Kvant 1985, số 9 · Trang

QUANTUM
9
1985
Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
CHÚC MỪNG MỚI
GIÁO DỤC
MỘT NĂM!

Những bức ảnh hiển thị ở đây được chụp dưới ánh sáng hoạt nghiệm (ảnh SIM được chụp tại Moscow Studio Theater ở phía Tây Nam). Bạn có thể đọc về hiệu ứng hoạt nghiệm làm nền tảng cho phương pháp chụp ảnh này trong phần “Trường học ở «Kvant»” - trong một ghi chú dành cho tất cả các lớp.

1

TRONG PHÒNG:

2 Chúc mừng năm học mới!
3 N. Kh. Rozov, Bl. H. Sendov. Bối cảnh ra đời của máy tính
8 E. E. Gorodetsky, V. S. Yesinov. Cấu trúc đối lưu và tự tổ chức
14 A. N. Zemlykov. Giới thiệu về phép đo lập thể hay “Trò chơi tiên đề”

Phòng thí nghiệm «Kvant»
E. E. Kolomeitsev. Thí nghiệm với chất phát sáng

Kvant’s lab
E. E. Kolomeytsev. Thí nghiệm với vật phát quang

Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
G. A. Gurevich. Mật mã của Jules Verne

Kvant for younger school children
Problems
G. A. Gurevich. Mật mã của Jules Verne

Kính vạn hoa «Kvant»

Kvant’s kaleidoscope

Vấn đề «Kvant»
Bài toán M941—M945; F953—F957
Lời giải bài toán M921—M925; F933—F937
Vết bẩn trên máy bay
Danh sách độc giả gửi đúng lời giải

The art of programming
A. P. Ershov. Máy tính - thuật toán - ngôn ngữ thuật toán

Semiconducting elements in computers
I. First glance inside

Thế vận hội
Bài toán kỷ niệm Olympic Toán học Thành phố Mátxcơva
Olympic Vật lý khu vực Novosibirsk

Olympiads
Problems of the Moscow mathematics olympiad
Novosibirsk regional olympiad in physics

Thông tin
Hội thảo Vật lý và Toán học dành cho học sinh

Information
High school students physico-mathematical conference

Đáp số, gợi ý, lời giải
«Kvant» nụ cười (55)
Trang cờ vua
Đánh giá (trang bìa thứ 3)

Answers, hints, solutions
Kvant smiles (55)
The chess page
Ratings (3rd cover page)

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1985

2

Chúc mừng năm học mới!

Ban biên tập và biên tập tạp chí «Kvant» xin chúc mừng các bạn độc giả nhỏ tuổi trong năm học mới! Và năm nay về nhiều mặt sẽ thực sự mới mẻ, không cần học hỏi.

Việc thực hiện cải cách trường học vẫn tiếp tục và quá trình tăng cường nền kinh tế quốc dân đang có đà phát triển. Thực hiện nghị quyết của Đảng và Chính phủ, môn học “Cơ sở tin học và khoa học máy tính” đang được triển khai tại tất cả các cơ sở giáo dục trung học trong cả nước. Một thử nghiệm rộng rãi đã bắt đầu về việc sử dụng công nghệ máy tính trong các doanh nghiệp trường học. Thay vào đó, việc thanh niên làm chủ tốt hơn và sâu hơn công nghệ máy tính sẽ trở thành một yếu tố quan trọng trong việc tăng cường tiến bộ khoa học và công nghệ trong nước.

Tôi muốn các bạn thấy đằng sau dòng mới trong lịch học của trường, tầm quan trọng to lớn ngày nay của biện pháp này là nâng công việc của trường lên một tầm cao mới về chất lượng, tương ứng với điều kiện, nhu cầu của xã hội và nhu cầu của xã hội.

Một thời gian ngắn sẽ trôi qua và bạn sẽ gia nhập hàng ngũ hàng triệu công nhân và kỹ sư, nhà khoa học và kỹ thuật viên, giáo viên và nhà thiết kế, người vận hành máy móc và nhân viên văn phòng. Bạn sẽ thấy mình đang ở trong những nhà máy nơi vận hành máy móc được điều khiển bằng số, trong phòng thí nghiệm nơi hàng trăm thiết bị và dụng cụ điện tử hoạt động, trong những lớp học nơi việc giảng dạy được thực hiện bằng máy tính điện tử hiện đại. Không cường điệu, chúng ta có thể nói rằng thế giới nơi bạn sống và làm việc sẽ là một thế giới máy tính, có đầy đủ công nghệ mới nhất. Đây không phải là khoa học viễn tưởng, hay nói đúng hơn là tiểu thuyết của ngày hôm qua, mang những đặc điểm có thật với tốc độ chưa từng có trước mắt chúng ta.

Để làm được điều này, đôi khi chỉ mới đoán được hôm nay, về mặt kỹ thuật nằm trong tầm kiểm soát của bạn, bạn cần chuẩn bị trước cho cuộc gặp đó ngay từ khi còn đi học. Đây là lý do tại sao nó trở nên quan trọng bài toán trang bị cho sinh viên những kiến ​​thức, kỹ năng sử dụng công nghệ tin học hiện đại.

Tạp chí của chúng tôi cũng được kêu gọi giúp đỡ lời giải điều này bài toán. Như mọi khi, anh ấy sẽ cố gắng khơi dậy sự quan tâm đến vật lý và toán học - những ngành khoa học làm nền tảng cho công nghệ hiện đại, đồng thời giới thiệu cho bạn những thành tựu của khoa học vật lý và toán học cũng như ứng dụng của chúng trong nền kinh tế quốc dân.

Và cùng với điều này, «Kvant» trở nên có ý nghĩa trong việc cung cấp thành công một khóa học giáo dục mới, nói về sự phát triển, hiện trạng và triển vọng của công nghệ máy tính, cách nó được sử dụng trong các lĩnh vực khác nhau cũng như các vấn đề toán học và vật lý liên quan đến nó. Số liệu thống kê và ghi chú về các chủ đề này sẽ xuất hiện theo quy định trên các trang tạp chí của chúng tôi.

Chúng tôi hy vọng rằng một số, như chương trình nói, “một lượng thuật toán” hóa ra sẽ hữu ích cho độc giả của chúng tôi. Bạn có trách nhiệm chỉnh sửa phản hồi cho các ấn phẩm này và đề xuất các chủ đề mới.

Chúc các bạn thành công trong năm học mới!

3

Bối cảnh của việc tạo ra máy tính

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
N. Kh. ROSOV,
Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Bulgaria
Vl. H.SENDOV

Giờ đây, vào cuối thế kỷ 20, không ai có thể ngạc nhiên trước những báo cáo về tốc độ tiến bộ cao trong các lĩnh vực khoa học và phản ánh kỹ thuật khác nhau, về số lượng đổi mới khoa học và kỹ thuật ngày càng tăng nhanh trong các lĩnh vực khác nhau của đời sống chúng ta. Tuyên bố về điều này đã trở nên rộng rãi, và có rất nhiều bằng chứng về điều này, sự phát triển này của sự phát triển khác.

Tuy nhiên, người ta có thể nghĩ rằng tốc độ phát triển, cường độ và bề rộng thâm nhập vào mọi lĩnh vực hoạt động và công nghệ máy tính theo đúng nghĩa đen là một trong những hiện tượng độc đáo nhất. Ngay cả những người thuộc thế hệ trung lưu cũng nhớ rõ thời kỳ mà máy tính điện tử được nhắc đến như một thứ gì đó trừu tượng và xa vời, và bản thân từ viết tắt MÁY TÍNH vẫn chưa được nhiều người biết đến.

Ngày nay, nếu không có máy tính với khả năng linh hoạt to lớn thì nhiều quy trình sản xuất, lập kế hoạch kinh tế toàn cầu, nghiên cứu cơ bản tốt nhất, đáp ứng nhu cầu đa dạng của hàng triệu người, v.v. đơn giản là không thể tồn tại.

Công nghệ điện toán hiện đại đã thay đổi đáng kể và mở rộng đáng kể khả năng của khoa học toán học. Giờ đây, không chỉ nhiều bài toáns trở nên “có sẵn”, mà chỉ có thể giải quyết được trong quá trình “về nguyên tắc”, về mặt lý thuyết, trong thực tế vẫn không thể vượt qua do khối lượng tính toán cần thiết cực kỳ lớn. Điều quan trọng nhất là, dựa trên việc sử dụng máy tính, vai trò và tầm quan trọng của mô hình toán học ngày càng tăng lên. Mỗi ngày, ngày càng có nhiều thí nghiệm mới có thể được thay thế bằng “tính toán trên máy” và điều này mang lại lợi ích đáng kể về tiền bạc và thời gian. Không phải vô cớ mà quan điểm như vậy đã trở nên phổ biến: toán học, được tạo ra bởi máy tính hiện đại, đã trở thành một môn khoa học thực nghiệm.

Tuy nhiên, cuộc thảo luận dưới đây sẽ không nói về tình trạng hiện tại của công nghệ máy tính cũng như về triển vọng phát triển và sử dụng nó trong tương lai. Bài viết này dành cho một số khía cạnh về lịch sử quá khứ của máy tính, những ngày qua của chính nó.

4

Câu chuyện này đối với chúng ta dường như là một ví dụ cụ thể thú vị, có ý nghĩa và mang tính hướng dẫn về quá trình biện chứng hình thành tri thức của con người. Mỗi ý tưởng cơ bản, về tổng thể, dẫn đến việc tạo ra máy tính, một mặt, là sản phẩm của một bộ óc nhạy bén, nguyên bản, mặt khác, là sản phẩm tự nhiên và tất yếu của quá trình tiến hóa lịch sử về điều kiện, nhu cầu của con người và sự phát triển của khoa học và công nghệ.

“Cỗ máy” luôn bên bạn

Nhu cầu đếm có lẽ là một trong những nhu cầu trí tuệ đầu tiên mà nomo sapiens đã trải qua khi bắt đầu cuộc hành trình lịch sử của mình. Nó được xác định trước và kích thích bởi các vấn đề khoa học về sự tồn tại của con người nguyên thủy và trên hết là bởi nhu cầu thường xuyên được biết và học hỏi về số lượng thay đổi của thực phẩm, vật nuôi, ngũ cốc và các vật thể động vật khác. Tuy nhiên, con người làm chủ con người rất chậm, bởi vì việc hình thành các khái niệm trừu tượng “một”, “hai”, v.v. đòi hỏi sự tích lũy hàng nghìn năm kinh nghiệm thực tế hàng ngày.

Trong quá trình lâu dài và khó khăn để hiểu chính ý tưởng đếm, một người đã đặc biệt hữu ích… những ngón tay của mình. Đây là cách tự nhiên hoạt động, rằng một người được ban cho một “chiếc máy đếm” tự nhiên - mười ngón tay trên bàn tay - và liên tục mang nó bên mình trong suốt cuộc đời.

“Máy tính” đơn giản, tiện lợi và đáng tin cậy này có tất cả các khả năng của một máy tính thu nhỏ: bạn có thể nhập thông tin số vào nó, nó giúp bạn thực hiện các phép tính số học, báo cáo kết quả và, nếu cần, cho phép bạn lưu nó trong một thời gian. Tất nhiên, thời lượng lưu trữ thông tin và dung lượng bộ nhớ của một “cỗ máy” như vậy, khả năng tính toán và trọng lượng của nó rất khiêm tốn, mặc dù không hề nhỏ như người ta tưởng.

Một số cuốn sách về toán học mô tả các kỹ thuật rất khéo léo cho phép bạn đếm “bằng ngón tay” đến những số khá lớn và không chỉ thực hiện phép cộng, phép trừ mà còn cả phép nhân. Bây giờ đây chỉ là trò vui, thủ thuật, nhưng ngay cả ở thế kỷ 13, một trong những người sáng tạo ra toán học thời trung cổ ở châu Âu, Leonardo xứ Pisa, hay được biết đến với cái tên Fibonacci, đã khuyến nghị sử dụng ngón tay để hỗ trợ đếm.

Đếm ngón tay đóng một vai trò đặc biệt trong sự phát triển của toán học. Có vẻ đáng tin cậy rằng chính ở đây, trong thực tế, các ngón tay của người phục vụ đã sinh ra, và sau đó được củng cố về mặt tâm lý, thói quen đếm hàng chục, dẫn đến sự xuất hiện của hệ thống số thập phân (mười). Nó dần dần phát triển từ các hệ thống số khác (ví dụ: thập nhị phân hoặc lục thập phân) được một số dân tộc sử dụng và từ lâu đã được chấp nhận rộng rãi trên toàn thế giới.

Vì tất nhiên, không thể để lại thông tin số trên ngón tay của một người trong một thời gian dài, nên một người phải đối mặt với tất cả sự liên quan thực tế bài toán phát minh ra cách chỉ định và lưu trữ số. Vào buổi bình minh của nhân loại, các vết khía và khía trên các đồ vật khác nhau, que đếm đặc biệt, đá cuội, thẻ, v.v. Nhưng cách đáng tin cậy và thuận tiện nhất để chỉ định và lưu trữ số đã xuất hiện cùng với sự ra đời của chữ viết. Nhân tiện, một số câu chuyện cho rằng mọi người học viết số thậm chí còn sớm hơn cả chữ cái.

Một sự kiện lịch sử nổi bật đã quyết định mọi sự phát triển tiếp theo của toán học là việc phát hiện ra cách đánh số theo vị trí. Rõ ràng cô ấy được sinh ra vào khoảng 4000 tuổi

5

trước đây ở Babylon cổ đại.
Tiếc thay thời gian đã không mang đến cho chúng ta cái tên thiên tài đầu tiên bày tỏ ý tưởng tính đến vị trí của từng chữ số một cách đặc biệt khi viết số! Sự tiện lợi không thể so sánh được của việc đánh số theo vị trí đã đảm bảo chiến thắng của nó trước tất cả các cách viết số khác (ví dụ: trước hệ thống đánh số La Mã nổi tiếng); Chính cô là người sau này đã mở ra khả năng cơ giới hóa việc đếm và cuối cùng là tạo ra một chiếc máy tính.

Chúng ta có ơn tạo ra cách đánh số vị trí thập phân (hệ thống số) được những người theo đạo Hindu cổ đại thấm nhuần trong chúng ta - điều này đã xảy ra khoảng một nghìn rưỡi năm trước. Từ Ấn Độ, qua người Ả Rập, vào đầu thời kỳ trung cổ, hệ thống đánh số này cùng với việc chỉ định các con số (vẫn được gọi là “tiếng Ả Rập”) đã đến châu Âu, sau đó lan rộng ra tất cả các nước.

Làm thế nào để đếm nhanh hơn và đáng tin cậy hơn?

Khi các nhu cầu thực tế khác nhau của con người tăng lên, chủ yếu là do sự mở rộng thương mại trong nước và quốc tế, tầm quan trọng của các tính toán khác nhau trong đời sống xã hội cũng tăng lên, nếu không có thì không thể đáp ứng được những nhu cầu này.

Ngày nay, những phép tính như vậy có vẻ khá đơn giản - xét cho cùng, chúng chỉ sử dụng bốn phép tính số học và học sinh tiểu học có thể tiếp cận được! Nhưng đừng quên rằng chúng ta đang nói về những thời điểm khác, khi chưa có những quy tắc tiện lợi để viết theo cột, khi người ta không chỉ biết đến bút bi mà thậm chí cả giấy.

Cuộc cách mạng vĩ đại trong toán học là việc phát minh ra bàn tính, hay nói cách khác là bàn tính. Thật không may, vẫn chưa biết ai và khi nào đã tạo ra nhà kho này, cũng như không thể nêu tên chính xác số lượng giống lịch sử và quốc gia của nó.

Bàn tính là một thiết bị tiện lợi và đơn giản cho phép một người xác định các phép tính số học trên các số bằng cách di chuyển các vật thể nhất định (tem đếm) theo các quy tắc đặc biệt. Người ta biết rộng rãi rằng các nhà toán học cổ đại rất coi trọng hình học

Bàn tính Nga.

lời giải bài toán “sử dụng số và thước kẻ.” Nhưng ít người biết rằng một tình huống tương tự vẫn nên tồn tại trong số học: bài toán chỉ được coi là giải quyết được nếu nó được chỉ ra cách thực hiện các phép tính cần thiết tương ứng trên bàn tính.

Ở nhiều quốc gia khác nhau, những sửa đổi của bàn tính, bất chấp sự đơn giản đáng kinh ngạc trong thiết kế của chúng (hoặc có lẽ chính xác là vì sự đơn giản này?), đã nhận được sự công nhận rộng rãi và được sử dụng trong một thế kỷ. Nhà khoa học người Pháp đầu tư Herbert (950-1003), người vào cuối đời đã trở thành Giáo hoàng dưới danh hiệu Sylvester II.

Chỉ đến cuối thời Trung cổ, sau sự ra đời của giấy ở châu Âu và với sự phổ biến cũng như áp dụng hệ thống số vị trí thập phân (trong đó các phép tính số học được viết dễ dàng thực hiện), bàn tính mới khẳng định ý nghĩa phổ quát của nó đối với số học. Dần dần, nó biến thành một thiết bị phụ trợ, có thể nói, trong một thời gian, “kỹ ​​thuật” cung cấp các phép tính thương mại, v.v. Ví dụ, bàn tính của Nga vẫn giúp nhân viên thu ngân lưu trữ thành công trong công việc của họ (trong những năm gần đây, bàn tính đã nhường chỗ cho chúng, được tự động thay thế bằng máy tính tiền và máy tính vi mô).

Bàn tính (bàn tính) tất nhiên chưa thể gọi là máy tính được. Đây chỉ là một thiết bị tính toán cho phép bạn tổ chức việc thực hiện phép tính theo dạng xoay (thay thế cho phép tính “cột” hình trụ)

6

không phải các phép tính số học thực sự được thực hiện bởi chính con người, trong đầu anh ta. Và chuyển động của các dấu đếm, mà phép tính được giảm bớt, cũng được thực hiện bởi chính một người, bằng chính bàn tay của mình.

Tuy nhiên, với sự ra đời của bàn tính, ý tưởng cơ bản về một thiết bị đặc biệt đã được hiện thực hóa và củng cố, thực hiện vô số thao tác thuộc một số loại nhất định mà không cần bất kỳ bản ghi trung gian nào.

