Kvant 1975, số 6 · Trang

1975
6

Kvasht
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

Trong hình trên, bạn thấy một phần sơ đồ của máy dò neutrino được lắp đặt gần lò phản ứng hạt nhân. Trong máy dò này, lần đầu tiên, người ta có thể ghi lại “dấu vết” của loại hạt khó nắm bắt nhất trong số các hạt cơ bản - neutrino. Các bộ phận chính của máy dò là các đế (I, II, III) với chất nhấp nháy lỏng, được trang bị hệ thống tế bào quang điện.
Sự phân hạch của hạt nhân uranium đi kèm với sự xuất hiện của neutrino và phản neutrino. Việc bắt giữ một phản neutrino bởi một proton dẫn đến việc tạo ra một số lượng tử γ, tạo ra các tia sáng trong máy nhấp nháy.

Một hệ thống tế bào quang điện chuyển đổi tín hiệu ánh sáng thành tín hiệu điện, đồng thời khuếch đại chúng.
Bạn có thể đọc thêm về sự khám phá và các tính chất của neutrino trong bài viết của B. G. Eroozolimsky (tr. 10).

Trên trang đầu tiên của trang bìa, bạn sẽ thấy một thiết kế hình học được xây dựng từ hai họ hình parabol giống nhau và họ hình vuông giống nhau. Nó có thể được sơn chính xác bằng hai màu. Hãy suy nghĩ về những đồ trang trí cho phép tô màu như vậy.

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin.

nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,
phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikesva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky,

phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky,
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg.
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Berezin,
A. N. Vilenkin,
I. N. Klimova,
biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirov.

do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Chernova

TRONG PHÒNG:

2 V.D.Nilme. La bàn và thước kẻ
10 B. G. Erozolimsky. Sự biến đổi beta của hạt nhân và tính chất của neutrino

Phòng thí nghiệm “Quaita”
18 N. M. Rostmovtsev. Làm thế nào bạn có thể thay đổi độ dày của lớp gương?
21 V. N. Berezin. Mười một vòng.

Vấn đề “Quaita”
22 Bài toán M326—M330; F338—F342
24 Lời giải bài toán M292—M295; F300—F302

Xưởng của người nộp đơn
31 L. E. Sadovsky. Toán học ứng dụng và các nhà toán học
39 A. Vâng. Ykovlev. Người đăng ký-1975
43 V. N. Sluudsky. Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova
44 I. A. Molotkov, V. F. Osipov, S. Yu. Slavyanov, P. E. Tovstik. Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova

Đánh giá, thư mục
50 E. P. Levitan. Vật lý hiện đại của các ngôi sao và thiên hà được tạo ra như thế nào
51 T. S. Petrova, M. L. Smolyansky. Sách mới

“Bỏ cuộc” đối với sinh viên trẻ
54 Bài toán
55 E. Ya. Gik. Cờ vua và toán học bài toán S. Loyd

59 Đáp số, gợi ý, lời giải
Hỗn hợp (tr. 9, 17, 20, 42)

trang 1 vùng - một mô hình hình học được xây dựng từ hai họ parabol giống nhau và một họ các hình vuông giống nhau. Nó có thể được sơn chính xác bằng hai màu. Hãy dạy bản thân những đồ trang trí nào cho phép tô màu như vậy.
trang 4 khu vực - vẽ ghi chú “Mười một vòng tròn” (xem trang 21).

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản “Nuka”, “Quait”, 1975

2

Thật dễ dàng để chỉ ra bài toán cho các công trình không có lời giải. Chẳng hạn, không thể vẽ tiếp tuyến từ một điểm cho trước tới một đường tròn cho trước nếu điểm đó nằm bên trong đường tròn. Thú vị hơn nhiều là trường hợp hình vẽ được xây dựng phụ thuộc vào sự tồn tại của các công cụ hữu ích. Chắc hẳn nhiều bạn đã từng nghe nói rằng hai ngôi làng bài toán: chia ba một góc và chia ba một hình lập phương - không thể giải được bằng la bàn và thước kẻ. Những từ này có nghĩa là gì, những công trình nào có thể và không thể được thực hiện bằng la bàn và thước kẻ - đó là những gì bài viết này sẽ nói đến.

1. Lời giải bài toán về phép chia một góc bằng compa và thước

Cho đoạn AB ở hình 1 bằng bán kính đường tròn: AB = OB = OC = OD.

Sau đó $\Rightarrow BAO = \Rightarrow BOA = \alpha$, $\Rightarrow CBO = \Rightarrow BCO = 2\alpha$ ($\Rightarrow CBO =$ góc ngoài $\Delta ABO$), $\Rightarrow COD = 3\alpha$ (như góc ngoài $\Delta ACO$). Điều này dẫn đến phương pháp đơn giản sau đây để chia một góc tùy ý thành ba phần bằng nhau.

Hãy đánh dấu hai điểm A và B trên thước kẻ. Với bán kính AB ta vẽ đường tròn có tâm ở đỉnh O của một góc đã cho (cần chia thành ba phần bằng nhau). Chúng ta biểu thị giao điểm của nó với các cạnh của góc bằng C và D. Chúng ta sẽ di chuyển thước sao cho cạnh của nó luôn đi qua điểm C và điểm A trượt dọc theo đường thẳng OD cho đến khi điểm B nằm trên đường tròn. Khi điều này xảy ra, chúng ta có được sự sắp xếp như trong Hình 1, sao cho $\Rightarrow BAO$ cuối cùng bằng một phần ba của $\Rightarrow COD$.

Cấu trúc được mô tả có thể tạo ấn tượng rằng bài toán về phép chia một góc (về việc chia một góc thành ba phần bằng nhau) được giải bằng compa và thước kẻ. Để giải thích điều gì không loại trừ chúng ta trong cách xây dựng này, chúng ta sẽ thảo luận về lời giải của biểu thức vật lý tiếp theo bài toán.

Làm thế nào bạn có thể thay đổi chiều cao của nó khi ở trên nóc một tòa nhà nhiều tầng bằng phong vũ biểu và đồng hồ?

Lời giải. Cần thả phong vũ biểu từ mái nhà xuống, phát hiện thời điểm rơi t và tính chiều cao của ngôi nhà h bằng công thức $h = \frac{gt^2}{2}$, trong đó g là gia tốc trọng trường.

Cơm. 1.

3

2. Bạn được phép làm gì với la bàn và thước kẻ?

Thước kẻ cho phép bạn vẽ các đường thẳng đi qua hai điểm đã cho (hoặc đã được xây dựng trước đó) và một la bàn - các đường tròn có tâm và bán kính đã cho (hoặc được xây dựng) *).

Thoạt nhìn, đáp số là rõ ràng và không mơ hồ. Trong mọi trường hợp, anh ta cho phép bạn đánh dấu trên thước và di chuyển nó dọc theo mặt phẳng. Như vậy, nó cho phép dựng từ điểm 1 hoặc ví dụ như dựng tiếp tuyến của đường tròn $S$ đi qua điểm $A$ (Và bên ngoài $S$): chúng ta sẽ di chuyển thước sao cho nó luôn chạm vào $S$; khi cạnh của nó đi qua điểm $A$ thì ta vẽ một tiếp tuyến.

Tuy nhiên, ở đây cũng có những cạm bẫy. Chẳng hạn, việc vẽ một đường thẳng có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là dữ liệu đều là điểm?

Để trả lời câu hỏi này, hãy xem xét bài toán về việc rút một khối lập phương.

Biết cạnh của một hình lập phương, hãy dựng cạnh của một hình lập phương khác có thể tích gấp đôi.

Chúng ta được cho đoạn $AB$ (cạnh của hình lập phương). Chúng ta hãy vẽ một đường thẳng qua $A$ và $B$. Nếu chúng ta giả sử rằng tất cả các điểm đều đã cho thì một điểm $C$ cũng được cho sao cho $AC=AB^3\sqrt{2}$ và cạnh loại trừ $AC$ được “xây dựng”. Từ ví dụ được phân tích, rõ ràng là cần phải làm rõ thêm. Cần phải làm rõ rằng chúng ta sẽ làm quen với các từ “cho một điểm” và “cho một đường thẳng”.

3. Công trình sơ cấp

Chúng ta hãy liệt kê những phần tử xây dựng nào có thể được vẽ bằng compa và thước khi vẽ một số hữu hạn đường thẳng và đường tròn trên mặt phẳng và số điểm được đánh dấu.

$\cdot$ Chúng tôi đã viết về cấu tạo của la bàn (xem «Kvant», 1974, Số 10).

$\alpha$. Nếu các điểm $A$ và $B$ được đánh dấu (và $A$ không trùng với $B$), thì bạn có thể vẽ một đường thẳng $AB$.

$\beta$. Nếu các điểm $O$, $A$ và $B$ được đánh dấu (và $A$ không trùng với $B$), thì bạn có thể vẽ một vòng tròn có tâm $O$ và bán kính $AB$.

$\gamma$. Nếu hai đường tròn được vẽ (hoặc hai đường thẳng, hoặc một đường thẳng và một đường tròn) và nếu chúng cắt nhau hoặc chạm nhau (nhưng không trùng nhau!), thì bạn có thể đánh dấu bất kỳ điểm chung nào của chúng.

Bài tập 1. Vẽ một đường thẳng $l$ trên mặt phẳng và đánh dấu một điểm $A$ trên đó. Có thể sử dụng một số hữu hạn các phần tử xây dựng $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ để vẽ qua điểm $A$ một đường thẳng $p$ vuông góc với $l$ không?

4. Làm thế nào để xây dựng bài toán cho xây dựng?

Vẽ một số hữu hạn đường thẳng và hình tròn trên một mặt phẳng và hữu hạn số điểm được đánh dấu - tập hợp các đường thẳng và điểm này sẽ được gọi là một cấu hình. Giả sử rằng điểm $A$ có thể được xây dựng (bằng compa và thước thẳng) từ một cấu hình nhất định nếu có thể tạo ra một số hữu hạn các phần tử dựng hình $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$, do đó kết quả là điểm $A$ được đánh dấu.

Bất kỳ bài toán hình học nào cho việc xây dựng đều có thể được xây dựng như sau.

Một số cấu hình được đưa ra. Dựa vào đó, xây dựng các điểm $A_1,...,A_k$ thỏa mãn các điều kiện nhất định.

Ví dụ. A. Bài toán “xây một đường thẳng cách đều hai điểm cho trước và một đường tròn cho trước” được phát biểu như sau.

Cấu hình ban đầu: vòng tròn $S$ được vẽ và các điểm $A$ và $B$ được đánh dấu. Xây dựng các điểm $A_1$ và $A_2$ sao cho $A_1$ không trùng với $A_2$ và đường thẳng $A_1A_2$ cách đều $A$, $B$ và $S$.

V. Zadchacha “Dan $\Delta ABC$. Vẽ một đường tròn ngoài tiếp tuyến với cạnh $BC$” được xây dựng như sau.

Điểm $A$, $B$ và $C$ được đánh dấu. Xây dựng các điểm $O$ và $D$ thỏa mãn các điều kiện sau

4

Loviyam: $O$ bị xóa khỏi các dòng $AB$, $AC$ và $BC$ một khoảng bằng nhau bằng $OD$ và nằm bên ngoài $\triangle ABC$; $D$ nằm trên đoạn $BC$.

