Kvant 1984, số 8 · Trang

KEANT
8
1984
Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Khoảng 1200 năm trước, nhà khoa học, nhà thiên văn học và nhà toán học vĩ đại nhất thời Trung cổ Muhammad ibn Musa al-Khorezmi đã ra đời.
Tầm quan trọng trong các công trình của ông được chứng minh bằng việc từ “đại số” xuất phát từ tên tác phẩm toán học chính của ông, và từ “thuật toán” là một sửa đổi từ tên của ông “al-Khorezmi”.
Thông tin chi tiết hơn về al-Khorezmi được viết trong số báo này.

TRONG PHÒNG:

2. A. B. Miedal. Lý thuyết lượng tử được tạo ra như thế nào
3. L. A. Ashkinazi. Sự cố điện là gì
4. L. E. Sadovsky, A. L. Sadovsky, O. L. Sadovskaya. năm bộ
5. G. I. Grieva, G. V. Rosenberg. Những công việc và mánh khóe của máy sấy tóc Morgana
6. Z. D. Ustanov, I. Khodzhiev. Al-Khwarizmi
7. A. P. Ershov. Ở quê hương của nhà khoa học vĩ đại
   A. B. Migdal. How quantum theory was created
   L. A. Ashkinazi. What is electric breakthrough
   L. E. Sadovski, A. L. Sadovski, O. L. Sadovskaya. Five sets
   G. I. Grineva, G. V. Rozenberg. Deeds and misdeeds of the fairy queen Morgana
   Z. D. Usmanov, I. Khodjiev. Al-Horezmi
   A. P. Ershov. In the great scientist’s homeland

Phòng thí nghiệm «Kvant»
32. A. A. Varlamov. Từ kinh nghiệm cũ
Kvant’s lab
A. A. Varlamov. From old experiments

vòng tròn toán học
35. Chấn Quang. Nếu khối lượng được thay thế bằng diện tích…
Mathematics circle
Tran Quang. If masses are replaced by areas…

tin tức khoa học
38. Loại phân rã phóng xạ mới
Science news
A new kind of radioactive decay

«Kvant» cho học sinh nhỏ
39. Bài toán
40. L. Carroll. Một biển nước mắt.
Kvant for younger school children
Problems
L. Carroll. The pool of tears

Vấn đề «Kvant»
44. Bài toán M876 — M880; F888 — F892
47. Lời giải bài toán M861 — M865; F873 — F877.
Kvant’s problems
Problems M876 — M880; P888 — P892
Solutions M861 — M865; P873 — P877

Thế vận hội
56. A. S. Merkuryev, D. K. Faddeev. Olympiadam Leningrad - 50 năm
Olympiads
A. S. Merkuriev, D. K. Faddeev. 50 years of Leningrad Olympiads

Thông tin
59. Trường thông tin tại NSU
60. Trường thể chất buổi tối tại Đại học quốc gia Moscow
Information
Novosibirsk university correspondence school
Moscow university evening physics school

Trò chơi và câu đố
61. A. I. Klimanov. Xếp giấy Origami
Games and puzzles
A. I. Klimanov. Origami

Đáp số, gợi ý, lời giải
55. bìa của chúng tôi
Pha trộn (34, 58)
Trang cờ vua
Kasparov - người chiến thắng trong các trận đấu của ứng cử viên (trang bìa thứ 3)
Answers, hints, solutions
Our cover page
Miscellaneous (34, 58)
The chess page
Kasparov — winner of the challenger’s matches (3rd cover page)

2

Lý thuyết lượng tử được tạo ra như thế nào

Viện sĩ A. B. MIGDAL

Làm thế nào một lý thuyết phát sinh? Đầu tiên, nhờ phân tích kiến ​​thức lý thuyết và thực nghiệm tích lũy, một ý tưởng vật lý sâu sắc và rõ ràng xuất hiện, chẳng hạn như “chuyển động của các thiên thể và sự rơi của một hòn đá xuống Trái đất đều do cùng một nguyên nhân” hoặc “thời gian chảy khác nhau trong một hệ thống báo cáo đứng yên và trong một hệ thống chuyển động đều”. Từ đồng yên đầu tiên Newothen đã suy ra lý thuyết về lực hấp dẫn của mình, từ đồng yên thứ hai - Einstein - lý thuyết về lực hấp dẫn tương đối. Với lý thuyết vật lý quan trọng nhất của thời đại chúng ta - lý thuyết lượng tử - mọi thứ hoàn toàn ngược lại: kết quả chính của nó nảy sinh trước khi ý nghĩa của chúng trở nên rõ ràng!

Sử dụng ví dụ về việc tạo ra lý thuyết lượng tử, người ta có thể thấy trên thực tế các đặc điểm lý thuyết đa tự nhiên của vật lý. Đó là một chuyển động trong bóng tối, ngẫu nhiên, thông qua những suy đoán mơ hồ, thường không được xác nhận và dẫn đến sai lầm, nhưng vận may này đã lộ diện; Các nhà khoa học hóa ra là những người có tầm nhìn xa - những khẳng định của họ, được xây dựng trên những nền tảng không vững chắc, đã được xác nhận chính xác nhất sau đó.

Chúng ta hãy thử theo dõi và cảm nhận động thái phức tạp và khác thường này thực sự nhé.

Tất cả bắt đầu với một thảm họa

Nghịch lý dưới cái tên u ám “Thảm họa Rayleigh-Jeans” đến với các nhà vật lý như một di sản từ thế kỷ trước. Nó nảy sinh khi các định luật vật lý thống kê được áp dụng cho bức xạ cơ thể cân bằng, được lắp đặt bên trong một chiếc hộp có các bức tường được làm nóng. Bức xạ này là sóng điện từ đứng.

Vật lý thống kê đã thiết lập một định luật tuyệt vời về “sự phân bố đều năng lượng”: ở trạng thái cân bằng ấm đối với mỗi “bậc tự do”*)

*) Số bậc tự do là số tọa độ độc lập xác định trạng thái của hệ. (Ghi chú của biên tập viên)

3

có cùng năng lượng. Do đó, đối với mỗi dao động có thể có sẽ có một năng lượng bằng $kT$ (k là hằng số Boltzmann, $T$ là nhiệt độ tuyệt đối). Nếu một hệ có thể có nhiều dao động thì hệ đó sẽ hấp thụ rất nhiều năng lượng. Tổng năng lượng của hệ dao động bằng $NkT$, trong đó $N$ là số dao động có thể xảy ra.

Hãy xem có bao nhiêu sóng điện từ đứng có thể hình thành trong hộp. Để phát sinh sóng đứng, một số lượng nguyên các bán sóng phải đi từ tường này sang tường khác (Hình 1). Bước sóng càng ngắn thì càng có nhiều cơ hội để thực hiện điều kiện này. Do đó, số lượng sóng dừng có thể tăng khi bước sóng giảm - và do đó, với tần số tăng. Nếu mỗi dao động chiếm cùng một năng lượng và số lượng dao động tăng khi tần số tăng thì cường độ bước sóng thay đổi - và do đó, với tần số tăng. Trong khi đó, các thí nghiệm chính xác đã chứng minh rằng cường độ bước sóng thay đổi - và do đó, theo sự tăng tần số. Nhưng điều quan trọng là tổng số sóng dừng có thể có trong hộp hóa ra là vô hạn, và chúng phải hấp thụ toàn bộ năng lượng của các bức tường, bất kể chúng ta cung cấp cho chúng bao nhiêu nhiệt. Đây thực sự sẽ là một thảm họa - tất cả các vật thể xung quanh sẽ phải nguội đi, nhiệt của chúng sẽ được truyền vào một “thùng bức xạ không đáy”.

Năm 1900, Max Planck đã tìm ra cách duy nhất để giải thích nghịch lý được mô tả. Ông đề xuất rằng các hạt phát ra sóng có tần số $v$ có thể thay đổi năng lượng của chúng không phải một cách gián đoạn mà chỉ ở những bước nhảy - theo những phần rời rạc $hv$. Hệ số tỷ lệ $h$ được đưa vào khoa học với tên gọi “hằng số Planck”.

Các bức tường được làm nóng của hộp có thể được hình dung như một tập hợp các hạt phát ra sóng điện từ có tần số khác nhau. Theo giả thuyết của Planck, những nguồn phát này không thể phát ra sóng điện từ có năng lượng lớn hơn năng lượng nhiệt trung bình $kT$ đến trên mỗi hạt. Các bộ phát tần số cao dường như bị “đóng băng” ở trạng thái có năng lượng tối thiểu. Để xuất hiện những nguồn phát như vậy, chúng phải truyền năng lượng $hv$, lớn hơn nhiều so với năng lượng nhiệt. Nhưng theo các định luật vật lý thống kê, sự kiện này khó xảy ra nên chỉ một phần nhỏ các nguồn phát như vậy được tạo ra và cường độ ánh sáng phát ra từ chúng là nhỏ. Đây là cách mà luật thực nghiệm của Wien tìm ra lời giải thích cho nó.

Planck thu được công thức mô tả kết quả thí nghiệm về sự phân bố cường độ bức xạ ở mọi tần số ở các nhiệt độ thành khác nhau; bạn chỉ cần chọn đúng CONSTANT $h$. Trị số của đại lượng này hóa ra bằng $h=6,62 \times 10^{-34}$ J s. Người ta giải thích tại sao những thay đổi đột ngột về năng lượng của các nguồn phát không được thay thế khi tuổi thọ tăng lên - một phần năng lượng của hiện tại rất nhỏ và sự thay đổi của nó dường như là liên tục.

Ánh sáng là gì?

Các thí nghiệm nổi tiếng về giao thoa và nhiễu xạ chứng minh rằng ánh sáng là sóng. Newton, khi giải thích tốc độ truyền ánh sáng hữu hạn, cho rằng một vật thể phát sáng phát ra các hạt - tiểu thể - truyền ánh sáng. Nhưng ông không thể giải thích hiện tượng giao thoa và nhiễu xạ theo cách này, và lý thuyết hạt ánh sáng đã bị khai tử trong một thời gian dài.

Năm 1905, Albert Einstein, giải thích hiện tượng hiệu ứng quang điện - sự biểu hiện của electron từ các phân tử khí khi chiếu tia cực tím -

4

thể tích*)—sẽ kết luận rằng sóng không thể tạo ra sự tập trung năng lượng ở electron phía dưới đến mức nó có thể bị kéo ra khỏi quỹ đạo. Tuy nhiên, các đặc tính của hiệu ứng quang điện được quan sát đầy đủ nếu chúng ta cho rằng ánh sáng là một tập hợp các hạt - photon, khi tương tác với các electron sẽ tạo ra chúng ra bên ngoài**).

Einstein đã chỉ ra rằng khi một lượng tử ánh sáng xuất hiện hay biến mất thì động lượng xuất hiện hay biến mất; do đó, photon có động lượng $p$, liên hệ với bước sóng ánh sáng bởi sự tương ứng $p=h/\lambda$. Năng lượng của sóng có tần số nhất định chỉ có thể thay đổi theo phần $hv$, giống như năng lượng của nguồn phát trong lý luận của Planck. Vì vậy, sự rời rạc mở rộng sang sóng điện từ.

Lý thuyết về hiệu ứng quang điện đã phần nào khẳng định lý thuyết hạt của Newton. Vậy ánh sáng là gì - hạt hay sóng? Lúc đó không ai có thể giải thích được điều này, và sự mâu thuẫn vẫn như một cái gai.

Quy tắc lượng tử hóa

Năm 1913, Niels Bohr đã thiết lập những quy tắc bí ẩn đến mức ông gọi chúng là “các định đề” – những giả định không thể chứng minh được.

Bohr đã tiến thêm một bước nữa trên con đường chưa biết mà Planck và Einstein đã đi - ông mở rộng tính rời rạc cho nguyên tử, cho rằng không phải tất cả các quỹ đạo của electron đều được phép, mà chỉ một số thôi. Theo mô hình hành tinh của nguyên tử tồn tại trong vật lý cổ điển, một electron, quay quanh hạt nhân, chuyển động với gia tốc ly tâm và do đó, sẽ phát ra sóng điện từ - xét cho cùng, theo định luật điện động lực học cổ điển, chỉ có một điện tích chuyển động thẳng với tốc độ không đổi mới không phát ra. Electron phát ra, liên tục mất năng lượng, sẽ rơi vào hạt nhân.

Theo định luật Bohr đưa ra, một electron có thể phát ra lượng tử

*) Trong SGK lớp 10 có xét trường hợp hiệu ứng ảnh bằng kim loại. (Lưu ý ped.)
**) Với hiệu suất quang học, một electron hấp thụ một photon, photon này truyền năng lượng và động lượng cho nó. (Lưu ý ped.)

ánh sáng - phoron - chỉ khi chuyển từ quỹ đạo này sang quỹ đạo khác. Có một quỹ đạo có năng lượng thấp nhất có thể và ở trạng thái này, electron tồn tại vô thời hạn - nó không có nơi nào để đi. Đây là cách đảm bảo sự ổn định.atoma.

Ý nghĩa của các quy luật lượng tử hóa vẫn chưa rõ ràng, nhưng lý thuyết của Bohr đã mô tả tất cả các tính chất quan trọng nhất của nguyên tử, ví dụ, nguyên tử phát ra ánh sáng từ những phần riêng biệt. Bohr biểu thị tần số ánh sáng do nguyên tử phát ra dưới dạng điện tích của hạt nhân, điện tích và khối lượng của electron và hằng số Planck.

Một con đường nữa

Sự kiện vốn được định sẵn để giải thích ý nghĩa hành động của Bohr xảy ra vào năm 1923. Nhưng lúc đầu người ta chỉ có cảm giác rằng mình đã chạm đến một nơi lớn hơn - vấn đề sóng-hạt.

Nhà vật lý người Pháp Louis de Broglie đề xuất rằng electron thực ra không phải là một hạt, mà là một sóng, hay đúng hơn, vừa là hạt vừa là sóng… Các hạt phải mô tả một quá trình sóng đặc trưng bởi bước sóng $\lambda$ liên quan đến động lượng của hạt $p$ giống như bước sóng của một photon liên quan đến động lượng của nó.

Bốn năm sau, các nhà vật lý người Mỹ Davisson và Germer, và độc lập với họ, Thomson* người Anh) đã phát hiện ra hiện tượng nhiễu xạ electron trên tinh thể (xem Hình 3). Vì vậy, electron thực sự là một sóng!

Điều này khẳng định không chỉ đề xuất đáng ngạc nhiên của de Broglie mà còn xác nhận cả công thức chính xác của ông về bước sóng electron. Lịch sử lặp lại theo trình tự ngược lại: ánh sáng lúc đầu được nghiên cứu dưới dạng sóng, sau đó là tập hợp các hạt và electron - ngược lại.

Cơ chế mới

Năm 1926, Erwin Schrödinger, sau khi khái quát hóa hợp đồng de Broglie khéo léo cho trường hợp electron chuyển động không phải trong không gian tự do mà trong một trường bên ngoài, chẳng hạn như trong trường Coulomb của hạt nhân, ông đã thu được một phương trình cho hàm mô tả sóng

*) Con trai của nhà vật lý nổi tiếng người Anh J. J. Thomson, người đầu tiên nghiên cứu về điện tử. (Lưu ý ped.)

5

tính chất của hạt mà ông gọi là hàm sóng.

Nếu chúng ta viết phương trình này trong không gian không có trường, hàm sẽ mô tả một quá trình sóng có bước sóng de Broglie, tức là sóng có độ dài không đổi. Trong trường ngoài, độ dài không cố định, nó thay đổi từ điểm này sang điểm khác.

Hóa ra là phương trình lời giải Schrödinger cho nguyên tử hydro thu được hoàn toàn phù hợp với các quy tắc lượng tử hóa của Bohr, không phải cho tất cả các năng lượng, mà chỉ cho một số giá trị rời rạc nhất định trùng với các giá trị tuân theo quy tắc Bohr. Trạng thái đứng yên - ổn định - của một electron trong nguyên tử hydro - quỹ đạo Bohr có thể chấp nhận được - theo ngôn ngữ của phương trình Schrödinger có nghĩa là thu được sóng đứng và sóng dừng thu được với điều kiện là một số nguyên của sóng de Broglie phù hợp với vùng chuyển động của electron.

Đây là ý nghĩa của các quy luật lượng tử hóa: sóng đứng chỉ có thể được hình thành ở các giá trị năng lượng rời rạc của electron trong nguyên tử, khi một, hai hoặc bất kỳ số nguyên sóng nào phù hợp với vùng chuyển động (Hình 4).

Ví dụ đơn giản

Giả sử rằng hạt chuyển động giữa các bức tường không thể xuyên thủng nằm ở khoảng cách $l$ với nhau. Tại mỗi bức tường, hàm sóng phải triệt tiêu, nghĩa là nó biến thành hàm sóng ở bên ngoài, bằng 0, vì hạt không vượt ra ngoài các bức tường. Do đó, để đạt được trạng thái dừng với số $n$, một số nguyên nửa sóng phải nằm trong độ dài $l$: $2l/\lambda=n$. Vì vậy, ở trạng thái đầu tiên, khi đặt một vòi hoa sen có bước sóng giữa các bức tường, hàm sóng trên các bức tường bằng 0 và có cực đại ở giữa. Sóng dừng có thể được biểu diễn dưới dạng hai sóng chạy hướng về nhau. Do đó, động lượng của sóng đứng bằng không. Giá trị tuyệt đối của xung giống với giá trị tuyệt đối của sóng truyền tương ứng và liên hệ với độ dài của nó bằng sự tương ứng de Broglie: $p=h/\lambda=nh/2l$. Hãy cùng tìm ra năng lượng $E=p^2/2m$.*)

Từ đây dễ dàng thu được công thức $E=\pi^2\hbar^2n^2/2ml^2$. Vì vậy, trong trường hợp đơn giản này, chúng tôi đã tìm thấy năng lượng.

Vì vậy, ở giai đoạn đầu phát triển của cơ học lượng tử, tính rời rạc của các giá trị mới xuất hiện của một số đại lượng vật lý đã được xác lập; một trong những thang đo chính của tự nhiên đã được tìm thấy - hằng số Planck, hằng số này phân biệt vùng của hiện tượng mô tả các hiện tượng vật lý cổ điển và các hiện tượng của bản chất lượng tử**); rõ ràng là các hạt đóng vai trò là chất mang cả tính chất sóng và hạt; một phương trình đã được tìm thấy cho hàm sóng mô tả trạng thái của hệ lượng tử.

Nhưng câu hỏi chính vẫn chưa được giải quyết: hàm sóng, công cụ chính của lý thuyết là gì?

Năm 1905, Einstein đã lật đổ những quan niệm truyền thống về không gian và thời gian, sau đó các công thức mà Lorentz thu được trước đó tự nhiên nảy sinh và được hiểu. Một bước quan trọng không kém phải được thực hiện trong cơ học lượng tử. Vật lý không chỉ là những công thức mà còn là sự hiểu biết sâu sắc về các hiện tượng vật lý, được làm giàu bằng ngôn ngữ toán học.

*) Mối liên hệ giữa năng lượng $E$ và động lượng của hạt $p$ thu được từ hệ phương trình: $E=mv^2/2$ và $p=mv$. (Lưu ý ped.)
**) Các định luật của cơ học lượng tử chuyển thành định luật cổ điển ở giới hạn $h \rightarrow 0$. (Lưu ý ped.)

6

Phối hợp hay tốc độ?

