều này có nghĩa là đối với $k \geq 6$ ($n \geq 12$) không có công thức tính các tham số *), mặc dù tất nhiên, giá trị của chúng có thể được tìm thấy bằng các phương pháp gần đúng với bất kỳ mức độ chính xác nào.

Ở đây lại nảy sinh một khó khăn khác, mặc dù hóa ra nó có thể giải quyết được. Cho đến bây giờ, chúng tôi vẫn chưa chỉ rõ chúng tôi đang tính toán đa thức nào - thực hay phức. Sơ đồ Horner có thể áp dụng được trong cả hai trường hợp, trong khi sơ đồ (7.k)

*) Công thức thường được hiểu là tập hợp các phép tính số học, căn, lũy thừa. Bạn có thể biết rằng E. Galou và N. Abel, những nhà toán học lỗi lạc (và cả hai đều chết rất sớm) của thế kỷ 19, đã chứng minh rằng những công thức tổng quát như vậy không tồn tại để tìm nghiệm của đa thức bậc năm và lũy thừa cao hơn (xem «Kvant», 1973, số 10, trang 3-12).

chủ yếu là phức tạp - các tham số phức tạp có thể tương ứng với các hệ số thực. Sự xuất hiện của số phức trong phép tính đa thức thực làm tăng đáng kể số phép tính *). May mắn thay, vào năm 1960, sơ đồ (7.k), vốn phức tạp hơn, đã được biến thành sơ đồ thực sự; tuy nhiên, việc chứng minh đầy đủ trong trường hợp này vốn đã rất khó khăn.

§ 6. Về các đề án nói chung…

“Chờ một phút, một phút thôi,” tiếng tai ngô vang lên. — Hãy tránh các thuật ngữ khoa học, sử dụng các thuật ngữ phổ biến…

• Phải! - những người khác xác nhận. - Nói rõ hơn đi. Rừng là gì?
  Vâng. Osenka. Đi bộ xuyên quốc gia vào năm 2050

Đã đến lúc hỏi xem có phương án nào tiết kiệm hơn phương án (7.k) không? Nhưng sau đó câu hỏi không thể tránh khỏi - sơ đồ là gì?

Đã xác định. (TÔI). Sơ đồ xử lý sơ bộ các hệ số là một chuỗi các phép tính số học có liên quan đến biến $x$, tham số $b_1, b_2, \dots, b_m$ và kết quả của các phép tính trước đó. Chúng ta gọi kết quả của thao tác cuối cùng là результатом схемы. (II). Nếu, đối với một số tập hợp giá trị tham số $b_1, \dots, b_m$, kết quả của lược đồ là một đa thức bậc nhất định $n$, thì chúng ta nói rằng lược đồ đó là представляем этот многочлен. (III). Nếu mạch được biểu diễn bằng đa thức thì quá trình tính tập hợp các giá trị tham số tương ứng từ các hệ số của nó được gọi là предварительной обработкой коэффициентов. (IV). Một sơ đồ được gọi là `bậc siêu cấp $n$ nếu nó được biểu diễn bằng bất kỳ đa thức bậc $n$ nào có dạng (1).

*) Một phép cộng “phức tạp” là hai phép cộng “thực”, một phép nhân “phức tạp” là bốn (!) phép nhân và hai phép cộng.

36

Bài toán

M271 — M275; F283 — F287

M271. Có thể sắp xếp các số 1, 2, 3,…, n theo thứ tự sao cho không có hai số nào bằng bất kỳ số nào đặt giữa chúng? (lớp 9, lớp 10)

A. I. Plotkin

M272. Cho hai đường tròn bán kính $R$ và $r$, chạm vào nhau từ bên ngoài. Nhiều hình thang khác nhau $ABCD$ được dựng sao cho mỗi hình tròn tiếp xúc với cả hai cạnh và một trong các đáy của hình thang. Tìm độ dài cạnh nhỏ nhất có thể $AB$. (9 lớp)

E. V. Sallinen

M273. Trên đoạn $0 \leq x \leq 1$, hàm $f$ được đưa ra. Được biết, hàm này không âm và $f(1) = 1$. Ngoài ra, với hai số bất kỳ $x_1$ và $x_2$ sao cho $x_1 \geq 0$, $x_2 \geq 0$ và $x_1 + x_2 \leq 1$, bất đẳng thức

$$f(x_1 + x_2) \geq f(x_1) + f(x_2).$$

a) Chứng minh rằng hàm số $f$ nào thỏa mãn điều kiện trên thì bất đẳng thức $f(x) \leq 2x$ sẽ thỏa mãn với mọi $x$.

6. Có đúng như vậy không mọi người $x$

$$f(x) \leq 1,9 \ x ?$$

(10 lớp)

A. V. Popov

M274. Tìm số nhỏ nhất có dạng

a) $|11^k - 5^l|$;

b) $|53^k - 37^l|$,

trong đó $k$ và $l$ là số tự nhiên.

F. G. Shleifer

37

M275* a) Trên mặt phẳng có các vectơ $n$, độ dài của mỗi vectơ bằng 1. Tổng của tất cả các vectơ $n$ bằng 0 vectơ bên trái. Chứng minh rằng các vectơ có thể được đánh số sao cho mọi $k = 1, 2, \dots, n$ đều thỏa mãn điều kiện sau: tổng các vectơ $k$ đầu tiên có độ dài tối đa là 3.

6. Chứng minh khẳng định tương tự cho vectơ $n$ có tổng bằng 0, mỗi vectơ có độ dài không vượt quá 1.

c) Số 3 trong bài toán a) có thể thay thế bằng số ít hơn không? Cố gắng buộc tội đánh giá cũng ở bài toán 6). (lớp 9, lớp 10)

M. L. Gerver

F283. Những quả bóng tích điện có cùng khối lượng, nằm cách nhau một khoảng $l$, được thả ra (không có tốc độ ban đầu). Sau $t$ giây, khoảng cách giữa họ tăng gấp đôi. Sau bao lâu thì khoảng cách giữa các quả bóng sẽ tăng gấp đôi nếu chúng được thả ra khỏi khoảng cách ban đầu $3l$? (9 lớp)

F284. Tìm gia tốc $a$ mà một tấm kim loại tròn rơi trong từ trường đều song song với bề mặt Trái đất. Tấm rơi thẳng đứng xuống dưới và mặt phẳng của nó được định hướng song song với từ trường và vuông góc với bề mặt Trái đất. Độ dày tấm $d$ nhỏ hơn nhiều so với bán kính $R$, khối lượng $m$, chỉ báo từ trường $B$, gia tốc rơi tự do $g$. (10 lớp)

F285. Trong một căn phòng không có hệ thống sưởi có một tủ lạnh có bộ điều nhiệt. Khi tủ lạnh được kết nối mạng, nhiệt độ bên ngoài, trong nhà và trong tủ lạnh là như nhau. Giả sử nhiệt độ bên ngoài không đổi, hãy vẽ đồ thị gần đúng về sự thay đổi nhiệt độ trong phòng

38

Lời giải bài toán

M231. Tìm tất cả lời giải trong các số tự nhiên của phương trình
$$n^x + n^y = n^z.$$
Rõ ràng, $n$ phải có ít nhất hai. Đếm $x \leq y \leq z$, ta viết lại phương trình dưới dạng
$$n^{z-x} - n^y-x = 1.$$ ()
Nếu chúng ta giả sử rằng $y$ hoàn toàn lớn hơn $x$ thì từ () sẽ suy ra rằng đơn vị chia hết cho $n$ ($n \geq 2$); nhưng điều này không đúng, có nghĩa là $y = x$. Khi tính đến sự bình đẳng này, chúng tôi có được:
$$n^{z-x} = 2,$$
từ đâu $n = 2$, $z - x = 1$.
Vì vậy, phương trình này có tập hợp vô hạn lời giải số tự nhiên: $n = 2$, $y = x$, $z = x + 1$, $x$ - bất kỳ số tự nhiên nào.
R. Yegoryan.

