Kvant 1986, số 2 · Trang

QUANTUM
2
1986

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Một loạt công việc đang được thực hiện ở nước ta để kiểm soát phản ứng tổng hợp nhiệt hạch. Tuy nhiên, một trong những lĩnh vực đầy hứa hẹn trong lĩnh vực này là phản ứng tổng hợp nhiệt hạch bằng laser (LTF). Trang đầu tiên của trang bìa hiển thị phần trung tâm của hệ thống laser đa kênh “Cá heo” dùng cho nghiên cứu sử dụng LTS (Viện Vật lý P. N. Lebedev thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô).

Với sự trợ giúp của ăng-ten vòng khổng lồ của máy thu sóng vô tuyến của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô (đường kính vòng 600 m; visa ảnh), các nhà thiên văn học có thể đồng thời nhận được phát xạ vô tuyến từ các hành tinh của Hệ Mặt trời, một số ngôi sao và các vật thể khác của Vũ trụ ở rất xa chúng ta. RATAN-600 là người giữ kỷ lục thế giới về thông tin thông tin.

Một số phát triển khoa học và kỹ thuật quan trọng khác sẽ được thảo luận ở những trang đầu tiên của số báo này.

1

TRONG PHÒNG:

2 Tôi sẽ chào mừng Đại hội XXVII của CPSU
D. G. Krutotsin. Thành phố điện
V. I. Arpold. Quá trình tiến hóa và phương trình vi phân thông thường

Awaiting the 27th CPSU Congress
D. G. Krutogin. Cities for electrons
V. I. Arnold. Evolutionary processes and ordinary differential equations

21 Phòng thí nghiệm «Kvant»
Vâng. E. Geguzin. Điện tâm đồ của trái tim thủy ngân

Kvant’s lab
Ya. E. Geguzin. Cardiogramms of mercury hearts

24 Trường học ở «Kvant»
Matematika 9, 10

Kvant’s school
Mathematics 9, 10

28 Tin khoa học
Đồng hồ mới

Science news
The new meter

29 «Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán

Kvant for younger school children
Problems

30 A. S. Aleksadrov. Bí ẩn của người Etruscan

A. S. Alexandrov. The Etruscan mystery

32 Kính Vạn Hoa «Kvant»

Kvant’s kaleidoscope

35 Vấn đề «Kvant»
Bài toán M966 — M970; F978 — F982
Lời giải bài toán M946 — M950; F958 — F962

Kvant’s problems
Problems M966 — M970; P978 — P982
Solutions M946—M950; P958 — P962

44 Phần tử bán dẫn của công nghệ máy tính
VI. Mạch logic bán dẫn

Semiconducting elements in computers
VI. Logical transistor networks

46 Nghệ thuật lập trình
L. F. Sternberg. Lập trình trên máy vi tính: các chương trình đơn giản

The art of programming
L. F. Shternberg. Programming your pocket calculator: simplest programs

49 Hội thảo của người nộp đơn
V. E. Belonuchkin. Định luật Kepler và vật lý học đường

College applicant’s section
V. E. Belonuchkin. Kepler’s laws and school physics

52 phương án thi tuyển sinh

Entrance examination problems

57 Vỏ bọc của chúng tôi (27)
Đáp số, gợi ý, lời giải
Trang cờ vua
Máy tính và Mã cờ vua (trang bìa thứ 3)

Our cover page (27.)
Answers, hints, solutions
The chess page
Computers and chess rules (3rd cover page)

2

Cuốn sách này là Đảng Cộng sản Liên Xô. Quốc hội sẽ xem xét và thông qua các văn bản quan trọng - ấn bản mới của Chương trình CPSU, Điều lệ CPSU với những thay đổi được đề xuất và Các Phương hướng Chính về Phát triển Kinh tế và Xã hội cho giai đoạn 1986-1990 và cho giai đoạn đến năm 2000 - đã được trình bày để công chúng thảo luận.

Sự vĩ đại bài toán được đặt trong những tài liệu này. Trong mười lăm năm, nó thực tế sẽ tăng gấp đôi tất cả các chỉ số chính của nền kinh tế của chúng ta, tăng năng suất lao động lên 2,3-2,5 lần; đạt được những vị trí tiên tiến nhất trong nền kinh tế thế giới. Sự phát triển nhanh chóng như vậy là không thể nếu không có sự hỗ trợ tích cực. Phân tích được thực hiện cho thấy mọi thứ cần thiết cho việc này đã ra đời trong cuộc cách mạng khoa học và công nghệ lớn nhất diễn ra vào nửa sau thế kỷ 20. Năng lượng hạt nhân, hóa học lớn, công nghệ thông tin và máy tính, các phương pháp xử lý vật liệu mới, cơ giới hóa tích hợp và tự động hóa sản xuất, công nghệ sinh học, “cuộc cách mạng xanh” trong nông nghiệp - đây là con đường chúng ta sẽ đi theo trong những năm này.

Vật lý và toán học đóng vai trò quyết định trong cuộc cách mạng khoa học và công nghệ. Họ phải đóng góp to lớn vào nền kinh tế nông nghiệp thâm canh và tạo dựng cơ sở vật chất - kỹ thuật của xã hội cộng sản. Các nhà khoa học Liên Xô đang nghiên cứu thành công các vấn đề phức tạp về vật lý và toán học, chiếm vị trí dẫn đầu trong một số lĩnh vực. Họ đã có những đóng góp to lớn cho việc thám hiểm không gian, nghiên cứu các nguyên tố tự nhiên và các phản ứng nhiệt hạch có kiểm soát, công nghệ laser, vật lý chất rắn, vật lý áp suất cao và nhiệt độ thấp. Thông tin đang phát triển thành công. Thực hiện nghiên cứu xuất sắc trong nhiều lĩnh vực của toán học hiện đại.

Sự phát triển nhanh chóng của nền kinh tế bột mì gắn liền với việc cải thiện việc đào tạo nhân lực khoa học và sản xuất. Và điều này đặt ra những yêu cầu đáng kể đối với các trường trung học và hệ thống giáo dục kỹ thuật nghề nghiệp. Công cuộc cải cách giáo dục trung học ở nước ta đã được thực hiện thành công năm thứ hai. Một trong số cô ấy bài toán - đưa thanh niên đến gần hơn với cuộc cách mạng khoa học và công nghệ, bảo đảm sự tham gia tích cực của thanh niên vào công cuộc tái cơ cấu căn bản lực lượng sản xuất của nước ta.

Bài toán, hình thành các văn kiện chuẩn bị cho đại hội, bổ sung. Việc giải quyết chúng là tùy thuộc vào bạn, những độc giả trẻ của chúng tôi. Và chúng tôi muốn giúp bạn chuẩn bị tốt hơn cho những trường hợp phức tạp và thú vị này.

Trên trang này và các trang tiếp theo có hình ảnh nêu bật một số thành tựu khoa học công nghệ của nước ta

1. Bản vẽ của máy kéo tương lai được tạo bởi máy vẽ có trong bộ EC-7054. Máy tính cho phép bạn tính toán và mô tả một vật thể từ mọi góc độ trong vài giây.

2. Một quy trình rửa thủy lực được sử dụng để tạo ra áp suất cao để sản xuất kim cương công nghiệp.

3. Trong quá trình lắp đặt này, một quá trình diễn ra trong đó các nhà khoa học mô phỏng quá trình quang hợp: dưới tác động của ánh sáng, các hợp chất có nguồn cung cấp năng lượng hóa học lớn sẽ được hình thành trong dung dịch.

1* 3

4

4. Đây là cách phun plasma được thực hiện trên các bộ phận của máy nông nghiệp. Huyết tương giải phóng từ muối chứa bột tốt nhất. Nó được “tát” vào bộ phận bằng lực, loại bỏ hư hỏng và khuyết tật, đồng thời tạo cho bộ phận đó độ cứng và khả năng chịu nhiệt.

5. Hình ảnh bên trong của máy gia tốc Serpukhov ở 76 GEV. Gần đây, một bộ phận mới đã được phát hiện ở đây - một quả cầu keo, với sự trợ giúp của nó, các nhà vật lý sẽ có thể “nhìn” vào độ sâu của các hạt mà ngày hôm qua còn tưởng chừng như sơ cấp.

6. Trạm vũ trụ “Vega” trên bệ thử nghiệm. Vào tháng 6, một năm sau, hai trạm hướng tới Sao chổi Halley đã truyền thông tin khoa học có giá trị về Sao Kim đến Trái đất.

7. Nhà máy thí điểm Y-25 đầu tiên trên thế giới có máy phát điện từ thủy canh có công suất thiết kế 20 mesawatt. Trong các hệ thống lắp đặt như vậy, năng lượng nhiệt được chuyển đổi hoàn toàn thành năng lượng điện.

8. Một trong những nghề của cung laser là tách đồng vị. Các đồng vị khác nhau

của một nguyên tố hóa học nhất định, bức xạ quang học cận điểm có tính chọn lọc (trong các khoảng tần số nhất định). Để tạo ra bức xạ phù hợp, người ta sử dụng tia laser có điều chỉnh tần số nổi.

6↑ 7↑ 8↓

6

Triển khai một số biện pháp nhằm cải tiến công nghệ sản xuất. Trong giai đoạn 5 năm tới, mở rộng việc sử dụng công nghệ cơ bản tiến bộ lên gấp 1,5-2 lần…

Tổ chức sản xuất hàng loạt máy tính cá nhân. Đảm bảo tăng sản lượng thiết bị máy tính lên 2-2,3 lần. Các chủ đề cao sẽ định hướng quy mô sử dụng máy tính điện tử hiệu suất cao hiện đại của mọi tầng lớp.

Từ dự thảo Phương hướng phát triển kinh tế và xã hội chính của Liên Xô giai đoạn 1986-1990 và giai đoạn đến năm 2000

Thành phố dành cho thợ điện

Ứng viên khoa học kỹ thuật
D. G. KRUTOGIN

Các mạch bán dẫn xen kẽ đã trở thành khối xây dựng chính của thiết bị điện tử trạng thái rắn trong những năm gần đây. Tiếp theo, một người nghiệp dư vô tuyến có kinh nghiệm hiện thích sử dụng vi mạch làm sẵn thay vì lắp ráp bộ khuếch đại từ các bộ phận. Hơn nữa, đây là những gì các nhà thiết kế chuyên nghiệp làm. Trong một thiết bị vô tuyến gia đình, chẳng hạn như trong TV, số lượng vi mạch lên tới mười, trong một thiết bị đặc biệt - hàng trăm, hàng nghìn chiếc trên mỗi sản phẩm. Mạch khoảng nhiều phần tử được gọi là lớn - viết tắt là LSI. Việc sử dụng các sơ đồ như vậy hóa ra lại đặc biệt hiệu quả trong công nghệ máy tính.*)

Vi mạch được tạo ra như thế nào? Hãy cùng theo dõi các công đoạn chính trong quá trình sản xuất LSI, chúng ta hãy thử đánh giá cả những khó khăn và thành tựu trong công nghệ của họ.

BIS dưới kính hiển vi lấp đầy bản đồ bố cục rõ ràng của một thành phố lớn. Vậy hãy so sánh việc xây dựng một LSI với việc xây dựng một thành phố, một thành phố dành cho thợ điện.

• Từ biên tập viên. Một loạt bài viết với tiêu đề “Các phần tử bán dẫn của công nghệ máy tính”, được xuất bản trên «Kvant», bắt đầu từ số 9 năm 1985, được dành cho những vấn đề này.

8

300 micron. Phương pháp sản xuất tấm wafer không kinh tế lắm: một chiếc cưa kim cương có độ dày 300 micron, sau đó mài, chuyển hơn 60% thể tích của một thỏi silicon đơn tinh thể thành mùn cưa, thu được với chi phí đáng kể cho chúng ta hoặc chi phí năng lượng. Và độ dày của tấm hoàn thiện sẽ được sử dụng kém. Độ sâu hữu ích, tức là độ dày của các lớp mà các điểm chúng ta cần sẽ chảy vào, không vượt quá 1 micron. Nhưng thật không may, không thể làm cho các tấm mỏng hơn - chúng sẽ bị phá hủy trong quá trình xử lý.

Là công trường xây dựng VIS, bạn có thể sử dụng tấm điện môi - nhôm oxit (Al₂O₃), thường được gọi là salfur. Tấm salfir được đánh bóng cẩn thận như tấm đá lửa, sau đó phủ một lớp silicon đơn tinh thể có độ dày cần thiết lên nó. Salfir được chọn làm chất nền vì vị trí của các nguyên tử trên bề mặt tinh thể salfir khi xác định hướng của môi trường rất gần với cấu trúc của mạng tinh thể silicon. Hoàn cảnh này giúp có thể phát triển một lớp silicon tinh thể mỏng trên bề mặt của salfir – khu vực hoạt động của bóng bán dẫn trong tương lai. Sự kết hợp của các lớp “silicon trên salfir” - được ký hiệu là KNS - được sử dụng rộng rãi trong công nghệ sản xuất VIS. Nó có một ứng dụng quan trọng: salfir là chất điện môi tuyệt vời; nó cung cấp khả năng cách điện hoàn toàn cho từng phần tử mạch riêng lẻ. Từ quan điểm về cấu trúc liên kết của vi mạch, các phần tử này trong mạch silicon tương tự như các khối được đào xuống đất và trong cấu trúc SNS, chúng giống như những ngôi nhà (hình 1).

Trong khuôn khổ phân tích của chúng tôi, một VIS hiện đại tương đương với một thành phố có 100-150 nghìn ngôi nhà bán dẫn với hệ thống thông tin liên lạc phát triển (đường, điện, v.v.). Kích thước của thành phố này dao động từ 2x3 mm đến 6x8 mm. Và trên công trường như vậy, chúng tôi sẽ xây dựng tất cả các ngôi nhà cùng một lúc. Hơn nữa, trên một tấm wafer silicon, chúng tôi sẽ đồng thời xây dựng 100-150 thành phố VIS (tùy thuộc vào kích thước của tấm wafer và diện tích của chip). Công trường xây dựng “khổng lồ” có kích thước thật của chúng tôi trông giống như công trường trên hình 2.

Có lẽ người đọc đặt câu hỏi: tại sao không chế tạo một vi mạch trên một con chip có kích thước chẳng hạn như 15x15 mm - điều này cũng không nhiều đối với một tấm có đường kính 150 mm và công suất của VIC sẽ tăng lên gấp nhiều lần. Hóa ra là trên một tinh thể có kích thước tăng lên gần như chắc chắn sẽ có một khiếm khuyết trong mạng nguyên tử có thể vô hiệu hóa hoàn toàn VIS. Trên diện tích bề mặt 1-2 cm², ngay cả tấm tốt nhất hiện nay cũng sẽ có ít nhất một khuyết điểm. Vì thế nó xuất hiện trước ý chí “malm”.

Hình 2. Đây là hình dáng của một “công trường” có kích thước thật, trên đó có tới một trăm “thành phố” VIS đang được xây dựng đồng thời. Và để xem được sơ đồ của một “quý” cụ thể, cần phải phóng to nó lên hàng trăm lần.

9

Hãy bắt đầu xây dựng với… cửa sổ

Vì vậy, chúng tôi bắt đầu xây dựng. Những ngôi nhà ở thành phố của chúng tôi không hề nhỏ. Nhìn vào hình 3,a: ba “tầng” trong khu vực làm việc của bóng bán dẫn, hai tầng dây kim loại và một số tầng cách điện trung gian; nên cửa hàng gia đình phải có ít nhất 5-7 tầng.

Tổng số thao tác được thực hiện trong quá trình xây dựng mạch tích hợp lên tới hàng trăm, nhưng một số thao tác được lặp lại nhiều lần. Chúng ta sẽ xem xét những điểm quan trọng nhất trong quy trình sản xuất VIS.

Các vùng làm việc của bóng bán dẫn - bộ thu, đế, bộ phát - được hình thành bằng cách pha tạp silicon với các tạp chất thích hợp của các nguyên tố thuộc nhóm III và V của hệ thống tuần hoàn. Các nguyên tử ngoài hành tinh có thể được đưa vào cơ thể sáng tạo bằng hiện tượng khuếch tán. Nếu một tấm silicon được nung nóng trong hơi của hợp chất dễ bay hơi của nguyên tố hợp kim - ví dụ, trong hơi của BH₃ hoặc AsH₃ - thì một số nguyên tử trong hoặc As sẽ thâm nhập vào silicon.

(Quá trình này được gọi là doping khuếch tán.) Để không được sử dụng ở mọi nơi mà chỉ ở những nơi được cung cấp bởi cấu trúc liên kết VIS, cần phải phủ lên bề mặt của tấm một tấm màn mà nguyên tử không thể xuyên qua. Phải để “Windows” trên màn hình: thông qua chúng “vật liệu xây dựng” sẽ chảy sang tầng tiếp theo - các nguyên tử của ứng dụng (người cho và người nhận) sẽ được thâm nhập vào silicon, tạo thành vùng làm việc của bóng bán dẫn (xem hình 3, b-2).

Màn chắn silicon như vậy hóa ra lại là oxit SiO₂ của chính nó. Một lớp oxit khá “dày” dễ dàng hình thành trên bề mặt silicon ở nhiệt độ khoảng 1000°C; việc sử dụng các nguyên tử là không thể xuyên thủng được; ổn định ở nhiệt độ khuếch tán; bám chặt vào silicon. Trồng SiO₂ trong axit (khắc) cho phép bạn tạo các cửa sổ trong đó để khuếch tán tiếp theo. (Các nhà công nghệ không phải lúc nào cũng cảm thấy như vậy. Ví dụ, một vật liệu bán dẫn tuyệt vời—GaAs—không hình thành lớp năng lượng như vậy trong quá trình oxy hóa và việc che chắn nó trở thành một vấn đề riêng biệt.)

“Cắt qua cửa sổ” có dễ không?

Trước khi khắc các cửa sổ trong SiO₂, cần bảo vệ phần còn lại của màng oxit khỏi bị hòa tan (ở giai đoạn này, bản thân lớp được bảo vệ cần được bảo vệ). Đây là nơi bao gồm quy trình quan trọng nhất trong công nghệ kính hiển vi: quang khắc. Mục đích của nó là “mở” lớp SiO₂ được cấp nguồn theo sơ đồ cấu trúc liên kết VIS.

Quang khắc là một tập hợp các hoạt động liên quan đến việc sử dụng các hợp chất nhạy sáng tương tự như các hợp chất được áp dụng cho phim ảnh hoặc giấy ảnh. Những tác phẩm này được gọi là chất quang dẫn. Động từ “chống lại” trong tiếng Anh có nghĩa là “chống lại”. Chất quang dẫn tiếp xúc dễ dàng hòa tan trong dung dịch ăn mòn; chất quang dẫn không phơi sáng “chống lại” sự ăn mòn. (Bạn cũng có thể chọn bố cục, ngược lại, trở nên ổn định sau khi phơi sáng.)

Trong một máy ly tâm đặc biệt, chất cản chất lỏng được rửa sạch thành một lớp mỏng trên bề mặt tấm wafer silicon bị oxy hóa và sấy khô.

13

Quá trình tiến hóa và phương trình vi phân thông thường

V. I. ARNOLD

“Phương trình rất phức tạp, nhưng bộ xử lý, với tính khiêm tốn đặc trưng của mình, đã gọi nó là bình thường.”

