Kvant 1979, số 11 · Trang

11
1979

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Trong bản in thạch bản năm 1943 của Reptiles ở trên, nghệ sĩ thay thế người Hà Lan Escher đã để trí tưởng tượng của mình bay xa để mô tả một sự kiện không được báo trước.

…Trên chiếc bàn bị nghệ sĩ bỏ rơi, ngổn ngang giữa xương rồng, sách, còi báo động và diêm, một mô hình dodecasdrome, một cái chai và một cái ly, một hình vuông, là bản phác thảo bức vẽ nổi tiếng của Escher “Yashers” (ví dụ: xem trang bìa «Kvant», 1977, số 3). Và đột nhiên các mô hình jasher phẳng bắt đầu tăng âm lượng, chờ đợi, bò qua bàn một cách chăm chú và đáng ngại, và thậm chí phun ra lửa. Nhưng chẳng bao lâu sau, họ quay trở lại và một lần nữa lạc vào hình ảnh hai chiều của mình, trong những định luật hình học đẹp đẽ và có khả năng.

TRONG PHÒNG:

2 A. Kirillov, I. Klumova, A. Sosinsky. Những con số siêu thực
10 B. Novozhilov. Vụ nổ nhiệt

Phòng thí nghiệm «Kvant»
17 S. Shabanov, V. Shubin. Về cuối tuần

vòng tròn toán học
22 S. Adeev. Đa thức thường xuyên

Vấn đề «Kvant»
25 Bài toán M591—M595; F603—F607
27 Lời giải bài toán. M538, M539; F547—F552

«Kvant» cho học sinh nhỏ
36 Bài toán
37 P. Kanaev. Xô đựng nước khi trời lạnh

Xưởng của người nộp đơn
41 G. Bevz. Bài toán có thể giải quyết dễ dàng hơn

Nghệ thuật lập trình
44 Trường phái lập trình tương ứng. Bài 4

XIII Olympic giảm cân cho học sinh
48 N. Rozov, M. Smolyansky. Olympic Toán
54 T. Petrova, L. Chernova. Olympic Vật lý
59 học sinh đoạt giải Olympic hạng nặng lần thứ XIII dành cho học sinh

Thông tin
61 S. Vashchakmadze. Nguồn gốc của phong trào Olympic
63 Đáp số, gợi ý, lời giải

Hỗn hợp (tr. 21, 40)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nuka; «Kvant», 1979

2

Những con số siêu thực

A. Kirillov, I. Klumova,
A. Sosinsky

Khái niệm số thực là một trong những khái niệm cơ bản trong toán học. Do đó, không có gì ngạc nhiên khi hiện nay có nhiều phương pháp được biết đến để xây dựng một lý thuyết chặt chẽ về số thực. Trong số đó nổi bật là phương pháp tiên đề đơn giản, tự nhiên. Nó bao gồm việc chúng tôi từ chối trả lời câu hỏi “số là gì?”, mà xác định tất cả các số cùng một lúc, mô tả chúng có những đặc tính gì. Tính chất của các công thức này ở dạng tiên đề. Hóa ra đối với định nghĩa tiên đề của số thực, 12 tiên đề cho trên p. 9.

Tất nhiên, không có gì đảm bảo rằng sẽ có ống kính đáp ứng được yêu cầu này. Vì vậy, ngoài các tiên đề, mong muốn có một mô hình - một tập hợp các đối tượng thỏa mãn các tiên đề này. Tuy nhiên, bạn biết rõ mô hình số thực này - đây là những phân số thập phân vô hạn.

Gần đây, nhà toán học người Anh John Conway đã cố gắng “xây dựng” một mô hình rất thú vị không chỉ chứa tất cả các số thực mà còn nhiều số khác - với các tính chất thú vị và khác thường. Những con số này - chúng ta sẽ gọi chúng là số K, và Conway gọi chúng là sorreal (siêu vật chất) - thỏa mãn 11 trong số 12 tiên đề đã đề cập.

Chúng tôi sẽ cho bạn biết điều gì đó về những con số này trong bài viết của chúng tôi. Thật không may, để xây dựng tất cả các số K, bạn cần có khái niệm về số hoán vị, khái niệm này không được dạy ở trường. Nhưng bạn có thể nhìn vào số học của họ ở cấp trường.

Mô tả số K

Trong Truyền số học, cùng với các số 0, 1, 2, …, 9 thông thường chỉ sử dụng hai dấu: ↑ - CR (lên - tiếng Anh) và ↓ - xuống (xuống - tiếng Anh). Bộ ký hiệu này là số K.

Bộ này có thể không chứa bất kỳ ký tự nào cả. Dưới đây chúng ta sẽ thấy rằng tập hợp này đóng vai trò số 0, vì vậy chúng ta

3

Chúng ta hãy ký hiệu trước nó bằng 0. Tập hợp có thể là hữu hạn bất kỳ, ví dụ: ↓; ↑↑↓; ↓↑↑↓↑↓; có thể là vô hạn bất kỳ: ↑↓↑↑↑↓ …, và thậm chí có thể “nhiều hơn vô hạn” (xem phần cuối). Chúng tôi sẽ chủ yếu hoạt động với các bộ hữu hạn.

Nếu các ký hiệu ↑ và ↓ được xem là biểu thị hướng chuyển động của chữ I, thì mỗi bộ “ir” và “add” có thể được hiểu là một “giao thức Ponska” tương ứng với một số K, với các “giao thức” khác nhau tương ứng với các số K khác nhau.

Hãy so sánh điều này với việc viết một số thực dưới dạng phân số thập phân vô hạn. Ở đây cũng vậy, số x mong muốn được xây dựng bằng các phép tính gần đúng liên tiếp. Nhưng với các phép tính gần đúng thập phân liên tiếp thông thường, chúng tôi chọn các số từ bên dưới chứ không phải bằng động cơ, như với số K (Hình 1). Ngoài ra, ký hiệu thập phân (trái ngược với ký hiệu của số K) không rõ ràng: 0,99999… giống như 1,0000…

Bây giờ chúng ta hãy giải thích cách so sánh số K theo độ lớn.

Quan hệ thứ tự

Để so sánh hai số K, bạn cần viết chúng bên dưới số kia và so sánh lần lượt các ký hiệu có trong ký hiệu của chúng (như khi thiết lập thứ tự chữ cái của các từ trong từ điển; thứ tự này của các nhà toán học được gọi là từ điển). Nếu ký hiệu không bằng nhau đầu tiên của số x là ký hiệu ↑ và ký hiệu đầu tiên của số y là ký hiệu ↓ thì x>y. Một trường hợp khác có thể xảy ra khi số x nhỏ hơn số y

*) Số K “nhiều hơn là ít” là gì và tại sao 0 là số K đơn giản nhất, chúng tôi sẽ giải thích ở phần tiếp theo.

Hình 1.

và tạo thành sự khởi đầu của nó. Sau đó, chúng ta viết x>y nếu ký tự “phụ” đầu tiên trong y y là ký tự ↓ và x<y nếu ký tự này là ↑*). Ví dụ: bất đẳng thức hợp lý là ↓<0<↑↑<↑<↑↑↓.

Nhìn về phía trước, giả sử rằng tất cả các số bắt đầu bằng ↑ sẽ dương (nghĩa là >0) trong K-arinetics và tất cả các số bắt đầu bằng ↓ sẽ là số âm.

Đối với số K, ngoài quan hệ thứ tự (>, =, <), còn có một quan hệ quan trọng hơn; Conway gọi mối quan hệ này là “rave” và biểu thị nó bằng ký hiệu ←. Chúng ta sẽ nói rằng số K a bằng số K b nếu a gặp 0 trên đường tới b (xem Hình 1). Nói cách khác, a ←b nếu a có thể thu được từ b bằng cách “cắt đuôi” - phần (từ phần cuối) của mũi tên ↑ và ↓. Ví dụ: ↑ bằng ↑ hoặc ↑ và 0 theo định nghĩa được coi là số sớm nhất.

Lưu ý rằng thuộc tính “lớn hơn” không giống với thuộc tính “lớn hơn”: ví dụ: số ↑ không bằng số ↑. Theo cách tương tự, thuộc tính “nhiều hơn” không trùng với thuộc tính “lớn hơn” hoặc “lớn hơn”: ví dụ: cả hai số ↑ và ↑ đều bằng số ↑, nhưng số thứ nhất lớn hơn ↑ và số thứ hai nhỏ hơn.

*) Đặc biệt, “tập trống” 0 là phần đầu của bất kỳ số K nào.

4

Bổ đề chính
Chúng ta có hai bộ số $K$: $A$ và $B$. Chúng ta sẽ nói rằng tập hợp $B$ nằm trong tập hợp $A$ nếu mọi số trong tập hợp $A$ đều nhỏ hơn mọi số trong tập hợp $B$; hãy biểu thị nó như thế này: $A < B$. Giả sử rằng số $c$ có thể tách rời khỏi các bộ $A$ và $B$ nếu $a < c < b$ với bất kỳ $a \in A$ và $b \in B$ nào.

Bổ đề chính. Nếu $A < B$ thì có một số $K$ $c$ ngăn cách các bộ $A$ và $B$. Số lượng tối đa trung bình là sớm nhất. (Trong phần tiếp theo, số sớm nhất ngăn cách các bộ $A$ và $B$ sẽ được ký hiệu như sau: $\{A:B\}$.)

Chúng tôi gọi bổ đề này là bổ đề chính vì nó sẽ đóng vai trò chính trong việc xác định các quy tắc hành động trên tập hợp các số $K$. Nó đúng với mọi tập hợp số $K$-số $A$ và $B$. Nhưng chúng ta sẽ chỉ chứng minh điều đó với giả định rằng $A$ và $B$ là tập hữu hạn của các số $K$ hữu hạn.

Chúng tôi sẽ tìm kiếm một phần tử tách các bộ $A$ và $B$ một cách tuần tự. Vì $0$ là số sớm nhất nên hãy bắt đầu từ đó.

Nếu $0$ tách các bộ $A$ và $B$, thì mọi thứ đều được chứng minh. Nếu không, thì ở cả hai vế (theo nghĩa “nhiều hơn là ít hơn”) của $0$ nó sẽ tìm thấy các phần tử từ $A$ hoặc các phần tử từ $B$. Đặt đây là các phần tử từ $A$. Khi đó phần tử ngăn cách không được nhỏ hơn $0$, tức là không được bắt đầu bằng $\downarrow$; điều đó có nghĩa là nó bắt đầu bằng $\uparrow$. Số sớm nhất bắt đầu bằng $\uparrow$ là $\uparrow$. Chúng tôi lý luận như trên: nếu $\uparrow$ tách $A$ và $B$, thì mọi thứ đều được chứng minh. Nếu không, thì trên cả hai mặt của nó, nó sẽ tìm thấy các phần tử từ $A$ hoặc từ $B$; Bây giờ chúng ta giả sử rằng đây là các phần tử từ $B$. Khi đó phần tử phân tách không được lớn hơn $\uparrow$; điều đó có nghĩa là nó bắt đầu bằng $\uparrow$. Chúng tôi lấy $\uparrow$ và tiếp tục quy trình tương tự với nó, v.v. (Hình 2).

Chúng tôi cho bạn cơ hội để xác minh rằng quá trình này (trong trường hợp tập hợp hữu hạn $A$ và $B$, bao gồm các số $K$ hữu hạn) không thể tiếp tục vô thời hạn và do đó, dẫn đến một số tách biệt $c$.

Để chứng minh điều đó, chẳng hạn, bạn có thể tách số lớn nhất khỏi $B$ và số lớn nhất khỏi $A$ - do đó, việc chứng minh định lý được rút gọn thành trường hợp đặc biệt khi mỗi bộ $A$ và $B$ bao gồm một số.

Từ chính phương pháp xây dựng, rõ ràng $c$ bằng bất kỳ số chia nào.

Phương pháp chứng minh tương tự có thể được áp dụng trong trường hợp tổng quát, nhưng nói chung, nó dẫn đến một số $K$ phân tách vô hạn và một bằng chứng chặt chẽ rằng quá trình sẽ “kết thúc” (điều này có nghĩa là gì đối với các quá trình vô hạn vẫn được xác định!) cần thông tin từ lý thuyết về số siêu hạn.

định nghĩa của phép cộng
Conways xác định các phép toán trên số $K$, được hướng dẫn theo nguyên tắc đều đặn và đơn giản. Nó nằm ở chỗ các hành động đúng không được xác định ngay lập tức cho tất cả các số mà dần dần: đầu tiên cho những số trước, sau đó cho những số “sau”; Tại

5

Trong trường hợp này, số sớm nhất có thể được chọn làm kết quả.

Ví dụ: bằng cách xác định tổng của hai số $K$, chúng tôi giả định rằng đối với tất cả các số hạng trước đó, tổng đã được xác định. Sau đó, nửa sau của nguyên tắc được áp dụng. Để cho thấy nguyên tắc này “hoạt động” như thế nào, hãy tính một số tổng bằng cách sử dụng nó. Tất nhiên, cho đến khi chúng ta đưa ra nguyên tắc một công thức toán học rõ ràng, những phép tính này sẽ hơi lỏng lẻo.