S. Nhiệm vụ “Xây dựng $\triangle ABC$ theo chủ đề bissertik” được xây dựng như sau.

Một đường thẳng $l$ được vẽ, các điểm $O$, $D$, $E$ và $F$ được căn chỉnh trên đó. Xây dựng các điểm $A$, $B$ và $C$ sao cho tại $\triangle ABC$ bissertis $b_A$, $b_B$ và $b_C$ bằng với sự tương ứng của $OD$, $OE$ và $OF$.

5. Tin tức về “điểm tùy ý”

Nếu bạn có thể dựng một đường thẳng $p$ từ Bài tập 1 bằng compa và thước kẻ thì điều đó có nghĩa là bạn đã không đọc kỹ điểm 3: không có cấu trúc cơ bản nào có thể được áp dụng cho cấu hình ban đầu $\{l, A\}$, vì $\alpha$ và $\beta$ yêu cầu ít nhất hai điểm khác nhau được bù trong cấu hình và $\gamma$ - ít nhất hai đường khác nhau.

Để có thể bắt đầu làm việc, chúng tôi sẽ yêu cầu ít nhất hai điểm khác nhau luôn được bù đắp trong cấu hình ban đầu. Sau đó, bài tập 1 được sửa lại như sau.

U razzhene 2. Vẽ một đường thẳng $l$ trên mặt phẳng và một điểm $A$ lệch trên đó. Ngoài ra, để một điểm khác $B$ (khác với $A$) được bù trên mặt phẳng. Vẽ đường thẳng $p$ đi qua $A$ và vuông góc với $l$.

Y razzhene 3. Để ít nhất hai điểm khác nhau được bù đắp trong cấu hình ban đầu. Chứng minh rằng sau đó có thể sử dụng nhiều lần các cấu trúc nguyên tố $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$ - đánh dấu điểm,

a) bắt đầu thuộc về một số đường đã vẽ - hoặc thậm chí thuộc bất kỳ đoạn (hoặc cung) cố định nào của đường này,

b) bắt đầu không thuộc bất kỳ dòng nào của cấu hình ban đầu,

c) nó thuộc (hoặc không thuộc) bất kỳ hình nào được tạo thành bởi các đường vẽ (hình tròn, hình tam giác, v.v.).

Thông thường trong các bài toán xây dựng người ta gặp các cấu trúc kiểu sau: “hãy đánh dấu một điểm tùy ý trên cung $EF$” hoặc “hãy đánh dấu một điểm tùy ý bên ngoài $\triangle ABC$”. Bài tập 3 cho thấy rằng bất kỳ điều gì như vậy

Chúng ta hãy xây dựng định lý chính (chứng minh của nó sẽ được đưa ra trong Phần 8), cho thấy các hành động đại số nào tương ứng với các cấu trúc cơ bản $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$.

Định nghĩa: Chúng ta sẽ gọi phép cộng, trừ, nhân và chia các số cũng như lấy căn bậc hai của một số dương là các phép toán cơ bản.

Định lý 1. Nếu cấu hình ban đầu có tham số $p_1, \ldots, p_n$ thì điểm $(x, y)$ có thể được xây dựng khi và chỉ khi $x$ và $y$ được biểu thị theo $p_1, \ldots, p_n$ bằng cách sử dụng một số hữu hạn các hành động cơ bản.

Nhận xét: Đôi khi thuận tiện khi xây dựng bài toán như sau.

Cho các đoạn có độ dài $d_1, \ldots, d_n$. Xây dựng một đoạn có độ dài $x$. Đối với những bài toán như vậy, sẽ thuận tiện hơn khi áp dụng không phải Định lý 1 mà áp dụng định lý sau.

Định lý 1’. Giả sử có các đoạn có độ dài được biểu thị bằng số $d_1, \ldots, d_n$ và giữa chúng có một đoạn đơn vị. Sau đó, bằng cách sử dụng la bàn và thước kẻ, người ta có thể dựng một đoạn có độ dài $x$ (nghĩa là dựng hai điểm cách nhau $x$) khi và chỉ khi $x$ được biểu thị thông qua $d_1, \ldots, d_n$ bằng cách sử dụng một số hữu hạn các thao tác cơ bản.

Bài tập 4. Suy ra Định lý 1’ từ Định lý 1.

Bài tập 5. Định lý 1’ nói rằng một trong các số $d_1, \ldots, d_n$ bằng 1. Chứng minh rằng nếu không có điều kiện này, Định lý 1’ nói chung là sai.

7. Tính không thể giải được bài toán về việc nhân đôi hình lập phương và chia ba một góc

Theo Định lý 1’, câu hỏi về khả năng giải được bài toán về việc nhân đôi khối lập phương (xem mục 2) có thể được phát biểu như sau.

Cho số 1. Có thể biểu thị số $\sqrt[3]{2}$ thông qua nó bằng cách sử dụng một số hữu hạn các hành động cơ bản không?

Bài tập 6. Chứng minh $\sqrt[3]{2}$ là số vô tỷ.

Tính không thể quyết định được của bài toán khi nhân đôi một khối lập phương xuất phát từ bài tập này và định lý tổng quát sau đây, chứng minh của nó sẽ được đưa ra ở Phần 9.

Định lý 2. Cho phương trình bậc ba $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ với các hệ số hữu tỉ $a$, $b$ và $c$ không có nghiệm hữu tỉ và lấy $x_0$ là nghiệm của nó. Khi đó $x_0$ không thể biểu thị dưới dạng số nguyên bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán cơ bản.

Thật vậy, như sau trong Bài tập 6, phương trình $x^3 - 2 = 0$ không có nghiệm hữu tỷ, có nghĩa là nghiệm $x_0 = \sqrt[3]{2}$ của nó không thể biểu thị theo số 1 bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép toán cơ bản. Do đó, dựa trên một đoạn đơn vị, không thể dựng được cạnh của hình lập phương có thể tích bằng 2 bằng compa và thước.

Hãy chuyển sang phần bài toán về phép chia một góc. Trên thực tế, đây không phải là một bài toán, mà là cả một chuỗi: mỗi góc có bài toán riêng. Một số trong số chúng có thể giải được - ví dụ: góc ở $90°$ có thể chia thành ba phần bằng nhau bằng la bàn và thước kẻ. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nói chung bài toán trên phép chia ba một góc là không thể quyết định được. Để làm điều này, chỉ cần chỉ ra ít nhất một góc $\varphi$, góc này không thể chia thành ba phần bằng nhau. Chúng tôi sẽ lấy $\varphi = 30°$.

Góc này có thể được dựng bằng compa và thước (xem Hình 3), dựa trên

Cơm. 3.

5

6

từ cấu hình $\{A, B\}$, bao gồm hai điểm $A$ và $B$ ($AB = 1$). Nếu nó có thể được chia bằng một hình tròn và thước thành ba phần bằng nhau tại $10^\circ$, thì dựa trên cấu hình $\{A, B\}$, chúng ta có thể xây dựng một góc $10^\circ$ và do đó tạo một đoạn có độ dài $s = \sin 10^\circ$ (xem Hình 4, trong đó $\Rightarrow C = 10^\circ$, $CD = 1$, $DE \perp CE$ và do đó $DE = \sin 10^\circ$).

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng điều này không thể thực hiện được, nghĩa là không thể có được số $s = \sin 10^\circ$ bằng cách sử dụng một số hữu hạn các hành động cơ bản từ số 1.

Sử dụng công thức $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$, chúng ta thu được phương trình $\frac{1}{2} = \sin 30^\circ = 3s - 4s^3$ hoặc $s^3 - \frac{3}{4}s + \frac{1}{8} = 0$. (1)

Theo Định lý 2, chúng ta đủ chứng minh rằng (1) không có nghiệm hữu tỉ. Bạn có thể xác minh điều này một cách trực tiếp, nhưng sử dụng kỹ thuật chung sau sẽ dễ dàng hơn.

Bổ đề. Cho phương trình $x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0$ (2) với hệ số đích $a_1, \dots, a_n$ có nghiệm hữu tỉ $x_0$. Khi đó $x_0$ là số bắt buộc; số $u$ $|x_0|$ là ước số của $|a_n|$.

Bằng chứng. Hãy viết $x_0$ dưới dạng phân số tối giản $p/q$ ($p$ là số nguyên, $q$ là số tự nhiên, một phần, nếu $x_0$ là số nguyên thì $q = 1$). Hãy thay $x_0 = p/q$ thành (2), nhân tất cả các số hạng với $q^{n-1}$ và cắt số hạng đầu tiên ở vế phải. Chúng tôi nhận được $a_1p^{n-1} + a_2p^{n-2}q + \dots + a_{n-1}pq^{n-2} + a_nq^{n-1} = -p^n/q$.

Có một số nguyên ở bên trái, có nghĩa là $p^n/q$ cũng là một số nguyên và vì $p$ và $q$ là nguyên tố cùng nhau nên $q = 1$ và $x_0$ là một số nguyên. Viết lại (2) cho $x = x_0$ dưới dạng $a_n = x_0(-a_{n-1} - a_{n-2}x_0 - \dots - a_1x_0^{n-2} - x_0^{n-1})$, ta thấy $|a_n|$ chia hết cho $|x_0|$. Bổ đề đã được chứng minh.

Để sử dụng bổ đề, chúng ta thực hiện thay đổi $x = 2s$ trong (1). Chúng ta thu được phương trình $x^3 - 3x + 1 = 0$. (3)

Vì 1 và -1 không phải là nghiệm của nó, nên (theo bổ đề) nó không có nghiệm hữu tỉ, và do đó phương trình (1) không có nghiệm hữu tỉ. Theo Định lý 2, số s không thể biểu diễn dưới dạng 1 bằng cách sử dụng hữu hạn các tác dụng cơ bản, và do đó bài toán trong phép chia ba một góc trong $30^\circ$ là không thể quyết định được.

Bài tập 7. Có thể chia góc $19^\circ$ bằng đường tròn và thước thành 19 phần bằng nhau không?

8. Chứng minh định lý 1

Chúng ta sẽ nói rằng số $x$ có thể được xây dựng dựa trên một cấu hình nhất định nếu, dựa vào nó, có thể xây dựng các điểm $C$ và $D$ sao cho $CD = |x|$ (nghĩa là, $CD = x$ nếu $x \ge 0$ và $CD = -x$ nếu $x < 0$).

Bài tập 8. Chứng minh rằng a) nếu dựng được các số $z$ và $t$ thì các số $z + t$, $z - t$, $zt$, $z/t$ (cho $t \neq 0$) và $\sqrt{z}$ (cho $z \ge 0$) cũng có thể dựng được, b) điểm $(x, y)$ có thể được xây dựng khi và chỉ khi có thể xây dựng tọa độ của nó - các số $x$ và $y$, c) dựa trên cấu hình với các tham số $p_1, \dots, p_n$, có thể xây dựng các số $p_1, \dots, p_n$.

