Kvant 1978, số 8 · Trang

KEANM
8
1978
Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

Hình này minh họa cách chứng minh của chính Morley về định lý Morley. Nó mô tả một nhóm các trái tim chạm vào cả ba cạnh của tam giác. Tâm của tất cả các cơ tim này nằm trên một đường đi qua một số giao điểm của đường phân giác của tam giác. Để biết chi tiết, xem tr. 28. Bức vẽ được thực hiện trên máy tính sử dụng chương trình do Yu biên soạn. Kotov.

1

TRONG PHÒNG:

2. M. Bashmak. Phương trình Diophantine và điểm hữu tỷ
3. L. Goldin. Và một lần nữa máy gia tốc
4. Z. Tmeladze. Ferma đang dẫn đầu cuộc điều tra.
5. N. Malov. Các điểm ngược chiều có luôn đẩy nhau không?

Phòng thí nghiệm «Kvant»
26. V. Mayer. Sóng uốn trong tấm

vòng tròn toán học
28. G. Tonoyan, I. Yaglom. Định lý Morley

Vấn đề «Kvant»
33. Bài toán M516—M520; F528—F532
36. Lời giải bài toán M466—M469; F482—F486
44. S. Fomin. Vé và hộp

trang thiên văn học
48. Nguyệt thực toàn phần
48. Có thể nhìn thấy sao!

«Kvant» cho học sinh nhỏ
49. A. Starikov. Cô gái phi thường
50. Yu. Danilov. Stomakhon

Đánh giá, thư mục
54. I. Klumova, M. Smolyansky. Sách mới

Thông tin
56. I. Slobodetsky. Olympic Vật lý học sinh quốc tế X
61 Trường thể chất thư tín
62 Trường thể chất buổi tối
63 Đáp số, gợi ý, lời giải

Pha trộn (47)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản “Hayka”, 1978

2

Diophantov
phương trình
và hợp lý
điểm

Lĩnh vực lý thuyết số nghiên cứu các phương trình số nguyên lời giải có dạng $P(x, y, \dots) = 0$, trong đó $P(x, y, \dots)$ là đa thức của một số biến có hệ số nguyên, được gọi là phân tích Diophantine và bản thân các phương trình này được gọi là Diophantine.

Chúng được đặt theo tên của nhà toán học nổi tiếng người Hy Lạp Diophantus, người sống ở thế kỷ thứ 3 và đã viết chuyên luận đầu tiên về các phương trình như vậy.

Mặc dù thực tế là phương trình Diophantine là một trong những lĩnh vực lâu đời nhất của toán học,

phương pháp chung lời giải ra đời khá gần đây. Trong các tác phẩm cổ điển, phương trình Diophantine tuyến tính và bậc hai chủ yếu được xem xét. Lời giải Sự phát triển của các phương trình phức tạp hơn đã có tiến bộ vượt bậc trong 20-25 năm qua nhờ sự tham gia rộng rãi vào lý thuyết số từ các lĩnh vực khác của toán học, chủ yếu là từ hình học và cấu trúc liên kết. Theo lời của N. Bourbaki, “…hình học cổ điển…đang trở thành ngôn ngữ phổ quát của toàn bộ toán học, sở hữu tính linh hoạt và tiện lợi đặc biệt.” Hình học không chỉ cung cấp ngôn ngữ mà còn cung cấp cả cấu trúc và trực giác của nó.

Hãy nhìn xem ngôn ngữ hình học rõ ràng biết bao. Lấy ví dụ: phương trình Fermat $x^n + y^n = z^n$, chia cả hai vế cho $z^n$ và biểu thị $x/z$ cho $u, y/z$ cho $v$. Chúng ta thu được phương trình $u^n + v^n = 1$. Mỗi lời giải $(x; y; z)$ của phương trình Fermat cho mục đích số tương ứng (tại $z \neq 0$) với lời giải của phương trình $u^n + v^n = 1$ trong số hữu tỷ.

Nếu bây giờ chúng ta xem xét đồ thị của phương trình này trên mặt phẳng $(u, v)$,

4

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một đường cong được xác định bởi phương trình bậc ba, phương trình này cũng là hữu tỉ. Đây là đường cong $y^2=x^3-x^2$. Nó được hiển thị trong Hình 3 và bao gồm một điểm cô lập $O$ và một nhánh đối xứng với trục tương đối $x$.

Nhiệm vụ 3. Căn chỉnh Hình 3.

Chúng ta hãy vẽ qua điểm $O$ tất cả các đường thẳng có thể có $y=tx$. Các giá trị của hệ số góc $t$ có ​​thể được vẽ trên trục $t$ được vẽ qua điểm $(1, 0)$ (Hình 4). Thay $y=tx$ vào phương trình của đường cong và triệt tiêu bằng $x^2$ (mất điểm kỳ dị $O!$), ta thu được tham số hóa

$$\begin{cases} x=t^2+1, \\ y=t(t^2+1), \end{cases}$$

tại đó giá trị hữu tỉ $t$ tương ứng với các điểm hữu tỉ của đường cong $y^2=x^3-x^2$.

Bài 4. Lập và chứng minh mệnh đề ngược lại.

Vì vậy, có thể thiết lập sự tương ứng một-một giữa các điểm hữu tỉ của đường cong $y^2=x^3-x^2$ (không có điểm $(0, 0$)) và đường thẳng $t$. Về mặt hình học, chúng đại diện cho thiết kế trung tâm được thể hiện trong Hình 4.

Tương tự, người ta có thể tìm tham số hóa hợp lý của đường cong $y^2=x^3+x^2$:

$$x=t^2-1, y=t(t^2-1).$$

Bài 5. Xây dựng đường cong này và chứng minh rằng nếu thỏa mãn sự tương ứng $(t_1-1)(t_2-1)(t_3-1)=(t_1+1)(t_2+1)(t_3+1)$ với các giá trị của tham số $t_1, t_2$ thì ba điểm tương ứng nằm trên cùng một đường thẳng.

Vì vậy, đối với mỗi đường cong hữu tỉ mà chúng ta đã xem xét, chúng ta có thể chỉ định ánh xạ của một đường trên đường cong trong đó các điểm hữu tỉ của đường cong tương ứng với các điểm hữu tỉ của đường thẳng. Trên thực tế, phát biểu này cũng đúng với một đường cong hữu tỷ tùy ý; chúng ta thu được phương trình từ Diophantus.

Câu hỏi nảy sinh: có những đường cong vô tỷ không? Làm thế nào để mô tả tất cả các đường cong hợp lý? Đáp số được biết đến với những câu hỏi này. Ví dụ, tất cả các đường cong cấp một và cấp hai đều hữu tỉ. Có lý trí

5

Hình 6.

các đường cong tự nhiên ở bất kỳ mức độ nào, nhưng tất cả các đường cong có mức độ lớn hơn hai đều có một đặc thù - điểm tự giao nhau, điểm tự chạm, v.v. (Hình 5).

Đối với $n > 2$ đường cong Fermat $u^n + v^n = 1$ không hợp lý. Chứng minh rằng điều này tương đương với phát biểu rằng phương trình Fermat $x^n + y^n = z^n$ không có lời giải trong số các đa thức $x(t), y(t), z(t)$ bậc ít nhất một. (Thực tế này đã được chứng minh trong bài báo của B. Martynov “Định lý Fermat cho đa thức” («Kvant», 1976, số 8).)

Chúng ta sẽ lại hiển thị cái thứ hai bằng ví dụ về hình tròn. Hãy lấy hai điểm hữu tỉ trên đường tròn - ví dụ: $P_1$ (3/5, 4/5) và $P_2$ (13/5, 12/13). Đặt $\alpha_1$ và $\alpha_2$ là các góc tương ứng với các điểm $P_1$ và $P_2$. Điểm tương ứng với góc $\alpha_1 + \alpha_2$ cũng sẽ hữu tỉ, vì

$$\cos(\alpha_1 + \alpha_2) = \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 - \sin \alpha_1 \sin \alpha_2, \sin(\alpha_1 + \alpha_2) = \sin \alpha_1 \cos \alpha_2 + \cos \alpha_1 \sin \alpha_2.$$

Do đó, chúng ta có thể “cộng” các điểm hữu tỉ trên một vòng tròn bằng công thức $(u_1; v_1) \oplus (u_2; v_2) = (u_1 u_2 - v_1 v_2; u_1 v_2 + u_2 v_1)$ và thu được các điểm hữu tỉ mới. Đặc tính này của hình tròn làm cơ sở cho vẻ đẹp nhiều mặt bài toán.

Bài tập 6. a) Cho $P_1$ là điểm hữu tỉ của đường tròn ứng với một góc $\alpha$ nào đó. Chứng minh rằng các điểm $P_n$ tương ứng với các góc $n \in \mathbb{Z}$ cũng hữu tỉ.

b) Chứng minh rằng khoảng cách từng cặp giữa các điểm dựng ở phần a) là hợp lý.

c) Xây dựng $n$ điểm trên mặt phẳng, ba điểm dưới không nằm trên cùng một đường thẳng và khoảng cách theo cặp giữa chúng là số nguyên.

Hóa ra cũng có những đường cong có tính chất sau: các điểm trên chúng có thể được “cộng” và “tổng” các điểm hữu tỉ là một điểm hữu tỉ. Đối với những đường cong như vậy, đôi khi có thể “kéo dài” cả một chuỗi các điểm hữu tỉ mới từ hai điểm hữu tỉ.

Hãy lấy đường cong làm ví dụ

$$y^2 + y = x^3 - x.$$

Bài toán 7. Chứng minh đường cong này không hữu tỷ.

Hãy lấy hai điểm trên đường cong này và vẽ một đường thẳng đi qua chúng. Đường thẳng này sẽ cắt đường cong của chúng ta tại một điểm nữa (Hình 6). Thật vậy, nếu viết phương trình đường thẳng đã vẽ dưới dạng $y = kx + b$ và thay $y$ vào phương trình đường cong, chúng ta thu được phương trình bậc ba tương đối $x$. Khi nghiệm của phương trình này ứng với hoành độ của ba điểm giao nhau của đường thẳng và đường cong bậc ba của chúng ta. Gọi $P_1(x_1; y_1), P_2(x_2; y_2), P_3(x_3; y_3)$ là ba điểm giao nhau của đường $y = kx + b$ và đường cong $y^2 + y = x^3 - x$. Có một thư từ

$$x_1 + x_2 + x_3 = \left(\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}\right)^2.$$

Để chứng minh điều này, hãy thay $y = kx + b$ vào phương trình của đường cong. Chúng ta thu được phương trình $x^3 - k^2 x^2 - (2kb + k + 1)x - b^2 - b = 0$. Có thể chứng minh rằng $x^3 - k^2 x^2 - (2kb + k + 1)x - b^2 - b = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Vì vậy, $x_1 + x_2 + x_3 = k^2$. Độ dốc $k$ của đường thẳng đi qua các điểm $P_1(x_1, y_1)$ và $P_2(x_2, y_2)$ là $\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$. Như vậy ta được (*).

Cho rằng $y_3 = kx_3 + b$, $b = \frac{y_2 x_1 - y_1 x_2}{x_1 - x_2}$, ta thấy tọa độ của giao điểm thứ ba là hữu tỉ nếu tọa độ của hai điểm đầu là hữu tỉ. Điều này giúp có thể thu được các phương trình lời giải mới $y^2 + y = x^3 - x$ ở dạng số hữu tỉ.

6

Hình 7.

Bình luận. Khoảng cách phía trên phương trình bậc ba có thể có gốc trùng khớp. Điều này có nghĩa là đường thẳng và đường cong của chúng ta chạm vào nhau.

Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng một chuỗi vô hạn các phương trình lời giải hữu tỉ $y^2+y=x^3-x$ bằng cách vẽ các cát tuyến và tiếp tuyến thông qua các điểm hữu tỷ đã biết. Trước tiên, chúng ta hãy lưu ý rằng các điểm trên đường cong của chúng ta nằm theo cặp - cùng với điểm $P(x_0; y_0)$ có ​​một điểm $P'(x_0; -1-y_0)$ trên đường cong, đối xứng với nó so với đường thẳng $y=-\frac{1}{2}$. Điều này diễn ra từ điểm $y^2+y=(-1-y)^2+(-1-y)$. Hãy bắt đầu với điểm hợp lý được đánh giá $P_1(0; 0)$. Điểm đối xứng với nó là $P'_1(0; -1)$. Hãy vẽ một tiếp tuyến qua $P_1$ (xem nhận xét). Phương trình của tiếp tuyến này là $y=-x$. Hãy tìm giao điểm của nó với đường cong của chúng ta: $P_2(1; -1)$. Những người không biết cách tìm tiếp tuyến có thể sử dụng phép thay thế trực tiếp để xác minh rằng điểm hữu tỉ $P_2$ nằm trên đường cong của chúng ta. Từ $P_2$ chúng ta nhận được điểm $P'_2(1; 0)$.

Vì vậy, có bốn điểm hợp lý trên đường cong của chúng tôi:

$$P_1(0; 0), \quad P'_1(0; -1),$$
$$P_2(1; -1), \quad P'_2(1; 0).$$

Bây giờ chúng tôi khởi động “băng tải”. Hãy vẽ một đường thẳng qua $P_1$ và $P'_2$—đây là trục $x$. Nó cắt đường cong của chúng ta tại một điểm rõ ràng khác $P_3(-1; 0)$. Cùng với điểm đối xứng $P'_3(-1; -1)$ chúng ta có sáu điểm của đường cong ban đầu. Hãy nối các điểm $P'_3$ và $P_1$. Chúng ta có đường thẳng $y=x$. Dễ dàng tìm được giao điểm thứ ba: thay $y=x$, ta được phương trình bậc ba $x^3-x^2-2x=0$, hai nghiệm của phương trình này đã được thay đổi. Sử dụng (), chúng ta thu được điểm mới $P_4(2; 2)$—điểm lời giải không hiển nhiên của phương trình ban đầu. Hãy tiếp tục quá trình này. Để lấy điểm $P_5$, hãy vẽ một đường thẳng qua các điểm $P'_4(2; -3)$ và $P_1$. Dễ dàng kiểm tra được kết quả sẽ là điểm $P_5(1/4; -3/8)$. Sử dụng Hình 7, có thể dễ dàng theo dõi quá trình xây dựng các điểm mới. Việc tính toán sử dụng công thức () cũng đơn giản. Kết quả là chúng ta thu được một loạt điểm như trong bảng.