Vì 0 là số sớm nhất nên trước tiên chúng ta hãy “tính” tổng 0+0. Vì chưa có kết quả nào nên đáp số có thể là bất kỳ số $K$ nào. Nhưng trong tất cả những gì có thể đáp số bạn nên chọn cái sớm nhất. Đây là 0. Vậy ta đã “chứng minh” được đẳng thức

$$0+0=0.$$ (1)

Bây giờ chúng ta hãy thử kiểm tra xem số thực 0 có các tính chất bằng 0 được chỉ định trong tiên đề C3 hay không (xem trang 9), tức là

$$0+x=x$$ (2)

với bất kỳ số $K$ nào $x$.

Hãy để chúng tôi giới thiệu một số ký hiệu cho điều này. Đặt $x$ là một số $K$. Chúng ta hãy xác định theo phương tiện $x$ (ký hiệu: $x$) tập hợp tất cả $K$-số $y$ sớm hơn $x$, tức là

$$x = \{y | y \in x\}.$$

Lát $x$ được chia thành phương tiện dưới $x$ và phương tiện trên $x$ (ký hiệu lần lượt là: $x$ và $x$). Phần giữa dưới $x$ là tập hợp của tất cả $y$ sớm hơn $x$ và nhỏ hơn $x$:

$$x = \{y | y \in x\}, y < x\},$$

và môi trường phía trên là tập hợp tất cả $y$ sớm hơn $x$, nhưng lớn hơn $x$ (xem Hình 2):

$$\bar{x} = \{y | y \in x\}, y > x\}.$$

Ví dụ: trung bình $\bar{x}$ bao gồm bốn số:

$$\bar{x} = \{0, \uparrow, \downarrow, \uparrow\},$$

và mức trung bình dưới là $\bar{x} = \{0, \uparrow, \downarrow\}$, và mức trung bình trên là $\bar{x} = \{0\}$. Và đây là $\downarrow$ - đây là những bộ trống; đồng thời $\bar{x} = \{0\}$.

Bây giờ chúng ta hãy sử dụng nó một lần nữa: chúng ta sẽ giả sử rằng đối với các số $K$ có số sớm hơn $x$, đẳng thức (2) là đúng (rõ ràng, bất kỳ số nào bằng $x$ đều thuộc về $x$ hoặc $x$). Khi đó tổng 0+x lớn hơn bất kỳ số nào từ $x$. Do đó, số 0+x phân tách tập hợp $x$ và $x$ (môi trường dưới và trên $x$). Vì theo nguyên lý Convel, bạn cần chọn số sớm nhất như vậy, 0+x = $\{x\}: \bar{x}\}$. Nhưng $\{x\}: \bar{x}\} = x$ (nghĩ xem tại sao), tức là 0+x=x.

Vì vậy, chúng ta gần như đã chứng minh được ký hiệu 0 cho tập hợp trống. Tuyên bố trên hiện đã được chứng minh rằng trong $K$-phép thuật, các số bắt đầu bằng $\uparrow$ đóng vai trò là số dương và các số bắt đầu bằng $\downarrow$ đóng vai trò là số âm.

Bây giờ chúng ta hãy tìm tổng $\uparrow + \uparrow$. Bởi vì $\uparrow = \{0\}, \uparrow + \uparrow$ lớn hơn $\uparrow$. Số sớm nhất lớn hơn $\uparrow$ là $\uparrow + \uparrow$. Đó là lý do tại sao

$$\uparrow + \uparrow = \uparrow + \uparrow.$$ (3)

Bây giờ chúng tôi đã có kinh nghiệm với lời giải ví dụ về phép cộng: chúng tôi hiểu rằng tổng $x+y$ phải là số sớm nhất phân cách các tổng bị thiếu (nghĩa là hợp của tập hợp $x+y$ và $x+y$) và tổng của số thừa (hợp của tập hợp $\bar{x}+y$ và $x+y$). (Đối với các tổng thiếu và các tổng thừa, chúng tôi tin rằng định nghĩa của chúng đã được rút gọn.) Do đó, nguyên tắc trật tự và đơn giản dẫn chúng ta đến định nghĩa sau về tổng của hai số:

$$x+y = \{(x|+y) \cup (x+y)\}.$$

(hãy nhớ rằng phần tử $\{A:B\}$, trong đó $A < B$, tồn tại và được xác định duy nhất).

Công thức (4) là biểu thức chặt chẽ của nguyên lý Convel cho tổng các số. Để xác định phép cộng, bạn cũng cần thêm điều kiện hải quân vào đó - công thức (1). Trên thực tế, điều đó không thể được chứng minh; nó là một phần của định nghĩa. Sử dụng công thức (4) và (1), bạn có thể tính tổng của bất kỳ số $K$ nào.

6

Bây giờ chúng ta có thể kiểm tra xem các tiên đề phép cộng có được thỏa mãn trong mô hình của chúng ta hay không (xem trang 9).

Ví dụ, chúng ta hãy kiểm tra xem phép cộng được xác định bởi công thức (4) có tính giao hoán hay không.

Trong thực tế, chúng ta hãy lấy hai số đầu tiên mà phép cộng không giao hoán *). Tổng của chúng là số sớm nhất ngăn cách giữa số tiền thâm hụt và số tiền thừa. Số tiền thiếu và số tiền thừa có tính chất giao hoán (theo giả định). Điều này có nghĩa là số sớm nhất ngăn cách chúng cũng không phụ thuộc vào thứ tự phép cộng - chúng ta chia cùng một tập hợp và trong trường hợp chung, chúng ta lấy số sớm nhất trong số những số tách chúng ra (và nó được xác định theo một cách duy nhất - xem bổ đề chính). Điều này có nghĩa là tổng của hai số không phụ thuộc vào thứ tự của chúng, tùy theo giả định. Điều này có nghĩa là phép cộng có tính giao hoán.

Chúng tôi thực sự đã bị thuyết phục về sự ứng nghiệm của tiên đề C3 trước đó. Trục C1 khó kiểm tra hơn trục C2; nghĩ thế nào.

Bây giờ chúng ta hãy tìm tổng ↑+↓. Lưu ý rằng ↑| và ↓| - bộ trống. Do đó, đáp số phải là số sớm nhất lớn hơn ↓ (vì ↑|={0}) và nhỏ hơn ↑ (vì ↓={0}). Con số này là 0.

Vì vậy, ↑+↓=0 và ↓ là phần tử đối lập (theo nghĩa của trục C4) của ↑.

Chúng ta biểu thị bằng ↑n và ↓n K-số gồm n ký hiệu tương ứng liên tiếp.

Bài toán

1. Chứng minh rằng ↑n + ↑m = ↑n+m, ↓n + ↓m = ↓n+m.
2. Chứng minh rằng
   $$\begin{align*} \hat{n} + \hat{m} &= \begin{cases} \hat{n}-m, если n > m; \\ 0, если n = m; \\ \hat{m}-n, если n < m. \end{cases} \end{align*}$$

Từ bài toán này, suy ra rằng số ↑n có thể được đặt bằng số tự nhiên thông thường n*) và số ↓n có thể được đặt bằng số đối diện (-n). Như vậy, các số của Conver đều chứa tất cả các số nguyên chung!

Bài toán 3. Chứng minh rằng nếu với một số K nhất định, tất cả ↑ được thay thế bằng ↓ và tất cả ↓ bằng ↑ thì ta nhận được một số đối diện với nó. (Ví dụ: ↑↑↓↓↓↓=0.)

Từ bài toán 3 suy ra mô hình Conver thỏa mãn aximma C4.

Có dobies không?

Hãy lấy số ↑↓. Hãy thử thêm nó vào chính nó. Có thể nói gì về tổng ↑↓+↑↓? Nó phải nhỏ hơn tổng ↑↓+↑ và lớn hơn số ↑↓. Vào ban đêm tổng bằng ↑↓+↑, chúng tôi không biết. Chúng tôi đã vi phạm nguyên tắc chính của mình: chuyển từ số sớm hơn sang số sau. Trước tiên, bạn sẽ phải (không có tiền!) Tính số tiền ↑↓+↑.

Số này nhỏ hơn số ↑+↑=↑↑ (vì ↑|={↑}) và lớn hơn số ↑+0=↑ (vì ↑|={0}), và nó là số sớm nhất như vậy. Số sớm nhất giữa ↑ và ↑↑ là số ↑↑↓; do đó ↑↑↓=↑↑↓.

Hãy quay lại tổng ↑↓+↑↓. Bây giờ chúng ta biết rằng nó được chứa giữa các số ↑↓ và ↑↑↓. Con số sớm nhất như vậy là ↑ (hãy chắc chắn về điều này!).

Vì vậy, trong K-arthmetic, số ↑↓ đóng vai trò là “một nửa”. Tương tự, người ta xác định rằng ↑↑↓ trong số K giống với số chung $\frac{3}{2}$ trong số thực.

Bài toán
4. Tìm các tổng ↑↓↓+↑↓↓; ↑↓↓+↑↓↓; ↑↓↓+↑↓↓.
5. Số nào thường tương ứng với số K:
a) ↑↓↓, ↑↓↓, ↑↑↓, ↑↑↑, ↑↑↑, ↑↑↑
b) ↓↑, ↓↑↑, ↓↑↑;
b) nói chung, các số có dạng
$$\begin{align*} n \text{ «цр»} m \text{ «down»} \end{align*}$$

*) Nếu lấy làm một; ↑ thực sự đóng vai trò là một đơn vị trong arfmetic của Conver, nhưng chúng tôi không thể chắc chắn về điều này vì chúng tôi không cung cấp định nghĩa về phép nhân ở đất nước này.

7

Chúng tôi sẽ gợi ý từ trong đến bài toán 5:
Số K ↑↓↓ giống với $\frac{1}{4}$ trong R, số K ↑↓↑ giống với $\frac{3}{4}$, ↑↓↓ là $\frac{1}{8}$, ↑↓↓ là $\frac{3}{8}$, v.v.

Bài toán 4 và 5 cho phép chúng ta đoán những số thực nào thường tương ứng với tất cả các tập hữu hạn tổng quát ↑ và ↓. Đây là những số được gọi là số hữu tỉ kép (nghĩa là các số hữu tỉ có mẫu số là lũy thừa của hai). Hãy cố gắng chứng minh tuyên bố này.

Tiếp theo là gì?

Vì vậy, chúng tôi phát hiện ra rằng trong số K-số có tất cả các số nguyên thông thường (đây là các tập hợp hữu hạn ↑ hoặc ↓), cũng như tất cả các số hữu tỉ kép khác (chúng tương ứng với tất cả các tập hợp hữu hạn có thể có, trong đó có sự kết hợp ↑↓ hoặc ↑↑).

Nếu các số K được mô tả dưới dạng một “cây” như trong Hình 3, thì các số K nguyên xuất hiện “ở các cạnh” của cây này và các số hữu tỉ kép nằm bên trong nó.

Nhưng còn những con số còn lại thì sao? Rốt cuộc, chúng tôi đã hứa rằng trong số các số K có tất cả các số thực, nhưng hiện tại vẫn chưa rõ phải làm gì với các số hữu tỷ có mẫu số không phải là lũy thừa của hai. Vấn đề ở đây là chúng ta vẫn chưa nhìn thấy toàn bộ tập hợp số K: xét cho cùng, chúng ta giới hạn bản thân trong khoảng cách chỉ với các tập hợp hữu hạn “tsr” - “down”, phép cộng xác định cho chúng và học cách giải bài toán đơn giản (ở cấp độ 2-3 ở trường). Nhưng chúng ta cũng cần định nghĩa phép nhân, đồng thời làm rõ câu hỏi về sự tồn tại của phần tử nghịch đảo đối với mọi số K khác 0 (xem tiên đề Y4). Và hóa ra là đã xác định được

9

vẫn chưa thay đổi. Tuy nhiên, thực tế không phải vậy: ký hiệu mới ↑ theo sau tất cả các ký hiệu trước đó (Hình 4!) Do đó, ↑ và ↑ là các số K khác nhau.
Bài toán 9. Mục ↑↓ thể hiện điều gì?
Đáp số: $\omega$ ↑. Gợi ý: Tính tổng ↑↓↑.

Trong số những con số “dài hơn vô hạn” có một số con số khá phức tạp. Ví dụ, hãy thử đoán xem mục nào ở nửa bên phải của vòng tròn trong Hình 5 tương ứng với số K ở nửa bên trái.

Nếu bạn quan tâm đến đối số số K và muốn tìm hiểu thêm về nó, hãy viết thư cho chúng tôi.

Ứng dụng

I. Tiên đề phép cộng.
Đối với hai phần tử bất kỳ $a \in R$, $b \in R$, chúng tôi xác định tổng $a+b \in R$ và:
C1. $(a+b)+c=a+(b+c)$ (tính kết hợp).
C2. $a+b=b+a$ (giao hoán).
C3. Có một phần tử 0 sao cho với mọi $a \in R$ thì sự tương ứng $a+0=a$ (sự tồn tại của số 0) đúng.
C4. Với mọi phần tử $a \in R$ đều có một phần tử $(-a) \in R$ sao cho $a+(-a)=0$ (tồn tại một phần tử tùy ý).
II. Tiên đề của phép nhân.
Đối với hai phần tử bất kỳ $a \in R$, $b \in R$, chúng ta xác định tích $a \cdot b \in R$, sao cho:
Y1. $(ab)c=a(bc)$ (tính kết hợp).
Y2. $ab=ba$ (giao hoán).
Y3. Tồn tại một phần tử 1 sao cho với mọi $a \in R$ ta có đẳng thức $a \cdot 1=a$ (sự tồn tại của sự thống nhất).

