Kvant 1984, số 1 · Trang

QUANTUM
1
1984
Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Nó cho thấy sự đan xen của một hình trụ, một thành phố, một chai Klein và một dải Mobius vô tận. Những bề mặt này là mô hình tôpô của “mặt phẳng Euclide cục bộ”, được mô tả trong bài viết của I. Kh. Sabitov trong số này của Quaita.

TRONG PHÒNG:
2 V. L. Ginzburg. Về những vấn đề then chốt của vật lý và vật lý thiên văn
8 A. A. Borovoy. phóng xạ nhân tạo
14 I. Kh. Sabitov. Thế giới của ενclid có đơn giản như vậy không?

IN THIS ISSUE:
V. L. Ginzburg. Key problems in physics and astrophysics
A. A. Borovoy. Artificial radioactivity
I. Kh. Sabitov. Is the Euclidean world so simple?

TIN KHOA HỌC
Stabilized monoatomic hydrogen

Science news
Stabilized monoatomic hydrogen

Phòng thí nghiệm «Kvant»
I. A. Medkov. Sự sống động đáng kinh ngạc

Kvant’s lab
I. A. Medkov. Một chất lỏng đáng ngạc nhiên

vòng tròn toán học
V. L. Gutenacher. Hệ phương trình tuyến tính

Mathematics circle
V. L. Gutenmacher. Systems of linear equations

Geometric page

Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
A. P. Savin. Trong tâm trí và trên ngón tay

Kvant for younger school-children
Problems
A. P. Savin. In your head and on your fingers

Vấn đề «Kvant»
Bài toán M841—M845; F853—F857
Lời giải bài toán M826—M830; F837—F841

Kvant’s problems
Problems M841—M845; P853—P857
Solutions M826—M830; P837—P841

Thông tin
Sự chấp nhận mới vào Thang đo toán học tương ứng của toàn liên minh
Trường Vật lý và Công nghệ Tương ứng tại MISiSe
Tuyển sinh mới vào bộ phận thư tín của Cơ khí nhỏ

Information
Entrance requirements to the All-Union mathematics correspondence school
The MISIS physico-technological correspondence school
Entrance requirements to the correspondence “Maly mekhmat” school

Các lựa chọn thi tuyển sinh
Đáp số, gợi ý, lời giải
Pha trộn (13)
Trang cờ vua
Chụp X-quang (trang bìa thứ 3)

College entrance examination
Answers, hints, solutions
Miscellaneous (13)
The chess page
X-raus (3rd cover page)

Bức ảnh ở trang đầu tiên của trang bìa minh họa đặc tính của chất lỏng sắt từ có thể “làm ngập” hoa văn được áp dụng trên bề mặt của nó. Bạn có thể đọc về chất lỏng tuyệt vời này trong bài viết của I. A. Medkov.

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1984

2

Về những vấn đề then chốt của vật lý và chiêm tinh học

Viện sĩ V. L. GINZBURG

Nếu chúng ta ví vật lý như một nhiệm vụ thì đó là một tòa nhà nhiều tầng khổng lồ với nền móng vững chắc, các tầng hầm và các tháp pháo hoạt động hiệu quả. Gần đó có đường hầm dẫn vào các nhà máy, phòng khám, khu đào tạo. Nhiều nghìn người, nhiều phòng thí nghiệm, hàng trăm cơ sở và dụng cụ khác nhau, thư viện lớn, hàng trăm tạp chí… Tòa nhà đang được chuyển giao và mở rộng liên tục. Hàng ngàn vấn đề và bài toán, nhiều vấn đề liên kết với nhau, khó tách biệt khỏi những vấn đề lân cận và nổi bật so với cái chung. Mặt khác, sự khác biệt và phát triển đang diễn ra; mọi người đã làm việc bên nhau nhiều năm nhưng vẫn là những người xa lạ. Tòa nhà bắt đầu giống một căn cứ của người Babylon.

Đồng thời, vật lý được đặc trưng (có lẽ nói đúng hơn - vẫn đặc trưng) bởi sự thống nhất nội tại sâu sắc của các phương pháp. Việc phá hủy tòa nhà chỉ dẫn đến thực tế là việc xác định, theo dõi và sử dụng sự thống nhất này ngày càng trở nên khó khăn hơn. Tuy nhiên, ở cấp độ giảng dạy các nguyên tắc cơ bản của vật lý, bao gồm cả vật lý lý thuyết, các bài kiểm tra đặc biệt

lem không xuất hiện, chúng xuất hiện muộn hơn, chúng đi kèm với chuyên môn hẹp. Đã hơn một lần tôi bắt gặp bức tranh này: à, một sinh viên có năng lực hoặc đã là một nhà khoa học, tác giả của những bài báo gốc, lại có cái nhìn rất hạn hẹp. Giả sử anh ta quen thuộc với những vấn đề sâu sắc và khó khăn của lý thuyết trường lượng tử, nhưng anh ta không có đủ hiểu biết về sao neutron, lỗ đen, chất sắt điện, chất siêu dẫn, gelli-tiri lỏng (³He) và nhiều thứ khác, thậm chí ở mức độ định tính. Trong khi đó, để thành công trong công việc, điều rất quan trọng là phải nhìn thấy một tầm nhìn rộng lớn và trong mọi trường hợp, đừng giới hạn bản thân trong “chủ đề của bạn”. Nhìn chung, công thức nổi tiếng “mọi thứ về một thứ và một thứ gì đó về mọi thứ” là trống rỗng và không theo nghĩa đen, nhưng vẫn phản ánh mục tiêu mà người ta phải phấn đấu.

Tất nhiên, đối với một học sinh, mục tiêu như vậy vẫn còn khá xa trong tương lai, nhưng tôi hoàn toàn tin chắc rằng việc bắt đầu làm điều đó là có thể và cần thiết ngay từ khi còn đi học: không giới hạn chương trình giảng dạy và sách giáo khoa ở trường, làm quen với nhiều thứ, với những thành tựu và khám phá khoa học mới nhất. Tất nhiên, ở đây chúng ta đang nói về sự hiểu biết ở mức độ định tính, ở một khía cạnh nào đó - về bề mặt của sự làm quen. Nhưng điều này không hề nhỏ chút nào và có thể tạo điều kiện thuận lợi rất nhiều cho con đường xa hơn. Vâng, cuối cùng, đối với những người quan tâm đến khoa học, thật thú vị khi biết vật lý, thiên văn học và sinh học “sống và thở” ngày nay như thế nào, không kém phần thú vị so với những người hâm mộ văn học tương ứng đọc về du lịch và phiêu lưu.

Đương nhiên, đối với lời giải cho bài toán bạn cần tài liệu khoa học phổ biến mà học sinh có thể tiếp cận. Hơn 50 năm (!) đã trôi qua, và tôi nhớ với lòng biết ơn vai trò mà cuốn sách “Vật lý ngày nay của chúng ta” của O. D. Khvolson đã đóng đối với tôi trong những năm đi học. Thật không may, tôi không thể kể tên một cuốn sách có bề rộng và chiều sâu tương tự, và vật lý đã phát triển rất nhiều trong thời gian này đến mức,

3

Có lẽ ngày nay chúng ta cần một cách tiếp cận hơi khác để phổ biến. Tôi chỉ muốn nói về một trong những cách có thể ở đây.

Trong số lượng lớn các vấn đề, bài toán và các câu hỏi mà các nhà vật lý và vật lý thiên văn đang nghiên cứu, một số vấn đề được nhấn mạnh do tầm quan trọng tiềm tàng to lớn của chúng đối với công nghệ, sự tồn tại của một số trở ngại khó vượt qua trong các nỗ lực lời giải, độ tinh tế đặc biệt, độ sâu, v.v. Do đó, việc biên soạn một danh sách các vấn đề “đặc biệt quan trọng và thú vị” hoặc “quan trọng” trong vật lý và vật lý thiên văn là có ý nghĩa nhất định. Tất nhiên, danh sách như vậy không thể không có điều kiện, và nói chung, ở đây cần có một số giải thích rõ ràng và bảo lưu, điều này sẽ được thảo luận dưới đây.

Bằng cách này hay cách khác, hơn mười năm trước, tôi đã biên soạn một danh sách tương tự và viết một bài báo cho tạp chí đánh giá “Sự thành công của khoa học vật lý” “Những vấn đề nào trong vật lý và vật lý thiên văn ngày nay có vẻ đặc biệt quan trọng và thú vị?” (UFN, tập 103, trang 87, 1971).

Đồng thời, tôi coi việc biên soạn một danh sách và nhận xét về nó như một kỹ thuật sư phạm theo kiểu câu chuyện mới, một cách để mở rộng tầm nhìn của các nhà vật lý trẻ. Nhưng tôi vẫn chưa biết ý kiến ​​của giới trẻ. Bài báo hoàn toàn bất ngờ này đã mang đến cho tôi một loạt lời chỉ trích từ các nhà vật lý đồng nghiệp thuộc thế hệ trung và lớn tuổi. Một số người trong số họ tin rằng nhìn chung không thể chỉ ra “những vấn đề đặc biệt thú vị và quan trọng”; những người khác sẽ cảm thấy bị xúc phạm nếu danh sách những vấn đề như vậy không bao gồm những vấn đề mà họ gặp phải, v.v., v.v. Tôi không đồng ý với những lời chỉ trích như vậy trong đáp số Tôi đã chuyển bài viết được đề cập thành một cuốn sách nhỏ, đã được dịch sang nhiều thứ tiếng *). Điều sau ít nhất cũng chỉ ra rằng cuộc thảo luận về “các vấn đề chính” là điều đáng quan tâm. Gần đây tôi đã xuất bản một bài báo có tựa đề tương tự như năm 1971, nhưng có phụ đề là “mười năm sau” (UFN, tập 134, tr. 469, 1981).

*) Cuốn sách có tên là “Về Vật lý và Vật lý thiên văn”. Ấn bản mới nhất (thứ ba) được nhà xuất bản Nauka xuất bản năm 1980.

4

Mục đích của nó không phải là nỗ lực tái tạo Dumas mà là mong muốn theo dõi sự phát triển của vật lý và thiên văn học trong thập kỷ (1971-1981) bằng cách sử dụng ví dụ về một số vấn đề chính *).

Tuy nhiên, như người Anh nói, “bằng chứng của bánh pudding nằm ở việc ăn” - để đánh giá chất lượng của bánh pudding, bạn cần phải ăn nó - và cuối cùng, đã đến lúc đưa ra danh sách được đề cập.

Vật lý vĩ mô

1. Tổng hợp nhiệt hạch có kiểm soát.
2. Tính siêu dẫn nhiệt độ cao.
3. Các chất mới (vấn đề tạo ra hydro kim loại và các chất “bất thường” khác).
4. Chất lỏng ngoại tử kim loại (lỗ điện tử) trong chất bán dẫn. Chuyển tiếp kim loại-điện môi. Kính quay.
5. Chuyển pha của bậc hai và gần với chúng (hiện tượng quan trọng).
6. Vật lý bề mặt.
7. Hành vi của vật chất trong từ trường siêu mạnh.
8. Nghiên cứu các phân tử rất lớn. Tinh thể lỏng.
9. Razers, grazers và laser các loại mới.
10. Soliton. Những lực hấp dẫn kỳ lạ Hiện tượng phi tuyến.
11. Các nguyên tố siêu nặng (transruans ở xa). Hạt nhân “kỳ lạ”.

Vật lý vi mô

12. Quark và gluon. Sắc động học lượng tử.
13. Lý thuyết thống nhất về tương tác từ yếu và điện tử. W-, Z-boson. Lepton.

Trong bài viết này, cũng như trong cuốn sách mà tôi đã đề cập, bạn có thể tìm thấy khá nhiều tài liệu tham khảo về tất cả các vấn đề được nêu ra.

14. Bữa trưa tuyệt vời. Sự phân rã proton. Khối lượng neutrino. Bữa trưa siêu ngon.
15. Dòng cơ bản. Tương tác một phần ở năng lượng cao và siêu cao.
16. Vi phạm tính bất biến CP. Hiện tượng phi tuyến trong chân không, trong từ trường và điện tử siêu mạnh. Sự chuyển pha trong chân không.

Vật lý thiên văn

17. Xác minh thực nghiệm và giới hạn khả năng áp dụng của lý thuyết chung về năng lượng tương đối.
18. Sóng hấp dẫn.
19. Vấn đề vũ trụ. Kết nối vũ trụ học với vật lý năng lượng cao.
20. Sao neutron và xung. Vật lý của lỗ đen.
21. Chuẩn tinh và hạt nhân thiên hà. Sự hình thành của các thiên hà.
22. Nguồn gốc của tia vũ trụ và tia gamma vũ trụ và bức xạ RENT.
23. Thiên văn học neutrino.
    Việc phân chia tất cả những vấn đề này thành vật lý vĩ mô, vật lý vi mô và thiên văn học là hoàn toàn tùy tiện. Việc chọn 23 chủ đề thay vì 20 hay 30 cũng là tùy tiện. Sự vắng mặt gần như hoàn toàn của các câu hỏi liên quan đến sinh học không phải do đánh giá thấp tầm quan trọng của mối liên hệ giữa vật lý và sinh học (ngược lại, tôi coi lý sinh với sự tôn trọng và quan tâm đặc biệt), mà là do mong muốn bằng cách nào đó hạn chế chủ đề và hơn nữa, do năng lực sinh học của tôi hoàn toàn không đủ. Cuối cùng, điều quan trọng nhất: không thể và không nên chỉ bận tâm đến những vấn đề “chính yếu”. Cái sau bằng cách nào đó được làm nổi bật và thu hút sự chú ý đặc biệt nhờ các tính năng đã nêu ở trên. Tuy nhiên, cho dù người ta định nghĩa khái niệm “vấn đề then chốt” một cách hợp lý đến đâu, liệu nó có gây hại ngay cả đối với hai nhà vật lý biên soạn các danh sách giống hệt nhau về những vấn đề như vậy không?

Mỗi vấn đề trong số 23 vấn đề được liệt kê đều được dành cho các tài liệu chuyên sâu, thường là các vấn đề đơn

6

về các vấn đề của phản ứng tổng hợp nhiệt hạch.
Tôi chỉ muốn chứng minh rằng việc hiểu những điều cơ bản không khó chút nào. Điều tương tự cũng áp dụng cho hầu hết các vấn đề được đề cập trong danh sách của chúng tôi. Ví dụ, thật dễ dàng để mô tả sao neutron là gì. Một ngôi sao như vậy giống như một hạt nhân nguyên tử khổng lồ, bao gồm chủ yếu là neutron, nhưng có cùng số proton và electron. Mật độ vật chất trong hạt nhân nguyên tử thông thường là vào cỡ $Q_\rho = 3 \cdot 10^{14} \text{ g/cm}^3 = 3 \cdot 10^{17} \text{ kg/m}^3$.
Nói một cách đại khái, mật độ vật chất trung bình trong các sao neutron có cùng thứ tự (mật độ tại một điểm nhất định của sao phụ thuộc vào khối lượng của sao và khoảng cách đến tâm của nó).
Pozny có thể dễ dàng ước tính ngay rằng một ngôi sao có khối lượng $M_\odot = 2 \cdot 10^{30} \text{ кг}$, sau khi biến thành sao neutron, sẽ có bán kính

$$r_n \sim \left( \frac{3M_\odot}{4\pi Q_\rho} \right)^{1/3} \sim 10^4 \text{ m} = 10 \text{ km}$$

(hệ số bán kính - bề mặt nhìn thấy được của Mặt trời - $r_\odot = 7 \cdot 10^8 \text{ m}$).

Vào năm 1967-68, cái gọi là pulsar đã được phát hiện - nguồn vũ trụ của các xung phóng xạ lặp lại theo chu kỳ. Hoá ra pulsar là những sao neutron quay nhanh và có từ tính cao (ví dụ, pulsar PSR 0531, nằm trong dấu hiệu của Tinh vân Con Cua - tàn tích của vụ nổ siêu tân tinh năm 1054, tạo ra 30 vòng quay mỗi giây; từ trường trên bề mặt pulsar mạnh gấp hàng nghìn tỷ lần so với từ trường Trái đất).

Tại sao và làm thế nào các ngôi sao bình thường lại biến thành sao neutron?
Cấu trúc của những ngôi sao này ở các độ sâu khác nhau là gì? Tại sao họ quay nhanh? Những câu hỏi này và nhiều câu hỏi tương tự cũng có thể được trả lời một cách chất lượng đáp số. Ví dụ, sự quay nhanh của các sao neutron gắn liền với định luật bảo toàn xung lượng góc - khi quét cơ thể, nó bắt đầu quay nhanh (mọi người đều biết tình huống này được sử dụng như thế nào trong múa ba lê và trượt băng nghệ thuật trên băng).

Tôi muốn độc giả học sinh (và đặc biệt là một người gần như trưởng thành, chẳng hạn như một học sinh 15-17 tuổi học lớp 9, 10) cũng rút ra kết luận. Thứ nhất, không nên nghĩ rằng ngay cả những thành tựu mới nhất về vật lý, vật lý thiên văn và sinh học cũng không thể tiếp cận được với sự hiểu biết của học sinh. Ví dụ, trong hầu hết các trường hợp, có thể có được ý tưởng định tính về ngày xảy ra vụ án và bản chất của những khám phá mà không cần tốn nhiều công sức. Thứ hai, đối với một người yêu thích khoa học, tìm hiểu những hiện tượng, tác dụng mới, làm quen với tin tức khoa học, cảm nhận được nhịp đập của suy nghĩ ban đầu là sự thỏa mãn và niềm vui vô cùng. Tôi nghĩ rằng những cảm giác này khá tương đồng và có thể so sánh được với những cảm giác mà mọi người trải qua khi “bắt gặp” các tác phẩm nghệ thuật. Thứ ba, bạn cần phải giữ một vị trí tích cực. Đáng tiếc là cả trong nhà trường và viện nghiên cứu đều chưa nhận thức và không phải lúc nào cũng quan tâm đến việc làm cho học sinh biết đến tin tức khoa học và những thành tựu của khoa học hiện đại. Việc tiếp thu này sẽ không xảy ra khi chơi ghi-ta hoặc thậm chí trong quá trình chơi một trò chơi như cờ vua. (Tôi xin độc giả đừng coi nhận xét này là lời khuyên không nên chơi nhạc cụ hay cờ vua. Tôi chỉ muốn nhấn mạnh rằng điều này không nên gây trở ngại cho những người tham gia vào khoa học.) Bạn cần phải tự mình tìm kiếm đáp số, đọc sách và tạp chí khoa học phổ thông. Có lẽ danh sách các vấn đề chính của vật lý và vật lý thiên văn, với tất cả tính quy ước và hạn chế của nó, cũng sẽ giúp hiểu được điều gì có thể thú vị để tìm hiểu.

8

phóng xạ nhân tạo

(nhân dịp kỷ niệm 50 năm khai trương)

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. BOROVOY

Vào cuối thế kỷ này, kỹ sư hóa học nổi tiếng người Thụy Điển, người phát minh ra thuốc nổ và là một trong những nhà công nghiệp giàu nhất, Alfred Nobel, đã để lại một lời nói cường điệu, theo đó tiền lãi từ số vốn 31 triệu vương miện của ông sẽ được dùng để trả giải thưởng cho công trình xuất sắc về vật lý, hóa học, sinh lý học hoặc y học, văn học và cho công việc tích cực nhằm củng cố hòa bình.

