Kvant 1986, số 1 · Trang

QUANTUM
1
1986
Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Các vật thể đối xứng thường được tìm thấy trong tự nhiên. Tính chất đối xứng được thể hiện ở các tổ ong, khuẩn lạc vi rút (ảnh bên trái, chụp bằng kính hiển vi điện tử) và các tinh thể (ở trên cùng là hình từ tập bản đồ đến đường dẫn của R. J. Gaüy, xuất bản vào đầu thế kỷ 19).

Nhưng tại sao ong lại xây tổ ong hình lục giác trong khi virus lại thích xây tổ ong hình ngũ giác? Những phần lặp lại nào có thể được sử dụng để tạo ra một tinh thể? Những vấn đề này sẽ được thảo luận trong bài “Dấu vết trên cát và… cấu trúc của vật chất”.

Độc giả mới của chúng tôi
Phỏng vấn Viện sĩ Yu. A. Osipyan
I. G. Bashmova, A. I. Lapin. Pythagoras
L. G. Aslamazov. Dấu chân trên cát và… cấu trúc của vật chất

To our new readers
Interview with academician Yu. A. Ossipyan
I. G. Bashmakova, A. I. Lapin. Pythagoras
L. G. Aslamazov. Footsteps in the sand …and the structure of matter

vòng tròn toán học
N. V. Vasiliev, V. L. Gutenkhacher. Tổ hợp - đa thức - xác suất

Mathematics circle
N. V. Vasiliev, V. L. Gutenmakher.
Combinatorics — polynomials — probability

Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10
Trường học yêu thích bài toán

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Selected school problems

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
N. N. Ivanova. Khôi phục lại hình dáng đã mất của bạn!

Kvant for younger school children
Problems
N. N. Ivanova. Recovering erased figures

Kính vạn hoa «Kvant»
Kvant’s kaleidoscope

Vấn đề «Kvant»
Bài toán M961—M965; F973—F977
Lời giải bài toán M941—M945; F953—F957
Từ những lá thư của độc giả

Kvant’s problems
Problems M961—M965; P973—P977
Solutions M941—M945; P953—P957
From our mail

Các phần tử bán dẫn của công nghệ máy tính
V. Các phép toán logic cơ bản

Semiconducting elements in computers
V. Elementary logical operations

Nghệ thuật lập trình
S. A. Abramov. Tìm kiếm trong một tập hợp có thứ tự và sắp xếp thứ tự

The art of programming
S. A. Abramov. Search in an ordered set and ordering

Xưởng của người nộp đơn
I. G. Gabovich. Các góc cơ bản trong một paramid thông thường

College applicant’s section
I. G. Gabovich. The principal angles of regular pyramids

Các lựa chọn thi tuyển sinh

Entrance examination problems

Thông tin
Tuyển sinh mới vào Trường Toán học Tương ứng Toàn Liên minh (VZMSH)
Tuyển sinh mới vào bộ phận thư tín của Cơ khí nhỏ
Trường Đại học Vật lý và Công nghệ tại MISiS

Information
Entrance requirements to the All-Union mathematics correspondence school
Entrance requirements to the Maly Mekhmat correspondence school
The MISIS physico-technical correspondence school

Đáp số, gợi ý, lời giải
Pha trộn (23, 58)
Trang cờ vua
Mã mới (trang bìa thứ 3)

Answers, hints, solutions
Miscellaneous (23, 58)
The chess page
New rules (3rd cover page)

Mô hình mạng tinh thể của hợp kim đồng-vàng được tái hiện trên trang đầu tiên của trang bìa là một ví dụ điển hình cho ý tưởng của chúng tôi về cấu trúc của chất rắn. Hãy đọc về ý tưởng này đã được phát triển như thế nào và tình hình vật lý chất rắn ngày nay như thế nào trong cuộc phỏng vấn với Viện sĩ Yu. A. Osipyan.

Phỏng vấn Viện sĩ Yu. A. Osipyan

Tổng biên tập tạp chí của chúng tôi, Viện sĩ Yu. A. Osipyan, là nhà vật lý nổi tiếng, giám đốc Viện Vật lý chất rắn thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, giáo sư Viện Vật lý và Công nghệ Moscow. Trong cuộc trò chuyện với Yu. A. Osipyan của phóng viên «Kvant» và do độc giả của chúng tôi trình bày, ông quyết định về sự hình thành của một nhà khoa học trẻ, về vai trò của cá nhân trong khoa học, về hướng phát triển mới nhanh chóng - vật lý trật khớp, về đặc điểm công việc của một nhà nghiên cứu hiện đại.

Yury Andreevich, con đường đến với khoa học của bạn là gì?

— Tôi tốt nghiệp ra trường năm 1949. Nhưng thậm chí sớm hơn, vào lớp 8-9, tôi đã thấy rõ rằng mình sẽ học vật lý. Tôi rất quan tâm đến vật lý kim loại. Học tiếp ở đâu?

Vào thời điểm đó, các khoa mới nổi kết hợp giáo dục thể chất toàn trường với kiến ​​thức thực tế trong các lĩnh vực cụ thể. Và tôi được biết rằng khoa học về kim loại được thực hiện bởi Khoa Kỹ thuật và Vật lý của Viện Thép và Hợp kim Mátxcơva (nay gọi là Khoa Vật lý và Hóa học). Tôi quyết định đến đó, tôi vào và rất hài lòng, vì viện có rất nhiều giáo viên giỏi về cả lĩnh vực vật lý lý thuyết và thực nghiệm. Ở đó tôi đã thu được khá nhiều kiến ​​thức hữu ích, những kiến ​​thức này sẽ ảnh hưởng đến tôi trong suốt cuộc đời làm khoa học của mình.

Khi đến thời điểm làm luận văn, cuộc đời đã đưa tôi đến với Viện sĩ G.V. Kurdyumov, một nhà lãnh đạo được công nhận trong lĩnh vực vật lý kim loại của chúng tôi. Tại Viện Vật lý Kim loại do ông đứng đầu, dưới sự hướng dẫn của Giáo sư B. Ya. Lyubov, tôi đã hoàn thành bằng tốt nghiệp của mình.

Lúc đầu tôi bắt đầu làm thí nghiệm. Nhưng khi phân tích các điều kiện thí nghiệm, tôi gặp phải những vấn đề về mặt lý thuyết. Có sở thích về lý thuyết; Tôi nghĩ rằng tôi có thể làm điều gì đó về mặt lý thuyết và bằng cách nào. Kiến thức về vật lý và toán học được tích lũy vào thời điểm đó đã giúp tôi có thể giải quyết được một vấn đề mà đối với tôi dường như là một vấn đề thú vị bài toán - về cơ chế biến đổi pha ở nhiệt độ thấp trong kim loại.

— Đây có phải là công trình khoa học đầu tiên của bạn không?

• Đúng. Chúng ta thường gặp các sự kiện về các phép biến đổi liên quan đến sự thay đổi trạng thái kết tụ - đây là sự tan chảy, kết tinh, ngưng tụ. Tuy nhiên, các biến đổi về mặt cũng có thể xảy ra ở các kim loại đã đông đặc. Vấn đề với điều kiện này là làm thế nào để giải thích rằng một số trong chúng chuyển động rất nhanh ở nhiệt độ thấp. Theo các quy luật chi phối quá trình chuyển pha, những chuyển đổi này phải mất nhiều năm - các điểm cuối gặp nhau chưa được bảo toàn…

Một ý tưởng nảy sinh: liệu hiệu ứng lượng tử có ảnh hưởng đến những hiện tượng này ở nhiệt độ như vậy không? Cần lưu ý rằng việc áp dụng các khái niệm cơ học lượng tử vào quá trình chuyển pha vẫn còn là điều mới lạ vào thời điểm đó. Tuy nhiên, khi tôi thực hiện các phép tính có tính đến yếu tố mới này, kết quả là “mọi điều tốt đẹp nhất”. Thành thật mà nói, tôi thực sự thích tác phẩm này và nó nhanh chóng trở nên nổi tiếng trong giới kim loại.

Và vì vậy, sau khi bảo vệ luận án của mình, tôi đã nhận được bằng cấp của một nhà lý luận. Đúng là lúc đó tôi đã không hài lòng rồi -

4

Kiến thức về toán học và vật lý lý thuyết của tôi được đặt lên hàng đầu. Tôi quyết định tiếp tục con đường học vấn của mình, đào sâu và nâng cao kiến ​​​​thức này và thi vào Khoa Cơ và Toán của Đại học quốc gia Moscow. Trong năm đầu tiên! Anh ấy làm việc tại Viện Kurdyumov, một người mới làm quen với vật lý thực nghiệm, nhưng toán học không phải là một chiếc vòng tay, anh ấy tiếp tục học vào buổi tối và hoàn thành toàn bộ khóa học cơ học. Và mặc dù cuộc sống đã diễn ra theo cách mà tôi phải tham gia vào việc thực nghiệm vật lý chất rắn, nhưng “hiểu biết” về toán học đã giúp tôi rất nhiều…

— Được biết, ông đã trở thành người tổ chức viện mới - vật lý chất rắn - ở tuổi 30. Điều này có làm ông mất tập trung vào công việc khoa học thực tế của mình không?

• Phân tâm, và làm thế nào! Nhưng tôi thấy bình tĩnh và yên tâm hơn khi nghĩ rằng ngay khi viện được thành lập, cơ hội tiến hành thí nghiệm sẽ ngay lập tức tăng lên gấp nhiều lần. Vấn đề còn có một khía cạnh khác: trong quá trình thành lập viện và trong quá trình làm việc tiếp theo ở đó, tôi đã có cơ hội cộng tác với nhiều nhà khoa học xuất sắc, những người có ảnh hưởng rất lớn đến hoạt động của chúng tôi. Thẩm phán cho chính mình.

Tất nhiên, trong số đó có người giám sát khoa học của tôi, Viện sĩ G.V. Kurdyumov, người đã hình thành các định hướng khoa học của tổ chức mới và giao cho tôi lãnh đạo nó. Đây cũng là chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô lúc bấy giờ là M.V. Keldysh. Ông ấy cũng không sợ tuổi trẻ của tôi và hết sức ủng hộ việc bổ nhiệm tôi. Viện sĩ N. N. Semenov, giám đốc Viện Vật lý Hóa học, đã tích cực giúp đỡ tôi và tạo cơ hội cho tôi thành lập viện của chúng tôi. Và khi chưa có nhiệm vụ nào, chúng tôi có thể thành lập một nhóm khoa học.

Vấn đề khoa học chịu ảnh hưởng rất lớn từ đội ngũ nhân viên của Viện Các vấn đề Vật lý, đứng đầu là Viện sĩ P. L. Kapitsa. Sau đó tôi đã phải nói chuyện với anh ấy nhiều lần và sử dụng lời khuyên của anh ấy. Tôi tự hào vì lúc đó tôi có cơ hội được tiếp xúc với L. A. Artsimovich, Viện sĩ-Thư ký Bộ môn Vật lý và Thiên văn đại cương…

Thật vui khi nhớ rằng vào thời điểm đó chúng tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ các nhà vật lý làm việc tại các viện nghiên cứu khác - các học giả V.K. Vainshtein, A.I. Shalnikov và Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô Yu.V. Sharvin. Rốt cuộc, trong một thời gian dài, tôi là nhân viên chính thức duy nhất của viện mới, đoàn kết trong các tổ chức thiết kế, vẽ ra mọi thứ sẽ được bố trí như thế nào. Hoàn toàn không có gì - một khu rừng và một đầm lầy ở Chernogolovka gần Moscow.

“Và thế là viện đã được thành lập và hoạt động được gần một phần tư thế kỷ. Hy vọng của bạn có được đáp ứng không?

— Vâng, bây giờ tôi có thể hài lòng nói rằng nhóm của chúng tôi rất tận tâm, hiệu quả và chúng tôi đã đạt được danh tiếng khá tốt với tư cách là một viện vật lý trong hệ thống Viện Hàn lâm Khoa học, đồng thời đã thu được những kết quả thú vị và quan trọng. Nhưng những thành công của chúng tôi chắc chắn phải được hỗ trợ bởi các viện khác ở Chernogolovka, nơi chúng tôi có mối quan hệ tương tác chặt chẽ. Tất nhiên, đây là Viện Vật lý Hóa học. Nhân viên của nó, những người có kiến ​​thức rất tốt về các phương pháp tác động đến chất rắn, sẽ tổng hợp các vật liệu mới. Nếu không liên lạc với họ thì sẽ khó khăn cho chúng tôi.

Chúng ta không thể làm gì nếu không liên lạc hàng ngày với các nhà khoa học từ Viện Vật lý Lý thuyết L. D. Landdu. Kostati, bộ phận khoa học này phát sinh do một phần nhân viên nghiên cứu lý thuyết của Viện Các vấn đề Vật lý, người mà tôi đã từng “tuyển dụng” vào viện của chúng tôi. Nhưng sau đó, một ý tưởng rộng hơn đã ra đời - không chỉ giới hạn ở việc giải quyết lý thuyết trạng thái rắn bài toán, mà còn giải quyết các vấn đề lý thuyết về thủy động lực học, vụ nổ, vật lý hạt nhân, tức là tạo ra một loại “xe tăng tư duy” về vật lý lý thuyết ở Chernogolovka. Điều này đã được thực hiện. Và thế là những người trong trường của Viện sĩ L. D. Landdu bắt đầu làm việc bên cạnh chúng tôi - những học giả mới và các thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô A. A. Abrikovov, L. P. Gorkov, I. E. Dzyaloshinsky, I. M. Khalatnikov. Các nhà khoa học lớn sau đó đã đến viện này - học giả A.V. Migdal, S.P. Novikov, thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô A.I. Larkin, giáo sư V.L. Pokrovsky, Ya.G. Sinai và những người khác. Tất nhiên, đây là một bộ sưu tập độc đáo về vật lý lý thuyết và toán học ở một nơi.

5

Tôi nghĩ rằng sự “tập trung” tư tưởng lý thuyết như vậy, bao gồm cả lý thuyết về chất rắn, không tồn tại ở bất kỳ đâu trên thế giới. Bạn thấy đấy, khi nói đến khoa học, người ta không thể không nói đến cá nhân.

Tại sao tôi lại đi sâu vào chi tiết như vậy về những lý thuyết? Chỉ là nhiều vấn đề không thể được giải quyết nếu không có chúng. Ngoài ra, việc giao tiếp với các nhà lý luận là cụ thể; nó đang kích thích. Nếu bạn muốn đến gặp một nhà lý thuyết để hỏi điều gì đó, bạn cần phải phát triển đến mức đặt ra câu hỏi một cách cụ thể và nói chuyện với ông ấy bằng một ngôn ngữ đặc biệt. Tất cả điều này đòi hỏi công việc sơ bộ và suy ngẫm. Tôi tin rằng việc tiếp xúc với các nhà lý thuyết sẽ cải thiện kỹ năng của những người thực nghiệm.

— Yury Andreevich, chính xác thì bạn đã làm gì ở viện mới? Kế hoạch khoa học cá nhân của bạn đã thành hiện thực như thế nào?

— Trong khi việc xây dựng viện đang được tiến hành, tôi tiếp tục suy nghĩ về một số khía cạnh về bản chất vật lý của chất rắn.

Được biết, thực tế không có tinh thể nào có cấu trúc lý tưởng. Chúng luôn có những khuyết tật, đặc biệt là cái gọi là sai lệch - sự vi phạm một chiều của mạng tinh thể, các đường thể tích của các mặt phẳng nguyên tử trong tinh thể. Vì vậy, lý thuyết trật khớp dùng để giải thích các quá trình biến dạng dẻo và độ bền, đây là mục đích chính của lý thuyết này. Nhưng tôi muốn tìm hiểu xem liệu sự sai lệch không chỉ ảnh hưởng đến các tính chất cơ học mà còn ảnh hưởng đến các tính chất vật lý của vật rắn hay không?

Về tính chất điện tử, quang học, từ tính của nó? Tôi đã cố gắng tìm hiểu xem liệu sự lệch vị trí có tương tác với các điện tử không? Và sự tương tác này được thể hiện như thế nào trong hành vi của các electron và sự sai lệch? Hóa ra đây là đáp số về nhiều câu hỏi được đặt ra sau đó trong vật lý chất rắn.

Ví dụ, hiệu ứng quang dẻo đã được phát hiện, hiệu ứng này đã cách mạng hóa các ý tưởng nói chung về bản chất của độ cứng tinh thể. Người ta tin rằng để thực hiện sự biến dạng dẻo của tinh thể, phải có thứ gì đó được “tạo ra” bằng mạng tinh thể và những thay đổi về trạng thái của electron không thể ảnh hưởng đến tính chất dẻo.

Nhưng tôi cùng với sự hợp tác của mình I.V. Savchenko, đã quan sát được những điều sau đây. Khi đèn được bật lên, một số tinh thể đã tăng khả năng chống biến dạng dẻo lên 30-40, và đôi khi lên 100%. Tắt đèn - đọc giảm về giá trị ban đầu. Điều này rất kỳ lạ, vì như chúng tôi đã biết, ánh sáng mà chúng tôi bật lên không tác động gì đến cách tử mà chỉ tác động đến các điện tử và chúng sẽ không ảnh hưởng đến kết quả đọc!

Mười năm miệt mài nghiên cứu – cả thực nghiệm lẫn lý thuyết – đã giúp người ta xác định được bản chất của hiệu ứng mà ngày nay đã được biết đến rộng rãi này. Ánh sáng tạo ra các electron, trạng thái của chúng ảnh hưởng đến sự sai lệch và sự sai lệch ảnh hưởng đến độ dẻo.

Mặt khác, sự hiện diện của sự lệch vị trí trong tinh thể ảnh hưởng đến điện trở và các tính chất điện khác của nó. Và sau đó chúng tôi gặp nhiều hiện tượng mới. Nói chung, một lĩnh vực khá rộng đã xuất hiện mà chúng tôi gọi là vật lý trật khớp. Đây là chủ đề trong hoạt động khoa học của tôi—và của nhiều sinh viên—cho đến ngày nay. Và phải nói rằng công việc của viện chúng ta quyết định phần lớn đến thực trạng của lĩnh vực khoa học này.

– Hiện trạng vật lý chất rắn nói chung như thế nào?

— Ngày nay được đặc trưng bởi thực tế là vai trò và khối lượng nghiên cứu về vật lý chất rắn đang tăng lên rõ rệt. Có thể nói, trọng lượng riêng của nó trong toàn bộ vật lý đều được thông báo. Điều này được thể hiện ở chỗ ngày càng có nhiều nhân viên khoa học hơn, nhiều kinh phí hơn được phân bổ cho nó, nhiều thiết bị phù hợp hơn được phân bổ và nó tạo ra nhiều “sản phẩm” hơn.

Có nhiều vấn đề cơ bản trong vật lý chất rắn. Chỉ có thể thấy rằng cô ấy đang bận rộn với những vấn đề riêng tư. Không có gì giống như nó! Ví dụ, gần đây người ta có thể tiến hành một thí nghiệm giúp xác định với độ chính xác cao giá trị của hằng số thế giới - tỷ lệ ô nhiễm điện tử trên khối lượng của nó. Điều này chưa bao giờ xảy ra trong các thí nghiệm ở trạng thái rắn. Chỉ số đánh giá công khai công trình vật lý chất rắn phục vụ

6

và thực tế là cứ vài năm các nhà khoa học nghiên cứu về nó lại được trao giải Nobel.

Nếu thiết kế các ứng dụng của lĩnh vực khoa học này vào thực tiễn thì tôi dám nói rằng vật lý vật thể rắn mang lại nhiều lợi ích hơn bất kỳ lĩnh vực nào khác. Chà, nhìn này, tôi sẽ chỉ kể tên ba hướng.

Thứ nhất: Vật liệu kết cấu - mọi thứ mà từ đó các tòa nhà và máy móc được xây dựng, tất cả đều là vật liệu. Các nhà khoa học cần “đặt” kiến ​​thức vật lý vào khái niệm nguồn gốc của các quá trình ở đây.

Thứ hai. Quy định và tự động hóa. Ở đây, mọi lúc, “trái tim” của các thiết bị đều là cảm biến của một tín hiệu nào đó. Theo quy định, đây là một vật thể rắn - một mảnh chất bán dẫn hoặc kim loại. Và sau đó hệ thống “bận rộn” với việc thành công hoặc xử lý tín hiệu nhận được.

Và thứ ba. Cuộc cách mạng khoa học công nghệ gắn liền với công nghệ tính toán và tin học hóa dựa trên nền tảng vật lý vật rắn. Về nguyên tắc, nếu không có quyền truy cập, máy tính hiện đại sẽ không thể hoạt động được, bởi vì chỉ các mạch điện tử trạng thái rắn - với chi phí hợp lý - mới có thể xử lý lượng thông tin khổng lồ cần thiết.

Vì vậy, vật lý vật thể rắn là nền tảng cho lời giải được rất nhiều ứng dụng bài toán, và nhiều vấn đề về tăng cường sản xuất và tái thiết kỹ thuật của nền kinh tế quốc gia đều gắn liền với nó. Những vấn đề này ngày nay nhận được sự quan tâm hạn chế. Thực hiện kế hoạch đẩy nhanh tiến trình khoa học kỹ thuật do Đảng đề ra, khoa học nước ta kêu gọi mọi người cùng đóng góp.

