Kvant 1977, số 7 · Trang

KVANT 7
1977

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Trên đây là một nhóm đường cong đáng chú ý - cissondes. Cái tên “cissonda” xuất phát từ tiếng Hy Lạp hittoειδ-ηξ (giống như sang trọng). Đường đậm màu đỏ thể hiện phần cissonde đã được Diocles kiểm tra. Một phần đường viền của tấm vải nhung tương tự như nó cũng được viền bằng một đường màu đỏ. (xem trang 46).

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov
S. T. Belyaev
V. G. Boltyansky
N. B. Vasiliev
Yu. N. Efremov
V. G. Zubov
P. L. Kapitsa
V. A. Kirillin
A. I. Klimanov
(nghệ sĩ chính)
S. M. Kozel
V. A. Leshkovtsev
(Phó tổng biên tập)
L. G. Makar-Limanov
A. I. Markushevich
N. A. Patrikeeva
I. S. Petrkov
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
Tôi. Sh. Slobodetsky
M. L. Smolyansky
(Phó tổng biên tập)
Y. A. Smorodinsky
V. A. Fabricant
A. T. Tsvetkov
M. P. Shaskolskaya
S. I. Schwartzburg
A. I. Shirshov

TRONG PHÒNG:

2 A. Kirillov. Về đa giác đều, hàm Euler và số Fermat
10 A. Mitrofanov. đá rung chuyển
14 A. Chân trang. Tín hiệu, đồ thị và các vị vua trên hình xuyến
20 à. Smorodinsky. Khối lượng nguyên tử và số Avogadro
23 Phòng thí nghiệm «Kvant»
23 V. Mayer, R. E. Shafir. Âm thanh và luồng
26 Vòng tròn toán học
26 Yu. Ionin, A. Plomkin. Giá trị trung bình của hàm
32 Sách bài tập «Kvant»
32 Bài toán M451—M455; F463—F467
34 Lời giải bài toán M411, M412, M14, M415; F423—F427
Qua những trang sách giáo khoa
41 N. Vilenkin. Khái niệm chức năng nảy sinh và phát triển như thế nào

«Kvant» cho học sinh nhỏ
47 Bài toán
48 G. Rozova. Nghe cùng học sinh lớp 5

Xưởng của người nộp đơn
Những lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1976
49 L. Berkovich, A. Teterev, S. Fominykh. Đại học bang Kuibyshev
50 O. Mikhenkov. Học viện Quản lý Moscow được đặt theo tên S. Ordzhonikidze
52 A. Belikov, G. Ginzburg. Viện kỹ sư quản lý đất đai Moscow
53 A. Botsu, V. Zrayenko, E. Kovalenok. Học viện chính trị Kursk
55 I. Kalashnikova, A. Vedeneev. Một chút về kỳ thi
56 V. Frenkel. Từ di sản sáng tạo của Kozyma Prutkov
63 Đáp số, gợi ý, lời giải

Hỗn hợp (tr. 9, 13, 22, 31, 45, 46)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản “Nuka”, «Kvant», 1977

2

1. Lời mở đầu

Bài toán về các công trình hình học là một trong những công trình phổ biến nhất trong toán học ở trường. Hầu hết mọi câu lạc bộ toán đều có những bài toán này. Tất nhiên, đây không phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên. Lịch sử của các công trình xây dựng hình học đã có từ vài nghìn năm trước và người Hy Lạp cổ đại đã đạt được nghệ thuật tuyệt vời ở đây. Một ví dụ là bài toán Apollonius: dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước *).

Nhiều người có lẽ biết ba cổ vật bài toán quan trọng hóa ra vẫn chưa được giải đáp: về bình phương của hình cruea, phần ba của el và uvoenii của hình lập phương **).

Nhưng có lẽ đẹp nhất là bài toán về việc xây dựng các đa giác đều. Thực tế, đây không phải là một bài toán mà là cả một chuỗi bài toán: với mỗi số tự nhiên n ≥ 3, bạn cần dùng compa và thước để dựng số n đúng.

Có khuôn mẫu nào trong việc phân bổ số “đỏ” và “đen” không? Hóa ra là có; nhưng nó khá khó tìm. Mẫu này có tính chất số học; để mô tả nó, chúng ta sẽ phải tạm thời rời khỏi hình học

*) Xem bài “Đảo ngược và bài toán Apollonia” («Kvant», 1971, số 8).

**) Về hai bài toán cuối, xem bài “La bàn và thước kẻ” («Kvant», 1975, số 6).

*) Phương pháp dựng tam giác đều mười bảy cạnh bằng compa và thước kẻ được K. F. Gauss phát hiện lần đầu tiên vào năm 1801. Phương pháp này được mô tả trong bài “Sự ra mắt của Gauss” («Kvant», 1971, số 1).

6

xe trượt tuyết và ba đường tròn bên ngoài), và tất cả đáp số này đều bằng nhau, nếu chúng ta lập công thức bài toán như sau: dựng một đường tròn tiếp tuyến với ba đường thẳng đã cho. Sự khác biệt giữa một vòng tròn nội tiếp và một vòng tròn bên ngoài dựa trên khái niệm “giữa” (hoặc “bên trong”) và nằm ngoài tầm hiểu biết của máy móc chúng ta.

Các ví dụ được phân tích cũng cho thấy rằng nếu bài toán có một số lời giải để xây dựng thì chương trình xây dựng sẽ cung cấp tất cả lời giải này. Nhận định này cũng đúng trong trường hợp tổng quát.

Một ví dụ đáng trân trọng: việc xây dựng hình học của một trong các nghiệm của phương trình bậc hai sẽ tự động dẫn đến việc xây dựng nghiệm thứ hai.

Vì vậy, chúng ta đến với prin và pu tiếp theo.

Bất kỳ bài toán nào để xây dựng, mổ xẻ bằng compa và thước kẻ, đều có 2’ lời giải.

Một bằng chứng chặt chẽ cho phát biểu này được đưa ra bởi lý thuyết Galois và không thể trình bày trong bài viết này. Tuy nhiên, bản thân phát biểu này trông rất đơn giản và có thể đã được các nhà toán học cổ đại khám phá đầy đủ. Câu hỏi đặt ra: tại sao khám phá này chỉ được thực hiện vào thế kỷ trước, mặc dù nhiều ví dụ xác nhận đã được biết đến từ vài thiên niên kỷ trước? (Ví dụ: bài toán Apollonia được đề cập ở trên có 8 lời giải.)

Một trong những nguyên nhân có thể là do thiếu công trình xây dựng “máy móc” hiện đại bài toán. Một lý do khác là xem xét từng bài toán riêng biệt cùng với mục tiêu là bài toán tương tự (như bài toán để xây dựng một n-giác đều cho mỗi n).

Có lẽ chủ đề này sẽ thu hút sự chú ý của các nhà sử học toán học và họ sẽ giải thích hữu ích hơn cho chúng ta lý do dẫn đến “cơ hội bị mất” này.

4. Đa giác đều

Hãy quay lại bài toán chính của chúng ta. Chúng ta muốn biết khi nào có thể dựng được một n-giác đều bằng compa và thước thẳng. Lý do của đoạn trước gợi ý ý tưởng xem lời giải cái này có bao nhiêu bài toán. Để có kết quả đáp số, bạn cần tinh chỉnh dòng bài toán. Cụ thể là bạn cần

Hình 5.

cố định kích thước và vị trí của một n-giác thông thường (nếu không, tất nhiên, số lời giải sẽ là vô hạn, miễn là có ít nhất một lời giải). Vì vậy, chúng ta sẽ giả sử rằng n-giác của chúng ta nội tiếp trong một đường tròn o cho trước với tâm O và vị trí cố định A₀ của một trong các đỉnh của nó. Cần xác định các vị trí A₁, A₂, …, Aₙ−1 của các đỉnh còn lại. Tất nhiên, chỉ cần tìm vị trí của điểm A₁ - vẽ các cung liên tiếp A₀A₁, ta được các điểm A₂, A₃, A₄, v.v.

bài toán này được giải dễ dàng nhất với n = 6. Người ta biết rằng cạnh của một hình lục giác nội tiếp đều bằng bán kính của hình tròn đã cho. Do đó, “chương trình” cần phải trông như thế này (Hình 5):

1. Dùng compa dựng một đường tròn có bán kính ω₁ |OA₀| từ điểm A₀.
2. Hãy đánh dấu điểm A₁ là giao điểm của đường tròn ω và ω₁.

Chúng ta thấy rằng chương trình này tạo ra hai câu trả lời khác nhau, nhưng các hình lục giác tương ứng A₀A₁′A₂′A₃′A₄′A₅′ và A₀A₁′A₂′A₃′A₄′A₅′ chỉ khác nhau ở thứ tự đánh số đỉnh.

Tình huống tương tự cũng xảy ra trong trường hợp n = 3 và n = 4. Thú vị hơn là các trường hợp n = 5 và n = 10. Phương pháp dựng hình ngũ giác đều được mô tả trong bài viết của A. Savin “Cách vẽ một ngôi sao năm cánh” («Kvant», 1976, số 1). Ở đây chúng ta sẽ xét trường hợp n = 10.

7

Hình 6.

Nếu vẽ đường phân giác $A_1B$ của góc $OA_1A_0$ thì các tam giác thu được $OA_1B$, $BA_1A_0$ sẽ đều nhau (Hình 6) và các tam giác $OA_1A_0$ và $BA_1A_0$ sẽ tương tự nhau.

Chúng ta sẽ coi đường thẳng $OA_0$ là trục số trong đó điểm $O$ tương ứng với 0 và điểm $A_0$ tương ứng với một. Đặt điểm $B$ tương ứng với số $x$. Khi đó ta thu được phương trình:

$$\frac{x}{1-x} = \frac{1}{x} \text{ или } x^2 + x - 1 = 0.$$

Giải phương trình này ta tìm được điểm $B$. Điểm cần tìm $A_1$ được tìm là giao điểm của đường tròn đã cho $\omega$ với đường tròn có tâm tại điểm $A_0$ và bán kính có chiều dài $x$. Có hai điểm như vậy - và chúng ta nhận được hai lời giải: điểm $A'_1$ và $A''_1$ (Hình 6).

Nhưng phương trình bậc hai của chúng ta có hai nghiệm: $x_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$ và $x_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$. Gốc thứ hai thật kinh tởm và vì lý do này dường như không thích hợp. Tuy nhiên, chúng ta đừng vội “loại bỏ” gốc này mà hãy cố gắng tìm hiểu ý nghĩa hình học của nó.

Chúng ta hãy khôi phục Hình 6, giả sử rằng điểm $B$ không ở bên phải mà ở bên trái điểm $O$. Chúng ta nhận được Hình 7. Điều này mang lại cho điểm mong muốn $A_1$ thêm hai vị trí có thể có: $A''_1$ và $A'_1$.

Vì vậy, chúng ta có bốn khả năng khác nhau cho điểm $A_1$.

Kết quả là tạo ra hai hình thập giác khác nhau: lồi và hình ngôi sao, và trên mỗi hình đó có thể đánh số các đỉnh khác nhau (xem Hình 6 và 7).

Lưu ý rằng theo “quan điểm” của la bàn và thước kẻ, hình mười giác hình ngôi sao không tệ hơn hình thập giác lồi.

Có thể phản đối: trong một đa giác lồi, các cạnh không liền kề không giao nhau, nhưng trong đa giác hình sao thì chúng lại giao nhau. Nhưng sự phản đối này sẽ biến mất nếu chúng ta gọi các cạnh không phải là đoạn thẳng giữa hai đỉnh (chúng ta không có khái niệm “giữa”!), mà là toàn bộ đường thẳng. Sau đó, bản vẽ chính xác của một hình thập giác “lồi” sẽ xuất hiện, chỉ có kích thước khác với hình “hình sao” (Hình 8).

