Kvant 1976, số 6 · Trang

1976
6
Kvasht
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov
S. T. Belyaev
V. G. Boltyansky
N. B. Vasiliev
Yu. N. Efremov
V. G. Zubov
P. L. Kapitsa
V. A. Kirillin
A. I. Klimanov
(nghệ sĩ chính)
S. M. Kozel
V. A. Leshkovtsev
(Phó tổng biên tập)
L. G. Makar-Limanov
A. I. Markushevich
N. A. Patrikeva
I. S. Petrkov
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
Tôi. Sh. Slobodetsky
M. L. Smolyansky
(Phó tổng biên tập)
Y. A. Smorodinsky
V. A. Fabricant
A. T. Tsvetkov
M. P. Shaskolskaya
S. I. Schwartzburg
A. I. Shirshov

biên tập:
V. N. Berezin
A. N. Vilenkin
I. N. Klumova
T. M. Makarova
(biên tập nghệ thuật)
T. S. Petrova
V. A. Tikhomirova
L. V. Chernova
(người quản lý biên tập)

TẠI NHÀ:
Leonard Beve. Hình học thu nhỏ
A. Kikoin. Nhiệt độ, nhiệt độ, nhiệt kế

Phòng thí nghiệm “Quaita”
V. Mayer. Vòng cung không ngừng nghỉ

vòng tròn toán học
A.Toom. Lời giải bài toán VZMSH

Vấn đề “Quaita”
Bài toán M386—M390; F398—F402
Lời giải bài toán M343—M350; F353—F357

Xưởng của người nộp đơn
A. Mytsiks, L. Sadovsky. Toán ứng dụng
G. Dorofeev, N. Rozov. Vẽ hình học bài toán

Các lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh đại học
I. Gorev. Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova
A. Sarzhevsky, S. Galko. Đại học bang Belarus được đặt theo tên. V. I. Lênin
E. Begovamov, R. Galtsullin, V. Laptev. Đại học bang Kazan được đặt theo tên. V. I. Ulyanova (Lênin)
E. Golubov, R. Emlin. Đại học bang Ural được đặt theo tên A. M. Gorky
A. Nazaremov. Viện kỹ thuật Moscow

Đánh giá, thư mục
V. Leshkovtsev. Các nhà vật lý đang nghĩ gì?

“Bỏ cuộc” đối với sinh viên trẻ
Bài toán
A. Bendukidze. Về hệ thống số kép

Đáp số, gợi ý, lời giải
Pha trộn (tr. 12, 27, 40, 56)

Những dụng cụ thủy tinh tuyệt đẹp mà bạn nhìn thấy ở trang thứ hai của trang bìa là những nhiệt kế được sản xuất tại Học viện Bán buôn Florentine vào giữa thế kỷ 17. Lịch sử tạo ra nhiệt kế được thảo luận trong bài viết của A. Kikon (tr. 13).

Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản “Nuka”, “Quait”, 1976 200

LEONARD BEVE
MINI-
GEO-
METRIA

Leonard Beve
MINI-
GEO-
METRIA

TỔNG HỢP
HÌNH HỌC
VÀ MỘT PHẦN
ĐẠI SỐ
CHUY luận

Có một câu chuyện nổi tiếng về một con rết thông minh đã quên cách đi trong khi đang suy nghĩ về thứ tự sắp xếp lại nhiều chân của nó. Tám mươi đến chín mươi năm trước, một điều đã xảy ra với các nhà toán học: họ nghĩ xem kết luận của mình có giá trị đến mức nào khi chứng minh các định lý. Sau gần hai mươi năm phấn khích và làm việc căng thẳng, những tiêu chuẩn về cấu trúc toán học đó đã được phát triển, theo đó mọi lý thuyết “tự tôn” đều được xây dựng cho đến ngày nay, và cuối cùng người ta thấy rõ rằng toán học sẽ tránh được việc dạy con rết bất hạnh.

Đồng thời, tòa nhà hùng vĩ và đồng thời có trật tự tốt của hình học Euclide đã được cứu khỏi sự phá hủy và phục hồi; kể từ đó, nền tảng vĩnh cửu của nó đã trở thành 20 tiên đề được David Hilbert mô tả trong cuốn “Cơ sở hình học” *). Hình học Euclide có thể được so sánh với Nhà thờ Kell nổi tiếng (được xây dựng, chuyển giao và xây dựng lại bởi nhiều thế hệ thợ xây, những người đã định cư lâu dài bên cạnh quảng trường nhà thờ và truyền lại công việc sửa chữa, nơi làm việc cho con cháu của họ).

Hình học hữu hạn có cấu trúc hoàn toàn khác: tối thiểu vật liệu xây dựng là hữu hạn số điểm, đường thẳng và mặt phẳng, quy tắc tối thiểu để xử lý vật liệu này là ba hoặc bốn tiên đề quy định mối quan hệ giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng.

Có vẻ như trong vương quốc “kính và nhôm” này không có bí mật hay bí ẩn nào cả. Điều này hoàn toàn không đúng, và đây là một ví dụ: bất chấp nỗ lực của ba thế hệ nhà toán học, người ta vẫn chưa biết liệu

*) Cuốn sách tuyệt vời này dạy chúng ta sự khiêm tốn và chính xác: ngay cả khi chỉ nhìn qua nó, người ta không thể không hiểu rằng chúng ta biết cách chứng minh một số định lý về phép đo phẳng mà không cần biết chúng ta đang bắt đầu từ đâu.

mặt phẳng hữu hạn cuối cùng (xem § 1) của 100 điểm.

§ 1. Mini-Euclide, hay đúng hơn là mặt phẳng affine hữu hạn

Các yếu tố tạo nên chiếc máy bay mini là “điểm” và “đường thẳng”. (Đây chỉ là một cái tên, như người đọc sẽ thấy, khác xa với nghĩa gốc của những từ này. D. Hilbert đã nói rằng “điểm”, “đường thẳng” và “mặt phẳng” cũng có thể được gọi là “ghế”, “bàn” và “hình tròn”.) Điểm A có thể nằm trên đường thẳng a; điều tương tự có thể được biểu diễn khác nhau: điểm A thuộc đường thẳng a, đường thẳng a đi qua điểm A, đường thẳng a chứa điểm A. Bất kỳ phát biểu nào khác về điểm và đường thẳng đều hợp lệ và có thể được biểu diễn thông qua quan hệ cơ bản này: phát biểu “đường a và b giao nhau” có nghĩa là có một điểm duy nhất nằm trên cả đường thẳng a và đường b; “đường thẳng a và b song song” nếu chúng không cắt nhau, v.v.

Chúng ta sẽ gọi một tập hợp hữu hạn các điểm và đường thẳng có quan hệ “nằm trên” hoặc “thuộc” một mặt phẳng affine hữu hạn nếu ba tiên đề sau được thỏa mãn:

Axima A1. Qua hai điểm bất kỳ của mặt phẳng ta vẽ một đường thẳng.

Hình 1. a) Hình học “thoái hóa” (vi phạm Axim A3!).

Aksima A2. Qua bất kỳ điểm nào không nằm trên một đường thẳng, ta vẽ một đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng đã cho.

Aksima A3. Có ba điểm không cùng thuộc một đường thẳng.

Giải thích tiên đề A1–A3

1. Tiên đề đầu tiên giao nhau ở đây trong hình học Euclide mà không thay đổi, tiên đề thứ hai tương ứng với tiên đề của hình học Euclide song song (Định đề thứ năm nổi tiếng), tiên đề thứ ba giải phóng chúng ta khỏi hình học biểu đạt, giống như tiên đề được mô tả trong Hình 1, a).

2. Trong mini-planimetrine của chúng ta, các mệnh đề sau không có ý nghĩa: “điểm A thuộc đoạn BC”, đoạn AB bị chặn bởi đoạn CD”, “điểm A nằm trong góc BCD”, “góc ABC và DEF bị tắc” và nhiều khái niệm và phát biểu khác đã được dạy cho chúng ta.

3. Mọi thông tin về bất kỳ đường thẳng nào đều chứa trong danh sách các điểm nằm trên đường thẳng đó; Do đó, sóng được phép (mặc dù không bắt buộc) có quan điểm này về sự vật: mặt phẳng là một tập hợp hữu hạn các điểm, các đường thẳng là các tập hợp khác nhau của các điểm này.

Mặt phẳng nhỏ tối thiểu thỏa mãn ba tiên đề của chúng ta chứa bốn điểm và sáu đường thẳng; hình ảnh thông thường của nó được hiển thị trong Hình 1, b). Quy ước của hình này trong đường của chúng ta là trên đó các điểm chung tương ứng với các điểm của mặt phẳng hữu hạn, các đường thẳng chung tương ứng với các đường thẳng của mặt phẳng hữu hạn và hệ thức tổng quát

5

có khả năng chồng dòng này lên dòng khác. Trong hình học ái lực hữu hạn, chúng ta không có khả năng như vậy. Do đó, hãy cố gắng xoay sở với những gì chúng ta có trong tay: vẽ các đường thẳng, tìm giao điểm của các đường thẳng, v.v.

Định lý A9. Hai đường thẳng e và e’ bất kỳ của một mặt phẳng affine hữu hạn đều chứa cùng số điểm.

□ Mỗi đường thẳng e và e’ cắt nhau ít nhất hai trong số các đường thẳng a, b và c Định lý A5. Do đó, một trong những đường thẳng này, chẳng hạn như a, cắt cả đường thẳng e và đường thẳng e’. Bây giờ chúng ta hãy thiết lập, bằng cách sử dụng đường thẳng a này, sự tương ứng một-một giữa các điểm của đường thẳng e và e'.

Để làm điều này, với mỗi điểm A trên e, chúng ta liên kết điểm A’ trên e’, điểm này thu được từ giao điểm của e với đường thẳng a’ (A2)*), đi qua A và song song với a. Trong trường hợp này, các điểm khác nhau trên e sẽ tương ứng với các điểm khác nhau trên e’ (A2); Rõ ràng là bất kỳ điểm B’ nào trên e’ sẽ tương ứng với một số điểm B trên e (xem Hình 3a).

Sự định nghĩa. Cấp của mặt phẳng affine hữu hạn là số điểm trên bất kỳ mặt phẳng thẳng nào.

Thứ tự là đặc tính số quan trọng nhất của mặt phẳng ái lực. Như chúng ta sẽ thấy, việc chế tạo một mặt phẳng không khó; thứ tự bằng với bất kỳ thứ tự nào được chỉ định trước.

*) Để cho ngắn gọn, chúng ta sẽ tiếp tục viết A2, A5, v.v… cùng nhau là “Tiên đề A2”, “Định lý A5”.

Hình 36. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm A cũng như số điểm trên đường thẳng a, một mặt phẳng.

danh hiệu số nguyên tố; Việc xây dựng một mặt phẳng có bậc bằng lũy ​​thừa của một số nguyên tố sẽ khó khăn hơn (và chúng tôi sẽ không thể xóa vị trí này trong chuyên luận của mình). Biết rằng không có mặt phẳng cấp 6 và cũng không biết có mặt phẳng cấp 10 hay không.

Định lý mà bây giờ chúng ta quay lại, theo một nghĩa nào đó, là một ảnh ngược của A9: nó chứa vị trí của một điểm và một mặt phẳng. Các định lý như vậy được gọi là đối ngẫu với nhau.

Định lý A10. Cùng một số đường thẳng đi qua bất kỳ điểm nào của mặt phẳng: đối với mặt phẳng có bậc n, số này là n+1.

□ Cho a là một đường thẳng tùy ý; và cho điểm A không thuộc đường thẳng a (A3). Khi đó có một đường thẳng duy nhất đi qua điểm A và song song với đường thẳng a (A2), và bất kỳ đường thẳng nào khác đi qua điểm A cắt đường thẳng a tại một điểm duy nhất (A4) và các đường thẳng khác nhau cắt nhau (xem Hình 36) tại các điểm khác nhau (A1). Theo đó, số đường thẳng đi qua điểm A bằng số điểm trên đường thẳng a, tức là bậc hình học affine (xem A9), tăng thêm một.

Bài 2. Chứng minh điều kiện bài toán M364 («Kvant», 1976, số 1, xem thêm biểu đồ) tương đương với phát biểu: tồn tại một mặt phẳng liên kết hữu hạn bậc 4.

Định lý A11. Nếu thứ tự của mặt phẳng là n thì bất kỳ đường thẳng nào của mặt phẳng đều thuộc về một họ (bó) gồm n đường thẳng song song từng cặp khác nhau.

6

Hình 4. Một tập hợp các đường thẳng song song với $e$ được dựng từ các điểm của đường $a$.

Giả sử $e$ là một đường thẳng tùy ý thì một trong ba đường thẳng, ví dụ $a$, của Định lý A5 cắt đường thẳng $e$ tại điểm $E$. Rõ ràng là qua bất kỳ điểm nào trên đường thẳng $a$, ngoại trừ điểm $E$, có một đường thẳng đi qua song song với đường thẳng $e$ (A2) và ngược lại (Hình 4), mọi đường thẳng song song với đường thẳng $e$ đều cắt đường thẳng $a$ tại một điểm nào đó (xem A6). Chúng tôi đã thiết lập sự tương ứng một-một giữa đường $a$ và các đường của bó đường thẳng song song thuộc về đường $e$.

Định lý A12. Bất kỳ mặt phẳng có thứ tự $n$ nào cũng chứa $n^2$ điểm $n^2+n$ đường.

Bất kỳ bút chì nào gồm các đường thẳng song song với một đường thẳng đã cho sẽ chứa tất cả các điểm của mặt phẳng cuối cùng: mặt khác, theo Axim A2, họ này có thể được bổ sung bằng một đường thẳng khác song song với một đường thẳng đã cho và đi qua một điểm “không bị bút chì che phủ”. Nhưng trong bất kỳ họ nào như vậy $n$ đều là các đường thẳng (A11) và trên mỗi đường thẳng $n$ điểm (A9), tức là chỉ có $n^2$ điểm (Hình 5).

Hình 5. Hai tia thẳng song song cắt nhau cho biết tất cả các điểm của mặt phẳng.

§ 3. Về sự rùng rợn của các cuộc duyệt binh khi một nhà toán học vĩ đại quan sát chúng

Leonhard Euler đã nghĩ ra câu đố nổi tiếng của mình về 36 văn phòng, dường như ông đang buồn chán tại một trong nhiều cuộc diễu hành của cung điện St. Petersburg. Đây là công thức của nó: trong số 36 văn phòng có số lượng bằng nhau về thương, kỵ binh, kỵ binh, kỵ binh, kỵ binh bảo vệ và lính ném lựu đạn, và, ngoài ra, có số lượng bằng nhau các tướng lĩnh, đại tá, thiếu tá, đại úy, trung úy và thiếu úy, và trung đoàn của mỗi “đội quân” ​​được đại diện bởi các sĩ quan thuộc cả sáu cấp bậc. Có thể sắp xếp các văn phòng này thành một hình vuông $6 \times 6$ sao cho ở cột, hàng nào cũng có sĩ quan của tất cả các trung đoàn và mọi cấp bậc không? (Lời giải trong số này bài toán, khi yêu cầu xây dựng một hình vuông gồm 25 văn phòng theo các quy tắc tương tự, được mô tả trên trang bìa của tạp chí.)

Người đọc tinh tường đã liên hệ câu đố của Euler với bài toán xây dựng một mặt phẳng hữu hạn cấp 6 trong đó các điểm sẽ là các văn phòng và các đường sẽ hợp nhất các văn phòng của cùng một trung đoàn hoặc cùng cấp bậc. Tất nhiên, người đọc đúng, nhưng với một lưu ý: chúng tôi sẽ chỉ ra rằng nếu đối với một số $n$ ($n > 2$) có một mặt phẳng ái lực hữu hạn cấp $n$, thì cũng tồn tại sự sắp xếp cần thiết của các văn phòng $n^2$ trong hình vuông $n \times n$ (đối với Euler $n=6$); tuy nhiên, điều ngược lại nói chung là không đúng. Ví dụ: đối với $n=14$ không có mặt phẳng cấp 14 (xem Định lý 2 bên dưới) và bài toán của Euler có lời giải.

7

Hình 6. Bảng số “tốt”, “xấu” và “chưa biểu hiện”.

Nhiệm vụ 3. Xây dựng 196 sĩ quan (14 sĩ quan thuộc tất cả 14 cấp bậc từ 14 trung đoàn) tại quảng trường Euler $14 \times 14$.

Theo Định lý A12, một mặt phẳng trật tự $n$ chứa $n^2$ điểm—họ sẽ là sĩ quan của chúng ta. Từ họ các đường thẳng song song $n+1$ (xem A10 và A11), chúng ta chọn bốn họ khác nhau (đối với điều này, bất đẳng thức $n+1 \geq 4$, tức là $n > 2$, phải được thỏa mãn). Để phân biệt giữa các họ dòng này, hãy gán một trong số chúng là số một, dòng còn lại là số hai, v.v. Chúng ta cũng đánh số các dòng trong mỗi họ trong số bốn họ này theo thứ tự ngẫu nhiên. Tất cả các điểm thuộc dòng đầu tiên của họ đầu tiên đều được gọi, dòng thứ hai của họ này - thương thủ, v.v. - tổng cộng $n$ tên của các trung đoàn. Chúng tôi gọi tất cả các điểm từ dòng đầu tiên của tướng thứ hai, dòng thứ hai của dòng này - đại tá, v.v. - tổng cộng là $n$ cấp bậc.

Nhiệm vụ 4. Chứng minh rằng trong đàn ngỗng có sĩ quan thuộc mọi cấp bậc; tương tự với thương, rồng, v.v.

Để xây dựng một hình vuông, chúng ta sẽ xem xét họ thứ ba gồm các đường thẳng song song và tạo thành cột đầu tiên của hình vuông từ các “quan” của đường thẳng thứ nhất của họ thứ ba, cột thứ hai từ đường thẳng thứ hai, v.v., và thứ tự các sĩ quan trong mỗi cột sẽ được xác định bởi bốn đường thẳng của họ cuối cùng: ở hàng đầu tiên của hình vuông của chúng ta có những “người tham gia” của đường thẳng thứ nhất của họ thứ tư, hàng thứ hai

Tuyến này sẽ bao gồm các sĩ quan từ tuyến thứ hai, v.v.

Nhiệm vụ 5. Chứng minh rằng phương pháp dựng hình vuông cánh tay đã mô tả sẽ dẫn đến mục tiêu.

§ 4. Đỏ, đen và xanh

Câu đố của Euler đưa chúng ta đến một trong những câu hỏi thú vị nhất trong lý thuyết hình học hữu hạn: mặt phẳng ái lực hữu hạn là gì? Đối với chúng tôi, những nhà hình học tối thiểu mới vào nghề, chỉ cần tìm đáp số cho một câu hỏi hẹp hơn là đủ: với $n$ nào tồn tại một mặt phẳng ái lực hữu hạn cấp $n$?

Vẫn chưa có lời giải đầy đủ của vấn đề này. Tất cả những gì đã biết đều được cạn kiệt bởi hai định lý thay thế.

Định lý 1. Nếu quét số $n$ hoặc quét bậc thì tồn tại mặt phẳng bậc $n$.

Chúng ta sẽ chứng minh định lý này trong § 5 cho mọi số nguyên tố $n^*$).

Định lý 2. Nếu số $n$ khi chia cho 4 có số dư là 1 hoặc 2 và nếu trong phân tích số này thành thừa số nguyên tố thì ít nhất một số tra cứu $p$ có dạng $p = 4k+3$ xảy ra ở lũy thừa lẻ thì không có mặt phẳng affine hữu hạn cấp $n$.

Số đầu tiên thỏa mãn điều kiện của Định lý 2 là số $n=6: 6=4+2$ và $6=2 \cdot 3$. Vì vậy, mặt phẳng 36 điểm không tồn tại!

