Kvant 1977, số 1 · Trang

KEANM 1
1977

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

18

NGHỊ ĐỊNH CỦA CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TỐI CAO LIÊN XÔ

về việc khen thưởng Tổng Bí thư Ban Chấp hành Trung ương CPSU
Anh hùng Liên Xô, Anh hùng Lao động xã hội chủ nghĩa
Đồng chí BREZHNEV Leonid Ilyich
Huân chương Lênin và Huân chương Sao vàng thứ hai

Vì những phục vụ xuất sắc cho Đảng Cộng sản và Nhà nước Xô viết trong công cuộc xây dựng chủ nghĩa cộng sản, những hoạt động tích cực, hiệu quả trong việc quản lý hòa bình và an ninh của các dân tộc, vì đóng góp cá nhân to lớn vào chiến thắng quân xâm lược Đức Quốc xã trong Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại, củng cố sức mạnh kinh tế và quốc phòng của Liên Xô và liên quan đến việc tổ chức bán kỷ niệm ngày sinh của Tổng Bí thư Trung ương Đảng Cộng sản Liên Xô, Anh hùng Liên Xô, Anh hùng Lao động xã hội chủ nghĩa, Đồng chí Brezhnev Leonid Ilyich với Huân chương Lênin và Huân chương Sao vàng thứ hai của Anh hùng Liên Xô.

Chủ tịch Đoàn Chủ tịch Xô Viết Tối cao Liên Xô N. PODGORNY.
Bí thư Đoàn Chủ tịch Xô Viết Tối cao Liên Xô M. GEORGADZE.

Mátxcơva, Điện Kremlin, ngày 18 tháng 12 năm 1976

Trong phòng:

2 Mối quan tâm quốc gia đối với trường học nông thôn
4 V. Efremovich. Không gian và hình học bên trong của bề mặt
10 S. Shamash, E. Evenchik. Chu trình Carnot

Phòng thí nghiệm «Kvant»
18 W. Mayer, R.-E. Shafir. Máy in phun âm thanh tự động

Hội thảo toán học
20 V. Vavilov. Cơ chế bản lề. đường cong Watt

Vấn đề «Kvant»
26 Bài toán M421—M425; F433—F437
28 Lời giải bài toán M379, M381—M384; F387—F392

Qua những trang sách giáo khoa
36 A. Zemlykov, V. Ivlev. 17 bài toán bằng phân tích

«Kvant» cho học sinh nhỏ
40 Bài toán
41 Yu. Gorst. Câu cá

Xưởng của người nộp đơn
43 G. Dorofeev, N. Rozov. Tính tuần hoàn và không tuần hoàn của hàm số
48 Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

Đánh giá, thư mục
50 I. Klumova. Bài toán và Thế vận hội Olympic

Thông tin
52 J.Rabot. Trường toán toàn thư
53 A. Kiryanov, A. Kutasov, T. Chugunova. Trường vật lý và kỹ thuật động vật học
56 A. Kolmodorov, V. Vavilov. Trường nội trú vật lý và toán học tại Đại học quốc gia Moscow. M. V. Lomonosova
58 I. Nasluzov. Màn hình xanh - người nộp đơn-77

tin tức khoa học
60 L. Beve. Bất kỳ thẻ nào cũng có thể được sơn bốn màu
61 Đáp số, gợi ý, lời giải
Hỗn hợp (tr. 24; 25; 39; 42; 59)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nauka, 1977.

2

Làm việc toàn quốc
về ngôi trường nông thôn

Trường trung học cơ sở nông thôn có vai trò quan trọng trong lời giải bài toán do Đại hội XXV của CPSU đặt ra trong lĩnh vực xây dựng kinh tế - xã hội và văn hóa. Rốt cuộc, khoảng một nửa số học sinh trong nước theo học ở các trường nông thôn.

Những cách thức cụ thể để phát triển giáo dục phổ thông ở khu vực nông thôn được nêu trong Nghị quyết của Ủy ban Trung ương CPSU và Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô “Về các biện pháp cải thiện hơn nữa điều kiện làm việc của các trường trung học nông thôn”. Nó bao gồm một chương trình chung nhằm xây dựng mới và mở rộng các trường học và trường nội trú hiện có ở khu vực nông thôn, củng cố cơ sở giáo dục và vật chất của các trường học nông thôn, cung cấp cho họ đội ngũ giáo viên có trình độ, cải tiến các hình thức và phương pháp giảng dạy và giáo dục thanh niên học đường nông thôn.

Vào mùa hè năm 1976, theo sáng kiến ​​​​của Bộ Giáo dục Liên Xô, Ủy ban Trung ương Komsomol và Ủy ban Trung ương của các công nhân chuyên nghiệp của giáo dục, giáo dục đại học và các tổ chức khoa học, Cải thiện xã hội chủ nghĩa toàn Liên minh nhằm tạo điều kiện làm việc tốt hơn cho các trường trung học nông thôn đã bắt đầu. Kết quả của sự cải tiến này, trong đó các tổ chức thuộc hệ thống của Bộ Giáo dục Nông thôn Liên Xô tham gia, sẽ được tổng kết hàng năm vào tháng 9. Tạp chí «Kvant» sẽ dẫn đầu sự phát triển của cải tiến này và sẽ làm mọi thứ có thể để giúp những người tham gia cải thiện việc giảng dạy toán và vật lý cho học sinh nông thôn.

Tiến bộ khoa học và công nghệ đặt ra yêu cầu đặc biệt cao đối với việc đào tạo thanh niên, cả ở thành thị và nông thôn. Học sinh trung học ngày nay ngày mai sẽ đến các nhà máy và cánh đồng, công trường và doanh nghiệp vận tải, phòng thí nghiệm khoa học và cơ sở văn hóa, và với công việc của mình, họ sẽ biến những kế hoạch đầy tham vọng của Kế hoạch 10 năm năm thành hiện thực. Để công việc này có hiệu quả và sáng tạo, điều cần thiết hiện nay ở trường học là phải kiên trì, bền bỉ nắm vững kiến ​​thức, kỹ năng làm việc.

Mối quan tâm của các trường học ở nông thôn đã trở thành mối quan tâm thực sự quan trọng đối với nhiều nhà vật lý và toán học. Thật vui khi lưu ý rằng danh sách các cơ sở khoa học và cơ sở giáo dục có liên kết chặt chẽ với học sinh từ Cela không ngừng tăng lên và các hình thức giao tiếp như vậy rất đa dạng. Các nhà khoa học, giáo viên đại học, nhà nghiên cứu và sinh viên cố gắng cung cấp cho học sinh nông thôn cơ hội tiếp xúc rộng rãi với nghiên cứu chuyên sâu về toán học và vật lý.

Hàng trăm cuốn sách và cuốn sách nhỏ nổi tiếng về toán học và vật lý đã được viết bởi các nhà khoa học nổi tiếng. Những cuốn sách này đã hình thành nên một quỹ vàng về khoa học đại chúng và văn học giáo dục dành cho thanh thiếu niên và được học sinh khắp mọi miền đất nước biết đến. Ngày càng có nhiều học sinh nông thôn tham gia vào các hội khoa học trẻ, tham gia

3

mô tả vật lý và toán học truyền thống. Trại hè đã trở nên phổ biến, nơi nam nữ thanh niên kết hợp việc học tập tích cực với các môn học bận rộn hiệu quả dưới sự hướng dẫn của sinh viên và các nhà khoa học trẻ. Đối với những tài năng trẻ ở nông thôn, các trường nội trú chuyên môn vật lý và toán học đã được mở ở một số thành phố trên cả nước. Hàng chục nghìn học sinh sống ở các vùng nông thôn, khu định cư của công nhân và các thị trấn nhỏ, xa các trung tâm khoa học và sư phạm, nhận được sự hướng dẫn có trình độ một cách có hệ thống dành cho học sinh ngoài lớp về toán và vật lý trong các trường chuyên ngành tương ứng được thành lập tại các trường đại học, viện kỹ thuật và sư phạm. Hỗ trợ hiệu quả cho thanh niên nông thôn được cung cấp bởi các khóa học dự bị thư tín và tổ chức nhiều trường đại học và trường kỹ thuật cho người nộp đơn.

Bộ sưu tập biên tập và các biên tập viên của tạp chí «Kvant» cũng coi một trong những bài toán chính của họ là đảm bảo bằng mọi cách có thể nâng cao chất lượng kiến ​​​​thức của học sinh nông thôn về vật lý và toán học, tạo điều kiện thuận lợi để các em sống và phát triển niềm yêu thích đối với các ngành khoa học này.

Các bài viết tổng hợp đăng trên tạp chí nhằm mục đích mở rộng tầm nhìn của độc giả trẻ, giới thiệu cho độc giả trẻ một cách dễ tiếp cận các chương bổ sung về toán học và vật lý, những thành tựu mới nhất của khoa học, kể về những nhà khoa học vĩ đại nhất, tiết lộ vai trò và vị trí của vật lý và toán học trong hệ thống tri thức chung của nhân loại và trong hoạt động thực tiễn của con người. Tài liệu trong phần “Qua các trang sách giáo khoa” được đánh giá là giúp học sinh, kể cả học sinh ở nông thôn, hiểu rõ hơn các chủ đề chính của chương trình giảng dạy ở trường mới và có thêm thông tin về chúng. Phần “Hỏi - Chúng tôi Trả lời” dành cho đáp số câu hỏi mà học sinh thường hỏi trong thư gửi ban biên tập. Các số liệu thống kê được đặt trong các phần “Vòng tròn toán học” và “Phòng thí nghiệm «Kvant»” nhằm mục đích truyền cho người đọc sở thích khám phá, nghiên cứu và thử nghiệm độc lập. Những người yêu thích phát triển dịch vụ sẽ luôn giảng dạy trong phần “Vấn đề «Kvant» thú vị và đa dạng bài toán - từ tương đối đơn giản đến khá phức tạp. Học sinh rất quan tâm đến phần “Thực hành dành cho ứng viên”, cho phép các em làm quen cụ thể với các yêu cầu của kỳ thi tuyển sinh đại học và các yêu cầu kỹ thuật. Những độc giả nhỏ tuổi nhất sẽ tìm thấy tài liệu hấp dẫn nhưng có ý nghĩa trong phần «Kvant» cho học sinh nhỏ.”

Biên tập viên nhận được nhiều lá thư của học sinh và giáo viên các trường nông thôn cho thấy tài liệu của tạp chí có ảnh hưởng lớn đến công việc trong lớp và ngoài lớp học, đồng thời góp phần vào việc học tập chuyên sâu về vật lý và toán học của học sinh nông thôn. Turdali Muldabekov, một giáo viên từ trang trại nhà nước “Chủ nghĩa xã hội” ở quận Voroshilovsky thuộc vùng Syr-Darba của SSR của Uzbekistan, viết trong thư của mình: “Số lượng độc giả của tạp chí «Kvant» đang tăng lên hàng năm”. — Lý do cho điều này rất rõ ràng: mọi người quan tâm đến toán học và vật lý sẽ tìm thấy những tài liệu thú vị trên các trang của nó. Được biết, «Kvant» là tạp chí dành cho học sinh cấp 3. Nhưng các giáo viên làm việc ở khu vực nông thôn cũng đọc tạp chí một cách thích thú và giải quyết bài toán cũng như các ví dụ được đăng trong đó.”

Các biên tập viên hướng tới học sinh nông thôn với yêu cầu và lời mời, thường là viết thư cho tạp chí, bày tỏ ý kiến ​​​​của mình về các tài liệu đã xuất bản, viết câu hỏi cụ thể và bày tỏ mong muốn. Những bức thư như vậy đặc biệt quan trọng đối với chúng tôi, hoặc chỉ sự kết nối tượng hình sống động với độc giả nông thôn mới cho phép tạp chí đáp ứng tối đa nhu cầu và yêu cầu của họ.

4

V. Efremovich

KHÔNG GIAN VÀ HÌNH HỌC BÊN TRONG CỦA CÁC BỀ MẶT

1. Không gian của chúng ta - nó như thế nào?

Hình học chúng tôi học ở trường là hình học Eclidian. Nhưng có đúng là không gian chúng ta đang sống được cấu trúc theo cách này? Nó có phải là Euclide không? Các tiên đề của Euclid có đúng trong không gian thực của chúng ta không?

Làm sao có thể khác được? Suy cho cùng, những tiên đề ấy rất mạnh mẽ: “Chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm”; “Mọi đường thẳng đều vô hạn theo cả hai hướng”; “Một đường vuông góc và một đường xiên của cùng một đường thẳng không cắt nhau”, v.v.

Có vẻ như tất cả những điều này quá rõ ràng đến mức không thể khác được! Đây là điều mà triết gia nổi tiếng người Đức I. Kant đã nói: “Không thể nghĩ khác được!”, Tức là có những sự thật mà chúng ta biết mà không cần trải qua kinh nghiệm - “a Priori”. Và để ủng hộ sự tồn tại của những chân lý “tiên nghiệm” như vậy, Kant đã trích dẫn chính xác các tiên đề hình học, như những sự kiện hiển nhiên, có giá trị chắc chắn, độc lập với bất kỳ kinh nghiệm nào. Nhưng người đồng hương vĩ đại của chúng ta N.I. Lobachevsky đã chỉ ra rằng hoàn toàn có thể nghĩ khác đi!

5

Ông đã xây dựng một hình học trong đó tất cả các tiên đề của Euclid đều được thỏa mãn, ngoại trừ một - một phần ba ở trên *). Hóa ra hình học này không những không tệ hơn Euclide mà ở một số khía cạnh thậm chí còn hoàn hảo và phong phú hơn.

Có thể từ chối các tiên đề khác? Có thể tưởng tượng rằng một đường thẳng có độ dài hữu hạn không? Chẳng phải rõ ràng là nó là vô hạn sao? Nhưng, hãy đối mặt với sự thật, đã có ai từng đi theo một đường thẳng đến mức tin chắc vào sự vô tận của nó chưa? Có lẽ, nếu chúng ta đi rất xa theo một đường thẳng thì đột nhiên chúng ta lại dừng lại ở điểm xuất phát của cuộc hành trình? “Thật là một lời đề nghị lố bịch!” - Tin hay không thì tùy, một số độc giả nghĩ. Trong khi đó, đây chính xác là điều sẽ xảy ra với một người tin rằng Trái đất phẳng, sẽ đi theo một hướng nhất định, luôn cố gắng đi dọc theo đường ngắn nhất (trên một quả cầu, đây là chu vi của một “vòng tròn lớn”); anh ta sẽ nghĩ rằng mình đang đi trên một đường thẳng và đột nhiên anh ta sẽ đến điểm xuất phát của cuộc hành trình.