Khó có độc giả nào có thể nói rằng tất cả lời giải mà chúng tôi tìm thấy đều hiển nhiên.

Tại điểm này trong bài viết, tác giả thậm chí còn nắm bắt được hai trong số đó - có thể đặt ra bao nhiêu câu hỏi có ý nghĩa khi nhìn vào Hình 7 vô hại. Dưới đây là một vài trong số đó:

1. Bằng cách vẽ các cát tuyến và tiếp tuyến, liệu chúng ta sẽ có được một chuỗi vô hạn các điểm khác nhau hay quá trình của chúng ta sẽ “đi theo chu kỳ”?
2. Có phải tất cả lời giải hữu tỉ của phương trình ban đầu đều xuất hiện trong dãy của chúng ta không?

7

3. Liệu vẫn còn số nguyên lời giải (ví dụ: các điểm (6; 14) và (6; -15) đã được biểu thị) hay tất cả lời giải tiếp theo sẽ không phải là số nguyên?

4. Có phải ngẫu nhiên mà các mẫu số của lời giải chứa các hình vuông và lập phương của các số nguyên?

5. Ví dụ: trong hình có thể thấy rõ rằng điểm $P_5$ có thể đạt được theo cách khác - bằng cách vẽ một đường thẳng qua $P'_3$ và $P'_2$. Đây có phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên?

6. Gần như hiển nhiên rằng tất cả các điểm có số lẻ đều nằm trên một nhánh của đường cong và tất cả các điểm có số chẵn đều nằm ở nhánh kia. Làm thế nào điều này có thể được chứng minh một cách chặt chẽ?

Ba câu hỏi đầu tiên rất khó. Hãy để tôi nói cho bạn biết rằng chuỗi điểm của chúng ta là vô hạn và tất cả các điểm có tọa độ hợp lý sẽ được tìm thấy trong đó.

Thay vì lăng mạ, tôi sẽ đưa ra một ví dụ nữa. Chúng ta hãy nhìn vào một đường cong rất giống nhau $y^2 + y = x^3 - x^2$. Một cấu hình tương tự như cấu hình mà chúng tôi đã xây dựng được khai báo ở bước thứ ba - xem Hình 8. Điều thú vị là đường cong này không có điểm hữu tỷ nào khác và phương trình $y^2 + y = x^3 - x^2$ không có lời giải ở dạng số hữu tỷ, ngoại trừ bốn điểm tầm thường.

Chúng ta đã đề cập đến một trong những vấn đề khó khăn nhất của lý thuyết số hiện đại.

Người ta biết rằng trên bất kỳ đường cong Cubian nào cũng có một số điểm hữu hạn, từ đó, bắt đầu quá trình được mô tả, người ta có thể thu được tất cả các điểm hữu tỷ của nó. Điều này đã được chứng minh khoảng năm mươi năm trước, nhưng vẫn chưa có cách tổng quát nào để tìm ra những điểm này.

Cách để tìm hiểu xem quá trình vẽ các đường thẳng hoặc nối ống dẫn một cấu hình vô hạn sẽ lặp lại hay không. Gần đây hơn, người ta đã chứng minh rằng cấu hình cuối cùng có thể có nhiều hơn 11 điểm và tất cả các trường hợp (trừ trường hợp 10 điểm) đều xảy ra và được nghiên cứu kỹ lưỡng.

Trên hầu hết các đường cong đã biết, số lượng điểm bắt đầu để xây dựng tất cả các điểm hữu tỉ là nhỏ - một hoặc hai. Tuy nhiên, có một giả thuyết cho rằng đối với bất kỳ $n$ nào cũng có những đường cong yêu cầu xây dựng tất cả các điểm lời giải $n$. Cho đến nay các ví dụ đã được xây dựng cho $n \leqslant 7$.

Và cuối cùng, nhận xét cuối cùng: nếu trong ví dụ của chúng ta với đường cong $y^2 + y = x^3 - x$, chúng ta thay đổi ký hiệu một chút - chúng ta viết $A_1$ cùng nhau $P_1$, $A_{-1}$ (thay vì $A'_1$, $A_k$ cùng nhau $P'_k$ và $A_{-k}$ cùng nhau $P_k$ (cho $k \geqslant 2$), và phép cộng đã cho phức tạp hơn một chút (“tổng” của hai điểm không phải là giao điểm thứ ba của một đường thẳng và một đường cong, mà là điểm đối xứng với nó so với đường thẳng $y = -\frac{1}{2}$), ta thu được công thức

$$A_m \oplus A_n = A_{m+n},$$

hợp lệ cho tất cả các số nguyên $m, n$.

8

Và một lần nữa máy gia tốc

Trong bài viết này, chúng ta tiếp tục cuộc trò chuyện về máy gia tốc bắt đầu từ số 4, 1977. Sau đó, chúng ta không có thời gian để nói về máy gia tốc hiện đại khổng lồ - máy đồng bộ với tiêu điểm chặt chẽ - và về một số vấn đề đóng vai trò quan trọng trong máy gia tốc - và không chỉ trong máy gia tốc - vật lý. Trong số đó, vị trí trung tâm bị chiếm giữ bởi vấn đề ổn định giao thông. Bài viết của chúng tôi sẽ được dành cho những vấn đề này. Nhưng trước khi chuyển sang chủ đề chính, chúng ta sẽ nhớ lại ngắn gọn cách thiết kế và hoạt động của máy gia tốc tuần hoàn đơn giản nhất, cyclotron.

Các hạt được gia tốc trong máy cyclotron chuyển động trong buồng chân không có hình dạng giống như một hộp thiếc khổng lồ (Hình 1). Buồng chân không được bao bọc giữa các dải nam châm điện, tạo ra một từ trường thẳng đứng gần như đồng nhất trong đó. Quỹ đạo của các hạt nằm trong mặt phẳng ngang và do đó vuông góc với hướng của vectơ cảm ứng từ. Các hạt mang điện chuyển động trong từ trường chịu tác dụng của lực Lorentz, lực này vuông góc với cả từ trường và tốc độ. Lực này biến quỹ đạo của các hạt thành một vòng (nếu chúng chuyển động với tốc độ không đổi).

Các hạt trong cyclotron được gia tốc bởi điện trường. Trường này được tạo ra bởi các điện cực đặt bên trong buồng chân không -

$$\frac{q \overrightarrow{v} \overrightarrow{B}}{m} = \frac{v^2}{R}.$$

Chu kỳ $T$ vòng quay của một hạt chuyển động dọc theo một đường tròn bán kính $R$ với tốc độ $\overrightarrow{v}$ bằng $2\pi R / |v|$. Như vậy,

$$T = \frac{2\pi R}{|v|} = \frac{2\pi R}{qR|\overrightarrow{B}|/m} = 2\pi \frac{m}{q|\overrightarrow{B}|}.$$

Ở mức năng lượng thấp (cyclotron nói chung), khối lượng của một phần

9

là hằng số và chu kì chuyển động không phụ thuộc vào năng lượng của hạt. Với năng lượng ngày càng tăng (phasotron), khối lượng của hạt quay trở lại theo các công thức của lý thuyết tương đối. Thời gian lưu thông của họ tăng lên. Tần số của điện trường gia tốc phải luôn bằng tần số quay của các hạt được gia tốc, sao cho các hạt vượt qua khe hở giữa chúng tại thời điểm điện trường có độ lớn và hướng như mong muốn. Tần số của điện áp gia tốc trong cyclotron là không đổi, nhưng trong phasotron thì nó dao động, giảm khi một loạt hạt nhất định được tăng tốc và tăng khi hạt tiếp theo được bắt giữ.

Vấn đề nguồn ngang

Cho đến nay chúng ta vẫn coi chuyển động của các hạt trong cyclotron là chúng có thể chuyển động bằng tần số quay của các hạt được gia tốc, sao cho các hạt vượt qua khoảng cách giữa chúng tại thời điểm điện trường có độ lớn và hướng mong muốn. Tần số của điện áp gia tốc trong cyclotron là không đổi, nhưng trong phasotron thì nó dao động, giảm khi một loạt hạt nhất định được tăng tốc và tăng khi hạt tiếp theo được bắt giữ.

Trong trường hợp cyclotron, điều này có nghĩa là hạt “bay” ra khỏi mặt phẳng nằm ngang hoặc “nhảy” khỏi bán kính của nó.

Rõ ràng là chỉ những máy gia tốc như vậy mới có thể hoạt động thành công nếu các biện pháp thích hợp được thực hiện để a) đảm bảo gia tốc của các hạt ngay từ đầu không di chuyển theo quỹ đạo đã tính toán mà gần với quỹ đạo đó, b) đảm bảo gia tốc của những hạt đó, vì một lý do nào đó, di chuyển từ mặt phẳng ngang khỏi quỹ đạo được tính toán trong quá trình tăng tốc.

Chúng ta hãy xem điều này có ý nghĩa gì đối với cyclotron. Từ những điều trên, rõ ràng là không thể sử dụng từ trường đều. Hình 2a minh họa rõ ràng lý do tại sao lại như vậy.

10

Hãy thử sử dụng một lĩnh vực rẻ tiền. Đường sức từ rẻ tiền bị cong. Chúng ta hãy xem các hạt sẽ hành xử như thế nào trong một trường có các đường sức cong như trong Hình 2, b. Từ hình vẽ cho thấy rõ rằng trường “lõm” như vậy không loại trừ chúng ta - nếu một hạt, theo một số nguyên tắc, lệch lên hoặc xuống so với mặt phẳng nằm ngang nơi quỹ đạo của nó nằm, thì nó sẽ không quay trở lại đó và sẽ “chết” trên thành của buồng chân không. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta làm cho bề mặt của các dải nam châm sao cho các đường sức là lồi? Từ Hình 2, c, rõ ràng là một trường như vậy sẽ loại bỏ chúng ta - lực Lorentz tác dụng từ trường lên các hạt lệch theo phương thẳng đứng không chỉ đảm bảo sự chuyển động của chúng mà hơn nữa, chỉ đảm bảo cho các hạt đang bay lên và nâng các hạt đi xuống.

Ảnh hưởng của từ trường được coi là rẻ tiền đến quỹ đạo của các hạt tích điện tương tự như tác động của các đường quang học lên sự truyền của tia sáng.

Thật vậy, trường “lõm” tác dụng lên một hạt chuyển động giống như cách thấu kính tán xạ tác dụng lên tia sáng, và trường “lồi” tác dụng giống như thấu kính hội tụ. Sự tương tự này gợi ý rằng những từ trường như vậy được gọi là thấu kính từ tính.

Vì vậy, với chuyển động ổn định, bất kỳ hạt nào lệch lên trên so với mặt phẳng ngang trung bình đều phải chịu tác dụng của một lực hướng xuống dưới. Với hình dạng trường như trong Hình 2, trong trường hợp này nó bằng 0 trong mặt phẳng giữa và tăng khi nó lệch khỏi mặt phẳng giữa. Trong ngôn ngữ công thức, điều này có thể được viết như sau:

$$f = -az.$$

Trong công thức này, $z$ là khoảng cách mà hạt lệch khỏi mặt phẳng trung bình, $a$ là hệ số tỷ lệ, phụ thuộc vào độ lớn của cảm ứng trường. Dấu trừ cho thấy lực luôn “quay trở lại” - nó hướng về mặt phẳng giữa. Chúng ta đã biết rõ các lực tuân theo những quy luật như vậy. Trong cơ học, đây là lực đàn hồi của rukkina. Thân ngoài tạo ra chuyển động của hạt được gia tốc: chuyển động theo quỹ đạo tròn, nó tăng tốc ở gần mặt phẳng giữa của máy gia tốc. Bây giờ chúng ta xem cách đảm bảo sự ổn định của chuyển động - chuyển động này phải được chuyển thành dao động.

11

Làm thế nào chúng ta có thể ngăn chặn các hạt tiếp cận các bức tường của buồng ngay cả khi năng lượng của các dao động ngang (trong trường hợp của chúng ta là dọc) tăng lên đáng kể? Sử dụng phép tương tự cơ học, chúng ta có thể trả lời theo cách này: bạn cần làm cho súng cứng hơn. Tất nhiên, không có lò xo trong buồng chân không của máy gia tốc. Bạn cần nhớ điều gì dưới “mùa xuân cứng”? Tất cả những thứ khác đều bằng nhau, bằng cách tăng độ cứng của lò xo nơi tải dao động, chúng ta tăng tần số dao động của tải xung quanh vị trí cân bằng (nhớ lại rằng hệ số độ cứng của lò xo $k$, khối lượng của tải $m$ và tần số dao động $\omega$ có ​​liên hệ với nhau bởi hệ thức $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$). Kết luận này có thể được áp dụng trực tiếp vào lý thuyết máy gia tốc. Sự ổn định của chuyển động được đảm bảo càng tốt, độ lệch so với vị trí cân bằng (trong trường hợp của chúng ta so với quỹ đạo “lý tưởng”) càng nhỏ thì tần số dao động của hạt xung quanh quỹ đạo cân bằng càng cao! Trong công nghệ máy gia tốc, người ta thường nói về số chu kỳ dao động xảy ra trong một chu kỳ quay của một hạt.

Chúng ta hãy quay trở lại một lần nữa với chuyển động của các hạt trong từ trường, các đường của chúng bị cong như trong Hình 2, $\theta$. Có vẻ như từ quan điểm cài đặt, trường “lồi” đã loại bỏ chúng tôi hoàn toàn. Tuy nhiên, cho đến nay chúng ta mới chỉ nói về sự sắp xếp theo chiều dọc của các hạt. Và điều gì sẽ xảy ra với các hạt còn lại trong mặt phẳng ngang, vì lý do nào đó mà “nhảy ra khỏi quỹ đạo” - lệch dọc theo bán kính? Sự liên kết xuyên tâm sẽ được đảm bảo?

