Kvant 1979, số 4 · Trang

KEANM
4
1979

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

“Đĩa bay” này là họ hàng gần của đa giác, một mô hình của đa giác này đã được hiển thị trên trang thứ hai của trang bìa Quất #1. Xem trang bốn của bìa số đó để biết thêm chi tiết.

V. Gamayunov

Họa tiết moire tuyệt đẹp ở trang đầu tiên được tạo ra bằng máy tính.
Các mô hình Moiré xảy ra khi hai họ đường được xếp chồng lên nhau, mỗi họ chứa các đường không giao nhau có khoảng cách gần nhau. Khi chồng lên nhau, các đường thẳng của hai họ phải cắt nhau ở những góc nhỏ. Khi đó khoảng cách giữa các sọc sẽ lớn hơn đáng kể so với khoảng cách giữa các dòng trong họ. Trong những điều kiện này, một sự pha trộn nhẹ giữa các đường nét của một trong các họ có thể làm thay đổi đáng kể vị trí của các sọc của mẫu. Vì vậy, rất khó để vẽ họa tiết moire bằng tay. Với mục đích này, tốt hơn là sử dụng máy tính và máy vẽ do nó điều khiển.

Hoa văn được tái tạo trên trang bìa được thực hiện bởi hệ thống hiển thị đồ họa ALGRAF. Tuy nhiên, từ các họ đường - các đường thẳng song song, cách đều nhau, một họ khác - các cung hình sin, biên độ và bước sóng của chúng thay đổi theo định luật bậc hai.

Yu. kotov

1

Trong phòng:

M. Smolyansky. Phi hành đoàn không gian quốc tế
G. Balk, M. Balk, V. Boltyansky. Phương pháp chuyển động nhỏ
Tôi. Belkin. Về định luật chuyển động của Newton. Sức mạnh

Phòng thí nghiệm «Kvant»
O. Kabardin, N. Shefer. Cách tử nhiễu xạ tự chế

vòng tròn toán học
I. Yanmatov. Đa thức đi lại

Vấn đề «Kvant»
Bài toán M556—M560; F568—F572
Lời giải bài toán M508 — M512; F515, F518 — F520
Danh sách độc giả đã gửi đúng lời giải bài toán từ Sách Bài tập «Kvant» (32, 36, 51).

Qua những trang sách giáo khoa
V. Dubrovsky. Diện tích bề mặt Minkowski «Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
S. Gindikin. Tính toán trên giấy ca-rô

Xưởng của người nộp đơn
V. Mozhaev. Chuyển động của các hạt mang điện trong điện trường và từ trường
Lời khuyên của độc giả N. Rozov

Những lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1978
Đại học bang Kazan được đặt theo tên. V. I. Ulyanova-Lenina
Đại học bang Yaroslavl
Đại học bang Viễn Đông (Khoa Vật lý)
Viện kiến ​​trúc Moscow

Đánh giá, thư mục
I. Klumova, M. Smolyansky. Sách mới
V. Leshkovtsev. Tại nguồn năng lượng hạt nhân

Đáp số, gợi ý, lời giải
Trộn (9, 16, 56)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nuka, «Kvant», 1979

2

Phi hành đoàn không gian quốc tế

Ngày 2 tháng 3 năm 1977 sẽ là một ngày quan trọng trong lịch sử ngành du hành vũ trụ. Vào ngày này, lần đầu tiên trên tàu vũ trụ Soyuz-28, một phi hành đoàn quốc tế đã được phóng lên quỹ đạo vũ trụ, bao gồm chỉ huy tàu, phi công-nhà du hành vũ trụ của Liên Xô, Anh hùng Liên Xô Alexei Gubarev, và nhà du hành vũ trụ-nhà nghiên cứu, công dân Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Tiệp Khắc, Vladimir Remek.

Việc phóng tàu vũ trụ Soyuz-28 đã mở ra một giai đoạn mới trong công cuộc thăm dò, khám phá vũ trụ vì mục đích hòa bình, được các nước xã hội chủ nghĩa thực hiện theo chương trình hợp tác Intercosmos.
Chương trình bay của phi hành đoàn phi hành gia quốc tế đầu tiên là một mùa xuân bận rộn - nó bao gồm việc lắp ghép tàu vũ trụ Soyuz-28 với tổ hợp nghiên cứu quỹ đạo Salyut-6 - Soyuz-27, do các phi hành gia Yu điều khiển. Romanenko và G. Grechko, đồng thời tiến hành nghiên cứu và thí nghiệm chung trên trạm.

Vào ngày 17 tháng 6 năm 1978, tàu vũ trụ Soyuz-30 được phóng lên Liên Xô, trên tàu có phi hành đoàn quốc tế thứ hai bao gồm chỉ huy tàu, hai lần là Anh hùng Liên Xô, phi công-nhà du hành vũ trụ của Liên Xô Pyotr Klimuk và nhà du hành vũ trụ-công dân của Cộng hòa Nhân dân Ba Lan Miroslavov Germashevsky.

Chương trình thực địa bao gồm việc lắp ghép tổ hợp nghiên cứu quỹ đạo Salyut-6 - Soyuz-29, do các phi hành gia V. Kovalenok và A. Ivachenkov điều khiển, đồng thời tiến hành nghiên cứu và thí nghiệm chung trên trạm.

Vào ngày 26 tháng 8 năm 1978, tàu vũ trụ Soyuz-31 được phóng, được điều khiển bởi phi hành đoàn quốc tế thứ ba bao gồm chỉ huy tàu, hai lần là Anh hùng Liên Xô, phi công-nhà du hành vũ trụ của Liên Xô Valery Bykovsky và nhà nghiên cứu vũ trụ công dân của CHDC Đức Sigmund Jen.

Chương trình thực địa bao gồm việc lắp ghép tổ hợp nghiên cứu quỹ đạo Salyut-6 - Soyuz-29 và tiếp tục, cùng với Kovalenok và Ivachenkov, các nghiên cứu và thí nghiệm do các phi hành đoàn trước đó bắt đầu.

Ý tưởng về các trại quốc tế dành cho các phi hành gia vũ trụ từ các nước xã hội chủ nghĩa theo chương trình Intercosmos đã được Liên Xô hình dung từ năm 1976. Vào tháng 7 và tháng 9, một cuộc họp của đại diện Cộng hòa Nhân dân Belarus, Hungary, Cộng hòa Dân chủ Đức, Cộng hòa Nhân dân Ba Lan, các chuyên gia tài nguyên từ Cuba, Mông Cổ, SSR, Liên Xô và Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Tiệp Khắc đã được tổ chức tại Moscow, tại đó các tổ chức thảo luận các vấn đề liên quan đến việc chuẩn bị cho các chuyến bay vào vũ trụ có người lái quốc tế. Cuối năm 1976 họ đến Mátxcơva

V. Remek (Tiệp Khắc), A. Gubarev (SSR) tại một buổi tập.

A. Ivachenkov, V. Kovalenok (SSR) tại Trung tâm Đào tạo Phi hành gia mang tên. Yu. A. Gagarin.

3

Nhóm ứng cử viên phi hành gia đầu tiên - công dân Tiệp Khắc, Ba Lan và Cộng hòa Dân chủ Đức - và vào tháng 12 năm 1976, họ bắt đầu đào tạo và học tập tại Trung tâm Đào tạo Phi hành gia mang tên Yu. A. Gagarin. Sự giúp đỡ thân thiện, đồng chí của các chuyên gia và phi hành gia giàu kinh nghiệm của Liên Xô đã giúp họ có được kiến ​​​​thức lý thuyết và thực tiễn cần thiết trong thời gian ngắn nhất.

Các thí nghiệm được thực hiện trong chương trình mùa xuân này rất phong phú. Chúng được thực hiện phù hợp với các lĩnh vực quan trọng như vật lý vũ trụ, viễn thám về Trái đất, công nghệ vũ trụ, sinh học vũ trụ và y học.

Hiện đang ở Trung tâm Đào tạo Phi hành gia mang tên. Yu. A. Gagarin đào tạo các ứng cử viên phi hành gia - công dân Cộng hòa Nhân dân Belarus, Hungary, Mông Cổ, sĩ quan tài nguyên từ Cuba và SRR, những người cho đến năm 1983 cũng sẽ bay trên tàu vũ trụ của Liên Xô.

M. Smolyansky
Ảnh của A. Mokletsov

A. Gubarev (Liên Xô), O. Pelchak, V. Remek (Tiệp Khắc) tại trạm quỹ đạo Salyut-6.

Phi hành đoàn Soyuz-30 P. Klimuk (Liên Xô) và M. Germashevsky (Ba Lan) tại Trung tâm Huấn luyện Phi hành gia mang tên. Yu. A. Gagarin tại một buổi tập.

V. Bykovsky (Liên Xô), Z. Jen (CHDC Đức) tại Trung tâm Đào tạo Phi hành gia mang tên. Yu. A. Gagarin tại một buổi tập.

4

Phương pháp chuyển động nhỏ

Khi sử dụng các phát biểu hình học để xác minh tính xác thực, khi tìm kiếm các phản ví dụ, một nhà toán học thường lập luận như sau:

— Tôi sẽ xử lý trường hợp tuyên bố được xác nhận và tôi sẽ “di chuyển” một điểm (hoặc một đoạn hoặc một số tập hợp điểm khác). Có cách nào để tôi có thể giải quyết trường hợp tuyên bố không được xác nhận không?

Hãy xem một ví dụ đơn giản:

Bài toán 1. Từ một điểm P nằm bên trong một đa giác lồi, các đường vuông góc được hạ xuống các cạnh của nó hoặc về phía phần mở rộng của chúng. Chúng ta hãy đồng ý gọi đáy của đường vuông góc vĩ mô là “thẳng” nếu nó thuộc về một cạnh và “gián tiếp” nếu không. Có đúng là mọi điểm trong của đa giác đều có ít nhất hai hình chiếu trực tiếp không?

Lời giải. Đầu tiên chúng ta lấy tam giác ABC làm đa giác lồi ban đầu. Nếu nó là cấp tính thì tất cả các hình chiếu của bất kỳ điểm bên trong nào của nó đều là cay. Cho ΔABC là kiểu chữ. Trong trường hợp này, thật dễ dàng chọn một điểm P bên trong nó sẽ có hai hình chiếu cay (Hình 1). Bây giờ không khó để dựng một tứ giác lồi và một điểm nằm trên đường viền của nó sao cho điểm này chỉ có một điểm ẩn

Hình 1.

6

Hình 4.

Nhiệm vụ 4a. Có thể sắp xếp hai khối trung diện đều chấn động trong không gian, sao cho khi chúng được chiếu ngược lên một mặt phẳng nào đó - một và giống nhau - thì hình chiếu của một khối trung diện đều nằm hoàn toàn (bao gồm cả ranh giới của nó) bên trong hình chiếu của khối trung diện kia?

Lời giải e. Chúng ta hãy định vị khối trung diện $T'$ sao cho mặt $A'B'C'$ của nó nằm trong mặt phẳng chiếu $\alpha$ (Hình 4). Trước tiên, chúng ta định vị khối trung diện thứ hai $T$ sao cho hình chiếu của mặt $ABC$ lên mặt phẳng $\alpha$ trùng với tam giác $A'B'C'$. Bây giờ, bằng cách di chuyển khối trung diện $T$, nó sẽ cố gắng đảm bảo rằng hình chiếu của nó lên mặt phẳng $\alpha$ hoàn toàn nằm bên trong tam giác $A'B'C'$. Trước hết, sử dụng máy đo bề mặt $T$ sao cho bên trong tam giác $A'B'C'$ có ​​hình chiếu của đỉnh $C$. Ví dụ, điều này có thể được thực hiện như sau: overmeter $T$ xung quanh cạnh $AB$ cho đến khi vị trí tại đó cạnh $CD$ vuông góc với mặt phẳng $\alpha$. Trong trường hợp này, hình chiếu của khối đa diện $T$ sẽ trở thành một tam giác đều $A_1B_1C_1$ và $|A_1B_1| = |A'B'|$ (Hình 5).

