Kvant 1982, số 4 · Trang

QUANTUM
4
1982

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

Hình vẽ cho thấy một nhóm các đường được vẽ bởi máy tính bằng phương trình tham số
$$x = F(t, u), y = G(t, u),$$
ở đâu $0 \leq t \leq 1$ và $0 \leq u \leq 1$. Khi $t$ thay đổi từ 0 thành 1, điểm có tọa độ $(x, y) = (F(t, 0), G(t, 0))$ (đầu bút trên máy vẽ) di chuyển dọc theo một đường nhất định, mô tả đường cong phía trên và điểm có tọa độ $(F(t, 1), G(t, 1))$ di chuyển dọc theo một đường khác (đường cong có hai vòng ở phía dưới). Bằng cách liên tục đưa ra các giá trị trung gian của tham số $u$ trả về từ 0 đến 1, máy tính đã vẽ 38 đường cong trung gian bằng bút mỏng hơn. Nói chung, bản vẽ sử dụng quá trình biến dạng đường này sang đường khác; bạn chỉ cần tưởng tượng rằng các đường cong thay đổi khi tham số $u$ thay đổi, không phải theo bước nhảy mà liên tục. Bạn có thể đọc về sự biến dạng đường đi trong bài viết “Định lý cơ bản của đại số” của L. Pontryagin được xuất bản trong số này.

Yu. kotov

2

Mùa xuân vũ trụ của nhân loại

Đối với tất cả chúng ta, tháng Tư đã bị hủy bỏ bởi hai sự kiện nổi bật - ngày sinh nhật của V.I. Lenin và chuyến bay có người lái đầu tiên vào vũ trụ. Vào ngày 12 tháng 4 năm 1961, tàu vũ trụ Vostok do Yu. A. Gagarin, đã thực hiện chuyến bay vào vũ trụ vào quỹ đạo đầu tiên trên thế giới, kéo dài 108 phút. 21 năm tách chúng ta ra khỏi sự kiện nổi bật này trong lịch sử loài người, và mỗi sự kiện đó đều bị hủy bỏ bởi những thành công đáng chú ý trên con đường vào vũ trụ.

Nước ta đã phóng hơn 1.300 vệ tinh nhân tạo trên Trái đất và vài chục tàu vũ trụ có người lái và tự động. Hướng chính trong việc phát triển nghiên cứu không gian trong những năm All-Misdes là thành lập các trạm khoa học quỹ đạo “Salyut”. Theo L.I. Brezhnev, “Khoa học Liên Xô coi việc tạo ra các trạm quỹ đạo với các phi hành đoàn luân phiên là con đường chính của con người vào không gian.”

Trạm khoa học quỹ đạo Salyut-6 đã hoạt động thành công trong không gian gần Trái đất trong hơn bốn năm. Ban đầu người ta cho rằng nó có thể hoạt động thành công trong một năm rưỡi. Tuy nhiên, cho đến nay khoảng thời gian này đã bị vượt quá gần ba lần. Thời gian của các thí nghiệm chính tại trạm Salyut-6 không ngừng tăng lên - 96, 140, 175, 185 ngày! Rekord cuối cùng thuộc về phi hành gia Leonid Ivanovich Popov và Valery Viktorovich Ryumin.

Tại trạm Salyut-6, lần đầu tiên các thiết bị khoa học phức tạp như điện thoại hạ milimet BST-1 và kính thiên văn vô tuyến KRT-10 với đường kính ăng-ten 10 m đã được thử nghiệm.

Thành tựu của du hành vũ trụ là tài sản của tất cả mọi người và góp phần củng cố hòa bình và phát triển tiến bộ. Vì vậy, nước ta sẽ đóng góp rất lớn vào sự phát triển hợp tác quốc tế trong lĩnh vực vũ trụ. Các phi hành gia đến từ Tiệp Khắc, Ba Lan, Cộng hòa Dân chủ Đức, Bulgaria, Hungary, Romania, Việt Nam, Cuba và Mông Cổ đã làm việc cùng với các phi hành gia Liên Xô trên Salyut-6. Quá trình chuẩn bị cho chuyến bay vào vũ trụ chung giữa Liên Xô và Pháp đang tiến triển thành công; Hợp tác Xô-Ấn trong lĩnh vực nghiên cứu vũ trụ đang phát triển.

Nghiên cứu vũ trụ của Liên Xô đang mở đường cho con người tạo ra các trạm quỹ đạo chuyên dụng được thiết kế để phát triển công nghệ vũ trụ sử dụng phương pháp không đồng phân và chân không sâu, cũng như các phòng thí nghiệm y tế và sinh học đặc biệt. Thậm chí, các trạm quỹ đạo nặng hơn và hoạt động lâu hơn với thiết bị khoa học tiên tiến phục vụ nhiều nghiên cứu vật lý thiên văn cũng sẽ xuất hiện. Sự phát triển của nền văn minh sẽ đòi hỏi phải tạo ra các cơ sở sản xuất không gian trên quỹ đạo, các nhà máy điện mạnh, các khu định cư khoa học quốc tế, chiếu sáng vệ tinh gần Trái đất nhất - Mặt trăng.

Không gian cũng đang chờ đợi bạn, những độc giả thân mến của chúng tôi. Nghề vũ trụ không hề dễ dàng; nó đòi hỏi sự đào tạo khoa học sâu sắc và chăm sóc sức khỏe hoàn hảo. Và bất cứ ai muốn thành thạo nó đều phải chuẩn bị cho việc này trong những năm đi học.

L. Pontryagin

Định lý cơ bản của đại số

Ở đây chúng ta sẽ chứng minh định lý cơ bản của đại số, trong đó phát biểu rằng mọi đa thức có hệ số phức đều có ít nhất một nghiệm phức.

Trong trường hợp này, số thực được coi là trường hợp đặc biệt của số phức. Định lý này lần đầu tiên được Gauss chứng minh vào năm 1799 cho trường hợp đặc biệt của đa thức có hệ số thực. Gauss đã chỉ ra rằng mọi đa thức đều có ít nhất một nghiệm thực hoặc nghiệm phức. Theo quan điểm của đại số trừu tượng hiện đại, định lý này cho thấy trường số phức đại số là đóng: điều này có nghĩa là khi xét nghiệm của các phương trình đại số (tức là nghiệm của đa thức) trong trường này, chúng ta không thể thu được các số mới.

Theo nghĩa này, trường số phức hoàn toàn khác với trường số thực, không đóng về mặt đại số.

Điều đáng chú ý là trường số phức được lấy từ trường số thực bằng cách chỉ cộng nghiệm của một phương trình $z^2+1=0$.

Chứng minh định lý cơ bản của đại số dựa trên các thông điệp từ đại số trừu tượng và trên việc xem xét cụ thể trường số phức. Chứng minh chặt chẽ của nó phải dựa trên định nghĩa chính xác của số thực và định nghĩa chính xác về tính liên tục của hàm số. Những gì tôi đang trình bày ở đây không phải là một bằng chứng chặt chẽ mà có tính thuyết phục về mặt hình học dựa trên việc xem xét các đường đi trong mặt phẳng của một biến phức và các biến dạng của chúng. Chứng minh điều này không chỉ chứng minh định lý mà ở một mức độ nào đó đòi hỏi tại sao nó đúng.

Theo hệ quả của định lý cơ bản của đại số, chúng ta sẽ chỉ ra cách xem xét một đa thức với các hệ số phức (đặc biệt là hệ số thực) trên một đa giác.

Đường đi trong mặt phẳng biến phức tạp

Nếu điểm $z$ trong mặt phẳng $P$ của một biến phức di chuyển theo thời gian khi thời gian $t$ thay đổi trong phạm vi $t_0 \leq t \leq t_1$, thì chúng ta coi rằng một đường đi đã cho trong mặt phẳng $P$ (Hình 1). Do đó, đường dẫn là hàm $z(t)$ của biến thực $t$, lấy các giá trị phức, được xác định trên khoảng $t_0 \leq t \leq t_1$, $z(t)$; $t_0 \leq t \leq t_1$.

Công thức này thiết lập đường dẫn. Ở đây chúng ta đang nói về chuyển động của một điểm, được thực hiện một cách tự nhiên, không cần lăn kim. Vậy hàm $z(t)$ là hàm liên tục. Chúng tôi không làm rõ khái niệm về tính liên tục ở đây, vì nó rõ ràng về mặt trực giác, giống như chuyển động của một điểm. Cần phải hiểu rõ ràng rằng con đường là một quá trình

Hình 1

4

chuyển động chứ không phải đường mà điểm chuyển động mô tả. Tuy nhiên, cùng một dòng có thể được mô tả theo những cách khác nhau.

Trong quá trình chuyển động, điểm $z(t)$ tại những thời điểm khác nhau có thể cùng rơi vào một điểm trên mặt phẳng nên không loại trừ đẳng thức

$$z(t_2) = z(t_3)$$ tại $t_2 \neq t_3$.

Vì vậy, để có thể có giao lộ tự. Nó thậm chí có thể bao gồm một điểm, chính xác là trong trường hợp điểm $z(t)$ không di chuyển chút nào khi $t$ thay đổi.

Trong phần tiếp theo, trừ khi điều này được nêu cụ thể, chúng ta sẽ luôn giả sử rằng let không đi qua gốc tọa độ, nghĩa là đại lượng $z(t)$ không biến mất đối với bất kỳ giá trị nào $t$.

Điểm $z(t_0) = z_0$ được gọi là điểm bắt đầu của đường dẫn và điểm $z(t_1) = z_1$ là điểm kết thúc của đường dẫn đó.

Nếu đẳng thức $z_0 = z_1$ giữ nguyên thì gọi nó là đóng (Hình 2).

Vì số phức $z(t)$ không biến mất nên với bất kỳ giá trị $t$ nào, đối số $\varphi(t)$ được xác định là số phức $z(t)$; nhưng nó chỉ được định nghĩa theo thuật ngữ $2k\pi$. Sự mơ hồ này là điều chúng tôi không mong muốn. Để loại bỏ nó, chúng ta sẽ chọn một đối số được xác định rõ ràng $\varphi_0 = \varphi(t_0)$ cho điểm bắt đầu $z_0$.

Sau đó, khi $t$ tăng lên, chúng ta sẽ chọn đối số $\varphi(t)$ của điểm $z(t)$ sao cho với những thay đổi nhỏ $t$ thì nó sẽ thay đổi ít. Sự mơ hồ về lựa chọn đối số này sẽ bị loại bỏ. Việc thêm số $2k\pi$ vào đối số tại $k \neq 0$ sẽ ngay lập tức dẫn đến sự thay đổi mạnh về giá trị $\varphi(t)$. Bằng cách chọn giá trị ban đầu của đối số $\varphi(t_0) = \varphi_0$ và đảm bảo rằng đối số $\varphi(t)$ của điểm $z(t)$ thay đổi liên tục cùng với $t$, chúng ta thu được một hàm được xác định rõ ràng $\varphi(t)$, thay đổi liên tục, nghĩa là không có bước nhảy. Nếu bạn chọn giá trị ban đầu của đối số $\varphi_0$ khác, thay đổi nó thành $2k\pi$, thì nó sẽ khác với giá trị được chọn trước đó chính xác $2k\pi$ trong suốt quá trình thay đổi $t$. Theo đó, với phương pháp xây dựng hàm $\varphi(t)$ này, giá trị

$$\varphi(t_1) - \varphi(t_0)$$

không phụ thuộc vào giá trị ban đầu được chọn ngẫu nhiên của đối số của số $z_0$.

Nếu để đóng thì điểm $z_0$ và $z_1$ trùng nhau và do đó, đối số của chúng $\varphi(t_0)$ và $\varphi(t_1)$ chỉ có thể khác nhau $2k\pi$. Do đó, số (1) trong trường hợp đường dẫn kín là $2k\pi$. Số nguyên $k$ được gọi là chỉ số của một đường dẫn khép kín trong mặt phẳng của số nguyên phức $z$. Cần nhấn mạnh một lần nữa rằng chỉ số của một đường dẫn khép kín chỉ có thể được xác định nếu nó không đi qua gốc tọa độ.

Chỉ số $k$ có ý nghĩa hình học đơn giản. Cụ thể, nó cho biết số lần điểm $z(t)$, mô tả một đường dẫn khép kín, đi xung quanh gốc tọa độ (Hình 3).

