Kvant 1976, số 4 · Trang

Kvasht
1976
4
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

Bức vẽ “Không gian” của M. Escher đưa ra một ý tưởng hay về mạng tinh thể lập phương (xem bài viết ở trang 6).

1

TRONG PHÒNG:

2. M. Bashmak. Vectơ là gì?
3. Vâng. Geguzin. Thí nghiệm cổ điển với tinh thể
4. V. Levin. Parabol và bất đẳng thức

Phòng thí nghiệm «Kvant»
20. V. Mayer. Trải nghiệm học tập với cấu trúc tích lũy
vòng tròn toán học
22. N. Vasiliev. Bổ sung số liệu

Vấn đề «Kvant»
30. Bài toán M376—M380; F388—F392
32. Lời giải bài toán M336, M337, M339; F348—F352

Xưởng của người nộp đơn
40. N. Rozov, V. Stepanova. Lời khuyên của độc giả
46. I. Molotkov, V. Osipov, S. Slavyanov, P. Tovstik. Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova
47. G. Meledin. Đại học bang Novosibirsk

Đánh giá, thư mục
50. I. Klumova, M. Smolyansky. Sách mới

«Kvant» cho học sinh nhỏ
52. Bài toán
53. L. Flade. Cần hay đủ?
56. Đáp số, gợi ý, lời giải
Góc sưu tầm
64. V. Leshkovtsev. Subvgg, sẽ tồn tại trong nhiều thế kỷ

Quét (tr. 19, 55)

Trong số thứ ba của tạp chí, chúng tôi đã viết về nhiều mô hình máy bay lobachevsky khác nhau. Một phần, bài viết của S. Giidnikin nói về mô hình Poincaré ở nửa mặt phẳng trên, và bài viết của V. Boltyansky nói về mô hình tương tự, nhưng trong một vòng tròn. Nghệ sĩ nổi tiếng người Hà Lan M. Escher đã tìm cách chia mặt phẳng Lobachevsky (trong mô hình Poincaré bên trong một vòng tròn) thành các phần tắc nghẽn (tất nhiên, trên mặt phẳng Lobachevsky) gồm hai loại: “quỷ dữ” và “thiên thần” (xem trang đầu tiên của trang bìa). Escher gọi bức tranh này là “Thiên đường và địa ngục”.

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nuka, «Kvant», 1976

2

Vectơ là gì?

Từ “vectơ” được tìm thấy trong toán học, vật lý và các ngành ứng dụng. Những từ này biểu thị các đối tượng hoàn toàn khác nhau và không giống nhau. Vì vậy, trong sách giáo khoa hình học ở trường, khái niệm vectơ được kết hợp với khái niệm vận chuyển song song (mặt phẳng hoặc không gian). Trong vật lý, khi mô tả một chuỗi đại lượng, người ta nói rằng chúng có tính chất vectơ - như tốc độ chuyển động cơ học, lực hấp dẫn, hướng của từ trường. Điểm chung nào cho phép tất cả các đối tượng này được gọi giống nhau? Bạn cần xây dựng một lý thuyết toán học như thế nào để có được một khái niệm phục vụ được nhu cầu của cả toán học và vật lý? Đây là những gì bài viết nói về.

1. Không gian vectơ

Toán học có một cách tuyệt vời để định nghĩa một khái niệm mới bằng cách mô tả các đặc tính của nó. Vì vậy, ví dụ, thay vì xác định trực tiếp số thực là gì (sử dụng phân số thập phân hoặc cách khác), hầu hết các cuốn sách đều liệt kê các thuộc tính cơ bản của chúng, những thuộc tính sẽ được sử dụng trong tương lai. Cách tiếp cận này - nó được gọi là tiên đề - rất phổ biến trong toán học hiện đại. Khóa học hình học ở trường được cấu trúc chính xác như thế này. Họ sẽ xây dựng tương tự với vectơ - chúng liệt kê các tính chất chung vốn có trong tất cả các đại lượng vectơ, được tìm thấy cả trong toán học và trong các ứng dụng của nó.

Như mọi khi với cách tiếp cận tiên đề, chúng ta sẽ định nghĩa không phải một “vectơ” cô lập, đơn lẻ là gì mà là tổng thể các vectơ cùng một lúc - một không gian vectơ.

Không gian vectơ là tập M có hai phép toán thỏa mãn một yêu cầu nhất định *). Tuy nhiên, các thao tác này (thường gọi là phép cộng) gán phần tử thứ ba cho mỗi cặp a, b của tập hợp M (phần tử này được gọi là tổng của các phần tử a và b và ký hiệu là a + b). Phép toán thứ hai gán cho mỗi phần tử a của tập M và mỗi số thực λ một phần tử của tập M gọi là tích của phần tử a và số λ (“tích” này được ký hiệu là λa).

Chúng ta hãy liệt kê các yêu cầu (các tiên đề không gian vectơ) mà các phép toán này phải đáp ứng:

1°. Phép cộng các vectơ tuân theo định luật tổ hợp (kết hợp) và giao hoán (giao hoán):
$$x + (y + z) = (x + y) + z;$$
$$x + y = y + x.$$

2°. Có một vectơ 0: 0, sao cho x + 0 = x.

3°. Với mỗi vectơ có một vectơ có tổng với vectơ gốc là vectơ 0.
$$4^\circ. (\lambda_1 \lambda_2)x = \lambda_1(\lambda_2x).$$
$$5^\circ. (\lambda_1 + \lambda_2)x = \lambda_1x + \lambda_2x.$$
$$6^\circ. \lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y.$$
$$7^\circ. 1 \cdot x = x.$$

Ở đây x, y, z là các vectơ tùy ý, $\lambda, \lambda_1$ và $\lambda_2$ là bất kỳ số thực nào.

2. Ví dụ về vectơ không gian

Các vectơ quan trọng đối với chúng ta là các đoạn có hướng trên một mặt phẳng. Tuy nhiên, để sắp xếp một vector pro-
*) So sánh với định nghĩa về bình ở «Kvant», 1974, số 2, tr. 4.

3

cuộc hành trình không hề dễ dàng chút nào. Vì vậy chúng ta sẽ bắt đầu với những ví dụ đơn giản hơn.

1. hàm tuyến tính
   Hãy xem xét tất cả các hàm tuyến tính có thể có (cho tập R của tất cả các số thực). Mỗi hàm như vậy được cho bằng: $x \rightarrow ax + b$. Rõ ràng là tổng của hai hàm tuyến tính lại là hàm tuyến tính. Theo cách tương tự, nếu bạn nhân một hàm tuyến tính với một số, bạn sẽ nhận được một hàm tuyến tính lần nữa. Hơn nữa, tất cả các tiên đề $1^\circ - 7^\circ$ đều thỏa mãn và do đó, tập hợp các hàm tuyến tính với các phép toán này là một không gian vectơ.

2. Chuyển song song
   Chúng ta hãy xem xét tập hợp tất cả các bản dịch song song của mặt phẳng. Chúng có thể được thêm vào, thực hiện tuần tự lần lượt, nhân với các số. Đây là không gian vectơ bạn gặp ở trường.

3. Không gian hàng
   Hãy xem xét các chuỗi có độ dài cố định $n$ của số thực: $(a_1, a_2, \dots, a_n)$. Hãy xác định việc thêm các chuỗi và nhân chúng với các số theo từng phần tử:
   $$(a_1, a_2, \dots, a_n) + (b_1, b_2, \dots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n);$$
   $\lambda (a_1, a_2, \dots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \dots, \lambda a_n)$. Rõ ràng, các chuỗi có độ dài $n$ với các phép toán xác định như vậy sẽ tạo thành một không gian vectơ.

4. Bộ ba hình vuông
   Tập hợp các bộ ba hình vuông $\{ax^2 + bx + c\}$ (các số $a, b, c$ cũng có thể là số 0) cũng tạo thành một không gian vectơ đối với các phép toán tổng quát là cộng các đa thức và nhân chúng với các số.

5. Đa thức
   Tập hợp tất cả các đa thức có cùng phép tính cũng tạo thành một không gian vectơ.

6. Chức năng
   Tất cả các hàm được xác định trên một tập số A nào đó tạo thành một không gian vectơ đối với các phép toán tổng quát của A, được hình thành đầu tiên trên số B (tức là một đoạn có hướng thuộc lớp thứ hai được đặt ra khỏi B) và nếu điểm C là điểm cuối của đoạn thứ hai thì AC là đoạn có hướng thuộc lớp tương ứng với tổng các vectơ. Chúng ta phải chứng minh một cách độc lập rằng định nghĩa về tổng này là đúng, tức là kết quả không phụ thuộc vào phân đoạn có hướng nào từ lớp đầu tiên mà chúng ta chọn. Đưa ra định nghĩa bằng hình ảnh về phép nhân với một số. (Xử lý các vectơ tự do rất khó vì

4

rằng mỗi trong số chúng đại diện cho toàn bộ lớp các phân đoạn được định hướng. Về mặt đồ họa, chúng tôi luôn mô tả mỗi lớp bằng một phân đoạn mà chúng tôi có thể chọn theo ý mình. Vì vậy, chúng ta phải kiểm tra xem kết quả có phụ thuộc vào các đại diện tùy ý mà chúng ta chọn hay không.

3. tọa độ

Hãy quay lại ví dụ đầu tiên của chúng ta - không gian vectơ của các hàm tuyến tính.

Hãy xem xét hai chức năng:
$$f_1: x \rightarrow x,$$
$$f_2: x \rightarrow 1.$$

Bất kỳ hàm $f: x \rightarrow ax+b$ nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các hàm sau: $f=af_1+bf_2$. Cặp số $(a, b)$ được gọi là tọa độ của hàm tuyến tính $f$.

Điều đáng chú ý là khi cộng các hàm tuyến tính, tọa độ của chúng cộng lại như những đường thẳng:
$$f_1: x \rightarrow ax+b \leftrightarrow (a, b),$$
$$f_2: x \rightarrow cx+d \leftrightarrow (c, d),$$
$$f_1+f_2: x \rightarrow (a+c)x+(b+d) \leftrightarrow (a+c,b+d);$$
Nhưng
$$(a+c,b+d)=(a,b)+(c,d).$$

Hãy đưa ra một vài ví dụ nữa. Trong không gian vectơ của các bản dịch song song của một mặt phẳng, bạn có thể chọn hai bản dịch song song (ví dụ: thành hai vectơ không song song có độ dài 1), trong đó bất kỳ bản dịch nào được phân tách; các hệ số của sự khai triển này được gọi là tọa độ của phép truyền tương ứng.

Xét trong không gian vectơ của các dây có độ dài $n=4$
$$f_1=(1,0,0,0), f_2=(0,1,0,0),$$
$$f_3=(0,0,1,0), f_4=(0,0,0,1).$$

Chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ chuỗi $f=(a_1,a_2,a_3,a_4)$ nào dưới dạng
$$f=a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+a_4b_4;$$
các số $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ được gọi là tọa độ của hàng $f$.

Trong không gian vectơ của tam thức vuông, với tam thức tùy ý $f=ax^2+bx+c$ ta có:
$$f=af_1+bf_2+cf_3,$$
$$f_1=x, f_2=x^2, \dots, f_n=x^n, \dots.$$

Khi đó đa thức $F$ bất kỳ có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các đa thức đã chọn; các hệ số khai triển của đa thức $F$ thành đa thức $f_0, f_1, \dots$ là tọa độ của nó:
$$F(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...$$
$$...+a_1x+a_0=a_mf_m+a_{m-1}f_{m-1}+...$$
$$...+a_1f_1+a_0f_0 \leftrightarrow (a_m,a_{m-1},...,a_1,a_0).$$

Bây giờ chúng ta có thể hỏi một số câu hỏi. Làm cách nào để chọn một hệ vectơ trong một không gian nhất định mà bất kỳ vectơ nào của không gian này có thể bị phân tách? Khi nào những hệ thống này có thể được chọn làm hệ thống cuối cùng? Sự phân hủy này độc đáo đến mức độ nào? Và các hệ số khai triển có liên quan như thế nào với các hệ vectơ khác nhau?