Có lẽ chúng ta chỉ nghĩ rằng một đường thẳng là vô hạn, nhưng một ngày nào đó nó sẽ trở thành một đường thẳng khép kín, giống như một đường tròn, chỉ có chiều dài rất lớn? Bạn không bao giờ biết có những điều cực kỳ rõ ràng mà sau này hóa ra lại sai. Rốt cuộc, rõ ràng (cho đến khi mọi người biết rằng Trái đất là một hình cầu) rằng các đường thẳng đứng hoàn toàn song song và vô hạn, chúng giao nhau ở tâm Trái đất. Đối với người bạn đồng hành của Magellan, có vẻ như nếu họ cẩn thận ghi vào nhật ký của con tàu mỗi ngày, thì sau khi đi vòng quanh thế giới (tức là vòng quanh Trái đất) và trở về nhà, họ sẽ không nhầm lẫn khi đếm ngày. Nhưng hóa ra có một ngày đã mất tích.

Có mọi lý do cho thấy không gian của chúng ta phức tạp hơn Euclid nghĩ. Bản thân Lobachevsky đã chỉ ra rất rõ cách có thể nghiên cứu một không gian khác với không gian “thông thường” (biểu hiện của N. I. Lobachevsky), khi xây dựng hình học của mình, do đó, đối với những người lần đầu tiên làm quen với không gian “phi Euclid”, hình học của Lobachevsky thường được chọn. Chúng ta sẽ nói về những điều thú vị hơn.

2. Hình học bên trong của bề mặt

Rõ ràng, việc nghiên cứu hình học một cách có hệ thống bắt đầu bằng phép đo mặt phẳng, tức là nghiên cứu các hình trên một mặt phẳng. Bạn có thể nghiên cứu các hình dạng trên một số bề mặt khác, ví dụ: trên bề mặt của hình trụ, hình cầu hoặc hình elip.

Khi chúng ta nói “bề mặt”, chúng ta thường muốn nói đến một loại “phim” nào đó nằm trong không gian. Tuy nhiên, khi chúng ta nói “độ phẳng”, chúng ta không cố gắng nhúng nó vào không gian xung quanh bằng cách nào đó. Sử dụng “hình học bên trong” của mặt phẳng, chúng tôi nghiên cứu các tính chất của mặt phẳng, trừu tượng hóa mọi thứ bên ngoài nó; đối với chúng ta, máy bay dường như trở thành một thế giới độc lập; theo nghĩa này, bản thân nó có thể được gọi là “không gian” (có hai chiều).

Tương tự, khi nghiên cứu hình học của một bề mặt nhất định, sẽ rất hữu ích nếu không cố gắng nhúng nó vào không gian, nghĩa là không phân biệt mặt phẳng, bề mặt hình trụ được xây dựng trên một parabol và góc nhị diện (Hình 1) - chúng thu được từ nhau bằng cách uốn cong, điều này không làm thay đổi “tính chất bên trong” của các bề mặt này.

Để hiểu rõ hơn về định nghĩa này, hãy tưởng tượng một “Blob” hai chiều tồn tại trên một bề mặt. Mọi thứ mà “Blob” có thể tìm hiểu về bề mặt này, việc thay đổi độ dài của các đường trên bề mặt bằng một sợi dây linh hoạt, thay đổi các góc bằng thước đo góc, v.v., đều tạo thành hình học bên trong của bề mặt. Đối với “The Blob”, toàn bộ thế giới đều liên quan đến bề mặt mà nó sống và đối với nó, không có gì thực sự ngoài bề mặt này!

Nhưng hóa ra, nói chung, không dễ để xây dựng hình học cho một bề mặt tùy ý - ngay cả những tam giác đồng dạng cũng có thể không được tìm thấy trên bề mặt này, và chính xác là dựa trên sự đồng dạng của các tam giác mà

6

Hình 1.

bằng chứng đầu tiên trong phép đo mặt phẳng!
Thuận tiện nhất là xây dựng hình học trên các bề mặt “đồng nhất” và “đẳng hướng”.

Ở trường bạn đã nghiên cứu chuyển động của máy bay. Hãy nhớ lại rằng việc di chuyển một mặt phẳng là ánh xạ mặt phẳng đó lên chính nó để bảo toàn khoảng cách, tức là độ dài của các đoạn nối hai điểm. Tương tự, di chuyển một bề mặt là ánh xạ bề mặt này lên chính nó để bảo toàn độ dài của tất cả các đường trên đó. Những ánh xạ như vậy còn được gọi là đẳng cự. Chúng tôi nhấn mạnh rằng chúng tôi không định nghĩa khái niệm “độ dài dòng” ở đây; bạn chỉ cần tưởng tượng các đường trên bề mặt như một sợi chỉ có thể tách ra khỏi bề mặt, áp vào “đồng hồ” và thay đổi độ dài của nó.

Một bề mặt được gọi là đồng nhất nếu, với bất kỳ hai điểm A và B nào của nó, có thể chỉ ra hình học của bề mặt, trong đó điểm A được ánh xạ tới điểm B. Điều này có nghĩa là bề mặt “được sắp xếp bằng nhau xung quanh bất kỳ điểm nào của nó”. Ví dụ, đây là bề mặt của một hình trụ tròn vô hạn (Hình 2).

Một bề mặt được gọi là phép đẳng cự tại một điểm A nào đó nếu, bất kể hai “hướng” Am và An phát ra từ A nào được lấy trên nó (Hình 3), vẫn có một chuyển động của bề mặt tại đó điểm A vẫn giữ nguyên và Am đi vào An. Ví dụ, bất kỳ bề mặt giằng nào cắt trục giằng tại điểm A đều là đồng vị tại A.

Một bề mặt được gọi là đẳng hướng nếu nó đẳng hướng tại mọi điểm. Điều thú vị là một bề mặt đẳng hướng luôn đồng nhất.

Một ví dụ về bề mặt đẳng hướng là mặt phẳng; Dưới đây chúng ta sẽ xem xét một cái khác - hình cầu.

3. Đường trắc địa

Chúng ta hãy xem xét giữa các điểm A và B trên bề mặt tên tự nhiên độ dài của đoạn thẳng ngắn nhất nối các điểm này và nằm hoàn toàn trên bề mặt. Do đó, trong hình học bên trong của bất kỳ bề mặt nào, các đường trắc địa đặc biệt quan trọng: chúng đóng vai trò là các đường thẳng. Các đường thẳng này được định nghĩa như sau: với hai điểm bất kỳ A, B của một đường thẳng không quá xa nhau thì đoạn AB của nó ngắn hơn bất kỳ đoạn thẳng nào nối A với B và nằm trên mặt phẳng đó.

Đây là một ví dụ đơn giản. Hãy cuộn lại (không kéo dài hoặc cuộn) một tờ giấy

Hình 2. Hình 3.

7

Hình 4.

nhà ảo thuật trên một hình trụ tròn thẳng. Các đường thẳng của tấm này, khi uốn cong theo cách này, tạo ra ba loại trắc địa: một số trong số chúng sẽ không uốn cong chút nào và sẽ nằm trên đường sinh của hình trụ; những người khác biến thành vòng tròn; cuối cùng, những đường khác biến thành đường xoắn ốc (Hình 4). Chỉ đối với trắc địa loại 1, bất kỳ đoạn nào của nó sẽ ngắn nhất trên bề mặt; đối với trắc địa loại 2 và loại 3, chỉ cần không lâu hơn nữa, các đoạn của chúng sẽ thực sự là ngắn nhất.

Việc vặn vít tương tự có thể được thực hiện trên bề mặt cuối; ở đó một số đường trắc địa sẽ tự giao nhau! Làm điều này.

Việc nghiên cứu trắc địa trên một mặt cầu khá dễ dàng. Hoá ra đường trắc địa trên mặt cầu là những đường tròn lớn.

Hãy chứng minh điều đó. Giả sử rằng các điểm A và B trên hình cầu bán kính R được nối với nhau bằng một đoạn thẳng M có chiều dài l và l = AB/k (k>1), trong đó AB là cung của một đường tròn lớn. Chúng ta hãy chia đường cong M thành n phần có độ dài bằng nhau (Hình 5), và chọn n sao cho độ dài l/n của mỗi phần thu được đủ nhỏ, cụ thể là: sao cho trong một đường tròn bán kính R với bất kỳ dây cung PQ nào có độ dài nhỏ hơn l/n và cung nhỏ hơn phụ thuộc vào nó, sự tương ứng PQ<|PQ|·k được thỏa mãn (điều này có thể xảy ra với k>1 theo định nghĩa của đường tròn dài). Hãy nối các điểm chia liền kề bằng các dây cung và cung nhỏ hơn của đường tròn lớn. Gọi độ dài các cung này là c1, c2, …, cn và độ dài các dây d1, d2, …, dn. Lưu ý rằng c1 + c2 + … + cn ≥ AB = lk (bạn hãy tự chứng minh điều này). Suy ra rằng đối với ít nhất một cung, ví dụ, đối với số cung i, l/n ≤ c_i/k.

Nhưng c_i/k < d_i/k = d_i, nghĩa là l/n < d_i, điều này là không thể, vì đoạn thẳng là đoạn thẳng ngắn nhất trong số các đoạn thẳng nối hai điểm.

Cũng giống như trên một mặt phẳng, các đường thẳng đi ra từ một điểm theo mọi hướng, cũng vậy, trên một mặt cầu, từ bất kỳ điểm nào của nó theo bất kỳ “hướng” nào cũng có chính xác một đường trắc địa đi ra. Đối với các dải trắc địa như vậy sẽ có các terdine.

Dễ dàng chứng minh rằng ngay cả một mảnh nhỏ của bề mặt hình cầu cũng không thể bị uốn cong (không dãn và lăn, dù rất nhỏ) thành một mảnh phẳng. Để làm điều này, từ bất kỳ điểm bên trong nào của hình cầu (coi nó là dải phía bắc của hình cầu), dọc theo các terdian, chúng ta vẽ cùng một chiều dài nhỏ r (nhỏ để không vượt quá giới hạn của hình cầu), sau đó các điểm cuối tạo thành một vòng tròn; tất nhiên, đường thẳng l của nó sẽ nhỏ hơn 2πr, vì bán kính đường thẳng của đường tròn này nhỏ hơn r (“bán kính trắc địa” của nó). Trong khi đó, nếu mảnh hình cầu của chúng ta có thể bị uốn cong trên một mặt phẳng thì chu vi và bán kính trắc địa của nó sẽ không thay đổi (xét cho cùng, khi uốn cong, chiều dài không thay đổi, do đó

do đó cung ngắn nhất phải luôn ngắn nhất) và trên mặt phẳng $l=2\pi r$, thu được mâu thuẫn.

4. Hình học trên một quả cầu

Bây giờ chúng ta hãy xem xét kỹ hơn hình học bên trong của một hình cầu (bạn đã rất quen thuộc với hình học bên trong của một mặt phẳng - đây là phép đo phẳng).

Cung ngắn nhất của một hình cầu là cung của một đường tròn lớn. Để tìm đường đi ngắn nhất trên hình cầu giữa các điểm $A$ và $B$ của nó, qua các điểm này và tâm $O$ của hình cầu ta vẽ một mặt phẳng, nó sẽ cắt hình cầu dọc theo đường tròn; cung nào trong hai cung $AmB$ và $AnB$ của vòng tròn “tuyệt vời” này ngắn hơn sẽ là đường đi ngắn nhất giữa $A$ và $B$. Sẽ rất tốt nếu các điểm $A$ và $B$ không đóng vai trò là các đầu có cùng đường kính - khi đó mặt phẳng được xác định duy nhất bởi các điểm $A$, $B$, $O$ và một trong các cung $AmB$, $AnB$ chắc chắn ngắn hơn cung kia, tức là đường đi ngắn nhất giữa $A$ và $B$ là duy nhất. Nếu $A$ và $B$ đối diện nhau về mặt đường kính thì sẽ có vô số mặt phẳng như vậy và do đó các đường đi ngắn nhất - chúng đều có cùng độ dài và không có đường đi nào ngắn hơn trên hình cầu. Ví dụ, đây là tất cả các kinh tuyến nối cực bắc với cực nam.

Hình học bên trong của một hình cầu về nhiều mặt tương tự như phép đo mặt phẳng, nhưng ở nhiều khía cạnh, nó khác hẳn với nó. Trước hết, khoảng cách trên quả cầu bị giới hạn - chúng không vượt quá một nửa chu vi của vòng tròn lớn. Vai trò của các đường thẳng ở đây được thực hiện bởi các vòng tròn lớn, vai trò của các đoạn thẳng được thực hiện bởi các cung của các vòng tròn này, chứa không quá $180^\circ$. Như chúng ta vừa thấy, đối với hai điểm bất kỳ trên mặt cầu, trừ khi chúng là “đối cực”, thì chỉ có một đoạn nối chúng; đối với các phản cực sẽ có vô số phân đoạn như vậy.

Có lẽ trong Vũ trụ của chúng ta có một cặp điểm “đối cực” mà qua đó có vô số đường thẳng đi qua? Cho đến nay chúng ta chỉ phải giải quyết những điểm tương đối gần nhau; chúng tôi chưa bao giờ gặp một cặp như vậy và do đó

8

Hình 6.

Hình 7.

Người ta thường nói “chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm”.

Tuy nhiên, thật dễ dàng để xây dựng một mô hình “vũ trụ”, trong đó có những đường khép kín nhưng không thể phân biệt được với thế giới mà chúng ta quen thuộc ở khoảng cách ngắn.

Trong bài học địa lý, các em đã thấy hình ảnh bề mặt Trái đất với bản đồ có hai vòng tròn - một “bán cầu”, mặc dù quả địa cầu là hình ảnh chính xác hơn. Làm thế nào để có được một quả địa cầu từ bản đồ các bán cầu? Điều này không khó để thực hiện. Bạn chỉ cần biết quy tắc đo khoảng cách ở mỗi bán cầu và giải thích ranh giới của các bán cầu được “dán lại với nhau” như thế nào, tức là khi đã đến ranh giới của bán cầu này thì đi đến bán cầu kia như thế nào.

Vì vậy, thay vì các vòng tròn, hãy lấy hai quả bóng và “dán” ranh giới của chúng (xem Hình 6). Kết quả sẽ là một mô hình của “thế giới” (một hình cầu ba chiều), các phần nhỏ của nó được sắp xếp gần giống như không gian ba chiều thông thường, nhưng mỗi đường thẳng trong đó có độ dài hữu hạn.

Đây là một trong những hậu quả của sự tồn tại có thể có của một “đường thẳng” khép kín: nếu ánh sáng truyền theo đường thẳng và chúng ta, “viễn thị”, thì khi nói chuyện trực tiếp với một người bạn, chúng ta quay lại và nhìn thấy phía sau đầu của anh ta (tuy nhiên, giống như cách đây nhiều triệu năm!). Có một thời, các nhà thiên văn thừa nhận rằng họ đã phải đối mặt với một tình huống như vậy: một giả thuyết được đưa ra,

9

rằng tinh vân mờ nhạt ở xa M.83 chỉ đơn giản là một hình ảnh “phía sau” của tinh vân ngoài thiên hà lớn M.31 ở Andromede. Nhưng giả thuyết này đã biến mất, vì chẳng bao lâu sau, trong thiên văn học đã có những khoảng cách lớn hơn đáng kể so với tổng khoảng cách tới M.83 và M.31. Điều này có nghĩa là nếu một đường thẳng đóng và có độ dài hữu hạn thì độ dài này sẽ lớn hơn nhiều.