Từ Bài tập 8c và 8a, dựa trên cấu hình này, bạn có thể xây dựng bất kỳ số nào được biểu thị thông qua các tham số $p_1, \dots, p_n$ của nó.

7

la những hành động cơ bản. Do đó, theo Bài tập 8b, bạn có thể xây dựng bất kỳ điểm $(x, y)$ nào, tọa độ của điểm đó được biểu thị bằng các phép toán cơ bản thông qua $p_1, \ldots, p_n$. Một nửa Định lý 1 đã được chứng minh.

Vẫn còn phải chứng minh tuyên bố ngược lại: nếu điểm $(x, y)$ có thể được xây dựng thì $x$ và $y$ được biểu thị thông qua các tham số của cấu hình ban đầu bằng các hành động cơ bản. Tuyên bố này ngay sau đó từ bổ đề sau.

Bổ đề. Áp dụng một trong các cấu trúc cơ bản $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ cho cấu hình có tham số $q_1, \ldots, q_N$. Sau đó, các tham số của cấu hình thu được được thể hiện thông qua $q_1, \ldots, q_N$ bằng các thao tác cơ bản.

Chúng ta bắt đầu chứng minh bổ đề bằng bài tập sau.

Bài tập 9. Chứng minh rằng

a) đường thẳng đi qua hai điểm $(c_1, c_2)$ và $(d_1, d_2)$ được cho bởi phương trình

$$x = c_1 \text{ при } c_1 = d_1$$

Và

$$y = \frac{c_2 - d_2}{c_1 - d_1}x + \frac{c_1d_2 - c_2d_1}{c_1 - d_1} \text{ при } c_1 \neq d_1,$$

b) khoảng cách giữa các điểm $(c_1, c_2)$ và $(d_1, d_2)$ là $\sqrt{(c_1-d_1)^2+(c_2-d_2)^2}$,

c) nếu hai đường thẳng được cho bởi phương trình

$$y = k_1x + b_1 \text{ и } y = k_2x + b_2,$$

thì với $k_1 = k_2$ chúng song song hoặc trùng nhau và với $k_1 \neq k_2$ chúng cắt nhau tại điểm

$$\left(\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2},\ \frac{k_1b_2-k_2b_1}{k_1-k_2}\right);$$

các đường $y = k_1x + b_1$ và $x = a_2$ cắt nhau tại điểm $(a_2, k_1a_2 + b_1)$; các đường $x = a_1$ và $x = a_2$ song song hoặc trùng nhau,

d) một đường tròn có tâm $(c, d)$ và bán kính $r$ được cho bởi phương trình $(x-c)^2 + (y-d)^2 = r^2$.

Chứng minh bổ đề. Khi xây dựng $\alpha$, một hoặc hai số được thêm vào tham số $q_1, \ldots, q_N$ - hệ số của phương trình $x = c$ hoặc $y = kx + b$, xác định đường vẽ. Theo bài tập 9a, chúng được thể hiện thông qua $q_1, \ldots, q_N$ sử dụng các thao tác cơ bản

thuộc tính (vì tọa độ của các điểm được đánh dấu mà đường được vẽ qua đó được bao gồm trong tham số $q_1, \ldots, q_N$).

Khi dựng $\beta$, một hình tròn được vẽ có tâm $O$ và bán kính $CD$. Tọa độ của các điểm $O$, $C$ và $D$ nằm trong số các tham số và bán kính được biểu thị theo chúng bằng các phép toán cơ bản của Bài tập 9b.

Khi xây dựng $\gamma$, có thể xảy ra ba trường hợp.

Vấn đề đầu tiên - khi đánh dấu điểm giao nhau của hai đường thẳng - được giải quyết bằng bài tập 9c.

Trong trường hợp thứ hai, chúng ta hãy đánh dấu điểm $(x_0, y_0)$ giao điểm hoặc tiếp tuyến của đường tròn $(x-c)^2+(y-d)^2=r^2$ (xem bài tập 9d) và đường thẳng $y = kx + b$. Tọa độ $(x_0, y_0)$ thỏa mãn cả hai phương trình. Thay $y=kx+b$ vào phương trình đầu tiên, chúng ta thu được phương trình bậc hai để xác định $x_0$

$$(x-c)^2+(kx+b-d)^2=r^2.$$

Nếu chúng ta áp dụng công thức cho lời giải của phương trình bậc hai thì $x_0$ (và do đó $y_0=kx_0+b$) sẽ được biểu thị thông qua $k, b, c, d$ và $r$ bằng các phép toán cơ bản. Đối với đường thẳng cho bởi phương trình $x = a$, kết quả tương tự thậm chí còn đơn giản hơn.

Trong trường hợp thứ ba, điểm giao nhau hoặc tiếp tuyến của các đường tròn được đánh dấu

$$(x-c)^2+(y-d)^2=r^2,$$
$$(x-c')^2+(y-d')^2=r'^2.$$

Hãy mở ngoặc và trừ phương trình này với phương trình kia. Chúng ta thu được một phương trình tuyến tính

$$Px+Qy=R,$$

ở đâu $P=2(c'-c)$, $Q=2(d'-d)$, $R=r^2-r'^2+c'^2-c^2+d'^2-d^2$. Nếu $Q \neq 0$, thì chúng ta viết lại nó ở dạng $y=kx+b$ (trong đó $k=-P/Q$, $b==R/Q$) và nếu $Q=0$, $P \neq 0$, thì ở dạng $x=a$ (trong đó $a=R/P$), và do đó giảm mọi thứ về trường hợp thứ hai đã được phân tích; đẳng thức $P=Q==0$ là không thể (nếu $R \neq 0$, các vòng tròn không có điểm chung, nếu $R = 0$ chúng trùng nhau).

7

8

9. Chứng minh định lý 2

Hãy chia các phép toán cơ bản thành các phép toán đơn giản - các phép tính phức tạp, phép trừ, nhân và chia và các phép tính phức tạp - trích căn bậc hai.

Hãy để có một bộ số nhất định. Hãy xem xét tất cả các số có thể thu được từ chúng bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép toán đơn giản.

Sự định nghĩa. Nếu chúng ta biểu thị tập hợp ban đầu bằng $M$ thì tập hợp kết quả $P$ được gọi là trường được tạo bởi $M$.

Rõ ràng là nếu các số $z$ và $t$ thuộc trường $P$ thì các số $z + t$, $z - t$, $zt$ và $z/t$ (với $t \neq 0$) cũng thuộc về $P$.

Ví dụ. A. Tập $M$, bao gồm một số 1, tạo ra một trường các số hữu tỷ.

B. Tập hợp $M$, bao gồm tất cả các số hữu tỷ và số $\sqrt{2}$, tạo ra trường $P$, bao gồm tất cả các số có dạng $a + b\sqrt{2}$ (trong đó $a$ và $b$ là số hữu tỷ) và chỉ chúng. Kiểm tra điều này bằng cách đặc biệt chú ý đến việc phân chia. Lưu ý rằng cùng một trường $P$ được tạo bởi hai số: 1 và $\sqrt{2}$.

Bài tập 10. $\sqrt{3}$ có thuộc trường $P$ trong Ví dụ B không?

Giả sử $x$ là một số có thể biểu thị bằng 1 bằng cách sử dụng hữu hạn các hành động cơ bản. Điều này có nghĩa là có các số $x_1, \ldots, x_n$, trong đó $x_1 = 1$, $x_n = x$ và mỗi số $x_k$ ($1 < k \leq n$) được thể hiện thông qua các số trước đó bằng một hành động cơ bản. Ví dụ: đối với $x = \sqrt{2} - 5\sqrt{3}$ bạn có thể lấy $x_1 = 1$, $x_2 = 1 + 1 = 2$, $x_3 = \sqrt{2}$, $x_4 = 1 + 2 = 3$, $x_5 = \sqrt{3}$, $x_6 = 2 + 3 = 5$, $x_7 = 5\sqrt{3}$, $x_8 = \sqrt{2} - 5\sqrt{3} = x$.

Hãy xây dựng một chuỗi các trường $P_1, \ldots, P_n$, trong đó $P_k$ là trường được tạo bởi tập hợp các số $x_1, \ldots, x_k$. Trong chuỗi này, đối với mỗi trường $P_k$ có hai khả năng:

1. Nếu $x_k$ thuộc về $P_{k-1}$ thì $P_k$ giống với $P_{k-1}$.
2. Nếu $x_k$ không thuộc về $P_{k-1}$ thì $P_k$ được tạo bởi một tập hợp, có được bằng cách thêm số $x_k$ vào trường $P_{k-1}$ (trong trường hợp này, $x_k^2$ nhất thiết phải thuộc về $P_{k-1}$).

Từ những điều trên rõ ràng rằng để chứng minh Định lý 2 chỉ cần thiết lập mệnh đề sau là đủ.

Bổ đề 1. Giả sử số $s$ không thuộc về trường $P$, $s^2$ thuộc về $P$ và $Q$ là trường do tập hợp tạo ra, có được bằng cách cộng số $s$ với $P$. Hãy để phương trình

$$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$$

với các hệ số thuộc $P$ không có nghiệm trong trường $P$. Thế thì nó không có rễ ở ruộng $Q$.

Trước khi chứng minh bổ đề này, chúng ta hãy mô tả cấu trúc của trường $Q$.

Bổ đề 2. Bất kỳ số $q$ từ trường $Q$

1. được biểu thị là $q = p_1 + p_2s$, trong đó $p_1$ và $p_2$ thuộc về $P$,
2. thỏa mãn phương trình bậc hai $x^2 + dx + e = 0$ với các hệ số $d$ và $e$ thuộc $P$.

Chứng minh Bổ đề 2.

1. Rõ ràng là tất cả các số có dạng $p_1 + p_2s$ đều thuộc về $Q$. Để chứng minh rằng không có số nào khác trong $Q$, chỉ cần kiểm tra xem các phép toán đơn giản trên các số có dạng $p_1 + p_2s$ lại có thuộc về các số cùng loại hay không là đủ. Điều này suy ra từ công thức

$$(p_1 + p_2s) \pm (r_1 + r_2s) = (p_1 \pm r_1) + (p_2 \pm r_2)s,$$

$$(p_1 + p_2s) \cdot (r_1 + r_2s) = (p_1r_1 + p_2r_2s^2) + (p_1r_2 + p_2r_1)s$$

9

(nhớ lại rằng $s^2$ thuộc về trường $P$),
$p_1 + p_2 s) : (r_1 + r_2 s) =$
$$\frac{(p_1 + p_2 s) (r_1 - r_2 s)}{r_1^2 - r_2^2 s^2} =$$
$$= (p_1 + p_2 s) \left( \frac{r_1}{r_1^2 - r_2^2 s^2} - \frac{r_2 s}{r_1^2 - r_2^2 s^2} \right)$$
$(r_1^2 - r_2^2 s^2 \neq 0$, vì nếu không thì $s^2 = r_1^2/r_2^2$ và $s = \pm r_1/r_2$ thuộc về câu hỏi và điều kiện $P$).