Để hiểu rõ hơn các vấn đề hiện có, trước tiên chúng ta hãy xem xét một cách đơn giản bài toán - chuyển động xuyên tâm trong một từ trường đều (như chúng tôi đã phát hiện ra, không cung cấp sự căn chỉnh theo chiều dọc). Chúng ta cũng hãy loại bỏ quá trình gia tốc và xem xét chuyển động của các hạt có năng lượng không đổi. Quỹ đạo của những phần như vậy trong một trường đều, như chúng ta biết, là những vòng tròn. Hãy chọn một trong số chúng làm cái “chính”. Nếu hạt không di chuyển dọc theo vòng tròn chính ngay từ đầu mà ở gần nó, thì nó sẽ mô tả một vòng tròn khác, như trong Hình 3. Quỹ đạo của hạt này không đi xa vòng tròn chính. Do đó, sự liên kết xuyên tâm được đảm bảo. Trong chu kỳ quỹ đạo, hạt đi qua vòng tròn chính hai lần; đầu tiên nó ở bên ngoài và sau đó ở bên trong nó (hoặc ngược lại). Điều này có nghĩa là một dao động hướng tâm xảy ra trong mỗi vòng quay.

Bây giờ chúng ta hãy xem mọi thứ sẽ diễn ra như thế nào với một lò xo được lắp đặt xuyên tâm trong một trường “lồi”, độ lớn của cảm ứng giảm dần về phía ngoại vi. Điểm định tính đáp số cho câu hỏi này không khó trả lời. Tại điểm $A$ (xem Hình 3), trường sẽ yếu hơn trước, quỹ đạo của hạt bị lệch sẽ ít bị uốn cong hơn và do đó, tiếp cận hạt chính chậm hơn. Ngược lại, tại điểm $B$, cường độ cảm ứng trường sẽ lớn hơn trước, quỹ đạo của vòng tròn sẽ bị uốn cong và một lần nữa sẽ tiếp cận quỹ đạo chính chậm hơn. Do đó, một phần dao động hướng tâm và do đó độ ổn định của chuyển động hướng tâm giảm.

Hóa ra độ ổn định theo chiều dọc và hướng tâm có liên quan với nhau. Và điều này không chỉ nằm ở việc chúng ta xem xét từ trường “lồi”. Nghiên cứu các vấn đề bền vững

12

cuối cùng dẫn đến kết luận sau: khi các hạt tích điện chuyển động trong trường có đối xứng trục thì các số $n_z$ và $n_r$ của các dao động thẳng đứng và hướng tâm xung quanh quỹ đạo chính trong thời kỳ chuyển động của mối quan hệ

$$n_z^2 + n_r^2 = 1.$$

Công thức này rất quan trọng trong vật lý máy gia tốc. Kết luận của nó rất phức tạp; tuy nhiên, bây giờ chúng ta có thể hiểu nó một cách định tính. Trong một trường đều không có dao động thẳng đứng - $n_z = 0$ và số lượng dao động hướng tâm - $n_r = 1$. Bằng cách làm suy yếu cảm ứng từ trường đến ngoại vi của buồng chân không, chúng tôi tăng độ ổn định theo chiều dọc - chúng tôi tăng $n_z$, hoặc như người ta nói, chúng tôi tăng “độ cứng lấy nét” theo chiều dọc; Đồng thời, chúng tôi giảm độ ổn định dọc theo bán kính - chúng tôi giảm $n_r$. Điều gì xảy ra nếu bạn kiếm được $n_z$ hoặc $n_r$ nhiều hơn một? Khi đó phương trình (2) không có lời giải. Về mặt vật lý, điều này có nghĩa là chuyển động trở nên hoàn toàn không ổn định. (Nếu chúng ta quay lại ví dụ tương tự với một lò xo, điều này có nghĩa là lò xo hấp dẫn sẽ được thay thế bằng một lò xo đẩy.)

Vì vậy, chúng ta đi đến kết luận rằng từ trường được sử dụng trong máy gia tốc tuần hoàn phải sao cho độ lớn của sự phân rã cảm ứng dọc theo bán kính và không quá nhanh.

Tăng tốc cứng

Sau khi có được công thức (2), một số người chán nản đã xuất hiện trong thế giới vật lý máy gia tốc. Sự hiện diện của các dao động ngang là cần thiết cho sự ổn định của chuyển động của hạt. Ngoài ra, phải cẩn thận để đảm bảo rằng biên độ của các dao động này xung quanh quỹ đạo cân bằng nhỏ hơn. (Biên độ dao động lớn đòi hỏi buồng chân không rộng và do đó cần có nam châm lớn. Nam châm lớn nghĩa là chế tạo và vận hành đắt tiền.) Biên độ dao động chỉ có thể giảm bằng cách trở thành “lò xo cứng”, tức là bằng cách tăng tần số. Và có giới hạn về tần số dao động (2). Rốt cuộc thì làm thế nào để chúng ta chế tạo được máy gia tốc hai nòng?

Một lối thoát khỏi tình trạng bế tắc rõ ràng đã được các nhà vật lý người Mỹ Livingston, Courant và Snyder tìm ra khi họ đề xuất một hệ thống mới để sắp xếp các từ trường. Đây là cách các máy gia tốc có khả năng lấy nét khó xuất hiện. Để có được nguyên lý hoạt động của các máy gia tốc như vậy, chúng ta hãy chuyển sang thiết kế synchrotron.

Trong một synchrotron, buồng chân không trông giống như các cánh đồng. Buồng này nằm giữa các dải nam châm, bề mặt của chúng có hình dạng bình (Hình 4). Quỹ đạo chính của các hạt trong synchrotron không thay đổi trong suốt thời gian tăng tốc - đó là một vòng tròn đi qua giữa buồng. Khi các hạt tăng tốc, năng lượng của chúng tăng lên. Để “giữ” các hạt ở quá trình chuyển đổi quỹ đạo, cần có một từ trường ngày càng lớn. Do đó, trong chu kỳ tăng tốc, từ trường trên rãnh vòng synchrotron liên tục tăng. Tần số của điện trường gia tốc cũng tăng lên: khi các hạt tăng tốc, chúng ngày càng dành ít thời gian hơn để di chuyển trên cùng một đường đi. Khi gia tốc của một lô hạt nhất định là bình thường, từ trường giảm, tần số của điện trường gia tốc giảm - synchrotron sẵn sàng nhận một mẻ hạt mới. Bắt đầu với chu kỳ tăng tốc mới nhất.

Độ dài của rãnh từ của các synchrotron lớn thay đổi theo khí hậu. Một nam châm điện vòng được lắp ráp từ hàng trăm, thậm chí hàng nghìn khối từ tính riêng lẻ. Trong chu kỳ tăng tốc, các hạt trải qua hàng trăm nghìn, nếu không nói là hàng triệu vòng quay trong buồng chân không.

Trong các máy gia tốc có khả năng tăng tốc mạnh, nam châm điện được đặt xen kẽ trên một rãnh từ, tạo ra từ trường có độ cong cao. Các trường như vậy tăng tốc mạnh chùm tia theo một trong các hướng ngang và làm lệch tiêu điểm mạnh của cột theo hướng kia. Vị trí của các tầng từ có thể

13

Hình 4. Đến thiết bị synchrotron. 1 - cực từ, 2 - buồng chân không, 3 - đường sức từ trường.

nhưng hãy hiểu từ Hình 5. Khi xem xét hình này, bạn cần tưởng tượng rằng trước tiên hạt sẽ bay qua trường được mô tả bằng màu đỏ, sau đó qua trường “xanh”, rồi lại qua trường “đỏ”, v.v.

Các hạt lệch khỏi quỹ đạo chính theo phương thẳng đứng sẽ chịu tác dụng của lực từ trường “xanh” đưa chúng trở lại mặt phẳng ngang trung bình. Và các hạt lệch trong mặt phẳng ngang hoặc tăng bán kính quỹ đạo của chúng (nếu chúng lệch về phía ngoại vi của buồng chân không và rơi vào trường yếu hơn) hoặc giảm quỹ đạo (nếu chúng lệch về phía trục máy gia tốc và rơi vào trường mạnh hơn). Do đó, các trường “xanh lam”, cung cấp thiết bị hướng tâm cần thiết, sao chép các hạt theo chiều dọc, nhưng làm lệch tiêu điểm của chúng một cách triệt để. Ngược lại, trong trường “đỏ”, các hạt lệch theo bán kính sẽ quay trở lại quỹ đạo chính.

Hình 6.

rini và các hạt lệch theo chiều dọc sẽ di chuyển ra xa mặt phẳng ngang trung bình.

Từ trường tập trung và làm lệch tiêu điểm tác động lên quỹ đạo của các hạt giống như thấu kính hội tụ và tán xạ - lên các tia sáng (chúng ta đã nói về sự tương tự này). Vì vậy, một hệ thống tương tự của một hệ thống gồm các trường “đỏ” và “xanh lam” làm mất tiêu điểm có thể được coi là một hệ thống quang học bao gồm các thấu kính thu thập và tán xạ làm mờ. Sự khác biệt là các trục quang học trong hầu hết các trường hợp đều là trục thẳng (hoặc chúng là một số đoạn, tại các giao điểm của chúng có lăng kính) và quỹ đạo chính của các hạt trong synchrotron (trục linns từ tính) được đóng thành một vòng. Chúng ta hãy làm thẳng trục của các đường dây từ và mô tả từ trường như một chuỗi các đường dây thu thập và phân tán. Hình 6a thể hiện hình ảnh khử màu trong mặt phẳng nằm ngang (fo-

Hình 5.

14

cắn dọc theo bán kính) và trong Hình 6, 6 - theo chiều dọc. Ở đây xuất hiện sự khác biệt thứ hai, đáng kể nhất giữa việc tập trung các hạt tích điện bằng từ trường và tập trung quang học. Thu thập các đường quang học hướng các tia tới trục quang học theo cả hai hướng ngang đồng thời, trong khi các đường sức từ thu thập các hạt theo một hướng và phân tán chúng theo hướng khác. Trong chuỗi vô hạn các đường thẳng (các đường sức từ được sắp xếp thành một vòng tròn), phần trên và phần dưới của Hình 6 không khác nhau - đây là cùng một bức tranh, dịch chuyển một “nửa cung”. Chuỗi thu thập và tán xạ tia laser này có những đặc tính tập trung nào? Thoạt nhìn, trong một hệ thống như vậy sẽ không xảy ra hiện tượng lấy nét cũng như làm mất nét. Trên thực tế, điều này không đúng chút nào. Trình tự ly giải như vậy có đặc tính “lắp ráp” đáng chú ý. Chúng ta hãy chứng minh điều này bằng cách sử dụng một hệ thống gồm hai cạnh có công suất quang bằng nhau, nối tiếp nhau (Hình 7). Cho một chùm tia song song với trục quang rơi vào hệ thống này từ bên trái. Ảnh ảo của chùm tia này nằm ở tiêu điểm của tia laser tán xạ (làm mất tiêu điểm). Chúng ta hãy biểu thị bằng $l$ khoảng cách giữa các thấu kính và $F$ tiêu cự của chúng. Như có thể thấy trên hình, ảnh tối thiểu của chùm tia do thấu kính tán xạ tạo ra nằm cách thấu kính thu $F+l$ và đóng vai trò là nguồn cho nó. Chúng ta hãy tìm xem ảnh của nguồn này nằm ở khoảng cách nào $d$ tính từ thấu kính hội tụ, tức là ảnh của chùm tia truyền qua toàn bộ hệ thống cách nó bao nhiêu. Theo công thức lyisa

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{F+l} = \frac{1}{F},$$

Ở đâu

$$d = \frac{F(F+l)}{l} > 0.$$

Vì $d$ hóa ra lớn hơn 0 nên hệ thống của chúng tôi đang lấy nét.

Hãy đưa ra hai nhận xét. Có thể chỉ ra rằng các đặc tính lấy nét (hoặc làm lệch tiêu điểm) của một hệ thống gồm hai đường “đối diện” phụ thuộc vào thứ tự sắp xếp của chúng. Chúng tôi mời người đọc tự mình xác minh rằng điều này không phải như vậy. Nếu cái đầu tiên không đặt thấu kính tán xạ mà là thấu kính thu thập, thì toàn bộ hệ thống vẫn lấy nét (giả sử rằng $F > l$). Điểm thứ hai là thế này. Mức độ lấy nét trong hệ thống của chúng tôi phụ thuộc vào khoảng cách giữa các đường. Nếu bạn giảm khoảng cách này, khả năng lấy nét sẽ trở nên yếu hơn và ở giới hạn $l \rightarrow 0$ sẽ biến mất hoàn toàn. Chúng ta hãy cố gắng hiểu tại sao điều này xảy ra. Để làm điều này, hãy chuyển sang Hình 8. Hình này cho thấy các tia đi qua lisa đang thu thập. Tia đi qua tâm của lisa không đổi hướng. Chùm tia truyền từ phía của vật trung tâm càng lệch càng mạnh khi chúng càng ở xa trục trục. Tuyên bố này được áp dụng đầy đủ cho quá trình ly giải tán xạ. Chúng ta hãy quay lại Hình 7. Từ đường đi của tia sáng, rõ ràng là trong thấu kính tán xạ, các tia truyền đến gần trục quang của hệ hơn nhiều so với trong thấu kính thu thập. Sự khác biệt trong đường đi của các tia này giải thích tại sao một hệ gồm các tia tập trung và tán xạ có cùng công suất quang học lại tập trung toàn bộ. Cũng dễ dàng nhận thấy rằng sự chênh lệch về khoảng cách đến trục quang giảm khi khoảng cách giữa các thấu kính giảm—đó là lý do tại sao tiêu điểm giảm.

15

tác động phá hủy của một hệ thống bao gồm chúng.

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại hệ thống quang học, bao gồm không phải hai đường truyền mà là một chuỗi vô hạn các đường thu và tán xạ liên kết với nhau. Các tia sáng riêng lẻ (quỹ đạo của các hạt được gia tốc) truyền đi những đường khác nhau trong hệ quang học (trong hệ đường sức từ), tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu - vào khoảng cách đến trục quang, vào góc nghiêng với trục. Việc theo dõi từng cung riêng lẻ này là rất khó khăn và ít hữu ích. Điều quan trọng hơn là phải xem xét “vỏ của chùm tia” - đường ngăn cách khu vực tràn ngập ánh sáng với vùng không được lấp đầy (đường viền của chùm hạt). Rõ ràng là loại đường bao chùm tia phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu. Tuy nhiên, khi đi qua hệ thống quang học, mỗi chùm tia sẽ trở thành phụ âm theo thời gian - hình dạng đường bao của nó giữa bất kỳ quá trình thu thập liên tiếp nào.

