Kvant 1985, số 7 · Trang

ISSN 0130-2221
7
1985

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Máy bơm không khí này được chế tạo vào năm 1658 (hình từ tác phẩm năm 1659 của Roberta Boyle). Nhiều chi tiết thiết kế của thiết bị đều do trợ lý trẻ Robert Hooke của Boyle phát minh và chế tạo. Đây là thời điểm bắt đầu hoạt động khoa học của Hooke - cơ học và hóa học, vật lý và sinh học, nhà thiên văn học và kiến ​​​​trúc sư… Chúng tôi xuất bản một bài báo dành riêng cho nhà khoa học và nhà khoa học xuất sắc trong số tạp chí này.

TRONG PHÒNG:

2 L. G. Aslamazov. Mối quan hệ không chắc chắn
9 V. A. Uspensky, A. L. Semenov. Các vấn đề thuật toán đã được giải quyết và không thể giải quyết được
16 S. R. Filonovich. Robert Hooke
23 Vâng. S. Brodsky, A. K. Slienko. Phương trình và nhóm hàm
L. G. Aslamasov. The uncertainty principle
V. A. Uspenski, A. L. Semionov. Decidable and undecidable algorithmic problems
S. R. Filonovich. Robert Hooke
Ya. S. Brodski, A. K. Slipenko. Functional equations and groups

Lịch của chúng tôi
Igor Evgenievich Tamm
Our calendar
Igor Evgenievich Tamm

Phòng thí nghiệm «Kvant»
L. V. Tarasov, M. L. Tarasov. Một dòng nước và…
thuyền di chuyển
A. A. Varlamov. Từ kinh nghiệm cũ
Kwant’s lab
L. V. Tarasov, M. L. Tarasov. Frowing water and… moving toy ships
A. A. Varlamov. From old experiments

vòng tròn toán học
S.V. Dvoryaninov, E. A. Yasinov. Làm thế nào để có được bất đẳng thức đối xứng
Mathematics circle
S. V. Dvoryaninov, E. A. Yasinovyi. Obtaining symmetric inequalities

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
L. Carroll. Sâu xanh đưa ra lời khuyên
Kvant for younger school children
Problems
L. Carroll. Advice from a caterpillar

Bài toán Kvant
Bài toán M931—M935; F943—F947
Lời giải bài toán M911—M915; F923—F926
Kwant’s problems
Problems*M931—M935; P943—P947
Solutions M911—M915; P923—P926
M. L. Kontsevich. Uniform disposition

Xưởng của người nộp đơn
A. I. Buzdin, S. S. Krotov. Biến đổi pha
College applicant’s section
A. I. Buzdin, S. S. Krotov. Phase transformations

Trò chơi và câu đố
V. G. Chvanov. Vấn đề về Nữ hoàng DOMINIROVANNI
Puzzles and games
V. G. Chvanov. Queens dominate the chessboard

Đáp số, gợi ý, lời giải
«Kvant» mỉm cười (53)
Pha trộn (8)
Trang cờ vua
Cờ vua hình trụ (trang bìa thứ 3)
Answers, hints, solutions
Kvant smiles (53)
Miscellaneous (8)
The chess page
Cylindrical chess (3rd cover page)

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1985

2

Mối quan hệ không chắc chắn

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
L. G. ASLAMAZOV

Cơ học lượng tử rất ít được gặp ở trường. Nhưng ngay cả cuộc gặp gỡ ngắn ngủi như vậy cũng để lại ấn tượng sâu sắc - thế giới lượng tử quá khác thường. Và anh ấy muốn bạn ngay lập tức bị mê hoặc bởi môn khoa học này, môn khoa học làm nền tảng cho bức tranh vật lý hiện đại về thế giới. Vậy hãy có thêm một nhân chứng nữa ở đây. Hy vọng rằng đối với một số bạn, nó sẽ dẫn đến sự hiểu biết sâu sắc hơn về cơ học lượng tử trong tương lai.

1. Động lượng và vị trí

Nhà vật lý người Đức Werner Heisenberg, người đã phát hiện ra mối quan hệ bất định vào năm 1927, đã phát biểu nó như sau: nếu, trong khi nghiên cứu một vật thể, chúng ta có thể xác định hình chiếu của xung động của vật thể với độ bất định Δp_x, thì chúng ta sẽ không thể xác định đồng thời tọa độ tương ứng của vật thể với độ chính xác lớn hơn Δx≈h/Δp_x, trong đó h=h/2π=1.054·10⁻³⁴ Js là hằng số Planck.

Tỷ lệ này ban đầu có vẻ khó hiểu. Xét cho cùng, các định luật Newton, được học ở trường, giúp tìm ra định luật chuyển động của một vật, tức là tính sự phụ thuộc của tọa độ vào thời gian. Biết định luật chuyển động, người ta có thể tìm được hình chiếu của vận tốc v của vật (đạo hàm của tọa độ theo thời gian) và hình chiếu của xung lực p=mv của vật. Hóa ra có thể xác định đồng thời tọa độ và xung lực, và không có mối quan hệ bất định. Thật vậy, trong vật lý cổ điển, mọi thứ diễn ra chính xác theo cách này, nhưng trong thế giới vi mô thì mọi chuyện lại khác (hình 1).

Hãy tưởng tượng rằng bạn cần theo dõi chuyển động của một electron. Làm thế nào để làm điều này? Mắt không phải là một công cụ thích hợp cho những mục đích này. Khả năng phân giải của nó không đủ để làm phẳng electron. Nào, chúng ta hãy nhìn vào electron trong microsopp. Độ phân giải của kính hiển vi được xác định bởi bước sóng của ánh sáng mà việc quan sát được thực hiện. Đối với tổng ánh sáng khả kiến, giá trị này vào khoảng 1000 angstrom (≈10⁻⁵ cm) và các hạt có kích thước nhỏ hơn không được làm mịn trong kính hiển vi. Các nguyên tử có kích thước cỡ một angstrom nên không thể phân biệt được giữa chúng, huống chi là các electron riêng lẻ.

3

Hãy cứ mơ đi.

Giả sử chúng ta có thể chế tạo một microcoppe sử dụng ánh sáng vô hình và sóng điện từ có bước sóng khác nhau, chẳng hạn như tia X hoặc thậm chí là tia γ. Bước sóng càng ngắn thì có thể quan sát được vật thể càng nhỏ. Có vẻ như một γ-microcopp tưởng tượng như vậy sẽ là một công cụ lý tưởng để quan sát điện cực. Với sự trợ giúp của nó, người ta có thể đo tọa độ của electron một cách chính xác như mong muốn. Sự tương ứng của sự không chắc chắn có liên quan gì đến nó?

Chúng ta hãy suy nghĩ sâu hơn về thí nghiệm tưởng tượng này. Để chúng ta có được thông tin về vị trí của electron, ít nhất một lượng tử γ phải được phản xạ từ nó - chất mang phần năng lượng tối thiểu $\hbar \omega^*$). Bước sóng càng ngắn thì tần số bức xạ $\omega$ càng cao và phần năng lượng mà lượng tử có càng lớn. Và động lượng của lượng tử tỉ lệ thuận với năng lượng của nó. Khi va chạm với một electron, lượng tử γ nhất thiết phải truyền một phần động lượng của nó cho nó. Do đó, khi đo tọa độ, chúng ta luôn đưa độ bất định vào động lượng của electron và chúng ta muốn kiểm tra phép đo càng chính xác thì độ bất định sẽ càng lớn. Một phân tích chi tiết về quá trình này cho thấy rằng tích của độ không đảm bảo $\Delta x \times \Delta p_x$ không thể nhỏ hơn hằng số Planck.

Có vẻ như chúng tôi chỉ xem xét một trường hợp đặc biệt, đã nghĩ ra một thiết bị đo tọa độ “xấu” và có thể kiểm tra phép đo của một thành phố một cách chính xác hơn mà không cần “đẩy” electron, không thay đổi trạng thái của nó. Nhưng than ôi, đây không phải là trường hợp.

Những bộ óc giỏi nhất (trong số đó có A. Einstein) đã cố gắng tạo ra một thiết bị có thể đo đồng thời vị trí của một vật thể và động lượng của nó với độ chính xác lớn hơn mức độ tương ứng của độ không chắc chắn cho phép. Nhưng không có cách nào để làm điều này. Điều này đơn giản là không thể thực hiện được. Đây là quy luật của thời đại.

Tất cả điều này có vẻ hơi mơ hồ và khó hiểu ngay lập tức.

*) Năng lượng lượng tử $E = hv = \hbar \omega$, trong đó tần số góc $\omega = 2\pi v$.

Hình 1. Đo tọa độ của hạt với độ chính xác $\Delta x$, xác định độ rộng của khe mà hạt được bán qua, dẫn đến sự không chắc chắn trong hình chiếu tương ứng của xung hạt $\Delta p$.

4

xác định tọa độ ($\Delta x \sim 10^{-8}$ cm - kích thước nguyên tử), thì độ không đảm bảo về tốc độ trở nên tương đương với tốc độ của chính vi hạt. Khi mô tả các electron trong nguyên tử, sự tương ứng của độ không đảm bảo đã hoạt động đầy đủ và không thể bỏ qua. Và điều này dẫn đến những hậu quả đáng ngạc nhiên.

2. Làn sóng tự tin

Trong mô hình nguyên tử đơn giản nhất, mô hình Rutherfor, các electron nằm rải rác trên quỹ đạo xung quanh hạt nhân, tương tự như cách các hành tinh chuyển động quanh Mặt trời. Nhưng các electron là các hạt được nạp và khi chúng quay, điện trường và từ trường xen kẽ nhất thiết phải được tạo ra - bức xạ xảy ra, dẫn đến mất năng lượng. Đó là lý do tại sao, trong mô hình hành tinh, các electron có số phận độc lập - chúng chắc chắn sẽ rơi vào hạt nhân và nguyên tử sẽ sụp đổ. Nhưng tính ổn định của nguyên tử là một thực tế thực nghiệm đã được xác lập chắc chắn.

Cần phải “sửa” mô hình của Rutherfort, và Niels Bohr đã làm điều này vào năm 1913. Các electron trong mô hình Bohr chỉ được phép quay trong những quỹ đạo nhất định, nơi chúng có những năng lượng xác định nghiêm ngặt. Các electron chỉ có thể thay đổi năng lượng này một cách đột ngột, phát ra và hấp thụ lượng tử khi chuyển từ quỹ đạo này sang quỹ đạo khác. Hành vi “lượng tử” này của các electron trong nguyên tử cho phép chúng ta giải thích rất nhiều điều - đặc biệt là tính ổn định của nguyên tử và quang phổ nguyên tử, nhưng nó mâu thuẫn với sự tương ứng với tính không chắc chắn. Rốt cuộc, khi di chuyển dọc theo quỹ đạo lượng tử, động lượng và tọa độ có thể được xác định đồng thời, nhưng trong thế giới vi mô, như chúng ta biết hiện nay, điều này không thể xảy ra.

Tôi cũng phải từ bỏ mô hình nguyên tử này. Bức tranh mô tả hành vi của một electron trong nguyên tử hóa ra còn phức tạp hơn nữa.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có thể xác định được vị trí của một electron trong nguyên tử tại một thời điểm nào đó. Chúng ta có thể nói chính xác anh ấy sẽ ở đâu trong khoảnh khắc tiếp theo không (để chắc chắn, hãy nói trong một giây)? Không, thay đổi tọa độ,

5

mà chúng ta đã quen thuộc trong cuộc sống chung. Theo cách diễn đạt tượng hình của A. Einstein, người ta phải “chơi xúc xắc” để dự đoán hành vi của các electron. Thật không may, chúng tôi không thể làm mà không có điều này.

Vì vậy, trong thế giới vi mô, trạng thái của electron được xác định bằng cách đặt xác suất phát hiện ra nó tại các điểm khác nhau trong không gian. Trong mô hình đo xác suất trực quan của chúng ta sẽ có mật độ vết và người ta có thể tưởng tượng rằng những vết này tạo thành một loại đám mây quyết định đường sống của electron.

Các thiết bị đám mây xác suất như thế nào? Giống như trong cơ học cổ điển, các định luật Newton xác định chuyển động của các vật thể, cơ học lượng tử có phương trình riêng mà từ đó người ta có thể tìm ra “vết bẩn” của một electron trong không gian. Một phương trình như vậy được phát minh vào năm 1925 bởi nhà vật lý ban đầu Erwin Schrödinger (lưu ý, trước khi sự tương ứng của độ không đảm bảo được phát hiện, tức là trước khi lý do làm mờ các hạt vi mô trở nên rõ ràng - điều này xảy ra trong vật lý). Phương trình Schrödinger mô tả các hiện tượng nguyên tử một cách định lượng, chính xác và chi tiết. Nhưng không thể nói về điều này nếu không có toán học phức tạp. Chúng tôi sẽ trình bày ở đây một cách đơn giản đáp số - chúng tôi sẽ hiển thị chân dung chính xác của vết bẩn điện tử trong một số trường hợp.

hình 2 thể hiện sơ đồ một thí nghiệm về nhiễu xạ điện tử và ảnh chụp hệ thống sọc xuất hiện trên màn hình. Hình ảnh hoàn toàn giống với hình ảnh xuất hiện trong quá trình nhiễu xạ ánh sáng. Nếu chúng ta giả sử rằng electron

Hình 3. Tất nhiên, đây không phải là ảnh chụp các electron thật mà là kết quả của các phép tính cho thấy các electron bị “bôi” như thế nào trong nguyên tử. Tính đối xứng của những bức ảnh này quyết định phần lớn tính đối xứng của các phân tử và tinh thể. Người ta thậm chí có thể nói rằng đây là chìa khóa để đánh giá vẻ đẹp của các dạng trật tự của bản chất động vật.

6

các ngai vàng di chuyển theo quỹ đạo thẳng, như trong trường hợp này chúng được cho là theo các định luật vật lý cổ điển, trải nghiệm này không thể giải thích được. Nhưng nếu chúng trải rộng trong không gian thì có thể hiểu được kết quả của thí nghiệm. Hơn nữa, theo kinh nghiệm thì đám mây niềm tin có đặc tính sóng. Chúng ta cũng gặp phải những làn sóng niềm tin trong cuộc sống nói chung - ví dụ như những làn sóng dịch bệnh, tỷ lệ sinh, tính đại diện, v.v. Ở nơi mà biên độ của làn sóng là tối đa thì khả năng xảy ra điều gì đó là lớn nhất. Trong trường hợp của chúng tôi, điện tử có thể được phát hiện một cách chắc chắn nhất ở những nơi này và các khu vực trong ảnh cũng trở nên sáng hơn.

hình 3 cho thấy sự bôi nhọ electron ở các trạng thái khác nhau của nguyên tử hydro, được tìm thấy trên cơ sở các phép tính toán học chính xác. Vùng càng sáng thì càng có nhiều khả năng gặp phải một electron trong đó. Hình chứa đầy hình ảnh về sóng đứng phát sinh khi quá trình sóng xảy ra trong một vùng không gian giới hạn. Dấu chỉ đức tin có thể có những hình thức tuyệt vời biết bao! Và những bức tranh trừu tượng tuyệt đẹp này thực sự xác định hành vi của các electron trong nguyên tử và giải thích, ví dụ, mức năng lượng và mọi thứ liên quan đến liên kết hóa học.

Không đi sâu vào chi tiết về thiết kế của các đám mây, bạn có thể so sánh kích thước đặc trưng của chúng. Nếu đám mây xác suất có kích thước theo thứ tự $\Delta x$, thì sẽ không có ý nghĩa gì khi nói về độ không đảm bảo lớn hơn $\Delta x$ trong tọa độ hạt. Do đó, độ bất định của động lượng hạt $\Delta p_x$ không thể nhỏ hơn $\hbar/\Delta x$. Theo thứ tự độ lớn, biểu thức tương tự cũng xác định giá trị nhỏ nhất của động lượng hạt.

Kích thước của đám mây tin cậy càng nhỏ thì động lượng càng lớn và do đó, chuyển động trong đám mây nội địa hóa càng nhanh. Hóa ra những cân nhắc chung này đủ để ước tính chính xác kích thước của nguyên tử.

Một electron trong nguyên tử có động năng của electron - đây là năng lượng chuyển động của nó. Nó liên quan đến động lượng theo công thức nổi tiếng $E_k = (mv^2/2) = (p^2/2m)$. Thế năng là năng lượng của tương tác Coulomb với hạt nhân. Ngoài ra còn có một công thức cho nó: $E_\pi = (-Ke^2/r)$, trong đó dấu trừ tương ứng với lực hút, $e$ là điện tích của electron, $r$ là khoảng cách từ electron đến hạt nhân, $K$ là hệ số, tùy thuộc vào việc lựa chọn đơn vị đo.

Ở mỗi trạng thái, electron có một giá trị tổng năng lượng nhất định $E$. Trạng thái có năng lượng tối thiểu được gọi là trạng thái cơ bản (không bị kích thích). Hãy ước tính kích thước của nguyên tử ở trạng thái cơ bản.

Để electron trải rộng trên một vùng có kích thước nhất định $\sim r_0$. Sự gắn kết của một electron vào hạt nhân có xu hướng giảm $r_0$, làm “làm sụp đổ” đám mây niềm tin. Điều này tương ứng với sự giảm năng lượng của điện tử, có độ lớn bằng $-Ke^2/r_0$ (khi $r_0$ giảm, mô hình giá trị âm tăng). Nếu electron không có động năng thì nó sẽ rơi vào hạt nhân. Nhưng, như bạn đã biết, động năng của một hạt định xứ luôn là hệ quả của sự tương ứng của độ bất định. Nó “ngăn” electron rơi vào hạt nhân!

Khi $r_0$ giảm, động lượng tối thiểu của hạt $p_0 \sim \hbar/r_0$ tăng và do đó, động năng $\sim \hbar^2/2mr^2$ tăng. Từ điều kiện đạo hàm của tổng năng lượng của hạt bằng 0, ta thu được cực tiểu của nó tương ứng với giá trị $r_0 \sim \hbar^2/Kme^2$.

xác định kích thước đặc trưng của đám mây định vị electron ở trạng thái cơ bản, nghĩa là kích thước của nguyên tử. Giá trị của $(\hbar^2/Kme^2)$ bằng 0,5 angstrom và chúng ta biết thứ tự độ lớn kích thước của các nguyên tử trong thực tế là bao nhiêu. Rõ ràng là sự tương ứng của độ bất định, cho phép hội đồng ước tính kích thước của các nguyên tử, là một trong những định luật sâu sắc nhất của thế giới vi mô.

Đối với các nguyên tử phức tạp, có một khuôn mẫu nhất định, cũng xuất phát từ sự tương ứng của độ không đảm bảo. Công cần thực hiện để sắp xếp một electron khỏi nguyên tử được xác định khá chính xác bằng thực nghiệm (nó bằng năng lượng đốt cháy $E_\pi$).