Giải thưởng vật lý đầu tiên vào năm 1901 thuộc về nhà khoa học người Đức Wilhelm Conrad Roentgen vì phát hiện ra bức xạ mà ông gọi là “tia X”, còn chúng tôi gọi nó là RENTGENOVSKIUM.

Rất nhanh chóng, giải Nobel về khoa học tự nhiên đã trở thành một giải thưởng quốc tế được công nhận rộng rãi. Nó sẽ được trao vào ngày 10 tháng 12. Sau đó, những người đoạt giải Nobel sẽ có bài giảng truyền thống tại hội trường của Đại học Stockholm.

Ủy ban lựa chọn những người chiến thắng coi việc phát hiện này phải đứng vững trước thử thách của thời gian. Vì lý do này hay lý do khác, đối với nhiều nhà khoa học, nó đã kéo dài hàng thập kỷ.

Tuy nhiên, James Chadwick, Irene và Frederic Jollus-Curie, những người đã nói chuyện với các nhà khoa học Thụy Điển và nước ngoài vào ngày 12 tháng 12 năm 1935, không thể chờ đợi lâu được.*) Quy mô khám phá của họ ngay lập tức được đánh giá cao, vì chúng gây ra một cuộc cách mạng thực sự trong vật lý học.

Chadwick biểu diễn đầu tiên vào tối hôm đó. Nhà khoa học nổi tiếng, người đã làm việc nhiều năm với thầy Ernest Rutherford, đã nói về việc phát hiện ra neutron. Nó được thực hiện vào mùa xuân năm 1932.

Sau đó, cặp đôi Jollus-Curie lần lượt bước lên bục vinh quang. Vào tháng 1 năm 1934, các nhà vật lý người Pháp báo cáo đã phát hiện ra một hiện tượng mới - phóng xạ nhân tạo.

“Lần đầu tiên, một nguyên nhân bên ngoài có thể gây ra hiện tượng phóng xạ ở một số nguyên tử hạt nhân trong một khoảng thời gian nhất định và không có nguyên nhân gây ra nó”.

Bây giờ họ đang nói về khám phá này, mặc dù chỉ tồn tại trong thời gian ngắn nhưng có bối cảnh khá ấn tượng, có mối liên hệ một cách khó hiểu nhất với việc khám phá ra neutron.

Irene và Frederic Jollus-Curie

“Thật vinh dự và vui mừng cho chúng tôi khi Viện Hàn lâm Khoa học Thụy Điển đã trao cho chúng tôi giải thưởng… sau khi trao giải Nobel cho Pierre và Marie Curie năm 1903 và cho Marie Curie năm 1911 vì khám phá ra các nguyên tố phóng xạ,”

• đây là cách Irene Curie bắt đầu bài phát biểu của mình.

…Và mười năm trước đó, kỹ sư hai mươi lăm tuổi Frédéric Jollu lần đầu tiên xuất hiện tại Viện Radium, do Marie Curie đứng đầu. Anh ta sẽ đồng ý về vị trí của phòng thí nghiệm nơi anh ta sẽ

*) Chadwick đã nhận được giải thưởng cao nhất về vật lý “vì khám phá ra neutron”; Irène và Frédéric Jollus-Curie - xuất sắc trong lĩnh vực hóa học “vì đã phát hiện ra chất phóng xạ nhân tạo và tổng hợp các nguyên tố phóng xạ mới.”

9

được đề nghị bởi Giáo sư Langevin. Các thủ tục được giảm xuống bằng không: “Ngày mai bạn có thể bắt đầu làm việc được không?” - chú rể nhỏ tóc bạc với đôi mắt sống động hỏi.

Lúc đầu, điều đó khá khó khăn đối với nhà nghiên cứu trẻ vì anh ta có những ý tưởng sai lầm nhất về phóng xạ. Và mọi người xung quanh đều đang làm điều đó, và Irene, con gái của Marie Curie, người đã bảo vệ luận án tiến sĩ vào thời điểm đó, đã đặc biệt thành công.

Tuy nhiên, Frederick nhanh chóng nắm vững cả lý thuyết và thí nghiệm một cách đáng kinh ngạc. “Cậu bé là một quả pháo hoa thực sự,” Marie Curie nói về cậu bé. Quá trình thu được phóng xạ đã dẫn đến việc một năm sau, cuộc hôn nhân của Irene Curie và Federac Jolu đã được đăng ký tại quận Paris.

Điều gì đã kết nối những người này trong suốt ba mươi năm hạnh phúc và cuộc sống khó khăn của họ?

“Irene… dường như đối lập hoàn toàn với Frederick; Cô ấy thực sự bình tĩnh và không hề nao núng, cũng như anh ấy nóng tính và cởi mở… Trong khi tranh luận, cô ấy không hề nhượng bộ một chút nào. Với sự thẳng thắn đến tàn nhẫn, Irene đưa ra quan điểm của mình, trực tiếp ném chúng vào chủ sở hữu, ngay cả khi anh ta chiếm một vị trí xã hội cao. Ngược lại, Federac Jolu, không bao giờ thừa nhận công lao, cẩn thận sử dụng khả năng của mình để chuẩn bị tâm lý cho chủ sở hữu chấp nhận quan điểm của mình” (P. Bicard)*.

Rõ ràng, đối với họ, câu nói yêu thích của Niels Bohr không thể phù hợp hơn: “Đối lập không phải là mâu thuẫn mà là bổ sung cho nhau!”

Năm 1930, Federak bảo vệ luận án tiến sĩ của mình và Jolus-Curies tiếp tục công việc nghiên cứu về phóng xạ. Họ muốn tạo ra một nguồn bức xạ mạnh để bắn phá các chất khác nhau bằng hạt alpha. Tạo ra một nguồn như vậy không hề dễ dàng và không hề an toàn. Năm tháng sẽ trôi qua, chất phóng xạ đầy sẽ nhắc nhở bản thân một cách khủng khiếp nhất.

*) P. Bicard - giáo sư vật lý. Bạn của Jolus-Curie.

10

Cho đến lúc đó, các nhà vật lý trẻ bắt đầu sở hữu mười tỷ phân rã α mỗi giây.

Cùng năm 1930, các neutron chưa được biết đến đã xuất hiện trong phòng thí nghiệm.

neutron

Bài giảng Nobel tiếp tục:

“Trong những năm gần đây, nhiều loại biến đổi nhân tạo khác nhau đã được phát hiện: một loại là do tia α gây ra… một loại khác là do neutron, tức là các hạt trung tính có khối lượng 1, mà Giáo sư Chadwick đã nói đến.”

…Các nhà vật lý đã nghiên cứu tính phóng xạ tự nhiên trong một thời gian khá dài - kể từ năm 1896. Radium, thorium, polonium, … - tổng cộng có khoảng 30 chất - phát ra các hạt α (hạt nhân gel), hạt β (electron) và tia γ (bức xạ điện từ). Năm 1919, Rutherford mở rộng hạt nhân bằng các hạt alpha nhanh và phát hiện ra rằng hạt nhân bao gồm các proton - hạt nhân hydro.

Năm 1930, các nhà vật lý người Đức W. Bothe và G. Becker, khi bắn phá các mục tiêu làm từ các nguyên tố nhẹ bằng hạt alpha, đã phát hiện ra bức xạ có sức xuyên thấu phi thường. Họ gọi nó là “tia berili” (vì thí nghiệm tốt nhất là với berili) và quyết định rằng đây là tia γ có năng lượng khổng lồ. Trong khoảng một năm, công việc của họ không thu hút được sự chú ý cho đến khi Jollu-Curie bắt đầu quan tâm. Họ đã thực hiện những thí nghiệm đẹp mắt - họ đặt các chất có chứa hydro (ví dụ, parafin) trên đường đi của tia berili - và phát hiện ra rằng các hạt bí ẩn đã đánh bật hạt nhân hydro - proton - khỏi mục tiêu. Các nhà nghiên cứu đã đo tốc độ của các proton này và không đánh giá cao năng lượng của tia berili, họ tin rằng đây là lượng tử γ. Hóa ra là rất lớn.

Vào ngày 11 tháng 1 năm 1932, công trình được báo cáo lên Viện Hàn lâm Khoa học Pháp. Jollus-Curie tiếp tục các thí nghiệm của họ, vẫn tin rằng họ đang xử lý tia γ. Có thể họ sẽ mất rất ít thời gian, vài tuần nữa, để loại bỏ giả thuyết này và tìm ra lời giải chính xác. Nhưng họ đã đi trước họ.

Chadwick, người đã tìm kiếm neutron không thành công trong 12 năm (sự tồn tại của nó đã được thầy Rutherford dự đoán), ngay lập tức hiểu các hạt mà các nhà vật lý người Pháp đang xử lý. Thiết bị trong phòng thí nghiệm của ông đã sẵn sàng và chỉ mất một tháng để chứng minh rằng tia berili là một dòng hạt trung tính nặng - neutron. Phản ứng hạt nhân của sự tương tác giữa các hạt α với berili lẽ ra được viết như sau:

$$9\mathrm{Be} + 4\mathrm{^2} \alpha \rightarrow 12\mathrm{C} + 1\mathrm{n}.$$

Người ta có thể tưởng tượng sự thất vọng của các nhà vật lý người Pháp, những người đã đánh mất chiến thắng quá gần với vật lý.

Positron

Từ bài giảng Nobel:

“Chúng tôi quan sát thấy nhôm và boron không chỉ phát ra proton và neutron mà còn cả các electron dương khi được chiếu xạ.”

Chúng tôi đã xem…

Đã đến lúc nói ngắn gọn về các nhạc cụ, hay đúng hơn là về một nhạc cụ Prefederico Jollus-Curie được yêu thích nhất - buồng Wilson, với sự trợ giúp của những quan sát này đã được thực hiện. Trong buồng này, các giọt chất lỏng hình thành dọc theo quỹ đạo của hạt tích điện làm cho dấu vết của nó có thể nhìn thấy được và khiến nó có thể hình thành được. Hầu hết các thiết bị trong phòng thí nghiệm Jollus-Curie đều do chính những người thực nghiệm chế tạo, hoặc trong mọi trường hợp đều do họ thiết kế. Và buồng mây lớn và các mái chèo được cải tiến nên dấu vết hạt có thể tăng gần 80 lần so với phiên bản thông thường của thiết bị. Ngoài ra, máy ảnh được đặt trong một từ trường và dấu vết của các hạt dương trong đó bị lệch theo một hướng và các hạt âm theo hướng khác. Theo độ cong

11

quỹ đạo, người ta cũng có thể đánh giá động lượng của hạt.

…Gia đình Jolnot-Curies tiếp tục công việc của họ, chiếu xạ boron, flo và natri bằng các hạt alpha, và nhanh chóng chứng minh rằng neutron (đôi khi là proton) cũng xuất hiện trong các phản ứng này. Tại đây, họ gặp phải những khó khăn trở thành sự tiếp nối của cuộc khám phá. Khó khăn là khi một neutron được phát ra, chẳng hạn như nhôm, là kết quả của phản ứng

$$\frac{27}{13}\text{Al} + \frac{4}{2}\alpha \rightarrow \frac{30}{15}\text{P} + \frac{1}{0}n$$

Hạt nhân phốt pho-30 sẽ hình thành, thứ chưa từng thấy trong tự nhiên, trong khi hạt nhân silicon-30 - $$\frac{30}{14}\text{Si}$$ - có khả năng tồn tại.

Có lẽ, silicon vẫn xuất hiện trong quá trình chiếu xạ - họ quyết định sử dụng nó và bắt đầu phát minh ra cơ chế trong đó hạt nhân phốt pho-30 có điện tích +15 có thể mất một đơn vị điện tích mà không làm thay đổi khối lượng của nó.

Lúc đầu, người ta cho rằng nó thu giữ một trong các electron nguyên tử trong phản ứng và biến thành hạt nhân silicon:

$$\frac{30}{15}\text{P} + e \rightarrow \frac{30}{14}\text{Si}.$$

Giá như tôi biết trước mọi chuyện! Xét cho cùng, quá trình chuyển đổi $$\frac{30}{15}\text{P} \rightarrow \frac{30}{14}\text{Si}$$ cũng có thể xảy ra với sự phát xạ của một electron dương—một positron. Hơn nữa, trong các bức ảnh chụp trong buồng mây, các nhà vật lý người Pháp từ lâu đã thay thế các dấu vết phát ra từ mục tiêu, mà theo mọi dấu hiệu đều là điện tử, nhưng chỉ quay trong từ trường theo hướng tương ứng với điện tích $e^+$. Họ giải thích chúng bằng cách các electron bay trở lại mục tiêu.

“Niels Bohr bắt đầu quan tâm đến con chimkammi này, nhưng chúng tôi đã phạm sai lầm khi không chú ý đầy đủ đến những dấu vết này.”

Vài tháng nữa trôi qua trước khi Anderson phát hiện ra sự tồn tại của positron trong tia vũ trụ. Mọi thứ dường như đã đâu vào đấy, và Jolnot-Curies giờ đây có thể viết ra phản ứng tương tác của hạt nhân nhôm với các hạt alpha ở dạng

$$\frac{27}{13}\text{Al} + \frac{4}{2}\alpha \rightarrow \frac{30}{15}\text{Si} + \frac{1}{0}n + e^+.$$

Đây là lần thứ hai họ tiến gần đến việc khám phá ra một hạt mới và là lần thứ hai họ đã quá muộn!

phóng xạ nhân tạo

Bây giờ đến cái có thể gọi là công thức mở đầu:

“Có hai quá trình xảy ra khác nhau về thời gian. Đầu tiên, một hạt α bị bắt giữ và một neutron ngay lập tức được phát ra cùng với… photpho-30… Sau đó, chất không ổn định này, tức là, một nguyên tố phóng xạ mới… phân rã theo định luật hàm mũ với chu kỳ bán rã là ba phút và tạo thành silicon.”

Nhưng trước lời giải thích này vẫn còn những nơi phải làm việc chăm chỉ. Vào mùa thu năm 1933, tại Đại hội Solva, trước sự chứng kiến ​​​​của các nhà vật lý hàng đầu, vợ chồng Jolnot-Curie đã nói về các thí nghiệm của họ trong đó, dưới tác động của tia α, neutron và positron được phát ra từ hạt nhân nhôm, phốt pho và natri. “Hầu hết các nhà vật lý có mặt tại đại hội đều không tin vào tính đúng đắn của các thí nghiệm của chúng tôi. Sau khi bị ùn tắc, chúng tôi rất khó chịu, nhưng ngay lúc đó Niels Bohr đã trả lời một bên… và nói rằng ông ấy coi trọng kết quả thu được hơn. Sau đó, Pauli đã ủng hộ chúng tôi bằng sự chấp thuận của ông” (F. J-K).

Trở về Paris từ đại hội, Jolnot-Curie bắt đầu làm việc trở lại. Và cuối cùng cái ngày đó cũng đến, hay đúng hơn là buổi tối tháng Giêng năm 1934, khi điều này xảy ra. Không biết người ta có thể tin tưởng đến mức nào vào truyền thuyết tồn tại trong giới vật lý học, nhưng theo truyền thuyết thì sự việc đã xảy ra như thế này. Irene và Frederic đang vội vàng hoàn thành thí nghiệm của mình, vì tối hôm đó được mời đến thăm, họ vội vàng nên một trong số họ đã đánh mất vai trò của polonem. Các hạt alpha ngừng va vào lá nhôm và máy đếm tiếp tục đếm positron, mặc dù ngày càng chậm hơn.

Hơn nữa, huyền thoại đã được xác nhận bởi sự bổ sung của P. Bicard: “Mọi thứ đã trở nên rõ ràng… Với điều kiện là tiếng click của quầy là do bức xạ mới gây ra, chứ không phải do bản thân thiết bị bị hỏng. Julnot đã tự hỏi mình câu hỏi này lúc 6 giờ chiều. Nhưng họ không còn có thể từ chối lời mời đến thăm. May mắn thay, trong phòng thí nghiệm

12

Dụng cụ mà Jollus-Curie có thể cô lập các nguyên tố phóng xạ.

Thorin đã làm việc với nhà vật lý trẻ người Đức W. Gentner, người chuyên về máy đếm. Jollu… yêu cầu anh ta kiểm tra xem hành động của họ có đúng không…

Sáng hôm sau, Frederick và Irene tìm thấy một tờ giấy của Genter trên bàn của họ, trong đó anh ta đảm bảo rằng quầy tính tiền vẫn hoàn hảo.”

Vì vậy, khi nguồn hạt α bị lấy đi, lá alimine tiếp tục nghiên cứu positron! Chúng được phát ra trong một thời gian, trong khi cứ sau ba phút số lượng của chúng giảm đi một nửa, tuân thủ nghiêm ngặt định luật phân rã phóng xạ mà Rutherford đã phát hiện ra đối với các đồng vị phóng xạ tự nhiên.

Phản ứng tương tác giữa các hạt α với aliminium hiện nay đã được thể hiện theo một cách mới -

$$\begin{align*} 27Al + \frac{4}{2}\alpha &\rightarrow 30P + \frac{1}{0}n \\ 30P &\xrightarrow{T_{1,2}=3\text{ min}} 30Si + e \end{align*}$$

• và lần đầu tiên cụm từ “phóng xạ nhân tạo” được thốt ra.

…Frédéric Jollu-Curie bước lên bục và tiếp tục câu chuyện của Irene:

“Sau khi thu được nguồn của các kết quả đầu tiên với sự trợ giúp của các kết luận thuần túy vật lý, chúng tôi bắt đầu ủng hộ các giả thuyết của mình với sự trợ giúp của… bằng chứng hóa học về việc thực hiện các phép biến đổi.”

Các nhà vật lý tạm thời biến thành chemikus để làm nổi bật sự hình thành

đúc phốt pho từ nhôm. Điều này không dễ thực hiện: xét cho cùng, thời gian bán hủy của phốt pho rất ngắn - chỉ khoảng ba phút. Ngoài ra, nhìn chung không thể cô lập được một số nguyên tử phóng xạ. Tuy nhiên, trước tiên bạn có thể thêm vào chúng một lượng đáng kể phốt pho-31 không hoạt động, có đặc tính hóa học giống hệt nhau, sau đó tiến hành chiết xuất. Các nguyên tử phốt pho-30 sẽ tuân theo các tính chất của “anh em” của chúng - các nguyên tử phốt pho-31.

Lá nhôm đã chiếu xạ và một miếng phốt pho đỏ được đặt vào ống nghiệm có chứa axit clohydric. Hydro được giải phóng khỏi ống nghiệm cùng với hydro photphua, được thu vào ống nghiệm khác. Toàn bộ hoạt động được hoàn thành chỉ trong vài phút. Sau đó, ống nghiệm chứa khí được mang đến quầy và bắt đầu đếm positron. Bây giờ đã có thể ăn mừng chiến thắng!

Khám phá chinh phục thế giới

“Số lượng đồng vị phóng xạ thu được nhân tạo hiện nay đã vượt quá số lượng nguyên tố phóng xạ tự nhiên được tìm thấy trong vỏ trái đất,”

• F. Jollus-Curie nói.

13

Nó giống như pháo hoa: vào đầu năm 1934 có ba loại phóng xạ nhân tạo, đến cuối năm đã có khoảng 50 loại. Chúng thu được bằng cách chiếu xạ các nguyên tố bằng hạt α, proton và deuteron trong các máy gia tốc mới được tạo ra. Ở Ý, nhóm của Enrico Fermi đã sử dụng đạn không tích điện - neutron, loại đạn dễ dàng xuyên qua hạt nhân. Việc sử dụng các chất phóng xạ nhân tạo trong hóa học và y học đã bắt đầu. Theo thời gian, sinh học, năng lượng, luyện kim, công nghiệp thực phẩm, tội phạm học, nông nghiệp, v.v., đã được thêm vào danh sách này. Hơn một nghìn đồng vị phóng xạ nhân tạo đã được biết đến (và các đồng vị ổn định - khoảng 300), và số lượng “chuyên môn” của chúng đã vượt quá một trăm.