Năm 1927, một trong những người sáng tạo ra cơ học lượng tử, Werner Heisenberg, đã suy ngẫm về các khái niệm về vị trí và vận tốc của hạt. Anh ấy đã thực hiện các thí nghiệm tưởng tượng và nhận ra rằng không thể thay đổi chính xác tọa độ và tốc độ cùng một lúc - bạn thay đổi tọa độ của một electron càng chính xác thì tốc độ của nó càng ít chắc chắn…

Để thay đổi tọa độ, bạn cần nhìn qua kính hiển vi vào một electron được chiếu sáng bởi ánh sáng sóng ngắn. Trong trường hợp này, tọa độ electron sẽ bị thay đổi với sự không chắc chắn về thứ tự bước sóng của ánh sáng được sử dụng*). Tuy nhiên, khi tương tác với sóng, electron sẽ bị giật lại. Động lượng của nó thay đổi theo giá trị theo thứ tự động lượng của một photon. Và xung lực này, như chúng ta đã biết, bằng $h/\lambda$. $\lambda$ càng nhỏ thì tọa độ sẽ được thay đổi càng tốt, nhưng hàm ý sẽ càng không chắc chắn.

Vì vậy độ bất định vị trí là $\Delta q \sim \lambda$ và độ bất định động lượng là $\Delta p > h/\lambda$. Nhân biểu thức của $\Delta p$ với $\Delta q$, ta được

$$\Delta q \cdot \Delta p > h.$$

Đây là sự tương ứng bất định Heisenberg.

Sau khi thực hiện nhiều thí nghiệm tưởng tượng tương tự, Heisenberg đi đến kết luận rằng đối với vi điện tử có một hạn chế cơ bản mà tự nhiên áp đặt lên khái niệm tọa độ và động lượng. Vật lý cổ điển không biết đến hạn chế này; nó không đưa ra những thay đổi trong mô tả các vật thể lớn do độ nhỏ của $h$.

Đặc biệt cơ học lượng tử là không thể nghiên cứu tính chất của các vật thể vi mô bằng cách trừu tượng hóa từ phương pháp ứng dụng. Tùy thuộc vào nó, electron biểu hiện dưới dạng sóng hoặc hạt. Tất nhiên, có những tính chất không phụ thuộc vào phương pháp ứng dụng: khối lượng, điện tích, spin hạt**)…

Độ không đảm bảo cơ bản của một số đại lượng là hệ quả của việc áp dụng các khái niệm cổ điển vào việc mô tả các đối tượng không chắc chắn. Nhưng điều này là không thể tránh khỏi - xét cho cùng, việc thay đổi các nhạc cụ phải đưa ra những kết quả nhất định và theo nghĩa này, chúng nhất thiết phải là cổ điển. Phải chăng điều này có nghĩa là mô tả của chúng ta về các đặc tính khách quan của các vật thể vi mô là mơ hồ và nhập nhằng? Không, ngôn ngữ của vật lý cổ điển, được nói bằng phương tiện giao tiếp, trong đó chúng ta hình thành suy nghĩ, cho phép chúng ta khám phá đầy đủ các đặc tính lượng tử của các vật thể vi mô.

Cơ học lượng tử cuối cùng đã giúp loại bỏ mảnh vụn và áp dụng ý tưởng về electron dưới dạng hạt và sóng. Những sinh vật thần thoại trong truyện cổ tích - nhân mã, người ngựa - trong một tình huống, họ đặt câu hỏi về trí tuệ và lòng nhân từ của con người, trong một tình huống khác, họ thể hiện quyền bạo lực và sự không khoan nhượng của động vật; một trong số họ nuôi dưỡng anh hùng, những người khác làm hại họ. Electron sóng hạt có thể là người, ngựa hoặc ngựa, tùy theo tình huống, tùy theo câu hỏi mà thí nghiệm đặt ra.

Ý nghĩa vật lý của hàm sóng

Hãy quay lại trải nghiệm. Hãy để các electron rơi vào màn hình với câu trả lời. Hãy đặt một số tấm nhựa ảnh ở xa phía sau màn hình. Một electron chạm vào nó sẽ “làm sáng” hạt nhũ tương và tọa độ của nó được xác định chính xác theo kích thước hạt. Do nhiễu xạ, một chùm electron sẽ chiếu sáng một vòng tròn có bán kính $R$, lớn hơn đáng kể so với bán kính phản ứng. Nếu bạn giảm cường độ của chùm tia điện tử sao cho mỗi phút có một electron chạm vào màn hình, thì kiểu nhiễu xạ sẽ không thay đổi, bạn chỉ cần đợi lâu hơn để nó xuất hiện. Điều này có nghĩa là một electron phải được ấn định xác suất đi vào vị trí này hoặc vị trí khác trong nhựa quang…

Phân tích những thí nghiệm như vậy cho phép Max Born vào năm 1926 giả định rằng bình phương của hàm sóng xác định xác suất của một giá trị cụ thể của tọa độ hoặc động lượng của electron, tùy thuộc vào loại thí nghiệm được thực hiện.

7

Điều gì đã giúp bạn đi đến những kết luận này? Chúng ta hãy nhớ rằng lý thuyết về hiện tượng sóng của ánh sáng - giao thoa và nhiễu xạ - đã được phát triển rất lâu trước phương trình Maxwell*), trước khi người ta hiểu được bản chất điện từ của ánh sáng. Người ta chỉ cho rằng nguồn sáng phát ra các sóng không xác định được bản chất và cường độ ánh sáng tỷ lệ thuận với bình phương của giá trị dao động. Trong khái niệm hiện đại, điện trường và từ trường dao động theo sóng ánh sáng trong thời gian và không gian, và cường độ ánh sáng tỉ lệ với bình phương của chúng. Nhưng hầu hết mọi biểu hiện sóng của ánh sáng đều bị ràng buộc bất kể bản chất của nó là gì. Cũng là điều tự nhiên khi các sóng liên kết với các vi hạt cho rằng có một quá trình sóng nhất định và cường độ - trong trường hợp của chúng ta là xác suất - tỷ lệ với bình phương của hàm sóng.

Lúc đầu người ta cho rằng tính chất sóng của hạt tương ứng với một trường vật lý thực, tương tự như trường điện từ trong sóng ánh sáng. Nhưng sau đó, một electron sẽ tạo ra mô hình nhiễu xạ trong một hành động, nhưng nó chỉ làm tối một hạt… Điều này có nghĩa là hàm sóng của một hạt không phải là trường vật lý và không phải là sóng vật lý. Đây là một “làn sóng thông tin”. Nó là một bản ghi về các kết quả tiềm năng của một hoạt động theo dõi cụ thể.

Hàm sóng là mô tả hoàn chỉnh tối đa có thể chấp nhận được về trạng thái của hạt. Nó thay thế trạng thái cổ điển, được xác định bởi tọa độ và vận tốc.

Những tính chất đáng kinh ngạc của hàm sóng dường như không thể chấp nhận được đối với Einstein. Tranh chấp của Einstein với Bohr tiếp tục trong nhiều năm và góp phần làm sáng tỏ cơ học lượng tử. Nếu chúng ta chấp nhận rằng hàm sóng là sóng thông tin chứ không phải trường vật lý thì mọi thứ sẽ đâu vào đấy. Rốt cuộc, nếu hàm sóng là một mô tả xác suất, điều đó có nghĩa là một thí nghiệm được thực hiện ở một nơi có thể thay đổi đột ngột kết quả đo ở một nơi khác. Sự thay đổi niềm tin đột ngột này là do sự rõ ràng, thông tin mới. Chúng tôi đặt câu hỏi: “Xác suất bị điểm kém môn Vật lý là bao nhiêu?” Thêm vào đó là sự làm rõ được xác định bởi các điều kiện, ví dụ: “ở nhà không xem sách giáo khoa”, chúng ta nhận được sự thay đổi đột ngột trong niềm tin, nó sẽ chuyển sang một. Các điều kiện ngược lại: “đã hiểu đầy đủ và cảm nhận được bài học”, đức tin lại nhảy vọt về con số không.

Hãy tưởng tượng rằng hai hạt có tổng động lượng bằng 0 đã tách ra và chúng ta cần tìm động lượng của một trong số chúng ở Moscow, hạt kia ở Bắc Cực. Xác suất sẽ thay đổi đột ngột nếu chúng ta thay đổi động lượng của hạt Moscow và tìm kiếm một động lượng khác, với điều kiện là chúng ta đã biết Moscow. Xác suất phụ thuộc vào câu hỏi chúng ta đặt ra, liệu chúng ta chọn bất kỳ kết quả nào của các thí nghiệm phía bắc hay chỉ những kết quả trong đó xung lực Moscow có giá trị nhất định. Không có gì lạ hay bất thường về điều này.

Cơ học lượng tử không đưa ra đáp số rõ ràng cho một số câu hỏi mà chỉ đưa ra mức độ chắc chắn của kết quả này hay kết quả khác.

Có vi phạm nhân quả không?

Những điều kiện tuyệt vời của cơ học thiên thể trong thế kỷ 17-18; niềm tin sâu sắc bên trong vào tính độc đáo của dự đoán. Tự hào về khả năng xây dựng các tính chất của khoa học, nhà thiên văn học, toán học, vật lý học người Pháp Pierre Laplace đã nói: “Hãy cho tôi tọa độ và vận tốc của mọi hạt, tôi sẽ dự đoán tương lai của Vũ trụ!”

Nhưng chúng ta đã học được rằng không thể xác định chính xác tọa độ và vận tốc của các hạt cùng một lúc! Theo cơ học lượng tử, người ta chỉ có thể chỉ ra xác suất của giá trị này hoặc giá trị khác của tọa độ và vận tốc.

Khoa học đã xử lý được tính chính xác của các dự đoán; Vật lý thống kê cổ điển có thể trả lời câu hỏi: xác suất tìm thấy một hạt khí nóng có năng lượng như vậy là bao nhiêu? Nhưng sự tin cậy này được sinh ra từ sự phức tạp của hệ thống, sự thiếu chính xác trong định nghĩa của trạng thái ban đầu, và đằng sau nó là tính độc đáo của các định luật cơ học.

Trong cơ học lượng tử, sự chắc chắn là có thật, bị quy định bởi sự bất định của các khái niệm cổ điển. Cô ấy là một su-

8

tiến hành ngay cả đối với hệ đơn giản nhất - đối với một hạt. Bản chất xác suất của các định luật Vũ trụ là khám phá chính của cơ học lượng tử.

Theo cơ học lượng tử, một số câu hỏi không thể được trả lời một cách rõ ràng – theo quan điểm của vật lý cổ điển, tính ưu việt đã bị vi phạm! Đúng, chúng ta không thể thiết lập tọa độ và vận tốc của các hạt; chúng ta chỉ có thể thiết lập hàm sóng ở thời điểm ban đầu và tìm thấy nó một cách rõ ràng ở bất kỳ thời điểm nào sau đó.

Chúng ta có thể kêu lên với niềm tự hào giống như Laplace: “Hãy cho tôi hàm sóng của mọi hạt, và tôi sẽ dự đoán được tương lai!”

Vì vậy, theo nghĩa chính xác hơn, tính nguyên gốc được bảo tồn; từ trạng thái ban đầu được xác định đầy đủ tối đa theo nghĩa cơ học lượng tử, trạng thái duy nhất có thể xảy ra rõ ràng theo sau.

Cơ học lượng tử là một lý thuyết đẹp đẽ và nhất quán nội tại, rất phù hợp với kinh nghiệm về vòng tròn của nó.

Ứng dụng cơ học lượng tử vào trường điện từ và các trường vật lý khác

Việc áp dụng cơ học lượng tử vào một hệ dao động quanh vị trí cân bằng – dao động – đã mang lại những hệ quả đáng ngạc nhiên. Nếu một bộ dao động cổ điển - một con lắc hoặc một vật nặng ở bên ngoài - đứng yên ở vị trí cân bằng, thì một bộ dao động lượng tử - tạo ra các dao động “bằng 0”. Động năng và thế năng của những dao động này có mức $h\nu$. Giá trị trung bình của tọa độ dao động là 0, nhưng giá trị trung bình của tọa độ bình phương là khác 0*)! Năng lượng của bộ dao động lượng tử thay đổi theo từng phần $h\nu$ và đối với trạng thái có số $n$ thì bằng $E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)h\nu$.

Nếu chúng ta coi dao động âm thanh của vật rắn là một tập hợp dao động lượng tử, thì hóa ra ở nhiệt độ bằng 0, các nguyên tử của vật rắn không chuyển động - chúng thực hiện dao động bằng không. Điều này được xác nhận chính xác bằng các thí nghiệm về sự tán xạ ánh sáng của chất rắn. Nhưng sóng điện từ trong chân không cũng có thể được coi là một tập hợp các bộ dao động, và do đó, trong chân không, nơi không có hạt hoặc lượng tử, sẽ không tìm thấy dao động nào của trường điện từ.

Chúng ta hãy thử tìm hiểu lượng tử ánh sáng là gì - photon.

Để làm điều này, chúng ta hãy làm một thí nghiệm. Hãy tưởng tượng rằng giữa các màn kim loại song song có một sóng điện từ đứng vuông góc với chúng. Nếu khoảng cách giữa các màn hình là $l$ thì một sóng đứng có độ dài tối đa $\lambda$ sao cho $l = \lambda/2$ có ​​thể giảm giữa chúng. Tần số của sóng $v = c/\lambda$ liên hệ với các giá trị có thể có của năng lượng sóng bằng sự tương ứng $E_n = (n+1/2)h\nu$. Ở trạng thái $n=0$ nhất, không có lượng tử nào giữa các màn hình. Ở trạng thái có $n=1$, một lượng tử có bước sóng $\lambda = 2l$ xuất hiện. Tại $n=2, 3, \dots$ có hai, ba, v.v. lượng tử có bước sóng này.

Đối với các dòng sóng (âm bội) tiếp theo có độ dài $\lambda=l, l/2, \dots$, bạn có thể lặp lại điều tương tự. Đối với sóng thứ $m$ $\lambda_m = 2l/m$. Ở trạng thái này cũng có thể có bao nhiêu góc lượng tử, chúng được xác định bởi mức độ kích thích của một bộ dao động nhất định và biểu tượng $m$ xác định bước sóng, tức là loại bộ dao động. Số $n_m$—số kích thích của bộ dao động—hiển thị số lượng tử thuộc loại này.

Lượng tử thường được đặc trưng không phải bởi bước sóng mà bởi một đại lượng gọi là “vectơ sóng”. Độ lớn của vectơ sóng $k$ chỉ liên quan đến bước sóng: $k = 2\pi/\lambda$. Mỗi $k$ có ​​bộ dao động và lượng tử riêng, số lượng tử này bằng số lượng kích thích của bộ dao động.

Và dao động định kỳ sẽ xảy ra trong sóng di chuyển. Năng lượng sóng cho mỗi vectơ sóng cũng có thể được viết dưới dạng năng lượng của một bộ dao động thay đổi bậc $h\nu$. Nhưng sóng lan truyền có động lượng, nghĩa là lượng tử sẽ có động lượng. Một hạt có khối lượng bằng 0 có động lượng bằng năng lượng của nó chia cho tốc độ ánh sáng: $p = h\nu/c$.

*) Xem bài viết của A. B. Migdal “Tính toán không cần tính toán” trong «Kvant» Số 8 năm 1979. (Ghi chú của biên tập viên)

9

Sự cố điện là gì

L. A. ASHKINAZI

Chúng ta đều biết tại sao điện áp cao được sử dụng trong đường dây truyền tải điện. Thật vậy, điện áp trong đường dây càng cao thì dòng điện trong nó càng thấp (với công suất truyền không đổi) và tổn thất nhiệt càng thấp. Có vẻ như điện áp càng cao thì càng tốt. Tuy nhiên, không tồn tại những đường dây điện có điện áp hoạt động vài triệu vôn và việc phát triển từng đường dây điện tiếp theo có điện áp lớn hơn những đường dây trước đó đòi hỏi chúng ta phải làm nhiều hơn nữa. Rõ ràng có một số tác động làm hạn chế hoạt động của điện áp đường dây điện.

Hóa ra đây chính là hiệu ứng hạn chế “công điện áp” giữa một đám mây và mặt đất (hoặc giữa hai đám mây).

Cả ánh sáng và âm thanh

Một tiếng sấm ngắn - một sự sụp đổ sâu sắc, Ánh sáng Giáng sinh và tầng ozone, Tia chớp xa xôi một lễ hội.

N. Mayorov

Ba dòng này thực tế chứa đựng tất cả thông tin về sét, mặc dù tác giả của chúng là một nhà thơ chứ không phải nhà vật lý.

Vì vậy, sét là một quá trình ngắn hạn (“ngắn”) trong khí quyển với việc tạo ra âm thanh (“sấm”) và ánh sáng (“sự ra đời của ánh sáng”) và xảy ra các phản ứng hóa học (“và ozon”). Trong quá trình này, năng lượng được giải phóng, ít nhất là ở dạng ánh sáng và âm thanh - chúng ta nhìn thấy ánh sáng và nghe thấy âm thanh.

Câu hỏi đầu tiên được đặt ra ngay lập tức là năng lượng này đến từ đâu? Đáp số rất Iden: năng lượng tích tụ trong một tụ điện, các bản tụ là mây và đất, và chất điện môi là không khí giữa chúng. Hãy thử ước tính năng lượng được lưu trữ trong hệ thống này.

Giả sử đám mây có kích thước 3×3 km và khoảng cách giữa đám mây và mặt đất là 1 km. Khi đó điện dung của tụ điện sẽ vào khoảng 0,1 µF (làm thế nào thu được giá trị này?). Mặc dù kích thước bên trong của tụ điện nhưng điện dung của nó rất khiêm tốn - trong các ứng dụng vô tuyến có những tụ điện có điện dung lớn hơn 1000 lần. Đúng, năng lượng của tụ điện tích điện cũng phụ thuộc vào điện áp và giữa đám mây và mặt đất, nó đạt tới 10^9 V. Do đó, năng lượng là khoảng 5·10^10 J (làm thế nào thu được giá trị này?), chẳng hạn, năng lượng này gấp 10^9 lần năng lượng của một tụ điện vật lý tích điện (điện dung 800 μF, điện áp 300 V).

Nhưng để làm được điều này, thậm chí không đáng kể lắm, năng lượng điện

11

Hình 2. Hai giai đoạn của sét: hình thành kênh phóng ion hóa (a) - b) và sự truyền xung dòng điện chính (e) - e)).

ánh sáng và ozone." Khí nở ra - chúng ta nghe thấy tiếng sấm.

Vì lý do nào đó, tia sét thường được vẽ từ trên xuống dưới (đám mây và Zeustrovershents ở trên cùng). Trong khi đó, xung và ánh sáng hiện tại chính bắt đầu ở phía dưới và lan truyền như một làn sóng dọc theo kênh do người dẫn đầu để lại. Tia sét, hay chính xác hơn là pha nhìn thấy được của nó, hóa ra có màu hơi xanh hướng lên trên!

Tóm lại, đây là cơ chế tạo ra sét, hoặc đánh thủng khí và đánh thủng các khoảng trống lớn (Hình 2). Trong quá trình phá vỡ các khoảng trống nhỏ, các quá trình diễn ra trên các điện cực trở nên quan trọng.

Độ bền và sự phân hủy trong chất điện môi rắn và lỏng

Sự phát triển của sự mất ổn định, tức là sự gia tăng thảm khốc của nhiễu loạn nhỏ ban đầu, về mặt tự nhiên, là một quá trình không tĩnh. Từ một quá trình không đầy đủ, chúng ta có quyền mong đợi rằng cuối cùng nó sẽ dẫn đến điều gì đó.

Y. P. Raiser. Cơ sở vật lý hiện đại của quá trình phóng điện khí

Sự phá hủy chất rắn thường tạo ra một lỗ trên mẫu và bị nóng chảy ở các cạnh. Chính vì vậy mà cái tên “điện” ra đời.

sự phân hủy nghiêm trọng." Sự phân hủy chất lỏng nguyên chất có nhiều điểm chung với sự phân hủy chất rắn (tất nhiên là không còn lỗ trống).

