Kvant 1985, số 11 · Trang

QUANTUM
11
1985

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Liên minh XIX
Olympic vật lý dành cho học sinh
(Kuibytsev, tháng 4 năm 1985).
Một cuộc thử nghiệm đang diễn ra…

khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

11 1985
Được thành lập vào năm 1970

Nhà xuất bản “Khoa học”. Tòa soạn chính của văn học vật lý và toán học

TẠI NHÀ:
2 V.V. Abilov. Vật lý + Toán + Máy tính
V. V. Avilov. Physics + mathematics +
computers
9 V.V. Vabilov. Về một công thức Christina
V. V. Vavilov. On a formula of Christian
Huygens

15 Phòng thí nghiệm «Kvant»
A. A. Borovoy. Ostmos
Kvant’s lab
A. A. Borovoy. Osmosis

20 Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10
Physics 8, 9, 10
Trường học yêu thích bài toán
Selected school problems

26 Lịch của chúng tôi
Ba tác phẩm ý nghĩa
Albert Einstein
Our calendar
Three famous papers by Albert Einstein

27 «Kvant» cho học sinh nhỏ
Nhiệm vụ
Kvant for younger school children
Problems
28 V. G. Boltyansky. Đoán ngày sinh nhật
V. G. Boltyanski. Guessing birthday dates

31 nhiệm vụ «Kvant»
Nhiệm vụ M951—M955; F963—F967
Kvant’s problems
Problems M951—M955; P963—P967
36 Lời giải bài toán M931—M935; F943—F947
Solutions M931—M935; P943—P947

32 Kính Vạn Hoa «Kvant»
Kvant’s kaleidoscope

44 Nghệ thuật lập trình
S. A. Abramov. Thuật toán nổi tiếng nhất
The art of programming
S. A. Abramov. The most famous algorithm

48 phần tử bán dẫn
công nghệ máy tính
III. Transistor lưỡng cực
Semiconducting elements in computers
III. Bipolar transistors

Thế vận hội 51
V. V. Vabilov, S. V. Reznichenko.
Olympic Vesezny XIX về toán học
All-Union mathematics olympiad
A. A. Biryukov, A. P. Zilberman.
Olympic Vật lý Vesezny lần thứ XIX
A. A. Biryukov, A. R. Zilberman. The 19th
All-Union physics olympiad

59 Đáp số, gợi ý, lời giải
Thông tin (25, 50)
«Kvant» nụ cười (47)
Pha trộn (8, 19)
Trang cờ vua
Nhiệm vụ trên bảng lục giác
(trang bìa thứ 3)
Answers, hints, solutions
Information (25, 50)
Kvant smiles (47)
Miscellaneous (8, 19)
The chess page
Problems on the hexagonal board
(3rd cover page)

Các “thạch nhũ” và “nhũ đá” hình thành trên bìa trước phát triển trong raster
một chồng vừa các tinh thể coban clorua nhỏ trong vài phút.
Bạn có thể đọc về điều này xảy ra như thế nào trong bài viết “Ostmos” trên tạp chí này.

© Nhà xuất bản Nauka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1985

2

Vật lý Toán học Máy tính

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. V. AVILOV

Bài viết này sẽ tập trung vào vật lý tính toán, một ngành khoa học mới ra đời ở điểm giao thoa giữa vật lý và toán ứng dụng. Ngay khi máy tính tốc độ cao xuất hiện, chúng bắt đầu được sử dụng trong mọi lĩnh vực vật lý. Ở đây chúng ta sẽ gác lại vai trò của máy tính trong các thí nghiệm vật lý hiện đại, những thí nghiệm mà ngày nay thường đơn giản là không thể thực hiện được nếu không sử dụng máy tính và sẽ chuyển sang sử dụng chúng trong nghiên cứu lý thuyết.

Tính toán Monte-Carlo về các tính chất của hợp kim nhị phân bằng mô hình Ising. Máy tính phân tán các nguyên tử loại A (hình vuông sáng trên màn hình) trên một mạng phẳng 16x16, để lại những khoảng trống còn lại cho các nguyên tử loại B (hình vuông tối), và bây giờ đếm số lần các nguyên tử thuộc các loại khác nhau va chạm nhau.

Hiện nay, có hai hướng chính trong việc sử dụng máy tính trong vật lý lý thuyết. Trong cách tiếp cận đầu tiên, nhà vật lý cố gắng đi xa nhất có thể trong lời giải bài toán trước khi chuyển sang máy tính. Máy chỉ được sử dụng để tính các khoảng, tổng, để tìm lời giải các phương trình phức tạp không thể thu được bằng phương pháp giải tích (dưới dạng công thức). Một cách tiếp cận khác được gọi là mô hình hóa máy. Những người ủng hộ hướng này chỉ tính toán dựa trên các định luật vật lý cơ bản và kiểm tra kết quả tính toán, thử

3

rút ra kết luận vật lý mới. Về nhiều mặt, những hoạt động như vậy gần giống với các thí nghiệm vật lý; đôi khi cái tên “thí nghiệm số” thậm chí còn được sử dụng. Trước tiên hãy xem xét cách tiếp cận đầu tiên.

Nếu bạn cần trợ giúp về máy tính

Ban đầu, các nhà vật lý không được phép sử dụng máy tính. Các tính toán được thực hiện bởi các chương trình. Điều này là do trên các máy tính thế hệ đầu tiên, các chương trình được biên dịch bằng cái gọi là mã máy, mã này khác nhau đối với từng loại máy tính. Rất khó để một người không chuyên về lập trình có thể viết và gỡ lỗi chương trình. Có sự phân công lao động rõ ràng: nhà vật lý viết các công thức, nhà toán học-lập trình viên tính toán từ đó. Một số lượng lớn bài toán đã được giải theo cách này, nhưng đồng thời cũng tính toán được nhược điểm của phương pháp này. Đối với nhiều bài toán, phương pháp này không đạt được lời giải chính xác. Trước hết, điều này là do máy tính thực hiện các phép tính với độ chính xác hữu hạn; việc thực hiện từng hành động dẫn đến lỗi làm tròn. Đối với hầu hết các máy tính, liên quan đến việc tính toán từng hành động nằm trong khoảng $10^{-8} - 10^{-16}$. Có vẻ như đây là độ chính xác rất cao. Nhưng vì máy tính thực hiện tới $10^8$ thao tác mỗi giây nên lỗi tính toán có thể nhanh chóng tích lũy.

Nếu cùng một đại lượng có thể được tính theo nhiều cách khác nhau thì chúng ta nói về các quá trình số khác nhau. Các quy trình số này có thể mạnh hoặc không mạnh đối với việc tích lũy các lỗi làm tròn. Thậm chí có những quá trình tích lũy quá trình làm tròn khiến phương pháp tính toán không thể áp dụng được chỉ sau một vài bước. Điều này có nghĩa là một nhà vật lý muốn thực hiện các phép tính số bằng các công thức của mình phải hiểu các quy trình số và tưởng tượng những phương pháp toán học ứng dụng nào anh ta có thể sử dụng trong công việc của mình. Rõ ràng là các nhà vật lý và toán học phải tương tác với nhau ở mọi giai đoạn - bắt đầu từ việc lập công thức bài toán và kết thúc bằng quá trình số. Hoàn cảnh này đã góp phần vào sự xuất hiện của một chuyên ngành - vật lý tính toán.

Chúng tôi cũng lưu ý rằng khả năng kết hợp các chuyên ngành như vậy cũng gắn liền với sự phát triển của các ngôn ngữ lập trình giúp việc “giao tiếp” với máy trở nên dễ dàng hơn. Màn hình tiện lợi*) đã đơn giản hóa việc tiếp xúc của người dùng với máy tính. Bạn hoặc thư viện chương trình đã được tạo; Bây giờ cần phải biên dịch lại chương trình cho lời giải tiêu chuẩn bài toán mỗi lần, sau đó sử dụng thư viện các chương trình tiêu chuẩn trong quá trình này. Các tạp chí đặc biệt cũng xuất hiện đăng các công trình về vật lý tính toán. Ở giai đoạn đầu, các tạp chí chỉ in nội dung của chương trình. Rõ ràng là điều này chỉ có thể được thực hiện với những chương trình đơn giản nhất. Thực tế là khi gõ ở nhà in, rồi khi “chuyển” chương trình từ tạp chí sang máy tính, chắc chắn sẽ xuất hiện lỗi. Vì vậy, hiện nay chỉ có mô tả về phương pháp tính toán được công bố; bản thân chương trình được lưu trữ trong một thư viện đặc biệt và gửi cho người dùng theo yêu cầu.

Vào đầu những năm 70, tại một trong những hội nghị về phương pháp tính toán hệ thống quang điện tử, các nhân viên của trung tâm máy tính thuộc Chi nhánh Siberia của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô đã trình diễn công việc của tổ hợp chương trình do IMM tạo ra. Nửa ngày trước báo cáo, họ yêu cầu những người không phải là chim ưng định dạng bài toán để giải quyết vấn đề này trong công việc của họ. Tại cuộc họp buổi tối, cùng với các diễn giả, nhân viên CC đã giúp mọi người làm quen với giải pháp của họ cho những bài toán này, có được trên máy tính sử dụng một chương trình phức hợp. Rõ ràng là bài toán, lời giải, trước đây phải mất vài tháng, có thể được giải quyết trong vòng vài giờ. Một minh chứng sống động như vậy về khả năng của máy tính đã buộc họ phải có thái độ rất khôn ngoan đối với chúng.

Ngày nay, nhiều tổ hợp tương tự đã xuất hiện, định hướng

*) Đây là tên của tổ hợp màn hình và bàn phím trong một máy tính hiện đại, với sự trợ giúp của nó, cuộc đối thoại giữa nhà khoa học và máy móc được thực hiện. Chương trình được sao chép và xử lý trong máy tính trên màn hình và kết quả tính toán cũng được hiển thị trên đó.

4

đến một vòng tròn nhất định bài toán. Một nhà vật lý sắp làm việc với một tổ hợp như vậy không cần phải lập trình để nghiên cứu các quá trình số để tìm sự ổn định. Máy sẽ tự thực hiện việc này, bạn chỉ cần viết các phương trình cơ bản và đặt các điều kiện ban đầu. Ở đầu ra, người dùng nhận được lời giải gốc ở dạng bảng và biểu đồ. Nếu cần thiết, tổ hợp thậm chí sẽ tạo ra một màng màu dựa trên kết quả đếm. Một nhà vật lý ngồi trước màn hình có thể điều khiển lời giải, thay đổi các giá trị tham số và thực hiện các điều kiện ban đầu khác nhau. Tất nhiên, việc tạo ra từng tổ hợp chương trình đòi hỏi sự làm việc chăm chỉ của các chuyên gia vật lý và toán học ứng dụng.

Thí nghiệm số

Sáu chiếc ghim đi theo chiều ngang trên một chiếc taxi tốc độ, khi tính chất vật lý của hiện tượng đang nghiên cứu được hiểu rõ ngay cả trước khi chuyển sang máy tính. Kết quả của những tốc độ này là cần thiết cho các mục đích thực tế.

Bây giờ chúng ta sẽ nói về một lĩnh vực khác của vật lý tính toán—mô hình hóa máy. Như đã đề cập, phương pháp mô hình hóa máy được đặc trưng bởi thực tế là chỉ có các mẫu cơ bản mô tả hệ thống được xác định.

Ví dụ: nếu phương pháp này được sử dụng để nghiên cứu các tính chất của khí, lỏng, plasma, thiên hà hoặc hệ khác bao gồm nhiều hạt, thì định luật tương tác của chúng cũng như tọa độ và vận tốc ban đầu của các hạt sẽ được xác định. Tiếp theo, họ soạn các phương trình chuyển động (*) và giải chúng bằng máy tính.

Quan sát sự phát triển của hệ thống và so sánh hành vi của hệ thống, chúng ta thu được

*) Trong cơ học cổ điển, phương trình chuyển động của mỗi hạt được tìm thấy dưới dạng định luật thứ hai của Newton. Nếu sự tích tụ của các hạt không thể coi là nhỏ so với tốc độ ánh sáng thì nên sử dụng các phương trình tương ứng của lý thuyết phương trình tương đối của cơ học lượng tử làm phương trình chuyển động.

5

được mong đợi là kết quả của một thí nghiệm số như vậy, với dữ liệu thực nghiệm có sẵn hoặc với những gì được dự đoán bằng các phương pháp phân tích gần đúng, các nhà khoa học cố gắng xác định mô hình phát triển của nó.

Ở nhiều khía cạnh, phương pháp mô hình hóa máy tương tự như một thí nghiệm vật lý; bằng phương pháp này người ta cố gắng tái tạo, “sao chép” bản chất. Ưu điểm của mô hình hóa là nó cho phép chúng ta xem xét các hệ thống chưa thể thu được dữ liệu thực nghiệm (các quá trình ở áp suất cực cao, nhiệt độ, năng lượng hạt).

Khả năng của phương pháp này không phải là không giới hạn. Để mô tả hành vi của các phân tử trong 1 cm³ chất lỏng thực, cần theo dõi chuyển động của khoảng 1022 phân tử. Hơn nữa, đối với một máy tính lớn hiện đại, con số này quá lớn. Cho đến nay, các hệ thống bao gồm không quá 10⁶ hạt đều có sẵn để tính toán. Tuy nhiên, ngay cả khi xem xét một số lượng hạt “hạn chế” như vậy, trong nhiều trường hợp, các mô hình được tiết lộ là đặc trưng của một hệ thống cụ thể gồm một số lượng lớn các hạt.

Các phương pháp mô hình hóa máy hoạt động tốt hơn khi máy tính được triển khai chương trình trên đó càng mạnh. Trong những năm gần đây, họ bắt đầu tạo ra những chiếc máy tính đặc biệt, mỗi chiếc chỉ phù hợp với lời giải một dòng bài toán, có thể có một số sửa đổi, nhưng đây là dòng mà một chiếc máy tính như vậy có thể giải quyết tốt.

Có rất nhiều ví dụ khi mô hình máy tính dẫn đến những khám phá giúp cải thiện đáng kể quan điểm của chúng ta về thế giới vật chất.

Do đó, vào năm 1954, Enrico Fermi và các đồng nghiệp của ông đã sử dụng máy tính để mô phỏng sự lan truyền dao động trong chuỗi một chiều gồm các nguyên tử tương tác. Vì vậy, họ muốn hiểu trạng thái cân bằng nhiệt được thiết lập như thế nào trong chất rắn. Để mô hình hóa sự tương tác, người ta giả định rằng các nguyên tử lân cận được kết nối bằng liên kết. Từ xem xét lý thuyết sơ bộ, người ta đã biết rằng trong trường hợp lực căng F phải được hỗ trợ bởi các nguyên tử, gắn liền với sự thay đổi độ dài của nó Δx theo định luật tuyến tính tổng quát F = -k·Δx, trạng thái cân bằng nhiệt trong hệ không bao giờ được thiết lập. Đồng thời, người ta tin rằng chỉ cần đưa bất kỳ tính phi tuyến nào vào định luật tương tác của các nguyên tử là đủ (nghĩa là coi F(Δx) là một hàm phi tuyến) - và trạng thái cân bằng nhiệt sẽ được thiết lập trong một hệ thống như vậy trong một thời gian hữu hạn.

Trong công trình của họ, Fermi và các cộng sự của ông đã giảm tính phi tuyến đơn giản nhất bằng cách thêm một số hạng tỷ lệ với (Δx)² vào biểu thức lực F. Các phép tính số đã chỉ ra rằng trong trường hợp này trạng thái cân bằng nhiệt trong hệ thực sự đã được thiết lập, nhưng cực kỳ chậm. Thời gian đặc trưng của quá trình này lớn hơn nhiều lần so với những ước tính đã mang lại kết quả đáng kể về mặt lý thuyết. Kết quả đáng ngạc nhiên này đã kích thích các nghiên cứu số và phân tích sâu hơn. Người ta đã chứng minh rằng đối với một số dạng phụ thuộc phi tuyến của lực căng vào khoảng cách Δx, trạng thái cân bằng ấm trong hệ sẽ không bao giờ được thiết lập.

Hiện tại, hàng trăm, nếu không muốn nói là hàng nghìn bài báo đã được xuất bản trong đó các nghiên cứu số và phân tích cũng được thực hiện trên các hệ thống. Kết quả của những nghiên cứu này không tìm thấy

6

ứng dụng tầm thường trong phạm vi rộng bài toán vật lý plasma, thủy động lực học, quang học, v.v.

Khi Fermi và các cộng sự của ông bắt đầu công việc, họ nhận ra rằng mô hình dây chuyền mà họ đã chọn không phải là vật rắn thực sự. Tinh thể thật có mạng ba chiều phức tạp; không chỉ những người hàng xóm gần nhất tương tác trong đó, và quy luật tương tác của các nguyên tử thành phố còn phức tạp hơn những gì được giả định trong công việc này. Tuy nhiên, một mô hình đơn giản của chuỗi một chiều cho phép những hậu quả có thể xảy ra của định luật tương tác KHÔNG TRỰC TUYẾN giữa các nguyên tử.