(Trực giác đáng chú ý của Euler)

*) Đối với lũy thừa của số nguyên tố, việc chứng minh phức tạp hơn. (Ví dụ, hãy xem cuốn sách “Combinatorics”, “World” của M. Hall, 1970. Cuốn sách xuất sắc này có thể được đọc một cách có chọn lọc, “bỏ qua” những chỗ khó hiểu.)

8

Hình 7. Đây là cách nhập tọa độ trên mặt phẳng affine (ví dụ: điểm A có tọa độ (2,2)). Ngược lại, từ một tập hợp $n^2$ điểm ($n = 5$) được cho bởi tọa độ, người ta có thể xây dựng một mặt phẳng ái lực.

cho phép anh ta chọn trường hợp “nghi ngờ” duy nhất từ ​​​​một số lượng lớn những người thân thiết: $n^2 = 9, 16, 25, 49, 64$; khi mặt phẳng, theo Định lý 1, tồn tại an toàn $^*$).

Như người đọc đã biết, điều này vẫn chưa chứng minh được tính không thể quyết định được của số lượng người thân trên toàn cầu: $n^2 = 9, 16, 25, 49, 64$; tuy nhiên, nó thực sự không thể giải quyết được! Điều này đã được chứng minh vào năm 1900 bằng việc tìm kiếm tỉ mỉ tất cả các phương án có thể để xây dựng một hình vuông.

Định lý cứng 2 được chứng minh tương đối gần đây (1949); nó cho phép bạn loại trừ khỏi việc xem xét vô số số, ví dụ như các số 77 và 78. Hình 6 cho thấy một trăm số tự nhiên đầu tiên

$^*$) Một sự trùng hợp đáng ngạc nhiên, mặc dù không quá hiếm trong lịch sử toán học: chính Euler là người sở hữu thuật ngữ “affine” (trong tiếng Latin “affine” có nghĩa là liền kề, lân cận; hình học liên kết là hình học của sự liền kề, lân cận, hình học không có khoảng cách, nhưng vẫn giữ được tính song song), và Euler cũng đã phát biểu (mặc dù ở dạng “giải trí”) bài toán đầu tiên liên quan trực tiếp đến lý thuyết về mặt phẳng ái lực hữu hạn.

các số, được sơn bằng ba màu: số màu xanh lam là gà con, theo Định lý 1, tồn tại một mặt phẳng có thứ tự tương ứng, số màu đỏ là gà con, theo Định lý 2, mặt phẳng đó không tồn tại và đối với gà con màu đen, cả khả năng thứ nhất và thứ hai vẫn còn bỏ ngỏ.

Terra incognita $^*$) của các số màu đen bắt đầu bằng số 10 (mặc dù $10 = 2 \cdot 4 + 2$, nhưng $10 = 2 \cdot 5$, và cả 2 và 5 khi chia cho 4 đều không có số dư là 3). Kể từ khi phát hiện ra hình học ái lực hữu hạn (đầu thế kỷ 20), đã có nhiều nỗ lực xây dựng một mặt phẳng theo thứ tự này, bao gồm cả những nỗ lực gần đây - với sự trợ giúp của các máy tính hiện đại nhất, nhưng tất cả đều kết thúc không thành công: không thể xây dựng nhiều hơn sáu họ đường thẳng song song với mặt phẳng đang được tìm kiếm, mặc dù theo (A12) phải có chính xác số lượng các họ như vậy!

§ 5. Phương pháp tọa độ

Đặt $n$ là một số nguyên lớn hơn một. Chúng ta sẽ cố gắng xây dựng một mặt phẳng aff hữu hạn có bậc $n$ bằng cách đưa vào các tọa độ trên tập hợp của chúng ta. Khi làm như vậy, chúng tôi bắt chước ví dụ tuyệt vời của Rene Descartes, người đã giảm một cách chính xác một cách có hệ thống hình học bài toán trên một mặt phẳng gấp thành các bài toán đại số tương ứng.

Vì vậy, hãy sắp xếp $n^2$ các điểm dưới dạng hình vuông $n \times n$ tại các nút của tờ giấy ca rô, như đã thực hiện trong Hình 7 cho $n = 5$. Chúng ta hãy đánh số lại các hàng nút dọc và ngang với các số nguyên từ 0 đến $n - 1$ và gán cho mỗi điểm trong tương lai của mặt phẳng hữu hạn một cặp tọa độ $(x, y)$, trong đó $y$ là số ngang và $x$ là số dọc của hai hàng tại giao điểm mà điểm này nằm.

$^*$) Vùng đất không xác định (lat.).

Những đường thẳng nào được coi là đường thẳng của mặt phẳng? Tất nhiên, bất kỳ hàng nút ngang hoặc dọc nào. Ngoài ra, bất kỳ tập hợp (ít nhất hai) nút nào nằm trên cùng một đường Euclide trong hình vuông $n \times n$. Chúng ta chỉ đồng ý “trả lại” bất kỳ đường thẳng nào như trong Hình 8.

Bài toán 6. Chứng minh rằng sau một số lần “nhảy” nhất định như vậy, chúng ta sẽ lại trở về đường thẳng ban đầu và số nút mà chúng ta sẽ “vượt qua” trong trường hợp này sẽ không vượt quá $n$.

Chúng ta sẽ coi tập hợp các nút mà chúng ta đã “đi ngang” dọc theo một đường “nhảy” là một đường thẳng.

Ý tưởng này thực sự cho phép chúng ta xây dựng một mặt phẳng có thứ tự $n$ khi $n$ là số nguyên tố. Chúng ta sẽ xem xét phiên bản số học của định nghĩa này về mặt phẳng, để người đọc thực hiện cẩn thận cách xây dựng hình học mà chúng ta đã phác thảo.

Bài toán 7. Chứng minh rằng nếu $n$ là một số tự nhiên tùy ý (không nhất thiết phải là số nguyên tố), thì bằng cách này chúng ta có thể định nghĩa họ $\varphi(n) + 1$ của các đường thẳng song song, trong đó $\varphi(n)$ là hàm Euler (!) ($\varphi(n) =$ số các số tự nhiên nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$).

Vậy coi $n = p$ là số nguyên tố. Rõ ràng, với bất kỳ số nguyên $m$ nào cũng có một số duy nhất từ ​​tập hợp các số $F_p = \{0, 1, 2, \dots, p-1\}$ bằng phần còn lại của $m$ chia cho $p$; hãy biểu thị số này bằng $\{m\}_p$. Bây giờ, đối với hai số bất kỳ $a$ và $b$ từ tập hợp $F_p$, chúng ta xác định hai phép toán: $p$-cộng và $p$-nhân bằng cách đặt:

$$a \oplus_p b = \{a+b\}_p, \quad a \otimes_p b = \{a \cdot b\}_p,$$

trong đó $a+b$ và $a \cdot b$ là tổng và tích của các số $a$ và $b$. Rõ ràng, đối với hai số bất kỳ $a$ và $b$ từ tập hợp $F_p$, tích $p$-tổng và $p$-lại thuộc về $F_p$. Các tính chất rất đơn giản không kém của các phép toán này được xây dựng dưới đây trong Định lý A1-A9 (xin vui lòng chỉ định lý A8 là cần thiết hơn các định lý khác).

11

Hình 10. Mỗi họ song hành đều có màu sắc riêng; đối với ba họ (xanh, đen, chấm), mỗi hình thể hiện một đường thẳng.

trong Hình 10. Đồng thời, hình này đóng vai trò là giải pháp cho vấn đề đã được đề cập (phần ngoại truyện ở § 2) bài toán về 16 nhà du hành vũ trụ: mỗi họ đường thẳng song song là sự chia 16 nhà du hành vũ trụ thành 4 phi hành đoàn, mỗi dòng của họ đó là một phi hành đoàn.

Chúng tôi trình bày mà không chứng minh định lý chính về trường hữu hạn.

Định lý. Số q phần tử của bất kỳ trường hữu hạn nào đều là lũy thừa của số nguyên tố q=p^m. Ngược lại, với mọi q=p^m, trong đó p là số nguyên tố và m là số tự nhiên tùy ý, tồn tại một trường hữu hạn duy nhất F_q với q phần tử *).

Tính đúng đắn của định lý này ngụ ý sự tồn tại của mặt phẳng affine hữu hạn có cấp q=p^m.

*) Chứng minh định lý này có thể được tìm thấy trong cuốn sách kinh điển “Đại số hiện đại” của van der Waerden, tập. 1, tr. 153 (Gostekhidat, 1947). Trường duy nhất phải được hiểu theo nghĩa bất kỳ trường nào khác có cùng số phần tử đều đẳng cấu với trường F_q; giữa các phần tử của hai trường này, người ta có thể thiết lập sự tương ứng một-một sao cho số 0 tương ứng với số 0, một với một, tổng với tổng và tích với tích.

12

§ 6. Lời kết

Không giống như tiểu thuyết và kịch, việc tiết lộ sớm một kế hoạch không phải là một sai sót trong nghiên cứu khoa học.

J. Galbraith

Vì vậy, câu hỏi về sự tồn tại của các mặt phẳng affine hữu hạn của một bậc nhất định trở nên rõ ràng hơn phần nào: có các giá trị bị cấm (số màu đỏ trong Hình 6), có các giá trị chưa được khám phá (số màu đen ở đó) và có các giá trị được phép - số nguyên tố và lũy thừa của chúng (số màu xanh), trong đó có cách xây dựng một mặt phẳng.

Nhưng đây có phải là cách duy nhất?! Có máy bay nào khác cho đơn hàng này không $q=p^m$?

Thật vậy, Định lý Trường hữu hạn (§5) cấm sự tồn tại của các trường khác ngoài một số trường tiêu chuẩn $F_q$ (chúng được gọi là trường Galois theo tên Evariste Galois); với trường đơn giản nhất—trường $F_p$—bạn thực sự đã gặp trên các trang «Kvant»—trong bài viết của A. Belsky và L. Sadovsky “Rings” («Kvant», 1974, Số 2—xem bài toán 2 và 3 trên trang 7 của số này), nhưng không làm biến đổi sự tồn tại của các mặt phẳng cùng thứ tự $q=p^m$, khác với những cái tiêu chuẩn. Có thể chỉ ra rằng tất cả các mặt phẳng có bậc không vượt quá số 8 chỉ có thể là mặt phẳng tiêu chuẩn và xây dựng được một mặt phẳng không chuẩn có bậc 9.

Chia tay độc giả, tác giả của chuyên luận đầy tâm huyết khuyên bạn nên đọc hai cuốn sách tuyệt vời của E. Artin và M. Hall*), trong đó chủ đề của chuyên luận được trình bày một cách thú vị không kém, mặc dù từ những góc độ khác nhau.

Những con số tuyệt vời

Viết bốn số có ba chữ số:

360, 351, 362, 402.

Bây giờ lấy bất kỳ số nào của tháng 1, ví dụ: 15/1, thêm số được viết - 3 vào số đầu tiên 15 và chia tổng 15 + 3 cho 7 (số ngày trong tuần): $(15+3):7$. Phần còn lại bạn sẽ nhận được là 4 - 15/1 - 76 vào ngày thứ 4 trong tuần, tức là thứ Năm.

Nếu bạn lấy một số tháng Hai nào đó, chẳng hạn như 15, và cộng chữ số thứ hai từ một dãy số có ba chữ số, chia cho 7, thì số dư sẽ là 0, điều đó cho thấy ngày 15 tháng 2 rơi vào Chủ nhật.

Nếu lấy 7/1V thì theo quy tắc này ta sẽ phải cộng 3 với 7 thì ta được $(7+3):7$ - số dư là 3, nghĩa là 7/1V sẽ là ngày thứ ba trong tuần, tức là Thứ Tư.

Nói một cách dễ hiểu, chuỗi số có ba chữ số được viết là 12 số hạng không đổi (được viết hàng quý) trong suốt 12 tháng của năm 1976, với sự trợ giúp của nó, bạn có thể nhanh chóng xác định ngày trong tuần của bất kỳ ngày nào trong năm theo một quy tắc rất đơn giản:

Số bạn quan tâm + số hạng không đổi của tháng đã cho: 7 = thương và số dư - đáp số.

Hãy thử sử dụng lịch năm 1976 để xác định 12 chữ số này đến từ đâu và tạo 12 chữ số tương tự cho năm 1977.

P. Sorokin (Astrakhan)

13

Nhiệt độ là một trong những đại lượng vật lý không có nhiều mà một người đã học không chỉ trước khi học vật lý mà còn trước khi học đọc và viết. Ngay từ khi còn nhỏ, chúng ta đã biết rằng các từ nóng, ấm, lạnh phản ánh cảm giác của chúng ta tương ứng với các giá trị nhiệt độ khác nhau. Chúng ta nghe nói nhiệt độ cao vào mùa hè và thấp vào mùa đông, người khỏe mạnh có nhiệt độ cơ thể là 36,6 độ, nếu cao hơn thì cần phải đi khám…

Do sự hấp dẫn của khái niệm nhiệt độ, chúng ta thường không hiểu đại lượng này độc đáo như thế nào, nó khác với các đại lượng hấp dẫn khác như độ dài, khối lượng, thể tích như thế nào. Và sự khác biệt ở đây là rất đáng kể. Đây là những gì nó bao gồm.

Nếu bạn nối mười thanh, mỗi thanh dài 1 m, đặt chúng cạnh nhau, bạn sẽ có một thanh dài 10 m. Mười khối lượng 1 kg mỗi cái sẽ có khối lượng 10 kg, v.v. Nhưng nếu bạn nối mười vật thể, mỗi vật có nhiệt độ 20 độ, thì chúng ta sẽ có một vật thể có nhiệt độ là 20 độ chứ không phải 200. Nhiệt độ của các vật thể khi chúng được nối với nhau không cộng lại, vì chiều dài, thể tích, khối lượng, v.v. của chúng cộng lại. Chiều dài 100 m là tổng của một trăm độ dài 1 m, nhưng nhiệt độ là 100 độ không phải là tổng của một trăm nhiệt độ, mỗi nhiệt độ 1 độ, cũng như một người 15 tuổi không bằng một đứa trẻ 15 tuổi! Nhiệt độ, như người ta nói, không phải là một đại lượng cộng thêm. Đây là một trong những tính năng quan trọng nhất của số lượng này.

Phương pháp thay đổi nhiệt độ cũng gắn liền với đặc điểm này. Để thay đổi độ dài của một phần thân, bạn cần so sánh nó với một phần thân khác, chiều dài của phần thân đó được lấy bằng một. Xác định khối lượng của một vật có nghĩa là so sánh nó với một khối lượng khác được lấy làm đơn vị. Xét cho cùng, cả chiều dài và khối lượng của một vật đều bằng tổng chiều dài và khối lượng của các bộ phận của nó.

Nhưng nhiệt độ không thể thay đổi theo cách đó. Nhưng điều này có nghĩa là giá trị nhiệt độ hoàn toàn không thể thay đổi vì nó không thể so sánh với tiêu chuẩn nhiệt độ. Nhiệt độ luôn thay đổi như thế nào?

Một chút lịch sử

Dụng cụ đo nhiệt độ, nhiệt kế, được Galileo phát minh lần đầu tiên vào khoảng năm 1592 (bản thân từ “nhiệt kế” xuất hiện lần đầu tiên trong văn học vào năm 1624). Đường

14

Phép đo nhiệt độ do Galileo đề xuất, không khác với phép đo nhiệt độ được sử dụng ở thời đại chúng ta.

Sơ đồ của thiết bị do ông phát minh ra được thể hiện trong Hình 1.

Một quả bóng thủy tinh nhỏ (a) được hàn vào một ống dài mỏng (b) có đầu hở. Quả bóng được làm nóng bằng tay và đầu dưới của ống được ngâm trong bình chứa nước (c). Khi bình chứa nguội đến nhiệt độ môi trường xung quanh, mực nước trong ống dâng lên cao hơn mực nước trong bình chứa.

Dễ hiểu là thiết bị của Galileo lợi dụng thực tế là thể tích khí trong một ống trụ có ống phụ thuộc vào nhiệt độ. Do đó, bằng cách thay đổi thể tích khí, người ta có thể đánh giá được sự thay đổi nhiệt độ.

Tất nhiên, thiết bị được mô tả vẫn chưa có nhiệt độ. Nó không thể được sử dụng để tính giá trị số của nhiệt độ. Vì vậy, không nên gọi nó là nhiệt độ mà là nhiệt kế. Nhưng nếu một chiếc nhiệt kế được trang bị bằng cách này hay cách khác trong tủ thì nó sẽ trở thành một chiếc nhiệt kế. Tại lời giải, bài toán này mất gần 150 năm. Hiện tại, điều quan trọng đối với chúng ta là thiết bị của Galileo đã chứa đựng các nguyên lý về sự thay đổi nhiệt độ, và nguyên tắc này vẫn chưa phải thay đổi cho đến ngày nay: nhiệt độ không thay đổi theo bất kỳ cách nào. Các đại lượng phụ thuộc vào nhiệt độ được đo. Trong nhiệt kế của Galileo, có một thể tích khí có độ lớn như vậy. Trong nhiệt kế cầm tay hiện đại, đại lượng phụ thuộc vào nhiệt độ để đánh giá sự thay đổi nhiệt độ cũng là thể tích, nhưng không phải của khí mà là của rutui. Cùng với thể tích khí có độ lớn này, có thể có áp suất khí (ở thể tích không đổi), chiều dài của thanh rắn, điện trở của dây dẫn, v.v..

Một quy luật tự nhiên không thể khám phá được nếu không có nhiệt kế

Những nhiệt kế không hoàn hảo đầu tiên và thậm chí cả nhiệt kế đã giúp người ta khám phá ra một trong những định luật quan trọng nhất của tự nhiên - định luật cân bằng nhiệt. Định luật này dường như và có vẻ hiển nhiên đối với nhiều người đến mức không một nhà khoa học nào tuyên bố đã phát hiện ra nó và không ai có thể chỉ ra ngày phát hiện ra nó. Định luật này là bất kỳ nhóm (hệ thống) cô lập nào của một vật thể, theo thời gian, sẽ chuyển sang trạng thái trong đó nhiệt độ của tất cả các vật thể trong hệ thống là như nhau. Trạng thái này được gọi là trạng thái cân bằng nhiệt.

Rõ ràng là định luật cân bằng nhiệt chỉ có thể được khám phá sau khi phát minh ra nhiệt kế. Mặt khác, việc phát minh ra nhiệt kế sử dụng nhiệt kế cũng dựa trên định luật cân bằng nhiệt. Xét cho cùng, nhiệt kế cũng là một vật thể có nhiệt độ nhất định. Và nó thay đổi chính xác nhiệt độ của chính nó. Và nếu chúng ta muốn sử dụng nó để phát minh ra nhiệt kế cho một vật thể khác thì nó phải cân bằng nhiệt với nhiệt kế, vì trong trường hợp này nhiệt kế của vật thể và nhiệt kế là như nhau. Đó là lý do tại sao, khi thay đổi nhiệt độ cơ thể bằng nhiệt kế, người ta luôn phải chờ một thời gian - chờ thiết lập trạng thái cân bằng nhiệt giữa cơ thể và nhiệt kế.

Thêm một chút lịch sử

Vì vậy, nhiệt kế cho phép vào cuối thế kỷ 16. Nó trở thành nhiệt kế

15

khoảng giữa thế kỷ 18. Nhưng chính xác thì nhiệt kế thay đổi điều gì? Nhiệt độ là gì? Câu trả lời đúng cho câu hỏi này là đáp số một trăm năm sau khi nhiệt kế xuất hiện.