Có ba cơ chế phân hủy chất rắn và chất lỏng chính.

Nếu một chất bao gồm các ison (các nguyên tử được liên kết bằng liên kết ion) thì một điện trường có thể phá vỡ các liên kết này. Với cơ chế như vậy, năng lượng của liên kết càng cao thì quá trình điện càng cao. Thật vậy, một mô hình như vậy được quan sát thấy, ví dụ, đối với các tinh thể ion (Hình 3). Sau đó, điều sau đây xảy ra. Đầu tiên, nó di chuyển qua chất này, phá hủy các liên kết hóa học và tạo ra các ion tự do mới, các ion này ngay lập tức bắt đầu thực hiện “công việc bẩn thỉu” của mình. Thứ hai, tất cả các ethion lấy năng lượng từ trường và truyền cho chất đó (hãm lại khi va chạm). chất này nóng lên, tan chảy và bay hơi, dẫn đến sự phân hủy thành hơi. Thật khó để phân biệt cái gì sớm hơn và cái gì muộn hơn - tất cả các quá trình này xảy ra đồng thời. Và chúng kết thúc - tùy thuộc vào công suất của nguồn điện và điện áp đánh thủng - bằng một tiếng tách nhẹ.

12

tiếng gầm hoặc tiếng gầm (nếu sự cố ở hơi nước là giai đoạn cuối cùng thì tiếng gầm tất nhiên là mở, nhưng nếu nó không dẫn đến sự cố ở hơi nước?).

Cơ chế tiếp theo rất giống với cơ chế trước, nhưng ở đây các nguyên tử được gia tốc, ion hóa, neon và electron được chọn lọc và giải phóng năng lượng. Rõ ràng là một cơ chế như vậy sẽ diễn ra, ví dụ, trong các chất bao gồm các nguyên tử giống hệt nhau, nghĩa là trong các nguyên tố tinh khiết. Sự cố trong trường hợp này kết thúc theo cùng một cách, nhưng nó bắt đầu, một cách tự nhiên, khác - cần có một electron tự do để bắt đầu quá trình. Có nhiều lý do tại sao nó có thể tồn tại trong một chất: sự hiện diện của tạp chất, hiện tượng gần điện cực, v.v.

Cuối cùng, cơ chế sự cố thứ ba được gọi là sự mất ổn định của điện cực. Sự bất ổn là gì và theo biểu đồ, nó phát triển như thế nào? Sự bất ổn trong vật lý nói chung cũng giống như sự bất ổn trong cơ học - một độ lệch nhỏ so với trạng thái cân bằng tăng lên (một quả bóng nằm trên đỉnh một quả cầu, bị lệch một chút, không quay trở lại mà lăn xa hơn). Trong trường hợp này, sự mất ổn định phát sinh như sau. Điện trở của chất cách điện tuy cao nhưng vẫn không phải là vô hạn. Một số dòng điện đi qua nó, và do đó chất cách điện nóng lên. Khi bị nung nóng, điện trở của chất cách điện giảm (giải số lượng hạt mang điện tự do -

Hình 3. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc điện năng của tinh thể ion nguyên vẹn vào năng lượng liên kết của mạng tinh thể.

*) Sự hấp thụ (từ tiếng Latin sorbeo - hấp thụ) - sự hấp thụ bởi chất rắn hoặc chất lỏng của bất kỳ chất nào từ môi trường.

13

Hình 4. Sự cố bề mặt.

một quá trình như vậy: lực tĩnh điện thu hút điện cực này sang điện cực khác xé ra một hạt gắn yếu vào điện cực (bụi, vết khía sau quá trình xử lý cơ học, tinh thể được ngăn cách bởi một vết nứt vi mô). Phần bị rách đi qua khe hở và khi chạm vào điện cực đối diện, nó sẽ bốc hơi. Các hạt trong hơi của vật liệu gây ra sự cố.

Và một lần nữa - đường dây điện

Rõ ràng, đã đến lúc phải tạo điều kiện để phát triển nghiên cứu cơ bản và kỹ lưỡng hơn về đổi mới chất cách điện.

J. Farrell. Sự cố điện trong chân không

Câu chuyện của chúng tôi bắt đầu từ đường dây điện cao thế. Chúng ta hãy quay lại với chúng và hướng sự chú ý của chúng ta đến các chất cách điện mà hệ thống dây điện được treo trên các giá đỡ. Những chất cách điện này - tất nhiên là bạn nhớ chúng trông như thế nào - sẽ được tạo thành từ các “tấm” riêng biệt (Hình 4).

Rõ ràng, một chiếc que thẳng dễ làm hơn một chiếc đĩa có hình dạng khá phức tạp. Tại sao chất cách điện cần có hình dạng kỳ quái như vậy? Điều gì sẽ thay đổi nếu một thanh thẳng được thay thế bằng một thanh có gân?

Chờ đợi? Tất nhiên, khoảng cách giữa các điện cực dọc theo thể tích của chất điện môi sẽ không thay đổi, nhưng khoảng cách dọc theo bề mặt của chất điện môi, tức là dọc theo ranh giới giữa chất cách điện và không khí, sẽ tăng lên. Rõ ràng là có một loại sự cố đặc biệt nào đó liên quan đến bề mặt của vật rắn. Trong thực tế, loại sự cố này được quan sát thấy trong một thí nghiệm với một khối gốm, trên các cạnh đối diện của nó có đặt một hiệu điện thế. Trong trường hợp này, đường dẫn giữa các điện cực bên trong chất điện môi trùng nhau về mức độ ảnh hưởng của chúng và điện áp đánh thủng tương ứng có tỷ lệ xấp xỉ 10:3:1. Có điều gì đó bí ẩn về điều này. Có vẻ như bề mặt đó là một khái niệm hình học thuần túy. Tại sao điện áp đánh thủng trên bề mặt lại khác với các điện áp khác? Câu trả lời là trên thực tế, bề mặt không chỉ là một khái niệm hình học.

Theo quy luật, sau khi bề mặt bị đánh thủng trên chất điện môi sẽ không bị hư hỏng. Điều này có nghĩa là sự đánh thủng vẫn xảy ra trong khí xung quanh mẫu. Nhưng tại sao kênh phân tích lại “lan rộng” theo một mô hình? Có thể nào chất khí ở gần mẫu khác với chất khí ở xa hơn không? Nhưng điều này chỉ có thể xảy ra do sự giải phóng khí từ mẫu. Thật vậy, trên bề mặt chất rắn luôn có một lớp khí hấp phụ và hơi ẩm. Để kiểm tra xem “sự phân hủy bề mặt” có xảy ra trong lớp khí đậm đặc hơn gần bề mặt mẫu hay không, bạn có thể kiểm tra thí nghiệm này. Đặt mẫu trong chân không và đun nóng. Khi đun nóng, khí và hơi ẩm hấp thụ trên bề mặt sẽ bị loại bỏ, nhưng những chất mới không bị hấp thụ vì mẫu ở trong chân không. Trong những điều kiện như vậy, ứng suất bề mặt cao hơn đáng kể. Do đó, sự đánh thủng bề mặt về cơ bản là sự đánh thủng chất khí (sét đánh nhỏ). Tuy nhiên, quá trình này đã được nghiên cứu rất kỹ lưỡng, bằng chứng là phần ngoại truyện.

năm bộ

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
L. E. SADOWSKIYA,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. L. SADOWSKIYA,
O. L. SADOWSKAYA

Một trong những trò chơi thể thao phổ biến nhất, đặc biệt là trong giới khoa học, là quần vợt. Bài viết này xây dựng một mô hình toán học của trò chơi quần vợt, cho phép chúng ta ước tính cơ hội chiến thắng của mỗi bên. Tuy nhiên, để hiểu các số liệu thống kê, bạn không cần có thứ hạng quần vợt hay kiến ​​​​thức đặc biệt về toán học.

Một chút về quần vợt

Một trăm mười năm trước, chuyên gia người Anh đã nghỉ hưu W. Wingfield đã được cấp bằng sáng chế cho một trò chơi mà ông đã phát minh ra có tên là quần vợt. Tuy nhiên, nguồn gốc của quần vợt đã lùi xa hơn - từ thời Trung cổ của Pháp và thậm chí đến thời Ai Cập cổ đại. Ngày nay, 120 triệu người chơi quần vợt ở 193 quốc gia (lưu ý chỉ có 40 triệu người chơi bóng đá) - đây là một trong những môn thể thao bổ ích, thú vị và sinh lợi nhất. Xét về tốc độ phát triển và mức độ phổ biến, nó đã vượt qua tất cả các môn thể thao khác trong nhiều năm. Quần vợt, là môn thể thao không thể thiếu đối với những người tham gia thành công công việc trí óc (đặc biệt là các nhà toán học, vật lý, kỳ thủ), có thể mang lại không chỉ sự hài lòng về thể chất mà còn cả trí tuệ to lớn. Không có gì ngạc nhiên khi người ta nói rằng quần vợt được chơi bằng tay nhưng bạn thắng bằng cái đầu. Theo một tay vợt nổi tiếng, để có một ván đấu đẳng cấp cần có ba yếu tố: sức bền của người trụ, tốc độ của người chạy nước rút và tư duy nhanh nhạy của cờ vua, chơi thoải mái ở vùng sâu ceyton.

15

Quy tắc của trò chơi

Địa điểm chơi quần vợt là một khu vực bằng phẳng (sân) có kích thước xác định (Hình 1) có đánh dấu các đường kẻ và chia đôi bằng lưới.*)

Bóng được một trong hai thủ môn **) đưa vào cuộc - cú đánh này được gọi là giao bóng. Giao bóng theo đường chéo: đàn ở vị trí giao bóng đầu tiên đi vào ô giao bóng đầu tiên của đối phương, đàn ở vị trí giao bóng thứ hai – ở ô giao bóng thứ hai. Subchacha được thực hiện luân phiên từ mỗi vị trí. Bóng được đưa vào cuộc bằng cách đánh vào vợt phải bay qua lưới và chạm sân trong phạm vi ô giao bóng tương ứng của đối phương (xem Hình 1). Nếu quả giao bóng đầu tiên ở một sân nhất định không chính xác, người chơi phải lặp lại ở sân đó. Sau lần giao bóng sai thứ hai, điểm được coi là âm đối với người giao bóng.

Bóng được giao phải được trả lại bằng vợt của người nhận bóng sau lần đầu tiên nhưng trước khi bóng chạm đất lần thứ hai. Sau khi nhận giao bóng (trong một điểm), bóng không chỉ được phép trả lại giữa lần chạm bóng đầu tiên và lần chạm bóng thứ hai mà còn được phép “vô lê” (trước khi chạm bóng). Điểm được thực hiện khi mỗi đối thủ lần lượt làm chệch hướng quả bóng nhắm vào mình và không để đối phương tiếp đất nhiều lần. Bóng ở trong người chơi; một trong hai đối thủ sẽ không thể đánh bóng trước lần chạm bóng thứ hai hoặc sẽ đưa bóng ra khỏi lưới hoặc ra ngoài biên; sau đó anh ta phản công quả bóng này.

Một cuộc họp quần vợt được chia thành các bộ (trò chơi), các bộ thành trò chơi (trò chơi), trò chơi được hình thành bằng cách chơi từng quả bóng (điểm). Trong một trận đấu, trò chơi được diễn ra cho đến khi một bên giành được ít nhất bốn bàn thắng (điểm), với điều kiện bên này đã ghi được ít nhất hai bàn thắng.

Tính điểm trong trò chơi có một tính năng đã được bảo tồn từ thời điểm trò chơi được phát triển vì mục đích “sở thích”. Ở Pháp, giá của trò chơi là một đồng xu 60 xu: nó được đặt ở 4 trên 15 xu. Rõ ràng, những điều sau này phải trả bằng bốn cú đánh: 15, 30, 45, 60. Đúng vậy, vào thế kỷ 20, các thẩm phán trở nên ngắn gọn hơn, hét lên “bốn mươi” cùng với “bốn mươi lăm”.

Vì vậy, khi một trong hai bên giành được điểm đầu tiên trong trò chơi, tỷ số thường là 15:0, khi cùng một bên giành được điểm thứ hai, 15 điểm khác được cộng thêm và tỷ số sẽ là 30:0 trên lượt chạy của mình. Nếu điểm thứ ba được ghi, tỷ số sẽ là 40:0, và điểm thứ tư (“trận đấu”, như trọng tài nói) mang lại kết thúc trận đấu cho bên đó.

Nếu một bên sau khi ghi điểm đầu tiên, ghi điểm thứ hai cho đối phương (tỷ số được ấn định là 15:15), v.v. Do đó, tỷ số (và luôn được giữ nguyên, bắt đầu từ điểm của người giao bóng) trong trận đấu chỉ có thể như sau: 15:0, 30:0, 40:0, 0:15, 0:30, 0:40, 15:15, 30:15, 40:15, 15:30, 30:30, 40:30, 30:40, “chính xác”, “lớn hơn”, “nhỏ hơn”; Thua ngay sau tỷ số là 40:0, 40:15, 40:30 thì máy chủ thắng ván, còn đối phương thắng sau tỷ số là 0:40, 15:40, 30:40.

Điểm “chính xác” xảy ra khi các đối thủ có số điểm bằng nhau, bắt đầu từ điểm thứ sáu được trao; “lớn” (“ít hơn”) – bắt đầu vào ngày thứ bảy

*) Trò chơi quần vợt lần đầu tiên được mô tả trong văn học Nga bởi L.N. Tolstoy trong tiểu thuyết “Anna Karenina”.
**) Chúng tôi không dừng lại ở cái gọi là “trò chơi đôi”, trong đó hai người chơi.

Hình 1.

điểm nếu máy chủ thắng (thua) rất nhiều sau khi tỷ số “chính xác”; “trò chơi” của máy chủ, nếu máy chủ thắng ngay sau điểm “nhiều hơn”; “trò chơi” của người nhận, nếu có số điểm “ít hơn” thì máy chủ sẽ mất thêm một điểm. Diễn biến có thể có của điểm số trong trò chơi có thể được theo dõi trong Hình 2.

Sau khi hoàn thành ván đầu tiên, ván thứ hai bắt đầu, trong đó quả giao bóng được chuyển sang phía đối diện, v.v. cho đến khi hoàn thành hiệp đấu (trò chơi).

Điểm của các trận trong một hiệp làm tăng điểm trong bóng chuyền hoặc bóng bàn, nhưng không lên 15 và 21 mà lên đến 6 (với lợi thế là 2 điểm). Do đó, hiệp đấu kết thúc khi tỷ số của trận đấu trở thành một trong các tỷ số sau: 6:0, 6:1, 6:2, 6:3, 6:4, 7:5, 8:6, 9:7, v.v.

Sau bộ đầu tiên, bộ thứ hai bị hỏng, v.v., cho đến khi một trong các bên mất bông hồng - hai bộ (trong số ba) hoặc ba bộ (từ gót chân), tùy thuộc vào điều kiện hoàn thành. Nếu một bên thắng liên tiếp hai (ba) set thì coi như thắng và các set còn lại không được thi đấu. Do đó, tỉ số của bông hồng thua có thể là 2:0, 2:1 (tương ứng là 3:0, 3:1, 3:2).

Ai thắng?

Vì vậy, quý độc giả, chúng tôi đã giới thiệu cho bạn các quy tắc cơ bản của trò chơi quần vợt **) với một lượng đủ để thảo luận thêm. Teler, chúng ta có thể bắt đầu trò chơi: Bạn (người đọc) và tôi (tác giả). Nếu tôi chơi mạnh hơn bạn đáng kể, thì lợi thế của tôi sẽ nhanh chóng trở nên rõ ràng - trong set đầu tiên, sau đó là trong set thứ hai. Nếu chênh lệch về sức mạnh không quá lớn thì tỉ số trong mỗi trận đấu, set đấu sẽ không ổn định. Đây là tên được đặt cho đối tượng dành cho những người chơi nội bộ thuộc tầng lớp thượng lưu thế giới, chẳng hạn như tại các giải đấu thuộc dòng Grand Prix hoặc tại giải vô địch thế giới không chính thức (chuyên nghiệp và nghiệp dư) ở Wimblon (Anh). Tất cả những người chơi mạnh nhất trên thế giới đều được phân loại theo sức mạnh trong trò chơi của họ. Mỗi người chơi dẫn đầu đều có điểm mạnh riêng (hầu như không có điểm yếu

*) Để hiểu chi tiết hơn về các tính năng của trò chơi, chúng tôi giới thiệu cho người đọc tài liệu quảng cáo Tennis. Quy tắc chơi trò chơi ở giai đoạn từ điểm thứ sáu; “lớn” (“ít hơn”) – bắt đầu vào ngày thứ bảy

16

địa điểm) và các cuộc gặp gỡ giữa họ diễn ra, có thể nói, “theo các điều kiện bình đẳng”, và kết quả nói chung phụ thuộc vào các trở ngại bổ sung: chuẩn bị tâm lý, tự rèn luyện, tâm trạng cảm xúc, mặt sân (bụi bẩn, cỏ, nhựa), thời tiết, v.v.

Vậy rốt cuộc ai sẽ thắng? Một vận động viên thể thao thực thụ, khi thua sẽ nói: kẻ mạnh nhất đã thắng. Tuy nhiên, bạn có thể nghe thấy những cụm từ như “anh ấy vô tình đánh tôi” hoặc “anh ấy lúc nào cũng bị như vậy”. Tỷ lệ kỹ năng và tỷ lệ cơ hội thực sự trong việc tạo ra người chiến thắng khi chơi quần vợt là gì?

Chúng ta hãy thử xây dựng một mô hình toán học của trò chơi quần vợt và với sự trợ giúp của nó, hãy hiểu câu hỏi được đặt ra.

Đề xuất cơ bản của mô hình

Chắc chắn có yếu tố ngẫu nhiên trong Quần vợt và mô hình của chúng tôi phải tính đến điều này. Kết quả bóng thắng không thể dự đoán trước một cách rõ ràng nhưng có thể đánh giá khách quan “cơ hội thắng” của mỗi đối thủ. Ước tính về tỷ lệ cược này—con số—được gọi là xác suất và đó là lý do tại sao các mô hình như toán học của chúng ta được gọi là mô hình xác suất (hoặc thống kê).

Nhưng đừng lo lắng, độc giả! Khái niệm mô hình đơn giản của chúng tôi không đòi hỏi kiến ​​thức sâu sắc về lý thuyết xác suất. Chúng ta sẽ cần một lượng hiểu biết nhỏ từ khoa học này khi tiếp tục. Và độc giả muốn tìm hiểu sâu về lý thuyết này, chúng tôi khuyên bạn nên xem số 23 của thư viện «Kvant» (A. N. Kolmogorov, I. G. Zhurbenko, A. V. Prosorov. Giới thiệu về lý thuyết xác suất, M.: Nauka, 1982).

Vì vậy, trong mô hình của chúng tôi, mỗi lần rút bóng riêng lẻ là một thử nghiệm ngẫu nhiên với hai kết quả có thể xảy ra—tác giả thắng (A) và người đọc thắng (R). Mỗi kết quả được gán xác suất của nó - các số P(A) và P(Н), mà
$$0 < P(A) < 1, \quad 0 < P(Ч) < 1,$$
$$P(A) + P(Ч) = 1.$$

Ví dụ, số P(A) có nghĩa là gì? Nó biểu thị tỷ lệ phần trăm quả bóng (trên một đơn vị) mà tác giả trung bình giành được từ người đọc. Nếu tác giả giành được trung bình 60 quả bóng trong số 100 quả bóng từ người đọc thì xác suất chiến thắng của anh ta, P(A), bằng 0,6. (Chúng tôi tin rằng tác giả, một độc giả hạng nhất có kinh nghiệm, đóng vai một độc giả tốt hơn một chút. Tất nhiên, trong trường hợp của chúng tôi, P(H) = 0,4 và các bất đẳng thức và đẳng thức viết ở trên được thỏa mãn.)