Mô hình Ising và bộ tạo số ngẫu nhiên

Tuy nhiên, không phải tất cả bài toán đều là tính chất của phương trình chuyển động số lời giải. Đối với loạt bài bài toán, một phương pháp mô hình hóa máy tính quan trọng như phương pháp Monte Carlo được sử dụng. Hãy làm quen với nó bằng cách sử dụng ví dụ nghiên cứu các chuyển pha. Nhưng trước tiên, hãy nói đôi lời về bản thân vấn đề chuyển pha, mà trong nhiều năm, do tính phức tạp của nó nên các nhà vật lý không thể hiểu hết được.

Sự chuyển pha cũng bao gồm các hiện tượng nổi tiếng như nóng chảy và sôi, cũng như nhiều hiện tượng ít quen thuộc hơn - sự chuyển đổi của kim loại sang trạng thái siêu dẫn và gel sang trạng thái siêu lỏng, trật tự của các hợp kim, v.v. Tất cả những điều này, thoạt nhìn, là những hiện tượng không giống nhau, có một đặc tính chung - khi một hệ thống tiếp cận quá trình chuyển đổi, sự tương tác của số lượng hạt ngày càng tăng của nó trở nên đáng kể, làm phức tạp việc sử dụng các phương pháp chung của vật lý lý thuyết. Đây là lúc máy tính ra tay giải cứu, cho phép bạn tính toán hoạt động của hệ thống phát hiện chuyển pha. Tuy nhiên, trước tiên bạn cần đưa ra một mô hình phù hợp - đơn giản, đồng thời phản ánh các đặc tính cơ bản của hệ thống.

Ví dụ, đây là cách chúng ta có thể mô tả quá trình chuyển pha từ trạng thái khí sang trạng thái lỏng. Hãy xem xét một mạng phẳng chứa $N$ nút chứa $m$ ($m < N$) nguyên tử. Người ta biết rằng sự tương tác giữa các nguyên tử giảm nhanh khi khoảng cách giữa chúng ngày càng tăng, do đó có thể giả định một cách đại khái rằng các nguyên tử trong mạng chỉ tương tác nếu chúng ở trong các nút mạng lân cận. Mô hình này được gọi là mô hình Ising của khí mạng với tương tác lân cận gần nhất.

Ở nhiệt độ cao, các nguyên tử được phân bố trung bình đều khắp mạng tinh thể. Tuy nhiên, ở nhiệt độ đủ thấp, nhờ lực hút giữa các nguyên tử, chúng hình thành với nhau, chứa đầy các thể tích mạng tân hướng. Do đó, khi nhiệt độ giảm, hơi nước đầu tiên trở nên bão hòa và sau đó ngưng tụ thành những giọt chất lỏng.

Để tìm ra nhiệt độ tại đó xảy ra “ngưng tụ” của khí mạng tinh thể (chuyển pha), hoặc, ví dụ, để tìm ra nhiệt của quá trình chuyển pha hoạt động như thế nào, cần có khả năng tính toán năng lượng của hệ tương tác của các nguyên tử đối với từng phương pháp sắp xếp của chúng dọc theo mạng (cấu hình). Khó khăn chính là số cách sắp xếp các nguyên tử tại một nút mạng rất nhanh chóng quay trở lại $N$ khi số lượng nút tăng lên. Nếu, ví dụ,

8

Khi công ty IBM của Mỹ bắt đầu sản xuất dòng máy tính IBM 360, gói phần mềm tiêu chuẩn của họ bao gồm chương trình RANDU, chương trình này tạo ra một chuỗi các số ngẫu nhiên được phân bố đều trên khoảng [0; 1]. Các kỹ sư của công ty đã kiểm tra chương trình và không tìm thấy mối tương quan giữa các cặp số nên cho rằng việc thử nghiệm thêm là không cần thiết. Chương trình này đã được sử dụng trong vài năm để thực hiện các phép tính Monte Carlo trước khi người ta phát hiện ra rằng dãy số được nhìn thấy có mối tương quan chặt chẽ giữa các bộ ba số. Hóa ra là nếu chúng ta chia các số thành bộ ba, kết quả là $x, y, z$ là tọa độ của một chuỗi các điểm, khi đó thay vì được phân bố đều trên khối đơn vị, các điểm sẽ nằm trong đó trên một bề mặt nào đó. (Tất nhiên, nếu trong quá trình làm mẫu bài toán Các nguyên tử đang phân tán nằm rải rác trong mạng ba chiều bằng cách sử dụng một cảm biến như vậy, khi đó sự phân bố của các nguyên tử sẽ rất khác so với ngẫu nhiên.) Do đó, những phép tính Monte-Carlo đã được thực hiện trong vài năm trên các máy dòng IBM 360 cần phải được làm lại.

Sự trùng hợp tò mò

Trong ấn bản thứ hai cuốn sách của nhà khoa học người Ý, Giáo sư Orazio Zvelto, một trong những người tiên phong về điện tử lượng tử, “Các nguyên lý của Laser”, tài liệu thú vị được đặt trước lời tựa của tác giả. Nó bắt đầu bằng một trích dẫn từ “Lịch sử tự nhiên” của Pliny Elder, một nhà khoa học và nhà văn La Mã sống ở thế kỷ thứ nhất sau Công nguyên (đây là tác phẩm duy nhất của Pliny Elder còn tồn tại cho đến ngày nay và là bộ bách khoa toàn thư về kiến ​​thức khoa học tự nhiên thời cổ đại; nó cũng chứa thông tin về lịch sử nghệ thuật, lịch sử và cuộc sống của Rome):

“Laser là một trong những món quà được thiên nhiên ban tặng được nghiên cứu nhiều nhất với nhiều ứng dụng.”

Sau đây là giải thích về trích dẫn (chúng tôi trình bày dưới dạng hơi viết tắt):

“Trong thời kỳ nền văn minh Treco-La Mã (từ thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên đến thế kỷ thứ 2 sau Công nguyên), tia laser đã được biết đến rộng rãi và được tôn vinh rất nhiều. Đây thực ra là tên của một loại cây mọc hoang ở một khu vực rộng lớn xung quanh Cyrene. [Đây là một thành phố cổ ở Bắc Phi, được thành lập vào khoảng năm 630 trước Công nguyên. e. Người Hy Lạp; một trong những trung tâm văn hóa và thương mại thời cổ đại; hiện thuộc về Libya. Lưu ý ped.] Chúng được sử dụng cho nhiều loại bệnh - từ cảm lạnh đến nhiều loại bệnh khác nhau dịch bệnh. Nó được sử dụng như một biện pháp đối phó trong việc rửa tội và rửa tội cho chúng. Hóa ra chỉ có một trong số chúng có lỗi.

Các phép biến đổi phân tích trên máy tính được sử dụng thành công trong nhiều bài toán vật lý.

Sự trùng hợp tò mò

9

Về một công thức của Christian Huygen

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. V. VAVILOV

Độ dài của hình tròn có bán kính 1/2 có thể được định nghĩa là giới hạn của chuỗi độ dài chu vi của các đa giác đều nội tiếp trong một hình tròn nhất định với số cạnh của nó tăng không giới hạn. Được xác định theo cách này, số được biểu thị bằng ký hiệu l. Tương tự, số l có thể được định nghĩa là giới hạn chu vi của các đa giác đều ngoại tiếp đường tròn này (hình 1). Chính xác hơn, nếu bằng $p_n$ chúng ta biểu thị chu vi của hình nội tiếp và bằng $q_n$ chu vi của hình đều $n$-giác được mô tả, thì các bất đẳng thức xảy ra
$$p_n < \pi < q_n, \quad n \geqslant 3.$$
Khi $n$ tăng lên, cả hai chuỗi $p_n$ và $q_n$ đều tiến gần đến số l (hình 2); khi di chuyển từ $n$ đến $n+1$, chúng ta gặp ít sai số gần đúng hơn so với các số $p_n$ và $q_n$ đối với số l.
Theo ý nghĩa của cụm từ “Số đo đường tròn”, Archimedes (287-212 TCN) đã đưa ra phép tính gần đúng sau đây cho số l:
$$3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{10}{70},$$
đó là
$$3,14084507 < \pi < 3,14285714.$$
Archimedes thu được kết quả này bằng cách tính chu vi của một hình 96 giác đều nội tiếp.
Lịch sử lâu đời của số l gắn liền với nhiều tên tuổi của các nhà toán học nổi tiếng. Tuy nhiên, từ những người theo dõi

10

Chính sự bất bình đẳng cơ bản này đã cho phép Huygens tiến xa hơn Archimedes.

Dưới đây chúng ta sẽ chứng minh kết quả của Archimedes và H. Huygen và xem xét một số vấn đề liên quan.

Chứng minh bất đẳng thức chính

Ta sẽ chia chứng minh bất đẳng thức (1) thành nhiều bước. Chúng ta sẽ coi vế trái của bất đẳng thức này là đã biết và do đó chúng ta sẽ chỉ chứng minh tính đúng của bất đẳng thức thứ hai.

1°. Nếu trên một đoạn nào đó của đường tròn ACB ta quét tam giác đều ABC và tại các điểm A, B, C vẽ các tiếp tuyến với đường tròn như hình hình 4, thì

$$S_{ABC} < 2S_{KLM}.$$

(2) Có hiệu lực, từ sự tương ứng $|KL| > |LC|$ và $|LC| = |AL|$ nó dẫn đến $|AK| < 2|KL|$. Vì các tam giác KLM và KAB bằng nhau nên diện tích của chúng tỉ lệ với bình phương các cạnh tương ứng nên đúng là

$$S_{KAB} / S_{KLM} = |KA|^2 / |KL|^2 < 4,$$

từ đâu $S_{KAB} < 4S_{KLM}$.

Mặt khác, các tam giác đều KAB và ABC có chung đáy AB, và do đó diện tích của chúng liên hệ giống như độ cao của chúng, hoặc (theo định lý Thales) là độ dài các cạnh tương ứng. Kể từ đây,

$$\frac{S_{ABC}}{S_{KAB}} = \frac{|AL|}{|AK|},$$

và, vì $|AL| < (1/2)|AK|$, chúng ta nhận được $S_{ABC} < (1/2)S_{KAB}$.

Từ đây và từ bất đẳng thức trước về diện tích ta thu được (2).

2°. Nếu chúng ta biểu thị bằng $S_{cerm}$ diện tích đoạn ACB (xem hình 4), thì

$$S_{cerm} \leq \frac{2}{3} S_{ABK}.$$

(3)

Để chứng minh bất đẳng thức này ta sẽ sử dụng thông báo sau. Chúng ta hãy biểu thị (xem hình 5) bằng $S_0$ và $A_0$ diện tích của các tam giác ABC và KLM tương ứng. Bây giờ chúng ta hãy xem xét cung AC, chia nó làm đôi cho điểm $C_1$ và dựng các tam giác có diện tích $S_2$ và $A_2$ theo cách tương tự. Điểm $C_3$—trung điểm của cung AC$^2$—tạo theo cách tương tự các tam giác có diện tích $S_3$ và $A_3$. Tiếp tục quá trình này, chúng ta thu được hai dãy số dương $\{S_n\}$ và $\{A_n\}$ - diện tích của các hình tam giác tương ứng. Theo điều đã được chứng minh trong 1° - xem (2), ta có kết quả sau:

$$S_0 < 2A_0, \quad S_1 < 2A_1, \quad S_2 < 2A_2, \quad S_3 < 2A_3, \dots, \quad S_n < 2A_n.$$

Rõ ràng là (hình 6)

$$S_0 + 2S_1 + 2^2S_2 + 2^3S_3 + \dots + 2^nS_n + \dots = S_{cerm}$$

11

Và
$$A_0 + 2A_1 + 2^2A_2 + 2^3A_3 + \dots + 2^nA_n + \dots = S_{ABK} - S_{\text{сегм}}.$$
Từ chuỗi bất đẳng thức đã cho và hai bất đẳng thức cuối cùng suy ra *)
$$S_{\text{сегм}} \leq 2(S_{ABK} - S_{\text{сегм}}),$$
tức là phát biểu (3).
3°. Bổ đề hình học sau đây của X. Heugen cũng được quan tâm độc lập.
Bổ đề. Trên hình 7: O là tâm đường tròn, các đường thẳng AE và CD tiếp xúc với đường tròn, AB là đoạn tùy ý cắt đường thẳng CD, l_AC là độ dài cung AC. Khi đó bất đẳng thức sau là đúng:
$$l_{\text{AC}} \leq \frac{2}{3} |CD| + \frac{1}{3} |AF|.$$

Theo tính chất tiếp tuyến từ một điểm tới đường tròn, |AE| = |EC|; Do đó tam giác ACE là tam giác đều và các góc EAC và ECA bằng nhau. Suy ra tam giác AED cũng là tam giác đều (vì $CAD = 90^\circ$, $DAE = 90^\circ - EAC$, $ADE = 90^\circ - ECA$) và do đó |AE| = |ED| = |CE|. Từ (3) suy ra $S_{\text{сегм}} \leq (2/3)S_{AEC}$, trong đó $S_{\text{сегм}}$ là diện tích của đoạn hình tròn, được tô bóng

*) Không khó để chứng minh rằng nếu các dãy $\{a_n\}$ và $\{b_n\}$ có giới hạn và $a_n < b_n$, $n=1, 2, \dots$ thì $\lim_{n \to \infty} a_n \leq \lim_{n \to \infty} b_n$.

trên hình 7. Cộng diện tích $S_{AOC}$ của tam giác OAC vào cả hai cạnh của bất đẳng thức này, ta được
$$S_{\text{сегт}} \leq \frac{2}{3} S_{AEC} + S_{OAC},$$
trong đó $S_{\text{сегт}}$ là diện tích của khu vực OAC, từ đâu
$$S_{\text{сегт}} \leq \frac{2}{3} S_{OAC} + \frac{1}{3} S_{OAC},$$
trong đó $S_{OAC}$ là diện tích tứ giác OAEC. Bởi vì
$$S_{OAC} = 2 \cdot S_{OEC} = 2 \cdot \frac{1}{2} |OC| \cdot \frac{1}{2} |CD| = \frac{1}{2} |OC| \cdot |DC|, S_{OAC} = \frac{1}{2} |OC| \cdot |AF|, S_{\text{сегт}} = \frac{1}{2} |OC| \cdot l_{AC},$$
bất đẳng thức cuối cùng ngụ ý sự tương ứng mong muốn (4).
4°. Để hoàn thành việc chứng minh bất đẳng thức (1), chúng ta xây dựng cấu trúc sau (hình 8): gọi $AA_1$ là cạnh của một $n$-giác đều nội tiếp, và $LL_1$ là cạnh của một đa giác nội tiếp đều có số cạnh bằng nhau; kẻ đường thẳng AB và từ điểm A hạ đường vuông góc AK với tiếp tuyến LL_1.

Vì $AOC = 2ABC$ (một trong các góc là tâm và góc thứ hai nằm trên cùng một cung), nên ta thấy AD là phân giác trong tam giác LAK, và theo định lý phân giác ta có $|AL| / |LD| = |AK| / |KD|$.

Nhưng $(AK) \perp (KL)$, do đó $|AK| < |AL|$ và từ tỷ lệ trước đó, chúng ta nhận được $|KD| < |LD|$. Vì $|AF| = |KC|$, chúng ta nhận được $|KD| = |CD|$

12

| $n$ | $p_n$ | $q_n$ |
| :— | :— | :— |
| 3 | 2,59807621 | 5,19615242 |
| 6 | 3,00000000 | 3,46410161 |
| 12 | 3,10582854 | 3,21539030 |
| 24 | 3,13262861 | 3,15965994 |
| 48 | 3,13935020 | 3,14608621 |
| 96 | 3,14103195 | 3,14271459 |
| 192 | 3,14145247 | 3,14187304 |
| 384 | 3,14155760 | 3,14166274 |
| 768 | 3,14158389 | 3,14161017 |
| 1536 | 3,14159046 | 3,14159703 |
| 3072 | 3,14159210 | 3,14159374 |

$-|AF|$. Ngoài ra, $|LD|=|CL|-$
$-|CD|$ và do đó
$|CD|-|AF|<|CL|-|CD|,$
$2|CD|<|AF|+|CL|,$
$2|CD|+|AF|<2|AF|+|CL|$.

Sử dụng bây giờ (4), chúng tôi có được
$$l_{AC} < \frac{2}{3} |AF| + \frac{1}{3} |CL|.$$
Tương tự, chúng ta có thể viết rằng
$$l_{A1C} < \frac{2}{3} |A1F| + \frac{1}{3} |CL1|$$
hoặc cuối cùng
$$l_{AC} + l_{A1C} < \frac{2}{3} |AA1| + \frac{1}{3} |LL1|.$$

Nhân bất đẳng thức thu được với $n$, ta thu được bất đẳng thức (1).