Làm thế nào mà việc Irene và Federic Jollu-Curie lại là người phát hiện ra chất phóng xạ nhân tạo lại là một sự tình cờ? Phẩm chất của các nhà vật lý thực nghiệm đã cho phép họ thực hiện được khám phá này?

Về hai hướng định tính chính của B. Pontecorvo*): trí tưởng tượng khoa học mạnh mẽ và khả năng nhận ra ngay cả những sự thật có vẻ khó tin và kỳ lạ nhất. Chúng ta có thể thêm vào điều này điều thứ ba – tầm nhìn khoa học.

*) B. Pontecorvo - nhà vật lý, học giả Liên Xô. Ông đã làm việc nhiều năm trong phòng thí nghiệm Jollus-Curie.

Thảm họa ở xích đạo

Bây giờ ở Moscow đang là mùa đông, ở Úc đang là mùa hè. Đó là thời điểm nào trong năm ở đường xích đạo cách điệu? Người dân thành phố này trả lời câu hỏi này bằng một câu nói đùa: “Trời nắng thì là mùa hè, nếu trời mưa là mùa đông”. Nếu bạn trả lời nghiêm túc thì sao?

Độ cao cực đại của Mặt trời thay đổi hàng ngày. Đối với chúng tôi, trong dịch vụ semichariki, ngày Mặt trời đạt đỉnh thấp nhất xảy ra vào ngày 22 tháng 12 (“ngày đông chí”). Ở nửa phía nam, như đã biết, ngày này là ngày 22 tháng 6 (“hạ chí”). Bây giờ hãy tưởng tượng rằng chúng ta đang di chuyển về phía xích đạo; dữ liệu của đỉnh cao thấp nhất vẫn không thay đổi. Nhưng ngay khi bạn bước qua đường xích đạo, giá trị này thay đổi đột ngột sau 6 tháng. Hãy lùi lại một bước - bước nhảy vọt trong 6 tháng! Làm sao giải thích nghịch lý này?

Trên thực tế, không có gì đáng ngạc nhiên ở đây. Tuy nhiên, không phải mọi thứ vật chất đều thay đổi liên tục - đôi khi có những khoảng trống và những bước nhảy. Lý thuyết toán học về những biến đổi “không trơn” được gọi là lý thuyết về điểm kỳ dị hay (với bàn tay nhẹ nhàng của nhà toán học người Pháp P. Thomas) là lý thuyết về thảm họa.

Trong trường hợp được mô tả, “thảm họa” đơn giản nhất xảy ra ở đường xích đạo: bất kỳ thay đổi nhỏ nào ở một giá trị (vĩ độ địa lý) đều dẫn đến sự thay đổi đột ngột đáng kể ở một giá trị khác (ngày đạt đỉnh điểm thấp nhất).

(Cuối cùng xem trang 23)

14

Thế giới có đơn giản như vậy không?

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học I. Kh. SABITOV

Hình học được học ở trường được gọi là Euclidian để vinh danh nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Euclid, người đã hệ thống hóa môn khoa học này dựa trên phương pháp accatic. Trong số các tiên đề hình học do Euclid đề xuất, tiên đề thứ năm, tiên đề song song, là nổi tiếng nhất. Akisiom này (hay “định đề thứ năm,” như Euclid đã gọi nó trong “Các nguyên tắc”) về cơ bản phát biểu rằng thông qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, người ta có thể tìm thấy đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng đã cho. Đúng, trong cuốn Cơ bản, Euclid đã phát biểu câu này dưới một dạng khác (nhưng tương đương): “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng và tạo thành các góc một bên trong có tổng nhỏ hơn hai đường thẳng, thì với sự tiếp tục không giới hạn của hai đường thẳng này, chúng sẽ cắt nhau ở phía có các góc nhỏ hơn hai đường thẳng”.

Hình học Euclide không phải là khả năng logic duy nhất

Hình 1. Trong các hình học của Euclid, Lobachevsky và Riemann có các hình học song song khác nhau.

Hình 2. Trong một phần hạn chế của không gian, không thể nhìn thấy được cơ chế nào diễn ra.

15

Vậy làm thế nào chúng ta có thể kiểm tra bằng thực nghiệm tiên đề song song?

Tổng các góc của một tam giác có phải là tiêu chuẩn của hình học thế giới không?

Về nguyên tắc, hóa ra đây là một khả năng. Thực tế là tiên đề của Euclid về các đường thẳng song song tương đương với phát biểu rằng tổng các góc của một tam giác tùy ý bằng 180° *), và trong hình học của Lobachevsky, hóa ra tổng này nhỏ hơn 180°. Do đó, Gauss, bằng cách sử dụng các phép đo trắc địa, đã quyết định tính tổng các góc trong một tam giác được tạo thành bởi ba đỉnh núi cao (Brocken, Hohenhagen và Inselberg) ở dãy núi Gary, cách nhau khoảng 100 km. Lobachevsky đã chọn thang đo vũ trụ cho các tính toán của mình - ông đã đo tổng các góc của một tam giác, các đỉnh của chúng là Trái đất, Mặt trời và ngôi sao sáng nhất ở bán cầu bắc, Sirius. Nhưng trong cả hai thí nghiệm, độ lệch thu được so với 180° đều nằm trong sai số đo cho phép, nên họ không đưa ra bất kỳ kết luận nào về hình học của thế giới thực.

Tuy nhiên, chúng ta hãy tưởng tượng rằng ai đó thành công với độ chính xác hoàn hảo khi xác định rằng tổng các góc của một tam giác nhất định bằng 180°. Điều này có nghĩa là hình học của chúng ta là Euclide?

Đáp số là khẳng định nếu chúng ta coi định lý Legendre là đúng. Tất nhiên, định lý này được chứng minh bằng các tiên đề khác của Euclid. Nhưng những tiên đề còn lại có đúng trong thế giới thực không? Ví dụ, tại sao nó có thể được phóng đại ở chỗ hai đường thẳng cắt nhau trên một tờ giấy nằm trước mặt chúng ta sẽ không cắt nhau ở bất kỳ nơi nào khác trong không gian thực,

*) Hơn nữa, nhà toán học người Pháp A. Legendre đã chứng minh rằng tiên đề song song xuất phát từ sự tồn tại của ít nhất một tam giác có tổng các góc bằng 180° (xem cách chứng minh trong cuốn Bách khoa toàn thư về toán học cơ bản, M., “Nauka”, 1966, tập V, trang 399).

cho dù chúng ta có tiếp tục chúng bao xa không? Do đó, chúng ta hãy xử lý tất cả các tiên đề Euclid với độ chính xác như nhau - chúng ta sẽ không giả định trước về bất kỳ tiên đề nào rằng nếu nó có thể kiểm chứng được trong một khu vực giới hạn thì nó có giá trị trong toàn bộ không gian.

Sau đó, chúng ta sẽ đi đến câu hỏi sau: giả sử rằng ở mọi nơi trong không gian thực, tất cả các tiên đề của hình học Euclide đều được đáp ứng “trong phạm vi nhỏ”, tức là trong giới hạn khả năng tiếp cận của các thiết bị thay đổi của chúng ta (bất kể thiết bị được quan sát ở đâu); vậy thì có đúng là không gian thực là “toàn bộ” Euclide (nghĩa là tất cả không gian ba chiều Euclide thực sự là mô hình của tất cả không gian vật lý)? Câu hỏi quan trọng (về cơ bản là vũ trụ học) này đưa ra một công thức toán học thuần túy mà chúng ta sẽ quan tâm ở đây.

Sản xuất bài toán

Giả sử trong vùng lân cận của mỗi điểm trong không gian (chẳng hạn như trong một quả bóng nhất định có tâm ở điểm này) tất cả các vị trí của hình học Euclide đều được đáp ứng. (Tất nhiên, được hình thành sao cho chúng có ý nghĩa trong phạm vi hình cầu; ví dụ, tiên đề về sự song song nên được thay thế bằng câu “Tổng các góc của một tam giác là 180°,” v.v.) Vậy thì có thể nói gì về hình học của mọi không gian?

Một không gian có tính chất Euclide lân cận mỗi điểm được gọi là Euclide cục bộ.

Một định nghĩa chính xác hơn về mặt toán học của không gian Euclide địa phương xuất phát từ sự tồn tại của ít nhất một tam giác có tổng các góc bằng 180° (xem chứng minh trong cuốn Bách khoa toàn thư về toán học cơ bản, M., “Nauka”, 1966, tập V, trang 399). Nếu sự tương ứng một-một có thể được thiết lập giữa các điểm của chúng mà bảo toàn khoảng cách (điều này có nghĩa là khoảng cách |ab| bằng |a’b’| với mọi điểm a, b ∈ A, nếu a’, b’ là điểm tương ứng từ A’). Vì vậy, một không gian được gọi là Euclide cục bộ nếu khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nó được xác định trong đó và nếu mỗi điểm của nó có một lân cận có thể thay đổi đối với một quả cầu nào đó của không gian Euclide thông thường.

16

Trong bài này, chúng ta không có cơ hội viết ra các không gian vsklide cục bộ ba chiều, nhưng sẽ hạn chế xem xét các không gian vsclide cục bộ chỉ có hai chiều. Chúng tôi sẽ gọi chúng là máy bay trượt địa phương. bài toán của chúng tôi có thể được hình thành như sau: các mặt phẳng V-Sclidian cục bộ được cấu trúc tổng thể như thế nào?

Xi lanh và sự phát triển của nó

Tất nhiên, ví dụ đơn giản nhất về mặt phẳng vsclide cục bộ chính là mặt phẳng vsclide. Chúng ta sẽ không tập trung vào nó - mọi thứ đều rõ ràng ở đây - nhưng chúng ta sẽ bắt đầu với ví dụ đơn giản nhất tiếp theo - một bề mặt hình trụ vô hạn (hay nói tóm lại là hình trụ). Trong Hình 3, nó được trình bày dưới dạng tập hợp tất cả các điểm trên các đường nằm ngang (máy phát) đi qua tất cả các điểm có thể có của một vòng tròn $C_0$ (đạo diễn), nằm trong mặt phẳng thẳng đứng $a$.

Nhưng chúng ta chưa có bất kỳ “hình học” nào trên hình trụ. Chúng ta cần xác định khoảng cách giữa các điểm, tìm ra những gì cần đặt dưới “đường thẳng” trên hình trụ, v.v. Để làm điều này, chúng ta cắt hình trụ $U$ dọc theo một trong các bộ tạo và chuyển nó lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ dưới dạng một mặt phẳng vô hạn $P$, các điểm $(x; y)$ trong đó thỏa mãn bất đẳng thức $0 \leq y \leq 2\pi$ (Hình 4). Chúng ta sẽ giả sử rằng một dải phẳng $P$ có “các cạnh được dán” (nghĩa là một dải trong đó tất cả các cặp điểm $(b; 0)$,

Hình 3. Xi lanh vô hạn.

(b; 2π) được coi là giống nhau) và xác định “hình học” trên hình trụ. Như các nhà toán học nói, chúng tôi xác định các cặp điểm có dạng $(b; 0)$ và $(b; 2\pi)$ cho tất cả $b$ và xem xét hình học trên dải $P$, có tính đến mối quan hệ này.

Chúng ta hãy kiểm tra tính chất trượt cục bộ của hình học đó trên một hình trụ. Để làm điều này, hãy lấy một điểm tùy ý $A(x; y) \in \Pi$. Nếu điểm $A = A_1$ không nằm trên các cạnh của dải (xem Hình 4), thì mọi thứ đều rõ ràng: lấy một đường tròn có bán kính $r$, nhỏ hơn khoảng cách từ $A$ đến cạnh gần nhất; vòng tròn này nằm hoàn toàn trong dải $P$ và tất nhiên, xuất hiện dưới dạng vòng tròn Vsklidovo chung. Nếu điểm $A = A_2$ nằm trên mép của dải (xem Hình 4), thì tọa độ của nó có dạng $(b; 0) \equiv (b; 2\pi)$ và vùng lân cận hình tròn, chẳng hạn, là sự kết hợp của hai nửa nhóm (được dán!) có bán kính đơn vị với tâm tại các điểm $(b; 0)$ và $(b; 2\pi)$, và vì các nửa vòng tròn này được dán dọc theo đường kính $MN \equiv M'N'$, sau khi dán sẽ tạo ra một vòng tròn đơn, duy nhất.

Trên hình trụ $U$, cũng như trên một bề mặt trong không gian, khoảng cách giữa các điểm được cho một cách tự nhiên là độ dài của đoạn thẳng ngắn nhất dọc theo $U$ và nối các điểm này. Dựa trên điều này, một số hình học cũng có thể được phát triển trên hình trụ. Một người đọc chu đáo sẽ dự đoán: liệu hình học này có trùng với hình học trên dải $P$ với mối quan hệ giữa các cạnh không? Hóa ra là nó sẽ như vậy. Tuy nhiên, việc chứng minh thực tế này (liên quan đến cái gọi là hình học vi phân) nằm ngoài phạm vi bài viết của chúng tôi.

Hình học trên một hình trụ

Chúng ta đã chứng minh được rằng hình học cục bộ (nhỏ) của hình trụ là

Hình 4. Hình trụ (dải có các mặt được dán) - địa phương-Euclide.

17

Euclide Hình học trông như thế nào trên một hình trụ (nghĩa là trên một dải P có các cạnh liên quan với nhau) nói chung? Khoảng cách trên một hình trụ được sắp xếp như thế nào? Những cái nào là “thẳng” trên đó? Những tiên đề nào được thực hiện trên đó?

Trước khi trả lời những câu hỏi này, chúng ta hãy xem xét một ví dụ hơi khác thường. Giả sử có hai con đường song song trong một khu vực nhất định, dọc theo đó thường có các trạm đường; Từ mỗi trạm có một đường dây điện thoại - đến một trạm đối xứng trên một con đường khác. Trong các khu vực nội địa không có dịch vụ điện thoại và các tin nhắn được truyền đi bởi những người chạy bộ. Chúng ta hãy coi khoảng cách giữa hai điểm là thời gian cần thiết để truyền bất kỳ thông điệp nào. Khi đó, rõ ràng là để truyền nhanh một tin nhắn từ điểm A đến điểm B, đôi khi người đưa tin không nên chạy trực tiếp từ A đến B mà theo hướng ngược lại, đến tổng đài điện thoại gần đó.

Loại khoảng cách bất thường tương tự cũng xảy ra trên dải của chúng tôi với các cạnh được dán. Thật vậy, hãy xem xét các điểm A, B, C trong dải P. Đối với các điểm A và B (tọa độ $y_A$ và $y_B$ chênh nhau ít hơn một nửa chiều rộng của dải - π), khoảng cách có điều kiện, tức là độ dài của đoạn $AB$. Nhưng đối với A và C (trong đó $|y_A - y_C| > \pi$) khoảng cách là $|AK'| + |KC|$, trong đó $A'$ thu được từ A với hai đoạn $CA'$ với cạnh của dải và $KK' = -AA'$ (Hình 5). Trong ngôn ngữ của ví dụ “điện thoại”, sẽ có lợi hơn nếu gửi một người đưa tin từ C đến điểm K, truyền tin nhắn ngay lập tức qua điện thoại đến K’ và gửi đến A bằng người đưa tin thứ hai dọc theo đoạn $K'A$.

Bài toán 1. Chứng minh khoảng cách từ điểm $A(x_A; y_A)$ đến điểm $B(x_B; y_B)$ trên dải P có dán các cạnh được cho bởi công thức

$$|AB| = \begin{cases} \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} \\ \frac{\varepsilon \left|y_A - y_B\right|}{\sqrt{(x_A - x_B)^2 + (2\pi - |y_A - y_B|)^2}}, \\ \varepsilon \left|y_A - y_B\right| > \pi. \end{cases}$$

“Các đường thẳng”, giống như khoảng cách, không bình thường trong hình học của chúng ta - chúng có ba loại (Hình 6, a). Thứ nhất, đường thẳng sẽ là đường thẳng thông thường bất kỳ song song với các cạnh của dải. Thứ hai, “thẳng” sẽ là bất kỳ đoạn nào (có đầu được dán) nối các cạnh và vuông góc với chúng. Và thứ ba, “đường thẳng” sẽ là tập hợp các đoạn xiên song song lặp lại theo chu kỳ - như trong Hình 6, a. Trên một hình trụ trong không gian, ba đường thẳng này lần lượt biểu thị các phần tử tạo ra hình trụ, các đường tròn song song với thanh dẫn hướng và các đường xoắn ốc (Hình 6, b).

Về các tiên đề, trước hết chúng ta lưu ý rằng tiên đề song song được thỏa mãn “nói chung” (trên toàn bộ bề mặt)!

Bài toán 2. Tìm (đồng nhất) các “đường thẳng”, các “đường thẳng” song song KL, MN và ST đi qua điểm A trên các Hình 6, a và 6, b.

Không còn trường hợp các tiên đề khác bị vi phạm nữa. Tiếp theo là: Chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm. Ví dụ như màu đỏ

Hình 5. Khoảng cách ngắn nhất giữa điểm A và C là $|AK'| + |KC|$.

Hình 6. Trên hình trụ có ba đường thẳng: đường xoắn ST, đường thẳng KL, đường tròn MN.

18

(xoắn ốc) “đường thẳng” giao với màu đen (có hình)… vô số lần (xem Hình 6)!

Bài toán 3. Hãy mô tả các cặp điểm trên hình trụ mà chỉ có một đường thẳng đi qua.

Sự tò mò về hình học hình trụ không dừng lại ở đó. Người đọc có thể nhận thấy rằng “các đường thẳng” trên một hình trụ, các hướng song song, bị giới hạn: khoảng cách tối đa giữa các điểm trên đường thẳng đó… bằng π.

Bài toán 4. Cho ví dụ cho thấy đoạn “thẳng” không phải lúc nào cũng là đường đi ngắn nhất giữa các điểm cuối, đoạn nghiêng đôi khi ngắn hơn đoạn vuông góc và định lý Pythagore không phải lúc nào cũng đúng. Khám phá một “vòng tròn” (nghĩa là một tập hợp các điểm cách đều một điểm cho trước) trông như thế nào khi bán kính của nó tăng lên.

Do đó, tính thỏa mãn cục bộ của tất cả các tiên đề của hình học then chốt, và thậm chí cả tính thỏa mãn “tổng quát” của tiên đề song song, không đảm bảo rằng thế giới trong đó một hình học như vậy mở ra nhất thiết sẽ là một mặt phẳng không giới hạn. Một thế giới như vậy cũng có thể được cấu trúc dưới dạng một hình trụ vô tận, và như chúng ta sẽ thấy, dưới dạng các dạng hình học khác.

kẻ tâng bốc

Cho một hình chữ nhật $T$ có các đỉnh $A, B, C, D$ trên mặt phẳng $Oxy$ (Hình 7). Chúng ta hãy xác định cạnh $AB$ với cạnh $CD$ sao cho $A$ được xác định bằng $D$ và $B$ với $C$; hơn nữa, chúng ta sẽ xác định cạnh $BC$ với cạnh $AD$ sao cho $B$ trùng với $A$ và $C$ với $D$ (với cách nhận dạng này, hóa ra tất cả các đỉnh của hình chữ nhật $T$ hợp nhất thành một điểm). Chúng ta hãy định nghĩa “khoảng cách” giữa hai điểm của hình chữ nhật là độ dài của đường đi ngắn nhất giữa các điểm này, có tính đến các điều trên theo nhận dạng.