M232. a) Chứng minh rằng với một tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng có tính chất là ba điểm bất kỳ trong tập hợp này đều là đỉnh của một tam giác đa giác không suy biến, người ta luôn có thể thêm một điểm nữa để tính chất này được bảo toàn.
b) Phát biểu tương tự có đúng với tập vô hạn điểm trên một mặt phẳng không?

a) Lưu ý rằng đối với các điểm $A$ và $B$, điểm $C$ nằm ngoài đường thẳng $AB$ và nằm ngoài dải tạo bởi các đường vuông góc với đường thẳng $AB$ tại các điểm $A$ và $B$, tạo thành từ các điểm $A$ và $B$ một tam giác tù không số ít (xem hình 1). Với mỗi cặp điểm từ một tập hợp hữu hạn cho trước, chúng ta dựng một dải và một đường thẳng theo Hình 1. Một số hữu hạn các dải có chiều rộng hữu hạn và các đường thẳng, rất indo, sẽ không bao phủ toàn bộ mặt phẳng, do đó, có một điểm tạo thành một tam giác tù với mỗi cặp điểm từ một tập hợp cho trước, đó là điều ta cần chứng minh.
b) Đáp số: nói chung là không phải bên phải hay bên trong.
Hãy lấy ví dụ sau. Khoảng cách là một tập hợp bao gồm một điểm hình bán nguyệt không có đường kính một đầu (Hình 2). Thật dễ dàng để biết một bộ là gì

39

Cơm. 6.

thỏa mãn điều kiện bài toán. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng không thể thêm một điểm nào vào nó (điều này gần như rất indo). Trong thực tế, nếu một điểm nằm bên trong hình bán nguyệt trên đường kính của nó (Hình 3, điểm X), thì luôn có thể tìm được điểm C trên hình bán nguyệt sao cho tam giác ACX nhọn. Điều tương tự cũng đúng với tất cả các điểm nằm trong không phải hình bán nguyệt hoặc bên trong nhưng nằm ngoài đường kính của nó (Hình 4, các điểm X’ và X’’; các điểm tương ứng B’, C’ và B’’’, C’’ được chọn “đủ gần”). Nếu điểm được chọn trên đường kính không phải hình bán nguyệt (Hình 5, điểm M), thì sẽ xảy ra sự đảo ngược - trong Hình 5, các điểm M, N, K nằm trên cùng một đường thẳng.

P. S. Pankov

M233. Ở cuối đoạn có viết hai đơn vị. Điểm nằm giữa chúng là tổng của chúng - số 2. Khi đó điểm giữa của hai số liền kề là tổng của chúng và lớn nhất là 1973 lần. Số 1973 sẽ được viết bao nhiêu lần?

Hãy viết ra các dòng số trong một hàng tạo thành từ bước tiếp theo - tổng cộng là 1973 dòng (Hình 6). Hãy lấy một cái bàn nào đó. Chúng ta hãy thử tìm xem số n xuất hiện ở hàng thứ n của bảng này bao nhiêu lần (rõ ràng là ở mỗi hàng tiếp theo - với một số lớn hơn n - số n sẽ xuất hiện chính xác với số lần như trong hàng thứ n: tất cả các số tạo mới sẽ lớn hơn n).

Chúng ta sẽ nói rằng bảng của chúng ta chứa một cặp số tự nhiên (a, b) nếu các số a và b nằm cạnh nhau trên cùng một dòng, với b ở bên phải a. Hãy chứng minh khẳng định sau:

Nếu 1973 là đơn giản (kiểm tra!). Vì vậy nó xảy ra 1972 lần.

N. B. Vasiliev

40

M234. Cho một hình vuông có cạnh 1. Bốn phần được cắt ra khỏi nó - bốn hình tam giác, mỗi hình có hai cạnh chạy dọc theo các cạnh của hình vuông và chiếm 1/3 chiều dài của chúng. Với kết quả là 8-vui lòng, điều tương tự có thể được thực hiện: từ mỗi đỉnh, cắt một hình tam giác, hai cạnh của nó bằng 1/3 cạnh tương ứng của 8-vui lòng, v.v. Kết quả là một chuỗi các đa giác (mỗi đa giác có trong đa giác trước đó). Chúng ta hãy tìm diện tích của các hình là giao điểm của tất cả các đa giác này (nghĩa là được hình thành bởi các điểm thuộc tất cả các đa giác).

Chúng ta hãy biểu thị bằng $M_0$ hình vuông ban đầu và $M_1, M_2, M_3, \dots$ các đa giác thu được từ $M_0$ bằng cách cắt liên tiếp các góc. Cũng thuận tiện khi xem xét đa giác $N_h$, các đỉnh của nó là trung điểm của cạnh $M_h$ ($k = 0, 1, 2, \dots$).

Đặt $A$ là một đỉnh tùy ý của đa giác $M_h$, và $B$ và $C$ là các đỉnh lân cận của nó. Để thu được đa giác $M_h+1$ từ đa giác $M_h$, cần phải cắt một hình tam giác $B_2AC_2$ khỏi mỗi đỉnh $A$ của đa giác $M_h$ (xem Hình 8) sao cho các điểm $B_2$ và $C_2$ lần lượt chia các đoạn $[AB]$ và $[AC]$ theo tỷ lệ 1:2. Đặt $B_1$ và $C_1$ là trung điểm của các đoạn $[AB]$ và $[AC]$, tức là các đỉnh liền kề của đa giác $N_h$; Sau đó

$$\begin{align*} |AC_2| &= \frac{2}{3}|AC_1|, \\ |AB_2| &= \frac{2}{3}|AB_1|. \end{align*}$$

Khi di chuyển từ đa giác $N_h$ sang đa giác $N_{h+1}$, các điểm $B_1$ và $C_1$ vẫn là các đỉnh của nó nhưng không còn liền kề nữa: một đỉnh mới $A_1$—giữa đoạn $[B_2C_2]$—xuất hiện giữa chúng. Do đó, đa giác $N_{h+1}$ được lấy từ đa giác $N_h$ bằng cách thêm một hình tam giác loại $B_1A_1C_1$ vào mỗi cạnh của nó $[B_1C_1]$.

Cơm. 8.

41

Nó bắt đầu từ phần trước bằng cách dốc xuống điểm $a$ $4\frac{1}{2}$ lần. Như vậy, điểm $a$ là điểm chung duy nhất của tất cả các đoạn thẳng này. (Có thể viết ra các công thức chính xác cho $x_h$ và $y_h$: $x_h = \frac{5}{7} - \left(\frac{2}{9}\right)^k \times \frac{3}{14}$, $y_h = \frac{5}{7} + \left(\frac{2}{9}\right)^k \cdot \frac{2}{7}$; nhưng chúng tôi không gặp chúng. Tất nhiên, người đọc quen với khái niệm giới hạn của một dãy số nhận thấy rằng $a$ là giới hạn chung của các dãy $x_h$ và $y_h$; về bản chất, đây chính xác là những gì chúng ta có đã chứng minh.) Từ đây chúng ta đã suy ra rằng diện tích của hình mong muốn $M$ (là giao điểm của tất cả các đa giác $M_h$) bằng $a$; thực sự, $M$ được chứa trong bất kỳ $M_h$ nào và chứa bất kỳ $N_h$ nào (chứng minh điều đó!)*); do đó, diện tích $M$ phải nằm trong khoảng từ $x_h$ đến $y_h$ (đối với tất cả $k$) và yêu cầu này được đáp ứng bởi một số duy nhất: $a = \frac{5}{7}$.

Có thể giải quyết bài toán này mà không cần đưa vào các đa giác $N_h$, chỉ sử dụng sự tương ứng xác định chuỗi $y_0 = 1$, $y_1 = \frac{5}{9}$, $y_2$, $y_3$, …

$$y_h - y_{k+1} = \frac{1}{9} (y_h - y_{k-1}).$$

Trong trường hợp này, diện tích $M$ được tính là giới hạn của diện tích $M_h$ (chuỗi $(y_h - y_{k-1})$ là một cấp số nhân giảm vô hạn).

*) Số này là một thực tế lý thuyết tập hợp: nếu $M_h \supset M_{k+1} \supset N_{k+1} \supset N_h$ cho mỗi $k = 0, 1, 2, \dots$ và $M = \bigcap_k M_h$ thì $M \supset N_h$.

A. Zelensky (Shakhtersk) đã khái quát hóa bài toán M234 cho trường hợp khi các đoạn cấu thành $\frac{1}{p}$ của cạnh này bị cắt khỏi mỗi cạnh, trong đó $p$ là bất kỳ số nào lớn hơn 2. Diện tích thu được trong trường hợp này là $\frac{p^2 - 2p + 2}{p^2 - 2p + 4}$; với $p = 3$ chúng ta nhận được đáp số $\frac{5}{7}$.