2. Chúng ta đặt $\bar{q} = p_1 - p_2 s$ thì số $q = p_1 + p_2 s$ thỏa mãn phương trình $(x - q)(x - \bar{q}) = x^2 + dx + e = 0$, trong đó $d = -(q + \bar{q}) = -2p_1$, $e = q \bar{q} = p_1^2 - p_2^2 s^2$.

Chứng minh Bổ đề 1. Chúng ta hãy chứng minh Bổ đề 1 bằng phản chứng. Cho phương trình (4) có nghiệm $q$ trong trường $Q$. Khi đó theo Bổ đề 2 số $q$ thỏa mãn hệ phương trình
$$x^3 + ax^2 + bx + c = 0,$$
$$x^2 + dx + e = 0.$$
(4’) Nhân phương trình (4’) với $(x + a - d)$, trừ phương trình (4). Chúng tôi nhận được $[b - e - (a - d)d]x + [c - (a - d)e] = 0$. Hãy biểu thị dấu ngoặc đầu tiên là $f$ và dấu ngoặc thứ hai là $g$. Sau đó $fq + g = 0$. Nếu $f \neq 0$ thì $q = -g/f$ thuộc trường $P$, điều này mâu thuẫn với điều kiện. Nếu $f = 0$ thì $g = 0$, nghĩa là
$$x^3 + ax^2 + bx + c - (x + a - d) \times (x^2 + dx + e) = fx + g = 0$$
đó là
$$x^3 + ax^2 + bx + c = (x + a - d) + (x^2 + dx + e).$$
Không thì phương trình (4) có nghiệm $q = d - a$ thuộc trường $P$, và đây là câu hỏi về điều kiện.

Mâu thuẫn thu được chứng minh Bổ đề 1 và cùng với nó là Định lý 2.

Bài tập
độc giả của chúng tôi

1. Cạnh của hình vuông $ABCD$ bằng $a$. Trên đường chéo $AC$ lấy điểm $P$ sao cho $|PC| = |AC|/4$. Gọi $E$ là giao điểm của $BP$ và $CD$, $O$ là tâm của hình vuông, $M$ là giao điểm của $BP$ với đường vuông góc $OK$ vẽ từ điểm $O$ sang cạnh $BC$.

a) Tìm $|CE|$.

b) Chứng minh tam giác $OEM$ là tam giác đều.

M. I. Aizenberg

2. Một vòng tròn được bao quanh hình tam giác $ABC$. Từ một điểm tùy ý của đường tròn này, các đường vuông góc $h_c$, $h_a$ và $h_b$ lần lượt được hạ xuống các cạnh $AB$, $BC$ và $AC$ của các hình tam giác. Sau đó, từ cùng một điểm, các đường vuông góc $H_a$, $H_b$ và $H_c$ lần lượt được hạ xuống các tiếp tuyến của đường tròn đã cho tại các điểm $A$, $B$ và $C$. Chứng minh rằng $H_a + H_b + H_c \geq h_a + h_b + h_c$.

H. V. Sherbina

3. Dan 1974-làm hài lòng. Nó được giải quyết trên $k$ 987 người thích thú sao cho các đỉnh của chúng trùng với các đỉnh của người thích 1974 hoặc nằm bên trong nó, và không có đỉnh nào của người thích 987 bất kỳ là điểm trong của cạnh của người thích 987 khác.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$.

M. Biktimirov

4. Có 1973 đường thẳng cùng vị trí trên mặt phẳng (không có hai đường thẳng nào song song, không có ba đường thẳng nào cắt nhau tại một điểm). Khi chúng giao nhau, 100 đa giác được hình thành. Xác định số giao điểm của các đường thẳng.

P. Ivanov

10

Sự biến đổi beta của hạt nhân và tính chất của neutrino

B. G. Erozolimsky

Toàn bộ thế giới mà tri thức của chúng ta có thể tiếp cận được, như đã biết, bao gồm các hạt vật chất tương tác với nhau – cái gọi là các hạt cơ bản. Trước hết, đây là các electron, proton, neutron, photon và hàng tá hạt khác. Hiện nay rõ ràng là thuật ngữ “các hạt cơ bản” là không phù hợp. Trên thực tế, những hạt này không thể được coi là những khối cơ bản của vũ trụ; bản thân chúng là những sự hình thành phức tạp. Bằng chứng chính cho điều này là tất cả các hạt cơ bản được biết hiện nay đều có khả năng biến đổi lẫn nhau. Rõ ràng, không thể hiểu được “cấu trúc” của các hạt nếu không hiểu các đặc điểm tương tác của chúng với nhau, đặc biệt là dẫn đến sự biến đổi lẫn nhau của các hạt.

Hiện nay, người ta biết đến bốn loại tương tác của các hạt vật chất: hấp dẫn, điện từ, hạt nhân (mạnh) và cái gọi là yếu.

Người đọc chắc chắn đã quen thuộc ở mức độ này hay mức độ khác với ba loại tương tác đầu tiên. Chúng ta chỉ nhớ lại rằng cường độ mạnh nhất là tương tác hạt nhân (đó là lý do tại sao nó còn được gọi là tương tác mạnh). Lực hút giữa các nucleon, tức là proton và neutron trong hạt nhân, quyết định tính ổn định của hạt nhân nguyên tử. Để phá hủy lõi, khắc phục lực hạt nhân cần phải

lãng phí nguồn năng lượng khổng lồ. Lực hạt nhân phân rã rất nhanh theo khoảng cách và chỉ xuất hiện khi các nucleon “tiếp xúc” trực tiếp với nhau.

Tương tác điện từ có phần yếu hơn nhưng vẫn khá mãnh liệt. Đây là lực hút hoặc lực đẩy thông thường của các hạt tích điện.

Tương tác hấp dẫn là tương tác ít mãnh liệt nhất trong tất cả các tương tác; nó không có ý nghĩa thực tiễn trong đời sống của các hạt cơ bản.

Loại cuối cùng là tương tác yếu. Nó được gọi như vậy vì nó thực sự yếu hơn nhiều so với tương tác hạt nhân và điện từ. Tuy nhiên, vai trò của nó trong thế giới vi mô là rất lớn. Hoá ra là các tương tác yếu gây ra phần lớn sự biến đổi của một số hạt cơ bản thành các hạt khác.

Lần đầu tiên, khoa học gặp phải những biến đổi như vậy trong nghiên cứu về phóng xạ tự nhiên, được phát hiện vào cuối thế kỷ 19. Nghiên cứu của các nhà khoa học, chủ yếu là Marie và Pierre Curie và Ernest Rutherford, cho thấy hạt nhân của một số nguyên tố hóa học có khả năng phân hủy tự phát, tức là biến thành hạt nhân của các nguyên tố khác. Những biến đổi như vậy đi kèm với bức xạ. Ba loại bức xạ đã được biết đến, được ký hiệu bằng các chữ cái $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$. Hóa ra,

Tia α là dòng hạt nhân của nguyên tử helium, tia β là dòng electron và tia γ là dòng photon. Chúng ta sẽ chỉ nói chi tiết về phân rã β (khi sự biến đổi hạt nhân đi kèm với sự phát xạ của các electron nhanh).

Những electron bay ra với tốc độ lớn đến từ đâu? Rõ ràng, từ hạt nhân, đặc biệt là vì trong quá trình phân rã β, điện tích của hạt nhân chỉ thay đổi một. Vậy có electron trong hạt nhân? Mô hình hạt nhân đầu tiên thực sự được xây dựng từ proton và electron. Chỉ sau này người ta mới biết rõ rằng cấu trúc hạt nhân như vậy là không thể; các tính chất của hạt nhân nguyên tử và các hạt cơ bản không phù hợp với giả thuyết này. Theo quan điểm hiện đại, hạt nhân của mọi nguyên tố đều bao gồm proton và neutron. Vậy thì giải thích sự phân rã β như thế nào? Đây là nơi bắt đầu quá trình biến đổi các hạt thành nhau!

Hóa ra là trong quá trình phân rã β của hạt nhân, một trong các neutron trong hạt nhân biến thành proton, kèm theo đó là sự ra đời của một electron mang năng lượng *):

$$n \rightarrow p + e^-. \tag{1}$$

Trong trường hợp này, số thứ tự của nguyên tố (điện tích hạt nhân) tăng tương ứng một đơn vị. Ví dụ,

$${}_{82}\mathrm{Pb}^{214} \rightarrow {}_{83}\mathrm{Bi}^{214} + e^-$$

• một đồng vị của chì biến thành đồng vị của bismuth có cùng khối lượng nguyên tử.

Cần đặc biệt nhấn mạnh rằng quy trình (1) chứa đựng sự đoạn tuyệt hoàn toàn và dứt khoát với ý tưởng đã ăn sâu vào tâm trí các nhà khoa học thế kỷ trước rằng các hạt vật chất không thể sinh ra hay biến mất. Sự phát xạ của một electron từ hạt nhân trong quá trình biến đổi β được xem xét ở đây không phải là hệ quả của việc nó (electron) đã có trước đó, mà là

---

*) Trên thực tế, với sự biến đổi như vậy, một hạt khác sẽ được sinh ra, nhưng điều này sẽ được thảo luận sau.

là hành động xuất hiện của một electron trong quá trình phân rã β. Điều này được xác nhận bởi nhiều sự thật. Đặc biệt, vào cuối những năm 40, người ta đã chứng minh rằng neutron tự do (không phải là một phần của hạt nhân) không ổn định và tự biến thành proton và electron với chu kỳ bán rã chỉ khoảng 10 phút. Trong hai thập kỷ qua, với sự trợ giúp của máy gia tốc, một số lượng lớn các hạt cơ bản mới đã được phát hiện: meson (hạt nhẹ hơn proton, nhưng nặng hơn electron), hyperon (hạt nặng hơn proton). Hóa ra, tất cả chúng đều tồn tại trong thời gian ngắn và cũng biến đổi lẫn nhau, giống như một neutron tự do.

Sự ra đời của các lò phản ứng hạt nhân cũng như các kỹ thuật tách đồng vị đã dẫn đến việc phát hiện và sản xuất một số lượng lớn các chất phóng xạ nhân tạo mới. Trong số đó có nhiều chất có phân rã β dẫn đến sự phát xạ không phải electron mà là positron ($e^+$). Điện tích hạt nhân (số nguyên tử) giảm đi một tương ứng. Điều này có nghĩa là trong những hạt nhân như vậy, một trong các proton được chuyển đổi thành neutron và positron theo sơ đồ *)

$$p \rightarrow n + e^+. \tag{2}$$

Ví dụ, sự chuyển đổi magie thành natri, xảy ra với chu kỳ bán rã 11,6 giây, có thể được viết là:

$${}_{12}\mathrm{Mg}^{23} \rightarrow {}_{11}\mathrm{Na}^{23} + e^+.$$

Tuy nhiên, quy trình (2) chỉ có thể thực hiện được trong lõi; Ở trạng thái tự do, neutron biến thành proton. Thực tế là khối lượng của neutron, và do đó, năng lượng của chính nó lớn hơn khối lượng của proton. Và do đó, sự biến đổi một proton tự do thành neutron sẽ vi phạm định luật bảo toàn năng lượng.

