Kvant 1984, số 10 · Trang

QUANTUM
10
1984
Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Vật lý chỉ nghiên cứu những tính chất của vật thể có thể biểu thị bằng số, và để nghiên cứu những tính chất này trong vật lý, các đại lượng vật lý được rút ra đặc trưng cho một số tính chất nhất định (cách thực hiện điều này được mô tả trong bài báo của Viện sĩ I. K. Kikon trên số tạp chí này). Đối với mỗi đại lượng vật lý, phương pháp đo của nó phải được chỉ rõ. Đo một đại lượng vật lý có nghĩa là so sánh nó với một đại lượng đồng nhất được lấy làm đơn vị. Để so sánh như vậy, cần có một số thiết bị hoặc cơ thể có thể tái tạo một đại lượng nhất định. Những thiết bị như vậy được gọi là biện pháp. Mỗi đại lượng vật lý có đơn vị đo riêng và theo đó, có số đo riêng. Ví dụ, thước milimet, centimet mà người thợ may sử dụng là thước đo chiều dài; zgi và trọng lượng - thước đo khối lượng, v.v. Mỗi thước đo, với độ chính xác khác nhau, sẽ tái tạo giai đoạn được lấy dưới dạng một đại lượng duy nhất. Như đã biết, một khối lượng etaon là một hình trụ được chế tạo đặc biệt làm từ hợp kim bạch kim và iridium. Khối lượng của hình trụ này được gọi là kilôgam và được lấy làm đơn vị khối lượng quốc tế.

Kilôgam như một tiêu chuẩn về khối lượng đã nhận được “sự công nhận quốc tế” tương đối gần đây - vào đầu thế kỷ 20. Và các phép đo khối lượng đã được thực hiện từ thời xa xưa, và trong thời xa xưa đã có những thước đo và dụng cụ để đo khối lượng. Ở thời đại của chúng ta, chúng ta tưởng tượng rằng chúng đã được sử dụng và bất tiện. Với sự phát triển của văn hóa, khoa học và công nghệ, họ được cải thiện và số lượng ngày càng tăng. Theo thời gian, việc tạo ra các eton để “lưu trữ” các đơn vị đo lường đã trở nên rất thuận tiện. Trong bức ảnh hiển thị ở đây, bạn thấy các quả cân làm bằng đồng, tái tạo các đơn vị khối lượng được áp dụng ở một số nước châu Âu theo một thỏa thuận đặc biệt vào năm 1570, và Zipyu, được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày vào thời đó (chúng hiện được lưu trữ tại một trong những viện bảo tàng ở Brussels).

1

khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

10 1984
Được thành lập vào năm 1970

Nhà xuất bản “Khoa học”. Tòa soạn chính của văn học vật lý và toán học

TẠI NHÀ:

2 Cuộc trò chuyện với một học giả
S. P. Novikov
I.K. Kikoin. Cách nhập các đại lượng vật lý
V. K. Prikhodko. Lời giải phương trình trên máy vi tính
A talk with academician
S.P. Novikov
I. K. Kikoin. How physical quantities are introduced
B. K. Prikhodko. Solving equations on microcomputers

tin tức khoa học
6 vòng quanh Mặt trời
Science News
Rings around the sun

Phòng thí nghiệm «Kvant»
18 A. A. Dozorov. Nguyên lý tương đối
Kvant’s lab
A. A. Dozorov. The relativity priciple

vòng tròn toán học
20 V. G. Boltyansky. Nhà triển lãm
Mathematics circle
V. G. Boltianski. The exponential function

Trường học ở «Kvant»
25 Vật lý 8, 9, 10
30 Toán 8, 9, 10
33 trường học yêu thích bài toán
Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Mathematics 8, 9, 10
Selected school problems

«Kvant» cho học sinh nhỏ
35 nhiệm vụ
36 V. A. Rosenfeld. Tên của các ngôi sao và chòm sao đến từ đâu?
Kvant for younger school children
Problems
B. A. Rozenfeld. Where do the names of stars and constellations come from

Bài toán Kvant
40 Bài toán M886 — M890; F898 — F902
43 Lời giải bài toán M871 — M875; F883 — F886
Kvant’s problems
Problems M886 — M890; P898 — P902
Solutions M871 — M875; P883 — P886

Xưởng của người nộp đơn
53 V. A. Danilin. Truyền tải điện đi xa
College applicant’s section
V. A. Danilin. Long-distance transmission of electric energy

Thế vận hội
Olympic toàn Nga dành cho học sinh lần thứ 56
60 Bài toán Olympic Toán học Thành phố Mátxcơva dành cho học sinh
Olympiads
10 th All-Russian school olympiad
Problems of the Moscow school mathematics olympiad

Đáp số, gợi ý, lời giải
Pha trộn (13, 34)
Trang cờ vua
EVM vs đại kiện tướng
(trang bìa thứ 3)
Answers, hints, solutions
Miscellaneous (13, 34)
The chess page
Computer vs. grandmaster
(3 rd cover page)

© Nhà xuất bản Nauka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1984

2

Cuộc hội thoại
với một học giả
S. P. Novikov

Trong số thế hệ các nhà toán học tài năng bước vào khoa học vào cuối thập niên 50 và đầu thập niên 60, những thành công khoa học của Sergei Petrovich Novikov có lẽ là một trong những thành công ấn tượng nhất. Bắt đầu với một trong những lĩnh vực toán học khó và trừu tượng nhất - cấu trúc liên kết đại số hiện đại, S. P. Novikov hoàn thành luận án tiến sĩ ở tuổi 25, lấy bằng tiến sĩ ở tuổi 27, được bầu làm thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học ở tuổi 28 và viện sĩ ở tuổi 43. Năm 1967, Sergei Petrovich nhận giải thưởng Lenin, và năm 1970, tại Cuộc thi Toán học Thế giới, S.P. Novikov trở thành người Liên Xô đầu tiên đoạt giải trong cuộc thi này. Giải Fields, được trao 4 năm một lần cho các nhà toán học hàng đầu thế giới (dưới 40 tuổi). Bây giờ Sergei Petrovich kết hợp công việc tại Viện Vật lý Lý thuyết. L. D. Landu (công việc của ông liên quan đến vật lý toán học, đặc biệt là lý thuyết solitote) và tại Viện Toán học. V. A. Steklova với trưởng khoa Hình học cao cấp và cấu trúc liên kết tại Đại học Moscow.

Sergei Petrovich, thành viên ban biên tập tạp chí «Kvant», đã trả lời các câu hỏi của phóng viên A.V. Sosinsky ở nhà. Cuộc trò chuyện diễn ra trong một văn phòng nhỏ, chứa đầy sách (không chỉ về toán học!), sống động và thoải mái. Chúng tôi sẽ sao chép ở đây (hầu như không có thay đổi về mặt biên tập) đoạn băng ghi âm cuộc trò chuyện này, chỉ bổ sung dưới dạng một chút sắc thái cho câu trả lời của Sergei Petrovich.

— Sergei Petrovich, ông bắt đầu quan tâm đến toán học từ khi nào? Điều gì sẽ ảnh hưởng đến sự lựa chọn này nhiều hơn: trường học, cuộc thi, gia đình?

— Như bạn đã biết, tôi xuất thân từ một gia đình toán học*). Tất nhiên, tôi sẽ đặt ảnh hưởng của gia đình lên hàng đầu. Không thể nói rằng tôi thực sự quan tâm đến môn toán ở trường; nhưng dù sao thì tôi cũng rất nhiều

*) Cha Sergei Petrovich, viện sĩ P. S. Novikov (1901-1975), - một chuyên gia xuất sắc về hàm số và lý thuyết tập hợp, đại số và logic toán học; mẹ, L.V. Kelysh (1904-1975), Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học, một chuyên gia nổi tiếng về lý thuyết tập hợp và cấu trúc liên kết hình học.

3

Tôi biết về nó - tôi tưởng tượng ra nghề toán học. Đây có lẽ là yếu tố quyết định trong sự lựa chọn của tôi. Tôi thực sự bắt đầu quan tâm đến toán học vào năm đầu tiên ở trường đại học. Tôi muốn lưu ý rằng trường học của chúng tôi - trường trung học số 330 ở Moscow - trong những năm đó là trường hạng nhất, cung cấp một nền giáo dục phổ thông tốt (bao gồm cả tiếng Latin, tuy nhiên, tôi đã quên).

• Bạn đã tham gia Thế vận hội chưa?
  — Tôi đã tham gia Olympic ở các lớp dưới - ở lớp 5, 6, sau đó họ bị Viện Đại học Có điều kiện loại ở Moscow. Tôi cũng đã tham gia cuộc thi Olympic được tổ chức tại Đại học Mátxcơva, nhưng khi đạt giải nhì năm lớp 7 (năm 1952), tôi không còn hứng thú với nó nữa. Mặc dù sau đó tôi đã đến các câu lạc bộ và thi đấu nhưng tôi không hoạt động tích cực và không thể hiện được kết quả xuất sắc.

— Sergei Petrovich, bạn có phải là một học sinh siêng năng không?

• Tôi học khá: không có điểm C. Nhưng anh ấy không phải là một học sinh xuất sắc.
  — Bạn đã chọn chuyên ngành khoa học tương lai của mình trong lĩnh vực toán học như thế nào ở trường đại học?
  — Ở thời đại chúng ta, quốc tế*) đã có một hệ thống rất hợp lý để cung cấp các chủ đề bài tập trong năm thứ hai. Sau đó, đến khi được phân vào các khoa (đầu năm thứ 3), các sinh viên đã có sự chuẩn bị khoa học. Tất cả chúng tôi đều đã tham gia các khóa học đặc biệt và tham gia vào công việc của các chuyên gia, thậm chí cả những người “bán sáng tạo”, ngay trong năm đầu tiên. Nền giáo dục toán học tồn tại vào thời điểm đó đã được chuẩn bị tốt cho việc lựa chọn một chuyên ngành khoa học. Trong trường hợp này, chẳng hạn, đối với tôi, một vai trò quan trọng được thể hiện bởi mong muốn chiếm lĩnh bản thân với một số vấn đề hoàn toàn khác, chứ không phải những vấn đề chủ yếu được biết đến qua nhiều thế hệ. Tôi muốn bận tâm không phải với lý thuyết tập hợp và lý thuyết về hàm của một biến thực, không phải với đại số tổng quát và logic toán học, mà với một số lĩnh vực hoàn toàn khác. Đây là cách tôi chọn cấu trúc liên kết đại số cho chính mình. Một vai trò quan trọng đã được đóng bởi thực tế là vị giáo sư tài giỏi, người sớm đoạt giải Lenin*

*) Khoa Cơ và Toán của Đại học Tổng hợp Matxcơva. MV Lomonosov, nơi S.P. Novikov là sinh viên năm 1955-1960.

5

— Chúng ta thường nghe nói rằng ngày nay trong khoa học, bao gồm cả toán học, sự chuyên môn hóa hẹp chiếm ưu thế. Đồng thời, các nhà toán học của thế kỷ 20 như Poincaré, Hilbert®), Bourbaki được coi là “những người phổ quát”. Tình hình hiện nay của toán học về vấn đề này là gì?

— Có một số sai lầm kỳ lạ trong câu hỏi của bạn. Một nhà toán học tên là Bourbaki**) không tồn tại dưới bất kỳ hình thức nào, và những nhà khoa học tài năng đã tạo nên nó, thậm chí là những người nổi bật nhất trong số họ, cũng không phải là một nửa phổ quát. Poincaré và Hilbert. Cá nhân tôi đặc biệt thích hình tượng Poincaré, người gần gũi nhất với khoa học tự nhiên.

Đối với tôi, có vẻ như chuyên môn hạn hẹp của nhiều nhà toán học gắn liền với một ngôn ngữ quá trừu tượng và quá thông thường. Tôi có thể nói rằng sự hạn hẹp này còn là do mối liên hệ giữa toán lý thuyết và ứng dụng đã yếu đi, diễn ra ở một giai đoạn nhất định. Chúng tôi chỉ cung cấp một tiêu chí rõ ràng về những gì thực sự cần thiết phải biết. Mọi người chỉ biết những gì mình muốn hoặc những gì người giám sát yêu cầu anh ta đọc. Cho đến khi đặc tính khởi đầu tự nhiên của giáo dục toán học được khôi phục, chủ nghĩa phổ quát này không thể hồi sinh được.

• Các nhà toán học không được trao giải Nobel. Điều này có công bằng không?

“Tôi không tin vào những câu chuyện cười nổi tiếng mà các nhà toán học kể về điều này. Sau khi hoàn thành giải Nobel, các giải thưởng cũng không được trao cho các nhà khoa học vật lý-lý thuyết hoặc sinh học. Công thức hoàn thành nó hoàn toàn rõ ràng. Các giải thưởng do A. Nobel, người phát minh ra thuốc nổ, thiết lập, được trao cho những công trình như những phát minh trực tiếp hữu ích cho nhân loại. Sinh học nhận được giải Nobel cho nghiên cứu về cơ bản là y học, thực ra không có giải Nobel nào cho sinh học. Khi các nhà vật lý lý thuyết nhận được giải Nobel, có một số nhầm lẫn đã xảy ra đã được thêm vào trong nhiều thập kỷ. Bằng chứng là các giải thưởng được trao cho những phát minh, chứ không phải cho những khám phá khoa học. Nếu giải Nobel không được trao cho sinh học và vật lý lý thuyết, thì tại sao nó lại được trao cho toán học? Tôi khuyên các nhà toán học không nên phát hiện ra rằng kỹ sư A. Nobel không hề nhớ toán học trong di chúc của mình.

— Bạn có sở thích phục vụ nào khác ngoài khoa học không? Sở thích, tranh luận, tiếp cận?

— Đối với chúng tôi, các nhà khoa học, thể thao tồn tại, như chúng tôi tin rằng, để duy trì sức khỏe và tác hại. Tôi có thể nói với bạn điều gì đó mới mẻ về điều này.

Và nếu chúng ta nói về sở thích trí tuệ, đã có lúc tôi sử dụng sách lịch sử, nhưng chủ yếu không phải sách do các nhà sử học viết, mà là sách gốc do chính những người tích cực viết, cổ xưa và hiện đại (tiếc là chỉ bằng tiếng Nga hoặc tiếng Anh). Bởi vì tôi thích hiểu cách họ sống và hành động, họ khác với chúng ta như thế nào, họ giống chúng ta như thế nào.

Đối với tôi, đọc lịch sử sách lịch sử đơn giản là cách đọc yêu thích của tôi; Tuy nhiên, tôi sẽ không khuyên bất kỳ nhà toán học nào theo đuổi những sở thích kiểu này với hoạt động của những chuyên gia thực sự.

— Bạn có thể khuyên gì cho những độc giả luôn quan tâm đến vật lý và toán học?

— Một người muốn trở thành nhà khoa học phải đối mặt với hai bài toán. Đầu tiên là học công việc sáng tạo và thực hiện ít nhất những khám phá khoa học nhỏ trong một chuyên ngành nhất định, ở trình độ khoa học thành thạo. Thứ hai là không làm bạn mệt mỏi trong phạm vi hẹp mà bạn (có thể vô tình) đã bắt đầu. Hai bài toán này cần được giải quyết một cách hài hòa. Tuy nhiên, một trong số chúng đòi hỏi sự giáo dục và đào tạo các kỹ năng sáng tạo, thứ còn lại đòi hỏi phải tiêu tốn rất nhiều lao động để có được trình độ học vấn, mặc dù công việc này thoạt nhìn có vẻ vô dụng, dựa trên những lợi ích đồng nghĩa. Sự kết hợp của hai thành phần này trong quá trình sáng tạo là điều mà một nhà khoa học cần có trong thời kỳ văn học.

6

Nhẫn mặt trời

Khi Galileo lần đầu tiên hướng kính viễn vọng lên bầu trời vào năm 1610, ông đã đặc biệt phát hiện ra hình dạng có phần kỳ lạ của hành tinh Mặt trời. Nó dường như bao gồm ba ngôi sao, như thể chạm vào nhau, và ngôi sao ở giữa trông lớn hơn khoảng ba lần so với các ngôi sao bên cạnh (“hành tinh cao nhất* trong ba lần quan sát”). Hơn năm mươi năm sau, Heugens, với sự trợ giúp của một kính thiên văn mạnh hơn, đã giải thích sự xuất hiện ít học của Mặt trời bằng thực tế rằng nó, mặt trời duy nhất trên bầu trời, đeo một vật trang trí đẹp mắt - những chiếc nhẫn (ở độ phóng đại thấp hơn, những chiếc nhẫn xuất hiện dưới dạng các ngôi sao phụ). Nghiên cứu lý thuyết đầu tiên về các vành Mặt trời thuộc về Maxwell. Năm 1859, ông hoàn thành bài báo về tính ổn định của các vòng, trong đó ông chứng minh rằng các vòng không liên tục mà gồm nhiều hạt riêng lẻ. Đây là tác phẩm đầu tiên của Maxwell nhận được giải thưởng từ Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn.

Chỉ gần đây Sao Thổ mới mất đi sự độc quyền về các vành đai. Năm 1977, các vành đai của Sao Thiên Vương được phát hiện (được phát hiện nhờ nhật thực về độ sáng của các ngôi sao xuất hiện phía sau các vành đai đối với người quan sát trên trái đất), và vào năm 1979, các vành đai của Sao Mộc (không thể nhìn thấy từ Trái đất.*) được chụp ảnh từ không gian. Giờ đây, các vành đai của các hành tinh trong Hệ Mặt trời đã không còn là đồ hiếm để sưu tầm và sự tồn tại của chúng gần như trở nên phổ biến. Đúng vậy, chúng ta phải thừa nhận rằng quy luật chuyển động của các hạt nhỏ và các mảnh lớn tạo nên các vòng chứa nhiều điều bí ẩn.

*) Vào thời Galileo, Sao Thổ được coi là hành tinh xa Mặt trời nhất (Sao Thiên Vương, Sao Hải Vương và Sao Diêm Vương được phát hiện muộn hơn).

GỬI ĐỌC GIẢI CỦA CHÚNG TÔI

Việc đăng ký tạp chí «Kvant» cho năm 1985 vẫn tiếp tục.