Nhiệt độ là đại lượng đặc trưng cho trạng thái nhiệt của cơ thể. Chúng ta nói về vật lạnh và vật nóng rằng chúng có nhiệt độ khác nhau. Do đó, câu hỏi nhiệt độ là bao nhiêu là nhân chứng cho câu hỏi: vật lạnh khác vật nóng như thế nào?

Câu trả lời đáp số đầu tiên cho câu hỏi này được chính Galileo đưa ra. Từ một thực tế dễ quan sát là khi một vật lạnh ở gần một vật nóng, vật nóng nguội đi và vật lạnh nóng lên, Galileo đã đưa ra một lựa chọn tự nhiên rằng một vật nào đó sẽ chuyển từ vật nóng sang vật lạnh (với cùng quyền đó, người ta có thể cho rằng một vật nào đó chuyển từ vật lạnh sang vật nóng!). Galileo tin rằng “thứ gì đó” này là một chất nhiệt đặc biệt. Và hầu hết các nhà nghiên cứu của thế kỷ 17-18 đều có cùng quan điểm và gọi chất này là calo.

Theo lý thuyết dựa trên khái niệm calo, vật nóng khác với vật lạnh ở chỗ nó chứa nhiều calo hơn vật lạnh. Việc thiết lập trạng thái cân bằng nhiệt theo những ý tưởng này bao gồm thực tế là calo chuyển từ vật nóng sang vật lạnh. Điều này có nghĩa là mọi cơ thể đều bao gồm hai chất - chất của chính cơ thể đó (nước, đồng, sắt, thủy tinh) và calo. Mỗi cơ thể là một hỗn hợp giữa chất của cơ thể và chất nhiệt (teloride). Từ nhiệt độ chỉ có nghĩa là hỗn hợp. Và trong nhiều năm, người ta tin rằng nếu chúng ta thay đổi nhiệt độ, chúng ta sẽ thay đổi nồng độ calo trong cơ thể. Do đó tên của đơn vị nhiệt độ - độ. Ví dụ, chính trong các đơn vị này, nồng độ nước của máy quét đã được đo.

Quan điểm về nhiệt độ này tồn tại trong một thời gian rất dài - cho đến cuối thế kỷ 18. Đó là những gì họ đã nói - mức độ ấm áp.

Nhưng cùng lúc tồn tại lý thuyết “vật chất” về nhiệt, cái cây lại bốc cháy; khi lấy silicon ra khỏi lửa sẽ xuất hiện tia lửa điện; sắt nóng lên do được rèn thành từng bộ phận và do va đập mạnh…》 Từ đây người ta kết luận rằng nhiệt không phải là một chất, mà là sự chuyển động của các hạt nhỏ tạo nên mọi vật thể (“các hạt không nhạy cảm”, như người ta gọi khi đó).

Trong hơn hai năm đã có sự đấu tranh giữa hai lý thuyết này. Trong một thời gian dài lý thuyết thứ nhất đã thắng thế, nhưng cuối cùng lý thuyết thứ hai đã thắng thế.

Ngay từ thế kỷ 18, các thí nghiệm đã được thực hiện đã buộc nhiều nhà vật lý phải thay đổi quan điểm cho rằng nhiệt độ là nồng độ nhiệt (teloride) trong cơ thể.

Năm 1760, nhà vật lý và bác sĩ người Anh Black đã chỉ ra rằng cùng một lượng nhiệt cung cấp cho các khối lượng bằng nhau của các chất khác nhau sẽ dẫn đến sự thay đổi nhiệt độ khác nhau. Nhưng nếu nhiệt độ thực sự đại diện cho sự tập trung nhiệt trong một vật, thì việc nhận cùng một lượng nhiệt sẽ làm cho các chất có khối lượng bằng nhau tạo ra sự thay đổi nhiệt độ như nhau. Trong những thí nghiệm này, Black đã phát hiện ra, như chúng ta biết ngày nay, rằng các chất khác nhau có khả năng tỏa nhiệt khác nhau. Nhưng điều này không tương thích với lý thuyết calo.

Năm 1764, Black cũng đã chỉ ra rằng nếu nước đá bị giữ lại thì nó sẽ hấp thụ

16

Nó chứa một lượng nhiệt đáng kể, nhưng nhiệt độ của nó không thay đổi. Kể từ thời Black, nhiệt lượng này thường được gọi là ẩn nhiệt của phản ứng tổng hợp. Tương tự như vậy, khi nước cứng lại, nhiệt được giải phóng và nhiệt độ lại không thay đổi. Rõ ràng là nếu nhiệt độ là sự tập trung nhiệt trong cơ thể thì không thể hấp thụ nhiệt nếu không tăng nhiệt độ và không thể mất nhiệt do nhiệt mà không đốt cháy nhiệt độ của nó.

Chính xác thì nhiệt độ là gì, một đại lượng mà ý nghĩa của nó bấy lâu nay vẫn chưa rõ ràng?

Điều này chỉ trở nên rõ ràng sau khi thuyết động học về cấu trúc của vật chất xuất hiện. Và chúng ta sẽ hiểu ý nghĩa của nhiệt độ khi so sánh hai vật tưởng chừng như hoàn toàn khác nhau - một trong những kết quả của thuyết động học và phương pháp đo nhiệt độ.

Về sự hỗn loạn phân tử và các quy luật của nó

Cơ sở của thuyết động học về cấu trúc của vật chất là phát biểu rằng mọi chất đều bao gồm những hạt - phân tử nhỏ, chuyển động liên tục và ngẫu nhiên. Các phân tử hoạt động bằng lực hút và lực đẩy phức tạp. Nhưng trong chất khí ở áp suất bình thường những lực này rất nhỏ. Và người ta có thể tưởng tượng một loại khí trong đó không có lực tương tác giữa các phân tử. Vì loại khí như vậy chỉ có thể tưởng tượng được nên nó được gọi là khí lý tưởng.

Khí lý tưởng là sự tích tụ của một số lượng lớn các phân tử chuyển động ngẫu nhiên theo mọi hướng với tốc độ hàng trăm mét mỗi giây, liên tục sao chép giữa chúng và với thành bình. Tuy nhiên, trong sự hỗn loạn không thể tưởng tượng được này (có thể bản thân từ gas bắt nguồn từ từ hỗn loạn cổ xưa), tuy nhiên, những luật lệ nghiêm ngặt và bất khả xâm phạm vẫn vận hành. Do trong khí lý tưởng không cần tính đến lực tương tác giữa các phân tử nên các định luật này có thể được thiết lập về mặt lý thuyết. Đặc biệt, bạn có thể sử dụng các định luật cơ học để tính áp suất khí, tức là lực mà khí tác dụng lên một đơn vị thành của nước sốt. Lực này là kết quả của tác động của các phân tử chuyển động vào tường.

Tính toán cho thấy nếu có $N$ phân tử khí ở trạng thái có thể tích $V$ thì áp suất do khí tác dụng lên thành nước sốt bằng

$$p = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \bar{E},$$

trong đó $\bar{E} = \frac{mv^2}{2}$ là động năng của chuyển động xaotic, đạt trung bình trên 1 phân tử khí. Công thức (1) cho thấy áp suất khí bằng $\frac{2}{3}$ động năng trung bình của chuyển động xaotic của các phân tử có trong một đơn vị thể tích (xét cho cùng, $\frac{N}{V}$ chính xác là số lượng phân tử trên một đơn vị thể tích).

Đối với việc bán khí, việc tính toán áp suất khá phức tạp, nhưng trong một số điều kiện nhất định, công thức (1) khá chính xác. Giá trị của $N/V$ và $\bar{E}$ càng nhỏ thì độ chính xác càng cao. Trong thực tế, công thức này có thể được sử dụng ở áp suất khoảng 1 ampe và nhỏ hơn.

Nhưng tất cả những điều này có liên quan gì đến nhiệt độ? Rốt cuộc, nhiệt độ không được bao gồm trong công thức (1)!

Để hiểu, chúng ta hãy quay lại phương pháp đo nhiệt độ bất hợp pháp mà chúng ta đã xem xét.

Về thang đo nhiệt độ

Nhiệt kế đầu tiên được sử dụng trong thực tế là nhiệt kế chất lỏng do một nhóm các nhà khoa học Florentine chế tạo. Theo họ, chúng bắt đầu được thiết kế và sản xuất ở những nơi khác

17

Những nước này. Họ sử dụng nhiều chất lỏng khác nhau, nhưng chủ yếu là rượu và thủy ngân (đôi khi là dầu).
Nhiệt kế chất lỏng là những ống thủy tinh mỏng có đầu hình quả bóng nhỏ hoặc hình trụ ở phía dưới. Quả bóng và phần dưới của ống chứa đầy chất lỏng (rượu, thủy ngân, dầu). Trên trang thứ hai của trang bìa, bạn sẽ thấy các mẫu nhiệt kế Florentine. (Có đúng không, đây không chỉ là những thiết bị mà còn là một tác phẩm nghệ thuật theo một cách nào đó. Nhìn chung, các thiết bị này được tạo ra với “cách tiếp cận nghệ thuật”.)
Đối với tủ đo nhiệt độ, những cách chế tạo chúng mang tính cá nhân nhất đã được sử dụng. Mỗi nhà thiết kế và sản xuất nhiệt kế đều có cách tạo ra một chiếc tủ cho họ. Vào cuối thế kỷ 18, có khoảng hai chục tủ đo nhiệt độ khác nhau được sử dụng, trong đó ba tủ vẫn tồn tại cho đến ngày nay (cũng là quá nhiều).

Cuối cùng, các nguyên tắc chế tạo tủ nhiệt kế do thợ thổi thủy tinh, nhà vật lý người Hà Lan Fahrenheit và nhà thiên văn học người Thụy Điển Celsen đề xuất đã thành công. Nguyên tắc này dựa trên việc sử dụng hai cái gọi là điểm chuyển tiếp, tức là các trạng thái nhiệt khác nhau về cấu trúc của chúng. Với những điểm như vậy -

18

Đây là nhiệt độ của băng và độ sôi của nước ở áp suất khí quyển. (Điểm nóng chảy của bất kỳ chất rắn nào và điểm sôi của bất kỳ chất lỏng nào ở một áp suất nhất định cũng không đổi, nhưng nước và nước đá là dễ tiếp cận nhất.)

Năm 1742, C đề xuất phương pháp chia độ này, tức là tạo ra thang đo nhiệt kế (Hình 2). Nhiệt kế, bất kể là loại nào, được tiếp xúc với lớp băng đó và sau khi thiết lập trạng thái cân bằng nhiệt, mức chất lỏng trong nhiệt kế (nếu là nhiệt kế lỏng) sẽ dịch chuyển một số lượng nhất định. Sau đó, nước đá như vậy được thay thế bằng nước sôi và mức chất lỏng mới trong nhiệt kế được bù bằng một số khác với mức đầu tiên là 100. Và sự khác biệt về mức độ được chia thành 100 phần bằng nhau - độ. Bây giờ có vẻ tò mò rằng độ C đánh dấu mức chất lỏng trong nhiệt kế ở nhiệt độ sôi của nước bằng số 0, và mức chất lỏng ở nhiệt độ nước đá đang tan bằng số 100. Tuy nhiên, 8 năm sau, vào năm 1750, thang đo đã bị đảo ngược và ở dạng này nó vẫn được sử dụng cho đến ngày nay.

Ngay cả trước độ C, vào năm 1724, độ F, cũng sử dụng nhiệt độ của nước đá tan và nước sôi làm điểm chuyển đổi, đã chế tạo ra các nhiệt kế trong đó nhiệt độ của nước đá tan được bù bằng số 32 và nhiệt độ của nước sôi bằng số 212, sao cho khoảng nhiệt độ giữa nước đá tan và nước sôi không được chia thành 100 mà thành 180 phần bằng nhau - độ. Nhà khoa học người Pháp Romur, giống như độ C, cho rằng nhiệt độ của băng đang tan là 0, nhưng theo nhiệt kế của Romur thì nước sôi ở nhiệt độ 80 độ.

Như chúng ta thấy, có sự tùy tiện đáng kể trong việc xây dựng thang đo nhiệt độ. Số độ mà nó được chia thành tùy ý.

$$\frac{V - V_0}{t - t_0} = c,$$

trong đó $c$ là một hằng số. Nếu chúng ta giả sử rằng $t_0 = 0$ thì $V - V_0 = ct$ và $V = V_0 + ct$.

Có thể xác minh rằng thể tích thực sự phụ thuộc tuyến tính vào nhiệt độ? Rõ ràng là không. Thật vậy, để thử nghiệm thực nghiệm cần phải

20

Để không phá vỡ thang đo trăm độ C đã được thiết lập trong hơn hai trăm năm, người ta vẫn tin rằng

$$T - T_0 = 100.$$

(3)

Chênh lệch áp suất tại điểm sôi của nước và nước đá được chia thành 100 phần bằng nhau. Điều này có nghĩa là bây giờ chúng ta giả định trước rằng nhiệt độ phụ thuộc tuyến tính vào áp suất khí ở thể tích không đổi. Hơn nữa, chúng ta có thể giả sử rằng nhiệt độ của khí ở propio tỷ lệ thuận với áp suất của nó. Tất nhiên, giả định này không thể được xác minh vì lý do tương tự như trong giai thoại trên, không thể kiểm tra tính chính xác của đồng hồ bằng một phát đại bác hoặc tính kịp thời của một phát bắn của đồng hồ. Nói một cách đơn giản, bản thân sự thay đổi nhiệt độ dựa trên thực tế là áp suất khí và nhiệt độ của nó được coi là tỷ lệ thuận với nhau.

Bây giờ cần phải gán giá trị bằng 0 cho nhiệt độ của băng đó. Nó có thể được tính toán đơn giản. Trong thực tế, nếu nhiệt độ của chất khí tỉ lệ thuận với áp suất thì tỉ số áp suất của chất khí ở nhiệt độ của nước sôi và nước đá của nó bằng tỉ số của các nhiệt độ này, nghĩa là

$$\frac{p}{p_0} = \frac{T}{T_0}.$$

(4)

Nhưng tỉ số ở vế trái của phương trình này là 1,3661. Do đó, phần bên phải bằng số này:

$$\frac{T}{T_0} = 1,3661.$$

Từ đây chúng ta có được

$$T = 1,3661T_0.$$

Thay giá trị này cho $T$ vào đẳng thức (3), chúng ta tìm thấy

$$1,3661T_0 - T_0 = 100,$$

và chúng tôi ngay lập tức nhận được

$$T_0 = \frac{100}{0,3661} \approx 273,15.$$

Hình 4.

Đây là điểm khác biệt giữa thang đo mới với thang đo độ C cũ: nhiệt độ tan của băng trên thang đo này không phải bằng 0 mà là 273,15 độ. Và nhiệt độ bằng 0 là 273,15 (gọi tắt là 273) độ dưới nhiệt độ tan của băng. Đây là nhiệt độ mà tại đó áp suất của khí lý tưởng sẽ bằng 0 nếu đạt đến nhiệt độ đó và nếu khí đó vẫn là khí ở nhiệt độ này. Vì áp suất khí không thể nhỏ hơn 0 nên nhiệt độ trên thang đo như vậy không thể âm (các số 0 thay đổi).

Thang nhiệt độ vừa được mô tả (chúng tôi bỏ qua một số chi tiết trong định nghĩa của nó, thực tế không tồn tại) được gọi là thang nhiệt độ tuyệt đối hoặc thang Kelvin. Và bản thân nhiệt độ không có trong thang đo này được gọi là nhiệt độ tuyệt đối. Nó được ký hiệu bằng chữ $T$ và được biểu thị bằng độ Kelvin (viết tắt là °K), do đó nhiệt độ tan của băng là 273,15 °K, nhiệt độ sôi của nước là 373,15 °K, v.v.

Nhưng thang đo độ C cũng được sử dụng trong thực tế. Nhiệt độ

21

những phần còn thiếu trên thang đo này được ký hiệu bằng chữ cái $t$ và được biểu thị bằng độ C (viết tắt là °C). Trên thang đo này, nhiệt độ của nước đá như vậy là 0°C, nhiệt độ sôi của nước là 100°C, v.v. Rõ ràng là $t^{\circ}\mathrm{C}=(T-273,15)^{\circ}\mathrm{K}$.

Trong vật lý, bạn hầu như luôn sử dụng thang đo Kelvin.

Bây giờ chúng ta sẽ không khó để tìm ra ý nghĩa thực sự của nhiệt độ là gì.

Nhiệt độ là gì?

Vì vậy, theo phương pháp đo nhiệt độ được chấp nhận, áp suất $p$ của một khối khí tùy ý $M$, tức là một số lượng tùy ý $N$ của các phân tử khí, trong một bình có thể tích $V$ tỷ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối của nó $T$.

Điều này có thể được nhìn thấy từ phương trình (4), có thể được viết lại thành

$$\frac{p}{T} = \frac{p_0}{T_0}.$$

Hệ thức (5) cho thấy ở một thể tích không đổi, tỷ số giữa áp suất khí và nhiệt độ tuyệt đối của nó là một giá trị không đổi. Mặt khác, áp suất khí, như chúng ta đã thấy, được xác định theo công thức (xem (1))

$$p = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \bar{E}.$$

Thay thế giá trị này $p$ vào biểu thức (5), chúng ta thu được

$$T = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \frac{T_0}{p_0} \bar{E}.$$

Phương trình (6) đề cập đến một chất khí trong một bình kín có thể tích không đổi. Do đó, số lượng $N$ phân tử khí không đổi; mối quan hệ $\frac{T_0}{p_0}$, như chúng ta đã thấy, cũng là hằng số. Do đó, hệ số $\bar{E}$ trong công thức (6) là giá trị không đổi đối với bất kỳ loại khí nào, nghĩa là số mol khí bằng $\frac{M}{\mu}$; và vì có $N_A$ phân tử trong mỗi molega ($N_A$ là số Avogadro), nên số lượng phân tử $N$ trong khối khí $M$ là $N = \frac{M}{\mu} N_A$. Vậy giá trị của khối lượng khí là $M$, khối lượng mol của nó là $\mu$, thể tích của bình là $V$ và áp suất khí là $p_0$

22

ở nhiệt độ $T_0$, có thể xác định được giá trị của hằng số Boltzmann $k$.

Loại phép đo này (cũng như nhiều loại khác) đã được thực hiện nhiều lần. Tất cả đều đưa ra giá trị cho hằng số Boltzmann

$$k = 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ дж/эрад.}$$

Như chúng ta có thể thấy, giá trị của $k$ rất nhỏ. Điều này có nghĩa là động năng trung bình của các chuyển động ngẫu nhiên của một phân tử, yếu tố xác định cái mà chúng ta gọi là nhiệt độ, là cực kỳ nhỏ. Ở nhiệt độ $1^\circ\text{K}$, động năng trung bình của phân tử $\bar{E}$ bằng

$$\frac{m v^2}{2} = \frac{3}{2} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \approx 2 \cdot 10^{-23} \text{ дж/mолекулу.}$$

Đây là sự tương ứng giữa độ Kelvin và joules trên mỗi phân tử.

Tóm lại, chúng ta vẫn phải tìm ra mối liên hệ giữa nhiệt độ và nhiệt lượng - hai khái niệm mà trong nhiều thế kỷ được coi là gần như đồng nghĩa với nhau.

Được biết, nhiệt lượng là năng lượng của các chuyển động nhiệt ngẫu nhiên được truyền từ vật này sang vật khác (trong quá trình truyền nhiệt). Do đó, rõ ràng là nhiệt không phải là đại lượng đặc trưng cho trạng thái của vật thể. Không thể nói nó được chứa trong cơ thể. nhiệt độ đặc trưng cho trạng thái của cơ thể, bởi vì nó được xác định bởi động năng trung bình của các phân tử của nó. Rõ ràng là không có mối liên hệ nào giữa nhiệt độ và nhiệt độ. Chúng ta chỉ có thể nói rằng nếu hai vật có nhiệt độ khác nhau thì nhiệt độ của tôi càng cao, chúng ta chuyển sang phương pháp kia. Nhiệt độ của một vật thể là đại lượng quyết định liệu vật thể đó sẽ truyền nhiệt cho vật thể khác hay nhận nhiệt từ chúng. Định nghĩa về nhiệt độ như vậy đã đến thời của Maxwell.