Tình huống tương tự cũng xảy ra trong trường hợp gót chân có đốm. Ở đây cũng có 4 lời giải, dẫn đến hai điểm khác nhau (Hình 9, a, b) với hai cách đánh số đỉnh khác nhau trên mỗi điểm.

8

Bây giờ, không quyết định rõ ràng bài toán xây dựng một $n$-gon chính quy tùy ý, chúng ta hãy thử xác định xem nó có bao nhiêu lời giải khác nhau. (Hãy nhớ rằng chúng ta coi đường tròn $\omega$ và điểm $A_0$ trên đó.) Gọi $x$ biểu thị độ dài của cung $A_0A_1$. Điểm $A_1$ là một giải pháp cho bài toán (theo quan điểm tuần hoàn), nếu, bằng cách trì hoãn các cung có độ dài $x$ từ điểm $A_0$ liên tiếp $n$ lần, chúng ta quay trở lại điểm xuất phát $A_0$, nhưng nếu trì hoãn ít lần hơn, chúng ta sẽ không quay lại.

Có một cảnh báo cuối cùng. Ngược lại, trong trường hợp, chẳng hạn như $n=6$, chúng ta sẽ phải gọi một hình tam giác cắt ngang hai lần, hoặc một đường kính cắt ngang ba lần, hoặc thậm chí điểm $A_0$ được lặp lại sáu lần, là “hình lục giác nội tiếp đều”.

Trong ngôn ngữ số học, lấy độ dài của toàn bộ hình tròn là một, điều kiện của chúng ta có thể được phát biểu như sau: số $nx$ là số nguyên, còn các số $x$, $2x$, $3x$, …, $(n-1)$ $x$ không phải là số nguyên. Nếu $n=10$, thì bạn có thể lấy $x$, chẳng hạn như 1/10. Nhưng đây không phải là sự lựa chọn duy nhất có thể. Bạn có thể lấy $x$ cũng bằng 3/10, 7/10 hoặc 9/10.

Điều này tương ứng với bốn nghiệm mà chúng ta đã tìm thấy trước đây về mặt hình học. Lưu ý rằng nếu chúng ta lấy số 11/10 (hoặc 13/10, 17/10, …) là $x$, thì chúng ta sẽ không nhận được hình học mới lời giải: vị trí của điểm trên đường tròn phụ thuộc vào chính số $x = \frac{k}{n}$ và vào phần dư, cho kết quả $k$ khi chia cho $n$.

Rõ ràng là các phân số tối giản $\frac{m}{n}(m<n)$ và chỉ có chúng mới có tính chất $k \cdot \frac{m}{n}$ chỉ rơi vào một số nguyên (tại điểm đầu của đường tròn) tại $k=n$. Do đó, mọi số nhỏ hơn $n$ và kết hợp với nó bằng phép chiếu sẽ cho lời giải bài toán về một $n$-giác đều, và ta thu được rằng số lời giải riêng biệt của bài toán này được cho bởi hàm Euler (xem mục 2)! Đặc biệt,

$$\varphi(3) = \varphi(4) = \varphi(6) = 2,$$
$$\varphi(5) = \varphi(10) = 4,$$

phù hợp với kết quả thu được ở trên về mặt hình học.

Bây giờ chúng ta hãy nhớ rằng mọi bài toán được phép xây dựng bằng compa và thước thẳng phải khác $2^l$ khác lời giải (xem phần 3), chúng ta có được điều kiện cần thiết thuận tiện cho việc xây dựng bài toán được phép của một $n$-giác thông thường.

Một $n$-giác thông thường cho phép dựng một la bàn và một thước thẳng, tức là $\varphi(n) = 2^l$ đối với một số nguyên $l$.

(Ví dụ: không thể xây dựng một hình bảy cạnh đều vì số $\varphi(7) = 6$ không phải là lũy thừa của hai.)

Chúng tôi bắt đầu giải thích sự cần thiết của điều kiện này. Thực tế là nó cũng đủ là từ

10

đá bập bênh

“…Phải nói rằng ở những nơi này không có gì lạ khi bắt gặp cái gọi là “đá đu đưa” - một hiện tượng rất được yêu thích, bản chất của nó là một khối đá riêng biệt, từ xa xưa, đạt được sự ổn định ở trạng thái cân bằng. Nó thường đứng trên một bệ đá và nếu bạn vung nó, nó giống như một vật chèn, trở về vị trí ban đầu. Những tảng đá như vậy đôi khi nặng hàng nghìn tấn, nhưng tuân theo chuyển động của bàn tay của một người có sức khỏe trung bình. Một tảng đá như vậy không thể rơi, trừ khi, của tất nhiên là nó bị nổ tung rồi…”

Đây là những dòng trong câu chuyện “The Rocking Rock” của Alexander Green - một câu chuyện buồn về một người thợ săn nghèo được đề nghị với giá ba triệu đô la để lật đổ một cây cột khổng lồ đang đung đưa gần vị trí cân bằng của nó. Người thợ săn dù đã cố gắng hết sức nhưng vẫn không hoàn thành được nhiệm vụ và phát điên (nhưng không bao giờ rời bỏ mình và tiếp tục cố gắng đẩy hòn đá).

Chúng ta hãy cố gắng hiểu tại sao “tảng đá bập bênh” lại ổn định.
Chúng ta biết rằng để ở vị trí cân bằng thì phải thỏa mãn hai điều kiện:

tổng vectơ của tất cả các lực,
tác động lên cơ thể
bằng 0; (*)
tổng đại số
khoảnh khắc của tất cả sức mạnh
liên quan đến một điểm tùy ý
bằng không. (**)

Không phải mọi vị trí cân bằng đều ổn định. Ví dụ, một cây kim, chỉ chịu tác dụng của trọng lực và phản lực của giá đỡ, không đứng tự do trên một mặt bàn nhẵn, mặc dù nếu cây kim được đặt thẳng đứng thì các điều kiện (*) và (**) sẽ được thỏa mãn. Nhưng khi kim lệch một chút so với phương thẳng đứng, sẽ xuất hiện một lực làm lật kim. Đồng thời, viên gạch đứng vững trên mọi cạnh. Và dù chúng ta có giảm bớt viên gạch như thế nào, vẫn giữ nguyên hình dạng thì nó vẫn đứng vững trên bàn. Nhưng cùng một viên gạch rất khó để “cân bằng”, chẳng hạn như trên một quả bóng đá (chúng ta sẽ giữ cho quả bóng đứng yên).

11

Từ những điều trên, chúng ta có thể kết luận rằng độ ổn định của trạng thái cân bằng của vật thể phụ thuộc vào hình dạng của vật thể (chính xác hơn là đế của nó) và bề mặt của giá đỡ. Để rút ra tiêu chí về độ ổn định, chúng ta hãy quay lại với một tảng đá bập bênh một lần nữa và xem xét trường hợp hòn đá và giá đỡ ở vùng tiếp xúc có dạng hình cầu. Chúng ta sẽ cho rằng viên đá và khối đặt nó đã bị bào mòn hoặc bị phong hóa và trở nên nhẵn, không có sứt mẻ hoặc lồi lõm, do đó diện tích tiếp xúc giữa đá và giá đỡ nhỏ và có thể được coi là một điểm. Hình 1 thể hiện chuyển động của đá và gối đỡ bằng mặt phẳng thẳng đứng đi qua điểm tiếp xúc của chúng (điểm C). O và O’ là tâm của mặt cầu của đá và phần đỡ trong vùng tiếp xúc, r và R là bán kính tương ứng.

Để hòn đá được cân bằng thì trước hết trọng tâm (điểm P) phải nằm trên đường thẳng đứng OO’. Trong trường hợp này, điều kiện (*) và (**) sẽ được thỏa mãn. Chúng ta hãy xem một hòn đá lệch một chút so với vị trí ban đầu sẽ dẫn đến điều gì.

Giả sử, do bị lệch, vị trí của hòn đá trên giá đỡ giống như trong Hình 2. Nếu trong trường hợp này trọng tâm của hòn đá bằng AA’ theo phương thẳng đứng, thì mô men của trọng lực so với điểm đỡ A sẽ góp phần làm lệch thêm và hòn đá sẽ không trở lại vị trí ban đầu. Nếu điểm P trở thành

Hình 1.

trái thẳng đứng AA’ thì mô men trọng trường đối với điểm A sẽ đưa hòn đá về vị trí ban đầu. Điều này có nghĩa là sự cân bằng của đá ổn định.

Vì vậy, nếu CP < CQ (xem Hình 2), thì trạng thái cân bằng ổn định. Hãy xem CP R và r có liên quan với nhau như thế nào. Trong tam giác OAQ

$$\angle OAQ = \alpha, \angle AOQ = \beta = \frac{\widehat{CA}}{r} = \frac{\widehat{C'A}}{r} = \alpha \frac{R}{r} \text{ (так как } \alpha \text{ мало).}$$

Theo định luật sin ta có:

$$\frac{OQ}{\sin \alpha} = \frac{r}{\sin[\pi - (\alpha + \beta)]} = \frac{r}{\sin(\alpha + \alpha \frac{R}{r})}.$$

Đối tượng quan tâm cho thấy hòn đá có những sai lệch nhỏ so với vị trí cân bằng của nó. Với “độ lệch nhỏ” chúng tôi muốn nói rằng khoảng cách “đi ngang” bởi điểm tiếp xúc trên bề mặt của vật đỡ, tức là cung C’A (và do đó cung C’A = C’A), là nhỏ so với bán kính r và R của bề mặt đá và vật đỡ. Và điều này có nghĩa là các góc α và β đều nhỏ, tức là α << 1 và β = α \frac{R}{r} << 1.

Đối với các góc nhỏ, như đã biết, sin của góc bằng chính góc đó với độ chính xác tốt. Do đó biểu thức

12

(1) có thể được viết như sau:

$$\frac{OQ}{r} = \frac{1}{1 + \frac{R}{r}}.$$

Do đó $OQ = \frac{r^2}{R + r}$. Vì $CQ = r - OQ = \frac{Rr}{R + r}$, điều kiện để hòn đá cân bằng ổn định (tức là điều kiện $CP < CQ$) được viết là bất đẳng thức

$$CP < \frac{Rr}{R + r}$$

(2) Nếu bề mặt có dạng lượn sóng với bán kính $R$ (hình dạng bề mặt bên trong của một quả cầu có bán kính $R$), thì điều kiện để đá cân bằng ổn định trên giá đỡ trông như sau:

$$CP < \frac{Rr}{R - r}$$

(CP vẫn là khoảng cách từ điểm tiếp xúc đến trọng tâm ở vị trí cân bằng). Hãy cố gắng tự rút ra công thức này.

Bây giờ chúng ta hãy lưu ý tình huống quan trọng sau đây. Giả sử rằng sự cân bằng của hòn đá trên giá đỡ là ổn định. Khi hòn đá lệch khỏi vị trí cân bằng, một mômen lực sẽ xuất hiện chiếm ưu thế so với độ lệch này: lực hấp dẫn có một vai so với điểm tựa mới (xem Hình 2). Để giữ cho hòn đá đứng yên ở vị trí mới, cần tác dụng một ngoại lực sao cho mômen của nó so với điểm tựa mới có độ lớn bằng nhau và ngược chiều với mômen trọng trường. (Độ lớn và hướng của lực này được xác định theo điều kiện (*)). Điều này có nghĩa là ngay cả khi vật có một độ lệch nhỏ so với vị trí cân bằng ổn định thì vẫn cần phải thực hiện công chống lại trọng lực. Công việc này nhằm tăng cường năng lượng tiềm tàng của cơ thể. Điều này có nghĩa là ở vị trí cân bằng ổn định, thế năng của cơ thể có giá trị tối thiểu, hoặc tương tự, trọng tâm của cơ thể chiếm vị trí tối thiểu. Do đó, điều kiện (2) có thể được rút ra theo cách khác bằng cách xem xét điều gì xảy ra với trọng tâm của hòn đá khi nó hơi lệch một chút (xem bài tập 1). Hai cách tiếp cận khác nhau này đối với bài toán ổn định lời giải về cơ bản là hoàn toàn tương đương nhau.