Hãy xem xét một ví dụ đơn giản. Giả sử $1 + r(\cos t + i \sin t); 0 \leq t \leq 2\pi$ đóng lại. Nó mô tả một đường tròn có tâm tại điểm 1 và bán kính $r$ và vượt qua đường tròn

5

theo thời gian $t$ đều ngược chiều kim đồng hồ. Nếu số $r$ nhỏ hơn 1 thì đường tròn không chứa điểm gốc và chỉ số đường dẫn là 0. Nếu $r > 1$ thì đường tròn chứa điểm gốc và chỉ số đường dẫn là 1 (bạn hãy tự kiểm tra điều này). Trong trường hợp $r = 1$, để nó đi qua gốc tọa độ và chỉ số của nó không được xác định. Nếu số $r$ nhỏ hơn 2, như đã nêu, thì biến dạng của một đường khép kín không làm thay đổi chỉ số của nó, trừ khi tại một điểm nào đó biến dạng đi qua gốc tọa độ.

Bằng cách nói rằng hãy để nó được mô tả bằng chuyển động của một thời điểm, chúng tôi chỉ muốn làm cho định nghĩa về đường đi trở nên trực quan hơn. Trong thực tế, chúng ta đang nói về sự phụ thuộc của biến phức $z$ vào một số tham số hành động $t$ (có thể được biểu thị bằng một chữ cái khác). Vì vậy, ví dụ: giả sử (2) được viết dưới dạng $1 + r(\cos \alpha + i \sin \alpha); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,$ (3) trong đó tham số không còn là $t$ mà là $\alpha$. Rõ ràng rằng giả sử (3) được mô tả bởi điểm $1 + z$, khi điểm $z$ mô tả let

$$r(\cos \alpha + i \sin \alpha); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi.$$

Ở đây $r$ là một tham số số mà chính nó phụ thuộc vào. Nói rằng khi $r$ thay đổi thì cho (3) biến dạng.

Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm về biến dạng đường dẫn. Giả sử rằng biến dạng, nếu nó thay đổi dần dần

$$r( \cos \alpha + i \sin \alpha ); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi.$$

Hình 4.

Biến dạng đường đi 1+r(cosα+i sinα) khi thay đổi $r$

Hình 5.

6

thành 2π, đối số điểm $z^n$ thay đổi từ 0 thành $2n\pi$. Do đó, chỉ số của đường dẫn (5) bằng $n$ (xem Hình 6, minh họa sơ đồ trường hợp $n=3$).

Hàm phức của biến phức

Nếu giá trị số của một biến phức $w$ có thể được tìm thấy bằng cách biết giá trị số của một biến phức khác $z$, thì biến $w$ được gọi là hàm của biến $z$, được viết dưới dạng

$$w = f(z).$$

Nếu hàm phức $f(z)$ của biến phức $z$ là tùy ý thì nó được gọi là hàm phân tích. Lý thuyết về hàm giải tích hiện nay là một trong những nhánh quan trọng nhất của toán học. Ở đây chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến các hàm giải tích thuộc một loại rất cụ thể, cụ thể là đa thức.

Xét đa thức

$$w = f(z) = z^n + a_1 z^{(n-1)} + \dots + a_{(n-1)} z + a_n,$$

trong đó $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các hệ số phức và $n$ là số nguyên không âm được gọi là bậc của đa thức. Mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi là chứng minh rằng đa thức (6) bậc dương có nghiệm, tức là phương trình

$$f(z) = 0,$$

trong đó $f(z)$ là đa thức (6) và $n > 0$ có lời giải. Để chứng minh điều này ta xét đường đi khép kín

$$f(r(\cos \alpha + i \sin \alpha)); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,$$

điểm $f(z)$ mô tả khi điểm $z$ mô tả một đường dẫn đã đóng

$$r(\cos \alpha + i \sin \alpha); 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi.$$

Trường hợp số hạng tự do $a_n$ của đa thức $f(z)$ bằng 0 thì không cần xét đến, vì trong trường hợp này đa thức $f(z)$ có ​​nghiệm rất mạnh $z = 0$. Vì vậy, chúng tôi sẽ giả sử rằng $a_n \neq 0$. Đường dẫn kín (7) phụ thuộc vào tham số $r$ và khi tham số $r$ thay đổi, nó sẽ bị biến dạng. Tại $r = 0$, số $z$ là 0 và đường dẫn $f(z)$ bao gồm điểm cố định $a_n$. Do đó, chỉ số của nó tại $r = 0$ là 0. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu lấy $r$ đủ lớn thì chỉ số của đường dẫn (7) là $n$. Nhưng theo giả định $n \neq 0$, do đó, khi các số $r$ thay đổi từ giá trị lớn thành 0, đường dẫn (7) bị biến dạng, đi qua gốc tọa độ ở một giá trị $r$ nào đó, và điều này có nghĩa là ở một giá trị nào đó $z$ hàm $f(z)$ sẽ tiến về 0, tức là nghiệm của đa thức này tồn tại (Hình 7).

Để chứng minh rằng với một $r$ đủ lớn, đường dẫn đóng (7) có chỉ số bằng $n$, chúng ta tiếp tục đường dẫn này thành một đường dẫn đơn giản hơn, chỉ số của nó dễ tính toán.

Trước hết, chúng ta sẽ phân tích đa thức $f$ thành tổng của hai

$$f(z) = z^n + g(z),$$

trong đó $g(z)$ được cho bởi

$$g(z) = a_1 z^{n-1} + a_2 z^{n-2} + \dots + a_{n-1} z + a_n.$$

Đa thức $g(z)$ là các số được xác định rõ ràng, khi đó tất cả chúng đều không vượt quá modulo một số hằng số $C$. Từ bất đẳng thức (8) đã được chứng minh trong bài viết trước (xem «Kvant», 1982, Số 3), mở rộng đến một số số hạng tùy ý, suy ra điều đó cho $|z| > 1$

$$|g(z)| \leqslant nC|z^{n-1}|.$$

Xét đa thức $f(z, s)$, phụ thuộc vào tham số $s$, $0 \leqslant s \leqslant 1$, cho bởi công thức sau:

$$f(z, s) = z^n + sg(z).$$

Chúng ta có sự bình đẳng

$$z^n = f(z, s) - sg(z),$$

Ở đâu

$$|z^n| \leqslant |f(z, s)| + |-sg(z)| \leqslant |f(z, s)| + nC|z^{n-1}| \leqslant |f(z, s)| + nC|z^{n-1}|,$$

7

Hình 7.

(xem (8)). Nó theo sau
$$|f(z, s)| \geq |z^n| - nC |z^{n-1}|.$$

Chúng ta biểu thị $|z|$ bằng $r$, khi đó bất đẳng thức cuối cùng có dạng
$$|f(z, s)| \geq r^n - nCr^{n-1} = r^{n-1}(r - Cn).$$

Do đó, tại $r > Cn$ phần bên phải của bất đẳng thức trước là dương. Do đó, mô hình của hàm $f(z, s)$ không biến mất đối với bất kỳ giá trị nào của $S$ trừ khi $0 \leq s \leq 1$.

Bây giờ chúng ta hãy chú ý đến thực tế là tại $s = 0$ đa thức $f(z, s)$ biến thành đa thức $z^n$ mà chúng ta đã biết. Và chỉ số đường dẫn $z^n$, khi $z$ mô tả vòng tròn $r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$, đã được chúng tôi tính toán (xem (5)). Nó bằng $n$. Tại $s = 1$ đa thức $f(z, s)$ biến thành đa thức $f(z)$ và đường đi (7) được xác định bởi nó có chỉ số cũng bằng $n$. Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng chỉ số đường dẫn (7), được xác định bởi đa thức $f(z)$, tại $r > Cn$ bằng $n$. Từ đó, như đã nêu ở trên, suy ra rằng đa thức $f(z)$ biến mất ở một giá trị nào đó $z$, trong đó $|z| < Cn$.

Vậy định lý cơ bản của đại số đã được chứng minh.

Chia đa thức

Khi chia số nguyên dương $a$ cho số nguyên dương $b$ ta thu được đẳng thức
$$a = bh + k,$$
trong đó $h$ và $k$ là số nguyên không âm và $k < b$. Số $h$ gọi là thương, $k$ là số dư khi chia số $a$ cho số $b$.

Một phương pháp chia số là tốt từ số học. Nhưng cũng giống như số nguyên, các đa thức cũng có thể chia được cho nhau. Chúng ta sẽ bắt đầu từ hai đa thức
$$a(z) = a_0 z^p + a_1 z^{p-1} + \dots + a_p,$$
$$b(z) = b_0 z^q + b_1 z^{q-1} + \dots + b_q.$$

Ở đây chúng ta sẽ giả sử rằng các số $a_0$ và $b_0$ không bằng 0, do đó đa thức $a(z)$ có ​​bậc $p$ và đa thức $b(z)$ có bậc $q$. Bằng cách chia đa thức $a(z)$ cho đa thức $b(z)$, chúng ta có thể đạt được đẳng thức sau, tương tự như đẳng thức (9):
$$a(z) = b(z)h(z) + k(z),$$
(10)

trong đó bậc của đa thức $k(z)$ nhỏ hơn $q$. Đa thức $h(z)$ và $k(z)$ lần lượt được gọi là thương và số dư khi chia đa thức $a(z)$ cho đa thức $b(z)$.

Nếu $k(z) = 0$ thì đa thức $a(z)$ được cho là chia hết cho đa thức $b(z)$ và $h(z)$ là thương của phép chia của chúng.

Đẳng thức (9) được chứng minh bằng số học và đẳng thức (10) phải được chứng minh bằng đại số. Nhưng phép chia đa thức không được đưa vào chương trình giảng dạy ở trường hiện nay. Để chứng minh (10), chúng ta phải xây dựng các đa thức $h(z)$ và $k(z)$ thỏa mãn đẳng thức này. Quá trình xây dựng này là một thuật toán rất quan trọng. Hãy mô tả nó.

Nếu $p < q$ thì $h(z) = 0$, $k(z) = a(z)$ và đẳng thức (10) được thỏa mãn.

Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng các đa thức $h(z)$ và $k(z)$ với giả định rằng $p \geq q$. Đầu tiên chúng ta xây dựng đẳng thức
$$a(z) = b(z)h_1(z) + a_1(z),$$
(11)
trong đó xây dựng đa thức $a_1(z)$ nhỏ hơn $p$. Để làm điều này, hãy đặt
$$h_1(z) = \frac{a_0}{b_0}z^{(p-q)}.$$

Thế thì sự khác biệt
$$a(z) - b(z)h_1(z) = a_1(z)$$
có bậc nhỏ hơn $p$, vì trong đa thức này hệ số $z^p$ bằng 0 và các bậc còn lại $z$ có ​​trong đa thức này rất nhỏ hơn $p$. Do đó, đẳng thức (11) được xây dựng.

8

Nếu đa thức $a_1(z)$ có bậc nhỏ hơn $q$ thì đẳng thức (11) đã là đẳng thức (10). Trong trường hợp ngược lại, chúng ta áp dụng cho đa thức $a_1(z)$ quy trình tương tự đã được áp dụng cho đa thức $a(z)$ khi xây dựng đẳng thức (11). Và sau đó chúng ta có được sự bình đẳng cho nó

$$a_1(z) = b(z)h_2(z) + a_2(z),$$

và bậc của đa thức $a_2(z)$ đã nhỏ hơn bậc của đa thức $a_1(z)$. Nếu đa thức $a_2(z)$ đã có bậc nhỏ hơn $q$, thì thay $a_1(z)$ từ đẳng thức cuối cùng vào đẳng thức (11), chúng ta nhận được

$$a(z) = b(z)(h_1(z) + h_2(z)) + a_2(z),$$

đó đã là sự bình đẳng (10). Nếu đa thức $a_2(z)$ cũng có bậc lớn hơn $q$, thì chúng ta sẽ tiếp tục xây dựng thêm và cuối cùng chúng ta sẽ chứng minh được đẳng thức mong muốn (10).