Chúng ta có cần một đại lượng gọi là nhiệt độ không?

Nhiệt độ với tư cách là một khái niệm và như một đại lượng vật lý xuất hiện ngay từ đầu trước khi người ta hiểu được ý nghĩa thực sự của nó. Nhưng bây giờ nó đã được biết đến, liệu nó có đáng để bảo tồn tầm quan trọng dường như cổ xưa này không? Chẳng phải là tốt hơn sao, ở bất cứ nơi nào chúng ta quen nói về nhiệt độ, về độ Kelvin, về độ C, hãy thay thế chúng bằng những gì chúng thực sự là - động năng trung bình của một hạt, và thay đổi nó thành joules?

Không khó để thấy rằng không có lý do gì để từ bỏ nhiệt độ và độ.

Thứ nhất, chẳng hạn, sẽ khó thuận tiện khi một bác sĩ coi một bệnh nhân bị bệnh dựa trên cơ sở động năng trung bình của phân tử của anh ta là $6,64 \cdot 10^{-21} \text{ дж}$, thay vì nói về nhiệt độ $38^\circ\text{C}$.

Thứ hai, việc thay thế bằng jun cũng có thể gây ra hiểu lầm. Xét cho cùng, năng lượng, chẳng hạn, trong $100^\circ\text{дж}$, nói chung, có nghĩa là công việc trong $100^\circ\text{дж}.$ có thể thu được bằng chi phí của nó. Giữa nhiệt độ của cơ thể là $100 \text{ дж/mолекулу}$ (đối với nhiệt độ, đây là một giá trị tuyệt vời), điều này không có nghĩa là bạn có thể đạt được công việc tương tự với chi phí của nó.

Lúc chia tay

1. Con số nào biểu thị nhiệt độ không tuyệt đối trên thang đo Fahrenheit và Reaumur?
2. Tính động năng trung bình của một phân tử khí ở nhiệt độ $1000^\circ\text{K}$.
3. Khi một quả bom hạt nhân phát nổ, một quả cầu khí được hình thành, nhiệt độ của nó có thể được coi là bằng 20 triệu độ. Động năng trung bình của một hạt trong quả bóng này là bao nhiêu?
4. Trong vật lý nguyên tử và hạt nhân, người ta thường biểu thị năng lượng của các hạt theo đơn vị đặc biệt - electron volt (eθ).
   Biểu thị động năng trung bình của một phân tử khí ở nhiệt độ phòng bằng electron volt.
5. Tính giá trị của hằng số Boltzmann bằng cách thử độ F.

23

V. Mayer

Vòng cung không ngừng nghỉ

Thí nghiệm đơn giản và đáng chú ý này thuộc về người đồng hương xuất sắc của chúng ta, nhà phát minh vô tuyến A. S. Popov.

Từ tấm đồng thau hoặc thiếc dày khoảng 1 mm, cắt một dải có kích thước khoảng 30x100 mm. Cẩn thận định hình dải bằng giũa và giấy nhám, loại bỏ các gờ khỏi các cạnh của nó và uốn cong nó để bạn có được một vòng cung có bán kính 3-4 cm. Đặt tấm mica dày không quá 0,2 mm lên tấm nhôm hoặc diorium. Không khó để đạt được độ dày tấm cần thiết bằng cách tách mica bằng lưỡi dao cạo, có thể tìm thấy ở cửa hàng đồ kim khí. Làm nóng hồ quang đã chuẩn bị sẵn bằng ngọn lửa nhiên liệu khô hoặc đèn đốt gas rồi đặt nhanh lên tấm mica. Đồng thời, ngay cả khi bạn để vòng cung hoàn toàn bất động, nó vẫn bắt đầu lắc lư và chuyển động dao động này có thể tiếp tục trong vài phút.

Đây là cách A.S. Chính Popov đã giải thích kết quả của thí nghiệm thú vị này.

“Lý do của sự chuyển động rất đơn giản: mica, chỉ được làm nóng ở một bên, phồng lên về phía vật thể được làm nóng và nâng nó lên một chút, do các điểm mới này trên bề mặt mica tiếp xúc với vật thể được làm nóng và những điểm được làm nóng trước đó nguội đi khi ở gần vật thể lạnh. Vòng cung uốn cong theo một hướng cho đến khi vượt qua lực truyền động được tạo ra, sau đó nó bắt đầu di chuyển theo hướng ngược lại, v.v.”

Do đó, trong thí nghiệm được mô tả, năng lượng nhiệt của quá trình đốt nóng hồ quang được chuyển thành năng lượng cơ học của các dao động của hồ quang này. Đây là một quy trình làm sạch tự động điển hình, các tính năng mà chúng tôi để bạn hiểu chi tiết hơn.

Và bây giờ là một số nhiệm vụ thử nghiệm cho nghiên cứu độc lập.

1. Tìm hiểu xem sự có mặt của tấm nhôm có tính dẫn nhiệt tốt trong mẫu có cần thiết hay không.
2. Vòm nào - rộng hay hẹp, dày hay mỏng - tốt hơn để sử dụng trong thí nghiệm?
3. Sẽ tiến hành một thí nghiệm nếu cả hồ quang đồng và tấm nhôm đều được nung nóng đến cùng nhiệt độ? (Để trả lời câu hỏi này, không nhất thiết phải thiết lập một thí nghiệm thích hợp.)
4. Làm thế nào bạn có thể tăng đáng kể thời gian của vòng cung? Thiết kế và thử nghiệm một thí nghiệm thích hợp.
5. Hãy suy nghĩ và thiết lập một thí nghiệm tương tự như thí nghiệm được mô tả, trong đó vật được làm nóng sẽ không dao động mà chuyển động quay.

1 - tấm nhôm, 2 - tấm mica, 3 - hồ quang thiếc.

24

A. Tom

Lời giải bài toán H 3 MW

Trong số này, chúng tôi xuất bản lời giải một số bài toán từ tác phẩm giới thiệu về VZMSH năm 1976 (xem «Kvant» Số 1, trang 68).

Bài tập 2. Ba đường thẳng cắt nhau tại một điểm sao cho mỗi đường thẳng tạo thành một góc 60°. Điểm M nằm cách một đường thẳng 3 cm và cách đường kia 5 cm. Điểm M có thể nằm cách một đường thẳng bao nhiêu?

Lời giải bài toán dựa trên thực tế sau, chúng tôi hứa cho tất cả các điểm của mặt phẳng. Đối với bất kỳ điểm nào, khoảng cách đến một trong các đường được chỉ định trong điều kiện bằng tổng khoảng cách đến hai đường còn lại. Do đó, khoảng cách cần thiết có thể bằng 5 + 3 = 8 cm hoặc 5-3 = 2 cm. Thật dễ dàng để kiểm tra xem những giá trị này có thực sự khả thi hay không.

Bài tập 3. Chúng ta sẽ giới thiệu số nào trong các chữ cái M, I, L, A, N trong đẳng thức BALMAN × 4 = LIMAN?

Rõ ràng là H<2, vì nếu không thì số NALM × 4 sẽ là số có sáu chữ số. Mặt khác, H là số chẵn vì chữ số cuối cùng của số LIMAN được tạo thành 4. Do đó, H = 2. Từ đó suy ra A<5, nếu không chúng ta sẽ có tích có sáu chữ số. Ngoài ra, A=1 hoặc 3 vì A2 là hai chữ số cuối của số, làm cho

25

Hình 2.

kov hoặc trỗi dậy trên đường đi - nếu người đầu tiên quay trở lại
a) cháu trai,
b) ông nội?
Chúng ta hãy biểu thị đường đi lên kéo dài bằng x và đường đi xuống kéo dài bằng y. (Bạn có thể sử dụng một nơi bằng phẳng mà không cần tính đến, vì ở đó tốc độ của ông nội và cháu trai là như nhau.)
Khi đó thời gian đi lên và đi xuống của ông nội là $\frac{x}{6} + \frac{y}{8}$, và của cháu trai là $\frac{x}{4} + \frac{y}{20}$. Cho biết số nào trong số này là số kia, chúng ta sẽ viết như sau: $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{y}{20}}$.
Biến đổi, chúng ta nhận được: $9y \sqrt{10} x$. Nếu cháu trai về sớm hơn thì $9y > 10x$, từ đâu $y > x$. Nếu ông nội quay lại sớm hơn thì $9y < 10x$, điều này có thể xảy ra với cả $y < x$ và $y > x$.
Bài toán 6. Một đa giác có thể có bao nhiêu cạnh là:
a) giao lộ;
b) Sự kết hợp của một tam giác và một tứ giác lồi? (Chỉ ra tất cả các ý nghĩa có thể và cho ví dụ.)
a) Hình 2 cho thấy khi cắt nhau ta có thể thu được các đa giác có 3, 4, 5, 6, 7 cạnh. Nó không thể là một cạnh lớn, vì tất cả các cạnh của giao điểm đều nằm trên các cạnh của các hình giao nhau và trên các hình khác nhau, và chỉ có bảy trong số chúng.
b) Hình 3 cho thấy cách, khi kết hợp lại, có thể thu được đa giác có số cạnh bằng 3

Hình 3.

26

Hình 4.

lên đến mười ba. Hợp không thể có nhiều hơn 13 đỉnh, bởi vì mỗi đỉnh của hợp đó là

1. hoặc phần trên cùng của một trong các đoàn thể là một hình, và chỉ có bảy trong số đó;
2. hoặc giao điểm của các cạnh của chúng và không có nhiều hơn hai cạnh của chúng ở mỗi cạnh của tam giác.

Bài toán 7. Vẽ ba đoạn thẳng phù hợp trên mặt phẳng. Tập hợp này có thể có bao nhiêu trục đối xứng (sự kết hợp của ba đoạn thẳng này)?

Hình 4 thể hiện các tập hợp có 0,1, 2, 3, 4, 6 trục đối xứng tương ứng. Hãy chứng minh rằng một hình không thể có số trục đối xứng khác.

Hãy tự đảm bảo rằng nếu có ít hơn ba đoạn không trùng nhau thì không có nhiều hơn bốn trục đối xứng.

Hãy để tập hợp của chúng tôi bao gồm ba phân đoạn không trùng nhau. Dễ hiểu là tính đối xứng của hình sẽ chuyển một trong các đoạn đó thành chính nó.

Đối với mỗi đoạn chỉ có hai đối xứng biến nó thành chính nó (trục của chúng là đường thẳng mà đoạn đó nằm và là đường trung trực của nó). Điều này có nghĩa là tổng cộng không có quá sáu trục đối xứng.

Vẫn còn phải chứng minh rằng không thể có gót của các trục đối xứng. Để làm điều này, chúng tôi sẽ sử dụng thực tế sau đây. Nếu đường thẳng I và II là trục đối xứng của hình Ф thì đường thẳng III đối xứng với đường thẳng II so với đường thẳng I cũng là trục đối xứng của hình Ф. (Xem Hình 5, minh họa cách lấy điểm $A_4$, đối xứng $A_1$ so với III.) Đặt các trục đối xứng là gót chân. Khi đó, tập hợp các trục bao gồm đường thẳng I chứa một đoạn nhất định và đường phân giác vuông góc với nó - nếu không sẽ có ít hơn bốn trục. Nhưng các trục là số chẵn; có thể kết hợp thành các cặp trục đối xứng với I, nhưng không có trục nào vuông góc với I, ngoại trừ trục II - nếu không thì sẽ có vô số trục (xem Hình 6).

Hình 5. Hình 6.

27

SHGRAMSHDA TỪ DEMISHD

Sắp xếp bộ domino
(28 xương) theo hình kim tự tháp
(xem hình), quan sát các điều kiện sau.

1. Trong mỗi dòng số tiền
   kính trên xương nên

là một hình vuông chính xác.
2. Trong các dòng xương được đặt
đưa ra theo quy luật
trò chơi domino: 0 đến 0, 1 đến 1
vân vân.

L. Mochalov

27

28

Vấn đề
M386—M390; F398—F402

M386. Một căn phòng hình vuông được ngăn bằng vách ngăn song song với các bức tường, khiến các phòng nhỏ hơn một chút. Độ dài cạnh của mỗi phòng là một số nguyên. Chứng minh rằng tổng độ dài của tất cả các phân vùng chia hết cho 4.

S. Fomin

M387*. Có số tự nhiên nào mà nếu cộng nó với chính nó ở bên phải thì sẽ được một số chính phương?

V. Kukushkin

M388 a) Có hữu hạn điểm được đánh dấu trên mặt phẳng. Chứng minh rằng trong số đó có một điểm có không quá ba điểm gần nhất (nghĩa là nằm ở khoảng cách ngắn nhất với nó; nói chung có thể có một số điểm như vậy).

6. Có một tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng, mỗi điểm có đúng ba điểm gần nhất trong tập hợp này không?

A. Karabeon

M389. Có thể chia một tờ giấy ca rô vô hạn thành các quân domino (mỗi quân domino bao phủ hai ô liền kề) sao cho mỗi đường thẳng chạy dọc theo đường lưới chỉ cắt làm đôi một số hữu hạn quân domino?

S. Fomin

M390*. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên $n$ mà tổng các chữ số của số $2^n$ lớn hơn tổng các chữ số của số $2^{n+1}$.

S. Konyazin

F398. Đã xảy ra lỗi khi kết nối bộ lọc ba đèn với hai công tắc với mạng. Kết quả là khi đóng một trong các công tắc, cả ba đèn đều cháy ở cường độ không hoàn toàn. Khi đóng công tắc còn lại, chỉ có một đèn sáng bình thường (hai đèn còn lại không sáng) và tác dụng tương tự cũng xảy ra khi đóng cả hai công tắc cùng một lúc. Khi các công tắc mở thì cả ba đèn đều không sáng.

29

đang cháy. Vẽ sơ đồ lắp đặt đã hoàn thành và giải thích các hiệu ứng quan sát được. (lớp 8)

F399. Ba quả cầu kim loại nhỏ giống hệt nhau đặt trong chân không ở các đỉnh của một tam giác đều. Các quả bóng được nối lần lượt với một dây dẫn ở xa, điện thế được duy trì không đổi. Kết quả là quả bóng thứ nhất có điện tích $Q_1$, và quả bóng thứ hai có điện tích $Q_2$. Xác định điện tích của quả bóng thứ ba. (lớp 9)

F400. Hai hạt tích điện ban đầu giống hệt nhau về kích thước và hướng. Sau khi bật một trường tĩnh điện đều trong một thời gian, vectơ vận tốc của một trong các hạt quay $60^\circ$ và trị số của vận tốc giảm đi một nửa. vectơ vận tốc của hạt kia đã quay một góc $90^\circ$. Trị số vận tốc của hạt thứ hai thay đổi bao nhiêu lần? Xác định tỷ lệ điện tích trên khối lượng của hạt thứ hai nếu nó là $k_1$ đối với hạt thứ nhất. (lớp 9)

F401. Mạch hiển thị trong Hình 1 (Cầu Wheatstone) thường được sử dụng để đo điện trở chưa xác định $x$. Làm thế nào, bằng cách sử dụng một mạch tương tự, bạn có thể đo điện trở $R_G$ của chính điện kế $G$, nếu không có điện kế thứ hai? (lớp 10)

F402. Một thấu kính phân kỳ có tiêu cự $F = -0,6$ m được đặt sao cho một tiêu điểm của nó trùng với cực của một gương cầu lõm. Tiêu cự $F_1$ của gương là bao nhiêu nếu hệ thống được biết là tạo ra ảnh thật của một vật đặt ở một khoảng cách bất kỳ trước thấu kính? Ảnh được tạo ra bởi các tia truyền qua thấu kính lần thứ hai sau khi phản xạ từ gương. (lớp 10)

Lời giải bài toán

M343—M350; F353—F357

M343. Ở một số bang, các thành phố được kết nối bằng đường bộ. Đối với bất kỳ con đường nào dưới 500 km và từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ bằng đường bộ nào

Chúng ta sẽ biểu thị các thành phố bằng các chữ cái $A, B, C, D, \dots$. Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng: 1) nếu đường dẫn nào đó $A$ - … - $B$ - … - $C$ - … là đường đi ngắn nhất giữa các thành phố $A$ và $C$, thì một phần của nó, chẳng hạn như từ $A$ đến $B$ là đường đi ngắn nhất giữa các thành phố tương ứng; 2) con đường ngắn nhất không đi dọc theo cùng một con đường hai lần.

30

dưới 500 km. Khi một con đường bị đóng cửa để sửa chữa, họ phát hiện ra rằng bạn có thể lái xe từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ thành phố nào khác dọc theo những con đường còn lại. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng điều này có thể được thực hiện bằng cách lái xe không quá 1500 km.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

M344. Chuỗi của tất cả 64 ô vuông được bày trên bàn cờ. Có thể kiểm tra 13 đường trên bảng sao cho ở mỗi phần mà các đường này phân chia bảng không có nhiều hơn một điểm lệch? (Các đường thẳng không được đi qua chuỗi trường.)

M345. Trong dãy 1 9 7 5 2 3 … mỗi chữ số, bắt đầu từ hình vuông, bằng chữ số cuối cùng của tổng của chuỗi trước đó. Nó có xảy ra liên tiếp theo trình tự này không?

Bây giờ chúng ta giả sử rằng con đường nối thành phố A và B bị đóng; hãy biểu thị nó bằng AB. Hãy chia tất cả các thành phố thành hai nhóm: nhóm thứ nhất bao gồm thành phố A và những thành phố có đường đi ngắn nhất đến thành phố A không đi dọc theo đường AB và nhóm thứ hai bao gồm tất cả những thành phố còn lại. Chúng ta phải giả định rằng thành phố B nằm trong nhóm thứ hai - nếu không sẽ không có thành phố nào trong nhóm thứ hai; bởi vì nếu AB không phải là đường đi ngắn nhất từ ​​A và B thì không có đường đi ngắn nhất nào có thể đi dọc theo đường AB, nghĩa là đường AB khi đó là vô ích.

Giả sử M và N là thành phố, đường đi ngắn nhất giữa chúng hiện nay là hơn 500 km. Điều này có nghĩa là đường đi ngắn nhất bằng nhau giữa M và N là dọc theo đường AB. Nhưng khi đó, con đường ngắn nhất đến thành phố A từ một trong những thành phố này là dọc theo đường AB, nhưng từ thành phố kia thì không (xem nhận xét ở đầu lời giải); do đó, thành phố M và N thuộc các nhóm khác nhau. Ngược lại, chúng ta thấy rằng hai thành phố bất kỳ thuộc cùng một nhóm có thể được nối với nhau bằng một con đường dài dưới 500 km.

Vì vẫn có thể đi từ thành phố A đến thành phố B nên có hai thành phố C và D sao cho C thuộc nhóm thứ nhất, D thuộc nhóm thứ hai và thành phố C được nối bằng đường đến D. Bây giờ đã rõ làm thế nào từ thành phố M bất kỳ của nhóm thứ nhất để đến bất kỳ thành phố N nào của nhóm thứ hai, quãng đường nhỏ hơn 1500 km: bạn cần đi từ M đầu tiên đến thành phố C (đây là quãng đường dưới 500 km, vì M và C thuộc cùng một nhóm), sau đó từ C đến D (chiều dài đường CD nhỏ hơn 500 km tùy theo điều kiện), và cuối cùng, từ thành phố D đến thành phố N (thành phố D và N thuộc cùng một nhóm nên đường đi từ D đến N lại nhỏ hơn 500 km) - xem Hình 1.