Giống như trong phép đo mặt phẳng, trên một hình cầu lời giải bài toán thường giảm khoảng cách bằng một chuỗi hình tam giác. Một hình tam giác hình cầu được tạo thành từ ba đỉnh được nối thành từng cặp bằng các cung ngắn nhất - đây là các cạnh của nó. Nhưng trên quả cầu cũng có hai cực, ví dụ như hai cực được nối với nhau bằng hai kinh tuyến.

Hãy chứng minh rằng tổng các góc của một tam giác cầu luôn lớn hơn π*). Để làm điều này, chúng ta tính diện tích S_{ABC} của tam giác cầu ABC, nếu biết giá trị các góc Å, B, C (tính bằng radian) của nó.

Để rõ ràng, chúng ta sẽ xây dựng bản vẽ sao cho điểm A rơi vào dải đã được xác minh của hình cầu (Hình 7). Trước tiên, chúng ta hãy tính diện tích S_{AA’} của bigon, diện tích này sẽ có được nếu chúng ta kéo dài hai cạnh AB và AC để giao nhau tại điểm A’, đối diện theo đường kính với điểm A. Giả sử diện tích của toàn bộ bề mặt hình cầu bằng S. Rõ ràng là S_{AA’} = S·Å/2π (vì diện tích của một bigon có góc 2π, rất/không, bằng S - đây là toàn bộ hình cầu). Tương tự, tiếp tục các cạnh của góc B, chúng ta thu được một đường chéo có diện tích S_{BB’} = S·К/2π, và góc C sẽ dẫn chúng ta đến một đường chéo có diện tích S_{CC’} = S·К/2π. Tiếp tục các cạnh của cùng một góc theo hướng ngược nhau, chúng ta thu được các đường chéo bổ sung có cùng diện tích. Phần nào của quả cầu sẽ được bao phủ bởi những cặp bigon này? Rõ ràng là chúng sẽ bao phủ toàn bộ hình cầu, và các tam giác ABC và A’B’C’ sẽ bao phủ ba lần (để rõ ràng, hãy thực hiện phép dựng này cho tam giác ABC trên mặt phẳng!). Vì thế,

*) Góc lớn (hay đơn giản là góc) giữa hai đường cong giao nhau là góc giữa các tiếp tuyến của các đường cong này vẽ tại giao điểm của các đường cong đó.

$$\frac{2S}{2\pi} \hat{A} + \frac{2S}{2\pi} \hat{B} + \frac{2S}{2\pi} \hat{C} = S + 4S_{ABC};$$

từ đây

$$S_{ABC} = \frac{S}{4\pi} (\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} - \pi).$$

Diện tích của tam giác hóa ra tỷ lệ thuận với cái gọi là “hình cầu dư thừa”

$$\varepsilon = \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} - \pi.$$

Lưu ý rằng các số S và S_{ABC} đều dương, tức là số dư của ε là dương, hay nói cách khác tổng các góc của một tam giác cầu luôn lớn hơn π.

Điều thú vị là trên mặt phẳng Lobachevsky, tổng các góc của một tam giác luôn nhỏ hơn π và diện tích của nó tỉ lệ với “khuyết khuyết” δ = π—(Å + B + C).

Trong hình học trên một mặt cầu, các dấu hiệu bằng nhau của các tam giác cũng có giá trị như trong phép đo đa giác (trên một cạnh và hai góc, trên hai cạnh và góc giữa chúng, trên các cạnh đó), nhưng còn một điều nữa: trên ba góc - không có hình tam giác giống nhau trên hình cầu! (Bằng chứng giống như trong phép đo đa bội.)

Bài tập

1 (có bộ râu rất dài). Cho một hình song song góc vuông có kích thước 30×12×12. Tìm đường đi ngắn nhất dọc theo bề mặt của nó giữa các điểm A và A’, nằm đối xứng với tâm của hình song song trên các mặt vuông của nó trên các mặt thẳng đứng ở giữa (để rõ ràng, chúng tôi coi các mặt 30x12 là sàn và trần nhà), điểm A - ở độ cao 1 so với sàn, A’ - ở độ cao 1 so với sàn. Người ta tin rằng nhiều người sẽ hét lên: “Độ dài của con đường ngắn nhất là 42!” Tuy nhiên, điều này không đúng - có một con đường ngắn hơn đáng kể! Tìm anh ấy.

2. Krasnoirsk và Moscow gần như nằm trên cùng một vĩ tuyến (56° vĩ độ Bắc). Biết kinh độ của chúng (93° và 38°) và bán kính Trái đất (6370 km), hãy tìm xem đường đi ngắn nhất ngắn hơn bao nhiêu so với đường đi dọc theo đường song song.

3. Chứng minh rằng:

a) tổng các góc Å1 + Å2 + … + Ån của n-giác A1A2…An luôn lớn hơn (n-2)π;

b) diện tích hình cầu n-giác A1A2…An tỉ lệ với phần thừa ε = Å1 + Å2 + … + Ån - (n-2)π.

4. Chứng minh rằng trong một tam giác cầu tổng độ dài các cạnh lớn hơn độ dài tam giác ABC trong mặt phẳng!

5. Chứng minh kiểm tra sự bằng nhau của các tam giác cầu có ba cạnh.

10

Chú lùn màu nâu này đã khoảng bảy trăm tuổi.
Thời “tuổi trẻ” của mình, ông là một kiểu người nội trợ tinh thần. Anh ta đổ xác vào bức tượng nhỏ và đặt nó vào những góc đang cháy âm ỉ. Ngay sau đó hơi nước bắt đầu thoát ra từ miệng của người lùn. Bức tượng nhỏ được đặt trước lò sưởi để luồng hơi nước hướng xuống dưới bếp lò. Thế là thần lùn đã thổi bùng ngọn lửa trong bếp. Cái lỗ trên cơ thể của gnome là kết quả của một “tai nạn”.

Mặc dù bức tượng nhỏ này có thể được coi chỉ đơn giản là một món đồ chơi thú vị, nhưng nó chắc chắn là một ví dụ về một hiện tượng vật lý đang được sử dụng. Xét cho cùng, LIZES và NAM CHÂM trước khi trở thành dụng cụ khoa học chỉ được coi là đồ chơi. Và việc phát hiện ra hiệu ứng con quay được dẫn đầu bởi một chiếc đồ chơi thông thường.
Hiện tại, chú lùn này được lưu giữ tại Bảo tàng Vienna Kunsthistorisches.

11

Từ xa xưa, con người đã sử dụng năng lượng bên trong của biển và đại dương*. Khối lượng nước trong các đại dương trên thế giới là khoảng $10^{21}$ kk. Làm mát nó chỉ 1 độ sẽ dẫn đến việc giải phóng năng lượng ở mức $10^{24}$ J. Con số này gấp 100.000.000 lần so với tổng năng lượng được tạo ra trên toàn cầu trong một năm!

Có vẻ như nguồn dự trữ năng lượng trên toàn cầu gần như vô hạn. Tuy nhiên, nội năng của khí quyển và đại dương không được coi là năng lượng dự trữ. Điều này là do đặc thù của việc sử dụng loại năng lượng này.

Để sử dụng năng lượng bên trong cơ thể, bạn cần phải “lấy nó đi” khỏi nó. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách - trong quá trình truyền nhiệt, khi cơ thể tỏa ra một lượng nhiệt nhất định hoặc khi nó thực hiện công.

Ví dụ, giảm nhiệt được sử dụng trong một số quy trình công nghệ liên quan đến làm nóng cơ thể, cũng như để sưởi ấm các phòng sử dụng năng lượng bên trong của hơi nước hoặc nước nóng.

Nhưng, như đã lưu ý, điều quan trọng nhất là việc sử dụng nội năng của cơ thể để thực hiện công cơ học.

Công cơ học chỉ được thực hiện khi có trật tự chuyển động - chuyển động của cơ thể. Năng lượng bên trong là năng lượng của các phân tử chuyển động ngẫu nhiên (hỗn loạn). Do đó, để công được thực hiện nhờ nội năng, cần phải tìm cách “biến” chuyển động hỗn loạn của các phân tử thành chuyển động có trật tự của bất kỳ vật thể vĩ mô nào. Và bài toán này không hề đơn giản! Bất kỳ chuyển động có trật tự nào của vật thể trong điều kiện thực tế (với

$U = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu} RT$

Không khó để ước tính nguồn dự trữ nội năng khổng lồ của bầu khí quyển xung quanh Trái đất là bao nhiêu, khối lượng của nó xấp xỉ $10^{18}$ kk.

*) Nội năng của đại dương lớn hơn nội năng thu được từ công thức trên đối với nội năng của khí lý tưởng, vì các phân tử nước cũng có các tương tác năng lượng tiềm năng.

12

khi có ma sát) được “biến đổi” thành chuyển động ngẫu nhiên của các phân tử (cơ thể nóng lên). Sự biến đổi ngược lại chuyển động hỗn loạn của các phân tử thành chuyển động có trật tự đòi hỏi những điều kiện đặc biệt.

Ví dụ, những điều kiện như vậy có thể được tạo ra bằng cách sử dụng một xi lanh có piston. Chuyển động ngẫu nhiên của các phân tử khí trong xi lanh làm cho piston chuyển động. Xi lanh với piston tạo thành bộ phận chính của súng. Do nội năng của khí sinh ra trong quá trình loại bỏ thuốc súng trong nòng súng (xi lanh), công cơ học được thực hiện để di chuyển đạn (piston).

Do đó, súng là một loại động cơ nhiệt. Nhưng đây không phải là động cơ hoạt động liên tục, cần thiết để dẫn động các máy công cụ, máy phát điện tại các nhà máy điện, phương tiện giao thông, v.v.

Để động cơ hoạt động liên tục, piston sau mỗi lần giãn nở khí phải trở về vị trí ban đầu và khí có thể giãn nở trở lại. Và để làm được điều này, một ngoại lực phải tác dụng lên dòng khí trong xi lanh. Nếu công thực hiện đi xuống bởi ngoại lực bằng công thực hiện bởi chất khí trong quá trình giãn nở thì hiệu suất của động cơ rõ ràng là bằng không. Công phải nhỏ hơn công giãn nở của khí.

Như đã biết, công cơ bản thực hiện khi thể tích khí thay đổi từ giá trị $V_i$ sang giá trị $V_i + \Delta V_i$ bằng

$$A_i = p_i \Delta V_i.$$

Pozny thấy rõ rằng để công do ngoại lực thực hiện trong quá trình khí đi xuống nhỏ hơn công do khí thực hiện trong quá trình giãn nở, thì mỗi giá trị thể tích của khí trong quá trình đi xuống phải tương ứng với áp suất nhỏ hơn so với khi giãn nở. Như đã biết, nhiệt độ của chất khí ở cùng một thể tích càng thấp thì nhiệt độ càng thấp. Điều này có nghĩa là khí trước khi rơi xuống phải được làm mát.

Có vẻ như việc làm mát khí là bài toán đơn giản. Ví dụ, bạn có thể làm điều này bằng cách cho nó tiếp xúc với những vật thể có nhiệt độ thấp hơn. Nhưng trong trường hợp này, năng lượng chuyển động hỗn loạn của các phân tử khí được chuyển thành năng lượng chuyển động hỗn loạn của các vật thể khác và nó sẽ cần thiết để thực hiện công. Đó là lý do tại sao các chuyển động nhiệt đầu tiên sử dụng phương pháp làm mát hơi nước này trước khi thoát ra ngoài có hiệu suất cực kỳ thấp - lên tới 5%. Rõ ràng là cần phải tìm một cách khác để làm mát khí.

Vì vậy nhu cầu kỹ thuật đặt ra khoa học bài toán là nghiên cứu hoạt động của động cơ nhiệt và tìm cách nâng cao hiệu quả hoạt động của chúng.

Quá trình giãn nở khí

Vì vậy, năng lượng bên trong được giải phóng khỏi vật thể nóng lên khi tiếp xúc với vật thể lạnh hơn, hoàn toàn vô dụng để thực hiện công. Nó chỉ làm tăng năng lượng chuyển động xaotic của các phân tử của vật thể lạnh.

Do đó, nếu chúng ta muốn thu được công tối đa trong quá trình giãn nở của khí thì điều cần thiết là khí trong quá trình này không được va chạm với các vật thể có nhiệt độ thấp hơn.

Có hai cách để loại trừ sự tiếp xúc của vật thể với vật thể lạnh hơn: đặt khí vào một bình có thành làm bằng vật liệu dẫn nhiệt, hoặc duy trì sự tiếp xúc liên tục của khí với vật thể có cùng nhiệt độ với chính nó. Hãy xem xét cả hai phương pháp.

Quá trình đoạn nhiệt

Hãy tưởng tượng rằng khí nghiêng nằm trong một hình trụ có pít-tông chuyển động được (Hình 1). Xi lanh và piston được làm bằng vật liệu dẫn nhiệt lý tưởng. Trong những điều kiện này, khí sẽ nở ra và thực hiện một số công $A$ mà không truyền nhiệt ra môi trường ($Q = 0$). Đây là quá trình trong đó nhiệt

13

truyền bị loại trừ, gọi là đoạn nhiệt *).

Từ định luật nhiệt động thứ nhất
$$Q = \Delta U + A^*$$
nó diễn ra trong một quá trình đoạn nhiệt
$$\Delta U = -A.$$

Khi chất khí nở ra, lực tác dụng lên pít-tông có công dương ($A > 0$), do đó nội năng của chất khí giảm ($\Delta U < 0$).

Chúng ta thấy rằng trong quá trình giãn nở đoạn nhiệt của một chất khí, nội năng của nó giảm chính xác bằng lượng công thực hiện, nghĩa là, chất khí thực hiện công cực đại bằng độ giảm nội năng của nó. Trong trường hợp này, vị trí nhiệt độ xảy ra. Dễ dàng chứng minh rằng khi một chất khí đoạn nhiệt, nội năng của nó tăng lên do công của các vật khác thực hiện lên chất khí đó.

Vì vậy, khi chất khí đoạn nhiệt, nó nóng lên và khi nở ra, nó nguội đi. Ví dụ, hãy nhớ lại thí nghiệm đốt cháy bông gòn ngâm trong ete trong quá trình giải phóng mạnh hơi ete trong một hình trụ. Sự làm mát không khí và hơi nước chứa trong nó trong quá trình giãn nở đoạn nhiệt giải thích sự hình thành các đám mây. Sưởi ấm gần bề mặt Trái đất

*) Quá trình đoạn nhiệt cũng có thể xảy ra trong trường hợp khí không ở trong vỏ dẫn nhiệt mà giãn nở hoặc co lại nhanh đến mức quá trình truyền nhiệt không có thời gian xảy ra.

**) Chúng ta hãy nhớ lại rằng $Q$ là lượng nhiệt mà hệ nhận được, $\Delta U$ là độ biến thiên nội năng, $A$ là công do hệ thực hiện lên các vật thể bên ngoài.