Từ một cuộc phỏng vấn trên báo với một nhà toán học.

Phương trình vi phân là một trong những công cụ chính của việc đặt tên tự nhiên trong toán học. Chúng được phát minh bởi Isaac Newton (1642-1727). Các vấn đề cơ bản dẫn đến phương trình vi phân đã xuất hiện trước Newton. Tuy nhiên, chỉ những thiên tài như chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Pháp X. Heugens (1629-1695) và thầy giáo, nhà toán học và thần học của Newton, nhà truyền giáo của vua Anh I. Barrou (1630-1677) mới có thể giải được chúng. Sau Newoton, bất kỳ học sinh nào và thậm chí cả học sinh đều có thể giải được chúng.

Newton coi phát minh của mình quan trọng đến mức ông bảo vệ nó dưới dạng angram*), ý nghĩa của nó theo thuật ngữ hiện đại có thể được diễn đạt như sau: việc giải các phương trình vi phân là “hữu ích” (vì chúng thể hiện các quy luật tự nhiên).

Trong một angram khác, dài hơn, Newton cũng bảo vệ nghiệm lời giải của tất cả các phương trình, bao gồm cả phương trình vi phân mà ông đã phát minh ra.

Lý thuyết phương trình vi phân giải quyết các vấn đề tự nhiên

*) bassdae13eff7i3l9n4o4qrr4s9t12vx. Giải thích: Phương trình dữ liệu quot unque Fluxes định lượng liên quan đến thông lượng phát minh và ngược lại, nghĩa là “đối với một phương trình đã cho chứa một số hàm, hãy tìm đạo hàm và ngược lại”. Angram này có trong “bức thư thứ hai” nổi tiếng của Newton gửi thư ký của Hiệp hội Hoàng gia (Viện Hàn lâm Khoa học Anh) Oldenberg ngày 24 tháng 10 năm 1676. Bức thư được gửi cho Leibniz (1646-1716) và chứa đựng một thông điệp về việc phát minh ra phép phân tích toán học. Newton đã tiến hành trao đổi thư từ với Leibniz, người sống ở Đức, thông qua Oldenburg (người sau đó bị giam trong Tháp vì liên lạc với người nước ngoài).

Kiến thức về hình học bài toán về các đường cong được xác định bởi các trường vectơ (xem bên dưới) tương tự như cách phương pháp tọa độ Descartes biến các câu hỏi về phương trình đại số thành bài toán về đường thẳng và bề mặt.

Trạng thái quá trình

Để nghiên cứu bất kỳ quy trình nào, trước hết bạn phải có khả năng mô tả tập hợp tất cả các trạng thái có thể có của quy trình này. Hãy xem cách thực hiện điều này bằng các ví dụ.

1. Chuyển động của một điểm trên một đường thẳng. Kinh nghiệm cho thấy, để xác định chuyển động của một chất điểm dọc theo đường thẳng khi không có ngoại lực, chỉ cần đặt vận tốc và vị trí của nó trên đường thẳng tại thời điểm ban đầu là đủ. Do đó, tập hợp tất cả các trạng thái được vẽ bằng toán học với mặt phẳng tọa độ (s; v): mỗi điểm trên mặt phẳng này gắn với một điểm ma trận chuyển động với vận tốc v và chiếm một vị trí có tọa độ s, và ngược lại - mỗi trạng thái tương ứng với tính chất của một điểm trong mặt phẳng (hình 1).

2. Ma trận rung động. Trạng thái của ma trận phẳng còn được mô tả bằng hai tham số, ví dụ góc lệch θ so với phương thẳng đứng và vận tốc góc ω của ma trận (hình 2). Tập hợp các trạng thái của ma trận có lại là một mặt phẳng không? Không thực sự. Thực tế là khi góc θ thay đổi 2π thì ma trận sẽ trở về vị trí trước đó. Do đó, trạng thái được đặt ở đây là bề mặt hình trụ (hình 2).

3. Vị trí được trả về trên hai con đường. Thành phố A và B được nối với nhau bằng hai con đường không giao nhau, trên mỗi đường đều có đường quay lại; chúng tôi quan tâm đến vị trí tương đối của họ. Vị trí của đường trở về trên đường thứ nhất (hình 3) có thể được xác định bằng một số - phần khoảng cách từ A đến B (dọc theo đường thứ nhất) nằm giữa A và đường về; tương tự, lợi nhuận phải được xác định bằng cùng một phần dọc theo con đường thứ hai. Do đó, tập hợp các trạng thái mà chúng ta quan tâm được mô tả bằng các điểm (x; y) của bình phương đơn vị (0<x<1, 0<y<1).

Tập hợp trạng thái của một quá trình trong lý thuyết phương trình vi phân được gọi là không gian pha.

14

Vì vậy, mỗi điểm của không gian pha (điểm pha) mô tả trạng thái của quá trình. Và chính dòng chảy của một quá trình cụ thể được mô tả bằng các đường thẳng trong không gian pha; những đường này được gọi là quỹ đạo pha.

Việc đưa ra không gian pha của một quá trình hình học hóa lý thuyết - các câu hỏi về tiến trình của quá trình chuyển thành câu hỏi về hành vi của quỹ đạo pha. Bắt hình học bài toán có thể khó khăn. Tuy nhiên, điều cũng xảy ra là chỉ cần đưa vào không gian pha là có thể giải được bài toán khó bài toán.

Bài toán (H. N. Konstantinov). Hai con đường không cắt nhau dẫn từ thành phố A đến thành phố B. Biết rằng hai ô tô đi dọc theo những con đường khác nhau từ A đến B và được nối với nhau bằng một sợi dây có chiều dài nhỏ hơn 2l, có thể đi từ A đến B mà không bị đứt dây. Hai xe lớn có bán kính l, tâm của chúng di chuyển dọc theo những con đường này về phía nhau, có thể vượt qua nhau mà không chạm vào nhau không?

Không gian pha ở đây là một đơn vị hình vuông. Vị trí ban đầu của ô tô (ở thành phố A) tương ứng với góc dưới bên trái của hình vuông và chuyển động của ô tô từ A đến B được mô tả bằng một đường cong dẫn đến góc đối diện của hình vuông (phía trên bên trái). Nhưng hai đường cong bất kỳ trong một hình vuông nối các cặp đỉnh đối diện khác nhau sẽ cắt nhau. Vì vậy, cho dù xe di chuyển như thế nào, sẽ đến lúc cặp đôi này sẽ thay thế hoàn toàn những quả mâm xôi mà cặp đôi đó đã ở vào một thời điểm nào đó. Lúc này khoảng cách giữa tâm các xe sẽ nhỏ hơn 2l. Vì vậy, không thể bắt kịp được.

Cuộc thảo luận về bài toán không liên quan đến các phương trình vi phân, nhưng lý do gần giống với những gì chúng ta sẽ làm sau này: mô tả diễn biến của một quá trình như một đường tiếp cận không gian pha thường cực kỳ hữu ích.

Sơ đồ chung của lý thuyết phương trình vi phân như sau. Vì trạng thái ban đầu của các quá trình mà chúng ta đang xem xét xác định hướng đi trong tương lai của chúng nên nó cũng xác định tốc độ thay đổi trạng thái, tức là tốc độ chuyển động của điểm pha. Theo Newoton, sự phụ thuộc của tốc độ chuyển động của một điểm pha vào vị trí của nó (hoặc quy luật địa phương về sự tiến hóa của quá trình) được thể hiện một cách chính xác bằng một phương trình vi phân. Về mặt hình học, phương trình này mô tả trường vận tốc pha vectơ (xem ví dụ hình 5.11 bên dưới). Lý thuyết về phương trình vi phân nên mô tả quá trình sử dụng trường vectơ, nghĩa là tìm quỹ đạo chuyển động của các điểm pha, trả lời các câu hỏi về đặc điểm chuyển động của chúng (ví dụ: các câu hỏi sau: quỹ đạo có bị giới hạn không? Chúng có quay trở lại điểm xuất phát không?). Ý nghĩa của những câu hỏi này đối với việc nghiên cứu quá trình là rất thuận tiện.

Phương trình ma trận toán học

Theo các định luật cơ học, gia tốc góc của ma trận tỷ lệ thuận với mômen trọng trường (hình 4)

Hình 1. Chuyển động theo đường thẳng. Hình 2. Dao động ma trận.

Hình 3. Bài toán hai xe đi trên hai con đường.

15

$$I\ddot{\theta} = -mgl \sin \theta,$$

trong đó $m$ là khối lượng, $l$ là chiều dài, $\theta$ là góc lệch; dấu chấm trên cùng nghĩa là đạo hàm theo thời gian $t$ (ở đây và bên dưới), hai dấu chấm nghĩa là đạo hàm bậc hai*), $I = ml^2$ là mô men quán tính. Dấu trừ trong phương trình được giải thích là do mô men của bộ đẩy làm giảm độ lệch. Cái sau chúng ta nhận được $\ddot{\theta} = -k \sin \theta$, trong đó $k = g/l$. Hệ số $k$ có thể được tính bằng 1 bằng cách chọn thang thời gian phù hợp (chia $t$ cho $\sqrt{k}$). Khi đó phương trình của ma trận toán học sẽ có dạng

$$\ddot{\theta} = -\sin \theta.$$

(1)

Không gian pha của ma trận là một hình trụ ($\theta; \omega$), trong đó $\omega = \dot{\theta}$ là vận tốc góc. Chúng ta có thể viết phương trình (1) dưới dạng hệ thống

$$\dot{\theta} = \omega, \dot{\omega} = -\sin \theta,$$

(2)

chỉ bao gồm đạo hàm bậc nhất của ẩn số $\theta$ và $\omega$. Hệ thống này thể hiện quy luật tiến hóa cục bộ của trạng thái ma trận: tốc độ thay đổi được thể hiện thông qua chính trạng thái đó.

Hóa ra việc giải phương trình (1) (hoặc hệ (2)) không dễ dàng như vậy. Nếu chúng ta giới hạn bản thân ở những góc nhỏ $\theta$ (dao động nhỏ), thì $\sin \theta \approx \theta$. Do đó, đối với $\theta$ nhỏ, người ta sử dụng cùng với (1) phương trình gần đúng $\ddot{\theta} = -\theta$. Nó được gọi là phương trình dao động nhỏ của ma trận. Bạn biết lời giải $\theta = C \sin (t + \varphi)$ của nó từ khóa học vật lý: ở các góc lệch nhỏ, một ma trận toán học phẳng tạo ra các dao động tuần hoàn điều hòa (hình sin). Câu hỏi lựa chọn này thay đổi bao nhiêu khi chuyển sang phương trình ma trận thực (1) đòi hỏi phải có nghiên cứu đặc biệt.

Chúng ta hãy sử dụng không gian pha của hệ (2)—hình trụ ($\theta; \omega$). Tại mỗi điểm của không gian pha, chúng ta sẽ xây dựng một vectơ vận tốc pha, tức là một vectơ có tọa độ ($\dot{\theta}; \dot{\omega}$)=(ω; —sin $\theta$) - tương đương hình học của định luật tự nhiên (1). Bản đồ kết quả—trường vận tốc pha—được mô tả trong hình 5 (để rõ ràng, chúng tôi cắt hình trụ dọc theo ma trận và quay nó lại).

Trong hình ảnh này bạn có thể thấy như sau. Tại hai điểm vận tốc pha bằng không. Điểm $A$ obtue là vị trí cân bằng dưới (ổn định), điểm $B$ là vị trí cân bằng trên (không ổn định). Ở các giá trị nhỏ $\theta$, $\dot{\theta}$, rõ ràng là các điểm của không gian pha di chuyển dọc theo các đường cong khép kín, chúng ta hãy đặt chúng trên một vòng tròn (dao động nhỏ), với sự gia tăng $\theta$ các đường cong khép kín tăng dần và kéo dài thành một dạng giống như hình elip (dao động có biên độ lớn)*). Một vai trò đặc biệt được thể hiện bởi các quỹ đạo được tô màu đỏ

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin tg x - tg \sin x}{x - 0} = \arcsin \arctg x - \arctg \arcsin x$$

ngay lập tức từ các thông điệp hình học (hiếm có nhà toán học hiện đại nào tính được giới hạn này trong một giờ).

16

mũi tên: ma trận đã rơi từ vị trí cân bằng không ổn định, thực hiện một vòng quay hoàn toàn và lại đứng yên ở vị trí phía trên. Quỹ đạo này tách các dao động khỏi các chuyển động quay (không đồng đều) mà ma trận tạo ra nếu tốc độ của nó ở $\theta = 0$ vượt quá số 2 trong các đơn vị không thứ nguyên của chúng ta.

Cá diếc (sinh sản bình thường)

Cá diếc được nuôi ở mỏ lớn. Cá diếc không can thiệp lẫn nhau khi đã có đủ. Số lượng cá diếc $x(t)$ sẽ thay đổi như thế nào theo thời gian $t$? Tốc độ tăng trưởng của cá diếc trong những điều kiện này tỷ lệ thuận với số lượng cá thể; vì vậy chúng ta có thể viết

$$\dot{x} = kx, \quad k > 0.$$

(3)

Phương trình này được gọi là phương trình vi phân của tái tạo bình thường hoặc tiếng Malta*). (Hãy nhớ rằng $\dot{x}$ biểu thị đạo hàm theo thời gian.)

Định lý tồn tại. Bất kỳ hàm nào có dạng $x = Ce^{kt}$, trong đó $C$ là hằng số, đều là nghiệm của phương trình (3).

Chứng minh: Thay vào phương trình.

Từ định lý đã được chứng minh suy ra

Định lý duy nhất. Phương trình (3) không có lời giải nào khác.

Bằng chứng. Bất kỳ hàm nào cũng có thể được viết là $x(t) = C(t)e^{kt}$. Sau đó $\dot{x} = Ce^{kt} + kx$. Do đó, để đẳng thức $\dot{x} = kx$ được giữ vững, điều cần và đủ là $C = 0$, tức là $C$ phải là một hằng số.

Đồ thị của phương trình lời giải được gọi là đường cong tích phân. Những đường cong này nằm trong không-thời gian, tức là trên một mặt phẳng có tọa độ $(t; x)$. Để vẽ các đường cong tích phân, một khoảng trống rất hữu ích, được gọi là trường phương trình có hướng và bao gồm các đoạn nhỏ được áp dụng tại mỗi điểm trong không-thời gian một góc với trục thời gian, tiếp tuyến của nó bằng vế phải của phương trình.

*) Trong một số trường hợp, tốc độ sinh sản không tỷ lệ thuận với số lượng cá thể mà tỷ lệ thuận với số lượng cặp. Sự sinh sản đô thị dị thường như vậy thường chậm hơn ở mật độ dân số thấp (ví dụ, cá voi của một số loài gặp khó khăn trong việc tìm bạn tình). Ví dụ: đối với $x$ lớn, việc tái tạo ở tỷ lệ tỷ lệ với $x^2$ dẫn đến một “vụ nổ” trong thời gian hữu hạn: đồ thị $x(t)$ có ​​tiệm cận đứng (tại sao?). Tình huống này được hiện thực hóa trong phương trình động học hóa học, trong đó tốc độ phản ứng tỷ lệ thuận với lượng từng chất phản ứng.

Hình 6. Trường của phương trình tái tạo chuẩn có hướng $\dot{x} = kx$ và lời giải, đi qua điểm bắt đầu $(t_0, x_0)$.

($kx$ đối với phương trình (3), xem hình 6). Đường cong khoảng tại mỗi điểm tiếp xúc với đoạn tương ứng và ngược lại, đường cong tiếp tuyến với các đoạn của chúng ta sẽ là đồ thị lời giải (đây là ý nghĩa hình học của phương trình vi phân).

Chúng ta vừa chứng minh rằng qua mỗi điểm trong không-thời gian có đúng một đường cong tích phân $x = Ce^{kt}$ của phương trình (3). Công thức này thể hiện quy luật sinh sản bình thường: để cân bằng số lượng cá diếc luôn phải mất một khoảng thời gian như nhau, bất kể số lượng của chúng là bao nhiêu. Chu kỳ của phương trình dân số Trái đất hiện nay là khoảng 40 năm. Do đó, số người đang sống sẽ lớn hơn số người đã từng chết nếu tốc độ tăng trưởng không thay đổi. Thời gian tồn tại của con người khi đó là khoảng 2000 năm; do đó, tốc độ tăng dân số sẽ nhỏ hơn 1/v(x). Dọc theo đường cong tích phân (nếu nó không song song với trục $t$), $t$ có ​​thể được biểu thị dưới dạng hàm của $x$. Biểu thị đạo hàm đối với $x$ bằng shrikh, chúng ta thu được $t' = 1/v(x)$. Điều này có nghĩa là $t$ là nguyên hàm của

17

Hình 7. Trường có hướng và đồ thị lời giải của phương trình logic $x=(1-x)x$. Lời giải $x=1$ và $x=0$ sẽ là nguồn tích cực của trạng thái cân bằng không ổn định.

1/v. Điều này cho phép bạn biểu thị $t$ theo $x$ và sau đó $x$ theo $t$. (Tất nhiên, không-thời gian trực tiếp, trong đó $v(x)=0$, bị loại bỏ để không chia cho 0.) Với $v(x)=kx$, chúng ta nhận được $t'=1/kx$, $kt=\ln|x|+const$, $x=Ce^{kl}$.

2. Định lý duy nhất, phát biểu rằng các đường cong khoảng không trùng nhau và không cắt nhau, là một thực tế cực kỳ đáng ngạc nhiên mâu thuẫn với bằng chứng trực quan và kinh nghiệm vật lý. Ví dụ: các đường cong khoảng của phương trình (3) cho $k=1$ đi qua các điểm (0; 0) và (0; 1) cho $t=-5$ không thể phân biệt được bằng mắt và đối với $t=-30$ các nguyên tử giữa chúng không giảm. Tuy nhiên, các nhà toán học coi chúng không giao nhau ngay cả đối với $t=-10^{10}$.

3. Trong các tài liệu vật lý gần đây, việc Newot rút ra các định luật Kepler từ định luật lý thuyết phổ quát (được Hooke chỉ ra trong một lá thư đề ngày 6 tháng 1 năm 1680) của Newot năm 1684 đã bị nghi ngờ: kết luận này không sử dụng định lý duy nhất cho phương trình chuyển động, điều mà Newot không chứng minh được. Tuy nhiên, trên thực tế, điều duy nhất xuất phát từ sự tồn tại của lời giải, sự phụ thuộc của nó vào điểm ban đầu được biểu thị bằng một hàm khả vi. Chứng minh tính duy nhất trong trường hợp này tương tự như chứng minh ở trên đối với phương trình phân tập, nhưng Newoton đưa ra điều kiện cần thiết lời giải. Trong một bức thư gửi Halley về cuộc thảo luận của ông với Hooke, Newton mô tả sự khác biệt giữa cách tiếp cận của các nhà toán học (Newton) và các nhà vật lý (Hooke) đối với khoa học tự nhiên, những điều vẫn còn phù hợp cho đến ngày nay: “Các nhà toán học, những người khám phá và thiết lập mọi thứ và thực hiện mọi công việc, phải bằng lòng với vai trò của những người tính toán khô khan và những người lao động tầm thường; người còn lại, những người chỉ nắm bắt mọi thứ và khẳng định mọi thứ, chiếm đoạt cho mình những phát minh của cả những người theo ông và những người đi trước ông.” Nhiệm vụ của Hooke với tư cách là người phụ trách Hiệp hội Hoàng gia bao gồm việc chứng minh 2 hoặc 3 định luật tự nhiên mới bằng cách sử dụng các thí nghiệm trên việc trồng trọt hàng ngày của xã hội, công việc mà ông đã làm trong 40 năm. Những định luật có thể chứng minh được có thể được người khác khám phá ra, nhưng Hooke đếm tới 500 định luật chỉ được anh ta khám phá ra. Đương nhiên, anh không có thời gian để biện minh mọi thứ bằng toán học.