U4. Đối với mọi phần tử $a \in R$ khác 0, đều tồn tại một phần tử $a^{-1} \in R$ sao cho $a \cdot a^{-1}=1$ (tồn tại một phần tử nghịch đảo).

III. Một tiên đề thiết lập mối liên hệ giữa phép cộng và phép nhân.
S—U. $a(b+c)=ab+ac$ (tính phân phối).

Một tập hợp có các phép tính cộng và nhân được xác định trên đó và có các tính chất được liệt kê được các nhà toán học gọi là trường (xem «Kvant», 1977, số 5, trang 45).

IV. Tiên đề của trật tự.
P1. Đối với mỗi phần tử $a \in R$, chúng ta có số lượng tương ứng bằng nhau $a>0$, $a=0$, $0>a$.

P2. Nếu $a>0$ và $b>0$ thì $a+b>0$ và $ab>0$.

Theo định nghĩa, người ta tin rằng $a>b$ khi và chỉ khi $a-b>0$.

Trường trong đó các tiên đề P1 và P2 được thỏa mãn và quan hệ thứ tự > được xác định theo công thức $a>b \Rightarrow a-b>0$ được gọi là trường có thứ tự.

Nhóm tiên đề cuối cùng xác định các số hành động chỉ bao gồm một tiên đề có bản chất hoàn toàn khác.

V. Tiên đề Polota.
Một tập hợp số thực không trống được giới hạn ở trên.

Điều này có nghĩa là nếu đối với một tập hợp không trống $A \subset R$ có một phần tử lớn hơn (hoặc bằng) tất cả các phần tử của tập hợp này, thì trong số các phần tử đó có phần tử lớn nhất.

Trường có thứ tự chứa tiên đề Polotte được gọi là trường có thứ tự đầy đủ.

Người ta đã chứng minh rằng 12 tiên đề nêu trên xác định duy nhất tập hợp số thực. Vì vậy, số thực là trường có thứ tự đầy đủ duy nhất. Số K không thỏa mãn tiên đề cuối cùng.

10

B. Novozhilov

Vụ nổ nhiệt

Vào tháng 1 năm 1953, tàu hơi nước trục vít Tyrrhenya có lượng giãn nước 4 nghìn tấn phát nổ và chìm ở Biển Đỏ. Trong lịch sử vận ​​tải hàng hải, những thảm họa lớn hơn còn được biết đến - các vụ nổ và cháy trên tàu chở dầu và tàu vận chuyển đạn dược. Nhưng thoạt nhìn, Tyrrhenya đang chở một loại hàng hóa vô hại theo quan điểm dễ nổ - amoni nitrat. Nếu đây là sự thật duy nhất thì nguyên nhân vụ nổ có thể được tìm kiếm trong những trường hợp ngẫu nhiên. Tuy nhiên, Sổ đăng ký vận chuyển của Lloyd, nơi ghi lại tất cả các thảm họa hàng hải lớn, liệt kê khoảng mười vụ cháy và nổ liên quan đến amoni nitrat. Chúng trở nên phổ biến hơn vào những năm bốn mươi và năm mươi, khi tốc độ sản xuất công nghiệp chất này tăng mạnh. Năm 1947 hóa ra là một năm kỷ lục - trong quá trình xếp tàu ở nhiều cảng khác nhau đã xảy ra ba vụ nổ mạnh dẫn đến số lượng lớn thương vong.

Trong khi đó, amoni nitrat (amoni nitrat, hay amoni nitrat, NH₄NO₃) từ lâu đã được sử dụng với số lượng lớn trong công nghệ và nông nghiệp. Sản lượng hàng năm của nó là mười triệu tấn. Chỉ cần nhìn vào công thức hóa học của hợp chất này là đủ để biết nó có thể được sử dụng ở đâu. Amoni nitrat chứa rất nhiều nitơ và nó liên kết thành hai ion được thực vật hấp thụ tốt nhất là amoni và nitrat. Vì vậy, amoni nitrat là một trong những loại phân khoáng có giá trị nhất. Và sự hiện diện của một lượng lớn oxy mang lại cơ hội sử dụng amoni nitrat thứ hai, không phải lúc nào cũng yên bình, làm chất oxy hóa trong sản xuất thuốc súng và chất nổ. Không có tạp chất hữu cơ và kim loại, amoni nitrat không phát nổ. Nó thường được sử dụng trong các thí nghiệm trình diễn hóa học. Hỗn hợp NH₄NO₃ với tropyl hoặc nhôm là chất nổ mạnh.

Chúng ta hãy thử tìm hiểu lý do tại sao một loại phân khoáng hoàn toàn an toàn - amoni nitrat, có thể được lưu trữ với số lượng lớn trong nhiều năm trong nhà kho hoặc ngoài trời, sau đó lại trở thành nguyên nhân gây ra thảm kịch trên biển.

11

Quá trình nổ được đặc trưng bởi sự giải phóng rất nhanh một lượng năng lượng lớn, kèm theo sự thay đổi mạnh mẽ về trạng thái của chất. Các khí hình thành trong vụ nổ có thể thực hiện công cơ học đáng kể trong quá trình phân phối của chúng.

Tất nhiên, các thuật ngữ như “nhanh” và “lớn” chỉ mang tính chất tương đối. Với một kg than, khoảng ba mươi triệu joules được thải vào không khí. Lượng nhiệt này đủ để làm nóng các sản phẩm cháy đến nhiệt độ hàng nghìn độ. Nhiệt độ này ở mật độ khí bình thường tương ứng với áp suất hàng trăm atm. Như vậy, xét về mặt năng lượng, hệ thống than-oxy có đủ năng lượng để gây ra vụ nổ. Tuy nhiên, than không nổ mà dễ cháy.

Thực tế là trong trường hợp này, điều kiện thứ hai của vụ nổ không được đáp ứng - tốc độ giải phóng năng lượng. Thật vậy, quá trình đốt than bắt đầu từ bề mặt; các lớp nằm sâu hơn chỉ bắt đầu cháy sau khi chúng nóng lên do nhiệt thoát ra trong quá trình phản ứng ở lớp bề mặt. Sự nóng lên cũng như việc cung cấp oxy diễn ra chậm đến mức các sản phẩm đốt cháy có thời gian phân tán và áp suất không tăng đáng kể.

Tuy nhiên, cũng có những chất mà quá trình biến đổi hóa học xảy ra mà không cần cung cấp chất oxy hóa chiết. Ví dụ bao gồm thuốc đẩy tên lửa rắn, thuốc nổ, v.v.

Một trong những chất này là trinitropoluene - С₇H₅(NO₂)₃. Các chuyên gia thường gọi nó là trope hoặc top. Nếu đốt lửa từ bề mặt, nó dễ bốc cháy và cháy. Đồng thời, bên trong vật chất từ ​​từ phun trào. Và mặc dù thực tế là nhiệt lượng tỏa ra của chất này thấp hơn nhiều so với nhiên liệu thông thường (chỉ 4 MJ/kg), nhưng tropyl vẫn có thể phát nổ. Để làm điều này, bạn cần tăng nhiệt độ trong toàn bộ thể tích của chất. Điều này có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau, ví dụ như bằng cách nén. Trong trường hợp này, phản ứng diễn ra trong toàn bộ thể tích và nhanh đến mức các sản phẩm khí thu được không có thời gian nở ra đáng kể trong quá trình phản ứng. Chiếm một thể tích xấp xỉ bằng thể tích của điện tích ban đầu và được nung nóng đến nhiệt độ cao, các sản phẩm khí này tạo ra áp suất hàng chục hoặc hàng trăm nghìn atm. Việc phân phối khí nhanh chóng sau đó dẫn đến hủy hoại môi trường - một vụ nổ sẽ xảy ra.

Trong bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu với độc giả về vụ nổ nhiệt - một quá trình nổ tự phát gắn liền với việc giải phóng năng lượng hóa học.

Trước hết, chúng ta cần nhớ lại những kiến ​​thức cơ bản khi nghiên cứu tốc độ phản ứng hóa học.

Điều đầu tiên thu hút sự chú ý của bạn khi nghiên cứu quá trình biến đổi hóa học là tốc độ thấp. Thật vậy, chẳng hạn, trong chất khí, ở điều kiện bình thường, mỗi phân tử chịu nhiệt độ trung bình là 10¹⁰ độ C mỗi giây. Nếu mọi va chạm đều dẫn đến phản ứng thì nó sẽ xảy ra ngay lập tức. Kinh nghiệm không xác nhận điều này. Ví dụ, hỗn hợp hydro và oxy (khí nổ) ở nhiệt độ phòng có thể được giữ hoàn toàn hiệu quả, nghĩa là nó sẽ dẫn đến phản ứng.

Một hành động hóa học là sự biến đổi một số phân tử thành các phân tử khác. Trong trường hợp này, một liên kết giữa các nguyên tử bị phá hủy và những liên kết mới xuất hiện. Nếu liên kết mới khác với liên kết cũ thì phản ứng xảy ra kèm theo sự giải phóng nhiệt (một quá trình tỏa nhiệt). Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là phản ứng sẽ nhanh hơn. Rốt cuộc, trước khi hình thành các kết nối mới (kể cả những kết nối trống mạnh hơn), bạn cần phải phá hủy những kết nối cũ, tức là tiêu hao năng lượng. Sức mạnh của bất kỳ hệ thống thành phần nào (nguyên tử, phân tử, hạt nhân) được đặc trưng bởi năng lượng liên kết. Công việc cần phải làm là phân tách hệ thống thành các phần cấu thành của nó. Ví dụ, năng lượng liên kết của một phân tử hydro là 7,2 × 10⁻¹⁹ J. Năng lượng này phải được sử dụng để thu được hai nguyên tử hydro, và ngược lại, chính xác bằng mức này

12

Năng lượng được giải phóng khi một phân tử hydro được hình thành từ các nguyên tử. Sự khác biệt giữa năng lượng liên kết của sản phẩm và chất ban đầu được gọi là hiệu ứng nhiệt của phản ứng (thông thường, năng lượng bên trong của các phân tử biến thành nhiệt do phản ứng). Hiệu ứng nhiệt, được tính trên một đơn vị khối lượng hoặc thể tích của một chất, là hiệu ứng nhiệt.

Nếu một phản ứng đi kèm với sự tỏa nhiệt, điều này không có nghĩa là phản ứng đó sẽ diễn ra nhanh chóng. Điều này được minh họa trong Hình 1. Trong phản ứng A+B→C+D, các liên kết trong phân tử A và B phải bị phá vỡ hoặc ít nhất là yếu đi đáng kể. Để làm được điều này, cần có một lượng năng lượng E nhất định (như được xác định cho mỗi phản ứng). Nó được gọi là năng lượng hoạt hóa của phản ứng. Rõ ràng là bậc độ lớn của năng lượng kích hoạt phải gần bằng tổng $U_{AB}$ năng lượng liên kết của các phân tử A và B. Do đó, quá trình hóa học ở giai đoạn năng lượng ban đầu bị cản trở. Các phân tử tham gia phản ứng phải có đủ năng lượng nhiệt để vượt qua rào cản có giá trị E.

Sự phá hủy hoặc làm suy yếu các liên kết hóa học có thể xảy ra dưới tác động của chuyển động nhiệt (chuyển động tịnh tiến hoặc dao động) của các nguyên tử và phân tử. Thiên nhiên được thiết kế theo cách mà năng lượng của chuyển động nhiệt ở nhiệt độ vừa phải thường nhỏ hơn nhiều so với năng lượng kích hoạt. Năng lượng trung bình của chuyển động nhiệt vào cỡ $kT$, nghĩa là

$$\sim 4 \cdot 10^{-21} \text{ Дж},$$

trong khi năng lượng kích hoạt lớn hơn hàng trăm lần. Đây là lý do cho số lượng va chạm hiệu quả theo cột. Phản ứng hóa học chỉ xảy ra giữa những phân tử có năng lượng nhiệt cao hơn nhiều so với mức trung bình. Và có rất ít trong số họ.

Số lượng phân tử có năng lượng chuyển động nhiệt E ở nhiệt độ T được biểu thị bằng công thức đơn giản:

$$y = e^{-E/kT}.$$

(Người đọc nên tin tưởng vào công thức này - việc rút ra nó ít nhiều nhất quán sẽ khiến chúng ta lạc lối.) Dạng định tính của sự phụ thuộc của đại lượng y vào nhiệt độ T đối với các giá trị khác nhau

Hình 2. Tỷ lệ phân tử hoạt động ở các năng lượng kích hoạt khác nhau ($E_1 < E_2 < E_3$) tùy thuộc vào nhiệt độ.

13

Năng lượng kích hoạt $E$ được thể hiện trong Hình 2.