Khám phá sâu hơn về sự bất bình đẳng cơ bản

Chúng ta đã chứng minh rằng số này nằm ở phần ba đầu tiên của tích phân $p_n$, $q_n$ với mọi $n \geqslant 3$. Để làm rõ vị trí của số l trong tích phân mới này, hãy xét tỉ số độ dài của các tích phân $p_n$, $\pi$ cho $p$, $q_n$ [. Các phép tính cho thấy *] (xem bảng 1, 2) rằng đây là tỷ lệ của độ dài, nghĩa là các giá trị của phân số
$$(q_n-\pi)/(\pi-p_n), n=3, 6, 12, 24,$$
khá gần với 2. Dựa trên những tính toán này, chúng ta có thể giả định với mức độ tin cậy cao rằng trong thực tế có sự tương ứng

*) Đối với những người muốn kiểm tra phép tính trên máy tính, chúng tôi trình bày giá trị gần đúng của đẳng thức: $\pi \approx 3,14159265$.

$$\lim_{n \to \infty} \frac{q_n-\pi}{\pi-p_n} = 2.$$ (5)

Để chứng minh sự tương ứng của (5), ta lưu ý rằng (hình 9))

$$p_n=n \cdot \sin \frac{\pi}{n}, q_n=n \cdot \tg \frac{\pi}{n}, n \geqslant 3,$$
và do đó
$$\frac{q_n-\pi}{\pi-p_n} = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{n}} \cdot \frac{n \sin \frac{\pi}{n}-\pi \cos \frac{\pi}{n}}{\pi-n \sin \frac{\pi}{n}}.$$
Để phân tích biểu thức kết quả, chúng ta sẽ cần bất đẳng thức *)
$$x-\frac{x^3}{6} < \sin x < x-\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}, x > 0.$$ (6)

Để chứng minh bất đẳng thức trái trong (6), ta đặt
$$f(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}.$$

Sau đó chúng tôi có
$$g_1(x)=f'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2},$$
$$g_2(x)=g'_1(x)=-\sin x+x.$$

*) Bất bình đẳng (6) cải thiện đáng kể tội lỗi bất bình đẳng nổi tiếng $x<x$ cho $x>0$; xem về vấn đề này: «Kvant», số 5, 1979, tr. 5.

13

Vì sin x < x đối với x > 0, nên chúng ta nhận được $g_2(x) > 0$ đối với x > 0. Do đó, hàm $g_1(x)$ trả về cho x > 0. Nhưng $g_1(0) = 0$ và do đó, $g_1(x) > 0$ đối với x > 0. Hàm $g_1(x)$ là tùy ý đối với hàm $f(x)$, đối với hàm này cũng $f(0) = 0$. Nhưng đối với x > 0, chúng ta có $g_1(x) > 0$, do đó hàm $f(x)$ cũng trả về và do đó chỉ nhận các giá trị dương, tức là $f(x) > 0$ cho x > 0, như đã nêu.

Các quy tắc về bất đẳng thức từng phần (6), cũng như các bất đẳng thức (bạn hãy chứng minh chúng nhé!) cũng được thiết lập theo cách tương tự.

$$1 - \frac{x^2}{2} < \cos x < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}, \quad x > 0. \quad (7)$$

Các công thức gần đúng sau đây rút ra từ bất đẳng thức (6) và (7):

$$\sin \frac{\pi}{n} \approx \frac{\pi}{n} - \frac{\pi^3}{6n^3},$$

$$\cos \frac{\pi}{n} \approx 1 - \frac{\pi^2}{2n^2}.$$

Kể từ đây,

$$\frac{q_n - \pi}{\pi - p_n} \approx 2 \cdot \left(1 - \frac{\pi^2}{2n^2}\right)^{-1},$$

điều này hoàn thành bằng chứng tương ứng (5), vì $\frac{\pi^2}{2n^2}$ có xu hướng bằng 0 khi $n \to \infty$.

Đẳng thức (5) cho phép chúng ta rút ra kết luận định tính sau: số $\pi$, đối với bất kỳ $n \geqslant 3$ nào trong khoảng $]p_n, \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3}q_n[$, với tất cả các giá trị đủ lớn của $n$, nằm gần đầu bên phải của khoảng này hơn là ở bên trái.

Công thức Goygenas và hiệu quả của nó

Archimedes đã sử dụng công thức gần đúng để tính số $\pi$

$$\pi \approx p_n, \quad n \geqslant 3.$$

Đặc biệt, trong công trình của mình, Geugens đã thu được một công thức gần đúng khác

$$\pi \approx \frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3}q_n, \quad n \geqslant 3,$$

nghĩa là, tôi lấy vế phải của bất đẳng thức (1) làm giá trị gần đúng cho số $\pi$.

Hiệu quả cao hơn của công thức Goigenas so với công thức Archimedes có thể được phát hiện bằng cách tính toán trực tiếp trên máy tính vi mô, so sánh kết quả của các phép tính đó được tóm tắt trong bảng 1, 2 và 3 (các chữ số chính xác của số $\pi$ được đánh dấu màu trên các bảng này). Lưu ý rằng cũng sẽ có những phép tính - hấp dẫn và khó bài toán.

Có thể so sánh tính hiệu quả của các công thức của Archimedes và Geugenas bằng một phương pháp khác mà không cần tính toán cụ thể tùy ý cho $p_n$ và $q_n$. Bạn có thể sử dụng cái gọi là ước tính trước để biết độ chính xác của các công thức này, tức là những bất đẳng thức cho phép bạn ước tính trước sự khác biệt $\pi - p_n$ và $\frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3}q_n - \pi$ cho tất cả $n \geqslant 3$ mà không cần tính chu vi. Giá trị của những ước tính trước đó còn nằm ở chỗ chúng cho phép chúng ta ước tính chính xác con số $n$ mà chúng ta cần tìm ra độ chính xác. Sử dụng các bất đẳng thức (6) và (7) và các phép tính thực nghiệm đơn giản tùy ý, không khó để thu được (chúng tôi để đây là bài tập cho người đọc!) các ước lượng thực nghiệm sau:

$$\frac{5}{n^2} < \pi - p_n < \frac{6}{n^2}, \quad n \geqslant 3, \quad (8)$$

Và

$$\frac{2}{3}p_n + \frac{1}{3}q_n - \pi < \frac{64}{n^4}, \quad n \geqslant 3. \quad (9)$$

Trực tiếp từ những bất đẳng thức này

14

chúng tôi nhận thấy rằng “tốc độ” mà chênh lệch $\frac{2}{3} p_n + \frac{1}{3} q_n - \pi$ có xu hướng về 0 lớn hơn “tốc độ” mà chênh lệch $\pi - p_n$ có xu hướng bằng 0 tại $n \to \infty$.

Để so sánh những “tốc độ” này, chúng ta sẽ tìm những giá trị $n$ chắc chắn sẽ cung cấp cho chúng ta độ chính xác khi tính số $\pi$, chẳng hạn như bằng $10^{-2}$. Vì $\pi - p_n < \frac{6}{n^2}$, để tính toán bằng công thức Archimedes với độ chính xác này, chỉ cần lấy $n$ sao cho $6/n^2 < 10^{-2}$, tức là, $n \geq 25$. Sử dụng công thức Goigenas, chúng ta chỉ cần chọn $n$ sao cho $64/n^4 < 10^{-2}$, tức là $n \geq 9$.

Như có thể thấy từ ví dụ được phân tích, cũng như từ các bất đẳng thức (8) và (9), công thức Goigenas nhanh chóng dẫn đến độ chính xác xác định.

Hai bài toán

Chúng tôi đặt ở đây tài liệu có thể là sự khởi đầu của một nghiên cứu toán học nhỏ.

Bài toán 1. Gọi $AC$ là dây cung, $|BB_1| = 2R$ là đường kính của một đường tròn. $O$ là tâm của đường tròn, $(BB_1) \perp (AC)$, $B$ là giữa cung $AC$, $E$ và $F$ lần lượt là tâm của cung $AB$ và $BC$ (hình 10). Chứng minh rằng

a) $|AB|^2 = |BD| \cdot |BB_1|$, $|BE|^2 = |BG| \times |BB_1|$;

b) $|BD| < 4 \cdot |BG|$;

c) $|AC| < 2 \cdot |EF|$;

d) $S_{ABC} < 4(S_{ABE} + S_{BFC})$;

e) $\pi R^2 > \frac{4}{3} S_{2n} - \frac{1}{3} S_n$;

trong đó $S_n$ là diện tích của $n$-giác đều trong một hình tròn ($S_{2n}$ là $2n$-giác tương ứng);

g) $2\pi R > \frac{4}{3} p_{2n} - \frac{1}{3} p_n$,

trong đó $p_n$ là chu vi của $n$-giác đều trong một vòng tròn ($p_{2n}$ là $2n$-giác tương ứng);

bài toán 2. Chứng minh rằng tất cả các dòng bên dưới dòng trước đều tồn tại và tìm chúng:

a) $n^2(\pi - p_n)$;

b) $n^4\left(\frac{2}{3} p_n + \frac{1}{3} q_n - \pi\right)$;

b) $\lim_{n \to \infty} \frac{p_n^2 - p_{n-1}p_{n+1}}{2p_n - p_{n-1} - p_{n+1}}$;

r) $n^4\left(\pi - \frac{4}{3} p_{2n} + \frac{1}{3} p_n\right)$;

d) $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi R^2 - S_n(n)}{S_q(n) - \pi R^2}$,

trong đó $R$ là bán kính của hình tròn; $S_p(n), S_q(n)$ là diện tích của đa giác treo đều và ngoại tiếp.

Để kết luận, chúng tôi lưu ý rằng quan sát của H. Heugen rằng số $n$, bằng chiều dài của một hình tròn có bán kính $1/2$, lớn gấp đôi chu vi của một $n$-giác đều treo trong vòng tròn này so với chu vi của một $n$-giác đều ngoại tiếp vòng tròn này, gần đây đã được khái quát hóa cho trường hợp các hình lồi tùy ý được giới hạn bởi các đường cong trơn (không có điểm gấp khúc). Cụ thể, các tuyên bố sau đây giữ.

Đặt $L$ biểu thị độ dài của một đường cong khép kín không có điểm gấp khúc, $P_n$ chu vi của một $n$-giác có chu vi tối đa lơ lửng trong một đường cong nhất định và $Q_n$ chu vi được mô tả xung quanh một đường cong nhất định có chu vi tối thiểu (chúng tồn tại!). Khi đó sự tương ứng của các phát biểu là đúng

$$\lim_{n \to \infty} \frac{Q_n - L}{L - P_n} = 2.$$

Chứng minh của nhận định này và nhiều kết quả thú vị khác liên quan đến nó có thể được tìm thấy trong cuốn sách [4].

Văn học

1. Rudno F. Trên hồ sơ hành trình (Archimedes, Heugens, Legendre, Lambert), Toán học, 1911.
2. Veselovsky I. N. Christian Geugens. - M.: Uchredgiz, 1959.
3. Kipman F. Lịch sử số $\pi$, - M.: Nauka, 1971.
4. Toth L. F. Vị trí trên mặt phẳng, trên mặt cầu và trong không gian, - M.: Fizmatgiz, 1958.

15

Ostmos

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. BOROVOY

Cành cây bị cắt bắt đầu khô héo. Nhưng sau đó bạn cho nó vào nước, và sau một thời gian tương đối ngắn, các tấm vải sẽ thẳng ra, đàn hồi trở lại và chứa đầy hơi ẩm.

Tại sao chi nhánh lại chờ đợi? Lực nào khiến hơi ẩm xâm nhập vào cây và di chuyển vào bên trong cây? Điều gì giữ nước trong tế bào và ngăn không cho nó rời đi? Làm thế nào để tế bào thực vật có thể thấm nước chỉ theo một hướng: từ ngoài vào trong?

Các nhà khoa học đã cố gắng trả lời những câu hỏi này trong một thời gian rất dài, nhưng mãi đến cuối thế kỷ 19 mới đạt được sự rõ ràng nhất định. Một thời gian nữa trôi qua, và các phòng thí nghiệm đã cố gắng tạo điều kiện thuận lợi (mặc dù rất thô sơ) cho những hiện tượng tự nhiên này. Và ở nước ta, họ đã bị buộc phải làm việc thành công trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ khác nhau.

Ai đã khám phá ra không gian và bằng cách nào?

Năm 1748, nhà vật lý thực nghiệm người Pháp J. A. Nollet, khi đang nghiên cứu sự sôi của chất lỏng, đã gặp phải một hiện tượng cho đến nay vẫn chưa được biết đến. Tại một trong những người bán buôn của mình, anh ta đóng nhiệt một ly rượu bằng một màng bong bóng bò đực và ngâm nó vào đáy một chiếc bình lớn hơn bằng nước. Sau vài giờ, bong bóng phồng lên rất nhiều - nước thấm vào kính và làm tăng áp suất trong đó. Nolle đã không hiểu nhầm sự thật đáng kinh ngạc này và giải thích nó như sau: “Bàng quang của động vật có thể thấm nước hơn rượu; trong trường hợp này, tốc độ di chuyển của nước hóa ra lớn hơn tốc độ di chuyển của rượu”.

Hãy lặp lại thí nghiệm của Nollet, nhưng sử dụng ít vật liệu khan hiếm hơn - thay bong bóng tồn tại bằng một tấm giấy bóng kính và thay rượu bằng dung dịch đường.

hình 1 hiển thị một thiết bị có thể được chế tạo nhiều lần. Một ống thủy tinh rộng, phủ giấy bóng kính màu xanh lam, được hạ xuống một bình nước sạch. Giấy bóng kính được cố định để nước không chảy vào bên trong ống (có thể thực hiện việc bịt kín bằng băng dính, vòng cao su, nhựa dẻo, v.v.). Một ống thủy tinh mỏng đi vào ống dày qua nút cao su từ phía trên.

Khi bắt đầu thí nghiệm, đổ dung dịch đường vào các ống cho đến khi mực chất lỏng trong ống và trong bình trùng nhau (thời điểm này được thể hiện trên hình 1 đường đứt nét). Sau một thời gian, bạn sẽ nhận thấy rằng chiều cao của cột raster sẽ tăng lên - giống như trong thí nghiệm của Nolle, nước bắt đầu chuyển động qua màng, trong trường hợp của chúng ta là giấy bóng kính.

Hiện tượng quan sát thấy sự thâm nhập một chiều của dung môi qua vách ngăn bán thấm ngăn cách dung môi được gọi là thẩm thấu. Từ này có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp và chỉ có nghĩa là áp lực.

16

Lặp lại kinh nghiệm của nhà vật lý người Pháp, lần đầu tiên sự thẩm thấu được phát hiện, chúng ta hãy thử tìm hiểu hiện tượng này.

Ostmosis và khuếch tán một chiều

Chúng ta hãy nhớ điều gì xảy ra khi một chất được hòa tan trong dung môi. Các phân tử của chất xâm nhập vào dung môi và các phân tử của dung môi xâm nhập vào vùng chiếm giữ của dung môi. Sự khuếch tán lẫn nhau (thâm nhập) này dẫn đến sự cân bằng nồng độ của chất hòa tan và dung môi trong toàn bộ thể tích.

Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng một tình huống trong đó dung dịch và dung môi nguyên chất được ngăn cách bằng một vách ngăn bán thấm - nó cho phép các phân tử dung môi đi qua, nhưng không cho phép các phân tử chất hòa tan đi qua. Rõ ràng, trong trường hợp này, sự cân bằng nồng độ chỉ có thể xảy ra do sự khuếch tán một chiều của dung môi.

Đây chính xác là những gì sẽ xảy ra trong trải nghiệm mà chúng tôi đã cung cấp. Cellufane “đục” đối với phân tử đường, nhưng “trong suốt” đối với phân tử nước, do đó, ở cùng độ cao chất lỏng (cùng áp suất lên vách ngăn) trong bình và ống, tại thời điểm ban đầu, nhiều phân tử nước đi qua xenlulophane đi lên hơn là đi từ trên xuống dưới. Kết quả là mức chất lỏng trong bình bắt đầu rơi xuống nước và thấm vào dung dịch dưới tác dụng của lực của cái gọi là áp suất thẩm thấu. Ngay khi áp suất thủy phân của cột dung dịch cân bằng với áp suất thẩm thấu thì quá trình dừng lại. Chiều cao của cột này đóng vai trò là thước đo định lượng của áp suất thẩm thấu.