Tuy nhiên, chúng ta hãy quay lại với hình phạt của mình. Sau một thời gian sẽ có nhiều caramen đến mức không đủ thức ăn và trở nên chật chội; tăng trưởng hơn nữa sẽ không còn thỏa mãn phương trình (3).

Cá diếc thiếu thức ăn (đường cong logistic)

Nếu sản phẩm caramen của chúng tôi không phải là VELik hoặc nếu số lượng carami trong một sản phẩm lớn tăng lên rất nhiều thì sự cạnh tranh về thực phẩm sẽ dẫn đến tốc độ tăng trưởng giảm. Giả định đơn giản nhất là hệ số $k$ phụ thuộc tuyến tính vào số carami, tức là $k=a-bx$ (đối với $x$ không quá lớn, bất kỳ hàm trơn nào cũng có thể được xấp xỉ bằng một hàm tuyến tính). Do đó, chúng tôi đi đến phương trình tái sản xuất có tính đến sự cạnh tranh: $\dot{x}=(a-bx)x$. Các hệ số $a$ và $b$ có thể được chuyển đổi thành đơn vị bằng cách chọn thang đo $t$ và $x$. Chúng ta nhận được cái gọi là phương trình logistic

$$\dot{x}=(1-x)x.$$ (4)

Trường định hướng của phương trình (4) trong không-thời gian được hiển thị trên hình 7 và bên cạnh nó, trên hình 7, b, đồ thị lời giải được hiển thị. Các đường cong khoảng hình chữ S trong dải $0<x<1$ được gọi là đường cong logistic. Chúng ta thấy rằng 1) quá trình có hai vị trí cân bằng: $x=0$ và $x=1$;
2) giữa các đường thẳng $x=0$ và $x=1$ trường hướng lên từ 0 đến 1 và tại $x>1$ - hướng xuống 1.

Do đó, vị trí cân bằng 0 không ổn định (một khi quần thể karama xuất hiện bắt đầu lan rộng) và vị trí cân bằng 1 là ổn định (dân số phân tán ít hơn, dân số giảm nhiều hơn). Bất kể số lượng caramies ban đầu là $x>0$, theo thời gian, quá trình sẽ đạt đến trạng thái cân bằng ổn định $x=1$. Do đó, mỗi ao (các điều kiện khác không đổi) có số lượng caramen “chính xác” riêng và bất kỳ quần thể caramen nào cũng sẽ có xu hướng đạt đến con số này.

18

Câu cá diếc

Cho đến nay, chúng ta vẫn coi một quần thể cá diếc tự do phát triển theo quy luật nội tại của nó. Bây giờ hãy giả sử rằng chúng ta bắt được cá diếc (giả sử ao của trang trại tập thể thường xuyên cung cấp cá sống cho cửa hàng cá địa phương). Giả sử tốc độ bắt giữ là không đổi. Chúng tôi đi đến phương trình bẫy vi sai
$$\dot{x} = (1-x)x-c.$$ (5)

Giá trị $c$ đặc trưng cho tỷ lệ đánh bắt cho phép và được gọi là kvata.

hình 8 hiển thị ba loại biểu đồ lời giải của phương trình (5) cho ba loại $c$ khác nhau.

Ta thấy (hình 8, a) nếu tốc độ bắt không quá cao ($0<c<1/4$) thì có hai vị trí cân bằng ($x=A$ và $x=B$ trên hình). Vị trí cân bằng thấp hơn $A$ không ổn định. Nếu vì lý do nào đó (đánh bắt quá mức, bệnh tật) tại một thời điểm nào đó mà quy mô quần thể $x$ dưới $A$, thì trong tương lai toàn bộ quần thể sẽ biến mất trong một thời gian hữu hạn. Vị trí cân bằng trên $B$ ổn định là chế độ Đứng yên mà quần thể đạt tới khi đánh bắt liên tục $c$. Đương nhiên, quần thể cân bằng của ao nơi đánh bắt cá sẽ nhỏ hơn trong ao không đánh bắt cá.

Nếu $c > 1/4$ (hình 8, b), thì không có trạng thái cân bằng và tất cả cá diếc sẽ bị bắt trong một thời gian hữu hạn (một kế hoạch thổi phồng việc bán cá sống cho một cửa hàng sẽ dẫn đến cái chết của nó; một ví dụ lịch sử về loại này là việc tiêu diệt con bò của Steller).

Tại $c = 1/4$ (hình 8, b) có một trạng thái cân bằng không ổn định $(A=B=1/2)$. Việc đánh bắt với tốc độ như vậy với quần thể ban đầu đủ lớn là có thể về mặt toán học trong một thời gian dài tùy ý, tuy nhiên, một lượng nhỏ tùy ý kích thước của quần thể cân bằng đã được thiết lập (xem điểm $F$) sẽ dẫn đến việc đánh bắt hoàn toàn cá diếc trong một thời gian hữu hạn (kế hoạch đánh bắt $c = 1/4$ cho cửa hàng “Cá” cũng không phù hợp).

Do đó, mặc dù bất kỳ hạn ngạch nào lên tới mức tối đa ($c \leq 1/4$) đều có thể chấp nhận được về mặt lý thuyết, nhưng hạn ngạch tối đa $c = 1/4$ sẽ dẫn đến sự mất ổn định và không thể chấp nhận được*. Hơn nữa, kv gần $1/4$ trên thực tế là không thể chấp nhận được, vì ngưỡng nguy hiểm $A$ của chúng gần với trạng thái ổn định $B$ (những sai lệch ngẫu nhiên nhỏ sẽ đầu độc quần thể dưới ngưỡng $A$, sau đó quần thể sẽ chết).

Hóa ra vẫn có thể tổ chức đánh bắt theo cách sao cho luôn đạt được sản lượng đánh bắt ở tỷ lệ $c = 1/4$. Hãy xem nó được thực hiện như thế nào.

Giới thiệu phản hồi

Chúng tôi cùng nhau ấn định tỷ lệ bắt giữ tuyệt đối so với, nghĩa là chúng tôi ấn định tỷ lệ dân số hiện có của người bị bắt trên một đơn vị thời gian:

$$\dot{x} = (1-x)x - px.$$ (6)

hình 9 hiển thị không-thời gian cho phương trình (6) (tại $p < 1$) và đồ thị của một số lời giải. Có thể thấy, vị trí cân bằng thấp hơn, không ổn định lúc này là điểm $x = 0$, vị trí cân bằng thứ hai là $B$

*) Một kết luận quan trọng đối với kinh tế học từ kinh tế toán học: mong muốn tối đa hóa lợi nhuận, thu nhập hoặc số lượng sản xuất thông qua/đến sự xuất hiện của sự mất ổn định trong hệ thống.

Hình 8. Lời giải phương trình bẫy $\dot{x} = (1-x)x - c$ cho các giá trị khác nhau của hạn ngạch bẫy $c$. Tại $c < 1/4$ bất kỳ quần thể nào cũng có xu hướng đạt đến trạng thái cân bằng ổn định $x = A$, tại $c = 1/4$ vị trí cân bằng không ổn định, tại $c > 1/4$ mọi quần thể đều chết đi.

20

Việc nhân giống cá diếc sẽ dẫn đến việc theo thời gian tôi đang tìm kiếm cá diếc để nhân lên.

Nhưng chúng ta sẽ quay lại điểm A chứ? Nói cách khác, liệu quá trình dao động có được lặp lại một cách tuần hoàn không? Đáp số đối với câu hỏi này phụ thuộc vào việc lựa chọn điểm bắt đầu A (cũng như giá trị của các tham số hệ thống). Chúng tôi sẽ quay lại vấn đề này ở một trong những số tiếp theo của tạp chí.

Bài toán

1. Tìm phương trình của đường cong logistic.
2. Các đường cong tích phân của phương trình (5) và (6) có phải là đường cong logistic khoảng cách không?
3. Chứng minh rằng các đường cong tích phân của phương trình (5) và (6), khoảng cách không dải giữa A và B, có các tiệm cận đứng.

Thành phố dành cho điện tử

(Xem phần đầu ở trang 6)

Sau khi hệ thống dây điện và các điểm tiếp xúc đã được hình thành, LSI đã sẵn sàng. Mỗi người trong số họ đều được kiểm tra cẩn thận về hiệu suất ngay trên tấm. Một máy điều khiển, được điều khiển bởi máy tính, hạ thấp các điểm tiếp xúc kim chính xác lên LSI và gửi một loạt xung dòng điện thử nghiệm vào mạch (như người ta nói, “đặt biệt danh” cho mạch). Nếu mạch chứa một triệu phần tử thì số xung kiểm tra lên tới mười nghìn. Đáp số của mạch kiểm tra được máy tính chấp nhận. Nếu LSI không phản hồi như bình thường hoặc im lặng, máy điều khiển sẽ đặt nó bằng một giọt sơn từ tính. Sau khi tấm wafer silicon được chia thành hàng trăm con chip hoàn thiện (việc này được thực hiện bằng máy cắt kim cương hoặc tia laser), nam châm điện sẽ chọn ra những mạch ít bị loại bỏ nhất.

Và bây giờ tất cả những gì còn lại là đặt các LSI làm sẵn, có thể sử dụng được vào vỏ. Một hộp nhỏ làm bằng gốm, kim loại hoặc nhựa sẽ bảo vệ vi mạch khỏi bị hư hỏng bên ngoài, tiếp xúc với khí quyển, điện trường ngẫu nhiên và đảm bảo làm mát vi mạch đang hoạt động. Vì vậy, mặc dù bên ngoài
Trên thực tế, thiết kế thân tàu đã được tính toán và tính toán kỹ lưỡng. Trong một số loại vi mạch, chi phí cho phần vỏ và công việc “đóng gói” đạt tới mức thứ ba trên tất cả các mặt của LSI.

Bây giờ quá trình sản xuất chip đã kết thúc, việc tương tự với quy hoạch đô thị cũng kết thúc. Không có thành phố xây dựng mới nào phải chịu các cuộc kiểm tra khả năng chịu nhiệt độ cực cao và sương giá -60 ° C, trước trận động đất mạnh 9 độ richter, trước tác động của việc rơi từ độ cao ba mét; thêm thử nghiệm rò rỉ trong sương mù biển, để duy trì các điều kiện hoạt động tối đa, v.v. Nếu LSI có thể chịu được tất cả những điều này, nó có thể được chuyển đến người tiêu dùng.

---

Vi điện tử là sự kết hợp của nhiều ngành khoa học: khoa học vật liệu, cơ học chính xác, quang học lượng tử, điện vật lý, quang hóa, điều khiển học,… Không thể nói cái gì ở đây là quan trọng, cái gì là thứ yếu. Công nghệ sản xuất vi mạch tốt hơn những gì khoa học công nghệ hiện nay. Chúng tôi chỉ xem xét các yếu tố kỹ thuật điển hình và tương đối đơn giản nhất để hiểu. Nhưng cả chúng và các lựa chọn kỹ thuật khác cũng như triển vọng gần giống về mặt kỹ thuật đối với LSI luôn đáng tin cậy vì thực tế là đỉnh cao của công nghệ vi điện tử vẫn còn rất xa.

21

Cardigram của trái tim thủy ngân

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
Y. E. GEGUZIN

Trong số rất nhiều đặc điểm và đặc tính của trái tim thủy ngân thực sự, chỉ có một trái tim có khả năng đập, thay đổi hình dạng theo định kỳ. Trái tim hay thay đổi không còn biết nữa, không bị gián đoạn, không còn lo lắng; Nó có một lợi thế vô điều kiện và hấp dẫn so với trái tim thật - nó có thể không hoạt động trong thời gian bao lâu tùy thích và sau đó quay trở lại.

Trong phòng thí nghiệm của chúng tôi, trong tủ đựng thuốc thử hóa học, có một trái tim thủy ngân. Thiết kế của nó khá đơn giản: một chiếc cốc sứ có hình lõm, dưới đáy cốc có một cái rễ hình vũng nước dẹt (đường kính ≈ 4 cm). Nó chỉ được bao phủ bởi một lớp dung dịch axit clohydric yếu (5 phần trăm) (≈50 ml), trong đó muối của kali dicromat (K₂Cr₂O₇; ≈60 mg) được hòa tan. Chiếc cốc sứ được đậy bằng một tấm nhựa thủy tinh, một đai ốc được cố định trong đĩa và trong đó có một con vít kết thúc bằng kim dây sắt. Bằng cách xoay vít, dây có thể được hạ xuống cho đến khi tiếp xúc với bề mặt thủy ngân và trái tim thủy ngân bắt đầu hoạt động, nghĩa là đập nhịp nhàng.*)

Để một trái tim như vậy hoạt động đáng tin cậy, dây phải chạm bề mặt của nó vào các giọt vũng nước ở giữa hoặc tại một trong các điểm trên đường viền.

Nhịp đập của trái tim thủy ngân ấn tượng hơn: trên bề mặt sạch sẽ của giọt nước, những điểm sáng óng ánh có hình dạng kỳ lạ xuất hiện và đường viền của giọt nước thu được một chuỗi thay đổi nhanh chóng, được lặp lại trong mỗi chu kỳ xung tiếp theo. Trái tim hoạt động mà không cần cài đặt: chúng tôi để nó trong một, hai giờ và có lần chúng tôi để nó qua đêm - và vào buổi sáng, chúng tôi thấy nó đang đập.

Bây giờ về cơ chế đập của tim thủy ngân - tia thủy ngân, liên tục rung chuyển khi tiếp xúc với dây sắt.

Đầu tiên, về hai hiệu ứng mà bạn cần làm quen để hiểu nguyên nhân của sự co giãn định kỳ của giọt thủy ngân.

Tác dụng đầu tiên là làm giảm sức căng bề mặt của kim loại nếu có điện tích trên bề mặt của nó. Cách dễ nhất để hiểu điều này là sử dụng ví dụ về một giọt kim loại lỏng hình cầu tự do, ví dụ như một giọt thủy ngân. Gọi bán kính của giọt nước là R. Nếu nó không tích điện, chất nằm trong thể tích của nó sẽ chịu áp suất hớt p_czh=2σ/R. Nó liên quan đến độ cong bề mặt (R) và sức căng bề mặt (σ). Bây giờ chúng ta giả sử rằng một điện tích có độ lớn q phân bố trên các bề mặt của giọt nước. Rõ ràng là các hạt mang điện sẽ đẩy nhau một lực, độ lớn của lực này (theo định luật Coulomb) tỉ lệ với bình phương điện tích. Điều này có nghĩa là với thể tích không đổi của một giọt hình cầu (và do đó, có bán kính không đổi), sự hiện diện của điện tích trên bề mặt của nó sẽ dẫn đến giảm áp suất lướt. Tình huống này có thể được trình bày do hậu quả của việc giảm sức căng bề mặt theo các giá trị Δσ~q².

Chúng tôi đã không cố gắng đảm bảo tính toán được chính xác; Tất cả những gì quan trọng là cơ sở để khẳng định rằng độ lớn của sự giảm sức căng bề mặt không phụ thuộc vào dấu của điện tích nằm trên bề mặt. Sự đảm bảo cho điều này là sự phụ thuộc bình phương của Δσ vào giá trị điện tích q.

Chúng ta cần biết tất cả những điều này, làm thế nào thủy ngân trong dung dịch axit clohydric nhận được điện tích, và do đó hiểu được sức căng bề mặt ở ranh giới dung dịch thủy ngân. (Chúng tôi sẽ không giao nhau chi tiết -

22

Điều này là do các quá trình ở ranh giới này vì chúng khá phức tạp.)

Hiệu ứng được mô tả về ảnh hưởng của điện tích lên một bề mặt đến giá trị sức căng bề mặt, được gọi là “hiệu ứng mao dẫn điện”, đã được phát hiện và nghiên cứu bởi nhà vật lý người Pháp Gabriel Lippmann (1845–1921) và tìm thấy nhiều ứng dụng thực tế.

Tác động thứ hai là thời điểm kim kim loại tiếp xúc với bề mặt thủy ngân, lượng điện tích có trên thủy ngân thay đổi, do đó sức căng bề mặt hiệu dụng cũng thay đổi. Với sự trợ giúp của một thí nghiệm đơn giản, có thể dễ dàng xác minh rằng tại thời điểm tiếp xúc, độ lớn điện tích trên thủy ngân giảm, đồng thời sự giảm năng lượng bề mặt xảy ra khi thủy ngân chứa đầy dung dịch axit clohydric cũng giảm. Hai phủ định liên tiếp tương đương với một phát biểu: việc giảm bớt sự hạ thấp được làm quen bằng cách tăng lên. Khi kim sắt chạm vào bề mặt thủy ngân, sức căng bề mặt của nó tăng lên một chút. Hậu quả của sự gia tăng này sẽ là một vũng nước rơi xuống, ở đáy cốc đã bị xẹp xuống dưới sức nặng của chính nó, và hình dạng của nó gần giống một phần hình cầu. Điều này không xảy ra nếu một kim kim loại được nhúng vào tâm của một giọt nước trong thân nó: vũng nước rơi sẽ rung chuyển và đường kính ngang của nó sẽ thay đổi.

Bây giờ bạn có thể hiểu cơ chế xung. Hãy bắt đầu với trường hợp kim sắt chạm vào thủy ngân tại một điểm trên đường viền của vũng nước (hình 1). Tại thời điểm kim tiếp xúc với bề mặt thủy ngân - tiếp xúc chứ không phải xuyên thấu! - sức căng bề mặt tăng nhẹ, vũng thủy ngân sẽ giảm đường kính và sự tiếp xúc giữa nó và kim sẽ bị gián đoạn. Sau đó, sức căng bề mặt sẽ trở về giá trị trước khi kim tiếp xúc với giọt nước, tức là nó sẽ giảm xuống và bán kính thủy ngân của vũng nước sẽ tăng lên. Điều này có nghĩa là vũng nước sẽ tiếp xúc với kim và mọi thứ sẽ bắt đầu lại: vũng co lại - mất tiếp xúc, vũng giãn nở - phục hồi tiếp xúc, v.v.

Một cơ chế thú vị cho sự xuất hiện của xung là trường hợp kim chạm vào bề mặt thủy ngân không phải trên đường viền của thủy ngân mà ở trung tâm của nó, ở trên cùng (hình 2). Có vẻ như sự gia tăng sức căng bề mặt phải đi kèm với việc phần mão được nâng lên và hình thành sự tiếp xúc không gây xáo trộn với kim. Tuy nhiên, trên thực tế, điều gì đó khác lại xảy ra. Phần trên của vũng nước hơi bò lên kim và sau đó chịu tác dụng của trọng lực từ nó. Xung lực đầu tiên này làm phát sinh những rung động, giọt nước lắc lư, trái tim bắt đầu đập.

Một chi tiết thú vị: khi di chuyển kim từ đường viền của vũng nước đến đỉnh của nó, tần số xung sẽ tăng lên.