Dụng cụ đếm, ngoài bàn tính và bàn tính, còn có nhiều thiết bị khác khá độc đáo và thú vị. Chúng tôi sẽ không liệt kê tất cả ở đây mà chỉ đề cập đến một điều nữa, điều này thoạt nhìn khá bất ngờ trong loạt dụng cụ đếm. Đây là… bảng logarit. Tuy nhiên, không cần phải ngạc nhiên! Nếu bạn nghĩ về cách thực hiện phép nhân bằng cách sử dụng bảng logarit, không khó để nhận thấy rằng về nguyên tắc, vai trò của chúng không khác gì vai trò của bàn tính.

Các bảng logarit được xuất bản vào năm 1614 bởi nhà toán học người Scotland John Napier (1550-1617), mặc dù ông đã tạo ra chúng sớm hơn nhiều - vào khoảng đầu những năm 90 của thế kỷ 16. Xuất hiện ban đầu như là nền tảng của một “thiết bị tính toán” tự do, khái niệm logarit đóng một vai trò đặc biệt trong lịch sử phát triển của toàn bộ ngành khoa học toán học.

Những nỗ lực đầu tiên để giao hóa đơn cho một chiếc máy

Các quy tắc đếm bằng văn bản trong hệ thống số vị trí thập phân chắc chắn rất thuận tiện, nhưng điều này không ngăn được việc tính toán trở nên khó khăn và tẻ nhạt, đặc biệt nếu đây là những phép tính dài với số lượng lớn. Vì vậy, với thắng lợi của hệ thống số vị trí thập phân, ý tưởng tạo ra các thiết bị hỗ trợ đếm vẫn không hề mất đi sức hấp dẫn. Hơn nữa, sự phát triển mạnh mẽ hơn nữa về nhu cầu thương mại và tài chính, sự phát triển nhanh chóng của công nghệ trong quá trình hình thành phương thức sản xuất tư bản chủ nghĩa, thiên văn, khảo sát, điều hướng và các phép tính khác, nhu cầu cụ thể (“đến số”) lời giải toán học ứng dụng bài toán - tất cả những điều này khiến bài toán việc giải phóng một người khỏi giai đoạn khó khăn khi đếm thang đo trở nên quan trọng.

Công nghệ cực kỳ quan trọng tiếp theo có từ thế kỷ 17 - sự xuất hiện của một thiết bị đếm.

Từ lâu, người ta đã tin rằng thiết bị đầu tiên được chế tạo vào năm 1642 bởi nhà toán học, nhà vật lý và vật lý người Pháp Blaise Pascal (1623-1662). Tuy nhiên, cách đây không lâu người ta đã xác định rằng lần đầu tiên, vào khoảng năm 1623, một chiếc máy tính toán đã được chế tạo bởi nhà khoa học người Đức Wilhelm Schickard (1592-1636), giáo sư toán học và … ngôn ngữ phương Đông tại Đại học Tübingen.

Sự khác biệt căn bản giữa thiết bị đếm và thiết bị tính toán là bản thân nó, không cần sự tham gia của đầu người, sẽ tự động thực hiện một phép tính số học trên các số ban đầu đã thiết lập và báo cáo kết quả thu được. Tuy nhiên, phần công việc liên quan đến việc lập kế hoạch thực hiện tuần tự các hoạt động khác nhau, do đó nhập dữ liệu trước mỗi hoạt động và ghi lại các kết quả trung gian, vẫn thuộc về con người.

Điều quan trọng nữa là hỗ trợ thực tế rằng việc thực hiện các hoạt động tính toán trong một thiết bị đếm được thực hiện trên cơ sở chuyển động cơ học của các bộ phận của nó (ví dụ: biểu thức của bánh xe quấn) với sự chuyển đổi tự động của số mười ở một chữ số nhất định thành đơn vị của các chi tiết kỹ thuật sau).

Phát minh của Schiccard vẫn chưa được những người thực hành thực tế biết đến, nhưng

7

Máy tự động của Pascal đã trở nên phổ biến rộng rãi và đóng vai trò là tổ tiên của một dòng thiết bị trích dẫn khổng lồ được tạo ra trong ba thế kỷ tiếp theo. Điều thú vị cần lưu ý là, mặc dù bản thân việc tạo ra các thiết bị như vậy là một vấn đề kỹ thuật, kỹ thuật, nhưng danh sách dài tên của người tạo ra chúng bao gồm nhiều nhà toán học xuất sắc và theo quy luật, họ là những người sở hữu công trình xây dựng ban đầu lời giải. Đây chỉ là một vài ví dụ.

Một trong những người sáng lập phép tính vi phân và tích phân, nhà toán học, nhà khoa học và triết học người Đức Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) đã tích cực tham gia vào việc chế tạo và cải tiến máy đếm trong gần 40 năm cuộc đời của mình. Thiết bị đếm mà ông chế tạo một cách “khéo léo” không chỉ thực hiện phép cộng và phép trừ, giống như máy tự động của Pascal, mà còn thực hiện cả phép nhân và chia. Nói cách khác, Leibniz là tác giả của máy đo số học đầu tiên trong lịch sử - một thiết bị cho phép bạn thực hiện nhanh chóng và thuận tiện cả bốn phép tính số học.

Quy tắc trượt đầu tiên được phát minh vào những năm 20 của thế kỷ 17 bởi nhà toán học nổi tiếng người Anh William Oughtred (1574-1660), nhân tiện, người đã đề xuất sử dụng “chữ thập” × làm dấu nhân. Đã trở nên phổ biến rộng rãi, được cải tiến nhiều lần và tồn tại qua nhiều thế kỷ, thước trượt hóa ra là một trợ thủ đắc lực, tiện lợi và không thể thiếu trong nhiều phép tính thực tế. Cho đến gần đây, chính xác đây là biểu tượng của công việc kỹ thuật: một kỹ sư luôn được miêu tả bằng các biểu tượng và hình vẽ với một thước trượt bất biến trong túi áo ngực.

Tên tuổi của nhà toán học và cơ khí người Nga, người sáng lập thang toán học St. Petersburg Pafnutya Lvovich Chebyshev (1821-1894) nổi tiếng khắp thế giới: công trình của ông có ảnh hưởng quyết định đến sự phát triển của nhiều ngành toán học. P. L. Chebyshev cũng để lại dấu ấn đáng chú ý trong lịch sử công nghệ máy tính. Ông là người đầu tiên thể hiện (và thực hiện trong máy đo số học của mình) ý tưởng về sự biến đổi liên tục (chứ không phải rời rạc) của số mười thành đơn vị bậc cao. Nguyên tắc truyền liên tục hàng chục đã trở nên đặc biệt quan trọng trong thời đại chúng ta, sau sự ra đời của máy tính.

Thế kỷ 20 được đánh dấu bằng sự gia tăng mạnh mẽ hơn nữa vai trò của máy tính trong nhiều lĩnh vực hoạt động của con người. Có rất nhiều thứ để đếm và rất nhiều thứ để đếm. Trong nửa đầu thế kỷ này, thiết bị tính toán phổ biến nhất trên thế giới là máy đo số học. Các sửa đổi khác nhau của nó, được sản xuất ở các quốc gia khác nhau, về cơ bản không khác biệt so với máy đo số học được thiết kế vào năm 1890 bởi nhà phát minh St. Petersburg Vilg Teofilovich Oder (1845-1905). Nhẹ và kích thước nhỏ, đơn giản và dễ sử dụng, vận hành đáng tin cậy, máy đo số học Oderga là đỉnh cao của nghệ thuật thiết kế trong vô số thiết bị đếm.

Có ai trong số những người thuộc thế hệ cũ, mặc dù bằng cách nào đó liên quan đến tính toán hoặc xử lý dữ liệu số, lại không phải đối mặt với máy đo số học Felix cổ điển không? Cho đến gần đây, nó là công cụ điện toán đại chúng chính; nó có thể được tìm thấy ở khắp mọi nơi. Và ngày nay “Felix” chỉ là một vật trưng bày của bảo tàng lịch sử khoa học. Bị thúc đẩy bởi nhu cầu tồn tại, công nghệ máy tính ngày càng phát triển và chúng ta phải nói lời tạm biệt với người trợ lý trung thành và quen thuộc này. Những tính toán như vậy luôn có chút đáng buồn, nhưng nếu không có chúng thì khoa học sẽ không thể tiến bộ, chúng là điều không thể tránh khỏi…

8

Cấu trúc đối lưu và tự tổ chức

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
E. E. GORODETSKY.
V. S. ESIPOV

Gió và dòng hải lưu, sự chuyển động của vật chất và dòng vật chất mặt trời… Mỗi hiện tượng này đều rất phức tạp và đa dạng. Tuy nhiên, chúng (và nhiều hơn thế nữa) có một đặc điểm chung đặc trưng: sự đối lưu đóng một vai trò quan trọng trong chúng - một trong những hiện tượng đẹp nhất trong vật lý của vũ trụ vĩ mô.

Trong những năm gần đây, sự quan tâm đến hiện tượng “cũ” và tưởng chừng như quen thuộc này đã tăng mạnh. Hóa ra, sự đối lưu là một trong những quá trình do đó các hệ thống, ban đầu không có trật tự, sẽ chuyển sang trạng thái có trật tự. Sự ra đời của trật tự từ sự hỗn loạn (hay nói cách khác là tự tổ chức) là cơ chế tiến hóa cơ bản. Và khái niệm về sự đối lưu giúp chúng ta nâng cao hiểu biết về vấn đề hấp dẫn và, ở một mức độ lớn, vẫn còn mơ hồ này.

Điều kiện tồn tại của sự đối lưu

Theo nghĩa hẹp của từ này, đối lưu là sự xuất hiện các chuyển động có trật tự trong chất lỏng hoặc chất khí được làm nóng không đều.

Trong những điều kiện nào một phong trào như vậy sẽ xảy ra? Hãy chuyển sang một ví dụ đơn giản: hãy tưởng tượng rằng chúng ta làm nóng một lớp chất lỏng phẳng nằm ngang. Làm thế nào quá trình truyền nhiệt từ ranh giới phía dưới của chất lỏng lên phía trên có thể xảy ra?

Khi chênh lệch nhiệt độ ΔT của lớp chất lỏng dưới và lớp trên nhỏ, quá trình truyền nhiệt xảy ra do cơ chế dẫn nhiệt: các phân tử “nóng hơn” khi tiếp xúc với các phân tử “lạnh hơn” sẽ truyền năng lượng dư thừa cho chúng, nhưng không có chuyển động vĩ mô của chất lỏng. Tuy nhiên, khi chênh lệch nhiệt độ đạt đến một giá trị tới hạn nhất định ΔTcr thì cơ chế dẫn nhiệt là sự truyền năng lượng nhiệt gắn liền với sự xuất hiện chuyển động vĩ mô trong chất lỏng.

“Không ổn định” nghĩa là gì? “Cao hơn” theo nghĩa nào?

Chúng ta hãy xem xét những vấn đề này.

Sự ổn định và bất ổn

Qua môn học cơ học, chúng ta biết cách xác định tính ổn định của trạng thái cân bằng của một hệ: nếu khi hệ lệch khỏi vị trí cân bằng thì xuất hiện các lực có xu hướng đẩy nó quay trở lại thì trạng thái cân bằng ổn định (hình 1, a); nếu họ có thể

10

Tỷ lệ bên trong lớp phụ thuộc tuyến tính vào chiều cao $h$:

$$T(h) = T_1 - \Delta T \frac{h}{L}.$$

Vì mật độ của chất lỏng giảm khi đun nóng, nên ở phần dưới, nóng hơn, phức tạp hơn, mật độ nhỏ hơn ở phần trên - chất lỏng có mật độ rẻ. Sự phụ thuộc của mật độ vào chiều cao có dạng

$$\rho(h) = \rho_1 \left( 1 + \beta \cdot \Delta T \frac{h}{L} \right)$$

(ở đây $\rho_1$ là mật độ ở ranh giới dưới, $\beta$ là hệ số phân bố thể tích, bằng sự thay đổi đơn vị thể tích cơ thể khi nhiệt độ thay đổi 1 độ). $\Delta T$ càng lớn, mật độ chất lỏng trong lớp tăng càng nhanh khi tăng $h$. Nói cách khác, khi $\Delta T$ tăng lên, độ rẻ của mật độ trong lớp cũng tăng lên. Và điều này cuối cùng dẫn đến sự mất ổn định: chất lỏng nhẹ hơn nằm bên dưới có xu hướng dâng lên, do đó chuyển động mạnh mẽ trong toàn bộ lớp - xảy ra sự đối lưu.

Thoạt nhìn, có vẻ như các quốc gia cho rằng một phong trào như vậy không bắt đầu ngay lập tức, cho dù mức độ quá nóng của các từ thấp hơn có nhỏ đến đâu. Rốt cuộc, nếu chúng ta nhúng một vật vào chất lỏng, nó sẽ nổi lên ngay cả khi mật độ của nó ít nhất nhỏ hơn một chút so với mật độ của chất lỏng.

Để hiểu điều gì đang xảy ra ở đây, hãy tưởng tượng rằng một phần tử chất lỏng nhỏ (ví dụ: một quả bóng có bán kính $R$) bắt đầu chuyển động lên trên với tốc độ $v$. Nói chung, chúng ta có thể giả sử rằng thể tích và do đó mật độ của vật không thay đổi khi nó tăng lên. Trong trường hợp đang xem xét, phần tử chất lỏng được giải phóng, dâng lên và rơi vào những con voi lạnh hơn, giảm thể tích, trở nên đậm đặc hơn và có thể mất độ nổi. Đó là toàn bộ vấn đề!

Trước khi thu được các điều kiện để mất ổn định của chế độ dẫn nhiệt ở dạng tường minh, chúng ta sẽ đưa ra một giá trị rất quan trọng. Lưu ý đến bản chất thuần túy định tính của các ước tính của chúng tôi, chúng tôi sẽ không quan tâm chút nào đến các hệ số số trong công thức hoặc bất kỳ chi tiết nào. Vì vậy, chúng ta sẽ xem xét một phần tử chất lỏng có hình dạng quả bóng, mặc dù trên thực tế nó có thể có hình dạng phức tạp hơn. Chúng ta sẽ lấy thể tích của quả bóng này bằng $R^3$ và diện tích bề mặt của nó là $R^2$ (thay vì $4/3\pi R^3$ cho thể tích và $4\pi R^2$ cho diện tích bề mặt), v.v. Phương pháp này, được gọi là phương pháp ước tính thứ nguyên, là một giai đoạn quan trọng trong nghiên cứu vật lý, một giai đoạn mà tại đó bản chất của hiện tượng mà chúng ta quan tâm được làm rõ: nó phụ thuộc vào những thông số nào, quy mô không gian và thời gian của nó là gì, v.v. d.*)

Vì vậy, chúng ta hãy có mặt. Hãy để chúng tôi giới thiệu thời gian $t$, trong đó nhiệt độ của quả bóng (và theo đó, mật độ của nó) gần như không đổi. Trong thời gian này, quả bóng chuyển động với tốc độ gần như không đổi $v$, tăng từ cấp $h$ lên cấp $h + \Delta h$, trong đó $\Delta h = v t$. Vị trí của nó ở cấp $h$ bị chiếm giữ bởi một phần tử chất lỏng đậm đặc hơn, giảm dần từ cấp $h + \Delta h$ (hình 3). Mật độ của một quả bóng tăng từ cấp $h$ là $\rho(h) = \rho_1 (1 + \beta \cdot \Delta T \cdot h/L)$ và mật độ của một quả bóng giảm dần ở cấp $h$ là $\rho(h + \Delta h) = \rho_1 (1 + \beta \cdot \Delta T \cdot (h + \Delta h))/L$. Sự thay đổi thế năng với chuyển động ngược chiều như vậy bằng

$$(\rho(h) - \rho(h + \Delta h)) R^3 g \cdot \Delta h = - \rho_1 \beta \cdot \Delta T \frac{\Delta h}{L} R^3 g \cdot \Delta h = - \rho_1 \beta \cdot \Delta T \frac{v^2 \tau^2}{L} R^3 g.$$

Dấu trừ có nghĩa là năng lượng giảm, nghĩa là chuyển động như vậy trong chất lỏng bị đốt cháy. Tuy nhiên, cần phải tính đến các vật vẫn được thả ra do ma sát, lực cản này bằng lực cản $A = F_c \cdot \Delta h$. Lực cản có liên quan đến sự hiện diện của ma sát trong (độ nhớt) trong chất lỏng và trong trường hợp quả bóng chuyển động với tốc độ $v$, nó tỷ lệ thuận với bán kính của quả bóng và tốc độ của nó, cũng như hệ số nhớt của chất lỏng $\eta$:

$$F = \eta Rv$$

(ở đây chúng tôi lại loại bỏ hệ số tỷ lệ bằng số, hệ số này không quan trọng trong các đánh giá định tính của chúng tôi).

Do đó, độ biến thiên năng lượng khi xảy ra chuyển động trong chất lỏng bằng

$$\Delta W = (-\rho_1 \beta \cdot \Delta T \frac{v \tau}{L} R^3 g + \eta Rv) v t.$$

Hãy ước tính thời gian không có bóng $t$. Lượng nhiệt chính xác trong quả bóng ($\Delta Q = \rho R^3 c \cdot \Delta T$ ($\rho R^3$ là khối lượng của quả bóng, $c$ là nhiệt dung riêng). Lượng nhiệt $\Delta q$, truyền từ vật nóng sang vật lạnh trong một đơn vị thời gian thông qua một đơn vị tiếp xúc giữa các vật này (giá trị này được gọi là thông lượng nhiệt),

*) Bạn có thể đọc về phương pháp ước tính thứ nguyên trong chương “Tính toán không cần tính toán” trong cuốn sách “Tìm kiếm sự thật” của A. V. Migdal (bộ Eureka, nhà xuất bản Molodaya Gvardiya, 1983).