Nếu một hòn đá hơi lệch khỏi vị trí cân bằng ổn định và không được giữ ở vị trí mới thì nó bắt đầu quay trở lại, “rò rỉ” (theo quán tính) vị trí cân bằng, quay trở lại vị trí cân bằng, v.v. Tức là hòn đá sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng ổn định.

Nếu vật có một sai lệch nhỏ so với vị trí cân bằng thì không làm thay đổi độ cao của trọng tâm của vật so với điểm tựa. Tình trạng này được gọi là trạng thái cân bằng bàng quan. Ví dụ, một quả bóng đơn trên mặt phẳng nằm ngang ở trạng thái cân bằng không phân biệt.

Bây giờ chúng ta đã hiểu “đá lắc lư” là gì: nó là một loại đá xây dựng thẳng đứng với trọng tâm thấp hoặc bán kính cong lớn ở chân đế. Sự lệch hướng của hòn đá (mặc dù trong một giới hạn nhất định; xem bài tập 2) dẫn đến sự dao động của nó quanh vị trí cân bằng. Hòn đá đung đưa là hòn đá con lắc.

Tất nhiên, sách hướng dẫn không thể áp dụng vào mục đích xây dựng một hòn đá như vậy. Vấn đề không chỉ là tảng đá lắc lư có khối lượng lớn và để truyền gia tốc cho nó thì phải tác dụng một lực rất lớn. Do sự biến dạng của giá đỡ dưới tác dụng của trọng lượng của đá, có thể xuất hiện phản lực khiến đá không bị lệch khỏi phương thẳng đứng. Chưa hết, một tảng đá bập bênh về cơ bản không cần phải lắp đặt những thứ như thế này?

Để kết luận, chúng ta hãy xem xét các ví dụ không cần phải đi lên núi, chúng có thể được nghiên cứu trên bàn, nhưng về bản chất, chúng cũng giống như một tảng đá bập bênh.

13

Ví dụ 1. Đối với một quả bóng đồng chất, trọng tâm trùng với tâm hình học. Do đó, quả bóng không ổn định trên bề mặt lồi. Tuy nhiên, nếu quả bóng có “đỉnh” vừa phải thì nó có thể đứng ổn định trên đỉnh của một bề mặt lồi (xem bài tập 3).

Ví dụ 2. Một món đồ chơi trẻ em vui nhộn “roy-insert” chứa ví dụ 1. Một miếng chì hoặc thép được giấu ở đế hình cầu của miếng chèn roly-poly mang lại cho đồ chơi sự ổn định đáng kinh ngạc.

Mọi người có biết rằng Vanya-insert đã có (và có thể vẫn còn) người thân ở đây đó không? Nghe.

《Ngày xửa ngày xưa trên thế giới có 25 người lính yến mạch. Tất cả họ đều là con của một mẹ - một thìa bột yến mạch cũ - và do đó, là anh em ruột của nhau. Họ rất đẹp: súng trên vai, bánh xe trên ngực, đồng phục màu xanh đỏ. Thật là một phép lạ, loại binh lính nào…》 Đây là những người lính đứng hình bầu dục trong truyện cổ tích của Andersen. Tại sao họ được gọi là xương? Có lẽ bởi vì dù được áp dụng như thế nào thì chúng vẫn luôn trở về vị trí thẳng đứng. Khi họ mở chiếc hộp đựng những người lính này, tất cả đều nhảy dựng lên như thể được lệnh. Mỗi người lính được gắn vào phương tiện chính của một bán cầu chì và đứng ổn định một cách đáng ngạc nhiên.

Ví dụ 3. Có truyền thuyết kể rằng Hội đồng Hoàng gia, khi kiểm tra vị trí và sự xảo quyệt của Columbus, đã đề nghị ông đặt quả trứng có đầu nhọn lên bàn. Columbus quyết định bài toán ngay lập tức; anh ta lật đổ nó và đặt nó lên bàn. Đồng thời, ông không chỉ thay đổi hình dạng bề mặt tại điểm tiếp xúc, làm cho nó phẳng mà còn hạ thấp trọng tâm của quả trứng.

Bài tập

1. Suy ra điều kiện (2), sử dụng tính chất là ở vị trí của các nguồn cân bằng thì thế năng của vật là nhỏ nhất.
2. Vanka-insert đứng trên một quả bóng đứng yên. Bán kính của quả bóng và đế của vật chèn bằng nhau và bằng $R$. Góc tối đa mà đồ chơi có thể lệch khỏi phương thẳng đứng để nó không rơi khỏi quả bóng là $\alpha_0$ (không bị trượt). Tìm vị trí trọng tâm của cánh gạt.
3. Một nguồn có bán kính $r$ tiêu tốn một nguồn trên một quả bóng đứng yên có bán kính $R$ nếu đáp ứng các điều kiện $r < 0,6R$. Trọng tâm của bán cầu nằm ở đâu?

Khác thường trong tầm thường

Cách tiếp cận chu đáo với những người thân yêu sẽ bộc lộ những mặt trái và bất ngờ của họ. Đây là một ví dụ. Cần bình phương số 487? Hãy viết:

$$487 - 250 = 237, \\ (500 - 487)^2 = 169.$$

Bây giờ chúng ta viết ra từng số kết quả:

$$486 - 250 = 236, \\ (500 - 486)^2 = 196, \\ 486^2 = 236196.$$

Đúng nữa. Số tiếp theo là 488, đối với anh ấy

$$488 - 250 = 238, \\ (500 - 488)^2 = 144, \\ 488^2 = 238144.$$

Những hình vuông rất thú vị phải không? Nó không tốn nhiều tiền. Và khi đó, có thể bạn khi nhập 46×46 sẽ không viết $(40+6)^2$ là bình phương của tổng mà sẽ viết ngay đáp số:

$$2100 + 16 = 2116.$$

Phải không?

V. Zavarin

14

A. Chân trang

Tín hiệu, đồ thị và các vị vua trên hình xuyến

Sáng hôm sau Melefon hú lên! Tôi nhảy lên, cởi quần áo, chộp lấy mrubka và kritsa của mình:

• Tôi đang nghe đây!
  Và từ lỗ ở đáp số:
• Sao cậu lại càu nhàu?
• Làm sao tôi càu nhàu được? “Tôi không càu nhàu,” tôi nói.
• Đừng càu nhàu nữa! Nói như một con người! - Mishka hét lên.
• Tôi nói theo kiểu con người. Tại sao càu nhàu?
• Làm phiền tôi thế là đủ rồi!
  Tuy nhiên, tôi sẽ không tin rằng chúng ta đã nhốt một con lợn con vào phòng.

N. Nosov. Điện thoại

Khi hai người đang trò chuyện dị hình, lời nói của mỗi người thường khá rõ ràng đối với người đối thoại. Ít khi hỏi lại và làm rõ những từ chưa rõ ràng. Nếu cùng một cuộc trò chuyện được thực hiện qua điện thoại thì tùy thuộc vào chất lượng kết nối, những từ không rõ ràng sẽ xuất hiện thường xuyên hơn, đôi khi khiến bạn rất khó hiểu. Nếu chúng ta cố gắng truyền qua điện thoại những từ không có ý nghĩa mà chỉ đơn giản là một chuỗi các chữ cái, đại loại như ritffsklaaaam…,

thì hóa ra một số chữ cái thường bị nhầm lẫn, ví dụ “f” và “s”, “b” và “g”, v.v.

Nó làm biến dạng tín hiệu từ hầu hết mọi phương thức liên lạc, có thể là điện thoại, radio, ống nhòm. Có nhiều cách khác nhau để chống lại hiện tượng này nhưng đều làm giảm hiệu quả giao tiếp. Ví dụ: qua điện thoại, bạn có thể truyền không phải các chữ cái riêng lẻ mà là các từ được kết nối: “b” là “Boris”, “g” là “Gregory”, v.v. - nhưng sau đó cùng với một chữ cái, chúng ta sẽ phải truyền 5-8. Có thể lặp lại từng tín hiệu nhiều lần, chẳng hạn như bức ảnh đầu tiên về phía xa của Mặt trăng được truyền tới Trái đất vào năm 1959, nhưng sẽ mất cùng một khoảng thời gian. Ghi chú này khám phá một cách hiệu quả về mặt chi phí để chống lại hiện tượng méo tín hiệu trong quá trình truyền*). Ý tưởng của phương pháp này rất đơn giản: nếu chúng ta đã biết tín hiệu nào có thể bị nhầm lẫn với tín hiệu nào, thì chúng ta sẽ chỉ truyền một tín hiệu từ mỗi nhóm như vậy và từ chối phần còn lại. Ví dụ: trên điện thoại, từ các âm “f”, “s”, “sh” - chỉ có âm “s”.

*) Những câu hỏi này lần đầu tiên được nghiên cứu bởi nhà điều khiển học người Mỹ (tên khai sinh là người Pháp) Claude Shannon.

15

Đồ thị lỗi

Mỗi tin nhắn thường bao gồm các tín hiệu “cơ bản” riêng biệt: từ ngữ (trong cuộc trò chuyện qua điện thoại), chữ cái (trong tín hiệu cờ hàng hải “semaphore”) hoặc các dấu hiệu khác (dấu chấm và gõ trên điện thoại). Đặt các phần tử tín hiệu này tạo thành tập hợp $S$—bảng chữ cái đầu vào. Chúng ta hãy chọn từng tín hiệu từ $S$ dưới dạng một vòng tròn và kết nối một cặp vòng tròn với một đoạn (“cạnh”) nếu các tín hiệu tương ứng trong quá trình truyền có thể bị nhầm lẫn với nhau. Kết quả là một đồ thị $^*$ có ​​tập hợp các đỉnh $S$. Hãy gọi nó là biểu đồ lỗi của thiết bị truyền phát của chúng ta.

Hãy đưa ra một ví dụ. Kim phút của đồng hồ điện thay đổi vị trí đầu tiên ngay khi phút tiếp theo kết thúc, kim chuyển sang phút tiếp theo. Nếu chiếc đồng hồ này ở xa chúng ta hơn thì chúng ta không thể xác định chính xác vị trí của kim phút. Nhưng chúng ta hãy luôn sai lầm, không nhiều lắm - không quá một phút. khi đó bảng chữ cái đầu vào sẽ chứa 60 phần tử - 60 vị trí có thể có của kim phút (mỗi vị trí tương ứng với một điểm trên đường tròn - ranh giới của mặt số) và đồ thị sai số $\Gamma$ sẽ là 60-giác thông thường - điểm được nối bằng các đoạn thẳng với hai lân cận.

Bây giờ chúng ta hãy thử tìm hiểu xem cần phải làm gì để chúng ta có thể nhận biết chính xác số chỉ số trên kim phút. Chúng ta chuyền đồng hồ sao cho kim phút cứ 2 phút lại nhảy, tức là đồng hồ chỉ hiển thị số phút chẵn. thì không có dấu hiệu nào hiển thị cho chúng tôi có thể bị nhầm lẫn với bất kỳ dấu hiệu nào khác - xét cho cùng, chúng tôi không cho phép sai sót từ 2 phút trở lên. Như vậy, nếu nhận thấy tập tín hiệu truyền đi chỉ có 30 số chẵn từ 0 đến 58 thì tất cả đều được xác định chính xác. Mặt khác, điều rất quan trọng là 30 là giá trị tối đa: nếu trong biểu đồ $\Gamma$ chúng ta lấy 31 đỉnh trở lên, thì bằng cách nào đó, hai trong số chúng chắc chắn sẽ được kết nối (chứng minh điều đó!).