Hình 1.

Hình 2.

14

Trong một quá trình nhiệt, nội năng của khí không thay đổi ($\Delta U = 0$). Khi đó từ định luật nhiệt động thứ nhất suy ra rằng

$$Q = A,$$

nghĩa là, trong quá trình giãn nở đẳng nhiệt, lượng nhiệt mà khí nhận được từ nguồn năng lượng bằng công thực hiện.

Ngoài những điều đã được xem xét, còn có thể có nhiều quá trình giãn nở khí khác nhau. Nhưng trong các quá trình cộng thêm và đẳng nhiệt, việc sử dụng nội năng để thực hiện công là hữu ích nhất. Trong các quá trình này, khí cung cấp năng lượng cho phấn khi thực hiện công. Trong quá trình bổ sung, khí hoạt động tiêu hao năng lượng bên trong của nó và năng lượng này giảm đi. Trong quá trình đẳng nhiệt, một chất khí hoạt động nhờ vào năng lượng bên trong của vật thể khác (nguồn năng lượng), từ đó nó nhận được một lượng nhiệt nhất định.

Quy trình tuần hoàn

Do sáu lỗ chân lông chỉ xem xét các quá trình giãn nở khí một lần, quá trình này dừng lại khi áp suất khí bằng với áp suất bên ngoài. Nhưng để hoạt động liên tục, quá trình giãn nở khí phải được lặp lại định kỳ. Và để làm được điều này, điều cần thiết là sau khi khí giãn nở phải có độ dốc trở lại để pít-tông trở về vị trí ban đầu và khí có thể giãn nở trở lại. Các quá trình trong đó công việc của cơ thể định kỳ trở lại trạng thái ban đầu được gọi là tuần hoàn. Vì vậy, công liên tục của chuyển động nhiệt bao gồm các chu kỳ lặp đi lặp lại.

Một chu trình có nên bao gồm các quá trình như vậy để hiệu quả chuyển động đạt tối đa không? Rõ ràng, nó phải bao gồm các quá trình giúp nó có thể thực hiện công tối đa nhờ lượng nhiệt nhận được từ nguồn năng lượng và nội năng của công của cơ thể. Các quá trình như vậy, như người ta đã phát hiện ra, là đẳng nhiệt và bổ sung. Do đó, trong quá trình giãn nở và co lại của khí, phải sử dụng các quá trình này, vì chỉ chúng mới có thể loại trừ sự tiếp xúc của vật nóng với vật lạnh, nghĩa là loại trừ sự giảm năng lượng mà không thực hiện công.

Lần đầu tiên, một quá trình tuần hoàn tiên tiến hơn như vậy được nhà vật lý và kỹ sư nổi tiếng người Pháp Sadi Carnot đề xuất vào năm 1824.

Carnot sống một cuộc đời ngắn ngủi - chỉ 36 năm nhưng đã để lại dấu ấn tươi sáng cho khoa học. Trong tác phẩm “Những phản ánh về động lực của lửa và về những cỗ máy có khả năng phát triển lực này”, mang tên ông, ông đã đặt nền móng cho lý thuyết về động cơ nhiệt. Về cơ bản, ông là người sáng lập ra ngành khoa học về hiện tượng nhiệt - nhiệt động lực học.

Sadi Carnot đang tìm kiếm những cách lời giải phù hợp với thời đại của mình bài toán - để thiết lập nguyên lý bất toàn của động cơ nhiệt và tìm ra cách sử dụng hiệu quả nhất của chúng.

Các tác phẩm của ông là ví dụ nổi bật nhất trong lịch sử vật lý về sự ảnh hưởng lẫn nhau của khoa học và công nghệ.

Chu trình Carnot

Giả sử khối khí cuộn có nhiệt độ của nguồn năng lượng $T_1$

15

(nhiệt độ gia nhiệt), nằm trong một hình trụ, thành và pít-tông được làm bằng vật liệu cách nhiệt, đáy làm bằng vật liệu có tính dẫn nhiệt cao. Thể tích chiếm bởi khí là $V_1$.

Chúng ta đưa xi lanh tiếp xúc với khí nóng, cho phép nó nở ra và thực hiện công. Khí nhận được từ lượng nhiệt nóng lên $Q$. Quá trình mô tả bằng đồ họa quá trình sản xuất này được gọi là sản xuất (đường cong $ab$ trong Hình 3, a).

Tiếp theo, khí phải có độ dốc, nhưng, như đã được phát hiện, ở nhiệt độ thấp hơn, tức là đường đẳng nhiệt độ dốc phải thấp hơn đường đẳng nhiệt giãn nở. Rốt cuộc, chỉ trong trường hợp này, công của skatia sẽ ít hơn công của việc mở rộng. Nhưng chúng ta nhớ rằng không nên làm mát khí bằng điện trở với vật lạnh hơn để triệt tiêu sự truyền nhiệt mà không sinh công. Sadi Carnot đã viết: “Trong các vật thể dùng để phát triển động năng của nhiệt, không thể có một sự thay đổi nhiệt độ nào mà không xảy ra do sự thay đổi về thể tích”. Nói cách khác, nhiệt độ của vật thể làm việc sẽ không thay đổi nếu nhiệt không sinh công. Điều này có nghĩa là lựa chọn duy nhất còn lại là làm mát chất khí, tạo cơ hội cho nó giãn nở đoạn nhiệt.

Tuy nhiên, quá trình giãn nở chế tạo không được hoàn thành cho đến khi kết thúc hành trình piston trong xi lanh. Khi thể tích khí trở nên bằng một giá trị nhất định $V_1'$, xi lanh có được cách ly khỏi bị làm nóng hay không; sau đó, khí giãn nở đoạn nhiệt đến thể tích $V_2$, tương ứng với hành trình tối đa có thể có của piston trong xi lanh (đoạn nhiệt $bc$ trong Hình 3, b). Trong trường hợp này, khí được làm lạnh đến nhiệt độ $T_2$.

Hiện nay, khí đã nguội có thể được tạo ra bằng cách tạo ra scatium ở nhiệt độ $T_2$. Để làm được điều này, nó phải được tiếp xúc với một vật thể có cùng nhiệt độ $T_2$ (tủ lạnh), và khí phải được cuộn lại bởi ngoại lực. Tuy nhiên, trong quá trình này, khí sẽ không trở lại trạng thái ban đầu - nhiệt độ của nó $T_2$ sẽ luôn nhỏ hơn $T_1$.

Hình 3.

Kết quả là độ dốc sản xuất được đưa về một thể tích trung gian nhất định $V_2'$ (đường đẳng nhiệt $cd$ trong Hình 3, e). Trong trường hợp này, khí truyền vào tủ lạnh một lượng nhiệt nhất định $Q_2$, bằng công thực hiện trên nó theo thang đo. Sau đó, khí được quét

16

chúng được bơm adnabate đến thể tích $V_1$, để nhiệt độ của nó tăng trở lại lên $T_1$ (adnabate $da$ trong Hình 3, f). Bây giờ khí được đưa hoàn toàn trở lại trạng thái ban đầu, trong đó thể tích của nó là $V_1$, nhiệt độ - $T_1$, áp suất - $p_1$ và chu trình có thể được lặp lại.

Vì vậy, trong phần $abc$ khí thực hiện công ($A > 0$), và trong phần $cda$ công được thực hiện đối với khí ($A < 0$). Trong phần $bc$ và $da$, công chỉ được thực hiện do sự thay đổi nội năng của khí. Vì $\Delta U_{bc} = -\Delta U_{da}$ nên $A_{bc} = -A_{da}$ cũng vậy. Vì vậy, tổng công thực hiện được trong mỗi chu kỳ được xác định bởi hiệu công thực hiện ở các phần $ab$ và $cd$. Về mặt số học, công này bằng diện tích của hình giới hạn bởi đường cong chu trình $abcd$ (Hình 3, f).

Trong phần $ab$ khí nhận được một lượng nhiệt nhất định $Q_1$ từ lò sưởi có nhiệt độ $T_1$, và trong phần $cd$ khí luôn truyền một lượng nhiệt $Q_2$ đến tủ lạnh có nhiệt độ $T_2$ khi rơi xuống. Điều này có nghĩa là chỉ một phần nhiệt lượng $Q_1$ nhận được từ lò sưởi, bằng $Q_1 - Q_2$, thực sự được chuyển thành công có ích. Do đó hiệu suất của chu trình bằng

$$\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1}.$$

Nếu khí không được làm mát trước khi lăn xuống và do đó không truyền một lượng nhiệt nhất định sang vật lạnh hơn, thì công hữu ích trong mỗi chu kỳ sẽ bằng không. Ở trạng thái này, điều đặc biệt đúng là công cơ học được thực hiện bởi động cơ nhiệt: không thể chuyển hóa hoàn toàn toàn bộ lượng nhiệt nhận được từ lò sưởi thành công trong một quá trình tuần hoàn. Điều tất yếu là một phần nhiệt lượng này phải được tách sang vật thể thứ ba có nhiệt độ thấp hơn. Điều này có nghĩa là để động cơ nhiệt hoạt động, chỉ có nguồn năng lượng (bộ sưởi) và chất lỏng làm việc là chưa đủ. Cần có cơ thể thứ ba có nhiệt độ thấp hơn (tủ lạnh). Bầu không khí xung quanh thường đóng vai trò như một chiếc tủ lạnh. Để bất kỳ động cơ nhiệt nào hoạt động liên tục, bạn phải có máy cắt, nơi làm việc và tủ lạnh.

Vì vậy, chu trình Carnot được thực hiện ở tất cả các giai đoạn theo cách không có sự tiếp xúc của cơ thể với các nhiệt độ khác nhau ở bất kỳ đâu. Điều này loại trừ khả năng truyền nhiệt mà không thực hiện công, nghĩa là nó loại trừ sự chuyển chuyển động ngẫu nhiên của các phân tử của một vật thể sang chuyển động ngẫu nhiên của các phân tử của vật thể khác.

Như Sadi Carnot đã chỉ ra, hiệu quả của một chu trình lý tưởng có thể được biểu thị bằng nhiệt độ của lò sưởi ($T_1$) và tủ lạnh ($T_2$):

$$\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1},$$

hoặc

$$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}.$$

Kết quả của sự chuyển động là không thể thực hiện được một chu trình bao gồm các đường đẳng nhiệt lý tưởng và adnabate. Thực tế là các quá trình trong động cơ diễn ra khá nhanh và tính chất đẳng nhiệt của các quá trình bị vi phạm - nhiệt độ giảm do sự giãn nở cơ bản “không có thời gian” để đối phó với sự gia tăng nhiệt độ do tiếp xúc với lò sưởi. Vật liệu chế tạo thành xi lanh và piston không thể là chất cách điện lý tưởng vì cần thiết cho quá trình adnabate. Do đó, hiệu suất của chu trình được thực hiện do chuyển động luôn nhỏ hơn hiệu suất của chu trình Carnot (ở cùng nhiệt độ của máy sưởi và tủ lạnh).

Đồng thời, việc xem xét chu trình Carnot lý tưởng có tầm quan trọng rất lớn, vì nó chỉ ra các cách để tăng hiệu suất của động cơ nhiệt. Từ công thức (*) cho thấy nhiệt độ của máy sưởi càng cao và nhiệt độ của tủ lạnh càng thấp thì hiệu suất của động cơ càng lớn.

Trong các động cơ hiện đại, hiệu suất thường sẽ tăng lên bằng cách tăng nhiệt độ bộ sưởi. Trong các tua-bin hơi nước mạnh mẽ ở Na-

17

hiện đang sử dụng hơi nước, nhiệt độ đạt tới 600°C. Trong các ống khí, nhiệt độ khí đạt tới 900°C. Việc tăng thêm nhiệt độ lò sưởi bị hạn chế bởi khả năng chịu nhiệt của các vật liệu hiện có.

Những hạn chế đối với việc sử dụng toàn bộ nội năng để thực hiện công cơ học trong động cơ nhiệt không tuân theo định luật nhiệt động lực học thứ nhất. Luật này “cấm” chỉ đạt được nhiều công việc hơn năng lượng tiêu hao. Nhưng nếu năng lượng của lò sưởi giảm đi, chẳng hạn như 100 joules, đồng thời động cơ nhiệt thực hiện công 100 joules, thì điều này sẽ không mâu thuẫn với định luật nhiệt động lực học đầu tiên. Tuy nhiên, như người ta đã phát hiện ra, một quá trình tuần hoàn như vậy là không thể trong đó toàn bộ lượng nhiệt nhận được từ lò sưởi được sử dụng để thực hiện công. Chắc chắn một phần lượng nhiệt này sẽ được truyền sang các vật thể khác ở nhiệt độ thấp hơn.

Những hạn chế nêu trên đối với việc thực hiện công liên tục trong các quá trình tuần hoàn do nội năng tạo thành nội dung của một định luật quan trọng khác của tự nhiên - định luật thứ hai của nhiệt động lực học.

Đặc biệt việc sử dụng năng lượng bên trong giúp chúng ta hiểu được tại sao những nguồn năng lượng chưa biết xung quanh chúng ta lại trở nên vô dụng. Rõ ràng là không thể sử dụng năng lượng của những vật thể có nhiệt độ bằng nhiệt độ môi trường.

Thật hấp dẫn biết bao khi sử dụng nguồn năng lượng bên trong gần như vô hạn có trong khí quyển và nước biển! Tuy nhiên, để thu được công từ năng lượng này, cần phải có một chiếc tủ lạnh khổng lồ có thể tiếp nhận một phần lượng nhiệt khổng lồ này mà không làm nóng bản thân đến nhiệt độ của đại dương. Đó là lý do tại sao, như đã chỉ ra, năng lượng của đại dương không được coi là nguồn dự trữ năng lượng trên toàn cầu.

Tuy nhiên, các đề xuất hiện đang được đưa ra về khả năng sử dụng chênh lệch nhiệt độ ở các lớp sâu và bề mặt của biển và đại dương, mặc dù điều này đi kèm với những khó khăn kỹ thuật to lớn.

Ở lò sưởi

1. Sự thay đổi nội năng của một kilomol khí lý tưởng khi nó được làm lạnh đi 20 độ là bao nhiêu?
2. Năng lượng nào sẽ được giải phóng nếu tất cả khối không khí xung quanh địa cầu bị lạnh đi 1 độ? Nhiệt dung riêng của không khí $c=10^3 \text{ km/кг.эрад}$.
3. Xây dựng biểu đồ của quá trình được mô tả bằng cách sử dụng dữ liệu bảng:

| $V, \lambda$ | 10 | 15 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $p, \text{атм}$ | 60 | 40 | 30 | 20 | 15 | 12,5 | 10 |

Sử dụng biểu đồ này, hãy xác định công của khí khi thể tích của nó thay đổi từ 20 đến 40 lít.