Đáp số những câu hỏi này được trả lời bởi nhánh toán học được gọi là đại số tuyến tính. Dưới đây là một cái nhìn nhanh về một số kết quả.

1. Không gian vectơ nghịch đảo là hữu hạn chiều và vô hạn chiều. Trong các hệ hữu hạn chiều, có các hệ vectơ hữu hạn mà bất kỳ vectơ nào trong không gian đều có thể được khai triển. Trong các ví dụ của chúng tôi, không gian của các hàm tuyến tính, tam thức bậc hai, chuỗi, các phép tịnh tiến song song và vectơ tự do là hữu hạn chiều. Không gian của mọi đa thức và mọi hàm số đều là vô hạn chiều.

2. Đối với không gian hữu hạn chiều, chúng ta có thể chỉ định số $n$ nhỏ nhất sao cho có vectơ $n$ mà bất kỳ vectơ nào trong không gian đều có thể được mở rộng. Con số $n$ này được gọi là chiều của không gian. Như vậy, không gian hàm số tuyến tính có chiều 2, không gian tam thức bình phương

6

Y. GEGUZIN
CỔ ĐIỂN
THÍ NGHIỆM
VỚI TINH THỂ

Người ta phải có loại kinh nghiệm gì để đạt được danh hiệu cao nhất—cổ điển? Hãy đơn giản và màu đỏ? Bất ngờ về mặt thiết lập và kết quả thu được? Chúng ta có nên đóng góp nhiều hơn cho sự phát triển của một số lĩnh vực khoa học không? Proilko-stryurovymluật pháp cơ bản thời kỳ? Rõ ràng, tất cả những dấu hiệu này đều có trong kinh nghiệm cổ điển ở những mức độ khác nhau.

8

ước tính độ bền kéo của tinh thể.

Độ bền kéo của tinh thể là tỷ lệ giữa lực mà nó phát triển với diện tích mặt cắt ngang nơi sẽ xảy ra hiện tượng vỡ: $\sigma_{\text{np}} = F/S$.

Điều tự nhiên khi cho rằng lực $F$ là tổng của các lực $f$ tác dụng lên từng cặp $n$ tương tác: $F = nf$. Nếu diện tích mặt cắt ngang của mẫu tại vị trí đứt gãy là $S$ và khoảng cách giữa chúng (hằng số mạng) là $a^*$, thì $n = S/a^2$. Và vì tinh thể là chất rắn và lực tương tác giữa chúng được mô tả bằng định luật Coulomb, nên

$$f = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2},$$

trong đó $q$ là giá trị tuyệt đối của điện tích ion.

Vì thế,

$$\sigma_{\text{np}} = \frac{F}{S} = \frac{nf}{S} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{a^4}.$$

Trong tinh thể NaCl, điện tích trùng với điện tích của electron, tức là $q = e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ к}$, giá trị là $a = 5,3 \cdot 10^{-10} \text{ м}$, do đó $\sigma_{\text{np}} \approx 2,6 \cdot 10^9 \text{ н/m}^2$. Giá trị này gần với giá trị theo lý thuyết chính xác.

Sự đơn giản và rõ ràng của việc đánh giá được thực hiện không được làm mất đi cái nhìn sâu sắc của nhà lý thuyết trong mắt người đọc. Nửa thế kỷ sau, thật dễ dàng và đơn giản để chúng ta hiểu được ý tưởng tính toán, vì sự vĩ đại của Borna đã ở phía sau chúng ta. Năm 1915, ông không có người tiền nhiệm, có tư duy độc lập và cách mạng. Bourne là một bậc thầy vĩ đại.

Hiểu được sự mâu thuẫn giữa các tính toán chính xác và dữ liệu thực nghiệm, Ioffe đã phải nhận ra các khả năng sau: lý thuyết sai hoặc người thực nghiệm sai. Giả định thứ hai đáng lẽ phải bị bác bỏ mà không do dự, bởi vì ngay cả khi điều khó tin có xảy ra thì nghiên cứu trong phòng thí nghiệm cũng sẽ xảy ra.

*) Muối mỏ (NaCl) có mạng tinh thể lập phương - natri và clo xen kẽ nằm ở phía trên của các khối.

Nếu chúng dựa trên 500 lần, chúng sẽ được sửa chữa bằng cách xử lý tinh thể NaCl hàng thế kỷ của con người. Nếu quả thực, sức mạnh của họ phù hợp với lý thuyết thì việc lấy một khối muối trong adit, dùng cuốc và nghiền khối này thành bột sẽ không dễ dàng như vậy. Những người thử nghiệm đã đúng 500 lần!

Và nhà lý thuyết hầu như không nhầm lẫn nhiều như vậy: suy nghĩ của ông rất logic và ông đã giải thích thành công nhiều sự kiện khác.

Sự thật phải được tìm thấy ở một nơi khác. Đây là lúc bạn cần làm quen, bạn cần có cái nhìn bất ngờ về tình hình hiện tại. Abram Fedorovich Ioffe bị ấn tượng bởi một ý tưởng tuyệt vời.

Ý tưởng bất ngờ

Ioffe lý do như sau: nhà lý thuyết không nhầm, nhưng anh ta đang tính toán một tình huống lý tưởng khi tương tác của tất cả $n$ paron đồng thời dừng lại. Và nếu điều này không xảy ra đồng thời, tức là các kết nối giữa chúng lần lượt bị phá vỡ? Khi đó, rất có thể sự phá hủy mẫu sẽ không xảy ra ngay lập tức và ứng suất sinh ra sẽ nhỏ hơn đáng kể so với ứng suất theo lý thuyết.

Ioffe đã đưa ra một lý do cụ thể cho việc ngắt kết nối không đồng thời mà anh ấy yêu cầu. Anh cho rằng

Hình 1.

tĩnh mạch có vết nứt vi mô trên bề mặt của tinh thể. Khi tinh thể được tải đến một giá trị dưới cường độ “lý thuyết” của vết nứt trong UCT (vùng $a$ trong Hình 1), trong một thể tích nhỏ của tinh thể, ứng suất có thể xuất hiện tại đó liên kết giữa các vết nứt bắt đầu bị phá vỡ. Điều này có nghĩa là vết nứt sẽ lan sâu vào mẫu, xuyên qua và chia thành hai phần. Nhưng tinh thể sẽ sụp đổ không phải vì tất cả các liên kết trong mặt phẳng đứt gãy bị phá vỡ cùng một lúc, mà vì sự phá hủy liên kết liên tiếp phải xảy ra và một vết nứt sẽ phát triển và làm tinh thể vỡ vụn.

Cách Ioffe tưởng tượng về cơ chế phá hủy tinh thể có thể được minh họa rõ ràng bằng một thí nghiệm mẫu. Nó rất đơn giản và kết quả của nó không còn nghi ngờ gì nữa. Trên bàn microsopp có một tấm mica mỏng được căng ra, ở đầu bên của nó có một vết cắt sắc và nông. Mô hình nhựa là một tinh thể, một vết cắt tượng trưng cho một vết nứt trên bề mặt của nó. Với sự chiếu sáng đặc biệt (trong ánh sáng phân cực), có thể phân biệt các vùng chịu ứng suất trong tấm mica: ứng suất càng lớn thì vùng tương ứng càng tối. Vì vậy, trong chuỗi khung hình của bộ phim mà chúng tôi đã chiếu (Hình 2), rõ ràng là trong UCT của rãnh, ứng suất thực sự là tối đa và tấm bị phá hủy do chuyển động của UCT ứng suất xuyên qua nó. Hơn nữa, điều này xảy ra ở mức ứng suất thấp hơn đáng kể so với mức cần thiết để phá hủy tấm mà không cần cắt.

Trong phiên bản đơn giản hóa, bạn có thể tự mình thực hiện một thí nghiệm tương tự mà không cần dùng đến kính hiển vi, ánh sáng phân cực hoặc phim. Bạn có thể thấy đơn giản rằng việc xé một dải giấy sẽ dễ dàng hơn nhiều bằng cách kéo dãn nó nếu bạn cắt một đường nhỏ trên đó trước tiên.

11

Các quả bóng và bề mặt của con voi vẫn chưa đủ căng. Các vết nứt không phát triển và tinh thể vẫn giữ được tính toàn vẹn.

Có những phản đối khác đối với những lời giải thích do Ioffe đề xuất. Phòng thí nghiệm của ông đã tranh luận với những người phản đối, tiến hành nhiều thí nghiệm kiểm soát, tụt hậu (và bảo vệ) cả sự tồn tại của hiệu ứng lẫn cách giải thích của nó.

Tuy nhiên, câu hỏi được đặt ra: tại sao các vết nứt trên bề mặt tinh thể lại được quyết định bởi độ bền của nó? Cấu trúc thể tích của mẫu có hoàn toàn không có khuyết tật, không có các vết nứt “thể tích”, không ảnh hưởng đến sự hiện diện hay vắng mặt của nước trên bề mặt mẫu? Thật vậy, cũng có thể vai trò của bề mặt vết nứt sẽ không mang tính quyết định. Có thể, nhưng trong trường hợp muối thì không có muối!

Có lẽ hoàn cảnh này làm giảm đi tầm quan trọng và tính tổng quát của hiệu ứng? Có lẽ chúng ta đang nói về một trường hợp khám phá mới của người thực nghiệm, một khám phá có giới hạn và có lợi ích riêng tư? Tất nhiên là không! Đây là về một cái gì đó khác. Nhờ thực tế là một vật thể được tìm thấy ở nơi bề mặt của các vết nứt biểu hiện cực kỳ rõ ràng, vật lý học đã được bổ sung thêm sự hiểu biết rõ ràng về ảnh hưởng có thể có của các khuyết tật bề mặt đối với tính chất cơ học của tinh thể. Một phần sự thật về các quy luật tự nhiên hóa ra lại nằm trong “hiệu ứng Ioffe”.

Abram Fedorovich Ioffe là một nhà khoa học tính toán; trong suốt cuộc đời của mình, ông đã xem các sách giáo khoa vật lý có đoạn “Hiệu ứng Ioffe” và nhìn thấy các thẻ về các quy trình công nghệ kỹ thuật trong đó sản phẩm đạt được công dụng đáng kể nhờ loại bỏ các vết nứt trên bề mặt.

II. KINH NGHIỆM LUKIRSKY

Chiến tranh, năm 1943, một căn phòng lớn ở Đại học Kazan được chia thành nhiều phòng nhỏ, trong mỗi phòng có một nhóm các nhà vật lý từ Viện Vật lý và Công nghệ Leningrad, những người đã được sơ tán đến Kazan. Tại một trong những phòng thí nghiệm ngẫu hứng có nhân viên của Giáo sư Pyotr Ivanovich Lukirsky. Rất nhiều thứ liên quan đến công việc quốc phòng, và giáo sư cùng các nhân viên của ông đang bận rộn với chúng. Nhưng để thể hiện sự tò mò tự nhiên của nhà khoa học xào xạc - các thí nghiệm với các tinh thể đá coli đơn lẻ. Chúng đã trở thành kinh điển của vật lý tinh thể và tôi muốn nói về chúng.

Cả về mặt khái niệm và cách thực hiện, những thí nghiệm này đều có giá trị và chỉ khác nhau về đối tượng nghiên cứu, chính xác hơn là về hình thức và hình dạng của mẫu được nghiên cứu.