8

việc động năng được tạo ra không thành vấn đề - dù nó có liên quan đến chuyển động nhiệt của các nguyên tử hay với các dao động lượng tử điểm không. Các ứng cử viên có khả năng nhất cho chất lỏng không đóng băng là hydro và heli. Trong những chất nhẹ nhất này, năng lượng của dao động điểm 0 là cực đại. Nhưng helium cũng là một loại khí trơ. Các nguyên tử của nó tương tác với nhau rất yếu và tương đối dễ làm tan chảy mạng tinh thể của gel. Hóa ra năng lượng của các dao động điểm 0 trong helium là đủ cho điều này và nó không bị đóng băng ngay cả ở mức 0 tuyệt đối. Nhưng hydro, mặc dù các nguyên tử của nó có năng lượng dao động điểm 0 cao hơn helium, nhưng vẫn đóng băng vì tương tác giữa các nguyên tử hydro mạnh hơn nhiều.

Tất cả các chất khác cũng đóng băng ở nhiệt độ không tuyệt đối. Vì vậy helium là chất duy nhất luôn ở dạng lỏng ở áp suất bình thường. Người ta thậm chí có thể nói rằng chính mối quan hệ không chắc chắn đã ngăn cản nó đóng băng. Các nhà vật lý gọi chất lỏng đó là chất lỏng lượng tử. Nó có một đặc tính tuyệt vời là tính siêu chảy. Viện sĩ L.D. Landdu cho rằng helium lỏng là cánh cửa dẫn tới thế giới lượng tử.

Ở áp suất khoảng 30 atmosferium helium vẫn đông cứng lại. Tuy nhiên, helium rắn cũng là một tinh thể rất khác thường. Trong đó, dao động bằng 0 xác định động năng của các nguyên tử ở ranh giới, và kết quả là bề mặt của tinh thể có thể thực hiện các dao động khổng lồ, giống như ranh giới giữa hai chất lỏng bất biến (hình 4). Các nhà vật lý gọi helium rắn là tinh thể lượng tử và các tính chất của nó hiện đang được nghiên cứu tổng hợp.

---

Câu chuyện của chúng ta về sự tương ứng giữa những điều không chắc chắn đã kết thúc. Chúng tôi hy vọng rằng người đọc dần dần làm quen với thế giới lượng tử tuyệt vời, nơi các hạt không thể bị bỏ lại phía sau, chất lỏng không đóng băng và các electron bị bôi xung quanh hạt nhân một cách kỳ quái. Một thế giới như vậy thật khó tưởng tượng. Nhưng điều đó có thể hiểu được, và điều này, như Landdu tin, là giá trị chính của vật lý lý thuyết hoàn hảo.

Chúng tôi khuyên bạn nên đọc

Năm 1984, nhà xuất bản “Văn học thiếu nhi” xuất bản cuốn sách “Thế giới vật lý” của Giáo sư M. M. Koltun.

Cuốn sách cho thấy một thế giới phức tạp, đa dạng và mâu thuẫn nhưng đồng thời thống nhất của các hiện tượng và quá trình vật lý gắn bó chặt chẽ với nhau, phổ biến và chiếm giữ vị trí chi phối thế giới này cũng như lịch sử khám phá chúng. Tác giả đã tìm ra logic bên trong của sự phát triển của vật lý và tiết lộ mối liên hệ của khoa học này với các lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người - với các lĩnh vực khoa học, công nghệ và thậm chí cả nghệ thuật khác. Cuốn sách được thiết kế đẹp mắt, chứa nhiều hình ảnh minh họa thú vị - những bức ảnh lịch sử hiếm có, sơ đồ đầy màu sắc, bản sao các bức tranh, hình ảnh về thiết bị hiện đại và bố trí thí nghiệm. Nói tóm lại, đây là một cuốn sách xuất sắc về vật lý, có khả năng mê hoặc bất kỳ người đọc nào.

9

Quyết đoán
và không thể giải quyết được
thuật toán
vấn đề

Giáo sư
V. A. USPENSKY,
Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
A. L. SEMENOV

Thuật toán

Tất cả chúng ta đều biết cách cộng các số có nhiều chữ số - chúng ta đã học điều này từ khi còn nhỏ. Chúng ta hãy tự hỏi, lời dạy của chúng ta là gì? Khi trong vở kịch “Bài học” của E. Ionesco, một học sinh thể hiện khả năng thay thế cho một biến số có mười chữ số, giáo viên bị sốc khi biết rằng phương pháp của cô rất đơn giản - cô đã học bảng nhân (vô hạn!) cho tất cả các số. Rõ ràng, phương pháp của chúng tôi là một loại khác. Chúng ta biết một cách hữu hạn duy nhất để giải tập vô hạn bài toán. Trong trường hợp của chúng tôi, tập hợp vô hạn được hình thành bởi bài toán và tìm tổng: cho mỗi cặp số - bài toán của chính nó. Phương pháp này thống nhất vì mọi người đều giống nhau bài toán. Phương pháp này hữu hạn theo nghĩa là nó có thể được biểu diễn bằng một số hữu hạn từ (và nếu không phải như vậy thì phương pháp này không thể dạy được!). Như bạn đã biết, phương pháp này được gọi là “cộng cột” và bao gồm thực tế là một số (ví dụ: 8257) được ký màu xanh lam bên dưới một số khác (ví dụ: 64) với biểu thức của cạnh phải (nghĩa là như thế này: 64/8357 chứ không phải như thế này: 64/8357) và sau đó bắt đầu ứng dụng tuần tự của bảng để cộng các số có một chữ số (phải được trừ trước) bằng cách chuyển, nếu cần, sang chữ số tiếp theo. Kết quả là số 8421 sẽ được hình thành.

Ở đây chúng tôi không phác thảo quá nhiều về phương pháp như đã nhớ lại, đảm bảo rằng nó đã được biết đến. Tuy nhiên, sẽ rất hữu ích nếu người đọc viết toàn bộ phương pháp này ra giấy để người chưa biết cách cộng các số có nhiều chữ số có thể hiểu và sử dụng. Bài tập mà chúng tôi đề xuất tới bạn đọc được xây dựng bằng ngôn ngữ khoa học như sau: viết ra một thuật toán giải

10

bài toán cộng số. Chúng tôi sẽ trình bày rõ hơn vấn đề này và các vấn đề khác trong việc xây dựng thuật toán, chỉ ra những gì được yêu cầu đối với thuật toán, gần đúng theo dạng sau:

Vấn đề. Cho: hai số tự nhiên tùy ý. Yêu cầu: tìm tổng của chúng.

Dạng ký hiệu này sẽ đóng vai trò là tín hiệu cho chúng ta biết rằng bài toán lời giải không phải là tìm cách tính kết quả riêng cho mỗi hai số mà là tìm một phương pháp chung duy nhất phù hợp với tất cả các cặp số, tức là tìm một thuật toán (trong trường hợp này là thuật toán cộng).

Trong bài viết này, bằng thuật toán, chúng ta sẽ hiểu bất kỳ hệ thống quy tắc hữu hạn nào xác định một quy trình tính toán. Quá trình này bắt đầu bằng việc trình bày (gửi tới đầu vào của thuật toán) dữ liệu ban đầu tùy ý (nhưng được chọn từ một tập hợp cố định cho một thuật toán nhất định). Quá trình có thể kết thúc bằng việc nhận được kết quả hoàn chỉnh được xác định bởi dữ liệu ban đầu này; thì kết quả được gọi là đầu ra của thuật toán. Tuy nhiên, quá trình này có thể tiếp tục vô thời hạn; kết quả của thuật toán không phải lúc nào cũng tồn tại. Ví dụ: thuật toán tính thương của hai số dưới dạng phân số thập phân có thể không hoạt động (vì vậy 1:3=0,33333…).

Khái niệm thuật toán là một trong những khái niệm cơ bản của toán học. Lý thuyết về thuật toán, cùng với logic toán học, tạo thành cơ sở lý thuyết chức năng cho việc xây dựng và sử dụng công nghệ máy tính. Sự khởi đầu danh nghĩa của các thuật toán cho một số bài toán nhất định cho phép bạn giải các bài toán này trên máy tính.

Bản thân thuật ngữ “thuật toán” đã rất đáng chú ý. Trên thực tế, có nhiều thuật ngữ khoa học bao gồm tên địa lý không? Cái tên như vậy không thể được làm mịn ngay lập tức trong lớp “thuật toán”, nhưng nó ở đó - đây là tên của thành phố “Khorezm”. Xét cho cùng, thuật ngữ “thuật toán” được đặt theo tên của al-Khorezmi (có nghĩa là “từ Khorezm”), một nhà toán học vĩ đại của thế kỷ thứ 9. Các nhà toán học và thuật toán lớn nhất từ ​​​​khắp nơi trên thế giới đã vinh danh vai trò cơ bản của al-Khorezmi, đã tập trung vào tháng 9 năm 1979 tại vùng Khorezm của Uzbekistan, tại thành phố Urgench, nơi họ thảo luận các vấn đề về lý thuyết thuật toán và các ứng dụng của nó ở giai đoạn hiện tại. Một trong những người tổ chức nó, Viện sĩ A.P. Ershov, đã nói điều tương tự về cuộc họp này ở Urgench (xem «Kvant», 1984, số 8, trang 29).

Chúng tôi sẽ cho người đọc xem những ví dụ minh họa và quan trọng nhất về các vấn đề thuật toán không thể giải được, tức là các vấn đề thuật toán mà lời giải không tồn tại. Ngược lại, những ví dụ này sẽ chứa những ví dụ có thuật toán (mặc dù đôi khi rất phức tạp) hoặc câu hỏi liệu có thuật toán nào vẫn chưa được giải quyết hay không.

Lời giải phương trình đại số

Hãy viết ra phương trình

$$x^2 + 2 = y^3$$

(1)

và chúng tôi sẽ quan tâm đến quyết định của anh ấy. Lời giải trong trường hợp này là một cặp số (a; b) tuân theo điều kiện $a^2 + 2 = b^3$, ví dụ: một cặp (5; 3).

Khi giải bất kỳ phương trình nào, bạn phải luôn biết chính xác những con số nào có thể được sử dụng làm lời giải của nó. Ví dụ: nếu lời giải phương trình đóng vai trò là sự gia tăng số lượng dê trong một đàn như vậy trong một khoảng thời gian như vậy và như vậy, liệu tác hại có phù hợp với chúng ta không đáp số “hai phần ba” (nhưng đáp số “trừ mười” sẽ có ý nghĩa: điều đó có nghĩa là số lượng dê trong đàn, thật không may, không tăng mà lại giảm). Đối với phương trình (1), người ta có thể quan tâm đến nghiệm thực của nó, tức là tham số của số thực, nghiệm định vị, tức là tham số của số định vị, nghiệm số nguyên, tức là tham số của số nguyên. Phương trình (1) có vô số số thực lời giải: chỉ cần lấy a bất kỳ và đặt b = $\sqrt[3]{a^2 + 2}$ là đủ, khi đó cặp (a; b) sẽ là lời giải (câu hỏi dành cho người đọc: có thể lấy bất kỳ b nào và đặt a = $\sqrt{b^3 - 2}$?). Không khó để chứng minh rằng (1) có vô số tọa độ lời giải; đây là một trong số đó: (0,383; 0,129). Chỉ có hai mục tiêu lời giải: (5; 3) và (−5; 3). Tuy nhiên, điều này không dễ để chứng minh.

Lời giải phương trình trong số nguyên dường như rất cổ xưa (nó được chính Pythagoras nghiên cứu vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên) và - trong trường hợp tổng quát - rất khó bài toán. Khó khăn chính là tìm ra liệu một phương trình đã cho có ít nhất một số nguyên lời giải hay không. Ví dụ, nó chưa được biết (ít nhất là nó chưa được biết cho đến khi so sánh)

11

gần đây) có lời giải có $x^3+y^3+z^3=30$ và $x^4+y^4+z^4=u^4$ cho mục đích số học.

Bài toán cho người đọc. Đối với mỗi phương trình $x^4+y^4=5z^2$, $3x^2-y^2=1$, $x^2+y^3=z^4$, hãy tìm một số lời giải cho mục đích tính số hoặc chứng minh rằng lời giải đó không tồn tại.

Gợi ý. Bạn có thể đọc về những phương trình này và các phương trình khác cho mục đích số trong các tài liệu quảng cáo phổ biến: Gelfond A. O. “Lời giải phương trình cho mục đích số”, M., 1952. (loạt bài “Bài giảng phổ biến về toán học”, số 8); Serpisky V. “Về các phương trình lời giải cho mục đích số”, M., 1961.

Bài toán “có thể tìm ra từ một phương trình đại số tùy ý với mục đích hệ số xem nó có lời giải cho mục đích số hay không” tạo thành một trong hai mươi ba bài toán được gọi là “bài toán Hilbert”. Vấn đề là gì?

Khi David Hilbert (1862–1943), một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20, chuẩn bị bài báo của mình tại Đại hội Toán học Thế giới ở Paris năm 1900, ông đã chọn ra 23 bài toán từ nhiều lĩnh vực toán học khác nhau. Những vấn đề này là nỗ lực của ông “nhằm thâm nhập vào các điều kiện sắp tới của khoa học của chúng ta và những bí mật về sự phát triển của nó ở giai đoạn sơ khai”. Nỗ lực này hóa ra cực kỳ thành công và có giá trị. Và cho đến ngày nay, lời giải (sau đây gọi là thương số) của bất kỳ bài toán nào của Hilbert đều được cả thế giới coi là thành tựu toán học cao nhất. Gilbert coi yêu cầu bắt buộc đối với một vấn đề cơ bản thực sự là “khả năng trình bày nội dung của nó cho người đầu tiên bạn gặp”. Bài toán về việc xác định sự có mặt của số nguyên lời giải là bài toán thứ mười trong danh sách của Hilbert. Người đọc có thể tự mình đánh giá mức độ mà công thức của nó mang tính xã hội. Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng bài toán thứ mười của Hilbert theo các tiêu chuẩn được áp dụng ở đây.

Bài toán 1 (Bài toán thứ mười của Hilbert). Cho: một phương trình đại số tùy ý với các hệ số khách quan. Yêu cầu: tìm hiểu xem phương trình đã cho có lời giải cho mục đích số hay không.

Thuật toán yêu cầu: năm 1970, nhà toán học Liên Xô Yu. V. Matiyasevich đã chứng minh rằng không thể có một thuật toán giải quyết vấn đề này (xem «Kvant», 1970, số 7, trang 39).

Liên quan đến việc hình thành vấn đề, việc áp dụng một sự thay thế không chỉ cho nó mà còn với những thay đổi thích hợp trong các trường hợp khác là phù hợp. Đã tồn tại một thuật toán để tìm một số lời giải của bất kỳ phương trình nào được biết là có lời giải! Một thuật toán hiệu quả là thế này: bạn chỉ cần thay thế tất cả các bộ số tự nhiên vào phương trình. Cuối cùng sẽ tìm được tập hợp thỏa mãn phương trình.

Hãy để chúng tôi trình bày một số sửa đổi tự nhiên của vấn đề đầu tiên.

Bài 2. Cho: phương trình đại số tùy ý có hệ số khách quan. Yêu cầu: tìm hiểu xem phương trình này có lời giải ở dạng số thực hay không.

Thuật toán bạn đang tìm kiếm: tồn tại!

Lời giải bài toán 2 được người dùng nổi tiếng Alfred Tarski lấy được vào những năm 40 của thế kỷ 20. Việc áp dụng kết quả này sẽ được thảo luận thêm. Trên thực tế, Tarski đã xây dựng một thuật toán tổng quát hơn để xác định sự hiện diện của lời giải trong các hệ đẳng thức và bất đẳng thức.

Để đánh giá mức độ không tầm thường của thuật toán Tarski, hãy thử giải bài toán sau. Cho một phương trình đại số tùy ý với tất cả các hệ số và một hệ số chưa biết, bạn cần tìm hiểu xem liệu nó có lời giải trong số thực hay không. (Rõ ràng bài toán này là một trường hợp đặc biệt đơn giản của Bài toán 2). Nếu bậc của phương trình là số lẻ, bạn có thể trả lời ngay rằng nghiệm của phương trình có tồn tại. Nếu là một cặp thì sao?

Bài 3. Cho: phương trình đại số tùy ý có hệ số khách quan. Yêu cầu: tìm hiểu xem phương trình này có lời giải ở dạng số hữu tỷ hay không.

Thuật toán bạn đang tìm kiếm: nó có tồn tại hay không thì chưa xác định được.

Hãy xem công thức của các bài toán 1, 2 và 3 của chúng ta gần nhau đến mức nào: những công thức này chỉ khác nhau một từ. Và tuy nhiên, đáp số khác nhau như thế nào khi được hỏi liệu thuật toán tương ứng có tồn tại hay không. Khái niệm này thật tuyệt vời!

12

Chuyển đổi từ

Trong toán học, từ là bất kỳ chuỗi ký hiệu hữu hạn nào. Ví dụ: 1985 là một từ có độ dài 4. Các từ không những không cần phải có nghĩa mà thậm chí còn có thể phát âm được. Vì vậy, BRDROBSH là một từ được tạo thành từ các chữ cái tiếng Nga (và hơn nữa, có độ dài 8), mặc dù không phải là một từ trong tiếng Nga. Thông thường, dữ liệu đầu vào cho thuật toán là từ. Khi một thuật toán được xác định, một tập hợp các chữ cái cũng được xác định, tức là các ký hiệu tạo nên các từ được cung cấp cho nó làm đầu vào. Một bộ như vậy được gọi là bảng chữ cái. Các bảng chữ cái trong đó văn bản được viết bằng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ lập trình cũng như sách được in ra không quá vài trăm chữ cái. Số có nhiều chữ số trong thuật toán “trường học” là các từ trong bảng chữ cái mười chữ cái gồm các chữ cái 0, 1, 2, …, 9; những chữ cái này, như bạn biết, được gọi là số; và để viết phân số thập phân, ngoài mười chữ số này, người ta còn sử dụng một chữ cái khác - dấu phẩy.

Máy tính hiện đại hoạt động với các từ kép bao gồm các chữ cái 0 và 1. Để minh họa tính linh hoạt và khả năng của khái niệm “từ”, hãy lưu ý rằng một cặp từ có thể được mã hóa thành một từ, chẳng hạn bằng cách đặt giữa các thành viên của cặp một chữ cái không thuộc bảng chữ cái mà các thành viên này được viết. Như vậy, chỉ cần coi các từ là dữ liệu ban đầu cho thuật toán là đủ, nhưng không cần phải xem xét các cặp, bộ ba, v.v. của các từ trong khả năng này. Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng việc xem xét các từ có độ dài sàn thường rất thuận tiện; nó được gọi là từ trống vì nó không chứa chữ cái nào cả.

Nhiều bạn đã chơi trò chơi sau. Một nhiệm vụ được đưa ra, chẳng hạn như “chuyển sói sang dê”. Lời giải:

Một bước tu sửa là gì? - Thay thế bất kỳ chữ cái nào của một từ đã thu được bằng bất kỳ chữ cái nào khác trong bảng chữ cái tiếng Nga, và sao cho đối tượng thu được (một từ theo nghĩa toán học của từ đó) hóa ra là một từ có nghĩa của tiếng Nga.