Bây giờ chúng ta hãy di chuyển khối trung diện $T$ sao cho hình chiếu của cạnh $AB$ ngắn hơn đoạn $A'B'$. Để thực hiện việc này, hãy đánh dấu điểm giữa $F$ và $K$ của các cạnh $AB$ và $CD$ và thước đo bề mặt $T$ ở một góc nhỏ xung quanh đường thẳng $FK$. Sau chuyển động như vậy, hình chiếu của khối đa diện $T$ lên mặt phẳng $\alpha$ sẽ trở thành hình thang

Hình 5.

$A_2B_2C_2D_2$ (Hình 6). Nếu góc quay đủ nhỏ thì hình thang này sẽ nằm trong tam giác $A'B'C'$, có cạnh $A_2B_2$ nằm trên đường biên của tam giác này.

Để hình thang nằm hoàn toàn bên trong tam giác $A'B'C'$, bây giờ chỉ cần làm cho khối trung diện chịu thêm một chuyển động nữa là đủ, cụ thể là dịch chuyển khối trung diện bằng một vectơ nhỏ, vectơ thẳng hàng $FK$ (Hình 7).

Chúng ta thấy rằng các khối trung diện $T$ và $T'$ có thể được sắp xếp trong không gian sao cho hình chiếu của khối trung diện $T$ lên mặt phẳng $\alpha$ nằm hoàn toàn bên trong hình chiếu của khối trung diện $T'$ lên cùng một mặt phẳng. Nhiệm vụ 4a đã được giải quyết.

Điều này có nghĩa là có thể khoan một lỗ trên khối trung diện $T'$ mà qua đó khối trung diện $T$ sẽ đi qua (lỗ trong $T'$ phải được khoan vuông góc với mặt phẳng $A'B'C'$, và sao cho hình chiếu của lỗ lên mặt phẳng $A'B'C'$ hóa ra là một hình nào đó chứa bên trong hình thang $A_3B_3C_3D_3$ và nằm bên trong hình tam giác $A'B'C'$.

Ý tưởng về các chuyển động nhỏ cũng hữu ích khi trong một số tập hợp hình cần phải chọn (xây dựng, tìm) cái “tốt nhất” theo nghĩa này hay nghĩa khác (ví dụ: có chu vi nhỏ nhất, khu vực ồn ào nhất, v.v.). Trong những nhiệm vụ như vậy, chính

7

Hình 6.
Khó khăn thực sự là trước tiên phải đoán đúng đáp số; Đây là lý do tại sao phương pháp chuyển động nhỏ có thể hữu ích: trước tiên hãy lấy một số hình từ một tập hợp nhất định và cố gắng tinh chỉnh nó bằng một chuyển động nhỏ. Nếu điều này không thành công thì có thể hợp lý rằng hình đã chọn là hình mong muốn (tất nhiên điều này phải kèm theo một chứng minh chặt chẽ).

Bài 5. Bên trong điểm P nhỏ hơn điểm khai triển cho trước điểm P. Hãy chỉ ra cách dựng đường thẳng đi qua điểm P và cắt một tam giác có chu vi nhỏ nhất từ ​​điểm C ra khỏi điểm C.

Ponsk lời giải. Chúng ta hãy vẽ một đường thẳng A’B’ tùy ý đi qua điểm P (Hình 8), và gọi Γ là đường tròn “excircle” cho ΔA’CB’, tiếp xúc với cạnh A’B’ và các cạnh CA’ và CB’ kéo dài. Đầu tiên chúng ta hãy tưởng tượng rằng đường tròn Γ nằm “cách xa” điểm C. Chu vi 2p của tam giác A’CB’ bằng
2p = |A’C| + |CB’| + |A’B’| =
= |A’C| + |CB’| + |A’T| + B’T| =
= |A’C| + |CB’| + |A’M| +

• |B’N| = |CM| + |CN|.
  Chúng ta sẽ đưa đường tròn tiếp tuyến Γ đến gần đỉnh C hơn, giảm bán kính của nó. Trong trường hợp này, các đoạn CM, CN sẽ giảm và do đó chu vi 2p = |CM| + |CN| tam giác A’CB’. Nếu điểm P nằm trong đường tròn Γ không thì chúng ta có thể di chuyển điểm này

Hình 7.
một đường tròn sao cho tâm của nó hơi gần đỉnh C hơn một chút, nhưng sao cho điểm P vẫn nằm trong không phải đường tròn Γ; trong trường hợp này chu vi tam giác A’CB’ sẽ giảm đi.

Khả năng như vậy - có được cùng với tam giác này bởi một tam giác khác có chu vi nhỏ hơn - sẽ biến mất ngay khi điểm P không nằm trong đường tròn Γ mà nằm trên đường tròn này. Do đó, sẽ có tam giác có chu vi nhỏ nhất khi đường thẳng A’B’ tiếp xúc với đường tròn đi qua điểm P và tiếp xúc với các cạnh của góc C.

Lời giải. Chúng ta hãy dựng một số đường tròn Γ’ nội tiếp góc C; đặt O’ làm tâm của nó. Tiếp theo, chúng ta biểu thị bằng P’ điểm giao nhau đầu tiên (tính từ C) của tia CP với đường tròn dựng sẵn. Khi nấu với tâm C và hệ số k = |CP| / |CP’| điểm P’ sẽ tiến đến điểm P, và do đó đường tròn Γ’ sẽ tiến đến đường tròn γ, nội tiếp góc C và đi qua điểm P. (Lưu ý rằng chỉ có một đường tròn có các tính chất này; điều này cũng xuất phát từ thông báo chuẩn bị.) Gọi AB là tiếp tuyến của đường tròn γ vẽ qua điểm P (các điểm A và B nằm trên hai cạnh của góc).

Hãy chứng minh tam giác ABC là tam giác cần tìm. Trên thực tế, nếu

8

Hình 8.

[AB] là bất kỳ đoạn thẳng nào (khác với [AB]) có hai đầu ở hai cạnh của góc, đi qua điểm P (Hình 9), khi đó đường thẳng AB không tiếp xúc với đường tròn γ, tức là cắt đường tròn này tại hai điểm P và Q. Do đó, đường tròn ngoài Γ* của tam giác ABC thu được từ γ sẵn sàng với hệ số lớn hơn và nhỏ hơn. Nhưng sau đó rõ ràng là |CM*| + |CN*| > |CM| + |CN| (Hình 9), tức là chu vi của tam giác ABC lớn hơn và nhỏ hơn chu vi của tam giác ABC.

Ý tưởng về những chuyển động nhỏ có thể hữu ích không chỉ trong các bài toán hình học. Ví dụ: hãy xem xét bài toán («Kvant», 1974, Số 1, trang 73):

Bài toán 6. Ba người bạn - Alik, Borya và Vasya - kể rằng họ từng thua một số ván cờ nhất định và mỗi người đều thua một số ván như nhau. Sau đó, khi họ bắt đầu quyết định xem ai làm pho mát ngon hơn và nên được coi là người chiến thắng, Alik đã nói với những người Movarian của mình: “Tôi có ít hơn mỗi người trong số các bạn, hãy làm việc hiệu quả hơn”. Borya nói: “Và tôi có nhiều hơn mỗi bạn, hãy thắng,” và Vasya nhận xét: “Tôi ghi được nhiều điểm nhất” (break - 1 điểm, hòa - 1/2 điểm, thắng - 0). Sống murir ở mức tối đa có thực sự là một mốt không? Nếu không thì hãy chứng minh điều đó; nếu có, vui lòng cung cấp một ví dụ.

Lời giải e. Hãy thử xây dựng một tourer thỏa mãn điều kiện đã cho:

I. Alik hẳn là người thua cuộc hoàn toàn.

Hình 9.

II. Borya nên có nhiều tiền thắng nhất.

III. Vasya phải có được nhiều điểm nhất.

Chúng tôi sẽ tổng hợp nó từ các vòng riêng biệt (trong ba trò chơi - mỗi người chơi chơi với nhau một trò chơi). Ví dụ: có thể có một hiệp đấu như thế này: Alik hòa với hai người chơi khác và Borya thắng Vasya. Hoặc vòng này: Alik hòa với hai người chơi khác, và Vasya giành chiến thắng trước Bori. Chúng tôi gọi một cặp vòng như vậy là vòng đôi Cấp A (“loại Alik”). Trong một giải đấu chỉ bao gồm một vòng đấu đôi như vậy, các điều kiện tôi được đáp ứng rất thuận tiện: Alik có ít người thua hơn những người khác (không có người thua); mỗi người chơi ghi được 2 điểm. Một chuyến du lịch bao gồm bất kỳ số chuyến du lịch đôi nào thuộc loại A sẽ có thuộc tính I.

Giả sử một chuyến tham quan bao gồm một số lượng lớn các chuyến tham quan đôi thuộc loại A—chẳng hạn như 100 chuyến tham quan như vậy. Trong đó, mọi người đều ghi được 200 điểm, và Alik là người có ít người thua nhất - không có người thua (nhưng cũng không có người thắng), trong khi Borya và Vasya mỗi người có 100 người thắng và 100 người thua.

Bây giờ hãy di chuyển tuir một chút. Cụ thể là hãy tạo một số lượng nhỏ các chuyến tham quan (không nhất thiết phải là “loại A”); thì Alik vẫn sẽ ít thua cuộc hơn Borya và Vasya (nói cách khác, đối với những bước di chuyển nhỏ của turir, thuộc tính I là “ổn định”). Ta chọn chuyển động này sao cho điều kiện II cũng được thỏa mãn. Vì mục đích này, trước tiên chúng ta hãy tưởng tượng một vòng kép Cấp B (“loại Vasya”): trong đó tất cả mọi người

9

người chơi chơi hai trò chơi với mỗi người khác, trong đó Vasya chơi 4 tay, còn Alik và Borya mỗi người một trận thắng và một trận thắng; mỗi người trong số ba người chơi ghi được 2 điểm. Nếu (sau 100 vòng đôi loại A được chỉ định), 10 vòng đôi loại B đã được chơi, thì do một “chuyển động của người du lịch” nhỏ như vậy, Alik sẽ có 10 pringrysh, Borya - 110 pringrysh và Vasya - 100 pringrysh, tức là tài sản I được bảo toàn. Đồng thời, Borya sẽ có 110 trận thắng - nhiều hơn Alik (10 trận thắng) và hơn Vasya (100 trận thắng). Điều này có nghĩa là điều kiện II cũng được thỏa mãn. Ngoài ra, chung cuộc mỗi em đạt được 220 điểm (như vậy vẫn chưa đạt được điều kiện III).

Đối với tuir mới nhận được, áp dụng thêm một chuyển động nhỏ dưới dạng một loại bổ sung; Bất kể kết quả của nó ra sao, điều kiện I và II vẫn được đáp ứng (những điều kiện này ổn định). Hãy chọn vòng bổ sung này để Vasya ghi được nhiều điểm hơn mỗi người chơi khác (ví dụ: Vasya ghi được 2 điểm trong đó, thắng Alik và Borya, còn Alik và Borya hòa với nhau). Vì vậy, chúng tôi đã xây dựng một tour du lịch trong đó thỏa mãn cả ba điều kiện I, II, III, tức là khách du lịch được đề cập trong các điều kiện bài toán là có thể.

Bài tập

1. Trong tứ giác ABCD, các đường chéo vuông góc và bằng nhau và |AB| = |CD|.
2. Trong một hình chữ nhật lồi, tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tứ giác này có nhất thiết phải là hình vuông không?
3. Trong một hình chữ nhật lồi, tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tứ giác này có nhất thiết phải là hình vuông không?