Ví dụ: hãy tính “khoảng cách” giữa các điểm $M\left(-\frac{3}{4}a; \frac{1}{4}b\right)$ và $N\left(\frac{3}{4}a; b\right)$ (xem Hình 7). Trước hết, chúng tôi thay thế đoạn $MN'$, trong đó $N'=\left(\frac{3}{4}a; -b\right)$, ngắn hơn đoạn $MN$; do đó, phải tìm đường đi ngắn nhất từ ​​$M$ đến $N$ trong số các đường dẫn nối $M$ với $N'$ (vì $N'$ và $N$ là cùng một điểm theo điều kiện nhận dạng). Nhận dạng đúng đắn của bên $AD$ đồng thời là nhận dạng đúng đắn của bên $BC$; Do đó, bằng cách “gắn” cạnh $a \leq x < 2a$, $-b \leq y \leq b$ vào cạnh $BC$ (xem Hình 7), chúng ta thấy rằng mọi đường dẫn khác từ $M$ đến $N'$, bao gồm cả đoạn $MN'$, đều dài hơn đoạn $M'N'$. Điều này có nghĩa là đường đi ngắn nhất từ ​​$M$ đến $N$ là sự kết hợp của các đoạn $MM_1$ và $M'_1N'$ và “khoảng cách” giữa $M$ và $N$ là $\sqrt{(a/2)^2+(3b/4)^2}$.

Bài toán 5. a) Cho ví dụ về các cặp điểm của hình chữ nhật $T$, “khoảng cách” giữa là $\sqrt{a^2+b^2}$; b) chứng minh rằng “khoảng cách” giữa hai điểm bất kỳ không lớn hơn $\sqrt{a^2+b^2}$; c) chứng minh rằng với bất kỳ điểm nào cũng có một điểm duy nhất nằm cách điểm đã cho một khoảng $\sqrt{a^2+b^2}$.

Hình 7. Hình xuyến phẳng là một hình chữ nhật được dán bằng keo. Khoảng cách ngắn nhất giữa các điểm $M$ và $N$ là $|MM_1|+|M'_1N'|$.

Hình 8. Hai “đường thẳng” (đỏ và xanh) trên hình xuyến.

19

Hình chữ nhật $T$ với các thông số xác định của các cạnh đối diện và được biểu thị ở trên bằng quy tắc tính “khoảng cách” được gọi là hình xuyến phẳng.

“Các đường thẳng” trên hình xuyến phẳng được xác định như trong dải $Π$—mô hình hình trụ. Hình 8 thể hiện hai “đường thẳng”: “đường thẳng” đóng màu đỏ $AC$ bao gồm một đoạn Wuclidean, “đường thẳng” màu xanh bao gồm nhiều đoạn - $M_{-1} = M_0) M_2 = M_1) M_4 = M_3)$ … và nó có thể sẽ đóng lại khi được kéo dài thêm.

Bài toán 6. Chứng minh rằng một “đường” trên một hình xuyến phẳng sẽ đóng khi và chỉ khi số $(a \ tg a)/b$ là hữu tỉ, trong đó $tg a$ là độ dốc (so với trục $Ox$) của các đoạn trong $T$ tạo nên đường thẳng này.

Chúng ta khẳng định rằng hình học trên một hình xuyến phẳng được xây dựng theo cách này là hình học Wuclide cục bộ. Thật vậy, mỗi điểm bên trong của hình chữ nhật $T$ có một lân cận nhỏ, trong đó tất cả các đối tượng và quy tắc sửa đổi được đưa ra cho hình xuyến phẳng đều giống như trong hình học Euclidian. Đối với điểm $M_1$ trên đường biên, có thể thấy bằng chứng từ Hình 7. Đối với đỉnh, điều này có thể được nhìn thấy từ cùng một hình: tất cả các lân cận của đồng dạng và hình học xung quanh đỉnh cũng hóa ra là hình học của đường tròn Wuclide!

Vì vậy, hình xuyến phẳng là một ví dụ khác về thế giới Wuclide địa phương. Trên đó, giống như trên một hình trụ, định đề thứ năm có giá trị “về tổng thể”, tuy nhiên, cấu trúc của hình xuyến “như một tổng thể” khác với mặt phẳng chung và hình trụ.

Bài toán 7. Chứng minh rằng không có khoảng cách dài nào trên một hình xuyến phẳng mặc dù có những đường thẳng dài bao nhiêu. Khám phá hình dạng của một “vòng tròn” trên một hình xuyến phẳng khi bán kính của nó tăng lên.

Có một sự khác biệt quan trọng khác giữa hình xuyến phẳng và hình trụ: hình xuyến phẳng không thể, trong khi bảo toàn chiều dài của các đường cong, được biểu diễn trong không gian ba chiều dưới dạng một bề mặt mà trên đó các cặp cạnh xác định - $AB$ và $CD$, $BC$ và $AD$ - sẽ thực sự được dán lại với nhau, như xảy ra với các cạnh của dải $Π$ khi gấp nó thành hình trụ. Nhưng sự khác biệt này đã được gọi là bên ngoài, vì nó chỉ biểu hiện khi cố gắng kết nối hình học của dải $Π$ và hình chữ nhật $T$ với hình học của một số bề mặt trong không gian bên ngoài chúng. Nếu hình chữ nhật $T$ được coi là được làm bằng cao su và được phép kéo dài, thì có thể dán một hình xuyến từ nó; Để biết thêm chi tiết về điều này, xem bài viết của A. Zemlykov («Kvant», 1979, số 9, trang 2):

Dải Mobius vô hạn

Chúng ta hãy xem xét lại dải vô hạn $Π : a \leqslant y \leqslant b, -\infty < x < +\infty$, nhưng lần này chúng ta sẽ xác định các cạnh của dải $Π$ theo định luật sau: điểm $(x; a)$ được xác định bằng điểm $(-x; b)$ (nghĩa là đường thẳng $y = b$ đầu tiên được phản chiếu trong gương so với trục $Oy$ và chỉ sau đó mới được xác định bằng đường thẳng $y = a$). Các định nghĩa về “khoảng cách” và “thẳng” tương tự như trường hợp hình trụ và hình xuyến phẳng. Mặt phẳng Wuclide địa phương thu được được gọi là “dải Möbius vô hạn”.

Hình 10. Các đường thẳng trên dải Mobius vô tận: đen (dọc), xanh lam (MN), đỏ (A’B).

2*

20

hạt (dải Möbius khách quan là một phần của vô hạn, thu được bằng cách dán một dải thẳng đứng lại với nhau (Hình 9). Hình 10 cho thấy ba “đường thẳng”: đen - kín, xanh - song song với mép của dải Π, đỏ - nghiêng, bao gồm vô số đoạn Euclide. Sử dụng ví dụ về điểm B (xem Hình 9), nó cho thấy luật nhận dạng tạo ra hình học Euclide gần các cạnh điểm của dải Π như thế nào.

Bài toán 8. Khám phá hình học trên dải Mobius vô tận. Chứng minh rằng mọi đường nghiêng đều cắt nhau vô số lần. Hành động thứ năm có đúng “nói chung” không? Các vòng tròn trông như thế nào?

Chai Klein phẳng

Chúng ta hãy quay lại hình chữ nhật trong Hình 7. Hãy giới thiệu các quy tắc nhận dạng sau: cạnh AD được xác định bằng BC trong khi vẫn giữ nguyên thứ tự các điểm, nghĩa là điểm (-a, y) ∈ AD được xác định bằng điểm (a; y) ∈ BC, và cạnh AB được xác định bằng cạnh CD có sự thay đổi về thứ tự các điểm, tức là điểm (x: -b) ∈ AB được xác định bằng điểm (-x: b) ∈CD; một phần, tất cả các đỉnh sẽ được tính là một điểm. Chúng ta sẽ giới thiệu “đường thẳng” và quy tắc đo “khoảng cách” như trên. Bạn có thể kiểm tra lại xem vùng lân cận của mỗi điểm có hình học là Euclide hay không (thực hiện việc kiểm tra này đối với vùng lân cận của đỉnh của một hình chữ nhật). Mô hình hình học Euclide địa phương này được gọi là gorom phẳng một mặt hoặc chai Klein phẳng.

Hình 11. Mô hình chai Klein (có khả năng tự cắt).

Bài 9. Khám phá hình học trên chai Klein phẳng.

Cũng giống như một hình xuyến phẳng, một chai Klein phẳng không thể đặt trong không gian ba chiều mà không làm biến dạng khoảng cách trên nó. Hơn nữa, nó có thể được đặt trong một không gian chỉ có các nút giao tự thân, ngay cả khi cho phép khoảng cách và độ dốc (không có điểm gián đoạn). Mô hình chai Klein tự giao nhau được thể hiện trên Hình 11.

Phần kết luận

Vì vậy, nguyên tắc yêu cầu bình đẳng đối với tất cả các tiên đề chắc chắn đã tự chứng minh: chúng tôi phát hiện ra rằng hình học Euclide của mặt phẳng không dựa trên một tiên đề duy nhất về các đường song song, mà các tiên đề khác quyết định đáng kể diện mạo của nó. Hơn nữa, hóa ra ngay cả tính Euclide trong lân cận của mỗi điểm và sự thỏa mãn của không gian thứ năm trong không gian cũng không dẫn đến tính Euclide nói chung (ví dụ: một hình trụ và một hình xuyến phẳng). Điều này có nghĩa là ngay cả khi trong tất cả các phần không gian được nghiên cứu riêng biệt, hình học đều là Euclide, thì nhìn chung cấu trúc của một thế giới như vậy không nhất thiết đơn giản như mặt phẳng hai chiều hoặc không gian ba chiều.

Trong các khóa học hình học cao hơn, người ta đã chứng minh rằng ngoài năm ví dụ được liệt kê - mặt phẳng, hình trụ, hình xuyến phẳng, dải Möbius vô hạn và chai Klein phẳng - không có “thế giới” địa phương hoàn chỉnh nào khác. (Nói một cách đại khái, tính đầy đủ có nghĩa là người ta có thể mở rộng không giới hạn một “đường” với mỗi điểm, ngay cả khi chỉ dọc theo chính nó.)

Đối với không gian Euclide ba chiều cục bộ, chúng khác biệt đáng kể với chúng, có 18 loại. Trong số này, chúng tôi sẽ chỉ đề cập đến một ví dụ: đây là lớp không gian giữa hai mặt phẳng song song, được coi là xác định bởi các điểm đối xứng với mặt phẳng giữa trong lớp.

21

chất lỏng tuyệt vời

N. A. MEDKOV

Bài viết này sẽ nói về một số tính chất của một chất bất thường - chất lỏng sắt từ - và các thí nghiệm đơn giản với nó.

Nếu nhân loại đã quen thuộc với nam châm rắn từ thời cổ đại, thì chất lỏng sắt từ, tức là dung dịch keo của vật liệu sắt từ rắn, đã thu được vào những năm 60 của thế kỷ chúng ta. Hiện nay những chất mới này đã được nghiên cứu kỹ lưỡng và thậm chí còn tìm thấy một số ứng dụng thực tế.

Chúng ta cũng hãy “làm quen” với chất lỏng sắt từ và các tính chất của nó.

Cách điều chế chất lỏng sắt từ

Trước hết, bạn sẽ cần dầu thầu dầu (bạn có thể mua ở hiệu thuốc) và sắt oxit hydrat Fe₂O₃ • nH₂O (bạn có thể tìm thấy nó trong phòng hóa học của trường).

Tác giả bài viết này là Ilya Medkov, học sinh lớp 10 trường 204 Matxcơva.

Đổ 10-15 g dầu vào cối sứ và trộn với chất sắt từ đã biến tính cho đến khi tạo thành chất lỏng, tương tự như kem chua đặc. Nghiền hỗn hợp đã chuẩn bị trong cối trong vòng 10 - 15 phút.

Những gì bạn thu được không phải là một nghiệm chung thực sự, vì các hạt không đồng nhất và kích thước ngang của chúng lớn hơn 10⁻⁹ m. (Để thu được các dung dịch thực sự tập thể, bạn cần có các thiết bị phức tạp, chẳng hạn như máy nghiền rung để biến đổi các hạt và máy ly tâm để phân tách theo kích thước sau đó của chúng.) Tuy nhiên, để nghiên cứu các tính chất đặc trưng của chất lỏng sắt từ, hỗn hợp này hoàn toàn phù hợp.

Trong các thí nghiệm của mình, chúng tôi đã sử dụng một nam châm điện trình diễn ở trường có cuộn dây 2400 vòng làm nguồn từ trường. Nó được cấp nguồn từ mạng điện xoay chiều có điện áp 220 V thông qua cầu diode (bất kỳ điốt nào có dòng điện tối đa đều phù hợp, hơn thế nữa

22

0,5 A). Điều quan trọng nhất là việc lựa chọn mạch từ (lõi nam châm điện). Để có đủ
chính xác là một từ trường đều, diện tích mặt cắt ngang của mạch từ ít nhất phải là 8-10 cm2.
Bạn có thể tự làm bằng cách sử dụng các tấm mỏng cách điện tốt với nhau hoặc bạn có thể sử dụng lõi rời của máy biến áp trình diễn ở trường.
Sau khi chuẩn bị chất lỏng sắt từ và lắp ráp nam châm điện, bạn có thể bắt đầu thí nghiệm.

Thí nghiệm và quan sát

1. Đặt 30-40 g chất lỏng vào một cốc nông (nhất thiết phải làm bằng vật liệu không có từ tính!), đặt cốc vào đầu mạch từ và bật từ trường. Bạn sẽ quan sát thấy chất lỏng dâng lên ở trung tâm (trong thí nghiệm của chúng tôi là khoảng 5 mm). Nếu hỗn hợp không được trộn đều hoặc hàm lượng bột sắt từ quá cao thì kết quả sẽ là “con nhím”, như trong Hình 1.

2. Trộn kỹ chất lỏng sau thí nghiệm trước. Nếu bạn nhận được một con nhím, hãy chuẩn bị một phần hỗn hợp mới có hàm lượng dầu cao hơn. Đặt cốc một lần nữa vào đầu mạch từ, lấy các que làm bằng vật liệu không có từ tính và khi bật từ trường, vẽ một số loại hoa văn trên bề mặt chất lỏng (Hình 2,a). Đợi vài giây và tắt trường. Bề mặt của chất lỏng sẽ được làm mịn và đường viền của bản vẽ bạn đã áp dụng sẽ vẫn hiển thị trên đó (Hình 2, b). Sau đó bật lại trường - hình ảnh sẽ xuất hiện lại (Hình 2, c). Quy trình này có thể được tiếp tục nhiều lần bằng cách bật và tắt từ trường.

Hình 2 thể hiện những bức ảnh chúng tôi chụp trong quá trình thử nghiệm. Chúng tôi có thể “khôi phục” cùng một hình ảnh 5-6 lần, nhưng thực tế chúng tôi không thể vẽ rõ ràng (mặc dù khoảng thời gian giữa các lần bật trường lên tới 20 phút trở lên).

23

3. Đối với thí nghiệm này, bạn sẽ cần một từ trường rất mạnh. Bạn có thể sử dụng cùng một nam châm điện, nhưng cách tiếp cận lý thuyết là hình nón. Ở gần đầu hình nón, từ trường sẽ mạnh nhất. Nếu bạn nhỏ một giọt chất lỏng lên đầu rồi bật trường, chất lỏng sẽ ngay lập tức đổi màu, chuyển sang màu cam hoặc đỏ tươi (tùy thuộc vào thành phần của nó).

Các thí nghiệm đã kết thúc. Chúng ta hãy nghĩ xem tại sao và làm thế nào những hiện tượng kỳ diệu này sẽ xảy ra.

Trong thí nghiệm đầu tiên, chúng ta thấy chất lỏng dâng lên ở giữa tiết diện của mạch từ. Hiệu ứng này được gọi là tĩnh điện và bao gồm sự gia tăng áp suất chất lỏng trong vùng có từ trường mạnh.

Khả năng “ghi nhớ” là đặc điểm của nhiều vật liệu. Tương tự như vậy, một chất lỏng từ tính, từng mang một dạng trong đó năng lượng của nó là tối thiểu, một lần nữa “ghi nhớ” trạng thái của nó khi trường được bật.

Những kinh nghiệm và quan sát khác sẽ tự ràng buộc chúng.

Những ứng dụng thực tế có thể

Nhiều cấu trúc sắc bén sử dụng chất lỏng điện từ đã được phát minh. Dưới đây là một số trong số họ.

Ở loa chất lượng cao, chất lỏng từ tính có thể được đổ vào khe hở giữa cuộn dây điện từ và lõi của nó. Điều này cho phép tăng đáng kể các đặc tính của diamiks.

Dựa trên chất lỏng tuyệt vời này, bạn có thể tạo ra một máy bơm đặc biệt. Nó là một ống làm bằng vật liệu dẻo được đặt cùng với một nam châm điện trong buồng chứa chất lỏng. Khi nam châm điện được bật, chất lỏng sẽ dao động, ống đàn hồi bị biến dạng và chất trong đó được bơm theo hướng mong muốn. Điều này phần nào gợi nhớ đến hoạt động của thực quản con người nên có tên gọi: bơm nhu động. Ví dụ, một máy bơm như vậy có thể được sử dụng để cung cấp nhiên liệu cho tàu vũ trụ.

Chất lỏng sắt từ cũng có thể được sử dụng trong chất lỏng từ tính để làm kín các ổ trục của tuabin, làm lớp nhiệt trong động cơ nhiệt, v.v.

Phần kết luận

Các thí nghiệm với chất lỏng sắt từ rất thú vị. Nếu bạn thích trải nghiệm của chúng tôi, bạn có thể tiếp tục chúng hoặc nghĩ ra những trải nghiệm mới. Vì vậy, trong các cuốn sách hóa học phổ biến, bạn có thể tìm thấy công thức điều chế sắt tự cháy. Nó là một loại bột mịn đến nỗi nó tự bốc cháy trong không khí (hãy cẩn thận với nó!). Chất lỏng sắt từ chứa sắt tự cháy có những đặc tính rất thú vị.

Thảm họa ở xích đạo

(Để bắt đầu, xem trang 13)

Đồ thị ba trong hình, biểu thị độ cao của mặt trời lặng dưới dạng hàm của thời gian (ngày) tại ba điểm gần xích đạo, giải thích điều gì đang xảy ra. Cả ba hàm đều gần nhau và có hai cực tiểu (22/6 và 22/12), nhưng chỉ đối với một trong hai hàm đó (đường 6 - điểm trên xích đạo) thì giá trị hàm tại các điểm này là như nhau; đối với một điểm ở bán cầu nam (dòng 8), giá trị nhỏ nhất đạt được ở mức tối thiểu thứ nhất (22 tháng 6), đối với một điểm ở bán cầu bắc (dòng a) - ở điểm thứ hai (22 tháng 12).

Các đường chấm chấm cho thấy cả ba đồ thị đều thu được từ các đường cong hình sin thông thường bằng cách phản chiếu tương đối với đường thẳng α=90° phần nằm trên đường thẳng này (xét cho cùng, theo một điểm nhất định, Mặt trời không thể nâng tất cả các điểm thiên đỉnh sao cho α=90°).