Vì vậy, khả năng chuyển đổi lẫn nhau từ duy nhất

---

*) Phản ứng này, giống như phản ứng (1), vẫn viết sai.

11

12

Tính chất kỳ lạ này, biểu hiện ở độ phân rã β của hạt nhân, đã trở thành một đặc tính không thể thiếu của hầu hết các hạt cơ bản đã biết. Hiện nay, lĩnh vực vật lý này – vật lý của các tương tác yếu – đang phát triển nhanh chóng. Kể từ những năm 30, khi E. Fermi tạo ra lý thuyết đầu tiên về phân rã β của hạt nhân, rất nhiều việc đã được thực hiện để đảm bảo rằng tất cả các sự kiện đã biết đều nhận được sự biện minh về mặt lý thuyết. Đúng vậy, những ý tưởng hiện tại còn rất xa mới có được sự hài hòa và hoàn chỉnh giúp phân biệt bức tranh hiện tại về tương tác điện từ.

Theo quan điểm hiện đại, mọi tương tác đều có thể được mô tả bằng cách sử dụng một trường nhất định và sự xuất hiện lực hút hoặc lực đẩy giữa các hạt là do khả năng “sinh ra” và hấp thụ lượng tử của trường này của chúng. Lý thuyết xác lập mối liên hệ sâu sắc giữa cơ chế tương tác của các lực tác dụng giữa các hạt - nguồn của một trường nhất định và sự “biến đổi” của các hạt này, kéo theo sự ra đời của lượng tử của trường này.

Ví dụ, sự tương tác giữa các điện tích được gây ra bởi một trường điện từ, lượng tử của nó là các photon. Tương tác tương tự dẫn đến sự ra đời của lượng tử (photon), chẳng hạn, khi một điện tích (electron) bay nhanh bị giảm tốc. Phản ứng “chuyển hóa” ở đây là:

$$e \rightarrow e' + \gamma,$$

trong đó $e'$ là electron có năng lượng thay đổi.

Tình huống tương tự xảy ra trong trường hợp tương tác yếu. Chính các lực tương tác giữa các hạt, chẳng hạn như nucleon, là các lực đứng trên nền của lực hạt nhân và lực điện từ, do đó các biểu hiện của chúng chỉ có thể được phát hiện một cách gián tiếp và sau đó là trong các thí nghiệm rất tinh vi. Nhưng chúng ta đã biết đến các quá trình biến đổi trong đó lượng tử của trường này được sinh ra từ lâu - đó là các phép biến đổi β của hạt nhân và sự phân rã yếu của các hạt điện từ.

Theo nghĩa này, các phản ứng (1) và (2), các phản ứng biến đổi proton và neutron thành nhau, có thể được hiểu là các quá trình tạo ra lượng tử trường tương tác yếu ($e^{-}$ và $e^{+}$). Tuy nhiên, một nghiên cứu chi tiết cho thấy tình hình ở đây phức tạp hơn đáng kể. Trường lực yếu thực chất được biểu diễn bằng hai loại lượng tử: electron (positron) và các hạt có những đặc tính hoàn toàn đáng kinh ngạc, đó là neutrino, nên các phản ứng (1) và (2) được viết sai. Cùng với một electron hoặc positron, neutrino cũng phải được sinh ra.

Lịch sử khám phá neutrino là một trong những trang khoa học rực rỡ nhất của thế kỷ 20 và xứng đáng với điều đó.

Cơm. 1. Hình chiếu quỹ đạo bên trong của electron được thể hiện bằng màu đỏ.

13

Cơm. 2. Phổ beta của neutron tự do.

Không cần thiết phải nói về nó một cách ngắn gọn. Sự tồn tại của neutrino được W. Pauli dự đoán về mặt lý thuyết là kết quả của những nỗ lực tìm hiểu một sự thật kỳ lạ được phát hiện trong phân rã beta của hạt nhân. Các phép đo năng lượng của các electron phát ra trong quá trình phân rã β cho thấy các electron không có năng lượng cố định đặc trưng cho sự biến đổi β này. Có một phạm vi rộng, hay nói cách khác, một phổ năng lượng, kéo dài từ 0 đến một giá trị tối đa nhất định.

Năng lượng của các electron được đo bằng các thiết bị đặc biệt - máy quang phổ beta, trong đó các electron có năng lượng khác nhau khác nhau về quỹ đạo trong từ trường hoặc điện trường, hoặc theo biên độ của các xung điện phát sinh trong máy dò loại quang phổ (ví dụ, trong máy đếm nhấp nháy). Hình 1 thể hiện sơ đồ của một máy quang phổ từ đơn giản có trường liên tục. Các electron từ nguồn Và rơi vào từ trường được hình thành bởi điện từ C. Quỹ đạo của electron trong trường như vậy được biểu diễn bằng một đường xoắn ốc có trục song song với trục của Soleno *). Có thể chứng minh rằng các electron, bạn

Cơm. 3. Phổ beta của đồng vị vàng phóng xạ.

đến từ một nguồn có kích thước đủ nhỏ với cùng năng lượng, chúng tập trung gần một điểm nhất định, nơi lắp đặt nhiễu xạ D, phía sau có bộ đếm Sch. Quỹ đạo của bộ phận có năng lượng khác sao cho các hạt này không đi qua nhiễu xạ D. Từ tác động trực tiếp của các electron (dọc theo đường sức điện trường) trong phản ứng, các nhiễu xạ D được bảo vệ bởi các nhiễu xạ vòng K. Bằng cách thay đổi độ lớn của từ trường (dòng điện trong đế), do đó người ta có thể “xem” có bao nhiêu electron phát ra từ nguồn có năng lượng này hoặc năng lượng khác, nghĩa là khám phá phổ năng lượng của chúng.

Ví dụ, đây là phổ β của neutron tự do (Hình 2) hoặc phổ của đồng vị phóng xạ của vàng $^{79}\text{Au}^{198}$ (Hình 3). Trục tọa độ hiển thị, trên thang đo tùy ý, số phần có năng lượng E (chính xác hơn là có năng lượng trong một khoảng khá nhỏ $\Delta E$, từ E đến E + $\Delta E$) và trục abscissa hiển thị năng lượng tính bằng kiloelectronvolt. Từ Hình 2 và 3, rõ ràng là phổ β là liên tục; hiện diện các electron có năng lượng bất kỳ từ 0 đến $E_{\text{max}}$.

Trong quang phổ được trình bày ở Hình 3, có thể nhìn thấy các vạch hẹp riêng lẻ. Điều này chỉ ra rằng ngoài các electron có phổ liên tục, còn có một số nhóm electron nữa có bước sóng có năng lượng nhất định (cái gọi là electron “đơn sắc”). Tuy nhiên, bản chất như vậy

14

Các dòng hoàn toàn khác nhau; các electron tương ứng với các vạch này không liên quan đến phân rã β.

Nếu quá trình phân rã β được biểu diễn theo sơ đồ (1) hoặc (2), thì sự hiện diện của phổ electron liên tục là hoàn toàn không thể hiểu được. Trên thực tế, quá trình biến đổi β đi kèm với việc giải phóng một năng lượng hoàn toàn xác định, năng lượng này được phân bổ giữa hai hạt tạo thành (một electron và hạt nhân giật lùi - hạt nhân của một nguyên tố mới) theo cách duy nhất có thể, do đó năng lượng của electron phải hoàn toàn xác định. Điều này tuân theo trực tiếp các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng. Vì hạt nhân ban đầu tích lũy nên động lượng của nó (động lượng p) bằng 0. Tổng động lượng của các hạt thu được cũng phải bằng 0, nghĩa là electron và hạt nhân giật lùi sẽ bay xa nhau theo hai hướng ngược nhau. Chúng ta hãy biểu thị khối lượng của electron và tốc độ của nó bằng $m_e$ và $v_e$, khối lượng của hạt nhân giật lùi và tốc độ của nó bằng $M$ và $u$ và viết định luật bảo toàn động lượng:

$$m_e v_e - Mu = 0.$$

(3)

Mặt khác, tổng động năng do các hạt tạo thành phải bằng $E_0$ - tổng năng lượng được giải phóng trong quá trình phân rã β:

$$E_e + E_M = E_0.$$

(4)

Để đơn giản cho việc tính toán, chúng ta có thể giả sử rằng chúng ta liên hệ năng lượng và động lượng của một hạt với công thức cổ điển $E = \frac{p^2}{2m}$.

Từ phương trình (3) và (4), suy ra rằng tốc độ $v_e$, và do đó năng lượng của electron $E_e$, được xác định duy nhất ($E_e = \frac{E_0}{1+m_e/M}$). Do đó, phổ β phải là một vạch duy nhất. Nhân tiện, thật dễ dàng để xác minh rằng vì $M \gg m_e$, rồi $E_e \approx E_0$, tức là hạt nhân giật lùi mang đi một phần rất nhỏ trong tổng năng lượng phân rã.

Giá trị của năng lượng điện tử dự kiến ​​​​này là gì? Ví dụ, hãy xem xét độ phân rã β của neutron tự do. Vì vậy, những sự biến đổi đó cho thấy khối lượng của neutron lớn hơn khối lượng của proton một chút, cụ thể là:

$$m_n - m_p = 2,5 m_e.$$

Theo một trong những quy định chức năng của lý thuyết năng lượng tương đối, nó gắn liền với sự tương ứng $E = mc^2$, trong đó $c$ là tốc độ ánh sáng. Khi đó năng lượng cần được giải phóng trong quá trình biến đổi neutron thành proton và electron bằng

$$E_0 = (m_n - m_p - m_e)c^2 = 1,5m_e c^2 = 780 \text{ кэв.}$$

Từ Hình 2, rõ ràng năng lượng $E_0$ chính xác là $E_{\text{max}}$ - năng lượng biên của phổ β. Điều này có nghĩa là trên thực tế, electron không mang đi toàn bộ năng lượng phân rã (cho đến năng lượng của hạt nhân giật lùi), mà chỉ mang đi một phần của nó, và độ lớn của phần này đôi khi nhận các giá trị khác nhau.

Phần năng lượng còn lại đi đâu? Những thay đổi lặp đi lặp lại trong đó thuốc phóng xạ β được đặt bên trong một nhiệt kế có thành rất mỏng cho thấy rằng không có bức xạ nào đã biết mang đi một phần năng lượng, và trong nhiệt kế nó giải phóng năng lượng trung bình chỉ bằng một nửa tổng năng lượng của phân rã β.

Sự “biến mất” năng lượng này thậm chí còn tạo ra lý do để đặt câu hỏi về tính đúng đắn của định luật bảo toàn năng lượng trong vũ trụ vi mô, khiến Pauli nảy ra ý tưởng rằng một phần khác đang phân rã beta. Nó không bị nhiễm điện và khối lượng của nó cực kỳ nhỏ. Fermi gọi phần này là netiirino. Neutrino có thể tự do di chuyển qua những độ dày vật chất rất lớn và do đó không bị các bức tường của máy đo nhiệt độ bắt giữ. Tổng năng lượng của quá trình biến đổi β được phân bổ giữa neutrino và electron,

15

trung bình chỉ để lại một nửa số electron*). Vì vậy, cùng với các phản ứng (1) và (2), chúng ta cần viết các phản ứng sau:

$$n \rightarrow p + e^- + \tilde{v},$$
$$p \rightarrow n + e^+ + v.$$

Ký hiệu v tương ứng với một neutrino và $\tilde{v}$ - một phản neutrino (sự khác biệt giữa chúng sẽ được thảo luận sau).