Chúng tôi khuyên bạn nên mua!

1. Baraboy V. A. và Kurinsky B. R.* Bức xạ hạt nhân và sự sống. 232 trang 77k.
2. Belousov A. S. * Máy đếm hạt cơ bản. 156 trang 47k.
3. Idelson N. I. Nghiên cứu lịch sử

cơ khí Nô-ê. 495 trang 1 chà. 95k.
4. Muratov M.V. * Nguồn gốc của các lục địa và các bồn đại dương. 176 trang. 1 chà. 01k.
5. Petrushov A. Con người và Trái đất*. 224 trang 72k.
6. Vật lý vào đầu thế kỷ XVII-XVIII. * Tuyển tập các bài viết. 248 trang. 85k.
7. Cherkasov I. I. Shvarev V. V. Đất của Mặt trăng 140 tr. 57k.

3. Trong một hình chữ nhật lồi, tất cả các đường chéo đều bằng nhau. Góc này có nhất thiết phải đúng không?

4. Trong một hình lục giác lồi, các cạnh đối diện song song với nhau và các đường chéo nối các đỉnh đối diện bằng nhau. Hình lục giác này có phải đều đặn không?

5. Một tứ giác được bao quanh một vòng tròn có các đường chéo bằng nhau. Tứ giác này có nhất thiết phải là hình thang không? (Được biểu thị bằng e. Bắt đầu bằng hình vuông!

6. Có 2n điểm trên mặt phẳng dữ liệu A1, …, An, B1, …, Bn. Chứng minh rằng bằng cách di chuyển nhẹ các điểm này, bạn có thể đảm bảo rằng không có hai đoạn A1B1, …, AnBn nào song song và không có ba đoạn nào cắt nhau tại một điểm.

7. Có n điểm A1, …, An trong không gian dữ liệu. Chứng minh rằng bằng cách di chuyển nhẹ các điểm này, bạn có thể đảm bảo rằng mỗi chỉ số tứ giác i, j, k, l các điểm Ai, Aj, Ak, Al không nằm trong cùng một mặt phẳng.

8*. Cho n-giác lồi M. Chứng minh rằng bằng cách di chuyển n - 5 đỉnh của đa giác này có thể đảm bảo rằng không có ba đường chéo nào cắt nhau tại một điểm.

9. Cho một đa thức
   $$x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n.$$

Chứng minh rằng bằng cách “di chuyển” một chút số hạng tự do a, bạn có thể đảm bảo rằng đa thức không có nhiều nghiệm. (E cũng được biểu thị. Số x0 là nghiệm bội của một đa thức khi và chỉ nếu nó đồng thời là nghiệm của đa thức này và là nghiệm tùy ý của nó.)

10. Góc trong C nhỏ hơn góc gấp là điểm P. Vẽ một đường thẳng đi qua điểm P và cắt một tam giác có diện tích nhỏ nhất từ ​​góc C.

11. Nếu tứ giác lồi thì tổng chiều dài đường chéo lớn hơn nửa permet của nó. Hãy đưa ra một phản thực chứng tỏ định lý ngược lại là sai.

*) Xem thêm bài toán M533 («Kvant», 1978, số 11).

Chúng tôi khuyên bạn nên mua!

1. Baraboy V. A. và Kurinsky B. R.* Bức xạ hạt nhân và sự sống. 232 trang 77k.
2. Belousov A. S. * Máy đếm hạt cơ bản. 156 trang 47k.
3. Idelson N. I. Nghiên cứu lịch sử

cơ khí Nô-ê. 495 trang 1 chà. 95k.
4. Muratov M.V. * Tìm kiếm các lục địa và lưu vực đại dương. 176 trang. 1 chà. 01k.
5. Petrushov A. Con người và Trái đất*. 224 trang 72k.
6. Vật lý vào đầu thế kỷ XVII-XVIII. * Tuyển tập các bài viết. 248 trang. 85k.
7. Cherkasov I. I. Shvarev V. V. Đất của Mặt trăng 140 tr. 57k.

8. Shteri M.I. * Không gian đến Trái đất. 182 tr. 73k.
9. Yazdovsky V.I. Sinh quyển nhân tạo. 322 trang 72k.
   Đơn đặt mua sách vui lòng gửi đến địa chỉ: 117192 Moscow, Mitsurinsky Prospekt, 12, cửa hàng số 3 “Sách qua đường bưu điện” “Akademika”.
   *) Sách được đánh dấu hoa thị chỉ có số lượng hạn chế.

10

I. Belkin

Về định luật chuyển động của Newton. Sức mạnh

Từ “sức mạnh” trong câu điều kiện có nhiều nghĩa và có nhiều cách hiểu. Họ nói về sức mua của đồng tiền và sức mạnh của thói quen, về ý chí và sức mạnh của dư luận, về sức mạnh đạo đức và thậm chí… về những linh hồn ma quỷ. Trong những ví dụ này và trong nhiều ví dụ khác, “quyền lực” không có lời giải thích rõ ràng và rõ ràng. Trong mọi trường hợp, từ này có một ý nghĩa hoàn toàn khác trong đó.

Nhưng trong cơ học, lực được xác định theo thứ tự hoàn hảo và rõ ràng. Như F. Engels đã nói, trong cơ học “…họ thực sự biết silo nghĩa là gì.” Bài viết này sẽ thảo luận về lực như một khái niệm cơ học và đại lượng cơ học.

Tương tác và lực

Trong bài viết đầu tiên của chúng tôi về các định luật chuyển động («Kvant», 1979, số 2) người ta đã đề cập rằng lực là tác dụng của vật này lên vật khác. Nhưng chúng ta đã thấy rằng ảnh hưởng của một vật luôn mang tính tương hỗ - các vật thể luôn tương tác, nghĩa là chúng tác động lẫn nhau và truyền gia tốc cho nhau. Điều này có nghĩa là khi hai vật tương tác, mỗi vật sẽ tác dụng một lực. Lực tác dụng lên vật là nguyên nhân khiến nó tăng tốc. Newton định nghĩa lực theo cách này: “Lực tác dụng là một tác dụng được thực hiện lên một vật để làm thay đổi trạng thái đứng yên hoặc chuyển động đều của nó”. Đây chính là ý nghĩa của khái niệm lực trong cơ học. Nhưng hiện tại đây chỉ là một khái niệm. Chúng ta quan tâm đến lực như một đại lượng vật lý có thể thay đổi và biểu thị bằng số.

Cụm từ “ảnh hưởng của cơ thể này lên cơ thể khác” chứa đựng điều gì đó không rõ ràng, không phải

11

chắc chắn. ảnh hưởng nghĩa là gì? Nó diễn ra như thế nào? Thân xác rơi xuống có rễ do chịu ảnh hưởng của Trái Đất. Một cánh cửa có lò xo chuyển động nhờ chân lò chịu tác dụng của lò xo. Một miếng sắt chuyển động có rễ dưới tác dụng của nam châm. Nhưng những ảnh hưởng này có ảnh hưởng lẫn nhau không? Rõ ràng là chúng hoàn toàn khác nhau về bản chất. Vào thời Newton, người ta không biết gì về bản chất của tất cả những ảnh hưởng này. Nhưng trong cơ học, hóa ra bạn thậm chí có thể không biết điều này. Điều quan trọng duy nhất là tác dụng lên cơ thể là truyền rễ vào cơ thể. Điều này có nghĩa là những ảnh hưởng (lực) hoàn toàn khác nhau về bản chất có thể được so sánh với nhau nếu chúng ta có thể biểu diễn chúng bằng con số. Và để làm được điều này, cần phải xác định xem các lực được kết nối như thế nào với các gốc rễ mà chúng truyền đạt.

Định luật thứ hai của Newton
Mối liên hệ này được Newton thiết lập từ việc phân tích dữ liệu thực nghiệm. Ông đã xây dựng nó dưới dạng định luật thứ hai về chuyển động (định luật thứ hai của Newton).

Như chính Newton đã phát biểu, định luật này phát biểu: “Sự thay đổi chuyển động tỷ lệ thuận với lực dẫn động tác dụng và có hướng tác dụng của lực này”.

Công thức này chứa đựng ý tưởng cơ bản của cơ học: lực gây ra sự thay đổi trong chuyển động chứ không phải bản thân chuyển động đó như họ nghĩ trước Newton (và như những người chưa nghiên cứu về cơ học vẫn nghĩ). Tuy nhiên, từ “sự thay đổi trong chuyển động” có phần bí ẩn: suy cho cùng, chuyển động là một quá trình, không phải là số lượng; Chỉ số lượng mới có thể tỷ lệ thuận với nhau. Người ta cũng không rõ làm thế nào Newton biết được rằng có một định luật như vậy - định luật tỉ lệ giữa lực và sự biến thiên của chuyển động. Tất nhiên, luật này được thiết lập trên cơ sở kinh nghiệm hoặc kinh nghiệm. Nhưng cái nào? Newton không báo cáo điều này. Anh ấy chỉ đơn giản là “bảo” các cơ thể cư xử theo cách này chứ không phải cách khác.

Bây giờ chúng ta có thể giả sử rằng các từ “thay đổi chuyển động” rất quen thuộc, vì việc bám rễ thể hiện tốc độ chuyển động thay đổi nhanh chóng của một vật thể nếu khối lượng của nó không đổi *). Đối với kinh nghiệm mà từ đó mối liên hệ giữa rễ và lực có thể được thiết lập, nó phải bao gồm thực tế là các vật thể khác nhau (khối lượng khác nhau) được hỗ trợ bởi tác động của cùng một lực; Đồng thời, cần phải thay đổi cội rễ mà các cơ quan này nhận được. Đại lượng trở thành như nhau đối với tất cả các vật thể trong những thay đổi này sẽ đóng vai trò là thước đo lực tác dụng lên các vật thể này.

Trong tự nhiên chỉ có một lực duy nhất không phụ thuộc vào vật thể mà nó tác dụng. Đây là lực đàn hồi của một vật bị biến dạng, chẳng hạn như một lò xo. Lực này gọi là lực đàn hồi. Điểm đặc biệt của lực đàn hồi là nó chỉ phụ thuộc vào mức độ biến dạng của vật. Như vậy, lực đàn hồi của lò xo chỉ phụ thuộc vào độ giãn (hoặc lăn) của nó so với chiều dài ban đầu của nó (điều này đã được nghiên cứu vào thời Newton). Do đó, nếu bạn giữ độ căng của lò xo không đổi (cố định), thì nó tác dụng lên bất kỳ vật nào gắn với nó với một lực như nhau, bất kể khối lượng của vật đó là bao nhiêu (tất nhiên, khối lượng của lực của lò xo phải nhỏ đến mức không thể chuyển đổi được so với khối lượng của vật gắn vào nó).

Vì vậy, thí nghiệm cho phép liên hệ giữa rễ và lực chỉ có thể được thực hiện bằng lò xo. Trải nghiệm này được mô tả trong sách giáo khoa “Vật lý 8” (tr. 85). Hóa ra là một lò xo, cuộn (hoặc kéo căng) đến một chiều dài cố định, sẽ truyền rễ cho các vật thể gắn vào nó, hướng của chúng luôn trùng với hướng tác dụng của lực đàn hồi lên các vật thể và các giá trị tuyệt đối là khác nhau đối với một vật thể có khối lượng khác nhau.

*) Trong các sách hiện đại, họ thường viết, như thể “sửa” Newton, cùng nhau “thay đổi chuyển động” - “thay đổi động lượng”. Trong trường hợp này, lượng chuyển động được hiểu là tích của khối lượng và tốc độ của vật thể (đại lượng này thường được gọi là xung lực). Không khó hiểu khi cách giải thích này của Newton không mâu thuẫn với cách giải thích mà chúng ta chấp nhận.