— Học sinh thường tưởng tượng rằng chúng chỉ có thể học vật lý khi trở thành “bánh răng” trong một nhóm lớn các nhà khoa học. Điều này có đúng không?

• Có và không. Ví dụ, nghiên cứu về vật lý hạt nhân, vật lý hạt nguyên tố đòi hỏi sự điều kiện đồng thời của một số lượng lớn người, đặc biệt là trong một thí nghiệm. Cần có những cỗ máy khổng lồ - máy gia tốc, lò phản ứng hạt nhân. Và để tạo ra chúng, cũng như duy trì và thực hiện các thí nghiệm, chúng tôi cần những đội thực sự lớn.

Trong lĩnh vực của chúng tôi, trong vật lý vật rắn, rất nhiều thí nghiệm được thực hiện, đôi khi, như trong vật lý cổ điển, bởi một hoặc hai nhà nghiên cứu. Ví dụ như những kinh nghiệm tôi đã nói đến. Và do đó, thiết kế hợp lý của thí nghiệm đóng vai trò không kém phần quan trọng so với khả năng kỹ thuật độc đáo trong việc thực hiện nó. Tôi có thể nói, vẫn còn chỗ cho những trải nghiệm cá nhân một cách khéo léo.

Cách làm việc này được phản ánh ở chỗ viện của chúng tôi được xây dựng như một đội ngũ nhân viên phần lớn làm việc độc lập. Tuy nhiên, chúng tôi luôn hoan nghênh sự tương tác, nhưng không phải theo thứ bậc mà là những con người bình đẳng, những con người khác nhau.

Đây không phải là lần đầu tiên hôm nay tôi nói về tính cách trong khoa học. Có lẽ vì có hai người có ảnh hưởng lớn đến tôi - viện sĩ G.V. Kurdyumov và P.L. Kapitsa. Cả hai đều được biết đến như những người đã làm được điều gì đó cụ thể trong khoa học, mặc dù tất nhiên, họ cũng là người lãnh đạo và tổ chức công việc khoa học của cả nhóm. Tôi muốn giáo dục nhân viên và học sinh của mình để họ không quên điều này dưới bất kỳ hình thức nào và thể hiện cá tính của mình bằng mọi cách có thể. Nói về vật lý vật thể rắn, tôi muốn nhấn mạnh rằng đây là một lĩnh vực vật lý mà đơn giản là cần những người sáng tạo.

— Đây có thể coi là một lời mời gọi độc giả của “Kvat” không?

• Tất nhiên, nhưng trong trường hợp này tôi không muốn chỉ quyết định về tính chất vật lý của vật rắn. Nói chung, anh ấy nghiên cứu vật lý - nó rất thú vị. Tôi chỉ thông cảm với những người không quan tâm đến vật lý, họ chỉ đơn giản là không biết nó thú vị đến mức nào. Khả năng “tiêu hóa” một lượng lớn thông tin đồng thời, xây dựng các mạch logic, kiểm tra các giả thuyết, xác định kết quả thu được - vật lý rất phong phú về tất cả những điều này. Và có bao nhiêu lĩnh vực khác mà bạn có thể áp dụng sức mạnh của mình, có bao nhiêu sự lãng mạn đối với những người tham gia vào ngành khoa học này! Tôi nghĩ, chỉ là bạn không cần phải đợi kiến ​​thức về nơi học và những việc cần làm sẽ tự đến với bạn. Kiến thức này phải được tìm kiếm và đạt được. Và việc cộng tác với họ chắc chắn sẽ giúp thu hút thêm sự quan tâm đến lĩnh vực hoạt động của chúng tôi, cụ thể là khoa học, đặc biệt là vật lý.

Pythagoras

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
I. G. BASHMAKOVA,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. I. LAPIN

Trong danh sách những nhà toán học vĩ đại nhất từ ​​thời cổ đại cho đến ngày nay, Pythagoras chắc chắn phải đứng đầu. Không chỉ bởi vì ông là nhà toán học vĩ đại đầu tiên được chúng ta biết đến. Tên tuổi của Pythagoras và thời đại của ông gắn liền với sự xuất hiện của toán học như một môn khoa học, sự biến đổi của nó từ một tập hợp các quy tắc và sàng lọc hữu ích thành một ngành khoa học giáo dục trừu tượng.

Khoa học giáo dục trừu tượng…
Nó có nghĩa là gì? Trước khi trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy tìm hiểu về cuộc đời của Pythagoras và thời đại của ông.

Kỷ nguyên. Thời điểm nhà khoa học vĩ đại nhất này sống là thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên. e., là một kỷ nguyên đặc biệt không chỉ ở Hy Lạp, mà còn ở hầu hết thế giới phía Nam được xã hội Hy Lạp biết đến. Giống như vào mùa xuân, không nói một lời, tất cả các cây táo nở hoa cùng một lúc, theo cùng một cách, vào thời điểm này, ở nhiều nơi khác nhau trong vùng nước tĩnh lặng của Cựu Thế giới, những làn sóng mạnh mẽ nổi lên: những ý tưởng và giáo lý mới nảy sinh. Ở Hy Lạp lúc bấy giờ đã xuất hiện những nhà triết học tự nhiên đầu tiên: Thales, Anaximander, Pythagoras, Parmenides, Heraclitus, Empedocles; tư thế văn học vĩ đại nhất: Archilochus và Sappho; những người tạo ra bi kịch đầu tiên: Phrynichus và Aeschylus. Sự sống là chìa khóa ở khắp mọi nơi, nhiều trường phái khoa học và triết học, các giáo phái tôn giáo ra đời - tất cả đều cố gắng hiểu và giải thích cấu trúc của Vũ trụ cũng như vị trí của con người trong đó. Cùng lúc đó, một hệ thống nhà nước mới ra đời ở Hy Lạp - nền dân chủ - điều mà trước đó chưa có nhà nước nào biết đến.

Mạng sống. Những thông tin sơ sài nhất về cuộc đời của Pythagoras đã được lưu giữ. Theo phiên bản phổ biến nhất, ông sinh vào khoảng năm 570 trước Công nguyên. đ. trên đảo Samoce của Junian, nổi tiếng với các công trình kiến ​​trúc nghệ thuật và kỹ thuật đáng chú ý. Trên mặt đất là đền thờ Hera và hệ thống dẫn nước có biển báo đi qua đường hầm.

8

Chiếc nel đang xây dựng bắt đầu đào ở hai bên sườn núi, tính toán chính xác đến mức cả hai động tác đều hội tụ gọn gàng ở độ sâu. Cha của Pythogoras tên là Mnesarchus, một thợ làm đá nổi tiếng. Theo nhà viết tiểu sử người Anh, khi còn trẻ khao khát tri thức, Pythogor đã rời hòn đảo quê hương để đi du lịch vòng quanh thế giới, đánh bại gần như toàn bộ người Hy Lạp và nhiều nước ngoài. Pythogoras đã thay thế các nhà khoa học Hy Lạp và ngưỡng mộ những kỳ quan của phương Đông. Họ nói rằng anh ta đã ở trong những khu bảo tồn ẩn giấu của Ai Cập, đến thăm các nhà hiền triết Chaldean và các pháp sư Ba Tư, rồi đi xuống hang động tanish của Crete, nơi gắn liền với huyền thoại về sự hiện đại của các vị thần.

Trở về Samos, Pythogoras tìm thấy quê hương dưới sự chuyên chế của Polycrates. Như một nhà viết tiểu sử người Anh nói, nhận thấy rằng chế độ chuyên chế quá mạnh để “một người tự do có thể chịu đựng sự tùy tiện và chế độ chuyên quyền một cách đàng hoàng”, ông quyết định lui về miền Nam nước Ý, nơi đặt các thuộc địa của Hy Lạp được thay thế. Ông định cư ở thành phố Crotone của Ý, nơi ông đã soạn thảo luật cho công dân của mình. Họ kể rằng khi đi vòng quanh các thành phố nước ngoài, Pythogors đã chữa lành những con vật lớn, động vật hoang dã cho phép ông vuốt ve chúng, những dòng sông chào đón ông bằng giọng người, rằng ông có thể được nhìn thấy ở hai nơi khác nhau cùng một lúc. Dịch vụ này được tạo điều kiện thuận lợi bởi cả nhân cách phi thường của triết gia cũng như lời giảng dạy về tôn giáo và thần bí của ông.

Liên minh Pythagore. Chẳng bao lâu sau, một nhóm lớn đệ tử sùng kính ông đã xuất hiện xung quanh Pythogoras, “vì ông đã vượt qua điểm yếu của tất cả những người khác đến nỗi tất cả thanh niên đều muốn trở thành đệ tử của ông”. Chẳng bao lâu sau, Liên minh Pythagore hay Hội Anh em được tổ chức từ họ, đồng thời là một xã hội khoa học, một liên minh tôn giáo và một câu lạc bộ chính trị. Quyền truy cập vào nó không được mở cho tất cả mọi người. Đối tượng phải trải qua một bài kiểm tra dài; họ thậm chí còn nói rằng anh ta đã được lệnh giữ im lặng trong 5 năm. Mặc dù một thế kỷ sau cái chết của Pythogoras, liên minh đã tan rã, hầu như tất cả các nhà toán học vĩ đại thời cổ đại đều tự gọi mình là Pythogoreans.

Chứng minh toán học. Chúng tôi đã nói rằng Pythogoras là người sáng tạo ra toán học với tư cách là một khoa học. Nhưng chẳng phải những người trước ông đều biết cách đếm, cộng, nhân các phân số cũng như tính diện tích và thể tích đơn giản nhất sao? Tất nhiên là họ đã làm vậy. Họ thậm chí có thể giải được phương trình bậc hai! Tuy nhiên, toán học với tư cách là một khoa học vẫn chưa tồn tại. Kiến thức toán học, được truyền lại hầu như không thay đổi từ thế hệ này sang thế hệ khác trong hàng nghìn năm, không được tổ chức theo hệ thống - nó dựa trên các công thức được thu thập, tính chính xác của kiến ​​thức này có thể được xác minh bằng lời giải cụ thể bài toán.

Pythogoras nhận ra rằng cơ sở của toán học là bằng chứng. Nơi nào không có nó thì không có toán học. Bằng chứng là gì và tại sao nó lại cần thiết?

Giả sử chúng ta muốn chứng minh rằng tổng các góc của một tam giác là 180°. Làm thế nào để làm điều này? Hãy làm điều này: cẩn thận vẽ một hình tam giác (bằng mực vào vở hoặc bằng phấn trên bảng đen) và thay đổi các góc của nó bằng thước đo góc. Cộng chúng lại chúng ta được một số gần bằng 180°. Chúng tôi đã tiết lộ những gì? Chỉ có điều tam giác mà chúng ta vẽ có tổng các góc bằng, chẳng hạn như 180°01’. Chúng ta có thể tiếp tục thay đổi bằng cách xem xét các hình tam giác khác đang được vẽ và mỗi lần chúng ta sẽ nhận được kết quả gần với kết quả mà chúng ta muốn thiết lập. Thứ nhất, kết quả sẽ gần đúng vì thước kẻ chúng ta sử dụng sẽ không thẳng hoàn toàn (có thể nhìn thấy điều này bằng cách nhìn qua kính lúp). Thứ hai, các góc do thước đo góc thay đổi sẽ không tìm thấy ở gần điểm. Nhưng ngay cả khi chúng ta có được một chiếc thước và thước đo chính xác hoàn hảo, chúng ta vẫn không thể đưa ra đề xuất của mình, bởi vì có vô số hình tam giác và chúng ta sẽ không bao giờ có thể tìm được tổng các góc của tất cả chúng.

Pythogoras rõ ràng là người đầu tiên đưa ra ý tưởng rằng toán học xem xét các đối tượng trừu tượng (nghĩa là các đường thẳng lý tưởng không có chiều rộng, các điểm không có kích thước, v.v.) và rằng các tính chất của chúng phải được thiết lập không phải thông qua thay đổi mà thông qua lý luận. Ví dụ, để chứng minh định lý về tổng các góc của một tam giác, chúng ta hãy vẽ như Pythogoras, một tam giác tùy ý (có thể vẽ bằng tay mà không cần dùng thước) và vẽ đường thẳng LM đi qua đỉnh B, song song với đáy AC (hình 1). Sau đó $\angle LBA = \angle BAC = \alpha$ và $\angle MBC = \angle BCA = \gamma$ (dưới dạng các góc chéo). Nhưng tổng của $\angle LBA + \angle ABC + \angle MBC$ là một góc ngược, tức là bằng 180°. Điều này có nghĩa là tổng các góc của bất kỳ tam giác nào sẽ bằng 180°.

9

Hình 1.

Tuy nhiên, trong chứng minh của chúng tôi, chúng tôi đã dựa vào tính chất của các đường thẳng song song, điều này cũng cần được chứng minh. Chứng minh của họ sẽ dựa trên một số tính chất khác, v.v. Vì vậy, sau khi xem xét vô số hình tam giác, chúng ta “rơi vào nanh vuốt” của một vô số khác - chúng ta đi đến nhu cầu thực hiện vô số cách chứng minh. Chúng tôi đã rút gọn mệnh đề A thành mệnh đề B, mệnh đề này sẽ rút gọn thành mệnh đề C, tức là $A \Leftarrow B \Leftarrow C \Leftarrow \dots$.

Làm thế nào điều này có thể được? Rõ ràng là đến một lúc nào đó chúng ta phải dừng lại, một số đề xuất phải được chấp nhận mà không cần bằng chứng. Nhưng bằng cách này, chúng ta có thể nhận được vô số mệnh đề “không thể chứng minh được”, nói cách khác, lại “rơi vào nanh vuốt” của vô cực! Và tư tưởng lớn tiếp theo của Pythogoras (hoặc những người cùng thời với ông) là trong hình học có thể chọn ra một số hữu hạn các mệnh đề không thể chứng minh được (sau này gọi là các tiên đề), từ đó có thể suy ra tất cả những mệnh đề khác.

Vì vậy, toán học, theo Pythogoras, nghiên cứu tính chất của các vật thể trừu tượng; Phương tiện xác lập cái đúng là chứng minh, được thực hiện dựa trên số lượng hữu hạn các câu hiển thị được chấp nhận mà không cần chứng minh.

Người ta không nên nghĩ rằng những ý tưởng này đã được chấp nhận ngay lập tức. Một loạt lời chế nhạo và giễu cợt đổ xuống đầu Pythogors và những người theo ông; một số nhà khoa học gọi ông là kẻ ngu ngốc, đa hiểu biết và là một lang băm; họ nói rằng anh ấy chưa bao giờ nhìn thấy những đường thẳng không có chiều rộng hoặc những đường tròn chỉ tiếp xúc với một đường thẳng tại một điểm. Tuy nhiên, Pythogoras và các học trò của ông vẫn tiếp tục phát triển khoa học trên một nền tảng mới vững chắc.

“Toán học.” Đây là cái mà người Pythogoreans gọi là hệ thống kiến ​​thức của họ. “Toán học” bao gồm bốn phần: số học, hình học, thiên văn học và học thuyết về hòa âm (lý thuyết âm nhạc). Hai lĩnh vực đầu tiên hoàn toàn mang tính lý thuyết - chúng tôi vẫn gán chúng cho toán học, hai lĩnh vực còn lại là ứng dụng số học và hình học vào việc nghiên cứu các thiên thể và các định luật về phụ âm - chúng tôi sẽ gán chúng cho vật lý toán học.

Chúng ta biết rất ít về số học của Pythogoreans. Người ta biết một cách đáng tin cậy rằng nó đã nghiên cứu các số nguyên và mối quan hệ của chúng, tức là các số hữu tỷ. Plato trong các cuộc đối thoại của mình gọi số học là “nghiên cứu về bốn và số lẻ”. Chúng ta có thể xây dựng lại lời dạy này từ Quyển IX của Cơ sở Euclide, ở phần cuối của cuốn sách này (mệnh đề 21-34) nó được sao chép lại. Pythogoras chia tất cả các số nguyên thành bốn (chia hết cho 2) và lẻ (không chia hết cho 2) và chứng minh định lý hàm số: tích của hai số là chẵn khi và chỉ khi có ít nhất một trong các thành phần là bốn. Đây là định lý đầu tiên của lý thuyết chia hết, mô hình tiếp theo để xây dựng và chứng minh một định lý tổng quát hơn: tích của hai số chia hết cho số nguyên tố p khi và chỉ khi có ít nhất một trong các thành phần chia hết cho nó. Từ định lý cuối cùng này tuân theo định luật duy nhất về việc phân tích một số nguyên thành thừa số nguyên tố. Tương tự, theo định lý Pythogoras, mọi số nguyên có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng $N=2^kN_1$, trong đó $N_1$ là số lẻ và $k$ là số nguyên không âm. Học thuyết về số bốn và số lẻ cho phép người Pythogor chứng minh một số định lý cực kỳ quan trọng mà chúng ta sẽ quay lại sau.

Trong hình học, Pythagoras bị thu hút bởi các hình và vật thể đều đặn. Vì vậy, ông biết rằng một mặt phẳng có thể được “lát” bằng các hình tam giác, hình vuông và hình lục giác đều. Ông biết cách xây dựng một hình ngũ giác đều - vừa lồi vừa hình ngôi sao. Ngôi sao năm cánh được cho là biểu tượng của sức khỏe, và nhanh chóng trở thành dấu hiệu nhận biết cho những người theo trường phái Pythogorean sống rải rác khắp thế giới cổ đại. Hình học được tôn vinh bởi định lý Pythagore, định lý này có ý nghĩa cơ bản cả trong toán học lẫn trong các ứng dụng của nó. Pythagoras đã chứng minh điều đó như thế nào? Thật không may, chúng tôi không biết điều này.

Pythogoras cũng đã phát triển học thuyết về sự tương đồng, và ban đầu ông dường như tin rằng tất cả các phân số đều tương xứng, có nghĩa là tỷ lệ của chúng có thể được biểu thị bằng một số hữu tỷ, nghĩa là lý thuyết về sự tương đồng của ông dựa trên số học của các số không đồng nhất.

10

Khám phá về tính không thể so sánh được. Bây giờ chúng ta hãy quay lại khám phá vĩ đại nhất của Pythagoras, khám phá đã mang lại cho ông danh tiếng không hề phai nhạt và đem lại thắng lợi cho toán học. Chúng ta đang nói về việc phát hiện ra những phân đoạn không thể so sánh được, hay nói cách khác là sự phi lý.

Nhưng nó là gì? Chúng ta có một hình vuông có cạnh 1. Khi đó, theo định lý Pythagore, bình phương đường chéo của nó bằng
$$c^2 = 1^2 + 1^2 = 2.$$
Đường chéo $c$ bằng bao nhiêu? Chúng ta thử tìm hiểu bằng cách lấy căn của 2.

Nếu bạn nộp đơn xin việc này, trước tiên bạn sẽ nhận được $c_1 = 1$, sau đó là $c_2 = 1,4$, rồi $c_3 = 1,41$, v.v. Cuối cùng, bạn phải đạt đến chữ số thứ 10 và bạn sẽ cảm thấy mệt mỏi với hoạt động này. Bạn sẽ nói: “Đủ rồi! Bộ truyện này sẽ không bao giờ kết thúc.” Nhưng chúng tôi sẽ phản đối bạn: “Tiếp tục! Nếu nó kết thúc ở chữ số thứ 11 hoặc 20 thì sao?” Than ôi, chúng ta lại “rơi vào nanh vuốt” của vô cực!

Nhưng đây cũng là lối ra của Pythagoras. Ông lý luận thế này: hãy biểu thị $c$ dưới dạng phân số hữu tỉ $p/q$. Chúng ta giả sử rằng $p$ và $q$ không thể cùng chẵn (nếu không chúng ta sẽ hủy phân số đi 2). Bằng cách bình phương đẳng thức $\sqrt{2} = p/q$ chúng ta nhận được $2p^2/q^2$ hoặc
$$p^2 = 2q^2$$
(1)

Điều này có nghĩa là $p^2$ chia hết cho 2. Do đó, Pythagoras, dựa trên định lý chính về số chẵn và số lẻ, kết luận rằng số $p$ là số chẵn. Điều này có nghĩa là $q$ là số lẻ (nếu không chúng ta sẽ giảm phân số $p/q$ đi 2). Vì vậy, $p = 2p_1$. Thay vào đẳng thức (1), ta được $q^2 = 2p_1^2$, tức là $q^2$ chia hết cho 2, sau đó chia hết cho số trước $q = 2q_1$, tức là $q$ là số chẵn. Chúng ta đã đi đến mâu thuẫn, vì số $q$ phải vừa chẵn vừa lẻ, điều này là không thể.