Một sự xác nhận quan trọng cho giả thuyết này là các thí nghiệm trong đó các phần hạt nhân hình thành do phân rã β đã được nghiên cứu. Người ta đã chứng minh rằng hạt nhân và electron hoàn toàn không bị tách ra theo hướng ngược nhau. Điều này cũng cho thấy sự ra đời của một hạt khác trong quá trình phân rã β. Xét cho cùng, định luật bảo toàn động lượng (động lượng) yêu cầu khối tâm của tất cả các hạt bị tách ra do phân rã β vẫn giữ nguyên - xét cho cùng, hạt nhân bị tách ra ban đầu sẽ kết thúc (cho đến chuyển động nhiệt). Kinh nghiệm cho thấy sự hình thành hạt nhân và electron bị tách biệt ở bất kỳ góc nào. Nhưng khi đó tổng vectơ động lượng của chúng không bằng 0! Nếu chúng ta cho rằng phần bị đẩy ra mang theo một động lượng nào đó thì định luật bảo toàn động lượng có thể được thỏa mãn.

Nhưng điều đáng chú ý nhất là giữa giá trị năng lượng còn thiếu $E_v$ và giá trị của xung “không bù” $p_v$ hóa ra luôn có một mối quan hệ rất đơn giản: $E_v = p_v c$, trong đó $c$ là tốc độ ánh sáng. Nhưng đây là mối quan hệ nổi tiếng giữa năng lượng và động lượng của một photon - một hạt chuyển động với tốc độ ánh sáng và có khối lượng nghỉ bằng không. Mối quan hệ tương tự được thiết lập bởi thuyết tương đối đối với các vật thể chuyển động với tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng, nghĩa là đối với các vật thể có khối lượng rất nhỏ hoặc

*) Để trong phạm vi năng lượng của hạt nhân, tách biệt.

Hơn nữa bằng khối lượng nghỉ bằng không *). Vì vậy, giả sử rằng trong quá trình phân rã β, một neutrino được phát ra, chúng ta đảm bảo đáp ứng các định luật bảo toàn chức năng chung (năng lượng và động lượng) và có thể tính toán chính xác năng lượng của các hạt - sản phẩm phân rã.

Ví dụ, hãy xem xét một lần nữa sự phân rã của neutron tự do. Cho một electron và một proton bay tách nhau một góc 90° thì động năng của electron là $E_e = 200$ keV. Năng lượng của proton là gì?

Hãy lập hai phương trình: định luật bảo toàn năng lượng

$$E_0 = E_v + E_p + E_e$$

và định luật bảo toàn động lượng (Hình 4)

$$p^2_v = p_e^2 + p_p^2.$$

Ở đây $E_0 = 780$ keV là tổng năng lượng được giải phóng trong quá trình phân rã β của neutrino (xem Hình 2), $E_v$ và $p_v$ là năng lượng và động lượng của neutrino và $E_v = p_v c$. Động lượng của electron $p_e$ và động năng của nó, có tính đến sự hiệu chỉnh của lý thuyết về sự ghép tương đối với nhau, như sau:

$$p_e^2 c^2 = E_e^2 + 2 E_e m_e c^2.$$

Thật vậy, động lượng của electron bằng $p_e = \frac{m_e v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ (m là khối lượng nghỉ của electron), tổng năng lượng của electron bằng $E = \frac{m_e c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ và năng lượng nghỉ bằng $E_\pi = m_e c^2$. Khi đó động năng của electron

$$E_e = E - E_\pi = m_e c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right).$$

*) Ví dụ, xem bài viết của I. P. Stakhanov “Khối lượng và năng lượng trong lý thuyết về mối liên hệ tương đối”, «Kvant», 1975, số 3.

16

Bằng cách bình phương cả hai vế của đẳng thức và tính đến biểu thức động lượng của electron, chúng ta thu được mối quan hệ đã viết ở trên giữa động năng và động lượng của electron.

Mối quan hệ giữa động lượng và động năng của một proton có thể được viết bằng công thức cổ điển $p_p^2 = 2M_pE_p$ ($M_p$ là khối lượng của proton), vì tốc độ của proton nhỏ hơn nhiều so với tốc độ ánh sáng.

Lời giải của phương trình (7) và (8), có tính đến mối quan hệ giữa động năng và động lượng của các hạt, sẽ cho giá trị $E_p \approx 50\ эв$ cho năng lượng của proton.

Vì vậy, trong quá trình biến đổi $\beta$ của một hạt nhân, không phải luôn hình thành hai hạt mà là ba hạt. Đây chính xác là điều dẫn đến thực tế là phổ $\beta$ hóa ra là liên tục: phần năng lượng được electron mang đi phụ thuộc vào năng lượng mà neutrino được phát ra. Lý thuyết đầu tiên về quá trình này được đề xuất vào đầu những năm 30 bởi E. Fermi.

Lý thuyết hiện đại đã kết hợp hiện tượng phân rã $\beta$ của hạt nhân với sự biến đổi tương tự của các hạt khác thành một loại hiện tượng chung của tương tác yếu phổ quát. Một trong những phát biểu đáng chú ý nhất của lý thuyết này là dự đoán về khả năng xảy ra các quá trình nghịch đảo với các quá trình (5) và (6):

$$\overset{\sim}{\nu} + n \rightarrow p + e^-, \tag{9}$$
$$\overset{\sim}{\nu} + p \rightarrow n + e^+. \tag{10}$$

Lý thuyết này cũng dự đoán cường độ của các quá trình như vậy. Hóa ra là trước khi bắt được neutrino (có năng lượng 1 MeV), hạt này (trung bình) có thể đi qua một lớp vật chất (ví dụ: nước) dày khoảng $10^{15}$ km!!! Một neutrino có thể tự do đi qua toàn bộ Trái đất để chỉ một trong số các hạt $5 \cdot 10^{12}$ bị Trái đất hấp thụ, tức là nó gây ra sự phân rã “ngược” $\beta$. Đó là lý do tại sao không có nhiệt lượng kế nào trong các thí nghiệm ban đầu về phân rã $\beta$ có thể phát hiện ra hạt “khó nắm bắt” này.

Tuy nhiên, quá trình như vậy đã được phát hiện trong một thí nghiệm cực kỳ tinh tế và có độ nhạy kỷ lục do các nhà khoa học Mỹ Reines và Cowan thực hiện vào năm 1953 (exp.

Thí nghiệm được thực hiện gần một lò phản ứng hạt nhân công nghiệp mạnh).

Thí nghiệm này là bằng chứng cuối cùng về sự tồn tại của neutrino. Thí nghiệm ghi lại trung bình khoảng ba sự kiện bắt giữ neutrino mỗi giờ. Tần suất của các sự kiện này hoàn toàn phù hợp với những dự đoán định lượng của lý thuyết.

Việc nghiên cứu tính chất của hạt này vẫn tiếp tục cho đến ngày nay. Ví dụ, người ta phát hiện ra rằng neutrino phát ra trong quá trình phân rã neutron (quá trình 5) và neutrino phát ra khi proton biến đổi thành neutron (quá trình 6) thực ra là những hạt khác nhau. Hóa ra cả hai loại neutrino đều có mômen quay riêng - spin hướng dọc theo trục quay. Tuy nhiên, đối với neutrino sinh ra từ sự phân rã (5), hướng spin tương ứng với chiều quay thuận tay phải, và đối với neutrino sinh ra từ phản ứng (6) thì hướng quay tương ứng với chiều quay thuận tay trái. Theo đó, loại neutrino đầu tiên được gọi là “phản neutrino” và được ký hiệu là $\overset{\sim}{\nu}$.

Hơn nữa, các nghiên cứu về phân rã meson được thực hiện tại các máy gia tốc lớn ở Brookhaven (Mỹ) và Cern (Thụy Sĩ) cho thấy có một cặp neutrino khác - phản neutrino, về mặt nào đó khác biệt đáng kể so với các neutrino liên quan đến phân rã loại (5) và (6). Trong mọi trường hợp, dưới tác dụng của các neutrino đó (được gọi là muon), quá trình $\beta$-Reines-Cowan ngược lại (quá trình 10) không xảy ra. Nhưng các quá trình bắt giữ neutrino tương tự bởi neutron hoặc proton cũng xảy ra, và thay vì electron hoặc positron, các $\mu$-meson có dấu tương ứng được sinh ra:

$$n + \nu_\mu \rightarrow p + \mu^-, \tag{11}$$
$$\overset{\sim}{\nu}_\mu + p \rightarrow n + \mu^+. \tag{12}$$

Người ta cũng đã chứng minh được rằng mọi neutrino đều có khối lượng nghỉ rất nhỏ (hoặc thậm chí bằng không); vì vậy, ví dụ, về rất nhiều điều bình thường

(điện tử) neutrino được biết là có khối lượng ít nhất nhỏ hơn 1/7000 khối lượng của một electron.

Ở nhiều phòng thí nghiệm trên khắp thế giới, kể cả ở Liên Xô, công việc thực nghiệm chuyên sâu đang được tiến hành để nghiên cứu neutrino. Mục tiêu của công việc này là tìm ra những tính chất khác của neutrino. Đặc biệt, người ta đang tiến hành tìm kiếm các quá trình khác mà theo lý thuyết tương tác yếu sẽ xảy ra dưới tác dụng của neutrino.

Người ta cũng chú ý nhiều đến việc tìm kiếm bức xạ neutrino chưa được khám phá từ Mặt trời và các ngôi sao khác. Những ý tưởng hiện đại về bản chất của năng lượng mặt trời và năng lượng giữa các vì sao gắn liền với bức tranh về các quá trình hạt nhân cường độ cao xảy ra trong plasma siêu nóng (ở nhiệt độ vài chục triệu độ) tạo nên các vùng bên trong của Mặt trời và các ngôi sao khác. Sự xuất hiện của neutrino trong các quá trình này sẽ ảnh hưởng đáng kể đến sự cân bằng năng lượng tổng thể, và do đó ảnh hưởng đến toàn bộ động lực phát triển của sao, vì neutrino, tự do xuyên qua toàn bộ độ dày của Mặt trời hoặc ngôi sao, bay vào không gian vũ trụ và mang theo một phần đáng chú ý trong tổng năng lượng. Để phát hiện neutrino mặt trời, các phòng thí nghiệm khổng lồ dưới lòng đất được xây dựng ở độ sâu lớn trong các mỏ than hoặc trong đường hầm dưới những ngọn núi lớn nhằm đảm bảo “mức nền” tối thiểu khỏi các tia vũ trụ trong máy dò neutrino.