4. Biểu đồ (Hình 4) hiển thị các quá trình thay đổi trạng thái khác nhau của khí: $AB_1, AB_2, AB_3$. Khi chuyển từ trạng thái đầu tiên ($A$) sang một trong các trạng thái tiếp theo ($B_1, B_2$ hoặc $B_3$), khí sẽ tăng một lượng nhiệt. Chất khí có sinh công không và nội năng của nó có thay đổi trong mỗi quá trình này không?

5. Dòng không khí bốc lên từ bề mặt Trái đất là một loại động cơ nhiệt. Hãy chỉ ra trong đó những bộ phận chính vốn có của bất kỳ động cơ nhiệt nào.

Hình 4.

18

Máy in phun âm thanh tự động

Để thực hiện thí nghiệm được mô tả dưới đây, trước tiên bạn cần một ống thủy tinh có một lỗ nhỏ. Tất nhiên, bạn có thể sử dụng pipet thủy tinh thông thường, nhưng không khó để tự làm một chiếc ống cần thiết.

Trên ngọn lửa nhiên liệu khô hoặc bếp gas, căng một ống thủy tinh nóng chảy thấp có đường kính 4-6 mm sao cho quá tải có đường kính trong khoảng 1 mm. Dùng mép giũa hoặc giũa kim, cẩn thận dũa ống qua các phần giữa rồi bẻ gãy. Bạn sẽ có hai ống có đầu được kéo ra giống như một chiếc pipet. Bạn có thể làm điều đó khác đi. Đưa đầu ống vào ngọn lửa và xoay ống đều sao cho đầu ống bắt đầu tan chảy và lỗ được bao phủ bằng thủy tinh. Khi đường kính trong của đầu nóng chảy của ống xấp xỉ 1 mm, lấy ống ra khỏi ngọn lửa và để nguội.

Đặt ống thủy tinh đã sản xuất vào lỗ của nút cao su và cắm nút vào ống cao su có đường kính phù hợp (Hình 1). Nối ống với vòi nước và cho nước chảy qua nó. Trong trường hợp này, từ khi mở ống thủy tinh sẽ có một dòng nước mỏng, trong đó có thể phân biệt được hai vùng. Phần tia gần lỗ nhất là hoàn hảo và có vẻ bất động, bên dưới tia

Hình 1.

20

Một quan niệm sai lầm phổ biến là cho rằng một phần quan trọng trong hoạt động của nhà toán học (hoặc nhà vật lý lý thuyết) là thực nghiệm. Trước khi chứng minh bất cứ điều gì, nhà toán học dành nhiều thời gian, xem xét nhiều ví dụ và trường hợp đặc biệt khác nhau, để giải phóng bản thân bằng những đối tượng mới và tìm ra các mẫu mà sau đó có thể được trình bày dưới dạng “bài toán” hoặc “định lý” đúng. Chỉ sau rất nhiều công việc, sau khi phủ lên hàng núi giấy những phép tính cụ thể hoặc phủ nó bằng đồ thị, nhà toán học mới bắt đầu làm việc trên lời giải toán học trừu tượng bài toán hoặc để chứng minh một định lý. Nhiều kết quả khoa học toán học quan trọng cho ứng dụng thực tế cũng không phải là các định lý trừu tượng mà là các bảng tính toán, đồ thị, sơ đồ và chương trình tính toán.

Phần mới của chúng tôi “Hội thảo Toán học” được dành riêng cho phần “thử nghiệm” này của toán học. Bằng cách hoàn thành các nhiệm vụ của “Hội thảo Toán học”, bạn sẽ học cách tìm ra các mô hình chung thông qua một số quan sát cụ thể và nếu hiểu chủ đề của nhiệm vụ, bạn sẽ có thể hiểu sâu về nó và có thể thực hiện những khám phá độc lập đầu tiên của mình. Theo quy định, nhiệm vụ của chúng ta trong một hội thảo toán học sẽ bao gồm hai hoặc nhiều bước: bước đầu tiên là thực hiện một “thí nghiệm” (viết một số đường cong hoặc hình vẽ, giải một chuỗi phương trình, v.v.), bước tiếp theo là xây dựng một bài toán tổng quát, viết một phương trình tổng quát về hiện tượng hoặc quá trình đang được nghiên cứu, bằng một từ, kiểm tra một số nghiên cứu.

Trong mỗi nhiệm vụ của mình, chúng tôi cung cấp một ví dụ cụ thể để làm theo và mô tả kế hoạch làm việc. Chúng tôi yêu cầu người biên tập gửi những bức thư có bài tập đã hoàn thành với ghi chú “Mat. workshop”. Hoàn thành đồ thị và bản vẽ trên tờ giấy tiêu chuẩn. Chúng tôi yêu cầu bạn không cuộn các tờ giấy thành ống khi vận chuyển. Vui lòng đính kèm một phong bì có địa chỉ gửi lại là đáp số.

Hầu hết các nhiệm vụ mà khoa này bắt đầu đều được sinh ra trong khuôn viên của Trường Vật lý và Toán học tại Đại học Tổng hợp Moscow.

Trong nhiệm vụ đầu tiên của hội thảo toán học, hãy giải một số đường cong được xem xét trước đây liên quan đến một bài toán kỹ thuật khó (vào thời điểm đó) và quan trọng: làm thế nào nối piston với điểm cực đại của bánh xe động cơ sao cho chuyển động quay của bánh xe truyền chuyển động thẳng cho piston?

V. Vavilov

Cơ chế bản lề. đường cong Watt

“Mặc dù tôi không đặc biệt quan tâm đến mệnh đề này, nhưng tôi rất hào hứng với hình bình hành hơn bất kỳ phát minh nào khác được thực hiện.”
J. Watt (trích thư gửi con trai)

1. Cơ cấu bản lề trong Hình 1 được James Watt đề xuất vào năm 1774 *), khi ông cũng giải được bài toán: làm thế nào nối piston với điểm của bánh xe cực đại, sao cho chuyển động quay của bánh xe truyền chuyển động thẳng cho piston? Trong hình 1 nó được hiển thị như thế này

*) James Watt (1736-1819) - nhà phát minh kiệt xuất người Anh. Khi đang làm thợ cơ khí tại Đại học Glasgow, ông đã nghiên cứu về động cơ hơi nước.

gọi là hình bình hành Watt viết tắt: nó gồm hai thanh $O_1A_1$ và $O_2A_2$ có cùng chiều dài (cánh tay đòn và bán kính đầu ra), được kết nối với nhau bằng bản lề của các thanh $A_1A_2$ (thanh kết nối). Các thanh $O_1A_1$ và $O_2A_2$ xoay quanh các điểm cố định $O_1$ và $O_2$, và nếu độ dài của các thanh cho phép, có thể thu được một loạt các hình “chữ thập” p khác nhau (Hình 2, a, b).

Sau khi kiểm tra cẩn thận chuyển động của điểm $M$ của shatur $A_1A_2$, Watt tin chắc rằng điểm giữa của shatur $A_1A_2$ hơi lệch khỏi đường thẳng khi tất cả các hệ thống nói chung bắt đầu chuyển động (Hình 3).

Ba thanh $O_1A_1A_2O_2$ có một nhược điểm: khoảng cách giữa các điểm $O_1$ và $O_2$ (giữa các trục quay của cánh tay đòn và bán kính đầu ra) phải khá đáng kể để phần quỹ đạo thích hợp (tức là phần đường cong ít khác với đường thẳng) của chuyển động của điểm giữa của shatur được kéo dài; điều này dẫn đến sự gia tăng không thể chấp nhận được về quy mô của ma-

21

bộ phận lốp xe. Để tránh điều này, Watt đã thêm các phần mở rộng của phép ghi hình vào cấu trúc ba liên kết, thu được một hình bình hành hoàn chỉnh (Hình 3; $|O_1A_1| = |O_2A_2| = |B_2A_2| = |B_1A_1|$, $|B_1B_2| = |A_1A_2|$, $|MA_1| = |MA_2|$, thanh $O_2B_2$ tại điểm $A_2$ không bị uốn cong), sau đó bản thân cơ chế này bắt đầu được gọi là hình bình hành của Watma. Do sự giống nhau của các tam giác $O_2A_2M$ và $O_2B_2B_1$ nên các điểm $O_2$, $M$ và $B_1$ luôn nằm trên cùng một đường thẳng. Trên cơ sở tương tự, $|O_2B_1|$ lớn gấp đôi $|O_2M|$; do đó, điểm $B_1$ mô tả quỹ đạo, quỹ đạo chuẩn bị của điểm $M$, theo tỷ lệ thỏa đáng. Trong thực tế, cải tiến là pít-tông được gắn không phải ở điểm $M$ của ba liên kết $O_1A_1A_2O_2$, mà ở điểm $B_1$ - đỉnh của hình bình hành $A_1B_1B_2A_2$; Do đó, Watt đã cố gắng phối hợp hoàn toàn các kích thước của cơ cấu với kích thước của phòng máy chung.

Hình 3 thể hiện một đường cong khép kín, được mô tả bởi điểm $M$ (nếu chuyển động của ba mắt xích không bị giới hạn); chỉ có thể sử dụng cung $MN$ của đường cong này trong máy.

Nhà khoa học nổi tiếng người Nga Pafun Lvovich Chebyshev (1821-1894) đã nghiên cứu rất sâu rộng và hiệu quả về các cơ chế bản lề. Anh ấy thể hiện khuynh hướng đặc biệt đối với họ ngay từ khi còn nhỏ. Anh ấy không bao giờ ngừng làm việc với chúng trong suốt cuộc đời của mình. Bản thân Chebyshev đã chế tạo ra nhiều cơ chế có khớp nối khác nhau, trong số đó có một chiếc thuyền với thiết bị chèo, một người đi bộ (“một cỗ máy đi bộ trăm”) và những thứ tuyệt vời khác.

P. L. Chebyshev chủ yếu quan tâm đến những cơ chế có thể tái tạo chuyển động thẳng một cách chính xác nhất. Đặc biệt, ông phát hiện ra rằng trong trường hợp hình bình hành Watt, các đường cong “tốt nhất” thu được khi thỏa mãn sự tương ứng $(2|O_1A_1|)^2 + |A_1A_2|^2 = |O_1O_2|^2$, nghĩa là phải có trạng thái cơ chế như vậy,

22

Khi $[O_1A_1] \perp [A_1A_2]$ và $[O_2A_2] \perp [A_1A_2]$.

Bài toán Tuy nhiên, anh không thể giải được bài toán tìm cơ chế dẫn hướng thẳng chính xác. Năm 1864, sĩ quan người Pháp Poselier đã phát minh ra một thiết bị gọi là biến tần (Hình 4), có chức năng biến chuyển động quay thành chuyển động thẳng hoàn hảo.

Bài toán (tối). Chứng minh rằng nếu điểm $B$ (xem Hình 4) mô tả một đường tròn nhất định đi qua điểm $O$ (điều này có thể đạt được bằng cách thêm một thanh $O'B$ sao cho $|O'B| = |OO'|$ vào biến tần selma và điểm cố định $O'$), thì điểm $M$ mô tả một đường thẳng *).

Nghiên cứu sâu hơn cho thấy có thể thực hiện được rất nhiều đường cong bằng cơ chế bản lề.

Chúng ta hãy đặc biệt lưu ý rằng khi nghiên cứu các hình bình hành của Watt, toán học sau bài toán đã xuất hiện trước Chebyshev: tại mức độ tương ứng nào giữa các độ dài của các thanh trong cơ chế Watt, hàm mô tả chuyển động của điểm giữa của shatur lệch ít nhất trong một khoảng cho trước **) so với hàm tuyến tính. Việc xây dựng câu hỏi này đóng vai trò là động lực cho nhiều nghiên cứu lý thuyết và tạo ra một lý thuyết mang tính xây dựng hiện đại về chức năng.

2. Chúng tôi khuyên bạn nên theo dõi quỹ đạo chuyển động của các điểm $M$ của đoạn $A_1A_2$ (hoặc được liên kết chặt chẽ với nó, xem đoạn 3 bên dưới); những quỹ đạo này được gọi là đường cong Whatma. Giới hạn khoảng cách chỉ trong trường hợp đối xứng ($|MA_1| = |MA_2|$), chúng tôi đặt

$$|O_1O_2| = 2l, |A_1A_2| = 2d,$$

$$|O_1A_1| = |O_2A_2| = R.$$

*) Xem «Kvant», 1971, số 8, tr. 27-28.
**) Trước Chebyshev, phần của đường cong $MN$ (xem Hình 3) được so sánh với tiếp tuyến của đường cong này được vẽ tại điểm trung tâm. Nếu cần đạt được giá trị gần đúng tốt “giữa các giới hạn đã cho” (trong ví dụ của chúng tôi, giữa các điểm $M$ và $N$), thì tiếp tuyến nên được ưu tiên hơn một số đường khác, “tốt hơn” đại diện cho một đường khác $MN$ hơn đoạn tương ứng của tiếp tuyến.

23

Hình 7.

Các điểm $A_1$ và $A_2$ có thể di chuyển dọc theo đường tròn bán kính $R$ có ​​tâm $O_1$ và $O_2$. Lưu ý rằng giá trị lớn nhất có thể có của khoảng cách $|A_1A_2|$ là $2(l + R)$ (Hình 5,a) và giá trị bằng nhau nhất là $2(l - R)$ (tại $l \geq R$) hoặc $0$ (tại $l \leq R$) (Hình 5,a, 6). Theo đó, để tồn tại cơ chế Watt, điều cần thiết là các tham số $d$, $R$ và $l$ phải thỏa mãn các bất đẳng thức
$$l - R \leq d \leq l + R.$$
Chúng ta sẽ nói rằng phần $M_1M_2$ của đường cong kéo dài từ đoạn đường $[M_1M_2]$ không quá $k\%$, nếu mỗi điểm $M$ của phần đường cong này được loại bỏ khỏi đoạn $M_1M_2$ ở khoảng cách không quá $a_0 = \frac{k}{100}|M_1M_2|$ (nghĩa là độ dài của phần phân phối lại từ điểm $M$ đến đoạn $M_1M_2$; Hình 6).

Bây giờ mọi người đã sẵn sàng soạn bài tập cho hội thảo toán học.

Bài tập
Theo thông số $d$, $R$ và $l$ (xem bảng) của cơ cấu bản lề Watt phẳng:

Bàn

| $d$ | 4 | 4 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 4 | 13 | 3 | 2 | 4 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $R$ | 3 | 8 | 6 | 5 | 3 | 2 | 3 | 3 | 12 | 4 | 3 | 7 |
| $l$ | 5 | 5 | 5 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 5 | 2 | 1 | 2 |

24

Hình 8.

3°. Nếu đường cong đã xây dựng cần được “xoay” 90° thì tại mỗi điểm $O_1$ và $O_2$ của mặt phẳng chúng ta phải sửa cơ chế?

4°. Vẽ “bằng mắt” trên bản vẽ đường cong Watt sẽ trông như thế nào nếu $3|MA_1| = |MA_2|$.

5°. Phần nào của đường cong được xây dựng có điểm $M$ đi qua nhanh nhất (chậm nhất)? Làm thế nào điều này có thể được chứng minh?