C. Konyazin

M235. Một con sư tử đang chạy dọc theo sân khấu của một rạp xiếc hình tròn có bán kính 10 m. Di chuyển dọc theo một đường đứt đoạn, anh chạy được 30 km. Chứng minh rằng tổng tất cả các góc mà nó quay là $\alpha_1, \dots, \alpha_{k-1}$ (tổng cộng $k$ đoạn và $k-1$ phép quay). Hãy tưởng tượng chuyển động của con sư tử như sau.

Chúng ta hãy biểu thị các đoạn mà sư tử đi qua $x_1, x_2, \dots, x_h$ và các góc mà sư tử quay cùng lúc với $\alpha_1, \dots, \alpha_{k-1}$ (tổng cộng có $k$ đoạn và $k-1$ quay). Hãy tưởng tượng chuyển động của con sư tử như sau.

Cho sư tử chạy đoạn $AA_1 = x_1$. Chúng ta hãy xoay vectơ của nó (tức là vectơ của điểm $A_1$) theo góc $\alpha_1$ sao cho đoạn $x_2$ hóa ra là phần tiếp theo của đoạn $x_1$. Sau khi con sư tử chạy qua đoạn $A_1 A_2 = x_2$, chúng ta xoay vectơ đấu trường của nó một góc $\alpha_2$ để đoạn $x_3$ trở thành phần tiếp theo của đoạn $x_2$, v.v. Khi đó sư tử sẽ chạy theo một đường thẳng và bao phủ đoạn $AA_k = 30000(m)$, trong đó $A$ là điểm bắt đầu và $A_k$ là điểm kết thúc.

Hãy cùng theo dõi chuyển động của tâm đấu trường - điểm $O$. Đầu tiên, điểm $O$ quay vectơ của điểm $A_1$ theo góc $\alpha_1$, sau đó quay vectơ của điểm $A_2$ theo góc $\alpha_2$, v.v. Mỗi lần tâm của đấu trường $O$ cách tâm quay không quá 10 $m$, vì tâm quay là con sư tử nằm bên trong đấu trường. Do đó, trong lần quay đầu tiên, điểm $O$ sẽ di chuyển không quá $\alpha_1 \cdot 10(m)$, trong lần quay thứ hai - không quá $\alpha_2 \cdot 10(m)$, v.v. ($\alpha_1, \dots, \alpha_{k-1}$ được đo bằng radian). Tất cả các điểm $O$ di chuyển

Cơm. 10.

42

Cơm. 11.

không quá $(\alpha_1 + \dots + \alpha_{k-1}) \cdot 10(m)$, tức là
$$O'O'' \leq (\alpha_1 + \dots + \alpha_{k-1}) \cdot 10(m)$$
(xem Hình 11 - ở đây $O'$ là vị trí ban đầu, $O''$ là vị trí cuối cùng của điểm $O$).

Vì $O'A \leq 10(m)$, $O''A_k \leq 10(m)$ và $AA_k = 30000(m)$, nên $O'O'' \geq 29980(m)$. Từ đây
$$\alpha_1 + \dots + \alpha_{k-1} \geq \frac{O'O''}{10} \geq 2998(m)$$

I. N. Bernishtein

F238. Có hai dây vuông làm bằng cùng một vật liệu. Mặt cắt ngang của một dây là $a_1 = 1$ mm, và mặt kia là $a_2 = 4$ mm. Để làm nóng chảy sợi dây đầu tiên, phải có dòng điện $I_1 = 10$ a chạy qua. Hỏi dòng điện chạy qua dây thứ hai bằng bao nhiêu để làm nóng chảy nó?

Chứng tỏ rằng lượng vật thoát ra môi trường trong 1 s tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa dây dẫn với môi trường và diện tích bề mặt của dây và hệ số tỷ lệ thuận với độ lệch của cả hai dây.

Nếu dây ở trạng thái cân bằng nhiệt với môi trường (nhiệt độ của nó không thay đổi), thì lượng điện năng được giải phóng trong dây khi dòng điện chạy qua trong một đơn vị thời gian sẽ bằng lượng điện năng được giải phóng trong môi trường xung quanh. Nếu dòng điện tăng đến mức dây bắt đầu nóng chảy, lượng điện năng bổ sung được giải phóng bởi dòng điện sẽ nóng chảy. Vì vậy, chúng ta cần tìm dòng điện tương ứng với nhiệt độ nóng chảy của dây.

Số vật thể được cắt bằng sợi dây trong một đơn vị thời gian bằng $Q_1 = k S_1 \Delta T = 4ka_1 l \Delta T$ và $Q_2 = k S_2 \Delta T = 4ka_2 l \Delta T$, trong đó $k$ là hệ số tỷ lệ

43

hướng vuông góc với tốc độ $v$ của điểm và có giá trị tuyệt đối bằng $\frac{v^2}{R}$, trong đó $R$ là bán kính của đường tròn này. Do đó, rõ ràng là chúng ta có thể xác định $R$ nếu chúng ta biết tốc độ của điểm $v$ và gia tốc của nó $a$ theo hướng vuông góc với tốc độ này.

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm vận tốc của các điểm $A$ và $B$ so với Trái đất. Ví dụ, điều này có thể được thực hiện bằng cách cộng vận tốc tuyến tính của các điểm trong hệ tọa độ gắn với tâm bánh xe và chuyển động tịnh tiến song song với mặt phẳng nằm ngang, với tốc độ chuyển động của hệ tọa độ này, tức là với tốc độ của tâm bánh xe so với mặt phẳng. Bạn có thể sử dụng một phương pháp ít xâm lấn hơn, đơn giản hơn nhiều. Tại thời điểm chúng ta đang xem xét, điểm $C$ chạm vào mặt phẳng, bất động so với mặt phẳng và chúng ta có thể giả sử rằng toàn bộ bánh xe quay so với điểm này (tâm quay tức thời). Vận tốc góc quay của tất cả các điểm của bánh xe so với tâm quay tức thời là như nhau và bằng nhau, đặc biệt, với tốc độ góc quay của tâm bánh xe:

$$\omega = \frac{v_0}{r}$$

($v_0$ là tốc độ tâm bánh xe). Điều này có nghĩa là tốc độ của điểm $B$, vuông góc với đoạn $BC$, bằng

$$v_B = \omega \cdot BC = \frac{v_0}{r} BC.$$

Từ tam giác $BCD$ rõ ràng là $BC = 2r \cos \frac{\alpha}{2}$. Kể từ đây,

$$v_B = 2v_0 \cos \frac{\alpha}{2}.$$

Tương tự, vận tốc của điểm $A$ $v_A$ vuông góc với $AC$ bằng giá trị tuyệt đối

$$v_A = \omega \cdot AC = 2v_0 \cos \frac{\pi}{4} = v_0 \sqrt{2}.$$

Bây giờ chúng ta hãy tìm gia tốc của các điểm $B$ và $A$, vuông góc với vận tốc của các điểm này. Tổng gia tốc của các điểm này hiển nhiên là gia tốc hướng tâm $a_\mu$ trong hệ tọa độ gắn với tâm bánh xe. Thật vậy, vì bánh xe chuyển động tương đối so với một mặt phẳng đều, nên gia tốc của một điểm của bánh xe trong hệ tọa độ liên kết với mặt phẳng trùng với gia tốc của chúng trong hệ tọa độ chuyển động tịnh tiến với tâm của bánh xe. Do đó, gia tốc hướng tâm của các điểm

$$A$$ và $B$ hướng về tâm bánh xe và có giá trị tuyệt đối bằng $a_\mu \cdot A = a_\mu \cdot B = \frac{v_0^2}{r}$.

Gia tốc của các điểm $A$ và $B$, vuông góc với vận tốc $v_A$ và $v_B$, là hình chiếu của gia tốc $a_\mu \cdot A$ và $a_\mu \cdot B$ theo hướng vuông góc với $v_A$ và $v_B$. Chúng bằng với những cái tương ứng.

$$a_A = a_\mu \cdot A \cos \frac{\pi}{4} = \frac{v_0^2}{2r} \sqrt{2},$$

$$a_B = a_\mu \cdot B \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{v_0^2}{r} \cos \frac{\alpha}{2}.$$

Như vậy, tại thời điểm này các điểm $A$ và $B$ đang chuyển động theo đường tròn, bán kính của nó được xác định từ sự tương ứng

$$\frac{v_A^2}{R_A} = \frac{v_0^2}{2r} \sqrt{2}$$

và $$\frac{v_B^2}{R_B} = \frac{v_0^2}{r} \cos \frac{\alpha}{2},$$

hoặc

$$\frac{(v_0 \sqrt{2})^2}{R_A} = \frac{v_0^2}{2r} \sqrt{2}$$

và $$\frac{(2v_0 \cos \frac{\alpha}{2})^2}{R_B} =$$

$$= \frac{v_0^2}{r} \cos \frac{\alpha}{2}.$$

Từ đây

$$R_A = 2r \sqrt{2}$$ và $$R_B = 4r \cos \frac{\alpha}{2}.$$

F240. Đầu dò bóng bay có vỏ không thể mở rộng đã nâng lên độ cao tối đa và tạo thành một bình nhỏ, ép rằng ở độ cao tối đa, mật độ không khí $\rho$ giết chết độ cao một cách đồng đều với các giá trị $\delta = 1,2 \cdot 10^{-2}$ $\rho$ cứ sau $h = 100$ m.