Chúng tôi sẽ đề xuất thêm rằng xác suất P(A) = 0,6 (và do đó P(H) = 0,4) là như nhau đối với tất cả các lần chơi bóng trong suốt trận đấu. Dựa vào giới từ này, chúng ta muốn tìm hiểu xem khả năng (xác suất) tác giả thắng trận đầu tiên, sau đó là cả set và cuối cùng là cả trận là bao nhiêu.

Thảo luận về giá trị học thuật của mô hình

Tất nhiên, bất kỳ mô hình toán học nào cũng chỉ là một sơ đồ lý tưởng hóa một quá trình hoặc hiện tượng thực tế. Bằng cách đơn giản hóa thực tế, chúng ta bỏ qua một số khía cạnh của nó. Như vậy, xét xác suất P(A) không thay đổi trong suốt trận đấu, chúng ta bỏ qua một phần sự chuẩn bị thể lực của đối thủ (cuối trận, tác giả có thể sẽ lập công nhiều hơn đối thủ trẻ hơn và sẽ mắc nhiều lỗi hơn) và yếu tố tâm lý (bị thua một cửa sổ, đặc biệt là hai cửa sổ, tác giả thường chơi chú ý và ác độc - cơ hội thắng ở cửa sổ tiếp theo tăng lên). Mô hình của chúng tôi còn có một nhược điểm nghiêm trọng hơn mà bất kỳ tay vợt có kinh nghiệm nào cũng sẽ thay thế - nó không tính đến lợi thế của máy chủ, điều này đặc biệt sai trên sân nhanh (cỏ, gỗ hoặc nhựa).

Trên thực tế, tất cả tên của các yếu tố (và một số yếu tố khác) đều có thể được đưa vào xác suất của mô hình trò chơi quần vợt. Chúng tôi không làm điều này ở đây - điều này sẽ làm phức tạp đáng kể sơ đồ và kỹ thuật tính toán, trong khi mô hình đơn giản hóa của chúng tôi đã cho phép chúng tôi đưa ra những kết luận thú vị, đôi khi bất ngờ, nhưng đã được xác nhận bằng thực tế.

Ai sẽ thắng trò chơi?

Mục tiêu trước mắt của chúng ta là tính xác suất để tác giả thắng trò chơi trước độc giả. Hình 2 cho thấy điểm số trong một trò chơi có thể thay đổi tuần tự như thế nào. Tỉ số của trận đấu được ghi lại. Tỉ số của trận đấu được ghi lại. Để có bội số, hãy ký hiệu p=P(A), q=P(Х). Ví dụ: p và q - xác suất giành được một cửa sổ (quả bóng) riêng biệt của tác giả và người đọc - không thay đổi trong suốt trò chơi; chúng tôi chấp nhận p=0,6, q=0,4.

Theo điều kiện, xác suất chuyển sang trạng thái 15:0 (nghĩa là xác suất đạt điểm 15:0), mà chúng ta biểu thị bằng P(15:0), bằng p. Theo đó, P(0:15)=q.

17

Hãy tìm $P(30:0)$ — xác suất để tác giả ghi liên tiếp hai bàn thắng đầu tiên. Rõ ràng
$$P(30:0) = P(15:0) \cdot p = p^2 = 0,36.$$
Nhưng điều này có thực sự như vậy không? Tại sao chúng ta lại lạm dụng xác suất? Trên thực tế, ở đây chúng ta đang sử dụng “định lý nhân xác suất của các sự kiện độc lập liên tiếp” (bạn có thể đọc về nó trong cuốn sách của A. N. Kolmogorov và những người khác, được trích dẫn ở trên). Chúng ta hãy cố gắng hy sinh phép tính này bằng ngôn ngữ của phần giữa của tiền thắng. Nếu tác giả liên tục thắng người đọc trung bình 60 quả bóng trong số 100 quả bóng (tức là trung bình 3/5 quả bóng), sau đó trong tổng số 60 quả bóng (chơi ngay sau khi giành được quả bóng đầu tiên), tác giả cũng sẽ thắng trung bình 3/5, tức là $60 \times (3/5) = 36$ lần trong 100 (trung bình), tác giả sẽ thắng liên tiếp hai quả bóng đầu tiên.

Tương tự như vậy,
$$P(0:30) = P(0:15) \cdot q = q^2 = 0,16$$
— độc giả có rất ít cơ hội giành được nhiều hơn hai bàn thắng liên tiếp!

Bây giờ hãy đếm $P(15:15)$. Chúng tôi có (nghĩ tại sao)
$$P(15:15) = P(15:0) \cdot q + P(0:15) \cdot p = 2pq = 0,48$$

• tỷ số “mười lăm” sau hai bàn thắng đầu tiên sẽ xảy ra gần như thường xuyên bằng hai tỷ số còn lại (30:0 và 0:30) cộng lại.

Các tính toán tiếp theo được thực hiện theo cách tương tự. Di chuyển xuống từ Hình 2, người đọc có thể tìm thấy xác suất của tất cả các trạng thái (nghĩa là các điểm có thể có) và điền vào các ô còn trống. Nazhe quan tâm đến cột bên trái (“trò chơi của tác giả”). Trong đó, $A_1$ biểu thị tác giả thắng ngay sau tỷ số 40:0, $A_2$ - ngay sau tỷ số 40:15, $A_3$ - ngay sau tỷ số 40:30.

2 Lượng tử số 8

18

Rõ ràng là $P(40:0) = p^3 = 0,216$ và do đó $P(A_1) = P(40:0) \cdot p = p^4 = 0,1296$,
Việc tác giả thắng trận mà giữ sạch lưới là khá hiếm.

Thật dễ dàng để tính toán rằng $P(40:15) = 4p^3q \approx 0,3456$,
$P(30:30) = 4p^2q^2 \approx 0,2304$ và $P(40:30) = 10p^3q^2 \approx 0,3970$,
nó đến từ đâu?

$$P(A_2) = P(40:15) \cdot p = 4p^4q \approx 0,20736$$
$$P(A_3) = P(40:30) \cdot p = 10p^4q^2 \approx 0,20736$$.

Hơn nữa, dễ dàng nhận thấy các số $P(A_3), P(A_4), P(A_5)$,… tạo thành một cấp số nhân với số hạng ban đầu $P(A_3) = 10p^4q^2 \approx 0,20736$ và giá trị $2pq = 0,48 < 1$. Sử dụng một công thức quen thuộc, chúng ta tìm được tổng của cấp số

$$P(A_3) + P(A_4) + \dots = \frac{10p^4q^2}{1 - 2pq} \approx 0,3988$$.

Bằng cách thêm các số ban đầu $P(A_1) + P(A_2)$ vào nó, chúng ta tìm được xác suất tác giả thắng trò chơi $P(\text{гейм автор}) = P(A_1) + P(A_2) + \dots = p^4 + 4p^4q + \frac{10p^4q^2}{1 - 2pq} \approx 0,7357$.

Như vậy, trung bình tác giả sẽ thắng được khoảng 74 trên 100 trò chơi từ người đọc, còn người đọc sẽ chỉ thắng 26 trên 100.

Mạch điện như trong Hình 2 được gọi là chuỗi Markov, được đặt theo tên nhà toán học xuất sắc người Nga A. A. Markov (1856-1922). Chuỗi Markov bao gồm một số hữu hạn hoặc vô hạn các trạng thái (trạng thái y us là điểm số trong trò chơi), được kết nối bằng các chuyển đổi (mũi tên), biểu thị xác suất chuyển tiếp (y us - số p và q). Các chuỗi như vậy mô tả các quá trình ngẫu nhiên với điều kiện là xác suất chuyển tiếp không phụ thuộc vào quá trình trước đó.

Bài tập

1. Khi chơi bóng bàn, người chơi A sẽ thắng rất nhiều người chơi B với xác suất p; đặt $q = 1 - p$ (xác suất thắng B). Khi đó xác suất xảy ra điểm này hoặc điểm khác khi bắt đầu trò chơi như sau:

$$1:0(p); 0:1(q);$$
$$2:0(p^2); 1:1(2pq); 0:2(q^2).$$

a) Tiếp tục sơ đồ này.
b) Dựa vào đó, tính xác suất người chơi A thắng trò chơi (trò chơi được chơi cho đến khi người A giành được ít nhất 21 điểm nhưng với lợi thế hơn 2 điểm).
2. Khám phá một mô hình tương tự cho bóng chuyền.

Ai sẽ thắng set này?

Bây giờ, bằng cách sử dụng sơ đồ tương tự, sử dụng Hình 3 cùng với Hình 2, người đọc có thể đếm độc lập

Hình 4.

xác định xác suất thắng một set (partini) của tác giả (hoặc độc giả). Trong Hình 3, các ô hình chữ nhật cho biết số lượng trò chơi trong bộ (“trạng thái”); xác suất chiến thắng trò chơi của tác giả là $p' = 0,736$, người đọc - $q' = 0,264$ ($p'$ và $q'$ là “xác suất chuyển đổi” cho “chuỗi Markov” mới; giống như $p, q$ trong chuỗi trước, chúng không những không phụ thuộc vào nền mà chúng chỉ đơn giản là không đổi). Bạn nên nhận được

$$P(\text{сет автор}) \approx 0,966$$
$$P(\text{сет читателя}) \approx 0,034$$

Ai sẽ thắng cuộc họp?

Như bạn có thể thấy, xác suất tác giả thắng bộ này là gần bằng một. Nói chung, điều này là tự nhiên nếu tính đến việc tác giả sẽ giành được một quả bóng duy nhất với xác suất lớn hơn người đọc gấp rưỡi. Nếu chúng ta tiến xa hơn, thì phép tính cho thấy (tự kiểm tra) rằng tác giả sẽ thắng một trận đấu từ ba set với xác suất là 0,996 và từ một cú đánh gót với xác suất là 0,9996, tức là gần như chắc chắn. Do đó, rõ ràng là không nên chơi nhiều hơn ba set trong trường hợp này.

Nhưng bây giờ chúng ta hãy giả sử rằng loại trò chơi thực tế giống nhau, ví dụ: xác suất để tác giả giành được bóng là 0,51 và xác suất của người đọc là 0,49. Nói cách khác, từ những quả bóng được chơi, người đọc sẽ thắng trung bình

21

Cong thẳng

Một người man rợ mài một mũi tên có vỏ sắc nhọn để kiểm tra chất lượng sản phẩm của mình bằng cách đưa nó lên mắt. Không hề hay biết, ông đã sử dụng tính chất thẳng của tia sáng: nếu tia sáng trượt dọc theo bề mặt của mũi tên không bị lệch thì mũi tên là thẳng. Những người xây dựng kim tự tháp Ai Cập cũng làm như vậy, kiểm soát độ thẳng của các cạnh của chúng, và thậm chí còn nói về điều này trong một trong những dòng chữ khắc trên đá. Các xưởng hiện đại cũng làm theo. Khi một tay bắn tỉa hoặc người khảo sát hướng công cụ tìm tầm nhìn của mình vào một vật thể riêng lẻ, họ sẽ dựa vào độ thẳng của tia sáng. Và làm sao có thể khác được? Xét cho cùng, chính khái niệm đường thẳng nảy sinh từ ý tưởng về tia sáng - không gì có thể thẳng hơn nó.

Nhưng chùm ánh sáng cũng có thể uốn cong. Điều này xảy ra khi nó thâm nhập vào một môi trường không đồng nhất. Bạn có thể nhận thấy đường viền của các vật thể dưới nước bị biến dạng đến mức nào khi bạn nhìn chúng qua mặt nước. Nguyên nhân của những biến dạng này là do khi đi qua ranh giới nước và không khí, chùm ánh sáng quay lại và bị khúc xạ.

Như đã biết, hành vi của chùm sáng khi truyền từ môi trường này sang môi trường khác được xác định bởi định luật về độ thẳng. Chúng ta hãy nhắc lại định luật này: tia tới, tia thẳng và đường vuông góc với mặt phân cách của hai môi trường, phục hồi tại điểm tới của tia sáng, nằm trong cùng một mặt phẳng; tỉ số giữa sin của góc tới và sin của góc khúc xạ là một giá trị không đổi đối với hai môi trường đã cho. Nếu $\Theta_1$ là góc tới, $\Theta_2$ là góc khúc xạ, thì

$$\frac{\sin \Theta_1}{\sin \Theta_2} = \frac{n_2}{n_1},$$

trong đó $n_1$ và $n_2$ là chiết suất của môi trường (tuyệt đối).

Điều gì sẽ xảy ra nếu dọc theo đường truyền của nó, một chùm ánh sáng đi qua một số môi trường khác nhau, nghĩa là đi qua một số môi trường có chiết suất khác nhau?

Hãy nhìn vào Hình 1 a. Theo định luật khúc xạ, khi chuyển từ môi trường I sang môi trường II

$$\frac{\sin \Theta_1}{\sin \Theta_2} = \frac{n_2}{n_1},$$ hoặc $n_1 \sin \Theta_1 = n_2 \sin \Theta_2$;

ở lần chuyển đổi tiếp theo, từ môi trường II sang môi trường III,

$$\frac{\sin \Theta_2}{\sin \Theta_3} = \frac{n_3}{n_2},$$ hoặc $n_2 \sin \Theta_2 = n_3 \sin \Theta_3$;

trong quá trình chuyển đổi từ môi trường III sang môi trường IV

$$\frac{\sin \Theta_3}{\sin \Theta_4} = \frac{n_4}{n_3},$$ hoặc $n_3 \sin \Theta_3 = n_4 \sin \Theta_4$;

v.v. Từ tất cả những gì được ghi lại, tương ứng là khi một tia sáng truyền từ môi trường này sang môi trường khác thì tích của chiết suất của môi trường và sin không đổi

22

góc tới của chùm tia trên ranh giới của môi trường, đó là
$$n_i \sin \theta_i = \text{const.}$$

Theo đó, chiết suất của môi trường càng lớn thì góc tới của chùm tia trên giao diện càng nhỏ, nghĩa là góc mà chùm tia tạo ra với chính giao diện đó càng lớn (góc $\frac{\pi}{2} - \theta_i$). Khi chiết suất tăng, chùm tia càng ngày càng lệch khỏi mặt phân cách (trong ví dụ của chúng ta, so với phương ngang) và ngày càng bị “ép” về phía pháp tuyến của mặt phân cách (trong ví dụ của chúng ta, so với phương thẳng đứng).

Chúng tôi đã xem xét trường hợp khi dọc theo đường truyền của chùm ánh sáng, chiết suất tăng lên, nghĩa là chùm tia truyền từ môi trường kém chiết quang hơn sang môi trường dày đặc hơn về mặt quang học. Điều gì sẽ xảy ra trong đường đi “ngược lại” của chùm tia - khi chuyển từ môi trường chiết quang hơn sang môi trường kém chiết quang hơn? Trong trường hợp này (Hình 1.6), chùm tia sẽ lệch ngày càng nhiều so với pháp tuyến đến mặt phân cách. Tại một số ranh giới, góc tới có thể sao cho góc khúc xạ tương ứng phải bằng $\frac{\pi}{2}$. Như có thể thấy từ thư từ $n_i \sin \theta_i = n_k \sin \theta_k$, điều này sẽ xảy ra “khi $\sin \theta_i = \frac{n_k}{n_i}$”. Trong trường hợp này, tia khúc xạ xuất hiện ở góc của môi trường khi $\sin \theta_i > \frac{n_k}{n_i}$, khi đó tia sẽ bị phản xạ khỏi các biên, quay trở lại môi trường có chiết suất $n_i$ và sau đó sẽ truyền theo hướng “ngược lại” - chuyển từ môi trường kém chiết quang hơn sang môi trường đậm đặc hơn.

Nếu không có giao diện sắc nét giữa môi trường và tính chất của môi trường (chiết suất của nó) thay đổi trơn tru theo bất kỳ hướng nào, thì chùm ánh sáng truyền trong môi trường đó sẽ không phải là một đường đứt nét mà là một đường cong trơn. Sự bẻ cong chùm tia sáng trong môi trường có chiết suất thay đổi liên tục được gọi là khúc xạ ánh sáng. Hình 2 biểu diễn sự khúc xạ của tia sáng trong hai trường hợp: khi nằm trên đường truyền của tia sáng

23

Vì vậy, từ Trái đất, chúng ta nhìn thấy tất cả các ngôi sao sáng nằm ở vị trí cao hơn đường chân trời so với thực tế. Vì lý do tương tự, chúng ta thấy hoàng hôn của các ngôi sao và Mặt trời muộn hơn vài phút, và mặt trời mọc sớm hơn vài phút nếu không có bầu khí quyển; Do khúc xạ, hình ảnh của Mặt trời và Mặt trăng bị biến dạng ở gần đường chân trời. Các tia có màu khác nhau uốn cong khác nhau: màu xanh lam (có giá trị A lớn hơn) mạnh hơn màu lục và màu lục mạnh hơn màu đỏ. Điều này đặc biệt rõ rệt ở gần đường chân trời, làm phát sinh nhiều hiện tượng màu đỏ.

Chúng ta cũng nhìn thấy các vật thể trên trái đất không chính xác theo hướng chúng đang ở. Và điều này cũng là do tạp chất quang học của không khí. Mật độ không khí, như đã biết, phụ thuộc vào nhiệt độ: φ=ρμ/RT. Áp suất p phụ thuộc vào độ cao, nhưng ở một độ cao nhất định thì nó gần như giống nhau. Nhưng nhiệt độ không khí ở cùng một độ cao có thể khác nhau - trên đồng cỏ, trên rừng, trên mặt hồ chứa, gần sườn núi, v.v. Kết quả là, các tia sáng truyền qua bàn và không khí không đồng đều bắt đầu “cuộn tròn”, và chúng ta thấy các vật thể dịch chuyển lên, xuống hoặc sang một bên. Theo quy luật, ở chân đồi, tất cả các vật thể ở xa dường như được nâng lên và hơi di chuyển ra xa khỏi những ngọn núi, và đôi khi những vật thể thường bị dãy núi che khuất lại có thể nhìn thấy được. Hơn nữa, nếu bạn nhìn vào cùng một vật thể từ những phía khác nhau, từ những khoảng cách khác nhau hoặc vào những thời điểm khác nhau, thì nó sẽ dường như ở những nơi khác nhau.

Gương khí quyển

Đôi khi, đặc biệt là khi trời nắng lặng, một lớp không khí ấm áp ổn định, nghĩa là ít đậm đặc hơn, hình thành gần bề mặt trái đất hoặc nước. Các tia chiếu xiên từ trên xuống lớp này sẽ truyền trong môi trường có mật độ quang giảm dần. Nếu lớp đủ dày, phản xạ toàn phần có thể xảy ra bên trong lớp; Các tia có thể, sau khi di chuyển một khoảng cách nhất định, lại ló ra khỏi lớp, nhưng bây giờ chúng sẽ hướng lên trên, như thể sau khi phản chiếu từ gương. Do đó, chúng ta nhìn thấy hình ảnh phản chiếu của mọi vật thể, hay đúng hơn là ảo ảnh của chúng, ở đâu đó phía dưới, dưới lòng đất hoặc dưới nước (xem Hình 4 a trên trang 24). Chúng ta có thể nhìn thấy chính vật thể đó hoặc các tia khác có thể đi vào mắt chúng ta một cách trực tiếp, qua lớp nhiệt nóng lên.