Tạp chí dành cho học sinh từ lớp 6–10. Nó rất hữu ích cho giáo viên, đặc biệt là những người dạy ngũ cốc hoặc các lớp ngoại khóa và cho tất cả những người yêu thích toán học và vật lý.

Nội dung chính của tạp chí là những tài liệu giúp hiểu rõ hơn về vật lý và toán học, học cách áp dụng các ngành khoa học này để dạy các hiện tượng và quá trình khác nhau mà chúng ta gặp trong thực tế và học cách giải bài toán.

Tạp chí đăng trên các trang của mình những bài báo có tính chất phê bình, kể về những thành tựu của khoa học và những vấn đề vẫn đang chờ đợi lời giải của họ, những câu chuyện về các nhà khoa học và những câu chuyện của hầu hết các nhà khoa học về cách “khoa học được thực hiện”.

Giá phòng 40 kopecks. Chi phí đăng ký một năm là 4 rúp. 80 kop. Chỉ mục của tạp chí trong danh mục Soyuzpechat là 70465.

7

Cách nhập các đại lượng vật lý
Viện sĩ I. K. Kikoin

Vật lý khác với các ngành khoa học tự nhiên khác ở chỗ các quy luật đối tượng được thiết lập trong nghiên cứu các hiện tượng vật lý tự nhiên được thể hiện một cách định lượng (bằng toán học). Để làm điều này, các nhà vật lý đưa ra các đại lượng đặc trưng cho hiện tượng hoặc quá trình đang được nghiên cứu. Sự tương ứng toán học giữa các đại lượng được thiết lập bằng thực nghiệm dưới dạng phương trình hoặc công thức tương ứng, được gọi là các định luật vật lý của tự nhiên.

Các đại lượng vật lý được giới thiệu như thế nào? Đối với mỗi đại lượng vật lý phải ghi rõ phương pháp đo. Chính xác hơn, không thể đưa ra các đại lượng vật lý mà không chỉ ra ít nhất phương pháp đo cơ bản. Hãy để chúng tôi giải thích điều này với một số ví dụ. Hãy bắt đầu với các đại lượng được sử dụng trong cơ học.

1. Tốc độ

Khái niệm tốc độ đã được đưa ra từ thời xa xưa. Và bạn có thể tưởng tượng điều này đã được thực hiện như thế nào. Có lẽ một người nào đó có một thiết bị đo thời gian - ví dụ như thiết bị này có thể là đồng hồ mặt trời - đã quan sát được chuyển động của các đoàn lữ hành trên sa mạc. Anh ta xác định quãng đường mà đoàn lữ hành đi trong một khoảng thời gian nhất định. có lẽ anh ta đã làm điều này bằng cách đếm số bước con lạc đà đã đi. Bước đi của lạc đà là thước đo chiều dài. Tương ứng, thể hiện một khoảng thời gian và quãng đường đã đi, ông đã thiết lập một sự tương ứng kỳ lạ giữa chúng. Nó chỉ ra rằng tỷ lệ các quãng đường mà đoàn lữ hành đã đi trong bất kỳ khoảng thời gian nào đều bằng tỷ lệ của các khoảng thời gian này. Trong ngôn ngữ hiện đại, điều này có nghĩa như sau: nếu chúng ta biểu thị quãng đường mà một đoàn lữ hành đã đi trong khoảng thời gian $t_1$ là $s_1$ và quãng đường mà một đoàn lữ hành đã đi trong khoảng thời gian $t_2$ là $s_2$, thì $\frac{s_1}{s_2} = \frac{t_1}{t_2}$. Một sự thật rất thú vị! Quan sát, tin vào điều đó, kể về

8

Có lẽ, từ xa xưa, tốc độ của cơ thể đã thay đổi theo các khoảng thời gian lần lượt là $t_1$ và $t_2$. Ví dụ, đây là chuyển động của các vật thể rơi tự do trong chân không, hoặc chuyển động của các vật thể nhìn thấy dọc theo một mặt phẳng nghiêng mà không có ma sát.

Những chuyển động như vậy được nghiên cứu bởi nhà vật lý người Ý Galileo. Ông viết phương trình (1) dưới dạng $\frac{2s_1}{t_1^2} = \frac{2s_2}{t_2^*}$ và gọi các hệ thức này cũng như hệ thức $\frac{2s}{t^2}$ nói chung là gia tốc của vật (điểm vật chất). Khái niệm gia tốc rõ ràng có liên quan đến thực tế là tốc độ chuyển động của vật thể có thể thay đổi theo thời gian. Nếu tốc độ tỷ lệ thuận với thời gian, tức là $v = v_0 + at$, thì $a = \frac{v - v_0}{t}$, trong đó $(v - v_0)$ là sự thay đổi tốc độ trong một khoảng thời gian $t$.

Do đó, một đại lượng vật lý mới đã được giới thiệu - gia tốc. Công thức nổi tiếng $s = \frac{at^2}{2}$ (giả sử rằng vận tốc ban đầu của vật bằng 0) cũng không biểu thị bất kỳ định luật tự nhiên nào, mà là hệ quả của định nghĩa được chấp nhận về gia tốc.

Sau đó, một giải thích đã được đưa ra: để mô tả chính xác các loại chuyển động khác nhau, cần phải tính đến độ dịch chuyển $s$, tốc độ $v$ và gia tốc $a$ là các đại lượng vectơ.

*) Hệ số 2 được đưa ra vì lý do toán học thuần túy.

2. Tăng tốc

Ngoài ra còn có những chuyển động trong đó tỉ số của các quãng đường đi được trong bất kỳ khoảng thời gian nào đều bằng tỉ số bình phương của các khoảng thời gian này. Trong ngôn ngữ hiện đại, điều này được viết dưới dạng đẳng thức sau:

$$\frac{s_1}{s_2} = \frac{t_1^2}{t_2^2},$$

trong đó $s_1$ và $s_2$ lần lượt là khoảng cách mà vật chuyển động đi được trong các khoảng thời gian $t_1$ và $t_2$. Ví dụ, đây là chuyển động của các vật thể rơi tự do vào chân không hoặc chuyển động của các vật thể dọc theo một mặt phẳng nghiêng mà không có ma sát.

Những chuyển động như vậy được nghiên cứu bởi nhà vật lý người Ý Galileo. Ông viết phương trình (1) dưới dạng $\frac{2s_1}{t_1^2} = \frac{2s_2}{t_2^*}$ và gọi các hệ thức này cũng như hệ thức $\frac{2s}{t^2}$ nói chung là gia tốc của vật (điểm vật chất). Khái niệm gia tốc rõ ràng có liên quan đến thực tế là tốc độ chuyển động của vật thể có thể thay đổi theo thời gian. Nếu tốc độ tỷ lệ thuận với thời gian, tức là $v = v_0 + at$, thì $a = \frac{v - v_0}{t}$, trong đó $(v - v_0)$ là sự thay đổi tốc độ trong một khoảng thời gian $t$.

Do đó, một đại lượng vật lý mới đã được giới thiệu - gia tốc. Công thức nổi tiếng $s = \frac{at^2}{2}$ (giả sử rằng vận tốc ban đầu của vật bằng 0) cũng không biểu thị bất kỳ định luật tự nhiên nào, mà là hệ quả của định nghĩa được chấp nhận về gia tốc.

Sau đó, một giải thích đã được đưa ra: để mô tả chính xác các loại chuyển động khác nhau, cần phải tính đến độ dịch chuyển $s$, tốc độ $v$ và gia tốc $a$ là các đại lượng vectơ.

*) Hệ số 2 được đưa ra vì lý do toán học thuần túy.

9

3. Cân nặng

Từ một số thí nghiệm được thực hiện trong nhiều điều kiện khác nhau, chúng ta có thể kết luận rằng một vật thể cách xa tất cả các vật thể khác vô cùng không thể chuyển động bằng gia tốc, nếu chúng ta xem xét chuyển động tương đối với một số hệ thống báo cáo được xác định rõ ràng, được gọi là hệ thống báo cáo quán tính. Một vật như vậy đứng yên hoặc chuyển động đều và bất động so với hệ báo cáo quán tính. Nếu một cơ thể chuyển động với gia tốc, thì luôn có thể chỉ ra một cơ thể khác hoặc các cơ thể khác, ảnh hưởng của nó gây ra chuyển động tăng tốc của cơ thể này. Trong những trường hợp như vậy, họ nói rằng các cơ thể tương tác với nhau. Hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất - khi hai vật thể tương tác với nhau. Kinh nghiệm cho thấy rằng trong trường hợp này cả hai vật đều nhận được những gia tốc có hướng ngược chiều nhau. Đối với mô hình tăng tốc của cả hai vật thể, chúng có thể khác nhau. Nhưng tỷ số của mô hình được gia tốc trên cả hai vật thể vẫn không đổi, bất kể các điều kiện xảy ra tương tác. Như vậy, nó không phụ thuộc vào vị trí tương đối của các vật thể này trong không gian, không phụ thuộc vào thời gian, không phụ thuộc vào tốc độ của cả hai vật thể, không phụ thuộc vào môi trường, v.v. Mối quan hệ này chỉ phụ thuộc vào tính chất của chính các vật thể tương tác.

Trong vật lý, chỉ những tính chất của vật thể mới được nghiên cứu có thể biểu thị bằng số và để nghiên cứu một số tính chất nhất định trong vật lý, các đại lượng vật lý được đưa vào để mô tả các tính chất này. Khi nói đến gia tốc của một vật do tác dụng của vật khác lên nó thì gia tốc này có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn. Gia tốc của một vật càng lớn thì rõ ràng sự thay đổi tốc độ của nó trong một khoảng thời gian nhất định càng lớn. Và ngược lại, nếu gia tốc của một vật nhỏ, điều này có nghĩa là trong cùng khoảng thời gian, tốc độ của nó thay đổi rất ít. Tốc độ không thể thay đổi ngay lập tức - bất kỳ thay đổi nào về tốc độ của cơ thể đều cần một khoảng thời gian nhất định.

gia tốc của hai vật tương tác là do sự tương tác của chúng gây ra. Rõ ràng là khoảng thời gian mà tốc độ của hai vật tương tác với nhau thay đổi,

11

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

(Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton). Đặc biệt, trong điều kiện của Trái đất, vinh quang của lực hấp dẫn phổ quát thể hiện dưới dạng lực hấp dẫn tác dụng lên bất kỳ vật thể nào và hướng về tâm Trái đất.

Lực tĩnh điện được tính theo công thức

$$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$$

(định luật Coulomb). Trong cơ học tàu điện, các lực đặc trưng cho sự tương tác giữa các hạt tích điện tạo nên cơ thể biểu hiện dưới dạng lực đàn hồi và lực ma sát. Lực đàn hồi xảy ra khi một vật bị biến dạng, tức là khi vị trí tương đối của một bộ phận của vật đó thay đổi, chẳng hạn như khi một lò xo bị kéo căng hoặc chùng xuống. Như đã biết, lực ma sát phát sinh khi các vật tiếp xúc chuyển động tương đối với nhau.

Như vậy, trong cơ học, người ta thường nghiên cứu ba loại lực: lực hấp dẫn phổ quát, lực đàn hồi và lực ma sát.

Nếu bất kỳ lực nào trong số này tác dụng lên một vật có khối lượng $m$ gây ra gia tốc của nó bằng $\vec{a}$, thì giá trị của lực này luôn bằng $m\vec{a}$. Nói cách khác, nếu một vật có khối lượng $m$ cần được cấp một gia tốc bằng $\vec{a}$, thì một lực $\vec{F}$ bằng $\vec{F} = m\vec{a}$ cần tác dụng lên vật này (rõ ràng là hướng của lực tác dụng $\vec{F}$ phải trùng với hướng của gia tốc $\vec{a}$ cần truyền vào vật đó). Trong trường hợp này, lực $\vec{F}$ có thể là lực hấp dẫn (lực hấp dẫn phổ quát), lực đàn hồi, lực ma sát hoặc cuối cùng là tổng hình học của các lực này. Đây là ý nghĩa của định luật thứ hai của Newton.

Chúng ta hãy thử tìm hiểu xem điều gì là cơ sở cho việc hình thành định luật thứ hai của Newton. Hãy tưởng tượng hai điểm vật liệu $A$ và $B$ tương tác với nhau, nghĩa là truyền gia tốc cho nhau. Kinh nghiệm cho thấy rằng hướng của các gia tốc này ngược chiều nhau.

Rõ ràng, cả hai vật liệu điểm tương tác đều “bằng nhau” theo nghĩa là tên gọi của chúng có thể được thay đổi lẫn nhau. Nói cách khác, không có điểm tương tác nào có lợi thế hơn điểm kia. Theo đó, phải có các đại lượng vật lý giống nhau đối với cả hai vật liệu điểm tương tác. Không khó để tìm thấy một giá trị như vậy. Từ thư từ (2) có kết quả như sau:

$$\frac{m_A}{m_B} = \frac{a_B}{a_A},$$

trong đó $m_A$ và $m_B$ là khối lượng của vật liệu tương tác của các điểm, $a_A$ và $a_B$ là mô hình gia tốc của chúng. Kể từ đây,

$$m_A a_A = m_B a_B.$$ (5)

Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy các giá trị giống nhau cho cả hai con bê tương tác. Giá trị này đặc trưng cho sự ảnh hưởng lẫn nhau của vật liệu của các điểm lên nhau, gây ra gia tốc của chúng. Sự tồn tại của đại lượng như vậy là cơ sở hình thành định luật thứ hai của Newton.

Xét gia tốc là một đại lượng vectơ nên ta viết lại tương ứng (5) dưới dạng

$$m_A \vec{a}_A = -m_B \vec{a}_B.$$

Ký hiệu $m_A \vec{a}_A = \vec{F}_A$ và $m_B \vec{a}_B = \vec{F}_B$, ta có

$$\vec{F}_A = -\vec{F}_B.$$

Các đại lượng vectơ $\vec{F}_A$ và $\vec{F}_B$ Newton được gọi là lực. Như bạn có thể thấy, trong đó điểm vật chất $A$ tác dụng lên điểm vật chất $B$, bằng mô đun, nhưng ngược hướng với lực mà điểm vật chất $B$ tác dụng lên điểm vật chất $A$. Tuyên bố này thể hiện định luật thứ ba của Newton. Tóm tắt khác

Định luật này được xây dựng như sau: hành động bằng phản ứng.

Từ tất cả những gì đã nói về đại lượng vật lý gọi là lực, có thể suy ra rằng kết quả duy nhất của tác dụng của một lực lên một vật (điểm vật chất) là gia tốc mà vật đó thu được dưới tác dụng của lực này.

5. Xung

Chúng ta đã biết rằng khi hai vật tương tác, cả hai vật đều nhận được gia tốc phụ thuộc vào khối lượng của chúng. Nhưng có thể tìm thấy một giá trị giống nhau cho cả hai vật thể tương tác và không phụ thuộc vào khối lượng của chúng.

Chúng ta sẽ tìm đại lượng này bằng cách viết lại định luật thứ hai của Newton - $\vec{F} = m\vec{a}$ - ở dạng được sửa đổi một chút. Hãy nhớ lại rằng gia tốc của một vật có thể được viết là $\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{t}$. Rồi $\vec{F} = m\frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{t}$, từ đâu

$$\vec{Ft} = m\vec{v} - m\vec{v}_0.$$

Đại lượng $m\vec{v}$ được gọi là xung lực cơ thể, và đại lượng $\vec{Ft}$ được gọi là xung lực.

Bây giờ chúng ta có thể nói rằng trong quá trình tương tác của hai vật thể, xung lực với mỗi lực thay đổi, theo đó các vật thể tác dụng lên nhau, có độ lớn bằng nhau và hướng ngược nhau. Do đó, những thay đổi trong xung của cả hai cơ thể cũng có độ lớn bằng nhau và ngược chiều nhau. Điều này có nghĩa là tổng hình học của các xung của các vật thể tương tác không đổi đối với bất kỳ tương tác nào của các vật thể này. Tuyên bố này được gọi là định luật bảo toàn động lượng. Có thể chứng minh rằng định luật bảo toàn động lượng không chỉ có giá trị đối với hai vật thể mà còn đúng đối với bất kỳ số lượng vật thể nào tương tác với nhau. Đây là một trong những quy luật quan trọng nhất của tự nhiên.

6. Công việc và Năng lượng

Chúng ta định nghĩa xung lực là tích của các lực $\vec{F}$ và thời gian tác dụng của nó $t$. Bằng cách tương tự, chúng ta có thể rút ra các đại lượng bằng tích của các lực tác dụng lên vật và độ dịch chuyển của vật. Đại lượng này được gọi là công của lực. Trong trường hợp hướng của vectơ lực $\vec{F}$ và độ dịch chuyển $\vec{s}$ trùng nhau thì công của lực bằng $Fs$.

Trong trường hợp tổng quát, khi hướng của lực và hướng chuyển động của vật tạo một góc $\alpha$ với nhau thì biểu thức công có dạng

$$A = Fs \cos \alpha.$$

Không giống như động lượng của một vật là đại lượng vectơ, công là đại lượng vô hướng.

Người ta có thể chứng minh rằng công do một lực tác dụng lên vật thực hiện luôn bằng

$$A = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}.$$

Đại lượng $\frac{mv^2}{2}$ được gọi là động năng của chuyển động của vật. Đẳng thức (6) thể hiện cái gọi là định lý động năng: độ biến thiên động năng của một vật bằng công của các lực tác dụng lên vật đó. Ví dụ,

13

Rằng sự tương tác của các vật thể có thể được đặc trưng không chỉ bằng lực mà còn bằng thế năng. Đối với thế năng, định lý sau đây đúng: độ biến thiên thế năng của các vật tương tác, lấy dấu ngược lại, bằng đẳng thức của các lực tương tác.

Vì vậy, chúng tôi đã giới thiệu ba đại lượng vật lý quan trọng - công của các lực, động năng của cơ thể và thế năng của sự tương tác của cơ thể.