23

đang được xác định. Điều này hoàn toàn giống với việc tăng tần số rung của dây đàn guitar nếu bạn dùng ngón tay ấn nó vào bảng điều khiển ở giữa các điểm neo.

Cần phải nhấn mạnh rằng trái tim gốc không hề là một cỗ máy chuyển động vĩnh viễn. Trong quá trình hoạt động, năng lượng được tiêu thụ, giải phóng trong quá trình tương tác hóa học giữa rue, sắt, axit clohydric và canxi dicromat. Trong phản ứng này, các thành phần ban đầu phân kỳ và nó sẽ dừng lại khi một chiếc kim sắt bị “ăn”. Bạn có thể dễ dàng xác minh tính “không vĩnh cửu” của vết lõm bằng cách lấy một sợi dây mỏng hơn. Chẳng bao lâu nữa, sự tiếp xúc giữa giọt nước và dây sẽ không còn được tái tạo nữa, vì đầu dây sẽ bị “ăn”. Để trái tim bắt đầu hoạt động trở lại, bạn cần di chuyển sợi dây đến gần chùm tia hơn: rõ ràng không phải là một cỗ máy chuyển động vĩnh viễn!

Chúng tôi quyết định chụp điện tâm đồ của trái tim địa phương. Bạn không thể trích xuất nhiều thông tin từ nó, ngoại trừ việc xác định số lượng xung mỗi giây (và bạn có thể chỉ cần đếm chúng bằng cách quan sát một vũng nước, hoặc để chắc chắn hơn, hãy sử dụng karammic của một bộ phim). Thực tế là trái tim khỏe mạnh có thể được nhìn thấy rõ ràng bằng mắt: nó đập nhịp nhàng, không bị gián đoạn và rõ ràng là không bị mệt mỏi (tần số đập của trái tim trong phòng thí nghiệm của chúng tôi là khoảng 120 nhịp mỗi phút). Tuy nhiên, thật thú vị khi chụp điện tâm đồ.

Ban đầu, họ quyết định sử dụng trái tim đang đập làm bộ chuyển đổi mạch điện, ghi lại những khoảnh khắc bật tắt bằng thiết bị tự ghi. Tuy nhiên, ý tưởng này đã bị loại bỏ vì bất kỳ dòng điện nào được đưa vào tâm rãnh chắc chắn sẽ làm biến dạng nhịp đập của nó. Họ đã hành động khác nhau. Một chùm ánh sáng mỏng được chiếu vào bề mặt gương của vũng nước đang dao động và chùm tia lao tới phản xạ từ nó sẽ gửi tín hiệu đến Samos để ghi lại điện tâm đồ (hình 3). Điện tâm đồ cho thấy một chuỗi các mức cao và mức thấp giao nhau - rõ ràng, nghiêm ngặt, định kỳ, không bị gián đoạn, là niềm ghen tị của bất kỳ trái tim con người nào.

Hình 3. Điện tâm đồ của trái tim.

Hình 2. Nhịp đập của rue heart khi dây kim loại chạm vào độ cao của rue drop-puddle.

25

Vì $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$, chênh lệch (*) là
$$\frac{1}{\sqrt{9981} + \sqrt{9980}} - \frac{1}{\sqrt{9979} + \sqrt{9978}}.$$
Mẫu số của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai, nghĩa là số thứ nhất nhỏ hơn số thứ hai:
$$\sqrt{9978} + \sqrt{9981} < \sqrt{9979} + \sqrt{9978}^*).$$
Bài toán 3. Cái nào lớn hơn: 1986$^{1985}$ hay 1985$^{1986}$?

Lời giải. Hãy so sánh các số thu được sau khi trích rút căn (1985·1986) của các số đã cho: $1986\sqrt{1986} \sqrt{1985} 1985$. Lưu ý rằng đây là các giá trị của hàm $y = x^{1/x}$ tại $x = 1985$ và $x = 1986$. Đạo hàm của hàm này là $y' = x^{\frac{1}{x}} - 2$. $(1 - \ln x)$ khác nhau ở $x > e$, nên trên khoảng $e$; Chức năng $\infty [$ $y = x^{1/x}$ đang giảm dần. Vì vậy $1986\sqrt{1986} < 1985\sqrt{1985}$, có nghĩa là 1986$^{1985} < 1985$$^{1986}$.

Hãy ước tính số chữ số thập phân của số 1986$^{1985}$: $1 + \lg 1986^{1985} = 1 + 1985 \cdot \lg 1986 \approx 1985 \cdot (\lg 2 + +3) \approx 1985(0,3+3) \approx 6550$ chữ số! Một con số khổng lồ như vậy, lớn hơn cả một “googol” (xem «Kvant», 1983, số 7, trang 41), không máy tính nào trên thế giới có thể tính toán được!

Bài toán để so sánh các số rất thường phát sinh trong bất đẳng thức lời giải. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét hai ví dụ, sau đó chúng ta sẽ đề xuất một số bất đẳng thức cho lời giải độc lập.

Bài toán 4. Giải bất đẳng thức $(2 - 5^x)(7x^2 - 10x + 3) < 0$.

Lời giải. Chúng ta sẽ giải bất đẳng thức này bằng phương pháp tích phân (xem «Kvant», 1985, số 12, trang 18). Chúng ta hãy đánh dấu gốc của các thành phần trên trục số: $x_1 = \log_5 2$, $x_2 = 3/7$, $x_3 = 1$. Rõ ràng, $x_3 = 1$ là nghiệm lớn nhất và với $x > 1$ tích này là âm. Việc chuyển các dấu ở vế trái của bất đẳng thức được thể hiện ở hình 1 (gốc $x_1$ và $x_2$ được đánh dấu bằng dấu chấm màu đỏ). Chúng tôi thấy rằng đáp số phụ thuộc đáng kể vào cái nào lớn hơn: $3/7$ hoặc $\log_5 2$. Hãy so sánh

) Hiệu () bằng với ví dụ $0,5 \cdot 10^{-6}$, do đó phép tính của nó trên máy vi tính tái tạo 8 chữ số có nghĩa trên điện cảm (ví dụ: trên máy tính BE-36) không cho kết quả đáp số cho câu hỏi được đặt ra; - chúng ta sẽ thấy rằng các số này bằng nhau, tức là chúng ta sẽ đi đến kết quả sai đáp số.

26

Loại đáp số nào?

Lý do viết ghi chú này là bài toán như sau:
Tại mức p nào thì phương trình
$$\lg(x^2+2px)-\lg(8x-6p-3)=0$$
có một gốc?

bài toán này, được đề xuất trong kỳ thi tuyển sinh môn toán tại Học viện Kỹ thuật Belarus mang tên. S. M. Kirov, đã có lúc được đưa vào bộ sưu tập bài toán, xuất bản năm 1983 trong ấn bản thứ hai *). Bộ sưu tập này chứa lời giải chưa hoàn chỉnh - chỉ có một trường hợp có thể được xem xét.

Để hiểu những gì đang diễn ra ở đây, trước tiên chúng ta sẽ xem xét một ví dụ đơn giản hơn với cùng một công thức, trong đó, bằng cách vẽ một bức tranh, bạn có thể nhìn thấy ngay mọi thứ.

Đây là ví dụ này:
Tại mức p nào thì phương trình
$$\frac{\lg px}{\lg(x+1)}=2$$
có một gốc?

Lời giải. Phương trình này tương đương với hệ
$$\begin{cases} px>0, \\ x>-1, \\ px=(x+1)^2, \\ x>-1, \\ x^2+(2-p)x+1=0. \end{cases}$$
Trường hợp đầu tiên. Phương trình bậc hai có một nghiệm duy nhất (hình 1).

Trong trường hợp này, phân biệt của phương trình bằng 0, tức là $(2-p)^2=4$, do đó p=0 và p=4. Vì p=0 không phù hợp với chúng ta nên chúng ta chỉ còn lại p=4. Với p=4 có một nghiệm duy nhất x=1.

Trường hợp thứ hai. Một phương trình bậc hai có hai nghiệm, nghiệm lớn hơn rơi vào ODZ, còn nghiệm nhỏ hơn thì không.

Do đó, nếu $x_1$ và $x_2$ ($x_1<x_2$) là nghiệm của một phương trình bậc hai thì phải có $x_2>-1$ và $x_1\leq-1$ (xem hình 2, a, b). Điều kiện này tương đương với thực tế là đối với hàm $f(x)=x^2+(2-p)x+1$ phải có $f(-1)\leq0$. Từ đây chúng ta tìm thấy p<0. Vì px>0 nên p=0 không phù hợp. Vì vậy, đáp số trong na-

*) E. A. Ostrovsky, I. M. Angileiko, P. V. Atrashonok, R. V. Kozlova. Đề thi môn toán vào đại học. Minsk: Trường trung học, c. 15.

27

Đây là một ví dụ:
$$] - \infty; 0 [ \cup \{ 4 \}.$$
bài toán đầu tiên được đưa ra ở đầu ghi chú cũng được giải bằng cách sử dụng sơ đồ tương tự.

Chúng tôi viết lại hệ thống tương đương:
$$\begin{cases} 8x - 6p - 3 > 0, \\ \frac{x^2 + 2px}{8x - 6p - 3} = 1 \end{cases}$$
(Rõ ràng nếu thỏa mãn các điều kiện này thì bất đẳng thức $x^2 + 2px > 0$ cũng được thỏa mãn), tức là
$$\begin{cases} 8x - 6p - 3 > 0, \\ x^2 + 2x(p - 4) + 6p + 3 = 0. \end{cases}$$
Một lần nữa có thể xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp đầu tiên. Một phương trình bậc hai có một nghiệm duy nhất, nghĩa là phân biệt của phương trình bằng 0. Hãy viết điều kiện này:
$$p^2 - 14p + 13 = 0,$$
từ đâu $p = 1$ và $p = 13$.
Với $p = 1$ chúng tôi nhận được $x = 3$; với $p = 13$ chúng ta nhận được $x = -9$. Thay thế các giá trị tìm được $x$ và $p$ vào bất đẳng thức $8x - 6p - 3 > 0$, chúng tôi tin rằng các giá trị $p = 13$, $x = -9$ là không phù hợp. Ngược lại, các giá trị $p = 1$, $x = 3$ thỏa mãn bất đẳng thức này. Do đó, phương trình ban đầu tại $p = 1$ có một nghiệm duy nhất $x = 3$*).

Trường hợp thứ hai. Một phương trình bậc hai có hai nghiệm, nghiệm lớn hơn rơi vào ODZ, còn nghiệm nhỏ hơn thì không.

Bất đẳng thức $8x - 6p - 3 > 0$ ngụ ý rằng $x > \frac{6p - 3}{8}$, vì vậy nếu $x_1$ và $x_2$ ($x_1 < x_2$) là nghiệm của phương trình bậc hai $x^2 + 2x(p - 4) + 6p + 3 = 0$, thì nó phải là $x_2 > \frac{6p + 3}{8}$ và $x_1 \leqslant \frac{6p + 3}{8}$. Một lần nữa, như trong ví dụ $\frac{\lg px}{\lg(x + 1)} = 2$ (xem hình 2), chúng ta thu được rằng tất cả các điều kiện sẽ được thỏa mãn khi và chỉ khi đối với hàm $f(x) = x^2 + 2x(p - 4) + 6p + 3$ có $f\left(\frac{6p + 3}{8}\right) \leqslant 0$. Viết điều kiện này $\left(\frac{6p + 3}{8}\right)^2 + 2 \cdot \frac{6p + 3}{8}(p - 4) + 6p + 3 \leqslant 0$, chúng ta thu được sau khi biến đổi $(6p + 3)(22p + 3) \leqslant 0$, từ đó $-\frac{1}{2} \leqslant p \leqslant -\frac{3}{22}$.

Vì vậy, đáp số trong bài toán này:
$$\left[ -\frac{1}{2}; -\frac{3}{22} \right] \cup \{1\}.$$
I. G. Gabovich
P. I. Gorshtein

*) đáp số như vậy được đưa ra trong bộ sưu tập bài toán nêu trên.

bìa của chúng tôi

Rõ ràng là phép đo lập thể bài toán bắt đầu bằng thực tế là chúng ta tái tạo một cách tổng quát cấu hình được xem xét trong đó. Trong bài toán từ trang bìa của số trước, dễ dàng nhất để hình dung cấu hình trực tiếp dọc theo lời giải. Cái lớn ở cái tiếp theo (hiển thị trên trang bìa) thực sự sẽ không lọt vào mắt chúng ta.

Lời giải dựa trên phát biểu hữu ích sau: hai đường tròn có bán kính $R_1$ và $R_2$ tiếp xúc với nhau từ bên ngoài khi và chỉ khi đoạn tiếp tuyến chung ngoài của chúng giữa các điểm tiếp tuyến là $2\sqrt{R_1R_2}$ (hình 1). Chứng minh của khẳng định này rất thuận tiện từ hình 1. Xét các đường tròn trong mệnh đề này như là tiết diện của hai quả cầu với một mặt phẳng đi qua tâm của chúng, hoặc là tiết diện của một quả cầu và một khe của một mặt phẳng đi qua tâm của quả cầu vuông góc với trục của quả cầu, ta thu được các điều kiện về tiếp tuyến ngoài của quả cầu hoặc hình trụ; ví dụ, trong trường hợp sau cần khoảng cách từ điểm tiếp xúc của quả bóng với mặt phẳng đến đường thẳng mà hình trụ dọc theo.

$AB^2 = O_2C^2 = (R_1 + R_2)^2 - (R_1 - R_2)^2$

Hình 1.

28

Đồng hồ mới

Những gì sẽ được thảo luận ở đây không phải là một khám phá mới trong bất kỳ lĩnh vực khoa học cụ thể nào. Tuy nhiên, chúng ta sẽ nói về một sự kiện, tất nhiên, sẽ được viết trong tất cả các sách giáo khoa và sẽ được phản ánh trong toàn bộ cuộc sống và hoạt động của một người.

Hơn hai năm trước, vào tháng 10 năm 1983, Ủy ban Cân đo Quốc tế (tên chính thức là CIPM - la Comité Internationale des Poids et Mesures) đã công bố khuyến nghị giới thiệu một loại máy đo mới. Đây là phần mở đầu của tài liệu này:

“Ủy ban Trọng lượng và Đo lường Quốc tế khuyến nghị rằng đồng hồ nên được xác định bằng một trong hai phương pháp -

a) độ dài quãng đường l mà sóng điện từ phẳng truyền trong chân không trong thời gian t; độ dài đường đi được tính bằng cách đo thời gian t, sử dụng sự tương ứng l=ct và giá trị tốc độ ánh sáng trong chân không c=299,792,458 m/s;

b) bước sóng trong chân không λ của sóng điện từ phẳng có tần số v; bước sóng được tính bằng cách đo tần số v, sử dụng công thức λ=c/v và giá trị tốc độ ánh sáng c=299,792,458 m/s…”

Bây giờ chúng ta hãy nhớ cách xác định đồng hồ. Ngoài ra, tài liệu chính thức được thông qua vào năm 1960 bởi Đại hội đồng lần thứ 11 về Metas và Libras nêu rõ: “Một mét là độ dài bằng 1.650.763,73 bước sóng trong chân không của bức xạ tương ứng với sự chuyển đổi giữa mức 2p10 và 5d5 của nguyên tử krypton-86.”

Đồng hồ sẽ như thế nào trước năm 1960?

Theo định nghĩa đầu tiên được áp dụng ở Pháp trong Cách mạng Pháp, mét bằng một phần mười dặm của chiều dài bốn giây của kinh tuyến tóc giả. Năm 1799, nguyên mẫu đầu tiên của máy đo dưới dạng thước bạch kim đã được sản xuất và phê duyệt - cái gọi là máy đo lưu trữ. Sau đó vào năm 1872, Ủy ban Đo lường Quốc tế đã thông qua lời giải từ bỏ tiêu chuẩn chiều dài “tự nhiên” và sử dụng máy đo lưu trữ làm thước đo chiều dài tiêu chuẩn. Nguyên mẫu của đồng hồ này ở dạng một thanh làm bằng hợp kim bạch kim và một con chim bồ câu với các nét được áp dụng trên một trong các mặt phẳng của nó được lưu giữ tại Sèvres (gần Paris) trong Phòng đo trọng lượng và sinh học quốc tế. Sai số tương đối khi tái tạo một đồng hồ đo như vậy là khoảng 10⁻⁷.

Định nghĩa này của đồng hồ tiếp tục trong gần 80 năm. Chỉ đến năm 1960, các phương pháp đo quang học mới đạt đến độ hoàn hảo đến mức chúng có thể cạnh tranh với việc áp mẫu được đo vào một bộ tóc giả.

Lon. Chúng cho phép bạn tái tạo đồng hồ với độ chính xác khoảng 10⁻⁸.

Tại sao bây giờ là lúc đưa ra một định nghĩa mới về đồng hồ đo? Một lý do là cơ bản. Phương pháp mới dựa trên tốc độ ánh sáng trong chân không - một giá trị hằng số cơ bản không phụ thuộc vào chuyển động của vật thể quan sát được. Trong định nghĩa mới về mét, tốc độ ánh sáng được coi là đã cho, nó chính xác bằng 299.792.458 m/s (cũng giống như trước năm 1960, một mét chính xác bằng chiều cao của mét tương ứng).

Một lý do khác, về mặt kỹ thuật, có liên quan đến việc mở rộng các phương pháp đo tần số chính xác lên đến tần số khả kiến ​​của quang phổ, trong đó quang học có thể đo bước sóng với độ chính xác cao hơn (sử dụng phương pháp giao thoa). Kể từ năm 1982, người ta đã có thể đo tần số và bước sóng của cùng một vạch quang phổ với sai số không quá 1-2 đơn vị ở chữ số thứ mười (!). Người ta có thể nói đùa rằng chỉ trong những năm gần đây sự tương ứng của c=λv đối với ánh sáng khả kiến ​​mới được xác minh.

Vì vậy, khi khuyến nghị của Ủy ban Cân nặng và Đo lường Quốc tế được thông qua, các bảng vật lý sẽ chứa giá trị chính xác của tốc độ ánh sáng và độ dài có thể được đo với sai số không quá hai đơn vị ở chữ số thứ mười.

TÔI Ở VỚI.

29

Bài toán

1. Năm nay tôi đăng ngày sinh nhật của mình. Số năm tôi đã trải qua thật đáng chú ý về nhiều mặt.

Nếu bạn trừ 2 từ số này thì nó sẽ chia cho 3 và nếu bạn trừ 3 thì nó sẽ chia cho 2.

Nếu bạn cộng 4 thì nó sẽ chia cho 5, nếu bạn trừ 5 thì nó sẽ chia cho 4.

Nếu bạn trừ 5 thì nó sẽ chia cho 6 và nếu bạn trừ 6 thì nó sẽ chia cho 5.

Nếu bạn thêm 7 vào nó, nó sẽ chia cho 8 và nếu bạn thêm 8 vào nó, nó sẽ chia cho 7.

Bây giờ tôi bao nhiêu tuổi?

2. Thay thế các chữ cái bằng số để cả hai đẳng thức đều đúng:

(OH)³=VANYA, V+A+N+I=OH
(các chữ cái giống nhau thì có cùng số, các chữ cái khác nhau thì có số khác nhau).