Vách ngăn bán thấm và “lồng nhân tạo”

Sau công trình của Nolle, nhiều nhà khoa học - nhà thực vật học, nhà hóa học, nhà vật lý - bắt đầu tiến hành thí nghiệm và nghiên cứu hiện tượng thẩm thấu. Đối với các vách ngăn bán thấm, họ sử dụng nhiều loại vật liệu tự nhiên: da trứng, bong bóng bò và lợn, màng, v.v.

Hình 2.

Vào giữa thế kỷ 19 (năm 1866), nhà khoa học người Đức M. Traube đã phát minh ra phương pháp sản xuất màng bán thấm nhân tạo từ đồng đen (Cu₂Fe(CN)₆). Chúng có khả năng thấm nước cao nhưng không cho phép nhiều chất khác đi qua.

Chúng ta có thể xác minh điều này với sự trợ giúp của thí nghiệm màu đỏ, được gọi là “tế bào nhân tạo”. Bạn không nên bị đánh lừa bởi công thức hóa học rườm rà của phim. Ở nhà, bạn có thể lấy nó bằng cách sử dụng các chất ban đầu là đồng sunfat (CuSO₄) và muối sắt (K₄Fe(CN)₆) - thuốc thử, tiếp tục bán ở các cửa hàng vật liệu ảnh.

Đổ dung dịch đồng sunfat yếu (khoảng 3%) vào ống nghiệm và thả một tinh thể coli máu màu vàng xuống đáy. Tinh thể phải sạch - những tinh thể tốt nhất được tách ra khỏi một tinh thể lớn trước khi thử nghiệm. Là kết quả của phản ứng

$$2\text{CuSO}_4 + \text{K}_4\text{Fe(CN)}_6 \rightarrow \text{Cu}_2\text{Fe(CN)}_6 + 2\text{K}_2\text{SO}_4$$

Bề mặt của tinh thể được phủ một lớp màng bán thấm. Nước thấm qua nó và làm cho “tế bào” phát triển. Lớp vỏ của “tế bào” nở ra, ở những nơi màng bị tác dụng bởi áp suất bên trong và tràn ra ngoài dữ dội thì ngay lập tức nó lại

17

một lớp vỏ bán thấm được hình thành. Vì vậy, “tế bào” dần dần có hình dạng phân nhánh. Chúng ta có thể nói rằng “tế bào nhân tạo” hoạt động giống như một sinh vật động vật.*)

Thí nghiệm kinh điển này đòi hỏi sự kiên nhẫn và chính xác; những “cây” đẹp có thể không thành công ngay lần thử đầu tiên.

Ngày nay, có thể thực hiện một thí nghiệm hiệu quả và dễ tiếp cận hơn, trong đó “cây” nhân tạo được trồng trong dung dịch thủy tinh lỏng (silicon natri Na₂SiO₃ - keo văn phòng silicat). Có thể phát triển mục tiêu “khu vườn” nếu bạn ném tinh thể coban clorua, sắt sunfat, niken clorua, mangan sunfat và nhiều chất khác vào dung dịch này (người đọc có thể tự chọn).**)

Thí nghiệm với máy đo thẩm thấu và tạo ra lý thuyết thẩm thấu

Mười năm đã trôi qua kể từ khi Traube có được màng bán thấm nhân tạo đầu tiên, và vào năm 1877, nhà thực vật học người Đức W. Pfeffer đã tạo ra một công cụ đo áp suất thẩm thấu - máy thẩm thấu. Cấu trúc mà chúng tôi đã sử dụng, tái tạo thí nghiệm của Nolle (xem hình 1), phần lớn lặp lại ý tưởng của Pfeffer.

Sử dụng osmote, nhà khoa học chỉ ra rằng áp suất thẩm thấu chỉ phụ thuộc vào nồng độ chứ không phụ thuộc vào bản chất của chất hòa tan (đối với dung dịch yếu) và tăng khi nhiệt độ tăng. Các phép đo của ông cũng cho thấy

*) Thí nghiệm được mô tả yêu cầu người thí nghiệm phải tham gia vào việc xử lý thuốc thử. Chúng không được dính vào tay, bàn của bạn, v.v. Nếu điều này xảy ra, bạn nên rửa sạch chúng ngay lập tức với nhiều nước.

**) Xem các bức ảnh được sao chép ở đây trên hình 2 và trên bìa trước của tạp chí.

Hình 3.

Do đó, lần đầu tiên người ta thu được dữ liệu định lượng về hiện tượng thẩm thấu, giúp nhà hóa học xuất sắc người Hà Lan J. H. Van’t Hoff tạo ra lý thuyết về hiện tượng này.

Năm 1887, nhà khoa học này đã hoàn thành một công trình trong đó ông chỉ ra rằng các phân tử của chất hòa tan hoạt động trong dung dịch giống như các phân tử của khí lý tưởng ở trạng thái đó. Và chất hòa tan trong trường hợp này đóng vai trò… sự trống rỗng!

Để hiểu lý luận của Van’t Hoff, chúng ta hãy thực hiện một thí nghiệm tưởng tượng. Cho một hình trụ nằm ngang chứa đầy nước được chia thành hai phần bằng nhau bằng một vách ngăn có thể trộn lẫn mà không làm rách niêm phong (hình 3). Nếu bạn hòa tan đường trong một phần của hình trụ, thì do sự khuếch tán của nước tinh khiết qua celluphan trong khu vực của chất hòa tan, áp suất ở đó sẽ tăng lên và vách ngăn bắt đầu trộn lẫn. Thể tích dung dịch sẽ tăng lên, thể tích nước sạch sẽ giảm tương ứng. Nhưng theo kết quả của giả định thí nghiệm này, các phân tử đường trong dung dịch sẽ tạo thêm áp lực lên vách ngăn. Chất hòa tan có xu hướng giãn nở và làm giãn nở cellufane - giống như chất khí có xu hướng giãn nở và làm giãn nở pít-tông tách nó ra khỏi chân không.

Với sự trợ giúp của giả định này, van’t Hoff đã có thể đưa ra tất cả các đặc điểm của hiện tượng thẩm thấu do Pfeffer phát hiện. Nhà khoa học đã rút ra một phương trình hoàn toàn giống với phương trình trạng thái của khí lý tưởng:

$$\pi V=nRT,$$

Trong đó π là áp suất thẩm thấu, V là thể tích dung dịch, n là số lượng phân tử của dung dịch, R là hằng số khí phổ quát, T là nhiệt độ. Người ta đã chứng minh rằng sự giống nhau giữa sự nổi lên của chất hòa tan và chất khí là rất đáng kể, đến mức có thể khẳng định sự tương tác của các phân tử của chất hòa tan với nhau.

Lý thuyết của Van’t Hoff đã được xác nhận bằng nhiều thí nghiệm. Tác giả của nó đã trở thành người đầu tiên

19

hệ thống vết thương đưa dược chất với số lượng được kiểm soát chặt chẽ vào mạch máu trực tiếp qua da nơi chúng được dán. Viên nang dán nhãn chứa nitroglycerne dành cho bệnh nhân tim đã xuất hiện.

Nhiều hiệp hội nghiên cứu và sản xuất lớn đang tham gia vào việc cải tiến màng về mặt công nghệ. Ngày càng có nhiều phương pháp sản xuất màng bán thấm mới ra đời. Vì vậy, vài năm trước, chúng đã bắt đầu được chế tạo bằng cách sử dụng…máy gia tốc hạt nhân hạng nặng. Dưới chùm hạt nhân như vậy có những màng tổng hợp

Bài toán cho nghiên cứu

Vùng đen trắng

Số ô đen và ô trắng trên bàn cờ là như nhau. Nếu có một số đường thẳng trên một mặt phẳng, thì tất cả các phần mà chúng chia mặt phẳng cũng có thể được sơn bằng hai màu - đen và trắng - sao cho các phần có các cạnh chung được thể hiện bằng các màu khác nhau. Tuy nhiên, số lượng người da đen và người da trắng trong khu vực sẽ không nhất thiết phải giống nhau.

Số người da đen trong một khu vực có thể nhiều hơn số người da trắng bao nhiêu lần? bài toán này được tổ chức vào năm ngoái tại một hội thảo tại Đại học Bang Moscow bởi Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô I. V. Arnold. (Điều này bài toán có liên quan đến điều này: số lượng cực đại của đa thức bậc $n$ trong hai biến có thể vượt quá số lượng cực tiểu của nó là bao nhiêu?)

Chính xác hơn, người ta giả sử rằng $n$ đường thẳng trong mặt phẳng ở vị trí tổng quát (không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường nào đi qua cùng một điểm) và cần phải tìm giá trị lớn nhất mà tỷ lệ giữa số vùng đen và trắng có trong các điều kiện này.

Trong bài toán Số 4 cho lớp 10 tại Olympic toàn Liên minh vừa qua (xem trang 53), người ta đã đề xuất chứng minh rằng số lượng người da đen trong khu vực không vượt quá gấp đôi số lượng người da trắng. Trong thực tế, như nhà toán học trẻ người Moscow Yu. V. Chekanov đã chứng minh, khi số dòng $n$ tăng lên thì tỷ lệ tối đa giữa số người da đen trong vùng so với số người da trắng có xu hướng là 2; Chứng minh của ông dựa trên một số thông điệp từ lý thuyết đường cong elip (đường mức năng lượng của một hệ có thế khối), được mô tả trong bài “Giống như đường của cây” trong cuốn sách “Vườn hoa toán học” (M., 1982, trang 117-129). Cố gắng tìm các giá trị chính xác của tỷ lệ tối đa của số vùng đen trắng cho ít nhất một số giá trị $n$ ($n=4, 5, 6, \dots$) và xây dựng một loạt ví dụ mà khi $n$ tăng lên, tỷ lệ này vẫn lớn hơn một số nhất định lớn hơn 1. (Giá trị chính xác của tỷ lệ tối đa cho các đường $n=2^k$ là nhà toán học Leningrad P. Yu. Suvorov của chúng tôi; tương ứng với cả hai là Pavel Suvorov và Yura Chekanov, giống như Vladimir Igorevich Arnold, là những người từng đoạt giải về tối ưu hóa toán học.)

Một câu hỏi gần với bài toán về vùng đen trắng là: phân số nào được chấp nhận nhiều nhất trong số các vùng mà trên đó $n$ đường thẳng chia hình tam giác?

Các câu hỏi tương tự cũng rất thú vị đối với việc tô màu đen trắng của các khu vực mà trên đó các đường thẳng $n$ chia tách các hình tam giác?

Sửa đổi

Chúng tôi xuất bản ở đây hai hình bị sai chính tả ở trang. 35 “Kvata” số 10 do lỗi của nhà in. Hình được đặt ở đây phải là cột thứ ba từ trên cùng bên trái trên trang. 35 số 10 và hình ở bên phải là số cuối cùng (dưới cùng) trong cùng một cột. Cũng lưu ý rằng các tham chiếu đến hình 3 và 4 phải được đặt ở những vị trí trong văn bản.

20

Vật lý 8, 9, 10

Cuốn sách đã xuất bản “Quán tính và quán tính” dành cho tác phẩm kinh điển thứ tám, “Lưỡng cực điện và mômen điện của nó” dành cho tác phẩm kinh điển thứ chín, “Tia và sóng” dành cho tác phẩm kinh điển thứ mười. Nguyên liệu được chuẩn bị bởi N.K. Belkin.

Quán tính và quán tính

Hai từ này có âm thanh giống nhau, được sử dụng cả trong vật lý và đời sống công cộng. Nhiều người tin rằng “quán tính” và “quán tính” là những khái niệm vật lý tương đương với nhau và chúng là từ đồng nghĩa. Điều này có thực sự đúng không?

Các từ đồng nghĩa có thể được thay thế bằng nhau (ví dụ: “vội vàng” và “vội vàng”) nếu chúng ta không nói về một số sắc thái phong cách. Nhưng chính đặc tính này mà các từ và khái niệm “quán tính” và “quán tính” không thể thay thế cho nhau. Định luật đầu tiên của Newton được gọi là định luật quán tính, nhưng sẽ không ai gọi nó là định luật quán tính. Có thuật ngữ “hệ thống báo cáo quán tính” nhưng không nói “hệ thống báo cáo quán tính”. Bạn có thể nói “chuyển động theo quán tính”, nhưng bạn không thể nói “chuyển động theo quán tính”. Số lượng các ví dụ như vậy có thể tăng lên.

Nhưng nếu các từ không giống nhau, điều này có nghĩa là đằng sau chúng có nhiều khái niệm khác nhau. Một nỗ lực giải thích các từ “quán tính” và “quán tính” là cách diễn đạt của hai khái niệm vật lý khác nhau đã được thực hiện trong sách giáo khoa “Vật lý 8” (Chương 4).

Quán tính là gì? Năm 1632, cuốn sách “Đối thoại về hai hệ thống quan trọng nhất của thế giới - Ptolemaic và Copernican” của Galileo được xuất bản. Trong đó, cùng với những ý tưởng quan trọng khác liên quan đến cơ học, một vị trí đã được hình thành mà sau này được gọi là định luật quán tính và trở thành nguyên tắc chính. Galileo đã đạt được điều đó nhờ một lý luận rất đơn giản dựa trên các thí nghiệm và quan sát.

Khi quả bóng lăn xuống mặt phẳng nghiêng, vận tốc của nó không ngừng tăng lên. Quả bóng tương tự, di chuyển lên trên theo một mặt phẳng nghiêng, sẽ giảm tốc độ của nó. “Và… điều gì sẽ xảy ra với cùng một vật thể chuyển động trên một bề mặt không phồng lên hay hạ xuống?” - Galileo nói. Đáp số cho câu hỏi này là định luật quán tính trong công thức Galilê ban đầu của nó: “Khi một vật chuyển động dọc theo một mặt phẳng nằm ngang mà không gặp bất kỳ lực cản nào đối với chuyển động, thì… chuyển động của nó là đều và sẽ tiếp tục liên tục nếu mặt phẳng không gian không có điểm kết thúc.” Sử dụng một số ví dụ khác, Galileo chỉ ra rằng chuyển động theo quán tính không chỉ là chuyển động đều mà còn phải chuyển động thẳng.

Năm 1687, Newton đã khái quát hóa phát biểu này và đưa ra công thức sau: “Mọi vật tiếp tục duy trì trạng thái đứng yên hoặc chuyển động đều theo một đường thẳng, vì nó không bị các lực tác dụng buộc phải thay đổi trạng thái này”. Newton định nghĩa lực là “một tác động được thực hiện lên một vật để thay đổi trạng thái đứng yên hoặc chuyển động đều của nó theo một đường thẳng”.

Từ “quán tính” trong tiếng Latin được dịch sang tiếng Nga là “không hành động” và thậm chí là… “lười biếng”! Một vật không tác dụng lực sẽ không tự thay đổi tốc độ - nó có vẻ quá lười biếng để làm điều này. Vì vậy, định luật Galileo-Newton (định luật đầu tiên của Newton) được gọi là định luật quán tính.

Chuyển động cơ học là một hiện tượng tự nhiên. Điều này có nghĩa là một phần của chuyển động - chuyển động mà cơ thể duy trì tốc độ - cũng là một hiện tượng, hiện tượng quán tính. Đây chính xác là cách giải thích từ “quán tính” được đưa ra trong sách giáo khoa “Vật lý 8”. Điều này tương ứng với cách diễn đạt thông thường “chuyển động theo quán tính”.

Người ta biết rằng bất kỳ chuyển động nào của cơ thể đều được coi là tương đối với định nghĩa

21

hệ thống báo cáo được phân chia. Các hệ thống báo cáo liên quan đến hiện tượng quán tính có thể được quan sát được gọi là quán tính. Tuyên bố rằng các hệ thống báo cáo như vậy tồn tại về cơ bản cấu thành nội dung của định luật quán tính.

Quán tính là gì? Về khái niệm này, nó đã được thảo luận đầy đủ chi tiết trong § 22 của Vật lý 8.
Khi hai vật tương tác với nhau, cả hai đều nhận được gia tốc, nhưng nói chung, gia tốc là khác nhau: vật này có ít hơn vật kia. Về một vật có gia tốc nhỏ hơn, chúng ta có thể nói rằng chuyển động của nó giống với chuyển động theo quán tính hơn (tại đó gia tốc bằng 0). Vì vậy, người ta nói về vật thể đó rằng nó có quán tính lớn hơn đối tác tương tác của nó. Thời gian tương tác (cả hai cơ thể là như nhau) “không đủ” để anh ta thay đổi tốc độ của mình tương đương với cơ thể kia “đã làm”. Một vật trơ hơn cần nhiều thời gian hơn để thay đổi tốc độ theo một giá trị nhất định so với vật thể trơ hơn. Vì vậy, quán tính là một tính chất của vật thể. Số lượng được biểu thị bằng khối lượng, một đại lượng lần đầu tiên được Newton đưa vào cơ học.