Hình 8.

Hình 9. Phụ âm bao của chùm hạt (dầm dọc).

(hoặc khuếch tán) thấu kính giống nhau. Tương tự, bất kỳ chùm hạt nào quay xung quanh máy gia tốc trong một thời gian đủ dài đều trở thành phụ âm theo thời gian. Chính xác là chùm tia như vậy (đường bao của nó) được mô tả trong Hình 9. Đúng như mong đợi của chúng ta, kích thước của chùm tia tăng lên ở những đường thu thập và giảm đi ở những đường tán xạ. Vì vậy, hiệu ứng tổng thể của hệ thấu kính là định hình - nó giữ chùm tia ở gần trục trong toàn bộ thời gian tăng tốc.

Các hệ thống tạo hình từ tính, bao gồm một chuỗi các nam châm tạo hình và khử nam châm, được gọi là hard-foxing. Trong các hệ thống như vậy, ràng buộc (2) được điều chỉnh, các giá trị $n_z$ và $n_r$ có thể đồng thời áp dụng các giá trị lớn, biên độ dao động của hạt giảm và không cần buồng chân không rộng và nam châm lớn. Tất cả các máy gia tốc lớn hiện đại đều dựa trên nguyên tắc tạo hình cứng nhắc.

Hình 10 cho thấy hệ thống từ tính của máy gia tốc Serpukhov ở năng lượng 76 GeV (1 GeV = 10⁹ eV). Chiều dài của hệ thống này (và do đó chiều dài của buồng chân không bóng đèn) là 1,5 km. Buồng chân không có hình elip với trục 17 và 11,5 cm. Tần số dao động ngang là 9,8/vòng.

Ổn định theo chiều dọc; nguyên tắc tự pha

Hình 11 biểu diễn đồ thị điện áp trong khe tăng tốc của máy gia tốc tuần hoàn. điện áp thay đổi theo thời gian theo quy luật hình sin. Biên độ điện áp được chọn cao hơn giá trị điện áp $U_0$, cung cấp mức tăng năng lượng cần thiết (trong một chu kỳ quay của hạt). Từ hình vẽ cho thấy rõ rằng cần phải có một “lực đẩy” để đưa các hạt đến khoảng trống vào các thời điểm $t_1$ và $t_2$. Những hạt này được gọi là đồng bộ. Từ nay trở đi chúng ta sẽ gọi các hạt đồng bộ là $A$ và $B$. Các hạt sẽ chuyển động như thế nào khi chúng đến gần?

16

khoảng cách cắt không chính xác ở thời điểm $t_1$ và $t_2$, mà tăng lên hoặc trễ một chút? Liệu những hạt này có “bắt kịp” những hạt đồng bộ ở những vòng quay tiếp theo hay không? Nói cách khác, liệu chuyển động liên tục của các hạt có độ ổn định cần thiết hay không?

Chúng ta hãy xem xét một hạt đi trước hạt đồng bộ một chút. Nếu chúng ta đang nói về một hạt $A'$ (chúng ta sẽ gọi đây là hạt tiếp cận khoảng trống tại thời điểm $t_1'$), thì nó sẽ đến khoảng trống khi hướng thay đổi từ $u_0$. Nếu chúng ta đang nói về một hạt $B'$ (tiến đến khoảng trống tại thời điểm $t_2'$), thì tại thời điểm nó đến khoảng trống, hướng của nó sẽ cao hơn $u_0$. Kết quả là hạt $A'$ sẽ nhận không đủ năng lượng và hạt $B'$ sẽ nhận được năng lượng dư thừa và do đó có tốc độ. Sự thiếu hụt hoặc dư thừa năng lượng này sẽ ảnh hưởng như thế nào đến thời điểm lần tiếp theo của một hạt đến khe hở? Nếu một hạt có xu hướng tiến lại gần (theo thời gian) một hạt đồng bộ thì chuyển động sẽ ổn định, còn nếu nó chuyển động ra xa thì nó sẽ trở nên không ổn định.

Vào thời điểm nào thì lần tiếp theo hạt sẽ tiếp cận khoảng trống cạo? Như chúng ta đã thấy, khi các hạt chuyển động trong một cyclotren, chu kỳ quay không phụ thuộc vào năng lượng của các hạt. Kết luận này đúng đối với các hạt phi tương đối (có tốc độ nhỏ hơn nhiều so với tốc độ ánh sáng) chuyển động trong một từ trường đều. Không có điều kiện nào trong số này là đồng bộ. Chu kỳ quỹ đạo $T$ phụ thuộc vào cả chiều dài quỹ đạo $L$ và tốc độ hạt $v: T = L/v$. Các hạt có năng lượng khác nhau có tốc độ khác nhau và độ dài quỹ đạo khác nhau. (Ở trên chúng ta đã lưu ý rằng ở vị trí đồng bộ, và do đó, độ dài của quỹ đạo chính không thay đổi trong quá trình tăng tốc. Điều này xảy ra vì trong chu kỳ gia tốc, hướng của từ trường tăng lên. Nhưng bây giờ chúng ta không nói về điều này. Chúng ta đang xem xét các hạt có năng lượng hơi khác nhau tại cùng một thời điểm, và do đó ở cùng một từ trường. Các hạt có năng lượng khác nhau đi qua một trường như vậy để tạo ra một vòng quay hoàn toàn gồm những đường đi có độ dài khác nhau.)

Hóa ra, tùy thuộc vào thiết kế của đồng bộ, các hạt có năng lượng cao hơn có thể có chu kỳ quay lớn hơn hoặc nhỏ hơn các hạt đồng bộ.

Với mục đích định nghĩa, hãy để các hạt có tốc độ cao hơn quay trở lại khoảng trống sớm hơn và các hạt có tốc độ thấp hơn sẽ quay trở lại muộn hơn so với đồng bộ. Trong trường hợp này, hạt may $A'$, nhận đủ năng lượng trong lần đầu tiên đi qua khe hở, sẽ đến quá sớm vào lần tiếp theo và do đó, tiếp cận hạt (đúng lúc) $A$. Hạt $B'$, đã nhận được năng lượng dư thừa, thậm chí sẽ đến sớm hơn và sẽ “tụt hậu” (về thời gian) hơn nữa so với hạt $B$. Điều này có nghĩa là chuyển động của hạt $A'$ sẽ ổn định và chuyển động của hạt $B'$ sẽ không ổn định. Không khó để đi đến kết quả tương tự bằng cách xem xét các hạt bị chậm lại $A''$ và $B''$.

Nếu, do độ dài đường đi tăng lên, các hạt có tốc độ quá cao dành nhiều thời gian để hoàn thành một vòng quay hơn các hạt đồng bộ, thì chuyển động của các hạt $A$ sẽ trở nên không ổn định và các hạt $B$ - ổn định.

Hãy đưa ra một kết luận. Nếu biên độ hướng trong khe gia tốc vượt quá giá trị mang lại sự tăng năng lượng cần thiết, và nếu thời gian quỹ đạo của hạt phụ thuộc vào năng lượng của chúng, thì sẽ có hai “loại” hạt, trong đó một trong số đó chuyển động ổn định liên tục.

Tuyên bố này được đưa ra một cách độc lập bởi hai nhà khoa học - nhà vật lý Liên Xô Viện sĩ V.I. Veksler và nhà vật lý người Mỹ McMillan - và được gọi là nguyên lý vật lý thiên văn hay sự ổn định vật lý. Độ ổn định của tất cả các máy gia tốc đều dựa trên việc sử dụng nguyên lý này, ngoại trừ các máy gia tốc đẳng thời (máy gia tốc trong đó thời gian tuần hoàn không phụ thuộc vào năng lượng).

17

Hình 10. Thiết kế hệ thống từ tính của máy gia tốc Serpukhov.

Phần kết luận

Bất cứ ai, ngoài bài viết này, đã đọc bài viết đã được đề cập từ số thứ tư «Kvant» năm 1977 và bài viết về máy gia tốc ở các điểm sắp tới («Kvant» Số 5, 1978), giờ đây đã có ý tưởng về tất cả các loại máy gia tốc hiện đại. Vẫn còn phải nói thêm rằng công nghệ máy gia tốc đang trải qua một bước phát triển mới. Trong quá trình xây dựng, người ta đã tìm thấy các vòng lưu trữ có các điểm phản electron và positron có năng lượng 15 GeV.

Ở Mỹ, việc chế tạo máy gia tốc proton đầu tiên bằng nam châm siêu dẫn (có năng lượng 1000 GeV) đã bắt đầu. Việc lắp đặt các điểm va chạm của electron và proton đang được thiết kế. Việc tạo ra các vòng lưu trữ tại các điểm thế chấp của proton và phản proton ngày càng trở nên khả thi.

Việc xây dựng các máy gia tốc lớn tốn kém đến mức ngay cả các nước lớn cũng không đủ khả năng chi trả. Các quốc gia là thành viên của CMEA (Hội đồng hỗ trợ kinh tế lẫn nhau) tham gia hỗ trợ tài chính cho công việc tăng tốc tại Viện nghiên cứu hạt nhân chung ở Dubna. Các nước phương Tây đã thành lập Trung tâm Nghiên cứu Hạt nhân Châu Âu, được xây dựng ở biên giới Thụy Sĩ và Pháp. Trung tâm này chứa các máy gia tốc lớn nhất ở châu Âu – một máy gia tốc proton có năng lượng 400 GeV và các vòng lưu trữ với các điểm va chạm của proton có năng lượng 2×30 GeV.

Hình 11.

18

3. Tymeladze

Ferma đang dẫn đầu cuộc điều tra.

Cái nóng ngột ngạt đã khiến phòng góc của Quốc hội Toulouse không thể họp đầy đủ để phục vụ chính nghĩa. Tất cả mười ba thành viên trong phòng đều tò mò nhìn bị cáo Pierre Criomont, một kẻ xấc xược ích kỷ vừa trở về từ Paris. Bị cáo không thừa nhận tội lỗi của mình ngay cả khi bị tra tấn, nhưng điều này không thay đổi được gì. Theo Ủy viên Hội đồng de Broval, vào ngày Thánh George, vào lúc 10 giờ sáng, người nông dân giàu có Jean Morel ở làng Amber, trên đường đến nhà thờ, đã nghe thấy tiếng kêu của người thợ xay Jacques Criomont. Một giọng nói khác, gợi nhớ đến con trai ông Pierre, hét lên chửi bới. Khi Morel chạy đến chỗ người đàn ông bất hạnh, một con dao găm của Pierre đã thò ra khỏi ngực anh ta.

Đó là lý do tại sao tất cả các thành viên trong phòng đều tụ tập ngày hôm nay: mặc dù thời thế tồi tệ - vương quốc không ngừng nghỉ, những người Huguenot bội giáo mới chỉ cúi đầu gần đây, và một bệnh dịch đang đến gần ở phía bắc - nhưng không phải ngày nào bạn cũng được gặp cha. Có điều gì đó đáng chú ý: chiếc mũi khoằm, vai gần như cao hơn đầu và giọng nói gần như không nghe được. Thật đáng tiếc khi sắc lệnh của hoàng gia đã cấm hành chính công - sẽ có ích cho đám đông nếu nhìn vào cái đầu độc ác này khi cây gậy tách nó ra khỏi cơ thể nhỏ bé. Và de Broval tiếp tục:

“Người con trai trước đó đã phàn nàn về sự keo kiệt của cha mình và rõ ràng không ác cảm với việc trục lợi từ tài sản thừa kế. Gây án xong, tên vô lại ngay lập tức chạy đến quán rượu ở làng Bene, bên kia sông Sốt. Khách đến quán, tập trung khai trương lúc 11 giờ, ghi nhận hắn hưng phấn và nổ súng. Theo tôi, mọi bằng chứng đều chống lại tên vô lại này.

Mọi chuyện đã rõ ràng, đã đến lúc chấp nhận lời giải. Nhưng không, ông Hội đồng Fermat muốn làm rõ điều gì đó. Anh ấy không nóng bỏng như những người khác sao? Chủ tịch Phòng đánh giá cao Fer-

20

Hình 2.

Hãy để đường ADB trong Hình 2 thể hiện đường đi nhanh nhất. Tại điểm D tuyến đường này bắc qua sông Sốt. Hãy vẽ một đường tròn có tâm tại điểm D có bán kính đơn - nó cắt đường đi ADB tại các điểm C và E. Đặt CDE là đường đi ngắn nhất giữa C và E (nếu không phải như vậy thì bằng cách chọn đường đi tốt nhất trong phần, CDE có thể được cải thiện và cân nhắc từ A đến B).

Đường đi ngắn nhất được xác định hoàn toàn bởi các góc α và β (Hình 2). Hãy tìm sự tương ứng giữa các góc này.

Cho Cryomon đi trên đường $|CD|=1$ với tốc độ $u$ và đường đi $|DE|=1$ với tốc độ $v<u$. Vì vậy, anh ấy đã bao quát toàn bộ đường dẫn CDE trong thời gian $z=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$.

Bây giờ chúng ta hãy dịch chuyển điểm giao điểm D của đường ADB với Soth theo đại lượng ε - chúng ta hãy biểu thị điểm mới bằng O. Theo định lý hình học đã biết của Euclid,

$$|CO|=\sqrt{1+\varepsilon^2}-2b\varepsilon,$$
$$|OE|=\sqrt{1+\varepsilon^2}+2a\varepsilon,$$

để cho ngắn gọn, chúng tôi ký hiệu là $|FD|=b$, $|DH|=a$ (Hình 2). Chia cả hai khoảng cách này cho tốc độ tương ứng, chúng ta thu được thời gian di chuyển dọc theo đường COE:

$$\bar{z}=\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}-2b\varepsilon}{u}+\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}+2a\varepsilon}{v}.$$

Nếu các giá trị của ε được lấy rất nhỏ thì giá trị của z và $\bar{z}$ sẽ khó khác nhau. Do đó, chúng ta đánh đồng cả hai lần z và $\bar{z}$:

$$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}-2b\varepsilon}{u}+\frac{\sqrt{1+\varepsilon^2}+2a\varepsilon}{v}.$$

Để loại bỏ sự phi lý, hãy bình phương cả hai vế của phương trình tốt nhất hai lần—điều đó không dễ, nhưng chúng ta đang nói về cuộc sống con người!

$$\frac{4}{u^2v^2}(1+\varepsilon^2-2b\varepsilon)(1+\varepsilon^2+2a\varepsilon)=$$
$$=4\left[\frac{1}{uv}+\varepsilon\left(\frac{b}{u^2}-\frac{a}{v^2}\right)\right]^2+$$
$$+\varepsilon^2\left(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2}\right)\left[\varepsilon^2\left(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{v^2}\right)\right]+$$
$$+4\varepsilon\left(\frac{a}{v^2}-\frac{b}{u^2}\right)-\frac{4}{uv}.$$

Hãy hủy số hạng $\frac{4}{u^2v^2}$, sau đó chia cả hai vế của phương trình này cho ε rồi đặt $\varepsilon=0$ *); chúng ta nhận được: $au(u+v)=bv(u+v)$ hoặc $\frac{b}{a}=\frac{u}{v}$.

