Kvant 1983, số 10 · Trang

QUANTUM
10
1983

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Leonard
EILER
1707·1783

Vào tháng 9 năm 1983
tròn 200 tuổi
kể từ ngày chết
nổi bật
toán học
Leonard Euler
(xem bài viết
S. G. Gindikina
trong này
và tiếp theo
số tạp chí).

aϕ(m)-1:m
eᵢϕ=cosϕ+isinϕ
T-P+B=2

2

Vật lý
bề mặt

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
L. A. FALKOVSKY

Bề mặt của vật rắn trông như thế nào? Đáp số Hãy nói rõ ràng về câu hỏi này: loại bề mặt phụ thuộc vào phương pháp chuẩn bị nó. Nếu bạn lấy một viên pha lê và dùng giấy nhám chà dọc theo mép của nó, hình ảnh dưới kính hiển vi sẽ giống với hình ảnh các dãy núi nhìn từ cửa sổ máy bay. Và trước khi xử lý bằng giấy nhám, đối với chúng ta, bề mặt của một tinh thể tốt dường như có độ bền lý tưởng, giống như gương. Trên thực tế, có những dây thần kinh trên bề mặt như vậy và hình ảnh phản chiếu của nó chỉ là kích thước của dây thần kinh không vượt quá bước sóng của ánh sáng khả kiến ​​- dụng cụ của chúng ta. Ánh sáng không “nhìn thấy” những khuyết tật có kích thước tương ứng với bước sóng của nó. Cũng như chúng ta không nhận thấy sự lo lắng trên đường so với bước đi của mình. Làm thế nào để phát hiện những khiếm khuyết này? Chúng ta sẽ thấy gì trên bề mặt với độ phóng đại cao hơn? Để trả lời câu hỏi này, nhiều phương pháp nghiên cứu mạnh mẽ và đa dạng hiện đã được phát triển. Nhưng trước khi nói về chúng, hãy nói vài lời về lý do tại sao cần có thông tin chi tiết về cấu trúc của bề mặt.

Thoạt nhìn, có vẻ đáng ngạc nhiên rằng trong nghiên cứu không gian và vật lý hạt cơ bản của chúng ta, lĩnh vực khoa học “gần đó” - vật lý, hóa học và cơ học bề mặt - đang phát triển nhanh chóng. Tất nhiên, điều này được quyết định bởi nhu cầu của công nghệ mới. Hoạt động của các phần tử kích thước nhỏ được sử dụng trong vi điện tử phần lớn được xác định bởi các đặc tính bề mặt của chúng. Vấn đề giam cầm plasma đòi hỏi phải làm rõ cơ chế tương tác giữa các hạt và nghiên cứu ranh giới của thể tích nơi đặt plasma. Thiết kế của máy bơm chân không, cũng như việc tách và tinh chế khí, phải đối mặt với vấn đề hấp phụ, tức là sự hấp thụ khí bởi bề mặt phân nhánh của chất rắn. Ảnh hưởng đáng kinh ngạc của chất xúc tác, sự hiện diện đơn thuần của chúng sẽ làm tăng tốc quá trình phản ứng hóa học, chắc chắn có liên quan đến các hiện tượng phát sinh từ bề mặt. Và cuối cùng

5

sắp xếp số liệu khác.

Cho đến nay chúng ta đã nói về bề mặt của một vật rắn nhìn từ bên ngoài trông như thế nào. Điều quan trọng không kém là phải biết nó trông như thế nào đối với các electron dẫn gần nó, có thể nói, từ bên trong. Với mục đích này, một phương pháp ban đầu được trình bày gần đây đã được sử dụng, được minh họa trong Hình 3. Tại các điểm a và b, hai tiếp điểm dòng điện được nối với bề mặt và một từ trường không đổi có cảm ứng B được đặt vuông góc với đường thẳng ab trong mặt phẳng của bề mặt. Các electron phát ra từ tiếp điểm a với tốc độ v sẽ chuyển động trong mặt phẳng hình dọc theo một đường tròn bán kính r, được xác định bởi lực Lorentz và bằng mv/eB, trong đó m và e là khối lượng và điện tích của electron*). Nếu khoảng cách ab nhỏ hơn đường kính của đường tròn 2r thì tại điểm tiếp xúc b sẽ xuất hiện các electron thoát ra khỏi a không vuông góc lên bề mặt. Khi ab > 2r thì các electron sẽ ngừng tiếp xúc b. Bây giờ chúng ta hãy nhân đôi từ trường. Bán kính r sẽ giảm đi một nửa. Bây giờ các electron có thể đến tiếp điểm b, phản xạ gương từ bề mặt

*) Không phải ở bất kỳ kim loại thực nào, quỹ đạo của electron trong từ trường là một đường tròn. Điều này chỉ xảy ra với kim loại kiềm. Nói chung, do sự tương tác của electron với mạng tinh thể, quỹ đạo của nó có thể bị biến dạng.

6

Về ảnh hưởng của bề mặt đến tính chất của dây dẫn

Người ta biết rằng điện trở của dây dẫn được xác định bởi chiều dài $L$ và đường kính $d$ của nó:

$$R = \rho L / S = 4 \rho L / \pi d^2.$$

Câu hỏi mà chúng ta quan tâm là như sau: liệu chúng ta có thể giả sử rằng điện trở suất $Q$ chỉ phụ thuộc vào vật liệu làm dây và không phụ thuộc vào đường kính $d$ không? Bây giờ chúng ta thấy rằng đối với đáp số câu hỏi này, điều quan trọng là phải biết bản chất sự phản xạ của các electron dẫn từ bề mặt bên trong của dây dẫn.

Cho electron bị phản xạ một cách đặc trưng, ​​tức là hình chiếu động lượng của nó song song với bề mặt, cũng như năng lượng không thay đổi khi phản xạ (Hình 4, a). Điều này có nghĩa là sự hiện diện của một bề mặt không ảnh hưởng đến chuyển động của electron theo hướng song song với bề mặt. Chúng ta coi điện trường, như thường lệ, là hướng dọc theo bề mặt. Do đó, điện trở suất $Q$ cũng nhất thiết - từ bề mặt bên trong “gương” – phải trùng với điện trở suất của mẫu không bị giam giữ. Điện trở này phụ thuộc vào nồng độ của các electron tự do và vào đặc tính của các electron tự do cũng như vào đặc tính chuyển động bên trong dây dẫn. Như một phép tính đơn giản cho thấy (chúng ta sẽ thực hiện trong phần Phụ lục ở cuối bài), điện trở suất của một dây dẫn không giới hạn bằng

$$\varrho_0 = m / e^2 n \tau,$$

(1)

trong đó $m, e$ là khối lượng và điện tích của electron, $n$ là nồng độ electron trong vùng

$$\varrho_0 = \rho_0 \left( 1 + q \frac{l}{d} \right)$$

(2)

(Chúng tôi cũng sẽ rút ra công thức này trong phần Phụ lục). Ở đây $l$ là chiều dài electron tự do trung bình, nghĩa là khoảng cách trung bình mà một electron di chuyển giữa hai lần va chạm liên tiếp có khuyết tật và $q$ là giá trị được xác định bởi bản chất va chạm của electron với bề mặt. Các giá trị của $q$ nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Với phản xạ phản chiếu thuần túy $q = 0$ và chúng ta đi đến công thức trước đó (1). Hiệu chỉnh tương đối đối với nó, nghĩa là giá trị $\varrho_0 = 1 + q l / d$, chứa tỷ lệ giữa chiều dài của khoảng trống $l$ với độ dày của mẫu $d$. Điều này khá tự nhiên, vì electron “phản chiếu” bề mặt ở khoảng cách $l$ với nó và dòng điện chạy qua toàn bộ mặt cắt ngang của mẫu.

Đối với chỉ đủ mẫu, tức là ở $d \gg q l$, công thức (2) gần như trùng khớp với công thức (1). Trong trường hợp giới hạn ngược lại, khi $d \ll q l$, điện trở suất chỉ được xác định bởi đường kính $d$ và hoàn toàn không phụ thuộc vào độ dài của khe hở tự do $l$. Điều này xảy ra vì electron thường va chạm với các bề mặt của mẫu và bị phản xạ khuếch tán khỏi chúng. Trong trường hợp này, vai trò của chiều dài khe hở tự do được thể hiện bằng đường kính của mẫu.

Chúng ta thấy điều đó với bề mặt “gương”, tùy theo từng trường hợp cụ thể

7

điện trở tùy thuộc vào kích thước của mẫu được xác định bởi sự tương ứng giữa chiều dài của khe hở tự do $l$ và kích thước $d$. Trong hình ảnh tinh thể hiện đại, giá trị $l$ thay đổi đáng kể theo nhiệt độ. Ở nhiệt độ phòng, giá trị điển hình của $l$ là khoảng $10^{-5}$ cm. Khi nhiệt độ giảm, chiều dài của khe hở tự do tăng nhanh. Ở nhiệt độ của gel lỏng (~4 K), giá trị $l$ đôi khi đạt tới milimet. Điện trở của các mẫu có kích thước này và các mẫu mỏng hơn phụ thuộc vào sự phân tán trên bề mặt và do đó phụ thuộc vào đường kính $d$.

Sự phụ thuộc (2) thường được quan sát thấy trong các thí nghiệm, nhưng những sai lệch so với nó cũng được biết đến. Tình huống đáng được chú ý đặc biệt khi chiều dài của không gian trống $l$ rất lớn so với độ dày $d$ và sự phản chiếu gần giống với phản xạ. Người ta không nên nghĩ rằng hình ảnh gần như phản chiếu là không có thật. Trong trường hợp giới hạn của tần số gần như sượt qua, nghĩa là khi góc giữa hướng chuyển động và bề mặt có xu hướng bằng 0, thì sự phản xạ nhất thiết phải là phản xạ. Mọi người đều quen thuộc với hiện tượng này: nếu bạn nhìn đường nhựa từ một góc đủ nhỏ, chẳng hạn như khi đang lên núi, thì nó sẽ lấp lánh như một tấm gương vào thời điểm đường nhìn tiếp tuyến với đường cao tốc.

Do đó, chúng ta có thể, hơi tùy tiện, chia các electron thành hai nhóm: nhóm trượt, phản xạ gần như phản xạ, và nhóm còn lại, phản xạ khuếch tán. Mỗi nhóm này góp phần vào điện trở của dây dẫn.

Bây giờ chúng ta hiểu rằng các điều kiện phản xạ từ một bề mặt được xác định bởi trạng thái của bề mặt đó và các góc mà các electron tiếp cận bề mặt. Giá trị $q$ trong công thức (2), đặc trưng cho sự tương tác của các electron với bề mặt, ở các góc trượt nhỏ $\theta$ (ở các góc tới gần $\pi/2$) có thể được biểu diễn dưới dạng $q = Q\theta$, trong đó $Q$ là một số hệ số được xác định bởi chất lượng của bề mặt. (Công thức này cho $q$ đơn giản nhất là đáp ứng yêu cầu $q \rightarrow 0$ cho $\theta \rightarrow 0$, nhưng cũng có thể thu được bằng các phép tính đơn giản.)

Như các tính toán cho thấy, sự đóng góp của các electron trượt vào điện trở của một tấm mỏng có độ dày $d$ hóa ra bằng

$$\varrho_{\text{ск}} = \varrho_0 \sqrt{Ql/d}$$

(3)

(đối với dây mỏng công thức sẽ khác). Sự đóng góp của các electron còn lại được phản xạ bởi sự khuếch tán mang lại số hạng thứ hai trong công thức (2), trong đó $q$ tương ứng với các góc lướt qua lớn ($\Theta \approx \pi/2$). Đối với độ dày đủ nhỏ, các giá trị (3) nhỏ hơn số hạng thứ hai này (dễ dàng nhận thấy rằng đối với $x \sim \sqrt{d}/l \ll 1$ nhỏ nhất thì bất đẳng thức $x \gg x^2$ giữ nguyên). Tổng điện trở của mẫu được tính bằng điện trở của hai dây dẫn mắc song song.

Chúng tôi đã xem xét một số bài toán khác nhau ở đây, mỗi trong số đó đều có lợi ích riêng. Điểm chung của chúng là đều liên quan đến việc nghiên cứu các ngôn ngữ bề mặt. Một lĩnh vực khoa học mới đang lướt qua trước mắt chúng ta, thu hút nhiều phương pháp nghiên cứu khác nhau đã được phát triển và sử dụng trong cơ học, vật lý và hóa học.

Ứng dụng

Xét một dây dẫn có chiều dài $L$ có tiết diện phẳng $S$, đặt vào một điện áp $U$. Điện trường của dây dẫn bên trong là $E = U/L$.

Khi không có trường, các electron trong dây dẫn chuyển động ngẫu nhiên và tốc độ trung bình của chúng bằng không. Do tác động của trường điện tử, tốc độ trung bình $\bar{u}$ (còn gọi là tốc độ trôi) xuất hiện từ 0. Tốc độ này có thể được ước tính bằng cách giả sử rằng nó bị mất hoàn toàn khi một electron va chạm với một nguyên tử muối, bị khuyết tật hoặc với một nguyên tử đã qua sử dụng. Nếu thời gian trung bình giữa hai lần va chạm của một electron là $t$ thì tại thời điểm va chạm tốc độ trung bình của electron bằng

$$\bar{u} \approx a\tau = \frac{eE}{m}\tau = \frac{eU}{mL}\tau$$

trong đó $a$ là gia tốc mà electron thu được trong trường $E$.

Để tính cường độ dòng điện chạy qua dây dẫn, bạn cần nhân số electron chạy qua dây dẫn trong một đơn vị thời gian với điện tích của electron:

$$I = enS\bar{u},$$

8

trong đó $n$ là nồng độ electron. Thay thế ở đây $u$, ta thu được định luật Ohm: $I = U/R$, trong đó điện trở $R$ tỷ lệ thuận với chiều dài $l$ và tỷ lệ nghịch với tiết diện $S$ - $R = \varrho_0 L/S$, và điện trở suất $\varrho_0$ không phụ thuộc vào $L$ và $S$:

$$\varrho_0 = \frac{m}{ne^2\tau}.$$

(MỘT)

Cho đến thời điểm đó, chúng tôi đã bị phân tâm khỏi thực tế là người soát vé có ranh giới. Bây giờ chúng ta hãy dạy nó.

Chúng ta thấy rằng điện trở suất của một vật dẫn lớn được xác định bằng nghịch đảo thời gian giữa hai lần va chạm liên tiếp của một electron với các nguyên tử hoặc khi có khuyết tật trên vật dẫn. Khi có ranh giới, vai trò của m được thể hiện theo thời gian giữa hai electron Stolnov liên tiếp có ranh giới. Thời gian này có độ lớn bằng $d/v$, trong đó $v$ là đặc tính chuyển động của các electron trong kim loại, $d$ là độ dày của mẫu. Sự đóng góp của dòng điện không đáng kể (đứng yên). Chúng phát sinh khi một nam châm tiếp cận bề mặt chất siêu dẫn do hiện tượng cảm ứng điện từ. Ví dụ, dòng điện cảm ứng trong chất siêu dẫn được xác định theo định luật Lenz, và từ trường được tạo ra sẽ đẩy vòng nam châm, cân bằng tác dụng của trọng lực. Chuyển động nhỏ nhất của nam châm gây ra sự thay đổi từ trường của dòng điện siêu dẫn - trường “đi theo” nam châm; Trong trường hợp này, bề mặt lõm của chất siêu dẫn dẫn đến vị trí cân bằng của nam châm trở nên ổn định.

Việc lắp đặt một nam châm nổi được gọi đùa là “quan tài của Mohammed” (theo truyền thuyết, quan tài của phó tướng Mohammed được treo trong không gian mà không có bất kỳ sự hỗ trợ nào). Thiết bị được hiển thị trên trang đầu tiên của trang bìa là cần thiết để có khả năng chống va chạm thuận tiện với các ranh giới, chúng ta có thể ước tính nó bằng cách thay thế các giá trị 1/τ $v/d$ vào (a) với nhau:

$$\varrho_s = q \frac{mv}{ne^2d},$$

(b)

trong đó hệ số $q$ được đưa vào để tính đến hiệu quả của tương tác bề mặt: đối với bề mặt gương lý tưởng $q = 0$, trong trường hợp phản xạ khuếch tán hoàn toàn của các electron từ bề mặt $q = 1$.

Về nguyên tắc, mỗi electron có thể chịu rất nhiều năng lượng cả trên bề mặt và bên trong dây dẫn. Do đó, tổng điện trở của mẫu bằng tổng các số hạng (a) và (b):

$$\varrho = \varrho_0 + \varrho_s = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{v\tau}{d} \right) = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{l}{d} \right),$$

trong đó $l = v\tau$ là độ dài trung bình của quãng đường chạy tự do của electron, tức là khoảng cách trung bình mà electron đi được giữa hai lần va chạm liên tiếp.

Bìa trước minh họa thí nghiệm nam châm nổi. Bên trong một chiếc bình kim loại sáng bóng, một nam châm vòng vĩnh cửu treo phía trên thân mà không có bất kỳ vật đỡ nào, bên trong có chứa heli lỏng và chất siêu dẫn. Chất siêu dẫn là một đĩa chì mỏng có đường kính 16 cm, bề mặt của nó hơi lõm. (Thành ngoài của bình có hình dạng của chất siêu dẫn; độ lõm của bề mặt đảm bảo sự ổn định của trạng thái cân bằng của nam châm.) ​​Thí nghiệm này xác nhận sự tồn tại của chất siêu dẫn bên trong chất siêu dẫn. Chúng phát sinh khi một nam châm tiếp cận bề mặt chất siêu dẫn do hiện tượng cảm ứng điện từ. Ví dụ, dòng điện cảm ứng trong chất siêu dẫn được xác định theo định luật Lenz, và từ trường được tạo ra sẽ đẩy vòng nam châm, cân bằng tác dụng của trọng lực. Chuyển động nhỏ nhất của nam châm gây ra sự thay đổi từ trường của dòng điện siêu dẫn - trường “đi theo” nam châm; Trong trường hợp này, bề mặt lõm của chất siêu dẫn dẫn đến vị trí cân bằng của nam châm trở nên ổn định.