Lưỡng cực điện và mô men điện của nó

Phần lớn chúng ta được bao quanh bởi các vật trung hòa về điện. Tuy nhiên, sẽ sai nếu nói rằng chúng không tham gia vào các tương tác điện. Chẳng hạn, chỉ cần nhớ rằng hai điện tích đặt trong một loại chất điện môi nào đó sẽ tương tác yếu hơn trong chân không. Lý do cho điều này là các phân tử điện môi. Mặc dù chất điện môi bao gồm các phân tử trung tính nhưng chúng có khả năng tạo ra điện trường riêng, làm suy yếu tương tác điện của các điện tích.

Hãy xem xét ví dụ đơn giản nhất về hệ trung hòa điện - lưỡng cực điện. Đây là tên của một tập hợp gồm hai điện tích có độ lớn bằng nhau nhưng ngược dấu ±q, nằm cách nhau một khoảng l nhất định (hình 1).

Trường lưỡng cực. Điện trường của lưỡng cực có thể được tìm thấy ở bất kỳ điểm nào giữa chúng ta, dựa trên nguyên lý siêu điện trở (“Vật lý 9”, § 42). Ví dụ: hãy thực hiện điều này đối với điểm A (hình 2). Cường độ trường tại điểm này bằng tổng vectơ các hướng được tạo bởi các điện tích chính xác +q và -q:

$$\vec{E} = \vec{E}_+ + \vec{E}_-$$

hoặc

$$E = E_+ - E_- = \frac{kq}{(r-l/2)^2} - \frac{kq}{(r+l/2)^2} = \frac{2kql}{(r^2 - l^2/4)^2},$$

trong đó r là khoảng cách từ giữa lưỡng cực đến điểm A.

Ở khoảng cách lớn, khi r >> l, ta có

$$E = \frac{2kql}{r^3} = p \cdot \frac{2k}{r^3},$$

trong đó p =ql được gọi là mômen điện của lưỡng cực. Chính xác hơn, ql là mô đun của mômen điện lưỡng cực $\vec{p}$, và vectơ này hướng từ điện tích va đập sang điện tích dương. Mômen điện là đặc tính chính của lưỡng cực. Trong trường hợp này, nó xác định điện trường của lưỡng cực ở khoảng cách lớn so với nó.

Như có thể thấy từ biểu thức cuối cùng, cách xa lưỡng cực, hướng trường sẽ giết chết với khoảng cách là $1/r^3$, tức là nhanh hơn trường

Hình 1.
Hình 2.

22

Kiểm tra phí (tỷ lệ $1/r^2$). Điều này đúng không chỉ với những điểm nằm trên đường thẳng mà còn đúng với bất kỳ điểm nào khác đủ xa lưỡng cực.

Lưỡng cực trong điện trường. Chúng ta hãy xem một lưỡng cực hoạt động như thế nào khi được đặt trong điện trường ngoài. Đầu tiên, vào một trường đều có hướng $\vec{E}$ (hình 3). Các điện tích lưỡng cực chịu tác dụng của các lực $+q\vec{E}$ và $-q\vec{E}$ có độ lớn bằng nhau nhưng ngược hướng, có xu hướng làm quay lưỡng cực. Đối với trục đi qua tâm lưỡng cực (điểm $O$) và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ, mỗi lực tạo ra một mô men xoắn bằng tích của mô đun lực trên diện tích tương ứng (xem hình 3): $qE \cdot l/2 \sin \alpha$.

Tổng mô men xoắn sẽ bằng

$$M = 2qE \frac{l}{2} \sin \alpha = qlE \sin \alpha = p \cdot E \sin \alpha.$$

Do đó, đối với các giá trị cho trước của $E$ và $\alpha$, mômen quay $M$ được xác định bởi độ lớn của mômen lưỡng cực $p$.

Hình 4.

Hình 5.

Dưới tác dụng của mô men xoắn, lưỡng cực sẽ quay cho đến khi đạt vị trí như hình hình 3 đường đứt nét. Ở vị trí này, cả tổng lực và tổng mômen của các lực tác dụng lên lưỡng cực đều bằng không. Điều này có nghĩa là lưỡng cực ở trạng thái cân bằng. Trong trường hợp này, mô men điện của lưỡng cực gắn liền với vectơ hướng trường.

Do đó, trong điện trường ngoài đều, lưỡng cực quay và định vị sao cho mô men lưỡng cực của nó định hướng dọc theo điện trường. Lưu ý rằng vị trí này là vị trí cân bằng ổn định của nó.

Bây giờ lưỡng cực ở trong một trường ngoài không đồng nhất. Tất nhiên, ở đây cũng sẽ xuất hiện một mômen quay, làm lưỡng cực quay dọc theo trường (hình 4). Nhưng trong trường hợp này, các điện tích chịu tác dụng của các lực có độ lớn không bằng nhau, lực tương đương khác 0. Do đó, lưỡng cực cũng sẽ chuyển động dần dần, bị hút vào vùng của trường mạnh (bạn hãy tự mình xem điều này).

Lưỡng cực trong tự nhiên. Các phân tử nhiều đuôi tương tự như các lưỡng cực điện - các điện tích dương và âm có độ lớn bằng nhau được phân tách trong không gian. Ví dụ về các phân tử lưỡng cực như vậy là các phân tử axit clohydric HCl, bao gồm các ion hydro dương ($\text{H}^+$) và các ion clo âm ($\text{Cl}^-$). Các phân tử của chất phổ biến nhất trên trái đất - nước $\text{H}_2\text{O}$ bao gồm hai ion hydro dương và một ion oxy âm (hình 5). Mặc dù đây là những hệ không phải hai mà là ba điện tích, nhưng chúng hoạt động giống như các lưỡng cực điện - tâm của điện tích dương nằm cách tâm điện tích âm một khoảng nhất định và tổng điện tích dương có độ lớn bằng tổng điện tích âm.

Ngoài ra còn có những chất trong đó các phân tử trong điều kiện bình thường không phải là lưỡng cực, vì tâm điện tích dương và tâm điện tích âm trong chúng trùng nhau. Nhưng trong điện trường ngoài, các điện tích trái dấu dịch chuyển một chút -

23

tương đối với nhau và các phân tử trở thành lưỡng cực điện.

Lưu ý rằng chính nhờ sự tồn tại của các lưỡng cực mà một hiện tượng vật lý quan trọng như sự phân cực của chất điện môi xảy ra (“Vật lý 9”, § 47). Điều thú vị là toàn bộ chất điện môi phân cực hoạt động giống như một lưỡng cực. Chuyển động của lưỡng cực như vậy trong điện trường không đồng nhất về mặt lịch sử là hiện tượng điện đầu tiên được thay thế bằng điện (hãy nhớ lực hút của vật nhẹ vào vật nhiễm điện).

Tia và sóng

Vào đầu thế kỷ 19, nhờ nghiên cứu về sự giao thoa và nhiễu xạ ánh sáng, ý tưởng cho rằng sự truyền ánh sáng trong không gian là một quá trình sóng cuối cùng đã được xác lập. Tuy nhiên, trước đó rất lâu, cái gọi là quang học hình học đã ra đời, hình thành và tiếp tục tồn tại cho đến ngày nay. Phần vật lý này nghiên cứu các định luật truyền ánh sáng dựa trên khái niệm tia sáng. Nó nói về tia tới, tia phản xạ và tia khúc xạ, tia phân kỳ, tia hội tụ và tia song song, v.v.

Hình ảnh “tia” ánh sáng cho phép chúng ta mô tả phần lớn những gì xảy ra khi ánh sáng chiếu vào gương, thấu kính hoặc thấu kính (Vật lý 10, Chương 6). Điều này đề cập đến đường đi của tia, ví dụ, trong thấu kính, thấu kính hoặc một số hệ thống quang học phức tạp hơn.

Phải chăng điều này có nghĩa là không phải sóng ánh sáng mà là các tia truyền qua lăng kính và thấu kính, không phải là sóng mà là các tia bị phản xạ từ gương? Tia sáng là gì? Bản chất vật lý của họ là gì?

Hóa ra không có thực tế vật lý đằng sau các tia sáng. Tia sáng là những đường dọc theo đó sóng ánh sáng truyền đi. Tất cả các định luật quang học hình học có thể được rút ra từ sóng của lý thuyết mới như là trường hợp giới hạn khi kích thước của vật cản trên đường đi của ánh sáng lớn hơn nhiều so với chiều dài của sóng ánh sáng. Vì vậy, không cần thiết phải sử dụng khái niệm tia sáng để hiểu điều gì xảy ra khi ánh sáng truyền đi. Nó chỉ làm cho nó dễ nhìn hơn.

Chúng ta hãy xem điều này với một vài ví dụ cụ thể.

Lăng kính. Cho một sóng ánh sáng phẳng rơi vào lăng kính thủy tinh có tiết diện tam giác đặt trong không khí (hình 1). Tại một thời điểm nào đó, mặt sóng (mặt sóng) chạm tới bề mặt nhận dạng tại điểm C.

Bắt đầu từ thời điểm này, cạnh dưới của phần đã chọn của bề mặt sóng DC (chính xác hơn là phần của đường nơi bề mặt sóng giao với mặt phẳng vẽ) truyền trong kính, trong khi phần trên tiếp tục truyền trong không khí. Khi đầu trên (điểm D) đạt đến mức nhận dạng tại điểm A, một sóng hình cầu truyền từ đầu dưới (điểm C) sẽ đến điểm E và khoảng cách CE sẽ nhỏ hơn DA một lần rưỡi, vì tốc độ ánh sáng trong thủy tinh nhỏ hơn khoảng một lần rưỡi so với trong không khí. Tiếp theo, sóng cầu có tâm là điểm C, truyền tới mặt thứ hai của dấu tại điểm B. Ngược lại, một sóng cầu cũng sẽ truyền từ điểm A. Khi sóng trong thủy tinh truyền đi một khoảng Eb thì sóng từ A đã truyền đi một khoảng cách lớn hơn (tốc độ ánh sáng trong không khí lớn hơn trong thủy tinh!). Do đó, mặt sóng mới ở phía bên kia của đường thẳng (hay đúng hơn là phần giao nhau của nó với mặt phẳng hình vẽ) trở thành đoạn BK. Điều này có nghĩa là vai trò nhận dạng là mặt trước của đĩa CD sáng

24

làn sóng tovoy chuyển thành VK.
Và điều này xảy ra vì tốc độ ánh sáng trong thủy tinh nhỏ hơn trong không khí.
Đây là dạng sóng của ánh sáng truyền qua lăng kính. Để so sánh, hình tương tự cũng hiển thị bằng các màu khác nhau hình ảnh thường được đưa ra về đường đi của tia trong lăng kính (ví dụ, xem § 56 của “Vật lý 10”). Từ hình 1 rõ ràng chùm tia là một đường thẳng đơn giản, vuông góc với các mặt sóng (mặt sóng). “Sự khúc xạ của tia sáng” thực chất có nghĩa là làm quay mặt trước của sóng. Góc quay của mặt sóng là SNV. Rõ ràng điều tương tự là góc khúc xạ của các tia.

Như bạn có thể thấy, hình ảnh “tia” đơn giản hơn hình ảnh “sóng”, đó là lý do tại sao nó thường được sử dụng.

Thấu kính hội tụ. Cho một sóng ánh sáng phẳng (hình 2) rơi vào một thấu kính thủy tinh hai mặt lồi trong không khí. Kể từ thời điểm bề mặt sóng (chính xác hơn là phần được chọn của nó) chạm vào phần giữa của nó với bề mặt đầu tiên của thấu kính tại điểm C, hãy để tất cả các điểm của nó (trừ phần giữa) truyền một phần trong không khí và một phần trong thủy tinh. Khi bạn di chuyển từ giữa mặt trước sóng đến các cạnh của nó, tỷ lệ phần “thủy tinh” của đường đi giảm đi, do đó, khi phần giữa sóng chạm tới bề mặt thứ hai của thấu kính tại điểm C’, tất cả các phần khác của mặt trước sóng sẽ di chuyển một quãng đường dài (các điểm cực trị sẽ truyền đi quãng đường dài nhất). Kết quả là khi ra khỏi thấu kính, mặt sóng phẳng ACB biến thành mặt sóng hình cầu A’C’B’. Tâm của sóng cầu này - điểm F - như đã biết, được gọi là tiêu điểm của thấu kính. Người ta hiểu rằng, ngược lại, nếu một sóng cầu phát ra từ một nguồn chính xác nằm trong

Thấu kính khuếch tán. Hình 3 hoặc sẽ xây dựng trường hợp sóng phẳng truyền tới thấu kính thủy tinh hai mặt lõm trong không khí. Sau khi bề mặt sóng chạm vào thấu kính tại các điểm A và B, các phần bên ngoài sẽ tụt lại phía sau các phần khác của mặt sóng (vì chúng truyền qua thủy tinh, nơi tốc độ ánh sáng nhỏ hơn trong không khí). Kết quả là sóng phẳng ACB biến thành sóng cầu A’C’B’. Nhưng tâm của sóng cầu này (điểm F) nằm ở cùng phía của thấu kính nơi sóng phẳng truyền tới. Điểm F còn được gọi là tiêu điểm của thấu kính, nhưng là tiêu điểm tối thiểu, vì ánh sáng khúc xạ không thực sự chạm tới đây. Đường đi tia tương ứng cũng được hiển thị bằng màu xanh lam.

---

Người đọc có thể dễ dàng xây dựng hình ảnh sóng về sự truyền ánh sáng qua thấu kính khi không phải là mặt phẳng mà là sóng hình cầu chiếu vào chúng. Sau khi đi qua thấu kính, chúng biến thành sóng cầu nhưng có bán kính khác nhau. Từ những hình ảnh như vậy, người ta có thể thu được công thức thấu kính, tất nhiên, giống như từ quang học hình học.

26

Ba tác phẩm quan trọng của Albert Einstein

(nhân kỷ niệm 80 năm xuất bản)

Năm 1905, ba bài báo được viết trên tạp chí vật lý Apnalen der Physik của Đức, không hề phóng đại, có thể nói rằng tạp chí này đã đóng một vai trò quyết định trong toàn bộ sự phát triển sau này của khoa học vật lý. Tác giả của những bài báo này là một Albert Einstein trẻ tuổi (lúc đó ông mới hai mươi tuổi) và ít được biết đến, người giữ chức vụ khiêm tốn là một chuyên gia tại Văn phòng Bằng sáng chế Thụy Sĩ ở thành phố Bern.

Ở đây chúng ta sẽ nói rất ngắn gọn về những tác phẩm này theo thứ tự chúng được xuất bản.

Người đầu tiên trong số họ đến tòa soạn tạp chí vào ngày 18 tháng 3 năm 1905 và được giới thiệu về “Theo quan điểm kinh nghiệm” liên quan đến nguồn gốc và sự biến đổi của ánh sáng. Lưu ý rằng từ “heuristic”, có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp cổ đại, có nghĩa gần đúng như sau: “tạo điều kiện thuận lợi cho người Nhật, giúp hiểu được sự thật” (hãy nhớ câu cảm thán “heuristic” - đã tìm thấy nó! - trong truyền thuyết về Archimedes). Công trình này đã phát triển một sự hiểu biết lượng tử mới về bản chất của ánh sáng.

Vào nửa sau thế kỷ, nhà vật lý người Anh Jack. K. Maxwell đã tạo ra các lý thuyết về hiện tượng điện và từ, trong đó đặc biệt, ông chỉ ra rằng ánh sáng là sóng điện từ. Theo lý thuyết này, trường sóng điện từ với tần số nhất định tồn tại khắp không gian; năng lượng trường được phân bố liên tục trong không gian và có thể thay đổi theo cách liên tục như nhau.

Lý thuyết con bò về ánh sáng đã nhận được nhiều xác nhận thực nghiệm và được coi là có cơ sở vững chắc. Tuy nhiên, cô không thể giải thích một số hiện tượng vật lý, và chủ yếu là sự cân bằng cho biết bức xạ. Năm 1900, nhà vật lý người Đức M. Planck đã đưa ra một công thức mô tả hoàn hảo quang phổ phát sáng của một vật thể bị nung nóng. Để chứng minh công thức, Planck cho rằng năng lượng bức xạ của các nguyên tử không thay đổi liên tục mà theo bước nhảy, mỗi lần giảm hoặc tăng một giá trị tỷ lệ thuận với tần số của sóng. Đây là cách những thay đổi rời rạc (nghĩa là giống như bước nhảy, không liên tục) trong năng lượng đi vào vật lý.

A. Einstein trong công trình của mình đã lập luận rằng mô hình mà Planck tìm thấy là toàn diện, vượt xa phạm vi của vấn đề bức xạ. Ông chỉ ra một loại hiện tượng (ví dụ như bức xạ, hiện tượng quang phát quang, hiệu ứng quang điện) “được giải thích rõ hơn bằng giả thiết rằng năng lượng ánh sáng được phân bố rời rạc trong không gian. Theo giả định này được đưa ra ở đây, năng lượng của một chùm ánh sáng phát ra từ một điểm nhất định không được phân bố liên tục trong toàn bộ thể tích không gian, mà cộng lại từ một số lượng hữu hạn lượng tử năng lượng hàng tuần định vị trong không gian, chỉ được hấp thụ hoặc tạo ra dưới dạng tổng thể.”