Ở đây chúng ta đã mô tả quá trình chia đa thức $a(z)$ cho đa thức $b(z)$, tức là tìm các đa thức $h(z)$ và $k(z)$ có trong đẳng thức (10). Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng chúng được xác định duy nhất bởi các đa thức $a(z)$ và $b(z)$. Giả sử rằng nếu chúng ta vi phạm đẳng thức (10), chúng ta có đẳng thức

$$a(z) = b(z)h_0(z) + k_0(z),$$

và bậc của đa thức $k_0(z)$ nhỏ hơn $q$. Trừ đẳng thức (12) khỏi đẳng thức (10), ta thu được

$$b(z)(h(z) - h_0(z)) = k_0(z) - k(z).$$

Vì bậc của đa thức $b(z)$ bằng $q$ và bậc của đa thức $k_0(z) - k(z)$ nhỏ hơn $q$ nên đẳng thức cuối cùng chỉ có thể đúng với điều kiện $h(z) - h_0(z) = 0$, sao cho $k(z) - k_0(z) = 0$.

Đa thức có hệ số phức tùy ý

Bây giờ, theo định lý cơ bản của đại số, nghiệm của đa thức $f(z)$ với hệ số phức sẽ được ký hiệu là $z_1$. Hãy chứng minh rằng đa thức $f(z)$ chia hết cho hai biến $(z - z_1)$. Bằng cách chia đa thức $f(z)$ cho đa thức bậc một $(z - z_1)$ theo các quy tắc được mô tả trong phần trước, chúng ta thu được thương số, được biểu thị bằng $f_1(z)$ và một phần còn lại ở dạng đa thức bậc 0, tức là một số mà chúng ta biểu thị bằng $k$. Như vậy chúng ta có

$$f(z) = f_1(z)(z - z_1) + k.$$

Vì $f(z_1) = 0$, sau đó thay $z = z_1$ vào đẳng thức trước đó, chúng ta thu được $k = 0$.

Vậy đa thức $f(z)$ được chia cho $(z - z_1)$ và ta có

$$f(z) = (z - z_1)f_1(z),$$

trong đó $f_1(z)$ là đa thức bậc $n-1$, hiển nhiên bắt đầu bằng số hạng $z^{n-1}$. Nếu $n > 1$ thì $n-1 > 0$; thì đa thức $f_1(z)$ sẽ có bậc dương và, theo những gì đã được chứng minh trước đó, có nghiệm $z_2$ nào đó. Như vậy, theo điều vừa chứng minh, đa thức $f_1(z)$ được chia thành đa thức

$$f_1(z) = (z - z_2)f_2(z).$$

(13)

Tiếp tục quá trình này hơn nữa, chúng ta thu được sự phân tách $f(z)$ thành $n$ đa thức tuyến tính

$$f(z) = (z - z_1)(z - z_2) \dots (z - z_n).$$

Các số $z_1, z_2, \dots, z_n$ là nghiệm của đa thức $f(z)$, và đa thức $f(z)$ rõ ràng không có nghiệm nào khác. Tuy nhiên, có thể cùng một gốc xuất hiện nhiều lần trong bản mở rộng này. Nhóm các nghiệm bằng nhau, ta thu được phân tích

$$f(z) = (z - z_1)^{k_1}(z - z_2)^{k_2} \dots (z - z_q)^{k_q},$$

trong đó tất cả các gốc $z_1, z_2, \dots, z_q$ đều khác biệt. Số $k_1$ được gọi là bội số của căn $z_1$, số $k_2$ là bội số của căn $z_2$, v.v., số $k_q$ là bội số của căn $z_q$. Do đó, số nghiệm khác nhau của đa thức $f(z)$ có thể nhỏ hơn $n$. Tuy nhiên, nếu chúng ta tính đến bội số của mỗi nghiệm thì tổng của các bội số chính xác là $n$. Theo nghĩa này, đa thức $f(z)$ có chính xác nghiệm $n$.

Đa thức có hệ số thực

Bây giờ chúng ta hãy xem xét trường hợp tất cả các hệ số của đa thức $f(z)$ đều là số thực. Về cội nguồn

9

mà đa thức có thể biểu diễn một số thang đo thông điệp bổ sung thú vị.

Để xem xét một đa thức có hệ số thực, chúng tôi đưa ra khái niệm số $\bar{z}$, liên hợp phức của một số phức cho trước $z$. Chính xác nếu
$$z = x + iy,$$
thì theo định nghĩa, số
$$\bar{z} = x - iy$$
(14)

được gọi là liên hợp phức của $z$. Do đó, số $\bar{z}$, liên hợp phức với số $z$, là ảnh phản chiếu của số $z$ so với trục của số thực.

Nếu như
$$z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha),$$
Cái đó
$$\bar{z} = r(\cos \alpha - i \sin \alpha) = r(\cos (-\alpha) + i \sin (-\alpha)).$$
(15)

Như vậy, các đối số của hai số liên hợp phức chỉ khác nhau về dấu. Từ công thức (14) suy ra rằng
$$\bar{z}_1 + \bar{z}_2 = \bar{z}_1 + \bar{z}_2.$$
Từ công thức (15) suy ra rằng
$$\bar{z}_1 \bar{z}_2 = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2.$$
Cũng lưu ý rằng đẳng thức
$$\bar{z} = z$$
giữ khi và chỉ khi $z$ là số thực.

Từ ba công thức trước, dễ dàng thấy rằng đối với đa thức $f(z)$ có hệ số thực thì đẳng thức đúng
$$\bar{f}(\bar{z}) = f(\bar{z}).$$
Từ đẳng thức này, suy ra rằng nếu $z_1$ là nghiệm của đa thức $f(z)$ với các hệ số thực thì $\bar{z}_1$ cũng là nghiệm của nó. Nếu $z_1$ là số thực thì câu này vô nghĩa. Nếu $z_1$ không phải là số thực thì câu lệnh biểu thị sự tồn tại, cùng với nghiệm $z_1$, của một nghiệm khác $\bar{z}_1$. Do đó, nếu $z_1$ không phải là số thực thì đa thức $f_1(z)$ (xem (13)) có ước số $(z - \bar{z}_1)$ và ta thu được phân tích nhân tử

$$f(z) = (z - z_1)(z - \bar{z}_1)f_2(z).$$
Polyaga trong sự bình đẳng này
$$z_1 = x_1 + iy_1,$$
chúng tôi nhận được
$$f(z) = (z^2 - 2x_1z + x_1^2 + y_1^2)f_2(z).$$

Như vậy, chúng ta đã thấy rằng đa thức $f(z)$ có thừa số bậc hai thực sự $z^2 - 2x_1z + x_1^2 + y_1^2$. Theo đó, đa thức $f_2(z)$ cũng là đa thức có hệ số thực, vì nó thu được bằng cách chia đa thức $f(z)$ cho một tam thức bậc hai thực. Do đó, đa thức $f_2(z)$ này có nghiệm phức và lại liên hợp theo cặp. Nếu anh ta tìm thấy một nghiệm bằng với nghiệm đã tìm thấy $z_1$ thì anh ta cũng sẽ tìm thấy một nghiệm $\bar{z}_1$. Do đó, trong trường hợp này, một thừa số bậc hai được trích từ đa thức $f_2(z)$, bằng hệ số bậc hai trước đó. Từ đó, rõ ràng rằng bội số của nghiệm phức của đa thức $f(z)$ với các hệ số thực bằng bội số của nghiệm thức liên hợp và ta thu được phép phân tích đa thức $f(z)$ thành thừa số thực:

$$f(z) = (z^2 - 2x_1z + x_1^2 + y_1^2)^{k_1} \dots (z^2 - 2x_pz + x_p^2 + y_p^2)^{k_p} \times (z - z_{p+1})^{k_{p+1}} \dots (z - z_q)^{k_q}.$$

Lưu ý rằng các thừa số bậc hai có dạng
$$z^2 - 2x_i z + x_i^2 + y_i^2, \quad i = 1, 2, \dots, p,$$
trong đó tất cả $y_i$ đều không bằng 0, không thể phân tích thành thừa số thực được nữa.

11

toàn bộ khối lượng của một nguyên tử. Và kích thước của hạt nhân nhỏ hơn một trăm nghìn lần (!) so với kích thước của đám mây điện tử.

Giờ đây, tất cả sự tập trung của các nhà nghiên cứu đều tập trung vào bước tiếp theo - hiểu được lõi được làm bằng gì. Và một lần nữa các hạt α lại ra tay giải cứu. Rutherford và các đồng nghiệp của ông cho chúng tiếp xúc với nitơ và các loại khí nhẹ khác và quan sát sự phân hạch của hạt nhân. Đồng thời, hạt nhân hydro - proton, như sau này Rutherford gọi chúng - bay ra khỏi chúng. Các công trình đầu tiên về phản ứng phân hạch hạt nhân được xuất bản vào năm 1919, và trong đó các nhà khoa học đã kết luận rằng proton là một phần cấu trúc của hạt nhân nặng hơn.

Một năm sau, Rutherford có một bài giảng trong đó ông mô tả cách ông tưởng tượng ra cấu trúc của lõi. Theo Rutherford, hạt nhân phức tạp hơn hydro nên bao gồm các proton và electron tích điện dương. Có những lý do chính đáng cho giả định này. Sự hiện diện của proton đã được xác nhận bằng các thí nghiệm của chính Rutherford. Sự tồn tại của các electron có vẻ tự nhiên vì chúng được phát ra từ hạt nhân trong quá trình phân rã beta. Cuối cùng, giả thuyết này đã giúp giải thích dữ liệu được tích lũy vào thời điểm đó về sự tương ứng giữa khối lượng và điện tích của hạt nhân. Do đó, điện tích của hạt nhân helium gấp đôi điện tích của proton và khối lượng lớn gấp bốn lần khối lượng của hạt nhân hydro. Đối với carbon, các tương ứng này lần lượt là 6 và 12, v.v.

Giả định của Rutherford đã giải thích mọi thứ:

Yếu tố
Hydro
Heli
…
Cacbon
…

Thành phần hạt nhân
p (proton)
4p+2e−
…
16p+6e−
…

Phí lõi (Z)
+1
+2
…
+6
…

Khối lượng lõi tương đối (A)
~1
~4
…
~12
…

Giả thuyết này khá logic (nó đã tồn tại trước đó), bởi vì

(cùng điện tích hạt nhân!). Hoặc có thể có hạt nhân của một proton và một electron

13

hạt có khối lượng gần bằng khối lượng proton.

Julnot-Curie sau đó đã nói:

“Hầu hết các nhà vật lý, trong đó có chúng tôi, không quan tâm đến giả thuyết của Rutherforad. Nhưng cô ấy vẫn lang thang dưới mái vòm của tòa nhà phòng thí nghiệm Cavendish, nơi Chadwick làm việc, và khá tự nhiên và công bằng khi điểm cuối cùng trong việc khám phá neutron được đặt ở đây. Những ý tưởng từng được các giáo viên của chúng tôi - cả người sống và những người đã học từ chúng tôi - được ghi nhớ và lãng quên nhiều lần trong phòng thí nghiệm của họ, thâm nhập một cách có ý thức hoặc tiềm thức vào suy nghĩ của những người thường xuyên có mặt ở đó. đã làm.”

Bạn có thể đọc về các thí nghiệm trong đó neutron được phát hiện và tại sao nó lại trở thành một hạt hoàn toàn “độc lập”, chứ không chỉ là sự kết hợp giữa proton và electron, trong bài báo “Khám phá neutron” của L. Tarasov, được xuất bản trên «Kvant» Số 5 năm 1979. Chúng ta cần lưu ý rằng vào năm 1935, James Chadwick đã trở thành người đoạt giải Nobel về vật lý và ngay lập tức chứng minh được sự tồn tại của neutron đã thu hút sự chú ý của mọi người. Rõ ràng là hạt nhân bao gồm neutron và proton và những hạt này phải được hợp nhất bởi một loại lực mới, vẫn chưa được biết đến. Đây là cách mà khái niệm tương tác “hạt nhân” hay “mạnh” ra đời.

Dự đoán của Rutherforad rằng neutron trở thành công cụ nghiên cứu xuất sắc thâm nhập sâu vào hạt nhân cũng đã trở thành sự thật. Nhiều phòng thí nghiệm trên khắp thế giới bắt đầu bắn phá vật chất bằng neutron và thu được những kết quả thú vị.