Trong ví dụ này, chúng tôi đã xây dựng một tập hợp $M$ các đỉnh đồ thị có thuộc tính sau: bất kỳ hai đỉnh nào từ $M$ không được nối bằng một cạnh. Tập hợp $M$ như vậy được gọi là tập hợp độc lập (I.S.). Trong ví dụ của chúng tôi, mọi bộ kim phút bốn phút đều độc lập, ví dụ: {2, 8, 34, 52, 56} hoặc một tập hợp số đọc chia hết cho 5: {0, 5, 10, …, 55}.

Nếu các đỉnh $M$ của một đồ thị $G$ nhất định chứa nhiều đỉnh nhất trong số tất cả $M$ của nó, thì nó được gọi là tập độc lập nhất (n.i.s.) và số $\alpha(G)$ các đỉnh trong đó được gọi là số độc lập nhất (n.i.) của đồ thị $G$.

Trong cuộc thảo luận ở trên, biểu đồ $\Gamma$ có nhiều $M$ và $H, N, M$ khác nhau. - chỉ hai (một bộ bốn số từ 0 đến 58 và một bộ bốn số từ 1 đến 59) và $\alpha(\Gamma) = 30$.

Nếu đồ thị $G$ là đồ thị lỗi của một thiết bị phát $A$ nào đó, thì $\alpha(G)$ là số lượng tín hiệu khác nhau tối đa có thể được truyền qua thiết bị này mà không bị nhầm lẫn. Vì vậy, $\alpha(G)$ còn được gọi là thông lượng của thiết bị $A$.

16

Bảng chữ cái vuông

Với mỗi thiết bị truyền $A$, chúng tôi đã liên kết bảng chữ cái đầu vào $S$, biểu đồ lỗi $G$ và số độc lập của biểu đồ $G$ (thông lượng của thiết bị $A$) $\alpha(G)$. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu thiết bị $A$ được đặt một lần và mãi mãi và dung lượng của nó không đủ cho chúng ta? Giả sử, nếu $A$ - số điện thoại được truyền bằng thư điện thoại? Giải pháp đã được biết - đây là mã Morse: bạn cần truyền các gói gồm nhiều ký tự (dấu chấm - loại) qua $A$ và đếm mỗi gói như vậy là một tín hiệu.

Đầu tiên, hãy thử truyền hai tín hiệu liên tiếp từ $S$ qua cùng một thiết bị $A$. Hãy xem các thành phần của bất kỳ bảng chữ cái nào tăng lên bao nhiêu (chúng ta sẽ gọi chúng là các chữ cái).

Hãy thử xác định thông lượng của thiết bị $A^2$. Để làm được điều này, trước hết bạn cần xây dựng một biểu đồ lỗi, ký hiệu là $G^2$. Hãy xem trong những điều kiện nào thì tín hiệu $(v_1; v_2)$ có ​​thể bị nhầm lẫn với tín hiệu $(w_1; w_2)$. Rõ ràng, để điều này xảy ra, phải đáp ứng một trong ba điều kiện sau:

a) $v_1 = w_1$, $v_2 \sim w_2$;
b) $v_1 \sim w_1$, $v_2 = w_2$;
c) $v_1 \sim w_1$, $v_2 \sim w_2$.

Do đó, các đỉnh $(v_1; v_2)$ và $(w_1; w_2)$ của đồ thị $G^2$ được nối với nhau bằng một cạnh nếu đồ thị $G$ chứa các cạnh $v_1 - w_1$ (hoặc $v_1 = w_1$) và $v_2 - w_2$ (hoặc $v_2 = w_2$). Ví dụ: nếu đồ thị $G$ chỉ chứa hai đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh thì $G^2$ là hình vuông có các đường chéo (Hình 2).

Nhiệm vụ 3. Xây dựng đồ thị $G^2$ cho mỗi đồ thị $G$ như trong Hình 3.

Do đó, chúng ta có thể coi $G^2$ là một đồ thị “phân lớp”: mỗi lớp dọc hoặc ngang của nó trùng với $G$ và mỗi cạnh $a - b$ của đồ thị $G$ tương ứng với một hình vuông có các đường chéo trong đồ thị $G^2$.

Hãy thử tìm một số tập hợp độc lập trong biểu đồ $G^2$.

Cho tập $M$ độc lập trong đồ thị $G$. Điều này có nghĩa là các phần tử từ $M$ không bị nhầm lẫn với nhau khi truyền qua thiết bị $A$. Sau đó, khi truyền các cặp chữ cái từ $M$, không có chữ cái nào trong số này bị biến dạng, do đó trong bảng chữ cái $S^2$ các phần tử có dạng $(a; b)$, trong đó $a \in M$, $b \in M$ không bị nhầm lẫn với nhau. Tập hợp các cặp $(a; b)$, trong đó $a \in M$, $b \in M$, được biểu thị bằng ký hiệu $M^2$. Dễ dàng nhận thấy rằng nếu $p$ là số phần tử của $M$ thì số phần tử của tập hợp $M^2$ là $p^2$. Do đó, thông lượng của thiết bị $A^2$ ít nhất bằng bình phương thông lượng của thiết bị $A$, tức là trong ngôn ngữ đồ thị

$$\alpha(G^2) \geqslant (\alpha(G))^2.$$

Tuy nhiên, xin lưu ý rằng việc tăng thông lượng như vậy không phải là vô ích - tốc độ truyền tín hiệu giảm một nửa.

Trên thực tế, các bức thư được truyền đi qua điện thoại hơi khác một chút. Về nguyên tắc, đối với tất cả 33 chữ cái trong bảng chữ cái, cần có bộ 6 ký tự (bộ 5 ký tự là không đủ), nhưng không chỉ chính xác

17

Các vị vua trên hình xuyến

Hãy làm phức tạp biểu đồ $G_5$ của Hình 3 một chút: hãy dán các điểm 0 và $n$. Kết quả sẽ là $n$-gon 012 … $(n-1)$. Chúng ta hãy biểu thị biểu đồ này bằng $P_n$. Hình vuông $P_n^2$ của nó sẽ thu được từ hình vuông của đoạn thẳng nếu hai cạnh ngang và hai cạnh dọc được dán lại với nhau thành từng cặp. Nhưng một đoạn hình vuông là một hình vuông thực sự, và nếu bạn dán các cạnh đối diện của nó lại với nhau, bạn sẽ có một hình xuyến! Chính xác hơn, một lưới trên hình xuyến chứa $n^2$ hình vuông $1 \times 1$ có đường chéo (Hình 4).

Nếu các đỉnh của các ô vuông này được đặt sang một bên với các ô của đường chân trời của bàn cờ có kích thước $n \times n$, thì các trường bàn cờ lân cận theo nghĩa cờ vua hóa ra được kết nối bằng các đoạn của lưới, hoặc, giống nhau, bằng các cạnh của biểu đồ $P_n^2$, và bài toán $M415$ về số lượng vua không lân cận tối đa trên hình xuyến sẽ biến thành bài toán định nghĩa về tính độc lập số của đồ thị $P_n^2$. lời giải của cô ấy được đưa ra trong số tạp chí này (xem trang 37).

Nếu bạn muốn hình dung rõ ràng hơn về cấu trúc của n. N. m. đồ thị $P_n^2$, hãy giải bài toán sau.

Bài 4. Cho tập $M$ là n. N. m. đồ thị $P_n^2$ (hoặc, tương tự, đường chân trời của bảng $n \times n$). Chứng minh rằng

a) nếu $n=2s$, thì $M_1^2$, trong đó $M_1$ là một số n. N. m. $P_n$, là n. N. m., và $\alpha(P_2s^2) = s^2$;

18

6. nếu $n=4s+1$ thì trên mỗi hàng dọc và mỗi hàng ngang của bảng sẽ có chính xác $s=\left[\frac{n}{4}\right]$ điểm (vua) từ $M$ (ở đây $[a]$ là phần nguyên của số $a$);
   c) nếu $n=4s+3$ thì trên mỗi hàng dọc và mỗi hàng ngang của bảng sẽ có các điểm $s$ hoặc $s+1$ từ $M$.

Bài toán 5. Chúng ta sẽ biểu diễn đồ thị $P_2^2$ (hình xuyến) dưới dạng hình vuông, nhớ rằng các cạnh đối diện của nó được dán lại với nhau. Thuộc tính tuần hoàn của đồ thị $P_n^2$ là ánh xạ “chuyển song song”, trong đó phần tử (0; 0) chuyển sang $(s; t)$.

Chứng minh rằng mọi n. N. Đồ thị $M$ $P_2^2$ có thể được rút gọn về dạng như trong Hình 5 nếu chúng ta giải quyết dv tuần hoàn của đồ thị bảng và mối quan hệ đối xứng của đường chéo, chiều dọc và chiều ngang của hình vuông.

Ghi chú. Sự đối xứng theo đường chéo (0; 0) $(n-1; n-1)$ của hình vuông có thể được viết bằng công thức $(x; y) \rightarrow (y; x)$. CDviz tuần hoàn có thể được viết như sau: $(x, y) \rightarrow (x+s; y+t)$, nhưng sẽ có một điểm thiếu chính xác trong công thức này. Tôi muốn đặt các số $n$ và $0$, $h+1$ và $1$, v.v. sang một bên. Để làm điều này, các biểu tượng $\equiv$ và $(mod n)$ được sử dụng. Họ nói rằng $a$ có thể so sánh với $b$ modulo $n$ và viết $a \equiv b$ $(mod n)$ nếu $a$ và $b$ khi chia cho $n$ cho số dư bằng nhau. Chúng ta hãy biểu thị bằng $a$ $(mod n)$ phần dư của phép chia $a$ cho $n$. Sau đó, chúng ta có thể nói rằng phần tử $(x; y)$ đi vào phần tử $((x+s) (mod n); (y+t) (mod n))$ dưới sự biến đổi tuần hoàn của đồ thị và khi được đặt đối với đường thẳng $x=a$ - vào phần tử $(2a-x) (mod n); y)$.

Hình 6.

Tất cả những gì được biết

Hãy thử các điều kiện khác cho bộ máy truyền tin của chúng ta; Hãy xây dựng bộ máy $A^k$, trong đó $k$ là một số tự nhiên. Điều này có nghĩa là với sự trợ giúp của máy $A$, chúng tôi sẽ truyền các gói chữ cái $k$, mỗi chữ cái được lấy từ bảng chữ cái đầu vào ban đầu $S$.

Bằng cách tương tự với các tín hiệu hai chữ cái, có thể dễ dàng xây dựng biểu đồ $G^k$ lỗi máy $A^k$. Tập đỉnh của nó là bảng chữ cái $S^k$, bao gồm tất cả các bộ chữ cái có thể có độ dài $k$: $(v_1; v_2; ...; v_k)$, trong đó tất cả $v_i$ được lấy từ bảng chữ cái $S$. Không khó để xây dựng các cạnh trong biểu đồ $G^k$, nghĩa là hiểu được tín hiệu nào $(v_1; v_2; ...; v_k)$ và $(w_1; w_2; ..., w_k)$ có thể bị nhầm lẫn. Để làm điều này, các chữ cái của mỗi tọa độ phải được trộn lẫn với nhau, nghĩa là đối với mỗi $i$ $(1 \leq i \leq k)$, chúng phải đáp ứng một trong hai điều kiện: $v_i = w_i$ hoặc $v_i \sim w_i$ (nếu $v_i = w_i$ cho mỗi $i$, thì các bộ này trùng khớp).