Ước tính 1500 km không thể cải thiện được. Thật vậy, nếu bốn thành phố A, B, C và D nằm như hình 2 (ABCD là hình thang sao cho khi kéo dài các cạnh của nó sẽ thu được một tam giác đều), thì bằng cách đóng đường AB, chúng ta thu được rằng độ dài đường đi ngắn nhất giữa A và B bằng (500 + 2a) km, trong đó a có thể tạo thành một góc gần bằng 500.

S. Eliseev

Hình 3 cho thấy có 14 lỗ thẳng (những đường thẳng này có màu đỏ trong hình) ngăn cách tất cả các tâm của bàn cờ.

Tuy nhiên, 13 thẳng là không đủ cho việc này.

Thật vậy, hãy xem xét một hình vuông đi qua chuỗi của tất cả 28 ô biên (trong Hình 4 nó là một hình vuông có các chấm đen). Rõ ràng là 13 đường thẳng cắt nhau không quá 26 điểm, và do đó được cắt thành không quá 26 phần, tức là hai tâm “viền” sẽ kết thúc thành một phần. Điều này có nghĩa là để tách 28 ranh giới và do đó tất cả các trung tâm, ít nhất 14 cú đánh là trực tiếp.

Yu. Lysov

Đối với lời giải bài toán điểm a) cần lưu ý rằng trong dãy 1975… sau mỗi bốn chữ số có bốn chữ số liên tiếp. Do đó, bốn 1 2 3 4 không thể xảy ra theo trình tự này.

Chúng tôi sẽ phân tích điểm 6) và c) chi tiết hơn.

Theo điều kiện của quy tắc này, cách xác định số tiếp theo dựa trên 4 số liền kề. Hãy thử

31

a) bốn số 1 2 3 4?
b) số phụ 1 9
7 5?
e) số 8 1 9 7?

làm ngược lại: sử dụng bốn số liền kề $a b c d$, xác định số $x$ đứng trước chúng. Vì chữ số $d$ theo sau bốn chữ số $x a b c$, nên chữ số $d$ bằng chữ số cuối cùng của tổng $x + a + b + c$, có nghĩa là $x + a + b + c = 10k + d$ đối với một số nguyên $k$. Do đó, $x = 10k + (d - a - b - c)$. Vì $x$ là một chữ số, nên biểu thức cuối cùng cho thấy $x$ bằng phần còn lại của số $(d - a - b - c)$ khi chia cho 10. Chia số $p$ cho số $q$ có số dư nghĩa là tìm các số $s$ và $r$ cũng như $p = sq + r$ và $0 \leqslant r < q$. (Lưu ý số dư khi chia số - 13 cho 10 là 7 chứ không phải - 3!) Số dư khi chia số này cho số khác được xác định duy nhất; Điều này có nghĩa là số $x$ cũng được xác định duy nhất.

Ví dụ, để xác định số đứng trước bốn 1 9 7 5, bạn cần lấy 5 trừ 1, 9, 7 và chia số kết quả (-12) với số dư cho 10. Số dư là 8; Điều này có nghĩa là số 8 đứng trước số 4 1 9 7 5.

Hình 4.

1 9 7 5 2 3 … x a b c d … y a b c d … (*)

Hình 5.

Bởi vì dưới dãy (*) lại là dãy tương tự, nhưng bị “dịch chuyển”, nên dưới bộ tứ thứ nhất $a b c d$ có dãy thứ hai (xem Hình 5). Theo khẳng định đã được chứng minh ở trên, các số ở cột đầu tiên nằm bên trái đường màu đỏ trùng nhau, tức là $x = y$. Tương tự, các số ở cột $x$ và $y$ trước đó trùng khớp, v.v. Như vậy, ở mỗi cột nằm bên trái đường màu đỏ đều có các số trùng khớp. Do đó, dưới bốn số 1 9 7 5 ở dãy “trên” có bốn số 1 9 7 5 ở dãy “dưới”. Và điều này có nghĩa là bốn số 1 9 7 5 gặp nhau theo trình tự 1 9 7 5 2 3… phụ.

Như đã trình bày ở trên, số 1 9 7 5 đứng trước số 1 9 7 5 theo dãy 1 9 7 5 2 3… lần thứ hai, số 8 sẽ xuất hiện. Điều này có nghĩa là số 8 1 9 7 cũng sẽ xuất hiện trong dãy đang xét.

G. Gurevich

♦

Chúng ta hãy đặt hình vuông lên tờ giấy ca rô từ cạnh ô bằng cạnh $1/4$ của hình vuông, như trong Hình 6 (các điểm $K$ và $L$ sẽ rơi vào các nút mạng!). Rõ ràng, các tam giác $KNL$ và $MLD$ bằng nhau, $\Rightarrow LDM \cong KLN$, và do đó $DLM + KLN = 90^\circ$. Do đó $DLK = 180^\circ - (DLM + KLN) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ là điều cần chứng minh.

L. Limanov

32

M347. Hai chiếc gốm trong một chiếc gốm nhúng. Người đầu tiên được cho hai số từ 1 đến 25, người thứ hai phải ăn hết chúng. Anh ta có thể đặt tên cho hai số bất kỳ từ 1 đến 25 và tìm ra ngay từ số đầu tiên có bao nhiêu số mà anh ta đặt tên - 0,1 hoặc 2 - trùng với những số đã cho. Trong số câu hỏi tối thiểu anh ta có thể xác định chắc chắn những con số đã cho?

| Đáp số | số đã cho |
| :— | :— |
| 1,1 | 2i,25 |
| 1,0 | 2i-1,23 |
| 0,1 | 2i-1,24 |
| 0,0 | 2i-1,25 |

Hình 7.

M348. Bảng 10x10 chứa các số theo thứ tự từ 1 đến 100. Sau đó, ở mỗi hàng và mỗi cột, có đúng một nửa số được ghi dấu trừ. Chứng minh rằng trong bảng kết quả tổng của tất cả các số bằng 0.

M349. Độ dài đường thẳng của một tam giác phải thỏa mãn điều kiện gì để tam giác đó đồng dạng?

Rất nhiều độc giả đã giải thành công các số cho trong 14 câu hỏi. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng luôn có thể xác định được các số đã cho trong không quá 13 câu hỏi.

Khi gọi tên các cặp (1,2), (3,4),…,(21,22), ta dùng 11 câu hỏi; Trong trường hợp này có thể xảy ra 4 trường hợp sau:

a) sau một số câu hỏi, đáp số “2” được nhận;
b) tất cả các câu hỏi nhận được đáp số “0”;
b) đối với một số câu hỏi - thứ i và thứ j - đáp số “1” đã được nhận;
d) chỉ nhận được một câu hỏi thứ i đáp số “1”, đối với các câu hỏi còn lại - “0” (việc xem xét thiếu chú ý trường hợp này khiến nhiều người tin rằng không thể đảm bảo việc xác định các số đã cho trong 13 câu hỏi).

Chúng tôi chỉ ra các hành động tiếp theo của người đoán trong từng trường hợp này.

a) Sau đáp số “2” các số đã cho được xác định.
b) Đoán được hai số từ các số 23,24,25. Chúng tôi đặt câu hỏi (23,24). Nếu đáp số “2”, thì những số này được cho, nếu đáp số “1”, thì bằng cách hỏi (23,22), chúng ta xác định được số nào - 23 hoặc 24 - được cho cùng với số 25.

b) Các số ở cặp thứ i là (2i-1) và 2i, ở cặp thứ j - (2j-1) và 2j. Chúng ta đặt câu hỏi (25.2i), (25.2j). Đáp số “1” cho câu hỏi đầu tiên (thứ mười hai) có nghĩa là cặp thứ i chứa số 2i; đáp số “0” biểu thị số (2i-1). Tương tự với câu hỏi thứ hai (thứ mười ba).

d) Các câu hỏi (2i,23), (2i,24) với tất cả các câu trả lời có thể xác định được các số đã cho. Trên thực tế, đáp số “2” cho câu hỏi đầu tiên hoặc thứ hai không yêu cầu sự cống hiến. Đối với các kết hợp khác đáp số, chúng tôi trả lời hai câu hỏi này bằng các số đã cho (dễ dàng kiểm tra rằng không thể có ý kiến ​​​​khác về những số được đưa ra)—xem. bảng trong Hình 7.

Vì vậy, chúng tôi đã chỉ ra rằng trong 13 câu hỏi, bạn luôn có thể xác định được các số đã cho; Đương nhiên, như sau từ lời giải, đôi khi số lượng câu hỏi ít hơn là đủ.

Để hoàn thành lời giải chúng ta sẽ chứng minh rằng không thể đảm bảo việc xác định các số đã cho trong 12 câu hỏi. Sau 11 câu hỏi, tất cả đáp số có thể là “0”; tuy nhiên, luôn có ba con số không có trong câu hỏi. Nếu câu hỏi thứ mười hai không chứa số nào trong số ba số này, thì đáp số “0” cho phép hỏi bất kỳ hai số nào trong số chúng. Nếu câu hỏi thứ mười hai bao gồm một hoặc hai trong số ba số này, thì sau đáp số “1” cũng không thể chỉ ra rõ ràng các số đã cho.

Yu. Lisov

◆ Chúng ta hãy trình bày bảng A này dưới dạng tổng của hai bảng B và C (Hình 8). Hãy sắp xếp các dấu trong mỗi bảng A, B và C theo cùng một cách - sao cho ở mỗi hàng và mỗi cột sẽ có số phút trừ cho một nửa số. Khi đó trong bảng kết quả B tổng các số sẽ bằng 0 trong mỗi cột và trong bảng kết quả C tổng các số sẽ bằng 0 trong mỗi cột. Do đó, tổng các số trong bảng B, C và do đó trong A=B+C sẽ bằng 0.

N. Vasiliev

◆ Chúng ta hãy biểu thị tam giác này bằng ABC, độ dài các cạnh BC, AC và AB của nó bằng a, b và c, giá trị điện trở của các cạnh của các góc này bằng A, B và C của các góc tương ứng. Giả sử rằng a<b<c (khi đó A<B<C). Hãy để h_a, h_b, h_c—

34

Nếu $a=c$ thì tam giác $ABC$ là đều: $a=b=c$ (vì $a \leq b \leq c$) và chúng ta thu được điều kiện này là trường hợp đặc biệt của điều kiện $2b^2=a^2+c^2$.

Dễ dàng thấy rằng nếu $2b^2=a^2+c^2$ thì điều kiện (2) cũng đúng. Do đó, nếu độ dài $a, b$ và $c$ ($a \leq b \leq c$) của tam giác $ABC$ liên hệ với nhau bởi các quan hệ $2b^2=a^2+c^2$, thì tam giác này giống như một tam giác gồm các đường trung tuyến của nó.

c) Một lần nữa chúng ta cần tìm ra cạnh nào của tam giác $ABC$ và tam giác từ các bissertrics của nó có thể bằng nhau (giả sử rằng các tam giác này bằng nhau). Ví dụ: chúng ta có $a \leq b \leq c$. Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó sau đó $l_a \geq l_b \geq l_c$.

Hãy để chúng tôi biểu thị $l_a, l_b$ và $l_c$ dưới dạng $a, b$ và $c$. Theo định lý cosine và định lý bissertrix, góc của một tam giác bên trong nó có (Hình 10):

$$l_a^2 = c^2 + \left( \frac{ac}{b+c} \right)^2 - 2c \frac{ac}{b+c} \cos B = c^2 + \left( \frac{ac}{b+c} \right)^2 - \frac{2ac^2}{b+c} \cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = bc \left[ 1 - \frac{a^2}{(b+c)^2} \right].$$

Tương tự như vậy

$$l_b^2 = ac \left[ 1 - \frac{b^2}{(a+c)^2} \right] и l_c^2 = ab \left[ 1 - \frac{c^2}{(a+b)^2} \right].$$

Vì $a \leq b$, chúng ta nhận được $b+c \geq a+c$, tức là $\frac{a}{(b+c)^2} \leq \frac{b}{(a+c)^2}$ và $\frac{a^2b}{(b+c)^2} \leq \frac{ab^2}{(a+c)^2}$; do đó, $c \left[ b - \frac{a^2b}{(b+c)^2} \right] \geq c \left[ a - \frac{ab^2}{(a+c)^2} \right],$ tức là $l_a \geq l_b$. Bất đẳng thức $l_b \geq l_c$ được chứng minh theo cách tương tự.

Vì vậy, nếu tam giác $ABC$ ($a \leq b \leq c$) giống với tam giác trong bissertrix, thì các đẳng thức $l_c:l_b:l_a = a:b:c$ phải giữ, tức là $\frac{l_c}{l_a} = \frac{a}{c}$ và $\frac{l_b}{l_a} = \frac{b}{c}$.

Hãy xem khi nào những điều kiện này được đáp ứng.

Nếu $\frac{l_c}{l_a} = \frac{a}{c}$ thì $al_a = cl_c$. Nhưng mối quan hệ tương tự luôn đúng với độ cao: $ah_a = ch_c$ (xem điểm a). Điều này có nghĩa là (Hình 11), các tam giác vuông $AH_aL_a$ và $CH_cL_c$, trong đó $|AH_a| = h_a$, $|AL_a| = l_a$, $|CH_c| = h_c$, $|CL_c| = l_c$, giống nhau và các cạnh của chúng có độ dài $h_a, h_c$ và $i_a, l_c$ tương tự nhau. Do đó, các góc tạo bởi các cạnh $AH_a$, $AL_a$ và $CH_c$, $CL_c$ sẽ bằng: $H_a\widehat{AL_a} = H_c\widehat{CL_c}$. Hãy tính các góc này.

Hãy nhớ rằng chúng ta có $a \leq b \leq c$, tức là $A \leq B \leq C$. Từ điều kiện này suy ra $L_c \in [AH_c]$ và $L_a \in [BH_a]$.

Posmotu $H_a\widehat{AL_a} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} - B$, $H_c\widehat{CL_c} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} - A$,

và vì $H_a\widehat{AL_a} = H_c\widehat{CL_c}$, nên $\frac{A}{2} + B = \frac{C}{2} + A$, tức là

36

M350. Quân tượng bắt đầu di chuyển từ ô vuông góc trắng của bàn cờ có kích thước $n \times m$ ($n$ và $m$ lớn hơn 1). Khi đến mép bảng, chúng ta xoay tượng theo một góc vuông. Khi đến góc, anh dừng lại.

a) Để làm gì $n$ và $m$ quân tượng sẽ đi vòng quanh tất cả các ô vuông màu trắng của bàn cờ?
b) Anh ấy sẽ điền bao nhiêu trường trên bảng $n \times m$?
Chúng ta hãy xem xét các bảng có kích thước $10 \times 15, 10 \times 25, 15 \times 25$ làm ví dụ.

Hình 13.

Hình 14.

Hình 15.

a) Xét góc vuông tới $A_{00}A_{01}A_{11}A_{10}$ với các đỉnh ở tâm của trường góc (Hình 13) $|A_{00}A_{10}| = n - 1, |A_{00}A_{01}| = m - 1$. Hãy lấy một mạng và tạo nó bằng một đường thẳng (Hình 14). Ta hãy biểu thị các nút của mạng như vậy bằng $A_{ij}$, $i,j = 0,1,2,...$ (Nút $A_{ij}$ là giao điểm của đường thẳng đi qua $A_{i0}$ song song ($A_{00}A_{01}$) với đường thẳng đi qua $A_{0j}$ song song ($A_{00}A_{10}$); điểm $A_{i0}(i = 1,2,...)$ nằm trên đường thẳng $A_{00}A_{10}$, điểm $A_{0j}(j = 1,2,...)$ - trên dòng $A_{00}A_{01}$ và $|A_{(i-1)}A_{i0}| = |A_{i0}A_{(i+1)}| = |A_{00}A_{10}|$, $|A_{(j-1)}A_{0j}| = |A_{0j}A_{(j+1)}| = |A_{00}A_{01}|$.

Chúng ta hãy vẽ một tia $d$ từ điểm $A_{00}$ nghiêng một góc $45^\circ$ đến đường thẳng $A_{00}A_{01}$ (đường phân giác của góc vuông của mạng tinh thể). Khi đó đường đi của quân tượng $A_{00}B_1B_2B_3...$ dọc theo bảng sẽ tương ứng với chuỗi các điểm $A_{00}, B_1, B_2', B_3',...$, tại đó tia $d$ giao nhau từ một bên của mạng tinh thể. Quân tượng dừng ở bước di chuyển $l$ (đánh vào góc) khi và chỉ nếu điểm $B'_l$ chạm vào một nút lưới.

Đặt $A_{pq}$ là nút mạng đầu tiên (không tính $A_{00}$) nằm trên tia $d$ (nó tương ứng với ô vuông góc của bảng mà quân tượng đạt tới). Vì $A_{00}A_{0q}A_{pq}A_{p0}$ là hình vuông nên $p(n-1) = q(m-1) = a$; (1) và số $a$ là bội số chung nhỏ nhất của $m-1$ và $n-1$ (hãy nhớ rằng nút $A_{pq}$ là nút đầu tiên).

Giữa các nút $A_{00}$ và $A_{pq}$ tia $d$ giao nhau với các cạnh của lưới $p+q$ lần và tương ứng với $p+q$ lần quân tượng chạm vào mép bàn cờ. Tại ranh giới bàn cờ có $2m+2n-4$ ô vuông - trắng và đen bằng nhau. Giám mục bắt được tất cả các ô vuông màu trắng của bàn cờ trong trường hợp này và chỉ trường hợp đó nếu anh ta bắt được tất cả các ô vuông màu trắng có viền, tức là nếu $p+q = m+n-2$.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{a}{m-1} + \frac{a}{n-1} = (m-1)+(n-1)$, từ đó $a = (m-1)(n-1)$. Nhưng bội số chung nhỏ nhất của hai số bằng tích của chúng khi và chỉ khi chúng nguyên tố cùng nhau; và chúng ta nhận được đáp số cho điểm a) bài toán: quân tượng sẽ đi vòng quanh tất cả các ô vuông màu trắng của bảng khi và chỉ khi các số $m-1$ và $n-1$ nguyên tố cùng nhau.

6. Nếu mỗi ô vuông màu trắng “bên trong” của bảng mà quân tượng đi qua hai lần được tính hai lần, thì số ô vuông màu trắng mà quân tượng đi qua sẽ bằng $a+1$ (vì cạnh hình vuông $|A_{00}A_{0q}| = a$, $a$ là số nguyên, trên đường chéo $A_{00}A_{pq}$ nằm ở tâm $a+1$ của cạnh hình vuông là một). Để biết có bao nhiêu ô vuông màu trắng mà quân tượng thực sự sẽ đi xung quanh, bạn cần trừ đi $a+1$ số ô vuông màu trắng bên trong mà quân tượng sẽ đi qua hai lần. Hãy đếm xem có bao nhiêu trường như vậy.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $b$ ước chung lớn nhất của các số $m-1$ và $n-1$ (bây giờ chúng ta đã giả sử rằng các số $m-1$ và $n-1$ không nguyên tố cùng nhau; thì $b > 1$ và $(m-1) \times (n-1) = ab$). Hãy đặt $M = \frac{m-1}{b} + 1$, $N = \frac{n-1}{b} + 1$. Các số $M-1$ và $N-1$ là số nguyên tố cùng nhau, do đó, nếu chúng ta lấy một bảng có kích thước $N \times M$, thì quân tượng, bắt đầu từ hình vuông góc màu trắng, sẽ đi xung quanh tất cả các ô vuông màu trắng của nó. Primoguyns $A_{00}A_{10}A_{11}A_{01}$ và $A_{00}A_{10}'A_{11}'A_{01}'$ (Hình 15) tương tự nhau, do đó số lượng giao điểm của đường giám mục trên cả hai bảng (kích thước $n \times m$ và $N \times M$) là như nhau. Nhưng vì quân tượng đáp xuống tất cả các ô trắng ranh giới của bàn cờ $N \times M$ và đi dọc theo tất cả các đường chéo của nó, nên

38

2,1 kW Điện áp của bảy là 220 V, điện trở của dây nguồn là 1 ohm. Điện trở của bộ phận làm nóng của lò là bao nhiêu?