Không khó để chỉ ra rằng đối với một hệ các vật tương tác với nhau bằng lực hấp dẫn và độ đàn hồi thì định luật bảo toàn năng lượng tổng hợp là đúng: tổng thế năng và động năng của các vật tương tác, lấy dấu ngược lại, bằng các lực tương tác bằng nhau.

Chúng tôi đã đưa ra một số ví dụ về cách giới thiệu các đại lượng vật lý. Từ những ví dụ này, có thể thấy rõ tầm quan trọng của việc chọn đúng các đại lượng vật lý đặc trưng cho một hiện tượng cụ thể. Chúng tôi chỉ giới hạn ở những đại lượng đặc trưng cho chuyển động cơ học.

Việc đưa vào nhanh chóng các đại lượng vật lý giúp chúng ta có thể khám phá và hình thành một số định luật quan trọng của cơ học cổ điển (cơ học Nyutov). Những luật này đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực công nghệ. Các đại lượng vật lý được giới thiệu bằng cách sử dụng các nguyên tắc tương tự trong các ngành vật lý khác.

Bài toán để nghiên cứu Chọn các đỉnh của k-giác lồi

Các điều kiện gọi một hệ thống các điểm trên một mặt phẳng là các điểm tổng quát nếu không có ba điểm nào trong số các điểm này thuộc cùng một đường thẳng. Rõ ràng 4 điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng có thể không phải là các đỉnh của 4 vệ tinh lồi; tuy nhiên, thật dễ dàng để chứng minh, nếu có 5 điểm trên mặt phẳng thì 4 điểm không xoắn trong số đó chắc chắn là các đỉnh của một vệ tinh 4 lồi. 6, 7 hoặc 8 điểm ở vị trí tổng quát có thể được đặt trên một mặt phẳng sao cho không có 5 điểm nào trong số đó là đỉnh của một hình 5-lồi lồi; tuy nhiên, trong số 9 điểm bất kỳ ở vị trí tổng quát thì chắc chắn

Làm thế nào để tìm thấy chúng là các đỉnh của một hình lồi 5 cạnh. Việc chứng minh khẳng định này không khó nhưng khá phức tạp. Một ghi chú của G. A. Tonoyan được dành tặng cho ông («Kvant», 1975, số 11, trang 26).

Nhà toán học nổi tiếng người Hungary Pál Erdős, thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Hungary và nhiều viện hàn lâm, hiệp hội khoa học ở các nước khác nhau, đã viết bài toán về việc xác định số nhỏ nhất N=N(k) sao cho từ N điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng người ta chắc chắn có thể chọn được k điểm là các đỉnh của một k-khoái cảm lồi. Bằng cách sử dụng một phép tìm kiếm khá phức tạp về các phương án có thể có cho vị trí của các điểm trên mặt phẳng, Erdős đã chứng minh được rằng N(6) = 17: trên mặt phẳng người ta có thể xác định 16 điểm ở vị trí tổng quát sao cho không có 6 điểm nào trong số đó là đỉnh của một hàm lồi 6 điểm; tuy nhiên, nếu có 17 điểm ở vị trí tổng quát thì trong đó phải tìm được 6 đỉnh của 6-lồi lồi sao cho một hệ các vật tương tác với nhau bằng lực hấp dẫn và lực đàn hồi thì định luật bảo toàn năng lượng toàn phần là đúng: tổng thế năng và động năng của các vật tương tác lấy nghịch đảo bằng các lực tương tác.

Chúng tôi đã đưa ra một số ví dụ về cách giới thiệu các đại lượng vật lý. Từ những ví dụ này, có thể thấy rõ tầm quan trọng của việc chọn đúng các đại lượng vật lý đặc trưng cho một hiện tượng cụ thể. Chúng tôi chỉ giới hạn ở những đại lượng đặc trưng cho cơ học (cơ học Nyutov). Những luật này đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực công nghệ. Các đại lượng vật lý được giới thiệu bằng cách sử dụng các nguyên tắc tương tự trong các ngành vật lý khác.

Giả thuyết này của Erdossy có vẻ liền kề: sự hình thành đóng góp của nó. Tuy nhiên, than ôi! — ngày nay không có cách tiếp cận hữu hình nào đối với lời giải bài toán về việc xác định số N(k), tức là để chứng minh (và, có lẽ, ngược lại, để bác bỏ) giả thuyết của Erdős (bản thân Erdős chỉ có ước tính về số N(k), thật không may, lại khá xa so với kết quả giả thuyết). Sẽ rất thú vị nếu đạt được giới hạn trên và giới hạn dưới tốt cho N(k).

VÀ TÔI.

15

However, be careful! Việc đáp ứng đẳng thức (4) không đảm bảo sự trùng khớp của $x_n$ với nghiệm $\xi$ với độ chính xác nhất định trên đoạn khoảng cách. Hình 2 cho thấy loại tình trạng lộn xộn nào có thể xảy ra: chuỗi $(x_n)$ hội tụ đến điểm $\eta$, trong đó giá trị $\varphi(\eta)$ rất gần (trong một độ chính xác nhất định) với $\eta$, nhưng không giống với $\eta$, trong khi nghiệm thực $\xi$ của phương trình nằm ở nơi khác.

Lựa chọn chức năng $\varphi$

Để soạn phương trình (2), hàm $\varphi$ có thể được chọn theo nhiều cách khác nhau *), nhưng không phải lựa chọn nào cũng phù hợp để tính nghiệm bằng phương pháp tích phân. Chúng ta sẽ giả sử rằng phương trình (1) có nghiệm $\xi$ trên khoảng cho trước $[a, b]$ và chúng ta đã thay thế phương trình này bằng phương trình tương đương (2). Sau đó, quá trình iterazioni $x_{n+1} = \varphi(x_n)$ hội tụ bất kỳ xấp xỉ ban đầu nào $x_0 \in [a, b]$ về nghiệm của phương trình (1), nếu các điều kiện sau được đáp ứng:

$$|\varphi'(x)| \leq q < 1 \text{ при любом } x \in [a, b],$$

(5)

thức ăn $q$ là một con số cố định.

Chúng tôi sẽ không chứng minh tuyên bố này (xem bài toán 10 bài viết của V. G. Boltyansky, được đánh số ở trên), nhưng chúng tôi sẽ liên tục sử dụng nó.

Lưu ý rằng nếu điều kiện (5) không được đáp ứng thì quá trình tích phân (3) có thể khác nhau (xem Hình 3).

Người ta đã chứng minh rằng số $q$ càng nhỏ thì quá trình tương tác (3) hội tụ càng nhanh và càng cần ít phép tính gần đúng liên tiếp hơn để thu được kết quả cuối cùng. Vì vậy, khi chọn hàm $\varphi$ cần phải cố gắng đảm bảo số $q$ càng nhỏ càng tốt. Nếu chúng ta xóa hàm $\varphi$ sao cho phương trình $\varphi'(\xi) = 0$ được thỏa mãn thì quá trình iterazioni (3) sẽ hội tụ rất nhanh.

Nhưng đó không phải là tất cả. Điều bắt buộc là phải tính đến sự tiện lợi của việc tính toán trên máy tính này. Để giảm thời gian cho công việc tính toán nên chọn hàm $\varphi$ sao cho quá trình tính nghiệm theo công thức (3) là số nguyên. Quy trình tính toán số nguyên là quy trình có thể được thực hiện trên một máy tính nhất định mà không cần ghi lại kết quả trung gian.

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ chỉ xây dựng các quy trình tính toán số nguyên.

Chiết xuất rễ

Để lấy căn bậc ba của một số dương $a$, chúng ta thực hiện

*) Ví dụ: bằng cách đặt $\varphi(x) = j(x) + x$.

16

như sau. Cả hai vế của phương trình
$$x^3 = a$$
nhân với $x$ và lấy căn bậc bốn. chúng tôi nhận được
$$x = \sqrt[4]{ax}.$$
Hãy đặt $\varphi(x) = \sqrt[4]{ax}$. Khi đó công thức (3) có dạng
$$x_{n+1} = \sqrt[4]{ax_n}, n=0, 1, 2, \dots$$
Bởi vì
$$\varphi'(x) = \frac{a}{4\sqrt[4]{a^3x^3}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3/a}}$$
chúng tôi nhận được
$$\varphi'(\sqrt[4]{a}) = \frac{1}{4} < 1.$$
Tại $x > \sqrt[4]{a}$ hàm $\varphi'(x)$ sẽ tắt. Do đó, điều kiện (5) được thỏa mãn trên khoảng vô hạn $[\sqrt[4]{a}, \infty[$ và sự hội tụ của quá trình lặp (6) được đảm bảo.
Từ công thức (6), suy ra rằng việc trích căn bậc ba bao gồm việc nhân kết quả với hằng số $a$ rồi trích căn bậc hai hai lần, và do đó là một quá trình tính toán chuỗi. Điều kiện để đơn giản hóa việc ghi các thuật toán: phím xóa của thanh ghi chỉ báo được biểu thị bằng biểu tượng $C$, còn các phím số và phím toán tử được biểu thị bằng các số và dấu tương ứng của các phép toán không có khung. Ký hiệu ind($A$) có nghĩa là số $A$ được hiển thị trên chỉ báo. Sau đó, thuật toán trích xuất căn bậc ba trên “Elektronka BZ-14M” sẽ được viết như sau:

$$x_0 \times a = \sqrt[4]{x} \times a = \sqrt[4]{x} \times a = \sqrt[4]{x} \dots$$
… ind($\sqrt[4]{a}$),

trong đó $x_0$ là giá trị gần đúng ban đầu. Một quá trình lặp lại đồ họa được hiển thị trong Hình 4.

Nếu bạn cần tính căn bậc năm, hãy chia cả hai vế của phương trình $x^5 = a$ cho $x$, sau đó trích ra căn bậc tư, ​​sau đó bạn sẽ có được mối quan hệ truy hồi
$$x_{n+1} = \sqrt[4]{a/x_n}, n=0, 1, 2, \dots$$
Lấy $x_0=1$, chúng ta viết thuật toán trích căn bậc 5 trên “Elektronka BZ-14M”:

$$a\sqrt[4]{-1/x} \times a = \sqrt[4]{-1/x} \times a = \sqrt[4]{-1/x} \dots$$
… ind($\sqrt[4]{a}$),

Một quá trình lặp lại đồ họa được hiển thị trong Hình 5.

Rõ ràng, rễ thảo nguyên $2^k(2^m-1), 2^k(2^m+1)$, trong đó $k=0, 1, 2, \dots, m=2, 3, 4, \dots$, có thể được chiết xuất theo cách tương tự.

Vẫn còn phải nói một vài lời về việc lựa chọn xấp xỉ ban đầu. Khi trích xuất nghiệm trong tất cả các trường hợp được xem xét, giá trị gần đúng ban đầu có thể là $x_0=1$ hoặc thậm chí bất kỳ số nào $x_0 \in [1, a]$. Điều này sẽ không ảnh hưởng đến sự hội tụ của quá trình lặp (3).

Lời giải phương trình
Kỹ thuật chúng tôi sử dụng để trích xuất căn bậc năm

Hình 4.
Hình 5.

17

(chia cả hai vế của đẳng thức cho ẩn số $x$, sau đó giải phương trình theo căn bậc hai), có thể được sử dụng để tính nghiệm dương của một số phương trình đại số bậc cao hơn.

Hãy cho thấy cách thực hiện điều này bằng một ví dụ. Giả sử chúng ta cần tính nghiệm dương của phương trình
$$x^5 - 10x^3 + 21x - 3 = 0.$$ (7)

Chia vế trái của phương trình cho $x$ và ký hiệu là $g(x) = 21 - 3/x$, chúng ta thu được phương trình hai phương trình $x^4 - 10x^2 + g(x) = 0$, giải ra ta tìm được $x = \sqrt{5 \pm \sqrt{\frac{3}{x}} + 4}$.

Hãy chọn một công thức làm việc:
$$x_{n+1} = \sqrt{5 + \sqrt{\frac{3}{x_n}} + 4}, \quad n = 0, 1, 2, \dots$$

Chúng tôi thực hiện các tính toán trên “Elektronka BZ-14M”. Bắt đầu từ $x_0 = 1$, chúng ta thu được chuỗi xấp xỉ liên tiếp sau:
$$x_0 = 1, \quad x_3 = 2,694692,$$
$$x_1 = 2,765095, \quad x_4 = 2,694672,$$
$$x_2 = 2,693507, \quad x_5 = 2,694672.$$

So sánh các giá trị gần đúng $x_4$ và $x_5$, chúng ta thấy rằng đẳng thức (4) được thỏa mãn đến $10^{-6}$. Do đó, giá trị mong muốn của nghiệm sẽ là $x = 2,694672$ với độ chính xác như nhau. Tuy nhiên, điều này vẫn cần phải được kiểm tra!

Theo cách tương tự, bạn có thể tìm nghiệm của các phương trình đại số khác. Chúng tôi sẽ viết một số trong số chúng ở đây ở dạng tổng quát:

1. $x^{2m+1} - ax \pm d = 0,$
2. $x^{2m+1} - 2ax^{2m} \pm bx \pm d = 0,$
3. $x^{2m+1} - 2ax^{2m+1} \pm bx \pm d = 0,$
   $a > 0, \quad m = 0, \quad 1, \quad 2, \dots$

Phương pháp được mô tả của phương trình lời giải thuận tiện theo nghĩa, giống như trong trường hợp trích xuất nghiệm, giá trị gần đúng ban đầu có thể là $x_0 = 1$.

Bài tập

1. Chứng minh rằng lời giải của phương trình (7) tìm được là đúng.
2. Chuỗi $(x_n)$ được đưa ra lặp lại: $x_{n+1} = \sqrt[4]{ax_n}, \quad x_0 = 1$. Tìm công thức của $x_n$ và chứng minh rằng $\lim_{n \to \infty} \sqrt[4]{a}$.
3. Chứng minh rằng $\sqrt[3]{a} = \sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[2]{a} \cdot \dots \cdot \sqrt[2]{a} \cdot \dots$ cho $a > 0$.
4. Hãy nghĩ ra một quy trình tương tác để trích xuất căn bậc ba để:
   a) hội tụ nhanh hơn (6),
   b) hội tụ chậm hơn (6),
   b) đã phân kỳ.
5. Tìm công thức truy hồi rút nghiệm của a) bậc 11; 6) độ 13.
6. Viết thuật toán trích nghiệm bậc 6 trên Elektronka BZ-14M.
7. Sử dụng thuật toán đã cho, tìm $x$:
   $$x_0 \times a \sqrt[]{-} = \sqrt[]{-} \sqrt[]{-} \times a \sqrt[]{-} = \sqrt[]{-} \sqrt[]{-} \dots \dots \text{ind}(x).$$
8. Chính xác đến $10^{-6}$, hãy tìm nghiệm nguyên của các số sau: a) $\sqrt[3]{10}, \quad 6)$ $\sqrt[3]{756}, \quad b)$ $\sqrt[5]{23}, \quad r)$ $\sqrt[7]{653}, \quad d)$ $\sqrt[13]{7895}, \quad e)$ $\sqrt[17]{1256}, \quad j)$ $\sqrt[17]{3224}$.
9. Chính xác đến $10^{-6}$, tính nghiệm của các phương trình sau chứa trong khoảng [1, $\infty$]: a) $5x^2 - 296x + 453 = 0, \quad 6)$ $x^3 - 71x - 11 = 0, \quad b)$ $x^3 - 220x + 17 = 0, \quad r)$ $x^4 - 6x - 109 = 0, \quad d)$ $x^4 + 3x - 15 = 0, \quad e)$ $x^5 - 4x - 2 = 0, \quad j)$ $x^3 - 24x^2 + 92x - 5 = 0, \quad 3)$ $x^4 - 12x^2 + 5x - 25 = 0, \quad i)$ $x^4 - 18x^2 + 7x + 13 = 0, \quad k)$ $x^5 - 102x^3 + 487x + 50 = 0.$

Sửa đổi
(xem «Kvant» số 7)

Chúng ta. 17 ở điều kiện bài toán 7 và 8 sau dấu $\Leftrightarrow$ phải có chữ $n$.

Chúng ta. 38 trong đoạn đầu tiên nên đọc: và liên quan đến $O:I_0 = (a + b + c)R^2 = 2pR^2$.

Chúng ta. 39 tên viết tắt của một trong các tác giả được chỉ định không chính xác bài toán - nên đọc A. V. Byalko.

Chúng ta. 44 trong cột thứ hai, phân số $1/n$ nên được thay thế bằng $1/(2n)$, đại lượng $S_{n-1}$ bằng $S_{n-1}/2$ và tọa độ $x_1 = 1$ bằng $x_1 = 1/2$. Trong Hình 1 và Hình 2, các viên gạch phải được xếp sao cho khoảng cách giữa các cạnh của các viên gạch liền kề tính từ trên xuống tạo thành dãy $1/2, 1/4, 1/6, \dots, 1/(2(n-1))$ (đối với một chồng gạch $n$), tương ứng với sự thay đổi được yêu cầu ở cột đầu tiên. Ở cột thứ ba, $1/(2p)$ nên được thay thế bằng $(1/2)^p$.

Chúng ta. 48 công thức trong bài toán 10 sẽ như thế này:
4 | $MN|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 - |AC|^2 - |BD|^2$.
(xem «Kvant» số 8)

Trong lời giải bài toán F874 (tr. 52) đã xảy ra sự thiếu chính xác: khi rẽ, khả năng tăng tốc tự động được truyền vào nó bởi lực ma sát tác dụng lên cả bánh trước và bánh sau và bằng $\mu m g$ (chứ không phải $\mu m g/2$). Vị trí $v_M = \sqrt{\mu m g}$, $v \leq v_M \approx 60$ km/h.

18

Nguyên tắc là tương đối
liên quan đến

Kakidat của khoa học vật lý và toán học
A. A. DOZOROV

Trên một chuyến tàu thiên nhiên, nhìn ra cửa sổ đoàn tàu vừa khởi hành, một cậu bé năm tuổi hỏi:

• Mẹ ơi, ai đã đi, chúng ta hay chuyến tàu đó?
  “Tàu hỏa,” mẹ tôi trả lời.
• Tại sao đối với tôi có vẻ như chúng tôi đã đi?