Việc xác định giá trị chính xác của thông lượng thiết bị $A^k$ trong trường hợp chung là khá khó khăn nhưng có thể ước tính từ bên dưới.

Bài toán 6. Chứng minh rằng $\alpha(G^k) \geqslant (\alpha(G))^k$.

Và xa hơn… Ngay cả trong một trong những trường hợp đơn giản nhất, khi biểu đồ lỗi là $n$-gon $P_n$, người ta biết rất ít về $\alpha(P_n^k)$. Tất cả những gì được biết đến từ văn học bây giờ sẽ được kể.

Bàn cờ toric có kích thước $n \times n$ còn được gọi là dịch bệnh hai chiều. Tương tự, bậc $k$-thứ của $n$-gon (đồ thị $P_n^k$) có thể được gọi là mora chiều $k$ từ phía $n$. Ver-

19

Hình 7.

Các bus biểu đồ $P^k_n$ có thể được vẽ bằng một tập hợp các số nguyên $k$: $(x_1; x_2; \dots; x_k)$, trong đó mỗi số $x_i$ nằm trong khoảng từ 0 đến $n-1$.

Bài 7. Xác định số đỉnh của đồ thị $P^k_n$.

Theo định nghĩa, hai bộ $(x_1; x_2; \dots; x_k)$ và $(y_1; y_2; \dots; y_k)$ liền kề nhau trong biểu đồ $P^k_n$ nếu trong $n$-gon, mỗi cặp tọa độ $x_i, y_i$ là lân cận, nghĩa là đối với mỗi giá trị của tọa độ $i$ khác nhau không quá một: $|x_i - y_i| \equiv h_i$ (mod $n$) $\in \{0, 1\}$ cho tất cả $i$ từ 1 đến $k$ (ví dụ: trong Hình 6 cho trường hợp $k=3, n=5$ các hàng xóm của tập hợp (0; 1; 2) được đánh dấu).

Nhiệm vụ 8. Xác định số lượng lân cận của mỗi đỉnh của hình tora $k$ chiều.

Bài 9. Chứng minh rằng

$$\alpha(P^k_n) \leq \left[ \left( \frac{n}{2} \right)^k \right].$$

Bài tập 10. Xác định $\alpha(P^k_n)$ nếu $n$ là số chẵn.

Đối với $n$ lẻ, ước tính sau đúng:

$$\left( \frac{n-1}{2} \right)^k \leq \alpha(P^k_n) \leq \left[ \left( \frac{n}{2} \right)^k \right],$$

và đôi khi giá trị chính xác của $\alpha(P^k_n)$ được biết.

Định lý. Nếu $n-1$ chia hết cho $2^k$ thì

$$\alpha(P^k_n) = \frac{n-1}{2^k} \cdot n^{k-1}.$$

Chứng minh đầy đủ của định lý này khá dài nên chúng ta sẽ chỉ trình bày cách định nghĩa một tập hợp độc lập với số phần tử như vậy. Đối với mỗi bộ tọa độ $(x_1; x_2; \dots; x_{k-1})$ đầu tiên $k-1$, chúng ta thu được các giá trị $r = \frac{n-1}{2^k}$ ​​của tọa độ $k$-th:

$$x_k \equiv 2l + r(2^{k-1}x_1 + 2^{k-2}x_2 + \dots + 2^1x_{k-1}) \pmod n.$$

Ở đây $l$ là số nguyên bất kỳ từ 0 đến $r-1$.

Nếu trong trường hợp $k=2$ bạn vẽ tập hợp các đỉnh có tọa độ được cho bởi công thức cuối cùng, thì bạn nhận được đáp số đã cho. M415 với $n-1$ chia cho 4.

Những kết quả này cho phép chúng tôi xây dựng một bảng gồm các giá trị $\alpha(P^k_n)$ ​​(Hình 7).

Trong đó, một số con số được lấy về mặt lý thuyết và phần còn lại được lấy bằng máy tính. Bạn thấy rằng khi $k$ và $n$ lớn lên, ngày càng có nhiều khoảng trống.

Có thể một số bạn sẽ điền vào chỗ trống trong bảng này và quyết định bài toán về việc xác định dung lượng truyền tải của các thiết bị?

21

Độ chính xác của sự thay đổi trong a. e.m. là rất cao. Như vậy, khối lượng tương đối của hydro theo những thay đổi hiện đại bằng

$$\mu_H = 1,007825036 \text{ (11) a. e. m.}$$

Số trong ngoặc (11) có nghĩa là giá trị được chỉ định đã biết với độ chính xác đến mức có thể có sai số khoảng 11 đơn vị ở hai chữ số cuối. Nói cách khác, hai chữ số cuối thực tế có thể là 47, 25 hoặc bất kỳ số nào khác ở giữa.

Do đó, khối lượng trong a. e.m. được xác định với độ chính xác cao hơn khối lượng tính bằng kilogam. Nhưng đây là vấn đề: các nhà vật lý không biết làm thế nào để thay đổi khối lượng của một vật thể vĩ mô, ví dụ, một bộ phận kim loại không được biểu diễn dưới dạng a. e.m. Họ có thể tính bằng kilôgam, và tính bằng a. e.m. - KHÔNG. Bộ phận này không thể được “phóng” vào máy quang phổ khối và không thể đặt nguyên tử carbon lên bàn cân. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm cách nào đó để thay đổi khối lượng của các nguyên tử cacbon tính bằng kilogam, và sau đó chúng ta có thể dễ dàng chuyển khối lượng đã thay đổi thành a. e.m. sang kilôgam và ngược lại - từ kilôgam sang a. e.m. Chúng tôi sẽ cho bạn biết khối lượng nguyên tử tính bằng kilogam đã thay đổi như thế nào và với độ chính xác cao hơn.

Nhưng trước tiên, hãy giải thích số Avogadro có liên quan như thế nào với mọi điều đã nói ở trên. Thực tế là số Avogadro và 1/12 khối lượng nguyên tử $^{12}$C có liên quan với nhau. Thật vậy, số Avogadro - $N_A$ - theo định nghĩa, là số phần trong một mol của một chất. 1 mol, tức là 12 e cacbon $^{12}$С, chứa $N_A$nguyên tử:

$$N_A = \frac{12e/mol}{m_{12}C^2}.$$

Nhưng $m_{12}C$($e$) = 12 a. e.m., vậy giá trị đặc biệt của đại lượng $N_A$ bằng

$$N_A = \frac{1}{12 m_{12}C}.$$

Do đó, số Avogadro đơn giản là nghịch đảo của đơn vị khối lượng nguyên tử, tính bằng gam. Có thể không viết $N_A$, nhưng trong nhiều công thức, theo thói quen, họ viết $N_A$, và do đó số Avogadro vẫn tồn tại trong vật lý như một hằng số, bằng số phần trong một mol chất.

Đo $N_A$ cũng giống như thay đổi khối lượng của một số nguyên tử tính bằng gam - “cân” nguyên tử. Biết khối lượng của nguyên tử, không khó để xác định giá trị của đơn vị khối lượng nguyên tử tính bằng gam (tức là nghịch đảo của số Avogadro).

Cách đây một thời gian tại Cục Tiêu chuẩn Hoa Kỳ - một viện chuyên về những thay đổi cực kỳ chính xác - một nhóm các nhà vật lý đã tiến hành một số Avogadro rất thú vị. Các thí nghiệm được thực hiện theo kế hoạch này. Đầu tiên, âm lượng $V_0$ ($cm^3$) của một nguyên tử trong tinh thể đã bị thay đổi. Điều này được thực hiện rất chính xác bằng cách sử dụng phân tích cấu trúc RENT của mẫu. Sau đó, mật độ tinh thể $\rho$ ($e/cm^3$) đã thay đổi. Sau đó, biết khối lượng mol $\mu$ của chất tinh thể và khối lượng nguyên tử $m = \rho V_0$, chúng ta tìm được số Avogadro.

$$N_A = \frac{\mu}{\rho V_0}.$$

Sử dụng máy quang phổ khối, khối lượng nguyên tử tương đối của Si được xác định với độ chính xác rất cao. Do đó, khối lượng mol của Si được tìm thấy với độ chính xác tương tự. Điều này hóa ra là cần thiết vì thực tế là nó có sự khác biệt đôi chút giữa các mẫu silicon tự nhiên khác nhau.

Tiếp theo, cần phải thay đổi mật độ silicon một cách chính xác nhất có thể. Để làm được điều này, cần phải xác định rất chính xác khối lượng; họ đã làm điều gì đó giống như những gì Archimedes đã từng làm với chiếc vương miện của Vua Hiero.

Mẫu đã loại bỏ chất lỏng nhớt (carbon tetrafluoride). Bằng cách đo khối lượng của chất lỏng bị dịch chuyển $m_{2k}$ (điều này có thể được thực hiện với độ chính xác cao hơn) và chia cho mật độ của chất lỏng $\rho_{2k}$, có thể tìm được thể tích của chất lỏng bị dịch chuyển, tức là thể tích của mẫu $V$. Tuy nhiên, mật độ của chất lỏng được biết với độ chính xác không đủ cao. Để “loại bỏ” nó trong những tính toán tiếp theo, chúng tôi đã làm điều này. Như nhau

22

Chất lỏng hạ thấp một quả bóng thép, thể tích của nó được thay đổi với độ chính xác rất cao (không thể tạo ra con người bằng tinh thể silicon). Bằng cách đo khối lượng của chất lỏng bị dịch chuyển $m'_{ж}$ và chia cho thể tích của quả bóng $V_{ш}$, chúng tôi đã tìm được $\rho_{ж}$. Vì vậy, thể tích của mẫu là $V = \frac{m_{ж}}{m_{ш}} V_{ш}$. Bằng cách chia khối lượng của mẫu cho thể tích của nó, chúng tôi đã tìm được mật độ silicon $\rho$.

Dựa trên kết quả của tất cả các phép đo, số Avogadro đã được tìm thấy. Hóa ra là bằng nhau

$$N_A = 6,0220941 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}.$$

Sai số tương đối của giá trị tính toán nhỏ hơn $10^{-6}$%. Người sử dụng giá trị này $N_A$ có thể thu được giá trị khối lượng proton tính bằng kilogam với độ chính xác tương tự: giá trị tượng hình $N_A$ là a.u. m tính bằng kilogam.

Quả cầu có sừng của Alexander

Mỗi người trong số các bạn đều biết rất rõ hình cầu là gì. Hãy tưởng tượng rằng quả cầu được làm bằng một lớp màng bền có thể kéo dãn và nén lại nhưng không bị cong hoặc rách. Sau đó, từ hình cầu, người ta có thể thu được các bề mặt có cổ rất khác với nó, ví dụ, một khối tứ diện, một khối lập phương hoặc một hình trụ có động năng. Theo quan điểm của một trong những phần của “hình học cao hơn” - “cấu trúc liên kết”, tất cả các bề mặt này đều giống nhau.

Trên trang bìa, bạn sẽ thấy một trong những bề mặt “giống hệt hình cầu” (hình ảnh tôpô của một hình cầu) - quả cầu màu hồng của Alexander. Từ một quả cầu thông thường, bạn có thể có được một quy trình thú vị được mô tả trong Hình 1. Ở bước đầu tiên, bạn sẽ thu được thiết kế “chắp ngón tay”. Sau đó, thiết kế này phải được lặp lại trên mỗi thanh của “đĩa” được tô đen trong hình, các “ngón tay” (của thứ tự tiếp theo) phải được khóa lại, v.v.