Do đó, trong lời giải các bài toán liên quan đến nghiên cứu tương tác yếu và neutrino, con đường phát triển của vật lý hạt cơ bản - vật lý của vũ trụ vi mô - và khoa học về các ngôi sao và các vật thể thiên hà khác - vật lý thiên văn hiện đại có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.

Tiểu học

sự xưng tội

Thật tốt khi trở thành một neutrino. Bạn bay đến bất cứ nơi nào bạn muốn, bạn bay xuyên qua mọi thứ. Không có phí, khối lượng bằng 0, không ai chạm vào bạn, không ai đăng ký bạn… Bạn còn cần gì nữa?

Và ở đây bạn đang quay cuồng như địa ngục xung quanh lõi, với xác suất thay đổi, nhảy từ cấp này sang cấp khác. Bạn tỏa ra năng lượng. Bạn đưa mọi thứ đến lượng tử cuối cùng và mọi người lượng tử hóa bạn theo Bohr và Dirac.

Cánh đồng đã được mở. Nó được gọi là điện từ. $E$ cho X, $H$ cho Y, $V$ cho Z. Bạn có thể phát điên. Người ta nói rằng các quỹ đạo là đứng yên, hãy quay để bảo toàn năng lượng.

Đây là một người bạn của tôi làm việc tại số 1 Borovskaya, tại Hydrogen. Và anh ấy sống ở một nơi nào đó giữa hư không. Khi anh ta đi làm, anh chàng tội nghiệp sẽ đau khổ đến mức có thể ngã trúng một viên đạn đại bác. Còn ở nơi làm việc thì sao? Có nhiều lượng tử, photon khác nhau. Chủ nghĩa côn đồ. Họ đi lang thang xung quanh, tìm xem họ có thể đánh bật ai ra khỏi quỹ đạo. Rối loạn. Bạn không thể giữ nhiều hơn $10^{-8}$ $c$ trên một nguyên tử.

Và nó còn tệ hơn đối với một người tự do. Bây giờ là một cánh đồng, bây giờ là một cái hố, tốt và $U$ tăng tốc. Anh rể của tôi bằng cách nào đó đã rơi vào một cái hố, và bây giờ có gì đó không ổn với chức năng $\psi$ của anh ấy. Nghĩa là không hoàn toàn trơn tru, có một sự trật khớp.

Nói chung, tôi có thể nói gì. Trước đây bạn sẽ bình tĩnh chạy từ “-” đến “+”. Hiện tại hướng tới bạn. Nếu bạn hỏi anh ấy tin tức, bạn sẽ tự nói với anh ấy. Bạn sẽ đến đó, bạn sẽ thở được. Và bây giờ… Bạn thậm chí không thể dừng lại. Nếu bạn dừng lại, bạn sẽ có sự không chắc chắn về xung lực đến mức bạn sẽ bị lung lay, và nếu bạn giảm bớt xung lực đó, nó sẽ lan tỏa khắp không gian. Không, tốt hơn là trở thành một neutrino.

Từ tờ báo “Vì khoa học” của Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

2 «Kvant» № 6

17

18

Làm cách nào để thay đổi độ dày của lớp gương?

N. M. Rostmovtsev

Khi làm gương, người ta phủ một lớp kim loại mỏng lên bề mặt kính được đánh bóng để phản chiếu ánh sáng tốt. Đặc biệt phổ biến là những chiếc gương làm bằng bạc được lắng đọng hóa học trên kính.

Nhưng bạc, như bạn biết, là một kim loại đắt tiền. Làm thế nào để kiểm soát mức tiêu thụ bạc, nghĩa là thay đổi độ dày của lớp bạc trên bề mặt gương? Bạn sẽ có thể trả lời câu hỏi được đặt ra và thực hiện những thay đổi về độ dày của lớp gương nếu làm quen với phương pháp do Fizu đề xuất vào năm 1861. Phương pháp này dựa trên sự tương tác hóa học của mùi với bạc và vẫn được sử dụng trong thực tế.

Để thay đổi độ dày của lớp gương bạc, một hạt ánh sáng được đặt lên nó (chùm 1 trong Hình 6), sau đó nó được phản xạ một phần từ bề mặt bên ngoài của lớp AgI (điểm A, tia 2), một phần đi vào bên trong lớp, phản xạ từ bề mặt thứ hai của nó, tức là từ các ranh giới với bạc (điểm B) và đi ra ngoài (điểm C, tia 3). Sóng phản xạ thu được (chùm 2 và 3) kết hợp nên sẽ giao thoa. Kết quả giao thoa phụ thuộc vào độ lệch đường hình học δ của tia 2 và tia 3, có thể tính bằng công thức

$$\delta = AB + BC.$$

Nếu góc tới của ánh sáng bằng 0 hoặc gần bằng nó thì $AB = BC$, vậy

$$\delta = 2AB = 2d,$$

(1)

trong đó $d$ là độ dày của “đường thẳng” tại điểm tới của chùm sáng. Từ rìa đến giữa lớp, độ dày $d$ của nó tăng dần và độ chênh lệch đường đi $\delta$ cũng tăng lên. Khi được chiếu sáng bằng ánh sáng đơn sắc (ví dụ: màu đỏ), cực đại chiếu sáng (vòng màu đỏ) được quan sát thấy ở đó sự chênh lệch đường đi của các tia bằng một bước sóng nguyên của ánh sáng trong bạc bên dưới. Các vòng tối (độ chiếu sáng tối thiểu) hình thành trong đó sự khác biệt về đường đi của các tia là bội số của một nửa

19

bước sóng $\lambda$ trong chất này:

$$\delta = (2k-1)\,\frac{\lambda}{2}. \qquad (2)$$

Ở đây $k = 1, 2, 3, \ldots$ là số của vòng tối. Đầu tiên là vòng tối ngoài cùng.

Từ các mối quan hệ (1) và (2), theo đó, khi quan sát thấy một vòng tối có số $k$, độ dày của lớp AgI có thể được tính bằng công thức

$$d = (2k-1)\,\frac{\lambda}{4}. \qquad (3)$$

Nếu vòng tối cuối cùng có số $k_{\max}$ trùng với cạnh của điểm trong suốt ở giữa thì độ dày tối đa của lớp $d_{\max}$ bằng

$$d_{\max} = (2k_{\max}-1)\,\frac{\lambda}{4}. \qquad (4)$$

Trên thực tế, vòng tối cuối cùng thường không trùng với mép của điểm trong suốt mà nằm ở một khoảng cách nào đó với nó (ví dụ như trong Hình $a$). Do đó, trên thực tế, $d_{\max}$ lớn hơn một chút so với giá trị được tính theo công thức (4). Chúng ta hãy thử đánh giá sự thiếu chính xác này. Sự chênh lệch độ dày của “thấu kính” ở những nơi tương ứng với hai vòng tối liền kề bằng một nửa bước sóng. Do đó, sai số khi xác định $d_{\max}$ không vượt quá $\lambda/4$. Sau đó, chúng ta có thể giả sử rằng $d_{\max}$ bằng xấp xỉ

$$d_{\max} = (2k_{\max} - 1)\,\frac{\lambda}{4} + \frac{\lambda}{4} =$$

$$= k_{\max}\,\frac{\lambda}{2}. \qquad (5)$$

Bước sóng ánh sáng trong một chất $\lambda$ liên hệ với bước sóng ánh sáng trong chân không $\lambda_0$ theo hệ thức $\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}$, trong đó $n$ là chiết suất của chất đó. Có tính đến điều này, chúng tôi viết

$$d_{\max} = k_{\max}\,\frac{\lambda_0}{2n}. \qquad (6)$$

Hóa ra (xem bài tập ở cuối bài), độ dày $h$ của lớp bạc trên gương được xác định bởi

theo một cách khác với độ dày tối đa của bạc iodide $d_{\max}$:

$$h = \frac{d_{\max}}{4} = k_{\max}\,\frac{\lambda_0}{8n}. \qquad (7)$$

Đối với bạc iodua $n = 2{,}15$. Thay giá trị này vào (7), chúng ta thu được công thức xác định độ dày của lớp bạc:

$$h = k_{\max}\,\frac{\lambda_0}{17{,}2}.$$

Cho hình ảnh trong hình $a$ được quan sát qua bộ lọc ánh sáng đỏ (bước sóng của ánh sáng đỏ $6{,}2 \cdot 10^{-5}$ cm); Sau đó

$$h = \frac{3 \cdot 6{,}2 \cdot 10^{-5}}{17{,}2} \approx 10^{-5}\ см.$$

Nếu quan sát được thực hiện dưới ánh sáng trắng thì $k_{\max}$ được hiểu là số vòng màu, còn $\lambda$ được lấy bằng $5{,}6 \cdot 10^{-5}$ cm (bước sóng của ánh sáng xanh mà mắt chúng ta nhạy cảm nhất).

Vòng tối
chỗ trong suốt
$a)$
$1\ 2\ 3$
$I$
$AgI$
$Ag$
$A$
$C$
$B$
$Ag$
$б)$

2*

20

Sai số khi đo độ dày lớp AgI bằng phương pháp Fizeau, như trình bày ở trên, bằng $\frac{\lambda}{4} = \frac{\lambda_0}{4n}$. Độ dày của lớp Ag nhỏ hơn 4 lần so với độ dày của lớp AgI nên sai số khi xác định độ dày của lớp bạc là $\frac{1}{4} \cdot \frac{\lambda_0}{4n} = \frac{\lambda_0}{34,4}$.

Để đo độ dày của lớp phủ gương bán buôn, cách dễ nhất là sử dụng một quả bóng từ bộ đồ trang trí cây thông Noel. Một quả bóng như vậy phải được bẻ cẩn thận thành từng mảnh có kích thước khoảng $1 \times 1$ cm. Bạn cũng có thể sử dụng một chiếc gương nhỏ thông thường. Lớp bạc trên gương thường được phủ một lớp sơn, nhưng có thể dễ dàng loại bỏ bằng tăm bông nhúng vào nhựa thông hoặc axeton. Các thử nghiệm thực nghiệm cũng có thể được thực hiện với các tấm mica được phủ một lớp bạc mỏng. Những tấm như vậy được tìm thấy trong các tụ điện phức tạp có giá trị 100–1000 $n\phi$.

Các loại ngũ cốc dưới đây có thể được tìm thấy trong lớp học hóa học ở trường. Đối với bán buôn, các loại hạt có kích thước bằng hạt anh túc hoặc lớn hơn một chút là phù hợp. Nếu không đủ ngũ cốc thì bạn có thể sử dụng lò sưởi thật. Que diêm được làm ẩm trong lò thật, sau khi dung dịch thấm hết, người ta cắt bỏ một đoạn dài 1-1,5 mm. Nó được đặt trên lớp bạc đang được kiểm tra.

Nếu các xúc xích nằm rất gần nhau thì bạn nên sử dụng mặt trăng. Các bóng đèn có thể nhìn thấy rõ hơn và sẽ dễ đếm chúng hơn nếu bạn nhìn vào bức tranh qua kính màu đỏ.