Việc lắp đặt một nam châm nổi được gọi đùa là “quan tài của Mohammed” (theo truyền thuyết, quan tài của phó tướng Mohammed được treo trong không gian mà không có bất kỳ sự hỗ trợ nào). Thiết bị, được hiển thị trên trang đầu tiên của trang bìa, cần có điện trở thuận tiện có ranh giới, chúng ta có thể ước tính nó bằng cách thay thế 1/τ của giá trị $v/d$ vào (a) với nhau:

$$\varrho_s = q \frac{mv}{ne^2d},$$

(b)

trong đó hệ số $q$ được đưa vào để tính đến hiệu quả của tương tác bề mặt: đối với bề mặt gương lý tưởng $q = 0$, trong trường hợp phản xạ khuếch tán hoàn toàn của các electron từ bề mặt $q = 1$.

Về nguyên tắc, mỗi electron có thể chịu rất nhiều năng lượng cả trên bề mặt và bên trong dây dẫn. Do đó, tổng điện trở của mẫu bằng tổng các số hạng (a) và (b):

$$\varrho = \varrho_0 + \varrho_s = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{v\tau}{d} \right) = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{l}{d} \right),$$

trong đó $l = v\tau$ là độ dài trung bình của quãng đường chạy tự do của electron, tức là khoảng cách trung bình mà electron đi được giữa hai lần va chạm liên tiếp.

Bìa trước minh họa thí nghiệm nam châm nổi. Bên trong một chiếc bình kim loại sáng bóng, một nam châm vòng vĩnh cửu treo phía trên thân mà không có bất kỳ vật đỡ nào, bên trong có chứa heli lỏng và chất siêu dẫn. Chất siêu dẫn là một đĩa chì mỏng có đường kính 16 cm, bề mặt bề mặt chất siêu dẫn ổn định.

Việc lắp đặt một nam châm nổi được gọi đùa là “quan tài của Mohammed” (theo truyền thuyết, quan tài của phó tướng Mohammed được treo trong không gian mà không có bất kỳ sự hỗ trợ nào). Thiết bị, được hiển thị trên trang đầu tiên của trang bìa, cần có điện trở thuận tiện có ranh giới, chúng ta có thể ước tính nó bằng cách thay thế 1/τ của giá trị $v/d$ vào (a) với nhau:

$$\varrho_s = q \frac{mv}{ne^2d},$$

(b)

trong đó hệ số nhân $q$ được đưa vào để tính đến hiệu quả của tương tác bề mặt: đối với bề mặt gương lý tưởng $q = 0$, như sự phản xạ khuếch tán hoàn toàn của các electron từ bề mặt $q = 1$.

Về nguyên tắc, mỗi electron có thể chịu rất nhiều năng lượng cả trên bề mặt và bên trong dây dẫn. Do đó, tổng điện trở của mẫu bằng tổng các số hạng (a) và (b):

$$\varrho = \varrho_0 + \varrho_s = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{v\tau}{d} \right) = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{l}{d} \right),$$

trong đó $l = v\tau$ là độ dài trung bình của quãng đường chạy tự do của electron, tức là khoảng cách trung bình mà electron đi được giữa hai lần va chạm liên tiếp.

Bìa trước minh họa thí nghiệm nam châm nổi. Bên trong một chiếc bình kim loại sáng bóng, một nam châm vòng vĩnh cửu treo phía trên thân mà không có bất kỳ vật đỡ nào, bên trong có chứa heli lỏng và chất siêu dẫn. Chất siêu dẫn là một đĩa chì mỏng có đường kính 16 cm, bề mặt bề mặt chất siêu dẫn ổn định.

Việc lắp đặt một nam châm nổi được gọi đùa là “quan tài của Mohammed” (theo truyền thuyết, quan tài của phó tướng Mohammed được treo trong không gian mà không có bất kỳ sự hỗ trợ nào). Thiết bị, được hiển thị trên trang đầu tiên của trang bìa, cần có điện trở thuận tiện có ranh giới, chúng ta có thể ước tính nó bằng cách thay thế 1/τ của giá trị $v/d$ vào (a) với nhau:

$$\varrho_s = q \frac{mv}{ne^2d},$$

(b)

trong đó hệ số nhân $q$ được đưa vào để tính đến hiệu quả của tương tác bề mặt: đối với bề mặt gương lý tưởng $q = 0$, như sự phản xạ khuếch tán hoàn toàn của các electron từ bề mặt $q = 1$.

Về nguyên tắc, mỗi electron có thể chịu rất nhiều năng lượng cả trên bề mặt và bên trong dây dẫn. Do đó, tổng điện trở của mẫu bằng tổng các số hạng (a) và (b):

$$\varrho = \varrho_0 + \varrho_s = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{v\tau}{d} \right) = \varrho_0 \left( 1 + q \frac{l}{d} \right),$$

trong đó $l = v\tau$ là độ dài trung bình của quãng đường chạy tự do của electron, tức là khoảng cách trung bình mà electron đi được giữa hai lần va chạm liên tiếp.

9

Hệ thống báo cáo phi quán tính
Tiến sĩ Vật lý và Toán học
L. G. ASLAMAZOV

Khi Kolernik thay thế hệ địa tâm của thế giới Ptolemy bằng hệ nhật tâm và giải thích sự chuyển động của tất cả các hành tinh trong đó, ông đã tạo ra một lời giải trong suy nghĩ của con người. Trong nhiều thế kỷ, người ta coi chuyển động của mọi vật chỉ tương đối với Trái đất. Theo ngôn ngữ hiện đại, họ sử dụng một hệ thống báo cáo chuyên dụng, duy nhất liên quan đến Trái đất, mặc dù chuyển động của các hành tinh và Mặt trời được mô tả một cách rất phức tạp.

Sau đó, từ các tác phẩm của Galileo và Newton, người ta thấy rõ rằng không chỉ hệ thống báo cáo liên quan đến Mặt trời và các ngôi sao cố định đều phù hợp để mô tả chuyển động, mà còn bất kỳ hệ thống nào khác chuyển động đều và thẳng so với nó. Đây là cách các hệ thống báo cáo quán tính được phát hiện, trong đó chuyển động của vật thể được điều khiển bởi các định luật Newton đơn giản.

Chà, chuyện gì đã xảy ra tiếp theo với hệ thống báo cáo trần thế? Xét cho cùng, đối với chúng ta, Trái đất xét cho cùng là một hệ thống riêng biệt; Khi nghiên cứu chuyển động của các vật thể trên Trái đất, bạn thường có thể hoàn toàn quên mất Mặt trời và các ngôi sao. Nói đúng ra, hệ thống báo cáo này không quán tính vì Trái đất quay quanh trục của nó và Mặt trời. Tuy nhiên, gia tốc gắn liền với những chuyển động này, chúng ta và thường chỉ mắc một lỗi nhỏ là sử dụng các định luật Newton để mô tả chuyển động. Thông thường, nhưng không phải luôn luôn.

Nhiều người có lẽ đã đến Leningrad và nhìn thấy xưởng đúc tiền nổi tiếng ở Nhà thờ St. Isaac, hoặc ít nhất đã nghe nói về nó (Hình 1). Con lắc này không chỉ dao động mà mặt phẳng dao động của nó cũng quay chậm. Quan sát này lần đầu tiên được nhà khoa học người Pháp Foucault thực hiện vào năm 1851. Thí nghiệm được thực hiện trong hội trường lớn của Pantheon ở Paris, quả cầu lắc có khối lượng 28 kg và chiều dài của sợi dây là 67 m. Kể từ đó, con lắc như vậy được gọi là con lắc Foucault. Làm thế nào để giải thích chuyển động của nó?

Nếu các định luật Newton được tuân thủ nghiêm ngặt trên Trái đất, thì như đã biết từ khóa học vật lý ở trường,

10

biệt danh sẽ dao động trong một mặt phẳng.
Điều này có nghĩa là trong hệ thống báo cáo gắn liền với Trái đất, các định luật Newton phải được “sửa chữa”. Điều này được thực hiện bằng cách đưa vào các lực đặc biệt - lực quán tính.

Lực quán tính phát huy tác dụng trong bất kỳ hệ thống báo cáo nào chuyển động theo gia tốc quán tính. Những hệ thống như vậy được gọi là hệ thống báo cáo phi quán tính.

Để tìm lực quán tính, cần xem xét chuyển động của cùng một vật trong hai hệ báo cáo - không quán tính và quán tính. Kết quả trước hết phụ thuộc vào cách hệ phi quán tính chuyển động. Cô ấy có thể di chuyển

Rõ ràng là nó có thể xoay và sự kết hợp của những chuyển động này cũng xảy ra.

Chúng ta hãy tạm gác vấn đề của Foucault sang một bên - nó khá phức tạp. trường hợp - và trước tiên hãy xem xét một ví dụ đơn giản hơn.

Hệ thống báo cáo
tiến về phía trước

Hãy tưởng tượng bạn đang ở phía sau một chiếc xe tải và chiếc xe tải đó đột nhiên lao đi. Nếu không kịp nắm lấy bên cạnh, có thể bay ra khỏi cơ thể. Về Trái đất, mọi thứ đều rõ ràng: con người vẫn bất động và sàn của cơ thể biến mất dưới chân anh ta. Nhưng làm thế nào để giải thích điều này?

11

hiện tượng trong hệ thống báo cáo phi quán tính liên quan đến một chiếc xe tải đang chuyển động nhanh? Không có lực mới nào tác dụng lên người đứng phía sau (để đơn giản, chúng ta giả sử rằng lực ma sát nhỏ) và người đó bắt đầu chuyển động so với xe tải với gia tốc. Rõ ràng là không thể đơn giản chấp nhận các định luật Newton trong hệ này: có gia tốc nhưng không có lực. Chính vì vậy cần phải đưa vào các lực giả định - lực quán tính.

Một ví dụ khác về hệ thống báo cáo phi quán tính mà chúng ta sẽ xem xét chi tiết hơn là thang máy đang chuyển động tăng tốc. Khi thang máy di chuyển lên trên, bạn cảm thấy “nặng nề” khi tăng tốc và “nhẹ nhàng” khi phanh gấp. Nếu bạn sử dụng định luật Newton trong hệ thống thang máy thì điều này không thể hiểu được. Thật vậy, cơ thể chịu tác dụng của lực hấp dẫn $m\vec{g}$ và phản lực $\vec{N}$. Vì người đó sẽ chết nên lực phản ứng phải có độ lớn bằng lực hấp dẫn. Nhưng từ kinh nghiệm thì rõ ràng là không phải như vậy. Do đó (nếu tính trong thang máy), bạn cần cộng thêm một lực giả định nào đó vào trọng lực khi thang máy tăng tốc và trừ đi khi tách ra. Đây là lực quán tính.

Lực quán tính là gì? Để tìm ra điều này, trước tiên chúng ta tìm phản lực tác dụng lên một người khi tăng tốc và giảm tốc thang máy trong một hệ thống báo cáo đứng yên. Định luật thứ hai của Newton có giá trị cho một hệ thống như vậy

$$\pm ma = N - mg,$$

trong đó dấu “+” tương ứng với gia tốc của thang máy (gia tốc hướng lên trên) và dấu “-” dùng để chỉ trường hợp giảm tốc của thang máy (gia tốc hướng xuống dưới). Do đó lực phản ứng

$$N = mg \pm ma.$$

Trong hệ thống nối với thang máy thì phản lực phải bằng nhau nên cần cộng lực quán tính vào lực hấp dẫn khi thang máy tăng tốc và trừ đi khi thang máy giảm tốc. Từ đẳng thức cuối cùng, chúng ta thu được rằng lực quán tính tác dụng lên một người trong thang máy bằng

$$\vec{F}_n = -m\vec{a}.$$

Bây giờ mọi thứ đã ổn định: khi thang máy tăng tốc, quán tính dường như làm cho vật nặng hơn, và khi nó chạy chậm lại thì ngược lại, nó nhẹ đi (Hình 2). Xin lưu ý rằng quán tính vật lý có hình dáng tương tự như trọng lực: cả hai đều tỷ lệ thuận với khối lượng của cơ thể.

Ví dụ, đôi khi bạn nghe thấy rằng quán tính nhẹ ném hành khách ra phía sau khi tàu tăng tốc và chỉ họ tiến về phía trước khi tàu chạy chậm lại, tức là họ nói về lực quán tính như các lực thông thường. Trong trường hợp này, cần phải nói thêm rằng chuyển động được coi là liên quan đến hệ thống báo cáo chuyển động có gia tốc (trong trường hợp này là liên quan đến tàu). Nhưng hệ thống này không được quên nguồn gốc của lực quán tính. Các lực này về cơ bản khác với các lực thông thường: chúng không liên quan đến sự tương tác của các vật thể. Đây là lý do tại sao chúng thường được gọi là lực hư cấu hoặc lực giả. Lực quán tính được đưa vào một cách giả tạo nhằm mô tả sự thay đổi gia tốc của một vật thể trong hệ thống báo cáo phi quán tính so với lực quán tính đối với cùng một lực thực điều khiển vật thể đó.

Nghiên cứu chuyển động trong hệ thống báo cáo phi quán tính bằng cách đưa vào một lớp quán tính thường đơn giản và thuận tiện hơn so với trong hệ thống quán tính, nơi không có các lực như vậy, nhưng bản chất của chuyển động có thể được xác định.

12

khó khăn hơn nhiều. Bạn có thể dễ dàng xác minh điều này bằng cách giải bài toán ở cuối bài viết.

Hệ thống vắng mặt đang gặp sự cố

Giả sử rằng một chiếc xe tải với một người ở phía sau đã quen thuộc với chúng ta đang rẽ. Sau đó, một người có thể va vào một bên và thậm chí bị va đập. Tại sao điều này lại xảy ra? Về Trái đất, mọi thứ đều rõ ràng: một người tiếp tục di chuyển theo đường thẳng, và hông xe tải đang rẽ, tiến lại gần anh ta. Ngược lại, trong hệ không có liên kết với xe tải, người đó di chuyển gần sang một bên hơn, mặc dù không có lực thực mới nào tác dụng lên người trong hệ thống này. Để giải thích chuyển động này trong hệ phi quán tính của ô tô tải, cần đưa ra một lực giả định - lực quán tính định tâm, hướng dọc theo bán kính tính từ tâm quay. Vậy đó - các lực lượng là hư cấu, nhưng những va chạm là có thật!

Một ví dụ khác là người đàn ông trên băng chuyền. Tại sao nó di chuyển theo vòng tròn? Trong hệ quán tính, sự vắng mặt của đáp số đưa ra định luật thứ hai của Newton: phản lực từ thành bên của ghế hướng về tâm, gây ra hiện tượng hướng tâm. Có thể hiểu chuyển động này và sử dụng các định luật Newton trong một hệ quay không? Một lần nữa, không: trong hệ thống này, một người sẽ chết, đồng thời lực phản ứng từ cây thánh giá tác động lên người đó. Nhưng mọi thứ sẽ đâu vào đấy nếu bạn đưa vào một lực quán tính định tâm hướng từ tâm quay. Sau đó bạn có thể giải thích tại sao không có chuyển động trong hệ thống này.

Để tìm các giá trị tâm của lực quán tính, trước tiên chúng ta xem xét chuyển động của một người trong một hệ tĩnh (quán tính) vắng mặt. Gia tốc hướng tâm $a_u = \omega^2 r$ (ω là tần số quay của băng chuyền, r là bán kính của nó) là do phản lực $T$ tác dụng lên người từ phía ghế băng chuyền (Hình 3):

$$m\omega^2 r = T.$$

Trong một hệ quay (quán tính) không định tâm, lực quán tính $\vec{F}_{u6}$ phải có mô đun bằng lực $\vec{T}$ và có hướng ngược lại với lực đó. Đó là lý do tại sao

$$F_{u6} = -m\omega^2 r,$$

trong đó dấu “—” chỉ ra rằng lực này được hướng từ tâm quay. Có thể thấy, trong hệ quay vắng mặt đặc tính

đặc biệt là lực quán tính - những lực này tỉ lệ thuận với khối lượng của vật.

Lực quán tính ly tâm gặp phải trong nhiều bài toán thực tế. Đồng thời, khi tính toán, họ thường quên mất nguồn gốc của chúng và coi chúng như những lực thông thường. Ví dụ, người ta tin rằng lực quán tính ly tâm tồn tại nhiều hơn trong các máy ly tâm, tách các đồng vị và giúp đào tạo các phi hành gia; nó cũng có thể phá hủy rôto tuabin và gây ra hiện tượng lệch bánh xe khi căn chỉnh phẳng. Chúng ta hãy lưu ý một lần nữa rằng những tuyên bố như vậy chỉ có ý nghĩa trong một hệ thống báo cáo luân phiên. Nhưng ngay cả ở đó, chúng ta phải nhớ rằng lực quán tính là một lực hư cấu được đưa vào để mô tả sự thay đổi gia tốc của vật do chuyển động quay của hệ thống báo cáo. Tất cả các hiện tượng được mô tả có thể ràng buộc bằng cách xem xét chúng trong một hệ quán tính, trong đó các định luật Newton có giá trị. Đúng là nghĩa vụ ở đó sẽ khó khăn hơn.

quyền lực Korpolis

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về trường hợp một người không chỉ ngồi trên băng chuyền mà còn quyết định di chuyển từ ghế này sang ghế khác (xem Hình 3), tức là anh ta bắt đầu di chuyển theo vòng tròn với tốc độ nhất định $v_0$ trong hệ thống băng chuyền, chẳng hạn như theo hướng quay. (Thí nghiệm hoàn toàn mang tính trí tuệ, vì điều này bị nhà chức trách nghiêm cấm.) Hóa ra khi đó cần phải đưa vào một quán tính khác, cũng hướng từ tâm quay.