Một phiên bản của thí nghiệm đã diễn ra như thế này. Một ống trụ được đánh bóng cẩn thận làm từ một tinh thể đá coli duy nhất đã được ủ ở nhiệt độ cao trong thời gian dài; Hình trụ được định hướng song song với cạnh của khối tinh thể có giới hạn tự nhiên. Nếu trước khi ủ hình trụ lăn lặng lẽ dọc theo một bề mặt thủy tinh hơi nghiêng, thì sau khi ủ, bề mặt lăn đi kèm với một chuyển động đồng đều, như thể xuất hiện các đường gân trên bề mặt hình trụ - bốn đường gân cách đều nhau. Những đường gân này có thể được nhìn thấy bằng cách kiểm tra hình trụ đã ủ dưới ánh sáng phản chiếu.

Trong một biến thể khác, một quả cầu đơn tinh thể được đánh bóng cẩn thận cũng được ủ. Sau khi ủ, các điểm nổi bật của dây tóc có thể được nhìn thấy rõ ràng trên bề mặt của nó dưới ánh sáng phản xạ (Hình 3) *); không có gì trước khi ủ.

*) Trong ảnh trên, bạn có thể thấy ánh sáng chói có nhiều hình dạng khác nhau. Điều này là do thực tế là trong tinh thể có các trục đối xứng có bậc khác nhau. (Một số đường thẳng được gọi là trục đối xứng bậc $k$ đối với một vật thể nhất định nếu, khi vật thể quay quanh đường thẳng này một góc $360^\circ/k$, thì nó thẳng hàng với chính nó.) Cụ thể, khối hình elip tương ứng với trục đối xứng bậc hai và khối hình vuông tương ứng với trục đối xứng bậc bốn.

12

Kết quả của cả hai thí nghiệm có thể được hình thành như sau: các tinh thể muối mỏ, được thổi thành hình trụ hoặc hình cầu không đặc trưng cho chúng, có xu hướng khôi phục lại hình dạng khối lập phương - giới hạn tự nhiên của chúng, hoặc, như các nhà tinh thể học nói, “khí tự nhiên”. Nhiệt độ cao trong các thí nghiệm này chỉ cần thiết để mang lại hoạt động cho một số cơ chế chuyển khối tinh thể cần thiết cho sự hình thành “khí tự nhiên”. Tất nhiên, các tinh thể sẽ “thích” một trong những cơ chế giúp chúng có cơ hội nhanh chóng loại bỏ không khí có hình dạng nhất định và khôi phục lại hình dạng tự nhiên của chúng.

Tại sao tinh thể cố gắng đạt đến giới hạn tự nhiên? Hóa ra, trong vô số ý tưởng khác, chính ý tưởng này mang lại năng lượng bề mặt thấp nhất của tinh thể cho một thể tích nhất định *). Cụ thể, năng lượng tối thiểu là đặc trưng của trạng thái cân bằng, tức là trạng thái tự nhiên nhất của tinh thể. Về mặt toán học, hành vi này của tinh thể được mô tả bằng quy tắc Curie-Wolfe. Nó có thể được hình thành như sau: nếu một tinh thể có thể tích $V$, được giới hạn bởi các cạnh $n$, cạnh thứ $i$ của nó có diện tích bề mặt là $s_i$ và năng lượng bề mặt là $\alpha_i$, thì

$$\sum_{i=1}^{n} s_i \alpha_i \rightarrow \text{minimum при } V = \text{const.}$$

Trong ký hiệu này, mũi tên chỉ xu hướng của tinh thể làm cho tổng năng lượng bề mặt của nó ở mức tối thiểu, miễn là thể tích không đổi. Kinh nghiệm của Lukirsky cho thấy rõ ý nghĩa của mũi tên biểu tượng.

Quy tắc Curie-Wolfe khôn ngoan có vẻ mâu thuẫn với phát biểu không kém phần khôn ngoan của hình học, theo đó, trong tất cả các vật thể có một thể tích nhất định, hình cầu có bề mặt tối thiểu. Do đó, nếu một tinh thể đơn hình cầu có xu hướng giảm năng lượng bề mặt thì có vẻ như nó không bị giới hạn vì trong trường hợp này bề mặt của nó sẽ chỉ tăng lên. Bề mặt thực sự sẽ tăng lên - hình dạng đúng. Nhưng năng lượng sẽ giảm, bởi vì trong quá trình giới hạn, các diện tích bề mặt có năng lượng bề mặt riêng lớn (tức là năng lượng bề mặt so với một đơn vị diện tích bề mặt) biến mất và các bề mặt xuất hiện trong giới hạn tự nhiên, có năng lượng bề mặt thấp hơn, sẽ phát triển. Và hiệu ứng này đóng vai trò lớn hơn năng lượng tăng bề mặt. Diện tích bề mặt tăng nhưng năng lượng giảm! Quá trình biến đổi hình dạng của cả hình trụ và quả bóng xảy ra sao cho ở mỗi giai đoạn tiếp theo, năng lượng của chúng

13

bề mặt thay đổi năng lượng ở giai đoạn trước.

Các thí nghiệm của Lukirsky minh họa rất rõ ràng về mặt định tính xu hướng cơ bản mà các tinh thể tuân theo, tự biến đổi hình dạng của chính chúng. Những thí nghiệm này đã dẫn đến hàng trăm thí nghiệm khác trong đó quá trình này tiếp tục được nghiên cứu. Ví dụ, các thí nghiệm sau đây đã được thực hiện. Mặt phẳng có mặt cắt ngang tùy ý của tinh thể được đánh bóng cẩn thận, nhưng ở nhiệt độ cao, bề mặt gương bị phá vỡ và xuất hiện nhiều nguyên tố khác nhau, chẳng hạn như

Hình 4.

bề mặt thay đổi năng lượng ở giai đoạn trước.

Hình 5.

gọi là “độ nhám tự nhiên”.

Trong nhiều năm, những bức ảnh chụp bề mặt tinh thể đã được treo trên tường phòng thí nghiệm của chúng tôi. Hãy nhìn vào bức ảnh chụp một tinh thể đồng được hiển thị trong Hình 4. Chúng tôi gọi nó là “cầu thang của đài phun nước Peterf” - các sọc sáng và tối xen kẽ không nhìn thấy được trên đó, thực sự lấp đầy cầu thang dọc theo đó nước chảy thành dòng liên tục. Bề mặt của môi trường tinh thể được đánh bóng cẩn thận, và sau khi ủ, nó trở nên thô ráp, biến thành một tập hợp các bậc thang, các đường gân của chúng được định hướng giống như các đường gân trong một tinh thể đơn đồng giới hạn.

Một bức ảnh khác chụp bề mặt tinh thể (Hình 5) được gọi là “thành phố lều”. Nó cho thấy một tập hợp các phần nhô ra hình tam giác nhọn, được giới hạn bởi các mặt phẳng giống như tinh thể đơn cân bằng.

Tại sao một tinh thể, được mổ xẻ dọc theo một mặt phẳng tùy ý, không bị giới hạn về tổng thể, giống như một quả cầu trong opite của Lukirsky, nhưng lại được phép hình thành “cầu thang Peterf” và “thành phố lều”? Đúng vậy, đơn giản vì cả “cầu thang” và “thị trấn” đều chỉ là các giai đoạn trên con đường đạt đến trạng thái cân bằng thực sự, các giai đoạn đạt được nhanh hơn, với ít sự chuyển khối lượng hơn so với dạng cân bằng thực sự của toàn bộ tinh thể. Và trên bề mặt các mẫu của Lukirsky, có thể quan sát thấy các dạng trung gian. Tuy nhiên, do thực tế là ở nhiệt độ cao, sự truyền khối cần thiết diễn ra nhanh chóng trong các tinh thể muối mỏ, nên trong quá trình phấn đấu đạt được trạng thái cân bằng của Lukirsky đã đi xa đến mức người ta có thể quan sát thấy ánh sáng chói trên quả cầu, và khi hình trụ lăn, người ta có thể nghe thấy tiếng gõ.

14

V. Levin

Parabol và bất đẳng thức

Tổ tiên của tất cả các bất đẳng thức giống hệt nhau là bình phương của bất kỳ số thực nào đều không âm: $x^2 \geq 0$. Thực tế này cũng có thể được xây dựng theo cách này: đồ thị của hàm $y = x^2$ (parabol) không vượt qua trục abscissa (Hình 1). Dấu bằng trong bất đẳng thức $x^2 \geq 0$ chỉ xảy ra tại $x = 0$ (parabol $y = x^2$ tiếp xúc với trục x tại gốc tọa độ).

Trong lưu ý này, chúng ta sẽ nói về cách xây dựng các bất đẳng thức phức tạp hơn dựa trên bất đẳng thức cơ bản này.

1. Xét tam thức bậc hai

$$y = Ax^2 + 2Bx + C, \quad A \neq 0;$$

đồ thị của nó cũng là một parabol. Hãy tìm điều kiện cần và đủ để thỏa mãn bất đẳng thức với mọi giá trị thực của $x$

$$Ax^2 + 2Bx + C \geq 0. \quad (1)$$

Những điều kiện này được tìm thấy rất dễ dàng. Đầu tiên, điều cần thiết là $A$ phải dương, vì đối với $A < 0$ luôn có các giá trị ​$x$ mà bất đẳng thức (1) không phụ thuộc (điều này tất nhiên là rõ ràng, từ thực tế là đối với $A < 0$ parabol hoặc cắt trục hoành hoặc mọi thứ đều nằm bên dưới trục). Lấy ví dụ: $x = x_0 = m + \sqrt{m^2 + m}$, trong đó $m$ được chọn

Hình 1.

15

Hình 2.

$$AC = B^2, \text{ и именно при } x = -\frac{B}{A} \text{ (рис. 2 и 3).}$$

2. Hãy lấy số thực tùy ý

$$a_1, a_2, \dots, a_N; b_1, b_2, \dots, b_N; N \geqslant 1,$$

và một số $x$, rồi viết bất đẳng thức hiển nhiên sau:

$$(a_1x + b_1)^2 + (a_2x + b_2)^2 + \dots + (a_Nx + b_N)^2 \geqslant 0. \tag{3}$$

Nó có thể được viết lại thành $Ax^2 + 2Bx + C \geqslant 0,$

Ở đâu

$$A = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_N^2,$$

$$B = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_Nb_N,$$

$$C = b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_N^2.$$

Giả sử rằng không phải tất cả $a_n$ ($n = 1, 2, \dots, N$) đều bằng 0. Sau đó chúng ta có thể phát biểu rằng $A > 0$.

Vì chúng ta biết rằng bất đẳng thức (3) phải đúng với mọi giá trị thực $x$, nên theo điều kiện $AC \geqslant B^2$, phải có

$$(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_N^2) \times (b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_N^2) \geqslant (a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_Nb_N)^2. \tag{4}$$

Rõ ràng, bất đẳng thức này đúng, với dấu bằng và khi $a_1 = a_2 = \dots = a_N = 0$, vì vậy chúng ta có thể loại bỏ yêu cầu rằng ít nhất một $a_n$ phải khác 0.

Bất đẳng thức (4) gọi là bất đẳng thức Cauchy (Augustin Louis Cauchy (1789–1857) – một nhà văn nổi tiếng người Pháp

16

Hình 4.

thì bất đẳng thức Cauchy đơn giản nhất (5) được biểu diễn dưới dạng
$$|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)^2 \leqslant \frac{|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2}{c_1^2}, \dots, \frac{|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2}{c_N^2}.$$
nghĩa là, $\cos^2\varphi \leqslant 1$, trong đó $\varphi = |\alpha - \beta|$ là góc giữa vectơ $\vec{a} = (a_1, a_2)$ và $\vec{b} = (b_1, b_2)$.