H. N. Mikhailenko

24

Hệ phương trình tuyến tính
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. L. GUTENMACHER

Hệ phương trình tuyến tính thường được tìm thấy trong các ứng dụng khác nhau của toán học (ví dụ: vật lý, hóa học, kinh tế). Bài viết nói về các phương pháp đơn giản nhất lời giải của các hệ thống đó và về phương pháp phổ quát - phương pháp Gauss.

Loại trừ biến

Cách tốt nhất để hiểu phương pháp này là bằng một ví dụ. Hãy xem xét hệ thống
$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 7x + 5y = 1. \end{cases}$$

Để giải nó, chúng ta sử dụng phương trình đầu tiên để loại bỏ biến $x$ khỏi phương trình thứ hai. Với mục đích này, chúng ta hãy chuẩn bị cả hai phương trình sao cho các hệ số của $x$ giống nhau. Nhân phương trình thứ nhất với 7 và phương trình thứ hai với 2, ta được
$$\begin{cases} 14x + 21y = 35 \\ 14x + 10y = 2. \end{cases}$$

Bây giờ chúng ta giữ nguyên phương trình đầu tiên và thay thế phương trình thứ hai bằng hiệu giữa phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai:
$$\begin{cases} 14x + 21y = 35 \\ 11y = 33. \end{cases}$$

Bây giờ chúng ta đưa phương trình thứ nhất về dạng ban đầu và chia phương trình thứ hai cho 11:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ y = 3. \end{cases}$$

Thay giá trị $y=3$ vào phương trình đầu tiên, ta tìm được
$$\begin{cases} x = -2 \\ y = 3. \end{cases}$$

25

Thu được Đáp số, hệ phương trình chỉ có một lời giải - một cặp số (-2; 3).

Bài toán

1. Phương pháp loại bỏ biến hệ thống lời giải
   a) $\begin{cases} 2x+3y=4 \\ 3x-2y=5 \end{cases}$
   b) $\begin{cases} \frac{3}{4}x-\frac{5}{6}y=1 \\ \frac{5}{6}x-\frac{3}{4}y=2. \end{cases}$
2. Hai điểm di chuyển dọc theo trục số với tốc độ $u=-12$ km/h và $v=12$ m/s. Lúc đầu, trục hoành của chúng là $a=3$ km và $b=-500$ m. Họ sẽ gặp nhau ở đâu và khi nào?

Thay thế các biến
Một trong những kỹ thuật cơ bản của đại số là thay thế một biến bằng một biến khác. Kỹ thuật này cho phép bạn tạo bài toán thành những cái đơn giản hơn. Ví dụ, chúng ta cần giải một hệ phương trình phi tuyến tính
$$\begin{cases} \frac{2}{x}+\frac{3}{y}=5. \\ \frac{7}{x}+\frac{5}{y}=1. \end{cases}$$
Bằng cách bảo vệ $u=\frac{1}{x}, v=\frac{1}{y}$, chúng ta thu được một hệ thống tuyến tính với các biến mới $u, v$:
$$\begin{cases} 2u+3v=5 \\ 7u+5v=1. \end{cases}$$
Giải nó, ta tìm được $u=-2, v=3$. Bây giờ chúng ta quay lại các biến cũ: $\frac{1}{x}=-2, \frac{1}{y}=3$, từ đâu $x=-\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}$.

Bài toán 3. Phương pháp thay biến lời giải hệ thống
a) $$\begin{cases} \frac{1}{2x+3y-5}+\frac{7}{5x-8y+12}=1 \\ \frac{4}{2x+3y-5}-\frac{14}{5x-8y+12}=1 \end{cases}$$
b) $$\frac{x^2+xy=5}{3x^2+5xy=23}$$
c) $$\frac{xy}{3x+2y}=\frac{1}{5}, \frac{xy}{5x+7y}=1.$$

Ý nghĩa hình học của phương trình tuyến tính
Để tìm phương trình đường thẳng $y=kx+b$, đi qua các điểm có tọa độ (1; 2) và (3; 1), ta thay tọa độ của dữ liệu điểm vào phương trình $y=kx+b$ thay vì $x$ và $y$. Chúng ta sẽ có được hệ thống
$$\begin{cases} 2=k+b \\ 1=3k+b. \end{cases}$$
Giải nó, ta tìm được $k=-\frac{1}{2}, b=\frac{5}{2}$.
Vì vậy, phương trình đúng là $y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$.
Nhưng có thể hệ phương trình tương ứng không có lời giải. Ví dụ: giả sử các điểm này có tọa độ (1; 2) và (1; 3). Thay các giá trị này vào phương trình $y=kx+b$, ta thu được hệ
$$\begin{cases} 2=k+b \\ 3=k+b, \end{cases}$$
không có lời giải (xét cho cùng, $2=3$ tuân theo phương trình của hệ). Thoạt nhìn, điều này hơi ngạc nhiên - xét cho cùng, một đường thẳng luôn đi qua hai điểm. Hóa ra phương trình của đường thẳng đi qua các điểm (1; 2) và (1; 3) không được viết dưới dạng $y=kx+b$ - phương trình của nó là $x=1$.
Như vậy, chúng ta đã tìm ra nguyên nhân của sự hiểu lầm - bài toán được xây dựng kém: trong điều kiện giả sử phương trình của một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ luôn có dạng $y=kx+b$, nhưng đối với các đường thẳng song song với trục tọa độ thì không phải vậy. Về vấn đề này, chúng ta để lại phương trình đường thẳng tùy ý được viết dưới dạng $ax+by=c$. Chế độ xem này cho phép bạn bao quát tất cả các đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Ví dụ: nếu đặt $a=\frac{1}{2}, b=1, c=\frac{5}{2}$, chúng ta sẽ có phương trình của đường thẳng thứ nhất và nếu đặt $a=1, b=0, c=1$, chúng ta sẽ có phương trình của đường thẳng thứ hai.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét hệ thống
$$\begin{cases} x+\sqrt{2}y=\sqrt{3} \\ \sqrt{2}x+2y=\sqrt{6}. \end{cases}$$
Giải nó, theo ngôn ngữ hình học, có nghĩa là tìm điểm chung của các đường thẳng cho bởi phương trình $x+\sqrt{2}y=\sqrt{3}, \sqrt{2}x+2y=\sqrt{6}$. Hãy giải hệ này bằng cách loại bỏ biến: nhân phương trình đầu tiên với $\sqrt{2}$ và trừ phương trình thứ hai:

26

$$\begin{cases} \sqrt{2}x + 2y = \sqrt{6} \\ \sqrt{2}x + 2y = \sqrt{6} \end{cases} \quad 0 = 0.$$

Kết quả là chỉ còn lại một phương trình. Điều này có nghĩa là hệ thống có số vô hạn lời giải và các đường thẳng trùng nhau. Trong quá trình lời giải, chúng tôi phát hiện ra rằng phương trình thứ hai là phương trình đầu tiên nhân với $\sqrt{2}$, điều này có thể không được chú ý ngay lập tức.

Trong các bài toán được phân tích, chúng tôi gặp tất cả các tình huống có thể xảy ra: hệ thống có một lời giải, không có lời giải, có vô số lời giải. Điều tương tự cũng đúng trong trường hợp tổng quát. Một hệ phương trình tuyến tính $n$ với ẩn số $n$ thường có một lời giải duy nhất. Nhưng khi một trong các phương trình của nó là “tổ hợp tuyến tính” của các phương trình khác hoặc mâu thuẫn với chúng, thì nó có vô số lời giải hoặc không có gì cả.

Bài toán

4. Tìm phương trình đường thẳng đi qua các điểm a) (1; 5) và (2; 3); b) (6; 1) và (6; 5).

5. Đối với $k$ và $b$ thì các đường $y - kx = 2$ và $2y - 6x = b$ trùng nhau? b) không cắt nhau?

6. Tại hệ thống $a$ nào

$$\begin{cases} 2x + (9a^2 - 2)y = 3a \\ x + y = 1 \end{cases}$$

không có lời giải?

7. Chứng minh rằng hệ thống

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

có lời giải duy nhất khi và chỉ khi $a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0$. (Số $a_1b_2 - a_2b_1$ gọi là số xác định của hệ.)

Lỗi làm tròn

Khi lời giải bài toán tình huống bất ngờ có thể xảy ra trên máy tính. Minh họa kinh điển cho điều này là hệ thống lời giải

$$\begin{cases} x + \sqrt{2}y = \sqrt{3} \\ \sqrt{2}x + 2y = \sqrt{6}. \end{cases}$$

Hệ thống này, như chúng ta đã thấy, có vô số lời giải. Tuy nhiên, nếu giải trên máy tính thì sẽ có… thứ duy nhất là lời giải! Điều này xảy ra vì máy tính không thể hoạt động với các số có dạng $\sqrt{2}$ - chúng được thay thế bằng các giá trị gần đúng thập phân (hoặc gấp đôi).

Ví dụ: nếu các số $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$ được thay thế bằng giá trị gần đúng thập phân của chúng bằng một chữ số sau dấu thập phân: $\sqrt{2} \approx 1.4; \sqrt{3} \approx 1.7; \sqrt{6} \approx 2.4$, hệ thống sẽ có dạng

$$\begin{cases} x + 1.4y = 1.7 \\ 1.4x + 2y = 2.4. \end{cases}$$

Giải xong ta được một lời giải: $x = 1; y = 0.5$.

Nếu bỏ đi 4 chữ số thập phân thì ta được hệ

$$\begin{cases} x + 1.4142y = 1.7320 \\ 1.4142x + 2y = 2.4494 \end{cases}$$

cũng có một thứ (nhưng hoàn toàn khác) lời giải: $x = 0,3178; y = 1$.

Điều thú vị là, cho dù chúng ta thay thế số $\sqrt{2}$ bằng phép tính gần đúng thập phân nào thì kết quả duy nhất sẽ luôn là lời giải.

Hãy chứng minh điều đó. Thay $\sqrt{2}$ trong hệ (1) bằng chữ $a$, ta thu được

$$\begin{cases} x + ay = \sqrt{3} \\ ax + 2y = \sqrt{6}. \end{cases}$$

Hãy chứng minh rằng với $a^2 \neq 2$ hệ thống có duy nhất lời giải. Nếu $a = 0$, điều đó là hiển nhiên. Hãy bây giờ $a \neq 0$. Nhân phương trình đầu tiên với $a$ và trừ phương trình thứ hai với nó, chúng ta rút gọn hệ về dạng

$$\begin{cases} x + ay = \sqrt{3} \\ (a^2 - 2)y = a\sqrt{3} - \sqrt{6}. \end{cases}$$

Vì $a^2 \neq 2$, $y$ nhận một giá trị duy nhất $\frac{a\sqrt{3} - \sqrt{6}}{a^2 - 2}$. Thay nó vào phương trình đầu tiên, chúng ta tìm thấy giá trị duy nhất $x$. Do đó, nếu với $a$, chúng ta không lấy chính số $\sqrt{2}$ mà lấy một số giá trị gần đúng của nó, thì $a^2 \neq 2$ có nghĩa là hệ thống có một lời giải duy nhất.

Cần phải nhắc lại (“Đại số 7,” trang 28) rằng bản thân số $\sqrt{2}$ không thể được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân hữu hạn (hoặc thậm chí ở dạng bất kỳ phân số nào $\frac{p}{q}$, trong đó $p$ và $q$ là số nguyên).

Vì điều này, chúng ta gặp phải một nghịch lý liên quan đến việc giải hệ phương trình (1) trên máy tính.

Chúng ta hãy chú ý đến thực tế là ngay cả trong trường hợp tất cả các hệ số của một hệ thống nhất định đều là phân số thập phân hữu hạn, khi chúng được làm tròn, lời giải của hệ thống có thể thay đổi đáng kể. Do đó, hệ (2) thu được bằng cách làm tròn các hệ số của hệ (3), đồng thời lời giải của chúng hoàn toàn khác nhau. Trong một hệ thống có số lượng biến lớn, các lỗi xảy ra trong quá trình làm tròn có thể dẫn đến những thay đổi đáng kể trong lời giải.

Việc ước tính lỗi và chỉ định quy trình lời giải đảm bảo lỗi nhỏ nhất là quan trọng và không hề đơn giản bài toán. Vào đầu thế kỷ trước, nhà toán học vĩ đại Gauss bắt đầu nghiên cứu nó và những tiến bộ đáng kể hơn nữa theo hướng này chỉ được thực hiện trong những năm thập phân cuối cùng. Do những đóng góp quan trọng của Gauss cho lĩnh vực này, một phương pháp đơn giản và phổ biến để loại bỏ các biến số được đặt theo tên ông.

Phương pháp Gauss

Loại bỏ tuần tự các biến là cách thuận tiện nhất lời giải của hệ tuyến tính

27

Phương trình trên máy tính. Chúng ta hãy chứng minh điều đó bằng ví dụ về hệ ba phương trình với ba biến

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 = -1 \\ 2x_1 - x_2 + 2x_3 = -4 \\ 4x_1 + x_2 + 4x_3 = -2. \end{cases}$$

Bước đầu tiên là sử dụng phương trình thứ nhất, biến $x_1$ được loại khỏi các phương trình còn lại: phương trình thứ nhất được giữ nguyên; từ phương trình thứ hai, chúng ta trừ đi phương trình thứ nhất; từ phương trình thứ ba, chúng ta trừ bốn lần phương trình thứ nhất; chúng tôi nhận được

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 = -1 \\ -3x_2 - 2x_3 = -2 \\ -3x_2 - 4x_3 = 2. \end{cases}$$

Bước thứ hai là bằng cách sử dụng phương trình thứ hai mới, biến $x_2$ được loại khỏi phương trình thứ ba: hai phương trình đầu tiên được giữ nguyên; trừ đi số thứ hai từ phương trình thứ ba; chúng tôi nhận được

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 = -1 \\ -3x_2 - 2x_3 = -2 \\ -2x_3 = 4. \end{cases}$$

Bây giờ từ phương trình cuối cùng chúng ta tìm thấy $x_3 = -2$. Thay giá trị này vào phương trình trước đó, chúng ta tìm thấy $x_2 = 2$. Thay thế $x_2 = 2$ và $x_3 = -2$ vào phương trình đầu tiên, chúng ta tìm thấy $x_1 = 1$. Vậy là chúng ta đã sẵn sàng đáp số: $(1; 2; -2)$.

Bạn có thể giải bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào theo cách tương tự. Nói một cách đại khái, phương pháp Gaussian như sau:

Sử dụng phương trình đầu tiên, biến $x_1$ bị loại khỏi các phương trình còn lại. Sau đó, phương trình thứ hai mới sẽ loại bỏ biến $x_2$ khỏi tất cả các phương trình tiếp theo. Sau đó, sử dụng phương trình thứ ba mới, biến $x_3$ bị loại bỏ. Và cứ như vậy cho đến khi ta nhận được giá trị của biến cuối cùng trong phương trình cuối cùng. Sau đó, chúng ta tìm các biến theo thứ tự ngược lại, thay thế các giá trị đã biết của chúng vào phương trình.

Chúng tôi thấy rằng đây là một chương trình máy tính gần như được tạo sẵn. Nhưng để phương pháp này có thể so sánh, điều cần thiết là ở bước thứ $k$, phương trình thứ $k$ mới chứa biến thứ $k$ (xét cho cùng, với sự trợ giúp của nó, chúng ta cần loại trừ biến này khỏi các phương trình còn lại). Nếu thực tế không phải như vậy thì cần phải sắp xếp lại (đo lường lại) các phương trình hoặc các biến.

Cũng có thể từ một thời điểm nào đó các phương trình cuối cùng chuyển thành các đẳng thức số có dạng $0 = b$. Nếu ít nhất một trong các đẳng thức này sai ($b \neq 0$), thì hệ thống không có lời giải. Nếu tất cả các đẳng thức này đều đúng thì hệ có số vô hạn lời giải. (Tất cả cũng được coi là được cung cấp bằng cách sử dụng chương trình máy tính.)

Lưu ý rằng không phải các phương trình được nhập vào máy tính mà là các bảng hệ số - cái gọi là ma trận hệ thống. Ví dụ: hệ ta vừa giải được liên kết với ma trận

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 1 & 4 & -2 \end{pmatrix}$$

Hai bước của phương pháp Gauss mà chúng tôi đã thực hiện ở lời giải có thể được mô tả như sau:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & -4 \\ 4 & 1 & 4 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & -4 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$

Nhân tiện, người ta nói rằng khi các hệ thống có khay và một số lượng lớn biến được giải thủ công chứ không phải trên máy tính, thì việc làm việc với ma trận cũng thuận tiện hơn - ít có khả năng mắc lỗi hơn.

Bài toán 8. Giải hệ do nhà cổ điển thứ bảy ở loại XV loại 2 vùng Matxcơva đề xuất:

$$\begin{align*} x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 2x_4 + 2x_5 &= 1 \\ x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 4x_4 + 4x_5 &= 2 \\ x_1 + 3x_2 + 5x_3 + 6x_4 + 6x_5 &= 3 \\ x_1 + 3x_2 + 5x_3 + 7x_4 + 8x_5 &= 4 \\ x_1 + 3x_2 + 5x_3 + 7x_4 + 9x_5 &= 5. \end{align*}$$

Khác nhau bài toán

9. Nhà toán học ra ngoài đi dạo - lúc đầu ông đi một con đường bằng phẳng, sau đó lên núi, quay lại và trở về nhà theo cách tương tự.

28

Hình 1. Hình 2. Hình 3.

Đắt. Anh ta biết rằng anh ta đã đi bộ được 5 giờ, tốc độ của anh ta trên đường bằng là 4 km/h, lên dốc - 3 km/h và khi xuống dốc - 6 km/h. Ngồi xuống bàn và soạn một phương trình với hai biến: $x$ - quãng đường di chuyển ở hai đầu và $y$ - độ dài của phần nghiêng, nhà toán học rất ngạc nhiên khi phát hiện ra rằng mình có thể tìm thấy $x$. Tìm $x$.

10. 4 chú lùn đang ngồi ở một chiếc bàn tròn. Trước mỗi điểm dừng có một cốc sữa. Một trong những người lùn đổ $\frac{1}{4}$ sữa của mình cho người hàng xóm bên phải. Sau đó, người hàng xóm cũng làm như vậy. Sau đó, người hàng xóm tiếp theo cũng làm như vậy và cuối cùng, chú lùn thứ tư $\frac{1}{4}$ đổ sữa mà anh ta có cho chú lùn đầu tiên. Tất cả các cốc đều chứa 2 lít sữa. Hỏi ban đầu trong cốc có bao nhiêu sữa, nếu
    a) cuối cùng tất cả các chú lùn đều có nhiều sữa như lúc đầu?

11. Xác định các số $a, b$ và $c$ để hàm $y = ax^2 + bx + c$ có ​​bảng giá trị

Lời giải. Thay tuần tự các giá trị đã cho $x$ và $y$ vào công thức $y = ax^2 + bx + c$, chúng ta thu được $1 = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c, 2 = a \cdot 1 + b \cdot 1 + c, 2 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c$. Giải hệ phương trình này, ta tìm được $c = 1$, $a = -\frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}$. Do đó hàm số có dạng
$$y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 1.$$

12. Xác định các số $a, b$ và $c$ để hàm $y = a + b(x-1) + c(x-1)(x-2)$ có ​​bảng giá trị

Lời giải. Từ Hình 1 ta có hệ thống

$\cdot$ Vì bài viết này chủ yếu dành cho học sinh lớp bảy nên sau đây các ký hiệu từ sách giáo khoa “Hình học 6-10” của A. V. Pogorelov sẽ được sử dụng.