Bây giờ, hãy đơn giản hóa trò chơi - hãy quên rằng trong số tất cả các chuỗi chữ cái, các từ trong tiếng Nga được đánh dấu. Chúng tôi sẽ coi tất cả các từ (theo nghĩa toán học, nghĩa là cả có ý nghĩa và vô nghĩa) trong bảng chữ cái tiếng Nga là như nhau. Vậy có thể biến sói thành dê được không? Chà, bây giờ thì khá dễ dàng:

SÓI→KOLK→DÊ→DÊ

Biết đâu bây giờ từ nào cũng có thể đổi thành từ nào? Tất nhiên là không - các từ phải có cùng độ dài. Nhưng điều kiện này là đủ!

Vấn đề. Cho: hai từ trong bảng chữ cái tiếng Nga. Bạn cần tìm hiểu xem một trong những cái còn lại có phải là một chuỗi thay thế từng chữ cái hay không.

Thuật toán bắt buộc: so sánh độ dài của các từ, nếu chúng khớp nhau thì đáp số CÓ, nếu chúng không khớp thì đáp số KHÔNG.

Lưu ý rằng vấn đề ban đầu là làm lại một từ nhất định trong tiếng Nga; Cũng rất hiếm khi chỉ có một cuốn từ điển (hữu hạn!) gồm tất cả các từ trong tiếng Nga có thể sử dụng trong trò chơi và có đủ thời gian và giấy tờ. Một phép tính đơn giản cho thấy rằng bài toán này có thể áp dụng thực tế lời giải trên các máy tính ngày nay.

Bây giờ, tôi lại quên mất tiếng Nga (nhưng không quên bảng chữ cái tiếng Nga) và theo các từ của khái niệm dãy hữu hạn tùy ý các chữ cái tiếng Nga, các điều kiện bài toán giới tính; nó được gọi là từ trống vì nó không chứa chữ cái nào cả.

Việc chuyển đổi một từ trong một bước, như trước đây, sẽ bao gồm thực tế là ở bất kỳ đâu trong từ, chúng ta thay thế phần được phép thay thế bằng phần được phép thay thế. Trong trường hợp này, tất cả các thay thế được phép đều có tính chất hai mặt: nếu phần X được phép thay thế bằng phần Y thì phần Y cũng được phép thay thế bằng phần X. Ví dụ: nếu

13

Vì các phép thay thế được phép giống như chúng ta vừa chọn nên phép biến đổi trong một bước có thể như sau: BAAB - BBBBB, hoặc như thế này: BAB - ABAB, hoặc như thế này: BABA - BAAAA.

Vấn đề. Cho: hai từ trong bảng chữ cái tiếng Nga. Yêu cầu: tìm hiểu xem cái này có thể được chuyển sang cái khác hay không, sử dụng hệ thống thay thế được phép sau đây:

AB BB AY BỞI DBA DYB BBA
BA BB YA YB BD YD BBA

Thuật toán tìm kiếm: không tồn tại. Điều này đã được chứng minh bởi nhà toán học Liên Xô G.S. Tseytin, người đã đưa ra hệ thống thay thế được chỉ định.

Một bài toán tương tự ở dạng tổng quát (tức là bất kỳ hệ thay thế nào được phép) lần đầu tiên được đặt ra bởi nhà toán học nổi tiếng người Na Uy Axel Thueve vào năm 1914. Chính ông đã chứng minh sự tồn tại của thuật toán trong một số trường hợp đặc biệt.

Thue đặc biệt nhấn mạnh trường hợp khi trong mỗi sự thay thế được phép, một trong các thuật ngữ là một từ trống và do đó, mọi sự thay thế được phép bao gồm thực tế là bạn có thể chèn từ được chỉ định trong từ thay thế vào bất kỳ vị trí nào trong một từ hiện có hoặc gạch bỏ nó. Ví dụ: bằng cách chèn và gạch bỏ các từ AB và BA, bạn có thể nhận được BABAB từ từ ABBBA. Đang cố gắng xây dựng thuật toán cần thiết để chèn và xóa AB và BA, nghĩa là đối với danh sách các thay thế được phép như vậy:

AB
từ trống
VA
từ trống

(Ngay cả ví dụ đơn giản nhất này cũng quan trọng đối với nhánh đại số được gọi là “lý thuyết nhóm”.)

Đối với bất kỳ tập hợp chèn và xóa được phép nào, tồn tại một thuật toán xác định xem một từ có thể được chuyển sang từ khác hay không. Điều này đã được nhà toán học Liên Xô S.I. Adyan chứng minh vào năm 1966.

Hình học cơ bản

Ở đây chúng ta không có cơ hội đưa ra một định nghĩa chi tiết về hình học cơ bản theo nghĩa chặt chẽ, được làm rõ với sự trợ giúp của logic toán học. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ cố gắng đưa ra một mô tả gần đúng. Các khái niệm ban đầu của hình học cơ bản là điểm, đường thẳng, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường tròn, hình cầu, các quan hệ “nằm trên”, “nằm giữa”, “bị tắc nghẽn”, v.v. Cho phép hình thành các khái niệm mới - nhưng không sử dụng hình elip và cụm từ “v.v.” (tại thời điểm này, ý tưởng logic toán học chặt chẽ của hình học cơ bản khác với hình học truyền thống mờ). Ví dụ, khái niệm hình tam giác thuộc về hình học cơ bản: suy cho cùng, một hình tam giác có thể được định nghĩa là ba đoạn $A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$, chẳng hạn như $A_2=A_3$, $A_4=A_5$, $A_6=A_1$. Nhưng khái niệm chung về đường đứt nét không thuộc về hình học cơ bản, bởi vì định nghĩa của nó liên quan đến dấu chấm lửng và các từ “v.v.”: đường đứt nét là một tập hợp các đoạn trong $A_1A_2$, $A_3A_4$,… (dấu chấm lửng ở đây!), $A_{n-1}$, $A_n$, sao cho $A_2=A_3$, $A_4=A_5$, v.v.

Vấn đề. Cho: một phát biểu về hình học cơ bản. Yêu cầu: kiểm tra xem nó có đúng không.

Thuật toán bắt buộc: tồn tại.

Sự tồn tại của thuật toán về cơ bản đã được Tarski thiết lập vào những năm 40 của thế kỷ chúng ta. Nó suy ra khá đơn giản từ sự tồn tại của thuật toán Tarski đã đề cập trước đó. Mối liên hệ giữa các bài toán đại số và hình học đã được phát hiện từ lâu (hình học giải tích) và đương nhiên nó mở rộng sang các bài toán thuật toán.

Kết quả của Tarski thực sự có vẻ cực kỳ mạnh mẽ và thậm chí nghịch lý. Hóa ra có một lĩnh vực rộng lớn của toán học cổ điển (cụ thể là hình học cơ bản), theo truyền thống được cho là đòi hỏi trí thông minh tinh tế và chắc chắn không tương ứng với loại phép tính, đồng thời có một thuật toán có thể kiểm tra tính đúng đắn của các định lý trong lĩnh vực này (và nếu cần, hãy tìm kiếm bằng chứng của chúng). Điều an ủi duy nhất là thuật toán của Tarski không có thật: nó đòi hỏi một thời gian cực kỳ dài để thực hiện.

Thật hữu ích khi tưởng tượng xem những câu lệnh hình học đó bắt đầu “gần gũi” như thế nào, mặc dù có sự tồn tại của một thuật toán chung,

14

nhịp điệu, sự thật hay giả của họ bây giờ vẫn chưa được biết.

Đây là một ví dụ rõ ràng. Hãy lấy một động cơ gồm các hộp tròn có cùng đường kính (bằng 10 cm). Chúng tôi muốn đóng gói chúng, dựng đứng chúng trong một chiếc hộp tròn. Điều này có thể được thực hiện, ví dụ như được hiển thị trong hình 1). Tuy nhiên, bạn có thể sắp xếp các lọ chặt chẽ hơn - để có được một chiếc hộp nhỏ hơn kích thước của nó. Ví dụ: như được hiển thị trong hình 2. Cuối cùng, bao bì được hiển thị trong hình 3 cho phép bạn sử dụng hộp thậm chí còn nhỏ hơn. Câu hỏi đặt ra là liệu có thể tìm được một chiếc hộp tròn có đường kính nhỏ hơn nữa để vừa với tất cả các chiếc lọ của chúng ta không? Đáp số không biết về câu hỏi này, mặc dù đáp số này có thể đạt được bằng thuật toán Tarski: chúng ta cần áp dụng thuật toán này cho tuyên bố rằng gói thứ ba là tốt nhất và xem kết quả sẽ xảy ra như thế nào. CÓ hoặc KHÔNG. Tuy nhiên, phương pháp này không được triển khai vì phải mất nhiều thời gian hơn về mặt thiên văn để thu được kết quả của thuật toán.

Một ví dụ về bằng chứng của sự thiếu quyết đoán

Giả sử rằng chúng ta đang làm việc trong Trung tâm Máy tính. Trung tâm này có một Máy tính tuyệt vời. Nó có thể thực hiện các phép tính trên bất kỳ chương trình $p$ nào được viết bằng một số Ngôn ngữ lập trình, nghĩa là sử dụng dữ liệu đầu vào $m$, nó sẽ tìm thấy kết quả $p(m)$ của chương trình $p$ (tất nhiên là nếu nó được xác định).

Các chương trình có thể được sắp xếp lại (ví dụ: theo thứ tự bảng chữ cái, vì mỗi chương trình có thể được coi là một từ trong ký hiệu của Ngôn ngữ lập trình), tạo Thư viện trong tất cả các chương trình:

$$p_1, p_2, p_3, \dots, p_n, \dots$$

Tốt nhất là xử lý các chương trình $p$ mà với bất kỳ đầu vào nào được cung cấp $m$, sẽ tạo ra kết quả $p(m)$. Ví dụ: đây là chương trình tiêu chuẩn để tính hàm $y=m^2+5m-6$. Thật không may, cũng có những chương trình, đối với một số giá trị nhất định của dữ liệu đầu vào, không hoàn thành công việc của chúng; chúng “đi theo chu kỳ,” như chương trình nói. Do đó, chương trình tính ký hiệu thập phân của hàm $y=m/3$ không tạo ra kết quả cho $m=10$.

Đây là một tình huống rất khó chịu. Suy cho cùng, nếu chúng ta nhập một chương trình như vậy vào Máy tính cùng với dữ liệu ban đầu “xấu” như vậy thì công việc của Máy tính sẽ không kết thúc chút nào và chúng ta sẽ chỉ lãng phí Thời gian Máy đắt tiền.

Để tránh điều này, tốt nhất nên có một số quy trình (thuật toán!), dựa trên số chương trình, sẽ chuẩn bị trước xem chương trình có số này có cho kết quả hay không với dữ liệu đầu vào đã chọn.

Vấn đề. Cho: một cặp số tự nhiên tùy ý $(n, m)$. Yêu cầu: xây dựng một thuật toán để tìm hiểu xem chương trình thứ $n$ $p_n$ có ​​kết thúc với dữ liệu đầu vào $m$ hay không.

Thuật toán chúng tôi đang tìm kiếm: không tồn tại và bây giờ chúng tôi sẽ chứng minh điều đó.

Bằng chứng. (Diazonal Cantopa). Giả sử rằng thuật toán yêu cầu A tồn tại. Hãy tạo một bảng gồm tất cả các chương trình và dữ liệu nguồn:

15

Hãy xem xét chương trình $\bar{p}$, kết quả của nó là “không giống như trên đường chéo”, nghĩa là chúng ta được xác định bằng cách sửa

$$\bar{p}(m) = \begin{cases} p_m(m) + 1, & \text{ если } p_m(m) \text{ определено, } 0 \\ 0, & \text{ если } p_m(m) \text{ не определено.} \end{cases}$$

Đây là một chương trình thực, nghĩa là $p$ được tính toán bằng thuật toán. (Cụ thể là thế này: chúng ta kiểm tra điều kiện $p_m(m)$ được xác định bằng thuật toán $A$, nếu thỏa mãn thì chúng ta tính $p_m(m)$ và thêm một, nếu không, chúng ta giả sử $\bar{p}(m) = 0$). Nhưng sau đó $\bar{p}$ được đưa vào danh sách tất cả các chương trình Viblotekka, dưới một số con số. Hãy biểu thị số này bằng $k$ và xem xét $p_k(k)$ (phần tử đường chéo!).

Nếu $p_k(k)$ không được xác định thì $\bar{p}(k) = 0$ và do đó $\bar{p}(k) \neq p_k(k)$.

Nếu $p_k(k)$ được xác định thì $\bar{p}(k) = p_k(k) + 1 \neq p_k(k)$.

Trong cả hai trường hợp, $\bar{p}(k) \neq p_k(k)$ là không thể, hoặc $\bar{p}$ và $p_k$ là cùng một chương trình. Mâu thuẫn này hoàn thành chứng minh.

Người đọc có thể muốn biết tại sao chứng minh trên được gọi là “đường chéo” của Cantor. Thực tế là phương pháp chứng minh tao nhã được sử dụng ở đây được phát minh bởi nhà toán học người Đức Georg Cantor (1845-1918), người sáng lập lý thuyết tập hợp. Đúng, Cantor đã đưa ra một tuyên bố hoàn toàn khác. Cụ thể là tập hợp số thực không thể bị nhầm lẫn với số tự nhiên, tức là lập danh sách tất cả các số thực: $a_1, a_2, a_3, \dots$ (Người đọc đã thấy kết quả này từ lâu - “xét cho cùng, có nhiều số thực hơn số tự nhiên”, chúng tôi khuyên bạn nên chứng minh rằng tất cả các số hữu tỷ đều có thể bị nhầm lẫn - mặc dù chúng cũng “lớn hơn số tự nhiên một cách đáng tự hào”).

Theo Cantor, chúng ta sẽ chứng minh (bằng phản chứng) rằng ngay cả tập số thực trên khoảng [0,1] cũng không thể bị nhầm lẫn. Giả sử rằng chúng ta đã làm được điều này. Hãy sắp xếp các số của chúng ta, giả sử số đó là 0,abc trong đó $a$ là bất kỳ chữ số nào khác ngoài $a_1$; $b$ — bất kỳ số nào khác ngoài $b_2$; $c$ là bất kỳ số nào khác ngoài $c_3$, v.v. Mâu thuẫn!

Hãy lấy một ít cổ phiếu. Chúng ta đã làm quen với khái niệm thuật toán - khái niệm quan trọng nhất của toán học và khoa học máy tính hiện đại. Tất nhiên, nhiều thuật toán cụ thể (ví dụ: thuật toán cộng cột hoặc thuật toán Euclid để tìm số đo tổng quát) đã được biết đến từ rất lâu, nhưng ý tưởng chung về thuật toán chỉ được hình thành trong nửa đầu thế kỷ 20. Mọi nỗ lực sử dụng máy tính cho lời giải bất kỳ bài toán nào đều bắt đầu bằng việc xây dựng thuật toán giải các bài toán này. Chừng nào không có thuật toán như vậy thì không thể soạn chương trình cho máy tính. Và nếu hóa ra một thuật toán là cần thiết và không thể tồn tại, thì việc cố gắng soạn thảo một chương trình là vô nghĩa. Vì vậy, kết quả về tính bất khả thi của một số thuật toán nhất định có ý nghĩa rất thực tế. Ngoài ra, lý do dẫn đến việc xác lập điều không thể xảy ra như vậy cho phép chúng ta đi sâu hơn vào bản chất của chính khái niệm “thuật toán”.

Người đọc có thể đặt câu hỏi: có thể chạy bất kỳ thuật toán nào trong một chương trình máy tính không? Đáp số: về mặt lý thuyết - đúng vậy. Từ “về mặt lý thuyết” ở đây có nghĩa là đáp số là khẳng định, nếu chúng ta cho phép các chương trình có độ dài phù hợp bất kỳ (để viết mà không có đủ giấy, mực và bút chì trên toàn bộ Trái đất) và trong bất kỳ khoảng thời gian nào (nghìn tỷ năm). Lưu ý rằng những giả định kiểu này có nguồn gốc sâu xa từ toán học. (Chúng tôi cho phép đa giác có số cạnh bất kỳ. Chúng tôi tin rằng thuật toán cộng cột cho phép các số có kích thước bất kỳ, mặc dù chúng tôi biết rằng nếu những đa giác bị suy yếu có dấu lớn hơn các Nguyên tử trên Trái đất, thì không hoàn toàn rõ ràng cách viết các thuật ngữ như vậy và số lượng quả bóng khi thêm chúng sẽ trở nên lớn về mặt thiên văn…) Ngoài ra, khả năng của công nghệ máy tính không ngừng phát triển. Nếu những chiếc máy tính đầu tiên thực hiện hàng trăm thao tác mỗi giây và được điều khiển bởi các chương trình gồm hàng chục lệnh, thì những chiếc máy hiện đại nhanh chóng đạt tới hàng trăm triệu thao tác mỗi giây và kích thước chương trình của chúng lên tới hàng trăm nghìn lệnh. Thật vui khi nghĩ rằng khả năng của máy sẽ tăng gấp 10 lần sau mỗi 5 năm. Tuy nhiên, tất nhiên, các ước tính và kích thước của thuật toán cũng như số lượng quả bóng mà nó vận hành là hết sức quan trọng. Nhưng đây là chủ đề dành cho các cuộc thảo luận riêng về máy chủ.

16

Robert Hooke
(nhân kỷ niệm 350 năm ngày sinh của ông)

Ứng viên
khoa học vật lý và toán học
S. R. FILONOVICH

Tòa nhà trường Cao đẳng Gresham.
Hooke đã sống và làm việc tại ngôi nhà này gần năm mươi năm.

Có những giai đoạn trong lịch sử khoa học xảy ra sự sụp đổ hoàn toàn về ý tưởng về bản chất và phương pháp nghiên cứu của nó. Những thời kỳ như vậy thường được gọi là các cuộc cách mạng khoa học. Một trong số đó có niên đại từ thế kỷ 17, trong đó nền tảng của vật lý đa đặc tính đã được đặt ra. Bản chất của cuộc cách mạng vật lý thế kỷ 17 trước hết được xác định bởi việc các nhà khoa học thử nghiệm như một phương tiện để tìm hiểu các quy luật tự nhiên. Một trong những nhà thí nghiệm vĩ đại nhất của thời đại là Galileo. Những thí nghiệm đơn giản, thấm thía và rất thuyết phục của ông đã truyền cảm hứng cho nhiều nhà khoa học nghiên cứu và phát triển lĩnh vực vật lý. Thế kỷ 17 đã mở rộng đáng kể phạm vi của các định luật và hiện tượng vật lý được nghiên cứu. Đồng thời, chuyên môn hóa khoa học vào thời điểm đó vẫn chưa tiến xa và nhiều nhà khoa học xuất sắc đã làm việc thành công trong một số lĩnh vực vật lý cùng một lúc. Các nhà khoa học phổ quát như vậy bao gồm Galileo, Kepler, Huygens và Newoton. Danh sách này cần thêm tên của nhà khoa học tự nhiên xuất sắc người Anh Roberta Hooke, người, xét về bề rộng mối quan tâm khoa học và sự đa dạng của kết quả, chiếm một trong những vị trí nổi bật nhất trong thiên hà của các nhà khoa học thế kỷ 17.