3. Nhiệm vụ này có thể là sự khởi đầu (chúng tôi hy vọng nó sẽ như vậy) của một nghiên cứu toán học thực sự (lý thuyết). Đây là khả năng chương trình của nó:

a) tìm phương trình của đường cong Watt (theo tọa độ Descartes và tọa độ cực);

b) xác định tất cả các loại đường cong Watt có thể có trong trường hợp đối xứng. Theo loại đường cong, chúng tôi muốn nói đến hình dạng của nó. Hóa ra chỉ có 12 quỹ đạo khác nhau (các giá trị tham số tương ứng của chúng được hiển thị trong bảng).

b) Có thể thu được những loại đường cong nào bằng cách sử dụng các cơ chế thể hiện trong Hình 8?

Ngủ và suy nghĩ

Mỗi chữ cái ở đây đại diện cho một con số cụ thể. Tổng các số dọc, ngang và chéo của một hình vuông đều bằng nhau. Khôi phục các số trong ô vuông.

L. Mochalov

Rebus

Trong hai ví dụ bổ sung, các số giống nhau được thay thế bằng các chữ cái giống nhau; những gì đã xảy ra được thể hiện trong hình. Cố gắng giải mã các ví dụ.

V. Akulii,
I. Akulii

25

Lemniscate của Bernoulli

Trang đầu tiên và trang thứ tư của trang bìa thể hiện vị trí của các đường cong. Về thứ tư - lemniscathons, hay đường cong Wamma (bài viết của V. Vavilov trong số này nói về chúng - trang 20). Cái đầu tiên là lemniscate* của Bernoulli). Khi xác định sự tương ứng của các tham số xác định lemniscate (l = d = R√2 trong ký hiệu của bài viết của Vavilov), nó được chia thành lemniscate Bernoulli và đường tròn.

Đường cong lemniscate của Bernoulli là đường cong thay thế đã thu hút được sự chú ý của nhiều nhà toán học. Nó có thể được định nghĩa theo những cách khác nhau.

Ví dụ, lemniscate của Bernoulli là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng, tích khoảng cách của mỗi điểm đó với hai điểm cố định F₁, F₂ bằng (|F₁F₂|/2)².

*) Chúng ta đang nói về Jacob Bernoulli (1654-1705), một nhà toán học xuất sắc, tác giả của công trình liên quan chủ yếu đến giải tích toán học, hình học và lý thuyết xác suất. Gia đình Bernoulli đã cống hiến cho thế giới nhiều nhà khoa học kiệt xuất, trong đó có các nhà toán học. Trong lịch sử khoa học, các nhà khoa học cùng họ này được gọi như các vị vua - Daniel I, Johann 11, … “Lemniscate” là một từ tiếng Hy Lạp; Ở Hy Lạp cổ đại, lemniscate là một dải ruy băng dùng để gắn vòng hoa lên đầu người chiến thắng.

Trên trang đầu tiên của trang bìa cũng có một hyperbol quen thuộc, chính xác hơn là một hyperbol đều có các tiệm cận vuông góc). Nếu chúng ta thực hiện một phép biến đổi nghịch đảo (xem «Kvant», 1971, số 8, trang 23) với tâm ở tâm đối xứng của hyperbol đối với đường tròn tiếp xúc với nó, thì hyperbol sẽ biến thành một lemniscate.

Bạn có thể nhận được lemniscate bằng cách sử dụng cùng một hyperbola theo cách khác. Hãy dựng tất cả các đường tròn, tích qua tâm đối xứng của hyperbol, với tâm nằm trên hyperbol này. Đường cong tiếp tuyến với tất cả các đường tròn này là đường lemniscate (đây là tên của công trình này và được thể hiện trên trang bìa).

Đây là một cách khác để xây dựng một lemniscate. Nó vừa với hai hình vuông (Hình 1) xung quanh chu vi. Tất cả các cát tuyến có thể có được vẽ qua tâm O và tất cả các dây cung có thể có của đường tròn LM’ được hình thành. Chúng ta chuyển các dây này dọc theo các tia mà chúng thuộc về sao cho mỗi điểm L rơi vào điểm O. Khi đó các điểm M có thể tạo thành một lemniscate.

Bạn có thể xây dựng một lemniscate bằng các công cụ vẽ. Để làm điều này, hãy thực hiện một số cách dựng bổ sung trong Hình 1. Hãy vẽ NF song song với OM, cũng như AC (trong đó C là tâm của đường tròn).

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

sti) và NM vuông góc với OM (Hình 2). Kể từ |OC| = 1/2 |OF| thì |AC| = 1/2 |ED| = 1/2 |MN|. Ngoài ra, |LA| = 1/2 |LM’| = 1/2 × |OM|. Do đó hai tam giác LAC và OMN đồng dạng. Độ dài của đoạn |ON| = 2 |LC| = hằng số. Đây là cơ sở cho phương pháp xây dựng một lemniscate, được minh họa trong Hình 3. Ở đây, hai hình vuông và một hình tròn có bán kính |QF| được sử dụng. Đường thẳng của một trong các hình vuông phải chứa đoạn NF. Điểm M thuộc lemniscate.

Hãy cố gắng chứng minh rằng tất cả các phương pháp dựng hình được mô tả đều cho cùng một đường cong.

V. Berezin

26

Bài toán
M421 — M425; F433 — F437

M421*. Với những số tự nhiên $m$ và $n$ ($m < n$), chúng ta có thể tô màu đen cho một số ô của một tờ giấy ca rô vô hạn sao cho bất kỳ hình chữ nhật nào có kích thước $m \times n$ đều chứa đúng một ô màu đen? Bắt đầu với bài toán đơn giản hơn: xem xét trường hợp $m=2$ và $n=3, 4, 5$ (Hình 1).

S. Okhitin, học sinh lớp 10

M422. Chia một tam giác tùy ý thành bảy tam giác đều, trong đó có ba tam giác bằng nhau.

A. Khabelashvili

M423*. Chứng minh rằng với mọi số thực $x, y$ và $z$ thì bất đẳng thức sau đúng:
$(x^2 + y^2 - z^2)(x^2 + z^2 - y^2)(y^2 + z^2 - x^2) \leqslant (x + y - z)^2(x + z - y)^2(y + z - x)^2$.

R. Sheichvit

M424. Qua mỗi đỉnh của tứ diện vẽ một mặt phẳng chứa tâm của đường tròn ngoại tiếp mặt đối diện và vuông góc với mặt đối diện. Chứng minh rằng bốn mặt phẳng này cắt nhau tại một điểm.

A. Yagubyants

M425*. Có số tự nhiên $N$ sao cho mọi số hữu tỉ nằm giữa và một có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của $N$ số nghịch đảo của các số tự nhiên không?

F433. Hai thấu kính phẳng-lồi giống hệt nhau có tiêu cự $F=20$ cm, mỗi thấu kính đặt cách nhau 30 cm. Trục quang của thấu kính trùng nhau, các thấu kính hướng vào nhau bằng các cạnh phẳng. Ảnh của một nguồn cách thấu kính trái 40 cm sẽ nằm ở đâu nếu khoảng cách giữa hai thấu kính chứa đầy thủy tinh có chiết suất bằng chiết suất của thấu kính?

Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết họ và tên, số trường, lớp mà bạn sẽ học.

27

F434. Lượng nhiệt trên điện trở $R$ là bao nhiêu khi trạng thái cân bằng được thiết lập sau khi đóng công tắc $K$ (Hình 2), nếu tụ điện được sạc trước đến hiệu điện thế $2U$? E.m.f. nguồn $U$, điện dung $C$. Điện trở trong của nguồn không đáng kể.

F435. Trong sơ đồ như ở Hình 3, khớp nối $M$ được gắn vào hai lò xo giống hệt nhau có hằng số lò xo là $k=10 \text{ н/м}$. Khớp nối có thể trượt dọc theo thanh ngang $AB$ mà không bị ma sát. Hệ thống quay với vận tốc góc không đổi $\omega=4,4 \text{ rad/сек}$ quanh một trục thẳng đứng đi qua giữa thanh. Tìm chu kỳ dao động nhỏ của khớp nối. Trọng lượng khớp nối $m=0,2 \text{ ке}$.

Ở giá trị nào $\omega$ thì khớp nối sẽ không rung động?

F436. Mật độ của khí bao gồm hỗn hợp helium và argon ở áp suất $152 \text{ кн/м}^2$ và nhiệt độ $27^\circ\text{C}$ bằng $2,00 \text{ ке/м}^3$. Có bao nhiêu nguyên tử heli trong hỗn hợp khí $1 \text{ cm}^3$?

F437. Một khung dây hình tam giác vuông có góc $\alpha=30^\circ$ được đặt trong mặt phẳng thẳng đứng như hình 4. Hai vật nặng có khối lượng $m_1=0,1 \text{ ке}$ và $m_2=0,3 \text{ ке}$ nối với nhau bằng một sợi dây có thể trượt dọc theo sợi dây mà không ma sát. Lực căng của sợi dây và góc $\beta$ ở vị trí cân bằng của vật nặng là bao nhiêu? Trạng thái cân bằng này có ổn định không?

Lời giải bài toán
M379, M381 — M384; F387 — F392

M379. Trên mỗi mảnh giấy có hình dạng ngẫu nhiên đều có một dấu (có hình dạng tùy ý). Chúng ta hãy gọi một tờ giấy thấm phù hợp cho một mảnh nhất định nếu nó có thể được khuấy bên trong mảnh đó để nó che phủ tờ giấy thấm. Giả sử một bộ giấy thấm có hình tròn có bán kính khác nhau có tính chất tối đa: với hai mảnh cho trước bất kỳ thì có một giấy thấm phù hợp cho mỗi mảnh đó. Chứng minh rằng mô hình trong bộ này chứa một giấy thấm thích hợp cho tất cả các mảnh.

Hãy xem xét một mảnh giấy. Đặt $p$ và $P$ là các bản vẽ có bán kính nhỏ nhất và lớn nhất phù hợp với một mảnh nhất định.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng một miếng giấy thấm tròn $P$ có bán kính trung gian bất kỳ cũng phù hợp với mảnh này. (Lưu ý rằng đối với các giấy thấm có hình dạng khác - ví dụ: đối với các hình chữ nhật có đệm - nói chung, một tuyên bố tương tự là sai.) Đặt các vòng tròn $p$ và $P$ nằm trên mảnh sao cho mỗi vòng tròn che phủ giấy thấm. Sau đó, vòng tròn $P$ có thể được định vị sao cho nó nằm trong liên kết và chứa giao điểm của $p$ và $P$ (Hình 1):

klyaska $\subset (p \cap P) \subset \Pi \subset (p \cup P) \subset \text{кусок}$.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh khẳng định bài toán. Chúng ta hãy đặt một đoạn $[r, R]$ của trục số tương ứng với mỗi mảnh $n$ đã cho, trong đó $r$ và $R$ là bán kính của giấy thấm nhỏ nhất và ít phù hợp nhất cho nó. Theo điều kiện thì hai đoạn thẳng bất kì đều có một điểm chung.

Đặt $p$ là phần lớn nhất trong số các đầu bên trái của các đoạn này; con số này $p$, rất indo, không nhỏ hơn đầu bên trái của bất kỳ từ nào-

28

cắt và không lớn hơn điểm cuối bên phải nhỏ nhất, tức là $\rho$ thuộc tất cả các đoạn $n$.

Số $\rho$ là bán kính của một số giấy thấm của chúng tôi. Nó đã được chứng minh rằng nó sẽ phù hợp với tất cả các phần.

Trong phần cuối cùng lời giải chúng tôi sử dụng phiên bản một chiều của lý thuyết. Chết tiệt, đối với các hình lồi trên mặt phẳng: nếu bất kỳ ba hình nào trong số $n$ lồi có một điểm chung, thì tất cả các hình $n$ đều có một điểm chung - đối với các hình lồi trên một đường thẳng, tức là đối với các đoạn thẳng, chỉ cần hai hình bất kỳ có một điểm chung là đủ.

N. Vasiliev

Lời giải bài toán M380 sẽ được đăng trong số tiếp theo của tạp chí chúng tôi.

M381. 6 nhà hoạt động giai cấp giáo dục và 30 ủy ban khác nhau. Mỗi hai khoản hoa hồng khác nhau về thành phần, nhưng nhất thiết phải “chồng lên nhau”, tức là chúng có một tên chung. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng có thể hình thành một ủy ban khác giao với mỗi ủy ban trong số 30 ủy ban này.

Hình 1.

M382. Cho một đa thức $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_n$ với các hệ số đích và số tự nhiên $k$ và $p$. Hãy chứng minh rằng nếu không có số $f(k), f(k+1), \dots, f(k+p)$ nào chia hết cho $p+1$ thì phương trình $f(x) = 0$ không có nghiệm hữu tỷ.

Không khó để chứng minh rằng một tập hợp $n$ có chính xác $2^n$ tập hợp con. Cụ thể, về nguyên tắc, sáu nhà hoạt động có thể tạo thành 64 khoản hoa hồng (bao gồm cả khoản hoa hồng “trống”).

Chúng ta hãy chia tất cả 64 tập hợp con có thể có của tập hợp các nhà hoạt động thành từng cặp; trong mỗi cặp có hai tập hợp con rời nhau $A$ và $A',$ hợp của chúng là tất cả các tập hợp này (Hình 2). Vì có 32 cặp và hoa hồng là 30 nên trong mỗi cặp cả hai tập hợp con đều không trống và không phải là hoa hồng. Hãy xem xét một trong các tập hợp con $A$. Nếu nó giao với tất cả 30 hoa hồng thì bài toán lời giải. Nếu nó không giao với bất kỳ khoản hoa hồng nào $B$ thì tập hợp con thứ hai từ cặp đã chọn $A$ chứa khoản hoa hồng này $B$ và vì $B$ giao với tất cả các khoản hoa hồng khác, nên tập hợp con $A \supset B$ được xem xét - thậm chí còn hơn thế.

Tóm lại, chúng tôi lưu ý rằng hơn 32 khoản hoa hồng, tùy thuộc vào các điều kiện tạo ra, nói chung là không thể (chứng minh điều đó!).

S. Fomin

Trước hết, hãy lưu ý rằng nếu phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm này là một số nguyên. Thật vậy, giả sử $p/q$, trong đó $p$ và $q$ là nguyên tố cùng nhau, là nghiệm của phương trình của chúng ta. Khi đó $p^n + a_1p^{n-1}q + a_2p^{n-2}q^2 + \dots + a_nq^n = 0$, ngụ ý rằng $p$ không nguyên tố cùng nhau với $q$.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng phương trình $f(x)$ là nghiệm nguyên $x_0 = m$, tức là $f(m) = 0$. Khi đó, theo định lý Bezout, ta có thể biểu diễn đa thức $f(x)$ dưới dạng

$$f(x) = (x - m)g(x),$$

trong đó $g(x)$ là đa thức có hệ số nguyên.