3. Khói mà chúng ta nhìn thấy là những hạt nhiên liệu nhỏ chưa cháy hết. Mật độ của chúng lớn hơn nhiều lần so với mật độ không khí.

Tại sao những hạt này bay lên?

4. Hôm nọ tôi đang chiên bánh kếp. Khi tôi bắt đầu lật một trong số chúng, nó không vừa với vị trí cũ. Chúng tôi đã đặt được những chiếc bánh xèo trở lại chảo, chỉ cần lật lại chúng.

Chứng minh rằng bạn luôn có thể lật những chiếc bánh kếp trong chảo rán tròn mà chúng đã được đặt trước đó và đưa ra một ví dụ về việc bạn không thể lật một trong những chiếc bánh kếp và đặt nó trở lại vị trí cũ.

5. Cắt mỗi hình trong số hai hình nhỏ theo cách giống nhau thành bốn phần sao cho từ tám phần thu được, bạn có thể gấp một hình tương tự có kích thước lớn gấp đôi (theo diện tích).

Những bài toán này được đề xuất bởi V.D. Vyon, học sinh lớp 10. làng Slavyanoserbsk, vùng Voroshilovgrad. Serzej Revkov, A. P. Savin, A. M. Abramov, L. P. Mochalov.

30

Bí ẩn của người Etruscan

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. S. ALEXANDROV

Các nhà khảo cổ và sử học đang dần thu thập thông tin về người Etruscans, một dân tộc cổ xưa bí ẩn từng định cư ở phần lớn nước Ý hiện đại. Khoảng giữa thiên niên kỷ thứ 1 trước Công nguyên. đ. chứng tá của họ đã đạt đến sự nở hoa về văn hóa và kinh tế. Các thành phố Etruscan cũng là một lực lượng quân sự đáng gờm. Nhưng sau khi bị trục xuất vào năm 510 trước Công nguyên. đ. Các vị vua Etruscan đến từ Rome, người Etruscans ở Ý đều có những đối thủ nguy hiểm trong con người của người La Mã. Các cuộc chiến tranh kéo dài kết thúc vài thế kỷ sau đó với cuộc chinh phục của người Etruscan, và vào đầu kỷ nguyên của chúng ta, họ đã hoàn toàn bị phân tán giữa khối dân tộc hỗn tạp của Đế chế La Mã. Tất cả những gì còn sót lại từ chúng là một số dòng chữ khắc bằng một ngôn ngữ vẫn chưa được giải mã đầy đủ, những tượng đài biệt lập về sự phát triển vượt bậc của nghề thủ công và nghệ thuật, và những thông điệp ít ỏi từ các tác giả La Mã…

Trong quá trình khai quật các thành phố Eturia, các nhà khảo cổ học đã có thể tìm thấy rất nhiều bằng chứng về mức độ phát triển cao của nền văn minh đã tuyệt chủng. Đồ trang sức của người Etruscans và thời trung cổ đã khơi dậy sự ngưỡng mộ của mọi người, chủ yếu là cái gọi là đồ trang sức dạng hạt - những kiệt tác đích thực của những bậc thầy vô danh. Chúng là những tấm đồng có hoa văn phức tạp, được lót bằng hàng ngàn quả bóng vàng nhỏ (đường kính khoảng 0,2 mm). Không có sản phẩm dạng hạt nào của quốc gia khác đạt được mức độ hoàn thiện cao như vậy.

Vào cuối thiên niên kỷ thứ 1 sau Công nguyên. đ. nghệ thuật làm đồ trang sức như vậy đã bị phá hủy hoàn toàn. Chỉ đến thế kỷ 19, các nhà nghiên cứu mới nỗ lực khôi phục các kỹ thuật bí mật nhưng không có kết quả. Trong một thời gian dài, không ai có thể giải thích được cách gắn một miếng vàng vào đế đồng mà không làm nóng chảy nó. Nếu hạt tan chảy, một giọt vàng lỏng sẽ lan ra trên đồng. Khi làm mát

Kính vạn hoa «Kvant»
Một trong những ngành toán học lâu đời nhất là lý thuyết số, nhiều bài toán trong số đó có đặc tính mà họ thừa nhận là có một công thức rất đơn giản mà mọi người đều có thể hiểu được, nhưng việc chứng minh bài toán dường như cực kỳ khó khăn.
I. M. Vinogradov

Nhà toán học xuất sắc của Liên Xô, viện sĩ Ivan Matveevich Vinogradov (1891-1983), được biết đến với những kết quả đáng chú ý trong lý thuyết số. Trong nghiên cứu của mình, ông đã tạo ra một phương pháp mạnh mẽ của lý thuyết số giải tích - phương pháp tính tổng lượng giác. Phương pháp này có thể giải được nhiều bài toán bài toán mà lời giải không thể giải dễ dàng.
Ivan Matveevich Vinogradov đứng đầu Viện Toán học mang tên ông. Viện Hàn lâm Khoa học V. A. Steklov Liên Xô là trụ sở chính của khoa học toán học Liên Xô. Ông hai lần là Anh hùng Lao động xã hội chủ nghĩa, đoạt giải thưởng Lênin và Nhà nước.

Những con số rất đơn giản và…

Chúng ta hãy nhìn xung quanh: có bao nhiêu con số vây quanh chúng ta! Số nhà, căn hộ của chúng tôi; số lượng xe buýt và xe điện chúng tôi đi; nhiệt độ không khí, áp suất khí quyển; trình độ hiểu biết của chúng ta về toán học và văn học… Tôi nghĩ bạn có thể thông báo danh sách này nhiều lần.
Chúng ta coi mỗi con số là mức độ biểu hiện của một thứ gì đó hoặc là một chỉ báo cho thấy đối tượng thuộc về một hoặc một loại đối tượng, hiện tượng khác (chuyến bay trên một tuyến đường nhất định, máy bay của một thương hiệu nhất định, ví dụ TU-134, v.v.). Đồng thời, chúng ta không hề nghĩ về những con số. Tất nhiên khi gặp nhau chúng ta ghi nhớ những con số “tròn”; một số kiểm tra số thư viện trên xe buýt để tìm “may mắn”: liệu tổng của ba chữ số đầu tiên và cuối cùng có khớp hay không. Nhưng những thuộc tính này vốn không thuộc về bản thân các con số mà thuộc về cách biểu diễn chúng bằng ký hiệu thập phân.
Mọi người bắt đầu quan tâm đến tính chất của các con số từ rất lâu rồi. Ngay cả người Hy Lạp cổ đại cũng chia số tự nhiên thành số nguyên tố chỉ có hai ước số khác nhau và hợp số có nhiều hơn hai ước số. Một số chỉ có một ước số nên nó không được phân loại là số nguyên tố hay số tổng hợp.
Người Hy Lạp cổ đã chứng minh được rằng có vô số số nguyên tố. Năm 1837, nhà toán học người Đức Lejeune Dirichlet đã chứng minh rằng trong bất kỳ cấp số cộng nào, tổng các hiệu và số hạng đầu tiên là số nguyên tố chứa vô số số nguyên tố.
Các tính chất chia hết đã giúp ích cho người Hy Lạp trong các phương trình lời giải trong số nguyên. Các dịch vụ của Duophant, người được mệnh danh là nhà toán học vĩ đại cuối cùng của thời cổ đại, đặc biệt tuyệt vời ở đây. Số năm sống của ông không được xác định chính xác, nhưng có mọi lý do để tin rằng ông sống ở thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên.
Bài toán các lý thuyết số, mặc dù có công thức đơn giản nhưng thường rất khó. Vì vậy, hàng trăm năm đang chờ đợi các bài toán lời giải với số lượng lớn và cách biểu diễn chúng bằng ký hiệu thập phân.
Một tập hợp vô tận hoặc vô tận các cặp số nguyên tố khác nhau 2, chẳng hạn như 3 và 5, 11 và 13, 17 và 19, 29 và 31, …?” Và bao nhiêu công sức đã được bỏ ra để chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat!
Các tính chất được xem xét của các số liên quan đến ước số của chúng đã tạo ra một lĩnh vực toán học rộng lớn được gọi là nhà lý thuyết số nhiều kiểu (từ tiếng Latin multiplicatio - nhân).
Các nhà toán học cũng coi các tính chất của các số liên quan đến cách biểu diễn của chúng là tổng của các số thuộc một loại xác định. Tồn tại vô thời hạn

33

nhiều số là bình phương và tổng của hai bình phương cùng một lúc; đây là “bộ ba Pythagore”. Ngoài ra còn có vô số khối là tổng của ba khối, v.v.

Năm 1742, trong thư từ của hai viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg, H. Goldbach và L. Euler, vấn đề sau nảy sinh (được gọi là bài toán Goldbach): có đúng là mọi số chẵn lớn hơn hai đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố và mọi số lẻ lớn hơn bảy có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của ba số nguyên tố. Đóng góp đáng kể cho lời giải Những bài toán này do các nhà toán học Liên Xô I. M. Vinogradov và N. G. Chudkov đưa ra.

Lớp các bài toán liên quan đến việc biểu diễn các số dưới dạng tổng của các số thuộc một loại nhất định được gọi là lý thuyết số cộng (từ tiếng Latin additivus - được thêm vào, là kết quả của phép cộng).

Ngược lại với số nguyên tố, các nhà toán học xem xét các số có rất nhiều thừa số. Một số tự nhiên được gọi là siêu tổ hợp nếu nó có nhiều ước số khác nhau hơn bất kỳ số tự nhiên nào nhỏ hơn nó. Đơn vị có ước số duy nhất là số siêu tổ hợp (vì không có số tự nhiên nào nhỏ hơn nó). Số siêu tổ hợp tiếp theo sẽ là số nguyên tố 2, có hai ước số 1 và 2; xa hơn - số 4 có ba ước 1, 2 và 4; rồi 6 với 4 ước. Người ta có thể cho rằng mọi số $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ đều là siêu tổng hợp, nhưng thực tế không phải vậy. Hãy thử tìm 10 số siêu hợp số sau đây.

Có một công thức để tìm số ước của các số khác nhau. Người ta biết rằng mọi số tự nhiên $n$ đều có thể được biểu diễn dưới dạng tích lũy thừa của các số nguyên tố và hơn nữa, theo một cách duy nhất:

$$n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \dots \cdot p_s^{k_s}$$

(định lý này gọi là định lý chính)

A.P.

Thông tin hữu ích

Kiểm tra chia hết cho 11

Để một số viết trong hệ thập phân chia hết cho 11 thì điều cần và đủ là hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn phải chia hết cho 11.

Định lý Wilson

Số $(n-1)!+1$ chia hết cho $n$ khi và chỉ khi $n$ là số nguyên tố.

Định lý nhỏ của Ferl

Nếu $p$ là số nguyên tố thì với mọi số tự nhiên $a$ số $a^p$ đều chia hết cho $p$.

34

Kết quả là một hợp kim đồng-vàng được hình thành ở vùng tiếp xúc cực kỳ hẹp giữa quả bóng và tấm kim loại.

Điểm nóng chảy của vàng nguyên chất là 1063 °C, đồng nguyên chất là 1083 °C, còn hợp kim của vàng và đồng nóng chảy ở nhiệt độ thấp hơn. Ví dụ, một hợp kim bao gồm số lượng nguyên tử vàng và đồng bằng nhau đã nóng chảy ở nhiệt độ 910 °C. Chính tình huống này là chìa khóa để làm sáng tỏ bí mật của những người thợ kim hoàn ở Etruria. Họ tăng nhiệt độ đến mức chỉ có vùng hợp kim hình thành tan chảy, trong khi bản thân vàng và đồng vẫn ở trạng thái rắn. Sau khi làm nguội tiếp theo, chất tan chảy đông đặc lại và hạt, thực tế không bị mất hình dạng hình cầu, được hàn vào đế đồng. Quá trình này xảy ra đồng thời ở tất cả các hạt và toàn bộ hoa văn dán trên giấy dường như được “giảm” (bằng cách tương tự với các bức tranh chuyển) thành đồng. Giấy cói được tước thành từng mảnh ở nhiệt độ cực cao và sản phẩm đã sẵn sàng. Đồng không có thời gian để mô tả, vì quá trình này diễn ra khá nhanh và một phần đáng kể oxy đã được giấy cói hấp thụ trong quá trình cạo.

Những bí mật cổ xưa của đồ trang sức vẫn chưa được hiểu hết. Chẳng hạn, vẫn chưa rõ làm thế nào người Estruci có thể tạo ra những quả bóng vàng nhỏ. Nhưng điều đáng ngạc nhiên nhất là làm thế nào mà các bậc thầy từ xa xưa lại có thể phát triển được công nghệ tiên tiến như vậy. Người Estruci đã có được sự kết hợp tuyệt vời giữa cơ hội, kinh nghiệm và lời nói như thế nào? có thể một ngày nào đó điều này sẽ được biết đến, nhưng hiện tại chúng ta chỉ có thể bày tỏ lòng kính trọng đối với những người đã biến mất và lặp lại lời của nhà sử học La Mã cổ đại Gaius Sallust: “Người ta đạt được NHỮNG GÌ bằng cách canh tác đất đai, kim loại nổi và xây dựng các tòa nhà phụ thuộc vào sức mạnh tinh thần của họ.”

bìa của chúng tôi

(Để bắt đầu, xem trang 27)
chạm vào cùng một mặt phẳng bằng $2\sqrt{R_1R_2}$, trong đó $R_1$ và $R_2$ là bán kính của quả bóng và đáy của hình trụ.

Gọi $A$ và $C$, $B$ và $D$ lần lượt là điểm tiếp xúc của các quả bóng có bán kính $R_1$ và $R_2$ với mặt phẳng, $l$ là đường thẳng mà hình trụ tiếp xúc với mặt phẳng. Từ nhận định trên, suy ra rằng $AB=BC=CD=DA=2\sqrt{R_1R_2}$, tức là $ABCD$, là hình thoi (hình 2) và các đường chéo của nó là $2R_1$ và $2R_2$.

Ngoài ra, các điểm $A$ và $C$ bị xóa khỏi đường $l$ ở cùng một khoảng cách (bằng $2\sqrt{R_1r}$). Do đó, đường thẳng này đi qua giữa $O$ của đoạn $AC$ (tâm của hình thoi) hoặc song song với $AC$. Sau đó thì không thể, vì các điểm $B$ và $D$ cũng bị xóa khỏi $l$ ở cùng một khoảng cách ($2\sqrt{R_2r}$). Kết quả là bản vẽ được hiển thị ở hình 2.

Từ tam giác vuông $AOB$ ta thu được phương trình $AB^2=AO^2+OB^2$ hoặc $4R_1R_2=R_1^2+R_2^2$.

Hơn nữa, nếu $\alpha$ và $\beta=\pi/2-\alpha$ là các góc giữa đường thẳng $l$ và đường thẳng $OA$ và $OB$, thì $\sin \alpha=2\sqrt{R_1r/R_1}=2\sqrt{r/R_1}$, $\cos \alpha=\sin \beta=2\sqrt{r/R_2}$, do đó,

$$1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=4r\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right).$$

Giải các phương trình (1) và (2) cùng nhau, ta thu được đáp số: $R_1=4r(3\pm\sqrt{3}), R_2=4r(3\mp\sqrt{3})$ (các dấu được chọn theo).

V. D.

36

như được hiển thị ở hình 1: $|AB|=l, |BC|=2l$. Thanh được treo ở điểm $A$ vào một sợi dây rất dài không đảo ngược $AO$. Tại thời điểm ban đầu, thanh được giữ ở vị trí nằm ngang và sợi chỉ thẳng đứng; sau đó thanh được thả ra. Vận tốc của điểm $A$ tại thời điểm thanh đi qua vị trí thấp nhất là bao nhiêu?

G. L. Kotkin

F979. Một lượng khí lý tưởng đựng trong một bình có dạng hai hình trụ “nối” với nhau có cùng chiều dài $l$ và có tiết diện $S$ và $\alpha S$ ($\alpha>1$). Ở giữa mỗi xi lanh có các piston được nối với nhau bằng một thanh cứng (hình 2); trong trường hợp này, áp suất ở ngăn $I$ bằng $p$, ở ngăn III áp suất là $\beta p$ thì các piston ở trạng thái cân bằng. Tello $Q$ được đưa vào hệ thống nên nhiệt độ tăng cao, giữ nguyên ở tất cả các ngăn. Xác định xem áp suất trong ngăn $I$ đã thay đổi như thế nào. Nội năng của một mol khí bằng $cT$ (c là nhiệt dung mol của khí). Khả năng sinh nhiệt của xi lanh và piston không đáng kể; bỏ bê buổi sáng.

V. S. Fadin

F980. Bốn tấm kim loại giống hệt nhau có diện tích $S$, mỗi tấm mang điện tích $q_1, -q_1, q_2, -q_2$ được lắp song song với nhau ở khoảng cách $d$ với nhau (hình 3; $d$ nhỏ hơn nhiều so với kích thước tuyến tính của các tấm). Tấm ngoài 1 và 4 được nối bằng dây. Tìm hiệu điện thế giữa tấm 2 và tấm 3.

T. V. Fedogovich

F981. Trên tải trọng $M$, tải trọng bên ngoài cao nhất, đặt tải trọng $m$ (hình 4), giữ tải $M$ ở vị trí ban đầu, sau đó thả các quả nặng. Tìm lực lớn nhất tác dụng lên tải $m$ từ phía của tải $M$.

P. I. Zubkov

F982. Như đã biết, kích thước tối đa để đặt chi tiết hình ảnh lên phim được xác định bởi kích thước tinh thể của lớp cảm quang. Khi kích thước tinh thể giảm, độ rõ của hình ảnh tăng lên. Ước tính kích thước tinh thể tối đa mà tại đó người xem không còn nhận thấy sự gia tăng độ rõ của hình ảnh trên màn hình rạp chiếu phim. Giả sử rằng bạn hiểu rõ về hiện tượng này, có thể đặt số lượng cần thiết cho lời giải, chọn các giá trị số đủ chính xác và thu được kết quả bằng số.

G. V. Meledin

Problems

M966—M970; P978—P982

M966. Prove that any triangle can be cut up by line segments into four pieces from which two triangles similar to the original one can be put together.

L. D. Kurlyandchik

M967. Denote by $\sigma(n)$ the sum of all positive integer divisors of the number $n$ (including 1 and $n$) and by $\varphi(n)$ the quantity

38

Lời giải bài toán
M946—M950; F958—F962

M946. Hai parabol nằm trên một mặt phẳng sao cho trục của chúng vuông góc với nhau và các parabol cắt nhau tại bốn điểm. Chứng minh rằng bốn điểm này cùng thuộc một đường tròn.

Chúng ta hãy chọn hệ tọa độ hình chữ nhật $Oxy$ sao cho các trục của parabol là trục tọa độ (xem hình). Khi đó phương trình của một trong các parabol là $x=ay^2+b$ ($a>0, b<0$), parabol còn lại là $y=cx^2+d$ ($c>0, d<0$). tọa độ $(x;y)$ giao điểm của các parabol thỏa mãn hệ phương trình $x=ay^2+b, y=cx^2+d$. Chia phương trình đầu tiên cho $a$, phương trình thứ hai cho $c$ và cộng các phương trình thu được, sau khi biến đổi thêm, chúng ta thu được phương trình
$$\left(x-\frac{1}{2a}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2c}\right)^2=\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4b^2}-\frac{b}{a}-\frac{d}{c}.$$
Vì vế phải của nó dương nên giao điểm của các parabol nằm trên một đường tròn bán kính $R=\sqrt{\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4b^2}-\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}$ có tâm tại điểm $Z(1/2a; 1/2c)$.