Trước hết, chúng ta sẽ chứng minh rằng quả bóng thực sự dao động. Có hai lực tác dụng lên nó: lực hấp dẫn $mg$ và lực Archimedean nổi $F_B$. Cả hai lực đều hướng theo phương thẳng đứng nhưng ngược chiều nhau. Rõ ràng ở vị trí cân bằng

$$mg = F_B,$$

trong đó $m$ là khối lượng của quả bóng, $F_B = \rho Vg$ ($V$ là thể tích của quả bóng).

Nếu do một số vật ngẫu nhiên mà quả bóng chuyển động khỏi vị trí cân bằng thì độ lớn của lực nổi sẽ thay đổi. Hơn nữa, khi di chuyển quả bóng lên $F_B$

*) Vì bánh xe lăn không trượt nên tốc độ quay tuyến tính của tất cả các điểm trên vành bánh xe bằng tốc độ chuyển động tịnh tiến của tâm bánh xe.

44

giảm đi và khi trộn lẫn vào nhau thì tăng lên. Như vậy, trong cả hai trường hợp sẽ xuất hiện một lực bằng nhau, bằng độ biến thiên của lực nổi và hướng về vị trí cân bằng. Hãy tìm độ lớn của nó.

Để quả bóng chuyển động khỏi vị trí cân bằng ở $x$. Vì mật độ không khí thay đổi đồng đều theo độ cao nên

$$\frac{\Delta \rho}{\delta} = \frac{x}{h},$$

trong đó $\Delta \rho$ là sự thay đổi mật độ không khí ở độ cao $x$. Sau đó

$$\Delta F_B = -\Delta \rho Vg = \frac{-\delta Vg}{h} x$$

(dấu trừ cho biết lực $\Delta F_B$ luôn hướng về vị trí cân bằng).

Ta thấy rằng một lực bằng nhau tác dụng lên quả bóng hướng về vị trí cân bằng và tỷ lệ thuận với độ lệch của quả bóng so với vị trí cân bằng. Điều này có nghĩa là quả bóng thực hiện một dao động điều hòa, tương tự như các dao động của tải trọng bên ngoài (với $F = kx$). Vai trò của hệ số độ cứng lò xo trong trường hợp này được thể hiện bởi các đại lượng

$$k' = \frac{\delta Vg}{h}.$$

Chu kỳ dao động của quả bóng bằng

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2\pi \sqrt{\frac{mh}{\delta Vg}}.$$

Vì $m = \rho \cdot V$ thì

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{h\rho}{\delta g}} = 2 \cdot 3,14 \sqrt{\frac{100 \cdot \rho}{1,2 \cdot 10^{-2} \rho \cdot 10}} \approx 180$$ (giây).

F241. Một vòng khối lượng $m$ có thể trượt dọc theo một thanh có chiều dài $L$. Sức mạnh của yêu sách giữa anh ta là $F$. Xác định tốc độ tối thiểu $v_0$ thanh cần truyền để nó xuyên qua bình nếu bình bị vỡ trước.

Thí nghiệm được thực hiện trong môi trường không trọng lực.

Bài toán lời giải hoàn toàn giống với bài toán bài toán F228 (xem «Kvant», 1974, số 5). Đó là lý do tại sao

$$v_0 = \sqrt{2LF \frac{M + m}{Mm}},$$

trong đó $M$ là khối lượng của thanh.

F242. Camera obscura là một hộp hình chữ nhật có một lỗ tròn trên một trong các bức tường của nó. Độ chiếu sáng của hình ảnh Colnca, thu được trên bức tường đối diện của máy ảnh - màn hình, đầu vào nada khi di chuyển từ tâm hình ảnh ra rìa bằng bán kính 0,9 của hình ảnh. Độ sáng ở bức tường phía trước của máy ảnh lớn hơn độ sáng ở giữa ảnh bao nhiêu lần?

Mỗi điểm của hình ảnh Coln được chiếu sáng không phải bởi toàn bộ Coln mà chỉ bởi phần của nó có thể nhìn thấy được từ điểm này trong một góc nhỏ được giới hạn bởi lỗ mở của camera lỗ kim. Vì khẩu độ máy ảnh nhỏ và Colnce ở rất xa nên chúng ta có thể giả sử rằng góc đặc này là như nhau đối với tất cả các điểm của ảnh Colnce. Rõ ràng là độ chiếu sáng của điểm ảnh Colnc tỷ lệ thuận với mặt phẳng Colnc nhìn thấy được từ điểm này.

Sự thay đổi độ sáng của hình ảnh là do khi một điểm di chuyển ra khỏi tâm ảnh, phần Cột chiếu sáng điểm này sẽ tiến đến rìa của Cột và khi phần “đi” ra ngoài rìa của Cột, diện tích của nó sẽ giảm. Độ chiếu sáng của ảnh của một điểm giảm đi một nửa khi diện tích vùng Coln “chiếu sáng” điểm đó giảm đi một nửa. Trong trường hợp này, như có thể thấy trong Hình 13, tại thời điểm này, một chùm tia đi từ mép cột và đi qua tâm của lỗ buồng. Điều này cho phép bạn tìm góc nhìn thấy Colnce từ điểm trên bức tường phía trước của máy ảnh lỗ kim:

$$\frac{\alpha}{2} \approx tg \frac{\alpha}{2} = \frac{0,9R}{l},$$

trong đó $l$ là chiều dài của máy ảnh lỗ kim. Góc, hình. 13.