11

Sự phát triển nhiệt độ $\Delta T$ của vật nóng và vật lạnh tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghịch với độ dày của lớp chuyển tiếp; hệ số tỷ lệ (đặc trưng cho tính chất dẫn nhiệt của cơ thể) được gọi là hệ số dẫn nhiệt và được ký hiệu là $x$. Trong trường hợp quả bóng của chúng ta, độ dày của lớp chuyển tiếp là bán kính của quả bóng và $\Delta q = x \cdot \Delta T/R$. Thời gian quả bóng còn lại là thời gian mà toàn bộ nhiệt lượng dư thừa $\Delta Q$ sẽ có thời gian di chuyển từ quả bóng qua bề mặt của nó đến chất lỏng xung quanh. Do đó, thời gian $\tau$ được xác định bởi các điều kiện $\Delta Q = \Delta q \cdot R^2 \tau$, từ đó

$$\tau = \frac{\Delta Q}{\Delta q \cdot R^2} = R^2 \frac{\rho c}{\chi}.$$

Tổ hợp $\chi/(\rho c)$ được gọi là hệ số dẫn nhiệt và được ký hiệu là $x$. Vậy $\tau = R^2/\chi$.

Thay thế giá trị tìm thấy $\tau$ vào biểu thức cho $\Delta W$, chúng ta nhận được:

$$\Delta W = R^3 \frac{\eta}{\chi} \left( 1 - \frac{\rho_1 \beta g L^3 \cdot \Delta T}{L \eta \chi} \right) v^2.$$

Theo nguyên tắc chung, tại $\Delta W > 0$ chuyển động xảy ra ngẫu nhiên mờ dần (tương tự với hình 1, và tại $\Delta W < 0$ chuyển động tiếp tục (tương tự - hình 1, b) - trạng thái của chất lỏng nghỉ (chế độ dẫn điện) trở nên không ổn định. Điều kiện $\Delta W < 0$ được thỏa mãn khi

$$\frac{\rho_1 \beta g R^4 \cdot \Delta T}{L \eta \chi} > 1.$$

Lưu ý rằng sự bất bình đẳng này bao gồm kích thước của quả bóng $R$: $R$ càng lớn, quả bóng càng dễ dàng lao lên trên. Điều này có nghĩa là trước hết, quả bóng có kích thước tối đa có thể trong một tình huống nhất định sẽ bắt đầu chuyển động. Nhưng kích thước tối đa có thể này, rất dài, bằng độ dày của lớp. Do đó, trong bất đẳng thức cuối cùng chúng ta có thể đếm $R \approx L$.

Vì vậy, chúng ta đã thu được các điều kiện xác định sự bắt đầu của chuyển động đối lưu:

$$\frac{\rho_1 \beta g L^3 \cdot \Delta T}{\eta \chi} > 1.$$

Bạn thấy rằng sự phát triển tới hạn của nhiệt độ tại đó xảy ra liên kết bán dẫn được xác định bởi các thông số của chất lỏng (độ nhớt $\eta$, độ khuếch tán nhiệt $\chi$, v.v.), cũng như độ dày của lớp $L$. Độ dày của lớp càng lớn thì chênh lệch nhiệt độ ở ranh giới dưới và trên của nó càng nhỏ, chế độ dẫn nhiệt được thay thế bằng chế độ đối lưu.

Thay thế giá trị $R \approx L$ vào biểu thức của $\Delta W$, chúng ta tìm thấy

$$\Delta W = L^3 \frac{\eta}{\chi} \left( 1 - \frac{\rho_1 \beta g L^3 \cdot \Delta T}{\eta \chi} \right) v^2.$$

bài toán của chúng tôi hài lòng; chúng tôi đã tìm thấy một hàm có giá trị cực tiểu xác định vị trí cân bằng của hệ - đây là $\Delta W(v)$. Khi sự phát triển của $\Delta T$ nhỏ, đồ thị của $\Delta W(v)$ có dạng tương tự như biểu đồ được hiển thị trong hình 1 và mức tối thiểu đạt được là $v = 0$. Khi $\Delta T$ lớn đến mức $\Delta W < 0$, chúng ta chuyển sang tình huống được mô tả trong hình 1, b, nghĩa là sự chuyển đổi tự phát (tự phát) của chất lỏng từ trạng thái có tốc độ bằng 0 sang trạng thái có tốc độ khác 0.

Cuối cùng là cấu trúc!

Như vậy, ta đã tìm được điều kiện để mất ổn định. Nhưng điều gì sẽ xảy ra với chất lỏng tiếp theo?

Trước hết, điều quan trọng là phải dạy chuyển động đi lên đồng thời. Một chuyển động đi lên chắc chắn sẽ dẫn đến nhiệt độ thấp. Và những dòng chảy đi lên và hèn nhát này phải được phân phối bằng cách nào đó trong lớp của chúng ta.

Hóa ra là một hệ trong đó có các dòng năng lượng hoặc vật chất (những hệ như vậy được gọi là không cân bằng) được sắp xếp theo cách tuân theo năng lượng của các năng lượng tối thiểu.*) Trong trường hợp chúng ta đang xem xét, các dòng chất lỏng đi lên và hèn nhát được sắp xếp chặt chẽ, tạo thành một rất đẹp và điều đặc biệt nổi bật là

*) Đây dường như là một nguyên tắc rất chung chung. Tuy nhiên, hiện tại không có bằng chứng nghiêm ngặt về tính hợp lệ của nó.

12

một bức tranh rất chính xác: lớp sự sống “phân tách” thành các dấu hiệu (còn gọi là tế bào Benard - được đặt theo tên của nhà nghiên cứu người Pháp lần đầu tiên quan sát và mô tả hiện tượng này), dọc theo các rìa của nó, sự sống dâng lên và tầm nhìn chảy xuống ở trung tâm, hoặc ngược lại. Động năng của mặt cắt ngang của lăng kính xấp xỉ bằng $L$. hình 4 hiển thị ảnh chụp cấu trúc như vậy (góc nhìn từ trên xuống; bên phải là hình ảnh phóng to của cùng các ô).

Sự xuất hiện tự phát của một cấu trúc luôn gây ngạc nhiên cho những ai lần đầu tiên gặp hiện tượng này là một thực tế có tầm quan trọng vượt xa phạm vi của vấn đề đối lưu.

Các loại mất ổn định khác

Lý do cho sự không ổn định về khoảng cách phục vụ chúng ta là sự hiện diện của dòng nhiệt xuyên qua ranh giới của sự sống và sự không đồng nhất về mật độ về độ cao. Chúng ta sẽ thu được một kết quả hoàn toàn tương tự trong trường hợp mật độ phi hydro không phải do chênh lệch nhiệt độ mà do sự phân biệt thành phần của sự sống và các lớp sự sống phía trên. Ví dụ, khi nước ở phía trên mặn hơn (và do đó nặng hơn) so với nước ở phía dưới. Ở đây chúng ta chuyển sang một loạt vấn đề rất thú vị và đa dạng liên quan đến sự đối lưu trong chất lỏng hai thành phần. Một ví dụ về hệ thống như vậy là đại dương. Trên thực tế, trong đại dương, ngoài thành phần phi hydro còn có nhiệt độ phi hydro. Sự kết hợp của các yếu tố này dẫn đến nhiều đặc điểm đặc trưng của đại dương và đặc biệt là hình thành các lớp ổn định trong đó với độ mặn và nhiệt độ khác nhau (gọi là sự phân tầng đại dương).

Để hiểu cấu trúc như vậy được hình thành như thế nào, hãy xem xét nước ở các lớp dưới có nhiệt độ và độ mặn cao hơn ở các lớp trên. Đồng thời, ngay cả khi mật độ của nước ở phía dưới lớn hơn ở phía trên (nghĩa là có vẻ như trạng thái cân bằng ổn định và quá trình truyền năng lượng sẽ diễn ra theo cách dẫn nhiệt thông thường), tuy nhiên vẫn có thể chuyển từ chế độ dẫn nhiệt sang chế độ đối lưu.

Thật vậy, chúng ta hãy tưởng tượng rằng một phần tử nhỏ của sự sống bắt đầu di chuyển lên trên. Giả sử nhiệt độ và độ mặn của nó không thay đổi. Vì mật độ của phần tử lớn hơn mật độ của môi trường xung quanh nên nó sẽ sớm bị bỏ rơi và bắt đầu chìm xuống, quay trở lại vị trí cân bằng. Một chuyển động dao động của phần tử đang xét xảy ra, tương tự như chuyển động dao động của một vật treo lơ lửng bên ngoài. Một dao động như vậy tắt dần một cách tự nhiên do

13

do bản chất ngôn ngữ của chất lỏng. Và bây giờ hãy lưu ý rằng trong quá trình đi lên, phần tử đã chọn, kết thúc ở các lớp lạnh hơn, vẫn còn lại. Điều này dẫn đến “trọng lượng” của nó, do đó, khi trở về vị trí cân bằng, nó có tốc độ lớn hơn tốc độ mà nó bắt đầu chuyển động (giống như thể một trọng lượng đang bị đẩy, dao động ra ngoài). Lực đẩy như vậy có thể cản trở sự tắt dần của dao động và biên độ dao động bắt đầu giảm. Đây là sự bất ổn. (Sự không ổn định như vậy được gọi là đối lưu dao động.) Biên độ dao động tăng đến một giá trị giới hạn nhất định, giá trị này xác định độ dày của lớp. Do những rung động như vậy, chất lỏng bên trong lớp được trộn lẫn tích cực. Nhiệt độ và độ mặn của nước gần như không đổi trong một lớp. Sau khi một lớp như vậy được hình thành, một lớp khác bắt đầu phát triển phía trên nó, rồi đến lớp thứ ba, v.v.

Cấu trúc xuất hiện trở lại. Nhưng lần này nó có nhiều lớp.

Và anh ấy muốn kể cho chúng ta về một loại mất ổn định đối lưu nữa. Ai trong số các bạn chưa từng thấy nước xoáy như thế nào khi nó chảy ra khỏi lỗ thoát nước trên bồn rửa?

Để làm được điều này, chúng tôi xin trích dẫn: mọi người đều nhận thấy rằng hải âu khi khuấy đường vào ly trà luôn tụ tập về phía trục của ly. Cả hai đều là một phần biểu hiện của sự mất ổn định, được gọi là mất ổn định Taylor (được đặt theo tên của nhà khoa học người Anh J. I. Taylor (1886-1975), người đã tham gia nghiên cứu về aerofundamics).

Ở dạng tinh khiết nhất, sự mất ổn định Taylor xảy ra trong chất lỏng nằm giữa hai hình trụ quay bằng gỗ thông. Các xi lanh mang theo chất lỏng cùng với chúng, do đó nó bắt đầu quay. Tuy nhiên, ở một sự khác biệt nhất định về vận tốc góc của xi lanh bên trong và bên ngoài, chuyển động quay của chất lỏng trở nên không ổn định và cùng với chuyển động quay, chuyển động của chất lỏng xuất hiện theo hướng xuyên tâm. Tình huống rất giống với tình huống chúng ta đã thảo luận ở trên. Sự khác biệt duy nhất là ở lớp nằm ngang, “trên” và “dưới” được phân bổ theo hướng của gia tốc rơi tự do g, nhưng ở đây “trên” và “dưới” được xác định theo hướng của gia tốc hướng tâm. Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta thấy một phần tử chất lỏng tách biệt trong phao do mật độ của nó không có thời gian để cân bằng mật độ của môi trường (quả bóng không có thời gian để nguội). Ở đây, tốc độ quay của phần tử chất lỏng vô tình di chuyển dọc theo bán kính, không có thời gian để cân bằng tốc độ quay của các lớp chất lỏng mà nó rơi vào.

Do sự phát triển của sự mất ổn định như vậy, chất lỏng quay giữa các xi-lanh phát triển trên hệ thống “vô lăng” (hình 5; mũi tên đen chỉ hướng của chất lỏng chảy bên trong “vô lăng” đang quay). Một cấu trúc có trật tự lại xuất hiện!

Nói chung, chúng ta có thể nói rằng sự quay của chất lỏng trong một mặt phẳng, theo quy luật, dẫn đến chuyển động của nó trong một mặt phẳng tuần hoàn.

(Cuối cùng xem trang 22)

14

Giới thiệu
trong phép đo lập thể,
hoặc
“Trò chơi tiên đề”

Ứng viên khoa học sư phạm
A. N. ZEMLYAKOV

Bài viết này chủ yếu nhắm đến những học sinh lớp chín đã bắt đầu nghiên cứu phép đo lập thể bằng sách giáo khoa của Viện sĩ A.V. Pogorelov. Nó cũng có thể được giáo viên sử dụng khi củng cố các tài liệu ở § 14 của sách giáo khoa này. Bản chất của các câu hỏi được thảo luận trong bài viết - về ý nghĩa của các công thức tiên đề, về vai trò của các tiên đề khác nhau, về những khó khăn logic nảy sinh trong việc chứng minh các định lý - có lẽ sẽ dễ hiểu và thú vị đối với tất cả những người yêu thích hình học và logic. Bạn sẽ xem qua § 14 trong cuốn sách “Hình học 6-10” (G., trang 175-177) của A. V. Pogorelov và xem có bao nhiêu “sự khác biệt” và “điều thú vị”, “thủ thuật” và “đủ mọi thứ” chỉ trong ba trang sách giáo khoa. Vì vậy, chúng ta hãy đi…

1. Từ phép đo phẳng đến phép đo lập thể

…Hãy nghĩ về ý nghĩa, và lời nói sẽ tự xuất hiện!
Lewis Carroll

Bạn đã nghiên cứu - đã đậu - ba tiên đề không gian C₁, C₂ và C₃ (Γ., tr. 175), và có lẽ cả ba định lý - 14.1, 14.2 và 14.3 (Γ., tr. 176-177). Bây giờ chúng tôi sẽ cùng bạn xem qua chúng, kiểm tra xem bạn có hiểu rõ mọi thứ trên ba trang lập thể đầu tiên hay không. Trong chứng minh định lý thứ nhất -

14.1: Qua một đường thẳng và một điểm không nằm trên đó, có thể kiểm tra mặt phẳng, chỉ dùng một irite

— không chỉ các tiên đề không gian được sử dụng—

C₂: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng cắt nhau theo đường thẳng

C₃: Nếu hai mặt phẳng khác nhau có một điểm chung thì thông qua chúng bạn có thể kiểm tra mặt phẳng đó, chỉ sử dụng một mặt phẳng

• nhưng cũng có hai tiên đề, được gọi là “tiên đề phẳng” trong sách giáo khoa, hay chính xác hơn là “tiên đề phẳng” (Γ., tr. 175) - I₁ và I₂:

I₁: Dù đường thẳng là gì thì cũng có những điểm thuộc đường này và có những điểm không thuộc đường đó

I₂: Thông qua bất kỳ điểm nào bạn có thể kiểm tra một đường và chỉ một

Câu hỏi ngay lập tức được đặt ra: ý nghĩa của những “tiên đề phẳng” này trong phép đo lập thể là gì? Thật vậy, trong phép đo mặt phẳng, các tiên đề I₁ và I₂ đã mô tả các tính chất cơ bản của “sự thuộc về các điểm và đường thẳng trên một mặt phẳng” (Γ., trang 4). Các công thức đầy đủ của họ trong phép đo mặt phẳng xác thực hơn những công thức được đưa ra ở trên:

(I₁): Dù là đường thẳng (trong mặt phẳng), có những điểm (mặt phẳng) thuộc đường thẳng này và có những điểm (mặt phẳng) không thuộc đường thẳng đó

(I₂): Qua bất kỳ điểm (mặt phẳng) nào bạn có thể kiểm tra một đường thẳng và chỉ một

15

(lưu ý rằng chúng tôi đã thay đổi hình thành các tiên đề - “điều chỉnh” chúng cho phù hợp với mặt phẳng). Các lá phẳng - phát biểu ($I_1$) và ($I_2$) đúng ở mặt phẳng nào - có các tiên đề nhóm I trong phép đo lập thể? Hoặc có lẽ họ đang nói về điểm và đường thẳng trong không gian, tức là trong các công thức vừa cho trong ngoặc đơn, cùng với từ “mặt phẳng”, bạn cần thêm từ “không gian” (ví dụ: $I_1$: Dù đường thẳng nào trong không gian thì cũng có điểm trong không gian… v.v.)?

Hãy dành thời gian của bạn để đọc thêm. Hãy thử trả lời các câu hỏi đã đặt ra, mở SGK và xem các tiên đề $I_1$ và $I_2$ được sử dụng như thế nào trong chứng minh định lý thứ nhất - 14.1.

Bạn đã nhìn chưa? Chúng ta hãy cùng nhau theo dõi tiến trình chứng minh Định lý 14.1. Đây là nội dung của sách giáo khoa.

Giả sử $a$ là một đường thẳng cho trước và $B$ một điểm không nằm trên đó.

Ở đây chúng ta chỉ giới thiệu ký hiệu cho các điều kiện của định lý.

Chúng ta hãy đánh dấu một số điểm $A$ trên đường $a$. Điểm như vậy tồn tại theo tiên đề $I_1$.

Dừng lại! Nếu việc giải thích tiên đề $I_1$ là phẳng, thì để áp dụng nó, đường thẳng $a$ cần phải nằm trong một mặt phẳng nào đó. Nhưng một tiên đề như vậy - chẳng hạn như “Với mọi đường thẳng đều có một mặt phẳng đi qua nó” - than ôi, không có tiên đề nào như vậy trong sách giáo khoa. Điều này có nghĩa là tiên đề của phép đo phẳng $I_1$ trong phép đo lập thể nên được hiểu là không gian. Hãy tiếp tục “cuộc điều tra”. Cụm từ sau đây từ bằng chứng:

Chúng ta vẽ một đường thẳng $b$ đi qua các điểm $A$ và $B$ (tiên đề $I_2$).

Đáng giá một lần nữa! Việc giải thích phép đo phẳng yêu cầu các điểm $A$ và $B$ nằm trong cùng một mặt phẳng để áp dụng tiên đề $I_2$. Nhưng chúng ta không có tiên đề nào đảm bảo điều này. Điều này có nghĩa là tiên đề $I_2$ cũng rất rộng, chỉ trùng khớp ở cách thức diễn đạt bằng lời nói ngắn gọn với tiên đề phẳng $I_2$ từ § 1.

Hãy tóm tắt. Các tiên đề của phép đo phẳng $I_1$ và $I_2$ trong phép đo lập thể có nghĩa rộng (“Hãy nghĩ về ý nghĩa!”), và công thức đầy đủ của chúng phải bao gồm các từ tương ứng (“các từ sẽ tự xuất hiện!”). Dưới đây là các tuyên bố đầy đủ:

$I_1$: Dù là đường thẳng nào trong không gian thì cũng có những điểm trong không gian thuộc về đường thẳng này và có những điểm trong không gian không thuộc về đường thẳng đó (đường thẳng);

$I_2$: Thông qua hai điểm bất kỳ trong không gian, bạn có thể kiểm tra một đường thẳng (trong không gian) và chỉ một đường thẳng.