Einstein sẽ trình bày khả năng của các thí nghiệm vật lý có thể dùng để kiểm tra tuyên bố về quan điểm của ông. Tuy nhiên, họ đã có kinh nghiệm đánh bật các electron khỏi bề mặt kim loại bằng ánh sáng (hiệu ứng ảnh). Einstein, dựa trên những ý tưởng mà ông trình bày, đã hình thành nên một định luật mà ngày nay gọi là định luật Einstein về hiệu ứng quang điện.

Mười sáu năm sau, vào năm 1921, A. Einstein được trao giải Nobel “cho nghiên cứu vật lý và toán học quan trọng, đặc biệt là khám phá ra các định luật về hiệu ứng vật lý”. Nhưng tầm quan trọng của công trình năm 1905 vượt xa sự giải thích lý thuyết về hiệu ứng vật lý, đưa ra sự hiểu biết hoàn hảo về bản chất của ánh sáng và trường điện từ nói chung. Công trình này là một bước quan trọng trong sự phát triển của vật lý lượng tử.

Bài báo tiếp theo của A. Einstein có tựa đề “Về chuyển động của các bộ phận lơ lửng trong cuộc sống nghỉ ngơi, được yêu cầu bởi lý thuyết hoài nghi phân tử của Tellote.” Cô gia nhập ban biên tập của tạp chí vào ngày 11 tháng 5 năm 1905, chưa đầy hai tháng sau khi làm việc về lượng tử ánh sáng. Về cơ bản, nó đã xây dựng một lý thuyết về chuyển động Brown (mặc dù chính Einstein đã lưu ý trong tác phẩm này rằng dữ liệu mà ông có được về hiện tượng này không chính xác đến mức đưa ra một quan điểm chắc chắn về nó).

Năm 1827, nhà thực vật học người Anh R. Brown phát hiện ra rằng các hạt nhỏ lơ lửng trong chất lỏng chuyển động liên tục và hỗn loạn không ngừng. Nhiều nghiên cứu thực nghiệm sâu hơn đã chỉ ra rằng chuyển động này không liên quan đến bất kỳ ảnh hưởng bên ngoài nào và quá trình oxy hóa của nó tăng lên khi nhiệt độ ngày càng tăng và phụ thuộc vào kích thước hạt cũng như độ nhớt của chất lỏng.

Einstein đã xem xét vấn đề này về mặt lý thuyết.

Một phân tử chất lỏng đang chuyển động nhiệt, và do đó một hạt lơ lửng trong chất lỏng luôn va chạm với nó. Vì những lý do ngẫu nhiên, số lượng phân tử va vào một hạt từ một phía có thể lớn hơn con số đó (Cuối cùng, xem trang 30)

27

Nhiệm vụ

1. Một triệu phú đến gần một người đàn ông đang đứng trên vỉa hè. “Bạn không để ý biển số của chiếc xe ben màu xanh vừa chạy qua sao?” “Tất nhiên là tôi đã làm vậy. Số chuyển động thứ hai được lấy từ số đầu tiên bằng cách sắp xếp lại các chữ số và nếu số thứ hai trừ số đầu tiên, bạn sẽ có tổng các chữ số của một trong số chúng.” “Cảm ơn,” nhà triệu phú nói và viết con số vào sổ. Người đó đã viết ra số mấy?

2. Cắt “chiếc thuyền” (xem hình) thành hai phần để có thể gấp chúng thành hình vuông.

3. Trên bàn có một chồng sách giống hệt nhau. Tôi cẩn thận lấy một cuốn sách ra khỏi giữa chồng sách. Chúng tôi “đi” với cô ấy và những cuốn sách nằm trên người cô ấy. Những cuốn sách nằm bên dưới vẫn ở nguyên vị trí. Tại sao?

4. Trong biểu thức 19 * 83, hãy đặt các dấu hoa thị lại với nhau để số thu được trở thành một khối lập phương chính xác.

5. Các đầu của một cạnh của tứ giác được nối với giữa của cạnh đối diện (xem hình). Chứng minh rằng nếu diện tích của tam giác thu được bằng diện tích của tứ giác thì tứ giác này là hình thang hoặc hình bình hành.

Những nhiệm vụ này được đề xuất cho chúng tôi bởi: A. A. Kordyuk, học sinh lớp 4 ở Kyiv Ruslan Vyun, A. P. Savin, N. I. Vovsunovsky, V. V. Proizvolov.

28

Đoán ngày sinh nhật

Thành viên tương ứng
Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
V. G. BOLTYANSKY

Một ghi chú nhỏ với tiêu đề sau: “Đoán ngày sinh nhật” nằm ở Ya. I. Cuốn sách “Đại số giải trí” của Perelman. Ghi chú này mô tả một thủ thuật số nhất định. Đây là những gì nó bao gồm.

Hãy tưởng tượng một người quen của bố bạn đến gặp bạn nhưng bạn không biết ngày sinh của người đó. Mời anh ta nhân số ngày sinh của anh ta với 12, số tháng anh ta sinh ra, nhân với 31, rồi cộng các kết quả thu được. Hãy để anh ấy nói cho bạn biết anh ấy đã làm gì. Hóa ra bằng cách lấy tổng của hai sản phẩm này, bạn có thể tìm ra cả hai số cần thiết (ngày và tháng sinh). Bạn có thể xem thủ thuật này được thực hiện như thế nào trong Ya. I. Cuốn sách của Perelman. Bây giờ chúng tôi sẽ mách bạn một cách khác để thực hiện thủ thuật tương tự; Phương pháp này được đề xuất bởi Pedro dela Risco Padron, một độc giả người Cuba của Ya. I. Cuốn sách của Perelman.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $x$ ngày sinh của người quen đến thăm và $y$ số tháng sinh của anh ta. Một người bạn cho bạn biết số tiền $12x+31y$. Hãy xét hai trường hợp: a) $y$ chẵn; b) $y$ là số lẻ.

a) $y$ là số chẵn, tức là $y=2k$. Sau đó $12x+31y=12x+62k=$
$$=12(x+5k)+2k=12(x+5k)+y.$$
Điều này chứng tỏ số $12x+31y$ có cùng số dư khi chia cho 12 (chúng ta ký hiệu là $r$) là số $y$. Số $y$ thường nhận các giá trị từ 1 đến 12 và trong trường hợp của chúng tôi ($y$ là số chẵn) $y$ có thể bằng 2, 4, 6, 8, 10 hoặc 12. Người ta hiểu rằng $y=12$ khi $r=0$. Nếu $r \neq 0$ và $r$ chẵn thì chúng ta có $y=r$.

b) $y$ là số lẻ, tức là $y=2k+1.$

Sau đó
$$12x+31y=12x+31(2k+1)= =12(x+5k)+2k+7= =12(x+5k+2)+y+6,$$
từ đó rõ ràng là số $12x+31y$ có cùng số dư $r$ khi chia cho 12 như số $y+6$, nghĩa là, $y$ trùng với số $r-6$ hoặc khác với số 12. Điều này có nghĩa là nếu $r$ là số lẻ và $r>6$ thì $y=r-6$; nếu $r$ là số lẻ và $r<6$ thì $r-6$ là âm và do đó $y=(r-6)+12=r+6$.

Đây là nơi Pedro dela Risco Padron đề xuất thực hiện thủ thuật:

1. nếu $r$ chẵn, nhưng $r \neq 0$, thì $y=r$;
2. nếu $r=0$, thì $y=12$;
3. nếu $r$ là số lẻ và $r>6$, thì $y=r-6$;
4. nếu $r$ là số lẻ và $r<6$ thì $y=r+6$.

Tìm $y$ và tính tích $31y$, bạn trừ tích này khỏi số $12x+31y$ đã cho, tìm số $12x$, sau đó chia kết quả cho 12, tìm $x$. Ngày sinh đã được xác định.

Bây giờ chúng ta hãy xem thủ thuật này từ một góc nhìn khác. Một năm có 365 hoặc 366 ngày và bất kỳ ngày nào trong số đó cũng có thể là ngày sinh nhật của một người bạn của bố tôi. Do đó, “khối lượng” thông tin có thể được báo cáo bằng 366. Nếu thay vì biểu thức $12x+31y$, một biểu thức khác được sử dụng và sao cho trong hai ngày khác nhau trong năm, biểu thức đó sẽ nhận được các giá trị giống nhau, thì biểu thức đó sẽ không phù hợp để thực hiện thủ thuật. Sau khi nhận được giá trị này, bạn sẽ không thể xác định ngày nào trong số hai ngày tương ứng với giá trị này của biểu thức sẽ diễn ra ngày sinh nhật. Biểu thức $12x+31y$ được lấy vì trong tất cả 366 ngày trong năm (năm nhuận), nó có các giá trị số khác nhau.

Nhưng $12x+31y$ không phải là biểu thức duy nhất có thuộc tính này. Các biểu thức $12x+35y$, $12x+37y$, $2x+31y$, $3x+31y$, $4x+31y$, $12x+7y$, $12x+5y$, $12x+y$ và các biểu thức khác có cùng thuộc tính. Ví dụ: lấy biểu thức $12x+y$, bạn có thể đưa ra một phiên bản đơn giản của thủ thuật: nhân số lần sinh với 12, cộng số tháng sinh và báo cáo kết quả. Và “thuật toán” để thực hiện một thủ thuật như sau:

29

phiên bản đơn giản hóa sẽ hoàn toàn đơn giản: bạn cần xác định số dư $r$ từ việc chia số được báo cáo $12x+y$ cho 12, sau đó với $r \neq 0$ chúng ta có $y=r$ và với $r=0$ sẽ có $y=12$. Đúng, phiên bản đơn giản hóa của thủ thuật này rất dễ giải quyết.

Cuối cùng, bạn có thể lấy biểu thức $100x+y$, sau đó ngày chia được xác định khá đơn giản và không thú vị（《tầm thường》，như các nhà toán học nói): số hàng trăm bằng số phép chia và hai chữ số cuối cho biết vị trí của phép chia. Ví dụ: đối với ngày 16 tháng 7 (tức là $x=16$, $y=7$), chúng ta có $100x+y=1607$; bây giờ chỉ cần đặt một dấu chấm là đủ, tức là viết 16/07 và bạn sẽ có được một phương pháp viết ngày, thường được sử dụng trên các tài liệu (chỉ họ thêm một năm khác: 16/07/72).

Bài toán

1. Hãy tự thực hiện thủ thuật được mô tả và “đoán” ngày sinh của bạn bằng cách sử dụng các biểu thức: a) $100x+y$; b) $12x+y$; b) $12x+31y$.
2. Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên $a, b$ thỏa mãn bất đẳng thức $31a+12b \leq 366$ thì biểu thức $ax+by$ không cho phép thủ thuật được mô tả.
3. Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên $a, b$ thỏa mãn bất đẳng thức $a<12$ và $b<31$ thì biểu thức $ax+by$ không cho phép thực hiện thủ thuật này.
4. Chứng minh rằng mỗi biểu thức a) $x+31y$, b) $16x+31y$; b) $12x+7y$ phù hợp để thực hiện thủ thuật được mô tả.

Biên tập. Liên quan đến ghi chú này, chúng ta hãy nhớ lại một thủ thuật thú vị khác. Đây là bài toán thanh lịch, được D. B. Fuchs phát minh ra nhiều năm trước. Đúng vậy, trong bài toán này chúng ta không nói về những ngày xa cách và về những cuộc hẹn hò nói chung, nhưng bạn cũng cần đoán một số con số.

Hai người quay đang chơi trò chơi đoán số. Người đầu tiên nghĩ về 10 trong các số tự nhiên (chúng ta biểu thị chúng bằng $x_1, \dots, x_{10}$). Người thứ hai cố gắng trấn an họ, đặt câu hỏi. Như một câu hỏi, anh ấy đưa ra câu đầu tiên là 10 số tự nhiên của mình - hãy biểu thị chúng bằng $a_1, \dots, a_{10}$. Cái đầu tiên trong đáp số cho anh ta biết biểu thức $a_1x_1+...+a_{10}x_{10}$ bằng gì. Sau khi nghe đáp số, người tham gia thứ hai hỏi câu hỏi tiếp theo - tương tự như câu hỏi đầu tiên, nhưng với câu hỏi còn lại $a_1, \dots, a_{10}$. Và vân vân. Trong số câu hỏi nhỏ nhất có thể giải được tất cả các số $x_1, \dots, x_{10}$ là bao nhiêu?

bài toán này từng được phát minh cho Olympic Toán học Moscow, nhưng đã không thành công: các thành viên của Ban tổ chức Olympic không thể cưỡng lại việc tặng nó trước tiên cho nhau, sau đó cho người quen của họ, và bài toán đã được biết đến rộng rãi. Đáp số còn nhiều điều hơn thế nữa so với cái nhìn đầu tiên: hóa ra chỉ cần hai câu hỏi (!).

Đối với câu hỏi đầu tiên, hãy lấy $a_1 = ...=a_{10}=1$. Trong đáp số cho câu hỏi này, chúng ta nhận được tổng $x_1+...+x_{10}$, được hoàn thành bằng số lớn hơn của mỗi $x_1, \dots, x_{10}$ (đó mới là vấn đề). Bây giờ chúng ta hãy lấy $m$ sao cho số được viết thành một với $m$ số 0 không nhỏ hơn đáp số cho câu hỏi đầu tiên và đặt câu hỏi sau: $a_1=1, a_2=10...0, a_3=10...0, a_4=10...0, ..., a_{10}=10...0$. Trong đáp số, chúng ta sẽ nhận được một số dài, trong đó số dự định đầu tiên sẽ được viết bằng các chữ số $m$ cuối cùng (có lẽ một số số 0 được gán ở đầu), ở các số tiếp theo từ cuối

30

m chữ số - số thứ hai, sau đó là số thứ ba, v.v.

Ví dụ: $x_1=4, x_2=11, x_3=21, x_4=14, x_5=9, x_6=7, x_7=1, x_8=12, x_9=3, x_{10}=11$. Đáp số cho câu hỏi đầu tiên: 90. Câu hỏi thứ hai: $a_1=1, a_2=100, a_3=10000, \dots, a_{10}=10...0$.

Đáp số cho câu hỏi thứ hai: 11031201070914211104. Lấy hai chữ số từ cuối, ta được các số dự định: 04, 11, 21, …

Ba tác phẩm quan trọng của Albert Einstein
(Xem phần đầu ở trang 26)

các phân tử va vào nó từ phía đối diện, và sau đó một lực nhất định tác dụng lên hạt, khiến nó chuyển động. Hướng của lực này thay đổi ngẫu nhiên nên hướng chuyển động của hạt cũng thay đổi ngẫu nhiên. Einstein đã phát triển một phương pháp đơn giản nhưng rất hiệu quả giúp người ta có thể “theo dõi” một hạt thực hiện chuyển động kiểu này.

Công trình này của Einstein là một trong những xác nhận thuyết phục nhất về thuyết động học phân tử.

Thứ ba, nhưng không quan trọng, công trình của Einstein, được xuất bản trên cùng tạp chí “Annalen der Physik” và cùng năm 1905, có tên là “Hướng tới khoa học điện tử về các vật thể chuyển động”. Bài viết được người biên tập nhận vào ngày 30 tháng 6 năm 1905. Tác phẩm này trình bày một cách thực tiễn, đầy đủ về lý thuyết đặc biệt của lý thuyết tương đối.

(Tuy nhiên, trong cùng năm đó và trên cùng một tạp chí, một tác phẩm ngắn và quan trọng khác của Einstein đã viết, “Liệu quán tính của một vật có phụ thuộc vào năng lượng mà nó chứa không?”, dành cho sự tương ứng có thể suy ra được giữa khối lượng của một vật và năng lượng của nó.)

Thật khó để nói ngắn gọn về lý thuyết tương đối của lý thuyết tương đối, và không thể kể một câu chuyện chi tiết do khuôn khổ bài viết có hạn. Chúng tôi chỉ nói thêm rằng sự ra đời của lý thuyết này gắn liền với sự xem xét lại căn bản các khái niệm cơ bản hình thành nên vật lý, như thời gian, không gian, độ dài, thời lượng, năng lượng, động lượng, khối lượng, v.v. Xét về tầm quan trọng của nó đối với thế giới tự nhiên, sự xuất hiện của lý thuyết lý thuyết tương đối của lý thuyết tương đối có thể được so sánh với sự xuất hiện của cơ học Newton hai thế kỷ trước đó.