Chúng ta sẽ thảo luận về cuộc đời của nhà khoa học này, các hoạt động khoa học và số phận các tác phẩm của ông trong bài viết này.

17

Robert Hooke sinh ngày 18 tháng 7 năm 1635 tại thị trấn Freshuter trên Đảo Wight của Anh trong một gia đình nhà thờ địa phương chân chính. Cha anh muốn Robert cũng trở thành linh mục, nhưng kế hoạch này phải bị hủy bỏ. Cậu bé có sức khỏe kém đến mức thậm chí không thể đến trường tiểu học cùng bạn bè. (Hooke đã bị ngược đãi trong suốt cuộc đời, và điều này ảnh hưởng đến tính cách của ông: những người đương thời thường ghi nhận tính khí nóng nảy, khắc nghiệt và cáu kỉnh của ông.)

Có khả năng tiếp cận tuyệt vời, chàng trai trẻ Hooke đã dành rất nhiều thời gian để thiết kế và tạo mô hình cho các thiết bị và cơ chế khác nhau. Có thể nói, niềm đam mê phát minh của ông đã xuất hiện từ khi còn nhỏ. Tuy nhiên, cuộc sống êm đềm của gia đình đã sớm bị biến đổi bởi một biến cố bi thảm. Khi Roberty 13 tuổi, cha anh qua đời và Hooke phải suy nghĩ về tương lai của mình. Để theo đuổi quyền thừa kế 100 feet bảng Anh, Hooke trở thành người học việc của một họa sĩ ở London. Tuy nhiên, anh sớm bị thuyết phục rằng mình có thể vẽ khá tốt ngay cả khi không được đào tạo đặc biệt, và mùi sơn dầu khiến anh đau đầu. Do đó, lời giải rời họa sĩ và vào trường của người thầy uyên bác R. Bashby. Ở trường, Robert học tiếng Latinh và tiếng Hy Lạp, làm quen với hình học Euclid, nói một cách dễ hiểu, được đào tạo đủ để vào đại học.

Năm 1653, Hooke trở thành sinh viên của Đại học Oxford nổi tiếng. Khi đó, số tiền cha để lại cho anh đã cạn kiệt, chàng trai trẻ phải đi tìm vốn để tiếp tục việc học. Robert được bổ nhiệm làm cậu bé hợp xướng trong nhà thờ. Tuy nhiên, anh không phải hát lâu vì rất nhanh sau đó anh đã tìm được một nơi phù hợp hơn với sở thích của mình: chàng trai trẻ được nhà hóa học T. Willis nhận làm trợ lý. Rõ ràng, Hooke đã làm việc tận tâm, và Willis đã giới thiệu anh ta với khả năng tương tự cho một quý tộc trẻ, đam mê khoa học, người có tên trong tất cả các sách giáo khoa vật lý - Roberty Boyle.

Boyle, một người nổi tiếng nhưng giàu có, không muốn tham gia vào cuộc đấu tranh chính trị phức tạp đang chia cắt nước Anh vào giữa thế kỷ 17, đã lui về Oxford, nơi ông tổ chức một phòng thí nghiệm hóa học bằng chi phí của mình. Trước đây, anh đã nhận được một nền giáo dục xuất sắc ở Pháp, Ý và Thụy Sĩ và tham gia nghiên cứu khoa học không phải với tư cách nghiệp dư mà hoàn toàn chuyên nghiệp. Vào thời điểm Hooke trở thành trợ lý của ông, Boyle quan tâm đến việc phát minh ra máy bơm không khí của O. Guerricke và các thí nghiệm do nhà khoa học tự nhiên người Đức thực hiện sử dụng thiết bị này. Nhận thấy rằng thiết kế máy bơm Guerricke còn lâu mới hoàn hảo và các thí nghiệm định lượng

18

Trích từ bài viết của Hooke

Nếu không tham khảo các nguồn ban đầu, sẽ không thể có được ý tưởng chính xác về cách các nhà khoa học trước đây bày tỏ quan điểm của họ. Đôi khi cách xây dựng luật hiện đại, tôi nghĩ tên của nhà khoa học này hay nhà khoa học kia, trên thực tế rất khác với tên mà tác giả đặt ra. Nhưng thường xuyên hơn, việc làm quen với các tác phẩm kinh điển của khoa học tự nhiên gợi lên sự ngưỡng mộ chính xác về cách các nhà khoa học trong quá khứ có thể trình bày ý tưởng của họ một cách chính xác như thế nào: những thu hẹp được thể hiện cách đây vài thế kỷ nghe có vẻ hiện đại. Điều sau áp dụng cho nhiều tác phẩm của P. Hooke. Chúng tôi cung cấp cho người đọc một số đoạn trích từ các tác phẩm của nhà khoa học liên quan đến bản chất của ánh sáng và quy luật điều khiển.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi S.R. Filonovich.

Về ánh sáng

“Ánh sáng là một chuyển động dao động hoặc sinh ra trong một môi trường…, phát sinh từ một chuyển động tương tự trong một vật thể phát sáng, giống như âm thanh, thường được giải thích bởi sự chuyển động liên tục của môi trường dẫn nó, sự gia tăng chuyển động liên tục của vật thể phát ra âm thanh. Và cũng giống như trong các rung động tỷ lệ âm thanh tạo ra nhiều sóng hài khác nhau, do đó, trong ánh sáng, các quốc gia khác nhau và màu sắc dễ chịu được tạo ra bằng cách trộn lẫn các chuyển động tỷ lệ và hài hòa. Nhận thức đầu tiên là ở tai và nhận thức thứ hai là ở mắt.”

Đoạn văn sau đây nói về sự tạo ra sóng ánh sáng và về cơ bản là tác động của mặt sóng của người nông dân.

“…ánh sáng truyền đi với cùng một tốc độ, do đó mọi xung lực hoặc rung động của một vật thể phát sáng cần thiết phải kích thích một quả cầu, quả cầu này sẽ liên tục phát triển theo cùng một cách, mặc dù nhanh hơn nhiều, khi các sóng hoặc vòng tròn trên mặt nước phân kỳ xung quanh một điểm,

(Tiếp theo trang 20)

Cần phải cải tiến máy chủ, Boyle đã hướng dẫn Hooke giải quyết vấn đề này. Người trợ lý mới đã hoàn thành nhiệm vụ một cách xuất sắc.

hình 1 cho thấy sự xuất hiện của một thiết bị đã đi vào lịch sử vật lý với cái tên “Bơm Boyle-Hooke”. Sử dụng máy bơm này, Boyle đã thực hiện một loạt thí nghiệm dẫn đến việc thiết lập một trong những định luật khí cơ bản, sau này được gọi là “định luật Boyle-Mariotte” *).

Vì vậy, khi còn học đại học, Hooke đã tham gia nghiên cứu khoa học. Sự hợp tác với Willis và Boyle có tầm quan trọng đặc biệt đối với nhà khoa học đầy tham vọng vì họ đã đưa Hooke vào vòng tròn của những người yêu thích chất tự nhiên, thường xuyên có mặt ở Oxford, nhiều thành viên của họ vài năm sau (năm 1660) đã trở thành người sáng lập Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn (Viện Hàn lâm Khoa học Anh). Các thành viên trong nhóm đều nhận thức rõ về tài năng của Hooke, và khi câu hỏi ứng cử vào vị trí người biểu tình của Hiệp hội Hoàng gia nảy sinh vào năm 1662, họ đã không ngần ngại quay sang Hooke. Hooke đã chấp nhận lời đề nghị này. Trách nhiệm của ông bao gồm việc chuẩn bị ba hoặc bốn thí nghiệm, được trình diễn tại các cuộc họp hàng tuần của Hiệp hội Hoàng gia.

Giữa thế kỷ 17 là thời điểm nghiên cứu thực nghiệm mới bước vào thực tiễn của các nhà khoa học. Vì vậy, Hooke đến làm việc vào mùa thu để đáp ứng nhu cầu của con người, bởi vì anh ta không chỉ phải thực hiện các thí nghiệm do chính mình phát minh ra mà còn phải lặp lại các thí nghiệm đã được báo cáo trước nước Anh, thực hiện các quan sát thiên văn, v.v. Và Hooke, với mục tiêu này, đã đương đầu với những trách nhiệm này trong vài thập kỷ.

Từ năm 1665, Hooke trở thành giáo sư hình học tại trường Cao đẳng Gresham và đọc các bài giảng ở đó. Năm 1666, nhà từ thiện Kutler đề nghị Hooke, với một phần thưởng khá lớn, bắt đầu đọc các bài giảng cho các thành viên của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn về nhiều vấn đề khoa học khác nhau. Hooke, đang cần một phương tiện, đã chấp nhận lời đề nghị này và trong nhiều năm, ông thường xuyên giảng bài về nhiều chủ đề khác nhau.

Có vẻ như những việc Guk đang làm sẽ có giá trị trong vài giờ. Nhưng anh ấy không ngừng tìm ra những công dụng mới cho tài năng của mình. Năm 1666, một sự kiện bi thảm đã xảy ra: do một trận hỏa hoạn khủng khiếp, một phần đáng kể thủ đô nước Anh đã bị phá hủy (nó đã đi vào lịch sử với tên gọi Trận đại hỏa hoạn ở Luân Đôn - với chữ F viết hoa). Ngay sau thảm kịch, những người cha của thành phố đã đến gặp Hiệp hội Hoàng gia với yêu cầu được đại diện.

*) Kết quả nghiên cứu độc lập của nhà vật lý người Pháp E. Mariotte được công bố 14 năm sau khi công trình chính của P. Boyle được xuất bản.

19

phát triển các dự án tái phát triển London. Hooke đã chuẩn bị một dự án ban đầu trong vài tuần. Theo kế hoạch của ông, các đường phố ở London phải giao nhau theo các góc vuông. Mặc dù kế hoạch này không được chấp nhận (ý tưởng của nhà khoa học chỉ được thực hiện muộn hơn rất nhiều, trong quá trình phát triển New York), nhưng dự án của Hooke vẫn được đánh giá cao và ông đã tham gia vào công việc xây dựng lại London với tư cách là người trông coi. Vào cuối những năm 60 - đầu những năm 80, dưới sự lãnh đạo của Hooke, nhiều tòa nhà đã được xây dựng trong thành phố. Công việc kiến ​​trúc sư của Hooke cũng nổi tiếng. Đặc biệt, theo thiết kế của ông, tòa nhà của Bệnh viện Mary of Bethlehem khét tiếng đã được dựng lên, sau đó được biến thành nhà dành cho những người mất trí. Tên thứ hai của nó - “Bedlam” - đã trở nên rối loạn và có nghĩa là hỗn loạn và bối rối. Thật không may, không có tòa nhà nào được xây dựng theo thiết kế của Hooke được bảo tồn cho đến ngày nay.

Đây là cách mà những ngày của Roberta Hooke được thể hiện trong hoạt động liên tục, không mệt mỏi. Tuy nhiên, vị trí trung bình chiếm vị trí chính của nó tất nhiên thuộc về nghiên cứu khoa học. Hooke đã làm phong phú thêm những khám phá và hình ảnh nào cho việc giảng dạy của mình?

Như đã đề cập, Hooke bắt đầu công việc khoa học của mình bằng việc tham gia vào các thí nghiệm của Boyle. Tuy nhiên, những khám phá của Boyle lại là chủ đề cho nghiên cứu độc lập đầu tiên của Hooke. Boyle sau đó phát biểu rằng chất lỏng trong các ống mỏng (mao mạch) không tuân theo định luật truyền chất lỏng: nước trong mao quản thủy tinh dâng cao hơn mực nước trong một bình rộng. Huctls đã nghiên cứu kỹ lưỡng các hiện tượng thuộc loại này, được gọi là mao dẫn. Ông không thể tìm ra nguyên nhân của chúng, nhưng ông đã đưa ra một số quan sát và khái quát quan trọng. Đặc biệt, ông đã thiết lập được mối liên hệ giữa tính mao dẫn và sự chuyển động của nhựa trong thân cây.

Một đặc điểm quan trọng trong công việc của Hooke là mối liên hệ sâu sắc giữa các vấn đề mà ông biết. Cần phải đặc biệt chú ý đến hoàn cảnh này, vì bề rộng lợi ích của Hooke là không thể so sánh được. Một ví dụ nổi bật về sự đa dạng của các vấn đề khiến ông quan tâm là Microphragfics, tác phẩm nổi tiếng nhất của Hooke, xuất bản năm 1665.

Trong cuốn sách tương đối nhỏ này, Hooke mô tả nhiều quan sát được thực hiện bằng kính hiển vi mà ông đã cải tiến. hình 2 hiển thị hình dáng bên ngoài của microsop này và hình 3 hiển thị hình ảnh của các vật thể microsop được Hooke nghiên cứu. (Những điều này và những hình khác cho cuốn sách “Microfragfika” đã được chính Hooke hoàn thành.)

Sự cải tiến của kính hiển vi cho phép Hooke kiểm tra tính đa dạng và có tính hệ thống của các quan sát. Nghiên cứu về mắt của người đàn ông là một khám phá khoa học thực sự - Hooke đã có thể giải thích tại sao lợi ích về thị giác của loài côn trùng này lại rất lớn. “… hàng mắt nằm

Hình 2. Microsopon của Hooke.
Hình 3. Hình ảnh các vật thể cực nhỏ được Hooke nghiên cứu: sợi nấm mốc; mắt “khảm” của ruồi; các loại bông tuyết khác nhau.

20

nơi chuyển động bắt đầu từ một hòn đá rơi xuống. Từ đó suy ra rằng tất cả các phần của những quả cầu này truyền theo sóng qua một môi trường đồng nhất, giao nhau với các tia theo góc vuông.”

Hooke là một trong những người đầu tiên nghiên cứu màu sắc của màng mỏng. Ông cố gắng giải thích khả năng thêm vào các “xung” - sóng, phản xạ từ các bề mặt màng khác nhau. Về lời giải thích này, T. Junz, người đầu tiên xây dựng định luật giao thoa, đã viết rằng trong số các nhà khoa học liên quan đến quang học, chỉ có Hooke là có chút gợi ý về nguyên lý giao thoa.

“Sau hai câu và một phản xạ, một loại tia bị suy yếu lan ra, bị suy yếu không chỉ do hai câu mà còn do mất thời gian cần thiết để tia truyền qua lại giữa hai bề mặt… Xung yếu tiếp cận xung phản xạ đầu tiên theo cách xung hỗn hợp hoặc xung kép, phần trước mạnh hơn…, gây ra vết lõm màu vàng trên võng mạc. Nếu các bề mặt hơi rời xa nhau thì xung yếu sẽ trùng với xung thứ hai hoặc xung tiếp theo phản xạ từ bề mặt thứ nhất, bị trễ. đằng sau nó, rồi đến thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy hoặc thứ tám… Do đó, nếu có một sản phẩm mỏng của cơ thể, độ dày của nó tăng lên…, thì màu sắc sẽ lặp lại thường xuyên theo số bước mà xung yếu đi sau xung ban đầu đầu tiên hoặc xung đầu tiên trùng với các xung tiếp theo.

(Cuối cùng xem trang 22)

vợ theo cách mà không có một hướng nào có thể nhìn thấy từ đầu mà một số bán cầu này không hướng tới, do đó người ta nói đúng rằng muxa có mắt ở mọi hướng và cô ấy thực sự quan sát mọi thứ xung quanh mình. Người ta cũng nhận thấy rằng khi con ruồi di chuyển cơ thể về phía sau, những bề mặt này nhô lên trên bề mặt vai và lưng của nó, để nó có thể nhìn phía trên lưng”, đó là cách Hooke mô tả về mắt của con ruồi.

Trong số các quan sát sinh học khác, điều đầu tiên cần lưu ý là mô tả cấu trúc tế bào của thực vật. Bản thân thuật ngữ “tế bào”, được xác lập vững chắc trong ngôn ngữ khoa học, đã được Hooke đưa ra.

Mặc dù “Mikrofragiya” chủ yếu dành cho việc mô tả các quan sát vi mô, nhưng nó cũng có khá nhiều trang thảo luận về các vấn đề từ các lĩnh vực khác nhau của lịch sử tự nhiên. Do đó, Hooke giải quyết các vấn đề liên quan đến thí nghiệm tiền khí quyển và khí áp kế; thảo luận về hiện tượng mao dẫn; đặt ra lý thuyết ban đầu về vật thể và sự đốt cháy; mô tả những quan sát thiên văn của ông. Trong số các vấn đề thiên văn ảnh hưởng đến miệng núi lửa mặt trăng. Đối với đáp số thí nghiệm mô hình bắt đầu nghiên cứu nó; nó được quan sát thấy dưới dạng các thành tạo giống như miệng núi lửa trên bề mặt nhựa albestra sôi và trên bề mặt đất sét mềm trong đó các nucleoli nhỏ rơi xuống. Những thí nghiệm mô hình này có thể coi là sự chứng minh gián tiếp cho hai giả thuyết chính hiện đại về nguồn gốc của các miệng hố trên Mặt Trăng: núi lửa và thiên thạch.

Trong số những quan sát và giả thuyết liên quan đến nhiều vấn đề khác nhau, phần trong cuốn sách mà Hooke thảo luận về câu hỏi về bản chất của ánh sáng có tầm quan trọng đặc biệt đối với sự phát triển của vật lý học. Bắt đầu quan tâm đến hiện tượng màu sắc trong màng mỏng và hoàn thành một loạt quan sát ban đầu, ông đã đưa ra một giả thuyết về bản chất của ánh sáng, được coi là nguồn gốc của lý thuyết sóng của ánh sáng.*) Hooke có được uy tín lớn trong vấn đề này đến nỗi chính ông là người được lãnh đạo Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn ủy nhiệm vào năm 1672 để bày tỏ ý kiến ​​về công trình nghiên cứu về lý thuyết màu sắc do I. Newton trình bày trước Hiệp hội. Trong tác phẩm của Newton, một số thông điệp được đưa ra liên quan đến bản chất của ánh sáng nhưng Hooke không đồng ý. Là người quyết đoán, ông phê phán gay gắt quan điểm của Newton. Kể từ thời điểm này, trong nhiều năm, Hooke và Newton đã tranh cãi về các vấn đề quang học.