12

Nhưng đối với tất cả các vật thể, tích của khối lượng $m$ của vật thể và gia tốc của nó $a$, tức là giá trị $ma$, vẫn giữ nguyên giá trị. Theo đó lực $F$ được xác định theo phương trình
$$\vec{F} = ma.$$
Định luật thứ hai của Newton hiện được phát biểu theo cách này: lực tác dụng lên một vật bằng tích của khối lượng và gia tốc của chính vật đó.

Rõ ràng là công thức này gần giống với công thức của Newton, vì từ đó suy ra rằng gia tốc (“sự thay đổi chuyển động” theo Newton) tỉ lệ với lực:
$$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}.$$
Vì vậy, lực, vốn chỉ được cho là thước đo ảnh hưởng của vật này lên vật khác, giờ đây đã trở thành một đại lượng vật lý có thể biểu thị bằng con số. Bạn có thể đặt đơn vị đo cho nó. Là một đơn vị lực, điều tự nhiên là lấy lực truyền cho vật có khối lượng bằng một (1 kg) một gia tốc bằng một (1 m/s²). Công bằng mà nói đơn vị này được đặt tên là “newton” (N) để vinh danh người sáng tạo ra cơ học cổ điển.

$$\vec{F} = ma - \text{уравнение движения}$$

Định luật thứ hai của Newton là định luật cơ học quan trọng nhất, bởi vì nó cho phép chúng ta giải bất kỳ bài toán nào về chuyển động của các vật thể. Thực tế là gia tốc $a$, được bao gồm trong phương trình của định luật thứ hai, biểu thị sự thay đổi nhanh chóng (về độ lớn và hướng) của tốc độ của một vật theo thời gian:

$$\vec{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}.$$

13

Cần phải nhớ rằng đằng sau phương trình vectơ này có ba phương trình biểu diễn gia tốc trên các trục tọa độ:

$$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}, \quad a_y = \frac{\Delta v_y}{\Delta t}, \quad a_z = \frac{\Delta v_z}{\Delta t},$$

trong đó $\Delta v_x, \Delta v_y, \Delta v_z$ là những thay đổi trong dự báo vận tốc, $\Delta t$ là khoảng thời gian mà những thay đổi xảy ra.

Ngược lại, hình chiếu của vận tốc là sự thay đổi nhanh chóng tọa độ của vật thể theo thời gian:

$$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}, \quad v_y = \frac{\Delta y}{\Delta t}, \quad v_z = \frac{\Delta z}{\Delta t}.$$

Điều này có nghĩa là đằng sau các giá trị gia tốc trong định luật thứ hai của Newton, trên thực tế, ở dạng phức tạp, sự thay đổi tọa độ theo thời gian là “ẩn”: thay đổi nhanh chóng, thay đổi nhanh chóng về tọa độ (trong ngôn ngữ toán học cao cấp, cụm từ ưa thích này được diễn đạt đơn giản hơn: đạo hàm bậc hai của tọa độ theo thời gian).

Giải phương trình $\vec{F} = ma$, chúng ta thu được biểu thức cho biết tọa độ chuyển động của vật thay đổi như thế nào theo thời gian. Vì vậy, chúng ta có thể tìm ra vị trí của cơ thể bất cứ lúc nào. Và đây là cơ chế bài toán chính. Đây chính là mục đích của khoa học này. Đó là lý do tại sao phương trình biểu diễn định luật II Newton được gọi là phương trình chuyển động.

Để lập phương trình này và giải nó, bạn cần biết lực tác dụng lên vật. Ngoài ra, bạn cũng cần biết cái gọi là điều kiện ban đầu - tọa độ của vật và tốc độ của nó tại một thời điểm ban đầu nào đó. Ngược lại, nếu định luật chuyển động của một vật được biết qua kinh nghiệm thì phương trình chuyển động (định luật thứ hai của Newton) cho phép người ta tìm lực tác dụng lên vật đó. Ví dụ: nếu tọa độ $x$ thay đổi theo thời gian theo định luật $x = x_0 + v_x t$, tức là vật chuyển động dọc theo trục $x$ với tốc độ không đổi $v_x$, thì theo định luật thứ hai của Newton, lực tác dụng lên vật (dọc theo trục $x$) bằng không. Nếu tọa độ $x$ thay đổi theo thời gian theo công thức

$$x = x_0 + v_x t + \frac{a_x t^2}{2},$$

Cơ thể chuyển động dọc theo trục $x$ với gia tốc không đổi $a_x$. Theo định luật thứ hai, điều này có nghĩa là một lực không đổi $\vec{F}_x$ tác dụng lên vật, hướng dọc theo trục $x$ và có độ lớn bằng $ma_x$.

“Biết sức mạnh” nghĩa là gì?

Biết chuyển động có nghĩa là biết tọa độ của vật phụ thuộc vào thời gian như thế nào. Điều này được thấy rõ qua các ví dụ vừa đưa ra. Nhưng “biết sức mạnh” nghĩa là gì?

Để trả lời câu hỏi này, hãy nhớ rằng sức mạnh luôn là kết quả của sự tương tác. Nếu một lực tác dụng lên một vật thể thì từ đó nó “phát ra” một vật thể khác nào đó. Và lực phụ thuộc vào sự tương tác của các vật thể tương tác, vào khoảng cách giữa chúng. Điều này xuất phát từ thực tế là các vật thể ở xa nhau vô cùng không hề tương tác với nhau. Nhưng khi di chuyển, khoảng cách giữa các vật thể tương tác có thể thay đổi. Vì vậy, lực tương tác giữa các vật thể này cũng có thể thay đổi. Điều này có nghĩa là lực tác dụng lên một vật nhất định phụ thuộc vào vị trí chuyển động của vật đó so với vật tác dụng lên nó. Nó cũng có thể phụ thuộc vào tốc độ chuyển động của cơ thể so với cơ thể mà “tạo ra” lực này.

Biết lực có nghĩa là biết lực phụ thuộc như thế nào vào tọa độ và tốc độ của vật. Và nếu biết loại phụ thuộc này thì cần thay các biểu thức tương ứng cùng với $\vec{F}$ vào công thức $\vec{F} = ma$.

Làm thế nào để nhận biết sự phụ thuộc này? Ở đây, như mọi khi, bạn cần phải chuyển sang trải nghiệm.

Đối với các lực được nghiên cứu trong cơ học, các tương tác từ tọa độ và vận tốc đã được biết đến từ lâu.

Năm 1678, Robert Hooke (1635-1703) đã chứng minh bằng thực nghiệm rằng lực của lò xo tỷ lệ thuận với độ giãn dài của nó. “Căng là gì, sức mạnh là gì” - bằng một câu nói ngắn gọn như vậy, Hooke đã tuyên bố ra đi

14

pháp luật do họ điều chỉnh. Teleri luật này mang tên ông. Nó được thể hiện bằng công thức

$$F = -kx.$$

Ở đây $k$ là đặc tính hệ số tỷ lệ của mỗi lò xo: ​​$x$ là độ giãn dài của lò xo, tức là hiệu độ dài của lò xo biến dạng và không biến dạng. Nếu so sánh tọa độ đầu tự do của lò xo với vị trí đầu này khi lò xo không bị biến dạng thì $x$ là tọa độ đầu tự do của lò xo. Do đó, công thức $F = -kx$ cho thấy chính xác lực đàn hồi phụ thuộc vào tọa độ như thế nào.

Đối với một lực cơ học quan trọng khác - lực hấp dẫn phổ quát - loại phụ thuộc vào tọa độ đã được chính Newton thiết lập. Lực này được xác định theo công thức

$$F = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2}.$$

Ở đây $r$ là khoảng cách giữa các vật thể tương tác, $m_1$ và $m_2$ là khối lượng của các vật thể này, $\gamma$ là hệ số tỉ lệ. Khoảng cách $r$ xác định tọa độ của vật thể này so với vật thể khác. Trong điều kiện trên mặt đất, biểu hiện của lực hấp dẫn phổ quát là lực hấp dẫn, có mô đun bằng $m|\vec{g}|$, trong đó $m$ là khối lượng của vật, $\vec{g}$ là gia tốc rơi tự do. Tọa độ của cơ thể dường như không được đưa vào biểu thức này. Tuy nhiên, phải lưu ý rằng giá trị của $|\vec{g}|$ phụ thuộc vào khoảng cách từ vật thể đến tâm Trái đất, tức là vào tọa độ so với tâm này. Vậy lực hấp dẫn phụ thuộc vào tọa độ. (Chỉ ở gần bề mặt Trái đất, gia tốc $|\vec{g}|$ có thể xấp xỉ, mặc dù có độ chính xác cao và được coi là không đổi.)

Sau đó, vào thế kỷ 18, người ta đã nghiên cứu một lực cơ học thứ ba - lực hấp dẫn. Đây là lực cơ học duy nhất phụ thuộc vào tọa độ của vật chứa nó và vào tốc độ tương đối của vật và có hướng ngược với tốc độ.

Hai trong ba lực cơ học - lực đàn hồi và lực hấp dẫn - hóa ra là có bản chất điện từ. Bản chất của lực điện từ và các định luật mà chúng tuân theo đã được biết đến khoảng một trăm năm trước. Bản chất của các lực cơ học - lực hấp dẫn phổ quát - chỉ được giải thích cách đây sáu mươi năm. Và các định luật cơ học đã được sử dụng trong ba trăm năm. Điều này là do đối với cơ học, bản chất của lực không tồn tại. Điều quan trọng là phải biết lực phụ thuộc vào tọa độ và tốc độ như thế nào.

Các lực lượng cộng lại

Vì vậy, kinh nghiệm cho thấy lực cơ học phụ thuộc vào tọa độ và tốc độ chuyển động của cơ thể. Và kinh nghiệm cho thấy họ không phụ thuộc vào bất cứ điều gì khác. Cụ thể, một lực tác dụng lên một vật không phụ thuộc vào việc nó tác dụng lên vật “một mình” hay cùng với các lực khác. Các lực tác dụng lên vật không “ngăn cản” nhau truyền gia tốc cho nó. Tất nhiên, đối với một vật chịu tác dụng của nhiều lực thì không thể nói rằng nó cũng có một số gia tốc. Anh ta có một gia tốc bằng tổng vectơ các gia tốc mà mỗi lực sẽ truyền cho anh ta nếu đó là lực duy nhất. Do đó chúng ta có thể nói rằng chỉ có một lực tác dụng lên vật, nhưng nó là tổng vectơ của tất cả những lực tác dụng lên vật.

15

sức mạnh Và khi một số lực tác dụng lên cơ thể cùng một lúc, trong phương trình $\vec{F} = m\vec{A}$ dưới $\vec{F}$ bạn cần cộng tổng vectơ của tất cả các lực tác dụng. Nó được gọi là lực bằng nhau.

Định luật thứ ba của Newton

Chúng ta có rất ít điều để nói về định luật thứ ba của Newton. Không phải vì luật pháp không quan trọng và không đáng bị phá hủy máy chủ. Ngược lại, nó chứa đựng ý tưởng quan trọng nhất của cơ học. Nhưng bởi vì chúng tôi đã thảo luận về luật này và chúng tôi đã sử dụng nó.

Định luật chuyển động, được liệt kê dưới con số thứ ba trong cuốn sách của Newton và vẫn giữ con số truyền thống này trong tất cả các cuốn sách về cơ học từ Newton cho đến ngày nay, phát biểu rằng các lực xuất hiện trong quá trình tương tác giữa các vật thể, rằng các lực tác dụng lên mỗi vật tham gia tương tác là giống nhau về mô đun và ngược chiều nhau. Chúng tôi đã nói về điều này trong bài viết trước của chúng tôi. Ở đó người ta chỉ ra rằng khi hai vật tương tác, mỗi vật đều nhận được gia tốc; những gia tốc này hướng ngược nhau và tỷ số của mô hình gia tốc bằng tỷ lệ nghịch với khối lượng của các vật thể tương tác. Tất cả điều này có thể được thể hiện bằng công thức

$$m_1 a_1 = - m_2 a_2.$$

16

SỰ SỐNG CHO MỌI CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỌI CƠ THỂ KHÔNG CÓ NGOẠI LỆ. CHO CHUYỂN ĐỘNG NHANH VÀ CHẬM, CHO CƠ THỂ LỚN VÀ NHỎ.