Các tiên đề phẳng ($I_1$) và ($I_2$) trong phép đo lập thể đã trở thành các định lý:

$I_1'$. Dù đường thẳng nào trong một mặt phẳng thì cũng có những điểm trên mặt phẳng này thuộc về đường thẳng đó và có những điểm trên mặt phẳng này không thuộc về nó (đường thẳng);

$I_2'$. Qua hai điểm bất kỳ trong không gian, người ta có thể kiểm tra một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này chỉ bằng một điểm.

Tất nhiên, Định lý $I_2'$ tuân theo Định lý 14.2 và tiên đề mở rộng $I_2$. Phát biểu đầu tiên của Định lý $I_1'$ thậm chí còn rõ ràng hơn (hãy nghĩ về nó!). Nhưng chúng ta vẫn cần phải mày mò với tuyên bố thứ hai. Hãy xây dựng nó dưới dạng bài toán.

Bài toán 1. Cho một mặt phẳng $a$ và một đường thẳng $a$ nằm trong đó. Chứng minh rằng tồn tại những điểm thuộc mặt phẳng $a$ nhưng không thuộc đường thẳng $a$.

2. Từ tiên đề đến định lý

Tìm ra ai đang nói với bạn?

• Nghe mọi thứ mà không có chi tiết…
  Voris Pasternak

Đã giải xong trang 175, chúng ta hãy chuyển sang các trang tiếp theo của sách giáo khoa - chứng minh ba định lý đầu tiên. Trước tiên, chúng tôi khuyên bạn nên làm bài toán: đặt các mũi tên trên sơ đồ (hình 1, trên đó các tiên đề được biểu thị bằng hình tròn và định lý bằng hình vuông) cho biết

16

các mệnh đề được sử dụng trong chứng minh Định lý 14.1, 14.2 và 14.3. Chúng ta đã chỉ ra hai mũi tên tương ứng với các tiên đề I₁ và I₂ được sử dụng trong phần chứng minh của Định lý 14.1.

Để đặt chính xác các mũi tên còn lại, bạn cần một lần nữa đọc kỹ tất cả các chi tiết của dữ liệu trong sách giáo khoa chứng minh định lý.

Trong khi bạn đang ở đó, chúng ta sẽ xem xét cách chứng minh định lý thứ hai:

14.2. Nếu hai điểm của một đường thẳng thuộc một mặt phẳng thì toàn bộ đường thẳng đó thuộc mặt phẳng đó

(tại hình bên trái, điều không thể được mô tả - một đường thẳng không thể “xuyên thủng” mặt phẳng tại hai điểm!). Vì vậy, cho đường thẳng a và mặt phẳng α có hai điểm chung. Chúng ta xét điểm A∉α (tiên đề I₁), rồi đến mặt phẳng α’, đi qua đường thẳng a và điểm A (và đây là… cái gì?).

Sự tồn tại của một mặt phẳng như vậy được đảm bảo bởi Định lý 14.1 đã được chứng minh - và, nhân tiện, đây là lý do tại sao trong bước đầu tiên của chứng minh, chúng ta lấy điểm A nằm ngoài đường thẳng a (theo “tiên đề” I₁), chứ không phải trong mặt phẳng α (“theo tiên đề” C₁). Cũng lưu ý rằng không có tài liệu tham khảo rõ ràng nào về Định lý 14.1 trong sách giáo khoa - nó được ngụ ý. Theo quy tắc của chúng tôi, chúng tôi sẽ đặt một mũi tên trên sơ đồ từ hình vuông 14.1 đến hình vuông 14.2.

Phần còn lại của chứng minh sử dụng tiên đề C₂ (một lần nữa không

Hình 1.

rõ ràng - không có tham chiếu) và tiên đề I₁, sao cho tổng cộng bốn mũi tên sẽ được vẽ vào hình vuông 14.2 trên sơ đồ.

Bạn đã đặt mũi tên chưa? Kiểm tra sơ đồ của bạn với sơ đồ của chúng tôi, được đưa ra trên trang. 18 (xem hình 4). Một tình huống gây tò mò nhất được tiết lộ - từ tiên đề C₁:

C₁: Dù là mặt phẳng nào thì cũng có những điểm thuộc mặt phẳng này và có những điểm không thuộc mặt phẳng đó

không có mũi tên nào tới! Có lẽ nó không cần thiết chút nào vì nó chưa được sử dụng? Dừng lại! Nghĩ!

Nếu bạn giải được tất cả bài toán đến §14, thì trong hai trong số đó bạn phải sử dụng tiên đề “lạ” này - chính xác là trong cái nào? Trên thực tế, tiên đề C₁ là tiên đề không gian thiết yếu nhất. Từ đó suy ra rằng có các mặt phẳng giao nhau trong không gian (nếu không thì chúng ta đang nói về điều gì trong tiên đề C₂!), có những điểm không nằm trong cùng một mặt phẳng (xem bài toán 1, 5, 10 đến §14), chúng ta có thể coi các đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng (xem bài toán 2 và 9 đến §14). Chúng ta hãy xây dựng các tuyên bố này dưới dạng bài toán:

2. Chứng minh rằng có hai mặt phẳng cắt nhau trong không gian.

3. Chứng minh rằng có hai đường thẳng trong không gian không cùng thuộc một mặt phẳng.

4. Chứng minh rằng trong không gian 所述 có 4 mũi tên không cùng nằm trong một mặt phẳng.

5. Chạy vòng tròn

Khi ném sỏi xuống nước, hãy nhìn vào các vòng tròn hoặc hình dạng; nếu không việc ném như vậy sẽ chỉ là niềm vui trống rỗng.

Kozma Prutkov

Hãy xem lại Định lý 14.1 - 14.3. Xin lưu ý: cách diễn đạt đầu tiên trong số chúng (xem đoạn 1) tương tự như cách diễn đạt thứ ba -

14.3: Qua ba điểm không thẳng hàng có thể vẽ được một mặt phẳng và chỉ có một

Cả hai đều chứa hai phát biểu: về sự tồn tại của một mặt phẳng (“có thể vẽ một mặt phẳng”) và về cường độ của nó.

18

Hình 3.

Phải nói rằng sai lầm này là phổ biến và ngấm ngầm; Vì vậy, trong suốt nhiều thế kỷ, các “chứng minh” về tiên đề song song (tiên đề V từ §1 trong sách giáo khoa của A.V. Pogorelov, tương đương với tiên đề thứ năm của Euclid) đã xuất hiện, ngay cả bởi các nhà toán học chuyên nghiệp. Chỉ sau khi “điều tra” kỹ lưỡng, người ta mới phát hiện ra một vòng luẩn quẩn trong họ. Nhưng đó là một chủ đề khác.

Có lẽ một số độc giả đã để lại cảm giác không hài lòng - sai lầm “Vẫn còn có gì đó ở đây!” Thật vậy, vòng luẩn quẩn của chúng ta có thể bị “phá vỡ” nếu chúng ta chia Định lý 14.1 thành hai phần:

14.1.A. Một mặt phẳng có thể vẽ được qua một đường thẳng và một điểm không nằm trên đó và
14.1.B. và chỉ có một.
Trong chứng minh Định lý 14.2, chỉ sử dụng mệnh đề 14.1.A, do đó cấu trúc đầy đủ của lập luận có thể được thực hiện theo sơ đồ được mô tả trong hình 5.
Như bạn có thể thấy, nếu không có tiên đề C₂ thì vẫn không thể chứng minh đầy đủ Định lý 14.1.

4. Kết luận: câu hỏi và bài toán “cuối cùng”

Khi kết thúc chuyến tham quan §1, tôi sẽ hỏi thêm ba câu hỏi nữa cho nội dung sách giáo khoa.

I. Trong sách giáo khoa lời giải bài toán 5 (tr. 176) một trường hợp logic có thể bị bỏ qua - trường hợp nào? Phải làm gì trong trường hợp này?

II. Các điều kiện được thảo luận trong sách giáo khoa bài toán 7 (tr. 177) nói về các đường thẳng cắt nhau giữa hai đường thẳng a và b nhưng không đi qua giao điểm A của chúng. Yêu cầu cuối cùng này có quan trọng không? Nó có được sử dụng trong lời giải không?

III. Trong sách giáo khoa của A.V. Pogorelov (ấn bản 1982-1985), trong chứng minh Định lý 14.1 có thêm một từ toán học - cái gì? Tìm anh ấy.

Và “cuối cùng” - bốn bài toán nữa về một chủ đề tương tự.

5. Chứng minh rằng qua một đường thẳng bất kỳ trong không gian người ta có thể vẽ được: a) ít nhất một mặt phẳng; b) ít nhất hai mặt phẳng khác nhau; c) có vô số mặt phẳng.

(Cuối cùng xem trang 28)

Hình 4.

18

20

Tuy nhiên, chúng ta sẽ chỉ giới hạn ở hiện tượng quang phát quang.
Hãy bắt đầu với các thí nghiệm nghiên cứu tính chất của chất lỏng huỳnh quang.

Thí nghiệm 1. Chúng ta cần một nguồn sáng và một cuvet. Ở nhà, bạn có thể sử dụng máy chiếu slide làm nguồn, trong đó cùng với slide, bạn cần chèn một miếng bìa cứng hoặc giấy bạc có khoét lỗ ở giữa (đường kính 2-3 mm). Điều này cho phép bạn thu được chùm ánh sáng phân kỳ yếu. Cuvet có thể là chai nước hoa hoặc tương tự. Nếu bình chứa đầy nước sạch và nhìn từ bên cạnh (như minh họa trong hình 1), thì chùm ánh sáng trong nước thực tế sẽ không nhìn thấy được (nó chỉ nhìn thấy được ở ranh giới thủy tinh). Nếu thay nước bằng dầu hỏa thì bên trong cuvet chúng ta sẽ thấy một sọc trắng xanh. Lý do cho điều này là sự phát huỳnh quang của dầu hỏa.

Huỳnh quang cũng có thể được quan sát thấy trên các loại dầu gội hòa tan khác trong nước, do đó độ sáng của huỳnh quang khá lớn. Sau đó chúng ta sẽ bắt đầu thêm từng chút một dung dịch kali iodua. Độ sáng của ánh sáng sẽ giết chết,

Thí nghiệm 2. Đổ đầy bình bằng dung dịch dầu gội trong nước sao cho độ sáng của huỳnh quang đủ cao. Sau đó chúng ta sẽ bắt đầu thêm từng chút một dung dịch kali iodua. Độ sáng của ánh sáng sẽ giết chết,

Hình 1.

cho đến khi dung dịch ngừng phát huỳnh quang hoàn toàn. Hiện tượng này được gọi là sự dập tắt phát quang. Chất lượng có thể được giải thích theo cách này. Một phân tử chất lỏng, được bao bọc trong ánh sáng, ở trạng thái thoáng khí trong khoảng thời gian ban đầu, theo tiêu chuẩn thể tích, - vào cỡ $10^{-8}-10^{-9}$ s. Nhưng ngay cả trong thời gian ngắn này, nó có thể tương tác rất nhiều với một phân tử chất chữa cháy (trong trường hợp của chúng ta là kali iodua) và truyền một phần hoặc toàn bộ năng lượng kích thích sang nó, cuối cùng sẽ biến thành nhiệt. Như vậy quá trình tái phát thải sẽ không diễn ra.

Những hiện tượng tương tự xảy ra ở nồng độ cao của chất huỳnh quang. Các phân tử của nó va chạm mạnh, đồng thời năng lượng dư thừa (năng lượng kích thích) dễ dàng chuyển thành nhiệt. Đây là lý do tại sao dung dịch có nồng độ dầu gội cao sẽ phát ra ánh sáng yếu hơn.

Rõ ràng là nhiệt độ của dung dịch càng cao thì xác suất va chạm giữa các phân tử càng cao. Hóa ra nhiệt độ tăng cũng có tác dụng dập tắt. Bạn có thể tự kiểm tra điều này.

Thí nghiệm 3. Trong thí nghiệm trước chúng tôi đã dập tắt huỳnh quang. Hãy cố gắng làm sáng ánh sáng.

Kinh nghiệm cho thấy trong dung dịch nước, ion hydro có tác dụng dập tắt khá mạnh. Hãy cố gắng giảm nồng độ của chúng bằng cách thêm một vài giọt dung dịch kiềm (KOH hoặc NaOH) vào dung dịch dầu gội - cường độ huỳnh quang sẽ tăng lên rõ rệt.

Thí nghiệm 4. Hãy đặt bộ lọc màu xanh lam (hình 2) trên đường đi của chùm tia từ máy chiếu trên cao. Dung dịch rivanol trong cuvet tiếp tục phát sáng với màu sắc đặc trưng. Điều tương tự cũng xảy ra với bộ lọc màu xanh lá cây, nhưng bộ lọc màu đỏ làm cho huỳnh quang biến mất. Tại sao?

Năm 1852, nhà vật lý và toán học người Anh J. G. Stokes đã chứng minh rằng trong quá trình phát huỳnh quang, bước sóng của ánh sáng phát ra lớn hơn bước sóng của ánh sáng kích thích (định luật Stokes). Mô hình này rất dễ hiểu nếu chúng ta nhớ lại phần giải thích về cơ chế huỳnh quang ở đầu bài viết.

21

Hình 2.

Tuy nhiên, đôi khi quy luật Stoksa bị vi phạm, và năng lượng của lượng tử được phát lại hóa ra lại lớn hơn năng lượng của lượng tử được hấp thụ. Điều này có nghĩa là phân tử đang ở trạng thái kích thích, nhận thêm một phần năng lượng nhiệt, chuyển sang trạng thái năng lượng cao hơn nữa và sau đó chuyển toàn bộ năng lượng dư thừa của nó cho một lượng tử ánh sáng.

Hãy quay lại trải nghiệm. Xem xét rằng
λ đèn xanh > λ đèn xanh >
λ đèn vàng > λ đèn đỏ, thì rõ ràng rằng trong trường hợp của chúng ta định luật Stoks được thỏa mãn.

---

Trong tất cả các thí nghiệm được xem xét cho đến nay, chúng tôi đã quan sát thấy sự phát huỳnh quang của chất lỏng trong khi nghiên cứu sự phát huỳnh quang của tinh thể.

Sự khác biệt bên ngoài của các loại phát quang này - xét về thời gian xảy ra hậu quả - là do sự khác biệt trong chính quá trình tái phát xạ. Trong trường hợp đầu tiên, “tế bào” huỳnh quang là một phân tử đơn lẻ. Bên trong nó diễn ra quá trình kích thích và trở về trạng thái kích thích mới, kèm theo đó là sự phát xạ ánh sáng. Trong trường hợp thứ hai, không phải một phân tử đơn lẻ tham gia phát quang mà là một số lượng lớn hơn các phân tử đó – gần như là toàn bộ mạng tinh thể. Lời giải thích về cơ chế huỳnh quang cho trường hợp này có thể được tìm thấy trong tài liệu được liệt kê ở cuối bài viết.

Photpho tinh thể bao gồm sunfua không toron (hợp chất hóa học của kim loại với lưu huỳnh), chủ yếu là sunfua của kim loại nhóm II trong bảng tuần hoàn các nguyên tố: CaS, ZnS, SrS, BaS. Nổi tiếng nhất trong số đó là lốc xoáy lưu huỳnh (ZnS), mà chúng ta sẽ thử nghiệm.

Để điều chế kẽm sunfua, bạn cần lấy 1 phần trọng lượng bột lưu huỳnh (màu lưu huỳnh) và 2 phần trọng lượng bột kẽm. Những chất này được trộn và đun nóng. (Do khí thoát ra có mùi hăng, tốt nhất nên tiến hành thí nghiệm ngoài trời hoặc trong tủ hút trong phòng hóa học của trường.) Lốc xoáy lưu huỳnh thu được được trộn với keo và dán lên một tấm bìa cứng - màn phát quang đã sẵn sàng.*)

Bạn có thể chuẩn bị ngay một màn phát quang khác bằng cách thêm một ít mạt đồng vào hỗn hợp bột lưu huỳnh và kẽm ban đầu.

Sau đó hãy bắt đầu thử nghiệm.

Thí nghiệm 5. Hãy chiếu một chùm tia từ máy chiếu trên cao lên màn hình có kẽm disulfua (chúng ta sẽ cố gắng không nhìn vào đèn) và tắt nguồn. Trong bóng tối thực sự, màn hình sẽ phát sáng với ánh sáng xanh nhạt trong vài chục giây. Hãy làm thí nghiệm tương tự với màn hình kích hoạt bằng đồng. Ánh sáng của nó sẽ có màu sắc khác, sáng hơn và lâu hơn theo thời gian.

Thí nghiệm 6. Hóa ra nếu đun nóng phốt pho thì tốc độ phát quang của nó sẽ tăng lên. Hãy làm nóng đồng xu và (sau khi tắt đèn) áp nó vào mặt sau của màn hình. Tại điểm tiếp xúc với đồng xu, màn hình sẽ nhấp nháy sáng nhưng sau đó nhanh chóng tắt đi - vị trí của đồng xu sau đó sẽ bị che khuất bởi một điểm tối trong ánh sáng mờ dần của màn hình.

Thí nghiệm 7. Cho đến nay chúng ta chỉ chiếu xạ phốt pho bằng ánh sáng khả kiến. Tôi tự hỏi chúng sẽ hoạt động như thế nào nếu tiếp xúc với các tia từ phần vô hình của quang phổ, chẳng hạn như tia cực tím?

Hãy sử dụng đèn cực tím, tiếp tục trong cửa hàng. Trong bóng tối, hãy chiếu một chùm tia cực tím lên một màn làm bằng lưu huỳnh cycn. Chúng ta sẽ thấy chu kỳ lưu huỳnh bùng lên rực rỡ.

Nhiều chất có khả năng phát quang dưới tia cực tím, ngay cả những chất không phát quang dưới ánh sáng trực tiếp.

*) Zycn sulfide có thể bị “phá vỡ” bằng cách cạo nó khỏi đồ chơi cây thông Noel phát sáng trong bóng tối.