46

P. Katsylo (Moscow) 16, 26-29; P. Kirsanov (Moscow) 26; L. Klimenok (Moscow) 27; M. Kobozev (Kyiv) 21, 22, 27; V. Kobiletsky (Baku) 16, 18, 20, 26, 27; A. Kolodin (Kolomya, vùng Ivano-Frankivsk) 21, 22, 24, 26, 27; S. Kolyada (Kyiv) 16, 21, 22, 24, 27, 30; L. Konytkovsky (Luninets, vùng Brest) 27; S. Kortsunov (Monino, vùng Moscow) 16, 17; V. Kostmanyan (Baku) 27; S. Kostmena (Chelyabinsk) 27; A. Komanov (làng Tsalka, GSSR) 27; L. Kofman (Tallinn) 16; I. Kryukov (Old Sambir, vùng Lviv) 21, 22; N. Kudrin (Kolomna, vùng Moscow) 27; A. Kukushi (Kyiv) 26, 27, 30; A. Kumakhov (s. II Lesen KBASSR) 27; A. Kurlyandik (Vilnius) 26, 27; A. Kutyrkin (Penza) 21, 22; S. Lapasikov (Oboyan, vùng Kursk) 26, 28, 30; M. Levin (Vitebsk) 17, 18, 27; M. Levin (Tallinn) 23; S. Lifsts (Kharkov) 16, 21; Yu. Loban (Evpatoria) 26, 27; M. Lyubi (Kharkov) 16, 19-23, 25-27, 29, 30; S. Lyapin (Petrikov, vùng Gomel) 16, 17, 21, 27; G. Mavzimov (làng Srednie Chelny TASSR) 27; M. Malyan (Yerevan) 27; A. Makariev (Lvov) 16-18, 20-22, 24, 26-29; S. Makarov (Saratov) 26-28; S. Malinsky (Poltava) 21—24, 27, 28, 30; G. Mamedov (Baku) 27; A. Markov (Moscow) 26, 27, 29; S. Melnik (Kharkov) 16, 18, 20—26, 28, 29; A. Mekhovich (Vladivostok) 27; V. Milman (Minsk) 26, 27; A. Miroshinchenko (Kharkov) 18; Yu. Mikhailov (Leningrad) 21-23; L. Mikhlin (Kursk) 16, 18, 20-22, 27-30; A. Morozov (Novosibirsk) 21; Yu. Muranov (Moscow) 21; G. Mustafaev (Sizan Az. Liên Xô) 27; K. Mkhitaryan (Yerevan) 16-22, 25-28; A. Navasardi (Yerevan) 27; Yu. Neretin (Moscow) 26, 27; N. Nechemayev (Leningrad) 16, 20-23, 25-28, 30; A. Nikolaev (Moscow) 20; I. Novikov (Kuibyshev) 16, 18, 21, 23-25, 27-30; S. Okhitin (Orenburg) 16, 20, 26-28; I. Panin (Sự thờ ơ) 16, 20-23, 26, 27; E. Pasike (Kharkov) 26, 27; V. Pelinenko (Voronezh) 26-29; O. Pechersky (Ordzhonnikdze) 16; Yu. Pinelis (Kzyl-Orda) 16-18, 20, 26, 27, 29, 30; M. Polovinnik (Mena, vùng Chernigov) 16; A. Ponosov (Perm) 21, 22, 24-30; V. Porzein (Rostov-on-Don) 18, 21, 24, 27, 30; R. Portnoy (Chernivtsi) 21, 27, 29, 30; D. Potsshivili (Tbilis) 27; V. Prasolov (Voroshilovgrad) 26, 27, 29; Yu. Promas (Cahul MSSR) 18, 23, 27; S. Putintsev (Kemerovo) 16, 18, 20, 22, 23, 25-28; L. Rabinovich (Tula) 21-23, 25-30; A. Razulev (Klin, vùng Moscow) 18, 20—23, 25, 27; A. Rashkovsky (Kharkov) 26, 27; A. Reznikov (Kyiv) 16, 21, 22, 26, 27; A. Reptsein (Kramatorsk, vùng Donetsk) 16, 18-21; G. Rodin (Leningrad) 21, 23; R. Rozhkov (Moscow) 26, 27; F. Rozhkov (Ryazan) 26, 27; M. Rozhkova (Kyiv) 18; E. Romanovsky (Kyiv) 26-28, 30; V. Rubaevsky (Kyiv) 20, 21, 27, 28; N. Rundkovist (Sverdlovsk) 16; A. Rybkov (Murom)

47

Dưới đây là danh sách độc giả đã gửi lời giải bài toán F223—F242. Hầu hết tất cả độc giả đều giải đúng Bài toán F223 và F233; lời giải đúng trong số bài toán còn lại đã được thêm vào (số in đậm sau họ là hai chữ số cuối của số đã giải bài toán):

N. Abramenko (Mogilev) 30, 36, 38, 40; D. Azov (Chelyabinsk) 38; S. Akmertsev (Moscow) 28, 34; A. Amelchenko (Magnitogorsk) 25, 32, 36, 37; I. Ankudinov (Nalchik) 34, 36, 37; P. Antsferov (Fatezh) 34, 36, 38, 39, 40; V. Bakurov (Novosibirsk) 25, 28, 29, 32, 34, 36, 38, 40; A. Baraov (Moscow) 24, 28, 34, 40; A. Barsukov (Pyatigorsk) 28, 39; R. Basyrov (D. Karakityany Tat. ASSR) 28, 38, 40; M. Belkin (Pinsk) 24—29, 30, 32, 34, 36, 38—41; A. Belusov (Moscow) 28, 30, 32, 34; V. Bellev (Moscow) 28, 38, 40, 41; V. Benkhan (Kalinin) 37; S. Berezin (Kimry) 38; Yu. Blyakher (Dushanbe) 28; L. Bozemolov (Odessa) 33, 41; S. Borozdin (Novgorod) 25, 28, 29, 32; A. Braslavets (Novosibirsk) 34—36, 38, 40; I. Bramovskaya (Novosibirsk) 24; J. Buchinskas (quận Shilbsky Lit. SSS) 34, 36, 38-40; I. Vandakurov (Leningrad) 28; S. Vasiliev (Leningrad) 22, 38-40; I. Vinyar (Oregev) 28, 38; A. Voletsov (Sverdlovsk) 36; P. Volokhov (làng Criulani Mold. SSS) 40; A. Voskanyan (Yerevan) 24, 25, 28, 29, 34, 36; R. Gabdulin (Kazan) 37; D. Gabrilyan (Belaya Kalitva) 40; V. Gavrilok (Minsk) 40, 41; M. Gazda (làng Klevan, vùng Rivne) 24-27; V. Galtsev (Orenburg) 38; A. Galochenko (Kharkov) 29, 30, 32, 34, 36; S. Garkusha (TASHKENT) 40; A. Tiếng Đức (Voronezh) 25; S. Hertz (Khust) 32, 40; R. Girdyanis (Vilnos) 40, 41; Yu. Gladyo (Ternovol) 24; L. Glazman (Kharkov) 25, 26, 29, 30, 34-38; 40, 41; A. Gririev (Grozny) 28; A. Griebere (Chisinau) 29, 40; S. Grishin (Vyazyvam) 36; M. Gulyansky (Magnitogorsk) 25, 30, 32, 38; A. Gurevich (Minsk) 25, 26, 28—32, 38, 40, 41; S. Davtyan (Oktemberyan) 34, 36, 38, 40, 41; A. Davydov (Magnitogorsk) 25, 29—32, 34, 36; S. Darkembaev (Alma-Ata) 26; S. Demidov (làng Sosnovka, vùng Vologda) 36; O. Denisov (Baku) 37; Yu. Dokuaev (Leningrad) 28-30, 38; N. Dubrovsky (Omsk) 38-41; R. Yegoryan (Yerevan) 25, 28, 31; G. Erkhanpetyan (Yerevan) 29, 31, 32; K. Zhakunbekov (làng Barshatas, vùng Semipalatinsk) 40; V. Zhelezov (làng Oktyabrsky, vùng Amur) 36, 38, 40; V. Zhuk (Grozny) 27-29, 31, 32, 36, 38-41; S. Zazovsky (Novomoskovsk) 38; M. Zaks (Perm) 40; S. Zenovich (TASHKENT) 40; E. Zubko (Ivanov-Frankivsk) 25, 28, 29, 32, 34, 38, 40; V. Ivanov (Zheleznodorozhny) 28; V. Nenatev (Volgograd) 24-27; A. Izmailov (Baku) 34, 40; A. Ilkun (Zelenodolsk) 25, 38, 40; A. Kazkov (Rudny) 24; S. Kalyaev (Sosnovy Bor) 38; V. Kanzova (Deproederzhinsk) 24, 26; V. Karlin (quận Volokolamsky, khu vực Moscow) 24; V. Kachman (Mytschits) 38; M. Kachanovsky (làng Vishnevchi, vùng Brest) 24, 25; V. Kovalevsky (Vitebsk) 24; L. Koran (Leningrad) 40; Y. Koran (Glazov) 24, 25, 32, 40; S. Korneev (Novokuznetsk) 25-27; S. Korshunov (làng Monno, vùng Moscow) 24, 25, 38, 40, 41; L. Kofman (Tallinn) 24, 34, 40; I. Kotsearova (Rybinsk) 28; G. Koyava (Tskhinvali) 32, 36, 38; S. Krivonos (Dnepropetrovsk) 24, 25; I. Kryukov (Stayy Sambir) 28; N. Kudrin (Kolomna) 38, 40, 41; A. Kudryashov (Saratov) 36; V. Kuzmin (Grozny) 24, 40; P. Kuzmin (Ulan-Ude) 28-32; A. Kumanov (Frunze) 24; A. Kumiliumarov (vùng Khorezm, SSS của Uzbekistan) 27, 27; I. Kutsik (Yaroslavl) 28, 30, 31, 36, 40, 41; R. Kucharov (vùng Khorezm. SSS của Uzbekistan) 28, 32; Yu. Lavrov (trạm Kanevskaya, vùng Krasnodar) 32, 40; A. Levitas (Kyiv) 36; A. Lektsinov (Mỏ) 24, 28; A. Lukyanov (Dubovsky) 36; P. Lyedenov (làng Kizhinga) 40; A. Lvov (Saratov) 28; S. Lyapin (p/o Blokorovich, vùng Zhytomyr) 24; V. Mazalov (Siauliai) 36, 40; M. Mashil (Yerevan) 24; A. Makartsev (Livov) 24, 34, 36-38, 40; A. Makarov (Kharkov) 36; S. Makarov (Saratov) 24, 26, 38-40; S. Maksimov (Alma-Ata) 37; G. Mamedov (Baku) 34—38, 40; Yu. Markin (Kharkov) 38; A. Markov (Moscow) 38, 42; S. Melnik (Kharkov) 24, 28, 32, 38, 40, 41; E. Mett (Leningrad) 36, 38, 40; L. Mirodoshvili (Tbilisi) 38-40; A. Molotkov (p/o Kubinka, vùng Moscow) 36, 38, 40; V. Momkovsky (Kyiv) 34; R. Musin (làng Nikitino, vùng Orenburg) 24; R. Nazarudlov (Sterlitamak) 28, 29; I. Nikitin (Leningrad) 29; I. Nikitin (Severomorsk) 28; A. Nikolaev (Moscow) 24, 26, 28, 29, 31-32, 34, 36, 38-41; G. Odanisan (V. Artashat Arm. SSS) 36; A. Okun (Odesca) 28; S. Omelchenko (Zaporozhye) 36; S. Ochuntsin (Perm) 38, 40; R. Ospanov (Bayram-Ali) 25, 28, 31, 32; S. Ostrovskaya (Kharkov) 34, 38; A. Parovichnikov (Obninsk) 24; Yu. Perfilyev (Saratov) 36, 40; Yu. Pinelis (Kzyl-Orda) 24, 26, 28-30, 40-42; K. Piraminsky (Chisinau) 36, 40; O. Povalyaev (Podolsk) 24, 34, 36, 38-40; A. Poedulya (Ufa) 24, 34, 36; M. Polikarpov (Moscow) 24, 35, 36, 38, 40; V. Polyakovsk (Petropavlovsk) 37; A. Polyyansky (Chelyabinsk) 34; S. Polyarush (Zhabinka) 40; V. Prasolov (Voroshilovgrad) 31; V. Razin (Belorets) 38; A. Reznikov (Kyiv) 24; A. Remeev (TASHKENT) 33, 34, 36, 38-40; S. Rendzink (Stry) 34, 36, 37; V. Reshetnyak (Kyiv) 34, 40, 41; A. Reshetnyak (Kyiv) 34, 40, 41; Y. Ryapisov (Lomonosov) 25, 38, 40; Sh. Samtsev (quận Dangara của Taj. SSS) 28, 29; V. Sviridov (vùng Soronezh) 39; R. Sereev (làng Perebrodye, vùng Vitebsk) 38; V. Sergeanov (làng Sredne-Belyaya