Hãy phá vỡ trình tự thời gian một chút và bây giờ chuyển sang khám phá một hạt khác. Trong số các nguyên tố đã được biết đến của các hạt - photon (lượng tử bức xạ điện từ), electron, neutrino rất quan trọng (nhưng đã được dự đoán) và cuối cùng là neutron - một hiện tượng đáng kinh ngạc khác đã nảy sinh.

Về những khám phá “tình cờ”

Người ta thường nói rằng positron được phát hiện một cách tình cờ. Viết như thế này đã trở thành gần như truyền thống. Thật vậy, Carl Anderson, người thực hiện khám phá này, đã tiến hành các thí nghiệm “mục đích là đo quang phổ năng lượng của các electron được tạo ra trong khí quyển và trong các vật liệu do bức xạ đến từ không gian”. Không có cuộc thảo luận nào về bất kỳ positron nào.

Tuy nhiên, bất kỳ khám phá vật lý nào, dù độc đáo và bất ngờ đến đâu, luôn chỉ là một mắt xích trong chuỗi vô tận những thành công và sai lầm của khoa học. Và một ví dụ về điều này là việc phát hiện ra positron. Chúng ta sẽ chỉ nói về một số mắt xích trong chuỗi dẫn đến mục tiêu.

Về những nghiên cứu đầu tiên về tia vũ trụ.

Về thiết bị mà khám phá được thực hiện.

Về công trình của nhà vật lý Liên Xô D.V. Skovelsyn.

Và tất nhiên, về lời tiên đoán về sự tồn tại của positron - xét cho cùng, năm 1932 là năm của những lời tiên đoán được ứng nghiệm!

Tia vũ trụ (1901–1927)

Chắc hẳn mọi người đều quen thuộc với thiết bị của trường học - thìa điện. Nếu bạn sạc nó, những chiếc lá sẽ rơi ra theo thời gian và điều này xảy ra cho dù chân đế có được cách nhiệt tốt đến đâu và cho dù vỏ có được bọc kín nhiệt đến đâu. Một sự lựa chọn tự nhiên nảy sinh rằng trong những gì nảy sinh giữa các phân tử trung tính luôn có các hạt mang điện. Mặc dù không khí là chất dẫn điện kém nhưng máy ép trái cây điện vẫn bị xả điện. Nguồn gốc của ethion là gì? Nỗ lực trả lời câu hỏi này đóng một vai trò quan trọng trong việc phát hiện ra bức xạ vũ trụ.

14

Vào đầu thế kỷ của chúng ta, sau khi phát hiện ra chất phóng xạ, tình hình dường như đã tốt hơn. Một lượng đáng kể các nguyên tố phóng xạ luôn hiện diện trong đất, trong các bức tường của tòa nhà, trong vật liệu và cuối cùng là trong chính những người thí nghiệm. Khí phóng xạ đi vào khí quyển (mặc dù chúng phân hủy nhanh chóng). Bức xạ này đến từ mọi nơi “phá vỡ” các phân tử và dẫn đến ngộ độc không khí.

Công nghệ thực nghiệm đã được cải tiến; những dụng cụ tương đối đơn giản đã được thay thế bằng những dụng cụ phức tạp - máy đo điện tử, có thể tiêu thụ thậm chí vài chục ion trên một cm khối không khí. Để tăng thêm độ nhạy của máy đo điện tử và loại bỏ phông nền bên ngoài, chúng được bao quanh bởi một lớp chì có tác dụng hấp thụ bức xạ bên ngoài và giữ trong vài ngày để khí phóng xạ bên trong thiết bị phân hủy. Tuy nhiên, hiện tại đã phóng điện. Người ta đưa ra giả thuyết rằng bức xạ năng lượng từ đá của trái đất xuyên qua chì. Và kể từ đầu thế kỷ của chúng ta được đánh dấu bằng những thành công đáng kinh ngạc về tác động của bức xạ, tại sao không nâng nó lên trên bề mặt Trái đất và từ đó di chuyển ra khỏi bức xạ của nó? Và thế là nó đã được thực hiện. Đầu tiên chúng tôi thử sử dụng Tháp Eiffel (300 m), sau đó, vào năm 1909-10, K. Haeckel đã leo lên độ cao khoảng 4 km bằng khinh khí cầu. Những phép đo chính xác nhất vào thời điểm đó được thực hiện bởi V. Hess. Theo dữ liệu của ông, dòng điện phóng ban đầu giảm và sau đó tăng nhanh; ở độ cao 5 km, nó đã lớn gấp ba lần so với bề mặt Trái đất. Hex đề xuất rằng có bức xạ xuyên thấu, nếu không thì từ phía trên và bị suy giảm bởi khí quyển.

Vào năm 1922-26, công trình được thực hiện bởi một nhóm các nhà vật lý người Mỹ dưới sự lãnh đạo của R. Millikan về ảnh hưởng của khinh khí cầu (chúng bay cao tới 5 km), ở các vùng núi, dưới nước, giúp xác định chính xác bức xạ chưa biết đó rơi xuống Trái đất từ ​​​​không gian bên ngoài. Millikan gọi nó là vũ trụ. Để hiểu bản chất của bức xạ này, phương pháp kích thích không còn phù hợp nữa - nó chỉ ghi nhận một hậu quả (sự kích thích), có thể do nhiều nguyên nhân gây ra. Để tiến xa hơn trong nghiên cứu về tia vũ trụ, nhà vật lý cần “công cụ nguyên bản và tuyệt vời nhất” (đây là lời của Rutherford) tồn tại vào thời điểm đó để ghi lại các hạt - một buồng mây.

buồng Wilson
(1911—1912)

Một luồng không khí ẩm được trái đất đốt nóng bốc lên. Ở các tầng cao hơn của khí quyển, khối không khí giãn nở và đồng thời nguội đi. Lúc này hơi nước ở trạng thái siêu bão hòa và bắt đầu ngưng tụ, tụ lại thành những giọt ẩm. Chúng ta nói: “bầu trời bị bao phủ bởi sương mù giam cầm”. Quá trình phát triển của giọt nước trong hơi siêu bão hòa không hề đơn giản. Vì vậy, các nhà khoa học đã phát hiện ra rằng để hình thành sương mù, cần phải có các trung tâm ngưng tụ, nếu không hơi nước có thể vẫn ở trạng thái siêu bão hòa trong một thời gian đáng kể. Thông thường, các hạt bụi nhỏ trở thành trung tâm ngưng tụ.

Nhà vật lý người Anh Charles Wilson cũng giải quyết những vấn đề này. Chính ông là người đã phát hiện ra rằng các tâm ngưng tụ hơi có thể trở thành các tâm không được hình thành khi hơi siêu bão hòa bị chiếu xạ bằng tia RENTen hoặc các loại bức xạ khác (α, β, γ). Với sự kiên trì đặc trưng và kỹ năng thí nghiệm khổng lồ của mình (và Wilson đã bị suy yếu do anh ấy tự mình chế tạo gần như tất cả các thiết bị), sau nhiều năm nghiên cứu về chủ đề này, các nhà khoa học đang tạo ra một thiết bị mới để phát hiện các hạt. Ông gọi nó là “buồng sương mù”, nhưng chẳng bao lâu sau, những người thử nghiệm đã đổi nó thành “buồng mây”.

Bây giờ chúng ta hãy mô tả một cách khái quát nhất nguyên lý hoạt động của buồng mây. Thể tích chứa đầy hơi

15

Chất lỏng (nước, cồn, v.v.) tăng mạnh nhờ sự trợ giúp của piston hoặc màng ngăn. Hơi nước đã được làm sạch hoàn toàn khỏi bụi vẫn ở trạng thái siêu bão hòa trong một thời gian (0,1 1 giây) và không ngưng tụ. Nếu tại thời điểm này một hạt quét qua thể tích, làm ion hóa các phân tử hơi thì ban đầu sẽ xuất hiện những giọt nước trên các hạt được tạo thành. Vệt hạt trở nên nhìn thấy được và có thể được hình thành. Để làm điều này, bức tường của buồng được làm bằng cách phát âm. Do tính dẫn nhiệt của các bức tường, nhiệt độ của hơi nước tăng lên khá nhanh, dấu vết biến mất và đôi khi toàn bộ căn phòng tràn ngập sương mù. Chúng ta cần chuẩn bị cho thiết bị hoạt động trở lại và việc chuẩn bị đã mất mười giây. Đây là nhược điểm chính của thiết bị - như các nhà vật lý nói, nó có “thời gian chết lớn”. (Nguyên lý hoạt động bề ngoài đơn giản của buồng sương mù (mô tả của nó thậm chí còn có trong sách giáo khoa ở trường) không đưa ra một chút ý tưởng nào về những khó khăn vật lý và kỹ thuật nảy sinh trong quá trình sản xuất và điều chỉnh nó.) Nhưng mười năm đã trôi qua trước khi các hệ thống máy tính “buồng sương mù” tiên tiến hơn được phát triển và với sự trợ giúp của nó, những khám phá nổi bật đã được thực hiện. Do đó, Charles Thomson Rhys Wilson “vì phương pháp làm cho đường đi của các hạt tích điện có thể nhìn thấy được bằng phương pháp ngưng tụ hơi” đã nhận được giải Nobel Vật lý năm 1927.

Vì vậy, các nhà vật lý có cơ hội quan sát các hạt và xác định nhiều đặc tính của chúng. Ở đây trong hình (Hình 1) là “vết mỡ” của hạt α, và bên trái là dấu vết đầu tiên của những giọt hiếm được hình thành bởi một electron chuyển động nhanh. Sự khác biệt rất dễ giải thích nếu chúng ta sử dụng công thức gần đúng cho số lượng ion N được hình thành trên đường đi dài 1 cm:

$$N \sim Z^2/v^2,$$

(1)

trong đó Z là điện tích của hạt, v là tốc độ của nó ($[v] = cm/c$). Một electron có năng lượng 5 MeV chuyển động gần bằng tốc độ ánh sáng và hạt alpha có cùng năng lượng chuyển động chậm hơn 20 lần. Ngoài ra, nó có tính phí gấp 2 lần.

Bằng cách đo độ cong đường đi của các electron trong ảnh, người ta có thể tìm ra động lượng của chúng. Bây giờ chúng ta sẽ không tập trung vào các nghiên cứu về hiệu ứng điện tử, bản thân chúng đã cực kỳ thú vị.

16

kết quả, nhưng hãy nhớ về việc khám phá không gian.

Đây là những gì D.V. Skobeltsyn đã viết:

“…đôi khi, các bức ảnh cho thấy đường đi thẳng của các hạt không rõ nguồn gốc, hầu như không bị từ trường làm chệch hướng, nhưng trong hiệu ứng ion hóa của chúng không thể phân biệt được với các tia β nhanh theo bất kỳ cách nào, những bức ảnh về chúng cũng có sẵn trong các bức ảnh tương tự. Những quan sát sâu hơn, kết quả của chúng được công bố vào năm 1925, đã có thể chứng minh rằng sự xuất hiện đường đi của các “tia siêu β” như vậy có liên quan đến sự đi qua buồng mây của tia γ, vốn là sự hiện diện của một dòng của các hạt tạo ra bầu khí quyển.”

Các hạt có năng lượng cao đến mức chúng thực tế không bị lệch trong trường tương đối yếu của buồng.

Skobeltsyn đã chứng minh rằng sự khởi đầu được tạo ra trong quá trình thám hiểm không gian có thể được giải thích bằng “các hạt siêu β”.

Trong một số bức ảnh của Skobeltsyn, người ta có thể nhìn thấy một dòng hạt rắn chuyển động nhanh. Chúng được gọi là mưa rào vũ trụ.

Vì vậy, các liên kết trong chuỗi dẫn đến tích cực đã được tập hợp lại:

1. Tia vũ trụ được phát hiện.
2. Một thiết bị đã được tạo ra - buồng mây được đặt trong từ trường.
3. Thiết bị này cho phép nó trở thành một phần của hoạt động khám phá không gian. các hạt mang điện đi vào.

Nhưng trường vẫn còn nhỏ và không làm chệch hướng “tia β”.