Điều tương tự cũng xảy ra với những cô gái hàng đầu. Chỉ có lớp không khí nóng không phải ở dưới chân họ mà ở bên cạnh, ở bìa rừng, giúp bảo vệ lớp không khí đêm này khỏi bị làm mát. Và chiếc gương, như chúng ta thấy, rất đặc biệt - chỉ những tia rất nghiêng mới được phản chiếu trong đó, dần dần uốn cong bên trong một lớp dày - đây là điểm phân biệt ảo ảnh với sự phản chiếu thông thường.

Nếu một lớp không khí ấm đủ dày không nằm dưới chân bạn mà ở độ cao nào đó phía trên đầu bạn (Hình 46), ảo ảnh sẽ xuất hiện trong không trung, như trường hợp Người Hà Lan bay. Bản thân vật thể có thể nằm xa đường chân trời và vô hình. Những ảo ảnh như vậy hình thành với các tia rất phẳng, nghiêng một góc nhỏ so với bề mặt Trái đất.

Hướng truyền âm thanh cũng thay đổi khi di chuyển từ không khí lạnh sang không khí ấm. Do đó, trong bầu khí quyển cũng có những ảo ảnh âm thanh, khác với tiếng vang thông thường ở chỗ chúng được tạo ra không phải do phản xạ mà do khúc xạ âm thanh.

Trong cuộc chiến năm 1914, người ta nhận thấy rằng lượng pháo binh, nói chung là quá mức ở khoảng cách 50-60 km, lại trở nên quá mức nếu bị tách ra ở khoảng cách 100-150 km. Hóa ra đó là ảo ảnh được tạo ra do sự khúc xạ âm thanh trong một lớp không khí ấm áp tồn tại ở độ cao 50-60 km.

Điều gì xảy ra nếu một lớp không khí lạnh hình thành trong không khí ấm áp? Các tia sáng truyền trong lớp này có thể xuất hiện như trong một cái bẫy - phản xạ xen kẽ từ phía trên và phía dưới bên trái, chúng sẽ không thể thoát ra ngoài giới hạn của mình (Hình 4 c). Trong trường hợp này, bạn có thể thấy sự kết hợp kỳ lạ của các hình ảnh thẳng đứng và ngược chiều lặp đi lặp lại của cùng một vật thể, như trong kính vạn hoa hoặc trong một căn phòng có nhiều gương. Sự tôn trọng này đan xen một cách tuyệt vời với nhiều ảo ảnh và thực sự được giao cho mục đích khoa học của Fata Morgana.

24

Kênh mà ánh sáng truyền gần như không bị suy hao được gọi là ống dẫn sóng. Một khi đã ở trong ống dẫn sóng như thể đang ở trong một cái bẫy, ánh sáng, âm thanh hoặc sóng vô tuyến sẽ không thể thoát ra khỏi nó cho đến khi chúng chạm tới điểm cuối của nó. Điều này rất hữu ích để truyền các tín hiệu khác nhau từ thiết bị này sang thiết bị khác. Các phương pháp sản xuất ống dẫn sóng khác nhau tùy thuộc vào mục đích ứng dụng của chúng. Ví dụ, đối với lò vi sóng mà bộ định vị hoạt động, các ống kim loại đóng vai trò là ống dẫn sóng. Đối với ánh sáng, ống dẫn sóng được chế tạo dưới dạng sợi thủy tinh mỏng dẻo.

Gần đây, người ta phát hiện ra rằng các ống dẫn sóng âm tự nhiên khô tồn tại trong đại dương. Chúng tạo thành các vùng nước mặn xen kẽ có nhiệt độ hoặc độ mặn khác nhau. Âm thanh yếu ớt của một chiếc chuông nhỏ vang lên ngoài khơi bờ biển nước Mỹ băng qua Đại Tây Dương mà không bị cản trở dọc theo ống dẫn sóng như vậy và trong những điều kiện thuận lợi, có thể nghe thấy ở ngoài khơi nước Pháp.

Đối với sóng vô tuyến, ống dẫn sóng là toàn bộ không gian giữa bề mặt trái đất và tầng điện ly. Chỉ báo giả định về sóng vô tuyến sẽ giết chết bầu khí quyển theo độ cao. Các tia vô tuyến, di chuyển ra khỏi Trái đất, bị khúc xạ, giống như tia sáng: chúng ngày càng bị bẻ cong cho đến khi bị “phản xạ” khỏi tầng điện ly và quay trở lại Trái đất. Thứ mà máy thu của chúng tôi “bắt” được là hình ảnh vô tuyến của trạm phát.

25

Nàng tiên lại vênh váo

Vị trí của nhà thiên văn học, nhà khảo sát, nhà điều hành vô tuyến và nhà điều hành radar rất phức tạp bởi một vấn đề không thể tránh khỏi và rất khó chịu khác. Dưới tác động của gió trong không khí, những thay đổi cục bộ về mật độ, nhiệt độ, nồng độ electron và các đặc tính khác của trạng thái không khí sẽ thỉnh thoảng xảy ra. Những trường hợp này nhanh chóng thay thế sự xáo trộn, không ổn định và di động. Đi qua không khí rung chuyển, không đồng nhất như vậy, chùm tia buộc phải luôn thay đổi hướng một chút. Con đường của anh ta hóa ra vừa rất quanh co vừa rất dễ thay đổi - các tia lân cận hoặc hội tụ, sau đó phân kỳ hoặc đan xen. Vì vậy, hình ảnh của các vật thể và ánh sáng ở xa (ví dụ như các ngôi sao) không bao giờ đứng yên mà dường như luôn nhảy múa, nhấp nháy, lúc nhấp nháy, lúc mờ nhạt. Sự không ngừng nghỉ của hình ảnh quang học, âm thanh hoặc vô tuyến, do trò đùa của Morgana tạo ra, hạn chế khả năng thực sự của những thay đổi thiên văn và trắc địa, công nghệ định vị, liên lạc kỹ thuật, v.v. Khi có gió giật mạnh, khi mật độ không khí đột ngột thay đổi mạnh, chùm tia đôi khi chỉ đơn giản là bị gió “thổi bay” trong giây lát hoặc bị nó phân tán thành các chùm độc lập lắc lư trong giấc ngủ. Hình 5 (lấy từ một bức ảnh) cho thấy một ví dụ về cách chuyển động của không khí làm mờ và phân mảnh một chùm ánh sáng đồng nhất, hình dạng rõ ràng (hiển thị bên phải) khi nó chỉ truyền đi 1/2 km trong không khí trong điều kiện thời tiết tương đối tốt.

Hãy theo dõi đường đi của xung radar (quang hoặc vô tuyến) được người điều khiển gửi vào khí quyển. Theo bản đồ của Morgana, anh ta được đặt trên không như thể trên đường cao tốc trải nhựa, mà như thể dọc theo một con đường gập ghềnh - anh ta sẽ bị ném xung quanh bởi những bất thường trong không khí, và đường đi của anh ta sẽ không thẳng chút nào. Khi nó vượt qua đối tượng mong muốn và sau khi được phản ánh từ đối tượng đó, quay trở lại người điều khiển, sau đó nói chung, nó sẽ quay trở lại dọc theo một con đường khác và sẽ xuất hiện từ một nơi khác với nơi nó được gửi đi. Thông thường những cơ sở này không lớn và không gây ra những rắc rối không đáng có. Tuy nhiên… Lịch sử của cuộc chiến vào phút cuối có những trường hợp cháy pin tàu

26

Lý thuyết lượng tử được tạo ra như thế nào

(Xem phần đầu ở trang 2)

Bạn thấy rằng động lượng của một lượng tử có liên hệ với bước sóng giống hệt như động lượng của một hạt: $p=h/\lambda$. Điều này có nghĩa là đối với sóng truyền, lượng tử ánh sáng có thể được coi là hạt de Broglie - photon.

Vậy photon là gì? Đây là một phần kích thích của bộ dao động lượng tử - một sóng điện từ truyền với vectơ sóng cho trước $k$.

Dao động “không” của trường điện từ là gì? Đây là những dao động điểm 0 của bộ dao động lượng tử - sóng điện từ với tất cả các vectơ sóng có thể có.

Các trường khác tồn tại trong tự nhiên, chẳng hạn như trường hấp dẫn, cũng có thể được biểu diễn dưới dạng một tập hợp các bộ dao động. Do đó, trong không gian trống rỗng sẽ không có dao động của trường hấp dẫn. Nhưng, theo lý thuyết tương đối, trường còn gắn liền với những thay đổi về tính chất hình học của không gian. Và những đặc tính hình học này dao động, hình học nhấp nháy! Tỉ số giữa chu vi và bán kính dao động trong khoảng 2π…

Điều tương tự cũng áp dụng cho các trường mô tả các hạt, chẳng hạn như electron và positron hoặc meson pi. Không có dao động nào trong khoảng trống của electron-positron, pion và nói chung là trường của tất cả các hạt có thể có. Dao động bằng 0 trong chân không của trường mô tả các hạt có spin 1/2 biểu hiện ở sự sinh ra và hủy diệt tạm thời của các cặp electron - positron, nucleon - phản nucleon… Chân không chứa đầy những hạt chưa sinh ra hoàn toàn như vậy, chúng được gọi là “ảo”. Nhưng ngay khi hai nucleon hoặc một electron và một positron va chạm nhau trong chân không, các hạt ảo có thể biến thành hạt thật - đây là cách các hạt mới được giải phóng trong quá trình va chạm. Phần thực của năng lượng lớn được bao quanh bởi một đám mây hạt ảo, năng lượng của hạt càng lớn thì đám mây càng lớn. Chỉ cần chỉ định một phần khác có thể thực hiện được bằng cạnh của nó là đủ và tất cả các hạt ảo của đám mây sẽ trở nên có thể thực hiện được!

Sau khi người ta hiểu rõ lượng tử là gì, câu hỏi triết học nhức nhối, vấn đề sóng và hạt, đã biến mất. Ánh sáng là sóng có năng lượng thay đổi theo từng phần, và nếu chúng ta xem xét tất cả các loại sóng lan truyền, thì tổng thể của chúng sẽ lấp đầy chất khí của các hạt: mỗi hạt có một năng lượng và động lượng nhất định.

Hiểu có nghĩa là có thể trả lời bất kỳ câu hỏi hợp lý nào, và trong vật lý những câu hỏi đó và chỉ những câu hỏi đó mới được coi là hợp lý. đáp số có thể được kiểm tra bằng suy nghĩ hoặc thí nghiệm thực tế.

28

chúng ta cân bằng vế còn lại sao cho cả hai vế chỉ chứa các số hạng dương. Từ “al-mukabala” có nghĩa là thao tác tiếp theo là đưa ra các số hạng tương tự, sao cho cuối cùng trong phương trình cho mỗi độ chỉ còn lại một số hạng dương, nằm ở bên này hay bên kia. Vì vậy, ví dụ, nhờ phép toán đầu tiên của phương trình, $3x^2 - 5x + 6 = x^2 + 7x + 2$ biến thành $3x^2 + 6 = x^2 + 12x + 2$, và nhờ phép toán thứ hai, thành $2x^2 + 4 = 12x$. Do đó, toàn bộ khoa học về các phương trình (“đại số”), sau đó là việc sử dụng tập hợp các ký hiệu cần thiết cho nó, và cuối cùng, lý thuyết về các phép toán trừu tượng đã nhận được một cái tên mà lúc đầu chỉ dùng để chỉ một phép toán, giờ đã không còn được sử dụng, phép toán “al-jabr”; hiện tại, chúng tôi - không giống như người Hy Lạp, người Ả Rập và những người kế nhiệm không phải tổng thống của họ ở châu Âu - không yêu cầu chỉ có những số hạng tích cực ở cả hai vế của phương trình.

Trong “đại số” của mình, al-Khorezmi xem xét các phương trình tuyến tính và bậc hai, nhưng không có bất kỳ hình thức đại số nào. Mọi thứ ở đây đều được thể hiện bằng lời nói; Do đó, một biến trong phương trình được gọi là căn bậc và bình phương của nó đơn giản là một bình phương. Sáu loại phương trình được xem xét:

“bình phương căn bậc hai”
“bình phương các số bằng nhau”
“gốc bằng số”
“bình phương và căn bậc hai đều bằng số”
“hình vuông và số đều bằng gốc”
“gốc và các số đều bằng bình phương”*).

Ba loại đầu tiên được chia thành các phương trình ví dụ sau:

$x^2 + 10x = 39; \ x^2 + 21 = 10x; \ 3x + 4 = x^2$ (các phương trình này sau đó xuất hiện thường xuyên trong các văn bản đại số tiếp theo). Phương trình $x^2 + 10x = 39$ được mô tả như sau: “một hình vuông và mười căn của nó là ba mươi chín dirichem**), … điều này có nghĩa là nếu bạn thêm vào một hình vuông nhất định số bằng mười căn, bạn sẽ có được ba mươi chín.

*) Được dịch sang ngôn ngữ đại số của chúng ta, các phương trình này trông như thế này:
$ax^2 = bx; ax^2 = b; ax = b;$
$ax^2 + bx = c; ax^2 + b = cx; ax + b = cx$
$(a, b, c > 0)$.
**) Dirichem - đồng tiền ở giữa; ở đây từ này được dùng cho số hạng tự do gợi ý của phương trình.

$$x = \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2 + 39} - \frac{10}{2} = 3,$$

al-Khorezmi mô tả bằng những từ sau: “… chia số căn, kết quả trong bài toán là năm, nhân số này với số bằng của nó, nó sẽ là 25. Cộng số này với ba mươi chín thành sáu mươi chín bốn. Trích từ căn này, sẽ có tám; trừ đi số căn từ vị trí này, tức là năm, để lại ba. Đây sẽ là căn của hình vuông mà bạn đang tìm kiếm, và một hình vuông là chín.”

Đối với lời giải phương trình này, hai phương pháp hình học cũng hữu ích (Hình 1, 2). Trong Hình 1, các hình chữ nhật có chiều cao 10/4 được dựng trên bốn cạnh của hình vuông $x^2$, sau đó các góc của các hình thu được được lấp đầy bằng các hình vuông có cạnh 10/4; do đó, hình vuông được tạo thành ở cạnh $x + 10/2$ sẽ có giá trị đã biết $39 + (10/2)^2$. Trong Hình 2, một hình vuông có cùng diện tích 64 được tạo thành từ hai hình vuông có diện tích $x^2$ và 25, tương ứng với

31

chỉ trong nửa đầu thế kỷ 20. Con người đã phát minh và sử dụng các thuật toán trong hàng nghìn năm, nhưng chỉ đến đầu những năm ba mươi, các khái niệm toán học chính xác về thuật toán mới xuất hiện. Tuy nhiên, với những bước đi đầu tiên, lý thuyết mới về thuật toán đã mang lại cho toán học một loạt khám phá quan trọng quyết định phần lớn diện mạo hiện đại của nó.

Định nghĩa đầu tiên về một thuật toán, được gọi là hàm đệ quy nguyên thủy, đã cho phép nhà toán học người Áo K. Gödel chứng minh lý thuyết quan trọng của ông về những phát biểu đúng nhưng không thể chứng minh được vào năm 1931. Đây là một kết quả rất sâu sắc, một mặt đã thiết lập nên các lý thuyết hình thức hạn chế, mặt khác, chứng minh tính vô hạn của quá trình nhận thức của con người. Một định nghĩa khác về thuật toán, gợi nhớ đến quy tắc thay thế và thay thế các biến nổi tiếng khi tính toán bằng công thức, đã cho phép nhà toán học người Mỹ A. Church vào năm 1936 phát hiện ra sự tồn tại của các vấn đề không thể giải được bằng thuật toán, tức là chuỗi bài toán, cho phép một công thức toán học chính xác mà không thể có một thuật toán duy nhất lời giải. Một ví dụ về bài toán không thể quyết định là: tìm một cách chung cho bất kỳ thuật toán nào để phát hiện xem liệu nó có tạo ra kết quả cho bất kỳ đối số nào của nó hay không hoặc liệu có một số dữ liệu mà nó sẽ hoạt động vô thời hạn hay không.

Đương nhiên, ngay khi những kết quả hạn chế như vậy xuất hiện, họ bắt đầu nghĩ rằng có lẽ những hạn chế này có thể không quá hạn chế nếu chúng được nhìn thấy hoặc củng cố bằng cách nào đó bởi định nghĩa của thuật toán. Và ở đây, các nhà toán học đã gặp phải một hiện tượng đáng kinh ngạc khác: các định nghĩa khác nhau nhất về một thuật toán, được phát minh ra từ những tiền đề hoàn toàn khác nhau, hóa ra lại hoàn toàn tương đương với nhau.

Theo ý kiến ​​chung của các đại biểu tham dự, Hội nghị chuyên đề khẩn cấp đã trở thành một cuộc họp độc đáo. Theo một trong những người tổ chức, nhà khoa học máy tính người Mỹ D. Knuth, “…đó là một trải nghiệm khó quên. Thay vì một hội nghị “chung”, nơi những người tham gia đọc các báo cáo đã chuẩn bị trước, chúng tôi đã tổ chức các cuộc thảo luận chung về các vấn đề cơ bản của khoa học máy tính. Cảnh quan sa mạc xung quanh ốc đảo Khorezm và hơi thở của lịch sử đã khiến chúng tôi phân tâm khỏi những nhiệm vụ hàng ngày vây quanh chúng tôi ở quê nhà và giúp chúng tôi tập trung vào những suy ngẫm triết học sâu sắc và lâu dài nhất. "

Tối ngày 22/9/1979, hội thảo đã kết thúc công việc. Những người tham gia đã rời đi. Quảng trường vắng tanh, người thợ bông cũng về nhà. Gần khách sạn, trăng tròn chiếu sáng hòn đá được những người tham gia hội nghị chuyên đề đặt dưới chân tượng đài Muhammad al-Khorezmi, một người gốc Khorezm, người đã để lại cho người đàn ông hệ thống vị trí của Ấn Độ về đánh số, số học, đại số và tên hay của anh ta.

32

Từ kinh nghiệm cũ

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. VARLAMOV

Với tiêu đề này, chúng tôi xuất bản các bài viết về hoàng hôn, đồng thời, những thí nghiệm đáng kính trọng trong vật lý, được thực hiện bởi những người theo chủ nghĩa mùa đông tò mò trong thế kỷ trước.*)

Hôm nay chúng tôi mang đến cho độc giả một câu chuyện về các thí nghiệm chứng minh sự ảnh hưởng lẫn nhau của vảy nước và… âm thanh.

Có bao nhiêu bạn chưa quen với micro? Bạn nhìn thấy nó trên truyền hình, trong rạp hát và rạp chiếu phim, sử dụng nó trong khi ghi vào băng, cấu trúc của nó thậm chí còn được mô tả trong sách giáo khoa vật lý ở trường. Nhưng có lẽ họ biết rất ít về cách chế tạo micro nước. Vâng, vâng, đừng ngạc nhiên. Hóa ra việc sử dụng vảy nước có thể khuếch đại thành công nhiều loại âm thanh khác nhau. Thiết bị phi giảng dạy này được chế tạo bởi Alexander Graham Bell người Mỹ, người được cả thế giới biết đến như một trong những nhà phát minh ra điện thoại. Nhưng trước khi bắt đầu chế tạo micro nước, hãy giới thiệu cho người dùng một số đặc tính của “bộ khuếch đại” của nó - vảy nước.