22

Sự phát quang đã tìm thấy ứng dụng thực tế của nó, chủ yếu là trong đèn huỳnh quang (đèn huỳnh quang). Trong những loại đèn chứa hơi thủy ngân như vậy, sự phóng điện của khí bị kích thích, kèm theo ánh sáng rực rỡ chứa chủ yếu là tia cực tím. Thành của đèn được phủ một lớp phốt pho có thành phần đặc biệt, hấp thụ tia cực tím và chuyển nó thành ánh sáng khả kiến.

Những loại đèn như vậy tiết kiệm hơn nhiều so với đèn sợi đốt. Ngoài ra, thành phần quang phổ của ánh sáng của chúng gần giống với ánh sáng ban ngày và do đó dễ chịu hơn cho mắt.

---

Bạn chỉ mới làm quen với một phần nhỏ các thí nghiệm có thể thực hiện với chất phát quang. Chúng tôi đã cố gắng giải thích một số trong số chúng, một số khác thì không thể giải thích được, vì nó sẽ vượt xa đáng kể phạm vi chương trình giảng dạy vật lý ở trường.

Để kết luận, chúng tôi cung cấp một danh sách các tài liệu đã được sử dụng để chuẩn bị cho bài viết này.

1. N. S. Akhmetov. Hóa học tổng quát và vô cơ. - M.: Trường Cao Đẳng, 1981.
2. G. S. Landsberg. Quang học. - M.: Nauka, 1976.
3. S. E. Frish và A. V. Timoreva. Giáo trình vật lý đại cương, tập. III. - M.: Fizmatgiz, 1961.
4. Sách giáo khoa vật lý cơ bản/Biên tập bởi G. S. Landsberg, tập. III. - M.: Fizma Giz, 1958.
5. Tạp chí Hóa học và Đời sống: 1983, số 11 và 1984, số 11.

Cấu trúc đối lưu và tự tổ chức

(Xem phần đầu ở trang 8)

Trong một cốc trà, giống như khi chúng ta xem xét một hệ hai hình trụ, chuyển động quay trong mặt phẳng ngang dẫn đến dòng chảy thẳng đứng (hình 6). Đối với nước đổ ra khỏi bồn, sự thay đổi hướng của vận tốc trong mặt phẳng thẳng đứng, xảy ra khi chất lỏng chảy vào, dẫn đến xuất hiện chuyển động quay trong mặt phẳng ngang (hình 7).

Trong tất cả các ví dụ chúng tôi đã mô tả, chúng tôi đang xử lý sự mất ổn định của chất lỏng thủy động lực. Nhưng các cấu trúc có trật tự cũng xuất hiện trong nhiều trường hợp khác, khi có một dòng năng lượng hoặc vật chất khá mãnh liệt trong hệ thống.

Các điều kiện cho sự xuất hiện và tính chất của các cấu trúc như vậy được nghiên cứu bởi một ngành khoa học trẻ và đang phát triển nhanh chóng - khoa học tổng hợp. Nhưng đây là một chủ đề cho một cuộc thảo luận khác.

Hình 6.

Hình 7.

24

ngay vào khoảng cách giữa các dấu chấm, nó đã di chuyển đến điểm B.
Khi đó, như đã biết, độ dịch chuyển $s_1$ (theo mô hình) của vật từ A đến B có thể tìm được bằng công thức

$$s_1 = v_A \tau + \frac{a \tau^2}{2},$$

trong đó $v_A$ là mô hình vận tốc tại điểm A, $a$ là mô hình gia tốc mong muốn. Trong khoảng thời gian tiếp theo vật chuyển động từ B đến C.
Độ dịch chuyển $s_2$ của nó được xác định bằng công thức tương tự, trong đó vận tốc ban đầu $v_B = v_A + a \tau$:

$$s_2 = v_B \tau + \frac{a \tau^2}{2} = (v_A + a \tau) \tau + \frac{a \tau^2}{2} = v_A \tau + \frac{3a \tau^2}{2}.$$

Bây giờ chúng ta hãy tìm các chuyển vị $s_2 - s_1$ trong hai khoảng thời gian bằng nhau liên tiếp:

$$s_2 - s_1 = \left(v_A \tau + \frac{3a \tau^2}{2}\right) - \left(v_A \tau + \frac{a \tau^2}{2}\right) = a \tau^2.$$

Do đó, đối với gia tốc $a$ chúng ta thu được

$$a = \frac{s_2 - s_1}{\tau^2}.$$

Do đó, khi có một bức tranh tuyến tính về chuyển động của một vật thể, người ta có thể tìm ra gia tốc của nó bằng cách thay đổi độ dài của hai đoạn liền kề bất kỳ tương ứng với chuyển động của vật thể trong những khoảng thời gian bằng nhau giữa các lần chớp sáng. Tất nhiên, cần phải biết những khoảng thời gian này cũng như quy mô của Silmak.

Trong trường hợp của chúng tôi, thời gian giữa các lần nhấp nháy là 0,1 giây và mỗi đơn vị độ dài ở hình tương ứng với khoảng cách 0,01 m. Tất nhiên, từ những dữ liệu này, bạn có thể xác định gia tốc mong muốn của cơ thể.

Sự hỗn loạn của chuyển động phân tử và động cơ nhiệt

Như đã biết, động cơ nhiệt được phân biệt ở chỗ hệ số công suất (hiệu suất) của chúng thấp so với các loại máy khác. Ví dụ, hiệu suất của đầu máy hơi nước và đầu máy nhiệt, thực tế không còn được sử dụng, không vượt quá 10%, và đầu máy diesel thay thế chúng hoạt động với hiệu suất chỉ khoảng 25%. Hiệu suất của động cơ nhiệt hiện đại tốt nhất không vượt quá 50%.

Điều này có nghĩa là máy sưởi, 200 năm sau khi xuất hiện những động cơ nhiệt đầu tiên, một nửa năng lượng nhiên liệu đốt trong chúng sẽ bị lãng phí một cách vô ích? Có chuyện gì vậy? Có lẽ các nhà khoa học và kỹ sư đã không thể phát minh và thiết kế những động cơ nhiệt “tốt” trong đó năng lượng nhiên liệu sẽ được sử dụng hiệu quả hơn?

Hóa ra những người tạo ra chiếc xe không phải chịu trách nhiệm về điều này. Chúng ta sẽ tìm ra “thủ phạm” thực sự của giá trị hiệu suất thấp nếu xem xét kỹ hơn những gì đang xảy ra ở động cơ nhiệt.

Chuyển động hỗn loạn và có trật tự. Máy Tell được chế tạo để thực hiện công việc cơ khí trong đó. Điều này thường được thực hiện như thế này: một số chất khí nhận được một lượng nhiệt nhất định khi đun nóng và nở ra; Trong quá trình giãn nở này, lực áp suất khí thực hiện tác dụng, ví dụ, làm di chuyển một pít-tông hoặc làm quay một tua-bin. Nói cách khác, động cơ nhiệt chuyển năng lượng nhiệt, tức là năng lượng của chuyển động hỗn loạn của phân tử, thành năng lượng cơ học, năng lượng của chuyển động có trật tự. Đây có lẽ là điều quan trọng nhất có thể nói về bất kỳ động cơ nhiệt nào:

26

khí để đưa piston về vị trí ban đầu sẽ thực hiện theo đường cong tương tự nhưng theo thứ tự ngược lại thì công thực hiện như nhau. Do đó, công thực hiện trong quá trình giãn nở của chất khí sẽ bị “lãng phí” khi nó đi xuống. Tất nhiên, một “cỗ máy” như vậy là vô dụng.

Để động cơ nhiệt vẫn tạo ra công có ích thì công tiêu hao cho khí lăn ra phải nhỏ hơn công thu được trong quá trình giãn nở. Và để làm được điều này, khí phải được cuộn xuống sao cho đường cong áp suất so với thể tích nằm bên dưới đường cong giãn nở. Ví dụ: dọc theo dòng 3-4 đến hình 2. Khi đó diện tích bên dưới đường cong và do đó công tương ứng với nó sẽ ít hơn. Sự khác biệt giữa các giá trị của diện tích dưới các đường cong 1-2 và 3-4 sẽ thể hiện công hữu ích mà máy có thể thu được trong mỗi chu trình.

Không, nếu đường cong nằm dưới đường cong giãn nở, điều này có nghĩa là khí phải được làm mát trước khi nén. Nói cách khác, một phần nhiệt mà khí nhận được khi làm nóng cơ thể phải được truyền sang một vật nào đó có nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ của khí - cái gọi là tủ lạnh.

Đây là nguyên nhân dẫn đến hiệu suất của động cơ nhiệt thấp: toàn bộ lượng nhiệt mà khí nhận được khi làm nóng cơ thể vượt quá nhiệt lượng trước đó mà khí nhận được khi làm nóng cơ thể, vượt quá nhiệt lượng trước đó, tăng khi có nhiệt độ cao hơn - định luật thứ hai của nhiệt động lực học.

Vì vậy, bạn thấy rằng lý do thực sự khiến động cơ nhiệt có hiệu suất thấp là do tính chất hỗn loạn của các chuyển động phân tử. Và nguyên nhân này không thể bị loại bỏ bằng bất kỳ nỗ lực nào của các nhà khoa học, kỹ sư thiết kế động cơ nhiệt.

Về âm thanh âm nhạc và nguồn gốc của chúng

Âm thanh âm nhạc, hay giai điệu âm nhạc, là những âm thanh chúng ta nghe thấy khi nguồn của chúng thực hiện những rung động hài hòa. Biên độ của những rung động này quyết định độ to của âm thanh và tần số xác định chiều cao của nó (hoặc chiều cao tấn). Biên độ dao động lớn hơn tương ứng với âm lượng lớn hơn và tần số lớn hơn tương ứng với âm cao hơn.

Âm thanh có cùng cao độ có thể được phản hồi theo nhiều cách - ví dụ: sử dụng các nhạc cụ khác nhau hoặc giọng nói của con người. Nhưng điều thú vị là tất cả những âm thanh này (sau đây giống hệt nhau về âm sắc) đều có thể dễ dàng phân biệt bằng tai.

Có chuyện gì thế này? Tại sao âm thanh tương ứng với những rung động có cùng tần số lại xuất hiện khác nhau đối với chúng ta? Làm cách nào chúng ta có thể nhận ra giọng nói của một người quen thuộc trong số rất nhiều giọng nói khác của những người mà chúng ta không quen biết? Làm sao chúng ta có thể phân biệt được âm thanh của dây đàn piano hay dây đàn violin, âm thanh của đàn accordion hay tiếng sáo? Để hiểu điều này, bạn cần tìm hiểu xem nguồn âm thanh dao động như thế nào và như thế nào.

Trong hầu hết các nhạc cụ, phần tử rung là dây hoặc bàn khí. Hãy bắt đầu với các chuỗi.

Sự rung động của dây. Dao động toàn phần của sợi dây là bao nhiêu? Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đã trả lại sợi dây sao cho một sóng đàn hồi ngang chạy dọc theo nó. Khi tới đầu cố định của sợi dây, sóng bị phản xạ và chạy ngược lại. Khi đó, tại một điểm bất kỳ trên sợi dây, hai sóng ngược chiều gặp nhau. Vì các sóng này kết hợp với nhau nên khi chúng được thêm vào, một mô hình tích phân ổn định sẽ được hình thành (“Vật lý 10”, § 36). Tại những điểm trên dây mà dao động gây ra bởi cả hai sóng cùng pha thì độ lệch so với vị trí cân bằng sẽ thay đổi phù hợp với biên độ. Những điểm như vậy thường được gọi là các phản nút trộn. Những điểm trên dây nơi sóng tới, gây ra

28

Đúng, không giống như sợi dây, không phải sóng ngang mà phát sinh sóng đàn hồi liên tục trong cột va chạm.

Ống có thể ngắn hoặc dài, thẳng hoặc cong. Đầu kia của nó có thể mở hoặc đóng. Đôi khi người biểu diễn rung chiếc lưỡi mỏng đàn hồi, truyền hiệu ứng rung trong kèn (clarinet); đôi khi môi của người biểu diễn rung lên, gây ra sự rung động ở kèn (cornet).

Cao độ của âm thanh ở đây, như trong trường hợp của một sợi dây, phụ thuộc vào các kích thước tuyến tính. Trong một đường ống mở, âm cơ bản bị ảnh hưởng khi 1/2 bước sóng phù hợp với chiều dài của đường ống và trong một đường ống kín - bội số lẻ. Những đặc điểm này là do ở các đầu mở của ống (và một trong số chúng luôn mở) có một phản nút mỏng của sóng đứng hỗn hợp tác động.

Nhạc công có thể thay đổi độ dài hiệu dụng của ống bằng cách đóng và mở các lỗ được tạo dọc theo đường ống bằng van hoặc chỉ cần dùng ngón tay ấn chúng (sáo, kèn clarinet, tẩu). Ví dụ, trong kèn trombone, chiều dài của ống và đồng thời cao độ của âm thanh được thay đổi bằng cách sử dụng một phụ kiện trượt hình chữ U. Trong một cây đàn organ, chiều dài của các ống không thay đổi, nhưng số lượng ống có chiều dài rất khác nhau là vô cùng lớn - lên tới vài nghìn.

Giới thiệu
trong phép đo lập thể,
hoặc “Trò chơi tiên đề”

(Để bắt đầu, xem trang 14)

6. Chứng minh rằng với bất kỳ đường thẳng nào trong không gian đều có thể dựng được một mặt phẳng cắt nó (tại một điểm).

7. Chứng minh rằng mọi mặt phẳng trong không gian đều có thể dựng được một đường thẳng cắt nó (tại một điểm).

8. Chứng minh rằng với mọi đường thẳng trong không gian đều có thể dựng được một đường thẳng không cùng thuộc một mặt phẳng.

bài toán 1-8 được trình bày trong bài viết là một dạng “thực hành ứng dụng các tiên đề”. lời giải của họ, dưới dạng lời giải nhiều nhiệm vụ từ phần “giới thiệu” ban đầu của nhiều lý thuyết tiên đề khác nhau, có thể được coi là định nghĩa của một “trò chơi theo luật”. Mục tiêu của “trò chơi” là chứng minh mọi thứ, “quy tắc” là bạn chỉ có thể sử dụng những tiên đề dễ chịu (và tất nhiên, những sự thật đã được suy ra từ chúng). Phải nói rằng bài toán của chúng ta một phần cố tình “đóng gói quá mức” để bài toán tương đối khó có thể đặt trước một câu dễ hơn và chỉ giúp giải quyết câu trước đó. Vì vậy, bạn có một cái gì đó để mày mò.

Sự thay thế cuối cùng. Do đó, có thể tư duy mô phạm sẽ buộc bạn phải suy nghĩ về câu hỏi cực kỳ quan trọng: tại sao các kỹ thuật lại tồn tại (và sau chúng là máy bay) ??? Các tiên đề nói về điều này, nhưng… mọi thứ chỉ đâu vào đấy sau khi thêm một tiên đề nữa - hãy gọi nó là “số không”:

0: Có ít nhất hai điểm phân biệt trên một mặt phẳng (mặt phẳng) hoặc trong không gian (lập thể).

29

Nhiệm vụ

1. Petya đang đến thăm bà ngoại. Vào thứ bảy, anh ấy lên tàu và về đến nhà vào thứ hai. Petya nhận thấy rằng vào thứ Hai tuần này, con số trùng với số toa mà anh ấy đang đi, số chỗ ngồi trong toa của anh ấy nhỏ hơn số toa và vào thứ Bảy hôm đó, khi anh ấy lên tàu, số của ngày lớn hơn số toa. Anh ấy đã đi bằng xe gì và ở đâu?

2. Phần nào của hình vuông có diện tích lớn hơn (xem hình): tô màu đỏ hay tô xanh?

3. Theo quy luật, các cột băng trên nóc nhà mọc thẳng đứng và trên cành cây, chúng thường tạo thành những chiếc “quạt” như trên hình. Tại sao?

4. Sắp xếp hơn 11 số tự nhiên vào các vòng tròn của ngôi sao sao cho tổng của 4 số ở đỉnh mỗi góc của các hình cung bằng 25.

5. Chứng minh rằng trong 18 số có ba chữ số liên tiếp có ít nhất một số chia hết cho tổng các chữ số của nó.

Những nhiệm vụ này đã được cung cấp cho chúng tôi
S. V. Dvoryaninov, V. V. Proizvolov,
D. A. Rakcheev, N. I. Abilov, S. L. Eliseev.

Chuỗi tự nhiên

Truyền thuyết kể rằng chuỗi tự nhiên - dãy số nguyên dương: 1, 2, 3, … - được Prometheus ban tặng cho con người. Nhưng trên thực tế, việc phát minh ra chuỗi tự nhiên là một trong những thành tựu đầu tiên và vĩ đại nhất của con người Muselli, ra đời từ thực tiễn. Lịch sử xuất hiện của chuỗi tự nhiên đã bắt đầu từ rất lâu trước khi phát minh ra chữ viết. Phải mất nhiều thế kỷ người ta mới hiểu rằng không có số nào nhiều nhất trong chuỗi này. Trong một thời gian dài, người ta cho rằng việc đếm chỉ nảy sinh trong những giới hạn nhất định, vượt quá giới hạn đó thì “chủ đề” bắt đầu. Chẳng hạn, người Babylon tin rằng có một con số tuyệt vời nhất định là Levinathan, vượt quá con số đó sẽ mở rộng đến mức không thể đếm được.

Chỉ đến thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên, nhà toán học Hy Lạp cổ đại Archimedes, trong cuốn sách “Psammit” (“Tính toán của cát”) đã chỉ ra rằng bất kỳ số lượng cát nào vẫn có thể đếm được, vì chuỗi tự nhiên có thể tiếp tục vô tận và mỗi số tiếp theo có thể được viết và đặt tên theo một cách nhất định. Vì vậy, chúng ta đã hiểu rằng có vô số số tự nhiên. Thực tế này là ý nghĩa của các nhà toán học khi họ nói rằng tập hợp các số tự nhiên là vô hạn.