Việc phát hiện ra tầm quan trọng không thể đo lường được đã gây ấn tượng sâu sắc cho tất cả người Hy Lạp. Đó là một đề xuất lý thuyết dường như mâu thuẫn với thực tế luôn thay đổi! Xét cho cùng, trong thực tế, tất cả các đại lượng đều có thể so sánh được: chúng ta mất chúng đến từng centimet, milimet, micron gần nhất, nhưng kết quả là chúng ta luôn nhận được các số hữu tỷ. Việc khám phá ra tính không thể so sánh được có thể được so sánh với khám phá của Copernicus, khám phá này cũng mâu thuẫn với việc quan sát bình minh và hoàng hôn hàng ngày của chúng ta, hoặc với khám phá về hình học của lobachevsky. Theo truyền thuyết, những người theo đạo Pythogorean đã giữ bí mật về khám phá này, dường như muốn tìm một vị trí xứng đáng cho nó trong “toán học” của họ, và Pythogorean Hypas, người tiết lộ bí mật, đã bị người giàu trừng phạt vì điều này: ông mệt mỏi và bị đắm tàu. Nhà triết học cổ đại nổi tiếng Plato (cuối thế kỷ 5 - đầu thế kỷ 4 trước Công nguyên) đã viết rằng ông học về vô tỉ muộn và trước đó ông giống như một con vật vô lý. Một triết gia vĩ đại khác, một học trò của Plato, ρισstele, thảo luận về cách khoa học phát sinh, đã viết: “mọi người bắt đầu với sự ngạc nhiên (…), chẳng hạn như họ có ngạc nhiên trước những đồ chơi tự hành bí ẩn, hay điểm chí, hay đường chéo không thể so sánh được, hoặc đối với tất cả những người chưa hiểu lý do, sẽ có vẻ ngạc nhiên nếu một thứ gì đó không thể đo được bằng thước đo nhỏ nhất” (Siêu hình học, quyển 1, ch. 2).

Các học trò và những người theo Pythagoras đã sớm phát hiện ra rằng ngoài $\sqrt{2}$ còn có cả một dãy số hữu tỷ: $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, ..., \sqrt{15}$, hay như người ta đã nói, cạnh của các hình vuông có diện tích 3, 5, 6, …, 15 là không thể so sánh được với cạnh của một hình vuông đơn vị. Trong cuộc đối thoại “Theatetus” của Plato, người ta nói rằng Theodore Pythogorian của Cyrene đã giảng bài cho thanh niên Athen, nơi ông đưa ra bằng chứng tương ứng cho $\sqrt{17}$.

Chúng ta hãy sử dụng phương pháp Pythagore: chúng ta cần chứng minh $\sqrt{d}$ vô tỷ, trong đó $d$ là số nguyên không chính phương. Nếu $d$ chẵn thì việc chứng minh được thực hiện lần cuối theo cách tương tự như đối với $\sqrt{2}$. Đặt $d$ là số lẻ và giả sử rằng $\sqrt{d} = p/q$; Sau đó
$$p^2 = dq^2.$$
(2)

Có thể chỉ ra rằng trong trường hợp này $p$ và $q$ sẽ là số lẻ, tức là chúng sẽ có dạng $2n+1$, khi đó bình phương của chúng sẽ có dạng $4(n^2+n)+1$ hoặc $\frac{n(n+1)}{2} + 1$, trong đó $\frac{n(n+1)}{2}$ là số nguyên. Thay thế các giá trị này vào công thức (2) và nhóm các thuật ngữ, chúng ta nhận được
$$8\left(\frac{n(n+1)}{2} - d\frac{m(m+1)}{2}\right) = d-1.$$
Vế trái của đẳng thức chia hết cho 8, tức là các quyền phải có dạng $8k$, tức là chúng phải có dạng $d=8k+1$. Nếu số $d$ không có cùng dạng, chẳng hạn như 5, 7, 11, 13, 15, thì điều này dẫn đến mâu thuẫn và bác bỏ giả định đã đưa ra. Nếu $d$ có dạng $8k+1$ thì phương pháp chứng minh này sẽ không hiệu quả. Vì vậy, số 9 sẽ là, nhưng nó là một hình vuông hoàn hảo và là số 17. Trên thực tế, đó là lý do tại sao Fedor đã quyết định chọn con số này.

Trong số những người hầu của Fyodor có nhà toán học trẻ tài năng Theatetus.

12

tsa, Mặt trăng và các hành tinh, nhưng trước Pythagoras
không ai cố gắng xây dựng một mô hình
Hệ mặt trời. người Pythagore
là những người đầu tiên xây dựng một công thức toán học
mô hình của thế giới, họ tin rằng các quy luật tự nhiên có thể được biểu diễn bằng những con số, rằng “mọi thứ đều là một con số”. Toàn bộ Vũ trụ, như Aristotle đã viết, ông “công nhận là sự hài hòa và số lượng”.

Hòa hợp. Ý tưởng về khả năng xây dựng một mô hình số của thế giới đã được Pythagoras sử dụng làm cơ sở cho lý thuyết âm nhạc của ông. Pythagoras phát hiện ra rằng những khác biệt về chất trong âm thanh của dây đàn là do những khác biệt thuần túy về mặt số lượng, cụ thể là độ dài của dây đàn. Âm thanh đồng thời của hai chiếc kèn sẽ dễ chịu cho tai nếu độ dài của chúng theo tỷ lệ 1:2, hoặc 2:3 hoặc 3:4, tương ứng với các quãng âm nhạc của quãng tám hoặc lượng tử. Đánh giá việc phát hiện ra Pythagoras, nhà vật lý vĩ đại nhất người Đức Sommerfeld đã viết rằng ngày nó được tạo ra có thể gọi là ngày sinh của ngành vật lý toán học. Thật vậy, các hệ dao động điều hòa đã đóng một vai trò to lớn trong vật lý. Vào những năm 20 của thế kỷ chúng ta, sự tương tự giữa một hệ dao động phát ra bởi âm của một hạt nhất định và một nguyên tử phát ra bức xạ của một hạt nhất định, cũng được xác định bởi tỷ số của các số nguyên, cái sau là chìa khóa để tạo ra cơ học lượng tử. Sự thật này đã được A. Einstein lưu ý:

“Như vậy,” ông viết, “chúng ta đã khám phá ra cái gì đó tương tự giữa một sợi dây dao động và một nguyên tử phát ra các hạt từ các nguyên tố: từ những hạt nặng tạo nên hạt nhân, và từ những hạt nhẹ - electron. Một hệ hạt như vậy hành xử giống như một dụng cụ âm thanh nhỏ trong đó tạo ra sóng dừng” (A. Einstein, L. Infeld. Vật lý tiến hóa. M.: Nauka, 1963, trang 224).

Thiên văn học. Pythagoras tin rằng Trái đất có hình cầu và nó nằm ở trung tâm của Vũ trụ. Xung quanh nó có tám quả cầu đồng tâm - đây là những quả cầu của Mặt trăng, Mặt trời, gót chân của các hành tinh và các ngôi sao cố định. Quả cầu bên ngoài - quả cầu của các ngôi sao cố định - thực hiện một vòng quay hoàn toàn quanh Trục Thế giới mỗi ngày, tăng chuyển động của cả bảy quả cầu khác. Tuy nhiên, Mặt Trăng và Mặt Trời là những chuyển động xảy ra theo hướng ngược lại với sự giãn nở ngày của quả cầu. Sau đó, người Pythagore đi đến kết luận rằng Trái đất không đứng yên mà quay cùng với các hành tinh khác xung quanh Ngọn lửa Trung tâm. Ý tưởng này có trước ý tưởng của Copernicus rằng Trái đất không chiếm vị trí trung tâm trong hệ mặt trời hơn 2.000 năm.

Điều đáng chú ý là Pythagoras ngay lập tức cố gắng tạo ra những quan điểm thiên văn học từ lý thuyết âm nhạc. Ông tin rằng mỗi hành tinh, di chuyển trên quỹ đạo của nó, sẽ tạo ra âm thanh và âm thanh giống như vậy khi cả bảy hành tinh chuyển động sẽ tạo ra “âm nhạc của quả cầu”. Pythagoras thậm chí còn gọi hệ mặt trời là cây đàn lia bảy dây. Anh ấy đảm bảo rằng anh ấy có thể nghe được thứ âm nhạc tuyệt vời này, thứ mà mọi người chỉ có thể nghe được sau khi chết.

Chúng tôi đã nói rằng những ý tưởng bất ngờ của Pythagoras đã nhận được sức sống mới trong thế kỷ của chúng ta, nhưng đã được áp dụng vào thế giới nguyên tử. Sommerfeld, người mà chúng tôi đã đề cập, đã viết:

“Điều mà ngày nay chúng ta có thể hiểu được bằng ngôn ngữ quang phổ là âm nhạc thực sự của quả cầu nguyên tử, sự hòa hợp của các mối quan hệ số nguyên, trật tự ngày càng tăng và sự hài hòa với tất cả sự đa dạng của chúng.

…Tất cả các định luật số nguyên của các vạch quang phổ và thuyết nguyên tử cuối cùng đều tuân theo lý thuyết lượng tử. Nó đại diện cho một công cụ đầy tinh tế mà thiên nhiên sử dụng âm nhạc quang phổ và irite mà nó điều khiển cấu trúc của nguyên tử và hạt nhân nguyên tử” (A. Sommerfeld. Putti Knowledge in Physics. M., Nauka, 1973, p. 255).

Họ nói rằng khoa học khác với nghệ thuật ở chỗ trong khi những sáng tạo nghệ thuật là vĩnh cửu thì những sáng tạo vĩ đại của khoa học sẽ lụi tàn một cách vô vọng. May mắn thay, trường hợp này không phải như vậy, và công trình của Pythagoras là ví dụ điển hình nhất cho điều này. Ông không chỉ là thiên tài vĩ đại nhất mà còn là thiên tài thường xuyên nhất, vì những ý tưởng và lý thuyết của ông không rời khỏi sân khấu, tiếp tục kích thích tâm trí cho đến lúc đó. Không có ý tưởng khoa học nào của ông bị chết. Với mỗi giai đoạn khoa học mới, chúng lại thay đổi diện mạo để lại khơi dậy khối óc và trái tim của các nhà khoa học.

13

Dấu vết trên cát và… cấu trúc của vật chất

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
L. G. ASLAMAZOV

Trong số 200 tỷ đàn ông, phụ nữ và trẻ em đã từng đi trên cát ướt kể từ thời hiện đại cho đến cuộc họp của Hiệp hội Anh tại Aberdeen năm 1885, có bao nhiêu người khi được hỏi: “Cát có co lại dưới chân bạn không?” sẽ trả lời khác với “có”!
Lord Kelvin, Bài giảng Baltic, 1904

Bạn đã bao giờ nghĩ về đáp số câu hỏi này chưa? Thoạt nhìn, có vẻ như bằng cách nén cát, chúng ta luôn làm cho nó đặc hơn, làm sẫm màu cát và ép chúng lại gần nhau hơn. Nhưng trên thực tế, vấn đề có thể nằm ở chính hoàn cảnh. Và bằng chứng cho điều này là dấu vết còn sót lại trong một số trường hợp bạn giẫm phải bãi cát ướt gần bờ biển hoặc sông. Đây là điều mà O. Reynolds, một nhà khoa học nổi tiếng với công trình nghiên cứu về thủy động lực học, đã nói về điều này trong một báo cáo tại cuộc họp của Hiệp hội Anh năm 1885: “Khi dòng sông Hora ép lên cát, dày đặc sau một đợt thủy triều nhẹ, khu vực xung quanh bàn chân ngay lập tức trở nên khô ráo… Áp lực của bàn chân làm cát rời ra, và càng mạnh thì nước càng thoát ra… Nó làm cho cát khô cho đến khi màu xanh đến đủ lượng nước."

Vậy tại sao áp suất lại làm tăng khoảng trống giữa các lớp cát và lượng nước sẵn có không còn đủ để lấp đầy nó? Không phải ngẫu nhiên mà câu hỏi này khiến các nhà khoa học thế kỷ 19 lo lắng. Đáp số trên đó có mối liên hệ trực tiếp nhất với cấu trúc nguyên tử của vật chất. Đúng-

14

Hãy đợi và chúng tôi sẽ cố gắng giải quyết vấn đề này.

Đóng gói dày đặc các quả bóng

Có thể lấp đầy toàn bộ không gian bằng những quả bóng rắn không? Tất nhiên là không - sẽ luôn có khoảng trống giữa chúng. Phần không gian bị chiếm giữ bởi các quả bóng được gọi là mật độ đóng gói của chúng. Các quả bóng được đặt càng gần thì không gian trống giữa chúng càng ít và mật độ đóng gói càng lớn. Khi nào đạt được mật độ đóng gói tối đa của các quả cầu cứng giống hệt nhau? Đáp số câu hỏi này đưa ra chìa khóa để giải đáp “bí ẩn” về dấu chân trên cát.

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét một trường hợp đơn giản hơn – xếp các đường tròn giống hệt nhau trên một mặt phẳng. Có thể đạt được việc đóng gói dày đặc các vòng tròn bằng cách ghép chúng vào các bức tranh khảm bao gồm các đa giác đều lấp đầy toàn bộ mặt phẳng. Chỉ có ba cách để xây dựng những bức tranh khảm như vậy - từ hình tam giác đều, hình vuông và hình lục giác đều. Đóng gói các vòng tròn sử dụng các mảnh hình vuông và lục giác được thể hiện ở hình 1. Hơn nữa, “bằng mắt” bạn có thể thấy rằng phương pháp thứ hai tiết kiệm hơn. Một tính toán chính xác (tự kiểm tra) cho thấy rằng trong trường hợp này, khoảng 90,7% mặt phẳng được lấp đầy bởi các vòng tròn, trong khi ở trường hợp đầu tiên - chỉ khoảng 78%. Phương pháp đóng gói hình lục giác trên mặt phẳng là dày đặc nhất. Rõ ràng, vì điều này, ong sử dụng nó khi xây tổ ong.

Việc đóng gói dày đặc các quả bóng trong không gian có thể được thực hiện như sau. Chúng ta hãy đặt lớp bóng đầu tiên lên mặt phẳng theo cách dày đặc nhất mà chúng ta đã biết. Sau đó, bạn có thể đặt một lớp thứ hai tương tự lên chúng. Nếu mỗi quả bóng của lớp trên cùng nằm chính xác phía trên đáy, sao cho tất cả các quả bóng được ghi trong một khối tổ ong, thì sẽ lãng phí quá nhiều không gian. Với phương pháp đóng gói này, chỉ có 52% không gian được lấp đầy.

Rõ ràng là các quả bóng có thể được nén chặt hơn như thế nào. Để làm điều này, quả bóng phía trên phải được đặt vào lỗ được tạo thành bởi khay của các quả bóng phía dưới liền kề. Nhưng đồng thời, các quả bóng phía trên sẽ không thể lấp đầy tất cả các lỗ - một trong hai hốc liền kề luôn trống (hình 2). Do đó, khi chúng ta xếp lớp bóng thứ ba, việc này có thể được thực hiện theo hai cách: hoặc đặt các quả bóng của lớp thứ ba phía trên các hốc đó ở lớp đầu tiên sao cho các quả bóng của lớp thứ hai để tự do (tâm của một trong các quả bóng trên hình 2 sẽ ở điểm A), hoặc ngay phía trên các quả bóng của lớp thứ nhất (trong trường hợp này, tâm của một trong các quả bóng của lớp thứ ba sẽ ở điểm B). Nó được lưu cho các lớp tiếp theo. Kết quả là, chúng ta thu được hai cách đóng gói các quả bóng, được hiển thị trong không gian ở hình 3. Trong trường hợp chung, khoảng 74% không gian được lấp đầy bằng các quả bóng.

Hình 1. Đóng gói các hình tròn bằng nhau trên mặt phẳng vào các ô của các bức tranh khảm thông thường.

Hình 3. Hình ảnh không gian thể hiện 2 cách xếp bóng dày đặc.

15

Hình 4. Khối bát diện Kepler.

Dễ dàng tính được rằng với cách đóng gói này, mỗi quả bóng tiếp xúc với 12 quả bóng lân cận. Các điểm tiếp xúc tạo thành các đỉnh của khối 14 mặt. Các mặt của nó là các hình vuông và hình tam giác đều xen kẽ nhau. Do đó, phương pháp đóng gói thứ hai tạo ra khối lập phương Kepler như ở hình 4.

Cho đến nay, chúng tôi chỉ xem xét các phương pháp đóng gói các quả bóng sao cho chúng phù hợp với các “tổ ong” định kỳ. Có thể đạt được sự đóng gói dày đặc mà không có điều kiện này không? Một trong các phương pháp được thể hiện ở hình 5. Các quả bóng trong mỗi mặt phẳng nằm trên các cạnh của hình ngũ giác đều (ngũ giác). Trong mỗi hình ngũ giác, các quả bóng lân cận chạm vào nhau, nhưng các quả bóng, so với các hình ngũ giác khác nhau của cùng một mặt phẳng, bị tách biệt trong không gian. Các cạnh của hình ngũ giác gồm các lớp xen kẽ nhau chứa bốn số bóng lẻ lẻ. Hệ số lấp đầy không gian trong cấu trúc như vậy là 72% và chỉ kém hơn một chút so với trường hợp đóng gói dày đặc được trình bày trong hình 2. Có thể đóng gói các quả bóng mà không tạo thành mạng tinh thể từ các tâm dày đặc hơn, đạt hệ số lấp đầy là 74%, nhưng liệu có tồn tại các gói dày đặc hơn hay không - câu hỏi này vẫn còn bỏ ngỏ cho đến ngày nay.

Hãy quay trở lại với cát tiếp theo. Bây giờ chúng ta biết rằng có những gói bóng đặc biệt để lại rất ít khoảng trống giữa chúng. Ví dụ: nếu bạn vi phạm sự sắp xếp này bằng cách loại bỏ các quả bóng của một lớp khỏi các lỗ của lớp khác, thì khoảng cách giữa các quả bóng sẽ tăng lên. Tuy nhiên, rõ ràng là các hạt cát không bao giờ được đóng gói theo một cách đặc biệt. Làm thế nào để đạt được sự đóng gói dày đặc của hạt cát?

Hãy nhớ lại kinh nghiệm hàng ngày. Bạn cần đổ đầy bình sao cho chứa được lượng tối đa. Bạn làm gì về nó? Sử dụng tàu hoặc di chuyển qua nó, thêm hiệu ứng mong muốn. Sau đó, sau khi đóng gói chặt krula vào bình, bạn có thể sử dụng kỹ thuật này để giảm bớt một số lượng bổ sung.

Một nghiên cứu khoa học về vấn đề này được thực hiện vào những năm 50 bởi nhà khoa học người Anh G. Scott. Anh ta lấp đầy những chiếc chai hình cầu có kích cỡ khác nhau bằng những quả bóng từ vòng bi. Nếu các chai được đổ đầy mà không lắc để các quả bóng được sắp xếp ngẫu nhiên thì sự phụ thuộc sau đây của mật độ đóng gói vào số lượng quả bóng được quan sát bằng thực nghiệm:

$$\varrho_1 = 0,6 - 0,37 / \sqrt[3]{N},$$

trong đó $N$ là tổng số quả bóng. Nếu số lượng quả bóng rất lớn (và trong các thí nghiệm $N$ nó lên tới vài nghìn), thì rõ ràng mật độ đóng gói có xu hướng trở nên không đổi và tương ứng với việc lấp đầy 60% không gian. Nhưng nếu bạn lắc chai khi nó đầy, mật độ đóng gói sẽ tăng lên:

$$\varrho_2 = 0,64 - 0,33 / \sqrt[3]{N}.$$

Đúng, ngay cả trong trường hợp này, nó vẫn nhỏ hơn 74% rất nhiều, tương ứng với sự sắp xếp đều đặn của các quả bóng.

Hình 5. Đóng gói các quả bóng hình ngũ giác.

16

Điều đáng suy nghĩ về sự phụ thuộc được đưa ra ở đây. Tại sao hiệu chỉnh tỷ lệ nghịch với $\sqrt[3]{N}$? Các quả bóng nằm gần thành bình có vị trí đặc biệt so với các quả bóng về thể tích và ảnh hưởng đến mật độ đóng gói. Mức độ đóng góp của chúng tỷ lệ thuận với tỷ lệ diện tích bề mặt $\sim R^2$ với thể tích của bình $\sim R^3$ và giết chết tỷ lệ nghịch với kích thước của hệ thống $R$ (theo thể tích của hệ thống, chúng ta uống toàn bộ thể tích không gian bị chiếm bởi các quả bóng cùng với không gian trống). Kích thước $R \sim \sqrt[3]{N}$, vì âm lượng của hệ thống tỷ lệ thuận với tổng số quả bóng. Những sự phụ thuộc như vậy thường nảy sinh trong vật lý khi cần tính đến các bề mặt hiệu dụng.