Sự khám phá ra positron

Chúng tôi đã đề cập đến cái tên Roberta của Andris Milliken. Ông là một nhà vật lý nổi tiếng đã nhận được giải thưởng Nobel năm 1923 “vì công trình nghiên cứu điện tích cơ bản và hiệu ứng quang điện”. Theo hồi ức của bạn bè, anh kết hợp (ngoài nhiều đặc điểm hấp dẫn khác) hai phẩm chất khó có thể không nhận thấy: lắm lời, cao gấp nhiều lần mức bình thường và trực giác thể chất sâu sắc. Liệu cái trước có vai trò gì trong việc phát hiện ra positron hay không vẫn chưa được biết. Nhưng điều thứ hai hóa ra lại mang tính quyết định. Sau khi biết về các thí nghiệm của Skobeltsyn, Millikan ngay lập tức hướng dẫn một trong những nhân viên của mình, Karl Anderson, bắt đầu nghiên cứu khám phá không gian bằng cách sử dụng buồng mây, nhưng đã được đặt trong từ trường mạnh hơn nhiều so với các thí nghiệm của Skobeltsyn. Điều này đòi hỏi cả nghệ thuật thử nghiệm và phương tiện kỹ thuật đặc biệt vào thời điểm đó.

Và bây giờ người ta đã thu được những bức ảnh trong đó có thể nhìn thấy quỹ đạo đã hiệu chỉnh của các hạt vũ trụ. Hình 2 được tạo từ một bức ảnh như vậy. Mật độ nội hóa, bán kính cong của quỹ đạo - mọi thứ đều chỉ ra rằng dấu vết I và II thuộc về electron. Nhưng làm thế nào để giải thích sự xuất hiện

Hình 2. Vết electron (I, II) và positron (III, IV) trong buồng mây. (Từ trường hướng về phía chúng ta.)

Hình 3. Ảnh chụp vết positron trong buồng mây (sọc ngang nhạt là tấm chì).

17

K. Anderson gần tác phẩm sắp đặt của mình.

Có phải vết III và IV có độ cong “sai”? Số lượng chúng trong ảnh cũng gần bằng số lượng trong ảnh điện tử.

Đề xuất đầu tiên, và trọng lượng là đương nhiên, đó là đây là dấu vết của proton. Dấu khác của điện tích là dấu khác của độ cong của quỹ đạo. Nhưng một nghiên cứu về các bức ảnh đã đưa đến kết luận rằng khả năng các hạt dương bị ion hóa thực tế giống như khả năng của các electron. Nếu chúng ta giả sử rằng đây là các proton thì tốc độ của chúng sẽ cao bằng tốc độ của các electron (xem (1)), tức là ~c; động lượng của các proton như vậy lớn hơn 10³ lần động lượng của electron, và do đó, bán kính cong của quỹ đạo vết của chúng trong từ trường phải lớn hơn một nghìn lần so với bán kính cong của quỹ đạo của electron (xem (2)).

Chỉ có một kết luận duy nhất - không phải proton.

Đề xuất thứ hai là “các hạt không đều” là các electron, nhưng chuyển động theo hướng ngược lại. Khi đó quỹ đạo của chúng sẽ có độ cong ngược lại. Để kiểm tra đề xuất này, Anderson đã đưa ra một thí nghiệm sâu sắc. Ông đặt một tấm chì vào giữa buồng. Đi qua nó, hạt mất năng lượng, chuyển động chậm lại và từ trường bẻ cong quỹ đạo của nó mạnh hơn. Từ bức ảnh (Hình 3), bạn có thể xác định hướng chuyển động của hạt và biết rằng trường hướng “cách xa chúng ta”, bạn có thể chắc chắn rằng nó mang điện dương.

Và vì vậy vào năm 1932 Anderson đã đi đến kết luận rằng các hạt mới không gì khác hơn là “các electron dương” có khối lượng $m_e$ và điện tích $e^+$. Lúc đầu, đề xuất này được đưa ra khá rụt rè. Nhưng nó đã sớm được xác nhận một cách thuyết phục trong các thí nghiệm của chính Anderson, cũng như của Blackett và Occalini. Ngoài ra, các nhà khoa học này còn chỉ ra rằng sự xuất hiện của positron trong buồng là do rò rỉ bức xạ vũ trụ.

Điều đáng kinh ngạc nhất trong câu chuyện này thậm chí không phải là việc phát hiện ra một hạt mới, mặc dù trong vật lý, đặc biệt là vào thời điểm đó, điều này có tầm quan trọng tối thượng. Điều đáng kinh ngạc là một hạt được phát hiện vào năm 1931, sự tồn tại mà tôi không tin vào - ý tưởng này quá khó hiểu. Nhưng nhiều hơn về điều này trong số tiếp theo của tạp chí.

Văn học

1. L. Tarasov. Khám phá neutron. «Kvant», 1979, số 5.
2. D. Yuz. Lịch sử của neutron. M., Atomizdat, 1964.
3. neutron. Bối cảnh, khám phá, hậu quả. M., “Khoa học”, 1975.
4. I. Dorman. Tia vũ trụ. M., “Khoa học”, 1981.

Chỉ với chúng tôi!

Kunstkamera «Kvant» đã nhận được cây nến nổi tiếng, là đơn vị cường độ sáng tiêu chuẩn cho đến năm 1967 (khi nó được thay thế bằng candela) và được cất giữ trong một hình trụ bạch kim gần Paris. Chúng tôi vẫn chưa nhận được xi lanh bạch kim.

18

Năm 1981, trước lễ kỷ niệm 20 năm chuyến bay của Yuri Gagarin, một bảo tàng tạm thời về du hành vũ trụ đã được khai trương ở Moscow, bên cạnh ga tàu điện ngầm VDNH, dưới tầng hầm của đài tưởng niệm các Anh hùng Không gian. Triển lãm của nó bao gồm các mẫu công nghệ vũ trụ, các tài liệu gốc phản ánh con đường của đất nước chúng ta đến đỉnh cao của không gian và đồ dùng cá nhân của các phi hành gia. Không phải mỗi cuộc triển lãm đều kể một câu chuyện sao?

TRONG ORBIT - BẢO TÀNG MỚI

Bạn có thể bắt đầu bằng những từ “lần đầu tiên”, “lần đầu tiên”. Nhưng những từ này phần lớn đề cập đến chính bảo tàng.

Lần đầu tiên trong hoạt động bảo tàng, âm thanh, ánh sáng, hiệu ứng quang học, thiết bị chiếu và các thiết kế mới nhất được sử dụng một cách toàn diện như vậy. Mục tiêu đang được theo đuổi là một người đến đây phải trải nghiệm sự “đắm chìm” tối đa có thể vào không gian trên trái đất.

Ngay trong các tủ trưng bày chứa đầy bộ đồ du hành vũ trụ, du khách sẽ bắt gặp các tài liệu, huy chương kỷ niệm và các di vật khác đánh dấu các giai đoạn chính trong quá trình phát triển của ngành du hành vũ trụ của Liên Xô. Sau đó, qua “cổng” ban đầu, du khách bước vào sảnh chính, nơi chứa đầy nội thất của tàu vũ trụ. Ở sâu trong các sảnh có một bố cục hoành tráng, bao gồm một cửa sổ kính màu phát ra ánh sáng xanh lam “vũ trụ”, một quả cầu bán mở “Cung hoàng đạo”, thể hiện những ý tưởng trước đây của chúng ta về Vũ trụ và một tác phẩm điêu khắc về một phi hành gia (một phần của bố cục này được sao chép trên trang đầu tiên của trang bìa của chúng tôi).

Có rất ít tủ trưng bày trong bảo tàng. Đi dọc theo hội trường, du khách có thể ngắm nhìn các hiện vật trưng bày như thể qua cửa sổ của một con tàu vũ trụ. Các lỗ gương làm bằng thép đen tạo ra ảo giác về sự “không trọng lượng”, nơi đặt các mẫu công nghệ vũ trụ được trưng bày. Một dải ruy băng dạ quang màu xanh lam ngăn cách các cuộc triển lãm với khán giả. Thiết bị âm thanh và truyền hình cho phép bạn kể một câu chuyện đầy màu sắc về cuộc sống hàng ngày và những ngày nghỉ của các phi hành gia của chúng ta.

Chuyến tham quan bảo tàng kết thúc tại phòng chiếu phim. Một mô hình máy bay hành tinh dài bảy mét với pin mặt trời lơ lửng phía trên tấm gương mờ. Bề mặt tường hội trường được làm theo dạng phù điêu với hệ thống chiếu sáng màu động.

Trong hội trường này, với sự hỗ trợ của công nghệ laser, điện tử và màn hình chia nhỏ mới nhất, khán giả được xem một tác phẩm nghệ thuật phản ánh lý tưởng nhân văn của con người trong việc khám phá không gian vũ trụ. Trong 20 phút, du khách sẽ được đưa vào cuộc hành trình khám phá không gian trong quá khứ, hiện tại và tương lai.

Các nghệ sĩ, nhà điêu khắc, kiến ​​trúc sư và nhà thiết kế đã tham gia sáng tạo triển lãm của bảo tàng: O. Lomako (nghệ sĩ trưởng), G. Schultz, N. Lomako, Zh. Kankayan, N. Rudko, I. Kazansky. Sự lãnh đạo khoa học cho việc thành lập bảo tàng được thực hiện bởi Z. Kostrikina.

V. Koleychuk

Rạp chiếu phim
Phối cảnh tổng thể phòng triển lãm của bảo tàng
Tác phẩm điêu khắc “Cung hoàng đạo”
Bộ đồ và mô-đun hạ cánh của phi hành gia
Lunokhod và vệ tinh nhân tạo đầu tiên
Đồ dùng bắn cung của nhà du hành vũ trụ đầu tiên trên thế giới Yu. A. Gagarin

Ảnh của G. Makaryev

21

Trước hết là bài thơ hài hước của M. V. Lomonosov:

Hai nhà thiên văn học cùng nhau lắng nghe trong một bữa tiệc
Và họ đã tranh cãi rất nhiều với nhau trong lúc nóng nảy.
Một người lặp lại: Trái đất, quay tròn, chuyển động quanh vòng tròn của Mặt trời;
Một điều nữa là Mặt trời mang theo tất cả các hành tinh theo nó:
Một người là Copernicus, người kia là Ptolemy.
Tại đây, người đầu bếp đã tự mình giải quyết tranh chấp.

Người chủ hỏi: “Anh có biết đường đi của các vì sao không?
Hãy nói cho tôi biết, bạn lý luận thế nào về sự nghi ngờ này?”
Anh ấy đưa ra điều này đáp số: “Copernicus đúng về điều đó như thế nào,
Tôi sẽ chứng minh sự thật, tôi chưa bao giờ đến Mặt trời,
Ai đã từng thấy những đầu bếp đơn giản như thế này chưa?
Ai sẽ xoay lò sưởi quanh lò rang?

Pushkin, như mọi khi, ngạc nhiên trước những điểm nhấn và sự tinh tế trong bài thơ nổi tiếng “Phong trào”. Hãy nghĩ lại nội dung tuyệt tác của Pushkin:

Không có chuyển động, nhà hiền triết có râu nói.
Người kia im lặng và bắt đầu bước tới trước mặt anh,
Anh không thể phản đối mạnh mẽ hơn;
Mọi người đều khen ngợi kế hoạch đáp số.

Nhưng thưa quý vị, đây là một trường hợp buồn cười
Một ví dụ khác xuất hiện trong đầu:
Suy cho cùng, mỗi ngày mặt trời đều đi trước chúng ta,
Tuy nhiên, Galileo bướng bỉnh đã đúng.

Pozt Evgeny Vinokurov tin rằng Pushkin vẫn chưa cạn chủ đề nên đã viết bài thơ “Bằng chứng”:

tôi từ mọi phía
được bao quanh bởi sự vĩ đại.

• Điều này rất, - Tôi nghe nói,
  khi họ kêu lên đây đó…
  Tôi không tin rằng trái đất
  đứng yên

và mặt trời mọc
mặc dù tôi tin chắc vào điều đó
mọi lúc -
nó chỉ có giá trị với tôi
nhìn ra ngoài cửa sổ.