Do đó, tốc độ của một phản ứng hóa học, nghĩa là lượng chất (tính bằng kilôgam, mol, số hạt) đã phản ứng trong một đơn vị thời gian trên một đơn vị thể tích, có thể được viết dưới dạng sau:

$$w = z e^{-E/kT},$$

trong đó các giá trị của $z$ được xác định bằng số lần va chạm (trong chất khí) hoặc bằng số lượng liên kết phân tử, sự đứt gãy của chúng dẫn đến sự biến đổi hóa học (trong vật thể ngưng tụ). (Kích thước của $w$ và $z$ giống nhau: $k r/(m^3 \cdot c)$, mol/(m$^3 \cdot c$) hoặc $1/(m^3 \cdot c)$.) Để bạn “cảm nhận” được sự phụ thuộc rõ rệt của tốc độ phản ứng hóa học vào nhiệt độ, chúng tôi khuyên bạn nên xem xét một ví dụ số cụ thể - giải bài toán 1 (xem trang 16).

Bây giờ chúng ta đã chuẩn bị để giải thích hiện tượng nổ nhiệt. Nguyên nhân dẫn tới hiện tượng tự bốc cháy do nhiệt rất đơn giản. Nếu một phản ứng tạo ra nhiệt, chất đó nóng lên. Khi đun nóng, tốc độ phản ứng hóa học tăng lên. Điều này, đến lượt nó, sẽ dẫn đến sự giải phóng năng lượng mạnh mẽ hơn. Khả năng xảy ra một phản ứng hóa học tự tăng tốc dần dần như vậy đã được nhà hóa học nổi tiếng người Hà Lan Van’t Hoff chỉ ra vào cuối thế kỷ trước. Số lượng vụ nổ nhiệt được nhà học giả N. N. Semenov đưa ra vào năm 1928. Nó có thể được phân loại một cách đúng đắn là một tác phẩm kinh điển. Lý thuyết này đủ đơn giản để có thể giải thích “bằng ngón tay”. Mặt khác, ngay cả cho đến nay, nửa thế kỷ sau khi lý thuyết ra đời, nó vẫn là cơ sở cho nghiên cứu và lời giải ngày càng nhiều bài toán vật lý hóa học - một cách khoa học về cơ sở vật lý của quá trình hóa học.

Tất nhiên, kết luận nhanh rằng bất kỳ hỗn hợp nào trải qua phản ứng tỏa nhiệt cuối cùng sẽ phát nổ là không chính xác. Rốt cuộc, bình chứa phản ứng xảy ra bị hạn chế và nhiệt thoát ra có thể bị tiêu tán ra môi trường. Sự giải phóng nhiệt và loại bỏ nhiệt cạnh tranh dẫn đến hoạt động rất tự do của hệ thống tự tăng tốc hóa học.

Hãy chuyển sang khía cạnh định lượng của hiện tượng này. Để xảy ra phản ứng ở một thể tích nhất định $V$ với nhiệt tách $Q$ J/kg. Lượng nhiệt tỏa ra mỗi giây trong toàn bộ thể tích bằng

$$P_+ = z Q V e^{-E/kT} (\text{Дж/c}),$$

trong đó $T$ là nhiệt độ của chất phản ứng theo thể tích $V$.

Đặt nhiệt độ môi trường không đổi và bằng $T_0$. Tổn thất nhiệt từ thể tích phản ứng tỷ lệ thuận với chênh lệch $T - T_0$ và diện tích $S$ của bề mặt bị giới hạn bởi thể tích $V$. Do đó, mỗi giây chất phản ứng đều toả nhiệt lượng ra môi trường

$$P_- = \alpha S (T - T_0),$$

trong đó $\alpha$ được gọi là hệ số dẫn nhiệt. Đương nhiên, đại lượng này phải chứa đặc tính về khả năng dẫn nhiệt của một chất - hệ số dẫn nhiệt $\lambda$ - và kích thước đặc trưng của nhiệt - $r$ (ví dụ đối với một quả bóng, bán kính của nó). Như vậy,

$$\alpha = K \lambda / r.$$

Hệ số $K$ là một hằng số nhất định đối với một vật thể nhất định, đặc trưng cho ảnh hưởng của hình dạng vật thể đó đến các giá trị độ dẫn nhiệt. Rõ ràng tại sao kích thước $r$ được đưa vào mẫu số: với cùng một chênh lệch nhiệt độ giữa hai điểm của vật thể, dòng nhiệt (lượng nhiệt truyền trên một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích) càng nhỏ thì khoảng cách giữa các điểm này càng lớn.

Hình 3 cho thấy chức năng giải phóng nhiệt $P_+(T)$ và một số truyền nhiệt trực tiếp $P_-(T)$, tương ứng với nhiệt độ môi trường có thể phân biệt được. Chúng ta chú ý đến số giao điểm $P_+$ và $P_-$, tức là số nghiệm của phương trình

$$P_+(T) = P_-(T).$$

Do chức năng giải phóng nhiệt không bị giam giữ mạnh nên có thể có một số điểm như vậy. Do đó, để có nhiệt độ đủ thấp và cao $T_0 \left( T_0^{(1)} \right)$ và $T_0^{(3)}$ thì chỉ có

14

Hình 3. Sự phụ thuộc của nhiệt tỏa ra $P_+$ và dòng nhiệt $P_-$ vào nhiệt độ.

một gốc; ở một số nhiệt độ môi trường xung quanh (ví dụ: $T_0^{(2)}$) có thể có ba điểm giao nhau. Đẳng thức $P_+(T)$ và $P_-(T)$ tương ứng với điều kiện cân bằng nhiệt (đứng yên) - toàn bộ năng lượng giải phóng sẽ bị loại khỏi hệ ra môi trường. Bằng cách suy luận đơn giản (bài toán 2), chúng ta có thể chỉ ra rằng các điểm giao nhau thuộc loại $a$ (đường cong dòng nhiệt dốc hơn đường cong tỏa nhiệt) là ổn định và các điểm thuộc loại $b$ không ổn định.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét hành vi của hệ thống phản ứng theo thời gian. Để tại thời điểm ban đầu $t=0$ chất đó có nhiệt độ $T_0^{(1)}$ bằng nhiệt độ môi trường (điểm $A$ trong Hình 3). Vì lúc này $P_+ > P_-$, cơ thể bắt đầu nóng lên. Trên hình 4, quá trình này sẽ tương ứng với chuyển động của hệ dọc theo đường cong 1. Có thể thấy, nhiệt độ tăng chậm dần theo thời gian. Điều này là do sự chênh lệch $P_+ - P_-$ giảm trong quá trình gia nhiệt, quyết định sự tăng nhiệt độ. Quá trình gia nhiệt sẽ kết thúc tại điểm $B$ (xem Hình 3), ổn định. Sự phụ thuộc tương tự (đường cong 2 trong Hình 4) của nhiệt độ vào thời gian sẽ dẫn đến nhiệt độ ban đầu cao hơn $T_0^{(2)}$. Hệ thống được làm nóng đến nhiệt độ cuối cùng cao hơn một chút so với trường hợp đầu tiên và sẽ đạt đến trạng thái ổn định.

Hình 4. Sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian đối với chế độ dưới tới hạn (đường cong 1 và 2) và siêu tới hạn (đường cong 3).

Bằng cách tăng nhiệt độ môi trường xung quanh (và theo đó, nhiệt độ ban đầu của chất), chúng ta sẽ đạt được một chế độ gia nhiệt khác về chất lượng. Chúng ta hãy xem quá trình gia nhiệt diễn ra như thế nào ở nhiệt độ ban đầu $T_0^{(3)}$ (đường cong 3 trong Hình 4). Khi bắt đầu quá trình, sự phụ thuộc $T(t)$ tương tự như hai trường hợp trước: chênh lệch $P_+ - P_-$ giảm dần theo thời gian nên sự tăng nhiệt độ được thay thế. Hệ thống đi qua một khe hẹp giữa đường cong tỏa nhiệt và dòng nhiệt trong một thời gian rất dài - vào sự phụ thuộc vào nhiệt độ $T(t)$ điều này tương ứng với một phần gần như nằm ngang. Sau khi chênh lệch $P_+ - P_-$ vượt qua mức tối thiểu, nhiệt độ bắt đầu tăng mạnh (nhanh hơn theo cấp số nhân). Một quá trình tự giải phóng năng lượng sẽ diễn ra nhanh hơn. Sự tự tăng tốc nhiệt của phản ứng hóa học tỏa nhiệt này được gọi là vụ nổ nhiệt.

Một trong những khía cạnh đáng chú ý nhất của hiện tượng này là sự tồn tại của một tình trạng nguy kịch. Chúng tôi thấy rằng một sự thay đổi suôn sẻ trong $T_0$ sẽ dẫn đến sự thay đổi mạnh mẽ về chất trong hoạt động của hệ thống. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ $T(t)$ chỉ có thể có hai loại - gia nhiệt yếu hoặc nhiệt độ tăng mạnh (sau một khoảng thời gian ổn định) - nổ.

15

Rõ ràng là phải có nhiệt độ tới hạn $T_0^{(k)}$ nào đó ngăn cách hai loại chế độ này. Tất nhiên, người đọc đã chú ý đến đường cong chấm $P_-^{(k)}$ trong Hình 3, tương ứng với nhiệt độ $T_0^{(k)}$. $T_0^{(k)}$ là nhiệt độ ban đầu tới hạn. Đường cong $P_+$ và $P_-$ có một điểm tiếp tuyến (điểm $C$). Nếu nhiệt độ ban đầu thấp hơn chỉ do nhiệt độ ban đầu thay đổi. Các hàm $P_+$ và $P_-$ cũng chứa các tham số khác, sự thay đổi của chúng sẽ chuyển hệ thống từ trạng thái dưới tới hạn sang trạng thái siêu tới hạn (vấn đề này được thảo luận trong bài toán 3).

Bây giờ chúng ta chuyển sang toán học, tức là chúng ta sẽ có được số vụ nổ nghiêm trọng. Nó phải có đặc điểm của một số bất đẳng thức thuộc loại $T_0 > T_0^{(k)}$, bao gồm tất cả các tham số bài toán. Ta muốn tìm điều kiện tiếp tuyến của hai đường cong tương ứng với các hàm $P_+(T)$ và $P_-(T)$. Đối với học sinh phổ thông đã quen với phép tính vi phân, đây là cơ hội tốt để kiểm tra kiến ​​thức của các em. Những người không có sự khác biệt phải tin vào kết quả cuối cùng và hiểu ý nghĩa vật lý của nó.

Để đồ thị của hàm số tiếp xúc tại một điểm cho trước, phải thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, giá trị của hàm số tại điểm này phải bằng nhau, thứ hai là giá trị của hàm số tùy ý tại điểm này phải trùng nhau.

Hai điều kiện này xác định nhiệt độ tới hạn, tức là nhiệt độ của chất phân cách điểm tiếp tuyến của đồ thị $P_+(T)$ và $P_-(T)$:

$$T_k = T_0 + \frac{kT_0^2}{E}$$

(giá trị của $T_0$ trong công thức này là $T_0^{(k)}$).

Giá trị $T_k$ xác định vụ nổ nhiệt tới hạn:

$$\frac{zQV}{\alpha S} \frac{E}{kT_0^2} e^{-E/kT_0} \geq \frac{1}{e}.$$

(Thay thế giá trị $T_k$ vào đẳng thức (**) sẽ đưa ra các điều kiện cho chế độ tới hạn; dấu “lớn hơn” xác định vụ nổ.)

Do đó, khi biết hình dạng và kích thước của một thể tích chứa một chất có các đặc tính hóa lý đã biết, chúng ta có thể dự đoán liệu một vụ nổ có xảy ra hay không.

Bây giờ chúng ta có thể chuyển sang điều tra vụ nổ của những con tàu chở đầy amoni nitrat. Người ta đã nói rằng trong quá trình phân hủy, nhiệt được giải phóng và vì tốc độ phản ứng hóa học tăng theo nhiệt độ nên về nguyên tắc, việc giải phóng amoni có thể xảy ra. Tuy nhiên, cơ hội là không cần thiết. Chỉ bằng cách chuyển sang ước tính bằng số, người ta mới có thể xác định liệu một vụ nổ nhiệt có xảy ra hay không hay liệu nguyên nhân của thảm họa có nên được tìm kiếm ở một nguyên nhân khác hay không.

Hãy viết lại công thức (**) ở dạng hơi khác một chút. Rõ ràng là tỷ lệ $V/\alpha S$ tỷ lệ thuận với bình phương kích thước tuyến tính của vật thể $r^2$. Do đó, tiêu chí nổ nhiệt có thể được viết dưới dạng điều kiện xác định kích thước tới hạn của vật thể $r_k$:

$$r_k = \left( \frac{C\lambda kT_0^2}{zQE} e^{E/kT_0} \right)^{1/2},$$

ở $r > r_k$ - vụ nổ.

(Hằng số $C$ đặc trưng cho ảnh hưởng của hình dạng cơ thể.)