Alexander’s Horned Sphere có một loại tài sản. Nếu khoảng cách là giữa một hình cầu và bất kỳ hình tròn nào nằm hoàn toàn trong hình cầu này hoặc bên trong nó, thì hình tròn này có thể co lại thành một điểm mà không giao nhau với bề mặt của hình cầu. Nói cách khác, khu vực mà hình cầu phân chia không gian được kết nối một cách đơn giản. Trong một thời gian dài, các nhà toán học đã nghĩ rằng bất kỳ hình ảnh tôpô nào của một hình cầu đều chia không gian thành hai vùng kết nối đơn giản (một dạng tổng quát của bổ đề Jordan nổi tiếng rằng một đường khép kín không tự giao nhau tùy ý chia hình cầu thành hai vùng kết nối đơn giản). Tuy nhiên, vào năm 1924, nhà toán học người Mỹ J. W. Alexander đã chế tạo được một “quả cầu có sừng”, giống như một quả cầu thông thường, chia không gian thành hai phần A và B (“bên trong”) và “vùng B bên ngoài không được kết nối đơn giản.

Nếu bạn muốn tìm hiểu kỹ hơn về khoa học tôpô, chúng tôi khuyên bạn nên đọc bài viết của V. G. Boltyansky và V. A. Efremovich trong tuyển tập “Giáo dục toán học” - Số 2, 3, 4 và 6 (Moscow, 1957-1960).

I.K.

23

Phòng thí nghiệm «Kvant»

Những người được mô tả trong bài đã trải qua hơn một trăm năm, nhưng thời gian vẫn không để lại dấu ấn tuổi già trong họ. Chúng tôi không biết liệu các nhà khoa học nghiên cứu về vảy sống có thấy trước được khả năng ứng dụng thực tế của hiện tượng mà họ phát hiện ra hay không. Rất có thể là không. Tuy nhiên, như mọi khi (đây là cách thế giới đã vận hành!), chiêm ngưỡng vẻ đẹp và hiểu được bản chất của sự vật, một người sẽ nhận được lợi ích ngay lập tức từ tuyên bố này, điều này khác xa với cuộc sống hàng ngày. Hiện nay vảy sống được sử dụng rộng rãi trong thực tế - bộ khuếch đại vảy, máy phát điện, v.v.

Máy phát âm thanh

Ngày nay, bộ tạo âm thanh cần thiết cho xe tải bán buôn được lắp ráp dễ dàng nhất bằng cách sử dụng bóng bán dẫn. Bạn có thể mua những bộ phận này và những bộ phận cần thiết khác ở bất kỳ cửa hàng radio nào.

Sơ đồ nguyên lý của bộ tạo âm thanh được hiển thị trong Hình 1. Bản thân bộ tạo âm thanh được lắp ráp bằng cách sử dụng các bóng bán dẫn $T_1$ và $T_2$. Một máy phát như vậy tạo ra các dao động có hình dạng gần giống hình chữ nhật, nghĩa là trạng thái có nhiều sóng hài hình sin. Đó là lý do tại sao nó được gọi là máy trộn đa năng (multum - nhiều, rung - rung). Tần số dao động do bộ đa năng tạo ra được xác định bởi điện dung của các tụ điện $C_1$, $C_2$ và điện trở của các điện trở $R_2$, $R_3$, $R_4$. Biến trở $R_3$ dùng để thay đổi tần số một cách trơn tru. Bộ khuếch đại tần số thấp được lắp ráp trên bóng bán dẫn $T_3$. Tải của bóng bán dẫn $T_3$ là cuộn sơ cấp của máy biến áp $Tp$, đến cuộn thứ cấp nối loa (loa) $Tp$.

Ví dụ, một máy phát âm thanh có thể được lắp ráp như trong Hình 2. Thiết bị này không yêu cầu bất kỳ sự điều chỉnh nào và nếu các bộ phận hoạt động tốt và thiết bị được lắp ráp theo sơ đồ thì máy phát sẽ bắt đầu hoạt động ngay lập tức khi bật nguồn.

Tác dụng của âm thanh lên tia nước

Phân tích hoạt động của bộ tạo dao động tự động in phun, chúng tôi đã nói rằng âm thanh bằng cách nào đó phải

24

ảnh hưởng đến dòng chảy. Chúng tôi mời bạn tìm hiểu qua kinh nghiệm xem điều này có thực sự đúng hay không.

Đặt một ống thủy tinh có đầu nối có đường kính khoảng 1 mm ở đầu ống cao su, đầu kia hạ xuống bình chứa nước ở độ cao 0,5-1 m so với mặt bàn. Đặt ống thủy tinh lên bàn một góc tùy ý so với phương ngang. Dùng miệng kéo không khí ra khỏi vòi và tạo thành dòng khí.

Trong các thử nghiệm với máy tạo tia tự động, chúng tôi khuyên bạn nên nối ống trực tiếp với vòi nước. Ở đây, phương pháp tạo ra tia nước này là không mong muốn vì nhiều âm thanh khác nhau truyền tốt qua các ống sắt của hệ thống cấp nước và nếu bằng cách nào đó chúng ảnh hưởng đến tia nước, chúng sẽ cản trở những gì đang được quan sát.

Dòng chảy ra khỏi ống thủy tinh không tốn kém. Gần đáp án, nó liên tục, sau đó trở nên đục và ở phần trên của quỹ đạo, nó vỡ thành những giọt hoàn toàn biệt lập, rơi nhanh đến mức tạo ra lỗi trong toàn bộ mặt sau của các tia phản lực liên tục (Hình 3, a). Bây giờ đặt một chiếc loa trên bàn cạnh ống thủy tinh và kết nối nó với bộ tạo âm thanh. Bật nguồn và thay đổi dần tần số âm thanh bằng một điện trở thay đổi. Bạn sẽ nhận thấy rằng ở một tần số nhất định, phần rắn (trong suốt) của tia co lại mạnh, và chùm tia hợp nhất, tạo thành một tia liên tục dường như hoàn hảo (Hình 3, b)! Điều này đáng kinh ngạc đến nỗi tất cả những ai lần đầu tiên nhìn thấy hiện tượng được mô tả đều đến nghiên cứu nó. Hóa ra tia nước cực kỳ nhạy cảm với âm thanh. Bạn có thể đặt loa ở bất cứ đâu trên bàn, đặt nó trên bàn khác - tất cả đều giống nhau, nếu tần số của âm thanh tương tự, tia sẽ phản ứng với âm thanh. Bằng cách thay đổi tần số âm thanh, có thể thu được từ một chùm tia âm thanh hai tia có độ dày xấp xỉ bằng nhau (Hình 3, c), ba tia và hai tia, một trong số đó mỏng hơn nhiều so với tia kia và bằng cách nào đó nghiêng sang một bên (Hình 3, e), v.v.

Nếu bạn không dám lắp ráp máy phát âm thanh để thử nghiệm, bạn có thể thay thế nó bằng bất kỳ nguồn âm thanh nào khác có tần số có thể thay đổi. Dễ tiếp cận nhất trong số đó là giọng nói của bạn. Trên đây chỉ có nghĩa là âm thanh mà tia phản ứng phản ứng phải khá thấp. Tốt nhất là tần số của nó nằm trong khoảng 200-500 Hz. Không cần thiết phải hét to vào luồng: nó sẽ khá ngoan ngoãn nếu bạn giảm luồng bằng ngôn ngữ mà nó hiểu. Một nguồn âm thanh khác có thể là đàn guitar chẳng hạn. Đưa nó lên mặt bàn và gảy dây. Bạn có thể dễ dàng chọn âm thanh có tần số mà luồng âm thanh chảy cùng nhau. Bằng cách thu các âm thanh đồng thời có tần số hơi khác nhau, bạn có thể thu được nhịp âm thanh và sau đó tia sẽ di chuyển theo thời gian với những thay đổi trong âm thanh.

Chúng ta hãy cố gắng giải thích tại sao tia phun lại kết hợp với nhau dưới tác động của âm thanh. Chúng ta hãy lưu ý lại rằng ngay khi tia phản lực bắt đầu phản ứng,

Hình 1. Sơ đồ nguyên lý của máy phát điện. Thông số mạch: bóng bán dẫn $T_1$—$T_3$ loại MP41; loa $\Gamma p$ loại 0,5GD21; máy biến áp $Tp$ - đầu ra từ đài bỏ túi; điện áp cung cấp 4,5-9 V (một hoặc hai pin nối tiếp cho đèn pin); $R_1 = R_5 = 10$ kOhm, $R_2 = R_4 = 47$ kOhm, $R_3 = 68$ kOhm, $C_1 = C_2 = 0,05$ µF.

Hình 2. Hình dáng của máy phát điện.

25

Khi phản ứng với một âm thanh (ở một tần số nhất định của âm thanh sau), phần vảy rõ rệt sẽ giảm đi. Điều này có nghĩa là quá trình hình thành giọt nước bắt đầu sớm hơn. Lý do là gì?

Khi không có âm thanh, vảy sẽ tự tan thành từng giọt và các giọt xuất hiện ít nhiều có trật tự. Tuy nhiên, do những vật cản ngẫu nhiên nên các giọt nước có sự khác biệt đôi chút. Mỗi hạt trong số chúng, có khối lượng và tốc độ riêng, bay theo một quỹ đạo tương ứng, và tất cả các giọt chuyển động cùng nhau tạo ra ấn tượng về một cái vảy. Khi tần số của âm thanh trùng với tần số hình thành giọt tự nhiên, quá trình hình thành này bắt đầu (phần rắn của vảy bị rút ngắn) và xảy ra gần như có tính chu kỳ. Âm thanh như thể những giọt giống hệt nhau đang rơi ra khỏi vảy đều đặn. Những giọt này di chuyển nhanh chóng theo một quỹ đạo và tạo cảm giác như một vết vảy bị cưa ra.

Để kiểm tra tính đúng đắn của lời giải thích định tính này, hãy làm một chiếc kính hoạt nghiệm đơn giản.

Đối với thiết bị đánh lửa vi điện, hàn một phụ kiện cứng có đường kính khoảng 30 mm và độ dày 0,5-1 mm. Sử dụng hai bu lông và đai ốc, cố định một đĩa bìa cứng có đường kính 150 mm với bốn khe nằm đối xứng vào vòi này. Một tia lửa điện vi mô được tạo ra bằng một (hoặc hai) pin thông qua một biến trở làm từ đầu bút chì đơn giản. Bằng cách di chuyển tiếp điểm dọc theo bút cảm ứng (hoặc ngược lại), bạn có thể thay đổi điện trở của biến trở và từ đó điều chỉnh tốc độ quay của đĩa nhấp nháy.

Cắt một lớp vảy và nhìn nó qua ánh sáng nhấp nháy. Đã chọn đúng tốc độ quay

Hình 4. Xem vết cắt qua kính hoạt nghiệm.

Hình 3. Đóng vảy ở các tần số âm thanh khác nhau.

26

Giá trị trung bình của hàm

Trong bài viết này, khái niệm trung bình số học $n$ của các số được khái quát hóa cho các hàm xác định trên đoạn thẳng, hình tròn và hình cầu. Ngoài ra, nó còn giải được bài toán M394 («Kvant», 1976, số 7).

1. Trên tập hữu hạn

Phát biểu tại buổi họp lớp, Makar Livanov nói: “Hãy đấu tranh để đảm bảo rằng thành tích của mọi học sinh trong lớp chúng ta đều trên mức trung bình!” Rõ ràng, Makar không giỏi toán lắm. Hãy tìm ra nó.