F355. Biểu đồ pV (Hình 17) cho thấy một quy trình khép kín được thực hiện với một mol saza. Các phần 1→2 và 3→4 của đồ thị là các đường thẳng đi qua gốc tọa độ và các phần 2→3 và 4→1 là các đường đẳng nhiệt. Vẽ đồ thị của quá trình này trên sơ đồ TV. Tìm âm lượng $V_3$ nếu biết âm lượng $V_1$ và $V_2 = V_4 = V$.

Hình 17.

Hình 18.

Ở đây $U = 220$v là điện áp mạng, $I$ là dòng điện trong mạch.

Nhiệt lượng tỏa ra khi tải là $P = I^2R$. (2)

Loại bỏ dòng điện $I$ khỏi phương trình (1) và (2), chúng ta thu được phương trình bậc hai cho $R$:

$$PR^2 + R(2rP - U^2) + Pr^2 = 0.$$

Từ phương trình này người ta có thể tìm trực tiếp $R_1 \approx 21$ ohm, $R_2 \approx 0,05$ ohm.

Ở một trong hai giá trị $R$, công suất sẽ được giải phóng ở tải 2,1 kW, nhưng ở $R=0,05$ ohm, công suất ở dây cấp nguồn sẽ lớn hơn $\frac{I^2r}{I^2R} = \frac{1}{0,05} = 20$ lần so với ở tải! Rõ ràng điều này là không thể chấp nhận được. Do đó, bạn cần chọn điện trở của bộ phận làm nóng $R=21$ ohm.

N. Slobodetsky

Để vẽ đồ thị của quá trình này trên sơ đồ sự phụ thuộc của nhiệt độ tuyệt đối vào thể tích, trước tiên chúng ta tìm sự phụ thuộc giữa $T$ và $V$ cho các quá trình 1→2 và 3→4. Trên giản đồ pV, đồ thị của các quá trình này là những đường thẳng đi qua gốc tọa độ nên ta có thể viết:

đối với quy trình 1→2 $p=\alpha V$, trong đó $\alpha =$ const;
đối với quy trình 3→4 $p=\beta V$, trong đó $\beta =$ const ($\beta<\alpha$).

So sánh các phương trình của các quá trình này với phương trình trạng thái của khí lý tưởng $pV = vRT$ ($v = 1$ mol), chúng ta thu được điều đó trong quá trình 1→2 $T = \frac{\alpha}{vR} V^2$,

và trong quá trình 3→4 $T = \frac{\beta}{vR} V^2$.

Do đó, cả hai quá trình trên sơ đồ TV đều được mô tả bằng parabol (Hình 18) và parabol cho quá trình 1→2 lớn hơn, vì $\alpha > \beta$. Trạng thái 2 và 4 được đặc trưng bởi cùng thể tích $V_2=V_4=V$ (theo điều kiện), do đó, trên sơ đồ TV, chúng nằm trên cùng một đường thẳng đứng $V =$ const, giao nhau cả hai parabol. Các đường đẳng nhiệt 2→3 và 4→1 trên sơ đồ TV được mô tả dưới dạng các đoạn nằm ngang, bắt đầu theo chiều rộng tại các điểm 2 và 4 và theo chiều rộng cho đến khi chúng giao nhau với parabol liền kề tại các điểm 3 và 1.

Bây giờ chúng ta hãy tìm âm lượng $V_3$. Vì phần 2→3 và 4→1 là đường đẳng nhiệt nên

$$T_2 = T_3 \text{ и } T_1 = T_4.$$

Chúng ta hãy viết lại các đẳng thức này bằng cách sử dụng các biểu thức tính nhiệt độ mà chúng ta đã biết qua các thể tích tương ứng:

$$\frac{\alpha}{vR} V^2 = \frac{\beta}{vR} V_3^2$$

Và

$$\frac{\alpha}{vR} V_1^2 = \frac{\beta}{vR} V_2^2.$$

Chia đẳng thức thứ nhất cho đẳng thức thứ hai, ta tìm được

$$V_3 = \frac{V^2}{V_1}.$$

39

F356. Mặt trăng di chuyển trên bề mặt trái đất với tốc độ bao nhiêu khi xảy ra nhật thực toàn phần? Nhật thực được quan sát ở đường xích đạo. Để đơn giản, giả sử rằng khoảng cách của Mặt trăng đến Trái đất là $R_1 = 384\ 000$ km và chu kỳ quay quanh Trái đất là $T_1 = 28$ ngày. $cym = 2\ 419\ 200$ giây. Tương tự, chúng ta áp dụng rằng bán kính Trái đất là $R_2 = 6\ 400$ km và Trái đất thực hiện một vòng hoàn toàn quanh trục của nó trong thời gian $T_2 = 1$ ngày. $cym = 86\ 400$ giây. Khi đó tốc độ của Mặt Trăng trong quỹ đạo tròn của nó là

$$v_1 = \frac{2\pi R_1}{T_1} \approx 995\ m/sec,$$

Ánh sáng từ mặt trời

Hình 19.

và tốc độ tuyến tính của các điểm trên bề mặt trái đất

$$v_2 = \frac{2\pi R_2}{T_2} \approx 465\ m/sec,$$

Hơn nữa, đối với khu vực bề mặt Trái đất nơi quan sát thấy bóng của Mặt trăng, cả hai vận tốc đều hướng theo cùng một hướng (Hình 19).

Vì tia sáng của Mặt trời có thể coi là song song và kích thước của Mặt trăng nhỏ nên bóng của Mặt trăng di chuyển so với bề mặt Trái đất vào buổi trưa với tốc độ

$$v = v_1 - v_2 = 2\pi \left( \frac{R_1}{T_1} - \frac{R_2}{T_2} \right) \approx 530\ m/sec.$$

F357. Một khối lập phương khối lượng m được gắn vào hai lò xo có độ cứng $k_1$ và $k_2$ và chiều dài không giới hạn tương ứng là $l_1$ và $l_2$. Các đầu còn lại được gắn vào (Hình 20), sao cho khối lập phương

Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ có gốc tọa độ tại điểm $O$ (trên bức tường bên trái) và có hướng dương của trục $OX$ sang bên phải. Đặt tọa độ của khối lập phương là $x$ ($0 < x < L$); do đó, nó nằm ở khoảng cách $x$ tính từ bức tường bên trái và ở khoảng cách $L - x$ tính từ bức tường bên phải (xem Hình 20).

Chúng ta biểu thị bằng $F_1$ hình chiếu của lực tác dụng lên khối lập phương từ lò xo bên trái. Theo định luật Hooke

$$F_1 = k_1(l_1 - x).$$

Hình 20.

41

Toán ứng dụng

1. Toán ứng dụng là gì?

Thật khó để chỉ ra một chủ đề có thể gây ra các cuộc tranh luận sôi nổi giữa những người liên quan đến toán học trong những năm gần đây. Trong khi những cuộc tranh luận này đang diễn ra, việc đào tạo mở rộng các chuyên gia trong lĩnh vực toán ứng dụng đã bắt đầu ở tất cả các nước công nghiệp hóa; đặc biệt, tại các viện của chúng tôi, chuyên ngành “toán ứng dụng” đang trở thành một trong những chuyên ngành phổ biến nhất. Đồng thời, nhiều chuyên gia nổi tiếng khẳng định không có toán ứng dụng nào cả. . .

Khu vực này không phải là gì? Và các chuyên gia trong lĩnh vực này (hoặc ngoài lĩnh vực) làm gì?

Matematika bắt đầu được áp dụng ngay cả trước khi nó trở thành một môn khoa học. Các khái niệm và mô hình số học và hình học Proctype đã thâm nhập vào mọi lĩnh vực hoạt động của con người. Trong thời kỳ hoàng kim của thế giới Anh, toán học được chính thức hóa như một môn khoa học với phương pháp suy diễn đặc trưng, ​​​​theo đó mọi phát biểu của nó đều được suy luận theo những quy tắc logic chặt chẽ từ một số quy định ban đầu, được chấp nhận mà không cần chứng minh, như những tiên đề. Từ thời kỳ này việc xây dựng lâu đài vĩ đại của toán học bắt đầu.

Cùng với sự phát triển của toán học, ông đã mở rộng phạm vi ứng dụng của nó. Nhiều khái niệm và phương pháp toán học quan trọng đã được tạo riêng cho lời giải áp dụng bài toán và chỉ sau đó được phân tích, phát triển và khái quát hóa theo nghĩa “toán học thuần túy”. Một số ngành nhất định - cơ học thiên thể, kỹ thuật điện lý thuyết, lý thuyết cường độ, vật lý lý thuyết và một số ngành khác - hóa ra lại được “nhồi” toán học theo đúng nghĩa đen.

Tuy nhiên, cho đến những thập kỷ gần đây, những phần toán học tương đối phức tạp vẫn chỉ được sử dụng trong một số ít lĩnh vực khoa học và công nghệ truyền thống; và thậm chí ở đó tôi thường không đưa bài toán phức tạp lên mức thực tế lời giải.

Ở nước ta, máy tính điện tử số đã thay đổi hoàn toàn quan niệm về khả năng sử dụng toán học. Với sự trợ giúp của máy tính, nhiều bài toán ứng dụng bài toán được đặt ra trước đây, cũng như bài toán mới và các vấn đề liên quan đến các lĩnh vực ứng dụng truyền thống và các lĩnh vực mới mà toán học trước đây chưa tìm thấy ứng dụng, đã được giải quyết. Hóa ra, không chỉ những kết quả toán học cụ thể mà chính cấu trúc của tư duy toán học cũng mang lại những lợi ích vô giá trong các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế và mọi hoạt động của con người. Một thời kỳ mới về chất trong sự phát triển của toán học đang bắt đầu - thời kỳ “toán học phổ quát”.

Và do đó, rất rõ ràng rằng toán học, trong quá trình ứng dụng của nó, có một số đặc điểm, đặc điểm liên quan đến các lĩnh vực ứng dụng khác nhau, đồng thời, đôi khi khác biệt đáng kể so với các đặc điểm truyền thống của toán học “thuần túy”. Nền tảng truyền thống của hợp tác logic

42

sự hoàn thiện, chiều sâu và tính tổng quát của các hình thành không phải lúc nào cũng đáp ứng được yêu cầu khắt khe của ứng dụng hiện đại - kịp thời, hiệu quả, tiết kiệm. Kết quả là các chuyên gia trong lĩnh vực toán học “thuần túy” thường không thể sử dụng toán học một cách hiệu quả. Có một nhu cầu thực sự về một loại hình chuyên môn mới.

Toán ứng dụng được công nhận có khả năng sáng tạo, nghiên cứu, phát triển và cải tiến các phương pháp áp dụng toán học vào các vấn đề phát sinh ngoài ranh giới của nó. Như vậy, với một cái nhìn khá rộng về toán học, toán ứng dụng là một bộ phận không thể thiếu của “toán học nói chung”. Đồng thời, không nên tưởng tượng một cách đơn giản rằng toán học có thể được phân chia rõ ràng thành “thuần túy” và “ứng dụng” hay toán ứng dụng là một môn toán như đại số hoặc hình học. Rất nhiều nhánh của toán học có thể được sử dụng, và một số lượng lớn các khái niệm và phương pháp toán học đều “thuần túy” và “ứng dụng” (hoặc “hầu hết thuần túy”, “chủ yếu được ứng dụng”, v.v.), nghĩa là chúng có thể được đưa vào cả nghiên cứu toán học thuần túy và nghiên cứu ứng dụng. Vì vậy, sẽ đúng hơn khi nói về toán học thuần túy và ứng dụng không phải với tư cách là các nhánh của toán học mà là các khía cạnh của nó, cách tiếp cận nó, tương ứng với các chủ đề tương ứng “toán học nói chung” và “toán học như một phương tiện”. Và hóa ra nhiều khái niệm, phương pháp, tuyên bố trong hai cách tiếp cận này không chỉ đóng vai trò khác nhau đáng kể mà đôi khi còn chứa đựng những nội dung khác nhau (xem đoạn 2)!

Mặc dù có rất ít ngành dựa trên ứng dụng toán học có hệ thống và bản thân các phương pháp ứng dụng này không quá phức tạp nhưng không cần nhiều chuyên ngành - các nhà toán học ứng dụng. Bản thân đại diện của các bộ môn này đã giải quyết các vấn đề toán học dễ, trong khi những vấn đề khó hơn và mới về cơ bản bài toán cũng được nghiên cứu bởi các nhà khoa học vĩ đại như W. Riemann, A. Poincaré, A. M. Lyapunov và những người khác (cả hai đều là những nhà toán học thuần túy và ứng dụng!). Tuy nhiên, trong thời kỳ toán học đại cương, khi áp dụng toán học bài toán ngày càng trở nên phức tạp và đa dạng, sự kết hợp các điều kiện như vậy là chưa đủ: các nhà khoa học vĩ đại không tự hào về mọi thứ bài toán!

Đồng thời, giờ đây chỉ có thể thực hiện được sự đóng góp đáng kể cho lời giải bài toán như vậy từ các lĩnh vực hoạt động đa dạng nhất của con người bởi các chuyên gia có tầm nhìn toán học rộng, những người thành thạo các phương pháp ứng dụng toán học cũng như những người có sở thích và kỹ năng liên quan. Đây là những nhà toán học ứng dụng. Tùy thuộc vào tính khí và sức lực của họ, họ có thể chuyên về một lĩnh vực ứng dụng toán học cụ thể, hoặc chủ yếu là toán học, họ chuyển từ lĩnh vực này sang lĩnh vực khác; có thể làm việc như một phần của nhóm hoặc độc lập.

Và cuối cùng, chúng tôi lưu ý rằng, mặc dù có lịch sử hàng thế kỷ về ứng dụng toán học và kinh nghiệm rộng lớn về ứng dụng đó vào các vấn đề cụ thể, việc nghiên cứu các nguyên tắc và phương pháp chung của ứng dụng này chỉ mới bắt đầu. Có lẽ một số độc giả của chúng tôi sẽ tham gia vào việc nghiên cứu, hệ thống hóa và cải tiến các ứng dụng và phương pháp này, tức là hình thành ngành học của riêng họ - toán ứng dụng tổng quát.

2. Đặc điểm của toán học ứng dụng là gì?

Bây giờ nói về toán học thuần túy và toán học ứng dụng, một mặt chúng ta sẽ muốn nói đến “học thuật”.

43

toán học được nghiên cứu tại khoa toán của các trường đại học và hoàn toàn dựa trên phương pháp giáo dục; và mặt khác, toán học dưới chiêu bài mà nó tiếp thu được trong quá trình ứng dụng.

Đương nhiên, nội dung của nhiều khái niệm, phát biểu, phương pháp trong toán học thuần túy và toán học ứng dụng là giống nhau hoặc gần giống nhau. (Một ví dụ là định lý Pythagore.) Tuy nhiên, bây giờ chúng ta sẽ tập trung vào những trường hợp không đúng như vậy.

a) Sự tồn tại của lời giải

Câu hỏi “cái này bài toán có lời giải không?” không đơn giản như thoạt nhìn; mặt khác, các nhà toán học “thuần túy” và “ứng dụng” đưa ra những điều trái ngược nhau với nó đáp số. Không đi sâu vào vấn đề vật lý và logic, chúng ta hãy minh họa những gì đã được nói bằng ví dụ sau.

Sinh viên Mỹ đã phát minh ra trò chơi lục giác. Hai người chơi chơi trên một bàn cờ bốn mặt làm bằng các hình lục giác đều (ví dụ: sàn lát gạch có thể được sử dụng làm bàn cờ) với những người chơi có hai màu: “đen” và “sọc”. Thông thường kích thước của bảng là hình lục giác 11x11 - xem hình. Hai mặt đối diện của bàn cờ được tuyên bố là “đen”, hai mặt còn lại là “sọc”. Người chơi lần lượt xếp các ô hình lục giác của mình: một ô “đen”, ô còn lại là “sọc” và ngày tháng có thể được phân loại vào bất kỳ ô trống nào. Mỗi người chơi được chỉ định một cặp mặt của bàn cờ - cùng màu với quân chip của mình. Mục tiêu của mỗi người chơi là kết nối các bên có chip của mình một cách mạch lạc.

Điều tự nhiên là đặt ra câu hỏi: liệu có chiến lược giành chiến thắng cho người chơi thứ nhất hoặc thứ hai (“chiến lược” bao gồm gợi ý nước đi ở bất kỳ vị trí nào đã được tạo) không? Câu hỏi này đã được trả lời bởi đáp số nhà toán học nổi tiếng người Mỹ J. Nash: ông đã chứng minh rằng có một chiến lược chiến thắng dành cho người chơi đầu tiên (bắt đầu) và không tồn tại cho người chơi thứ hai. Đây là sơ đồ chứng minh dí dỏm của anh ấy.

Trước hết, có thể chứng minh (chúng tôi để lại điều này cho người đọc) rằng trò chơi này nhất thiết phải kết thúc với chiến thắng của một trong những người chơi, tức là không có người nào khác ở đây. Xem xét điều này đã được biết, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại của chiến lược giành chiến thắng cho người chơi đầu tiên sử dụng phương pháp “bằng mâu thuẫn”, tức là giả sử rằng không có chiến lược nào như vậy. Điều này có nghĩa là, cho dù người chơi đầu tiên có cố gắng đến đâu thì người chơi thứ hai vẫn có thể thoát khỏi thất bại, tức là do không thể chiến thắng. Nhưng sau đó người chơi thứ hai đã thắng

45

lý luận không thể chấp nhận được theo quan điểm toán học thuần túy, nhưng khi được áp dụng một cách thông minh sẽ dẫn đến kết quả thực tế đúng đắn. Lý luận như vậy là điển hình cho tất cả các ngành học (vật lý, hóa học, sinh học, y học, v.v.), ngoại trừ toán học thuần túy; vì vậy về mặt này, toán học ứng dụng dường như nằm ở điểm giao thoa của toán học với các bộ môn này.

Lý luận heuristic có thể bao gồm các phép tương tự, thí nghiệm số và vật lý, kết luận chung dựa trên phân tích các trường hợp điển hình (cái gọi là “quy nạp không đầy đủ”) và các phương pháp lý luận tương tự khác. Tất cả những phương pháp này trong toán học thuần túy không có bằng chứng rõ ràng, nhưng trong các bài toán ứng dụng, chúng khá hợp pháp và được sử dụng thường xuyên.

Trong lý luận toán học ứng dụng, các khái niệm toán học thường có đối tượng đằng sau chúng. Do đó, với lời giải toán học ứng dụng bài toán thường trở thành thông tin hữu ích không được chứa rõ ràng trong công thức bài toán, mà xuất phát từ ý nghĩa vật lý của nó.

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, các phương pháp hành động hóa ra là phù hợp nhất và đôi khi là phương pháp duy nhất có thể thực hiện được. Vì vậy, một nhà toán học ứng dụng phải nắm vững mọi phương pháp suy luận.

Tại sao trong toán học ứng dụng không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được tất cả các cách xây dựng một cách nghiêm ngặt như trong toán học thuần túy? Thực tế là thường có thể đạt được lời giải bài toán bằng cách sử dụng phương pháp heuristic một cách chính xác trong những trường hợp khi số lượng phương pháp phân chia không dẫn đến mục tiêu hoặc yêu cầu các dịch vụ khổng lồ, không chính đáng. Ngoài ra, quá trình chuyển đổi từ việc triển khai một đối tượng sang mô hình toán học của nó (xem bên dưới về điều này) luôn mang tính phỏng đoán và chỉ được thực hiện với độ chính xác nhất định. Lời giải toán học bài toán chỉ là một phần của nghiên cứu hoàn chỉnh.