L. P. Kuptsov

M947. Các số được viết thành một dòng trên bảng
$$1\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{1}{4}\cdots\frac{1}{10}\frac{1}{11}\frac{1}{12}.$$
a) Chứng minh rằng dù ta đặt dấu “+” và “-” vào giữa các số này như thế nào thì tổng thu được vẫn không bằng 0.
b) Số chữ số nhỏ nhất phải xóa khỏi bảng là bao nhiêu để sau khi đặt dấu “+” và “-” giữa các số còn lại thì tổng bằng 0?

Trong lời giải và bài toán, các câu lệnh sau được sử dụng: tổng của hai phân số tối giản $a/b$ và $c/d$ với các giá trị khác nhau không thể bằng 0. (Nếu, chẳng hạn, $b>d$, thì đẳng thức $ad=-bc$ là không thể, vì $a$ nguyên tố chung với $b$ và $d$ không chia hết cho $b$.)
a) Bằng cách viết số tiền cần tìm là
$$\left(1\pm\frac{1}{2}\pm\cdots\pm\frac{1}{10}\pm\frac{1}{12}\right)\pm\frac{1}{11},$$ chúng ta thấy rằng theo khẳng định trên, đối với bất kỳ cách chọn dấu nào, nó sẽ không chuyển về 0, vì giá trị chung nhỏ nhất của các phân số trong ngoặc không bằng 11.
b) Đáp số: 6. Từ chứng minh điểm a) suy ra phân số 1/11 đúng. Bằng cách tương tự, người ta chứng minh rằng 1/9, 1/8, 1/7 bị cường điệu hóa. Tổng đóng góp của các phân số 1/5 và 1/10 vào tổng, nếu ít nhất một trong số chúng không bị xóa, có thể bằng $\pm 1/5$, $\pm 1/10$ hoặc $\pm 3/10$. Vì các phân số có ý nghĩa còn lại không chia hết cho 5 nên hãy loại bỏ hai phân số này. Từ những số còn lại, bạn có thể tạo ra tổng bằng 0:
$$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=0.$$
S. V. Reznitsenko

M948. Tam giác đều ABC được bao phủ hoàn toàn bởi năm quy tắc tam giác bằng nhau nhỏ hơn. Chứng minh rằng tam giác ABC có thể bị bao phủ hoàn toàn bởi 4 tam giác như vậy (các tam giác này có thể dịch được).

Chúng ta lấy sáu điểm trong tam giác ABC - các đỉnh và trung điểm của cạnh. Ít nhất hai trong số chúng phải được bao phủ bởi một trong năm hình tam giác nhỏ hơn, do đó, cạnh của tam giác đó ít nhất bằng một nửa cạnh của tam giác ABC. Do đó, mỗi trong số bốn hình tam giác đều có đường giữa

40

1,25R, trong đó $R$ là bán kính trái đất. Tại một số điểm, Sutini phóng ra khỏi trạm theo hướng chuyển động của nó và đi vào quỹ đạo hình elip với anoze được đưa ra khỏi tâm Trái đất ở khoảng cách 10R. Với tỷ lệ nào $m/M$ bản chất sẽ gặp trạm sau khi hoàn thành một vòng quay quanh trái đất?

Gọi $T_1$ là chu kỳ chuyển động của bản chất trên quỹ đạo 1 với khoảng cách từ tâm Trái đất đến cận điểm 10R, $T_2$ là chu kỳ chuyển động của bản chất trong quỹ đạo 2 với khoảng cách từ tâm Trái đất đến cận điểm $nR$ ($n$ là một ẩn số). Sự hội tụ của bản chất và trạm tại điểm $A$ sau một vòng quay của bản chất sẽ xảy ra với điều kiện

$$\frac{T_1}{T_2} = k > 1, \quad \text{где } k \text{ — целое число.}$$

Biểu thị $T_1, T_2$ thông qua khối lượng của trạm $M$ và bản chất $m$, sử dụng định luật Kepler, định luật bảo toàn động lượng và năng lượng cho mục đích này, chúng ta sẽ tìm thấy khả năng tương ứng giữa các khối lượng này, dẫn đến việc thỏa mãn điều kiện $T_1:T_2 = k$.

Theo định luật thứ ba của Kepler

$$\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^{3/2} = \left( \frac{45}{5+4n} \right)^{3/2} = k,$$

trong đó $a_1, a_2$ là bán trục lớn của các quỹ đạo tương ứng (xem hìnhok). Chúng ta hãy biểu thị $n$ dưới dạng khối lượng $m$ và $M$.

Khi trạm và bản chất di chuyển riêng biệt quanh trái đất, toàn bộ năng lượng cơ học của chúng được bảo toàn. Vì thế năng của một vật có khối lượng $m$ trong trường hấp dẫn của trái đất ở khoảng cách $r$ tính từ tâm trái đất bằng

$$U = -\frac{GmM_3}{r} = -\frac{mgR^2}{r}$$

(g là gia tốc trọng trường, $M_3$ là khối lượng của trái đất), thì từ định luật bảo toàn năng lượng suy ra rằng

$$\frac{mv_1^2}{2} - \frac{mgR^2}{5R/4} = \frac{|m(v_1')^2|}{2} - \frac{mgR^2}{10R},$$

$$\frac{Mv_2^2}{2} - \frac{MgR^2}{5R/4} = \frac{M(v_2')^2}{2} - \frac{MgR^2}{nR},$$

trong đó $v_1'$ là tốc độ của trạm ở đỉnh điểm, $v_2'$ là tốc độ của trạm ở điểm cận điểm, $v_1$ và $v_2$ lần lượt là tốc độ mà trạm và trạm thu được tại thời điểm khoảng cách tại điểm $A$ (xem hìnhok).

Theo định luật bảo toàn động lượng vận tốc thì $\vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$ có quan hệ tương ứng

$$(M + m)v_0 = mv_1 + Mv_2,$$

trong đó $v_0$ là tốc độ của trạm và bản chất trước quãng đường. Chúng ta tìm thấy giá trị $v_0$ từ phương trình chuyển động của trạm và bản chất nói chung (trước khoảng cách):

$$\frac{(m + M)v_0^2}{5R/4} = G \frac{(m + M)M_3}{(5R/4)^2},$$

Ở đâu

$$v_0 = \sqrt{\frac{GM_3}{5R/4}} = 2\sqrt{\frac{gR}{5}}.$$

Định luật thứ hai của Kepler cho phép chúng ta thiết lập mối liên hệ giữa tốc độ $v_1$ và $v_2'$,

$$\frac{5}{4}Rv_1 = 10Rv_1',$$

42

F960. Để có được hai cuộn dây hoàn toàn giống hệt nhau, chúng được quấn đồng thời trên một lõi không từ tính bằng cách sử dụng các dây phức tạp với nhau (hình 1). Tuy nhiên, cuộn dây được kết nối thông qua phím K với pin B có điện áp U₀, phím thứ hai với điện trở R. Phím được đóng. Tính cường độ dòng điện qua điện trở. Vẽ đồ thị cường độ dòng điện chạy qua pin theo thời gian.

Sau thời gian t chìa khóa được mở. Bao nhiêu nhiệt được tạo ra trong điện trở bắt đầu từ thời điểm này? Độ tự cảm của mỗi cuộn dây là L. Pin được coi là lý tưởng. Yêu cầu về điện trở dây.

Hình 1.

Hình 2.

Khi tính suất điện động cảm ứng trong mạch của mỗi cuộn dây, cần xét tổng từ thông chạy qua nó, tức là tổng các từ thông do dòng điện trong cuộn dây tạo ra.

Sau khi đóng phím, EMF $E_1 = E_2 = U_0$ giống nhau phát sinh trong cả hai mạch và công suất giải phóng trên điện trở bằng

$$P = \frac{E_2^2}{R} = \frac{U_0^2}{R}.$$

Vậy dòng điện qua cuộn dây thứ 2 bằng $I_2 = U_0/R$. Từ thông, cuộn dây thứ 1 tùy ý, bằng

$$\Phi_1 = LI_1 + LI_2,$$

trong đó $I_1$ là dòng điện qua cuộn dây thứ 1 và qua pin. (Thông lượng qua mỗi cuộn dây do dòng điện $I_2$ tạo ra là như nhau - các cuộn dây được quấn lại với nhau.) Do đó,

$$E_1 = U_0 = \left| \frac{d\Phi_1}{dt} \right| = \left| L \frac{dI_1}{dt} + L \frac{dI_2}{dt} \right| = \left| L \frac{dI_1}{dt} \right|$$

(kể từ $I_2 = \text{const}$). Từ đây

$$I_1 = \frac{U_0}{R} + \frac{U_0}{L} t.$$

Đồ thị $I_1(t)$ được hiển thị trên hình 2. Dòng điện nhảy ở thời điểm đầu tiên là do tổng từ thông qua cuộn dây không được thay đổi đột ngột và ngay sau khi bật, một từ thông bổ sung sẽ xuất hiện hướng ngược với từ thông do cuộn thứ 1 tạo ra.

Khi chìa khóa mở ra thì tổng dòng điện qua cuộn dây thứ 2 bằng

$$\Phi_{2\tau} = -LI_2 + LI_{1\tau} = L \frac{U_0}{L} \tau = U_0 \tau.$$

Ngay sau khi mở chìa khóa, sẽ xuất hiện dòng điện trong cuộn dây này

$$I_p = \frac{U_0 \tau}{L},$$

vì dòng điện qua cuộn dây không được thay đổi đột ngột. Nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở kể từ lúc mở điện là

$$W = \frac{1}{2} LI_p^2 = \frac{U_0^2 \tau^2}{2L}.$$

A. R. Zilberman

F961. Để duy trì nhiệt độ nước không đổi trong bể cá có dòng chảy, hãy sử dụng hai lò sưởi giống hệt nhau (xem hình). Ở chế độ bình thường, số lần xuất hiện tăng gấp ba lần. Lưu lượng nước lạnh nên thay đổi như thế nào nếu máy sưởi được kết nối với mạng nối tiếp? Tốc độ dòng nước lạnh sẽ là bao nhiêu nếu bật một nguồn điện xoắn ốc?

Nhiệt mà nước nhận được từ máy sưởi sẽ bù đắp tổn thất nhiệt - nhiệt lượng mà bể cá tỏa ra môi trường. Việc mất điện phụ thuộc vào sự chênh lệch nhiệt độ giữa nước trong bể cá và môi trường. Nếu nhiệt độ này không thay đổi thì tổn thất điện năng không đổi.

Chúng ta hãy biểu thị mức tiêu thụ nước thứ hai trong trường hợp đầu tiên (một vòng xoắn ốc được bật) $\Delta m$. Sau đó

$$P = c \cdot \Delta m \cdot (t_2 - t_1) + q,$$

(1) trong đó $q$ là tổn thất điện năng. Trong trường hợp thứ hai (bao gồm hai vòng xoắn ốc được kết nối song song), nguồn điện sẽ trả về hai lần và

43

$$2P = c \cdot 3m \cdot (t_2 - t_1) + q.$$ (2)

Từ (1) và (2) ta thu được ngay

$$q = \frac{1}{2} P.$$

Nhưng trong trường hợp các vòng xoắn ốc được mắc nối tiếp, công suất do immi giải phóng sẽ chính xác là $P/2$. Điều này có nghĩa là trong trường hợp này -body nên bị vô hiệu hóa.

Bây giờ từ các phương trình (1) và (2), chúng ta tìm được tốc độ dòng nước thứ hai, với điều kiện là một vòng xoắn ốc được bật:

$$\Delta m = \frac{P}{2c(t_2 - t_1)} = \frac{100}{2 \cdot 4,2 \cdot 10^3 \cdot 17} \text{ кг/c} \approx 7 \cdot 10^{-4} \text{ кг/c}.$$

A. P. Zilberman

F962. Các nguồn chính xác nằm trên trục quang chính của thấu kính tạo thành dây tóc phát sáng đồng đều (đi qua tiêu điểm của thấu kính). Tìm định luật thay đổi $E(x)$ độ rọi tại các điểm nằm trên cùng một trục ở phía bên kia của thấu kính và cách nó một khoảng lớn $x$ ($x \gg F$, trong đó $F$ là tiêu cự của thấu kính).

Các đoạn dây tóc phát sáng nằm ở khoảng cách $y > F$ tính từ thấu kính tạo ra ảnh thật trên trục quang ở bên phải thấu kính. Để tìm độ chiếu sáng $E(x)$ đơn vị độ dài trên trục quang, tức là công suất của hình ảnh rơi trên một đơn vị chiều dài, hãy xem xét quá trình biến đổi một đoạn nhỏ của vật thể $dy$ thành một đoạn hình ảnh $dx$ xảy ra (xem hình).

Đặt công suất, biểu thị bằng đơn vị độ dài của sợi dây phát sáng, bằng $E_0$. Khi đó tổng công suất của ảnh rơi lên phần tử $dx$ của ảnh bằng

$$E(x) \cdot dx = E_0 \frac{\Omega(y)}{4\pi} dy.$$ (*)

Ở đây xét rằng thấu kính chỉ hội tụ một phần ảnh của phần tử $dy$ - ảnh rơi vào phần tử $dx$ của ảnh được cho bởi công thức $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{F}.$$ Do đó, $dy$ trong công thức (*) có thể biểu diễn qua $dx$ như sau:

$$dy = \left| \frac{dy}{dx} \right| dx = \frac{F^2}{(F-x)^2} dx.$$

(Đạo hàm được lấy theo modulo, vì độ dài của các đoạn và lũy thừa là dương.) Thay giá trị của $dy$ vào (*) và xét rằng đối với $x \gg F$ $y \approx F$ và góc đặc $\Omega(y \approx F)$ không phụ thuộc vào $x$, ta thu được

$$E(x) \approx E_0 \frac{\Omega(F)}{4\pi} \frac{F^2}{(F-x)^2} \approx E_0 \frac{\Omega(F) \cdot F^2}{4\pi x^2} \sim \frac{1}{x^2}.$$

M. A. Vorontsov, B. E. Kuntsyn

44

VI. Mạch logic bán dẫn

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học M. E. LEVINSHTEIN, Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học G. S. SIMIN

Sau khi hiểu biết về các phép toán logic cơ bản (xem «Kvant», 1986, Số 1), giờ đây chúng ta có thể làm quen với cách chúng được thực hiện bằng cách sử dụng mạch bán dẫn.

Mạch logic đơn giản nhất thực hiện thao tác “OR” được hiển thị trong hình 1. Mạch chứa hai bóng bán dẫn phân cực sinh học thuộc loại “n-p-n”.

Ký hiệu này tương ứng với một bóng bán dẫn phân cực sinh học loại p-n-p; ký hiệu tương ứng với một bóng bán dẫn loại n-p-n.

Một mũi tên xiên tương ứng với bộ trống, một dấu gạch dọc tương ứng với phần đế và một dấu gạch ngang xiên không có mũi tên đối với bộ thu.

Bộ thu của các bóng bán dẫn thông thường được kết nối song song với cực “cộng” của nguồn điện E. Bộ phát được kết nối với điện trở tải Rₙ. Nếu hướng giữa cực gốc và cực trống của bóng bán dẫn bằng 0 thì điểm nối cực gốc và cực trống bị đóng, do đó không có dòng chảy qua nó. Do đó, amply thu trong mạch cũng bị mờ (transistor đóng). Từ hình 1, rõ ràng là nếu không có tín hiệu ở đầu vào của bóng bán dẫn, tức là hướng ở đầu vào Uₙ₁ và Uₙ₂ bằng 0, thì bóng bán dẫn đóng. Vì vậy, tôi không chạy qua điện trở tải Rₙ và tín hiệu đầu ra Uₙ₁=IRₙ cũng bằng 0. Nếu ít nhất một trong các hướng cung cấp cho đầu vào của mạch đủ để gửi các bóng bán dẫn T₁ và T₂, thì mạch sẽ đảo ngược mạnh và hướng đầu ra tăng đáng kể.

Các bóng bán dẫn silicon thường đóng nếu hướng đến điểm nối base-amptet nhỏ hơn 0,6 V. Do đó, trong mạch loại này, mức “số 0 logic” thường tương ứng với hướng U⁰, gần bằng 0 và “mức logic” - U¹≈0,8 V.

Hình 2 và 3 thể hiện mạch “AND” và “NOT” trên các bóng bán dẫn phân cực sinh học. Lập luận theo cách tương tự như khi phân tích mạch “OR”, có thể dễ dàng xác minh rằng đối với mạch “AND”, hướng đầu ra Uₙ₁>0 chỉ khi bóng bán dẫn T₁ và T₂ mở đồng thời, nghĩa là hướng tương ứng với đơn vị logic được áp dụng cho cả hai đầu vào (Uₙ₁=U¹, Uₙ₂=U¹). Trong sơ đồ “KHÔNG”, Uₙ₁=U¹ với Uₙ₂=U⁰ và ngược lại, Uₙ₁=U⁰ với Uₙ₂=U¹.

Một nhược điểm quan trọng của mạch logic dựa trên bóng bán dẫn phân cực sinh học là ở một trong các trạng thái của mạch, một dòng điện lớn chạy qua điện trở đầu ra Rₙ. Trong các máy tính chứa hàng triệu mạch logic, điều này dẫn đến tổn thất điện năng đáng kể, làm nóng mạch trong quá trình hoạt động và giảm độ tin cậy của máy tính. Nhược điểm này được loại bỏ trong các mạch logic dựa trên các bóng bán dẫn hữu ích*) bổ sung - mạch CMOS.

Một ví dụ về mạch CMOS được hiển thị trong hình 4.

*) “Bổ sung” dịch từ tiếng Anh có nghĩa là “bổ sung”.

Hình 1. Một ví dụ về việc triển khai mạch “OR” trên hai bóng bán dẫn phân cực sinh học loại n-p-n.

Hình 2. Ví dụ về cách thực hiện mạch “AND”.
Hình 3. Ví dụ về cách triển khai mạch “NOT”.

45

TRONG TƯƠNG LAI TUYỆT VỜI, MÁY TÍNH SẼ XUẤT HIỆN, CÁC SƠ ĐỒ ĐỊA PHƯƠNG SẼ ĐƯỢC SẢN XUẤT BỞI GALLIUM CZAREND (Ga As).
Những kế hoạch này nhanh hơn đáng kể.
Bức ảnh vi mô hiển thị VIS dựa trên các bóng bán dẫn hiệu ứng trường Aspendall. Kích thước của VIS là 2,7×2,25 mm. Độ dài cổng của bóng bán dẫn trong VIS là ~1 µm.
Tốc độ chuyển đổi của các phần tử của ô logic VIS là 150 ps. Về hiệu suất, mạch này nhanh hơn bốn lần so với VIC silicon tốt nhất, tương tự như mục đích dự định của nó.