Như đã biết, trung bình số học $n$ của các số $x_1, x_2, \dots, x_n$ là số $M = M(x_1, x_2, \dots, x_n)$ cho bởi đẳng thức

$$M(x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.$$ (1)

Theo sự công nhận của Makar, chúng ta sẽ phải đạt được sự thỏa mãn đồng thời các bất đẳng thức $x_1 > M, x_2 > M, \dots, x_n > M$. Cộng các bất đẳng thức $n$ này, ta thu được mâu thuẫn với (1).

Chúng ta hãy lưu ý một số tính chất quan trọng của trung bình số học:

I. $M(x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n) = M(x_1, x_2, \dots, x_n) + M(y_1, y_2, \dots, y_n)$.

II. $M(\alpha x_1, \alpha x_2, \dots, \alpha x_n) = \alpha M(x_1, x_2, \dots, x_n)$.

III. $\min(x_1, x_2, \dots, x_n) \leqslant M(x_1, x_2, \dots, x_n)$.

Trong sợi 1. Chứng minh tính chất I-III.

U 2. Chứng minh bất đẳng thức $C_{2n}^n > \frac{2^{2n-1}}{n}$ cho $n > 1$. Điều này dễ thực hiện bằng phương pháp quy nạp toán học, nhưng có thể thực hiện được bằng tính chất III.

Thuộc tính III thường được sử dụng như sau: để xác định rằng trung bình $x_1, x_2, \dots, x_n$ là các số lớn hơn $d$, chỉ cần kiểm tra rằng $M(x_1, x_2, \dots, x_n) > d$ là đủ. Ví dụ: hãy xem xét bài toán, được đưa ra tại Olympic Toán học toàn Liên minh X.

Bài toán 1. Bằng cách nào đó có 50 chiếc đồng hồ tròn chạy đều trên một bàn tròn. Chứng minh rằng tại một số thời điểm, tổng khoảng cách từ tâm bàn $O$ đến hai đầu kim phút tại thời điểm $t$ là một giờ, và sau $d$ là tổng khoảng cách từ điểm $O$ đến tâm đồng hồ. Chúng ta cần chứng minh rằng $f(t) > d$ bằng $t$ tại một số điểm. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng có $t_0$ thỏa mãn $M(f(t_0), f(t_0 + \frac{1}{2})) > d$.

Điều này có nghĩa là một trong những khoảnh khắc $t_0$, $t_0 + \frac{1}{2}$ là đặc biệt.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $O_i$ tâm của $i$ giờ, bằng $A_i$ điểm cuối kim phút của đồng hồ này tại một số thời điểm $t$, bằng $B_i$ điểm cuối kim phút của cùng giờ nửa giờ sau, tức là tại thời điểm $t + \frac{1}{2}$. Vì, theo điều kiện, tất cả các đồng hồ đều “chạy chính xác”, nên có một thời điểm $t_0$ tại đó các điểm $O, A_1$ và $B_1$ không nằm trên cùng một đường thẳng. Xét tam giác $OA_1B_1$ và đường trung tuyến $OO_1$ trong đó (Hình 1). Dễ dàng chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ, độ dài đường trung tuyến nhỏ hơn một nửa tổng chiều dài các cạnh mà nó nằm giữa (hãy chứng minh điều đó!). Do đó, tại thời điểm $t_0$ chúng ta có

27

Hình 1.

$$\frac{OA_1 + |OB_1|}{2} > |OO_1|.$$ Đối với số giờ còn lại tại thời điểm này $$\frac{|OA_i| + |OB_i|}{2} \geq |OO_i|$$ (tại sao chỉ $\geq$ mà không phải >?). Cộng 50 bất đẳng thức, ta được $M(f(t_0), f(t_0 + \frac{1}{2})) > d$.

2. Trên phân khúc

Trong bài toán 1 hóa ra là đủ để ước tính giá trị trung bình số học của hai giá trị hàm. Có thể xem xét mức trung bình của tất cả các giá trị? Để giống với định nghĩa của khái niệm này, chúng ta hãy đưa ra ý nghĩa hình học cho giá trị trung bình $n$ của các số dương $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Chia một số đoạn $[a; b]$ thành $n$ các phần bằng nhau và xây dựng một funkru bậc bao gồm các hình chữ nhật, đáy của chúng là các đoạn thu được có chiều dài $\frac{b-a}{n}$ và chiều cao tương ứng là $x_1, x_2, \dots, x_n$ (Hình 2). Diện tích của hàm bước này là $M(x_1, x_2, \dots, x_n) \cdot (b-a)$. Do đó, $M(x_1, x_2, \dots, x_n)$ là chiều cao của hình chữ nhật có đáy $[a; b]$, có diện tích bằng đường cong tương ứng của hình thang tuyến tính (Hình 3). Vì trong trường hợp đang xét diện tích

Hình 2.

hình thang này bằng $$\int_a^b f(x) \, dx$$ (Đại số và các phần tử giải tích 10, mục 101), $M(f)$ được xác định theo công thức

$$M(f) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx. \quad (2)$$

Định nghĩa (2) không chỉ phù hợp với hàm liên tục và không âm mà còn phù hợp với bất kỳ hàm nào được xác định trên $[a; b]$, mà vế phải của đẳng thức (2) có ý nghĩa.

Vì vậy định nghĩa giá trị trung bình có những tính chất tương tự như tính chất I-III:

I’. $M(f + g) = M(f) + M(g)$.

II’. $M(\alpha f) = \alpha M(f)$.

III. $$\min_{[a; b]} f \leqslant M(f) \leqslant \max_{[a; b]} f.$$ Bài tập 3. Chứng minh tính chất I’—III'.

Biểu thức từ I’-III’ của tính chất IV’. Nếu $f(x) \leqslant g(x)$ với tất cả $x \in [a; b]$ thì $M(f) \leqslant M(g)$.

Bạn đã xem giá trị trung bình của một hàm trên một đoạn trong ghi chú “Buffon’s Needle” của A. Vilenkin («Kvant», 1977, số 5). Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ khác về việc áp dụng khái niệm này.

Bài 2. Trên mặt phẳng dữ liệu có các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ có tổng bằng 0. Chứng minh bất đẳng thức

$$|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}| + |\vec{d}| \geqslant |\vec{a} + \vec{d}| + |\vec{b} + \vec{d}| + |\vec{c} + \vec{d}|. \quad (3)$$

lời giải của chúng tôi về bài toán này sẽ dựa trên biến thể một chiều của nó:

28

Hình 3.

Bài tập 5. Chứng minh rằng nếu $a, b, c, d$ là số thực có tổng bằng 0 thì $|a| + |b| + |c| + |d| \geq |a+d| + |b+d| + |c+d|$.

Lời giải. Nếu trong (3) các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ được thay thế bằng hình chiếu của chúng lên một trục nào đó (“Hình học 9”), chúng ta nhận được (4). Một ý tưởng nảy sinh: chứng minh (3) bằng cách xem xét hình chiếu của các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ này lên tất cả các trục có thể. Hãy thử thực hiện nó.

Đặt $\vec{p}$ là một vectơ. Xin giới thiệu hàm phụ $p$ như sau: cố định một số trục $l_0$; chúng ta hãy biểu thị bằng $p(\alpha)$ hình chiếu của vectơ $\vec{p}$ lên trục $l$, tạo thành một góc $\alpha$ với trục $l_0$ (Hình 4). Nếu $\varphi$ là góc giữa vectơ $\vec{p}$ và trục $l_0$, thì $p(\alpha) = |\vec{p}| \cos(\varphi - \alpha)$.

Xét giá trị trung bình $M(|p|)$ của hàm $\alpha \rightarrow |p(\alpha)|$ trên khoảng $[0; 2\pi]$. Từ định nghĩa (2)

$$M(|p|) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |p(\alpha)| d\alpha =$$

$$= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |\vec{p}| \cos(\varphi - \alpha)| d\alpha =$$

$$= \frac{|\vec{p}|}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |\cos(\varphi - \alpha)| d\alpha.$$

Hãy chứng minh sự tồn tại của $k \neq 0$ sao cho với mọi vectơ $\vec{p}$ đẳng thức

$$M(|\vec{p}|) = k |\vec{p}|.$$

(6)

Theo (5), đủ để chứng minh rằng tích phân $\int_{0}^{2\pi} |\cos(\varphi - \alpha)| d\alpha$ không phụ thuộc vào vectơ $\vec{p}$, nghĩa là không phụ thuộc vào góc $\varphi$.

$$\int_{0}^{2\pi} |\cos(\varphi - \alpha)| d\alpha = \int_{0}^{2\pi} |\cos(\alpha - \varphi)| d\alpha =$$

$$= \int_{0}^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha = \int_{0}^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha =$$

$$= \int_{0}^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha + \int_{0}^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha + \int_{0}^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha + \int_{0}^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha.$$

(7)

Phép tính này sử dụng hai tính chất của tích phân:

$$\int_{a}^{b} f(x + p) dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) dx,$$

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$$

29

“Đại số và nguyên tắc phân tích 10”, đoạn 106 và bài toán số 512). Điểm trọng tâm của phép tính là sử dụng thực tế rằng $2\pi$ là chu kỳ của hàm $\alpha \rightarrow \cos \alpha$.

Tích phân $\int_0^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha$ có thể được tính (nó bằng 4), nhưng điều quan trọng đối với chúng ta là nó không phụ thuộc vào $\varphi$ và khác 0.

Nếu $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$, thì với bất kỳ $\alpha$ nào chúng ta có $a(\alpha) + b(\alpha) + c(\alpha) + d(\alpha) = 0$. Có hiệu lực (4)

$$|a(\alpha)| + |b(\alpha)| + |c(\alpha)| + |d(\alpha)| \geq |a(\alpha) + d(\alpha)| + |b(\alpha) + d(\alpha)| + |c(\alpha) + d(\alpha)|.$$

(8)

Vì (8) thỏa mãn với mọi $\alpha \in [0; 2\pi]$ nên nó suy ra từ tính chất IV’ và I'

$$M(|a|) + M(|b|) + M(|c|) + M(|d|) \geq M(|a+d|) + M(|b+d|) + M(|c+d|).$$

Từ (6)

$$k|\vec{a}| + k|\vec{b}| + k|\vec{c}| + k|\vec{d}| \geq k|\vec{a}+d| + k|\vec{b}+d| + k|\vec{c}+d|.$$

Giảm $k$, ta thu được (3).

3. Trên hình tròn và hình cầu

Bài 3. Trong không gian dữ liệu có các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ có tổng bằng 0. Chứng minh bất đẳng thức (3) cho chúng.

Tôi xin chứng minh (3) bằng cách chuyển “giải tích phẳng” (từ bài 2) sang không gian. Để làm được điều này, bằng cách nào đó chúng ta cần xác định giá trị trung bình của mô hình chiếu vectơ lên ​​tất cả các trục có thể có trong không gian. Để giải thích cách thực hiện điều này, trước tiên hãy xem xét hàm được xác định trên một đường tròn có bán kính đơn vị.

Đặt $f$ là một hàm như vậy. Đối với $\alpha$ tùy ý, chúng tôi đặt $f(\alpha) = f(A)$, trong đó $A$ là điểm cuối của đường tròn của chúng tôi với số đo radian $\alpha$ (Hình 5). Vì vậy, chúng ta đã gán cho một hàm tùy ý $f$ được xác định trên vòng tròn đơn vị một hàm nhất định $f$,

xác định trên toàn bộ đường thẳng Rõ ràng, $f$ là hàm tuần hoàn có chu kỳ $2\pi$. Bây giờ chúng ta hãy xác định giá trị trung bình $M(f)$ của hàm $f$ trên đường tròn là giá trị trung bình của hàm $f$ trên đoạn [0; 2π].