Giá trị của các tham số có trong biểu thức cho $r_k$ được biết với mức độ chính xác khác nhau. Nước nhiệt amoni nitrat là 1 MJ/kg; hệ số truyền nhiệt-

*) Đối với những người muốn độc lập nhận được giá trị $T_k$ và tiêu chí nổ nhiệt, chúng tôi muốn đưa ra gợi ý. Vì, như đã đề cập, $kT/E \leq 1$, khi tính $T_k$, biểu thức $\sqrt{1 - 4kT_0/E}$ có thể được thay thế bằng một giá trị gần bằng nhau $1 - 2kT_0/E - 2(kT_0/E)^2$ và khi tìm tiêu chí bùng nổ, biểu thức $1/(1 + kT_0/E)$ có thể được thay thế bằng một giá trị gần bằng nhau $1 - kT_0/E$

16

ness $\lambda=0,17$ J/(ms độ). Nhưng không thể chỉ ra giá trị chính xác của hằng số động học $z$ và $E$ đối với tích phân amoni. Với trình độ khoa học hiện nay về các biến đổi hóa học, về mặt lý thuyết không thể tìm thấy các hằng số này. Chúng được đo lường và những thay đổi như vậy tốn nhiều công sức và luôn kèm theo lỗi. Do đó, trong các bảng hằng số động học của $z$ và $E$, các tích phân của các giá trị có thể xảy ra của chúng là: $z=(3\div 5)\cdot 10^{16}$ kg/(m$^3$ s), $E=(2,4\div 2,7)\cdot 10^{-23}$ J.

Vì vậy, câu hỏi không nằm ở việc tính giá trị động học $r_K$ của kích thước cơ thể, mà là xác định phạm vi giá trị $r_K$ khi thay đổi các thông số động học trong giới hạn nêu trên.

Năng lượng kích hoạt và nhiệt độ của môi trường có tác động mạnh hơn đến kích thước động học; chúng được bao gồm trong số mũ. Trong bối cảnh của chúng, ảnh hưởng của các thông số khác là không đáng kể. Chúng ta hãy vẽ biểu đồ phụ thuộc $r_K(T_0)$ cho các giá trị khác nhau của năng lượng kích hoạt (Hình 5). Vùng phía trên đường cong (lớn $r$ và nhiệt độ cao) tương ứng với một vụ nổ. Khi năng lượng kích hoạt giảm, kích thước động học giảm.

Biểu đồ cho thấy kích thước đặc trưng của khoang chở hàng của tàu (khoảng mười mét) nằm trong vùng $r_K$ trong giới hạn kích thước của sự thay đổi năng lượng kích hoạt và nhiệt độ ban đầu. Như đã đề cập, một loạt vụ nổ bắt đầu liên quan đến sự phát triển của sản xuất công nghiệp tích hợp amoni. Quy trình kỹ thuật đã được đẩy nhanh, bao gồm làm mát muối tiêu thu được bằng cách trung hòa axit nitric bằng amoniac. Rất có thể việc nạp sản phẩm được thực hiện ở nhiệt độ hơi cao. Ngoài ra, để tránh các hạt đã bón bị đóng bánh, chúng được phủ một lớp sáp và đóng gói trong túi giấy. Các nghiên cứu trong phòng thí nghiệm đã chỉ ra rằng chất phụ gia này làm giảm năng lượng kích hoạt. Những yếu tố này góp phần gây ra vụ nổ.

Chúng tôi sẽ kết thúc ở đây với mong muốn độc giả cảm nhận được sức mạnh và

17

Về cọc xoáy

Làm thế nào bạn có thể có được bánh xe xoáy nước và không khí trong điều kiện phòng thí nghiệm? Họ có những đặc tính gì? Các vòng có thể tương tác với các prerad và với nhau không? Đối với những câu hỏi này và nhiều câu hỏi tương tự khác, bạn sẽ nhận được đáp số, hãy xem qua bài viết được đề xuất.

Các tác giả của bài báo khi còn là học sinh đã phát hiện ra nhiều tác dụng và đặc điểm hành vi thú vị của các vòng xoáy. Họ đã giải thích được hầu hết mọi thứ một cách định tính.

Sự hình thành các vòng xoáy

Để thu được các xoáy trong không khí trong điều kiện rôto LAB, chúng tôi đã sử dụng thiết bị Theta (Hình 1). Nó là một hình trụ, một đầu (màng) được phủ một số vật liệu đàn hồi (ví dụ: da) và đầu kia có một lỗ tròn (màng).

Bên trong hình trụ có hai bình: một bình chứa axit clohydric (HCl), bình kia chứa amoniac (NH₄OH). Kết quả là trong xi lanh

sương mù dày đặc (khói) được hình thành từ các hạt amoni clorua (amoniac NH₄Cl).

Bằng cách chạm vào màng, chúng tôi truyền tốc độ cho neoctor áp dụng từ khói vào màng. Khi chuyển động, lớp này sẽ gây ra sự nén chặt của lớp bên cạnh, lớp tiếp theo, v.v. Khi vòng đệm chạm tới màng ngăn, khói sẽ thoát ra khỏi lỗ, làm chuyển động không khí đã xả trước đó và do ma sát ma sát, bản thân nó sẽ quay thành vòng khói.

Có lẽ sự hóa rắn của tầng đóng vai trò chính trong việc hình thành các vòng xoáy? Hãy kiểm tra xem nó ra. Thay vì màng chắn thông thường, chúng tôi sẽ đặt nó vào bộ máy Teta, quyết định như vậy. Nếu giả thuyết của chúng ta đúng thì sẽ có nhiều vòng nhỏ. Tuy nhiên, kinh nghiệm cho thấy điều này không phải vậy - một vòng xoáy lớn được hình thành (Hình 2).

Điều rất quan trọng là khói thoát ra khỏi thiết bị theo từng phần riêng biệt và không thành dòng liên tục. Nếu màng được thay thế bằng piston và khuấy, một dòng khói liên tục sẽ xuất hiện từ lỗ cùng với các vòng.

Các xoáy trong nước có thể thu được bằng pipet và mực thông thường. Sau khi thu thập mực vào pipet, bạn cần thả mực từ độ cao 2-3 cm vào bể cá có nước lắng tốt (trong đó không có dòng đối lưu). Trong nước ngẫu nhiên có các vòng mực lắng tốt (Hình 3).

Bạn có thể làm hơi khác một chút: thả một dòng mực từ pipet trực tiếp vào nước (Hình 4). Trong trường hợp này, các vòng xoáy có kích thước lớn hơn một chút.

Hình 1. Hình 2

2 «Kvant» № 11

18

Bản chất của sự hình thành các vòng xoáy trong nước cũng giống như trong nước; Tính chất của mực trong nước cũng tương tự như tính chất của khói trong nước. Trong cả hai trường hợp, lực ma sát nhớt đóng vai trò chính. (Đúng, các thí nghiệm cho thấy rằng sự tương tự hoàn toàn chỉ xảy ra ở thời điểm đầu tiên sau khi hình thành các xoáy. Sau đó, hành vi của các xoáy trong nước và nước-không khí hóa ra là khác nhau.)

Chuyển động của môi trường xung quanh vòng xoáy

Điều gì xảy ra với môi trường sau khi xoáy được hình thành? Các thí nghiệm liên quan đã giúp chúng tôi trả lời câu hỏi này.

Đặt một ngọn nến thắp sáng ở khoảng cách 2-3 m so với thiết bị Theta. Để vòng khói được phóng ra sao cho nó không đâm vào ngọn lửa nến mà đi qua gần đó. Ngọn lửa sẽ tắt hoặc dao động rất mạnh. Điều này cho thấy rằng không chỉ phần nhìn thấy được của chiếc nhẫn cũng chuyển động mà cả lớp không khí gần đó cũng chuyển động.

Họ di chuyển bằng cách nào? Chúng ta hãy lấy hai giá ba chân, làm ẩm một cái bằng axit clohydric, cái còn lại bằng amoniac và treo chúng ở khoảng cách xa

Hình 3.

Hình 4.

Hình 5.

18

20

đo độ giãn nở của toàn bộ vòng ngoài.

Nếu mặt phẳng nghiêng một góc nhất định so với vị trí ban đầu, dòng xoáy va vào mặt phẳng sẽ đẩy ra xa nó (Hình 8). Thực tế này có thể được giải thích bằng sự xuất hiện của một vùng áp suất tăng lên trong không gian giữa vòng và mặt phẳng.

Tương tác của các vòng

Không còn nghi ngờ gì nữa, thú vị nhất là các thí nghiệm nghiên cứu sự tương tác của bánh xe bên ngoài. Chúng tôi đã tiến hành thí nghiệm với các vòng cả trong nước và trong không khí.

Nhỏ một giọt mực từ độ cao 1-2 cm vào bình chứa nước, sau vài giây lại nhỏ một giọt mực khác nhưng từ độ cao 2-3 cm. Hai xoáy được hình thành trong tàu, chuyển động với tốc độ khác nhau: xoáy thứ hai nhanh hơn xoáy thứ nhất ($v_2 > v_1$). Khi các vòng ở cùng độ cao, chúng sẽ bắt đầu tương tác với nhau.

Hóa ra có ba trường hợp có thể xảy ra. Trường hợp thứ nhất là vòng thứ hai đốt cháy vòng thứ nhất mà không chạm vào (Hình 9, a). Điều sau đây xảy ra. Thứ nhất, dòng nước chảy từ cả hai vòng dường như đẩy các vòng ra xa nhau. Thứ hai, người ta phát hiện thấy sự chuyển mực từ vòng thứ nhất sang vòng thứ hai: dòng nước của vòng thứ hai mạnh hơn và chúng mang theo mực theo. Đôi khi một phần mực này đi qua vòng thứ hai, kéo theo sự hình thành một vòng nhỏ mới. Sau đó, những chiếc nhẫn bắt đầu được làm, chúng tôi không thể nhận thấy điều gì thú vị.

Trường hợp thứ 2 là khi vòng 2 cháy, chạm vào vòng 1 (Hình 9, b). Kết quả là dòng chảy mạnh hơn của vòng thứ hai sẽ phá hủy vòng thứ nhất. Theo quy định, các vết mực nhỏ mới được hình thành từ cục mực còn sót lại từ vòng đầu tiên.

Hình 9.

21

Làm thế nào để phá vỡ một hình vuông

Có thể cắt một hình vuông thành một số nhỏ hơn các hình vuông không bằng nhau theo từng cặp không? Trong một thời gian dài, các nhà toán học (trong đó có Hugo Steinhaus) đã cho rằng điều đó là không thể. Khả năng phân chia như vậy lần đầu tiên được đưa ra bởi nhà hình học người Đức R. Spagh vào năm 1939: ông đã chia hình vuông thành 55 ô vuông không cạnh nhau theo cặp. Con số 55 nhanh chóng bị giảm đi: vào năm 1940, các nhà toán học người Anh A. Ston và W. Tatti đã chứng minh rằng một hình vuông có thể được cắt thành 28 cặp hình vuông không tắc nghẽn, và việc này có thể được thực hiện theo hai cách khác nhau. Sau đó, họ cùng với K. Smith và R. Brook giảm số 28 xuống còn 26.

Phân vùng 26 ô vuông nên được coi là “tiết kiệm nhất” trong tất cả các phân vùng có thể. Tuy nhiên, vào năm 1948, người Anh F. Wilkosk đã xây dựng cách chia hình vuông thành 24 hình vuông không lặp lại. “Kỷ lục” này kéo dài suốt ba mươi năm. Năm 1978, nhà toán học người Hà Lan Duwesin đã chỉ ra cách chia một hình vuông thành 21 hình vuông khác nhau (xem Tạp chí Lý thuyết Tổ hợp, 1978, V25, tr. 240-243). Phân vùng của Duvesin được mô tả trên trang bìa của chúng tôi (các con số biểu thị độ dài các cạnh của các hình vuông của phân vùng, nếu độ dài cạnh của hình vuông ban đầu là 112). Duvesin đã chứng minh rằng số 21 không thể giảm được nữa (trước đây người ta chỉ chứng minh rằng số ô vuông của phân vùng không nhỏ hơn 14; xem ví dụ ở trang 29 trong cuốn sách “Làm thế nào để cắt một hình vuông?” của I. M. Yaglom, M., “Nauka”, FM, 1969).

O.M.

22

S. Adeev

Đa thức thông thường

Tên của S. V. Golomb, một nhà khoa học người Mỹ, chuyên gia trong lĩnh vực lý thuyết thông tin và thống kê, đã được nhiều người hâm mộ toán học giải trí biết đến. Golomb đã phát minh ra một loạt trò chơi đáng chú ý mà ông đặt tên chung là “polyominoes”. Trò chơi này đã là chủ đề của nhiều ấn phẩm trên nhiều tạp chí. «Kvant» cũng nhiều lần đề cập đến chủ đề này, và vào năm 1975, nhà xuất bản Mir đã xuất bản một cuốn sách của tác giả của phát minh này, trong đó có nhiều toán học hay và thú vị bài toán *).

Đây là một ví dụ về “đa thức” bài toán (nó được đặt ở một trong các số «Kvant»): Chứng minh điều đó từ ba góc và số ô tương ứng, nhưng nó cực kỳ khó chứng minh. Theo quy định, bài toán như vậy không thể khám phá phương pháp vũ phu ngay cả với một máy tính nhanh. Vì vậy, đối với lời giải của họ có những phương pháp rất khéo léo. Một trong số đó, chủ yếu là trên các trang tô màu, được mô tả trong «Kvant» Số 11 năm 1972. Trong bài viết này, chúng ta sẽ nói về một cách tiếp cận hoàn toàn khác liên quan đến… địa lý và xúc xắc.