48

vùng Amur) 36, 37; R. Siroma (Kharkov) 24, 28, 29, 34; V. Smolenkov (Leningrad) 24, 38; Yu. Smolentsev (Essentuki) 24, 25, 28-30, 32, 34-38, 40; A. Stepanovich (Moscow) 24; V. Storchak (Kirovograd) 24; M. Stribut (Lida) 28, 32; V. Suslenarov (Kungur) 38, 40; V. Sytsev (Grozny) 35; A. Tevanyan (làng Sisan, Liên Xô Armenia) 35, 36, 38; T. Tokarev (Tula) 24; Trebuleva (Tashkent) 38, 40; M. Tulchinsky (Kyiv) 28; D. Uzenko (Magnitogorsk) 24, 25, 28, 31, 32, 34, 36, 40; I. Usvyat (Tashkent) 25—29, 31, 32, 34, 36, 39, 40; N. Fedin (Omsk) 25—28, 32, 34, 36, 38, 40—42; E. Fedorov (Magnitogorsk) 24, 25, 34, 36, 41; D. Fushman (Chernivtsi) 26, 27; V. Khatsimovsky (Krasnoisk) 24-27; A. Kholmatov (làng Yarbashi, vùng Anjan) 28-30, 32; I. Tsifra (làng Veligino, vùng Transcarpathian) 28; Yu. Tsydanov (làng Verbilki, vùng Moscow) 38, 40; A. Chernikov (Voronezh) 36; A. Chenulin (Ufa) 39; A. Shabalin (Magnitogorsk) 24, 25; M. Shaimukhambetov (Alma-Ata) 38, 39, 41; Zh. Shamuradov (Ashgabat) 40; V. Shapkin (Oktyabrsky) 24; V. Shapopinkov (Frunze) 40; K. Shvartsman (Chisinau) 24, 39, 40; V. Shendrik (Alma-Ata) 34-36, 38, 39; A. Shen (Moscow) 40; A. Shestak (Makarov) 34, 36; E. Shestakov (D. Rovkovich, vùng Gomel) 34, 36; E. Shestakov (Moscow) 38, 40; S. Shitskin (Medvezhberger) 24—29, 30, 32; V. Shneidman (Kharkov) 25, 26, 28-32, 34, 36, 38-42; S. Shulya (Kyiv) 38; A. Yudin (Syzran) 38.

S. G. Semenchinsky

Đáp số vào trò chơi ô chữ
(xem «Kvant», 1974, số 6)

NGANG

2. Tia. 5. Sao xung. 8. Mêson. 9. Osmium. 13. Lumen. 14. Móc. 15. Chân. 20. Đường dây. 21. Gương. 22. Argon. 27. Điểm trừ. 28. Hertz. 29. Ánh sáng. 30. Chuyển số. 35. Đáp số. 36. Phân chia. 37. Riêng tư. 38. Nhị thức. 42. Volyt. 43. Brom. 45. Cực dương. 46. ​​Mica. 49. Cực âm. 50. Phân đoạn. 51. Sóng. 54. Điểm. 55. Ba. 56. Hình nón. 59. Planck. 60. Diệc. 62. Pythagore. 63. Boron.

DỌC DỌC

1. Fourier. 3. Mặt dây chuyền. 4. Thánh lễ 6. Weber. 7. Dirac. 10. Curium. 11. Chức năng. 12. Henry. 16. Sin. 17. Lenz. 18. Thêm nữa. 19. Hợp âm. 23. Hyperon. 24. Bạc. 25. Neutron. 26. Xi lanh. 31. Một trăm. 32. Thế kỷ. 33. Ion. 34. Hiện tại. 39. Dewar. 40. Đại số. 41. Chiều dài. 44. Máy đo. 45. Nitơ. 47. Bốn mươi. 48. Tập trung. 52. Quy mô. 53. Photon. 57. Indi. 58. Phương pháp. 61. Luật.

49

Đại học bang Belarus được đặt theo tên. V. I. Lênin

Dưới đây chúng tôi trình bày các lựa chọn cho kỳ thi viết đầu vào môn toán, được cung cấp cho những sinh viên đăng ký vào khoa vật lý và toán học tại Đại học Bang Bêlarut vào năm 1973.

Khoa Toán
Tùy chọn 1

1. Bên trong một hình tròn có bán kính $R$ có bốn hình tròn bằng nhau nhỏ hơn bán kính. Mỗi người trong số họ chạm vào vòng tròn lớn hơn và hai vòng tròn liền kề bằng nó. Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi tất cả các vòng tròn bằng nhau.

2. Cấp số biến phân $a_m = n$, $a_n = m (m \neq n)$. Tìm $a_p$.

3. Giải bất đẳng thức
   $$|x|^{x^2-x-2} < 1.$$

4. Tìm các giá trị của $x$ trong khoảng $[-2\pi, \pi]$ mà hàm $f(x) = \sin x - \cos x$ có ​​giá trị nhỏ nhất. Tùy chọn 2

5. Trong một paramid tam giác, tất cả sáu cạnh đều giống nhau. Tìm khoảng cách từ tâm đế đến các mặt bên nếu bán kính của quả bóng treo là $R$.

6. Đơn giản hóa một biểu thức
   $$\frac{\sqrt{(a+x)(x+b)} + \sqrt{(a-x)(x-b)}}{\sqrt{(a+x)(x+b)} - \sqrt{(a-x)(x-b)}},$$
   nếu $x = \sqrt{ab}$, $a > b > 0$.

7. Giải phương trình
   $$\sin^2 x + \sin^2 2x = 1.$$

8. Tam giác $ABC$ chứa đường nhị phân $AD$. Chứng minh rằng nếu $AB + BD = AC + CD$ thì tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Khoa Toán ứng dụng
Tùy chọn 3

1. Tỷ lệ chu vi của hình bình hành với đường chéo lớn hơn của nó là $k$, $k > 2$. Tìm các góc của hình bình hành biết rằng đường chéo lớn chia góc của hình bình hành theo tỉ lệ 1:2.