Nếu bạn khoan một lỗ tròn nhỏ ở đáy bình chứa nước, bạn sẽ nhận thấy lớp vảy nước chảy qua nó bao gồm hai phần, có tính chất khác nhau. Phần trên của vảy có đốm và bất động đến mức trông như thủy tinh. Khi nó di chuyển ra khỏi nguồn, nó trở nên mỏng hơn và tại điểm co lại nhất, phần dưới bắt đầu, có hình dạng thay đổi và mờ đục. Thoạt nhìn, phần vảy này cũng giống như phần trên, có vẻ liên tục, nguyên khối. Tuy nhiên, đôi khi bạn có thể nhanh chóng chạy nó qua ngón tay mà không bị ướt.

Nhà vật lý người Pháp Felix Savard đã tiến hành một nghiên cứu tương tự về các tính chất

*) Xem các bài viết của A. A. VARLAMOV trong «Kvant» Số 10 năm 1982 và số 5 năm 1983. (Chú thích của biên tập viên)

vảy nước và đi đến kết luận rằng tại điểm hẹp nhất vảy nước không còn liên tục và vỡ ra thành những giọt riêng biệt. Hãy thử tự mình nhìn thấy điều này bằng cách chụp ảnh một vảy nước bằng đèn flash hoặc nhìn vào một vảy dưới ánh sáng hoạt nghiệm *)

Một khám phá quan trọng khác của Savart là chiều dài của phần trên, rõ rệt của lớp vảy bị ảnh hưởng rất nhiều bởi các âm thanh xung quanh. Nếu rung động âm thanh của một hạt nhất định được kích thích gần vảy nước, phần rõ rệt của vảy ngay lập tức trở nên đục**)

Savar nghĩ nó là như thế này. Những giọt nước có vảy nước

33

phần dưới của họ, bắt nguồn từ phía trên, ở chính trách nhiệm. Xuất hiện dưới dạng hình chiếu hình chiếc nhẫn, khi chúng di chuyển ra xa câu trả lời, chúng xuất hiện ngày càng rõ ràng hơn cho đến khi chúng tách rời hoàn toàn. Những hình chiếu này nối tiếp nhau thường xuyên đến mức tạo ra âm thanh yếu ớt. Một nốt nhạc phát ra đồng thời với âm thanh này góp phần làm cho dòng suối bị phân hủy trước đó thành những giọt riêng biệt, tức là nó biến phần phát âm của dòng thành phần có mây.

Nhà vật lý người Anh John Tyndall, được bạn biết đến từ những ấn phẩm trước đây, đã lặp lại các thí nghiệm của Savart trong phòng thí nghiệm của ông. Anh ấy đã cố gắng tạo ra một dòng suối (một mạch máu, theo cách nói của Tindal), phần nhô ra của nó đạt chiều dài khoảng 90 feet (≈27,4 m). Khi tiếp xúc với âm thanh của các tổ chức tương ứng với rasstia và cường độ vừa phải, mạch rõ rệt này ngay lập tức chuyển sang màu đục, tan rã thành vô số giọt nước.

Trong một bài báo, Tyndall mô tả quan sát của mình về một tia nước rơi vào một vũng nước: “Khi tia nước đi qua bề mặt chất lỏng phía trên điểm đứt (điểm chuyển từ phần bình thường của tia sang phần bùn - A.V.), và áp suất không quá mạnh, nó đi vào chất lỏng một cách im lặng, nhưng khi bề mặt này đi qua dòng bên dưới điểm đứt, ngay lập tức nghe thấy tiếng rì rầm và xuất hiện nhiều bong bóng. Trong trường hợp đầu tiên, không những chất lỏng không bắn tung tóe mạnh mà còn xung quanh đáy của tĩnh mạch nó tụ lại thành một đống, ở dạng nhô ra, nơi chuyển động ngược lại với dòng chảy.” Cố gắng lặp lại những thí nghiệm đơn giản này với dòng nước chảy từ vòi nước và chẳng hạn như một chậu nước. Hãy chú ý đến áp suất mà dòng nước chảy ra khỏi vòi.

Các đặc tính được mô tả của tia nước hiện được sử dụng để tạo ra micrô nước. Chuẩn bị một sợi dây đồng có đường kính 2 cm và chiều dài 20 cm, một miếng cao su từ vụ nổ silicat và một vài sợi dây thủy tinh. Trên mặt bên của sợi dây đồng, lùi lại 3 cm so với đầu trên, tiếp tục câu trả lời và hàn vào đó một ống có đường kính nhỏ hơn một chút và dài khoảng 3 cm. Đặt một cái phễu (sừng) được dán lại từ bìa cứng lên trên đường ống. (Ở đầu còi nên làm một chiếc cổ nhỏ, có đường kính lớn hơn đường kính của ống một chút để gắn còi vào ống). Thượng đồng-

35

Nếu quần chúng được thay thế bằng máy bay…

CHAN KUANG

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chứng minh một số định lý có thể được coi là an toàn đối với sỏi mật của hình học cơ bản. Không còn nghi ngờ gì nữa, những định lý này sẽ cung cấp cho người đọc những công thức thuận tiện thậm chí chỉ bằng những tính chất của chúng. Nhưng chúng ta đang nói về chúng ở đây vì một lý do khác - chúng sẽ bắt nguồn từ một công thức - công thức Lagrange để tính “mômen quán tính”. Hãy trình bày nó để phục vụ ba điểm A, B, C:
$$\alpha |PA|^2 + \beta |PB|^2 + \gamma |PC|^2 = \frac{1}{\mu} (\alpha \beta c^2 + \beta \gamma a^2 + \gamma a b^2) + \mu |PZ|^2;$$
(1)

ở đây A, B, C và P là các điểm tùy ý, α, β và γ là các số tùy ý (hiểu là “khối lượng” tập trung tại các điểm A, B và C), μ = α + β + γ ≠ 0, a, b, c là độ dài các đoạn BC, CA, AB, cuối cùng Z là tâm khối lượng của hệ vật liệu gồm các điểm αA, βB, γC, tức là theo định nghĩa là một điểm thỏa mãn điều kiện
$$\alpha ZA + \beta ZB + \gamma ZC = 0$$
(điểm vật chất là một cặp (điểm, số), αA, βB và γC là các ký hiệu quan trọng cho vật liệu của các điểm (A, α), (B, β), (C, γ)). Về nguyên tắc, những gì đã nói vừa đủ để rút ra công thức (1) vừa đủ để hiểu những gì tiếp theo. Tuy nhiên, chúng tôi khuyên bạn nên đọc bài viết của V.N. Dubrovsky “Momen quán tính trong hình học” trong số trước của tạp chí, trong đó công thức Lagrange được chứng minh (công thức (7) trong bài viết này), giải thích nó liên quan như thế nào đến “mômen quán tính” và một số hệ quả hình học khác của nó được đưa ra, cũng như các tính chất cần thiết của khối lượng.

37

tô màu bằng $abc \cdot |DA| \cdot |DB| \cdot DC/4RS^2$, chúng ta hiểu được điều đó
$$-c \cdot |DC| - a \cdot |DA| + b \cdot |DB| = 0,$$
đó là
$$|DB| \cdot |AC| = |DA| \cdot |BC| + |AB| \cdot |DC|.$$

Khu vực tam giác bàn đạp
Biểu thức ở vế phải của (4) trông khá lúng túng, nhưng như chúng ta sẽ thấy sau đây, nó có ý nghĩa hình học rất tốt. Chúng ta thả từ điểm $Z$ các đường vuông góc $ZA_1, ZB_1$ và $ZC_1$ xuống các đường $BC, CA$ và $AB$ (Hình 5). Tam giác thu được $A_1B_1C_1$ được gọi là tam giác bàn đạp của điểm $Z$. Leonhard Euler phát hiện ra rằng diện tích của nó bằng
$$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{|OZ|^2}{R^2} \right) S_{ABC}$$
(cả hai hình vuông đều được định hướng!). Chúng ta hãy rút ra kết quả này từ công thức (4). Để làm điều này, chúng ta sẽ chứng minh rằng $S_aS_bc^2 = abcR \cdot S_{ZA_1B_1}$. Cộng đẳng thức này với các đẳng thức tương tự cho hai số hạng còn lại ở vế phải của (4), chúng ta có:

$$R^2 - |OZ|^2 = \frac{1}{S^2} abcR \left( S_{ZA_1B_1} + S_{ZB_1C_1} \right) + S_{ZC_1A_1}$$
$$= \frac{4R^2}{S_{ABC}} S_{A_1B_1C_1},$$
tương đương với công thức Euler.

Vì vậy, hãy xem xét biểu thức $S_aS_bc^2$. Rõ ràng là $|S_a| = a |ZA_1|/2$, $|S_b| = b |ZB_1|/2$, $c = 2R \sin \widehat{ACB} = 2R \sin A_1ZB_1$ (vì các cạnh của các góc $ACB$ và $A_1ZB_1$ vuông góc với nhau nên độ lớn của chúng bằng nhau hoặc tổng bằng $180^\circ$). Kể từ đây,
$$|S_aS_bc^2| = abcR \cdot \frac{1}{2} |ZA_1| \|ZB_1| \sin A_1ZB_1 = abcR |S_{ZA_1B_1}|.$$

Còn phải chứng minh rằng dấu của tích $S_aS_b$ trùng với dấu của $S_{ZA_1B_1}$. Điều này có thể dễ dàng thực hiện bằng cách xem xét bốn vị trí có thể có của điểm $Z$ so với các đường $AC$ và $BC$ (trong mỗi góc trong số bốn góc được tạo bởi các đường này, các dấu $S_a, S_b$ và $S_{ZA_1B_1}$ là không đổi).

Để kết luận, chúng tôi trình bày một định lý cổ xưa khác: đáy của các đường vuông góc hạ từ một điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đến các cạnh của nó (hoặc phần mở rộng của chúng) nằm trên một đường thẳng - “Đường thẳng Simson” (Hình 6).

38

Hình 6.

Định lý này ngay lập tức tuân theo công thức Euler, vì đối với một điểm Z nằm trên một đường tròn ngoại tiếp thì diện tích của tam giác bàn đạp bằng 0, nghĩa là nó suy biến thành một đường thẳng.

Bài tập
Nếu điểm Z đóng vai trò là khối tâm của một hệ vật chất là các điểm αA, βB, γC thì ba số α, β, γ gọi là tọa độ tâm tâm của điểm Z so với các điểm A, B, C.

1. Chứng minh rằng đối với bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng, tọa độ barycentric được xác định duy nhất theo tỷ lệ và ngược lại; bất kỳ bộ ba số nào (α, β, γ) có tổng không bên trái xác định chính xác một điểm trên mặt phẳng.

2. Chứng minh rằng tọa độ tâm của các “điểm đáng chú ý” trong tam giác ABC so với các đỉnh của nó bằng nhau: với tâm Z của đường tròn nội tiếp - (a, b, c); cho tâm Z của đường tròn ngoài tiếp xúc với cạnh BC - (-a, b, c); đối với tâm O của đường tròn ngoại tiếp - (sin 2A; sin 2B; sin 2C); đối với điểm H giao nhau của các độ cao - (tg A, tg B, tg C); đối với điểm G giao điểm của các đường trung tuyến là (1, 1, 1).

3. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai điểm M và M’ có tọa độ tâm tâm (α, β, γ) và (α’, β’, γ’) so với điểm A, B, C có α+β+γ=α’+β’+γ’=1 có thể được tính bằng công thức |MM’|²=-(a²k_bk_c+b²k_a+c²k_bk_b), trong đó k_a=α-α’, k_b=β-β’, k_c=γ-γ'.

4. Biểu thị khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến tâm của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoài theo bán kính của các đường tròn này.

5. Chứng minh rằng (bằng ký hiệu bài toán 2) |OG|2=R²-(a²+b²+c²)/9, trong đó R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp.

tin tức khoa học

Loại phân rã phóng xạ mới

Có nhiều nguyên tố trong tự nhiên, hầu hết là các nguyên tố nặng, tự phát ra các hạt alpha, hạt beta và tia gamma.*) Các nguyên tố này tạo thành ba chuỗi phóng xạ tự nhiên (họ), với mỗi nguyên tố tiếp theo phát sinh từ sự phân rã phóng xạ của nguyên tố trước đó.

Tổ tiên của một chuỗi là hạt nhân 238U, đồng vị của uranium có số khối 238 (họ uranium), chuỗi còn lại là hạt nhân thorium 232Th (họ thorium), và chuỗi thứ ba là hạt nhân của đồng vị uranium 235U, còn gọi là aktinuραn (họ aktinium). Tất cả ba hàng nguồn đều kết thúc bằng một lõi

đồng vị chì này hoặc đồng vị chì khác.*)

Trong họ bắt đầu bằng 235U, có một hạt nhân đồng vị radium phân rã khi phát ra hạt alpha, biến thành hạt nhân phóng xạ. Tiếp theo sự phân rã này là hai sự phân rã tương tự khác - sự biến đổi radion thành polonium và polonium thành chì:

223Ra → α → 219Rn → α → 215Po → α → 211Pb.

Các nhà vật lý từ lâu đã quan tâm đến câu hỏi: các hạt alpha có nên được giải phóng từng hạt một hay chúng có thể hợp nhất thành hạt nhân carbon 12C và bay ra ngoài thành một “mảnh” lớn? Quá trình này bị cản trở một cách tự nhiên do không có hạt nhân carbon phóng xạ trong hạt nhân. Tuy nhiên, hạt α cũng không được “chuẩn bị” trước mà còn nợ “những người anh em” của mình ngay trước khi rời khỏi hạt nhân. Hóa ra là hạt alpha làm điều này vẫn dễ dàng hơn hạt nhân carbon và cho đến gần đây tôi chưa quan sát thấy sự phát xạ của hạt nhân nhẹ (ngoại trừ hạt nhân của nguyên tử helium, tức là hạt alpha) từ một hạt nặng.

*) Phóng xạ tự nhiên được phát hiện vào năm 1896.

Năm 1940, người ta đã phát hiện ra sự phân hạch tự phát của các hạt nhân nặng thành hai mảnh gần giống nhau (bởi K. A. Petryak và G. N. Flerov), nhưng hiện tượng này hoàn toàn không giống với sự phát xạ của một hạt nhẹ. Chỉ gần đây người ta mới phát hiện ra một loại phân rã phóng xạ mới, xảy ra khi có sự bức xạ của hạt nhân carbon. Hóa ra hạt nhân carbon thực sự bay ra khỏi radium, không phải 12C mà là 14C, do đó ba hạt alpha mang theo thêm hai neutron. Trong trường hợp này, như tính toán cho thấy, mức tăng năng lượng tối đa đạt được - 32 MeV. Nếu hạt nhân của đồng vị 12C được phát ra, nó sẽ mang đi ít năng lượng hơn - 28 MeV.

Xác suất hạt nhân 14C thoát ra là rất nhỏ - nó nhỏ hơn 1010 lần so với xác suất phân rã α của radium. Nói cách khác, cứ 10 tỷ hạt alpha thì có một hạt nhân carbon được phát ra. Theo ước tính, khả năng phát xạ của hạt nhân 12C thậm chí còn ít hơn (ít hơn 106 lần). Với cùng xác suất, hạt nhân của các đồng vị khác (13C, 15C) sẽ được phát ra.

Có thể nói với sự mở rộng rằng một lĩnh vực nghiên cứu mới đã mở ra cho các nhà vật lý. TÔI Ở VỚI.

Nhiệm vụ

1. Nghệ sĩ đã mắc lỗi gì trong trình bảo vệ màn hình của chương trình truyền hình buổi tối “Chúc ngủ ngon các chàng trai”?

2. Chiều cao của hình tam giác nhỏ hơn 2 lần so với đáy của nó và một trong các góc ở đáy là 75°. Chứng minh rằng tam giác đều.

3. Học sinh lớp một Natasha được giao bài tập về nhà để diễn tả một số nguyên giờ nhất định tính bằng giây. Cô ấy viết đáp số thật đẹp trên terradi của mình và ngay lập tức đóng nó lại. Đến trường, Natasha phát hiện ra có hai con số đã dàn thành từng mảng. Ngoài ra, cô còn viết chính xác số giờ cần thể hiện bằng giây. Những con số nào nên được viết cùng với các dấu chấm?

4. Slava mượn một cuốn sách từ một người bạn trong ba ngày. Vào ngày đầu tiên anh ấy đọc được nửa kg, ngày thứ hai - một phần ba số trang còn lại, và vào ngày thứ ba anh ấy đọc được số trang bằng một nửa số trang đã đọc trong ngày đầu tiên. Slava có đọc được cuốn sách trong ba ngày không?

5. Giải một câu đố về số

$(HE)^2 = SHE$

$(HE$ và $SHE$ là “anh ấy” và “cô ấy” trong tiếng Anh).

Những nhiệm vụ này được gợi ý cho chúng tôi bởi Sasha Korshkov, học sinh lớp 5 trường số 8 ở Mozyr,
A. N. Smolykov, N. K. Antonovich,
V. D. Vyyun, A. P. Savin

Chúng tôi đang hoàn thành một loạt ấn phẩm ngắn gồm các đoạn trích từ cuốn sách tuyệt vời “Alice in the Land of Destiny” của tác giả IELA của L. Carroll (giống như cuốn đầu tiên trong số bị gián đoạn «Kvant») với các câu hỏi và nhiệm vụ. Chúng tôi sẽ tiếp tục các ấn phẩm tương tự nếu hai ấn phẩm đầu tiên được độc giả yêu thích.

• Càng ngày càng kỳ lạ! - Alice kêu lên. Có thể nói, từ việc học, cô ấy hoàn toàn mất hứng thú. - Bây giờ tôi mở ra như một chiếc kính thiên văn. Khâu chân của bạn!
  (Lúc đó cô ấy chỉ nhìn vào chân mình và thấy chúng lao xuống nhanh như thế nào. Một lúc nữa - và chúng sẽ biến mất khỏi tầm mắt.)
• Đôi chân tội nghiệp của tôi! Ai sẽ mang giày của bạn bây giờ? Ai sẽ mang tất và giày cho bạn? Tôi không thể có đủ của bạn, các bạn thân mến. Chúng ta sẽ xa nhau đến nỗi anh sẽ không còn thời gian dành cho em… Khi em đi săn mà không có anh…
  Đúng lúc đó cô ấy đập đầu vào trần nhà: rốt cuộc, cô ấy đã duỗi người ra khoảng 9 feet, không hơn không kém. Sau đó cô chộp lấy chiếc chìa khóa vàng trên bàn và chạy ra cửa vườn.
  Alice hiểu biết! Cô ấy thậm chí có thể đi qua cửa? Cô chỉ có thể nhìn vào khu vườn bằng một mắt - và sau đó cô phải nằm xuống sàn. Không có động lực để đi vào lỗ. Cô ngồi xuống sàn và lại bắt đầu khóc.

khi tôi thức dậy, có phải là tôi hay không? Dường như tôi không còn là tôi nữa! Nhưng nếu đúng như vậy thì tôi là ai trong trường hợp này? Mọi thứ thật phức tạp…
Và cô lại bắt đầu lật lại trong đầu những người bạn cùng tuổi với mình. Có lẽ cô ấy đang biến thành một trong số họ?

• Dù thế nào đi nữa, tôi không phải Ada! - cô nói một cách dứt khoát. Tóc của cô ấy nổi bật, nhưng tôi thì không. Và tôi chắc chắn không phải Mabel. Tôi biết mọi thứ nhưng cô ấy lại chẳng biết gì cả. Và nói chung, cô ấy là cô ấy, còn tôi là tôi. Mọi thứ thật không rõ ràng làm sao! Được rồi, để tôi kiểm tra xem tôi có nhớ những gì tôi đã biết hay không. Vì vậy, nó như thế này: bốn năm là mười hai, bốn sáu là mười ba, bốn bảy… Vậy nên tôi sẽ không tính đến hai mươi!
  Được rồi, bảng cửu chương không thành vấn đề. Tôi sẽ thử môn địa lý, London là thủ đô của Paris, và Paris là Rome, và Rome… Không, không phải như vậy, tôi sẽ thử đọc “Nhà. Mà Jack đã xây…”
  Cô ấy khoanh tay vào lòng như thể đang dạy một bài học và bắt đầu. Nhưng giọng cô ấy bắt đầu hú lên một cách kỳ lạ, như thể có ai đó

Bài 2. Ada, Alice và Mabel có lần đi dạo trong bộ váy màu trắng, xanh lá cây và xanh lam. Giày của họ có cùng màu sắc. Được biết, chỉ có đôi giày của Alice có màu giống Melt. Đồ bơi và giày của Ada không có màu trắng. Mabel đang đi giày màu xanh lá cây. Xác định màu tan chảy của mỗi cô gái.