Mẹ từng trả lời mà không để ý đến việc con trai bà đang đặt ra một trong những câu hỏi cơ bản của vật lý.

Một trong những người đầu tiên đưa ra câu hỏi tương tự và trả lời nó đáp số nhà khoa học vĩ đại người Ý Galileo Galilei. Điều này xảy ra vào năm 1636, tức là khoảng 350 năm trước. Đây là lý luận của Galileo về cái gọi là nguyên lý tương đối, như được nêu trong cuốn sách “Đối thoại về hai hệ thống quan trọng nhất của thế giới - Polemaic và Copernican”:

“Hãy ẩn mình với một trong những người bạn của bạn trong một căn phòng rộng rãi dưới boong một con tàu nào đó, tích trữ bột mì, bướm và các loại côn trùng bay nhỏ tương tự khác; Hãy để bạn cũng có một chiếc tàu lớn ở đó với nước và những con cá nhỏ bơi lội trong đó; Tiếp theo, treo một cái xô ở trên cùng, từ đó nước sẽ rơi từng giọt vào một chiếc tàu khác có cổ hẹp đặt bên dưới. Trong khi con tàu đứng yên, hãy chăm chỉ quan sát xem những con vật bay nhỏ di chuyển với tốc độ như nhau ở mọi hướng trong phòng; con cá, như bạn sẽ thấy, sẽ bơi một cách thờ ơ. theo mọi hướng; tất cả các giọt rơi sẽ rơi vào bình thay thế, và khi bạn ném một vật, bạn sẽ không phải ném nó với lực mạnh hơn theo hướng này so với hướng kia nếu khoảng cách là như nhau; và nếu bạn nhảy bằng cả hai chân cùng một lúc, bạn sẽ nhảy cùng một khoảng cách theo bất kỳ hướng nào, mặc dù bạn sẽ không nghi ngờ gì rằng nếu bạn dừng lại nhiều lần, mọi thứ sẽ diễn ra chính xác như thế này, và sau đó (nếu chỉ chuyển động đều và không lắc lư). hướng này hay hướng khác) trong tất cả các hiện tượng được đặt tên, bạn sẽ không tìm thấy sự thay đổi nhỏ nhất nào và từ không cái nào trong số chúng, bạn sẽ có thể xác định được con tàu đang chuyển động hay đứng yên… Và lý do cho sự nhất quán của tất cả những hiện tượng này là chuyển động của con tàu là chung cho tất cả các vật thể trên nó, cũng như đối với không khí.”

Isaac Newton trong cuốn sách “Toán học về vật lý tự nhiên” xuất bản năm 1687, đã đưa ra nguyên lý tương đối: “Các chuyển động tương đối so với nhau của các vật thể chứa trong không gian bất kỳ là như nhau, cho dù không gian này đứng yên hay chuyển động đều, thẳng không quay”.

Trong công thức hiện đại của nó, nguyên lý tương đối của Galileo thường được viết như sau: các định luật cơ học là như nhau trong mọi hệ quán tính vắng mặt.

Nguyên tắc này đã không được sửa đổi trong một thời gian rất dài. Chỉ đến năm 1905, trong công trình mang tính bước ngoặt của mình về lý thuyết đặc biệt về tương đối, Albert Einstein đã khái quát nguyên lý cơ học của tương đối, áp dụng nó cho mọi hiện tượng vật lý: “Các định luật theo đó trạng thái của các hệ vật lý thay đổi không phụ thuộc vào hệ tọa độ nào trong hai hệ tọa độ, chuyển động đều và thẳng đối với nhau, những thay đổi trạng thái này có liên quan đến nhau”.

Do đó, không có thí nghiệm nào được thực hiện trong bất kỳ hệ quán tính nào có thể nói được liệu hệ này đang chuyển động thẳng và đều hay đang đứng yên.

Hãy tưởng tượng rằng một khẩu pháo đứng yên đang bắn thẳng lên. Đạn tất nhiên phải quay lại chính xác

19

vào họng khẩu pháo này.*) Chẳng có mánh khóe nào trong việc này cả, bí mật chỉ nằm ở việc huấn luyện lính pháo binh. Nếu bây giờ chúng ta buộc các khẩu pháo chuyển động đều, thẳng và bắn khi đang di chuyển mà không làm thay đổi tải trọng của ordium, thì theo nguyên lý đường đạn tương đối, chúng lại phải quay về đầu nòng pháo. Điều này đã thú vị hơn nhiều.

Trong một số điều kiện nhất định, bạn có thể độc lập thực hiện cài đặt thích hợp, được trình bày dưới dạng sơ đồ trong hình và thể hiện hoạt động của nó trong bài học vật lý. Khó nhất là pháo. Lò xo của súng được nén bằng tay cầm 1 và cố định ở vị trí này bằng cò súng 2. Đạn (quả bóng kim loại) được đặt trên một chiếc cốc gắn vào lò xo. Khi bắn khi đang di chuyển, thiết bị kích hoạt sẽ căn chỉnh khi nó chạm vào nêm 3 gắn trên bảng 4 nơi súng được phóng. Việc điều chỉnh ordium (nhắm) được thực hiện bằng cách sử dụng dây dọi 5 và ba vít 6 (để lắp đặt có độ chính xác cao hơn, tốt hơn nên làm bệ từ hai tấm 7 và 8). Để nhắm mục tiêu chính xác, đáp số phải căn chỉnh với điểm 9.

Quy trình chuẩn bị và tiến hành thí nghiệm như sau. Sử dụng hai ốc vít 6, tấm đường 4 được lắp trên bàn sao cho pháo lăn dọc theo nó với tốc độ gần như không đổi (để hệ chuyển động có thể coi là quán tính). Ví dụ, bằng cách đặt một thước kẻ dưới bánh xe của khẩu pháo, khẩu pháo được gắn trên khẩu pháo bằng ba ốc vít 6. Sau đó, khẩu pháo được nạp đạn và bắn ngay tại chỗ (đối với điều này, thiết bị so sánh 2 được buộc bằng một thước đo khác). Quả bóng bay ra ngoài rồi lại quay trở lại họng súng. Sau đó, thước chặn được tháo ra, khẩu pháo tăng tốc, thiết bị kích hoạt chạm vào nêm 3, quả bóng bay lên, đồng thời di chuyển dọc đường với tốc độ ngang bằng với khẩu pháo, và trước sự vỗ tay của khán giả, chiếc ordium lại chạm vào họng súng. Trải nghiệm thực tế khá hiệu quả.

Tóm lại, đây là một số lời khuyên thiết thực. Tốt nhất nên làm súng thật đồ sộ để khi đánh nêm và khi bắn súng không bị văng ra. Đường kính vừa đủ của mõm là khoảng 3 cm. Để đạt được trí tưởng tượng của khán giả, quả bóng phải bay ra xa khoảng 1,5-2 m, trong thời gian đó bệ đặt pháo phải di chuyển khoảng 0,5 m. Đường ván phải được làm cứng để không bị sức nặng của bục đẩy đi, đồng thời mài sắc hai vít 6 cố định trên ván thì bản thân đường ván sẽ ổn định. Để thí nghiệm được lặp lại nhiều lần, ở cuối đường súng phải được dừng êm bằng tay hoặc phải làm rào chắn mềm ở cuối đường.

*) Ở đây người ta giả định rằng Trái đất là một hệ thống báo cáo quán tính, mặc dù trên thực tế, bất kỳ hệ thống báo cáo thực tế nào cũng chỉ có thể được coi là quán tính với phép tính gần đúng này hay phép tính gần đúng khác.

20

Nhà triển lãm

Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
V. G. BOLTYANSKY

Trong bất kỳ sách giáo khoa cấp trường nào, phần trình bày chủ đề về hàm số mũ và số e đều chứa đựng những phát biểu chưa được chứng minh, những đoạn văn được trình bày ngắn gọn. Điều này được giải thích bởi sự phức tạp của chủ đề. Ở đây chúng ta sẽ nói về một cách tiếp cận khác đối với những khái niệm này, khám phá ý nghĩa và mối liên hệ của chúng với các phương trình vi phân. Với cách trình bày này còn có những phát biểu chưa được chứng minh (định lý tổng quát của danh từ và tính duy nhất của phương trình vi phân và tính chất của hàm liên tục lấy giá trị trung gian). Tuy nhiên, những phát biểu chưa được chứng minh này có ý nghĩa trực quan đơn giản và có tầm quan trọng cơ bản đối với toàn bộ toán học.

1. Bài toán về một vật rơi trong môi trường có điện trở

Người nhảy dù đang rơi xuống bị ảnh hưởng bởi trọng lực và lực cản của không khí (các khả năng còn lại để phương trình vi phân và tính chất của hàm liên tục lấy các giá trị trung gian). Lực cản của không khí có thể coi là tỷ lệ thuận với tốc độ $v$, tức là có độ lớn bằng $qv$ (hệ số $q$ phụ thuộc chủ yếu vào đường kính và hình dạng của dù). Như vậy,

$$ma = mg - qv,$$

trong đó $a = v'$ là giá trị gia tốc (dấu trừ ở phía trước $qv$ là do lực cản của không khí tác dụng ngược với hướng rơi; Hình 1). Chia cho $m$ ta được

$$v' = -\frac{q}{m} v + g.$$ (1)

Sự tương ứng (1) là một phương trình vi phân tuyến tính: đạo hàm của hàm chưa biết $v = v(t)$ (cần được xác định từ phương trình này) được biểu thị dưới dạng đa thức bậc một của hàm chưa biết này. Ký hiệu hàm chưa biết là $y = y(x)$, các hệ số là $a$ và $b$, ta viết phương trình vi phân dưới dạng

$$y' = ay + b.$$ (2)

Phương trình vi phân này không chỉ mô tả sự rơi của một vật vào môi trường có lực cản mà còn mô tả các quá trình vật lý đa chiều.

2. Định lý tồn tại và duy nhất

Định lý 1. Dù là số thực $x_0, y_0$ thì cũng chỉ có một hàm số $y = y(x)$ là lời giải của phương trình (2) và thỏa mãn phương trình tương ứng $y(x_0) = y_0$. lời giải này được xác định trên toàn bộ dòng số.

Mối quan hệ $y(x_0) = y_0$ được gọi là tình trạng mũi. Do đó, Định lý 1 có nghĩa là phương trình (2) đối với bất kỳ tình trạng mũi đã cho nào cũng có lời giải (và hơn nữa, là phương trình duy nhất).

Hãy trình bày lý thuyết hình học của định lý này và xét trường hợp đặc biệt khi $a = 1$, $b = 2$, tức là lấy phương trình

$$y' = y + 2.$$ (3)

Tại các điểm $y = 0$ (trên trục $x$), theo (3), $y' = 2$, tức là đồ thị của hàm số ban đầu $y(x)$ phải có hệ số góc tiếp tuyến bằng 2 tại các điểm này. Chúng ta hãy phác thảo hướng của tiếp tuyến bằng các đường ngắn được vẽ tại các điểm của trục hoành (Hình 2). Hơn nữa, đối với $y = 1$, theo (3), $y' = 3$, tức là tại các điểm của đường thẳng $y = 1$ đồ thị của hàm số ban đầu phải có hệ số góc tiếp tuyến bằng 3; Chúng ta hãy đánh dấu hướng của tiếp tuyến tại các điểm của đường $y = 1$ bằng các dấu gạch ngang ngắn. Sau đó, chúng ta có thể đánh dấu các đường trên các đường thẳng khác song song với trục x (Hình 2). Bây giờ hành vi của “đường trường” của “trường định hướng” này trở nên rõ ràng. Tại mỗi điểm, “đường lực” chạm vào đường tương ứng, tức là tiếp tuyến của nó có hệ số góc là $y'$, do cấu tạo của đường thẳng nên bằng $y + 2$. Điều này có nghĩa là “đường trường” là đồ thị của hàm thỏa mãn phương trình (3). Từ hình vẽ, có thể thấy rõ rằng qua mỗi điểm $(x_0; y_0)$ có một “đường lực” và hơn nữa, chỉ có một. Điều này cung cấp sự xác nhận rõ ràng về tính đúng đắn của Định lý 1. Chứng minh của nó

21

3. Nhà triển lãm

Hàm thỏa mãn phương trình vi phân $y'=y$ và điều kiện ban đầu $y(0)=1$ được gọi là hàm mũ và được ký hiệu bằng ký hiệu expr.

Lưu ý rằng phương trình $y'=y$ là phương trình ngẫu nhiên từng phần của phương trình (2); do đó, lời giải của nó với điều kiện ban đầu $y(0)=1$, theo Định lý 1, tồn tại và được xác định duy nhất, và miền định nghĩa của lời giải này (nghĩa là hàm mũ) là một đường thẳng.

Nó suy ra trực tiếp từ định nghĩa rằng hàm mũ là một hàm khả vi và đạo hàm của nó trùng với cùng một hàm (vì nó là nghiệm của phương trình $y'=y$):

$$\text{exp } x' = \text{exp } x.$$ (4)

Định lý 2. Các giá trị của hàm expr là dương, tức là expr $>0$, với mọi số thực $x$.

Bằng chứng. Giả sử rằng expr $x_0=0$ đối với một số $x_0$. Khi đó hàm $y=\text{exp } x$ thỏa mãn phương trình $y'=y$ và điều kiện $y(x_0)=0$. Hàm $y\equiv 0$ cũng thỏa mãn phương trình $y'=y$ và điều kiện $y(x_0)=0$. Hơn nữa, hàm $y=\text{exp } x$ và $y\equiv 0$ khác nhau (ví dụ: expr $0=1$, tức là expr $0\neq 0$). Nhưng sau đó hóa ra phương trình $y'=y$ có ​​hai lời giải khác nhau theo điều kiện ban đầu $y(x_0)=0$, mâu thuẫn với Định lý 1. Vì vậy, đẳng thức expr $x=0$ không thể xảy ra với bất kỳ $x$ nào.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng đối với một số $x_1$ chúng ta có expr $x_1<0$. Hàm expr khả vi và do đó liên tục; do đó, giữa hai điểm mà tại đó nó nhận các giá trị khác dấu ($\text{exp } x_1<0$, expr $0=1$), hàm này phải biến mất (Hình 3). Nhưng điều này, như chúng ta đã thấy, là không thể.

Vì vậy, số mũ không thể nhận giá trị 0 hoặc âm; do đó expr $x>0$ với mọi $x\in R$.

Kết quả. Hàm mũ là hàm tăng.

22

Thật vậy, theo Định lý 2, hàm đạo hàm exp (tức là chính hàm này) chỉ nhận các giá trị dương, và do đó hàm exp đang tăng.

Định lý 3. Với mọi p, q ∈ R ta có

$$\exp(p+q) = \exp p \cdot \exp q.$$ (5)

Bằng chứng. Xét hàm y = exp(p+x). chúng tôi có

$$y' = (\exp(p+x))' = \exp(p+x) = y$$

(xem (4)), nghĩa là hàm này thỏa mãn phương trình y’=y. Trong trường hợp này y(0) = exp p.

Bây giờ chúng ta xét hàm y = exp p · exp x. chúng tôi có

$$y' = \exp p \cdot (\exp x)' = \exp p \cdot \exp x = y$$

nghĩa là hàm này cũng thỏa mãn phương trình y’=y. Trong trường hợp này y(0) = exp p. Theo Định lý 1, các hàm đang xem xét trùng nhau:

$$\exp(p+x) = \exp p \cdot \exp x.$$

Cụ thể, với x=q chúng ta thu được (5).

4. Số e

Giá trị hàm exp. khi x=1 được ký hiệu bằng chữ e, tức là e=exp 1. Để tìm giá trị gần đúng của số e, bạn có thể tiến hành như sau. Hãy chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau (mỗi phần có độ dài Δx=1/n). Qua điểm A0 (0; 1) ta vẽ đường “nét” tương ứng với phương trình y’=y; nó có hệ số góc k1=y, tức là k1=1. Chúng ta sẽ xem xét “dấu gạch ngang” này trên đoạn [0; 1/n]. Đầu bên phải A1 của nó có tọa độ x=1/n, y=1+k1Δx=1+1·1/n=1+1/n (Hình 4).

Qua A1 ta vẽ được một “dấu gạch ngang” mới, cũng tương ứng với phương trình y’=y; hệ số góc của nó bằng y (cung độ của điểm A1), nghĩa là bằng k2=1+1/n. Chúng ta sẽ xem xét “dấu gạch ngang” này trên [1/n; 2/n]. Đầu bên phải A2 của nó có tọa độ

$$x = \frac{2}{n}, y = \left(1 + \frac{1}{n}\right) + k_2 \Delta x =$$

$$= \left(1 + \frac{1}{n}\right) + \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$$

Qua A2 chúng ta lại vẽ một “dấu gạch ngang” tương ứng với phương trình y’=y. Hệ số góc k3 của nó bằng tọa độ điểm A2, tức là k3=(1+1/n)^2, và đầu bên phải của A3 có tọa độ x=3/n, y=(1+1/n)^2+k3Δx = (1+1/n)^3.

Tiếp tục, chúng ta thu được đường đứt nét A0A1A2…An - đường đứt nét Euler cho phương trình y’=y (trong Hình 4, để thuận tiện, các tỷ lệ khác nhau được lấy trên các trục); điểm An có tọa độ x=1, y=(1+1/n)^n. Đường đứt nét này đưa ra ý tưởng gần đúng về phương trình lời giải y’=y đi qua điểm A0, tức là hàm y=exp x (đồ thị màu đỏ trong Hình 4); cụ thể, điểm An gần với đồ thị điểm y=exp x, có hoành độ x=1, tức là tới điểm (1; e). Nói cách khác, (1+1/n)^n≈e. N càng lớn thì đẳng thức gần đúng này càng chính xác và do đó

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e.$$ (6)

Ví dụ: lấy n=1.000.000, nghĩa là thực hiện hành động 1.0000011000000 (điều này rất dễ thực hiện với máy tính vi mô), chúng tôi tìm thấy e=2.7182818…

5. Chỉ định e^x

Bổ đề. Với mọi x hữu tỉ thì đẳng thức đúng

$$\exp x = e^x.$$ (7)

Đi tiểu. 4.