Trong trường hợp $N > 2$ tùy ý, bất đẳng thức (K) cũng có thể được viết là $\cos^2\varphi \leqslant 1$ bằng cách đặt góc $\varphi$ một cách thích hợp giữa hai vectơ $(a_1, a_2, \dots, a_N)$ và $(b_1, b_2, \dots, b_N)$ trong không gian $N$ chiều.

3. Bất đẳng thức Cauchy có rất nhiều ứng dụng. Chúng ta sẽ sử dụng nó để suy ra những bất đẳng thức khác phức tạp hơn một chút.

Xét hai dãy: dãy $a_1, a_2, \dots, a_N$ và dãy $c_1, c_2, \dots, c_N$ với các số hạng khác 0.

Theo bất đẳng thức (K) ta có
$$(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^2 = \left(a_1 c_1 \cdot \frac{1}{c_1} + a_2 c_2 \cdot \frac{1}{c_2} + \dots + a_N c_N \cdot \frac{1}{c_N}\right)^2 \leqslant \left(a_1^2 c_1^2 + a_2^2 c_2^2 + \dots + a_N^2 c_N^2\right) \left(\frac{1}{c_1^2} + \frac{1}{c_2^2} + \dots + \frac{1}{c_N^2}\right).$$
Hãy đặt
$$\frac{1}{c_1^2} + \frac{1}{c_2^2} + \dots + \frac{1}{c_N^2} = C_N,$$
và viết bất đẳng thức (6) dưới dạng
$$(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^2 \leqslant C_N \left(a_1^2 c_1^2 + a_2^2 c_2^2 + \dots + a_N^2 c_N^2\right).$$
(7)

Dấu bằng trong (7) đúng khi và chỉ nếu các chuỗi $a_1 c_1, a_2 c_2, \dots, a_N c_N$ và $\frac{1}{c_1}, \frac{1}{c_2}, \dots, \frac{1}{c_N}$ tỷ lệ thuận (dễ dàng thấy rằng điều này tương đương với các chuỗi tỷ lệ mạnh $a_1, a_2, \dots, a_N$ và $\frac{1}{c_1^2}, \frac{1}{c_2^2}, \dots, \frac{1}{c_N^2}$).

Hệ số $C_N$ trong bất đẳng thức (7) được gọi là hằng số bất đẳng thức *).

Các bất đẳng thức thú vị nhất thuộc loại (7) là những bất đẳng thức có hằng số nhỏ hơn một số nhất định $C$ với mọi $N$: $C_N < C$. Điều này sẽ đúng nếu có giới hạn

$$\lim_{N \to \infty} C_N = \lim_{N \to \infty} \left(\frac{1}{c_1^2} + \frac{1}{c_2^2} + \dots + \frac{1}{c_N^2}\right) = C,$$
nghĩa là, nếu một chuỗi vô hạn
$$\frac{1}{c_1^2} + \frac{1}{c_2^2} + \dots + \frac{1}{c_N^2} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{c_n^2}$$
hội tụ đến tổng $C^*$.

Ví dụ. Hãy đặt $c_n = n$, $n = 1, 2, \dots, N$.

Khi đó bất đẳng thức (7) sẽ có dạng $(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^2 \leqslant C_N \left(a_1^2 + 2^2 a_2^2 + 3^2 a_3^2 + \dots + N^2 a_N^2\right)$ (8)
với hằng số
$$C_N = 1 + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{N^2}.$$

*) Một hằng số vì $C_N$ giống nhau đối với tất cả các chuỗi $a_1, a_2, \dots, a_N$.

**) Về giới hạn, xem bài viết của M. Gerver “20 bài toán về giới hạn”, “Quant”, 1974, số 3; về chuỗi vô hạn - một bài viết của cùng tác giả “Từ việc thay đổi vị trí của các số hạng …”, “Quant”, 1974, số 9.

18

trong đó $\alpha_n$ là các giá trị của góc giữa các đoạn $OM_{n-1}$ và $OM_n$, $n = 1, 2, \dots, N$.
Vì vậy, chúng ta có thể viết đẳng thức
$$t = \sqrt{t^2 + (n-1)^2} \quad \sqrt{t^2 + n^2} \sin \alpha_n$$
từ đó
$$\sin \alpha_n = \frac{t}{\sqrt{t^2 + (n-1)^2} \sqrt{t^2 + n^2}} > \frac{t}{t^2 + n^2},$$
đó là
$$\frac{t}{t^2 + n^2} < \sin \alpha_n, n = 1, 2, \dots, N.$$
Sau đó
$$C_N = \frac{t}{t^2 + 1} + \frac{t}{t^2 + 2^2} + \dots$$
$$\dots + \frac{t}{t^2 + N^2} < \alpha_1 + \alpha_2 + \dots$$
$$\dots + \alpha_N < \frac{\pi}{2},$$
và chúng ta nhận được sự bất bình đẳng
$$(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^2 < \frac{\pi}{2} \left( tP + \frac{1}{t} Q \right),$$
hợp lệ cho mọi giá trị dương của $t$.

Hãy đặt $t = \sqrt{\frac{Q}{P}}$; với lựa chọn $tP + \frac{1}{t} Q = 2\sqrt{PQ}$ này, và chúng ta thu được bất đẳng thức Carlson thường được viết dưới dạng
$$(a_1 + a_2 + \dots + a_N)^4 < \pi^2 (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_N^2) (a_1^2 + 2^2 a_2^2 + \dots + N^2 a_N^2).$$

Bất đẳng thức này đúng với mọi $N \geqslant 1$; nó có thể được mở rộng thành chuỗi vô hạn. Trong bất đẳng thức này CONSTANTA $\pi^2$ —

*) Đạo hàm của bất đẳng thức Carlson được trình bày ở đây (ngoại trừ ước lượng cơ bản $C_N$) thuộc về nhà toán học nổi tiếng người Anh Godfrey Harold Hardy (1877-1947).

chính xác, nhưng chúng tôi không thể cung cấp một bằng chứng đơn giản về thực tế này.

Độ chính xác của hằng số thu được $\pi^2$ trong bất đẳng thức Carlon có nghĩa là ước lượng cơ bản ở trên $C_N$ xét về góc $\alpha_n$ không quá thô.

Bất đẳng thức Carlon có nhiều khái quát hóa. Chúng tôi chỉ trình bày hai trong số chúng mà không có bằng chứng (dấu hiệu $\Sigma$ có nghĩa là tổng theo $n$ từ 1 đến $N$ hoặc một chuỗi vô hạn, tức là tổng theo $n$ từ 1 đến $\infty$):
$$(\Sigma a_n)^6 < 54 (\Sigma a_n^2) (\Sigma na^2) (\Sigma n^2 a_n^2),$$
$$(\Sigma a_n)^15 < 300 000 (\Sigma a_n^3) \times (\Sigma na^3) (\Sigma n^2 a_n^3) (\Sigma n^4 a_n^3).$$

Trong những bất đẳng thức này, CONSTANTS 54 và theo đó, 300.000 là chính xác. Trong thực tế

1. Cho phép
   $$a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 = 1$$
   $$b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2 = 1.$$
   Trong giới hạn nào là ý nghĩa của biểu thức
   $$a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n?$$
2. Chứng minh rằng với mọi số dương $a_1, a_2, \dots, a_n$
   $$(a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_k)^2 \leqslant k (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_k^2).$$
   Khi nào sự bình đẳng được quan sát?
3. Chứng minh rằng với $a_1, \dots, a_k, b_1, \dots, b_k$ không âm:
   $$\sqrt{a_1 b_1} + \sqrt{a_2 b_2} + \dots + \sqrt{a_k b_k} \leqslant \sqrt{a_1 + a_2 + \dots + a_k} \times \sqrt{b_1 + b_2 + \dots + b_k}.$$
4. Bất đẳng thức Holder.
   Đặt $p > 1$ và $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ($p$ và $q$ là các số hữu tỉ dương). Chứng minh rằng
   $$a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_k b_k \leqslant \left( a_1^p + a_2^p + \dots + a_k^p \right)^{\frac{1}{p}} \times \left( b_1^q + b_2^q + \dots + b_k^q \right)^{\frac{1}{q}}.$$

20

Trải nghiệm tuyệt vời với dòng tích lũy

Chúng ta đã nói về cách người ta có thể quan sát sự hình thành lớp vảy mỏng, chắc do sự tập trung năng lượng theo một hướng nhất định (xem bài viết của G. Pokrovsky “Cơ chế thủy động lực trong ống nghiệm rơi”, «Kvant», 1974, số 3). Hiệu ứng này được gọi là tích lũy (từ tiếng Latin situlo - thu thập), và sự hình thành vảy là tích lũy.

Bây giờ chúng tôi đang xuất bản một bài báo của V. Mayer, trong đó ông nói về một thí nghiệm khác với vảy tích lũy, đồng thời đề xuất một số bài toán thử nghiệm liên quan đến sự hình thành vảy trong ống nghiệm rơi xuống.

Trong một thí nghiệm đơn giản và tao nhã của Giáo sư G.I. Pokrovsky, vảy được hình thành khi một ống nghiệm rơi thẳng đứng (từ độ cao vài cm), chứa đầy nước, chạm vào bề mặt cứng của bàn. Khi nước làm ướt thủy tinh, bề mặt nước trong ống nghiệm tạo thành một mặt khum gợn sóng. Khi ống nghiệm chạm vào bàn và có nước ở trong đó, nó chuyển động chậm lại rõ rệt, xuất hiện những gia tốc rất lớn, chất lỏng trở nên như rất nặng và bề mặt của nó được san bằng. Các cạnh đi xuống và từ phần trung tâm, một lượng nước nhỏ được ném vào không khí dưới dạng một đài phun nước hẹp, ngắn hạn.

Chúng tôi khuyên bạn nên thực hiện một thử nghiệm tương tự, có lẽ

21

nước dày khoảng 1 cm. Bề mặt của nước trong ống phải ngang bằng với bề mặt của nước trong cốc.

Đặt ống theo chiều dọc và cố định nó vào ống tiêu chuẩn. Sau đó dùng ngón tay ấn nhẹ vào màng cao su: ngay lập tức một dòng tia tích lũy sẽ xuất hiện bên trong ống, dâng cao đến tận màng!

Hình 1 và 2 hiển thị các bức ảnh chụp thí nghiệm thu được tại các thời điểm khác nhau đối với các tác động khác nhau, do đó chúng ghi lại các giai đoạn hình thành và thời gian khác nhau

Rushenya của các máy bay phản lực tích lũy khác nhau; trong hai bức ảnh đầu tiên bạn nhìn thấy chính tia nước, trong những bức ảnh còn lại bạn thấy sự tan rã của tia nước thành từng giọt riêng lẻ.

So sánh thí nghiệm này với thí nghiệm được mô tả bởi G.I. Pokrovsky, hãy thử giải thích kết quả của nó.

Thí nghiệm được đề xuất đặc biệt thú vị vì trong đó người ta có thể quan sát chính quá trình hình thành dòng phản lực tích lũy. Trong thí nghiệm với một ống nghiệm rơi xuống, điều này khó thực hiện hơn nhiều: mắt không có thời gian để phát hiện hiện tượng xảy ra tại thời điểm hình thành tia khi ống nghiệm chạm vào bàn. Tuy nhiên, chúng tôi khuyên bạn nên quay lại thí nghiệm với ống nghiệm rơi một lần nữa và sử dụng nguyên lý hình thành tia một cách chi tiết hơn. Để đạt được mục đích này, chúng tôi cung cấp cho bạn một số bài toán thử nghiệm.