Poztov đương nhiên bị ấn tượng bởi sự hữu hạn của tốc độ ánh sáng và những hiệu ứng liên quan đến nó. Fet trong bài thơ “To Faded Stars” viết:

Có thể bạn không thuộc những trường hợp đó
đèn:
Thời đại cổ xưa đã dập tắt bạn,—
Vì vậy, ngay cả sau khi chết tôi sẽ bay đến với bạn
bài thơ,
Đối với những bóng ma của các vì sao, tôi sẽ là bóng ma của một tiếng thở dài!

Stepan Shipchev thể hiện cùng một chủ đề theo cách khác trong bài thơ “Ánh sáng sao”:

Ánh sao buổi tối
Lấp lánh trên bầu trời.
Những khu vườn đang suy nghĩ,
Và tôi cảm thấy buồn.
Anh ấy ở đây bên cửa sổ của tôi
Những ngôi sao là ánh sáng xa xôi,

Mặc dù anh ấy rất tốt với tôi
Một trăm bốn mươi ngàn năm
Và bạn có một giờ lái xe,
Mất bao lâu để chuẩn bị sẵn sàng?
Nhưng không, để thương lượng
Hãy đến đây ngay bây giờ.

(Cuối cùng xem trang 24)

22

Tại sao cổ phần lại bị treo?

“Tại sao cọc nhôm lại treo lỏng lẻo trên lõi hở của máy biến áp?” — câu hỏi này được đề xuất bởi một người tham gia Chuyến tham quan lần thứ ba của các nhà vật lý trẻ ở Moscow. Có lẽ, bất kỳ học sinh lớp chín nào, không do dự, sẽ trả lời đại loại như sau: “Dòng điện được tạo ra trong vòng, tương tác với từ trường bên ngoài. Theo quy tắc của Lenz, dòng điện indurian luôn có chiều sao cho tác dụng của nó cản trở nguyên nhân tạo ra nó. Trong trường hợp này, dòng điện cảm ứng có hướng đến mức lực Ampe dường như đẩy chiếc cọc ra khỏi cuộn dây máy biến áp. Trong một số trường hợp, lực này cân bằng trọng lực của vòng và nó treo lơ lửng trong không khí.”

Thật dễ dàng để xác minh rằng hành vi này của vòng này chính xác là do dòng chảy indurian. Để làm điều này, chỉ cần cắt ngang cọc - nó sẽ không bị treo trong bất kỳ điều kiện nào. Tuy nhiên, có hai điểm trong lời giải thích trên mà chúng tôi muốn lưu ý. Thứ nhất, không rõ loại điện trở vòng nào - chủ động hay cảm ứng - đóng vai trò quyết định. Thứ hai, cần giải thích sự tồn tại của một vị trí cân bằng duy nhất của vòng. Chúng ta hãy cố gắng hiểu những vấn đề này.

1. Hãy chứng minh rằng hiệu ứng treo vòng sẽ không tồn tại nếu vòng chỉ có lực cản chủ động. Hãy thực hiện một số tính toán.

Lực Ampe tác dụng lên một cọc mỏng có chiều dài l mang dòng điện I bằng

$$F = B_r I l,$$

trong đó $B_r$ là hình chiếu nằm ngang của vectơ cảm ứng từ của từ trường bên ngoài (Hình 1). Dòng điện cảm ứng I được xác định theo định luật Ohm:

$$I = \frac{\varepsilon}{R}.$$

Ở đây $\varepsilon$ là suất điện động cảm ứng, $R$ là điện trở hữu dụng của vòng dây. Theo định luật cảm ứng điện từ, suất điện động cảm ứng bằng tốc độ biến thiên của từ thông, lấy dấu ngược lại:

$$\varepsilon = -\Phi' = -(B_B S)'$$

($B_B$ là hình chiếu thẳng đứng của vectơ cảm ứng từ, $S$ là diện tích bị giới hạn bởi thể tích). Cho từ trường biến thiên theo định luật điều hòa với tần số $\omega$ thì

$$B_r = B_{rm} \cos \omega t,$$

$$B_B = B_{bm} \cos \omega t,$$

$$\varepsilon = -(B_B S)' = B_{bm} S \omega \sin \omega t.$$

$$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B_{bm} S \omega}{R} \sin \omega t,$$

Và

$$F = B_r I l = \frac{B_{rm} B_{bm} S \omega}{2 R} \sin 2 \omega t,$$

trong đó $B_{rm}$ và $B_{bm}$ là các giá trị lớn nhất của hình chiếu ngang và dọc của vectơ cảm ứng.

Vì giá trị trung bình của sin trong khoảng thời gian bằng 0 nên giá trị trung bình của lực Ampe cũng bằng 0. Vì vậy, Kolyu sẽ không thể làm được mọi việc.

Mâu thuẫn này được loại bỏ nếu chúng ta giả sử rằng kola không chỉ có tác dụng mà còn có tác dụng

23

điện trở dẫn điện cũng đóng vai trò chính. Trong trường hợp này, dòng điện trong vòng sẽ thay đổi theo sự thay đổi pha so với EMF và đối với giá trị tức thời của lực Ampe, sẽ thu được một biểu thức khác:

$$I = \frac{B_{\text{BM}} S \omega}{Z} \sin(\omega t + \varphi),$$

Và

$$F = B_{\text{r}} I l = \frac{B_{\text{GM}} B_{\text{BM}} S \omega l}{Z} \cos \omega t \times \sin(\omega t + \varphi) = \frac{B_{\text{GM}} B_{\text{BM}} S \omega l}{2 Z} \times (\sin(2 \omega t + \varphi) + \sin \varphi)$$

(ở đây $Z$ là tổng điện trở của vòng, $\varphi$ là độ lệch pha giữa dòng điện và suất điện động). Giá trị trung bình của lực trong thời gian đó sẽ bằng

$$F_{\text{cp}} = \frac{B_{\text{GM}} B_{\text{BM}} S \omega l}{2 Z} \sin \varphi,$$

đó chắc chắn không phải là số không.

Trong các thí nghiệm của mình, chúng tôi đã sử dụng các vòng làm từ nhiều lớp lá nhôm với tổng độ dày khoảng 1 mm. Bán kính bên trong của các vòng là 15 mm và bán kính bên ngoài là 30 mm. Người ta ước tính rằng ở tần số 50 Hz, điện trở hoạt động của các vòng như vậy là milliohms và điện trở cảm ứng là mười milliohms. Với các thông số như vậy, lực Ampe có mức $10^{-2}$ N, đủ để giữ một chiếc nhẫn nặng vài gam. Đây là những gì được quan sát bằng thực nghiệm.

2. Tại sao vòng cân bằng chỉ ở một vị trí, ở một độ cao cụ thể? Chúng tôi nhận được Đáp số cho câu hỏi này theo kinh nghiệm.

Biểu thức của lực Ampe bao gồm các giá trị biên độ của các hình chiếu thẳng đứng và nằm ngang của vectơ cảm ứng từ. Cần phải tìm hiểu xem các giá trị này thay đổi như thế nào theo chiều cao.

Chúng tôi đang tiến hành lắp đặt, ảnh chụp trong Hình 2. Một lõi hình trụ làm bằng các thanh sắt (dài 200 mm, đường kính 2 mm) được đặt trong một cuộn dây (bán kính trong của nó là 10 mm, bán kính 40 mm, cao 70 mm) với một cuộn dây đồng tráng men (đường kính 1,2 mm). Cuộn dây được cung cấp điện áp (100-120 V) từ máy biến áp tự ngẫu trong phòng thí nghiệm. Chúng tôi có thể thay đổi hình chiếu theo chiều dọc và chiều ngang của từ trường trong vùng lân cận của lõi ở các khoảng cách khác nhau tính từ cuộn dây. Để làm cảm biến, chúng tôi sử dụng một cuộn dây (làm bằng 300 vòng dây đồng tráng men có đường kính 0,2 mm), trong đó sinh ra lực điện động cảm ứng. Để đo EMF này, cuộn dây được kết nối với đầu vào của máy hiện sóng.

Hóa ra là hình chiếu thẳng đứng của vectơ cảm ứng từ thực tế không thay đổi theo chiều cao và hình chiếu ngang thay đổi như trong Hình 3. Ở đây, chiều cao $H$ phía trên cuộn dây (tính bằng cm) được vẽ dọc theo trục hoành (tính bằng cm) và giá trị biên độ $B_{\text{GM}}$ của hình chiếu ngang của từ trường (tính bằng mili giây) được vẽ dọc theo trục tọa độ. Biểu đồ kết quả cho phép chúng tôi giải thích vị trí quan trọng duy nhất của việc lắp đặt vòng.

24

Để cọc có khối lượng sao cho để bù cho trọng lực tác dụng lên cọc thì cần có một hình chiếu trường nằm ngang khoảng 0,9 mT. Trên đồ thị chỉ có một điểm A tương ứng với giá trị này; Điều này có nghĩa là cọc sẽ treo ở độ cao 4 cm so với cuộn dây. Vị trí cân bằng này ổn định, vì nếu vô tình hạ chiếc vòng xuống sẽ rơi vào từ trường mạnh hơn, lực Ampe sẽ tăng lên và nâng chiếc cọc lên độ cao trước đó.

Điều gì sẽ xảy ra nếu cần có hình chiếu ngang khoảng 0,75 mT để cân bằng vòng? Giá trị này tương ứng với hai điểm trên đồ thị - C và D. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chỉ có một điểm cân bằng ổn định - tại điểm C, tức là ở độ cao 6 cm so với cuộn dây. Và tại điểm D trạng thái cân bằng không ổn định. Thật vậy, nếu chiếc cọc giảm xuống dưới độ cao 11,5 cm một chút thì lực Ampe sẽ giảm và không thể cân bằng được lực hấp dẫn; do đó, tiền đặt cược sẽ còn giảm xuống thấp hơn nữa (đến điểm C).

Lưu ý rằng rất khó để phát hiện bằng thực nghiệm vị trí của một điểm cân bằng không ổn định. Điều này là do sự hiện diện của nhiều tác động bên ngoài khác nhau khiến cổ phần bị loại bỏ khỏi vị trí này.

Bạn có thể nghe thấy tiếng gầm của voi ma mút không?
(Để bắt đầu, xem trang 20)

Do đó, Leonid Martynov, người theo sát sự phát triển của khoa học vật lý, đã mô tả sự tương ứng giữa âm thanh và ánh sáng dưới dạng này:

Nó gần như là một cực hình của sự bất động.
Lao đi đâu đó với tốc độ âm thanh,
Biết rất rõ rằng đã có ở đâu đó
Người nào đó
bay
Với tốc độ
Sveta!

Nhưng đây là bài thơ “Tiếng nói” của Mikhail Svetlov, gợi ý rằng theo thời gian, nhờ những chuyến bay vào vũ trụ, một người có thể nghe thấy giọng nói của những người và động vật sống trước đây:

Và có thể là ở ngoài đường chân trời
Anh ấy sống giữa những thế giới đầy sao -
Không được ghi bằng máy ghi âm
Những con voi ma mút chết.
Chúng ta - cùng sống trên thế giới -
Không phải tất cả các phép lạ đã được giải quyết.
Và họ sẽ đau khổ từ hành tinh này sang hành tinh khác
Sức mạnh của giọng nói của đàn ông.
Và có lẽ trên mọi chân trời
Bây giờ lặp lại lần nữa
Lời thì thầm không ngừng của những người yêu nhau
Và Mayakovsky dày đặc bạn.

Đừng chỉ để ngôi sao tách ra,
Nhưng có thể hiểu được và sống mãi
Với giọng khàn khàn của Tsiolkovsky
Sóng âm vẫn chưa dừng lại.
Từ nhỏ tôi đã không giỏi về khoa học;
Không cần tranh cãi với các nhà khoa học,
Tôi dang đôi bàn tay già nua của mình ra
Vào trong không gian xanh vô tận.

Bầu trời đầy những cái đầu
Những người đã sống và yêu thương trên Trái đất.

Nếu Svetlov đúng, thì không khó để tính toán vũ trụ phải di chuyển ra khỏi Trái đất với tốc độ siêu thanh bao nhiêu để chẳng hạn, trong mười năm bay, nó sẽ bắt kịp tiếng gầm của voi ma mút đã bay vào vũ trụ. Như bạn đã biết, mammon đã biến mất khoảng mười nghìn năm trước.