Địa lý trên giấy ca rô và xúc xắc

Tất cả các sự kiện tiếp theo trong bài viết của chúng tôi sẽ diễn ra trên giấy ca rô được đánh dấu “định hướng địa lý” (Hình 2). Trên tờ giấy ca rô này, theo một số quy tắc nhất định, chúng ta sẽ tung một con xúc xắc thông thường - một khối lập phương có cạnh có chiều dài đơn vị và các mặt được đánh số. Khối lập phương sẽ luôn được đặt trên giấy sao cho tâm của cạnh dưới trùng với nút lưới và các cạnh bên song song với các đường lưới. Đối với mỗi vị trí của khối lập phương trên tờ giấy ca rô, chúng ta sẽ gán hai số - số mặt nam và mặt trên. Hãy xác định cặp số này theo hướng của khối lập phương.

Bài tập 1. Hình lập phương có bao nhiêu hướng khác nhau?

Cho một đường dẫn Γ nối các nút A và B của lưới. Tất nhiên, chúng tôi sẽ xem xét các đường dẫn chỉ có ở Ấn Độ dọc theo các đường lưới. Nếu khối nằm trên nút A thì nó có thể

*) “Polymino” (M., “Mir”, 1975)

Hình 1.

Hình 2.

23

cuộn dọc theo đường Γ đến nút B (Hình 3). Trong trường hợp này, hướng ban đầu α của nó sẽ được thay thế bằng hướng β nào đó. Chúng ta sẽ viết điều này như sau: β = Γ(α).

Làm mềm Y 2. Đặt các nút A và B và hướng ban đầu α cố định. Chứng minh rằng bằng cách lăn khối lập phương dọc theo tất cả các đường có thể từ A đến B, bạn chỉ có thể thu được không quá một nửa hướng của khối lập phương. Đảm bảo luôn có sẵn những hướng dẫn hữu ích.

Nếu điểm cuối của đường dẫn Γ₁ trùng với điểm bắt đầu của đường dẫn Γ₂, thì đường dẫn Γ₂°Γ₁ sẽ xuất hiện, bao gồm hai đường dẫn này (Hình 4). Ngoài ra, đối với mỗi đường dẫn Γ, đường dẫn “đảo ngược” Γ⁻¹ được xác định một cách tự nhiên, điều này có được bằng cách thay thế hướng dọc theo đường dẫn Γ bằng hướng đối diện. Thật dễ dàng để xác minh (làm điều này) rằng (Γ₂°Γ₁)(α) = Γ₂(Γ₁(α)) và Γ⁻¹(Γ(α)) = α.

Chúng ta gọi đường đi là Γ hình cầu nếu Γ(α) = α đối với một hướng α nào đó.

Y làm mềm 3. Chứng minh rằng a) nếu Γ là đường chính quy thì Γ(β) = β với mọi hướng β;
b) nếu Γ là đường đi chính quy thì Γ⁻¹ là đường đi chính quy;
c) nếu Γ₁ và Γ₂ là các đường dẫn thông thường và đường dẫn Γ₂°Γ₁ được xác định thì Γ₂°Γ₁ là đường dẫn thông thường.

4. Chứng minh rằng mọi đường đi chính quy đều có độ dài chẵn và cho ví dụ về đường đi không chính quy có độ dài chẵn.

Đa thức thường xuyên

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại đa thức. Hãy nhớ lại rằng polymno là một đa

năm, một hình vuông được tạo thành từ các ô vuông đơn, với bất kỳ ô nào liền kề với ít nhất một ô liền kề ở một bên (nghĩa là quân cờ có thể di chuyển từ bất kỳ ô nào sang bất kỳ ô nào khác). bài toán tổng quát từ lý thuyết đa thức được xây dựng như sau: có thể thêm một hình đã cho từ một tập hợp các đa thức nhất định không? Chúng ta sẽ có thể giải được cả một lớp bài toán như vậy. Chúng ta sẽ coi đa thức là một đa giác được vẽ trên giấy ca rô của chúng ta. Chúng ta là đa chính quy tại nút A nếu đường đi tìm kiếm dọc theo đường viền của nó với điểm bắt đầu và kết thúc tại nút A nằm trên đường viền này là chính quy. Hóa ra định nghĩa này không phụ thuộc vào nút được chọn.

Độ pha loãng là 5. Nếu một polymnoy chính quy tại một nút nào đó trên đường viền của nó thì nó chính quy ở bất kỳ nút nào khác. Chứng minh điều đó.

Bài tập 5 cho chúng ta cơ hội nói đơn giản về đa thức chính quy. Một số đa thức như vậy được thể hiện trong Hình 5.

U pha loãng 6. Chứng minh rằng các đa thức này là đều.

Hóa ra là bạn không thể sử dụng một polymno không thông thường từ các polymno thông thường. Để chứng minh điều này, chỉ cần chứng minh điều sau là đủ:

Định lý tổng hợp. Nếu đa thức P và Q là dạng rezular và đa thức T được tạo thành từ chúng thì nó có thể là dạng rezular.

Giải thích cho việc chứng minh định lý này được đưa ra trong Hình 6.

Cũng có thể chứng minh định lý sai phân: nếu đa thức T gồm đa thức P và Q là dạng rezular và đa thức P là rezular thì đa thức Q cũng là rezular.

Pha loãng Y 7. Chứng minh định lý về sự khác biệt đa thức.

Phép giãn Y 8. Chứng minh rằng một đa thức hình chữ nhật là chính quy khi và chỉ khi diện tích của nó là bội số của 4.

Từ định lý tổng và bài tập 6 và 8, ngay lập tức suy ra lời giải bài toán, tương tự như bài toán về nút thắt, để chứng minh rằng từ bất kỳ số đa thức nào được hiển thị trong Hình 5, không thể cộng một hình chữ nhật có diện tích không phải là bội số của 4.

25

Bài toán

M591—M595; F603—F607

M591. Cho $p$ và $q$ là các số tự nhiên sao cho
$$\frac{p}{q} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots - \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319}.$$
Chứng minh rằng số $p$ chia hết cho 1979.

M592. Chứng minh rằng đối với một tam giác bất kỳ, hình chiếu của đường kính đường tròn ngoại tiếp vuông góc với một cạnh của tam giác lên đường thẳng chứa cạnh thứ hai bằng chiều dài của tam giác đó.
S. Ovchinnikov

M593. Bên trong vòng tròn $\Gamma$ có $n$ vòng tròn. Chứng minh rằng độ dài ranh giới giao nhau của các đường tròn này không vượt quá độ dài đường tròn $\Gamma$ nếu
a) $n = 2$;
b) tâm của tất cả $n$ hình tròn nằm trên cùng một đường kính của hình tròn $\Gamma$;
c) tất cả $n$ vòng tròn đều chứa tâm của vòng tròn $\Gamma$.
F. Kabdykairov,
V. Pronzvolov

M594*. Tìm tất cả các số thực $a$ mà tồn tại số thực không âm $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ thỏa mãn hệ thức
$$\sum_{k=1}^{5} kx_k = a, \sum_{k=1}^{5} k^3x_k = a^2, \sum_{k=1}^{5} k^5x_k = a^3.$$

M595. Cho $A$ và $E$ là hai đỉnh đối diện của một hình bát giác đều. Tại đỉnh $A$ có một con ếch. Từ bất kỳ đỉnh nào của hình bát giác, ngoại trừ đỉnh $E$, con ếch có thể nhảy tới bất kỳ đỉnh nào trong hai đỉnh lân cận. Khi đến đỉnh $E$, con ếch dừng lại và giữ nguyên ở đó. Gọi $a_n$ là số cách một con ếch có thể đi từ đỉnh $A$ đến đỉnh $E$ với chính xác $n$ lần nhảy. Chứng minh rằng
$$a_{2n-1} = 0, a_{2n} = \frac{1}{\sqrt{2}} (x^{n-1} - y^{n-1}),$$
$n = 1, 2, 3, \dots$, ở đâu $x = 2 + \sqrt{2}; y = 2 - \sqrt{2}$.

F603. Một sinh viên đến trường bằng tàu điện ngầm dọc theo tuyến Kolya. Trạm mà nó lên và trạm mà nó xuống nằm ở hai đầu đối diện nhau của đường kính của vòng, vì vậy

rằng học sinh không quan tâm mình đi theo con đường nào.
Tất nhiên, anh ấy sẽ ngồi vào chiếc ghế phù hợp với mình sớm nhất. Số lượng tàu đi dọc vành đai theo các hướng khác nhau là như nhau. Tuy nhiên, người học sinh này nhận thấy rằng mình thường đạp xe theo chiều kim đồng hồ. Làm thế nào điều này có thể được giải thích?

F604. Trong điều kiện không trọng lực, một chất lỏng đặt trong một bình hình trụ thủy tinh có bán kính đáy $R_1$ có hình dạng như Hình 1. Bề mặt tự do của chất lỏng có dạng hình cầu có bán kính $R_0$. Chất lỏng tương tự, được đặt trong một bình thủy tinh hình cầu có bán kính $R_2$, có hình dạng như trong Hình 2. Bề mặt tự do của chất lỏng phẳng. Xác định chiều cao mực chất lỏng trong bình cầu. Chất lỏng sẽ có hình dạng như thế nào trong một bình hình cầu nếu bán kính của bình lớn hơn $R_2$? ít hơn $R_2$?

V. Skorovarov

F605. Một cầu chì sẽ nổ nếu điện áp trên nó là 10 V. Cầu chì sẽ nổ ở điện áp nào nếu chiều dài của nó tăng gấp đôi?

F606. Quả cầu trượt không vận tốc ban đầu dọc theo mặt phẳng nghiêng góc $\alpha$. Hệ số ma sát giữa vòng đệm và mặt phẳng nghiêng thay đổi theo khoảng cách $l$ tính từ mặt trên theo định luật $\mu=kl$ ($k=\cos\theta$). Nên đặt điểm dừng cách đỉnh một khoảng bằng bao nhiêu để sau một lần va chạm đàn hồi với điểm dừng thì quả bóng dừng lại ở độ cao nhất có thể?

V. Belonuchkin

F607. Máy bay bay theo lộ trình khép kín $ABC$. Các điểm $A, B$ và $C$ nằm ở các đỉnh của một tam giác đều. Trong trường hợp nào thời gian trên chuyến bay sẽ ít hơn: nếu gió thổi theo hướng vectơ $\overrightarrow{AB}$ hoặc nếu gió thổi theo hướng vectơ $\overrightarrow{BA}$?

N. Kushinr, học sinh lớp 9

27

Lời giải bài toán
M538, M539; F547—F552

M538. Tập hợp các số tự nhiên là tập rút gọn của hai tập con rời rạc $f(1), f(2), \dots, f(n), \dots$}, $\{g(1), g(2), \dots, g(n), \dots\}$, $\exists f(1) < f(2) < \dots < f(n) < \dots, u g(n) = f(f(n)) + 1$ với mọi $n \ge 1$. Xác định $f(240)$.

Chúng ta hãy biểu thị tập hợp $f(n)$ và $\{g(n)\}$ bằng $F$ và $G$ (theo quy ước $F \cap G = \emptyset$ và $F \cup G = N$). Bắt đầu với các số tự nhiên đầu tiên 1, 2, 3, …, thật dễ dàng để tìm ra một cách nhất quán tập hợp nào $F$ hoặc $G$ nên gán số tự nhiên tiếp theo và số $n$ tương ứng với trong tập hợp của nó: rõ ràng là $1 = f(1)$, do đó $2 = f(f(1)) + 1 = g(1)$; xa hơn, $3 = f(2), 4 = f(3), 5 = f(f(2)) + 1 = g(2)$, … (Bảng 1). Trong trường hợp này, chúng ta nhận được điều kiện $g(n) = f(f(n)) + 1$ - chúng ta đặt $g(n)$ tiếp theo ngay sau khi $f(f(n))$ được đặt.

Do đó, $f(n)$ và $g(n)$ được xác định duy nhất và về nguyên tắc, chúng ta có thể giải bài toán chỉ bằng cách đưa bảng của chúng ta đến hàng thứ 240. Tuy nhiên, nó nhàm chán và không thú vị. Bạn có thể tiết kiệm thời gian bằng cách chú ý đến các mẫu hình mới nổi:

1°. chênh lệch $f(n+1) - f(n)$ luôn bằng 1 hoặc 2 và

$$f(n+1) - f(n) = \begin{cases} 1, \text{ если } n \in G, \\ 2, \text{ если } n \in F \end{cases}$$

(nếu $n = f(k)$ thì $f(n)+1 \neq g(k)$);

2°. $g(n) = f(n)+n$ cho bất kỳ $n$ nào. Thật vậy, trong số $g(n)$ số 1, 2, …, $f(f(n)), g(n)$ có $f(n)$ số $f(1), f(2), \dots, f(f(n))$ từ $F$ và $n$ số $g(1), g(2), \dots, g(n)$ từ $G$. Vì vậy, $g(n) = f(n)+n$.