2. Tìm hai số tự nhiên có hiệu là 66 và bội số chung nhỏ nhất là 360.

3. Xác định giá trị nào của $a$ phương trình
   $$2 \lg (x+3) = \lg (ax)$$
   có một gốc duy nhất. Tìm gốc này.

4. Giảm về dạng thuận tiện cho việc logarit hóa,
   $$\sin 2\alpha + \cos 4\alpha - \sin 6\alpha.$$

Tùy chọn 4

1. Tỷ số giữa thể tích của một quả cầu nội tiếp trong một hình nón với thể tích của một quả cầu ngoại tiếp hình nón này bằng $k$, trong đó $0 < k < 1/8$. Tìm góc giữa đường sinh của hình nón và mặt phẳng trục của nó.

2. Hai xe máy khởi hành đồng thời hướng về nhau từ các điểm $A$ và $B$, khoảng cách giữa chúng là 660 km. Trong khi người thứ nhất đi được 250 km thì người thứ hai đi được 200 km. Tìm tốc độ chuyển động của các xe máy, xem xét chuyển động đồng đều của chúng nếu xe máy thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai ở $B$ 3 giờ so với xe thứ hai ở $A$.

3. Giải phương trình
   $$-2 + 4 \cos^2 x = \cos x + \sqrt{3} \sin x.$$

4. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{|x+2| - x}{\sqrt{4-x^3}} > 0.$$

Khoa Vật lý
Tùy chọn 5

1. Trong hình tam giác đều, mặt phẳng vẽ qua tâm của đáy và tâm của hai mặt bên đối xứng tạo thành một góc nhọn $α$ với mặt phẳng đáy. Tìm diện tích mặt cắt ngang được tạo bởi mặt phẳng này nếu cạnh

50

Cơ sở là $a$.
2. Giải bất đẳng thức $\log_{0,5}(x+1) > \log_{2}(2-x)$.
3. Giải phương trình $\sin^4 x + \cos^4 x = \sin 2x - 0,5$.
4. Tìm ba số tạo thành một cấp số nhân nếu biết tích của chúng là 64 và trung bình số học của chúng là $\frac{14}{3}$.

Tùy chọn 6

1. đáy của một đường thẳng là một hình thang đều, các đường chéo của nó vuông góc với các cạnh bên tương ứng. Góc nhọn giữa hai đường chéo của hình thang là $\alpha$. Đoạn thẳng nối đỉnh ở một góc nhọn của đáy trên với tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy dưới bằng $l$ và tạo thành một góc $\beta$ với mặt phẳng đáy. Tìm thể tích của đường thẳng.
2. Giải phương trình
   $$\frac{6\cos^3 2x + 2\sin^3 2x}{3\cos 2x - \sin 2x} = \cos 4x$$.
3. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{x^2 - 3x + 1}{|x^2 - 1|} > 1$$.
4. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} y - \log_3 x = 1, \\ x^y = 3^{12}. \end{cases}$$
   S. S. Belayasky

Đại học bang Ural được đặt theo tên A. M. Gorky

Trong «Kvant» Số 7 năm 1973, chúng ta đã nói về Huân chương Cờ đỏ Ural của Đại học Bang Lao động được đặt theo tên của A. M. Gorky. Trong số này, chúng tôi cung cấp các mẫu phương án thi viết môn toán và mẫu vé dự thi vấn đáp môn vật lý tại Khoa Toán, Cơ học và Vật lý năm 1973.

Toán học
Khoa cơ khí Matematiko
Bài kiểm tra viết môn toán

Tùy chọn 1

1. Tàu có nhiều vòi giống hệt nhau, lần lượt mở ra đều đặn. 8 giờ sau khi mở vòi cuối cùng, bình đã đầy; Hóa ra chiếc cần cẩu đầu tiên hoạt động lâu hơn chiếc cuối cùng 5 lần. Nếu mở tất cả các vòi cùng một lúc thì bao nhiêu giờ sẽ đầy bể?
2. Một hình lập phương có cạnh $a$ được nội tiếp trong một hình nón sao cho một trong các cạnh của nó nằm trên đường kính đáy hình nón; các đỉnh của hình lập phương không thuộc cạnh này nằm trên mặt bên của hình nón, tâm của hình lập phương nằm ở độ cao của hình nón. Xác định thể tích của hình nón.
3. Giải phương trình
   $$\cos^2 x \cdot \cos 2x + \cos 4x + \cos 3x \cdot \cos x + 2\cos^4 x = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}$$
4. Cho các giá trị $\lg 24 \approx 1,38021$ và $\lg 25 \approx 1,39794$. Xác định mà không cần sự trợ giúp của bảng có bao nhiêu số 0 được chứa sau dấu thập phân trước giá trị đầu tiên của chữ số trong ký hiệu thập phân của số $\sin^{1000}\left(\frac{5\pi}{3}\right)$.

Tùy chọn 2

1. Hai công nhân có trình độ khác nhau hoàn thành một công việc trong 3 giờ. Nếu người công nhân đầu tiên bắt đầu làm việc trong một giờ và người thứ hai muộn hơn nửa giờ thì họ sẽ hoàn thành công việc với thời gian làm việc nhiều hơn thực tế là 18 phút. Nếu công nhân thứ hai bắt đầu làm việc muộn hơn một giờ và người công nhân đầu tiên muộn hơn nửa giờ thì công nhân đầu tiên sẽ kiếm được 5 rúp. Ít hơn thực tế 60 kopecks. Mỗi công nhân thực sự kiếm được bao nhiêu?
2. Trong paramid tam giác $SABC$, cạnh $AB$ bằng $a$ và tất cả các góc phẳng của góc tam giác có đỉnh tại các điểm $A$ và $B$ đều bằng $a$. Xác định thể tích của paramid.
3. Tìm phương trình lời giải
   $$\sqrt{1 - \cos x} + \sqrt{1 + \cos x} = 4\sin x$$
   nằm trong tích phân $(0, 2\pi)$.
4. Giải bất đẳng thức
   $$2^{-|x-2|}\log_2(4x-x^2-2) \ge 1$$

Các câu hỏi bổ sung được đưa ra trong bài kiểm tra miệng môn toán

1. Tìm miền định nghĩa của hàm $y = \tg \sqrt{6-x-x^2}$.
2. Xây dựng đồ thị của hàm $y = \sqrt{\cos^2 x} \cdot \sin x + \sqrt{\sin^2 x} \cdot \cos x$.
3. Giải phương trình $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = a$.
4. Số nào lớn hơn: $(\sqrt{2})^{v_3}$ hoặc $(\sqrt{3})^{v_2}$?
5. Giải phương trình $2^{\sin 3x} = \frac{\sin x}{2}$.
6. Chứng minh rằng hàm số $y = \cos x + \sin(x\sqrt{2})$ không tuần hoàn.

51

7. Có thể tồn tại một cấp số nhân trong đó 7 số hạng đầu tiên là số nguyên và số hạng tiếp theo không phải là số nguyên không?

8. Có một paramid tứ giác trong đó hai mặt bên đối diện vuông góc với đáy không?

9. Một mặt phẳng có thể cắt năm cạnh của một paramid tam giác không?

Khoa Vật lý
Bài kiểm tra viết môn toán

Tùy chọn 3

1. Hai con sông chảy vào hồ, tốc độ dòng chảy như nhau; không có dòng chảy trên hồ. Tàu hơi nước rời cảng B, nằm trên con sông đầu tiên và đi đến cảng A, nằm ở cửa sông, dành $2^{3/4}$ giờ cho hành trình này. Sau đó, tàu hơi nước đi xa hơn từ cảng A qua hồ đến cảng C trên sông thứ hai, mất 3,5 giờ cho hành trình này. Tàu đi từ C đến A mất 3 giờ. Tàu thủy đi ngược dòng sông đầu tiên từ cảng A đến cảng B mất bao lâu nếu biết cảng A nằm ở giữa cảng B và C?

2. Trong một tam giác đều có góc đáy bằng $\alpha$, chiều cao hạ xuống đáy lớn hơn bán kính của đường tròn nội tiếp $m$. Xác định bán kính của đường tròn ngoại tiếp.