Sơ đồ chính và ký hiệu các điều kiện của chip logic hiện đại dòng K187 trên các bóng bán dẫn p-p-p silicon sinh học.
Mạch có 5 đầu vào và 2 đầu ra. Tại một trong các đầu ra (chân 6), điện áp tổng logic được tạo ra (thao tác “OR”) của sisal $x_1$—$x_5$, được cung cấp cho đầu ra 1—5, ở đầu ra còn lại (chân 7), một tín hiệu kết hợp hoạt động tổng hợp logic và đảo ngược (thao tác “OR”—“NOT”) được tạo ra.
Sự tồn tại của các điều kiện của mạch logic so với ô đơn giản nhất được hiển thị trong hình 1 là do nhu cầu đảm bảo hiệu suất cao, mức tiêu thụ điện năng thấp, sự không an toàn của các tham số mạch từ điện áp nguồn và số lượng mạch logic khác được kết nối với nó, yêu cầu về khả năng chống nhiễu của tín hiệu đầu ra logic, v.v.
Thời gian so sánh của vi mạch là khoảng $10^{-8}$ s, mức tiêu thụ hiện tại là ~ 10 mA.

Đường thẳng đứng biểu thị kênh bóng bán dẫn. Các đường ngang kéo dài từ nó là nguồn (dưới) và cống (trên). Một đường chạy song song với kênh bên cạnh tượng trưng cho cổng. Đầu ra cổng được vẽ ở cùng mức với đầu ra nguồn.

Máy biến áp MOS $T_1$ và $T_2$ được sử dụng trong mạch có các loại cấu trúc khác nhau. Tranitor $T_1$ thường mở, nghĩa là khi không có điện áp trên cổng, độ dẫn của kênh của nó cao; kẻ phản bội $T_2$ thường đóng; ở điện áp bằng 0 trên cổng, không có dòng điện nào chạy qua kênh của nó. Với điện áp dương đủ lớn trên cổng $U^1$, bộ giám sát thường mở $T_1$ bị khóa và $T_2$ thường đóng sẽ được mở khóa.

Trong mạch hiển thị ở hình 4, với $U_{bx}=0$ $T_1$ mở và $T_2$ đóng, do đó toàn bộ điện áp nguồn giảm xuống trên bộ tranitor $T_2$; vì sigma điện áp đầu ra với bộ tranitor $T_2$, $U_{bx}$ cao. Tại $U_{bx}=U^1$ $T_1$ đóng và $T_2$ mở, vì vậy $U_{bx} \approx 0$. Ở trạng thái chung, dòng điện chạy trong mạch bằng 0, vì một trong các bộ chuyển tiếp ở trạng thái đóng. Do đó, mạch CMOS chỉ tiêu thụ năng lượng từ nguồn tại thời điểm chuyển mạch. Dựa trên các mạch CMOS, các máy vi tính và máy vi tính đã được tạo ra có mức tiêu thụ điện năng thấp kỷ lục - chỉ bằng một phần microwatt. Những máy vi tính như vậy có thể được cung cấp năng lượng bởi một tế bào quang điện, trong đó ánh sáng từ đèn trung tâm là đủ để hoạt động.

46

Lập trình trên máy vi tính: các chương trình đơn giản

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học L. F. STERNBERG

Bài viết này, dành cho học sinh lớp chín, mô tả cách dịch (dịch) các chương trình (tuyến tính) đơn giản nhất được viết bằng ngôn ngữ thuật toán giáo dục, trong đó lập trình máy tính vi mô (VZ-34, MK-56, MK-54). Vì vậy, nếu bạn được tiếp cận với một chiếc máy tính vi mô như vậy, bài viết sẽ giúp bạn kết nối khóa học thông tin về trường học với việc thực hành lập trình.

Thao tác tính toán. Bạn có một máy tính vi mô có thể lập trình trong tay. Nó có thể được coi là một cỗ máy tính toán không, nhỏ đến mức nào? Hãy xem.

— Bộ nhớ có khả năng lưu trữ chương trình và dữ liệu? - Đúng.
— Có bộ xử lý nào có khả năng tự động thực thi chương trình được lưu trong bộ nhớ và xử lý dữ liệu mà không cần sự can thiệp của con người không? - Đúng.
— Bạn có thiết bị đầu vào không? - Vâng, bàn phím.
— Bạn có thiết bị đầu vào không? - Vâng, một dấu hiệu.

Vì vậy, một máy tính là một máy tính. Tất nhiên, nó tiêu thụ ít năng lượng và tốc độ thấp, nhưng vẫn cho phép bạn thực hiện các phép tính khá phía máy chủ và điều quan trọng nhất đối với chúng tôi là cho phép bạn hiểu rõ ràng những quy trình nào trong bất kỳ máy tính nào - cả lớn và nhỏ. Đó là lý do tại sao chúng ta sẽ lập trình máy tính. Nhưng làm thế nào để lập trình nó nếu nó không hiểu ngôn ngữ thuật toán của chúng ta mà chỉ hiểu các lệnh được đưa ra bằng cách nhấn một phím? Điều này có nghĩa là chúng ta cần học cách dịch các thuật toán từ một ký hiệu thuận tiện cho chúng ta thành các lệnh máy tính.

Bản thân máy tính bao gồm những gì và nó có những gì? Cấu trúc của nó*) được hiển thị trong hình 1. Bây giờ, hãy chú ý đến 14 điện trở bộ nhớ nơi dữ liệu sẽ được lưu trữ; chúng có các số 0,1…9, a, b, c, d (không có đủ số - bạn đã lấy các chữ cái chưa); cũng như hai thanh ghi hoạt động X và Y - chính nội dung của các điện trở này sẽ thực hiện các hoạt động. Chúng tôi không quan tâm đến các màn hình khác của sổ đăng ký. “Đèn” được kết nối với thanh ghi X cho biết nội dung của X đang được truy xuất trên chỉ báo.

Tất nhiên, bạn đã đọc hướng dẫn sử dụng máy tính; bạn cũng đã quen thuộc với máy tính kỹ thuật (không lập trình được), vì vậy chúng tôi sẽ không mô tả mục đích của các phím và các thao tác riêng lẻ**). Hãy cố gắng làm việc.

Cho ba cạnh của một tam giác a=3, b=4, c=5, ta cần tính định lý cosin cho góc đối diện a.

(Công thức: cos a = $\frac{a^2+c^2-b}{2bc}$). Chúng tôi bật máy tính và làm việc với nó ở chế độ tự động, nghĩa là giống như với máy tính kỹ thuật thông thường: chúng tôi nhấn các phím và máy tính thực hiện các hành động sau:

| Lớp học | Ấn Độ. | Bình luận |
| :— | :— | :— |
| 3 | 3 | nhập giá trị a=3 |
| P 0 | 3 | trong P0 (đăng ký 0) |
| 4 | 4 | nhập giá trị b=4 |
| P 1 | 4 | trong P1 |
| 5 | 5 | nhập giá trị c=5 |
| P 2 | 5 | trong P2 |
| Fx² | 25 | chúng ta bình phương giá trị của c và gọi giá trị của b trong X (c² chuyển thành Y) |
| Fx² | 16 | hình vuông b=4 |
| + | 41 | chúng ta nhận được b2+c2 |
| IP 0 | 3 | gọi giá trị của a trong X (kết quả trước đó là Y) |
| Fx² | 9 | chúng tôi nhận được a² |
| — | 32 | lấy giá trị tử số và lưu nó trong P4 |
| 2 | 2 | bắt đầu tính 2 b c |
| IP 1 | 4 | …
| × | 8 | …
| IP 2 | 5 | …
| × | 40 | tính được 2 b c |
| IP 4 | 32 | gọi tử số trong X |
| X→Y | 40 | hoán đổi X và Y (bạn cần chia cho mẫu số) |
| ÷ | 0.8 | chúng tôi nhận được kết quả |

• (Bài thuyết trình được thực hiện liên quan đến các mẫu VZ-34, MK-56, MK-54).

**(Xem “Nuki và Cuộc sống” số 2, 4, 6, 8, 10, 12 (1984), số 2, 4, 6 (1985), “Công nghệ cho tuổi trẻ” số 3 (1985), v.v.)

47

Hình 1.

Bây giờ, bằng cách nhấn các phím B/O, F, PRG, chúng ta sẽ chuyển máy tính sang chế độ chương trình (hai số 0 sẽ sáng trên chỉ báo thay cho thứ tự của số), sau đó nhấn các phím tương tự theo cùng một trình tự, thêm phím C/P ở cuối (tại sao cần thiết, nó sẽ được giải thích thêm). Bây giờ, nhấn bàn phím sẽ tạo ra một hiệu ứng hoàn toàn khác: máy tính không thực hiện các hành động cần thiết mà ghi nhớ chúng. Để làm điều này, nó có một bộ nhớ đặc biệt cho các lệnh, bao gồm 98 ô, được đánh số từ 0 đến 97 và một bộ đếm địa chỉ chứa số ô mà hành động tiếp theo sẽ được ghi lại (xem hình 1). Sử dụng phím B/O (trở về 0), số 0 được ghi vào bộ đếm địa chỉ - đây là những gì chúng ta thấy trên chỉ báo sau khi chuyển sang chế độ chương trình. Việc nhấn một phím (hoặc một cặp phím), ở chế độ ngoại tuyến sẽ thực hiện một hành động, giờ đây sẽ khiến mã số của hành động (lệnh) này được ghi vào ô nhớ và bộ đếm địa chỉ tăng lên một. Các giá trị hiện tại của bộ đếm địa chỉ và ba lệnh cuối cùng được hiển thị trên chỉ báo. Vì vậy, chuỗi hành động của chúng ta, được chuyển thành lệnh, kết thúc bằng cặp bàn phím và là một chương trình dành cho máy tính. Bạn có thể đọc nó và sửa lỗi nếu cần - cách thực hiện việc này được mô tả rõ trong hướng dẫn dành cho máy tính.

Nhấn F, ABT để đưa máy tính về chế độ ngoại tuyến. Bằng cách nhấn B/O, chúng ta sẽ ghi số 0 vào bộ đếm địa chỉ (chúng ta không thấy số 0 này trên chỉ báo, nhưng nó sẽ được ghi vào bộ đếm). Bây giờ phím PP sẽ được nhấn. Mỗi lần nhấn sẽ thực hiện một lệnh từ cặp máy tính - cụ thể là lệnh có địa chỉ trong bộ đếm địa chỉ; sau đó, giá trị trong bộ đếm tăng thêm một và lần sau khi bạn nhấn nó, lệnh tiếp theo sẽ được thực thi, chỉ báo sẽ tuần tự hiển thị các giá trị tương tự được đưa ra trong bảng. Sau lần nhấn thứ 22 chúng ta sẽ thấy kết quả - 0,8.

Bằng cách này, bạn có thể kiểm tra chương trình, nhưng đây là cách nó phải được thực thi. Để thực hiện chương trình, có chế độ thứ ba - tự động. Nhấn B/O, nhập số 0 vào bộ đếm địa chỉ và nhấn phím C/P (Stop/Start). Bây giờ máy tính cũng sẽ chọn một lệnh từ một cặp, thực hiện chúng và tăng bộ đếm địa chỉ, nhưng sẽ không còn tồn tại sau mỗi lệnh. Kết quả trên đèn báo sẽ nhấp nháy nhanh đến mức không thể nhìn thấy được. Để xem kết quả cuối cùng, bạn cần thoát khỏi thao tác tự động - vì điều này chúng tôi đã viết lệnh C/P ở cuối chương trình - khi nó được thực thi, máy tính sẽ chuyển từ chế độ tự động sang chế độ ngoại tuyến và bạn có thể xem kết quả.

Vì vậy, người biểu diễn của chúng tôi - một máy tính vi mô - có thể hoạt động

• ở chế độ ngoại tuyến, thực thi các lệnh khi chúng được đưa ra từ bàn phím;
• ở chế độ chương trình, lưu trữ các lệnh được đưa ra từ bàn phím;
  — ở chế độ tự động, thực thi các lệnh vào bộ nhớ.

48

Quá trình chuyển đổi từ chế độ này sang chế độ khác được hoàn thành bằng cách sử dụng các lớp F, PRG, AVT và SP như được hiển thị trong hình 2.

Chúng tôi lập trình một thuật toán tuyến tính. Người biểu diễn của chúng tôi hiểu toàn bộ ngôn ngữ đặc biệt - ngôn ngữ của những cú nhấp chuột sang trọng; đối với chúng tôi, việc ghi bằng ngôn ngữ thuật toán sẽ thuận tiện và quen thuộc hơn (xem «Kvant» 1985, số 9, 10). Để lập trình thành công một trình phân loại, chúng ta cần học cách dịch một chương trình từ ngôn ngữ thuật toán sang ngôn ngữ phân loại - như các chương trình chuyên nghiệp nói: dịch nó sang mã phân loại (từ tiếng Anh dịch - dịch). Nói chung, một máy tính hiện đại hiểu tất cả mã gốc, nhưng nó có trình dịch “tích hợp” riêng để dịch chương trình từ ngôn ngữ lập trình sang mã của nó. Đối với bộ phân loại, việc này sẽ phải được thực hiện thủ công.

Hãy viết chương trình của chúng ta bằng ngôn ngữ thuật toán.

cosin tảo
(thứ a, b, c, k)
apr a, b, c
độ phân giải
trọng lượng bắt đầu k
k := b² + c² - a² / 2bc

lừa đảo

Bây giờ chúng ta hãy xây dựng các quy tắc dịch (phát sóng).

1. Sử dụng từ dịch vụ vesh (bộ phân loại không có loại biến nào khác), chúng tôi sẽ phân phối các thanh ghi bộ nhớ cho các biến, ghi vào bảng thanh ghi nào tương ứng với một biến nhất định.

2. Để yêu cầu một giá trị, bộ phân loại phải ở lại và đợi người đó nhập giá trị mong muốn, sau đó chạy nó vào thanh ghi thích hợp, sau đó đợi giá trị tiếp theo, v.v. Do đó, apr được lập trình với một chuỗi các lệnh gửi bộ nhớ, được phân tách bằng các lệnh C/P.

3. Bài tập được lập trình theo một cách rất khác.

4. Nếu kết quả từ xứng đáng chỉ có một tham số thì không cần dịch kết quả. Nếu có một số tham số như vậy thì ở cuối chương trình, trước từ con, bạn cần lập trình đầu ra của các tham số này bằng một chuỗi lệnh để gọi thanh ghi X

các giá trị đã nhập, mỗi giá trị được theo sau bởi lệnh C/P áp dụng các phép tính.

5. Con được lập trình bằng lệnh C/P.

Lưu ý rằng có thể có nhiều lệnh C/P trong một chương trình. Khi chuyển sang chế độ tự động bằng lệnh C/P, bộ đếm địa chỉ chứa địa chỉ của lệnh tiếp theo (có thể kiểm tra điều này bằng cách nhấn F, PRG, nghĩa là nó sẽ chuyển sang chế độ chương trình khi giá trị của bộ đếm địa chỉ hiển thị trên chỉ báo, sau đó bạn sẽ cần quay lại chế độ tự động bằng cách nhấn F, ABT); Nếu bây giờ bạn nhấn C/P, thì lệnh bắt đầu được thực thi, địa chỉ của lệnh này nằm trong bộ đếm địa chỉ, tức là lệnh tiếp theo sau C/P - lệnh được tính toán thêm.

Hãy phát triển chương trình của chúng tôi.

Mã địa chỉ Com

a — P0
b — P1
c — P2
k — P3

00 40 P0
01 50 C/P
02 41 P1
03 50 C/P
04 42 P2

05 61 IP 1
06 22 F x²
07 62 IP 2
08 22 F x²

09 10 +
10 22 F x²
12 11 —
13 44 P4
14 02 2

15 61 IP 1
16 12

17 62 IP 2
18 12
19 64 IP 4
20 14 X↔Y

21 13 ÷

cosin tảo
sự việc a, b, c, k)
đại số a, b, c
độ phân giải

[Sau đó nhập a, b, c.] [Trước lần gửi đầu tiên bạn không cần nhập C/P (trước chương trình tiếng Nga, bộ phân loại ở chế độ tự động), bạn cần nhập các giá trị của a và nhấn C/P]
k := (b² + c² - a²)/(2bc)
[Chúng tôi làm việc đúng theo công thức: tính giá trị b2, rồi c2, cộng, v.v.]
[Rõ ràng là chúng ta sẽ nhận được kết quả, nhưng chúng ta có thể làm điều đó nhanh hơn: sau khi nhập X vào sổ đăng ký, chúng ta có thể sử dụng nó ngay lập tức.] [Bạn có thể kết hợp một số lệnh, nếu bạn đếm như thế này: k := (b² + c² - a²)/2/b/c và lập trình giá trị thành 2, sau đó đến b và cuối cùng là c.]
Chúng tôi nhận được kết quả. Đừng quên tắt bộ phân loại!

Vì vậy, nó hoạt động theo quy tắc định dạng thuần túy, chúng ta sẽ có một chương trình cho bộ phân loại, nhưng nó sẽ không tối ưu. Một mặt, trên (Cuối cùng, xem trang 57)

49

Định luật Kepler và vật lý học đường

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. E. BELONUCHKIN

Trong các kỳ thi ứng dụng ở một số lĩnh vực khó tại Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva, cũng như tại các kỳ thi Olympic vật lý cấp trường, người ta gặp phải bài toán, trong đó cần phải xem xét chuyển động của các hành tinh (hoặc vệ tinh của chúng) và xác định các thông số quỹ đạo tương ứng của chúng. Kiến thức về các định luật Kepler, được học trong khóa học thiên văn học ở trường, có thể giúp ích rất nhiều trong lời giải như bài toán.

Chúng ta hãy nhớ định luật Kepler.

Định luật thứ nhất: mỗi hành tinh quay quanh Cột theo một hình elip, tại một trong các tiêu điểm mà Cột tọa lạc.

Định luật II: vectơ bán kính của hành tinh được mô tả theo diện tích trong cùng khoảng thời gian.

Định luật III: bình phương chu kỳ quay của hai hành tinh quanh Cột liên hệ với nhau bằng lập phương bán trục lớn của quỹ đạo của chúng.

Nếu “sáng” trung tâm không phải là Cột, mà là Trái đất (hoặc hành tinh khác) chẳng hạn và chúng ta quan tâm đến chuyển động của các vệ tinh của nó, thì chúng ta cũng có thể sử dụng định luật Kepler. Ở trên đơn giản, hãy thay thế Cột bằng Trái đất và các hành tinh bằng vệ tinh của chúng.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một số bài toán, lời giải giả định kiến ​​thức về các định luật Kepler. Trong quá trình này, chúng ta hãy nhớ lại những thông tin khác, đặc biệt là về mặt định lượng, từ thiên văn học; chúng cũng có thể hữu ích trong việc xác định các thông số quỹ đạo của các hành tinh, sao chổi và vệ tinh.

---

Cách đây đúng một phần tư thế kỷ, vào ngày 12 tháng 4 năm 1961, một người đàn ông, được K. E. Tsiolkovsky nói với bạn, đã “ra khỏi nôi” vào Không gian. Yury Gagarin, nhà du hành vũ trụ đầu tiên trên Trái đất, đã thực hiện một cuộc cách mạng vòng quanh thế giới trên tàu vũ trụ Vostok. Bạn có nhớ chuyến bay này kéo dài bao lâu không? Nếu không, bạn có thể tính toán nó?

Bài toán 1. Thời gian tối thiểu có thể có của chuyến bay của vệ tinh quanh Trái đất là bao nhiêu?

Theo định luật Kepler III, vật hữu ích trên khắp Trái đất, cần ít thời gian nhất, phải đi dọc theo một hình elip có bán trục lớn tối thiểu. Rõ ràng, hình elip như vậy là một hình tròn (hình elip có tiêu điểm trùng nhau) tiếp giáp với bề mặt Trái đất.