Bây giờ hãy lưu ý rằng $b=\sin\alpha$, $a=\sin\beta$; Có nghĩa,

$$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{u}{v},$$

nghĩa là, xoang của góc tới và góc khúc xạ đề cập đến tốc độ chuyển động trong môi trường trên và dưới, cách nhau bởi tuyến tính KL…

“Đợi đã,” vị chủ tịch hỏi Fermat, “góc tới và góc khúc xạ có liên quan gì đến nó?”

• Xin lỗi quý ông! Tôi đã vô tình sử dụng một sự tương tự vật lý ở đây. Thực tế là ánh sáng cũng sẽ chọn đường đi cho phép nó đến ô nhanh nhất (và đường KL sẽ không còn là dòng sông nữa mà là ranh giới giữa hai môi trường và các giá trị u và v sẽ biểu thị tốc độ truyền ánh sáng trong các môi trường này) *).

“Nhưng, ông Fermat, rõ ràng là ông không dẫn chúng tôi đi con đường nhanh nhất để kết thúc vụ Criomon,” de Broval gọi.

*) Một độc giả quen thuộc với một hàm tùy ý rõ ràng có thể dễ dàng nhận ra rằng Fermat có hàm cực trị.
**) Định luật chuyển động của ánh sáng này được gọi là “nguyên lý Fermat”. Kết luận của ông có trong sách giáo khoa “Đại số và các yếu tố giải tích 9” (trang 159).

21

Không còn nhiều đâu, thưa quý vị. Vì chúng ta thường biết rằng đối với đường đi nhanh nhất thì sin của các góc α và β tỷ lệ thuận với tốc độ chuyển động u và v, nên chúng ta có thể đặt sin α = ku, sin β = kv, trong đó k là hệ số tỷ lệ. Biết sin của các góc, có thể dễ dàng tìm được tiếp tuyến của chúng:

$$tg\alpha = \frac{ku}{\sqrt{1-k^2u^2}},$$
$$tg\beta = \frac{kv}{\sqrt{1-k^2v^2}},$$

và với sự trợ giúp của chúng, việc xác định độ dài của các đoạn PD và DQ khá dễ dàng:

$$|PD| = |AP|tg\alpha, |DQ| = |QB|tg\beta.$$
Hãy nhớ rằng |AP| = |QB| = 1 dặm, u = 4 dặm/giờ và v = 2,5 dặm/giờ, ta có:

$$|PD| = \frac{4k}{\sqrt{1-16k^2}},$$
$$|DQ| = \frac{2,5k}{\sqrt{1-6,25k^2}}.$$

Tổng số lượng này bằng 3 giải đấu (xem Hình 1); đó là

$$\frac{4k}{\sqrt{1-16k^2}} + \frac{2,5k}{\sqrt{1-6,25k^2}} = 3.$$

Các quý ông, đừng hỏi tôi làm cách nào tôi có thể tìm được nghiệm thích hợp của phương trình này - nó sẽ khiến chúng ta lạc lối. Giá trị gần đúng của nó là k ≈ 0,23. Sau đó |PD| = 2,36, |DQ| = 0,71 (dư 0,07 khi thay vào phương trình được phép bỏ qua),

$$|AD| = \sqrt{1+(2,36)^2} = 2,56,$$
$$|DB| = \sqrt{1+(0,71)^2} = 1,22.$$

Điều này có nghĩa là tuyến đường nhanh nhất sẽ đi từ Amber đến Bene trong $\frac{2,56}{4} + \frac{1,22}{2,5} = 1,13$ giờ. Trước đây, Kryomon không thể được thêm vào nên không thể biểu diễn.

• Bạn đã thuyết phục được tôi, thưa ông Fermat, - câu hỏi mà chúng ta gặp đã được trình bày. - Mời nhân chứng vào!

Người bảo vệ mở cửa và Ronchard và Morel bước vào phòng.

• Tòa án phát hiện - ông tiếp tục trình bày - rằng ông Kriomon mắc chứng bạch tạng. Hãy nhớ rằng, Morel, không phải bạn đã đợi đầu kẻ sát nhân trên cơ thể người khác sao?

Lúc đầu Morel sững người, nhưng sau đó đôi mắt nhỏ của anh ấy lướt qua khuôn mặt của các giám khảo. Cuối cùng, anh lẩm bẩm:

• Về phần tôi, dường như đó có thể là giọng nói của ông Ronchard.

• Tên vô lại! - Ronchard hùng mạnh gầm gừ bằng giọng trầm dày.

Anh ta túm lấy ve áo caftan của cậu bé Morel và bắt đầu lắc cậu bé một cách giận dữ. Morel bất lực vùng vẫy trong tay, làm mất tẩu thuốc, đá lửa, chìa khóa và đồng xu trong túi. Một trong những đồng xu lăn về phía ghế của Fermat và anh nhặt nó lên. Các lính canh hầu như không xé Ronchard ra khỏi nạn nhân và vặn tay anh ta.

• Ông còn câu hỏi nào nữa không, ông Fermat?

• Ăn. Với cả hai… nhân chứng - tạm thời hãy gọi họ như vậy. Chẳng phải Jacques Criomont bất hạnh đã nhận được lớp vỏ ngoài này, được chấp nhận từ bên ngoài dưới hình thức một khoản nợ đã hoàn trả sao?

Kết quả

Người anh hùng trong lịch sử của chúng ta, luật sư Pierre Fermat (1601-1665) là một trong những tài năng toán học sáng giá nhất ở Pháp trong thế kỷ 17, và là người gần gũi nhất với những người khác trong việc tạo ra phép tính vi phân *).

Để hình dung chính xác hơn phương pháp mà Fermat đã sử dụng để tìm cực trị, chúng ta hãy xem xét một ví dụ đơn giản hơn ví dụ mà Fermat phải tháo rời để cứu chàng trai trẻ bước vào.

Giả sử tổng của hai số x và y là x+y = C. Bạn cần tìm x và y sao cho tích z = xy của chúng là lớn nhất. Nếu xét y = C - x thì chúng ta cần tìm một x sao cho hàm z = x(C - x) thuộc giá trị cao nhất.

Vì vậy, chúng ta cần tìm một điểm x sao cho chúng ta di chuyển khỏi điểm đó một lượng nhỏ ε mà không tăng z. Và nếu chúng ta dịch chuyển một lượng rất nhỏ thì sự thay đổi của hàm z

*) Về cuộc đời và sự nghiệp của Fermat, xem «Kvant», 1976, số 8, tr. 3.

22

Nó gần như không thể phân biệt được với số không.

Fermat đã lý luận như thế này. Đặt $x = x + \varepsilon$ là giá trị mới của $x$. Khi đó $z$, giá trị mới của hàm $z$, được biểu thị bằng
$$z = (x + \varepsilon)(C - x - \varepsilon) = Cx - x^2 - 2x\varepsilon + C\varepsilon - \varepsilon^2.$$
Hãy cùng tìm sự khác biệt giữa $z$ và $z$.
$$z - z = -2x\varepsilon + C\varepsilon - \varepsilon^2.$$
Tỷ lệ $z - z$ đến $\varepsilon$ là tiếp tuyến của góc $\varphi$ (Hình 3):
$$tg\varphi = \frac{z - z}{\varepsilon} = \frac{-2x\varepsilon + C\varepsilon - \varepsilon^2}{\varepsilon} = C - 2x - \varepsilon.$$

Nếu $\varepsilon$ rất nhỏ thì cát tuyến $AB$ sẽ không thể phân biệt được với tiếp tuyến của đường cong $z = x(C - x)$ tại điểm $x$. Và tiếp tuyến $\varphi$ trở thành tiếp tuyến của góc nghiêng của tiếp tuyến với phương ngang. Để thu được tang của góc nghiêng của tiếp tuyến này, chúng ta đặt $\varepsilon = 0$ vào biểu thức cuối cùng; chúng tôi sẽ nhận được
$$tg\varphi = C - 2x.$$
Vẫn còn phải đánh đồng tiếp tuyến này với 0 (vì tại điểm cực đại tiếp tuyến nằm ngang - xem Hình 3):
$$C - 2x = 0,$$
và chúng ta nhận được lời giải: $x = C/2$. Thật vậy, với một tổng cho trước, tích của hai số sẽ lớn nhất khi các số này bằng nhau. Hoặc, theo ngôn ngữ hình học, trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi cho trước, hình vuông có diện tích lớn nhất.

Phương pháp Fermat cho kết quả đúng khi tìm cực trị của hàm số

Cyni của một biến. Tuy nhiên, có một thiếu sót trong phương pháp này là không cho phép Fermat được coi là người tạo ra phép tính vi phân. Với vị trí của đại số tổng quát, mà Fermat không dám đi xa hơn, người ta không thể làm được điều này: chúng ta chia cho các đại lượng $\varepsilon$, rồi đặt đại lượng này bằng 0. Hóa ra chúng ta chia cho số 0! Để khắc phục mâu thuẫn này, Newton và Leibniz phải thực hiện bước tiếp theo - tạo ra một phân tích về vi phân. Nhưng điều này chỉ được thực hiện nửa thế kỷ sau những sự kiện được mô tả, và Newton đã ghi nhận những giá trị của Fermat.

Đáng lẽ phải làm gì? Trong công thức (*) cần phải đạt tới giới hạn ở $\varepsilon \rightarrow 0$:

$$tg\varphi = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{-2x\varepsilon + C\varepsilon - \varepsilon^2}{\varepsilon} = C - 2x.$$

Số lượng $\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{z - z}{\varepsilon}$ được Leibniz gọi thông qua $z'$. Đánh đồng $z'$ với 0 trong trường hợp của chúng ta, chúng ta nhận được kết quả tương tự: $x = C/2$. Do đó, từ quan điểm thuật toán, phương pháp của Fermat tương tự như việc đánh đồng một số tùy ý bằng 0, nhưng phương pháp này thiếu tính chặt chẽ.

Tìm cực tiểu và cực đại của hàm số bằng phép tính vi phân được sử dụng trong kỹ thuật, kinh tế và quản lý. Trong trường hợp này, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng các quy tắc vi phân hàm số hiện đang được nghiên cứu ở trường. Nhưng trong một số trường hợp, phương pháp của Fermat không thua kém họ: cố gắng tìm đường đi lớn nhất từ ​​Amber đến Benay bằng một đường đi tùy ý; Bạn sẽ thấy rằng trong bài toán phép phân biệt trực tiếp hàm này sẽ dẫn đến thành công chứ không phải nhanh hơn.

Câu chuyện về Pierre Criomont là hư cấu: trong những lần trao đổi thư từ rộng rãi với bạn bè, Fermat không dành một lời nào cho hoạt động của mình với tư cách là cố vấn cho phòng góc. Nhưng câu chuyện này phản ánh những điều kiện thực sự của thủ tục tố tụng thời bấy giờ - thời đại của Hồng y Richelieu, nơi Fermat phục vụ.

23

Năm 1820, nhà vật lý vĩ đại người Pháp Amperator đã phát hiện ra tương tác từ của dòng điện. Cụ thể, ông đã chứng minh rằng khi một dòng điện chạy qua hai dây dẫn song song, chúng sẽ hút nhau khi cả hai dòng điện cùng chiều và đẩy nhau nếu chiều của hai dòng điện bị hút lẫn nhau.

Điều này có thể được nhìn thấy trong kinh nghiệm. Như vậy, trong § 114 sách giáo khoa vật lý lớp 9, thí nghiệm tương ứng đã được mô tả: hai dây dẫn thẳng đứng song song có hai đầu dưới được nối với nguồn điện (pin), các đầu trên bị đoản mạch và quan sát thấy một lực đẩy đáng chú ý giữa các dây (Hình 1).

Nó cũng nói rằng các dây không tương tác cho đến khi các đầu của chúng được đóng lại (chính xác hơn là không phát hiện thấy tương tác nào đáng chú ý). Tuy nhiên, vì dây dẫn được cấp điện nên phải có (và thực tế là) có điện tích trên bề mặt và trái dấu. Do đó, giữa các dây - trước khi hai đầu của chúng khép lại - phải có lực hút điện.

Điều gì đã thay đổi sau khi đóng mạch? Sự chênh lệch điện thế đã thay đổi: một chút nếu nguồn có điện trở trong thấp (so với điện trở của dây) hoặc mạnh nếu điện trở trong tương đối cao thì đã xuất hiện dòng điện trong mạch. Cùng với sự thay đổi của hiệu điện thế, độ lớn của các điện tích bề mặt cũng thay đổi, nhưng chúng nhất thiết vẫn còn trên dây. Điều này có nghĩa là lực hút điện vẫn phải duy trì ngay cả sau khi đóng mạch điện. Tại sao nó không xuất hiện trong các thí nghiệm? Rõ ràng, nó rất nhỏ so với lực đẩy từ trường.

Bản thân Hoàng đế đã nói khá dứt khoát về vấn đề này. Nguồn dòng điện trong các thí nghiệm của Ampera là một cột điện - một chuỗi các phần tử điện được nối nối tiếp, có thang đo không hoàn hảo theo quan điểm hiện đại. Một giắc điện được nối với các kẹp của cột điện Ampe. Với một cực không tải (có mạch hở), giắc cắm điện có độ lệch rõ rệt. Khi các dây đang nghiên cứu được nối với cực, một dòng điện xuất hiện trong mạch và chỉ số của dòng điện giảm mạnh (bây giờ chúng ta hiểu rằng điều này là do điện trở trong cao của cột điện).