1. Tìm hiểu xem hình dạng của đáy ống nghiệm có ảnh hưởng đến sự hình thành tia hay không. Có lẽ tia sẽ phát sinh do sự tập trung của sóng xung kích xuất hiện trong nước?

Hàn một ống cứng vào ống đồng có thành mỏng theo bất kỳ hình dạng nào bạn thích (ví dụ: phẳng hoặc lượn sóng). Các thí nghiệm được thực hiện với các ống nghiệm thu được sẽ cho thấy hình dạng của đáy không ảnh hưởng đến sự hình thành tia phản lực. Vì vậy, sự tập trung của sóng xung kích không thể giải thích được kết quả của thí nghiệm.

2. Chất lỏng có nhất thiết phải là thành ống nghiệm không?

Đặt một miếng parafin nhỏ vào trong ống nghiệm và làm tan chảy nó trên ngọn lửa nhiên liệu khô. Xoay ống nghiệm lấy ra khỏi ngọn lửa, phủ một lớp parafin mỏng từ bên trong và tiến hành thí nghiệm G.I. Pokrovsky. Trong trường hợp này, dòng phản lực tích lũy không được hình thành. Do đó, khả năng thấm ướt của thành ống nghiệm với chất lỏng là điều kiện thiết yếu của thí nghiệm.

3. Những thí nghiệm nào có thể được thực hiện để thu được một tia tích lũy trong một ống nghiệm quan sát được tương đối đứng yên?

Hình 2.

22

N. Vasiliev

Bổ sung số liệu

Rõ ràng, mỗi độc giả đều hiểu mình cần phải làm gì nếu được yêu cầu tạo một hình thang từ ba hình tam giác giống nhau hoặc từ bốn góc - một góc lớn gấp đôi. Nhưng trong bài viết của chúng tôi, chúng tôi sẽ nói về “bổ sung” thuộc một loại hoàn toàn khác. Tổng của hai hình tam giác, theo quy luật, sẽ là một hình lục giác lồi, tổng của hai hình tròn giống hệt nhau sẽ là một hình tròn có bán kính gấp đôi và tổng của hai đoạn thẳng sẽ là hình bình hành. Để phân biệt phép toán mà chúng ta sắp nói đến với phép “hợp nhất” nói chung, nó được gọi là “tổng vectơ” hoặc “tổng Minkowski” - theo tên của nhà toán học nổi tiếng người Đức Hermann Minkowski (1864-1909), người đã nghiên cứu nó. Các ứng dụng thú vị nhất của khái niệm này liên quan đến các vật thể lồi trong không gian ba chiều và nói chung là n chiều. Nhưng chúng ta sẽ giải quyết chủ yếu với các số phẳng.

Lý do cho ghi chú này là bài toán M330 từ “nhiệm vụ «Kvant», mà chúng tôi sẽ giải quyết ở đây. Đây là cách diễn đạt.

Trên mặt phẳng có hai đa giác lồi F và G. Ta ký hiệu H là tập hợp các điểm có thể chứa trung điểm của một đoạn thẳng, một đầu thuộc F và đầu kia thuộc G. Chứng minh rằng H là đa giác lồi.

a) H có thể có bao nhiêu cạnh nếu F có n₁ và G có n₂?

b) Chu vi của H có thể bằng bao nhiêu nếu chu vi của F bằng P₁ và G bằng P₂?

c)* Diện tích của H có thể là bao nhiêu nếu diện tích của F bằng S₁ và diện tích của G là S₂?

§ 1. Tập trung điểm

Hãy bắt đầu với việc phân tích cú pháp đơn giản hơn bài toán.

Bài toán 1. Cho hai đoạn: [AB] và [CD]. Tìm tập hợp các điểm mà trung điểm của một đoạn thẳng có thể rơi xuống, một đầu P nằm trên [AB] và đầu kia Q nằm trên [CD].

Giải pháp. Đầu tiên chúng ta xét trường hợp tổng quát khi các đoạn [AB] và [CD] không song song. (Chúng ta sẽ thảo luận về trường hợp đặc biệt [AB] || [CD] bên dưới.) Chúng ta hãy biểu thị trung điểm của đoạn [PQ] bằng M. Trước tiên, cố định vị trí của điểm Q. Nếu P chạy qua toàn bộ đoạn thẳng [AB] thì M chạy qua đường trung bình của tam giác QAB (Hình 1a)—một đoạn có hai đầu là trung điểm của các đoạn [QA] và

Hình 1a.

Hình 16.

23

[QB]. Nếu bây giờ chúng ta buộc điểm Q đi qua toàn bộ đoạn thẳng [CD] thì đường giữa của tam giác QAB rõ ràng sẽ quét toàn bộ hình bình hành (Hình 16)—các đỉnh của nó sẽ là trung điểm của các đoạn [AC], [AD], [BC] và [BD].

Lưu ý rằng nếu [AB] và [CD] cắt nhau thì tập hợp mong muốn là hình bình hành có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của tứ giác lồi ACBD, và nếu [AB] và [CD] không nằm trong cùng một mặt phẳng thì hình bình hành của chúng ta sẽ thu được trong tiết diện của tứ diện ABCD bởi một mặt phẳng song song với [AB] và [CD] và đi qua chính giữa chúng.

Hãy cùng tìm hiểu xem hình bình hành này sẽ như thế nào khi các đoạn [AB] và [CD] song song. (Chúng ta có thể giả sử rằng chúng có hướng bằng nhau.) Nếu [AB] và [CD] thuộc các đường thẳng song song khác nhau thì ABDC là hình thang và trung điểm của M đoạn PQ sẽ lấp đầy đường trung bình của hình thang này (Hình 1c)—một đoạn có hai đầu là trung điểm của các đoạn [AC] và [BD].

đáp số tương tự cũng thu được trong trường hợp [AB] và [CD] thuộc cùng một đường thẳng. Ở đây, để không phải phân tích các vị trí khác nhau của các điểm A, B, C, D trên một đường thẳng, thuận tiện dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số. Chúng ta sẽ giả sử rằng đường thẳng của chúng ta là trục số, tọa độ của các điểm này là $k_A, k_B, k_C, k_D$ ($k_A < k_B, k_C < k_D$) và chúng ta sẽ sử dụng thực tế này: tập hợp các số ($x_P + x_Q)/2$, trong đó $x_P \in [k_A, k_B]$, $x_Q \in [k_C, k_D]$ là đoạn $[(k_A + k_B)/2, (k_C + k_D)/2]$

Hình thế kỷ 1

Hình 1 năm

24

Hình 2.

Ví dụ 2. Tổng nửa hình chữ nhật F và G có kích thước $a \times b$ và $c \times d$, có các cạnh $a$ và $c$ song song, là hình chữ nhật có kích thước $(a+c)/2 \times (b+d)/2$ (Hình 2).

Thật vậy, trong hệ tọa độ $Oxy$, trong đó trục $Ox$ song song với các cạnh $a$ và $c$, tọa độ $x$ của các điểm của hình chữ nhật F và G chạy qua các đoạn có độ dài $a$ và $c$, tọa độ $y$ là các đoạn có độ dài $b$ và $d$, và nửa tổng của các tọa độ này là các đoạn có độ dài tương ứng $(a+c)/2$ và $(b+d)/2$. (Đây là lúc “sự thật hiển nhiên” mà chúng tôi sử dụng ở cuối lời giải bài toán 1 lại phát huy tác dụng.)

Bài 2. Tìm nửa tổng của các hình chữ nhật sau;

a) hai hình chữ nhật không song song;

b) một tam giác đều và các cạnh của nó;

c) hai hình tam giác trong đó hình vuông được cắt chéo;

d) một hình vuông và một hình tam giác đều có một cạnh chung;

e) đoạn và đường tròn;

e) hai đường tròn có bán kính khác nhau;

g) hình bán nguyệt với chính nó;

h) các hình bán nguyệt cùng nhau tạo thành một đường tròn;

i) một hình là hai cạnh kề nhau của một hình ngũ giác đều, hình kia là ba cạnh còn lại của nó.

Lời giải bài toán 2a). Chúng ta sẽ tiến hành tương tự như với lời giải bài toán 1. Chúng ta hãy sửa điểm $P$ của hình chữ nhật $F$ (Hình 3). Khi đó tập hợp các điểm $P, Q$, trong đó $Q$ chạy qua $G$, là hình chữ nhật $\{P\}$. Độ từ trường $G$ với hệ số 1/2 (và với tâm đồng âm $P$). Bây giờ chúng ta phải thống nhất tất cả các hình chữ nhật $\{P\} \ast G$, trong đó $P$ chạy qua $F$. Dễ dàng nhận thấy rằng cần có phép khử $F \ast G$ (hình được bao phủ bởi hình chữ nhật màu xanh lam trong Hình 3, khi đỉnh màu xanh phía dưới chạy qua hình chữ nhật màu hồng đồng nhất với hình chữ nhật $F$ với hệ số tương tự $\frac{1}{2}$) — một hình chữ nhật lồi có các cạnh song song với các cạnh của các hình chữ nhật này và dọc theo chiều dài của chúng bằng một nửa.

So sánh bài toán 2a) với ví dụ 2 trước đó, chúng ta thấy rằng hình dạng của hình $F \ast G$ có thể thay đổi đáng kể khi một trong các hình $F$ hoặc $G$ được xoay.

Tám đáp số đến mục 6)—i) bài toán 2 mất trật tự được thể hiện trong Hình 4.

Bài 3. Tìm nửa tổng của các hình sau trong không gian:

a) hai hình chữ nhật song song;

25

§ 2. Tổng nửa đa giác lồi

Nhớ lại rằng tập hợp các điểm F được gọi là lồi nếu với hai điểm P và Q bất kỳ thuộc F thì toàn bộ đoạn [PQ] đều chứa trong F.

Bạn có thể nhận thấy rằng việc tìm nửa tổng của các số lồi không chỉ là số không lồi, và nếu F và G là các số lồi thì F*G cũng là lồi.

Hãy chứng minh điều đó. Đặt $M_1$ và $M_2$ là các điểm tùy ý trong FG. rồi $M_1 = P_1 * Q_1$, $M_2 = P_2 * Q_2$ đối với một số $P_1 \in F$, $P_2 \in F$, $Q_1 \in G$, $Q_2 \in G^*$). Vì F và G lồi nên $[P_1 P_2] \subset F$ và $[Q_1 Q_2] \subset G$. thì $[P_1 P_2] * [Q_1 Q_2] \subset F * G$. Tuy nhiên, như chúng ta đã biết (ví dụ 1), nửa tổng của các đoạn thẳng là một hình bình hành và các điểm $M_1$ và $M_2$ là các đỉnh của nó (hình bình hành có thể suy biến thành một đoạn chứa các điểm $M_1$ và $M_2$). Vì hình FG chứa hình bình hành này nên nó chứa

$$*) Мы используем общие обозначения: F \cap G — пересечение фигур F и G, F \cup G — их объединение, G \subset F (или F \supset G) означает, что G содержится в F, P \in F — что точка P принадлежит F.$$

và đoạn $[M_1 M_2] : F * G \supset ([P_1 P_2] * [Q_1 Q_2]) \supset [M_1 M_2]$.

Từ các ví dụ gặp ở bài toán 2 a)-i), rõ ràng là chúng ta thu được các đa giác lồi F và G - một đa giác có các cạnh song song với các cạnh F và G nhưng dài bằng một nửa. Cách duy nhất để chứng minh thực tế này (và thậm chí xây dựng nó một cách chính xác) là biểu diễn một đa giác lồi là giao điểm của các nửa mặt phẳng.