Thời gian bay có thể được tính theo nhiều cách khác nhau. Có lẽ chúng ta sẽ chọn không phải phương pháp đơn giản nhất mà là phương pháp sử dụng trực tiếp các định luật Kepler.

Chúng ta hãy nhớ rằng vệ tinh tự nhiên của Trái đất, Mặt trăng, thực hiện một vòng quay trong một thời gian (tháng thiên văn) $T_{\text{Л}} = 27,3$ ngày=2,36·10⁶ s. Bán kính trung bình của quỹ đạo của Mặt trăng là $r_{\text{Л}} = 3,84 \cdot 10^5$ km, bán kính của Trái đất và do đó bán kính của quỹ đạo vệ tinh “nhanh nhất” (theo thời gian) là $R_3 = r_{\text{min}} = 6,38 \times 10^3$ km. Vẫn còn phải nén những dữ liệu này vào biểu thức của định luật III của Kepler

$$\frac{T_{\text{min}}^2}{T_{\text{Л}}^2} = \frac{r_{\text{min}}^3}{r_{\text{Л}}^3},$$

và chúng ta sẽ tìm thấy

$$T_{\text{min}} = T_{\text{Л}} \left( r_{\text{min}} / r_{\text{Л}} \right)^{3/2} \approx 5,06 \cdot 10^3 \text{с} = 84 \text{мин} = 1 \text{ч} 24 \text{мин}.$$

(Lưu ý rằng chuyến bay của Yu. A. Gagarin kéo dài 1 giờ 48 phút, tức là tàu vũ trụ Vostok đã thực hiện nhiều hơn một cuộc cách mạng.)

Tất nhiên, việc tính toán các thông số của quỹ đạo tròn là một vấn đề tương đối đơn giản. Ví dụ, chúng ta có thể sử dụng vận tốc thoát cho một vệ tinh được phóng từ Trái đất và biết bán kính quỹ đạo của nó, tính chu kỳ. Nhưng khi chúng ta phải viết ra những quỹ đạo thực sự hình elip có độ lệch tâm đáng chú ý, chỉ có định luật Kepler mới có thể giúp chúng ta giải quyết.

Bài toán 2. Vệ tinh chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo tròn

50

Hình 1.

dtsus $R + 3R_3$ (hình 1). Do hiệu ứng phanh ngắn hạn, tốc độ của vệ tinh giảm xuống khiến nó chuyển sang quỹ đạo hình elip chạm vào bề mặt Trái đất. Bao lâu sau khi hãm phanh, vệ tinh sẽ hạ cánh?

Trước khi hạ cánh, vệ tinh phải đi theo một quỹ đạo hình elip, nửa chính của quỹ đạo đó, như dễ thấy, bằng $2R_3$. Thời gian phanh cần thiết $\tau$ có thể được tìm thấy không được biểu thị trong định luật Kepler III, nếu chúng ta sử dụng kết quả của bài toán trước đó:

$$\frac{(2\tau)^2}{T_{\min}^2} = \frac{(2R_3)^3}{R_3^3},$$

$$\tau = \frac{1}{2}T_{\min} \cdot 2^{3/2} = \sqrt{2}T_{\min} \approx 7,1 \cdot 10^3\text{c} \approx 119\text{мин} \approx 2\text{ч}.$$

Năm nay, có lẽ sao chổi nổi tiếng nhất của hệ mặt trời, Sao chổi Halley, sẽ ghé thăm vùng lân cận Mặt trời. Lần đầu tiên, các nhà khoa học sẽ có thể quan sát nó không chỉ với sự trợ giúp của một thiết bị đặt trên Trái đất: tại điểm hẹn với sao chổi, một tên lửa vũ trụ của Liên Xô mang theo trạm tự động Vega do một nhóm các nhà khoa học quốc tế tạo ra (nó sẽ đến thăm Sao Kim và Sao chổi HALLEY). Các nhà khoa học sẽ cố gắng nghiên cứu càng chi tiết càng tốt trang vũ trụ vẫn còn bí ẩn (chương trình nghiên cứu rất rộng rãi) - xét cho cùng, cuộc họp tiếp theo của nhà nước chỉ còn 76 năm nữa!

Chúng ta hãy “nghiên cứu” một chút về sao chổi.

Bài toán 3. Khoảng cách tối thiểu của Sao chổi Halley tới Mặt trời $r_{\min} = 0,6$ a. đ. (1 đơn vị thiên văn = 1 au = 1,5·10^8 km - bán kính quỹ đạo trái đất). Biết chu kỳ quỹ đạo của sao chổi là $T=76$ năm, hãy tìm xem nó di chuyển bao xa khỏi Mặt trời.

Không phải vô cớ mà chúng ta chọn năm làm đơn vị thời gian và đơn vị độ dài là khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời. Rốt cuộc, cách dễ nhất là so sánh các thông số quỹ đạo của sao chổi với các thông số quỹ đạo Trái đất.

Từ định luật Kepler III, chúng ta tìm được quỹ đạo bán chính của sao chổi Halley $a$:

$$a = a_3 \left( \frac{T}{T_3} \right)^{2/3} = r_0 \left( \frac{T}{T_0} \right)^{2/3} \approx 17,9 \text{ а. е.}$$
($r_0=1$ a.u., $T_0=1$ năm). Bây giờ không khó để xác định khoảng cách tối đa của sao chổi với Mặt trời:

$$r_{\max} = 2a - r_{\min} \approx 35,2 \text{ а. е.} \approx 5,3 \cdot 10^9 \text{ км}.$$

Bài toán 4. Sử dụng thông tin từ bài toán 3, ước tính tốc độ tối đa và tối thiểu của Sao chổi Halley.

Quỹ đạo điểm cận nhật của sao chổi gần Mặt trời hơn nhiều lần so với quỹ đạo của sao chổi. Do đó, chúng ta sẽ không phạm sai lầm lớn nếu giả sử rằng ở điểm cận nhật sao chổi không chuyển động theo quỹ đạo hình elip mà theo quỹ đạo parabol. Điều này có nghĩa là ở điểm cận nhật, tốc độ của sao chổi bằng cái gọi là tốc độ vũ trụ thứ hai (hay tốc độ parabol) so với Mặt trời, tức là tốc độ tối thiểu mà sao chổi có thể chống lại lực hấp dẫn của Mặt trời.

Được biết, vận tốc vũ trụ thứ hai $v_{\text{II}}$ lớn hơn $\sqrt{2}$ lần vận tốc vũ trụ thứ nhất $v_1$, tính cho cùng khoảng cách tính từ tâm hấp dẫn.*) Điều này có nghĩa là chúng ta cần biết vận tốc vũ trụ thứ nhất cho khoảng cách $r_{\min} = 0,6$ a. đ. từ Mặt Trời. Và bạn có thể tính toán nó bằng định luật Kepler, sử dụng Trái đất làm tài liệu tham khảo và biết rằng tốc độ của Trái đất trên quỹ đạo là $v_0 = 30$ km/s (nếu bạn không nhớ giá trị này, nó có thể được tính bằng cách chia chiều dài quỹ đạo cho độ dài của chu kỳ quỹ đạo).

Bây giờ chúng ta hãy biến đổi một chút biểu thức của định luật Kepler III - chúng ta biểu thị thời kỳ cách mạng theo tốc độ và bán kính:

*) Có thể tìm thấy nguồn gốc của mối quan hệ này, chẳng hạn như trong bài viết của V.V. Mozhaev “Định luật vạn vật hấp dẫn” («Kvant», 1980, số 3). Ở đó, bạn cũng có thể tìm thấy một phương pháp tính toán chặt chẽ các vận tốc liên tiếp thành công của chúng ta và với sự trợ giúp của nó, đảm bảo rằng chúng ta đã mắc một sai lầm rất nhỏ.

52

Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Cơ và Toán)

1. Giải phương trình
   $$6 \cos x - \frac{1}{3} = \sqrt{32 \cos x - \frac{17}{9}}.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{x-1} + \frac{3}{|x|+1} \geq \frac{1}{|x|-1}.$$

3. Một số đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng AB và BC lần lượt tại các điểm D và E. Điểm A nằm giữa các điểm B và D, điểm C nằm giữa các điểm B và E. Tìm diện tích tam giác ABC nếu độ dài các cạnh AB và AC lần lượt là 13 và 1 và các điểm A, D, E, C nằm trên cùng một đường tròn.

4. Trong ba giá trị p: 0,24π; 0,26π; 0,6π - tìm những giá trị mà phương trình
   $$\left( \frac{p-5x}{\pi} + \log_3 \frac{3p}{\pi} \right)(6 \sin (p-x) - \sqrt{18}) = 0$$
   có ít nhất một lời giải thỏa mãn điều kiện 0 < x < π/3.

5. Trên mặt phẳng a đi qua tâm một quả cầu bán kính R, cho một đường tròn tâm O₁ và bán kính r₁ nằm bên trong quả cầu. Tất cả các điểm của đường tròn này được nối bằng các đường thẳng nối từ điểm A thuộc quả bóng và cách mặt phẳng a một khoảng R. Tập hợp giao điểm của các đường thẳng này với bề mặt của quả bóng khác A là một đường tròn có tâm O₂ và bán kính r₂. Tìm khoảng cách từ điểm O₂ đến mặt phẳng a nếu khoảng cách giữa các điểm A và O₁ bằng a.

Tùy chọn 2
(Khoa Toán tính toán và Điều khiển học)

1. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 6x - 2 \cdot 3y = 2, \\ 6x \cdot 3y = 12. \end{cases}$$

2. Trong hình thang PQRS, chiều dài đáy QR là 10, chiều dài đường chéo QS là 19 và góc QSP là 30°. Tìm xem cái nào lớn hơn: độ dài của QR cơ sở hoặc độ dài của cạnh RS.

3. Giải phương trình
   $$4 - \cos[2\pi (13x+9)^2] = 5 \cdot \sin[\pi (13x+9)^2].$$

4. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{2 \log_{1-3}|x|(42x^2 - 14|x|+1)}{\log_{1-3}|x|(x - \frac{5}{6})^2} \leq 1.$$

5. Tìm tất cả các bộ ba số x, y, z thỏa mãn phương trình
   $$\sqrt{\frac{3}{2} x^2 - 2y^2 + 2z^2 + 10z + 6y + \frac{\sqrt{3}}{2} x - 17} + \sqrt{3x^2 - 2\sqrt{3} (\cos \pi y + \cos \pi z)} x + 4 = 0.$$

6. Tất cả các cạnh của tứ diện ABCD có độ dài bằng nhau. Trên các cạnh AB, AC và AD lần lượt chọn các điểm K, L, M sao cho độ dài đoạn KB bằng 15, độ dài đoạn MD bằng 10. Biết bán kính của quả cầu nội tiếp tứ diện ABCD bằng $\frac{5}{2} \sqrt{6}$, thể tích hình chóp AKLM bằng 375 $\sqrt{2}$. Tìm tổng bán kính của hai hình cầu: một hình nội tiếp trong kim tự tháp AKLM và một hình ngoại tiếp xung quanh nó.

Tùy chọn 3
(Khoa Hóa học)

1. Giải phương trình
   $$4 (\sin 6x + \sin 4x) = \cos x (4 \sin^2 5x - 5).$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$5^{2x} - \frac{1}{3} x^2 < 5^{2x} - 2x (\sqrt{3}^5) x^2 + 24.$$

3. Trên mặt phẳng tọa độ xOy, ta xét tam giác ABC, trong đó đỉnh A trùng với gốc tọa độ, đỉnh B và C lần lượt nằm trên các parabol y = 3x² - 10x + 2 và y = -2x² + 5x - 10, cạnh BC song song với trục hoành, hoành độ của đỉnh B thuộc đoạn $\left[ \frac{3}{5}; \frac{3}{2} \right]$.

Trục hoành của đỉnh B phải có giá trị bao nhiêu để diện tích tam giác ABC lớn nhất?

4. Chiều cao của kim tự tháp là 2, đáy của kim tự tháp là hình thoi, diện tích là 8 và góc nhọn là π/6. Một số sharqa chạm vào một mặt phẳng tại một điểm nằm ở cạnh đáy của kim tự tháp. Chứng minh rằng đường thẳng nối đỉnh hình chóp với tâm quả bóng đi qua giao điểm của hình thoi chéo. Tìm thể tích của quả cầu.

5. Giải quyết hệ thống
   $$\begin{cases} 2x + y + \log_2^3 (|y| - 2x + 5) - 20 = 0, \\ (2x + y)^2 - 7(2x + y) \log_2 (|y| - 2x + 5) - 8 \log_2^3 (|y| - 2x + 5) = 0. \end{cases}$$

Tùy chọn 4
(Khoa Blues)

1. Giải phương trình
   $$\frac{1 - x}{(2 - x)(x - 3)} + 1 = \frac{1}{2 - x}.$$

2. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
   $$3 \cos 2x - 5 \sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 1,$$

thuộc đoạn [π; 2π].

3. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{1}{\log_5(3 - 2x)} - \frac{1}{4 - \log_5(3 - 2x)} < 0.$$

4. Điểm N nằm trên cạnh huyền LM của hình chữ nhật LKM. Điểm P nằm trên đường thẳng LM sao cho điểm M nằm giữa hai điểm N và P và góc NKP vuông. Tìm diện tích tam giác NKM nếu biết diện tích các tam giác LKM và NKP lần lượt bằng a và b và góc LKP bằng φ.

5. Có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [0; 1] có phương trình
   $$8x(1-2x^2)(8x^4-8x^2+1)=1$$
   Tùy chọn 5
   (Khoa Bưu chính)
6. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 7\cdot 2^x+6y=2, \\ 3\cdot 2^{x+1}-5y=93. \end{cases}$$
7. Giải phương trình
   $$\lg(9-x)=-2\lg\left(\frac{1}{x+3}\right).$$
8. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
   $$\cos x+(1+\cos x)\mathrm{tg}^2x-1=0,$$
   thỏa mãn bất đẳng thức tg x > 0.
9. Qua điểm D của đáy AB của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng CD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm E. Tìm độ dài đoạn AC nếu độ dài dây CE bằng 3 và độ dài đoạn DE và DC bằng nhau.
10. Đặt x=x₀ là nghiệm lớn nhất của phương trình
    $$x^2+(3ab+3a-2)x+5ab+5a-17=0.$$
    Tìm giá trị lớn nhất của x₀ khi a ≥ 1, b ≥ 0.
    Tùy chọn 6
    (Khoa Địa chất, Khoa Địa chất)
11. Xác định cái nào lớn hơn:
    $$2^{\log_35}-0, 1 \text{ или } 5^{\log_32}.$$
    Chứng minh kết quả.
12. Giải phương trình
    $$\frac{|x-2|}{|x-1|-1}=1.$$
13. Người công nhân thứ nhất sản xuất nhanh hơn người thứ hai 60 bộ phận. Hỏi người công nhân thứ hai sẽ sản xuất được 90 bộ phận trong bao nhiêu giờ; nếu họ làm việc cùng nhau thì họ sẽ sản xuất được 30 bộ phận trong một giờ?
14. Giải phương trình
    $$5\sin^2x-4\sin x\cos x-\cos^2x=4.$$
15. Giải phương trình
    $$\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}.$$
16. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh dài 4. Điểm M lấy ở giữa cạnh BC, điểm N nằm trên cạnh A’D’ cách đỉnh A’ 1 đơn vị. Tìm độ dài đường đi ngắn nhất giữa các điểm M và N dọc theo bề mặt của khối lập phương.
    Tùy chọn 7
    (Khoa Địa vật lý, Khoa Địa chất)
17. Xác định cái nào lớn hơn:
    $$3^{\log_25}+10^{\frac{1}{3}\log_{10}2} \text{ или } 5^{\log_23}+10^{\sqrt{10}}.$$
    Chứng minh kết quả.
18. Giải bất đẳng thức
    $$\frac{|x-2|}{|x-1|-1} \ge 1.$$
19. Xem tùy chọn 6, bài toán 3.
20. Giải phương trình
    $$3\sin x+5\cos x=\sqrt{17}.$$
21. Giải phương trình
    $$\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}.$$
22. Hình nón được sửa quanh một trục - một đường thẳng vuông góc với chiều cao của nó và đi qua đỉnh. Tìm diện tích mặt cắt ngang của vật quay thu được bằng một mặt phẳng đi qua trục quay nếu chiều dài đường sinh của hình nón là 5 và chiều dài đường cao là 4.
    Tùy chọn 8
    (khoa địa lý)
23. Giải phương trình
    $$4\sin x+\cos 2x=1.$$
24. Giải bất đẳng thức
    $$\log_x(3-x)>1.$$
25. Hai con sông có dòng chảy thẳng và cùng tốc độ chảy đều đổ vào hồ ở cùng một chỗ, tạo thành một góc 60° giữa chúng. Từ hai điểm tham quan nằm trên hai con sông khác nhau và cách nhau 28 km, một chiếc thuyền kayak và một chiếc thuyền đồng loạt xuất phát, tốc độ của chúng lần lượt là 10 km/h và 3 km/h. Thuyền kayak đến hồ sau 2 giờ và thuyền - sau 4 giờ. Tìm vận tốc của dòng sông.
26. Các giá trị các góc P, Q, R của tam giác PQR tạo thành một cấp số lập luận có hiệu là (-2π/9). Các đường phân giác của tam giác này cắt nhau tại điểm S. Các điểm P’, Q’, R’ lần lượt nằm trên các đoạn SP, SQ, SR và cách điểm S một khoảng bằng nhau. Chứng minh rằng giá trị các góc P’, Q’, R’ của tam giác P’Q’R’ cũng tạo thành một cấp số lập luận. Tìm sự khác biệt của nó.
27. Tìm tất cả các số b thỏa mãn điều kiện -1 √ b 1, sao cho biểu thức 1-2√4x²+4bxy+y²+8y+18 chỉ có một cặp số x, y đạt giá trị lớn nhất.
    Tùy chọn 9
    (Khoa Kinh tế Chính trị, Khoa Kinh tế)
28. Tìm tất cả các bất đẳng thức lời giải
    $$\frac{4x-1}{3x+1} \ge 1.$$
29. Giải phương trình
    $$2\sin x=3\mathrm{ctg}x.$$
30. Liệt kê tất cả a mà phương trình $\log_2x+\log_a x+\log_4 x=1$ có lời giải và tìm lời giải này.
31. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
    $$y=\frac{2x^2+x+1}{3x^2-x+2}.$$
32. Một con tốt đã đi từ điểm A đến điểm B. Không quá 40 phút sau, con tốt thứ hai đi theo anh ta. Tại điểm B, một con tốt đến trước, và con còn lại đến B không kém gì sau đó. Nếu các quân tốt xuất hiện cùng lúc, chúng sẽ tiếp cận điểm B với khoảng thời gian không quá 20 phút. Xác định thời gian mỗi quân tốt đi từ A đến B nếu vận tốc của một quân tốt gấp 1,5 lần vận tốc của quân tốt kia.
33. Cho tứ giác lồi ABCD, điểm E là giao điểm của hai đường chéo. Biết diện tích mỗi tam giác ABE và DCE bằng 1, diện tích toàn tứ giác không vượt quá 4, |AD|=3. Tìm cạnh BC.