Do đó, các thí nghiệm chính xác xác nhận trải nghiệm hàng ngày và cho thấy rằng bằng cách lắc môi trường dạng hạt, có thể đạt được mật độ đóng gói lớn hơn. Nhưng tại sao điều này vẫn xảy ra? Thực tế là vị trí cân bằng ổn định luôn tương ứng với thế năng tối thiểu. Quả bóng có thể nằm yên trong chỗ rỗng nhưng chắc chắn sẽ nảy lên từ đỉnh cầu trượt. Một cái gì đó tương tự đang xảy ra ở đây. Khi lắc, các quả bóng được lăn vào không gian trống, mật độ đóng gói tăng lên và tổng thể tích của hệ thống giảm xuống. Kết quả là, mức độ lấp đầy bình bằng các quả bóng giảm, và do đó, trọng tâm giảm xuống và thế năng của hệ giảm.

Bây giờ, cuối cùng, chúng ta có thể tưởng tượng đủ rõ ràng điều gì đang xảy ra với cát. Sự xáo trộn của nước gặp cát, và kết quả là tạo ra một lớp cát dày đặc. Bằng cách dùng chân ép bánh, chúng ta phá vỡ lớp bao bì này và làm tăng kích thước lỗ chân lông. Nước từ các lớp cát phía trên đi vào sâu hơn, lấp đầy những khoảng trống mở rộng này. Kết quả là sân “rơi ra ngoài”. Khi bàn chân được tháo ra, biến dạng sẽ biến mất, sự bó chặt được phục hồi và nước chảy ra từ những khoảng trống mới thu hẹp sẽ lấp đầy dấu vết do bàn chân để lại. Nó cũng có thể được sử dụng theo cách mà sau một áp lực mạnh, cao độ không thể phục hồi. Sau đó, đường đi sẽ chỉ bị ướt trở lại khi nước dâng lên từ các lớp bên dưới và lấp đầy các lỗ chân lông.

Thật tò mò rằng đây là đặc tính của phương tiện dạng hạt được tìm thấy trong faqra của Ấn Độ. Một trong những bộ ba của họ bao gồm việc liên tục đâm một con dao hẹp vào một chiếc bình có cổ hẹp, chứa đầy gạo ở trên cùng. Có lúc, con dao bị kẹt trong cơm, dùng dao có thể nhấc chiếc bình lên được. Rõ ràng mánh khóe là chiếc tàu khi chứa đầy gạo đã gặp nhau, đạt được độ kín. Việc đâm dao vào sẽ làm gián đoạn bao bì này và tăng khoảng cách giữa các hạt gạo. Vì thể tích của bình không thay đổi nên lực ép các hạt gạo tăng lên và do đó lực căng giữa chúng và dao tăng lên. Đến một lúc nào đó, nó đủ để rút con dao ra khỏi tàu.

Trật tự xa gần

Tất nhiên, các nguyên tử tạo nên mọi vật thể không thể được coi là những quả bóng rắn. Tuy nhiên, những cân nhắc hình học đơn giản giúp hiểu được cấu trúc của vật chất.

Hình 6. Các phần tử của mạng lập phương tâm mặt và mạng dexation đóng kín.

18

Hình 9. Sử dụng các hình ngũ giác đều, không thể lấp đầy toàn bộ mặt phẳng mà không có khoảng trống.

Hình 10. Cấu trúc của quaria (a) và thủy tinh (b).

trong mạng tuần hoàn. Ví dụ, một hình ngũ giác đều riêng biệt có thể được quay quanh một trục đi qua tâm và nó sẽ thẳng hàng với chính nó 5 lần. Trong trường hợp này, họ nói rằng có một trục đối xứng bậc 5. Nhưng trong mạng Bravais không thể có trục như vậy. Điều này có nghĩa là có một mặt phẳng có các nút tạo thành các hình ngũ giác đều. Nhưng không thể lấp đầy toàn bộ mặt phẳng bằng các hình ngũ giác đều (hình 9)!

Tuy nhiên, các loại mạng Bravais không làm cạn kiệt tính chất đối xứng đa dạng của mạng. Rốt cuộc, như bạn đã thấy từ ví dụ về việc đóng kín hình lục giác, các mạng Bravais có thể được để cái này bên trong cái kia! Kết quả là, các phần tử đối xứng được kết hợp theo nhiều cách kết hợp khác nhau, cái gọi là nhóm không gian được hình thành. Có tất cả 230 nhóm khác nhau. Tất cả chúng đều được nhà khoa học người Nga E. S. Fedorov tìm thấy vào năm 1890.

Vì vậy, bất kỳ tinh thể nào cũng có thể bao gồm các phần lặp lại. Tính chất này của tinh thể được gọi là tính đối xứng tịnh tiến (dịch chuyển - truyền trong không gian). Mặt khác, họ cũng nói rằng tinh thể có trật tự tầm xa. Đây có lẽ là đặc tính đặc trưng nhất của tinh thể, giúp phân biệt chúng với tất cả các vật thể khác.

Tuy nhiên, có một loại chất quan trọng không kém - các thể vô định hình trong đó không có trật tự lâu dài. Chất lỏng ở trạng thái vô định hình. Nhưng một vật thể rắn cũng có thể vô định hình. Ví dụ đơn giản nhất là kính thông thường. hình 10 thể hiện cấu trúc của thủy tinh và quaria, có thành phần hóa học tương tự như thủy tinh. Thạch anh là một tinh thể, và thủy tinh là một vật thể vô định hình. Mặc dù thủy tinh không kém trật tự hơn thế này nhưng điều đó không có nghĩa là có sự hỗn loạn hoàn toàn trong sự sắp xếp của các nguyên tử. Một cấu trúc nhất định trong cách sắp xếp những người hàng xóm gần gũi, như có thể thấy từ hình, cũng được bảo quản trong kính. Người ta nói rằng các cơ thể vô định hình có trật tự chặt chẽ.

Vật liệu vô định hình gần đây đã tìm thấy những ứng dụng quan trọng trong công nghệ. Tính chất độc đáo của hợp kim kim loại vô định hình (thủy tinh kim loại). Chúng thu được bằng cách làm nguội kim loại lỏng rất nhanh - với tốc độ vài nghìn độ mỗi giây. Điều này có thể đạt được, ví dụ, bằng cách rắc những giọt kim loại nhỏ lên bề mặt đĩa lạnh chạy nhanh. Giọt nước được “bôi” lên đĩa thành một lớp rất mỏng (dày vài micromet), và rất tốt để kim loại nước ấm nguội nhanh đến mức các nguyên tử của nó đơn giản là không có thời gian để tự sắp xếp một cách chính xác. Hóa ra hợp kim vô định hình có độ cứng tăng lên, khả năng chống ăn mòn cao và sự kết hợp tối ưu giữa các đặc tính điện và từ. Phạm vi của các tài liệu như vậy đang mở rộng nhanh chóng.

(Cuối cùng xem trang 48)

21

Tất nhiên, công thức này áp dụng cho các hoán vị có sự lặp lại của bất kỳ mục nào. Ví dụ: số hoán vị của các chữ số 0, 0, 0, 0, 1, 1, 3 là $\frac{7!}{4!2!1!} = \frac{4!5 \cdot 6 \cdot 7}{4!2} = 5 \cdot 3 \cdot 7 = 105$.

Nhiệm vụ và
11. Các từ có bao nhiêu angram khác nhau: a) đăng ký; 6) chữ cái?
12. Có bao nhiêu cách một người mẹ có thể cho con gái mình ăn 3 quả chuối, 2 quả lê và 2 quả cam trong vòng một tuần nếu mỗi ngày cho con ăn một quả?
13. Giải mã số đã cho ở hình trên trang. 19 một cụm từ trong đó mỗi từ được kèm theo chữ cái của nó.
14. Có bao nhiêu cách để làm một chiếc vòng cổ từ một hạt đen, hai hạt trắng, ba hạt đỏ và một gót xanh?

Tổng công suất
Sự kết hợp của các chữ cái - angram - phát sinh một cách tự nhiên khi thay đổi hai hoặc nhiều đa thức và tổ hợp - hệ số của angram - khi dịch các thuật ngữ tương tự.

Công thức bình phương của tổng hai số đã được biết rõ:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Một công thức tương tự có thể thu được cho bình phương của tổng ba số hạng trở lên. Ví dụ: hãy bình phương tổng $a+b+c$:
$(a+b+c)(a+b+c) = aa + ab + ac + ba + bb + bc + ca + cb + cc = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$.

Công thức tương tự cũng đúng cho $(a+b+c)^2$ (vào ngày hình 3 hàng năm biểu thị diện tích hình chữ nhật của nó); Nói chung, bình phương của tổng các số $n$ được tính như sau: bạn cần cộng tất cả các bình phương của các số $n$ này và cộng tổng gấp đôi của tất cả các tích cặp có thể có của các số này.

Nếu chúng ta cẩn thận thay đổi độ biến thiên của $a+b+c$ khi gấp vào chính nó, chúng ta cũng thu được công thức:
$(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b) + 6abc$.

Hãy để chúng tôi giải thích cách bạn có thể nhận được các hệ số 1, 3 và 6 ở đây mà không cần nhân và ghép các số hạng tương tự một cách tẻ nhạt. Đây là số lượng angram đã quen thuộc với chúng ta. Số hạng $a^3$ chỉ có thể thu được bằng một cách - khi từ mỗi dấu ngoặc đơn
$(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)$ được lấy từ chữ cái $a$. Để có được hệ số cho $a^2b$, bạn cần lấy $b$ từ một dấu ngoặc và $a$ từ hai dấu ngoặc còn lại, nghĩa là thuật ngữ này tương ứng với angram $aab, aba, baa$ từ hai chữ cái $a$ và một chữ cái $b$: số của chúng là $(2+1)!(2!1!) = 3$. Cuối cùng, hệ số $abc$ bằng số $3!/(1!1!1!) = 6$ của angram (hoán vị) của một từ gồm ba chữ cái khác nhau $a, b, c$.

Một công thức tương tự sẽ thu được cho lập phương của tổng một số lớn hơn các số hạng, ví dụ
$(a+b+c+d+e)^3 = (a^3+...) + 3(a^2b+...) + 6(abc+...)$.

Ở đây, chúng ta hãy làm sắc nét từng dấu ngoặc để biểu thị các thuật ngữ thu được từ thuật ngữ được viết đầu tiên bằng nhiều cách thay thế các chữ cái khác nhau.

Bây giờ chúng ta hãy chỉ ra công thức chung.

23

lũy thừa và rút gọn các thuật ngữ tương tự, nghĩa là tổng xác suất đảo chữ của từ kkkzz.

Điều thú vị là trường hợp “2 đỏ, 3 vàng” và “2 đỏ, 2 vàng và 1 xanh” đều có xác suất như nhau.

$$\frac{5!}{2!3!} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{5!}{2!2!1!} \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{5}{36}.$$

(Đây là những sự kết hợp có khả năng xảy ra nhất của 5 quả ớt với xác suất mà chúng tôi đã chọn.)

Nhiệm vụ

18. Tất cả ba cạnh của khối lập phương 6x6x6 phát ra từ đỉnh A đều được chia theo tỷ lệ 3:2:1, tính từ đỉnh A và các mặt phẳng song song với các cạnh được vẽ qua các điểm phân chia, cắt khối lập phương thành 21 mảnh (hình 5).

a) Có bao nhiêu khối trong số chúng sẽ là khối 3x2x1?

b) Còn bao nhiêu miếng nữa và sẽ có mấy miếng? Khối lượng của họ là gì?

b) Có mối liên hệ nào giữa vấn đề này và vấn đề hạt tiêu không?

19. Máy tạo ra các hạt 6 hạt bằng cách chọn ngẫu nhiên chúng từ một đống lớn các hạt màu đen, trắng, đỏ và xanh, dịch chuyển theo tỷ lệ 1:2:3:4. Xác suất trong một môi trường như vậy là gì

a) tất cả các hạt đều có màu xanh;

b) mọi thứ đều có cùng màu;

b) sẽ không có một hạt màu đỏ nào;

d) Sẽ có những hạt có đủ bốn màu?

d) Bạn sẽ gặp loại bánh mì nào thường xuyên nhất?

e) Tỉ lệ các hạt trong một đống lớn là bao nhiêu để tìm được những hạt phổ biến nhất có 2 hạt đỏ, 2 hạt đen, một hạt trắng và một hạt xanh?

20. Gọi xác suất để chiếc bánh sandwich rơi có bơ và visa khác nhau là 3/4. Một sự kiện ngẫu nhiên đã xảy ra: một chiếc khay có bảy chiếc bánh sandwich bị lật úp. Xác suất để chính xác k bánh mỳ sẽ có bơ (với mỗi k=0, 1, 2, …, 7) là bao nhiêu?

Tăng lũy ​​thừa (p+q)^7 và trừ đi mỗi năm ở p=3/4, q=1/4. Bạn có thể sử dụng máy vi tính để tính các hệ số. (Xem Phụ lục.)

Hệ số sinh học

Ở trên, chúng ta hầu như không đề cập đến trường hợp đơn giản và quan trọng nhất của hai chữ cái. Các hệ số của đa thức (a+b)^n có ký hiệu đặc biệt là C^k_n và công thức (a+b)^n = C^0_n a^n + C^1_n a^{n-1} b + … + C^n_n b^n

được gọi là công thức sinh học của Newton. Chúng ta biết rằng C^k_n - số từ có n chữ cái, bao gồm k chữ cái và n-k chữ a - có thể được tìm thấy bằng công thức

$$C^k_n = \frac{n!}{(n-k)! k!} = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}.$$

Ví dụ,

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4,$$

bởi vì

$$C^0_4 = C^4_4 = \frac{4!}{4!0!} = 1,$$

$$C^1_4 = C^4_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4,$$

$$C^2_4 = \frac{4!}{2!2!} = 6.$$

Các hệ số sinh học - số C^k_n - phát sinh trong nhiều bài toán khác nhau về sinh học, đại số, hình học, phân tích toán học và lý thuyết xác suất. Chúng được kết nối bằng các nhận dạng đa thức màu đỏ; ví dụ: từ đẳng thức C^k_n + C^k_{n-1} = C^k_{n+1} (xem bài toán 5), suy ra rằng đối với mọi n và k tự nhiên, 0≤k<n,

$$C^k_n + C^k_{n+1} + ... + C^k_n = C^k_{n+1}.$$

(với k=1 đây là công thức mà chúng tôi sử dụng để bắt đầu bài viết). Những con số đáng chú ý này sẽ được thảo luận chi tiết hơn ở một trong những số tiếp theo của tạp chí.

Văn học

1. V. A. Uspensky. Tam giác Pascal. M.: Nauka, 1979.

2. M. I. Bashmkov, V. M. Bekker, V. M. Golkhovoy. Bài tập toán: Đại số và giải tích. M.: Nauka, 1982.— (Sê-ri: Biblutechka «Kvant», số 22)

3. A. N. Kolmogorov, I. G. Zhurbenko, A. V. Prokorov. Giới thiệu lý thuyết xác suất. M.: Nauka, 1982.— (Sê-ri: Biblutechka «Kvant», số 23)

4. D. Knut. Nghệ thuật lập trình máy tính. M.: Mir, 1976, tập. 1.

5. F. Người bán hàng nhiều nhất. Năm mươi xác suất giải trí bài toán với các giải pháp. M.: Nauka, 1985.

Phụ lục: Tính hệ số sinh khối bằng máy tính B3-34.

Đối với n lớn, việc tính toán hệ số sinh học theo cách thủ công là một việc rất khó khăn bài toán. Dưới đây là chương trình dành cho máy tính B3-34*), chương trình này cho phép bạn tính các hệ số C^k_n cho bất kỳ n≤334 nào và tất cả k<n (trong trường hợp này, thu được giá trị gần đúng đáp số cho n<28; với n lớn, chương trình cho giá trị gần đúng đáp số**)).

*) Những sửa đổi nhỏ cho phép chương trình được điều chỉnh phù hợp với các mẫu MK-54 và MK-61.

**) Giới hạn trên là 28 đối với n và độ chính xác của các giá trị gần đúng của các hệ số của đa thức cao hơn so với chương trình trong sách tham khảo nổi tiếng của V.P. Dyacon và A.N. Tsvetkov và V.A. Epanchnikov. (Lưu ý ped.)

24

Vật lý 8, 9, 10

Cuốn sách đã xuất bản “ Nón ma sát” dành cho tác phẩm kinh điển thứ tám, “Nguồn điện đầu tiên” dành cho tác phẩm kinh điển thứ chín, “Nhiễu xạ sóng” dành cho tác phẩm kinh điển thứ chín.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi I.K. Belkin.

nón ma sát

Nếu chúng ta xét các điều kiện cân bằng của một vật trên một mặt phẳng nghiêng, góc nghiêng của nó có thể thay đổi được, thì dễ dàng nhận thấy (tự mình làm) rằng vật bắt đầu trượt khỏi mặt phẳng một góc φ sao cho

$$tg\varphi = \mu,$$

trong đó $\mu$ là hệ số ma sát của vật trên mặt phẳng. Bạn có thấy ngạc nhiên khi góc này không phụ thuộc vào trọng lượng cơ thể không?

Biểu thức tương tự cho góc φ có thể thu được bằng cách khác đơn giản hơn. Nhưng để làm được điều này, trước tiên bạn phải làm quen với khái niệm “hình nón ma sát”.

Hãy để cơ thể, có thể được coi là một điểm vật chất, được đặt trên một mặt phẳng ngang rộng. Lực hấp dẫn $m\vec{g}$ ép cơ thể lên bề mặt và bề mặt “phản ứng” bằng cách tác dụng lên cơ thể một lực áp suất bình thường $\vec{N}$. Nếu một lực ngang nào đó cũng tác dụng lên vật thì một lực ma sát khác xuất hiện trên bề mặt. Chỉ cần độ lớn của lực nằm ngang không vượt quá giá trị cực đại của lực ma sát tĩnh $F_{\text{тр.п.max}} = \mu N$ thì vật đứng yên. Khi đạt đến giá trị này, vật bắt đầu chuyển động và bề mặt tác dụng lên nó do lực ma sát trượt.

$$F_{\text{тр.ск.}} = F_{\text{тр.п.max}} = \mu N.$$

Cả phản lực bình thường và lực ma sát đều do bề mặt tạo ra nên chúng ta có thể nói về tổng phản lực của bề mặt. Trong trường hợp một vật, dưới tác dụng của một ngoại lực (tất nhiên, bao gồm cả trọng lực) chuyển động dọc theo bề mặt (hình 1) thì tổng phản lực là

$$\vec{R} = \vec{N} + \vec{F}_{\text{тр.ск.}}.$$

Lực này hướng một góc φ so với pháp tuyến, dễ xác định:

$$tg\varphi = \frac{F_{\text{тр.ск.}}}{N} = \mu, \quad \varphi = \arctg\mu.$$

Góc f gọi là góc ma sát.

Bây giờ chúng ta sẽ xoay vectơ $\vec{R}$ xung quanh pháp tuyến lên bề mặt mà không thay đổi góc φ giữa chúng. Trong trường hợp này, vectơ mô tả một hình nón (có góc 2φ ở đỉnh), được gọi là hình nón ma sát. Nó có đặc tính đáng chú ý sau đây. Cho dù ngoại lực tác dụng lên vật có lớn đến đâu thì nếu nó nằm bên trong hình nón ma sát thì vật vẫn đứng yên. Nếu lực này vượt ra ngoài hình nón ma sát thì dù nhỏ đến đâu, vật cũng bắt đầu chuyển động.

Sự thật của tuyên bố này không khó. Thật vậy, hãy tác dụng ngoại lực $\vec{F}$ (xem hình 1) lên vật sao cho đường tác dụng của nó tạo một góc $\alpha$ với pháp tuyến trên bề mặt. Khi đó lực “dịch chuyển” vật dọc theo bề mặt bằng $F_{\sin\alpha}$, và phản lực bình thường bằng $F_{\cos\alpha}$. Do đó, lực ma sát tĩnh lớn nhất có thể giữ vật đứng yên là

$$F_{\text{тр.п.max}} = \mu N = \mu F_{\cos\alpha} = Ftg\varphi\cos\alpha.$$

Trong khi lực $\vec{F}$ nằm bên trong hình nón ma sát, $\alpha < \varphi$ và do đó $F_{\sin\alpha} <$

25

Nguồn dòng điện đầu tiên

<Ftgφcosα. Cơ thể sẽ tích lũy. Tuy nhiên, ngay khi góc α lớn hơn góc ma sát φ thì bất đẳng thức cuối cùng bị vi phạm. Lúc này ma sát không còn giữ được vật ở đúng vị trí nữa và nó bắt đầu trượt.

Chúng ta hãy quay trở lại vật còn lại ở đầu trạng thái trên mặt phẳng nghiêng và dựng hình nón ma sát cho nó (hình 2). Ngoại lực ở đây là lực của dây đeo tạ $m\vec{g}$, hướng thẳng đứng xuống dưới. Chỉ cần α<φ, theo những gì đã nói ở trên, cơ thể sẽ đào bới xung quanh. Nhưng ngay khi góc α vượt quá góc φ thì nó sẽ bắt đầu chuyển động. Do đó, ta thu được ngay điều kiện để vật bắt đầu trượt khỏi mặt phẳng nghiêng:

$$tg\alpha > \mu, \alpha > arctg\mu.$$

Lưu ý rằng khái niệm hình nón ma sát được các kỹ sư sử dụng khi tính toán một kết cấu cụ thể. Ví dụ, ngay cả khi thiết kế một chiếc ghế đẩu, bạn cũng nên lưu ý đến hình nón ma sát.