Chưa kết hôn

Chứng minh rằng độ dày của lớp bạc nhỏ hơn độ dày của lớp bạc nằm dưới khoảng 4 lần, nếu biết khối lượng riêng của bạc là 10,5,10$^3$ k$^2$/m$^3$ thì khối lượng riêng của lớp bạc nằm dưới là 5,73,10$^3$ k$^2$/m$^3$ thì khối lượng nguyên tử của bạc là 107,8, trọng lượng phân tử của bạc là 234,7.

U vạc và e. Viết phản ứng tạo thành bạc và so sánh thể tích chiếm giữ của bạc phản ứng với thể tích của bạc thu được. Diện tích mặt cắt ngang trung bình của cả hai lớp được coi là như nhau.

Bài toán cho số chia hết

Dưới đây là một số bài toán mà chúng tôi khuyên bạn nên thử giải bằng phương pháp quy nạp toán học. Phương pháp này thường cho phép chúng ta giải quyết nhiều thứ bài toán thuộc loại này “bằng mọi cách” và giúp chúng ta không phải viết “xảo quyệt” hơn lời giải. Đúng vậy, những “khó khăn” lời giải này thường ngắn hơn nhưng cũng khó nghĩ ra hơn!

Hãy để chúng tôi trình bày ngay một gợi ý - việc gây ra sự phản đối đôi khi có thể được sử dụng nhiều lần.

1. Chứng minh rằng $n^3 + 5n$ chia hết cho ba và $n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n$ chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên $n$.

2. Chứng minh rằng $4^n + 15n - 1$ chia hết cho 9, $5^n - 4n - 1$ chia hết cho 16, $7^n - 6n - 1$ chia hết cho 36, $8^n - 7n - 1$ chia hết cho 49, $(m + 1)^n - m \cdot n - 1$ chia hết cho $m^2$ với mọi số tự nhiên $m$ và $n$.

3. Chứng minh rằng $3^{n+1} + 2^{n+1}$ chia hết cho 7, $5^{2n} - 3^n$ chia hết cho 16, $5^{2n+1} + 3^{n+2}$ chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên $n$.

4. Chứng minh rằng $n^2 - n$ chia hết cho 2, $n^3 - n$ chia hết cho 3, $n^5 - n$ chia hết cho 5, $n^7 - n$ chia hết cho 7, … $n^{p-1}$ trong đó $p$ là số nguyên tố và chia hết cho $p$ với mọi số tự nhiên $n$.

O. S. Berlyand, B. O. Berlyand

21

Mười một vòng tròn

Trên trang thứ tư của bìa có hai mươi ba vòng tròn trong một vòng tròn. Vị trí của mỗi chúng được xác định bởi các điểm tiếp xúc với các đường tròn tham chiếu hoặc với các đường thẳng tham chiếu hoặc với nhau. Tâm của tất cả các vòng tròn hỗ trợ nằm trên đường kính thẳng đứng, các điểm giao nhau của chúng với đường kính này là các điểm cực trị của đường kính, hoặc tâm của vòng tròn hoặc giữa bán kính.

Các vòng tròn được bao quanh bằng nhau có vẻ bằng nhau phải không? Nhưng có lẽ tầm nhìn đang đánh lừa chúng ta? Trong mọi trường hợp, sử dụng la bàn không thể phân biệt được giữa chúng. Vậy loại đẳng thức nào có hiệu lực - chính xác hay gần đúng?

Trong Hình 1, các phần chứa các vòng tròn rõ ràng bị tắc nghẽn so với các vòng liên kết đơn còn lại đã bị xóa khỏi bản vẽ bìa. Mười hai vòng tròn đã biến mất, những vòng còn lại đã bị xóa. Hãy theo dõi bán kính của chúng theo cùng thứ tự. Rõ ràng là nếu có thể chứng minh giả thuyết cho các đường tròn trong Hình 1 thì có thể dễ dàng mở rộng nó ra hình bìa.

Hãy kiểm tra với các vòng tròn màu vàng. Giả sử bán kính của vòng tròn hỗ trợ lớn nhất bằng R. Từ Hình 2, rõ ràng rằng

$$\left(\frac{R}{4}\right)^2 + \left(\frac{R}{2} - r_1\right)^2 = \left(\frac{R}{4} + r_1\right)^2,$$

từ đâu $r_1 = R/6$. Tương tự, từ Hình 3 ta thu được đẳng thức

$$\left(\frac{R}{2} + r_2\right)^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 = (R - r_2)^2,$$

từ đó nó theo sau $r_2 = R/6$. Bây giờ bạn có thể dễ dàng tự mình chứng minh rằng $r_3 = R/6$.

Nhưng để chứng minh rằng $r_4 = R/6$ định lý Pythogoras là chưa đủ; chúng ta phải sử dụng định lý Stewart: nếu trong một tam giác có các dây a, b và c từ đỉnh A đến dây a, vẽ một đoạn có độ dài d (Hình 4), chia nó thành các đoạn m và n, mo

$$d^2 a = b^2 m + c^2 n - amn.$$

Chứng minh định lý Stewart suy ra từ các đẳng thức $c^2 = d^2 + m^2 - 2mp$ và $b^2 = d^2 + n^2 + 2np$, trong đó p là hình chiếu của đoạn d lên đáy của tam giác.

Bán kính của bất kỳ vòng tròn màu trắng nào là R/8. Để chứng minh điều này cho đường tròn thứ mười, chúng ta có thể xét tam giác vuông được đánh dấu màu đỏ trên Hình 5.

Hầu hết mọi thứ đã được chứng minh; bạn có thể dễ dàng tự mình làm phần còn lại. Hoặc có thể bạn sẽ tìm thấy bằng chứng khác?

V. N. Berezin

22

sách bài toán lượng tử

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 8 năm 1975 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Bài toán Kvant, M326, M327” hoặc “… F338”. Lời giải bài toán cho từng môn học (toán và vật lý), cũng như bài toán mới vui lòng gửi trong phong bì riêng. Ngoài ra, vui lòng gửi Bài toán từ các số tạp chí khác nhau trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình). Các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, vui lòng gửi hai bản sao cùng với lời giải của bạn về những bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Những câu khó nhất bài toán được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

Bài toán

M326—M330; F338—F342

M326. Dây của đường tròn cách tâm một khoảng $h$. Một hình vuông được nội tiếp trong mỗi đoạn được bao bọc bởi một dây cung sao cho hai đỉnh liền kề của hình vuông nằm trên cung và hai đỉnh còn lại nằm trên dây cung (Hình 1). Độ dài các cạnh của các hình vuông này có sự khác biệt như thế nào?

E. G. Gotman

Cơm. 1.

M327. Có $N$ người trong công ty. Mỗi người trong số họ thích chính xác $k$ người từ công ty này. Ở mức tối thiểu nào $k$ chúng ta có thể nói rằng chắc chắn sẽ có hai người ở công ty này thích nhau?

MỘT. Kolodin, học sinh lớp 10
(Kolomaia)

M328. Một con ruồi và hai con nhện bò dọc theo một khối tứ diện đều. Ruồi chỉ bò trên sườn, còn nhện bò khắp bề mặt. Tốc độ tối đa của ruồi gấp 2 lần tốc độ tối đa của nhện.

a) Chứng minh rằng ở bất kỳ vị trí ban đầu nào con nhện cũng có thể bắt được ruồi.

b) Điều này có đúng không nếu tốc độ tối đa của ruồi gấp 2 lần tốc độ tối đa của nhện?

c) đáp số sẽ thay đổi như thế nào nếu nhện chỉ được phép bò dọc theo các cạnh của khối tứ diện? trong suốt toàn bộ tập

23

tứ diện? (Con ruồi vẫn chỉ di chuyển dọc theo xương sườn.)
O. Efremov, học sinh lớp 9 (Angarsk)

M329. Một $n$-giác lồi được đặt trong một hình vuông có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng bạn tìm được ba đỉnh $A, B, C$ của $n$-giác này và diện tích của tam giác $ABC$ nhỏ hơn $8/n^2$.
G. Shmelev, học sinh lớp 10 (Yaroslavl)

M330. Có hai đa giác lồi $M_1$ và $M_2$ trên mặt phẳng. Chúng ta hãy biểu thị bằng $M$ tập hợp các điểm mà trung điểm của một đoạn có thể rơi xuống, một đầu thuộc về $M_0$, đầu kia thuộc về $M_1$. Chứng minh rằng $M$ là đa giác lồi.

a) $M$ có thể có bao nhiêu cạnh nếu $M_0$ có $n_0$ và $M_1$ có $n_1$?
b) Chu vi $M$ có thể là bao nhiêu nếu chu vi $M_0$ bằng $P_0$ và $M_1$ bằng $P_1$?
b)* Diện tích của $M$ có thể là bao nhiêu nếu diện tích của $M_0$ là $S_0$ và diện tích của $M_1$ là $S_1$?

N. B. Vasiliev

F338. Hai thanh làm từ các kim loại khác nhau có hệ số giãn nở tuyến tính $a_1$ và $a_2$ ở nhiệt độ $0^\circ C$ có chiều dài hơi khác nhau $l_1$ và $l_2$ và mặt cắt ngang $s_1$ và $s_2$. Ở nhiệt độ nào thì các thanh sẽ có cùng chiều dài a)? b) mặt cắt ngang? b) khối lượng?

B. B. Bukhovtsev

F339. Quả bóng tennis chạm vào một cây vợt nặng và bật lại một cách đàn hồi từ nó. Khối lượng của bóng nhỏ hơn nhiều so với khối lượng của vợt, tốc độ của bóng trước khi va chạm với vợt bằng $v$ và tạo một góc $\alpha = 60^\circ$ với phương vuông góc với vợt. Vợt phải di chuyển với tốc độ không đổi bằng bao nhiêu để quả bóng bị phản xạ vuông góc với hướng chuyển động? Cả trước và sau khi va chạm với vợt, bóng đều không quay.

F340. Một vệ tinh Trái đất có khối lượng $m = 10$ kHz, di chuyển theo quỹ đạo tròn ở các tầng cao của khí quyển, gặp phải lực cản từ không khí loãng. Lực cản $F = 5 \cdot 10^{-4}$ n. Xác định tốc độ của vệ tinh sẽ thay đổi bao nhiêu trong một vòng quay quanh Trái đất. Độ cao bay của vệ tinh so với bề mặt Trái đất được coi là nhỏ so với bán kính Trái đất.

S. M. Kozel

F341. Trong sơ đồ đơn giản nhất của máy phát thủy động lực từ, một tụ điện phẳng có diện tích các bản $S$ và khoảng cách giữa chúng $d$ được đặt trong một dòng chất lỏng dẫn điện có độ dẫn điện riêng σ. Chất lỏng chuyển động với tốc độ không đổi $v$ song song với các tấm. Tụ điện nằm trong từ trường có cảm ứng $B$, hướng vuông góc với vận tốc chất lỏng và song song với mặt phẳng của các bản tụ. Công suất nào được giải phóng trong mạch ngoài có điện trở $R$?

F342. Tìm điện tích của tụ điện 2 (Hình 2), nếu $C_1 = C_2 = C_3 = C$. E.m.f. nguồn $E$, điện trở trong của nguồn $r$.