Vấn đề 3. Những đẳng thức mà Alice nói đến có thể xảy ra không? Và tại sao cô ấy không đạt tới tuổi hai mươi?

“Hãy xấu hổ đi,” Alice tự nhủ sau đó một lúc. - Đúng là một cô gái lớn (tất nhiên là cô ấy nói đúng) - và bạn khóc! Dừng lại ngay! Bạn có nghe thấy không?
Nhưng dòng suối vẫn chảy, chẳng bao lâu sau một vũng nước lớn hình thành sâu bốn phía xung quanh cô. Nước tràn khắp sàn và đã đến giữa sảnh.
Một lúc sau, xa xa đã nghe thấy tiếng mồ hôi của đôi chân nhỏ. Alice vội vàng đảo mắt và bắt đầu chờ đợi. Chính con thỏ giặt là đã phát nổ. Anh ta ăn mặc lịch sự, một tay cầm một đôi găng tay trẻ em và tay kia cầm một chiếc bíp lớn.
Vừa chạy, anh vừa lẩm bẩm một mình:

• Ax, của tôi nữa, Nữ công tước sẽ nói gì đây! Cô ấy sẽ rất tức giận nếu đến muộn! Chỉ là tức giận thôi!
  Alice đang trong tâm trạng lo lắng đến mức cô ấy sẵn sàng tìm đến bất cứ ai để được giúp đỡ. Khi Thỏ ngã khỏi anh, cô rụt rè bước đi:
• Xin lỗi, thưa ngài…
  Con thỏ nhảy lên, đánh rơi găng tay và kêu bíp, phóng đi và ngay lập tức biến mất trong bóng tối.
  Alice nhấc tiếng bíp và đeo găng tay. Trong hành lang rất nóng, và cô bắt đầu quạt cho mình những tiếng bíp.
• Không, cứ nghĩ đi! - cô nói, - Hôm nay thật là một ngày kỳ lạ! Và ngày hôm qua mọi chuyện vẫn diễn ra như thường lệ. Có lẽ chính tôi đã thay đổi chỉ sau một đêm chăng?
  Hãy để tôi nhớ: sáng nay,

người kia khàn giọng phát âm những từ hoàn toàn khác dành cho cô ấy…
“Vinh quang không giống nhau chút nào,” Alice tội nghiệp nói, và đôi mắt cô lại đẫm lệ. - Vậy tôi vẫn là Mabel! Bây giờ tôi phải sống trong ngôi nhà cũ này. Và tôi sẽ không có bất kỳ đồ chơi nào cả. Nhưng những bài học sẽ phải được dạy không ngừng. Chà, đã quyết định rồi: nếu tôi là Mabel, hãy ở đây mãi mãi. Hãy để họ cố gắng đến đây vì tôi! Họ sẽ cúi đầu và bắt đầu gọi: “Hãy lên đây, bạn thân mến, hãy tham gia cùng chúng tôi!” Và tôi sẽ chỉ nhìn họ và nói: “Trước tiên hãy nói cho tôi biết, tôi là ai? Nếu điều đó tốt hơn cho tôi, tôi sẽ đứng lên, còn nếu không, hãy ở lại đây cho đến khi tôi biến thành người khác!”
Ở đây bạn nên xịt từ mắt cô ấy. - Sao không có ai đến đón tôi? Ngồi đây một mình chán quá!
Với những lời này, Alice liếc nhìn thị thực của mình và ngạc nhiên nhận ra rằng trong khi nói, cô đã đeo một chiếc găng tay Thỏ nhỏ vào một tay.
“Sao mình làm được điều này nhỉ? - cô nghĩ. “Rõ ràng mình sẽ thông minh trở lại.” Alice đứng dậy và bước tới bàn để xem hiện tại cô đã cao bao nhiêu. Rõ ràng, nó cao không quá hai feet và tiếp tục co lại nhanh chóng. Cô nhanh chóng nhận ra rằng tiếng bíp mình đang cầm trên tay là nguyên nhân và ngay lập tức ném nó xuống sàn. Và cô ấy đã làm rất tốt, nếu không cô ấy có thể đã biến mất hoàn toàn.

43

Sau đó, cô nghe thấy tiếng nước bắn tung tóe gần đó và bơi đến đó để tìm xem ai đang bắn nước ở đó. Lúc đầu, cô quyết định rằng đó là một con hải mã hoặc một con hà mã, nhưng sau đó cô nhớ lại mình bây giờ nhỏ bé đến thế nào và nhìn kỹ, cô chỉ thấy một con chuột, hình như cũng đã rơi xuống nước.
“Tôi có nên nói chuyện với cô ấy hay không? - Alice nghĩ. “Ngày nay mọi thứ thật tuyệt vời đến nỗi có lẽ cô ấy có thể nói được.” Dù sao đi nữa, nó đáng để thử.”
Và cô ấy bắt đầu:

• Ôi Chuột! Bạn không biết làm thế nào để thoát ra khỏi vũng nước này? Tôi tin tưởng đến mức có lẽ cô ấy cũng có thể nói được. Dù thế nào đi nữa, anh ta sẽ cố gắng đứng trong khu vực và tất cả lũ chuột… Axe, của tôi nữa! - Alice buồn bã nói. “Tôi nghĩ tôi lại xúc phạm cô ấy lần nữa!”
  Con chuột dùng hết sức lực bơi xa khỏi cô, thậm chí có sóng xuất hiện trong nước.
• Chuột ơi! - Alice khép lại mọi chuyện với cô một cách trìu mến. - Làm ơn quay lại đi. Nếu mèo và chó không phải là sở thích của bạn, tôi sẽ không nói thêm lời nào về chúng nữa!
  Nghe vậy, Chuột quay lại và từ từ bơi trở lại. Cô ấy trở nên xanh xao khủng khiếp (“Vì tức giận!” Alice nghĩ.)
  “Chúng ta hãy leo lên bờ,” Chuột nói với cái đầu run rẩy, lặng lẽ, “và tôi sẽ kể cho bạn nghe câu chuyện của tôi.” Rồi bạn sẽ hiểu tại sao tôi không tôn trọng chó và mèo.
  Và trên thực tế, việc thoát ra là cần thiết. Chùm tia ngày càng trở nên đông đúc hơn bởi tất cả các loài chim và động vật bay vào đó. Có Robin Goose, Dodo Bird, Little Lori, Ed the Eaglet và đủ loại sinh vật tốt bụng khác. Alice bơi về phía trước và mọi người theo cô vào bờ.

Nhiệm vụ 5. Con chuột có 20 bước để đến lỗ. Một con mèo có 5 lần nhảy tới một con chuột. Để mèo nhảy, chuột phải thực hiện 3 bước. Một lần mèo nhảy bằng 10 bước chuột. Liệu con mèo có bắt được con chuột không?

44

Bài toán

M876—M880; F888—F892

M876. Trên đường tròn tiếp xúc với các cạnh của góc có đỉnh O chọn hai điểm đối xứng đường kính A và B (khác với các điểm tiếp tuyến). Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm B cắt các cạnh của góc tại các điểm C và D và đường thẳng OA tại điểm E (Hình 1). Chứng minh rằng độ dài các đoạn BC và DE bằng nhau.

A. S. Merkuryev

M877. Từ một tờ giấy ca rô có kích thước 29 × 29 ô vuông, 99 ô vuông có kích thước 2 × 2 đã được cắt ra. Chứng minh rằng bạn có thể cắt một hình vuông khác từ nó.

S. V. Fomin

M878. Chứng minh rằng nếu tổng các góc phẳng tại đỉnh của một paramid lớn hơn 180° thì mỗi cạnh bên của paramid nhỏ hơn nửa chu vi đáy của nó.

Yu. I. Ionin, A. V. Smirnov

M879. Với 5 số nguyên a, b, c, d, e, tổng a+b+c+d+e và a2+b2+c2+d2+e2 đều chia hết cho một số lẻ p. Chứng minh rằng số a⁵+b⁵+c⁵+d⁵+e⁵ - 5abcde cũng chia hết cho p.

S. V. Fomin

M880*. Trong dãy 1, 0, 1, 0, 1, 0,… mỗi số hạng bắt đầu từ chữ số thứ bảy, bằng chữ số cuối cùng của tổng sáu chữ số trước đó. Chứng minh rằng dãy số này không chứa sáu số liên tiếp…., 0, 1, 0, 1, 0, 1,….

A. S. Merkuryev

F888. Hình 2 thể hiện sơ đồ nguyên lý của trọng lực kế - một thiết bị đo gia tốc Varnatzian khi rơi tự do g. Trong bình chứa khí dẫn nhiệt 1 và 2 áp suất lần lượt là p₁≈2·10⁴Pa và p₂≈3·10⁴Pa. Các bình hình trụ A và B có bán kính 10 cm và một ống nối chúng được đổ đầy rue. Một chất lỏng rất nhẹ (toluene) được đổ lên trên thủy ngân; chất lỏng này đổ đầy các bình A và B bằng bình 1 và 2. Hãy mô tả quá trình đo gia tốc Varnatzian g bằng thiết bị này. Độ lớn của Varnatse g có thể được đăng ký là bao nhiêu?

45

Còn máy đo trọng lực này thì sao, nếu biết rằng với sự thay đổi ở các điểm khác nhau, sự thay đổi độ chênh lệch chuyển vị ngang chỉ trong mao mạch có thể đạt tới vài mm (lên đến 1 cm)? Nhiệt độ được giữ không đổi trong quá trình thay đổi; mật độ thủy ngân $\rho = 13,5 \times 10^3$ kg/m$^3$.

Yu. M. Brook

F889. Mặt trời ở độ cao góc f so với đường chân trời. Một vật phải được ném ở góc nào so với bề mặt Trái đất trong một mặt phẳng thẳng đứng đi qua Mặt trời để vật đó di chuyển trên con đường dài nhất dọc theo Trái đất?

V. A. Nakhshin

F890. Các tinh thể sắt ở nhiệt độ lên tới 910 °C bao gồm các phần tử tế bào có hình lập phương với chiều dài cạnh $a_1 = 2,87 \cdot 10^{-10}$ m. Các nguyên tử sắt nằm ở các đỉnh của khối lập phương và ở tâm của nó (Hình 3). Loại nguyên tố này - có mạng lập phương tâm khối - được gọi là sắt alpha ($Fe_a$). Ở nhiệt độ trên 910 °C, tế bào sắt Kristalliza là một khối lập phương đặt chính giữa mặt với chiều dài cạnh $a_2 = 3,63 \cdot 10^{-10}$ m. Các nguyên tử nằm ở các đỉnh của khối lập phương và ở tâm các mặt của nó (Hình 4). Loại nguyên tố này được gọi là sắt gamma ($Fe_\gamma$). Tuy nhiên, mật độ sắt ở những trạng thái này là bao nhiêu? Khối lượng nguyên tử tương đối của sắt là $\mu = 55,847$.

I. M. Nizamov

F891. Điện tích của một quả cầu dẫn điện sẽ thay đổi như thế nào nếu nó bị lõm vào?

R. L. Enfidjyan

F892. Một tia sáng hướng dọc theo bán kính rơi vào một quả cầu thủy tinh có bán kính $R$. Ở khoảng cách $r$ tính từ tâm quả bóng, ánh sáng bị phân tán đều theo mọi hướng bởi một bong bóng khí nhỏ hình thành trong quá trình hình thành quả bóng. Xác định sự phụ thuộc của phần ánh sáng phát ra từ quả bóng vào $r$. Xếp chồng chỉ số khúc xạ $n$. Bỏ qua sự mất mát ánh sáng trong thủy tinh.

A. A. LanUDEC

Problems

M876—M880; P888—P892

M876. Các điểm đối xứng đường kính $A$ và $B$ được chọn trên đường tròn tiếp xúc với các cạnh của một góc có đỉnh $O$ (cả $A$ và $B$ đều không phải là điểm tiếp tuyến). Tiếp tuyến của đường tròn tại $B$ cắt các cạnh của góc tại các điểm $C$ và $D$ và đường thẳng $OA$ tại $E$. Chứng minh rằng các đoạn $BC$ và $DE$ có độ dài bằng nhau (xem hình Hình 1).

A. S. Merkuriev

47

các khối lập phương “tập trung vào mặt” có cạnh $a_2=3,63 \cdot 10^{-10}$ m, các nguyên tử Fe hiện nằm ở các đỉnh của khối lập phương và ở tâm các mặt của chúng (hình Hình 4). Sắt ở trạng thái này được gọi là $\gamma$-sắt ($\text{Fe}_{\gamma}$). Mật độ của sắt ở hai trạng thái này có giống nhau không? Khối lượng nguyên tử tương đối của sắt là $\mu=55,847$.

I. M. Nizamov

P891. How will the electric capacity of a conducting sphere change if we make a dent in it?

R. L. Enfiadjan

P892. A ray of light falls along a diameter on a glass ball of radius $R$. At the distance $r$ from the ball’s centre the ray is dissipated uniformly in all direction by a little air bubble in the glass. Find how the amount of light leaving the glass ball depends on $r$. The refraction coefficient of glass is $n$. Light losses within the glass are negligible.

A. A. Lapides

Lời giải bài toán

M861 — M865; F873 — F877

Gọi $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số đã cho, $b_1=\{a_1\}, b_2=\{a_1+a_2\}, \dots, b_n=\{a_1+a_2+\dots+a_n\}$ ($\{x\}$ là phần phân số của $x$). Tất cả các số $b_1, \dots, b_n$ đều nằm trong khoảng $[0; 1]$. Hãy chia nó thành $n+1$ các khoảng bằng nhau $\Delta_0=[0; 1/(n+1)]$, $\Delta_1=[1/(n+1); 2/(n+1)]$, …, $\Delta_n=[n/(n+1); 1]$. Nếu ít nhất một trong các số $b_i$ rơi vào một trong các khoảng cực trị $\Delta_0$ hoặc $\Delta_n$, thì câu lệnh bài toán rõ ràng sẽ đúng với tổng $a_1+\dots+a_i$. Nếu không, các khoảng $n-1$ $\Delta_1, \dots, \Delta_{n-1}$ sẽ chứa $n$ điểm $b_1, \dots, b_n$, vì vậy ít nhất một trong số chúng sẽ chứa hai điểm, $b_k$ và $b_l$. Gọi $k>l$ thì $a_{l+1}+a_{l+2}+\dots+a_k=(a_1+\dots+a_k)-(a_1+\dots+a_l)=\epsilon$ là số ($|b_k-b_l|<1/(n+1))$.

Dễ dàng nhận thấy rằng số $1/(n+1)$ không thể giảm trong điều kiện rút gọn - chỉ cần lấy tất cả các số $1/(n+1)$ là đủ.

S. Yu. Orevkov

M862. a) Bên trong bề mặt đã cho của tam giác, hãy chỉ ra tập hợp tất cả các điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến cạnh của nó bằng chính chúng.

b) Bên trong bề mặt đã cho của tam giác, hãy chỉ ra tập hợp tất cả các điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến cạnh của nó bằng chính chúng.

a) Đáp số: tập hợp yêu cầu là phần bên trong của một tam giác được giới hạn bởi các đường trung bình tuyến tính của tam giác đã cho (Hình 1).

Gọi $d_a=d_1, d_b, d_c$ là khoảng cách từ điểm $M$ đến cạnh $BC, CA, AB$ cho bởi 三角形. Để tồn tại một tam giác có cạnh dài $d_a, d_b$ và $d_c$, cần và đủ để thỏa mãn ba bất đẳng thức: $d_a<d_b+d_c, d_b<d_a+d_c$ và $d_c<d_a+d_b$, hoặc $d_a<d/2, d_b<d/2, d_c<d/2$, trong đó $d=d_a+d_b+d_c$, nhưng $d$ là chiều cao của tam giác $ABC$ (nếu $l$ là chiều dài của tam giác cạnh của tam giác thì $ld/2=(ld_a+ld_b+ld_c)/2=S_{MBC}+S_{MCA}+S_{MAB}=S_{ABC}$).

48

Đối với Posny, điều kiện $d_a < d/2$ xác định trong tam giác $ABC$ hình thang $BCB_1C_1$, bị cắt khỏi tam giác đó bởi đường giữa $B_1C_1$ (bản thân đoạn $B_1C_1$ bị loại trừ trong trường hợp này). Các hình thang tương tự được cho bởi hai bất đẳng thức khác và giao điểm của các hình thang này là phần bên trong của tam giác $A_1B_1C_1$.

6. Đáp số: tập hợp yêu cầu là phần bên trong của một hình bát diện đều có các đỉnh ở giữa các cạnh của hình tứ diện này (Hình 2).

Lặp lại động tác lời giải bài toán a), chúng ta chia tứ diện đã cho $T$ thành bốn tứ diện, các đáy của chúng là các mặt của tứ diện đã cho và các đỉnh nằm ở điểm $M$. Gọi $d_1, d_2, d_3, d_4$ là chiều cao của chúng, tức là khoảng cách từ điểm $M$ đến các mặt của tứ diện $T$, khi đó tổng thể tích của chúng là $(d_1S+d_2S+d_3S+d_4S)/3$ (trong đó $S$ là diện tích mặt của tứ diện này), do đó, $d=d_1+d_2+d_3+d_4$ là chiều cao của tứ diện $T$. Để một tứ giác được hình thành từ các đoạn có độ dài $d_1, d_2, d_3, d_4$, mỗi độ dài này phải nhỏ hơn $d/2$ (giả sử, bất đẳng thức $d_1 < d/2$ tương đương với $d_1 < d_2 + d_3 + d_4$). Rõ ràng, mỗi bất đẳng thức “cắt bỏ” khỏi tứ diện một tứ diện có kích thước bằng một nửa (tứ diện có cạnh màu đỏ trong Hình 2). Sau bốn lần “cắt”, một khối bát diện đều sẽ vẫn còn.

Ngược lại, đối với bất kỳ điểm nào bên trong bát diện này, các bất đẳng thức $d_i < d/2$ sẽ được thỏa mãn, do đó một tứ giác có thể được tạo thành từ các đoạn có độ dài $d_1, d_2, d_3, d_4$. (Thật vậy, giả sử $d_1 > d_2 > d_3 > d_4$; các khoảng $|d_1 - d_2|, d_1 + d_2|$ và $|d_3 - d_4|, d_3 + d_4|$ chứa một điểm chung $l$, vì $d_1 - d_2 < d_3 + d_4 < d_1 + d_2$; bây giờ có thể thu được tứ giác cần thiết bằng cách đặt các hình tam giác trên các cạnh $d_1, d_2, l$ và $d_3, d_4, l$ với nhau.

E. A. Yasinov

M863. Mỗi ô vuông của bảng $n \times n$ có một con chip. Có thể sắp xếp lại chúng sao cho hai quân cờ bất kỳ cắt nhau theo nước đi của quân mã, sau khi sắp xếp lại, bắt đầu cắt nhau theo nước đi của vua, nếu $a) n=3, b) n=6, c) n=4$?

◆
a) Đáp số: bạn có thể. Việc sắp xếp lại cần thiết được mô tả trong Hình 1.