Có vẻ khó tin khi một người có thể tạo ra ba cột trong một năm, khắc phục hậu quả của công việc trong ba lĩnh vực vật lý khác nhau (lý thuyết lượng tử về bức xạ, lý thuyết động học phân tử, lý thuyết tương đối).

Cần phải nói rằng mặc dù hiện nay chúng ta đánh giá rất cao công trình của Einstein vào năm 1905 nhưng khi đó không phải ai cũng hiểu ngay được ý nghĩa của nó. Đặc biệt, người sáng lập vật lý lượng tử, Max Planck, phải đồng ý với những ý tưởng về bản chất của ánh sáng được Einstein thể hiện theo ý nghĩa đầu tiên trong ba ý nghĩa của bài báo năm 1905 của ông. Tuy nhiên, một số nhà vật lý vĩ đại nhất thời bấy giờ đã nhận ra chúng ngay lập tức. Marie Curie cũng ở mức trung bình:

“Tôi chân thành ngưỡng mộ những công trình do ông Einstein xuất bản về các vấn đề của vật lý lý thuyết hiện đại. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng các nhà vật lý học công nhận rằng đây là công trình có đẳng cấp cao nhất. Tại một cuộc thi khoa học ở Brussels mà họ đã tham gia và kiến ​​thức sâu rộng! Chúng tôi biết rằng ông Einstein vẫn còn rất trẻ, nhưng điều này cho chúng tôi quyền đặt hy vọng cao nhất vào ông, nhìn thấy ở ông một trong những nhân vật lý thuyết vĩ đại nhất trong tương lai.”

Những hy vọng này hoàn toàn chính đáng.

V. M. Bolotovsky

31

Nhiệm vụ

M951—M955; F963—F967

M951. Tất cả các cạnh của lục giác lồi ABCDEF đều bằng 1. Chứng minh rằng bán kính ngoại tiếp của một trong các tam giác ACE và BDF ít nhất là 1.

E. Horvath (Hungary)

M952. Hãy ký hiệu bằng {x} phần phân số của số x; {x} = x - [x], trong đó [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá nó.

a) Cho ví dụ về số a sao cho
{a} + {1/a} = 1.

6. Chứng minh rằng số a như vậy không thể hữu tỉ.

I. Varga (Romania)

M953. Trên mặt phẳng có 6 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Tất cả 15 đường thẳng nối các điểm này theo cặp đều được vẽ. Số điểm lớn nhất (ngoài dữ liệu) mà tại đó ba trong số 15 đường này giao nhau là bao nhiêu?

V. V. Prasolov

M954. a) Một hình chữ nhật có cạnh a và b nội tiếp một tam giác sao cho tất cả các đỉnh của nó nằm trên các cạnh của tam giác. Gọi a₁ và b₁ là độ dài hình chiếu của tam giác lên các đường thẳng song song với các cạnh a và b của hình chữ nhật. Chứng minh đẳng thức
$$\frac{a}{a_1} + \frac{b}{b_1} = 1.$$

6. Một tứ diện tùy ý được nội tiếp các cạnh a, b và c hình chữ nhật song song sao cho tất cả các đỉnh của nó đều nằm trên bề mặt của tứ diện. Gọi a₁, b₁ và c₁ là độ dài các hình chiếu của tứ diện lên các đường thẳng song song với các cạnh a, b và c. Chứng minh đẳng thức
   $$\frac{a}{a_1} + \frac{b}{b_1} + \frac{c}{c_1} = 1.$$

V. N. Dubrovsky

M955.* N người tham gia “bữa tiệc điên rồ”* đang ngồi ở một chiếc bàn tròn. Mỗi phút có một cặp hàng xóm đổi chỗ cho nhau. Sau tên gì - (Phần kết xem trang 34)

*) Từ truyện cổ tích “Alice ở xứ sở thần tiên” của Lewis Carroll.

Kính vạn hoa «Kvant»
“Đừng tính bất cứ điều gì tiếp theo nếu còn việc phải làm.”
Carl Friedrich Gauss

Nhà toán học vĩ đại người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) được những người đương thời gọi là “Vua toán học”.
Tài năng toán học của ông bộc lộ từ rất sớm. Khi còn là một học sinh mười chín tuổi, anh đã giải được một bài toán đã tồn tại suốt 2000 năm, kể từ thời của các nhà hình học Hy Lạp cổ đại. Ông đã chỉ ra tất cả các số n mà có thể xây dựng được một n-giác đều (sử dụng la bàn và thước kẻ). Đặc biệt, ông đã chỉ ra một phương pháp xây dựng một phép toán đúng đắn cho lứa tuổi mười bảy. Và ở tuổi 22, ông đã chứng minh được một định lý mang tên “Định lý cơ bản của đại số” (về sự tồn tại nghiệm phức của bất kỳ đa thức nào).
Gauss đã có những đóng góp to lớn cho nhiều lĩnh vực toán học. Ngoài ra, ông còn làm việc rất nhiều và thành công trong lĩnh vực trắc địa và vật lý.
Đọc thêm về K. Gauss và các tác phẩm của ông trên tạp chí của chúng tôi (số 1 năm 1972; số 1 năm 1973; số 8 năm 1977).

Hình tam giác là hình phẳng đơn giản nhất. Ở phía trên và ba phía. Nhưng nghiên cứu về tam giác đã tạo ra cả một ngành khoa học - lượng giác, trong đó các tính chất số liệu của một tam giác được thể hiện thông qua hàm của các góc của nó. Khoa học này xuất phát từ nhu cầu thực tế trong việc thay đổi thửa đất, vẽ bản đồ khu vực và thiết kế máy móc, cơ chế.
Chúng ta tìm thấy lần đầu tiên đề cập đến hình tam giác và các đặc tính của nó trong các văn bản Ai Cập có niên đại hơn 4.000 năm trước. Đặc biệt, nó đề cập đến một phương pháp tìm diện tích của một tam giác đều, phương pháp này cho phép tính gần đúng tốt ở các góc nhỏ với đỉnh đối diện với đáy. Diện tích này được coi là tích của một nửa đáy và một nửa cạnh.
Sau 2000 năm ở Hy Lạp cổ đại, việc nghiên cứu tính chất của tam giác đã đạt đến mức cao - chỉ cần nhớ định lý Pythagore và công thức Heron.
Sau một thời gian dài suy thoái về văn hóa và đặc biệt là toán học, thời kỳ Phục hưng bắt đầu vào thế kỷ 15-16.
Một lượng lớn nghiên cứu về tính chất của tam giác đã xuất hiện trở lại, đặc biệt là
đặc biệt là vào thế kỷ 18. Những nghiên cứu này tạo thành một phần lớn của phép đo mặt phẳng, được gọi là “Hình học mới của Tam giác”.
Đây là một trong những định lý đáng chú ý thời bấy giờ của L. Euler. “Trung điểm các cạnh của một tam giác, đáy các đường cao và trung điểm các đoạn đường cao từ đỉnh đến giao điểm của chúng đều nằm trên cùng một đường tròn”. Vòng tròn này được vẽ trên hình 1. Nó được gọi một cách có điều kiện là “vòng tròn của cây điểm” (theo số lượng

Công thức hữu ích

Theo thông lệ trong huấn luyện, gọi $a, b, c$ là độ dài các cạnh của tam giác, $p$ nửa chu vi của nó, $m_a, m_b, m_c$ độ dài của các đường trung tuyến, $h_a, h_b, h_c$ độ dài của các đường cao, $R$ bán kính của danh dự được mô tả của các điểm đáng chú ý mà nó đi qua. Nó còn được gọi là “đường tròn Euler”, và “đường tròn Feuerbach” không phải đường tròn để vinh danh nhà toán học người Đức thế kỷ 19 K. Feuerbach (anh trai của nhà triết học nổi tiếng người Đức), người đã chứng minh rằng đường tròn này tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác và tất cả các đường tròn bên ngoài của nó (nghĩa là các đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh kia, hình 2). Bán kính của đường tròn chín điểm bằng một nửa bán kính của đường tròn ngoại tiếp, tâm của đường tròn chín điểm nằm ở giữa đoạn nối tâm đường tròn ngoại tiếp với giao điểm của các đường cao của ba điểm đó.

hình tròn, $r$ là bán kính của hình tròn nội tiếp, $S$ là diện tích của tam giác. Sau đó

$$S = \frac{ah_a}{2}; \quad S = pr;$$

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};$$

$$S = \sqrt{\frac{Rh_a h_b h_c}{2}};$$

$$abc = 4SR;$$

$$ab + bc + ac = p^2 + r^2 + 4Rr;$$

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c};$$

$$m_a = \frac{\sqrt{2(b^2 + c^2) - a^2}}{2};$$

$$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2).$$

tôn vinh những điểm tuyệt vời mà nó đi qua. Nó còn được gọi là “đường tròn Euler”, và “đường tròn Feuerbach” không phải đường tròn để vinh danh nhà toán học người Đức thế kỷ 19 K. Feuerbach (anh trai của nhà triết học nổi tiếng người Đức), người đã chứng minh rằng đường tròn này tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác và tất cả các đường tròn bên ngoài của nó (nghĩa là các đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh kia, hình 2). Bán kính của đường tròn chín điểm bằng một nửa bán kính của đường tròn ngoại tiếp, tâm của đường tròn chín điểm nằm ở giữa đoạn nối tâm đường tròn ngoại tiếp với giao điểm của các đường cao của ba điểm đó.

hình vuông Đường thẳng thuộc đoạn này được gọi là Đường thẳng Euler. Đường này cũng thuộc giao điểm các đường trung tuyến của tam giác. (Bạn có thể đọc thêm về vòng tròn chín điểm trong «Kvant», 1981, số 8.)

Được biết, Napoléon đã dành một phần thời gian rảnh rỗi cho công việc toán học bận rộn. Ông được ghi nhận với định lý màu đỏ sau đây: “Nếu các tam giác đều được dựng trên các cạnh của tam giác hướng ra ngoài thì tâm của chúng sẽ là các đỉnh của tam giác đều”. Tam giác này được gọi là “tam giác Napoléon bên ngoài”. “Tam giác bên trong của Napoléon” được xây dựng theo cách tương tự.

Ngoài ra còn có những phát hiện về hình học của tam giác ở

thế kỷ thứ sáu. Do đó, vào năm 1904, nhà toán học người Mỹ F. Morley đã chứng minh rằng nếu một tia được vẽ từ mỗi đỉnh của một tam giác, chia góc tương ứng thành ba phần bằng nhau (triskris của góc), thì giao điểm của các triskris liền kề của các góc là các đỉnh của một tam giác đều (hình 3). Việc chứng minh khẳng định này hoàn toàn nằm trong khả năng của các nhà toán học Hy Lạp cổ đại. Họ đã thảo luận rất nhiều về thực tế này, rõ ràng là vì vào thời điểm đó, người ta thường chỉ xem xét các công trình xây dựng bằng la bàn và thước kẻ, và với sự trợ giúp của những công cụ này, việc phân chia như vậy trong trường hợp chung là không thể (điều này sau đó đã được chứng minh).

A.P.

Hình 3.

34

Cách đây một thời gian, tất cả những người tham gia vào một người có thể thấy mình ngồi theo thứ tự ngược lại (để hàng xóm bên trái của mọi người trở thành bên phải và ngược lại)? Giải bài toán này: a) cho $n=4$, 5 và 6; 6) với mọi $n \geqslant 3$.

V. V. Alekseev

F963. Các mặt phẳng $P$ và $Q$ cắt nhau vuông góc và mặt phẳng $P$ tạo một góc $\alpha$ với đường chân trời (hình 1). Từ một điểm $A$ không gian nào đó trên mặt phẳng $P$ một quả bóng nhỏ rơi tự do. Một quả bóng bị va chạm với mặt phẳng đàn hồi tuyệt đối. Trong điều kiện nào quả bóng quay trở lại điểm $A$? Vẽ một trong những quỹ đạo quay trở lại có thể.

G. S. Lapidus

F964. Điểm vật chất tạo thành một hệ thống khép kín. Giữa hai điểm bất kỳ của hệ có một lực hấp dẫn bằng $\vec{F}_{ij} = km_i m_j \vec{r}_{ij}$, trong đó $m_i, m_j$ là khối lượng của điểm, $|\vec{F}_{ij}|$ là lực tác dụng lên điểm $i$ tính từ điểm $j, |\vec{r}_{ij}|$ là khoảng cách giữa các điểm (hình 2), $k$ là một hệ số không đổi. Tại thời điểm ban đầu mọi hạt đều đứng yên. Chứng minh rằng sau một thời gian mọi điểm sẽ va chạm nhau. Xác định lần này nếu biết khối lượng của toàn bộ hệ $M = \sum_i m_i$ và hệ số $k$.

A. G. Samosvat

F965. Một bình hình trụ dài chứa đầy khí lý tưởng đến áp suất $p_0$. Đầu tiên, nhiệt độ của xi lanh được giữ không đổi và bằng $T_0$. Khi đó nhiệt độ của một trong các thành cuối của bình tăng $\Delta T$, và nhiệt độ của thành đối diện không đổi. Tìm áp suất không đổi trong bình và vị trí khối tâm của khí. Hãy xem xét điều đó $\Delta T \ll T_0$.

V. I. Komov

F966. Để minh họa sức căng bề mặt, một trong các màng xà phòng, được kéo dài trên các “dẫn hướng” song song và được phân cách bằng một sợi chỉ $AB$ (xem hình 3), bị xuyên thủng; Đồng thời, sợi $AB$ bị kéo căng. Xác định lực căng của sợi dây. Khoảng cách giữa các “dây dẫn” là $d$, chiều dài của sợi chỉ là $l$ ($l > \pi d/2$), hệ số căng bề mặt của dung dịch xà phòng là $\sigma$.

L. G. Markovich

F967. Một chồng các tấm kim loại rất mỏng đặt cách nhau một khoảng bằng nhau được sạc từ pin như sau. Cực âm của pin nối với tấm ngoài cùng bên phải, cực dương lần lượt nối với tấm ngoài cùng bên trái, sau đó nối với tấm thứ hai từ bên trái, đến tấm thứ ba, v.v. cho đến tấm thứ hai cuối cùng (thứ hai từ bên phải; hình 4). Tìm tỉ số điện tích ở tấm ngoài cùng bên phải và điện tích ở tấm thứ ba tính từ bên phải. Giả sử rằng độ dày của ngăn xếp nhỏ hơn nhiều so với kích thước tuyến tính của các tấm.

E. P. Sokolov

36

a thread $AB$ (Fig. 3, p. 34) is punctured; the thread, which had been floating freely on the film, stretches into a definite shape. Find the tension in the thread. The distance between the «directrices» is $d$, the length of the thread is $l$ ($l > \pi d/2$), the coefficient of surface tension of the soap solution is $\sigma$.

L. G. Markovich

P967. A pile of very thin metal plates, located at the same distance from each other, is charged from a battery in the following way. The negative contact of the battery is connected to the plate furthest to the right, while the positive contact is connected in sequence first to the first plate from the left, then to the second one, the third and so on until the next to last plate (the second one from the right, see Fig. 4). Find the ratio of the charge of the far right plate to that of the third from the right. Assume that the thickness of the pile is much less than its linear measurements.

E. P. Sokolov

Lời giải bài toán

M931 — M935; F943 — F947

Xét các tam giác $AA_1B_1$ và $BB_1A_1$ (hình 1). Chúng có cạnh chung $A_1B_1$ và các cạnh bằng nhau $AA_1$ và $BB_1$. Ngoài ra, các góc $AB_1A_1$ và $BA_1B_1$ của chúng bằng nhau, vì các góc liền kề với chúng là các góc ở đáy của tam giác đều $A_1B_1C$ (các đoạn $CA_1$ và $CB_1$ bằng nhau, giống như các tiếp tuyến được vẽ với một đường tròn từ một điểm); vì lý do tương tự, các góc $AB_1A_1$ và $BA_1B_1$ là tula, do đó, các góc còn lại của các tam giác đang xét là nhọn. Theo định lý sin

$$\sin \angle A_1AB_1 = \frac{A_1B_1}{A_1A} \sin \angle AB_1A_1 =$$

$$= \frac{A_1B_1}{B_1B} \sin \angle BA_1B_1 = \sin \angle B_1BA_1,$$

tư thế $\angle A_1AB_1 = \angle B_1BA_1$ (các góc này là nhọn), có nghĩa là $\angle AA_1B_1 = \angle BB_1A_1$ nữa. Như vậy, các tam giác $AA_1B_1$ và $BB_1A_1$ bằng nhau (theo hai cạnh và góc xen giữa). Cụ thể là $AB_1 = BA_1$ và $AC = AB_1 + B_1C = BA_1 + A_1C = BC$. Tương tự, người ta chứng minh rằng $AC = AB$.

Lưu ý rằng, nói chung, tiêu chí về sự bằng nhau của các tam giác “hai cạnh và góc đối diện với một cạnh” là không đúng (xem hình 2).