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét chuyển động của một người so với Trái đất. Tổng tốc độ chuyển động $v$ là tổng tốc độ tuyến tính của băng chuyền $\omega r$ và tốc độ chuyển động tương đối $v_0$:

$$v = \omega r + v_0.$$

Gia tốc hướng tâm được xác định theo công thức quen thuộc

$$a_u = \frac{v^2}{r} = \frac{v_0^2}{r} + \omega^2 r + 2v_0\omega.$$

Theo định luật thứ hai của Newton

$$ma_u = Q,$$

trong đó $Q$ là phản lực tác dụng lên một người từ phía băng chuyền.

Bây giờ chúng ta hãy xem chuyển động tương tự trong hệ thống băng chuyền. Ở đó tốc độ là $v_0$ và gia tốc hướng tâm là $a_u' = v_0^2/r$. Sử dụng hai đẳng thức trước, chúng ta có thể viết

$$ma_u' = \frac{mv_0^2}{r} = Q - m\omega^2 r - 2mv_0\omega.$$

Muốn áp dụng định luật Newton trong một hệ quay thì ta phải điều khiển lực quán tính

$$F_{ин} = -(m\omega^2 r + 2mv_0\omega),$$

trong đó dấu “—” chỉ ra rằng lực này được hướng từ tâm quay. Số hạng đầu tiên là lực quán tính vốn đã quen thuộc $F_{ин6}$ của tâm Roblis. Vòng quay càng nhanh và càng xa trung tâm thì càng lớn. Lực thứ hai được gọi là lực Korpolis $F_k$ (được đặt theo tên của nhà khoa học người Pháp Korpolis, người đầu tiên tính toán lực này). Nó chỉ được đưa vào khi cơ thể chuyển động trong hệ thống quay. Nó không phụ thuộc vào vị trí của cơ thể mà phụ thuộc vào tốc độ chuyển động của cơ thể và tốc độ quay của hệ thống báo cáo.

Điều gì sẽ xảy ra nếu vật trong hệ thống quay không chuyển động theo đường tròn mà, chẳng hạn, dọc theo bán kính (xem Hình 3)? Hóa ra trong trường hợp này cũng cần phải điều khiển lực lượng Korpolis, nhưng chúng sẽ không hướng dọc theo bán kính mà vuông góc với nó. Và nói chung, trong bất kỳ chuyển động nào trong một hệ quay, lực Korpolis đều hướng vuông góc với trục quay và tốc độ của vật. Điều đáng ngạc nhiên nhưng lại đúng: khi chuyển động trong một hệ quay, lực quán tính dường như chỉ có hướng ngang.

Những từ “như thể” tồn tại là có lý do. Nguồn gốc của lực Korpolis giống như mọi lực quán tính - nó là lực giả. Đây là một ví dụ rõ ràng về điều này.

Hãy tưởng tượng rằng một khẩu pháo được đặt hết cỡ và bắn dọc theo kinh tuyến (các sọc được buộc lại để dễ căn chỉnh). Mục đích của việc ở trên cùng một kinh tuyến. Đạn có thể bắn trúng mục tiêu không? Nếu bạn nhìn việc bắn từ bên cạnh (bò hệ thống quán tính từ

16

anh em gặp hiện tượng này có thể giải quyết được bài toán 7 cuối bài viết nhé.

Lực Corilis làm các vật thể padai bị lệch về phía đông. (Hãy cố gắng tự giải thích hiệu ứng này.) Năm 1833, nhà vật lý người Đức Ferdinand Reich đã tiến hành thí nghiệm ở mỏ Freiburg và phát hiện ra rằng khi các vật rơi tự do từ độ cao 158 m, độ lệch trung bình của chúng (theo 106 thí nghiệm) là 28,3 mm. Đây là một trong những bằng chứng thực nghiệm đầu tiên về lý thuyết của Corilis.

Bài toán

1. Phía sau xe tải có một chiếc hộp gỗ đựng đầy gạch. Đáy hộp có cạnh vuông $l=1$ m; Khối lượng của hộp không đáng kể so với khối lượng của viên gạch. Được biết, hộp bắt đầu trượt nếu xe tải chịu gia tốc lớn hơn $a=6$ m/s². Một viên gạch có thể được đặt trong hộp ở độ cao bao nhiêu mà không sợ nó bị lật với gia tốc như vậy?

2. Khi cất cánh thẳng đứng, tên lửa chuyển động với gia tốc 2g. Chu kỳ dao động của một con lắc có chiều dài $l$ đặt trong cabin tên lửa là bao nhiêu? Chu kỳ dao động của con lắc sẽ là bao nhiêu khi tên lửa rơi xuống theo phương thẳng đứng với cùng gia tốc 2g?

3. Đồng hồ mềm được lắp đặt trên đoàn tàu tự nhiên, khởi hành từ ga và quay trở lại sau một thời gian. Đồng hồ ở ga và đồng hồ trên tàu khác nhau như thế nào? Xin lưu ý rằng khi phanh và tăng tốc, tàu sẽ tăng tốc.

4. Một thanh đồng chất có chiều dài $2l$ và khối lượng $m$ quay với vận tốc góc $\omega$ trong mặt phẳng nằm ngang quanh một trục đi qua tâm của nó. Xác định lực căng của thanh thay đổi như thế nào tùy thuộc vào khoảng cách đến tâm quay. Tìm giá trị lớn nhất của lực căng này.

5. Một chuỗi kim loại có chiều dài $l$ và khối lượng $m$, các đầu của chúng được nối với nhau, được gắn trên một đĩa. Đĩa quay trong mặt phẳng nằm ngang, thực hiện $n$ vòng trong một đơn vị thời gian. Xác định lực căng của dây xích $T$.

6. Một lưỡi dao cạo được đặt trong một rãnh hướng tâm hẹp nằm trên bề mặt của một đĩa nằm ngang. Theo hướng nào - về phía hay ngược chiều quay - lưỡi dao sẽ rơi khi quay đĩa (lưỡi dao có thể trượt dọc theo rãnh)?

7. Một con sông ở bán cầu bắc chảy về phía nam. Độ rộng của các kênh trong Shipoteka là $d$, tốc độ dòng chảy là $v$. Viết công thức tính chênh lệch mực nước ở bờ đông và bờ tây sông. Hãy ước tính giá trị này cho sông Volga. Hiệu ứng này sẽ được quan sát thấy nếu dòng sông chảy song song? Điều gì xảy ra nếu một dòng sông băng qua xích đạo?

Lịch của chúng tôi

Hiệu ứng Meissner
(hoặc Cách thực hiện các khám phá)

Vào mùa thu năm 1933, một khám phá nổi bật đã được thực hiện: người ta phát hiện ra rằng từ trường không xuyên sâu vào chất siêu dẫn, hay nói cách khác, cảm ứng từ trong chất siêu dẫn bằng không.

Khám phá này được thực hiện như thế nào? Một chuyên gia nổi tiếng trong lĩnh vực vật lý nhiệt độ thấp, W. Meissner và cộng tác viên của ông là R. Ochsenfeld, đã quyết định thử nghiệm thực nghiệm phép tính của nhà vật lý nổi tiếng, người đoạt giải Nobel M. Laue. Laue đã tính toán sự phân bố của từ trường xung quanh chất siêu dẫn bằng công thức hình học đơn giản. Nó đến từ những tin nhắn sau đây. Khi bật từ trường trong chất siêu dẫn, các điểm đầu ra không giảm chấn sẽ xuất hiện do cảm ứng điện từ. Theo định luật Lenz, từ thông của từ trường do các dòng điện này tạo ra bằng từ thông của từ trường bật nhưng có dấu ngược lại. Do đó, từ trường tổng cộng trong chất siêu dẫn bằng không. Do đó, từ trường bật sẽ không xâm nhập vào chất siêu dẫn.

Meissner và Ochsenfeld đã thay đổi sự phân bố của từ trường xung quanh từ trường và đảm bảo rằng các tính toán của Laue là chính xác. Sau đó, họ quyết định sử dụng hoạt động thử nghiệm. Đầu tiên, một từ trường được bật lên và mẫu đang nghiên cứu được đặt trong từ trường không đổi này ở nhiệt độ phòng. Sau đó nó được làm lạnh và từ đó chuyển sang trạng thái siêu dẫn. Một lần nữa, chúng tôi lặp lại các phép đo phân bố từ trường xung quanh từ trường trong xung quanh từ trường chảy ra khỏi mẫu khi nó chuyển sang trạng thái siêu dẫn. Điều này rõ ràng mâu thuẫn với tính toán của Laue.

Đây là cách người ta phát hiện ra một đặc tính chức năng của chất siêu dẫn, đặc tính này không thể “rút ra” được từ đẳng thức điện trở bằng 0. Hiện tượng “không thể xuyên thủng” của chất siêu dẫn đối với từ trường có tầm quan trọng cơ bản đối với vật lý của chất siêu dẫn. Nó được gọi là “hiệu ứng Meissner”.

B. E. Yavelov

17

Leonard Euler

(nhân kỷ niệm 200 năm ngày mất của ông)

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. G. GINDIKIN

Thế là Euler thôi tính toán và ngừng sống.
Condorcet

Vào đầu năm 1783, Công chúa Ekaterina Romanovna Dashkova, người 20 năm trước là cộng sự thân cận nhất của Catherine II trong những ngày bà lên ngôi Nga, được bổ nhiệm làm giám đốc Học viện Khoa học St. Nổi tiếng với khả năng sáng tạo của mình, công chúa đã nghĩ ra một động thái chắc chắn có thể thuyết phục được vị viện sĩ này về sự cam kết của cô với khoa học. Cô thuyết phục Euler đã qua đời, người từ lâu đã có mâu thuẫn với các cơ quan quản lý học thuật và không tham dự các hội nghị học thuật, đi cùng cô trong chuyến thăm đầu tiên đến Học viện. Blind Euler xuất hiện cùng với con trai và cháu trai của ông. Dashkova nhớ lại: “Tôi nói với họ rằng tôi đã đề nghị Euler tham gia cùng tôi trong cuộc phục kích, bởi vì, bất chấp sự thiếu hiểu biết của bản thân, tôi tin rằng bằng hành động như vậy, tôi long trọng chứng tỏ sự tôn trọng của mình đối với khoa học và sự khai sáng”.

Và chỉ vài tháng sau, trong biên bản của Học viện có viết: “Tại cuộc họp hội nghị ngày 11 tháng 9 năm 1783, Viện sĩ N. I. Fuss nhận nhiệm vụ thư ký *), vắng mặt do cái chết của người cha nổi tiếng của mình, ông Leonhard Euler, người qua đời vì một cơn đột quỵ vào ngày 7 tháng 9 lúc 11 giờ tối, thọ 76 tuổi, 5 tháng và 3 ngày, sau khi hoàn thành cuộc hành trình dài và rực rỡ của mình và là người đã làm nên tên tuổi bất tử của mình được biết đến khắp nơi Châu Âu.”

Tính cách đặc biệt của Euler và vai trò không thể cưỡng lại của ông trong lịch sử của Học viện đã buộc chúng ta phải tìm kiếm những cách độc đáo để tôn vinh trí nhớ của ông. Vào ngày 23 tháng 10, Viện sĩ N. I. Fuss, học trò của Euler và là chồng của các cháu ông, đã có một “bài phát biểu khen ngợi”. Các học giả đã quyết định, bằng chi phí của mình, làm một bức tượng bán thân của “Euler bất tử, đáng được ngưỡng mộ không kém vì thiên tài và công lao của ông,” và “nhà lãnh đạo lừng lẫy” của họ (Dashkova) “đã thêm vào đây một chiếc cột tráng lệ, làm nền cho bức tượng bán thân này”; Đầu tiên, bo mạch được lắp đặt trong thư viện, sau đó - đối diện với cây thánh giá của tổng thống trong phòng họp (và vẫn ở trong thư viện

*) Ông là Johann Albrecht, con trai cả của L. Euler.

18

bức tranh “Hình bóng của một nhóm học giả thuộc lớp Toán học, đang tham gia lắp đặt bức tượng bán thân của cố L. Euler”). Các vấn đề liên quan đến việc xuất bản tác phẩm của người đã khuất đã được thảo luận rất chi tiết (bao gồm cả chất lượng của bài báo).

Dịch vụ tôn vinh nhà khoa học đã lan rộng ra ngoài biên giới nước Nga. Thư ký thường trực của Viện Hàn lâm Khoa học Pháp, Marquis Condorcet (chưa đầy 10 năm sau, ông tham gia cuộc cách mạng và tên của ông sẽ bị xóa khỏi danh sách của Học viện St. Petersburg vì “hành vi đáng trách… chống lại chủ quyền”) đã nói trong “Bài điếu văn”: “Vì vậy, những người đã nhận được Zavarars vào đầu thế kỷ này hiện đang làm gương cho châu Âu văn minh - cách tôn vinh những con người vĩ đại trong suốt cuộc đời của họ và tôn trọng ký ức của họ trong cuộc đời của họ.” cái chết: và trong trường hợp này, các quốc gia khác nhận ra rằng họ không những không thể cảnh báo Nga về vấn đề này mà thậm chí còn không thể bắt chước”. Mặc dù ở Paris xa xôi, tình hình ở St. Petersburg có vẻ thịnh vượng hơn thực tế, nhưng thái độ đối với khoa học trong hơn 60 năm tồn tại của Học viện St. Petersburg đã trở nên không thể nhận ra.

Những năm đầu tiên của Học viện

Peter Tôi đã nghĩ đến việc tổ chức một Học viện ở Nga vào những năm cuối thế kỷ 17. Bắt đầu từ năm 1711, ông đã thảo luận kế hoạch của mình với Leibniz ba lần và thậm chí còn mời Leibniz phục vụ cho quân đội Nga.

Leibnitz không coi việc thiếu khoa học ở Nga là trở ngại cho việc thành lập Học viện và thậm chí còn tìm thấy một số lợi thế trong việc này. Tuy nhiên, rất ít người ở Nga chia sẻ sự lạc quan này. Có rất nhiều khó khăn trong quá trình thực hiện dự án, nhưng vào năm 1724, Thượng viện đã thông qua lời giải về việc thành lập Viện Hàn lâm Khoa học. Vào thời điểm này, ngay cả từ “khoa học” cũng chưa tồn tại trong tiếng Nga và Học viện được gọi là “Học viện Khoa học Di”.

Năm 1725, Peter qua đời khi chưa kịp khai trương Học viện. Catherine I không ngần ngại thực hiện kế hoạch của chồng mình, mặc dù bà không chia sẻ mối quan tâm của anh ấy với khoa học (như một người đương thời viết, “bệ hạ không thể hiểu được những công thức đáng khen ngợi của các nhà khoa học”). Số phận của Học viện luôn ở thế cân bằng. Nó được coi là một hiện tượng độc quyền của Đức, và đảng Nga, đặc biệt là Menshikov, đã phản đối nó. Các học giả đã cố gắng thiết lập mối liên hệ với công chúng Nga, những người hiểu rõ chức năng của Học viện. Hai lần một tuần, cửa hàng mở cửa đón du khách. Đôi khi bạn có thể thấy điều gì đó tuyệt vời ở đó.

Vào ngày 24 tháng 2 năm 1729, “Giáo sư Leitman đã thay đổi hình ảnh quốc huy (sử dụng giải thưởng) thành chân dung của vị hoàng đế trị vì.” Các học viện đã phần nào khẳng định mình với sự thành công trong việc tổ chức “đèn sáng vui nhộn” và chiếu sáng kết hợp với lễ hội trang trọng. Các vật liệu chất lượng cao không được coi trọng, ngoại trừ khi vẽ “bản đồ đất liền” và một số khuyến nghị cho thuyền viên.

20

Năm 1727, Euler cố gắng chiếm giữ chiếc ghế trưởng khoa vật lý ở Basel nhưng đã thất bại. Trong khi đó, anh tham gia thành công cuộc thi của Viện Hàn lâm Khoa học Pháp về cách sắp xếp cột buồm trên tàu tốt nhất. Đáng chú ý là “ở miền núi Thụy Sĩ, nơi mà Euler chưa bao giờ rời đi trước đây, tất nhiên, anh ấy chỉ có cơ hội nhìn thấy con tàu chỉ qua những bức ảnh…” (Viện sĩ A. N. Krylov).

Daniil Bernoulli đã thực hiện lời hứa khi rời St. Petersburg: ngay cả trước khi Euler cố gắng kiếm việc làm ở Basel, anh đã biết về cơ hội có được một vị trí trợ giảng về sinh lý học với mức lương 200 rúp. Bernoulli vội vàng, khuyên nên “ra đi vào mùa đông này”. Euler không hề xấu hổ khi phải hành nghề y. Vào những năm đó, y học không được coi là một môn khoa học, khác xa với toán học. Không xa để tìm kiếm các ví dụ: giáo viên I. Bernoulli của ông đã kết hợp toán học với thực hành y tế (thực tế là với việc dạy tiếng Hy Lạp). Euler bắt đầu nghiên cứu giải phẫu và sinh lý học; Sau đó, anh đã khiến những người xung quanh ngạc nhiên về kỹ năng y tế của mình. Cuộc ra đi không thành công nhanh chóng như D. Bernoulli mong muốn, nhưng vào mùa xuân năm 1727 Euler nhận được “ba mươi rúp trong một hối phiếu đổi tiền du lịch” và rời đi Nga. Ông đến St. Petersburg vào ngày Catherine I qua đời.