3. Giải phương trình
   $(\cos 2x)^2 \cos 3x + 4 \cos x - 1 = \sec 2x$.

4. Với mọi số thực $a$ giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{2ax - x^2} \geq a - x.$$

Tùy chọn 4

1. Một tàu kéo cần di chuyển hai cầu phao dọc sông trong $l$ km trong khoảng thời gian ít nhất. Đó là lời giải rằng một chiếc phao sẽ tự mình di chuyển dọc sông, và chiếc kia sẽ được vận chuyển bằng tàu kéo trong một thời gian, sau đó tàu kéo sẽ rời khỏi nó, quay trở lại chiếc phao đầu tiên và kéo nó đến đích cuối cùng. Sẽ mất bao lâu để vận chuyển chiếc phao thứ hai bằng tàu kéo nếu cả hai chiếc phao đến đích cùng lúc và nếu tốc độ của chính tàu kéo là $v$ km/h và tốc độ của sông là $u$ km/h?

2. Chiều cao của một tham số tam giác vuông là $h$ và khoảng cách từ đáy của chiều cao đến cạnh bên là $a$. Xác định góc nhị diện giữa các cạnh bên của paramid.

3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} = \frac{7}{12}, \\ \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} = \frac{8}{15}, \\ \frac{1}{y+z} + \frac{1}{x+z} = \frac{9}{20}. \end{cases}$$

4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $x$ mà vế trái có nghĩa thì bất đẳng thức sau đúng:
   $(\text{ctg}^2 x - 1) (3 \text{ctg}^2 x - 1) \times (\text{ctg} 3x \cdot \text{tg} 2x - 1) \leq -1.$

Vật lý

Khoa Cơ khí Matematiko

Vé 1

1. Định luật thứ ba của Newton. Thiết bị đẩy phản lực.

2. Sự phân hủy ánh sáng trắng bằng lăng kính. Quang phổ. Các vùng vô hình của quang phổ. Thiết bị quang phổ. Khái niệm phân tích quang phổ

3. Một dây có điện trở 4Om được nối với pin có điện trở trong 1Om, sau đó một dây khác cùng loại được mắc song song với nó. Lượng nhiệt tỏa ra ở dây thứ nhất sẽ thay đổi bao nhiêu lần sau khi nối dây thứ hai?

Vé 2

1. Chuyển động dao động điều hòa. Chu kỳ và tần số dao động. Ma trận toán học và chu kỳ colbats của nó.

2. Cấu trúc của lõi nguyên tử. Sự phân hạch của hạt nhân uranium. Sự giải phóng năng lượng khi phân hạch hạt nhân nặng.

3. Sẽ mất bao lâu để một vật trượt khỏi mặt phẳng nghiêng với góc $\beta$ nếu nó chuyển động đều xuống dưới ($\beta > \alpha$) dọc theo mặt phẳng nghiêng có góc $\alpha$?

Vé 3

1. Khái niệm sóng và bản chất lượng tử của ánh sáng.

2. Mạch dao động điện. Sự biến đổi năng lượng trong mạch dao động. Mối liên hệ giữa chu kỳ của cuộn dây với độ tự cảm và điện dung của nó.

3. Khe hở hai bên đều ngập trong sông. Lỗ trên được đóng lại bằng một ngón tay và ống được lấy ra khỏi quy trình, trong khi lượng thủy ngân vẫn còn trong đó với chiều cao $h = 22$ cm. Xác định áp suất khí quyển bên ngoài nếu chiều dài của ống là $L = 80$ cm.

Vé 4

1. Công việc cơ khí. Đơn vị đo lường công việc. Công suất, đơn vị đo của nó.

2. Hiện tượng điện trong chân không. Hiện tượng phát xạ nhiệt điện tử. Ống tia âm cực.

3. Hai điện tích chính xác có độ lớn $q = 3,4$ đơn vị. điện tích SGSE nằm ở khoảng cách 17 cm. Với lực nào và theo hướng nào, chúng tác dụng lên một điện tích dương đơn vị nằm cách mỗi hạt 17 cm?

53

Trong suốt năm, sinh viên tham gia các khóa học được gửi bài tập và tài liệu chuẩn bị đặc biệt. Vào tháng 7, những người tham gia khóa học được gọi đến Moscow trong một ngày rất bận rộn.

Dưới đây là các lựa chọn cho kỳ thi viết môn toán và kỳ thi vấn đáp bài toán môn vật lý dành cho các khoa toán và vật lý của Viện Sư phạm Bang Moscow. V.I. Lênin năm 1973.

Khoa Toán

Tùy chọn 1

1. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{x^2-3}8 < -3.$$
2. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\sqrt{1-\sin 2x} = \sin 3x + \cos 3x$$
   thỏa mãn điều kiện $\frac{3}{2}\pi \leq x \leq 2\pi$.
3. Thông qua đỉnh của đáy của một paramid tam giác đều, với một góc $\alpha$, một phần được vẽ vào nó, song song với cạnh đối diện của đáy và vuông góc với mặt đối diện. Xác định thể tích của paramid, biết điểm trung bình của nó $a$.
4. Từ Pristina $A$ một chiếc thuyền và một chiếc bè đồng loạt khởi hành xuôi dòng. Thuyền xuôi dòng 96 km rồi quay trở lại A sau 14 giờ. Tìm vận tốc của thuyền khi nước yên lặng và vận tốc dòng nước nếu biết thuyền gặp bè khi đang quay về ở khoảng cách 24 km tính từ A.

Tùy chọn 2

1. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{5}\frac{x+7}{16-2x} > \log_{5}x.$$
2. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\text{ctg}x - \text{tg}x = \frac{2\sqrt{3}\cos 2x}{1+\cos 2x},$$
   thỏa mãn điều kiện $|x| < \pi$.
3. Đáy của paramid là một tam giác đều, các cạnh bằng nhau có độ dài $a$. Tương ứng với chúng, các mặt bên vuông góc với mặt phẳng của đế và tạo thành một góc $\alpha$ với nhau. Góc giữa tam giác mặt bên và mặt phẳng đáy cũng bằng $\alpha$. Xác định thể tích của paramid.
4. Hai đoàn tàu xuất phát đồng thời từ điểm $A$ và $B$ để gặp nhau. Vận tốc xe thứ nhất lớn hơn vận tốc xe thứ hai là 10 km/h. Cả hai đoàn tàu gặp nhau ở khoảng cách 28 km tính từ giữa $AB$. Nếu chuyến tàu đầu tiên khởi hành từ điểm $A$ muộn hơn chuyến thứ hai 45 phút thì cả hai chuyến tàu sẽ gặp nhau ở giữa $AB$. Tìm khoảng cách $AB$ và vận tốc của cả hai đoàn tàu.

Khoa Vật lý

Tùy chọn 1

1. Đáy của một hình tam giác vuông là một tam giác đều $ABC$, có cạnh $AB = BC = a$ và góc $A$ bằng $\alpha$. Một mặt phẳng được vẽ qua cạnh $AC$ một góc $\varphi\left(\varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ so với đáy. Tìm diện tích của phần nếu biết phần đó tạo thành một hình tam giác.

2. Tìm các số chẵn tạo nên một cấp số nhân sao cho tổng các số hạng cực trị là 35 và tổng các số hạng ở giữa là 30.

3. Giải phương trình:
   $$\sin^2x - \sqrt{3}\sin x \cos x = 0.$$

4. Giải phương trình:
   $$\frac{2^{2x+1}-9}{4} + \frac{2}{4^{x+\frac{1}{2}}} = 0.$$
   Tùy chọn 2

5. Đáy của paramid là một tam giác đều, cạnh bằng $a$ và góc ở đỉnh bằng $\alpha$. Tất cả các gân bên đều nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $\beta$. Tìm thể tích của paramid.

6. Tính toán:
   $$\sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3}\sqrt{5}}} \dots$$

7. Giải phương trình:
   $$\cos 2x + \cos x + 1 = 0.$$

8. Giải phương trình:
   $$\frac{\log_5(2x+3)}{1-\log_5(2x+3)} + \frac{3}{5-\log_5(2x+3)} = 0.$$
   Tùy chọn 3

9. Xác định thể tích của một paramid có đáy là tam giác vuông có góc nhọn $\alpha$. Các gân nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $\beta$ và bằng $b$.

10. Viết một cấp số cộng có số hạng đầu tiên bằng 1 và tổng của năm số hạng đầu tiên bằng $1/4$ tổng của năm số hạng tiếp theo.

11. Giải phương trình:
    $$4\sin^2x + 3\cos^2x = 6,5\sin 2x.$$

12. Giải phương trình:
    $$\frac{\log_2(3x-1)}{1+\log_2(3x-1)} = \frac{2}{3+\log_2(3x-1)}$$.