Hãy tưởng tượng một chiếc ghế đẩu có chân được nối với ghế bằng khớp (hình 3). Tất nhiên, trên thực tế không ai làm điều này, nhưng hệ thống lắp đặt này cho phép chúng ta hiểu dễ dàng hơn vai trò của hình nón ma sát. Chúng ta hãy đặt một chiếc ghế đẩu như vậy trên sàn sao cho góc α vuông góc với sàn nhỏ hơn góc ma sát φ. Trong trường hợp này, cho dù chúng ta chất cái ghế lên như thế nào, hai chân của nó sẽ không tách ra - lực mà mỗi chân tác dụng lên sàn nằm trong hình nón ma sát tương ứng. Nếu góc α lớn hơn góc φ thì lực do mỗi tác dụng lên sàn sẽ vượt ra ngoài hình nón ma sát, hai chân sẽ rời ra và chiếc ghế sẽ rơi xuống.

Trong một chiếc ghế đẩu thực sự, các chân được kết nối với ghế không phải nhờ sự trợ giúp của khớp mà được bao gồm hoặc bao gồm trong đó.

Dòng điện, ngay cả trong mạch điện đơn giản nhất, có vẻ giống như một hiện tượng bí ẩn. Trên thực tế, dòng điện là sự chuyển động có trật tự của các điện tích, chẳng hạn như các electron trong dây dẫn kim loại. Chuyển động có trật tự của chúng sẽ được gây ra bởi một điện trường. Tuy nhiên, như đã biết, công của trường tĩnh điện dọc theo một đường dẫn kín là bằng 0 (và các mạch điện trong đó có dòng điện không đổi luôn đóng). Tuy nhiên, công được thực hiện trong mạch khi có dòng điện chạy qua. Ví dụ, do công việc này, các dây dẫn nóng lên.

Tại sao có dòng điện trong mạch và tại sao công thực hiện khi nó đi qua?

Cả hai đều có thể thực hiện được chỉ vì ở đâu đó trong mạch có một số lực không tĩnh điện có thể tạo ra và duy trì trường tĩnh điện trong mạch và công của chúng không bằng 0. Những lực lượng này được gọi là “lực lượng bên ngoài”. Vị trí trong mạch nơi chúng hoạt động được gọi (không hoàn toàn thành công) là “nguồn hiện tại”.

Những lực lượng phụ này là gì và chúng hoạt động như thế nào? Ví dụ, hãy xem xét nguồn dòng điện một chiều hóa học đầu tiên trong lịch sử. Nó được phát minh vào cuối thế kỷ 18 bởi nhà vật lý người Ý Alexandro Volga (1745-1827). Bây giờ nguồn này được gọi là phần tử Volga. Nó bao gồm các điện cực kẽm và đồng được ngâm trong dung dịch axit sulfuric.

Lưu ý rằng đồng và kẽm không bao gồm các nguyên tử trung tính mà bao gồm các ion dương của kim loại tương ứng và các electron đã được tách ra khỏi nguyên tử và trở nên tự do, như người ta nói. Cần lưu ý rằng dung dịch axit không bao gồm

26

các phân tử trung hòa của nước (H₂O) và axit sulfuric (H₂SO₄). Một phần đáng kể của các phân tử H₂SO₄ trong nước biến thành ba ion - hai ion hydro H⁺ tích điện dương và một ion SO₄2⁻ tích điện âm với điện tích kép:

H₂SO₄ → 2H⁺ + SO₄²⁻.

Hãy xem điều gì xảy ra khi nhúng các điện cực vào dung dịch như vậy (xem hình). Hãy bắt đầu với kẽm.

Khi ngâm kẽm trong dung dịch axit, phản ứng hóa học giữa các ion SO₄2⁻ và Zn2⁺ bắt đầu, kết quả là các ion kẽm bị tách ra khỏi điện cực và chuyển vào dung dịch. Trong trường hợp này, có quá nhiều electron xuất hiện trên điện cực và nó trở nên tích điện âm. Khi các ion Zn2⁺ tích tụ trong dung dịch, một số ion trong số chúng bị điện cực ép xuống sẽ quay trở lại. Cuối cùng, trạng thái cân bằng lưỡng tính được thiết lập: số lượng ion rời khỏi kẽm bằng số lượng ion quay trở lại nó. Nhưng điện cực vẫn tích điện âm và dung dịch gần điện cực (do các ion kẽm) nhận được điện tích dương.

Sự xuất hiện của các ion dương bổ sung gần điện cực kẽm gây ra sự phân phối lại các ion đã có trong dung dịch. Thông thường các ion âm từ lớp lân cận sẽ di chuyển đến gần điện cực và một số ion dương được đưa đến lớp ở xa hơn. Các chuyển động tương tự xảy ra ở tất cả các lớp dung dịch, ngay đến lớp tiếp giáp với điện cực đồng. Ở đây quá trình sau đây xảy ra.

Không giống như kẽm, đồng hầu như không hòa tan trong axit, nghĩa là nó không gửi các ion của nó vào dung dịch. Ngược lại, ion hydro dương từ dung dịch rơi xuống đồng

điện cực, các điện cực tự do được lấy ra khỏi nó và trung hòa. Đồng trở nên tích điện dương và dung dịch xung quanh nó mang điện tích âm.

Do đó, điện cực đồng trong phần tử Volta tạo thành sọc dương và điện cực kẽm tạo thành sọc âm. Hiệu điện thế giữa chúng xấp xỉ 1,1 V.

Bây giờ chúng ta hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu các điện cực được nối với một dây dẫn kim loại. Các điện cực tự do ở phần bên ngoài của mạch điện (trong dây dẫn) bắt đầu di chuyển từ kẽm, nơi chúng có nhiều, sang đồng, nơi chúng bị thiếu. Điều này có nghĩa là một dòng điện sẽ xuất hiện ở phần bên ngoài của mạch điện, hướng từ đồng sang kẽm.

Nhưng bản thân nguyên tố Volta có gì? Do mất electron từ kẽm, sự cân bằng giữa điện cực kẽm và raster bị xáo trộn, do đó, một số lượng ion kẽm bổ sung sẽ đi vào raster, do đó duy trì điện tích âm của điện cực. Và do đến điện cực đồng, một số lượng lớn hơn các ion hydro dương từ dung dịch có thể được trung hòa ở điện cực này. Đồng thời, đồng cũng duy trì điện tích dương.

Do đó, chúng ta thấy rằng trong khi ở phần bên ngoài của các điện cực tự do trong mạch chuyển động từ điện cực kẽm sang điện cực đồng thì bên trong nguồn của mạch chuyển động: dương từ kẽm sang đồng và âm từ đồng sang kẽm. Vì vậy, trong một mạch kín có một quá trình chuyển động tròn liên tục của các điện tích, tức là dòng điện.

Những lực nào tác dụng để duy trì một vị trí điện thế không đổi giữa các điện cực đồng và kẽm? Đây được gọi là lực hóa học hoạt động bên trong nguyên tố Volta. Nói cách khác, có thể nói nguồn năng lượng của dòng điện là năng lượng được giải phóng trong các phản ứng hóa học giữa các điện cực và dung dịch axit.

Từ đó, hóa ra “nguồn dòng điện” thực chất là một nguồn năng lượng, do đó

27

công đang được thực hiện để di chuyển các điện tích dọc theo mạch điện, đặc biệt là biểu hiện ở việc làm nóng dây dẫn. Năng lượng trên một đơn vị điện tích đi qua mạch được gọi là suất điện động của nguồn.

Trong các nguồn khác, các quá trình khác xảy ra, các lực khác hoạt động, nhưng vai trò của chúng luôn giống như khi chúng ta xem xét nguyên tố Volta.

Nhiễu xạ sóng

Nhiễu xạ là sự bẻ cong của sóng biến đổi, sự xâm nhập của chúng vào vùng bóng hình học. Đây là một trong những đặc điểm của hiện tượng sóng có tính chất bất kỳ.

Nhiễu xạ đặc biệt đáng chú ý khi kích thước của sự biến đổi tương đương với bước sóng. Ví dụ, sóng âm có chiều dài hàng mét và nhiễu xạ của chúng rất dễ phát hiện - âm thanh có thể được nghe thấy từ xung quanh một góc. Nhưng ánh sáng có bước sóng chỉ bằng một phần micromet và trong điều kiện bình thường rất khó quan sát được sự nhiễu xạ của ánh sáng. Trong một thời gian dài người ta thậm chí còn tin rằng ánh sáng luôn truyền theo đường thẳng.

Hiện tượng nhiễu xạ sóng định tính được giải thích bằng nguyên lý Huygen (Vật lý 10, § 38). Lý thuyết nhiễu xạ ánh sáng đầu tiên được phát triển bởi kỹ sư người Pháp Augustin Fresnell. Năm 1818, ông đã gửi Metoir về nhiễu xạ ánh sáng của mình tới một cuộc thi do Viện Hàn lâm Khoa học Paris công bố. Năm sau, cuốn hồi ký này đã được trao giải và sau đó được xuất bản trong kỷ yếu của Học viện.

Trong số các thành viên của ủy ban được giao nhiệm vụ xem xét hồi ký của Fresnell có nhà khoa học nổi tiếng S. Poisson. Dựa trên lý thuyết của Fresnel, Poisson tiếp tục tính toán cho hai trường hợp nhiễu xạ cụ thể ở các phép biến đổi khác nhau, không được Fresnel phân tích và thu được kết quả nghịch lý. Trong trường hợp đầu tiên, phép tính cho thấy rằng ở trung tâm của bóng hình học từ một quả bóng nhỏ đặt trên đường đi của ánh sáng, cần quan sát thấy một điểm sáng. Trong trường hợp thứ hai, hóa ra là sau khi ánh sáng đi qua vòng chịu trách nhiệm, một điểm tối có thể xuất hiện ở trung tâm của hình ảnh nhiễu xạ. Các tính toán của Poisson được coi là bằng chứng cho tính sai lầm của lý thuyết Fresnell. Tuy nhiên, các thí nghiệm tương ứng đã xác nhận nhiều hơn tất cả các kết luận của lý thuyết Fresnel. Thực tế này đóng một vai trò quan trọng trong sự khởi đầu của sự công nhận rộng rãi về bản chất sóng của ánh sáng.

Chúng ta cũng hãy hiểu hiện tượng nhiễu xạ chi tiết hơn. Hãy xem xét sự nhiễu xạ ánh sáng trên một mặt phẳng tròn. Tại hình 1, cung ABC hiển thị mặt trước của sóng phát ra từ nguồn sáng chính xác S, tại thời điểm sóng đạt đến mức biến đổi. Theo nguyên lý Huygen, mỗi điểm của mặt trước là nguồn của sóng thứ cấp và sự giao thoa của chúng, theo lý thuyết của Frenell, giải thích mô hình nhiễu xạ trên màn hình E..

Để tính kết quả giao thoa của sóng thứ cấp, ví dụ tại điểm D ở giữa màn hình, chúng tôi áp dụng phương pháp do Fresnel đề xuất. Thể tích của mặt trước sóng được chia thành các vùng (vùng Fresnell) theo nguyên tắc này: sự chênh lệch khoảng cách từ các điểm cực trị của mỗi vùng đến màn hình phải chênh lệch đúng bằng một nửa bước sóng ánh sáng:

$$AD - KD = KD - LD = LD - MD = MD - BD = \lambda/2.$$

Tại sao họ làm điều này? Điều này cho phép bạn tận dụng được đặc tính nổi tiếng: các sóng có sự khác biệt về

28

Có, trong một nửa bước sóng (ở pha đối cực), khi thêm vào chúng sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Đối với mỗi điểm trong một vùng sẽ có một điểm tương ứng trong vùng lân cận, từ đó sóng sẽ đến điểm $D$ ngược pha và diện tích của tất cả các vùng gần như giống nhau. Do đó, hành động của các vùng lân cận tại điểm $D$ (ví dụ: vùng thứ nhất và thứ hai, thứ hai và thứ ba, v.v.) trên thực tế sẽ tiêu diệt lẫn nhau.

Bây giờ thật dễ hiểu trong những điều kiện nào thì “nghịch lý Poisson” có thể được quan sát. Nếu có số vùng chính xác thì chúng ta sẽ thấy một điểm tối ở giữa màn hình. Đằng sau nó sẽ có một vòng sáng, sau đó là một vòng tối, v.v. (hình 2, a). Trên màn hình chúng ta sẽ quan sát thấy một hệ thống các vòng sáng tối xuyên qua tai (nhưng điểm trung tâm sẽ tối!). Nếu câu trả lời chỉ ra số vùng lẻ, thì kết quả sẽ ngược lại - một điểm sáng sẽ được quan sát ở trung tâm, được bao quanh bởi các vòng sáng và tối qua tai. Hãy thử tự mình giải thích mô hình nhiễu xạ từ một quả bóng nhỏ (hình 2, b).

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Số có bốn chữ số được viết tuần tự từ trái qua phải bằng chữ số
   $x, y, u, v$ sẽ được biểu thị bằng ký hiệu $xyuv$. Chứng minh; nếu $A$ và $B$ là các chữ số tùy ý khác 0 thì sao
   $ABBA - BABA = ABAB - BAAB$.

2. Tại giá trị nào của $a$ hệ phương trình
   $$\begin{align*} 2x + ay &= a + 2, (a + 1)x + 2ay &= 2a + 4 \end{align*}$$
   không có lời giải?

3. Tìm tất cả các điểm của số $x, y, z$ thỏa mãn hệ bất phương trình
   $x^2 \leqslant y, y^2 \leqslant z, z^2 \leqslant x$.

4. Chứng minh rằng một tam giác tùy ý được chia bởi các phương tiện của nó thành 6 tam giác bằng nhau.

5. Chứng minh rằng một đường tròn có thể viết được thành một tứ giác lồi khi và chỉ khi tổng độ dài các cạnh đối diện bằng nhau.

6. Tìm tất cả các số nguyên $n$ mà mô hình tam thức $n^2 - 7n + 10$ là số nguyên tố.

7. Chứng minh rằng phương trình $\sin x = x^2 + x + 1$ không có lời giải.

8. $\sin 10\,000$ là tích cực hay tiêu cực?

(Cuối cùng xem trang 55)

29

Nhiệm vụ

1. Một ngày nọ, tôi quyết định đi cáp treo. Tại một thời điểm nào đó, tôi nhận thấy GHẾ tiến về phía tôi có số 95, và chiếc tiếp theo có số 0, rồi 1, 2, v.v. Tôi nhìn vào số ghế của mình. Hóa ra là 66. Tôi đã đi được nửa đường chưa? Khi gặp chiếc ghế nào tôi sẽ đi được nửa đường?

2. Đây là một điều rất đơn giản
   Γ+O=L-O=B×O=L-O=M-K=A
   Thay thế các chữ cái bằng số để có được đẳng thức thực sự; trong trường hợp này, các chữ cái giống nhau phải ứng với cùng một số, các chữ cái khác nhau phải ứng với các số khác nhau.

3. Một lượng chất lỏng nhất định được đổ vào một cái chai có hình dạng bất thường. Làm thế nào mà không cần thay đổi dụng cụ và các bình chứa khác, bạn có thể biết được chất lỏng chiếm nhiều hay ít hơn một nửa thể tích của chai?

4. Làm thế nào để tìm tâm của một hình tròn đã vẽ nếu bạn chỉ có một cây bút chì và một cây thước thông thường có các cạnh song song (chiều rộng của thước nhỏ hơn đường kính của hình tròn)?

5. Một ông nội và ba đứa cháu đi dạo trong công viên. Một người quen của ông nội anh, người đã gặp họ, đã hỏi họ bao nhiêu tuổi. Vanaya nói: “Tôi trẻ hơn Petya và tôi hơn năm tuổi.” Petya nói:
   “Tôi trẻ hơn Sasha 3 tuổi.” Và Sasha nói: “Tất cả chúng tôi đều kém ông nội 3 lần, và cùng với ông nội, chúng tôi đã đúng 100 tuổi.” Mỗi đứa cháu bao nhiêu tuổi?

Những nhiệm vụ này được giao cho chúng tôi bởi: A. P. Savin, L. P. Mochalov, M. I. Lobak, A. I. Demidov, N. K. Antonovich.

30

Khôi phục
hình bị xóa!

Ứng viên khoa học sư phạm
N. N. IVANOVA

“Bài học tiếp theo trong vòng tròn của chúng ta liên quan đến lời giải hình học bài toán,” giáo viên nói. - “Những bài toán này không hoàn toàn bình thường - chúng tôi sẽ tái tạo lại các số liệu bằng cách sử dụng một số yếu tố đã biết. Con người đã phải đối mặt với những vấn đề tương tự vào thời cổ đại, khi họ phải khôi phục ranh giới của những khu vực bị cuốn trôi do lũ lụt sông Nile.”

Giáo viên cho các em xem một mảnh đầu máy hát bị vỡ và yêu cầu các em xác định bán kính của đầu này (tâm của đầu không được giữ nguyên nhưng một phần cạnh của nó vẫn được giữ nguyên).

Các em nhớ rằng tâm của đường tròn mô tả xung quanh tam giác nằm ở giao điểm giữa các đường vuông góc vẽ các cạnh của tam giác. Vậy nó là một đường tròn, dễ dàng tìm được bán kính của nó. Do đó, đối với lời giải bài toán bằng một tấm, bạn có thể sử dụng tam giác ABC, các đỉnh của tam giác này nằm trên cung của hình tròn nhựa (hình 1).

“bài toán thứ hai khó hơn,” giáo viên nói và vẽ hình tam giác ABC lên bảng. Anh ta vẽ các đường trung tuyến trong đó và đánh dấu các đáy D, E, F, sau đó xóa hình tam giác, chỉ để lại các đáy của các đường trung tuyến. Giáo viên gợi ý cho trẻ khôi phục lại hình tam giác.

Petya là người đầu tiên giơ tay. Anh ta lên bảng và nối các điểm này bằng các đoạn. Các đoạn DE, DF, EF là các đường trung bình của tam giác ABC. Và đường thẳng ở giữa song song với cạnh của tam giác. Điều này mang lại chìa khóa cho lời giải bài toán: qua mỗi điểm này, chúng ta cần kiểm tra một đường thẳng song song với điểm không đi qua của đường giữa đi qua nó và nhờ giao điểm của các đường thẳng này, chúng ta sẽ thu được hình tam giác mong muốn (hình 2).

“Được rồi!” giáo viên nói. “Bây giờ là thứ ba bài toán.” Giáo viên vẽ tam giác nhọn ABC lên bảng và vẽ hai đường cao AE, BF vào đó. Sau đó, tôi xóa hình tam giác một lần nữa, để lại các điểm E, F và một phần đáy - đoạn MN. “Khôi phục lại hình tam giác đã bị xóa,” giáo viên nói. Các chàng trai thắc mắc. Seryozha kết nối điểm E và F. Tiếp theo là gì? Nếu chúng ta xác định vị trí của các điểm A và B - các đầu của đáy tam giác - bài toán thì sẽ giải được. “Bạn có thể nói gì về góc AFB và BEA?”

31

Giáo viên nói chuyện với Krugkovites. “Những góc này đều đúng,” các chàng trai trả lời. Seryozha đồng ý rằng điểm E và F thuộc quỹ tích các điểm mà từ đó nhìn thấy đoạn AB vuông góc. Quỹ tích các điểm như vậy là một đường tròn*), đường kính của nó là AB. Bạn cần tìm tâm của vòng tròn này. Nó nằm trên đường thẳng MN và trên đường trung trực vẽ đoạn EF, tức là giao điểm của MN và đường vuông góc này (hình 3). Xác định được điểm A và B, các bạn dễ dàng tìm được điểm C. Vấn đề lời giải!

“bài toán thứ tư là khó nhất: bạn cần xây dựng lại hình tam giác từ đáy của ba đường cao.”
Petya lại lên bảng. Anh ta vẽ một tam giác ABC, vẽ các đường cao trong đó và đánh dấu các đáy: H₁, H₂, H₃. Tôi xóa hình tam giác, nối các điểm H₁, H₂, H₃ và suy nghĩ. Giáo viên khuyên anh ta nên vẽ một bản phác thảo tự do, vì bài toán đã được giải và cho rằng các đường phân giác của tam giác H₁H₂H₃ thuộc về các đường cao của tam giác ABC. Petya suy nghĩ và chứng minh nhận định này. Ông đã xây dựng hai vòng tròn: với động

*) Ngoại trừ điểm A và B.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

mét AC và AB - và sử dụng tính chất góc viết trong đường tròn (hình 4; như Petya lý luận?). Sau đó, Petya lại nhanh chóng xây dựng các đường thẳng bicsectrix trong tam giác H₁H₂H₃ và thông qua các đỉnh H₁, H₂, H₃ vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng đã xây dựng. Tại giao điểm người đó thu được tam giác ABC cần tìm.

Cuối bài cô giáo gợi ý thêm 4 bài toán cho nhà lời giải.