Bydem nói rằng hai nửa mặt phẳng $σ_1$ và $σ_2$ có cùng hướng nếu $σ_1 \supset σ_2$ hoặc $σ_2 \supset σ_1$. Tất nhiên, các cạnh của nửa mặt phẳng $l_1$ và $l_2$ là các đường thẳng song song và kết quả $σ_1 * σ_2$ của chúng là nửa mặt phẳng cùng hướng, các cạnh của chúng là đường thẳng $l_1 * l_2$, nằm ở giữa giữa $l_1$ và $l_2$. (Hãy chứng minh điều đó một cách cẩn thận!)

Chúng ta gọi hỗ trợ nửa mặt phẳng $σ_F$ cho đa giác F nếu $σ_F \supset F$ và giao điểm của F với đường biên $l_F$ của nửa mặt phẳng $σ_F$ không trống. Chúng tôi sẽ gọi giao lộ này $l_F \cap F$ là đa cử chỉ hỗ trợ. Rõ ràng là đối với mỗi hướng σ có một nửa mặt phẳng hỗ trợ riêng. Tập hỗ trợ tương ứng của nó là một điểm (đỉnh của đa giác) hoặc một đoạn (cạnh của đa giác).

Chúng tôi biểu thị mức hỗ trợ được đặt bởi $F_\sigma$.

Giả sử F và G là hai đa giác lồi, $σ_F$ và $σ_G$ nửa mặt phẳng hỗ trợ cùng hướng, $F_\sigma$ và $G_\sigma$ các polyset hỗ trợ tương ứng. Dễ dàng tìm được tập hỗ trợ cùng hướng cho nửa tổng F*G: nó bằng nửa tổng của các đa giác hỗ trợ $F_\sigma$ và $G_\sigma$, tức là

$$(F * G)_\sigma = F_\sigma * G_\sigma.$$

Thật vậy (Hình 6), trung điểm M của bất kỳ đoạn PQ nào, trong đó P ∈ F, Q ∈ G, nằm trong nửa mặt phẳng $σ_F * σ_G = \sigma_F * G$, và một điểm M có thể nằm trên đường thẳng biên của nửa mặt phẳng $σ_F * G$ khi và chỉ khi cùng lúc P ∈ F_\sigma$и Q ∈ G_\sigma$.

26

Bây giờ chúng ta có thể xây dựng một quy tắc thuận tiện cho phép chúng ta tìm tổng nửa F * G của các đa giác lồi F và G.

Cần xem xét hướng σ nào mà ít nhất một trong các tập hỗ trợ tương ứng Fσ và Gσ là một đoạn (cạnh F hoặc G) và xây dựng nửa tổng của Fσ và Gσ - đoạn Fσ * Gσ (dùng ví dụ 16), c)). Hợp của tất cả các đoạn Fσ * Gσ này theo các hướng khác nhau σ là ranh giới của các hình F * G.

Việc áp dụng quy tắc này được minh họa trong Hình 6, trong đó mỗi hướng σ có màu riêng. Rõ ràng là các tập hỗ trợ Fσ, Gσ, và do đó (F * G)σ = Fσ * Gσ cho các hướng “trung gian” còn lại bao gồm các điểm riêng lẻ (đỉnh của các đa giác tương ứng). Chúng ta đã chứng minh rằng hình F * G là lồi. Bây giờ, khi đã tìm được ranh giới của nó, chúng ta thấy F * G là một đa giác lồi.

Hình 6.

ống chân có k và hướng của các cạnh của nó giống với hướng của F và G.

Bài 4. a) Chứng minh rằng nếu σ và τ là hai nửa mặt phẳng khác hướng thì σ*τ là toàn bộ mặt phẳng.

b) Thử giải bài toán 2a) - d), sử dụng quy tắc đã lập ở trên.

c) Cho ví dụ về ngũ giác F và tam giác G có F*G có 5, 6, 7 và 8 cạnh.

Bây giờ thật dễ dàng để trả lời đáp số cho các câu hỏi a) và b) bài toán M330:

a) số cạnh của nửa tổng của số ngoại biên n1 và số ngoại biên n2 có thể là số bất kỳ không lớn hơn n1+n2 và không nhỏ hơn hầu hết các số n1, n2;

b) chu vi F * G bằng nửa tổng chu vi F và G *).

Tìm đáp số cho câu hỏi b) bài toán M330 và chứng minh nó khó hơn nhiều. Chúng ta đã học nó ở § 4. Bây giờ, hãy nói về tổng và tổ hợp tuyến tính của các số là gì.

§ 3. Tổng và tổ hợp tuyến tính của các số

Chúng tôi đã sử dụng từ “một nửa tổng” và ký hiệu * thay thế nó rất nhiều. Đã đến lúc nói tổng của hai số là bao nhiêu.

Chúng ta hãy sửa một số điểm O (điểm bắt đầu của vết cắt hoặc sọc).

Về giới hạn 2. Mũ của tất cả các đầu của M vectơ

$\vec{OM} = \vec{OP} + \vec{OQ}$, trong đó P và Q lần lượt là các điểm tùy ý của các hình F và G, được gọi là tổng (hoặc tổng Minkowski) của các hình F và G (Hình 7). Tổng của F và G biểu thị F + G.

Về giới hạn 3. Mũ của tất cả các đầu của M vectơ

$\vec{OM} = \lambda \cdot \vec{OP}$, trong đó P là một điểm tùy ý của hình F, λ là một số dương cho trước, được gọi là tích của F và λ (Hình 8). Hình này biểu thị λF.

*) Thật vậy, nếu độ dài của một điểm coi bằng 0 thì độ dài (F * G)σ bằng một nửa tổng độ dài Fσ và Gσ cho mỗi hướng σ.

27

Ví dụ 3. “Nửa tổng” $F*G$ (Định nghĩa 1) chính xác là $\frac{1}{2}(F_1 + F_2)$: suy cho cùng, điều kiện $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OP} + \vec{OQ})$ chỉ ra rằng $M$ là trung điểm của đoạn $[PQ]$.

Chúng ta sẽ gọi hình $\lambda F + \mu G$, trong đó $\lambda$ và $\mu$ là các số dương, là tổ hợp tuyến tính của hình $F$ và $G$.

Ví dụ 4. Tổ hợp tuyến tính $\lambda F + \mu G$ của hình chữ nhật $a \times b$ và $c \times d$, có các cạnh $a$ và $c$ song song (như trong Ví dụ 2), hình chữ nhật $(\lambda a + \mu c) \times (\lambda b + \mu d)$.

Bài toán 5. Các tổ hợp tuyến tính $\lambda F + \mu G$ của các hình $F$ và $G$ trông như thế nào mà chúng ta cần tìm trong các bài toán 2-4?

Bài toán 6. Chứng minh tính chất sau của phép tính đã đưa:
1°) $F_1 + F_2 = F_2 + F_1$;
2°) $(F_1 + F_2) + F_3 = F_1 + (F_2 + F_3)$;
3°) $\lambda(\mu F) = (\lambda \mu) F$;
4°) $\lambda(F_1 + F_2) = \lambda F_1 + \lambda F_2$;
5°) nếu $F_1 \subset F_2$, $G_1 \subset G_2$, thì $\lambda F_1 + \mu G_1 \subset \lambda F_2 + \mu G_2$;
6°) $\lambda F + \mu F \supset (\lambda + \mu) F$; nếu $F$ lồi thì $\lambda F + \mu F = (\lambda + \mu) F$;
7°) $\lambda(F \cup G) = \lambda F \cup \lambda G$ và $H + (F \cup G) = (H + F) \cup (H + G)$;
8°) $\lambda(F \cap G) = \lambda F \cap \lambda G$ và $H + (F \cap G) \subset (H + F) \cap (H + G)$;

9°) nếu $\lambda + \mu = 1$, thì tổ hợp tuyến tính $\lambda F + \mu G$ không phụ thuộc vào điểm $O$ “cực” được đặt ở đâu.

Nói chung, với sự lựa chọn cực $O$ khác và với việc truyền dữ liệu song song, hình $F$ và $G$, tổ hợp tuyến tính $\lambda F + \mu G$ thay đổi, nhưng không tồn tại - nó chỉ đơn giản trải qua quá trình gán lại song song. Do đó, nếu các điều kiện của hai hình tiếp nhận nhau bằng các phép biến đổi song song không khác nhau, được coi là tương đương, thì bạn không thể chỉ ra vị trí các sọc được chọn - kết quả $\lambda F + \mu G$ sẽ được xác định duy nhất.

Lưu ý rằng bất kỳ kết hợp tuyến tính nào $\lambda F + \mu G$ hình $F$ và $G$ đều được lấy từ kết hợp “chuẩn hóa” $\frac{\lambda}{\lambda + \mu} F + \frac{\mu}{\lambda + \mu} G$ (sao cho tọa độ có tổng hệ số bằng 1) bằng cách nhân với số $(\lambda + \mu)$, nghĩa là vừa sẵn sàng. Do đó, các tổ hợp tuyến tính là $c \lambda + \mu \neq 1$. Họ sẽ không cung cấp cho bạn những hình dáng mới.

Chúng ta hãy mô tả một cách để tưởng tượng tất cả các kết hợp tuyến tính chuẩn hóa của hai đa giác lồi $F$ và $G$. Chúng ta hãy cắt một trong số chúng (không quay) thành một mặt phẳng song song và xây dựng “thân lồi” $F$ và $G$ - một đa giác lồi, tất cả các đỉnh của nó trùng với các đỉnh $F$ và $G$ (ví dụ: hình bát giác đều trong Hình 5 là bao lồi của các tam giác trên và tam giác dưới; “phần giữa” của nó là một nửa tổng của các tam giác này hình tam giác). Khi đó, phần của đa giác này của mặt phẳng, song song với $F$ và $G$, chỉ đưa ra các kết hợp tuyến tính $\lambda F + \mu G$, trong đó $\lambda + \mu = 1$; tỷ lệ $\lambda/\mu$ bằng tỷ lệ khoảng cách từ mặt phẳng cắt đến mặt phẳng $F$ và $G$.

Năm bài toán sau đây minh họa khái niệm “tổng Minkowski” từ các góc độ khác nhau.

Bài toán 7. Từ điểm $O$ nằm trên ranh giới của nửa mặt phẳng, các vectơ $n$ có ​​độ dài 1 hướng vào trong nửa mặt phẳng. Bằng chứng

Hình 7.

Hình 8.

28

Hãy nhớ rằng nếu $n$ là số lẻ thì độ dài tổng của chúng ít nhất là 1.

Bài tập 8. Cho $F$ là một đa giác lồi, $S$ diện tích, $P$ chu vi, $K$ một hình tròn có bán kính $1$ có tâm $O$. Chứng minh rằng diện tích của hình $F + \rho K$ (ρ-lân cận của đa giác $F$) là $S + \rho P + \rho^2\pi$. Viết công thức tương tự cho thể tích vùng lân cận $\rho$ của một đa giác lồi.

Bài tập 9. Chứng minh ba tính chất sau của đa giác lồi $F$ là tương đương nhau: (1) $F$ có tâm đối xứng; (2) $F$ có ​​thể cắt thành hình bình hành; (3) $F$ là tổng của một số phân đoạn.

Bài tập 10. Chứng minh hai tính chất sau của đa giác lồi là tương đương nhau: (1) tất cả các mặt $F$ đều là hình bình hành; (2) $F$ là tổng của một số đoạn thẳng, không có ba đoạn nào song song với cùng một mặt phẳng. Một đa giác như vậy có bao nhiêu mặt nếu số đoạn là $k$?