Thuộc tính 1° và 2° cho chúng ta cơ hội tạo bảng “tăng tốc” 2. Teler vẫn sử dụng thuộc tính 1° để di chuyển từ 234 đến 240 (bảng 3). Nó thậm chí còn đơn giản hơn, như độc giả A. Balinsky của chúng tôi đã đồng ý, để thực hiện thêm bước sớm hơn (sử dụng đẳng thức $f(f(n)) = f(n)+n-1$):

$$f(57) = 90+2 \quad (56 \in F), \quad f(92) = 92+56 = 148,$$

$$f(148) = 148+91,$$

$$f(239) = 239+147 = 386, \quad f(240) = 386+2 = 388 \quad (239 \in F).$$

Vì vậy, đáp số cho câu hỏi cụ thể bài toán M538 nhận được: $f(240)=388$. Tuy nhiên, hóa ra ở đây chúng ta có thể tiến xa hơn nhiều - tìm các công thức đơn giản thay thế ngay lập tức cho đáp số cho bất kỳ $n$ nào:

$$f(n) = \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} n \right], \quad g(n) = \left[ \frac{3+\sqrt{5}}{2} n \right]$$

(ở đây $[x]$ là phần nguyên của $x$). Một số độc giả của chúng tôi đã tìm ra các công thức (), nhưng không phải ai cũng chứng minh được chúng một cách chính xác. Việc chứng minh đại số về nội dung rất phức tạp (mặc dù không khó lắm); Cùng nhau, chúng ta sẽ không trình bày một bức tranh rõ ràng mà từ đó cả hai công thức () và quá trình xây dựng các chuỗi $f(n)$, $g(n)$ sẽ rõ ràng. Nhưng trước tiên, hãy giải thích “bằng ngón tay” nơi số vô tỉ $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ xuất hiện trong bài toán này.

Nhìn vào Bảng 1, điều tự nhiên là giả định rằng chuỗi $f(n)$ phát triển gần như một hàm tuyến tính của $n$: $f(n) \approx \gamma n$. Sau đó, đối với $n$ lớn thì phải có $g(n) \approx f(f(n)) \approx \gamma (\gamma n) = \gamma^2 n$. Nhưng theo 2°, $g(n) = f(n)+n$, thì $\gamma^2 n \approx \gamma n+n$, và điều này chỉ có thể xảy ra với $\gamma^2 = \gamma+1$, do đó (nếu $\gamma > 0$) $\gamma = (\sqrt{5}+1)/2$. Từ những gì tiếp theo, sẽ rõ ràng rằng tập hợp $F$ và $G$ của các số tự nhiên $n$ đầu tiên của chúng ta chứa khoảng $n/\gamma$ và $n/\gamma^2$ các số tương ứng (như người ta nói, chúng có sự hoàn chỉnh $1/\gamma$ và $1/\gamma^2$).

28

Số γ và những “họ hàng” gần gũi của nó

$$\frac{1}{\gamma} = \gamma - 1 = \frac{(\sqrt{5} - 1)}{2}, \quad \gamma^2 = \gamma + 1 = \frac{(\sqrt{5} + 3)}{2}, \quad 1/\gamma^2 = \frac{(3 - \sqrt{5})}{2}$$

phát sinh trong rất nhiều vấn đề *), đặc biệt, trong nghiên cứu các số Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, $\Phi_{n+1} = \Phi_{n-1} + \Phi_n$, … (bất cứ điều gì Pitts đều biết rằng những số này nhỏ hơn 1 so với các số $n$ trong Bảng 2; hãy nghĩ tại sao), trong lý thuyết số, trong hình học. Đặc biệt, có thể dễ dàng kiểm tra rằng khi cắt một hình vuông từ một đường trượt tuyết thẳng với tỷ lệ chiều dài “vàng”, cạnh γ vẫn giữ nguyên của một đường trượt tuyết thẳng giống với hình ban đầu - theo đó trong Hình 1, trong đó việc cắt như vậy được thực hiện hai lần, các điểm O, K và M nằm trên cùng một đường thẳng. Tính chất này của số γ sẽ hữu ích cho chúng ta.

Bây giờ chúng ta hãy trình bày một cách đơn giản để xây dựng các số $f(n)$ và $g(n)$. Trên giấy ca rô như trên mặt phẳng tọa độ (Hình 2), chúng ta vẽ một đường thẳng $l$, được xác định bởi phương trình $y = \gamma x$ - với độ dốc “vàng” $\gamma = \frac{(\sqrt{5} + 1)}{2}$. (Làm thế nào để thực hiện việc này bằng cách sử dụng la bàn và thước kẻ?) Sắp xếp tất cả các ô “màu đỏ” (Hình 2) mà đường thẳng $l$ giao nhau, bắt đầu từ ô 0 chứa gốc $O$. Vì γ là trò chơi nên $l$ không đi qua các nút lưới, tức là nó đi vào ô tiếp theo, giao với đường $y = n$ hoặc đường $x = n$ ($n \in \mathbb{Z}$). Lưu ý rằng số ô $\{(x; y) : [x] = i, [y] = j\}$ bằng $i+j$ (tại sao?). Chúng tôi khẳng định rằng nếu số ô là $m$ thì $m = f(n)$ hoặc $m = g(n)$. Nói cách khác, nếu chúng ta sắp xếp các đoạn của tia tọa độ $Ox$ và $Oy$ theo thứ tự thì trên số đoạn $n$ của trục $x$ nằm số ô $g(n)$, và bên phải số đoạn $n$ của trục $y$ nằm số ô $f(n)$. Hãy xem nó trong Bảng 1 và Hình 2!

Bằng chứng cho thấy các số $f(n)$ và $g(n)$ được xây dựng theo cách này, sử dụng giấy ca rô, trên thực tế là những gì chúng ta cần, bao gồm việc kiểm tra xem các số trong ô có thỏa mãn tất cả các thuộc tính của chuỗi $f$ và $g$ từ điều kiện bài toán hay không. Việc chúng ta thu được sự phân chia toàn bộ chuỗi tự nhiên $N$ thành hai chuỗi tăng dần rời rạc là rõ ràng. Vẫn còn phải kiểm tra xem $g(k) = f(f(k)) + 1$. Hãy “mở rộng” cách đánh số ô màu đỏ cho toàn bộ mặt phẳng: mỗi ô của mặt phẳng $\{(x; y) : [x] = i, [y] = j\}$ sẽ được gán một số $i+j$ (số màu xanh trong Hình 2); trong trường hợp này, số lượng phân đoạn trên ong bắp cày trùng với số lượng ô chứa chúng.

Đối với $n$ tùy ý, chúng ta đánh dấu các điểm $K(n/\gamma; n)$ và $M(n/\gamma; n)$ giao điểm của đường $l$ với các đường $y = n$ và $x = n$ (Hình 3). Sau đó, ô bên trái chứa điểm $K$ được đánh số $f(n)$ và ô dưới cùng chứa điểm $M$ được đánh số $g(n)$. Chúng ta hãy lưu ý các hình chiếu $K'$ và $M'$ của các điểm $K$ và $M$ lên trục $y$. Lưu ý rằng $K'KM' = 45^\circ$ (nhớ Hình 1) nên các ô chứa điểm $K$ và $M'$ được đánh số $f(n)$. Do đó, tại điểm $M$ có đường $f(f(n))$ đi vào số ô $g(n)$, tức là $f(f(n)) + 1 = g(n)$.

*) N. N. Vorobyov “Số Fibonacci” (M., “Nauka”, 1978); G. S. M. Coxeter “Giới thiệu về hình học” (Moscow, “Nauka”, 1966), ch. “Tỷ lệ vàng và phyllotaxis”; A. D. Bendukdze “Phần vàng” («Kvant», 1973, số 8, trang 22).

30

Lưu ý rằng bổ đề này cũng đúng với mọi điểm $K$ trong không gian: nếu điểm $K$ nằm phía trên mặt phẳng vẽ 5 với khoảng cách $z$, tức là có tọa độ $(x; y; z)$, thì $2z^2$ sẽ được cộng vào cả hai vế của (1).

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh khẳng định $2^\circ$. Theo $1^\circ$, đỉnh $A_1, B_1$ Và $C_1$ song song - đỉnh thứ tư của đường thẳng/libs $PBA_1C$, $PCB_1A$ Và $PAC_1B$ (Hình 6) - nằm cách xa $\sqrt{2r^2-p^2}$ từ điểm $K$. Sử dụng nó một lần nữa $1^\circ$: đỉnh thứ tư $D$ trực tiếp/libnik $A_1CB_1D$, cái mà $|A_1K|^2 = |B_1K|^2 = 2r^2 - p^2$, $|CK|^2 = r^2$, là từ điểm $K$ ở một khoảng cách

$$\sqrt{2(2r^2-p^2)}-r^2 = \sqrt{3r^2-2p^2}.$$

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng đỉnh $D$ của hình bình hành nằm trên một hình cầu có tâm $K$ và bán kính $\sqrt{3r^2-2p^2}$. Tuy nhiên, như trong bất kỳ bài toán nào để tìm một tập hợp điểm, cần phải chứng minh điều ngược lại: rằng bất kỳ điểm nào của hình cầu này đều là đỉnh của một hình bình hành nhất định thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Tôi biết rất nhiều về điều này từ những độc giả đã gửi cho chúng tôi lời giải bài toán M539. Trong khi đó, ở đây chúng ta đưa ra một chứng minh rõ ràng cho mệnh đề ngược lại, nó không đơn giản như trong trường hợp mặt phẳng (ở đó, cho điểm $P$ và $D$, thật dễ dàng, bằng cách dựng một đường tròn có đường kính $[PD]$, tìm đỉnh $A$ và sử dụng $1^\circ$ để chứng minh rằng đỉnh thứ tư $C$ là thẳng $PADC$ nằm trên đường tròn đã cho). Có lẽ điều này là do trong không gian bài toán có nhiều quyền tự do hơn trong việc lựa chọn hình song song mong muốn: đối với các điểm $P$ và $D$ nhất định, có cả một nhóm chúng. (Tất nhiên, chúng tôi chỉ cần xây dựng một trong số chúng.)

Để chứng minh điều ngược lại, một số độc giả đã sử dụng phương pháp tọa độ, một số khác đã sử dụng thông báo liên tục. Ở đây chúng ta cũng sẽ bắt đầu với các quan sát hình học đã được thực hiện khi cố gắng giải bài toán này:

$$3^\circ. \text{Квадраты радиусов четырех сфера с центром } K, \text{ на коморых лежат точки } P; A, B \text{ и } C; A_1, B_1 \text{ и } C_1, D, \text{ образуют арифметическую прогрессию:}$$
$$p^2, r^2, 2r^2-p^2, 3r^2-2p^2.$$

Mẫu tương tự tồn tại trong phiên bản phẳng (mặc dù chỉ có ba thuật ngữ trong chương trình). Về vấn đề này, chúng tôi chỉ ra logic sau của tuyên bố được chứng minh:

Nếu có nhiều đường tròn đồng tâm, các bậc hai của chúng tạo thành một cấp số cộng,

31

Hình 8.

gressio, cắt một số đường tròn γ thì các dây chung (với γ) của các đường tròn này song song và cách nhau một khoảng như nhau (Hình 7).

Chúng ta sẽ bắt gặp một phiên bản không gian của tuyên bố này, trong đó thay vì hình tròn thì có hình cầu, cùng với dây cung thì có hình tròn, v.v. (nó thu được từ hình 7 phẳng bằng cách quay quanh trục đối xứng).

4°. Dễ dàng chứng minh rằng các mặt phẳng ABC và A₁B₁C₁ cắt đường chéo PD của hình song song tại các điểm lớn nhất M và M₁, chia nó thành ba đoạn giống hệt nhau: |PM| = |MM| = |M₁D| - và là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác ABC và A₁B₁C₁ (Hình 8). Trung điểm Q của đường chéo PD đóng vai trò là tâm đối xứng của hình bình hành.

5°. Để có được hình không gian 6 và 8, chúng tôi cũng chỉ ra các sự kiện sau:

Hình chiếu Q’ lên mặt phẳng ABC có tâm Q của hình song song bên phải rơi vào tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; hình chiếu P’ của đỉnh P của hình bình hành trùng với trực tâm của tam giác ABC (giao điểm của các đường cao). Từ đây và từ 4° dễ dàng suy ra định lý Euler: M∈[Q’P’] và |MQ’| : |MP’| = 2 (Hình 9) *). Theorel đã sẵn sàng cho sự kết thúc của lời giải bài toán M539.

Hãy |KP| = p và |DK| = √3r² - 2p²; Q là trung điểm của đoạn [PD], γ và γ₁ là các đường tròn có một hình cầu có đường kính [PD] cắt các hình cầu có bán kính r và √2r² - p² có tâm K (xem Hình 8). Theo 4°, các mặt phẳng của các vòng tròn này chia [PD] thành ba phần bằng nhau: [PM], [MM₁], [M₁D]. Lấy bất kỳ điểm A∈γ nào và ký hiệu là A₁ là điểm A₁∈γ₁ đối xứng với nó đối với Q.