VÀ CHỈ VÀO ĐẦU THẾ KỶ XX NÓ PHÁT HIỆN RẰNG ĐIỀU NÀY KHÔNG PHẢI LÀ NHƯ VẬY. Cơ học Newton hóa ra rất có thể không chính xác khi các vật thể chuyển động với tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng. Điều này được xác lập bởi thuyết tương đối của A. Einstein vào năm 1905. Điều này là do sự tương tác giữa các vật thể không được truyền đi ngay lập tức như người ta nghĩ trước đây mà ở một tốc độ hữu hạn nhất định. Tốc độ này chính xác bằng tốc độ ánh sáng. Rõ ràng là khi tốc độ chuyển động của một vật gần với tốc độ truyền tương tác thì các định luật cơ học trở nên khác nhau. Nhưng ngay cả trong cơ học của thuyết tương đối (trong cơ học tương đối tính), chúng ta cũng đang xử lý các khái niệm và đại lượng quen thuộc - khoảng cách và thời gian, tốc độ và gia tốc, khối lượng và lực. Nhưng sự tương ứng giữa chúng là hoàn toàn khác nhau. Những công thức mới này luôn bao gồm tỷ lệ $\frac{v}{c}$ của tốc độ cơ thể $v$ với tốc độ ánh sáng $c$. Khi tỷ số này nhỏ và có thể coi là bằng 0 thì các công thức ngay lập tức chuyển thành công thức của cơ học Newton. Do đó, sự xuất hiện của thuyết tương đối không dẫn đến việc từ bỏ cơ chế này hay sửa đổi nó.

Thứ hai, cơ học Newton hoàn toàn không thể áp dụng được cho chuyển động của các hạt rất nhỏ mà từ đó các nguyên tử và phân tử được hình thành. Điều này mô tả một lý thuyết mới xuất hiện trong vật lý cách đây 50 năm. Trong lý thuyết này, ngay cả những khái niệm cơ học đặc quyền, chẳng hạn như quỹ đạo, tốc độ, gia tốc, lực, cũng mất đi ý nghĩa “cơ học” chung của chúng. Khái niệm chuyển động ở đây khác với khái niệm ghép cây. Nhưng sự xuất hiện của lý thuyết mới này (nó được gọi là cơ học lượng tử) sẽ không ảnh hưởng đến cơ học Newton, cơ học vẫn không thể lay chuyển đối với những chuyển động mà nó được tạo ra.

17

Cách tử nhiễu xạ tự chế

Cách tử nhiễu xạ lần đầu tiên được sử dụng để nghiên cứu quang phổ vào năm 1821 bởi nhà vật lý người Đức Fraunhofer. Cách tử của ông, được làm bằng cách quấn những sợi dây tốt nhất vào hai sợi dây song song, chỉ chứa một vài bảng dây trên mỗi milimét chiều dài cách tử. (Lưu ý rằng các tấm lưới hiện đại tốt, là sản phẩm của một tấm có các đường mờ đục được áp dụng cho chúng, có tới vài nghìn đường trên 1 mm.)

Cố gắng tạo ra một cách tử nhiễu xạ đơn giản. Ở nhà, điều này có thể được thực hiện, chẳng hạn như bằng nhiếp ảnh.

Để làm điều này, bạn cần vẽ một hệ thống các sọc song song có cùng chiều rộng trên tờ giấy bằng bút áp phích. Khoảng cách giữa các sọc có thể được chọn bằng chiều rộng của chúng. Sau khi chụp ảnh và rửa ảnh trên âm bản, bạn sẽ có được một hệ thống các sọc sáng và tối, tức là sự xen kẽ của các không gian rõ ràng và mờ đục với ánh sáng. Sau khi tăng cường âm thu được trong các khung cho diapasite, công việc chế tạo cách tử nhiễu xạ có thể được coi là đã hoàn thành.

Chụp ảnh tốt nhất được thực hiện dưới ánh sáng mặt trời tốt hoặc ngược sáng bằng đèn huỳnh quang.

Từ một mẫu, bạn có thể thu được các cách tử nhiễu xạ với các chu kỳ khác nhau nếu bạn chụp nó từ những khoảng cách khác nhau. Ví dụ: đặt chiều rộng $A$ của sọc sáng và chiều rộng $B$ của sọc tối trên mẫu bằng nhau và bằng 3 mm; chúng tôi muốn thu được cách tử có hằng số $d = a + b = 0,05$ mm ($a = b = 0,025$ mm), khoảng cách hình dạng của đối tượng máy ảnh là $F = 50$ mm. Khi đó có thể tìm thấy khoảng cách $s$ đến mẫu từ biểu thức

$$\frac{s}{F} = \frac{A}{a},$$

Ở đâu

$$s = F \frac{A}{a} = 6 \text{ м.}$$

Cách tử thu được sau khi phát triển sẽ chứa một milimet

$$n = \frac{1}{d} = \frac{1}{0,05} = 20 \text{ штрихов},$$

nghĩa là, ví dụ này giống như trong mạng Fraunhofer đầu tiên.

Mục đích chính của cách tử nhiễu xạ như một thiết bị quang phổ là xác định bước sóng ánh sáng. Từ điều kiện

$$d \sin \varphi = k\lambda$$

cực đại chính của mẫu nhiễu xạ thu được bằng cách sử dụng cách tử, theo đó hằng số cách tử $d$ càng thấp thì góc tại đó cực đại tương ứng với bước sóng $\lambda$ sẽ được quan sát trong phổ theo thứ tự $k$ càng lớn.

Điều này có nghĩa là khi hằng số cách tử giảm (với số lượng chân trên mỗi đơn vị chiều dài tăng lên), khả năng phân tách các vạch quang phổ có khoảng cách gần nhau sẽ tăng lên (như người ta nói, độ phân tán cách tử tăng lên)*). Ngoài ra, khi tổng số stiriki tăng lên, nhiều ánh sáng đi vào cực đại chính hơn và chúng ngày càng sáng hơn.

Về vấn đề này, người ta mong muốn tạo ra một mạng có khả năng lớn hơn

18

tổng số nét $N$ và hằng số mạng có thể nhỏ hơn $d$.

Việc thực hiện yêu cầu đầu tiên được xác định chủ yếu bởi sự kiên nhẫn và chính xác. Bạn cần vẽ các mẫu trên hai hoặc ba tờ giấy whatman rồi dán chúng thành một mẫu lớn để chụp ảnh (hoặc lấy một tờ giấy whatman và giảm chiều rộng của các sọc sáng và tối xuống còn một milimet).

Yêu cầu thứ hai bị giới hạn bởi độ phân giải của nhũ tương ảnh do cấu trúc dạng hạt của nó. Phim ảnh có giá trị màu 130-250 đơn vị GOST có độ phân giải không quá 75-70 dòng trên milimet; khi giá trị màu giảm xuống 32 đơn vị GOST, độ phân giải tăng lên 115 dòng trên milimet.

Khoảng thời gian $d$ của cách tử nhiễu xạ thu được có thể được xác định bằng cách thay đổi kích thước $C$ của hình ảnh listavatman trên âm bản và chia cho số $N$ của các đường màu đen được vẽ trên bản vẽ trước khi chụp ảnh:

$$d = \frac{C}{N}.$$

Sau khi thực hiện cách tử, bạn có thể bắt đầu thử nghiệm. Ở một đầu của thước gỗ dài 40-50 cm, gắn một lưới nhiễu xạ, và ở đầu kia, một thước giấy milimet tự chế được dán vào một dải bìa cứng có rãnh. Đặt lưới sao cho các đường thẳng song song với khe và hướng ánh sáng từ đèn sợi đốt vào khe. Bằng cách đặt lưới kính, thay đổi vị trí của màn hình và

Các Lạt ma đạt được điều kiện tốt nhất để quan sát quang phổ.

Đường đi của tia sáng khi quan sát phổ bằng cách tử nhiễu xạ được thể hiện trên hình.

Sử dụng cách tử nhiễu xạ tự chế, bạn có thể ước tính ranh giới cường độ màu quang phổ của mắt. Để làm điều này, bạn cần xác định bước sóng của ánh sáng đỏ ở một đầu của quang phổ quan sát được và bước sóng của ánh sáng tím ở đầu kia của quang phổ. Nếu biết chu kỳ cách tử $d$ và bậc của phổ $k$, việc xác định bước sóng $\lambda$ biểu thị sự thay đổi góc $\varphi$ giữa pháp tuyến với mặt phẳng cách tử và hướng đến vị trí cực đại tương ứng với ảnh của ảnh màn hình và

$$d \sin \varphi = k \lambda,$$

$$\lambda = \frac{d}{k} \sin \varphi.$$

Quan sát khe trên màn qua cách tử nhiễu xạ, tìm vị trí của các cạnh đỏ và tím của quang phổ bậc 1. Hai bên khe không có khoảng cách $l_{кр}$ và $l_{\varphi}$ (xem hình) và tìm giá trị trung bình của chúng. Sau khi đo khoảng cách $s$ từ rãnh đến cách tử, hãy tìm các tiếp tuyến của các góc $\varphi_{кр}$ và $\varphi_{\varphi}$ (tg $\varphi = l s$) và từ chúng các sin của các góc tương ứng. Biết chu kỳ cách tử, xác định bước sóng của tia đỏ và tia tím trong phổ bậc 1.

Thực hiện các thay đổi và tính toán tương tự cho phổ bậc 2.

19

I. Yanmatov

Đa thức đi lại

Từ biên tập viên
Nói chung, toán học bài toán được cung cấp cho học sinh có liên quan rất gián tiếp đến kết quả mới hoặc liên quan đến các chi tiết riêng lẻ của chúng và không mang lại cơ hội nhìn thấy toàn bộ bức tranh. Điều này có thể xảy ra bởi vì trong toán học, mọi thứ đều được kết nối với nhau và, như một quy luật, để hiểu đầy đủ ngay cả một câu hỏi hoàn toàn cơ bản, người ta phải rút ra những thông điệp từ các lĩnh vực toán học không phải tiểu học.
Bài toán về đa thức giao hoán, liên quan đến bài viết này, được coi là một ngoại lệ: ở đây có thể tiếp cận một vấn đề toán học tổng quát khá gần gũi, chỉ sử dụng các phương tiện cơ bản.
Chúng tôi biết đến bài toán này từ một bức thư gửi cho «Kvant» hai năm trước bởi E. Turkevich, người đã viết kết quả đầu tiên ở đây. Bài toán điều này, bổ sung thêm một số điểm, đã được đề xuất trong loại nghiên cứu XI của Olympic Thế giới và được đặt trong Bài toán «Kvant» (M455).

Công thức bài toán
Đa thức $P$ và $Q$ trong một biến được gọi là giao hoán *) nếu $P(Q(x)) = Q(P(x))$. Đẳng thức được viết có nghĩa là nếu ở cả hai vế của đẳng thức, chúng ta mở tất cả các dấu ngoặc và thêm các số hạng giống nhau thì chúng ta sẽ có được các đa thức giống nhau. Điều này tương đương với thực tế là với bất kỳ số thực $d$ nào thì đẳng thức số $P(Q(d)) = Q(P(d))$ đúng.

*) Từ tiếng Latin commutativus - thay đổi.