Nhiệm vụ 11. Một khu rừng bị cháy tại một điểm trong khu vực không bị ô nhiễm. Gió thổi trong thời gian $t_1$ với tốc độ $v_1$, rồi $t_2$ với tốc độ $v_2$, …, $t_n$ với tốc độ $v_n$. Ngọn lửa lan ra từ những khu vực bắt lửa với tốc độ gió (và những khu vực này tiếp tục cháy). Khu vực nào bị cháy trong thời gian này? Ngoài ra, điều gì sẽ xảy ra nếu ngọn lửa lan đều ra mọi hướng với tốc độ $u$? (A. Savin)

§ 4. Diện tích tổng của một hình

Diện tích của hình $F$ sẽ được ký hiệu là $S_F$. Định lý về diện tích của các hình đồng nhất phát biểu:

$$S_{\lambda F} = \lambda^2 S_F.$$

Chúng ta hãy xem những gì có thể nói về diện tích của tổng và nói chung là sự kết hợp tuyến tính của hai hình. Hãy bắt đầu với trường hợp đặc biệt khi $F$ và $G$ là hình chữ nhật $a \times b$ và $c \times d$, và các cạnh có độ dài $a$ và $c$ song song với nhau. Khi đó $\lambda F + \mu G$ là hình chữ nhật $(\lambda a + \mu c) \times (\lambda b + \mu d)$ và

$$S_{\lambda F + \mu G} = (\lambda a + \mu c)(\lambda b + \mu d) = \lambda^2 ab + \mu^2 cd + \lambda \mu (ad + bc) \geq \lambda^2 ab + \mu^2 cd + 2\lambda \mu \sqrt{abcd} = (\lambda \sqrt{ab} + \mu \sqrt{cd})^2,$$

đó là

$$S_{\lambda F + \mu G} \geq (\lambda \sqrt{S_F} + \mu \sqrt{S_G})^2.$$

(chúng tôi đã sử dụng bất đẳng thức $p + q \geq 2\sqrt{pq}$). Không thể có bất kỳ hạn chế nào ngoài bất đẳng thức (2) đối với các giá trị của $S_{\lambda F} + \mu G$ cho $S_F$ và $S_G$ đã cho. Thật vậy, thay (2) $b = a$, $c = ke$, $d = e|k$ ($k$ là một số dương nào đó), ta được: $S_F = a^2$, $S_G = e^2$, $S_{\lambda F} + \mu G = \lambda^2 a^2 + \mu^2 e^2 + \lambda \mu e \left( k + \frac{1}{k} \right) = (\lambda a + \mu e)^2 + \left( k + \frac{1}{k} - 2 \right) \lambda \mu e$.

Với $a$, $e$ và $\lambda$, $\mu$ cố định, dấu ngoặc đơn thứ hai nhận bất kỳ giá trị không âm nào (tùy thuộc vào $k$), vì vậy $S_{\lambda F} + \mu G$ có thể nhận bất kỳ giá trị nào, không nhỏ hơn $(\lambda \sqrt{S_F} + \mu \sqrt{S_G})^2$.

Bây giờ, cuối cùng chúng ta cũng có thể đưa đáp số vào câu hỏi trong bài toán M330: diện tích của đa giác lồi thu được của diện tích $S_1$ và $S_2$ có thể nhận bất kỳ giá trị nào lớn hơn hoặc bằng $(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2/4$.

Thực tế là diện tích kết quả không thể nhận giá trị nhỏ hơn xuất phát từ định lý đáng chú ý sau đây.

Định lý Brunn-Minkowski. Thực thi không bằng nhau (2) cho hai số lồi bất kỳ $F$, $G$ và bất kỳ số dương nào $\lambda$, $\mu$.

Bằng chứng. Trước hết, sử dụng các xem xét tương tự và công thức (1), có thể dễ dàng rút gọn về trường hợp diện tích của các hình đã cho bằng nhau và tổ hợp tuyến tính được chuẩn hóa. Trong trường hợp này, bất đẳng thức (2) trông rất đơn giản:

$$\text{если } S_F = S_G = S \text{ и } \lambda + \mu = 1, \text{ то } S_{\lambda F} + \mu G \geq S.$$

Hãy để chúng tôi chỉ ra cách bất đẳng thức (2) bắt nguồn từ (3) với mọi $F$, $G$, $\lambda$ và $\mu$. Cùng nhìn vào số liệu về diện tích $S$ cùng với $F$ và $G$:

$$F^* = \sqrt{S/S_F} F, \quad G^* = \sqrt{S/S_G} G.$$

29

Sau đó
$$\lambda F + \mu G = \lambda \sqrt{S_F/S} F^* + \mu \sqrt{S_G/S} G^* = \left( \lambda \sqrt{S_F/S} + \mu \sqrt{S_G/S} \right) \left( \lambda^* F^* + \mu^* G^* \right),$$
ở đâu $\lambda^* + \mu^* = 1$. Áp dụng (3) cho $\lambda^* F^* + \mu^* G^*$ ta được (2):
$$\sqrt{S_{\lambda F} + \mu G} \geq \left( \lambda \sqrt{S_F/S} + \mu \sqrt{S_G/S} \right) \sqrt{S} = \lambda \sqrt{S_F} + \mu \sqrt{S_G}.$$

Đây là thông điệp chính được sử dụng để chứng minh sự bất đẳng thức (3). Nếu hình F được chia theo đường ngang $l$ thành hai phần: phần trên $F_B$ và phần dưới $F_H$, và tương tự, G của một đường ngang khác $m$ được chia thành hai phần $G_B$ và $G_H$, thì tập $\lambda F_B + \mu G_B$ và $\lambda F_H + \mu G_H$ không chồng lên nhau: phần đầu tiên nằm phía trên đường thẳng $\lambda l + \mu m$, cái thứ hai ở bên dưới.

Bây giờ chứng minh tóm tắt có thể được hoàn thành như thế này.

Hãy chia các đa giác $F$ và $G$ thành $N$ dải ngang hẹp và đánh số chúng theo thứ tự từ trên xuống dưới: $F_1 \cup F_2 \cup ... \cup F_N = F$, $G_1 \cup G_2 \cup ... \cup G_N = G$. Mỗi dải có thể được coi là một đường thẳng có diện tích $S/N$ (nếu $N$ lớn thì “cho đến ε nhỏ tùy ý” này không ảnh hưởng đến diện tích của các hình $F$, $G$ và $\lambda F + \mu G$). Nhưng đối với hình chữ nhật có các cạnh song song, bất đẳng thức chính (2) đã được chứng minh, do đó diện tích của mỗi dải $\lambda F_i + \mu G_i$, $i=1,2,...,N$ (chúng tôi chỉ thêm các dải có cùng số!) không nhỏ hơn $S/N$. Và vì các dải $N$ này không chồng lên nhau và tất nhiên được chứa trong $\lambda F + \mu G$ nên diện tích của $S_{\lambda F} + \mu G$ không nhỏ hơn $S$.

Vậy bất đẳng thức Brunn-Minkowski được chứng minh. Chúng tôi chỉ trình bày ở đây một trong những hậu quả của nó. Đây cũng là sự thay thế cho định lý toán tử: diện tích của bất kỳ hình nào có chu vi $P$ không còn nữa

cao hơn diện tích của lớp vỏ có chu vi $P$. Hãy chứng minh điều đó cho đa giác lồi $F$. Sử dụng ký hiệu và kết quả của bài toán 8, chúng ta áp dụng bất đẳng thức Brunn cho tổng $F + K$ (K là đường tròn có bán kính đơn vị). Chúng tôi nhận được:

$$\sqrt{S + P + \pi} \geq \sqrt{S} + \sqrt{\pi},$$

hoặc, sau khi đơn giản hóa, $S \leq P^2/4\pi$. Đây là sự bất bình đẳng mong muốn!

Bài toán 12. a) Chứng minh rằng đối với diện tích tổ hợp tuyến tính của hai đa giác lồi thì công thức $S_{\lambda F} + \mu G = S_F \lambda^2 + 2S_F G \lambda \mu + S_G \mu^2$ đúng, trong đó số $S_F,G$ chỉ phụ thuộc vào $F$ và $G$ (số này gọi là diện tích hỗn số của các hình $F$ và $G$). Tìm $S_F,G$ cho các số $F$, $G$ từ bài toán 2a) - e).

6. Chứng minh rằng $S_F,G \geq S_F S_G$ luôn luôn tồn tại và đẳng thức chỉ đúng nếu các đa giác $F$ và $G$ được chuẩn bị sẵn.

Bài toán 13. Chứng minh rằng bất đẳng thức (2) đúng với các số tùy ý (không nhất thiết phải lồi). Hãy suy nghĩ về cách xây dựng và chứng minh một định lý tương tự về thể tích của các hình không gian.

Để kết thúc phần giới thiệu nổi tiếng của chúng tôi về tổng Minkowski, chúng tôi liệt kê một số sách và bài viết nói về phép cộng số liệu, ứng dụng của phép toán này vào lý thuyết tập lồi, đặc biệt, về các cách chứng minh khác nhau của bất đẳng thức Brunn-Minkowski, sự khái quát hóa và các hệ quả hình học của nó.

I. M. Yaglom, V. G. Boltyansky. “Hình lồi” (sách trong bộ “Thư viện vòng tròn toán học”, số 4). Gostekhteorizdat, 1951

L. A. Lyusternik. “Hình lồi và đa giác.” Gostekhteorizdat, 1956

B.N. Delaunay. Chứng minh bất đẳng thức Brunn–Minkowski. “Thành công của khoa học toán học”, tập. II (1936).

N. B. Vasiliev. Một họ $n$-giác song song. «Kvant», Số 11, 1974; lời giải bài toán M295, «Kvant», Số 6, 1975

G. Hadwiger. Bài giảng về thể tích, diện tích bề mặt và isopermethrin. M., “Hayka”, 1966

30

Bài toán
M376—M380; F388—F392

Lời giải bài toán từ số báo này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 6 năm 1976 đến địa chỉ: 113035, Moscow, Zh-35, st. B. Ordynka, 21/16, tòa soạn tạp chí «Kvant».
Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Sự cố «Kvant» M376” hoặc “…F388”.
Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới vui lòng gửi trong phong bì riêng. Các vấn đề từ các số khác nhau của tạp chí cũng được đựng trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình). Các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản được chia thành hai bản cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”).
Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Nan khó hơn bài toán được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

M376. a) Có 30 ô liên tiếp. Ở ô vuông bên phải có một con chip màu trắng, ở bên trái có một con chip màu đen. Mỗi người trong số hai người chơi lần lượt di chuyển quân cờ của mình một khoảng trống - tiến hoặc lùi. (Bạn không thể bỏ qua một nước đi.) Người thua cuộc là người không có nước đi nào. Ai thắng: người mới bắt đầu hay đối tác của anh ta?
6) Giải bài toán bằng cách thay 30 bằng N trong điều kiện.
A. Talalay

M377. Cho tam giác ABC. Tìm điểm D trên cạnh AC sao cho chu vi tam giác ABD bằng độ dài cạnh BC.
C.Ochitin

M378. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên không biểu diễn được dưới dạng
a) $x^3 + y^3 + z^3$, trong đó x, y, z là số nguyên;
b) $x_1^n + x_2^n + \ldots + x_n^n$, trong đó $x_1, \ldots, x_n$ là số nguyên.
b)* Chứng minh rằng mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng $x^3 + y^3 + z^3$, trong đó x, y, z là các số hữu tỉ.
B. Kolosov

M379. Trên mỗi mảnh giấy có hình dạng ngẫu nhiên đều có một dấu (có hình dạng tùy ý). Chúng ta hãy tìm một tờ giấy thấm phù hợp cho một mảnh nhất định nếu nó có thể được đặt bên trong mảnh này để nó che phủ tờ giấy thấm. Giả sử một bộ giấy thấm có hình tròn có bán kính khác nhau có đặc tính sau: với hai mảnh cho trước bất kỳ thì có một giấy thấm phù hợp cho mỗi mảnh đó. Chứng minh rằng trong bộ này có một giấy thấm thích hợp cho tất cả các mảnh.
B. Provozvolov

M380* a). Cho một hình lồi trên mặt phẳng và bên trong nó có một điểm O. Đối với mỗi đường thẳng l đi qua điểm O, kẻ một đường vuông góc tại điểm O và trên đó, trên cả hai phía của điểm O, có hai đoạn mở ra, độ dài của chúng bằng độ dài của đoạn thu được khi hình này cắt đường thẳng l. Kết hợp tất cả các phân đoạn này.