Sau khi ghi nhận sự giảm này và cũng đã phát hiện ra sự tương tác của dây với dòng điện ngay cả ở một khoảng cách rất xa so với nguồn, Ampera kết luận rằng sự tương tác của dòng điện mà ông phát hiện ra “không liên quan” đến tương tác điện. Người khác

24

Nói cách khác, ông tin rằng tương tác từ vốn có trong chuyển động và tương tác điện vốn có trong điện ở trạng thái đứng yên.

Cần lưu ý rằng vào năm 1820 không có dụng cụ chính xác nào để đo điện tích, điện áp và dòng điện (nhân tiện, chính Ampere là người đã phát minh ra một trong những điện kế đầu tiên, dựa trên sự tương tác của dây dẫn với dòng điện và kim từ).

Đơn vị của những đại lượng này vẫn chưa được xác định, không có khái niệm xác định về điện trở và định luật Ohm được phát hiện 5 năm sau đó. Vì vậy, vào thời điểm đó, tuyên bố của Ampere tất nhiên là có ý nghĩa. Nó phản ánh chính xác trạng thái giữa lực từ và lực điện trong các điều kiện thí nghiệm của Ampere: tương tác từ mạnh và tương tác điện yếu.

Nhưng liệu sự tương ứng như vậy có luôn tồn tại? Tương tác từ có luôn mạnh hơn tương tác điện không? Để trả lời những câu hỏi này, chúng ta hãy thực hiện một số phép tính nhỏ.

Hãy xem xét một mục tiêu điện (Hình 2) gồm hai dây song song có chiều dài $l$, nằm cách nhau $h \ll l$ và có điện trở nhỏ $R_\pi$ (điện trở đường dây). Đầu bên trái của dây được nối với nguồn cung cấp điện áp $U$, và đầu bên phải được nối tắt đến điện trở tải $R_\pi$. Khi mạch kín, dòng điện chạy qua dây song song ngược chiều nhau. Trước tiên chúng ta hãy tìm lực $\vec{F}_M$ tương tác từ của chúng.

Để một trong các dòng điện, ví dụ như dòng điện chạy qua dây phía trên, tạo ra từ trường $\vec{B}$, còn dòng điện còn lại nằm trong trường này.

Thứ nhất, cảm ứng của từ trường trong chân không luôn tỷ lệ với dòng điện tạo ra trường $I$ trong dây dẫn. Thứ hai, nó giảm theo khoảng cách từ dây dẫn. Một phép tính chặt chẽ được thực hiện đối với một dây dẫn thẳng có dòng điện cho thấy cảm ứng từ trường tại một điểm nằm cách dây dẫn một khoảng $h$ truyền trực tiếp $I$ và tỷ lệ nghịch với $h$.

Theo định luật Ampe, đối với một đoạn dây nhỏ có chiều dài $\Delta l$, qua đó dòng điện chạy qua $I$ (nói cách khác, mỗi phần tử hiện tại $I \Delta l$), từ phía từ trường $\vec{B}$, tạo một góc với phần tử hiện tại $\alpha$, lực từ tác dụng $\vec{F}_M$ cũng vậy

$$\left| \vec{F}_M \right| = \left| \vec{B} \right| \left| I \Delta l \right| \sin \alpha.$$

Trong trường hợp của chúng ta, $\alpha = 90^\circ$ và từ trường tỷ lệ thuận với $I$ và tỷ lệ nghịch với $h$, do đó

$$\left| \vec{F}_M \right| = k_1 \frac{I^2}{h} \Delta l,$$

trong đó $k_1$ là hệ số tỷ lệ, không phụ thuộc vào dòng điện.

Hướng của lực này được xác định bởi bên phải của bàn tay trái. (Kiểm tra xem các dây có phản hồi với nhau trong trường hợp này không.)

Bây giờ về lực $\vec{F}_a$ của lực hút điện. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\lambda$ điện tích trên một đơn vị chiều dài của mỗi dây. Điện tích trên một dây là nguồn của điện trường tác dụng lên điện tích $\lambda \Delta l$ nằm trên một phần tử có chiều dài $\Delta l$ của dây kia.

Nó có thể được hiển thị rằng

$$\left| \vec{F}_a \right| = k_2 \frac{\lambda^2}{h} \Delta l,$$

trong đó $k_2$ là hệ số tỷ lệ, không phụ thuộc vào dòng điện. Thật vậy, lực tác dụng lên một điện tích trong điện trường tỷ lệ thuận với hiệu điện thế của điện trường và độ lớn của điện tích. Hóa ra điện áp trường được tạo ra cho một dòng dây tải tỷ lệ thuận với mật độ điện tích $\lambda$ và tỷ lệ nghịch với

25

khoảng cách từ nó (khoảng cách $h$ trong trường hợp này). Hãy cố gắng thể hiện nó cho chính mình.

Tất nhiên, điện tích bề mặt trên dây tỷ lệ thuận với điện áp $U$, do đó đẳng thức (2) có thể được viết lại như sau:

$$\left| \vec{F}_3 \right| = k_3 \frac{U^2}{h} \Delta l,$$

(3)

trong đó $k_3$ là hệ số tỷ lệ mới (không phụ thuộc vào $U$).

Chúng ta hãy tìm tỷ số của lực từ và lực điện bằng các đẳng thức (1) và (3):

$$\frac{\left| \vec{F}_M \right|}{\left| \vec{F}_3 \right|} = \frac{k_1 I^2 \Delta l/h}{k_3 U^2 \Delta l/h} = k \frac{I^2}{U^2}.$$

Sử dụng kon của Ohm, chúng ta đi đến một kết luận quan trọng - tỷ số lực được xác định bằng bình phương của điện trở mạch $R = R_\pi + R_H$:

$$\frac{\left| \vec{F}_M \right|}{\left| \vec{F}_3 \right|} = k \frac{1}{R^2}.$$

Tính toán nghiêm ngặt đưa ra các giá trị sau cho hệ số $k$:

$$k = 10^5 - 5 \cdot 10^5 (\Omega^2).$$

Poznoy đánh giá cao rằng đối với các điện trở mạch nhỏ ($R \ll 500 \Omega$), lực từ sẽ lớn hơn lực điện. Đây là những điều kiện đã có trong các thí nghiệm của Ampere và chúng cũng được tạo ra khi chứng minh sự tương tác của dây dẫn với dòng điện.

Nhưng với điện trở đủ lớn ($R \gg 500 \Omega$), lực điện sẽ xuất hiện.

Điều này có thể được xác nhận bằng kinh nghiệm không yêu cầu thiết bị phức tạp. Hai sợi dây đồng mỏng dài 25-30 cm, đường kính khoảng 0,1 mm được căng giữa hai mặt phẳng cách điện (làm bằng gỗ khô, gỗ getinka, v.v.); Khoảng cách giữa các dây không lớn: 3-5 mm. Tất cả bốn đầu của hệ thống dây điện đều được bọc bằng các băng cassette gắn trên sơ đồ. Một lỗ có đường kính khoảng 1 cm được khoét ở phần giữa của giá đỡ đựng sơ đồ.

Các dây được đặt thẳng đứng trong mặt phẳng kinh tuyến từ của Trái đất, tức là trong mặt phẳng nơi đặt kim từ nằm ngang, quay tự do quanh trục thẳng đứng. Trong trường hợp này, từ trường Trái đất hầu như không ảnh hưởng đến lực đẩy từ của dây dẫn.

Một màn hình sẽ được đặt song song với mặt phẳng của hệ thống dây điện ở khoảng cách 3-4 m so với chúng. Sử dụng nguồn sáng mạnh và thấu kính hội tụ, một phần đường thẳng đối diện với lỗ nói trên được chiếu lên màn hình. Trên màn hình, ở những nơi thu được hình ảnh phóng to của hệ thống dây điện, hai sợi màu đen (hoặc màu) được kéo ra, làm xáo trộn vị trí ban đầu của hệ thống dây điện.

Sau đó có hai nhận xét được thực hiện:

1. Một đầu của đường dây được kết nối với điện trở nhỏ (vài ohm) hoặc đơn giản là bị đoản mạch. Đầu còn lại sẽ được kết nối với pin (3-6 V) thông qua ampe và biến trở (10 Ohm, 1 A). Giảm từ từ điện trở của biến trở, dòng điện được đưa về 0,9-1 A. Vì trong trường hợp này lực điện nhỏ và lực từ tương đối lớn nên lực đẩy của dây được quan sát thấy trên màn hình.

2. Một đầu của đường dây được nối với điện trở cao (3 MOhm, 3 W). Đầu kia, hãy cẩn thận, sẽ được kết nối với nguồn điện áp cao công suất thấp (2-3 kV) (ví dụ: với bộ chuyển đổi điện áp trường học “Chữ số 1”). Trong trường hợp này, thu được dòng điện cỡ milliamp; Lực từ so với thí nghiệm đầu tiên giảm khoảng một triệu lần. Lực điện tăng cùng hệ số. Lực đẩy của các dây dẫn sẽ trộn lẫn trong từ trường mà không có lực hút của chúng với nhau.

Lưu ý rằng trong các đường dây cáp quang mạnh mẽ hiện đại để truyền năng lượng điện, lực điện tương tác giữa các dây có từ tính nhanh. Tuy nhiên, cả hai thường nhỏ so với lực hấp dẫn tác dụng lên cùng một đoạn đường $\Delta l$. Vì vậy, khi thiết kế đường dây truyền tải điện, lực điện và lực từ không được tính đến bên ngoài.

26

V. Mayer

Sóng uốn trong tấm

Sóng tạo ra trong các tấm có những đặc tính rất thú vị. Tính chất này có thể được phát hiện bằng thực nghiệm. Nhưng trước tiên bạn cần học cách kích thích sóng. Điều này có thể được thực hiện một cách thuận tiện, ví dụ, bằng cách sử dụng ống thủy tinh đo âm thanh.

Lấy một ống thủy tinh mỏng và dài ấn vào giữa chân shativa. Sử dụng một miếng vải lanh được làm ẩm bằng nước hoa hoặc cồn, di chuyển nhẹ nhàng từ đầu ống đến giữa ống - bạn sẽ nghe thấy một âm thanh khá mạnh. Đó là một sóng đứng phát sinh trong ống. Ở vị trí buộc chặt, một nút dịch chuyển được hình thành và ở hai đầu - các nút chống (Hình 1).

Tần số dao động v và độ dài λ của sóng âm liên hệ với chiều dài l của ống:

$$v = \frac{v}{2l}$$

Và

$$\lambda = 2l.$$

Ở đây v là tốc độ truyền âm trong ống. Nó được xác định chủ yếu bởi vật liệu của ống và không phụ thuộc vào tần số rung. Vì vậy, để thu được tần số âm thanh, nên sử dụng các ống có độ dài khác nhau *). Ví dụ, nếu bạn muốn thu được âm thanh có tần số cao gấp đôi thì ống thủy tinh phải ngắn đi một nửa.

Bây giờ hãy làm như sau. Từ Dioral dày 1,5-2 mm, cắt một đĩa có đường kính khoảng 100 mm. Đặt nó nằm ngang trên một lớp cao su xốp và rắc đều bột kali mangan. Chạm nhẹ vào tâm đĩa với đầu ống thủy tinh rồi dùng ma sát để kích thích âm thanh của ống. Đồng thời

*) Trên thực tế, trong mỗi ống có thể kích thích không chỉ một dao động mà là cả một bộ dao động. Dao động có tần số thấp nhất xác định theo công thức (1) được gọi là dao động đơn âm cơ bản. Tất cả các tần số khác là bội số của tần số chính; dao động có nhiều tần số gọi là âm bội.

Hình 1.

Hình 2.

27

bột sẽ tập hợp thành nhiều đường dưới dạng các vòng tròn đồng tâm với tâm là điểm tiếp xúc của ống (Hình 2).

Có một số giải thích cho kết quả của thí nghiệm này. Một sóng tròn truyền qua đĩa từ đầu ống. Sau khi chạm tới mép đĩa, nó sẽ bị phản xạ từ đó - một sóng phản xạ xuất hiện. Do sự giao thoa của sóng tới và sóng phản xạ, một sóng dừng được hình thành trong đĩa và bột được thu thập tại các nút của nó. Khoảng cách giữa hai nút liền kề, veryindo, bằng một nửa bước sóng trong đĩa.

Sóng dừng trong ống thủy tinh có tính chất sóng dọc. Còn trên đĩa thì sao? Có vẻ như một sóng ngang sẽ lan truyền trong đĩa, vì nguồn—đầu ống—dao động vuông góc với đĩa. Hóa ra đây không phải là trường hợp. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng sóng trong đĩa có cả sóng dọc và sóng ngang (Hình 3). Sóng này được gọi là sóng izbeb. Để so sánh, Hình 4 cho thấy một sóng ngang thuần túy.

Sóng uốn khác với sóng thông thường (dọc hoặc ngang) về nhiều mặt. Do đó, tốc độ $v_n$ của sóng uốn không giữ nguyên khi tần số dao động thay đổi.

này. Nó thay đổi tỷ lệ thuận với căn bậc hai của tần số:

$$v_n \sim \sqrt{v}.$$

Nhân tiện, chúng ta hãy lưu ý rằng hiện tượng phụ thuộc của tốc độ truyền sóng vào tần số được gọi là luận án.

Vì chiều dài sóng uốn $\lambda_n$, tốc độ $v_n$ và tần số $v$ có ​​liên quan với nhau bởi các mối quan hệ $v_n = \lambda_n v$ (phổ biến cho các sóng có tính chất bất kỳ), nên chúng ta có thể viết

$$\lambda_n = \frac{v_n}{v} \sim \frac{1}{\sqrt{v}}.$$

Thay thế ở đây giá trị tần số $v$ từ công thức (1), chúng ta thu được

$$\lambda_n \sim \frac{1}{\sqrt{v}} = \sqrt{\frac{2l}{v}},$$

hoặc

$$\lambda_n = k\sqrt{l},$$

(3)

trong đó $k$ là hệ số tỷ lệ không đổi.