Trong những năm đầu tiên ở Petersburg, Euler khó có thể nghĩ rằng cuộc đời mình lại gắn bó chặt chẽ với Học viện đến vậy. Vào thời điểm đó, sự tồn tại liên tục của Học viện dường như cực kỳ có vấn đề. Sau đó N.I. Fuss sẽ viết: “Euler là vật trang trí cho Học viện yếu kém của chúng ta trong năm mươi năm. Trước mắt anh ấy, cô ấy bắt đầu tồn tại, chết nhiều lần và được phục hồi.” Euler cảm thấy rất khó chịu khi cái chết của Học viện đối với anh dường như là thật. Vào một trong những thời điểm khó khăn nhất, sau cái chết của Peter II vào năm 1730, một cuộc di cư hàng loạt của các học giả khỏi Nga bắt đầu, Euler rõ ràng đang đàm phán để gia nhập quân ngũ hải quân. Nhưng nó không cần thiết. Ngược lại, một vị trí tuyển dụng đã sẵn sàng cho phép Euler đảm nhận vị trí giáo sư (học giả) trong khoa vật lý (mặc dù với mức lương tương đối thấp là 400 rúp). Và hai năm sau, D. Bernoulli rời Nga và Euler đảm nhận vị trí trưởng khoa toán học của ông (mặc dù mức lương của ông - 600 rúp - chỉ bằng một nửa mức lương mà D. Bernoulli nhận được ở nơi này).

Qua nhiều năm, Euler đã trở thành một nhân vật nổi bật trong Học viện. Hầu hết các học giả đều không quá nhiệt tình với trách nhiệm của mình, hơn nữa, trách nhiệm này vẫn chưa được xác định rõ ràng. Euler không bỏ qua bất kỳ nhiệm vụ nào: ông liên tục lập báo cáo tại các hội nghị học thuật, giảng bài trước công chúng, viết sách giáo khoa về số học cho thôi miên học thuật và các bài báo khoa học phổ biến cho “Ghi chú” trên “Công báo St. Petersburg”, ông thực hiện nhiều kỳ thi khác nhau về nghiên cứu máy bơm cứu hỏa, cân, “máy cưa” và nam châm. Euler trình bày chi tiết nhiều dự án kỹ thuật. Nhìn về phía trước, chúng ta có thể nhớ lại nghiên cứu của Euler về tua-bin thủy lực và kết luận về thiết kế các địa điểm trên khắp sông Neva, bao gồm cả địa điểm có mái vòm đơn bằng gỗ của I.P. Kulibin, người làm thợ cơ khí tại Học viện.

Bắt đầu từ năm 1733, Euler tham gia vào việc “kiểm tra” bản đồ, và dần dần việc tham gia vào các hoạt động vẽ bản đồ trở thành nhiệm vụ học tập hàng đầu của ông. Câu hỏi đặt ra là vẽ một bản đồ tổng quát về nước Nga trên cơ sở các bản đồ tỉnh đã được biên soạn sẵn, và Euler đề xuất dự án của mình, kèm theo dòng chữ: “Tôi chắc chắn rằng địa lý Nga, thông qua các công trình của tôi và Giáo sư Gensinus, đã đưa thành phố vào tình trạng tốt hơn địa lý của đất Đức”. Những bất đồng gay gắt với học giả Delius đã khiến Euler vào năm 1840 phải ngừng lời giải việc lập bản đồ. Có khả năng là

22

trong tình trạng trầm cảm nặng, không chỉ liên quan đến sức khỏe mà còn liên quan đến căng thẳng thường xuyên do đời sống chính trị ở Nga bất ổn. Sau đó, ông kể lại rằng “sau cái chết của Hoàng hậu Anna lừng lẫy, trong thời kỳ nhiếp chính sau đó, mọi thứ bắt đầu trở nên tồi tệ”. Vào thời điểm đó, có cơ hội để Frederick II chuyển đến Berlin và Euler nộp đơn từ chức: “… vì điều đó, vì lý do sức khỏe kém và các hoàn cảnh khác, tôi buộc phải tìm kiếm một khí hậu dễ chịu hơn và chấp nhận từ Bệ hạ Phổ sự công nhận đã dạy cho tôi. Vì lý do này, tôi yêu cầu Viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia vui lòng sa thải tôi và cung cấp cho tôi và gia đình tôi hộ chiếu cần thiết…” Ông nói để duy trì liên lạc với Học viện, “và sau khi sức khỏe tốt hơn trở lại, sẽ trở về từ đất Đức.” Nga nữa." Tuy nhiên, Euler đã viết cho Phổ rằng ông “kiên quyết quyết định sống dưới sự cai trị của cấp dưới” của Frederick. Vào ngày 29 tháng 5 năm 1741, Euler từ chức và sau đó yêu cầu của ông được chấp nhận “trở thành thành viên danh dự của Viện Hàn lâm Khoa học, với mức lương hưu nhất định là hai trăm rúp một năm”. Thông lệ chuyển những thành viên hẹp nhất của Học viện sang thành viên danh dự với nghĩa vụ hỗ trợ cho Học viện đã được công bố. Euler bắt đầu giao tiếp “thông qua thư từ liên tục và các chữ cái toán học khác, nhiều hơn thời gian anh ấy đang làm việc tại trường”.

Đang làm nhiệm vụ
từ “triết gia đăng quang”.

Vậy Euler đang ở Berlin. Dần dần anh hòa nhập vào cuộc sống ở Berlin. Nhiệm vụ ở đây không khác gì ở St. Petersburg: ông giới thiệu các cuốn sách về đạn đạo cho nhà vua và tự xuất bản ba tập tác phẩm về chủ đề này, xem xét việc san lấp kênh đào giữa Havel và Oder cũng như tình hình các mỏ muối, tham gia tổ chức xổ số nhà nước và cải cách máy tính tiền, đồng thời đưa ra phản hồi về nhiều dự án. Mọi người nhanh chóng nhận ra rằng anh ấy có thể làm tốt nhiều việc khác nhau và không từ chối bất cứ điều gì. Sau khi thành lập Viện Hàn lâm Khoa học Berlin (1744), Euler trở thành giám đốc khoa toán học của viện.

Tuy nhiên, mối quan hệ với nhà vua không diễn ra theo chiều hướng tốt nhất. Điều quan trọng là lương của Euler chỉ bằng một nửa lương của hiệu trưởng Học viện Maupertius. Euler hiếm khi nhận được một lễ gặt hoàng gia.

Ở Berlin, người ta tin rằng nhiệm vụ của các nhà khoa học bao gồm phục vụ trong phòng khách và tận hưởng cuộc trò chuyện vui vẻ. Các nhà khoa học người Pháp Maupertius và Darjean đã thành thạo nghệ thuật này một cách xuất sắc, nhưng Euler thì không. Năm 1746, anh trai của Friedrich, August-Wilhelm gặp Euler, và ông đã chia sẻ ấn tượng của mình với nhà vua: “…Ông Maupertius đã giới thiệu tôi với nhà toán học Euler. Tôi thấy điều đó khẳng định một sự thật rằng mọi thứ đều không hoàn hảo. Nhờ siêng năng, ông đã phát triển tư duy logic và nhờ đó có được danh tiếng, nhưng vẻ ngoài và cách diễn đạt khó có thể che khuất tất cả những phẩm chất tuyệt vời của ông và khiến ông không thể tận hưởng chúng.”

Euler chia thời gian của mình cho khoa học và gia đình, nhưng ông không thuộc hạng nhà khoa học, không quan tâm đến những sự việc bên ngoài và tránh hứa hẹn với mọi người. Kiến thức khoa học của ông là bách khoa toàn thư, ông biết nhiều về người giàu, chimini, giải phẫu, y học, kiến ​​thức tốt về “cổ” và “phương Đông”, và nói được tiếng Nga. Sau khi ông qua đời, họ nhớ lại rằng ông biết rất rõ “những nhà văn giỏi nhất của thế giới cổ đại”, “văn học cổ về toán học” và “lịch sử của mọi thời đại và các dân tộc”. N. I. Fuss đã viết trong hồi ký của mình rằng Euler biết nghiên cứu “Enenda”, và ông ghi lại câu thơ mà mỗi trang trong bản sao của ông bắt đầu và kết thúc. Tuy nhiên, đối với triều đình Nga, trình độ văn hóa của Euler hóa ra là “không đủ”. Euler, người đã tạo dựng được danh tiếng vững chắc là một trong những nhà toán học lớn nhất và có lẽ là lớn nhất của Euron, trong giới

23

Nini Friedrich cam chịu vẫn là công dân hạng hai.

Sau khi Chiến tranh Bảy năm kết thúc (1763), Euler vẫn suy nghĩ dứt khoát về việc trở lại Nga. Vào năm 1746 và 1750, ông đã nhận được lời mời thông qua đại diện của Học viện, Bá tước K. G. Razumovsky, nhưng sau đó đã lịch sự hoãn việc nhận lời giải vô thời hạn.

Với sự nổi lên của Catherine II ở Nga (1762), các cuộc đàm phán về việc di chuyển được tiếp tục với sức sống mới. Catherine II thực sự muốn có được Eilar. Euler suýt rời sang Nga vào năm 1763 nhưng vẫn từ chối chuyển đi. Tuy nhiên, hai năm sau, Euler đã khơi dậy sự tức giận của nhà vua khi can thiệp cho thủ quỹ hàn lâm trong một cuộc kiểm toán.

Euler thông báo cho Nga về điều kiện của anh: mức lương 3.000 rúp. (một người đại diện nhận được mức lương như vậy; lương của một học giả thường không vượt quá 1.200 rúp), một vị trí là một học giả vật lý cho con trai ông là Johann Albrest, một nơi thích hợp cho những người con trai khác (một lính pháo binh và một bác sĩ), một căn hộ không có khu quân nhân, và cuối cùng, thiết lập cho ông chức vụ phó chủ tịch với cấp bậc phù hợp. Ngày xửa ngày xưa, Friedrich từ chối trao cho Euler chức vụ chủ tịch Học viện Berlin còn trống. Bây giờ Euler muốn ít nhất thực hiện một phần kế hoạch thuần túy của mình ở St. Petersburg (ông không ứng tuyển vào vị trí chủ tịch vì tin rằng ở Nga, vị trí này nên được lấp đầy bởi một nhà quý tộc). Vào ngày 6 tháng 1 năm 1766, Catherine viết cho Thủ tướng Bá tước Vorontsov: “Bức thư của ông Eilar gửi cho ông mang lại cho tôi nhiều thuận tiện hơn, vì từ đó tôi biết được mong muốn của ông ấy được quay lại làm việc cho tôi. Tất nhiên, tôi thấy nó hoàn hảo cho chức danh Phó Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học mong muốn, nhưng đối với điều này, một số biện pháp phải được thực hiện trước khi tôi thiết lập chức danh này - tôi nói rằng tôi sẽ thiết lập nó, vì đáy của nó không tồn tại. Trong tình hình hiện tại, không có tiền cho một mong muốn 3.000 rúp, nhưng đối với một người có thành tích như ông Euler, tôi sẽ thêm vào mong muốn học tập từ thu nhập của nhà nước, cộng lại sẽ lên tới 3.000 rúp cần thiết. Anh ta sẽ có thẻ chính phủ chứ không phải một chút kẹo ngọt nào … Tôi tin tưởng rằng Học viện của tôi sẽ tái sinh từ đống tro tàn của một thương vụ mua lại quan trọng như vậy, và tôi tự chúc mừng trước vì đã đưa một vĩ nhân trở lại Nga. Khi biết được mong muốn tham gia tái cơ cấu Học viện của Eilar, Hoàng hậu hứa “sẽ không thực hiện bất kỳ thay đổi nào ở Học viện trước khi anh ấy đến, để đàm phán tốt hơn với anh ấy về việc cải thiện…”. Với tài ngoại giao tuyệt vời, Euler bị từ chối thăng cấp: “Tôi sẽ phong cho anh ấy một cấp bậc khi anh ấy muốn, nếu tôi không sợ rằng cấp bậc này sẽ so sánh anh ấy với nhiều người không xứng đáng với ông Eilar. Vì danh tiếng của ông là cách tốt nhất để thể hiện sự tôn trọng đối với ông.” Euler có lẽ đã nhanh chóng nhận ra rằng vị nữ hoàng hào phóng phải giải thích rõ ràng ranh giới của những gì được phép, đồng ý với mọi điều kiện và quyết định “kết thúc cuộc đời mình để phục vụ vị vua bất công này”.

24

Trở lại Nga

Euler đến St. Petersburg vào ngày 17 tháng 7 năm 1766. Ông đã ra đi đúng 25 năm và sắp đến sinh nhật thứ sáu mươi của mình. Lúc đầu, Euler luôn chấp nhận lời đề nghị của Catherine để tham gia tái tổ chức Học viện. Ông mang theo một dự án chi tiết và không phấn đấu giành quyền tự chủ của Học viện, mà chẳng hạn, tập trung vào sự đan xen các hoạt động của Học viện và các tổ chức phát triển. Tuy nhiên, dần dần người ta thấy rõ rằng Hoàng hậu không có ý giao phó quyền lãnh đạo Học viện cho Eulerr. Euler đã học được một bài học khác rằng các vị vua khai sáng muốn được chỉ dạy về vị trí của mình.

Euler mang theo đến St. Petersburg một đống bản thảo không thể xuất bản ở Berlin do hoạt động xuất bản gần như ngừng hoạt động trong chiến tranh. Nhưng anh ấy lại mang vào đầu mình nhiều ý tưởng gần như đã chín muồi nhưng chưa thành hiện thực. Và cuộc đời mách bảo nhà khoa học rằng ông phải mặc cả. Ngay sau khi đến nơi, anh ta chỉ mất thị lực ở con mắt thứ hai, nhưng không ngừng làm việc, thảo luận về công việc của mình với một cậu bé không có chút hiểu biết nào về toán học. Bác sĩ nhãn khoa Baron Wentzel, được hoàng hậu mời, đã phẫu thuật đục thủy tinh thể ở một mắt, nhưng cảnh báo rằng tình trạng quá tải chắc chắn sẽ dẫn đến tình trạng mù lòa tái phát. Vậy đó sớm là một tai nạn, hoặc Euler thích mất thị lực hơn là bị động. Ông cố gắng lôi kéo các nhà khoa học khác tham gia vào công việc: con trai ông, các học giả Kraft, Fuss và Leksel, nhưng trên hết, điều thú vị là những gì ông biết và muốn nói với mọi người. Trong suốt một thập kỷ rưỡi, ông đã viết hơn 400 bài báo và 10 cuốn sách lớn. Bệnh điếc bắt đầu len lỏi vào. Năm 1766, vợ ông qua đời và Euler cưới em gái bà (đây là cách dễ nhất để duy trì trật tự và chấp nhận gia đình). Ngôi nhà và phần lớn tài sản bị thiêu rụi. Không gì có thể buộc Euler phải làm việc. Vào mùa hè năm 1777, Euler được Johann Bernouli (1747-1807), cháu trai của Daniel đến thăm. Đây là ấn tượng của anh ấy: “Khỏe mạnh

24

25

Những thay đổi về hình dạng và chuyển động quay của Trái đất

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. V. BYALKO

Hai năm trước, một thông báo xuất hiện trong “Báo cáo của Viện Hàn lâm Khoa học” và ngay lập tức trên tạp chí “Khoa học và Cuộc sống”, khiến trái tim các nhà vật lý đập nhanh hơn. Như được thể hiện qua các phép đo được thực hiện bởi các nhà khoa học Liên Xô tại ba điểm trên thế giới - ở Pottsdame, tại nhà ga Ledovo gần Moscow và Novosibirsk, sự bám rễ mạnh mẽ ở tất cả các điểm này theo thời gian thường xuyên giảm đi các giá trị ở mức $10^{-7}$ m/s² mỗi năm. Gần đây, nhà địa vật lý nổi tiếng Yu. D. Boulanger và N. N. Parisky đã xác nhận sự thật đáng kinh ngạc này. Hóa ra, việc giảm khả năng ra rễ hoàn toàn không có nghĩa là khối lượng Trái đất đang giảm hoặc lực hấp dẫn không đổi. Lý do cho mọi thứ là sự thay đổi hình dạng của Trái đất. Hãy thử giải thích điều này.

Như đã biết, sự quay của Trái đất quanh trục của nó dẫn đến thực tế là hành tinh của chúng ta không phải là một hình cầu chính xác mà hơi dẹt ở các sọc: bán kính xích đạo của nó lớn hơn bán kính cực khoảng 21,4 km. Ngoài ra, do sự quay này, rễ của trọng lực mạnh (thường được gọi là rễ rơi tự do), được đo trong điều kiện trái đất, tức là trong hệ thống báo cáo quay, không phải là rễ hấp dẫn thuần túy, mà thể hiện sự khác biệt giữa rễ hấp dẫn và rễ hướng tâm: $g = GM/R^2 - \omega^2 R\cos\varphi$.

Ở đây $G$ là hằng số hấp dẫn, $M$ là khối lượng Trái đất, $R$ là khoảng cách đến tâm Trái đất, phụ thuộc vào hình cầu (xem hình), $\omega$ là vận tốc góc quay của Trái đất, $\varphi$ là vĩ độ địa lý của nơi đó. Do đó, hệ số gốc thay đổi theo vĩ độ: tối thiểu ở xích đạo và tối đa ở hai cực.

Laplace, tác giả cuốn Luận thuyết cổ điển về Cơ học Thiên thể, nghi ngờ rằng sự quay của Trái đất không hoàn toàn đồng đều theo thời gian. Bây giờ chúng tôi biết một số lý do cho việc này. Đầu tiên, quá trình quay bị chậm lại do thủy triều, nguyên nhân là do lực hút của Mặt trăng và Mặt trời. Độ lớn của sự giảm tốc liên tục này, được gọi là liên tục (ngược lại với những thay đổi khác, ngắn hạn hơn về vận tốc góc), được tìm thấy bằng cách sử dụng dữ liệu về nhật thực toàn phần trong thời cổ đại. Hóa ra nó rất nhỏ.