23

Bằng chứng. Áp dụng nhất quán công thức (5), ta tìm được
$$\exp 2x = \exp (x+x) = \exp x \cdot \exp x = (\exp x)^2,$$
$$\exp 3x = \exp (2x+x) = \exp 2x \cdot \exp x = (\exp x)^2 \cdot \exp x = (\exp x)^3$$
v.v. Vì vậy, đối với $n$ tự nhiên, chúng ta có
$$\exp nx = (\exp x)^n,$$
từ đâu $\exp x = (\exp nx)^{1/n}$. Trường ở đây là $x=m/n$ (trong đó $m$ là tự nhiên), chúng ta nhận được
$$\exp \frac{m}{n} = (\exp m)^{1/n} = (\exp m \cdot 1)^{1/n} = \left((\exp 1)^m\right)^{1/n} = (\exp 1)^{m/n} = e^{m/n}$$
Điều này có nghĩa là đối với số hữu tỷ dương $x=m/n$ bổ đề được chứng minh là hợp lệ. Thật dễ dàng để kiểm tra xem nó có đúng với các số hữu tỉ âm (cũng như với $x=0$) hay không.
Theo định nghĩa, các điều kiện được giả định rằng sự tương ứng (7) đúng với mọi số thực $x$. Nói cách khác, chúng tôi giả định rằng $e^x$ chỉ đơn giản là một dạng viết khác của $\exp x$ (và đối với $x$ hữu tỉ, dạng viết này nhất quán, nhờ bổ đề đã được chứng minh, với một công thức dễ hiểu với số mũ hữu tỉ). Khi sử dụng ký hiệu này, công thức (5) có dạng thông thường $e^{p+q} = e^p e^q$. Lưu ý rằng trong tài liệu toán học, cả hai công thức viết số mũ đều được sử dụng: $y=e^x$ và $y=\exp x$.

6. Lời giải phương trình vi phân

Khi viết phương trình vi phân lời giải, ký hiệu $e^x$ thường được sử dụng thay vì $\exp x$. Chúng tôi sẽ tuân thủ truyền thống này.

Định lý 4. Với $a \neq 0$ lời giải phương trình vi phân (2) với điều kiện ban đầu $y(0)=y_0$ có ​​dạng
$$y = -\frac{b}{a} + ce^{ax},$$
(8)
$$e\delta e = b/a + y_0.$$
Bằng chứng. Vì (theo Định lý 1) loại bỏ hàm duy nhất nên chỉ cần kiểm tra hàm (8) (đối với giá trị xác định là $c$) thỏa mãn phương trình (2) và điều kiện ban đầu cần thiết. chúng tôi có
$$y' = (ce^{ax})' = c(e^{ax})' = cae^{ax} = a(ce^{ax}) = a(y + \frac{b}{a}) = ay + b,$$
nghĩa là hàm (8) thực sự thỏa mãn phương trình (2) (đối với bất kỳ giá trị nào của hằng số $c$). Kế tiếp,
$$y(0) = -\frac{b}{a} + ce^0 = -\frac{b}{a} + c = -\frac{b}{a} + \left(\frac{b}{a} + y_0\right) = y_0.$$
Điều này có nghĩa là đối với giá trị được chỉ định $c$ thì hàm $y$ cũng thỏa mãn điều kiện ban đầu được yêu cầu.

Định lý đã được chứng minh hứa hẹn sẽ được áp dụng như sau. Thuật ngữ $y = -b/a$ rất dễ nhớ: nó thu được nếu $y'$ bằng 0; hơn nữa, hệ số $a$ của hàm chưa biết trong (2) trở thành hệ số của đối số trong số mũ. Đối với 常态ы $c$, giá trị của nó (được chỉ ra trong Định lý 4) thường không được ghi nhớ và trong mỗi ví dụ cụ thể, $c$ được tìm thấy bằng cách sử dụng các điều kiện ban đầu.

Ví dụ 1. Khối lượng $m(t)$ của chất phóng xạ có trong một mảnh đá tại thời điểm $t$ giảm theo thời gian, tức là đạo hàm $m'(t)$ (tốc độ phân rã) là âm. Nếu cần, lượng chất phóng xạ, tốc độ phân rã tỷ lệ thuận với khối lượng chất phóng xạ:
$$m' = -km$$
(trong đó hệ số $k > 0$ phụ thuộc vào loại chất phóng xạ). Tìm định luật biến thiên khối lượng $m(t)$ theo thời gian, nếu tại thời điểm ban đầu $t=0$ khối lượng của chất phóng xạ thu được bằng $m_0$.

Lời giải. Theo Định lý 4 chúng ta có $m(t) = ce^{-kt}$. Thay thế $t=0$, chúng ta nhận được $m_0 = ce^0$, do đó $c = m_0$. Kết quả cuối cùng là $m(t) = m_0e^{-kt}$.

Ví dụ 2. Sau khoảng thời gian $T$ lượng chất phóng xạ giảm đi đúng một nửa?

Lời giải. Chúng ta cần tìm $T$ từ phương trình $m_0/2 = m_0e^{-kT}$, tức là $e^{-kT} = 1/2$ hoặc $e^{kT} = 2$. Điều này tương ứng với trạng thái cân bằng sau: $\ln 2 = kT$, từ đó $T = (\ln 2)/k \approx 0.7/k$.

Giá trị $T = (\ln 2)/k$ được gọi là chu kỳ bán rã. Nó phụ thuộc vào $k$ (tức là chất phóng xạ); ví dụ: đối với radium $T \approx 1600$ năm.

24

Ví dụ 3. Tìm định luật rơi của một vật trong môi trường có lực cản, biết rằng tại $t=0$ tốc độ rơi bằng $v_0$.

Lời giải. Từ phương trình (1) ta tìm được theo Định lý 4:

$$v(t) = \frac{mg}{q} + ce^{-\frac{q}{m}t}.$$

Thay $t=0$, ta được $v_0=mg/q+ce^0$, do đó $c=v_0-mg/q$. Như vậy, cuối cùng chúng ta có

$$v(t) = \frac{mg}{q} + \left(v_0 - \frac{mg}{q}\right)e^{-\frac{q}{m}t}.$$

Vì $e^{-\frac{q}{m}t} \to 0$ tại $t \to \infty$, nên $v(t) \to mg/q$, nó sẽ trở thành, tốc độ giảm dần dần được thiết lập. Ví dụ, một người nhảy dù rơi trong một cú nhảy xa ở tốc độ cao, sau khi mở dù, nhanh chóng đạt được tốc độ xấp xỉ không đổi $mg/q$ (tùy thuộc vào khối lượng của dù và các thông số của dù). Điều này cho phép tính toán chiếc dù sao cho việc hạ cánh được an toàn.

Bài tập

1. Chứng minh rằng với mọi $x \neq 0$ thì phương trình $x > x+1$ là đúng.
2. Sử dụng bất đẳng thức $\exp \frac{1}{n} > 1 + \frac{1}{n}$ (xem bài toán 1), chứng minh rằng $e > (1+1/n)^n$.
3. Sử dụng bất đẳng thức $\exp \left(-\frac{1}{n+1}\right) > 1 - \frac{1}{n+1}$ (xem bài toán 1), chứng minh rằng $e > (1+1/n)^n$, tức là $e < (1+1/n)^{n+1}$.
4. Sử dụng các bất đẳng thức thu được trong bài toán 2 và 3, chứng minh các đẳng thức (6).
5. Chứng minh rằng lời giải của phương trình (2) với điều kiện ban đầu $y(x_0)=y_0$ có dạng (8), trong đó $c=(b/a+y_0)e^{-ax_0}$.
6. Tại thời điểm $t=t_0$ khối lượng của chất phóng xạ có trong mảnh đá bằng $m_0$, và tại thời điểm $t=t_1$ hóa ra nó bằng $m_1$. Xác định chu kỳ bán rã.
7. Khi một gam chất phóng xạ phân rã sẽ tạo ra $d$ gam sản phẩm phân rã. Chu kỳ bán rã $T$ của chất phóng xạ này đã được biết. Xác định tuổi của một mảnh đá nếu nó chứa $p$ gam chất phóng xạ đang đề cập và $q$ gam sản phẩm phân rã của nó.
8. Do trao đổi nhiệt với môi trường, vật được làm nóng dần nguội đi, tức là nhiệt độ của nó $t(\tau)$ giảm theo thời gian $\tau$. Theo định luật làm mát của Newton, tốc độ làm mát tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa cơ thể và môi trường: $t'(\tau) = -k(t(\tau) - t_{cp})$. Giả sử nhiệt độ của môi trường $t_{cp}$ không đổi, hãy rút ra công thức tính định luật làm nguội.
9. Cường độ dòng điện $I(t)$ chạy trong ô $RL$ (Hình 5) thay đổi theo quy luật $LI' + RI = E$, trong đó $L$ là độ tự cảm của cuộn dây, $R$ là điện trở của điện trở. Xác định định luật $I(t)$ của sự thay đổi dòng điện nếu tại thời điểm đóng mạch ($t=0$) dòng điện bằng không.
10. Trong mạch $RL$ (Hình 6) hiện tại có dòng điện $t=0$ $I_0$ chạy qua. Xác định giá trị cường độ dòng điện chạy trong mạch tại $t>0$.
11. Điện áp $u(t)$ (hiệu điện thế trên các bản tụ) thay đổi theo hướng $RC$ (Hình 7) theo quy luật $Cu' + u/R=0$. Xác định đặc tính của sự thay đổi điện áp nếu tại thời điểm $t=0$điện áp bằng $u_0$.
12. Xét đa tuyến Euler cho phương trình $y'=y$ với điều kiện ban đầu $y(0)=1$, hãy chỉ ra rằng đối với $x>0$ cố định thì chuỗi $(1+x/n)^n$ trả về và bị chặn.
13. Sử dụng định lý Weierstrass cho dãy số tăng có giới hạn và Bài toán 12, chứng minh sự tồn tại của giới hạn $(1+x/n)^n$ đối với $x \geq 0$ cố định và sau đó đối với $x<0$.
    14*. Chứng minh sự tồn tại của số mũ. Gợi ý. Đặt $y(x)=\lim_{n \to \infty} (1+x/n)^n$ (xem bài toán 13), tính tích $y'(x)$ và thiết lập rằng $y'(x)=\lim_{n \to \infty} (1+x/n)^n$; Từ đó suy ra $y(x)$ là nghiệm của phương trình $y'=y$ với điều kiện ban đầu $y(0)=1$. (Khi tính $y'(x)$, hãy sử dụng công thức quần xã của Newton.)
    15*. Chứng minh số mũ duy nhất. Gợi ý. Giả sử điều ngược lại (sự tồn tại của hai số mũ khác nhau) và xem xét sự khác biệt của chúng.

25

Vật lý 8, 9, 10

Bài viết dưới đây “Về một bài thơ của A. S. Pushkin” dành cho một học sinh lớp tám, “Khối lượng và khối lượng, hoặc Về một “sai lầm” của Newton” - dành cho một học sinh lớp chín, “Dòng điện không đổi và xoay chiều” - dành cho học sinh lớp mười. Các tài liệu được chuẩn bị bởi I.K. Belkin.

Về một bài thơ của A. S. Pushkin

Trong số những kho báu tư thế mà nhà thơ vĩ đại của dân tộc chúng ta A.S. Pushkin, có một bài thơ liên quan trực tiếp đến vật lý, hay chính xác hơn là đến cơ học. Bài thơ này có tên là “Chuyển động”. Nó có dung lượng nhỏ - chỉ có 8 dòng nhưng rất phong phú về nội dung.

Trong bốn dòng đầu tiên chúng ta đọc:

Không có chuyển động, nhà hiền triết có râu nói.
Người kia vẫn im lặng và bắt đầu đi lại với đồ vật.
Anh không thể phản đối mạnh mẽ hơn;
Mọi người đều khen ngợi kế hoạch đáp số.

Ở đây bài viết nói về cuộc tranh chấp huyền thoại giữa hai triết gia Hy Lạp cổ đại. “Nhà hiền triết có râu” là Zeno của Elea; đối thủ của anh ta trong cuộc tranh chấp là Diogenes of Sinope. Người đầu tiên lập luận rằng chuyển động là không thể; người thứ hai bắt đầu lặng lẽ “đi trước mặt anh ta”, như thể thể hiện rõ sự vô lý của câu nói như vậy.

Nhưng hơn nữa A.S. Pushkin viết:

Nhưng thưa quý vị, đây là một trường hợp buồn cười
Một ví dụ khác xuất hiện trong đầu:
Suy cho cùng thì mặt trời vẫn di chuyển hàng ngày nhưng Galileo đã đúng.

Với những lời này, Pozt cho thấy rằng bằng chứng của Diogenes hoàn toàn không hoàn hảo như những người ca ngợi “đáp số để thụ thai”. Thật vậy, mặt trời hàng ngày làm những gì Diogenes đã làm khi hành quân trước Zeno: nó “đi trước chúng ta”. Trên thực tế, như “Galileo cứng đầu” luôn khẳng định sau Copernicus, Mặt trời sẽ kết thúc nhưng Trái đất vẫn chuyển động (quay quanh trục của nó). Nhưng Diogenes không thể đưa ra bằng chứng nào khác nên “giữ im lặng”.

Giờ đây, tính sai lầm trong phát biểu của Zeno có thể được chứng minh mà không cần dùng đến phương pháp của Diogenes. Hãy thử làm điều này. Trước hết, chúng ta hãy thử tưởng tượng Zeno đã đi đến kết luận rất ngớ ngẩn rằng “không có chuyển động” như thế nào.

Zeno rõ ràng đã lý luận như sau. Cơ thể, theo một quỹ đạo nhất định, bất cứ lúc nào cũng có thể ở đây trong trạng thái nghỉ ngơi khác. Trong mỗi trạng thái đứng yên như vậy, độ dịch chuyển của vật đương nhiên bằng 0. Cộng dãy số 0 liên tục này lại, Zeno tất nhiên cuối cùng cũng bằng 0: “Không có chuyển động”!

Vì vậy, sai lầm của Zeno chính xác nằm ở chỗ ông coi tốc độ của vật tại mỗi điểm của quỹ đạo bằng 0. Trên thực tế, tại mọi thời điểm, vật chuyển động đều có một tốc độ - gọi là tốc độ tức thời v (“Vật lý 8”, § 11). Và vì nó có tốc độ, nên trong khoảng thời gian nhỏ thích hợp bất kỳ Δt, vật sẽ thực hiện một chuyển động nhỏ Δs=vΔt. Số lượng chuyển động nhỏ như vậy, trong giới hạn - vô cùng nhỏ, trong toàn bộ thời gian chuyển động t là vô cùng lớn. Nhưng tổng của một số vô cùng lớn của vô số nhỏ

27

Thực tế là vào thời Newton, từ “mật độ” không thể được làm quen cho đến ngày nay. Suy cho cùng, khái niệm khối lượng đã được Newton đưa vào vật lý. Trước Newton không có khái niệm về khối lượng và không có cách nào hiểu mật độ là khối lượng của một đơn vị thể tích. Ngày đó tôi liên tưởng từ “mật độ” với từ gì?

Newton tin rằng tất cả các vật thể đều bao gồm các hạt hoàn toàn giống nhau, nhưng trong các chất khác nhau, chúng chuyển động khác nhau (chúng ta đã học về điều này từ một cuốn sách khác của Newton - “Quang học”). Sự khác biệt trong chuyển động của các hạt quyết định sự khác biệt về mọi tính chất của vật chất và vật thể. Khi đó, từ “mật độ” có nghĩa đen - nó cho thấy các hạt bám chặt vào nhau như thế nào, tức là chúng được “đóng gói” chặt đến mức nào. Ví dụ, trong cuốn “Quang học” Newton đã đề cập rằng nước nhẹ hơn 19 lần và do đó hiếm hơn vàng 19 lần, rằng trong nước có nhiều khoảng trống giữa các hạt lớn hơn so với vàng. Với cách hiểu này, mật độ đơn giản có nghĩa là số lượng hạt trên một đơn vị thể tích và nhân với thể tích của cơ thể, nó sẽ cho ra tổng số bộ phận trong cơ thể. Đó là đại lượng mà Newton gọi là đại lượng vật chất (chất). Vì các hạt trong mọi chất và vật thể đều giống nhau và khối lượng của tất cả các bộ phận trong bất kỳ chất nào cũng như nhau, nên khối lượng của một vật chỉ được xác định bởi số phần trong nó, tức là lượng chất trong vật đó. Nếu khối lượng của hai vật bằng nhau thì lượng vật chất trong chúng cũng bằng nhau.

Trong tầm quan trọng của chúng ta, “lượng vật chất” về cơ bản có cùng ý nghĩa như trong Newton. Đây là số lượng các bộ phận có trong cơ thể; những hạt cấu thành nên cơ thể. Đối với một thanh sắt, đây là số lượng nguyên tử sắt; đối với nước trong bình, đây là số lượng phân tử nước. Phép đo tự nhiên duy nhất của lượng vật chất sẽ là 1 hạt. Nhưng khi đó con số thể hiện độ lớn này sẽ lớn đến mức không thể tưởng tượng được. Chúng tôi đã đồng ý coi một lượng duy nhất của một chất là lượng chỉ chứa các hạt (nguyên tử, phân tử), vì nhiều nguyên tử được chứa trong 0,012 kg đồng vị cacbon có khối lượng nguyên tử 12, tức là 6,02·102³ hạt (số Avogadro Nₐ). Cái này unilua molle được gọi là.

Mặc dù một mol của bất kỳ chất nào đều chứa cùng số hạt nhưng khối lượng của một mol các chất khác nhau là khác nhau. Khối lượng M của một nốt ruồi (khối lượng mol) bằng 10⁻³·M_r kg, trong đó M_r là khối lượng phân tử tương đối (“Vật lý 9”, § 2). Ví dụ, một mol sắt có khối lượng 0,056 kg, một mol nhôm có khối lượng 0,027 kg, v.v. Như vậy, 5 kg sắt xấp xỉ 90 mol sắt và 5 kg nhôm xấp xỉ 185 mol. Khối lượng như nhau nhưng lượng chất thì khác nhau.