3. Mô hình toán học

Một nhà toán học ứng dụng luôn luôn xử lý các mô hình toán học. Mô hình có thể là các hình hình học, tập hợp số, các phương trình và hệ phương trình khác nhau, v.v., mô tả bất kỳ tính chất nào của việc thực hiện nghiên cứu của một đối tượng hoặc hiện tượng.

Hãy xem xét một ví dụ đơn giản. Chúng ta hãy quan tâm đến thể tích của chất lỏng, cùng với các mô hình toán học, có thể thu được đáp số:

$$V = \frac{\pi}{4} d^2 H - \text{без эксперимента, но и без учета несовершенства реализации страны, или поверхностного натяжения, и т. п.}$$

Tất nhiên, như chúng tôi đã nói, một mô hình toán học mô tả một đối tượng thực là hoàn toàn sai, như khi nói, mô hình hóa ra không đủ khả năng để hiện thực hóa đối tượng. Vẽ một mô hình toán học là một công việc rất có trách nhiệm. Một vật thể thực có thể có nhiều mô hình khác nhau, có độ mạnh không đồng đều; Và mô hình đầy đủ, đồng thời khá đơn giản của người Nhật thường mang lại tính kịch tính. Ngoài ra, với mô hình đang được nghiên cứu, chúng ta có thể làm được rất nhiều điều với những khó khăn toán học hoàn toàn không lường trước được.

Một nền giáo dục toán học tốt là chưa đủ đối với một nhà toán học ứng dụng nghiêm túc. Anh ta phải có cả sự uyên bác về toán học và trực giác để áp dụng chính xác những phương pháp mang lại hiệu quả hiệu quả nhất khi lời giải áp dụng cụ thể bài toán. Anh ấy nên

46

có thể phát triển các phương pháp này và tạo ra những phương pháp mới. Và, tất nhiên, để mang lại kết quả lời giải bằng cách sử dụng tất cả các phương tiện cần thiết cho việc này, bao gồm cả máy tính.

4. Làm thế nào để trở thành một nhà toán học ứng dụng?

Việc đào tạo các nhà toán ứng dụng ở nước ta được thực hiện tại các trường đại học và một số cơ sở giáo dục kỹ thuật cao cấp lớn. Đồng thời, có sự kết hợp nhất định giữa giáo dục đại học và giáo dục kỹ thuật, chủ yếu là do sự gia tăng đáng kể tiềm năng lý thuyết chung của sinh viên tốt nghiệp đại học chuyên ngành toán ứng dụng (chuyên ngành 0647).

Đồng thời, một số đặc điểm sẽ được bảo tồn trong các cơ sở giáo dục đại học - tập trung vào việc ứng dụng các phương pháp toán học vào các vấn đề thực tiễn phát sinh trong các lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật, giao thông, quản lý, v.v. Do đó, cùng với các môn toán mang tính chất lý thuyết và ứng dụng tổng quát (1700-2050 giờ), chương trình giảng dạy (tổng cộng 4700 giờ) của chuyên ngành 0647 bao gồm các môn học liên quan đến máy tính (300-600 giờ), hệ thống điều khiển tự động, lý thuyết điều khiển, vật lý, cơ khí, điện kỹ thuật và điện tử vô tuyến. Trong các học kỳ cuối, các khóa học liên quan đến chuyên môn được giảng dạy: phương pháp toán ứng dụng, phương pháp số, thuật toán hóa các quy trình điều khiển, lý thuyết hệ thống, mô hình hóa hệ thống và một số môn khác. Toán ứng dụng có ba chuyên ngành chính:

1. ứng dụng công nghệ máy tính vào lời giải bài toán của nền kinh tế quốc dân - công nghệ, kinh tế, quản lý, kế hoạch;
2. phần mềm ACS;
3. phần mềm máy tính.

Chuyên môn đầu tiên trong số này đang bắt đầu đóng vai trò chủ đạo, và đây là lý do tại sao. Chương trình công nghệ máy tính và việc tạo ra các máy tính ngày càng tiên tiến, phức tạp, nhanh hơn (lên tới 2·10⁸ thao tác mỗi giây) đi kèm với sự thống nhất rõ ràng: sự đa dạng của các loại máy ngày càng trở nên nhỏ hơn. Sự thống nhất của mô hình được quan sát thấy ngay cả trên phạm vi toàn cầu: là kết quả của thỏa thuận giữa các công ty riêng lẻ, các loại máy tính khác nhau sẽ được sử dụng chung trong các thí nghiệm.

Máy tính thế hệ thứ hai (dựa trên chất bán dẫn), như BESM-6, thay thế các máy chạy bằng đèn thế hệ đầu tiên vào những năm 60 (50), có tốc độ lên tới 10⁶ thao tác mỗi giây, tức là nhanh hơn 10³ lần so với tốc độ của máy móc thế hệ đầu tiên và nhanh hơn khoảng 10⁶ lần so với con người. Những chiếc cân máy tính trên DEX-6 này, thay thế các máy đèn thế hệ đầu tiên vào những năm 60 (50), có tốc độ lên tới 10⁶ thao tác mỗi giây, tức là nhanh hơn 10³ lần so với các máy thế hệ đầu tiên và nhanh hơn khoảng 10⁶ lần so với một người. Những chiếc cân máy tính trên DEX-6 này, ra đời vào những năm 60 để thay thế các máy đèn thế hệ đầu tiên (50), có tốc độ lên tới 10⁶ thao tác mỗi giây, tức là lớn hơn 10³ lần so với tốc độ của máy, cho phép bạn dịch tương ứng các thuật toán tương ứng lời giải bài toán sang ngôn ngữ bên trong của máy, mà nó có thể hiểu được. Người ta thường chấp nhận rằng một lập trình viên có kinh nghiệm làm việc với 3-4 lệnh mỗi ngày. Với công nghệ này, cần phải thực hiện công việc sơ bộ hàng trăm năm công sức, chẳng hạn như một máy BESM-6 trong một giờ. Một giải pháp đã được tìm ra bằng cách chuyển một phần đáng kể sức lao động của con người để tạo ra chương trình cho chính máy móc. Tuy nhiên, điều này không giải quyết được nhiều vấn đề; trong mọi trường hợp, đối với máy thế hệ thứ ba (trên các mạch giữa), các máy của thập niên 70 có tốc độ lên tới 2·10⁷ thao tác mỗi giây. Những vấn đề này đang có một nhân vật mới. Máy móc ngày càng trở nên “háu ăn” hơn: chúng yêu cầu bài toán với khối lượng khổng lồ, bài toán, được khoác lên mình lớp áo toán học

47

hình thức được chuẩn bị đặc biệt cho “bụng máy”. Do đó, nếu việc tạo ra máy thế hệ thứ hai đi kèm với việc đề cao tính chuyên môn hóa trong lĩnh vực xây dựng và cải thiện hỗ trợ toán học nội bộ, thì “âm sắc sống còn” của máy thế hệ thứ ba đòi hỏi sự hiện diện của rất nhiều người có khả năng chuẩn bị bài toán: đi sâu vào nội dung ngữ nghĩa của nó (theo nghĩa vật lý), xây dựng mô hình toán học, chọn phương pháp nghiên cứu, chuẩn bị thuật toán lời giải và sử dụng máy để thực hiện nó.

Đương nhiên, đây là một kế hoạch thô, nhưng thường thì điều này cũng không thể thực hiện được.

Thực tế là nhiều bài toán, đặc biệt là thuộc loại kinh tế, văn hóa xã hội, công cộng, phức tạp đến mức chúng không thể được hình thức hóa bằng toán học hiện đại. Nói cách khác, không thể xây dựng mô hình toán học của hiện tượng đang xem xét. Trong tình huống như vậy, sẽ có nhu cầu đặc biệt cấp thiết về sự kết hợp giữa các phương pháp tiếp cận chính thức và không chính thức, sự kết hợp giữa các phương pháp toán học và suy nghiệm, tính toán và trực giác. Con đường này dẫn đến khái niệm về một mô hình mô phỏng. Mô hình mô phỏng mô tả và mô phỏng quá trình đang được nghiên cứu; nó phục vụ cho việc phân tích toàn diện về nó, cho phép bạn thay đổi các thông số quy trình khác nhau và nghiên cứu hậu quả của những thay đổi này. Một số thành phần của mô hình mô phỏng có thể cho phép hình thức hóa, trong khi những thành phần khác thì không. Tuy nhiên, trong mọi trường hợp, nó được cho là tạo ra khả năng của một cỗ máy (đọc nhanh số lượng tùy chọn lớn hơn) và trực giác, trải nghiệm của con người. Mô hình mô phỏng là hướng quan trọng nhất trong việc cải tiến toán học ứng dụng. Bạn có thể học được nhiều điều về điều này trong một cuốn sách hấp dẫn.

N. N. Monseeva “Một nhà toán học đặt câu hỏi” (M., “Znanie”, 1974).

Vào cuối những năm 70, các máy thế hệ thứ năm hiện đang được phát triển sẽ tìm được ứng dụng. Rõ ràng, chúng tỏ ra “rất thông minh”, giúp đơn giản hóa cuộc đối thoại giữa con người và máy móc (không thể tránh khỏi khi nghiên cứu mô hình mô phỏng), sẽ đảm nhận nhiều chức năng được thực hiện bởi các chương trình thấp hơn và các chuyên gia hỗ trợ toán học nội bộ, đồng thời sẽ yêu cầu nhiều tài liệu để “phản ánh”. Đây là một trong những lý do khiến đại đa số các nhà toán ứng dụng hiện nay đang tập trung vào chuyên sâu sử dụng máy tính trong các bài toán của nền kinh tế quốc dân. Một lý do khác không kém phần quan trọng là việc toán học hóa các ngành khoa học, việc sử dụng ngày càng đa dạng và sâu sắc các phương pháp toán học trong cả những lĩnh vực kiến ​​thức truyền thống và hoàn toàn mới.

Bạn có thể thành thạo toán ứng dụng đặc biệt bằng cách theo học tại nhiều trường đại học trong nước. Những trường ở giữa là các trường đại học nổi tiếng: MINT, MINHIGP, MAI, MIEM, MEPhI, MIPT, Altai, Tula, Donetsk, Viện Bách khoa Lvov, Viện Kỹ sư Vận tải Đường sắt Dnepropetrovsk, Viện Hàng không Kazan, Viện Kỹ thuật Vô tuyến Kharkov và một số trường khác.

Ngoài ra, còn có chuyên ngành “toán ứng dụng” trong các cơ sở giáo dục chuyên ngành cấp trung học: tại Kỹ thuật Kỹ thuật Toán học Moscow (trong kỹ thuật này chỉ có Muscovite), trong Kỹ thuật Kỹ thuật Cơ khí Leningrad (kỹ thuật này cũng không có ký túc xá), tại Đại học Bách khoa Minsk, tại Kỹ thuật Cơ khí và Kim loại Kiev, trong Kỹ thuật Tự động hóa và Telehanka của Dnepropetrovsk, Kỹ thuật Kinh tế và Công nghiệp Dnepropetrovsk.

48

tôi, tại Kỹ thuật Kỹ thuật Điện tử Rostov, tại Đại học Bách khoa Kirovkan, tại Kỹ thuật Cơ khí Năng lượng Kovrovsky, tại khoa kỹ thuật cấp hai của Học viện Bách khoa Tula.

Mọi học sinh tốt nghiệp trung học mong muốn được đào tạo chuyên sâu về toán học, đồng thời khám phá chuyên môn của mình có thể đăng ký vào một trong những trường kỹ thuật này. [Đặc biệt quan tâm là chuyên ngành mới được mở: “Xử lý thông tin trong hệ thống điều khiển tự động”. Ở chuyên ngành này, môn toán tổng quát được phân bổ (đối với học sinh sau lớp 8) trên 500 giờ giảng dạy; điều này bao gồm các yếu tố logic toán học, lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Trong chu trình chung, toán tính toán được nghiên cứu với số lượng 100 giờ học, các kiến ​​thức cơ bản về lập trình và ngôn ngữ thuật toán với số lượng 128 giờ học. Việc tuyển dụng chuyên ngành “Xử lý thông tin trong hệ thống điều khiển tự động” sẽ được thực hiện tại Trường Công nghệ Kinh tế và Công nghiệp Leningrad.]

5. Ở trường phải làm gì?

Tất nhiên, toán học bậc thầy hoặc toán học ứng dụng - đây chủ yếu là toán học. Bạn cần nắm vững phương pháp lập luận thực tế, học cách đưa ra các định nghĩa chính xác, rèn luyện lời giải bài toán thuộc nhiều loại khác nhau, đặc biệt là bài toán, phát triển tư duy logic và thuật toán.

Đừng bỏ qua các nhiệm vụ “thử nghiệm”, lời giải trong số đó đòi hỏi phải có thành phần quản lý đại diện. Thật không may, các khóa học toán học ở trường bài toán, theo quy luật, có rất ít điểm chung với các vấn đề mà một nhà toán học ứng dụng gặp phải. Tuy nhiên, thói quen quan trọng là đừng ngại ngùng trước những văn bản phi toán học!

Để yêu thích các phép tính, hãy bắt đầu với những ước tính sơ bộ nhất về thứ tự độ lớn và các phép tính thô nhất và kết thúc bằng những phép tính chính xác nhất bằng cách sử dụng tất cả các phương pháp mà bạn đã biết và các công cụ tính toán có sẵn.

Thạc sĩ vật lý và một số phần của các ngành khác (bao gồm cả những môn không có trong chương trình giảng dạy ở trường) trong đó toán học được sử dụng. Học cách suy nghĩ bằng ngôn ngữ “vật lý”, tiến hành lập luận không chính thức, học cách sử dụng các định nghĩa heuristic, tiến hành các chứng minh heuristic điển hình của các ngành ứng dụng.

Để bắt đầu, chúng tôi khuyên bạn nên giải một vài bài toán và một danh sách các cuốn sách và bài báo hữu ích.

Bài tập

1. Chứng minh rằng không có gì xảy ra trong trò chơi hex.
2. Chứng minh ước tính tổng số S chiến lược cho trò chơi lục giác đầu tiên:
   $$121 \cdot 119^{120} \cdot 117^{118} \cdot \dots \cdot 101^{102} < S < 121 \cdot 119^{120} \cdot 117^{118} \cdot 3^4.$$
3. So sánh S với số phần tử có thể có của các bộ phận trong Vũ trụ.
4. Trên bức tường của câu lạc bộ “Sừng và Móng guốc” của tờ Interturnaya Gazeta xuất hiện một thông báo cho biết người đứng đầu đội cứu hỏa thang máy Kama, Matvey Tolstobryukhov, đã tính toán rằng sức chứa của cơ sở lưu trữ này là 839522634175293648209 hạt lúa mì. Liệt kê hai lỗi tổng thể trong phép tính này.
5. Rút ra công thức gần đúng đơn giản để tăng độ dài của ngày (so với ngày 22 tháng 12) vào ngày N tháng 1, tùy thuộc vào N.
6. Trục của hai hình trụ tròn có bán kính R₀ và R cắt nhau vuông góc. Thu được các công thức gần đúng cho thể tích V của vật thu được với R₀=const và R→0 hoặc R→∞.

Văn học

1. Toán học trong thế giới hiện đại, “Mir”, Moscow, 1967.
2. I. I. BLEXMAN, A. D. Myshkis, Ya. G. Panovko, Toán ứng dụng. Chủ đề, logic, đặc điểm của các phương pháp tiếp cận, “Naukova Dumka”, Kyiv, 1976.
3. G. Steinguz, Bài toán và những suy ngẫm, “Thế giới”, Moscow, 1974.
4. L. Sadovsky, Toán ứng dụng - một chuyên ngành mới của khoa học kỹ thuật, «Kvant», 1974, số 6.

49

Vẽ hình học bài toán

Vai trò của việc vẽ trong lời giải hình học bài toán được người nộp đơn nhìn nhận khác nhau. Có người cho rằng bản vẽ không cần thiết chút nào nên họ vẽ nó một cách cẩu thả. Ngược lại, những người khác coi bản thân bức vẽ đã là một lý lẽ đầy đủ trong lý luận và thậm chí không thấy cần thiết phải biện minh bằng bất kỳ cách nào những gì “có thể nhìn thấy được từ bức vẽ”. Cả hai quan điểm cực đoan này đều sai.

Tất nhiên, không có hình vẽ nào, dù là hình vẽ chính xác nhất, có thể thay thế được một chứng minh logic mà chỉ mang tính minh họa cho lập luận. Bất kỳ thực tế hình học nào mà chúng ta “nhìn thấy” trong bản vẽ phải được chứng minh một cách nghiêm ngặt - chỉ khi đó chúng ta mới có thể khẳng định rằng thực tế này thực sự diễn ra và không có được từ một bản vẽ đúng (hoặc nguy hiểm hơn nhiều, không chính xác).

Đồng thời, hình vẽ trực quan là trợ thủ đắc lực cho lời giải bài toán: nó có thể gợi ý ý tưởng về lý luận và tính toán cần thiết, nảy sinh ý tưởng sử dụng một định lý nhất định hoặc đưa ra một cách xây dựng bổ sung thành công. Không phải vô cớ mà các nhà toán học thường sử dụng đến các hình minh họa hình học để làm cho ý tưởng chứng minh trở nên dễ hiểu hơn.

Tuy nhiên, chỉ có bản vẽ phản ánh chính xác các đặc điểm hình học cơ bản của cấu hình được thảo luận trong các điều kiện mới có thể giúp giải quyết bài toán. Đó là lý do tại sao bản vẽ nên được xử lý rất cẩn thận.

Thông thường, người nộp đơn tự giới hạn bản thân ở bản vẽ hoàn thành ít nhiều thành công đầu tiên mà không quan tâm đến việc bản vẽ đã hoàn thành đáp ứng các điều kiện bài toán chính xác đến mức nào. Trong khi đó, trong nhiều bài toán về nguyên tắc không thể thực hiện một lời giải hoàn chỉnh từ một bản vẽ, vì điều kiện bài toán cho phép tồn tại các cấu hình hình học khác nhau. Ngoài ra, việc đính kèm một bản vẽ “ngẫu nhiên” như vậy cũng dẫn đến một sự mâu thuẫn khác: trong quá trình lời giải bài toán, có thể phát hiện ra sự mâu thuẫn giữa kết quả thu được và bản vẽ ban đầu, điều này thường khiến người nộp đơn nhầm lẫn. Tuy nhiên, với sự hiểu biết chính xác về bản vẽ, điều này không có gì sai - bạn chỉ cần từ bỏ hình ảnh ban đầu đầu tiên và tạo một bản vẽ mới tương ứng với thông tin hình học xuất hiện (tất nhiên, với điều kiện là lý luận và tính toán được thực hiện là chính xác).

Khi xây dựng một bản vẽ, sẽ rất hữu ích nếu không tạo một bản phác thảo gần đúng, chỉ đưa ra ý tưởng chung về cấu hình hình học, mà hãy cố gắng tuân theo cách xây dựng bản vẽ, dựa trên dữ liệu bài toán và các sự kiện hình học chung. Với cách tiếp cận này, bạn sẽ dễ dàng “nhìn thấy” những ý tưởng có thể áp dụng trong lời giải.

Nhiệm vụ 1 (MSU, Khoa Quân sự, 1974). Trong tam giác ABC, góc B bằng 90°, AB = 4. Lấy điểm D trên điểm dừng BC sao cho BD = 1. Đường tròn bán kính $\sqrt{5}/2$ đi qua hai điểm B và D và chạm vào điểm B đường tròn ngoại tiếp bởi

50

Nô-ê ở gần tam giác ABC. Diện tích lớn nhất của tam giác ABC.