Thông tin đã được lưu giữ rằng, chẳng hạn, một trong những lần nhật thực toàn phần đã được người dân Babylon quan sát vào ngày 15 tháng 4 năm 136 trước Công nguyên. đ. Nếu chúng ta thực hiện phép tính thích hợp với giả định rằng tốc độ quay của Trái đất là không đổi, thì hóa ra vào ngày được chỉ định thực sự sẽ có nhật thực, nhưng không phải ở Babylon mà ở khoảng $49^\circ$ về phía tây của nó. Tuy nhiên, nhật thực được quan sát chính xác ở Babylon, từ đó chúng ta có thể kết luận rằng sự thay đổi góc trong dải nhật thực là do sự thay đổi đáng kể trong vận tốc góc quay của Trái đất. Để đánh giá, chúng tôi sẽ giả sử rằng vận tốc góc giảm đồng đều, nghĩa là với gốc góc không đổi $\beta = \Delta\omega/t$. Khoảng 2100 năm đã trôi qua kể từ nhật thực, hay $t = 6,7 \cdot 10^{10}$ giây. Bằng cách tương tự với chuyển động thẳng có tốc độ đều, chúng ta viết công thức tính sự phụ thuộc của độ biến thiên góc $\alpha$ ($\alpha = 49^\circ \approx 0,85$ rad) theo thời gian: $\alpha = \beta t^2/2$. Do đó có rễ góc, tức là vận tốc góc thay đổi nhanh chóng, $\beta = \Delta\omega/t \approx 3,8 \times 10^{-22} \text{ c}^{-2}$.

(Cuối cùng xem trang 42)

26

Thẳng trên mặt cong

Việc các đường thẳng có thể nằm hoàn toàn trên một bề mặt cong mạnh sẽ không gây ngạc nhiên cho độc giả đã xem bìa số trước «Kvant». Chúng tôi sẽ đề cập đến hiện tượng này nhiều lần trong các trang hình học của chúng tôi; hôm nay chúng ta sẽ nói về các bề mặt đặc biệt có nhiều đường thẳng này.

Một mặt được gọi là mặt phẳng nếu toàn bộ đường thẳng chứa trong nó đi qua từng điểm của nó; các đường thẳng nằm trên một bề mặt được định tuyến được gọi là các đường sinh trực tuyến của nó. Một bề mặt được gọi là có quy tắc kép nếu có ít nhất hai đường sinh tuyến tính khác nhau đi qua mỗi điểm của nó.

Ví dụ đơn giản nhất về bề mặt được cai trị kép không phẳng là “hyperbolit xoay một tấm”. Đây là một bề mặt mà khi quay sẽ nhận được các hyperbol xung quanh một trục đối xứng không giao nhau với nó (Hình 1). Trong hệ tọa độ OXYZ có gốc tọa độ ở tâm hyperbol và với trục OZ đi dọc theo trục quay, phương trình bề mặt của chúng ta có dạng

$$x^2 + y^2 = a^2z^2 + b^2,$$

(1)

trong đó $a$ và $b$ là độ dài của các đoạn được đánh dấu trong Hình 1. Chúng tôi không rút ra phương trình này và chúng tôi sẽ không thể sửa nó. Điều quan trọng duy nhất là bề mặt của chúng ta được cho bởi đa thức bậc hai trong $x, y, z$, nghĩa là hyperbolide của chúng ta, như người ta nói, là một bề mặt bậc hai: nếu một đường thẳng có ít nhất ba điểm chung với một hyperbol, thì nó được chứa trong đó.

Bằng chứng. Đặt $l$ là đường thẳng bất kỳ và $A_1(x_1,y_1,z_1)$, $A_2(x_2,y_2,z_2)$ bất kỳ hai điểm nào của nó. Vector $\overrightarrow{A_1A_2}$ có tọa độ $(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1)$. Đặt $A$ là một điểm tùy ý của đường thẳng $l$. Sau đó, vectơ $\overrightarrow{A_1A}$ đếm

tuyến tính $\overrightarrow{A_1A_2}$; điều này có nghĩa là nó có tọa độ $(\lambda(x_2-x_1); \lambda(y_2-y_1); \lambda(z_2-z_1))$, trong đó $\lambda$ là một số nào đó. Điều này có nghĩa là điểm $A$ lần lượt có tọa độ $(x_1+\lambda(x_2-x_1); y_1+\lambda(y_2-y_1); z_1+\lambda(z_2-z_1))$. Để điểm $A$ nằm trên bề mặt của chúng ta, tọa độ của nó cần phải thỏa mãn phương trình bề mặt. Thay thế các tọa độ này vào phương trình (1) và sắp xếp lại tất cả các số hạng sang vế trái, chúng ta thu được một phương trình tương đối $\lambda$ có dạng $\alpha\lambda^2 + \beta\lambda + \gamma=0$, trong đó các hệ số $\alpha, \beta, \gamma$ rất dễ tính toán (chúng phụ thuộc vào $u$, $x_1, x_2, y_1, y_2, z_1, z_2$), nhưng chúng ta không cần biểu thức rõ ràng của chúng. Nếu ít nhất một trong các hệ số $\alpha, \beta, \gamma$ này không bằng 0 thì phương trình cuối cùng có không quá hai lời giải, tức là đường thẳng có không quá hai điểm chung với mặt phẳng, điều này là không thể theo điều kiện. Điều này có nghĩa là $\alpha=\beta=\gamma=0$ và với bất kỳ $l$ nào thì điểm $A$ nằm trên bề mặt.

Nhân tiện, người ta đã chứng minh theo cách tương tự rằng một đường cong bậc hai (nghĩa là một đường cong trên mặt phẳng được xác định bởi đa thức bậc hai chưa biết $x, y$) cắt một đường thẳng (không chứa trong nó) nhiều nhất là hai điểm. (Trong sổ tay của trường, đôi khi bạn muốn thấy một hình vẽ cường điệu bất cẩn ở dạng này:

Đường thẳng màu đỏ cắt hyperbol này tại 4 điểm, điều này là không thể: xét cho cùng, hyperbol là một đường cong bậc hai!)

27

Hãy quay trở lại với cường điệu của chúng tôi. Chúng ta lấy điểm $A$ trên đường tròn cổ (tức là nằm trên giao điểm của hyperbol với mặt phẳng $XOY$), vẽ tiếp tuyến $t_1$ với đường tròn này và tiếp tuyến $t_2$ với vị trí tương ứng của hyperbol quay rồi vẽ mặt phẳng đi qua các đường thẳng $t_1$ và $t_2$ $T$. Lưu ý rằng đường tròn và hyperbol tiếp xúc với các đường thẳng $t_1$ và $t_2$ nằm ở hai phía đối diện của mặt phẳng $T$. Do đó, trong bất kỳ góc phần tư nào trong đó các đường $t_1$ và $t_2$ chia mặt phẳng $T$, đều có một điểm chung của hyperbolide và mặt phẳng. Đặt $B$ là một trong những điểm như vậy (Hình 2). Vì rõ ràng, hyperbolit của chúng ta đối xứng với mặt phẳng được vẽ qua $t_1$ và $t_2$ vuông góc với $T$, giao điểm của nó với $T$ đối xứng với $t_1$ và $t_2$ và cùng với điểm $B$ nó thuộc về các điểm $B_1, B_2$ và $B_3$, tạo thành với $B$ một hình chữ nhật có tâm $A$. Mỗi đường chéo $l_1, l_2$ của hình chữ nhật này có ba điểm chung với hyperbolide (lần lượt là $B, A, B_2$ và $B_1, A, B_3$). Điều này có nghĩa là, theo những gì đã được chứng minh ở trên, mỗi chúng đều được chứa trong hyperbolide của chúng tôi. Cần lưu ý rằng lý do này có thể áp dụng cho bất kỳ điểm $A$ nào của vòng tròn cổ họng. Đường thẳng $l_1$ và đường thẳng riêng biệt $l_2$ sẽ nhận thấy toàn bộ sự cường điệu. Do đó, một đường hyperbolide xoay một tờ là một bề mặt tuyến tính kép.

Tóm lại, có hai ý kiến. Sự tương ứng đầu tiên là một đường hyperbol một mặt của đường tròn cũng là một bề mặt xoay của một đường thẳng bao quanh nhau, nếu không song song (hãy chứng minh điều đó!). Từ đó, có thể thấy rằng việc tạo một hyperbolit dễ dàng hơn là vẽ một hyperbolit: chỉ cần buộc hai vòng giống hệt nhau bằng các sợi chỉ, như trong hình, và xoay một vòng so với vòng kia, giữ cho tất cả các sợi đều căng (Hình 3). Bằng cách thay thế các vòng bằng các vòng tròn bằng bìa cứng gắn trên một trục chung, bạn có thể xây dựng một mô hình như vậy cho lớp học toán ở trường. Một câu hỏi nhanh nhạy: có thể tạo ra một hyperbolide với hai vòng giống hệt nhau không?

Lưu ý thứ hai. Nó bao gồm thực tế là có rất ít bề mặt tuyến tính kép. Nếu chúng ta mở rộng một hyperbolide sang bất kỳ mặt phẳng nào, thì tất nhiên nó sẽ giữ được tính tuyến tính gấp đôi của nó; bề mặt thu được được gọi là hyperbolide một tờ (không phải “xoay”, mà đơn giản). Một ví dụ khác về bề mặt tuyến tính bậc hai là một paraboloid hyperbol. Bề mặt này sẽ đạt được nếu tại mỗi điểm một parabol có trục thẳng đứng và hướng lên trên, bị treo bởi đỉnh của một parabol vuông góc với nó (xem hình ở đầu “trang”); các parabol lơ lửng đều giống nhau; parabol lơ lửng có thể có kích thước khác nhau). Một paraboloid hyperbol cũng là một bề mặt bậc hai; trong một hệ tọa độ phù hợp nó có phương trình $z=xy$. Không có bề mặt tuyến tính kép nào khác được kết nối (nghĩa là bao gồm một mảnh).

Bài tập tiếp theo của trang hình học.

Một hình xuyến (bề mặt quay của một vòng tròn quanh một trục không cắt nó và nằm trong cùng một mặt phẳng với nó) được tạo ra bởi các đường thẳng song song, sau đó chúng cắt mặt phẳng (“màn hình”). Chúng ta sẽ chỉ xem xét những đường tiếp xúc với hình xuyến. Chúng tôi đánh dấu các điểm tiếp xúc với nó bằng bút chì, các điểm giao nhau của các đường thẳng của chúng tôi với màn hình - bằng màu đỏ. Một sự hợp nhất xuất hiện trên hình xuyến, màu đỏ xuất hiện trên màn hình. Hãy thử vẽ chúng. (Một kết quả đặc biệt thú vị sẽ thu được nếu góc nghiêng của các đường thẳng với mặt phẳng của đường tròn trục của hình xuyến là không bằng verlik - nhỏ hơn 45° - và nếu khoảng cách từ trục quay đến đường tròn quay không vượt quá bán kính của đường tròn.)

28

Trước Olympic cấp trường

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. G. GAIN

Bài học của câu lạc bộ toán hôm nay nên được coi là bài học chuẩn bị cho kỳ thi Olympic.

Đối với nhiều học sinh, Olympic toán là bước đầu tiên để làm quen với môn toán nước ngoài. Tại các kỳ thi Olympic, trẻ em học cách áp dụng kiến ​​thức của mình vào lời giải không chuẩn bài toán, được biểu diễn cùng với các bạn cùng lứa từ các trường và thành phố khác. Thông thường, Olympic cung cấp bài toán, có thể tạm gọi là đại số, hình học, số học và logic. Chúng tôi xin lưu ý đến bạn một số kỳ thi Olympic cấp trường và cấp quận bài toán (con số trong ngoặc chỉ lớp có bài toán* được tổ chức). Bạn sẽ tìm thấy lời giải và gợi ý ngắn cho tất cả các vấn đề trong số tiếp theo của tạp chí.

Hãy bắt đầu với bài toán đại số và hình học - làm ơn, họ không cần bình luận.

1. Có chìa khóa ở đáy hồ. Một đàn voi gồm 183 con có thể uống hết một hồ nước trong một ngày và một đàn voi gồm 37 con có thể uống hết một hồ nước trong 5 ngày. Hỏi một con voi uống hết nước trong bao nhiêu ngày? (7)

2. Đặt $a, b, c, d$ là số nguyên và $a+b+c+d=0$. Chứng minh rằng các số

*) Những bài toán này được cung cấp cho học sinh vùng Sverdlovsk trong các năm khác nhau. Olympic toán học khu vực Sverdlovsk được tổ chức bởi các nhà khoa học đến từ Viện Toán học và Cơ học thuộc Trung tâm Khoa học Ural thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Đại học bang Ural mang tên. A. M. Gorky. Một nét đậm duy nhất tạo nên các varnan từ trường đến khu du lịch. Về Thế vận hội Olympic ở Sverdlovsk, xem «Kvant», 1983, số 9.

$a^2+b^2+c^2+d^2$ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng bình phương của ba số nguyên. (7)

3. Cho các số khác 0 $a, b, p, q$ sao cho $p+q=1$ và $\frac{p}{a}+\frac{q}{b}=\frac{1}{pa+qb}$. Chứng minh rằng $a=b$. (8)

4. Tìm tất cả các số $a, b, c, d$ sao cho

$$\begin{cases} abc=a+b+c, \\ bcd=b+c+d, \\ cda=c+d+a, \\ dab=d+a+b. \end{cases}$$ (8)

5. Tìm tất cả các số $x, y, z$ sao cho

$$\begin{cases} x^4+y^4+z^4=3, \\ x^5+y^5+z^5=3, \\ x^6+y^6+z^6=3. \end{cases}$$ (9)

6. Xác định giá trị của tham số $k$ nếu biết rằng bất đẳng thức $\frac{x^2+kx+10}{x^2+3x+10} \leq 1$ đúng với mọi $x$. (9)

7. Đối với $a$ thì phương trình $1+\sin^2\alpha x=\cos x$ có lời giải duy nhất là gì? (10)

8. Giải phương trình $x^3-[x]=4$, trong đó $[x]$ là phần nguyên của $x$. (10)

9. Tìm thấy

$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{8}\right)\left(1+\frac{1}{15}\right) \dots$$

$$\dots \left(1+\frac{1}{n^2+2n}\right).$$ (10)

10. Chứng minh rằng nếu mỗi đường chéo của một tứ giác lồi được chia thành hai tam giác bằng nhau thì tứ giác này là hình bình hành. (7)

11. Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm $M$. Vẽ một điểm $A$ trên đường tròn thứ nhất và một điểm $B$ trên đường tròn thứ hai sao cho tam giác $ABM$ là đều. (8)

12. Tập hợp tâm của các đường tròn nội tiếp tam giác $ABM$ là gì khi điểm $M$ chạy qua đường tròn và $AB$ là dây cố định của đường tròn này? (9)

13. Cho $ABCD$ là một tham số tam giác. Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối các đỉnh của paramid với giao điểm các đường trung tuyến của các mặt đối diện với các đỉnh đó

29

cắt nhau tại một điểm và chia nó theo tỷ lệ 3:1, tính từ trên xuống. (10)

Số bài toán về cơ bản là các phương trình số nguyên bài toán và lời giải. Những bài toán như vậy thực tế không xảy ra ở trường học, và những người tham gia Thế vận hội sẽ phát minh ra các phương pháp cho họ lời giải không có mặt trong tình huống “chiến đấu”. Hãy bắt đầu với bài toán rất đơn giản.

14. Tổng của 1982 số nguyên là số lẻ. Chứng minh rằng tích của các số này là số chẵn. (7)

15. Chứng minh số $2^9+2^{99}$ chia hết cho 100. (7)

Trong các bài toán liên quan đến số nguyên, việc chia hết cho 3 và 9 thường có ích.

16. Chứng minh rằng không có giá trị tự nhiên $m$ và $n$ thì số $10^m+1$ chia hết cho $10^n-1$. (7)

17. Tìm tất cả các số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó khi nhân với 2 không thay đổi. (7)

18. Chứng minh rằng phương trình $x^2+1=3y$ không giải được dưới dạng số nguyên. (7)

bài toán cuối cùng sử dụng thực tế là nếu tổng bình phương của hai số nguyên chia hết cho 3 thì mỗi số hạng chia hết cho 3. Tuyên bố này đúng với số 7 và số 11, và nói chung cho tất cả các số nguyên tố có dạng $4k+3$. Nhưng đây đã là một định lý toán học “thực sự”, lần đầu tiên được chứng minh bởi P. Fermat. Như bạn có thể thấy, từ Olympic bài toán đến định lý toán học chỉ có một bước. Nhưng làm thế nào để làm điều đó?

19. Nhân với 9 sẽ đảo ngược thứ tự các chữ số của một số có bốn chữ số nhất định. Tìm số này. (7)

20. Tìm tất cả các số tự nhiên $x, y, z$ thỏa đẳng thức $xyz=x+y$. (7)

21. Tìm tất cả các số tự nhiên có tính chất sau: tồn tại $k$, $1 \leq k \leq 8$ sao cho nếu tất cả các chữ số của bình phương của số này giảm đi $k$ một thì thu được bình phương của số đó nhỏ hơn $k$ so với số ban đầu. (10)

Logic bài toán thường được gọi là “số olympad”. Bot một số trong số này bài toán.

22. Chứng minh rằng trong 82 hình lập phương, mỗi hình được sơn một màu nhất định, luôn có thể chọn được 10 hình lập phương sao cho chúng đều được sơn khác màu hoặc cùng một màu. (7)

23. Máy bay được tô màu ngẫu nhiên trong hai màu. Chứng minh rằng có hai điểm cùng màu cách nhau 1m. (7)

24. a) Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ có hai số có hiệu chia hết cho 10.

6. Chứng minh rằng trong số $k+1$ số tự nhiên bất kỳ có hai số có hiệu chia hết cho $k$. (7)

25. Dọc mép bàn tròn, các tấm biển ghi tên các nhà ngoại giao tham gia đàm phán được đặt cách đều nhau. Sau khi bắt đầu đàm phán, hóa ra không có một nhà ngoại giao nào ngồi đối diện bàn của ông. Có thể lật bàn sao cho có ít nhất một ngăn chứa ít nhất $n+1$ đồ vật. Chỉ cần nói cái gì cần lấy cho “đồ vật” và cái gì cho “hộp”.

Cùng một ý tưởng về việc sử dụng dự phòng và ba bài toán tiếp theo.