Thay thế tương ứng (*) với $x$ các giá trị $k, k+1, \dots, k+p$, ta thu được

$$f(k) = (k - m)g(k),$$

$$f(k+1) = (k+1 - m)g(k+1),$$

$$f(k+p) = (k+p - m)g(k+p).$$

Vì một trong $p+1$ số nguyên liên tiếp $k - m, k+1 - m, k+2 - m, \dots, k+p - m$ chia hết cho $p+1$, nên một trong các số $f(k), f(k+1), \dots, f(k+p)$ chia hết cho $p+1$. Từ đó suy ra rằng đa thức được thảo luận ở bài toán không có nghiệm nguyên.

T. Raikov

29

M383. Cho $a$ và $b$ là hai số tự nhiên. Hãy chứng minh rằng nếu $ab$ là số nguyên thì chúng ta cũng có thể tìm được các số tự nhiên $c$ và $d$, $a^2 + b^2 + c^2 = d^2$ đó, và nếu $ab$ không phải là số nguyên thì không thể tìm được các cực đại $c$ và $d$.

Hình 3.

M384. Hai hình vuông có hướng giống hệt nhau $OABC$ và $OA_1B_1C_1$ có ​​một đỉnh chung $O$. Hãy chứng minh rằng các đường thẳng $AA_1$, $BB_1$ và $CC_1$ đi qua một điểm.

Hình 4.

F387. Hai con bellosipedis trong rạp xiếc có vận tốc tuyến tính giống hệt nhau $v$ dọc theo các đường tròn có bán kính $R_1$ và $R_2$, tâm của chúng cách nhau một khoảng $l$ ($l < R_1 + R_2$). Một trong những cơ thể hình chuông di chuyển theo chiều kim đồng hồ, cái còn lại ngược chiều kim đồng hồ. Được mô tả cụ thể bằng tốc độ của các đường tròn (trong hệ tọa độ liên kết với một trong số chúng) tại thời điểm cả hai đều nằm trên đường thẳng đi qua tâm của đường tròn, tại các điểm: a) $A_1$ và $A_2$; b) $A_1$ và $B_2$; c) $B_1$ và $B_2$; e) $B_1$ và $A_2$ (Hình 5).

1). Để $ab$ chẵn.

a) Nếu $a$ và $b$ có số chẵn lẻ khác nhau (một cái chẵn, cái kia không), thì $a^2 + b^2 = 2N + 1$. Sau đó, chúng tôi đặt $c = N$, $d = N + 1$. chúng tôi nhận được
$$d^2 - c^2 = (d + c)(d - c) = 2N + 1 = a^2 + b^2.$$

6. Nếu $a$ và $b$ đều chẵn thì $a^2 + b^2 = 4N$. Trong trường hợp này, chúng tôi đặt $d = N + 1$, $c = N - 1$. Sau đó
   $$d^2 - c^2 = (d + c)(d - c) = 2N \cdot 2 = a^2 + b^2.$$

2). Đặt $ab$ lẻ: $ab = 2n + 1$. Khi đó các số $a$ và $b$ đều là số lẻ và tổng của chúng là số chẵn: $a + b = 2m$. Chúng tôi có:
$$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 4m^2 - 4n - 2,$$
nghĩa là, $a^2 + b^2$ chia hết cho 2, nhưng không chia hết cho 4. Do đó, $a^2 + b^2 \neq d^2 - c^2$ không chia hết cho bất kỳ $c$ và $d$ tự nhiên nào: nếu $c$ và $d$ có cùng số chẵn lẻ (cả hai đều chẵn hoặc cả hai số lẻ), thì $d^2 - c^2 = (d + c)(d - c)$ chia hết cho 4 và nếu $d$ và $c$ có tính chẵn lẻ khác nhau thì $d^2 - c^2$ không chia hết cho 2.

M. Gerver

lời giải của chúng tôi sẽ chỉ ra rằng phát biểu tương tự cũng đúng đối với các $n$-giác đều có một đỉnh chung và nói chung đối với các $n$-giác $OAB \dots Z$ và $OA_1B_1 \dots Z_1$ nội tiếp tương tự.

Chúng ta hãy mô tả các vòng tròn xung quanh cả hai $n$-giác. Để chúng giao nhau tại các điểm $O$ và $L$ (Hình 3). Nếu đường thẳng $l$, đi qua $L$, quay đều quanh $L$ với vận tốc góc $\omega$, thì giao điểm thứ hai $M$ và $M_1$ của đường thẳng $l$ với cả hai đường tròn chuyển động, mỗi đường dọc theo chu vi riêng của nó, đều có vận tốc góc $2\omega$ (độ lớn $\overline{OM}$ và $\overline{OM}_1$ có độ lớn gấp đôi $\widehat{MLO} = \widehat{M_1LO}$). Do đó, điểm $M_1$ đi qua các đỉnh $O$, $A_1$, $B_1$, …, $Z_1$ của đa giác $OA_1B_1 \dots Z_1$ chính xác tại những thời điểm khi $M$ lần lượt đi qua các đỉnh $O$, $A$, $B$, …, $Z$ của đa giác $OAB \dots Z$. Từ đây rõ ràng tất cả các đường thẳng $AA_1$, $BB_1$, …, $ZZ_1$ cắt nhau tại một điểm - điểm $L$, giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp xung quanh $(рис. 4)$.

N. Vasiliev

Trong điều kiện bài toán tốc độ của mỗi đỉnh $O$, $A_1$, $B_1$, …, $Z_1$ của đa giác $OA_1B_1 \dots Z_1$ được đưa ra chính xác tại những thời điểm khi $M$ lần lượt đi qua các đỉnh $O$, $A$, $B$, …, $Z$ đa giác $OAB \dots Z$. Từ đây rõ ràng tất cả các đường thẳng $AA_1$, $BB_1$, …, $ZZ_1$ cắt nhau tại một điểm - điểm $L$, giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp xung quanh $(рис. 4)$.

Điều kiện yêu cầu tìm một hệ tọa độ tương đối (ví dụ, được liên kết với đấu trường xiếc). Tốc độ này thường được gọi là tốc độ tuyệt đối.

Theo điều kiện, cần tìm tốc độ tương đối về độ lớn của tốc độ của nó so với hệ tọa độ chuyển động liên kết với một trong số chúng) tại thời điểm cả hai đều nằm trên đường thẳng đi qua tâm đường tròn, tại các điểm: a) $A_1$ và $A_2$; b) $A_1$ và $B_2$; c) $B_1$ và $B_2$; e) $B_1$ và $A_2$ (Hình 5).

30

Vận tốc của xe thứ hai tại điểm $A_2$ bằng

$$\vec{v}_{\text{пер}}^{\text{отт}} = \omega \cdot O_1 A_2 = \frac{v}{R_1} (l + R_2),$$

và tại điểm $B_2$ -

$$\vec{v}_{\text{пер}}^{\text{отт}} = \omega \cdot O_1 B_2 = \frac{v}{R_1} (l - R_2).$$

Tại cả hai điểm, vận tốc truyền vuông góc với phương truyền trực tiếp
của tôi $A_1 A_2$ và hướng theo một hướng (trong Hình 6 -
hướng lên).

Vận tốc điểm tuyệt đối, tương đối và di động
liên quan bởi mối quan hệ

$$\vec{v}_{\text{абс}} = \vec{v}_{\text{отт}} + \vec{v}_{\text{пер}},$$

tức là tốc độ tuyệt đối luôn bằng vectơ (địa lý)
số liệu) tổng tốc độ tương đối và tốc độ tượng trưng.
Kể từ đây,

$$\vec{v}_{\text{отт}} = \vec{v}_{\text{абс}} - \vec{v}_{\text{пер}}.$$

Chúng ta hãy tìm vận tốc tương đối của chiếc xe đạp thứ hai khi nó ở điểm $A_2$. Trong trường hợp này, tốc độ tuyệt đối bằng $$\vec{v}_{\text{абс}} = v$$ theo mô hình và hướng xuống dưới (Hình 7), còn tốc độ di động theo mô hình bằng $$\vec{v}_{\text{пер}} = \frac{v}{R_1} (l + R_2)$$ và hướng lên trên. Vì thế

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v + \frac{v}{R_1} (l + R_2) = v \frac{R_1 + R_2 + l}{R_1}.$$

Tốc độ này đã được điều chỉnh xuống dưới. Kết quả thu được không phụ thuộc vào điểm mà chuyển động đầu tiên diễn ra tại một thời điểm nhất định.

Tại thời điểm tốc độ thứ hai ở điểm $B_2$, $$\vec{v}_{\text{абс}} = v, \quad \vec{v}_{\text{пер}} = \frac{v}{R_1} (l - R_2)$$ và cả hai tốc độ đều có hướng như nhau (lên trong Hình 7). Do đó, tại thời điểm này vận tốc của xe đạp thứ hai so với xe thứ nhất theo mô hình

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v - \frac{v}{R_1} (l - R_2) = v \frac{R_1 + R_2 - l}{R_1}$$

và hướng lên trên. Kết quả này cũng không phụ thuộc vào chuyển động đầu tiên nằm ở điểm nào tại thời điểm nhất định.

Tốc độ của chiếc xe đạp thứ nhất được xác định theo cách hoàn toàn tương tự trong hệ tọa độ liên kết với chiếc thứ hai. Tại điểm $A_1$ hướng xuống dưới và bằng theo mô hình

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v \frac{l + R_1 + R_2}{R_2},$$

và tại điểm $B_1$ tốc độ tương đối hướng lên trên và theo mô hình, bằng

$$\vec{v}_{\text{отт}} = v \frac{R_1 + R_2 - l}{R_2}.$$

F388. Trong một hình trụ thẳng đứng có tiết diện thay đổi (Hình 8), giữa các pít-tông có các mol không khí. Khối lượng của piston lần lượt là $m_1$ và $m_2$, diện tích của chúng lần lượt là $S_1$ và $S_2$. Các bộ phận được nối với nhau bằng một thanh $l$ và được đặt ở những khoảng cách bằng nhau tính từ khớp nối của các bộ phận

xi lanh có đường kính khác nhau. Piston sẽ chuyển động bao nhiêu khi nhiệt độ trong xi lanh tăng $\Delta t$ độ?

Hình 8.

F389. Tìm điện trở giữa các điểm $A$ và $B$ và các điểm $A$ và $C$ của chuỗi vô hạn như trên Hình 9. Điện trở của các dây giữa các nút của mạch là 1 ohm.

Hình 9.

Lực định luật Newton $F$ có độ lớn bằng lực của áp suất không khí tác dụng lên mặt cắt ngang của hình trụ:
$$|\vec F|=p(S_1-S_2),$$
trong đó $p$ là áp suất không khí giữa các piston.

Khi hệ ở trạng thái cân bằng cơ học, tổng hình chiếu của tất cả các ngoại lực lên trục thẳng đứng bằng 0:
$$p(S_1-S_2)-p_a(S_1-S_2)-(m_1+m_2)|\vec g|=0.$$

(Nội lực - lực áp suất không khí tác dụng lên pít-tông, lực đàn hồi của thanh - không ảnh hưởng đến trạng thái cân bằng.)
Từ điều kiện cân bằng suy ra áp suất không khí trong hệ
$$p=p_a+\frac{(m_1+m_2)|\vec g|}{(S_1-S_2)}$$
và không phụ thuộc vào nhiệt độ. Do đó, nhiệt độ không khí tăng $\Delta t$ độ xảy ra đẳng áp và trạng thái của không khí trước và sau khi nung nóng có thể được mô tả bằng các phương trình
$$p\left(\frac{l}{2}S_1+\frac{l}{2}S_2\right)=nRT,$$
$$p\left[\left(\frac{l}{2}+x\right)S_1+\left(\frac{l}{2}-x\right)S_2\right]=nR(T+\Delta t).$$

Ở đây $R$ là hằng số khí phổ quát, $T$ là nhiệt độ ban đầu và $x$ là độ dịch chuyển của piston. Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai, chúng ta tìm được độ dịch chuyển của piston:
$$x=\frac{nR\Delta t}{p_a(S_1-S_2)+(m_1+m_2)|\vec g|}.$$

B. Bukhovtsev

◆

Đối với lời giải bài toán, chúng tôi sử dụng thực tế là điện trở của bất kỳ chuỗi vô hạn nào sẽ không thay đổi nếu một liên kết được kết nối với nó, sự lặp lại của liên kết đó sẽ tạo nên toàn bộ chuỗi. Trong trường hợp của chúng tôi, đây là một liên kết bao gồm năm điện trở, được đánh dấu trong Hình 10. Do đó, điện trở của các mạch trong Hình 10, a và b, là như nhau:
$$R_{AB}=R_{A'B'},\quad R_{BC}=R_{B'C'},\quad R_{AC}=R_{A'C'}.$$

Bất kỳ mạch nào bao gồm các điện trở và có hai cực luôn có thể được thay thế bằng một điện trở tương đương. Theo cách tương tự, một mạch gồm các điện trở có ba cực có thể được thay thế bằng một mạch tương đương gồm ba điện trở được nối với nhau bằng một ngôi sao (Hình 11, a) hoặc một hình tam giác (Hình 11, b). Hãy thay thế mạch ban đầu bằng một ngôi sao tương đương. Vì mạch ban đầu là đối xứng nên $R_{AB}=R_{BC}$, tức là (xem Hình 11, a)
$$R_1+R_3=R_1+R_2,\quad \text{или}\quad R_2=R_3.$$

Vì vậy, trong mạch tương đương sao, hai điện trở bằng nhau. Hãy biểu thị chúng bằng $R$. Sau đó biểu đồ được hiển thị

Hình 10.

31

32

Hình 11.

trong Hình 10, có thể được thay thế bằng các mạch tương đương như trên Hình 12. Trong trường hợp này (Hình 12, a)
$$R_{AB} = R_{BC} = R + R_1 \text{ и } R_{AC} = 2R.$$

Hình 12.

Chúng ta sẽ tìm các điện trở $R_{A'B'}$ và $R_{A'C'}$ bằng cách thay thế liên tiếp một số điện trở mắc song song hoặc nối tiếp bằng một điện trở. Dành cho người tham gia $A'B'$ (Hình 13)
$$R_{A'B'} = 2r + R^{***} = 2r + \frac{rR^{**}}{r + R^{**}} =$$
$$= 2r + \frac{r(R + R^*)}{r + R + R^*} = 2r + r \frac{R^2 + 2R_1R + R_1r + Rr}{(r + R)^2 + 2(r + R)R_1}.$$

Khi tính toán điện trở $R_{A'C'}$, chúng tôi tính đến các điểm $O$ và $E$ (Hình 14), do mạch đối xứng nên có cùng điện thế và do đó có thể loại trừ điện trở $R_1$ một cách đơn giản. Kết quả là chúng tôi nhận được
$$R_{A'C'} = 2r + R' = 2r + \frac{2rR}{r + R}.$$
Vì $R_{AC} = R_{A'C'}$,
$$2R = 2r + \frac{2rR}{r + R},$$
Ở đâu
$$R = \frac{1}{2}r(1 + \sqrt{5}).$$

Hình 13.