Mối quan hệ (3) có thể được xác minh bằng thực nghiệm. Hãy để chúng tôi trình bày kết quả của một trong những thí nghiệm của chúng tôi. Chúng tôi sử dụng đĩa dioral có độ dày 1,7 mm và đường kính 120 mm. Sóng uốn trong đĩa được tạo ra bởi các ống thủy tinh dài 60 và 30 cm. Đường kính trong của ống là 0,5 mm, đường kính ngoài là 4,5 mm.

Trong thí nghiệm với ống thứ nhất (độ dài của sóng uốn hóa ra bằng $\lambda_{n1} = 50,5$ mm và trong thí nghiệm với ống thứ hai - $\lambda_{n2} = 34,5$ mm. Do đó

$$\frac{\lambda_{n1}}{\lambda_{n2}} = 1,46.$$

Theo công thức (3), tỷ số bước sóng phải bằng tỷ số

$$\frac{\sqrt{l_1}}{\sqrt{l_2}} = \sqrt{2}.$$

Vì $1,46 \approx \sqrt{2}$, kinh nghiệm, với độ chính xác nhất định, xác nhận cả thực tế về sự tồn tại của sóng uốn; Vậy quan hệ (3) đúng.

29

nom (chứng minh lượng giác tính toán) và M. T. Naranyengar (chứng minh hình học thuần túy; vào năm 1922 nó được phát hiện lại bởi J. M. Child người Anh). Hiện tại, ít nhất có vài chục cách chứng minh định lý Morlel đã được biết đến. Tuy nhiên, sự quan tâm đến nó không hề phai nhạt, và các bằng chứng mới, những khái quát hóa và các biến thể của đề xuất tao nhã này luôn xuất hiện.

Dưới đây chúng tôi đưa ra hai chứng minh cơ bản về định lý Morlel.

Chứng minh của chứng minh thứ nhất (hình học; về bản chất, nó trùng khớp với chứng minh Naranyengar-Child). Chúng ta hãy biểu thị các giá trị các góc của tam giác $ABC$ bằng $3\alpha$, $3\beta$ và $3\gamma$ (Hình 5). Vì $3\alpha + 3\beta + 3\gamma = 180^\circ$, nên $\alpha + \beta + \gamma = 60^\circ$ và $\alpha + \beta = 60^\circ - \gamma$. Đặt $U$ là giao điểm của trisketris $AY$ và $BX$. Vì $AZ$ và $BZ$ là phân giác của tam giác $AUB$, nên $ZU$ cũng là phân giác của tam giác này. Bởi vì

$$\widehat{AUZ} = Z\widehat{UB} = \frac{1}{2} \widehat{AUB} =$$

$$= \frac{1}{2} (180^\circ - 2\alpha - 2\beta) = 90^\circ -$$

$$- (\alpha + \beta) = 90^\circ - (60^\circ - \gamma) = 30^\circ + \gamma.$$

Bây giờ chúng ta hãy dựng một hình đều $\Delta X_1Y_1Z$, một đỉnh của nó trùng với điểm $Z$, và các đỉnh $X_1$ và $Y_1$ thuộc các đường thẳng tương ứng $BX$ và $AY$ (sau này chúng ta sẽ chứng minh rằng chúng trùng với các điểm $X$ và $Y$). Để làm điều này, chúng ta vẽ hai tia $ZX_1$ và $ZY_1$ đến $Z$ một góc $30^\circ$ với tia $ZU$; bằng $X_1$ và $Y_1$ chúng ta biểu thị giao điểm của các tia này với $BX$ và $AY$ (tức là với $BU$ và $cAU$). Vì, hiển nhiên, $\Delta ZX_1U \cong \Delta ZY_1U$ (những tam giác này có các góc bằng nhau và một cạnh chung), nên $[ZX_1] \cong [ZY_1]$; do đó $\Delta ZY_1X_1$ là tam giác đều có góc ở đỉnh là $60^\circ$, tức là tam giác đều.

Chúng ta hãy biểu thị thêm bằng $P$ và $Q$ các điểm đối xứng với các điểm $Z$ so với các đường $AY$ và $BX$. Vì $AY$ và $BX$ là phân giác của các góc $ZAC$ và $ZBC$ nên điểm $P$ thuộc hàng trăm-

30

Hình 5.

cạnh AC của tam giác ABC và điểm Q trên cạnh BC.

Hãy tìm giá trị của các góc $PY_1X_1$ và $QX_1Y_1$. Vì $Z\hat{X}_1Y_1 = 60^\circ$ (góc của một tam giác đều), $Z\hat{X}_1B = X_1\hat{Z}U + X_1\hat{U}Z = 30^\circ + (30^\circ + \gamma)$ (góc ngoài $\Delta ZX_1U$) và $Q\hat{X}_1B \cong Z\hat{X}_1B$ (các góc này đối xứng với đường thẳng BU),

$$Q\hat{X}_1Y_1 = 360^\circ - 60^\circ - (60^\circ + \gamma) - (60^\circ + \gamma) = 180^\circ - 2\gamma.$$

Đẳng thức $PY_1X_1 = 180^\circ - 2\gamma$ được chứng minh theo cách tương tự.

Vì vậy, $P\hat{Y}_1X_1 = Q\hat{X}_1Y_1$; Ngoài ra, $[PY_1] \cong [Y_1Z] \cong [ZX_1] \cong [X_1Q]$ (hai đoạn thẳng đầu đối xứng với đường thẳng AU, và hai đoạn cuối đối xứng với đường thẳng BU). Suy ra rằng tứ giác $PY_1X_1Q$ là một hình nho đều (có các góc $Y_1$ và $X_1$ bằng $180^\circ - 2\gamma$, và do đó có các góc P và Q bằng $2\gamma$).

Bây giờ chúng ta hãy mô tả một đường tròn xung quanh hình thang $PY_1X_1Q$. Vì các dây $[PY_1]$, $[Y_1X_1]$ và $[X_1Q]$ của vòng tròn này bằng nhau nên các góc nội tiếp chắn bởi các dây này bằng nhau; do đó $P\hat{QY}_1 = Y_1\hat{PX}_1 = \hat{X}_1PQ = \gamma$. Nhưng $P\hat{CQ} = 3\gamma$;

đường tròn S được mô tả theo tư thế xung quanh $PY_1X_1Q$ cũng sẽ đi qua điểm C. Và bây giờ từ sự đồng dạng (trừ đi các dây đồng dạng) của mỗi $PY_1$, $Y_1X_1$ và $X_1Q$ của đường tròn S, suy ra rằng $P\hat{CY}_1 = Y_1\hat{CX}_1 = X_1\hat{CQ} = \gamma$, ngụ ý sự trùng hợp của $\Delta X_1Y_1Z$ với $\Delta XYZ$.

Điều này hoàn thành việc chứng minh định lý Morley.

Chứng minh thứ hai (tính toán - nó gần với chứng minh của M. Satyanarayan). Chúng ta sẽ tiếp tục giả định rằng $\hat{A} = 3\alpha$, $\hat{B} = 3\beta$, $\hat{C} = 3\gamma$; Độ dài các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC được ký hiệu là a, b và c và đường kính của đường tròn mô tả xung quanh nó được ký hiệu là d (Hình 6).

Hãy thử tính độ dài $|XY| = z$ cạnh $[XY]$ của tam giác XYZ. Để làm điều này, trước hết chúng ta sẽ tìm các phân đoạn $|CX| = m$ và $|CY| = n$; sau đó, $|XY|$ có thể được tìm thấy bằng định lý cosine từ $\Delta CXY$. Để tính m và n, chúng ta sử dụng định lý sin. Áp dụng định lý này cho $\Delta AYC$ từ các cạnh $|AC| = b$ và $|CY| = n$ và các góc $\hat{A} = \alpha$, $\hat{C} = \gamma$ và $\hat{Y} = 180^\circ - (\alpha + \gamma) = 180^\circ - (60^\circ - \beta) = 120^\circ + \beta$ (ở đây chúng ta lại sử dụng đẳng thức ước tính $\alpha + \beta + \gamma = 60^\circ$), chúng ta thu được

$$\frac{n}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin (120^\circ + \beta)}$$

hoặc

$$n = b \sin \alpha / \sin (120^\circ + \beta).$$

Nhưng nhờ vào định lý tương tự về sin (mà bây giờ chúng ta sẽ áp dụng cho số “lớn” $\Delta ABC$)

$$b / \sin \hat{B} = d$$

hoặc

$$b = d \sin \hat{B} = d \sin 3\beta.$$

Pos đó

$$n = d \sin \alpha \sin 3\beta / \sin (120^\circ + \beta) = d \sin \alpha \sin 3\beta / \sin (60^\circ - \beta).$$

31

Nhưng (đây là lúc bạn phải kiên nhẫn một chút!)
$$\sin 3\beta = \sin (2\beta + \beta) = \sin 2\beta \cos \beta + \cos 2\beta \sin \beta = 2\sin \beta \cos^2 \beta + (1 - 2\sin^2 \beta) \sin \beta = 2\sin \beta (1 - \sin^2 \beta) + \sin \beta - 2\sin^3 \beta = 3\sin \beta - 4\sin^3 \beta.$$

Biểu thức cuối cùng có thể được chuyển đổi thêm như sau:
$$\sin 3\beta = 3\sin \beta - 4\sin^3\beta = 4\sin \beta \left[ \frac{3}{4} - \sin^2 \beta \right] = 4\sin \beta \left[ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - \sin^2 \beta \right] = 4\sin \beta \left[ \sin^2 60^\circ - \sin^2 \beta \right] = 4\sin \beta (\sin 60^\circ + \sin \beta) (\sin 60^\circ - \sin \beta) = 4\sin \beta \cdot 2\sin \frac{60^\circ + \beta}{2} \times \cos \frac{60^\circ - \beta}{2} \cdot 2\cos \frac{60^\circ + \beta}{2} \sin \frac{60^\circ - \beta}{2} = 4\sin \beta 2\sin \frac{60^\circ + \beta}{2} \cos \frac{60^\circ + \beta}{2} \times 2\sin \frac{60^\circ - \beta}{2} \cos \frac{60^\circ - \beta}{2} = 4\sin \beta \sin (60^\circ + \beta) \sin (60^\circ - \beta).$$

Thay biểu thức này cho sin 3β vào công thức cho n, chúng ta nhận được $n = 4d \sin \alpha \sin \beta \sin (60^\circ + \beta)$.

Nó được chứng minh hoàn toàn tương tự rằng
$$m = 4d \sin \alpha \sin \beta \sin (60^\circ + \alpha).$$

Bây giờ chúng ta hãy áp dụng định lý cosin cho $\triangle CXY$ như chúng ta dự định:
$$z^2 = |XY|^2 = m^2 + n^2 - 2mn \cos \gamma = 16d^2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta [\sin^2 (60^\circ + \alpha) + \sin^2 (60^\circ + \beta) - 2\sin (60^\circ + \alpha)] \times \sin (60^\circ + \beta) \cos \gamma.$$

Bây giờ hãy lưu ý rằng $(60^\circ + \alpha) + (60^\circ + \beta) + \gamma = 120^\circ + (\alpha + \beta + \gamma) = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$; do đó có $\triangle EFG$ với các góc $\widehat{E} = 60^\circ + \alpha$, $\widehat{F} = 60^\circ + \beta$ và $\widehat{G} = \gamma$ (Hình 7).

$$e = |FG| = \sin (60^\circ + \alpha), f = |EG| = \sin (60^\circ + \beta) и g = |EF| = \sin \gamma.$$
Áp dụng định lý cosine cho $\triangle EFG$ này, chúng ta thấy rằng
$$\sin^2 (60^\circ + \alpha) + \sin^2 (60^\circ + \beta) - 2\sin (60^\circ + \alpha) \sin (60^\circ + \beta) \cos \gamma = e^2 + f^2 - 2ef \cos \gamma = g^2 = \sin^2 \gamma.$$
Như vậy, chúng ta có được điều đó
$$z^2 = 16d^2 \sin^2 \alpha \sin^2 \beta \sin^2 \gamma$$
và, do đó,
$$z = 4d \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.$$
Nhưng biểu thức cho độ dài y = |XZ| và x = |YZ| các đoạn XX và YZ thu được từ biểu thức độ dài z của đoạn [XY] bằng cách sắp xếp lại các góc α, β và γ theo chu kỳ. And since the angles α, β and γ enter the expression for z symmetrically, then x = y = z = 4d \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma - and, therefore, $\triangle XYZ$ from the side of length x, y and z is equilateral.

32

Hình 8.

Tại sợi

1. Trên Hình 8, cùng với các đỉnh X, Y và Z của tam giác Morley, các điểm U, V và W giao nhau (AY) và (BX) cũng được biểu diễn (điểm này cũng nằm trong Hình 5 - nó đóng vai trò lớn trong chứng minh đầu tiên của định lý Morley); AZ và CX; CY và BZ. Chứng minh rằng các đoạn [XW], [YV] và [ZU] cắt nhau tại một điểm Q.

2. Chứng minh rằng điểm Q xuất hiện trong bài toán 1 là tâm của tam giác Morley đều XYZ.

3. Chứng minh rằng

a) các đoạn [AX], [BY] và [CZ] (trong đó XYZ là “tam giác Morley” của ΔABC) cắt nhau tại một điểm R;

b) các đường thẳng AW, BV và CU (Hình 8) cắt nhau tại một điểm S;

c) điểm R, S và điểm Q bài toán 1 nằm trên cùng một đường thẳng.

4. Đặt $\bar{X}, \bar{Y}, \bar{Z}$ là các điểm bên trong (tùy ý) $\triangle ABC$ sao cho $\hat{B}\hat{A}\hat{Z} = \hat{C}\hat{A}\hat{Y}$ ($= \alpha$), $\hat{B}\hat{X} = \hat{A}\hat{B}Z$ ($= \beta$), $\hat{B}\hat{C}\hat{X} = \hat{A}\hat{C}\hat{Y}$ ($= \gamma$). Chứng minh rằng các đường thẳng AX, BY, CZ cắt nhau tại một điểm R (xem bài 3a).