Trong lời giải bài toán 2 đã cho, vai trò chính được thể hiện bởi sự bất đẳng thức của giá trị trung bình $M(|p|)$ theo hướng của vectơ $p$. Bất đẳng thức này là trường hợp một phần của tính chất chung sau đây của các giá trị trung bình của hàm số trên đường tròn:

$V'$. Đặt $f$ và $g$ là các hàm được xác định trên một đường tròn và có tối đa $\alpha$, giá trị này đối với bất kỳ $A$ đường tròn $g(A) = f(R^\alpha(A))$ nào (ở đây $R^\alpha$ là phép quay vectơ của một đường tròn đã cho theo một góc $\alpha$). Sau đó $M(g) = M(f)$.

Bài tập 6. Chứng minh tính chất $V'$.

Đến bài toán 3, xét trong không gian một hình cầu có bán kính đơn vị với tâm là gốc $O$. Đối với một hàm cho trên hình cầu này, giá trị trung bình có thể được xác định theo cách thỏa mãn các thuộc tính $I$ - $V'$. Ở đây chúng tôi không thể giải thích việc này được thực hiện như thế nào, vì để làm được điều này, chúng tôi sẽ phải giới thiệu nội hóa theo hình cầu. (Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng tổng giữa các khoảng theo cách tương tự như interAL được định nghĩa trên một dòng trong đoạn 104 của sách giáo khoa “Đại số và các yếu tố phân tích 10”.) Giả sử rằng giá trị trung bình $M(f)$ của hàm $f$ trên hình cầu được xác định bằng cách nào đó và các thuộc tính $I'$ - $V'$ được thỏa mãn. (Do đó, chúng ta coi việc gán tiên đề giá trị trung bình của hàm

30

tsini trên quả cầu. Thật thú vị khi lưu ý rằng nó được xác định duy nhất bởi các “tiên đề” $I' - V'$.)

Đặt $p$ là một vectơ. Chúng ta hãy giới thiệu hàm phụ $p$ như sau: với bất kỳ điểm $A$ nào của hình cầu, chúng ta biểu thị bằng $p(A)$ hình chiếu của vectơ $p$ lên trục được xác định bởi vectơ $\vec{OA}$.

Xét giá trị trung bình $M(|p|)$ của hàm $A \rightarrow |p(A)|$ trên hình cầu. Hãy chứng minh sự tồn tại của $k \neq 0$ sao cho với mọi vectơ $p$ (6) đều thỏa mãn. Để làm điều này, sau khi suy ra các tính chất của $II'$, chỉ cần chứng minh rằng $|\vec{p}| = |\vec{q}|$ ngụ ý $M(|p|) = M(|q|)$ là đủ.

Làm bài tập 7. Chứng tỏ như vậy là đủ.

Hãy để $|\vec{p}| = |\vec{q}|$. Ta biểu thị bằng $R$ một phép quay nào đó của không gian quanh trục đi qua điểm $O$, biến tia có vectơ chỉ phương $\vec{q}$ thành tia có vectơ chỉ phương $p$. thì với bất kỳ điểm $A$ nào của hình cầu $q(A) = p(R(A))$. Từ $V'$ theo sau $M(|q|) = M(|p|)$.

Hơn nữa lời giải bài toán 3 nên lặp lại lời giải bài toán 2. (Bài tập 5 và bài toán 2, 3 sẽ cạn kiệt bài toán M394.)

4. Chiều dài trên chiều rộng

Ý tưởng dựa trên lời giải bài toán 2 và 3 có thể được sử dụng để tính chiều dài của một đa tuyến lồi đóng phẳng.

Đặt $J$ là một đường đứt quãng, $a_1, a_2, \dots, a_n$ các liên kết của nó. Chúng tôi sửa một số trục $l_0$. Đặt $l_\alpha$ là trục tạo thành một góc $\alpha$ với trục $l_0$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $Ш(\alpha)$ “chiều rộng” của đường đứt nét theo hướng của trục $l_\alpha$, tức là độ dài hình chiếu của nó lên trục $l_\alpha$. Hóa ra là nếu bạn biết “chiều rộng” của đường đứt nét $J$ theo một hướng tùy ý, tức là có thể tính được hàm $\alpha \rightarrow Ш(\alpha)$, thì bạn có thể tìm thấy độ dài của nó $L$. Chúng tôi sẽ chỉ cho bạn cách làm điều đó.

Ta ký hiệu bằng $a_i(\alpha)$ độ dài hình chiếu của liên kết $a_i$ lên trục $l_\alpha$.

Bài tập 8. Chứng minh rằng $Ш(\alpha) = \frac{1}{2} [a_1(\alpha) + a_2(\alpha) + \dots + a_n(\alpha)]$.

Trong lời giải bài toán 2, giá trị trung bình của hàm $\alpha \rightarrow a_i(\alpha)$ tỷ lệ thuận với $|a_i|$. Từ (5) và (7), hệ số tỷ lệ bằng $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |\cos \alpha| d\alpha = \frac{2}{\pi}$.

Từ Bài tập 8 và các tính chất $I'$, $II'$, giá trị trung bình $M(Ш)$ của hàm $Ш$ bằng giá trị trung bình của hàm $\alpha \rightarrow a_i(\alpha)$. Kể từ đây,

$$M(Ш) = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{\pi} |a_1| + \right. \\ + \frac{2}{\pi} |a_2| + \dots + \frac{2}{\pi} |a_n|) = \\ = \frac{1}{\pi} \left( |a_1| + |a_2| + \dots + |a_n| \right) = \frac{1}{\pi} L.$$

Từ đây và từ (2)

$$L = \pi \cdot M(Ш) = \pi \cdot \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} Ш(\alpha) d\alpha = \\ = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} Ш(\alpha) d\alpha (9)$$

Như vậy, biết hàm $Ш$, chúng ta có thể tìm được độ dài $L$ của đường đứt nét $J$.

Bài tập 9. Chứng minh rằng nếu độ dài tất cả các cạnh và các đường chéo của một đa giác lồi nhỏ hơn $d$ thì chu vi của đa giác đó nhỏ hơn $πd$.

Công thức (9) đúng cho mọi đường cong lồi phẳng khép kín. Phương pháp phác thảo để xác định chiều dài “thông qua chiều rộng” được đề xuất vào năm 1930 bởi nhà toán học nổi tiếng người Ba Lan G. Steinhuz.

5. chiều dài số tiền

Bài 4. Trên mặt phẳng dữ liệu có các vectơ $a_1, a_2, \dots, a_n$ có tổng độ dài bằng 1. Chứng minh rằng có thể chọn trung bình cho một số vectơ có tổng độ dài không nhỏ hơn $\frac{1}{\pi}$.

Hãy giải quyết bài toán này bằng cách làm theo kế hoạch được đề xuất bên dưới. Đặt $3$ là tập con của tập hợp $\{a_1, a_2, \dots\}$.

31

…, $a_n$ với tổng dài nhất.

Bài tập 10. Chứng minh rằng tất cả các vectơ từ $B$ “cùng hướng”, nghĩa là chúng tạo thành các góc nhọn với một trục nào đó.

Hãy gọi phép chiếu giả của vectơ $p$ lên trục $l$ là phép chiếu thông thường nếu góc giữa $p$ và $l$ là nhọn và số $0$ nếu ngược lại. Chúng tôi sửa một số trục $l_0$. Đặt $l_\alpha$ là trục tạo thành một góc $\alpha$ với trục $l_0$. Hãy đặt

$$g(x) = \begin{cases} \cos x, & \text{ если } \cos x > 0, \\ 0, & \text{ если } \cos x \leq 0. \end{cases}$$

Bài tập 11. Kiểm tra $\int_0^{2\pi} g(\varphi - \alpha) d\alpha = 2$ với bất kỳ $\varphi$ nào.

Nếu $\varphi$ là góc giữa vectơ $p$ và trục $l_0$, thì phép chiếu giả của vectơ này lên trục $l_\alpha$ bằng $|p|g(\varphi - \alpha)$.

Chúng ta hãy biểu thị tổng các hình chiếu giả của vectơ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ lên trục $l_\alpha$ bằng $f(\alpha)$.

Bài tập 12. Chứng minh giá trị trung bình của hàm số $f$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ bằng $\frac{1}{\pi}$.

Bài tập 13. Chứng minh rằng có thể chọn trục $l_\alpha$ sao cho tổng các hình chiếu giả của các vectơ này lên trục này không nhỏ hơn $\frac{1}{\pi}$.

Bài tập 14. Chứng minh khẳng định bài toán 4.

Hằng số $\frac{1}{\pi}$ trong bài toán 4 không thể thay thế bằng bất kỳ hằng số nào lớn hơn. Điều này có thể được xác minh bằng cách lấy một $n$ đủ lớn và các vectơ đi dọc theo các cạnh của một $n$-giác thông thường.

Nếu trong bài toán 4 chúng ta thay thế $\frac{1}{\pi}$ bằng $\frac{1}{4}$, thì câu lệnh tương ứng cũng sẽ đúng với các vectơ trong không gian.

Số học với hình học

a) Tìm độ dài cạnh của hình vuông và tam giác đều như hình vẽ, nếu trong các công thức biểu thị độ dài cạnh, mỗi chữ cái biểu thị một số nhất định.

b) Giải tương tự bài toán cho một hình thoi như trong hình dưới đây.

V. Radunsky

32

Bài toán

M451—M455; F463—F467

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường hiện tại. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 10 năm 1977 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 16/21, tòa soạn tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết các số bài toán, lời giải bạn đang gửi, ví dụ: “M451, M454” hoặc “F467”. Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới phải được gửi trong phong bì riêng. Ngoài ra, vui lòng gửi Bài toán từ các số tạp chí khác nhau trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, hãy gửi hai bản sao cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Trong số này và các số tiếp theo, “Bài toán «Kvant» chủ yếu bao gồm bài toán, được đưa ra tại Olympic toàn thế giới vừa qua.

M451. Một số điểm không nằm trên cùng một đường thẳng được đánh dấu trên mặt phẳng và một số được viết bên cạnh mỗi điểm. Biết rằng nếu một đường thẳng đi qua hoặc nhiều điểm bù thì tổng các số viết gần các điểm này đều bằng 0. Chứng minh rằng mọi số đều bằng 0.

F. Vainitein

M452. Các hình tam giác $T_1$ và $T_2$ nội tiếp trong một đường tròn và các đỉnh của tam giác $T_2$ là trung điểm của các cung mà đường tròn được chia cho các đỉnh của tam giác $T_1$. Chứng minh rằng trong lục giác $T_1 \cap T_2$ các đường chéo nối các đỉnh đối diện song song với các cạnh của tam giác $T_1$ và cắt nhau tại một điểm.

N. Netsvetaev

M453. Cho một tập hợp số dương $\{a_1; a_2; ...; a_n\}$. Đối với mỗi tập hợp con của nó, chúng ta viết ra tổng các số có trong đó (tổng của một, hai, …, $n$ số hạng được xem xét). Chứng minh rằng tất cả các số viết được đều có thể chia thành các nhóm $n$ sao cho trong mỗi nhóm tỉ số giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất không vượt quá 2.

M454. 7 chú lùn đang ngồi ở một chiếc bàn tròn. Trước mỗi người đều có một chiếc cốc. Một số cốc này chứa đầy sữa. Một trong những chú lùn đổ hết sữa của mình vào cốc của những người khác. Sau đó, người hàng xóm bên phải của anh ta cũng làm như vậy. Sau đó, người hàng xóm tiếp theo bên phải cũng làm như vậy, v.v. Sau người cuối cùng, người lùn tiếp theo đổ phần sữa còn lại của họ ra, mỗi cốc chứa cùng một lượng sữa như lúc đầu. Tất cả các cốc đều chứa 3 lít sữa. Hỏi ban đầu mỗi cốc có bao nhiêu sữa?

B. Gutenacher