1. Trong tam giác ABC, đường trung tuyến AD và đường cao AH được vẽ từ đỉnh A, đường trung tuyến BF được vẽ từ đỉnh B. Tam giác đã bị xóa, chỉ còn lại ba điểm D, F và H. Khôi phục lại tam giác.

2. Vẽ một hình bình hành. Sau đó nó được xóa đi, để lại phần giữa của ba cạnh. Xây dựng lại hình bình hành.

3. Cho các điểm M, N, K là trung điểm ba cạnh bằng nhau của một tứ giác lồi. Xây dựng lại tứ giác.

4. Dựng lại tam giác nếu trung điểm của hai cạnh của nó và đường thẳng mà phân giác nằm trên một trong hai cạnh này.

Áp suất, thể tích, nhiệt độ

1. Đồ thị thay đổi trạng thái của khí được cho ở tọa độ p, V. Biểu diễn quá trình này bằng đồ họa ở tọa độ V, T và p, T.

2. Khi khí được làm nóng, người ta thu được sự phụ thuộc của áp suất vào nhiệt độ, thể hiện trên đồ thị. Bạn đã nén hoặc mở rộng khí?

3. Hai quả cầu thủy tinh được nối với nhau bằng một sợi chỉ, ở giữa có một giọt rượu ruthury. Có thể đánh giá nhiệt độ của không khí xung quanh dựa vào vị trí của giọt nước?

4. Xác định từ đồ thị đường nào là đường đẳng nhiệt và đường nào là đường đẳng nhiệt?

5. Xác định từ đồ thị đường nào là đường đẳng nhiệt và đường nào là đường đẳng nhiệt?

6. Thể tích khí giảm 2 lần, nhiệt độ tăng 1,5 lần. Áp suất thay đổi như thế nào?

7. Nhiệt độ của khí thay đổi như thế nào trong quá trình thể hiện trên đồ thị?

8. Thể tích của bọt khí tăng dần khi nó nổi lên từ đáy hồ lên mặt nước. Độ sâu của hồ là bao nhiêu?

9. Tại sao bóng đèn chân không chứa đầy khí trơ ở áp suất thấp hơn đáng kể so với áp suất khí quyển?

4. Khi nhiệt độ của khí bao gồm các phân tử đa nguyên tử tăng lên đáng kể, quá trình phân ly của chúng có thể bắt đầu. Điều này có thể dẫn đến sự sai lệch nào so với định luật Charles?

… sự gia tăng áp suất từ ​​một đến hai atm ở nhiệt độ không đổi kéo theo lượng khí giảm một nửa, trong khi thể tích nước chỉ thay đổi trong một tháng. Tuy nhiên, lượng nước sẵn có không quá nhỏ: nếu LOB giải phóng nước của Đại dương Thế giới khỏi độ dốc, mực nước của nó sẽ dâng lên 35 m và các khu vực rộng lớn sẽ bị ngập lụt.

… Voyle, khi thí nghiệm với các chất khí, không hề cố gắng thiết lập một định luật mới mà chỉ muốn chứng minh rằng không khí có những đặc tính tự nhiên. Những ghi chép của Voyley đã được học trò Townley của ông xem xét cẩn thận. Chính ông là người đã phát hiện ra rằng áp suất và thể tích xử lý lẫn nhau. 14 năm sau, Maryutt, sau khi tiến hành nhiều thí nghiệm, đã phát triển định luật tương tự.

Áp suất, thể tích, nhiệt độ

Bạn có quen với khái niệm áp suất, thể tích, nhiệt độ không?

Bằng cách áp dụng các định luật Newton để mô tả chuyển động nhiệt của các nguyên tử và một loại khí lý tưởng, người ta có thể rút ra phương trình trạng thái của khí, từ đó đưa ra phát biểu trong apitrape. Tuy nhiên, tính đa bội của một chất có thể được hiểu mà không cần đi sâu vào chi tiết cấu trúc bên trong của nó. Vì vậy, lần đầu tiên, bằng thực nghiệm, họ đã đi đến các định luật khí liên hệ giữa áp suất, thể tích và nhiệt độ của khí.

Những định luật này đã “có hiệu lực” trong hơn 200 năm và giúp nghiên cứu hành vi của chất khí trong các điều kiện khác nhau. Chúng sẽ giúp bạn hiểu rõ các nhiệm vụ được thu thập ngày hôm nay trong Kính vạn hoa.

1. “Định luật Dallgon” - 1981, số 11.
2. “Phương trình trạng thái khí” - 1983, số 2.
3. “Ý nghĩa vật lý của công thức khí phổ quát” - 1983, số 10.
4. “Khối lượng và số lượng của vật chất…” - 1984, số 10.
5. “Khí biến thành chất lỏng” - 1984, số 11.

34

Nhiệm vụ

M961—M965; F973—F977

M961. Điểm E lấy trên cạnh AB của hình vuông ABCD, điểm F lấy trên cạnh CD, với AE:EB=1:2, CF=FD. Phần đầu và hình tam giác màu hồng (hình 1) có giống nhau không?

A. P. Savin, N. A. Paravyan

M962. Chứng minh rằng với mọi đa thức P(x) có hệ số nguyên thì không thể tìm được các số nguyên phân biệt x₁, x₂, …, xₙ (n ≥ 3) sao cho các đẳng thức P(x₁)=x₂, P(x₂)=x₃, …, P(xₙ-1)=xₙ, P(xₙ)=x₁ sẽ đúng.

Dumitru Radu (Romania)

M963. Khi các cặp cạnh đối diện của một hình lục giác song song. Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối trung điểm của chúng cắt nhau tại một điểm.

T. Ghazaryan (học sinh lớp 10)

M964. Chứng minh rằng trong dãy (aₙ) gồm các số tự nhiên khác nhau thỏa mãn điều kiện aₙ<100n tồn tại một số có ký hiệu thập phân a) chứa chữ số 1;
b) 1986 đơn vị xuất hiện liên tiếp.

A. A. Stolin

M965. Cho sáu số a₁, a₂, …, a₆. Để tính “trong mọi trường hợp” tổng các tích theo cặp của chúng a₁a₂+a₁a₃+…+a₅a₆, bạn cần thực hiện 15 phép nhân và 14 phép cộng. Chứng minh cách bạn có thể tìm ngay tổng của các số này, tổng các tích của chúng của hai, ba, bốn và năm, chỉ bằng 15 phép cộng và 14 phép nhân.

N. V. Vasiliev

F973. Vật bắt đầu chuyển động thẳng từ điểm A và sau thời gian T đến điểm B a) với tốc độ lớn nhất có thể, 6) với tốc độ nhỏ nhất có thể; khoảng cách |AB| bằng l. Tìm tốc độ của vật trong hai trường hợp này, nếu tốc độ tại điểm A v₀=0 và gia tốc của vật là a₀ < a < a₀.

D. A. Akopyan

F974. Xác định chu kỳ dao động nhỏ của hệ như ở hình 2; khối lượng tải m, độ đàn hồi k, AOB=α. Thanh và khối được coi là nhẵn, tốt, không trọng lượng. Lò xo được cố định tại điểm A. Chu kỳ dao động có thay đổi không nếu tải trọng m cũng được cố định tại điểm O?

L. G. Markovich

35

F975. Giữa các bản của một tụ điện phẳng có diện tích $S$, khoảng cách giữa chúng là $d$, một tấm dẫn điện mở rộng song song với mặt phẳng có độ dày $d/2$ chuyển động với tốc độ $\vec{v}$. Một từ trường không đổi có cảm ứng $\vec{B}$ tác dụng vuông góc dọc theo tấm $\vec{v}$. Xác định điện áp trên tụ điện có công suất $C$ mắc vào các bản như hình hình 3.

E. A. Romishchevsky

F976. Một mol khí đơn nguyên tử lý tưởng được chuyển từ trạng thái ban đầu sang trạng thái cuối cùng, như thể hiện ở hình 4. Xác định nhiệt lượng cung cấp cho khí nếu chênh lệch giữa nhiệt độ ban đầu và nhiệt độ cuối cùng là $\Delta t = 100^\circ\text{C}$.

S. M. Korshunov

F977. Một chiếc gương được gắn trên tường, mặt phẳng của nó lệch khỏi phương thẳng đứng một khoảng $4,87^\circ$ (hình 5). Khoảng cách tối đa mà một người cao 170 cm có thể nhìn thấy ít nhất một phần ảnh của mình trong gương?

E. P. Kuznetsov

Problems

M961—M965; P973—P977

M961. Points $E$ and $F$ are chosen on sides $AB$ and $CD$ of the square $ABCD$ respectively so that $AE:EB=1:2$, $CF=FD$. Will the blue and pink triangles on Fig. 1 be similar?

A. P. Savin, N. A. Paravyan

M962. Prove that there is no polynomial $P(x)$ with integer coefficients for which one can find distinct integers $x_1, x_2, ..., x_n$ ($n \ge 3$) satisfying the relation

$$P(x_1) = x_2, \quad P(x_2) = x_3, \quad ..., \quad P(x_{n-1}) = x_n, \quad P(x_n) = x_1.$$

Dumitru Radu (Rumania)

M963. The opposite sides of a hexagon are parallel. Prove that the lines joining their midpoints intersect at one common point.

T. Gazarian (10th form pupil)

M964. Prove that it is possible to find, in any sequence $\{a_n\}$ of distinct natural numbers satisfying the condition $a_n < 100 n$, a number whose decimal expansion contains a) the digit 1; b) 1986 digits 1 in a row.

A. A. Stolin

M965. Six numbers $a_1, a_2, ..., a_6$ are given. In order to compute the sum of their pairwise products $a_1a_2 + a_1a_3 + ... + a_5a_6$ in the direct way, 15 multiplications and 14 additions are required. Show

37

M942. Các số 1, 2, …, 2n−1, 2n được chia thành hai nhóm, mỗi nhóm có n số. Gọi $a_1 < a_2 < ... < a_n$ là các số của nhóm thứ nhất theo thứ tự tăng dần, $b_1 > b_2 > ... > b_n$ là các số của nhóm thứ hai theo thứ tự giảm dần. Chứng minh rằng $|a_1 - b_1| + |a_2 + b_2| + ... + |a_n - b_n| = n^2$.

Lưu ý rằng trong hai số $a_k$ và $b_k$, một số luôn nhỏ hơn $n$ và số kia luôn nhỏ hơn $n$. Thật vậy, ví dụ: nếu $a_k \leq n$ và $b_k \leq n$, thì tất cả các số $a_1, a_2, ..., a_k$ và $b_k, b_{k+1}, ..., b_n$ không vượt quá $n$. Tổng cộng chúng ta nhận được $k + (n - k + 1) = n + 1$ các số tự nhiên khác nhau không vượt quá $n$, điều này là không thể. Tương tự, người ta chứng minh rằng cả hai số $a_k$ và $b_k$ đều không thể lớn hơn $n$.

Do đó, mỗi số hạng $|a_k - b_k|$ trong tổng của chúng ta bằng hiệu giữa một số lớn hơn $n$ và một số không vượt quá $n$. Khai triển mô hình và sắp xếp lại các số hạng, chúng ta có

$$|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + ... + |a_n - b_n| = (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + n) - (1 + 2 + ... + n) = n^2.$$

V.V. Proizvolv

M943. Trình tự $a_1, a_2, ...$ được đưa ra theo quy tắc: $a_{2n} = a_n$ cho $n \geqslant 1$ và $a_{4n+3} = 0$ cho $n \geqslant 0$. Chứng minh rằng dãy số này không có chu kỳ.

Ta sẽ tiến hành chứng minh bằng phản chứng. Giả sử dãy có dấu chấm $T = 2^p \cdot q$, trong đó $q$ là số lẻ. Nếu $q = 4m + 3$ thì tại $k \geqslant p + 2$

$$a_{2k} = a_{2k+T} = a_{2p(2^k - p + q)} = a_{2p-1(2^k - p + q)} = ...$$

$$... = a_{2k-p+4m+3} = a_{4(2^k - p - 2 + m)+3} = 0.$$

nhưng đồng thời

$$a_{2k} = a_{2k-1} = ... = a_1 = 1.$$

Sự mâu thuẫn.

Nếu $q = 4m + 1$, thì trong lý do trên, số $T$ phải được thay thế bằng số $3T = 2^p (4 \cdot 3m + 3)$, số này cũng phải là chu kỳ của dãy chúng ta.

Chuỗi $(a_n)$ được liên kết với một đường gãy vô hạn thay thế $A_0 A_1 A_2$… với các liên kết bằng nhau, mỗi liên kết (bắt đầu từ $A_1 A_2$) tạo một góc $90^\circ$ với đường trước đó và tại đỉnh $A_n (n \geqslant 1)$ đường gãy quay sang trái nếu $a_n = 1$ và sang phải nếu $a_n = 0$. Đường gãy này được gọi là “đường đứt gãy chính của rồng” (xem bài viết của N.V. Vasilyev và V.L. Gutenkhaer “Những đường cong của rồng” trong «Kvant» Số 2, 1970).

Yu. V. Nesterenko

M944. Một hình lục giác đều được chia thành 24 hình tam giác bằng nhau, như trong hình 1. Các số khác nhau được viết ở tất cả 19 nút của hình tạo thành. Chứng minh rằng trong 24 tam giác, tam giác đó có ít nhất 7 tam giác như vậy tại các đỉnh mà các số được viết theo thứ tự tăng dần theo mũi tên số.

Từ mỗi cạnh của hình tam giác, vẽ một mũi tên hướng về bên trái nếu nó di chuyển dọc theo cạnh đó từ đỉnh có số thấp hơn đến đỉnh có số cao hơn (hình 2). Nếu các số được viết ở các đỉnh của một tam giác nhất định được trả về bằng cách đi qua các đỉnh ngược chiều kim đồng hồ thì có đúng hai mũi tên bên trong tam giác này; nếu theo chiều kim đồng hồ - chính xác là một (hình 3). Đặt tam giác loại thứ nhất là $n$ và tam giác thứ hai - $m(n + m = 24)$. Vì tổng số $N$ được xây dựng bên trong hình lục giác là $2n + m$ nên chúng ta đủ để chứng minh rằng $N \geqslant 31$ (khi đó $n = N - (n + m) \geqslant 31 - 24 = 7$).

38

Các mũi tên tương ứng với 30 đoạn bên trong của phân vùng rõ ràng nằm bên trong hình lục giác. Trong số 12 mũi tên còn lại nằm dọc theo đường viền của hình lục giác, ít nhất một mũi tên phải hướng vào bên trong. (Nếu không, khi chúng ta đi theo chiều kim đồng hồ quanh ranh giới của hình lục giác, mỗi lần chúng ta sẽ gặp một số lớn hơn.) Vì vậy, $N \geq 30 + 1 = 31$.

A. A. Berzins

**M945. Cho một dãy số dương không giới hạn tăng dần nghiêm ngặt $a_1, a_2, \dots$. Chứng minh rằng với mọi $k$ đủ lớn thì bất đẳng thức sau đúng:

a) $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - 1$;
b) $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - 1985$.

a), 6) Giả sử

$$s_k = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}}.$$

và chứng minh rằng với mọi $k$ $s_k < k - 1/2$ đủ lớn.

Vì dãy $a_1, a_2, \dots$ tăng vô hạn nên tồn tại $K$ sao cho $a_1/a_K < 1/2$, thì với tất cả $k \geq K$

$$k - s_k = \left(1 - \frac{a_1}{a_2}\right) + \left(1 - \frac{a_2}{a_3}\right) + \dots + \left(1 - \frac{-a_k}{a_{k+1}}\right)$$

$$> \frac{a_2 - a_1}{a_{k+1}} + \frac{a_3 - a_2}{a_{k+1}} + \dots + \frac{a_{k+1} - a_k}{a_{k+1}} = 1 - \frac{a_1}{a_{k+1}} > 1 - \frac{a_1}{a_K} > \frac{1}{2}$$

Áp dụng phát biểu này cho dãy $a_{m+1}, a_{m+2}, \dots$, chúng ta thu được kết quả đó với mọi $k$, $k > m$ đủ lớn,

$$s_k - s_m = \frac{a_{m+1}}{a_{m+2}} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - m - \frac{1}{2}.$$

Bây giờ chúng ta hãy chọn $k_1$ sao cho $s_{k_1} < k_1 - 1/2$, sau đó $k_2 > k_1$ sao cho $s_{k_2} - s_{k_1} < k_2 - k_1 - 1/2$, rồi $k_3 > k_2$ sao cho $s_{k_3} - s_{k_2} < k_3 - k_2 - 1/2$, v.v. Sau đó với bất kỳ $k \geq k_n$

$$s_k = \left(s_k - s_{k_n}\right) + \left(s_{k_n} - s_{k_{n-1}}\right) + \dots + \left(s_{k_2} - s_{k_1}\right) < (k - k_n) + \left(k_n - k_{n-1} - \frac{1}{2}\right) + \dots + \left(k_2 - k_1 - \frac{1}{2}\right) + k_1 - \frac{1}{2} = k - n/2.$$

Cả hai câu bài toán đều suy ra từ đây: a) - cho $n = 2, 6$) - cho $n = 2 \cdot 1985$.

L. D. Kurlyandchik

**F953. Để tinh chỉnh tần số quay của đĩa dẫn điện (33 $\frac{1}{3}$ vòng quay mỗi phút), các dấu được đặt trên bề mặt bên của nó, được chiếu sáng bằng bóng đèn neon với tần số 100 nét mỗi giây. Số lượng dấu hiệu phải là bao nhiêu để ở tốc độ danh nghĩa chúng dường như không nhìn thấy được? Sau khi tắt chuyển động, đĩa bắt đầu tăng gấp ba và các dấu vết sẽ biến mất. Vì

39

4 điểm quan sát đầu tiên có mismo “chạy” được 10 điểm. Sau bao lâu đĩa sẽ dừng lại? Sau khoảng thời gian nào thì dấu vết sẽ “chạy” theo hướng khác?

Sau khi tắt đĩa, nó bắt đầu phanh đều (với ma sát khô, các lực trong quá trình phanh không thay đổi độ lớn). Trong 4 giây ở tốc độ danh nghĩa, 400 điểm phải vượt qua và đĩa “tụt hậu” 10 - có nghĩa là trong thời gian này tốc độ đĩa đã giảm $2 \cdot \frac{10}{400} = \frac{1}{20}$ so với giá trị danh nghĩa. Do đó, đĩa sẽ dừng sau $4 \cdot 20 = 80$ giây và sau 40 giây, lần đầu tiên nó sẽ “chạy” theo hướng khác.

A. R. Zilberman

F954. Một tấm rèm vuông trang trí có kích thước $1,5 \times 1,5$ m treo trên gờ dọc theo bức tường thẳng đứng. Mép dưới của rèm được nâng lên thẳng hàng với mặt trên, sao cho rèm được gấp đôi rồi thả ra. Tìm sự khác biệt giữa lực tác dụng lên gờ và thời gian. Rèm mỏng, mịn và nặng 3 kg.

♦
Chúng ta hãy xem xét vị trí của tấm màn sau thời gian $t$ sau khi nó bắt đầu rơi. Vì rèm mềm nên phần bên trái của nó rơi tự do và phần bên phải bất động (xem hình). Trong trường hợp này, tại thời điểm $t$ phần bên trái của chuyển động với tốc độ $gt$. Vì tấm màn mềm và mỏng nên chúng ta bỏ qua kích thước của vùng uốn và động lượng của nó. Sau một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$, một phần khác của tấm rèm có khối lượng

$$\Delta m = \frac{m}{d^2} gt \frac{d \cdot \Delta t}{2}$$

(d - mặt rèm), có xung lực trước khi phanh

$$\Delta p = \Delta m \cdot gt = \frac{m}{d} (gt)^2 \frac{\Delta t}{2}.$$

Chúng ta hãy áp dụng định luật biến đổi động lượng cho tấm màn cúc cu này để xác định lực $T(t)$ tác dụng lên nó từ phần treo của tấm màn (theo định luật thứ ba của Newton, lực có cùng độ lớn sẽ tác dụng lên phần treo của tấm rèm). Vì thế,

$$T(t) - \Delta m \cdot g = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m}{2d}(gt)^2,$$

Ở đâu

$$T(t) \big|_{\Delta t \to 0} = \frac{m}{2d}(gt)^2.$$

Vì phần bên phải của tấm màn không chuyển động nên tổng các lực tác dụng lên nó tại bất kỳ thời điểm nào đều bằng không. Do đó, tại thời điểm $t$ ta thu được

$$T(t) + \frac{m}{2} g + \frac{m}{2d^2} d \frac{gt^2}{2} g - N(t) = 0,$$

trong đó $N(t)$ là lực tác dụng từ phía gờ lên rèm tại thời điểm $t$.

Như vậy,

$$N(t) = \frac{m}{2d}(gt)^2 + \frac{m}{2} g + \frac{m(gt)^2}{4d} =$$

$$= \frac{mg}{2} \left| 1 + \frac{3}{2} \frac{gt^2}{d} \right| = 15 \left[ 1 + 10t^2 \right] H$$

($t \leq \sqrt{\frac{2d}{g}} \approx \sqrt{0,3} \text{ c.}$).