Bài tập M455 chỉ xét các đa thức có hệ số cao nhất là 1; Chúng ta sẽ gọi các đa thức như vậy là đơn nhất. (Như chúng ta sẽ thấy bên dưới, câu hỏi về đa thức giao hoán tùy ý có thể được rút gọn thành câu hỏi về đa thức có hệ số dẫn đầu bằng ±1.)

a) Với mọi số $\alpha$, hãy tìm tất cả các đa thức bậc nhiều nhất là ba giao hoán với đa thức $P(x) = x^2 - \alpha$.

b) Chứng minh rằng có nhiều nhất một đa thức có bậc cho trước giao hoán với đa thức $P$ bậc hai đã cho.

b) Tìm tất cả các đa thức bậc 4 và 8 giao hoán với đa thức $P$ bậc hai đã cho.

d) Chứng minh rằng nếu hai đa thức $Q$ và $R$ giao hoán với một đa thức $P$ bậc hai nào đó thì chúng giao hoán với nhau.

d) Chứng minh rằng tồn tại khối đa thức $P_1, P_2, \dots, P_h, \dots$ giao hoán với nhau, bậc của đa thức $P_h$ bằng $k$ và $P_2(x) = x^2 - 2$.

Lời giải bài toán a)—d)

a) Đặt $Q(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Chúng ta hãy viết ra đẳng thức $P(Q(x)) = Q(P(x))$:
$x^3 + ax^2 + bx + c)^2 - \alpha = (x^2 - \alpha)^3 + a(x^2 - \alpha)^2 + b(x^2 - \alpha) + c$.

Trước khi mở ngoặc, lưu ý rằng ở bên phải chỉ có bốn lũy thừa $x$ và hệ số vết tại $x^5$ bằng 2a. Vì vậy, $a = 0$. Nhưng khi đó hệ số vết của $x^3$ bằng 2c, thì $c = 0$ cũng vậy. Vì vậy $Q(x) = x^3 + bx$. Mở ngoặc và cân bằng các hệ số, ta được hệ
$$\begin{cases} 2b = -3\alpha, \\ b^2 = 3\alpha^2 + b, \\ \alpha = \alpha^3 + b\alpha. \end{cases}$$

Đặt $\alpha = 2\gamma$, sau đó $b = -3\gamma$. Từ phương trình thứ 2 $9\gamma^2 = 12\gamma^2 - 3\gamma$, tức là $\gamma^2 - \gamma = 0$. Vì vậy, $\gamma = 0$ hoặc $\gamma = 1$. Thật dễ dàng để kiểm tra xem cả hai lời giải này đều phù hợp.

20

Do đó, đa thức bậc 3 $Q$ giao hoán với đa thức $P(x) = x^2 - \alpha$ chỉ tồn tại với $\alpha = 0$ ($P(x) = x^2$, $Q(x) = x^3$) và cho $\alpha = 2$ ($P(x) = x^2 - 2$, $Q(x) = x^3 - 3x$).

Người ta cũng chứng minh tương tự rằng nếu bậc $Q$ bằng 2 thì $Q = P$, và nếu nó bằng 1 thì $Q(x) = x$.

Điểm này rất đơn giản. Nó được trao cho học sinh tại Thế vận hội để các em hiểu rõ hơn về các điều kiện của bài toán và làm quen một chút với nó. Ngoài ra, nếu bạn hiểu kỹ các phương trình đã được viết ra, thì sẽ nảy sinh ý tưởng về cách giải điểm 6) - một trong những điểm mấu chốt bài toán.

6. Đặt $Q(x) = x^k + a_1x^{k-1} + a_2x^{k-2} + \dots + a_{k-1}x + a_k$, $P(x) = x^2 + px + q$. Hãy viết biểu thức đẳng thức $(x^k + a_1x^{k-1} + \dots + a_k)^2 + p(x^k + \dots + a_k) + q - (x^2 + px + q)^k - a_1(x^2 + px + q)^{k-1} - \dots - a_k = 0$.

Đánh đồng các hệ số tại $x^{2k}$, $x^{2k-1}$, …, $x$, $x^0$ với 0, ta thu được hệ phương trình cho $a_1$, $a_2$, …, $a_k$, $p$, $q$. Việc giải hệ thống này và thậm chí chỉ đơn giản là viết nó ra cũng khá khó khăn. Tuy nhiên, dễ dàng nhận thấy các hệ số $b_1$, $b_2$, …, $b_k$ cho lũy thừa $x^{2k-1}$, $x^{2k-2}$, …, $x^k$ có dạng sau:

$$b_1 = 2a_1 + R_1(p, q) = 0,$$
$$b_2 = 2a_2 + R_2(p, q, a_1) = 0,$$
$$b_k = 2a_k + R_k(p, q, a_1, \dots, a_{k-1}) = 0.$$

Đây $R_i$ là một số biểu thức đại số từ $p$, $q$, $a_1$, …, $a_{i-1}$. Từ phương trình đầu tiên, $a_1$ được biểu thị thông qua $p$ và $q$; từ giây - rằng $a_2$ được biểu thị qua $p$, $q$ và $a_1$, và do đó được biểu thị qua $p$ và $q$, … Vì vậy, chúng ta thấy rằng tất cả các hệ số $a_1$, …, $a_k$ được biểu thị qua $p$ và $q$, tức là các hệ số của đa thức $Q$ giao hoán với $P$, được biểu diễn duy nhất theo $p$ và $q$, đây là điều cần phải chứng minh.

Thật dễ dàng để xác minh rằng một lý luận tương tự có thể được xác minh cho bất kỳ đa thức $P$ nào, miễn là bậc của nó lớn hơn 1 (và $Q$ là đơn vị), tức là tuyên bố trong đoạn 6) là đúng với bất kỳ đa thức nào.

Điểm 6) là chìa khóa trong bài toán. Điểm c) và d) dễ dàng theo dõi từ đó.

c) Hãy chứng minh đa thức $Q(x) = P(P(x))$ giao hoán với $P$. Thật vậy, $Q(P(x)) = P(Q(x))$. Đa thức $Q$ có bậc bốn và, theo 6) là đa thức duy nhất ở bậc này giao hoán với $P$. Tương tự, người ta chứng minh rằng đa thức bậc 8 duy nhất giao hoán với $P$ là đa thức $R(x) = P(P(x))$.

d) Đặt $S(x) = Q(R(x))$ và $T(x) = R(Q(x))$. Vì $P$ giao hoán với $Q$ và $R$, nên $P(S(x)) = P(Q(R(x))) = Q(P(R(x))) = Q(R(P(x))) = S(P(x));$ có nghĩa là $P$ giao hoán với đa thức $S$. Theo cách tương tự, người ta xác minh rằng $P$ giao hoán với đa thức $T$. Hơn nữa, rõ ràng rằng $S$ và $T$ là các đa thức đơn nhất có cùng bậc (nếu $Q$ và $R$ có bậc $k$ và $l$ thì bậc của đa thức $S$ và $T$ là $kl$). Từ 6) suy ra $S = T$, tức là $Q(R(x)) = R(Q(x))$, là điều bắt buộc.

Tương tự như ở điểm 6), mệnh đề vẫn đúng nếu $P$ là đa thức bậc bất kỳ lớn hơn 1 và $Q$ và $R$ là đơn nhất.

Đa thức Chebyshev.
Lời giải điểm d)

Điểm d) khó hơn nhiều so với các điểm khác. Chúng tôi sẽ đưa ra một số cách tiếp cận khác nhau đối với lời giải của nó.

Cách đầu tiên. Hãy để $x = t + t^{-1}$. thì dễ dàng kiểm tra được $x^k$ có dạng

$$x^k = (t + t^{-1})^k = (t^k + t^{-k}) + a_1(t^k - 1 + t^{-(k-1)}) + a_2(t^k - 2 + t^{-(k-2)}) + \dots + a_{k-1}(t + t^{-1}) + a_k,$$

trong đó $a_1$, …, $a_k$ là một số số cố định. Bằng quy nạp trên $k$ suy ra $t^k + t^{-k}$ có thể được biểu diễn dưới dạng

$$x^k + b_1x^{k-1} + \dots + b_{k-1}x + b_k,$$

trong đó $b_1$, …, $b_k$ là một số số cố định. Chúng ta hãy biểu thị đa thức $x^k + b_1x^{k-1} + \dots + b_k$ bằng

21

$P_k(x)$. Theo định nghĩa $P_k(t+t^{-1}) = t^k + t^{-k}$, vậy $P_k(P_l(t+t^{-1})) = P_k(t^l + t^{-l}) = t^{kl} + t^{-kl} = P_{kl}(t + t^{-1})$. Do đó, $P_k(P_l(x)) = P_{kl}(x) = P_l(P_k(x))$, tức là hai đa thức bất kỳ $P_k$ giao hoán. Kể từ $P_2(x) = x^2 - 2$, chúng ta đã xây dựng được chuỗi đa thức cần thiết.

Cách thứ hai. Hãy để chúng tôi trình bày một phương pháp thu được đa thức $P_k$ bằng cách sử dụng đa thức Chebyshev $T_k$. Chúng tôi sẽ không đưa ra định nghĩa trực tiếp về các đa thức này, nhưng chúng tôi sẽ đưa ra sự tương ứng mà chúng thỏa mãn (và xác định chúng một cách duy nhất):

$$T_k(\cos t) = \cos kt.$$

Có thể chứng minh rằng $T_k$ là đa thức bậc $k$. Dễ dàng chứng minh rằng đa thức Chebyshev giao hoán:

$$T_k(T_m(x)) = T_{km}(x) = T_m(T_k(x))$$

• thực tế là $\cos k(mt) = \cos kmt = \cos m(kt)$. Nhưng $T_k$ không phải là đa thức đơn nhất: hệ số cao nhất của nó là $2^{k-1}$. Nhược điểm này có thể dễ dàng khắc phục bằng cách “kéo dài” đối số và giá trị của đa thức theo hệ số hai bằng cách sử dụng phép đổi biến, tức là bằng cách đặt $P_k(x) = 2T_k(x/2)$. Quy trình này không vi phạm tính giao hoán (hãy kiểm tra cái này!). Một dãy đa thức Chebyshev đáng chú ý, xuất hiện trong nhiều bài toán giải tích (đặc biệt trong lý thuyết xấp xỉ hàm số bằng đa thức), hóa ra lại là một dãy đa thức giao hoán. Bằng cách này, chuỗi $P_k$ đã được E. Turkev và Part xây dựng.

Cả hai phương pháp được mô tả đều dựa trên cùng một ý tưởng. Giả sử có một hàm nào đó $f$ lấy vô số giá trị và sao cho với mọi số tự nhiên $n$

$$f(nt) = Q_n(f(t))$$

trong đó $Q_n$ là đa thức. Khi đó các đa thức $Q_m$ và $Q_n$ giao hoán. Ví dụ: nếu $f(t) = e^t$, thì chúng ta thu được đa thức chuyển mạch nối tiếp $F_n(x) = x^n$. Nếu $f(t) = e^t + e^{-t}$, thì chúng ta nhận được đa thức nối tiếp $P_n$ (đây chính xác là phương pháp xây dựng đa thức $P_n$ đầu tiên của chúng ta, chỉ có $t$ ở đây được thay thế bằng $e^t$). Nếu $f(t) = \cos t$ thì chúng ta thu được đa thức nối tiếp $T_n$. (Đối với những người quen thuộc với số phức và công thức $\cos \varphi = (e^{i\varphi} + e^{-i\varphi})/2$, thật dễ dàng tìm ra lý do tại sao hàm $e^t + e^{-t}$ và cos $t$ về cơ bản lại dẫn đến cùng một chuỗi đa thức, khoảng cách lên tới gấp đôi.)

lời giải trong đoạn e) rất đẹp, nhưng chúng có một nhược điểm: hoàn toàn không rõ làm cách nào để truy cập chúng. Chúng tôi sẽ tặng thêm một lời giải; nó sẽ bớt ngắn hơn nhưng sẽ rõ ràng nó được phát minh như thế nào và cách viết nhanh các đa thức $P_n$.