Chà, chúng ta có thể nói gì về số nguyên tố - tập hợp của chúng là hữu hạn hay vô hạn? Trong cuốn Cơ sở của Euclid (thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên) cho thấy rằng không có hầu hết các công thức

$$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1}{2} n (n + 1)$$

$$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6} n (n + 1) (2n + 1)$$

$$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$$

Từ Olympus đến Parnassus
Từ Olympus đến Parnassus,
Gửi đến những suy nghĩ tốt đẹp từ các vị thần,
Cưỡi ngựa của Pezas,
Tôi đến đó trong năm giờ.

Chậm lại mười dặm,
Với nỗi buồn tôi cách xa bảy tiếng đồng hồ
Trở lại Olympus, một tháng
Zeus chiếu sáng nơi trú ẩn của tôi.

«Kvant» người bạn và người ngưỡng mộ,
Dành không gian cho trí tưởng tượng,
Có thể bạn sẽ cân nhắc
Có bao nhiêu dặm giữa những ngọn núi này?

R. K. Arakelov

số nguyên tố shero, ngụ ý sự vô hạn của tập hợp các số nguyên tố và tất nhiên là tập hợp các số tự nhiên. Đây là một bằng chứng sâu sắc về thực tế này. Cho $p$ là số nguyên tố. Hãy thay đổi tất cả các số nguyên tố lên tới $p$, bao gồm cả $p$ và thêm một số vào tích này. Chúng ta nhận được số $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot p + 1$. Số này lớn hơn $p$ sẽ là số nguyên tố hoặc hợp số. Nếu là số nguyên tố thì chứng tỏ có số nguyên tố lớn hơn $p$. Nếu nó gồm các số nguyên tố 2, 3, 5, …, $p$ thì nó không chia hết - khi chia cho các số này thì dư bằng 1. Điều này có nghĩa là nó phải chia hết cho một số nguyên tố lớn hơn $p$. Vì vậy, trong trường hợp này cũng vậy, chúng ta phải thừa nhận rằng có một số nguyên tố lớn hơn $p$. Nhưng điều này cũng có nghĩa là không có con số đơn giản nhất.

Thuật ngữ “số tự nhiên” lần đầu tiên được sử dụng bởi triết gia La Mã Boethius (khoảng 480-524), nhưng được sử dụng phổ biến sau khi nó được nhà toán học người Pháp D’Alembert (1717-1783) đưa vào Bách khoa toàn thư.
Vào thế kỷ 19, các nhà toán học

$$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$$
$$1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{1}{3} n (2n - 1)(2n + 1)$$
$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n (n + 1) = \frac{1}{3} n (n + 1)(n + 2)$$

Câu đố số

chéo
Nằm ngang:
a) Là số có các chữ số liên tiếp, xếp theo thứ tự tăng dần; b) một số là bội số của 9; d) hình vuông hoàn chỉnh; e) một số là bội số của 36.
Thẳng đứng:
a) Là số có các chữ số liên tiếp được sắp xếp theo thứ tự giảm dần; b) bình phương của một số nguyên tố; c) khối đầy đủ; e) lũy thừa của 2.

N. K. Antonovich
Các số giống nhau khi nhân
Có thể thay đổi hai số có hai chữ số để thu được một số có bốn chữ số đã biết trước đó và tất cả các chữ số của chúng đều giống nhau không?

F. K. Kadirov
Các số giống nhau khi thêm
Có thể lấy một số tự nhiên như vậy $A$ rồi dừng lại như thế này không?

cộng các số vào đó để khi cộng số thu được với số $A$ thì tổng đó là số viết bằng số chín năm 1985: 99…999?

M. Bayramov, học sinh lớp 10 đến từ Baku

Cược số học

LYUBA
TÌNH YÊU
DƯA HẤU

THỂ THAO

• CẢNG
  ORT
  RRRR

N. K. Antonovich

34

Giống như họ Dacosta, và bằng cách thử hết cái này đến cái khác, có lẽ họ sẽ tìm ra con số là chìa khóa của mật mã.

Không rõ vì sao việc thiếu chia văn bản thành từng chữ riêng biệt cho mỗi thẩm phán lại là một trở ngại không thể vượt qua. Trên thực tế, nó chỉ làm tăng số lượng tìm kiếm cần thiết. Manozl trả lại số phận: “Chà, chà! Nếu tên của Dacosti được nhắc đến, thì, lấy từng chữ cái của những dòng này để tìm chữ đầu tiên trong số bảy chữ tạo nên tên của anh ấy, cuối cùng chúng ta sẽ tìm thấy anh ấy.

Đây rồi - đường dẫn trực tiếp tới lời giải bài toán! Sự quá mức cần thiết không phải là tuyệt vời. Văn bản bao gồm 252 chữ cái. Vì vậy, cần phải sắp xếp tối đa 246 phương án. Tại một thời điểm, khi viết từ DAKOSTA phía trên đoạn IBNTFE, chúng ta sẽ xác định được dãy số 5134325. Điều tự nhiên khi cho rằng số 5 cuối cùng là điểm bắt đầu của giai đoạn tiếp theo:

DACOSA
… 5 1 3 4 3 2 5 1 3 4 3 2 5 1 3 4 …
… T G O I BNT F E O I X …

Thay vì khóa 432513, chúng tôi đã tìm thấy hoán vị tuần hoàn 513432 của nó, điều này không hề cản trở việc giải mã văn bản.

Cuối cùng, hãy thảo luận về câu hỏi tiếp theo. Chúng tôi biết được nội dung của tài liệu và do đó có thể đoán được các từ có trong đó. Từ này được sử dụng để giải mã. Nhưng phải làm gì khi không rõ nội dung của tài liệu?

Có một số cách. Như trước đây, bạn có thể thử gỡ lỗi một số từ (hoặc một phần của từ) có trong tài liệu. (Văn bản thường chứa các từ “which”, “then”, “if”, “what”, v.v.; sự hiện diện của “at”, “pre”, “under”.) Việc tìm kiếm như vậy có thể làm tăng đáng kể lượng tìm kiếm, nhưng có nhiều cơ hội thành công. Rõ ràng, một cách hợp lý hơn là phân tích tần suất sử dụng các chữ cái khác nhau trong mật mã. Nhưng làm thế nào điều này có thể được?! Rốt cuộc, Jarrix trực tiếp nói rằng nếu khóa của mật mã là một con số, thì đường dẫn này không thể áp dụng được: “Điều gì xảy ra sau đây? Ý nghĩa của mỗi chữ cái được xác định bởi một số được đặt ngẫu nhiên bên dưới nó và một chữ cái trong mật mã không chỉ định cùng một chữ cái trong văn bản theo bất kỳ cách nào.”

Hãy xem xét thiết bị mã hóa sau (hình 1). Để đơn giản, giả sử rằng khóa mã hóa là một số có ba chữ số. Trên bốn vòng tròn đồng tâm, vòng tròn nhỏ hơn bất động và phần còn lại có thể xoay so với tâm của chúng, chúng ta viết ra các chữ cái trong bảng chữ cái. Hãy chọn số 259 làm chìa khóa. Hãy xoay vòng tròn đầu tiên ngược chiều kim đồng hồ bằng hai chữ cái, vòng thứ hai bằng năm chữ cái và vòng tròn thứ ba bằng chín chữ cái (hình 2). Việc mã hóa sẽ được thực hiện như sau. Chữ cái đầu tiên của văn bản nằm trên một vòng tròn cố định và chúng ta cùng nhau viết chữ cái tương ứng của vòng tròn thứ nhất, cùng với chữ cái thứ hai của văn bản chúng ta viết chữ cái tương ứng của vòng tròn thứ hai, v.v., cùng nhau 3k+i

35

(i=1, 2, 3; k=0, 1, 2, …) chữ cái của văn bản - chữ cái tương ứng của vòng tròn thứ i.

Từ chính quá trình mã hóa, theo sau, nếu sự khác biệt giữa số vị trí mà bất kỳ chữ cái nào trong văn bản đứng trên đó là bội số của 3, thì cùng một số sẽ được sử dụng khi mã hóa chúng. Do đó, tuyên bố của Jarricas rằng một chữ cái trong mật mã không biểu thị cùng một chữ cái trong văn bản là sai.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải mã. Giả sử chúng ta biết rằng khóa là một số có ba chữ số. Rõ ràng là để tìm chữ số đầu tiên của số này, cần phải kiểm tra phân tích một tập hợp bao gồm các chữ cái đầu tiên, thứ tư, …, 3k+1, … của văn bản; để xác định chữ số thứ hai - một tập hợp gồm các chữ cái thứ hai, thứ năm, …, 3k+2, …; để xác định chữ số thứ ba - một tập hợp bao gồm các chữ cái thứ ba, thứ sáu, …, 3(k+1), ….

Câu hỏi vẫn là: phải làm gì khi không biết khóa bao gồm bao nhiêu chữ số? Không có cách nào xung quanh điều này mà không đi quá nhiệt tình. Đầu tiên, chúng tôi giả định rằng khóa là số có hai chữ số, sau đó là số có ba chữ số, v.v., cho đến khi văn bản được giải mã.

Bỏ qua các lựa chọn trung gian, chúng ta hãy xem xét ngay trình tự giải mã mật mã của chúng ta trong trường hợp khóa là một số có sáu chữ số.

Chúng tôi chia toàn bộ văn bản của mật mã thành sáu bộ chữ cái theo các quy tắc được mô tả ở trên*) và đếm số lần các chữ cái trong bảng chữ cái được bao gồm trong mỗi bộ. Kết quả tính toán được thể hiện ở Bảng 1.

Mỗi bộ chỉ chứa 42 chữ cái: tất nhiên điều này là không đủ để đưa ra kết luận đáng tin cậy về tần suất sử dụng của từng chữ cái mật mã. bài toán của chúng tôi được đơn giản hóa bởi thực tế là đối với mỗi bộ, chỉ cần gỡ lỗi số mà các chữ cái trong bảng chữ cái bị dịch chuyển trong quá trình mã hóa là đủ.

Hãy lấy bốn chữ cái phổ biến nhất: A, E, I, O - và đếm tổng số lần xuất hiện của chúng trong văn bản gốc cho các giá trị dịch chuyển khác nhau từ 0 đến 9. Kết quả được thể hiện trong Bảng 2.

| Đặt không. | Giá trị dịch chuyển |
| :— | :— |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1 | 5 | 1 | 1 | 9 | 13 | 1 | 6 | 4 | 7 | 6 |
| 2 | 6 | 2 | 2 | 19 | 3 | 4 | 9 | 5 | 4 | 5 |
| 3 | 8 | 8 | 11 | 3 | 5 | 12 | 11 | 5 | 5 | 5 |
| 4 | 5 | 4 | 6 | 3 | 8 | 15 | 1 | 4 | 6 | 8 |
| 5 | 6 | 17 | 3 | 7 | 6 | 1 | 9 | 7 | 2 | 8 |
| 6 | 9 | 4 | 6 | 12 | 3 | 10 | 7 | 8 | 7 | 4 |

Vì chúng ta đã chọn các chữ cái xuất hiện thường xuyên nhất nên tự nhiên giả sử rằng chữ số đầu tiên của khóa là 4, chữ số thứ hai là 3, chữ số thứ tư là 5, chữ số thứ năm là 1, chữ số thứ sáu là 3. Đối với chữ số thứ ba, nó phải được chọn từ các số 2, 5, 6. Việc giải mã cuối cùng của mật mã giờ đây không còn khó khăn nữa.

Gửi độc giả của chúng tôi
Việc đăng ký tạp chí «Kvant» cho năm 1986 vẫn tiếp tục. Chỉ số tạp chí trong danh mục Soyuzechati là 70465. Giá đăng ký trong năm là 4 rúp 80 kopecks. Tất cả các bưu điện đều chấp nhận đăng ký mà không bị hạn chế trong suốt cả năm.

36

Nhiệm vụ

M941—M945; F953—F957

M941. Cho một (4k+2)-gon $A_0A_1$ … $A_{4k+1}$ với tâm $O$. Chứng minh rằng tổng các đoạn thẳng cắt góc $A_kOA_{k+1}$ trên các đường thẳng $A_1A_2k$, $A_2A_2k-1$, …, $A_kA_{k+1}$ (xem hình 1 cho $k=2$) bằng bán kính $OA_0$ của đường tròn ngoại tiếp a (4k+2)-giác, nếu $k=2$, 6) $k$ — bất kỳ số tự nhiên nào.

I. F. Sharyzin

M942. Các số 1, 2, …, 2n—1, 2n được chia thành hai nhóm số $n$ trong mỗi nhóm. Gọi $a_1<a_2<...<a_n$ là các số của nhóm thứ nhất theo thứ tự tăng dần, $b_1>b_2>...>b_n$ là các số của nhóm thứ hai theo thứ tự giảm dần. Chứng minh rằng $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_n-b_n|=n^2$.

V. V. Proizvolov

M943. Trình tự $a_1, a_2, ...$ được đưa ra theo quy tắc: $a_{2n}=a_n$ cho $n \geqslant 1$ và $a_{4n+1}=1$, $a_{4n+3}=0$ cho $n \geqslant 0$. Chứng minh rằng dãy số này không có chu kỳ.

Yu. V. Nesterenko

M944*. Một hình lục giác đều được chia thành 24 hình tam giác bằng nhau, như trong hình 2. Tất cả 19 nút của hình thu được đều chứa các số khác nhau. Chứng minh rằng trong 24 tam giác có ít nhất 7 tam giác như vậy, tại các đỉnh của các số đó được viết theo thứ tự tăng dần ngược chiều kim đồng hồ.

A. A. Berzinysh

M945*. Cho một chuỗi số dương lặp lại không giới hạn nghiêm ngặt $a_1, a_2, ...$. Chứng minh rằng với mọi $k$ đủ lớn thì bất đẳng thức sau đúng:

a) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\...+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1$;

b) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\...+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1985$.

L. D. Kurlyandchik

F953. Để tinh chỉnh tần số quay của đĩa máy mài điện (33$\frac{1}{3}$ vòng quay mỗi phút), các dấu được đặt trên bề mặt bên của nó, được chiếu sáng bằng đèn neon với tần số 100 lần nhấp nháy mỗi giây.

37

Có nên có một số dấu sao cho ở tốc độ định mức chúng có vẻ đứng yên không?
Sau khi tắt động cơ, lực ma sát khô bắt đầu làm đĩa chậm lại và dấu “chạy”.
Trong 4 giây đầu tiên, các điểm sai lệch được quan sát thấy có 10 điểm “chạy xuyên suốt”. Sau bao lâu đĩa sẽ dừng lại?
Sau khoảng thời gian nào thì dấu vết sẽ “chạy” theo hướng khác?

A. R. Zilberman

F954. Một tấm rèm vuông trang trí có kích thước 1,5x1,5 m được treo trên gờ dọc theo bức tường thẳng đứng. Mép dưới của rèm được nâng lên ngang bằng với mép trên, sao cho rèm được gấp làm đôi và thả ra. Tìm sự phụ thuộc của lực tác dụng lên gờ theo thời gian. Rèm mỏng, mịn và nặng 3 kg.

S. S. Krotov

F955. Một hỗn hợp khí bao gồm $m_1=100$ g nitơ và một lượng oxy không xác định sẽ bị lăn đẳng nhiệt ở nhiệt độ $T=74,4$ K. Đồ thị biểu thị áp suất của hỗn hợp khí so với thể tích của nó được thể hiện ở hình 3 (tính theo đơn vị điều kiện). Xác định khối lượng oxi. Tính áp suất hơi oxy bão hòa ở nhiệt độ này.

Lưu ý: $T=74,4$ K là nhiệt độ sôi của nitơ lỏng ở áp suất thường; oxi sôi ở nhiệt độ cao hơn.

A. I. Buzdin

F956. Trong một trong những biến thể của thí nghiệm cổ điển, được thực hiện bởi Viện sĩ I.K. Kikon, một cuộn cảm ngắn mạch một điểm $L=3 \cdot 10^{-5}$ Gn làm bằng dây siêu dẫn mỏng được treo trên các pruguroidinites trong một từ trường hướng thẳng đứng hướng lên dọc theo trục của cuộn dây (hình 4). Sợi dây treo ở trạng thái ban đầu không bị xoắn, cường độ dòng điện trong cuộn dây bằng không. Cảm ứng từ trường $B$ tăng chậm từ 0 đến giá trị $B_0=0,1$ T, tại đó chất siêu dẫn đột ngột biến mất và dây trở lại trạng thái bình thường. Đồng thời, cuộn dây bị xoắn. Xác định góc xoắn cực đại của cuộn dây, giả sử mômen đàn hồi của sợi tỉ lệ với góc xoắn (hệ số tỷ lệ $G=10^{-7}$ N m/rad). Số vòng dây là $n=100$, bán kính vòng dây là $R=1$ cm, khối lượng của cuộn dây là $M=10$ g. Tỷ lệ điện tích trên khối lượng của nó là $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ C/kg.

S. M. Kozel

F957. Sự lan truyền của sóng vô tuyến ngắn ở các tầng trên của khí quyển Trái đất (tầng điện ly) có thể được mô tả bằng các định luật quang học hình học, nếu chúng ta giả sử rằng chiết suất $n$ đối với sóng vô tuyến nhỏ hơn 1 và thay đổi theo độ cao $H$ so với bề mặt Trái đất như thể hiện trong hình 5 (đối với một số tần số v).

38

Một vệ tinh bay ở độ cao $h=200$ km có một máy phát vô tuyến phát ra sóng vô tuyến từ hạt $v$ đều theo toàn bộ hướng. Bỏ qua sự hấp thụ của sóng vô tuyến trong tầng điện ly, hãy ước tính phần năng lượng phát ra từ máy phát được truyền bởi sóng vô tuyến ra ngoài bầu khí quyển Trái đất. Khi ước tính, hãy coi bề mặt Trái đất là phẳng và sự phản xạ của sóng vô tuyến từ nó là phản chiếu và không bị tổn hao. Nó có liên quan gì tới nó? Góc đặc của hình nón có góc ở đỉnh $\beta$ bằng $\Omega=2\pi\left(1-\cos \frac{\beta}{2}\right)$.

V. I. Chuvilev

Problems

M941 — M945; P953 — P957

M941. Đa giác đỉnh $(4k+2)$ thông thường $A_0A_1 \dots A_{4k+2}$ của tâm $O$ đã cho. Chứng minh rằng tổng các đoạn thẳng $A_1A_{2k}, A_2A_{2k-1}, \dots, A_kA_{k+1}$ bên trong góc $A_kOA_{k+1}$ (xem Hình 1 trên trang 37 với $k=2$) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác, nếu a) $k=2$, b) $k$ là một số tự nhiên bất kỳ.