29

Hình 4. Hình 5.

$$x + y = c, y + z = a, z + x = b.$$

Tất nhiên, nó có thể được giải quyết dễ dàng bằng bất kỳ phương pháp nào ở trên, nhưng cách khác sẽ đẹp hơn và dễ dàng hơn. Hãy cộng cả ba phương trình. Chúng tôi nhận được $2x + 2y + 2z = a + b + c$, từ đâu $x + y + z = \frac{a + b + c}{2}$. Trừ từng phương trình của hệ khỏi phương trình này, chúng ta tìm thấy $x = \frac{b + c - a}{2}, y = \frac{a + c - b}{2}, z = \frac{a + b - c}{2}$.

16. Dựa vào $AB$ của tam giác đều $ABC$, lấy điểm $E$. Tam giác $ACE$ và $ECB$ chứa các đường tròn nội tiếp tiếp xúc với đoạn $CE$ tại các điểm $K$ và $H$. tương ứng. Tìm độ dài của đoạn $KH$ nếu $AE = a, EB = b$.

17. (Hồi ký được đưa ra tại Olympic Ukraina lần thứ XXIII năm 1983) Hình chữ nhật được chia thành các hình vuông như trên Hình 2. Biết cạnh của hình vuông được bảo vệ bằng 1. Tìm các cạnh của các hình vuông còn lại.

Lời giải. Chúng ta hãy biểu thị các cạnh được yêu cầu bằng $x, y, z, u$ (xem Hình 2). Sau đó $MN = y = u + 1, AB = x = y + 1, KL = z = x + 1$. Thay thế $y = u + 1$ vào trận đấu thứ hai, chúng ta tìm thấy $x = u + 2$. Thay $x = u + 2$ vào tương ứng thứ ba, ta tìm được $z = u + 3$. Bây giờ chúng ta hãy viết ra sự bằng nhau của các cạnh đối diện của hình chữ nhật: $x + z = y + 2u$; thay thế $x, y$ và $z$ ở đây, chúng ta nhận được $(u + 2) + (u + 3) = (u + 1) + 2u$, do đó $u = 4$. Bây giờ chúng tôi tìm thấy $x = 6, y = 5, z = 7$.

18. Hình chữ nhật được chia thành các hình vuông như Hình 3. Biết cạnh của hình vuông được bảo vệ là 2. Tìm cạnh của các hình vuông còn lại.

Hai vấn đề tiếp theo liên quan đến các mạch điện phân nhánh được tạo thành từ các dây dẫn có điện trở đơn vị. Mỗi mạch được kết nối với nguồn tại hai điểm (cực). Toki tuân theo định luật đúng của Kirchhoff, đối với các mạch đang xét có thể được biểu diễn như sau:

1. Tổng dòng điện đi vào bất kỳ nút nào bằng tổng dòng điện đi ra khỏi nút đó (cực không được coi là nút).

2. Trong bất kỳ mạch kín nào, tổng dòng điện chạy theo chiều kim đồng hồ bằng tổng dòng điện chạy ngược chiều kim đồng hồ $^*$).

19. Hình 4 thể hiện một mạch điện có các cực $A, C$ và các nút $B, D$. Tìm dòng điện trong tất cả các dây dẫn của mạch này nếu biết rằng dòng điện trong dây dẫn $DB$ bằng 1. (Các mũi tên chỉ chiều của dòng điện.)

20. Hình 5 thể hiện các mạch điện có cực $A$ và $C$. Tìm dòng điện trong dây dẫn của chúng nếu biết rằng trong mỗi mạch dòng điện trong dây dẫn $CD$ bằng 1. Một số dòng điện bằng 0 và in dấu, điều này có nghĩa là gì?

21. Hai người chơi một trò chơi như thế này: trong hệ thống
    $$\begin{cases} x + y = * \\ x + y = * \end{cases}$$
    Họ lần lượt ghép một số số lại với nhau bằng dấu hoa thị; cái đầu tiên muốn hệ thống kết quả có lời giải và cái thứ hai muốn hệ thống không có lời giải. Ai sẽ thắng nếu chơi đúng? Và ai sẽ thắng nếu ngược lại, người đầu tiên muốn hệ thống kết quả không có lời giải, và người thứ hai muốn nó có?

22. (Nó được đưa ra ở lớp 8 và lớp 10 tại XXIII All-Olympid và được đưa vào nhiệm vụ “Kwaンタ” với số M578; lời giải xem phần “Đáp số, gợi ý, lời giải”.) Giải hệ $(a$ và $b$ - các số đã cho)
    $$\frac{x - y \sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{1 - x^2 + y^2}} = a, \quad \frac{y - x \sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{1 - x^2 + y^2}} = b.$$

$^*)$ Nói rằng tổng hướng giảm như nhau thì đúng hơn, nhưng vì tất cả các dây dẫn đều có điện trở đơn vị nên chúng ta có thể nói về dòng điện.

30

đường viền có thể nhìn thấy

Hình trên mô phỏng hình xuyến (bề mặt của chiếc bánh rán hoặc phao cứu sinh) làm bằng thủy tinh mỏng. Chúng ta thấy trong bức ảnh này một đường tối có hình dạng phức tạp: nó có hai điểm tự giao nhau và bốn điểm quay lại - đây là tên của các điểm mà tại đó đường thẳng đột ngột thay đổi hướng 180°, tạo thành một thứ giống như một cái mỏ sắc nhọn. Đường này biểu thị điều gì, tại sao lại có các điểm tự giao nhau và các điểm đỉnh trên đó, và đường tương ứng với nó trông như thế nào trên bề mặt? Để trả lời những câu hỏi này, hãy dịch chúng sang ngôn ngữ hình học quen thuộc.

Một tia sáng hoàn toàn không giao nhau với bề mặt hoặc giao với nó một góc lớn sẽ không bị mất hoặc gần như không mất cường độ. Đồng thời, tia gần tiếp tuyến với bề mặt *) đi qua một tấm kính có độ dày đáng kể (Hình 1) và vị trí tương ứng trong ảnh hoặc trên màn hình sẽ tối hơn. Vì vậy, các vấn đề của chúng tôi có công thức hình học sau đây.

Một hình xuyến nằm trong không gian được tạo ra bởi một bó các đường thẳng song song (các tia sáng). Chúng ta hãy chỉ để lại trong gói này những đường tiếp xúc với hình xuyến và đánh dấu trên mỗi đường này điểm tiếp xúc và điểm giao nhau với mặt phẳng cố định trước - “màn hình”. Các điểm được đánh dấu tạo thành các đường trên hình xuyến và trên màn hình. Chúng tôi muốn hiểu cấu trúc của những dòng này.

Hóa ra nếu góc nghiêng của các đường thẳng với mặt phẳng của đường tròn trục của hình xuyến không lớn lắm thì các đường thẳng sẽ như Hình 2; một phần, các đường trên hình xuyến sẽ không có bất kỳ đặc điểm nào - không phải điểm tự giao nhau cũng như điểm đỉnh). Để xác minh điều này, chúng ta hãy vẽ các mặt phẳng thẳng đứng (song song với trục quay hình xuyến) thông qua các tia của chúng ta. Những mặt phẳng này sẽ giao nhau với hình xuyến dọc theo các đường mà chúng ta sẽ cắt tiếp theo các phần. Sự thay đổi mặt cắt trong quá trình chuyển động trơn tru của mặt phẳng thẳng đứng được mô tả trong “cinegram” đầu tiên (Hình 3). Trong mỗi mặt phẳng thẳng đứng của chúng ta, các tia tạo thành một họ các đường thẳng song song. Chúng tôi chọn những phần tiếp xúc với các phần và đánh dấu các điểm tiếp tuyến bằng bút chì và các điểm giao nhau của các tiếp tuyến với đường thẳng - dấu vết của màn hình của chúng tôi - bằng bút chì màu đỏ (xem phim ảnh). Các mặt phẳng thẳng đứng tạo nên phim ảnh của chúng ta tương ứng với các đường thẳng song song trên màn hình. Hãy vẽ chúng và đánh dấu các chấm đầy màu sắc tìm được trên chúng (xem Hình 3). Hình ảnh thu được cho phép bạn theo dõi đường đi của gần như toàn bộ dòng trên màn hình, chỉ để lại hai điểm được đánh dấu trong hình. Ở hai vị trí còn lại (đủ khoảng cách với một trong số chúng, vì chúng đối xứng), chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp “quay phim chuyển động chậm” và sẽ chỉ giới hạn ở phần trung tâm của khung hình.

*) Tiếp tuyến của một bề mặt, theo định nghĩa, là một đường thẳng tiếp tuyến với một đường thẳng nào đó nằm trên bề mặt đó.

31

Hình 4 hiển thị phim nhận và bên dưới nó hiển thị các phần tương ứng của đường màu đỏ và xanh lam (chúng tôi chiếu đường màu xanh lam lên mặt phẳng thẳng đứng, nó không thay đổi đáng kể). Trong đoạn phim của chúng ta, chúng ta thấy rằng hai tiếp tuyến đầu tiên di chuyển về phía nhau và đi qua nhau. Tại thời điểm này (khung số 2), điểm tự giao nhau nằm trên đường màu đỏ, nhưng không nằm trên đường màu xanh lam (tiếp tuyến tương ứng chạm vào hình xuyến tại hai điểm! - tuy nhiên, điều này chỉ vượt qua nếu tiếp tuyến chạm tới tán cây). Sau đó, tại một thời điểm nào đó (tại thời điểm hợp nhất hai phần của phần thành một - xem khung số 9 và 10 của phim ảnh đầu tiên), hai tiếp tuyến mới xuất hiện ở trung tâm của mỗi phần, chúng nhanh chóng phân kỳ. Sau đó, tốc độ phân kỳ của chúng giảm đi, nhưng chúng vẫn bắt kịp hai tiếp tuyến cũ (khung hình số 5 của phim ảnh thứ hai). Và sau đó tất cả các tiếp tuyến biến mất.

Chúng ta cũng sẽ xem xét điểm cuối cùng về chuyến viếng thăm. Để làm được điều này, ở phim thứ ba, chúng tôi sẽ sử dụng tốc độ quay chậm hơn nữa, độ phóng đại thậm chí còn lớn hơn nữa và - một thủ thuật làm phim khác - chúng tôi sẽ làm cho thời gian quay ngược lại. Trên các phần của phần rơi vào trường nhìn có một điểm uốn và tiếp tuyến của phần tại điểm uốn sẽ quay ngược chiều kim đồng hồ theo thời gian. Miễn là nó vẫn theo hướng tia của chúng ta, xét một phần của đường cong, nó hoàn toàn không có các tiếp tuyến song song với các tia. Khi đó một tiếp tuyến như vậy xuất hiện, và tại thời điểm xuất hiện, nó là một tiếp tuyến tại điểm uốn. Ngay sau khi xuất hiện, nó tách ra và các điểm tiếp xúc của hai tiếp tuyến phân kỳ rất nhanh và các tiếp tuyến tự phân kỳ rất chậm (xem phim đồ thị trong Hình 5). Do đó, hai nhánh của đường màu đỏ tiếp giáp với đáy tiếp tuyến tại điểm uốn rất gần nhau - ta có một điểm giao nhau; các nhánh tương ứng của đường màu xanh lam sẽ phân kỳ theo các hướng khác nhau, nghĩa là đường màu xanh lam là giá trị của điểm đang xét của mắt chung của đường cong.

Bạn có thể nhận thấy rằng tại các điểm tương ứng với điểm về của đường màu đỏ, tiếp tuyến với đường màu xanh có hướng của tia sáng của chúng ta. Chỉ điều này thôi cũng đủ để xác minh sự tồn tại của các điểm quay lại gần đường màu đỏ. Thật vậy, đường màu đỏ là kết quả của việc chiếu đường màu xanh dọc theo các tia. Khi chiếu một đường cong không gian lên một mặt phẳng theo hướng tiếp tuyến với đường cong này, tại một điểm nào đó trên hình chiếu sẽ thu được một điểm đỉnh. Để thấy điều này, hãy lấy một sợi dây cong và nhìn nó bằng một mắt sao cho tiếp tuyến trong một số hình chiếu đi qua tâm màn hình của bạn. Bạn sẽ thấy điểm trở lại.

Để kết luận, chúng tôi lưu ý rằng cách xây dựng “đường màu đỏ và màu xanh” của chúng tôi không chỉ áp dụng cho bề mặt của hình xuyến mà còn cho bất kỳ bề mặt nào song song tùy ý với các đường thẳng. Trong trường hợp này, đường màu đỏ có thể có giao điểm và điểm quay lại, trong khi đường màu xanh lam thường không có chúng.

Lưu ý rằng một nghệ sĩ miêu tả một vật thể ba chiều bằng cách sử dụng các đường thẳng thực sự mô tả một phần đường màu đỏ của chúng ta tương ứng với bề mặt của vật thể - một phần bao gồm các đáy của các tiếp tuyến không cắt vật thể giữa điểm tiếp xúc và màn hình. Phần đường màu đỏ này tạo thành một “đường viền nhìn thấy được” của vật thể, chẳng hạn như trên tàu trong Hình 6 (ở bên phải của đường viền nhìn thấy được, vẽ các phần không nhìn thấy được của đường màu đỏ bằng đường chấm - đây không phải là thông lệ được thực hiện trong bản vẽ, nhưng thường được thực hiện trong bản vẽ).

Nếu không, các điểm quay lại sẽ không xuất hiện trên đường viền hiển thị: ít nhất một trong hai nhánh của đường màu đỏ đi vào điểm quay lại sẽ không hiển thị.

32

Vật lý 8, 9, 10

Ghi chú “Sự quay của Trái đất và Gia tốc của Trọng lực,” được xuất bản dưới đây, mang đến cơ hội nghiên cứu về tám loại kinh điển, ghi chú “Hai loại hệ thống điện” cho chín loại kinh điển và “Pricile Fermat” cho mười loại kinh điển.
Các tài liệu được chuẩn bị bởi I.K. Belkin.

Sự quay của Trái Đất và gia tốc trọng trường

Sách giáo khoa “Vật lý 8” trang 104 viết: “Sự quay của Trái đất dẫn đến hiện tượng gia tốc trọng trường thay đổi so với bất kỳ vật thể nào trên bề mặt Trái đất, là khác nhau ở những điểm khác nhau”. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu nguyên nhân của sự khác biệt này.

Về chuyển động, như đã biết, chuyển động của cùng một cơ thể, nhưng so với các hệ thống báo cáo khác nhau chuyển động tương đối với nhau, trông có vẻ khác nhau. Quỹ đạo chuyển động, tốc độ và gia tốc là khác nhau.

Nếu một trong các hệ thống báo cáo chuyển động tương đối với nhau với tốc độ không đổi (không có gia tốc), thì tốc độ $\vec{v}$ của cơ thể so với một trong các hệ thống báo cáo, thường được chấp nhận là đứng yên, bằng $\vec{v}_1 + \vec{v}_2$, trong đó $\vec{v}_1$ là tốc độ của cơ thể so với hệ thống chuyển động và $\vec{v}_2$ là tốc độ của hệ thống chuyển động so với hệ thống đứng yên. Gia tốc của vật so với cả hai hệ trong trường hợp này là như nhau (như người ta nói, nó là tuyệt đối).

Sẽ là một vấn đề khác nếu một trong các hệ thống báo cáo chuyển động tương đối với nhau với gia tốc. Khi đó, không chỉ tốc độ, mà cả gia tốc so với gia tốc $\vec{a}$ của vật so với hệ thống báo cáo đứng yên cũng bằng tổng của các gia tốc $\vec{a}_1$ và $\vec{a}_2$, trong đó $\vec{a}_1$ là gia tốc của vật so với hệ chuyển động và $\vec{a}_2$ là gia tốc của hệ chuyển động so với hệ đứng yên, nghĩa là

$$\vec{a} = \vec{a}_1 + \vec{a}_2.$$

Một ví dụ điển hình của trường hợp này là sự rơi tự do của một vật xuống Trái đất. Khi Trái đất quay quanh trục của nó, hệ thống báo cáo liên quan đến bất kỳ điểm nào trên bề mặt của nó sẽ di chuyển với gia tốc. Do đó, gia tốc của một vật rơi so với hệ đứng yên phải bằng tổng gia tốc của vật rơi so với hệ chuyển động và gia tốc của hệ chuyển động so với hệ đứng yên.

Một hệ thống báo cáo cố định có thể được liên kết với một số vật thể không thay đổi, chẳng hạn như với Mặt trời. Nhưng bạn có thể làm điều đó dễ dàng hơn mà không cần rời khỏi Trái đất. Rốt cuộc, có những điểm trên bề mặt Trái đất không tham gia vào quá trình quay của nó. Đây là những bề mặt của Trái đất mà trục quay đi qua. Vì vậy, để tìm giá trị gia tốc của một vật rơi so với hệ quy chiếu đứng yên thì cần phải thay đổi gia tốc trọng trường ở cực Trái đất. Để làm điều này, bạn có thể lắp một thước có các vạch chia trên cột (Hình 1) và, ví dụ, sử dụng phương pháp strokosoppic, thay đổi gia tốc của vật rơi dọc theo thước. Thước và hệ tọa độ đi kèm với nó sẽ là hệ thống báo cáo cố định cho chúng ta. Vì nó miễn phí

Hình 1. Hình 2.

34

ái lực với Trái đất tác dụng lên điểm tựa hoặc hệ thống treo. Nếu một vật tựa hoặc hệ thống treo đứng yên so với Trái đất hoặc chuyển động tương đối so với nó mà không có gia tốc thì trọng lượng bằng lực hấp dẫn. Nhưng những chiếc cân, nhờ vào sự thay đổi trọng lượng của cơ thể, sẽ di chuyển với gia tốc ở bất cứ đâu trên Trái đất, ngoại trừ trên bề mặt của nó. Vì vậy, ngoại trừ mặt tích cực, trọng lượng cơ thể không bằng trọng lực. Trọng lượng cơ thể nhẹ nhất sẽ ở xích đạo. Tuy nhiên, các giá trị trọng lượng ở xích đạo và tại vị trí chỉ khác nhau rất ít bằng giá trị gia tốc trọng trường.

Hai loại điện

(Từ lịch sử vật lý)

Năm ngoái đánh dấu 250 năm kể từ khi sự tồn tại của hai loại điện lần đầu tiên được biết đến. Năm 1733, nhà vật lý người Pháp Charles Francois Dufay (1698–1739) đã xuất bản các bài báo trên một tạp chí tiếng Pháp và tiếng Anh, trong đó ông mô tả kết quả quá trình điện khí hóa hàng loạt các vật thể khác nhau của mình.

Thủy tinh và nhựa. Từ nhiều thí nghiệm được thực hiện khéo léo và khéo léo, Du Fay đã kết luận rằng có hai loại điện. Một dòng điện xuất hiện khi cọ xát copal (nhựa hóa thạch), antar (cũng là nhựa hóa thạch), sáp, dung dịch kiềm và các chất polyhydrat. Một loại khác xuất hiện khi cọ xát thủy tinh, đá pha lê, đá quý, sáu loại, v.v. Poset Dufay gọi loại đầu tiên là nhựa và loại thứ hai là điện. Một vật sở hữu bất kỳ loại điện nào trong hai loại điện sẽ thu hút các vật thể nhẹ (chính đặc tính này đã được gọi bằng từ “điện” từ xa xưa). Như Dufay đã phát hiện ra, sự khác biệt nằm ở chỗ các vật tích điện giống nhau (thủy tinh hoặc nhựa) đẩy nhau, nhưng nếu một vật tích điện bằng thủy tinh và vật kia tích điện bằng nhựa, thì chúng sẽ tiếp nhận lẫn nhau.