33

Hình 14.

Bây giờ hãy đánh đồng $R_{AB}$ và $R_{A'B'}$:

$$R+R_1=2r+r\frac{R^2+2R_1R+R_1r+Rr}{(r+R)^2+2(r+R)R_1}.$$

Kết quả là chúng ta thu được một phương trình bậc hai

$$aR_1^2+bR_1+c=0,$$

Ở đâu

$$a=2(R+r)=(3+\sqrt{5})r,$$

$$b=3R^2-4r^2-2Rr=\frac{1}{2}r^2(\sqrt{5}-1),$$

$$c=(R+r)(R^2-2r^2-2Rr)=-\frac{1}{4}r^3(3+\sqrt{5})^2.$$

Giải phương trình bậc hai này, ta tìm được $R_1$:

$$R_1=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=$$

$$=\frac{-(\sqrt{5}-1)\pm\sqrt{294+126\sqrt{5}}}{4(3+\sqrt{5})}r.$$

Vì điện trở không thể âm nên

$$R_1=\frac{-(\sqrt{5}-1)+\sqrt{294+126\sqrt{5}}}{4(3+\sqrt{5})}r\approx1{,}1r.$$

Rồi cuối cùng

$$R_{AB}=R_{BC}=R+R_1\approx2{,}7r=2{,}7\ ом,$$

$$R_{AC}=2R=(1+\sqrt{5})r\approx3{,}2\ ом.$$

I. Slobodetsky

◆

F390. Hai mạch mao mạch hình trụ thông nhau được bịt kín có đường kính khác nhau được đổ đầy một phần nước (thủy ngân) (Hình 15). Không khí từ các bình đã được bơm ra ngoài, do đó chỉ còn hơi tồn tại phía trên chất lỏng. Lượng chất lỏng sẽ được phân bố như thế nào trong các bình: a) trên mặt đất? b) trong môi trường không trọng lực?

Đặt bán kính của mao quản bên trái bằng $r_1$ và bán kính của mao quản bên phải - $r_2$. Ở trạng thái cân bằng trên mặt đất - trường hợp a) - áp suất ở đầu bên phải và bên trái của ống nằm ngang nối các bình phải bằng nhau. Áp suất ở đáy mỗi bình bao gồm áp suất thủy tĩnh $\rho|\vec g|h$ ($h$ là chiều cao của cột chất lỏng, $\rho$ là mật độ của nó), áp suất hơi bão hòa và áp suất bổ sung (Laplacian) $p_\text{л}$ được tạo ra bởi lực căng bề mặt của chất lỏng. Trong trường hợp làm ướt hoàn toàn (nước) hoặc không làm ướt hoàn toàn (thủy ngân) chất lỏng nằm trong mao quản có tiết diện tròn bán kính $r$, $p_\text{л}=\frac{2\sigma}{r}$, trong đó $\sigma$ là hệ số căng bề mặt của chất lỏng.

Do đó, trong trường hợp a) đối với nước, trong đó lực căng bề mặt hướng lên trên, ở trạng thái cân bằng

$$\rho_B|\vec g|h_{1B}+p_{нB}-\frac{2\sigma_B}{r_1} = \rho_B|\vec g|h_{2B}+p_{нB}-\frac{2\sigma_B}{r_2}.$$

35

tôi. Hệ số tranh chấp giữa đế và các trụ là k. Chứng minh rằng nếu con tàu ở vị trí cân bằng đứng yên theo phương nằm ngang thì nó sẽ thực hiện một dao động điều hòa và tìm chu kỳ của các dao động này. Chuyển động của bến tàu sẽ như thế nào nếu hướng của các hình trụ bị đảo ngược?

Hình 17.

Hình 18.

Khi các hình trụ quay theo hướng đã chỉ ra trong các điều kiện, lực tác dụng từ hình trụ bên trái sẽ hướng sang phải và từ hình trụ bên phải - sang trái (xem Hình 17). Nếu bến tàu ở trạng thái cân bằng thì lực ma sát có mô đun bằng nhau. Do đó, phản lực pháp tuyến của mỗi xi lanh cũng bằng nhau. Điều này có nghĩa là trọng tâm của các bến ở trạng thái cân bằng có cùng khoảng cách với mỗi bến.

Bây giờ, để đế được dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng của nó một khoảng $x < l/2$, chẳng hạn như về bên phải (Hình 18).

Ở vị trí này, các lực áp suất bình thường $\vec{N}_1$ và $\vec{N}_2$ sẽ không còn bằng nhau và do đó sẽ không bù trừ lẫn nhau và các lực ma sát khô $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$. Lực tạo ra $\vec{F}_1 + \vec{F}_2$ sẽ truyền gia tốc theo phương ngang cho bến tàu.

Chúng ta hãy tìm nó bằng cách tính sơ bộ $|\vec{N}_1|$ và $|\vec{N}_2|$ từ điều kiện không có gia tốc thẳng đứng:

$$|\vec{N}_1| + |\vec{N}_2| - M |\vec{g}| = 0$$

và điều kiện để mômen ngoại lực của trục tương đối đi qua điểm $B$ bằng 0:

$$|\vec{N}_2| \left( \frac{l}{2} - x \right) - |\vec{N}_1| \left( \frac{l}{2} + x \right) = 0.$$

Từ đây

$$|\vec{N}_1| = M |\vec{g}| \left( \frac{1}{2} - \frac{x}{l} \right), \quad |\vec{N}_2| = M |\vec{g}| \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{l} \right).$$

Do đó, quá trình F của lực sinh ra trên trục X hướng về bên phải bằng

$$F = |\vec{F}_1| - |\vec{F}_2| = k |\vec{N}_1| - k |\vec{N}_2| = - \frac{2kM |\vec{g}|}{l} x.$$

Chúng ta thấy rằng lực tạo ra tỷ lệ với mô đun của độ dịch chuyển $x$ bám sát vị trí cân bằng và hướng theo hướng ngược lại với độ dịch chuyển, tức là đến vị trí cân bằng. Do đó, lực này là lực phục hồi, tương tự như lực được tạo ra khi con lắc dao động. Do đó, bến tàu tạo ra những rung động hài hòa.

Chu kỳ dao động có thể được tìm bằng cách viết phương trình chuyển động của bến tàu. Đối với các hình chiếu trục X

$$Ma_x = - \frac{2kM |\vec{g}|}{l} x, \quad a_x = - \frac{2k |\vec{g}|}{l} x.$$

Mô đun của hệ số tỉ lệ giữa độ dịch chuyển và gia tốc là bình phương tần số dao động tuần hoàn:

$$\omega_0^2 = \frac{2k |\vec{g}|}{l}.$$

Chu kỳ dao động

$$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{2k |\vec{g}|}}.$$

Khi đảo ngược hướng quay của các hình trụ thì lực ngang sinh ra cũng sẽ thay đổi hướng của nó. Khi trộn dock, lực này sẽ không đưa nó về vị trí cân bằng mà ngược lại sẽ lấy đi càng nhiều thì sự trộn ban đầu càng lớn. Kết quả là đế sẽ rơi ra khỏi xi lanh.

Thiết bị đang được xem xét lần đầu tiên được đề xuất bởi Giáo sư N. E. Zhukovsky và mang tên ông.

B. Bukhovtsev

36

17 bài toán
bằng cách phân tích
(giới hạn, tính liên tục,
sự đơn điệu, bắt nguồn)

bài toán dưới đây được gửi đến học sinh lớp chín. Đối với lời giải của họ, bạn không cần thực hiện bất kỳ phép tính nào: chỉ cần hiểu các định nghĩa tương ứng trong sách giáo khoa “Đại số và Phân tích cơ bản 9” cũng như cách diễn giải chúng trên đồ thị hàm số là đủ.

§ 1. Giới hạn chức năng (khoản 38)

1. Hình 1, $a - \theta$ thể hiện đồ thị của hàm số $y = f(x)$ được xác định tại $x \neq 0$. Hãy cho biết:
   a) giới hạn $\lim_{x \to 0} f(x)$ tồn tại trong trường hợp nào (và nó bằng bao nhiêu);

6. trong trường hợp nào giới hạn $f(x)$ tại $x \to 0$ không tồn tại (và giải thích lý do).

Đồ thị trong Hình 1, $\theta$, là một đường đứt đoạn vô hạn, các điểm ngắt của nó có hoành độ $x = \pm 1/n$, trong đó $n = 1, 2, 3, \dots$ (chẵn $n$ tương ứng với điểm tối thiểu, điểm lẻ - điểm tối đa).

2. Các hàm $y = f(x)$, đồ thị của chúng được hiển thị trong Hình 2, $a - \theta$, được xác định tại $x < 0$. Phân bổ thêm các hàm này tại $x > 0$ (hoàn thiện đồ thị) để thu được các hàm:
   a) có giới hạn $\lim_{x \to 0} f(x)$ (điều này luôn có thể thực hiện được không? Nếu không thì giải thích tại sao);

6. không có giới hạn $\lim_{x \to 0} f(x)$ (điều này luôn có thể được thực hiện không?).

Không phải đưa ra một mà có thể đưa ra hai hoặc ba cách khác nhau để xây dựng biểu đồ (trong trường hợp có thể thỏa mãn yêu cầu bài toán).

§ 2. Tính liên tục của chức năng (mục 38)

3. Vẽ đồ thị của hàm số $y = f(x)$ liên tục tại mọi điểm $x$, ngoại trừ: a) $x = 100$; 6) $x = \pm 1$; b) $x = 1, 2, 3, 10$; d) $x = n$, trong đó $n$ là số nguyên tùy ý.

4. Trong số các hàm có đồ thị được hiển thị trong Hình 3, $a - \theta$, hãy chỉ ra những hàm không bị gián đoạn (không liên tục) tại điểm $x = x_0$ hoặc $x = x_1$.

5. Vẽ (tốt nhất là theo nhiều cách) các đồ thị trong Hình 4, $a - \theta$ để bạn có được đồ thị của cả hàm xác định và hàm liên tục. Điều này có thể thực hiện được trong mọi trường hợp?

§ 3. Tính đơn điệu của chức năng

6. Hàm $f$ là xác định và tiêu diệt trên toàn bộ trục số. Hàm $f$ có thể là:
   a) luôn dương (nghĩa là sao cho $f(x) > 0$ với bất kỳ $x$ nào)?
   b) nước âm? thậm chí? d) kỳ quặc? d) định kỳ?

7. Cho biết các khoảng của các hàm tăng và giảm, có đồ thị như Hình 5, $a - \theta$.

8. Được biết, hàm $f$ sẽ giết chết các khoảng: a) $[0,1]$ và $[1,2]$; b) $[0,1]$ và $[1,2]$. Có thể nói rằng hàm $f$ giết chết:

1. tại sự kết hợp của các khoảng này - trên bán đảo $[0,2]$?
2. trên “khoảng phụ” $[0,1/2]$?

9. Vẽ đồ thị của hàm số $y = f(x)$ sao cho:
   a) bị tiêu diệt trong khoảng thời gian $[-\infty, -2]$ và $[1,4]$ và tăng theo khoảng thời gian $[-2,1]$ và $[4, +\infty]$;
   b) tăng trên mỗi khoảng của dạng $[n, n + 1]$, trong đó $n$ là một số nguyên, nhưng không tăng trên mỗi khoảng có độ dài đơn vị lớn;
   b) tăng theo tập hợp tất cả các giá trị nguyên $x$ và bị tiêu diệt bởi tập hợp tất cả các số khác.

Có thể “làm” hàm $f$ âm không?

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

Hình 5.

37

Hình 6.

Hình 7.

Hình 8

Hình 9.

38

39

§ 4. Cực trị của hàm

10. A) Vẽ đồ thị của hàm số liên tục và xác định ở mọi nơi sao cho nó có chính xác:
    a) 0, 6) 1, c) 2, d) 3, e) 10, f) vô số - điểm cực trị.
    B) Có thể đảm bảo rằng tất cả các điểm cực trị đều nằm trên đoạn [0,1] không?

11. Đối với các hàm số có đồ thị ở Hình 6, a-h, hãy chỉ ra tất cả các điểm cực đại và cực tiểu nếu có.

§ 5. Đạo hàm

12. Hình 7, a–e thể hiện đồ thị hàm số $y = f(x)$. Trong cùng một hệ tọa độ (hoặc sử dụng đồ thị của hàm $y = f(x)$), hãy vẽ đồ thị gần đúng của $y = f'(x)$ tùy ý (đối với các giá trị của $x$ mà hàm tùy ý tồn tại; nhớ lại điều đó tại các điểm gián đoạn và tại các điểm “ngắt” của đồ thị của hàm tùy ý).

13. Dựa vào các đồ thị $y = f'(x)$ tùy ý ở Hình 8, a–e, sử dụng đồ thị gần đúng của hàm số $y = f(x)$. Có một hàm như vậy $f$ tồn tại trong mỗi trường hợp không? Nói cách khác, hai hàm khác nhau không thể có cùng hàm tùy ý được sao?

14. Có thể nói rằng:
    a) hàm số chẵn nào cũng là 1) số chẵn? 2) kỳ lạ?
    b) hàm số lẻ nào cũng là 1) số lẻ? 2) thậm chí?
    b) hàm tuần hoàn tùy ý có tuần hoàn không?

15. Có thể:
    a) một hàm dương tùy ý ở mọi nơi là: 1) luôn âm? 2) nước có dương không?
    b) toàn bộ tùy ý của một hàm không tuần hoàn có tuần hoàn không?
    b) toàn bộ tùy ý của một hàm không tuần hoàn không chẵn cũng không lẻ, là: 1) chẵn? 2) kỳ lạ?

§ 6. Đa thức

16A) Hình 9, a-e là đồ thị của đa thức bậc ba có dạng $y = ax^3 + bx + c$; quy mô không được chỉ định. Trong mỗi trường hợp, dấu của các hệ số $a, b, c$ là tùy ý.

B) Những đồ thị này có thể là đồ thị của đa thức bậc ba có dạng $y = ax^3 + bx^2 + c$ không?

17. Đa thức bậc nhỏ nhất có thể có là gì?
    $P_n(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$ nếu đồ thị của họ trông giống như đồ thị trong Hình 10, a-b?

Trò đùa của nhà vật lý

Ngày xửa ngày xưa, Niels Bohr, Wolfgang Pauli và Abram Fedorovich Iofe tập trung tại nhà của nhà vật lý lý thuyết người Hà Lan Paul Ehrenfest. Ehrenfest, Bor và Iofe ngồi trên ghế sofa, còn Pauli, như anh ấy nói, đi quanh phòng từ góc này sang góc khác. Một chút thời tiết Bor nói với anh:

• Làm ơn đừng đi nữa! Điều này làm tôi khó chịu!

• Chính xác thì điều gì làm bạn khó chịu? Pauli hỏi. Trong khi Bohr đang cân nhắc đáp số, Ehrenfest, nổi tiếng với sự hóm hỉnh của mình, đã nói:
  “Anh ấy khó chịu vì cậu quay lại.”