Rõ ràng là PAD = PA₁D = 90°. Vẽ các mặt phẳng đi qua các điểm P và D vuông góc với các đoạn [PA] || [DA₁]. Điểm giao nhau của các mặt phẳng này với các đường tròn γ và γ₁ cho chúng ta các đỉnh của đường thẳng song song cần thiết (xem Hình 8): trên thực tế, trung điểm E và E₁ của các đoạn AD và A₁P (Hình 10, 11) nằm trong mặt phẳng của các đường tròn γ và γ₁ và đóng vai trò là tâm của các phần của hình cầu bằng các mặt phẳng được xây dựng; do đó, AC₁DB₁ và A₁CPB thẳng hàng.

N. Vasiliev

*) Đúng, cách chứng minh như vậy chỉ phù hợp với tam giác nhọn, vì chỉ tam giác đó mới có thể dùng làm tiết diện (ABC) cho hình bình hành vuông. Hãy xem xét liệu chứng minh này có thể được làm lại cho ΔABC tù hay không.

32

F547. Các tế bào quang học gồm các khối hình cầu plasma phát sáng bay chậm đều cho đến khi dừng lại có dạng sọc dài l. Chiều rộng dải tối đa d ≤ l. Khoảng cách giữa plasma và thấu kính máy ảnh là L, tiêu cự của thấu kính là F. Thời gian “phơi sáng” tối thiểu cần thiết để một hình ảnh xuất hiện trên bề mặt ảnh là t. Xác định gia tốc của các khối. Ống kính máy ảnh vẫn mở cho đến khi cục máu đông dừng hẳn.

F548. Sự nông phản ứng có khối lượng m chúng ta mô tả một khối lượng chết dọc theo một đường tròn thẳng đứng bán kính R với tốc độ tuyến tính không đổi v. Lực yêu cầu thực hiện bao nhiêu công khi di chuyển vận chuyển từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất? Hệ số chênh lệch giữa đường nông và đường bằng μ.

Hình 12.

Chiều rộng tối đa của dải rõ ràng được xác định bởi đường kính D của bó. Nếu Γ = |$\frac{F}{F-L}$| là độ phóng đại của máy ảnh thì D = $\frac{d}{Γ}$. Để tránh xuất hiện trên phim, vận tốc v của chùm cần phải sao cho trong thời gian t, chùm sẽ di chuyển một quãng đường không quá D. Nếu thời gian trôi qua từ lúc ảnh xuất hiện cho đến khi chùm ảnh dừng hẳn thì tại thời điểm ảnh xuất hiện, tốc độ của chùm là |v| = |a| t và thỏa mãn điều kiện

$$\frac{D}{|a| t} = \frac{d}{\Gamma |a| t} = \tau.$$ (1)

Cho đến khi cục máu đông dừng hẳn, nó sẽ che phủ khoảng cách

$$L = \frac{l}{\Gamma} = \frac{|a| t^2}{2}.$$ (2)

Từ phương trình (1) và (2) ta tìm được gia tốc của bó:

$$|\vec{a}| = \frac{d^2}{2\Gamma l\tau^2} = \frac{d^2}{2l\tau^2} \left| \frac{F-L}{F} \right|.$$

V. Seretsevich

Chúng ta hãy xem xét hai vị trí đối xứng của xe đẩy, trong đó vectơ bán kính của các điểm đặt xe tạo cùng một góc α với phương thẳng đứng (Hình 12). $\vec{N}_1$ và $\vec{N}_2$ là phản lực của mặt đường tại các vị trí này, $\vec{F}_{T1}$ và $\vec{F}_{T2}$ là lực kéo, $\vec{F}_{Tp1}$ và $\vec{F}_{Tp2}$ là lực ma sát. Vì xe trượt dọc đường nên $F_{Tp1} = \mu N_1$ và $F_{Tp2} = \mu N_2$ (ở đây là $N_1 = |\vec{N}_1|$, $F_{Tp1} = |\vec{F}_{Tp1}|$, v.v.).

Xe chuyển động tròn đều với vận tốc v; do đó, tổng hình chiếu của tất cả các lực tác dụng lên xe lên phương của bán kính bằng $mv^2/R$, tức là (xem Hình 12)

$$N_1 - mg \cos \alpha = mv^2/R, \quad N_2 + mg \cos \alpha = mv^2/R.$$

Từ đây

$$N_1 = (mv^2/R) + mg \cos \alpha, \quad N_2 = (mv^2/R) - mg \cos \alpha$$

Và

$$F_{Tp1} = \mu [(mv^2/R) + mg \cos \alpha], \quad F_{Tp2} = \mu [(mv^2/R) - mg \cos \alpha].$$

Khi vectơ bán kính quay một góc nhỏ Δα, tức là khi hình chiếu của xe nhỏ tại Δl = R Δα với ma sát mạnh $\vec{F}_{Tp1}$ và $\vec{F}_{Tp2}$, công $\Delta A_1 = F_{Tp1}R \Delta \alpha$ và $\Delta A_2 = F_{Tp2}R \Delta \alpha$ được thực hiện.

Tổng công của các lực $\vec{F}_{Tp1}$ và $\vec{F}_{Tp2}$ trong diện tích nhỏ Δl bằng $\Delta A = (F_{Tp1} + F_{Tp2})R \Delta \alpha = 2\mu mv^2 \Delta \alpha.$

Giá trị của ΔA không phụ thuộc vào α. Điều này có nghĩa là khi vectơ bán kính của xe quay một góc nhỏ Δα từ hai điểm đối xứng bất kỳ (tương tự I và 2), phép hợp nhất thực hiện công như nhau, tỷ lệ với Δα.

Việc di chuyển xe từ điểm dưới cùng của đường lên đỉnh tương ứng với sự thay đổi của α bằng π/2, nghĩa là ΣΔα = π/2. Do đó, công do lực ma sát thực hiện với hình chiếu như vậy bằng

$$A = \sum \Delta A = 2\mu mv^2 \Delta \alpha = \pi\mu mv^2.$$

O. Savigan

33

F549. Hai quả bóng có khối lượng $m_1$ và $m_2$ được nối với nhau bằng một lò xo có độ cứng $k$; lò xo được đặt đúng vị trí và không bị biến dạng. Các quả bóng đồng thời có tốc độ $\vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$, như trong Hình 13, với $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$.
Tìm độ cao cực đại của hệ và độ biến dạng cực đại của lò xo.

Hình 13.

Khối tâm của hệ (cm) sẽ chuyển động giống như một vật có khối lượng $M = m_1 + m_2$, được ném nghiêng một góc so với đường chân trời với xung lực ban đầu $\vec{p}_0$ bằng tổng các xung lực ban đầu của các quả bóng:

$$\vec{p}_0 = M \vec{u}_0 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$$

($\vec{u}_0$ là tốc độ ban đầu của tâm). Hình chiếu của xung $\vec{p}_0$ lên trục tung $OY$ bằng $m_2 v$, do đó hình chiếu của vận tốc ban đầu c. m. trên trục $OY$ bằng $u_y = m_2 v / M$. Điều này có nghĩa là độ cao cực đại của khối tâm của hệ bằng

$$H = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{v^2}{2g} \left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right)^2.$$

Bây giờ hãy tìm độ biến dạng lớn nhất của lò xo. Rõ ràng, tại thời điểm lò xo biến dạng lớn nhất, trong một hệ tọa độ chuyển động với vận tốc khối tâm của hệ thì các quả cầu chỉ có thể lăn quanh khối tâm. Điều này có nghĩa là năng lượng của hệ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng năng lượng $W_C$ của toàn bộ hệ và năng lượng bên trong, bằng tổng thế năng biến dạng của lò xo $kx^2 / 2$ (x là lượng biến dạng) và động năng quay của các quả bóng $W_K = 1 / 2 \left[ m_1 (\omega l_1)^2 + m_2 (\omega l_2)^2 \right]$, trong đó $\omega$ là vận tốc góc quay và $l_1$ và $l_2$ là khoảng cách từ các quả bóng tương ứng đến tâm wt.

Chúng ta biểu thị chiều dài của lò xo bằng $l$. Sau đó $l_1 = lm_2 / M$, $l_2 = lm_1 / M$, vậy

$$W_K = \frac{1}{2} \omega^2 l^2 \left( \frac{m_1 m_2^2}{M^2} + \frac{m_2 m_1^2}{M^2} \right) = \frac{1}{2} \omega^2 l^2 \frac{m_1 m_2}{M}.$$

Hãy tìm $\omega$. Từ định luật bảo toàn động lượng góc suy ra rằng

$$m_1 (\omega l_1) l_1 + m_2 (\omega l_2) l_2 = m_1 \omega_0 l_{10}^2 + m_2 \omega_0 l_{20}^2,$$

trong đó $l_{10}$ và $l_{20}$ là khoảng cách ban đầu từ quả bóng đến tâm khối, $\omega_0$ là vận tốc góc ban đầu. Hiển nhiên, nếu chiều dài ban đầu của lò xo là $l_0$ thì

$$l_{10} = l_0 m_2 / M, \quad l_{20} = l_0 m_1 / M.$$

Poznym chúng ta có thể viết

$$\left[ m_1 \left( \frac{m_2}{M} \right)^2 + m_2 \left( \frac{m_1}{M} \right)^2 \right] \omega l^2 = \left[ m_1 \left( \frac{m_2}{M} \right)^2 + m_2 \left( \frac{m_1}{M} \right)^2 \right] \omega_0 l_0^2.$$

Do đó $\omega = \omega_0 (l_0 / l)^2$. Để tìm $\omega_0$ cần tìm vận tốc ban đầu của các quả bóng $\vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$ ở tâm hệ khối lượng. Vì tốc độ của khối tâm tại thời điểm ban đầu bằng $\vec{u}_0 = \left( m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 \right) / M$ nên tốc độ của các quả bóng trong hệ khối tâm tương ứng với

$$\vec{v}_1 = \vec{v}_1 - \vec{u}_0 = \frac{m_2}{M} \left( \vec{v}_1 - \vec{v}_2 \right),$$

$$\vec{v}_2 = \vec{v}_2 - \vec{u}_0 = \frac{m_1}{M} \left( \vec{v}_2 - \vec{v}_1 \right).$$

Ví dụ, vận tốc góc $\omega_0$ của các quả bóng bằng hình chiếu của vận tốc $\vec{v}_0$ lên trục $OY$ chia cho $l_{20}$, tức là

$$\omega_0 = \frac{v m_1 / M}{l_{20}} = \frac{v}{l_0}.$$

34

Như vậy,

$$W_K = \frac{1}{2} \omega_0^2 l_0^2 \frac{m_1 m_2}{M} = \frac{v^2}{2} \frac{m_1 m_2}{M} = \frac{m_1 m_2}{2M} v^2.$$

Bây giờ chúng ta hãy sử dụng định luật bảo toàn năng lượng. Tổng năng lượng của hệ là

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{M v^2}{2}.$$

Bởi vì

$$\frac{M v^2}{2} = W_C + \frac{k x^2}{2} + W_K.$$

Nhưng, theo định luật bảo toàn năng lượng, đối với toàn bộ hệ thống

$$W_C = W_{co} = \frac{M u_0^2}{2} = \frac{M}{2} \left( \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{M} \right)^2.$$

Vì các vectơ $m_1 \vec{v}_1$ và $m_2 \vec{v}_2$ đã được phân phối lại cho nhau,

$$\left( m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 \right)^2 = m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2 = \left( m_1^2 + m_2^2 \right) v^2.$$

Bởi vì

$$W_C = \frac{m_1^2 + m_2^2}{2M} v^2,$$

và định luật bảo toàn năng lượng có thể viết lại thành

$$\frac{M v^2}{2} = \frac{m_1^2 + m_2^2}{2M} v^2 + \frac{k x^2}{2} + \frac{m_1 m_2 v^2}{2M}.$$

Từ đây

$$x = v \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k M}}.$$

I. Slobodetsky

Khoảng cách $h$ từ tâm vòng đệm nhôm đến đỉnh hình nón được xác định theo phương trình $\frac{h + a}{h} = \frac{R}{r}$ (Hình 14) và bằng $h = a \frac{r}{R - r} = 3$ (cm).

Khi được làm nóng, vòng đệm nhôm nở ra nhiều hơn diện tích hình nón mà nó tiếp xúc ($\beta_2 > \beta_1$) nên nó trượt xuống. Vòng đệm sắt “nêm” vào hình nón ($\beta_3 < \beta_1$) và trộn lẫn với phần hình nón giữ nó. Khi đun nóng, góc ở đỉnh hình nón không thay đổi. Khoảng cách mới $h'$ từ tâm vòng đệm nhôm đến đỉnh hình nón được xác định theo phương trình $\frac{h'}{h} = \frac{r'}{r}$ và bằng

$$h' = h \frac{r (1 + \beta_2 \Delta t)}{r} = h (1 + \beta_2 \Delta t).$$

Khi được làm nóng, khoảng cách giữa các vòng đệm tăng lên

$$\Delta a = \left( H' - h' \right) - a = a \beta_1 \Delta t - h \left( \beta_2 - \beta_1 \right) \Delta t \approx 0,16 \text{ (мм)}.$$

G. Komkin