I. F. Sharygin

M942. The numbers 1, 2, …, $2n-1$, $2n$ are split into two groups of $n$ numbers each. Suppose $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ are the numbers of the first group in increasing order, and $b_1 > b_2 > \dots > b_n$ the numbers of the second one in decreasing order. Prove that $|a_1-b_1|+a_2-b_2|+\dots+|a_n-b_n|=n^2$.

V. V. Proizvolov

M943. The sequence $a_1, a_2, \dots$ is given by the rules: $a_{2n}=a_n$ if $n \geqslant 1$ and $a_{4n+1}=1$, $a_{4n+3}=0$ if $n \geqslant 0$. Prove that this sequence is not periodic.

Yu. V. Nesterenko

M944*. Một hình lục giác đều được chia thành 24 hình tam giác bằng nhau như trên Hình 2, tr. 37. Các số khác nhau được viết ở mỗi đỉnh trong số 19 đỉnh của hình thu được. Chứng minh rằng trong 24 tam giác có ít nhất 7 đỉnh có số đỉnh tăng dần ngược chiều kim đồng hồ.

A. A. Berzinsh

M945*. An unbounded strictly increasing sequence of positive numbers $a_1, a_2, \dots$ is given. Prove that for all sufficiently large $k$

a) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\dots+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1$;

b) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\dots+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1985$.

L. D. Kurlyandchik

P953. In order to regulate the turntable of a $33^{1/3}$ RPM record player with great precision, little evenly spaced marks are made on the disk’s outside surface; they are lighted by a neon lamp of frequency 100 flashes per second. How many marks are needed to make them appear motionless at nominal velocity? After the turntable motor is turned off, dry friction forces begin slowing the disk down — the marks begin to “run”. In the first 4 seconds 10 marks “run past” the observation point. How soon will the disk stop? How soon will the marks start “running the other way”?

A. R. Zilberman

P954. A designer’s drapery 1.5 by 1.5 m hangs from a horizontal crossbar along a vertical wall. The lower end of the drapery is lifted level with the upper one (so that the drapery is folded in

40

Ta sẽ giải ngay bài toán trong trường hợp tổng quát c). Chúng ta hãy xét tứ giác phụ $ABCD'$, trong đó $D'$ là một điểm đối xứng với $D$ qua đường phân giác vuông góc với đường chéo $AC$ (hình 1) và chứng minh rằng các điểm giao nhau của nó tại các đỉnh $A$ và $C$ là thẳng.

Biểu diễn tứ giác $ABCD'$ là sự kết hợp của các tam giác $ABD'$ và $CBD'$, ta thấy rằng diện tích kép của nó là

$$AB \cdot AD' \sin \angle BAD' + BC \cdot CD' \sin \angle BCD'.$$

Diện tích gấp đôi $ABCD$ bằng

$$AB \cdot CD + BC \cdot AD.$$

Nhưng các hình tứ giác này rõ ràng có kích thước bằng nhau và $AD'=CD$, $CD'=AD$, do đó $\sin \angle BAD' = \sin \angle BCD' = 1$, tức là $\angle BAD' = \angle BCD' = \pi/2$.

Từ những gì đã được chứng minh, suy ra rằng xung quanh tứ giác $ABCD'$ người ta có thể mô tả một hình tròn (với Đường kính $BD'$). Điểm $D$ ($\angle ADC = \angle AD'C$) cũng nằm trên đó. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3$, $\varphi_4$ các giá trị góc của $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ (hình 2), sau đó là $AB=BD' \sin \frac{\varphi_1}{2}$, $BC=BD' \sin \frac{\varphi_2}{2}$, v.v. d. Vẫn còn phải biểu thị các đại lượng này thông qua $\alpha$ và $\beta$. Theo định lý về độ lớn của góc nội tiếp trong đường tròn

$$2\alpha = \varphi_2 + \varphi_3, \ 2\beta = \varphi_3 + \varphi_4, \ 2\angle BCD' = \pi = \varphi_1 + \varphi_3 = 2\pi - \varphi_2 - \varphi_4$$

(vì các cung $CD'$ và $AD$ bằng nhau). Từ đó ta thu được công thức (1). Để một tứ giác tồn tại, điều cần thiết và đủ là tất cả các số $\varphi_i$ ($i=1, ..., 4$) đều dương, tương đương với bất đẳng thức (2). Đáp số cho bài toán a) và b) được tìm thấy sau khi thay thế các giá trị đã cho cho $\alpha$ và $\beta$.

Dễ dàng chứng minh rằng điều kiện bài toán được thỏa mãn bởi bất kỳ tứ giác $ABCD$ nào có các đường chéo vuông góc xung quanh đó có thể mô tả một hình tròn và chỉ chúng. Điều này cũng có thể được suy ra từ một trong các đỉnh của cái gọi là định lý Ptolemy: đối với mọi mặt phẳng tứ giác $A, B, C, D$ bất đẳng thức đều đúng

$$AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC,$$

nó trở thành một đẳng thức liche cho các điểm nằm trên cùng một đường tròn hoặc trên cùng một đường thẳng (ví dụ, xem «Kvant» số 3 cho năm 1973 (tr. 27)). Đồng thời, phát biểu cuối cùng của định lý này có thể được chứng minh dễ dàng bằng cách chuyển sang tứ giác $ABCD'$.

V. L. Gutenmacher

◆

Đặt $t=\sin^2 x (\cos^2 x=1-t), a=p/2, b=q/2$ thì phương trình này sẽ được viết lại dưới dạng

$$f(t)=t^a+(1-t)^b=1.$$

41

Ta phải chứng minh rằng phương trình (*) có lời giải trong khoảng ]0; 1 [ (phạm vi hàm $y=\sin^2 x$ trên khoảng $0<x<\pi/2$) khi và chỉ khi $(a-1)(b-1)<0$ hoặc $a=b=1$.

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ giả sử rằng $a \geq b$ (nếu không, bằng cách sử dụng phép thay thế $s=1-t$, chúng ta sẽ chuyển sang phương trình $s^b+(1-s)^a=1$ trên khoảng $0<s<1$).

Trước tiên chúng ta hãy chứng minh rằng nếu $(a-1)(b-1)>0$ hoặc chỉ một trong các số $a$ và $b$ bằng 1 thì phương trình (*) không có lời giải. Có hai trường hợp có thể xảy ra: $a>b \geq 1$ hoặc $1 \geq a>b$. Trong trường hợp đầu tiên, $t^a<t$, $(1-t)^b \leq 1-t$ và $t^a+(1-t)^b<t+(1-t)=1$.

Trường hợp thứ hai được xử lý tương tự.

Đối với $a=b=1$, hàm $f(t)$ khi đó thực tế bằng 1.

Cuối cùng, hãy để $a>1>b$. Hãy chứng minh điều đó trên khoảng ]0; 1 [ có hai điểm $t_1$ và $t_2$ sao cho $f(t_1)>1$, $f(t_2)<1$. Từ đây, theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, sẽ suy ra tại một điểm nào đó $t$ trên khoảng ]$t_1$; $t_2$ [ $f(t)=1$. Xét hàm đạo hàm $f(t)$:

$$f'(t)=at^{a-1}-b(1-t)^{b-1}.$$

Tại $t \rightarrow 0$, hàm $at^{a-1}$ tiến tới 0 và $b(1-t)^{b-1}$ tiến tới $b>0$ (đồ thị của hai hàm này là hình 1 và hình 2). Do đó, đối với $t_1$ đủ nhỏ trên khoảng $0<t<t_1$ thì đạo hàm $f'(t)<0$, do đó, hàm $f(t)$ sẽ tắt trên khoảng [0; $t_1$] và $f(t_1)<f(0)=1$. Tương tự, tại $t \rightarrow 1$ hàm $at^{a-1}$ có xu hướng $a$ và $b(1-t)^{b-1}$ tăng trưởng không giới hạn $(b-1<0)$. Do đó, $f'(t)<0$ tại $t_2<t<1$, trong đó $t_2$ đủ gần với 1, do đó, hàm $f(t)$ sẽ tắt trong khoảng [$t_2$; 1] và $f(t_2)>f(1)=1$. Như vậy, nhận định của chúng tôi đã được chứng minh hoàn toàn.

A. M. Sedletsky

♦

Chúng ta hãy biểu thị bằng $a$ và $l$ mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với nó mà hình lập phương được chiếu lên đó.

Vì bất kỳ đường thẳng nào đi qua điểm bên trong của hình lập phương đều cắt các bề mặt của nó tại hai điểm, nên mọi hình chiếu của hình lập phương lên $a$ bằng một nửa tổng diện tích của các hình chiếu lên $a$ của tất cả các mặt của nó, nghĩa là bằng tổng diện tích các hình chiếu của ba mặt vuông góc theo cặp.

Mặt khác, hình chiếu của hình lập phương lên đường thẳng $l$ trùng với hình chiếu $P'Q'$ của một số đường chéo $PQ$ của nó. Chúng ta hãy vẽ qua điểm $P$ một mặt phẳng vuông góc với $l$, sau đó trọng lượng của hình lập phương và đặc biệt là điểm $Q$ và các đầu $A, B, C$ của ba cạnh của hình lập phương nhô ra từ đỉnh $P$ nằm trên một phía của mặt phẳng này. Do đó, các hình chiếu $\overrightarrow{P'Q'}$, $\overrightarrow{P'A'}$, $\overrightarrow{P'B'}$ và $\overrightarrow{P'C'}$ của vectơ $\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}$ và $\overrightarrow{PC}$ lên đường thẳng $l$

42

sẽ được sửa chữa. Nhưng $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}$, do đó, đối với một dự án khối trên $l$ bằng

$$|\overrightarrow{P'Q'}| = |\overrightarrow{P'A'} + \overrightarrow{P'B'} + \overrightarrow{P'C'}| =$$

$$= |\overrightarrow{P'A'}| + |\overrightarrow{P'B'}| + |\overrightarrow{P'C'}|,$$

nghĩa là, nó bằng tổng chiều dài của các hình chiếu của ba gân vuông góc theo cặp của nó ($PA, PB$ và $PC$).

Cần lưu ý rằng góc giữa mặt phẳng của bất kỳ mặt nào của hình lập phương và mặt phẳng $\alpha$ bằng góc giữa cạnh vuông góc với mặt này và đường thẳng $l$, nghĩa là diện tích hình chiếu của mặt này lên $\alpha$ bằng độ dài hình chiếu của cạnh lên $l$ (với hình chiếu trực giao, diện tích của mặt và chiều dài của cạnh là nhân với cosin của các góc tương ứng).

Những khái quát hóa của bài toán này đối với trường hợp không gian đa chiều được xem xét trong một bài báo của nhà toán học người Anh J. McMoulen, đăng trên tạp chí “Bull. Lond. Math. Soc.” Số 3 cho năm 1984.

S. L. Tabachnikov

M924. Mỗi hai trong số $n$ điểm (không có ba điểm nào nằm trên cùng một đường) được kết nối bằng một đoạn và các mũi tên được đặt trên tất cả các đoạn. Tam giác ABC có các đỉnh tại các điểm này được gọi là tam giác định hướng nếu các mũi tên đặt theo các hướng AB, BC, CA hoặc AC, CB, BA.
a) Giải thích cách sắp xếp các mũi tên sao cho không xuất hiện các hình tam giác định hướng.
b) Số lượng tam giác định hướng tối đa có thể có (đối với mỗi n) là bao nhiêu? (Hãy vẽ ví dụ thích hợp cho $n=4$, 5 và 6.)

◆ Chúng ta hãy biểu thị dữ liệu của $n$ điểm bằng $A_1, \dots, A_n$.

a) Đáp số: bạn cần sắp xếp các mũi tên theo thứ tự số điểm tăng dần: từ $A_i$ đến $A_j$ với $i < j$ (xem hình 1 cho $n=5$). Khi đó, trong bất kỳ tam giác nào, hai mũi tên đi ra từ đỉnh có số nhỏ nhất nên nó không định hướng.

b) Đáp số: số lượng tam giác định hướng nhiều nhất là $n(n^2-1)/24$ cho số lẻ $n$ và $n(n^2-4)/24$ cho số chẵn $n$ (xem hình 2-4 cho $n=4$, 5, 6).

Sẽ thuận tiện hơn cho chúng ta khi tìm số tam giác định hướng nhỏ nhất, sau đó trừ nó khỏi tổng số tam giác, bằng $n(n-1)(n-2)/6$ (bằng cách chọn các đỉnh liên tiếp của một tam giác từ các điểm này, chúng ta sẽ có $n$ lựa chọn cho đỉnh đầu tiên, $n-1$ cho đỉnh thứ hai, $n-2$ cho đỉnh thứ ba; trong trường hợp này, mỗi ba đỉnh theo thứ tự khác nhau sẽ được chọn 6 lần).

Chúng ta sẽ gọi một cặp mũi tên (đoạn có hướng) là nhất quán nếu chúng có điểm đầu hoặc điểm cuối chung. Rõ ràng, trong số ba cặp cạnh của bất kỳ tam giác khó định hướng nào từ hình mũi tên, có hai cặp cạnh nhất quán (trên hình 5 - AB và AC, AC và BC), và bất kỳ cặp mũi tên nhất quán nào cũng thuộc về chính xác một tam giác không định hướng. Do đó, số lượng tam giác không định hướng bằng một nửa số cặp trùng nhau. Hãy ước tính con số này.

Nếu $k$ một mũi tên xuất hiện từ một điểm $A$ nào đó, thì số cặp mà nó tạo thành là $k(k-1)/2$. Trong trường hợp này, mũi tên $n-1-k$ đi đến điểm $A$, tạo thành một thỏa thuận $(n-1-k)(n-2-k)/2$ khác

43

cặp phòng tắm Vì vậy, số cặp trùng khớp có đỉnh chung tại điểm $A$ là

$$\frac{1}{2} (k^2 - k + (n - 1 - k)^2 - n + 1 + k) = \frac{1}{2} ((n - 1)^2 - (n - 1)) - k (n - 1 - k).$$

Dễ dàng nhận thấy rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức này đạt được ở $k = (n - 1)/2$ nếu $n$ là số lẻ và ở $k = n/2$ hoặc $k = n/2 - 1$ nếu $n$ là số chẵn và lần lượt bằng $(n - 1)(n - 3)/4$ và $(n - 2)^2/4$.

Lưu ý rằng các mũi tên luôn có thể được sắp xếp sao cho số lượng mũi tên “tối ưu” được chỉ định xuất phát từ mỗi điểm. Thật vậy, chúng ta hãy tưởng tượng rằng các điểm $A_1$, …, $A_n$ tạo thành một $n$-giác đều và đặt các mũi tên trên các cạnh và đường chéo của nó (không đi qua tâm của nó) sao cho chúng xác định cùng một hướng quanh tâm; trên các đường chéo đi qua tâm (chỉ có $n$ cho số chẵn), mũi tên có thể được đặt tùy ý. Khi đó số mũi tên đi vào mỗi đỉnh khác với số mũi tên đi ra khỏi đỉnh đó không quá 1.

Do đó, số lượng tam giác định hướng lẻ $n$ nhiều nhất là

$$\frac{n(n - 1)(n - 2)}{6} - \frac{n}{2} \cdot \frac{(n - 1)(n - 3)}{4} = \frac{n(n^2 - 1)}{24},$$

và thậm chí $n$

$$\frac{n(n - 1)(n - 2)}{6} - \frac{n}{2} \cdot \frac{(n - 2)^2}{4} = \frac{n(n^2 - 4)}{24}.$$

Đây là bản phác thảo của một lời giải khác. Gọi $k_i$ là số mũi tên xuất phát từ điểm $A_i$ thì số tam giác khó định hướng bằng tổng

$$\frac{k_1(k_1 - 1)}{2} + \dots + \frac{k_n(k_n - 1)}{2} = \frac{k_1^2 + \dots + k_n^2}{2} - \frac{n(n - 1)}{4}$$

(số lượng tất cả các mũi tên là $k_1 + \dots + k_n = n(n - 1)/2$). Nếu đối với một cách sắp xếp nhất định các mũi tên $k_i \geq k_j + 2$, với mỗi điểm có hai điểm, thì bạn có thể thay đổi hướng của (nhiều nhất là hai) mũi tên sao cho $k_i$ giảm và $k_j$ tăng thêm 1; trong trường hợp này, tổng bình phương $k_1^2 + \dots + k_n^2$ sẽ giảm. Do đó, đối với cách sắp xếp mũi tên “viên đạn” $|k_i - k_j| \leq 1$ cho tất cả $i, j$, và do đó, $k_i = (n - 1)/2$ hoặc $k_i = ((n - 1) \pm 1)/2$ (tùy thuộc vào tính chẵn lẻ của $n$) cho tất cả $i$, từ đó sử dụng (*) sẽ dễ dàng thu được đáp số.

I. I. Tsalenchuk, V. N. Dubrovsky

F933. Hai cục đường có thể được cho vào ly trà theo nhiều cách khác nhau. Bạn có thể chỉ cần đặt đường ở dưới cùng (hình 1), hoặc có thể lắp các miếng “vrasor” nếu kính có hình nón (Hình 2).

45

F935. Dòng điện $I_0$ chạy qua một dây dẫn thẳng dài có tiết diện không đổi. Trong phần AB của dây dẫn (xem hình), điện trở suất của nó giảm từ $\rho_1$ ở phần A-A xuống $\rho_2$ ở phần B-B. Kích thước và dấu hiệu của vật thể hình thành ở vùng AB là bao nhiêu?

Chúng ta hãy chọn một phần tử vô cùng nhỏ có chiều dài $\Delta l$ trên đoạn AB của dây dẫn ở một vị trí tùy ý (xem hình) và viết định luật Ohm cho phần tử này:

$$\Delta U = I_0 \rho \Delta l / S.$$

Ở đây $\rho$ là điện trở suất của dây dẫn trong thể tích đã chọn và $S$ là tiết diện của dây dẫn. Xét rằng giới hạn của tỷ số $\Delta U / \Delta l$ tại $\Delta l \rightarrow 0$ xác định độ lớn của cường độ điện trường ($\lim_{\Delta l \rightarrow 0} (\Delta U / \Delta l) = E$), ta có thể viết đẳng thức đầu tiên dưới dạng

$$E = \rho I_0 / S.$$

Sự tương ứng thu được cho thấy, đối với bất kỳ phần nào của dây dẫn, mối quan hệ giữa cường độ điện trường $E$ và điện trở suất của dây dẫn trong cùng một phần.