Tất nhiên, người nội trợ mua một miếng pho mát trong cửa hàng không quan tâm đến khối lượng của miếng pho mát này mà quan tâm đến số lượng pho mát trong đó. Tuy nhiên, vẫn chưa cần thiết phải thay thế kilogam bằng mol, vì khối lượng và lượng của một chất (đối với một chất nhất định) tỷ lệ thuận với nhau nên 0,5 kg phô mai chỉ bằng một nửa 1 kg. Và việc đo số kg dễ dàng hơn nhiều so với số mol.

Tuy nhiên, trong vật lý, khối lượng và số lượng của vật chất không phải lúc nào cũng có thể thay thế cho nhau. Hãy đưa ra một ví dụ.

Cả kinh nghiệm và lý thuyết đều chứng tỏ rằng tích của áp suất p của một khí lý tưởng và thể tích V của nó tỷ lệ thuận với nhiệt độ T của khí và khối lượng m của nó:

pV~mT.

Hệ số tỷ lệ trong sự tương ứng này là khác nhau đối với các loại khí khác nhau. Nhưng nếu pV tỉ lệ với m thì nó tỉ lệ với số phần trong chất:

pV~NT.

Trong sự tương ứng này, hệ số tỷ lệ hóa ra giống nhau đối với tất cả các loại khí:

pV=kNT, (1)

trong đó k=1,38·10⁻2³ J/K là hằng số Boltzmann. Lượng chất v (tính bằng mol) có liên hệ với số phần N bằng mối quan hệ đơn giản: v=N/Nₐ. Vì vậy chúng ta có thể viết

pV~vT.

Hệ số tỷ lệ bây giờ sẽ khác, nhưng cũng giống nhau đối với tất cả các loại khí:

pV=RvT. (2)

Ở đây R=8,31 ​​J/(mol K) là hằng số khí phổ quát. Phương trình này, giống như phương trình (1), là một phương trình hằng số khí lý tưởng.

28

Dòng điện một chiều và xoay chiều

Trong một thời gian dài, nguồn dòng điện duy nhất là nguyên tố điện, xuất hiện vào đầu thế kỷ 19. Trong mạch nối với nguồn như vậy có một dòng điện không đổi chạy qua.

Thành công trong nghiên cứu điện từ đã dẫn đến việc phát minh ra máy phát điện xoay chiều, và kể từ đó dòng điện xoay chiều đã trở thành nền tảng của kỹ thuật điện hiện đại.

Tại sao? Tại sao dòng điện xoay chiều lại tốt hơn dòng điện một chiều?

Dòng điện xoay chiều cũng như dòng điện một chiều là sự chuyển động có trật tự của các hạt tích điện, đặc biệt là trong kim loại - electron. Nhưng trong mạch điện xoay chiều, các electron thay đổi hướng chuyển động có trật tự của chúng nhiều lần. Khối lượng điện thấp cho phép chúng “có thời gian” để thay đổi hướng chuyển động không chỉ 100 lần mỗi giây, như xảy ra trong mạng công nghiệp, mà còn mười triệu lần mỗi giây, chẳng hạn như trong ăng-ten của đài phát thanh.

Nếu dòng điện xoay chiều chạy trong mạch điện, mục tiêu phải được kết nối với nguồn điện xoay chiều. Ở đây nó hoạt động như một lực dẫn động tuần hoàn, và dòng điện trong mạch thực hiện các dao động cưỡng bức, tất nhiên, với tần số của lực dẫn động. Nếu EMF trong nguồn thay đổi theo thời gian theo định luật $e = \mathcal{E}_m \cos \omega t$ và nguồn được kết nối với mục tiêu có điện trở hoạt động $R$, thì dòng điện cũng thay đổi theo định luật cosin (“Vật lý 10”, § 17):

$$i = \frac{e}{R} = \frac{\mathcal{E}_m}{R} \cos \omega t = I_m \cos \omega t.$$

Ở đây $\mathcal{E}_m$ và $I_m$ là biên độ (giá trị tối đa) của EMF và cường độ dòng điện. Nhưng các tính chất của hàm cosine sao cho trung bình trong suốt chu kỳ dao động cường độ dòng điện bằng không. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là dòng điện như vậy là vô ích và không biểu hiện ở bất cứ điều gì. Bởi vì mặc dù trung bình dòng điện bằng 0 nhưng bình phương của dòng điện không bằng 0. Và cường độ dòng điện được xác định chính xác bằng bình phương của dòng điện. Tại bất kỳ thời điểm nào, cường độ dòng điện xoay chiều trong mạch có điện trở tác dụng được biểu thị bằng đẳng thức

$$p = i^2 R = I_m^2 R \cos^2 \omega t.$$

Giá trị trung bình của cosin bình phương trong một khoảng thời gian không phải bằng 0 mà là $1/2$, do đó công suất trung bình

$$\bar{p} = \bar{i}^2 R = \frac{1}{2} I_m^2 R = \left( \frac{I_m}{\sqrt{2}} \right)^2 R.$$

Giá trị $I = I_m / \sqrt{2}$ được gọi là giá trị hiệu dụng của dòng điện. Trong trường hợp của chúng tôi, công suất cũng có thể được biểu thị dưới dạng điện áp trên điện trở:

$$p = \frac{u^2}{R}, \bar{p} = \frac{\bar{u}^2}{R} = \frac{1}{2} \frac{U_m^2}{R} = \frac{U^2}{R},$$

trong đó $U = U_m / \sqrt{2}$ là giá trị điện áp hiệu dụng.

Điều kiện này là một trong những tính chất tiêu cực của dòng điện xoay chiều. Rốt cuộc, các dây dẫn dòng điện chạy qua phải được thiết kế để có giá trị dòng điện tối đa và các dây thực tế sử dụng hơn 2/3 giá trị này một chút. Có những hậu quả tiêu cực khác. Ví dụ, hiện tượng cảm ứng điện từ dẫn đến hiện tượng dòng điện xoay chiều trong dây dẫn không được phân bố đều trên toàn bộ mặt cắt mà chủ yếu ở gần bề mặt. (Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng bề mặt, nó không được thảo luận trong Vật lý 10. Về đặc điểm, độ sâu thâm nhập của dòng điện xoay chiều phụ thuộc vào nhiều yếu tố, bao gồm cả tần số dao động. Do đó, ở tần số 50 Hz trong một dây dẫn đồng, độ sâu này là ≈ 9 mm. Với tần số ngày càng tăng, độ sâu thâm nhập của dòng điện giảm.) Do không phải tất cả các mặt cắt của dây đều được sử dụng nên điện trở của chúng cũng bị ảnh hưởng. Hơn nữa, dòng điện xoay chiều, giống như dòng điện một chiều, được bao quanh bởi một từ trường, nhưng là một trường xoay chiều. Và một trường như vậy, theo định luật cảm ứng điện từ, gây ra các trường lân cận

29

dây điện và các vật liệu dẫn điện khác mang dòng điện, dẫn đến tiêu thụ năng lượng lãng phí.

Tất cả những nhược điểm này hoàn toàn không có ở dòng điện một chiều. Tại sao dòng điện xoay chiều gần như chiếm ưu thế hoàn toàn trong công nghệ và đời sống?

Trước hết, nguyên lý hoạt động của máy phát điện là biến EMF phát sinh trong chúng (“Vật lý 10”, § 23). Nhưng đó không phải là vấn đề. Sử dụng một thiết bị đơn giản, bạn có thể biến cùng một máy phát điện thành nguồn dòng điện một chiều. Lý do chính khiến dòng điện xoay chiều “phổ biến” là do năng lượng điện được truyền từ nơi sản xuất ra (nhà máy điện) đến nơi tiêu thụ và thường đi những khoảng cách xa. Trong trường hợp này, một phần năng lượng truyền đi chắc chắn bị thất thoát dưới dạng nhiệt, qua đó nó được truyền trong đường dây truyền tải điện (PTL). Để đảm bảo tổn thất không quá cao, cần phải sử dụng điện áp cao để truyền tải.

Sự cần thiết của điện áp cao có thể được nhìn thấy từ phép tính đơn giản sau đây. Giả sử rằng năng lượng điện $P=66$ kW được truyền từ nhà máy điện đến thành phố dưới điện áp 220 V (đây là điện áp thường được người tiêu dùng sử dụng). Gọi điện trở của đường dây là 0,4 Ohm. Khi đó cường độ dòng điện trong đường dây là $I=66000 \text{ Вт}/220 \text{ В}=300 \text{ А}$ và lượng nhiệt tỏa ra trong đường dây là $Q=I^2R=(300 \text{ А})^20,4 \text{ Ом}=36000 \text{ Вт}$. Một tỷ lệ lớn công suất truyền tải (54,5%) sẽ bị thất thoát dưới dạng nhiệt trong đường dây điện! Bây giờ hãy tưởng tượng rằng cùng một công suất được truyền dọc theo cùng một đường dây điện ở điện áp 22000 V. Bây giờ dòng điện trong mạch sẽ bằng $I=66000 \text{ Вт}/22000 \text{ В}=3 \text{ А}$ và lượng nhiệt tỏa ra sẽ là $Q=(3 \text{ А})^20,4 \text{ Ом}=3,6 \text{ Вт}$. Yêu cầu chỉ khoảng 0,005%! Đó là lý do tại sao năng lượng điện luôn được truyền dọc theo đường dây điện ở điện áp rất cao - 110.220.330.400.500 và thậm chí 750 kilovolt.

Nhưng tại các cực của máy phát điện nhà máy điện, điện áp thấp hơn đáng kể - chỉ vài nghìn volt. Điều này có nghĩa là khi bắt đầu đường dây truyền tải điện, điện áp này phải được tăng lên và trước khi phân phối năng lượng đến các hộ tiêu thụ, nó phải được hạ xuống để hộ tiêu thụ nhận được ở điện áp 220 volt. Việc tăng giảm điện áp như vậy chỉ có thể thực hiện được đối với dòng điện xoay chiều. Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng một thiết bị hoạt động dựa trên hiện tượng cảm ứng điện từ - máy biến áp (“Vật lý 10”, § 24). Sự tồn tại của máy biến áp có lẽ là lý do duy nhất khiến việc sử dụng dòng điện xoay chiều trong công nghệ ngày càng tăng.

Tuy nhiên, những nhược điểm của dòng điện xoay chiều đã nêu ở trên khiến chúng ta phải suy nghĩ xem liệu có còn sử dụng được dòng điện một chiều, tất nhiên là cả điện áp cao, để truyền tải năng lượng điện hay không? Điều này không dễ thực hiện. Thật vậy, trước tiên, bạn cần chuyển đổi điện áp xoay chiều, sau khi tăng nó, thành điện áp một chiều (bộ chỉnh lưu được sử dụng cho việc này), sau đó ở đầu bên kia của đường dây điện, chuyển đổi điện áp một chiều xoay chiều thành điện áp xoay chiều (điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các thiết bị gọi là bộ biến tần), để có thể hạ điện áp xuống giá trị bạn cần tiêu thụ. Tuy nhiên, đường dây điện một chiều có điện áp 400 kV như vậy đã hoạt động ở Liên Xô.

Những gì đã nói trong ghi chú này không thể được hiểu là dòng điện một chiều là dòng điện “tốt” và dòng điện xoay chiều là dòng điện “xấu”. Cả hai đều là hiện tượng tự nhiên và không thể đánh giá chúng bằng từ “tốt hơn” hay “tệ hơn”. Điều trên chỉ có nghĩa là dòng điện một chiều là tối ưu để truyền năng lượng trên khoảng cách xa. Và nếu việc sử dụng dòng điện xoay chiều cho mục đích này vẫn đang được chuyển hóa thì điều này được giải thích là do việc chuyển đổi dòng điện xoay chiều thành dòng điện một chiều vẫn còn khó khăn. bài toán, tuy nhiên, đã được giải quyết thành công. Đối với một kỹ thuật viên, cả hai dòng điện đều cần thiết và hữu ích như nhau. Trong một số trường hợp, dòng điện một chiều là không thể thiếu, ví dụ như khi sử dụng điện phân. Nhưng nếu không có dòng điện xoay chiều thì sẽ không có đài phát thanh, tivi, v.v. Viết lại bài thơ thiếu nhi nổi tiếng, chúng ta có thể nói: cần có đủ loại dòng điện!

30

Toán 8,9,10
Một cách khác để tự kiểm soát

Ghi chú bên dưới “Lỗi ở đâu?” dành cho học sinh lớp tám, “Chúng ta hãy thực hiện một bước tự chủ khác” - dành cho học sinh lớp chín, và “Chúng ta có cần làm bài kiểm tra không?” - học sinh lớp mười. Sự phân chia này có phần tùy tiện, vì mỗi ghi chú này có thể hữu ích không chỉ đối với học sinh của các lớp này.

Sai lầm ở đâu?

Như bạn đã biết, chuyển động quay là một trong những chuyển động của mặt phẳng. Khi di chuyển, bất kỳ hình nào cũng được ánh xạ lên một hình bằng nhau. Bây giờ chúng ta sẽ “chỉ ra”, sử dụng các tính chất của chuyển động, rằng khi quay, một hình tam giác sẽ biến thành một hình tam giác không bằng nhau.

Khi quay, các đỉnh của tam giác trượt dọc theo các đường tròn đồng tâm có tâm chung trùng với tâm quay và khoảng cách giữa các đỉnh của nó được giữ nguyên. Để thu được ảnh tam giác ABC khi quay một góc α quanh điểm O, ta dựng một đường tròn đồng tâm có tâm tại điểm O, trên đó các điểm A, B và C nằm. Khi đó, trên đường tròn chứa điểm A, ta dựng điểm A1 sao cho góc AOA1 bằng α. Cuối cùng, trên đường tròn chứa các điểm B và C, lần lượt dựng các điểm B1 và ​​C1 sao cho A1B1=AB và A1C1=AC

(xem hình). Hình vẽ cho thấy rõ tam giác A1B1C1 ta thu được không bằng tam giác ABC (ví dụ B1C1≠BC).

Sai lầm ở đâu?

N. I. Bovsunovsky

Tài liệu trong ghi chú này bổ sung cho bài viết của V. Matizen (xem «Kvant» Số 10, 1980).

Từ kinh nghiệm của bản thân, tôi biết rằng bạn có thể điền tốt một công thức và quên một công thức tương tự. Ví dụ, giả sử bạn nhớ rõ sin (x+y)=sin x cos y+cos x sin y (1), nhưng bạn quên cos (x+y) bằng bao nhiêu. Trong trường hợp này, những điều sau đây sẽ giúp bạn. Chúng ta có thể giả sử rằng trong đẳng thức (1) x là đại lượng thay đổi và y là số cố định. Vi phân đẳng thức này (đối với x), chúng ta thu được (sin(x+y))′= (sin x)′cos y+(cos x)′×sin y, từ đó cos (x+y)=cos x cos y−sin x sin y.

Vậy là công thức bị lãng quên đã được khôi phục. Tương tự, từ công thức

sin x cos y=1/2 (sin(x+y)+sin(x−y))

(2)

dễ dàng thu được các công thức: a) cos x cos y=1/2 (cos(x+y)+cos(x−y)) (chỉ cần đạo hàm đẳng thức (2) đối với x, coi y là hằng số là đủ);

b) sin x sin y=1/2 (cos(x−y)−cos(x+y)) (chỉ cần đạo hàm (2) theo y là đủ, coi x là hằng số:

−sin x sin y=1/2 (cos(x+y)−cos(x−y))

và đổi dấu cả hai vế của đẳng thức thu được).

Hãy đưa ra một ví dụ khác. Học sinh được yêu cầu suy ra công thức biểu thị sin 3α qua sin α. Ông đã biểu diễn 3α dưới dạng α+2α và sử dụng sin của công thức tính tổng:

sin (α+2α)=sin α cos 2α+cos α sin 2α=sin α(1−2sin²α)+2sin α cos²α=3sin α−4sin³α.

Kết quả là ông đã thu được công thức đúng:

sin 3α=3 sin α−4 sin³α.

Sau đó, anh ta được yêu cầu tìm ra công thức tương tự cho cos 3α. Không có nhiều nhiệt tình, anh lặp lại các phép biến đổi:

cos 3α=cos (α+2α)=…=4 cos³α−3 cos α.

31

Sau đó anh ta được hỏi liệu có cách nào khác để có được công thức này không. Sau khi suy nghĩ một chút, anh ấy viết ra cos 3α=±√1−sin² 3α=…, nhưng nhanh chóng nhận ra rằng con đường này sẽ chẳng có gì tốt đẹp cả.

Nhưng trong trường hợp này, sự khác biệt lại giúp ích một lần nữa. Vi phân cả hai vế đẳng thức (3) đối với α, ta thu được

3 cos 3α=3 cos α−12 sin² α cos α=
=3 cos α−12(1−cos² α) cos α,
từ đó cos 3α=4 cos³ α−3 cos α.

Bài tập

1. Biết rằng sin 5x=16 sin⁵ x−20 sin³ x+5 sin x, hãy lập công thức biểu thị cos 5x theo cos x.

2. Sử dụng vi phân, thu được từ đẳng thức “đơn giản” 2 sin 2α sin α+cos 3α=cos α khác, đẳng thức “phức tạp hơn”.

3. Công thức nổi tiếng là sin x+b cos x=
   =√a²+b² sin(x+φ), trong đó góc φ được xác định từ điều kiện sin φ=b/√a²+b², cos φ=a/√a²+b².
   Từ công thức này, thu được công thức tính cos x−b sin x.

V. E. Olkhov

Có cần thiết phải kiểm tra không?