Cách thứ ba. Như sau từ điểm b), chỉ có thể có một đa thức $P_k$ bậc $k$ giao hoán với $P_2(x) = x^2 - 2$. Chúng ta hãy viết ra một vài đa thức đầu tiên như vậy:

$$P_1(x) = x,$$
$$P_2(x) = x^2 - 2,$$
$$P_3(x) = x^3 - 3x,$$
$$P_4(x) = x^4 - 4x^2 + 2,$$
$$P_5(x) = x^5 - 5x^3 + 5x,$$
$$P_6(x) = x^6 - 6x^4 + 9x^2 - 2$$

(ở đây $P_4(x) = P_2(P_2(x))$, $P_6(x) = P_2(P_3(x))$, $P_5(x)$ giống như ở điểm a)). Sau khi xem xét chuỗi đa thức này, chúng ta có thể thay thế nó thỏa mãn công thức truy hồi $P_{k+1}(x) = xP_k(x) - P_{k-1}(x)$. Thật tự nhiên khi cho rằng công thức này đúng với mọi $k > 1$.

Vì vậy, chúng ta hãy định nghĩa dãy đa thức $P_1, P_2, \dots, P_n, \dots$ bằng quy nạp, giả sử rằng

$$P_1(x) = x,$$
$$P_2(x) = x^2 - 2,$$

và tại $k > 1$

$$P_{k+1}(x) = xP_k(x) - P_{k-1}(x).$$

Hãy chứng minh rằng mọi đa thức $P_k$ đều giao hoán với đa thức $P_2$; thì tất cả đều đi lại với nhau (điểm d)).

Hãy chứng minh bằng quy nạp. Rõ ràng là các đa thức $P_1$ và $P_2$ giao hoán với $P_2$; giả sử rằng mọi đa thức $P_1, P_2, \dots$

22

…, $P_k$ giao hoán với $P_2$, và chúng ta chứng minh rằng đa thức $P_{k+1}$ giao hoán với $P_2$.

Chúng ta cần thể hiện điều đó
$$P_{k+1}(x^2-2)=(P_{k+1}(x))^2-2.$$

Thay công thức truy hồi cho $P_{k+1}$ vào đẳng thức này, chúng ta viết lại nó dưới dạng
$$(x^2-2)P_k(x^2-2)-P_{k-1}(x^2-2)$$
$$=(xP_k(x)-P_{k-1}(x))^2-2.$$

Bây giờ chúng ta sử dụng giả định quy nạp:
$$(x^2-2)(P_k(x)^2-2)-(P_{k-1}(x)^2-2)$$
$$=(xP_k(x)-P_{k-1}(x))^2-2.$$

Mở rộng dấu ngoặc và điều kiện dẫn động, chúng ta thu được đẳng thức sau:
$$-2(P_k(x)^2-xP_k(x)P_{k-1}(x))+P_{k-1}(x)^2=2x^2-8$$

hoặc
$$P_k(x)^2-xP_k(x)P_{k-1}(x)+P_{k-1}(x)^2=4-x^2.$$

Hãy biểu thị vế trái (*) bằng $S_k(x)$. Chúng ta còn phải chứng minh rằng $S_k(x)$ không phụ thuộc vào $k$ (và bằng $4-x^2$). Thật vậy, hãy để $k>2$. Sau đó
$$S_k(x)=P_k(x)^2-xP_k(x)P_{k-1}(x)+P_{k-1}(x)^2=P_k(x)[P_k(x)-xP_{k-1}(x)]+P_{k-1}(x)^2$$
$$=-P_k(x)P_{k-2}(x)+P_{k-1}(x)^2=P_{k-2}(x)^2-xP_{k-1}(x)P_{k-2}(x)+P_{k-1}(x)^2=S_{k-1}(x),$$
tức là $S_k(x)=S_{k-1}(x)$. Vì $S_2(x)=4-x^2$, $S_k(x)=4-x^2$ cho tất cả $x \geq 2$. Vì vậy, chúng ta đã chỉ ra rằng $P_k$ giao hoán với $P_2$ với mọi $k$.

Bài toán về đa thức giao hoán

Chúng ta muốn thảo luận về bài toán liên quan đến bài toán sau: mô tả tất cả các cặp đa thức giao hoán (không nhất thiết là đơn nhất) $P$ và $Q$.

Bài toán 1. Chứng minh rằng hai đa thức $P$ và $Q$ bậc một giao hoán khi và chỉ nếu $P(x)=x+\alpha$, $Q(x)=x+\beta$ hoặc tồn tại một $x_0$ sao cho $P(x_0)=Q(x_0)=x_0$ (điểm cố định chung).

Bài toán 2. Giải bài toán tổng quát khi bậc của một trong các đa thức $P$, $Q$ bằng 1.

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ giả sử rằng bậc của đa thức $P$ và $Q$ lớn hơn 1.

Đặt $P(x)=a_0x^k+a_1x^{k-1}+\cdots+a_{k-1}x+a_k$, $Q(x)=b_0x^e+\cdots+b_{e-1}x+b_e$. Trước hết, chúng tôi chứng minh rằng chúng tôi có thể quy giản bài toán tổng quát cho trường hợp các hệ số $a_1$ và $b_1$ bằng 0 (đa thức loại này được gọi là giảm). Để làm điều này, chúng tôi sẽ sử dụng thao tác sau. Chúng ta hãy sửa số $a$ và sử dụng nó để xây dựng từ mỗi đa thức $R$ một đa thức mới, “khớp” $R^{(a)}$ bằng cách sử dụng công thức $R^{(a)}(x)=R(x-a)+a$. Rõ ràng là đa thức $R$ có thể được xây dựng lại từ đa thức $R^{(a)}:R(x)=R^{(a)}(x+a)-a$.

Bài toán 3. a) Chứng minh rằng nếu đa thức $P$ và $Q$ giao hoán thì $P^{(a)}$ và $Q^{(a)}$ cũng giao hoán.

6. Chứng minh rằng mọi cặp đa thức giao hoán $P$ và $Q$ bậc lớn hơn 1 đều có dạng $P=S^{(a)}$, $Q=T^{(a)}$, trong đó $a$ là một số nào đó, còn $S$ và $T$ đang giao hoán các đa thức rút gọn.

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ giả sử rằng các đa thức $P$ và $Q$ đã cho. Ngoài ra, chúng ta sẽ giả sử rằng chúng là đơn nhất, nghĩa là hệ số cao nhất của chúng bằng 1. Rõ ràng, đây là trường hợp đặc biệt thú vị nhất. Ngoài ra, bằng cách suy luận tương tự như cách làm ở trên, cho thấy có thể quy giản bài toán tổng quát cho trường hợp hệ số cao nhất của các đa thức $P$ và $Q$ đều bằng ±1, sao cho trường hợp riêng này không khác nhiều so với trường hợp tổng quát (trong các lập luận này cần sử dụng thao tác “kéo dài”, liên kết từng đa thức $R$ với đa thức $R^{\lambda}$ theo công thức $R^{\lambda}(x)=\lambda R(x/\lambda)$). Chúng ta hãy mô tả một số chuỗi đa thức giao hoán:

1. Giả sử $R$ là đa thức bậc $r$. Xét chuỗi đa thức $P_0(x)=x$, $P_1(x)=R(x)$, $P_2(x)=R(R(x))$, $P_3(x)=R(R(R(x)))$ (nói chung $P_{i+1}(x)=P_i(R(x))$).

Rõ ràng là mọi đa thức $P_i$ giao hoán và bậc của đa thức $P_i$ bằng $r^i$.

23

2. Chuỗi đa thức $F_k(x) = x^k$. Tất cả các đa thức $F_k$ giao hoán và bậc của đa thức $F_k$ là $k$.

3. $\{P_k\}$ là chuỗi đa thức được xây dựng tại lời giải của điểm e) bài toán M455. Các đa thức này được xác định bởi điều kiện $P_k(t + t^{-1}) = t^k + t^{-k}$. Bậc của đa thức $P_k$ là $k$.

4. Chúng ta hãy định nghĩa chuỗi đa thức $H_1, H_3, H_5, \dots$ theo điều kiện sau: $H_k(t - t^{-1}) = t^k - t^{-k}$ (k lẻ). Thật dễ dàng để xác minh rằng các đa thức đó tồn tại và được xác định duy nhất bởi điều kiện đã viết. Tất cả các đa thức này giao hoán và bậc của đa thức $H_k$ bằng $k$.

Trên thực tế, ví dụ 3 và 4 là trường hợp đặc biệt của một ví dụ tổng quát hơn. Để mô tả ví dụ chung này, chúng ta đưa ra một nhận xét về các hệ số của đa thức. Cho đến nay chúng ta vẫn giả định rằng các hệ số này là số thực. Tuy nhiên, trong hầu hết các câu hỏi đại số, tốt hơn là nên làm việc với số phức. Do đó, hãy giả sử rằng các hệ số của đa thức của chúng ta có thể là bất kỳ số phức nào.

5. Chúng tôi sửa một số tự nhiên $m$ và một số phức $\lambda$ sao cho $\lambda^m = 1$ (với mỗi $m$ có một số $m - 1$ khác 1).

Xét các cặp số $(u, v)$ sao cho $u.v = \lambda$ và đặt $x = u + v$. Dễ dàng kiểm tra được rằng $u^k + v^k = x^k + a_1x^{k-1} + \dots + a_k$, trong đó $a_1, \dots, a_k$ là một số số, phụ thuộc vào $\lambda$. Hãy đặt $P_k(x) = x^k + a_1x^{k-1} + \dots + a_k$; đa thức $P_k$ được đặc trưng bởi điều kiện sau: $P_k(u + v) = u^k + v^k$ nếu $uv = \lambda$.

Gọi $l$ là số chia cho $m$ dư 1. Sau đó $u^lv^l = (uv)^l = \lambda^l = \lambda$, vậy $P_k(u^l + v^l) = u^{kl} + v^{kl}$. Do đó, nếu $k$ và $l$ cho số dư 1 khi chia cho $m$, thì $P_k(P_l(u + v)) = u^{kl} + v^{kl} = P_l(P_k(u + v))$, tức là các đa thức $P_k$ và $P_l$ giao hoán. Dựa vào số $\lambda$, chúng ta đã xây dựng được dãy đa thức giao hoán $P_1, P_{m+1}, P_{2m+1}$, …. Tất cả các đa thức này đều đơn nhất, rút ​​gọn và bậc $P_k$ bằng $k$.

Đối với $m = 1$, $\lambda = 1$ chúng ta lấy ví dụ 3, đối với $m = 2$, $\lambda = -1$ chúng ta lấy ví dụ 4.

Ví dụ 1–5 đã sử dụng hết tất cả các ví dụ đã biết về giao hoán đa thức, vì vậy chúng ta có thể đưa ra giả thuyết rằng nếu $P$ và $Q$ đang giao hoán các đa thức rút gọn đơn nhất bậc lớn hơn 1 với các hệ số phức, thì chúng được đưa vào một trong các chuỗi được xây dựng trong Ví dụ 1, 2, 5.

Không giải được bài toán tổng quát, bạn có thể thử trả lời một số câu hỏi từng phần:

1. Với $\alpha$ thì đa thức $P(x) = x^2 - \alpha$ giao hoán với một đa thức bậc lẻ nào đó.

2. Giả sử $P$ là một đa thức đơn nhất có bậc lớn hơn 1. Hãy lưu ý bậc của tất cả các đa thức đơn nhất $Q$ giao hoán với $P$. Tập hợp con số tự nhiên nào có thể dẫn đến kết quả này?