5. Phần bổ sung sau đây là chứng minh “gián tiếp” của định lý Morley cho tam giác ABC có các góc $\hat{A} = 3\alpha$, $\hat{B} = 3\beta$ và $\hat{C} = 3\gamma$. Cho XYZ là tam giác đều tùy ý. Trên các cạnh của nó, chúng ta sẽ dựng hai tam giác đều $\triangle XYZ$ XYU, YZW và ZXV (xem Hình 8) với các góc ở các đáy [XY], [YZ] và [ZX], lần lượt bằng 60°-γ, 60°-α và 60°-β. Chúng ta hãy biểu thị thêm giao điểm của các đường UY và VZ bởi A; UX và WZ đến B và VX và WY đến C. Chứng minh rằng các góc $\triangle ABC$ bằng 3α, 3β và 3γ và các đường thẳng AY và AZ; BZ và BX; CX và CY là các trisecgris của tam giác này. Chúng tôi gọi bằng chứng này là “gián tiếp”, vì trong đó, $\triangle ABC$ ban đầu được xây dựng từ tam giác Morley XYZ của nó.

33

Bài toán

M516—M520; F528—F532

M516. Ba máy in các cặp số tự nhiên lên thẻ. Các máy hoạt động như sau. Máy đầu tiên đọc thẻ (a; b) sẽ phát ra thẻ mới (a+1; b+1); thứ hai, đọc thẻ (a; b), phát thẻ $\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right)$ (chỉ hoạt động khi a và b chẵn); người thứ ba đưa ra hai thẻ (a; b) và (b; c), đưa thẻ (a; c). Ngoài ra, máy còn trả về toàn bộ thẻ đã đọc.

Giả sử ban đầu có một thẻ có một cặp số (5; 19). Tôi có thể sử dụng theo thứ tự bất kỳ để nhận thẻ: a) (1;50)? 6) (1;100)?

c) Giả sử ban đầu có một thẻ (a; b), a <b> và ta muốn lấy thẻ (1; n). Việc này có thể được thực hiện để làm gì? (lớp 8-10)

V. Gutenmacher

M517. Một n-giác có diện tích S nội tiếp trong một đường tròn bán kính R. Một điểm nằm ở mỗi bên của n-giác. Chứng minh rằng chu vi của n-giác có các đỉnh tại các điểm lệch nhau ít nhất là 2S/R. (lớp 8-9)

V. Dubrovsky

M518. Các số $x_1, x_2, \ldots, x_n$ thuộc đoạn [a; b], trong đó 0 < a < b. Chứng minh bất đẳng thức

$$\left(x_1 + x_2 + \ldots + x_n\right) \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}\right) \leq \frac{(a+b)^2}{4ab} n^2.$$ (9 lớp)

S. Fomin

M519. Hai đống que diêm được đưa ra. Ban đầu, có m que diêm trong một chồng, n que diêm trong chồng kia, m > n. Hai người chơi lần lượt lấy các que diêm từ chồng bài. Trong một nước đi, người chơi lấy từ một cọc bất kỳ số trận đấu nào (khác 0) là bội số của số trận đấu trong

34

một đám khác. Người chơi nào giành được ván cuối cùng ở một trong các cọc sẽ thắng.
a) Chứng minh rằng nếu $m > 2n$ thì người chơi đi nước đầu tiên có thể đảm bảo chiến thắng.
b) Với α thì câu phát biểu đúng là gì: nếu $m > \alpha n$, thì người chơi đi nước đầu tiên có thể đảm bảo thắng? (9 lớp)

A. Slinko

M520. Khoảng cách là một dãy số $x_n = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})^n$. Mỗi người trong số họ được đưa đến hình thức

$$x_n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6},$$

trong đó $q_n, r_n, s_n, t_n$ là số nguyên. Tìm giới hạn của bạn

$$\lim_{n \to \infty} \frac{r_n}{q_n}, \lim_{n \to \infty} \frac{s_n}{q_n}, \lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{q_n}. \quad (10 \text{ кл.})$$

I. Bernitsyn

F528. Hình 1 cho thấy sự phụ thuộc của dòng điện qua bóng đèn tự động vào điện áp trên nó. Bóng đèn được mắc nối tiếp với nguồn điện áp không đổi $U = 10$ V có điện trở $R = 4$ Ohm. Xác định công suất của bóng đèn. (8 lớp)

F529. Sử dụng một bức ảnh chụp áp phích quảng cáo (Hình 2), xác định: 1) tiêu cự của vật thể chụp ảnh; 2) vật thể nằm cách lòng bàn tay bao nhiêu khi chụp ảnh; 3) kích cỡ của con cá mà ngư dân đánh bắt được; 4) đường kính vật thể (giả sử

Hình 2.

Chú ý! Thời hạn gửi lời giải bài toán từ “Sách Vấn đề Quaita” số 6 (1978) là đến ngày 1 tháng 9.

35

độ mờ chi tiết ảnh trong ảnh không vượt quá 0,2 mm). Hãy coi ống kính máy ảnh như một ống kính mỏng. (10 lớp)

F530. Trong sơ đồ hiển thị ở Hình 3, $\mathcal{E}_0 > \mathcal{E}_1$. Xác định điện tích sẽ chạy qua pin với e. d.s. $\mathcal{E}_0$ khi đóng chìa khóa $K$, giả sử điện trở trong của pin và điện trở của cuộn dây bằng 0. Điốt được coi là lý tưởng (điện trở thuận của nó bằng 0, điện trở ngược của nó là vô cùng); Tụ điện không được tích điện trước khi đóng công tắc. (10 lớp)

F531. Mạch nước phun có thể được coi là các hồ chứa lớn dưới lòng đất chứa đầy nước ngầm và được làm nóng bởi lòng đất (Hình 4). Lối ra từ chúng đến bề mặt Trái đất là thông qua một kênh hẹp, trong thời kỳ “yên tĩnh” gần như chứa đầy nước. Giả sử rằng giai đoạn “hoạt động” là khi nước trong bể chứa ngầm sôi lên và trong quá trình phun trào, kênh chỉ chứa đầy hơi nước thoát ra ngoài, hãy ước tính lượng nước mà bể chứa mạch nước phun mất đi trong một lần phun trào. Độ sâu kênh $h=90$ m; nhiệt bay hơi của nước $\lambda=2,26 \cdot 10^6$ J/kg; nhiệt dung của nước $c=4,2 \cdot 10^3$ J/(kg K). Sự phụ thuộc của áp suất hơi nước bão hòa vào nhiệt độ được thể hiện trên Hình 5. (9 ô)

F532. Con lắc là một thanh nhẹ có chiều dài $l$ với khối lượng $M$ ở cuối. Một ống lót hình trụ nhẹ $a$ có bán kính trong $r$ được gắn vào đầu kia của thanh, gắn trên trục quay ngang $b$ (Hình 6). Hệ số ma sát giữa ống lót và trục là $\mu$. Xác định góc lệch của thanh so với phương thẳng đứng ở trạng thái cân bằng. (8 lớp, 10 lớp)

36

M466. Trung bình năm 1977 có 50 đồng tiền giả. Mỗi đồng tiền giả chênh lệch với đồng thật 1 g (theo hướng này hay hướng khác). Có những chiếc cân bát có mũi tên biểu thị sự khác biệt về khối lượng giữa bát này và bát khác. Trong một lần cân, bạn cần tìm hiểu về một đồng xu đã chọn xem đó là tiền giả hay tiền chỉnh sửa. Làm thế nào để làm điều này?

M467. Điểm D và E chia các cạnh AC, AB của ABC đứng trước trong quan hệ |AD|:|DC| = |BE|:|EA| = 1:2. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại điểm O. Chứng minh AOC thẳng.

Cho có 2n+1 đồng xu, trong đó có 2k đồng tiền giả (k ≤ n), mỗi đồng tiền giả chênh lệch với đồng tiền thật 1 g (theo hướng này hay hướng khác). Gọi khối lượng của một đồng xu thật là gam. Chúng ta hãy dành ra một đồng xu đã chọn và trong 2n đồng xu còn lại, đặt n đồng xu lên đĩa cân đầu tiên và n đồng xu lên đĩa cân thứ hai. Lưu ý rằng khối lượng gry trên mỗi thang đo khác với na (khối lượng của n đồng tiền thật) bởi một số nguyên có cùng số chẵn lẻ với số lượng đồng tiền giả trên thang đo này.

Nếu đồng xu để riêng đúng nhịp thì tổng số đồng giả trên các cốc là 2k (chẵn), nghĩa là số lượng đồng xu giả trên cả hai cốc có cùng số chẵn, do đó chênh lệch về khối lượng của cốc này và cốc kia sẽ là số chẵn. Nếu đồng xu được chọn là đồng giả thì số đồng xu giả nằm trên cân là số lẻ - (2k-1); thì số đọc trên cân là số lẻ.

Vì vậy, chúng ta thấy rằng đồng xu được chọn là đồng điệu hay giả tùy thuộc vào số đọc trên thang đo là chẵn hay lẻ.

I. Klumova

◆ Xét điểm F trên cạnh BC sao cho |BF|:|FC|=2:1. Hãy vẽ đoạn AF. Tam giác OPQ đều (Hình 1). Vì vậy, chỉ cần chứng minh góc AOD bằng 30 độ là đủ. Để thực hiện việc này, bạn cần đảm bảo rằng |OP|=|AP| (vì APO=120°). Nhưng |AP|=|BO|, do đó vẫn phải kiểm tra |OP|=|BO|. Chúng ta hãy tìm xem điểm O và P chia đoạn BD theo tỉ số nào. ủng hộ-
Hình 1. Hình 2.

Hãy giới thiệu các đường thẳng DE1 và DF1 lần lượt song song với CE và AF (Hình 2). Rõ ràng là |AE1|:|E1E|=1:2. Vì |AE|:|EB|=2:1 nên |E1E|:|EB|=4:3. Điều này có nghĩa là |DO|:|BO|=4:3. Tương tự, chúng ta có thể xác minh rằng |BF|:|FF1|=6:1, từ đó |BP|:|DP|=6:1. Do đó, |DP|:|OP|:|BO|=1:3:3. Do đó |BO|=|OP| và AOC là đường thẳng.

L. Limanov

◆ Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ hình chữ nhật trong mặt phẳng, lấy điểm A trong các điểm này làm gốc. Giả sử điểm B có tọa độ (b1; b2), điểm C có tọa độ (c1; c2) và điểm D có tọa độ (d1, d2) (Hình 3).

37

MS·MD không bằng một người bạn khác. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}$. Tuyên bố ngược lại có đúng không?

Đặt $M$ là một điểm tùy ý trên mặt phẳng, $(x; y)$ tọa độ của nó. Khi đó các vectơ $\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MC}, \overrightarrow{MD}$ lần lượt có tọa độ $(-x; -y), (b_1-x; b_2-y), (c_1-x; c_2-y), (d_1-x; d_2-y)$. Đẳng thức $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MD}$ sẽ được viết dưới dạng tọa độ như sau:
$$-x (b_1-x) - y (b_2-y) = (c_1-x)(d_1-x) + (c_2-y)(d_2-y),$$
hoặc
$$(c_1 + d_1 - b_1) x + (c_2 + d_2 - b_2) y = c_1 d_1 + c_2 d_2.$$ (*)

Câu “với mọi điểm $M$ thì tích vô hướng $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MD}$ không bằng nhau” có nghĩa là đẳng thức (*), được coi là một phương trình với hai ẩn số $x, y$, không có lời giải. Điều này có thể thực hiện được khi và chỉ khi
$$\begin{cases} c_1 + d_1 - b_1 = 0, \\ c_2 + d_2 - b_2 = 0, \\ c_1 d_1 + c_2 d_2 \neq 0. \end{cases}$$
Viết lại hai đẳng thức đầu tiên dưới dạng
$$\begin{cases} c_1 = b_1 - d_1, \\ c_2 = b_2 - d_2 \end{cases}$$
và lưu ý rằng $(c_1; c_2)$ là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AC}$, và $(b_1-d_1; b_2-d_2)$ là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{DB}$, chúng ta sẽ thấy hệ đẳng thức này tương đương với đẳng thức của vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DB}$.

Điều kiện $c_1 d_1 + c_2 d_2 \neq 0$ có nghĩa là $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} \neq 0$, tức là các vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$ không vuông góc với nhau.

Vì vậy, điều kiện “với mọi điểm $M$ tích vô hướng $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MD}$ không bằng nhau” tương đương như sau: “$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} \neq 0$”.

Nếu các điểm $A, B, C, D$ không nằm trên cùng một đường thẳng thì đẳng thức $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB}$ có nghĩa là tứ giác $ACBD$ là hình bình hành và bất đẳng thức $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} \neq 0$ có nghĩa là hình bình hành này không phải là một đường thẳng.

Yu. ionin

**M469. a) Phương trình $x^4 + ax^3 + bx + c = 0$ có nhiều nghiệm thực khác nhau. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $ab < 0$.

b) Phương trình $x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{k-1}x^{n-k+1} + a_{k+1}x^{n-k-1} + \dots + a_n = 0$ có nhiều nghiệm thực. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $a_{k-1}a_k+1 < 0$.

Chúng tôi sẽ cung cấp các bằng chứng khác nhau cho điểm a) và b). Ý tưởng này dựa trên các phát biểu sau: nếu tất cả các nghiệm của một đa thức là số thực và khác nhau thì tất cả các nghiệm của đạo hàm của một đa thức cũng là số thực và khác nhau. Thật vậy, đa thức bậc $n$ là một hàm liên tục (và khả vi) trên đường thẳng. Do đó, tại một số điểm bên trong của khoảng, mà hai đầu của khoảng đó là hai nghiệm liền kề bất kỳ của đa thức ban đầu, nó nhận giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất (Hình 4, a). Tại điểm cực trị, đạo hàm của đa thức biến mất. Do đó, trong bất kỳ khoảng nào, hai nghiệm liền kề bất kỳ của đa thức đều có đạo hàm của nó (Hình 4, b). Do đó, đạo hàm của một đa thức bậc $n$, trong đó mọi nghiệm đều thực và phân biệt, có chính xác $n-1$ nghiệm thực, tất cả đều phân biệt.

a) Từ khẳng định đã được chứng minh, suy ra phương trình
$$4x^3 + 3ax^2 + b = 0$$
có ba gốc thực khác nhau: $x_1, x_2$ và $x_3$. Đó là lý do tại sao