V. N. Dubrovsky

M932. Trong một cái lồng hình vuông có cạnh 1m có một con trăn anaconda dài 10m. Nam tước Munchausen tuyên bố rằng bất cứ lúc nào ông cũng có thể bắn một con anaconda ở 6 ​​nơi cùng một lúc. Nam tước có đang phóng đại không? (Con Anaconda có thể coi là một đoạn thẳng đứt đoạn tùy ý có chiều dài 10, nằm bên trong hình vuông $1 \times 1$.)

37

M933. 13 hiệp sĩ từ k gia tộc khác nhau (1<k<13) đang ngồi ở một chiếc bàn tròn. Mỗi người đều cầm một chiếc cốc vàng hoặc cốc bạc và có đúng k cốc vàng. Vua Arthur ra lệnh cho các hiệp sĩ đồng loạt chuyền cốc cho người hàng xóm ở bên phải, sau đó làm lại tương tự, v.v. Chứng minh rằng tại một thời điểm nào đó ông sẽ tìm thấy hai hiệp sĩ cùng tộc cầm cốc vàng.

M934. Có 2n(n ≥2) điểm trong không gian (vì vậy không có 4 điểm nào nằm trên cùng một mặt phẳng) và có n2+1 đoạn có điểm cuối tại các điểm này. Chứng minh rằng các đoạn thẳng vẽ tạo thành a) ít nhất một tam giác; b)* ít nhất n hình tam giác.

phá vỡ. Chỉ cần Nam tước nhanh chóng bắn từ điểm này vuông góc sang một bên là đủ. Từ hình ở lề, có thể thấy rõ rằng con anaconda có thể tự định vị trong lồng theo cách mà ngay cả Munchausen cũng không thể bắn nó vào 7 nơi cùng một lúc.

S. V. Gashkov

◆
Hãy tranh luận bằng sự mâu thuẫn. Nếu câu bài toán không đúng thì tại bất kỳ thời điểm nào cũng có chính xác một hiệp sĩ trong mỗi tộc giữ cúp vàng, vì số lượng bang bằng số cốc. Giả sử rằng mỗi lần chuyển cốc tiếp theo diễn ra trong một phút. Sau đó, trong 13 phút - thời gian diễn ra một vòng quay đầy đủ các chiếc cốc xung quanh bàn - mỗi hiệp sĩ sẽ phải cầm mỗi chiếc cốc vàng đúng một lần, tức là trong k phút, và tất cả các hiệp sĩ của một tộc cộng lại sẽ có n phút, trong đó n là số hiệp sĩ trong tộc này. Do đó, nk=13, điều này không thể xảy ra với 1<k<13, vì 13 là số nguyên tố.

Kết quả mâu thuẫn chứng tỏ khẳng định bài toán.

Nếu tổng số hiệp sĩ r chia hết cho k: r=kn, thì sẽ dễ dàng xây dựng một ví dụ trong đó tại bất kỳ thời điểm nào chỉ có một hiệp sĩ từ mỗi thị tộc có cúp vàng: chỉ cần theo dõi các hiệp sĩ của mỗi thị tộc tại các đỉnh của một n-giác đều đặn, và k cúp vàng cho k hiệp sĩ ngồi thành một hàng (từ các thị tộc khác nhau).

S. V. Gashkov

◆
a) Chọn điểm xuất hiện nhiều đoạn nhất. Chúng ta hãy biểu thị nó bằng A₁, các đầu của các đoạn nổi lên từ nó bằng B₁, …, Bₖ và các điểm còn lại là A₂, …, A₂n-k. Nếu không có hình tam giác thì không có đoạn nào giữa các điểm B₁, …, Bₖ, do đó không có nhiều hơn 2n-k đoạn xuất phát từ mỗi điểm đó. Và vì từ mỗi điểm Aᵢ, i=1, …, 2n-k không có quá k đoạn nên tổng số đoạn sẽ không vượt quá

$$\frac{1}{2}(k(2n-k)+(2n-k)k)=k(2n-k)\leq n^2.$$

Số lượng các đoạn này bằng n2+1 nên chúng tạo thành ít nhất một hình tam giác.

Đối với các phân đoạn n², tuyên bố bài toán, như có thể thấy từ hình, là không đúng.

b) Ta tiến hành chứng minh quy nạp theo n. Khi n=2 (đối với 4 điểm và 5 đoạn), phát biểu được xác minh trực tiếp. Chúng ta hãy chứng minh nó cho 2(n+1) điểm, coi nó đúng cho 2n điểm.

Theo a) các đoạn thẳng vẽ tạo thành ít nhất một tam giác ABC. Cần ít nhất n hình tam giác nữa. Chúng ta hãy biểu thị số đoạn thẳng xuất phát từ các đỉnh của tam giác ABC (không tính các cạnh của nó) lần lượt là kₐ, kₑ, k₃.

38

Nếu $k = k_A + k_B + k_C \leq 3n - 2$, thì đối với một số đỉnh của tam giác, ví dụ $A$ và $B$, tổng số đoạn như vậy $k_A + k_B$ không lớn hơn $2n - 2$. Hãy loại bỏ các điểm này và tất cả các đoạn đến từ chúng (cùng với các cạnh của tam giác $ABC$). Chúng ta có một tập hợp các điểm được kết nối bởi ít nhất $(n + 1)^2 + 1 - (2n - 2) - 3 = n^2 + 1$ đoạn mà theo đề xuất Quy nạp, tạo thành ít nhất $n$ hình tam giác.

Nếu $k \geq 3n - 1$ và $k$ của các đoạn chúng ta đang xem xét có dạng các cạnh $AB, BC$ và $CA$ hình tam giác, thì $t \geq n$. Trên thực tế, giả sử trong số $2n + 2 - 3 = 2n - 1$ điểm khác với $A, B, C$ có $n_j$ sao cho các đoạn $j$ đi đến các đỉnh $A, B, C$ ($j = 0, 1, 2, 3$). Sau đó
$$n_1 + n_2 + n_3 \leq n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = 2n - 1,$$
$$n_1 + 2n_2 + 3n_3 = k \geq 3n - 1,$$
theo dõi, $t = n_2 + 3n_3 \geq n_2 + 2n_3 \geq (3n - 1) - (2n - 1) \geq n$.

S. V. Gashkov

M935. (Bài toán về đai ốc.) Nếu bên trong có một $2n$-giác đều có các cạnh $a$ và tâm $O$ (tùy ý đặt một $2n$-giác đều với các cạnh $a/2$ thì sẽ bao phủ điểm $O$. Chứng minh nhận định sau: $a)$ cho $n = 2$; $b)$* cho $n = 3$; $c)$* cho bất kỳ $n$ tự nhiên nào.

Hình 1.

Hình 2.

Ta sẽ lập luận bằng phản chứng và ngay trong trường hợp tổng quát. Chúng ta hãy biểu thị $2n$-gon nhỏ hơn bằng $M_1$ và biểu thị số lớn hơn bằng $M_2$. Nếu đa giác $M_1$ không chứa tâm $O$ của đa giác $M_2$, thì vì nó lồi nên nó có một cạnh $AB$ sao cho điểm $O$ và chính đa giác $M_1$ nằm đối diện nhau của đường thẳng $AB$ (hình 1). Đặt $CD$ là cạnh đối diện với $AB$ của đa giác $M_1$. Khoảng cách giữa các đường thẳng song song $AB$ và $CD$ bằng bán kính đường tròn nội tiếp của đa giác $M_2$, do đó đường thẳng $CD$ nằm bên ngoài đường tròn này. Chúng ta hãy vẽ một tiếp tuyến $MN$ với đường tròn này (xem hình 1), song song với $CD$; sau đó, như sau từ những gì đã được nói,
$$CD \leq C'D' < MN,$$
trong đó $C'D'$ là đoạn mà đường $CD$ giao với $M_2$ và điểm cuối của các đoạn $C'D'$ và $MN$ nằm trên hai cạnh liền kề của đa giác $M_2$.

Bây giờ chỉ cần chứng minh rằng $MN < a/2$ là đủ (sau đó hóa ra $CD < a/2$, mâu thuẫn với điều kiện). Để các điểm $M$ và $N$ nằm trên các cạnh $M_2$ nổi lên từ đỉnh $P$; $Q, R$ và $T$ là điểm tiếp tuyến của các cạnh này và đoạn $MN$ với đường tròn nội tiếp $M_2$ (hình 2). Sau đó
$$2MN = MT + MN + TN = QM + MN + NR < QP + PR = a,$$
đó là những gì được yêu cầu.

Lưu ý rằng đối với $(2n + 1)$-gons, phát biểu tương tự là không đúng.

S. V. Gashkov

**F943. Một vật nhỏ rơi xuống đất ở độ cao. Xét tác động của một vật lên mặt đất là hoàn toàn đàn hồi,

39

tăng tốc vật ngay sau khi nảy lên khỏi mặt đất.

Hình 1.

Hình 2.

Với tốc độ tương tự như cơ thể, nghĩa là lên. Vì lực cản tăng khi tốc độ tăng dần nên chúng ta sẽ tìm được một độ cao như vậy (theo trạng thái của vật rơi từ một độ cao rất lớn) mà tại đó lực cản tác dụng một mô đun trọng lực (hình 1):

$$mg - F_c = 0, \quad mg + F_c = 0.$$

Bắt đầu từ thời điểm này, cơ thể sẽ rơi với tốc độ không đổi $\vec{v}$.

Với cùng vận tốc theo mô hình nhưng ngược chiều, vật sẽ bật lên khỏi mặt đất ngay sau khi có tác dụng đàn hồi abcilton vào nó. Tại thời điểm này, có hai lực có hướng bằng nhau và có độ lớn bằng nhau (hình 2) tác dụng lên vật nên gia tốc của nó sẽ bằng

$$a = \frac{mg + F_c}{m} = \frac{2mg}{m} = 2g \approx 20 \text{ m/c}^2.$$

A. G. Shikhkerimov

F944. Trên một vật rắn chuyển động tịnh tiến dọc theo một mặt phẳng nằm ngang gồ ghề, tại thời điểm thời gian $t_0 = 0$, khi tốc độ của vật là $v_0$ thì lực $F(t)$ bắt đầu tác dụng, luôn hướng dọc theo vectơ $\vec{v}_0$ và quay trở lại theo thời gian. Sau thời gian $t$, tốc độ của vật sẽ bằng $v_i$, và $v_i = 5 \text{ m/c}$ nếu $v_0 = 1 \text{ m/c}$, và $v_i = 13 \text{ m/c}$ nếu $v_0 = 10 \text{ m/c}$. Xác định sự phụ thuộc $v_i = f(v_0)$ cho mọi $v_0$ có ​​thể.

Bắt đầu từ thời điểm thời gian $t = 0$, hai lực tác dụng lên vật - lực $F(t)$ này quay trở lại theo thời gian và lực ma sát, ở đây có thể lấy giá trị từ 0 đến lực ma sát nghỉ cực đại, bằng lực ma sát trượt $F_{\tau p} = \mu mg$ (μ là hệ số ma sát, $m$ là khối lượng cơ thể). Các lực này hướng ngược nhau nên rõ ràng bản chất chuyển động của vật sẽ được quyết định bởi mối liên hệ giữa các mô đun lực tác dụng lên vật, và hơn hết là ở thời điểm ban đầu. Chúng ta hãy tính khoảng cách khả năng xảy ra tại thời điểm bắt đầu $t = 0$, hai lực tác dụng lên vật - lực $F(t)$ này, quay trở lại theo thời gian trong một khoảng thời gian nhất định $t$ không phụ thuộc vào tốc độ: $v_i = v_0 + C$ (trong đó $C$ là một hằng số nào đó). Biểu đồ tương ứng được hiển thị trên hình 1. Dễ dàng nhận thấy rằng dữ liệu bài toán không “khớp” với biểu đồ này. Vì vậy, $F(0) < \mu mg$.

Vì lực $F(t)$ quay trở lại theo thời gian nên đến một lúc nào đó, ta gọi nó là “đến hạn”, hóa ra nó bằng lực ma sát tĩnh cực đại: $F(t_{\kappa p}) = \mu mg$. Điều này có thể xảy ra trước thời điểm được chỉ định $t$ hoặc sau thời điểm đó (tất nhiên, có thể điều này sẽ không xảy ra, nhưng sẽ nói thêm về điều đó sau).

Hãy để $t_{\kappa p} < t$. Sau đó, cơ thể đầu tiên, cho đến thời điểm $t_{\kappa p}$, di chuyển chậm, rồi tăng tốc. Nhưng ở đây cũng có thể xảy ra hai trường hợp: tại thời điểm $t_{\kappa p}$ tốc độ của vật bằng 0 hoặc lớn hơn 0. Rõ ràng là trường hợp đầu tiên chỉ có thể được thực hiện ở tốc độ ban đầu đủ thấp. Trong trường hợp này, tốc độ $v_i$ không phụ thuộc vào tốc độ $v_0$ (cơ thể chuyển động chậm, dừng lại và bắt đầu chuyển động trở lại, “quên” tốc độ ban đầu $v_0$): $v_i = A$. Tăng dần tốc độ ban đầu, chúng ta sẽ đạt được giá trị như vậy, chúng ta sẽ gọi nó là “quan trọng”, khi

40

$v_0 > v_{\text{кр}}$ cơ thể sẽ chuyển động không ngừng. Trong trường hợp này, bắt đầu từ thời điểm $t_{\text{кр}}$, lực $F(t) - \mu mg$ sẽ tác dụng lên vật, không phụ thuộc vào tốc độ nên $v_t = v_0 + B$. Do đó, tại $t_{\text{кр}} < t$ đồ thị của $v_t = f(v_0)$ có dạng như ở hình 2.

Hãy để bây giờ $t_{\text{кр}} > t$. Thực hiện các phép tính tương tự, chúng ta sẽ đi đến biểu đồ như trong hình 3. Rõ ràng, biểu đồ này cũng phù hợp với trường hợp cuối cùng có thể xảy ra, khi lực $F(t)$ luôn nhỏ hơn $\mu mg$ (vật thể sẽ dừng lại cho đến thời điểm $t$ hoặc sẽ chuyển động với gia tốc, không phụ thuộc vào tốc độ).

Vì vậy, chúng ta đã thu được ba đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ cuối cùng của một vật vào tốc độ ban đầu của nó. Trong trường hợp này, các điểm được chỉ định trong các điều kiện bài toán ($v_t = 5$ m/s tại $v_0 = 1$ m/s và $v_t = 13$ m/s tại $v_0 = 10$ m/s) chỉ “phù hợp” trên biểu đồ hiển thị ở hình 2. Do đó,

$$v_t = \begin{cases} A & \text{при } v_0 \leqslant v_{\text{кр}}, \\ B + v_0 & \text{при } v_0 > v_{\text{кр}}. \end{cases}$$

“Kết hợp” hai điều kiện này, có tính đến dữ liệu cụ thể, cuối cùng chúng ta thu được (hình 4):

$$v_t = \begin{cases} 5 \text{ м/c} & \text{при } v_0 \leqslant 2 \text{ м/c}, \\ 3 \text{ м/c} + v_0 & \text{при } v_0 > 2 \text{ м/c}. \end{cases}$$

R. L. Mkrtchyan, O. M. Khudaverdyan

◆ Hiệu suất của một quy trình tuần hoàn được định nghĩa là $\eta = A / Q$, trong đó $A$ là công mà hệ thống thực hiện trong mỗi chu kỳ, $Q$ là lượng nhiệt mà hệ thống nhận được ở trục vít tương ứng và trong chu kỳ thứ hai. Hãy tìm $Q_1$ và $Q_2$.

Gọi nhiệt độ của khí tại điểm 1 là $T_1$. Sử dụng phương trình trạng thái của khí lý tưởng, dễ dàng chứng minh được rằng

$$T_2 = T_5 = 2T_1, T_3 = T_6 = 6T_1, T_4 = 3T_1, T_7 = 9T_1.$$

Rõ ràng là trong quá trình 1-2-3-4-1, khí đã nhận nhiệt $Q_1$ trong các phần 1-2 và 2-3, và $Q_1 = A_1 + \Delta U_1$, trong đó $A_1 = 4p_0V_0 = 4vRT_1$ là công do khí thực hiện trong các phần này, $\Delta U_1 = \frac{3}{2}vR(T_3 - T_1) = \frac{15}{2}vRT_1$ là độ biến thiên nội năng của nó. Vì thế

$$Q_1 = 4vRT_1 + \frac{15}{2}vRT_1 = \frac{23}{2}vRT_1.$$

Trong quy trình 5-6-7-4-5, khí nhận nhiệt $Q_2$ ở phần 5-6 và 6-7, và

$$Q_2 = A_2 + \Delta U_2 = 3p_0V_0 + \frac{3}{2}vR(T_7 - T_5) \frac{27}{2}vRT_1.$$