Trong lịch sử vật lý, tên của Hooke gắn liền chặt chẽ nhất với việc xây dựng định luật khẩn cấp, được học sinh trung học gọi là “định luật Hooke”. Nghiên cứu tính chất tiết niệu của chất Hooke

*) Đối với độc giả muốn biết cách Hooke hình thành các ý tưởng khoa học của mình, chúng tôi đưa ra câu trả lời từ các tác phẩm của Hooke về quang học (trang 18) và cơ học (trang 22).

21

bắt đầu quan tâm đến nó khi còn trẻ, khi ông tham gia vào các thí nghiệm của Boyle. Sau đó, anh gặp vấn đề với việc thiết kế đồng hồ bấm giờ có lò xo xoắn ốc. Đỉnh cao công việc của Hooke trong lĩnh vực này là bài giảng “Về người khôi phục khả năng hoặc về sự kiểm soát” được xuất bản dưới dạng một tập tài liệu riêng vào năm 1678, trong đó luật kiểm soát được xây dựng.

Trong bài giảng của mình, Hooke đã mô tả nhiều thí nghiệm với các vật thể được điều khiển, việc khái quát hóa các kết quả của nó đã trở thành luật ký hiệu. Ở hình 4, một mục từ tập tài liệu được chỉ định, hiển thị sơ đồ các thí nghiệm của Hooke về nghiên cứu các loại biến dạng khác nhau. Điều đặc biệt là Hooke đã tiếp cận những nghiên cứu này, một mặt, với tư cách là một nhà thực hành, nghiên cứu, ví dụ, sự biến dạng của lò xo đồng hồ hoặc sự uốn cong của dầm gỗ được sử dụng trong thực hành xây dựng, mặt khác, với tư cách là một nhà khoa học tự nhiên, tiến hành các thí nghiệm định lượng chính xác và đưa ra những khái quát rộng rãi. (Chúng tôi cũng lưu ý rằng định luật điều khiển là một trong số ít kết quả khoa học mà Hooke luôn ưu tiên.)

Cuối cùng, một vấn đề khác trong vật lý, trong đó có lời giải của Hooke rất có ý nghĩa, đó là lý thuyết về lực hấp dẫn. Giống như nhiều câu hỏi khác, Hooke bắt đầu quan tâm đến lực hấp dẫn khi bắt đầu sự nghiệp khoa học của mình. Trong những năm đầu của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn, ông đã tiến hành các thí nghiệm trong đó ông cố gắng tìm hiểu xem lực hấp dẫn tác dụng lên một vật thể từ Trái đất có thay đổi hay không khi khoảng cách từ tâm Trái đất thay đổi. Hooke không nhận được kết quả như mong đợi nhưng cũng không mất hứng thú với vấn đề này.

Các nghiên cứu về thiên văn học, đặc biệt là nỗ lực khám phá các ngôi sao không chuyển động song song - một hiện tượng chứng minh trực tiếp sự chuyển động của Trái đất quanh Mặt trời, đã thôi thúc Hooke phác thảo quan điểm của mình về chuyển động và tương tác của các vật thể. Năm 1674, ông xuất bản tác phẩm “Nỗ lực chứng minh chuyển động của Trái đất bằng các quan sát”, trong đó, đặc biệt, ông chỉ ra sự tồn tại của lực hấp dẫn phổ quát. Tuy nhiên, Hooke không thể tìm ra hàm số xác định sự phụ thuộc của lực này vào khoảng cách giữa các vật thể tương tác. Một thời gian sau, ông đến gặp Newton với câu hỏi về dạng khả dĩ của hàm số này, rồi đề xuất rằng lực hấp dẫn tuân theo định luật bình phương. Newton, trong cuốn sách mang tính bước ngoặt của mình “Các nguyên lý toán học của vật lý tự nhiên”, nơi ông trình bày các định luật cơ bản của động lực học, thậm chí còn không đề cập đến công lao của Hooke trong nghiên cứu về lực hấp dẫn, điều này khiến ông vô cùng xúc phạm. Giữa Hooke và Newton, cũng như trong trường hợp thảo luận về bản chất của ánh sáng và màu sắc, mối quan hệ ngày càng xấu đi. Nhà vật lý và sử học khoa học nổi tiếng của Liên Xô S.I. Vavilov đã viết trong tiểu sử khoa học về Newoton: “Newoton đã rất sai lầm:

23

Phương trình và nhóm hàm

Y. S. BRODSKY, A. K. SLIPENKO

Có thể bạn đã quen thuộc với các phương trình hàm, mặc dù bạn có thể không biết chúng được gọi như vậy. Do đó, chính các phương trình hàm $f(x)=f(-x), f(-x)=-f(x), f(x+a)=f(x)$ xác định các tính chất của hàm như tính chẵn, số lẻ và tính tuần hoàn.

Nói chung, phương trình hàm là một sự tương ứng nhất định mà từ đó bạn cần tìm một hàm chưa biết.

Ví dụ: $f(x+1)+f(x)=x,$
$2f(1-x)+1=xf(x),$
$xf(x)+f\left(\frac{4}{2-x}\right)=x$.

Các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu các phương trình hàm từ hơn hai trăm năm trước, khi bài toán cơ khí. O. Cauchy (1789-1857) đã có đóng góp to lớn cho việc nghiên cứu các phương trình như vậy. Trên các trang tạp chí của chúng tôi, chúng tôi đã xem xét phương trình hàm $f(x+y)=f(x)+f(y)$, mang tên anh ấy*). Trong bài này chúng ta sẽ xem xét một trong những phương pháp lời giải phương trình hàm số, sử dụng khái niệm quan trọng nhất của đại số hiện đại - khái niệm nhóm.

Thành phần của chức năng

Tất nhiên, bạn đã nhận thấy rằng số lượng các hàm cơ bản ban đầu được học trong một khóa học toán ở trường là tương đối ít. Ví dụ, chúng bao gồm các hàm tuyến tính, lũy thừa, hàm mũ và lượng giác. Các hàm khác có thể được lấy từ các hàm chính bằng cách sử dụng các phép tính và phép tính đại số.

Do đó, hàm $f(x)=\sin(2x+1)$ là sự kết hợp của hàm tuyến tính $g(x)=2x+1$ và hàm lượng giác $h(x)=\sin x$, tức là $f(x)=h(g(x))=(h\circ g)(x)$.

Hàm $f(x)=\lg \arcsin x$ có được là kết quả của sự kết hợp của các hàm $g(x)=\arcsin x$ và $h(x)=\lg x$. Lưu ý rằng miền định nghĩa thành phần $h\circ g$ bao gồm các giá trị $x$ của $D(g)$ mà $g(x)\in D(h)$. Trong ví dụ cuối cùng $D(g)=[-1; 1], D(h)=] 0; \infty$. [. Vì $\arcsin x>0$ ở mức $x\in] 0; 1]$, nên $D(f)=] 0; 1]$.

Nếu chúng ta lấy thành phần của các hàm tương tự này theo thứ tự ngược lại, tức là hàm $f(x)=\arcsin \lg x$, thì chúng ta nhận được $D(f)=\left[\frac{1}{10}; 10\right]$.

Thành phần của các hàm tuyến tính phân số $g(x)=\frac{-2x+1}{3x+2}$ và $h(x)=\frac{3x-2}{-x+4}$ là các hàm $f(x)=h(g(x))=$
$$\frac{3\cdot\frac{-2x+1}{3x+2}-2}{-\frac{2x+1}{3x+2}+4}=\frac{-12x-1}{14x+7}, x\neq-\frac{2}{3}.$$
Đây $D(f)=R\left\{-\frac{2}{3},-\frac{1}{2}\right\}$.

Thông thường $f\circ g\neq g\circ f$. Đồng thời đối với bất kỳ chức năng nào
$(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)$,

những gì không được biểu diễn đều bắt nguồn từ định nghĩa của thành phần.

Trận chiến

1. Tìm các thành phần $f_1\circ f_2$ và $f_2\circ f_1$ của các hàm sau:
   $f_1=\frac{x-2}{3x+4}, f_2=\frac{2x+3}{5x-1}$.

2. Tìm miền tổng hợp của $1-x^2$ và $\sqrt{x}$.

3. Hãy để $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$. Tìm $f\circ f\circ f\cdots f$.

Phương trình hàm

Hãy giải quyết vấn đề tiếp theo bài toán.
Bài toán 1. Tìm tất cả các chức năng $y=f(x)$ cũng vậy
$$2f(1-x)+1=xf(x).$$

24

Lời giải. Giả sử có hàm $f(x)$ thỏa mãn phương trình này. Thay thế $x$ bằng $1-x$, chúng ta nhận được

$$2f(x) + 1 = (1 - x)f(1 - x).$$

Từ (1) ta tìm được $f(1 - x) = \frac{1}{2}(xf(x) - 1)$.

Thay thế giá trị $f(1 - x)$ và phương trình (2), ta thu được

$$2f(x) + 1 = (1 - x) \cdot \frac{1}{2} \cdot (xf(x) - 1),$$

từ đâu $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - x + 4}$.

Bằng cách xác minh trực tiếp, chúng tôi tin rằng hàm kết quả thỏa mãn phương trình (1).

Trong phương trình đang xét, ký hiệu con của hàm chưa biết là hàm $f_1 = x$ và $f_2 = 1 - x$. Thay thế $x$ bằng $1 - x$ sẽ ánh xạ hàm $f_1$ và $f_2$ với nhau. Thay thế $x \rightarrow 1 - x$ sẽ mang lại một phương trình khác chứa $f(x)$ và $f(1 - x)$. Chúng tôi đã giảm Lời giải của phương trình hàm thành lời giải của một hệ gồm hai phương trình tuyến tính có hai ẩn số.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét bài toán phức tạp hơn.

Bài 2. Giải phương trình

$$xf(x) + 2f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) = 1.$$

Lời giải. Hãy thử hành động tương tự như trong trường hợp đầu tiên. Hãy thay thế $x \rightarrow \frac{x - 1}{x + 1}$. chúng tôi nhận được

$$\frac{x - 1}{x + 1}f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) + 2f\left(-\frac{1}{x}\right) = 1.$$

Cùng với các biểu thức $f(x)$ và $f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)$ giờ đây chúng ta có một “ẩn số” mới $-f\left(-\frac{1}{x}\right)$. Hãy thử áp dụng thêm một phép thay thế nữa cho (3): $x \rightarrow -\frac{1}{x}$. chúng tôi có

$$-\frac{1}{x}f\left(-\frac{1}{x}\right) + 2f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right) = 1.$$

Ngoài $f\left(-\frac{1}{x}\right)$, biểu thức “không xác định” $f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right)$ đã xuất hiện trong phương trình. Nào, chúng ta hãy thử thực hiện phép thay thế $x \rightarrow \frac{x + 1}{1 - x}$ thành (3). Và cuối cùng, chúng tôi xóa nó. chúng tôi nhận được

$$\frac{x + 1}{1 - x}f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right) + 2f(x) = 1,$$

trong đó chưa phát sinh ẩn số mới, một hệ gồm bốn phương trình tuyến tính (3) - (6) với bốn ẩn số $f(x)$, $f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)$, $f\left(-\frac{1}{x}\right)$ và $f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right)$ được xây dựng. Chúng tôi loại trừ tuần tự $f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)$, $f\left(-\frac{1}{x}\right)$, $f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right)$ và tìm $f(x) = \frac{4x^2 - x + 1}{5x(x - 1)}$ ($x \neq -1, x \neq 0, x \neq 1$).

Như với lời giải của phương trình (1), chúng tôi giả định rằng tồn tại hàm thỏa mãn (3). Kiểm tra cho thấy $f$ thỏa mãn phương trình (3).

Nhóm xuất hiện

Hãy thử tìm hiểu lý do tại sao chúng ta có thể giải được phương trình của đoạn trước.

Hãy xem xét một phương trình khác

$$f(x + 1) + f(x) = x.$$

Nó trông không “đáng sợ” hơn phương trình (3), nhưng mọi nỗ lực giải nó theo cách tương tự đều vô ích: khi thay thế $x \rightarrow x + 1$, “không xác định” $f(x + 2)$ xuất hiện, v.v. Dây chuyền không thể thay thế được: chúng ta sẽ không bao giờ có được một hệ thống tuyến tính.

Hãy nhớ lại rằng khi giải phương trình đầu tiên, chúng ta đã thực hiện phép thay thế $x \rightarrow 1 - x$. Đồng thời $1 - x \rightarrow x$. Nghĩa là, hai hàm $g_1(x) = x$ và $g_2(x) = 1 - x$ đối với thao tác kết hợp hoạt động như $g_1 \circ g_2 = g_2 \circ g_1 = g_2$, $g_2 \circ g_2 = g_1$, $g_1 \circ g_1 = g_1$.

Hãy xem xét bảng “nhân” (tại giao điểm của hàng được đánh số $i$ và cột được đánh số $j$ có $g_i \circ g_j$).

Mỗi hàng và cột của bảng này chứa cả $g_1$ và $g_2$.

Bây giờ hãy nói rằng chúng ta cần

25

giải phương trình

$$a(x)f(x) + b(x)f(1-x) = c(x),$$

(*)

trong đó $a, b, c$ là một số hàm. Rõ ràng là bằng cách thay thế $x \rightarrow 1-x$ chúng ta thu được phương trình

$$a(1-x)f(1-x) + b(1-x)f(x) = c(1-x),$$

(**)

cùng với phương trình (*) tạo thành một hệ tuyến tính gồm các hàm tương đối $f(x)$ và $f(1-x)$. Hơn nữa lời giải sẽ phát triển theo cách tương tự như với lời giải bài toán 1.

Trong ví dụ thứ hai, chúng tôi đã thay thế

$$x \rightarrow \frac{x-1}{x+1}, x \rightarrow -\frac{1}{x}, x \rightarrow \frac{x+1}{1-x},$$

nghĩa là, tên liên quan đến chức năng

$$g_1(x) = x, g_2(x) = \frac{x-1}{x+1},$$

$$g_3(x) = -\frac{1}{x}, g_4(x) = \frac{x+1}{1-x}.$$

Chúng ta hãy xem các hàm $g_1, g_2, g_3, g_4$ hoạt động như thế nào liên quan đến hoạt động tổng hợp. Soạn bảng 2 tương tự bảng 1 (giao nhau giữa hàng $i$ và cột $k$ ta viết $g_i \circ g_k$).

Bảng này đối xứng qua đường chéo của nó (điều này có nghĩa là $g_i \circ g_k = g_k \circ g_i$ với mọi $k$ và $i$). Hơn nữa, tất cả các hàm $g_i$ đều xuất hiện ở mọi hàng và mọi cột bằng nhau một lần, và cuối cùng rất dễ nhận thấy rằng $g_3 = g_2^2, g_4 = g_3^2, g_1 = g_2^4$. Đây $g_i^2 = g_2 \circ g_2 \circ \dots \circ g_2$.

Như vậy, hệ hàm $G = \{g_1, g_2, g_3, g_4\}$ có các tính chất sau: a) nó đóng dưới phép hợp; b) trong số các hàm này có một ánh xạ giống hệt nhau $g_1(x) = x$; c) mỗi hàm số $g_i$ có ​​nghịch đảo $g_i^{-1}: g_1^{-1} = g_1, g_2^{-1} = g_4, g_3^{-1} = g_3, g_4^{-1} = g_2$.

Hệ hàm số $G = \{g_1, g_2\}$ ở ví dụ 1 có tính chất tương tự.

Nếu bây giờ chúng ta được yêu cầu giải bất kỳ phương trình hàm nào có dạng

$$a(x)f(x) + b(x)f\left(\frac{x-1}{x+1}\right) + c(x)f\left(-\frac{1}{x}\right) + d(x)f\left(\frac{x+1}{1-x}\right) = h(x),$$

(***)

chúng ta sẽ làm điều này bằng cách thực hiện các thay thế $x \rightarrow g_2(x), x \rightarrow g_3(x), x \rightarrow g_4(x)$, sau đó chúng ta sẽ đạt được một hệ thống tuyến tính. Ví dụ: hãy viết ra kết quả của (***) sau khi thay thế $x \rightarrow g_2(x)$.

Hơn nữa, $g_2(x) \rightarrow g_3(x), g_3(x) \rightarrow g_4(x), g_4(x) \rightarrow g_1(x)$, nên ta thu được phương trình

$$a\left(\frac{x-1}{x+1}\right)f\left(\frac{x-1}{x+1}\right) + b\left(\frac{x-1}{x+1}\right)f\left(-\frac{1}{x}\right) + c\left(\frac{x-1}{x+1}\right) \cdot f\left(\frac{x+1}{1-x}\right) + d\left(\frac{x-1}{x+1}\right)f(x) = h\left(\frac{x-1}{x+1}\right).$$

Bây giờ chúng tôi đưa ra định nghĩa sau.

Về giới hạn. Một tập hợp tùy ý $G$ của một hàm được xác định trên một tập hợp $M$ nào đó được gọi là epynnoi đối với phép toán $\circ$ nếu nó có cùng các thuộc tính với hệ thống $(g_1, g_2, g_3, g_4)$, tức là

1. Đối với hai hàm $f \in G, g \in G$ bất kỳ, thành phần $f \circ g$ của chúng cũng thuộc về $G$.
2. Hàm $e(x) = x$ thuộc về $G$.
3. Đối với mọi hàm $f \in G$ đều có hàm nghịch đảo $f^{-1}$ thuộc về $G$.

Định nghĩa này là trường hợp đặc biệt của định nghĩa tổng quát của khái niệm nhóm - một trong những khái niệm quan trọng nhất của toán học hiện đại. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết nhóm được trình bày chi tiết và phổ biến trong cuốn sách “Giới thiệu về lý thuyết nhóm” của P. S. Aleksandrov (Thư viện «Kvant», số 7, M.: Nauka, 1980).

Chúng ta đã thấy hai ví dụ về nhóm chức năng. Hãy đưa ra một vài ví dụ nữa.

a) Đặt $G$ của hàm tuyến tính $f(x) = ax + b$, ($a \neq 0, b \in R$);

b) $G = \{x, \frac{1}{1-x}, \frac{x-1}{x}\} \in R\{0, 1\}$;

b) $G = \{x, \frac{1}{1-x}, \frac{x-1}{x}\} \in R\{0, 1\}$;

28

Một dòng nước và… một chiếc thuyền đang chuyển động

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
L. V. TARASOV,
M. L. TARASOV

Đã nhiều lần trên các trang của “Phòng thí nghiệm «Kvant»” một hiện tượng vật lý rất thú vị và quan trọng đã được đề cập - sự hiện diện của phản ứng vảy chảy ra và không có phản ứng của vảy chất lỏng chảy vào (xem «Kvant», 1978, số 9; 1980, số 9).
Số này xuất bản một bài viết khác về chủ đề này.

Hãy bắt đầu bằng câu chuyện về một món đồ chơi trẻ em bị lãng quên vô cùng nổi tiếng vào những năm 30. Nó được gọi là “Thuyền tự hành”. Hiện nay món đồ chơi này không còn được bán ở các cửa hàng nữa nhưng không khó để tự làm nó ở nhà hoặc trong vòng tròn “Đôi bàn tay khéo léo”.