Học sinh thường đặt câu hỏi: “Chúng ta đã tìm được nghiệm của phương trình, có cần kiểm tra lại không?” Tất nhiên, việc kiểm tra nghiệm đề phòng trường hợp “về độ tin cậy” (thay chúng vào một phương trình đã cho), tất nhiên là hữu ích, trong mọi trường hợp, khi điều này không dẫn đến những phép tính khó hơn chính lời giải. Nhưng đây không phải là điều muốn nói ở đây - lò nướng là để thử nghiệm liên quan đến khả năng “xây rễ dễ dàng”. Học sinh biết rằng nếu không thực hiện việc kiểm tra như vậy, đôi khi các em có thể nhận được đáp số (“gốc phụ”) không chính xác. Hơn nữa, ngay cả khi đáp số được cho là đúng, giáo viên hoặc giám khảo đôi khi sẽ tuyên bố lời giải chưa đầy đủ nếu thiếu dấu kiểm. Nhưng khi nào? Trong trường hợp nào cần phải kiểm tra? Hãy thử trả lời câu hỏi này.

1. Trong trường hợp nghiệm được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức “làm sẵn” đơn giản nhất (chẳng hạn như công thức tính lời giải phương trình tuyến tính và bậc hai hoặc phương trình có dạng cos x=a,

log₂ x=a, b⁻=a, v.v.), không cần thực hiện kiểm tra.

Ví dụ, theo quy luật, không có ích gì khi kiểm tra nghiệm thu được bằng công thức

x₁,₂ = -b ± √b²−4ac/2a

cho phương trình bậc hai ax²+bx+c=0. (Tuy nhiên, nếu rễ còn nguyên vẹn hoặc hợp lý thì việc kiểm tra sẽ được thực hiện nhanh chóng và không có hại gì.)

Tuy nhiên, khi sử dụng các công thức như vậy, bạn nên lưu ý các điều kiện mà chúng có thể được sử dụng. Do đó, công thức (1) có thể được sử dụng với các điều kiện a≠0, b2−4ac ≥0. Thật không may, thường có trường hợp học sinh nói rằng tại a=0 phương trình ax²+bx+c=0 không có gốc, vì cái tên nổi tiếng ở vế phải của công thức (1) biến mất. Đồng thời, họ quên rằng khi a=0 thì phương trình này sẽ không phải là phương trình bậc hai và có nghiệm x=-c/b, tất nhiên trừ khi b≠0.

Sai số lớn nhất được coi là đáp số x=±arccos 2+2πk, k∈Z đối với phương trình cos x=2, vì công thức x=±arccos a+2πk, k∈Z đối với nghiệm của phương trình cos x=a chỉ có thể được sử dụng cho |a|≤1.

2. Thường xuyên hơn, tại lời giải các phương trình có rất nhiều biến đổi; trong trường hợp này, các phương trình này mỗi lần được thay thế bằng một phương trình mới nào đó, và phương trình mới, tất nhiên, có thể có các nghiệm khác. Nếu, trong quá trình biến đổi một phương trình, một phương trình mới được thay thế có tất cả các nghiệm của phương trình trước và chỉ chúng (nghĩa là phương trình được biến đổi sao cho không xảy ra mất hoặc tăng các nghiệm), thì các phương trình đó được gọi là tương đương.

Người ta biết rõ rằng

1. khi chuyển các số hạng của phương trình từ phần này sang phần khác,
2. khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một phương trình,
3. Khi nhân cả hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 thì số ban đầu và phép biến đổi của phương trình là tương đương. Chúng cũng tương đương nếu phép biến đổi bao gồm việc áp dụng các danh tính hợp lệ cho tập hợp tất cả các số thực, ví dụ: danh tính của số viết tắt

32

các công thức nhân, tính tổng sin và cosin, v.v.

Khi tất cả các phép biến đổi này được áp dụng, mỗi lần sẽ thu được các phương trình tương đương. Vì vậy, sau khi tìm ra gốc rễ, việc kiểm tra chúng không phải là bước bắt buộc lời giải bài toán.

Ví dụ, chúng ta hãy giải phương trình theo cách này
$$\sqrt{3} \cos x - \sin x - 1 = 0.$$ (2)
Chia cả hai vế của phương trình cho 2, ta được phương trình
$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} = 0,$$ (3)
phương trình tương đương (2). Bởi vì
$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2},$$ thì phương trình (3) sẽ được viết lại dưới dạng
$$\cos x \cos \frac{\pi}{6} - \sin x \sin \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} = 0.$$
Áp dụng công thức cosin tính tổng hai góc từ phải qua trái ta thu được phương trình
$$\cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2} = 0,$$ (4)
phương trình tương đương (3).
Thêm $\frac{1}{2}$ vào cả hai vế của phương trình, chúng ta thu được phương trình
$$\cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2},$$ (5)
phương trình tương đương (4).
Lời giải của phương trình đơn giản nhất (5) sẽ được viết như sau:
$$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z},$$
$$x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z},$$
Ở đâu
$$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z},$$
$$x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.$$
Vì tất cả các phép biến đổi được thực hiện đều tương đương nên việc kiểm tra các nghiệm tìm được là không cần thiết.
3. Tuy nhiên, không phải mọi phương trình đều có thể giải được chỉ bằng các phép biến đổi tương đương. Việc sử dụng các phép biến đổi không bằng nhau là phổ biến hơn nhiều. Nói chung, khi áp dụng các phép biến đổi như vậy, bạn có thể mất một số nghiệm của phương trình ban đầu hoặc thu được nghiệm xây dựng, tức là các nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Thông thường, các phép biến đổi như vậy dựa trên việc sử dụng các công thức không hợp lệ cho tất cả các hành động $x$. Trong trường hợp này, một phần, miền định nghĩa của phương trình “thay đổi”.
Ví dụ, nếu các công thức
$$\log_3 x^2 = 2 \log_3 x,$$ (6)
$$\sin 2x = \frac{2 \mathrm{tg} x}{1 + \mathrm{tg}^2 x}$$ (7)
lấy “từ trái sang phải” (nghĩa là thay vế trái của công thức bằng vế phải), khi đó nghiệm của phương trình ban đầu có thể bị mất; Vì vậy, những biến đổi như vậy mà không có sự cân nhắc bổ sung là không thể chấp nhận được.
Ví dụ, phương trình
$$\log_3 x^2 = 2$$ (8)
có hai gốc: $x_1 = 3, x_2 = -3$. Tuy nhiên, nếu áp dụng công thức (6) “từ trái sang phải” thì ta thu được phương trình
$$2 \log_3 x = 2,$$
chỉ có một gốc: $x_1 = 3$. Do đó, do áp dụng công thức (6) “từ trái sang phải” nên nghiệm của phương trình (8) đã bị mất. Lưu ý khi áp dụng công thức (6) có thể mất toàn bộ nghiệm âm. Với công thức (7) tình hình đơn giản hơn. Nó có thể được sử dụng, nhưng bạn nên kiểm tra thêm xem các số có dạng $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ có phải là gốc mà $tg x$ không được xác định hay không.
4. Nếu chúng ta áp dụng công thức (6) “từ phải sang trái” thì việc mất các rễ sẽ không xảy ra, nhưng có thể xảy ra việc bổ sung các rễ đã xây dựng, và do đó cần phải kiểm tra các rễ và loại bỏ những rễ đã được xây dựng.
Các nghiệm không liên quan cũng có thể xuất hiện khi cả hai phần của phương trình đều xuất hiện theo độ, khi cả hai phần của phương trình đều được tăng thế và trong một số phép biến đổi khác. Do đó, nếu bất kỳ phép biến đổi nào được áp dụng thì cần phải kiểm tra các nghiệm tìm được và loại bỏ các nghiệm đã xây dựng.
Ví dụ. Giải phương trình
$$x - 3 = \sqrt{x - 1}.$$ (9)

33

Bằng cách bình phương cả hai vế của phương trình này và chuyển tất cả các số hạng của phương trình thu được sang vế trái, chúng ta thu được phương trình
$$x^2 - 7x + 10 = 0,$$
có gốc $x_1 = 2$ và $x_2 = 5$. Khi bình phương, các nghiệm có thể xuất hiện, một cấu trúc của phương trình ban đầu, do đó các nghiệm tìm được phải được kiểm tra. Thay căn bậc nhất $x_1 = 2$ vào phương trình (9), chúng ta thu được đẳng thức số không chính xác $-1 = 1$, có nghĩa là $x_1 = 2$ là gốc được xây dựng cho phương trình ban đầu (9). Thay căn bậc hai $x_2 = 5$ vào phương trình (9), chúng ta thu được đẳng thức số đúng. Và do đó, $x_2 = 5$ là nghiệm của phương trình ban đầu.
Vì vậy, phương trình (9) có một nghiệm duy nhất $x = 5$.
Đây là một ví dụ khác. Hãy giải phương trình
$$\log_7(x^2 - 4) = \log_7(4x - 7).$$
Bằng cách tăng điện thế, chúng ta đi đến phương trình
$$x^2 - 4 = 4x - 7,$$
có gốc là $x_1 = 1$ và $x_2 = 3$. Trong quá trình điện thế, các nghiệm có thể xuất hiện, một cách xây dựng cho phương trình ban đầu, do đó các nghiệm tìm được phải được kiểm tra. Số $x_1 = 1$ không thỏa mãn phương trình (10), vì nó không có ý nghĩa như logarit của các số âm, do đó $x_1 = 1$ không phải là nghiệm của phương trình này. Số $x_2 = 3$ biến phương trình ban đầu thành một đẳng thức số chính xác.
Vì vậy, phương trình (10) có một nghiệm duy nhất $x = 3$.

Trường học yêu thích bài toán

Ở đây chúng tôi trình bày một số bài toán được cung cấp cho các khu vực Olympic ở vùng Novosibirsk. Một số bài ở mức độ trung bình khá đơn giản, có những bài đòi hỏi khắt khe hơn nhưng đều bám sát chương trình học ở trường. Trong dấu ngoặc đơn sau số bài tập, nó cho biết nó được cung cấp ở lớp nào.

lớp tám
1 (7-8). Hai nhân vật Vasya và Petya đồng thời rời điểm A đến điểm B. Vasya đi cả quãng đường với vận tốc không đổi, Petya lúc đầu đi trong 1 giờ với vận tốc 12 km/h, đi hết quãng đường còn lại với vận tốc 14 km/h và đến B sớm hơn Vasya 5 phút. Nếu Petya luôn lái xe với tốc độ 12 km/h thì anh ấy sẽ đến B muộn hơn Vasya 6 phút. Tìm khoảng cách từ A đến B.
2 (7-8). Tuổi của một người vào năm 1959 hóa ra bằng tổng các chữ số của năm sinh của người đó. Tìm năm sinh của người này nếu biết người đó sinh ở thế kỷ 20.
3 (7-8). Đường tròn tâm tại điểm O nội tiếp tam giác ABC. Tại điểm T nó tiếp xúc với BC. Được biết, $\angle BOT: \angle COT = 3:4$. Tìm độ dài cạnh BC nếu bán kính đường tròn ngoại tiếp là 3 và góc A là 30°.
4 (7-8). Chứng minh rằng nếu các số dương x và y thỏa mãn các bất đẳng thức x+y>2,6 và x^2+y^2<4 thì xy>1.
5 (7-9). Có thể cắt một hình vuông thành hình vuông có kích thước nhỏ hơn 1980 không? Và cho năm 1981? (Các hình vuông thu được có thể không giống nhau.)
lớp chín
6 (7-9). Bạn và tôi đã ở bên nhau 35 năm. Bây giờ tuổi tôi gấp đôi tuổi bạn khi tôi bằng tuổi bạn bây giờ. Tôi bao nhiêu tuổi và bạn bao nhiêu tuổi?
7 (8-10). Trong một hình thang, tổng các góc ở đáy là 90°. Chứng minh rằng độ dài đoạn
(Về phần kết xem trang 55)

“Vì khoa học”
ghé thăm «Kvant»
Tờ báo “Vì khoa học” của Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva đã xuất bản hơn 25 năm. Mỗi mùa chúng tôi xuất bản tuyển tập các tài liệu phát hành từ tờ báo này.

Nụ cười của các nghệ sĩ

Hệ thức bất định $\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar$ chỉ được một số ít nhà vật lý hiểu được. Tôi sẽ không đi sâu vào chủ đề này, nếu không số người như vậy sẽ tăng gấp 10 lần.

Nếu gia đình bạn hỏi bạn hạt cơ bản là gì, hãy nói với họ rằng chúng chỉ là năng lượng. Họ sẽ không bận tâm bất cứ điều gì, nhưng họ sẽ nghĩ tốt về bạn.

Bánh xe Fresnel nào hoạt động giống hệt như học kỳ trước.

Hơn nữa - làm nhiều hay làm ít?

Nếu chúng ta không thực hiện hạn chế này thì điều gì đó khủng khiếp sẽ xảy ra: sin sẽ lớn hơn một.

Hoạt động của thiết bị được coi là đơn giản và rõ ràng. Đó là lý do tại sao nó không được sử dụng trong thực tế. Một thiết bị đơn giản khác được sử dụng, chúng ta sẽ dành hai nơi còn lại để nghiên cứu.

Tôi giải thích cho второму và khoa thứ bảy: một nguyên tử hydro bao gồm một electron và một proton. Đệ tứ căn nên biết điều này.

Hãy để tôi vẽ các hình tam giác vô cùng chi tiết hơn.

TIN TỨC

Nguyên tố thứ 126 của bảng tuần hoàn được tìm thấy trong chiếc bánh sandwich của căn tin số 4. Hiện vẫn chưa tìm ra thủ phạm.

Sinh viên năm thứ năm Mark Novodachny đã đưa ra bằng chứng thứ 317 chứng minh hóa học không phải là một môn khoa học. Đối với tất cả những người nghi ngờ, anh ấy chỉ đơn giản cho xem hai tạp chí: “Nuka và Cuộc sống” và “Hóa học và Cuộc sống”.

Thông báo

Tất cả học sinh phải nộp ảnh ba chiều $3 \times 4 \times 6$ để nộp đơn đăng ký.

Các bạn nữ chú ý nhé! Tiệm làm tóc Dolgo-Rudensky không chỉ cung cấp hóa học mà còn cung cấp các phương trình vật lý và vi phân.

Krutakki

Hình ba chiều là nhà tắm dành cho giới quý tộc.
O’Henry - độ tự cảm bằng không.
Một người yêu âm nhạc là một giảng viên theo dõi.
Zator là một tờ báo của các nhà tôpô.
Baran là quán bia dành cho nhân viên của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô.
Express là một cựu thợ đóng dấu.
Lễ (tiếng Pháp) - khoảng cách đến một ngôi làng xa xôi.
Thăng hoa (thể thao) - cuộc cạnh tranh giữa các tài xế taxi.
Đầu máy là cỗ xe cưới.
Độc quyền là tiếng Pháp.
Lưỡng cực - hai người Pháp.
Bipol - hai người Pháp nữa.

(Cờ vua)

Xoay - di chuyển.
Loitering - đi bộ trên một dinago hoặc.
Ở mọi nơi xuất hành là một nữ hoàng.
Bệ cửa sổ - một nhân vật đang đứng dưới sự tấn công của kỵ binh.
Bệnh học là nghiên cứu về ngõ cụt.
Xuống ngựa là nhân đôi số tốt.
Kỳ vọng là điềm báo về một mất mát sắp xảy ra.

(Theo yêu cầu của trường dạy lái xe)
Karman là một người đam mê xe hơi.
Cardan là đẳng cấp của người lái xe Nhật Bản.
Kartuz là ông chủ của ngành kinh doanh ô tô.
Lễ hội hóa trang là một băng chuyền ở Tolyatti.

35

Nhiệm vụ

1. “Xin chào, Katya! Chúng tôi có điện thoại! Tôi sẽ cho bạn biết số này. Giống như số của bạn, có năm chữ số. Chữ số đầu tiên là số nguyên tố, hai chữ số tiếp theo là số nguyên tố có hai chữ số và hai chữ số cuối được lấy từ cặp trước đó bằng cách sắp xếp lại và tạo thành một hình vuông hoàn hảo. Vậy số điện thoại của tôi là gì?

2. Có thể có một tam giác có cạnh $a=7$ cm và $b=2$ cm nếu biết chiều cao giảm xuống cạnh thứ ba của tam giác này là trung bình hình học của hai chiều cao còn lại?

3. Đề xuất thiết kế một thiết bị dựa trên nguyên lý mạch thông tin, được thiết kế để kiểm tra độ ngang của các bức tường cổ điển.

4. 223 lít dầu được mang về cửa hàng trong can 10 và 17 lít. Có bao nhiêu lon?

5. Giải ô chữ, tức là điền các số vào các ô của hình vuông, giống như các ô của trò chơi ô chữ, theo hướng dẫn.
   Nằm ngang:
   $a=(a по вертикали)^2$,
   $h=(f по вертикали) \times 2$,
   $i=(c по вертикали) + (g по вертикали)$.
   Thẳng đứng:
   $b=(g по горизонтали)^2$,
   $d=(a по горизонтали) \times (e по горизонтали)$.

Nhiệm vụ được đề xuất bởi M. A. Rollova, S. R. Sefbekov, V. D. Vyon, N. K. Antonovich, A. P. Savin

36

Tên của các ngôi sao và chòm sao đến từ đâu?

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
B. A. ROSENFELD

Nếu bạn nhìn vào bầu trời đầy sao, thì với một chút trí tưởng tượng, bạn có thể đổ lỗi cho nhiều nhân vật khác nhau về sự phân tán của các ngôi sao sáng ít nhiều. Những số liệu này có thể được sáng tác theo nhiều cách khác nhau. Ở Hy Lạp cổ đại, 48 nhân vật như vậy đã được xác định, lấp đầy gần như toàn bộ bầu trời đầy sao; chúng được gọi là “chòm sao”. Một số ngôi sao

Chòm sao hoàng đạo. Những hình ảnh này dựa trên tập bản đồ sao của nhà thiên văn học nổi tiếng người Ba Lan thế kỷ 17 Hevelius.

Chúng không được bao gồm trong các chòm sao nhưng được đặc trưng bởi chòm sao mà chúng ở gần.