Ví dụ, trong ví dụ 1 đây là cấp số nhân; trong ví dụ 5 - số học.

3. Cho $P, Q$ giao hoán các đa thức đơn nhất bậc $k$ và $l$. Giả sử $l$ chia hết cho $k$. Có đúng là $Q$ có dạng $Q(x) = P(R(x))$, trong đó $R$ là đa thức đơn nhất giao hoán với $P$?

Bạn có thể hình thành một bài toán tổng quát hơn - tìm tất cả các hàm hữu tỉ giao hoán $P$ và $Q$. Trong trường hợp này, nhiều ví dụ thú vị mới xuất hiện.

Phương pháp chung mà chúng ta đã thảo luận ở lời giải của đoạn e) cho đa thức cũng phù hợp ở đây. Giả sử tồn tại một hàm $f$ (nhận vô số giá trị) sao cho

$$f(nt) = P_n(f(t)),$$

trong đó $P_n$ là hàm hữu tỉ. Sau đó, đối với các hàm $n$ và $m$ khác nhau, các hàm $P_n$ và $P_m$ chuyển đổi.

Một câu hỏi thú vị được đặt ra: đối với những hàm nào $f$, với bất kỳ $n$ nào, chúng ta có thể chọn một hàm hữu tỷ $P_n$ sao cho $P_n(f(t)) = f(nt)$. Ví dụ: có thể dễ dàng kiểm tra xem hàm $f(t) = tg t$ có thỏa mãn điều kiện này hay không.

Có thể xây dựng các ví dụ khác về hàm $f$ bằng cách sử dụng lý thuyết hàm elip. Vì đây không phải là một lý thuyết cơ bản nên chúng ta sẽ không mô tả các cách xây dựng tương ứng ở đây.

Tất cả những ví dụ này cho thấy rằng bài toán về việc mô tả các đa thức giao hoán (và nói chung hơn là giao hoán các hàm hữu tỷ) có liên quan trực tiếp đến các lý thuyết toán học rất sâu sắc và phong phú. Lời giải điều này bài toán rõ ràng sẽ tiết lộ một số sự thật mới, chưa được biết đến trước đây. Nói tóm lại, đây là một khoản vay đáng bài toán.

24

Vấn đề
Kwana

M556—M560; F568—F572

M556. Có cần thiết phải thu gọn hai tam giác cân nhọn có độ dài các cạnh bằng nhau và bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau không?

A. Edorov

M557. Cho $n$ các số nguyên tố xen kẽ theo cặp lớn hơn 1 và nhỏ hơn $(2n-1)^2$. Chứng minh rằng số trung bình cộng của chúng chắc chắn sẽ là số nguyên tố.

A. Kolotov

M558. Có $k>1$ phần màu đen trong vòng tròn, góc của mỗi phần nhỏ hơn $180^\circ/(k^2-k+1)$. Chứng minh rằng hình tròn có thể quay quanh tâm $O$ sao cho tất cả các phần màu đen đi vào phần màu trắng của hình tròn.

V. Proizvolov

M559. Chứng minh rằng nếu $x, y, z$ là độ dài một cạnh của một tam giác thì

$$\left| \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} - \frac{y}{x} - \frac{z}{y} \right| < 1.$$

A. Ermilov

M560. Đáy hộp có hai lỗ. Cần phải tạo một nắp lồi có diện tích nhỏ nhất, ở bất kỳ vị trí nào mà lỗ ở đáy hộp sẽ được đóng lại. Giải quyết bài toán này nếu:

a) đáy hộp có hình vuông $4 \times 4$ và lỗ $1 \times 1$ có vị trí như Hình 1;

b) đáy hộp là hình vuông $n \times n$ (n là số lẻ) và lỗ $1 \times 1$ nằm ở giữa (Hình 2);

b)* giải bài toán tương tự đối với một số trường hợp khác khi đáy và lỗ là hình lồi.

V. Batyrev

F568. Khi một tấm bia lithium bị bắn phá bởi các proton có năng lượng ít nhất là 1,88 MeV, phản ứng hạt nhân có thể xảy ra

$$7\mathrm{Li} + p \rightarrow 7\mathrm{Be} + n.$$

Với năng lượng bao nhiêu của proton tạo ra trong phản ứng, neutron có thể bay lùi khỏi bia lithium?

25

F569. Sử dụng nồi hơi điện có công suất $W=500$ W, nước được đun nóng trong nồi. Trong hai phút, nhiệt độ nước tăng từ $85^{\circ}\mathrm{C}$ lên $90^{\circ}\mathrm{C}$. Sau đó, nồi hơi bị tắt và trong một phút, nhiệt độ nước giảm xuống một độ. Có bao nhiêu nước trong chảo? Nhiệt dung riêng của nước là $4,19 \cdot 10^{3}$ J/(kg K).

E. Surkov

F570. Do sự hiện diện của điện tích trong không gian liên điện tử của một diode phẳng, phân bố điện thế $\varphi(x)$ giữa cực âm và anome có dạng: $\varphi(x) = x^2 - 2x$ (x tính bằng mm và $\varphi$ tính bằng volt). Khoảng cách giữa cực âm và dị thường $d=10$ mm. Tọa độ $x$ trùng với khoảng cách đến cực âm. Xác định động năng tối thiểu mà một electron từ bề mặt catôt có thể chạm tới anốt. Gia tốc cực đại của dòng điện đi tới anot là bao nhiêu?

F571. Pin và điện trở được lắp ráp thành mạch theo hai cách - như trong Hình 3 và như trong Hình 3, b. Xác định các điểm chạy qua điện trở trong cả hai trường hợp. Bỏ qua điện trở của nguồn dòng và dây nối. Dòng điện thay đổi như thế nào trong trường hợp $a$ nếu dây bị cắt tại các điểm $A$ và $B$?

F572. Peren đã nghiên cứu sự phụ thuộc vào chiều cao của số phần hình cầu của một loại nhựa đặc biệt - gummigut - khi treo các phần này trong nước. Đối với một phần có bán kính $r_1=0,212$ µm, anh ấy thu được các mối phụ thuộc, đồ thị của nó được hiển thị trong Hình 4 (n là nồng độ của phần đó ở độ cao $h$, $n_0$ là nồng độ của chúng ở đáy cuvet). Đồ thị tương tự thu được cho một phần có bán kính $r_2=0,106$ µm, chỉ có hình ảnh được kéo dài theo chiều cao gấp 8 lần. Đồng thời, được biết, mật độ oxy trong khí quyển trái đất giảm theo độ cao, như trên Hình 5 (ρ là mật độ oxy ở độ cao $H$, $\rho_0$ ở bề mặt cuvet). Xác định khối lượng của một phân tử oxy.

Mật độ của gummigut là $\rho_r=1,194 \text{ г/cm}^3$.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

Hình 5.

26

Lời giải bài toán
M508—M512; F515, F518—F520

M508. Một đường tròn tiếp xúc với ba hình bán nguyệt có đường kính [AB], [BC] và [AC] (С∈[AB], Hình 1). Hãy để chúng tôi chứng minh rằng bán kính của vòng tròn đầu vào nhỏ hơn khoảng cách từ tâm của nó đến AB cay.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Đặt $O_1$ là tâm hình bán nguyệt $\gamma_1$ có đường kính [AC], $O_2$ là tâm hình bán nguyệt $\gamma_2$ có đường kính [BC], $O_3$ là tâm hình bán nguyệt $\gamma_3$ có đường kính [AB], và cuối cùng $O$ là tâm đường tròn $\gamma$ tiếp xúc với ba hình bán nguyệt dữ liệu (Hình 1). Chúng ta hãy biểu thị độ dài bán kính của các hình tròn $\gamma_1, \gamma_2$ và $\gamma$, tương ứng với $r$, $R$ và $x$. Khi đó độ dài bán kính của hình bán nguyệt $\gamma_3$ bằng $R + r$.

Xét tam giác $O_1OO_2$. Chúng ta có: $|O_1O| = r + x$, $|OO_2| = R + x$, $|O_1O_2| = R + r$. Chúng ta hãy biểu thị khoảng cách từ tâm $O$ đến AB cay là $h$. Viết diện tích tam giác $O_1OO_2$ bằng công thức Heron và tính chiều dài đáy $[O_1O_2]$ và chiều cao giảm từ đỉnh $O$, ta thu được phương trình

$$\sqrt{Rrx(R + r + x)} = \frac{1}{2}(R + r)h.$$

Một phương trình tương tự cho tam giác $O_1OO_3$ có dạng

$$\sqrt{rx(R + r)(R - r)} = \frac{1}{2}Rh.$$

Bằng cách bình phương vế trái và vế phải của các phương trình tổng quát rồi trừ đi phương trình này cho phương trình kia, chúng ta nhận được

$$rx[R(R + r + x) - (R + r)|(R - r)] = \frac{1}{4}h^2[(R + r)^2 - R^2],$$

từ đâu $x^2 = h^2/4$, tức là $x = h/2$, đó là những gì được yêu cầu.

bài toán này có thể được giải quyết triệt để hơn nếu chúng ta áp dụng nghịch đảo (về nghịch đảo và các tính chất của nó, xem “Quant” - 1974, Số 1, trang 16, 1976, Số 2, trang 34, 1977, Số 6, trang 38).

Chúng ta hãy đảo ngược $I$ đối với một đường tròn tùy ý có tâm tại điểm $C$. Với sự đảo ngược này, các vòng tròn $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ và $\gamma$ được biến đổi như trong Hình 2: các vòng tròn $\gamma_1$ và $\gamma_2$ sẽ biến đổi tương ứng thành các đường thẳng $l_1$ và $l_2$, vuông góc với [AB], và các vòng tròn $\gamma_3$ và $\gamma'$, tương ứng với các đường thẳng $l_1$ và $l_2$, và tâm của vòng tròn $\gamma'$ thuộc về AB cay (đường này được tô màu đỏ trong Hình 1 và 2).

Có thể dễ dàng báo cáo rằng các vòng tròn $\gamma$ và $\gamma' = I(\gamma)$ được chuẩn bị với tâm chuẩn bị $C$. Có thể thấy điều này từ Hình 3: các tiếp tuyến của đường tròn $\gamma$ đi qua điểm $C$, khi đảo ngược, $I$ biến thành chính nó và tiếp tuyến với đường tròn $\gamma' = I(\gamma)$. Chúng ta hãy biểu thị bán kính của hình tròn $\gamma'$ bằng $x'$ và bằng $d$ khoảng cách từ tâm hình tròn $\gamma'$ đến AB cay. Vì $\gamma$ và $\gamma'$ đã chín nên ta có $h/d = x/x'$ (h là khoảng cách từ tâm hình tròn $\gamma$ đến AB cay, x là bán kính $\gamma$). Tuy nhiên, rõ ràng là $x' = d/2$ (các vòng tròn $\gamma'$ và $\gamma'_3$ có cùng bán kính, xem Hình 2), vì vậy $x = h/2$, đó là những gì được yêu cầu.

V. Senderov, I. Sharits

M509. Lời giải trong phương trình số tự nhiên:
a) $2^x + 1 = 3^y$;
b) $z^x + 1 = (z + 1)^2$;
c) $z^x + 1 = (z + 1)^y$.

Dễ dàng thấy rằng các phương trình a) và b) lần lượt là các trường hợp đặc biệt của phương trình b) cho $z = 2$ và $y = 2$. Chúng ta sẽ xem xét các trường hợp a) riêng biệt rồi giải phương trình b).
a) Nếu $x = 1$ thì cũng $y = 1$.
Hãy để $x > 1$. Khi đó $2^x + 1 \equiv 1$ (mod 4), có nghĩa là $y$ là số chẵn (nếu $y$ là số lẻ thì $3^y \equiv 3$ (mod 4) và