Thiết bị của “Thuyền tự hành” được thể hiện ở hình 1. Trên thuyền 1 có một hộp phẳng cứng, kín 2, có thể làm nóng bằng nến 3 (trong các thí nghiệm hiện đại, tốt hơn nên sử dụng viên cồn khô cùng nhau). Một ống kim loại cong 4 thoát ra khỏi hộp dưới đáy thuyền (độ kín của các mối nối được đảm bảo bằng mối hàn 5). Để có hiệu quả tuyệt vời, một mặt của hộp có thể được chế tạo dưới dạng màng nhấp chuột (xem “Kỹ thuật trẻ”, 1983, Số 8, trang 65).

Đồ chơi này hoạt động như sau. Hộp thiếc chứa đầy nước (qua lỗ có nút 6) và đồ chơi được hạ xuống mặt nước. Sau đó ngọn nến được thắp lên. Sau một thời gian, con thuyền bắt đầu di chuyển - lúc đầu chậm rãi và nhẹ nhàng, sau đó giống như cá,

29

tạo ra âm thanh đặc trưng mô phỏng hoạt động của động cơ hơi nước. Cô ấy di chuyển liên tục trong khi ngọn nến đang cháy.

Bây giờ chúng ta hãy thử tìm hiểu xem tại sao “thuyền tự hành” lại chuyển động.

Khi chúng ta thắp một ngọn nến, nước trong hộp nóng lên và sôi (hình 2, a). Đồng thời, áp suất trong hộp tăng lên, nước bắt đầu chảy ra ngoài qua ống, thuyền bắt đầu chuyển động nhẹ nhàng và chậm rãi. Giai đoạn hoạt động đầu tiên của đồ chơi kết thúc khi nước trong hộp sôi hết.

Vì độ dẫn nhiệt của hơi nước thấp nên thực tế hơi nước không lấy nhiệt ra khỏi hộp và không nóng lên, nghĩa là nó không giãn nở. Hơn nữa, nó ngưng tụ trong ống (tại điểm tiếp xúc với nước), do đó áp suất trong hộp giảm xuống và nước dâng dần lên trong ống (hình 2, b). Đây là giai đoạn thứ hai trong quá trình hoạt động của đồ chơi.

Khi nước dâng qua ống lên đến đỉnh và một lượng nước nhất định tràn ra mép rơi xuống hộp nóng, nước sẽ bốc hơi tức thời. Trong trường hợp này, áp suất trong hộp sẽ tăng vọt và một lượng nước nhất định từ ống sẽ bị đẩy ra ngoài (hình 2, s). Đây là giai đoạn thứ ba trong quá trình hoạt động của đồ chơi.

Sau đó, trong khi ngọn nến đang cháy, giai đoạn thứ hai và thứ ba sẽ diễn ra. Khi ngọn nến tắt, chiếc hộp nguội đi, toàn bộ hơi nước ngưng tụ và chiếc hộp lại chứa đầy nước.

Có vẻ như không thể hiểu được làm thế nào bằng cách trộn cùng một lượng nước - được đẩy ra khỏi ống ở giai đoạn thứ ba và bị ống hút vào ở giai đoạn thứ hai - người ta có thể đạt được chuyển động tiến về phía trước của thuyền. Hóa ra toàn bộ vấn đề nằm ở sự tồn tại phản ứng của tia chất lỏng được đẩy ra và không có phản ứng của tia chất lỏng được đẩy ra.

Để minh họa rõ ràng thực tế này, chúng ta hãy chuyển sang một sản phẩm tự chế thú vị khác (hình 3) - một “thợ lặn Descartes” có gắn bánh xe Segner. (Cách làm đồ chơi này được mô tả trong «Kvant» Số 9 năm 1980.) Nếu bạn nhấn piston 1, áp suất trong bình 2 tăng lên, nước chảy qua

30

Từ kinh nghiệm cũ

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. VARLAMOV

Dưới tiêu đề này, chúng tôi xuất bản các bài báo về các chủ đề, đồng thời, về các thang đo trong vật lý.*) Hôm nay, độc giả được mời nói về việc “thu được” điện tích ở nhà dễ dàng như thế nào, bình Leyden đã được “phát hiện” như thế nào và những thí nghiệm nào có thể được thực hiện với nó.

Makki được mô tả ở phía trên hình hoàn toàn không phải là thuộc tính của một linh mục của ngọn lửa ngoại giáo nào đó. Trong thế kỷ qua, với sự giúp đỡ của họ, các giáo sư vật lý đáng kính đã chứng minh hiện tượng lực đẩy điện trong các bài giảng của họ tại các trường đại học. Để làm được điều này, một chiếc mặt nạ với bộ tóc giả được gắn trên giá điện môi và được sạc từ nhà máy điện. Đôi khi một trong những học sinh (trong số những học sinh tò mò nhất) được mời trình diễn. Giống như mặt nạ, nó được lắp đặt trên một giá đỡ cách điện và nối với dây dẫn của máy phát điện. Một thời gian sau, khi một lượng điện tích đủ lớn tích tụ trên người anh ta, tóc trên đầu anh ta dựng đứng lên, trong đại sảnh yên tĩnh có thể nghe thấy một tiếng tanh tách nhỏ - đây là điện tích chạy từ đuôi tóc của anh ta.

Có rất nhiều thí nghiệm thú vị khác nhau với điện mà bạn có thể tự mình thực hiện khá dễ dàng. Chúng tôi đã nói về một số thí nghiệm trước đó (xem «Kvant», 1983, số 5, trang 29), và bây giờ chúng tôi muốn giới thiệu thêm một số thí nghiệm nữa.

Trong cuốn sách “Giải trí khoa học” của Gaston Tisandier, xuất bản hơn một trăm năm trước, có mô tả về một cỗ máy nhà máy điện rất dễ chế tạo, với sự trợ giúp của nó, bạn có thể dễ dàng “nhận” điện tích cần thiết cho các thí nghiệm.

Lấy một khay kim loại sơn mài dài 35-40 cm và đặt nó lên bàn trên một vài chiếc ly thủy tinh (hình 1). Cắt một tờ giấy gói dày theo hình dạng của khay sao cho vừa khít với phần phẳng của khay. Dùng súp đun chảy dán hai dải giấy vào tờ giấy để nhấc nó lên.

Mang tờ giấy đã chuẩn bị sẵn đến một nguồn nhiệt nào đó, chẳng hạn như bếp lò, để giấy khô tốt và càng nóng càng tốt. Sau đó, nhanh chóng đặt nó lên bàn gỗ và chà mạnh bằng bàn chải quần áo khô và cứng - nhờ quá trình điện khí hóa bề mặt, tờ giấy sẽ thu được một điện tích nhất định.

Bây giờ, hãy giữ các dải ruy băng, chuyển tờ giấy vào khay, tiếp đất cho tờ giấy sau bằng cách dùng ngón tay chạm vào mép của nó và ngay lập tức nhấc tờ giấy lên. Do đó, khay sẽ được sạc (và có điện tích ngược dấu với tờ giấy). Để kiểm chứng điều này, hãy đưa nó lại gần khay theo ngón tay của bạn - ở một khoảng cách vừa đủ nhỏ so với khay, một tia sét nhỏ sẽ đánh vào ngón tay của bạn - nghệ thuật. Bạn có hiểu được không?

31

Đặt một tờ giấy lên khay và lặp lại kỹ thuật tương tự, lấy một tia lửa khác, v.v., tối đa 7-8 lần.

Máy tĩnh điện này có thể được sử dụng để sạc một tụ điện gọi là bình Leyden.

Tuy nhiên, câu chuyện về việc phát hiện ra chiếc lọ Leyden đáng được kể riêng.

Năm 1745, giáo sư Muschenbrek tại Đại học Leiden (Hà Lan) quyết định sạc nước bằng máy tĩnh điện. Để làm điều này, ông lấy một lọ thủy tinh và đặt một thanh kim loại vào đó để cung cấp điện tích cho nước. Sau khi hoàn tất quá trình sạc, anh ta cầm lon bằng một tay và tay kia nhìn vào thanh. Sau đó, trong một bức thư gửi nhà vật lý người Pháp Reaumur, ông viết rằng toàn bộ cơ thể của ông như bị sét đánh, và ngay cả vì vương miện của nước Pháp, ông sẽ không lặp lại thí nghiệm khủng khiếp này.

Cùng lúc đó, một nhà keyist người Đức đang tiến hành các thí nghiệm để thu được nước điện tử, được cho là có đặc tính chữa bệnh. Sau khi nạp nước vào chai, anh ta chạm vào chiếc đinh mà qua đó điện tích được cung cấp cho nước, và anh ta chịu chung số phận như Muschenbreck.

Đây là cách mà tụ điện tĩnh điện đầu tiên được phát hiện, sau này được gọi là bình Leyden.

Tin tức về những thí nghiệm này làm thế giới chấn động và chúng bắt đầu được lặp lại ở nhiều nơi.

Một thí nghiệm thú vị về nhà tự nhiên học tĩnh điện Franklin. Để bắt đầu, anh ấy tiếp tục thí nghiệm đã hứa với chiếc lọ Leyden. Sau khi nhúng cây gậy bằng một tay xuống nước và dùng tay kia chạm vào mặt ngoài của lọ thì anh ta bị một đòn nặng. Giả sử rằng điện tích được chứa trong nước, trong thí nghiệm tiếp theo, anh cẩn thận đổ nó vào một chiếc bình khác và tự kiểm tra tác dụng của nó - không có hiện tượng sốc. Vì vậy, vấn đề không phải là nước. Sau khi đổ nước ngọt vào chiếc bình đầu tiên và lặp lại thí nghiệm của mình, Frankin lại nhận một cú đánh và do đó tin chắc rằng “lực tạo ra nó được chứa trong chính chiếc ly”.

Một thời gian trôi qua khá lâu, chiếc lọ Leyden đã có vẻ ngoài “hiện đại” - một chiếc lọ thủy tinh được bọc bằng lá kim loại.

Ví dụ, một chiếc lọ Leyden tuyệt vời có thể được tạo ra như thế này (hình 2). Lấy một chiếc ly thủy tinh đựng đầy đạn săn và đặt một thìa cà phê kim loại vào đó (tất nhiên, tất cả những vật dụng này phải khô hoàn toàn). Để sạc tụ điện thu được (hãy nghĩ xem, cái gì đóng vai trò là tấm của nó?) Chúng ta hãy sử dụng máy tĩnh điện vừa được mô tả. Trong khi bạn dùng ngón tay chạm vào khay và nhấc tờ giấy lên, hãy nhờ người trợ giúp của bạn giữ chiếc lọ ở phía dưới, đưa nó đến mép khay sao cho tia lửa chạm vào đầu thìa. Sau vài lần phóng điện như vậy, bình Leyden sẽ nhận đủ điện tích cho sóng và với sự trợ giúp của nó, bạn có thể tiếp tục nhiều thí nghiệm thú vị. Hãy mô tả một số trong số họ.

Thí nghiệm đơn giản nhất là cho bình Leyden phóng qua tờ giấy dày, bạn sẽ thấy tia lửa xuyên qua tờ giấy có hình thù kỳ lạ.

Bây giờ đây là cái gọi là vết nứt Lichtenberg. Lichtenberg, giáo sư vật lý tại Đại học Göttingen (sống ở thế kỷ 18), đã nghĩ ra cách làm cho sự phân bố điện tích trên bề mặt máy điện có thể nhìn thấy được bằng mắt thường. Để làm điều này, anh ta đã sử dụng khả năng của nhiều loại

33

Làm thế nào để có được bất đẳng thức đối xứng

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. V. DVORYANINOV,
Ứng viên khoa học sư phạm
E. A. YASINOVY

Trong nhiều bài toán đại số và giải tích, trong các kỳ thi Olympic toán và đôi khi trong các kỳ thi, có bài toán, trong đó bạn cần chứng minh bất đẳng thức với nhiều biến. Đơn giản nhất trong số đó có sẵn cho học sinh lớp 5-6. Nhiều nhà thống kê, đánh giá và chuyên khảo toán học tập trung vào các phương pháp chứng minh khác nhau và các định lý tổng quát về bất đẳng thức thay thế. Rất nhiều bài viết về bất đẳng thức đã được tích lũy trong danh mục “Vòng tròn toán học” của chúng tôi.

Ghi chú này mô tả định lý Muirhead về các bất đẳng thức liên quan đến đa thức đối xứng có dạng đặc biệt (tổng của tất cả các đa thức cùng năm có thể có cùng số mũ). Định lý này, được chứng minh vào năm 1903, đáng chú ý không chỉ vì tính tổng quát và tính hữu hạn của nó, mà còn vì thực tế là các khái niệm tổ hợp nảy sinh liên quan đến nó (“Sơ đồ trẻ” và sự so sánh của chúng - “đa số hóa”) sau khi xuất hiện một cách tự nhiên trong các nhánh khác nhau của toán học lý thuyết và ứng dụng đang phát triển tích cực trong thời gian gần đây.

Giới thiệu

Chúng ta sẽ giải quyết các bất đẳng thức loại này:

$$x^2 + y^2 \geq 2xy,$$
(1)
$$x^5 + y^5 \geq x^3y^2 + y^3x^2,$$
(2)
$$x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx,$$
(3)
$$x^3 + y^3 + z^3 \geq 3xyz,$$
(4)

$$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 \geq x^2yz + y^2xz + z^2xy,$$
(5)
$$x^4 + y^4 + z^4 + w^4 \geq 4xyzw.$$
(6)

Những bất đẳng thức này có giá trị với tất cả các giá trị không âm của các chữ cái có trong chúng. Đối với trường hợp hai biến, cũng dễ dàng chứng minh các bất đẳng thức bằng cách nhóm các số hạng và phân tích chúng thành nhân tử. Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh rằng với mọi bất đẳng thức x và y không âm (2) đều đúng. Để làm điều này, hãy xem xét sự khác biệt

$$x^5 + y^5 - x^3y^2 - y^3x^2 = x^3(x^2 - y^2) - y^3(x^2 - y^2) = (x^3 - y^3)(x^2 - y^2).$$

Sau đó, tích rõ ràng là không âm; cả hai dấu ngoặc không nhỏ hơn 0 đối với $x \geq y \geq 0$ và không lớn hơn 0 đối với $y \geq x \geq 0$.

Vollee khó đạt được chứng minh đối xứng của bất đẳng thức bằng vương miện hoặc một số lượng lớn biến. Hãy để chúng tôi chứng minh ý tưởng chung bằng cách sử dụng một ví dụ (5). Ở đây thật thuận tiện để gạch chéo tất cả các số hạng ở vế trái của bất đẳng thức, nhân chúng với 2 và tập hợp chúng thành ba nhóm:

$$x^2(y^2 - 2yz + z^2) + y^2(x^2 - 2xz + z^2) + z^2(x^2 - 2xy + y^2) = x^2(y - z)^2 + y^2(x - z)^2 + z^2(x - y)^2 \geq 0.$$

Bài tập 1. Chứng minh bất đẳng thức (1), (3) và (6).

Để học cách chứng minh tất cả các loại bất đẳng thức loại này và xây dựng một định lý tổng quát, bạn cần làm quen với các khái niệm mới không âm. Bây giờ chúng ta sẽ mô tả chúng.

Sự đối xứng của đơn thức

Chúng ta hãy có một số biến không âm - để định nghĩa, ba biến x, y và z. Ngoài ra, chúng ta hãy cho một tập hợp gồm các số nguyên không âm như nhau, $\alpha = (k; j; i)$, trong đó $k \geq j \geq i$; Hãy gọi chúng là một chỉ báo. Hãy vẽ một bảng gồm ba hình vuông và viết chỉ số tương ứng vào góc trên bên phải của mỗi hình. Chúng ta đặt ba chữ cái x, y, z vào các ô vuông này và nhìn vào bảng, viết đơn thức $x^k y^j z^i$. Bây giờ trong cùng một bảng, chúng ta thêm các biến vào một bảng khác

34

Theo thứ tự; chẳng hạn, chúng ta thu được đơn thức sau $y^k x^j z^i$, v.v. (hình 1).
(Không khó để đếm xem chúng ta sẽ nhận được bao nhiêu đơn thức khác nhau. Bạn có thể đặt bất kỳ chữ cái nào trong ba chữ cái $x, y, z$ vào hình vuông đầu tiên - điều này mang lại ba tùy chọn; trong hình vuông thứ hai - bất kỳ chữ cái nào trong số hai chữ cái còn lại, vì vậy có tổng cộng các tùy chọn $3 \cdot 2 = 6$.) Sau đó cộng tất cả các đơn thức đã viết; đa thức kết quả trong ba biến $x, y, z$ sẽ được ký hiệu là $T_{(k,j,i)}(x,y,z)$, hoặc $T_u(x,y,z)$, hoặc đơn giản là $T_u$ (T - từ từ “bảng”). Như người ta nói, đa thức này sẽ “đối xứng”; nó không thay đổi với bất kỳ hoán vị nào của biến. Bậc của mỗi đơn thức của nó là $s=k+j+i$.

Ví dụ,

$$T_{(2;1;0)}(x, y, z) = x^2 y + y^2 x + z^2 x + x^2 z + z^2 y;$$

$$T_{(3;1;1)}(\dot{x}, y, z) = x^3 y z + y^3 x z + z^3 x y + x^3 z y + y^3 z x + z^3 y x;$$

$$T_{(2;2;2)}(x, y, z) = 6 x^2 y^2 z^2.$$

Hai ví dụ cuối cho thấy rằng khi có số mũ bằng nhau, các số hạng tương tự có thể được thêm vào đa thức $T_u$ và viết ngắn hơn.

Nếu bộ chỉ báo $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$ bao gồm $n$ số thì bạn cần vẽ một bảng có $n$ hình vuông và lấy $n$ biến $x_1, x_2, \dots, x_n$. Hơn nữa, trong đa thức $T_u(x_1, \dots, x_n)$ sẽ có $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ đơn thức trước khi rút gọn các đơn thức tương tự.

Vì vậy, đối với mỗi bộ số nguyên $\alpha = (\alpha_1; \alpha_2; \dots; \alpha_n)$, trong đó $\alpha_1 \geqslant \alpha_2 \geqslant \alpha_3 \geqslant \dots \geqslant \alpha_n \geqslant 0$ tương ứng với đa thức $T_u$ là sự “đối xứng” của một đơn thức với số mũ $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$.

Chúng tôi sẽ mô tả mỗi bộ $\alpha$ như vậy dưới dạng một bậc thang gồm $n$ bước: chiều cao của mỗi bước bằng chỉ báo tương ứng, chiều rộng là một. Thật thuận tiện khi vẽ một cái thang như vậy trên giấy ca rô; tổng số ô - “gạch” $1 \times 1$, trong đó có bậc thang, bằng $s = \alpha_1 + \dots + \alpha_n$ - bậc của đa thức $T_u$. hình 2 hiển thị các bậc thang tương ứng với một số đa thức $T_u$ gặp phải trong các bất đẳng thức của chúng ta.