Ngay cả người xưa, những người có kiến ​​thức thiên văn có ảnh hưởng mạnh mẽ đến người Hy Lạp, đã xác định được 12 chòm sao Hoàng đạo, tức là 12 chòm sao nằm dọc theo vòng tròn lớn của thiên cầu mà Mặt trời thực hiện chuyển động hàng năm có thể nhìn thấy được (vòng tròn này được gọi là hoàng đạo, từ tiếng Hy Lạp “nhật thực”, vì nhật thực xảy ra khi Mặt trăng rơi vào vòng tròn này). Số lượng chòm sao trong Hoàng đạo bằng số lượng người dân địa phương và Mặt trời đi qua từng chòm sao trong một tháng.

Ban đầu, việc Mặt trời đi vào chòm sao Bạch Dương được tính thời gian trùng với thời gian tương đương hàng ngày, nhưng trong vòng hai

Bài viết này được xuất bản lần đầu tiên vào năm 1970 trên «Kvant» Số 10. Tái bản với những thay đổi nhỏ.

Trong hàng nghìn năm, ngày này đã phần nào “di chuyển” so với các chòm sao Hoàng đạo. Lưu ý rằng “bạch dương” và “kim ngưu” là những cái tên lỗi thời của con cừu đực và con bò đực (xem “cừu” và “con bê”). Bởi Strel, tức là một tay bắn súng, họ hiểu một nhân mã được trang bị cung tên; dưới Ma Kết - một con dê có đuôi cá; Con cá được thể hiện dưới dạng hai con cá được nối với nhau bằng một bím tóc. Tên của Cung hoàng đạo (từ tiếng Hy Lạp zodion - “động vật”) được giải thích bởi thực tế là hầu hết các chòm sao Hoàng đạo đều có hình dáng của động vật.

Người Hy Lạp có 21 chòm sao ở Hoàng đạo phía bắc và 15 chòm sao ở phía nam (các chòm sao ở bán cầu nam còn tệ hơn đối với người Hy Lạp, vì vào thời cổ đại, những người du hành thậm chí hiếm khi đến được xích đạo).

Sự hình thành của các chòm sao được giải thích bằng các số liệu thu được bằng cách kết nối các ngôi sao tạo thành chòm sao bằng các đường thẳng. Các dân tộc khác nhau đã “vẽ” những hình vẽ này theo những cách khác nhau. Ví dụ, trong thùng của Bắc Đẩu, người Hy Lạp nhìn thấy một con gấu, và người Ả Rập nhìn thấy một đám tang - một chiếc quan tài, phía trước có những người đưa tang, dẫn đầu là “thủ lĩnh của những người đưa tang”. Một số chòm sao được kết nối với nhau: Bootes, tức là người chăn cừu, được người Hy Lạp coi là người canh gác cho gấu. Sáu chòm sao - các chòm sao phía bắc Cepheus, Cassopenus, Andromeda, Perseus, Pegasus và Cetus - cũng được kết nối bởi một truyền thuyết chung về vị vua thanh tao Cepheus (Cepheus là dạng Latin của tên này), vợ ông là Cassopeia và con gái ông là Andromeda. Theo truyền thuyết này, Cassopeia đã xúc phạm các nữ thần biển ở phía trước và để trừng phạt hành vi này, thần biển Poseidon đã phái quái vật biển Keith (được miêu tả là một con quái vật có bàn chân và cái miệng khủng khiếp) để tàn phá.

Chòm sao Ursa Major.

Bờ biển Ethiopia. Để cứu nước, Kefei đã phải hy sinh con gái của mình, tên được giới thiệu bởi “người chưa gặp chồng”. Cô gái đã bị xích vào đá khi Pegasus, người anh hùng đã giết Medusa Gorona khủng khiếp, người đã biến tất cả những ai bắt gặp ánh mắt của cô thành đá, xuất hiện trên con ngựa có cánh (bản thân Pegaseus, trong cuộc chiến với Medusa Gorona, không nhìn cô mà nhìn vào hình ảnh phản chiếu của cô trong tấm khiên của anh ta). Pegsey chặt đầu Goronya và mang chiếc đầu này đến Andromeda. Sau khi đưa cô cho Keith xem, anh đã biến anh thành đá, giải thoát Andromeda và cưới cô.

Chòm sao Hercules chỉ nhận được tên của nó ở thời hiện đại; người Hy Lạp gọi nó là “Quỳ”. Chòm sao Eridanus cũng nhận được tên của nó trong thời hiện đại, người Hy Lạp gọi nó là “Sông”. Eridanus là tên cổ của người Hy Lạp dành cho Po, đồng thời là một trong những tên của người con trai thần thoại của Sun Phaeton, theo truyền thuyết, người đã rơi xuống đất và chết đuối ở Po.

Chòm sao Ship Argo sau đó được chia thành Poop, Sails, Compass và Carina, và từ những ngôi sao nhỏ không có trong các chòm sao đã biết trước đó, các chòm sao mới được hình thành: Leo Minor, Canes Venatici, Shit (ban đầu là Sobieski’s Shit), Chanterelle, Jasper, Lynx, Unicorn và Sextant.

Thú vị hơn nữa là các chòm sao. Xin vui lòng, chỉ có tên của Sao Bắc Đẩu - ngôi sao α của chòm sao Tiểu Hùng (những ngôi sao sáng của các chòm sao thường được ký hiệu bằng các chữ cái Hy Lạp α, β, γ, …, gần đúng theo thứ tự độ sáng chói chết người của chúng) và những ngôi sao mang tên riêng của con người là có thể hiểu được nếu không cần tra từ điển. Sao Bắc Đẩu có tên như vậy vì

Chòm sao Ursa Major.

38

Rằng nó nằm gần Cực Bắc của thế giới, xung quanh đó diễn ra sự quay vòng hàng ngày có thể nhìn thấy của bầu trời đầy sao. Các ngôi sao α và β của chòm sao Song Tử có tên riêng - Castor và Polux; họ gọi nó bằng tên của hai cặp song sinh thần thoại - con trai của Zeus và Leda, và Chó săn α - Trái tim của Charles, được đặt tên bởi E. Halley vào năm 1725 để vinh danh vua Anh Charles II.

Rất ít ngôi sao có tên Hy Lạp và Latin, hầu hết những cái tên này đều có nguồn gốc từ tiếng Ả Rập. Điều này được giải thích là do vào thời Trung Cổ, trung tâm của khoa học tiên tiến nằm ở Cận Đông và Trung Đông, nơi ngôn ngữ khoa học là tiếng Ả Rập (như trước đây ở các nước Hy Lạp hóa - tiếng Hy Lạp, và sau đó là ở Châu Âu - tiếng Latinh). Đóng góp quan trọng cho khoa học thời đó là của các nhà khoa học từ Trung Á và Azerbaijan: al-Khorezmi, al-Biruni, al-Fergani, Ibn Sina (Avicenna), Omar Khayyam, Nasir ad-Din at-Tusi, Ulugbek và các nhà khoa học từ trường của ông ở Samarkand; nhiều khám phá quan trọng cũng được thực hiện bởi các nhà khoa học từ Iran, Iraq, Syria, Ai Cập, Tây Bắc Phi và Tây Ban Nha theo đạo Hồi. Công trình của những nhà khoa học này đến Tây Âu qua Tây Ban Nha và Ý, rồi qua Constantinople, và được chuyển sang tiếng Latinh. Người châu Âu làm quen với nhiều tác phẩm khoa học cổ xưa đầu tiên thông qua các bản dịch tiếng Ả Rập và sau đó chỉ bằng bản gốc tiếng Hy Lạp.

Hầu hết các tên tiếng Ả Rập đều phát sinh theo cách sau. Trong tác phẩm được thay thế của nhà thiên văn học người Alexandria, Claudius Polemaeus (thế kỷ thứ 2 sau Công nguyên), thường được chúng ta gọi là “Almagest”, có một danh mục gồm 1022 ngôi sao, vị trí của chúng đã được các nhà thiên văn học thời đó thay đổi. Người châu Âu làm quen với “Almagest” thông qua bản dịch tiếng Ả Rập, điều này giải thích tên của nó: một trong những tên tiếng Hy Lạp của tác phẩm này, “Cú pháp Megiste” - “Hệ thống vĩ đại nhất” - đã được người Ả Rập chuyển sang Almagest, đó là nơi bắt nguồn tên của chúng tôi. Polemaius mô tả từng ngôi sao bằng một mô tả nhỏ cho biết vị trí của ngôi sao này trong chòm sao. Tên của chúng tôi bắt nguồn từ những mô tả này trong bản dịch tiếng Ả Rập. Tuy nhiên, một số tên không bắt nguồn từ Polemaey mà là tên của các ngôi sao trong tiếng Arbia cổ. Bảng tên của một số ngôi sao được đưa ra ở trang 1. 39.

Lưu ý rằng cái tên Antharas được giải thích bởi thực tế là ngôi sao này, giống như Sao Hỏa, có màu đỏ và dường như là sự thay thế cho Sao Hỏa (tên các hành tinh của chúng ta là tên của các vị thần La Mã, tương ứng với các vị thần Hy Lạp Herms, Aphrodite, Ares, Zeus và Chronos, những cái tên được người Hy Lạp đặt tên).

Từ “điều tiết” xuất phát từ tên của ngôi sao Regulus, vì ngôi sao này được sử dụng để điều chỉnh những công việc hữu ích ở Ai Cập cổ đại.

Cái tên Mira và Proxima được các nhà khoa học đặt tương đối gần đây: cái tên Mira là dado cho ngôi sao này vì những đặc tính đáng kinh ngạc của nó (ngôi sao này là một ngôi sao biến quang trong thời gian dài), cái tên Proxima được các nhà khoa học đặt sau khi người ta phát hiện ra rằng ngôi sao này nằm gần khối lượng các ngôi sao trong Hệ Mặt trời.

40

Bài toán

M886—M890, F898—F902

M886. Có thể sắp xếp 4n-4 số nguyên liên tiếp (không nhất thiết phải dương) vào 4n-4 ô nằm dọc theo chu vi của một hình vuông gồm n×n ô sao cho tổng các số tại các đỉnh của mỗi hình chữ nhật có các cạnh song song với các đường chéo của hình vuông và tổng các số ở hai đầu mỗi đường chéo bằng cùng một số s? Giải bài toán cho n bằng: a) 3, 6) 4, c) 5, d) 1985. Nếu có thể, hãy tìm các giá trị chấp nhận được của s.

V. G. Boltyansky

M887. Hai tiếp tuyến của đường tròn CA và CB cắt nhau tại điểm C (A và B là các điểm tiếp tuyến, Hình 1). Đường tròn thứ hai đi qua điểm C, tiếp xúc đường thẳng AB tại điểm B và cắt đường tròn thứ nhất tại điểm M. Chứng minh rằng đường thẳng AM chia đôi đoạn BC.

I. F. Sharyzin

M888. Các số tự nhiên a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức ab=cd. Chứng minh rằng số a^{1984}+b^{1984}+c^{1984}+d^{1984} là.

A. V. Anzhans

M889. Có ba điểm A, B, C trên mặt phẳng sao cho với bất kỳ điểm P nào trên mặt phẳng thì ít nhất một trong các đoạn PA, PB và PC có độ dài vô tỷ?

A. M. Slinko

M890. Có 51 thành phố trên lãnh thổ đất nước, có hình vuông với cạnh 1000 km. Đất nước này có đủ phương tiện để xây dựng 11.000 km đường cao tốc. Liệu nó có thể kết nối tất cả các thành phố của mình bằng một mạng lưới đường cao tốc không?

L. D. Kurlyandchik

F898. Một thanh đồng nhất có chiều dài l được nối bằng một sợi dây không trọng lượng có chiều dài l với một điểm cố định A (Hình 2). Đầu dưới của thanh có thể trượt không ma sát trên mặt bàn nằm ngang. Khoảng cách từ điểm A đến bàn là H(l<H<2l). Cây gậy bắt đầu chuyển động không vận tốc ban đầu từ vị trí như hình vẽ. Tìm tốc độ lớn nhất của tâm gậy trong quá trình chuyển động tiếp theo.

S. S. Krotov

F899. Một cốc đảo ngược có khối lượng m đặt trên hai bình lớn kín chứa đầy nước. Chiếc cốc có dạng hình trụ bán kính R và chiều cao R

41

có khoang hình bán cầu, bán kính của nó cũng bằng $R$ (Hình 3). Khoang làm đầy Groat. Họ bắt đầu từ từ mở nước ra khỏi tàu.

1. Xác định ở độ cao $h$ của cột nước trong bình thì cốc sẽ vỡ ra khỏi đáy và chất lỏng sẽ bắt đầu chảy ra từ dưới mép cốc.
2. Tìm chiều cao thực của hộp khi bơm hết nước ra khỏi bình.
   Bỏ qua áp suất hơi nước. Mật độ của nước $q$ và mật độ ptrт $q_1$ được coi là đã biết. Lưu ý: thể tích của một đoạn hình cầu có chiều cao $H$ và bán kính $R$ (Hình 4) bằng $\pi H^2 \left( R - \frac{H}{3} \right)$.

M. G. Abrahamyan

F900. Một phần đồ thị mô tả quá trình xảy ra với khí đơn nguyên tử lý tưởng đã bị mất (Hình 5). Tỷ lệ dọc theo cả hai trục đều đã biết (chúng được hiển thị trong Hình 5). Trong toàn bộ quá trình chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái 2, khí tách ra theo mức độ nhận được. Tìm công mà khí thực hiện trong quá trình này. Hằng số khí phổ quát $R=8,3$ J/(mol K).

V. T. Karapetyan

F901. Ba tụ điện giống hệt nhau, mỗi tụ điện $C$, được mắc nối tiếp và nối với pin có sức điện động $\mathcal{E}$. Sau khi được sạc đầy, chúng bị ngắt kết nối khỏi pin. Sau đó, hai điện trở có điện trở $R$ được nối đồng thời với chúng như trong Hình 6. Mỗi điện trở sẽ tỏa ra bao nhiêu nhiệt lượng? Các điểm trên các điện trở tại thời điểm đó khi hướng trên tụ giữa nhỏ hơn 10 lần so với suất điện động của pin?

A. R. Zilberman

F902. Hai lớp phẳng có độ dày $d$, mỗi lớp được tích điện đồng đều trong toàn bộ thể tích với mật độ điện tích - $q$ và + $q$. Một hạt mang điện tích âm - $e$ và khối lượng $m$ tiếp cận lớp tích điện dương với tốc độ $v$, hướng một góc $\alpha$ so với bề mặt của lớp (Hình 7).

1. Ở tốc độ nào thì hạt sẽ không thể xuyên qua lớp tích điện âm?
2. Sau bao nhiêu thời gian và ở khoảng cách bao nhiêu từ điểm $A$ thì hạt trong trường hợp này sẽ rời khỏi lớp tích điện dương?

A. I. Buzdin

Hình 5.
Hình 6.
Hình 7.

44

Hình 1. Hình 2.

ron). Chứng minh rằng sau vài lần lặp lại thao tác này, tất cả các ô sẽ chứa các ô.

Hình 1. Hình 2.

đó $a_i^2 = 1$. Các bảng này được hiển thị trong Hình 2, trong đó để ngắn gọn, chỉ các chỉ số thành phần được đưa ra trong các ô của bảng, ví dụ: tích $a_1a_3a_5$ biểu thị 1, 3, 5. Dấu hoa thị * có nghĩa là số 1. Như bạn có thể thấy, luôn sau đó, thao tác sẽ có đơn vị trong tất cả các ô.

I. K. Zhuk, I. V. Voronovishch

M872. Có ba vòng tròn $C_1, C_2, C_3$ bán kính $r_1, r_2, r_3$ trên mặt phẳng - mỗi vòng tròn nằm ngoài hai vòng tròn còn lại, $r_1 > r_2$ và $r_1 > r_3$. Từ giao điểm của các tiếp tuyến ngoài với đường tròn $C_1$ và $C_2$, vẽ các tiếp tuyến của đường tròn $C_3$, và từ giao điểm của các tiếp tuyến ngoài với $C_1$ và $C_3$, vẽ các tiếp tuyến với $C_2$. Chứng minh rằng hai cặp tiếp tuyến cuối cùng tạo thành một tứ giác nội tiếp một đường tròn và tìm bán kính của nó.

Đáp số: $r = r_1r_2r_3 / (r_1r_3 + r_1r_2 - r_2r_3)$.

Chúng ta hãy biểu thị tâm của các đường tròn này bằng $O_1, O_2, O_3$ và giao điểm của các tiếp tuyến là $A$ và $B$ (Hình 1).

Lời giải bài toán dựa trên thông điệp hiển nhiên nhưng thường được sử dụng sau đây: giao điểm của các tiếp tuyến ngoài với hai đường tròn đóng vai trò là phép đo tâm của các đường tròn này (điều này cũng đúng đối với giao điểm của các tiếp tuyến trong). Từ đó, ngay lập tức, hình tròn bốn phải được chuẩn bị ית $C_2$ với tâm $A$ và $C_3$ với tâm $B$, do đó tâm $O$ của nó phải nằm ở giao điểm của các đoạn $AO_2$ và $BO_3$. Bây giờ chúng ta cần phải

Hình 1.

chứng minh sự tồn tại của một số $r$ rằng một đường tròn $C$ có tâm $O$ bán kính $r$ sẽ được chuẩn bị $C_2$ với tâm $A$ (tức là $r : r_2 = |AO| : |AO_2|$) và đồng thời chuẩn bị $C_3$ với tâm $B$ (tức là, $r : r_3 = |BO| : |BO_3|$), và tìm số này.

Hãy tính tỉ số $|AO| : |AO_2|$. Để làm điều này, chúng ta vẽ một đoạn $O_2D$ song song với $BO_3$ (Hình 2), sau đó, sử dụng sự sẵn sàng của các hình tam giác $AOO_3$ và $AO_2D, O_1BO_3$ và $O_1O_2D$, chúng ta thu được

$$\frac{|AO_2|}{|AO|} = \frac{|AD|}{|AO_3|} = 1 + \frac{|O_2D|}{|AO_3|} = 1 + \frac{|O_3D|}{|O_3O_1|} \cdot \frac{|O_3O_1|}{|AO_3|} =$$

$$= 1 + \frac{|BO_2|}{|BO_1|} \cdot \left( \frac{|AO_1|}{|AO_3|} - 1 \right).$$