Đây là cách các chức năng của điện được thiết lập: sự tồn tại của hai loại điện và sự tồn tại của lực điện và lực đẩy. Đương nhiên, câu hỏi đặt ra là làm thế nào điện này hay điện kia xuất hiện trong cơ thể nhập tịch. Vào thời điểm đó chỉ có thể xây dựng các thỏa thuận về việc này.

Sự rung cảm của Franklin. Một thỏa thuận như vậy được đưa ra vào năm 1750 bởi nhà vật lý người Mỹ (đồng thời là một chính phủ và nhà hoạt động xã hội nổi tiếng, một trong những nhà lãnh đạo cuộc đấu tranh giành độc lập của các thuộc địa Mỹ) Benjamin Franklin (1706-1790).

Theo Franklin, mỗi cơ thể đều chứa một chất điện đặc biệt (lúc đó người ta nói là chất lỏng), một thứ gì đó trong chất lỏng điện đẩy nhau, nhưng bị các hạt của cơ thể hút mạnh đến mức mọi cơ thể đều tác dụng lên chất lỏng điện như một miếng bọt biển, hút vào trong cơ thể (các hạt của chất lỏng điện nhỏ hơn rất nhiều so với các hạt của chính cơ thể, nếu không thì chúng không thể cho cơ thể bên trong đi qua). Nhưng sự hiện diện của chất lỏng điện trong cơ thể không làm cho nó trở nên tự ái, nếu nó được chứa trong cơ thể ở một lượng nào đó, có thể nói là bình thường. Khi một vật thể này cọ sát vào một vật thể khác, một phần chất lỏng điện sẽ chảy từ vật này sang vật khác, và sau đó cả hai vật trở thành nazlestriovannye. Cơ thể trong đó chất lỏng điện chảy và lượng dư thừa của nó được tạo ra so với lượng bình thường sẽ trở thành chủ sở hữu của điện thủy tinh. Cơ thể thứ hai, trong đó chất lỏng điện ít hơn lượng bình thường, được tích điện bằng nhựa. Tuy nhiên, Franklin đã đưa ra những biến thể khác cho hai loại điện này. Điện thủy tinh (trong hình ảnh cơ thể dư thừa chất lỏng điện) Franklin gọi là dương

35

telny, và nhựa (được sở hữu bởi cơ thể thiếu chất lỏng điện) - âm tính. Những cái tên này, như chúng ta biết, vẫn tồn tại cho đến ngày nay, cũng như các thuật ngữ khác được Franklin đưa vào khoa học về điện: điện tích, phóng điện, tụ điện, pin, dây dẫn, v.v.

Franklin đã đưa ra một cách giải thích khá kỳ lạ về các hiện tượng điện được biết đến vào thời của ông. Kỳ lạ vì nó không thể giải thích được một sự thật quan trọng nhất được biết đến vào thời điểm đó - việc gắn các vật thể nhẹ vào các chủ đề được giao.

Điện và… tất. Một lời giải thích khác được đề xuất vào năm 1759 bởi người Anh Robert Simmer. Lý do cho điều này là sự quan sát hài lòng mà anh ấy đã thực hiện.

Simmer quyết định mang hai đôi tất: đôi len đen để giữ ấm và đôi lụa trắng để làm đẹp. Tháo cả hai chiếc tất ra khỏi nori cùng một lúc và kéo chiếc này ra khỏi chiếc kia, Simmer thấy cả hai chiếc tất phồng lên, tái tạo hình dạng của chân và bị kéo về phía nhau. Tuy nhiên, những chiếc tất cùng màu, cả đen và trắng đều đẩy nhau. Nếu một tay bạn cầm hai chiếc tất trắng và một tay kia cầm hai chiếc tất đen, thì khi bạn đưa hai tay lại gần nhau, lực đẩy của những chiếc tất cùng màu và lực kéo của những chiếc tất nhiều màu sẽ dẫn đến một cuộc ẩu đả buồn cười giữa chúng; Những chiếc tất có màu sắc đối lập dường như chồng lên nhau và đan xen vào nhau thành một quả bóng kỳ quái.

Những quan sát này khiến Simmer đi đến kết luận rằng mỗi cơ thể không chỉ có một mà là hai chất lỏng điện - dương và âm, chứa trong cơ thể với số lượng bằng nhau. Khi hai vật cọ xát, một trong số chúng có thể truyền từ vật này sang vật khác, khi đó ở một vật có dư một chất lỏng, còn ở vật kia - chất lỏng bị thiếu. Cả hai cơ thể sẽ được tích điện (điện tích) có giá trị trái ngược nhau.

Xung đột điện. Đây là cách hai ý tưởng về điện xuất hiện. Trong một thời gian dài, gần một thế kỷ rưỡi, không ai trong số họ nhận được sự công nhận rộng rãi.

Khi vào cuối thế kỷ 18 - đầu thế kỷ 19. Khi có cơ hội thu thập và nghiên cứu dòng điện một chiều, một cuộc tranh luận đã nảy sinh về chính xác cái gì “chảy” trong mạch chứa nguồn dòng và dây dẫn. Cũng có những nghi ngờ về việc liệu dòng điện thu được khi cọ xát các vật thể và dòng điện chạy trong mạch điện có giống nhau hay không. Loại thứ hai thậm chí còn nhận được một cái tên đặc biệt - điện điện. Tuy nhiên, nhiều người vẫn tin rằng trong các dây dẫn của mạch điện có hai dòng điện Simmer cùng lúc và họ gọi dòng điện… là xung đột điện, vì các dòng điện này ngược chiều nhau. Vì vậy, chẳng hạn, khi vào năm 1820 H. Oersted xuất bản một tập tài liệu trong đó ông mô tả tác dụng của dòng điện lên một kim nam châm mà ông đã phát hiện ra, ông gọi nó là: “Các thí nghiệm liên quan đến tác dụng của một xung đột điện trên một kim nam châm”. Sau đó, độc giả đã hiểu cái tên kỳ lạ này đối với chúng tôi và tập tài liệu này đã thành công nhờ tầm quan trọng cơ bản của khám phá được thực hiện.

Simmer đã đúng. Tranh chấp cũ giữa hai lý thuyết – Franklin và Simmer – chỉ nhận được giải pháp cuối cùng vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20.

Bây giờ chúng ta biết rằng Simmer phải được công nhận là người chiến thắng trong cuộc tranh chấp. “Chất lỏng điện của Simmer” là các electrin tích điện âm và các proton tích điện dương, được chứa với số lượng bằng nhau trong mọi vật trung hòa, trong mọi nguyên tử của bất kỳ chất nào.

Nhưng điều gì đó hóa ra lại đúng trong lý thuyết của Franklin: khi cọ xát các vật thể, chỉ một “chất lỏng” có thể truyền từ vật này sang vật khác - các chất điện tích âm. Tuy nhiên, cơ thể mà họ chuyển đến trở nên tích điện âm, trong khi Franklin cho rằng nó mang điện tích dương.

36

Nhưng. Điều này là do Frankin cho rằng cần phải gọi kính điện của Dufay là dương. Từ đây, từ sự lựa chọn này của Frankin, chúng ta gán dấu điện tích âm cho electron và hướng chuyển động của các điện tích dương được coi là hướng của dòng điện, mặc dù các hạt tích điện âm thực sự chuyển động trong dây dẫn kim loại. Trong chất điện và chất khí, dòng điện là chuyển động ngược chiều của cả hạt dương và hạt âm. Nhưng bây giờ không ai coi đây là sự cố về điện.

Trang trại Pricipl

Cơ sở của quang học hình học, hoạt động dựa trên khái niệm “tia sáng”, được tạo thành từ ba định luật - định luật truyền thẳng, phản xạ và khúc xạ ánh sáng. Vào thời cổ đại, khi những định luật này được hình thành, câu hỏi về bản chất của ánh sáng vẫn chưa được đặt ra và không có gì ẩn giấu đằng sau khái niệm “tia” về sự nhận thức vật lý về ánh sáng. Đây là cách nó được thực hiện trong sách giáo khoa “Vật lý 10” (§§ 37 và 65). Tuy nhiên, vào cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ 20. Rõ ràng là ánh sáng không chỉ có tính chất sóng mà còn có tính chất hạt. Theo quan điểm của bản chất hạt (lượng tử), ánh sáng là dòng nguyên tố của các hạt ánh sáng - photon. Trong môi trường đồng nhất, chùm tia có thể coi là quỹ đạo của photon.

Nhưng điều thú vị là rất lâu trước đó, một nguyên tắc đáng kinh ngạc đã được hình thành, từ đó tuân theo tất cả các định luật cơ bản về truyền bá.

Hình 1.

ánh sáng. Nguyên lý này, do nhà toán học người Pháp Pierre Fermat (1601-1665) tìm ra vào khoảng năm 1660, cho biết: trong tất cả các đường đi có thể có giữa hai điểm, ánh sáng truyền dọc theo đường mà thời gian di chuyển được gọi là ngắn nhất.

Từ nguyên lý Fermat (như cách gọi chung của nó), người ta suy ra rằng trong một môi trường đồng nhất (trong một môi trường như vậy, tốc độ ánh sáng ở mọi nơi là như nhau) ánh sáng sẽ truyền thẳng: đường thẳng là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm, do đó, thời gian truyền là ngắn nhất.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng định luật phản xạ ánh sáng cũng là hệ quả trực tiếp của nguyên lý Fermat.

Định luật phản xạ ánh sáng. Cho MM là một gương phẳng. Có một nguồn sáng ở điểm A và chúng ta quan tâm đến đường đi mà ánh sáng phản chiếu từ gương đi từ điểm A đến điểm B (Hình 1). Hình 1 cho thấy một số đường dẫn có thể có - AA’B, ACB, AB’B. Có vô số “con đường” ánh sáng như vậy có thể tránh được. Chúng có độ dài khác nhau nên mất nhiều thời gian khác nhau để hoàn thành. Nó phụ thuộc vào điểm nào của gương mà tia sáng chạm tới và sau khi bị phản xạ sẽ đi tới B.

Từ những thông điệp hình học đơn giản, người ta dễ dàng tìm ra chính xác vị trí chùm tia sẽ rơi sao cho thời gian di chuyển dọc theo “tuyến đường” điểm A - gương - điểm B là tối thiểu. Hình 2 cho thấy một trong những con đường khả thi - ACB. Chúng ta hạ đường vuông góc từ điểm B tới gương MM và kéo dài nó ở phía bên kia của gương đến điểm B’, nằm cách |OB’| = |OB|. Hãy vẽ đường thẳng CB’. Hai tam giác COB và COB’ thu được bằng nhau vì chúng là hình chữ nhật nên có cạnh chung OC

37

và $|OB| = |OB'|$. Do đó, $|CB| = |CB'|$, từ đó suy ra độ dài đường đi của tia $ACB$ bằng tổng độ dài từ $A$ đến điểm $C$ góc tới của tia tới gương và từ điểm này đến điểm $B$. Rõ ràng rằng tổng này sẽ nhỏ nhất nếu điểm $C$ nằm trên đường thẳng nối các điểm $A$ và $B'$ (Hình 3). Khi đó tổng độ dài $|AC|$ và $|CB|$, tức là độ dài của toàn bộ đường đi của ánh sáng, sẽ nhỏ nhất. Thời gian di chuyển của ánh sáng dọc theo con đường này cũng sẽ nhỏ nhất.

Từ Hình 3, rõ ràng rằng $\widehat{BCO} = B'\widehat{CO}$ (tam giác $BCB'$ là cân bằng, do đó $CO$ là phân giác của góc ở đỉnh) và $\widehat{B'\widehat{CO}} = A\widehat{CM}$ (theo chiều dọc). Điều này có nghĩa là góc nghiêng của tia tới và tia phản xạ tới gương bằng nhau. Đây là định luật phản xạ ánh sáng. Tuy nhiên, người ta thường tính các góc không phải từ mặt phẳng của gương mà từ pháp tuyến tới nó tại điểm tới. Nhưng rõ ràng là nếu góc $i$ và $i'$ bằng nhau thì góc $a$ và $\gamma$ cũng bằng nhau. Định luật phản xạ thường được viết dưới dạng

$$\alpha = \gamma.$$

Định luật này, như chúng ta thấy, là hệ quả của thực tế là ánh sáng, như nó vốn có, “chọn” đường truyền đi trong khoảng thời gian ít nhất. Dễ dàng thấy rằng nguyên lý Fermat cũng bao hàm phát biểu rằng tia tới, tia phản xạ và pháp tuyến của gương tại điểm tới nằm trong cùng một mặt phẳng. Nếu không thì con đường sẽ dài hơn và cần nhiều thời gian hơn.

Chúng ta hãy lưu ý một đặc điểm quan trọng khác liên quan đến sự phản xạ ánh sáng từ gương. Nếu tại điểm $A$ (xem Hình 3) có một nguồn sáng và tại điểm $B$ có một mắt, thì mắt sẽ cảm nhận được ánh sáng như thể nguồn sáng không ở trong $A$ mà ở trong $A'$, và không có gương nào cả. Nếu gương được lấy ra và nguồn di chuyển từ $A$ sang $A'$ thì mắt sẽ không nhận thấy sự thay thế đó.

Định luật khúc xạ ánh sáng. Từ nguyên lý Fermat người ta cũng có thể thu được định luật khúc xạ ánh sáng (chính xác hơn là tia sáng). Ở đây chúng ta đang nói về sự chuyển đổi ánh sáng từ một môi trường (môi trường $I$ trong Hình 4) sang môi trường khác (môi trường $II$) qua giao diện giữa chúng. Sự khác biệt giữa các môi trường là tốc độ truyền ánh sáng trong chúng là khác nhau.

Chúng ta sẽ xem xét trường hợp môi trường $I$ là chân không trong đó tốc độ ánh sáng là $c$ và môi trường thứ hai là một số sản phẩm (ví dụ: thủy tinh, nước, v.v.) trong đó tốc độ ánh sáng $v$ nhỏ hơn $c > v$.

Giữa các điểm $A$ trong môi trường $I$ và $B$ trong môi trường $II$ chúng ta cũng có thể tưởng tượng ra vô số đường đi, nhưng theo nguyên lý Fermat, ánh sáng “chọn” đường đi mất ít thời gian nhất để truyền đi. Chẳng hạn, rõ ràng đường đi $AA'B$ không phải là đường đi như vậy, bởi vì ở đây ánh sáng truyền đi một quãng đường ngắn (ngắn nhất) trong môi trường có tốc độ cao và một khoảng cách dài trong môi trường có tốc độ thấp. Có lẽ nó có lợi hơn đường đi $AB'B?$ Ở đây ánh sáng trong môi trường tốc độ thấp truyền đi phần tối thiểu của đường đi và phần thường xuyên nhất truyền đến môi trường tốc độ cao. Nhưng liệu con đường cụ thể này có mang lại nhiều lợi nhuận nhất về mặt tiết kiệm thời gian không? Có thể sẽ có lợi hơn nếu loại bỏ một chút các đường dẫn trong môi trường $II$ để rút ngắn các đường dẫn trong môi trường $I?$. Tóm lại là bạn cần tìm xem ở điểm nào trên thế giới

38

(chùm tia) cần đi qua giao diện giữa hai phương tiện để thời gian di chuyển từ $A$ đến $B$ là tối thiểu. Rõ ràng là điểm này nằm ở đâu đó giữa $A'$ và $B'$ (có thể bao gồm cả chính điểm $B'$).

Chúng ta hãy biểu thị khoảng cách giữa $A'$ và $B'$ bằng $d$. Nếu chúng ta cần một điểm $C$ giao điểm của các ranh giới giao diện ở khoảng cách $x$ từ $A'$, thì từ $B'$ nó sẽ ở khoảng cách $d-x$ (xem Hình 4). Đường đi $AC$ mà ánh sáng đi qua trong môi trường $I$ bằng $\sqrt{y_1^2+x^2}$ và thời gian di chuyển của đường đi này

$$t_1 = \frac{\sqrt{y_1^2+x^2}}{c}.$$

Quãng đường $CB$ mà ánh sáng truyền qua trong môi trường $II$ bằng $\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}$ và thời gian cần thiết để đi qua quãng đường này là

$$t_2 = \frac{\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}}{v}.$$

Tổng thời gian $t$ được cho bởi

$$t = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{y_1^2+x^2}}{c} + \frac{\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}}{v}.$$

Thời gian $t$ chỉ phụ thuộc vào $x$ - tọa độ của điểm mà cung rơi xuống, vì các giá trị $y_1, y_2, c, v$ và $d$ là không đổi, nghĩa là giống nhau cho tất cả các giá trị của $x$. Vì vậy, chúng ta cần tìm giá trị nào $x$ thì thời gian $t$ sẽ nhỏ nhất. bài toán này không thể giải được bằng đại số tổng quát. Để giải nó, chúng ta cần lợi dụng thực tế là giá trị của $x$, tại đó $t$ là tối thiểu, đạo hàm của hàm ở vế phải của phương trình (1) bằng 0.*) Điều này dẫn chúng ta đến các điều kiện sau cho $x$:

$$\begin{align*} \frac{x}{c\sqrt{y_1^2+x^2}} &= \frac{d-x}{v\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}}. \\ \frac{x}{\sqrt{y_1^2+x^2}} &= \sin A'AC = \sin \alpha; \\ \frac{d-x}{\sqrt{y_2^2+(d-x)^2}} &= \sin CBB' = \sin \beta, \end{align*}$$

trong đó $\alpha$ là góc giữa tia tới và pháp tuyến với mặt phân cách tại điểm tới (góc tới) và $\beta$ là góc giữa pháp tuyến này và tia tới trước (góc tới). Do đó, điều kiện (2) có dạng:

$$\frac{\sin \alpha}{c} = \frac{\sin \beta}{v},$$

hoặc $$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{c}{v}.$$

Đây là định luật khúc xạ cho trường hợp của chúng ta: tỷ số giữa sin của góc tới và sin của góc khúc xạ bằng tỷ số tốc độ truyền ánh sáng trong chân không và trong môi trường giáp nó. Tỷ lệ $c/v$ là giá trị ký tự không đổi trong một môi trường nhất định. Đây được gọi là chiết suất của một chất và được ký hiệu bằng chữ $n$, vì vậy

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n.$$

Trong trường hợp tổng quát, khi ánh sáng truyền từ một môi trường tùy ý có tốc độ ánh sáng $v_1$ sang môi trường có tốc độ ánh sáng $v_2$ thì định luật khúc xạ có dạng

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{v_1}{v_2} = n_{21},$$

trong đó $n_{21}$ là chiết suất tương đối của môi trường 2 và 1.

Tất nhiên, nguyên lý Fermat đúng không chỉ với những ví dụ đơn giản nhất về sự phản xạ và khúc xạ ánh sáng mà chúng ta đã xem xét ở đây. Sử dụng nguyên lý này, bạn có thể hiểu và tính toán chính xác đường đi của các tia tới mặt, mặt và trong bất kỳ hệ lăng kính, thấu kính và gương phức tạp nào.