6. Đáp số: không thể được. Để chứng minh điều đó, chúng tôi giới thiệu hai “khoảng cách” giữa các ô vuông của bàn cờ: $d_1(a, b)$ là số nước đi hiệp sĩ cần thiết nhỏ nhất để di chuyển từ ô $a$ đến ô $b$, $d_2(a, b)$ là số nước đi vua giống nhau nhất. Chúng ta hãy biểu thị bằng $a'$ và $b'$ các ô mà chip từ các ô $a$ và $b$ rơi xuống sau khi sắp xếp lại. Khi đó điều kiện được xét ở bài toán, rất indo, hàm ý bất đẳng thức $d_1(a, b) \geqslant d_2(a', b')$. Nếu $a'$ và $b'$ là các ô góc đối diện thì (đối với $n=6$) $d_2(a', b')=5$, nhưng đối với hai ô bất kỳ $a$ và $b$ $d_1(a, b) \leqslant 4$. Điều này có thể được xác minh trực tiếp và chỉ cần xem xét trường hợp khi $a$ là ô góc (ví dụ: khoảng cách $d_1$ giữa các ô đầu trong Hình 2 được hoàn thành không vượt quá khoảng cách $d_1$ giữa các ô màu hồng; các số trong hình này bằng khoảng cách $d_1$ từ các ô tương ứng đến phía dưới bên trái).

49

Trường hợp $n > 6$ bất kỳ được xem xét theo cách tương tự: có thể chỉ ra rằng giá trị lớn nhất của $d_1(a, b)$ đối với bảng $n \times n$ bằng $[2(n+1)/3]$ (tại $n \geq 5$)*, tức là nó nhỏ hơn khoảng cách $n-1 - d_2$ giữa các góc đối diện.

c) Đáp số: không thể được. Đặt $a_1, a_2, a_3, a_4$ là các ô vuông trên đó các mảnh được xây dựng, các mảnh này sẽ nằm ở các góc của bảng sau khi sắp xếp lại. sau đó $d_1(a_i, a_j) \geq 3$ tại $1 \leq i < j \leq 4$ (xem điểm 6)). Trong Hình 3, đối với ba vị trí khác nhau đáng kể (có tính đến tính đối xứng) các ô $a_1$, các ô nằm ở $d_1$-khoảng cách 3, 4 hoặc 5 từ $a_1$ được bù đắp. Sử dụng hình này, không khó để kiểm tra bằng cách tìm kiếm trực tiếp rằng trong mọi trường hợp, bạn có thể đề xuất các ô $a_2, a_3, a_4$ với điều kiện $d_1(a_i, a_j) \geq 3$ đáp ứng.

Tương tự, người ta chứng minh rằng với $n=5$ chúng ta không cần hoán vị.

S. Stefanov

M864. Điều được coi là “đẹp” là việc chia một tam giác thành các tam giác giống nhau, không có hai tam giác nào có kích thước bằng nhau.
a) Chứng minh rằng mọi tam giác vuông đều có một phân vùng màu đỏ.
b) Tam giác đều nào có vách ngăn màu đỏ?

a) Một phân vùng đẹp của một tam giác vuông không bằng nhau (đây là trường hợp đơn giản nhất) được thể hiện trên Hình 1, $a$, một hình tam giác đều - trong Hình 1, $6$.

6. Đáp số: không thể được. Ta sẽ tiến hành chứng minh bằng phản chứng. Giả sử rằng tồn tại một phân vùng màu đỏ của tam giác đều $\Delta$ và ước tính số $N$ các cạnh “nội” của các tam giác cấu thành nó, tức là các cạnh nằm bên trong tam giác $\Delta$. Đầu của các cạnh này (đỉnh của các tam giác phân chia) có ba loại:
   Loại thứ nhất - các điểm nằm bên trong tam giác (ví dụ - điểm $A$ trong Hình 2, $a$); 4 mặt bên trong nổi lên từ mỗi điểm như vậy ($AB, AC, AD$ và $AE$ trong hình);
   Loại thứ 2 - các điểm bên trong tam giác $\Delta$, trong đó có 6 tam giác phân chia; 12 mặt trong xuất hiện từ điểm đó (Hình 2.6);
   Loại thứ 3 - các điểm nằm bên trong bất kỳ cạnh nào của tam giác phân vùng (Hình 2.8); một điểm như vậy đóng vai trò là điểm cuối của 6 cạnh bên trong.

Chúng ta hãy ký hiệu số điểm của từng loại tương ứng là $n_1, n_2, n_3$. Vì mỗi cạnh có hai đầu nên số cạnh trong bằng

$$N = \frac{1}{2} (4n_1 + 12n_2 + 6n_3) = 2n_1 + 6n_2 + 3n_3.$$

Đồng thời, mỗi điểm $A$ thuộc loại thứ 3 có thể liên kết với ba cạnh trong: cạnh $s$, điểm trong là điểm $A$, và hai cạnh liền kề với $s$, nổi lên từ đỉnh $A$ (trong Hình 2.8, điểm $A$ được liên kết với các cạnh $s=BC, AD$ và $AE$). Trong trường hợp này, mỗi mặt bên trong sẽ

*) Xem bài viết của D. Kozna “Knight Metrics” («Kvant», 1981, số 10, trang 13).

50

có khả năng có ít nhất một điểm thuộc loại thứ 3 - nếu không thì không có đỉnh của phân vùng bên trong cạnh này và bản thân nó không được chứa trong bất kỳ cạnh nào lớn hơn, có nghĩa là nó chung cho hai hình tam giác của phân vùng; nhưng điều này là không thể, vì các hình tam giác của phân vùng không được bằng nhau. Theo sau đó là $N \leq 3n_3$, tức là $2n_1 + 6n_2 + 3n_3 \leq 3n_3$ hoặc $2n_1 + 6n_2 \leq 0$, do đó, $n_1 = n_2 = 0$. Nhưng nếu không có đỉnh của phân vùng ($n_1 = 0$) trên các cạnh của tam giác ban đầu $\Delta$, thì không có phân vùng nào như vậy - nó bao gồm một tam giác $\Delta$.

c) Đáp số: tam giác đều nào cũng có cách chia đẹp. Cấu trúc của nó theo

Puc. 2,a.

Phúc. 2, b.

Phúc. 2, c.

Puc. 3.

thể hiện trong Hình 3 (các góc bằng nhau được đánh dấu trong hình bằng các cung cùng màu).

Thật thuận tiện khi giải quyết nghịch đảo bài toán: một tam giác bổ sung $ABC$ cho một tam giác lớn tương tự bằng các tam giác tương tự và khác nhau theo cặp khác. Rõ ràng, bài toán này tương đương với bản gốc. Hãy để định nghĩa $|BC|:|AC| = k > 1$. Trong trường hợp này, đối với tam giác $\Delta_0 = ABC$ có các tam giác đồng dạng $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4$ và $\Delta_5$ theo hình 3. Dễ dàng nhận thấy trong trường hợp này hệ số đồng dạng của tam giác $\Delta_{n+1}$ và $\Delta_n$ đối với $n = 0, 1, 2, 3$ bằng $k$, do đó hệ số tương tự của tam giác $\Delta_0$ và $\Delta_n$ với $n = 1, 2, 3, 4$ bằng $k^n$, và $\Delta_5$ và $\Delta_0$ là $|CM|:|AB| = (|CK| + |CM|):|AB| = k + k^3$. Từ đây rõ ràng là cặp tam giác bằng nhau duy nhất ở đây chỉ có thể là $\Delta_5$ và $\Delta_4$ - nếu $k + k^3 = k^4$. Trong trường hợp sau, phần bù của các tam giác đồng dạng là $\Delta_6, \Delta_7$ và $\Delta_5$ được thay thế bằng $\Delta_8 = CNL$ (xem Hình 3). Một lần nữa, cặp tam giác đồng dạng duy nhất giữa $\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4, \Delta_6, \Delta_7$ và $\Delta_8$ chỉ có thể là $\Delta_8$ (tương tự $\Delta_0$ với hệ số $|CN|:|AB| = k + k^3 + k^5$) và $\Delta_7$ (tương tự $\Delta_0$ với hệ số $k^6$). Nhưng nếu $k + k^3 = k^4$ thì

51

$$k + k^3 + k^5 > k^3 + k^5 = k^2(k + k^3) = k^6,$$ và do đó $\Delta_7$ và $\Delta_8$ không bằng nhau.

Vì vậy, bất kỳ tam giác đều nào cũng có một phân vùng màu đỏ (thành 6 hoặc 8 hình tam giác).

A. V. Savkin

**M865. Đặt $[a, b]$ biểu thị bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên $a$ và $b$. Chứng minh rằng với mọi $n+1$ số $a_0 < a_1 < ... < a_n$ thì bất đẳng thức sau đúng:

$$\frac{1}{[a_0, a_1]} + \frac{1}{[a_1, a_2]} + ... + \frac{1}{[a_{n-1}, a_n]} \leq 1 - \frac{1}{2^n},$$
nếu $a) n=2; b) n=3; \theta)^{*} n$ là số tự nhiên bất kỳ.

Đối với $n$ bài toán nhỏ có thể được giải quyết bằng vũ lực.

a) Vì $[a, b] \geq 2a$ cho $a < b$ và $a_0 \geq 1, a_1 \geq 2$, nên các bất đẳng thức $\frac{1}{[a_0, a_1]} \leq \frac{1}{2}, \frac{1}{[a_1, a_2]} \leq \frac{1}{4}$ và $\frac{1}{[a_0, a_1]} \leq \frac{1}{[a_0, a_1]} + \frac{1}{[a_1, a_2]} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ là đúng.

b) Nếu $a_2 \geq 4$, thì như ở điểm a), $\frac{1}{[a_0, a_1]} \leq \frac{1}{2}, \frac{1}{[a_1, a_2]} \leq \frac{1}{4}, \frac{1}{[a_2, a_3]} \leq \frac{1}{8}$, nếu $a_2=3$, thì $a_0=1$, $a_1=2$, $[a_0, a_1] = 2$, $[a_1, a_2] = 6$, $[a_2, a_3] \geq 6$ và $\frac{1}{[a_0, a_1]} + \frac{1}{[a_1, a_2]} + \frac{1}{[a_2, a_3]} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} < \frac{7}{8}$.

c) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Tại $n=1$ bất đẳng thức của chúng ta rất thú vị. Bây giờ chúng ta giả sử rằng nó đúng với $n=k$ và chứng minh nó cho $n=k+1$. Hãy xem xét hai trường hợp

1. Đặt $a_{k+1} \geq 2^{k+1}$, sau đó $[a_k, a_{k+1}] \geq a_{k+1} \geq 2^{k+1}$ và bằng quy nạp

$$\left( \frac{1}{[a_0, a_1]} + ... + \frac{1}{[a_{k-1}, a_k]} \right) + \frac{1}{[a_k, a_{k+1}]} \leq \left( 1 - \frac{1}{2^k} \right) + \frac{1}{2^{k+1}} = 1 - \frac{1}{2^{k+1}}.$$

2. Trong trường hợp $a_{k+1} < 2^{k+1}$, chúng tôi sử dụng nhận dạng $[a, b] = ab/(a, b)$, trong đó $(a, b)$ là ước số chung nhất của các số $a$ và $b$. Vì $b-a$ chia hết cho $(a, b)$ và do đó $(a, b) \leq b-a$ (tại $b>a$), đẳng thức này ngụ ý rằng $1/[a, b] \leq (b-a)/ab = 1/a-1/b$. Đó là lý do tại sao

$$\frac{1}{[a_0, a_1]} + \frac{1}{[a_1, a_2]} + ... + \frac{1}{[a_k, a_{k+1}]} \leq \left( \frac{1}{a_0} - \frac{1}{a_1} \right) + \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} \right) + ... + \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right) = \frac{1}{a_0} - \frac{1}{a_{k+1}} < 1 - \frac{1}{2^{k+1}}$$

Q.E.D.

Lưu ý rằng ước tính này là chính xác: đối với mọi $n$, sự bằng nhau đạt được cho chuỗi $a_0=1, a_1=2, ..., a_n=2^n$.

B. M. Ivlev

F873. Mũi trên thân chính của tàu tạo thành một góc $60^\circ$ với hướng tàu chạy với tốc độ 20 km/h. Không thay đổi hướng đi, tốc độ của con tàu tăng gấp đôi và góc quay trở thành 30°. Tìm tốc độ gió từ những dữ liệu này (giả sử nó không đổi). Ở tốc độ nào con tàu sẽ có góc 90°?

Cờ hiệu trên cột buồm của tàu thể hiện hướng của vectơ $\vec{u} + \vec{v}$, trong đó $\vec{v}$ là vectơ tốc độ của tàu (nó xác định hướng đi của tàu), $\vec{u}$ là vectơ tốc độ gió.

Hãy chiếu vectơ $\vec{u}$ lên hướng chuyển động của con tàu và theo hướng vuông góc với hướng chuyển động. Đặt $u_1$ và $u_2$ là giá trị tuyệt đối của các dự án tương ứng. Vì hướng gió là

52

chưa biết, trong trường hợp tổng quát ta có thể viết các quan hệ sau:

ở tốc độ tàu $|\vec{v}| = 20$ km/h —
$$\frac{\pm u_2}{v \pm u_1} = \text{tg} 60^\circ = \sqrt{3},$$

(1)

ở tốc độ tàu $2|\vec{v}| = 40$ km/h —
$$\frac{\pm u_2}{2v \pm u_1} = \text{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

(2)

Giải các phương trình (1) và (2) cùng nhau, ta tìm được
$$u_1 = \frac{1}{2} v, \quad u_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} v.$$

Từ đây bạn có thể tìm thấy mô hình vectơ tốc độ gió:
$$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} = |\vec{v}| = 20 \text{ km/ч}.$$

Không thể tìm thấy hướng của vectơ $\vec{u}$ từ những dữ liệu này, nhưng chúng ta có thể nói rằng góc $\alpha$, mà vectơ tốc độ gió tạo thành với hướng tàu, được xác định, theo dấu, bởi điều kiện
$$\text{tg} \alpha = \pm \frac{u_2}{u_1} = \pm \sqrt{3}.$$

Trong trường hợp cờ hiệu tạo thành một góc $90^\circ$ với hướng tàu thì tốc độ $v_x$ của tàu và tốc độ $u$ của gió có quan hệ với nhau bởi
$$|\vec{u}|^2 - |\vec{v}_x|^2 = u_2^2,$$ hoặc $u_1^2 + u_2^2 - |\vec{v}_x|^2 = u_2^2,$
Ở đâu
$$|\vec{v}_x| = u_1 = \frac{1}{2} v = 10 \text{ km/ч}.$$

Vậy cờ hiệu sẽ tạo một góc $90^\circ$ với hướng tàu chạy với tốc độ $|\vec{v}_x| = 10 \text{ km/ч}.$

V. E. Skorovarov

F874. Ôtô chuyển động theo đường thẳng $OO'$ (Hình 1) và tại điểm A bắt đầu chuyển hướng mà không giảm tốc độ. Tại điểm B, cột tự động được loại bỏ. Ước tính tốc độ mà máy tự động có thể di chuyển. Hãy coi độ bám đường của lốp xe là tốt. Vô lăng tự động điều khiển bánh trước.

Rõ ràng là chúng ta chỉ có thể ước tính tốc độ tối đa của ô tô tương ứng với số vòng quay lớn nhất có thể - khi ô tô di chuyển dọc theo cung $AB$ của vòng tròn, chạm vào đường thẳng $OO'$. Bán kính của vòng tròn này (xem Hình 2) là
$$R = |AC| = \frac{1}{2}|AD|; \quad R \approx 35 \text{ м}.$$

Máy quay (cung cấp cho nó gia tốc hướng tâm) lực ma sát tác dụng lên các bánh trước theo hướng vuông góc với tốc độ của máy. Nếu chúng ta giả sử rằng khối tâm tự động nằm ở khoảng giữa

53

và nâng nó lên không quá cao so với mặt đường, và gia tốc tự động không lớn lắm (bạn hãy tự nghĩ xem tại sao điều này lại đáng kể), khi đó phản lực pháp tuyến tác dụng từ mặt đường lên hai bánh trước bằng một nửa trọng lực, và lực ma sát bằng $\mu \frac{mg}{2}$. Phương trình chuyển động tự động khi rẽ -

$$\frac{mv^2}{R} = \mu \frac{mg}{2},$$

tốc độ tối đa ở đâu $v_M$:

$$v_M = \sqrt{\frac{\mu g R}{2}}.$$

Lấy $\mu=0,8$, chúng ta nhận được $v_M \approx 12$ m/s $\approx 43$ km/h.

Vì vậy, tốc độ của số tự động là $v \leq v_M \approx 43$ km/h.

Tất nhiên, đây là một ước tính khá sơ bộ. Bạn có thể ước tính chính xác hơn bằng cách xem xét toàn bộ dấu vết tự động hóa từ điểm $A$ đến điểm $B$.

A. R. Zilberman

F875. Dọc theo phương nằm ngang của các thanh ray, khoảng cách giữa chúng bằng $d$, một cầu nối có khối lượng bằng $m$ có ​​thể trượt không ma sát (xem hình). Các đường ray được nối với nhau bằng một điện trở có điện trở $R$ và được đặt trong một từ trường thẳng đứng có giá trị cảm ứng $B$. Người nhảy được cho tốc độ $v_0$. Tìm quãng đường người nhảy đã đi đến điểm dừng. đáp số phụ thuộc vào hướng của vectơ $\vec{B}$ như thế nào?

◆ Khi jumper di chuyển, dòng cảm ứng từ qua mạch sẽ thay đổi; nó được hình thành bởi jumper, đường ray và điện trở. Một lực điện động cảm ứng sẽ xuất hiện trong mạch và xuất hiện dòng điện. Do từ trường tác dụng lên dòng điện chạy qua jumper sẽ bị ức chế.

Hãy tìm lực phanh $F$. Gọi tốc độ của người nhảy là $v$. Trong một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ người nhảy sẽ di chuyển dọc theo đường ray đến một khoảng cách ngắn $\Delta x = v \cdot \Delta t$. Sự thay đổi diện tích của mạch sẽ bằng $v d \cdot \Delta t$, dòng cảm ứng từ trong thời gian này sẽ thay đổi thành $\Delta \Phi = B \cdot v d \cdot \Delta t$, một EMF sẽ xuất hiện trong mạch

$$\mathcal{E} = - \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = - B v d,$$

và theo định luật Ohm, dòng điện $i = \mathcal{E} / R$ sẽ chạy qua jumper. Lực tác dụng lên dây nhảy từ từ trường sẽ bằng

$$f = i B d = - \frac{B^2 d^2}{R} v;$$

lực $f$ có hướng, theo quy tắc Lenz, ngược với tốc độ $v$.

Bây giờ chúng ta viết phương trình chuyển động của người nhảy (đối với chuyển vị nhỏ $\Delta x$):

$$ma = f = - \frac{B^2 d^2}{R} v,$$

hoặc, cho rằng $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$, $v = \frac{\Delta x}{\Delta t},$

$$m \frac{\Delta v}{\Delta t} = - \frac{B^2 d^2}{R} \frac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow m \cdot \Delta v = - \frac{B^2 d^2}{R} \cdot \Delta x.$$

Chúng ta thấy rằng sự thay đổi tốc độ của người nhảy tỷ lệ thuận với sự thay đổi tọa độ của nó $x$ (tại thời điểm ban đầu $x_0=0$). Điều này có nghĩa là sự thay đổi hoàn toàn về tốc độ $v_{кОН} - v_0 = 0 - v_0 = -v_0$ có ​​liên quan đến sự thay đổi tọa độ $x$