Trước hết, hãy dựng tam giác ABC có góc vuông B (Hình 1). Để xây dựng một đường tròn ngoại tiếp tam giác này, trước tiên chúng ta tìm ra tâm O của nó ở đâu và bán kính của nó là bao nhiêu. Như bạn đã biết, tâm của một đường tròn ngoại tiếp một tam giác vuông nằm ở giữa cạnh huyền và bán kính của nó bằng một nửa cạnh huyền. Điều này làm cho nó có thể xây dựng một vòng tròn chu vi.

Bây giờ anh ấy sẽ bắt đầu xây dựng một vòng tròn khác. Đánh dấu điểm D trên cạnh BC, ta có thể khẳng định tâm của đường tròn này nằm trên đường vuông góc kẻ đi qua trung điểm K của đoạn BD. Từ điều kiện để các đường tròn tiếp xúc, ta kết luận rằng tâm của đường tròn đang xét nằm trên bán kính của đường tròn ngoại tiếp vẽ đến điểm tiếp xúc, tức là tới điểm B. Nói cách khác, tâm S của đường tròn nói đến trong điều kiện là giao điểm của đường thẳng SK và đường trung tuyến BO.

Việc xây dựng bản vẽ đã hoàn tất. Trong quá trình xây dựng này, chúng tôi đã thiết lập hai sự thật làm cơ sở cho lời giải bài toán: thứ nhất, tâm của S nằm trên cạnh BO của tam giác cân bằng BOC; thứ hai, đường vuông góc hạ từ tâm S xuống cạnh BC đi qua trung điểm BD.

Bây giờ hãy thực hiện các tính toán cần thiết. Từ tam giác vuông BSK theo định lý Pytago

Chúng tôi tìm thấy SK = 1, và sau đó ctg (↗ SBK) = 1/2. Nhưng ↗ ACB = = ↗ OBC nên BC = AB ctg (↗ ACB) = 2. Do đó diện tích tam giác ABC là 4.

Vậy là bài toán đã được giải quyết hoàn toàn và chúng tôi đã có được ý tưởng về lời giải nhờ vào việc xây dựng bản vẽ một cách tuần tự. Tuy nhiên, điều đáng ngạc nhiên là ngay từ cái nhìn đầu tiên, bản vẽ trong Hình 1 không hoàn toàn tuân thủ điều kiện bài toán. Trên thực tế, các phép tính được thực hiện cho thấy BC = 2 và AC = 2/√5. Do đó, BO = √5 = 2·SB, tức BO là đường kính của đường tròn tâm S, do đó đi qua điểm vẽ O. Nói cách khác, diện tích tương ứng với hình vẽ 2 đã cho.

Lý do cho sự tương ứng không đầy đủ của Hình 1 với dữ liệu bài toán là gì? Thực tế là thiết kế của bản vẽ chỉ liên quan đến mặt hình học của nó mà không tính đến tất cả các dữ liệu số cụ thể. Hơn nữa, chúng tôi không thể tính đến chúng, vì tất cả các kích thước số của cấu hình và do đó các điểm hình học của nó chỉ có thể được thiết lập sau khi tính toán thích hợp.

Tuy nhiên, lời giải ở trên là đầy đủ, mặc dù, như chúng ta đã thấy, dựa trên một bản vẽ không chính xác. Điều này được giải thích một cách đơn giản: theo lý luận của chúng tôi, nó không được sử dụng ở bất cứ đâu

51

vị trí tương đối của điểm $O$ và đường tròn có tâm $S$; việc tìm ra vị trí tương đối của chúng bằng phương pháp này lời giải bài toán là không cần thiết.

Tình huống tương tự là điển hình trong hình học bài toán. Những người thực hành, bắt đầu từ lời giải, chúng tôi không thể xây dựng một bản vẽ phản ánh chính xác tuyệt đối tất cả các chi tiết cụ thể của cấu hình - nhiều đặc điểm của nó chỉ được bộc lộ trong quá trình suy luận. Do đó, điều quan trọng trước tiên là phải xác định các tính chất hình học tồn tại trong bài toán nhất định. Điều này đòi hỏi sự chú ý và thận trọng đặc biệt, vì ngay từ cái nhìn đầu tiên, không phải lúc nào cũng rõ ràng những đặc điểm nào của cấu hình là quan trọng và sự khác biệt giữa cấu hình nhất định và bản vẽ có thể chấp nhận được ở mức độ nào.

Tất nhiên, nếu trong quá trình xử lý lời giải mà bản vẽ rõ ràng không tương ứng với dữ liệu bài toán thì nó nên được thay thế bằng bản vẽ chính xác. Ví dụ: trong bài toán sau đây, ngay cả sự phát triển của trí tưởng tượng hình học cũng không thể giúp hoàn thành ngay một bản vẽ phản ánh chính xác các tính năng thiết yếu của cấu hình.

Bài toán 2 (MSU, cơ chế, 1972). Trong tam giác paramid $SABC$, cạnh bên $SC$ bằng cạnh $AB$ và nghiêng với mặt phẳng đáy $ABC$ một góc $60^\circ$. Biết rằng các đỉnh $A, B, C$ của phần giữa các cạnh bên của paramid nằm trên một mặt cầu có bán kính 1. Chứng minh rằng giá trị của hình cầu được chỉ ra nằm trên cạnh $AB$ và tìm chiều cao của paramid.

Đối với lời giải bài toán, chúng ta sẽ tạo một bản vẽ truyền thống về paramid $SABC$ (Hình 3), xây dựng chiều cao của nó $SH$ và vẽ một đoạn $HC$. Vì theo điều kiện bài toán $\angle SCH = 60^\circ$ nên từ tam giác $CHS$ có $SH = a\sqrt{3}/2$, $HC = a/2$, trong đó $a$ biểu thị độ dài cạnh $SC$.

Theo các điều kiện, các đỉnh $A, B, C$ và phần giữa $A_1, B_1, C_1$ của các cạnh bên tương ứng nằm trên cùng một hình cầu. Đặc biệt, từ đây, theo đó một đường tròn đi qua các điểm $A, A_1, B, B_1$—phần của hình cầu này với mặt phẳng của mặt $SAB$. Vì $A_1B_1 \parallel AB$ nên tứ giác $AA_1B_1B$ là hình thang, và hơn nữa là hình đều, vì nó nội tiếp trong một đường tròn. Đó là lý do tại sao

$$AA_1 = BB_1 = \frac{1}{2} SA = \frac{1}{2} SB.$$

Các phân bố tương tự cho tứ giác $BB_1C_1C$ cho thấy paramid $SABC$ có các cạnh bên bằng nhau: $SA = SB = SC = AB = a$. Từ đó, chúng ta có thể thấy rằng tam giác $ASB$ là đều, và do đó trung điểm $SM$ của mặt bên này bằng $a\sqrt{3}/2$, tức là $SM = SH$.

Do đó, chiều cao của paramid trùng với trung điểm của mặt bên $ASB$. Nhưng khi đó điểm $H$ trùng với $M$ và các mặt $ASB$ và $ABC$ vuông góc với nhau. Do đó, hình ảnh trong Hình 3

52

thực tế không thỏa mãn điều kiện bài toán thì Hình 4 sẽ đúng.

Hơn nữa lời giải không khó. Các hình chiếu lên mặt phẳng ABC (Hình 4) bằng các góc nghiêng SA, SB, SC bằng nhau: $HA = HB = HC = a/2$, do đó, điểm H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó tâm của hình cầu nằm trên đường vuông góc với mặt phẳng đáy, dựng lại từ điểm H, tức là ở độ cao SH của paramid (hoặc trên phần kéo dài của nó). Tâm của quả cầu này bằng nhau, ví dụ, từ các điểm A và A₁. Vì $HA_1 = a/2$ là đường trung bình của tam giác ASB nên $HA_1 = HA$ nên điểm H nằm trên cạnh AB chính xác là tâm của hình cầu. Nhưng bán kính của quả cầu này theo điều kiện là 1, $HA = a/2 = 1$, a = 2 và $SH = \sqrt{3}$.

Mặt khác, điều kiện bài toán được cố tình hình thành hơi mơ hồ - để nó cho phép rõ ràng sự tồn tại hình học của các bản vẽ khác nhau và một cách mơ hồ, dựa trên dữ liệu ban đầu, không rõ cấu hình nào có nghĩa. Trong trường hợp này, cần phải mô tả trên một số bản vẽ tất cả các khả năng đáp ứng các điều kiện bài toán, sau đó kiểm tra từng bản vẽ để tìm ra cấu hình hình học thực sự.

Bài toán 3 (MSU, Khoa Khoa học Đất, 1975). Hai đường tròn nằm trên một ranh giới bằng nhau. Một trong số chúng, có bán kính 1, được mô tả trong đường biên và đường thứ hai chạm vào hai đường biên và đường tròn thứ nhất. Khoảng cách từ đỉnh góc tạo bởi hai đường viền tiếp xúc với đường tròn thứ hai đến điểm tiếp xúc của đường tròn thứ hai bằng hai lần đường kính của đường tròn thứ hai. Tìm diện tích của biên giới.

Không xác định được, từ điều kiện bài toán không rõ góc nào của hình thang - tù hay nhọn - hình tròn thứ hai được mô tả. Do đó, chúng ta phải xem xét cả hai phương án (Hình 5) và cố gắng tìm ra phương án nào phù hợp với các tỷ lệ số cụ thể được chỉ định trong các điều kiện.

Đặt $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình thang $ABCD$, $O_1$, $O_2$ tâm của đường tròn thứ hai (hai lựa chọn!), $P_1$, $P_2$, $M_1$, $M_2$, $N_1$, $N_2$ - điểm của tiếp tuyến. Chúng ta biểu thị bán kính của hình tròn thứ hai là $r_1$, $r_2$. Từ sự giống nhau của các tam giác $OM_1C$ và $O_1N_1C$ trong trường hợp thứ nhất và $OM_2D$ và $O_2N_2D$ trong trường hợp thứ hai, chúng ta có

$$\frac{OM_1}{O_1N_1} = \frac{OC}{O_1C}, \frac{OM_2}{O_2N_2} = \frac{OD}{O_2D},$$

và, vì $OC = OP_1 + P_1C = 1 + 4r_1$, $OD = OP_2 + P_2D = 1 + 4r_2$, nên trong trường hợp chung

$$\frac{1}{2r} = \frac{1 + 4r}{3r},$$

từ đâu $r = 1/2$. Theo định lý Pythagore, từ các tam giác $OM_1C$ và $OM_2D$, bây giờ chúng ta thu được điều đó

$$M_1C = 2\sqrt{2}, M_2D = 2\sqrt{2}.$$

Vì vậy, nếu hình tròn thứ hai được bao quanh bởi một góc tù của hình thang thì đáy nhỏ của hình thang bằng $4\sqrt{2}$; nếu đường tròn thứ hai ngoại tiếp một góc nhọn của hình thang thì đáy lớn của hình thang đó bằng $4\sqrt{2}$. Trong khi đó, nếu một hình tròn có đường kính $d$ được mô tả là một hình thang bằng nhau có đáy $a$ và $b$, trong đó $a < b$, thì

53

chẳng hạn, bất đẳng thức $a < d < b$ được suy ra từ sự tương ứng dễ chứng minh và rất hữu ích $d = \sqrt{ab}$. Do đó, trong bài toán nhỏ hơn của chúng ta, đáy của hình thang phải nhỏ hơn 2 nên đường tròn có tâm $O_1$ không thỏa mãn điều kiện bài toán và chỉ xét đường tròn có tâm $O_2$. Bây giờ thật dễ dàng tìm được diện tích $S$ của hình thang. Sử dụng sự tương ứng giữa hai đáy của hình thang và đường kính của hình tròn $d = \sqrt{ab}$ nội tiếp trong đó, ta thu được đẳng thức

$$2 = \sqrt{AD \cdot BC} = \sqrt{4 \sqrt{2} \cdot BC},$$

từ đâu $BC = \sqrt{2}/2$ và $S = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot 2 = 9 \sqrt{2}/2$.

Trong bài toán đã được tháo rời, khả năng tồn tại của hai cấu hình hình học cơ bản khác nhau là hoàn toàn rõ ràng. Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng đúng và bạn cần có trí tưởng tượng hình học tốt cũng như đủ cẩn thận để “nhìn thấy” tất cả các cấu hình cần được xem xét trong lời giải khi vẽ.

Bài toán 4 (MSU, Khoa Địa lý, 1968). Chiều cao của một hình lăng trụ thẳng là 1, đáy của nó là hình thoi có cạnh 2 và góc nhọn $30^\circ$. Vẽ một mặt phẳng cát tuyến qua cạnh của đế, nghiêng với mặt phẳng của đáy một góc $60^\circ$. Tìm diện tích của mặt phẳng cắt.

Trong bài kiểm tra, đa hình học, sau khi hoàn thành Hình 6, đối với “lời giải” gần đúng sau đây của bài toán: “Cho $MN$ là giao tuyến của mặt phẳng cát tuyến $\alpha$ với mặt phẳng mặt $DCC_1D_1$; hạ đường vuông góc $MK$ xuống $AB$, theo định lý về ba đường vuông góc ta thu được điều đó $KD \perp AB$. Posny $\Rightarrow MKD$ là góc tuyến tính của góc nhị diện giữa mặt phẳng $\alpha$ và mặt phẳng cơ sở, sao cho $\Rightarrow MKD = 60^\circ$.

$$MK = \frac{KD}{\cos 60^\circ} = \frac{AD \sin 30^\circ}{\cos 60^\circ} = 2.$$

Có một lỗ hổng đáng kể trong lập luận này: hình vẽ làm cơ sở cho nó được thực hiện theo giả định đơn giản rằng mặt phẳng $\alpha$ cắt hình chữ nhật $DCC_1D_1$. Trong khi đó, với dữ liệu số đã cho, điều này hoàn toàn không hiển nhiên; hơn nữa, điều đó không đúng: trên thực tế, mặt phẳng $\alpha$ “nổi lên” từ lăng kính đã cho qua đỉnh của mặt, và điểm $M$ nằm trên phần tiếp theo của cạnh $DD_1$. Trên thực tế, theo cách tương tự như trên, chúng ta tìm thấy $MK = 2$ (lưu ý rằng phép tính này không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$ trên đường thẳng $DD_1$), từ tam giác $MDK$, chúng ta thu được $MD = \sqrt{3}$, sao cho $MD$ lớn hơn $D_1D$. Do đó, vấn đề trong bài toán là về cấu hình được chỉ ra trong Hình 7, và chúng ta cần tìm diện tích của hình bình hành $AQPB$ chứ không phải

54

AMNB. lời giải bài toán hơn nữa không gây ra khó khăn cơ bản và chúng tôi để lại vấn đề này cho độc giả; diện tích yêu cầu $S = 4\sqrt{3}$.

Thậm chí nhiều hơn về cơ bản là có vấn đề, và chúng tôi để việc đó cho độc giả; diện tích yêu cầu $S = 4\sqrt{3}$.

Thậm chí nhiều hơn về cơ bản là có vấn đề, và chúng tôi để việc đó cho độc giả; diện tích yêu cầu $S = 4\sqrt{3}$.

Thậm chí nhiều hơn về cơ bản là có vấn đề, và chúng tôi để việc đó cho độc giả; diện tích yêu cầu $S = 4\sqrt{3}$.

đáp số cuối cùng được viết là

$$S = \begin{cases} 2/\cos \varphi, & \text{ если } \varphi < 45^\circ, \\ 2\sqrt{2}, & \text{ если } \varphi = 45^\circ, \\ 2/\sin \varphi, & \text{ если } \varphi > 45^\circ. \end{cases}$$

Tất nhiên, người ta có thể đưa trường hợp thứ hai vào một trong hai trường hợp còn lại và viết đáp số gọn hơn.

Chúng tôi gặp phải tình huống tương tự trong bài toán tiếp theo. Đúng, đáp số cuối cùng trong đó không phụ thuộc vào loại cấu hình và giống nhau đối với tất cả các giá trị của tham số, nhưng các phép tính trung gian được thực hiện khác nhau đối với các cấu hình khác nhau. Đương nhiên, lời giải, trong đó không phải tất cả các trường hợp hình học khác nhau đều được xem xét, không thể được coi là hoàn chỉnh, mặc dù thu được dạng đúng đáp số.

Nhiệm vụ 5 (MSU, cơ chế, 1970). Một quả cầu có bán kính $r$ tiếp xúc với mặt phẳng $P$ tại điểm $A$. Đường thẳng l tạo thành một góc $\varphi$ với mặt phẳng $P$, cắt mặt phẳng này tại điểm $C$ và tiếp xúc với quả bóng tại điểm $B$. Độ dài ngắn nhất của đoạn là $AB$, nếu $AC = 2r$.

Hãy để chúng tôi mô tả cấu hình được đề cập trong các điều kiện (Hình 8). Từ điểm $B$ chúng ta hạ đường vuông góc $BB_1$ xuống mặt phẳng $P$ và vẽ đoạn $CB_1$; rõ ràng là $\Rightarrow BCB_1 = \varphi$. Hơn nữa, $OA = OB = r$ và $CB = CA = 2r$ theo tính chất tiếp tuyến của quả bóng được vẽ từ một điểm.

Đoạn cần tìm $AB$ là cạnh huyền của một tam giác vuông

Hình 8.

55

tam giác $BB_1A$, chân $BB_1$ được xác định từ tam giác vuông $CB_1B$: $BB_1 = 2r \sin \varphi$. Vẫn còn phải tìm chân $AB_1$. Các đường thẳng $OA$ và $BB_1$ vuông góc với mặt phẳng $P$ nằm trong cùng một mặt phẳng. Hãy vẽ một đường thẳng $ON \parallel AB_1$; thì $AONB_1$ là hình chữ nhật, và do đó $AB_1 = ON$, $NB_1 = OA = r$. Vì $NB = BB_1 - NB_1 = 2r \sin \varphi - r$, rồi từ tam giác $ONB$ $ON^2 = OB^2 - NB^2 = 4r^2 \sin \varphi (1 - \sin \varphi)$, và từ tam giác $BB_1A$ $AB = \sqrt{AB_1^2 + BB_1^2} = \sqrt{ON^2 + BB_1^2} = 2r \sqrt{\sin \varphi}$.

Tuy nhiên, người ta không nên nghĩ rằng bài toán lời giải. Trên thực tế, khi tính đoạn $NB$, về cơ bản chúng tôi sử dụng thực tế là các điểm $B, N$ và $B_1$ nằm chính xác như trong Hình 8. Nhưng từ điều kiện bài toán thì hoàn toàn không suy ra rằng điểm $N$ nằm giữa $B$ và $B_1$; điểm $B$ có thể nằm giữa điểm $N$ và $B_1$, điểm $N$ và $B$ thậm chí có thể trùng nhau. Chỉ sau khi xem xét tất cả các trường hợp này, chúng tôi mới có thể khẳng định rằng chúng tôi đã thực hiện đầy đủ lời giải bài toán.

Nếu điểm $B$ nằm giữa $N$ và $B_1$ (Hình 9), thì $NB = NB_1 - BB_1 = r - 2r \sin \varphi$ và việc tính toán thêm các đoạn $ON$ và $AB$ được thực hiện theo cách tương tự,

Рис. 9.

Bài tập

1. (MSU, Cơ học và Toán học, 1961). Trên mặt phẳng, có bốn điểm khác nhau $A, B, C, D$, cũng như $AB \perp CD$ và $AC \perp BD$. Chứng minh rằng $AD \perp BC$.

2. (MSU, Cơ học và Toán học, 1961). Trong một hình chữ nhật tam giác, hai mặt là tam giác đều có cạnh $a$, hai mặt còn lại là tam giác vuông cân. Xác định bán kính của quả cầu nội tiếp trên đường thẳng.