Bạn đọc thân mến, hãy làm một số phép toán và đánh giá những khó khăn khi phóng tên lửa bay với tốc độ thích hợp.

Tiếc thay, sự tự phê bình về tư thế trong bài thơ này không phải là không có cơ sở. Nhớ lại câu chuyện của Puskin, chúng ta đừng quá khắt khe với tư thế, tuy nhiên, sai lầm chính về thể chất của Svetlov là gì? Đáp số cho câu hỏi ở thì hiện tại đơn rằng bạn không nên gửi nó đến tạp chí của chúng tôi. Hãy nghĩ xem cuộc sống trên Trái đất sẽ phức tạp hơn biết bao nếu Svetlov đúng.

25

Bài toán

M736—M740; F748—F752

M736. Đường trung tuyến BC và phân giác CL của tam giác ABC cắt nhau tại P. Chứng minh đẳng thức
$$\frac{|PC|}{|PL|} - \frac{|AC|}{|BC|} = 1.$$
Z. Andzhaparidze

M737. Hãy biểu thị bằng $d_k$ số lượng ngôi nhà như vậy trong thành phố của bạn nơi có ít nhất $k$ cư dân sinh sống ($d_1 \geq d_2 \geq d_3 \geq \dots$) và bằng $c_m$ số lượng cư dân trong $m$ số lượng ngôi nhà lớn nhất ($c_1 \geq c_2 \geq c_3 \geq \dots$). Chứng minh đẳng thức
a) $c_1 + c_2 + c_3 + \dots = d_1 + d_2 + d_3 + \dots$;
b) $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + \dots = d_1 + 3d_2 + 5d_3 + \dots + (2k-1)d_k + \dots$;
c) $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + \dots = c_1 + 3c_2 + 5c_3 + \dots$;
… + $(2m-1)c_m + \dots$,
A. Zelevinsky

M738*. Chứng minh rằng a) số đường thẳng khác hướng mà một $n$-giác cho trước tạo ra các hình chiếu có độ lớn bằng nhau không vượt quá $2n$; b) số dòng tối đa như vậy đối với bất kỳ đa giác nào là số chẵn; c) đối với một tam giác, số này lớn hơn 3 khi và chỉ khi nó cấp tính.

B. Prasolov

M739. Chứng minh rằng với mọi giá trị $x$ mà phần bên phải có ý nghĩa thì các đẳng thức đúng
$$\frac{tg x + tg \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + tg \left(x + \frac{2\pi}{3}\right)}{tg x \cdot tg \left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot tg \left(x + \frac{2\pi}{3}\right)} = 3;$$
$$\frac{tg x + tg \left(x + \frac{\pi}{n}\right) + \dots + tg \left(x + \frac{(n-1)\pi}{n}\right)}{tg x \cdot tg \left(x + \frac{\pi}{n}\right) \cdot \dots \cdot tg \left(x + \frac{(n-1)\pi}{n}\right)} = c_n,$$
trong đó $n$ là số lẻ, $c_n$ là hằng số (tùy thuộc vào $n$).
b) $^*$ Tìm $c_n$ cho mọi số lẻ $n=5, 7, \dots$.

M740. Seryozha đổ một ít shen vào một tấm thẻ hình trụ và hỏi dì hàng xóm của mình

26

Luda: “Bạn cần đổ bao nhiêu nước để nấu được món cháo ngon?” “Rất đơn giản,” người hàng xóm trả lời. - Nghiêng chảo - như thế này; gõ sao cho ngũ cốc đổ ra và phủ đều nửa đáy. Bây giờ hãy chú ý điểm trên thành chảo, gần mép nhất mà ngũ cốc đã nổi lên - và dùng ngón tay véo nó! Bạn cần phải đổ nước đến mức này" (Hình 1). “Chà, bạn có thể đổ nhiều hoặc ít kê, và có nhiều loại chảo khác nhau - rộng và hẹp”, Seryozha nghi ngờ. - “Không thành vấn đề, phương pháp của tôi phù hợp trong mọi trường hợp!” - Dì Lyuda tự hào trả lời.
a) Chứng minh rằng dì Lyuda đúng: tỷ lệ giữa thể tích nước và hạt kê theo công thức của dì sẽ luôn bằng nhau.
b) Tỷ lệ này là gì?

V. Semenova

F748. Một khối lập phương nhỏ trượt dọc theo một rãnh xoắn ốc có hình chữ nhật, được cắt trên bề mặt bên trong của một hình trụ rỗng dài (Hình 2). Bán kính đáy của hình trụ là R, bước vít là h và hệ số ma sát trượt là μ. Tìm tốc độ ổn định của khối lập phương. (Kích thước của khối lập phương và độ sâu của rãnh nhỏ hơn R rất nhiều.)

R. Enfijyan

F749. Đĩa lớn quay quanh trục của nó với vận tốc góc Ω. Một đĩa có bán kính r khối lượng m, trục của nó hướng thẳng đứng, được hạ từ trên xuống (Hình 3). Khoảng cách giữa các trục của các đĩa là d (d>r). Hệ số ma sát giữa các bề mặt của đĩa là μ. Xác định vận tốc góc không đổi của đĩa nhỏ. Phải tác dụng một lực bao nhiêu vào trục của đĩa lớn để tốc độ quay của nó không đổi? Không có đào tạo về trục.

S. Krotov

F750*. Khi hướng trên phần tử E thay đổi thì dòng điện chạy qua nó thay đổi như hình 4. Hướng trên phần tử E sẽ thay đổi như thế nào theo thời gian nếu đưa nó vào mạch điện như hình 5 (các thông số mạch được chỉ ra trong hình)? Điện trở tối thiểu của một điện trở có thể mắc song song với phần tử E là bao nhiêu để hướng đi đến phần tử không đổi?

Z. Rafailov

F751. Một vòng mỏng bán kính R được đặt trên một hình trụ rất thô có bán kính r nằm ngang (Hình 6). Tìm chu kỳ của vòng bình trong mặt phẳng thẳng đứng.

K. Sergeev

F752. Cách một thấu kính mỏng có tiêu cự F=10cm một khoảng L1=5m, có một vật sáng thẳng đứng đều được chiếu sáng đều.

29

M697. Chúng ta gọi độ bụng của một hình chữ nhật là tỷ lệ giữa cạnh nhỏ hơn và cạnh lớn hơn (độ bụng của hình vuông là 1). Chứng minh rằng, dù cắt hình vuông thành hình chữ nhật như thế nào thì tổng các bụng của chúng ít nhất cũng bằng 1.

Chúng ta giả sử rằng độ dài cạnh của hình vuông bằng 1. Đặt $a_k \times b_k$ là kích thước của các hình chữ nhật của phân vùng và $a_k \geq b_k$ ($k=1, 2, \dots, n$). Vì $a_k \leq 1$ cho mọi $k$,
$$\frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \dots + \frac{b_n}{a_n} \geq a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = 1$$
(ở bên phải hình vuông).

Lưu ý rằng sự bằng nhau trong bất đẳng thức viết chỉ có thể thực hiện được nếu tất cả $a_k = 1$ ($k=1, 2, \dots, n$), tức là nếu hình vuông được chia thành các dải bằng các đoạn song song với các cạnh của nó.

Thật thú vị khi tìm ra ước tính nào về tổng số hình chữ nhật của phân vùng có thể được đưa ra cho một hình chữ nhật nhất định có diện tích 1 và hình chậu $k$.

S. Fomin

M698. Trên các cạnh $a, b, c, d$, dựng các hình chữ nhật có kích thước $a \times c, b \times d, c \times a, d \times b$ nội tiếp đường tròn của tứ giác “hướng ra ngoài”. Chứng minh rằng tâm của các hình chữ nhật này là đỉnh của hình chữ nhật $a$) hình bình hành, $b$).

Chúng ta giả sử rằng độ dài cạnh của hình vuông bằng 1. Đặt $a_k \times b_k$ là kích thước của các hình chữ nhật của phân vùng và $a_k \geq b_k$ ($k=1, 2, \dots, n$). Vì $a_k \leq 1$ cho mọi $k$,
$$\frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \dots + \frac{b_n}{a_n} \geq a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = 1$$
(ở bên phải hình vuông).

Lưu ý rằng đẳng thức trong bất đẳng thức viết có thể được đưa ra cho một hình chữ nhật có diện tích 1 và độ rỗng $k$.

S. Fomin

M699. Hình bán nguyệt có đường kính $AB$ được cắt bởi đoạn $CD$ vuông góc với $AB$ thành hai tam giác cong $ACD$ và $BCD$, trong đó chiều cao

a) Gọi $M, P, N, Q$ là tâm của các hình chữ nhật dựng trên các cạnh $AB, BC, CD$ và $DA$ của tứ giác nội tiếp $ABCD$ (xem hình).

Vì trong một tứ giác nội tiếp trong đường tròn, tổng các góc đối diện bằng $180^\circ$ và hình chữ nhật có các cạnh đối diện bằng nhau thì $MBP = NDQ$ và $NCP = MAQ$ (chúng ta coi các góc nhỏ hơn $180^\circ$). Do đó, $\triangle MBP \cong \triangle NDC$ và $\triangle NCP \cong \triangle MAQ$. Do đó $|MP| = |NQ|$ và $|NP| = |MQ|$, có nghĩa là tứ giác $MPNQ$ song song.

6. Chúng ta có thể coi cạnh $MQ$ của hình bình hành nhìn thấy được từ điểm $A$ từ bên trong hình bình hành, cạnh $PN$ nhìn thấy được từ điểm $C$ từ bên ngoài và tương tự, cạnh $MP$ nhìn thấy được từ điểm $B$ từ bên trong và cạnh $NQ$ từ điểm $D$ nhìn thấy được từ bên ngoài. Khi đó vị trí của tất cả các đoạn và hình tam giác sẽ như trong hình.

Hãy chứng minh rằng $MPN + NQM = 180^\circ$ (từ đây sẽ suy ra $MPN = NQM = 90^\circ$). Tổng này, rất/không, bằng $BPC + DQA = 180^\circ$, vì $BPM = DQN$ và $CPN = AQM$.

O. Penkin

a) Gọi $O$ là tâm của hình bán nguyệt đã cho. Chúng tôi sẽ giả định rằng $|AO| = 1$. Với mục đích định nghĩa, giả sử điểm $C$ nằm giữa các điểm $B$ và $O$ và $|OC| = a$ (xem hình).

Áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác $ADC$ và $ODC$, ta thu được $|AD|^2 - |AC|^2 = |OD|^2 - |OC|^2$, tức là

30

Có các đường tròn tiếp xúc AB tại các điểm E và F (xem hình). Chứng minh rằng $|AD| = |AF|$, $|DF| = |BC|$, giá trị của EDF không phụ thuộc vào việc chọn điểm C và AB.

M700. Có thể chia tập hợp tất cả các phân số thập phân hữu hạn thành a) hai, b) ba lớp sao cho hai số có hiệu $10^m$ không thuộc một lớp (với mọi số nguyên m=0, ±1, ±2…)?

F708. Một loạt thí nghiệm đã được thực hiện để nghiên cứu các tính chất của điện trở không plinoio. Đầu tiên, sự phụ thuộc của điện trở vào nhiệt độ đã được nghiên cứu. Khi nhiệt độ tăng lên giá trị $t_1 = 100^\circ C$, điện trở thay đổi từ giá trị $R_1 = 50$ Ohm thành giá trị $R_2 = 100$ Ohm; trong quá trình làm mát, chốt lăn ngược đi qua ở nhiệt độ $t_2 = 99^\circ C$ (Hình 1).

Trong thí nghiệm thứ hai, một điện áp không đổi $U_1 = 60$ V được đặt vào điện trở, tại đó nhiệt độ của nó bằng $t_3 = 80^\circ C$.

Cuối cùng, khi đặt một điện áp không đổi $U_2 = 80$ V vào điện trở, sự dao động của dòng điện tự trở xuất hiện trong mạch. Xác định chu kỳ của các dao động này và giá trị dòng điện lớn nhất. Nhiệt độ không khí trong phòng thí nghiệm không đổi và bằng $t_0 = 20^\circ C$. Sự truyền nhiệt từ điện trở tỷ lệ thuận với sự chênh lệch nhiệt độ và không khí xung quanh. Điện trở nhiệt độ $c = 3\Delta J/K$.