26. Bên trong hình vuông cạnh 1 có một số hình tròn có tổng chiều dài là 10. Chứng minh rằng có một đường thẳng cắt nhau ít nhất là 4 mét. Chỉ cần nói cái gì cần lấy cho “đồ vật” và cái gì cho “hộp”.

27. Có một số dây trong một đường tròn bán kính 1, tổng chiều dài của chúng lớn hơn 7π. Chứng minh rằng có một đường kính cắt ít nhất các dây vysmiccord. (9)

28. Có 650 điểm bên trong một đường tròn bán kính 16. Chứng minh rằng tồn tại một vành có chiều rộng 1 và bán kính trong 2 chứa ít nhất 10 điểm như vậy. (10)

Trong những bài toán mà đẳng thức đã được biết theo một nghĩa nào đó, sẽ rất hữu ích khi sử dụng

30

xét phần tử “cực đoan” (tức là cực đoan) trong mối liên hệ với một thuộc tính nào đó (ngoài cùng bên trái, trên cùng, dài nhất, thấp nhất, thấp nhất, thấp nhất, thấp nhất, thấp nhất, thấp nhất, thấp nhất, rằng cả mười số đều bằng nhau. (7)

29. Tại mỗi đỉnh của hình thập giác có một số được viết và mỗi số bằng các số kết quả được viết ở các đỉnh lân cận. Chứng minh rằng tất cả mười số đều bằng nhau. (7)

30. Chứng minh rằng trong bất kỳ hình ngũ giác lồi nào, bạn có thể chọn ba đường chéo để từ chúng tạo thành một hình tam giác. (8)

31. Giải hệ phương trình
    $$\begin{cases} x_1 + x_2 = x_3^2, \\ x_2 + x_3 = x_4^2, \\ x_3 + x_4 = x_5^2, \\ x_4 + x_5 = x_1^2, \\ x_5 + x_1 = x_2^2. \end{cases}$$ (10)

32. Tìm hệ phương trình lời giải dương
    $$x^2 + y^2 = 1,$$
    $$x^y = y^x.$$ (9)

33. Có thể bỏ 44 đồng xu vào 10 ví sao cho hai ví bất kỳ chứa số lượng xu khác nhau không? (Chúng tôi giả sử rằng hai ví trống chứa cùng một số tiền.) (8)

34. Có 500 điểm khác nhau được đánh dấu trong hình vuông ở cạnh 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã đánh dấu có thể chọn được 12 điểm $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{12}$ sao cho độ dài đoạn thẳng đứt nét $A_1A_2...A_{12}$ nhỏ hơn 1. (10)

Thông thường bài toán được đưa ra theo một yêu cầu, trong điều kiện đưa ra mô tả về một phương pháp hành động nhất định và người ta hỏi liệu kết quả này hoặc kết quả kia có thể đạt được nhờ những hành động này hay không. Phương thức chính lời giải của bài toán đó là phát hiện một thuộc tính của đối tượng ban đầu không thay đổi khi thực hiện các hành động được chỉ định trong bài toán (thuộc tính đó được gọi là bất biến). Nếu đối tượng cuối cùng bài toán không có thuộc tính được tìm thấy thì không thể lấy được thuộc tính đó do các hành động được mô tả.

Dưới đây là một số bài toán tương tự.

35. Lúc đầu, người làm vườn trồng 25 quả chuối và 30 quả cam trên cây táo. Mỗi ngày anh ta hái hai quả và ngay lập tức một quả mới mọc lên trên cây táo, nếu anh ta hái hai quả giống hệt nhau thì một quả cam sẽ mọc lên, còn nếu anh ta hái hai quả khác nhau thì một quả chuối sẽ mọc lên. Quả cuối cùng trên cây này là gì? (7)

36. Cho ba số: 2; $1+\sqrt{2}$; $1-\sqrt{2}$.

a) Trong một lần di chuyển, bạn được phép viết ba số mới, thay thế mỗi số ban đầu bằng các số khác. Liệu bằng cách tiếp tục thao tác này vài lần, có thể đạt được tập 1 hay không; $2+\sqrt{2}$; $2-\sqrt{2}$?

6. Trong một nước đi, bạn được phép thay thế hai số bất kỳ bằng tổng của chúng chia cho $\sqrt{2}$ và hiệu chia cho $\sqrt{2}$, giữ nguyên số thứ ba. Liệu bằng cách tiếp tục thao tác này vài lần, có thể đạt được tập 1 hay không; $\sqrt{2}$; $1/\sqrt{2}$? (8)

37. Ba thợ rèn chơi trò nhảy cóc: nếu thợ rèn từ điểm $A$ liên hợp qua thợ rèn tại điểm $B$, thì anh ta kết thúc tại điểm $C$, đối xứng với điểm $A$ so với điểm $B$. Ở vị trí ban đầu, thợ rèn chiếm ba đỉnh của hình vuông. Liệu họ có thể chơi trò nhảy cóc để đạt đến đỉnh thứ tư của nó không? (8)

Trong các bài toán trên giấy ca rô hoặc trên bàn cờ, việc tô màu giúp tìm ra bất biến.

38. Bàn cờ $8 \times 8$ có các ô vuông ở góc trên bên trái và dưới cùng bên phải được cắt ra. Có thể lát nó bằng đá domino, bao phủ chính xác hai ô vuông của bàn cờ, sao cho bao phủ toàn bộ bàn cờ mà không bị chồng lên nhau không? (7)

39. Có thể tạo một hình vuông gồm $50 \times 50$ ô từ các số liệu bốn năm được hiển thị trong hình không? (9)

40. Một hình vuông góc được cắt từ bàn cờ $8 \times 8$. Có thể che phần còn lại mà không chồng chéo các góc vuông được tạo thành từ ba ô? (9)

Sự chuẩn bị tốt nhất để tối ưu hóa “Olympic” bài toán. Chúng tôi chúc bạn thành công!

31

$$n^x = X^n$$

L. B. PECHERSKY

Phương trình này có bao nhiêu nghiệm nếu $n \in \mathbb{N}$ và $n \neq 1$?

Với các nghiệm mở, mọi thứ đều đơn giản và rõ ràng: nếu $n$ chẵn, phương trình có một nghiệm âm (vẽ đồ thị!); nếu $n$ lẻ thì không có nghiệm nào như vậy.

Sẽ mất rễ tích cực. Phương trình này hoàn toàn tương đương với các phương trình

$$\ln (n^x) = \ln (x^n),$$
$$x \cdot \ln n = n \cdot \ln x,$$
$$x \cdot \ln n - n \cdot \ln x = 0.$$

Hàm $y(x) = x \cdot \ln n - n \cdot \ln x$ có bao nhiêu số 0*) trên $]0; +\infty[$?

Tích của $y'(x) = \ln n - \frac{n}{x}$ nhân với $]0; +\infty[$ trả về (vẽ đồ thị!). Tại điểm $x_0 = \frac{n}{\ln n} y'(x_0) = 0$; điều đó có nghĩa là vào $]0; x_0[$ $y'(x) < 0$, vào $]x_0; +\infty[$ $y'(x) > 0$. Vì hàm $y$ không phải là số nguyên tố tại điểm $x_0$ nên $x_0$ là điểm tối thiểu của nó. Tại $]0; x_0[$ hàm $y$ giảm, tại $[x_0; +\infty[$ nó trả về.

Hàm số $y$ có dấu gì tại điểm $x_0$?

$$y(x_0) = n(1 - \ln n + \ln \ln n).$$

Để xác định dấu của số $y(x_0)$, chúng ta kiểm tra hàm $z(x) = 1 - \ln x + \ln \ln x$. Vì $z'(x) = \frac{1 - \ln x}{x \cdot \ln x}$, $x_1 = e$ là điểm cực đại của hàm $z$ và tại $]1; e]$ $z$ trả về, tại $[e; +\infty[$ nó giảm. Vì $z(x_1) = 0$, tại các điểm khác của miền định nghĩa $z(x) < 0$; một phần, tại $n \in \mathbb{N}$, $n \neq 1$ $z(n) < 0$. Vì vậy, $y(x_0) < 0$.

Hàm $y$ không phải là số nguyên tố trên $]0; +\infty[$ và nó đang giảm dần. Vì “gần 0” (ví dụ: rõ ràng là tại $x < 1$) $y(x) > 0$ và $y(x_0) < 0$, trên khoảng $]0; x_0[$ nên hàm $y$ có chính xác một số 0 (xem hình).

Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó đối với “lớn” $x$ (“trên mặt phẳng vô cực”) $y(x) > 0$. Để làm điều này, hãy xem xét hàm $u(x) = \frac{x}{\ln x}$. Vì $u'(x) = \frac{\ln x - 1}{\ln^2 x}$, $u$ trở về $[e; +\infty[$. Nếu $n \geq 3$ thì tại $x > n \geq 3$

$$\frac{x}{\ln x} > \frac{n}{\ln n},$$
$$x \cdot \ln n > n \cdot \ln x,$$
$$x \cdot \ln n - n \cdot \ln x > 0,$$
$$y(x) > 0.$$

Hãy tự chứng minh rằng với $n = 2$ $y(x) > 0$ cho “lớn” $x$.

Vì $y(x_0) < 0$, $y$ trả về $[x_0; +\infty[$ và $y(x) > 0$, đối với “lớn” $x$, trên khoảng $]x_0; +\infty[$ hàm $y$ cũng có chính xác một số 0 (xem hình).

Vì vậy, đối với $n \geq 2$, phương trình trong tiêu đề có hai nghiệm trên $]0; +\infty[$: một trên $]0; x_0[$, một trên $]x_0; +\infty[$.

Nhân tiện, một trong những gốc của nó: $x = n$ - rất rõ ràng ngay lập tức.

Bài toán về số nghiệm của một phương trình nhất định $f(x) = g(x)$ được tìm thấy trong các kỳ thi tuyển sinh. Theo quy luật, các phương trình được đưa ra không thể tiếp cận được bằng các phương tiện đại số. Trong những trường hợp như vậy, việc kiểm tra hàm $f$, $g$ có trong phương trình thường rất hữu ích và ở đây việc sử dụng các công cụ phân tích là điều khá tự nhiên.

33

Như vậy,

$$\Delta s_1 = v_0 \Delta t,$$
$$\Delta s_2 = v_0 \Delta t + a (\Delta t)^2,$$
$$\Delta s_3 = v_0 \Delta t + 2a (\Delta t)^2,$$
$$\Delta s_4 = v_0 \Delta t + 3a (\Delta t)^2,$$
$$\Delta s_n = v_0 \Delta t + (n-1) a (\Delta t)^2,$$

trong đó $n$ là số khoảng mà chúng tôi chia thời gian chuyển động $t$. Vì các khoảng $\Delta t$ nhỏ, $n$ lớn, do đó, ở vế phải của đẳng thức cuối cùng, chúng ta có thể bỏ qua sự thống nhất so với $n$ và giả sử rằng

$$\Delta s_n = v_0 \Delta t + na (\Delta t)^2.$$

Tổng chuyển vị $s$ bằng tổng của tất cả các chuyển vị nhỏ $\Delta s_i$:

$$s = \Delta s_1 + \Delta s_2 + \Delta s_3 + \ldots + \Delta s_n,$$

hoặc

$$s = nv_0 \Delta t + a \Delta t^2 (1 + 2 + 3 + \ldots + n).$$

Tổng các số tự nhiên liên tiếp bằng số hạng cực trị thu được nhân với số của chúng:

$$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{1+n}{2} n.$$

Bỏ qua sự thống nhất so với $n$, ta có

$$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n^2}{2}.$$

Từ đây

$$s = v_0 n \Delta t + \frac{a (n \Delta t)^2}{2}.$$

Nhưng $n \Delta t = t$ và $(n \Delta t)^2 = t^2$, rồi cuối cùng

$$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}.$$

Về đồ thị chuyển động thẳng đều có gia tốc

Khi nghiên cứu chuyển động cơ học, ông sử dụng rộng rãi các biểu đồ thể hiện sự phụ thuộc tọa độ của vật thể vào thời gian (đồ thị chuyển động) và tốc độ của vật thể theo thời gian (đồ thị vận tốc). Các biểu đồ, giống như các công thức tương ứng, mô tả đầy đủ các chuyển động, nghĩa là chúng cho phép bạn xác định tọa độ và tốc độ bất cứ lúc nào. Nhưng đồ thị có ưu điểm là rõ ràng (bằng cách xây dựng đồ thị của hàm số, bạn có thể “nhìn thấy” hàm số đó).

Sách giáo khoa “Vật lý 8” cung cấp đồ thị chuyển động và vận tốc của chuyển động thẳng đều, cũng như đồ thị vận tốc của chuyển động thẳng đều có gia tốc. Sử dụng biểu đồ cuối cùng, người ta đã thu được công thức cho độ dịch chuyển $s$ và do đó cho tọa độ $x$ của một vật chuyển động với gia tốc đều:

$$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}, \quad x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}.$$

Tuy nhiên, những công thức này cũng có thể thu được bằng cách tính trực tiếp (ví dụ, xem chú thích “Chuyển động trong chuyển động thẳng đều có gia tốc”). Không có biểu đồ nào về chuyển động của trường hợp này được đưa ra, nhưng nó có vẻ rất đáng quan tâm. Đây là những gì chúng ta sẽ nói về trong bài viết này.

Như có thể thấy từ công thức cuối cùng, biểu thức tọa độ trong chuyển động có gia tốc đều là một tam thức bậc hai. Trong trường hợp tổng quát, các hệ số $t$ và $t^2$ và số hạng tự do không bằng 0. Đồ thị biểu diễn hàm số như vậy được gọi là parabol. Loại và vị trí của nó so với các trục tọa độ phụ thuộc vào ba hằng số - $x_0$, $v_0$ và $a$. Ví dụ, Hình 1 cho thấy một parabol tương ứng với phương trình

$$x = 3 + 12t + 3t^2.$$

Nó mô tả chuyển động thẳng đều có gia tốc đều với tốc độ ban đầu $v_0 = 12$ m/s và gia tốc $a = 6$ m/s². Nguồn gốc của thời gian là thời điểm khi tọa độ $x$ của vật thể (tọa độ ban đầu) bằng $x_0 = 3$ m. Nói đúng ra, đồ thị của chuyển động đó chỉ là phần bên phải của đường cong, được thể hiện trong Hình 1 dưới dạng một đường liền nét.

Nhưng nếu một vật chuyển động dọc theo cùng một đường thẳng và với cùng gia tốc và cho đến thời điểm thời gian được lấy làm gốc tọa độ thì đồ thị chuyển động của nó cũng sẽ là phần bên trái của đường cong (nó được biểu diễn trong Hình 1 bằng một đường đứt nét).

Một ví dụ khác, việc xem xét chuyển động được trình bày bởi

34

Công thức

$$x = 2 + 20t - 5t^2.$$

Nó mô tả chuyển động của một vật, tại thời điểm ban đầu $t = 0$, khi tọa độ của nó bằng $x_0 = 2$ m, có tốc độ ban đầu là $v_0 = 20$ m/s và sau đó chuyển động với gia tốc không đổi $a = -10$ m/s². Chuyển động này rất gần với chuyển động của một vật được ném thẳng đứng lên trên (trục $X$ hướng vào đó) với vận tốc ban đầu là 20 m/s từ độ cao 2 m so với Trái đất. Để đơn giản, chúng ta giả sử gia tốc trọng trường không phải bằng 9,8 m/s² mà bằng 10 m/s². Đồ thị của chuyển động này được thể hiện trong Hình 2 với một đường liền nét màu đỏ.

Từ Hình 2, chúng ta thấy rất rõ ràng (rõ ràng hơn so với công thức tương ứng) cơ thể chuyển động như thế nào. Đầu tiên nó nổi lên, nhanh chóng di chuyển ra khỏi Trái đất. Sau 2 giây nó đạt độ cao tối đa là 22 m, sau đó nó bắt đầu chuyển động xuống (rơi). Chuyển động đi lên tương ứng với nhánh trái của parabol và chuyển động đi xuống tương ứng với nhánh phải. Nói chung, một parabol (có hai nhánh) luôn mô tả một chuyển động “qua lại”. Đường màu xanh lam trong Hình 2 biểu thị đồ thị của cùng một chuyển động gia tốc bằng nhau, nhưng có hướng gia tốc ngược lại.

Trong toán học người ta đã chứng minh rằng một parabol biểu diễn một tam thức bậc hai có dạng

$$x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2},$$

bằng cách dịch song song các trục tọa độ có thể biến đổi thành parabol biểu diễn công thức

$$x = \frac{a}{2} t^2.$$

Trong trường hợp của chúng ta, cần di chuyển trục $t$ dọc theo trục $X$ đến một khoảng bằng $x_0 - v_0^2/2a$ và trục $X$ di chuyển dọc theo trục $t$ đến một khoảng bằng $-v_0/a$. Trong Hình 1 và Hình 2, các trục giao nhau theo quy tắc này được thể hiện bằng các đường đứt nét.

Sự dịch chuyển trục này có nghĩa là thời điểm mà tốc độ của vật bằng 0 bây giờ được lấy làm gốc thời gian (khi chuyển động “qua lại” thì phải tồn tại một thời điểm như vậy) và điểm mà vật nằm ở thời điểm đó được chọn làm gốc tọa độ. Sau khi dịch các trục, parabol trở nên đối xứng với trục tương đối $X$. Các giá trị của tọa độ $x$ tại thời điểm $t$ và $-t$ hiện tại giống nhau, vì chỉ $t^2$ được đưa vào công thức và việc thay thế $t$ bằng $-t$ không thay đổi gì cả.