39

Nhiệm vụ

1. Sasha chú ý đến số hiệu của chiếc xe tự động đang chạy tới nhà anh. Hấp dẫn! Nếu bạn cộng các chữ số của số thứ hai với số thứ nhất: 85+8+7, bạn được 100, và nếu bạn cộng các chữ số của số thứ nhất với số thứ hai: 87+8+5, bạn cũng được 100. Tổng cộng có bao nhiêu số như vậy?

2. Trong ví dụ về phép nhân, hãy ghép các số còn thiếu cùng với dấu hoa thị.

3. Đặt các số từ 1 đến 12 vào các vòng tròn sao cho tổng các số trên mỗi đường thẳng trong số sáu đường thẳng, trên mỗi đường tròn trong ba đường tròn và tại các đỉnh của ba hình thoi đều bằng nhau.

4. Vadik có số hạt ít hơn Kostya 3 lần. Nếu Vadik được cho cùng số hạt khi lấy chúng từ Kostya, thì cả hai sẽ có phần bằng nhau. Kostya có bao nhiêu quả hạch?

5. “Ngọn lửa cách chúng tôi nửa dặm và gió đang cuốn nó về phía chúng tôi với tốc độ khủng khiếp…

• Có lửa gì thế!… Theo bạn, đây là lửa à?… Thôi, giỏi lắm, bắt tay vào việc thôi… Hãy nắm lấy đám cỏ thấp mềm nhũn này và cầm cự…

Ông già bước đến rìa đối diện… và chọn một bó thân cây khô nhất, đặt chúng lên kệ súng của mình. Chúng lập tức bốc cháy…

“Bây giờ,” ông già nói, “bạn sẽ thấy lửa đấu với lửa như thế nào!”

Vì vậy, trong cuốn tiểu thuyết “Prairie” của F. Cooper, ông mô tả một trong những cách để chữa cháy thảo nguyên - đốt cháy thảo nguyên từ phía đối diện. Hãy cố gắng giải thích bí mật của phương pháp này là gì.

Những nhiệm vụ này được Yu gợi ý cho chúng tôi. A. Alenkov, S. N. Olehnik, A. V. Siderlandsky, A. V. Tokarev, A. M. Charnykh.

41

số hàng chục nhiều hơn 1, thêm vào số này toàn bộ phần của một nửa hiệu của hàng chục và vào số kết quả thêm 25 nếu hiệu này là số chẵn hoặc 75 nếu nó là số lẻ. Mặc dù công thức bằng lời nói mà chúng tôi đưa ra nghe có vẻ phức tạp nhưng phương pháp được đề xuất lại rất đơn giản, như có thể thấy từ các ví dụ sau:

$$35 \cdot 75 = (3 \cdot 8 + \frac{7-3}{2}) \cdot 100 + 25 = 2625.$$
$$25 \cdot 55 = (2 \cdot 6 + [\frac{5-2}{2}]) \cdot 100 + 75 = 1375.$$

Việc chứng minh quy luật này là đúng xin dành cho người đọc như một bài tập.

---

Manana Vansovskaya, học sinh lớp 10 tại trường trung học Nabakevo ở quận Samtred của Liên Xô Gruzia, đề xuất phương pháp bình phương các số có ba chữ số tận cùng là 25:

“Để có bình phương của một số có ba chữ số mà cộng bằng 25, hãy viết 625 ở cuối, sau đó nhân số hàng trăm với 5, viết chữ số cuối cùng của số kết quả trước 625 và ghi nhớ chữ số đầu tiên. Sau đó, chúng ta bình phương số hàng trăm của một số đã cho và cộng số vừa ghi nhớ, rồi viết kết quả thu được trước các số chúng ta đã viết.”

Ví dụ, khi bình phương 325, ta tìm được 3 \cdot 5 = 15, viết 5 làm số trước 625 và ghi nhớ 1:

$$(325)^2 = 10000(3^2 + 1) + 1000 \cdot 5 + 625 = 105625.$$

Manana cũng đưa ra một ví dụ tương tự về bình phương các số có bốn chữ số tận cùng bằng 125. Và chúng tôi mời độc giả chứng minh phương pháp mà Manana nêu ra để bình phương một số có ba chữ số tận cùng bằng 25, đồng thời cũng độc lập đưa ra “ví dụ tương tự” cho số có bốn chữ số.

*) Dấu ngoặc vuông biểu thị phần nguyên của một số.

Một cách thú vị là sử dụng ngón tay để điền giá trị và dấu của sin, cosin của các góc chính đã được đề xuất bởi học sinh lớp 7 Misha Pervakov từ trường số 2 ở Yegoryevsk, vùng Moscow:

“Chúng ta hãy nhìn vào lòng bàn tay trái và đánh số các ngón tay như thế này: ngón đeo nhẫn - 0, ngón đeo nhẫn - 1, ngón giữa - 2, ngón trỏ - 3, ngón cái - 4. Với các ngón tay cách đều nhau, chúng gần tương ứng với các góc “chính” của hình vuông đầu tiên: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° (Hình 1). Sin của các góc này sẽ bằng một nửa căn bậc hai của số được gán cho ngón tay.”

Ví dụ,

$$\sin 45^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{homер среднего пальца} = \frac{1}{2} \sqrt{3}.$$

Giá trị cosine cũng được tìm theo cách tương tự, chỉ cần đánh số các ngón tay theo thứ tự ngược lại: ngón nào lớn hơn là 0, …, ngón nào trừ đi là 4.

Những giá trị này có thể được tóm tắt trong một bảng dễ điền, được giáo viên L. F. Belov (vùng Dubovka, vùng Volgograd) gửi cho người biên tập.

| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\sin \alpha$ | $\sqrt{0/2}$ | $\sqrt{1/2}$ | $\sqrt{2/2}$ | $\sqrt{3/2}$ | $\sqrt{4/2}$ |
| $\cos \alpha$ | $\sqrt{4/2}$ | $\sqrt{3/2}$ | $\sqrt{2/2}$ | $\sqrt{1/2}$ | $\sqrt{0/2}$ |

42

Bài toán

M841—M845; F853—F857

M841. Chứng minh rằng tích độ dài của các đoạn mà cạnh huyền của một tam giác vuông được chia cho điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp thì bằng diện tích của tam giác này.

M842. a) Chứng minh rằng nếu $\alpha + \beta + \gamma = 0$ thì
$$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = -4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}.$$
6) Các giá trị góc $\hat{A}, \hat{B}$ và $\hat{C}$ của tam giác thỏa mãn điều kiện
$$\frac{\sin \hat{A} + \sin \hat{B} + \sin \hat{C}}{\cos \hat{A} + \cos \hat{B} + \cos \hat{C}} = \sqrt{3}.$$
Chứng minh rằng ít nhất một trong số chúng bằng $60^\circ$.

L. D. Kurlyandchik

M843. Trong tam giác trên, $ABC$ các đường vuông góc $AA_1, BB_1, CC_1$ với mặt phẳng của nó ở một cạnh được khôi phục, có chiều dài bằng với các đường cao tương ứng của tam giác. Chứng minh rằng đường vuông góc rơi từ giao điểm của các mặt phẳng $ABC_1, BCA_1$ và $CAB_1$ lên mặt phẳng $ABC$ rơi tại tâm của đường tròn nội tiếp $ABC$ trong tam giác và có độ dài bằng bán kính của nó.

A. A. Yagubyants

M844. a) Chứng minh rằng mọi số tự nhiên $a$ đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
$$a = a_1 \cdot 1! + a_2 \cdot 2! + ... + a_n \cdot n!,$$
(1)
trong đó $a_k$ là số nguyên, $0 \leq a_k \leq k$, $a_n \neq 0$. (Theo định nghĩa, $k! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k$, $1! = 1$.)
6) * Chứng minh rằng mọi số hữu tỉ $r$, $0 \leq r < 1$ đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
$$r = \frac{b_1}{2!} + \frac{b_2}{3!} + ... + \frac{b_n}{(n+1)!},$$
(2)

43

trong đó $b_k$ là số nguyên, $0 \leq b_k \leq k$, $b_n \neq 0$.
c) Trình bày số $a = 1984$ ở dạng (1) và số $r = 19/84$ ở dạng (2).

V. E. Kolosov

M845*. Đối với $n$ nào trong số $n$ góc, bao gồm bốn ô $1 \times 1$ và một số hình chữ nhật nhất định $4 \times 1$ (Hình 1), người ta có thể dựng một hình đối xứng tâm (một đa giác trên giấy ca rô) không?

V. G. Belov

F853. Các giá đỡ bên trái của thùng chứa, không giống như các giá đỡ bên phải, được chế tạo trên các con lăn (Hình 2), mang lại độ rung không đáng kể (kích thước của các giá đỡ nhỏ). Để di chuyển thùng chứa sang trái, phải tác dụng một lực $F_1$ vào tâm của bức tường bên phải vuông góc với nó. Để di chuyển thùng chứa sang bên phải, nó cần tác dụng một lực $F_2$ vuông góc vào tâm bức tường bên trái của nó. Xác định khối lượng của vật chứa, coi nó là một khối lập phương đồng nhất.

I. I. Vorobiev

F854. Ước tính số lượng trung bình phải áp dụng cho mép của nệm hơi sao cho ở giữa một góc vuông (Hình 3). Nệm không có thanh ngang. Hãy tự mình đặt số lượng cần thiết cho lời giải và các giá trị số khá thực tế của chúng và nhận được kết quả bằng số.

E. I. Palchikov

F855. Một tấm tích điện được vặn hoàn toàn vào một tụ điện phẳng nối với các dải pin có suất điện động $\delta$ song song với các tấm của nó và cách một trong các tấm tụ điện một khoảng $b$ (Hình 4). Tìm lực tác dụng lên tấm vít nếu điện tích của nó là $q$. Bỏ qua lực hấp dẫn. Diện tích của các bản tụ là $S$, khoảng cách giữa chúng là $d$.

V. P. Borodin, A. P. Erisov

F856. Một dòng điện không đổi chạy qua một cuộn dây đốt nóng có điện trở không đổi. Lượng nhiệt trung bình tỏa ra trong cuộn dây trong một giây sẽ thay đổi bao nhiêu phần trăm nếu có dòng điện xoay chiều (hình sin) đồng thời chạy qua nó, có giá trị biên độ bằng 10% dòng điện một chiều?

V. G. Dudnikov

F857. Trên chiếc lon sáng bóng có một vùng phẳng, từ đó một chùm ánh sáng phản chiếu lên màn hình. Chất lỏng đã nguội được đổ vào bình. Tín hiệu phản xạ bị suy yếu rõ rệt. Giải thích hiện tượng đó.

V. G. Dudnikov

45

and supply them with reasonable numerical values yourself and obtain a numerical answer.

E. I. Palchikov

P855. A charged plate is introduced all the way between the plates of a flat capacitor parallel to them at a distance $b$ from one of the plates (see figure Pisc. 4). The capacitor is connected to the poles of a battery of EMF $6$. Find the force acting on the charged plate if its charge is $q$. The weight of the plate is negligible. The area of the plates is $S$, the distance between them is $d$.

V. P. Borodin, A. P. Ershov

P856. Direct current circulates through a heating spiral of constant resistance. What will be the percentage change in the mean amount of heat emitted by the spiral per second if an alternative (sinusoidal) current, whose amplitude is 10% of the direct current’s value, is also sent through the spiral?

V. G. Dudnikov

P857. A shiny can has a dent which reflects light on a screen. A cooled liquid is poured into the can. The reflected signal noticeably weakens. Explain this phenomenon.

V. G. Dudnikov

Lời giải bài toán

M826—M830; F837—F841

Đáp số: a) không, 6) có. Trước tiên, chúng ta hãy lưu ý rằng nếu các số ban đầu là 2, 2, 2 hoặc 3, 3, 3 hoặc nói chung là bất kỳ số nào lớn hơn 1 thì tất cả các số tiếp theo sẽ lớn hơn 1 và số lớn nhất trong mỗi bộ ba mới luôn nhỏ hơn tổng của hai số còn lại 1. Thông báo này cho phép bạn sử dụng ba số cuối để khôi phục tất cả các số trước đó, ngoại trừ số đầu tiên.

Thật vậy, đặt $a, b, c$ ở trong bộ ba để xác định $a \leq b \leq c$. Khi đó $c = a + b - 1$ và bộ ba trước có dạng $a, b, x$. Số lớn nhất trong đó có thể được coi là $b$ (nếu $x > b$ thì $x = a + b - 1 = c$). Nhưng sau đó $b = a + x - 1$. Do đó, bộ ba $a, b, c$ với $a \leq b \leq c$ thu được từ bộ ba $a, b, b - a + 1$.

Sử dụng quy tắc này, chúng tôi sẽ khôi phục tất cả các mục trên bảng, bắt đầu từ cuối:

(17, 1967, 1983) $\leftarrow$ (17, 1967, 1951) $\leftarrow$ (17, 1935, 1951) $\leftarrow$ … $\leftarrow$ (17, 15, 31) $\leftarrow$ (17, 15, 3) $\leftarrow$ (13, 15, 3) $\leftarrow$ … $\leftarrow$ (5, 7, 3) $\leftarrow$ (5, 3, 3).

Theo quy luật của chúng ta, bộ ba 5, 3, 3 phải đứng trước bộ ba 1, 3, 3 chứa 1, điều này là không thể. Do đó, 5, 3, 3 là bộ ba thu được ở bước đầu tiên. (Rõ ràng là các bộ ba còn lại không thể xuất hiện ở bước đầu tiên.) Rõ ràng là bộ ba 5, 3, 3 có thể thu được từ 3, 3, 3, nhưng không thể thu được từ 2, 2, 2.

A. Berzin

M827. Được biết, 4 cái đồng bộ ở Hình 1 có kích thước bằng nhau.
a) Chứng minh rằng ba cấp độ màu đỏ trong hình này cũng có kích thước bằng nhau.

Chúng ta sẽ cần phần ứng dụng sau:

Bổ đề. Gọi $P$ là một điểm trên cạnh KL của tam giác KLM. Khi đó tỉ số diện tích của các tam giác MKP và MPL ​​bằng

$$S_{MKP} : S_{MPL} = |KP| : |PL|.$$

(Để chứng minh, chỉ cần biết rằng

46

6. Tìm diện tích của một hình tứ giác nếu diện tích của một hình tam giác màu xanh là 1.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

M828 *. Có thể trong các ô của một tờ giấy ca rô vô hạn sao cho tổng các số trong mỗi hình chữ nhật có kích thước 4 × 6 ô, các cạnh dọc theo đường lưới, bằng a) 10; b) 1?

a) Chúng ta hãy giới thiệu ký hiệu như trong Hình 1. Lưu ý rằng các tam giác $A_0C_0$ và $AA_0C_1$ có kích thước bằng nhau (mỗi tam giác được tạo thành từ tam giác $AA_0B_0$ và một trong các tam giác đồng bộ). Các tam giác này có chung đáy $AA_0$ nên các đỉnh $C_0$ và $C_1$ của chúng bằng đường thẳng $AA_0$, tức là các đường thẳng $AA_0$ và $C_1C_0$ song song. Tương tự như vậy, $BB_0 \parallel A_1A_0$ và $CC_0 \parallel B_1B_0$. Chúng ta hãy nhìn vào hình thang $AA_0C_0C_1$ (Hình 3). Các đường chéo của nó cắt nhau tại điểm $B_0$ và phần tiếp theo của các cạnh - tại điểm $B$. Các điểm này nằm trên đường nối trung điểm $D$ và $E$ của các đáy $AA_0$ và $C_1C_0$ của nó. (Thật vậy, $B_0$ là tâm đồng nhất của các tam giác $B_0AA_0$ và $B_0C_0C_1$, và $B$ là tâm đồng nhất của các tam giác $BAA_0$ và $BC_1C_0$.) Và vì đường thẳng này song song với $A_1A_0$ nên điểm $B_0$ là trung điểm của đoạn thẳng $A_1A$. Theo bổ đề thì nó tuân theo $S_{AB_0C_0} = S_{B_0A_1C}$. Do đó (xem Hình 1), diện tích của tứ giác $AB_0A_0B_1$ và $CA_0C_0A_1$ bằng nhau. Người ta chứng minh tương tự rằng hình tứ giác màu đỏ thứ ba $BC_0B_0C_1$ có diện tích bằng nhau.

Hãy suy nghĩ xem liệu tuyên bố về điểm này bài toán có còn đúng hay không nếu chúng ta yêu cầu diện tích của chỉ ba tam giác đồng bộ góc bằng nhau.

6. Đáp số: diện tích tứ giác màu đỏ $s = 1 + \sqrt{5}$. Để tạo phương trình tìm diện tích s ban đầu, chúng ta biểu diễn mối quan hệ $|BC_1|:|C_1A|$ theo hai cách bằng cách sử dụng bổ đề:

$$|BC_1|:|C_1A| = S_{CBC_1}:S_{CC_1A} = (2s+2):(s+2) = S_{B_0BC_1}:S_{B_0C_1A} = (s/2):1.$$

(Giải thích ở đây chỉ yêu cầu đẳng thức $S_{B_0BC_1} = s/2$. Như đã trình bày ở trên, điểm $E$ là trung điểm của $C_0C_1$ (Hình 3). Từ đây, một lần nữa sử dụng bổ đề, dễ dàng suy ra rằng các tam giác $B_0BC_1$ và $B_0BC_0$ có kích thước bằng nhau. Và chúng cùng nhau tạo thành một tứ giác $BC_0B_0C_1$ có diện tích s). Vậy s thỏa mãn phương trình:

$$s^2 - 2s - 4 = 0,$$

từ đâu $s = 1 + \sqrt{5}$.

B. I. Chinik, V. N. Dubrovsky

◆

Đáp số: a), 6) có thể. Trong cả hai trường hợp, sự sắp xếp mong muốn có thể đạt được bằng cách kết hợp hai cách sắp xếp đơn giản hơn.

a) Đặt các đơn vị trên các đường chéo song song của lưới, cách nhau 4 ô (theo chiều ngang hoặc chiều dọc) và đặt số 0 vào các ô còn lại (Hình 1, a). Khi đó tổng các số trong mỗi hình chữ nhật $4 \times 6$ sẽ bằng 6. Đây là cách sắp xếp đầu tiên. Ô thứ hai cũng được sắp xếp tương tự nhưng trong đó khoảng cách giữa các đường chéo với đơn vị là 6 ô (Hình 1, 6); đối với nó, tổng các số trong bất kỳ hình chữ nhật $4 \times 6$ nào đều bằng 4. Bây giờ, hãy chồng một cách sắp xếp này lên một cách sắp xếp khác và cộng các số rơi vào một ô; rất indo, đối với sự sắp xếp cuối cùng, tổng các số được coi là bằng 10.

6. Chúng ta hãy sắp xếp tương tự như ở điểm a), nhưng trên các đường chéo cùng với các đơn vị - 6 ô (Hình 1, 6); tổng các số trong bất kỳ hình chữ nhật nào $4 \times 6$ sẽ bằng 4. Bây giờ, hãy chồng cách sắp xếp này lên cách sắp xếp khác và cộng các số rơi vào một ô; rất indo, đối với sự sắp xếp cuối cùng, tổng các số được coi là bằng 10.

Chúng tôi mời độc giả, sử dụng những ý tưởng tương tự, để chứng minh phát biểu tổng quát sau: trong các ô của một mạng phẳng vô hạn, các số nguyên có thể được sắp xếp sao cho tổng các số trong bất kỳ hình chữ nhật nào có kích thước cho trước sẽ có cùng một giá trị cho trước. Điều này cũng đúng đối với