31

Rezkov là một nhân vật mới có tâm đối xứng $O$. Hình kết quả có lồi không?
6) Trong không gian đã cho có một vật lồi đối xứng tâm có tâm $O$. Mỗi mặt phẳng $\alpha$ đi qua điểm $O$ được vẽ vuông góc tại điểm $O$ và hai đoạn thẳng được đặt trên đó ở cả hai phía của điểm $O$, chiều dài của chúng bằng diện tích mặt cắt ngang của vật thể đã cho theo mặt phẳng $\alpha$. Sự kết hợp của tất cả các phân đoạn này là một khối mới có cùng tâm đối xứng $O$. Chứng minh rằng vật thu được cũng lồi.

S. Pukhov

F388. Trong một hình trụ thẳng đứng có tiết diện thay đổi (Hình 1), có $n$ mol không khí giữa các pít-tông. Khối lượng của piston lần lượt là $m_1$ và $m_2$, diện tích của chúng lần lượt là $S_1$ và $S_2$. Các piston được nối với nhau bằng một thanh có chiều dài $l$ và được đặt ở những khoảng cách bằng nhau tính từ điểm nối của các bộ phận của xi lanh có đường kính khác nhau. Piston sẽ chuyển động bao nhiêu khi nhiệt độ trong xi lanh tăng $\Delta t$ độ?

E. Kuznetsov

F389. Tìm điện trở giữa các điểm $A$ và $B$ và các điểm $A$ và $C$ của chuỗi vô hạn như trên Hình 2. Điện trở của dây dẫn giữa các nút của mạch là 1 ohm.

F390. Hai bình hình trụ thông nhau được hàn kín có đường kính khác nhau được đổ đầy một phần nước (thủy ngân) (Hình 3). Không khí trong bình của họ đã được sơ tán, do đó chỉ còn hơi tồn tại phía trên chất lỏng. Lượng chất lỏng sẽ được phân phối như thế nào trong các bình $a$) trên mặt đất? 6) trong môi trường không trọng lực?

F391. Một thanh hình chữ L nhẵn quay trong mặt phẳng nằm ngang quanh một trục thẳng đứng đi qua đầu thanh $O$. Một khớp nối khối lượng nhỏ $m$ được gắn vào thanh tại điểm $A$ bằng lò xo có độ cứng $k$ (Hình 4). Chiều dài của lò xo gấp 1,2 lần chiều dài của nó ở trạng thái không dãn. Thanh quay với tốc độ góc bao nhiêu?

F392. Bảng khối $M$ được đặt nằm ngang và tựa trên hai trụ quay (Hình 5). Khoảng cách giữa các trục xi lanh $l$. Hệ số ma sát giữa đế và xi lanh $k$. Chứng minh rằng nếu bến tàu nằm ngang thì nó sẽ thực hiện một dao động điều hòa và tìm chu kì của các dao động này. Chuyển động của bến tàu sẽ như thế nào nếu chiều quay của các hình trụ bị đảo ngược?

32

Lời giải bài toán
M336, M337, M339; F348—F352

M336. Trong mặt phẳng đã cho có một tập hữu hạn các đa giác, mỗi đa giác có một điểm chung. Hãy chứng minh rằng có một đường thẳng có điểm chung với mỗi đa giác này.

Hình 1.

M337. Cho tam giác đều ABC có cạnh dài 1. Bước đầu tiên là chọn điểm X trên cạnh AB, điểm thứ hai Y trên cạnh BC, sau đó chọn điểm thứ nhất Z trên cạnh AC.
a) Mục tiêu của lần kiểm tra đầu tiên là thu được hình tam giác XYZ có diện tích lớn nhất, hình thứ hai có diện tích lớn nhất. Diện tích lớn nhất cần cung cấp đầu tiên là gì?
b) Mục tiêu của lần kiểm tra đầu tiên là thu được tam giác XYZ có chu vi lớn nhất, mục tiêu thứ hai là có chu vi lớn nhất. Chu vi lớn nhất mà người đầu tiên có thể cung cấp là gì?

Hãy chiếu tất cả các đa giác lên một đường thẳng m nào đó. Hình chiếu của mỗi đa giác sẽ là một đoạn. Trong số các đầu bên phải của các đoạn này, chúng ta chọn đầu bên trái nhất (đặt nó là đầu bên phải A của hình chiếu của đa giác M - xem Hình 1) và vẽ một đường thẳng l qua nó, vuông góc với đường thẳng m. Số nguyên tố l cắt tất cả các đa giác, vì đa giác dưới không thể nằm hoàn toàn về bên trái của nó (khi đó đầu bên phải của hình chiếu của nó sẽ ở bên trái của A), và đa giác dưới không thể nằm hoàn toàn về bên phải (vì khi đó nó sẽ không có điểm chung với đa giác M).

S. Fomin

Hình 2.

Hình 3.

a) Trước tiên chúng ta chứng minh rằng chiến lược của người chơi thứ hai là đặt điểm Y trên cạnh BC sao cho đường thẳng XY song song với cạnh AC. Thật vậy, nếu (XY’) || (AC) và Y∈[BY’] (xem Hình 2), sau đó người chơi đầu tiên, với nước đi thứ hai, đặt điểm Z tại đỉnh C; thì SXYC > SXY’C, vì các tam giác này có cùng chiều cao, nhưng đáy của tam giác thứ nhất lớn hơn. Nếu Y∈[Y’C], thì người chơi đầu tiên sẽ đặt điểm Z ở đỉnh A, và một lần nữa sẽ có SXYA > SXY’A, vì các tam giác này có cùng đáy và chiều cao y của tam giác XYA lớn hơn (Hình 3).

Do đó (XY) || (AC) và vị trí trên [AC] người chơi đầu tiên đặt điểm Z, không có gì phụ thuộc:

$$S_{XYZ} = S_{XYA} = \frac{1}{2} \cdot |XY| \cdot (H - h),$$

(ở đây H = \frac{\sqrt{3}}{2} là chiều cao của tam giác ABC, h là chiều cao của tam giác XBY). Thể hiện |XY| qua h, ta được diện tích cần tìm là một tam giác vuông tính từ h. Tam thức này có giá trị tối đa là $\frac{H^2 \sqrt{3}}{12} =$

34

Hình 7.

M339*). Cho một dải nằm ngang trên một mặt phẳng, các cạnh của dải là những đường thẳng song song và n đường thẳng cắt dải này. Hai trong số n đường thẳng này cắt nhau bên trong dải và không có đường thẳng nào đi qua cùng một điểm. Khoảng cách là tất cả các đường đi bắt đầu từ mép dưới của dải, đi theo dữ liệu của đường thẳng và kết thúc ở cạnh trên, có thuộc tính tối đa: một dọc theo mức tối đa của đường đi, chúng ta luôn đi lên; đường kia đi thẳng đến giao điểm thì ta phải đi đến một đường thẳng khác. Hãy chứng minh rằng trong số các cực đại

a) có các đường dẫn gồm ít nhất n đoạn;
b) có nhiều nhất $\frac{n}{2} + 1$ đường đi thẳng;
c) có những đường đi qua tất cả n thẳng hàng.

Hình 8.

Bình phương cả hai vế của phương trình (*), ta có:

$$2x^2 - 3x + 2 = 2(1 - x)\sqrt{x^2 + x + 1},$$

Ở đâu

$$8x^3 - 17x^2 + 8x = 0,$$

$$x = |AE| = \frac{17 - \sqrt{33}}{16}$$

(kiểm tra xem đây có phải là nghiệm hợp lệ của phương trình (*)). Chu vi cần tìm bằng

$$2|EC| = 2\sqrt{x^2 - x + 1} = \frac{3}{8}\sqrt{2(17 - \sqrt{33})}.$$

M. Bronstein

Chúng ta biểu thị các điểm giao nhau của các đường thẳng với cạnh dưới của dải theo thứ tự (từ trái sang phải) bằng $A_1, A_2, \dots, A_n$ (Hình 7). Chúng ta biểu thị các điểm giao nhau của cùng một đường với cạnh trên của dải là $B_1, B_2, \dots, B_n$.

Hãy liệt kê một số thuộc tính của đường dẫn được đề cập trong các điều kiện.

1°. Có đúng một đường đi dọc theo mỗi đoạn của mỗi đường thẳng. Thật vậy, những cái đúng, được xây dựng trong các điều kiện, cho phép cách duy nhất là tiếp tục con đường lên và xuống các cạnh của dải.

2°. Có n đường đi khác nhau: mỗi điểm $A_1, \dots, A_n$ có đường đi riêng. Hãy đặt chúng theo thứ tự: 1, 2, …, thứ n.

3°. Đường đi bắt đầu tại điểm $A_k$ kết thúc tại điểm $B_k$. Trong thực tế, theo quy luật, mỗi đường đi tại giao điểm của các đường sẽ đi đến một đường thẳng khác, do đó (Hình 8) các đường đi không thể cắt nhau mà chỉ chạm nhau tại các đỉnh của chúng. Do đó, đường dẫn thứ $k$ chia sọc thành hai vùng - vùng bên trái, trong đó tất cả các đường dẫn được đánh số $i < k$ được đặt và vùng bên phải, trong đó tất cả các đường dẫn được đánh số $i > k$ được đặt. Do đó, đường dẫn thứ $k$ sẽ kết thúc ở $B_k$ (Hình 9).

Chúng ta hãy tiến hành chứng minh các phát biểu riêng lẻ bài toán.

a) Chúng ta hãy tính tổng số đoạn trong tất cả các đường đi theo hai cách. Một mặt, mỗi đường được chia thành n đoạn, vì nó bị cắt bởi n-1 đường khác; do đó, tổng số phân đoạn là $n^2$. Mặt khác, chúng ta phải thu được cùng một tổng $n^2$ bằng cách cộng số đoạn trong tất cả n đường dẫn (chúng ta sử dụng $1^\circ$ và $2^\circ$ ở đây). Suy ra rằng ít nhất một trong các đường đi có ít nhất n đoạn.

b) Hãy ước tính số đoạn trong hai đường cực trị: thứ nhất và thứ n. Những đường đi này, rất indo, tập lồi giới hạn: đầu tiên là tập hợp các điểm nằm trên tất cả các đường thẳng, cuối cùng là tập hợp các điểm nằm trên tất cả các đường thẳng (Hình 10). Rõ ràng đường đầu tiên nằm bên trái đường đứt nét $A_1PB_1$, đường cuối cùng bên phải đường đứt nét $A_nPB_n$, trong đó $P$ là giao điểm của ($A_1B_n$) và ($A_nB_1$), và chỉ đoạn đầu và đoạn cuối của cả hai đường đều nằm trên đường thẳng $A_1B_n$ và $A_nB_1$. Đối với mỗi n-2 đường thẳng còn lại $A_2B_{n-1}, A_3B_{n-2}, \dots, A_{n-1}B_n$, chúng có thể có

*) Lời giải bài toán M338 xem trong bài viết của Yu. Ionin và L. Kurlyandik “Bất biến Ponsk”, xuất bản năm «Kvant», 1976, số 2.