S. S. Krotov

41

Một GN làm bằng dây siêu dẫn mỏng được treo trên một sợi dây đàn hồi trong một từ trường hướng thẳng đứng hướng lên dọc theo trục của cuộn dây (xem hình). Sợi dây treo ở trạng thái ban đầu không bị xoắn, dòng điện trong cuộn dây bằng không. Cảm ứng từ trường B tăng dần từ 0 lên giá trị $B_0=0,1$ T, tại đó chất siêu dẫn đột ngột biến mất và dây trở lại trạng thái bình thường. Cuộn dây bắt đầu quay. Xác định góc xoắn lớn nhất của cuộn dây, giả sử mô men đàn hồi của sợi tỉ lệ với góc xoắn (tính bằng radian); hệ số tỉ lệ $G=10^{-7}$ Nm. Số vòng dây là $n=100$, bán kính vòng dây là $R=1$ cm, khối lượng của cuộn dây là $M=10$ g. Tỷ số điện tích của một electron trên khối lượng của nó là $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ C/kg.

F957. Sự lan truyền của sóng vô tuyến ngắn ở các tầng trên của khí quyển Trái đất (không phải tầng quyển) có thể được mô tả bằng các định luật quang học hình học, nếu chúng ta giả sử rằng chiết suất $n$ đối với sóng vô tuyến nhỏ hơn 1 và thay đổi theo độ cao $H$ so với bề mặt Trái đất như chỉ ra trong hình 1 (đối với một số phần v). Trên Sutnik, bay ở độ cao $h=200$ km, một máy phát vô tuyến được lắp đặt để phát ra sóng vô tuyến có tần số $v$ đều theo mọi hướng. Bỏ qua lớp sóng vô tuyến trong tầng phi quyển, hãy ước tính phần công suất phát ra từ máy phát được truyền bởi sóng vô tuyến ra ngoài bầu khí quyển Trái đất. Khi đánh giá bề mặt Trái đất, hãy coi nó phẳng và phản chiếu từ tầng phi quyển.

Trước tiên chúng ta hãy xem xét một chùm tia phát ra từ vệ tinh hướng lên trên một góc $a$ so với phương thẳng đứng. Hãy biểu thị

$$\Phi = LI \text{ — собственный магнитный поток, } \Phi_{\text{BH}} \text{ — поток, созданный внешним полем. Отсюда}$$

$$I = \frac{|\Phi_{\text{BH}}|}{L} = \frac{SnB_0}{L} = \frac{\pi R^2 nB_0}{L}.$$

Giả sử dòng điện này được tạo ra bởi sự chuyển động của $N$ electron dọc theo các vòng dây. Sau đó

$$I = \frac{N}{2\pi Rn} ev,$$

trong đó $e$ là điện tích của electron, $v$ là tốc độ chuyển động có trật tự của electron.

Tổng xung của tất cả các electron

$$p = Nmv = 2\pi RnI \frac{m}{e}.$$

Khi dòng điện biến mất, xung lực này được truyền tới cuộn dây. Chúng ta hãy chú ý đến thực tế là trong trường hợp này bài toán về việc truyền xung quay được giảm xuống còn bài toán về việc truyền xung tuyến tính. Trong công thức trên, dưới $p$, bạn cần nhớ tổng số học các xung của tất cả các electron, bằng (sau khi dòng điện biến mất) bằng tổng số học các xung của tất cả các phần tử của cuộn dây. Cuộn dây thu được động năng sau khi dòng điện biến mất

$$E_{\kappa} = p^2/2M.$$

Góc xoắn của sợi dây sẽ được tìm thấy từ định luật bảo toàn năng lượng:

$$\frac{p^2}{2M} = \frac{G\varphi^2_{\max}}{2},$$

Ở đâu

$$\varphi_{\max} = \frac{p}{\sqrt{MG}} = \frac{2\pi^2 R^3 n^2 B_0}{L \frac{e}{m}} \cdot \frac{1}{\sqrt{MG}} \approx 1,2 \cdot 10^{-4} \text{ рад.}$$

S. M. Kozel

Một môi trường trong đó chiết suất chỉ phụ thuộc vào chiều cao có thể được chia thành những con voi mỏng phẳng, trong đó chiết suất có thể được coi là không đổi. Chúng ta hãy xem xét đường đi của chùm tia trong hai lớp liền kề với chiết suất $n_i$ và $n_{i+1}$. Đặt góc tới của chùm tia trên giao diện giữa các lớp là $a_i$ trong một lớp và $a_{i+1}$ (hình 2) trong lớp kia. Theo định luật khúc xạ

$$\frac{n_{i+1}}{n_i} = \frac{\sin a_i}{\sin a_{i+1}},$$

Ở đâu

$$n_{i+1} \sin a_{i+1} = n_i \sin a_i.$$

Do đó, tích của chiết suất và sin của góc tới không thay đổi khi di chuyển từ lớp này sang lớp khác và không đổi đối với tất cả các từ mà chùm tia đi qua.

Trên hình 3, các đường liền nét biểu thị đường đi của các tia rời khỏi bầu khí quyển và các đường chấm chấm biểu thị đường đi của các tia phản xạ từ tầng phi quyển.

Trước tiên chúng ta hãy xem xét một chùm tia phát ra từ vệ tinh hướng lên trên một góc $a$ so với phương thẳng đứng. Hãy biểu thị

43

Xin vui lòng, bài báo đầu tiên bài toán 1984 M841 - trong đó yêu cầu chứng minh rằng tích độ dài của các đoạn mà thế của một tam giác vuông chia cho điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp bằng diện tích của tam giác này - hóa ra không chỉ là một trong những đơn giản nhất mà còn thu được nhiều nhất khác nhau lời giải. Ngoài những gì đã được xuất bản trong «Kvant» Số 4 năm 1984, chúng tôi còn trình bày một cuốn nữa do L. A. Shteingai (người đứng đầu khóa học toán học của Cung điện Pinovers ở Tbilisi) biên soạn - theo nguyên tắc của “cái nhìn” cổ xưa! (hình 1); diện tích tam giác ABD bằng diện tích hình chữ nhật OEDF, vì các tam giác cùng màu bằng nhau, tức là AT·TB=OE·OF=S△ABD=S△ABC.

---

Liên quan đến câu hỏi được đặt ra trong lời giải bài toán M810 (Kvant, 1983, Số 9, trang 46) về việc ước tính diện tích của hình chữ nhật lớn nhất nội tiếp một figillotsa S lồi tùy ý, E. M. Golberg (Leningrad) nhận thấy rằng tương đối dễ dàng đặt hai hình chữ nhật trong một hình như vậy, tổng diện tích của chúng không nhỏ hơn S/2 (hình2); Để làm điều này, chỉ cần mô tả một hình chữ nhật KLMN xung quanh một hình cho trước, các cạnh KL và MN tiếp xúc với nó tại các điểm A và B xa nhất của hình (đoạn AB gọi là “đường kính” của hình) và vẽ các đoạn thẳng L1M1 và K1N1 song song với AB sao cho AL1=L1L, AK1=K1A (chứng minh rằng diện tích mỗi hình chữ nhật màu hồng không nhỏ hơn một nửa phần tương ứng của hình, cách nhau bởi dấu đường kính AB). A.

---

Liên quan đến bài toán M839 (Kvant, 1983, No. 12, p. 35), nhà cổ điển mười (Teler đã là sinh viên) L. Wertheim từ Novosibirsk đã gửi cho chúng tôi một số kết quả thú vị về dãy a, được xác định bởi các điều kiện: a1=1, a2=2, a_k - số nhỏ nhất trong các số tự nhiên không tạo thành bộ ba số hạng của cấp số cộng với các số trước và số lớn a_k-1 (với k>2): 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, 28, 29, … Cụ thể: a2m+1=2a2m=3m+1; a2k=a2k-1+1; nếu n lẻ thì để tìm a_n, chỉ cần viết n trong hệ kép và đọc nó trong hệ ba ngôi (ví dụ: 1110=10112, a11=10113=31); bất kỳ số tự nhiên nào cũng có thể thu được dưới dạng tổng của hai số (không nhất thiết phải khác nhau) a_n.

Đúng, tất cả những điều này không giải quyết được một câu hỏi khó hơn: số b_n nhỏ nhất (với n cho trước) là bao nhiêu sao cho từ đoạn của chuỗi tự nhiên từ 1 đến b_n, có thể chọn n số không chứa bộ ba số hạng của cấp số cộng - chỉ thu được ước tính cao hơn: b_n<a_n<c·n^{log2}3.

---

Xin vui lòng, số lớn nhất trong n số nhỏ nhất trong các hàng của bảng, m là số lớn nhất trong n số nhỏ nhất trong các cột của nó, chúng ta sẽ giả sử rằng k<m. Mỗi dòng chứa một số không vượt quá khóa và một số lớn hơn k (nếu không, dòng lớn nhất sẽ là một dòng trong đó tất cả các số không lớn hơn k; bản thân k không thể nằm trong đó và khi đó nó sẽ là m>k). Ở dòng thứ i, lấy cặp số liền kề a_i và b_i sao cho a_i<k<b_i. Chúng ta sẽ tìm giá trị trung bình của chúng, vì ít nhất một trong các số b_1, b_2, …, b_n không nhỏ hơn n+k.

N. V. Vasiliev

44

v. Các phép toán logic cơ bản

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học M. E. LEVINSHTEIN, Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học G. S. SIMIN

Trong các ghi chú trước của phần này (xem «Kvant», 1985, số 9-12), chúng tôi đã xem xét cấu trúc, nguyên lý hoạt động và phương pháp chế tạo bóng bán dẫn - nền tảng của máy tính hiện đại. Để hiểu cách các hành động xử lý được thực hiện trong máy tính với sự trợ giúp của bóng bán dẫn, hôm nay chúng ta cần nói về các hoạt động logic cơ bản.

…Bạn bước vào tiền sảnh của một tòa nhà 16 tầng hiện đại. Trước mặt bạn là cửa của hai thang máy và một nút bấm duy nhất trên tường. Bạn nhấn nó và từ màn hình ánh sáng phía trên cửa, bạn sẽ thấy một trong những thang máy bắt đầu đi xuống về phía bạn như thế nào. Trên đường đi, căn nhà gỗ bị bỏ hoang - tiếng cửa đóng mở vang lên - có người bước vào thang máy. Cabina tiếp tục lái xe. Cuối cùng, cửa thang máy mở ra. Ai đó bước ra… Tất cả điều này truyền cảm hứng đến mức nó thực tế không thu hút được sự chú ý.

Bây giờ hãy tưởng tượng bạn là một kỹ sư phải thiết kế một mạch điện tử điều khiển chuyển động của thang máy. Mạch này phải giải được tập bài toán.

“Nếu các cabin không có người và chỉ nhấn một nút thì cabin gần tầng nhất định sẽ được chỉ định. Nếu có các cabin trên cùng một tầng, hãy chọn cabin tiêu thụ ít năng lượng hơn.”

“Nếu có một hành khách trong cabin và anh ta nhấn nút cho một tầng nhất định, và một nút cũng được nhấn ở tầng khác, và thang máy không đi lên mà đi xuống, và thang máy thứ hai không có người, hoặc nếu cũng có một hành khách trong thang máy thứ hai…”

Hãy thử tưởng tượng toàn bộ bộ logic bài toán có thể được đặt trước một mạch điện tử 16 tầng và hai thang máy, bạn sẽ thấy rằng ngay cả một “bộ xử lý” đơn giản như vậy cũng phải có khả năng giải quyết những vấn đề rất khó khăn.

Nếu bạn cố gắng thiết kế một bộ xử lý như vậy, sớm muộn gì bạn cũng sẽ bị thuyết phục về những điều sau. Khi vẽ một mạch logic, bạn nên quên một lúc về các thuộc tính của thiết bị đóng vai trò là cơ sở cơ bản của bộ xử lý của bạn và giả sử rằng bạn có sẵn các ô logic cơ bản - các mạch cơ bản, khả năng thực hiện các chức năng logic “VÀ”, “KHÔNG”, “HOẶC”.

Chức năng của bộ xử lý cần được thiết kế càng phức tạp thì phương pháp này càng hiệu quả. Đối với một máy tính phải giải quyết bài toán phức tạp hơn hàng nghìn lần so với thiết bị điều khiển thang máy, chỉ có điều nó là hợp lý.

Tất nhiên, không thể quên hoàn toàn các thuộc tính của cơ sở dữ liệu. Sớm hay muộn, nhiều câu hỏi sẽ nảy sinh, lời giải trong số đó được xác định chính xác bởi các tham số của phần tử cụ thể đó - rơle điện từ, bóng bán dẫn, công tắc, v.v. - trên đó các mạch logic được xây dựng. Làm thế nào để so sánh nhanh các ô logic? Họ có sức mạnh gì

Những ý tưởng đầu tiên về việc tạo ra một máy tính kỹ thuật số tự động có thể lập trình đã được phát triển cách đây hơn 150 năm. Họ thuộc về Anh giáo C. Babidge, một người có khả năng phi thường, người có những ý tưởng đi trước thời đại nhiều năm. Trong 30 năm, bắt đầu từ năm 1812, Babyju đã làm việc để chế tạo một chiếc máy như vậy. “Cơ sở cơ bản” của cỗ máy của Babage là bánh xe “kỹ thuật số” với số răng khác nhau. Các bộ phận của máy Babage được lưu giữ trong bảo tàng khoa học ở London. (Bạn có thể đọc thêm về Ch. Babidge trong «Kvant», 1985, số 10 trong bài “Lịch sử ra đời của máy tính.”)

45

Cơ sở của đại số này, hiện được gọi là “Boolean”, là bất kỳ đại lượng nào chỉ nhận hai giá trị: “có” - “không”, “0” - “1”, “bật” - “tắt”, v.v.

Mối quan hệ cơ bản và sâu sắc giữa đại số Boolean và bản chất kép của các phần tử điện quan trọng đã được thiết lập bởi nhà toán học nổi tiếng người Mỹ J. von Neumann. Ý tưởng của Neumann đã đặt nền móng cho các máy tính đồng nhất, bao gồm một số lượng lớn các phần tử mạch logic giống hệt nhau hoạt động theo nguyên tắc kép. Neumann đã chứng minh rằng bằng cách sử dụng các mạch “NOT”, “OR”, “AND”, có thể tạo ra tất cả các thành phần chính của máy tính.

Đóng góp lớn cho lý thuyết đại số của automata là của nhà toán học nổi tiếng Liên Xô V. M. Glishkov. Ông đã thu được những kết quả quan trọng trong lý thuyết về máy tự động số, trong lĩnh vực ứng dụng công nghệ máy tính và trong việc phát triển các phương pháp mới để chế tạo máy tính nhỏ.

Các phép toán đại số Boolean

Phép cộng logic
$$C = A + B \quad (A \text{ и } B)$$

Phép nhân logic
$$C = A \cdot B \quad (A \text{ и } B)$$

Phủ định logic
$$B = \bar{A} \quad (\text{не } A)$$

Mạch logic tương ứng

A+B
mạch “HOẶC”

A B
Sơ đồ “Tôi”

MỘT
MỘT
kế hoạch “KHÔNG”

Bảng các phép toán logic.

tiêu thụ? Một mạch logic có giá bao nhiêu? Nó được bảo vệ khỏi nhiễu đáng tin cậy đến mức nào? Vân vân.

Nhưng trong khi thiết kế logic của quy trình, bạn không cần phải suy nghĩ về tất cả những vấn đề này. Mạch logic được xây dựng bằng cách sử dụng các ô logic như “AND”, “OR”, “NOT” là mạch phổ biến; nó không phụ thuộc vào phần tử nào mà các ô logic được triển khai.

Các ô logic là gì?

Đây là các mạch điện tử, ở đầu vào và đầu ra mà hướng chỉ có thể nhận hai giá trị được xác định đầy đủ. Một trong những giá trị này được gọi là số 0 logic, giá trị thứ hai được gọi là giá trị logic. Hai giá trị hướng này lần lượt biểu thị là $U^0$ và $U'$ (“0” và “1”).

Các ô logic OR (mạch cộng logic) có hai hoặc nhiều đầu vào và một đầu ra. Nếu ít nhất một trong các đầu vào nhận được tín hiệu “1”, thì “1” cũng xuất hiện ở đầu ra. Ký hiệu mạch OR được hiển thị ở hàng đầu tiên của bảng phép toán logic. Đầu vào của mạch được ký hiệu bằng các chữ cái $A$ và $B$. Tín hiệu đầu ra được chỉ định $(A + B)$.

Các ô logic AND (mạch nhân logic) cũng có một đầu ra và hai hoặc nhiều đầu vào. Tín hiệu “1” xuất hiện ở đầu ra ô khi và chỉ khi tín hiệu “1” cũng hoạt động ở tất cả các đầu vào ô. Nếu ít nhất một trong các đầu vào có tín hiệu “0” thì tín hiệu “0” được đặt thành đầu ra.

Các ô logic NOT (còn gọi là bộ biến tần hoặc mạch phủ định logic) có một đầu vào và một đầu ra. Nếu tín hiệu “1” được cấp cho đầu vào, thì “0” sẽ xuất hiện ở đầu ra và ngược lại, nếu tín hiệu “0” được cấp cho đầu vào thì đầu ra được đặt thành “1”.

Các phép toán logic cộng, nhân và phủ định tuân theo các quy tắc nhất định được thiết lập bởi cái gọi là đại số logic hoặc đại số Boolean.

Bằng cách chỉ thao tác các phép toán logic “VÀ”, “HOẶC”, “KHÔNG” (đôi khi ở những tổ hợp rất phức tạp), hóa ra có thể thực hiện bất kỳ hành động nào cho phép máy tính chấp nhận lời giải, quản lý, xử lý thông tin, v.v.

Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ về các mạch logic đơn giản nhất được xây dựng trên bóng bán dẫn trong bài viết tiếp theo trong phần của chúng tôi.

47

có thể chọn dữ liệu ban đầu $a_1, \dots, a_n$, b sao cho việc áp dụng thuật toán A cho chúng sẽ yêu cầu ít nhất $\log_2(n+1)$ so sánh.

Bằng chứng. Đối với $a_1, \dots, a_n$, chúng tôi lấy bất kỳ số nguyên nào sao cho $a_1 < \dots < a_n$ và đối với b, chúng tôi sẽ luân phiên so sánh $a_1, \dots, a_n, a_{n+1}$. Việc sử dụng $A_1$ với biến thể của dữ liệu ban đầu này sẽ khớp với các số 1, …, $n+1$. Kết quả so sánh được thực hiện bằng cách áp dụng $A_1$ cho bất kỳ tùy chọn nào trong số này có thể được viết dưới dạng một chuỗi các từ “có” và “không”. Để nghiên cứu các giá trị của $a_1, \dots, a_n$ và b khác nhau, chỉ sử dụng so sánh ở dạng (1). Do đó, nếu áp dụng $A_1$ cho dữ liệu ban đầu $a_1, \dots, a_n$ b yêu cầu chính xác k phép so sánh và k phép so sánh đầu tiên trong quá trình áp dụng $A_1$ cho dữ liệu ban đầu khác $a_1, \dots, a_n, b'$ sẽ tạo ra kết quả tương tự, sau đó áp dụng thêm $A_1$ cho $a_1, \dots, a_n, b'$ sẽ không còn yêu cầu so sánh nữa và điều này sẽ giống như đối với dữ liệu ban đầu $a_1, \dots, a_n, b$. Do đó, mức trung bình của các chuỗi kết quả “có” và “không” không trùng nhau và không chuỗi nào là khởi đầu của chuỗi kia. Đặt $l$ là số phần tử trong chuỗi dài nhất trong số các chuỗi này, nghĩa là $n+1$, và không vượt quá số lượng tất cả các chuỗi có độ dài l, nghĩa là, $2^l$. Vì vậy, $n+1 \leq 2^l$ và $l \geq \log_2(n+1)$. Vì $l$ là số nguyên nên $l \geq \log_2(n+1)$.

So sánh hai định lý đã được chứng minh cho thấy rằng không có thuật toán nào để tìm vị trí của một phần tử mà đối với bất kỳ dữ liệu ban đầu nào sẽ yêu cầu so sánh ít hơn thuật toán $A_1$. Theo nghĩa này, $A_1$ là thuật toán (đoán) tối ưu.

Bài toán 2. Giả sử $a_1 < \dots < a_n$ và trung bình cộng của các số $a_1, \dots, a_n$ là một số bằng b. Chúng ta cần tìm t mà $a_t = b$. Đưa ra thuật toán lời giải bài toán yêu cầu so sánh $\log_2 n$. Chứng minh rằng thuật toán này là tối ưu.

Bài toán 3. Xét hai thuật toán chọn số nhỏ nhất trong các số không bằng nhau. Thuật toán đầu tiên: tìm số nhỏ hơn trong hai số đầu tiên, so sánh với số thứ ba, lấy lại số nhỏ hơn, so sánh với số thứ tư, v.v. Thuật toán thứ hai (hệ thống “Cup” hoặc “Olympic”): chia các số thành từng cặp, bỏ số nhỏ hơn của mỗi cặp để vào vòng tiếp theo. Nếu một số không có cặp thì số này cũng được chuyển sang vòng tiếp theo. Trong next.type, lặp lại điều tương tự, v.v. cho đến khi còn lại một số. Thuật toán nào trong số này yêu cầu ít so sánh hơn?