Sử dụng một parabol như vậy (trong các trục mới) có thể dễ dàng tìm được gia tốc. Rõ ràng tọa độ của điểm parabol tương ứng với thời điểm $t = 1$ bằng $a/2$, từ đó ta tìm được $a$. Gia tốc $a$ có thể được tìm thấy theo cách khác. Nếu chúng ta vẽ biểu đồ sự phụ thuộc của $x$ không phải vào $t$ mà vào $t^2$, thì từ công thức $x = at^2/2$ rõ ràng là

35

rằng kết quả sẽ là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Hình 3 biểu diễn một đồ thị như vậy cho trường hợp chuyển động của một vật được ném lên trên. Giờ đây, có thể tìm thấy giá trị của $a/2$ và do đó $a$ bằng cách lấy bất kỳ điểm nào trên biểu đồ theo tỷ lệ giữa tọa độ của nó và trục hoành. Nói cách khác, $a/2$ bằng tiếp tuyến của góc nghiêng của đường thẳng với trục $t$.

Một tính năng thú vị khác của parabol là nó giúp dễ dàng xác định tốc độ chuyển động của vật thể. Biết rằng nếu đồ thị chuyển động được biểu diễn bằng một đường thẳng (chuyển động thẳng đều) thì tốc độ được xác định bằng góc nghiêng của đường thẳng đó với trục $t$. Đồ thị chuyển động thẳng không đều luôn là một đường cong. Nếu chúng ta chọn một phần trên đường cong này tương ứng với khoảng thời gian $\Delta t$ và sự thay đổi tọa độ $\Delta x$ (Hình 4), thì tỷ lệ $\Delta x/\Delta t$ sẽ bằng tốc độ trung bình trong thời gian $\Delta t$. Như có thể thấy trong Hình 4, nó được xác định bởi góc nghiêng của dây cung,

Hình 3.

Hình 4.

uốn cong phần nhìn thấy của đường cong (nó bằng tiếp tuyến của góc này). Nếu chúng ta giảm vô hạn khoảng thời gian $\Delta t$, hướng nó về 0, thì dây cung sẽ tiếp tuyến với đường cong tại điểm tương ứng với thời điểm $t$ và góc nghiêng của nó ngay lập tức xác định tốc độ tại thời điểm này. Vì vậy, để tìm tốc độ tức thời của đồ thị chuyển động tại một thời điểm nào đó, bạn cần kiểm tra tiếp tuyến của đồ thị tại điểm tương ứng với thời điểm đó; tiếp tuyến có thể được vẽ hoặc không. Đặc điểm này của parabol (tam thức bình phương) có liên quan đến sự cản trở rằng trong chuyển động thẳng cân bằng, tốc độ trong bất kỳ khoảng thời gian nào đều bằng tốc độ ban đầu và tốc độ cuối cùng thu được. Do đó, để sử dụng parabol để tìm ngay tốc độ tại một thời điểm nào đó, bạn cần thực hiện một khoảng thời gian mà thời điểm mà chúng ta quan tâm đóng vai trò ở giữa. Khi đó tốc độ trung bình trong khoảng thời gian này sẽ bằng tốc độ tức thời ở giữa khoảng thời gian đó. Và để tìm tốc độ trung bình, bạn cần kiểm tra hợp âm chứ không phải tiếp tuyến, điều này không khó lắm.

Áp suất khí lý tưởng

Dẫn xuất biểu thức của áp suất khí lý tưởng

$$p = \frac{1}{3} n m v^2 = \frac{2}{3} n \frac{m v^2}{2},$$

được đưa ra trong sách giáo khoa “Vật lý 9”, dựa trên giả định rằng phân tử

36

Những con tàu bị loại phải va vào thành tàu một cách đàn hồi. Chúng ta hãy chứng minh rằng có thể thu được công thức tương tự mà không cần đưa ra bất kỳ giả định nào về đặc điểm tác động của các phân tử lên tường.*)

Chỉ cần biết rằng các phân tử chuyển động xaotic là đủ. Đặc biệt, điều này có nghĩa là tại bất kỳ thời điểm nào, số lượng phân tử chuyển động theo hướng ngược chiều nhau là như nhau.

Ngoài ra, chúng ta biết rằng áp suất $p$ của khí bằng định nghĩa

$$p = \frac{F}{S},$$

trong đó $F$ là lực tác dụng lên mặt phẳng $S$ vuông góc với nó. Điều này có nghĩa là chúng ta phải tính lực $F$. Chúng ta sẽ làm điều này bằng cách sử dụng các định luật cơ học của Newton.

Chúng ta hãy đặt khí của chúng ta vào một bình có dạng hình chữ nhật song song và hướng các trục tọa độ $X$, $Y$ và $Z$ dọc theo các cạnh của nó, như trong hình. Chúng ta hãy tìm lực mà khí tác dụng, chẳng hạn như lên thành bên phải của bình. Rõ ràng, nó phải được ký hiệu là $F_x$.

Theo định luật thứ ba của Newton, bản thân bức tường này tác dụng lên nó một lực - $F_x$ (trong hình, lớp khí này được bảo vệ). Từ định luật thứ hai của Newton, lực - $F_x$ phải tương ứng như trong trường hợp vị trí và không được ở vị trí.

Vì vậy, chúng tôi tin rằng cả dòng chảy vào lớp khí của phân tử và dòng chảy ra khỏi nó đều được truyền tới nó bằng các xung, hình chiếu của nó bằng $mv_x$.

Giả sử để đơn giản rằng các giá trị $mv_x$ là như nhau đối với tất cả các phân tử, có thể dễ dàng tính được sự thay đổi động lượng $\Delta P$ của toàn bộ lớp khí theo thời gian $t$. Rõ ràng nó bằng hai lần tích của $mv_x$ với số lượng $z$ các phân tử tạo thành một lớp khí trong thời gian $t$:

$$\Delta P = 2zmv_x.$$

Giá trị $z$ được tính tương tự như số lần va chạm của phân tử với tường (xem Vật lý 9):

$$z = \frac{1}{2} nSv_x t,$$

trong đó $n$ là số lượng phân tử trên một đơn vị thể tích khí. Kể từ đây,

37

$$\Delta P = 2 \cdot \frac{1}{2} n S v_x t \cdot m v_x = n S m v_x^2 t.$$

Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy xung từ lớp của chúng tôi đến từ đâu, hướng dọc theo trục $X$ và bằng $F_x t$. Vì vậy, $F_x t = n S m v_x^2 t$.

Giảm $t$ và chia cả hai vế của đẳng thức này cho $S$, chúng ta thu được biểu thức cho áp suất khí trên thành bên phải của bình:

$$p = \frac{F_x}{S} = n m v_x^2.$$

(1)

Lặp lại lý luận cho tường vuông góc với trục $Y$ và $Z$, ta thu được

$$p = n m v_y^2,$$

(2)

$$p = n m v_z^2.$$

(3)

Tất nhiên, áp suất $p$ lên tất cả các bức tường là như nhau. Cộng các đẳng thức (1), (2) và (3) theo từng số hạng, ta thu được

$$3 p = n m \left( v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \right),$$

hoặc

$$p = \frac{1}{3} n m \left( v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \right).$$

(4)

Trên thực tế, các giá trị của $v_x$, $v_y$ và $v_z$ là khác nhau đối với các phân tử khác nhau (do tính chất ngẫu nhiên trong chuyển động của chúng). Do đó, ở vế phải của đẳng thức (4) cần thay thế các giá trị trung bình của chúng $\bar{v}_x^2$, $\bar{v}_y^2$ và $\bar{v}_z^2$ thay vì $v_x^2$, $v_y^2$ và $v_z^2$. Tổng của $\bar{v}_x^2 + \bar{v}_y^2 + \bar{v}_z^2$ bằng $\bar{v}^2$ thì cuối cùng

$$p = \frac{1}{3} n m \bar{v}^2 = \frac{2}{3} n \frac{m \bar{v}^2}{2}.$$

Ý nghĩa vật lý của hằng số khí phổ quát

Phương trình trạng thái của khí lý tưởng (phương trình Mendeleev-Clapeyron)

$$p V = \frac{m}{M} RT$$

bao gồm hằng số khí phổ quát $R$. Nó được biết là bằng tích của hai hằng số khác—số Avogadro $N_A$ và hằng số $k$:

$$R = N_A k.$$

Các hằng số $N_A$ và $k$ có ý nghĩa rõ ràng: $N_A$ là số phân tử hoặc nguyên tử có trong một đơn vị chất, tức là mol; $k$ là hằng số xác định mối quan hệ giữa nhiệt độ tính bằng kelvin và nhiệt độ tính bằng đơn vị năng lượng. Nhưng sự kết hợp của $N_A$ và $k$—hằng số $R$—có một ý nghĩa vật lý nhất định (có lẽ nhiều người sẽ thấy bất ngờ).

Chúng ta hãy tưởng tượng rằng 1 mol khí lý tưởng đựng trong một bình có pít-tông chuyển động và khi đưa một vật vào nó hoặc lấy một vật ra khỏi bình, nhiệt độ của nó thay đổi 1 kelvin. Do bình được đóng lại bằng một pít-tông chuyển động nên áp suất khí sẽ không đổi (và bằng áp suất bên ngoài).

Viết phương trình trạng thái của khí trước và sau khi đun nóng:

trước khi đun nóng $p V_1 = RT$,

sau khi nung nóng $p V_2 = R (T + \Delta T)$, trong đó $\Delta T = 1$ K. Trừ đẳng thức thứ nhất cho đẳng thức thứ hai, chúng ta nhận được

$$p \left( V_2 - V_1 \right) = RT + R \Delta T - RT = R \Delta T.$$

Vế trái của phương trình này biểu thị công do lực áp suất khí (hoặc ngoại lực tác dụng lên lực áp suất) thực hiện khi, ở áp suất không đổi $p$, thể tích khí tăng (hoặc giảm) từ $V_1$ đến $V_2$. Do đó, hằng số khí $R$ bằng công thực hiện bởi 1 mol khí lý tưởng, nở ra khi đun nóng thêm 1 K ở áp suất không đổi.

Tất nhiên, với việc làm lạnh đẳng áp 1 mol khí đi 1 K, ngoại lực tác dụng lên piston cũng bằng độ hoàn hảo.

38

Kvasht
dành cho học sinh nhỏ tuổi

Bài toán

1. Mô hình trong bản vẽ có đối xứng không?
2. Có hai quả bóng màu đỏ, hai quả bóng màu xanh, hai quả bóng màu xanh lá cây, hai quả bóng màu vàng và hai quả bóng màu trắng. Một số quả bóng nhiều màu được đặt ở một bên của cân và những quả bóng thứ hai có màu này được đặt ở bên kia. Đồng thời, phía bên trái của cân nghiêng. Tuy nhiên, người ta đã thay đổi rằng dù đặt cặp bi cùng màu nào vào đúng vị trí thì cân sẽ cân bằng hoặc cốc bên phải sẽ bị nặng. Với bao nhiêu quả bóng trên cân thì điều này có thể xảy ra?
3. Sắp xếp lại một trận đấu trong mỗi hàng sao cho (xem hình) sao cho trận đấu cuối cùng trở thành đẳng thức chính xác.
4. Hình vuông được cắt thành các hình chữ nhật sao cho không có điểm nào của hình vuông là đỉnh của bốn hình chữ nhật cùng một lúc. Chứng minh rằng số điểm vuông là đỉnh của hình chữ nhật là số chẵn.
5. Một quả cầu thép lơ lửng trên mặt đất. Độ sâu lặn sẽ tăng hay giảm nếu nhiệt độ tăng?

Những bài toán này được đề xuất cho chúng tôi bởi G. A. Galperin, V. V. Proizvolov, N. A. Rodina, L. M. Salakhov, L. A. Shteingats

38

39

Và nếu…,
sau đó thì sao?

Ứng viên khoa học sư phạm
I. L. NIKOLSKAYA,
N. G. SABLINA

Kết thúc buổi học cuối cùng, Tatyana Ivanovna, giáo viên chủ nhiệm của họ, bước vào lớp nơi Petya đang học.

“Các bạn,” cô nói, “Tôi có một tin vui cho các bạn: 20 học sinh trong lớp sẽ đến Moscow vào mùa hè.”

“Hoan hô!” mọi người hét lên.
– Ai sẽ đến Moscow? - Petya hỏi.

Tatyana Ivanovna trả lời: “Để đến Moscow, chỉ cần kết thúc năm học không có điểm C là đủ.

Petya phấn khích trở về nhà. Kata ngay lập tức nhận ra điều này và hỏi có chuyện gì vậy. Petya kể cho cô nghe về chuyến đi Moscow.

“Chà,” Kata dài giọng, “năm nay cậu sẽ đạt điểm C môn tiếng Nga và có thể cả môn toán nữa.”

“Katka nói đúng,” Petya nghĩ. “Năm nay tôi vẫn có thể đạt điểm B môn toán, nhưng môn tiếng Nga… Tôi sẽ đến gặp Mitya; anh ấy là sinh viên, anh ấy phải nghĩ ra được điều gì đó.

Mitya chăm chú lắng nghe Petya và khuyên anh đừng bỏ cuộc quá sớm.

“Đúng,” Petya buồn bã nói, “Tatyana Ivanovna, bạn biết cô ấy là người như thế nào: nếu cô ấy đã nói rồi thì chắc chắn cô ấy sẽ làm được.”

Mitya nói: “Đợi đã, chúng ta hãy tìm hiểu xem”. “Câu “Để đến Moscow, tất cả những gì bạn phải làm là kết thúc năm học mà không có điểm C?” Điều tương tự có thể được nói như thế này:

“Nếu một học sinh kết thúc năm học mà không đạt điểm C, anh ta sẽ đến Moscow.” Câu phức tạp này được hình thành bằng cách sử dụng liên kết logic “nếu… thì…” từ hai câu đơn giản: “Học sinh sẽ kết thúc năm học mà không đạt điểm C” và “Anh ấy sẽ đến Moscow”. Chúng ta hãy biểu thị câu đầu tiên bằng chữ A và câu thứ hai bằng chữ B. Tuy nhiên, điều đó thật dễ dàng - suy cho cùng, tính đúng hay sai của những câu này phụ thuộc vào học sinh mà họ đăng ký: một học sinh có thể kết thúc năm học với điểm C, và một học sinh khác không có điểm C; một người sẽ đến Moscow, còn người kia thì không

40

det. Vì vậy, những cụm từ này là những câu có một biến, không phải một câu lệnh; đặt nó - bạn đã đọc về điều này trong Đại số 6 chưa? Chúng ta hãy biểu thị chúng không phải bằng $A$ và $B$ mà bằng $A(x)$ và $B(x)$, trong đó $x$ có thể là bất kỳ học sinh nào trong lớp. Bây giờ, bằng cách sử dụng các dấu hiệu của logic toán học, chúng ta sẽ viết cụm từ của Tatyana Ivanovna như thế này:

$(\forall x)[A(x) \Rightarrow B(x)]$; (1)

Dấu $\forall$ được sử dụng trong toán học cùng với các từ “any”, “any”, “every”. Do đó, cụm từ của Tatyana Ivanovna ở dạng (1) có thể được đọc như sau: “Bất kỳ học sinh nào kết thúc năm học mà không có dấu vết sẽ được đón ở Moscow.” Tuy nhiên, trong công thức bằng lời nói, các từ “bất kỳ”, v.v. thường bị bỏ qua - chúng được ngụ ý. Đó là lý do tại sao chúng ta có thể nói: “Nếu một học sinh kết thúc năm học mà không có thành tích, thì anh ta sẽ bị từ chối ở Moscow,” tức là $A(x) \Rightarrow B(x)$ (2)

Thay vì “Nếu $A(x)$ thì $B(x)$” họ cũng nói “Từ $A(x)$ theo sau $B(x)$”. Bạn nghĩ khi nào chúng ta có thể nói rằng giáo viên đã không giữ lời hứa?

Petya trả lời: “Nếu có một sinh viên kết thúc năm học không thành tích, nhưng ở Moscow, anh ấy không trượt.

— Đúng vậy, đối với một học sinh như vậy, câu $A(x)$ là đúng và $B(x)$ là sai; do đó khẳng định (2) là sai. Bây giờ hãy cho tôi biết trong trường hợp nào Tatyana Ivanovna sẽ thực hiện lời hứa của mình.

— Nếu tất cả học sinh đã hoàn thành năm học không có dấu vết sẽ được đưa đến Moscow.

• Phải. Tatyana Ivanovna nên làm gì với những học sinh đạt điểm “C” hàng năm? Nếu cô ấy không nhận một học sinh như vậy ở Moscow, tất nhiên cô ấy sẽ không thất hứa (do đó, khi $A(x)$ và $B(x)$ là sai, thì $A(x) \Rightarrow B(x)$ là đúng). Nhưng, nếu Tatyana Ivanovna vẫn nhận một học sinh như vậy ở Moscow, cô ấy cũng sẽ không thất hứa! Hãy nhớ những gì cô ấy nói: “Để đến Moscow, chỉ cần kết thúc một năm học không có dấu vết là đủ”.

Đủ, nhưng không cần thiết! Bạn có thể khác biệt trong một số vấn đề khác. Nhưng bạn là môn thể thao của chúng tôi!

• Chuyện gì đang xảy ra thế này! - Petya kêu lên. — Hãy áp dụng $A(x)$ và đúng $B(x)$ lần nữa $A(x) \Rightarrow B(x)$ có ​​đúng không? Điều này có nghĩa là tôi vẫn còn cơ hội đến Moscow.

“Vì vậy,” Mitya tiếp tục, “câu (1) chỉ sai trong một trường hợp: nếu có $x$ mà $A(x)$ là đúng và $B(x)$ là sai.” Hãy ghi lại “nghiên cứu” của chúng ta vào một bảng:

| $A(x)$ | $B(x)$ | $A(x) \Rightarrow B(x)$ |
| :— | :— | :— |
| VÀ | VÀ | VÀ |
| VÀ | L | L |
| L | VÀ | VÀ |
| L | L | VÀ |

Theo nghĩa này, từ nối “If…, then…” được sử dụng trong toán học: câu $A \Rightarrow B$ sai khi và chỉ nếu $A$ đúng và $B$ sai; trong ba trường hợp còn lại thì đúng. Bảng của chúng tôi xác định chính xác định nghĩa của từ kết hợp “If…, then…”. Lấy ví dụ: câu lệnh “Mọi số $n$ chia hết cho 4 đều là số chẵn”. Tất nhiên bạn hiểu rằng nó có dạng (1). Ở dạng (2), nó sẽ trông như thế này: “Nếu $n$ chia hết cho 4 thì nó là số chẵn.” Bạn có nghĩ điều này là đúng?