Tên khoa học của những bậc thang này, rất hữu ích trong các bài toán tổ hợp, đại số và giải tích khác nhau, là “Biểu đồ trẻ” (xem [3]).

Bài tập 2. Viết các đa thức $T_u$ và vẽ các bậc thang tương ứng của chúng cho các tập hợp sau $\alpha$: (3, 2); (3, 2, 1); (3, 3, 0, 0); (4, 1, 1, 0); (5, 0, 0, 0, 0); (1, 1, 1, 1, 1).

So sánh sơ đồ Young

hình 3 hiển thị các cặp bậc thang tương ứng với các bất đẳng thức (1)–(6) từ phần giới thiệu. Chúng ta thấy rằng đa thức lớn hơn trong hai đa thức tương ứng với bậc thang lớn hơn: đa thức thứ hai, phẳng hơn, có thể thu được từ đa thức thứ nhất bằng cách nối nhiều kippei với bên phải - xuống (xem hình 4). Chúng ta hãy trình bày chính xác hơn ý nghĩa của từ “lớn hơn” ở đây, trước tiên là đối với cầu thang ba bậc.

Đặt $\alpha = (\alpha_1; \alpha_2; \alpha_3)$ và $\beta = (\beta_1; \beta_2; \beta_3)$ là hai tập hợp số nguyên có cùng tổng $s = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = \beta_1 + \beta_2 + \beta_3; \alpha_1 \geqslant \alpha_2 \geqslant \alpha_3 \geqslant 0$ và $\beta_1 \geqslant \beta_2 \geqslant \beta_3 \geqslant 0$. Chúng tôi sẽ giả định rằng $\alpha > \beta$ (và tối đa hóa $\beta$), nếu điều kiện sau được thỏa mãn:

$\beta$ có thể nhận được từ $\alpha$ bằng cách tiếp tục nhiều lần (có thể

35

Chỉ có một phần giữa các bộ - điều đó xảy ra là hai bộ có tổng bằng nhau không thể so sánh được (xem bài tập 6).

Bài tập

3. Kiểm tra xem các cặp biểu đồ Young trên hình 3 có thỏa mãn các điều kiện (*) và (**) hay không.

4. Chứng minh điều kiện (*) và () tương đương (nghĩa là nếu bất đẳng thức () thỏa mãn thì tập β có thể thu được từ α “bằng cách đổ gạch” và ngược lại).

5. Vẽ tất cả các bậc thang bằng s=4 viên gạch theo thứ tự giảm dần, bắt đầu từ dốc nhất (4;0;0;0) và kết thúc bằng phẳng nhất (1;1;1;1); tương tự đối với thang 5 viên gạch.

6. a) Kiểm tra xem các biểu đồ Young (4;1;1) và (3;3;0) có thể so sánh được không – cả hai biểu đồ này đều không tối đa hóa biểu đồ kia. Có tập hợp nào khác có tổng bằng 6 không?

6. Tìm tất cả các cặp tập hợp như vậy với s=7.

Định lý Muirhead

Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng để hình thành định lý chính.

Đặt α=(α1;α2;…;αn) và β=(β1;β2;…;βn) là hai bộ chỉ tiêu có tổng bằng nhau. Nếu α>β thì với mọi x1, x2, …, xn không có tổ chức
Tα(x1, x2, …, xn)>Tβ(x1, x2, …, xn).
Ngược lại, nếu bất đẳng thức như vậy đúng thì α>β.

Chúng tôi sẽ không đưa ra cách chứng minh mang tính công thức cho định lý ở dạng tổng quát (có thể tìm thấy nó trong sách [1], [2] - cuốn thứ hai hoàn toàn dành cho các phiên bản khác nhau của mối quan hệ “cực đại hóa”, các ứng dụng và khái quát hóa của nó), mà thay vào đó chúng tôi sẽ mô tả các ý chính của nó và chứng minh chúng bằng các ví dụ cụ thể.

Chứng minh phần thứ hai của định lý—sự cần thiết của điều kiện α>β—suy ra từ một thực tế đơn giản là trong hai đa thức trong một biến t (có hệ số dẫn đầu dương), đối với các giá trị lớn của t thì giá trị nào có bậc càng lớn thì lớn hơn (xem Bài tập 8).

Chứng minh tính thỏa mãn của điều kiện α>β dựa trên hai ý tưởng. Đầu tiên là “đổ gạch”: hai tập hợp α>β có thể được nối bằng một số nguyên các tập hợp sao cho các tập hợp lân cận trong số nguyên này chỉ khác nhau hai vị trí, sao cho từ mỗi tập hợp này sang tập hợp tiếp theo có thể di chuyển, “đổ một viên gạch” từ bước này sang bước khác trên thang tương ứng. Thứ hai là “nhóm đối xứng”: hiệu của đa thức cho các tập lân cận có thể được viết dưới dạng tổng (trên tất cả các tham số x, y) của các nhóm giống hệt nhau có dạng
(xp+r yq+p r xq−p r yq+p r)Z
(xem hình 5), trong đó Z là tích của các biến còn lại tương ứng với các chỉ số giống nhau trong các tập lân cận. Lần cuối cùng bạn-

36

Hình 5.

sự phân rã được phân hủy thành một tập hợp và, như dễ thấy, đối với $p > q$, $r \geq 0$, nó không âm. (Kiểm tra!)
Tất cả điều này sẽ trở nên rõ ràng đối với những người cẩn thận, viết ra tất cả các tính toán một cách chi tiết, phân tích một số ví dụ. Chúng tôi sẽ cung cấp cho hai.

Bất đẳng thức giữa trung bình số học và trung bình hình học của ba số không âm

$$\frac{a_1 + a_2 + a_3}{3} \geq \sqrt[3]{a_1 a_2 a_3}$$

sau khi thiết kế lại $a_1 = x^3$, $a_2 = y^3$, $a_3 = z^3$ biến thành bất đẳng thức (4), đã được đề cập ở trên. Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó bằng phương pháp của Muirhead. Xét hình 4 a), ta thấy cần chứng minh hai bất đẳng thức:

$$T_{(3; 0; 0)}(x, y, z) \geq \geq T_{(2; 1; 0)}(x, y, z)$$

Hãy xem xét điều đầu tiên trong số đó và tạo nên sự khác biệt

$$R_1 = T_{(3; 0; 0)}(x, y, z) - T_{(2; 1; 0)}(x, y, z) = 2(x^3 + y^3 + z^3) - x^2y - y^2z - z^2x - x^2z - y^2x - z^2y.$$

Bây giờ chúng ta hãy nhóm các số hạng thành bốn theo nguyên tắc sau: với mỗi cặp biến, một nhóm bao gồm các số hạng trong đó chỉ số của các biến này thay đổi từ (3, 0) thành (2, 1) (và chỉ số tổng thể trong các bộ ở đây 0 nằm ở vị trí cuối cùng). chúng tôi nhận được

$$R_1 = (y^3 + z^3 - y^2z) + (x^3 + y^3 - x^2y - y^2x) + (z^3 + x^3 - z^2x - x^2z) = (y^2 - z^2)(y - z) + (x^2 - y^2)(x - y) + (z^2 - x^2)(z - x) \geq 0$$

với mọi số không âm $x, y, z$.

Bây giờ hãy chứng minh bất đẳng thức thứ hai

$$R_2 = T_{(2; 1; 0)}(x, y, z) - T_{(1; 1; 1)}(x, y, z) = x^2y + y^2z + z^2x + x^2z + y^2z - 6xyz.$$

Ở đây, trong số mũ, đơn vị chung đứng ở vị trí thứ hai và (2; 0) biến thành (1, 1). Theo điều này, chúng tôi nhận được:

$$R_2 = x(y^2 + z^2 - 2yz) + y(z^2 + x^2 - 2zx) + z(y^2 + z^2 - 2yz) = x(y - z)^2 + y(z - x)^2 + z(x - y)^2 \geq 0.$$

Điều này chứng tỏ sự bất đẳng thức (4).

Lời giải bài toán M762.

Trong bài toán này (từ “Bài toán Kvant Số 9, 1982) cần phải chứng minh bất đẳng thức cho $a, b, c$ dương

$$a + b + c \leq \frac{a^2 + b^2}{2c} + \frac{b^2 + c^2}{2a} + \frac{c^2 + a^2}{2b} \leq \frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab}.$$

Người đọc đã đề xuất một số phương pháp khác nhau cho lời giải của họ. Một trong số đó là phương pháp Muirhead (chúng tôi hy vọng sẽ quay lại với những người khác ở một trong các số sau «Kvant»). Bằng cách nhân các bất đẳng thức này với 2abc, chúng ta rút gọn chúng về dạng “Mirhead” sau:

$$2(a^4 + b^4 + c^4) \geq \geq a^3b + b^3a + b^3c + c^3a + a^3c,$$

$$a^3b + b^3a + b^3c + c^3a + a^3c \geq 2(a^2bc + b^2ac + c^2ab).$$

Các sơ đồ Young tương ứng được hiển thị trong hình 4, 6. Sự khác biệt giữa bên trái và bên phải của mỗi bất đẳng thức có thể được viết, như trên, dưới dạng tổng của ba nhóm bốn năm. Để tiết kiệm chỗ, chúng ta sẽ chỉ viết một nhóm - hai nhóm còn lại có được bằng cách thay thế chữ cái $a, b, c$ bằng $b, c, a$ và $c, a, b$.

Chứng minh (7):

$$(a^4 + b^4 - a^3b - b^3a) + \dots = (a^3 - b^3)(a - b) + \dots \geq 0.$$

Chứng minh (8):

$$(a^3b + c^3b - a^2cb - c^2ab) + \dots = b(a^2 - c^2)(a - c) + \dots \geq 0.$$

Như vậy, bài toán M762 đã được giải quyết.

Thêm một vài bài tập và bài toán để khám phá

7. Viết tất cả các bất đẳng thức Muirhead cho đa thức bậc 4.

8. a) Đặt $T_{(a_1; a_2; a_3)}(x, y, z) \geq T_{(\beta_1; \beta_2; \beta_3)}(x, y, z)$ với mọi số không âm $x, y, z$. Chứng minh rằng khi đó bất đẳng thức (**) được thỏa mãn. (Chỉ ra. Xét một số trường hợp: $x = y = z = t; x = y = t, z = 1; x = t, y = z = 1$ và so sánh bậc của các đa thức thu được từ $t$.)

9. Chứng minh các bất đẳng thức sau (với $x, y, z, v, w$ không âm):

a) $x^4y^2z + y^4x^2z + z^4yx^2 + x^4z^2y + z^4x^2y \geq 2(x^3y^2z + y^3z^2x + z^3x^2y^2);$

b) $x^5 + y^5 + z^5 \geq x^2y^2z + y^2z^2x + z^2x^2y;$

b) $x^3 + y^3 + z^3 + v^3 \geq xyz + xyv + xzv + yzv.$

10. Suy ra từ các bất đẳng thức định lý Muirhead cho số trung bình số học và hình học $n$ các số không âm.

Bạn cần phải hạ bao nhiêu “viên gạch” để chuyển từ một tập hợp $(n, 0, 0, \dots, 0)$ gồm $n$ số sang một tập hợp (1, 1, …, 1)?

11. Hình thành và chứng minh định lý Muirhead cho mọi số mũ không âm (không nhất thiết là số nguyên).

12. Đối với một số tập hợp số mũ (có tổng chẵn $s$), bất đẳng thức thảo luận trong định lý Muirhead là đúng với tất cả, không chỉ với các giá trị không âm của các biến. Hãy cố gắng mô tả tất cả các trường hợp như vậy.

Văn học

1. Hardy G. G., Littelwood D. E., Polina G. Bất bình đẳng - M.: IL, 1948.
2. Marshall A., Olkin I. Bất bình đẳng: lý thuyết tối đa hóa và các ứng dụng của nó. - M.: Mir, 1983.
3. Olympic toán tương ứng (bài toán 5-9). - M.: Nauka, 1981.

Nhiệm vụ

1. Tôi có một số điện thoại rất tuyệt: ba chữ số đầu giống nhau, bốn chữ số còn lại cũng giống nhau. Hơn nữa, tổng của tất cả các chữ số của số này bằng hai số, chữ số đầu tiên trùng với chữ số đầu tiên trong số điện thoại của tôi và chữ số cuối cùng trùng với chữ số cuối cùng. Tìm số có bảy chữ số này.

2. Giải bài toán số sau:

$$\times \frac{CEMB}{CEMB}$$

---

---

---

3. Có 11 quân cờ trên một bàn tròn: 5 quân đen và 6 quân trắng. Năm chàng trai ngồi cùng bàn đang chơi trò chơi sau. Đầu tiên, mọi người lấy hai quân cờ, sau đó người mới bắt đầu lấy quân cờ còn lại. Nếu anh ta có cả ba quân cờ cùng màu thì anh ta thắng và trò chơi kết thúc, nếu không thì anh ta giữ lại hai quân cờ cùng màu cho mình và chuyển quân thứ ba cho đồng đội ở bên phải. Nếu anh ta có tất cả các quân cờ cùng màu thì anh ta thắng, nếu không thì anh ta hành động như trước, v.v. Có thể thực hiện sao cho mỗi người thực hiện ít nhất hai nước đi không?

4. Yêu cầu một người bạn đứng quay lưng vào tường, gót chân dựa vào tường, sau đó cố gắng dùng ngón tay chạm tới ngón chân mà không cong đầu gối. Có lẽ anh ấy sẽ không nhận được nó. Tại sao?

5. Một hình bát giác đều được chia thành các phần có màu như trong hình. Chứng minh rằng tổng diện tích được tô bởi mỗi màu là như nhau.

Những nhiệm vụ này đã được cung cấp cho chúng tôi:
N. K. Antonovich, L. P. Mochalov, A. P. Savin,
S. S. Krotov, V. V. Tùy ý

Alice và Sâu bướm xanh nhìn nhau một lúc lâu mà không nói một lời. Cuối cùng, Caterpillar rút hookah ra khỏi miệng và chậm rãi, như thể đang ngái ngủ, bắt đầu nói: “Bạn… bạn… là ai!”
Alice hơi tức giận - ba ngày quá tệ). DA BRA phát hành! - Alice đáng thương nói. Và tôi tự nghĩ: “Tất cả bọn họ ở đây thật khó chịu làm sao!” “Theo thời gian, chúng tôi đã quen với nó,” Caterpillar phản đối, đưa ống ngậm vào miệng và thổi khói vào không khí. Alice kiên nhẫn chờ đợi cho đến khi Sâu bướm hạ cố để ý đến cô lần nữa. Sau khoảng hai phút, con sâu bướm lấy ống hookah ra khỏi miệng, ngáp một hoặc hai lần và vươn vai. Sau đó, cô bò ra khỏi cây nấm và biến mất trong bãi cỏ, nói lời tạm biệt với Alice: “Một mặt bạn ăn, bạn lớn lên, nhưng mặt khác, bạn lại nhỏ đi!” “Một mặt là cái gì? - Cây nấm đã teo lại!” “Mặt khác là cái gì? “- Nấm,” Sâu bướm trả lời, như thể đã nghe thấy câu hỏi và biến mất khỏi tầm mắt. Trong một phút, Alice trầm ngâm nhìn cây nấm, cố gắng xác định xem bạn bao nhiêu tuổi. Trong khi đó, hai con ngỗng đang ăn tối một mình. Bạn đã phá hủy nó từ mỏ đến chân. - Ngay từ khi còn nhỏ, tôi đã phát triển tính chính trực của mình bằng cách học luật, Và tôi thường xuyên tranh cãi với vợ đến mức bắt đầu nhai hết sức! - Thưa cha, cha có tha thứ cho con không?

BẠN CÓ NGHĨ mình đã thay đổi?
“Vâng, thưa ngài,” Alice trả lời, “và điều đó thật đáng buồn.”
Đầu tiên người này trở nên cao, sau đó người kia và tôi không nhớ cái gì thấp cả.

• Không nhớ gì cả? - con sâu bướm hỏi.
• Không có gì! —cka-hall Alice buồn bã.—Tôi đã cố đọc “Ngôi nhà mà Jack xây dựng,” nhưng hóa ra lại là một thứ hoàn toàn khác.” “Hãy thử “Papa Vilym,” Caterpillar gợi ý.
  Alice bắt đầu.
  (Đọc những bài thơ trên đồng phục của bạn nữa…)
  “Mọi thứ đều sai,” Caterpillar nói. “Đúng, điều đó không hoàn toàn đúng,” Alice rụt rè đồng ý. “Có một số từ sai.” “Mọi thứ đều sai, từ đầu đến cuối,” Caterpillar nghiêm nghị nói.
  Có sự im lặng. “Bạn muốn cao bao nhiêu?” Con sâu bướm cuối cùng cũng hỏi. “Ồ, không sao đâu,” Alice nói nhanh.
• Nếu bạn

Tôi đã lưu ý thực tế này ngay từ đầu. Tại sao: cha đã làm như vậy, thưa cha,
Nhào lộn ba lần?

• Lúc còn trẻ,
• ông già trả lời con trai, - Tôi xoa người bằng một loại thuốc mỡ đặc biệt,
  Đối với hai pillintka,
• một ống chỉ,
  Đây, bạn có muốn mua một lọ về dùng thử không?

Đối với sự không thể của một câu hỏi như vậy:
Bạn đã làm thế nào để giữ được buổi sáng?
Cân đối ở đầu mũi?

• Không, tôi hạnh phúc!
  người cha phẫn nộ nói,
  Tôi có rất nhiều kiên nhẫn.
  Nếu cuối cùng bạn hỏi câu hỏi thứ năm,
  Bạn có thể đếm chúng từng bước một!

SMOTRI DR. STRANITSU
LEV. VOZD. SHAR

điều đó là không thể
thứ ba
phút, bởi vì
cô ấy:
nhanh
giảm đi.
Alice đã lấy nó
nối tiếp cái khác
cái
Nhưng
Qua-
dobo-
ro-
bác sĩ
nó giống như vậy
vững chắc
ép
ĐẾN
chân,
rằng cô ấy
không đời nào
tôi không thể
mở miệng ra. Cuối cùng cô ấy
nó đã thành công
và cô ấy
cắn một miếng
Một chút
từ tay trái.

A.K.