$|AD|^2 = |AC|^2 + |OD|^2 - |OC|^2$ hoặc $|AD|^2 = (1+a)^2 + 1-a^2 = 2+2a$.

Gọi $O_1$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác cong BDC, bán kính $r$. Từ tam giác vuông $OO_1F$, chúng ta tìm thấy $(1-r)^2 = r^2 + (a+r)^2$ hoặc $(a+r)^2 + 2r = 1$. Vì $|AF|^2 = (1+a+r)^2 = 1+2a+2r + (a+r)^2 = 2+2a$, chúng ta nhận được $|AF| = |AD|$. (Chứng minh $|BD| = |BE|$ tương tự).

6. Tam giác ADF là tam giác đều nên $AFD = ADF$. Tiếp theo, $AFD = BDF + DBF$, $ADF = ADC + CDF$ và $ADC = DBF$; do đó $CDF = BDF$.

c) từ lời giải ở đoạn 6) dẫn đến $EDF = EDC + CDF = \frac{1}{2} ADB = \frac{\pi}{4}$.

V. Người gửi

6. Đáp số: bạn có thể. Chúng ta hãy chia tập hợp tất cả các phân số thập phân hữu hạn thành 3 lớp, kết hợp thành một lớp những phân số có tổng các chữ số khi chia cho 3 có cùng số dư. Dễ dàng thấy rằng hiệu của hai phân số bất kỳ thuộc cùng một lớp có tổng các chữ số chia hết cho 3, và do đó không bằng $10^k$ với bất kỳ $k \in \mathbb{Z}$ nào.

A. Leiderman

Công suất Tellan được giải phóng khi dòng điện đi qua một điện trở, một phần sẽ làm nóng điện trở, một phần tiêu tán ra không gian xung quanh. Ở trạng thái cân bằng nhiệt (khi nhiệt độ của điện trở không đổi), toàn bộ năng lượng sinh ra sẽ bị tiêu tán.

Chúng ta hãy biểu thị bằng α hệ số tỷ lệ giữa công suất tiêu tán của điện trở và chênh lệch nhiệt độ giữa điện trở và không khí xung quanh.

Ở nhiệt độ $t_3 = 80^\circ C$ điện trở là $R_1 = 50$ Ohm (xem Hình 1) và $U_1^2/R_1 = \alpha(t_3 - t_0)$ (trong đó $U_1 = 60$ V), từ đó

$$\alpha = U_1^2/R_1(t_3 - t_0) = 1,2 \ B^2/(\Omega \cdot \text{град}).$$

Sự dao động tự kháng của dòng điện ở điện áp chạy qua điện trở $U_2 = 80$ V sẽ xảy ra do sự dao động giá trị điện trở của điện trở. Khi nhiệt độ của điện trở trở thành $t_1 = 100^\circ C$, điện trở chốt lăn của nó tăng từ $R_1 = 50$ Ohm lên $R_2 = 100$ Ohm. Kết quả là nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở giảm; điện trở bắt đầu nguội hơn vòi. Ở nhiệt độ $t_1 = 100^\circ C$ điện trở của chốt lăn sẽ xảy ra lần nữa và quá trình lặp lại.

Chu kỳ dao động của dòng điện trong mạch bằng $T = t_1 + t_2$, trong đó $t_1$ là thời gian nóng lên của điện trở từ $99^\circ C$ đến $100^\circ C$, $t_2$ là thời gian làm mát từ $100^\circ C$ đến $99^\circ C$.

Viết phương trình cân bằng nhiệt:

$$\frac{U_2^2}{R_1} \tau_1 = \tau_1 \alpha(t_1 - t_0) + c(t_1 - t_2),$$

$$\frac{U_2^2}{R_2} \tau_2 = \tau_2 \alpha(t_1 - t_0) - c'(t_1 - t_2)$$

31

Hình 1.
(vì nhiệt độ của điện trở thay đổi rất ít nên chúng ta có thể giả sử rằng nhiệt lượng tỏa ra không đổi và bằng $\alpha(t_1 - t_0))$.

Thay số liệu vào, ta tìm được:
$$\bar{\tau}_1 = \bar{\tau}_2 \approx 0,1 \quad c \Rightarrow T \approx 0,2 \quad c.$$
Giá trị hiện tại tối đa rõ ràng là
$$I_{\max} = U_2/R_1 = 1,6 \quad A.$$
Giá trị tối thiểu -
$$I_{\min} = U_2/R_2 = 0,8 \quad A.$$
Hình 2 cho thấy đồ thị về sự thay đổi dòng điện trong mạch theo thời gian.

A. Buzdin

F710.*) Khi quan sát trong vùng vượt quá giới hạn của một giọt, vùng này tăng kích thước, đặt những giọt nhỏ nhất gặp trên đường đi của nó, người ta thấy rằng giọt nước luôn chuyển động với gia tốc không đổi. Xác định gia tốc này, giả sử kích thước giọt ban đầu là nhỏ. Bỏ qua lực cản của không khí khi giọt nước chuyển động.

Độ biến thiên động lượng của một giọt có khối lượng thay đổi rơi xuống trong thời gian ngắn $\Delta t$ bằng
$$\Delta(mv) = mg \cdot \Delta t.$$ (1)

Theo điều kiện, sự thay đổi khối lượng của giọt nước theo thời gian $\Delta t$ bằng
$$\Delta m = a\varrho v_{\text{cp}} s \cdot \Delta t,$$ (2)

trong đó $\varrho$ là mật độ của nước, $v_{\text{cp}}$ là tốc độ trung bình của giọt nước theo thời gian $\Delta t$, $s = 4\pi r^2$ là diện tích bề mặt của giọt nước, $\alpha$ là hệ số tỉ lệ không thứ nguyên. Mặt khác, vì $m = 4/3\pi r^3 \varrho$ ($r$ là bán kính của giọt nước),
$$\Delta m = 4\pi r^2 \varrho \cdot \Delta r = s\varrho \cdot \Delta r.$$

Nếu trong thời gian $\Delta t$ giọt nước đi được quãng đường $\Delta y$ thì $\Delta t = \Delta y/v_{\text{cp}}$. Thay các biểu thức của $\Delta m$ và $\Delta t$ vào (2), ta thu được
$$\Delta r = \alpha \cdot \Delta y \sim \Delta y.$$

Do đó, bán kính của giọt nước tăng tỷ lệ với quãng đường di chuyển, tức là $r \sim y$.

Vì vật rơi chuyển động với gia tốc không đổi $a$, $y = at^2/2 \sim t^2$. Vì vậy, $r \sim t^2$, $m \sim r^3 \sim t^6$. Khi tính đến các mối quan hệ này, từ (1) chúng ta có được
$$\Delta(t^6 at) \sim t^6 g \cdot \Delta t.$$

Tiến hành vi phân sau, ta tìm được $a$:
$$\Delta(at^7) = 7at^6 \cdot \Delta t = t^6 g \cdot \Delta t \Rightarrow a = g/7.$$

A. Stasenko

F711. Bảng này trình bày dữ liệu thực nghiệm về nhiệt dung và khối lượng mol của chất rắn tân vỏ (hai hàng đầu tiên của bảng). Dựa trên những dữ liệu này, hãy thiết lập một mẫu vật lý nhất định và điền vào ba ô trống

*) Lời giải bài toán F709 - trong bài viết của A. Zilberman “Hai phương pháp tính toán mạch điện” trên trang. 33.

Nếu nhìn vào bảng, bạn có thể thấy rằng tích của nhiệt dung riêng $c$ (J/(g K)) với khối lượng mol $A$ (g/mol), tức là nhiệt lượng mol $C = cA$ (J/(mol K)), đối với tất cả các kim loại cho trong bảng là một giá trị gần như không đổi (các giá trị $C$ được cho ở hàng thứ ba của bảng) và gần bằng $3R = 24,93$ J/(mol K). Thực tế thực nghiệm này được gọi là định luật Dulong và Petit. Giá trị trung bình $C$ của mười kim loại được liệt kê trong bảng là 25,02 J/(mol K). Độ lệch tối đa so với mức trung bình là 0,7 đối với nhôm và +0,8 đối với độ lệch thấp hơn, nghĩa là độ lệch tương đối vượt quá $3 \div 4\%$. Thật hợp lý khi cho rằng đối với các kim loại như titan, sắt, magie, nhiệt mol phải gần bằng 25 J/(mol K) với mức vượt quá xấp xỉ như vậy.

32

các bảng. Độ chính xác ước tính của dự đoán của bạn là bao nhiêu (tính bằng phần trăm)? Hằng số khí phổ quát $R=8,31$ J/(mol K).

Bây giờ thật dễ dàng để điền vào các ô trống còn lại của bảng: đối với sắt $A \approx 56$ g/mol; đối với magie $c \approx 1,04$ J/(g K); đối với titan $c \approx 0,52$ J/(g K).

Hãy trình bày các giá trị thực nghiệm nhiệt dung mol của các kim loại này: đối với sắt $C=25,02$ J/(mol K);

| Bạc | Nhôm | Vàng | Bismut | coban | đồng | Sắt | Liti | Matniy | Niken | Bạch kim | Titan | Vanadi |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $c$, J/(g K) | 0,238 | 0,90 | 0,128 | 0,122 | 0,417 | 0,383 | 0,447 | 3,52 | 0,43 | 0,131 | 0,484 |
| $A$, g/mol | 107 | 27 | 197 | 209 | 59 | 64 | 7 | 24 | 60 | 196 | 48 | 51 |
| $C$, J/(mol K) | 25,47 | 24,31 | 25,22 | 25,5 | 24,6 | 24,5 | 24,64 | 25,8 | 25,7 | 24,7 |

đối với magie $C=24,6$ J/(mol K); đối với titan $C=25,02$ J/(mol K).

E. Surkov

F712. Một quả bóng nhỏ chuyển động với tốc độ không đổi $\vec{v}_0$ dọc theo một mặt phẳng nằm ngang nhẵn và rơi tại điểm $A$ vào một giếng hình trụ thẳng đứng chứa lubbin $H$ và bán kính $R$. Vectơ vận tốc của quả bóng tạo một góc $\alpha$ với đường kính của giếng hướng tới điểm $A$ (Hình 1). Theo sự tương ứng nào giữa $\vec{v}_0$, $H$, $R$ và $\alpha$ quả bóng, sau khi va chạm đàn hồi với thành và đáy, có thể được “chọn” từ giếng không?

Hình 1 cho thấy góc nhìn từ trên xuống của quỹ đạo của quả bóng.

Vì quả bóng va chạm với thành và đáy giếng là đàn hồi nên giá trị tuyệt đối của hình chiếu ngang của vận tốc quả bóng không đổi và bằng $v_0$. Khoảng cách theo phương ngang giữa các điểm xảy ra hai va chạm liên tiếp bằng $|AA_1| = |A_1A_2| = |A_2A_3| = \dots = 2R$ cos $\alpha$. Thời gian giữa hai lần va chạm liên tiếp của quả bóng với thành giếng là $t_1 = 2R \cos \alpha/v_0$.

Hình chiếu thẳng đứng của vận tốc của quả bóng không thay đổi khi chạm vào tường nhưng khi chạm đáy thì nó đổi dấu ngược lại. Giá trị tuyệt đối của hình chiếu thẳng đứng khi va chạm lần đầu với đáy là $\sqrt{2gH}$; thời gian chuyển động từ miệng giếng xuống đáy giếng là $t_2 = \sqrt{2H/g}$.

Hình 2 thể hiện sự phát triển theo chiều dọc của khối đa diện $A_1A_2A_3\dots$. Dấu vết quỹ đạo của quả bóng trong quá trình quét như vậy là các parabol (toàn bộ các parabol là dấu vết quỹ đạo giữa các lần va chạm liên tiếp ở phía dưới). Rõ ràng là quả bóng sẽ có thể “chọn” khỏi giếng nếu thời điểm bay lên tối đa dọc theo parabol trùng với thời điểm va chạm với tường (tức là tại thời điểm bay lên tối đa, quả bóng đang ở điểm $A_n$ trên ranh giới của giếng). Điều này có nghĩa là các thì $t_1$ và $t_2$ phải liên quan với nhau.

Hình 1.

Hình 2.