“Tôi hiểu rồi, đúng vậy,” Petya trả lời, “ngay cả một học sinh lớp ba cũng biết điều đó.”

• Vậy hãy cho tôi biết câu nói “Nếu 18 chia hết cho 4 thì 18 là số chẵn” có đúng không?

“Nhưng 18 không chia hết cho 4,” Petya nghi ngờ.

“Chà, những gì không được chia sẻ,” Mitya phản đối, “đó không phải là những gì tôi đang chia sẻ!” Suy cho cùng, chính bạn đã nói rằng câu “Nếu $n$ chia hết cho 4 thì nó là số chẵn” là đúng, tức là đúng với mọi giá trị của $n$. Và nếu vậy thì câu “Nếu 18 chia hết cho 4 thì 18 là số chẵn” (hàng thứ ba của bảng), và câu “Nếu 17 chia hết cho 4 thì 17 là số chẵn” (dòng thứ tư của bảng), và câu “Nếu 16 chia hết cho 4 thì 16 là số chẵn” (dòng đầu tiên của bảng) là đúng. Và chỉ phục vụ

41

Sẽ không có “A(n) true, B(n) false” (hàng thứ hai của bảng) cho câu lệnh này đối với bất kỳ giá trị nào của n; đó là lý do tại sao tuyên bố này là đúng. Nói cách khác, từ khẳng định “Số n chia hết cho 4” sẽ dẫn đến khẳng định “Số n chẵn”. Bạn nghĩ sao, câu đầu tiên có tiếp nối câu thứ hai không?

“Không,” Petya nói nhanh, “dù sao thì 2 cũng là số chẵn, nhưng không chia hết cho 4.”

“Làm tốt lắm,” người bạn Mitya chúc mừng anh.

“Sấm sét sẽ tấn công tôi nếu tôi không sửa chữ C trong môn toán!” Petya vui mừng hét lên.

“Tất nhiên, bạn sẽ sửa chữ C trong toán học và sấm sét sẽ không đánh trúng bạn,” Mitya cười. “Hãy hy vọng rằng câu cảm thán của bạn là một câu nói đúng với A và B sai. Kozma Prutkov khôn ngoan nhất thích thốt ra những câu đúng như vậy.” Ông thường nói: “Nếu bóng của các vật thể không phụ thuộc vào kích thước của chúng mà phụ thuộc vào sự phát triển tùy ý của chúng, thì có lẽ sẽ sớm không còn một điểm sáng nào trên toàn cầu”.

Nhưng hãy quay lại với toán học. Tôi thấy bạn hiểu rõ ý nghĩa của từ “Từ A đến B”. Nếu hai câu lệnh nối tiếp nhau thì các câu lệnh đó được gọi là tương đương.

Bạn biết đấy, bố mẹ tôi đã từng nói với tôi, chị gái Galya và anh trai Kolya của tôi: “Nếu chúng ta vào nhà nghỉ, thì các bạn sẽ vào trại”. Ở trường người ta hỏi chúng tôi sẽ đi đâu vào mùa hè. Galya trả lời: “Nếu chúng ta đến trại thì bố mẹ sẽ về nhà nghỉ. Kolya nói, “Nếu mẹ và mẹ không đến nhà nghỉ thì chúng ta sẽ không đến trại.” “Anh nhầm lẫn mọi thứ rồi,” tôi nói. “Người ta nói: “Nếu chúng ta không đi cắm trại thì bố mẹ sẽ không về nhà nghỉ”.

“Đúng, nhưng bạn cũng không nói điều đó giống bố mẹ mình,” Petya lưu ý.

• Đúng vậy, - Mitya đáp, - nhưng cùng một điều có thể được nói theo nhiều cách khác nhau. Hãy làm lại cái bàn. Gọi A là viết tắt của câu “Bố mẹ sẽ đi đến nhà nghỉ dưỡng”, và B là viết tắt của “Chúng ta sẽ đi cắm trại”. Khi đó những gì cha mẹ nói sẽ được viết là “If A, then B,” đáp số Gali sẽ được viết là “If B, then A,” đáp số Koli sẽ được viết là “If not A, then not B,” và đáp số của tôi sẽ được viết là “If not B, then not A.”

Bây giờ chúng ta hãy tạo một bảng, hãy nhìn vào bảng trước. Vì mỗi câu A, B có thể đúng hoặc sai nên nó sẽ có 4 dòng. Để dễ đếm hơn, chúng tôi viết sau các cột cho A và B các cột “không phải A” và “không phải B” (“không phải A” đúng khi A sai và sai khi A đúng; tương tự, “không phải B”). Chúng ta chỉ cần viết lại cột cho “nếu A thì B” từ bảng trước đó. Và các cột cho ba câu còn lại được điền theo quy tắc chung: “L” được viết khi và chỉ nếu tiền đề (nằm giữa “if” và “then”) là đúng và kết luận (cái đứng sau “then”) là sai. Kết quả là chúng ta có được bảng sau:

| A | B | không phải A | không phải B | nếu A thì B | nếu B thì A | nếu không phải A thì không phải B | nếu không phải B thì không phải A |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| VÀ | VÀ | L | L | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ |
| VÀ | L | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ |
| VÀ | L | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ | VÀ |

Bạn thấy rằng câu “If A, then B” (điều bố mẹ nói) chỉ tương đương với câu “If not B, then not A” (điều tôi nói). Vậy là chỉ có tôi mới truyền đạt đúng ý nghĩa lời cha mẹ tôi nói. Galya và Kolya cũng nói những điều tương tự, nhưng không giống bố mẹ họ.

“À,” Petya dài giọng, “điều đó có nghĩa là lẽ ra tôi không nên bị Katya xúc phạm.” Mẹ nói với tôi: “Nếu tuần này con đi xem phim thì hãy làm hết bài tập về nhà trước đã” và Katka nói: “Nếu con không làm bài tập về nhà thì con sẽ không đi xem phim”. Hóa ra họ cũng nói điều tương tự!

“Tất nhiên,” Mitya mỉm cười, “Cả hai đều nói rằng để đi xem phim, trước tiên bạn phải làm hết bài tập về nhà.”

42

Petya, sau khi nhanh chóng hoàn thành bài tập về nhà, đi xem phim và đối với bạn, độc giả, chúng tôi đề nghị bạn giải một số bài toán.

Bài tập

1. Khẳng định nào sau đây là đúng và khẳng định nào sai?
   a) Nếu Paris nằm trên sông Seine thì Úc nằm ở bán cầu bắc.
   b) Nếu Úc ở Bắc bán cầu thì Paris nằm bên sông Seine.
   c) Nếu Úc ở Bắc bán cầu thì Paris nằm trên sông Thames.
   d) Nếu 1 = 0 thì 2 = 1.
   e) Nếu 1 = 0 thì 2 = 2.

2. Với mọi x và y các mệnh đề sau đều đúng:
   a) “Nếu x là anh trai của y thì y là anh trai của x”?
   b) “Nếu x là anh em của y thì x và y là họ hàng”?

3. Câu nói “Nếu một học sinh học nhiều thì cậu ấy sẽ đậu kỳ thi thành công” có bắt nguồn từ câu nói “Một học sinh thi trượt là không học nhiều” không?

Thay đổi hình dạng của Trái đất và chuyển động quay của nó
(Để bắt đầu, xem trang 25)

Thứ hai, điều này là chưa đủ, mà độ dài ngày tăng liên tục còn cộng thêm sự thay đổi theo mùa trong chuyển động quay của Trái đất, gây ra bởi các chuyển động khác nhau của khối lượng khí quyển và đại dương. Thứ ba, tốc độ quay của Trái đất thay đổi (thường là theo bước nhảy) trong các trận động đất làm di chuyển khối lượng bên trong Trái đất. Ví dụ, những chuyển động này, như một quy luật, có xu hướng làm cho hình Trái đất trở nên hình cầu hơn (như được thể hiện bằng các mũi tên trong hình), trong khi tốc độ quay của Trái đất tăng lên.

Đặc biệt, tốc độ quay tăng lên như vậy được quan sát thấy trong khoảng thời gian từ 1973 đến 1978, khi độ dài của ngày giảm đi 0,006 s. Trong những quan sát này, người ta thu được thông tin về sự thay đổi đều đặn của gia tốc rơi tự do.

Khi Trái đất có hình dạng gần giống hình cầu, lực gia tốc cũng có xu hướng đạt giá trị trung bình là 9,7977 m/s², tăng ở vĩ độ thấp và giảm dần về phía bắc và nam ở vĩ độ 35°. Bây giờ đã rõ tại sao những thay đổi đầu tiên cho thấy tốc độ giảm dần: Moscow, Novosibirsk và Potsam nằm ở vĩ độ từ 52 đến 56°.

43

Bài toán

M826—M830; F838—F842

M826. Ba con số được viết trên bảng. Sau đó, một trong số chúng bị xóa và tổng của hai số khác được viết lại với nhau, giảm đi một. Thao tác này được lặp lại nhiều lần và kết quả là thu được các số 17, 1967, 1983. Có thể viết các số a) 2, 2, 2 ban đầu không? 6) 3, 3, 3? (8)

A. A. Berzins

M827. Được biết, bốn tam giác đồng bộ trong Hình 1 (tr. 44) có kích thước bằng nhau.
a) Chứng minh rằng ba hình tứ giác màu đỏ trong hình này cũng có kích thước bằng nhau.
b) Tìm diện tích một tứ giác nếu diện tích một tam giác đơn là 1.(8)

B. I. Chinik

M828*. Có thể sắp xếp các số nguyên trong các ô của một tờ giấy ca rô vô hạn sao cho tổng các số trong mỗi hình chữ nhật có kích thước 4 × 6 ô, các cạnh dọc theo các đường của lưới bằng a) 10; 6) 1? (8)

N. Yu. Nechevgaev

M829. Chứng minh rằng trong số 2m + 1 số nguyên phân biệt có modulo không vượt quá 2m - 1, có ba số có tổng bằng 0. (9)

N. V. Kartatsov

M830*. Một học sinh đang thực hành lời giải phương trình bậc hai. Sau khi viết ra một số phương trình $x^2+p_1x+q_1=0$, anh ấy giải nó và đảm bảo rằng nó có hai nghiệm, soạn phương trình thứ hai $x^2+p_2x+q_2=0$, trong đó $p_2$ là nghiệm nhỏ hơn và $q_2$ là nghiệm lớn của phương trình thứ nhất. Từ phương trình thứ hai, anh ta tạo ra phương trình thứ ba, nếu có thể, v.v.
a) Chứng minh rằng phương trình này không thể tiếp tục vô thời hạn.
b) Tìm các trilen bình phương đơn giản nhất thỏa mãn điều kiện đã cho.(10)

M. V. Sapir

F838. Năm 1844, nhà toán học và thiên văn học xuất sắc Bessel đã phát hiện ra rằng chính ông (không liên quan đến chuyển động quan sát trái đất)

44

người cho) chuyển động của Sirius xảy ra gần như dọc theo một hình sin (Hình 2.). Độ lệch góc tối đa so với đường thẳng $\alpha=2,3''$, chu kỳ $T=50$ năm. Bessel cho rằng (18 năm sau điều này đã được xác nhận bằng các quan sát trực tiếp) rằng độ cong trên đường đi của Sirius là do sự khởi đầu của một vệ tinh - một ngôi sao yếu hơn. Tìm tỷ lệ khối lượng $m$ của vệ tinh (Sirius $B$) với khối lượng $M_C$ của Mặt trời, nếu khối lượng của ngôi sao chính (Sirius $A$) là $M=2,3$ $M_C$. Được biết, bán kính quỹ đạo Trái đất có thể nhìn thấy từ Sirius ở góc $\beta=0,376''$. Giả sử rằng quỹ đạo của các ngôi sao là hình tròn và mặt phẳng quỹ đạo vuông góc và hướng từ Hệ Mặt trời đến Sirius. (10)

V. E. Belopuchkin

F839. Nếu đặt một cây bút chì hình lục giác trên một mặt phẳng nghiêng tạo một góc $\alpha$ so với mặt ngang, vuông góc với đường sinh của nó (đường giao nhau của mặt phẳng với mặt ngang) thì cây bút chì sẽ đào lên. Nếu bạn đặt nó song song với máy phát điện, nó sẽ cuộn xuống. Ở góc nào $\phi$ giữa trục của bút chì và đường sinh của mặt phẳng nghiêng (Hình 3) thì bút chì sẽ cân bằng? (8)

S. S. Krotov

F840. Trong một hộp phẳng nằm ngang có kích thước $10\times10$ cm, 1000 quả bóng thép nhỏ có khối lượng $m=0,5$ mg, mỗi quả nằm ngẫu nhiên. Hộp bắt đầu chuyển động với tốc độ $v_0=10$ m/s vuông góc với một trong các bức tường bên. Xét tác động của các quả bóng lên thành hộp và lên nhau là hoàn toàn đàn hồi, hãy xác định: a) những xung lực nào mà các quả bóng sẽ truyền tới mỗi thành hộp trong 10 giây đầu tiên; b) các bức tường nhận được những xung lực nào trong 10 giây tiếp theo sau khi chiếc hộp bị phanh gấp. (9)

A. R. Zilberman

F841. Phương tiện hạ cánh của tàu vũ trụ tiếp cận bề mặt của một hành tinh nhất định với tốc độ không đổi, truyền dữ liệu về áp suất bên ngoài tới tàu vũ trụ. Biểu đồ về sự phụ thuộc của áp suất $p$ (tính theo đơn vị) theo thời gian $t$ được hiển thị trong Hình 4. Sau khi hạ xuống bề mặt hành tinh, thiết bị đã thay đổi và truyền trên tàu dữ liệu về nhiệt độ và gia tốc rơi tự do: $T=700$ K, $g=10$ m/$c^2$. Xác định tốc độ đi xuống của xe nếu biết rằng bầu khí quyển của hành tinh này bao gồm carbon dioxide ($CO_2$). Đồng thời xác định nhiệt độ ở độ cao $h=15$ km so với bề mặt hành tinh. (9)

A. I. Buzdin

46

P839. Nếu đặt một cây bút chì có tiết diện lục giác trên một mặt phẳng nghiêng (tạo thành góc $a$ với mặt phẳng ngang) vuông góc với giao điểm $l$ của các mặt phẳng này thì bút chì đứng yên. Đặt song song với $l$, nó lăn xuống. Với góc $\varphi$ nào giữa trục của bút chì và $l$ (xem hình 3), bút chì sẽ giữ thăng bằng?

S. S. Krotov

P840. A flat $10 \times 10$ cm box placed horizontally contains 1000 small steel ball-bearings of mass $m = 0.5$ mg each, mixed at random. The box starts to move with velocity $v_0 = 10$ m/s perpendicularly to one of its sides. Assuming the collisions of the ball-bearings with each other and the walls of the box absolutely elastic, determine: a) what impulses will the ball-bearings communicate to each of the walls during the first 10 seconds; b) what impulses will the walls get in the 10 seconds following a sudden braking of the box to a stop.

A. R. Zilberman

P841. Tàu đổ bộ từ tàu vũ trụ tiếp cận bề mặt hành tinh với vận tốc không đổi, truyền dữ liệu về áp suất bên ngoài tới tàu mẹ. Đồ thị áp suất $p$ (theo đơn vị có điều kiện) là hàm của thời gian $t$ được vẽ trên hình 4. Sau khi hạ cánh, tàu đo nhiệt độ và gia tốc trọng trường: $T = 700$ K, $g = 10$ m/s$^2$. Xác định vận tốc đi xuống của tàu đổ bộ, nếu biết bầu khí quyển của hành tinh này có chứa carbon dioxide ($\text{CO}_2$). Xác định nhiệt độ ở độ cao $h = 15$ km so với bề mặt hành tinh.

A. I. Buzdin

P842. Trong mạch như hình 5, công tắc $K$ được bật. Tìm giá trị đã thiết lập của dòng điện chạy qua cuộn dây có độ tự cảm $L$ và điện trở tác dụng $r$. Điện tích nào sẽ chạy qua điện kế $I$ sau khi $K$ được bật? Các tham số của các phần tử hiển thị trên hình được coi là đã biết. Điện trở trong của nguồn và điện trở của điện kế không đáng kể.

V. V. Mojaev

Lời giải bài toán

M811—M815; F823—F827

Chúng ta hãy nhân cả hai vế của bất đẳng thức được chứng minh bằng diện tích của tam giác $S$ và sử dụng các công thức

$$S = \frac{ah}{2} = \frac{bh}{2} = \frac{ch}{2} = r \frac{a+b+c}{2}.$$

Sau đó nó sẽ xuất hiện

$$\frac{m_a \cdot a}{2} + \frac{m_b \cdot b}{2} + \frac{m_c \cdot c}{2} \leq S + R \frac{a+b+c}{2}$$

hoặc

$$\frac{(m_a - R)a}{2} + \frac{(m_b - R)b}{2} + \frac{(m_c - R)c}{2} \leq S.$$

Rõ ràng là giá trị $m_a - R$ không vượt quá khoảng cách từ tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp đến cạnh $BC$ (xem hình), tức là chiều cao của tam giác $OBC$. Do đó, số hạng đầu tiên ở vế trái của bất đẳng thức () không lớn hơn diện tích tam giác $OBC$. Tương tự, hai số hạng còn lại không vượt quá diện tích của các hình tam giác lần lượt là $OCA$ và $OAB$. Điều này chứng tỏ bất đẳng thức (), và cùng với nó là bất đẳng thức bài toán.

Từ chứng minh, rõ ràng đẳng thức chỉ đúng với tam giác đều. Cũng lưu ý rằng vì đường trung bình luôn không nhỏ hơn chiều cao nên