• Cuối cùng thì đầu tôi cũng được tự do! - ra-
  Alice kêu lên đầy tự hào. Tuy nhiên, niềm vui
  nó ngay lập tức được thay thế bằng sự lo lắng: đâu đó khoảng
  vai rơi xuống. Cô nhìn xuống nhưng thấy
  chỉ có một cái cổ có chiều dài đáng kinh ngạc, nâng cao
  lắc lư như một cây cột khổng lồ trên cây xanh
  lá rem. -Đây là loại xanh gì vậy? - cô ấy nói
  Alice. - Vai tôi đi đâu rồi? Nghèo
  tay tôi, em ở đâu? Tại sao tôi không thể nhìn thấy bạn? VỚI
  Nói xong cô cử động tay, nhưng nhìn thấy
  Tôi vẫn không thể đặt chúng lại với nhau. Đảm bảo rằng
  Tôi không thể giơ tay lên đầu,
  Alice quyết định cúi đầu về phía họ và
  Tôi rất vui khi thấy điều đó
  cổ cô ấy giống như một con rắn,
  uốn cong theo bất kỳ hướng nào. Alice cong
  cổ theo hình zíc zắc duyên dáng,
  chuẩn bị đi vào rừng
  (điều đó đã trở nên rõ ràng với cô ấy
  rằng đây là những ngọn cây
  vev theo đó cô ấy
  Tôi chỉ đứng) như
  đột nhiên sấm sét vang lên
  một số shping. Cô ấy
  rùng mình và rút lui-
  la. Ngay trước mặt cô ấy
  đập cánh dữ dội,
  chim cu gáy lao tới. - Rắn!
• Chim bồ câu hét lên. -Cũng không-
  tôi thật là một con rắn! - phẫn nộ-
  Alice đang khóc. - Để đó đi
  để tôi yên! - Và tôi nói!
• rắn! - Gor nhắc lại-
  khuôn mặt có phần dè dặt hơn.
• Ngay khi tôi ổn định xong
  trên cây cao nhất
  v,” Gorlie tiếp tục.
  tsa ngày càng to hơn và
  cuối cùng cũng ổn định
  đến một tiếng kêu - một trăm
  Xin chào, tôi nghĩ vậy
  mẹ, cái gì

Cuối cùng-
rồi từ họ
thoát khỏi cách nào
KHÔNG! Họ ở ngay đó! Họ đang leo núi
từ trên trời rơi thẳng vào tôi! U-y! Rắn
dưới nước!

SMOTRI PRAV. VOZD. SHAR

• Tôi không phải là rắn! - Alice nói. - TÔI
  chỉ… chỉ… - Nói cho tôi biết, nói cho tôi biết ai
  bạn có như thế không? - nhặt Bồ Câu Rùa lên. - Rõ ràng ngay lập tức
  bạn muốn nghĩ về điều gì đó - Tôi… tôi… nhỏ-
  “Thật là một cô gái,” Alice nói, không mấy vui vẻ.
  Renno, hãy nhớ đã bao nhiêu lần nó thay đổi
  ngày này. “Ồ, tất nhiên rồi,” Gor-
  phải đối mặt với sự khinh miệt lớn nhất. - Tôi thấy
  Có rất nhiều bé gái ở thời đại chúng ta, nhưng cùng với đó
  bởi bất kỳ cổ nào - không một cổ nào! Không, bạn không thể lừa tôi!

LEV.SHAR
Còn gì nữa?
khi cằm
bác sĩ gõ cửa
onogi hoặc
CHÂN-BÊN-
ROD ổn chứ?

Thực tế nhất
con rắn - đó chính là bạn!
Bạn sẽ kể lại cho tôi nghe nhé
rằng tôi chưa bao giờ thử trứng. - KHÔNG,
“Tại sao, tôi đã cố gắng,” cô trả lời
Alice. (Cô ấy luôn
đã nói sự thật).

• Các cô gái, các bạn biết đấy
  Họ cũng ăn trứng. - TÔI

Tôi không tin điều này,” Bồ Câu Rùa nói. “Nhưng nếu
đúng vậy, vậy thì chúng cũng là rắn! Tôi không còn-
tôi có thể nói gì đây? Xà phòng này đã chiều chuộng Alice rất nhiều,
rằng cô ấy đã im lặng. Và Bồ Câu Rùa nói thêm:
“Tôi biết, tôi biết, bạn đang tìm trứng!” Và cô gái
dù bạn là rắn hay rắn - điều đó đối với tôi không thể hiểu được
tức giận.— Nhưng tôi không thích điều đó chút nào
không thành vấn đề đâu," cô vội vàng
đối tượng Alice.—Và, theo
nói thật thì tôi là quả bóng
không chết tiệt! Và thậm chí nếu
Tôi đang tìm 6, sau đó của bạn cho tôi
Dù sao thì tôi cũng sẽ không vào được
đạt được. Tôi không thích thô
màu xanh da trời! - Vậy thì dọn dẹp đi -
“Ồ!” Rùa Bồ Câu buồn rầu nói và lại ngồi xuống trên cô ấy.
tổ. Và Alice đã trở thành
đi xuống đất
hóa ra là không hề
Chỉ; cổ thỉnh thoảng
vướng vào cành cây. Một lúc sau Ali-
Tôi nhớ rằng tất cả mọi thứ
vẫn đang cầm ku-
nước ép nấm và priyala
từng chút một
bực mình trước
một, rồi từ
người khác, rồi lớn lên, rồi
giảm dần cho đến cuối cùng
Tôi không chấp nhận con người cũ của mình
loại. Lúc đầu cô nghĩ nó rất
các nước, vì cô ấy đã bỏ được thói quen
từ sự trưởng thành của chính mình, nhưng chẳng bao lâu sau cô ấy đã thành thạo
cô ấy bình tĩnh lại và bắt đầu nói chuyện với chính mình một lần nữa.

• Thế là xong một nửa kế hoạch rồi! Làm sao
  Tất cả những thay đổi này thật tuyệt vời! Không biết cái gì
  sẽ ở bên bạn trong khoảnh khắc tiếp theo… Chà, không có gì,
  Bây giờ tôi đã trở lại chiều cao trước đây. Và bây giờ
  bạn cần phải vào khu vườn đó. Tôi ước gì tôi biết
  làm thế nào để làm điều này? Sau đó cô ấy đi ra một khu đất trống nơi
  có một ngôi nhà nhỏ, không quá bốn feet
  đồng chí cao lớn. “Tôi tự hỏi ai sống ở đó? - Bởi-
  Alice nghĩ. “Nhưng tôi không thể đến đó, tôi
  quá nhiều, tôi sẽ khiến họ sợ chết khiếp!
  Cô ăn nấm và không đến gần nhà
  cho đến khi nó giảm xuống còn chín
  inch.

Bài toán

M931 — M935; F943 — F947

M931. Một đường tròn nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại các điểm C₁, A₁ và B₁. Được biết, độ dài của các đoạn AA₁, BB₁ và CC₁ bằng nhau. Chứng minh tam giác ABC đều.

A. N. Dranshinkov

M932. Trong một cái lồng hình vuông có cạnh 1m có một con ancondda dài 10m. Nam tước Monchhausen tuyên bố rằng bất cứ lúc nào ông cũng có thể bắn một con ancondda ở 6 ​​nơi cùng một lúc. Chẳng phải Baron đã quá già rồi sao? (Ancondda có thể được coi là một đường đứt đoạn tùy ý có độ dài 10 nằm bên trong hình vuông 1x1.)

S. V. Gashkov

M933. 13 hiệp sĩ từ k gia tộc khác nhau (1<k<13) đang ngồi ở một chiếc bàn tròn. Mỗi người đều cầm một chiếc cốc vàng hoặc cốc bạc và có đúng k cốc vàng. Vua Arthur ra lệnh cho các hiệp sĩ đồng loạt chuyền cốc cho người hàng xóm ở bên phải, sau đó làm lại tương tự, v.v. Chứng minh rằng tại một số thời điểm không có hiệp sĩ nào cùng tộc cầm cốc vàng.

A. A. Bolotov

M934.* Có 2n (n ≥2) điểm trong không gian (sao cho không có 4 điểm nào nằm trên cùng một mặt phẳng) và n²+1 đoạn được vẽ với các điểm cuối tại các điểm này. Chứng minh rằng các đoạn thẳng vẽ tạo thành a) ít nhất một tam giác; 6) ít nhất n hình tam giác.

M935. (Bài toán về đai ốc.) Nếu bên trong một 2n-giác đều cạnh a và tâm O, ta đặt một 2n-giác đều cạnh a/2 một cách tùy ý thì nó sẽ bao phủ điểm O. Chứng minh khẳng định sau: a) với n=2, 6)* với n=3, c)* với mọi số tự nhiên n>1.

S. V. Gashkov

F943. Một vật nhỏ rơi từ độ cao lớn xuống đất. Giả sử va chạm của một vật lên mặt đất là đàn hồi abscilitono, hãy xác định gia tốc của vật ngay sau khi nó nảy lên khỏi mặt đất.

A. G. Shikhkerimov

43

F944. Trên một vật rắn chuyển động tịnh tiến dọc theo một mặt phẳng nằm ngang gồ ghề, tại thời điểm thời gian $t_0=0$, khi tốc độ của vật bằng $v_0$ thì lực $F(t)$ bắt đầu tác dụng, luôn hướng dọc theo vectơ $\vec{v}_0$ và quay trở lại theo thời gian. Sau thời gian $t$ tốc độ của vật sẽ bằng $v_t$, và $v_t=5$ m/s nếu $v_0=1$ m/s, và $v_t=13$ m/s nếu $v_0=10$ m/s. Xác định sự phụ thuộc $v_t=f(v_0)$ cho mọi $v_0$ có ​​thể.

R. L. Mkrtchyan, O. M. Khudaverdyan

F945. Xác định tỷ số $\eta_1/\eta_2$ của hệ số hiệu suất của hai quá trình tuần hoàn thực hiện với khí lý tưởng (hình 1): quá trình thứ nhất là 1-2-3-4-1, quá trình thứ hai là 5-6-7-4-5.

F946. Hai điện tích giống hệt nhau $q>0$ nằm cách nhau một khoảng $l$. Khoảng cách tối thiểu đến mặt phẳng đối xứng $\Pi$ (hình 2) nhờ một đường thẳng đi ra từ điện tích bên trái hợp với một góc $\alpha$ với đường thẳng nối các điện tích là bao nhiêu? Đường thẳng này sẽ nằm ở góc nào so với mặt phẳng đối xứng khi đặt một khoảng cách lớn so với điện tích?

S. S. Krotov

F947. Vỏ của trạm vũ trụ là một quả cầu đen, nhiệt độ của nó do hoạt động của thiết bị bên trong trạm là $T=500$ K. Nhiệt độ của vỏ sẽ là bao nhiêu nếu trạm được bao quanh bởi một màn hình cầu mỏng màu đen có bán kính gần bằng bán kính của vỏ? Lượng cơ thể phát ra trên một đơn vị diện tích bề mặt tỷ lệ với lũy thừa bậc 4 của nhiệt độ tuyệt đối.

A. N. Buzdin

Problems

M931 — M935; P943 — P947

M931. The incircle of triangle $ABC$ touches sides $AB, BC$ and $CA$ at the points $C_1, A_1, B_1$ respectively. It is known that the segments $AA_1, BB_1, CC_1$ are of equal length. Prove that $ABC$ is equilateral.

A. N. Dranishnikov

M932. A 10 meter long anaconda lives in a square cage of side 1 meter. Baron Münhausen claims that he can shoot through the anaconda in 6 places anytime with a single shot. Is the baron exaggerating? (The anaconda may be viewed as an arbitrary polygonal line of length 10 in a 1 by 1 square.)

S. B. Gashkov

M933. 13 knights from $k$ different clans ($1<k<13$) sit at the Round Table. Each holds a gold or silver cup, the number of gold ones

45

(có thể thoái hóa thành hình tam giác hoặc đoạn thẳng) có đường chéo $KM$ và $LN$ và diện tích của nó $S$ theo công thức nổi tiếng là bằng nhau

$$S = \frac{1}{2} KL \cdot MN \cdot \sin \angle KON = \frac{1}{8} AB \cdot CD \cdot \sin \alpha,$$

nghĩa là nó không phụ thuộc vào việc chọn điểm $E$ và $F$.

Từ chứng minh cho thấy rõ khẳng định bài toán cũng đúng với tứ giác không lồi $ABCD$.

M. V. Stark

♦ a) Dễ dàng tìm thấy biểu diễn được yêu cầu ở dạng rõ ràng:

$$x^2 = \frac{1}{3} (x+1)^3 - \frac{1}{3} (x^3+3x+1).$$

b) Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp theo bậc của đa thức. Đối với đa thức bậc 0 (hàm hằng), mệnh đề bài toán là hiển nhiên. Giả sử nó đúng với mọi đa thức bậc nhỏ hơn $n$. Một đa thức tùy ý bậc $n$ bậc $P_n(x)$ có thể được viết là

$$P_n(x) = ax^n + P_{n-1}(x),$$

trong đó $P_{n-1}(x)$ nhiều nhất là đa thức bậc $n-1$, mà phát biểu của chúng ta đúng theo giả thuyết quy nạp. Do đó, chỉ cần chứng minh cho một $ax^n$ là đủ (nếu mệnh đề bài toán đúng với hai đa thức thì rõ ràng nó đúng với tổng của chúng). Rõ ràng rằng $ax^n$ là hàm đơn điệu đối với $n$ lẻ; vì ngay cả $n$ cũng có một biểu diễn cần thiết theo sau công thức

$$(n+1)x^n = (x+1)^{n+1} - x^{n+1} - Q_{n-1}(x),$$

trong đó $(x+1)^{n+1}$ và $x^{n+1}$ là kết quả trả về của hàm $(n+1)$ là số lẻ) và đối với đa thức $Q_{n-1}(x)$ bậc $n-1$ thì phát biểu bài toán đúng với giả thuyết quy nạp.

Nếu $n=2k$ chẵn, người ta có thể suy luận khác. Theo giả thuyết quy nạp $x^k = P(x)-Q(x)$, trong đó $P$ và $Q$ là các đa thức tăng đơn thức; kể từ đây,

$$x^{2k} = 2P^2(x) + 2Q^2(x) - (P(x)+Q(x))^2.$$

Thay $P(x)$ cùng với $x$ vào công thức của điểm a) chúng ta thu được biểu diễn $P^2(x)$ là hiệu của hai đa thức trả về. Điều tương tự có thể được thực hiện với $Q(x)$ và $P(x)+Q(x)$, cuối cùng sẽ đưa ra biểu diễn cần thiết cho $x^{2k}$.

A. Yu. Vayitrov, V. N. Dubrovsky

♦ a) Chúng ta hãy lợi dụng thực tế là đối với tất cả các điểm của đường thẳng đi qua đỉnh của góc, tỷ số giữa khoảng cách đến cạnh của nó (chính xác hơn là với các đường thẳng chứa các cạnh) sẽ bằng nhau. Đặc biệt, tỉ số $KA_1/KB_1$ và $PA_2/PB_2$ của khoảng cách từ các điểm $K$ và $P$ đến các cạnh $CA$ và $CB$ của góc $ACB$ đều bằng nhau (xem hình: trên đó góc $C$ là nhọn, đối với góc tù $C$ khoảng cách tương tự). Tỷ lệ đầu tiên rõ ràng bằng $AKsin \angle A/BKsin \angle B$ ($\angle A$ và $\angle B$ là các góc của tam giác $ABC$). ĐẾN

46

để tìm giây, lưu ý rằng $\angle PAA_2$ thẳng đứng với góc giữa dây $AC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và tiếp tuyến của nó tại điểm $A$, nghĩa là có độ lớn bằng vị trí của cung $AC$ và do đó, $\angle PAA_2 = \angle B$; tương tự, $\angle PBB_2 = \angle A$. Như vậy,

$$\frac{PA_2}{PB_2} = \frac{PA \sin \angle PAA_2}{PB \sin \angle PBB_2} = \frac{\sin \angle B}{\sin \angle A}$$

($PA = PB$ bởi tính chất tiếp tuyến của đường tròn vẽ từ một điểm). Cân bằng các biểu thức kết quả

$$\frac{AK \sin \angle A}{BK \sin \angle B} = \frac{\sin \angle B}{\sin \angle A}$$

và ta thu được định lý sin $\sin \angle B/\sin \angle A = AC/BC$, ta thu được hệ thức mong muốn:

$$\frac{AK}{BK} = \frac{AC^2}{BC^2}$$

6. Xét đường thẳng $l$, đối xứng $CP$ qua phân giác của góc $ACB$ (xem hình). Rõ ràng là đối với tất cả các điểm của nó, tỷ lệ khoảng cách đến các đường $CA$ và $CB$ nghịch đảo với cùng tỷ lệ đối với $CP$, nghĩa là bằng $\sin \angle A/\sin \angle B$ (xem (*)). Đối với điểm $M$ mà đường $l$ cắt cạnh $AB$, tỷ lệ này hiển nhiên bằng $AM \sin \angle A/BM \sin \angle B$. Do đó, $AM = BM$, tức là $CM$, là đường trung bình của tam giác $ABC$.

V. N. Dubrovsky

M914. Trên đảo Seroburomalin có 13 con tắc kè hoa màu xám, 15 màu nâu và 17 con tắc kè hoa màu đỏ thẫm với nhiều màu sắc khác nhau, sau đó chúng đồng thời đổi màu thành một con thứ ba (xám và nâu đều trở thành màu đỏ thẫm, v.v.). Có thể nào sau một thời gian tất cả tắc kè hoa sẽ được phân vùng đơn lẻ?

TRẢ LỜI: không thể được. Chúng ta phải chứng minh rằng từ bộ ba (13, 15, 17) bằng cách sử dụng các phép toán được mô tả trong các điều kiện, nghĩa là tăng một trong các số lên 2 và đồng thời giảm hai số còn lại đi 1 (nếu chúng dương), không thể thu được một trong các bộ ba (45, 0, 0), (0, 45, 0) và (0, 0, 45) (45 = 13 + 15 + 17). Như trong hầu hết bài toán tương tự với âm đáp số, để chứng minh, cần phải xây dựng một bất biến - một đại lượng được xác định trên các số nguyên ($c, \delta, m$) và không thay đổi theo các phép biến đổi được chỉ định của các tuyến đường, sẽ lấy giá trị cho chuyến đi đầu tiên và ba chuyến đi cuối cùng.

Ví dụ, bất biến như vậy là phần dư $r$ của phép chia cho 3 hiệu $c - \delta$ của hai số đầu tiên của bộ ba ($c, \delta, m$).

Có hiệu quả, khi “đổi màu tắc kè hoa”, các số $c$ và $\delta$ có thể được thay thế bằng $c - 1, \delta - 1$, $c + 2, \delta - 1$ hoặc $c - 1, \delta + 2$; trong trường hợp đầu tiên $c - \delta$ không thay đổi, trong hai trường hợp còn lại nó thay đổi 3, nghĩa là phần còn lại $r$ vẫn giữ nguyên. Vẫn còn phải thay thế rằng đối với bộ ba ban đầu (13, 15, 17), nó bằng 1 và đối với ba bộ ba cuối cùng là $r = 0$.

Không khó để trả lời câu hỏi chung - trong những điều kiện nào chúng ta có thể thu được một số khác từ một bộ ba số bằng các phép toán của mình? Vì tổng $s = c + \delta + m$ của tất cả các số của một trike cũng là bất biến nên chúng ta có thể sử dụng cách giải thích hình học đẹp mắt và thuận tiện về bài toán của chúng ta: mỗi trike ($c, \delta, m$) với tổng cho trước $s$ sẽ được biểu thị bằng