Để nền đối tượng $\Delta Q$ được hình thành trong đối tượng cơ bản đã chọn. Hãy tìm cường độ điện trường ở bên trái ($E_1$) và bên phải ($E_2$) của phần tử đã chọn. Sử dụng nguyên lý chồng chất của trường tĩnh điện, chúng ta có thể viết

$$E_1 = |\vec{E}_1| = |\vec{E}_l| - \frac{\Delta Q}{2\varepsilon_0 S},$$

$$E_2 = |\vec{E}_2| = |\vec{E}_l| + \frac{\Delta Q}{2\varepsilon_0 S}.$$

Ở đây $|\vec{E}_l|$ là cường độ điện trường trong thể tích của phần tử của chúng ta, được tạo ra bởi tất cả các điện tích ngoại trừ điện tích $\Delta Q$, và số hạng thứ hai thống nhất trường điện tích $\Delta Q$, sẽ tương đương với trường gần bề mặt tích điện đều với mật độ điện tích bề mặt $\Delta Q / S$. Thay đổi lề ở viền phần tử

$$\Delta E = |\vec{E}_2| - |\vec{E}_1| = \Delta Q / \varepsilon_0 S.$$

Ở phía bên kia,

$$\Delta E = \Delta \rho \cdot I_0 / S,$$

trong đó $\Delta \rho$ là hiệu điện trở suất của dây dẫn ở bên phải và bên trái của phần tử được chọn tại ranh giới của nó. Từ hai đẳng thức cuối cùng, chúng ta thu được mối liên hệ giữa thể tích của điện tích $\Delta Q$ và hiệu điện trở suất tại các ranh giới của nó:

$$\Delta Q = \varepsilon_0 I_0 \cdot \Delta \rho.$$

Điện tích khối trong toàn bộ diện tích $AB$ bằng tổng các điện tích cơ bản tương tự, tức là

$$Q_{AB} = \Sigma \Delta Q = \varepsilon_0 I_0 \Sigma \Delta \rho = \varepsilon_0 I_0 (\rho_2 - \rho_1).$$

Vì chênh lệch $\rho_2 - \rho_1$ là âm (theo quy ước

46

Loviu $\rho_2 < \rho_1$), thì điện tích không gian trên tiết diện dây dẫn $AB$ sẽ âm.

V. V. Mozhaev

F936. Dọc theo một nút điện siêu dẫn dài có độ tự cảm $L_0 = 1$ H, chứa $N = 200$ vòng, dòng điện chạy $I_0 = 0,1$ A.*) Từ xa, một cuộn dây dẫn kín có cùng bán kính với vòng dây của nút điện từ được đưa đến nút điện từ; độ tự cảm quay $L_1 = 1 \cdot 10^{-3}$ H. Cuộn dây được đặt đồng trục giữa các cuộn dây của điện từ với nó. Dòng điện chạy qua cuộn dây sẽ thay đổi như thế nào? Năng lượng của hệ sẽ thay đổi như thế nào?

◆
Trước khi rẽ, từ thông qua cuộn dây bằng

$$\Phi_0 = L_0 I_0.$$

Dòng chảy này tạo ra theo mọi hướng của nó; Giả sử rằng các vòng dây trong từ thông tổng là như nhau (điều này có thể được xem xét nếu có nhiều vòng dây và cuộn dây dài), chúng ta sẽ tìm thấy sự đóng góp của một vòng dây (từ thông được tạo ra bởi một vòng dây qua cuộn dây ở dòng điện $I_0$):

$$\Delta \Phi_0 = \frac{L_0}{N} I_0.$$

Mặt khác, từ trường chung của nút điện từ tạo ra từ thông $\Delta \Phi_0^*$ trong mỗi vòng quay; tổng các luồng đó bằng $\Phi_0$; Đó là lý do tại sao

$$\Delta \Phi_0^* = \frac{\Phi_0}{N} = \Delta \Phi_0.$$

Điều này có nghĩa là từ thông qua một vòng dây được tạo ra bởi dòng điện $I_0$ giống như từ thông qua toàn bộ dây điện được tạo ra bởi một vòng dây có cùng dòng điện. (Đây là một thực tế được biết đến.)

Hãy thêm một cuộn dây vào điện từ. Gọi $I$ là dòng điện mới trong cuộn dây, và $I_1$ là dòng điện cảm ứng sinh ra trong cuộn dây. Vì cuộn dây là siêu dẫn nên từ thông qua nó phải không đổi và bằng 0. Từ thông này bao gồm từ thông $\Phi$, được tạo ra thông qua cuộn dây bởi toàn bộ cuộn dây có dòng điện $I$, và từ thông riêng của nó $\Phi_1$, được tạo ra bởi cuộn dây có dòng điện $I_1$:

$$0 = \Phi + \Phi_1 = \frac{L_0}{N} I + L_1 I_1.$$

Từ thông qua cuộn dây điện từ (siêu dẫn) cũng phải không đổi và bằng $L_0 I_0$:

$$L_0 I_0 = L_0 I + \frac{L_0}{N} I_1.$$

Giải (1) và (2) cùng nhau, ta tìm được dòng điện $I$ và $I_1$:

$$I = I_0 \left( 1 - \frac{L_0}{L_1 N^2} \right)^{-1} \approx 0,103 \text{ A},$$

$$I_1 = - I \frac{L_0}{L_1 N} \approx -0,510 \text{ A}.$$

Do đó, dòng điện chạy qua solenua đã tăng $\Delta I = 3 \cdot 10^{-3}$ A. Năng lượng của hệ đã tăng:

$$\Delta W = L_0 \frac{I^2}{2} + L_1 \frac{I_1^2}{2} - L_0 \frac{I_0^2}{2} \approx 1,25 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}.$$

Năng lượng tăng lên do công cơ học được thực hiện khi đưa một vòng quay vào cuộn dây điện từ (dòng điện ngược chiều đẩy nhau).

A. R. Zilberman

47

F937. Một người có “chiều cao” $h=20$ cm hướng vào một bức tường thẳng đứng, đầu người ở độ cao $H=2$ m so với sàn nhà. Sử dụng một đường thẳng có tiêu cự $F=0,1$ m sẽ thu được ảnh của một người trên sàn. Những kích thước này cung cấp hình ảnh rõ ràng nhất.

Hình ảnh trên sàn có thể thu được ở các vị trí khác nhau của thấu kính và độ phóng đại sẽ phụ thuộc vào vị trí của thấu kính. Hình ảnh rõ nét nhất sẽ có trong trường hợp “tâm” của nguồn (điểm $A$ trên hình) và điểm hình ảnh tương ứng (điểm $A'$) nằm trên trục quang chính của ống kính. Dễ dàng chứng minh rằng mặt phẳng chứa thấu kính đi qua đỉnh $O$ của góc vuông $AOA'$ (xem hình).

Hãy viết công thức thấu kính:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{|AO'|} + \frac{1}{|O_1A'|}.$$

Giả sử rằng $|OA| = H - h/2 = H_1$, chúng ta nhận được $|AO'| = H_1 \cos \alpha$, $|O'A'| = |OA'| \sin \alpha = H_1 \text{tg} \alpha \cdot \sin \alpha$ và

$$\frac{1}{H_1 \cos \alpha} + \frac{1}{H_1 \text{tg} \alpha \cdot \sin \alpha} = \frac{1}{F},$$

Ở đâu

$$\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{F}{H_1} = \frac{F}{H - h/2}.$$

Từ phương trình này chúng ta có thể tìm được góc $\alpha$. Có thể giả định gần đúng (góc $\alpha$ nhỏ) là $\cos \alpha \approx 1$; Sau đó

$$\sin \alpha \approx \sqrt{\frac{F}{H - h/2}} \approx 0,233 \text{ и } \alpha \approx 0,231.$$

Bây giờ hãy tính kích thước hình ảnh. Nếu nguồn và ảnh nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục chính của thấu kính thì độ phóng đại sẽ bằng

$$\Gamma = \frac{|O'A'|}{|AO'|} = \frac{H_1 \text{tg} \alpha \cdot \sin \alpha}{H_1 \cos \alpha} = \text{tg}^2 \alpha.$$

Trong trường hợp của chúng tôi, độ phóng đại bằng tỷ lệ độ dài của hình chiếu của hình ảnh và nguồn lên các mặt phẳng này; Điều này có nghĩa là kích thước hình ảnh là

$$h' = h \Gamma \text{tg} \alpha = h \text{tg}^3 \alpha \approx 0,25 \text{ см.}$$

A. R. Zilberman

Vết bẩn trên máy bay

Hãy tưởng tượng một bản đồ địa lý hiển thị khu vực có một loài thực vật hoặc dịch bệnh. Phần bản đồ tương ứng với lãnh thổ này được sơn một màu nhất định, phần còn lại được giữ nguyên màu trắng. Để nghiên cứu sơ đồ vị trí của một loài hoặc dịch bệnh, một chuỗi các bản đồ tương ứng với các thời điểm khác nhau được biên soạn và cố gắng thu được các mô hình thay đổi ở phần bóng mờ. Nếu một đứa trẻ sắp mắc phải một trận dịch, tất nhiên chúng ta muốn nó biến mất. Nếu đứa trẻ nói về một số loài có giá trị, chúng tôi muốn nó được bảo tồn. Trong cả hai trường hợp, điều quan trọng đối với chúng ta là phần được sơn có biến mất hay không. Những thông điệp như vậy dẫn đến những vấn đề tương tự như vấn đề đã được xuất bản trên tạp chí số 5 của chúng tôi trong năm nay trong “Sách vấn đề Quaita” (M925). Chúng tôi sẽ cung cấp cho nó lời giải và một số liên quan khác bài toán.

M925. Trên mặt phẳng màu trắng có một singra $K_0$. Từ đó, thu được một hình singra mới $K_1$ theo quy tắc sau, áp dụng đồng thời ứng dụng cho tất cả các điểm $M$ của mặt phẳng: nếu ít nhất một cực có diện tích hình tròn bán kính 1 với tâm tại điểm $M$ bị chiếm bởi một màu thì các điểm $M$ trở thành màu xanh lam, và nếu ít cực hơn thì màu trắng. Ở bước tiếp theo, từ hình singra thu được $K_1$, theo các quy tắc tương tự, thu được hình $K_2$, sau đó từ nó $K_3$, v.v. Chứng minh rằng: a) đối với một hình giới hạn tùy ý $K_0$, bắt đầu từ một bước nhất định, nếu mặt phẳng trở thành màu trắng; b) nếu $K_0$ là vòng 100, thì điều này sẽ xảy ra không muộn hơn một triệu bước.

Chúng ta hãy biểu thị bằng chữ cái $F$ quy tắc mà mỗi hình tạo ra hình tiếp theo. Nó đơn điệu theo nghĩa sau: từ một hình nhỏ hơn, theo quy tắc $F$, thu được một hình nhỏ hơn; chính thức hơn nó có thể được viết như thế này:

$$K \subset K' \Rightarrow F(K) \subset F(K').$$

Nhờ sự đơn điệu này nên ta coi như những số liệu ban đầu là đủ

48

gur chỉ vòng tròn. Thật vậy, mọi hình giới hạn đều nằm trong một hình tròn nhất định, và ngay cả khi hình tròn này, dưới tác dụng của quy tắc của chúng ta, biến thành một tập rỗng, thì hình chứa nó thậm chí còn hơn thế. Vòng tròn rất tiện lợi vì dưới tác dụng của $F$ chúng biến thành vòng tròn. Chính xác hơn:

a) nếu $K$ là hình tròn có bán kính lớn hơn hoặc bằng $1/\sqrt{2}$ (tức là có diện tích lớn hơn hoặc bằng $\pi/2$) thì $F(K)$ cũng là hình tròn (bán kính nhỏ hơn);

6. nếu $K$ là đường tròn có bán kính nhỏ hơn $1/\sqrt{2}$ thì $F(K)$ là tập trống.

Hãy xem hàm $f(R)$, xác định cho $R$ lớn hơn $1/\sqrt{2}$, như sau: nếu $R$ là bán kính của hình tròn $K$ thì $f(R)$ là bán kính của hình tròn $F(K)$. Đồ thị của hàm $f$ được hiển thị ở hình 1. Khi $R$ tăng từ $1/\sqrt{2}$ lên vô cùng, hàm $f(R)$ tăng đơn điệu từ $1-1/\sqrt{2}$ lên vô cùng, với đồ thị của nó luôn ở dưới bissertrix của góc tọa độ $(R-f(R))>0$. Không khó để chứng minh rằng hiệu $R-f(R)$ là hàm số giảm đơn điệu của $R$ (có xu hướng tiến tới 0 tại $R \rightarrow \infty$). Đường đứt nét ở hình 1 cho biết cách hoạt động của bán kính $R_0$, $R_1=f(R_0)$, $R_2=f(R_1)$, … (tại hình 1 nó đã là $R_3<1/\sqrt{2}$, vì vậy ở giai đoạn tiếp theo, kết quả sẽ là một tập hợp trống). Trong trường hợp tổng quát, tính đơn điệu của $R-f(R)$ ngụ ý:

$$R_0-R_1<R_1-R_2<R_2-R_3<\dots$$

Do đó, biểu thị $R_0-R_1=d>0$, chúng ta thu được $R_n<R_0-nd$ đó. Điều này có nghĩa là đối với một số giá trị $n$ (không quá $R_0/d+1$), hình $K_n$ sẽ trống. Điều này chứng minh khẳng định a). (Trong chứng minh này, các chi tiết không phải bát phân chỉ được phác thảo, nhưng trong quá trình lời giải bài toán 6 sau đây), chúng ta sẽ thu được một lời giải a. khác).

Để giải quyết điểm 6), cần ước tính bằng số giá trị mà tại đó bán kính $R$ của đường tròn $K$ giảm theo tác động của quy tắc $F$. Nếu bên trong đường tròn $K$ có ít hơn một phần của đường tròn “tiêu chuẩn” $D$ bán kính 1 với tâm ở điểm $M$, thì điểm này không được đưa vào $F(K)$ và do đó, $f(R)<OM$, trong đó $O$ là tâm của đường tròn $K$. Như có thể thấy từ hình 2, đây sẽ là trường hợp, ví dụ: khi chu vi của một hình tròn $K$ cắt đường kính $AA_1$ của một hình tròn $D$ tại các điểm giữa $B$ và $B_1$ của bán kính $MA$ và $MA_1$ trong trường hợp này trường hợp diện tích của đoạn thẳng là $BB_1G$ nhỏ hơn diện tích của các tam giác cong $ABL$ và $A_1B_1L_1$, nên diện tích giao điểm của hình tròn $D$ và $K$ nhỏ hơn một nửa diện tích hình tròn $D$. Hơn nữa, $OM^2=OB^2-MB^2=R^2-1/4$, do đó,

$$f(R)^2<OM^2=R^2-1/4$$

(với mọi $R>1/\sqrt{2}$), tức là $R_n^2<R_n^{n-1}-1/4$.

Từ đây chúng ta kết luận bằng quy nạp rằng với $R_{n-1}>1/\sqrt{2}$

$$R_n^2<R_n^2-n/4$$

Do đó, một đường tròn có bán kính tùy ý $R_0$ sẽ biến mất sau một số hữu hạn bước (chứng minh câu a)) và con số này không lớn hơn $4R_0^2+1$. Đối với $R_0=100$ nó hoàn thành trong chưa đầy một triệu, đó là điều cần được chứng minh trong bài toán 6).

Bài toán 1.

1. Gọi $N(R)$ là số lần áp dụng quy tắc $F$ biến các đường tròn có bán kính $R$ thành tập hợp trống. Chúng tôi đã chứng minh rằng $N \leqslant 4R^2+1$. Mặt khác, chứng minh rằng $N \geqslant cR^2$, trong đó $c$ là hằng số dương không phải tác nhân.

2. Hãy xem xét một quy tắc khác $H$ để biến đổi các hình trên mặt phẳng. Hãy để chúng tôi giới thiệu hệ tọa độ $Oxy$. Nếu cho hình $K$ thì hình mới $H(K)$ bao gồm tất cả các điểm $T(x; y)$ mà giao điểm của $K$ và một tam giác có các đỉnh $(x; y), (x+1; y), (x; y+1)$ có diện tích ít nhất bằng một nửa diện tích của tam giác này. Chứng minh rằng bất kỳ hình giới hạn nào dưới tác dụng lặp lại $H$ đều biến thành một tập hợp rỗng trong hữu hạn bước $N$ và đối với một đường tròn có bán kính $R$

$$c_1 \cdot R \leqslant N \leqslant c_2 \cdot (R+1),$$

trong đó $c_1$ và $c_2$ là các hằng số dương không phải tác nhân.

3. Trên một quả cầu màu trắng có đường kính $d>1$ có hình $K_0$ màu xanh lam. Chúng ta hãy liên kết từng điểm $M$ của hình cầu với “vùng lân cận” của nó $D_M$ - một phần của hình cầu được bao bọc trong một quả bóng có đường kính 1 với tâm $M$ và một hình màu xanh lam mới $K_1$ được hình thành từ những điểm đó và chỉ những điểm $M$ mà diện tích giao điểm $D_M$ và $K_0$ không nhỏ hơn một nửa diện tích của hình cầu khu phố $D_M$. Tương tự, từ $K_1$ ta có $K_2$, v.v.

a) Chứng minh rằng nếu hình ban đầu $K_0$ được chứa trong một quả cầu có đường kính nhỏ hơn $d$ thì sau hữu hạn bước toàn bộ quả cầu sẽ trở thành màu trắng.

6. Chứng minh rằng với mọi $\varepsilon>0$ đều có thể chỉ ra một $d$ và một hình $K_0$ màu xanh có diện tích không lớn hơn $\varepsilon d^2$ trên một quả cầu màu trắng có đường kính $d$ sao cho sau một số hữu hạn các phép biến đổi được mô tả, toàn bộ quả cầu sẽ chuyển sang màu xanh lam.

b) Có hình $K_0$ nào khác ngoài bán cầu mà $K_1$ trùng với $K_0$ không?

A. L. TOOM