Bài toán 4. Chứng minh rằng không có thuật toán nào chọn số nhỏ nhất trong n số khác nhau mà cần ít phép so sánh thứ (n-1) hơn. (Kỹ thuật được sử dụng trong chứng minh Lý thuyết 2 chỉ cho phép chúng ta chứng minh rằng số so sánh trong trường hợp xấu nhất không nhỏ hơn $\log_2 n$.)*

Bây giờ chúng ta chuyển sang sắp xếp bài toán, đó là sự sắp xếp đã cho của các số có thể không bằng nhau trong một chuỗi

$a_1, \dots, a_n$. Đáp số đặc biệt quan trọng đối với lời giải trên máy tính bài toán, liên quan đến việc truy xuất thông tin (chúng ta đã thấy rằng tính ngăn nắp đảm bảo tìm kiếm nhanh).

Thuật toán $A_2$: sắp xếp lần lượt các nhóm số ban đầu của một tập hợp cho trước: $a_1; a_1, a_2; a_1, a_2, a_3; \dots; a_1, \dots, a_n$ - nhóm cuối cùng trùng với toàn bộ tập hợp; để chuyển từ nhóm có thứ tự gồm i số sang nhóm có thứ tự của số thứ (i+1), bạn cần đặt $a_{i+1}$ vào vị trí của nó trong nhóm có thứ tự i hiện có - vị trí này được xác định bằng thuật toán $A_1$.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $B(n)$ số so sánh được yêu cầu bởi $A_2$. Chúng tôi có $B(n) = \log_2 2^l + \dots + \log_2 n \leqslant \log_2 2^l + \dots + \log_2 n + (n-2) = (2) = \log_2 n! + (n-2) \leqslant n(\log_2 n + 1) - 2$.

Bài toán 5. Xác định số so sánh theo yêu cầu của thuật toán sắp xếp sau $a_1, \dots, a_n$, tìm số nhỏ nhất đặt ở vị trí đầu tiên, sau đó tìm số dư trung bình nhỏ nhất đặt ở vị trí thứ hai, v.v. (xem bài toán 3, 4).

Bài toán 6. Cho phép trong một tập hợp không có thứ tự $a_1, \dots, a_n$ có thể có các số bằng nhau. Chứng minh rằng trong trường hợp này thuật toán $A_2$ đảm bảo rằng các số đã cho được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Kỹ thuật được sử dụng trong chứng minh Lý thuyết 2 cho phép chúng ta chứng minh rằng đối với bất kỳ thuật toán sắp xếp nào cũng có thể chọn một tập hợp $a_1, \dots, a_n$, việc áp dụng thuật toán này sẽ yêu cầu ít nhất $\log_2 n!$ so sánh (tập hợp như vậy sẽ là một trong $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ hoán vị của n số tùy ý). Cùng với (2), điều này cho thấy rằng, trong mọi trường hợp, $A_2$ không cách xa số so sánh tối ưu (không thể nói điều tương tự về thuật toán từ bài toán 5): ví dụ: $\lim_{n \to \infty} (B(n) / \log_2 n!) = 1$. Nhiều tác giả khác nhau đã nỗ lực chứng minh tính tối ưu của $A_2$ và thậm chí còn công bố bằng chứng được cho là đã được in ra. Sau đó chúng tôi phát hiện ra rằng $A_2$ không tối ưu: thuật toán này yêu cầu tất cả các phép so sánh phải xếp thứ tự năm số, nhưng trên thực tế, bảy phép so sánh là đủ. Đây là một thực tế phức tạp, mặc dù nó cho phép cân công thức bài toán.

Bài toán 7*. Có tất cả mọi thứ không có trọng lượng và năm nhóm khác nhau. Một nhóm có thể được đặt trên mỗi số trong hai thang đo. Sắp xếp các nhóm theo thứ tự trọng số giảm dần sử dụng bảy trọng số.

51

Tìm chiều dài của một cạnh của hình lập phương có thể tích bằng $\sqrt{3}$ lần thể tích của một paramid nhất định.

Lời giải. Nếu $a$ là cạnh của đáy thì $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$, tức là $a = 2r\sqrt{3}$. Khi đó diện tích đáy của paramid
$$S_{\text{occh}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 3r^2\sqrt{3}.$$

Bán kính của hình tròn ngoại tiếp một tam giác đều lớn hơn 2 lần bán kính của hình tròn nội tiếp tam giác này, vì vậy $|OB| = 2r$. Từ $\triangle SBO$ chúng ta nhận được $|SO| = 2r \text{tg} \alpha$ (hình 2). Khối lượng tham số
$$V = \frac{1}{3} \cdot 3r^2\sqrt{3} \cdot 2r \text{tg} \alpha = 2r^3\sqrt{3} \text{tg} \alpha.$$

Sau khi chỉ định độ dài mong muốn của cạnh của hình lập phương là $x$, chúng ta soạn phương trình
$$x^3 = \sqrt{3} \cdot 2r^3\sqrt{3} \text{tg} \alpha,$$
Ở đâu
$$x = r^3\sqrt{6 \text{tg} \alpha}.$$
Bây giờ chúng ta biểu thị $tg \alpha$ thông qua hàm góc $\varphi$ bằng công thức (9):
$$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ctg} \frac{\varphi}{2},$$
Vì thế
$$\text{tg} \alpha = \frac{\cos \frac{\varphi}{2}}{2\sqrt{\sin \left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)}}.$$

Pozny
$$x = r \sqrt[3]{\frac{\cos \frac{\varphi}{2}}{2\sqrt{\sin \left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)}}} = r \sqrt[3]{\frac{\cos \frac{\varphi}{2}}{6\sqrt{\sin \left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)}}}.$$

Bài tập

1 (LSU, 1979). Cạnh đáy của một paramid tứ giác đều bằng $a$, góc giữa các cạnh bên liền kề bằng $a$. Tìm diện tích bề mặt bên của paramid.

2 (Viện Bách khoa Kiev, 1980). Tìm thể tích của một paramid tứ giác đều có cạnh đáy $a$ và góc phẳng tại đỉnh bằng góc nghiêng của cạnh bên của paramid với mặt phẳng đáy.

3 (KSU, 1980). Tìm giá trị của hai cạnh bên hình học của một paramid lục giác đều nội tiếp trong một hình cầu, biết rằng nó bằng góc mà cạnh bên của paramid có thể nhìn thấy được từ tâm hình cầu.

4 (MAI, 1980). Trong một tham số tứ giác đều $SABCD$, góc giữa các đường vuông góc $AL$ và $AM$, giảm từ điểm $A$ đến các mặt bên $SBC$ và $SCD$, là $a$. Tìm thể tích của paramid nếu thể tích của hình lập phương có cạnh bằng cạnh đáy của paramid bằng $v$.

5 (Viện Bách khoa Kiev, 1980). Tìm thể tích của một paramid tứ giác đều nếu cạnh bên của nó bằng $l$ và góc nghiêng của các mặt bên với mặt phẳng của đáy bằng $a$.

6 (Đại học bang Tashkent, 1981). Thể tích của hình nón nội tiếp tứ giác đều bằng $Q$. Góc nhị diện được tạo bởi các cạnh bên liền kề là $a$. Tìm độ dài cạnh đáy của paramid.

7 (KSU, 1981). Cạnh đáy của một paramid tứ giác đều bằng $a$, góc nhị diện giữa các cạnh bên bằng $a$. Tính thể tích và bề mặt bên của paramid.

8 (Viện Xây dựng Kiev, Kỹ thuật Xây dựng, 1981). Tổng bề mặt của một paramid tứ giác đều bằng $S$ và góc phẳng tại đỉnh của mặt bên bằng $a$. Tìm chiều cao của paramid.

9 (KSU, 1983). Trong một tham số tứ giác bên phải, tổng độ lớn của các góc lưỡng diện giữa các cạnh bên liền kề và đối diện bằng $180^\circ$. Tìm các góc này.

10. Đối với một paramid $n$-giác phải, cạnh của đáy bằng $a$ và góc nhị diện ở cạnh bên bằng $a$. Tìm thể tích của paramid.

52

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$10 \cdot 4 \frac{1}{\sin^2 x} - 16 = 42 \text{ ctg}^2 x + 2.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\log \frac{1}{4} - 3x (1 + 25x^2) > 0.$$
3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} y^4 + 19 = 20(x + y), \\ \sqrt{x} + \sqrt{x + 2y} = \sqrt{2}. \end{cases}$$
4. Đáy AD của hình thang ABCD (AD || BC, AD || BC) là đường kính của đường tròn tiếp xúc với đường thẳng CD tại điểm D và cắt cạnh AB tại điểm L sao cho |AB| = 4/√3 · |AL|. Bán kính hình tròn là R, góc CAD = 45°. Tìm diện tích của hình thang.
5. Điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác đều SABC (S là đỉnh), |BD|: |DC| = 2:3. Hình trụ lắc các mặt bên của các mặt phẳng SAB và SBC, một đáy của hình trụ đi qua điểm D, đáy thứ hai có một điểm chung với cạnh SC. Mặt bên của hình trụ có một điểm chung duy nhất với cạnh AC. Tìm tỉ số thể tích của hình trụ và đường thẳng.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$\frac{1}{1 - \sqrt{1-x}} + \frac{1}{1 + \sqrt{1-x}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1-x}}.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\left(\frac{1}{9}\right)^x - \frac{x^2}{2} \geq 3 |3x - 12| + 2x.$$

3. Giải phương trình
   $$9 \log_{\sin 2x} 4 \cos^2 x + 8 \log_2 \cos x \sin x = 16.$$

4. Các dây AB và AC vẽ thành một vòng tròn và |AB| = 2cm, |AC| = 1 cm, góc
   $$\widehat{CAB} = 120^\circ.$$. Tìm độ dài dây cung của đường tròn chia đôi góc CAB.

5. Một hình cầu nội tiếp đường thẳng tứ giác đều SABCD (S là đỉnh). Độ dài cạnh đáy của đường thẳng là 8, chiều dài đường cao của đường thẳng là 3. Điểm M là trung điểm của cạnh SD, điểm K là hình chiếu trực giao của điểm M lên mặt phẳng ABCD. Một tiếp tuyến của hình cầu được vẽ qua điểm M, cắt mặt phẳng ASC tại điểm N sao cho NMK=arccos (-1/3). Tìm |NM|.
   Tùy chọn 3

6. Giải phương trình
   $$\log_4(2x + 9) + 1)\log_{x+2} 2 = 1.$$

7. Giải phương trình
   $$1 - 12 \cos \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) - 12 \cos \left(\frac{\pi}{3} + 2x\right) = \sqrt{2} \cos^2 x + \tg \frac{7\pi}{4}.$$

8. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho các đỉnh của hai parabol y=4x^2 + 8ax - a và y=4ax^2 - 8x + a - 2 nằm cùng một phía của đường thẳng y=-5.

9. Trong hình thang MNPQ (MQ || NP), góc NPM gấp 2 lần góc NQM. |NP| = |MP| = 13/2, |MQ| = 12. Tìm diện tích hình thang.

10. Cho đường thẳng lục giác đều SABCDEF (S là đỉnh). Điểm K và L lần lượt được chọn trên các cạnh ES và AF sao cho |EK| = 1/5 |ES|, |FL| = 1/2 |FA|. Các điểm R và T nằm trên các đường thẳng DK và SL sao cho đường thẳng RT vuông góc với mặt phẳng SAD. Chiều dài của chiều cao của các dòng là 18, |RT| = 4.
    Tìm thể tích của đường thẳng.

Vật lý
Bài thi viết
Vào lời giải bài toán mỗi biến thể có năm giờ. Để đạt được điểm đạt yêu cầu, chỉ cần đạt được hai bài toán bất kỳ là đủ.

Tùy chọn 1

1. Một quả cầu thép chạm vào một mặt phẳng nghiêng nhẵn, đứng yên có góc nghiêng α hợp với góc β (hình 1). Tại bao nhiêu β quả bóng có thể quay trở lại điểm va chạm đầu tiên trên mặt phẳng? Mọi va chạm đều được coi là đàn hồi.
2. Với độ dốc đẳng nhiệt m = 9 g hơi nước ở nhiệt độ T = 373 K, thể tích của nó giảm 3 lần và áp suất tăng gấp đôi. Tìm thể tích hơi ban đầu.

53

3. Trong mạch ở hình 2, nhiệt lượng tỏa ra ở mạch ngoài bằng nhau khi công tắc $K$ đóng và mở. Xác định điện trở trong của pin $r$, nếu $R_1=12$ Ohm, $R_2=4$ Ohm.

4. Một gương phẳng (hình 3) được đặt trong mặt phẳng tiêu điểm của đường thu mỏng. Vật $A$ nằm giữa tiêu điểm và thấu kính. Hệ thống quang học tạo ra hình ảnh thật của vật thể. Độ phóng đại của một vật thể được mô tả sẽ thay đổi như thế nào nếu khoảng cách giữa đường thẳng và vật thể giảm đi một nửa?

Tùy chọn 2

1. Một đường trượt băng đã hình thành gần con đường dẫn vào lòng đường. Bề mặt của cầu trượt tạo một góc $\alpha$ với mặt phẳng nằm ngang. Một chiếc ô tô đắt tiền đi ngang qua đã cố gắng rắc lên ngọn đồi một lớp cát xanh cao tới một nửa chiều cao của nó. Hệ số ma sát trượt của người trượt xe trên băng và cát là $\mu=0,5$. Bỏ qua ma sát của xe trượt trên mặt băng không có cát, tìm giá trị lớn nhất của góc $\alpha$ tại đó xe trượt sẽ không thể chạm tới chân cầu trượt, nhai từ đỉnh của nó nếu không có tốc độ ban đầu.

2. Một mol khí đơn nguyên tử lý tưởng có nhiệt độ ban đầu $T_1=600$ K tăng thể tích của nó lên gấp 3 lần. Chất khí sẽ sinh công gì nếu, trong một quá trình nhiệt trong đó áp suất thay đổi tuyến tính theo nhiệt độ (hình 4), một lượng nhiệt $Q=1,9$ kJ được cung cấp cho chất khí trong quá trình giãn nở từ cùng trạng thái ban đầu đến cùng trạng thái cuối cùng? ($R=8,3$ J/(mol K.))

3. Một tấm phẳng có điện tích $q$ (hình 5) được đặt trong một tụ điện phẳng nối với một nguồn có suất điện động không đổi $\delta$ và điện trở trong $r$. Một vôn kế lý tưởng được nối với các cực nguồn sẽ hiển thị điều gì nếu tấm được di chuyển với tốc độ không đổi $v$? Khoảng cách giữa các bản tụ là $d$.

4. Một chùm tia sáng rộng song song chiếu vuông góc lên màn. Một thấu kính âm (tán xạ) được lắp đặt trên đường ánh sáng song song với màn hình. Khoảng cách từ thấu kính đến màn lớn hơn tiêu cự của thấu kính 2 giây. Diện tích của vùng trên màn hình nơi độ chiếu sáng tăng lên sau khi lắp ống kính hóa ra bằng $S=15\pi$ cm$^2$. Xác định đường kính của thấu kính.

Tùy chọn 3

1. $\alpha$-hạt, hát qua mismo của hạt nhân bị chôn vùi ban đầu của một nguyên tố hóa học có số khối là 12, mất đi 20% tốc độ của nó. Ở góc độ nào $\beta$ lệch lạc $\alpha$-hạt (hình 6)?

2. Trong một quá trình nhiệt, thể tích của khí lý tưởng thay đổi theo áp suất theo định luật $V=\beta p$, trong đó $\beta$ là một hằng số nhất định. Áp suất khí thay đổi bao nhiêu lần khi nhiệt độ giảm từ $T_1=450$ K xuống $T_2=200$ K?

3. Hai quả cầu dẫn điện từ xa có bán kính $R$ được nối với nhau bằng một đoạn mạch chứa tụ điện có điện dung $C$, một cuộn dây có độ tự cảm $L$ và một công tắc $K$ (hình 7). Tại thời điểm ban đầu, tụ điện được tích điện đến hiệu điện thế $U_0$, các quả bóng không mang điện tích. Xác định dòng điện cực đại trong mạch sau khi đóng phím $K$. Bỏ qua điện trở chủ động của cuộn dây.

Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow

Toán học
Bài thi viết

Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$\sin x + \cos x = \sqrt{1 + \mathrm{tg} x}.$$

2. Tính tổng các nghiệm của phương trình
   $$x^2 - 2(a^2 - 4a)x - (8a^3 - 26a^2 + 9) = 0$$

và tìm các giá trị của $a$ mà tại đó nó có giá trị nhỏ nhất.

3. Cho một khối lập phương $ABCDA'B'C'D'$. Có đúng là mặt phẳng $ABC'$ và $CDA'$ vuông góc với nhau không? Đưa ra lời biện minh đáp số.

4. Tìm khoảng cách giữa điểm $A$ (5; 2) và điểm $B$ có hoành độ 1 nằm trên parabol $y=x^2+2x$. Điểm $B$ có gần với $A$ là một điểm trên parabol không?

5. Chức năng nào sau đây
   $$3+\cos^2x; 2\cos 2x-3\sin x; \sin \frac{x}{2}; \sin 2x$$ có thể được biểu diễn dưới dạng đa thức của $x$ (nghĩa là $a_0\sin^n x+a_1\sin^{n-1}x+...+a_n$, trong đó $a_0, a_1, ..., a_n$ là số thực)?

Tùy chọn 2

1. Giải bất đẳng thức

55

Tùy chọn 2
(Khoa Vật lý)

1. Tìm thể tích của một paramid tứ giác đều có cạnh bằng $l$ và tạo một góc $\alpha$ với mặt phẳng đáy.
2. Giải phương trình
   $$\cos x + \frac{1}{\cos x} = 2.$$
3. Giải bất đẳng thức
   $$|x^2 - 4x| < 5.$$
4. Giải phương trình
   $$\log_2(9 - 2x) = 1.$$
5. Tìm giá trị cao nhất và cao nhất của hàm $y = x^3 - 3x^2 + 5$ trên khoảng [0; 3].

Tùy chọn 3
(Khoa Vật lý)

1. Tellyukhod phun 9 km qua hồ và 20 km dọc sông trong 1 giờ. Tìm vận tốc của tàu Tellyukhod khi di chuyển dọc theo hồ nếu vận tốc của sông là 3 km/h.
2. Cơ sở của cách gọi là một hình tam giác đều nội tiếp trong một hình tròn có bán kính 2 m, các mặt cạnh của nó là hình vuông. Xác định phạm vi của cuộc gọi này.
3. Giải phương trình
   $$\sin x - \sqrt{3 \cos x} = 0.$$
4. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{x}{3^2} > 9.$$
5. Tìm các khoảng tăng dần của hàm $y = 4 + x - 3x^3$.

Tùy chọn 4
(Khoa sư phạm cá nhân)

1. Tìm thể tích của một paramid tứ giác đều có diện tích đáy là $S$ và cạnh của nó tạo một góc $\alpha$ với mặt phẳng đáy.
2. Giải phương trình
   $$\tg(2x + 4) = 1.$$
3. Giải phương trình
   $$x - 3 = (5 + x) \cdot 4.$$
4. Giải bất đẳng thức
   $$x^2 - 14x - 15 > 0.$$

Trường học yêu thích bài toán

(Để bắt đầu, xem trang 28)

9. a) Tìm phương trình tiếp tuyến đồng thời của hai parabol
   $$y = x^2 + x - 2$$ và $$y = -x^2 + 7x - 11.$$

6. Parabol có bao nhiêu tiếp tuyến chung?
   $$y = a_1x^2 + b_1x + c_1$$ và $$y = a_2x^2 + b_2x + c_2$$?

10. Trong không gian của một $n \geqslant 4$ điểm cho trước, người ta biết rằng với bốn điểm đó có một mặt phẳng chứa bốn điểm này. Có đúng là tất cả các điểm $n$ đều nằm trong cùng một mặt phẳng không?

lớp mười

11. Vẽ đồ thị của hàm $y = e^{\ln|x|}$.
12. Giải phương trình 3 sin $x - 4 \cos x = \cos 5x - 7$.
13. Từ các bảng người ta biết rằng lg $\pi = 0,4972$. Có bao nhiêu ký tự cho số $[\pi^{100}]$?
14. Cho bởi hai góc nhọn $\varphi$, $0 < \varphi < \pi/2$. Trên một trong các mặt của nó có một đường thẳng tạo thành một góc $\alpha$, $0 < \alpha < \pi/2$, có một cạnh ở hai góc góc. Tính góc mà đường thẳng này tạo với cạnh kia bằng hai góc nhọn.
15. Có thể thu được một hình ngũ giác khi một hình bình hành bị cắt bởi một mặt phẳng không? Một hình ngũ giác tạo ra từ một mặt cắt song song của một mặt phẳng có thể đều đặn không?

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi N. Kh. Rozov